1 1950 -1966 AiO -..)! Vr,d rYJi KRATKA ZGODOVINA .MATEMATIKE I n~!t.-'~!S~ ;:;'Af O' - f ·.a.fb J "t,- f·. , .;, I~(V.Batagelj T. PlSanski Rešene naloge iz matematike z republiilih tekmovanj V. Batagel j T. Pisanski Rešen ---nifioge iz matematike z r~publiških tekmovanj .. c•:. il, 9 c FUNKCI..JE Rešeni problemi linearnega . proqrarmrarua l' p FUNKCI.JE II l ill<:> .:::> =:. Illlnn 1111 .i .. ~~I J/. . ~\h II.. . tli· llU/ ;,,/1 I NAJ\~A.N HRIBA]l ' R E Š E N E NALOGE IZ :"' XZ XK E z republiilkih 1elunovanj PRESEK FIZIKA NOVICE TEKMOVANJA MATEMATIKA RAČUNALNiŠTVO RAZVEDRILO REŠITVE NALOG NOVE KNJIGE NA OVITKU list za mlade matematike, fizike in astronome 14 (1986/87) številka 4, strani od 193 - 256 VSEBINA O naravi svetlobe in o lomu (Janez Strnad) 194 Urnik tekmovanj v letu 1987 (Darjo Felda) 200 17. mednarodna fizikalna olimpiada (Grega Cigler Janez Strnad) 203 6. republiško tekmovanje iz fizike za o~novnošolce Rešitve nalog str . 240 (Zlatko Bradač, Mirko Cvahte) . 204 McCullochovi stroji (Izidor Hafner) .... 212 Fibonaccijevo zaporedje (Emil Beloglavec, Mitja Lakner) 216 Fermatova števila (Branko Pavšek) 220 4. poletna šola računalništva [Tade] , Lasbaher) 225 O uporabi rekurzivnih formu l (Marko Razpet) . 226 Logo na računalniku commodore 64 (Vladimir Batagelj, Bor is Horvat, Tomaž Pisanski! 232 PRESEKOV ŠKRAT (Roman Rojko) . : . . . . . 211 O NEWTONU (Izbral in prevedel Janez Strnad) . 215 ŠTEVILSKA KRIŽANKA (Franci Oblak) 222 BISTROVIDEC - Langfordov problem (Vladimir Batagelj) 223 PREMISLI IN REŠi - rešitev iz P-XIV / 2 - Razdeliva si vino (Peter Petek) 224 NALOGA - 1987 kvadratov - Rešitev str. 253 (D.M.Miloševič,prev. Peter Petek) . . 248. ŠTEVILSKA KRIŽANKA (Franci Oblak) iz P-XIV / 2 231 iz P-XIV/ 3 248 2. srednješolsko tekmovanje iz matematike - rešitve nalog iz P-XIV /2, str. 81 (Darjo Felda) . 246 12. izb irno srednješolsko tekmovanje iz matematike rešitve nalog iz P-XIV/2, str. 83 (D. Feldal 249 - rešitve nalog iz P-XIV /2, str . 83 (Darjo Felda) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Presekov koledar II (Ciril Velkovrh) . . . . . . . . . . 252 Ivan Vidav, Josip Plemelj - Ob dvajsetletnici smrti (Ciril Velkovrh) 254 Lom svetlobe - glej članek na str. 194 (Foto Marjan Smerke) . 193 , '-/.-,1/" r L"" o NARAVI SVETLOBE IN O LOMU Svetloba potuje po praznem prostoru v ravni črti 5 hitrostlo malo manj kot 300 000 k ilometrov na sekundo. To je n ajvečja hitrost , ki jo lahko dosežejo delci , energija in sporo č ila . V prvi polovic i 17. sto letja je bil Rene Descartes prepričan, da se svetloba razšir i v hipu in je njena hitrost ne sko nč n a, medtem ko je Gali leo Gali lei zagotavljal , da je konč na , Nobeden od nji ju pa svoj ih trdi - t ev ni mogel podpreti z merjenj i. Prvi je do ločil hitrost svetlobe leta 1676 Ole Romer z opazovanjem mr kov Jupitrove lune, k i so si sled!li v daljših razmikih , v1 sin cx =v2 sin ~ I I v2 co s ~ : I I I t ·················· \ I S lika 1. Prehod kroglice preko kla nca , pri katerem dobimo lom kot pri pre hodu svetlobe iz zraka v vodo, Hitrost kroglice pred prehodom meri VI = 0 ,5 m is, po prehodu pa V 2 = = 0,67 m is, (Če se kroglica ne kota li , ampak d rsi, ve lja (ll2)mv~ = ( 112 )m v; + mgh in je klanec visok h = 1 cm , če pa se kotali ,velja (7 /5) .(1 /2) mv; = (7 /5).(1 /2) mv; +mgh in je k lanec visok h = 1,4 cm . Pri tem je m masa kroglice .) Pri vpad nem kotu a = 45° mer i lom ni kot {3 = 32° , Ker se prečna komponenta hit rost i ne spreme ni , ve lja VI sina = v 2 sin{3 in zap išemo lomni zakon v oblik i sina/sin {3 = v 2 / V, ' 194 I ko se Zemlja oddaljuje od Jupitra , in v krajših, ko se mu približuje. Za hitrostsvetlobe je dobil okoli 222000 kilometrov na sekundo . Tedaj so oživela vprašanja o na ravi svetl obe. Ali jo sestavljajo delci, ki potujejo od svet ila na vse strani? Ali gre za nekakšne periodičnemotnje, ki jim dandanes pravimo valovanje? Prvo je mislil Isaac Newton, drugo pa Christian Huygens. Newton svojega mnenja ni vsiljeval drugim,toda njegovi pristaši niso dopu š čati druge razlage. Tako je zaradi Newtonovega ugleda do prve polov ice 19. stoletja prevladovala delčna teorija svetlobe. Po premem širjenju v praznem prostoru se ni bilo mogoče odločiti ne za eno ne za drugo. Na začetku 19 . sto- letja pa so se začeli množi ti namigi , da svetlobe ne sestavljajo delci. Toda traja- lo je precej časa, preden se je to spoznanje uveljavilo . Na prehodu od delčne teorije k valovn i je imel pomembno vlogo lom, ka- kor imenujemo pojav , da svetloba na prehodu iz snovi v snov spremeni smer . Zagotovo ste že videli, kako je palica, katere del sega v vodo, navidez zlomljena . Tukaj potrebujemo samo podatek, da se pri prehodu iz zraka v vodo svetloba lom i proti pravokotnici na mejo med obema območjema. Pojav so spočetka pojasnili z obema predstavama o svetlobi . Pri prvi mislimo na kroglico , ki se kotali po vodoravn i pod lagi. Ko p reide čez nizek klanec, se kotali po nižjem delu vodoravne podlage z večjo hitrostjo. Na klancu se pospeši le v vzdolžn i smeri , ne v prečni. Zato zav ije proti pravo- kotnici na meji obeh območij (slika 1). Pr i drugi predstav i mislimo na četo, ki po cesti zavije na njivo. Brž ko mož v njej prekorači mejo, začne korakati počasneje. Če koraka četa pravokotno na mejo z njivo , se njena smer ne spremeni. Spremeni se samo razmik med vrsta- ma: tem bolj se zmanjša, čim bolj se zmanjša hitrost. Če koraka poševno na mejo z njivo, pa se spremeni smer. Mož, ki gre prvi čez mejo, se mora nekoliko zasukat i, č e naj ostane vrsta poravnana (sl ika 2) . Smer se tudi v tem primeru zlomi prot i pravokotnici na mejo obeh območij. Svetloba je vsekakor mnogo hitrejša od kroglice in od korakajoč ih mož. Oboje smo uporabi li le kot nekakšen model, da smo laže razpravljali. Ugotovil i smo , da lah ko lom pojasn imo z raz l i č no h itrostjo tostran meje in onstran nje. Toda pri valovanju je hitrost onstran meje manjša kot tost ran, pri delc ih pa večja, č e se svetloba lom i prot i pravokotn ici na mejo. Povedali smo že , da se pri prehodu iz zraka v vodo svetloba lomi proti pravokotnic i. Treba je torej izme ri- t i njeno h it ro st v vod i. Hit rost v zraku je približno enaka kot v praznem prosto- ru. Če je h itrost svet lobe v vodi večja kot v p raznem prostoru, zmaga delčna t eorij a, če pa je manjša, zmaga valovna teorija. To sta vedela že Newton in Huvqens, le da s tedanj imi napr avami ni bilo mogoče mer it i v laborato riju ne hitr o sti svetlobe v zraku ne v vodi . 195 Okoli leta 1840 je Dom inique Franco is Jean Arago opozir il na to ugotovi - tev svoja učenca Armanda Hippolyta Louisa Fizeauja in Jeana Bernarda Leona Foucaulta . Prijatelja sta bila rojena leta 1819 in sta delala v fizik i, ne da bi si z njo služ ila kruh. Toda še preden sta se lotila naloge, sta se sprla in nadaljevala raziskovanje vsak po svoji poti. 0000 0000 ~ 0000---- A 0000--r 1 0000 Sli k a 2 . Prehod č ete s cest e na njivo . pri katerem dobi m o lo m kot pr i prehodu svetlobe iz zrak a v vodo . Če ta k o raka na cesti s h i trost j o c, = 4 k m / h, na nj ivi pa s h itrostj o c , = = 3 km/ h. Pri prehodu v smeri pravo kotnice na me jo se sm er č e te ne spremen i, pač p a se v razm e rju h i t ro sti pomanjša razmik m ed vrstam i (zgo raj) : 11., / 11. , = c, / c, . Razmik m ed vrstami ustreza kraj evn i period i , se pravi valovn i dol žini p r i valovanju. Pr i prehodu pod vp ad nim k oto m a = 45 ° se četi sp rem en i smer, tak o da m eri lomni kot {3 = 32 ° (spodaj) . Desni in levi bo k pot rebujeta za p rehod čez mej o enak č as t, tako da velj a a sina = c , t in a sin {3= c, t in zap išem o lo mn i zako n v ob l ik i sin a l sin {3= c , Ic,. 196 - Prvi del naloge je rešil Fizeau leta 1849 : uspelo mu je izmeriti hitrost svetlobe v zraku . Uspeh pa je bil samo polovičen: ni mogel meriti v laboratoriju in način zato ni bil uporaben za merjenje svetlobe hitrosti v vodi. Meril je med pariškima gričema Montmartre in Suresnes v razdalji 8,6 kilometra. Curek sve- tlobe iz močne svetilke je zbral z lečo in ga usmeril na zrcalo na drugem griču, da se je vrnil na prvega. Curek je tekel skozi zobe zobatega kolesa . Kolo je začel vrtet i z vse večjim številom vrtljajev in pri določenem številu vrtljajev na se- kundo kolo ni več prepuščalo svetlobe. Za pot do drugega griča in nazaj je svetloba porabila tolikšen čas kot kolo, da se je zasukale za polovico kota med sosed njima zobema. Svetloba je na poti tja šla skozi presledek med zobema, na poti nazaj pa je zadela zob (slika 3). Kratek račun je dal za hitrost svetlobe 313000 kilometrov na sekundo. Foucault si je dal več časa, zato pa je dosegel končni uspeh. S svojim nači ­ nom je lahko izmeril hitrost svetlobe na poti nekaj metrov. To je lahko naredil v vodi. Zrcalce je poganjala majhna parna turbina na isti osi s 600 vrtljaji v se- kundi. Mirojoče zrcalce je poslalo curek svetlobe iz reže na zrcalo, da se je odbil sam vase in nazaj v režo . Ko se je zrcalce zelo hitro vrtelo, se je v času, ki ga je porabila svetloba za pot do zrcala in nazaj, tako zasukale r da je nastala sli- ka reže v določeni razdalji od reže. Po tej razdalji in podatkih o oddaljenosti Slika 3. Bistvo Fizeaujevega načina merjenja po stari risbi. Ob očesu je polprepustna plo- ščica, to je delno posrebreno zrcalo, ki prepusti približno polovico vpadne svetlobe. Zoba- to kolo z n zobmi se vrti s frekvenco v ~ 1/to' pri tem je to čas enega vrtljaj a, ko ne vidi- mo slike svetila. Tedaj je čas t ~ to / 2n ~ 1/ 2n v, v katerem se zavrti kolo za polovico raz- mika med zobema, enak času potovanja svetlobe od zobatega kolesa do zrcala v razdalji lin nazaj: t ~ 21/c. Oboje izenačimo in dobimo 1/2n v ~ 21/c in nazadnje c ~ 4nlv Pri kolesu z n ~ 720 zobmi je Fizeau nameril razdaljo I ~ 8 ,633 km in frekvenco kolesa v ~ 12 ,6 so' . Iz tega je izračunal hitrost svetlobe v zraku c ~ 4.720.8,633 km .12,6 sol ~ ~ 313 000 km /s. 197 Slika 4. Foucaultov način merjenja. V po- enostavljeni risbi (desno) se svetloba iz svetila S odbija na zrcalcu do krogelnega zrcala Z in nazaj do mirujočega zrcala (č rtkano) ter se vrne do svetil a. Ko je zrcalce ob povratku z asukan o (sklenjeno) , nastane premaknjena slika svetila S". Razdaljo s ; 2ra svetila S in slike S" dolo- č a kot a, za katerega se zasuče zrcalce v č asu potovanja svetlobe od z rcalca do zrcala Z v razdalj i I in nazaj : t ; 21/c. Velja a ; 211vt in s ; 2r.211v.21Ic in nazadnje c > 811 vrlls Foucault je pri frekvenci zrcala v; 800 S·I in razda ljah 1; 4 min r » 2,515 m name ril s ; 0,7 mm. Iz tega je dob il za hitrost svetlobe v zraku c > 811.800 S-l .2,515 m. 4m/7.1O-4 m ; 289 000 km /s. Naprava je bila v resnici precej bolj zapleten a (de- sna). Z njo je lahko n'!ravnost primerjal hitrost svetlobe v z raku c s hitrostjo v vodi c', Poleg polprepustne ploščice tq , leče aK Fermatovo načelo. Z lomom je povezana neka p resenetlj iva lastnost valava nj a. Točko 1 na en i strani meje dveh območij in točko 2 na drugi stran i povežimo z Iomljeno črto, po kateri potuje svetloba iz ene točke v drugo. Pokaže se, da pride svetlo ba iz točke v to čko Il atanko po naj- krajšem času . Pri tem velja lomni zakon sina/sinJ3 ; CI 1c 2 • Po zveznici (črtkano), ki je sicer najkrajša razdalja obeh točk, b i bila po t z večjo hitrostjo krajša, a pot z manjšo hitrostjo daljša in bi potovanje tra- jalo dalj časa. 198 in lupe Q sta dodana cev z vodo T in kro - gelno zrcalo Y , simetrično glede na zrcalo Z . Z nitko pred svetilom in zaslonkami je dosegel, da sta sliko po odboju na zrcalu Z ob rnirujočem zrcalu (A) obdajali šibkej- ši zelenkasti sliki po odboju na zrcalu Y (B). Ko se je zrcalce hitro vrtelo, sta se rabili sliki p remakn ili za s' ; 811 vr/Ic ' , srednja paza s ; 811vrllc. Premika s ' in s sta bila približno v razmerj u 4 /3, iz česar je sledilo za razmerje hitrosti v vodi in v zrak u c'rc » 3 /4 . zrcalca od zrcala in od zaslona z režo je bilo mogoče izračunati hitrost svetlobe (slika 4) . Foucault je dobil za hitrost svetlobe v zraku 298000 kilometrov na sekundo in za hitrost svetlobe v vodi v cevi 221 000 kilometrov na sekundo. Hi- trost svetlobe v vod i meri torej le 3/4 hitrosti svetlobe v zraku ali v praznem prostoru . Hitrost svetlobe v prozorni snovi je manjša kot v praznem prostoru . Izid Foucaultovega merjenja je utrdil prepričanje, da je svetloba valovanje. Poskuse, ki s svojim izidom ovržejo eno izmed dveh nasprotujočih si teorij, imenujejo odločilne ali s tujo besedo kruciaIne. Toda tudi s pomenom takih poskusov ne gre pretiravati. Celo izid Foucaultovega merjenja bi lahko pojasnili zdelčno teorijo, če bi jo prilagodili. Za delce pri prehodu čez mejo območij pač ne bi veljale enačbe, ki smo jih uporabili za kroglico na klancu . Svetlobo so imeli poslej sicer za valovanje, a vprašanje o njeni naravi je ostalo nerešeno do leta 1865, ko je James Clerk Maxwell ugotovil, da je elektromagnetno valovanje. Periodične spremembe, o kater ih smo govorili, zadevajo električno in magnet- no polje, pravokotno na smer potovanja valovanja . Vprašanje se je tedaj zdelo rešeno. Toda v fiziki ni nobeno vprašanje rešeno dokončno . Vprašanje o naravi svetlobe se je odprlo ponovno po letu 1900, ko se je pokazalo, da je energija v elektromagnetnem valovanju razdrobljena na obroke, vsaj ko jo izmenjuje z elektroni in drugimi delci iz sveta atomov . Čeprav imajo ti obroki - kvanti ali fotoni - nekatere lastnosti delcev, pa v njih nikakor ne smemo videti potomcev Newtonovih svetlobnih delcev. Kljub temu je vprašanje o de lčni ali valovni na- ravi svetlobe v našem stoletju ponovno stopilo na plan, le da v novi preobleki in na drugi ravni . Janez Strnad 199 URN IK TEKMOVANJ V LETU 1987 PODROČJE ŠOLA TEKMOVANJE DATUM MATEMATIKA osnovna šolsko do 11. aprila občinsko 18. april republiško 16. maj zvezno 6. jun ij srednja šolsko 28. februa r izbirno 14. marec republ iško 4. april zvezno 18.-19. april balkaniada začetek maja olimpiada ju l ij F IZ IKA osnovna področno 11.04 . ob 9. uri republiško 09.05. ob 10. uri zvezno 16.-17 . maj SVIO republiško 6. junij srednja republiško 24.-25. april zvezno 16.-17. maj olimpiada junij LOGIKA osnovna in republiško 26. september srednja RAČUNALNiŠTVO republiško 22.-23. maj NEKAJ INFORMACIJ O TEKMOVANJIH 1. Matematika - osnovna šola Vsa tekmovanja bodo potekala v skladu z lani sprejetim Pravilnikom o tekmo- vanju osnovnošolcev iz matematike za Vegova priznanja . Pojasnila lahko dob i- te pri tov. A. Potočniku, OŠ Kette-Murn, Koširjeva 2, Ljubljana, telefon (061)-444-181 . 200 2. Matematika - srednja šola Razpis šolskega (za učence nenaravoslovnih usmeritev) in izb irnega tekmova- nja (za vse uč ence, ki želijo sodelovati na republiškem tekmovanju) bomo ta ko kot doslej skupaj s prijavn icami poslali na šole. Vsa pojasnila daje tov D. Felda, Fakulateta za elektrotehn iko , T ržaška 25, Ljubljana , tel. (061) -265-161 (int . 233). 3. Fizika - osnovna šola Republiško te kmovanje iz fizike za osnovnošolce bo na Pedagoški akademiji v Ljubljan i, Allendejeva ulica (informacije: F. Plevnik, tel. (061 )-340-561). Tekmovanje je ekipno , ek ipo sestavljata dva učenca. Vsaka šola lahko pr ijavi po eno ekipo za 7. in eno ekipo za 8 . razred . Vse ekipe, ki žel ijo sodelovati na re- publiškem tekmovanju, se morajo udeležit i predtekmovanja v ustrezn i organi - zaci jski enoti Zavoda za šolstvo SRS : v Celju na Tehniški srednj i šo li, Pot na Lavo 22 (J. Dolenšek) v Mariboru na Pedagoški akademiji, Koroška c. 160 (M. Cvahte) v Kopru na Srednj i šoli, Cankarjeva 2 (E . Okret ič) v Ljubljani na Pedagoški akademiji , Allendejeva ulica (F. Plevnik) za Gorenjsko v Radov ljici, OŠ A.T.Linhart, Kranjska 27 (L.Lapuh-Čufar) v Mursk i Soboti na Sred nješolskem centru , Naselje V. Vlahoviča 12 (E. Dečko) v Novi Gorici na OŠ IX. korpusa NOVJ , Kidričeva 36 (A. Fakin) v Novem mestu na OŠ Grm , Trdinova 7 (T. Bučar) Gradivo za pr ipravo tekmovalcev je snov iz učbenika Ferbarja in Plevnika za 7. in 8. razred. Med tekmovanjem učenci lahko uporabljajo navedena učbenika in računaln ik . Predtekmovanje bo sestavljeno iz vprašanj in računsk ih nalog , na republ iškem tekmovanju pa se bodo učenci poleg tega pomerili še vekspe- rimentalnem delu . Priporočamo, da izvedete šolsko tekmovanje. Prijave za področno tekmova nje pošljite na naslov: F. Plevnik , Pedagoška akademija v Ljub ljani , Allendejeva ulica , 61001 Ljubljana . Informacije dobite tud i pri tov . B. Khamu, OŠ Prežihov Voranc, Prež ihova 8, Ljubljana, tel. (061)-219- -076. 4. Fizika - SVIO Republiško tekmovanje za učence 1. razredov bo na Centru srednjih šol , T rg mladosti 3, Titovo Velenje. Ob 10 . ur i bo izbirno tekmovanje dvočlanskih ek ip, ob 12 . uri pa javno finalno tekmovanje , na katerem bo sodelovalo šest najbolj - ših dvojic. Prijave pošlj ite do 25. maja na naslov: Miro Trampuš, Center sre- 201 dnjih šol, Trg mladosti 3, 63 320 Titovo Velenje - za tekmovanje iz f izike SVIO. Vsaka šola lahko prijav i največ dve ekip i. Dodatna pojasnila daje tov . M. Trampuš na gornjem naslovu, tel. (063)-853-181. 5. Fizika - srednja šola Zaradi prestavitve terminov zveznega in republiškega tekmovanja letos ne bomo organizirali predtekmovanja. Šole naj same izberejo kandidate za republiško tekmovanje. O drugih podrobnostih bomo šole obvestili predvidoma do konca februarja. Informacije dobite pri tov. I. Kukmanu na Fakulteti za strojništvo, Murnikova 2, Ljubljana, tel. (061)-223-133. 6. Logika Tekmujejo učenci, ki bodo na dan tekmovanja v 7. in 8. razredih osnovnih šol in 1. in 2. razredih srednjih šol. Šola lahko prijavi največ dva učenca za vsako skupino. Prijave pošljite do 20.06.1987 na ZOTKS, Lepi pot 6, 61000 Ljublja- na. Informacije dobite pri Andreju Jusu, tel. (061)-213-727 . Darjo Felda PRESEK - LIST ZA MLADE MATEMATIKE, FIZIKE IN ASTRONaME 14. letnik, šolsko leto 1986/87, številka 4, strani 193-256 UREDNiŠKI ODBOR : Vladimir Batagelj (bistrovldecl. Dušica Boben (pisma bralcev, stav- ljenje teksta). Andrej Čadež (astronomija), Martin Čopič, Franci Forstnerič (matematika), Bojan Golli (tekmovanja - naloge iz fizike), Pavel Gregorc, Andrej Kmet, Damjan Kobal, Jože Kotnik, Edvard Kramar (odgovorni urednik), Sandi Klavžar in Matija Lokar (računal­ ništvo) , Gorazd Lešnjak (tekmovanja - naloge iz matematike), Peter Petek (glavni uredn ik, naloge bralcev, premisli in rešil, Tomaž Skulj. Ivanka Šircelj (jezikovni pregled) , Miha Štalec (risbe) , Zvonko Trontelj (fizika), Ciril Velkovrh (urednik, nove knjige, novice). Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov : Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS - Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19,61111 Ljubljana, p.p, 64, tel. (061) 265-061/53, št . žiro računa 50101-678-47233. Naročnina za šolsko leto 1986/87 je za posamezna naročila 1000.- din, za skupinska naročila pa 800.-, po- samezna številka 250 .- din/200.- din . List sofinancirajo Izobraževalna, Kulturna in Raziskovalna skupnost Slovenije Ofset tisk Časopisno in grafično podjetje DELO, Ljubljana © 1986 Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS - 849 ISSN 0351-6652 202 17. MEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIADA Letos je mednarodna fizikaina olimpiada potekala od 13. do 20. julija v Lon - donu. Udeležba je bila rekordna, saj se je je udeležilo kar 21 delegacij, med katerimi sta prvič svoje tekmovalce poslali tudi Kitajska in ZDA. Jugoslavijo smo na olimpiadi zastopali najbolje uvrščeni z zveznega tekmo- vanja v Dečanih : Donko DONJERKOVIC iz Splita, Petar MAKSIMOVIC in Ivan RISTIC iz Beograda ter Grega CIGLER in Pavle POPOVIC iz Ljubljane. Delegacije so se zbrale 13. julija . Naslednji dan je bil namenjen počitku, vendar smo ga večinoma izkoristili za prvi ogled Londona, ki je za mladega človeka vsekakor posebno doživetje. 15. julija smo v prostorih Harrow School reševali teoretični, čez dva dni pa še eksperimentalni del nalog . Preostale dneve smo izkoristili za oglede Londona . Organizator nam je pripravil tudi izlet v Oxford ter ogled JET-a (Joint Europian Thorusl, kjer se ukvarjajo z izvedbo kontrolirane fuzije vodi- kovih jeder. To je bila za mlade fizike prav posebna zanimivost. Ogledali smo si tudi znameniti observatorij in Pomorski muzej (National Maritime Museum) v Greenwichu, kamor smo se pripeljali z ladjo po Temzi. Kadar smo ostali v Harrowu, kjer smo bili nastanjeni, smo igrali bilijard, košarko ali pa se kopali v pokritem bazenu. Slovesni zaključek olimpiade je bil 20. julija v koncertni dvorani Harrow Music School. Jugoslovani smo se tokrat slabše odrezali kot prejšnja leta, saj nismo osvojili nobenega priznanja. Daleč najboljši so bili predstavniki Sovjetske zveze, saj so osvojili kar štiri od petih prvih nagrad. Olimpiada je bila kljub slabemu uspehu za vse nas prijetno doživetje. Grega Cigler ZDA PRViČ NA FIZIKALNI OLIMPIADI Najprej so poslali iz Ameriškega združenja učiteljev fizike 20 tisoč pisem srednješolskim učiteljem s pozivom , naj predlagajo kandidate. Dvesto jih je pisalo pismeni preskus in pet- deset najboljših nato še enega. Od teh se je dvajset najboljših udeležilo desetdnevnih pri- prav . Izmed njih so s številnimi preskusi izbrali pet tekmovalcev. Trije od njih so dosegli tretjo nagrado. Janez Strnad po Physics Today (september 1986) 203 -'-'//'ll-l" ior« 1"len _11""''-'' 6. REPUBLlSKO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA OSNOVNO$OLCE Republiška tekmovanja iz fizike za osnovnošolce potekajo izmenoma na peda- goški akademiji v Ljubljani in pedagoški fakulteti v Mariboru . Šesto republiško tekmovanje je bilo 10. maja 1986 v Mariboru . Na republiško tekmovanje so se uvrstili najboljši s področnih tekmovanj. Področna tekmovanja, ki so bila 18.4.1986, so organizirali in vodili Jožica Dolenšek (Celje), Aljoša Žerjal (Koper), Franc Plevnik (Ljubljana). Zlatko Bradač in Mirko Cvahte (Maribor), Edo Dečko (Murska Sobota). Anita Fakin (Nova Gorica), Tone Bučar (Novo mesto) ter Milka Lopuh (Radovljica). Na področnih tekmovanjih je sodelovalo 129 ekip iz 7. razredov in 154 ekip iz 8. razredov, skupaj 566 najboljših učencev s predhodnih šolskih tekmo- vanj. Na republiško tekmovanje seje uvrstilo 28 ekip iz 7. razredov in 32 ekip iz 8. razredov. V vsaki ekipi sta bila po dva učenca. Tekmovalci so reševali tri teoretične naloge in dve eksperimentalni. Pri delu so lahko uporabljali učbe­ nik za 7. oziroma 8. razred in žepni računalnik . Priznanje izrekamo vsem osnovnošolskim učiteljem, ki so ob svojem red- nem delu našli dovolj časa za vodenje fizikalnih krožkov in tako vzpodbujali učence k samostojnemu in ustvarjalnemu delu pri razreševanju fizikalnih pro- blemov, ki daleč presegajo zahteve učnih načrtov. Zahvaljujemo se vsem, ki so kakorkoli pripomogli k uspešni izvedbi področnih tekmovanj in republiške- ga tekmovanja, mladim tekmovalcem pa iskreno čestitamo za dosežene uspehe. Naloge s predtekmovanja 7. razred 1. V učbeniku imaš podatke, za koliko se podaljšajo metrske palice iz različ­ nih snovi, če jih segrejemo za 1° C. Pri tekočinah raje povemo, za koliko se spremeni prostornina. Tako najdemo v priročniku podatek, da se enemu litru alkohola prostornina poveča za 1,1 ml, če ga segrejemo za 1° C. Gostota alkohola je pri 20° C 0,79 kg/dm 3 • Kolikšna je gostota alkohola pri temperaturi 50° C? 204 n Rezultati republiškega tekmovanja Osnovna šola točke (največ 201 Učenca Mentor 7. raz red Zvon imir Tu rč inov, Sand i Troh I.Madronič Klemen Kočevar,Tamara Troha M. Sadja T. Kamin L. Smolej J. Kotnik B. Levai J. Kuzma Primož Jarc, Vlado Seničar Andrej Slapar, Jernej Dolžan Gorazd Slak, Tomaž Žagar Borut Pečnik, Roni Leben Matejka Bučinel, Slavko Korenč Abrahamsberg Igor Intihar, Nataša Obleščak B. Črnilec Sašo Blažič, Marko Pavlišič B ratstvo in eno tnost, Kranj 14 'l , nag rada: Mirana Jarca, Črnomelj 19,5 2. nagrada: Veljko Vlahovič, Ljubljana 17 3. nagrada: Ivan Cankar, Vrhn ika 16 Pohvale : Vencelj Perko 15,5 Kokrški odred, Križe 15,5 Zvonko Runko, Ljubljana 15 Marjan Novak-Jovo, Ljubljana 15 IX. korpu,NOVJ,N. Gorica 14,5 B. raz red Luka Lukšič,MatjažPotrč D.Plut Maruša Pompe, Ksenija Žerial Šneljer, Košumina Tomaž Tarnat, Matjaž Pihler T. Dobnikar Borut Lesjak, Klemen Jenko T. Pfaifar Tomaž Vesel, Matevž Čadonjii J. Kuzma Boštjan Meglič, Martin Raič H. Podboj Peter Šu lek, Mitja Kolšek M. Šavor 'l , nagrada : Pohorski odred, SI. Bistrica Tone Seliškar, Ljubljana 2. nagrad a: Jože Moškrič, Ljubljana 3. nagrada: Lackov odred, Kamnica Zvonko Runko , Ljubljan a Pohvale: XV. divizije Grm, N. mesto Rihard Jakopič, Ljubljana Milan Šuštaršič, Ljubljana F ran ce Prešeren , Kranj Mirana Jarca, Črnomelj Tone Tomšič, Ljubljana Gustav Šilih , T. Ve len je 20 20 19 ,5 19 19 18 17,5 17 ,5 17,5 17,5 17 17,5 Jure Dobnikar, Robert Krevh Tomaž Štupnik, Rok Pestotnik Tomaž Klopčič, Branko Defar Igor Zadravec, Marko Žerdin Samo Gerkšič, Renata Novak V. Strašek J. Okorn M. Erjavec D. Zagernik J. Kotnik Na zveznem tekmovanju sta po dodatnih kvalifikacijah sodelovala dva učenca: Rok Pestotnik je osvojil prvo nagrado, Jure Dobnikar pa tretjo. 205 2. 3. ( 4 l' ž t p c n d d E S r k 1= p 90 100 kPo8070 95 90 10 0 T 10 5 -c 2,0 s1,5 Sl ika 3 1,00,5o o 2 J Tovornjak z maso 5 ton enakomerno vleče po klancu navzgor osebni avto z maso 1 tone. Strmina klanca je narisana na sliki 1 . al Nariši vse sile, ki delujejo na ose- bni avtomobil. Pazi na smeri sil! bl S kolikšno silo je napeta vlečna Diagram na sliki 2 kaže, kako se spre- vrv? Sila trenja je tako majhna, da jo minja temperatura vrelišča vode v lahko pri računu zanemarimo. Nalo - odvisnosti od tlaka . Pri kateri tempe- go boš najlaže rešil grafično. raturi vre voda na vrhu Pohorja (nad- Ne pozabi : Če se telo giblje premo in morska višina 1543 ml. če lahko v enakomerno, je vsota vseh sil nanj približku računamo, da je gostota enaka nič, ravno tako kot pri miro- zraka do te višine povsod enaka vanju. 1,2kg/m 3? 4. Podmornica s prostornino 80 m 3 lebdi t ik pod vodnim površjem . al Kol ikšna je teža podmornice? Gostota vode je 1000 kg /m 3 . Nato kapitan ukaže: Globina 30 ml Med spuščanjem ostane pogonski motor izključen, vključijo pa se črpalke . Gostota vode se v globini 30 m razlikuje za 0,15 kg/m 3 od gostote vode ob površju , temperatura vode pa je v obeh globi- nah enaka. b l Al i je gostota vode v globini 30 m večja ali manjša od gostote ob površju? c) Kam potiskajo črpalke vodo med spuščanjem: v podmnornico a li iz pod- mornice? d) Koli ko vode prečrpajo črpalke med spuščanjem? 5. Diagram na slik i 3 kaže kinetično energ ijo nitnega nihala v odv isnosti od časa. a) Kolikšna je kinetična in ko likšna potencialna energija n ihala ob času t = 1,0 s? ___-+_----'~'---+--~~~t bl Ko likšn i sta energij i ob času t = = 1,5 s? c) Sk iciraj diagram za potencialno en er gijo v odvisnost i od časa. 206 8. razred 1. v 60 k m +----......h 40 I 20 -_ 10 20 30 40 50 km Slika 4 2. Dve letali vzletita istočasno z letališča ob ekvatorju . Letalo A leti proti vzh o- du, letalo B pa proti zahodu. Hitrosti obeh letal sta enaki 2000 km lh za opazo- valca na Zemlji. a) Kolikšno pot preleti posamezno letalo do srečanja letal za opazovalca na Zemlji? bl Čez koli ko časa se letali srečata? cl Ko likšni pa sta poti letal za opazovalca v vesoljski ladji , ki glede na središče Zemlje mi ruje? Po lmer Zemlje je 6378 km , letali pa letita v višini 10 km. 3 . Andrej se je spust il s sanmi po klancu z naklonom 30° . Ko je prevozil raz- daljo 10 rn.je imel hitrost 9 mis. Andrej tehta skupaj s sanmi 60 kg. aj Za koliko se mu je (skupaj s sanmi) med gibanjem spremenila potencialna energija? bl Kolikšno de lo je opravila sila tr enja med gibanjem? 4. Kako b i s pos kusom pr ib ližno o ceni l, koliko zvezd vid imo s prostim oče­ som na neb u v jasni noči brez meseč ine? Površina krog le je 4 1Tr 2 . 5. Tine je doma me ril nape tost na vtič nic i. Sp rva je izmeril 220 V, ko pa je priključil 200 W gre lnik, ki je na rejen za napeto st 220 V, je bila napetost 215V. a) Ko likšen je up or žic, ki pove zuj ejo t ransformatorsko postajo in T inet ov dom? bl Ko likšn a je razdalja med tran sformatorsko postajo in T inetovim domom, če so žice bakre ne, imajo presek 6 rnrn" in so napeljane naravnost? Po - t rebne podatke za bake r poišč i v učben i k u. 207 Naloge z republiškega tekmovanja 7. razred 5 o• 1. Jure ima na vrtu prho, ki je priključena na pokončen sod z višino 1,2 m in osnovno ploskvi]o 0,4 m2 . Tlak na dnu soda je lahko za največ 8 kPa večj i od zunanjega . Sod je sprva prazen, nakar Jure nape lje v sod cev, po kateri priteče 0,2 drn ' vode na sekundo. a) Čez koliko časa mora Jure zapreti pipo? b) Koliko časa pa lahko nataka vodo, če je ves čas odprta prha, skozi katero izteče 3 drrr' vode veni minuti? Pretok vode skozi prho je pr ibližno ne - odvisen od višine vode v sodu. Specifična teža vode je 10 N/dm 3 . Aluminijasta kocka z robom 1 dm visi na silomeru, kot kaže slika 5. Nato kocko počasi spuščamo v ko- zarec z vodo, dokler ne sede na dno. Nariši diagram: sila , ki jo kaže silo- me r, v odvisnosti od lege kocke. Pre- sek kozarca je 2 dm" , specif ična te - ža aluminija je 27 N/dm 3 , vode pa 10N/dm 3 . 2. 10 15 Slika 5 3 . Ko liko toplote moramo dovest i kosu svinca z maso 100g in s temperaturo 20° C, da se bo ves sta lil? V tabelah najdemo podatek, da 130 J segreje 1 kg svinca za 1 K. Ostale podat- ke poiš či v učbeniku. Eksperimentaln i nalogi 4 . Za zd ravila, ki so v oblik i raztopin, zdravniki navad no predpišejo , ko liko žličk ozi roma kap ljic lahko zaužijemo naenkrat . a) S poskusom izme ri, kolikšna je povp reč n a prostorn ina do vrha napolnjen e žličke . 208 Slika 6 steklenička s cevko, etiini alkohol, termometer, merilo, mešalo, mili - metrski papir. Pazi, da se ne opečeš ob kuhalniku! Zan ima nas, kako se spreminja pro - storn ina kapljevine pri segrevanju. Segrevaj etilni alkohol (za približno 30 0 K) in sproti zapisuj, kako se sprem inja prostornina v odvisnosti od temperature (slika 6) . Prostornina alkohola v steklenični je 135 cm 3 , notranji presek cevke je 34,2 mm", V primerjavi z alkoholom se steklo tako malo razteza, da lahko raztezanje stekleničke zanemarimo. a) Nar iši diagram: prostornina alko- hola v odvisnosti od temperature. b) Snovi se pri segrevanju različno raztezajo. Izračunaj, za koliko se po - veča prostorn ina enega lit ra et ilnega alkohola, če ga segrejemo za 1 K. Na kratko razloži , kako si sklepal. Potrebščine: kuhalnik , čaša z vodo, b) Izmeri, kolikšna je povprečna prostornina ene kapljice, ki jo naprav iš s priloženo kapaiko . Gostota vode je 1 kg/dm 3 • c) Prejšnji teden se je za rad i nesreče v jedrski elektrarni povečalo število ra- dioaktivnih delcev v ozračju. Ker dežne kaplje med padanjem poberejo ne- kaj radioaktivnih delcev iz zraka , se ob deževju radioaktivnost na tleh pre- cej poveča. Meteorologi so pri poročilih povedali , da je v 2 urah padlo 12 mm dežja . lzra čunai, približno koliko radioaktivnih delcev je padlo med dežjem v 1 minuti na 1 m2 zemlje, če je vsaka kaplj ica prinesla povprečno 10 radio- aktivnih delcev. V prib ližku računaj, da so dežne kaplje tako velike , kot tiste pri tvojem poskusu . Potrebščine: natančna tehtnica z utežmi, kapaika, žlička, čaša z vodo, mala čaša. 5. I 8. razred 1. Miha vleče voziček z maso 60 kg po vodoravni cesti. Boštjan mu naga ja in vleče v nasprotn i smeri. Boštjan v leče ves čas z 2-krat manjšo silo kot Miha . Sila trenja je 60 N. 209 al S kolikšno silo mora vleči Miha, da se bo voziček gibal enakomerno? bl S kolikšno silo bi moral vleči Miha, da bi se voziček gibal s pospeškom 0,2 m/s2? Slika 7 Šest enakih opek je zloženih na tleh, kot kaže slika 7. Z najmanj opravlje- nega dela želiš preložiti opeke na 25 cm visoko in 48 cm dolgo polico. al Skicira], kako bi opeke zložil na polici . 25 cm b) Delo tudi izračuna]. Masa ene opeke je 3 kg, dimenzije opeke so 6 cm x 12 cm x 24 cm. Polica je ozka, tako da je prostora le za eno vrsto opek, seveda pa lahko opeke zlagaš eno na drugo. 12 cm :---: T'" 6 cm ~.....,......._.........__r-_..., 2. 3. Oče in osmošolec Marko sta se odpravila na izlet, avto pa sta pustila ob vznožju hriba . Med potjo se je oče spomnil, da je pustil prižgane luči, Marko pa je pripomnil, da bi mogoče znal izračunati, čez koliko časa se morata vrniti, da bi motor še lahko pognala z zaganjačem . Oče mu je takoj natresel podatke : "Zadaj svetijo tri žarnice po 5 W, spredaj 2 žarnici po 40 W in dve po 5 W. Na akumulatorju sta podatka 12 V, 36 Ah. V navodilih za uporabo akumulatorja piše, da lahko z zaganjačem poženemo motor, če akumulator ni izpraznjen bolj, kot do polovice . Zaradi dolge vožnje je bil akumulator napolnjen." lzračunai, čez koliko časa se morata vrniti. Eksperimentalni nalogi Za tiste bralce Preseka, ki želijo rešiti 5. eksperimentalno nalogo, dodajmo meritve, ki so jih tekmovalci dobili pri eksperimentiranju. Če je na napetostnem viru nastavljena napetost 10 V, pokaže ampermeter naslednje tokove: 112 = 60 mA, 11 3 = 20 mA, 11 4 = O, 12 3 = 30 mA, 12 4 =O, 13 4 = O. 4. S kamero z luknjico lahko merimo razdalje. a) Izmeri razdaljo od označene točke na delovnem mestu do dveh žarnic, ki sta 60 cm narazen, Nariši tudi skico poskusa. bl Kolikšno najmanjšo razdaljo še lahko izmeriš z dano kamero pri istem raz- miku med žarnicama? Potrebščine: kamera z luknjico, ravnilo. 210 5. 3 Slika 8 PRESEKOV SKRAT 2 V škatli s štirimi priključki je elektri- čno vezje, ki je prikazano na sliki 8. Vsi uporniki so enaki in imajo upor po 330 D.. Vendar sta dva upornika pokvarjena. Venem je kratek stik, drugi pa je pregorel, tako da skozi njega ne more teči tok. Ugotovi, katera dva upornika sta to in za kakšno okvaro gre pri prvem oziroma pri drugem. Škatle ne smeš . odpirati. Potrebščine: škatla zvezjem, nape- . tostni vir z vgrajenim voltmetrom, ampermeter, vezne žice. Če ne znaš uporabljati merilnika ozi- roma napetostneqa vira, pokliči de- rnonstratorja. Mirko Cvahte, Zlatko Bradač Presekov škrat se je tokrat lotil kratkočasnih vžigalic v Preseku 2 (1986/87). Najprej je zamenjal sliki pri nalogi 39 (rešitev je narisal k vprašanju,risbo pri vprašanju pa je postavil med rešitve), nato pa se je pošalil še z nalogo 44b in jo napačno rešil. Da ne bo zadrege, navajamo pravilno rešitev. Roman Rojko 211 1" '-'Tl~l"I-'-Il~1-''" ICI" I n MCCULLOCHOVI STROJI V knjigi The lady or the tiger je Raymond Smullyan uvedel novo vrsto logičnih nalog. V teh je treba najti kombinacijo znakov, ki mora izpolnjevati določene pogoje. Recimo, da imamo na razpolago le nize črtic . Niz n črtic, to je 11 1...1, naj pomeni naravno število n. Potem lahko definiramo pojem "Iiho število" takole : 1. I je liho število. 2. Če je X liho število, potem je tudi X II liho število. Kako bi preverili, da je IIIII liho število? PO drugem pogoju bo 1111Iliho , če je III liho. Po istem pogoju bo III liho, če je I liho . Toda lje liho po pravilu 1, to rej je liho tudi III oziroma 11111. Takšne naloge imajo še drug pomen. V programskem jeziku prolog je pro- gram množica takšnih pogojev. Prologov interpreter pa rešuje nalogo na podo- ben način, kot smo jo mi. Vrnimo se k Smullyanovi knjigi. Inšpektor Craig je obiskal prijatelja McCullocha, ki se je ukvarjal z izdelavo čudnih strojev, prednikov današnjih računalnikov. Seveda se je vse to dogajalo precej pred izumom prvih elektronskih računalnikov. Ko sta se že nekaj časa pogovarjala, katera števila stroj sprejme in katerih ne, se je njun pogovor nada- ljeval takole: "Dovoli, da ti pojasnim pravila ," je nadaljeval McCulloch. "Število zame pomeni naravno število; moj stroj za zdaj ne računa z negativnimi števili in ulomki. Število N zapišemo na običajen način kot zaporedje znakov O, 1,2,3, 4,5,6,7,8,9. Toda stroj lahko sprejme le števila, v katerih O ne nastopa, na primer, 23 in 5492, ne pa 502 ali 3250607 . Vzemimo dve števili : N, M . Potem NM ne pomeni N krat M, pač pa je NM število, ki ga dobimo tako , da na]- prej zapišemo N, nato pa pripišemo M. Recimo, da je N števi lo 53, M pa 728, potem je NM število 53728." "Kakšna čudna operacija s števili," se je začudil Craig. "Vem," je odvrnil McCulloch , "toda to operacijo stroj razume najbolje. Kakorkoli že, naj ti razložim pravila te operacije. Pravim, da število X produci- ra število Y, če stroj sprejme število X in če potem, ko ga damo v stroj, iz stroja pride kot rezultat število Y. Prvo pravilo je tole: Pravilo 1: Za poljubno število X je število 2X (to je 2, ki mu sledi X, ne 212 pa 2 krat X) sprejemljivo in 2X produci ra x." " Recimo, 253 producira 53; 27482 producira 7482. D rugače povedano, če vstavimo 2X v stroj, nam le-ta zbriše 2 na začetku in to, kar ostane, X, stroj vrne. " "To je precej enostavno ," je odgovoril Cra ig. " Katera so ostala pravila?" "Samo še eno prav ilo je," je odgovoril McCulloch, "toda prej moram op redeliti še tole: številu X2X pravim pridruženo štev ilo k številu X. Torej je 727 pridruženo k št evilu 7. Drugo pravilo je takole: . Pravilo 2: Če X producira Y , potem 3X producira število, ki je pridruženo k Y (to pa je Y2 Y) . " Na pr ime r: 27 producira 7 po prvem pravilu . Zato 327 producira 727 , ki je prid ruženo k 7." Zdaj pa zastav imo nekaj nalog z našim strojem . 1. Poišči število N , ki producira samo sebe. 2 . Poišč i število N , ki p roducira N2N. 3. Po išči število N, ki producira 7N. 4. Poišč i takšno štev ilo N, da štev ilo 3N producira N2N. Reš itve Najprej zapiš imo pravili simbolično. Izjava X producira Y seveda pomeni, da X producira Y. Uporabimo še implikacijo in pravili se glasita : Prav ilo 1: 2X producira X. Prav ilo 2 : X produci ra Y =>3X producira Y2 Y. V nadaljevanju bomo zA, B, .., zaznamovali nize iz znakov 1 - 9 vključno s praznim nizom . X, Y, N pa pomenijo neprazne nize. 1. Iščemo takšno šte vilo, da bo veljalo N producira N Prvo prav ilo ne pride v poštev . Če hočemo uporabiti drugo, mora veljati 3X = N in Y2 Y = N ter X producira Y Ker mora biti 3X = Y2 Y, se mora Y začeti s 3: Y = 3A . Torej 3X = 3A 23A, X =A 23A A 23A producira 3A 213 Če je A prazen niz, je to že rešitev, saj 23 producira 3 po pravilu 1. N= 3X= 323 2. Iščemo število N, da velja N producira N2N Po drugem pravilu mora biti N = 3X, N2N = Y2 Y, X producira Y Prvi dve enačbi zahtevata 3X23X = Y2Y to je Y = 3X, in veljati mora še X producira 3X. Po drugem pravilu mora biti X = 3X', 3X = Y'2 y', X' producira Y' Prvi dve enačb i dasta 33X' = Y'2Y' Zato Y' = 33A, 33X' =33A 233A, X ' =A 233A. Seveda mora biti še A 233A producira 33A Če vzamemo za A prazen niz, po pravilu 1 velja: 233 producira 33. Torej N = 3X = 33X' = 33233 3. Kdaj velja: N producira 7N? Veljat i mora N=3X, 7N=Y2Y, X producira Y Od tod 73X = Y2 Y, Y = 73A, 73X = 73A 273A, X =A 273A. Veljati mora še A 273A producira 73A. Za A vzamemo prazen niz, saj 273 producira 73 . N = 3X = 3273. 4. 3N producira N 2N? 3N = 3X: N2N = Y2 Y, X producira Y N =X = Y, X producira X PO nalogi 1 je N = 323 . 214 Naloge 1. Za stroj pokaži še naslednje: al da obstaja takšno število N, ki producira 3N23N; bl da obstaja takšno število N, ki producira N2N2N2N; cl da obstaja takšno število X, ki producira 78X278X278X278X. čl Poišči tako število N , da 3N producira 3N. d] Poišči tako število N, da 3N producira 2N. 2. Dodajmo še dve pravili: Pravilo 3 : Če X producira Y, potem 4X producira obrat števila Y O Obrat števila je število, zapisano v obratnem vrstnem redu. Obrat števila 5934 je 4395. Pravilo 4: Če X producira Y, potem 5X producira YY. al Poišči število X, ki producira XX. bl Poišči število X, ki producira obrat števila XX. cl Poišči število X, ki producira X2XX2X. čl Poišči število X, ki producira pridruženo število k obratu števila X. Izidor Hafner ŠE O NEWTONU Newton ni bil prvi razsvetljenec. Bil je zadnji izmed čarovnikov, zadnji izmed Babiloncev in Sumercev, zadnji veliki um, ki je gledal otipljivi in duhovni svet z istimi očmi kot tisti, ki so začeli graditi našo duhovno dediščino pred skoraj deset tisoč leti. John Maynard Keynes Sploh ni res, da znanstvenik išče resnico. Ona ga išče . Soren Kirkegaard Moraš biti Newton, da vidiš, kako Luna pada, ko vsakdo vidi, da ne pade. Paul Valery Izbral in prevedel Janez Strnad 215 FIBONACCIJEVO ZAPOREDJE Vzemimo zaporedje 0,1,1,2,3,5,8,13,21 ,34,55, ... ki nosi ime po italijanskem matematiku Fibonacciju . Verjetno ste opazili, da je prvo število , ki smo ga izpustili, enako 89 , Torej dobimo naslednji člen v tem zaporedju tako, da seštejemo prejšnja dva. al =O a2 =1 a3 =al +a2 =O+ 1 = 1 a4 =a2 + a3 =1 + 1 = 2 as =a3 + a4 =1 + 2 =3 a6 =a4 + as =2 + 3 =5 Splošni, to je n-ti člen, zadošča zvezi n = 3, 4, 5, oo. (1 ) Poigrajmo se malce z zgornjim zaporedjem. Priredimo mu decimaino število po naslednjem pravilu: v prvo vrstico zapišimo prvi člen zaporedja . V drugo vrstico Leonardo Fibonacci iz Pise (11807-1250) 216 zapišimo drugi člen in ga zamaknimo za eno mesto v desno. V tretjo vrstico zapišimo tretj i člen in ga zamaknimo še za eno mesto v desno . Opisani posto- pek nadaljujemo z vsemi naslednjimi členi zaporedja. I' la koncu, ki ga v resnici sploh ni, potegnimo črto in podpisana števila seštejmo . pred rezultat pa dopiši- mo ničlo in decimaino piko. o 1 1 2 3 5 8 13 21 (2) A = 0.0 1 1 2359 5... Ne boste nam verjeli. toda dobljeno število A je prav lepo. saj je enako 1/89. Poskusimo se sedaj o tem prepričati. Izkaže se. da formula (1) za naš namen ni preveč uporabna. Bralec bo v tem trenutku prisiljen globoko zajeti sapo. ker lahko noti člen an zaporedja zapišemo kot 1 1 + ,J5 n-l 1 1 -,J5 n -I-- (-----) - -- (-----) ,J5 2 ,J5 2 (3) Preverimo veljavnost zgornje trditve. Označimo z b n število (3) in pokažirno, da je za vsako naravno število n število bn enako an' Računajmo: bl = _!...(_L+_-L~)o - _~(J_-_-L~)O = -~.1 - -~.1 = O=al ,J5 2 ,J5 2 ,J5 ,J5 b = _~(J..!_~~)I - _~(J_-=---L~)I =-J..-( 1 + vl5 - 1 + vl5) = 1 =a2 2,J5 2 ,J5 2 2 ,J5 Kljub temu . da bomo račun pridno in skrbno nadaljevali na členih b 3,b4 • .. . . trditve na ta način nikoli ne bomo pokazali do konca . lzrnotajrno se s pomo- čjo formule (1). Vzemimo člena bn ' 2 in bn -1 ter ju seštej mo: 1 1 + 15 n-s 1 1 - 15 n-sb +b =--(--~-) - -- (---~-) + n-z n -I,J5 2 ,J5 2 217 + _~(~..!_-{~)n-2 _ _1.-(~_-=--~~t-2 .J5 2 .J5 2 = _~(~..!_{~)n-3 (1 + -..!-2"_-L5_ ) _ ~_(-..!-=-_{~t-3 (1 + _1_-=-1~) .J5 2 2.J5 2 2 B I I hk . . ( 1 ±.J 5 )2 (1 1 ±.J5 ) T . .ra ec a o za vaJo preveri ----- = + -----. ore] Je 2 2 1 1 +.J5 n-I 1 1 -.J5 n- I b +b =--(-----) ---(-----) =b n-z n-I .J5 2 .J5 2 n Ker smo videli, da je bl = al, b 2 = a2 in zaporedje bl, b2,b 3 , ... zadošča isti zvezi kot Fibonaccijevo zaporedje, smo trditev pokazali. Torej je an = bn za vsak n. Pot do formule (3) ni tako preprosta in jo bomo zato le skicirali na koncu. Vrnimo se k shemi (2) in jo poskusimo zapisati kot vsoto. Zamik za nekaj vrst na desno pomeni deljenje s potenco števila deset. Torej je o 1 1 2 3A = -- + --- + --- + --- + --- + ... 10 10 2 10' 10' 10' V dobljeno formulo zdaj vstavimo člene Fibonaccijevega zaporedja, izražene s pomočjo (3). Po manjšem preurejanju dobimo: 1 1+.J5 I 1 +.J5 2 1 1-.J5 I 1-.J5 2 A = ----[1+(----) +(-----) +... ]- ----[1+(----) +(----) +..] 10.J5 20 20 10.J5 20 20 =_~/- (1 + Y + y2 + y3 + .oo) _ --~- (1 +z + Z2 + Z3 + .oo) 1o-,5 1o-, 5 Z y smo označili število (1+y5)/20 in z z število (1-V5)/20. Poskusimo dolo- čiti vrednost neskončne vsote 1 + x + x 2 + " ', ki jo matematiki imenujemo vrsta, z naslednjim trikom. Naj bo Sn = 1 + x + x 2 + .oo + x" Enačbo pomnožimo z x Sn' x = X + x 2 + ...+x" + xn+ 1 in odštej mo od prvotne. Tako dobimo Sn - Sn'x = 1 _xn+ 1 saj sevsi vmesni členi pokraiša]o. Torej je 218 1 - x n+1 S =------n 1 - x (4) 'd 1 (1 - J 5 )-1 Sln =- - - ----- , tem J 5 2 Če je x po velikosti manjši od 1, to je, če je x med - 1 in 1, gredo potence xn+ 1 z naraščajočim nproti O. Če je na primer x = O. 1, je x 2 = 0 .01, x 3 = 0 .001 in tako naprej. Vsoto vrste s = 1 + x + x 2 + x 3 + ... dobimo tako, da v formuli (4) povečujemo n, to je število členov v izrazu Sn' čez vse meje. Zato je S = (1-0) 1(1-x) = 1/ (1-x) . Za vajo lahko bralec preveri , da sta naši števili y in z po velikosti manjši od 1 in je zato A = _J __ (----~---- J. ) =~_ (--2-- 2-__) = lOJ5 1 +J5 1 - J 5 J 5 19 - J5 19+ J5 1 - --io-- 1 - -20-- = _2_ .J~2:J~_=__1..il.!_-L~_ =_~_ =_~ J 5 (19 - J 5 )(19 + J 5 1 356 89 S tem smo shemo (2) ugnali . Skicirajmo zdaj še pot do formule (3) . Zapišimo noti člen Fibonaccijevega zaporedja v obliki an .= q'', Ker velja zveza (1), dobimo qn = q'"? + qn-l . Po deljenju s o'"? dob imo q 2 - q - 1 = O. Dobljena kvadratna enačba ima rešitvi ql = (1 +v5) /2 inq2 = (1 -V5) /2. Končno zasnujemo rešitev v obliki an =c.o'[ +d.qq Konstanti c in d določimo tako, da reš imo sistem dveh enačb: c.q~ + d.q~ = O c.qi + d.q~ = 1 P k ' o o d b' 1 ( 1 + J 5 )-1o rajsem rac unu o Imo c = -- - ---- J 5 2 smo nakazali izpeljavo fo rmule (3), Če ima bralec veselje, lahko reš i nas lednjo nalogo . Dano je zapo redje: O, 1, 1,3,5, 11,21 ,43, ..., k i zadošča zvezi an = 2.an_2 + an-1 Če to zaporedje zapišemo v obliki sheme (2) in jo seštejemo, dobimo 1/88. No, pa poskusite dobiti ta rezultat! Emil Beloglavec in Mitja Lakner 219 FERMATOVA STEVILA Teorija števil je veja matematike, ki proučuje lastnosti naravnih števil. Korenine ima v delih Fermata (P.S. de Fermat, 1601-1665), matematika francoskega rodu. K matematiki je Fermat pristopil kot amater, saj je bil po poklicu prav- nik. Vendar pa se je kmalu razvil v mojstra. Danes ga poznamo predvsem kot tvorca moderne teorije števil, čeprav je bil tudi eden izmed začetnikov analiti- čne geometrije in infinitezimalnega računa I. V tem sestavku si bomo odgledali tako imenovana Fermatova števila, ki jih je Fermat zapustil aritmetiki. Fermatova števila označujemo s simbolom Fn , določimo pa jih tako le: n Fn=2 2 +1, n=0,1,2, 3,... (1) Vstavimo vrednosti za n = 0, 1,2,3,4 in poglejmo, kaj dobimo: F 0= 3, FI = 5, F2 = 17, F 3 = 257, F4 = 65537 Verjetno ste tudi vi opazili, da so vsa zgoraj napisana števila praštevila. To je opazil tudi Fermat in se je lotil raziskovanja teh števil v upanju , da bo našel formulo, ki bi za n = 0,1,2,3, oo. dala sama praštevila. Misleč, da je Fn takšna formula je postavil trditev, da so vsa števila oblike (1) praštevila. Vendar pa je bil tokrat Fermat v zmoti in je pozneje Euler njegovo trditev ovrgel. Za n = 5 je pripadajoče Fermatovo število Fs = 4294967297. Euler je leta Pierre Fermat (1601-1665) 220 1732 število Fs razbil na faktorja Fs = 641.6700417 in tako pokazal, da Fs ni praštevi lo. Za F 6 so leta 1880 pokazali, da ni praštevilo. Pozneje je bilo dokaza- no, da Fn ni praštevilo za vrednosti: n=7,8,9, 11,12,18,23,36,38,73 Verjetno si se že pred to le vrstico, dragi bralec oziroma bralka,vprašal,ali obsta- ja končno ali neskončno praštevil oblike Fn- Vendar pa na to vprašanje žal ne morem odgovoriti, saj je ta problem še odprt. Fermatova števila nam dajejo lep primer povezave med teorijo števil in dru- gimi vejami matematike. To povezavo nam pokaže Gaussovo (1777-1855) genialno odkritje. To odkritje je bilo hkrati prelomnica v njegovem življenju, saj se je takrat odločil, da se bo posvetil matematiki . Pa si oglejmo njegovo od- kritje. Evklidska konstrukcija je geometrijska konstrukcija, samo z ravni lom in šestilom . Za mnogokotnik (poligon) , ki ima vse stranice in vse kote enake, rečemo, da je pravilen. Že stari Grki so poznali evklidske konstrukcije za pravil- ne poligone, ki imajo 4, 8, 16, .,. stranic, pa tudi za tiste, ki imajo 3 ali 5 stranic - enakostranični trikotnik in pravilni petkotnik. Z upoštevanjem vsega tega jim ni bilo težko konstruirati pravilne poligone z 2c.3 , 2c.5, 2c.3.5 stranicami, kjer je c katerokoli pozitivno celo število. In Grki so tudi pokazali, kako se to dela. Osemnajstletni Gauss pa je v zvezi s tem postavil naslednjo trditev in jo tudi dokazal: Če je število Noblike 2c ali 2 c krat produkt različnih Fermatovih praštevil Fw tedaj obstaja evklidska konstrukcija za pravilne poligone z N stranicami. Velja tudi nasprotno. Če za nek N obstaja evklidska konstrukcija, tedaj ima N zgornjo obliko. Kot zanimivost naj povem še to, da je eden izmed zagnanih algebristov po- rabil svoja najboljša leta in kopico listov, ko je poskušal konstruirati ustrezni pravilni mnogokotnik za F4 , ki ima 65537 stranic. Nedokončani rezultat tega uničujočega truda se z dolžnim spoštovanjem hrani v knjižnici neke nemške univerze. Na vso srečo evklidska konstrukcija za pravilni poligon, ki bi imel za osnovo Fs, ni možna, saj Fs ni praštevilo . Branko Pavšek Literatura: E.T .Bel\, Mathematics Gueen and Servant of Science, New York 1951, str. 145-147 1 Več o F ermatu lah ko bralec najde na straneh 9-14 v III. letn iku Preseka. 221 STEVILSKA KRIŽANKA Franci Oblak NAVPiČNO: 1. 24.3.(2 3 . ( 1+2 2)(2 2 +3 2 )+1) .(2.3. (2 3 -1 )(3+24 )-1) .(2 2.(22+32 ) . (2.3+5 2 )+1) 2.2.( 1+62 ). ( 1+22 .32.11.(5+62).691) 3.24.3 .(1+2.( 1+24 ).(2 4 -3) ).( 1+ +2 3 .3.809) 4.3.17.(22 .32.(32+402 )-1) 5.11.(23.10+3) .(23.102+11) 6. (5+6 2 ) .(22.3.5.(2 3 -1 )+1) 7.24 .(22 .34 .5 - 1) 8. (24 +31) .23 _1 3 9. (22 + 32 ).(2 3 - 1)2 LANGFORDOV PROBLEM VODORAVNO: 1. Prvo praštevilo, ki ni sodo. 2. Obseg pravokotnika s stranicama 345in67. 4. Ploščina pravokotnika iz 2 vodo- ravno . 6. Površina kvadra z robovi a =456, b = 567, c = 678 . 8. Volumen kvadra iz 6 vodo ravno. 10. Plošč ina kvadrata s stranico a = 123456. 11. Volumen kocke z robom 543. 12. Površina kocke z robom 543. 13. Ploščina pravokotnika , k i ima za dolžino prve stranice tr imestno število, v katerem so cifre zapo- redna števila, druga stranica ima iste cifre v obratnem vrstnem redu. 14. Obseg pravokotnika iz 13 vodo - ravno. 15. Kub sodega praštevila. BISTROVIDEC Martin Gardner v svoji knjigi "Mathematical Magic Show" piše: "Že veliko let je tega, kar je škotski matematik C. Dudley Langford opazoval svojega sinka, ki se je igral z barvastimi kockami. Imel je po dve kocki iste barve in jih je zložil v stolpič tako, da je bila ena kocka med rdeč im parom, dve kock i med mod rim parom in tr i kocke med rumenim parom. Če nadome- stimo barve s števili 1, 2 in 3, lahko stolpič op išemo z zaporedjem števil 3, 1,2, 1,3,2." Očitno zaporedje števil zadošča naštetim pogojem natanko takrat, ko j im zadošča njemu zrcalno zaporedje. Zato ju ne štejemo za različni rešitv i. Tedaj je 3, 1, 2, 1, 3 , 2 edina razpored itev treh parov kock, ki zadošča dan im pogo- jem. 222 6 8 10 2 3 5 9 13 14 15 Nalogo lahko posplošimo na n parov števil od 1 do n. Na koliko načinov jih lahko razporedimo v zaporedje tako, da bo med členoma z vrednostjo k, k = 1,2, .... n, stalo k členov zaporedja? Langford je problem objavil v reviji "The Mathematical Gazette" 42 (1958), 288. Izkazalo se je, da je rešljiv le za noblike n = 4m ali n = 4m - 1. Zaenkrat ni znano. koliko rešitev ima problem pri danem n (take oblike); razen za n ~ 12, kjer so rešitve preštel i z računalnikom. Poskusite najti rešitve za n = 4, 7 in 8. Ali bi znali dobiti vsaj eno rešitev pri kateremkoli "dobrem" n? Kaj pa, če Langfordov pogoj zamenjamo z Nickersonovim, da med členo­ ma z vrednostjo k, k = 1, 2..... n, stoji k-1 členov zaporedja? Vladimir Batagelj 223 KOLIKOKRAT KRAJSA - rešitev iz P XIV /2 Dobil i smo le 25 rešitev, od tega žal tudi 9 napačnih . Pravilne rešit ve so nam poslali Sašo DOLENC iz Ljubljane, Rudi DOLGAN iz Ljubljane, Andreja GOMBOC iz Murske Sobote, Boltežar GREGORiČ iz Postojne, Matej KOŠIR iz Tržiča, Dalibor ŠOLAR iz Krope, Dani TEMENT iz Markovec, Marko TOMAŽiČ iz Vipave, Andrei ZALAR iz Šentjurja pri Celju, Emil ŽAGAR iz Velikih Lašč, Marko BOŠNJAK iz Črnomlja. Ž reb je določ il Danija, Emila in Daliborja . Pošiljamo j im knj igo J. Kozaka Od računa/a do urejanja besedi/o Obj avljamo rešitev Danija Tementa. Označimo : a= ED, iJ = OO in x = =AF.Potem velja : ;= n(~a+b) ~ ~ 1 ~ 1 .... ~~--------.-.pB x = mIa +4b) - 4a 3 ~ ~ - 1 ~ 1 ..... - na + nb = ma + - mb - - a ~3 1 4 1 4 a(4 n - m + 4) + Btn - 4 m) = O in od tod n = 1/13 . Dalj ica AF predstavlja eno trinajstino daljice AB. Novo nalogo sem našel v neki zelo stari knj igi, kjer pa tudi omenjajo , da je naloga še vsaj dvesto let starejša. RAZDELIVA SI VINO PREMISLI IN RES' Dva prijatelja imata osem litrov vina v osemlitrski posod i. Razen tega imata še petlitrsko in trilitrsko posodo. Vino bi si rada razdeli la na po l. Kako naj samo s prelivanji med temi tremi posodami razdelita vino? Naloga ima več rešitev . Poskusite najt i čim krajšo , t .j. s č im manj preli- vanji. Rešitve pošljite do 15. maja 1987 na naslov PRESEK (za PIR), 61111 Lju- bljana, Jadranska 19, p.p . 64 224 Peter Petek 4. POLETNA SOLA RACUNALNISTVA POLETNA ŠOLA RAČUNALNiŠTVA, k i jo vsako leto organ izira Sekcija za rač u na l ni štvo pri giban ju "Znanost mladin i" , je postala že trad icionalno mesto za dod at no izobraževan je m lad ih. Člani Sekcije se t rudimo, da bi sodelujočim omogočili delovne počitnice in čimveč stro kovnega napredka. Novost letošnje šole je bilo p red avanje gosta iz tujine profesorja Jana Kwiatkowskega s Tehn i- čne univerze v Wroclavu. Udeležili so se ga tud i študenti iz ZR Nemč ije in Polj ske . Prostore za predavanja in opremo za praktično delo na računalnik i h so nam odstop ili Fakulteta za elektrotehniko , Faku ltet a za naravoslovje in tehno- logijo , Izobraževaln i center Delte in Izobraževaln i center lntertrada v Radovlji - ci. Za 49 udeležencev smo imeli na voljo 40 mikroračunalnikav. Šole so se prvič udeležil i tudi osnovnošolci , ki so se najbolje odrezali na republ iškem tekmovanju . Uč i li so se lepega programiranja v pascalu . In to zelo usp ešno! Srednješolci so bili razde ljen i po sku p inah: 1. Jezik C v računalnišk i delavnici , 2 . Program iranje v realnem času, 3 . Logo , 4. Prečni prevajalnik za problemsko orientiran jez ik, 5. Informacijska podpora poslovanja majhne fi rme, 6. S-drevesa . Kljub takšni razdr o b ljenosti so se mladi računalnikarji lahko dobro spozna- li, saj niso samo tip kali in gledali v zaslone. Večeri so minevali ob predvsem računalniških pogovo rih, branju in taroku. Ogledal i pa so si tud i Ljubljano in Sled , kar je bilo za goste iz tujine posebno doživetje. Na dosedanj ih poletnih šolah je sodelovalo preko 200 srednješolcev iz vse Slovenije . Tud i število tistih , ki so želeli sodelovati, a smo jih žal mora li zavrni- t i, je precej šnje. Kmalu se zopet vidimo na pet i poletni šoli . Priprave že tečejo ! Tadej Lasbaher 225 226 o UPORABI REKURZIVNIH FORMUL Za začetek si poglejmo kratek programček, ki je napisan v programskem jeziku BASIC za računalnik ZX SPECTRUM. Najb rž ga ne bo pretežko pr ilagoditi za drug tip računalnika. 10 LET m=30: LET a=33 20 PLOT 0,75: DRAW 255,0 30 LET f=PI /m 40 FOR x=O TO 255 50 LET y=a *SIN(x*f) 60 PLOT x , y+75 70 NEXT x Programček nariše na ekranu valovito pikčasto krivuljo, ki ji pravimo sinusoida. Sprogramsko vrstico 20 dobimo os x , v vrstici 10 pomeni m število točk na eni polovici vala, število a pa njegovo višino . Ta dva podatka lahko sami spreminjamo, da dobimo sinusoide različnih oblik. Kdor hoče, pa naj vrine še vrstico, ki bo dodala tudi os y. Programu pravzaprav ni kaj očitati. Če pa večkrat ponovimo njegovo izva- janje, nas kmalu začne motiti njegova počasnost . Nekako 20 sekund traja od trenutka, ko ga sprožimo , do trenutka, ko nam računa ln ik javi, da je delo končano. Če pa program malo bolje pogledamo, se njegovi počasnosti ni treba več čudit i. Vrstice od 40 do 70 tvorijo zanko FOR-NEXT. V njej uporabljamo funkcijo sinus (SIN), dvoje množenj in eno seštevanje , računalnik mora to opraviti kar 256 -krat. Za izračun ene vrednosti funkcije sinus je treba kar nekaj dela, to pa je glavni vzrok, da se program odvija , kakor pač se . Za bralca, k i je že vešč dela s prevajalniki , pa tale naloga: prevedi naš programček s prevajalnikom SOFTEK FP in izmeri hitrost izvajanja prevedenegaprograma. Sicer pa dodajmo programu naslednje vrst ice: 80 PAUSE 100: CLS 90 PLOT 0,75 : DRAW 255,0 100 LET yO=O: LET yl=a*SINf 110 LET c=2*COSf 120 FOR x=O TO 255 130 PLOT x, yO+75 140 LET y2=c*yl-yO 150 LETyO=yl :LETyl=y2 160 NEXT x Tako razširjen program še enkrat poženemo. Prvi del nariše sinusoido po- časi , tako kot prej, kajt i za vsako točko mora opraviti dvoje množenj in izra- čunati po eno vrednost funkcije sinus. Od programske vrstice 80 dalje dobimo še enkrat isto sliko, toda precej hitreje kot prvič . V rstice od 120 do 160 tvori - jo zopet zanko FOR-NEXT. V njej je le eno množenje in nekaj manj zahtevnih operacij . Vse to se seveda ponovi 256-k rat. In v čem je skrivnost "uspeha", če se malo pohvalimo? y x Slika 1 Čim k rivulja ni sestavljena le iz daljic in krožnih lokov, moramo izračunati dovolj mnogo različn ih točk in skoznje potegnemo kr ivuljo ali s krivuljnikom ali po občutku . Morda se je bralec v našem programu prvič srečal s funkcijo sinus. Nič za- to! Ta funkcija spada med tako imenovane kotne ali, bolj učeno, t r igonometri- čne funkcije. Veda, k i se ukvarja z njimi, se imenuje t rigonometrija, njeni za- četki pa segajo noter v staro Babilonijo in Egipt. Ni zlomek, da bi mi v dobi osvajanj a vesolja ne razumeli nekaterih preprostih stvar i iz poglavja okotn ih funkc ijah . Treba je poudar it i, da kote v matemat iki in rač u na l n i štvu ob ičajno merimo v rad ianih . Kotna enota rad ian je sred iščni kot, ki na poljubni k rožnici pr ipada lo ku, kate rega dol žina je enaka dolžini polmera k rožnice. Dovolj si je zapomniti , da je kot 1800 enak kotu 11 radianov. Po navadnem sklepnem ra- č u n u je potem kot 10 enak kotu 11 / 180 radianov. Kotne funkcije SIN , COS in TAN, k i jih pozna vaš SPECTRUM , zahtevajo kot v radian ih . V matematiki imajo oznak e sin, cos in tq , V tem članku bomo imeli op ravka le 5 prvima dvema . Postavimo v ravnino pravokotni koord inatni sistem xy . Izberimo si enoto , nato nač rtamo krožnico s sredi ščem v iz hodišč u in zradijem 1. T a krožnica bo pr ipravna za merjenje kotov . S rediščnemu kotu a pr ipada lok dolžine a. Kote bomo meril i po loku krožnice od pozitivne polovi ce osi x . Kote, merjene 227 X = cosa, y = sina T r ikotnik ONT na slik i 2 je pravoko- ten in po Pitagorovem izreku dobimo x 2 + y 2 = 1. V trigonometrij i pišemo namesto (sin a) 2 ozi roma (cos a) 2 raje sin 2a oz iroma cos/ c . T ako smo dobi- li pr avzaprav osnovno zvezo (1) sin2a + cos2a = 1 x E(l,O) Sl ika 2 y sin cl! v smeri, ki je nasprotna smer i giban ja kazalc ev na uri, bomo štel i za poz itivne, če pa jih merimo v nasprotni smer i , pa negativne . Prej om enjen i krožnici rečemo kotomerne krožnica. Kot a določ a na njnj to čko T s koord in at am a x in y . Absc iso X im enujemo kosinus kota a, ordi nato y pa sinu s ko ta a. To za- pišemo takol e: S slike 2 lahko razberemo tudi, da velj ata naslednj i fo rmul i (2) (3) sin(-a) = - sina cost -al = cosa Funkcija cos je torej soda funkc ija , funkcija sin pa liha . Hitro s slike 2 odčitamo tud i nekaj preprostih vrednosti: cosO = 1, sin O= O, COS(7T12) = O, sin(7T12) = 1, ...t COS(27T) = 1, sin (2 7T) = O. Funkcij i sinus in kosinus imamo na op isani nač in defin irani za vse kote med - 2 7T in 27T. Lahko pa ju na smiselni način razširimo na vsa realna števila z naslednj ima formulama (4) (5) sin(a + 2k 7T) = sin a cos(a + 2k7T) = cosa ki veljata za poljubno realno število a in poljubno celo število k. Zarad i formul (4) in (5) pravimo, da sta funkcij i sinus in kosinus periodični z osnovno perio- do 27T . Brez dokazov bomo navedli še formuli za sinus in kosinus vsote dveh re- alnih števil. To sta tako imenovana adicijska izreka (6) (7) 228 sinln + ~) = sina cosf + cosa sin~ cost« + m= cosa cosf - sina sin~ Veljata za poljubni realni števili a in (3. Formuli (6) in (7) sta ključnega pomena za hitrejše risanje sinusoid na računalniku. Če upoštevamo še formuli (2) in (3), dobimo še (8) sinlc - (3) = sina cosf - co>U .in(3 (9) costu - (3) = cosu cosf + sinu .in(3 Tudi ti dve formuli veljata za poljubni realni števili a in (3. Povrn imo se na naše načrtovanje sinuso id. V najbolj splošnem primeru ima ta krivulja enačbo Y =A .in(wx + <,O ). V njej nastopajo trije parametri: parame - ter A se imenuje amplituda, w krožna frekvenca in <,O začetna faza. Za lepo sliko jih je treba pazljivo izbrati. Odločimo se, da bomo funkcijske vrednosti računali v točkah Xo = O, XI = b, X2 = 2b, .. ., dokler bo pač krivulja še šla na papir oziroma na ekran. Število b je pozitivno in primerno majhno, odvisno od tega, kakšno qostoto točk bi radi imeli . Pripadajoče funkcijske vrednosti označimo Yk ' Torej Yk = A .in(w xk + <,O) = A .in(kb ca + <,O) kjer je k = O, 1, 2, oo • • Zaporedje Vo, YI, Y2, oo. pa ima zanimivo lastnost, ki srno jo izkoristili v programu. Formuli (6) in (8) dasta tole zvezo med tremi za- porednimi členi zaporedja Vo, YI, Y2, oo. : (10) Yk+l+Yk_l=2Ykcos(bw) zak=1,2,3,oo. To je poseben primer tročlene rekurzivne formule. Če poznamo Yo in YI , lah- ko izračunamo Y2, iz YI in Y2 dobimo Y3 itd. Naj bo c = 2 cos(bw). Iz zveze (10) izračunamo Yk+ 1 in dobimo (11 ) Pri danih parametrih A, co, <,O in izbranem koraku b je Yo = A sin( <,O ) in YI = =A sin(bw + <,O). Za vsak nadaljnjiYk napravimo le eno množenje in eno odšte- vanje. V posebnem primeru, ko je <,O = O, dobimo Yo = O in YI = A sin(bw) ter Y« = A sin(kbw), kar smo uporabili v programu od vrstice 100 dalje. V tem pr imeru dobimo sinusno krivuljo. Če pa je <,O = 1T/2, potem imamo Yo = A in YI = A sin(bw + 1T12) = A cosl č co) ter Yk = A sin(kbw + 1T12) =A cos(kbw). Ust rezni program bi načrtal kosinusno krivuljo . Bralec naj poskusi napisati program, ki bo s pomočjo formule (11) narisal hkrati sinusno in kosinusno krivuljo. Opazil bo, da je ena pravzaprav premik druge v smeri osi x . Hkrati pa naj kontrolira, če velja formula (1). Morda bo malo razočaran,a o tem malo kasneje. 229 Če je že treba tabeli rati funkciji sinus in kosinus z danim korakom li isto - časno, delamo raje malo drugače. Izračunati mo ramo , sk ratka, števila ck = cos(kli) in sk = sin(kli) za k = 0,1 ,2, .., Adicijski izrek (6) nam takoj da (12) sk+ 1 = sin(kli + li) = sin(kli) cosč + cos(kli) sin č adicijski izrek (7) pa (13) ck+l = cos(kli +"li) = cos(kli) cos č - sin(kli) sinč Če na kratko označimo C = CI = cosč in s = SI = sin li , potem lahko (12) in (13) zapišemo bolj pregledno: (14) sk+l=csk+sck (15) ck+l = cCk - sSk za k = O, 1,2, ... Ker poznamo Co = cosO = 1 in So = sinO = O, lahko korak za korakom izračuna­ mo Ct, St" C2, S2 ; . .. Za začetek poskusimo načrtati na računaln iku elipso s pomočjo formul (14) in (15). V pravokotnem koordinatnem sistemu xy naj ima elipsa enačbo (x /a) 2 + (y l b )2 = 1. Če jo primerjamo s formulo (1) , se nam zdi , da bi postavi- li x /a = cost in y /b = sint. S tem imamo x=acost (16) y=bsint V teh dveh enačbah nastopa parameter t, ki je realno število. S preprostim pre- mislekom ugotovimo , da točka T s koordinatama x, y ravno enkrat obhodi elipso, če parameter t preteče interval od O do 27r. Pravimo, da smo elipso para- metrizirali s parametrom t . Z enačbama (16) je podana elipsa v parametr ičn i obliki. Sedaj pa že lahko sestavimo program. 10 LET m=60: LET f=PI/m 20 LET c=COS f: LET s=SIN f 30 LET a=110: LET b=70 40 LET cO=1: LET sO=O 50 FOR t=O TO 2*m 60 PLOT 128+a *c0,75+b*sO 70 LET c1=c *cO-s *sO 80 LET s1 =c*sO+s *cO 90 LET cO=c1: LET sO=s1 100 NEXT t Program se sicer ne izvede tako hitro kot ukaz CIRCLE pri vašem računalniku; upoštevati je treba, da je to le BASIC. 230 Naloga za bralce: spremenite program tako, da bo narisal astero ido , ki je v parametrični obliki pod ana z enačbama x =a cos3 t y=asin 3 t Poleg tega kontrolirajte zvezo (1), kjer vrednosti funkcij sin in cos računate po formulah (14) in (15). Razočaranja tokrat ne bi smelo biti. Če hočemo biti varčni z računskimi operacijami, potem se odločimo za formulo (11) . Kontrola 5 formulo (1) se malo slabše obnese. Če pa vztrajamo pri tej kontroli, uporabimo raje (14) in (15), čeprav napravimo malo več ra- čunskih operacij. Bodi dovolj za danes. V prihodnji številki Preseka pa si bomo ogledali krivuljo dušenega nihanja in spregovorili o napakah pr i uporabi rekurzivnih formul. Marko Razpet IZRAZI 1 2 PRASTEVILA 6 2 2, 3,5,7 , 11, ... KVADER 3 4 P = 2(ab+ac+bc) 3 6 O 2 KOCKA V = abe P = 002 b S 6 V =a' I c 6 9 9 6 7 8). -- @, ~ ' .1, 8 ~---, , 7 a 1 1 O 4 8 6 9 4 il 9 10 2 4 9 8 8 4 6 2 9 3 '1 3 2 8 2 3 1 4 4 Db 126 4 O 6 9 2 1.1 = 11.2 = 2 • 13 , ...5 7 3 10.9 = 90 0 = 2(a+b ) 10 .10 = 100 p = a.b 14 3 O ... PRAVOKOTNIK POSTEVANKA STEVILSKA KRI2:ANKA - Rešitev iz P-XIV/2 231 LOGO NA RAČUNALNIKU COMMODaRE 64 Uvod LOGO za računalnik Commodore 64 so razvili pri firmi Commodore. Obstaja samo ver-zaja na disketi, kjer so poleg tolmača še demonstracijski programi, napisani v logu in dodatni ukazi za delo z zvokom in s figuricami, tako da se možnosti računalnika lahko popolnoma izkoristijo. Kasetna verzija tolmača za logo, ki kroži po Ljubljani, vsebuje samo tolmač brez dodatnih programov, posnet v načinu turbo. Zato dodatnih ukazov nismo opisali. Tudi ukazov za delo z disketno enoto, kot so CATALOG, READ in SAVE, ne moremo uporabljati. V zadnjem času se ponekod dobi tudi nekoliko predelana kasetna verzija, ki se predstavlja z LOGO - SLOVENIJA, ki ima dodana ukaza READ in SAVE za delo s kasetnikom, tako da je omogočeno hranjenje uporabnikovih ukazov. Delo s tolmačem je zelo preprosto. Računalnik nas sproti opozarja na naše napake. Ukaze tolmač takoj izvede. Če je ukaz izraz, tolmač izračuna in izpiše njegovo vrednost, pred katero napiše Result:. Vse ukaze lahko torej neposredo preizkušamo. Če se kak ukaz zaplete, si lahko pomagamo s G (prekinemo izvajanje), v skrajni sili pa moramo z logo ponovno pognati. Preberite še uvod v "Logo na računalniku Spectrum" v prejšnji številki Preseka. Osnove in posebnosti Logo pozna naslednje vrste objektov: nizi znakov besede: "ABeD " •ABC DEF GH' " 123 " števila: cela števila so na intervalu -2!<31> . . +2!<31> - 1 , pri realnih številih je najmanjše 1.00000N38 in največje 1.99999E38 logični vrednosti sta "TRUE in "FALSE seznami l ) II AB 12 ) 34 EFR [)J Spremenljivke 1 ABe X33 123 "1 ime spremenljivke - uporabljamo pri prirejanju : 1 vrednost spremenljivke, kadar uporabljamo spremenljivko v izrazih Ločila in posebni znaki lOČUje oznako vrstice od ukazov v vrstici (pri GO ukazu) lOČUje ukaze od komentarja razumi znake do naslednjega • dobesedno Ukazi ABC VAJA E99 .SYS001 PRAZNO? Kote merimo v stopinjah. Barve določamo z njihovimi številkami (O .. 15), ki imajo enak pomen kot v basicu. 232 Načini delovanja Osnovna načina delovanja sta ? EDIT ED sprotni način in urejanje. znak (pozornik), da je LOGO v sprotnem načinu in da čaka naših ukazov vključi urejanje ukazov in spremenljivk V sprotnem načinu dela lahko izbiramo vključi grafični naCln ND vključi tekstovni način lahko izbiramo: DRAW NODRAW V grafičnem načinu TEXTSCREEN SPLITSCREEN FULLSCREEN < Fl > < F3 > < F5 > ves zaslon je namenjen za izpisovanje spodnjih pet vrstic za izpisovanje ves zaslon je namenjen za sliko kontroliramo s: (Gone) (Wait) (Zigzag) Izvajanje G W Z dokončno prekinemo izvajanje začasno prekinemo izvajanje (stikalo) začasno prekinemo izvajanje in lahko vnašamo svoje ukaze CONTINUE CO nadaljUjemo izvajanje (po uporabi Z) ponovno poženemo LOGO, če G ne pomaga Vse funkcijske in kontrolne tipke delujejo tudi med izvajanjem ukazov, razen če jih z .OPTION "RC ne izključimo. tečko vrstice znakov. začetek vrstice konec vrstice briši znak pod briši do konca en znak desno en znak levo dela - tolmačenje) briši znak pred tečko ponOVi prejšnjo vrstico briši tekočo in prejšnje vrstice (za sestavljanje ukazov - programiranje) Vključi urejevalnik definiraj urejani ukaz definiraj urejani ukaz prekine urejanje, ukaz ostane nespremenjen prejšnja stran (ali začetek teksta) naslednja stran (ali konec teksta) briši znak pred tečko prejšnja vrstica naslednja vrstica T (cursor up) ED (Complete) (Gone) (Back) (Forward) T (cursor up) (cursar dawn) , 1> B F O. Urejevalnik Pri urejanju je vključeno samodejno vrivanje (INSERT) Splošni kontrolni znaki za urejanje A (prva črka) L (Line) D (Delete) K (Kill) (cursor right) (cursor left) Vrstični urejevalnik (za sprotni način dNST/DEL> zaslonski urejevalnik EDIT ime parametri C G 233 o (Open) M vključi eno prazno vrstico končaj vrstico centriraj tekst omogoči vključitev kontrolnih znakov v tekst (" v BASICU) + + + + + + + + + + + + + + li: li li: + + + li: li 1. Žel vja grafika Na zaslon je postavljen koordinatni sistem (x,y) , -160~X~159, -129~y~130 BACK n BK želva n korakov vzvratno BACKGROUND n BG določi barvo podlage (n = O •• 15) CLEARSCREEN CS počisti zaslon, pusti želvo DOUBLECOLOR dvojna debelina želvine sledi DRAW vključi grafični način F DRAWSTATE seznam podatkov o stanju želve ITEM 1 DRAWSTATE TRUE, če je eero spuščeno (PD) ITEM 2 DRAWSTATE TRUE, če je zelva vidna (ST) ITEM 3 DRAWSTATE barva Eodlage na sliki (BG) lTEM ij DRAWSTATE barva crnila na sliki (PC) lT~l 5 DRAWSTATE način (SINGLE- ali DOUBLECOLOR) lTEM 6 DRAWSTATE način (TEXT-, SPLIT-, ali FULLSCREEN) lTEM 7 DRAWSTATE barva podlage v tekstu (TEXTBG) ITEM 8 DRAWSTATE barva teksta (TEXTCOLOR) FORWARD n FD želva n korakov naprej F HEADING absolutna smer želve v stopinjah HIDETURTLE HT skrij; ne riše želve, sled pa HOME premakne želvo v koordinatno izhodišče LEFT n LT zasuk želve za n stopinj v levo NODRAW ND vključi tekstovni način NOh~AP omeji gibanje želve na zaslonu PENCOLOR n PC določi barvo sledi (n = -1 15) PENERASE PC -1 želva briše dele sledi, čez katere gre PENDOWN PD spusti pero; želva pušča sled PENUP PU dVigni pero; želva ne pušča sledi RIGHT n RT obrat želve za n stopinj v desno SETHEADlNG n SETH zasuk aj želvo v smer n (absolutno) SETX n premik želve do koordinate x = n SETXY x y premik želve v točko (x,y) . SETY n premik želve do koordinate y = n SHOWTURTLE ST riši želvo, je vidna SINGLECOLOR enojna debelina črte STAMPCHAR x želva natisne znak x TEXTBG n določi barvo podlage teksta ( n = 0.• 15 TEXTCOLOR n določi barvo teksta ( n = 0.• 15 ) F TOWARDS x y sner v stopinjah proti točki (x, y) WRAP zaslon je "zvit" v svitek (torus) F XCOR želvina trenutna x - koordinata F YCOR želvina trenutna y - koordinata 2. Operacije in fUnkcije F + F - F li: F / seštevanje odštevanje; če se uporablja kot predznak, potem v oklepajihl (- 5) množenje deljenje (rezultat realen) + + + + 234 F < F > F F ATAN a b F BITANO nl n2 F BITOR nl n2 F BITXOR nl n2 F cas x F INTEGER x F QUOTIENT a b F RANro-l n RANro-lIZE (RANDa-1IZE n) F REMAINDER a b FRaUNO x F SIN x F SQRT x relacija večji relacija manjši relacija enak areus tangens izraza alb konjunkcija po bitih disjunkcija po bitih ekskluzivni OR po bitih kosinus celoštevilski del od x celoštevilski kvocient a in b naključno število med O in n-l izbere naključno začetno število postavi začetno število za generator celoštevilski ostanek zaokroži x sinus kvadratni koren + + + il + il il + + + + + + + + il + + + + + + il + il • + + + + • + objekt brez prvega elementa objekt brez zadnjega elementa število elementov v objektu ali je objekt x prazen prvi element objekta dodaj objekt na začetek seznama n-ti element objekta zadnji element objekta ustvari seznam z objektoma obl in ob2 ustvari seznam iz danih objektov ali je objekt seznam dodaj objekt na konec seznama ali je x element objekta ob ali je objekt število ustvari seznam iz elerr~ntov obeh objektov ustvari seznam iz elementov danih objektov stik besed xl in x2 stik danih besed ali je objekt beseda 3. Seznamski ukazi ob objekt (beseda ali seznam) F BUTFIRST ob BF F BUTLAST ob BL F COUNT ob F EMPTY? ob F FIRST ob F FPUT ob seznam F ITE~l n ob F LAST ob F LIST obl ob2 F (LIST obl ob2ob3 •.• ) F LIST? ob F LPUT ob seznam F MEMBER? x ob F NUI-1BER? ob F SENTENCE obl ob2 SE F (SE obl ob2 ob3 ) F WORD xl x2 F (WORD xl x2 x3 F WORD? ob 4. Definiranje ukazov (programiranje) DEFINE ime llpar] lVl] lv2] ••• lvn]] sestavi ukaz z imenom ime, s parametri par in z vrsticami vl, v2, .•. , vn EDIT x ED Vključi urejanje x ALL vseh ukazov in sprerr~nljivk (imen obj.) x NAMES imen objetkov in njihovih vrednosti • X = PROCEDURES vseh ukazov x ime ukaza ime + x = lime 1 ime2 ukazov v seznamu ime1, ime2 + x zadnjega urejanega ukaza + END konec ukaza + 235 ERASE x ER x = ALL x = NAMES x = PROCEDURES x ime x = limel ime2 ... J TEXT "i ma TO ime parametri C brisanje definicij zbriši vse ukaze in imena zbriši imena objektov zbriši vse ukaze zbriši ukaz z danim imenom zbriši ukaze v seznamu seznam s ss znamrm parametrov in seznami vrstic ukaza ime (nasprotno od DEFINE) vključi urejanje ukaza ime končamo urejanje (difiniranje) ••• + + + • 5. Prireditveni stavek in spremenljivke LOCAL "ime definicijsko območje spremenljivke ime je omejeno na tekoči ukaz MAKE "ime izraz spremenIjivki ime priredi vrednost izraza MAKE :ime izraz spremenljivki, na katero kaže ime, priredi vrednost izraza F THING "ime vrednost spremenljivke ime (isto kot :ime) F THING :ime vrednost spremenljivke, na katero kaže ime F THING? "ime ali je spremenljivka ime že definirana 6. Pogojni stavek in pogoji F ALLOF a b konjunkcija (logični IN) F (ALLOF al a2 an konjunkicja F ANYOF a b disjunkcija (logični ALI) F (ANYOF al a2 an disjunkcija IF pogojni stavek; primeri: IF IF THEN IF THEN ELSE IFFALSE aSE varianta za kretnico TEST IFTRUE THEN varianta za kretnico TEST F NOT a negacija a TEST logična kretnica + + + + • o o + o 7. Krmilni stavki GO n GOODBYE OUTPUT ob OP REPEAT n lul u2 RUN l ul u2 ••• J STOP TOPLEVEL 8. Branje in izpis .CHO n F ASCII x F CHAR n CLEARTEXT CLEARINPUT 236 nadaljuje izvajanje v vrstici z oznako n oznake lOČUjemo od vrstic z : ponovno poženemo logo vrni objekt ob v klicoči ukaz ponovi n krat ukaze v seznamu izvedi ukaze v seznamu vrni se v klicoči ukaz vrni se v osnovni nivo (sprotni način) izpiši znak s kodo ASCII n koda ASCII znaka x znak s kodo ASCII n zbriše tekstovni zaslon zbriši "character input buffer" (koristno pred uporabo RC ukaza) • + + + + + o + + + CURSOR x y pos tavi tečko na koordinato (x,y) i[ (x = O •• 39, y = O •• 24) F CURSORPOS seznam z x in y koordinato tečke i[ FPRINT ob isto kot PRINT vendar dobesedno ;1( (tudi • pri besedah in LJ pri seznamih) (FPRINT obl ob2 isto kot PRINT vendar dobes edno ;1( NOPRINTER izključ i t iskalnik ;1( PRINT ob PR izpiši objekt in se postavi v novo vrstico + (PRINT obl ob2 izpiši objekte; med objekti po en pr esledek + PRINTl ob izpiši objekt ;1( (PRINTl obl ob2 •.• ) izpiši objekte brez presledkov ;1( PRINTER vključi t i skalnik ;1( F RC? ali je pritisnjena kakšna tipka ;1( F READCHARACTER RC preberi en znak (brez Z začasno prekini izvajanje lahko vnašamo svoje ukaze izklj uči sledenje vključi sledenje; sledenje nadaljUjemo s pritiskom kake tipke, končamo s G 237 + li + + li li za pra ukaze- umeri velikost zaslona v navpični smeri vgrajena vrednost n=0.768 za 260 korakov poženi strojno kodo na naslovu n seznam vseh imen, ki jih LOGO pozna shrani vrednost x na naslov n (POKE) vredn03& na na31 0vu n (PEEK) garbage collection število trenutno praznih členov spreminjanje vgrajenih vrednosti 11. Sistemski ukazi .ASPECT n .CALL n F .CONTENTS .DEPOSIT n x F .nAMINl::: n . GCOLL F .NODES .OPTION 12. Spreminjanje vgrajenih vrednosti .OPTION "DRAW O n spremeni osnovno barvo podlage na n .OPTION "DRAW 1 n spremeni osnovno barvo črnila na n .OPTION "EDIT O n spremeni barvo podlage v urejevalniku .OPTION "EDIT 1 n spremeni barvo črnila v urejevalniku .OPTION "PRINTER O n spremeni številko tiskalnika (vgrajeno n=4) .OPTION "PRINTER 1 n spremeni drugo številko tiskalnika (vgrajeno n=O - velike črke/grafični znaki; n=7 - velike črke/male črke) .OPTION "PRINTER 2 n usmeri izpis za tiskalnik (vgrajeno n=O - izpis tudi na zaslon; n=l - izpis samo na tiskalnik) .OPTION "RC O n ali se znaki za kontrolo izvajanja lahko prestrežejo z RC (ustrezni bit postavimo na 1) ali ne (ustrezni bit je O - vgrajeno) G 1 < Fl > 8 Z 2 < F3 > 16 W 4 < FS > 32 .OPTION "READ O n način včitavanja datoteke (vgrajeno n=O - datoteka z ukazi; n=l - besedilo) .OPTION "SAVE O n način shranjevanja datoteke (vgrajeno n=O - delovni prostor; n=l - urejevalnikov prostor) .OPTION "STAMPCHAR 1 n množica znakov za ukaz STAMPCHAR (vgrajeno n=O - velike črke/grafični znaki; n=l - velike črke/male črke) .OPrION "STAMPCHAR 2 n običajni in inverzni znaki za ukaz STAMPCHAR (vgrajeno n=O - običajni; n=l - inverzni) 13. Sporočila o napakah DIDN"T OUTPUT : ni vrnil objekta; srno uporabili kot parameter nekega drugega ukaza cpr-aukaz» DOESN"T LIKE AS INPUT : ni pravi parameter za DOESN'T LIKE AS INPUT, IT EXPECTS TRUE OR FALSE : praukaz IF zahteva logično vrednost oziroma pogoj , IN LINE AT LEVEL OF : napaka se je pojavila v določeni vrstici ukaza na določenem nivojU IS A LOGO PRIMITIVE : je praukaz Loga; hoteli srno definirati ukaz z imenom, ki je že ime praukaza NEEDS MORE INPUTS : potrebuje več parametrov; večina praukazov in vsi ukazi, ki jih definiramo zahteva točno določeno število parametrov 238 (operacija> NEEDS SOMETHI NG BEFORE IT : coper-aci ja» pot r ebuj e še nekaj ; ~ritmetične operacije ob~čajno zahtevajo dva parametra ~O STORAGE LEFTI : ni več prostega prostora; rekurzivni klici so zasedli ves prostor - sklad ~UMBER TOO LARGE OR TOO SMALL : število preveliko ali premajhno; pri ~ritmetični operaciji je prišlo do prekoračitve obsega števil ?ROCEDURE NESTING TO DEEP : pregloboko gneZdenje ukazov (omejitev okrog 200) qESULT: : opozori nas, če v sprotnem načinu uporabljamo izraze; Jbičaj no izraze uporabljamo kot parametre drugih ukazov - proc edur fHE : IS OUT OF PLACE AT : znak ":" pri besedi je na napačnem nestu; običajno pravopisna napaka fHE DISK IS FULL : disketa je polna fHE DISK IS WHITE PROTECTED : disketa je zaščitena pred pisanjem fHERE I S NO DISK IN DISK DRIVE : v disketni enoti ni diskete (pr aukaz> SHOULD BE USED ONLY INSIDE A PROCEDURE lahko Jporabljarno samo v jedru procedure (OUTPUT, STOP, LOCAL in GO smo hoteli Jporabiti v sprotnem načinu) :AN' T DIVIDE BY ZERO: ne morem deliti z nič )I SK ERROR : napaka na disketi (disketa je poškodovana ali zaščitena pred :ATALOG) ::ND SHOULD BE USED ONLY IN THE EDITOR : END lahko uporabljamo samo v Jrejevalniku - uporabili smo ga v sprotnem načinu ali v DEFINE ali ni bil v samostojni vrstici ::LSE IS OUT OF PLACE : ELSE je na napačnem mestu; manjka IF ali THEN ~ILE NOT FOUND : datoteke ni na disketi _INE GIVEN TO DEFINE TOO LONG "INE GIVEN TO REPEAT TOO LONG _INE GIVEN TO RUN TO LONG: predolga vrstica (seznam) za ukaze DEFINE, REPEAT .li RUN (omejitev 256 znakov) "J:SSI NG INPUTS INSIDE () ' S : manjkajo parametri med oklepaji fHEN IS OUT OF PLACE : THEN je na napačnem mestu; verjetno manj ka IF fHERE IS NO LABEL : oznaka ni definirana fHERE IS NO NAME : spremenljivka ni definirana fHERE IS NO PROCEDURE NAPiliD : ukaz ni definiran fHERE' S NOTHING TO SAVE : ničesar ni mogoče shraniti; delovni prostor je cr-azen fOO MANY PROCEDURE INPUTS : ukaz ima preveč parametrov fOO MUCH I NSIDE PARENTHESES : preveč notranj i h oklepajev; logo ne zna ~nali zirati izraza fURTLE OUT OF BOUNDS : žel va je zunaj zaslona; omejili smo jo z NOWRAP W U DON'T SAY II'HAT TO DO WITH : ne poveš kaj stor iti z objektom; noral bi biti vhodni parameter Jladirrdr Batagelj, Boris Horvat, Tomaž Pisanski 239 6. REPUBLlSKO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA OSNOVNOŠOLCE - Rešitve nalog iz P-XIV / PREDTEKMOVANJE 7. razred 1. 0,79 kg alkohola ima pri 20° C prostornino 1 drn " . Ko ga segrejemo za 30° C, se mu prostornina poveča za 30.1,1 ml = 33 ml. Gostota pri 50° eje p = 0,79 kg/1.033 dm 3 = 0,76 kg/dm 3 . 2. ____10 cm Fg =10000 N (a) (b) Slika 1. Sile, ki delujejo na avtomobil : teža (Fg). pravokotna komponenta sile podlage (F p}, sila tre nja (F tl, vleč na sila (F v) lal. Grafič na do loč itev ve likosti sil (b) . b) Narišemo strmino klanca in v merilu narišemo težo osebnega avtomobila, npr .: 10.000 N ustreza dolžini 10 cm. kot kaže slika b. Narišemo še smeri sil Fv in Fp in rezultanto R teh dveh sil, za katero vemo, da je nasprotno enaki teži. 240 t 2,0 s1,51,00, 5o o Rezultanto nato razstavimo na obe pravokotni smeri in izmerimo, kako dolga je na sliki vlečna sila. 2,9 cm ustreza 2900 N. Vrv je napet a s silo približno 2900 N. 3. Na morski glad ini je tlak približno 100kPa. Če se dvignemo za 1543 rn, se tlak zmanjša za p = o.h = 12 N/m3.1543 m = 29 kPa in znaša 81 kPa. Iz di agrama razberemo , da pr i tem tlaku voda vre pri približno 94 0 C. 4. a) V ravnovesju je teža podmornice enaka vzgonu. Sledi : Fg 1 = FV1 oz iro - ma Fg 1 =0\. V = 10000 N/m 3 . 80 m 3 =800 kN . b] Zaradi večjega tlaka je gostota vode večja . c) Vzgon je v večji globini zaradi večje gostote večji. Ker je večji vzgon, mo- ra biti tud i teža podmnornice večja. Črpalke potiskajo vodo v podmornico . d) Tudi v glob ini 30 m je pod mnornica v ravnovesju : Fg 2 = F v2 oziroma Fg 2 = 02· V . Če enačb i odštejemo, dobimo: Fg 2 - Fg 1 = 02 ' V - 0\ . V = = (02 - 0\). V = 1,5 N/m 3 . 80m 3 = 120 N. Razl ika tež je ravno teža prečrpane vode . Črpalke morajo prečrpati 12 kg vode . 5. a) Celotna energija je enaka naj- večji k inetičn i energiji . Energija 2 J je enaka vsoti kinetične in potenci- 2 Jalne energije. Sledi : Wk = 2 J , Wp =0. b) Wk =O, Wp =2J. cl Slika 2. Odvisnost potencialne energije Wp od časa za nitno nihalo 8. razred [km/h]V 60 40 20 1. Slika 3. Odvisnost hitrosti v od I I tO časa t pri gibanju avtomobila . O 0 ,5 1,5 2 uri 2. a) Vsako letalo preleti polovico obsega Zemlje: s = 'Tr r = 20000 km. Pot i obeh letal sta enaki. b) t =slv = 20000 km /(2000 km /h) = 10 ur. c) Najp rej izračunamo hit rost točke na ekvatorj u: v = 21T rito = 1670 km /h. V 10 urah se ta točka prema kne za 16700 km . Letalo A prelet i 36700 km , letalo B pa 3300 km. 241 3. Ko je Andrej prevozil 10 m, se je spustil za 5 rn, saj je t rikotnik na sli- k i 4 polovica enakostraničnega tr i- kotn ika. al Potencialna energij a se je zmanj- šala za/:' Wp =mgh = 3000 J . b) Kinetična energija je bila na začetku O, po 10 m poti pa Wk = = m v2 / 2 = 2430 J. To rej se je ki- net ična energija povečala za 2430 J , celotna energija pa se je zmanjšala za 3000 J - 2430 J = 570 J. Skup na 4. Vseh zvezd, k i jih vidi mo, ne mo remo preštet i. Lahko pa prešteje- mo zvezde na majhnem delu neba in potem izračunamo, koliko je vseh. Poskus bi lahko napravil i t akol e: V ko s karton a bi izrezali luknjo s po lmerom npr. r = 1 drn, lepenko po- s~ l i 1 meter vstran od očesa in pre- šteli zvezde, ki b i jih videli skozi odp rt ino. Šteli bi v več smereh neba in izrač unali povpreč no vrednost . Skozi odprt ino opazujemo približno dvestoti del neba, saj je razmerje ploščine kroga s polmerom 1 dm in površine polkrogle spolmerom 1 m ravno r211/2R 2 11 r2 /2R 2 = 1 dm2/2.(10 dm)2 = 1/200. Pov- prečno število zvezd, ki jih vidimo h =5 m Slika 4. K lanec, po katerem se sanka A ndrej energija se je zmanjšala ravno za to- liko, kol ikor negativnega dela je opra- vila sila trenja. Torej je sila trenja opravila negat ivno delo 570 J . Slika 5 . Skozi luknjo v kosu kartona vidimo s prostim očesom to liko zvezd, da jih lahko preštejemo. skozi odprtino, moramo pornnožrti z 200 in dobimo približno oceno za število zvezd, ki jih vidimo na nebu s prostim očesom. 5.a) Najprej i zrač unamo upor grelnika: Rl = vi /P = (220Vl 2/200 W = 242 n . Ker je na greln iku napetost 215 V, teče skozi grelnik tok I = 215 V /242 n = = 0,89 A. Isti tok teče po žicah . Sledi: R2 = V 2 11= 5 V / 0,89 A = 5,6 n . bl Ker sta do doma napeljani dve žici, je upor ene žice po lovica izračunanega upora : R 3 = 2,8 n. Iz učbenika preberemo, da je upor 1 m dolge žice s prese- kom 1 rnrn? enak 0,018 n . Upor 1 m dolge žice s presekom 6 mm? je torej 0,003 n. Dolžino žice dobimo s sklepnim računom : 1= (2,8 n/O,003 m.l m = =940 m. 242 1EPUBLlŠKO TEKMOVANJE '0razred s 105 O '----+---I----+----1~ O 10 20 Slika 6. Odvisnost sile silo mera od lege kocke pri potapljanju 30 N 1--_. 1. a) Tlak vode v sodu ne sme preseči 8 kPa. Največja višina vode je : h =~/a = 8000 N/(m 2 .10000 N/m 3 ) = 0,8 m. V sod lahko steče voda s prostornino I = S.h = 0,32 m3 = 320 dm 3 . ; sklepn im računom dobimo : t = V.tdV1 = 320 drn" . 1 s/O,2 dm 3 = 1600 s. 1) Najprej i zrač u namo , koliko vode steče skozi prho v eni sekundi : V2 = , 3 dm 3 /60 = 0,05 drn " . Vsako sekundo ostane v sodu voda s prostornino 11 - V2 = 0,2 dm 3 - 0,05 drn ' = 0,15 drn " . 320 drn ' vode se bo nateklo v .asu t = V.t 1 l (V l - V2 ) = 2130 s. F , Prvih pet cm kaže silomer težo :ocke F 1 = 27 N. Med spušč anj em .ocke v vodo se gladina vode dviga. ' lošč ina osnovn e ploskve kocke je ·naka p lo š č i n ! preostale gladine . Ko e kocka pot opi za 0,5 drn, se gladi· la dvign e za 0,5 dm. Nato je vsa .ocka potopljena in si la je do ko nca iotaplj anja enaka: F 2 = Fg - Fv = , 27 N - 10 N = 17 N. :. V tabeli v učbeniku najdemo podatka, da je tem peratura tališč a svinca :270 C in da je za st alitev 1 kg potrebno 23 kJ top lote. ;vinec je treba najprej segret i od 200 e do 3270 C. Za to potre buj emo toploto ) = 0,1 kg. 130 J/kgK. 307 K = 3990 J. Za stali t ev 0 ,1 kg svinca pot rebujemo ~, 3 kJ top lote . Svincu mo ramo dovesti 3,99 kJ + 2,3 kJ = 6,29 kJ top lote. ' 0 a) Steht amo maso npr. 5 žl ičk vode . Prostornina ene žli čke je V = m / (5p). Jpr.: masa č aše je 12,8 g, masa č aše z vodo pa 30,3 g. Povprečna prostornina lič ke je V= 17,5 g/(5 .1g/cm 3 ) =3,5cm 3 • ,) Stehtamo maso npr. 100 kaplj ic vode. Prostornina ene kapl j ice je Vk = , m /(100 p). Masa čaše je 12,75 g, masa čaše z vodo pa 18,15 g. Povprečna «ost om ina ene kapljice je Vk = 5,40 g /( 1OO. 1 gi cm 3 ) = 0,054 cm 3 . ) Dež, ki je padel v dveh urah na 1 m 2 , je imel prostornino V = 10000 ern?. 1,2 cm = 12000 ern" . V eni minuti je na m 2 padlo 12000 ern" 1 120 = 100 ern" ežja, Pri prostorn ini kaplj ice 0,054 crn' je to 1850 kapljic. Ker je vsaka pr i- esla 10 radioa ktivn ih deicev, je v 1 minuti na 1 m2 pad lo 18500 radioakt ivn ih elcev. 243 5.a) Merimo, kolikšna je sprememba višine alkohola v cevki pri različnih spremembah temperature. Pri tem moramo vodo, ki je okrog stekleni- čke, ves čas mešati. Nato izračunamo spremembo prostornine l'.V = S Min narišemo diagram . b) Iz diagrama razberemo, da se je etilnemu alkoholu s prostornino 135 cm 3 pri spremembi temperature za 30 K prostornina povečala za 4,2 ern". Pri spremembi temperature za 1 K se prostornina spremeni za 4,2 cm 3 / 30 = 0,14 ern". Če bi imeli 1000 cm" alkohola, bi bila spremem- ba prostornine 1000 cm 3 1135 crn ' = = 7,4-krat večja. Enemu litru etilne- ga alkohola se spremeni prostornina za l'.V =0,14cm3.7,4= 1 cm3,čega segrejemo za 1 K . V [cm 3 J 140 139 138 137 136 135 T 20 30 40 50' C Slika 7. Odvisnost prostornine alko- hola Vod temperature T 8. razred r--- -T ----,-----, J 1 I 2 I 3 I ~----+----+----~ J 4 I 5 I 6 I ...,L, _.__ . _ ::!.. . o••••• •t .._. .-.L. Slika 8. Opeke so zložene na polic i tako , da je bilo pri dviganju opek op ravljeno najmanjše delo.244 1. a) Voziček segiblje enakomerno, če je vsota vseh sil, ki delujejo nanj, enaka O: FM = FB + Ft = FM /2 + Ft . Sledi: FM = 2 Ft = 120 N. b) Za voziček zapišemo Newtonov zakon: FM - FB - Ft = ma oziroma FM - FM I2 - Ft = ma. Sledi: FM = (ma + Ft ).2 = 144 N. 2.a) Delo je najmanjše takrat, kadar dvignemo opeke na najmanjšo možno višino. S štirimi opekami ravno zapol - nimo polico, zadnji dve opeki pa po- lož imo na prejšnje štiri, kot kaže slika 8. b) Najprej dvignemo na polico zgornje tri opeke. Pri tem opravimo delo Al = ~.Fg.hl = 3.30 N.19 cm = = 17,1 J. Cetrto opeko dvignemo s tal A 2 = Fg . h2 = 30 N. 25 cm = = 7,5 J . Zadnji opeki dvignemo s tal Razmisli sam, kako bi opeke zloži l na polico še na drug nač in s 43,2 J opravljenega dela. n postavimo na prejšnje štir i: A 3 = ~ Fg .h3 = 2.30 N . 31cm = 18,6 J . Skupno opravljeno delo je to rej 13,2 J. 3. Skupna moč vseh žarn ic, k i so svetile, je b ila 5.5 W + 2. 40 W = 105 W. Akumulator je poganja l tok 1= PIV = 105 W/ 12 V = 8)5 A. Akumulator se sprazni na polov ico, ko se skozenj pretoč i naboj 36 Ah/2 = 18 Ah . Če teče skozenj tok 8,75 A , se naboj 18 Ah pretoči v času t = elI = 18 Ah /8,75 A = =2,06 ure. Vrnit i se morata pr ibl ižno v dveh urah ali prej. Zlatko Bradač,Mirko Cvahte Slika 9. Preslikava dveh žarn ic pri kameri z luknjico. teč i tok 15 mA, saj bi tekel skozi za- poredno vezana upornika R 3 in R 4 . Ker pa je izmerjen tok 30 mA, vemo, da je kratek stik ali v uporniku R 3 ali v R 4 . Zato izmerimo še tok med prik ljučkoma 1-2 in 1- 3. Ker med priključkoma 1-2 teče tok 60 mA, vemo, da teče tok skozi vzporedno vezana upornika Rl in R 2 ter da je kratek stik v uporniku R 3. Če v uporn iku R 3 ne bi b il k rate k stik , b i bil tok med priključkoma 1-2 manjši. Do rezultata lahko pridemo tudi z drugačnim sklepanjem . t a) Iz podobnost i tr ikotnikov sledi : i / X = blY. Izmeriti moramo dolžino carnere: b = 140 mm in razmi k med .l ikarna žarnic Y . Razdalja do žarnic e enaka: a =b. X I Y . (Delovna mesta .0 bila različno oddaljena od žarnic) ») Sliki lučk sta lahko narazen za iaive č toliko , kot je notranji premer :amere: YO = 46 mm. Najmanjša azdalja do žarnic, k i jo še lahko iz- nerimo z dano kamero , je : ao = b. )(IY 0= 140 mm .0,6 m/46 mm = ' 1,8 m. i. Vezje preskusimo tako , da izme- 'imo, kolikšen tok teče med posame- mirna priključkoma . Zaporedno ve- ~emo napetostni izvir in ampermete r :er ju p rik ljuč imo med poljubna dva n i k l j učka vezja, )0 Ohmovem zakonu izračunamo , colikšen tok teč e skozi en upornik . ~e smo izbrali napetost lOV, je ta :ok I =V IR = 10 V / 330 il = 30 mA . šledl. d a skoz i dva vzpo redno vezana rporn ika teče tok 60 mA, skozi dva taporedno vezana pa 15 mA . Ker je :ok med priključkoma 3 in 4 enak O, remo, da je upornik Rs prekinjen. iiied priključkoma 2 in ' 3 bi mora l . 0 Q b.. : . 1. y "----l 245 RESITVE NALOG S SOLSKEGA TEKMOVANJA IZ MATEMATI KE Teksti nalog so bili objavljeni v P-XIV / 2, str . 81 1. letnik 1. Diferenčni količnik premice skozi A in B je 6 . Zato je (a + 2a 2 + 2)1 (2 - 2a + 4) = 6, od koder dobimo 2a 2 + 13a - 34 = O. Razstavimo in iz (2a + 17)(a - 2) = Opreberemo rešitvi -1712 ter 2. 2. Denimo, da dobi x učencev nagrade , vredne 500 din , y učencev nagrade po 5000 din in z učencev nagrade po 10000 din. Potem velja: x + y + z = = 100 in 500x + 5000y + 10000z = 100000. Iz prve enačbe izraz imo na primer x = 100 - y - z , vstavimo v drugo in uredimo: 9y + 19z = 100, kar nam da edino rešit ev y = 9, z = 1 in x = 90. 3. Zaradi n4 = 16p + 1 je n lih (n = 2k - 1). Če v n4 - 1 = 16p razstavimo levo stran in upoštevamo, da je n lih, dob imo po kratkem rač u nu (k - 11 .k. .(2(k - l)k + 1) = Zp . Ker imamo na levi 3 faktorje, na desni pa le dva (p je namreč praštevilo), je edina rešitev k = 2, od tod pap = 5 in n = 3. 4. Če je stranica večjega kvadrata na tlorisu x , je st ranica manjšega x 13 (to sklepamo iz ploščin) . Iz slik a (ki predstavlja tloris in naris telesa) in b (stranski ris) razberemo, da je telo sestavljeno iz po ene polovice ustreznih kock in je prostornina zato enaka x 3 /2 + x 3 154 = 14x3 /27 . 2. letnik D x skica a x x x skica b 1. Označimo z x število 1111111111 in predpostavimo, da je prvi ulomek večji: (5x - 2)/(5x + 2) > (6x - 2) /(6x + 3). Prepričamo se, da neenačbi zadošča vsako število, ki je večje od 2. Število x izpolnjuje ta pogoj, zato je 246 u lomek 5555555553 /5555555557 večj i od 6666666664 /6666666669 . 2. Isto kot 2. naloga za prvi let nik. 3. Najprej preve rimo, da je skalarani produkt vekto rjev AB in BC enak nič . Četrto oglišče D dobimo, če h koordinatam točke A prištejemo koordinate vekto rja BC (= AD) : D(5, 1, 1). Točke, ki so enako oddaljene od vseh oglišč, ležijo na premici skozi središče pravokotnika, pravokotni na ravnino pravo- kotnika. Njena enačba je saj je S(5 I2,-2 ,112) sred išče pravokotnika (presečišče diagonal) in (10,- 11,16) vekto rski produkt vekto rjev AB in BC. 4. MN in PO sta srednjic i tri kotni- kov ABD in ACD, zato sta vzporedn i in enako dolgi (112 AD ). Analogno velja za NP in MO. Res je torej MNPO paralelogram . Denimo, da je CD krajša osnovnica t rapeza. Če AD in BC podaljšamo, se sekata v točki T. Potem razde li ON paralelogram v tr ikotnika , ki sta ena- ka trikotniku DCT. Zaradi danega razmerja razpade t rikotnik ABT na 9 t rikotn ikov , skladnih trikotn iku DCT, trapez to rej na 8 tak ih trikotn i- A B kov in paralelogram res pokrije 1/4 trapeza . 3. letnik 1. S črko 5 označimo oddaljenost drevesa od hiše. V išina prvega nad- stropja je 5.tg a + d = 5.tg{3, kar nam da 5 = d /tg{3 - tg a). Višina drevesa h pa je enaka 5.tg{3 + 5.tg( -y-{3). Ko se iz obeh zvez izneb irno s , dobi- mo h = d(tg{3 + tg( -y-{3)) /(tg{3-tga) . .. 247 2. Iz obeh enačb sledi x(l - a) - (1 - a) = O oziroma (x - 1)(1 - a) = O. Rešiteva = 1 ni dobra, ker sta v tem primeru dani enačbi identični. Izberemo torej x = 1, kar je edina skupna rešitev danih enačb pri a =-2. 3. Pišimo ctgx = 1!tgx in preuredimo dano enačbo v tg 2x - m tgx + 1 = O. Pogoj D ;> O nam prinese rešitvi .m :>';; - 2 in m ;> 2. 4. Iz dane zveze sledi (a - b) /v2 = vab in odtod 4ab /(a 2 + b 2 ) = 1. Ker je v pravokotnem trikotniku sina = alv a2 + b 2 in cosa =b lV a2 + b 2 .le sin-Zu = 2ab /(a 2 + b 2 ) . Upoštevajmo zgornje, pa dobimo sin2a = 1/2. Potem je možno v trikotniku dvoje: 2a = 30° ali 2a = 150° . Toda a > b , zato a = 75° in ~ = 15° (v drugem primeru namreč log((a - b) /V2) ni definiran). 4. letnik 1. Polinom p(x) = x" - e, a > O, ima čisto imaginarne ničle le, če je n deljiv s 4. Dani polinom takih ničel nima . 2. Denimo, da je T(a,a6 ) točka na krivulji. Tangenta skozi T je potem y - a6 = 6a 5 (x - al in seka abscisno os v M(5aI6,Ol, vzporednica z ordinatno oslo skozi T pa jo seka v N(a,O). Odtod vidimo , da je OM = 5,a16 in MN = a16, zato OM = 5MN. 3. 1 - 2 + 22 - oo . + 219 8 6 = (_2 1 9 8 7 - 1) /(-2 - 1) = (2 19 8 7 + 1) /3 in 1 + 2 + 22 + oo ' + 21 9 8 6 = (219 8 7 - 1)/1 zmnožimo: 3 3 Opazimo, da je dobljeni produkt enak vsoti 1 + 4 + 42 + .oo + 41 9 8 6 (vsota geometrijskega zaporedja) . 4. Če imamo na ravnini 99 vzporednih premic, razdelijo ravnino na 100 de- lov. Če eno od premic zasučemo, seka ostale , tako da imamo ravnino razdelje- no na 198 delov. (Isti rezultat dobimo, če se vseh 99 premic seka v isti točki.) Ostali primeri prinesejo več delov, zato sta 100 in 198 edin i rešitvi. Darjo Fe/da 1987 KVADRATOV Ali je mogoče dani kvadrat razdeliti na 1987 kvadratov? 248 Drago/jub M. Mi/oševic (prev. Peter Petek) REŠITVE NALOG IZBIRNEGA TEKMOVANJA IZ MATEMATIKE Teksti nalog so bili objavljeni v P-XIV /2, str . 83 1. letnik 3. al Ker razpade trapez na tri p lo- ščinsko enake dele , velja xv = = (a + c) v /5 , zato x = (a + cl /5. Odtod dobimo e - x = (5e - al /6 in zaradi e - x ;;;:. Oše a';;;; 5e. Za radi predpostavke iz naloge , da je a > c, bo torej 1 < (ale) .;;;; 5 . al Če sta sosednji oglišči enako po- barvani, pogledamo, kakšne barve je središče kvadrata. Ker je tudi to lahko le belo ali črno , tvori z ustrez- n ima ogliščema iskani enakokrak pravokotni trikotnik. bl Če sta diagonaln i oglišči enako pobarvani, si ogledamo kvadrat, k i ima t i dve agi išči kot sosednji. Če je vsaj eno od novih oglišč enake barve kot prvotn i diagonalni oglišči, je na- loga rešena, sicer pa smo pr i mo- žnosti a) . Q- 3x x 2 x b l Novi trapez ima osnovnici u = =a - x = (5a - el /6 in v = e - x = = (5e - al /6. Če lahko tudi v tem trapezu potegnemo taki daljici, velja 1 < (u /vl .;;;; 5 oziroma 1 < (a!c) .;;;; .;;;; (13 /5). 4. Vzemimo oglišča kvadrata . Vsa- ko oglišče je belo ali črno. Če so (vsaj) tri oglišča iste barve, je nalo- ga rešena. Denimo torej, da sta po dve oglišči enakih barv. Ločimo dve možnosti : x / / / / / y / / / / / / / / / / 1. Dano enačbo preured imo v 2x 2 = 215 y 2 + 1, od koder sklepa- mo , da je y lih (y = 2k - 1). Če to upoštevamo v enačbi, dobimo x 2 = = 430k2 - 430k + 108, kar bi po- menilo, da se x 2 konča s c ifro 8, to pa ni mogoče (kvadrat celega števila se nikoli ne konča s cifro B). Enačba torej nima celih rešitev . 2 . Pomagajmo si z grafom . Če naj premica y = kx + 1 samo enkrat seka graf funkcije y = lx + 1 I - lx - 1 1. potem moramo izbrati k .;;;; Ooziroma k > 1. 249 ~.- ------ -.~ I - . ./ I l ' / I I <, / I I 'rl I I »< ; I / -, I / ' 1 I / -, I o::-- --- -- -.~ 0 ', / , / -, / '/ -, / ' / ' / " P, / -, /, /, / -, /, /, /, /, / 'ci 2. Iz danih enačb dobimo (x - y) . .(1 - z) = O, (y - zl.(1 - x) = O in (x - z)(1 - y) = O ter od tod samo dve rešitvi: (1,1,1) in (-2,-2,-2l. 3. Geometrijsko mesto središč je paralelogram, kar dobimo s pomo- čjo srednjic trikotnikov . 2. letnik 1.a) Po kratkem premisleku ugoto- vimo, da sta edina mogoča podobna trikotnika krajna dva . Ker so nastali trikotniki ploščinsko enaki, krajna dva pa sta še podobna, sta skladna . Nasproti skladnih kotov pa ležijo potem skladne stranice in obratno, zato je a = {3. Trikotnik ABC je ena- kokrak, poleg tega pa še ST = SC = = TC in 2a = 2 {3 = 60° . Zato a = (3 = /~~""""_.Q. = 30° in 'Y = 120° . / b) Če potegnemo višino v trikot- / .' 1_ niku ABC, dobimo dve polovici /~ /" _ .---- . » : • • ••••• enakostraničnega trikotnika, od 7" -4.... ~:-"_. _ tod AB = AC y3 (= BCya, zato B stranice ne morejo biti v celoštevil- skem razmerju. c A s T 250 3. letnik 1. PO Vietovem pravilu je Xl + X2 = a + d in X1X2 = ad - be. Preverimo x i + x~ = (Xl + X2)3 - 3X1X2(Xl + X2) = a3 + d 3 + 3abe + 3bed inxIx~ = =(ad - be)3, pa je dokaz končan. 2. Iz pogoja v nalogi sledi ((1 +z) /z)n = -1. Če označimo (1 +z) /z =a, ugo- tovimo lal = 1. Izrazimo z = 1/(a - 1) in z = 1I(a- 1) . Potem je 2Re(z) = = z + Z= (8" - 1 + a - 1) /((8" - l)(a - 1)) = (2Re(a) - 2) /(2 - 2Re(a)) =-1 in odtod Re(z) = -112 . 3. Dano enačbo preuredimo v 2 sin(2x) cosx = h/3/2) cosx + (112) sinx, nato sin(3x) + sinx = sin(n13 + x) , odtod sin(3x) = cos(x + n 16), pa sin(3x) - - sin(n l3 - x) = O in končno 2 coslx + n16) sin(2x - n16) = O, kar nam da rešitvi Xl = nl3 + k n in X2 = n/ 12 + knl2. 4. Naloga nima smisla, če je kot ob vrhu enakokrakega trikotnika manjši od 90°, zato privzamemo, da je ta vsaj enak 90° . ".'. , '. -, '. -, ' . -, ' . <,• '> '. /'. / . -;~ -, >y \ ~~ . / / / Stranico X največjega včrtanega kvadrata dobimo iz tga = x /la - x) ; od tod je namreč X = a tga/(l + tga) = a sina/(sina + cosa). Diagonala najmanjšega včrtanega kvadrata s stranico y je višina danega trikotnika, zato y = a sina/V2. Potem je y 2 I x 2 = (sina + cosa) 212. Toda v danem t rikotniku je (sina + cosa)2 = sin-2a + cos?a + 2 sina cosa = 1 + 2 sina cosa> 1, saj je a ostri kot. Če to upoštevamo, dabimo y2 1x 2 > 112 , kar je bilo treba pokazati . 4. letnik 1. Deljivost z 11 [e o č itna lz zapisa Zš" + 1 =32 1 1 + 111 = (32+ 1).(321° _ - 329 + 32 8 - oo . + 1) , saj je z 11 deljiv faktor 33. 2. Enačba x 2 - (q + l)x + q = O ima rešitvi Xl = 1 in X2 = q. Ti števili sta tudi rešitv i enačbe p(x) = O, kar zlahka preverimo: p( 1) = n - (1 + nq) + + (q - l)(n - 1) + q = O in p (q ) = nqn+l - (1 + nqtq" + (q - l)((qn-l - 1) / I (q - 1)) + q = O. Če je q =1= 1, je s tem trditev dokazana. Če je q = 1, pa preve- rimo , da je 1 tudi ničla odvoda : p'(x) = n(n + 1) (x - 1)xn- 1 • 251 saj sta pri x < 1 in x > 1 leva in desna stran enačbe različnih pred- znakov . 3. Z logaritmiranjem prevedemo enačbo v x logx = x - 2 oziroma logx = 1 - x . Edina rešit v je x = 1, 4. a) Naj bo AB = 2R. I trikotnika ABT je AT = 2R cosa, i trikotnika ABV pa BV = 2R sin(a / ). Seveda je BV = VT. Izraz.imo obse štirikotni- ka ob = 2R(1 + 2sin(a / ) + cosa). Zaradi ob' =O je cos(a /2 - sina =O ali cos(al2)( 1 - 2sin( 12)) = O. Edina smiselna rešitev je = 1T / 3 (ko dobimo ob = 5R in je štirikotnik A enakokraki trapez). b) Plošč ino dobimo, č seštejemo p loščino enakokrakega trikotn ika A TS (= R 2 • sina. cosa) i plo š čini enakokrakih trikotnikov BVS in VTS (= 2.R 2 sinal2l. Če S = 2 sina(l + cosa) odvajamo , izenačimo z O in ured i- mo, dobimo 2cos2a + co a - 1 = O, kar prinese isto (smiselno) rešiteva = 1T /3. Pri največjem obsegu je to ej ploščina največja. c) Diagonal i se ne more asekati pravokotno pri nobenem kotu O ,\ r- UMERICNO 0 / -1.. ESEVANJE ,-;-, ,NACav '/' c$: >-J ' II;y' { , .., ::J Jože Grasselli DIOFANTSKE ENACBE ~eorge Potya KAKO RESUJEl\1O ' . MATEMATiČNE PROPL:EME MATEM,'\ TICNE STHUK i'URE /--~" (c=J) .- -,:,-~-~./