9 770351 665050
5
MATEMATIKA+FIZIKA+ASTRONOMIJA+RAČUNALNIŠTVO#
ISSN0351-6652
9 770351 665050
PRESEK LETNIK 50 (2022/2023) ŠTEVILKA 5
ˇ ˇ 


ˇ 

()ˇ 


  P
  
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in raˇ cunalnikarje
letnik 50, šolsko leto 2022/2023, številka 5
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Nino Baši´ c (raˇ cunalništvo),
Mojca
ˇ
Cepiˇ c, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Andrej Guštin
(astronomija), Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kraˇ cun
Berc (tekmovanja), Boštjan Kuzman (matematika), Peter Legiša
(glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš
Mohoriˇ c (odgovorni urednik), Marko Razpet, Grega Rihtar
(jezikovni pregled), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ cni
urednik).
Dopisi in naroˇ cnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska
ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633,
telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si
Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si
Naroˇ cnina za šolsko leto 2022/2023 je za posamezne
naroˇ cnike 22,40eur – posamezno naroˇ cilo velja do preklica, za
skupinska naroˇ cila uˇ cencev šol 19,60eur, posamezna številka
6,00eur, stara številka 4,00eur, letna naroˇ cnina za tujino pa
znaša 30eur.
Transakcijski raˇ cun: 03100–1000018787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost
Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ cuna iz naslova
razpisa za sofinanciranje domaˇ cih poljudno-znanstvenih
periodiˇ cnih publikacij.
Založilo DMFA–založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 900 izvodov
© 2023 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
– 2166
ISSN 2630-4317 (Online)
ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.)
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov
brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plaˇ cana pri pošti 1102 Ljubljana.
Presekobjavljapoljudneinstrokovneˇ clankeizmatematike,
fizike, astronomije in raˇ cunalništva. Poleg ˇ clankov objavlja Pri-
kaze novih knjig s teh podroˇ cij in poroˇ cila z osnovnošolskih in
srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj
bodozanimiviinrazumljiviširšemukrogubralcev,uˇ cencemviš-
jih razredov osnovnih šol in srednješolcem.
ˇ
Claneknajvsebujenaslov,imeavtorja(oz.avtorjev)insedež
institucije,kjeravtor(ji)dela(jo). Slikeintabele,kinajbodoošte-
vilˇ cene, morajo imeti dovolj izˇ crpen opis, da jih lahko veˇ cinoma
razumemo loˇ ceno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo
biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps ...), velikosti vsaj 8 cm pri
loˇ cljivosti300dpi. Vprimeruslabšekakovostiseslikaprimerno
pomanjša ali ne objavi. Avtorjiˇ clankov, ki želijo objaviti slike iz
drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri-
ght). Zaželena velikost ˇ crk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami
pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni-
štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali
na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si.
Vsakˇ claneksepravilomapošljevsajenemuanonimnemure-
cenzentu, ki oceni primernostˇ clanka za objavo.
ˇ
Ce je prispevek
sprejet v objavo in ˇ ce je besedilo napisano z raˇ cunalnikom, po-
temuredništvoprosiavtorjazaizvornedatoteke. Le-tenajbodo
praviloma napisane v eni od standardnih razliˇ cic urejevalnikov
TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajoˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob-
javo v elektronski obliki na internetu.
ˇ  
 ˇ  
P50(2022/2023)5
2
Uporabamatematike
priraziskovanju
rakavihobolenj
Raziskovanje rakavih
obolenj je zahteven pro-
ces. Na tumorje v ˇ clove-
škem telesu vplivajo raz-
liˇ cne stvari: kisik, ki ga
prinese kri, energija, do-
stavljenavoblikiglukoze,
inštevilneceliceinkemikalijevokolju. Ustreznepo-
goje je težko posnemati v laboratoriju, opazovanje
resniˇ cnih bolnikov pa je lahko boleˇ ce in invazivno.
Matematiˇ cni modeli dajejo raziskovalcem možnost,
da nekatere eksperimente izvedejo virtualno in tako
prouˇ cujejo razliˇ cne procese veliko hitreje in ceneje
kot sicer. Toda ti modeli ne morejo delovati sami
zase. Potrebujejo resniˇ cne podatke in njihove napo-
vedi morajo biti pozorno testirane z eksperimenti in
kliniˇ cnimi poskusi.
V enem od obetavnih primerov tovrstnih raziskav
so laboratorijski znanstveniki gojili tumorje obdane
z novim tipom celice, matematiki pa so pridobljene
podatke uporabili za simulacijo obnašanja celic pod
razliˇ cnimi pogoji. Rezultati so nakazali, da bi lahko
zavrli rast tumorja z uporabo že obstojeˇ cega zdra-
vila. Tobilahkoomogoˇ cilohiterrazvojnovemetode
zdravljenja. Zdaj je treba s kliniˇ cnimi testiranji za-
gotoviti, da je rezultate iz modelov mogoˇ ce prenesti
v resniˇ cnost.
Veˇ c informacij najdete v ˇ clankih R. P. Araujo, D.
L. S. McElwain, A history of the study of solid tumour
growth: The contribution of mathematical modelling,
Bull. Math. Biol. 66 2004, 1039–1091, in J. Wang,
A. Delfarah, P. E. Gelbach, E. Fong, P. Macklin, S. M.
Mumenthaler, N. A. Graham, S. D. Finley, Elucidating
tumor-stromal metabolic crosstalk in colorectal can-
cer through integration of constraint-based models
and LC-MS metabolomics Metabolic Engineering 69
2022, 175–187. Slika: dr. Cecil Fox, National Health
Institute, ID 2288.
Izvirno besedilo: Using Math to Support Cancer
Research,MathematicalmomentsfromtheAMS.Pre-
vod in priredba: B. Kuzman.

S: Grafiˇ cnaprestavitevštirimestnihPIN-ov
(ki potrjuje pregovor, da je slika vredna vsaj 1000 besed).
Prvi dve števki uporabimo za x-koordinato, zadnji dve pa
za y-koordinato. Levi spodnji kvadratek predstavlja 0000,
zgornji desni pa 9999. Frekvenco PINa predstavimo z ustrezno barvo: višja je rumena, pa vse do bele, nižja pa oranžna, od svetlo
do temno vijoliˇ cne in ˇ crne. Skala je logaritmiˇ cna. Zvezda severnica (tj. beli kvadratek) na sliki seveda prestavlja najbolj popularen
PIN 1234 (3,9 % – a kot kaže, mu popularnost vendarle pada). Sledijo mu letnice oblike 199? (3,5 %), 19?? (10,9 %), in 20?? (7,4 %).
Tudi ponavljanje prvih dveh števk je zelo pogosto (4,1 %) – zato izstopa diagonala x = y. Poleg tega je delež PIN-ov sestavljenih
le iz samo ene števke (1,2 %).
ˇ
Ce bi bili vsi PIN-i enako možni, bi mogle biti ti deleži zaporedoma enaki 0,01 %, 0,1 %, 1 %, 1 %, 1 %,
in 0,1 %.
ˇ  
2 Uporaba matematike pri raziskovanju
rakavih obolenj

4 Pouk raˇ cunalništva
(Nino Baši´ c)

5–7 Stožnica skozi pet toˇ ck
(Marko Razpet)
13–14 GeoGebrin kotiˇ cek – Krivulja prislonjene
lestve
(Boštjan Kuzman)

9–12 Kaj povejo krivulje za MTF o fotografskem
objektivu
(Peter Legiša)

18–19 Moja izkušnja opazovanja eksoplaneta
(Neja Pisk)
ˇ ˇ 
20–26 (Digitalni) kljuˇ ci
(Aleksandar Juriši´ c in Klemen Klanjšˇ cek)

28 Rešitev nagradne križanke Presek 50/4
(Marko Bokaliˇ c)
15 Bilo je nekoˇ c v reviji Presek –
Razpis tekmovanja srednješolcev iz
matematike in fizike v letu 1980/81
16–17 Nagradna križanka
(Marko Bokaliˇ c)
27–31 Izbrane slike in fotografije v petdesetih
letih Preseka – nadaljevanje
(NadaRazpet,MarkoRazpetinAndrejLikar)

7–8 Tekmovanjeπ
(Nežka Mramor Kosta in Jasna Prezelj)
priloga 58. tekmovanje iz matematike za Vegovo
priznanje – državno tekmovanje
priloga 66. matematiˇ cno tekmovanje srednješolcev
Slovenije – državno tekmovanje
priloga 22. matematiˇ cno tekmovanje za dijake
srednjih tehniških in strokovnih šol –
državno tekmovanje
priloga 22. matematiˇ cno tekmovanje za dijake
poklicnih šol – državno tekmovanje

P50(2022/2023)5
3
Kazalo


P50(2022/2023)5
4
Poukraˇ cunalništva
N Bˇ ´ ,   ˇ ˇ 
Prednekajtednisemponakljuˇ cjuzašelnaspletno
stran https://www.racunalnistvo-in-informa-
tika-za-vse.si/. Gre za iniciativo, ki si prizadeva
za uvedbo obveznega predmeta Raˇ cunalništvo in in-
formatika v slovensko šolstvo (od vrtca pa vse do
srednje šole). Z njimi se strinjam. Zakaj?
ˇ
Cas, ki
prihaja, bodo krojile digitalne valute, internet stvari
(IoT), kvantni raˇ cunalniki in umetna inteligenca
(samo poglejte, koliko se danes razpravlja o Ope-
nAI oziroma ChatGPT!). Še pred nekaj leti so bili
npr. samovozeˇ ci avtomobili znanstvena fantastika,
toda zdaj postajajo realnost, pa ˇ ce si to želimo ali
pa ne. Da ne bomo povsem izgubljeni v tem svetu,
je pomembo, da poglobljeno razumemo te tehnolo-
gije. Bralca pozivam, da tudi sam obišˇ ce omenjeno
spletno stran. Priˇ cujoˇ ci zapis pa je predvsem moja
osebna izkušnja in pogled na vse skupaj. Mimogre-
de, zame sta pojma raˇ cunalništvo in informatika so-
pomenki in tako povsem zamenljiva. To je tisto, ˇ ce-
mur v anglešˇ cini pravimo computer science. Gre za
podroˇ cjeznanosti, kiseukvarjasštudijemtakoteo-
retiˇ cnih kot tudi praktiˇ cnih vidikov raˇ cunalništva in
med drugim vkljuˇ cuje programiranje, študij algorit-
mov in podatkovnih struktur, raˇ cunalniško arhitek-
turo in omrežja, kibernetsko varnost, podatkovno
znanost in umetno inteligenco.
Moja raˇ cunalniška pot se je zaˇ cela v zgodnjih de-
vetdesetih letih. Takrat doma še nismo imeli raˇ cu-
nalnika, kaj šele interneta. Prvi stik z raˇ cunalnikom
sem imel na šolskem krožku v osnovni šoli, ki ga je
vodila knjižniˇ carka. Na raˇ cunalnikih je bil namešˇ cen
operacijski sistem Windows 3.11. Spomnim se, da
smo urejali besedila v MS Wordu, iskali literaturo na
COBISSu (na bizarno poˇ casnem internetu za dana-
šnje pojme) in igrali minolovca. Krožek je bil seveda
zelo koristen za mladino, ki se je prvikrat sreˇ cala z
raˇ cunalnikom. V okviru rednega pouka nismo imeli
skoraj nobenih raˇ cunalniških vsebin. Pravo veselje
se je zame zaˇ celo, ko je na šoli teˇ caj raˇ cunalništva
ponudil ZRI (Zavod za raˇ cunalniško izobraževanje
Ljubljana). Tu je bil poudarek na programiranju v
jezikuPascal. Živosespominjamrumenegabesedila
na modrem ozadju: uporabljali smo razvojno okolje
Turbo Pascal 6.0. Zagnali smo ga kar z disket, ki jih
je prinesel uˇ citelj. Programiranje me je takrat pov-
sem prevzelo. ZRI sem nato obiskoval vse do konca
srednje šole. Za srednješolce je bil pouk, ki ga je
vodil dr. Jelko Urbanˇ ciˇ c, na sedežu ZRI na Pržanu.
Tu smo se osredotoˇ cali na algoritme, Pascalu pa sta
se pridružila še jezika C in Python. Številni vrstniki,
ki sem jih tam spoznal, so danes izjemni raˇ cunalni-
ˇ carji. Nekateri so vodilni razvijalci pri velikih podje-
tjih, drugi so osnovali svoja lastna podjetja, tretji pa
smozajadralivakademskevode. ZRIjetakozapolnil
praznino, ki je nastala v šolskem sistemu. Po drugi
stranismonagimnazijiimeliinformatikosamovpr-
vemletniku. Bežnosespominjam,dajeimeluˇ cbenik
modre platnice, programiranju pa je bilo namenjeno
zgolj eno kratko poglavjece na koncu. Ne spomnim
se drugih vsebin, ki jih je ta uˇ cbenik vkljuˇ ceval, vem
pa, da se mi je zdel nadvse dolgoˇ casen.
Ko sem pripravljal tale uvodnik, sem s preseneˇ ce-
njem ugotovil, da je že v sedemdesetih letih obsta-
jal uˇ cbenik Uvod v raˇ cunalništvo (I. Bratko in V. Raj-
koviˇ c). Obiskal sem knjižnico Gimnazije Koper, ki
hranienizvod. Vtemuˇ cbeniku,kijepomojemmne-
nju prekleto dobro napisan, je izdatni del namenjen
programiranju(vjezikuFORTRAN).Obstajatudiver-
zija iz osemdesetih let, z naslovom Raˇ cunalništvo s
programskim jezikom Pascal, kjer je FORTRAN na-
domešˇ cen s Pascalom. Moj zakljuˇ cek je, da ima na
Slovenskemraˇ cunalništvozelotrdnoinbogatotradi-
cijo. To dopolnjujejo tudi tekmovanja iz znanja ra-
ˇ cunalništva,kiobstajajožemnogolet. Žalpajeraˇ cu-
nalništvo v šolah znova in znova potisnjeno nekam
na obrobje. Naši raˇ cunalniški strokovnjaki seveda
ostajajo neumorni. Pred nekaj leti je npr. izšel mo-
deren elektronski uˇ cbenik za gimnazije Informatika
1 (https://lusy.fri.uni-lj.si/ucbenik/book/
index.html). Sam se udejstvujem kot ˇ clan komisij
za raˇ cunalniška tekmovanja in sicer pripravljam na-
logeterocenjujemrešitvetekmovalcev. Zatovem,da
imamo v Sloveniji veliko talentirane mladine in pre-
danihmentorjev. Imamovsepogoje,dabipostalive-
lika sila na podroˇ cju raˇ cunalništva. A kaj, ko našim
odloˇ cevalcemuspevavsezreduciratina»dvigdigital-
nihkompetenc«,sˇ cimercelotnostrokopomnožijoz
0. Sitorejvsvetu,kiprihaja,splohneželimoaktivno
sodelovati, ampak bi radi zgolj nemo opazovali do-
gajanje nekje z obrobja?
×××


P50(2022/2023)5
5
Stožnica skozi pet toˇ ck
M R
Stožnice so ravninske krivulje, ki nastanejo s
presekom dvojnega stožca z ravnino. Zato se tudi
takoimenujejo. Pravestožnicesoelipsa,hiperbola
in parabola. Tudi krožnica je stožnica, saj jo ima-
mo lahko za poseben primer elipse. Na sliki 1 je
poenostavljen prikaz nastanka pravih stožnic.
Vendar ni vsak presek dvojnega stožca z ravnino
prava stožnica.
ˇ
Ce se preseˇ cna ravnina stožca samo
dotika vzdolž ene od njegovih tvorilk, je presek kar
ta tvorilka, torej premica.
ˇ
Ce preseˇ cna ravnina vse-
bujeosstožca,jepresekunijadvehnjegovihtvorilk,
torej dveh sekajoˇ cih se premic.
ˇ
Ce ravnina preseka
stožec samo v njegovem vrhu, je presek toˇ cka. To
so izrojeni ali degenerirani primeri stožnic, reˇ cemo
jim izrojene stožnice. Na sliki 2 je prikaz nastanka
izrojenih stožnic.
SLIKA1.
Nastanek pravih stožnic.
V pravokotnem kartezijskem koordinatnem siste-
muOxy imajo vse stožnice enaˇ cbo
Ax
2
+2Bxy+Cy
2
+2Dx+2Ey+F =0, (1)
pri ˇ cemer so koeficienti A,B,C,D,E in F realna šte-
vila. Pri tem A,B in C niso vsi hkrati enaki 0. Vsaj
SLIKA2.
Nastanek izrojenih stožnic.
en od teh je razliˇ cen od 0 in z njim lahko (1) de-
limo in dobimo enakovredno enaˇ cbo s petimi koefi-
cienti. Prav tako dobimo enakovredno enaˇ cbo,ˇ ce (1)
pomnožimo s poljubnim od 0 razliˇ cnim številom. S
petimi toˇ ckami pa je na splošno stožnica, prava ali
izrojena, doloˇ cena, morda ne ravno enoliˇ cno. Pro-
blem doloˇ citve enaˇ cbe stožnice skozi pet toˇ ck nas
privededosistemapetihlinearnihenaˇ cbspetimine-
znankami, ki pa bi se mu radi izognili.
Enaˇ cba(1)jepooblikialgebrskaenaˇ cbadrugesto-
pnje,zatouvršˇ camostožnicemedalgebrskekrivulje
druge stopnje. V enaˇ cbi (1) se lahko skriva katera-
koli stožnica, prava ali izrojena, lahko pa tudi dvo-
jica vzporednih premic ali celo prazna množica.
Primeri.
x
2
+y
2
−1=0 – krožnica;
4x
2
+5y
2
−2=0 – elipsa;
4x
2
−5y
2
−2=0 – hiperbola;
y
2
−2x=0 – parabola;
4x
2
−9y
2
=(2x−3y)(2x+3y)=0–sekajoˇ cise
premici;
4x
2
+ 12xy + 9y
2
= (2x + 3y)
2
= 0 – dvojna
premica;


P50(2022/2023)5
6
x
2
+2xy+y
2
+x+y =(x+y)(x+y+1)= 0
– vzporedni premici;
x
2
+y
2
=0 – toˇ cka(0,0);
x
2
+y
2
+1=0 – prazna množica.
Oglejmo si, kako pridemo do enaˇ cbe stožnice skozi
pet danih toˇ ck T
k
(x
k
,y
k
), kjer je k = 0,1,2,3,4.
Obravnavajmo primer, ko sta trojki (T
0
,T
1
,T
3
) in
(T
0
,T
2
,T
4
) nekolinearni oziroma ko se dajo toˇ cke
preindeksirati tako, da to drži. Trojka toˇ ck je ne-
kolinearna,ˇ ce njene toˇ cke ne ležijo na isti premici.
Kako najdemo enaˇ cbo stožnice skozi pet toˇ ck?
Najprej poišˇ cemo enaˇ cbe štirih premic, ki so dolo-
ˇ cene z dvojicami toˇ ck (T
1
,T
2
),(T
3
,T
4
),(T
1
,T
3
) in
(T
2
,T
4
). Njihove enaˇ cbe v implicitni obliki naj bodo
p
i,j
(T)=p
i,j
(x,y)=a
i,j
x+b
i,j
y+c
i,j
=0 za dvo-
jice(i,j)∈{(1,2),(3,4),(1,3),(2,4)}. Pritemkoefi-
cientaa
i,j
inb
i,j
nistahkratienaka0. Veljajoseveda
enakostip
i,j
(T
i
)=p
i,j
(T
j
)=0 za navedene dvojice.
Nato zapišemo enaˇ cbo
P(T)=p
1,2
(T)p
3,4
(T)−λp
1,3
(T)p
2,4
(T)=0, (2)
ki je po obliki algebrska enaˇ cba druge stopnje in
s tem enaˇ cba algebrske krivulje druge stopnje. Pri
tem je λ parameter, ki ga bomo izbrali tako, da bo
tudi toˇ cka T
0
zadošˇ cala enaˇ cbi (2), torej P(T
0
) = 0.
Oˇ citno je P(T
k
) = 0 za k = 1,2,3,4. Pri tem pa
p
1,3
(T
0
)p
2,4
(T
0
) 6= 0, ker trojki (T
0
,T
1
,T
3
) in
(T
0
,T
2
,T
4
) nista kolinearni.
ˇ
Ce izberemo
λ=
p
1,2
(T
0
)p
3,4
(T
0
)
p
1,3
(T
0
)p
2,4
(T
0
)
,
veljaP(T
k
)=0 zak=0,1,2,3,4 in dobili smo enaˇ c-
bo stožnice skozi pet danih toˇ ck, in sicer do neniˇ cel-
nega faktorja natanˇ cno. Tudi implicitne enaˇ cbe so-
delujoˇ cih premic so doloˇ cene samo do neniˇ celnega
konstantnega faktorja natanˇ cno, kar pa ne vpliva na
konˇ cni rezultat, oˇ cemer se ni težko prepriˇ cati.
1. naloga.
Poišˇ cimo enaˇ cbo stožnice, ki poteka skozi toˇ cke
T
0
(0,0),T
1
(4,0),T
2
(6,2),T
3
(0,4),T
4
(−1,3).
Brez težav najdemo enaˇ cbe premic:
p
1,2
(x,y)=x−y−4=0,
p
3,4
(x,y)=x−y+4=0,
p
1,3
(x,y)=x+y−4=0,
p
2,4
(x,y)=x+7y−20=0.
Iskana krivulja ima enaˇ cbo
P(x,y)=(x−y−4)(x−y+4)−
λ(x+y−4)(x+7y−20)= 0.
Ker mora veljati še P(T
0
) = P(0,0) = 0, dobimo
enaˇ cbo−16−80λ=0 z rešitvijoλ=−1/5, kar vsta-
vimo v enaˇ cbo iskane krivulje. Poenostavimo in na
koncu dobimo
3x
2
−xy+6y
2
−12x−24y =0.
Iskana stožnica je elipsa (slika 3).
SLIKA3.
Elipsa skozi pet danih toˇ ck.
V primeru, ko je vsaj ena od trojk (T
0
,T
1
,T
2
)
in (T
0
,T
3
,T
4
) kolinearna, trojki (T
0
,T
1
,T
3
) in
(T
0
,T
2
,T
4
) pa nekolinearni, poišˇ cemo enaˇ cbo pre-
micea
1,2
x+b
1,2
y+c
1,2
=0skoziT
1
inT
2
terenaˇ cbo
premice a
3,4
x + b
3,4
y + c
3,4
= 0 skozi T
3
in T
4
.
Izrojena stožnica je kar unija teh dveh premic,
njena enaˇ cba pa se glasi (a
1,2
x + b
1,2
y + c
1,2
)
(a
3,4
x+b
3,4
y+c
3,4
)=0.
V preostalih primerih enaˇ cba izrojene stožnice ni
do konstantnega faktorja enoliˇ cno doloˇ cena.
2. naloga.
Poišˇ cimo še enaˇ cbo stožnice, ki poteka skozi toˇ cke
T
0
(2,2),T
1
(−1,1),T
2
(5,3),T
3
(4,−1),T
4
(0,5).
Prvetritoˇ ckeležijonapremicix−3y+4=0,zadnji
dve pa na premici 3x+2y−10= 0 (slika 4). Iskana
izrojenastožnicaimaenaˇ cbo(x−3y+4)(3x+2y−
10)=3x
2
−7xy−6y
2
+2x+38y−40=0.


P50(2022/2023)5
7
SLIKA4.
Še en primer izrojene stožnice.
3. naloga.
Poišˇ cimo še enaˇ cbo stožnice, ki poteka skozi toˇ cke
T
0
(0,0),T
1
(1,0),T
2
(2,0),T
3
(3,0),T
4
(3,3).
Prve štiri toˇ cke ležijo na premici y = 0. Premica
skozi T
4
ima enaˇ cbo k(x− 3)−y + 3 = 0, kjer je
k poljubna konstanta. Vseh pet toˇ ck najdemo na iz-
rojeni stožnici (k(x−3)−y+3)y = 0, pa tudi na
(x−3)y =0,kjervzamemonavpiˇ cnopremicoskozi
T
4
. Rešitev je nešteto.
Domaˇ ce naloge.
Poišˇ ci stožnico, ki poteka skozi toˇ cke
T
0
(0,0),T
1
(1,1),T
2
(−2,0),T
3
(4,3),T
4
(−3,2).
(Rezultat: hiperbolazenaˇ cbo22x
2
−16xy−31y
2
+44x−19y =0.)
Poišˇ ci stožnico, ki poteka skozi toˇ cke
T
0
(0,1),T
1
(−2,0),T
2
(−5,−2),T
3
(0,−2),T
4
(1,0).
(Rezultat: parabola z enaˇ cbox
2
−2xy+y
2
+x+
y−2=0.)
Poišˇ ci še stožnico, ki poteka skozi toˇ cke
T
0
(−2,0),T
1
(1,1),T
2
(4,2),T
3
(3,−1),T
4
(2,3).
(Rezultat: izrojena stožnica, dvojica sekajoˇ cih se
premic, z enaˇ cbo(x−3y+2)(4x+y−11)=0.)
×××
Tekmovanje π
Nˇ  M K  J P
Letošnji Mednarodni dan matematike je potekal
pod sloganom Matematika za vsakogar in res bi ma-
tematikatadanlahkodoseglavsakogar, sajsojislo-
venski mediji namenili razveseljivo veliko pozorno-
sti. Na Društvu matematikov fizikov in astronomov
Slovenijesmopolegžetradicionalnegalikovnegana-
teˇ cajazaˇ cimlepšeporisanomatematiˇ cnotablo,kise
zakljuˇ cujekonecmesecamarca,uˇ cencemindijakom
letos ponudili še en izziv – poiskatiˇ cim boljši pribli-
žek števila π (ki mu je 14. marec ali v angleškem
datumskem zapisu 3.14., posveˇ cen) z mehaniˇ cnimi
pripomoˇ cki in z merjenjem, tehtanjem in prešteva-
njem. Na razpis, ki je bil objavljen že v prejšnji šte-
vilki Preseka, smo prejeli pet izvirnih in zanimivih
rešitev. Prav vse si zaslužijo pohvalo in nagrado za
domiselnost in zgledno skupinsko delo.
Najbolj izdelano rešitev so prispevali uˇ cenci 8a.
razreda OŠ Cerkvenjak–Vitomarci pod mentorstvom
uˇ citelja Stanislava Toplaka. Oceno števila π so do-
bili s preštevanjem kvadratkov kvadratne mreže, ki
skupajpokrivajoˇ cetrtinokrogazznanoplošˇ cino,iz-
boljšali pa so jo tako, da so na robu lika uporabili
finejšo mrežo (slika 1).
Rezultat raˇ cuna: 3,1410. Posebno pohvalo si za-
služijozaocenoinanalizonapakesvojegapribližka.
Najbolj izvirno rešitev naloge so prispevali Neža,
Živa, Tamara Elena, Domen, Niko in Matjaž, uˇ cenci
8. razreda OŠ Globoko pod mentorstvom uˇ citeljice
Danijele Pezdirc. Izmerili so obseg in premer kroga
na šolskem športnem igrišˇ cu in še 41 okroglih pred-
metov, ki so jih našli doma – od majhnih, kot so
smoki, kabel, baterija, ..., do krožnikov, ponev, glo-
busa...Takosodobilicelovrstopribližkovštevilaπ
s povpreˇ cno vrednostjo 3,1243.


P50(2022/2023)5
8
Uˇ cenci 8. razreda OŠ Gradec, Mia, Iris, Tjaša, Jona
in Lovro, so pod mentorstvom uˇ citeljice Astrid Ži-
bert približek števila π izraˇ cunali s pomoˇ cjo geo-
metrijske konstrukcije poljskega duhovnika Adama
Kochanskega iz 17. stoletja. Pri razliˇ cnih polmerih
krogaso dobilipetrazliˇ cnihpribližkov, najboljši(ob
nekoliko nerealni predpostavki, da lahko naˇ crtamo
SLIKA1.
krogspolmerom10km)je3,14153334,karseujema
sπ celo na prvih štirih decimalkah.
Skupina devetošolcev z OŠ Šmartno pod Šmarno
gorojezmentoricoBojanoNovakizdelalakartonast
kvader, ki je imel za osnovno ploskev kvadrat, in
valj, ki je imel za osnovno ploskev krog s polmerom
enakim dolžini stranice kvadrata. Vanju so natresli
riž, testenine in frnikule. Vse so prešteli in stehtali,
nato pa izraˇ cunali koliˇ cnike in dobili povpreˇ cni pri-
bližek 3,13908709. Zanimivo je, da so pri rižu in
testeninah s tehtanjem dobili boljše približke kot s
preštevanjem.
Prav posebno pohvalo pa si zaslužijo uˇ cenci 4.
razreda Waldorfske šole Savinja, ki so, ˇ ceprav še ne
poznajo decimalnih števil, pod mentorstvom razre-
dniˇ carkeNineKociperpribližekštevilaπ dobilitako,
da so primerjali število velikih palic mikado, ki jih
lahko zložiš v valj (41) in v kvader, ki gre vanj (13).
Dobili so približek 3,153, kar res ni slabo za velike
mikado palice (slika 2)!
Vsem, uˇ cenkam, uˇ cencem, mentoricam in mentor-
jem hvala, da ste se lotili našega izziva in iskrene
ˇ cestitke!
SLIKA2.
×××


P50(2022/2023)5
9
Kaj povejo krivulje za MTF o
fotografskem objektivu
P Lˇ 
Kontrastinmodulacija
Na sliki 1 imamo svetlo in temno površino drugo ob
drugi. NajboE
t
svetlosttemnejšegadelaininE
s
sve-
tlostsvetlejšegadela. Zamerokontrastamedobema
površinama vzamemo modulacijo
M =
E
s
−E
t
E
s
+E
t
. (1)
Vrednosti zaM leže med 0 in 1.
Obstajajošedrugemerezakontrast,amisebomo
držali gornje. Kontrast je pomemben tudi v vsakda-
njem življenju. Pri branju si želimo kar se da velik
kontrastmedˇ crkamiinpodlago.
ˇ
Crneˇ crkenamodri
podlagi pomenijo kljub razliki v barvi majhen kon-
trast in težave pri branju. Še veˇ cja polomija so ru-
mene ˇ crke na beli podlagi - kontrast je premajhen,
tudi razlika v barvi je premajhna.
Pri veˇ cini fotografij si želimo visok kontrast in
številne podrobnosti. Izjeme so recimo »zasanjane«
meglene scene.
Pri testiranju fotografskih objektivov velikokrat
slikajo površino – tarˇ co, na kateri so ˇ crni vzorci na
beli podlagi. Denimo, da imamoˇ crne stolpce, loˇ cene
z belimi prostori enake širine – kot na sliki 2. Ta
tarˇ ca je že stara, a je prav primerna za razlago. En
stolpec in skladen beli prostor ob njem sta en ˇ crtni
par ali en cikel.
ˇ
Ce je E
t
= 0, je modulacija med
obema pravokotnikoma 1.
Na sliki, ki jo naredi objektiv, bo kontrast zmanj-
šan: ˇ crnina ne bo ˇ cisto ˇ crna in se bo na robovih
stolpca prelivala v belino. Prav tako vmesni prostori
ne bodo povsem beli. To bo bolj oˇ citno pri tankih
stolpcih in v vogalih slike.
SLIKA1.
Kontrast med temnejšo in in svetlejšo površino.
SLIKA2.
ˇ
Crni stolpci na beli podlagi.
Primerimamonafotografiji3, kjerjestridesetle-
tja starim širokokotnim zoomom 20-35 mm 1:3.5-
SLIKA3.
Moˇ cno poveˇ can vogal fotografije.


P50(2022/2023)5
10
4.5 pri gorišˇ cni razdalji 20 mm in povsem odprti
zaslonki slikana tarˇ ca v spodnjem levem vogalu vi-
dnega polja. Tarˇ ca je obešena tako, da je pol ˇ crnih
paliˇ cic približno vzporednih zveznici s središˇ cem
slike. Objektiv je bil roˇ cno izostren na tarˇ co, druge
dele slike smo ignorirali. Poudarimo, da gre za manj
kot pol odstotka površine celotne fotografije.
Smer od središˇ ca S slike do toˇ cke T na sliki 4 je
radialna ali sagitalna smer. Latinska beseda sagitta
pomeni pušˇ cico ali strelo. Na sliki 4 je ta smer na-
risana s pušˇ cico v modri barvi. Pravokotno na sa-
gitalno smer pa poteka tangentna ali meridionalna
smer skozi toˇ ckoT. Rdeˇ ce imamo narisan tangentni
vzorˇ cek okrog toˇ ckeT.
ˇ
Crno pa imamo narisan sagi-
talni vzorˇ cek okrog toˇ cke E, ki je bliže robu. Število
ˇ crtnihparovpreslikanegavzorcanamilimeterslike
na tipalu (filmu) je frekvenca vzorca.
SLIKA4.
Rdeˇ ci vzorˇ cek je tangenten,ˇ crni sagitalen.
Vidimo, da je naša fotografija 3 razmazana v radi-
alni smeri.
ˇ
Ce dobro pogledamo, so robovi obarvani:
na eni strani vijoliˇ cno, na drugi zeleno. To je po-
sledica disperzije svetlobe. Steklo in plastika lomita
razliˇ cne barve nekoliko razliˇ cno, dolge valovne dol-
žine navadno manj od kratkih.
Manjše paliˇ cice, ki imajo tangentno smer, so na
sliki pošteno obledele. Veˇ cje paliˇ cice v tangentni
smerisomaloobledeleinsosemalorazmazale. Pro-
stor med manjšimi paliˇ cicami je daleˇ c od beline.
Kontrast manjših tangentnih vzorcev je tako bistve-
no zmanjšan. Modulacijo preslikanega vzorca treh
paliˇ cic izraˇ cunamo po formuli 1, kjer je E
t
izmerjen
v najtemnejšem delu slike paliˇ cice, E
s
pa v najsve-
tlejšem delu sredi med paliˇ cicami.
Paliˇ cice, ki potekajo v radialni smeri, so jo precej
bolje odnesle, razmazane so le na koncih. Edino pri
najbolj drobnih vzorcih je kontrast v obeh smereh
tako zmanjšan, da paliˇ cic praktiˇ cno ne loˇ cimo veˇ c.
Višja frekvenca vzorca pomeni manjšo modulacijo
slike.
Faktorprenosamodulacije-MTF
Vrnimo se k sliki 2. Denimo, da se gibljemo po osi
x inrišemosvetlostdelatarˇ ce(sestavtrehˇ crtnihpa-
rov)vvsakitoˇ cki.
ˇ
Cejesvetlostˇ crnihdelov(idealizi-
rano) 0, dobimo sliko 5. Modulacija te tarˇ ce je 1.
SLIKA5.
Svetlost vzorca s slike 2.
SLIKA6.
Spreminjanje svetlosti preslikanega vzorca s slike 2.
Na sliki tarˇ ce merimo svetlost vzdolž slike osi x.
Dobimo periodiˇ cen graf – nekaj takega kot na sliki
6. Nekolikospominjanasinusoido. Modulacija,toje
modulacija med najbolj temnimi in najbolj svetlimi
delislike,jeenaka(c−d)/(c+d)injemanjšakot1.
Vtridesetihletihprejšnjegastoletjaje Helmut Fri-
eser, ki je delal pri firmi Zeiss-Ikon, prišel na nasled-


P50(2022/2023)5
11
SLIKA7.
Sinusno spreminjanje svetlosti vzorca.
njoidejo([3, str. 30]). Tarˇ conasliki2nekolikospre-
menimo, tako da namesto oglatega grafa svetlosti
dobimosinusoidokotnasliki7. Natarˇ ciimamozve-
zneprehodeodbeledoˇ crne–kotbisevzorecsslike
2naposebennaˇ cinrazmazalvvodoravnismeri. Eks-
tremnivrednostizasvetlostsepritemohranita,tako
da je modulacijaM
1
tarˇ ce na sliki 7 blizu 1. En polni
nihaj je en cikel. Na sliki 7 imamo tri cikle.
Frieser je opazil, da se svetlost slike – ne glede na
napake leˇ cja – v tem primeru spreminja tudi sinu-
sno. To velja lokalno in bomo uporabili na majhnem
delu slike okrog toˇ cke T. Svetlost preslikanega si-
nusnega vzorca je sinusoida, kot recimo na sliki 8.
Število ciklov na milimeter slike na tipalu (filmu)
je frekvencaf vzorca.
SLIKA8.
Spreminjanje svetlosti preslikanega sinusnega vzorca.
Modulacijo slike, ki pride skozi leˇ cje, izraˇ cunamo
po formuli
M
2
(f)=
c−d
c+d
=
A
P
, (2)
kjer jec najveˇ cja ind najmanjša vrednost sinusoide
na sliki 8. In: P = (c+d)/2 je povpreˇ cna vrednost
sinusoide,A=(c−d)/2 pa amplituda sinusoide.
Koliˇ cnik
K(f,T)=
M
2
(f)
CM
1
(f)
je faktor prenosa modulacije ali MTF v toˇ cki T pri
frekvenci f. Navadno je M
1
(f) konstanten, neodvi-
sen od f. Normalizacijski faktor C doloˇ cimo tako,
da je pri frekvenci 0 vzorca zapisani koliˇ cnik enak 1
(vira [1, str. 143] in [2]). Torej je
M
2
(0)
CM
1
(0)
=1 in od tod C =
M
2
(0)
M
1
(0)
.
(Po domaˇ ce: ˇ ce imamo zraven našega sinusnega
vzorˇ cka veˇ cjo ˇ crno in veˇ cjo belo ploskev, je C mo-
dulacija med slikama teh ploskev.)
ŠteviloK(f,T) je med 0 in 1 in jemera za zmanj-
šanje kontrasta na sliki glede na original.
OznakaMTFjeokrajšavazaModulationTransfer
Factor.
Zdaj imamo že toliko izkušenj, da vemo, da bomo
v toˇ cki T morali posebej obravnavati MTF za sagita-
len tarˇ cni vzorec in posebej za tangenten vzorec. In
to vsaj pri dveh frekvencah. Kot minimum vzamejo
recimo frekvenci 10 in 30 ciklov na mm slike. Ka-
kovostupodabljanjav danitoˇ cki botorej ocenjena z
najmanj štirimi podatki.
ˇ
Ce je MTF pri frekvenci 10 visok, to je blizu 1,
to navadno interpretirajo kot dober kontrast v dani
toˇ cki. Visoko vrednost pri frekvenci 30 ali 40, 50 ci-
klov na mm pa interpretirajo kot visoko loˇ cljivost.
Navadno je najteže doseˇ ci dobre vrednosti pri pov-
semodprtizaslonki,zatoseskorajvednoomejijona
ta primer.
Veˇ cina fotografov ve, da je kakovost fotografije
najboljša v sredini in veˇ cinoma pada proti robovom.
Najslabša je navadno v vogalih. Torej je treba izme-
riti MTF v veˇ c toˇ ckah, od sredine proti vogalu.
Postopek pri neposrednem merjenju je približno
takle. Izberejo frekvenco f. Izostrijo sredino slike
in tam doloˇ cijo MTF. Nato se pomikajo v veˇ c kora-
kih proti vogalu in na vsakem koraku izmerijo MTF,
ne da spreminjali izostritev. Podatke vnesejo v graf,
kjer je na abscisni osi razdalja od središˇ ca slike do
toˇ cke v milimetrih. Pri polnem formatu s tipalom
velikosti 24 mm × 36 mm je vogal od središˇ ca od-
daljen
p
12
2
+18
2
≈21,6 mm.


P50(2022/2023)5
12
Vrednosti povežejo – sagitalne vrednosti s polno,
tangentne s ˇ crtkano ˇ crto. Dobijo dve lomljeni ˇ crti,
ki ju veˇ ckrat zgladijo. Tako nastaneta dve funkciji
prenosa modulacije pri frekvenci f, ki ju prav tako
oznaˇ cimo z MTF – angleško Modulation Transfer
Function.
SLIKA9.
Novi proizvajalˇ cev prikaz MTF za polno odprti objektiv Canon
EF 50 mm f/1.4 USM pri frekvencah 10 (ˇ crno) in 30 (modro).
ˇ
Crtkano tangentna smer, polno radialna.
Firmi Zeiss in Leica dejansko dajeta take izmer-
jene grafe za svoje objektive, Zeiss denimo pri 10,
20 in 40 ciklih na mm. Leica pa pri frekvencah 5, 10,
20in40mm
−1
. Drugiproizvajalcidajejoizraˇ cunane
prikaze MTF za svoje objektive. Programi, ki izraˇ cu-
najo MTF leˇ cja, so zelo olajšali delo konstruktorjem.
Izraˇ cunani prikazi so bolj optimistiˇ cni od izmerje-
nih.
MTF prikaze kakovosti objektivov je smiselno pri-
merjati le v okviru enega proizvajalca. So prav ko-
ristna informacija pri odloˇ citvi o nakupu. Na spletu
jih najdemo pod »MTF chart« in oznako objektiva.
Canon je leta 2018 spremenil metodologijo, tako
da je primerjava med prikazi pred tem datumom in
po njem otežena. Novi kriteriji so strožji, dajejo pa
le podatke pri frekvencah 10 in 30 na milimeter in
povsem odprti zaslonki. Na sliki 9 imamo tako novi
prikazMTFsstranihttps://canon.jp/zatridese-
SLIKA10.
Fotografija vogalne tarˇ ce s Canon EF 50 mm f/1.4 USM.
tletja stari 50 milimetrski objektiv, pri zaslonskem
številu 1,4.
Na abscisni osi je razdalja od središˇ ca slike.
ˇ
Crni
krivulji sta pri frekvenci 10, modri pri frekvenci
30mm
−1
. Kakovostslikestranodsredišˇ capadainje
vvogalihnizka. Prifrekvenci10jeblizurobatangen-
tni kontrast precej višji od radialnega –ˇ crtkanaˇ crna
ˇ crta je nad polno. To se ujema s fotografijo tarˇ ce v
vogaluspodajlevostemobjektivomnasliki10. (Gre
za približno odstotek površine celotne fotografije.)
Pri zaslonskih številih od 5,6 do 8 so za ta sede-
mleˇ cni objektiv krivulje MTF bistveno višje in dru-
gaˇ cne in rezultati fotografiranja odliˇ cni. O tem veˇ c
drugiˇ c.
Danes dobimo objektive 50 mm f/1,4, ki so zelo
dobri ali odliˇ cni že pri polni odprtini. So pa mnogo
bolj zapleteni, veˇ cji, težji in dražji.
Literatura
[1] S. F. Ray, Applied Photographic Optics, 2nd ed.,
Focal Press, Oxford 1995, 586 str.
[2] Imatest: Sharpness: What is it and How it is
Measured, https://www.imatest.com/docs/
sharpness/
[3] H. H. Nasse, How to Read MTF Curves II, Carl
Zeiss Camera Lens Division, March 2009, 31
str., https://lenspire.zeiss.com/photo/
app/uploads/2018/04/CLN_MTF_Kurven_2_
en.pdf
×××

GG ˇ 
GG ˇ 
P50(2022/2023)5
13
Krivulja prislonjene lestve
Bˇ  K
Pomlad je prišla in delo na vrtu kliˇ ce tudi ma-
tematike. V tokratnem kotiˇ cku si bomo ogledali
skorajvsakdanjiproblem: dokodsežeprislonjena
lestev. Natanˇ cneje, s pomoˇ cjo GeoGebre bomo na-
risali krivuljo, ki jo opiše vrh v fiksni toˇ cki prislo-
njenelestve,ˇ cenjenspodnjidelprostopremikamo
povodoravnipovršini. Problembomorešilinadva
naˇ cina: najprej zgolj z uporabo preproste geome-
trijske konstrukcije, nato še z izraˇ cunom parame-
triˇ cne enaˇ cbe krivulje, za katerega bomo uporabili
Pitagorov izrek in podobnost trikotnikov.
Problem bomo reševali kar v ravnini. Lestev in
njeno oporo bosta predstavljali daljici. Opišimo za-
poredje korakov za geometrijsko konstrukcijo:
Vstavimo drsnik z imenom l, ki predstavlja dol-
žino lestve. Zavzame naj vrednosti med 0 in 10.
Z orodjem za dodajanje toˇ cke in klikom na ustre-
znokoordinatnoosvstavimopoljubnotoˇ ckoAna
osi x in poljubno toˇ cko B na osi y. Oznaˇ cimo še
toˇ ckoO=(0,0).
Narišemo daljicoOB. Ta predstavlja oporo, na ka-
tero bomo prislonili lestev.
Narišemo poltrak iz toˇ cke A skozi toˇ cko B in kro-
žnico s središˇ cemA in polmeroml.
Oznaˇ cimosC preseˇ cišˇ cepoltrakainkrožnice. Na-
šolestevdolžinelzdajpredstavljadaljicaskoziA
in C. (Po potrebi poveˇ cajmo l, da bo lestev res
prislonjena na oporo.)
Zdajlahkoopazujemogibanjetoˇ ckeC,kipredsta-
vlja vrh lestve, v odvisnosti od pomikanja toˇ ckeA
po vodoravni površini.
Daljice in toˇ cke po želji odebelimo in pobarvamo,
terzrisalnepovršineskrijemovsenepotrebneele-
mente.
ˇ
Ce želimo, lahko narišemo krivuljo gibanja vrha
lestve po toˇ ckah s pomoˇ cjo vklopa sledi toˇ cke C,
alipanarišemocelotnokrivuljovnaprejzukazom
Sled(C,A) (slika 1).
SLIKA1.
Geometrijska konstrukcija toˇ cke C in njena sled glede na
toˇ cko A.
SLIKA2.
Doloˇ canje koordinat toˇ cke C s pomoˇ cjo podobnih trikotnikov.


P50(2022/2023)5
14
Zanimivo je opazovati, kako se spreminja oblika
krivulje,ˇ cespreminjamodolžinolestvelalivišino
opore (toˇ ckaB).
Pozorni bralec je seveda opazil, da lahko vrh le-
stve v resnici opiše le zanko, ne pa tudi levega ali
desnega kraka krivulje na sliki, saj v tem primeru
vrh lestve nima veˇ c opore in bi lestev padla na tla.
Kot smo napovedali na zaˇ cetku, je naloga zani-
miva in dovolj enostavna tudi za reševanje s pomo-
ˇ cjo enaˇ cb. Namesto geometrijske konstrukcije toˇ cke
C s pomoˇ cjo preseˇ cišˇ ca poltraka in krožnice lahko
izraˇ cunamo njene koordinate v odvisnosti od polo-
žaja toˇ ckeA. Oglejmo si skico na sliki 2.
Naj bo toˇ cka C = (x
C
,y
C
) krajišˇ ce lestve in naj
bo D = (x
C
,0) njena pravokotna projekcija na vo-
doravno os. Zaradi podobnosti trikotnikov △AOB
in △ADC velja |AD| : |AC| = |AO| : |AB|. Torej
je|AD|=
l·d
√
h
2
+d
2
, kjer je h dolžina daljice|OB| ozi-
roma višina opore, d pa dolžina daljice OA oziroma
x-koordinata toˇ cke A. Zato se x-koordinata toˇ cke C
izraža kot
x
C
=d−|AD|=d−
l·d
√
h
2
+d
2
.
Še enostavneje dobimoy-koordinato toˇ ckeC iz zve-
ze|DC|:|AC|=|OB|:|AB| in torej
y
C
=
l·h
√
h
2
+d
2
.
Izraˇ cun lahko uporabimo pri izdelavi mo-
dela tako, da ponovimo prve tri korake
prejšnje konstrukcije in oznaˇ cimo daljici
d=Daljica(O,A) in h=Daljica(O,B), nato
pa direktno vnesemo še toˇ cko C z ukazom
C=(d-l∗d/sqrt(h
2
+d
2
), l∗h/sqrt(h
2
+d
2
)).
Potem lahko podobno kot prej model še dopolnimo
z dodatnimi daljicami, risbo sledi in podobno.
Nadebudnibralciinbralkepalahkoposkusijokri-
vuljo narisati še na tretji naˇ cin s pomoˇ cjo ukaza
Krivulja za risanje parametriˇ cnih krivulj.
×××
ˇ 

ˇ 
 50/4
Pravilna rešitev nagra-
dne križanke iz ˇ cetrte
številke Preseka letnika
50 je Vˇ crtani lik. Med
pravilnimi rešitvami
smo izžrebali naslednje
reševalce: KatarinaŠipec
iz Kranja, Tadeja Bone
iz Ajdovšˇ cine in Neža
Korenjak iz Mengša, ki
bodo nagrade prejeli po
pošti.
×××

B  ˇ    P
  ˇ 
P50(2022/2023)5
15
Razpistekmovanjasrednješolcev
izmatematikeinfizikevletu1980/81
 8, ˇ  3, 1980/81
Tekmovanji iz matematike in fizike za srednješolce
tradicionalno potekata v marcu ali aprilu in imata od
vsehsrednješolskihtekmovanjvSlovenijinajdaljšotra-
dicijo. V 1980-tih letih so šole z obiˇ cajno pošto poslale
tekmovalni komisiji prijavo za predtekmovanje (dana-
šnje šolsko tekmovanje) in nato same izbrale dijake, ki
so se uvrstili na republiško (današnje državno) tekmo-
vanje. Republiško tekmovanje je bilo vsako leto izve-
deno v drugem kraju. Ker so bila potovanja po Slo-
veniji takrat poˇ casnejša, so dijaki z uˇ citelji v ta kraj
obiˇ cajno prispeli že dan pred tekmovanjem in tam pre-
noˇ cili, predtekmovalni veˇ cer pa so si popestrili z dru-
žabnimi igrami in kvizi. Tako je bilo tekmovanje na-
menjeno tudi tkanju vezi in prijateljstev med dijaki iz
razliˇ cnihdelovSlovenije. Republiškotekmovanjejeobi-
ˇ cajno potekalo na soboto dopoldan, tekmovalci so si
nato ogledali kakšno lokalno podjetje ali naravno zna-
menitost,komisijapajeizdelkeocenilavnekajurah,da
so bili rezultati slovesno razglašeni še isto popoldne.
Za tekmovanji sta v šolskem letu 1980/81 skrbela
Marko Petkovšek in Bojan Golli, ki sta v naslednjih
desetletjih ogromno prispevala k naši reviji, pa tudi k
razvojuinpopularizacijimatematikeinfizikemedmla-
dimivSloveniji. Žalstaseobaposlovilavmesecumarcu
2023. Presekovibralcijubomoskupajzlepimitrenutki
iz matematiˇ cnih in fizikalnih tekmovanj ohranili v pri-
jetnem spominu.
×××


P50(2022/2023)5
16
Nagradna križanka

×××
 
ˇ
Crke iz oštevilˇ cenih polj vpišite skupaj z
osebnimipodatkivobrazecnaspletnistrani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 15. maja 2023, ko bomo
izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeliknji-
žno nagrado.

P50(2022/2023)5
17


P50(2022/2023)5
18
Moja izkušnja opazovanja
eksoplaneta
N P
Med 26. in 31. avgustom 2022 je v Hiši mladih
v Ajdovšˇ cini potekala Prva šola astronomije Go-
Chile. Šolesenasjeudeležilo16dijakovindijakinj
iz cele Slovenije. Vodilo nas je sedem mentorjev.
Všolismovdvojicahdelaliprojektespomoˇ cjote-
leskopaGoChile. Projektisobilispodroˇ cijastrofo-
tografije, opazovanja eksoplanetov, spremenljivih
zvezd, asteroidov, oddaljenih galaksij ter razsutih
kopic. V tem prispevku bom predstavila svoj pro-
jekt opazovanja prehoda eksoplaneta.
Opazovanjasmoizvajalisteleskopomv
ˇ
Cilu. Leta
2021 sta Fakulteta za naravoslovje v Novi Gorici in
astronomska revija Spika na observatorij El Sauce
postavila dva teleskopa v okviru pedagoško-razisko-
valnega projekta GoChile.
ˇ
Cile so izbrali, saj ima
kar 300 jasnih noˇ ci na leto in ker v gorovju, kjer
sta teleskopa postavljena, ni svetlobnega onesnaže-
nja. Manjši teleskop GoT2, ki je namenjen širokoko-
tnemu opazovanju (predvsem fotografiranju veˇ cjih
meglic in razsutih kopic), je leˇ cni teleskop velikosti
72 mm. Veˇ cji 400-milimetrski zrcalni teleskop GoT1
pa je namenjen podrobnemu opazovanju temnejših
objektov in raziskovanju meglic, galaksij, zvezd in
objektov Osonˇ cja. Oba teleskopa upravljamo na da-
ljavo.
EksoplanetWasp145Ab
JazsemvdvojicizLarissoStepanovoopazovalapre-
hod eksoplaneta prek gostujoˇ ce zvezde. Eskopla-
neti so planeti zunaj našega Osonˇ cja, ki lahko kro-
žijo okoli druge zvezde ali pa se gibljejo prosto med
zvezdami. Astronomi so prve eksoplanete odkrili v
devetdesetihletih, dosedajpasojihnašliževeˇ ckot
pet tisoˇ c. Nekateri so po masi in velikosti podobni
planetom našega Osonˇ cja, drugih, kot na primer su-
per Zemelj in mini Neptunov, pri nas ne najdemo.
Na nekaterih eksoplanetih so odkrili led in vodo, na-
šli naj bi tudi lavo. Eden izmed ciljev raziskovanja
eksoplanetov je odkriti življenje zunaj naše Zemlje.
Ko sva se odloˇ cili za temo, sva si morali najprej
izbratiplanet,kigabovaopazovali. Tosvanaredilis
pomoˇ cjo Nasinega spletnega arhiva o eksoplanetih
1
,
kjer sva izbirali med tisoˇ cimi planeti. Prvi kriterij
pri najini izbiri je bil seveda, da je planet viden iz
ˇ
Cila. Naprej se je izbor redˇ cil še z magnitudo, saj
z našim teleskopom lahko dobro vidimo le zvezde
z najtemnejšo magnitudo 17, za opazovanje ekso-
planeta pa je bolje, ˇ ce je zvezda nekoliko svetlejša.
Kot zadnji kriterij pa je bil ˇ cas prehoda. To je ˇ cas,
ki ga planet potrebuje, da preˇ cka vidno površino go-
stujoˇ ce zvezde. Poskušali sva izbrati krajši ˇ cas, saj
nisva imeli možnosti inˇ casa opazovati daljšega pre-
hoda. Tako sva si izbrali eksoplanet Wasp-145 Ab.
Eksoplanet Wasp-145 Ab spada v skupino vroˇ cih
Jupitrov. Za njih je znaˇ cilno, da so po velikosti po-
dobni Jupitru in se gibljejo na majhni oddaljenosti
od zvezde, zaradi ˇ cesar imajo zelo kratko obhodno
pot. Zaradi svoje velikosti ti planeti med prehodom
med zvezdo in nami obˇ cutno spremenijo navidezni
sij zvezde, zato jih lažje detektiramo z majhnim te-
leskopom.
Opazovanje,analizainrezultati
Opazovali sva 28. avgusta med 3:48 in 5:05 po UT
ˇ casu. Zaˇ celi sva pol ure pred prehodom planeta in
konˇ cali pol ure po koncu prehoda. Opazovanje sva
izvedli s teleskopom GoT1, pri ˇ cemer sva uporabili
filter L (ki prepusti celotno obmoˇ cje vidne svetlobe),
posameznaosvetlitevpajetrajala60sekund. Planet
1
https://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/
cgi-bin/TransitView/nph-visibletbls?dataset=
transits


P50(2022/2023)5
19
SLIKA1.
Zvezda Wasp-145 A in okoliško zvezdno polje.
jemedopazovanjemdosegelnajvišjotoˇ ckonanebu,
zato se je med opazovanjem teleskop moral obrniti
(t. i. obrat na meridianu). Zaradi tega sva izgubili ne-
kajpodatkov. Pokonˇ canemopazovanjusvaspomo-
ˇ cjo programa Astro Pixel Processor kalibrirali foto-
grafije. Za tem sva naredili astrometrijo v programu
ASTAP. Ta program je orientiral vse posnete slike
ter vsakemu objektu na sliki dal natanˇ cne koordi-
nate, da sva lahko potem slike primerjali med sabo.
V predzadnji fazi projekta sva s pomoˇ cjo programa
AstroImageJ prek primerjav z zvezdami v polju iz-
merili spreminjanje navideznega sija najine zvezde.
V programu AstroImageJ sva meritvam prilagodili
tudimodelspreminjanjasvetlostivprimeruprehoda
SLIKA2.
Potemnitev zvezde med prehodom eksoplaneta Wasp-145 Ab.
Modre pike so najine meritve, oranžna ˇ crta pa model, prilago-
jen v programu AstroImageJ.
SLIKA3.
Shematiˇ cen prikaz prehoda eksoplaneta. Oznaˇ ceni so parame-
tri, ki jih lahko izmerimo z našimi podatki: razmerje velikosti
radijevplaneta(R
p
)inzvezde(R∗),velikapoloseliptiˇ cneorbite
(a) in inklinacija orbite (i).
eksoplaneta. Najboljši model nama je omogoˇ cil iz-
raˇ cunati podatke, kot so ˇ cas prehoda, spremembo
svetlosti oziroma globino prehoda, velikost planeta
glede na zvezdo (ob znani velikosti zvezde), velikost
velike polosi elipse, po kateri potuje planet okoli
zvezde in inklinacijo orbite planeta. Ko sva vse te
podatke izraˇ cunali, sva jih primerjali z rezultati v
katalogu.
Najini podatki so se priˇ casu prehoda, spremembi
svetlosti, velikosti planeta in inklinacji dobro uje-
mali, saj je razlika majhna glede na rezultate najde-
nih v katalogu.
ˇ
Cas prehoda se razlikuje za 0,0093
dneva, kar je posledica velike razsutosti meritev.
Sprememba svetlosti med prehodom in poslediˇ cno
velikost planeta se zelo dobro ujemata z vrednostmi
v katalogu. Pri velikosti velike polosi elipse in od-
daljenosti od središˇ ca naši rezultati zelo odstopajo.
Rezultata vredosti inklinacije in oddaljenosti od sre-
dišˇ ca nakazujeta, da ta dva parametra v prilagaja-
nju modela nista skonvergirala, kar je posledica pre-
slabe kvalitete podatkov. Ker program AstroImageJ
ne poda napake, ne moreva soditi o resniˇ cni napaki
najinih meritev.
S poletno šolo sem bila zelo zadovoljna, saj sem
pridobila veliko novega znanja iz astronomije. Med
delom na svojem projektu sem spoznala potek pri-
dobivanja podatkov ter njihovo obdelavo. Na pre-
davanjih so nam predavatelji dali predvsem veliko
informacij na teoretiˇ cnem podroˇ cju. Skozi cel tabor
pasonasvodilimentorji,kisoimelivelikoznanjain
nam poskušali odgovoriti na vsa vprašanja.
×××

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)5
20
(Digitalni) kljuˇ ci
A Jˇ ´   K Kˇ ˇ 
Šifre oziroma bolj splošno kriptosisteme pogo-
stokontroliramoskljuˇ ci,kidoloˇ cajopretvorbopo-
datkov. Seveda imajo tudi kljuˇ ci lahko digitalno
obliko. Ko bomo primerjali njihovo dolžino, bo
to kar binarno zaporedje: 01001101010101 ...Pri
tem se držimo Kerckhoffsovega principa, ki pravi:
»Napadalec« pozna kriptosistem oziroma
postopke (algoritme), ki jih uporabljamo, ne pa
tudi kljuˇ cev.
Preden se poglobimo v kriptosisteme, in njihovo
razbijanje, pomislimo na vsakdanje življenje. Naj-
bolj pogosto uporabljamo posebne vrste kljuˇ cev, ki
jih imenujemo gesla in PIN-i (kratica pomeni Perso-
nalIdentificationNumber,tj.osebnoidentifikacijsko
število). Pri prvih radi uporabljamo ˇ cim širši nabor
znakov, pri slednjih pa samo števke od 0 do 9 (saj
obiˇ cajno v tem primeru na tipkovnici ni drugih zna-
kov).
V starihˇ casih (tudi pr. n. št.), glej sliko 1, so imele
mestneutrdbestražarje,kisovarovalimestnavrata.
Opremljenisobilizorožjeminvnemirnihˇ casihniso
spustili noter nikogar, ki ni poznal pravilnega gesla.
Napadinagesla
Gesla nam omogoˇ cajo kontrolo dostopa v veˇ cino ra-
ˇ cunalnikov (danes sem štejemo tudi telefone). Sko-
rajda ni osebe v modernem svetu, ki ne uporablja
SLIKA1.
Kaj se je zgodilo s tistimi, ki so po-
vedali napaˇ cno geslo? Pravilo je bilo:
»Poskrbite zanje!«
gesel vsak dan in praktiˇ cno povsod, npr. za prijavo
ve-pošto,raˇ cunzadružbenaomrežja,donašegade-
lovnegaprostora,zadostopdoshranjenihpodatkov,
denarjaitd. Problemvohunovedilemepaostajavbi-
stvu nespremenjen, glej sliko 2.
Kako vemo, ali lahko zaupamo tistemu, ki želi
od nas geslo? Nas morda kdo posluša ali celo
snema?
Zaupanje lahko dosežemo z digitalmi podpisi (in
potrdili), glej Presekovˇ clanek [2]. Odgovor na drugo
vprašanje predstavlja patentirana tipkovnica 4× 3
(prikazana na zaslonu na dotik), ki vsakiˇ c nakljuˇ cno
premeša številke na tipkah za vnos PIN-a, hkrati pa
omogoˇ ca, dalahkoteštevilkepreberemolepodsko-
raj pravim kotom, glej [4]. Enostavnejši odgovor na
obe vprašanji bomo predstavili v razdelku Predstav-
ljanje in overjanje.
ˇ
Ce si geslo težko zapomnimo, je bolj verjetno, da
ga bomo kmalu pozabili in s tem izgubili dostop.
Nekateri sistemi nam sicer omogoˇ cajo ponastavitev
gesla, a je ta pot lahko precej zamudna, skorajda v
vseh primerih pa smo pri tem izpostavljeni doloˇ ce-
nim ranljivostim. Vˇ casih si pomagamo tako, da si
težkozapomnljivageslazapišemo,sˇ cimerseseveda
izpostavimo novim nepotrebnim tveganjem (zapis
lahko nekdo najde in prebere).
Ko nastavljamo geslo na raˇ cunalniku, lahko nale-
timo na veliko omejitev, kot npr.:
imelo naj bi vsaj 8 znakov,
vsebovalo naj bi vsaj eno veliko in eno malo ˇ crko
ter
vsebovalo naj bi vsaj eno številko itd.
Razlogi zanje so oˇ citni iz tabele 1.
Dobro geslo si je
enostavno zapomniti in
težko uganiti.
Ta dva kriterija si seveda pogosto nasprotujeta.
Napadalec utegne imeti na voljo tudi veˇ cjo raˇ cun-
sko moˇ c, kot je naš telefon ali raˇ cunalnik, zato kaže
še malo premisliti o možnostih (glej tabeli 2 in 3).
Ena od možnih obramb je, da po treh napaˇ cnih
vnosih gesla sistem zamrzne za kratekˇ cas.

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)5
21
GK,X1 b@V+ 10 95 (znaki na tipkovnici) 66 bitov 233977 let
ke1a7Az 7 62 (ˇ crke in številke) 42 bitov 5 dni
urpro 5 25 (majhneˇ crke) 24 bitov manj kot 2 sekundi
primer število zahtevnost dolžina gesla ˇ cas za razbijanje
TABELA1.
Uganjevanje gesel, priˇ cemer smo upoštevali, da naš raˇ cunalnik (npr. pametni telefon) preveri 10 milijonov gesel na sekundo.
SLIKA2.
Vohunova dilema. Bilo je temno kot v rogu, ko se je vohun
vraˇ cal v grad po opravljeni diverziji v sovražnem taboru. Blizu
obzidja je iz teme zaslišal glas. Kako vohun prepriˇ ca »stra-
žarja«,dapoznageslo,nedabigaizdalmorebitnemuskritemu
vsiljivcu?
SLIKA3.
Premešana številˇ cnica.
Statistikagesel
Zgorajomenjenezahtevesistemovpriizbirigeselso
bile precej pogoste, vendar bomo spoznali, da niso
bistveno prispevale k varnosti (posebej,ˇ ce si je upo-
rabnik geslo res napisal na listiˇ c in ga pozabil ob ra-
ˇ cunalniku).
Vseeno si oglejmo, kaj se dogaja, kadar ni nobe-
nih omejitev (takšnih naj bi bilo skoraj 80% oblaˇ cnih
storitev), glej npr. [5]. Pogosto se namreˇ c zgodi, da
je v javnost prišla kakšna veˇ cja baza gesel, ki nam
omogoˇ ci vpogled v naše navade.
Pri LinkIn je imelo npr. preko 80 % uporabnikov
dolžino gesel 6–10 znakov, od tega veˇ c kot 30 % dol-
žino 8. Statistika gesel pri Rockyou.com, kjer smo
lahko prouˇ cili 32M nezašˇ citenih gesel, je odkrila, da
je bilo eno najbolj pogostih gesel 123456 (0,11 %).
Sledilasta12345(0,04%),123456789(0,04%)innato
še 1234567 (0,02 %), 1234568 (0,02 %). Med prvimi
desetimisobilišepassword(0,03%),iloveyou(0,03
%), princess (0,02 %), rockyou (0,02 %), abc123
(0,02 %). 40 % gesel je vsebovalo samo male ˇ crke,
15 % samo številke, 35 % samo maleˇ crke in številke,
medtem ko jih je le 4 % vsebovalo tudi posebne zna-
ke. Znana je tudi uporaba variacij na temo enostav-
nih gesel, npr. razne kombinacije besede »geslo«,
števila 123 in trojice »abc«. Pogosta so tudi imena
mesecev in dnevov v tednu. Na koncu gesla znamo
najti loˇ cila – npr. pike, številke ali celo letnice.
Geslo za izstrelitev nuklearne rakete je bilo 20
let»00000000«. Facebookjezaglavnogeslodo-
stopa do vseh profilov uporabljal »Chuck
Norris«.
Pri PIN-ih zaznamo podobne, a vseeno še hujše te-
žave. Skorajpolovicaodvsehvnekikompromitirani
bazi je bilo štirimestnih (glej www.datagenetics.
com/blog/september32012/). Vtemprimerusobili
najbolj popularni naslednji: 1234 (11 %), 1111 (6 %),
0000 (2 %), 1212 (1,2 %), 7777 (0,7 %), 1004, 2000
(vsak po 0,6 %), 4444, 2222, 6969, 9999 (vsak po 0,5
%), 3333, 5555, 6666, 1122 (vsak po 0,4 %), 1313,
8888, 4321, 2001, 1010 (vsak po 0,3 %). Torej prav-
kar omenjenih 20 PIN-ov pokrije veˇ c kot ˇ cetrtino
vseh. Sledile so dolžine PIN-ov 6 (18 %), 8 (11 %),
5(9%),7(7%),9(3%),10(1,5%)itd,vsespodobnimi
težavami.
Da je stanje še slabše, skoraj 30 % uporabnikov
uporablja ista gesla oz. PIN-e na številnih napravah
ali raˇ cunih. Slednje ni niˇ c ˇ cudnega, saj 70 % upo-
rabnikov vsaj 10 raˇ cunov šˇ citi le z gesli. To število
bo samo še rastlo, zato prihaja do uporabe aplikacij

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)5
22
vojaška obvešˇ cevalna organizacija 2
50
−2
70
kljuˇ cev/sek.
zelo velika spletna skupina (npr. Bitcoin omrežje) 2
58
−2
68
kljuˇ cev/sek.
velika spletna skupina, 10M raˇ cunalnikov 2
50
−2
55
kljuˇ cev/sek.
akademsko omrežje, 256 raˇ cunalnikov 2
35
−2
41
kljuˇ cev/sek.
posameznik, 1 raˇ cunalnik 2
27
−2
33
kljuˇ cev/sek.
TABELA2.
Napadi z grobo silo – koliko kljuˇ cev lahko pregledamo v eni sekundi (za šifro AES-128).
128 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
80 ∞ stotisoˇ cletja leta ure* ure*
64 stoletja leta ure* minute* sekunde*
56 leta dnevi sekunde* sekunde* sekunde*
40 minute sekunde* sekunde* sekunde* sekunde*
(v bitih) skupina skupina organizacija
kljuˇ ca omrežje spletna spletna obvešˇ cevalna
dolžina posameznik akademsko velika zelo velika vojaška
TABELA3.
Napadi z grobo silo – kolikoˇ casa potrebujemo za razliˇ cne dolžine kljuˇ cev.
* zaradi organizacije in komunikacije med raˇ cuniškimi sistemi oz. ljudmi bodo napadi obiˇ cajno trajali dlje.
za upravljanje gesel. Vendar, ˇ ce v ta namen upo-
rabljate kar vaš priljubljeni brskalnik, morate imeti
obvezno nastavljeno tudiglavnogeslo (angl. master
password).
ˇ
Ce pa govorimo o podobnih geslih na
razliˇ cnih napravah, se delež poveˇ ca na 50 %. 66 %
ljudi pa uporablja 1 ali 2 gesli za vse svoje raˇ cune.
Oseba obiˇ cajno zamenja geslo na vsake 2,5–3 leta.
Kakosizapomnimovarnejšagesla?
Geslom,kivsebujejoveˇ ckotenopomenljivobesedo,
pravimo skrivna fraza (angl. passphrase). Ni treba,
da ta fraza nekaj pomeni (slika 4).
Predstavljanjeinoverjanje
ˇ
Ce poenostavimo, je identifikacija dokaz uporabni-
kove identitete, overjanje pa je postopek (za nas bo
pogostokriptografskiprotokol),prikateremuporab-
nik želi potrditi, da je res tisti, za kogar se predstav-
lja.
Za potrjevanje uporabnikove identitete se upora-
blja podmnožico naslednjih treh lastnosti:
nekaj,karuporabnikve–npr. gesla,številke(PIN),
nekaj, kar uporabnik je – to so biometriˇ cni po-
datki, ki temeljijo na fiziˇ cnih lastnostih uporab-
nika, kot so prstni odtis, šarenica, obraz, ali naˇ cin
hoje, glej sliko 7,
nekaj, kar uporabnik ima – t. i. varnostni žetoni,
kot so fiziˇ cni kljuˇ ci, osebna izkaznica, vozniško
dovoljenje, banˇ cna kartica, mobilni telefon itd.
V primeru plaˇ cila z banˇ cno kartico ali telefonom
se npr. obiˇ cajno uporabljata dve lastnosti: banˇ cna
kartica ali telefon (nekaj, kar uporabnik ima) ter PIN
številka (nekaj kar, uporabnik ve). V zadnjem ˇ casu
pa se pri plaˇ cevanju s telefonom vse bolj pogosto
uporablja biometrika.

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)5
23
SLIKA4.
Veˇ c kot 20 let so se sistemski ad-
ministratorji trudili, da bi natrenirali
uporabnike k uporabi gesel, ki si jih
težko zapomnijo, raˇ cunalniki pa so
jih kljub temu hitro uganili (idejo iz
XKCD [3] sta v slovenšˇ cino prenesli
Neja Cirar in Ajda Markiˇ c).
Anita in Bojan delita tajni (skrivni) kljuˇ c K, ki ga
uporabljata za šifriranje.
1. Bojan izbere 64-bitni izziv X in ga pošlje
Aniti.
2. Anita izraˇ cuna Y = K⊕X in ga pošlje Bo-
janu.
3. Bojan izraˇ cuna Y
′
= K⊕X in preveri, ˇ ce je
Y =Y
′
.
Primer. (4 biti)
K=10,X=6,
Y =K⊕X=10⊕6
=1010
2
⊕0110
2
=1100
2
=12.
SLIKA5.
Identifikacijski protokol z izzivom in
odgovorom. Operacijo ⊕ (eksklu-
zivni ali nad istoležnimi biti) bi lahko
zamenjali s kakšno drugo funkcijo,
tj. y = e
K
(x) ter y
′
= e
K
(x) in še
vedno preverjali y = y
′
. Skoraj vse
sheme uporabljajo protokole z izzi-
vominodgovorom,vendarpanajbolj
koristne ne uporabljajo skupnih klju-
ˇ cev. Ker presegajo ta sestavek in jih
pustimo za kdaj drugiˇ c.
SLIKA6.
Primer konkretne uporabe protokola izziv in odgo-
vor. Kako zdravstvena kartica nekega uporabnika in
terminal zdravstvenega sistena preverita pristnost
drug drugega? Najprej morata imeti tako terminal
kot kartica možnost generiranja nakljuˇ cnih števil.
Kako pa je s kljuˇ ci? Terminali imajo glavni kljuˇ c
M, in skupinski kljuˇ c K
S
, nimajo pa prostora, da
bi hranili kljuˇ ce vseh uporabnikov. Zato je vsakemu
uporabniku U s serijsko številko SN dodeljen kljuˇ c
K
U
:= e
M
(SN) (K
U
doloˇ cimo s pomoˇ cjo glavnega
kljuˇ ca M in uporabnikove serijske številke SN), ter
vsiskupinskikljuˇ ci,kisopotrebnizaprepoznavanje
razliˇ cnih skupin (poleg skupine terminalov so tu še
zdravniške kartice, pa kartice razliˇ cnih lekarn itd).

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)5
24
prstni odtisi geometrija roke odtis noge vzorec ven prepoznavanje glasu
(otroci)
vzorec zenice prepoznavanje obraza zapis zob RNK (DNA) podpis
SLIKA7.
Biometriˇ cni testi. Poudariti je treba,
da ni idealnega testa. Prstne od-
tise npr. pušˇ camo na raznih pred-
metih, ki se jih dotaknemo.
ˇ
Ce smo
dolgo v vodi ali na mrazu, se prstni
odtis malce spremeni. Še veˇ cji pro-
blem nastane, ˇ ce si prst poškodu-
jemo. Si predstavljate, da bi morali
na bankomatu oddati ugriz? Se kdo
spomni dejanskega preverjanja pod-
pisa, le-to bi moral itak opraviti izur-
jen grafolog.
Upravljanjekljuˇ cev
Postavimo si nekaj osnovnih vprašanj:
Od kod dobimo kljuˇ ce?
Zakaj zaupamo kljuˇ cem?
Kako vemo,ˇ cigav kljuˇ c imamo?
Kako omejiti uporabo kljuˇ cev?
Kaj se zgodi, ˇ ce je izgubljen/ukraden zasebni ali
tajni kljuˇ c? Kdo je odgovoren?
Kako preklicati kljuˇ c?
Kako omogoˇ cimo servis prepreˇ citve zanikanja (ko
nekdo ne prizna doloˇ cenega dejanja)?
Za bolj izkušene naj omenimo, da ta vprašanja ve-
ljajo tako za simetriˇ cne (tajne) kljuˇ ce kot tudi za
javne in zasebne kljuˇ ce, glej Presekovˇ clanek [1].
Osnovni cilj je vzdrževanje zasebnosti in celovi-
tosti kljuˇ cev. Prvo pomeni, da ostanejo kljuˇ ci tajni,
drugo pa, da jih nihˇ ce ne more zamenjati ali pokva-
riti. Ti dve lastnosti morata biti zagotovljeni skozi
ves življenjski cikel kljuˇ ca, se pravi od zaˇ cetka ge-
neriranja kljuˇ ca, pa vse do takrat, ko kljuˇ c ni veˇ c v
uporabi in je bil uniˇ cen, glej sliko 8.
Tako rekoˇ c vedno je kljuˇ c zamenjan z novim klju-
ˇ cem, kar pomeni, da gre za cikliˇ cen proces, v ka-
terem uniˇ cenju sledi namestitev/vkljuˇ citev novega
kljuˇ ca. Vendar pa je novi kljuˇ c zgeneriran, dodeljen
in shranjen, še preden je stari kljuˇ c uniˇ cen. V neka-
terih sistemih imamo še dodatno zahtevo, da kljuˇ ce
arhiviramo.
Vzvodi za nadzor so potrebni skozi celoten živ-
ljenjski cikel kljuˇ ca. To vsebuje od neke vrste re-
vizijskih postopkov (angl. audit trail) do dnevnikov
SLIKA8.
Glavne stopnje življenjskega kroga prikazuje naslednji
diagram.
uporabe kljuˇ cev, ki seveda niso smiselni brez nad-
zora ter pooblastil za ustrezen odgovor/ukrep v pri-
meru, da je bil kljuˇ c ukraden/izgubljen. Zato je po-
gosto(posebnovveˇ cjihsistemih)zaželeno,daimajo
kljuˇ ci ustrezne lastnike, ki so odgovorni za njihovo
hranjenje/zašˇ cito.
Pri algoritmih za kriptosisteme lahko uporabimo
poljubno zaporedje bitov (obˇ casno tudi drugih zna-
kov), karpomeni, dalahkoveˇ cinauporabnikovsama
generira svoje kljuˇ ce. Biti morajo nepredvidljivi: po-
gosto uporabimo
roˇ cne metode (npr. metanje kovanca/kocke, ali
bolj realistiˇ cno, premik miške),
izpeljavo iz osebnih podatkov (npr. PIN) ali
(psevdo) generatorje nakljuˇ cnih števil (RNG).
Generiranje velikih praštevil zahteva »napredno«

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)5
25
5. Ne pošiljaj ali deli z nikomer gesel in kljuˇ cev.
4. Ne kopiraj gesel in kljuˇ cev (kopiraj/prilepi prek odložišˇ ca – angl. clipboard).
v razliˇ cnih programih oz. raˇ cunih (ne recikliraj gesel in kljuˇ cev).
3. Ne uporabljaj istih ali podobnih gesel in kljuˇ cev
2. Ne hrani gesel ali kljuˇ cev na manj varnih (preveˇ c oˇ citnih/izpostavljenih) mestih.
1. Ne izbiraj pogostih (generiˇ cnih) gesel ali kljuˇ cev posebne oblike.
TABELA4.
Popravi 5 slabih navad, ki vplivajo na varnost gesel oz. bolj splošno kljuˇ cev.
5. Uporabljaj dober program za upravljanje kljuˇ cev in gesel.
(avtentikacijo) za pomembne/kritiˇ cne raˇ cune (ˇ ce je le možno).
4. Uporabljaj veˇ cstopenjsko (faktorsko/dejavniško) overjanje identitete
3. Skrivne fraze so dobra strategija za pomnenje gesel (vsaj tistih glavnih).
(in stori to takoj,ˇ ce/ko izveš, da je bil tvoj raˇ cun ukraden/izgubljen).
2. Pogosto posodabljaj/obnavljaj/zamenjaj svoja gesla in kljuˇ ce
1. Gesla in kljuˇ ci naj bodo dovolj dolgi.
TABELA5.
Pet dobrih navad za varnost gesel oz. bolj splošno kljuˇ cev.
matematiˇ cno obdelavo in lahko zahteva precejšno
moˇ c/prostor/ˇ cas. Uporabniki so vˇ casih prisiljeni za-
upati zunaj generiranim kljuˇ cem oziroma program-
ski opremi. Za ilustracijo: v primeru kriptosistema
RSA je njegova varnost povezana z napadalˇ cevo
zmožnostjo razcepa velikega števila.
ˇ
Ce bi proces
generiranja kljuˇ cev dal le omejeno število praštevil,
binapadaleclahkogeneriralistapraštevilainnatoza
vsakega izmed njih preveril, ali delijo dano število.
Razdeljevanje kljuˇ cev in varno hranjenje sta
osrednjega pomena. Problemi, na katere naletimo in
njihoverešitve,soveˇ cinomapodobni,zatojihobrav-
navamo skupaj. Razlogi za uporabo moˇ cnih kripto-
grafskih algoritmov je prepreˇ citi napadalcu, da izra-
ˇ cunakljuˇ c. Sevedavsetonimasmisla,ˇ cejihnapada-
lec lahko najde nezašˇ citene nekje na sistemu.
KakovelikojeVELIKO?
Živimole2–3milijardesekund. ZakiloK(10
3
),mega
M (10
6
), giga G (10
9
) in tera T (10
12
), ki smo se jih že
kar navadili, sledijo enote peta P (10
15
), exa E (10
18
),
zeta Z (10
21
), jota Y (10
24
), ronna R (10
27
) in quetta
Q (10
30
). Slednja je v rangu števila 2
100
(zakaj?), kar
je velikost prostora, iz katerega radi v kriptografiji
nakljuˇ cno izberemo varen kljuˇ c ali kak drug skriven
parameter. Varnostni strokovnjaki so dolžni slediti
priporoˇ cilom za izbiro velikosti kljuˇ cev za posame-
zno skupino kriptosistemov, ki se s ˇ casom seveda
nenehno spreminjajo, glej npr. Wikipedijo [6].

ˇ ˇ 
P50(2022/2023)5
26
Naloge
1. Koliko je razliˇ cnih znakov na tvoji tipkovnici
(ne pozabi na male in velike ˇ crke)? Bi znal vse
našteti?
2. Kolikozrnrižajepovpreˇ cnovenemkilogramu
riža (gotovo ga imate kaj doma)? (Namiga: Za-
kaj je v vprašanju beseda povpreˇ cno? Ali to
pomeni, da boš moral šteti veˇ ckrat?)
3. Kolikobibilomožnihgesel,ˇ cebiizbiralizage-
slo besedo v slovenskem jeziku? Kaj pa, ˇ ce bi
si izbral dve ali tri besede? In kaj, ˇ ce se ne bi
omejili s slovenšˇ cino? Koliko je razliˇ cnih jezi-
kov?
4. Kakšna je verjetnost, da uganemo štirimestni
PIN neke banˇ cne kartice, ˇ ce bi imeli možnost
poskusiti 20-krat (upoštevaj, da je bil PIN iz-
brannakljuˇ cno)? Kajpa,ˇ cebiimeliopravkas6-
ali8-mestnimPIN-om. Alibibilosmiselnodati
možnost veˇ cjega vnosa napaˇ cnih PIN-ov pri
daljših PIN-ih?
5. PrištirimestnihPIN-ihsoizrednopopularnele-
tnice (rojstev), s katerima števkama bi torej za-
ˇ celugibanje? (Tudisicersenajveˇ cPIN-ovzaˇ cne
z1,sledijopatistiz0in2,glejslikonanaslov-
nici.)
6. Ali imaš naˇ crt B za primer, ko pozabiš geslo/
kljuˇ c? Lahko predlagaš kakšnega?
7. Koliko razliˇ cnih raˇ cunov in gesel uporabljaš
(oz.ocenjuješ,dajihbošvnaslednjih10letih)?
Zeloverjetnoje,danapadalecpoznanekajtvo-
jih gesel.
ˇ
Ce obstaja skupno jedro teh gesel,
oceništevilopotrebnihugibanjzaodkritjedru-
gih gesel.
8. Naštej nekaj dobrih in slabih lastnosti obna-
vljanja gesel preko e-pošte.
9. Predlagaj še kakšno rešitev za vohunovo dile-
mo (glej sliko 2).
10. Kako toˇ cno poteka preverjanje gesla? Ali se
lahko izognemo, da bi gesla nekje hranili (kajti
kot smo omenili, zna takšna baza uiti izpod
nadzora, pa ˇ ce se še tako trudimo)? Nekatera
podjetja imajo sezname gesel za svoje zapo-
slene. Kje naj jih hranijo?
11. Predlagaj še kakšno funkcijo e
K
(x) (glej sli-
ko 5) in premisli, kaj so njene dobre in slabe
lastnosti.
12. Poišˇ ci kakšen odgovor na osnovna vprašanja
glede upravljanja kljuˇ cev, ki smo jih zastavili
na zaˇ cetku razdelka Upravljanje kljuˇ cev.
13. Naštej nekaj dobrih in slabih lastnosti posame-
znih biometriˇ cnih testov (glej sliko 7).
14. Naštejnekajprednostiinpomanjkljivostizgor-
njih slabih in dobrih navad za izbiro gesel/
kljuˇ cev (tabeli 4 in 5). Bi znal dopolnit oba se-
znama še s tremi priporoˇ cili?
15. Nakogabiseobrnil,ˇ cebimoralimplementirati
varno preverjanje gesel v svoji aplikaciji? Kako
bi se lahko izognil implementaciji gesel?
16. V razdelku Kako si zapomnimo varnejša gesla?
smo omenili, da si za skrivno frazo izberemo
npr. 4 nakljuˇ cne besede. Predlagaj kakšen eno-
stavenpostopek,kakopritidotehbesedzupo-
rabo igralne kocke.
17. Ocenidolžinopovpreˇ cnodolžinoskrivnihfraz,
ki si jih uporabljal ti ali tvoji prijatelji doslej.
Kakovelikajemnožica,izkatereizbirašbesede
za tvorjenje fraz?
Doslej se nam je uspelo izogniti zgošˇ cevalnim funk-
cijam, kar pomeni, da se bomo morali pomeniti o
geslih še enkrat.
Literatura
[1] A. Juriši´ c, Poštni nabiralnik in kriptografski pro-
tokoli, 3. del, Presek 36 (2008–2009), 22–26.
[2] A. Juriši´ c in J. Veselinovi´ c, Zaupati ali ne zau-
pati: digitalni podpis v kriptografiji, 4. del. Pre-
sek 38 (2010–2011), 25–29.
[3] R. Munroe, Spletni strip XKCD, https://xkcd.
com/936/
[4] Y. S. Ryu, D. H. Koh, B. L. Aday, X.
A. Gutierrez, J. D. Platt, J. of usibility
studies 5/2, February 2010, 65–75, do-
stopno na https://uxpajournal.org/
usability-evaluation-of-randomized-
keypad/, ogled 1. 4. 2023.
[5] J. H. Simmons, Passwords – 25 Fun
Facts and Statistics!, dostopno na
https://www.vpncrew.com/passwords-
facts-and-statistics/, ogled 1. 4. 2023.
[6] Security level, dostopno na https://en.
wikipedia.org/wiki/Security_level, ogled
1. 4. 2023.
×××


P50(2022/2023)5
27
Izbraneslikeinfotografijevpetdesetih
letihPreseka–nadaljevanje
N R, M R  A L
Nadaljujemo z izborom slik in fotografij, tokrat
do 31. letnika. Z njim se zakljuˇ cuje obdobje izha-
janja Preseka v malem formatu 14 cm× 20 cm.
Naj še enkrat spomnimo, da se nekateri Presekovi
ˇ clanki dobijo na spletnem naslovu www.dlib.si/ v
rubriki Periodika. Veliko starejših prispevkov pa hi-
tro najdemo na spletnem naslovu www.presek.si/
v Arhivu revij.
V prvi številki 21. letnika je Andrej Likar objavil
ˇ clanek, ki s fizikalnega stališˇ ca obravnava odsev. Vsi
poznamoodsevnike, kislužijozaveˇ cjovarnostvce-
stnem prometu. Spomnimo se samo na kresniˇ cke, ki
dobroodbijajosvetloboavtomobilskihžarometov,ki
pade nanje. Poveˇ can del kresniˇ cke vidimo na sliki 1.
SLIKA1.
V tretji številki naslednjega letnika je Janez Str-
nad natanˇ cno opisal, kako deluje priljubljena fizi-
kalna igraˇ ca, pravzaprav toplotni strojˇ cek, ki mu po-
pularno reˇ cemo žejna raˇ cka (slika 2).
Za isto številko Preseka je Dušan Repovš prispe-
val spretnostno nalogo s sedmimi ravnimi, enakimi
žeblji. En žebelj je treba zabiti v desko, nato pa
preostalih šest brez uporabe lepila, vrvice ali dru-
gihpripomoˇ ckovpostavitinaglavicozabitegažeblja
tako, da se ne dotikajo deske, se medsebojno pod-
pirajo in na njem poˇ civajo. Rešitev naloge je bila
objavljena na zadnji strani ovitka naslednje številke
Preseka (slika 3).
SLIKA2.
SLIKA3.
Na zadnji strani ovitka pete številke istega letnika
je Andrej Likar objavil opis in fotografijo (slika 4)
zanimivega dogajanja v okroglem otroškem bazenu,
ki je ob plimi povezan z morjem.
V prvi številki 23. letnika je Vilko Domajnko pred-
stavil veˇ c slik objektov, ki jih v trirazsežnem pro-
storu ne moremo realizirati. Preprost primer je pri-
kazan na sliki 5.
V isti številki je Matija Lokar pokazal, kako s šti-
rimi afinimi preslikavami ravnine pridemo do mno-
žice toˇ ck, ki spominjajo na praprot (slika 6). Vsak
njen list je kopija celotne praproti. To lastnost upo-
rabljajo v raˇ cunalništvu za stiskanje podatkov. Na


P50(2022/2023)5
28
SLIKA4.
SLIKA5.
ovitku naslednje številke Preseka je objavljenih še
nekaj slik tako dobljenih praproti.
SLIKA6.
V tretji številki prav tako 23. letnika je Andrej Li-
karopisal,kakolahkosamiizdelamoigraˇ co(slika7),
ki se bo ob pravilni uporabi oglašala tako kot škržat
ob morju v poletnem ˇ casu. Pa ne samo to, avtor je
tudi fizikalno razložil njeno delovanje.
SLIKA7.
Zanimiva je prva številka 25. letnika Preseka. Na
prvih dveh straneh ovitka so objavljene fotografije
kometa Hale-Bopp, ki sta jih posnela Gregor Bavdek
in Janko Merše aprila 1997. Ena od teh je na sliki
8. V isti številki je Marijan Prosén opisal opazovanje
sence gnomona. Vrh sence navpiˇ cne palice se ˇ cez
dan pomika po hiperboli, ki se ob enakonoˇ cju izrodi
v premico (slika 9).
SLIKA8.
SLIKA9.
V zadnji številki istega letnika je Gregor Bavdek
obravnavalnevihto,zlastirazelektritvevozraˇ cju. Te
pogosto spremljajo veliˇ castne strele, ki so nevarne
za ljudi in njihovo premoženje. Avtor je posnel veˇ c
slikstrel,kisoobjavljenenaovitku. Enaodtehjena
sliki 10.
SLIKA10.


P50(2022/2023)5
29
Andrej Likar je v drugi številki 26. letnika objavil
ˇ clanek Skrivljena zrcala. Velika steklena okna mo-
dernih zgradb namreˇ c delujejo kot zrcala, v kate-
rih se vidijo objekti bolj ali manj popaˇ ceno, ker šipe
niso idealno ravne. Avtor je besedilo opremil z ne-
kaj fotografijami. Tista na zadnji strani ovitka je na
sliki 11.
SLIKA11.
Vprvištevilki27.letnikajePeterLegišaopisalFre-
snelovo leˇ co in njeno uporabo. Take leˇ ce v manjši
izvedbi so pripravne za branje drobnega tiska. Osni
presek Fresnelove leˇ ce kaže slika 12.
SLIKA12.
Dne 11. avgusta 1999 je bil v naši sosešˇ cini vi-
den popolni Sonˇ cev mrk. Veliko ljudi se je odpravilo
naopazovanjetegaredkeganebesnegapojavanaav-
strijskoGradišˇ canskoaliMadžarskoalipavsajvPre-
kmurje. Nastalesolepefotografije. Enoodnjih(slika
13) je posnel Gregor Bavdek in je bila objavljena na
naslovni strani druge številke Preseka istega letnika.
Za tretjo številko 27. letnika je Andrej Likar pri-
speval krajši ˇ clanek o brveh in mostovih. V njem
obravnava sile in navore na tovrstnih objektih. Za-
nimiv je mostˇ cez Ljubljanico na vzhodni ljubljanski
obvoznici (slika 14). Fotografiral ga je avtor in je ob-
javljen na naslovnici te številke.
SLIKA13.
SLIKA14.
Isti avtor je na naslovni strani naslednje številke
Preseka objavil fotografijo Tartinijevega trga v Pira-
nu (slika 15). Del tega trga ima obliko elipse. Bralci
pa so morali ugotoviti, ali je središˇ ce Tartinijevega
spomenika v gorišˇ cu te elipse. Enako vprašanje
zastavljamo bralcem priˇ cujoˇ ce številke.
SLIKA15.
Janez Strnad je v isti številki objavil dva ˇ clanka o
Leonardu da Vinciju. Da Vinci je zapustil, razen svo-
jihumetniškihdel,tudimnogoskicvsakovrstnihna-
prav. Nekatere imajo v svojih sestavih zrcala, škrip-
ce, vzvode, vitle, krogliˇ cne ležaje, zobnike in polže
(slika 16).


P50(2022/2023)5
30
SLIKA16.
V peti številki je Mitja Rosina spraševal, kako bi
izraˇ cunalisvetlostLuneobpopolnemLuninemmrku
21. januarja 2000. Nekaj faz mrka je posnel Lojze
Vrankar (slika 17).
SLIKA17.
Leto 2000 je bilo razglašeno za svetovno leto ma-
tematike. Ob tej priložnosti je bilo organizirano tek-
movanje v izdelavi matematiˇ cnih plakatov. Dragica
inGregorij Kurilloiz Kranjasta si prislužilanagrado
za plakat, ki ilustrira toge premike z idrijsko ˇ cipko
(slika 18). Nekoliko veˇ cjega si lahko ogledate na za-
dnji strani ovitka tretje številke 28. letnika.
SLIKA18.
Marko Bokaliˇ c si je izmislil povratni rebus (slika
19), ki je povezan z matematiko. Z rešitvijo vred je
objavljen v tretji številki 29. letnika.
SLIKA19.
V ˇ cetrti številki istega letnika je Nada Razpet po-
kazala, kako lahko pravilni ˇ cetverec razrežemo na
manjša telesa in kako iz teh nazaj sestavimo pra-
vilni ˇ cetverec. Lahko pa postopek izvedemo tudi z
enakimi kroglicami, ki jih primerno zlepimo (slika
20).
SLIKA20.


P50(2022/2023)5
31
Poboˇ cje Nanosa, ki ga vidimo pri vožnji po pri-
morskiavtocestivsmeriKopra,imazanimivoobliko
(slika 21). V 4. številki 30. letnika je Andrej Likar,
ki je tudi avtor fotografije na naslovni strani, poka-
zal, kako z raˇ cunom pridemo do krivulje, ki se zelo
dobro ujema z dejanskim obrisom poboˇ cja Nanosa.
SLIKA21.
Na naslovnici naslednje številki je fotografija glo-
rije (slika 22), ki jo je posnel Matjaž Vencelj z Miza-
ste gore pri Cape Townu. Avtor v posebnem ˇ clanku
podrobnorazloži,kakonastanenaravnipojav,kimu
pravimo glorija, in zakaj ima tako ime.
Na zadnji strani ovitka je predstavljena poštna
znamka o Hallersteinu (slika 23). Na kratko je ori-
sano tudi njegovo življenje in delo.
SLIKA22.
Prvaštevilka31.letnikaimananaslovnicifotogra-
fijo(slika24),kikaže,kakosezaˇ cnekaditi,ˇ cedovolj
vztrajnozvrtenjemdrgnemolesenopaliconadovolj
suhem lesu. Posnel jo je Andrej Likar, ki je napisal
tudiˇ clanek, kisfizikalnimiargumentipojasni, zakaj
lahko na tak naˇ cin zakurimo ogenj.
ˇ
Cetrta številka istega letnika je v celoti posveˇ cena
250. obletnici rojstva barona Jurija Vege. Ob tej pri-
ložnosti je Banka Slovenije izdala priložnostne ko-
SLIKA23.
SLIKA24.
SLIKA25.
vance, katerih fotografija je objavljena na zadnji
strani ovitka (slika 25).
(Se nadaljuje.)
×××

MaRtematiˇ cneprigode
Izšel je že tretji natis knjige MArTEMATI
ˇ
CNE PRIGODE
To je unikatna zbirka kratkih zgodb, v katerih je strnjeno veliko življenjskih izkušenj avtorice MARTE
ZABRET. Izredno zanimive so zgodbe, ki izvirajo od njenih dijakinj in dijakov. Besedila so izpiljena in
veˇ cinoma napisana strnjeno; vˇ casih prav minimalistiˇ cno, brez odveˇ cnih besed. Poglavja: Zakva bom
pa jest to rabu?!; Pomoˇ c ali potuha; Boš že videla; INTERNO, EKSTERNO, INFERNO dajejo humoren,
a tudi neprizanesljiv pogled na probleme pouˇ cevanja, in to ne samo pouka matematike. Izvirne in
posreˇ cene ilustracije ter vinjete sta prispevali Ariana Godicelj in Ana Hafner.
12,50 EUR
Poleg omenjene ponujamo tudi druga matematiˇ cna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred-
stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naroˇ cite:
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Individualni naroˇ cniki revije Presek,ˇ clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naroˇ cilu starej-
ših zbirk nalog pri DMFA – založništvo 20% popusta na zgornje cene – izkoristite ga!