VI. Jahresbericht der Veröffentlicht von der Direktion am Schlüsse des Studienjahres MARBURG. Verlag iler k. k. (Dierrcalschnle. — Druck von Eduard Jauschili. . i«76- 1. (Jeber Transformation in der schiefen Projektion (klinographischen Axonometrie). Von Gust. Knobloch. 2. Schulnachrictiten. Ueher Transformation in der schiefen Projektion ( klinograpliischen Axonometrie). Von tiutil. Kuobloch. Der Theil der darstellenden Geometrie, den man mit dem eingebürgerten Worte „Transformationen“ bezeichnen kann und bezeichnet, übt seiner Mannigfaltigkeit und seines vielfach ungehobenen Iteichthumes wegen eine un geschwächte Anziehung auf denjenigen aus, der sich einmal mit dem Studium desselben befasst. — Ich habe nun, durch die Macht der Umstünde gezwungen, einst mich mit „Transformationsmethoden der darstellenden Geometrie“ befassen müssen und finde seither so manches dankenswerthe Arbeiten in diesem Theile; eine kurze Abhandlung daraus war im vorjährigen Programme unserer Anstalt erschienen, und auch heuer will ich in einer anderen Projektionsart, mir bisher durch Veröffentlichung nicht bekannte Sätze und Anwendungen der „Veränderungen der Grundfaktoren (Raumform, Projektionssystem)“ als Programmarbeit zusammenstellen. — Die schiefe Projektion ist, vermöge ihrer grossen Verwendbarkeit, vor allen jene Darstellungsweise, die ein näheres Eingehen lohnt. — Meiner Assistentenzeit am Grazer Polytechnikum bei Herrn Prof. E. Koutny verdanke ich es namentlich, dass ich in die schiefe Projektion mehr Einblicke gewonnen, und ist diese Arbeit zumeist Frucht damaliger Studien. Was nun die Eigenart dieses Projicirens anbetrifft, was insbesondere die graphische Lösung der Fundamentalprobleme der klinograpliischen Parallelporspektive anbelangt, so verweise ich auf eine Abhandlung Prof. Koutny’s, erschienen im Leipziger „Civilingenieur“ 18. Band; damit will ich mich auch nicht befassen, sondern ich nehme dieselbe Grundlage für das projcktivische Arbeiten in der schiefen Projektion an, wie sie Prof. Koutny benützt: Drei auf einander senkrecht stehende Coordinatcnebenen, von denen eine gleichzeitig die Bildebene ist, und zur Bildebene geneigte Projektionsstrahlen bilden das Projektionssystem. — Der allgemeine Fall, dass eine abgesonderte Bildebene und die drei Coordinatenebeuen beliebig im Raume liegend angenommen werden, ist wirklich nur theoretisch von Belang und gowisser-masseu durch Polke’s Fundamentalsatz der praktischen Verwerthung im weitesten Masse zugänglich gemacht. Dass man übrigens diesen allgemeinen Fall jederzeit auf den oben angedeuteten zurückführen kann, wenn sonst das Projektionssystem fixirt ist, bedarf keiner Bekräftigung. — Trennt man die Grundfaktoren in a) die drei Coordinatenebenen, b) die Raumform, c) Projektionsstrahl, so wird man folgende Transformationen unterscheiden können: Da durch Transformation der Bildebene die ändern beiden Coordinatenebenen als im festen Zusammenhänge mit ihr gleichzeitig transformirt werden, so gibt es 1. eine Transformation der Bildebene durch a) Parallel Verschiebung, b) durch Drehung, — 2. eine Veränderung der Raumform auf die gleiche Art, — 3. eine Aenderung der Projektionsstrahlrichtung. — Bei diesen Transformationen wolle festgehalten werden, dass wenn einer der Grundfaktoren verändert wird, die ändern zwei in ursprünglichen Verhältnissen bleiben. — Da wie bekannt die Aenderung eines Grundfaktors oft durch die eines Zweiten ersetzt werden kann, — so insbesondere die Aenderung der Raumform durch die Transformation der Bildebene oder des Projektionsstrahles, — und da weiters die praktische Anwendung von Objektstransformation als meist zu mühsam eine seltene, übrigens eine durch Zurückführung auf die orthogonale Projektion sofort lösbare Aufgabe ist, so will ich im Folgenden der Transformation des Projektionssystems : der Coordinatenebenen und des Lichtstrahles, grössere Aufmerksamkeit zuwenden. 1. Transformation der Coordinatenebenen. a) Durch Parallelverschiebung. Wie erwähnt, sei die eine der drei Ebenen die Bildebene, die zweite, horizontale heisso die Grundebene und die dritte dann die Seiten- oder Kreuzrissobene. — In Fig. 1, Taf. I sei nun GG die Grundlinie als Schnitt zwischen Grund- und Bildebene, auch X-Axe genannt, — AY die schiefe Projektion des Schnittes zwischen Grund- und Seitenebene, die Y-Axe, — und OZ der Schnitt zwischen Seiten- und Bildebene, auch Z-Axe; y die Projektion eines um GG nach y, in die Bildebene umgelegten Punktes, daher durch dieses sogenannte „Projektionsdreieck“ Oyyt der Projektionsstrahl vollkommen bestimmt erscheint. Diese Bezeichnung ist in allen Figuren der Tafeln beibehalten. Der einfachste Fall ist wohl der, wo das ganze Projektionsebenensystem in Richtung der Z-Axe um ein gewisses Stück parallel zu sich seihst verschoben wird ; da die Raumform hiebei unverrückt blieb, so beschränken sich die Projektionsänderungen eigentlich bloss auf die Projektionen in der Grundebene, denn Bild- und Seitenebene wurden zwar in sich verschoben gedacht, die Lage der in ihnen befindlichen Projektionen erleidet jedoch nach der Verschiebung in Bezug der Z-Axe gar keine Veränderung, die Wirkung dieser gesammten Transformation wird also eigentlich nur in der Parallelverschiebung der Grundfläcliprojektioncn (eigentlich deren schiefen Projektionen) ersichtlich zu machen sein ; die letzteren werden dann geometrisch parallel in Richtung der Z-Axe um das bestimmte Stück von den früheren entfernt zu zeichnen sein, ln Fig. 1 waren die Projektionen eines Punktes vor der Verschiebung a a' a", nach der Transformation um das Stück 00, aa,'a", — für eine Gerade zuvor ab, a' b', a" b", nachher ab, a/b/, a" b" — und die 'Prassen einer Ebene waren vor dem Transformiren Eb Ek Es, hernach Eb Ek E„. — Näheres darüber zu bemerken ist überflüssig. Es wäre nun eine Parallelverschiebung in eine neue, zur alten parallele, durch ihre Bild- und Grundflächprojektion gegebene Grundlinie vorzunehmen : Fig. 2 versinnlicht die Lösung für einen Punkt und eine Ebene ; 0, G,, 0,'G,' soll die neue Grundlinie werden. a a' sei der gegebene Punkt. Die vorzunehmende Parallelverschiebung kann allezeit in Richtung des Projektionsstrahles geschehen; daun werden 0, G,, 0, Y,, 0, Z, die neuen Coordinatenaxen parallel zu den früheren, das Projektionsdreieck bleibt der Grösse und Lage nach vollständig unge-ändert (wenn es auch strenge genommen parallel verschoben erscheinen kann) und die Bildtiächprojektionen aller Punkte der Raumform bleiben ebenfalls ganz dieselben: entsprechend der Entfernung der neuen Grundlinie von der alten Grundebene erscheinen alle Grundflächprojektionen in der Richtung der Z-Axe parallel verschoben, so kömmt a' nach a/, wobei a,' az — 0,' 0, ist, und ebenso erhalten wir neue Seitenprojektionen und neue orthogonale Bildllächprojektionen, die aus aa,z mittelst OY, leicht ableitbar sind ; — a," ist hier die neue Seiten-, A, die neue orthogonale Büdflächpvojektiou, so dass wenn a, Az die frühere Entfernung des Punktes von der Bildebene war, sie jetzt «a A,z = a, «, ist. Die Prassen einer Ebene Eb E„ werden alle drei neu, parallel zu den alten, werden ; zur Bestimmung derselben genügt ein Punkt z. B. derjenige wo die neue Grundlinie die Ebene durchschneidet, m, durch denselben die Paralien zu E, E„ gezogen, gibt die neuen 'Prassen Eb.1 E.,', aus welchen Ek 1 leicht zu construiren wäre. Gerade diese Art der Verschiebung begegnet der allermeisten An- wendung. b) Durch Drehung. Auch hier will ich vorerst den denkbar einfachsten Fall anführen ; eine Drehung um die Y-Axe. — Das Drehen um eine allgemeine Raumaxe lässt sich ja schliesslich wieder auf einen ähnlichen Fall zurückführen : ich drehe zuerst Raumaxe und Coordinatenebenensystem um die Grundfläch- projektion der Raumaxe, bis die letztere in die Grundebene fällt, und voll-führe um die so liegende Axc die verlangte Drehung. Allerdings stellt dann die Drchungsaxe nicht so wie jetzt die Y-Axe auf der Bildebene senkrecht, indess die hiebei auftretenden Verschiedenheiten sind unschwer anzugeben, machen jedoch die Aufgabe schon zu einer complicirteren. Bei der Rotation um die Y-Axe bleiben wieder alle Bildtiächproj ektionen der Punkte ungeändert, nur Grundfläch- und Seitenprojektion ändern sich. Wurde nun in Fig. 3 um den Winkel « gedreht, so ist G, G, die neue Grundlinie ; die Y-Axe blieb ungeändert, das Projektionsdrciock ist nicht mehr y Oy,, sondern jetzt Oy y, (Oy, — Oy,), y, y, gibt gewisser- massen die Richtung einer dieser Bewegung äquivalenten geradlinigen Verschiebung der in der Bildebene liegenden Punkte. — Da der Punkt aaz hei der Drehung ruhig blieb, so ist die Ebene, in der die neuen Projektionen zu suchen sind, auch constant geblieben, ihr Schnitt mit der Y-Axe, n, ist daher der gleiche und der Eusspunkt der neuen in Bezug OY pro-jicirendcn Geraden a/n II G, G,, a,z/n II OZ, ; — dass noch überdiess az/ a,zz II az a,z und daher zur Bestimmung der neuen Punktprojektion zu verwenden, ist selbstredend. Für eine Ebene Eb Eg Eu ist das Aufsuchen neuer Trasscn noch einfacher : die Bildflächtrasse bleibt, der Punkt m bleibt ebenfalls, demnach ist mp die neue Grundflächtrasse Eg1 und m r die neue Seitentrasse Ek'. c) Durch Parallelverschiebung und Drehung. Es ist ein gegebenes Projektionssystem so zu transformiren, dass eine im Raume liegende Gerade Grundlinie wird. Fig. 4 bringt die Aufgabe zur Lösung : ab, az bz ist die gegebene Raumgerade ; — die Transformation der Coordinatenebenen muss nun stufenweise erfolgen. Ich behalte zuerst die ursprüngliche Bildebene bei, bis ich meine Coordinatenebenen so weit gebracht, dass die X-Axe mit ab, az bz zusammenfällt. — Die erste Transformation sei eine Parallelverschiebung längs der Grundebene, nach O/ X/ Y,z Z,z, hierauf eine Parallelverschiebung in der neuen Z/ Axe nach O, X, Y, Z,. Nun sei die dritte Bewegung eine Drehung um die neue Z,-Axe, so lange bis die neue X2-Axe parallel zur Grundflächprojektion azbz der Geraden wird ; um nun die Lage der neuen Ys-Axe zu finden, lege man die az bz nach a, b, in die Bildebene um, mache a, z 4 a, b, und ziehe z az, so muss nach bekannten Sätzen über Parallelprojektionen 0Y2 II azz werden. — Die vierte Transformation sei eine Drehung um die neue Ys-Axe, so lange bis die X2-Axe in die Gerade ab im Raume wirklich fällt ; da nun die neue X3-Axe und Y3-Axe also schon gegeben, so ist nur die Z3-Axe zu suchen. Da hilft wieder eine Umklappung der Geraden a b in die Bildebene, um die Bildflächtrasse ihrer grundfläch-projicirenden Ebene ccz; die umgelegte Gerade ist (a) (b). — ac 4- (a) (b) gibt den Punkt c, der mit 0, verbunden die jetzige Z.,-Axe liefert. Die Aufgabe ist nun auf eine Art gelöst. Allein noch erübrigt das Zurückgehen auf die Weise des Projektionssystems, wie ich sie von Anfang für die folgenden Aufgaben aufgestellt. Es soll nun X3 0, Z3 auch die neue Bildebene werden. Diess wird einerseits dadurch durchgeführt, dass ich nun direkt a b oder 0, X4 als neue Grundlinie G4 G4 und die darauf geometrisch Senkrechte als neue Z-Axe annehme ; es ist nun eigentlich die grundflächprojicirende Ebene der Geraden a b als Bildebene festzustellen, was durch die Bestimmung der Lage des unverändert gebliebenen Projektionsstrahles gegenüber der neuen Bildebene geschieht. Denn da ich die ursprüngliche Bildflächprojcktion der Geraden sofort als neue Grundlinie angenommen, wie es manche praktische Aufgabe vielleicht verlangt, so konnte diess nur unter der Voraussetzung geschehen, dass ich jetzt die Gerade iu der neuen Bildebene liegen habe und zwar derart, dass sie mit ihrer früheren Bildflächprojektion zusammenfällt, was in Folge einfacher Drehung der Geraden erfolgen könnte; der projicirendo Strahl hat aber dann nicht mehr die Lagenverhältnisse zur vorigen Bildebene, sondern diejenigen , die er zur grundflächprojicirenden Ebene der Geraden a b besass. Es ist also gewissermassen schon eine Projektionsstrahländerung hervorgerufen, und ich habe jetzt das neue „Projektionsdreieck“ festzustellen. — Vor allem wäre der Neigungswinkel des projicirenden Strahles mit der besagten grundflächprojicirenden Ebene aufzusuchen; diess kann theilweise umgangen werden. Zur Erleichterung der folgenden Construktion gehe ich auf kurze Zeit zur orthogonalen Parallelprojektion zurück, wie man ja diess öfters thun muss, wo es sich um wahre Grössenverhältnisse handelt: a4 b4 ist die in die Bildebene umgelegte Gruudflächprojektion der gegebenen Geraden , folglich die horizontale Trasse der horizontalprojicirenden Ebene der Geraden, wenn man für Bild- und Grundebene, Vertikal- und Horizontalebene sagt. Der Projektionsstrahl ist durch seine horizontale Projektion yzy,z und seine vertikale yy, vollkommen bestimmt; legt man durch 0 die zur eben erwähnten horizontalprojicirenden Ebene parallele Ebene mOZ, so könnte man jetzt den verlangten Neigungswinkel in orthogonaler Projektionsweise leicht finden. Darum handelt es sich nun gerade nicht: wird von y,zy aut die Ebene m OZ die Senkrechte y/oz, y, o gefällt, und nimmt man einen Punkt ooz so an, dass oz m — y,zO wird, so kann ein Parallelstrahl on, oz nz gezogen werden. Der Durchschnitt dieses Parallelstrahles mit der Ebene m OZ, der Punkt n nz, stellt mir nun das Projektionsdreieck vollkommen fest, das ich für die gleiche Länge y,zO der Y-Axe erhalte; mn = Or,tnz = rq gemacht, gibt mir das neue Projektionsdreieck Oq y,z auf der alten Bildebene, aber für einen Projektionsstrahl, der jetzt gegenüber der Bildebene dieselbe Lage hat, wie der alte Strahl in Bezug der Ebene 0,zczc. Eine nähere Begründung der letzteren Ausführung wäre wohl überflüssig. — Nun brauche ich nur 0,Y4 II Oq als neue Y-Axe zu ziehen, das Dreieck 0, Y4* y4 ~ Oq y,z zu machen und ich habe in 0, - X4 Y4 Z4 das neue vollständig bestimmte Projektionssystem. — Allerdings ist diess nicht die einzig mögliche Lösung dieser ziemlich unbestimmten Aufgabe, denn hier wurde eben die gruudflächprojicirende Ebene der Geraden zur Bildebene gemacht, was erst die Aufgabe bestimmte; nun kann ja aber jede durch ab, azbz gehende Ebene mit gleichem Rechte Bildebene werden. Diese ganze umständlich erklärte Transformation wird vollkommen in ihrer Wirkung ersetzt, wenn man die Gerade blos in die Bildebene umlegt, dort so lange dreht, bis sie mit ihrer früheren Bildflächprojektion zusammenfällt, dann das Coordinatensystem entsprechend anordnet und den Projektionsstrahl in der oben angegebenen Weise ändert. Ist ein Punkt p pz im urpriinglichen System gegeben und man soll seine Projektionen nach der Transformation aufsuchen, so kann man zu denselben auf folgende Art gelangen: zuerst suche ich wie in Fig. 2 zu p p,'. Da nun die Transformationen des Coordinatenebcnensystems schliesslich durch eine Aenderung des Projektionsstrahles ersetzt wurden, so kann man sofort zu Pa'p2, den neuen Projektionen des Punktes gelangen,— auf jene Art wie es in weiterer Folge erklärt wird. Nun hat man die neue Bildflächprojektion p2 und kann in Bezug der Grundlinie G4 G4 und der neuen Grundebene Y4 0, X4 die neue Grundfliich-projektion nach bekannten Grundsätzen leicht finden. Im vorliegenden Falle finden sich somit Parallelverschiebung und Drehung des Projektionssystems, sowie eine Projektionsstrahländerung vor,— welches letztere eigentlich dem Gange dieser Ausführungen als etwas vorgegriffen erscheinen mag. Nun ich komme sofort darauf zurück. 2. Transformation der Raumform. Dieser Theil ist von geringerer allgemeiner Bedeutung, daher ich nur zwei ganz kleine Beispiele anführe. Fig. 5 führt die Aenderungen an, die eine Ebene erfährt, wenn sie eine parallele Verschiebung auf den Punkt 0 zu erleidet; sämmtliche Prassen erscheinen dann parallel zu der früheren in der, der Bewegung entsprechenden Entfernung. — F>, Fg Fk sind vor, F,,1 F,1 Fk‘ die 'Prassen nach der Transformation. Die Transformation eines Punktes M M' in der Richtung 0 M um das gleiche Stück, wie die Ebene F, geschieht einfach durch Verschiebung der beiden Projektionen in Strahlen des Strahlenbüschels 0 um die leicht zu erhaltende Strecke m, m. — M M' sind vor, M, M,' die Projektionen nach der Lagenänderung. Fig. 6 löst zweifach die Aufgabe : Es ist eine gegebene allgemeine Ebene II durch Transformation zu einer bildfliichprojicireudcn zu machen. a) Man drehe die Ebene um die Z-Axe so lange, bis ihre Grundfläch-und Seitentrasse parallel zur Y-Axe werden ; — j-t bleibt ungeändert, ä erhält man durch Umklappung der Trasse II in die Bildebene nach y y,, so dass Hu1 II,1 Hu1 die drei Trassen nach der Transformation darstellen. — Dass hier gleichzeitig die Aufgabe gelöst wurde, den Neigungswinkel einer Ebene mit der Grundebene zu suchen , sei nur nebenbei bemerkt. b) Man lasse die Ebene um ihre Bildflächtrasse Hu sich so lange drehen, bis das andere Trassenpaar parallel zur Y-Axe wird, was sehr einfach die Trassen H,, H„2 H82 liefert. — Sind sonst Transformationen durch Drehung um allgemeine Axeu vorzunehmen, so kann diess immer darauf zurückgeführt werden, dass man diese Axe zu einer Coordinatenaxe macht und dann mit Hilfe der orthogonalen Projektionen die Drehung nach bekannten Grundsätzen vollführt. 3. Transformation des Projektionsstrahles. Die allgemeine Aufgabe ist hiebei : Ein Projektionssystem sammt pro- jici rendem Strahl ist gegeben; man soll die Veränderungen zur Darstellung bringen, welche die Projektionen von Raumformen erleiden, wenn man die Richtung der Projektionsstrahlen vollständig ändert, — Die Aenderung der Projicirenden wird durch Annahme eines neuen Projektionsdreieckes fest-gestellt. Ist in Fig. 7 y 0 y, das ursprüngliche Dreieck, so kann für dieselbe umgelegte Y-Axe ein zweites, 0 ya y,, als die Aenderung feststellend, angenommen werden; y y„ gibt dann die, weil hier Parallelprojiciren angewendet wird, constante Richtung an, in welcher man von Bildfläcli- oder Grundflächprojektion eines Punktes vor der Strahlenäuderung zur gleichnamigen Projektion nach der Transformation gelangen kann. — Ist mm' ein gegebener Punkt und hat man für die neue Projektionsrichtung seine Projektion zu suchen, so legt man zuerst die Grundflächprojektion mz nach m, um GG in die Bildebene und zeichnet das zu Oyay, ähnliche Dreieck m, ma'm/ oder zieht m'm./ Il.yye, m, m/ II y, y2, macht ma'm2 # mm', oder mms# m' m,j', so hat man die neuen Projektionen m2 ma' des Punktes. ln big. 8 wurden die neuen Trassen einer Ebene für die gleiche Transformationsart gesucht. Die Ebene sei durch Lb Lg L* gegeben ; die beiden Projektionsdreiecke seien Oyy, und Oyay,. Man erhält hiebei jedesmal ein eigenes Dreieck y y, ya, in welchem die Seiten die bestimmten, ersichtlichen Bedeutungen haben: yy, gibt die Richtung au, in welcher man von jedem um GG in die Bildebene aus der Grundfläche gedrehten Punkt y, zu seinem früheren Orte y (in der Projektion) gelangen kann; y, ya gibt das ganz gleiche an für das System der neuen Projektionsrichtung, — und y ya hat die Bedeutung wie y y2 in Fig. 7. — Mittelst n na II yya fand man die neue 1 rojektion des Schnittpunktes der Trassen in der Y-Axe, Lb blieb ungeändeit, so dass E„ E/ E/ die Projektionen der Trassen jetzt sind. Um jetzt aut big. 4 zurückzukommen, so geschah dort zum Schlüsse das ganz gleiche, wie in big. 7. — Die beiden Projektionsdreiecke waren daselbst Oyy/ und Oq y/, y q die Richtung, welche wieder der y y3 in Fig. 7 entsprach; so wurde auch mittelst wp/Pp/ die neue Punktprojektion Pa getänden. Bei dieser Aufsuchung der neuen Projektionen pa p3' kam eben nur eine stufenweise Anwendung der Aufgabe, welche die Fig. 2, 3 und 7 lösten, zur Durchführung. — Das Nothwcndigste und auch Bemerkenswertheste über die verschiedenen Arten dieser einfachen Transformationen mit dem zu Grunde gelegten Projektioussytem ist hiemit gesagt ; — dass damit dieses Gebiet noch lange nicht annähernd erschöpft ist, bedarf keiner Bestätigung, — aber das, was ich in diesen Zeilen niederlegen wollte, ist in allgemeinen Umrissen im Obigen enthalten. — Ich will nun einige wenige Anwendungen folgen lassen. Zuvor stellte ich in Fig. 9 den einfachen Zusammenhang zwischen den Bestimmungsstücken der schiefen Projektion und den aus ihnen leicht ableitbaren orthogonalen Projektionen des Projektionsstrahles übersichtlich, obwohl überflüssig dar: Ist Oyy, das Projektionsdreieck, und nehme ich GG als Projektionsaxe an, so ist v' h' die horizontale, v h die vertikale Projektion des Strahles, h, v h demgemäss der „vertikale" Neigungswinkel des Strahles, oder sein Neigungswinkel mit der Bildebene. — Drei Beispiele. I. Ein durch seine Bild- und Grundflächprojektion gegebener archimedischer Körper ist durch eine Ebene, deren Bild- und Seitentrasse bekannt sei, zu schneiden. — Fig. 10, Taf. II. Die Grundsätze, nach denen ein ebener Schnitt eines Körpers bestimmt wird, bleiben stets die gleichen ; ich will nur an diesem Beispiele darum ausführlicher werden, weil darin hie und da das leichte Arbeiten in der schiefen Projektion augenfällig hervortritt. Obwohl mit den gegebenen Trassen (beziehungsweise deren Projektionen) die Ebene vollkommen bestimmt ist, und der Schnitt mit Hilfe dieser allein ohne Schwierigkeit zu suchen wäre, so liegt es auf der Hand, dass mit mehr Trassen, vielleicht noch der Grundflächtrasse, auch die Aufgabe rascher und müheloser zu lösen sein wird. In vorliegendem Beispiele fällt jedoch die schiefe Projektion der Grundflächtrasse über Gebühr weit, weshalb sie nicht zu benützen ist. Hier hilft sofort eine geringe Parallelverschiebung des Projektionssystems in Richtung der Z-Axe nach O, X, Y, Z, ; an den Projektionsverbältuissen der Raumform wird nichts geändert, nur erscheint jetzt eine neue brauchbare Grundflächtrasse Sg‘. Bei vorliegendem Körper ist es wohl natürlich, dass ich am zweckmässigsten die neue Grundebene durch den Mittelschnitt 1 2 3 4 des Körpers gelegt habe, da ich sofort die zwei Punkte I, II des ebenen Schnittes erhalte ; nun arbeite ich im neuen System ohne Anstand weiter. Die Seitenebene 1, 7, 2, 12 des Körpers ist grundflächprojicirend ; zwei ihrer Trassen sind 2 c/ und c/c, gibt zum Schnitt mit der schneidenden Ebene c I, daher sofort wieder die Punkte III IV resultiren. Da der Körper ein halbregelmässiger ist, so ist vermöge einer seiner Eigenschaften, durch II bloss V VI II III IV zu ziehen, um weitere zwei Schnittpunkte zu erhalten. Aehnlich verfährt man mit der Seitenebene 1,8, 4, 9, deren drei Trassen d d/, d/ f/, f/f sind, die also in der Geraden VII VIII geschnitten wird. Für die Seitenebene 2, 6,3,11 ist e ein Schnittpunkt, durch welchen eine Parallele zu VII VIII zu ziehen ist, um hier die letzten zwei Punkte IX X des Schnittpolygons zu erhalten. Im einzelnen Falle wird man nun im ähnlichen Sinne vorzugehen haben, wobei ersichtlich, dass eine kleine Transformation häufig von recht brauchbarem Erfolge begleitet ist. Eine sich hier naturgemäss immer anschliessende Aufgabe wäre die, die wahre Grösse des Schnittpolygons zu bestimmen ; ich will diese Aufgabe aus Deutlichkeitsrücksichten in einer besonderen Figur an einem Dreieck durchführen. — In Fig. 11 ist ein Dreieck durch seine Bild- (III III) und Grundflächprojektion (P IV IIP) gegeben ; es sind die Grössenverhältnisse desselben zu suchen : Man bestimmt zwei Trassen der Dreiecksebene ; für die Seitentrasse erhalten wir durch die Durchstosspunkto zweier Dreiecksseiten mit der Seitenebene, in s s', rr' zwei sie bestimmende Punkte. Auf ähnliche Art ist für die Bildflächtrasse in o oz ein Punkt und in t ein zweiter gefunden. — Ich stelle mir nun die Aufgabe, den Projektionsstrahl so zu verändern, bis er als Bildtiächprojektion des Dreieckes ein dem letzteren vollständig congruentes Bild liefert. Dies kann offenbar nur dann geschehen, wenn der projicirende Strahl auf derjenigen Ebene senkrecht angenommen wird, welche den Neigungswinkel der Dreiecksebene mit der Bildebene halbirt, — was durch einen kurzen Beweis begründet werden möge: Stelle Fig. 12, L eine Raumgerade, 1 ihre Projektion, Aa den projicirenden Strahl vor, ABa sei also das Dreieck, welches von einer Geraden im Raume, ihrer schiefen Projektion und einem Projektionsstrahl gebildet wird, so kann man folgende Beziehung zwischen diesen drei Grössen und ihren Winkeln aufstellen. Sind qp, « die in der Figur ersichtlichen Winkel, und seien die Masszahlen der Strecken AB = L, aB = 1, Aa = y, so ist y8 — L'2 + l'2 — 2 LI cos qp, y sin « — L. sin qp, y — —_sinJE J J J sin « L8 sin 8qp . „ , „ .. „ L8 sin 8qp . = L2 + l2 — 2 LI. cos qp, woraus sin 8« = - Ty-. ' L8 + 18 — 2 LI cos qp Soll nun L = 1 werden, so erhält man sin <2a = —^ **112 ff: 2 L8 — 2 L 2 cos qp . 8qj 8qp - ,, 4 sin ' . cos • sin 2q> 2 2. 8qp sm •*« = —— „ , sin 2« = cos -f : — 2 (1 — cos qp) . sqp 2 4 sm ~- aus letzterer Gleichung würde folgen + sin « = + cos ^ , — da aber hier nur die absoluten Wurzelwerthe betrachtet werden können, so ist sin « = cos-^- oder « + — 90", d. li. der Strahl muss auf der Halbirungslinie Bin des Winkels qp senkrecht stehen, wie z. B. A, a m B, A, B = at B. Da nun L in einer Ebene liegend gedacht werden kann, 1 in der Bildebene liegt, die Halbiruugsebene des Neigungswinkels dieser Ebenen aber alle Halbirungslinien der verschiedenen Winkel q> in sich enthalten muss, so kann nur jene Richtung des projicirenden Strahles die ebene Raumform in gleichen Grössenverhältnissen darstellen, die auf jener Halbiruugsebene senkrecht steht. Demzufolge suche man zuerst den Neigungswinkel der Ebene 8 in Fig. 11 mit der Bildebene : durch die Y-Axe eine bildHächprojicironde Ebene gelegt, die auf der Bildflächtrasse Si> senkrecht steht, d. i. y y" m, so ist y m y" die Bildtiächprojektion des Neigungswinkels, den man durch Umlegung um my" in die Bildebene in seiner wahren Grösse erhält; y, yz/ ist die wirkliche Länge von y y", — trägt man dieselbe auf y1 y/z m y" auf, so ist y, my" der gesuchte Winkel und seine Halbirungslinie m q, die als Trasse der allgemeinen Halbiruugsebene angesehen werden kann, wo jetzt my, die Trasse der Ebene der L in Fig. 12, my, die der 1 vorstellen kann. Die Richtung also des neuen umgeklappten Projektionsstrahles wäre yiya^-mq; stellt man nun wieder die Winkelebene in die frühere Lage auf, so erhält man sofort, wie leicht einzusehen, das neue Projektionsdroieck yzz y„ y, für die neue Projektionsstrahlrichtung. Nun ist yy, y, jenes Dreieck der Fig. 7, Taf. I, das bei dieser Transformation zu benützen ist. Man sucht z. 15. die neue Projektion des Punktes 111 IIP : mittelst AllPqq1 ~ A y y" y, und A III,' q q* ~ A y2 y" y, findet man die neue Grundflächpro-jektion III/ und durch III III, II IIP III/ II yy„ und III/III, Il III IIP erhält man die neue Bildfläcbprojektion III,. Auf diese Art die Bildilächprojektionen aller Punkte gesucht, erhielte man durch die Verbindungslinien dieser Punkte, die wahre Grösse des Dreieckes. — Nun wäre diess ziemlich umständlich, — man benöthigt solcher Umschweife auch gar nicht. Da man nun weiss, dass genau so wie man von y zu y,2 kommt, auf dieselbe Art die beiden Bildilächprojektionen der einzelnen Punkte Zusammenhängen, — und weil ich zum Dreieck y y2 m für jeden Punkt III IIP ein ähnliches Dreieck p III III, zeichnen kann (laut Parallelprojektion), so habe ich nur eine Reihe ähnlicher Dreiecke zu zeichnen, um die neuen Punkte zu erhalten ; aber auch diess lässt sich abkürzen. Hat man einen Punkt III,, so gelangt man mittelst III II n, n III, und IIII, II y y., zu einem neuen Punkte II, u. s. f., die Affinitätsgesetze benützend, für die Affinitätsrichtung y y„ und die Affinitätsaxe S„- Diese ziemlich ausführliche Behandlung erschöpft diese Aufgabe wohl genügend; — bemerkt sei noch, dass in Fig. 11 eigentlich nichts anderes gethan worden, als dass man das Dreieck um seine Bildflächtrasse in die Bildebene umgeklappt hat. Der Punkt y2 ist einfach der um S„ in die Bildebene umgelegte Punkt y der Ebene 8 ; nun hat man wieder das Dreieck y y2 m und kann abermals nach affinen Grundsätzen das zu IIIIII affine Gebilde, d. h. die wahre Grösse zeichnen. — Ueber die Bedeutung der Linien y m' II IIP pz, y„ nV II HI/ pz brauche ich wohl kein Wort zu verlieren. — II. Der gegenseitige Schnitt eines Kegels und eines Cyliiulers ist möglichst einfach zu bestimmen. In Fig. 13 ist ein Gy lind er zweiter Ordnung, der von der Bildebene in einem Kreise, von der Grundfläche in einer Ellipse geschnitten erscheint, und dessen Erzeugende parallel zur Seitenebene laufen ; — der Kegel ist ein schiefer und hat seine Basis, einen Kreis, in der Seitenebene. — Zur Erklärung des weiteren Vorganges will ich wieder die Transformation des Projektionsstrahles zu Hilfe nehmen. Ich ändere die Richtung des Strahles so, dass sic parallel zu den Cylindererzeugeuden wird, dann ist der Cylinder ein bildflächprojicircnder, erscheint als Kreis, in dessen Umfange die neuen Bilder aller Schnittpunkte unmittelbar sich vorüuden müssen ; der Kegel stellt sich dann in der Bild-fiächprojektion als Dreieck dar und inan hat dann Kreis und Dreieck, letzteres als Strahlenbüschel für die Kogelspitze als Träger genommen, zum Schnitt zu bringen. Es handelt sich vor allem um das neue Projektionsdreieck: Ich lege wieder durch den Punkt y des alten Dreieckes 0 y y, einen neuen Strahl und suche dessen Schnitt mit der Bildebene; zieht man demzufolge yy2 parallel zu der Cylinderprojicirenden, so muss diese Gerade in y2 die Bild- ebene treffen. Man hat also hier statt des neuen Projektionsdreieckes die Gerade y, 0y4; die Richtung jedoch, in welcher ich von Grund- oder Bild-flächprojektion des einen Systems zur gleichnamigen des ändern gelange, ist y y4. Für den Cylindcr ist nun das neue Bild sein Basiskreis in der Bildebene. Die Basis des Kegels stellt sich durch die zu y y2 an seine frühere Basisprojektion gezogenen Tangenten v“ r/"' in ez/z 17"', seine Spitze im Durchschnitte des durch s sz zu den Cylindererzeugenden parallel gehenden Strahles mit der Bildebene dar, — demzufolge ist szzz $zzz tj"' die neue Kegelprojektion. — Will man für eine bestimmte Kegelerzeugende z. B. für die Gontourkante «zzz szzz die Durchschnitte mit dem Cylinder suchen, so sind dieselben in der neuen Projektion in m und n ; die Kante, welche «zzz szzz zur Projektion hat, ist im alten Bilde t“ s, daher ergeben sich mittelst ml II n II II y ya die fraglichen Schnittpunkte in der ursprünglich gegebenen Projektion. So verfährt man Erzeugende für Erzeugende ; in Fig. 13 wurde diess noch für die zweite Coutourkante r\‘“ szzz angezeigt. Die Ein- und Austrittspunkte entsprechend verbunden geben die Durchdringungscurven. — Nun lässt sich allerdings diese Erklärung wieder durch eine einfachere umschreiben : Nach den bekannten Grundsätzen über gegenseitige Körperschnitte, zieht man durch die Spitze des Kegels eine Gerade parallel zu den Cylindererzeugenden und sucht deren Durchschnitte mit den gegebenen Basisebenen zu erhalten ; hier war der eine in szzz, der andere in der Richtung y ye im Unendlichen. Diese Punkte betrachtet man als Träger von Strahlenbüscheln, die den Schnitt des durch den geradlinigen Träger ssz/z bestimmten Ebenenblindels mit der Basisebene verstellen. Die Ebenen des letzteren Bündels schneiden beide Mantelflächen nach Erzeugenden, und so liefert jede Ebene vier Punkte der Schnittcurve. Eine solche Ebene war szzz «zzz