A. Diirer, Me/anholtja , bakrorez 1514 MAGiČNI KVADRATI Uvod Magični kvadrat sestavljajo v kvadratno matriko urejena naravna števila . V njem so vsote števil v vrsticah, v stolpcih in v obeh diagonalah med seboj enake. Lahko tudi zahtevamo, da ima magični kvadrat še kake dodatne lastnosti, npr. da njegovi elementi sestavljajo kako predpisano množico naravnih števil. Magični kvadrat razsežnosti 4 x 4 z vsotami 34 na množici {1, 2, 3, ..., 16}: 16 5 9 4 3 10 6 15 2 11 7 14 13 8 12 1 srečamo pri renesančnem umetniku in učenjaku Albrechtu Diirerju (1471- -1528); ta ga je 1. 1514 ovekovečil na bakrorezu "Melanholija". Iz približno istega razdobja poznamo "kitajski" magični kvadrat razsežno- sti 6 x 6 z vsotami 111 na množici {1, 2, 3, " ', 36 } 27 29 2 4 13 36 9 11 20 22 31 18 32 25 7 3 21 23 14 16 34 30 12 5 28 6 15 17 26 19 1 24 33 35 8 10 Za to priložnost je sestavil pisec "šahovski" magični kvadrat razsežnosti 8 x 8 z vsotami 64: 15 5 4 12 5 11 6 6 6 9 11 9 8 7 10 4 10 6 6 9 9 6 9 9 3 12 11 2 10 8 7 11 5 8 10 8 3 15 8 7 8 8 12 7 1 8 15 5 9 4 8 6 22 4 5 6 8 12 2 11 6 5 4 16 289 A Diirer n i bil samo velik umetnik, ampak se je uspešno ukvarjal tudi z naravoslovjem, še posebno pa z geometrijo. Objavil je dela o perspektivi in o geometrijsk ih konstrukcijah z ravnilom in šestilom. Človeške organe je proučeval z opisnogeometrično metodo tako , da jih je projiciral na vse tr i projekcijske ravnine. Ne vem , kako je A. Diirer sestavil upodobljeni magični kvadrat. Morda je bil tedaj že znan kot "Jupitrova mizica"? Morda se je pretolkel do njega z uqi- banjem? Morda je uporabil metodo, ki jo je opisal Borut Za lar v 5. številki letošnjega " Preseka" ? Z matematičnega vidika gre pri sestavljanju magičnega kvadrata za reševa- nje sistema več linearnih enačb s še večjim številom neznank; ob tem pa morajo biti neznanke naravna števila in morajo zadoščati še kakim dodatnim zahtevam . Za začetek se lotimo magičnih kvadratov dimenzije 3 x 3 . Poskusimo sestaviti magičn i kvadrat razsežnosti 3 x 3, ki ima v prv i vrst ici števila 37 19 34 Z ugibanjem je kr iž; lahko, da se nam sploh ne posreči. Pomagajmo si torej z algebro . Pri sestavljanju magičnega kvadrata razsežnosti 3 x 3 z vsotami s je treba v naravnih številih rešiti sistem 8 enačb z 9 neznankami. Sistem enačb in reševanje sta podana v tabelarični obliki. (stran 323) Iz sistema enačb lelimini ramo neznanke ZI, Z 2 in Z 3: Zl=S -X1-Y1 Z2=S-X2-Y2 Z 3=S-X3-Y3 in dobimo sistem enačb II. Iz tega eliminiramo in dobimo sistem III . Iz tega eliminiramo 290 1 2 3 4 5 6 7 8 desna stran enačbe 5 5 5 5 5 5 5 1 5 2 1 1 5 3 1 1 1 1 2s II 7 1 -1 1 -1 O 8 -1 1 -1 1 O ---------------------------------------------- 1 1 III 2 1 3 2 8 -1 1 1 IV 2 3 3 4 1 V 2 1 -1 1 2 1 2 -1 1 1 -3 3 -2 3 5 S 25 O 5 5 25 5 5 in dobimo sistem IV. Iz tega eliminiramo in dobimo sistem dveh enakih enačb V. Po primernem izboru vredn.osti Xl, X 2 , X 3 dobimo retrogradno iz elirnl- nacijskih enačb: 291 1YI = - (-2XI + X 2 + 4X3 )3 Y2 = ..1 (X 1 + X 2 + X 3 ) 3 1Y3 = - (4X 1 + X 2 - 2X3 ) 3 1ZI = 3" (2XI + 2X2 - X 3 ) Z 2 =i(2X1-X2 +2X3 ) Z3 = i (-Xl + 2X2 + 2X3 ) Ob zahtevi, da morajo biti neznanke naravna števila , dobimo od tod naslednje navodilo za sestavljanje magičnih kvadratov razsežnosti 3 x 3 . Izhajajoč od naravnih števil XI , X 2 inX3 z vsoto s=XI +X2 +X3 lahko sestavimo magični kvadrat, če števila zadoščajo naslednjim pogojem: 1. Vsota s je delj iva s 3. 2. Vsako števi lo je manjše od vsote drugih dveh števil. 3 . Veljata neenačbi: 2XI Oo O 1'1, .. L.... "'.- ' 1." :Jt:..lJI .. :x '"L N M _ . E '":> .... L.')+'c:> .~ .''J ) 88 (!M20 40 E,0 1 ' I ~\ ~ "rv\ t\;. 'i', ~ \.., " ~ \ . 1\ \ E 10 ..., L x: ) fl.' o t~ .~ 1",- 1 Ol" :x::. ..n lil;;) o o'" ",1) :x'"o L '" C L . 1 1 'J I ii, E - u, DL E o o -r '-' Q.c~ • C:UMU 1u s 1epe~.e v rs r~e nČ' <- Močno t"'Č14: vit c unu l us '" 4':i 10 ~ CM3~u~ (') . E- 3LI> 10 .... L.') +' C '-l ·... ::. :> b Slika 3 . Če razvrstimo delce v oblakih po velikosti , dobimo spekter, kar nam pove, ko- likšno je število delcev v posameznem razredu velikosti. Slika a kaže spekter oblačnih delcev s premerom pod 100 11m, b pa padajočih delcev, ki so večji. Največje dežne kapljice so velike nekaj mm, saj se še večje predvsem zaradi zračnega upora kaj hitro razletijo. 298 vodo v tekočem stanju. Skupno sipanje je posledica vseh posamezn ih sipanj. Radarski odboj je torej odvisen od tega, 1. kako velik je volumen, ki ga naenkrat preiskuje en radarski sunek, 2. kolikšno je število oblačnih in padajočih delcev v tem volumnu, 3 . kako so ti delci porazdeljeni po velikosti (kakšen je spekter delcev), 4. v kakšnem agregatnem stanju so ti delci (kakšne so optične lastnosti K za delce), 5. kakšna je valovna dolžina elektromagnetnega valovanja, s katero dela radar, 6. in še od nekaterih pomembnih stvari. Pri običajnih radarjih imamo za vse te vplive na volje le en sam podatek o razmerju med sprejeto in oddano močjo. Zato je razumlj ivo, da v radarsko meteorologijo vpletamo še spoznanja o dogajanjih v oblak ih. Iz slike 4a vidimo, da imajo vodne kroglice izbrane velikosti enak sipaini presek kot ledene krogli- ce neke druge velikosti. Tudi majhno število velikih kapljic lahko enako siplje kot veliko število majhnih kaplj ic in tako naprej. Zato uporabljamo še podatke o poteku temperature, vlažnosti in vetra z višino, ki jih izmerimo z radiosonda- mi na dvigajočih se balonih. Učinkovito si pomagamo tudi z računalniškimi modeli, saj z njimi z nume ričnimi simulacijami do neke mere ugotavljamo, kakšen "bi moral biti" oblak, ki je nastal v določenih okoliščinah v ozračju. Za podrobnejše spoznavanje fizike oblakov v svetu uporabljajo tudi posebej opremeljena letala, ki v oblakih samih jemljejo vzorce delcev in merijo tudi dru- ge meteorološke kol ič ine. Na tleh so ponekod mreže de žemerov , tudi takih, ki zapisujejo časovni potek jakosti padavin. Točemeri so naprave , na katerih osta- Preglednica tehničnih karakteristik meteorološkega radarja WR 100-2/77 na Lisci nad Sevn ico Proizvajalec : Enterprise Electronics Corp.. Alabama, USA valovna dol žin a širina radarskega snopa čas trajanja sun ka pogostost sunkov največja moč občutljivost doseg čas, potreben za p regled celo tnega ozračja v dosegu radarja 5,3 cm [t.im . C pas) 1 ,1 stopinje 3 J.lS 255 s-' 250 kW 103 dBm 450 km okrog 5 minut V radar sam je vgrajen predprocesor, ki digitalizira radarske podatke. Pri radarju sta še dva rač u n a l n i k a Iskra Delta 0-340/10 s programsko opremo za opazo- vanje in arhiviranje podatkov o obl akih ter za operativno vodenje ob rambe proti toči. 299 nejo tako ali drugače ohranjene sled i o tem , ko li ko in kako vel ika zrna toče so padla nanje. Vse te inf or macije povezujemo pr i proučevanju f izike oblakov s podatki, ki j ih daje radar, pa tud i s splošnim vremenskim dogajanjem, k i je vzro k za nastanek posameznih vrst oblakov . Tudi sama radarska tehn ika izbo ljšuje informacije. Dopplerjev radar poleg oddaljenosti in odbojnost i obla ka meri tud i valovno dol žino odbitega elektro- magnetnega valovanja in iz tega določa komponente hitrosti delcev, na kat er ih je prišlo do sipanja . Mreža vsaj treh Dopplerjevih radarjev daje tridimenz ionalno sliko giban ja oblačnih in padajo čih delcev. Kap ljice pri padanju niso okrogle, temveč odspoda j zaradi zračnega upora vbočene. Če jih to rej gledamo z radarjem, k i dela z valovanjem , ki je omejeno le na vertikalno ravnino , dobimo drugačen odboj, kot č e j ih gledamo z ra- darjem, katerega valovanje je omejeno na hor izontalno ravni no . Ker rečemo , da je valovanje, ki valov i le ven i ravnini, po lariz irano , se imenuje radar, ki lahko mer i na oba opisana načina , radar z dvojno polar izacijo. Z nj im lahko delno ločimo vodne kaplj ice od ledenih delcev , k i pri padanju niso deformi rani, 3 1 0 2 ef') OJ "TJ n' 1)' . - 10-; x: '1' Il' " "TJn' o L > lO n, .- u C .- . , IJ' o o .- L,, '" .~ ~ -1 :> N 1 0 ..... n, ~ E x: m Il ' ln ~ O -2 0.1 O 113 lod ~ ...... f r: v () d ;. r\ ,- V 1/ ' " \\' 11/ J,' v A=lO e , 1/ J e f') 10 l e d r,,("j --J \ I I I I vd~ r r-- dJ\V -A. (\ 1 1 A= 3 .3 e f') 1) II'I I 2 4 5 E: 10 C f') O 2 4 5 8 1 0 C f') o r e n s r- k r-oc I iCE: a b Slika 4 . Sipaini presek kroglic ledu je odv isen od velik osti in od valovne dol žine elektro- mag netnega val ovanj a . al Pri radarju , ki de la z valovno do lžino 10 cm, je efek tiv ni sipaini prese k za 2,5 cm velik e kroglice ledu enak sipa lnem u presek u za 1.7 cm ve like krog lice vode . b] Če pa ima mo mož no st upo rab it i tu d i radar z va lovno d o lžino 3.3 cm , b i dob ili za 2.5 cm ve!ike krog lice led u efektivni sipa lni presek 4 cm " , za 1.7 cm velike kroglice vode pa le 0.1 ern". Tako raz lo č i m o z vodo ob lita zrna to če od povsem suh ih zrn toče . 300 al i pa določamo hitrost padanja kap ljic : pr i večji hit rosti so bolj defo rmirane. Precej zapleteni so tud i radarji, p ri katerih je mogoče izbirati valov no dol- žino oddanega valova nja. T ak i radarji z več valovnimi dolžinami do kaj dobro ločujejo odboj na led u od odboja na vod i. Ta ko lahko loč imo ledene kristalčke od kaplj ic al i pa točo od snežink (glej sliko 4) . Brez računalni kov ob vsej zapletenost i merje nj p ri modern ih radarjih v meteorologiji ne gre . Radarske podatke je pogosto t reba proučevat i tudi za nazaj , da si pojasnimo kak pojav . Ker radar zbere v kratkem času ogromno podatkov iz vel ikega števila b inov v prosto ru , je treba te podatke urejeno arhi - virat i, d a vemo , kateremu delu prostora in kat eremu času pripadajo . Radarji se upo rabljajo tudi pri obrambi proti toč i. Tud i tam je potreben računalnik, ki je povezan z radarjem. Ta glede na podatke rad arja po vnaprej postavljenih postopk ih avtomatično vodi izstreljevanje ra ket . Računalnik izračuna , koliko raket je treba iz posamezn ih i z strel išč izst relit i v dele oblaka. Operate rju o brambe ostane le še, da po U KV zvezah o tem obvest i strelce in potem v rač u ­ nalni k vstavi sporoč ilo o izst relitvi. S snovmi, ki jih rakete razpršijo v izb ranem delu oblaka, skušajo vplivati na rast ledenih zrn in tako točo vsaj omiliti . Jože Rakovec NALOGE k članku na str. 305 1. V skladu S1 imamo števila, ki smo jih vstavljali v naraščajočem vrstnem redu . Prestavi jih v sklad S2 tako, da bodo tam razv rščena , kot da bi jih vstavljali v padajočem vrstnem redu . Pri tem smeš uporabljati le osnovne operacije nad skladom. 2. Druga naloga je podobna prvi, le da hočemo števila iz sklada S1 pre- st aviti v sklad S2 tako, da bodo v S2 razvrščena enako kot v Sl. Pri tem lahko uporabiš pomožni sklad S3 in osnovne operacije nad skladom. 3. V skladu S1 imamo števi la v poljubnem vrstnem redu. S pomočjo pomožnega sklada S3 in osnovnih operacij nad skladom jih razvrsti v sklad S2 tako, da bodo v skladu S2 urejena padajoče, Pošljite nam rešitve. Najboljše bomo objavili . Matija Lokar 301 OC-Oll '\lll"7'110, ,_, 1" _1 u» ,'-,, ZVEZDA, KI PULZIRA V prvi številki letošnjega PRESEKA si lahko prebral sestavek o zanimivi zvezdi Algol, ki tako spreminja sij, kakor da bi mrkala. Si opazoval to zvezdo , kot smo ti predlagali in svetovali? Si zaznal spremembo njenega sija? Če tedaj nisi. imel možnosti, bo š pa morda v poletnih počitnicah našel č as za podobno opazovanje . V jasnih poletnih nočeh, ko ni hladno , je prav zan imi - vo, še bolj pa romantično, opazovati zvezde. Tokrat ti predlagamo, da opazuješ zvezdo Eta (7)) v ozvezdju Orla in 302 1Jm Slika 2. Graf kaže, kako nih a sij kefeide Tj sij Orl a. S pozornim in vztrajnim opazo - 3,5 m vanjem spre membo sija te zvezde zagotovo ugotoviš s prostim očesom , z daljnogle- dom pa še bolj e . 4,3 m . . čas!--7 dni __: poskušaš ugotoviti sp remembo njenega sija . To zvezdo brez t ež av izslediš s prostim očesom (slika 1). Opazuješ jo lahko tudi z daljnogledom, ki pa ga mo- raš postaviti na trdno stojalo. Eta Orla je znana spremenljivke, to je zvezda, ki spremi nja sij (svetlobo) . K sp remenljivkam spada tud i Algol , vendar ima Eta Orla povsem drugačne lastnosti kot Algol. Eta Orl a je namreč kefeida. Kefe ide so o rja ške zvezde , več desetkrat večje od našega Sonca. Se k rč ij o a) 0,6 : ~ : b) eOR --- ~- --- ~--; :Slika 3 . Spreminjanje sija Ia) , polmera (blin pov ršinske temperatu re (cl kefeid e - shema. Poznamo kefeide , katerih sij niha s periodo enega do več deset d ni. Kefeide spadajo k o rjaškim zvezdam. Eta Orla ima na primer okoli 50-krat večji polmer od polmera našega Sonca, sama zvezd a pa pul zira z amp litudo okoli 5 polmerov So nca. T 7000 K 5000 K c ) čas Slika 1. Značilna ozvezdja poletnega neba. Vrisali smo lego nekaj vesol jskih objektov, ki jih lahko opazuješ z daljnogledom . M12, M13, M92 - kroglaste zvezdne kopice ; El in €, Lire - dvojna zvezda z razmikom med zvezdama 3,5' (loč i prosto oko) ; "y Delf ina - dvo jna zvezda (10"); {3 Laboda - dvojna zvezda (35 "); Tj Orla - spre men ljivka, kefeid a s periodo spreminjan ja sija 7,2 dni. 303 in smjo , to je, sprernmja jo svojo velikost , točn eje polmer . Drugače rečemo, da take zvezde pulzirajo (utripsjo]. Pri pulziranju se jim sp rem inja površinska temperatura . Od t emperat ure pa je tudi odvisna oddana svetlobna moč zvezde. Pul ziranje je period ični pojav . Oddana svetlobna moč kefeid e torej ena ko - merno niha in zato tud i svetlo ba , k i z zvezde pa de v na še o ko. Ko pozorno opazujemo ta ko zvezdo, kot je na p rime r 17 Orla , lahko ugotovimo, d a se ji sij period ič no sp re minja - niha. Per ioda n ihanja sija Eta Orla je okoli en teden (slika 2). Po skusi se na lastne oč i prepri čati , da 17 O rla res spreminja sij. V jasni noči zlezi v spal no vrečo , lezi v t ravo ali pa na udobno klop in čez kake pol ure, ko se oko že dobro privad i teme in je vse bolj občutljivo , začn i z opazovanjem. Pomembno je le , da ugotoviš sp remembo sija glede na o koli ške zvezde, ki sija ne sprem injajo. Opazuj Eta Orla več zaporednih večerov (noči), vsak večer pa vsaj nekaj ur. Najbolje jo opazuješ okat i časa njenega največjega sija, k i pa ga poskusi ugotoviti kar sam . Če boš to zvezdo vztrajno in pozorno opazoval, bo š zagotovo zasled il sp remembo sija. Pa dosti sreče , še več pa už it ka in sprostitve p ri opazovanju v t išin i nočne na rave! MarijanProsen OBVESTILO TEKMOVALCEM ZA VEGOVA PRIZNANJA Ker nas v pismih večkrat sprašujete, kje in na kakšen način se vam osvojena Vegovapriznanja upoštevajo pri nadaljnem šolanju, vam moramo povedati tole: Na srebrnih in zlatih Vegovih priznanjih je zapisano priporočilo srednjim - šolam in delovnim organizacijam ter drulbenopolitičnim skupnostim, naj vaš uspeh upoštevajo pri podeljevenju štipendij oziroma preizkusih znanja pred vpisom v srednje šole. To priporočilo pa institucij ne obvezuje, naj tako tudi ravnajo. V preteklem šolskem letu, ko smo sprejemali novi Pravilnik o tekmovanju za Vegova priznanja, je Strokovni svet SR Slovenije za vzgojo in izobralevanje izoblikoval mnenje, da se lahko med kriteriji za vpis v 1. letnik srednjega izo- bralevanja upošteva zlato Vegovo priznanje, ki ga učenec osvoji v 8. razredu. Odločitev o tem, ali se bo to priznanje upoštevalo ali ne, pa sprejme PIS (Po- sebna izobraževalna skupnost) vsake usmeritve. Tako so bili v lanskem letu učenci, ki so se vpisali recimo na naravoslovno matematične šole, oproščeni sprejemnega izpita iz matematike, lahko pa bi (če bi PIS tako določil) na sprejemnem izpitu dobili le določeno število dodatnih točk. Podobno prednost so imeli nagrajeni tekmovalci fiziki, če so se uvrstili med nagrajencerepubliške- ga tekmovanja. Aleksander Potočnik 304 onrll,\lo, N'/C Tl '[1"" __ '1' IL 1_' 1 ~_ PODATKOVNA STRUKTURA SKLAD S pojmom sklad se v vsakdanjem življenju dokaj pogosto srečamo. Tako se v jeseni v kleteh pojavijo zaboj čki s krompirjem in jabolki, zloženi drug na drugem v sklad, železničarji imenujejo sklad razporeditev tirov, ki jim omogo- ča prestavljanje vagonov, v kuhinjski omarici so krožniki zloženi eden vrh dru- gega, '" VHOD =1= SKLAD IZHOD Tudi v računalništvu se pogosto srečamo s pojmomsklada . Pravimo, da je sklad ena osnovnih podatkovnih struktur. ln kaj sploh je podatkovna struktu- ra? Najkrajše jo lahko označimo kot skupino podatkov, nad kater imi lahko iz- vajamo določeno operacije. Definicija sicer ni povsem natančna, tudi pomanj - kljiva je, a bo za našo rabo povsem zadostna . Če hočemo torej predstaviti sklad, moramo ugotoviti , katere so operacije, ki so za sklad najbolj značilne . Odpravimo se zato v skladišče, kjer je gotovo ve- liko skladov zabojev . Postavimo se tja v kot, da ne bomo v napoto, in opazuj - mo. Pripeljal je tovornjak, naložen s štedilniki. V il ičarji ga razk ladajo. Prvi za- boj gre na tla , drugega položijo nanj, na tega spet tretjega, . oo Mimo pride skladiščnik in nekaj razburjeno vpije. Nekaj je narobe. Aha! Štedilnik, ki so ga naložili kot drugega, ne spada sem, ker je druge vrste. Kaj pa sedaj? Kar ven se ga ne da potegniti, saj so nad njim naložen i še trije štedilniki. Zato vili- čar odstrani zgornji štedilnik, ki je b il naložen zadnji, nato naslednjega, še ene - ga in šele sedaj pride na vrsto napačni zaboj. En viličar ga odpelje, drugi pa na - 305 loži preostale tri zaboje v sklad . Vidimo, da zaboje jemljejo iz sklada ravno v obratnem vrstnem redu, kot so jih nanj nalagal i. In to je tudi glavna značilnost sklada : element, ki prej pride v sklad, ga zapusti kasneje . Zato v tuji literaturi sklad imenujejo tudi UFO seznam. UFO je kratica za Last ln Fir st Out. Sklad je torej seznam, kjer element, ki gre zadnji "noter", pride prvi "ven". Pa še eno značilnost sklada smo lahko opazili v skladišču. Vse, kar se s skladom dogaja, se dogaja na enem koncu. Na istem koncu nalagamo elemente, z ist ega konca elemente jemljemo . Zato ta konec zasluži posebno ime. Imenujemo ga vrh sklada . Kate re bodo torej operacije, ki jih bomo izvajali nad skladom? Najprej si moramo prostor za sklad pr ipraviti . Ustezno operacijo bomo imenovali kar PR IPRAV 1. V sklad vstavljamo in iz njega jemljemo elemente. To bosta izvajali operaciji VSTAVI in ODSTRANI. Seveda lahko iz sklada jemljemo elemente le toliko časa, dokler ta ni prazen . S pogojem PRAZEN bomo kontrolirali, če je v skladu še kaj elementov. Pogosto nas zanima tudi to, kateri element je na vrhu sklada. To operacijo bomo imenovali VRH. Operacije smo tako določili. Še vedno pa n ismo nič rekli o tem, zakaj sklad uporabljamo v računalniku in kako ga v računalniku sploh predstavimo. Odložimo to še za trenutek in poglejmo, kako b i formalno opisali podatkovno strukturo sklad. V prvem delu predstavitve strukture, označenem s declare, naštejemo ope- racije , ki jih lahko nad to podatkovno strukturo izvajamo, v drugem delu, ozna- čenem z where, pa bomo našteli pravila, ki jih mo rajo te operacije upoštevati. Kakorkoli potem predstavimo sklad v računalniku in na kakršenkoli način te operacije sestavimo kot procedure, mora ta predstavitev zadoščati naštetim pravilom . Omenimo le operacijo "Prazen", katere rezultat je logična vrednost, ki jo bomo označili z Boolean. Oznako za ta tip si bomo sposodili iz program- skega jezika pascal. Izraz tipa Boolean lahko zavzame dve vrednosti, pravilno (true) ali napačno (falsel . Sklad je tako definiran in ga lahko uporabimo . Vrste uporabe sklada so v računalništvu številne . Tako brez sklada ne moremo speljati rekurzije , upora- bljamo ga pri izračunu izrazov, služi nam za označevanje vrstnega reda obde- lovanja podatkov, kjer moramo določene korake opraviti šele kasneje , ko so izpolnjeni d rugi pogoji. Poglejmo si primer . Denimo, da izvajamo nalogo A. Med izvajanjem pa pridemo do točke, ko moramo najprej opraviti nalogo B, da bi z nalogo A lahko nadaljevali. Zato se lotimo naloge B. Še prej pa si mo ra- mo zapomniti, kje moramo nadaljevati , ko bomo končali z nalogo B. Zato v sklad shranimo potrebne podatke iz naloge A. Pr i opravljanju naloge B pa mo - ramo spet najprej izvesti nalogo C. Spet shranimo ustrezno informacijo v skla d 306 structure sklad (* struktura "sklad" nad poljubno zalogo vrednosti tipa "podatek"*) begin declare (*pripravi prazen sk lad *) p ripravi: lil=> sklad ; (*vstavi podatek v sklad in vrne nov sklad *) vstavi : (podatek, sklad) => sklad, (* vrne podatek, ki je na vrhu sklada *) vrh: sklad =>podatek; (* izb riše vrhnji element sk lada in vrne novi sklad * ) odstran i: sklad => sklad; (* ali je sklad prazen *) prazen: sklad => Boolean; where prazen (pr ipravil := true; prazen (vstavi (p.sl) := false; odstrani (pripravi) := napaka; odstrani (vstavi (p,s)) := s; vrh (pripravi) := napaka; vrh (vstav i (p,s)) := p; end. in pne nemo izvajati nalogo C. Po nekaj korakih ta spet zahteva, da najprej opravimo nalogo D. V sklad shranimo podatke o C in se lotimo naloge D. To uspešno končamo. Kaj pa sedaj? Edina naloga , ki jo lahko izvajamo, je nalo- ga C, saj A zahteva, da je končana naloga B, le-ta pa, da je končana naloga C. Nalogo C vzamemo z vrha sklada in izvedemo do konca. Nadaljujemo z izvajanjem naslednje naloge na vrhu sklada. To je naloga B. Vendar po nekaj korakih le-ta spet zahteva, da dokončamo še nalogo E. Zato B ponovno uvrsti- mo v sklad in izvedemo nalogo E. Ko to končamo , se ponovno lotimo vrhnje naloge v skladu, B, in ko je opravljena, iz sklada vzamemo še zadnjo nalogo A in jo dokončamo. Spreminjanje sklada je prikazano na sl iki 2. Vidimo, da v vsakem trenutku med obdelavo sklad avtomatično vzdržuje vrstni red , potreben za uspešno izvajanje naloge . Na ta način računalnik tudi nadzoruje izvajanje programa, č e je A glavn i program, B, C, D in E pa ustrezni podprogrami. Ostane nam le še , da sklad predstav imo v r ač u na l n i k u . Načinov predstavi- tve je več , odv isno tu d i od uporabe določenega programskega jez ika . Uporab ili 307 Slika 2 - I,-EEI 1-1 A - E8-1 I-EB -IA A I - I bomo kar BASIC in predstavitev s pomočjo tabele . Za podatkovno strukturo "sklad" je povsem dovolj. da poznamo njen vrh, kajti tja vstavljamo in od tam brišemo podatke, ter da poznamo razvrstitev elementov. Če uporabimo linearno predstavitev ali predstavitev s tabelo, je vrstni red določen kar z indeksom elementa v tabeli. Element, ki je na vrhu sklada, ima najvišji indeks, njegov predhodnik indeks za eno manjš i, Oo. V de- finiciji sklada nikjer nismo omejili števila elementov, ki so naenkrat lahko v skladu. Ker pa si moramo za tabelo rezervirati prostor , bomo z VELIKOST označili maksimalno število elementov, ki jih i stoč asno lahko vodimo v skladu. Kot smo rekli, bomo sklad predstavili s tabelo, k i ji bomo rekli SKLAD . Potre - bujemo še spremenljivko , ki označuje vrh sklada . To naj bo kar VRH. Če smo v sklad zaporedoma vstav ili števila 3, 1, 6 in 8 in imamo v skladu prostor za 9 elementov, bo sklad v tem trenutku predstavljen ta kole: VELIKOST = 9 VRH = 4 SKLAD ( 1) = 3 SKLAD( 4) = 8 SKLAD(7) = SKLAD (2) = 1 SKLAD( 5) SKLAD(8 ) = SKLAD(3) = 6 SKLAD(6) = SKLAD(9) = Sestavimo sed aj podprog ram, s pomoč j o katerih izvajamo potrebne ope- racije . 10 REM 20 REM pri pr avi skl ad vel i kosti VELIKOST z vr hom VRH 30 REM 40 VELIKOST = . . . 50 DI MSKL AD(VELIKOST) 60 VRH = O 70 RETURN 308 Matija Lokar • 100 REM 110 REM če je sklad prazen, dobi spremenljivka PRAZEN 120 REM vrednost 1, drugače O 130 REM 140 PRAZEN = O 150 IF VRH = O THEN PRAZEN = 160 RETURN 200 REM 210 RB~ vstavi podatek ELE}lliNT v sklad 220 REM 230 IF VRH < VELIKOST THEN GOTO 260 240 REM sklad je poln - primerno ukrepamo 250 260 REM sklad ni poln 270 VRH = VRH + 1 280 SKLAD(VRH) = ELEMENT 290 RETURN 300 REM 310 REM briše podatek iz sklada in ga shrani v ELEl"'lENT 320 REM 330 IF VRH = O THEN ... : REM napaka, primerno ukrepamo 340 ELEMENT = SKLAD(VRH) 350 VRH = VRH - 1 360 RETURN Zadnji podprogram vsebuje v sebi dve operaciji: ODSTRANI, ki iz sklada naredi nov sklad, in VRH, ki vrne vrhnji element v skladu. S ... smo označili mesta, kjer vpišemo ukaze, ki ustrezajo uporabi sklada v programu. Tako lahko prekinemo izvajanje programa in sporočimo napako, lahko pokličemo ustrezni podprogram, oo. Odvisno pač od situacije, v kateri uporabljamo sklad. V nekaterih primerih bo to znak, da je v programu napaka, drugič spet le znamenje, da program potrebuje večj i sklad . V začetku smo omenili, da je sklad le ena od osnovnih podatkovnih struk- tur. Druge, ki jih prav tako pogosto uporabljamo v računalništvu, so še: drevo, vrsta, kopica, graf, gozd in še mnoge druge . V naslednjih številkah PRESEKA si bomo ogledali še nekatere. Do takrat pa nekaj nalog, ki so objavljene na strani 333. 309 ŠE O UPORABI REKURZIVNIH FORMUL Nad alju jmo naš a razm išljan ja o upo rabi rekurz ivn ih formul. ki smo j ih začeli v četrti številki Preseka. Najprej nekaj pojasnil v zvezi z eksponentno fun kcijo. Naj bo a izbr ano poz itivno št evilo. raz l ič no od 1. Za vsako naravno število n def iniramo an = a.a...e, kje r je v produktu n enakih faktorj eva. Posebej je al =a. Za dve naravni števili m in n velja am+n = ama". Nato definiramo an za poljubno celo število n . Če je n negativno celo število , postavimo an = 1l a- n . Za n = O postavimo aO = 1. Id ent itet a am+n = am an velja potem tud i za dve poljubn i celi štev ili m in n . V naslednjem ko raku definiramo ar za racionaina števila r. Če je r ulo me k p /q , postavimo aP/ q = q.J aP. Nazadnje defin iramo aX , kje r je x realno število. To gre pribli žno ta ko ; izberemo polj ubno zaporedj e racio- na lnih števil rl , rz . .... ki se z rastočim ind eksom p ribližujejo številu x. Opazu - jemo zaporedje e'» , ~r 2, s '>, ... To zapo redje z ra sto č im inde ksom stremi k nekemu točno določenemu realnemu številu, ki ga označimo z e", Preslikava, k i vsakemu realnemu številu x pr iredi vrednost aX , je eksponentna funkcija . Število a je njena osnova . Najpomembnejša lastnost eksponentne fukcije je: ( 1) za poljubn i realn i št evili x in V, razen tega pa velja še: aO= 1, za a > 1 je funkc i- ja x ~ aX naraščajoča. za O< a < 1 pa padajo če, zavzame pa lahko samo po- zitivne vrednosti . Zaporedje števil al , a2, a3, ..., kjer je splošni č l e n dan z izrazom an = = (1 + 1l n )n . stremi proti neki vrednosti. k i jo v matematiki označujemo s črko e. Pr ibl ižna vrednost je e = 2,718281 828459. Poleg števila 11 je to eno y y =exp (p x) x 310 Slika 1 od najpomembnejših števil v matematiki. In ravno število e izberemo za osnovo eksponentne funkcije. ki jo bomo potrebovali . Dostikrat namesto eX pišemo raje exp x. Adicijski izrek (1) je potem (2) exptx + V) = expx exp y BASIC tudi pozna to funkcijo. to je funkcijo EXP . Za pozitivno realno število ~ si oglejmo funkciji x +--* exp(~x) in x +--* +--* exp( -~x). Prva je naraščajoča. in to tem bolj, čim večji je ~. druga pa je padajoča . Č im večji je ~. tem hitreje pada. Prvi ustreza zakon naravne rasti. drugi pa zakon radioaktivnega razpada. Po tej pripravi si oglejmo krivuljo V = A exp(-~x) sin(wx + 1,0). To je krivulja dušenega nihanja. Kasneje nekaj besed o njenem imenu. Število ~ > O bomo imenovali koeficient dušenja . Na računalniku bomo narisali to krivuljo podobno kot na začetku sinusoido . Najprej pa moramo priti do primerne re- kurzivne formule . Abscisam Xo = O. XI ~ lj, X2 = 2lJ• .oo priredimo ustrezne ordinate Vo, VI, V2 . .oo: Vk =A eXP(-~xk) sin(wxk +1,01. k = 0.1. 2.... Vpeljemo pomožno zaporedje ZO , ZI, Z2• .... kjer je zk = A sin(wxk + 1,0). Po- tem lahko zapišemo krajše Iz četrte številke Preseka že vemo. da velja zk+l =2zk cos(lJw) -zk-l' k= 1.2.3.... Odtod hitro dobimo zvezo (3) Označimo Vk+l = 2 Vk exp(-~lJ) costčcc) - Vk-l exp(-2~lJ) C = 2 exp(-~lJ) cos(lJwl. d = exp(-2~) Rekurzivno formulo (3) še enkrat prepišemo: (4) Vk+l =cVk -dVk-l' k= 1.2.3 . ... Če poznamo Vo in VI • potem lahko postopoma izračunamo V2, V3 itd. Pri danih parametrih A. ca, 1,0. ~ in izbranem koraku lj imamo Vo = AsinlP in VI ~A exp(-~) sin(lJw+IP)· 311 Sedaj napišemo nov program, v katerem bomo lahko sami spreminjali vse omenjene parametre. 10 LET m=50: LET a=70 20 LET fi=PI/2: LET b=.09 45 LET f=PI /m 50 LET bl=EXP(-b*f) 60 LET d=bl*bl ' 90 PLOT 0,75: DRAW 255,0 100 LET yO=a*SIN fi 105 LET yl=a*bl*SIN( f+fi) 110 LETc=2*bl *COSf 120 FOR x=O TO 255 130 PLOT x, yO+75 140 LET y2=c*yl-d*yO 150 LET yO=y1: LET y1=y2 160 NEXT x Krivuljo dušenega nihanja dobimo prav tako hitro kot slnusoido , V vrstici 10 lahko spremenimo amplitudo a, gostoto točk m . V vrstici 20 pa pomeni fi začetno fazo tp, medtem ko koeficient dušenja (3 predstavlja spremenljivka b . \J -, 312 / / --------- ./ ./ /y = - e x p ( - ~ x ) / Slika 2 x Č e absc isa x pomeni čas, potem sinusoida y = A sin( w x + tp) op isuje ča ­ sovno odv isnost od klo na id ea lnega nihala od njegove mirovne lege. Za radi t renja in upora zra ka pa nihanje počasi zam re . Od klon i od m irovne lege poje- ma jo . Izka že se , da ravn o eksponentno z nek im koeficientom dušenja ji, enačba y = A exp(-~x ) sin(wx + tp) pa op isuje tako nihanje. Vid eti je , kot da bi nekdo nihanj e du šil, zato govo rimo o d ušenem nihanju. Ustrezno tud i krivul jo imenu- jemo krivu lja du šenega nihanja. Računalnik seveda ne rač u n a natančno. Eno je število 11 in d rugo kon- stanta PI, ki jo poznamo iz BASIC -a . Le nekaj decima lk št evila 11 se skriva v PI. Poleg tega se vrednosti fun kc ij SIN , COS , EXP itd . razl ikujejo od pravih vrednosti fu nk cij sin , co s, exp itd . Po množenju dveh števi l, ki imata recimo 8 decimalk, produkt za računalnik ni znan na 16 decimalk, ampak zopet le na 8. Zaradi tega opisani prog ram i med izvajanjem prinesejo v zanke FOR-NEXT napake. Med izvajanjem za nk pa se zopet delajo raču nske operacije na nekaj decimalk . Lahko se zgodi, da napaka pri rač u na nj u števil Yk ostane v zmernih mejah, lahko pa tudi ne. Bra lec naj poskusi, recimo , izračunati SI N(ko) z BASIC-ovo funkcijo in po metodi re kurzivne formule hkrati . Spreminja naj o in spusti število k precej visoko. Pride do kar znatn ih odstopanj . Za načrto ­ vanje sinuso id in podobnih reči pa je natančnost več kot dobra tudi po metodi, ki smo jo opisali v tem članku. To rej nekako vemo, zakaj nam je kontrola identitete sin2a + cos2a = 1 dala malo slabši rezultat . Lahko se zgodi, da se napake v zanki med seboj kompenzirajo. V prog ramu iz četrte številke Prese- ka, kje r rišemo elipso, poskusimo , kaj se zgodi, če zgornjo mejo za spremenljiv- ko t precej povečamo, t ako da točka vel ikokrat obkroži elipso . Kakega siljenja v spl ralo ni opaziti. Poskusite z elipse še na ta način. da vrednosti SIN in COS ra č u nate stročieno rekurz ivno fo rmu lo. Al i opazite kak šno zavi janje z elipse? Bod i dovolj. Vs i ti zgled i nas poučijo, da se pri reševanju ka kšnega prav posebnega problema včasih izplača ub rati kakšno posebno pot . V tem primeru 50 bile to kotne funkcije. Če ne drugega, je to pr imer, kako lahko čas izvajanja občutno skrajšamo. Marko Razpet " SK L A D " (Gle j prv i članek iz računan i šrva na str ani 305; Boštj an je zelo redno zamujal slu žbo . Ne samo nek aj min ut , tudi pogosto do ene ure. So- de lavc i so negodovali tako dolgo , d a se j e d irekto r le odloč i l in prij azno opozori l Boštj ana: " T ovariš Boštjan , vi pa vse prepogosto zam ujate na de lovno mesto . Ved no pr idete zadnj i v službo . T o vsekakor ni p ravilno v odnosu do vaših sod elavcev. Moral i se boste spreme - nit i. " " Ž e, že, tovariš di rekto r. Ko pr ihajam zad nji v slu žbo , me vsi vid ite . Ko pa od haj am domov vedno prv i , pa n ihče ." Pr iredi l Ciril Velkovrh 313 /"" -'-/i1" -'~~"'" 1CI" I",;" VSOTA PRVIH n NARAV NIH STEVIL V matemat ik i je pogo sto potrebno i zr ač u nat i vsoto prv ih n naravn ih števi l SIn) = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n ( 1) V č la n ku bomo prikazali eno od metod za izračun omenjene vsote , nato pa bomo do bljeno formulo uporabili v primerih. Na premi ci p izberemo n + 1 raz lič nih toč k, ki j ih označimo po vrsti z Al, A 2 , .. . , An ' A n+ 1 (slika 1) . Točko Al lahko spoj imo s poljubno od pre - ostalih n točk tako , da je Al levo krajišče dobljene daljice. Točko A 2 lahko na ist i način spojimo z n - 1 točkami A 3 , .. . r An+ t Tako nadaljujemo vse do to čke An ' ki jo lahko spoj imo le z eno točkoAn + 1. Torej je števi lo vseh daljic, ki vežejo po dve izbrani točki, ravno enako n + (n - 1) + ... + 2 + 1 =SIn) Sedaj razmi slimo še d rug ače . Vsako od izbranih n + 1 točk lahko spojirno z vsako od preostalih n točk, to rej im~_~~_ n.J!!_-f: 1) mo žnosti , le da smo pri tem --- -- vsako daljice št eli po dvakrat , saj j e A;Aj =AjA ; za vsak par števi l j *- j . Odtod zaključ imo, da je štev ilo vseh daljic ravno n.(n+1) /2. Iz pr imerjave obeh na či­ nov štetja daljic sled i o A, o Slika 1 SIn) =n .(n + 1)12 o o p (2) - To je iskana formula za vsoto (1) . Sedaj bomo pogledali nek aj pr imerov uporabe dobljene fo rmul e (2). Primer 1. Dolo či števi lo n , če veš, da je vsota 1 + 2 + 3 + ... + n trimestno števi lo , katerega cifre so enake. Rešitev. Po pogoju naloge je 1 + 2 + '" + n = x . 111 , kjer j e x neka cifra med 1 in 9 . Iz formule (2) dobimo 314 n.(n+ 1) =2.x . 111 =2 . x.3 .37=6x .37 Ker je 37 praštev ilo in je n.(n+1) produkt dveh zaporednih naravnih števil, do- bimo dve možnosti: 6x = 36 ali pa 6x = 38 . Druga možnost odpade , ker 38 ni deljivo S 6 . Torej je x =6, n = 36 in 5(n) = 666 . Primer 2. Poi š č i vsoto prvih n lih ih naravn ih števil , to je 1+3+5+ ... + (2n-1). Rešitev. Zgo rnjo vsoto lahko zapišemo kot razliko med vsoto 1+2+3+ ...+2n = = 5(2n) in 2+4+6+ '" + 2n = 2.( 1+2+ ... + n ) = 2. 5(n) . Torej 1+3+5+ ...+(2n-1) = 5(2n)-2.5(n) = 2n .(2n+1)/2-n(n+1) = 2n 2 + n - (n 2+n ) = n 2 Naloge. 1. Poskusi dokazati formulo (2) še na kak drug nač in. 2. Izračunaj a) 101+102+ ... +500 b) 111 + 113 + 115 + ... + 1109 + 1111 3. Dokaži, da se vsota 1 + 2 + ... + n ne more končati s katero od cifer 2,4, 7 ali 9 za nobeno naravno število n. 4. Poišči ain n , tako da je 1 + 2 + ' 0 ' + n =aODa. 5. Na eni od dveh vzpo redn ih prem ic je dano m r a z l i č n i h točk, na drug i n raz ličnih točk. Koliko trikotn ikov določajo te točke? Dragoljub M. Miloševič (prevedel Franc Forstnerič) RAZPIS ZA 5. POLETNO SOLO RAČUNALNISTVA Letos bo že petič v začetku julija v Ljubljani Poletna šola računalništva. Pričela se bo v soboto 4. in končala naslednjo nedeljo 12. julija . Sodelovali bodo lahko osnovnošolci, srednješolci in tokrat prvič tudi študentj e. Kakor dve prejšnji, bo tudi letos šola mednarodna, saj se je bodo udeležili št udentje in predavatelji iz tujine. Zato bodo v angleščini predavanja za skupine, ki so označene s po- sebnim znakom (A). Poleg rednih predavanj bomo letos pripravili še posebno skupno predavanje . Zadnj i datum za odda jo spodaj priložene pr ijavn ice je petek 6. jun ija . Prija- ve pošljite na naslov: 315 Gibanje " Z nanost mlad in i" Sekci ja za računa l n ištvo (za Poletno šolo) Lepi pot 6, 61000 Ljub ljana Dokončno obvestilo o izbir i in ur ni k šole boste pr ejeli na dom do poned eljka 15. junija . Za leto šnjo šolo smo prip ravili naslednje teme : 1. V ladim ir Batagelj: Prijazni program i Povzetek: Skupina se bo seznani la z osnovnim i pr ijemi pr i p isanju do upo- rabnika p rij aznih programov . Izde lali bomo ust rezna ozadja (skupi ne pro- gramov) . Že!jeno predzn anje: dobro poznavanje vsaj enega prog ramskega jezika (pascal, basic, logo) . 2. Mojmir Baumgartner : Baze podatkov (A) Povzetek : Predavatelj bo predstav il način organiz iranja podatkov v pod a- tkovni h bazah. Posebej se bo ukvarja l z relacijsk imi podatkovn im i bazami, relacij sko algebro in re l a c i j sk imrač u nom . Že!jeno predznanje: logika. 3. Ivan Čibej : Industrijska robot ika (A) Povzetek: Ta skup ina je namenjena študentom in morda učencem višjih razredov srednjih šol. Predavanja bo priprav ilo več predavateljev. Osnovne teme predavanj bodo zaobsegle: "Uvajanje robotov v industr ij sko prakso", "Uvod v geome t rijski, kinetični in dinam i čn i model" , " Sest avni deli industrijskega man ipulatorja (prenosi, motorji , notranj i senzorji , kr mil- nik )" , " R ač u nal ni šk o vodenje v robot iki in povezave v robotsko celico", " Robot sk i prog ramski jezik DARL" in "Senzorno voden je v roboti k i" . Že!jeno predznanje : dobro znanje matematike . 4. Sašo D ivjak : Računalniški jezik c (A) Povzetek : Sestoji iz predavanj o programskem jeziku c. Med posamezn imi temami bodo praktične vaje s prevajalnikom za c na mikroračunalniku Partner. Že!jeno predznanje : nobenih posebnih zahtev. 5. Tomi Dolenc: Računalniška grafika Povzetek: Predavatel j bo predstavil nekatere osnovne znač ilnost i strojne grafične opreme . Sledil bo op is grafičnega jedra (GKS), njegovega ust roja, delovanja in uporabe. V praktičnem delu bodo št udent i izdelali pr ogram, ki bo slonel na uporabi grafičnega jed ra. Željeno predznanje: poznavanje pascala. 6. Roman Dorn: Zbirni jezik za Intel 8088 Povzetek : Študentje se bodo seznanili z zgradbo procesorja Intel 8088, zbirn ikom za omenjen i procesor, princip i pogojnega zb iranja in mak roji. V nadaljev anju bo predstav ljen program D EBUG in opi sana povezava z operac ijsk im sistemom MS-DOS. Udeleženci bodo pri vajah naredili nekaj programov in jih preizkusil i - postopno izvajal i . Spoznali bodo tudi nekaj funkcij operacijskega sistema DOS. Že!jeno predzn anje: Znanje uporabe katerega izmed urejevalnikov in DOS operacijskega sistema. 316 Andrej Brodnik 7. 8. 9. Tom Erjavec: Notranja zgradba operacijskega sistema pe DOS Povzetek: Študentom bo predstavljena strojna oprema računalnika PC in kako je nad njo nadgrajen operacijski sistem PC DOS. Razložena bo razlika med log ičnimi in fizičnimi napravami. Predstavljen bo BIOS in nač in, kako krmilni programi preko B10S-a dosegajo f izične naprave. Ogledali si bo - mo ureditev diskovnega sistema, pomnilnega prostora. Glavn i poudarek bo na prekinitvenih klicih. Pregledali bomo B lOS-ove prek initve, nato pa še DOS-ove. Željeno predznanje : Splošno poznavanje mikroračunalnikov t okvirno po- znavanje PC DOS, poznavanje programirnega jezi ka pascal. Igor Ozimek: Krmilnik koračnegamotorja z mikroprocesorjem 8051 Povzetek: Predavatelj bo predavanja zasnoval na naslednj ih poglavj ih . "Spoznavanje integri ranega mikroračunalnika Inte l 8051", kjer bo podal pregled obstoječih (predvsem 8-bitn ih) integriranih mikroračunalnikov (krmilnikov) in primerjava s standardnimi mikroprocesorji tipa Z80 . Drugo poglavje ima naslov " Razvojna okolja" in op isuje križni razvoj programske opreme za samostojne mikroračunalniške sisteme, ter posebej spoznavanje enostavnega razvojnega okolja za mikroračunalnik 8051 . Drug i del pre- davanj ima naslov "Osnove koračnih elekt romotorjev" , kjer bo predavatelj poda l primerjavo z drugimi motorji in načine njihovega krmiljenja . V prak- tičnem delu bo opravljen razvoj in preizkus programske opreme za krmil- nik koračnega motorja , izdelan z mikroračunaln ikom 8051 . Željeno predznanje: Splošno poznavanje mikroprocesorjev . Branka Fras: Lepo programiranje v pascalu Povzetek: Predavanja so namenjena osnovnošolcem . Spoznali bodo jezik pascal in pravila lepega prog ramiranja. Željene predznanje: basic ali logo. Prijavnica za 5. pole tno šolo računaln ištva: Ime in priimek : Domači naslov : Šola in razred: ., Žel im sodelovati v skup ini : . Č e ne bo možno , pa v skup ini: Bivanje in prehrana bosta brezplačna, vendar zaradi enostavnejše organizacije želimo , da izpoln ite še spodnj i ob razec: Prijava za bivan je: Ime in pr iimek : . Domači naslov : . Želim, da mi presk rbi te: spanje: zajtrk: kosi lo : več e rjo : DA NE DA NE DA NE DA NE 317 -'-'/Ii1l" ior« 1"Ien ',,)11' ru 'L" 30 . REPUBLIŠKO TEKMOVANJE IZ MATEMATIKE Letos so se m ladi matematiki s srednjih šol iz vse Slovenije zbrali na tekmova- nju v Mariboru. Organizacijo tekmovanja je prevzela Srednja naravoslovna šola M. ZI DANŠEK, pokroviteljstvo pa SO Mar ibor - Tabor in Skupščina mesta Maribor. Pro sto rsko izvedbo tekmovanja nam je omogočila Visoka eko- nornska-kornercialna šola. T am so se zbrali tekmovalci v soboto, 5. aprila, zju traj. Po skromni zakusk i so v velik i preda valnici vse ude ležence pozdravi li: predsednica SO Maribor-Tabor Erna Rit lop, predsed nik Mest ne izobraževalne skupnosti Boris Sovič, dekan dr. Leo Gusel in ravnatelj SNŠ M. Zidanšek prof . Ivan Lorenčič . Še poseb no pa smo bili vesel i, da se je vabilu odzva l tud i predsednik DMFA SRS dr. Janez Strnad ter v pozdrav- nem nagovoru povedal tekmovalcem nekaj vzpodbud nih besed pred začetkom tekmovanja. Vseh tekmovalcev je bi lo 138, in sicer 29 prvošolcev , 39 drugošolcev, 28 učencev iz tretjih razredo v in 42 učencev četrt ih razredov. Za reševanje nalog, ki jih je izbra la repub liška tekmovalna komisija, so tekmovalci imeli dve uri in pol časa. Naloge za 1. letnik: 1. Ded in babica sta z vnukom praznovala rojstni dan v slaščičarni. Ko jih je natakar vprašal po njihovih starostih, je ded odgovoril: "Pred devetimi leti sem bil star toliko, kolikor babica in vnuk skupaj. Danes sva z babico skupaj stara cel večkratnik vnukove starosti, vsota vseh naših starosti pa ima le tri celošte - vilske delitelje. Čez devet let bo vsota naših starosti popoln kvadrat ." Koliko so danes stari? 2. Če za naravna števila s, b, c, d velja, da ab - cd deli po vrsti s, b, C ln d, potem je 1 ab - cd I = 1. Dokaži. 3. V enakokrakem t rikotniku ABC s kotom 1000 pri oglišču C seka sime- trala kota pri Anasprotno stranico v točki D. Pokaži, da je AD + DC =AB. 4. Iz šahovske plošče velikosti 8 x 8 izrežemo poljubni različno obarvani polji . Pokaži, da lahko ostanek plošče pokrijemo z dominami (domina je ploš- ča velikosti 2 xl). 318 a' - b ' ab 319 -- Naloge za 2. letnik: 1 . Če sta a in b od nič različni celi števili in lal =F lb!. potem ni celo število. Dokaži . 2. Dana je krožnica spoimerom r . Nariši kvadrat tako, da bo ena njegova st ranica tetiva, njej vzporedna stranica pa tangenta. 3. V poljubnem trikotniku ABC s kotom 45° pri oglišču C označimo z M središče stranice AB, z N in P pa no ži šči višin na AC oziroma BC. Pokaži, da so M, N, P oglišča nekega kvadrata. 4. Legenda pravi, da se je nekoč na dvoru za okroglo mizo posedlo 13 vite- zov, kralj Artur in na njegovi desni dvorni svetovalec . Vsak od prisotnih je za- prisegel, da bo govoril le resnico ali da bo vedno lagal. Dvorni norec pride k mizi in vsakega vpraša , ali je njegov levi sosed lažni - vec. Vsi odgovorijo pritrdilno, le kraljevi svetovalec pove, da kralj nikoli ne laže . Ko norec vpraša, ali je več resnicoljubov ali lažnivcev, kralj pove, da je več tistih, ki ne lažejo, svetovalec pa doda , da je resnicoljubov za 3 več. Ali je kralj Artur govoril resnico? Naloge za 3 . letnik: 1. Dokaži, da tri kompleksna števila ZI, Z 2 in Z3 ne ležijo na isti strani realne osi, če velja ZIZ2Z3 =ZI + Z2 + Z 3 ' 2. Če so a, {3 in 'Y poljubni koti iz intervala lO, 1r], je sin a + (3 + sin a+ 'Y + sin (3+'Y ;;. sin a + sin (3 + sin 'Y 2 2 2 Dokaži . 3. Naj bo p(x) poljuben polinom . Če je O(x) =p(x) - x in S(x) =p(p(x)) - - x, je S(x) deljiv s O(x) . Dokaži . 4. Nekdo je v puščavi zarisal kvadratno parabolo in v temenu navpično za - bodel palico. Mravlji sta se srečali ob vznožju palice; prva se je napotila v smeri tangente na parabole , druga pa naravnost proti neki točki na paraboli. Ko je prišla do te točke, je pogledala nazaj in presenečeno povedala prvi, da je zorni kot, pod katerim vidi palico, komplementaren kotu med sledema, ki sta jo za- risali v pesku. Prva mravlja je razmišljala: "Če izberem svojo sled za pozitivni poltrak abscisne osi, začetek najine poti za izhodišče in višino palice za enoto , potem m i ni težko s kotom \{J izraziti vodilnega koeficienta kvadratne funkcije, katere graf je parabola, in pa koordinat i končne točke poti moje kolegice." Ali boš tud i ti kos problemu? Naloge za 4. letnik: 1. Če sta a in b taki raciona lni števili, da je vsota 3..ja + 3..jb racionaina, potem sta tudi 3..ja in 3..jb racionalni. Dokaži. 2. Dana je funkc ija ((x), za katero velja : a) ((O) = 1 b) ((n) = ((O) + ((1) + .0. + t in - 1) za vsako naravno število n. n Izračunaj ~ (((k)) 2 k=O 3. Štiri krogle so postavljene tako , da se vsaka dotika drugih treh. Ena izmed krogel ima polmer RI=R,dvepolmer R 2 (R 2 >R I)inena R 3 (R 3 >R2 ) , pri čemer so Rl, R2 in R 3 zaporedni členi aritmetičnegazaporedja. Zveznice središč krogel so robovi piramide . Izrazi prostornino piramide zR, če veš, da sta dve izmed mejnih ploskev piramide pravokotna trikotnika. 4. V ravnini raste drevo Dn iz drevesa Dn . " pri čemer je dolžina novih vej vsakič q-krat krajša in so nove veje (dalj ica) pravokotne na krajišča drevesa (glej sliko) . Drevo Dl je dalj ica dolžine 1 (ena) . a) Kolikšna je dolžina drevesa Dn ? b) Kolikšen je lahko največ k (k = 1I q ), da se veje za noben n ne bodo pre- pletale (rasle druga čez drugo)? -·-1--1 fHk=lqL. PO tekmovanju so tekmovalci odšli na kosilo v restavracijo Center, nato pa so jim učenci SNŠ M. Zidanšek razkazali nekatere Kulturno -zgodovinske znamenitosti Maribora . Člani tekmovalne komisije in nekateri profesorji spremljevalci so med tem pregledali rešitve, določili nagrajence in sestavili ekipo za zvezno tekmovanje v POSTOJN I. Svečan zaključek tekmovanja se je začel ob 17. uri, ko je komisija raz - glasila rezultate. Najboljši učenci so poleg nagrad in pohval, ki j ih poklanja DMFA SRS, dobili še spominske ali praktične nagrade, ki jih je prispeval organizator ob pomoči združenega dela. Pri tej pomoči se je posebej izkazala 320 Tatjana OZBiČ (STNŠ Postojna) Polona PETEK (SNŠ Maribor) Zoran SLANIČ (SNŠ Maribor) , Andrej VILFAN (SNŠ Ljublja- na), Marjan JERMAN (SŠNMEU Trbovlje) SLADKOGORSKA, ki je poleg finančnih sredstev prispevala tud i spominsko darilce za vsakega tekmovalca. Tako upamo, da bodo ta dan ohranili v prijet- nem spominu vsi udeleženci tekmovanja, tudi tisti, ki se niso vračali z nagra- dami. Ob odhodu so vsi tekmovalci dobili še BI LTEN, ki ga je pripravil organizator. Priznanja so osvojili: 1. letnik: 2. nagrada: 3. nagrada: pohvale: 2. letnik: 1. nagrada: 2. nagrada: 3. nagrada: pohvale: 3. letnik: 2. nagrada: 3. nagrada: pohvale: 4. letnik: 1. nagrada: ~. nagrada: Tomaž VOLK (SNŠ Ljubljana) Tomaž SLIVNIK (SNŠ Ljubljana), Edi VOVK (ŠC Iskra Kranj), Matej KOLAR (STŠ Celje), Borut JAMNIK (SPNMŠ Koper) Andrej FAJFAR (SNŠ Ljubljana) Martina KRAMAR (NSC Nova Gorica) , Dušan PETROViČ (CSŠ Titovo Velenje), Tomaž PROSEN (SŠPRNMU Kranj) , Bor PLESTENJAK (SNŠ Ljubljana), Simon ABOLNAR (TŠC Nova Gorica), Renato BERTALANiČ (SŠCTPU Murska Sobo- ta), Andreja GOMBOC (SŠCTPU Murska Sobota), Blaž LOR - GER (SNŠ Maribor) , Jerica MAVER (NSC Nova Gorica), Alenka MEHLE (SMSM Piran), Jelena MICOVIC (SŠNMEU Trbovlje), Karmen SKENDER (SŠTUD Kočevje), Božo SKOK (SPNMŠ Koper), Andrej VRANiČ (SŠTNPU Ravne), Alexis ZRIMEC (SNŠ Ljubljana) Jure BAJC (SNŠ Ljubljana) Peter ANASTASOV (SNŠ Ljubljana), Mateja ŠAJNA (NSC Nova Gorica) Matej LIPOGLAVŠEK (SNŠ Ljubljana), Gorazd POBERAJ (SNŠ Ljubljana), Marjeta ZALETEL (SŠPRNMU Kranj), Peter ZIDAR (SNŠ Ljubljana), Rado KLEMENČiČ (SŠPRNMU Kranj), Alenka MERTELJ (CSUI Jesenice) , Srečko MILANiČ (NSC Nova Gorica) Jože FABČiČ (STNŠ Postojna) Matjaž ŽELJKO (SŠR Ljubljana) 321 322 3. nagrada: Matevž KRANJEC (SŠN Ljubljana), Peter PEHANI (SNŠ Lju- bljana), Pavle POPOViČ (SNŠ Ljubljana) pohvale: Primož GABRIJELČiČ (SŠN Ljubljana), Jani KOVAČ (STŠ Celje), Davor GORNIK (SNŠ Maribor}, Tomaž KLOBUČAR SNŠ Ljubljana), Damjana KOKOL (SŠPRNMU Kranj) , David NEDELJKOVIČ (STŠ Celja), Roman NOVAK (SŠPTNU Novo mesto), Marko TOPiČ (SNŠ Ljubljana), Peter MALOVRH (ŠC Iskra Kranj), Grega CIGLER (SNŠ Ljubljana), Borut ŽLIČAR (SNŠ IK Ljubljana), Anton MRAK (ŠC Iskra Kranj). Majda Šaus PISMA BRALCEV Na naše vabilo k sodelovanju se je odzval dijak prvega letnika STŠ Maršala Tita iz Celja, Samo Dreo. Poslal nam je nalogi "Kje je zakopan zaklad" in "Kdo si zasluži največjo nagrado" . Ni nam napisal , ali je nalogi sestavil sam ali njegova prijateljica iz Krškega ali pa ju je morda našel v kakšni knjigi. Ne glede na to pa upamo, da bosta zanimivi za vse bralce Preseka, ki imajo rad i logiko . Samo, hvala, tudi za vzpodbudne besede in tvojo zvestobo Preseku . Dušica Bob en Kje je zakopan zaklad ? Kralj Richard je poslal svoje gusarje na potovanje z ladjo . Namen je bil samo en. Poiskati zaklad in ga čimprej prinesti kralju Richardu. Gusarji so začeli iskat i zaklad . Prepluli so po l sveta, doživljali razne avantu- re in nabirali zlato . Tako so nekega sončnega dneva prispeli na nek otok. Da je na tem otoku zakladso vsi vedeli, toda kje je, tega ni nihče vedel. V zadreg i so vprašali štiri može, ki so se imenovali : Vampir , Grof Drakula , Zmešani sluga in Grozn i bradač . Odgovorili so takole : Vampir: "Zaklad je v votlini na hribu . Nikdar ne verjemite grofu Drakuli in Zmešanemu slugi." Grof Drakula : "Zaklad je zakopan ob drevesu." Zmešani sluga: "To je res." Grozni bradač: "Vampir je laqal." Kapitan ladje je bil v zadregi, vendar je na srečo ta pogovo r slišal enooki gusar in rekel : "Kapitan, eden je lagal, dva sta govorila resnico, za enega se pa ne ve." Ker je bil kapitan bister mož, je to uganko z lahkoto rešil. Drugo nalogo bomo objavili v prvi jesenski številki. SREDNJEŠOLSKO REPUBLIŠKO TEKMOVANJE IZ FIZIKE Tomaž PROSEN (SŠPRNMU Kranj), Tomaž VOLK, Andrej LAMOVEC, Andrej VI LFAN (SNŠ Ljubljana) Matej KOLAR (STŠ Celje) Krištof OŠTIR-SEDEJ, Robert JERAJ (SŠPRNMU Kranj) , Andrej KREJAN, Gašper MRAMOR (SNŠ Ljubljana) Vojko KOS, Tadej ORAŽEM (SNŠ Ljubljana), Katka SMOLEJ (CSUI Jesenice) 2. nagrada: 3. nagrada: pohvale : Lansko republiško tekmovanje iz fizike je bilo 17. maja na Srednj i šoli peda- goške računalniške naravoslovno-matematične usmeritve v Kranju . Udeležilo se ga je 163 tekmovalcev iz 22 srednjih šol Slovenije . Na predvečer tekmovanja, 16. maja, so se udeleženci na kvizu pomer ili v poznavanju Kranja in njegove zgodovine, fizika lnih zakonitosti ter v poznavanju pokrovitelja tekmovanja, Iskre-Kibernetike, ki j e najuspešnejšim tekmovalcem pripravila lepe praktične nagrade. Ob otvoritvi tekmovanja je tekmovalce in nj ihove spremljevalce pozdravil ravnatelj SŠPRNMU mag. Valentin Pivk. Za reševanje nalog so imeli udeleženci na voljo dve uri in pol. V skupini A (mehanika) je tekmovalo 56 učencev, v skupini B (energija) 40, v skupin i C (elektromagnetika) 54 in v skupin i D (opti- ka) 13 učencev . Po kosilu so si lahko ogledali razstavo učil za pou k fizike, ki jo je postavil pokrov itelj tekmovanja. Ob zaključku je tekmovalna komisija v sestavi D. Zupanc, 1. Kukman in B. Casar razglasila rezultate in podelila priznanja naslednjim tekmovalcem : skupina A 1. nagrada: skupina B 1. nagrada: 2. nagrada: 3. nagrada: pohvale. Gorazd POBERAJ (SNŠ Ljubljana) Jure BAJC , Uroš POMPE (SNŠ Ljubljana) Jure JAVORŠEK, Matjaž LESKOVAR (SNŠ Ljubljana), Maja BRAČiČ (SŠPRNMU Kranj) Matija STRLIČ, Jure MENCINGER (SNŠ Ljubljana), Samo KRIŽAJ (SPNMŠ Koper) , Matej PODBREGAR (STŠ Celje), Duško KOVAČ (SCTPU Murska Sobota) skup ina C 1. nagrada: 2. nagrada: 3. nagrada: Janez JAKLIČ (SNŠE Kamnik ) Pavle POPOVIC (SNŠ Ljubljana), Leon MAVRiČ (SŠPRNMU Kranj) Jože FABČiČ (STNŠ Postojna), Peter SOKOLOV (SNŠ Ljublja- na) 323 pohvale : skupina D 1. nagrada: 2 . nagrada : pohvala: Aljoša FELDIN, Miroslav RAJŠEK (SŠPRNMU Kranj), Dušan BABiČ (SNŠ Ljubljana), Damjana KOKOL, Mičo MRKAIČ (SŠPRNMU Kranj), Gašper MUŠiČ (SENŠ Kamnik) Peter PEHAN I (SNŠ Ljubljana) Alenka MERTELJ (CSUI Jesenice), Grega CIGLER (SNŠ Lju- bljana) Rado KLEMENČiČ (SŠPRNMU Kranj) Pokrovitelj tekmovanja Iskra-Kibernetika je namenil najboljšemu tekmo- valcu štipendijo brez obveznosti zaposlitve . Tekmovalna komisija je predlagala za štipendijo Petra Pehanija iz Srednje naravoslovne šole v Ljubljani . Komisija je določila tudi ekipo za zvezno tekmovanje v Dečanih: Tomaža Prosena, Tomaža Volka, Andreja Lamovca, Gorazda Poberaja. Uroša Pornpeta, Janeza Jakli ča, Pavla Popovi ča, Leona Mavriča , Petra Pehani]a, Alenko Mertelj in Grega Ciglerja. Skupina A - Mehanika 1. Na 1m visoki vodoravni mizi je 1m od njenega roba lesena kocka z maso 1 kg. Vanjo se v vodoravni smeri zarije krogia iz puške s hitrostjo 750 mis. Masa krogle je 10 g. lzra čuna], kako daleč od vzno žje mize pade kocka , če je koef icient trenja med mizo in kocko 0 ,3. 2. Lahko kroglico po 10 m pro stega pad a prest reže tež ka p lošča , ki se giblje navzgor s hitrostjo 2 mis. Na kol ikšno višino od mesta prožnega trka odskoči kroglica? 3. Mali princ živi s svojim backo m na pravlji č nem planetu z radi jem 100 m in z maso 50 t . Dan na tem plan et u tr aja eno uro. Nekega jutra se je Mali princ zbud il in ugotovil, da mu je bace k pobegnil. Stekel je za njim. a] Čez ko liko č a sa je Mali princ ujel backa, če je tekel s hitrostjo 6 mis glede na planet , bacek pa s pol man jšo hitrostjo? Bacek in Mali pr inc sta se lovila okoli ekvatorja v smeri vrt enja planeta, na začetku pa sta bila na nasprotn ih straneh planeta. bl Koliko bi tr ajal da n na tem planetu, če bi se vedno tako lovila? cl Za kol ikšen kot se je zavrtel plan et do tre nutka, ko je Mali prin c ujel backa? Bacek in Mali pr inc imata vsak po 30 kg. 324 4. Skupina B - Energija Z vrha vuacneqa žleba spustimo kocko z robom a. Žleb ima rob, ki ima višino al3 in drži kocko, da ne odleti s tira pri majhni hitrosti. Žleb je navit na valj zradijem 1 m in se spusti za 5 cm po vsakem obhodu. Za kolikšno višino se spusti kocka , preden se prevali čez rob? Ali je vi- šina odvisna od nagiba in zakaj? Upošteva], da je rob kocke a majhen v primerjavi zradijem vijačnega žleba. Trenje zanemarimo. 325 o Deblo z maso 70 kg vlečemo po žle- bu . Kot pri vrhu, 2a, je 60°, žleb je glede na vodoravno ravnino nagnjen za kot {j = 40°. Koeficient trenja Na palico z dolžino 1, ki je vrtljivo med žlebom in deblom je 0,5. Ko- pritrjena v središču, sta pripeti dve Iikšno delo moramo opraviti, da pre- vzmeti (slika). S kolikšnim nihajnim maknemo deblo za 1 m po žlebu časom zaniha palica, če njeno kraji- navzgor? Pri kolikšnem kotu {j je to š če izmaknemo iz ravnovesne lege in delo največje? Simetrala kota 2a je spustimo? Masa palice je 1kg, koefi- navpična. cienta vzmeti pa sta po 10 Nim. 3. Aluminijast pokrovček za nalivno pero obtežimo z žico iz iste kovine in spustimo v visok valj, napolnjen z vodo. Zaradi zajetega zraka se pokrovček ne potopi, ampak lebdi približno na sredini valja. S kolikšnim pospeškom in v ka- teri smeri se začne gibati pokrovček, če temperatura vode in zraka v pokrov- č ku naglo naraste od začetnih 20° C na 40° C? Gostota aluminija je 2,7 kg/m3 , vode pa 1 kg/dm 3 . Kako se pospešek spreminja, ko se pokrovček giblje? Maso ujetega zraka v pokrovčku lahko zanemarimo . 4. Na ravni cesti stojita avtomobila v razdalji 160 m. Hkrati začneta voziti drug od drugega s pospeškom po 2 m/s2 • Na enem od avtomobilov je sirena, ki oddaja zvok s frekvenco 3000 S-l. Kolikšno frekvenco ima zvok, ki ga sliši voznik drugega avtomobila po 10 sekundah vožnje? Hitrost zvoka v zraku je 340 mis. Skupina C - Elektromagnetika 1. V ogliščih namišljene kocke s stranico a so nameščeni enaki naboji po 1As. al Kolikšen naboj moramo postaviti v središče kocke, da bi bili vsi naboji v ravnovesju? bl Ali je takšno ravnovesje stabilno ali labilno? Pojasni! 0- - - - - - - - - - - x Vezje na skici s kondenzatorji po 50 nF in z upornikom za 10 Q pri- ključimo za dalj časa na baterijo z napetostjo lOV, nato baterijo od- stranimo. Na kondenzatorju X pride do kratkega stika. Kolikšna je tedaj napetost na sponkah? 3. V dolgi tuljavi (N = 10000, I = 0,5 m) z os]o v smeri vzhod-zahod, je magnetnica, ki ima magnetni moment 1 Am 2 ter vztrajnostni moment 1 gcm2 • Kondenzator s kapaciteto 0,5 F nabijemo na napetost 200 V, nato pa ga priključimo na tuljavo. S kolikšno kotno hitrostjo se začne vrteti magnetnica? Upošteva], da je čas praznjenja kondenzatorja veliko krajši od časa, v katerem se magnetnica znatno zasuče. Nihanje L - C kroga je močno dušeno. 2. 4. Iz bakrene žice s premerom 1 mm napravimo kvadratno zanko s strani- co a = 3 cm. Zanka se vrti v homoge- nem magnetnem polju z gostoto 0,01 T okrog osi, ki je pravokotna na magnetno polje in na geometrijsko os (slika). Frekvenca vrtenja zanke je 30 S-l, specifični upor bakra pa je 0,0175 .10'6 Qm. al Kolikšna je amplituda toka po zanki? Kolikšen je efektivni tok? bl Ali je treba v računu upoštevati induktivnost zanke, ki je 5.10'6 Vs/Al 326 Skupina D - Optika I I W ! I I I I I ! I Steklen stožec ima osnovno ploskev s premerom 10 cm. ko t med osnov- no ploskvijo in tvornico plašča pa je 45 0 . Na stožec vpada snop svetlobe vzporedno z geometrijsko osjo stožca tako . da os snopa sovpada z osjo stožca. Premer snopa svetlobe je 5 cm . Opazujemo osnovno ploskev stožca . al Kakšno sliko dobimo tam. če je lomni kvocient stekla 1.5. lomni kvocient snovi, iz katere prihaja snop. pa 1? bl Kako pa je v primeru. če sta lom- na kvocienta zamenjana? 2. Potapljač stisne pod vodo dve 1 cm debeli stekleni plošči tako, da ostane med njima še tanka plast vode. Če posveti pravokotno na plošči z belo svetlo- bo, opazi ojačen odboj rdeče svetlobe. Oceni , kolikšna je debelina vodne plasti med ploščama. Lomni kvocient vode je 1.33, stekla pa 1,5. 1. 3. Svetili, ki sočasno sevata, sinusno nihata drugo proti drugemu. Največja razdalja je ao, najmanjša pa aol2. kjer je ao = 500 nm. Kako bi se morala spre- minjat i frekvenca svetlobe, da bi bila izbrana ojačitev ves čas pri istem kotu? 4. Okrog Zemlje kroži bakrena krogia spoimerom 10 cm, prevlečena s snovjo, ki ima odbojnost 0,4. Kroglo osvetljuje Sončev svetlobni tok z gostoto 1,3 kW/m 2 • Satel it zaide v Zemljino senco. V kolikšnem času se temperatura krogle zmanjša na 00 C, če je imela pred tem ravnovesno temperaturo? Specifi- čna toplota bakra je 380 j/kg K. gostota 8900 kg /m 3 • Stefanova konstanta je 5,67 .10-8 W/m2K4 • Iztok Kukman ZANIMIVE TROJKE STEVIL Dušan Modic Med naravnimi števili najdemo pogosto zanimive pare . trojke , .. .. ki so v po- sebnih medsebojnih odnosih . Tako je npr.: 3 x 5 za 1 manj od 4 2 • podobno je 4 x 6 = 52 - 1. Ali velja ta lastnost v splošnem? , 327 ZVEZNO TEKMOVANJE MLADIH FIZIKOV 22. zvezno tekmovanje mladih fiz ikov je bilo 30.5 ., 3 ~ .5. in 1.6.1986 v Deča­ nih na Kosovu. Udeležilo se ga je 118 učencev srednjih in osnovnih šol iz vse Jugoslavije . Našo ekipo je zastopalo dvanajst srednješolcev in dva osnov- nošolca. Tud i letos so bile pred tekmova njem organizirane skupne priprave, ki so ji h vod ili študentje fiz ike na VTOZD FIZIKA v Ljubljani. V četrtek smo odpotovali z vlakom proti Kosovemu polju, nato pa nada- ljeval i vožnjo z avtobusom do Peci ter dalje do Dečanov, kjer so nas organiza- torji namestil i v bližnjem Rekreacijskem centru . Kljub utrujenost i po skoraj 24-uri vožnji smo si ogledal i bližnji samostan S. Dečanskega. Po tekmovanju , ki je bilo v soboto od 9 . do 13. ure, smo se odpeljali v Pec na ogled pečke patr iarhije. V nedeljo je b ila razglasitev rezultatov, niso pa bile podeljene nagrade in priznanja , temveč so obljubili, da jih bodo poslali naknadno. Žal to ni bil edini spodrsljaj organizatorjev. Naj velja oprav ičilo, da je bilo zvezno tekmo- vanje mladih fizikov pač prvič izvedeno v tej pokrajini. Naša ekipa se je zelo dobro odrezala in dosegla 9 nagrad od skupaj 13 prvih, 8 drugih ter 27 tretjih nagrad. Uvrstitev naših tekmovalcev: skupina O (osnovna šola) 1. nagrada: Rok PESTOTNIK, OŠ T. Seliškar 3. nagrada: Jure DOBNIKAR , OŠ SI. Bistrica skupina A (mehanika in toplota) 3. nagrada: Uroš POMPE, SNŠ Ljubljana, Jure BAJC, SNŠ Ljubljana skupina B (elektrika in magnetizem) 1. nagrada: Pavle POPOVIC, SNŠ Ljubljana 3. nagrada: Janez JAKLIČ, SENŠ Kamn ik , Leon MAVRiČ, SNŠ Ljubljana skupina C (optika in atomika) 1. nagrada: Grega CIGLER, SNŠ Ljubljana 3. nagrada: Alenka MERTELJ, CSUI Jesenice Po končanem tekmovanju je zvezna tekmovalna komisija glede na dosežene rezultate izbrala pet najboljših za olimpiado v Velik i Br itaniji , in to Ivana RISTICA, Petra MAKSIMOVICA (oba iz Srbije), Donka DONJERKOVICA (iz Hrvatske), Pavla POPOVICA ter Grega CIGLERJA (iz Slovenije). 328 Naloge Skupina A 1. Nihajni čas je pri nekem fizikalnem pojavu odvisen od tlaka, gostote in energije na naslednji način: T' n 2 > nI' 3. Žarek 'Y z energijo 0,2 MeV pade na kovinsko ploščico in izbije iz nje elektron, ki nato pr ileti v magnetni spektrograf z gostoto magnetnega polja 8 = 10-2 T. Dolo či radij kro žnice elektrona v spektrografu. Izstopno delo plo- . ščice je 4,5 eV . 4. Dva protona sta v razdalji 2a, okrog njiju pa kroži elektron v osnovnem stanju in v ravnini, ki je pravokotna na zveznico protonov in jo razpolavlja . Do- loči razdaljo a pri pogoju, da elektron kroži na orbiti r = 2a . 5. Vodikov atom v osnovnem stanju trči z drugim vodikovim atomom, ki je tud i v osnovnem stanju in mi ruje. Kol ikšna mora biti najmanj hit ro st atoma, da je trk neprožen? Masa vodikovega atoma je 1,67.1 0-2 7 kg, io nizacijska energija pa 13,6 eV . Skupina O 1. Mimo opazovalca, ki stoji na peronu , pelje vlak. Dolž ina lokomotive in vagonov je po 12 m. Masa vlaka je 1000 ton . Opazovalec izmeri, da je lokomo- tiva vozila mimo njega 1 s, prvi vagon pa 1,5 s. Iz teh podatkov izračuna]: 331 al razdaljo od opazovalca, v kateri se ustavi prednji del lo komot ive, b) silo, ki ustavlja vlak, c) delo te sile na tej razdalji . 2. Kamen z maso 10 kg pade z višine 30 m na tla . Koliko toplote se sprosti ob udarcu na tla, če se 10% celotne energije kamna porabi za premagovanje upora zraka na celi poti? Če bi se vsa toplota, sproščena pri udarcu ob tla, upo- rabila za segrevanje vode, bi se izbrana množina vode segrela za 5° C. Določi to množino vode . 3. Kos kovine z maso 800 g tehta v bencinu 7,2 N, potopljen v neko drugo tekočino pa 7,5 N. Gostota bencina je 0,7 kq/rn", Določi gostoto kovine in druge tekočine. 4. Elektron izstopi brez začetne hitrosti iz negativne plošče kondenzatorja in se začne gibati proti pozitivni plošči. Plošči sta 5 mm narazen , med njima pa je napetost 30 V. Kolikšna sila deluje na elektron? Kolikšna sta pospešek elektro- na in hitrost, s katero se zaleti v pozitivno ploščo? Masa elektrona je 9.1.10-31 kg, naboj pa 1,6.10-19 As. 5. Na kolikšno razdaljo še lahko prenesemo električno delo s transformator- ske postaje pri napetosti 5 kV s pomočjo bakrenega prevodnika s presekom 10 mm? tako, da je moč na porabniku z upororn 1,6 kn enaka 10 kW? lzraču­ naj izgubo moči v odstotkih. Specifični upor bakra je 1,75.10-8 nm. Iztok Kukman POJASNILO V letošnji tretji številki Preseka sem pod naslovom Mladim Vegovcem za ogrevanje objavil naloge, ki sem jih izbral izmed nalog, ki so jih učenci v preteklem šolskem letu reševali na regionalnih in republiških tekmovanjih. Nekaj nalog pa je izbranih izmed predlogov nalog, ki so jih člani republiške tekmovalne komisije predlagali za občinska in republiška tekmo- vanja za Vegova priznanja, pa niso bili sprejeti, a so se mi zdeli zanimivi. Nekatere naloge so bile tudi le objavljene, kot npr. v biltenu XX. republičkog takmičenja mladih matemati- čara osnovnih škale SR Srbije, ki je bilo v lanskem letu v Kraljevu. Ob tej priliki se opravičujem vsem prizadetim, ker tega pojasnila nisem zapisal ob nalogah. Aleksander Potočnik 332 NO/i/CE RAZSTAVA DRUŠTVENIH PUBLIKACIJ Pri društvu matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije izhajata poleg društvenega glasila Obzornik za matematiko in fiziko ter univerznih učbenikov tudi Presek - list za mlade matematike, fizike in astronome in računalnikarje ter knjige v zbirki Sigma. Presek je namenjen predvsem popularizaciji teh strok med učenci v osnovni šoli in na prehodu v srednjo šolo . Knjige Sigma pa so namenjene predvsem dijakom v srednjih šolah. V imenu društva to literaturo posredujejo mladini na šolah učitelji strokovnih predmetov. Da bi jo še bolj približali mladim bralcem, so dijaki l.h. razreda naravoslovno-matematične šole v Ptuju pripravili v času od 30 .12 . 1986 do 23.1.1987 razstavo knjig in revij, ki jih je trenutno možno kupiti pri Društvu matematikov, fizikov in astronomov SRS. Razstava je vzbudila veliko zanimanje med 2500 učenci našega srednješolskega centra. Podobne akcije priporočamo tudi drugim srednjim šolam v Sloveniji. V/asta Koko/- Voljč 333 PRVO REPUBLlSKO TEKMOVANJE IZ LOGIKE Po skoraj enoletnih pripravah je 27. septembra Komisija za logiko pri Zvezi organizacij za tehnično kulturo izvedla prvo republiško tekmovanje iz logi- ke. Tekmovanje je bilo namenjeno učencem sedmih in osmih razredov osnovnih šol ter učencem prvega razreda srednjega izobraževanja. Tako je Komisija tudi tekmovalce razvrstila: v skupini sedmega razreda je bilo 41, v skupini osmega razreda 61 in v skupini prvega letnika 21 učencev. Kot pri vsakem prvem poskusu je bilo tudi tu nekaj težav , saj sestavljalci niso imeli dovolj izkušenj za izbiro primernih nalog . Druga težava je bila povezana s prijavljanjem, saj so se tekmovalci prijavljali v preteklem šolskem letu. Tako se je zgodilo, da je kakšen tekmovalec zašel v nižjo skupino. Za reševanje treh nalog so tekmovalci imeli 90 minut časa . Oglejmo si naloge: Naloge za 7. razred 1. Trije igralci golfa - Tomaž, Dore in Hinko - gredo po poti. Tomaž vedno govori resnico, Dore in Hinko pa se včasih tudi zlažeta. v ~' 'w tWJtO(}I,~.DIMl J" . Peter T\ v ~AiN i , Kje je kdo? 2. Štirje športniki Klemen, Peter, Pavel in Tone -- so po treningu sedli za kvadratno mizo vsak ob eni strani . Eden je nogometaš, drugi telovadec, tretj i drsalec in eden plavalec . Plavalec je sedel levo od Petra . Telovadec je sedel nasproti Klemena . Pavel in Tone sta sedela eden poleg drugega. Eden od fantov z imenom na "P" je sedel levo od drsalca. Kdo je nogometaš? (Pri reševanju naj bo Petrov sedež označen takole : 334 3. V Kopru, Kranju in na Ptuju živijo Kranjc, Kovačič in Pipan. Eden je kovač, drugi pečar in tretji pleskar. Kranjc ne živi v Kranju, čeprav vsi njegovi sorodniki živijo v Kranju . Pri dveh moških se prva črka poklica in mesta, v katerem živi, ujema s prvo črko priimka . Kranjc je pleskarjev svak . Kje kdo živi in kateri poklic opravlja? Naloge za 8. razred 1. Tokrat smo na otoku vitezov in oprod. Vitezi vedno govorijo resn ico , oprede pa nikoli . a) Recimo , da srečamo otočane Miha, Tineta in Ceneta. Prva dva sta da la izjavo : Miha : Vsi trije smo oprode. Tine : Natanko eden od nas je vitez . Kaj so naši otočani? b) Kaj pa, če bi Miha in Tine rekla takole : Miha : Vsi trije smo oprode. Tine: Natanko eden od nas je oproda. Kaj je Cene? 2. Na mizi imamo vse štiri ase navadnega kompleta kart. Obrnjeni so z li- cem navzdol. Aleška, Breda, Fani in Hana so takole ugibale, kaj je katera karta: Aleška: Breda : Fani: Hana: pik srce kara križ srce srce srce kara I križ kara kara pik kara kara pik srce Vsak as je bil vsaj enkrat pravilno imenovan . Dekleta so imela enaka števila pravilnih ugibanj . Kako si sledijo asi na mizi? 3. Štirje glasbeniki Ana, Cirila, Boris in Davor so po koncertu sedl i za kvadratno mizo vsak ob eni strani . Eden od glasbenikov je violinist, drugi 335 pianist, tretji flavtist in eden bobnar . Oseba, ki je sedela nasproti Borisa, je pianist. Oseba, ki je sedela nasproti Davorja, ni flavtist . Levo od Ane sedi viol in ist. Levo od Cirile ne sedi bobnar. Flavtist in bobnar sta poročena (eden z drugim). Kdo je bobnar? (Pr i reševanju vzemi Borisov sedež takole: Naloge za 1. letnik 1. Na zabav i je bilo pet parov . Pri nekem plesu noben fant ni plesa l s svojim dekletom . Dragovo dekle je plesalo s fantom, katerega dekle je plesalo z Markom. Drago je plesal s Klemenovim dekletom. Primož je plesal z dekletom , katere fant je plesal z Janezovim dekletom . Kdo je plesal s Primoževim dekletom? 2. Pet deklet si je za novoletna darila dalo štiri knjige tako, da je vsaka tudi dobi la štiri knj ige. Toda nobeni dve dekleti nista svojih knjig dali na enak način . Tako je na primer ena dala dvema drugima vsaki po dve knjigi. Breda je vse dala Aleški. Cvetka je dala tri Evi. Kdo je dal knjige Danici? 3 . Miloš in Primož se preiskušata v naslednji igri. Nekdo jima na čelo na - p iše vsakemu po eno do dveh zaporednih naravnih števi l. Vid ita seveda šte- vilo , ki je nap isano na čelu drugega, svojega števila pa ne . Prav ila določajo, da morata izmenično izjavljati: " Ne vem, katero je moje števi lo" oziroma na koncu: "Vem, katero je moje število". Zmaga tisti, ki prvi ugotovi svoje število. Predpostavljamo, da se Miloš in Primož ne motita v sk lepanju in da sta poštena. Recimo , da je Miloš prv i na potezi . a) Kdo bo zmagal , če ima Miloš napisano 3 , Primož pa 2 . b) Kdo bo zmagal, če ima Miloš napisano 2 , Primož pa 3 . c ) Dodatno (neobvezne) vprašanje: Ali lahko poveš, kdo zmaga v sp lošnem p rime ru ? Kom isije , ki so pregledovale rešitve , so vodi li: Vlad imir BATAGELJ, Pete r LEGIŠA in Andreja PRIJATELJ . Pomagali so jim asistenti matema- t ike, študenti elektrotehn ike , matematike in računalništva . Učenci so poka- zali dobro znanje in veliko jih je rešilo vse naloge pravilno. Komisije so zato gledale predvsem na tekmovalčevo pojasnilo, kako je prišel do odgovorov. 336 Najbolje so se odrezali: V sedmem razredu: Vojko REBOLJ, Marko NOVINC, Gregor ŠEGA, Polona MALENŠEK, Mohor BERGANT, Blaž BABiČ, Veronika BRATINA, Eva POLJANEC, Barbara ŠIVC in Urška ŽORŽ; v osmem razredu: Igor PANiČ, Saša MOHORiČ, Jure ČADEŽ, Jernej BAN, Hana KLASINC, Sašo ŠTEFANČiČ, Aleš ČASAR, Maruša VATOVEC, Sašo REBOLJ in Rok KODRE; v prvem letniku: Mitja KOLŠEK, Andrej BAUER, Janko PETROVC, Gregor DOLINAR, Rudi DOLGAN, Milan HUDNIK, Matjaž POTRČ, Tomaž MEN- CINGER, Primož MAVRiČ in Peter MATELIČ. Za drugo republiško tekmovanje bomo morda uvedli predtekmovanje po območjih in še skupino za drugi letnik srednjih šol. V tej skupini bomo zasta- vili tudi kakšen šahovski problem. Število nalog pa bomo ob enaki težavnosti povečali na štiri. Ob generalnem pokrovitelju Metalki iz Ljubljane so tekmovanje podprle denarno ali z darili še številne druge organizacije. Izidor Hafner KRIŽANKE - VABILO Naročnike Preseka, člane Društva matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije ter druge vabimo k sodelovanju. Iščemo občasne ali stalne sodelavce lista za mlade matematike, fizike in astronome za sestavljanje najrazličnejših križank: slikovnih, številskih, itd. Velikost križank je lahko dvostranska (25 x 16 cm2 1. enostranska (11 x 16 cm 2 ) , ali manjša . Sestavljalci morajo upoštevati le zahtevo po strokovni vsebini, ki naj se nanaša na aktualne do- godke doma in v svetu, vsebino lista itd. Objavljene prispevke bomo honorirali, neobjavljene pa vrnili avtorju s pripisom mnenja strokovnega urednika. Le korajžno na delo! Ciril Velkovrh 337 007' ICIlOII II", '~I~'-L','L_ PREMISLI IN REŠI VSOTA DVEH POTENC - RESITEV IZ P-3 Dobili smo 26 rešitev, vse pravilne, poslali so j ih Matija AGREŽ iz Podnarta, Martina BAJT iz Cerknice, Tomaž BAJT iz Cerknice, Vladimir BENSA iz Nove Gorice, Vid BOBNAR iz Škofje Loke, GregaBREČKO iz Trzina, Silvan BUCIK iz Tolmina, Tomaž BURKELJC iz Trbovelj, Andreja CVERLE iz Slivnice, Aleš ČASAR iz Murske Sobote, Martina DENŽiČ iz Podčetrtka , Sašo DOLENC iz Ljubljane, Rudi DOLGAN iz Ljubljane, Jernej DOLŽAN z Golnika, Aljoša FUX iz Brežic, Marko GOMBAČ iz Postojne, Andreja GOMBOC iz Murske Sobote, Tina GORNIK iz Kranja, Jože GONCZ iz Lendave, Mojca GROSAR iz Trbovelj, Jana HANČ IČ iz Ljubljane, Boštjan HAUPTMAN iz Šmartnega pri Litiji, Jana JELENC iz Spodnje Idrije, Bogdan JUG iz Tolmina, Branko JURiČ s Ptuja, Milan KAMBiČ z Jesenic, Darja KASTELIC iz Mirne peči, Franc KERNC iz Mirne peči, Polona KOLENC iz Mirne peči, Mito KOT iz Migojnice, Jože KOVAČ iz Idrije, Matjaž KUMAR iz Mirne peči, Vera LEBAN iz Tolmi- na, Vanja LJUBETIČ iz Tolmina, Robert MEOLlC iz Bakovec, Vojka MELINC iz Tolmina, Tanja METELKO iz Kopra, Jelena MILOŠEViČ iz Ljubljane, Roman MODIC iz Ljubljane, Adrian MUSTAR iz Krškega, Erik OTT iz Raven, Milena PISKAR iz Motnika, Tom PLACER iz Kopra, Špela PRIMC iz Ljublja- ne, Sandi ROZMAN iz Postojne, Andreja RUPNIK iz Poljčan, Tomaž RUS iz Ljubljane, Barbara SEVER iz Šempetra, Tomaž SIMČiČ iz Stične, Vladka ŠETINA iz Mengša, Milan ŠERNEK iz Velike Polane, Bogdan TERTINEK iz Bistrice, Gorazd TRUŠNOVEC iz Idrije, Milan TURK iz Stopič, Lidija TUŠEK iz Desternika, Lojze VESEL iz Smlednika , Primož VIZLAR iz Ljubljane, Rudi VOLF iz Tržiča, Janez VOLK iz Straže, Robert VREČA iz Maribora, Aleš VAVPETiČ iz Domžal, Andrej ZALAR iz Šentjurja, Emil ŽAGAR iz Velikih Lašč in Simona ŽLOF iz Šentjurja. Izžrebali smo Vojko Melinc, Lojzeta Vesela, Špelo Primc, Polono Kolenc in Branka Juriča ; poslali smo jim knjigo R. Jamnik : Teorija iger iz zbirke Sigma. Za pregledovanje rešitev sem prosil teto Amalijo , ki je takole povzela vaše odgovore. Seveda takoj opazimo , ker pač A in B nastopata simetrično v enačb i, da je mogoče vlogi neznank zamenjati. Torej se lahko omejimo na primer, ko je A ~ B. 338 Kako pa naprej? Lojze iz Smlednika predlaga, da zapišemo vse možne vso- te pozitivnih celih števil, ki dajo rezultat 100 in ugotovimo, če sta seštevanca zahtevani potenci. Janez iz Straže in Andreja iz Murske Sobote sta pa pregledala vse pare (A, B) števil med 1 in 100. Računsko delo sta kajpak naložila računalniku. Pri izbranem A je izraz AB + BA odvisen še od B in je tem večji, čim večji je B. Zato lahko z izbranim A pričakujemo kvečjemu eno rešitev. Pa poizkusimo. A = 1: očitna rešitev B = 99 A = 2: za B vstavimo zapovrstjo 2,3,4,5 in končno 6, ki nam da rešitev tudi v tem primeru A = 3: če vstavimo B = 3, dobimo 54, premalo, pri B = 4 pa že 145, kar je preveč A = 4: tu pa je vsak B že prevelik in da vsoto potenc večjo od sto, kar se seveda zgodi tud i pri večjem A. Približno po taki poti so šli Silvan iz Tolmina, Vid iz Škofje Loke, Robert iz Bakovec in Tanja iz Kopra. Rešitve so torej štiri (1, 99). (99, 1). (2, 6). (6,2). Zanimivo je, na koliko različnih načinov se da reševati takole preprosto nalogo - včasih kar z ugi- banjem. ViŠiNSKI TRIKOTNIK Na sliki je trikotnik s koti 45°, 60°, 75° . Višina na stranico c ga deli na polovico kvadrata in polovico enako- straničnega trikotnika. Narišimo še drugi dve višini, nožišča višin ozna- čimo z M, N, P in zvežemo med sabo, da dobimo višinski trikotnik. Določi kote in stranice višinskega trikotnika, če je najkrajša stranica prvotnega trikotnika a = 6 cm. Rešitve pošljite do 10. junija 1987 na naslov PRESEK (za PIR), 61111 Ljubljana, Jadranska 19, pp 64. Peter Petek c 339 MATEMATICNA KRIŽANKA Vo doravno: 1. Di agonala kvadra s stran icami a = 18,b = 6, c= 9. 3. V rednost izraza (x 2 + 1) 2 , kje r je a = 4 in 8x= 100-(91-(25-(5 -- al a) a) a 6. V rednost izraza P + 2800, kjer je P površina enakostranične pri zme z rombom kot osnovno ploskvijo. Njegovi d iagonali se razl iku jeta za 6, ena diagonala pa je %druge. 8. Prostornina kvadra s površino 288 in dvema robovoma 12 in 6. 9. Vrednost izraza P/n, kjer je P plošč ina kroga op isanega okrog pravoko - tnega t ri kot nika s katetama 30 in 40 . 11. Št irimestno število , ki ima desetiški zapis z zaporedn im i lih im i števili. 13. V rednost izraza 8 (1 1 1"3: "4 + 22" . 3 - 3 2" ) ( 3 1 - 2 -~ ) _J_ 2 51' 147 pomnožena s 350. 15. Dolžina daljice AC, kjer točko C dobimo takole: na dalj ici AB z dol žino 21 določimo točko M, da bo AM = 5, skozi točko M po stavimo pravo - kotnico na AB in na njej točko C izberemo tako, da bo BC = 20. 17. V rednost izraza lOP, kjer je P plošč ina trapeza z elementi a = 6, C = 3, v = .§. v 5' 18. Stiri zaporedna naravna števila . 20. Vrednost izraza 6x(x 2 + 1), kjer je x polmer krog a s p loščino P = 81 1T. NALOGE ZANIMIVE TROJKE ŠTEVIL - Rešitev naloge s str. 327 Poljubna t ri zaporedna naravna števila imajo to lastnost , velja namreč : n (n + 2) = (n + 1)2 - 1 oziroma n (n + 2) = (n + 1 - 1) (n + 1 + 1). Dušan Modic 340 Navpično: 1 2 eJ 3 4 5 eJ 6 7 eJ.. 8 eJ 9 10 .. 11 12 .: 13 14 r 15 16 17 .. 18 19 ~ 20 eJ 2. Vrednost izraza P + 4, kjer je P plo š čina kvadrata zdiagonalo 12Y2. 3 . Število, katerega tretjina in sedm ina dasta skupaj 30. 4. Vrednost izraza 100(x - 1) + x + 1808, kjer je x število , ki zmanjšano za svojo petino da 44. 5. Vrednost izraza Ph, kjer je P površina telesa, ki nastane z rotacija lika sestavljenega iz pravokotnika (a = 18, b = 9) in polkroga nad daljšo stranica okrog svoje simetrijske osi. 7. Vrednost izraza (3: 16).10000. 8. Ploš čina tr apeza z osnovn icama 74 in 52 ter višino 45. 10. Za 2 zmanjšan kvad rat dvomestnega števila, katerega vsota cifer je 10. 12. Vrednost izraza (x2 - 10) (x + 1), kjer je x rešitev ena čbe .1. (x - .1.) _1 (x - 1) + .§. =- 2 2 3 3 3 9 14. Kvadra t dvomestnega števila z vsoto cifer 3 . 16. Vrednost izraza 360 - 3.(72:6 - 5 .2 - 1). 19. Vrednost izraza 40 - (20 - (7 +(6 + 3))) + 8:4 Stavra V. Hedojkovič 341 oce/TI IC 1\101l":"L_' III'L IIIL_'Ll 30. REPUBLlSKO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV IZ MATEMATIKE - rešitve nalog s str . 318 Prvi razred 1. Dedovo starost označimo z x, babičino z y, vnukovo pa z z. Pred deveti- m i leti je veljalo x - 9 = (y - 9)(z - 9) Od tod sledi x-y=z-9 Danes velja x+ y=m.z kjer je m naravno število. Od tod dobimo x + y + z = (m + 'l lz Ker ima vsota vseh starosti le tri celoštevilske delitelje, pri čemer je eden vedno 1, drugi pa število samo , je nujno m + 1 = z in je z praštevilo. Zato je x + y + Z =Z2 Čez devet let bo vsota starosti popoln kvadrat, torej (x + 9) + (y + 9) + (z + 9) = Z2 + 27 = n 2 kjer je n neko naravno število . Sledi n 2 - Z2 = (n + z) (n - z) = 1.27 = 3.9 iz česar izračunamo, da je z = 13, ali pa z = 3. Vnuk je star vsaj 9 let , zato je rešitev samo z = 13. Iz x - y = 4 in x + y = 156 dobimo še x in y . Ded je star 80 let , bab ica 76 let, vnuk pa ima 13 let . 2. Označimo ab - cd z D. Potem velja a =h.D, b =k.D, c = I.D in d =m.D kjer so h, k, I in m cela števila. Od tod sledi ab - cb = D 2 (hk - Im) oziroma 1 =D(hk - Im), torej Dll, kar pomeni , da je IDI = 1. 3. Točko E na stranici AB določimo tako, da bo AD = AE. Oč itno je tri- kotnik 6.BDE enakokrak s koti 40° , 40°, 100°. Sedaj pa določimo na stranici AC točko F tako, da bo FD li AB. Potem so tudi koti v t rikotniku 6.FDC enaki 40°,40°, 100°. Od tod sledi "4ADF = 20° = "4FAD, se pravi , da je tr i- kotnik 6.ADF enakokrak in AF = FD. Zaradi FD II AB pa je tud i AF = BD. 342 c A E B Torej je FD = BD in sta trikotnika !:1BDE in !:1FDC skladna. Sledi DC = EB. Sedaj je oč itno AB=AE+EB=AD+DC 4. Očitno sta (glej sliko 1) a in b nasprotne parnosti. Privzeti smemo, da je a sod. Potem razrežemo šahovsko ploščo kot kaže slika 2. Ker imajo vsi pravo- kotniki vsaj po eno sodo stranico, se jih očitno da pokriti zdorn inami (1 x 2). Dokaz je končan . ~,,~:~~ b r a Slika 1 Drugi razred 8 ~ b-1 b-1 I 0 -2 o Slika 2 1. Dokazujemo s protislovjem. Če bi namreč veljalo (a2 - b 2)/(ab) = k, kjer je k E Z, bi lahko enakost zapisali tudi takole: a2 - k.a.b - b 2 = O Če gledamo to enakost kot enačbo za a, mora biti diskriminanta D =k 2b2 + 4b 2 =b2(k 2 + 4) celo število. Ker število k 2 + 4 ni popoln kvadrat za nobeno celo število k razen za k = O (kar je nemogoče zaradi lal *- Ibl) , smo dobili protislovje. 343 2. Najprej konstruirajmo poljuben kva- drat ABCD. ki se dotika krožnice v točki Mz razpoloviščemstranice AB (glej sliko). nato pa ga smo še ustrez- no povečamo oziroma pomanjšamo z ravninskim raztegom iz točke M . Iskana oglišča torej ležijo zaporedo- ma na premicah MA, MC, MD in MB. c A M B Ker je trikotnik /'-,.ABN polovica pravokotnika, je dolžina daljice NM enaka dolžini polovice diagonale in je zato NM = ~ AB. Analogno dobi - mo tudi PM =1/2AB. Pokazati mora- mo le še. da je '4NMP = 90°: '4NMP = 11 - '4AMN - '4PMB = = 11 - (11 - 2a) - (11 - 2~) = = 2(a + m- 11 = 11/2 = 90° 4. Če predpostavimo, da je svetovalec lažn ivec, potem laže tudi kra lj Artur. Prvi vitez na njegovi levi potemtakem govori resnico , drugi laže. tretji zopet govori resnico • ...• trinajsti govori resnico in je za svetovalca po resnici povedal. da je lažnivec. Vidimo. da je lažnivcev 8. resnicoljubov pa 7. torej se je kralj Artur zlagal . ko je rekel. da je resnicoljubov več. To je tudi v skladu z njegovo prisego . Isto velja tudi za svetovalca . Do sedaj smo dokazali šele. da je kralj Artur lahko lažnivec. Pokažimo še. da ne more biti resnicoljub. V primeru. da svetovalec govori resnico, je resnicoljub tudi kralj Artur. Prvi vitez na njegovi levi je potem lažnivec. drugi resn icoljub, .... trinajsti laže in se je res zlagal. da svetovalec laže. Lažnivcev je le 7. resnicoljubov pa 8. torej kralj Artu r ni prelo- mil svoje prisege. Prelomil pa jo je svetovalec, ki se je zlagal , da je resnicolju - bov za 3 več. Kralj Artur torej laže. Tretji razred 1. Predpostavimo, da velja 11> arg(zl) ;;;;. arg(z 2) ;;;;. arg(z3) > O 344 Iz dane enakosti s pomočjo arg(z,) + arg(z2) + arg(z3) == arg(z,z2Z3) (mod 21T) sledi arg(z,) + arg(z2) + arg(z3) = arg(z, + Z2 + Z3) + 2k1T kjer je k enak Oali 1. Če je k = O, upoštevamo arg(z, + Z2 + Z3) .::;;arg(z,) (glej sliko}, sledi arg(z2) + arg(z3) .::;; O kar je seveda protislovje. V primeru, ko je k = 1, pa upoštevamo arg(z, + Z2 + Z3) ~ arg(z3) (glej sliko) in dobimo arg(z,) + arg(z2) ~ 21T kar je zopet protislovje. Primera, ko so vsi argumenti danih kompleksn ih števil negativni in večj i od - TI; nam ni treba obravnavati posebej. saj za kompleksna števila z" Z2 in z 3velja z, + Z2 + Z3 = Z,Z2Z3 y 2. Zadošča, da dokažemo: o x ~ (sinx + siny) .::;; sin((x + y)!2) za kota x in y z intervala [0,1T]. Če namreč vstavimo v to neenakost namesto x in y prvič a, (3, drugič (3, "t in tretjič "t. a in vse neenakosti seštejemo, dobimo neenakost, ki jo je treba dokazati. Levo stran faktoriziramo, vse člene prenese- mo na desno stran in izpostavimo sin((x + y)/21. ki je očitno nenegativno števi- lo za x in y z intervala [0,1T] . Dobimo sin( (x + y)!2)(1 - cos((x - y)/2) ~ O kar očitno drži. Enačaj velja, ko je x = y oziroma je a =(3 ="t. 3. Naj bo a k-kratna ničla polinoma q(x). Obstaja tak polinom r(xl. da je q(x) = (x - a)kr(x) . Sledi, da jep(x) = (x - a)kr(x) + x in s(x) = p((x - a)kr(x) + x) - x = = ((x - a)kr(x) + x - a)kr((x - a)kr(x) + x) + (x - a)kr(x) + x - x = = (x - alk [((x - alo,r(x) + 1)k r((x - a)kr(x) + x) + r(x) 1 To nam pove, da je tudi k-kratna ničla polinoma s(x). To velja za poljubno ničlo polinoma q(x), zato je dokaz končan. 345 4 . Enačba narisane parabole je očitno oblike y = ax 2 (glej sliko). Naj bo (x, y) točka, v katero je prispe la druga mravlja. Potem je očitno x : (ax 2) = 1 : (x 2 +a2x4)1 / 2 sledi x = 2 (a2 - 1) 112 in y = 2 (a2 - 1) a a Iz zveze tglp = .r = (a2 - 1)1/2 izrazimo a = (1 + tg 2 1p)1/2, nato pa še x x = tglp/(l + tg\o)1 /2 in y = tg 2lp/(1 + tg 21p)1 /2 . Četrti razred 1. Če sta števili a in b enaki, ni kaj dokazovati . Če sta različni , izraz A = =a l / 3 + bl 13 kubiramo in dobimo a + 3A (ab) 113 + b E Q oziroma, če še enkrat upoštevamo, da je A racionalno število (ab)1 /3 E Q (1 ) Sedaj pa A še kvadrirajmo a2/3 + 2(ab) 113 + b 2/ 3 E Q Ob upoštevanju (1) izvemo a2/ 3 + b 2/ 3 E Q . Dobljeni izraz pomnožimo z (1), kar nam da a.b l / 3 +b.a I / 3 EQ (2) Odštejemo še b.A in dobimo (a - b)h1/ 3 E Q. Torej je res bi h E Q in potem tud i al / 3 E Q. 2. V enakosti fIn) = flO) + f(1) + '" f(n-l) zamenjamo prvih n - 1 členov z itn - 1) in dobimo f(n) = 2.f(n - 1) oziroma fIn) = 2n- 1 Iska no število je torej 1 + 1 + 22 + 24 + ... + 22 n -2 346 (22 n + 2)/3. 3. Središča krogel označimo zA, B, C in D (glej sliko). Enakokraka trikotni- ka 6.ABC in 6.ADB očitno ne moreta biti istočasno pravokotna. Zato morata biti pravokotna trikotnika 6.ACD in 6.BCD ter velja (R 2 + R 3 ) 2 = (Rl + R 3 ) 2 + (Rl + R 2 )2 oziroma D R 3 (R 2 - Rl) = Rl (R 2 + Rl) C 4. a) Dolžina drevesaDn je 1 + 2k + 4k 2 + ,.. + (2k)n-1 = ((2k)n - 1) /(2k - 1) b) Če na vsakem koraku narišemo še simetralo vsake nove veje (glej sliko: si- metrale so narisane s prekinjeno črto), je očitno dovolj, da "prepričamo" pre- I I I I ~-'-~-- - - -:- - - --t-.......--t I I ! ---- -- --~------~------~- --- ---- - I I I I ~;-~- - - - ~- ---+--,---i I I I pletanje venem samem pravokotniku. Torej mora veljati (glej sliko) kl2 ;;;'k 3 / 2 + k S/ 2 + k 712 + ,.. oziroma 1 ;;;'k2 /(1-k 2 ) in končno k ~ 1/Y2. Aleksandar Jurišk: 347 REŠiTVE NALOG IZ PRVEGA REPUBLIŠKEGA TEKMOVANJA IZ LOGIKE 7 . razred telovadec plavalec D pla valec Klemen DPeterIT Peter T\ 1. Izjave, ki so jih dali igralci, nasprotujejo ena drugi. Resnična je samo ena, to je Tomaževa izjava . Prvi z leve gotovo ni Tomaž, ker trdi, da je Tomaž v sredini. Ker je hkrati ta izjava napačna, Tomaž ni v sredini . Tomaž je torej na desni. Njegova izjava je resnična. Torej je Hinko v sredini. Levo je Dore. 2. Iz podatkov sklepamo: Peter ni plavalec. Klemen ni telovadec. Nari- šimo pravokotno mizo in določimo sedež za Petra: Pavel in Tone sedita eden poleg drugega, zato eden od njiju sedi nasproti Petru. Klemen torej sedi poleg Petra . Klemen mora sedeti levo od Petra in je plavalec. Če bi sedel desno, bi bil nasproti plavalca. Spodaj je telovadec. Peter ne sedi levo od drsalca (ker sedi levo od telovadca). Peter ni drsalec, Pavel levo od njega (sedi pa Klemen). ker bi v nasprotnem primeru sedel Peter je torej nogometaš. 3. Ker ni dveh poklicev na "K", Pipan živi na Ptuju, je pa pečar ali pleskar. Ker Kranjc ne živi v Kranju , pa tudi na Ptuju ne, živi v Kopru . Kovačič potem živi v Kranju. Kranjc ni pleskar, je pa pleskarjev svak, ker pa vsi njegovi so ro - dniki živijo v Kranju , pleskar živi v Kranju . Kovačič je torej pleskar. Pipan, ker n i pleskar, mora biti pečar. Kranjc je kovač . 8. razred 1. al Če bi b il Mihov stavek resničen, b i bil Miha vitez, prav i pa , da so vsi trije oprode, to rej tudi sam. Miha je torej oproda. Vsi trije pa niso oprode. Recimo , da je T ine tu di oproda . Potem je Cene vitez , ker vsi trije niso oprede . Tedaj je T inetov stavek resničen in mora biti Tine vitez. To je protislovje . Tine je torej vitez, in to edini. Cene je oproda. b] Miha je oproda, toda vsi trije niso. Če je oproda en sam, to je Miha , 348 p iani st Ana violin ist D D ·pian ist D p ian ist Ana Bo ris T\ Bor is T\ Boris viol in is t T\ Ano lahko postavimo na spodnj i sedež ali na desni sedež na sliki (zgornj i ne pr ide v poštev.) Recimo, da je Ana spodaj, to je desno od Bor isa. Bor is je levo od nje in zato je violinist . Ana je bobnar ali f lavt ist. Zato je poročena, in to z Davorjem (Boris je violinist). Cirila je pianist. Ana je levo od Cirile in ni bobnar. Torej je flavt ist in nasproti Davorja. To je proti slovje. Ana torej sedi nasproti Borisa in je pianist. Levo od nje je viol in ist. Bor is je flavti st al i bobnar. Torej je poročen. Toda ne z Ano, ker je pian istka . Poročen je s Cirilo. Davor je zato violin ist (spodaj) . Nasproti Davorja ni flavtist , zato je to bobnar in to Cirila . . Cirila je torej bobnar. sta Tine in Cene viteza . Če sta oprodi dva , potem je Tine tud i oproda, ker je njegova izjava napačna . Cene je torej vitez v vsakem primeru. 2. Največ praviln ih odgovorov bi imeli, če bi bila druga karta srce, tretja ali č et rta pa kara . Tedaj bi imeli 3 + 2 + 1 + 1 = 7 pravilnih odgovorov. Toda, ke r so imela dekleta enako število pravilnih odgovorov, to število ne more biti 2 , ker bi to dalo 8 pravilnih ugib anj. Torej je b il vsak as uganjen natanko enkrat. Druga ka rta z leve je kara (srce odpadel. Četrta kart a z leve je pik (kara je že bila, srce odpade, ker je Hana že enkrat zadelal. Tretja karta z leve je križ (kara in Hanin odgovor odpadeta). Prva karta je srce (Brede še nismo upoštevali oziroma srce je še os talo). 3. Boris ni pian ist , Ana ni violinist. Skiciramo sliko in vstavimo podatke : 349 1. letnik 1. Narišimo razpredelnico in prečrtajmo diagonalne elemente D.d. M.d. K.d. P.d. J.d. Drago X X V X X Marko X X V Klemen X Primož V X X X Janez X X Sklepamo: Dragovo dekle ni plesalo z Markom. Vnesimo še, da je Drago plesal s Klemenovim dekletom. Prečrtajmo ustrezni stolpec in vrstico. Primož ni ple- sal z Janezovim dekletom. Primož je plesal z Dragovim ali Markovim dekletom. Recimo, da je plesal z Dragovim dekletom. Potem je Drago plesal z Janezovim dek letom. To ni res, saj Drago pleše s Klemenovim dekletom . Primož torej pleše z Markovim dekletom, Marko zato pleše z Janezovim dekletom. Iz pogojev naloge sledi še: Dragovo dekle pleše z Janezom. Primoževo dekle pleše s Klemenom. 2. Različni načini za grupiranje štirih knjig so: 4 3 1 2 2 2 1 1 1 Narišimo razpredelnico d bil ~dala A B C O E Aleška O 1 1 1 1 B 4 O O O O C O O O 1 3 O O 2 2 O O E O 1 1 2 O 350 Le Aleška je lahko dala vsaki po eno knjigo, ker druge (razen Brede) Aleški ne morejo dati ničesar. Eva je tako odpravljena. Danica lahko da le dvema, ker treh knjig ne more dati, da dve Bredi in dve Cvetki. Danica lahko dobi dve knji - gi le od Eve. Eno dobi od Cvetke (in eno od Aleške). 3. a) Miloš vidi Primoževo 2 . Ve , da ima na čelu 1 ali 3, ne ve pa , katero. Na potezi je Primož . Vidi Miloševo 3, ve, da ima 2 ali 4, ne ve pa, katero. Na potezi je Miloš. Ve, da ima 1 ali 3. Toda katero? Če bi imel 1, potem bi Primož vedel, da ima 2 . Toda Primož ni vedel. Zato Miloš ve, da ima 3. b) Miloš vidi Primoževo 3. Ve , da ima 2 ali 4 , ne ve pa, katero . Primož vidi Miloševo 2, ve, da ima 1 ali 3 . Toda če bi imel 1, bi Miloš vedel , da ima 2. Toda Miloš ne ve. Primož sklepa, da ima 3. Izidor Hsitier STEVILSKA KRIZANKA - Rešitev iz P xiv/a 10 1 6 1 5 2 4 2 9 5 4 o 7 13 3 2 8 3 o 2 1 1 6 9 14 8 3 2 1 4 9 3 o 9 4 8 15 8 3 4 1 2 8 8 3 O 8 8 5 5 9 2 3 O 9 3 7 2 5 9 O 4 9 6 3 6 7 MATEMATIČNA KRIŽANKA - REŠiTEV S STR. 340 Vodoravno: 1. 21 3. 6724 6. 4132 8. 288 9. 625 11. 7531 13. 3150 15 . 13 17. 54 18. 2345 20. 4428 Navpično : 2. 148 3. 63 4. 7263 5. 405 7. 1875 8. 2835 10. 2114 12. 5022 14. 144 16. 357 19. 38 Stavra V. Redojkovič PRESEK - LIST ZA fI{lLADE MATEMATIKE, FIZIKE IN ASTRONOME 14. letnik , šolsko leto 1986 187,"številk a 6, strani 289·352 U REDN IŠK I ODBOR : V ladimir Batagelj Iblstrovide cl , Dušica Boben (pisma bralcev , stav- ljenje teksta) , Pavla Ranzinger (astronomija) , Martin Čopič, Franci Forstnerič [maternati- ka), Bojan Golli (tekmovanja - naloge iz fizike) , Pavel Gregorc, Andrej Kmet, Damjan Kobal, Jože Kotnik , Edvard Kramar (odgovorni urednik), Sandi Klavžar in Matija Lokar (računalništvo) , Gorazd Lešnjak (tekmovanja - naloge iz matematike), Peter Petek (naloge bra lcev, premisli in ,rešil , Tomaž Skulj, Ivanka Šircelj (jezikovn i pregled), M iha Štalec (risbe), Marjan Hribar (fizika), Ciril Velkovrh (urednik, nove knj ige, novice). Dop ise pošiljajte iri list naročajte na naslov : Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS - Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19,61111 Ljubljana, p.p. 64 , tel. (061) 265 - 061 1 53, št. žiro računa 50101-678-47233. Naročnina za šolsko leto 1986 /87 je za posamezna naročila 1000.- din, za skupinska naročila pa 800.-, posamez na številka 250.- din/200.- din. List sofinancirajo Izobraževalna, Kulturna in Raziskovalna skupnost Slovenije Ofset tisk Časopisno in grafično podjetje DELO, Ljubljana © 1987 Društvo matematikov, fiz ikov in astronomov SRS - 359 352 ISSN 0351-6652 PRE S E K - list za mlade matematike, fizike in astronome 14 (1986/87) številka 6 , strani od 289 do 352 VSEBINA I II IV 338 334 337 340 35 1 318 322 323 327 328 332 333 289 304 305 310 314 315 293 1,IV,294 301 302 M ag i č n i kvad rati (A lojzij Vadnal) . Prof. dr. Alojzij V adn al , čast ni č la n DMF A SRS, umrl (Ciri l V elkovrh ) . Vremenski radar (Jože Rakovec, foto Rafael A d rinek ) iz rač u n aln i štva k č lanku na str. 305 (Matija L okar! Zvezda , ki pulzira (Marijan Prosen) . . . . . Obvesti lo tek movalcem za Vegova pr izna nja (Aleksander P otočnik ) ' . Podat kovna str uktura sklad (Matija L okar) . Še o uporabi rekurz ivnih formul (Marko Razpet ) . V sot a prvih n narav nih števi l (Dragoljub M. Miloševič, prev. Franci F orstnerič) .. . . . . . . . .• . . . Razp is za 5. po let no šolo računal ništva . 30 . repub li ško tekmovanje iz maternat ik e - rešitv e str . 342 (Majda Šavs, Aleksandar Ju r i š i č ) . (Duši ca Boben) . Sredn ješo lsko repub liško tekmovanje iz fizike (Iztok Kukman) . Zanim ive t rojke štev il - rešitve str. 340 (Duša n M od ic) Zvezno tekm ov anje m ladi h f izi kov ( Iz tok K ukman) Poj asnil o (A leksander P oto čni k ) . Razstava društvenih publikacij (Vlasta Kokol· Vo lj č ) Prvo republ iško tekmovanje iz logike - rešit ve str. 348 (Izidor Hafner! . Križanke - vabi lo (Ciril Velkovrh) . .. .. . . . . •. . PRE MI SLI IN REŠi - Vsota dveh potenc - rešitev iz P3. Višinski triko t nik (Peter Pet ek) Matematična križanka - rešitev str. 352 (Stavra V. Hadojkcv i č l . Številska križanka - rešitev iz P·X IV/ 4 (Franci Ob lak ) Bel a kupola prekriva ante no meteoro lo škega radarja nad Sevni co. Ob njenem vznožju je generato r moči (napajaln ik ) rada rja, v mo ntažni stavb i ob antenske m sto lpu pa so ob i č aj ne kontro lne radarske nap rave z zaslonorn , poleg tega pa še dva računalnika . A . Diirer, Melanholija (glej članek na str. 289) . Zaporedje radarskih slik , kot so bi le zabe ležene 1. julija 198 5 med 11.25 in 12.58 . Vidimo, da so se tega dne pojavi le nad Slovenij o tu di nevih t ni ob laki , saj rdeča b arva označ uje že zelo močne radarske odboje . Ob straneh slike so prestavljene t udi vsote odbojev po smereh zahod-vzhod ter jug-sever. (Rač u nal niška obdelava in foto : Rafae l Adrinek) . RAČUNALNiŠTVO NA OVITKU TEKMOVANJA RAZVEDRI LO FIZIKA NALOGE ASTRONOMIJA NOVICE NOVICE TEKMOVANJA PISMA BRALCEV TE KMOVANJA NALOG E TEKMOVANJA NOVICE MATEMATIKA MATEMATI KA NOVICE