Glasilo Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije Ljubljana, SEPTEMBER 2015, letnik 62, številka 5, strani 161–200 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski raˇ03100–1000018787 cina 4, cun: Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohoriˇc (urednik za .ziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši´ c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ cni urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Raˇ cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. ˇ Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇclanarina znaša 24 EUR, za druge cno. Celoletna ˇdružinske ˇcnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. clane in študente pa 12 EUR. NaroˇPosamezna številka za ˇ clane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je vˇcno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇ clanjeno v Evropsko matematiˇcno unijo (IMU), v Evropsko .zikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇ cisto in uporabno .ziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇc­ cnosti z Ameriškim matematiˇ nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. So.nancira jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ cuna iz naslova razpisa za so.­nanciranje domaˇcih znanstvenih periodiˇcnih publikacij. ©c2015 DMFA Slovenije – 1979 cana pri pošti 1102 Ljubljana Poštnina plaˇ NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in .ziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇclanke iz mate­matike, .zike in astronomije, vˇclankov objavlja prikaze novih knjig casih tudi kak prevod. Poleg ˇs teh podroˇcila o dejavnosti Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije ter vesti cij, poroˇ o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. ˇ Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle­ˇ cek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇcek v angleškem jeziku, klasi.kacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilˇcrpen opis, da jih cene, morajo imeti dovolj izˇlahko veˇceno od besedila. Avtorji ˇ cinoma razumemo tudi loˇclankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ cunalni­ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ crk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma .ziko na zgoraj na­pisani naslov uredništva. Vsak ˇclanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natanˇ cno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematiˇclankih splošnost) rezultatov. ˇ cnih ˇCe je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇcunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. cic urejevalnikov TEX oziroma LAvtor se z oddajo ˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MNOˇSTEVILSKIH IN RACIONALNIH ZICE CELOˇ RAZDALJ JANKO BRAˇC CIˇ Naravoslovnotehniˇska fakulteta Univerza v Ljubljani Math.Subj.Class.(2010): 14G05 V ˇclanku predstavimo nekaj rezultatov, povezanih s takˇsnimi mnoˇzicami v ravnini, v katerih so vsemedsebojnerazdaljemedtoˇckami celaali racionalnaˇstevila. SETS OF INTEGRAL AND RATIONAL DISTANCES We present a few results related to point sets in the plane such that all pairwise distances of points in the set are integral or rational. ˇ ClanekjeposveˇcenprofesorjuMilanuHladniku ob njegovem 65. rojstnem dnevu. Uvod Podmnoˇzica S toˇck v ravninije mnoˇzica racionalnih razdalj,ˇceje razdalja ˇ d(A,B) med poljubnima toˇckama A,B .S racionalno ˇstevilo. Ce pa je razdalja medpoljubnima toˇckamaiz S celoˇstevilo, reˇcemo,daje S mnoˇzica celoˇstevilskih razdalj. Verjetnobralcu neboteˇzkopoiskatiprimera mnoˇzice celoˇstevilskih raz­dalj s tremi toˇckami. ˇc, enostaven razmislek nas prepriˇ Se veˇca, da za po­ljubna naravnaˇstevila p . q . r, za katera velja r . p+q, obstajajo takˇsne toˇcke A,B in C v ravnini,dajed(A,B)= p, d(A,C)= q in d(B,C)= r. Kaj pa mnoˇzica celoˇstevilskih razdalj,kiima veˇckottri toˇcke? Odgovorje sevedatrivialen,ˇcedovolimo,da sotoˇckekolinearne. Oˇcitno vsakapremica vsebuje neskonˇcno podmnoˇzico celoˇstevilskih razdalj. Preden nadaljuje z branjem, vabimbralca,dapoiˇsˇceˇstiri nekolinearnetoˇcke v ravnini,katerih medsebojne razdalje so naravnaˇstevila. Leta1945 staAnninginErd˝os[1] dokazala,dajevsakaneskonˇcnamno­ˇzica celoˇstevilskih razdaljkolinearna. Podrugi stranipa stapokazala,da za vsako naravnoˇstevilo n obstaja nekolinearna mnoˇzica celoˇstevilskih razdalj z moˇcjo n. ˇsanje, ali obstaja v R2 SeistegaletajeUlampostavil vpraˇgosta mnoˇzica racionalnih razdalj. On samjepodvomil,datakˇsna mnoˇzica res obstaja. Erd˝os sejektemuproblemu obˇcasno vraˇcal v naslednjihdesetle­tjih, a reˇsitvedodanesˇse nihˇce ni naˇsel. Takojetrditev,da v R2 ni goste Slika 1. Konstrukcija mnoˇzice racionalnih razdalj na enotski kroˇznici. podmnoˇzice racionalnih razdalj, znana kot Erd˝os-Ulamova domneva in je eno izmed mnogih odprtih vpraˇsanj v diskretni geometriji. V temˇclankubomo navedli nekaj rezultatov,povezanih z mnoˇzicami ce­loˇstevilskihin racionalnih razdalj. V naslednjem razdelkubomo obravnavali predvsem mnoˇzice celoˇstevilskih razdalj in med drugim dokazali omenjeni izrekiz[1]. Vtretjem razdelku sebomo ukvarjali z mnoˇzicami racionalnih razdalj. Videli bomo, katere kroˇznice imajo goste podmnoˇzice racionalnih razdalj. V zadnjem razdelku bomo na kratko spregovorili o Erd˝os-Ulamovi domnevi. Bralecje verjetnoˇzepoiskalkakˇsno mnoˇzicoˇstirihtoˇck v ravnini,katerih medsebojne razdalje so naravna ˇstevila. ˇca, da Ce ne, naj se najprej prepriˇje S = {A(0,0),B(5,0),C(9,0),D(0,12)}takˇsna mnoˇzica, potem pa naj poiˇsˇce takˇsno toˇcko E v ravnini, da bo tudi S.{E}mnoˇzica celoˇstevilskih razdalj. Mnoˇzice celoˇstevilskih razdalj ˇ Ceprav bomo v tem razdelku govorili predvsem o mnoˇzicah celoˇstevilskih razdalj, zaˇcnimo obravnavo z mnoˇzicami racionalnih razdalj. Da vsakapre­mica v ravnini vsebuje gosto podmnoˇzico racionalnih razdalj oziroma ne­skonˇcno podmnoˇzico celoˇstevilskih razdalj, je trivialno. Kaj pa kroˇznica? Oˇcitnokroˇznica ne more vsebovati neskonˇcnepodmnoˇzice celoˇstevilskih raz­dalj. (Vpremislek: vsakaomejenamnoˇzicatoˇck vravniniimasamokonˇcne podmnoˇzice celoˇstevilskih razdalj.) Ali vsebuje kroˇznica gosto podmnoˇzico racionalnih razdalj? Poglejmo enotskokroˇznico s srediˇsˇcem vkoordinatnem zaˇcetku 22 K(O,1) = {T(x,y). R2; x + y =1}. 22 Naj bodo a,b,c . Z, c 0, celaˇ+b2 = c. Potem = stevila, za katera velja a 2 -b2 2ab toˇcka T(a 2 , 2 ) oˇcitno leˇzi na kroˇznici K(O,1). Njena oddaljenost od cc toˇcke U(-1,0) .K(O,1)je2|a|in oddaljenost od V(1,0) .K(O,1)je2|b|. cc To sta racionalniˇstevili. Spomnimo,Ptolemajevizrekpravi,da so v tetivnemˇstirikotniku ABCD straniceindiagonalipovezane z enakostjo |AC||BD|= |AB||CD|+|AD||BC|. ˇ Ce sta T1,T2 .K(O,1) toˇcajo cela ˇ 0 ozi­ cki,kijudoloˇstevila a1,b1,c1= roma a2,b2,c2 0tako,kot smo navedliprej,potem so U,V,T1 in T2 ogliˇca = sˇtetivnegaˇstirikotnika, vkateremjedaljica T1T2 bodisi stranica bodisi di­agonala, vendarjevvsakemprimerunjenadolˇzinaracionalniizrazdolˇzin preostalih stranic in diagonal, ki pa so, kot smo ˇze ugotovili, racionalna ˇstevila. Sklenemotorej lahko,daje 2 -b2 T a2ab 2 + b22 S =2 , 2; a,b,c . Z,c =0: a = c (1) cc mnoˇzica racionalnih razdalj. Pokaˇzimo, da je gosta v K(O,1). Naj bo . : R ›K(O,1) de.nirana z .r2 -12r . . : r › T, (r . R). r2 +1r2 +1 Slika 2. Tetivniˇstirikotnik z racionalnimi stranicamiindiagonalami. Toje zveznapreslikava,ki R bijektivnopreslika v K(O,1)\{V(1,0)}(glejte sliko 3). Racionalno ˇstevilo p, kjerje p . Z in q . N, se preslika v toˇcko q Slika 3. Projekcija kroˇznice na premico. -q 2pq T(p 2 22 , 2 ) .S. Ko p preteˇce celotno mnoˇzico Q, dobimo mnoˇzico p2 +qp2 +qq S\{V(1,0)}. Kerje Q gosta vR,je S\{V(1,0)}gosta vK(O,1)\{V(1,0)}oziroma S je gosta vK(O,1). Dokazali smo naslednjo trditev: Trditev 1. Kroˇznica K(O,1) vsebujegostopodmnoˇzico racionalnih razdalj. Posledica 2. Za vsako naravnoˇstevilo n . 3 obstaja nekolinearna mnoˇzica celoˇstevilskih razdalj z moˇcjo n. Dokaz. Naj bo S mnoˇzica iz (1). Izberimo poljubne toˇcke Ti(xi,yi) .S (1. i . n). Njihove medsebojne razdalje so pozitivna racionalna ˇstevila, recimo pij d(Ti,Tj)= ,pij,qij . N (1. i 0. Inverzija glede na kroˇznico K je preslikava . : R2 \{S}-›R2 \{S}, ' ki toˇcki T priredi tisto toˇcko T= .(T)na poltraku, ki se zaˇcne v S in gre skozi T, za katero velja 2 d(S,T)d(S,T ' )= r. ˇ Ceima T . R2 \{S}koordinati(x,y),potem stakoordinatipreslikane toˇcke ' T= .(T)dani z r2(x -p) r2(y-q) '' x = p+ in y = q+ . (2) (x -p)2 +(y-q)2 (x -p)2 +(y-q)2 ' Ni se teˇzko prepriˇcati, da . preslika Tnazaj v toˇcko T. Od tod sledi, ˇ da je . bijektivna preslikava na prebodeni ravnini R2 \{S}. Ce ravnini R2 dodamo toˇcko v neskonˇcnosti S., da dobimo razˇsirjeno ravnino Rj2 , potem lahko inverzijo . razˇsirimo do bijekcije na Rj2, pri ˇcemer velja .(S)= S. in .(S.)= S. Na premice v razˇsirjeni ravnini lahko gledamo kot na kroˇznice z neskonˇcno velikim polmerom in s srediˇsˇcem v S.. Zdaj se ni teˇzkoprepriˇcati,da v razˇsirjeni ravniniinverzijapreslikakroˇznice vkroˇznice (bralec naj premisli, kam se preslikajo kroˇznice in premice, ki vsebujejo toˇcko S). Poglejmo naslednji poseben primer, ki ga bomo potrebovali v nadaljevanju. Zgled 2. Za inverzijo glede na kroˇznico K(O,1) velja xy . :(x,y)› ,, (x,y)=(0,0). x2 + y2 x2 + y2 Naj bo r> 0. Pokaˇzimo, da . preslika premico, kije parametriˇcno podana z x = r, y = t (t . R), vkroˇznico s srediˇsˇcem vtoˇcki( 1 ,0) in s polmerom 2r 1 . Ker velja 2r r 1 2 t 2 1 - += r2 + t2 2rr2 + t2 4r2 , rt je .(r,t) = restoˇckanakroˇznicissrediˇsˇcemvtoˇcki( 1 ,0) r2 +t2 , r2 +t2 2r in s polmerom 1 . Opazimo, da je toˇcka (0,0) na tej kroˇznici. Vanjo se 2r preslikatoˇcka v neskonˇcnosti. Naj bo zdaj(u,v)=(0,0)poljubnatoˇcka na kroˇznici s srediˇsˇcem v( 1 ,0)in spolmerom 1 . Potemkratek raˇcunpokaˇze, 2r 2r v daje .(u,v)=(r,r ), torejtoˇcka na premici x = r, y = t (t . R). u Trditev 5. Naj bo S. R2 mnoˇzica racionalnih razdalj. Naj bo K kroˇznica s srediˇsˇcem v toˇcki S(p,q) .S in s polmerom r> 0, za katerega velja 2 ˇ r. Q. Ce je . inverzija glede na K, potem je .(S \{S}) . R2 mnoˇzica racionalnih razdalj. Dokaz. Pokazati moramo, da je za poljubni toˇcki T1(x1,y1),T2(x2,y2) . S\{S}razdaljad(.(T1),.(T2))racionalnoˇstevilo. Najprej opazimo,daje za poljubno toˇcko T(x,y). S \{S}razdalja d(S,T)= J(x -p)2 +(y-q)2 racionalno ˇstevilo, saj je S mnoˇzica racionalnih razdalj in sta S,T .S. Koordinati toˇck .(Tj)(j=1,2) sta(glejte(2)) r2(xj -p) r2(yj -q) '' x = p+ in y = q+ . j (xj -p)2 +(yj -q)2 j (xj -p)2 +(yj -q)2 Z nekaj raˇcunanja dobimo d(T1,T2) 2 d(.(T1),.(T2))= r. d(S,T1)d(S,T2) Ker sopopredpostavki r2, d(T1,T2), d(S,T1)in d(S,T2)racionalnaˇstevila, je tudi d(.(T1),.(T2))racionalnoˇstevilo. Zdaj lahko povemo, katere kroˇznice v ravnini imajo goste podmnoˇzice racionalnih razdalj. Izrek 6. Naj bo K kroˇznica s srediˇsˇcem v toˇcki S(p,q)in spolmerom r> 0. Naslednje trditve so ekvivalentne: 2 (i)rje racionalno ˇstevilo; (ii)K ima gosto podmnoˇzico racionalnih razdalj; (iii)obstajajo tri toˇcke A,B,C .K, katerih medsebojne razdalje so ra­cionalna ˇstevila. 1 Dokaz. (i). (ii). Naj bo L premica,kijeparametriˇcnopodana z x = , 2r y = t (t . R). Kot smo videli v zgledu2,preslikainverzijaglede nakroˇznico K(O,1), oznaˇcimojo z ., premico L v kroˇznico 22 K :(x -r)2 + y = r, natanˇcneje .(L)= K\{O}. Mnoˇzica toˇck 1 m S0 = {(2r , 22 -1 ); m . Q \{1 r ,-1 }} rmr 1 m1 1 m2 jegostapodmnoˇzica v L. Zapoljubnitoˇcki T1(, 22 ),T2( , 22 ). 2r rm-12r rm-1 12 S0 je m1 m2 d(T1,T2)= .... - ..... Q, r2m21 -1 r2m22 -1 tako da je S0 mnoˇzica racionalnih razdalj. Ker je za vsako toˇcko 1 m T( , ) .S0 razdalja do koordinatnega zaˇcetka O enaka d(O,T)= 2rr2 m2 -1 r 2 m 2 +1 22 -1 . Q,je tudi S = S0 .{O}mnoˇzica racionalnih razdalj. Uporabimo rm trditev5,pa vidimo,dajetudi .(S0).K mnoˇzica racionalnih razdalj. Ker jeS0 gostapodmnoˇzica v L,je .(S0)gosta podmnoˇzica v K, sajje . zvezna preslikava. (ii). (iii). Ta implikacija oˇcitno velja. (iii). (i). Oznaˇcimo a = d(A,B), b = d(B,C) in c = d(A,C). Kro­ˇznica K je trikotnikuABC oˇcrtana, zato velja abc r = 4p, kjer je p ploˇsˇcina trikotnika ABC. Po Heronovem obrazcu je 1 p = Js(s -a)(s -b)(s -c), pri ˇcemer je s = (a + b + c) polovica ob­ 2 sega. Se pravi, da velja 2b22 ac 2 r = . (a + b+ c)(a + c -b)(a + b-c)(b+ c -a) 2 Ker so a,b,c racionalnaˇstevila,je tudi rracionalnoˇstevilo. Za premice in kroˇznice v ravnini smo ugotovili, kdaj vsebujejo kakˇsno gosto podmnoˇzico racionalnih razdalj. Kaj pa druge krivulje? V [7] sta SolymosiindeZeeuwpokazala,da razenpremicinkroˇznicdruge algebraiˇcne krivuljenepremorejoneskonˇcnihpodmnoˇzicracionalnih razdalj(pri tem so miˇsljenetakˇsne algebraiˇcnekrivulje,katerihkakˇsnakomponentanipremica alikroˇznica). Vposebnem, vsakapodmnoˇzica racionalnih razdalj elipse(ki nikroˇznica) alihiperbole aliparabolejekonˇcna. Naprimer, zaparabolo 2 y = xso znanelepodmnoˇzice racionalnih razdalj v sploˇsnilegi skveˇcjemu ˇstirimi toˇckami. Takˇsen primer so toˇcke z abscisami 539228453671869790410167 133101226619611446536552137 x1 = ,x2 = , 9727950873020199597668800 29183852619060598793006400 11358843844738517488829543 6756734701093279907841433 x3 = ,x4 = . 29183852619060598793006400 9727950873020199597668800 Ker so vse abscise pozitivne, so te toˇcke seveda v sploˇsni legi. Veˇc o pod­ 2 mnoˇzicah racionalnih razdalj parabole y = xlahkobralec najde v[2,3]. Erd˝os-Ulamova domneva Nakoncu se vrnimokErd˝os-Ulamovidomnevi. Vzemimo,da obstajagosta podmnoˇzica racionalnih razdalj v R2, oznaˇcimo jo s Seu. Ta hipotetiˇcna mnoˇzica ima nekatere zanimive lastnosti. Na primer, Solymosi in de Zeeuw [7, Theorem2.2]stadokazala: ˇceima mnoˇzica racionalnih razdalj S na neki premiciL (alikroˇznici K)neskonˇcnomnogotoˇck,potemsovsetoˇcke, razen mogoˇceˇstirih(oziromatreh), napremici L (oziroma kroˇznici K). Od tod sledi,daje za vsakopremico L in vsako kroˇznico K presek Seu .L oziroma Seu .K konˇcna mnoˇzica. Namreˇc, ˇce bi bil kateri od omenjenih presekov neskonˇcen, bi vse toˇcke iz Seu , razen mogoˇce konˇcno mnogo, bile na neki premici oziromakroˇznici. Topa nasprotujepredpostavki,daje Seu gosta ˇ podmnoˇzica v R2 . Ze prej smo omenili, da algebraiˇcne krivulje, katerih del nipremicaalikroˇznica, sploh nimajoneskonˇcnihpodmnoˇzicracionalnih razdalj. Sklenemo torej lahko, da je presek Seu s katero koli algebraiˇcno krivuljo v R2 konˇcna mnoˇzica. Ker je Seu gosta podmnoˇzica v R2, vsebuje vsaj dve razliˇcni toˇcki. Z uporabo preslikav iz trditve 4 lahko Seu preoblikujemo v gosto podmnoˇzico racionalnih razdalj v R2, ki pa vsebuje koordinatni zaˇcetek O(0,0) in toˇcko V(1,0). Brezˇskode za sploˇsnostprivzemimo,dajeˇze Seu takˇsna mnoˇzica. Seveda, kerje Seu gosta v R2, obstaja takˇsna toˇcka v njej, ki leˇzi v zgornji . polravnini, recimo toˇcka A(a, > 0. ˇ b),kjerjeb Ce staP(p1,p2)inQ(q1,q2) poljubni toˇcki iz Seu, soˇstevila 22 22 d(P,O)2 = p1+p2, d(Q,O)2 = q1 +q2 in d(P,Q)2 =(p1-q1)2+(p2-q2)2 racionalna. Zaradi 12 222 p1q1 + p2q2 = 2 (p1 + p2 + q1 + q2 -(p1 -q1)2 -(p2 -q2)2) je racionalno tudi ˇstevilo p1q1 + p2q2. Vzemimo za Q toˇcko V, pa dobimo p1 . Q. Ugotovili smo,daje abscisa vsake toˇckeiz Seu racionalno ˇstevilo. V posebnem, ˇstevilo a, abscisa toˇcke A,je racionalno. Iz d(A,O)2 = a+ b . Q zato sledi, da je b . Q. Zdaj, ko vemo, da so abscise toˇck iz Seu racionalnaˇstevila, iz p1q1 + p2q2 . Q sklepamo,dajetudiprodukt ordinat p2q2 poljubnihdvehtoˇckiz Seu racionalnoˇstevilo. Vposebnem,kojeQ= A, .. dobimo p2 b . Q, kar nam da p2 = sb za neko racionalno ˇstevilo s (upoˇstevali smo,daje b racionalnoˇstevilo). Pokazali smo,daje . Seu .{T(t,s b); t,s . Q}, pri ˇcemerje b neko pozitivno racionalno ˇstevilo. Med drugim od tod sledi, daje mnoˇzica Seu ˇstevna. Vteorijigrafovje znanF´aryjevizrek,kipravi,dalahko vsak ravninski graf nariˇsemo tako, da so povezave daljice, ki se ne sekajo. ˇ Se vednopaje odprto vpraˇsanje, znano kot Harborthova domneva, ali lahko graf nariˇsemo tako,dabodopovezavedaljice,ki se nesekajoinkaterihdolˇzineso naravna ˇstevila. ˇos-Ulamovadomnevanapaˇzica Seu obstaja, CejeErd˝cnaintorej mnoˇpotembiHarborthovadomnevaveljala: vsak ravninskigraflahkonariˇsemo zdaljicami,ki se ne sekajoinkaterihdolˇzine so celaˇstevila. Namreˇc,ˇceje G ravninski graf z n vozliˇsˇci, potem po F´aryjevem izreku obstajajo takˇsne toˇcke V1, ..., Vn v ravnini,kipredstavljajo vozliˇsˇcagrafa,da so vsepovezave izgrafapredstavljenezdaljicami,ki se ne sekajo. Kerje Seu gosta mnoˇzica, ˇ lahko blizu vsake toˇcke Vj (j =1,...,n)najdemo kakˇsno toˇcko iz Seu. Ce '' izberemo toˇcke V1 ,...,V n ' .Seu tako,daje Vj dovoljblizu Vj za vsakindeks ' j =1,...,n, lahko G realiziramo na toˇckah V1 ,...,V ' , pri tem pa bodo n ' povezave ˇse vedno daljice. ˇc, ker so toˇ1 ,...,V ' v Seu, so dolˇzine Se veˇcke V n daljicracionalnaˇstevila. ˇCe zdaj naredimo ustrezen razteg ravnine,dobimo '' realizacijo grafa G na nekih toˇckah V1 ,...,V '' , pri ˇcemer pa so povezave n daljice, ki se ne sekajo in imajo celoˇstevilske dolˇzine. LITERATURA [1] N.AnninginP.Erd˝os, Integral distances,Bull.Amer.Math.Soc. 51 (1945),598–600. [2] G. Campbell,Points on y = x 2 at rational distance, Math. Comp. 73 (2004), 2093– 2108. [3] A. Choudhry,Points at rational distances on a parabola, Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), 413–424. [4] P. Erd˝os, Integral distances, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), str. 996. [5] P. Erd˝os, Some combinatorial and metric problems in geometry, v: Intuitive Geome­try, Coll. Math. Soc. J´anos Bolyai 48 (1987), 167–177. [6] T.KreiselinS. Kurz,There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle, Discrete Comput. Geom. 39 (2008), 786–790. [7] J. Solymosi in F. de Zeeuw, On a question of Erd˝os and Ulam, Discrete Comput. Geom. 43 (2010), 393–401. K TERMODINAMIKI TERMOMAGNETNIH STROJEV JANEZ STRNAD1, PRIMOˇZ ZIHERL1,2 1Fakulteta za matematiko in .ziko, Univerza v Ljubljani 2Institut Joˇzef Stefan PACS: 72.15Jf, 75.30.Sg Ob stoosemdeseti obletnici Stefanovega rojstva se spomnimo njegove obravnave ter­momagnetnih strojev. Je pomanjkljiva, ker ne upoˇsteva odvisnosti magnetnega momenta od gostote magnetnega polja, a pouˇcna. Dodamo nekaj pripomb o toploti pri pojavih v magnetnem polju in njihovih odkriteljih. ON THE THERMODYNAMICS OF THERMOMAGNETIC ENGINES On the hundred and eightieth anniversary of Stefan’s birth his treatment of ther­momagnetic engines is revisited. It is de.cient, since the dependence of the magnetic moment on the magnetic .eld is not considered, but instructive. Some remarks are added concerning heat in e.ects in a magnetic .eld and their discoverers. Joˇzef Stefan je leta 1888 v Poroˇcilih z zasedanja cesarske Akademije zna­nosti na Dunaju objavil daljˇsi ˇclanek O termomagnetnih motorjih, ki je leto pozneje izˇsel ˇse v Fizikalnih analih [1]. V prvem delu je opisal poskuse s termomagnetnim nihalom in strojem [2]. Namesto ploˇcevine iz ˇzeleza je upo­rabil ploˇcevino iz niklja zaradi niˇzje Curiejeve temperature, nad katero snov izgubi feromagnetne lastnosti. V drugem delu je delovanje stroja pospremil s termodinamiˇcnimi enaˇcbami. Obravnavanje termodinamike feromagne­tne snovi je zelo zahtevno [3]. To zbudi radovednost o dosegu Stefanovega razmeroma preprostega raˇcuna. Stefanova izpeljava Sledimo Stefanu in enaˇcbe oˇstevilˇcimo enako kot on, uporabimo pa naˇse simbole in totalne odvode nadomestimo s parcialnimi. Pojave obravnavamo v najpreprostejˇsem enodimenzionalnem primeru. Vzamemo trajen magnet v izhodiˇsˇcu s statiˇcnim magnetnim poljem z gostoto Bz(z). V polju v smeri osi z se giblje telo iz feromagnetne snovi, ki je tako majhno, da smemo go­stoto magnetnega polja v njem imeti po smeri in po velikosti za konstantno. Telo ima magnetni moment p v smeri magnetnega polja. Upoˇstevamo odvi­snost magnetnega momenta od temperature, ne pa od gostote magnetnega polja. Na magnetni moment v smeri magnetnega polja v nehomogenem magnetnem polju deluje proti gostejˇsemu polju sila Fz = p(.B/.z), ˇce pri komponentah pz in Bz zaradi preglednosti opustimo indeks [4]. Delo te sile je dA = -Fzdz = -p(.B/.z)dz = -pdB. Spremembe vzamemo za tako poˇcasne, da se ni treba ozirati na toploto, ki se v telesu razvije zaradi indukcije. To se sklada s privzetkom, da so spremembe reverzibilne. Energijski zakon se glasi: dWn = dQ + dA = dQ - pdB. (1) Kot spremenljivki izberemo absolutno temperaturo T in gostoto magne­tnega polja B. Privzamemo, da se prostornina magneta ne spreminja in je sploh ne upoˇstevamo. Dovedeno toploto izrazimo z enaˇcbo: dQ = CBdT + DT dB. (2) Koe.cient CB pomeni toplotno kapaciteto pri konstantni gostoti magne­tnega polja, pomen DT bo postal jasen niˇzje, ko bomo zapisali totalni diferencial entropije. Notranja energija Wn je enoliˇcna funkcija stanja in dWn je totalni diferencial. Enaˇcbo (1) najprej delimo z dT in odvajamo po gostoti polja B. Po drugi strani jo lahko najprej delimo z dB in nato odvajamo po temperaturi T . Upoˇstevamo, da je pri konstantni gostoti polja (dWn)B =(dQ)B, in izenaˇcimo meˇsana odvoda: .CB .B = .DT .T - .p .T s CB = .Q .T B in DT = .Q .B T . (3) Doloˇceni temperaturi T ustreza doloˇcena vrednost momenta p, doloˇceni ko­ordinati z pa doloˇcena gostota magnetnega polja. Sprememba entropije dS = dQ/T je totalni diferencial in z enaˇcbo (2) dobimo: dT dB dS = CB + DT . TT Vidimo, da je DT v enaˇcbi (2) povezan z odvodom entropije po B pri kon­stantni T : DT = T (.S/.B)T . Zdaj gornji totalni diferencial entropije zopet delimo z dT in odvajamo po gostoti B ter potem delimo z dB in odvajamo po temperaturi T . Upo­ˇstevamo, da so nekateri ˇcleni pri konstantni gostoti magnetnega polja enaki niˇc in izenaˇcimo meˇsana odvoda: .CB .DT DT = - . (4) .B .T T Iz enaˇcb (3) in (4) sledi: .p DT = T. (5) .T Za adiabatno spremembo, pri kateri je dQ = dS = 0, dasta enaˇcbi (2) in (5) za spremembo temperature: DT T .p dT = - dB = - dB. (6) CB CB.T William Thomson, poznejˇsi lord Kelvin, je leta 1878 opozoril, da je zveza posledica obeh osnovnih zakonov termodinamike [1]. V enaˇcbo (3) vstavimo DT iz enaˇcbe (5) in ugotovimo, da doloˇca CB enaˇcba: .CB .2p = T. (7) .B .T 2 Iz nje izhaja, da CB ni odvisen od B, ˇce se p pri konstantni gostoti polja spreminja linearno s temperaturo T . V sploˇsnem pa velja: . B .2p CB - CB0 = T dB. (8) 0 .T 2 CB je toplotna kapaciteta v magnetnem polju z gostoto B, ˇce je CB0 toplotna kapaciteta v polju B = 0, torej obiˇcajna toplotna kapaciteta telesa. Pri danih T in B je magnetni moment p odvisen tudi od oblike telesa. ˇ Zato je tudi kapaciteta CB odvisna od oblike telesa. Ce telo iz polja B =0 prestavimo v polje B, ne da bi mu dovedli toploto, se po enaˇcbi (6) spre­meni njegova temperatura. ˇ Ce naj poteka pojav pri konstantni temperaturi, moramo telesu dovesti toploto: . B . B . B .p . DT dB = T dB = T pdB. .T .T 00 0 . B Zadnji integral podaja oddano delo Ao = 0 pdB. Torej je dovedena toplota ˇ T .Ao/.T . Ce Ao z naraˇsˇcajoˇco temperaturo pojema, je ta izraz negativen. Od telesa moramo odvesti toploto in je Qo = -T .Ao/.T toplota, odvedena pri pribliˇzevanju telesa magnetu. ˇ Ce ˇse naprej zahtevamo, da ostane temperatura T pri gibanju telesa konstantna, enaˇcba (8) preide v: .2Ao . .Ao .(Qo + Ao) CB - CB0 = T = T - Ao = - . .T 2 .T .T .T ˇ Ce telo v polju B segrejemo od T0 na T1, porabimo za to veˇc toplote kot pri enaki spremembi zunaj polja. Razlika je: . T1 (CB - CB0)dT = Qo0 + Ao0 - (Qo1 + Ao1). (9) T0 ˇ Ce se telo magnetu pribliˇza pri temperaturi T0, pri kateri se magnetni mo­ˇ ment le malo spremeni, je toplota Qo0 zelo majhna. Ce oddaljimo telo od magneta pri temperaturi T1, pri kateri je magnetni moment zelo majhen, sta toplota in delo Qo1 in Ao1 zelo majhna. V tem primeru je Ao0 pri kro­ˇzni spremembi odvedeno delo, ki se ujema z dovedeno toploto. Delo Ao0 primerjamo z odvedenim delom pri elektromotorju z enako gostoto polja in enakim magnetnim momentom, pri katerem potem prekinemo magnetilni tok. Delo pri termomagnetnem stroju je v resnici veˇcje, ker je magnetni moment po segretju zanemarljivo majhen. Nazadnje je Stefan razpravljal o drugih oblikah energijskega zakona za ta primer. Danaˇsnji pogled na Stefanov raˇcun V naˇsem ˇcasu se tega raˇcuna ne bi lotili enako. Stefanove enaˇcbe (2) ne bi zapisali, ker smo pri termodinamiˇcnem formalizmu bolj dosledni pri upoˇste­vanju tega, da toplota ni funkcija stanja in da dQ zato ni diferencial. Po drugi strani ta zveza v Stefanovem raˇcunu neposredno ne nastopa, saj jo je zares uporabil le pri totalnem diferencialu entropije. Ta je funkcija stanja in zato je izraˇcun meˇsanih odvodov, s katerim je naposled priˇsel do odvisnosti speci.ˇcne toplote od gostote magnetnega polja, pravilen. Stefanov postopek se nam poleg tega danes zdi nekoliko preokoren. Do nemara najbolj zanimivega rezultata, to je odvisnosti speci.ˇcne toplote od gostote magnetnega polja (8), namreˇc hitreje pridemo s primernim termo­dinamiˇcnim potencialom. Izhajajoˇc iz enaˇcbe (1) bi na prvi pogled dejali, da je to prosta energija. Natanˇcnejˇsi premislek pokaˇze, da lahko pri ma­gnetnih sistemih vpeljemo dve vrsti dela [5]. Prva, ki jo je uporabil Ste­fan, je oblike -pdB in se nanaˇsa na interakcijo permanentnega dipola s konstantnim, ˇceprav krajevno odvisnim magnetnim poljem. Druga pa je enaka Bdp in vkljuˇcuje tudi prispevek zaradi tokov proti inducirani napeto­sti ob premiku dipola. V skladu z dogovorom, da je delo produkt intenzivne spremenljivke in diferenciala ekstenzivne spremenljivke, bi danes Stefanovi magnetni notranji energiji torej toˇcneje rekli magnetna entalpija H, saj med obema oblikama dela preskoˇcimo z Legendrovo transformacijo. Zato je termodinamiˇcni potencial, iz katerega dobimo enaˇcbo (8), prav imenovati magnetna prosta entalpija G = H - TS [3, 5]; tu smo Wn iz zveze (1) ˇze preimenovali v H. Totalni diferencial G dobimo iz energijskega za­kona (1) in iz entropijskega zakona za reverzibilno spremembo dS = dQ/T : dG = dH -T dS -SdT =(dH -dQ)-SdT = -SdT -pdB. Razberemo, da je (.G/.T )B = -S in (.G/.B)T = -p. Kot prej prvi izraz odvajamo po B in drugega po T , izenaˇcimo dobljena meˇsana odvoda in dobimo Maxwellovo relacijo: .S .B T = .p .T B . (10) Zdaj ni daleˇc do totalnega diferenciala entropije dS =(.S/.T )B dT + (.S/.B)T dB. Ker je toplotna kapaciteta de.nirana s .S CB = T, (11) .T B imamo CB .p dS = dT + dB. T .T B Za dS = 0 sledi enaˇcba (6). Enaˇcbo (8) dobimo tako, da enaˇcbo (11) odvajamo po B in upoˇstevamo enaˇcbo (10): .CB .2S ..p .2p = T = T = T. .B .T.B .T .T .T 2 To integriramo po B in sledi enaˇcba (8). Ta bliˇznjica je udobnejˇsa, a seveda ne vsebuje niˇcesar razen prvega in drugega zakona termodinamike, kakor ju je uporabil tudi Stefan – le da ju v prosti energiji vnaprej zdruˇzimo. Obenem z Legendrovo transformacijo presedlamo na B in T kot tisti neodvisni termodinamiˇcni spremenljivki, ki sta za ta raˇcun najbolj prikladni, in se s tem izognemo nekaj vrsticam. Ko se je leta 1888 Stefan ukvarjal s problemom termomagnetnih motorjev, najbrˇz ˇse ni vedel za prosto energijo. Gibbs in neodvisno od njega kasneje Helmholtz sta jo namreˇc vpeljala leta 1875 oziroma 1882 in povsem verjetno je, da novost Stefana takrat ˇse ni dosegla. Primerjava Stefanove in danaˇsnje izpeljave ima tudi pedagoˇski nauk. Spomni nas namreˇc na to, da sta osnovna termodinamiˇcna potenciala ven­darle notranja energija Wn in entropija S, iz katerih tvorimo druge poten­ciale, ki so v izbranih okoliˇsˇcinah bolj priroˇcni. Teh je lahko pri veˇcjem ˇstevilu termodinamiˇcnih spremenljivk precej [6] in vsaka od tako skonstru­iranih funkcij sistem v izbranih okoliˇsˇcinah opiˇse pregledneje kot Wn in S (prosta energija F npr. pomeni delo, ki ga sistem lahko izmenja z okolico pri stalni temperaturi). Kljub temu se njihova .zikalna vsebina ne oddalji od prvega in drugega zakona termodinamike, saj se seveda ne more. Vrnimo se k Stefanovemu raˇcunu. Njegova ugotovitev, da je toplotna kapaciteta feromagnetne snovi v magnetnem polju veˇcja kot zunaj polja, je pravilna, hiba njegovega izvajanja pa je v privzetku, da je magnetni moment sicer odvisen od temperature, a neodvisen od gostote magnetnega polja. Ta poenostavitev je sorodna temu, da bi vzeli, da se prostornina kake kapljevine spreminja s temperaturo, toda ni odvisna od tlaka, in vodi do nevzdrˇznih sklepov. Toplotna kapaciteta pri stalnem magnetnem momentu Cp, ki je analog toplotne kapacitete plina ali kapljevine pri stalni prostornini, bi bila pri takem magnetu neskonˇcna, kar izhaja iz tega, da v Stefanovem modelu iz p = konst. sledi T = konst. Zato se pri stalnem momentu kljub konˇcni dovedeni toploti temperatura magneta ne bi spremenila, kar ustreza neskonˇcni vrednosti Cp in seveda ni .zikalno smiselno. Istoˇcasno bi bila neskonˇcna tudi razlika toplotnih kapacitet pri stalnih B in p .p 2 .p -1 CB - Cp = T .T .B BT ter s tem tudi CB, kajti v Stefanovem modelu je (.p/.B)T = 0. To seveda prav tako ni sprejemljivo. Sklepanje bi lahko tudi obrnili in zahtevali, da je CB konˇcna, pa bi preko razlike CB - Cp priˇsli do negativne Cp, kar zopet ne gre. Teh anomalij ne dobimo pri .zikalno konsistentnih enaˇcbah stanja, kot je npr. Curiejev zakon, ki opisuje paramagnetne snovi. V Stefanovem ˇcasu magnetizma niso poznali tako podrobno kot danes (Curiejev zakon izvira iz leta 1895 in Curie-Weissov zakon iz leta 1907), ko delovanja termomagnetnih strojev ne obravnavamo na Stefanov naˇcin [7, 8]. O toploti pri pojavih v magnetnem polju Spremembe magnetnega polja na temperaturo feromagnetnega telesa vpli­vajo na tri naˇcine. Spremenljivo magnetno polje inducira vrtinˇcne tokove, ki segrevajo telo z Joulovo toploto. Michael Faraday je leta 1831 odkril indukcijski zakon. Njegov poskus velja za enega od najpomembnejˇsih po­skusov 19. stoletja. James Prescott Joule je leta 1843 ugotovil, da se zaradi induciranih tokov sprosti toplota enako, kot se sprosti pri vsakem drugem toku. Toplota se sprosti pri magnetni histerezi, ko se tarejo Weissove domene. Histerezo je pri ˇzelezu prvi ugotovil Emil Warburg leta 1881, objavil hi­sterezno krivuljo in ugotovil, da je delo pri kroˇzni spremembi sorazmerno z njeno ploˇsˇcino. Neodvisno od njega je magnetno histerezo odkril James Alfred Ewing in ji leto pozneje dal ime. Na tretji naˇcin se sproˇsˇca ali porabi toplota zaradi sprememb magne­tnega polja reverzibilno pri magnetokaloriˇcnem pojavu. Na termodinamiˇcni osnovi je pojav napovedal z enaˇcbo (7) William Thomson, poznejˇsi lord Kel­vin, leta 1860 v enciklopediji in leta 1878 v ˇclanku, kot je omenil Stefan. Telo se segreje, ko poˇcasi vkljuˇcimo magnetno polje ali ga premaknemo v ma­gnetno polje, in ohladi, ko magnetno polje izkljuˇcimo ali telo premaknemo iz polja. Ni jasno, ali je Thomson vedel, da velja to tudi nad Curiejevo temperaturo v paramagnetni snovi. Pri merjenju je bilo pojav teˇzko raz­loˇcevati od prvih dveh pojavov. Warburg je leta 1882 skupaj z Ludwigom H¨cil tri z magnetnim poljem povezane pojave, pri katerih onigom jasno razloˇse sproˇsˇca toplota. Mislila sta, da se pri Thomsonovem pojavu sprosti tako majhna toplota, da je ne bo mogoˇce izmeriti. Stefan je v ˇclanku o zakonih elektromagnetne indukcije leta 1871 vedel, da telo nad doloˇceno tempera­turo izgubi feromagnetne lastnosti in napovedal moˇznost termomagnetnih strojev. V ˇclanku leta 1888 je omenil, da je Thomas Alva Edison izdelal tak stroj in da sta Edwin James Houston in Elihu Thomson o stroju poroˇcala leta 1879. Stefan je izloˇcil segrevanje zaradi vrtinˇcnih tokov. Magnetne histereze ni omenil, tako da ne poznamo njegovega staliˇsˇca o njej. Izpeljal je Thomsonovo enaˇcbo (7) in delal poskuse, a ni posebej poskusil izmeriti ali oceniti toplote v zvezi z njo. Edison in Nikola Tesla sta patentirala termomagnetni stroj, prvi leta 1888, drugi leta 1889. Po letu 1999 so navajali, da je magnetokaloriˇcni pojav odkril Warburg leta 1881. Anders Smith pa je po pregledu objav leta 2013 priˇsel do prepri­ˇcanja, da ni tako [9]. Po njegovem mnenju sta ga odkrila Pierre Weiss in Auguste Piccard leta 1917. Zavedala sta se, da je pojav reverzibilen in da je najizrazitejˇsi blizu Curiejeve temperature. Pri niklju sta izmerila poviˇsanje temperature za 0,7 stopinje Celzija v magnetnem polju z gostoto 1 tesla. Zares ga ni izmeril nihˇce pred njima. Ni znano, ali sta poznala Thomsonovo delo. Preseneˇca, da Smith med odkritelji ni omenil Williama Thomsona, ki je pojav napovedal v okviru termodinamike, ˇceprav je res, da ni meril in ni poskusil oceniti spremembe temperature. Omenil je Stefanovo napoved termomagnetnih strojev. Vsaj mi omenimo, da je Stefan raziskal termodi­namiko termomagnetnih strojev v okviru privzetka, da magnetni moment ni odvisen od gostote magnetnega polja, in podprl Thomsonovo enaˇcbo. Magnetokaloriˇcni pojav je postal zelo pomemben. Na zaˇcetku 20. stole­tja so z njim raziskovali magnetno zgradbo ˇzeleza in podobnih snovi. Peter Debye leta 1926 in William Francis Giauque leta 1927 sta neodvisno drug od drugega ugotovila, da je mogoˇce doseˇci zelo nizko temperaturo z adia­batno demagnetizacijo paramagnetnih soli. V soli, ki je v stiku s toplotnim rezervoarjem pri nizki temperaturi, na primer s helijevo kopeljo, so ustvarili magnetno polje. Potem so sol toplotno izolirali in izkljuˇcili magnetno polje ter tako dosegli niˇzjo temperaturo. S ponavljanjem so zniˇzali temperaturo do tisoˇcine kelvina. Pogosto so uporabili cerijev magnezijev nitrat, po od­kritju gadolinija leta 1935 pa so preˇsli na gadolinijev sulfat. Odkar so odkrili snovi z velikim magnetokaloriˇcnim pojavom blizu sobne temperature, v za­dnjih petnajstih letih vneto raziskujejo magnetno hlajenje. Na ta naˇcin je mogoˇce izdelati uˇcinkovite in zanesljive hladilnike, ki delujejo tudi pri sobni temperaturi. Zgodba o odkriteljih s toploto povezanih pojavov v magnetnem polju se zdi dokaj razgibana. Morda jo bolje razumemo, ˇce se opremo na pripombo Alana G. Grossa: »Odkritje ni zgodovinski dogodek, ampak naknadna druˇz­bena presoja« [10]. LITERATURA ¨ [1] J. Stefan, Uber thermomagnetische Motoren, Sitzungsberichte d. kais, Akademie d. Wissenschaften in Wien. Math. naturw. Classe 97 (1888), 70–81; Annalen der Physik 274 (1889), 427–440. [2] J. Strnad in P. Ziherl, Stefanov termomagnetni motor, Presek 43 (2015), 13–15. [3] I. Kuˇcer in S. ˇ sˇZumer, Toplota, DMFA & ZOTK, Ljubljana 1987, str. 13, 14. [4] J. Strnad, Fizika, tretji del, DMFA, Ljubljana 1998, str. 200. [5] M. Bailyn, A survey of thermodynamics, AIP Press, New York 1994, str. 348. [6] R. A. Alberty, Use of Legendre transforms in chemical thermodynamics, Pure and Applied Chemistry 73 (2001), 1349–1380. [7] K. N. Andreevskii, A. G. Mandzhavidze, I. G. Margvelashvili in S. V. Sobolevskaya, Investigation of the thermodynamic and physical characteristics of a thermomagnetic engine with a gadolinium working element, Technical Physics 41 (1998), 119–122. [8] A. Karle, The thermomagnetic Curie-motor for the conversion of heat into mechani­cal energy, International Journal of Thermal Science 40 (2001), 834–842. [9] A. Smith, Who discovered the magnetocaloric e.ect?, The European Physical Journal H 38 (2013), 507–517. [10] A. G. Gross, Do disputes over priority tell us anything about science?, Science in Context 11 (1998), 161–179. VESTI V SPOMIN AKADEMIKU IVANU VIDAVU (1918–2015)1 Akademik Ivan Vidav, matematik, je bil rojen leta 1918 na Opˇcinah pri Trstu. Klasiˇcno gimnazijo je obiskoval v Mariboru. Po maturi leta 1937 je ˇstudiral matematiko in .ziko na Filozofski fakulteti Uni­verze v Ljubljani. Diplomiral je leta 1941 in istega leta tudi promo-viral z disertacijo, v kateri je reˇsil problem, ki mu ga je profesor Ple­melj predlagal leto prej, ob koncu tretjega letnika ˇstudija. Leta 1943 je postal honorarni asistent, leta 1946 docent, leta 1949 izredni pro­fesor in leta 1953 redni profesor za matematiko na Filozofski fakul­teti Univerze v Ljubljani. Na Uni­verzi v Ljubljani je delal vse do leta 1986, ko se je upokojil kot pro­fesor matematike na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo. Leta 1954 je postal predstojnik prirodoslovno-matematiˇcnega oddelka na takratni Prirodoslovno-matematiˇcno-.lozofski fakulteti, dve leti kasneje njen prodekan, leta 1957 pa prvi dekan novonastale Naravoslovne fakultete. Vrsto let je bil predstojnik katedre oziroma kasneje odseka za matematiko na leta 1960 nastali Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo, kar je ostal do leta 1975. Sodeloval je tudi na Inˇstitutu za matematiko, .ziko in meha­niko Univerze v Ljubljani. Profesor Vidav je raziskovalno delal na razliˇcnih podroˇcjih matematiˇcne analize. Njegova disertacija je s podroˇcja diferenci­alnih enaˇcb. V zaˇcetku petdesetih let je bil dvakrat na izpopolnjevanju pri S. Mandelbrojtu v Parizu. V tem ˇcasu se je ukvarjal s teorijo aproksimacij. Naslednje podroˇcje njegovega delovanja je bila funkcionalna analiza, kjer je posebej znana njegova slovita metriˇcna karakterizacija sebiadjungiranih operatorjev, ki jo je naˇsel leta 1956 in je rezultat, ki je pomembno vplival na teorijo Banachovih algeber. Pomembno podroˇcje njegovega dela je bila 1Govor na ˇzalni seji SAZU dne 13. oktobra 2015 in na ˇzalni seji Fakultete za matematiko in .ziko dne 14. oktobra 2015. tudi uporaba funkcionalne analize v transportni teoriji nevtronov, kjer je objavil daljˇso razpravo leta 1970 – ta je njegovo najveˇckrat citirano delo – ˇse veˇc del s tega podroˇcja pa je objavil skupaj s svojimi sodelavci. Profesor Vidav je bil izvrsten predavatelj. Njegova predavanja so bila jasna in razumljiva. Ko je predaval ˇse predmete v prvem letniku, so bila njegova predavanja vzor, kako je treba krmariti med matematiˇcno strogo­stjo, geometrijsko nazornostjo in uporabnostjo. Bila so tako dodelana, da je bilo videti, kot da ni mogoˇce niˇc veˇc vpraˇsati. Imel je izredno ˇcloveˇski odnos do ˇstudentov na izpitih. Profesor Vidav je bil na ljubljanski univerzi mentor petinosemdesetim diplomantom, ˇstirinajstim magistrandom in ˇsestnajstim doktorandom. Profesor Vidav je imel kljuˇcno vlogo pri razvoju podiplom­skega ˇstudija matematike v Sloveniji, ki ga je kot prvi predavatelj na tem ˇstudiju na ljubljanski univerzi zaˇcel v sedemdesetih letih. Profesor Vidav je avtor veˇc knjig (preteˇzno uˇcbenikov) iz matematike: Viˇsja matematika I (1949, predelana izdaja 1968), Viˇsja matematika II (1952), Reˇseni in nereˇStevila in mate­ seni problemi matematike (1959), ˇmatiˇcne teorije (1965), Algebra (1972), A.na in projektivna geometrija (1981), Diferencialna geometrija (1989), Eliptiˇcne krivulje in eliptiˇcne funk­cije (1991). Profesor Vidav je bil dejaven tudi v Druˇstvu matematikov, .zikov in astronomov Slovenije od ustanovitve leta 1949 dalje. Bil je njegov pred­sednik in podpredsednik. Leta 1988 je postal njegov ˇcastni ˇclan. Bil je ˇclan uredniˇskega odbora Obzornika za matematiko in .ziko od leta 1952 do leta 1983. Do leta 1992 je urejal Knjiˇznico Sigma. Imel je vrsto predavanj za javnost ter za dijake in srednjeˇsolske profesorje na seminarjih za stro­kovno izpopolnjevanje uˇciteljev. Napisal je vrsto ˇclankov v Obzorniku za matematiko in .ziko ter vrsto ˇclankov v Preseku za mlade, ki jih zanima matematika. Za svoje delo je prejel razliˇcna priznanja in nagrade: Preˇsernovo nagrado je prejel leta 1952 za delo Viˇsja matematika I in II ter Kidriˇcevo nagrado leta 1970 za dela s podroˇcja uporabe funkcionalne analize v transportni teoriji nevtronov. Leta 1981 je prejel prestiˇzno jugoslovansko nagrado Avnoj. Leta 1992 pa je prejel nagrado Republike Slovenije za znanstvenoraziskovalno delo (ta nagrada ima danes ime Zoisova nagrada). Prejel je veˇc drˇzavnih odliko­vanj: leta 1965 red dela z rdeˇco zastavo, leta 1974 red republike s srebrnim vencem, leta 2008 pa je prejel zlati red za zasluge za izjemne zasluge pri razvoju znanosti in izobraˇzevanja v Sloveniji. Ljubljanska univerza mu je leta 1987 podelila naziv zasluˇzni profesor, leta 1997 pa ˇcastni doktorat. Za izrednega ˇclana Slovenske akademije znanosti in umetnosti je bil izvoljen leta 1958, za njenega rednega ˇclana pa leta 1962. Profesor Vidav je zdruˇzeval v sebi veliko razliˇcnih sposobnosti in odlik: bil je v svetu uveljavljen znanstvenik, vzgojitelj novih raziskovalcev, izjemen predavatelj, uˇcitelj in mentor ˇstevilnim generacijam ˇstudentov matematike, avtor znanstvenih in strokovnih monogra.j, pisec prvovrstnih uˇcbenikov, poljudnih knjig in strokovnih ˇclankov, dolgoletni vodja matematiˇcnega od­delka na Univerzi v Ljubljani z obˇcutkom odgovornosti do razvoja matema­tike pri nas in do celotne matematiˇcne skupnosti, ˇclovek z brezhibno osebno integriteto, ob vsem tem pa do vseh prijazen in pregovorno skromen. Od sredine prejˇsnjega stoletja je prav on odloˇcilno vplival na razvoj matematike kot organizirane znanstvene discipline v Sloveniji. S svojim delom je posta­vil trajno merilo kakovosti v raziskovanju in pouˇcevanju. Njegova umirjena in preudarna beseda ostajata vzor strpnosti in modrosti v vodenju matema­tiˇcne skupnosti. Bil je vljuden gospod stare ˇsole, ki je ˇzal ˇze skoraj izumrla, vedno prijazen in poln vzpodbud, blaga, oˇcetovska .gura. Od leta 2000 je dajal ˇclansko nagrado SAZU za ˇstipendiranje podiplomskih ˇstudentov matematike in naravoslovja. Doktorski ˇstudenti profesorja Vidava smo pri delu priˇsli z njim v tesnejˇsi stik in ga, vsak zase, spoznali kot krasnega ˇcloveka. Sam sem imel izredno sreˇco, ker je ta stik trajal vrsto let. Naj mi bo dovoljeno, da o tem povem nekaj besed. Potem ko mi je predlagal problem, ki naj bi ga za doktorat obdelal, sem mojega matematiˇcnega oˇceta najprej spoznal kot matematika, ko sem mu enkrat na teden priˇsel poroˇcat, kaj sem premiˇsljeval pretekli teden. Videl sem, kako neznansko spreten je v raˇcunanju in kako hitro zna v enakosti, napisani na tabli, kaj videti in iz nje kaj zakljuˇciti. Ko sem mu kaj pripovedoval, je vedno pozorno posluˇsal in mi ni nikoli segel v besedo, nato pa je vedno kaj pametnega povedal. Dal mi je problem, pri reˇsevanju katerega je bilo mogoˇce narediti dosti novega. Potem, ko sem leta 1972 doktoriral, sem ˇse naprej prihajal k profesorju vsak teden ob isti uri in mu povedal, o ˇcem v matematiki sem razmiˇsljal v preteklem tednu. Najprej sva se pogovarjala o matematiki, nato pa poˇcasi ˇse o vedno veˇc drugih reˇceh. Ti redni tedenski pogovori so trajali ˇse nadaljnjih dvaindvajset let. Dolgoletni obiski pri profesorju so bili za mene zelo dragoceni. Spoznal sem, kako notranje bogat ˇclovek je, kako veliko razmiˇslja o najrazliˇcnejˇsih reˇceh in kako zelo izobraˇzen je na mnogih podroˇcjih, ki nimajo zveze z matematiko. V veliko osebno zadovoljstvo mi je, da se mi je uspelo vsaj malo nale­sti profesorjeve skromnosti in izredno obzirnega naˇcina in previdnosti pri izraˇzanju mnenj in sodb o dogodkih ali ljudeh. Hvaleˇzen sem ob misli, da sem bil deleˇzen njegove modrosti in pomirjujoˇcih nasvetov in da sem bil pri njem deleˇzen izvrstne ˇsole tolerantnosti. Kadar sem bil daljˇsi ˇcas v tujini, sem profesorju rad pisal. Nobeno pismo ni ostalo brez odgovora. Njegova pisma niso bila dolga, a povedala so veliko. Napisana so bila naravno, skromno, skoraj v samih prostih stavkih. Lepo jih je bilo brati. Ob koncu ˇse tole: V ˇsestdesetih in sedemdesetih letih prejˇsnjega stole-tja je bila ˇse v rabi beseda tovariˇs, tako da je bilo reˇci »tovariˇs profesor« popolnoma obiˇcajno. No, profesorja Vidava nisem in ne bi mogel nikoli dru­gaˇce imenovati kot gospod profesor. Zame je paˇc vedno bil in bo v mojem spominu za vedno ostal gospod. V najbolj ˇzlahtnem pomenu te besede. Josip Globevnik RAZMIˇSLJANJA O PROFESORJU IVANU VIDAVU1 Profesor Vidav je bil ˇze za ˇzivljenja pojem slovenske matematike. Nje­govo ime so poznale ˇstevilne gene­racije matematikov, .zikov, nara­voslovcev, inˇzenirjev in tudi dru­gih izobraˇzencev. Danes je legen­da. Tako kot je Plemelj matema­tiˇcno zaznamoval prvo polovico 20. stoletja v Sloveniji, je Vidav za­znamoval drugo. Bil je vreden Ple­mljev naslednik. ˇ Ze njegov vzpon v matematiko je bil silovit; kot ˇstudent je zgodaj pokazal svoj matematiˇcni talent. Kasneje je njegov mentor Plemelj zapisal: »Podpisani sem spoznal njegovo izvanredno nadarjenost ˇze takoj ob prvem razgovoru na koncu njegovega prvega semestra«(takrat je bil namreˇc v ˇstudijskem progra­mu obvezni kolokvij, ki ga je Ple­melj uvedel za preverjanje sposob­ nosti ˇstudentov) »in ga zato vzel za knjiˇzniˇcarja. Tako je dobil moˇznost delati v knjiˇznici, jaz pa sem imel priliko do dobrega se seznaniti z njegovimi sposobnostmi. Najini pomenki niso bili v okviru mojih predavanj ali vaj, ampak so mogli cel ˇcas obsegati najrazliˇcnejˇsa vpraˇsanja vseh podroˇcij matematike.« Nadaljnja zgodba je dobro znana. Poleti leta 1940 je Vidav reˇsil problem, ki mu ga je bil Plemelj spomladi mimogrede omenil. Preseneˇcenje uˇcitelja nad doseˇzkom svojega uˇcenca najbolje kaˇzejo Plemljeve besede, zapisane ne­kaj let kasneje v neki strokovni oceni v zvezi z Vidavovim napredovanjem: »Tedaj nisem niti mislil na to, da si bo on vzel ta problem v razmiˇsljavo, 1Prirejeno in nekoliko dopolnjeno besedilo govora na ˇzalni seji na Fakulteti za mate­matiko in .ziko dne 14. oktobra 2015. kaj ˇse da bi mogel uspeti. To je bilo koncem njegovega ˇsestega semestra in ne malo je bilo moje zaˇcudenje, ko mi je nato v jeseni povedal, da mu je med poˇcitnicami uspelo reˇsiti ono uganko.« Problem je namreˇc bil po Plemlju »prav na kraju tega, kamor je prodrlo do sedaj naˇse znanje v teoriji analitiˇcnih funkcij« in je spadal med tiste, »ki so ˇze marsikoga matematika na svetu zainteresirali in ki jim nihˇce ni mogel priti do jedra.« Vidav je reˇsitev zapisal v obliki znanstvene ˇstudije, ki jo je na profesorjevo priporo­ˇcilo naslednje leto izdala Akademija znanosti. Na osnovi te razprave (kot doktorske disertacije) je Vidav leta 1941 doktoriral, in to samo dober mesec po diplomi. Kako je Plemelj cenil Vidava kot matematika in njegovo sa­mostojno reˇsitev problema, beremo na drugem mestu: »ˇ Studija je poseben dokaz matematiˇcne invencije g. Vidava.« In spet drugje: »Vsak matematik sme biti upraviˇceno ponosen, ˇce ima delo te viˇsine med svojimi spisi. Dasi je prvi spis Ivana Vidava, le nima prav niˇc zaˇcetniˇskega na sebi, ampak oˇcituje popolnoma zrelega matematika. Poudarim naj, da nimam na njegovem delu nikakega deleˇza.« Teh nekaj izbranih Plemljevih besed dovolj nazorno pokaˇze, s kako ve­likim in odloˇcnim korakom je Ivan Vidav vstopil v svet znanosti in izpriˇcal velik talent za matematiko, pa tudi to, kakˇsen vtis je naredil na svojega uˇci­telja. ˇze od samega Ceprav se na osnovi povedanega zdi, kot da je bil Vidav ˇzaˇcetka pravi matematik, je gotovo moral tudi on vloˇziti dosti napora in ˇcasa tako v ˇstudij stare kot v ustvarjanje nove matematike. Vendar so kasneje le redki med nami imeli priloˇznost pobliˇze spoznati, kako res deluje Vidavov ustvarjalni um. Ostali smo ves ˇcas vedeli zgolj to, da profesor Vidav ne d´a od sebe niˇc, kar ne bi bilo popolno. Vse, kar je prihajalo izpod njegovega peresa, je bilo do konca izdelano in premiˇsljeno. Svoj ˇcas so o njem po ho­dnikih fakultete celo pripovedovali, da vsak dokonˇcan ˇclanek najprej spravi vsaj za en mesec v predal, da dozori, preden ga poˇslje v tisk. Zdi se, da je vedno ustvarjal doma, v tiˇsini svoje sobe. Tudi na seminarje ni rad hodil, ˇceprav smo ga sem in tja vabili; razen seveda na uradni podi­plomski seminar iz funkcionalne analize, ki ga je vodil vrsto let. Ko smo ga kdaj povpraˇsali za pomoˇc pri reˇsevanju kakˇsnega problema, ki nam je delal teˇzave, se je vedno izgovoril, da se ne razume na snov in da bo premislil, ˇze takoj naslednji dan pa je prinesel popolnoma izdelano, dokonˇcno in skoraj vedno tudi elegantno reˇsitev. Take reˇsitve so ga zmeraj zanimale. Ko je kasneje, ˇze v starosti veˇc kot devetdeset let, v svoji sobi na Taboru nekoˇc reˇseval zahteven Eulerjev algebraiˇcni problem in ga tudi reˇsil, z rezultatom ni bil zadovoljen. Rad bi naˇsel bolj elementarno oziroma bolj preprosto re­ˇsitev. O uporabljeni metodi reˇsevanja je tedaj rekel: »To je tako, kot bi ˇsel ˇcez Triglav na ˇ Smarno goro.« Niˇc drugaˇce ni bilo na njegovih predavanjih. Matematiˇcna vsebina, ki je nastajala pod njegovimi prsti na tabli, nas je vedno oˇcarala. Kot da bi bil predavatelj veliki sveˇcenik skrivnostne religije, ki se imenuje matematika, mi pa smo se z njegovim posredovanjem poglabljali v njene skrivnosti. Vse se je zdelo tako jasno in preprosto, vse tako razumljivo, da ˇse vpraˇsanj nismo znali zastavljati. Veliko je predaval in rad je predaval, pri tem celo uˇzival, posebno takrat, ko je na tabli lahko prikazal kako lepo in presenetljivo pre­prosto reˇsitev zapletenega problema. Ne spomnim se, da bi Vidav kdaj za sabo popravljal napake. Predaval je na pamet (tako kot Plemelj). Tudi na tretji stopnji je, kolikor vem iz lastne izkuˇsnje, enkrat samkrat iz ˇzepa srameˇzljivo potegnil listek in z njega na tablo prerisal dolgo in komplicirano formulo, zdi se mi, da v zvezi s Steinbergovimi simboli. Znano je, da je bila Plemlju matematika »ˇzivljenjska nuja in umetniˇski uˇzitek«. O Vidavovih predavanjih pa lahko uporabimo kar besede kolegice Marije Vencelj, zapi­sane ob profesorjevi sedemdesetletnici: »Sam sposoben preplezati najteˇzje previsne stene je neprekosljiv in skrben vodnik svojim uˇcencem po hribovju in sredogorju matematike, izbirajoˇc pri tem najlepˇsa in najbolj uglajena pota.« Tako kot je zaˇcel svojo kariero, jo je tudi nadaljeval. Ne glede na bolj ali manj ugodne razmere za delovanje univerzitetnega uˇcitelja in ne glede na dodatne obveznosti, ki jih je moral prevzemati, se kakovost njegovega znanstvenega in pedagoˇskega dela ni spreminjala. Njegove delnice na mate­matiˇcni borzi niso padale, niti niso nihale. Obdrˇzal je konstantno vrednost vseh parametrov svojega delovanja. Njegovo stalno kvaliteto je nekoˇc posre­ˇceno izrazil profesor Bohte, ko je izjavil, da je »on edini, katerega odvod je enak niˇc,« namreˇc konstanten, se pravi vedno enak, vedno enako zanesljiv. Ko smo ˇze pri funkcijah in njihovih odvodih, naj mi bo dovoljeno na­vesti njegove besede izpred nekaj let, ko je bil .ziˇcno ˇze ˇsibak, umsko pa luciden kot vedno: »Vedno sem mislil, da je staranje zvezna poˇcasi pada­joˇca funkcija, zdaj pa vidim, da ima ta funkcija skoke.« V mislih je seveda imel nenadne padce. Kako pronicljiva in matematiˇcno natanˇcna ugotovitev o poteku staranja in dokaz, da se je globoko zavedal ˇcloveˇske minljivosti! Razumljivo je, da je bilo staranje ˇze prej pogosto tema njegovih pogovorov z obiskovalci. Nekoˇc je izjavil: »Ko sem ˇse uˇcil, sploh nisem opazil, da se staram. Le ˇstudentje, ki so me prihajali posluˇsat, so se mi zdeli vsako leto mlajˇsi.« In ob neki drugi priliki: »Da sem ˇze v letih, sem se zavedel ˇsele tedaj, ko se je upokojila moja prva diplomantka.« Smisel za dovtipe ga ni zapustil niti v visoki starosti. Pred kakˇsnimi tremi leti je nenadoma rekel: »No, zdaj sem pa prehitel Plemlja.« Slednji je namreˇc umrl maja 1967, ko ˇse ni dopolnil ˇstiriindevetdeset let starosti, profesor Vidav pa jih je doˇcakal skoraj osemindevetdeset. Tudi sicer je bil profesor Vidav v sproˇsˇcenem pogovoru pogosto prav duhovit, ˇceprav morda na zunaj ni dajal takega vtisa. O tem bi najbrˇz znali veliko zanimivega povedati njegovi oˇzji sodelavci in stalni sogovorniki. Naj tu naveden samo neko manj znano anekdoto, ki je zapisana in ki kaˇze na to, da se je znal poˇsaliti tudi na svoj raˇcun. V intervjuju, ki ga je po prejemu nagrade Avnoj leta 1981 dal za sarajevski ˇcasnik Oslobođenje, je na novinarjevo opazko, da se zadnjih dvajset let ni premaknil iz Ljubljane, odvrnil: »To je za mlade, jaz pa sem v letih, ko oni prihajajo k meni. Po malem se poˇcutim kot Nasredin hodˇza, ki so ga nekoˇc, ko je bil mojih let, vpraˇsali, kako je kaj pri moˇceh; pa jim je odgovoril, da se poˇcuti kot kakˇsen mladeniˇc. Ko je videl njihovo zaˇcudenje, jim je pojasnil: ›Na dvoriˇsˇcu imam velik kamen. Ko sem bil mlad, ga nisem mogel dvigniti; a ga ne morem dvigniti niti danes.‹ Tako je tudi z mano: v mladosti nisem mogel reˇsiti Fermatovega problema, a ga ne morem reˇsiti niti danes.« Na novinarjevo nadaljnjo pripombo, da morda Fermatov problem le ne bo ostal nereˇsen, v kolikor spada v funkcionalno analizo (novinar je morda hotel reˇci: ˇce se bo Vidav ukvarjal z njim), pa je izstrelil kot iz topa: »Matematika je zelo zelo stara gospa, ki pa ima rada zgolj mlade. Jaz sem ˇze dodobra zakoraˇcil v sedmo desetletje. Bolje je, da mlade dobro pripravim na to sreˇcanje.« S Plemljem je imel profesor Vidav veliko skupnega, ne le strast in ta­lent za odkrivanje novega v matematiki. Ne nazadnje sta imela tudi dokaj podobno ˇzivljenjsko usodo. Oba sta npr. doˇcakala visoko starost, ˇceprav si je nobeden od njiju ni ˇzelel. Bile pa so tudi razlike. Plemelj je bil klasiˇcni matematik in ni imel posluha za moderne matematiˇcne discipline, npr. za funkcionalno analizo, v kateri je blestel Vidav in v njej dosegal najveˇcje uspehe. ˇcje v slovenski matema- Skoda, da danes ravno to (Vidavovo) podroˇtiki ˇstudijsko in raziskovalno zamira, kljub temu da na njem ˇse vedno delajo nekateri izvrstni posamezniki. Vidav je brez dvoma obˇcudoval svojega uˇcitelja in mu v marsiˇcem sledil, ˇceprav se v matematiˇcnem smislu ni maral z njim primerjati. V intervjuju za Obzornik je leta 2007 npr. povedal: »Plemlju niti do kolen ne seˇzem. Jaz nisem niˇc posebnega napravil. Plemelj pa je reˇsil Riemannov problem. Posebej v integralskih enaˇcbah je dosegel zelo lepe rezultate in se nikakor ne morem primerjati z njim.« V tem mnenju se seveda kaˇze zlasti Vida­vova skromnost. V resnici je tudi njemu uspelo zelo veliko, ne le v smislu osebnega znanstvenega prestiˇza. Ustanovil je slovensko matematiˇcno ˇsolo, postavil na noge redni podiplomski ˇstudij ter vzgojil veliko novih razisko­valcev matematike, da niti ne govorimo o tem, da je napisal prve slovenske visokoˇsolske matematiˇcne uˇcbenike in mnogo storil za popularizacijo mate­matike med mladimi. Razvoj matematike na Slovenskem v drugi polovici ˇ 20. stoletja je pravzaprav njegova zasluga. Ce uporabimo besede Marije Vencelj, je »pot povojnega razvoja slovenske matematike« v resnici njegova »pot matematika znanstvenika, pot pisca in uˇcitelja«. Profesor Vidav je ˇcutil odgovornost do celotne matematiˇcne skupnosti. Kot pred njim Plemelj je tudi on moral na raˇcun svojega raziskovalnega in pedagoˇskega dela na fakulteti prevzemati nekatere neprijetne vodstvene oziroma administrativne funkcije. Plemelj se jih je otepal rekoˇc, da zanje nima smisla. Vidav pa se teh funkcij ni izogibal. Verjetno jih prav tako ni maral; ni pa znano, da bi se ˇceznje pritoˇzeval. Bil je moder in preudaren usmerjevalec naˇsega razvoja. Na oddelku za matematiko je imel nesporno avtoriteto, tudi tedaj, ko je ˇze odloˇzil vse svoje funkcije. Prav tako je vestno skrbel za razliˇcne druge zadeve, povezane z notranjo skladnostjo in dostojno javno podobo slovenske matematike. Npr. pri Druˇstvu matematikov, .zi­kov in astronomov Slovenije, kjer je ne samo opravljal vodilne funkcije ter urejal druˇstveno glasilo in knjiˇzne zbirke, ampak je dolga leta skrbel tudi za tekmovanja srednjeˇsolcev, predaval dijakom in njihovim uˇciteljem, pisal poljudne ˇclanke za mlade, sodeloval pri vodenju druˇstva, pri organizaciji druˇstvenih seminarjev in proslav itd. Tako kot Plemelj je bil tudi profesor Vidav strog, vendar korekten iz­praˇsevalec na izpitih; strog zlasti v prvih povojnih letih. Po letu 1970 pa je bil pri njem ustni izpit bolj podoben pogovoru kot izpitnemu zasliˇsanju. Pazljivo in potrpeˇzljivo nas je posluˇsal in nas ni prekinjal, le vˇcasih je ne­nadoma vpraˇsal, kot da ne bi razumel: »Kako ste rekli, prosim?« Tedaj smo ˇze vedeli, da smo ga polomili, in bilo nam je nerodno. Zdelo se je, da je tudi njemu neprijetno; zaradi ˇcesar je bilo potem nam ˇse bolj nerodno. Vedno se je potrudil razumeti teˇzave svojih ˇstudentov v prizadevanju, da se dokopljejo do znanja. Pomagal jim je s strokovnimi nasveti in veˇckrat celo .nanˇcno. Po nasvet in pomoˇc smo se nanj pogosto obraˇcali tudi sodelavci na oddelku. Nasploh je imel profesor Vidav izjemno korekten in osebno ˇcloveˇski od­nos do vseh ljudi, od ˇstudentov in sodelavcev do gostujoˇcih profesorjev in preprostih nakljuˇcnih obiskovalcev. Izredno teˇzko je bilo z njim tekmovati ˇze v ˇcisto obiˇcajni vljudnosti, kar vemo vsi, ki smo kdaj poskuˇsali za njim vstopiti skozi ozka vrata. Prav tako je bil odliˇcen sogovornik v pogovorih npr. o znanstvenih odkritjih na drugih podroˇcjih ali pa npr. o zgodovini, ˇ saj je bil ˇsiroko razgledan. Se v pozni starosti je redno prebiral ˇcasopise in spremljal dnevna dogajanja, bil z vsem na tekoˇcem in imel o vsem svoje mnenje, ki pa ga nikoli ni vsiljeval drugim. Bil je ne samo velik matematik, odliˇcen predavatelj in dober uˇcitelj oziroma mentor svojim ˇstudentom, bil je tudi velik ˇclovek. Danes, ob zadnjem slovesu od profesorja Vidava, se nam njegova podoba kaˇze kot podoba vrhunskega znanstvenika, ki je svoj matematiˇcni talent v precejˇsnji meri ˇzrtvoval v korist razvoja slovenske matematike in v dobro vsej slovenski matematiˇcni skupnosti. Del svoje strokovne pozornosti je namreˇc namenil tudi na videz manj pomembnim dejavnostim. V tem pogledu je med vrhunskimi matematiki, nekdanjimi in danaˇsnjimi, domaˇcimi in tujimi, prej izjema kot pravilo. ˇ Sele ob primerjavi njegovega izjemnega znanstvenega in pedagoˇskega dela z njegovo drugo, rekli bi postransko, a za ˇsirˇso skupnost nemara ˇse bolj potrebno dejavnostjo se lahko v celoti in zares zavemo njegove ˇcloveˇske in strokovne veliˇcine. Milan Hladnik STROKOVNO SRE ˇCNI ZBOR DMFA, CANJE IN 67. OBˇLJUBLJANA, 25. IN 26. 9. 2015 Po dolgih letih je bilo strokovno sreˇcanje in obˇcni zbor v Ljubljani, in sicer na Fakulteti za matematiko in .ziko (FMF). Organizirali smo ga skupaj s FMF. Matematiˇcni del strokovnega sreˇcanja je namreˇc potekal skupno s tradicionalnim seminarjem za uˇcitelje matematike z delovnim naslovom Moderni izzivi pouˇcevanja matematike, ki ga na FMF organizira dr. Damjan Kobal. Zaradi prenove streˇznika letos predhodna prijava na seminar ni bila mo­ˇzna. Morda je to tudi razlog, da je bila udeleˇzba na .zikalnem delu slabˇsa kot prejˇsnja leta. Povzetke in razporede predavanj smo ˇze v zaˇcetku septembra objavili na domaˇci strani druˇstva. Prav tako je bil predhodno objavljen tudi urnik. V biltenu, ki smo ga letos prviˇc izdali le v elektronski obliki, smo objavili poroˇcila o delu druˇstva in povzetke predavanj. Ker so povzetki predavanj objavljeni tudi na spletni strani druˇstva, naj navedemo le predavatelje in naslove predavanj v enakem vrstnem redu, kot so se zvrstili: Petek, 25. septembra 2015 Fizika: • Robert Repnik, Matic Laneger: Uspeˇsnost reˇsevanja teoretiˇcnih in ek­sperimentalnih nalog z drˇzavnih tekmovanj iz .zike za osnovnoˇsolce od leta 1993 do 2012 • Blaˇz Karner: 46. mednarodna .zikalna olimpijada, Mumbaj 2015 • Janez Strnad: Newtonova razlaga Newtonovih kolobarjev, Goethejev Nauk o svetlobi • Boris Kham: Avgustovsko sreˇcanje z Venero, Zorni kot teleskopa • Joˇze Rakovec: Svetlobni pojavi na nebu • Mihael Gojkoˇsek: Razvoj raˇcunalniˇskih simulacij pri pripravi interaktiv­nega uˇcbenika: Razˇsirjanje, odboj in lom svetlobe • Andrej Likar, Nada Razpet: Poskusi iz optike, delavnica • Andrej Guˇstin: Astronomska opazovanja v ˇsoli, delavnica Matematika: • David Dolˇzan: Tropska matematika • Marko Razpet: Tudi matematiki se motimo • Nada Lavraˇc: Umetna inteligenca • Pino Koc: Mehansko reˇsevanje diferencialnih enaˇcb ˇ • Klavdija Cof Mlinˇsek, Lucijana Kraˇcun-Berc, Matjaˇz Zeljko: Spremembe pri tekmovanjih v znanju matematike v OˇS S in Sˇ Ob 17. uri je bil napovedan obˇcni zbor. Ker je bilo tedaj prisotnih manj kot polovica ˇclanov DMFA Slovenije, je obˇcni zbor v skladu s 16. ˇclenom Pravil DMFA Slovenije priˇcel z delom ob 17.30. V tem vmesnem ˇcasu smo imeli ˇse dve predavanji, ki sta nas popeljali v svet umetnosti: Peter Koˇstrun: Svetloba – senca, Boˇstjan Botas Kenda: Svetloba – prostor. Oba predavatelja sta z Akademije za likovno umetnost in oblikovanje. Sobota, 26. septembra 2015 Zaˇceli smo z vabljenima predavanjema: • Tomaˇz Pisanski: Nekaj let pozneje • Igor Muˇseviˇc: Fotonika s tekoˇcimi kristali Nadaljnja predavanja so zopet potekala v dveh sekcijah. Fizika: • Mitja Rosina: Mavrica • Jurij Bajc: Projekt eEksperimenti • Duˇsanka Colnar, Renata Humar, Jelka Gradnik: ˇ Skatla z luknjico • Majda Srna: Optiˇcni instrumenti – delavnica Matematika: • Gregor Cigler: Frizijski vzorci in njihove grupe simetrij • Jana Dular: Topla afriˇska srca 67. obˇcni zbor DMFA Obˇcnega zbora se je udeleˇzilo 49 ˇclanov DMFA Slovenije (od tega 8 ˇcastnih ˇclanov). Imel je naslednji dnevni red: 1. Otvoritev 2. Izvolitev delovnega predsedstva 3. Druˇstvena priznanja 4. Poroˇcila o delu druˇstva 5. Razprava o poroˇcilih 6. Vpraˇsanja in pobude 7. Raˇcunovodsko in poslovno poroˇcilo DMFA Slovenije za leto 2014 8. Razno Ad 1. Ker je bilo ob 17.00 uri prisotnih manj kot polovica ˇclanov DMFA Slovenije, se je obˇcni zbor v skladu s 16. ˇclenom Pravil DMFA Slovenije priˇcel ob 17.30. Ad 2. V delovno predsedstvo so bili izvoljeni: predsednik Mitja Ro­sina, ˇclana Milan Hladnik in Boˇstjan Kuzman, zapisnikar Janez Kruˇsiˇc. Za ˇ overovatelja zapisnika sta bila izbrana Marko Razpet ter Matjaˇz Zeljko. Ad 3. Za ˇcastna ˇclana DMFA Slovenije sta bila imenovana dr. Andrej Likar in dr. Tomaˇz Pisanski. Druˇstveno priznanje sta prejela: dr. Bojan Golli in dr. Zlatan Ma­gajna (Univerza v Ljubljani, Pedagoˇska fakulteta). Vse utemeljitve je prebral dr. Boˇstjan Kuzman. Ad 4. Poroˇcila o delu druˇstva so bila objavljena v biltenu 67. obˇc­nega zbora, ki je v elektronski obliki dostopen na http://www.dmfa.si/ OZ2015-bilten.pdf. Dodatno so poroˇcali: 1. Anja Petkovi´c o sreˇcanju srednjeˇsolcev MARS 2015 2. Maja Alif o Plemljevem ˇstudentskem vikendu 3. Veno Mramor o organizaciji srednjeevropske matematiˇcne olimpijade MEMO 2015 4. Barbara Rovˇsek o udeleˇzbi na mednarodni .zikalni olimpijadi IPhO 2015 5. Gregor Dolinar o speci.ˇcnosti mednarodne matematiˇcne olimpijade IMO 2015 na Tajskem 6. Andrej Guˇstin o udeleˇzbi na mednarodnih tekmovanjih iz astronomije ˇ 7. Matjaˇz Zeljko o prenovi druˇstvenega informacijskega streˇznika Ad 5. Poroˇcila so bila sprejeta brez razprav. Ad 6. Maja Alif je povedala, da bo njeno delo pri ˇstudentski sekciji DMFA Slovenije nadaljevala Vesna Irˇsiˇc. Udeleˇzence obˇcnega zbora je po­vabila k sodelovanju pri prvem sreˇcanju alumnov FMF, ki bo organizirano v torek, 20. oktobra 2015. Boˇstjan Kuzman je povabil na druˇstveni izobraˇzevalni seminar z naslo­vom »Delo z nadarjenimi mladimi matematiki«, ki bo predvidoma potekal v petek in soboto, 5. in 6. februarja 2016, na Pedagoˇski fakulteti v Ljubljani v skupnem obsegu 16 ur. Prosil je tudi za predloge prispevkov za program druˇstvene podelitve priznanj Bistroumi 2016. Mitja Rosina je vabil na druˇstveno ekskurzijo v Zagreb (sobota, 3. 10. 2015) in k boljˇsemu izkoristku Plemljeve vile za druˇstvene dejavnosti. Nada Razpet je prosila za mnenja o najprimernejˇsem ˇcasu za organiza­cijo naslednjih strokovnih sreˇcanj in obˇcnih zborov (september ali kasneje). Potrjen je bil sklep upravnega odbora, da se prijavnina za udeleˇzbo na tekmovanjih v ˇsolskem letu 2015/2016 ne spremeni, ˇce se ne bodo bi­stveno spremenili pogoji so.nanciranja: Za tekmovanja, ki se konˇcajo z mednarodno olimpijado (MaSˇS, astronomija Sˇ S-A, FiSˇS), je prijavnina na najniˇzji stopnji 2,50 EUR, za vsa druga tekmovanja v organizaciji DMFA Slovenije pa 1,50 EUR. Za udeleˇzbo na viˇsjih stopnjah tekmovanja prijav­nine ni. Obˇcni zbor je potrdil tudi naslednja sklepa: 1. Prvi natis priznanj in potrdil o sodelovanju je brezplaˇcen. Cena nadalj­njih natisov (napaˇcni podatki, izgubljeno . . . ) je 2 EUR za enoto in 3 EUR za poˇstnino. 2. Cena obravnave ugovora je 5 EUR. ˇ sen, se vpla- Ce je ugovor ugodno reˇ ˇcani znesek vrne. Drˇzavna tekmovalna komisija samostojno odloˇca o zahtevi za plaˇcilo ugo­ vora za tekmovanje v njeni pristojnosti. Ad 7. O sklepih nadzornega odbora je poroˇcal Janez Kruˇsiˇc: 1. pravilnost .nanˇcnega poslovanja za leto 2014 je nadzorni odbor ugotovil na svoji seji 31. 3. 2015 (zapisnik je v prilogi zapisnika obˇcnega zbora), 2. z delom upravnega odbora je nadzorni odbor vseskozi seznanjen, bodisi s prisotnostjo na sejah bodisi z zapisniki sej upravnega odbora. Raˇcunovodsko in poslovno poroˇcilo DMFA Slovenije za leto 2014 je bilo objavljeno v Biltenu in je bilo soglasno sprejeto. Ad 8. Obˇcni zbor se je konˇcal ob 19.00 uri. Nada Razpet in Janez Kruˇsiˇc http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ DR. ANDREJ LIKAR IN DR. TOMAˇZ PISANSKI NOVA ˇ CASTNA ˇ CLANA, DR. BOJAN GOLLI IN DR. ZLATAN MAGAJNA PREJEMNIKA PRIZNANJ DMFA SLOVENIJE Sedeminˇsestdeseti obˇcni zbor DMFA Slovenije je 25. septembra 2015 na predlog upravnega odbora za nova ˇcastna ˇclana DMFA Slovenije imenoval dr. Tomaˇza Pisanskega in dr. Andreja Likarja. Dr. Andrej Likar Raziskovalno delo prof. dr. Andreja Likarja obsega predvsem eksperi­mentalne in teoretiˇcne rezultate v .ziki jedrske strukture in instru­mentacije. V svojih najbolj od­mevnih delih se je posvetil radia­tivnemu zajetju nukleonov v jedra, strukturi dvojnomagiˇcnih jeder in natanˇcnemu modeliranju polvodni­ˇskih detektorjev z metodo Monte-Carlo. Pri tem je postavil temelje sodelovanja ljubljanske skupine za strukturo jedra s skandinavskimi in nemˇskimi skupinami za jedrsko .ziko, kar je temeljito oblikovalo programsko usmeritev skupine. Njegovo pedagoˇsko delo je izjemno pestro in plodno. Kot mlad univer­zitetni uˇcitelj je poleg pouˇcevanja osnovne .zike prevzel predmeta Fizikalna merjenja I in Uporaba mikroprocesorjev, za katera ni bilo ustaljenih uˇc­nih naˇcrtov in uˇcbenikov niti v mednarodnem prostoru. Oba predmeta je postavil na trdne temelje in napisal uˇcbenika, ki sta doˇzivela veˇc ponatisov. Njegovo zanimanje za izboljˇsave v pouˇcevanju .zike pa ni omejeno zgolj na predmete, ki jih je pouˇceval. Poseben izziv so mu konceptualno in pe­dagoˇsko snaˇzni, obenem pa bogati in za opis zahtevni .zikalni problemi, ki sodijo v viˇsje letnike ˇstudija .zike. Med najbolj bogate probleme, s ka­terimi se je ukvarjal v vlogi uˇcitelja, sodita obravnava razliˇcnih valovanj s Hamiltonovim pristopom ter obravnava .uktuacijskega interferometra. V poglobljeno ˇstudijo omenjenih problemov, vkljuˇcno z izdelavo originalnih didaktiˇcnih poskusov, je pritegnil kolega in kolegico, ki sta pod njegovim mentorstvom tudi doktorirala. Kljub polni raziskovalni in pedagoˇski obremenitvi na fakulteti pa je ves ˇcas namenjal veliko energije in ˇcasa tudi srednjeˇsolskemu izobraˇzevanju, predvsem na podroˇcju .zike in raˇcunalniˇstva. Od leta 1993 do 1996 je bil predsednik maturitetne komisije za .ziko. Kot svetovalec Zavoda za ˇsolstvo RS je v obdobju od 1994 do 1999 usmerjal smiselno uporabo raˇcu­nalnikov v srednji ˇsoli, generacije uˇciteljev pa ga poznajo tudi kot prvega avtorja originalne zbirke raˇcunalniˇskih simulacij .zikalnih pojavov Animi­rane skice. Sodeloval je pri izvedbi Fizikalne olimpijade v Portoroˇzu leta 1985 kot avtor eksperimentalne naloge. Naloga je temeljila na uporabi ra­ˇcunalniˇsko vodenih meritev, kar je bila takrat novost tudi v mednarodnem merilu. Andrej Likar je izjemno ploden pisec poljudnoznanstvene literature. Rad ima naravo. Hodi z odprtimi oˇcmi in najde pojave, ki jih domiselno pojasnjuje mladim. Tako lahko ti doˇzivljajo .ziko kot del ˇzivljenja in ne kot suho zbirko zakonov. Poglejmo le nekaj najbolj zanimivih naslovov iz opusa veˇc kot devetdeset poljudnoznanstvenih ˇclankov (veˇcina je objavljena ˇ v Preseku): Kako kameleon iztegne jezik?, Kako rastejo sneˇzinke?, Zivalski ˇziroskop, Plavajoˇce kapljice. Andrej Likar se je izkazal tudi kot ploden mentor. Bil je mentor pri 9 doktoratih, 6 magisterijih in 40 diplomah. Teme pod njegovim mentorstvom nikoli niso bile le serijska proizvodnja – prav vse odlikuje zanimiva iskrica v temeljnem vpraˇsanju in originalen pristop k odgovoru. Njegovim varo­vancem ostane vtis izjemne razgledanosti, strokovne neizprosnosti in tople ˇcloveˇske prijetnosti, kar je verjetno najveˇc, kar lahko iˇsˇcemo v strokovnem mentorju. Andrej Likar je opravljal razliˇcne vodstvene funkcije, v katerih se je izkazal kot moder in odloˇcen. Bil je predstojnik Oddelka za .ziko FMF (1999–2001), dekan FMF (2009–2011), predsednik DMFA (2013–2014) ter ˇclan nadzornega odbora DMFA (2015). Pri reviji Presek je bil odgovorni urednik (1980–1983) in urednik za .ziko od leta 1990 dalje ter od leta 1993 odgovorni urednik Zbirke izbranih poglavij iz .zike. Delo Andreja Likarja pomeni pomemben prispevek k razvoju in popula­rizaciji tako .zikalnih ved kot DMFA Slovenije. Dr. Tomaˇz Pisanski Prof. dr. Tomaˇz Pisanski se je rodil leta 1949, srednjo ˇsolo je obiskoval v Ljubljani. ˇske mate- Studij tehniˇmatike na takratni FNT je konˇcal leta 1972. Iz matematike je tudi magistriral v Ljubljani leta 1978, iz raˇcunalniˇstva pa leto kasneje na Univerzi Park v Pensilvaniji. Dok­torat s podroˇcja topoloˇske teorije grafov je napisal pod mentorstvom Terrencea Parsonsa in ga uspeˇsno zagovarjal leta 1981. Kot univerzi­tetni uˇcitelj je bil zaposlen na Uni­verzi v Ljubljani od 1982 do delne upokojitve leta 2014, ˇse vedno pa aktivno deluje na Univerzi na Primorskem. Objavil je veˇc kot 140 izvirnih znanstvenih ˇclankov s podroˇcij diskre­tne in raˇcunalniˇske matematike, kombinatorike, teorije grafov, matematiˇcne kemije, diskretne geometrije in drugih. Med njegovimi najbolj znanimi re­zultati je denimo metoda Whitea in Pisanskega za izraˇcun roda karteziˇc­nega produkta regularnih dvodelnih grafov. Skupaj z Brigitte Servatius je leta 2013 pri zaloˇzbi Birkh¨ auser objavil monogra.jo Con.gurations from a Graphical Viewpoint, v kateri na izviren naˇcin povezuje geometrijsko nav­dahnjeno klasiˇcno teorijo kon.guracij s topoloˇsko in algebrsko teorijo gra­fov. Je nosilec ˇstevilnih funkcij, raziskovalnih projektov in nagrad, med njimi projekta ERC Eurocores 2011 in ˇclanstva v evropski akademiji znano­sti Academia Europaea. Med njegovimi 15 doktorandi so se doslej vsaj ˇstirje samostojno izjemno uveljavili tudi v svetovnem merilu – skupaj z njihovimi doktorandi ima dr. Pisanski ˇze veˇc kot 60 akademskih potomcev. Dr. Pisanski je vrsto let aktivno deloval v DMFA Slovenije in njegovem upravnem odboru. Bil je predsednik DMFA v mandatu 1998–99 in predse­dnik Slovenskega odbora za matematiko od leta 2006 do 2014. Iz obseˇznega akademskega ˇzivljenjepisa dr. Pisanskega zato izpostavimo nekaj njegovega dela in zanimivosti, ki so posebej povezane z dejavnostjo DMFA ali pa s ˇsirˇsim matematiˇcnim utripom v Sloveniji. Matematiˇcno kariero je dr. Pisanski zaˇcel ˇze v srednji ˇsoli, ko se je po ˇstevilnih nagradah na republiˇskih in zveznih tekmovanjih udeleˇzil tudi med­narodnih olimpijad v Bolgariji (1967) in Jugoslaviji (1968); na slednji je kot najuspeˇsnejˇsi ˇclan jugoslovanske ekipe osvojil tudi 3. nagrado. Med ˇstudijem matematike na takratni FNT je aktivno sodeloval pri izvedbi tek­movanj in kasneje skupaj z V. Batageljem uredil prvi zbirki Reˇsenih nalog iz matematike z republiˇskih tekmovanj za srednjeˇsolce (1973, 1976). Kot nadobuden ˇstudent je leta 1970 s skupino prijateljev ustanovil Klub mladih matematikov Laar Getny in (neuradni) Seminar iz .nitne matematike in matematiˇcne kibernetike, ki se je zanimal za mlade veje matematike, kot so teorije avtomatov, jezikov, grafov in algoritmov, ki niso bile pokrite v ˇstu­dijskih programih. S tem je v veliki meri spodbudil nastanek prvih razisko­valnih seminarjev za matematiko na FNT in IMFM. V uredniˇskem odboru revije Presek je sodeloval od zaˇcetka izhajanja leta 1973 do leta 1986 in v njej objavil 40 prispevkov. Po ˇstudijskih izkuˇsnjah v tujini je v osemdesetih letih v Sloveniji spodbudil intenzivnejˇse znanstveno sodelovanje z matema­tiki iz zahodnih drˇzav in organiziral prve mednarodne konference iz teorije grafov. Z njimi je sˇcasoma postavil slovensko ˇsolo med vplivnejˇse na tem po­droˇcju – letoˇsnja konferenca v Kranjski Gori je bila s skoraj 300 udeleˇzenci iz 40 drˇzav verjetno najveˇcja konferenca iz teorije grafov na svetu. Leta 2008 je skupaj z Draganom Maruˇsiˇcem pod okriljem DMFA in Univerze na Primorskem ustanovil znanstveno revijo Ars Mathematica Contemporanea z mednarodnim uredniˇskim odborom uglednih matematikov z vsega sveta, ki se po nekaj letih obstoja ˇze uvrˇsˇca med vplivnejˇse v svetovnem merilu. Prof. Pisanski je od nekdaj aktivno sodeloval in spodbujal ˇstevilne do­godke, namenjene promociji matematike. Ob obletnicah rojstva oziroma smrti Jurija Vege v letih 2004 in 2008 so tako potekale ˇstevilne aktivnosti, izˇsel je tudi zbornik. Po Vegi pa je poimenoval tudi v mednarodni javnosti znano zbirko raˇcunalniˇskih orodij za delo z gra., ki so jo vrsto let razvi­jali slovenski matematiki. Na FMF v Ljubljani je leta 1998 ustanovil in vse do 2014 vodil cikel predavanj Matematiˇcni kolokviji, na katerem so se predstavljali mednarodno uveljavljeni slovenski in tuji raziskovalci. Uspeˇsno je gojil ˇstevilne stike z vrhunskimi tujimi znanstveniki ter formalne pove-zave DMFA z Evropskim matematiˇcnim druˇstvom in nacionalnimi druˇstvi nekaterih drugih drˇzav. Ob matematiki se je od nekdaj zanimal tudi za druga podroˇcja, de­nimo jezikoslovje, rodoslovje, raˇcunalniˇstvo, kemijo, in za povezovanje ma­tematike in umetnosti. Plod njegovega sodelovanja s Colgate University je denimo umetniˇska skulptura Grupa roda 2, ki je razstavljena v Tehni­ˇskem muzeju Slovenije kot edini tovrstni matematiˇcni artefakt v Sloveniji. Veˇckrat je razliˇcne zanimivosti iz geometrije ali kombinatorike predstavljal tudi v poljudnih prispevkih za razliˇcne slovenske medije. O raznovrstnosti in neizmerni radovednosti prof. Pisanskega priˇca tudi njegova bibliogra.ja, ki obsega veˇc kot 700 enot, mnoge od teh so neposredno povezane tudi z druˇstveno dejavnostjo. Dr. Bojan Golli Dr. Bojan Golli je diplomiral leta 1973 z delom Pribliˇzek za zvezo med entropijo in dvodelˇcno gosto­tno matriko, magistriral 1977 z de­lom Novi pogoji za dvodelˇcno go­stotno matriko in doktoriral leta 1983 z disertacijo Variacijski ra­ˇcun sipanja piona v modelu s pion-skim oblakom okoli golega nukle­ona in delca delta, vse pod men­torstvom dr. Mitje Rosine. Leta 1975 se je zaposlil kot asistent na takratni FNT, leta 1978 je postal tudi znanstveni sodelavec na IJS. Od 1994 je zaposlen na Pedagoˇski fakulteti v Ljubljani. Preteˇzni del svojega znanstvenega dela je dr. Bojan Golli usmeril v raz­iskave kiralnih kvarkovskih modelov hadronov. V okviru teh modelov se je posveˇcal tako raˇcunom statiˇcnih lastnosti nukleonov, na primer magne­tnim momentom, polariziranosti in ˇsibkim sklopitvenim konstantam, kot tudi obravnavi dinamiˇcnih koliˇcin v moˇcnem sektorju, ki zajema na primer sipanje pionov na nukleonih, in elektroˇsibkem sektorju, kamor spadajo na primer elastiˇcni oblikovni faktorji, ˇsibki oblikovni faktorji, fotoprodukcija in elektroprodukcija mezonov. Najodmevnejˇsa dela v zadnjih letih vkljuˇcujejo podrobne analize procesov sipanja ter foto-in elektroprodukcije v forma­lizmu sklopljenih kanalov, ki jih je zaradi njihove sploˇsnosti mogoˇce upora­biti kot moˇcno orodje za testiranje kvarkovskih modelov. Svoje znanstveno delo je predstavil na ˇstevilnih mednarodnih konferencah in delavnicah, svoje znanje pa uspeˇsno prenaˇsa tudi na mlajˇse sodelavce, tako na fakulteti kot na IJS. ˇ Ze na zaˇcetku svojega dela na fakulteti je zaˇcel sodelovati z DMFA. Od ˇsolskega leta 1976/77 sodeluje pri organizaciji in izvedbi tekmovanj v znanju .zike za srednjeˇsolce. Vedno se je rad odzval vabilom srednjeˇsolskih uˇciteljev in za dijake pripravil kakˇsno zanimivo predavanje ali pa z njimi reˇseval tekmovalne naloge na kroˇzkih. Leta 1984 se je prviˇc z mladimi .ziki udeleˇzil .zikalne olimpijade, leto kasneje pa je bil eden od organizatorjev .zikalne olimpijade v Portoroˇzu. Vse do leta 1998 je vodil slovensko ekipo mladih .zikov na olimpijade. Pri tem ne smemo pozabiti na priprave tekmovalcev za olimpijado, kjer dija­kom pripravlja ne le teoretiˇcne ampak tudi eksperimentalne naloge. Mladi tekmovalci ga poznajo tudi po Zbirkah reˇsenih nalog s tekmovanj, ki jih je pripravil s soavtorji in so zbrane v ˇsestih knjigah. Ljubitelji TEX-a, urejevalnika besedil, ga poznajo kot predsednika TeX Ceha, predvsem pa po tem, kako sta z Vladom Batageljem zainteresiranim pomagala narediti prve korake v spoznavanje tega raˇcunalniˇskega orodja. Na Pedagoˇski fakulteti je predaval razliˇcne predmete ne le rednim, am­pak tudi izrednim ˇstudentom. Zanje je pripravil tudi razliˇcna gradiva. Je uspeˇsen mentor pri izdelavi diplomskih in magistrskih del. Vselej se je tudi rad odzval vabilom DMFA in za strokovna sreˇcanja pripravil zanimiva predavanja. Na Cobissu ima dr. Bojan Golli 214 zapisov, od tega kar 89 v angleˇskem jeziku. Ima priostren posluh za dober in pravilen jezik, kar se kaˇze pri pregledovanju besedil za tekmovalne naloge, kjer hitro najde dvoumnost in predlaga primernejˇse izraze oziroma razumljivejˇsi opis pojava. Dr. Zlatan Magajna Dr. Zlatan Magajna je prve matematiˇcne uspehe doˇzivel kot dijak Gimnazije Ko­per na takratnih republiˇskih in zveznih tekmovanjih v sedemdesetih letih prej­ˇsnjega stoletja. Po diplomi in magiste­riju iz matematike na Univerzi v Lju­bljani je ˇse nekaj let opravljal delo asi­stenta na takratni FNT, nato pa se je za­poslil v industriji, kjer je veˇc let uspeˇsno razvijal programsko opremo za razliˇcne obdelovalne stroje. V zaˇcetku devetdesetih let se je z za­poslitvijo na Pedagoˇski fakulteti v Lju­bljani vrnil k pedagoˇskemu delu. Na pod­lagi svojih izkuˇsenj iz industrije je tedaj izvedel tudi veˇcitelje o geometriji in njeni uporabi v kontekstu sodobnih tehnologij. Doktoriral je na Univerzi v Leedsu s tezo Geometric thinking in out of school con­texts (Geometrijsko razmiˇsljanje v zunajˇsolskih kontekstih). Kot docent za didaktiko matematike in elementarno matematiko na Pedagoˇski fakulteti velja za odliˇcnega predavatelja in natanˇcnega mentorja ˇze 58 diplomantom, plodno pa sodeluje tudi z razliˇcnimi slovenskimi ustanovami pri vpeljavi novih tehnologij, didaktiˇcnih pristopov, razvoju uˇcnih naˇcrtov, analizi med­narodnih evalvacij znanja in podobno. V mednarodni skupnosti je znan tudi po svojem izvirnem raˇcunalniˇskem programu OK Geometry za samodejno analiziranje in postavljanje domnev o relacijah v geometrijskih konstrukci­jah. Dr. Magajna je objavil ali predstavil veˇc kot 100 strokovnih in znan­stvenih prispevkov domaˇci in mednarodni strokovni javnosti na razliˇcnih konferencah. S svojimi prispevki redno sodeluje tudi na strokovnih sreˇca­njih in seminarjih, ki jih organizira DMFA Slovenije. Sodelavci dr. Magajne poleg njegovega ˇsirokega znanja matematike in kvalitetnega pedagoˇskega dela s ˇstudenti posebej cenimo njegov poglobljen pristop do razliˇcnih didaktiˇcnih problemov ter potrpeˇzljivost in razumevanje razliˇcnih vlog matematike v vsakdanjem ˇzivljenju, s ˇcimer se zna pribliˇzati tudi matematiˇcno ˇsibkejˇsim skupinam uˇcencev v slovenskih ˇsolah. Na podlagi predlogov pripravila Nada Razpet NOVE KNJIGE Martin Aigner, G¨ unther M. Ziegler, Proofs from The Book, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2010, 274 strani. Prva izdaja knjige, posveˇcene Pau­lu Erd¨ osu (1911–1996), ki je sode­loval tudi pri njeni zasnovi in iz­boru briljantnih dokazov iz teorije ˇstevil, geometrije, analize, kombi­natorike in teorije grafov, je izˇsla 1998, ob 85-letnici njegovega roj­stva, dve leti po njegovi smrti. Er­d¨os je rad govoril o idealni, on­stran tega sveta obstojeˇci Knjigi, v kateri naj bi bili (kot v neka­kˇsnih Platonovih nebesih) zbrani najlepˇsi dokazi matematiˇcnih re­snic. Matematiki naj bi po nje­govem verjeli vsaj v to Knjigo. Z drugimi besedami, zavzemal se je, podobno kot pred njim G. H. Har­dy, za »lepo« matematiko. S svojo metaforo o Knjigi je, podobno kot Platon s svojo slavno metaforo o ujetnikih, ki so tako dolgo zaprti v votlini, da si ne morejo predstavljati sonca in so zadovoljni le z opazovanjem senc na njenih stenah, ki jih nanje meˇce ogenj v ozadju votline, opozoril na po­membnost stremljenja k najviˇsjemu idealu, v katerem se meja med resnico in lepoto razblini. Starogrˇskim matematikom se moramo zahvaliti, da so matematiko iz utilitarne, raˇcunske vede in zbirke trikov in pravil brez prave utemeljitve povzdignili na raven logiˇcno urejenega miselnega sistema, v katerem je do­kaz enako (ali vˇcasih ˇse bolj) pomemben kot trditev sama. Starejˇse mate­matiˇcne kulture so podajale le raˇcunske metode kot nekakˇsne skrivnostne recepte, praviloma ponazorjene le na posebnih primerih, le izjemoma pa tudi skopa pojasnila, zakaj delujejo. Receptu lahko enostavno slediˇs in ne razmiˇsljaˇs, zakaj deluje. Tako npr. raˇcunalnikom vsakodnevno dajemo celo vrsto ukazov, ne da bi dejansko vedeli, kaj je v njihovem ozadju. Erd¨ os je odloˇcno zavraˇcal idejo dokazovanja matematiˇcnih izrekov z raˇcunalniki (ta trend se je zaˇcel s slovitim raˇcunalniˇskim dokazom izreka 4 barv). In ˇceprav moderna programska in spletna orodja omogoˇcajo matematikom v trenutku dostopati do razliˇcnih baz podatkov (npr. o grupah, gra.h ter nji­hovih lastnostih in parametrih), se matematika v nekem smislu tako vraˇca v predgrˇsko obdobje: podobno, kot so nekoˇc morali zaupati receptom brez ute­meljitve, moramo danes zaupati raˇcunalniˇskim dokazom in »certi.katom«. To nam sicer prihrani ˇcas, prikrajˇsa pa nas za razumevanje. Matematika postaja tako vse bolj uporabna, a vse manj lepa. Matematik ne odkriva veˇc matematiˇcnih resnic zaradi njih samih, iz ljubezni do resnice in lepote, ampak zaradi njihove uporabnosti. Ni veˇc matematik .lozof, ki je sposoben z enim pogledom zajeti celotno matematiko, ampak specialist za posame­zno drobno podroˇcje, bolj ali manj veˇsˇc poznavalec ali mojster trikov s tega omejenega podroˇcja, dejansko pa izgubljen v temi nevednosti natanko tako kot ujetniki v Platonovi votlini senc. Platon, ki je vselej poudarjal, da je treba vsako trditev podkrepiti z ja­sno razumljivim »logosom« (dokazom njene resniˇcnosti), je sam v poetiˇcno­.lozofskem jeziku odslikal fascinacijo starogrˇskih matematikov nad dokazi v matematiki, ki je dosegla svoj vrh v Evklidovi aksiomatski predstavitvi geometrije. Po legendi je Pitagora ob dokazu izreka, ki ga po tradiciji pripi­sujejo njemu (ali vsaj njegovi matematiˇcno-.lozofski ˇsoli, ki je gojila pravi kult ˇstevil kot pravzorcev vesolja), bogovom v zahvalo daroval sto ˇzrtvenih ˇzivali. Podobno navduˇsenje je z vzklikom »Heureka!« in golim tekom po atenskih ulicah pokazal Arhimed ob nepriˇcakovani reˇsitvi problema, iz kako ˇcistega zlata je narejena kraljeva krona: dokaz oziroma neposredni vpo­gled v resnico je bil v tem primeru veliko pomembnejˇsi kot sam problem! Niˇc drugega matematiku ne prinese takˇsne slave, ki ji ˇcas ne odvzame niti drobca njenega leska, kot bistroumen in izviren dokaz kakˇsnega izreka! Do­ ˇ kazi so torej najpomembnejˇsa sestavina matematike. Ceprav bodo breme dokazovanja v prihodnosti vse bolj prevzemali raˇcunalniki (podobno kot so ˇze breme raˇcunanja in memoriranja), bodo matematiki ˇse vedno (ali ˇse toliko bolj) obˇcudovali neˇsablonske dokaze, ki niso dobljeni po ˇsablonskih, univerzalno delujoˇcih, prozaiˇcnih in grdih metodah. Ali, kot so na zaˇcetku 20. stoletja dejali ˇsahovski hipermodernisti (npr. Reti), ki so v ˇsahu cenili lepoto in drzne kombinacije: »Ne zanimajo nas pravila, ampak izjeme!« Vsak poskus »prizemljiti« takˇsno idealno knjigo, o kateri je govoril Er­d¨zek popolnemu idealu. Pa vendar os, je seveda neizogibno le nepopoln pribliˇse je Erd¨ os z veseljem odzval povabilu avtorjev in sam predlagal ter izbral mnogo problemov in dokazov zanjo. V konˇcni podobi je knjiga razdeljena na 5 × 8 = 40 poglavij. Problemi so namenoma izbrani tako, da so dostopni ˇze dodiplomskim ˇstudentom, za razumevanje njihovih reˇsitev pa zadoˇsˇca le poznavanje osnovnih konceptov in tehnik iz teorije ˇstevil, geometrije in analize ter nekaj malega linearne algebre in diskretne matematike. Marsikatera trditev je v knjigi dokazana na veˇc naˇcinov. Tako je npr. podanih kar ˇsest dokazov trditve, da je praˇstevil neskonˇcno mnogo! Po-leg klasiˇcnega Evklidovega dokaza s protislovjem je tu ˇse dokaz s pomoˇcjo trditve, da sta si poljubni dve Fermatovi ˇstevili Fn =2nn + 1 tuji. Tretji do­kaz sloni na ugotovitvi, da je vsak praˇstevilski delitelj Mersennovega ˇstevila ˇ 2p - 1, kjer je p praˇstevilo, veˇcji od p. Cetrti, analitiˇcni, dokaz temelji na izpeljavi spodnje meje .(x) . log x-1 za ˇstevilo praˇstevil p, ki ne presegajo x. Peti dokaz sloni na topologiji, ˇsesti pa na elegantni izpeljavi trditve, da je vrsta iz reciproˇcnih vrednosti praˇstevil 1/2+1/3+1/5 ··· divergentna. V knjigi o dokazih seveda ni smel manjkati najpogosteje dokazani mate­matiˇcni izrek, kvadratni reciprocitetni zakon, katerega prvi korektni dokaz je podal Gauss 1801, do leta 2000 pa se je nabralo kar 196 dokazov. Prav tako je na tri naˇcine dokazan Eulerjev klasiˇcni rezultat iz leta 1734 o vsoti reciproˇcnih vrednosti kvadratov naravnih ˇstevil:n1 2 = .6 2 . Iz poglavja, posveˇcenega geometriji, je vredno omeniti dokaz tretjega od 23 slavnih Hilbertovih problemov iz leta 1900. Obstoj dveh tetraedrov z enako osnovno ploskvijo in viˇsino, ki ju ni mogoˇce sestaviti iz manjˇsih skla­dnih tetraedrov niti ne dopolniti s skladnimi tetraedri v skladen tetraeder, je dokazal Hilbertov ˇstudent Max Dehn v dveh ˇclankih 1900 in 1902. Do­kaz v knjigi temelji na t. i. »biserni lemi«, katere dvodimenzionalna verzija ˇ se glasi takole: Ce sta P in Q ekvidekomponibilna, potem lahko vsem se­gmentom stranic dekompozicij P in Q priredimo pozitivna ˇstevila tako, da ustrezajoˇce si stranice ustreznih koˇsˇckov Pk in Qk prejmejo ista ˇstevila (oz. enako ˇstevilo »biserov«). Bolj ko se prebijamo skozi knjigo, veˇcje obˇcudovanje obˇcutimo ob do­kazih, ki niso le dokazi posameznih matematiˇcnih trditev, ampak so tudi dokazi bistroumnosti in iznajdljivosti ˇclovekovega duha, pa ˇceprav so bili za nekatere dokaze potrebni uvidi in napori mnogih matematikov, ne le enega samega. Ko ˇclovek razmiˇslja o vsem tem, se ne more naˇcuditi, da je ne­katerim matematikom ˇse vedno tako teˇzko razumeti koncept sodelovanja, ki bo, ˇse posebej v prihodnosti, ko bodo matematiˇcne trditve postajale vse kompleksnejˇse, njihovi dokazi pa vse zahtevnejˇsi, postalo nujnost, na katero se bo pri reˇsevanju matematiˇcnih problemov treba navaditi. Dodatno vrednost in privlaˇcnost dajejo knjigi sprotne reference na ˇclanke in knjige ob vsakem poglavju, ˇstevilne slike in ilustracije, pa tudi fotogra.je matematikov. Ko bodo v podobni Knjigi najlepˇsih dokazov ˇcez tisoˇc let le ˇse fotogra.je raˇcunalnikov, ki so jih dokazali, se bo matematikom tistega ˇcasa – inteligentnim superraˇcunalnikom – naˇsa doba, v kateri posameznik tu in tam ˇse kaj ˇsteje oziroma lahko sam dokaˇze kaj izvirnega in tehtnega, verjetno zdela resniˇcno zlata, romantiˇcna in zavidanja vredna! Jurij Koviˇc Obzornik mat. .z. 62 (2015) 5 XIX OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, SEPTEMBER 2015 Letnik 62, številka 5 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA ˇClanki Množice celoštevilskih in racionalnih razdalj (Janko Braˇciˇc) . . . . . . . . . . . K termodinamiki termomagnetnih strojev (Janez Strnad, Primož Ziherl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strani 161–172 173–179 Vesti V spomin akademiku Ivanu Vidavu (Josip Globevnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . Razmišljanja o profesorju Ivanu Vidavu (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . Strokovno sreˇcanje in 67. obˇcni zbor DMFA (Nada Razpet in Janez Krušiˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nagrade DMFA (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180–183 183–187 188–191 192–198 Nove knjige Martin Aigner, Günther M. Ziegler, Proofs from The Book (Jurij Koviˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199–XIX CONTENTS Articles Pages Sets of integral and rational distances (Janko Braˇciˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–172 On the thermodynamics of thermomagnetic engines (Janez Strnad, Primož Ziherl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173–179 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180–198 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199–XIX