P K I- S I- K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 192-XII
Boris Lavric: ZASUKAJ PREMICO
Ključne besede: matematika. Elektronska verzija:
http://www.presek.si/18/1036-Lavric-premica.pdf
© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
ZASUKAJ PREMICO
Kakšno ploskev opiše premica, ko jo sučemo okoli dane osi? Nekaj posebnih položajev premice zlahka obvladamo:
a)	Premica seka os vrtenja.
b)	Premica je vzporedna osi vrtenja.
V obeh primerih premica in os ležita na skupni ravnini, zato iskano rotacijsko ploskev takoj prepoznamo:
		! S:
		■
		i "M
		i M
		
	ir"	1 -r | ■j i
piašč neomejenega dvojnega stožca
A. B
premica
plašč neomejenega valja
Drugače je pri splošnem položaju premice, ki ga nismo zajeli v a) ali b).
c) Premica in os vrtenja sta mimobežni.
Tu si bomo pomagali z ravnino, ki bo šla skozi os vrtenja, in si ogledali presek iskane rotacijske ploskve s to ravnino. Dobljena presečna krivulja namreč pri vrtenju okoli osi opiše ploskev, ki si jo želimo ogledati.
Označimo s p premico, ki jo bomo zavrteli okoli osi r. Položimo skozi p ravnino l~l, ki je vzporedna r. Pri konstrukciji te ravnine si lahko pomagamo z ugotovitvijo, da na njej ležijo vse vzporednice z r, ki sekajo p. Nato pravokotno na 11 postavimo ravnino 0 , ki vsebuje r: premico, vzdolž katere se sekata H in 0, pa označimo s s. Na s leži prebodišče A premice p z ravnino <t>. Na to ravnino vpeljemo pravokotni kocfdinatni sistem, katerega ordinato os naj nosi premica r, abscisna os pa naj teče skozi A in seka r v koordinatnem izhodišču O. Označimo za — OA razdaljo med točkama 0 in /A.
Brez težav lahko vidimo, da sta A in O najbližje ležeči točki premic p in r in je tako a razdalja med p in r.
Zdaj določimo enačbo krivulje K, v kateri rotacijska ploskev seka ravnino
<J>. Seveda bomo enačbo zapisali v koordinatnem sistemu, s katerim smo opremili ravnino <J>. Pravokotno na r postavimo poljubno ravnino ii. Ta naj seka premice p, r, s zaporedoma v točkah P. R in S. Razmerje dolžin PS in AS zaradi lege P na premici p ni odvisno od izbire ravnine ii, zato postavimo k — PS/AS, Z zasukom točke P okoli osi r naj P preide v točko 7~(x,y) krivulje K, ki leži na <J>.
Poglejmo na sliko.
Upoštevajmo tudi, da velja T R = PR in da je trikotnik PRS pravokoten. Dobimo
x7=TR2 = PR2 = ~PŠ2 +WŠ2 = (kAŠf + OA2 = k2y2 + a7
torej je krivulja K v izbranem koordinatnem sistemu na <!> dana z enačbo x7 — k7y7 ~ a7. Potemtakem je K hipérbola, iskana ploskev je dobljena z rotacijo te hipérbole okrog premice r in jo zato imenujemo (enodelni) rotacijski hiperboloid.
S tem smo odgovorili na uvodno vprašanje, prispevek pa sklenim z nekaj opombami in vprašanji za radovednega bralca:
1.	Pot, ki naj se pripeljala do rotacijskega hiperboloida, pove, da je le ta sestavljen iz samih premic (je premonosna ploskev). Poleg premic, ki jih dobimo z vrtenjem p okoli r, ležijo na njem tudi premice, ki jih dobimo z vrtenjem zrcalne slike p' premice p glede na <J> okoli osi r. Glej sliko,
2.	Pri izpeljavi enačbe krivulje K smo brez besed privzeli, da premica p ni pravokotna na ravnino O. Kakšna je rotacijska ploskev, ki jo opiše p, če je p pravokotna na <}>?
3.	Zadržimo se še nekoliko pri opisani konstrukciji. Maj bo q vzporednica s p in naj vsebuje točko O. Zasukajmo q okrog r, tako da obleži na ravnini <t>. Dokaži, da smo dobili asimptoto hiperboie K. Dvojni stofec, ki ga opiše q pri vrtenju okoli r, imenujemo asimptotični sto/ec rotacijskega hiperboloida.
4.	Plašč pokončnega valja z višino v naj sestavljajo napete elastične nitke, vzporedne osi valja in pritrjene na robova osnovnih ploskev valja -krogov s polmerom r. če zasučemo eno od osnovnih ploskev, torej krog, za pravi kot okrog središča, plašč valja preide v del rotacijskega hiperboloida. Kolikšen je kot ob vrhu osnega preseka njegovega asimptotičnega stožča?
5.	Kakšno telo opiše kocka pri vrtenju okoli svoje glavne diagonale?