| 387 |
| 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
V
G 201
7
GEODETSKI VESTNIK | letn. / Vol. 61 | št. / No. 3 |
ABSTRACT IZVLEČEK SI  |
  E
N
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
statistical hypothesis testing, significance level, simulated 
distribution function, critical value, actual risk, point displacement
In geodesy, statistical testing aids in determining the 
extent to which the criteria and requirements needed 
in the measurement and calculation proceedings have 
been fulfilled. A “rule of thumb” method that compares 
test statistics to constants Tcrit = 3 or  Tcrit = 5 has been 
established. The test statistic T is the ratio between the 
displacement and its precision. Since it is not distributed 
through any of the known distribution functions, (statistical) 
simulations are used to assess the empirical distribution in 
2D and 3D geodetic networks. The proposed alternative 
procedure leads to a more precise detection of significant 
displacements at a given test significance level α. Regardless 
of the network's dimensionality, Tcrit obtains the value of 3 
at a risk level below 1%. When 5% is considered to be an 
acceptable risk level, the critical value can be lower than 3 
or 5. Thus, significant displacements should be considered 
with regard to the acceptable risk level and not according 
to the usual “rule of thumb”.
statistično testiranje hipotez, stopnja značilnosti, simulirana 
porazdelitvena funkcija, kritična vrednost, dejansko tveganje, 
premiki točk
V geodeziji s postopki statističnega testiranja hipotez 
z ocenjevanjem in testiranjem značilnih parametrov 
ugotavljamo izpolnjevanje nekaterih kriterijev in zahtev 
pri merskih in računskih postopkih. V praksi so se za presojo 
značilnih premikov uveljavili nekateri kriteriji, ki testno 
statistiko primerjajo s konstantama Tcrit = 3 ali  Tcrit = 5. 
V članku predlagamo alternativni postopek za določitev 
empirične porazdelitvene funkcije s simulacijami v 2D- 
in 3D-geodetski mreži, saj se testna statistika T = d/ σd 
ne porazdeljuje po nobeni od znanih porazdelitvenih 
funkcij. Kritična vrednost je spremenljivka, ki pri različni 
dimenziji mreže ob enakem tveganju ni enaka. Na več 
testnih primerih pokažemo, da je kritično vrednost Tcrit 
mogoče izračunati natančneje, kar zagotavlja zanesljivo 
ugotavljanje značilnih premikov glede na izbrano stopnjo 
značilnosti testa. V vseh testnih primerih Tcrit doseže vrednost 
3 pri tveganju, ki je manjše od 1 % za poljubno dimenzijo 
mreže. Če ocenimo, da je sprejemljivo tveganje 5 %, je 
kritična vrednost bistveno manjša od 3 ali 5. Značilne 
premike je torej smiselno obravnavati glede na sprejemljivo 
tveganje in ne glede na približno ocenjeno kritično vrednost.
DOI: 10.15292//geodetski-vestnik.2017.03.387-411
SCIENTIFIC ARTICLE
Received: 5. 6. 2017
Accepted: 31. 8. 2017
UDK: 528.02:528.48 
Klasifikacija prispevka po COBISS.SI: 1.01 
Prispelo: 5. 6. 2017
Sprejeto: 31. 8. 2017
Simona Savšek
AN ALTERNATIVE 
APPROACH TO TESTING 
DISPLACEMENTS IN A 
GEODETIC NETWORK
ALTERNATIVNA METODA 
TESTIRANJA PREMIKOV V 
GEODETSKI MREžI
KLJUČNE BESEDE KEY WORDS
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   387 6.10.2017   11:52:52
| 388 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
1 inTroduCTion
In their research, professionals working in the field of geosciences (civil engineers, geologists, miners and 
others) define the expected displacements. Surveyors can determine the actual displacements based on 
field measurements such as Marjetič et al. (2012), Kregar et al. (2015), and asses their accuracy using the 
statistical methodology such as Kregar et al. (2012), Urbančič et al. (2016). This task can also be reversed. 
We can define the threshold that determines whether the displacement is significant or not with respect 
to the displacement determination accuracy, which is obtained through measurements and calculations. 
Some of the approaches can be found in literature. In the literature overview the same symbols as used 
by the original authors were used.
The classical approach for determining whether the displacement is statistically significant or not is used 
and described in numerous articles (Caspary, 1987; Dognan et al., 2013; Heck et al., 1977; Koch, 1999; 
Kuang, 1996; Niemer, 1985, Pelzer, 1971; Savšek-Safić et al., 2003; Sütti and Török, 1996). The critical 
value at a selected risk level α is compared to the quotient of the quadratic form calculated as the product 
of the displacement vector and the corresponding cofactor matrix T = dT Σ-1ddd, which is distributed by 
χ2α distribution (Koch, 1999).
Statistical significance of displacement can be tested with conventional deformation analysis (CDA 
methods) or robust methods (IWST methods). The choice of the method usually depends on the kind 
of the deformation that is investigated and the type of a control network that is designed for the certain 
object of study. CDA methods are based on the least squares estimation (LSE) such as Hannover and 
Karlsruhe method where global congruency test of two epoch adjustment results is used (Pelzer, 1971; 
Niemeier, 1981). IWST method (Iterative Weighted Similarity Transformation) is a good estimator 
of the single-point displacement vector in the process of robust S-transformation (Chen et al. 1990). 
An alternative method M-estimation has been proposed to determine the displacement vector directly 
from differences in “raw” unadjusted observations (Nowel, 2015; Nowel, 2016). An alternative method 
is even more efficacious when law values of displacements that slightly exceed measurement errors are 
expected. A very good empirical measure of the efficacy of outlier tests and robust estimation methods 
are proposed by Hekimoglu and Koch (2000). The measure is called the mean success rate (MSR) and is 
computed based on many thousands of different simulated observation sets by the Monte Carlo method 
as the ratio of the number of sets for which outliers were correctly detected to the number of all sets. 
The proposed measure of efficiency MSR can be good alternative to statistical measures such as global 
and local measures of internal reliability in traditional deformation analysis methods. 
Rueger (1999) treats the required accuracy of displacement determination similarly to Welsch et al. 
(2000) and Pelzer et al (1987). If dy is the estimated value of minimal displacement, then the required 
accuracy sy can be assessed with a „rule of thumb” design equation sy ≤ d/5. Other authors claim that 
displacements are significant when the ratio between the displacement and its accuracy is greater than 
3 (Klein and Heunecke, 2006).
The U.S. Army Corps of Engineers (USACE Army, 2002) recommends that the standard deviation of 
measurements for displacement detection should be 9 times lower than the greatest expected displace-
ment. If one uses 95 % confidence level to describe the measurement accuracy, then it should be 4 times 
lower than the greatest expected displacement.
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   388 6.10.2017   11:52:52
| 389 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
Hekimoglu et al. (2010) calculate the radius of the corresponding displacement circle r from the ele-
ments of the respective sub-matrix of the cofactor matrix Qdd and α-fractile of the χ
2
2-distribution for 2 
degrees of freedom χ22,α. They observed what percentage of points has moved in the interval between r 
and 2r or between r and 3r for a chosen value of error probability α.
Ramos et al. (2012) developed software for 3D movements of olive trees due to erosion of the terrain. 
3D movements were analyzed in two parts: as planimetric and altimetric movements. They decided that 
the planimetric displacements were significant if the 99 % error ellipses of individual points from each 
campaign do not intersect. To determine the altimetric movements, they have taken a similar decision: 
displacement is significant, if the altimetric displacement vector for each point from each campaign is 
higher than the error interval as calculated by 2 299 % 99 %_ 1 _ 2Error C Error C+ .
So far the literature overview dealt predominantly with displacements in a 2D plane. Berber (2006) and 
Berber et al. (2009) calculates the threshold value in a 3D space which is an approximation of the 3D 
confidence ellipsoid using the following equation 
95 95 95
2 2 2
i i ii a b h
δ σ σ σ= + + , in which the semi-axes of the 
95 % confidence ellipsoid and the vertical interval are obtained as σa,b,h95i = 2.795σa,b,hi. The standard 
3D ellipsoid at χ23;1-α = 1 has a confidence level (1-α) of about 20 %. In order to achieve a 95 % confi-
dence level, a multiplication factor 2.795 must be used (Staudinger, 1999).
Displacements and deformations appear on artificial objects such as dams, embankments, bridges, their 
surroundings (e.g. in reservoir valleys, on the banks of accumulation lakes) as well as in organic areas such 
as landslides, tectonic faults and marshes. The reasons for displacements can be attributed to external 
forces (temperature changes, wind, tectonic or seismic effects), mechanical properties of the construction 
materials and elements, inadequate knowledge of the ground’s geomorphologic composition, mechanic 
properties and hydrological conditions at the time of projecting the object. Establishing the displace-
ments and deformations of artificial and natural objects is one of the most complex tasks in surveying.
Indirectly obtained quantities such as the shift and the corresponding standard deviation (statistically 
tested with the test statistic T = d/σd ) are usually used when assessing the statistical significance of displace-
ments. Since the test statistic T is compared to the critical value Tcrit – which is determined on the basis 
of the appropriate distribution function and the chosen significance level – it is important to determine 
the distribution function correctly. The statistical test determines the subset of a sample space known as 
the critical value approach or the null hypothesis rejection interval. In practice the criterion of T > 3 or 
T > 5, also known as the „rule of thumb” is often used in the assessment of significant displacements. 
However, as simulation procedures allow us to determine the critical value Tcrit much more accurately 
this criterion is not precise enough. 
In this article we will deal with the specialities used in the calculation of displacements with correspond-
ing standard deviations in 1D, 2D and 3D geodetic networks. The procedures used to determine the 
distribution function for the test statistic T = d/σd are proposed according to the dimensionality of the 
network. For a 2D and 3D geodetic network the test statistic in not distributed through an analytical 
distribution function, which is why the appropriate distribution function is determined empirically, 
through simulations. Since the simulations allow us to determine the critical value Tcrit for each individual 
point within a network, the proposed alternative procedure leads to higher quality of the detection of 
significant displacements at a given test significance level α. 
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   389 6.10.2017   11:52:52
| 390 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
2 disPlaCeMenT and disPlaCeMenT aCCuraCY esTiMaTion
In order to calculate the displacement and its standard deviation, the positions of identical points need 
to be determined in two time periods. If we have a sufficient number of stable points within a geodetic 
network, geodetic datum of the network is ensured well. If the calculated displacement values are signifi-
cantly higher than the corresponding precision, a decision can be reached without any statistical testing. 
It is often hard to determine the sufficient number of stable points and detect significant displacements in 
geotechnical studies, for their value can often be found in the rang of their standard deviation. Statistical 
testing procedures are used in order to reduce the risk of credible detection of significant displacements. 
Consider the position of a point P in time t and t+Δt. The displacement is calculated as follows:
 in 1D network: d1D = ∆H = Ht+∆t - Ht, (1)
 in 2D network: ( ) ( )2 22 22D t t t t t td y x y y x x+∆ +∆= ∆ + ∆ = - + -  in (2)
 in 3D network: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 23D t t t t t t t t td y x H y y x x H H+∆ +∆ +∆= ∆ + ∆ + ∆ = - + - + - , (3)
in which yt, xt, Ht and yt+Δt, xt+Δt, Ht+Δt are adjusted coordinates of the same point in different time periods.
In order to calculate the displacement precision, we not only need to know the point coordinates, but also 
their variance-covariance matrix. Let’s assign point Pt in the first time period with the variance-covariance 
matrix ΣPt and the same point Pt+Δt in the second time period with the variance-covariance matrix ΣPt+∆t.
Let’s assume that the coordinates of points P in time t are not correlated with the coordinates in time 
t+Δt. The variance-covariance matrix of the point in both time periods can be written as follows:
 
+∆
+∆
Σ 
Σ =  Σ 
0
0
t
t t t
t t
P
P P
P
, (4)
 in 1D network: 
2
2
0
0
t
t t t
t t
H
P P
H
σ
σ+∆
+∆
 
Σ =  
  
, (5)
 in 2D network: 
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
+∆
+∆ +∆ +∆
+∆ +∆ +∆
 
 
 Σ =  
 
  
2
2
2
2
0 0
0 0
0 0
0 0
t t t
t t t
t t t
t t t t t t
t t t t t t
y y x
y x x
P P
y y x
y x x
 in (6)
 in 3D network: 
2
2
2
2
2
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
t t t t t
t t t t t
t t t t t
t t t
t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t
y y x y H
y x x x H
y H x H H
P P
y y x y H
y x x x H
y H x H H
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
+∆
+∆ +∆ +∆ +∆ +∆
+∆ +∆ +∆ +∆ +∆
+∆ +∆ +∆ +∆ +∆
 
 
 
 
 ∑ =  
 
 
 
  
. (7)
Taking into account the error propagation law, the variance of point P displacement is
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   390 6.10.2017   11:52:53
| 391 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
 
D D D
2
t t t
T
d d P P dσ +∆= ΣJ J , (8)
in which the Jacobi matrix JdD equals:
 in 1D: 
1D
1D 1D 1 1d
t t t
d d
H H +∆
 ∂ ∂
 = = -   ∂ ∂ 
J , (9)
 in 2D: 
2D
2D 2D 2D 2D
2D 2D 2D 2D
d
t t t t t t
d d d d y yx x
y x y x d d d d+∆ +∆
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆∆ ∆
= = - -   ∂ ∂ ∂ ∂   
J  in (10)
 in 3D: 
3D
3D 3D 3D 3D 3D 3D
3D 3D 3D 3D 3D 3D
d
t t t t t t t t t
d d d d d d y yx H x H
y x H y x H d d d d d d+∆ +∆ +∆
  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆
= = - - -  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
J  (11)
When we put eqs. (9), (10) and (11) into (8) the variance of point P’s displacement is written as follows: 
 in 1D: 
1D
2 2 2
t t td H H
σ σ σ
+∆
= + , (12)
 in 2D: ( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ σ σ+∆ +∆ +∆ +∆
   ∆ ∆∆ ∆
= + + + + +   
   
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
D t t t t t t t t t t t td y y x x y x y x
D D D D
y yx x
d d d d
 in (13)
 in 3D: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3D
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3D 3D 3D 3D
2 2
3D 3D
2
2 2
t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t t t
d y y x x H H y x y x
y H y H x H x H
y y xx H
d d d d
y H x H
d d
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ
+∆ +∆ +∆ +∆ +∆
+∆ +∆ +∆ +∆
∆ ∆ ∆∆ ∆
= + + + + + + + +
∆ ∆ ∆ ∆
+ + + +
 (14)
The variance is used for testing the statistical significance of displacements. 
3 deTerMininG THe disTriBuTion FunCTion oF THe TesT sTaTisTiCs WiTH 
siMulaTions
Following the adjustment of the measurements for both time periods, the displacement of points d 
and their accuracies σd are determined. The test statistic for the detection of significant displacements 
is written as
 d
d
T
σ
= . (15)
The test statistic can be distributed through known distribution functions (normal, student, Fischer 
etc.) or the distribution function can be empirically determined through simulations. It is important to 
accurately determine the distribution function, since the critical value Tcrit depends on it. The critical 
value also depends on the significance level α and how the null hypothesis H0 is set. 
The null hypothesis has to be set for statistical testing. This determines the subset of the sample space 
known as the critical value approach or the null hypothesis rejection interval. An alternative hypothesis 
needs to be set in case the null hypothesis is rejected. The alternative hypothesis is the opposite of the 
null hypothesis. The test statistic is tested in relation to the null and alternative hypothesis:
H0 : d = 0; point has not moved between the two time periods,
Ha : d ≠ 0; point has moved between the two time periods.
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   391 6.10.2017   11:52:53
| 392 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
The test statistic T is compared to the critical value Tcrit which is determined on the basis of the distribu-
tion function. If the test statistic is lower than the critical value at a chosen significance level α, the risk 
for rejecting the null hypothesis becomes too high. In this case it can be concluded that the displacement 
is not statistically significant. On the other hand, when the test statistic is higher than the critical value, it 
can be concluded that the risk for rejecting the null hypothesis is lower than the chosen significance level 
α. In this case the null hypothesis is rejected and followed by the conclusion that the tested displacement 
is statistically significant. Two cases are considered:
T ≤ Tcrit : null hypothesis cannot be rejected; point displacement is not statistically significant,
T > Tcrit : null hypothesis must be rejected; point displacement is statistically significant.
3.1 Calculation of the critical value in a 1d network
We assume that the random measurement errors are normally distributed ε∼N(0, σ2). If this is the case, 
then it can be safely assumed that the quantities that are linear combinations of these measurements are 
also normally distributed 2ˆ ˆˆ~ ( , )N µ σx xx . Since d1D is calculated as the difference of two normally distrib-
uted variables, the height difference of the same point between two time periods is also normally dis-
tributed. 
3.2  Calculation of the critical value in a 2d network
Since the displacement d in 2D networks is a non-linear function of two normally distributed variables 
Δy and Δx it is not distributed through the normal distribution function. The displacement distribution 
is empirically determined through simulations (Savšek-Safić, 2002). To come up with an accurate dis-
tribution function we suggest the use of simulations with dependent random variable samples obtained 
through linear transformation. The procedure allows for a precise determination of the critical value at 
a chosen risk level (for null hypothesis rejection). 
In order to generate a sample of dependent normally distributed random variables we need to generate a 
sample of independent normally distributed random variables upon which a linear transformation can be 
applied. The Box and Müller method (Box et al., 1958; Press et al., 1992) is used to generate independ-
ent normally distributed random variables. Let u1i and u2i, i = 1,…,n be two samples of independent 
random variables U1 and U2 evenly distributed on interval (0,1). A sample of two independent normally 
distributed random variables Z1 and Z2 is calculated as:
 
( )
( )
1 1 2
2 1 2
2 ln sin 2
,  1...
2 ln cos 2
i i i
i
i i i
z u u
i n
z u u
π
π
 - 
= = =  
-    
z . (16)
The linear transformation is used to convert the sample of independent normally distributed random 
variables into a sample of dependent normally distributed random variables
 yi = U
Tzi, i = 1, ..., n (17)
in which matrix U is obtained through Cholesky’s decomposition of the variance covariance matrix Σ, 
Σ = UTU
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   392 6.10.2017   11:52:53
| 393 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
 
2 .
0 1
y x
y
y
y x
x
y x
σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
∆ ∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
 
 
 
=  
  
-    
   
U  (18)
When we want to generate a sample of normally distributed coordinate differences Δyi and Δxi we use 
eq. (17) and assume that the mean values µΔy and µΔx equal 0, which gives us:
 
1
2
1 2 1
i i y
y x y x
i i i x
y y x
y z
x z z
σ
σ σ
σ
σ σ σ
∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆ ∆
∆ =
 
∆ = + -   
 
. (19)
Variances and covariances are:
 
2 2
2 2
t t t
t t t
t t t t t t
y y y
x x x
y x y x y x
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
+∆
+∆
+∆ +∆
∆
∆
∆ ∆
= +
= +
= +
 (20)
in which σ 2yt, σ 
2
xt
, σytxt, σ 
2
yt+∆t
, σ 2xt+∆t, σyt+∆t xt+∆t are variances and the covariances of coordinates yt, xt, yt+∆t, 
xt+∆t. 
Since the displacement and standard deviations of point coordinates differ in each time period, the 
distribution function of the test statistic T is different for each point. Displacement d and its standard 
deviation σd can be calculated with the use of simulated normally distributed variables. The simulation 
is used for generating a sample of independent normally distributed random variables and through lin-
ear transformation we obtain dependent normally distributed random variables.  In n simulations the 
procedure allows us to determine the empirical cumulative probability distribution of the test statistic 
and corresponding critical value according to the chosen significance level α for each point (Savšek-Safić 
et al., 2006).
3.3 Calculation of the critical value in a 3d network
Since the displacement d in 3D networks is a non-linear function of three normally distributed vari-
ables Δy, Δx and ΔH it is not distributed through the normal distribution function. The displacement 
distribution is empirically determined through simulations.
The distribution function is determined similarly as in 2D networks. We start off by generating a sample 
of independent normally distributed random variables. Let u1i, u2i, i = 1,…,n and u3i, u4i, i = 1,…,n 
be two pairs of samples of independent random variables U1, U2 and U3, U4 evenly distributed on the 
interval (0,1). A sample of three independent normally distributed random variables Z1, Z2 and Z3 is 
calculated as follows:
 
( )
( )
( )
1 21
2 1 2
3 3 4
2 ln sin 2
,  1...2 ln cos 2
2 ln sin 2
i ii
ii i i
i i i
u uz
z i nu u
z u u
π
π
π
 - 
  = = =-  
   -    
z  (21)
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   393 6.10.2017   11:52:53
| 394 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
The linear transformation (17) is used to transform the sample of independent normally distributed 
variables into a sample of dependent normally distributed variables, for which we use the decomposed 
matrix U:
 
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
0 1
1
0 0
1
y x y H
y
y y
y x x H y y H y x
x
y x
y x
y x
y x
y H x H y y H y x
H
y
y x
y x
y x
σ σ
σ
σ σ
σ σ σ σ σ
σ
σ σ σ
σ σ
σ σ
σ σ σ σ σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆











  -
= -   
   
-   
 
 
 
   - - -        -      
U .












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (22)
The sample of dependent normally distributed variables Δyi, Δxi and ΔHi is generated as follows:
 
1
2
1 2
22 2
2
1 2 32 2
2 2
1
1 1
i i y
y x y x
i i i x
y y x
y H x H y y H y x y H x H y y H y x
i i i i H
y y
y x y x
y x y x
y x y x
y z
x z z
H z z z
σ
σ σ
σ
σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ
σ σσ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆ =
 
∆ = + -   
 

 - -
∆ = + + - -  
    
- -      
   
2

 
 
 
 
 
 

. (23)
The variances and covariances of the difference between the coordinates of a specific point in two time 
periods are calculated as follows: for Δy and Δx through eq. (20) while for ΔH eq. (24) is used:
 
2 2
t t t
t t t t t t
t t t t t t
H H H
y H y H y H
x H x H x H
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
+∆
+∆ +∆
+∆ +∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
= +
= +
= +
, (24)
in which σ 2yt, σ 
2
xt
, σ 2Ht, σytxt, σytHt, σxtHt, σ 
2
yt+∆t
, σ 2xt+∆t, σ 
2
Ht+∆t
, σyt+∆t xt+∆t, σyt+∆t Ht+∆t, σxt+∆t Ht+∆t are variances 
and covariances of the spatial coordinates of a point yt, xt, Ht, yt+∆t,  xt+∆t,  Ht+∆t. 
In 3D and 2D networks the distribution of the test statistic T varies for each individual point.
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   394 6.10.2017   11:52:53
| 395 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
4 resulTs
Several control geodetic networks of different dimensions, shapes, number of reference and control points 
established for the purpose of deformation monitoring of dams and geological faults in the Slovene area 
are analyzed in the article. Stability monitoring networks typically have specific geometry (see Appendix). 
All observations were made using precise total station (Leica Geosystems TS30 R1000: σISO-THEO HZ,Z = 0.5’’ 
and  σISO-EDM = 0.6 mm; 1ppm) in 7 sets of angels. Observations for height determination with geometric 
levelling are made using precise digital level Leica Geosystems DNA03: σISO-LEV = 0.3 mm/km.
The critical value Tcrit for a normal distribution function is calculated at a selected significance level α. In 
practice the most common values are α = 0.10, α = 0.05, α = 0.01 and α = 0.001. Besides these values 
in Table 1 also shows significance levels α that provide critical values Tcrit 3 and more. 
Table 1:  Critical value Tcrit with respect to significance level α.
α
1D 2D 3D
Tcrit T 
min
crit T 
max
crit T 
mean
crit T 
min
crit T 
max
crit T 
mean
crit
0.10 1.64 1.94 2.13 2.07 1.67 1.81 1.71
0.05 1.96 2.22 2.43 2.36 1.98 2.11 2.02
0.01 2.58 2.79 3.01 2.93 2.59 2.69 2.62
0.0027 3.00
0.0081 2.86 3.08 3.00
0.0084 2.97 3.07 3.00
0.001 3.29 3.43 3.68 3.59 3.24 3.35 3.28
0.00001 4.42 4.47 4.93 4.76 4.06 4.21 4.08
Table 1 shows that in a 1D network the critical value Tcrit of the normal distribution function is uniquely 
defined at a given significance level α. When the significance value decreasing (i. e. the risk of an unjusti-
fied rejection of the null hypothesis – error type I. is reduced) the critical value rises accordingly. We can 
observe that for critical value Tcrit = 3.29 the risk is only 0.1 %. In practice a 95 % probability is usually 
acceptable when deciding whether the displacement is significant or not. In this case we have to compare 
the test statistic T with the critical value Tcrit = 1.96 and not with constants 3 or 5. If the client considers 
that a 5 % risk is acceptable, the given displacement can be identified as significant much sooner. This is 
crucial for testing as the aim is to detect significant displacement with the greatest possible probability.
In order to obtain the most probable critical value at a chosen significance level we tested several 2D and 
3D geodetic networks in Slovenia with different geometries (see Tables in Appendix). Table 1 lists the 
minimum, maximum and average critical values T meancrit  for test networks based on a simulated empirical 
distribution function for chosen significance level α=0.10; α=0.05; α=0.01 and α=0.001. Table 1 shows 
a significance level α, that provide an average critical values T meancrit = 3, which often occurs in practice for 
testing significant displacement.  Level α for the critical value of 5 is not listed since its value is lower 
than 0.00001 and can be treated as a non-risk decision.
Table 1 indicates that when the significance value decreasing (i. e. the risk of an unjustified rejection of 
the null hypothesis – error type I. is reduced) the critical value rises. This can be clearly seen when we 
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   395 6.10.2017   11:52:53
| 396 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
compare the test statistic T with the critical value T meancrit = 3.59 for 2D geodetic networks and T 
mean
crit = 3.28 
for 3D geodetic networks where the risk is only 0.1 %. In practice a 95 % probability is usually accept-
able when deciding whether the displacement is significant or not. In such an event we have to compare 
the test statistic T with the critical value T meancrit = 2.36 for 2D geodetic networks and T 
mean
crit = 2.02 for 
3D geodetic networks and not with constants 3 or 5. If the client considers a 5 % risk to be acceptable, 
then the given displacement can be identified to be significant much sooner. This is crucial for testing as 
the aim is to detect significant displacement with the greatest possible probability. The client determines 
the acceptable risk in accordance to the consequences brought forth by a wrong decision. The aim of 
statistical testing is to detect significant displacement as reliably as possible. Simulation procedures can 
be of great help since a properly determined distribution function is of utmost importance for a critical 
value determination.
5 ConClusion
A reliable estimate of measurements, coordinates and displacements is of great importance since the 
deformation analysis deals with large amounts of observations in multiple time periods. Statistical test-
ing represents an indispensable tool for evaluating parameters, identifying the adequacy of observations 
and mathematical models, detecting gross errors in observations, identifying the compliance of suppos-
edly stable points during a time period and detecting statistically significant displacements of unstable 
points. Statistical testing procedures help us eliminate the possibility of a specific point displacement 
being wrongly treated as significant due to inadequate observations, a wrongly selected mathematical 
model or the non-compliance between the measurements in two time periods. In order to ensure reliable 
displacement detection it is important to select a representative test statistic when the homogeneous 
precision of two periods is ensured. This article discusses the common test statistic T = d/σd. In 2D and 
3D geodetic networks the displacement is a non-linear function of variables Δy, Δx and ΔH and therefore 
it is not distributed through any of the analytical distribution functions. 
The proposed procedure was tested on multiple geodetic networks varying in size, dimensionality (1D, 
2D, 3D), geometry, number of probable stable points and number of repeated measurements (periods). 
In all cases the empirical distribution function was simulated and critical values were calculated for com-
monly used significance levels α = 0.10, α = 0.05, α = 0.01 and α = 0.001. Special attention was paid 
to criteria T > 3 and T > 5, known as the „rule of thumb”. In the same way as the distribution function 
differs for each point, it also does for the critical value. In addition, the critical values that correspond 
to the same risk level differ for a 1D, 2D or 3D geodetic network.  
The critical value is a variable so it should not be treated as a constant (3 or 5). All test cases have shown 
that the critical value 3 corresponds to an extremely low risk level (less than 1 %). Risk level of 1% is 
used when statistical tests are applied for research, risk management or in case of deformation mea-
surement on critical infrastructure (nuclear power plants, etc.). For most geotechnical objects (bridges, 
dams etc.) a risk level of 5 % is sufficient. The client has greater benefits if the empirical distribution 
function and accurate critical values are determined according to the chosen significance/risk level. The 
constant risk in all network dimensions is important for the displacement evaluation as this ensures the 
comparability between periods. 
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   396 6.10.2017   11:52:53
| 397 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
literature and references:
Berber, M., Vaniček, P., Dare, P. (2009). Robustness analysis of 3D networks. Journal 
of Geodynamics, 47 (1), 1–8. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jog.2008.02.001
Berber, M. (2006). Robustness analysis of geodetic networks. PhD Thesis. University 
of New Brunswick, fredericton.
Box, G. E. P., Müller, M. E. (1985). A note on the generation of random normal deviates. 
Annals of Mathematical Statistics, 29, 610–611. DOI: https://doi.org/10.1214/
aoms/1177706645 
Caspary, W. f. (1987). Concepts of network and deformation analysis. University of 
New South Wales, Kensington.
Chen, y. G., Chrzanowski, A., Secord, J. M. (1990). A strategy for the analysis of the 
stability of reference points in deformation surveys. CISM/JOURNAL ACSGG, 
44(2), 141–149.
Dogan, U., Oz, D., Ergintav, S. (2013). Kinematics of landslide estimated by repeated 
GPS measurements in the Avcilar region of Istanbul, Turkey. Studia Geophysica 
et Geodaetica, 57, 217–232. DOI: https://doi.org/10.1007/s11200-012-1147-x
Heck, B., Kuntz, E., Meier-Hirmer, B. (1977). Deformationsanalyse mittels relativer 
fehlerellipsen. Allgemeine Vermessungs-Nachrichten, 84 (3), 78–87.
Hekimoglu, S., Erdogan, B., Butterworth, S. (2010). Increasing the efficacy of the 
conventional deformation analysis methods: Alternative strategy. Journal of 
Surveying Engineering, 136 (2), 53–62. DOI: https://doi.org/10.1061/(asce)
su.1943-5428.0000018
Hekimoglu, S., Koch, K. (2000). How can reliability of the test for outliers be measured? 
Allgemeine Vermessungs-Nachrichten, 107 (7), 247–253.
Klein, K.H., Heunecke, O. (2006). Engineering surveying standards. Proc. XXIII fIG 
Congress, München, 1 – 11.
Koch, K. R. (1999). Parameter estimation and hypothesis testing in linear 
models. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New york. DOI: https://doi.
org/10.1007/978-3-662-03976-2 
Kregar, K., Ambrožič, T., Kogoj, D., Vezočnik, R. and Marjetič, A. (2015). Determining 
the inclination of tall chimneys using the TPS and TLS approach. Measurement, 
75, 354–363. DOI: https://doi.org/10.1016/j.measurement.2015.08.006
Kregar, K., Turk, G., Kogoj, D. (2012). Statistical testing of directions observations 
independance. Survey Review, 45 (329), pp. 117–125. DOI: https://doi.org/1
0.1179/1752270612y.0000000014 
Kuang, S. L. (1996). Geodetic network analysis and optimal design: Concepts and 
applications. Ann Arbor Press, Chelsea.
Marjetič, A., Kregar, K., Ambrožič, T., Kogoj, D. (2012). An alternative approach to control 
measurements of crane rails. Sensors (Basel, Swizerland). 12 (5), 5906–5918. 
DOI: https://doi.org/10.3390/s120505906
Niemeier, W. (1981). Statistical tests for detecting movements in repeatedly 
measured geodetic networks. Tectonophysics, 71 (1), 335–351. DOI: https://
doi.org/10.1016/0040-1951(81)90076-7
Niemeier, W. (1985). Deformationsanalyse, Pelzer H. (Ed.) Geodätische Netze in 
Landes- und Ingenieurvermessung II. Stuttgart: Verlag Konrad Wittwer GmbH, 
559–623.
Nowel, K. (2015). Robust M-estimation in analysis of control network deformations: 
classical and new method. Journal of Surveying Engineering, 141 (4), 04015002. 
DOI: https://doi.org/10.1061/(asce)su.1943-5428.0000144
Nowel, K. (2016). Investigating efficacy of robust M-estimation of deformation from 
observation differences. Survey Review, 48 (346), 21–30, DOI: https://doi.org
/10.1080/00396265.2015.1097585 
Pelzer, H. (1987). Ingenieurvermessung: Deformationsmessungen, Massenberechnung, 
Vol. 15. Stuttgart: Verlag Konrad Wittwer GmbH.
Pelzer, H. (1971). Zur Analyse geodätischer Deformationsmessungen. Deutsche 
Geodätische Kommission, Reihe C, No. 164. München: Verlag der Bayerischen 
Akademie der Wissenschaften.
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., flannery, B. P. (1992). Numerical Recipes in 
fortran, The Art of Scientific Computing. Cambridge: Cambridge University Press.
Ramos, M. I., Cubillas, J. J., feito, f. R., Gil, A. J. (2012). Software for detecting 3D 
movements: The case of olive tree displacements in an olive grove located 
on sloping land. Computers & Geosciences, 42, 143–151. DOI: https://doi.
org/10.1016/j.cageo.2011.09.009
Rueger, J. M. (1999). Overview of Geodetic Deformation Measurements of Dams in 
Australian Committee on Large Dams. ANCOLD 2006 Conference.
Savšek-Safić, S., Ambrožič, T., Stopar, B., Turk, G. (2006). Determination of Point 
Displacements in the Geodetic Network. Journal of Surveying Engineering, 
132 (2), 58 – 63. DOI: http://ascelibrary.org/doi/10.1061/%28ASCE%290733-
9453%282006%29132%3A2%2858%29. 
Savšek-Safić, S., Ambrožič, T., Stopar, B., Turk, G. (2003). Determining point 
displacements in a geodetic network. Geodetski vestnik, 47 (1&2), 7–17. http://
www.geodetski-vestnik.com/47/12/gv47-1_007-017.pdf. 
Schmidt, U. M. (2003). Objektorientierte Modellierung zur geodätischen 
Deformationsanalyse. Dissertation. Karlsruhe, Universitätsverlag Karlsruhe.
Staudinger, M. (1999). A cost Orientated Approach to Geodetic Network Optimisation. 
Dissertation. Vienna, University of Technology, faculty of Technical Science.
Sütti, J., Török, C. (1996). Testing 3D displacement vectors by confidence ellipsoids. 
Acta Montanistica Slovaca, 1 (4), 301–310. https://pdfs.semanticscholar.
org/6612/2331bc7029d98f095154b847b38133b5dfed.pdf.
Urbančič, T., Vrečko, A. and Kregar, K. (2016). Zanesljivost metode RANSAC pri oceni 
parametrov geometrijskih oblik. Geodetski vestnik, 60 (1), 69–97. DOI: https://
doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2016.01.69-97
Sace, A. (2002). Engineering and Design – Structural Deformation Surveying. Engineer 
Manual EM 1110-2-1009. Washington, Department of the Army.
Welsch, W., Heunecke, O., Kuhlmann, H. (2000). Auswertung geodätischer 
Überwachungsmessungen, Handbuch der Ingenieurgeodäsie. Heidelberg, 
Herbert Wichmann Verlag.
Savšek S. (2017). An alternative approach to testing displacements in a geodetic network. Alternativna metoda testiranja premikov v geodetski mreži. 
Geodetski vestnik, 61 (3), 387-441. DOI: 10.15292/geodetski-vestnik.2017.03.387-441
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   397 6.10.2017   11:52:54
| 398 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
appendix
Network shape
N
um
be
r 
of
 d
ir
ec
ti
on
s
N
um
be
r 
of
 d
is
ta
nc
es
N
um
. o
f z
en
it
h 
di
st
an
ce
s
N
um
be
r 
of
 u
nk
no
w
ns
N
um
be
r 
of
 p
oi
nt
s
Av
er
ag
e 
σ p
 (m
m
)
α T
 mi
n cr
it
T
 ma
x cr
it
T
 me
an cr
it
 
2D 10 5  12 4 0.2 0.10 2.01 2.12 2.07 
 
2D 10 5 12 4 0.2 0.10 2.01 2.12 2.07
0.05 2.30 2.42 2.63
0.01 2.86 3.00 2.93
0.008 2.92 3.08 3.00
0.001 3.49 3.68 3.59
0.00001 4.60 4.95 4.75
3D 10 5 10 16 4 44.8 0.10 1.64 1.64 1.64
0.05 1.96 1.96 1.96
0.01 2.57 2.57 2.57
0.0034 3.00 3.00 3.00
0.001 3.23 3.23 3.23
0.00001 4.06 4.06 4.06
 
2D 93 121  99 41 0.3 0.10 1.77 2.14 2.04 
 
2D 93 121 99 41 0.3 0.10 1.77 2.14 2.04
0.05 2.06 2.44 2.33
0.01 2.65 3.02 2.91
0.0075 2.75 3.12 3.00
0.001 3.33 3.69 3.56
0.00001 4.47 4.97 4.80
3D 93 121 162 140 41 2.1 0.10 1.70 2.18 1.81
0.05 2.01 2.46 2.10
0.0171 2.61 3.01 2.69
0.01 2.93 3.31 3.00
0.001 3.27 3.64 3.34
0.00001 4.06 4.75 4.14
2D 10 5  12 4 0.5 0.10 2.06 2.14 2.10 
 
2D 10 5 12 4 0.5 0.10 2.06 2.14 2.10
0.05 2.35 2.43 2.39
0.01 2.93 3.02 2.98
0.0093 2.95 3.05 3.00
0.001 3.58 3.70 3.64
0.00001 4.55 4.85 4.70
3D 10 5 10 16 4 30.7 0.10 1.64 1.64 1.64
0.05 1.96 1.96 1.96
0.01 2.57 2.57 2.57
0.0027 3.00 3.00 3.00
0.001 3.23 3.23 3.23
0.00001 4.06 4.06 4.06
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   398 6.10.2017   11:52:54
| 399 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
Network shape
N
um
be
r 
of
 d
ir
ec
ti
on
s
N
um
be
r 
of
 d
is
ta
nc
es
N
um
. o
f z
en
it
h 
di
st
an
ce
s
N
um
be
r 
of
 u
nk
no
w
ns
N
um
be
r 
of
 p
oi
nt
s
Av
er
ag
e 
σ p
 (m
m
)
α T
 mi
n cr
it
T
 ma
x cr
it
T
 me
an cr
it
2D 44 34  29 12 0.2 0.10 1.89 2.11 2.00 
 
2D 44 34 29 12 0.2 0.10 1.89 2.11 2.00
0.05 2.18 2.41 2.29
0.01 2.74 2.99 2.85
0.0062 2.88 3.15 3.00
0.001 3.37 3.64 3.50
0.00001 4.51 4.90 4.67
3D 44 34 44 41 12 3.1 0.10 1.66 1.67 1.66
0.05 1.97 1.99 1.98
0.01 2.58 2.59 2.58
0.0063 3.00 3.01 3.00
0.001 3.23 3.25 3.24
0.00001 4.06 4.07 4.06
 
2D 39 29  29 12 0.2 0.10 2.02 2.13 2.10 
 
2D 39 29 29 12 0.2 0.10 2.02 2.13 2.10
0.05 2.30 2.43 2.39
0.01 2.86 3.01 2.97
0.0090 2.90 3.04 3.00
0.001 3.50 3.68 3.62
0.00001 4.45 4.95 4.82
3D 39 28 36 41 12 1.5 0.10 1.71 1.94 1.79
0.05 2.02 2.22 2.09
0.01 2.62 2.77 2.67
0.0023 2.94 3.08 3.00
0.001 3.27 3.41 3.33
0.00001 4.07 4.21 4.09
 
2D 76 45  51 19 0.2 0.10 1.87 2.14 2.08 
 
2D 76 45 51 19 0.2 0.10 1.87 2.14 2.08
0.05 2.16 2.44 2.37
0.01 2.71 3.03 2.95
0.0085 2.76 3.08 3.00
0.001 3.34 3.70 3.61
0.00001 4.25 4.97 4.80
3D 76 45 76 70 19 2.4 0.10 1.66 1.76 1.72
0.05 1.97 2.06 2.02
0.0188 2.58 2.65 2.62
0.01 2.96 3.04 3.00
0.001 3.23 3.31 3.29
0.00001 4.03 4.10 4.07
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   399 6.10.2017   11:52:54
| 400 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI|
 EN
ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V 
GEODETSKI MREžI
OSNOVNE INfORMACIJE O čLANKU:
GLEJ STRAN 387
1 uvod 
Strokovnjaki, ki delujejo na področju geoznanosti (gradbeniki, geologi, rudarji in drugi), v svojih raziska-
vah opredelijo pričakovane premike. Geodeti na podlagi terenskih meritev določimo dejanske premike 
kot na primer Marjetič et al. (2012), Kregar et al. (2015), in natančnost določitve premikov z uporabo 
statističnih metod kot na primer Kregar et al. (2012), Urbančič et al. (2016). Nalogo lahko tudi obrne-
mo. Glede na natančnost določitve premikov, ki je posledica merjenja in izračunov, lahko izračunamo 
mejo, do katere lahko trdimo, da točka miruje ali se je značilno premaknila. V literaturi je opisanih nekaj 
pristopov. V pregledu literature ohranjamo oznake tako, kot jih zapisujejo posamezni avtorji.
Klasični pristop ocenjevanja, ali je premik statistično značilen ali ne, je uporabljen in opisan v številnih 
člankih (Caspary, 1987; Dognan et al., 2013; Heck et al., 1977; Koch, 1999; Kuang, 1996; Niemer, 
1985; Pelzer, 1971; Savšek-Safić et al., 2003; Sütti in Török, 1996). Kritična vrednost pri izbrani stopnji 
značilnosti α se primerja s kvocientom kvadratne forme, ki se izračuna kot produkt vektorja premika 
točk s pripadajočo matriko kofaktorjev T = dT Σ-1ddd, ta se porazdeljuje po porazdelitvi χ
2
α (Koch, 1999).
Statistično značilne premike lahko testiramo s klasičnimi postopki deformacijske analize (angl. CDA – 
conventional deformation analysis) ali z robustnimi metodami (angl. IWST – iterative weighted similarity 
transformation). Izbira metode je običajno odvisna od vrste deformacij, ki jih raziskujemo, in od vrste 
kontrolne mreže, ki jo vzpostavimo za obravnavani objekt. CDA-metode temeljijo na oceni najmanjših 
kvadratov (LSE), kot sta Hannover in Karlsruhe, kjer uporabimo globalni kongruenčni test med dvema 
terminskima izmerama (Pelzer, 1971; Niemeier, 1981). IWST-metode zagotavljajo dobro oceno vektorja 
premikov za posamezno točko v postopku robustne S-transformacije (Chen et al., 1990). V literaturi je 
predstavljena alternativna M-ocena za določitev vektorja premikov neposredno iz razlik »surovih« neiz-
ravnanih meritev (Nowel, 2015; Nowel, 2016). Metoda je še posebej učinkovita, kadar se pričakujejo 
mali premiki, ki le malo presežejo merske pogreške. Hekimoglu in Koch (2000) predlagata zelo dobro 
empirično mero za učinkovito testiranje grobih pogreškov in oceno robustnih metod, imenovano pov-
prečna ocena uspešnosti (angl. MSR – mean success rate). Izračunamo jo na podlagi velikega števila simu-
liranih meritev po metodi Monte Carlo kot razmerje med številom meritev, pri katerih odkrijemo grobe 
pogreške, in številom vseh meritev. Predlagana mera MSR je lahko dobra alternativa statističnim meram, 
kot so globalne in lokalne mere notranje zanesljivosti v tradicionalnih pristopih deformacijske analize.
Rueger (1999) obravnava zahtevano natančnost določitve premikov podobno kot Welsch et al. (2000) in 
Pelzer et al. (1987). Če je ocenjena velikost minimalnega premika dy, potem lahko zahtevano natančnost 
meritev sy ocenimo s približno enačbo sy ≤ d/5 . V drugih člankih avtorji predpostavijo, da je premik značilen, 
če je kvocient med premikom in standardno deviacijo premika večji kot 3 (Klein in Heunecke, 2006).
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   400 6.10.2017   11:52:54
| 401 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
V ameriški agenciji za vojno inženirstvo USACE (USACE Army, 2002) priporočajo, naj bo standardna 
deviacija meritev (σ39%) za določitev deformacij devetkrat manjša od največje pričakovane vrednosti 
deformacij. Če uporabimo 95 % stopnjo zaupanja, pa mora biti standardna deviacija meritev (σ95%) 
štirikrat manjša od največje pričakovane vrednosti deformacij.
Hekimoglu et al. (2010) izračuna radij pripadajočega kroga premikov r iz elementov pripadajoče pod-
matrike matrike kofaktorjev Qdd in izbrane stopnje značilnosti α porazdelitve χ
2
2 za 2 prostostni stopnji  
χ22,α. Ob izbrani stopnji značilnosti α ugotavlja, koliko odstotkov točk se je premaknilo v intervalu med 
r in 2r oziroma med r in 3r.
Ramos et al. (2012) so razvili program za 3D-premike oljk, ki jih povzroča erozija terena. Premike so 
analizirali ločeno za horizontalno in vertikalno komponento. Premike v ravnini so obravnavali kot zna-
čilne, kadar se 99 % elipsi pogreškov iz dveh zaporednih izmer ne prekrivata. V višinskem smislu so 
premik označili kot značilen, kadar je večji od intervala natančnosti 2 299 % 99 %_ 1 _ 2Error C Error C+ .
Do sedaj opravljen pregled literature obravnava premike pretežno v 2D-ravnini. Berber (2006) in Berber 
et al. (2009) izračunajo mejno vrednost 3D-elipsoida zaupanja z enačbo 
95 95 95
2 2 2
i i ii a b h
δ σ σ σ= + + , kjer so 
posamezne polosi 95 % elipsoida zaupanja in vertikalnega intervala izračunane kot σa,b,h95i= 2,795σa,b, hi. 
Standardni 3D-elipsoid ima pri χ23;1-α stopnjo zaupanja (1-α) približno 20 %. Da dosežemo 95 % verje-
tnost, je treba osnovno enačbo standardnega 3D-elipsoida pomnožiti s faktorjem 2,795 (Staudinger, 1999).
Premiki in deformacije nastanejo tako na umetnih objektih, kot so jezovi, nasipi, mostovi, kot tudi v 
njihovi okolici, na primer v dolinah jezov, na obrežjih umetnih akumulacij, pa tudi na naravnih obmo-
čjih, kot so plazovi, ob tektonskih prelomnicah, na barjanskih tleh. V splošnem lahko vzroke za nasta-
nek premikov in deformacij pripisujemo delovanju zunanjih vplivov (spremembi temperature, vetru, 
tektonskim in seizmičnim vplivom), mehaničnim lastnostim gradbenega materiala in konstrukcijskih 
elementov ter nezadostnemu upoštevanju geološke sestave, mehanskih lastnosti ter hidroloških pogojev 
tal pri projektiranju objekta. Določitev premikov in deformacij naravnih in umetnih objektov je ena 
zahtevnejših nalog geodetske stroke.
Pri presoji statistično značilnih premikov navadno uporabimo indirektno določene količine, na primer 
premik in pripadajočo standardno deviacijo, ki jih z zapisom testne statistike T = d/σd testiramo s po-
stopki statističnega testiranja hipotez. Ker testno statistiko T primerjamo s kritično vrednostjo Tcrit, ki 
jo določimo na podlagi ustrezne porazdelitvene funkcije in izbrane stopnje značilnosti testa α, je zelo 
pomembno, da pravilno določimo porazdelitveno funkcijo, po kateri se testna statistika porazdeljuje. 
Statistični test predpisuje pravilo za določitev neke podmnožice prostora vzorcev, ki jo imenujemo kritično 
območje preizkusa ali območje zavrnitve ničelne hipoteze. V praksi se pri presoji o značilnih premikih 
pogosto uporabi približni kriterij T > 3 ali T > 5, ki pa je pogosto preohlapen, saj je s postopki simulacij 
mogoče natančneje izračunati kritično vrednost Tcrit porazdelitvene funkcije. 
V članku obravnavamo posebnosti pri izračunu premika in pripadajoče standardne deviacije v 1D-, 2D- 
in 3D-geodetskih mrežah. Zapišemo postopek za določitev porazdelitvene funkcije za testno statistiko 
T = d/σd glede na dimenzijo mreže. V ravninski in prostorski mreži se izračunana testna statistika ne 
porazdeljuje po nobeni od znanih porazdelitvenih funkcij, zato pripadajočo porazdelitveno funkcijo 
določimo empirično s simulacijami. S simulacijami lahko določimo kritično vrednost Tcrit porazdelitvene 
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   401 6.10.2017   11:52:54
| 402 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI|
 EN
funkcije za vsako točko v mreži, zato lahko predlagani alternativni postopek zagotovi večjo občutljivost 
pri ugotavljanju značilnih premikov pri izbrani stopnji zaupanja α.
2 oCena PreMikov in nJiHove naTanČnosTi
Pogoj za izračun premika in pripadajoče standardne deviacije premika je, da so identične točke izmerjene 
najmanj v dveh terminskih izmerah. Če obstaja dovolj stabilnih točk, ki zagotavljajo kakovosten geodetski 
datum v obeh izmerah, izračunani premiki pa so značilno večji od standardne deviacije, se za premik lahko 
opredelijo iz razlike koordinat v dveh terminskih izmerah in dodatno statistično testiranje ni potrebno. V 
geotehničnih raziskavah je pogosto težavno določiti dovolj stabilnih točk, kakor tudi značilne premike, 
ki so pogosto le malo večji od standardne deviacije premika. Da bi zmanjšali tveganje pri verodostojni 
obravnavi značilnih premikov, uporabimo postopke statističnega testiranja, ki nam olajšajo odločitve. 
Predpostavimo, da obravnavamo položaj točke P v času t in t + ∆t. Premik točke izračunamo:
 v 1D-mreži: d1D = ∆H = Ht+∆t - Ht, (1)
 v 2D-mreži: ( ) ( )2 22 22D t t t t t td y x y y x x+∆ +∆= ∆ + ∆ = - + -  in (2)
 v 3D-mreži: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 23D t t t t t t t t td y x H y y x x H H+∆ +∆ +∆= ∆ + ∆ + ∆ = - + - + - , (3)
kjer so yt, xt, Ht in yt+Δt, xt+Δt, Ht+Δt izravnane koordinate ene točke v dveh terminskih izmerah.
Da bi lahko izračunali natančnost premika točke, moramo poleg koordinat točke poznati tudi kovariančno 
matriko koordinat točke za posamezno terminsko izmero. Naj ima točka Pt v prvi izmeri pripadajočo vari-
ančno-kovariančno matriko ΣPt in identična točka Pt+∆t v drugi izmeri pripadajočo variančno-kovariančno 
matriko ΣPt+∆t. Predpostavimo, da so koordinate točke P v času t nekorelirane s koordinatami v času t+Δt. 
Variančno-kovariančno matriko identične točke v dveh časovno neodvisnih izmerah lahko zapišemo:
 
0
0
t
t t t
t t
P
P P
P
+∆
+∆
Σ 
Σ =  Σ 
, (4)
 v 1D-mreži: 
2
2
0
0
t
t t t
t t
H
P P
H
σ
σ+∆
+∆
 
Σ =  
  
, (5)
 v 2D-mreži: 
2
2
2
2
0 0
0 0
0 0
0 0
t t t
t t t
t t t
t t t t t t
t t t t t t
y y x
y x x
P P
y y x
y x x
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
+∆
+∆ +∆ +∆
+∆ +∆ +∆
 
 
 Σ =  
 
  
 in (6)
 v 3D-mreži: 
2
2
2
2
2
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
t t t t t
t t t t t
t t t t t
t t t
t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t
y y x y H
y x x x H
y H x H H
P P
y y x y H
y x x x H
y H x H H
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
+∆
+∆ +∆ +∆ +∆ +∆
+∆ +∆ +∆ +∆ +∆
+∆ +∆ +∆ +∆ +∆
 
 
 
 
 ∑ =  
 
 
 
  
. (7)
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   402 6.10.2017   11:52:54
| 403 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
Po zakonu o prenosu varianc in kovarianc določimo natančnost premika
 D D D
2
t t t
T
d d P P dσ +∆= ΣJ J , (8)
kjer je Jacobijeva matrika JdD enaka
 v 1D: 
1D
1D 1D 1 1d
t t t
d d
H H +∆
 ∂ ∂
 = = -   ∂ ∂ 
J , (9)
 v 2D: 
2D
2D 2D 2D 2D
2D 2D 2D 2D
d
t t t t t t
d d d d y yx x
y x y x d d d d+∆ +∆
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆∆ ∆
= = - -   ∂ ∂ ∂ ∂   
J  in (10)
 v 3D: 
3D
3D 3D 3D 3D 3D 3D
3D 3D 3D 3D 3D 3D
d
t t t t t t t t t
d d d d d d y yx H x H
y x H y x H d d d d d d+∆ +∆ +∆
  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆
= = - - -  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
J  (11)
Če vstavimo enačbe (9), (10) in (11) v enačbo (8), varianco premika točke P lahko zapišemo 
 v 1D: 
1D
2 2 2
t t td H H
σ σ σ
+∆
= + , (12)
 v 2D: ( ) ( ) ( )2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
D t t t t t t t t t t t td y y x x y x y x
D D D D
y yx x
d d d d
σ σ σ σ σ σ σ
+∆ +∆ +∆ +∆
   ∆ ∆∆ ∆
= + + + + +   
   
 in (13)
 v 3D: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3D
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3D 3D 3D 3D
2 2
3D 3D
2
2 2
t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t t t
d y y x x H H y x y x
y H y H x H x H
y y xx H
d d d d
y H x H
d d
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ
+∆ +∆ +∆ +∆ +∆
+∆ +∆ +∆ +∆
∆ ∆ ∆∆ ∆
= + + + + + + + +
∆ ∆ ∆ ∆
+ + + +
 (14)
Varianco premika uporabimo za testiranje statistično značilnih premikov. 
3 doloČiTev PorazdeliTvene FunkCiJe s siMulaCiJaMi
Po izravnavi najmanj dveh terminskih izmer je mogoče določiti premik točke d in standardno deviacijo 
premika σd. Zapišimo ustrezno testno statistiko, s katero skušamo zaznati značilne spremembe točk v 
mreži, ki nas zanimajo: 
 d
d
T
σ
= . (15)
Testna statistika se lahko porazdeljuje po znanih porazdelitvenih funkcijah (normalna, Studentova, 
Fisherjeva idr.) ali pa je porazdelitveno funkcijo treba določiti analitično ali empirično s simulacijami. 
Natančna določitev porazdelitvene funkcije, po kateri se porazdeljuje testna statistika T, je zelo pomemb-
na, saj se glede na porazdelitveno funkcijo izračuna kritična vrednost Tcrit. Za izračun kritične vrednosti 
Tcrit je pomembno tudi, kakšno vrednost stopnje značilnosti testa α izberemo in kako postavimo ničelno 
hipotezo H0. 
V postopku testiranja hipotez je treba postaviti ničelno hipotezo, s katero se predpisuje pravilo za dolo-
čitev podmnožice prostora vzorcev, ki jo imenujemo kritično območje preizkusa ali območje zavrnitve 
ničelne hipoteze. V primeru zavrnitve ničelne hipoteze zapišemo ustrezno alternativno hipotezo. Testno 
statistiko testiramo glede na postavljeno ničelno H0 in alternativno hipotezo Ha:
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   403 6.10.2017   11:52:55
| 404 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI|
 EN
H0 : d = 0; točka v obdobju dveh terminskih izmer miruje,
Ha : d ≠ 0; točka se je v obdobju dveh terminskih izmer značilno premaknila.
Testno statistiko T primerjamo glede na kritično vrednost Tcrit, ki jo izračunamo na podlagi porazdelit-
vene funkcije. Ko je testna statistika manjša od kritične vrednosti ob izbrani stopnji značilnosti testa α, 
je tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze preveliko. V tem primeru ugotovimo, da premik ni statistično 
značilen. Če je vrednost testne statistike večja od kritične vrednosti porazdelitvene funkcije, pa ugoto-
vimo, da je tveganje za zavrnitev ničelne hipoteze manjše od izbrane stopnje značilnosti testa α. Zato 
upravičeno zavrnemo ničelno hipotezo in tako potrdimo, da je obravnavani premik statistično značilen. 
Obravnavamo torej dva primera:
T ≤ Tcrit : ne zavrnemo ničelne hipoteze; premik točke ni statistično značilen,
T > Tcrit : zavrnemo ničelno hipotezo; premik točke je statistično značilen.
3.1 izračun kritične vrednosti v 1d-mreži
Če predpostavimo, da so pogreški opazovanj normalno porazdeljeni ε∼N(0, σ2), se enako porazdeljuje-
jo tudi količine, ki so linearne funkcije opazovanj 2ˆ ˆˆ~ ( , )N µ σx xx . Ker d1D izračunamo kot razliko dveh 
normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk (glej poglavje 2), je tudi razlika višin identične točke med 
dvema terminskima izmerama normalno porazdeljena količina. 
3.2 izračun kritične vrednosti v 2d-mreži
Premik d je v 2D-mrežah nelinearna funkcija normalno porazdeljenih spremenljivk ∆y in ∆x, zato se 
ne porazdeljuje po normalni porazdelitveni funkciji. Empirično porazdelitveno funkcijo določimo s 
simulacijami (Savšek-Safić, 2002). Za določitev natančne porazdelitvene funkcije predlagamo uporabo 
simulacij za pridobitev vzorca odvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk s pomočjo linearne 
transformacije. Postopek omogoča natančno določitev kritične vrednosti pri izbrani stopnji tveganja (za 
zavrnitev ničelne hipoteze).
Osnovna ideja za generiranje vzorca odvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk je, da najprej 
generiramo vzorec neodvisnih normalno porazdeljenih spremenljivk, potem pa uporabimo linearno 
transformacijo za pridobitev vzorca odvisnih slučajnih spremenljivk. Za generiranje vzorca normalno 
porazdeljene slučajne spremenljivke uporabimo metodo Box in Müller (Box et al., 1958; Press et al., 
1992). Naj bosta u1i in u2i, i = 1, ..., n dva vzorca slučajnih spremenljivk U1 in U2, ki sta neodvisni in 
porazdeljeni enakomerno na intervalu (0,1). Vzorec dveh neodvisnih standardizirano normalno poraz-
deljenih slučajnih spremenljivk Z1 in Z2 izračunamo
 
( )
( )
1 1 2
2 1 2
2 ln sin 2
,  1...
2 ln cos 2
i i i
i
i i i
z u u
i n
z u u
π
π
 - 
= = =  
-    
z . (16)
Za pretvorbo vzorca neodvisnih normalno porazdeljenih spremenljivk v vzorec odvisnih normalno 
porazdeljenih slučajnih spremenljivk uporabimo linearno transformacijo
 yi = U
Tzi, i = 1, ..., n, (17)
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   404 6.10.2017   11:52:55
| 405 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
kjer matriko U dobimo s Cholesky razcepom variančno-kovariančne matrike Σ, Σ = UTU
 
2 .
0 1
y x
y
y
y x
x
y x
σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
∆ ∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
 
 
 
=  
  
-    
   
U  (18)
Če želimo generirati vzorec normalno porazdeljenih koordinatnih razlik Δyi in Δxi, izračunamo po (17) 
in predpostavimo, da sta srednji vrednosti
 
µΔy in µΔx enaki 0, dobimo:
 
1
2
1 2 1
i i y
y x y x
i i i x
y y x
y z
x z z
σ
σ σ
σ
σ σ σ
∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆ ∆
∆ =
 
∆ = + -   
 
. (19)
Variance in kovariance izračunamo
 
2 2
2 2
t t t
t t t
t t t t t t
y y y
x x x
y x y x y x
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
+∆
+∆
+∆ +∆
∆
∆
∆ ∆
= +
= +
= +
, (20)
kjer so σ 2yt, σ 
2
xt
, σytxt, σ 
2
yt+∆t
, σ 2xt+∆t, σyt+∆t xt+∆t variance in kovariance ravninskih koordinat točke yt, xt, yt+∆t, 
xt+∆t. 
Porazdelitvena funkcija testne statistike T je za vsako točko drugačne oblike, saj sta premik in standardna 
deviacija koordinat točk v posamezni terminski izmeri za različne točke različna. Z uporabo simuliranih 
normalno porazdeljenih spremenljivk izračunamo premik d in standardno deviacijo premika σd. Simu-
lacije uporabimo za generiranje vzorca neodvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk in z 
linearno transformacijo pridobimo odvisne normalno porazdeljene slučajne spremenljivke. V n simulacijah 
nam postopek omogoča določitev empirične kumulativne verjetnostne porazdelitvene funkcije testne 
statistike in izračun pripadajoče kritične vrednosti glede na izbrano stopnjo značilnosti testa α za vsako 
posamezno točko (Savšek-Safić et al., 2006).
3.3 izračun kritične vrednosti v 3d-mreži
Premik d je tudi v 3D-mrežah nelinearna funkcija normalno porazdeljenih spremenljivk Δy, Δxi in 
ΔH, zato se ne porazdeljuje po normalni porazdelitveni funkciji in moramo empirično porazdelitveno 
funkcijo določiti s simulacijami.
Porazdelitveno funkcijo določimo podobno kot v 2D-mrežah, tako da najprej generiramo vzorca neod-
visnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk. Naj bosta u1i, u2i, i = 1,…,n in u3i, u4i, i = 1,…,n 
dva para vzorcev slučajnih spremenljivk U1, U2 in U3, U4, ki sta neodvisna in porazdeljena enakomerno 
na intervalu (0,1). Vzorec treh neodvisnih standardizirano normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk 
Z1, Z2 in Z3 izračunamo po enačbi:
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   405 6.10.2017   11:52:55
| 406 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI|
 EN
 
( )
( )
( )
1 21
2 1 2
3 3 4
2 ln sin 2
,  1...2 ln cos 2
2 ln sin 2
i ii
ii i i
i i i
u uz
z i nu u
z u u
π
π
π
 - 
  = = =-  
   -    
z . (21)
Nato uporabimo linearno transformacijo (17) za pretvorbo vzorca neodvisnih normalno porazdeljenih 
spremenljivk v vzorec odvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk, kjer se matrika U izra-
čunana kot:
 
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
0 1
1
0 0
1
y x y H
y
y y
y x x H y y H y x
x
y x
y x
y x
y x
y H x H y y H y x
H
y
y x
y x
y x
σ σ
σ
σ σ
σ σ σ σ σ
σ
σ σ σ
σ σ
σ σ
σ σ σ σ σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆











  -
= -   
   
-   
 
 
 
   - - -        -      
U .












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (22)
Generiranje vzorca odvisnih normalno porazdeljenih Δyi, Δxi in ΔHi izračunamo po naslednjih enačbah:
 
1
2
1 2
22 2
2
1 2 32 2
2 2
1
1 1
i i y
y x y x
i i i x
y y x
y H x H y y H y x y H x H y y H y x
i i i i H
y y
y x y x
y x y x
y x y x
y z
x z z
H z z z
σ
σ σ
σ
σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ
σ σσ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆
∆ =
 
∆ = + -   
 

 - -
∆ = + + - -  
    
- -      
   
2

 
 
 
 
 
 

 
(23)
Variance in kovariance razlik koordinat točke v dveh terminskih izmerah Δy in Δx izračunamo po enačbi 
(20), variance in kovariance v 3D-mreži pa po naslednjih enačbah:
 
2 2
t t t
t t t t t t
t t t t t t
H H H
y H y H y H
x H x H x H
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
+∆
+∆ +∆
+∆ +∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
= +
= +
= +
, (24)
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   406 6.10.2017   11:52:55
| 407 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
kjer so σ 2yt, σ 
2
xt
, σ 2Ht, σytxt, σytHt, σxtHt, σ 
2
yt+∆t
, σ 2xt+∆t, σ 
2
Ht+∆t
, σyt+∆t xt+∆t, σyt+∆t Ht+∆t, σxt+∆t Ht+∆t variance in ko-
variance prostorskih koordinat točke yt, xt, Ht, yt+∆t,  xt+∆t,  Ht+∆t. 
V 3D- in 2D-mrežah je porazdelitvena funkcija testne statistike T različna za vsako točko.
4 rezulTaTi
Na območju Slovenije so vzpostavljene številne geodetske kontrolne mreže za spremljanje premikov 
pregradnih objektov in geoloških prelomov. V članku analiziramo nekatere kontrolne mreže različnih 
dimenzij, geometrije in različnega števila referenčnih in kontrolnih točk (glej prilogo). Meritve so bile 
izvedene s preciznim elektronskim tahimetrom (Leica Geosystems TS30 R1000: σISO-THEO HZ,Z = 0,5’’ in 
σISO-EDM = 0,6 mm; 1ppm) v 7 girusih. Za določitev višin z geometričnim nivelmanom smo uporabili 
precizni digitalni nivelir Leica Geosystems DNA03: σISO-LEV = 0,3 mm/km.
Za normalno porazdelitev določimo kritično vrednost Tcrit glede na izbrano stopnjo značilnosti testa α. 
V praksi najpogosteje uporabljamo vrednosti α = 0,10; α = 0,05; α = 0,01 in α = 0,001. Poleg kritičnih 
vrednosti za te α v preglednici 1 podajamo še vednosti α za Tcrit 3 in več. 
Preglednica 1: Kritična vrednost Tcrit glede na izbrano stopnjo zaupanja α.
α
1D 2D 3D
Tcrit T 
min
crit T 
max
crit T 
mean
crit T 
min
crit T 
max
crit T 
mean
crit
0,10 1,64 1,94 2,13 2,07 1,67 1,81 1,71
0,05 1,96 2,22 2,43 2,36 1,98 2,11 2,02
0,01 2,58 2,79 3,01 2,93 2,59 2,69 2,62
0,0027 3,00
0,0081 2,86 3,08 3,00
0,0084 2,97 3,07 3,00
0,001 3,29 3,43 3,68 3,59 3,24 3,35 3,28
0,00001 4,42 4,47 4,93 4,76 4,06 4,21 4,08
Kot vidimo iz preglednice 1, je v 1D-mreži pri izbrani stopnji značilnosti testa α kritična vrednost nor-
malne porazdelitvene funkcije Tcrit enolično določena. Z zmanjševanjem stopnje značilnosti testa oziroma 
tveganja za neupravičeno zavrnitev ničelne hipoteze (napaka I. vrste) se kritična vrednost ustrezno po-
večuje. Iz preglednice 1 je razvidno, da je pri kritični vrednosti Tcrit = 3,29 tveganje minimalno in znaša 
0,1 %. V praksi pogosto navajajo 95-odstotno verjetnost kot sprejemljivo verjetnost pri odločitvi, ali 
neki premik obravnavamo kot statistično značilen ali ne. V tem primeru testno statistiko T primerjamo 
s konstantno vrednostjo Tcrit = 1,96 in ne s faktorjema 3 ali 5, kar je v praksi pogosto. Če je za naročnika 
5 % tveganje sprejemljivo, to v praksi pomeni, da lahko veliko prej premik neke točke obravnavamo kot 
statistično značilen. Pri testiranju značilnih premikov je to dejstvo izrednega pomena, saj je cilj odkrivanje 
značilnih premikov s čim večjo verjetnostjo.
Da bi izračunali najverjetnejšo kritično vrednost pri izbranih stopnjah značilnosti testa, smo testirali 
različne geometrije mrež na objektih v Sloveniji (glej tabele v prilogi). V preglednici 1 navajamo mini-
malne in maksimalne kritične vrednosti ter srednjo vrednost T meancrit v testnih mrežah na podlagi simulirane 
empirične porazdelitvene funkcije za izbrane stopnje značilnosti testa α = 0,10; α = 0,05; α = 0,01 in 
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   407 6.10.2017   11:52:55
| 408 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI|
 EN
α = 0,001. V preglednici 1 navajamo še stopnjo značilnosti α, ki izpolnjuje kriterij mejne vrednosti 3, 
ki se pri obravnavi značilnih premikov pogosto pojavlja v praksi. Mejne vrednosti 5 ne navajamo, saj je 
tveganje manjše od 0,001, kar lahko obravnavamo kot odločitev brez tveganja.
Kot vidimo iz preglednice 1, se z zmanjševanjem stopnje značilnosti testa oziroma tveganja za neupra-
vičeno zavrnitev ničelne hipoteze (napaka I. vrste) kritična vrednost ustrezno povečuje. Iz preglednice 
1 je razvidno, da je pri primerjavi testne statistike T s kritično vrednostjo T meancrit = 3,59 za 2D-mreže 
in T meancrit = 3,28 za 3D-mreže tveganje minimalno in znaša 0,1 %. V praksi pogosto navajajo 95 % 
verjetnost kot sprejemljivo verjetnost pri odločitvi, ali neki premik obravnavamo kot statistično značilen 
ali ne. V tem primeru testno statistiko T, ki se porazdeljuje po simulirani porazdelitveni funkciji, pri-
merjamo z vrednostjo T meancrit = 2,36 za 2D-mreže in T 
mean
crit = 2,02 za 3D-mreže, in ne s faktorjema 3 
ali 5, kar je v praksi pogosto. Če je za naročnika 5 % tveganje sprejemljivo, to v praksi pomeni, da lahko 
premik neke točke veliko prej obravnavamo kot statistično značilen. Pri testiranju značilnih premikov 
je to dejstvo izrednega pomena, saj je cilj odkrivanje značilnih premikov s čim večjo verjetnostjo. Glede 
na posledice nepravilne odločitve se naročnik odloči za sprejemljivo tveganje. V postopku ugotavljanja 
premikov je cilj statističnega testiranja čim bolj zanesljivo odkrivanje značilnih premikov. Kot vidimo, 
so nam postopki simulacije v veliko pomoč, saj je pravilno določena porazdelitvena funkcija odločilna 
pri izračunu natančne kritične vrednosti, na podlagi katere neko točko obravnavamo kos stabilno ali ne.
5 skleP
Zanesljivo ocenjevanje opazovanj, neznank in premikov je zelo pomembno, saj imamo v deformacijski 
analizi opravka z večjim številom opazovanj v več terminskih izmerah. S statističnimi testi ocenjujemo 
parametre, ugotavljamo skladnost opazovanj in matematičnega modela, odkrivamo grobe pogreške v 
opazovanjih ter ugotavljamo skladnost domnevno stabilnih točk med terminskimi izmerami in dolo-
čamo statistično značilne premike nestabilnih točk. Pomembno je, da s postopki statističnega testiranja 
izločimo možnost, da bi premik neke točke neupravičeno obravnavali kot premik zaradi neskladja med 
opazovanji in matematičnim modelom ali zaradi neskladja med dvema terminskima izmerama. V tem 
pogledu je statistično testiranje zelo uporabno orodje, ki nam pomaga pri odločitvah. Ko zagotovimo 
homogeno natančnost med obravnavanimi terminskimi izmerami, je pomembno, da pri nadaljnji obrav-
navi premikov uporabimo reprezentativno testno statistiko, s katero bo mogoče premike določiti kar se da 
zanesljivo. V članku smo podrobneje obravnavali pogosto uporabljeno testno statistiko T = d/σd. V 2D- in 
3D-geodetski mreži je premik nelinearna funkcija spremenljivk Δy, Δx in ΔH, zato se ne porazdeljuje 
po nobeni od znanih porazdelitvenih funkcij. 
Uporabnost predlaganega postopka smo testirali na več testnih geodetskih mrežah, ki so se med seboj 
razlikovale po velikosti in razsežnosti mreže (1D, 2D, 3D), geometriji, številu domnevno stabilnih točk in 
številu terminskih izmer. V vseh primerih smo simulirali empirično porazdelitveno funkcijo in izračunali 
kritične vrednosti pri najpogosteje uporabljenih stopnjah značilnosti testa α = 0,10; α = 0,05; α = 0,01 
in α = 0,001. Še posebej nas je zanimal v praksi pogosto uporabljen približni kriterij T > 3 ali T > 5. Ker 
je empirična porazdelitvena funkcija za vsako točko različna, je različna tudi kritična vrednost. Dodatno 
so kritične vrednosti ob enakem tveganju različne za 1D-, 2D- ali 3D-geodetsko mrežo. 
Ker je kritična vrednost spremenljivka, ni smiselno, da jo obravnavamo kot konstantno vrednost 3 ali 
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   408 6.10.2017   11:52:55
| 409 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
5. V vseh testnih primerih smo ugotovili, da kritična vrednost v vseh dimenzijah mreže doseže vrednost 
3 pri izjemno majhnem tveganju, manjšem od 1 %. Stopnjo tveganja 1 % uporabimo pri statističnem 
testiranju v raziskavah, pri oceni tveganja in pri ugotavljanju premikov kritične infrastrukture (nuklearne 
elektrarne ipd.). Za večino geotehničnih objektov (mostovi, pregrade idr.) zadošča 95-odstotna zanesljivost 
ugotavljanja premikov, kar pomeni, da značilen premik lahko odkrijemo že prej. Za naročnika je veliko 
bolj uporabno, da, glede na ocenjeno tveganje, določimo empirično porazdelitveno funkcijo in s tem 
tudi natančno kritično vrednost, ki jo primerjamo z izračunano testno statistiko. Pri oceni premikov 
je konstantno tveganje v vseh dimenzijah geodetske mreže še posebej pomembno, saj tako zagotovimo 
primerljivost med terminskimi izmerami. 
literatura in viri:
Glej literaturo na strani 397.
Doc. dr. Simona Savšek, univ. dipl. inž. geod. 
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo
Jamova cesta 2, SI-1000 Ljubljana 
e-naslov: simona.savsek@fgg.uni-lj.si
Savšek S. (2017). An alternative approach to testing displacements in a geodetic network. Alternativna metoda testiranja premikov v geodetski mreži. 
Geodetski vestnik, 61 (3), 387-411. DOI: 10.15292/geodetski-vestnik.2017.03.387-411
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   409 6.10.2017   11:52:55
| 410 |
| 61/3 | GEODETSKI VESTNIK  
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI|
 EN
Priloga
Oblika geodetske mreže
Št
ev
ilo
 sm
er
i
Št
ev
ilo
 d
ol
ži
n
Št
ev
ilo
 z
en
it
ni
h 
ra
zd
al
j
Št
ev
ilo
 n
ez
na
nk
Št
ev
ilo
 to
čk
Sr
ed
nj
a 
vr
ed
no
st
 σ
p (
m
m
)
α T
 mi
n cr
it
T
 ma
x cr
it
T
 me
an cr
it
 
2D 10 5  12 4 0.2 0.10 2.01 2.12 2.07 
 
2D 10 5 12 4 0,2 0,10 2,01 2,12 2,07
0,05 2,30 2,42 2,63
0,01 2,86 3,00 2,93
0,008 2,92 3,08 3,00
0,001 3,49 3,68 3,59
0,00001 4,60 4,95 4,75
3D 10 5 10 16 4 44,8 0,10 1,64 1,64 1,64
0,05 1,96 1,96 1,96
0,01 2,57 2,57 2,57
0,0034 3,00 3,00 3,00
0,001 3,23 3,23 3,23
0,00001 4,06 4,06 4,06
 
2D 93 121  99 41 0.3 0.10 1.77 2.14 2.04 
 
2D 93 121 99 41 0,3 0,10 1,77 2,14 2,04
0,05 2,06 2,44 2,33
0,01 2,65 3,02 2,91
0,0075 2,75 3,12 3,00
0,001 3,33 3,69 3,56
0,00001 4,47 4,97 4,80
3D 93 121 162 140 41 2,1 0,10 1,70 2,18 1,81
0,05 2,01 2,46 2,10
0,0171 2,61 3,01 2,69
0,01 2,93 3,31 3,00
0,001 3,27 3,64 3,34
0,00001 4,06 4,75 4,14
2D 10 5  12 4 0.5 0.10 2.06 2.14 2.10 
 
2D 10 5 12 4 0,5 0,10 2,06 2,14 2,10
0,05 2,35 2,43 2,39
0,01 2,93 3,02 2,98
0,0093 2,95 3,05 3,00
0,001 3,58 3,70 3,64
0,00001 4,55 4,85 4,70
3D 10 5 10 16 4 30,7 0,10 1,64 1,64 1,64
0,05 1,96 1,96 1,96
0,01 2,57 2,57 2,57
0,0027 3,00 3,00 3,00
0,001 3,23 3,23 3,23
0,00001 4,06 4,06 4,06
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   410 6.10.2017   11:52:55
| 411 |
GEODETSKI VESTNIK | 61/3 |
RE
CE
NZ
IRA
NI
 ČL
AN
KI 
| P
EE
R-
RE
VIE
W
ED
 AR
TIC
LE
S
SI 
| E
N
Oblika geodetske mreže
Št
ev
ilo
 sm
er
i
Št
ev
ilo
 d
ol
ži
n
Št
ev
ilo
 z
en
it
ni
h 
ra
zd
al
j
Št
ev
ilo
 n
ez
na
nk
Št
ev
ilo
 to
čk
Sr
ed
nj
a 
vr
ed
no
st
 σ
p (
m
m
)
α T
 mi
n cr
it
T
 ma
x cr
it
T
 me
an cr
it
2D 44 34  29 12 0.2 0.10 1.89 2.11 2.00 
 
2D 44 34 29 12 0,2 0,10 1,89 2,11 2,00
0,05 2,18 2,41 2,29
0,01 2,74 2,99 2,85
0,0062 2,88 3,15 3,00
0,001 3,37 3,64 3,50
0,00001 4,51 4,90 4,67
3D 44 34 44 41 12 3,1 0,10 1,66 1,67 1,66
0,05 1,97 1,99 1,98
0,01 2,58 2,59 2,58
0,0063 3,00 3,01 3,00
0,001 3,23 3,25 3,24
0,00001 4,06 4,07 4,06
 
2D 39 29  29 12 0.2 0.10 2.02 2.13 2.10 
 
2D 39 29 29 12 0,2 0,10 2,02 2,13 2,10
0,05 2,30 2,43 2,39
0,01 2,86 3,01 2,97
0,0090 2,90 3,04 3,00
0,001 3,50 3,68 3,62
0,00001 4,45 4,95 4,82
3D 39 28 36 41 12 1,5 0,10 1,71 1,94 1,79
0,05 2,02 2,22 2,09
0,01 2,62 2,77 2,67
0,0023 2,94 3,08 3,00
0,001 3,27 3,41 3,33
0,00001 4,07 4,21 4,09
 
2D 76 45  51 19 0.2 0.10 1.87 2.14 2.08 
 
2D 76 45 51 19 0,2 0,10 1,87 2,14 2,08
0,05 2,16 2,44 2,37
0,01 2,71 3,03 2,95
0,0085 2,76 3,08 3,00
0,001 3,34 3,70 3,61
0,00001 4,25 4,97 4,80
3D 76 45 76 70 19 2,4 0,10 1,66 1,76 1,72
0,05 1,97 2,06 2,02
0,0188 2,58 2,65 2,62
0,01 2,96 3,04 3,00
0,001 3,23 3,31 3,29
0,00001 4,03 4,10 4,07
Simona Savšek | ALTERNATIVNA METODA TESTIRANJA PREMIKOV V GEODETSKI MREŽI | AN ALTERNATIVE APPROACH TO TESTING DISPLACEMENTS IN A GEODETIC NETWORK | 387-411 |
GV_2017_3_Strokovni-del.indd   411 6.10.2017   11:52:56