Presek 4-koncna.indd 1 16.2.2006 11:35:08  Matematika igra pomembno vlogo pri bojevanju pro­ ti boleznim – od modeliranja genov in proteinov do sledenja napredovanja epidemije. Osnovni model, ki ga uporabljamo za analizo dinamike infekcijskih bo­ lezni, je npr. sistem diferencialnih enačb. Novo znan­ stveno področje, imenovano »rudarjenje podatkov«, ki uporablja tudi statistiko in prepoznavanje vzor­ cev, pomaga med velikimi količinami podatkov, ki jih dobimo ob študiju bolezni in prebivalstva, izbrati koristne informacije. Matematika igra ključno vlogo tudi pri povezovanju sprememb človeškega genoma z določenimi boleznimi. Matematika je pomagala pri boju proti slinavki in parkljevki v Veliki Britaniji ter proti Chagasovi bolezni (bolezni, ki jo povzroča parazit Trypanosoma cruzi), ki prizadene milijone ljudi v Latinski Ameriki. Epide­ miologi so pri študiju epidemije slinavke in parkljev­ ke uporabili matematične modele in ugotovili, da so bili prejšnji načini za ustavitev bolezni, ki bi lahko dosegla katatrofalno razširjenost, nezadostni. Vlada je sprejela težko odločitev in ta je, čeprav drastična, ustavila izbruh bolezni. V Latinski Ameriki so mate­ matiki računsko preizkušali različne možnosti boja proti Chagasovi bolezni in tako našli presenetljivo enostaven, vendar pa zelo učinkovit način prepre­ čevanja okužb. Vsi ti primeri imajo tri skupne točke: matematični model bolezni, moderne računalnike, ki preračunavajo podatke izbranega modela, ter ra­ ziskovalce, ki imajo vpogled v oboje. Premagovanje bolezni MATEMATIÈNI TRENUTKI m a t e m a t ič n i t r e n u t k i Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike »The Mathematical Moments«, ki jo objavlja Ameriško matematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. Je an ­Y ve s Sg ro , U ni ve rs it y of W is co ns in ­M ad is on . R hi no vi ru s co lo r­ co de d by p ro te in , e nh an ce s di sp la y of ic os ah ed ra l s ym m et ry . © 19 93 * ** * * * * * * * * * * * Radiaktivno onesnaženje iz elektrarn na premog stran 13 Digitalna fotografija in ločljivost stran22 Presek 4-koncna.indd 2 16.2.2006 11:35:12  Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 33, šolsko leto 2005/2006, številka 4 KAZALO Kazalo Matematični trenutki Premagovanje bolezni ............................................................................................................ Matematika Vegovi učbeniki matematike (Mihael Perman) ..................................................................... Največje znano praštevilo (Ciril Petr) ...................................................................................... Palindromi skriti račun – rešitev naloge iz Preseka XxxIII/3 (Marija Vencelj) .................... Fizika Radioaktivno onesnaženje iz elektrarn na premog (Matjaž Vencelj) .................................. Galvanski členi in baterije (Janez Strnad) .............................................................................. Računalništvo Vstavljanje slik v LaTeX (Marko Jakovac) ............................................................................... Digitalna fotografija in ločljivost (Miha Pogačar in Matija Lokar) ....................................... Astronomija Intervju z Marijanom Prosenom ............................................................................................. Ali v jasni noči vidiš svečo na Krvavcu? (Marijan Prosen) ....................................................... Presekova zvezdna karta za epoho 2000,0 (Herman Mikuž) ............................................... Razvedrilo Nagradna križanka (Marko Bokalič) ....................................................................................... Rešitev nagradne križanke Presek XxxIII/3 ......................................................................... Tekmovanja 5. tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol v znanju matematike – tekmovanje B (Darinka Žižek) ............................................................ 5. tekmovanje dijakov poklicnih šol v znanju matematike (Dušanka Vrenčur) ................... 36. mednarodna fizikalna olimpijada (Ciril Dominko) ........................................................... Šolsko tekmovanje iz znanja poslovne matematike za srednje šole za bronasto priznanje ... Šolsko tekmovanje iz znanja poslovne matematike za srednje šole za srebrno priznanje ....... 5. državno tekmovanje dijakov poklicnih šol v znanju matematike ................................... 5. državno tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol v znanju matematike ....... stran 2 stran 4–7 stran 7 stran 8–9 stran 13–14 stran 14–15 in 18–19 stran 20–22 stran 22–24 stran 25–27 stran 28–29 stran 9 stran 16–17 stran 29 stran 10–11 stran 11 stran 12 priloga priloga priloga priloga Digitalna fotografija in ločljivost stran22 Tekmovanja stran 10 Vegovi učbeniki matematike naslednja stran Presek 4-koncna.indd 3 16.2.2006 11:35:15  Vegovi učbeniki matematike Baron Jurij Vega (1754 – 1802) je znan pred- vsem po svojih logaritemskih tabelah in svojih topničarskih delih. Ko je Vega leta 1782 postal učitelj matematike na Kraljevsko-cesarski to- pniški šoli na Dunaju, je kmalu spoznal, da ni ustreznih učbenikov za njegove nove varovan- Mihael Perman Vsebina prvega dela Vegovih Predavanj pokriva velik del današnje srednje­ šolske matematike. Po uvodu o številih in ulomkih se pisec loti računa­ nja z občimi števili, koreni, potencami, nadaljuje z linearnimi, kvadratnimi in splošnimi polinomskimi enačbami, govori o logaritmih, aritmetičnih in geometrijskih zaporedjih in še o čem. Vseskozi Vega postreže tudi z du­ hovitimi primeri in bralca vzpodbuja k samostojnemu razmišljanju. Ostali trije zvezki bi po današnjih programih pokrivali matematična poglavja, ki jih dandanes slišijo študenti tehniških fakultet. Za vtis o Vegovem slogu si bomo ogledali njegovo obravnavo kvadratne enačbe v 5. poglavju prvega dela Predavanj iz matematike. Poglavje nosi naslov O enačbah prve in druge stopnje, poleg tega pa še o njihovi uporabi za reševanje različnih nalog. . 5 Če moramo iz prepletene1 kvadratne enačbe poiskati neznano količino, enačbo najprej uredimo tako, da ima druga potenca neznane količine po­ zitiven predznak, nima imenovalca niti koeficienta, poleg tega pa prvo potenco neznane količine (ne glede na to, kakšen je predznak, koeficient 1 Po definicijah iz prejšnjih razdelkov je kvadratna enačba »prepletena«, če vsebuje vse potence neznane količine. Enačba x2 – 2x + 3 = 0 je recimo prepletena, enačba x2 = 4 pa ni. ce. Marljivo se je lotil dela in že leta 1782 je izšel prvi zvezek njegovih Predavanj iz matematike. Ohranjena so pričevanja, da je Vega po vsakih predavanjih povprašal študente, kateri deli predavanj so bili nerazumlji- vi, in je v učbenikih takoj poskušal izboljšati besedilo. O uspehu priča preprosto dejstvo, da so Vegovi učbeniki postali ustaljeni učbeniki za skoraj sedemdeset let. Prvi zvezek je bil ponatisnjen celo devetkrat! Presek 33 (2005/2006) 4, strani 4–7 MATEMATIKA M A T E M A T I K A 230402457 – 1 8 * == == 8712 = 4 · 2178 x = – 20 + √ 1369 = 17 5 dni Presek 4-koncna.indd 4 16.2.2006 11:35:17 5 MATEMATIKA ali imenovalec) postavimo na isto stran enačaja kot drugo, vse ostale člene, v katerih neznana količina ne nastopa, pa prene­ semo na drugo stran enačaja. Recimo, da bi morali, kot primer, iz enačbe ab – bx = d – ax2 določiti količino x. Enačbo lahko zapi­ šemo kot x2 – bxa = d – ab a . Prav tako lahko enačbo bx – ax2 + d = cx – dx2 + b, iz katere želimo določiti x, preuredimo kot dx2 – ax2 + bx – cx = b – d in x2 (d – a) + (b – c) · x = b – d in končno x2 + ( b – cd – a ) · x = b – dd – a . Iz navedenega vidimo, da lahko vsako prepleteno kvadratno enačbo pretvorimo v obliko x2 + Ax = B, kjer je x količina, ki jo išče­ mo, A in B pa sta poljubni pozitivni ali negativni veličini, v katerih x ne nastopa. Če si natančneje ogledamo to obliko enačbe, vidi­ mo, da bi bil prvi del enačbe popoln kvadrat izraza (x + 12 A), če ne bi manjkal člen 14 A 2. V tem primeru bi lahko s korenjenjem enačbo prevedli v preprostejšo obliko. Zato na levi in desni stra­ ni prepletene enačbe, ki je urejena, kot je zgoraj opisano, prište­ jemo kvadrat polovičnega koeficienta pri prvi potenci neznane veličine in nato korenimo; na ta način smo enačbo prevedli v preprosto obliko, iz katere lahko določimo iskano veličino. Splo­ šna formula za urejeno kvadratno enačbo je x2 + Ax = B, prištejemo ( 12 A) 2 = 14 A 2, torej x2 + Ax + ( 12 A) 2 = 14 A 2 + B in [ x2 + Ax + ( 12 A) 2] = ( 14 A 2 + B), namreč x + 12 A = ± ( 1 4 A 2 + B) in končno x = – 12 A ± ( 1 4 A 2 + B). Da moramo vzeti znak ± je razvidno iz tega, da s kvadriranjem tako pozitivnega kot negativnega števila dobimo pozitivno šte­ vilo. Katerega od obeh znakov izberemo, je odvisno od okoliščin, kot bomo pokazali pri reševanju nalog. \ Primeri Iz enačbe 3x2 – 144 = 6x želimo izračunati x. Najprej enačbo pre­ uredimo v 3x2 – 6x = 144 (po §. 211, št. 1), x2 – 2x = 48 po deljenju, x2 – 2x + 1 = 48 + 1 po prištevanju kvadrata in x – 1 = √48 + 1 = 7, po korenjenju na obeh straneh pa x = 1 + 7 = 8. Iz enačbe 4ax – bx2 = bx – c moramo določiti x. Po prenašanju členov je – bx2 + 4ax – bx = – c, nato bx2 + bx – 4ax = c po množenju z – 1, potem bx2 + (b – 4a)x = c po razcepu za faktorje, x2 + ( b – 4ab ) x = cb po deljenju z b, x2 + ( b – 4ab ) x + ( b – 4a2b ) 2 = c b + ( b – 4a2b ) 2 po dopolnitvi do kvadrata, Presek 4-koncna.indd 5 16.2.2006 11:35:20  MATEMATIKA x + b – 4a 2b = ± { c b + ( b – 4a2b ) 2 } po korenjenju, x = 4a – b 2b ± { c b + ( b – 4a2b ) 2 } po prenosu členov. Iz enačbe ay2 – by – c = cy2 – ay želimo določiti y. Po prenosu členov dobimo ay2 – cy2 + ay – by = c, izpostavimo in dobimo y2(a – c) + y(a – b) = c in po deljenju y2 + y ( a – ba – c ) = c a – c . Dopolnimo do popolnega kvadrata in dobimo y 2 + y ( a – ba – c ) + ( a – b 2a – 2c ) 2 = ( a – b2a – 2c ) 2 + ( ca – c ), korenimo y + a – b 2a – 2c = ± ( a – b2a – 2c ) 2 + c a – c in končno dobimo y = b – a 2a – 2c ± ( a – b2a – 2c ) 2 + c a – c . Kot zadnji primer želimo iz enačbe ax2m = a2b – cxm izračunati x. Prenesemo člene in dobimo ax2m + cxm = a2b. Delimo in dobimo x2m + c a xm = ab. Dopolnimo do popolnega kvadrata in dobimo x2m + c a xm + ( c2a ) 2 = ab + ( c2a ) 2 . S korenjenjem sledi xm + c 2a = ± ( ab + c 2 4a2 ), torej xm = – c 2a ± ( ab + c 2 4 2 ). S ponovnim korenjenjem sledi x = m – c 2a ± ( ab + c 2 4a2 ). Iz tega zadnjega primera vidimo, da lahko vsako enačbo, v ka­ teri nastopajo višje potence neznane veličine, in sicer tako, da je ena od potenc polovica druge, obravnavamo kot kvadratno enačbo. Kako lahko iz prepletenih enačb višjega reda izračunamo nezna­ ne veličine, bomo pokazali v 7. predavanju v nadaljevanju. Uvodnemu delu sledijo v §. 219 naloge, ki bi jim danes rekli upo­ rabne. Izbrali bomo nekaj najzabavnejših nalog. . 9 6. naloga. Žensko so povprašali, koliko je stara. Njen odgovor je bil: »Moja mati me je rodila v 40. letu starosti. Če pomnožite moja leta z leti moje matere, pride Metuzalemova starost, za katerega vemo, da je živel 969 let.« Koliko je bila ženska stara? Rešitev. Označimo starost ženske z x. Starost njene matere je x + 40. Veljati torej mora x · (x + 40) = 969. Iz tega dobimo, da je x = – 20 + √ 1369 = 17 (po §. 215). 12. naloga. Oče je ob svoji smrti zapustil premoženje 70.000 florinov. Imel je neko število otrok. Kmalu po očetovi smrti sta umrla tudi dva od otrok. Od preostalih otrok je tako vsak dobil 4.000 florinov več, kot bi jih dobil sicer. Koliko otrok je bilo v družini ob očetovi smrti? Rešitev. Označimo število otrok z x. Ko sta dva umrla, jih je ostalo x – 2. Če nobeden od otrok ne bi umrl, bi vsak dobil a/x florinov, tako pa je vsak od še živečih dobil a/(x – 2) florinov. Ta slednja številka pa je za 4.000 florinov večja, torej velja a x – 2 – 4000 = a x , kar je prepletena kvadratna enačba. Iz tega (po §. 215) sledi x = 1 ± ( a2000 + 1) = 1 + √ —36 = 7. Presek 4-koncna.indd 6 16.2.2006 11:35:22  MATEMATIKA 19. naloga. Topniškega polkovnika so vprašali, koliko ima v svoji četi višjih topničarjev, topničarjev in bombarderjev in koli­ kšno je njihovo dnevno plačilo. Odgovoril je: »Imam trikrat toliko bombarderjev kot topničarjev in 2/3 toliko višjih topničarjev kot topničarjev. Vsak višji topničar zasluži dnevno toliko krajcarjev, kot je topničarjev, vsak topničar 4 krajcarje več kot je višjih topni­ čarjev, vsak bombarder pa zasluži le tretjino toliko kot topničar. Dnevno plačilo za vse ljudi skupaj je 52 florinov in 48 krajcarjev.« Koliko višjih topničarjev, topničarjev in bombarderjev je imel pod sabo polkovnik? Kolikšna so bila njihova dnevna plačila? Rešitev. Označimo število topničarjev z x. Višjih topničarjev je potem 2x3 , bombarderjev pa 3x. Višji topničarji na dan za­ služijo 2x3 x = 2x 2 3 , vsi topničarji x · ( 2x3 + 4) = 2x 2 3 + 4x in vsi bom­ barderji 3x · x3 = x2. Sledi, da je2 2x 2 3 + 2x2 3 + 4x + x2 = 52 · 60 + 48. Iz tega dobimo, da je x = ­ 6 7 + (95047 + 3649 ) (po §. 215), torej x = 36. Polkovnik je imel 36 topničarjev, 24 višjih topničar­ jev in 108 bombarderjev. Vsak višji topničar je dnevno dobil 36 krajcarjev, vsak topničar 28 in vsak bombarder 12 krajcarjev. 20. naloga. Dva moža sta vezala skupno a Fl. = 2000. Prvi je vezal svoj del za m = 17 mesecev in na koncu dobil b = 1710 Fl. glavnice in obresti. Drugi je denar vezal za n = 12 mesecev in na koncu dobil c = 1040 Fl. glavnice in obresti. Kolikšna je bila vloga vsakega posameznika?3 Rešitev. Označimo vlogo prvega moža z x. Vloga drugega je po­ tem a – x. Skupni dobiček obeh je b + c – a. Sledi (po §. 208), da je [mx + n(a – x)] : (b + c – a) = mx : mx (b + c − a) mx + an − nx = dobiček prvega. Sklepamo, da je mx (b + c − a) mx + an − nx + x = b, ker je prvi mož z glavnico in obrestmi skupaj dobil b Fl. Zgornjo enačbo lahko ustrezno rešimo (po §. 215) in dobimo x = 1200. 2 1 florin je vreden 60 krajcarjev 3 Vega v nalogi predpostavlja linearno obrestovanje. Nabrane obresti so sorazmerne višini vloge in trajanju vezave. Največje znano praštevilo Sredi decembra lanskega leta je bilo odkrito 43. do sedaj znano Mersennovo praštevilo 230402457 – 1, ki je istočasno tudi največje znano praštevilo. Sestavlja ga kar 9.152.052 desetiških števk, v celoti pa si lahko to ogro­ mno število ogledamo na naslovu http://www.mersenne- forum.org/txt/43.txt. Ali je to število res tudi 43. Mersen­ novo praštevilo po velikosti, bo potrebno še preveriti, do sedaj so bile namreč vsaj enkrat preverjene vse potence le do števila 16.693.000. Odkrito je bilo v okviru tako imenovanega velikega inter­ netnega iskanja Mersennovih praštevil (gimps – Great In­ ternet Mersenne Prime Search). O odkritjih v okviru tega projekta in o projektu samem smo obširneje pisali v Pre­ seku že nekaj zaporednih let. Mnogo dodatnih informacij, trenutno stanje in programsko opremo za sodelovanje pri iskanju najdemo na naslovu http://www.mersenne.org. V enajstletnem delovanju projekta gimps je bilo odkritih že 9 največjih znanih Mersennovih praštevil, ki so bila vsakokrat tudi največja znana praštevila. Za odkritje praštevila z najmanj 10.000.000 števkami je orga­ nizacija Electronic Frontier Foundation (http://www.eff.org) razpisala nagrado v višini 100.000 ameriških dolarjev in verjetno ne bo minilo dolgo, ko bo prišlo do odkritja takega praštevila. Za 10.000.000 števk mora biti potenca 2 večja od 33.219.280. Za občutek zahtevnosti iskanja takih praštevil navedimo, da je preverjanje ali je število 230402457 – 1 praštevilo, trajalo na zmogljivem računalniku s 16 procesorji kar 5 dni. Ciril Petr Presek 33 (2005/2006) 4, stran 7 Presek 4-koncna.indd 7 16.2.2006 11:35:23  MATEMATIKA Pač pa ta možnost ustreza drugemu skri­ temu računu, v katerem je srednja inicial­ ka P iz prvega računa zamenjana z M. Vstavimo P = 4, A = 2 in M = 8 v prvi skriti račun: 8ET2 = 4 · 2TE8. Zapišemo vrednosti števil na obeh stra­ neh enačbe 8000 + 100 E + 10T + 2 = 4 · (2000 + 100T + 10E + 8). Od tod dobimo diofantsko enačbo 2E – 13T = 1, ki ima pri pogoju, da sta E in T desetiški števki, eno samo rešitev E = 7 in T = 1. Iz­ polnjen je tudi pogoj, da različnim črkam pripadajo različne števke. Torej ima skriti račun META = P · ATEM eno samo rešitev 8712 = 4 · 2178. Drugi skriti račun dokončamo podobno. Poti do rešitve je več. Skupaj si oglejmo eno od njih. Iz računa razberemo naslednji pogoj, ki ga bomo uporabili pri izločanju kandida­ tov za rešitve. Lastnost enic: Produkt P · M se končuje s števko A. Nadalje je očitno P ≠ 1, saj bi bilo sicer M = A in E = T, kar je v nasprotju z zahte­ vami naloge. Torej je P Є {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Če je P = 2, je A ≤ 4 in imamo za pare (A, M) možnosti (1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 8), (4, 9). Vendar noben izmed teh parov ne izpol­ njuje zgornjega pogoja o lastnosti enic. Na podoben način kot P = 2 izločimo P Є {3, 5, 6, 7, 8}. Za P = 4 en sam par A = 2, M = 8 izpolnju­ je pogoj o lastnosti enic. Za P = 9 dobimo dober par A = 1, M = 9. Prva možnost ustreza prvemu skritemu računu, druga pa ne, saj sta P in M enaka. Marija Vencelj Palindromi skriti račun rešitev naloge Presek 33 (2005/2006) 4, strani 8–9 Če je Metina srednja inicialka M, je edina rešitev pri­ padajočega skritega računa 9801 = 9 · 1089. \ Pogled na nalogo z drugega zornega kota Nalogo smo sicer rešili, vendar ne gre za običajna skrita računa, kakršne srečujemo v ugankarskih ko­ tičkih ali časopisih. Iz rešitve prvega računa vidimo, da množenje števila 2178 s številom 4 obrne v prvem faktorju vrstni red števk. Podobno se obrne vrstni red števk, če število 1089 pomnožimo z 9. Iz našega reševanja sledi še več: Števili 2178 in 1089 sta edini štirimestni števili, ki ima­ ta med svojimi pravimi večkratniki število s števkami v obratnem vrstnem redu. Sami se lahko prepričate, da takih dvomestnih ali trimestnih števil ni. Obstajajo pa večja. V sredino števila 1098 ali 2178 lahko vrinemo poljubno število devetk in dobimo ve­ čja (pa zelo dolgočasna) števila z navedeno lastno­ stjo, npr. 2199978 · 4 = 8799912. Preverite trditev in raziščite, zakaj je tako. Večja števila lahko dobimo tudi tako, da sestavimo periodično število, v katerem se ponavljajo začetne štiri števke, npr. 217821782178 · 4 = 871287128712 ali 108910891089 · 9 = 980198019801. Seveda lahko ponavljamo tudi števila z vrinjenimi de­ vetkami, da dobimo z množenjem »obrnljiva števila«. Brez dokaza navedimo trditev, da sta 4 in 9 edini šte­ vili, ki lahko služita kot faktorja pri obračanju vrstnega reda števk nepalindromih števil. To lahko povemo tudi drugače: Če je neko število pravi večkratnik števila, ki ima števke v obratnem vrstnem redu, potem je količ­ nik deljenja večjega števila z manjšim ali 4 ali 9. Oglejmo si še zanimivo posebnost naših štirime­ stnih števil. Tabela devetih števil Presek 4-koncna.indd 8 16.2.2006 11:35:23 9 1089, 2178, 3267, 4356, 5445, 6534, 7623, 8712, 9801 predstavlja prvih devet večkratnikov števila 1089. Med njimi so vsa štiri števila, ki so se pojavila v rešitvah naših dveh skritih raču­ nov. Primerjajmo vrstni red števk parov teh devetih števil, če se premikamo po tabeli. Če pomnožimo prvih pet števil zapored z 9, 4, 2 1 3, 1 1 2 in 1, dobimo zadnjih pet števil v obra­ tnem vrstnem redu (in z obratnim vrstnim redom števk). Tu pa z raziskovanjem raje zaključimo. Ne sme nas npr. zapeljati dejstvo, da so tri­ je faktorji 1, 4 in 9 prvi trije popolni kvadra­ ti, in bi se začeli spraševati, kakšno zvezo s popolnimi kvadrati imata faktorja 2 13 in 1 1 2. Lastnost, da je dano število popolni kvadrat, je namreč odvisna le od njegove vrednosti (velikosti) in prav nič od tega, v katerem šte­ vilskem sistemu je število zapisano. Števke števila in njihov vrstni red pa bistveno določa osnova številskega sistema. Torej gre za dve povsem različni zgodbi. Opomba. Za vsako število, ki je popolni kva­ drat, obstaja številski sistem, v katerem ima to število palindromi zapis. Ni težko videti, da je za n2, n ≥ 3, to številski sistem z osnovo n – 1, zapis pa n2 = 121(n – 1). V desetiškem sistemu je res 112 = 121. MATEMATIKA Presekova zvezdna karta za epoho 000,0 Herman Mikuž Presek 33 (2005/2006) 4, stran 9 Kljub poplavi različnih digitalnih zvezdnih kart v obli­ ki računalniških programov je klasična zvezdna karta še vedno nepogrešljiv pripomoček za seznanjanje z osnovami orientacije na nočnem nebu. Karta je zelo praktična za nočno uporabo, saj je zložljiva in jo lahko nosimo v žepu. Na karti so vrisane zvezde do 5. magnitude, ki jih na temnem nebu človek s povprečnim vidom brez težav zazna s prostim očesom. Za boljšo prepoznavo in orientacijo so svetlejše zvezde poveza­ ne v značilne like, po katerih prepoznamo posamezno ozvezdje. Vrisane so tudi meje ozvezdij ter svetlejše meglice, zvezdne ko­ pice, galaksije, ipd. Koordinatna mreža je sicer preračunana na novo epoho 2000,0, vendar pa na karti žal nista vrisana nebesni ekvator in ravnina ekliptike, ki sta pomemben del orientacijske mreže. To bi bilo potrebno dopolniti v naslednji izdaji. Vsekakor je nova Presekova zvezdna karta dobrodošel učni pripomoček, predvsem za opazovanje neba s pro­ stim očesom, binokularjem ali manjšim teleskopom. T e k m o v a n ja • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Presek 4-koncna.indd 9 16.2.2006 11:35:47 0Presek 33 (2005/2006) 4, strani 10–11 TEKMOVANJA 5.tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol v znanju matematike - tekmovanje B Darinka Žižek \ Ravni tekmovanja Tekmovanje poteka na treh ravneh: šolsko tekmovanje (Evropski matema­ tični kenguru), regijsko tekmovanje, ki je organizirano v osmih centrih, državno tekmovanje. \ Oblike oziroma vrste nalog Naloge na šolskem tekmovanju so izbirne­ ga tipa, na regijskem tekmovanju so kom­ pleksne naloge ter naloge izbirnega tipa, na državnem tekmovanju pa je pet komple­ ksnih nalog. Naloge za vse ravni tekmova­ nja pripravi državna tekmovalna komisija. \ Izvedba 5. tekmovanja Šolsko tekmovanje Izpeljano je bilo v četrtek 17. marca 2005, udeležilo se ga je 4768 dijakov, kar je sko­ raj 500 več kot prejšnje leto. Na tem nivoju je bilo podeljenih 1391 bronastih priznanj. Regijsko tekmovanje 1163 tekmovalcev je tekmovanje nadaljeva­ lo na regijskem tekmovanju, ki je bilo orga­ nizirano 30. marca 2005 v regijskih centrih. celjska regija Gimnazija Celje – Center dolenjska regija ŠC Krško gorenjska regija Ekonomska šola Kranj – Strokovna gimnazija ljubljanska regija 0 Srednja zdravstvena šola, Ljubljana ljubljanska regija 1 SŠ za farmacijo, kozmetiko in zdravstvo, Ljubljana mariborska regija SŠ Slovenska Bistrica pomurska regija Ekonomska šola Murska Sobota primorska regija SŠ Vena Pilona, Ajdovščina Na regijskem tekmovanju je bilo podelje­ nih 418 srebrnih priznanj. Državno tekmovanje 16. aprila 2005 smo izvedli 5. državno tek­ movanje, ki je bilo na Srednji gozdarski in lesarski šoli v Postojni. Državnega tekmo­ vanja se je udeležilo 178 tekmovalcev iz srednjih tehniških in strokovnih šol širom Slovenije. Državna tekmovalna komisija je podelila 61 zlatih priznanj. Najboljšim tekmovalcem v posamezni tekmovalni kategoriji smo na svečani podelitvi v Lju­ bljani 19. maja 2005 podelili nagrade. Po­ delili smo 22 nagrad. V šolskem letu 2004/2005 smo izvedli 5. tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol v znanju matematike, tek- movanje B. Tekmovanja se lahko udeležijo vsi dijaki štiriletnih programov (ne gimnazijskega). Opažamo, da tekmovanje dose- ga vedno večje zanimanje pri omenjenih dijakih, saj je udeležba na njem za dijake dodatna, pozitivna motivacija. 1. letnik Aljaž Ferk, Srednja ekonomska šola, Maribor 2. letnik Igor Efremov, ŠC Velenje – Poklicna in tehniška strojna šola; Borut Srčnik, ŠC Celje – Poklicna in tehniška strojna šola 3. letnik Lucijan Korošec, ŠC Velenje – Poklicna in tehniška elektro in računalniška šola; Tomaž Metulj, ŠC Celje – Poklicna in tehniška elektro in kemijska šola; Andreja Nastran, SŠ za farmacijo, kozmetiko in zdravstvo, Ljubljana; Matej Šemrov, SŠ za elektrotehniko in računalništvo Ljubljana 4. letnik Luka Boc Thaler, SŠ za farmacijo, kozmetiko in zdravstvo, Ljubljana; Miha Nagelj, SŠ za elektrotehniko in računalništvo, Ljubljana; Blaž Poje, SŠ za elektrotehniko in računalništvo, Ljubljana; Jasna Tofant, ŠC Celje – Poklicna in tehniška elektro in kemijska šola Letošnjega tekmovanja se je udeležilo več dijakov kot lanskega. Takšnega zanimanja smo zelo veseli. K uspešnim tekmovanjem pripomorejo vsi profesorji – mentorji, organizatorji regijskih tekmovanj, državne­ ga tekmovanja ter seveda ravnatelji, ki omogočijo go­ stiteljstvo. Ob tej priložnosti se vsem, ki so pripomogli k uspešni izpeljavi vseh tekmovanj, najlepše zahvaljuje­ mo in jih vabimo k nadaljnjemu sodelovanju, prav tako pa vabimo k organizaciji tekmovanj nove organizatorje. . nagrado so prejeli: Presek 4-koncna.indd 10 16.2.2006 11:35:48  TEKMOVANJA Društvo matematikov, fizikov in astro­ nomov Slovenije, Srednja gozdarska in lesarska šola v Postojni in Zavod Republi­ ke Slovenije za šolstvo so bili 16. 4. 2005 Dušanka Vrenčur 5. tekmovanje dijakov poklicnih šol v znanju matematike 1. letnik Matjaž Šturm, Srednja gostinska in turistična šola Radovljica 2. letnik Uroš Pugelj, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad – Ljubljana 3. letnik Darko Amon, Srednja strokovna in poklicna šola, Celje Mitja Gašperlin, Srednja lesarska šola, Škofja Loka Marko Jaksetič, SŠ tehniških strok Šiška, Ljubljana 1. letnik Aleksander Galičič, Poslovno­komercialna šola Celje Andriy Ilnitsky, TŠC Nova Gorica – Srednja lesarska in gradbena šola 2. letnik Jan Volk, TŠC Nova Gorica – Poklicna in tehniška elektro šola 3. letnik Renato Šalamun, SŠ tehniških strok Šiška, Ljubljana . nagrado so prejeli: 1. letnik Tomaž Lavrič, SŠ Kočevje 2. letnik Leon Ferencek, Srednja gradbena, geodetska in ekonomska šola Ljubljana – Srednja poklicna šola 3. letnik Daniel Ćosić, SŠ tehni­ ških strok Šiška, Ljubljana . nagrado so prejeli: . nagrado so prejeli: 1. letnik Tomaž Rajh, ŠC Ptuj – Poklicna in tehniška elektro šola 2. letnik Peter Gole, ŠC Velenje – Poklicna in tehniška elektro in računalniška šola 3. letnik Marjeta Simončič, ŠC Celje – Poklicna in tehniška elektro in kemijska šola; Nejc Stanič, Srednja pomorska šola, Portorož 4. letnik Domen Močnik, Ekonomska šola, Novo mesto 1. letnik Jerca Jerič, SŠ za oblikovanje in fotografijo, Ljubljana; Dejan Vodopija, Srednja pomorska šola, Portorož 2. letnik Denis Drajzibner, Srednja elektro­ računalniška šola, Maribor; Jožef Plavec, ŠC Ptuj – Poklicna in tehniška elektro šola 3. letnik Sabina Golenko, Srednja ekonomska šola, Maribor; David Homar, ŠC Ljubljana – Srednja strojna šola; Denis Stražar, ŠC Celje – Poklicna in tehniška elektro in kemijska šola 4. letnik Anja Miklavčič, ŠC Novo mesto – Srednja zdravstvena in kemijska šola . nagrado so prejeli: . nagrado so prejeli: Presek 33 (2005/2006) 4, stran 11 Ker je zaznati trend manjšega števila vpisanih dijakov v srednje poklicne šole, je upadanje čutiti tudi pri številu tekmo- valcev. Na šolskem tekmovanju je letos tekmovalo 1603 tekmovalcev iz 78 raz- ličnih šol po Sloveniji. organizatorji 5. državnega tekmovanja v znanju matematike za 59 najboljših dijakov in dijakinj srednjih poklicnih šol iz 39­ih slo­ venskih poklicnih šol. Med njimi je bilo podeljenih 18 zlatih pri­ znanj, ki so pristala na štirinajstih različnih poklicnih šolah. Na svečani podelitvi v ljubljanskem Koloseju je organizator prvim trem najboljše uvrščenim iz vsakega letnika podelil priznanja in praktične nagrade. Presek 4-koncna.indd 11 16.2.2006 11:35:49  36. mednarodna fizikalna olimpijada je potekala med 3. in 12. julijem 2005 v Sa- lamanci, v Španiji. Naša ekipa je osvoji- la eno bronasto medaljo in tri pohvale. . mednarodna fizikalna olimpijada Ciril Dominko Po nizu tekmovanj srednješolcev iz fizike (regijsko, državno, izbirno za olimpijsko ekipo), ki jih je v šol­ skem letu 2004/05 organiziralo DMFA Slovenije, so se v slovensko olimpijsko ekipo uvrstili: Matija Vid­ mar in Vasja Susič iz Gimnazije Bežigrad, Ljubljana, Denis Brojan, Srednja šola za elektrotehniko in raču­ nalništvo, Ljubljana, Denis Golež, ŠC Celje – Splošna in strokovna gimnazija Lava in Matjaž Gomilšek, II. gimnazija, Maribor. Strokovni vodji ekipe in člana mednarodne komisije sva bila dr. Jure Bajc s Pedagoške fakultete v Ljublja­ ni in mag. Ciril Dominko, DMFA Sloveni- je. Udeležbo na olimpijadi sta finančno omogočili DMFA Slovenije in Ministrstvo za šolstvo in šport. Na olimpijadi je sodelovalo 342 tekmoval­ cev iz 72 držav. Bronasto medaljo je osvojil Matija Vidmar, pohvale pa Denis Brojan, Denis Golež in Matjaž Gomilšek. V celoti je bilo na olimpijadi nagrajenih in pohva­ ljenih 229 tekmovalcev in tekmovalk. Presek 33 (2005/2006) 4, stran 12 TEKMOVANJA Na otvoritvi 36. mednarodne fizikalne olimpija­ de je ekipo presenetil z obiskom slovenski ve­ leposlanik v Španiji. Od leve proti desni: Tomaž Lovrenčič (veleposlanik), Matija Vidmar (brona­ sta medalja), Matjaž Gomilšek (pohvala), Vasja Susič, Denis Golež (pohvala), Denis Brojan (po­ hvala) in vodji Jure Bajc in Ciril Dominko. f i z i k a Presek 4-koncna.indd 12 16.2.2006 11:35:53  Radioaktivno onesnaženje iz elektrarn na premogMatjaž Vencelj \ Koliko k radioaktivnemu onesnaženju prispevajo klasične termoelektrarne, tiste, ki pod kotli kurijo premog? Vprašanje je za marsikoga najbrž presenetljivo, češ, od kod pa radioaktivnost v premogu. A v resnici skozi trboveljske, šoštanj­ ske, toplarniške in podobne velike dimnike izhaja tudi večja koli­ čina radioaktivnih snovi. ozračje, to je okoli deset milijard razpadov na sekun­ do ali 1010 Bq. Ostalih 99 % pa obleži v kupih pepela. \ Izpuh iz jedrskih elektrarn Določeno količino radioaktivnih snovi izpuščajo v zrak tudi jedrske elektrarne. Gorivo sicer ne oksidira v pline in pepel, temveč ostaja v obliki keramičnih tabletk v zavarjenih jeklenih posodah, nastaja pa nekaj stran­ skih radioaktivnih produktov, katerih majhen delež izpustijo v zrak. Večinoma gre za vodikov izotop tritij, ogljik C­14, izotope argona, ksenona in joda. Letni trboveljski pridelek električne energije, torej 600 GWh, pripravi jedrska elektrarna v Krškem v mesecu in pol. Pri tem izpusti v ozračje okoli 1011 Bq oz. za sto milijard razpadov na sekundo radioaktiv­ nih snovi. To je po goli stopnji aktivnosti nekajkrat več kot pri elektrarnah na premog. \ Obsevanje prebivalcev Sama stopnja radioaktivnosti snovi pa ne pove ve­ liko o njeni škodljivosti. Zelo pomembna je tudi ra­ diotoksičnost, to je, kako se snov obnaša pri vnosu v organizem. Lahko jo hitro izločimo ali pa jo za dlje vgradimo v tkivo, obenem lahko seva na bolj ali na Razlog je v tem, da premog, tako kot vsaka druga rudnina, vsebuje določeni delež naravnih radioaktiv­ nih elementov. V vsakem kilogramu premoga je do­ ber miligram urana, nekaj miligramov torija, primesi radioaktivnega izotopa kalija, polonija in radona. Skupna radioaktivnost kilograma premoga je zaradi teh sestavin okoli 1000 razpadov na sekundo. Premog pomešan z zrakom zgori v pline in pepel. Plinasti ostanek in del pepela skozi dimnike izpu­ stijo v zrak, večino pepela pa odložijo na posebne kupe – deponije. Trboveljska elektrarna priskrbi na leto okoli 600 GWh elektrike. Za to porabijo 600.000 ton premoga. V tem premogu je nekaj ton radioaktivnih elementov, njihova skupna radioaktivnost pa je približno milijon milijonov razpadov na sekundo ali 1012 Bq. (1 Bq ali becquerel = 1 razpad na sekundo.) Radioaktivne primesi se po gorenju najraje prilepijo na drobne steklaste delce, ki tvorijo večino lebdečega pepela, ki ga filtri ne zadržijo popolnoma. Približno od­ stotek teh radioaktivnih snovi gre zato skozi dimnik v FIZIKA f i z i k a Presek 4-koncna.indd 13 16.2.2006 11:35:54  FIZIKA manj škodljiv način. To prinese tudi milijonkratne razlike med škodljivostjo enako aktivnih vzorcev različnih snovi. Zanimivo je, da so prav tiste radioaktivne snovi, ki jih izpuščajo jedrske elektrarne, za živa bitja tipično mnogo manj škodljive od radioaktivnih težkih kovin, ki se sprostijo v zrak pri gorenju pre­ moga. Zato je, čeprav presenetljivo, s stališča sevanja v okolju pridobivanje elektrike iz jedrskega goriva celo čistejše od termo­ elektrarn na premog. Naša ocena se sklada z resnejšimi računi. Ameriški svetoval­ ni odbor za varstvo pred sevanji (NCRP) ocenjuje, da je obseva­ nost prebivalstva na 1000 MW električne moči, pridobljene s se­ žiganjem premoga, kar 4900 človek · mSv na leto, 1000 MW ele­ ktrične moči iz jedrske elektrarne pa prinese 48 človek · mSv na Galvanski členi in baterije Danes si težko predstavljamo, kako bi živeli brez galvanskih členov (galvanskih elemen- tov) in baterij. Uporabljamo jih v svetilkah, v prenosnih radijskih sprejemnikih in podob- nih napravah, v žepnih računalih, v urah. Janez Strnad Začelo se je že pred več kot dvesto leti. Sode­ lavci Luigija Galvanija so leta 1780 na univer­ zi v Bologni po naključju opazili, da so žabji kraki trznili, če so se z nožem dotaknili živca v njih, ko je v bližini tekel stroj za elektrenje. Trznili so tudi kraki na železnem drogu, ko so se jih dotaknili s kosom bakra. Galvani je po enajstletnem raziskovanju izdal knjigo, v kateri je opazovane pojave pojasnil z »žival­ sko elektriko«. Alessandro Volta z univerze v Pavii je ponovil Galvanijeve poskuse in na­ redil veliko novih. Ugotovil je, da pojavi niso vezani na živali in da se gonilna napetost pojavi vselej med »dvema različnima prevo­ dnikoma 1. vrste in prevodnikom 2. vrste«. »Prevodniki 1. vrste« so kovine, »prevodniki 2. vrste« pa raztopine kislin, baz ali soli, z eno besedo elektroliti. Volta je med drugimi leto, torej stokrat manj. (1 mSv je ena ti­ sočina sieverta, ki je enota za obsevanost ljudi in že upošteva različne radiotoksi­ čnosti posameznih radioaktivnih snovi.) 1000 MW elektrike je dovolj za približno milijon ljudi. Če bi vso pridobili iz premo­ ga, bi to na osebo prineslo letno 5 µSv ob­ sevanja, čisto jedrska električna energija pa bi zaradi izpustov elektrarn vsakogar obsevala z 0,05 µSv na leto. Pošteno je, da k seval­ ni dozi zaradi jedrske energije prištejemo še prispevka pri­ prave jedrskega goriva in ka­ snejšega skladiščenja jedrskih odpadkov. To dvigne oceno na 1,4 µSv letno. Letna doza zaradi naravnega ozadja (sevanje iz zemlje in iz vesolja ter prispevek v telo vgrajenih naravnih radioaktiv­ nih snovi) je okoli 2400 µSv na leto. Torej je tudi radioaktivno onesnaženje iz elektrarn na premog nazadnje precej nepo­ membno v okolju, ki je mnogo bolj prizadeto zaradi pepela, žveplovih oksidov, kislega dež­ ja in drugih posledic intenziv­ nega kurjenja. Te tudi bistveno bolj vplivajo na pogoste bolezni ljudi, ki živijo v industrijsko obremenjenih okoljih. uporabljal člen z elektrodama iz cinka in srebra, med kateri je po­ ložil v raztopino soli namočen kos papirja ali tkanine. Napravo ime­ nujemo galvanski člen, čeprav bi bilo najbrž ustreznejše ime Voltov člen. Zato pa po Volti imenujemo enoto za napetost. Leta 1800 je Volta zaporedno se­ stavil več členov v Voltov steber. Presek 33 (2005/2006) 4, strani 14–15 in 18–19 Presek 4-koncna.indd 14 16.2.2006 11:35:54 5 FIZIKA Danes vezavi več členov reče­ mo baterija, pogosto pa to ime prenesemo tudi na en sam člen. Voltova baterija je po sklenjenem električnem krogu poganjala ele­ ktrični tok. To je omogočilo veliko novih poskusov, saj so dotlej lah­ ko opazovali samo kratkotrajne iskre med izoliranim telesom, ki so ga naelektrili s strojem za ele­ ktrenje, in telesom v okolici. Potem so raziskali več različnih členov. Okoli leta 1868 je Georges Leclanché sestavil člen iz cinka in oglene palčke, obdane z manga­ novim dioksidom v vodni razto­ pini amonklorida. Bolj kot razvoj pa nas zanimajo današnji členi in baterije, od katerih bomo na­ šteli najpomembnejše. Pred tem temperaturi se členi v splošnem prazni­ jo hitreje. Pričakujemo tudi, da med rabo gonilna napetost galvanskega člena ne peša. Toda v resnici napetost z rabo poje­ ma, pri različnih členih različno hitro (slika 1). Na splošno je pojemanje izrazitejše, če člen poganja večji tok. Lastno praznjenje in pojemanje gonilne napetosti sta po­ membni značilnosti členov. Navsezadnje pade gonilna napetost vsakega člena, ko ta porabi snovi, iz katerih so ga izdelali. Tedaj je člen odslužil in ga zavržemo. Električno delo, ki ga člen v celoti odda, je odvisno od napetosti, od toka in od časa uporabe. Tok je odvisen od upora kroga, po katerem člen poganja tok. K temu uporu prispeva tudi notranji upor člena. Člen odda več dela, če ne poga­ nja prevelikega toka in če temperatura ni ne prenizka ne previsoka. Izdelovalci členov običajno navedejo samo gonilno napetost člena. Ostale podatke najde­ mo samo v nekaterih preglednih zapisih. Glede na to, da se podatki med seboj precej razlikujejo, sklepamo, da so zgolj okvirni. Vzemimo, da člen s konstantno gonilno napetostjo U po krogu poganja konstan­ tni tok I, dokler po času t k sam ni več upo­ raben. Pri tem člen v celoti odda električ­ no delo eU = It k U. To delo delimo z maso člena m in dobimo specifično energijo eU/m = It k U/m. Delo lahko delimo tudi s prostornino člena V in dobimo gostoto energije It k U/V = (It k U/m)m/V = (It k U/m)ρ s povprečno gostoto člena ρ = m/V. Elek­ trično delo je tem večje, čim večja je masa ali prostornina člena. Člen, ki se je razvil iz Leclanchéjevega čle­ na, ima za negativno elektrodo valjasto posodico iz cinka, za pozitivno manganov dioksid in za elektrolit vodno raztopino amonklorida. Manganovemu dioksidu z dodatkom grafita ali saj povečamo elek­ trično prevodnost. Za boljši stik sega vanj kot pozitivni priključek oglena palčka, ki pa ne sodeluje pri kemijskih reakcijah. Namesto vodne raztopine amonklorida velikokrat uporabijo luknjičasto snov, ki vpije elektrolit, ali elektrolit v obliki pa­ ste ali gela. Iz take suhe izvedbe člena elektrolit ne izteče, če posodica poči. Ele­ ktrolit, ki bi iztekel iz dotrajanega člena, bi lahko poškodoval napravo, po kateri poganja tok. Gonilna napetost meri 1,5 V. Srednji podatek za specifično energijo je 50 Wh/kg in za gostoto energije 120 Wh/ dm3 (1 Wh = 3600 Ws = 3600 J). Po notra­ njem uporu in lastnem praznjenju je člen blizu zlate sredine, odlikuje pa ga nizka cena. Gonilna napetost v drugem delu delovanja z rabo opazno pojema. Člene te vrste izdelujejo v različnih velikostih in je smiselno povedati nekaj splošnih besed o značil­ nostih členov in vpeljati nekaj značilnih količin. Ob koncu bomo naredili nekaj preprostih računov. Člen uporabljamo kot izvir enosmerne napetosti. V členu, ki poganja električni tok po sklenjenem kro­ gu, tečejo dokaj zapletene kemijske reakcije. Zaradi njih se manjša skupna notranja energija udeleženih snovi, ko člen oddaja električno delo. Negativna ele­ ktroda, ki krogu oddaja elektrone, je kovina. Pozitiv­ na elektroda, ki iz kroga sprejema elektrone, je na­ vadno kovinski oksid. Ob negativni elektrodi poteka oksidacija, ob pozitivni elektrodi reduk- cija, oboje skupaj zajamemo s pojmom redukcijsko­oksidacijska reakcija. Naboj v členu prenašajo naelektreni atomi ali deli molekul – ioni. Elektrolit se pri neka­ terih členih udeležuje reakcij, pri drugih pa ne. Pomemben sestavni del večine členov je separator, ki omogoča prehod ionov, a preprečuje električni stik in tok snovi. Od dobrega galvanskega člena pričakuje­ mo, da v njem ne tečejo reakcije, ko člen ne poganja toka. Toda člen se prazni tudi, ko ne poganja toka. To lastno praznjenje v različnih členih poteka različno hitro. Odvisno je tudi od temperature; pri višji Slika 1. Gonilna napetost členov pojema z rabo. Na navpično os nanesemo gonilno napetost, na vodoravno os pa »relativni čas« t/t k , da lahko člene primerjamo med seboj. 1 Zn – MnO 2 – ZnCl 2 , 2 Zn – MnO 2 – KOH, 3 Zn – O 2 , 4 Zn – HgO, 5 Zn – AgO, 6 Li – MnO 2 . Nadaljevanje na strani  3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.5 0 20 40 60 80 100 t/t k U V 6 5 4 3 21 Presek 4-koncna.indd 15 16.2.2006 11:35:55  Nagradna križanka RAZVEDRILO Presek 4-koncna.indd 16 16.2.2006 11:35:57  RAZVEDRILO Kupon Ime in priimek: Naslov: E­pošta: Geslo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Med poslanimi pravilnimi rešitvami bomo izžrebali 10 reševalcev, ki bodo prejeli Presekovo zvezdno karto. Kupon z nagradnim geslom in svo­ jim naslovom in priimkom pošljite na naslov: DMFA – založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, najkasneje do torka, 28. februarja 2006. Razpis Presek 4-koncna.indd 17 16.2.2006 11:35:58  FIZIKA Slika 2. Novejši izvedbi členov s cinkom in manganovim dioksidom. Elektrolit je cinkov klorid (levo) ali kalijev hi­ droksid (desno). Znaki pomenijo: 1 oglena elektroda, 2 pozitivni pokrovček, 3 separator, 4 negativna elektroda iz mešanice manganovega dioksida in oglenega prahu, 5 negativna cinkova elektroda, 6 negativno dno, 7 kalijev hidroksid kot elektrolit, 8 negativna elektroda iz cinkovega prahu, 9 medeninasti priključek. baterijah. Uporabljajo jih za svetilke, ra­ dijske sprejemnike in podobne naprave. Izboljšane različice Leclanchéjevega čle­ na imajo za elektrolit poleg amonklorida tudi cinkov klorid ali samo cinkov klorid. Različice z mineralnim manganovim di­ oksidom so manj zmogljive in cenejše, različice s čistejšim sintetičnim man­ ganovim dioksidom pa zmogljivejše in dražje. Gonilna napetost je enaka: 1,5 V. Notranji upor je nekoliko manjši, lastno praznjenje nekoliko večje. Ta člen se ob­ nese tudi pri nekoliko večjem toku in nižji temperaturi. Gonilna napetost pojema z rabo. Uporabljajo ga za kasetnike in dru­ ge naprave z motorčkom, ure, računalni­ ke, merilnike. Že nekaj časa je v rabi alkalni člen. Ima negativno elektrodo iz cinkovega pra­ hu, pozitivno elektrodo iz manganovega dioksida z dodatkom grafita ali saj, ele­ ktrolit pa je vodna raztopina kalijevega hidroksida. Gonilna napetost meri 1,5 V. Specifična energija in gostota energije sta nekoliko večji, in sicer 140 Wh/kg in 330 Wh/dm3. Člen ima še manjši upor, večje lastno praznjenje in je nekoliko dražji. Izkaže se pri razmeroma velikih to­ kovih, tudi pri tokovnih sunkih in pri nizki temperaturi. Gonilna napetost s časom pojema, a manj izrazito. Alkalni člen upo­ rabljajo v močnih svetilkah, bliskavkah, digitalnih fotoaparatih, brivnikih, pred­ vajalnikih zgoščenk. V obliki gumba izdelujejo člen z negativno elektrodo iz cinka v prahu in s pozitivno elektrodo iz živosrebrovega oksida. Ele­ ktrolit pri tem členu pa tvori vodna raz­ topina kalijevega hidroksida, vezanega v večplastnem separatorju. Gonilna nape­ tost meri 1,35 V. Člen ima veliko speci­ fično energijo in se dobro obnese pri višji temperaturi. Podoben člen ima pozitivno elektrodo iz srebrovega oksida z enova­ lentnim ali dvovalentnim srebrom. Gonil­ na napetost meri 1,5 V. Specifična energi­ ja je zelo velika. Člen se dobro obnese pri nižji temperaturi. Živosrebrov in srebrov člen se odlikujeta po majhnem uporu, majhnem lastnem praznjenju, konstantni gonilni napetosti in visoki ceni. Uporablja­ jo ju v žepnih računalih, slušnih aparatih, urah, merilnikih napetosti. V cinkovem kisikovem členu prevzame vlogo pozitivne elektrode kisik, ki ga člen jemlje iz zraka. Negativna elektroda takega člena je cink, elektrolit pa vodna raztopina kalijevega hidroksida. Gonilna napetost meri 1,45 V. Člen ima nekoliko večji upor, a nekoliko nižjo ceno. Odlikuje se po veliki specifični energiji in po maj­ hni masi. Uporabljajo ga v slušnih apara­ tih in pozivnikih (pagerjih). V zadnjem času se uveljavljajo členi z li­ tijevo negativno elektrodo. Litij zelo rad reagira z zrakom, tako da zrak ne sme imeti dostopa do elektrode. Zato elektro­ di in elektrolit namestijo v jekleno poso­ dico. Člen so razvili v številnih izvedbah. V eni od njih je pozitivna elektroda manga­ nov dioksid. Ker bi litij reagiral z vodo, ti Nadaljevanje s strani 5 1 3 2 4 4 5 3 6 5 2 7 4 3 8 9 6 Presek 4-koncna.indd 18 16.2.2006 11:36:00 9 FIZIKA Slika 3. Leva polovica slike kaže presek skozi člen v obliki gumba s cinkom in živo­ srebrovim oksidom, desna pa člen s cinkom, ki zajema kisik iz ozračja. Znaki pome­ nijo: 1 pozitivna elektroda iz živosrebrovega oksida, 2 separator, 3 pozitivna posodi­ ca (nerjaveče jeklo/baker), 4 negativna elektroda (cinkov prah v gelu), 5 negativna posodica, 6 tesnilo, 7 zračna elektroda, 8 dostop zraka. Slika 4. Člen z litijem je mogoče izdelati v ploščati obliki. Znaki pomenijo: 1 po­ zitivna elektroda iz manganovega dioksida, 2 pozitivna posodica, 3 negativni pokrov, 4 separator, 5 negativna elektroda iz litija, 6 tesnilo. člen gonilna napetost specifična energija energijska gostota naboj Zn–MnO 2 –ZnCl 2 1,5 V 35 do 70 Wh/kg 60 do 180 Wh/dm3 nekaj 0,1 do nekaj Ah Zn–HgO–KOH 1,35 45 do 90 120 do 180 0,016 do 14 Zn–zrak 1,25 22 do 110 200 0,5 do 2000 Li–SO 2 –LiBr 3 370 do 430 do 100 V preglednici je zbranih nekaj drugih značilnih podatkov, s kate­ rimi lahko sami računate. Če kak podatek manjka, ga poskusite dobiti sami ali ga ocenite. členi uporabljajo kot elektrolit raztopino litijeve soli, npr. litijevega perklorata, v organskem topilu, npr. propilen karbona­ tu. Gonilna napetost doseže 3,0 V. Člen ima veliko specifično energijo. Lahko ga izdelajo v zelo ploski obliki. Odlikuje se po majhnem uporu, majhnem lastnem pra­ znjenju, neobčutljivosti za temperaturne spremembe in po visoki ceni. Uporabljajo ga v prenosnih računalnikih, urah, digi­ talnih fotoaparatih, snemalnih kamerah, merilnikih. Na leto zavržemo zelo veliko členov vseh vrst. Številni členi vsebujejo za okolje nevarne spojine. Zavrženi členi utegnejo močno obremeniti okolje, zato v razvitih državah posvečajo precejšnjo skrb odla­ ganju in razgradnji uporabljenih členov. Po vrsti navedemo negativno elektrodo – pozitivno elektrodo – elektrolit. Pri litijevem členu gre za raztopino v organskem to­ pilu (npr. acetonitrilu), pri vseh drugih členih je topilo voda. Za zgled uporabimo člen z elektrodama iz cinka in manganovega dioksida ter ele­ ktrolitom cinkovim kloridom. Gonilna na­ petost meri 1,5 V, v preglednici najdemo podatek za specifično energijo 35 do 67 Wh/kg in za gostoto energije 60 do 180 Wh/dm3. Vzemimo srednja podatka 50 Wh/kg in 120 Wh/dm3. Drugega delimo s prvim in dobimo za povprečno gostoto člena 2,4 kg/dm3, kar je smiseln rezultat. Vzemimo člen z oznako AA (mignonko) v obliki valja s premerom 2r = 14,5 mm in višino h = 50,5 mm. Za njegovo prostorni­ no dobimo π r2 h = 8 cm3. Električno delo 1 Wh = 3600 J, ki ga v celoti odda člen, izračunamo tako, da energijsko gosto­ to pomnožimo s prostornino. To delimo z gonilno napetostjo, pa dobimo naboj, ki ga potisne po krogu gonilna nape­ tost, preden člen omaga: = 0,67 Ah = 670 mAh = 2400 As. To se sklada s podatkom iz preglednice o naboju člena od nekaj de­ setin do nekaj Ah (1 Ah = 3600 As). Člen lahko po vezju petnajst ur poganja tok 50 mA, dvakrat večji tok sedem ur in pol ali polovični tok trideset ur. 5 4 4 5 66 1 2 3 8 3 2 7 6 5 4 3 6 1 2 _ + Presek 4-koncna.indd 19 16.2.2006 11:36:02 0 LaTeX že dobro poznamo, saj smo ga spoznavali v prejšnjih številkah revije Presek. Gre za urejevalnik besedil, v katerem, za razliko od večine urejevalni- kov, sproti ne vidimo končnega izgleda dejanskega dokumenta, ki ga pišemo. Namesto tega vidimo kodo, ki jo je potrebno prevesti, da si lahko ogle- damo končni rezultat svojega dela v datoteki .dvi, .ps ali .pdf. Vstavljanje slik v LaTeX \ Slike v LaTeX dokumentu Kako vstaviti sliko v LaTeX dokument? Ali vam prevajalnik javi napako dokumenta, v katerega ste vstavili sliko? Ali slika ne stoji na mestu, kjer ste želeli? To so vprašanja, ki se pojavijo marsikateremu uporabniku LaTeXa. V naslednjem prispevku si bomo ogledali, kako se tem težavam, kar se da enostavno, izognemo. Kako vstavimo sliko v LaTeX dokument? Če želimo dodajati slike, moramo poskrbeti, da imamo v izvorni kodi vključeno knjižnico za dodajanje grafičnih elementov. La­ TeX pozna več različnih knjižnic za delo z grafičnimi elementi. V našem primeru si bomo ogledali knjižnico graphicx. Vključimo jo tako, da v glavo dokumenta dodamo ukaz \usepackage{graphicx} ter tako omogočimo prevajalniku, da bo prepoznal grafične ele­ mente (slike). Podprti so naslednji formati slik: .jpeg, .gif, .eps in še nekateri drugi. Oglejmo si dva najenostavnejša primera vnosa slike v izvorno kodo. Prvi primer \begin{figure} \begin{center} \includegraphics{slika.eps} \end{center} \end{figure} Marko Jakovac Presek 33 (2005/2006) 4, strani 20–22 RAÈUNALNIŠTVO ? 3 8 7 2 × 2 5 9 2 . t i f 2896 × 1944 . jpg 1936 × 1296 .eps 1600 ×1200 .pdf 1 2 8 0 × 1 0 2 4 . g i f računalništvo Presek 4-koncna.indd 20 16.2.2006 11:36:03  RAÈUNALNIŠTVO Drugi primer: \begin{figure} \begin{center} \includegraphics{c:\moja_mapa\ slika.eps} \end{center} \end{figure} Ali opazimo razliko? Pogosta napaka, ki jo naredimo, je, da v dokument vstavimo sliko, ki se ne nahaja v mapi, kjer imamo izvorno .tex datoteko. Kadar počnemo prav to, potem uporabimo drugi primer, kjer v ukaz \includegraphics napišemo prostor na disku, kjer se naša slika na­ haja. V nasprotnem primeru, ko je slika v isti mapi kot naš izvorni dokument, lah­ ko enostavno uporabimo prvi primer. Zavedati se moramo, da tudi tip slike vpliva na prevajalnik, odvisno od tega, ali dokument prevedemo v datoteko .dvi, .ps ali .pdf. Datoteko dvi lahko nato odpremo s programom Yap, ki je vgra­ jen v paket Miktex za operacijski sistem Windows, datoteko .ps odpremo s pro­ gramom Ghost View, datoteko .pdf pa s programom Acrobat Reader. Kot smo omenili zgoraj, je LaTeX zelo uporaben za pisanje strokovnih besedil, v katera želi­ mo vstaviti zapletene slike (grafe, točke, povezave, vzorce), zato pogosto za sliko uporabimo format .eps, ker ga podpira večina risarskih programov ter progra­ mov, ki so namenjeni numeričnemu ra­ čunanju. Primer grafičnega programa je zelo znan Corel Draw. Kot primer odlič­ nega numeričnega programa pa bomo navedli brezplačni program Scilab. Kadar uporabljamo format slike .eps, moramo dokument najprej prevesti v datoteko .dvi ali .ps, saj bo v nasprotnem primeru prevajalnik javil napako. Če pa uporablja­ mo slike formata .jpeg ali .gif, ki sta med drugim zelo razširjena, potem je priporo­ čljivo naš dokument prevesti v datote­ ko .pdf, ki jo poleg datoteke .doc danes uporablja večina ljudi. Kadar želimo, da naša slika vsebuje na­ pis z imenom, potem moramo zgoraj navedenim ukazom dodati nov ukaz \caption{ime slike}. To lahko storimo ta­ kole: Prvi primer \begin{figure} \begin{center} \caption{Graf} \includegraphics{graf.eps} \end{center} \end{figure} Drugi primer \begin{figure} \begin{center} \includegraphics{graf.eps} \caption{Graf} \end{center} \end{figure} Kot rezultat dobimo sliko, ki ima v prvem primeru (slika 1) ime napisano na vrhu, v drugem primeru (slika 2) pa na dnu. Kje je moja slika? Zavedati se moramo, da slike v LaTeX­u sestavljajo celoto in jih ne moremo ločiti tako, da bi en del slike bil na dnu prve strani, drugi del slike pa na vrhu druge strani. Pogosto imamo na mestu, kjer želimo vstaviti sliko, premalo prostora, zato jo prevajalnik postavi povsem dru­ gje, kot bi si želeli. Lahko smo iznajdljivi in popravimo besedilo tako, da bo sliko mogoče vstaviti na želen prostor, toda pogosto to ne gre. V pomoč so nam naslednji parametri, ki določajo položaj slike in jih v kodo vstavimo med znaka [ in ]: h za tukaj t za vrh strani b za dno strani ! za zares se potrudi pri postavitvi. Če želimo, naj se program potrudi, da bo Slika 2. Graf Slika 1. Graf Presek 4-koncna.indd 21 16.2.2006 11:36:04  RAÈUNALNIŠTVO lel tehnološke novosti – digitalnega fotoaparata. Končno so njegovi prihranki le dosegli številko, ki je omogočala Janezku obisk trgovine. A tam je bil povsem zbegan. Toliko aparatov, toliko tehničnih podatkov! Kateri fotoaparat izbrati? Katera lastnost je najpomembnejša? Je res to, kar mu je rekel sose- dov Mihec, da je najbolj pomembno, da ima digitalec, kar se da veliko pikslov? Vsaj šest mega pikslov naj bi bilo nujno! Digitalna fotografija in ločljivost Miha Pogačar in Matija Lokar Janezek je bil navdušen fotograf že od malih nog, ko mu je babi- ca za 10. rojstni dan poklonila fotografski aparat. Čeprav je z njim Janezek posnel vrsto prav lepih slik, pa si je vedno bolj že- V članku si poglejmo, kaj sploh ti mega piksli so in ali imajo res kakšen vpliv na kakovost fotografije. In kakšna je povezava med piksli na digitalnem fotaparatu, piksli na zaslonu, tiskalni­ ku, optičnem bralniku in še kje. Digitalne fotografije so shranjene v obliki rasterskega zapisa. To pomeni, da je slika sestavljena iz velike množice posame­ znih točk, ki so urejene v vrstice in stolpce (matriko). Te točke imenujemo slikovni elementi ali piksli (uporabljeni so tudi drugi izrazi, npr. grafična točka, slikovna pika). Piksel (ang. PICture ELement) je osnovni gradnik digitalne fotografije. Podatki, pri­ druženi vsakemu pikslu, opisujejo lastnosti tega piksla. To so barve, osvetlitev in podobno. Piksel nima nobene dimenzije. Velikost piksla se določi ob prikazu na izhodni enoti in je odvisna od načina prikaza piksla. Rasterskih podob smo bolj vajeni, kot si morda mislimo. Tele­ vizijska slika, slika na računalniškem zaslonu, časopisne foto­ grafije, vsi izpisi na laserske in brizgalne tiskalnike, obcestni plakati, to so vse primeri rasterskih slik. Zaradi lastnosti člove­ škega očesa, da pri optimalnih pogojih osvetlitve prepoznamo kot samostojne in razločne samo tiste predmete, ki v našem vidnem polju zavzemajo kot najmanj ene kotne minute, se z naša slika na vrhu strani, potem bi ukaze za dodajanje slik pričeli z \begin{figure}[!t], v nasprotnem primeru uporabljene parametre nadome­ stimo z želenimi parametri. V LaTeXu lahko sliki spreminjamo dimenzije (širino ali višino), jo zavrtimo za določen kot, ali pa jo enostavno enakomerno povečamo v vse smeri, ne da bi jo defor­ mirali. Ukazu \includegraphics lahko v oglatih oklepajih ([ ]) dodamo naslednje parametre: width raztegni na želeno širino hight raztegni na želeno višino angle zavrti v smeri proti urinemu kazalcu scale povečaj Oglejmo si primer, kjer želimo sliko pomanjšati za 50% in jo zavrteti za 90 stopinj v smeri urinega kazalca. Primer \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[scale=0.5, angle=90]{slika.eps} \caption{ime slike} \end{center} \end{figure} V dokument lahko po želji vstavimo tudi kazalo slik, ki smo jih uporabili. To storimo z ukazom \listoffigures{}. \ Slika je vstavljena! Vstavljanje slik se zdi zapleteno. Hitro se zgodi, da nam prevajalnik ne prevede datoteke, kot bi jo želeli, ali pa nam javi napako. Potrebno se je privaditi na nov način zapisovanja besedila. Zavedati se moramo tudi, katere formate slik uporabljamo in v katerem formatu želimo naš končni izdelek. Zgornji nasveti vam bodo pomagali pri reševanju teh težav. Želim vam uspešno vstavljanje slik s čim manj napakami. Presek 33 (2005/2006) 4, strani 22–24 Presek 4-koncna.indd 22 16.2.2006 11:36:04  RAÈUNALNIŠTVO naraščajočo oddaljenostjo od slike posa­ mezne točke zlijejo v eno podobo. Če pa televizijsko sliko opazujemo zelo od bli­ zu, ali pa si veliki obcestni plakat ogleda­ mo tako, da stopimo povsem do njega, opazimo, da je slika sestavljena iz točk. Število pikslov digitalne fotografije ime­ nujemo ločljivost slike. Tako npr. rečemo, da ima določena digitalna fotografija lo­ čljivost 1600 × 1200 pikslov. To pomeni, da je fotografija sestavljena iz mreže 1600 točk vodoravno in 1200 točk nav­ pično. Na datoteki, kjer je ta fotografija Če povečamo ločljivost (vzamemo torej gostejšo mrežo), kockastost deloma od­ pravimo (slika 2). Kdaj je slika, sestavljena iz množice točk, za opazovalca dovolj kakovostna oz. »do­ volj malo kockasta«, je odvisno od dalja­ ve, iz katere sliko opazujemo, in od veli­ kosti slike. Če rastersko sliko gledamo od dovolj daleč oz. če so prikazani kvadratki dovolj majhni, »kockastosti« sploh ne opazimo. Posamezni delčki namreč v na­ šem očesu ne zajemajo kota, večjega od kotne minute. Kljub temu pravimo, da je slika, ki je pri fiksni oddaljenosti opazovalca in isti ve­ likosti piksla videti manj »kockasta«, ka­ kovostnejša. Tako sliko lahko opazujemo bližje oz. je ta lahko večja, pa sestavlje­ nosti slike iz kvadratov še opazimo ne. S povečevanjem ločljivosti torej kakovost slike narašča, a narašča tudi količina po­ datkov, ki jih je potrebno hraniti. Seveda je to zelo poenostavljen pogled na kakovost slike. Sosedov Mihec ima sicer deloma prav, ko pravi, da je boljši tisti fo­ toaparat, ki ima več pikslov, a to je le del zgodbe. Pri postopku rasterizacije v dveh barvah smo se morali za vsak kvadratek odločiti le, če je pobarvan ali ne. Na prvi pogled je videti, da je postopek odloča­ nja, ali je kvadratek pobarvan ali ne, dokaj enostaven – če je črnega dela v kvadratu za več kot pol, je cel črn, drugače pa bel. A izkaže se, da dobimo veliko boljše (torej shranjena, imamo podatke o 1600 × 1200 pikslih, torej podatke o približno dveh miljonih pikslov. To je tudi tisti osnovni podatek, ki ga navajajo proizva­ jalci digitalnih fotoaparatov. Ko navedejo, da ima fotoaparat npr. ločljivost 3M pikslov, to pomeni, da bo digitalna fotografija, posneta s tem fotoapara­ tom, sestavljena iz približno treh miljonov točk. Ker so velikosti rasterizacijskih mrež običajno standar­ dizirane, pomeni, da bo sestavljena iz 2048 × 1536 pikslov. Ko torej uporabljamo digitalni fotoaparat, na katerem piše, da ima ločljivost 3M, se prizor, ki ga slikamo, »prekrije« z mrežo 2048 × 1536. Za vsako točko te mreže ustrezna elektronika zapiše podatke o njej. Ko torej uporabljamo digitalni fotoaparat, se prizor, ki ga slikamo, »prekrije« z mrežo 2048 × 1536 in za vsako točko te mreže zapišemo podatke o njej. Pri tem se določene podrobnosti lahko izgubijo. Na sli­ ki vidimo preprost primer, ko smo črko A »slikali« s fotoparatom, ki ima ločljivost 12 × 10 in o vsakem pi­ kslu hrani le bit informacije (torej, ali je črn ali bel). Dobljena slika je precej »kockasta«. Slika 1. Kockasta slika 12 × 10 × 1b Slika 2. Deloma odpravljena kockastost 60 × 50 × 1b Slika 3. Šele pri povečanju velikos­ ti izrisanega piksla opazimo, da je luna sestavljena iz kvadratkov. za naše oči bolj podobne originalu) rezul­ tate, če upoštevamo še sosednje točke. To seveda algoritem rasterizacije doda­ tno zaplete. Ker pri postopku rasterizacije običajno nastopajo še barve (ali pa vsaj odtenki sive barve), je ustrezen algoritem še bolj zapleten. Upoštevati je potrebno še lastnosti človeškega očesa (kako vidi barve bližnjih predmetov, kako razliku­ je odtenke), zato je »odločanje«, kakšno barvo dati pikslu, ki predstavlja kvadratek, ki je npr. delno zelen, delno moder, dokaj zapleten po­ Presek 4-koncna.indd 23 16.2.2006 11:36:05  »Običajna« ločljivost Velikost slike (v centimetrih) Uporabljena vgrajena ločljivost 640 × 480 22,58 × 16,93 72 8,13 × 6,1 200 5,42 × 4 300 800 × 600 28,2 × 21,17 72 10,16 × 7,62 200 6,77 × 5 300 1024 × 768 36,12 × 27,1 72 13 × 9,75 200 8,67 × 6,5 300 stopek. Prav kakovost teh rasterizacijskih algoritmov je mnogokrat tisti odločilni faktor, ko rečemo, da je en digitalni fotoa­ parat kakovostnejši od drugega. Prav tako pa je pomembno tudi, kako bomo pridobljeno sliko uporabljali. Že na sliki 4 verjetno sploh ne opazite raz­ like med levo in desno sliko. A desna sli­ ka zavzema kar štirikrat več prostora. In programi za delo z digitalnimi fotografi­ jami so posebej pri zelo velikih datotekah lahko dokaj počasni, zlasti pri izvajanju določenih obdelav. Zato je vprašanje, ali je res smiselno, da ima fotoaparat tako gosto mrežo. No, če bomo sliko poveče­ vali, delali izreze, natisnili na tiskalnik fo­ tografijo v res velikem formatu. Saj res, kako pa je s tiskanjem? Tudi pri tiskalni­ kih pogosto beremo o ločljivosti. Ima ta ločljivost kakšno povezavo z ločljivostjo digitalnega fotoaparata? Včasih naletimo še na drugačen pogled na ločljivost. To je tako imenovana »vgraje­ na« ločljivost. Tu gre dejansko za to, kako veliki so piksli oz. koliko pikslov je na dolo­ čeni dolžini. Izražena je kot ppi (pixels per inch) ali dpi (dots per inch). Razlike med ppi in dpi pravzaprav ni. Izraz ppi se bolj uporablja v svetu računalnikov, medtem ko tiskarji raje uporabljajo izraz dpi. Pri digitalni fotografiji na vgrajeno ločljivost naletimo predvsem pri uporabi programov za optično branje in pri tiskanju. Vgrajena ločljivost pove tiskalniku gostoto pikslov v tiskani sliki. Ta ločljivost je popolnoma ne­ odvisna od »običajne« ločljivosti. Visokolo­ čljivo sliko lahko natisnemo z nizko vgra­ jeno ločljivostjo in tudi obratno. Pri enaki »običajni« ločljivosti bo slika natiskana z vi­ soko vgrajeno ločljivostjo manjša (piksli so bolj gosto skupaj), slika z nizko ločljivostjo pa večja (piksli so bolj razpršeni). Pogosto se z vgrajeno ločjivostjo pri ti­ skanju sploh ne ukvarjamo, ampak le Slika 4. Ločljivost vpliva na velikost datoteke. Slika 5. Vgrajena ločljivost vpliva na velikost tiskane slike in ne na bitno velikost. RAÈUNALNIŠTVO Tabela 1. Povezava med veliko­ stjo slike in vgrajeno ločljivostjo. Tabela 2. Priporočena ločljivost, če želimo natisniti slike ustrezne velikosti z 200 dpi. Velikost slike (v centimetrih) ločljivost 3,5 × 4,5 (osebna izkaznica) 276 × 355 14,8 × 21 (A5) 1166 × 1655 21 × 29,7 (A4) 1655 × 2340 29,7 × 42 (A3) 2340 × 3310 povemo, kako veliko sliko bi radi natisnili. In zakaj je vgrajena ločljivost potem sploh pomembna? Pred­ stavlja nam nekakšno mero za kakovost slike. Če bomo sliko natisnili z zelo nizko vgrajeno ločljivostjo (npr. sliko ločljivosti 1600 × 1200 v velikosti 32 × 24 inčev (torej približno 81 × 61 cm), kar pomeni 50 ppi), bodo piksli predstavljeni s precej velikimi barvnimi točkami in slika bo »kockasta«. Na kakovost natisnjene slike (ki je tako ali tako pre­ cej subjektivna zadeva) sicer vpliva še več drugih faktorjev, kot so ločljivost tiskalnika (kako velike so kapljice barve, kako skupaj so lahko – ali je sploh možno doseči željeno vgrajeno ločljivost), kakovost papirja oz. medija, na katerega tiskamo, kakovost postopka, ki določi, kako natisniti posamezno sku­ pino pikslov. Kot osnovno pravilo velja, da naj bi za »fotografsko« kakovost (torej tako, da je primerljiva kakovosti »klasičnih« fotografij) vgrajena ločljivost pri uporabi solidnega črnilnega tiskalnika bila med 200 in 250 dpi. V tabeli vidimo, kakšna je priporo­ čena »običajna« ločljivost, če želimo natisniti slike navedenih velikosti z 200 dpi. Če Janezek torej ne bo delal izrezov iz svojih foto­ grafij, ki bi jih potem tiskal v veliki velikosti, bo torej povsem dovolj, če bo njegov novi digitalec imel ločlji­ vost »le« 4M točk. Bolj smiselno je, da se pri odloča­ nju o fotoaparatu posveti drugim lastnostim. ta­slika.BMP ona­slika.BMP 600 × 450 × 24b • 792 KB300 × 225 × 24b • 198 KB Presek 4-koncna.indd 24 16.2.2006 11:36:09 5 Intervju z Marijanom Prosenom Kje ste se rodili in preživeli otroška leta? Oče je bil v službi pri železnici. Zato se je naša družina veliko selila. Kar sedemkrat. Rodil sem se 13. marca 1937 v Brežicah, zato imam 13 za prijazno in srečno število. Komaj tri mesece po rojstvu smo se preselili na Gorenjsko, na Jesenice, kjer sem preživel dvanajst čudovito lepih in nepozabnih let, čeprav so me oplazile strahote druge svetovne vojne. Vendar otrok drugače doživlja vojno kot odrasel človek. Spraševala Maja Klavžar Kje ste obiskovali osnovno in srednjo šolo? Štiri razrede osnovne šole in prvi razred gimnazije, ki je takrat štela osem razredov, sem končal na Jesenicah, sredi drugega letnika pa smo se preselili v Pivko. Z vlakom sem se vozil v Postojno, kjer sem zaključil gimnazijo. Kdaj vas je začela zanimati znanost? Pravzaprav sta me matematika in naravoslovje začela zanimati po tre­ tjem letniku gimnazije, po mali maturi. A razen skromnih učbenikov ni bilo ustreznih knjig. Zelo me je zanimala literatura, predvsem slovenska. Bil sem skoraj odločen, da bom šel študirat slavistiko. O astronomiji nisem imel pojma. Zvezde so mi bile všeč kar tako. V višjih razredih gimnazije sem poznal Venero in Mars, Veliki voz in Severnico in tu je bil konec mojega zna­ nja o vesolju. Veliko bolj me je zanimal šport. Igral sem nogomet, odbojko, namizni tenis in bil dober tekač na dolge proge. Kdaj ste se odločili za študij astronomije? Vzorniki? Na univerzi sem najprej vpisal matematiko. Sredi prvega letnika pa se je v moji duši zgodilo nekaj, česar še danes ne znam pojasniti. Neprestano sem začel misliti na študij astronomije. Imel sem celo videnje, da bi lahko na tem področju v slovenskih razmerah nekaj naredil. Precej tega se je uresničilo. Moj prvi in edini vzornik je bil dr. Lavo Čermelj, prof. fizike in matematike, ki sem ga spoznal, ko sem bil študent drugega letnika astronomije. Precej sem zahajal k nje­ mu na dom in marsikaj zanimivega mi je povedal, tudi za življenje. Presek 33 (2005/2006) 4, strani 25–27 ASTRONOMIJA a s t r o n o m i j a • • • * ** * * * * * * * * * * * Presek 4-koncna.indd 25 16.2.2006 11:36:11  ASTRONOMIJA Nam lahko opišete svoj študij astronomije? Opraviti je bilo treba temeljne izpite iz dveh matematik (poleg teh tudi opisno geometrijo), dveh fizik s tremi praktiku­ mi, treh mehanik, toplote, elektroma­ gnetnega polja, optike, matematične fizike, poleg tega pa seveda še iz splošne astronomije, sferne astronomije, pozicij­ ske astronomije, astrofizikalnih metod, opraviti astronomska seminarja in za­ govor diplomskega dela. Obširen študij. Hkrati sem opravil tudi vse potrebne pedagoške izpite (metodike poučevanja) in mladinsko psihologijo, tako da sem se nekako pripravil na poučevanje matema­ tike in fizike na srednji šoli, če kot astro­ nom ne bi dobil zaposlitve. Izkazalo se je, da je bila ta moja poteza smotrna. In kako danes v Sloveniji študiramo astronomijo? Ne vem natančno. Zato se vprašanju ognem. Mislim, da z dodatnimi izpiti iz astronomskih vsebin in zagovora diplom­ skega dela. Kako bi opisali razvoj astronomije od časov, ko ste diplomirali, do danes? Kaj so glavni dosežki astronomije tega obdobja? Komaj bi to znal dobro opisati. Bom po­ skusil. Razvoj je seveda gromozanski, če samo pomislim, da sem diplomiral dalj­ nega 1961. leta. Kot študent sem doživel leta 1957 veliko navdušenje ob izstrelitvi prvega umetnega zemeljskega satelita Sputnika I, nato pa že v službi odkritje pulzarjev (1968) in kvazarjev, sevanja mi­ krovalovnega ozadja, številna potovanja vesoljskih ladij k Luni in planetom ter raziskovanja teh teles iz neposredne bli­ žine in tudi njihovega površja, obisk več svetlih kometov (od katerih sem enega tudi uspešno fotografiral, kar je bila te­ daj redkost), razprave o črnih luknjah, izstrelitev Hubblovega vesoljskega tele­ skopa okoli Zemlje in njegovo snemanje daljnih nebesnih predmetov, odkrivanje planetom podobnih teles izven Osončja, razprave o temni materiji in temni ener­ giji in še bi lahko našteval. Svoj čas sem nova odkritja kar dobro spremljal, zdaj pa nisem več kos novim spoznanjem, npr. v kozmologiji. To kar priznam in mi ni nič nerodno. Zato se pa bolj ukvarjam s pe­ dagoškimi problemi. Pišem o temeljnih stvareh v astronomiji in kako jo najbolje poučevati. Tudi tu se zavedam, da nimam vse prav, da sem morda že malo zastarel. Moja zvezda je namreč že precej nizko na zahodni strani neba in bo kmalu zašla. Znani ste kot izredno ploden pisec. Katera vaša dela vam največ pomenijo? Pisanje mi pomeni toliko kot kruh. Če­ prav za to dobim tudi nekaj materialnega nadomestila, nikdar ni v ospredju denar. Veliko sem napisal oz. naredil zastonj, za svojo dušo in srce. Lahko rečem, da sem se za vsako svoje delo, knjigo ali članek pa tudi drobno notico vprašal: Ali ima smisel? Ali znam? Ali zmorem? Pa sem poskusil. Vse moje delo je torej nastalo iz samih poskušanj oz. preskušanj samega sebe. Najbolj pri srcu mi je zagotovo drobna knji­ ga Veliki in Mali medved, ki sem jo izdal v samozaložbi z veliko pomočjo moje žene Stane, poleg učbenikov pa se mi zdijo najpomembnejše knjige Imena nebesnih teles, kjer sem obdelal osnove nebesnega imenoslovja, Mali leksikon astronomije, kjer sem oblikoval temeljno slovensko astronomsko izrazoslovje, ter Zvezdni miti in legende, kjer sva skupaj z ženo na­ pisala nekoliko v literarnem stilu klasične zgodbe iz grške mitologije skoraj za vsa ozvezdja Ptolemajevega obdobja in še za nekaj ozvezdij, ki so »nastala« pozneje. Veliko ste delali z mladimi. Nam lahko opišete svoje izkušnje? Zabeleženih imam okoli 330 srečanj z mladimi, od astronomskih taborov, nara­ voslovnih dni in noči, predavanj, množič­ nih opazovanj, dejansko pa je tega precej več. Samo če pomislim, na koliko telefon­ skih klicev v zvezi z astronomskimi vpra­ šanji sem v življenju odgovarjal, se kar Sedem utrinkov ob razstavi, Šenčur 2005 1. Ponosen sem, ker sem Slovenec, še bolj, ker sem Gorenjec 2. Najbolj, ker sem en del Šenčurjana, da ustvarjalno delujem v občini, kjer je bil v Prebačevem rojen moj stari ata Miha 3. Srečen sem, da sem toliko zdrav in da imam tolikšno fizično in psihično moč, da lahko dam od sebe stvari, ki so širšega pomena 4. Srečen sem, da sodelujem z osnovno šolo Šenčur, z učenci in učitelji na tej šoli 5. Srečen sem, da skupaj s svojo ženo Stano in psičko Noto diham zrak v Javorniku pod Joštom nad Kranjem in zelo rad imam ta košček zemlje in nebo nad njim 6. Srečen sem, da še vedno premorem toliko ljubezni, ki jo lahko neusahljivo in nese- bično trosim v najrazličnejših oblikah in razsežnostih med mlade in starejše, s čimer se počutim svobodnejšega 7. Srečen sem, ko okoli sebe vidim srečne ljudi, in srčno se veselim njihovih uspehov Presek 4-koncna.indd 26 16.2.2006 11:36:12  ASTRONOMIJA zdrznem. Z mladimi mi je bilo prijetno delati in pre­ pričan sem, da je bilo tudi njim prijetno z mano (po­ sebno če ni bilo to povezano s šolskimi obveznostmi, kjer sem pa zahteval svoje), saj sem bil preprost in nevsiljiv posredovalec nebesnih vsebin. Najlepše, kar se mi je dogajalo na koncu kake delavnice, pa je bilo to, da so se npr. otroci drenjali ob meni in me cukali za hlače rekoč: »Stric, daj, še kaj povej.« Kaj v astronomiji pomeni vidno vesolje? Kakšne so razsežnosti vidnega vesolja in ali si jih lahko sploh predstavljamo? O tem bi se bilo mogoče razpisati na več straneh. A bom zelo skrajšal in poenostavil. To je predmet splošnega raziskovanja, preučevanja in tudi (za na­ vadne smrtnike) velikega občudovanja. Z različnimi napravami ga najbrž zaznavamo skoraj do globine 15 milijard svetlobnih let. V zadnjem času gledam na problem nastanka in razvoja nam zaznavnega ve­ solja nekoliko drugače kot uradna znanost, a to je moj problem. Saj ne bom nič objavil. Najbrž gre pri vsem tem za več vesolj in mi smo le v enem od njih. Vera ima svoje temeljne resnice – dogme, znanost pa aksiome. Jaz pa nisem preveč veren. Zdaj, ko sem upokojenec, lahko še bolj neobremenjeno, revolucio­ narno oz. domišljijsko razmišljam o stvareh kot prej. To je zame velika nagrada in sreča. V zadnjem času je zelo aktualno odkrivanje planetov izven našega Osončja. Lahko kmalu pričakujemo odkritje Zemlji podobnih planetov? Pred okoli 40­imi leti sem si skoraj eno leto dopiso­ val z vodilnim profesorjem na Sproul observatoriju v ZDA, kjer so na poseben način raziskovali motnje v gibanju določenih bližnjih pritlikavk (posebno znana je šest svetlobnih let oddaljena Barnardova zvezda) zaradi morebitnih temnih teles, ki naj bi se gibala okrog njih. Motnje so najprej pojasnjevali s kroženjem dveh temnih teles tipa planetov Jupitra in Saturna, pozneje pa več teles, tudi takšnih kot Zemlja. Pri tej stvari gre precej tudi za tolmačenje oz. prikazovanje (interpretacije) raziskav. Ker je to zelo zelo daleč od nas, bom raje kar tiho. Naj povem le to. Luna je eno svetlobno sekundo oddaljena od nas, pa tako malo vemo o njej. In kaj je kilometer pod nami? Mi sami in vse okoli nas je še vedno velika uganka. Zelo malo vemo. Nekatere stvari razumemo bolj, ker smo si na­ redili določen model. Najlaže je govoriti o stvareh, ki so veliko in veliko svetlobnih let daleč. Le kdo bo pre­ veril dejansko stanje? Tudi hipoteze so na majavih tleh. Zato se jih sam izogibam že na daleč. Vendar pa jih ne zavračam. Ali po vašem obstaja življenje v vesolju, izven Zemlje? Zagotovo. Ne smemo si niti v sanjah do­ mišljati, da smo edina in povrhu še najbolj pametna bitja v vesolju. Dokazov res še ni, a bodo zagotovo prišli, ne še tako kma­ lu, a morda že v tem stoletju. Dobro je, da poznamo svojo preteklost, sreča pa (eni pravijo milost), da ne poznamo prihodno­ sti. Sicer pa se zdi, da je vesolje en sam živ organizem, nekakšen živ laboratorij, kjer se vse nenehno spreminja. Le posku­ sov v njem ne moremo ponoviti, čeprav se neki pojavi ponavljajo. Živimo kratek čas in utripa vesolja skoraj ne zaznamo. To je najbrž tudi sreča. Vsaj tako se mi zdi. Imate na koncu še kakšno sporočilo za bralce Preseka? Zelo težko je biti dovolj kritičen in pravičen oz. enako sprejemljiv za vsa novejša odkri­ tja. Težko je selekcionirati informacije in povedati, kaj je primerno in sprejemljivo za objavo, kaj je bolj poučno kot drugo, kaj ni v skladu z današnjo znanostjo. To izčisti čas. Tudi kaj, kar znanost danes še zavrača, bo jutri vsakdanja stvar. Bralci Preseka naj bi dobili predvsem dobro napisane temelj­ ne vsebine (resnice) iz astronomije. Sam se raznim domnevam zelo izogibam, ker je v njih preveč negotovosti in ribarjenja v kalnem. Zame te vsebine skoraj spadajo v mitologijo, ki pa jo imam zelo rad, vendar na svoj način. In ravno to pa najbolj zanima ljudi, resno delo v astronomiji ne. Tako še vedno raje berejo astrologijo in prebirajo svoj horoskop (čeprav le za hec) kot resno astronomsko čtivo. Ampak takšen je člo­ vek. Zanima ga prihodnost iz zvezd, čeprav neosnovana. Če se ne izpolni, nič hudega, na vedeževalca se pozabi. Morali pa bi ga močno prijeti za ušesa in ga pošteno ošte­ ti. Tehnika je vse boljša, znanost vse bolj napreduje, vraževerje pa se tudi povečuje. To se mi zdi grozno. Dobro in lepo se je za­ nimati za astronomijo. Ne zato, da bi po­ Za branje zanimive knjige Marijana Prosena (brez učbenikov) Astronomska opazovanja, Prese­ kova knjižnica 3, DMFA Slovenije, Lj. 1978. Utrinki iz astronomije, MK, Lj. 1980. Prvi stik z vesoljem, DZS, Lj. 1984. Astronomček Tonček, MK, Lj. 1985. Opazujem Sonce in Luno, MK, Lj. 1987. Veliki in Mali medved, samozalož­ ba, Lj. 1990. Mala astronomija, Math, Lj. 1991. Sonce zgodaj gori gre, MK, Lj. 1993. Male zgodbe o Velikem vozu, Math, Lj. 1996; sk. s Stano Prosen. Prvi pogled, DZS, Lj. 1998; sk. s Sta­ no Prosen. Skrivnosti dneva in noči, Jutro, Lj. 1999. Tudi zvezde praznujejo, Math, Lj. 1999; sk. s Stano Prosen. Spoznavajmo Zemljo in vesolje, DZS, Lj. 2001; sk. s Stano Prosen. Zvezdni miti in legende, Jutro, Lj. 2002; sk. s Stano Prosen. Imena nebesnih teles, Jutro, Lj. 2003. Ukvarjanje s senco, Presekova knji­ žnica 39, DMFA Slovenije, Lj. 2003. (Mali) Leksikon astronomije, MK, Lj. 2004. Panorama zvezdnega neba, MK, Lj. 2004. Zvezde, zvezde, Jutro, Lj. 2005. stali poklicni astronomi, ampak da si raz­ širimo obzorje razmišljanja, gremo v četrto dimenzijo, naredimo nekaj za dušo in tudi srce, pa tudi za to, da bi postali dobri ma­ tematiki in fiziki. Poznam veliko inženirjev in zdravnikov, slovenistov in germanistov pa tudi preprostih ljudi v mestu in na kme­ tih, ki se zelo zanimajo za astronomijo, za zvezde. Pravijo, da sicer precej stvari v popolnosti ne razumejo, vendar pa jim to pomeni nekaj lepega. Presek 4-koncna.indd 27 16.2.2006 11:36:12  ASTRONOMIJA Ali v jasni noèi vidiš sveèo na Krvavcu? Marijan Prosen Tako se glasi začetek besedila 4. nalo- ge na strani 19 v 2. številki Preseka 33 (2005/2006). povezane z enačbo E = I/r2, kjer je I podana v cd (sve­ čah), r pa v m, tako da je cd/m2 = lx. (To seveda velja za idealne razmere; v realnih razmerah pa je E = µI/r2, pri čemer je µ faktor prepustnosti ozračja in so mu včasih pripisali vrednost 0,8, zdaj pa bi mu lahko za­ radi dodatnega svetlobnega onesnaženja okolja in drugih vzrokov v ozračju pripisali vrednost zagotovo že 0,75 ali celo 0,7.) Vzemimo »zvezdo«, ki naj sveti z dano svetilnostjo I in naj ima znan sij m, mi pa bi radi ugotovili, v kateri oddaljenosti sveti. Iz pravkar zapisane enačbe izra­ čunamo oddaljenost r = (I/E)1/2 (µ kar zanemarimo). Tako izračunamo, da je ena sveča vidna kot zvezda 1. magnitude z oddaljenosti 1,1 km, kot zvezda 6. ma­ gnitude (meja vidnosti za normalno človeško oko) pa z razdalje 11 km. (Če upoštevamo prepustnost, dobi­ mo seveda manj km.) Po nekih, s poskusom nepreverjenih pripovedih naj bi človek zaznal 1 cd še v oddaljenosti 27 km ali okro­ glo 30 km, kar namigne tudi naloga. To je velikan­ ska zahteva za človeško oko, sam bi rekel preveliko poveličevanje sposobnosti našega očesa, ki je sicer odličen optični inštrument, vendar tako zmogljiv pa spet ne. Kako pojasniti zapisano vrednost za oddaljenost, na­ mreč teh 27 km? To dobimo z računanjem. Z odda­ ljenosti 27 km je namreč ena sveča vidna kot zvezda 8. magnitude, kar seveda velja za popolno temno noč (brez svetle Lune na nebu), najboljše vremenske po­ Zveza med sijem zvezde z magnitudo m in osvetlje­ nostjo E (oz. gostoto vpadnega svetlobnega toka), ki jo zvezda povzroči na površju Zemlje, je podana s Pogsonovo enačbo: E/E' = 10–0,4(m – m'). Pred sto leti so z zelo natančnimi fotometričnimi meritvami ugoto­ vili, da je E' = 1 lx za m' = – 14,2 magnitude. Iz te enačbe lahko izračunamo, da polna luna (ščip) s sijem m = –12,5 magnitude v idealnih vremenskih razmerah povzroči osvetljenost 0,2 lx, zvezda 1. ma­ gnitude okoli 8 · 10–7 lx, zvezda 6. magnitude pa okoli 8 · 10–9 lx (torej 100­krat manj kot zvezda 1. magnitu­ de, kar je bilo povedano tudi v rešitvi naloge). Osvetljenost E, svetilnost I in oddaljenost r svetila so Naj takoj povem, da niti glede besedila niti glede rešitve te naloge nimam posebnih pripomb. Vse je v redu. Naloga se mi zdi primerna in celo duhovita. Vendar pa bi rad dodal nekaj drobcev drugačnega razmišljanja, kar bi morda marsikoga utegnilo zanimati. V prispevku se bom držal enakega izrazo- slovja, kakršno je v omenjeni nalogi. Oglasil sem se zato, da bralci Preseka presodijo, kaj vse se lahko skriva v nalogi oz. kaj lahko vsebuje ozadje kakšne naloge, pa če je zastavljena še tako preprosto in na prvi pogled naivno. Ravno preprosto nalogo je včasih zelo težko sestaviti. Presek 33 (2005/2006) 4, strani 28–29 Presek 4-koncna.indd 28 16.2.2006 11:36:13 9 ASTRONOMIJA + RAZVEDRILO goje in odlično oko. Recimo, da so včasih dobri opazo­ valci to zares zaznali s prostim očesom. Danes tega ne zazna nihče več. Ker ima nočno nebo določeno sve­ tlost, v zadnjem času pa moramo dodatno upoštevati tudi svetlobno onesnaženje okolice in še marsikaj zra­ ven, naj bi oko zaznalo zvezde do 6. magnitude, kar je še vedno idealno gledanje na problem. Meni se to niti od daleč ne posreči, pa imam precej prakse. Ne samo, da se mi zdi, upam si celo trditi, da se to v nižinskem smogu ne posreči tudi drugim, dosti boljšim opazo­ valcem. Sicer pa vsak lahko poskusi. Nadalje izračunamo, da bi v idealnih razmerah sve­ tilo s svetilnostjo 100 sveč zaznali kot zvezdo 1. ma­ gnitude z oddaljenosti 11 km (ob upoštevanju prepu­ stnosti pa celo 2 do 3 km manj). To pa je povsem mogoče zaznati. Že dalj časa živim na vasi. In prav z naše vasi lahko neposredno vidim vrh Krvavca v oddaljenosti okoli 20 km. Večkrat ponoči gledam tja. Da bi tam gori kdo zaznal eno svečo, iz prakse povem, da je to popolnoma nemogoče (tudi izračunamo 7,3. ma­ gnitudo). Svetilo s svetilnostjo 100 sveč (okoli 100 vatno žarnico) pa je zaznati z lahkoto, vendar ne kot zvezdo 1. magnitude, ampak 2,3. magnitude. Z oddaljenosti 27 km bi to svetilo zaznali kot zvezdo 3. magnitude, z oddaljenosti 30 km pa kot zvezdo magnitude 3,2 (vsak kilometer se pozna). Vse to pa je s prostim očesom mogoče povsem dobro zazna­ ti, tudi če še dodatno upoštevamo propustnost. To moje razmišljanje seveda ni povsem gotovo. Predvsem manjka poskus, ki bi potrdil razmišlja- nje, ki se kljub vsemu zdi zelo utemeljeno. Ni vse tako preprosto, kakor se zdi na prvi pogled. Nara- va je zamotana stvar. Rešitev nagradne križanke Presek XXXIII/ Za nagradno križanko iz 2. številke Preseka smo prejeli eno samo pravilno rešitev: Evropski matematični kenguru, ki nam jo je poslal Borut Umer iz Kopra. Borut prejme prvo nagrado. Drugo in tretjo nagrado pa prejmeta reševalca križanke iz 3. številke: Luka Krmpotič iz Rogaške Slatine in Nataša Ožir Žurej iz Celja. Za nagradno križanko iz prejšnje številke smo prejeli 19 pravilnih rešitev. Nagradno geslo se je glasilo Knjižnica Sigma, osemin- sedemdeset. Žreb je nagrade razdelil med naslednje tri nagra­ jence: Jože Jarc, Domžale; Boris Kožlin, Dobrovo v Brdih; Teja Turk, Ljubno ob Savinji. Nagrajenci so knjižne nagrade prejeli po pošti. Presek 4-koncna.indd 29 16.2.2006 11:36:17 0 KOLOFON Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astrono­ mije in računalništva. Poleg člankov ob­ javlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednje­ šolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih ra­ zredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte­ vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo ob­ javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovorni urednici na naslov uredništva DMFA–založništvo, Uredništvo revije presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj ene­ mu anonimnemu recenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je pri­ spevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem ure­ dnica prosi avtorja za izvorno datoteko. Le­te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Kolofon Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 33 šolsko leto 2005/2006 številka 4 Uredniški odbor Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mirko Dobovišek (glavni urednik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Marjan Hribar, Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar (odgovorna urednica), Damjan Kobal, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Franci Oblak, Marijan Prosen (astronomija), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalni­ štvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj. Dopisi in naročnine DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 2517 281. Naročnina za šolsko leto 2005/2006 je za posamezne naročnike 4.000 sit (posamezno naročilo velja do preklica), za skupinska naročila učencev šol 3.500 sit, posamezna številka 900 sit, dvojna številka 1.650 sit, stara šte­ vilka 650 sit, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje Polona Šterk in Matjaž Čuk Ilustracija Matjaž Čuk in Nina Rupel Tehnično urejanje Matjaž Čuk, Ardi Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana © 2006 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1629 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej­ šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana Navodila sodelavcem Preseka za oddajo prispevkov .tex Presek 4-koncna.indd 30 16.2.2006 11:36:19  Presek 4-koncna.indd 31 16.2.2006 11:36:31  Presek 4-koncna.indd 32 16.2.2006 11:36:34