IZ TEORIJE ZA PRAKSO 15 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Preverjanje znanja matematičnih vsebin s številskim maratonom Ana Lara Schwarzbartl in dr. Vida Manfreda Kolar Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Izvleček V prispevku bomo predstavili način preverjanja znanja matematičnih vsebin s tehniko številskega maratona. Najprej bomo predstavili učno pripravo za Številski maraton 1 pri preverjanju znanja številskih izrazov, ki smo jo uspešno izvedli v 4. razredu na eni izmed ljubljanskih osnovnih šol. Na podlagi analize izvedene učne ure bomo strokovno podkrepili ugotovitve o učinkovitosti takšnega načina preverjanja znanja. Analiza ima vklju- čene vse vidike, ki jih mora učitelj vključiti ali v pripravi maratona, njegovi izvedbi ali zaključku maratona, zato pričakujemo, da bo služila kot vzorčni model za prenos ideje Številskega maratona tudi na druge, tako matematične kot tudi nematematične učne vsebine v osnovni šoli, v vseh razredih izobraževanja. Ključne besede: učna ura matematike, vodenje razreda, številski izrazi, utrjevanje znanja, motivacija, vloga učitelja Assessing Mathematical Knowledge with a Numbers Marathon Abstract Th e paper will present the assessment of mathematical knowledge using the numbers marathon technique. It will begin by presenting a lesson plan for a Numbers Marathon 2 used to assess the knowledge of numerical expressions; it was successfully implemented in the 4th grade of a primary school in Ljubljana. Th e analysis of the implemented lesson will corroborate the fi ndings regarding the eff ectiveness of this knowledge assessment method. Th e analysis covers all the aspects a teacher has to incorporate either in the preparation of the ma- rathon, in its implementation, or its conclusion; it is therefore anticipated that the analysis will be used as an exemplary model for transferring the Numbers Marathon to other learning contents, either mathematical or non-mathematical, in all grades of primary school. Keywords: Mathematics lesson, leading a class, numerical expressions, knowledge consolidation, motivation, teacher's role 1 Številski maraton 2019 je bil izveden kot nastop pri predmetu Didaktika matematike. Nastop je izvajala študentka Ana Lara Schwarzbartl pod mentorstvom izr. prof. dr. Vide Manfreda Kolar. 2 Th e Numbers Marathon 2019 was implemented as a teaching demonstration under the course Didactics of Mathematics. Th e teaching demonstration was delivered by Ana Lara Schwarzbartl under the mentorship of izr. prof. dr. Vida Manfreda Kolar. Učna priprava Na eni izmed ljubljanskih osnovnih šol smo v 4. razredu orga- nizirali Številski maraton 2019. Na maratonu je sodelovalo 18 učencev. Maraton je potekal v treh delih: 1. priprava na Številski maraton 2. Številski maraton 3. zaključek Številskega maratona Učna priprava za izvedbo Številskega maratona je v Prilogi. Z opombami v nadaljevanju prispevka se navezujemo na določen del učne priprave, ki je označen s to kodo. Analiza številskega maratona Ponavljanje in utrjevanje številskih izrazov kot sodelovanje na 1. Številskem maratonu je bil primer visoko motivacijske učne ure, zaradi uspešno logistično-organizacijsko oblikovanega razreda. Razred ali razredno okolje je osnovano na upoštevanju in pre- pletanju dveh komponent razreda: fi zično okolje razreda, ki ga predstavlja razred kot opremljena učilnica, in čustvenega okolja razreda, se pravi razumevanje razreda kot skupnosti učencev (Hue & Li, 2008). V nadaljevanju bomo analizirali izvedbo Številskega maratona glede na ti dve komponenti. Najprej bomo analizirali 1. Številski IZ TEORIJE ZA PRAKSO 16 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 maraton glede na čustveno okolje razreda (dojemanje razreda kot skupnosti učencev). Čustveno okolje razreda Čustveno okolje razreda (razredna klima) ima velik pomen pri razredni skupnosti. Navezuje se na učence, ki so motivirani za učno snov, in učni proces, ko se učenci samo- in soodločajo. Na- slednji, ki vstopa v razredno skupnost, je učitelj, ki v razredu zahteva ocenjeno mero discipline in ima vlogo usmerjevalca ak- tivnega učnega procesa. Sledi analiza čustvenega okolja razreda glede na Blažič (2003), v katerem smo izvajali Številski maraton. Učenci. Učenci so med seboj po eni strani enaki: vsi so motivira- ni, kadar se resnično učijo in se ne dolgočasijo. Vsi izgubljajo po- gum, kadar jih zaradi neuspeha nekdo kritizira. Vsi učenci želijo biti odvisni, hkrati pa se istočasno z vso močjo borijo za samo- stojnost, so včasih jezni in maščevalni. Dobivajo zaupanje vase, kadar so uspešni, in ga izgubljajo, ko jim nekdo pripoveduje, da to, kar so dosegli, ni dovolj. Cenijo in upoštevajo svoje potrebe in ščitijo svoje osebno dostojanstvo (Blažič, 2003). Učenci so si različni v (naštete so različnosti učencev, ki so sode- lovali na Številskem maratonu): • telesnih lastnostih: motorična koordinacija je dobro razvita, potrebujejo veliko gibanja (učenec z odločbo ADHD motnje; učenec je imel v učilnici kinestetično mizo); • sposobnostih: v stopnji razvoja, strukturi sposobnosti in hitro- sti miselnega razvoja (učenec z odločbo z motnjo avtističnega spektra); • znanju: razlike med splošnim in specifi čnim znanjem in naj- prej med osnovnim in konceptualnim znanjem, procedural- nim znanjem, problemskim znanjem med učenci (specifi čne učne težave pri matematiki pri vsaj dveh učencih); • učnih in spoznavnih stilih: način, kako zaznavajo, organizirajo in evalvirajo pridobljene informacije, • socializaciji in čustvovanju: oblika dela v razredu, struktura naloge (individualna naloga, tekmovalna naloga), • načinu spopadanja s problemi (naloga kot izziv ali ovira), • motiviranosti: notranja ali pa zunanja motivacija (preverjanje in utrjevanje znanja) (Blažič, 2003). Predvideno je bilo potrebno oblikovati močno diferencirane na- loge, saj so razlike med učenci zelo velike. Učna vsebina. 3 Učna enota Številski izrazi in računanje števil- skih izrazov je učna vsebina, ki se jo učenci učijo pri obravnavi učne teme Aritmetika in algebra v 4. razredu osnovne šole. Ta dejavnik pri oblikovanju razredne skupnosti je pomembno upo- števati predvsem z vidika upoštevanja težav, s katerimi se učenci navadno soočajo pri tej učni vsebini. Z upoštevanjem lahko obli- kujemo naloge, ki bodo učencem pomagale pri razumevanju in utrjevanju izbrane učne vsebine. Za učence je ta učna vsebina težavna, saj se kar naenkrat pojavi več računskih operacij v enem številskem izrazu. Učenci morajo za uspešno reševanje dobro znati poštevanko, na pamet seštevati in odštevati ter razumeti matematični jezik za vsako računsko opera- cijo (vsota, seštevanec, plus, minus, razlika, zmnožek …). To po- meni tudi, da morajo obvladati vsako računsko operacijo posebej. Pri spoznavanju pravil sodelovanja 4 na Številskem maratonu sta bili dve izmed štirih pravil, pravili računanja v številskem izrazu. Vsa pravila so bila narisana simbolno na listu papirja. Simbolno prikazana pravila so za učence smiselna, ker gre za oprijemljivo prikazovanje in omogoča hitro vidno zapomnitev oz. pri učencu spodbudi asociacijo za določeno pravilo. Zaradi asociacije je lah- ko priklic informacije hitrejši, saj novo informacijo povežemo s podobnim znanim. Učenje z asociacijami je upoštevanje druge- ga načela delovanja dinamičnih procesov na sinapsah; in sicer brez zveze se nikamor ne prileze (angl.: Out of sync, loose your link.) (Bregant, 2016). Takšno učenje prek spremembe na nivoju sinaps spreminja strukturo možganov in jo organizira ali reorganizira. Kadar se učimo z razumevanjem, so podatki shranjeni tako, da so med seboj povezani, kot kosi sestavljanke. Ko se potem skušamo spo- mniti enega dejstva ali podatka, se v trenutku spomnimo še osta- lih v tisti sestavljanki. V tuji literaturi tak način delovanja mož- ganov opisujejo kot »Spread of activation« oz. širjenje mreže aso- ciacij. To pa je bistvo učenja z razumevanjem (Kristanc, 2016). Utrjevanje in preverjanje znanja. V fazi načrtovanja dejavnosti in preverjanja učenčevega razumevanja smo izhajali iz ciljev 5 in pričakovanih dosežkov, ki so opredeljeni z veljavnim učnim na- črtom (Učni načrt 2011). Pri opredeljevanju ravni in kakovosti matematičnega znanja učencev 6 smo imeli za izhodišče Gagnejevo taksonomijo. Gagne znanje deli na osnovno in konceptualno znanje (naloge za 5 km in 9 km) proceduralno zanje (naloge za 7 km) in problemsko znanje (naloge za 10 km). Poznavanje Gagnejeve taksonomije je imelo pomembno vlogo tako pri načrtovanju dejavnosti, preverjanju in ocenjevanju učen- čevega znanja kot pri odkrivanju napak/napačnih predstav učen- cev. Pogosto smo lahko priča poučevanju matematičnih konceptov in vsebin, ki temelji na učenju na pamet. Da bi premostili razkorak med posredovanim znanjem s strani učitelja in prejetim znanjem s strani učenca, se je treba posvetiti prepoznavanju in odkrivanju napačnih predstav pri učencih (Manfreda Kolar, 2016). Po navodilih o poteku Številskega maratona 7 je sledilo ogrevanje možganov učencev. Uporabili smo formativno tehniko prever- janja razumevanja 8 (formative assesment classroom techniques) – Soočanje v krogu, za preverjanje znanja in odkrivanje napak v razumevanju Številskih izrazov učencev (Kolar Manfreda, 2016). 3 Priloga. 4 A 5. 5 Učna priprava. 6 B 2. 7 A 1, A 2. 8 A 6. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 17 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Strategija s pomočjo občutkov aktivira mišljenje in vključevanje učencev v razpravo in zagovarjanje njihovih matematičnih idej. Učenci v našem primeru niso stali v krogu, ampak so stali za svojo šolsko mizo. Učitelj je prebral izjave 9 . Tisti učenci, ki so se z izjavo strinjali, so stali, tisti, ki se niso, pa so počepnili. Vse izjave so se nanašale na isto temo (poštevanka, pojmi v računskih operacijah, seštevalni pari do desetice). Pri izjavah, kjer učenci pri odločitvi o pravilnosti izjave niso enotni, nastopi diskusija, po kateri lahko učenci spremenijo svoje mišljenje in pridejo do novih spoznanj. Učitelj mora učence spodbujati, da so pri svojih odločitvah samozavestni in ne spreminjajo odgovorov zgolj zato, ker se večina njihovih sošolcev odloči drugače. Učenci so se v povprečju odločali pravilno. Nekaj učencev je očitno čakalo na odločitev sošolcev, po kateri so nato sledili v gibanju oz. svoji presoji pravilnosti trditve. Opazili smo težave pri razumevanju matematičnega jezika, saj so se pri teh trditvah učenci odločali dlje časa in kazali znake negotovosti (gledali po razredu, potrebovali več časa za odločitev, počepali počasneje/bolj previdno). Nekateri učenci še vedno niso avtomatizirali pošte- vanke do 10. Napačno odločanje pri vseh trditvah pa lahko pri- pisujemo tudi metodi dela, kjer nekateri učenci potrebujejo več časa, da priredijo ustrezen pomen ustno izraženi trditvi. Naloge za pridobivanje kilometrov so bile pripravljene tako, da bi bilo možno rešiti vse naloge v času maratona (pribl. 25 min) in tako osvojiti 100 km. Naloge 10 so bile diferencirane na 4 rav- neh, kjer je bil 4. nivo sestavljen iz problemskih nalog, verjetno primernih za nadarjene učence. Pripravili smo 5 različnih nalog za 5 km, ki so predstavljale najnižji nivo, sledile so 4 naloge za 7 km, 3 naloge za 9 km in 2 nalogi za 10 km, ki sta predstavljali najvišji, 4. nivo. V učni pripravi (QR koda) 11 so vključeni vsi primeri nalog, ki so jih reševali učenci za vsako raven znanja po Gagneju. Vsota vseh možnih pridobljenih kilometrov na maratonu 12 , ki je bila enaka 100 km, je učitelju omogočila vpogled v znanje učen- cev. 100 km bi lahko za učitelja pomenilo 100 % na preverjanju znanja oz. vse možne točke. Zaradi tega lahko Številski maraton uporabimo kot metodo za preverjanje znanja matematičnih vsebin. Učenci so na koncu maratona v preglednico rezultatov vpisali vsoto pridobljenih kilometrov (Slika 1). Iz preglednice je razvidno, da večina učencev dosega minimalne standarde znanja 13 , pri čemer je največ doseženih kilometrov (čez 70 km) opazno manj od manjšega števila pridobljenih kilometrov. Predpostavljamo, da je bil čas maratona ali prekratek ali pa znanje učencev še ne dovolj utrjeno. Nekateri učenci so še vedno na ravni usvojenega osnovnega in rutinsko proceduralnega znanja. Upošte- vamo tudi, da bi lahko že 80 km od 100 km predstavljalo odlično oceno, saj sta bili nalogi za 10 km toliko težji, da jih verjetno ne bi ocenjevali, ampak sta imeli namen kvalitetne diferenciacije, se pra- vi kot nalogi za nadarjene učence. V takem primeru lahko zaključi- mo, da so bile naloge zastavljene primerno zahtevno, saj je razpore- ditev rezultatov smiselna za naključen razred s svojimi specifi kami. Samo- in soodločanje učencev. 14 Zaradi razlik v znanju učen- cev smo se odločili za učno obliko samostojnega dela učencev in jim zaupali presojo lastnega znanja. Formativno spremljanje lastnega znanja in možnost izbire nalog močno motivira učence. Da lahko učenec razvija svoje sposobnosti, mu moramo pustiti, da dela in obvladuje vse, kar se ga tiče in je od njega odvisno (Montessori, 2018). Rešitve nalog za učence niso bile posebej pripravljene, načrtovali smo, da učiteljica pregleda naloge po za- ključku maratona in jim potem pove, koliko kilometrov morajo odšteti od svojega rezultata. Učenci bi lahko naloge pregledali tudi v paru (si zamenjali zvezke). Predvsem pri nalogah za 10 km je bilo opaziti zelo različne od- zive učencev. Učenci naj bi najbolje oblikovali razvojno miselnost po Dwecku. To je način mišljenja, kjer učenec problem vidi kot izziv, vztra- ja pri reševanju in se zaveda, da lahko s trudom izboljša svoje znanje. Takemu načinu mišljenja je nasprotna toga miselnost, ki učencu ne omogoča možnosti premagovanja ovir, saj verjame, da so sposobnosti začrtane od rojstva in ne verjame v možen napre- dek, ki pride z vloženim delom (Dweck, 2017). 9 A 7. 10 B 2. 11 B 2. 12 C 1. 13 B 2. 14 B 2. Slika 1: Rezultati Številskega maratona. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 18 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 V naši skupini učencev smo pri reševanju nalog za 10 km pre- poznali različne oblike spopadanja z ovirami, ki jih uporabljajo učenci. Nekateri so nalogo takoj zamenjali z drugo, ena učenka je nalogo rešila s poskušanjem, nekaj učencev ni nikoli niti pristo- pilo do košar z nalogami za 10 km, nekateri so še malo vztrajali in prosili za pomoč v Okrepčevalnici, vendar ker pomoč tu ni bila smiselna, so tudi obupali (primer toge miselnosti). Nekateri učenci pa so naloge rešili z veseljem in se pri reševanju zadrža- li tudi dlje, z namenom uspešne rešitve naloge (primer razvojne miselnosti). Učenci se s samostojnim izbiranjem težavnosti na- log učijo oblikovanja realnih oz. uresničljivih ciljev, ki jih sami zmorejo doseči. Učenci lahko izkusijo, da vseh nalog še ne znajo rešiti in se poskusijo odzvati na to informacijo. Nekateri se bodo še bolj trudili, drugi obupali ali se zanesli na možno srečo. Meni- mo, da bi učenci poskušali še bolj oblikovati razvojno miselnost na Številskem maratonu tako, da bi maraton trajal dlje časa za enako število nalog, zaradi česar bi bili vsi učenci proti koncu prisiljeni reševati tudi zahtevnejše naloge, če bi želeli nabrati še več kilometrov. V takem primeru bi morali za končni rezultat meriti čas, ki so ga potrebovali za zaključek maratona, namesto števila pridobljenih kilometrov. Vloga učitelja. 15 Učitelj oz. vodja ure je imel pri tej učni uri vlogo usmerjanja oz. pospeševanja procesa reševanja, v smislu nudenja pomoči pri težavah pri npr. razumevanju navodil, re- ševanju nalog, vprašanjih organizacijskega vidika. Učitelj je na maratonu svojo vlogo upravljal v Okrepčevalnici. Tekačem na maratonih so na voljo Okrepčevalnice ali Okrepčevalne posta- je, kjer je na voljo voda v kozarcih, energetski napitek (Enervit, Isostar), sladkor v kockah, sol, čokolada, sadje (banane, manda- rine). Okrepčevalnica na Številskem maratonu je imela tako na voljo spodbudo, pomoč, odgovore na vprašanja organizacijskega vidika. Želeli smo, da v Okrepčevalnici učenec dobi tudi mor- da potrebno pohvalo, dodatno spodbudo, zaradi katere si želi še naprej spopadati se z izzivi. Okrepčevalnica naj bi bila najprej fi ksna pred šolsko tablo. To se ni obneslo najbolje, saj je precej učencev potrebovalo pomoč. Če bi Okrepčevalnica ostala fi ksna, bi to pomenilo, da bi učenci izgubljali čas, namenjen reševanju nalog, medtem ko bi v vrsti čakali v Okrepčevalnici. Prav ta na- čin dela, premikajoče se Okrepčevalnice, je na koncu omogočil, da so učenci, medtem ko so čakali, da pridejo na vrsto, še malo premlevali reševanje naloge, se morda za pomoč obrnili k sošol- cu, nekateri pa so odšli po drugo nalogo. Premikajoča se Okrep- čevalnica je učitelju omogočila vpogled v delo vseh učencev, tudi tistih, ki ne vedo, da potrebujejo pomoč oz. te želje ne znajo/ ne želijo izraziti. To je bilo mogoče, ker je bila Okrepčevalnica premična in je učitelj lahko pregledal reševanje vseh učencev, medtem ko se je sprehajal po razredu. Zaradi Okrepčevalnice so se učenci v razredu dobro počutili, saj so imeli »varno točko«. Takšna točka v razredu, ko uro vodi študent ali študentka, ki jih slabše pozna, se nam zdi še bolj smiselna, saj med ‚učiteljem za eno uro‘ in učenci spodbudi željo po sodelovanju. S premično Okrepčevalnico smo spodbujali izboljševanje ra- zredne interakcije, ki je ključna za uspešno izvedeno učno uro. Razredna interakcija je defi nirana kot interna izmenjava misli, občutkov in informacij med učiteljem in učenci. Z dobro razre- dno interakcijo učitelj motivira, usmerja in opogumlja učenčev proces učenja, se pravi, da je ta nujno potrebna, če želi učitelj prepoznavati in primerno zadovoljevati učenčeve potrebe. Inte- rakcija upošteva tako besedno in nebesedno komunikacijo, sle- dnja ima po navadi večjo težo na samo uspešnost razvoja le-te. Učinkovita razredna interakcija pa spodbuja v učencih občutek vrednosti, skrbi in spoštovanja. Dober učitelj je dober sogovorec (Wai-shing, 2008). Disciplina. Naloga učitelja je, da pokaže pot k disciplini. Discipli- na se rodi, ko se učenec lahko osredotoči na nekaj, kar ga privlači. Učenec, ki ima tako nalogo, se čudežno integrira, se umiri in žari od veselja. Stalno je zaposlen, pozabi nase in je neobčutljiv za na- grade (šele, ko so učenci rešili že polovico nalog, so začeli spraše- vati, koliko časa jim je še ostalo) (Montessori, 2018, str. 285). Med pravili sodelovanja 16 je bilo tudi pravilo, da so naloge pra- vilno rešene takrat, ko imajo zapisane postopke reševanja oz. so rešene na daljši način. Tako smo poskusili preprečiti reševanje na pamet, ki sicer ne pomeni nujno neznanja, vendar računa- nje v mislih pogosto vodi k površnosti, pri zahtevnejših nalogah pa reševalec lahko hitro izgubi pregled nad postopkom reševa- nja in nalogo reši nepravilno. Učenci so izvedeli, da v primeru, ko ne zapišejo postopka reševanja, lahko izgubijo kilometre za dano nalogo. Poleg tega pravila je disciplino krepilo tudi vzgojno pravilo, ki je na tekmovanju prepovedovalo goljufanje in učence spodbujalo k pošteni igri. Menimo, da bi morali pri tem pravilu bolj poudariti, da pomoč sošolcu še ni goljufi ja. Zdelo se nam je, da bi tako lahko spodbudili zdravo sodelovanje oz. empatijo med učenci. Hkrati pa bi se ravno tako izgubila ideja o samostojnosti vsakega učenca, ki je odgovoren za svojo uspešnost. Disciplina na Številskem maratonu je bila zagotovo tudi posledi- ca jasno podanih navodil na začetku učne ure. Navodila o poteku maratona smo oblikovali zelo natančno, s predpostavko, da se v okolju, kjer učenci poznajo svojo nalogo, vedo, kako jo lah- ko opravijo, imajo urejeno učno okolje (dovolj nalog) oblikuje spontana disciplina (Montessori, 2002). Zaradi učinka začetka in konca pri pridobivanju otrokove pozornosti smo navodila o tem, kako reševati naloge, kje se naloge nahajajo, da so različnih stopenj, da jih rešujemo v zvezek in vse ostale pomembne infor- macije o samem poteku maratona smo povedali takoj na začetku učne ure; ko je pozornost učencev zelo visoka. Za neupoštevanje pravil smo določili »kazen« 17 , ki je odštevanje pridobljenih kilometrov. Med potekom Številskega maratona ni- smo nikoli odšteli kilometrov, smo pa podali nekaj opozoril. Zaključek 1. Številskega maratona. 18 Po zapisu rezultatov smo z učenci še analizirali počutje s Pravokotnikom počutja (Slika 2). Pravokotnik počutja 19 je razdeljen na štiri različna počutja oz. zadovoljstva o sodelovanju na Številskem maratonu (zelo dobro, dobro, niti dobro niti slabo, slabo). Naloga učencev je, da ob za- ključku maratona svojo štartno številko prilepijo v kvadrant, ki opredeljuje njihovo počutje ob sodelovanju na Številskem mara- 15 C. 16 A 5. 17 C 1. 18 C. 19 C 2. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 19 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 tonu. Učenci imajo tako zagotovljeno anonimnost odločanja, saj so štartne številke od učitelja prejeli naključno. Odlepiti štartno številko pa se idejno poveže z rdečo nitjo ure in učence usmeri k zaključku učne ure. Od 18 učencev se jih je 12 opredelilo za zelo dobro, štirje za dobro, 2 učenca sta izbrala niti dobro niti slabo, nihče ni izbral slabo. Sklepamo, da so bili učenci zadovoljni s sodelovanjem na Številskem maratonu oz. so se na njem dobro počutili (vsaj polovica učencev je izbrala dobro oz. zelo dobro počutje). Učenci so za ne najbolj dobro počutje podali razloge: zmanjkalo mi je časa, maraton je bil prekratek, on je goljufal, iz- gubil sem listek … Tako zaključujemo, da so bili ti učenci ne- zadovoljni z zaključkom maratona, saj jim rezultatov maratona ni uspelo »preračunati«. Ob takšnem razpletu maratona je od učitelja oziroma vodje maratona odvisno, kako učencem razloži njihove pridobljene rezultate. Lahko so rezultati kot spodbuda za boljše reševanje ob naslednjem maratonu oz. povratna informa- cija, da bodo morali še vaditi učno snov, ali pa da se jim omogoči še dodatek časa, ki bi jim omogočil zaključek maratona. V nadaljevanju prehajamo še na analizo 1. Številskega maratona še na drugo komponento razreda; fi zično okolje razreda, ki ga predstavlja razred kot opremljena učilnica. Fizično okolje razreda Popis učilnice. V pripravi na učno uro smo popisali opremlje- nost učilnice: Učilnica je bila postavljena tako, da imajo ob steni ob vratih omarice za učbenike, v učilnici imajo štiri vrste šolskih klopi, dva učenca sedita za katedrom in en učenec ima kinestetično mizo v levem kotu učilnice, nasproti šolske table. Popis učilnice smo po- trebovali, zato da smo se lahko na izvedbo učne ure čimbolj pri- pravili. Na podlagi poznavanja opremljenosti učilnice smo lahko zastavili razporeditev otokov z nalogami že pred izvajanjem v ra- zredu. Popis učilnice študentu omogoči, da samo učno uro že pred izvedbo zelo podrobno vizualizira in tako na svoj nastop pride čim bolj samozavestno. Na Številskem maratonu je potreben »otok« z nalogami za pridobivanje kilometrov. Na tem otoku so bile naloge razdeljene v košare z različnimi ravnmi zahtevnosti. Vsaka košara je bila tudi vizualno drugačna, da so učenci hitro vedeli, katera izmed košar ima naloge za izbrano zahtevnostno raven. Ta otok je bil postavljen na omaricah ob vratih. Šolske klopi smo pred za- četkom učne ure prestavili bolj narazen. To smo storili zato, da so lahko učenci lažje dostopali do košar in pri tem čim manj ovirali ostale. Premikanje po naloge je učencem omogočilo »minuto za gibanje« po vsaki rešeni nalogi. Število natisnjenih nalog. Vsaka izmed nalog za različno težavnost je bila natisnjena 15-krat. S tem smo želeli preprečiti, da učenec ne bi dobil naloge, ker bi bila le-ta zasedena. T o je posredno omogočalo boljšo uresničitev ideje o samo- in soodločanju učencev. Okrepčevalnica. 20 Na Številskem maratonu je potreben še pro- stor, kamor se lahko učenci obrnejo po pomoč, t. i. Okrepčeval- nica. Okrepčevalnica je bila predvidena kot odmašilo težav, ki se bodo pojavile na Številskem maratonu. Čas reševanja. 21 Načrtovali smo, da bomo na šolski tabli merili čas maratona (iztekanje 25 minut). Med samo izvedbo smo ta del spremenili in štoparice nismo uporabili, saj smo morali upo- števati časovno omejenost nastopa in ga pravočasno zaključiti. To je pomenilo, da smo se odrekli nekaterim načelom maratona v zameno za pravočasno zaključeno učno uro. Tako se je delo- ma izgubila ideja o samostojnosti, saj učenci niso več upravljali s časom, ki ga imajo, in mogoče tudi glede na ta vidik drugače izbirali naloge. Hkrati pa je maraton brez štoparice, ki bi merila čas, razbremenil pritisk tekmovalnosti. Predstavljamo si, da so učenci pozabili na to, koliko časa je še, in imeli občutek, da bodo zagotovo lahko rešili vse naloge, zaradi česar z reševanjem niso prenehali. Desetletni otroci že imajo zametke razvoja abstrak- tnega mišljenja, zaradi česar se delno zavedajo abstraktne ideje časa. Zaradi zanimanja za čas (poznavanje ure, merske enote časa) je njihov motiv za delo zagotovo tudi možnost upravljanja s časom. Iztekanje časa pa je že samo po sebi motivacijsko, saj v človeku vzbuja občutek minevanja, ki je tesnoben. Ker učenci niso videli ure, smo deloma odvzeli stres, ki ga prinese iztekanje časa (omogočili smo jim, da so pozabili na čas, ki teče ne glede na njihovo učinkovito ali neučinkovito delovanje). Štartne številke. 22 Štartne številke so bile izdelane kot nalepke, ki so jih učenci prilepili na sprednji del majice. Poudarili smo, da velikost številke na štartni številki ne vpliva na razporeditev re- zultatov maratona. Zaradi štartnih številk so učenci bolj verjeli v zgodbo, saj jih je nalepka identifi cirala z njihovo novo vlogo. Poleg motivacijskega vidika štartnih številk se je na koncu izkazalo, da so štartne številke namesto imen na plakatu za prikaz rezultatov maratona vplivale na to, da se učenci niso pretirano primerjali med sabo. Pravzaprav so štartne številke uničile negativno tekmo- valnost z drugimi sošolci, rezultati so tako postali deloma anoni- mni in so podprli moto, da »najbolj tekmujem sam s seboj.« Zaključek 1. Številskega maratona. 23 Zaključek Številskega maratona bi bil lahko bolje premišljen. Številski maraton naj bi se zaključil s končnim izidom oz. seštevkom nabranih kilome- trov, kar pa se ni zgodilo. Zavedamo se, da krajši maraton, se pravi manj časa za reševanje nalog v korist boljšega zaključka prav tako ne bi bil smiseln. Za potek zgodbe bi bilo prav tako pomembno, da se na koncu zgodi neke vrsta razglasitev rezulta- tov, ki jo učenci pričakujejo. Težavo bi lahko rešili tako, da bi ali imeli na voljo več časa, ali pa bi bil zaključek dogodka po koncu 20 A 5. 21 A 1. 22 A 3. 23 C. Slika 2: Pravokotnik počutja. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 20 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Viri in literatura Bregant, T. (2016). Učenje ni igra. Didakta junij–julij. Pridobljeno s: https://familylab.si/wp-content/uploads/2017/08/Ucenje-ni-igra_ Didakta-2016.pdf. Blažič, M. (2003). DIDATIKA. Novo mesto. Visokošolsko središče Novo mesto, Inštitut za raziskovalno in razvojno delo. Centa, N., Hafner Jereb, M. (2020). Razumevanje potreb posameznega delavca. Ljubljana: HR&M december/januar. Dweck, C. (2017). Mindset: Changing the way you think to fulfi l your potential. Little, Brown Book Group. Pridobljeno s: https:// www.bookdepository.com/Mindset-Carol-Dweck/9781780332000?pdg=dsa-19959388920:cmp-8862937091:adg- 86528077382:crv-411135277650:pos-:dev-c&gclid=CjwKCAjwqML6BRAHEiwAdquMnafOVSY-oBjmP8naoI-dzK0jri- woCkYiduZolmnyo4i3KasEC6H9oRoCeIYQAvD_BwE. Kolar Manfreda , V . (2016). 3. mednarodna konferenca o učenju in poučevanju matematike KUPM (2016). Zbornik izbranih prispevkov: Tehnike formativnega preverjanja znanja. Brdo pri Kranju: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s: https://www.zrss.si/pdf/zbornik- prispevkov-kupm2016.pdf. Kristanc, Manja (2016). Učenje z razumevanjem ali učenje na pamet? Pridobljeno s: https://zastarse.si/otroci/sola/ucenje-z-razumevan- jem-ali-ucenje-na-pamet/. Mink-tak, H., Wai-shing, L. (2008). Classroom Managment. Creating a Positive Learning Environment. China: Hong Kong University Press. Pridobljeno s: http://eds.a.ebscohost.com.nukweb.nuk.uni-lj.si/eds/ebookviewer/ebook/bmxlYmtfXzMyMjAzM19f QU41?sid=52722b33-d8b3-45a2-acd5-bd7909dbcda2@sessionmgr4008&vid=0&format=EB&rid=1. Montessori, M. (1912). Th e Montessori method. Scientifi c pedagogy as applied to child education in »Th e children‘s houses« with additions and revisions. Frederick A. Stokes Company. Pridobljeno s: https://perso.telecom-paristech.fr/rodrigez/resources/PEDAGO/ montessori_works.pdf. Program osnovna šola. Matematika. Učni načrt (2011). Ljubljana: Ministrstvo RS za šolstvo in šport. Zavod RS za šolstvo. Zaključek Zaključujemo z idejo, da je bila učna ura za učence visoko motivacijska ravno zaradi upoštevanja komponent, ki oblikujejo učno uro v razredu. V pripravi na učno uro smo upoštevali skoraj vse motive, ki naj bi jih učenci izbirali za motiviranost za delo. V razredu, kjer je vzpostavljena disciplina, je učenec skoncentriran na svoje delo. Skoncentriran učenec je visoko motiviran, vendar na poti do doseženih ciljev potrebuje znake ali oporo, da je na pravi poti (Montessori, 2018). Učiteljeva naloga je, da na tej poti do discipline učencu priskrbi pri- merna sredstva, odstranjuje ovire, vključno s tistimi, ki bi jih verjetno povzročil sam. Učiteljeva naloga je, da predvidi in pripravi »spodbujevalce motivacije«. Spodbujevalci motivacije učenca so tako aktivni kot proaktivni. Pri učni uri so bili aktivni spodbujevalci pribli- žno enakomerno razporejeni čez celotno učno uro, se pravi: začetek zgodbe o 1. Številskem maratonu, prejem prave štartne številke, ogrevanje možganov, želja po zmagi oz. tekmovalnost, omejitev časa, raznolikost nalog za reševanje, konec maratona, zapis rezultatov, (razglasitev rezultatov). Pri tem pa so bili upoštevani še proaktivni spodbujevalci. Ti pa so predvsem logistično-organizacijskega vidika. To so npr. število nalog, število natisnjenih enakih nalog, število nalog glede na čas maratona, štartne številke, ki se nalepijo, pravila, zapisana simbolno, postavitev otokov v učilnici, uvedba Okrepčevalnice, poznavanje učencev, učne snovi in zahtevanih učnih ciljev, možnost izbire, samostojnost. Ko proaktivni spodbujevalci motivacije spodbudijo aktivne spodbujevalce moti- vacije učencev, lahko rečemo, da imamo v razredu visoko motivirane učence, ki so aktivni in v središču svojega učnega procesa. maratona, brez odbitka kilometrov za napačno rešene naloge. V tem primeru sicer naloge ne bi bile pregledane oz. bi bila njihova pregledanost nepomembna, saj učence po razglasitvi ne bi več zanimale. Zaključujemo, da je nujno, ob izteku maratona vsaj 10 minut namenimo pregledu in razglasitvi rezultatov. PRILOGA 21 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Učna tema: ARITMETIKA IN ALGEBRA (številski izrazi) Učna enota: Številski izrazi, številski izrazi z oklepaji Operativni učni cilji: učenci: 1. na konkretnih primerih uporabljajo zakon o zamenjavi in zakon o združevanju (komutativnost in asociativnost) pri seštevanju in množenju, 2. izračunajo vrednost preprostega številskega izraza brez oklepajev, 3. izračunajo vrednost številskega izraza in upoštevajo vrstni red izvajanja računskih operacij, 4. izračunajo vrednost številskega izraza z oklepaji, 5. uporablja računske operacije pri reševanju besedilnih nalog. A. PRIPRAVA NA ŠTEVILSKI MARATON A 1 Učencem se predstavimo. Danes smo za njihov razred organizirali Številski maraton 2019. Maraton poteka v treh delih: priprave na Številski maraton, Številski maraton in zaključek Številskega maratona. Številski maraton traja točno 25 minut. Naloga učencev je, da v tem času z reševanjem nalog poskusijo nabrati čim več kilometrov. A 2 Naloge so označene s številkami in črkami. Izbirajo lahko med nalogami za 5 km/7 km/9 km/10 km. Naloge za 5 km so najmanj zahtevne, najbolj zahtevne pa so naloge za 10 km. Če učencem uspe rešiti vse naloge, lahko naberejo največ 100 km. Takrat dobijo dodatno nalogo. A 3 Učence prosimo, da na mizi pripravijo samo karo zvezek za matematiko, svinčnik, radirko in rdečo barvico. V zvezek prepišejo naslov iz table Številski maraton. Naloge rešujejo v zvezek. To pomeni, da morajo imeti v zvezku napisane tudi vse številske izraze. Vedno si napišejo, katero nalogo so reševali (npr. 5 A). Z učenci naredimo primer na tabli. A 4 Sledi razdelitev štartnih številk. Vsak učenec dobi naključno številko na nalepki, ki si jo nalepi na sredino majice. Velikost številke ni pomembna. A 5 S podelitvijo štartnih številk učenci uradno postanejo tekmovalci na Številskem maratonu, zato se morajo strinjati z upoštevanjem štirih pravil. Učenci poskusijo pravila najprej sami 'prebrati' . Pravilo 1: Pri številskih izrazih imata množenje in deljenje vedno prednost pred seštevanjem in odštevanjem. Pravilo 2: Če imamo dve enakovredni računski operaciji, računamo po vrsti; od leve proti desni. Pravilo 3: Računanje na pamet ni dovoljeno. Vsak rezultat mora imeti zapisan postopek reševanja. Pravilo 4: Na Številskem maratonu upoštevamo pravilo fair playa: kakršnakoli goljufi ja ali prepisovanje rezultatov od sodelujočih na maratonu je prepovedano. Če boste nalogo rešili napačno, vam kilometre za to nalogo odštejemo. Slika 3: Primer štartne številke PRILOGA 22 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 A 6 Na maratonu imamo tudi Okrepčevalnico. Namenjena je tistim, ki imajo težavo pri reševanju nalog ali pa potrebujejo dodatno spodbudo, pohvalo. A 7 Pred začetkom maratona imamo z učenci še hitro ogrevanje možganov. Učence prosimo, da se postavijo v vrsto pred tablo. Ogrevanje poteka tako, da če se učenci s trditvijo strinjajo, pred tablo počepnejo, drugače naprej stojijo (Slika 4). 5 • 5 = 25 Vsota je rezultat operacije odštevanja. 7 • 4 = 21 Količnik je rezultat operacije deljenja. 8 • 8 = 64 Zmnožek je rezultat množenja. 9 • 3 = 28 Rezultat odštevanja je deljenec. 6 • 2 = 10 100 : 10 = 12 45 : 5 = 9 Slika 4: Trditve za ogrevanje možganov B. ŠTEVILSKI MARATON 2019 B 1 Številski maraton 2019 se uradno začne. B 2 Učenci samostojno prihajajo po naloge, ki so postavljene na robu učilnice, in jih rešujejo v zvezek. Učenci, ki predhodno zaključijo vse naloge, postanejo prostovoljci. Njihova naloga bi bila, da začnejo s pripravo nalog za Številski maraton 2020. To pomeni, da dobijo prazen listek, kamor napišejo nalogo, ki si jo sami zamislijo. Sami tudi ocenijo, koliko kilometrov je vredna naloga. Naloge za vsako raven znanja po Gagneju. Učitelj/študentka učencem pomaga v Okrepčevalnici, ki je premična. Učitelj spremlja delo učencev; če si izbirajo različne naloge, če zapisujejo postopke, če pravilno označujejo naloge, če si izbirajo primerno zahtevne naloge. Učitelj preprečuje nastanek zmede; npr. če je na otoku, kjer si učenci izbirajo naloge, prevelik zastoj, učitelj doda še en otok z enakimi nalogami. C. ZAKLJUČEK ŠTEVILSKEGA MARATONA C 1 Učenci prenehajo z reševanjem. S sosedom si zamenjajo zvezek. Učenci drug drugemu seštejejo kilometre, ki so jih dosegli. Vsoto doseženih kilometrov si pridejo vpisat v preglednico na plakatu na šolski tabli, kjer so že zapisane vse njihove štartne številke. V preglednici je prazen prostor, kamor učiteljica po pregledu nalog vpiše minus kilometre za napačno rešene naloge. Slika plakata je priložena pri analizi učne ure, kjer se tudi že vidijo vpisani rezultati. C 2 Za konec z učenci naredimo še analizo počutja sodelovanja na Številskem maratonu. Učenec prilepi svojo štartno številko v tisti kvadrant v pravokotniku počutja, ki se sklada z njihovim počutjem na Številskem maratonu. Pravokotnik počutja je vključen v analizo.