KRATKOČASNE VŽiGALICE 33. Prestavi 6 vžigalic, da dobiš 5 kvadratov! ==:>1 34 . Sestavi narisan lik, nato pa: al odstrani 3 in premakni 2, bl odstrani 3 in premakni 3, cl odstrani 3 in premakni 4 vžigalice, da dobiš vsakokrat 3 enake kvadrate! [ - - - 35 . Prestavi 2 vžigalici, da dobiš 7 enak ih in en večji kvadrat! 36 . Odstrani 10 vžigalic, da dobiš 4 enake kvadrate! 37. Prestavi 6 vžigalic , da dobiš 6 kvadratov! ~ r ~-~ 38. Prestav i 4 vžigalice, da dobiš 5 kvadratov! V tretji števi lki devetega letnika smo začel i po delih objavljati to zbirko nalog , ki jo je za Presek napisal Roman Rojko . Naloge bomo objavljali tud i v pr ihodnjih števil kah Preseka. UVODNIK Dragi bralci! Pred nami je novo šolsko leto in kot je že običajno, s tem tudi prva številka no- vega letnika Preseka. Tokrat bo to že 14. letnik. V tem obdobju smo sedanji in bivši uredniki premagovali nemalo težav, da smo list ohranili pri življenju, od teh je bilo pomanjkanje denarnih sredstev še največji problem. Število naročni­ kov je bilo vrsto let okrog 20.000, zaskrbljuje pa nas, da jih je v zadnjem letu padlo za petino. Kaj je vzrok za tolikšno zmanjšanje? Mogoče je bila cena Preseka eden prvih. Vemo, da se vse neznansko hitro draži, tako tudi pri Pre- seku stroški za papir, tisk in drugo skokovito naraščajo. Tako moramo kljub finančni subvenciji, ki jo list prejema od Republiške raziskovalne in izobraže- valne skupnosti, vsako leto postaviti višjo ceno. Za šolsko leto 1986/87 bo to 800.- (oz. 1000.- za posamezne naročnike). Ali je to veliko? Na prvi pogled go- tovo je. Toda če pomislimo, da stane en izvod okrog 130.-, kar je manj od veči­ ne zabavnih tednikov ali stripov, ki jih včasih kupujete vsak tedan, ali pa, če . primerjate, kakšno čokolado bi za ta denar lahko kupili, opazite, da to' res ni velik denar. Tako najbrž ne bo težko plačati za šest številk v celem šolskem letu za tako zanimivo in poučno branje. Drug razlog za upadanje števila naro- čn ikov je najbrž to, da Presek premalo reklamiramo med mladimi. Kar težko nam je, ko včasih slišimo, da v kakšnem od razredov ni niti enega naročnika, čeprav jih je med učenci gotovo nekaj, ki jih matematika, fizika in podobne stroke kaj bolj zanimajo. V uredništvu si kakšnih večjih reklamnih akcij ne mo- remo privoščiti, saj nimamo v njem niti enega redno zaposlenega. Tako nam ostaja edini način razširjanja Preseka preko prizadevnih učiteljev in profesorjev na šolah. Kakšna je vsebina Preseka, večina gotovo ve, tistim pa, ki ga še ne poznajo in bi jih utegnil zanimati , jim ga pokažite in priporočite. Tudi letos boste v Prese ku prebirali zan imive pr ispevke iz matematike, fizike, astronomije, raču­ nalništva ter razne novice in poročila s tekmovanj. Reševali boste lahko pestre naloge , probleme in križan ke te r se razvedrili ob raznih drugih zabavnih pri- spevkih. Zelo nas bo veselilo, če boste tudi sami kaj napisali, saj zelo redko do- bimo kakšne tekste, ki bi jih napisali učenci sami ali pa njihovi mentorji. Ravno v tej številki je vendarle nekaj takih prispevkov in opogumite se tudi vi! Prvo številko smo tud i tokrat poslali vsem lanskim naročnikom. Aktive matematikov in fizikov na šolah prosimo, da list priporočijo svojim učencem in dijakom te r nam število zbranih naročnikov pošljejo vsaj do 20. septembra z naroč iln ico . 1 Člane našega društva , matematike in fizike na šolah, lepo prosimo, d a nam bodo odvečne izvode po omenjenem roku vrnili. V kolikor pa bo med dijaki in učenci za Presek navdušenje še večje , bomo poslali na šole še dodatne izvode takoj, ko bomo prejeli ustrezno naročilnico. Bralce Preseka, predvsem pa učence in dijake na šolah , prosimo , da naro- čnino za Presek poravnajo vsaj do konca koledarskega leta. Do takrat bodo izšle že tri številke, s tem pa tudi že nad polovica celotnega obsega lista za mla- de matematike, fizike, astronome ter računalnikarje.S pravočasnim nakazilom naročnine boste omogočili redno izhajanje vašega lista in se izognili dvakratne- mu pobiranju naročnine. Upravni odbor Kom isije za tisk pri Društvu matemati- kov , fizikov in astronomov SRS se je kljub priporočilu odločil, da letos še ne bo sprejel dvojne cene za Presek, kar bi pomenilo podražitev že v drugem pol- letju. Po večletnih izkušnjah upamo, da bodo naročniki tudi v prihodnje redno plačevali svoje obveznosti. Ker ob koncu septembra že oddajamo rokopis druge številke in določamo naklado za tiskarno, bomo morali število poslanih, pa čeprav nepotrjenih izvo- dov upoštevati kot dokončno naročilo. Zato bomo šolam po 1.1. 1987 poslali račun za celoletno naročnino vseh poslanih in neplačanih izvodov. Novi naročniki Preseka lahko naročijo tudi večino starejših številk prvih dvanajstih letnikov. Zadnjega, 13 . letnika pa imamo na zalogi še več sto kompletov. Edvard Kramar, Ciril Velkovrh NAROCILNICA KOMISIJA ZA TISK DMFA SRS 61111 Ljubljana, Jadranska c. 19 p.p, 64, tel. št . (061) 265-061 Za šolsko leto 1986/87 naročamo .oo . mlade matematike, fizike in astronome. Naslov : Šola: . izvodov PRESEKA - lista za Priimek in ime: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . Naslov (ulica, h išna številka , št evi lka pošte in kraj) Naročnino bomo poravnali do konca ko ledarskega leta. Datum 2 Žig in podpis PRE S E K - list za mlade matematike, fizike in astronome 14 (1986/87) številka 1, strani od 1 do 64 VSEBINA UVODNIK MATEMATIKA RAČUNALNiŠTVO ASTRONOMIJA NALOGE RAZVEDRILO NOVE KNJIGE FIZIKA MATEMATIKA NOVICE NA OVITKU (Edvard Kramar, Ciril Velkovrh) • . . . • • . . • • . . . . . • . 1 Ulomki s števcem 1 (Ivan Vidav) ..•.........• •.. 4 Pitagora in njegova šola (Danijel Bezek! . .•••. ••. ••. 8 Obrestno obrestni račun (Jože Andrej Čibej, Ciril Velkovrh! . . . . . . . • . • .. 12 Barvanje likov (Marjan Bradeško, foto Marjan Smerke) . . . . .. . . • . . . . . .• . . • .• 1,19 Zvezda, ki mrka (Marijan Prosen! ... ....•..•. ..• 25 Naloge iz matematike za učence 6., 7. in 8. razreda - rešitve str . 44 (Pavle Zajc) . ..• •....• 28 Naloge mladim Vegovcem. Nekaj za kratek čas - rešitve str . 47,48 (Učitelji mate- matike in fizike občine Slovenske Konjice! ..•. 30,31 KRIŽANKA Slikovna: Novi častni člani društva (Pavle Gregorc) .........•.......•.... 32 Številska (Jolanda Babič) . . • . . . . . • • • . . • . •. 34 PREMISLI IN REŠi Otok zakladov - rešitev iz P-XIII /3 (Peter Petek, Matjaž Željko) . . . ••. . . • .• . • . . 36 Kaj izpiše naslednji program (Sandi Klavžar) • • . . •• 40 BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES Kratkočasnevžigalice - rešitev str. III (Roman Rojko) .. .... ..•. .• . .••...• ... II Karikature (Said Bešlagič) •... •.....••.. 11,27 Ribiča sepogovarjata. Še nekaj ribiških - rešitev str. 48 (Jože Ko tnik) .•.. •.. •..• , 38,39 Reši in premisli - rešitev str. 48 (M.Štalec) . • • • . .. 39 Štiri zgodbe o verjetnosti (KARAS) • . • . . • . . • • . 40 Kralj Jurij III in zvezde (izbrala Dušica Boben) • . • .• 57 Dve števili, ki nista hkrati nič (Izidor Hafner) .•• .. 58 BISTROVIDEC - An Ban (Vladimir Batagelj) • . • • • • •. 41 Programski jezik pascal (Marko Petkovšek) •.••.... " 42 Učbeniki in priročniki za osnovno in srednjo šolo (Ciril Velkovrh) ..•..••..•..•.•.• .. 43 Tomografija s pozitronskimi sevaici (Aleš Stanovnik, Marko Starič ) . . • • . . . • • • . • . •• IV, 49 Jensenava neenakost (Peter Anastasov, Mirko Dobovišek) ...•..••••.•.•... •. •. 54 Pisma bralcev (Dušica Boben) • . . ..•...•. .... 18,31 Profesor dr. Ivan Vidav v očeh študentov in v objektivu fotografa (Marta Majcenovič) 59 Presekavi računalniški programi (Matija Lokar) . . . . . • .. 62 Barvna računalniška grafika (glej č lanek str. 191 • .• . . . . •. I 3 ITI"--'-~l" ,,--'1/"," 1CI" I"", ULOMKI S ŠTEVCEM 1 Vsako racionalno število r se da zapisati v obliki ulomka r = alb , kjer sta ain b celi števili. Kakor vemo, je takih zapisov celo nešteto . Če je r pozitiven, smemo vzeti, da sta števec a in imenovalec b naravni števili. Včasih so imeli za ulomek samo tak ulomek, ki ima števec', np r. '12, , /3, , /7 so ulomki. Druga pozitivna racionaina števila pa so izrazili z vsoto ulomkov s števcem " npr. ~ =-1_+ _ , + _,_ 4 4 4 4 Na desn i imajo vsi ulomki isti imenovalec. Pišemo pa lahko tudi takole: -l- = _,_+_, 4 2 4 Imenovaica na desni sta Zdaj razli čna. Podobno je -2=_'_+_' =_, +_,_ 3 3 3 2 6 2/3 se da izraziti tudi takole: -.1... = _,_ + _, +_, 3 3 4 '2 Tudi tu so vsi imenovaici na desni med seboj različni. Naravno se zda j vsiljuje tole vprašanje: (A) Ali se da vsako pozitivno racionalno število zapisati kot vsota ulom- kov, ki imajo števec 1, imenovaici pa so med seboj različni? Ulomke s števcem , zapišimo lepo po vrst i (, ) , " 2'3'4'5" " V tem zaporedju se ulomki man jšajo in postanejo sčasoma poljubno majhni. Racio nalno število , ki je vsota ulomkov s števcem , in različnimi imenovalci , pr i čemer noben imenovalec ni večj i od n , je manjše ali kvečjemu enako številu 4 (2) 1 1 1S =-+-+ +-n 2 3 ... n Število sn je vsota prvih n ulomkov zaporedja (1). Če večamo n, S6 vsota sn ve- ča, njeni sumandi pa postajajo vse manjši. Zato je umestno tole vprašanje: (B) Ali je vsota sn poljubno velika, če je n dovolj velik? Z drugimi besedami povedano: Ali je vsota dovolj velikaga števila ulomkov zaporedja (1) večja od 10, ali celo večja od 10001 Odgovor na vprašanje (B) je pritrdilen. Vsota sn je poljubno velika, če je le n dovolj velik. Torej dobimo tako velike vsote, kakor želimo, če le seštejemo dovolj členov iz (1). Tega dejstva tu ne bomo dokazovali. Hitro pa se s poskusi prepričamo, da se vsote sn zelo počasi večajo. Če bi npr. hoteli dobiti vsoto, ki je večja od 10, bi morali sešteti okoli 10000 ulomkov iz (1)! Pozitivni odgovor na vprašanje (B) še ne pomeni, da je tudi odgovor na vprašanje (A) pozitiven. Res je sicer, da s seštevanjem ulomkov zaporedja (1) dobimo poljubno velike vsote. Ne vemo pa še, ali dobimo za vsoto vsako pozi- tivno racionalno število. Pa si oglejmo metodo , s katero bi izrazili pozitivno racionalno število r kot vsoto ulomkov s števcem 1 in z različnimi imenovalci. Odštejmo od r najprej prvi ulomek zaporedja (1 ) , Nato odštejmo od razl ike r - 112 drugi ulomek 1/3. Tako nadaljujmo. Ker dobimo s seštevanjem ulomkov zaporedja (1) polju- bno velike vsote, se odštevanje po nekaj korakih gotovo konča. Kdaj se konča? Dvoje je mogoče: Ali pridemo z odštevanjem do razlike Oali pa dobimo razliko rl, ki je manjša od prvega ulomka v vrsti (1), ki ga nismo še odšteli. V prvem primeru smo nalogo rešili: števi lo r smo izrazili kot vsoto zaporednih ulomkov iz (1). V drugem primeru odštevanje nadaljujemo. V zaporedju (1) poiščemo prvi ulomek, ki je manjši od zadnje razlike rl ' Tega spet odštejemo od rl in ta- ko nadaljujemo, dokler ne dobimo razlike O. Vzemimo za zgled število r = 21 /20. Najprej odštejemo 112 11. __1_=..!.! 20 2 20 Nato odštejemo 1/3 Dobljena razlika 13/60 je manjša od naslednjega ulomka 1/4. Prvi ulomek v za- poredju (1). ki je manjši od 13/60,je 115. Odštejrno -ga 5 Q __1_=_1 60 5 60 Razlika je ulomek s števcem 1. Zato smo postopek končali in dobili _21 = _1_+ _1_+ _1_ + _1_ 20 2 3 5 60 s to metodo naj skuša bralec sam izraziti število 2 kot vsoto ulomkov s števcem 1 in različnimi imenovaici. Doslej smo tiho privzeli, da je dano število r večje od 1/2. Če je r < 1/2, odštejemo od r prvi ulomek iz (1), ki je manjši od r. Potem z odštevanjem na- daljujemo kakor prej . Seveda se zastavlja vprašanje, ali je naša metoda pri vsakem pozitivnem ra- cionalnem številu r uspešna. Poskusi pri večjih r pokažejo , da se števc i v razl i- kah nekaj časa večajo. Kljub temu pa nas postopek v vsakem primeru privede do cilja. Odgovor na vprašanje (A) je namreč pritrdilen, ker velja izrek: Vsako pozitivno racionalno število se da zapisati kot vsota ulomkov s štev- cem 1 in med seboj različnimi imenovalci. Dokazali bomo ta izrek na koncu. Izrek zagotavlja, da se da vsako pozitivno racionalno število zapisati na opi- sani nač in. Toda pri nekoliko večjem r je število sumandov izredno vel iko . Pri zapisu števila r = 100 je npr . število sumandov tako veliko, da rač u na verjetno ne bi zmogli niti z največjim računalnikom. Pa tudi pap irja za zapis bi nam zmanjkalo. Število sumandov se namreč izraža s številko, ki ima okoli 40 cifer. Z opisano metodo izrazimo vsako pozitivno racionalno število tudi kot vsoto ulomkov s števcem 1, kjer so vsi imenovaici med seboj različni in vsi večji od naprej danega števila m. Namesto z 1/2 začnemo v tem primeru odštevati z ulomkom 1/(m+1). Kot zgled zapišimo 1 kot vsoto ulomkov, kjer so vsi ime- nova Ici večji od 2: 1=_1 +_1_+_1 +_1_+_1_ 3 4 5 6 20 Bralec pa naj sam izrazi število 1 kot vsoto ulomkov, kjer so vsi imenovaici več­ ji od 3 oziroma večji od 4! Dokaz izreka. Po opisani metodi odštevamo od danega števila r zaporedne ulomke iz (1) tako dolgo , dokler ne pridemo do razlike - imenujmo jo rl, ki je manjša od naslednjega ulomka v (1). Razlika rl je seveda racionalno število. Naj bo npr. rl =al/bl, kjer sta al in bl naravni števili. Pojdimo zdaj v zapo- 6 • redju (1) do prvega ulomka, ki je manjši ali enak številu 'l. Denimo, da je ta ulomek 11n. Prejšnji ulomek 1/(n-1) pa je še večji od 'l' Imamo torej tale vrstni red: (3) _ _1 ::::::_al. al < 1"'" In-·-- n bl bl n -1 Iz prve neenačbe dobimo bl O, P > O, k - 1 > O in k > 1, lahko obe strani enačbe kraj - šamo z D, k 5 , (k - 1) in (kS - 1) t er dobimo kar pa ni možno. 16 (2) Kolikšna je dejanska vrednost odplačanega denarja v primerjavi z višino posojila, če upoštevaš ,da sevrednost zmanjšuje z inflacijo, ki je, recimo, vsa leta odplačevanja enaka 80%? Kako se spreminja vrednost denarja pri inflaciji, si oglejmo, kar bo lažje, pri 100%? To pomeni, da bo današnji znesek 200 .- din čez leto dni vreden le še 100.- din. Če zaznamujemo inflacijsko stopnjo zr = = 100 %, je inflacijski faktor' = 1 + r/100 = 2. Današnjo vrednost zneska ao dobimo tako, da vrednost čez eno leto al pomnožimo z inflacijskim faktorjem, kar lahko zapišemo tudi obratno (13) Če upoštevamo, da z enim letom znesek ne samo izgubi na vrednosti, pač pa tudi pridobi zaradi obresti, moramo ta znesek pomnožiti še z obrestovalnim faktorjem k . Obrazec 1 k al = ao . -,- . k = ao . -,- lahko zapišemo tudi takole (14) 1+p 1 + r k". kJerJe m =-,- =--:::~-- (15) Vsi drugi obrazci z upoštevanjem inflacije so enaki obrazcem za obrestno obre - stni račun, le da je obrestoval ni faktor zapisan malo bolj komplicirano: m" -1 Gn = Gim" in An = a----m -1 (3) Ali se lahko zgodi, da bo pri posojilu na n let mesečni obrok višji od celotnega posojila? Kaj hitro lahko opazimo, da so lahko obroki (ne le me- sečni) večji od celotnega posojila. V tem primeru je vrednost ulomka a O s» (k - 1) >1 kar smo dobili iz formule (5). Oglejmo si to neenačbo za različna obdobja. a) Za enoletna posojila (n = 1) se neenačba > 1 glasi ki . (ki - 1) ki - 1 >1 17 ---- > 1 kjer je k 1 več od 1, p pa več od nič . To pa pomeni, da posojilo ne sme biti ne- obrestovana, saj moramo na koncu prvega leta vrniti že vso glavnico pa še tako majhne obresti, samo da so . bl Za dvoletno posojilo (n = 2) se neenačba glasi k 2 2 • (k 2- 1) k 2 2 (k 2 - 1) k 2 2 - 1 (k2 + 1).(k2 - 1) k 2 2 >k2+1 k 2 2-k 2 -1 >0 Srednješolci, ki poznajo reševanje kvadratnih enačb, lahko ugotovijo , da ta ne- enačba velja za k 2 > 1,6180339 ali da je p > 61,8%. Za ilustracijo in lažje razu- mevanje vzemimo, da je obrestna mera p = 70%. Glavnica 100.- d in do konca prvega leta naraste na 170.- din . Ker vrnemo najmanjšo anuiteto , ki ustreza pogojem naloge (v višini prvotne glavnice) , je ostanek dolga še 70.- din. Ta znesek pa se v drugem letu še enkrat obrestuje za 49.- din, kar znese skupaj 119.- din dolga. To pa res že pomeni, da moramo vrniti vsako leto več , kot je višina začetne glavnice. c) Ker so neenačbe višje stopnje za veliko večino učencev v osnovnih šolah mnogo pretežke, naj zanje velja le sklepanje, da je pri posojilih na več let pri zelo visoki obrestni meri veeina mož- no doseči, da je vsakokratna anuiteta večja od prvotne glavnice. Jože Andrej Čibej, Ciril Velkovrh PISMA BRALCEV Jovanovič Bojan, učenec 6 . razreda osnovne šole Ivan Kovačič Efenka iz Celja, nam je prav tako poslal nekaj nalog, ki pa so žal za bralce Preseka pre- lahke. Kljub temu pa za razvedrilo objavljamo prirejeno uganko: JZ-(B+C)=? Bojanu bomo, kot prvemu pošiljatelju svojih nalog , poslali knj ižno nagrado. Lep pozdrav ' vsem in veliko veselja, dobre volje in lep ih ocen v novem šolskem letu! 18 Dor-ilNO' N"LT' 'il'" I _ _ 1 II IL 1_' 11-' _ BARVANJE LIKOV Z računalnikom znamo narisati pike, črte, kroge in z njihovo pomočjo tudi druge like, toda znotraj so vsi prazni , to rej v barvi ozadja. Mi pa bi radi take li- ke lepo pobarvali. Recimo krog z rdečo, mnogokotnik z modro in tako naprej . . Skratka, malo bolj pisan zaslon si želimo. Če naš računalnik premore ukaz FILL (zapolni) , potem ni nobenega pro - blema. Sicer pa se moramo potruditi sami. Seveda se da napisati programe za barvanje tudi v BASIC-u, vendar so prav obupno počasni. Vsi resni programi za barvanje so napisani v strojnih jezikih . Nas pa tokrat bolj zanimajo algoritmi, po katerih delajo programi za bar- vanje. Natančneje si bomo ogledali tri. Pa začnimo! Na zaslonu imejmo neki lik, omejen z neko zvezno krivuljo. Najprej moramo določiti notranjost lika. Če imamo podatke o robovih lika nekje v pomnilniku, to ne bo težko (algoritem je opisan na koncu), sicer pa po- damo koordinati neke točke, ki po naši oceni leži v notranjosti našega lika. Če sepri oceni zmotimo, sebo barva razli la kam drugam. Najprej si oglejmo možnost, kjer razen bitne slike v grafičnem pomnilniku nimamo drugih podatkov o sliki na zaslonu. Postavimo se nekam v notranjost lika. Če je točka še nepobarvana, jo pobarvajmo, potem pa ponovimo postopek še na njenih sosedah : zgornji, spodnji, levi in desni točki. To ponavljamo, do- kler je še kakšna nepobarvana točka v notranjosti lika. V programskem jezi ku pascal bi bil ustrezen podprogram videt i takle: PROCEDURE Poplavi (x, y : integer); BEGIN IF NOT pobarvana (x, y) T HEN BEGIN Pobarvaj (x, y); Poplavi (x + 1, y) ; Poplavi (x - 1, y); Poplavi (x, y + 1); Poplavi (x, y - 1) END END; V BASIC-u poz namo za funkcijo 'pobarvana' ukaz POINT (x, v). 'Pobar- 19 vaj' pa bi nadomestili s PLOT (x, y). Gornji podprogram je rekurziven (kliče sam sebe), zato ga ne moremo kar naravnost prepisati v BASIC. Vsi rekurzivni programi rabijo prostor za shranjevanje nekaterih podatkov - to je sklad. Po- plavni algoritem je zelo potraten s prostorom , saj vsakič na sklad shrani koordi- nate štirih točk, pobarva pa le eno. Sklad v začetku hitro narašča, ko so še vse točke nepobarvane, potem pa se počasi umiri in začne upadati. Če je točka na vrhu sklada že pobarvana, jo namreč le odstranimo in pogledamo , če je še kaj na skladu, vse dokler ni prazen. Poplavni algoritem je sicer preprost, ni pa ravno učinkovit, zato bodi dovolj o njem. Še na nekaj je treba opozoriti, preden si ogledamo kak boljši algoritem. Dosedaj smo govorili le o pobarvani in nepobarvani točki, nič pa o barvah sa- mih. Na zaslonu imamo , če le imamo barvni zaslon, lahko narisane like v raz- ličnih barvah. Meje likov se lahko med seboj križajo. Odločimo se pobarvati enega od likov - vedeti moramo, s kakšno barvo ga hočemo zapolniti in s kakšno barvo je pravzaprav omejen . V grafičnem pomnilniku imamo podatke o barvi vsake točke in to je vse, kar lahko pri našem barvanju upoštevamo. Zato rabimo pri ukazu za barvanje poleg začetne točke še dva podatka: barvo, s ka- tero bomo pobarvali območje, in barvo, s katero je območje omejeno. Pri več­ jih računalnikih imamo lahko v pomnilniku tudi podatke o samih robovih ozi- roma ogliščih likov. V takem primeru pridejo v poštev algoritmi, kjer je poleg številke lika edini podatek barva, s katero bomo barvali. Poglejmo si sedaj kak boljši algoritem. Med take spada algoritem, ki neko območje zaslona barva po vodoravnih vrsticah (segmentih). Je zelo preprost, če imamo le črno-beli svet in omejene like, malo več dela pa zahteva v barvni gra- fiki. Rešiti je treba tudi problem 'odprtih likov', torej tistih zneskienjenim robom, kjer barva uide iz lika in zalije cel zaslon. Obstajati mora tudi možnost barvanja zunanjosti lika. Mi v vse podrobnosti ne bomo silili, oglejmo si le osnovno idejo. Začnimo v točki nekje v notranjosti lika. Pobarvajmo vrstico, v kateri je točka, potem pa rekurzivno pobarvajmo še zgornjo in spodnjo vrstico. To počnirno, dokler ni vse pobarvano. Ker BASIC in rekurzija nista ravno največja prijatelja, si poglejmo izvedbo, kjer bomo spet imeli delspomnilnika (sklad) rezerviran za shranjevanje koordinat točk vrstic, ki jih še moramo pobarvati. Vsak nepobarvan odsek (segment) vrstice predstavimo z eno točko. Koordina- te zaslona si mislimo tako, da nam y predstavlja številko vrstice od vrha zaslo- na navzdol, x pa številko stolpca od leve proti desni. Algoritem je takle: (1) preberi koordinate začetne točke, želeno barvo območja in barvo, s katero je lik omejen - koordinati daj na sklad 20 I (2) ČE sklad prazen POTEM KONČAJ(3) vzemi toč ko Ttx , y) z vrha sklada ČE točka T pobarvana POTEM POJDI na (2) (4) xleft = x, xright = x (5) ČE točka T(xleft-l, y) v barvi roba POTEM POJOI na (6) SICER xleft=xleft- l, POJDI na (5) (6) ČE točka T( xright+ l , y) v barvi roba POTEM POJDI na (7) SICER xright = xr ight + 1, POJOI na (6) (7) nariši vodoravno č rto od T1 (xleft, y) do T2(xright, y) (8) x = x left, y = y - 1, druga = O (9) PONAVLJAJ ČE x > xright IZSTOPI SICER ČE točka T l x, y) pobarvana (območje, rob) POTEM x = x + 1 SICER PONAVLJAJ x= x +l ČE točka T lx, y) v barvi roba POTEM x = x - 1, IZSTOPI DO SEM točko Ttx , y) daj na sklad DO SEM (10) ČE druga = O POTEM druga = 1, x = xleft, y = Y + 2 POJDI na (9) SICER POJDI na (2) Če gre za barve, potem pri pregledovanju vrstice preverjamo, katera točka je v barvi roba, ki omejuje območje, in katera ni v barvi , s katero barvamo ob- močje. Algoritem dela za kakršnekoli like (konveksne in konkavne) , ki so ome- jeni z zvezno krivuljo. V notranjosti območja naj ne bi bilo točk v barvi, s kate- ro barvamo, čeprav motijo samo nekatere točke (ob desni meji). Opisovanje podrobnosti bi zahtevalo več prostora, zato poglejmo le še, kaj dela program 1 v FEBASIC-u (mikroračunalnik DIALOG). Prav počasi pobarva kakršnekoli zaprte like (ne testira robov zaslona), ki ustrezajo zgoraj opisanim omejitvam. Predelava v kakšen drug BASIC ne bo težka; namesto SET lahko vzamemo PLOT, DRAW na nekaterih računalnikih r iše črto relat ivno od t renut kne točke, funkcijo , ki vrne barvo točke (POINT), pa tud i najdemo sem ter tja . Vendar je program le ilustracija algoritma in je za kakršnokoli resno uporabo neuporaben. Rekurzivno obliko pa pokaže program 2 v pascalu. 21 10 DIM Z(100,2) : REM SKLAD 20 INPUT "Začetna točka X = ": XZAC 30 INPUT "Začetna točka V="; VZAC 40 INPUT "Barva območja BARO = ": BARO 50 INPUT "Območjeomejeno z barvo BARR = " : BARR 60 CLS : S = 1 : ZIS , 1) = XZAC : ZIS, 2) = VZAC 70 IF S = O THEN GOTO 220 : REM PRAZEN SKLAD 80 REM ELSE 81 X=Z(S, 1) :V=Z(S,2):S=S-1: IF POINT (V, X) = BARO THEN GOTO 70 : REM NASLEDNJA TOČKA 90 REM ELSE 91 XB = X : XE = X 100 IF POINT (V, XB-ll = BARR THEN GOTO 120 110 REM ELSE 111 XB = XB-l : GOTO 100: REM LEVO : REM 120 IF POINT (V , XE+l) = BARR THEN GOTO 140 130 REM ELSE 131 XE = XE+l : GOTO 120 : REM DESNO : REM 140 SETV, XB, BARO : DRAWV , XE, BARO : X = XB V = V - 1 : DRUGA = O : REM GORNJA VRSTICA 150 IF X > XE THEN GOTO 200: REM VRSTICA PREGLEDANA 160 REM ELSE 16 1 B = POINT (V, X) : IF B = BARO OR B = BARR THEN GOTO 190 : TOCKA ZE POBARVANA 170 REM ELSE 171 X=X+l : IFNOT POINT (V, X) = BARR THEN GOTO 170 : DESNO PO NEPOBARVAN IH 180 REM ELSE 18 1 X=X-l:S=S +l: ZIS, 1) = X : ZIS, 2) = V : REM TOCKA NA SKLAD : REM : REM 190 X=X +1 :GOTO 150 200 IF DRUGA = 1 THEN GOTO 70: OBE VRSTICI PREGLEDANI 22 Program 1 I 210 REM ELSE211 DRUGA = 1 : X = XB: y = y + 2 : GOTO 150: REM SPODNJA VRSTICA : REM: REM: REM: REM 220 END Program 2 PROCEDURE Segm fill [xzac, vzac, baro, barr : integerl; VAR x, v, xleft, xright, b : integer; BEGIN IF NOT point (y, xl = baro THEN BEGIN xleft := x; xright := x; WHILE NOT po int tv. xleft-11 = barr DO xleft := xleft - 1; WHILE NOT point (y, xright+1) = barr DO xright := xright + 1; serlv, xleft, baro): draw(y, xright, baro}: y := y - 1; (* gornja vrstica * 1 x := xleft ; WHILE x < = xright DO BEGIN b := polntlv, xl ; IF NOT (b= baro OR b=barrl THEN BEGIN REPEAT x := x+1 UNTIL pointlv , x)=barr; x := x - 1;Segm-fill(x, y, baro , bard END; x := x + 1 END; y := y + 2; (* spodnja vrstica *) x := xleft; WH ILE x < = xright DO BEGIN b := point tv. xl; IF NOT (b= baro OR b=barrl THEN BEGIN REPEAT x := x + 1 UNTlL point(y ;xl=barr; x := x-1; Segm-fill(x , v, baro, bard END; x := x + 1 END END END; (* Segm-fill * ) 23 Sam algor item je do kaj hite r (imple ment iran seveda v primernem pro gram - skem jeziku) in tud i prostora ne porabi veliko , razen v izrojenih primerih. Za vse konveksne like hrani največ dve točki na skladu , kar je izred no malo. Tud i pri konkavni h ne rabi mnogo prostora , če liki niso ravno kakšn i nenavad ni la- birinti . x y 255.....--------....... Ome niti velja še en algoritem , ki se izogne težavam v zvezi s p ikami, po - sejanim i kje v notranjost i lika. Zahte- va, da imamo podatke o likih shranje- ne nekje v glavnem pomnilniku , in sicer podatke o robovih likov. Barva- mo tako, da za vsako piko v not ra- njost i področja počnemo naslednje: izberemo neko točko, ki zaneslj ivo leži izven področja , in jo povežemo z opazovano točko. Če je štev ilo pre- sečišč daljice , ki povezuje točki, in robov lika liho, potem točka leži v notranjosti in jo lahko pobarvamo . 255 o ····················· ····· ··· oOr--- - - - - - - - --., Slika 1 Algor item ima spet svoje te žave, ki jih povzročajo oglišča oziroma stič išča robov. To se najbolje vidi na sliki 1. Rešitev je v posebni obravnavi takih točk. Pogledamo robova, ki se stikata v tej točki. Če ležita oba na ist i strani točke, se šteje presečišče kot liho , sicer pa kot sodo število, torej se števi lo presečišč poveča za dve. Seveda ne preverjamo za vsako točko posebej, če je v območju lika ali ne, ampak se z vodoravno iskalno črto pomikamo od vrha do dna lika in na vsakem koraku naberemo odseke, ki jih je treba pobarvati. Postopek je preprostejši, če imamo robove urejene po y koord inatah . Kaj globlje pa se pri tem načinu ne bi spuščali. Vsaj na kratko smo pogledal i nekaj osnovnih idej, da boste vedeli, kaj vse se dogaja in na kaj vse je treba paziti, da potem lahko enostavno rečete FILL (zapolni) , PAINT (pobarvaj) ali kaj podobnega in dobite na zaslonu pobarvane kroge, kvadrate in druge like. Pa še en krat: če se boste zares lotili katerega od algoritmov, ga nikar ne pišite v BASIC-u , razen če boste barvali izredn o majhne like. Marjan Bradeško 24 ZVEZDA, KI MRKA Si že kdaj dalj časa pozorno opazoval kako zvezdo? Če ne, ti priporočam, da opazuješ zvezdo Algol, ki leži v ozvezdju Perzeja. Kako izslediš to zvezdo, ka- že slika 1. Opazuj Algol zaporedoma več jasnih večerov, vsak večer pa več ur ali pa, če zdr žiš, kar vso noč. V jesenskem času to ne bo težko , saj noči še niso pre- hladne , Algol pa je tudi s prostim očesom dobro vidna zvezda na jugovzhod- nem delu neba. Če si natančen in vztrajen, zapaziš, da Algolu tu pa tam oslabi sij. To ugotoviš tako, da sij Algola primerjaš s sijem okolnih zvezd, ki sija ne spreminjajo. Če ti to ne uspe, vzemi v roke Astronomske efemeride, ki izhaja- jo vsako leto pri Društvu matematikov, f izikov in astronomov SR Slovenije. • Slika 1. Skica vzhodnega dela neba, kot ga vidiš v jesenskih večerih. Vrisali smo značilne vesoljske objekte, ki jih lahko opazu ješ. M 45 - razsuta (odprta) zvezdna kopica Plejade (Gostosevci) v ozvezdju Bika; "Ha-Hi" - razsut a zvezdna kopica v Perzeju; M 15 - kroglasta zvezdna kopica v Pegazu; M 31 - galaksija v ozvezdju Andromede; f3 Perzeja - Algol, spremenljivka; 'YAnd romede - Alamak, dvojna zvezda. Pri opazovanju uporabljaš daljnogled . 25 Tam dobiš podatk e, kdaj ima Algol "minimum sija", to je, kdaj najšibkeje sije. Algol začneš opazovat i nek aj ur pred minimumom sija in padec sija te zvezde boš zagotovo zaznal. To spremembo sija seveda "odkriješ" s prostim očesom, z daljnogledom , ki ga postaviš na trdno stojalo , pa še bolje. Nadalje lahko ugotoviš, da približno vsake tri dni Algolu močneje oslabi sij. Zakaj Algol "mežika" , je bila do lgo časa velika uganka . Danes pa to ni težko pojasnit i. Algol namreč ni navadna, enojna zvezda. Algol je dvoj na zvez- da. Sestavljata jo zvezdi, ki se gibljeta druga okrog druge v ravnini , ki gre skoz i Zemljo . Za opazovalca na Zemlji se tako zvezdi periodično prekrivata . Če opazujemo t ako dvojno zvezdo , kot je na primer Algol , lahko zaznamo spre - minjanje - nihanje njenega sija. No, in Algol zato v siju pomrkuje - " mežika" (slika 2). Zvezdam, ki se jim sprem inja sij, rečemo spremenljive zvezde ali kratko spremenlj i vke. Odkrili so že več kot 25 tisoč spremenljivk, ki na različne na- o 10 2030 40 506U7 0 - ' f- e I I I 26 A A ure Sl ika 2. Značilen podatek za vsako spre- menl jivko j e graf (krivulja) sija . Ta kaže, kako se sij spremenljivke spremin ja s ča­ som. Dobimo ga tako, da merimo sij zvez- de. Na abscisno os nanašamo čas t opazo- vanja, na ord inatno os pa izmerjeni sij m zvezde. Vsakemu opazovanju ustreza v omenjenem koord inatnem sistemu ena točka T(tPlI. Ko vse točke povežemo, do - bim o graf sija. Včasih ugotove graf sija ka- ke spremen ljivke šele po več letih trdega nočnega dela , včasih pa že veni noči. Gornji del slike kaže graf sprem injanja sija za Algo l, spodnj i pa zgradbo Algola. A lgol je tesna dvojna zvezda. (Zvezd i , k i ga sestavljata , sta približno trikrat ve č] i od našega sonca.) Razmik med zvezdama je torej zelo majhen, približno eno desetin ko razdalje med Zemljo in Soncem. Algol je okoli sto svetlobnih let od nas. S te raz- dalje zvezdi ne razločimo nit i z najmo- čnej šim daljnogledom. Zaznavamo le njun skupni sij (svetlobo), Ko pri kroženju manj svetla, a večj a zvezda prekrije svetlej šo, a manj šo zvezdo (ko pride v lego A med Zeml jo in svetlejšo zvezdo) , skupn i sij močno pade. To je minimum sija - m rk , ki nastop i pri b li žno vsake tri dni in traja okoli 10 u r. Ko pa svetlej ša zvezda pre- k rij e manj svetlo (lega C) , sprejemamo praktično le svetlobo svetlejše zvezde - skup ni sij t ako rahlo oslab i, da tega ti ne moreš ugotoviti. Ugotav lj aš le spremembo sija ob minimumu. 1 čine in zaradi različnih vzrokov spreminjajo sij. Samo pri nekaterih spreme- nljivkah je vzrok mežikanja prekrivanje dveh zvezd, zato pravimo prekriva/ne ali eklipsne (eclipse - angl. mrk) spremenljivke. Znanih je nekaj tisoč prekri- valnih spremenljivk, ki jih lahko združimo v več tipov. Zgradba nekaterih pre- krivalnih spremenljivk je mnogo bolj zamotana, kot je Algolova . Nekatere dvojne zvezde, ki se razkrivajo kot eklipsne spremenljivke, so dosti večje od velikosti zvezd in medsebojnega razmika zvezd kot pri Algolu, druge pa so tudi manjše velikosti, tako da se periode spreminjanja sija gibljejo od nekaj dni do okoli ene ure. Nekatere redke izjeme pa imajo tudi precej daljše periode, ki jih štejemo v letih. Marijan Prosen 27 1\10 1 l":C .II lL._'LJL . Naloge iz matematike za učence 6., 7. in S.r 6 . razred 1. Naslednjo vsoto ulomkov izračunaj na naje nostavnejši način ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 --+--+-- +--+--+--+--+--+-- 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 2. Produkt št irih zaporednih naravnih števil je 1680. Katera so ta števila? 3. Reši enačbo 7 23 1 (5 - - 4 -);(1,12 .1 -) O? b) Določi vsa števila e , za katera je vrednost izraza a + ~ celo število .a + cl Naj bo a = O, 1,2,3, ... in a + 2 1 q = -2a--:2----+- 3-a--=+-6--' Pokaži , da je 0 < q .,;;3' 2. Pokaži, da vrednost izr aza (3x - 2)(4 - x ) + (x - 3)(3x - 5) ni od visna od spremenljivke x. 28 I 3. Žoga ob padcu na tla odskoči za 2/3 višine, s katere pade. Prvič je žogapadla z višine 8 ,1 m. Koliko odskokov žoge je preseglo 1,5 m? 4. Diagonali trapeza rner ita 10 cm in se sekata pod pravim kotom. Kolika je ploščina trapeza? 5. Katerega leta so rojeni ljudje, ki bodo leta 1987 stari toliko let, kot je vsota cifer let nice njihovega rojstva? 8. razred 1. Za števil a a, b, c in x , y, z veJja a :x=b:y=c:z Dokaži, da je (a + b + c) : (x + y + z) = a : x 2. Kolesar pelje po klancu navzgor s hitrostjo 10 km/h, po klancu navzdol pa 15 km/h. Razlika časov gibanja navzgor in navzdol je 12 minut. Kolikšna je do lžina poti? 3. Dana je funkcija y = mx - (3m+ 4), kjer je mrešitev enačbe m+l 2m-3 m-2 -5- + 15 + 1 = m - --6- 4. Ena kokrakem trikotniku MBC z osnovnico c in kotom "4BCA = 30° očr­ taj krog . Izračunaj: a) dolžino loka nad krakom trikotnika, b) ploščino večjega krožnega odseka. 5 . Trije enaki kvadrati s stranico a imajo skupno oglišče in koti med kvadrati so enaki. Če zvežerno ogli- šča kvad ratov, kot kaže slika, dobi- mo trikotnik . Kolika je njegova ploš- č ina? 6 . Polkrogli spoimerom r očrtamo pravilno štiristranično piramido. Kot med ravnino, v kateri leži osnovna ploskev piramide, in višino stanske ploskve meri 60 ° . Izračunaj površino in prostornino piramide. Pavle Zajc 29 NALOGE MLADIM VEGOVCEM 6. razred 1. Poišči ulome k med 4 / 13 in 5/13 , ki ima imenovalec 20 . 2. Dve prem ici se sekata . Vsota treh od štiri h nastalih kotov je 212°30' . Dolo- či vsakega od nastalih kotov. 3 . Na o beh st raneh 200 m dolgega drevoreda so zasajena d revesa : na eni stran i so 5,25 m, na d rugi pa 4 ,95 m na raze n . Kate ri drevesi na nasp rotnih straneh (razen prvih) stoj ita natanko nasproti? 7. razred 1. Deljenec se je povečal za 50%, del itelj pa za 25 %. Kako se je p ri tem sprem e- nil ko l ični k? 2. Premici a in b se sekata v točki A pod kotom 30°. Na premici b je točka B, tako da je AB = 4 cm. a) Kon strui raj krožnico, ki gre skoz i točko B in se premice a do t ika v točk i A. b) Izrač u n aj obseg in plošč ino kroga, ki ga do loča ko nstrui rana krožnica. 3. Izraz a-2 - 4x ima vrednost 1 za x = 1/2. Določ i vred nost za a. 2 4. Načrtaj graf funkcije y = 2x - 3. Odgovori: a) Za katero vrednost spremenljivke x ima ta funkcija vrednost O? bl Za katero vrednost spremen ljivke x je ta funkcija pozitivna? c) Za katero vrednost spremenljivke x je ta funkci ja negativna? 5. Zelenjavni vrt pravokotne oblike z dolžino 12 m in šir ino 8 m bomo pre- oblikovali ta ko , da bomo dolžino povečal i za dve t ret j ini, širino pa za 75% prejšnjih razsežnosti . Koliko bo stala žica za novo og rajo , če je za staro stala 6000 din , pa se je cena žice medt em zvišala za 40%? 8. razred 1. V nek i zbirki nalog se nahaja enačba: 3 .(2x + ...) (3x + 2) - 2.(3x + 1)2 = 70 v kateri je pri tipkanju s l učaj no izpuščen drug i seštevanec v prvem oklepaju. V rešitvah nalog je za to enačbo naved eno x =2. Določi manjkajoči člen. 2. Če stranico kvadrata povečamo za 2 cm, se ploščina poveča za 24 cm ", Določi dolžino stranice prvotnega kvadrata. 30 NEKAJ ZA KRATEK ČAS 1. Preberi naslednji pogovor: A: Koliko je star tvoj vnuk, babica? B: Moj vnuk ima ravno toliko mesecev kot jaz let. A: Koliko let pa imaš ti? B: Skupaj z vnukom jih imava 65. Koliko let ima moj vnuk, izračunaj sam! Koliko let ima torej vnuk in koliko babica? 2. Vsaka od naslednjih štirih deklet zna enega od tujih jezikov: italijansko , nemško, francosko in angleško, ki pa ga druge ne znajo , in igra na en instru- ment, na katerega ne znajo igrati druga tri dekleta. Ana igra na klavir in ne zna italijansko. Barbara igra na kitaro in ne zna nemško. Cvetka ne igra na harmoniko . Darja ne igra na viol ino . Tista, ki zna francosko, igra na violino . Tista, ki igra na kitaro , ne zna italijansko . Ugotovi za vsako od štirih deklet, kateri instrument igra in kateri tuj jezik zna! Učitelji matematike in fizike občine Slovenske Konjice Pisma bralcev Učitelji matematike in fizike občine Slovenske Konjice so nam ponovno pisali. Posla li so nam svoje naloge, ki jih objavljamo na strani 30. V pismu pa so še zap isali: "Pot rudili se bomo, da ob pri liki najdemo še kaj ustreznih nalog . Žel imo, da bi tud i drugi naši koleg i sodeloval i pri oblikovanju vaše in naše revije Pre- sek." Že lji se pridružujemo tud i mi, kolegom iz Slovenskih Konjic pa hvala za uspešno prebijanje ledu. Dušica Boben 31 SLIKOVNA KRIŽANKA x JUNA K IZ "PO D ZQ Ll AN SVOBO D. ILl N SONC EM " DEL VE JE STANE DOLANC REKA '-AA RE NAKANA '1 MAJO- RANTNA V RSTA TA BORI$t E \- E RBIJ LI STNAT O -- PRA LN IDREV O Ž AM ET OSEBA N A 2. SLI K I ~ I JE •.. M A KAR SK A K RA JV LOVEC NA OBt lN I OSEB NI AAS T LlNA RAKE VIRQVI- ZAIMEK PREOBJ EDA NA$ SK L AOT ICA (F RA N JA MO RSK I JEZ ERO V RAK DR ŽA VA SEV ERN I V ITALIJI POZ IT IVNA AF R IKI ELEKTRQDA. I S LOV. FIZ . 15. DA N PRII Y. R IM LJA N IH IN NAŠ 50- NAPLAČJ LO DEL AVEC .:» (JA NE Z ) G NUS DA NSKI SL OV . OTO K K UPO N '1 I ~ NARODNO GOR A VJ GLEDALI· V I ETNAMU N EM ŠK ISt E F ILOZOF (GEO RG ) \ TUREK IVI CA .\ SAWYER'1 ALFR ED INO BEL N EPR IC A - E FEKT. KO V A NQS T POS LE DI CA A KTIN IJ GOLOTA o ENO TA ZI\ L10 D EL OV ', NOVI v v v CASTNI CLANI DRUSTVA RAZI SKUJE JI H R ISA L Z BESED A - F IZ IK NA 1. S LI KI MI IZ A A - ... IN EDENMIHA Z ENA LAMBER- SESTA VI N A OD ŠT A L EC M iSEL GA R N A FT E e UTOV PESEM '..--- I..1 ~JOR DANI JE I I . )-- J~ILIRCI LA NT A N ..-----. OSEBA NA 2. SLIKI SESTA VLJA JAPONSKA MAM ICA OB LIKA ) .J BU DI ZMA I M EST O V BRANKO '1 AMER . MIKLAVC DUŠA DR ŽA V I REK A V UMR LE GA OHI O J . AFR IKI '( LETALO ! J '. , Ž . IME KR STA PRESEK DOLE NJ- SKA RE KA ENR ICO T A KSN A CA RUSO ZN AM KA ŠPO RT N I KLUB IZ AT A A MER IS. C E LOVCA M. IME RAS T LIN · KARADŽiČSK A BOD ICA J vz..20 . in 22.N A TR IJ Č R KA I SM ESN ICA 7 -- ST R IC ,/ ./ ŠTEVILSKA KRIŽANKA , / 1, ! / , 1 2 3 f] 4 5 6 7 f' f ' 1 f r ...., B f] 9 IJ 10 f] 11 f] 12 13 14 f] 15 16 17 IJ IJ 18 19 IJ 20 21 22 23 IJ 24 25 IJ 26 27 28 29 [J 30 Vodoravno: 1. Večja rešitev enačbe x 2 - 229 x' + 900 = O . 4. Število, katerega 25% je 1080. 8. Najmanjši skupni večkratnik štev il 28, 48 in168 . 9. Število 44402,spremenjeno iz petiškega v deset iški številski sestav. 10. Celi del stran ice a v t rikotn iku s podatki b = 5, c = 6V3,a = 1500 • 11. Nenegativna rešitev sistema lx, y) : xy+ x 2 = O xy+y2=4 12. Tangens kota pod katerim se sečeta premici 3x + y - 6 = O in x - y + 1=0. 34 .. - 3. Ničle polinoma x 4 - 6x3 + 13x 2 - 12x + 4 (od najmanjše do največje) 5. 23 2 , ' 7. Produkt rešitev enačbe V"X"+4 + .JX=1 = ..j5; 8. 3 zapisano v dvojiškem sistemu. !O. Stranica b in ve v trikotniku s podatki: a = 30° ,~= 45°, a = 2 Y2. ~1. Katero trimestno število se zmanjša za 720, če postaviš zadnjo cifro na prvo mesto? 24. Realna in imaginarna komponenta (1 - y3 il 6 26. Delitelji števila 32 od največjega do najmanjšega. 29. Asimptota in ničla funkcije (x - 3)/(2x) 30. Nadmorska višina vrha 40 m visoke antene na Kredarici. Navpično: I z, /: , I 1. Rešitev enačbe 4(x-2J: 10 = 8(x+5l :20 2. Minimum funkcije x 2 + 4x + 2315. 3. Produkt rešitev sistema: x + y + z = 58, 2x - y + 2z = 77, x + y - z =-4 4. Rešitev enačbe 2x.5Y.3Z = 2000 v celih številih . (najprej x, nato y in z), 5. x + y + u + v = 11 x+y+u-v=l x+y-u+v=7 x-y+u+v=9 I 6. 6 v trojiškem sistemu. / - ~ J /..2/3 J ~ r/ 7. Vrednost izraza (163/ 4 - 6 tt 5°). 27 na štiri decimalke. 13. Število diagonal 180-kotnika. .J •J ,.. _ I _ ,., ~ 14. Rob oktaedra, če je prostornina 3087 Y2. -7/ ...,.=- / = 16. 2177 v šestiškem sestavu. -' 19. Koordinate vektorja 3t- 26'~ če je -: = (5,3~,3) in b = (-112,(tf1,3.5) 22. Presečišča pravokotnice na premico 12x - 5y + 1 = O, ki gre skozi (36,-10) z x osjo in y osjo. 23. Metka in Janko bosta imela čez 10 let skupaj toliko let, kolikor jih bo ime- la Metka čez 23 let . Koliko let imata, če je bila Metka ob Jankovem roj- stvu stara 8 let? 25. Dolžina, širina in višina kvadra, ki ima za osnovno ploskev kvadrat, višina je za eno enoto daljša od osnovnega roba , površina kvadra pa je 112. 27. Pol ducata. 28 . (oos1200 -sin120o .tg1200 +cos6600) .10 / - f.i ',»> z: J Jolanda Babičl' / - ~l.i ;/ - ~ 2~ - ( 35 / ./ lf lt 1< 2- ) ~l L: J Otok zakladov - Rešitev s P-XIII/3 Dobili smo 35 pravilnih, a tudi 12 nepravilnih rešitev. Zaklad so našli: Kornelija BRELC iz Maribora, Sašo DOLENC iz Ljubljane, Polona GONTAREV iz Lju- bljane, Andrej GUŠTIN iz Ljubljane, Boštjan HAUPTMAN iz Šmartna pri liti- ji, Rudi JEZERNIK iz Solčave, Sašo JOVANOVIC iz Maribora, Katarina KEL- ŠiN iz Ljubljane, Martina KERLATEC iz Maribora, Andrej KNEZ iz Radeč, Rudi KOLMANiČ iz Ljubljane, Simon KOMPARA iz Podnanosa, Evgen KONUŠEK iz Šentvida pri Grobelnem, Željko KREPEK iz Maribora, Aleksan- der KRiŽ iz Šoštanja, Marko MAHNiČ in Goran GOLUBIC iz Portoroža, Dani- jel MAJCEN iz Celja, Danilo MAKUC iz Nove Gorice, Arnič MEHONIČ iz Škofje Loke, Robert MEOLlC iz Murske Sobote, Petra MODIC iz Cerknice, Andreja PERHAJ iz Velikih Lašč, Primož POČKAJ iz Maribora, Albin PO- LANC iz Mokronoga, Jasmina POLJAK iz Maribora, Ciril REKAR iz Kranja, Andreja RUPNIK iz Poljčan, Dejan SAJE iz Ljubljane, Jožica STERLE iz Sta- rega trga pri Ložu, Mitja ŠTERMAN iz Ajdovščine, Damjan TEPINA iz Kranja, Tadeja TROŠT iz Ljubljane, Aleš VAVPETiČ iz Domžal, Miha VERGELJ iz Lesc in NEZNANI bralec iz Ljubljane. Izžrebali smo Boštjana in dve Andreji. Poslali smo jim knjigo O.J. Struika, (ratka zgodovina ma tema tike iz zbirke Sigma. Zaklad leži seveda na obali v zalivu . To hitro ugotovimo , če si kjerkol i iz- rererno položaj vislic in postopamo, kot narekuje zapis na pe rgamentu (slika). Peter Petek Nalogo pa lahko rešimo tudi brez risanja . Postavimo koordinatni sistem tako, kot kaže slika 2, torej kaktus v izhodišče in palmo na os x v oddaljenost i ti, položaj vislic je označen z (x, y). Točki, ki jih dobimo s sprehajanjem od vislic do kaktusa oziroma palme in potem pravo kotno , označimo z A in B. y V(X,y) A K(O ,O) d B x B Opazimo, da sta trikotnka KAA' in KVV' ter PVV' in PBB' paroma skladna. Zato je AA' = y in A'K = x kar pove koordinati točke A{-y, x). Podobno je PB' = y in B'B =x-d. Tako zvemo še koordinate točke B{d+y, d-xl. Koordi- nate zaklada dobimo potem takole: YA +YB ) = (...iL-!L) 2 2' 2 iz česar opaz imo , da položaj zaklada ni odvisen od točke V. Zaklad najdemo, če gremo po l poti od kaktusa proti palmi , zav ijemo levo in p rehodimo še ena- ko razdaljo . Matjal Željko Premisli in reši 37 RIBIČA SE POGOVARJATA Prvi se pohvali, da je ujel četrt metra dolgo ribo. Drugi bahavo reče ; "Če svoji ribi dolžino dvakrat povečaš, še ne bo presegla dolžine mojega ulova." Prvi odgovori: "Že eno samo povečanje bo prav gotovo dovolj, pa če bi ujel kita. Kar zaupaj mi dolžino svojega plena." "Naj ti bo. Riba je merila celih 64 cm. Ali jo lahko presežeš z dvakratnim povečanjem dolžine svoje ribice?" se hvali drugi. / .:.> "Seveda," odgovori prvi, "če že hočeš, da dolžino povečam, recimo~/ za 10 cm, nato pa še za to' :1. kolikor bi merila njena dolžina po p ~- čanju. Sicer pa lahko že z . samim primernim povečanjem ~ dolži- no kita, kajne?" : . ~ Drugi ribič, ki je o v izra- cuje: "Veš , mislil sem, če bi bila d v· "Pote sežem d BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES 38 ~ nekaj ribiških I. Pet ribičev je ujelo pet rib v petih dneh. V kolikem času bo osem ribičev ujelo osem rib? !. Šest ribičev je pojedlo šest rib v šestih dneh. V kolikem času bo deset ri- bičev snedlo deset rib? 3. V vsakem kotu od dnu akvarija (kvadrastega) lebdi ribica in pred vsako ri- bico lebdijo tri ribice. Koliko je ribic v tem akvariju? t Riba in pol tehta kilogram in pol il"še pol ribe. Koliko tehta ta riba? 5. Za dinar in pol si dobil nekdaj ribo in pol in še pol ribe. Koliko si dobil takrat za dva dinarja in koliko si plačal za eno ribo? 3. Ribja glava tehta tretjino teže ribe, rep 10 dag, to je 1/5 ostanka. Koliko tehta riba, koliko posamezni deli ribe? Jože Kotnik RESI IN PREMISLI Pogosto sestavljalci nalog priporočajo učencem, da vse podatke in v zvezi z njimi zakonitosti pred reševanjem nalog dobro premislijo. Pri tej nalogi pa je ravno obratno. Priporočamo vam, da zastavljene naloge rešite, potem pa premislite, kaj lahko pomenijo številke, ki predstavljajo rezultate posameznih nalog. Pravilna rešitev ti bo povedala, kje še najdeš take naloge, razen v učbe­ nikih. ~. l. ;. ...o, 211 2'(5 + 24.23") + 5,7= (-3)(+2 -7) - (-1).(9 - 6) = (4 - 3.2)(3 - 5) - (-1 - (- (-1))) = 2(2 - (-3)(-1) - 2(4 - 5.2)) - 3 = 2«4 + (-2)(+7) - (-5))(-4) + (-17)) = (1 - 3(1 + (-2)(-5)) + 2) : 3 + 22 = Miha Štalec 39 STIRI ZGODBE O VERJETNOSTI Prva zgodba - pravljica : Nekoč sta živela očka in mam ica. lrt:Jela sta št iri ot ro ke. Vsi..so bili fantje . Pa pravi mamica: "Upam, da bo najin nasled nji otro k dekl ica. " Oč ka odvrne : "Draga, po št irih fan t ih bo zagotovo dekl ica!" Ali je imel očka prav? Druga zgodba - hazarderska: Neki haza rde r v igralnici je takole razmišljal: "Počakal bom , da se bo rule- ta nekajkrat zaporedoma ustav ila na črno. V naslednj i igri bom stavil na rdeče in zagotovo dob il." Je v resnici tako? Tretja zgodba - pisateljska: Amer iški pisate lj Edgar A. Poe je v nekem svojem romanu t rdi l, da če pri metu poštene igralske koc ke pade šestica dvakrat zaporedo ma je verjetnost, da bo pri naslednjem metu padla šest ica, manjša od 1/6. Je to res? Četrta zgodba - vsakdanja: Pri metu poštenega dinarja je grb padel petkrat zaporedoma. Janez trdi , da bo pri naslednjem metu zagotovo pad la cifra . Ali to d rži? Odgovor: Če ste odgovorili na katerokoli vprašanje pritrdilno, ste se zmoti- li. Padli ste v "igraičevo past" . Huleta, kocka , dinar se ne "spominjajo", kaj se je dogodilo prej . KA RAS PREMISLI IN REŠI Tokrat vam zastavljamo kratko na- logo iz računalništva . Kaj izpiše na- slednji program v basicu? 10 INPUT X, Y 20 LET X = X + Y 30 LET Y = X - Y 40 LET X = X - Y 50 PRINT X, Y 40 Odgovor utemeljil Odgovore pošljite do 1.10.1986. Sandi Klavžar BISTROVIDEC ~N BAN :lri izbiri posameznika ali skupine ljudi iz večje skupine n ljudi pogosto postavi- TlO prisotne v krog in nato izločamo vsakega k -t ega. Tako na pr imer bo v skupi- ni šestih otrok: 24 22 19 16 12 7 1 A1dreja III 15 11 6 Franci Egon I 5 28 13 1720 IV Bojan Cvetka 3 9 14 18 21 23 25 V Dušan 410 II lovila Andreja, če začnemo izštevati pri njej v smeri urinega kazalca vsakega petega. Rimske številke na sliki označujejo vrstni red izpadanja. Na opisanem postopku izštevanja temelji več zanimivih nalog. Že iz antike je znana "Jožefova naloga", ki so jo v srednjem veku (17. stol.) takole preobli- kovali: "Barka, na kateri je bilo 30 potnikov - 15 kristjanov in 15 mohamedan- cev, je zašla v neurje. Da bi rešil ladjo in posadko se je kapitan odločil, da bo polovico potnikov vrgel v morje. Potnike je postavil v krog in vsakega devetega po vrsti (od izbranega začetka) so vrgli čez krov. Kako naj se kristjani postavijo v krog , tako da bodo vsi ostali na krovu?" Za vsakdanjo rabo pa sestavite tabelo , ki za dana n in k (manjša od 10 ali 20) pove , na katero mesto glede na začetek izštevanja se morate postaviti, da boste "lovili", Precej časa lahko prihranite, če v sestavljanje tabele vprežete računalnik. Vladimir Batagelj 41 Mohar Bojan, Zakrajšek Egon / PROGRAMSKI JEZIK PASCAL. - Društvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, 1986 . - 196 str. - (Knjižnica Sigma; 41) 1750.-din (1400.-din) Prva knjiga s področja računalništva, Elektronski aritmetični računalniki F. Križaniča,je izšla v knjižnici Sigma že leta 1960. Po dolgem - predolgem - pre- moru je pred nami druga Sigmi na računalniška knjiga. O njeni upravičenosti in potrebnosti najbrž ne gre izgubljati besed. Naj zapišem le tole: Računalnik Strela, opisan v Križaničevi knjigi, je bil dostopen le izbranim strokovnjakom, saj je potreboval zase kar celo elektrarno . Danes pa opremljamo z računalniki osnovne in srednje šole in marsikateri srednješolec, pa tudi osnovnošolec, ima računalnik doma, kajti cena rabljenega mikroračunalnika je primerljiva s ceno novega plašča. Knjiga Moharja in Zakrajška je bila prvotno pisana kot skripta za predmet Uvod v računalništvo v prvem letniku matematike in tehniških ved. Po reformi srednje šole pa dijaki osnovno znanje iz računalništva dobijo že tam, tako da so ta predmet nadomestili drugi, knjiga pa se je, nekoliko prirejena, preselila v Sigmo. Knjiga vsebuje pet poglavij in priloge. Uvodno poglavje seznani bralca z osnovnimi pojmi o računalniku in programskih jezikih. Naslednja tri poglavja, ki tvorijo jedro knjige , obravnavajo programski jezik pascal, za katerega avtorja pravita, da je "v nekaj letih postal najpomembnejši programski jezik". V resni- ci je to jezik, ki se ga največ poučuje, ker je izredno. skrbno in sistematično sestavljen in se zato tudi v uporabah v zadnjem času močno uveljavlja . Vendar pa poučevanje pascala ni glavni smoter knjige - pascal avtorjema služi pred- vsem kot primerno sredstvo za posredovanje znanja o računalniku in progra- miranju . Je pa pascal kljub temu predstavljen v celoti in v skladu spredloženim ISO standardom . Pri tem opise sintakse in semantike posameznih elementov je- zika spremljajo številni dobro izbrani programi kot zgledi, ki so jim često doda- ni tudi primeri podatkov in rezultatov . Zadnje poglavje knjige vsebuje podatke o posebnostih in uporabi prevajalnikov za pascal na posameznih računalnikih, med njimi mikroračunalnikihtipa Sinclair Spectrum in Commodore, ki so pr i nas najbolj razširjeni. Knjige bodo veseli tako začetniki, k i se z računalnikom in programiranjem srečujejo prvič, kot tudi izkušeni "hacker]i " , k i bi radi znali še kaj drugega kot basic. Marko Petkovšek 42 55 .- 69.- 300.- 375 - 400.- 500 .- 800.- 1000 .- 144.- 180.- 400.- 500.- 600.- 750.- 150.- 185.- 1200.- 1500.- 1280.- 1600.- 1280.- 1600.- 1400.- 1750.- ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE - REPUBLI· CKA, POKRAINSKA I SAVEZNA TAKMICENJA (1986), PRED· TAKMICENJA ZA MMO I MEDUNARODNE MATEMATlCKE OLIMPIADE (1978-1985). - Ljubljana: DMFA SR Slovenije, 1986 ; 188 str. - (v tisku) UCBENIKI IN PRIROCNIKI ZA OSNOVNO IN SREDNJO SOLO Naročniki Preseka lahko tudi letos nabavijo pri Komisiji za tisk DMFA SRS ob skupinskem naročilu z 20% popustom naslednje učbenike in priročnike za rsnovno in srednjo šolo : Cena 80% 100% Tablice kvadratov, kubov, kvadratnih in kubičnih korenov naravnih števil od 1 do 999 ter obsegov in ploščin kroga za merska števila premera od 1 do 299 (Zbral J. Žabkar) Štirimestni logaritmi in druge tabele (S. Uršič) Rešene naloge iz matematike z republiških tekmovanj (V. Batagelj, T. Pisanski) 1. del 2. del Rešene naloge iz fizike z republiških tekmovanj 1. del (M. Hribar) 2. del (B. Golli, J. Žitnik) Zbirka vaj iz aritmetike, algebre in analize za srednje šole (1. Štalec in dr.) 1. razred 2. razred 4. razred Leksikon Cankarjeve založbe: Matematika (A. Vednal) Fizika (J. Strnad) Programski jezik pascal (B.Mohar, E. Zakrajšek) Priporočamo vam, da si knjige pravočasno oskrbite. Ciril Velkovrh 43 Naloge iz matematike za učenje 6., 7. in 8. r - rešitve s str. 28 . 6. razred 1. Vsak člen danega izraza lahko zapišemo kot razliko dveh ulomkov: 1 1 1:2--1--2' 1 1 1 --=--- itd . 2.3 2 3 ' Ko vstavimo za vsak člen dane vsote razliko ulomkov, dobimo rezultat 9 TO"" . 2. Število 1680 razcepimo na pra- faktorje. 1680 = 2.2.2.2.3.5.7 Iz teh faktorjev sestavimo štiri zaporedna naravna števila 5, 6, 7 in 8. 3. x = 2,5 4. Naj bo "parna" sobota v istem mesecu na dan x (x je parno štev ilo) . Sledeča sobota bo čez 14 dni, na dan (x + 14) , tretja sobota bo dan (x + 28). Ker ima mesec lahko 31 dni, predstavlja vrednost za x v izrazu (x + 28) dva dni. 30. v mesecu bo sobota, 25. pa ponedeljek. 44 5. a) a + 30 % od a = a + (30 /100) .a = = a + O,3.a = 1,3. a b) a - (12,5/100). a =a - (1/8) .a = = (7/8). a 6. Stranici AH in BE trikotnika f::,.AHE oz. f::,.BCE ležita na višinah tri- kotnika f::,.ABC, zato sta kota 4EAH in 4 EBC enaka (kota spravokotnimi krakl). Ker je AH = BC, sled i, da sta trikotnika MHE in f::,.BCE skladna. Trikotnik f::,.BEA je zato enakokrak (AE = BE) . in pravokoten. Kot 4CAB meri 45° (slika) . A B 7. razred 1. a) Razlika a - b mora biti negativ- na: a - b < O, torej mora biti b večj i. b) -3, -5, - 7 in -9. c) Ulom ek q je za vsak a E {0,1 ,2, ... } Kvocien t dveh pozitivnih števil a + 2;;;:;' 2, 2a2 + 3a + 6;;;:;' 6 in je zato pozitiven. Preverimo še q ~ 1/3. Naj- prej preured imo: . 3.(a + 2) ~ 1.(2a2+3a+6) ali 3a + 6 ~ 2a2 + 3a + 6) Kar je res, saj je 2a2 ;;;:;. O. 2. (3x - 2)(4 - x) + (x - 3)(3x - 5) =7 3. Štirje. 4. Če stranico trapeza AB podaljša- mo za dolžino DC, dobimo enako- krak pravokotni tr ikotnik 6.AEC. Trikotnika 6.CDA in 6.CBE imata- -enako osnovnico CD = BE in enaki višini, zato sta ploščinsko enaka. PABCO = PABC +PACO = = PABC + PBEC = PAEC = = (1/2).e.f= 50 cm 2 77 = 11a + 2b . Število b je element {O, 1, ' '', 9} in mo ra b iti kar O, saj sta preostali štev ili vena č b i deljivi z 11 . Zato še : a = 7. Letn ica rostva je 1970. 8. razred 1. Če označ imo k = a : x , izvemo : a = kx, b = ky in c = kz. To upošte- vamo v a + b + C in dobimo : (a+b+c) :(x+y+z) = (kx+ky+kz) : :(x+y+z) =k(x+y+z):(x+y+z) = =k=a :x 2. Pot označimo z x. Razlika časov je 12/ 60 ure . x x 12- ----- 10 15 60 x = 6 5. Letnica rojstva ima 4 cifre, kar po - ve, da bodo ti ljudje stari kvečjemu 28 let , torej rojeni v tem stoletju. Zapišimo njihovo rojstno leto kot 19ab. Vsota teh cifer je 10 + a + b , starost teh občanov pa bo leta 1987 enaka 1987 - 1900 - 10a - b = = 87 - 10a - b . Odtod enačba: A o c Pot je dolga 6 km. 3. Rešitev enačbe m+l 2m-3 m-2 --+--+l=m--- 5 15 6 je m = 4/3, zato je iskana funkcija y = (4/3)x - 8. 4. a) Trikotnik 6.ABS je enakostrani- čen . Osnovnica c = SA = SB = SC, kot 4ASC = 150° . 1= (5/6 ) 'Tr c b) Trikotnik 6.DSC, s stranico es" = = c je enakokrak, s kotom 4DSC = 30°. Pose =PASC 45 c Pose == (1/2)c(c/2) == c2 / 4 Plošči na krožnega odseka je enaka razliki ploščin krožnega izseka in tri- kotnika MSC. 2 51T 1 c2 P == c (12 - 4) == 1'2 (51T - 3) C 5. Trikotnik ABC je enakostraničen s stranico al . SA == a .,fi, SA == (b y3)13 b == SA y3 == a .j6 P == (b2 y3)/4 3a 2 P =-2- ..j3 46 6. Naj bo a osnovni rob piramide, h njena višina. Iz pravokotnega prereza piramide vidimo, da se stranske višine piramide dotikajo krogle v točkah v H T1 , 'r . , T3 , T4 • Trikotnik 6EFV je enakostraničen, s stranico EV = a = == va' Trikotnika 6EGS in 6SVH s stranicama a/2 in h sta enakostrani- čna, zato je ŠT = hl2 = (a/2) .J3/2 ali: 2, =h = (a/2).J3 va =(4, V3)/3 V= (32/9). ,3 P=a2 + (1/2).4.a . Va P = 3a 2 P== 16,2 Pavle Zajc Naloge mladim Vegovcem - Rešitve s str. 30 6. razred 1. Skupni imenovalec ulomkov 4/13, x/20 in 5/13 je 260. Dobimo neena- čbo 80 < 13x < 100. Iskani ulomek je torej 911260 oziroma 7120. 2. Dva nastala kota mer ita 32° 30', druga dva pa 147°30'. 3. v(525,495l = 52.32.7 .11 525 = 52.7.3 495=5.32.11 Natanko nasproti razren prvih dveh stojita še 34. drevo na eni in 36 . dre- vo na drugi strani. 7. razred 1. Količnik se je povečal za 20%. 2. 6ABS je enakostranični. r= 4 cm 0= 8 1T cm p = 16 1T cm2 3. Vrednost spremenljivke a je 8. 4. al Ta funkcija ima vrednost O za x =3/2. bl Pozitivna je zax>3/2. cl Negativna je za x < 312. x 5. Z ica za novo ograjo bo stala 14280din. 8. razred 1. Manjkajoči člen je število 3. 2. Stranica prvotnega kvadrata je 5cm. Učiteljimatematike in fizike občine Slovenske Konjice 47 Nekaj za kratek čas - Rešitve s str. 31 1. Naj bo : vnukova starost x mesecev in babičina starost 12.x mesecev. Tedaj velja: 12.x + x = 65 .12 Iz zapisane enakosti dobimo x = 60. Babica je torej stara 60 let, vnuk pa 60 mesecev oziroma 5 let. 2. Podatke v nalogi si lahko predstavimo v obliki preglednice. ki k i vi ha IT NE FR AN ANA DA NE NE NE NE DA NE NE BARBARA NE DA NE NE NE NE NE DA CVETKA NE NE DA NE NE NE DA NE DARJA NE NE NE DA DA NE NE NE Ana torej igra klavir in zna nemško. Barbara igra na kitaro in zna angleško. Cvetka igra na violino in zna francosko. Darja igra na harmoniko in zna italijansko. Učiteljimatematike in fizike občine Slovenske Konjice Rešitve nalog s st rani 39 ŠE NEKAJ RIBiŠKIH REŠi IN PREMISLI - rešitev s stran i 39 1. V petih dn eh . 2. V šesti h dn eh . 1. 17 -+ P 3 . V akvari ju so št iri ribice . 2. 18 -+ R 4. 1,5 kg. 3. 6 -+ E 5. Za dva d inarja si dobi l 8/3 ribe, 4. 19 -+ S za eno ribo bi plača l 75 /100 din. 5. 6 -+ E 6. Riba t eht a 3/4 kg, glava 25 dag 6. 12 -+ K in t rup 40 dag . Miha Štalec Jože Kotnik 48 '-/7" I.,r L""-'------------------ --- ---- - - - - - - - TOMOGRAFljA S POZITRONSKIMI SEVALCI Ime tomografija izhaja iz grške besede "torneln", ki pomeni rezati. K sreči pa s sodobnimi metodami tomografije le slikamo notranje organe v prerezu, ne da bi človeka zares prerezali. Slike lahko bistveno pomagajo zdravn iku pri ugotavlja- nju bolezenskih sprememb ali omogočajo nekatere raziskave, ki doslej niso bile mogoče. Kaže, da zlasti tomografija s pozitronskimi sevaici (angl. positron em i- ssion tomography, PET) odpira nova obzorja v raziskavah na področju nevro- kemije. Podobno kot pri fotografiji sta pri tomografiji potrebna "svetloba" in na- prva, ki "svetlobo" zazna. Človeško telo navadne svetlobe ne prepušča, zato za slikanje notranjih organov uporabljamo rentgensko svetlobo, sevanje gama, pa tudi radijske valove. (Glej članek J. Stepišnika o slikanju z jedrsko magnetno reso nanco v Preseku 13, št. 3). Pri pozitronski tomografiji osvetlijo notranje organe s sevanjem gama , to je s fotoni, ki nastanejo pri anihilaciji para pozi- tron-elektron. Pozitron, ki ga izseva radioaktivno jedro, je antidelec elektrona in v stiku s snovjo ne žive dolgo. Ko se sreča z elektronom, prostim ali vezanim vatomu, se z njim spremeni v dva ali več svetlobnih kvantov - foto nov "1. Ker prenehata obstajati elektron in pozitron , imenujemo pojavanihilacijo (izniče­ nje). Pri tem pa se ohrani energi ja: fotoni prevzamejo vso energijo para pozi- tron-elektron, ki jo sestavljajo lastna energija zaradi mas obeh delcev in njuna kinetična in potencialna energija. Anihilacija prostega para v en sam foton ni mogoča . Daleč najverjetnejša je anihilacija v dva fotona; če par ob anihilaciji miruje , odletita fotona v nasprotnih smereh, to je pod kotom 1800 • Življenjski čas pozitrona v snovi je odvisen od števila elektronov v njegovi bližini, se pravi od gostote in povprečnega vrstnega števila snovi. V tekočinah in v trdnih snoveh ima velikostno stopnjo milijardinke sekunde. Pozitrone dobijo pri razpadu beta plus radioaktivnega izotopa. S takšnim izotoporn zaznamujejo biološko aktivno snov in jo vnesejo v telo , kjer se kopi- č i na značilnih mestih . Pozitroni, ki j ih seva radioaktivni izotop , se v tk ivu usta- vijo in nato pride do anihilacije . Pri skoraj vseh an ihilacijah odletita dva fotona v nasprotnih smereh. Oba hkrati zaznajo me rilniki na nasprot nih straneh opazo- vanega dela telesa (slika 1). Podatki o kraj u obeh sočasnih zadetkov gredo nato 49 preko elektronskih naprav v računalnik, kjer se zapišejo v spomin. Po končani meritvi , ki obsega približno milijon takšn ih do godkov, začne računalnik iz -zbranih podatkov sestavljati tomografsko sliko. Najprej iz vsake dvojice zadet- kov izračuna prernico, na kateri naj bi bil pozitronski sevalec. Množica vzpored - nih premic določa projekcijo, več projekcij pod različnimi koti pa določa pora- zdelitev gostote sevaica (slika 2). Misliti si smemo, da človeški možgani nekako tako kot računalnik pri tomografiji sestavljajo trodimenzionalno sliko iz dvod i- menzionalnih slik , ki jih zaznata očesi, le da so pri tem neprimerno hitrejši. Ko je trodimenzionalna slika sestavljena, pa lahko računalnik na monitorju pokaže poljuben prerez skozi opazovani del telesa . Za pozitronsko tomografijo so najbolj uporabni izotopi 11 G, 13 N, 1 S O in 18 F, ki imajo po vrsti razpolovni čas 20 minut, 10 minut, 2 minuti in 110 mi- nut. Zaradi kratkega "roka trajanja" mora biti čas od proizvodnje do uporabe izotopa čim krajši. Večino izotopov za pozitronsko tomografijo proizvajajo s pospeševalniki - ciklotroni, ki pospešujejo protone približno do energije 15 MeV, nekatere (np r. 1 8F) pa lahko tudi v manjših raziskovalnih jedrskih reaktorjih. Hitro pridobivanje čistega izotopa in označevanje fiziološke spojine sta ponavadi zelo zahtevna postopka. Glukozo, označeno z 11 G, na primer pri- dobivajo preko fotosinteze, pri čemer rastlina porablja GOz , označen z 11 G. Kisik, ogljik in dušik, ki so sestavine mnogih organskih molekul, so primerni za označevanje predvsem zato, ker biokemični procesi v telesu ne razlikujejo raz- ličnih izotopov istega elementa in se tudi označenim spojinam metabolične lastnosti ne spremenijo. Nekoliko drugače je pri analognih spojinah kot npr . pri analogu glukoze, pri katerem zamenjajo en atom kisika z atomom 18 F. Po raz- čilolno cickironi ko r o č u n o l n i k • zbironje podotkov ~ • rekonstrukc ijo tomogrofske sl ike ~ prikoz si ike no moni! orju Slika 1. Shematična r isba naprave za pozit ronsko tomograf ij o . Merilnika na nasprotnih straneh sočasno zaznata fotona iz anihilacije poz it ro na. Čitaina elektronika prečita in ko - dira podatke, ki se preko vmesnika zapišejo v spomin računal n i ka . Po končanem sl ikanju računalnik rekonstruira tomografsko sliko in jO"J izbranem prerezu pokaže na mo nito rju . 50 graditvi takšne glukoze ostane označevalec 18 F v celicah, kar je za meritev me- tabolizma do neke mere celo ugodno . Na kvaliteto tomografske slike vplivajo nekateri fizikalni pojavi. Pozitroni , ki jih izseva sevalec, namreč nimajo vsi enake kinetične energije. Ker je razdalja od sevalca, ki jo doseže pozitron v tkivu , odvisna od njegove energije, ne prele- tijo vsi pozitroni enake razdalje. Povprečna razdalja npr . je za 18 F z največjo energijo pozitronov 0,65 MeV približno 1 mm, kar omejuje natančnost,s kate- ro izmerijo lego sevalca. Razen energije pozitrona vpliva na ločljivost slike še dejstvo, da fotona pri anihilaciji ne odletita natanko v nasprotnih smereh. Kot med njima je odvisen od hitrosti težišča elektrona in pozitrona ob anihilaciji in ta hitrost je v splošnem različna od nič. Tipične vrednosti so za nekaj desetink stopinje različne od 1800 • Fotonu se lahko v snovi, v kateri merijo porazdeli- tev sevalca, spremeni energija in smer pri trku z elektronom. Lahko se tudi zgodi, da merilniki zaznajo po naključju hkrati dva fotona iz različnih anihila- cij. Ta pojava predvsem poslabšata kontrast tomografske slike. Kvaliteta tomografske slike je odvisna tudi od značilnosti merilnikov. ~. REKOHSTRUIRANA SLIKA Slika 2. Iz množ ice enodimenzionalnih projekcij predmeta lahko rekonst ruiramo dvodi- menzionalno sliko. Podobno lahko tudi iz dvodimenzionalnih projekcij pod različnimi koti rekonst ruiramo trodimenzionalno sliko. 51 Standardne naprave PET sestavlja rnnozica scintilatorjev, to je kristalov, ki oddajo drobne bliske, ko vanje prileti foton. Te bliske zaznavajo fotopo- množevalke in jih spreminjajo v napetostne sunke. Fotopomnoževalke so raz- porejene po obodu enega ali več krogov (slika 3). Določena fotopomnoževal- ka sprejme podatek o kraju zadetka. Posamezen krog fotopomnoževalk določa le en prerez, torej daje eno tomografsko sliko. Naprave zaznajo le majhen del vseh anihilacij. Prostorska ločljivost je približno 1 cm, kar pomeni, da ni mogo- če zaznati manjših podrobnosti. Poleg tega so naprave zaradi velikega števila scintilatorjev in fotopomnoževalk razmeroma drage. V zadnjem času so razvili sisteme PET na osnovi večžičnih proporclonal- nih komor (VŽPK). Ti merilniki določajo tudi lego in so jih razvili pri osnovnih raziskavah v fiziki delcev. Njihova uporaba se hitro širi na druga področja. ~ foton y (Ey =511keV) /~T------ :;7.'.l_-':fctGnSb kcrverter kntodnc mno rnvnina (x) 7T"__unod nn i ično VŽ PK rovnino kntcdnn ž ičnn /;C~=======~F=? <" VŽPK sestoji iz ravnine vzporednih anodnih žic " v sendviču" med dvema rav- ninama katodnih žic (slika 4) . Skozi komoro sepretaka plinska mešanica, kate- re sestava je odvisna od konkretnih zahtev. Pri uporabi VŽPK za zaznavanje fotonov iz anihilacij je potrebno sposebnim konverterjem povečati verjetnost za zaznavanje (izkoristek) . Najboljši doslej izdelani konverter ima izkoristek le okoli 10%. Konverter v praksi omejuje tud i ločljivost na približno 1 mm, kar je desetkrat bolje od scinti lacijskih števcev. S komorami z velikostjo 40 cm x x 40 cm je mogoče zajeti velik del fotonov in zato te komore bolje izkoriščajo rad ioakt ivnost sevalca. Naprave PET na osnovi VŽPK izmerijotrodimenzional- no porazdelitev seva ica in je mogoče rekonstruirati sliko katerega koli prereza v prostoru , k i ga omejujejo komore. Izbol jšane naprave PET omogočajo kval itetnejšo sliko in dopuščajo manjšo radioakt ivnost seva lca, k i je za tomografijo potrebna. Zato nekateri razmišljajo o hibridn ih merilnikih , ki bi zdru žili dober izkoristek in časovno ločlj ivost scintilacijskih merilnikov z dobro krajevno l oč lj ivost večžičn ih komor. Foton iz anihilacije naj bi se absorbiral v scintilatorski p lošč i , scintilacije pa bi registr i- rala večžična komora. Meritev razlike časov zadetkov obeh fotonov v nasprot- nih smereh bi v nekateri h scinti lacijsk ih material ih omogoči la vsaj grobo dolo- čitev kraja anihilacije na premici, kar bi tudi prispevalo h kvali teti tomografske slikePoz itroni in fotoni r , k i nastanejo pr i anihilacij i, spadajo k io n i z i rajočemu sevanju. Doza sevanja, ki jo pri enem slikanju s pozitronsko tomograf ijo dobi telo, je med 0,3 in 1,5 milisieverta (mSvl, kar je približno to liko kot prispeva naravno sevanje (kozmični delci in naravna radioaktivnost) venem letu (1,1 mSv) ali navadni rentgensk i pregled (0,5 mSv) . Zaradi kratkih razpolovnih ča­ sov poz itronski sevaici hitro razpadejo in radioaktivnost v telesu "ugasne". Za zdaj je pozitronska tomografija v glavnem v rokah raziskovalcev, njena uporaba pa se vedno bolj širi tudi na področje klinične diagnostike. Ovira pri tem ni samo visoka cena naprave (okoli milijon dolarjev), ampak tud i zahteva- na bliži na ciklotrona ali reaktorja. Prednost je predvsem v tem , da lahko s PET opazujej o krajevno porazdel itev aktivnosti pr i metabolizmu (presnavljanju ) . Ne- katere vrste tumorjev so prej opazne zaradi spremembe aktivnost i metabolizma kot zaradi spremembe oblike celic , kar omogoča zgodnje odkrivanje bolezni (slika 5). Po spremembi metabolizma lahko pozitronska tomografija l oč i med reverzibilno in ireverzibilno poškodbo srca ob infarktu. Proučevali so tudi spre- membe aktivnosti možgan zaradi čutnih dražljajev in miseln ih procesov ter po - vezave med posameznimi možganskimi centri . S PET so neposredno opazili pri- čakovano aktivnost vidnega centra pri prostovoljcu , ki je med tomografiranjem spal in sanjal. Zlasti pa si od PET obetajo napredek pri raziskovanju duševnih bolezni. Aleš Stanovnik in Marko Starič 53 , 1 ' '1 ' " t: " "" JENSENOVANEENAKOST Konveksnost oziroma konkavnost je ena izmed mnog ih lastnosti funkcij. Dolo- čevanje te lastnosti pa je pri nekaterih funkcijah dokaj težavna zadeva. V takih primerih ponavadi uporabljamo posebne matematične pripomočke. Ena boljših metod za določanje konveksnosti oziroma konkavnosti funkci- je je Jensenova neenakost. Preden pa pričnemo z obravnavo te neenakosti, si malo pobliže oglejmo pojem konveksnosti oziroma konkavnosti funkcije. Naj bo ((x) funkcija, ki je zvezna na intervalu [a,b]. Po eni izmed definicij je funkcija (na intervalu [a,b] konveksna, če je izpolnjena naslednja neenakost : ( 1) za poljubna med seboj različna Xl in X2 z intervala [a,b]. Funkcija ( pa je konkavna, če v neenakosti (1) velja znak >. Zatakne pa se nam, ko neenakost ('0/ preide v enakost. To je, ko velja: ) = (2) V tem primeru je ((x) linearna funkcija, česar pa tu ne bomo dokazali. Hitro pa lahko preverimo, da linearna funkcija zadošča enakosti (2) . Zapišimo jo v obli- ki ((x) = kx + n, vstavimo v (2) in dobimo identiteto. Tu pa se mnenja razhajajo. Nekateri namreč prištevajo linearno funkcijo med konveksne in pišejo v (1) znak ~, drugi pa linearno funkcijo jemljejo kot poseben primer in neenakost (1) pišejo tako, kot smo jo mi. Neenakost (1) ima tudi geometrijski pomen: f(x,) + ((x, ) 2 f (1 ;x1 ) Slika 1 54 a Iz slike 1 se lepo vidi, da je zvezna funkcija f(x) na intervalu [a,b] konve- ksna natanko takrat, ko je vrednost te funkcije v točki (Xl + X2)/2 manjša od aritmetične sredine njenih vrednost i v točkah Xl in X2' Tu smo seveda izvzeli primer Xl = X2 ' ln sedaj pojdimo k bistvu našega članka. Dokazati hočemo pravzaprav tole: Za vsako zvezno funkcijo, ki je na intervalu [a,b] konveksna, velja: _X_l_ +_X_2_ +_ " ,_ +_X_k ) < f(xII + f(X2) + ... + f(Xk) f( k k (3) pri čemer so Xl, X2, oo., xk taka števila z intervala [a,b ]. da sta vsaj dve števil i izmed njih med seboj različni, k pa poljubno naravno število . Neenakost (3) imenujemo Jensenova neenakost. Števila Xl, X2, oo ., Xk po potrebi tako premešamo, da je Xl =1= X2 ' S tem nič ne izgubimo na splošnosti. Jensenovo neenakost bomo dokazovali s popolno indukcijo. Preden se bomo lotili dokaza neenakost, poiščimo zvezo med ulomkoma X= Xl + X2 + oo. + xk+1 k + 1 . , Xl + X2 + .oo + xk InX=--=---=------..:~- k ki jo bomo očitno potrebovali. Poizkusimo takole: Poiščimo tisti y, za katerega velja x' + y =X 2 Po krajšem računu ugotovimo, da je y= (k-1)(Xl +X2 +oo. +Xk+1)+ xk+1 = (k-1)x +xk+1 k(k + 1) k k Velja torej identiteta: Xl + X2 +.oo+ xk+1 k + 1 Xl + X2 + oo . + xk k + 2 (k - 1)X +Xk+ 1 k (4) Pojdimo sedaj k dokazu Jensenove neenakosti. Za n = 2 je trditev pravilna. Po definiciji - glej (1) - pač velja : f( (Xl +X2 )/2) < (f(xII + f(X2 ))/2 (5) 55 Vzemimo sedaj, da trditev velja za neko naravno število k ;" 2 . Pokažimo, da tedaj velja trditev tudi za k + 1. Da bo manj pisanja, naj bo zopet: (6) Število x je aritmetična sredina števil Xl do xk+ r -Zato je X manjši od največje­ ga izmed njih in večji od najmanjšega izmed njih . Od tod pa že sledi, da je X število z intervala [a,b]' Zaradi (4) velja enakost: (7) 2 Xl + Xz + 0.0 + xk k f(x) = f (-------------- Po definiciji konveksnosti (1) smemo oblikovati neenakost: + --.:(_k_-_l~)x_+_x~k+.:....!1 k f( XI+",+xk k 2 Zaradi indukcijske predpostavke veljata sledeči neenakosti: (9) in (k-l)x+Xk+1 (k-l)f(x)+f(xk+1) f( k ) ~ k . (10) k X + X + ... + X + xk+1 ) = f (-------~.....:.-- Pri tej zadnji neenakosti upoštevamo ti dve dejstvi: (k - 1) X + Xk+ 1 f( k in f(x) + f(x) + .oo + f(x) + f(Xk+ 1) k (k - 1) f(x) + f(xk+1) k V primeru, da je X enak xk+1' nastopi v neenakosti (10) enačaj. Ostane le f(x) = f(x). Ker pa sta Xl in Xz med seboj različna, bo v neenakosti (9) veljal strogi neenačaj in naprej ne bo nobenih težav. 56 S pomočjo (9) in (10) lahko desno stran v neenakosti (8) nadaljujemo ta- kole: f(xd + f(X 2) + k<----------------------- 2 (11) (12)f(x ) <-------------------- Če pogledamo vrst ice (7). (8) in (11), vidimo , da smo dokazali neenakost : f (x d + f( X2 ) + ... + f(xk) f(x )(k - 1) + f(xk + l ) ---'-----=----------''---- +-------~-'-- k k 2 Malo rač unanj a z ulom k i in za f( x ) do bimo oceno: f(xd + f (X2) + ... + f (x k + l) f (x ) < k + 1 (13) Spomnimo se , kaj je x, ga vstavimo v (13) in dob imo: f ( Xl + X2 + '" + x k+l k + 1 )< f (x d + f( X2) + ." + f (x k+ l) k + 1 kar smo želeli dokazati . S tem je dokazano: če velja Jensenova neenakost za neko naravno števi lo k, pote m velja tud i za k + 1. (5) nam pove, da velja trditev za k = 2. PO pravkar izvedenem zaključku pa velja t rditev t ud i za k = 2 + 1 = 3, za k = 3 + 1 = 4 itd.. t or ej za poljubno narav- no števi lo k. V članku v številki 2 bomo podali nekaj primerov uporabe Jensenove neenakosti, Peter Anastasov, Mirko Dobo višek KRALJ JURIJ III IN ZVEZDE Znamenitega astronoma Williama Herschela (1738 - 1822) je obiskal kralj Ju- rij III. in ga blagohotno pobaral: "Nu, dragi Hreschel, kaj je novega na nebu?" Herschel pa nasajeno: "Je mar veličanstvu vse staro že znano?" 57 Izidor Hafner DVE ŠTEVILI , KI NISTA OBE ENAKI Nl e Poslušajmo razgovor št irih učencev, ki so reševali naslednjo nalogo (V. Batagelj. 1. Hafner: Matematika, logika, str . 29, naloga 3) : Imamo dve števiti, ki obe nista enaki nič. Kaj lahko rečeš o njunem pro - duk tu ? Janez : Obe števili nist a O, tor ej Je eno nič , drugo pa raz l i č no od n ič . Produkt je to rej n ič . Peter: Obe števili nista nič , z drugimi besedami, nobeno ni nič . Produkt je torej različen od nič . Pavel: Obe števi li nista nič . To po men i, da ni res, da sta obe ena ki n ič. Eno bi to rej lahko bilo nič , ni pa nujno . O produktu ne moremo reči ničesar. Tone: Str injam se, da o produktu ne moremo reči ničesar . Pogoj naloge, da imamo dve števili, ki nista obe enaki nič , ne pove ničesar . Če imam dve števili, potem je ved no vsaj eno različno od nič . Nemogoče je imeti dve števili enak i nič. Samo eno število (to je O) je enako O. Ja nez : Vsi imamo prav. Pet er: To, da oporekaš sam sebi, se mi zdi čudno. Kakorkoli že,jaz imam prav, to rej ne d rži, da vsi nimamo prav. Vsi drugi pa nimate prav . Janez (Petru ): Vsi ostali torej nimamo prav ! Vsi nima mo , nekateri torej imamo. Kako je to mogoče, saj se nobeden od naših odgovorov ne ujema s tvo jim? Pavel (Janezu): Ali nisi opazil, da je za Petra "vsi niso" isto kot "nobeden ni" in da je zanj "oba nista" isto kot "nobeden ni"? Opazil pa sem tudi, da zate "vsi niso" ni isto kot "ni res, da so vsi". To ne : Jaz pa sem opazil, da je za vas 2 = 1. Drugi trije : Nemogoče! Tone : Ali je množica z dvema rečema vedno dvoelementna? Drugi trije : Seveda! Tone: Torej tudi v primeru , če sta ti dve reči dve števi li, ki st a obe enaki nič ? Drugi trije: Dobro si nas potegnil! Toda, kako bi t i dejal "dve enaki štev il" ali "dve enaki množici" ali "dve enaki točki"? Tone: Dveh enakih števil ni. število je enako samo seb i in je različno od vsakega drugega števila. Govoriti o dveh enakih množicah je č i st i nesmisel, saj ne govorimo o dveh, temveč o eni. Pavel: Zdaj mi je jasno, zakaj se s profesorjem matematike ne razumeta. Tone: Zate, Pavel, vem, da greš študirat matematiko. Kaj pa vidva? Peter: Za nič na svetu ne! Janez: Jaz pa za vse na svetu ne! 58 IYL1~ le PROFESOR DR. IVAN VIDAV V OCEH STUDENTOV IN V OBJEKTIVU FOTOGRAFA Marina, ena zgovornejših štu- dentk zadnjega letnika matematike, zajema sapo pred profesorskim kabi- netom v tretjem nadstropju našega (zdaj že nekam domačega) "mate- matičnega faksa" . Potrka, izgine za nekaj časa in se nato vrne med ko- lege. "Kaj je rekel? A bo?" "Pridem noter in rečem za di- plomsko nalogo. Pa pravi: 'Veste, je- seni odhajam v pokoj ... Bom še pre- mislil: " Novico sprejme mrmranje (nava- jeni smo, da je v tem nadstropju bolje govoriti tiše, če pogovor zadeva pro- fesorje). Samo : "Ja, kdo bo pa po- tem ...?" je slišati glasneje. ...... Ko sem se v zadnjem letniku gimnazije spustila v tvegano pusto- lovščino študija matematike, sem s strahom hodila mimo očetovih knjiž- nih polic, od koder je vabila prva izdaja Višje matematike, polna oru- menelih strani in meni takrat še tako tujih stavčnih formulacij. Prvi tedni in meseci na fakulteti - zame, provincialno gimnazijko, ta- ko polni nezaupanja v svoje sposob- nosti, strahu pred kolokviji in izpiti, pa vseeno prežeto z občudovanjem čarovnij, ki so jih na tablo razgrinja- li mojstri matematike ... Tehtnica s strahom in občudo­ vanjem pa se je najprej nagnila na st ran zadnjega ob predavanjih profe- sorja Vidava. Moja generacija (in dru- ge verjetno tudi) si je samo enkrat privoščila mučen prizor, da se je profesor ob prihodu v predavalnico znašel pred popisano tablo (mojstro- vino svojega predhodnika) in jo v mo- reči tišini zbrisal sam. Tudi opozori- lo, da smo preveč razposajeni, nas je pri njem doletelo samo enkrat, za- leglo pa je za vselej. Njegovim predavanjem bi morali reči "pripovedovanja", tako gladko tečejo. Matematika se prelevi v zgod- bo o nečem lepem, pot do nje se po- slušalcem ne zdi prav nič naporna, pri tem pa vse preradi spregledajo, da gre pravzaprav za nekakšno Kolum- bovo jajce. Profesor Vidav se ne oklepa lista papirja s pripravo na predavanje - ker ga nima . Pride in pripoveduje kar iz "glave", v jeziku, ki bi mu ga sla- visti zavidali; matematično pa tako 59 izbru šeno, kot bi bral iz skrbno pisa- nega učbenika . Privošči si pedagoško razkošje , ki si ga na fakulteti le malo- kdo - računa na naše navdušenje za sprotni študij in v uvodn ih minutah poskr bi , da predavanju lahko sled ijo t ud i " luftarj i" , Na vprašanje , kdo mu je predaval matematične predmete, mi oče ni mogel dolgo odgovorjati: "naštel " je le prof. dr. Josipa Plemlja in prof. dr. Ivana Vidava. Njuna šola matematike se je do danes pridno razrasla in red - ko se zgodi, da (po vseh pravilih vp i- san) št udent posluša istega profesorja več let . Zato se moja generacija mate- matikov -- pedagogov lahko že kar pohvali s tremi leti "d ruženja" s pro - Slika 1. Svet matematike je lep, prostran in skrivnosten. 60 fesorjem Vidavom: prve korake v resnejšo matematično teorij o smo na- pravili pri Analizi 1, leto kasneje je prevzel na svoje rame še vso težo Anal ize II (ime profesorja Jamnika, ki bi nam moral predavati ta predmet, imamo še zdaj vpisano v indeks, saj se je ponesreči l kak teden pred za- četkom predavanj), v četrtem letniku pa smo uživali še ob " poz ni trgatvi", Af ini in projektivni geometriji. Vsak predavatelj na faku lteti se znajde tudi v vlogi eksekutorja , opro- stite, eksaminatorja. Kolikokrat je to vlogo zaigral prof. Vidav, najbrž nih- če ne ve. Pravijo pa, da je imel nekdaj bol j t rdo roko kot danes - morda le, kar se ocen t iče; sistem pa je osta l Slika 2. Ampak, ko bi vi vedeli, isti: kratek uvod v vprašanje, ki štu- denta reši prvega šoka, nato pa steče nekakšen pogovor, ki ga krmari pro- fesor. Osebno sta me presenetili dve dejstvi: da se bojim ziniti kakšno ne- umnost, ker mi bo potem nerodno (njemu pa tudi), in pa to, da že ob prihodu v kabinet tolčem knjižno slovenščino, kakršne sicer niti pri najboljši volji ne spravim skupaj . Lepi stavki brez narečnih pritiklin nasta- jajo kar sami od sebe, kot da je to nalezljivo. Kot dodiplomska šolarka imam vse preozko matematičnoobzorje, da bi segla kam dlje na področje, s kate- rim se je prof. Ivan Vidav ukvarjal od tistih let dalje, ko moj oče še Slika 3. kaj vse povedo študentje na izpitih! seštevati ni znal. Kar oči so se mi širi- le, ko sem v Obzorniku za matemati- ko in fiziko iz leta 1978 (takrat je prof. Ivan Vidav praznoval šestdeset- Ietnico) prebirala kratke povzetke njegovega dela. Bolj kot kdajkoli prej sem začutila, kakšni matemati- čni dojenčki bomo vsi, ki bomo mor- da nekoč še strah in trepet srednje- šolcev ... Se bomo znali približati vsaj idealu pedagoga, ki ga vidimo v tem priljubljenenem predavatelju? *** Nikoli nisem bila posebno svetla luč, kar se matematike tiče, študiram pa jo z navdušenjem in kljub vsem strašnirn sanjam iz srednje šole sem v vseh letih študija bolj uživala nad ·Iepoto "gole teorije" kot pri reševa- nju nalog. In najbrž govorim v imenu mnogih slovenskih podjarmljencev matematike, če določim za krivca svoje prve zaljubljenosti v "višjo ma- tematiko" - profesorja Ivana Vidava. Marta Majcenovič Fotografije je posnel že pred mnogimi leti višji predavatelj Janko Brane, kot očividka pa lahko potrdirn. da smo danes deležni enako živega pogleda in prisrčnega nasmeha. 61 PRESEKOVI RAČUNALNISKI PROGRAMI Vsak začetek je težak. zato smo bili v ure dni št vu Pr eseka prijetno presenečeni, ko smo takoj po izidu četrte številke , v kateri smo objavili razpis za Presekove programe, dobili dve kaseti s progr"ami. Prva je prišla kaseta iz Pirana, poslal pa jo je Stanislav Trstenjak. Kasnej e sta na naš naslov prišli še dve kaseti. Led je tako prebi t i n upamo , da bo naša akcija zaživela. Povejmo še enkrat, da je glavni namen t e akci j e vzpodbuditi menjavo pr ogr amov, ki jih uporabljate učenci i n učitelji pri šol skem delu. zato upamo, da bodo progr"ami še vnaprej prihajali na naš naslov . Dobrodošlo bo tudi vsako mnenje o naši akciji, predlogi , zami sli , • • • • Predstavimo programe kar po vrsti, kakor so prihajali. Vsi so namenjeni računalniku ZX Spect r um. Stanislav Trstenjak nam je na kaseti posl al kar devet programov. V spremnem pismu piše, da jih je kot učitelj f i zi ke in tehnične vzgoj e s pridom uporabljal pri pouku. Programi so namenjeni predvsem pouku fizike v sedmem in osmem razredu kot dodatek k demonstracijskim eksperimentom. GIBANJE : V programu je shematsko predstavljeno vozilo, ki se giblje enako~li enakomerno pospešeno. Hkrati z gibanjem se r i še graf pot-čas. Po izrisu grafa program i zpiše formulo za izračun poti , ki je predstavljena tudi grafično, s pomočjo ploščine. Pohvaliti velja zlasti velike črke, s katerimi se izpisujejo formule. ~~ : Program i zriše vezje, na katerem praktično izvajamo eksperiment. Program prikaže tu di for mul o za izračun upornosti in graf tok-napetost. UPORNIKI : Program prikazuj e značilnosti pri zaporedni in vzporedni vezavi upornikov. Ob grafi čnih predstavitvah značilnosti je nUjno potrebna raz l aga učiteljev. TOPLOTA : Program je uporaben pr i demonstracijskem poskusu za določanje specifične toplote vode , oz. pri ugot avl j anju zančilnosti segrevanja vode in ledu. Služ i za tabeliranje podatkov, risanje grafa temperature v odvisnosti od časa. IZDELKI : Ta program lahko uporabljamo pri pouku tehnične vzgoje, za r i sanj e izdelkov v pravokotni pro jekciji. Program predstavi osem izdelkov , pr imernih za izdelavo v osnovni šoli, narisanih v pravokotni pro jekciji. Opr emlj eni so z orienatacijsko kosovni co in kratkim navodilom za i zdelavo predmeta. 62 Pri programih j e dobro to, da lahko hitrost izvajanja programa prilagodimo razlagi, saj moramo za vsako akcijo pritisniti tipko. S pomočjo teh programov lahko popestrimo pouk, saj progr-ami nadomeš čajo zamudno risanje in pisanje po tabli. Pohvaliti velja tudi to, da se vsi važnejši podatki izpišejo povečani. Še avtor jev naslov: St ane Trs tenjak, Rozmanova 4, 66330 Pir-an. simon Kajtna i z OŠ A.Aškerca , Ri mske Toplice je poslal dva programa, ki sta namenjena učencem nižjih r azr edov osnovne šol e . RACU1!ANJE 1 utrjuje znanje iz seštevanja in odštevanja, RACUNANJE 2 pa preverja znanje množenja in deljenja števil do 100. Programa odlikuje velikost številk, s katerimi izpisuje račune. Učence niŽjih ra zredov verjetno pritegne tudi to, da jih računalnik ogovarja po i menu, ki ga vnesejo na začetku programa. Škoda pa, da pr ogram ne ispisuj e različnih komentarjev , se ne šali z uporabn ikom •• •• Pri programih take vrs t e moramo namreč paziti na čim večjo različnost ' dodatkov ', saj je program namenjen samostojnemu utrjevanju znanja , ki pa brez primerne spodbude kaj kmalu postane dolgočasno. Nasl ov: Simon Kajtna, Trsteniška ulica 3, 63272 Rimske Toplice. Brane Lužar je posl al tri programe. Vsi so pisani v Basicu, kar omogoča enostavne spremembe in prilagoditve programa . Programi so zel o skrbno grafično opremljeni, od uporabe šumnikov, ki je v šol ski h programih nujna, do risb, ki popestrijo razlago. ~ je program, ki naj bi učenca petega razreda naučil računanja prostornine kocke in kvadra. 'Namenj en je samostojnemu delu učencev, saj je opremljen z razlago, ki jo spremljajo tudi slike. Razlagi sledijo primeri, na koncu pa je test, ki je namenjen preverjanju naučenega znanj a . Tudi program~ je sestavljen na enak način: iz razlage, primerov in testa. Tema je množenje ulomkov. Tako kot pri prvem programu je tudi tu veliko pozornosti posvečeno lepemu in preglednemu izpisu. Ul omki se i zpisujejo v običajnem, nelinearnem, zapi su, tako da uporaba računalniškega zapi sa ne moti uporabnika. Programa lahko uspešno nadomestita razlago učitelja, ki se na ta način l ahko bolj posveti posameznemu učencu. Zato je smiselna uporaba gesla na za četku, ki omogoČa, da vsi prično z del om istočasno. Računalnik zahteva gesl o t udi na koncu, zat o da si učitelj lahko ogleda rezultate t es ta. Nasl ov: Lužar Brane , Pr eser j e 3, 61352 Preserje pod Krimom. , Prav posebno pohval o pa zasluži zadnji program, ki ga bomo predstavili v tej š t evilki. Da bi olajša l izvedbo občinskega tekmovanja za Vegova priznanja, j e učenec 8. r OŠ Dani l e Kumar i z Ljubljane, Milan Hudnik naredil 63 program za urejanje rezultatov tekmovanj in i zpis t eh na t iskalnik. Program URTEK (ure j eva l ni k rezultatov tekmovanj ) je uporaben za spremlj anj e poljubnega tekmovanja. Del o z njim je enostavno, poteka pr eko menujev. Omogoča vnos in izpis podatkov o tekmovalcih , vnos r ezul tat ov, urejanje tekmovalcev po doseženih rezultatih, spremi njanje podatkov, izpis rezul tatov , iskanje tekmovalcev, ••• , skratka vse , kar mora vsebovati ta program. Glavna odlika programa pa je i zredno skrbno pripravljena dokumentacija. Navodi l a so natančna in podr obno opisuje jo vs e možnosti. Prav tako j e opisan način, ka ko pr ogram priredimo za delo z mikrotračniki. Naslov šole: OŠ Dan i l e Kumar, Godeževa 11, Lj ubljana . Ža l zaradi rokov za oddajo gradiva ne moremo počakati , da bi dobili š e več programov . Ponovimo zato š e enkrat, da akci ja ni končana in pričakUjemo, da bo res zaživela v tem š ol skem let u. To pa je odvisno, dragi bralci , predv s em od va šega odziva. Vsem avtorjem predstavljenih se zahvaljUjemo za sodelovanje. za nj ihov trud j ih bomo nagradili s knjigo B. Moharja in E. Zakra.j ška: Programski j ezik Pascal, Milana Hudni ka pa z zbirko Razuml jivo in preprosto z osebnim računalnikom. Matija Lokar PRESEK - LIST ZA MLADE MATEMAT IKE, FIZIKE IN ASTRONOME 14. letnik, šo lsko leto 1986/87, številka 1, strani 1 - 64 UREDN IŠKI ODBOR : Vlad imir Batagelj (b istrovldec] , Danijel Bezek, Dušica Boben (pisma bralcev, stavljenje teksta), Andrej Čadež (astronornlia) , Martin Čopič, Bojan Goll i (tekmovanja - nolege iz fiztke}, Pavel Gregorc, Boja n Mohar (matematika), Andrej Kmet, Jože Kotnik, Edvard Kramar (odgovorn i urednik), Sand i Klavžar in Matija Lokar [računalništvo}, Gorazd Lešnjak (tekmovanja - naloge iz rnatematikel , Andrej Likar (Presekova knj ižnica - fizika), Franci Oblak , Peter Petek (glavni urednik, naloge bralcev, premisli in reši) , Tomaž Pisanski, Tomaž Skulj, Ivanka Šircelj (jezikovni pregled), Miha Štalec (risbe), Zvonko Trontelj (fizika), Marjan Vagaja, Cir il Velkovrh (u redn ik, nove knj ige, nov ice). Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov : Društvo matemat ikov , fizikov in astronomov SRS - Podružn ica Ljubljana - Komisija za t isk , Presek, Jad ranska c. 19 , 6 1111 Ljubljana, p.p, 64, tel. (0611 265-061 /53, št . žiro računa 50101-678-47233. Naročn ina za šo lsko leto 1986/87 je za posamezna naročila 1000.- din, za sku pinska naročil a pa 800.- din, posamezna številka 250.- din/200.- din. List sof inancirajo Izob raževalna, Kulturna in Raz iskovalna skup nost Sloven ije Ofset tis k Časopisno in grafično pod jetje DEL O, Ljubljana © 1986 Društvo matematikov, fizikov in ast ro nomov SRS - 800 64 ISSN 0351-6652 CIO cv) cv) cv) u'l cv) o c.o cv) KRATKOČASNE VŽIGALICE - rešitve TOMOGRAFlJA S POZITRONSKIMI SEVALCI 3 Slika 3. Standardna naprava PET za slikanje možgan. Scintilaci]- ski števci so razporejeni po obodu kroga. 5b5a Slika 5 . Slika PET prereza možgan, na kateri je viden tumor. Ta slika in slika 3 sta vzeti iz članka M.M. Ter-Pogossian, M.E.Rai. chle , B.E . Sobel, Positron-emission tomography, Scientific Ame- rican 243 (1980) 141 (4),