IKnjižnica Sigma
Matjaž Željko: REŠENE N ALOGE IZ MATEMATIKE z
državnih in izbirnih tekmovanj - IV . de l, Knjižnica Sigma,
D MFA- Zalo žni štvo.
Matjaž Željko
REŠENE NALOGE IZ MATEMATIKE
z državnih in izbirnihtekmovanj - IV. del
-------• • • • •; or-
Matematična t ekmovanj a ima-
jo v svetu in v Sloven iji dolgo
tradicijo. Ob prip ravah nanj e
se naučimo veliko nove in za-
nimive matematike, bo lje ra-
zumemo šolsko snov , na koncu
pa vse skupaj pop est rimo s
te kmovalnim duhom in nape-
t im pričakovanjem rezultatov.
Vsi vemo , da se naloge na ma-
tematičnih te kmovanjih zelo
razlikujejo od tistih v šolskih
pr eizku sih znanja . V šoli se
preverja obvladovanje osnov-
nega znanja in ru t inskih po-
stopkov, na tekmovanj ih pa
občutek za matematični pro-
blem , domiseln ost , včasih spo-
sobnost za prav pesni ški nav-
dih. Zato za priprave niso
primerne običaj ne šolske na-
loge, ampak predvsem naloge
s prejšnjih t ekmovanj .
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
V knjižnici Sigm a je izšlo že več zbirk rešenih nalog z različnih matematičnih
tekmovanj . Zadnja v t em sklop u, po duhu in za ht evnosti naj bl ižja sedanjim tek-
movanjem , je pričujoča, REŠENE NAL OGE IZ MATEMATIKE z državnih in
izbirnih tekmovanj - IV. del, ki zajema naloge z izbirnih t ekmovanj od let a 1992
do let a 1996, republiških t ekmovanj od let a 1988 do leta 1991 in državnih tekmo-
vanj od let a 1992 do let a 1 996 ~ V njej je zbranih kar 240 zanimivih in izzivalnih
nalog, za pomoč pri ti st ih , ki se izkažejo za pret rd oreh, pa so dod ane še rešit ve.
Želim vam uspešno reševanje.
P etar Paoe ši č
I PRESEK
list za mlade matemat ike, fizike, astroname in računalnikarje
31. letnik , leto 2003/04, številka 2, stran i 65-136
VSEBINA
TEKMOVANJE
ZA VEGOVA
PRIZNANJA
TEKMOVANJE
DIJAKOV
SREDNJIH
POKLICNIH
ŠOL
TEKMOVANJE
DIJAKOV
SREDNJIH
TEHNIŠKIH IN
STROKOVNIH
ŠOL
TEKMOVANJE
IZ ZNANJA
POSLOVNE
MATEMATIKE
MATEMATIČNO
TEKMOVANJE
SREDNJEŠOL CEV
SLOVENIJE
NA OVIT KU
Pripravil A leksander Potočnik
38. področno t ekm ovanje za sre brna Vegova priznanja 66-7 0
Rešitve nalog s področnega tekmovanja 71-75
39 . državno tekmovanje za zlata Vegova priznanja 76- 77
R eši t ve nalog z državnega t ekm ovanja 77- 79
Pripravili D ušanka Vrenčur in Anja J esenek
R egijsk o t ekmovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 -83
Rešitve nalog z regijsk ega t ekmovanj a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83-84
Državno tekmovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84-87
Rešitve nalog z d ržav n ega t ekmovanja 87
P ripravile Darin ka Žižek , Polonca Pavlič in Irena P iv ko
3. regijsko t ekm ova nj e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88 -93
Rešitve nalog z regij skega t ekmovanj a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93-97
Državno t ekmovanje 98-100
R ešitve nal og z d ržavnega tekmovanja 101- 105
Pripravila Sabina Gajšek
1. šo lsko tekmovanje 106- 108
R eš itve 1. šo lskega tekmovanj a 109 - 112
1. d ržavno tekmovanje 112-11 4
Rešit ve 1. državnega tekmovanja 115-11 8
Pripravil Matjaž Željko
Izbirno tekmovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119-1 21
Rešitve nal og z izbirnega tekmovanja 121-1 26
Državno tekm ovanje 126-128
Rešitve n al og z državnega tekmovanja 128-132
Izbirna t est a za me dnarod no matematično olimpia do 132 -133
Rešitve n alog z izbirnih testov za m edna ro dno
matematično olimpia do 133-1 36
G imnazija Že lim lje (foto arh iv G im nazije Že limlje) I, IV
K nj ižn ica Sigma - Rešene naloge iz m a tematike z d ržavnih in
izbirnih t ek m ovanj - IV . del (Petar Pavešič) II
Navodila sodelavcem Preseka za odd a jo prisp evkov III
Tekmovanje za Vegova priznanja
TEKMOVANJE ZA VEGOVA PRIZNANJA
38. področno tekmovanje za srebrna Vegova priznanja
6. razred
Al. J ure in Miha sta imela skupaj 10 jabolk. Ko je Jure pojedel eno
jabolko, Miha pa tri, sta jih imela oba enako. Koliko jabolk je imel
Jure na začetku?
(A) 2 (13) 3
(E) Nemogoče je določiti .
(c) 4 (D) 5
A2. Kocki smo na enak način porezali
vsa oglišča, kot kaže slika. Koliko
robov ima nast alo te lo?
(A) 24
(D) 36
(13) 28
(E) 40
(c) 32
A3. Katero izmed naštetih šte vil je 15-krat večj e od 215?
(A) ~ (13) 0,6 (c) 0,15 (D) 0,12 (E) 0,04
A4. Koliko deliteljev ima zmnožek treh različnih praštevil?
(A) 8 (13) 7 (C) 6 (D) 5 (E) 3
A5. Koliko št irimest nih naravnih št evil, zapisanih s št evkami 1, 2, 5 in 8
(vsakič so uporabljene vse števke) , je deljivih z 8?
(A) 2 (13) 3 (C) 4 (D ) 8 (E) 10
A6. Kot <fD V A meri 138°. Polt rak V D je
p r avokot en n a p oltrak V B , p ol t ra k ve p a j e
pr avokoten na polt rak VA. Koliko je velikost
kot a <fCV B ?
(A) 24° (13) 42° (c) 48° (D) 64° (E) 66°
V A
ITekmovanje za Vegova priznanja
A 7. Koliko je vrednost izraza 250 - 249 + 248 - 247 + 246 - . . . + 2 - 1?
(A) 124 (B) 125 (c) 126 (D) 225 (E) 250
(B ) petina četrtine
(D) tretjina četrtine
AS. Logarj ev vrt ima obliko črke L. Na osenče­
nem delu raste pet eršilj. Kolikšen del vrta je
zasejan s pet eršiljem?
(A ) četrtina tretjine
(C) petina t retj ine
(E) četrtina četrtine
Bl. Poišči ulomek z imenovalcem 20, ki je večji od 1~ in manj ši od 153 '
B2. Žogo smo spustili padati z višine 32 m. Po vsakem odboju je dosegla
polovico prejšnje višine . Ujeli smo jo v skrajni zgornji legi po petem
odboju. Koliko metrov je prepotovala?
B3. Načrtaj trikotnik l:::.ABC s podatki: a = IBCI = 6 cm, Va = 4 cm,
ta = 5 cm . (Nariši obe rešit vi.)
7. razred
Al. Vsak lik na posamezni sliki je sestavljen iz štirih skladnih kvadratov.
Kateri lik ima drugačen obseg od ostalih?
(A ) CIID
(D) ffi
(B) rr:B
(E) C::gJ
(e)em
A2. Pri katerem paru števil je absolut na vrednost raz like med številoma
največja?
(A) (-3,8)
(D) (4, - 5)
(B) (- 5, -13)
(E) (- 6, - 15)
(C) (1,11 )
A 3. Pet ribičev v šestih dn eh ujam e 70 rib . Koliko rib ujame devet ribičev
v desetih dneh?
(A) 900 (B ) 630 (C) 420 (D ) 210
(E ) Nob en od ponuj enih odgovorov ni pravilen .
Tekmo vanje za Vegova priznanja I
(D) 21
A4. Število ima obliko 679679 . .. 679. Koliko mest ima najmanjše število
take oblike, ki je deljivo z 9?
(A) 3 (13) 9 (j) 18
A5. V pr aviln em petkotniku ABCDE je narisan ena-
kostranični trikotnik 6AB F , kot kaže slika. Ko-
liko meri izbočeni kot <f..EFC?
(A) 1700 (13) 1680 (q 1500 (D) 1440 (E) 1200
A6. Za nekatera cela števila velja last nost , da je kub števila enak te mu
številu . Koliko je celih števil s to lastnostjo?
(A) O (13) 1 (q 2 (D) 3 (E) več kot 3
(E) J6(D) ij2
A7. Koliko naravnih števil x zadošča neenačbi 2x + 5 > 5x - 14?
(A) nobeno (13) 3 (q 6 (D) 8 (E) več kot 8
A 8. Koliko je vred nost izraza v'2 ' \hv'2?
(A) 3 · v'2 (13) 2 · ij2 (q 2
131. Oče je zapust il trem sinovom 16 ha zemlje . Prvi sin je dobil 35 %
zemlje, dr ugi pa t rikrat več kot tretji. Koliko hekt arov zemlje je
dobil vsak od sinov?
132. Izračunaj vrednost izraza
133. Petkotnik ABCDE je sestavljen iz kva-
drata s st ranico a in enakostraničnega tri-
kotnika, kot kaže slika . Z a izrazi po lmer
trikotniku 6ABD očrtane krožnice. Ute-
melji.
E
D
A B
·· ··13
...
I Tekmo vanje za Vegova priznanja
8. razred
Al. Tina je vsak dan prebrala dvak rat več strani knji ge kot prejšnji dan.
V desetih dneh je knj igo prebra la. Koliko dni je pot rebovala , da je
prebrala polovico knjige?
(A) 4 dni (B) 5 dni (C) 6 dni (D) 8 dni (E) 9 dni
A2. Dva sendviča in sok stanejo skupaj 620 tolarjev. Štirje sendviči
in t rije sokovi stanejo skupaj 1360 to larjev. Koliko staneta skupaj
sendvič in sok?
(A) 120 to larjev (B) 250 tolarjev
(C ) 370 to larjev (D) 740 tolarj ev
(E) Noben od ponuj enih odgovorov ni pravilen .
A3. Iz skladnih pr avilnih petkot nikov želimo sestaviti
obroč na način , ki ga pr ikazuje skica. Prvi trije
petkotniki so že narisani . Koliko petkotnikov je še
potrebnih, da bo obroč sklenjen?
(A ) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
A4. Število a je sedemkrat večje od števila b. Za koliko je število a večje
od števila b?
(A) za 700 % (B) za 600 % (C) za 350 % (D) za 70 % (E) za 60 %
A5. Na vsa kem bregu reke raste po
eno dr evo. Skica pri kazuje, kako
smo izmerili širino reke. Ozna-
čene izmerjene dolžine so v me-
trih . Koliko met rov je široka
reka?
(A) 16 m (B)40 m (C)48 m 20
(D) 50 m (E) 60m
(B) 30 cm (c) 36 cm
(E) Nemogoče je določiti.
A6. P rav ilnemu četvercu (tetraedru) z robovi,
dolgimi 6 cm, smo porezali vsa oglišča in
dobili telo na sliki. Tr ikot ne ploskve so vse
enakostranični t rikot niki, ne nujno skladni.
Koliko je skupna dolžina vseh robov nastalega
telesa?
(A ) 28 cm
(D) 48 cm
, 1 ,
, 1 '
" 1 I
"
,
-)
r,
Tekmovanje za Vegova priznanja I
A 7. Tri točke , ki ne ležijo na isti premici, določajo t ri oglišča par alelo-
grama. Koliko različnih možnosti je za četrto oglišče par alelograma?
(A ) t ri
(D ) nobena
(B) dve (C) ena
(E) Nemogoče je določiti.
CD(A) 15°
(D) 30°
A8. Kvadrat ABCD in enakostranični t rikotnik 6 DCE E
ležita v isti ravni ni (glej sliko). Koliko je velikost
kota <x.AEB ?
A B
B l. Trimestno število ima števko na mestu stotie za 1 večj o od št evke na
mestu deseti c, števka na mestu enic pa je enaka vsoti šte vk na mestih
deset ic in st otic. Če št evilo deliš z vsoto njegovih števk, dobiš količnik
31 in ostanek 3. Katero je to število? (Zapiši ustrezno enačbo in jo
reši.)
b
BA
B2. Izrazi ploščino osenčenega dela pr avo- D r-----."...-y--- - --...,., C
kotnika ABCD s st ra nicama a in b.
Kolikšna je ploščina, če je a = 6 cm in
b = 4 cm?
B3. Točke A , B , C so oglišča t rikot nika 6 ABC. Oglišče A je presečišče
premic z enačbama y = -2 in 3x - 4y - 2 = O. Oglišče B je presečišče
ordinatne osi in premice z enačbo y = -2. Oglišče C je presečišče
ordina t ne osi in premice z enačbo 3x - 4y - 2 = O.
a) Določi koordina t e oglišč t r ikot nika 6 A B C .
b) Izračunaj obseg in ploščino trikotnika 6 A BC.
c) Zap iši enačbo nosilke višine na stranico b (b = AC).
I Tekmo vanje za Vegova priznanja
Rešitve nalog s področnega tekmovanja
6. razred
Sklop A
naloga Al A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
odgovor C D B A C B B E
A3. Število, ki je 15-krat večje od 215 ' je ~~ = ~ = 0,6.
A4. Število n = p . r . s , kjer so p , q in r različna pr aštevila, ima osem
delit eljev, in sicer 1, p, q, r , pq , pr , qr in pqr.
A5. Števila , ki so deljiva z 8, so sod a , zato se končajo s sodo števko.
Z danimi šte vkami lahko sestavimo 12 sodih štirimest nih števil (pri
vsakem številu uporabimo vse šte vke) : 1258, 1528, 2158, 2518, 5128,
5218 , 1582, 1852, 5182, 5812, 8152 in 8512 , a le št iri so deljiva z 8.
To so 1528, 5128 , 8152 in 6512.
A6. Ker je <rD V A = 138° in <rCV A = 90° , je <rD VC = 48° . An alogno
pr idemo do sklepa, da je <rBVA = 48° . Tako je <rCVB = <rCV A -
- <r BVA = 42°.
A7. Pi šimo (250 - 249) + (248 - 247) + (246 - 245) + . . . + (2 - 1), pa
opazimo, da je seštetih 125 enic. Vsota je torej 125.
A8. Logarj ev vrt, ki ima obliko črke L, je razdeljen na 16 manjših L-jev.
En t ak L je torej četrt ina četrtine (šestnajstina) celega vr t a.
Bl. Za ulom ek {o velja odnos l~ < {o < 153 . Razširimo ulomke na
. .•. k . . 1 80 x- 13 100 Od liac č e inajmanj si s upm imenova ec: 260 < 260 < 260. nos ve Ja , ce Je
7 . . 80 9 1 100 1 k . 1 k i 7X = , saJ Je 260 < 260 < 260 · S am u ome Je 20·
B2. Žogica pr epot uje skupno 32 m+ 2 · 16 m+2 · 8 m + 2 ·4 m+2 · 2 m+
+ 1 m = 32 m + 32 m + 16 m + 8 m + 4 m + 1 m = 93 m.
B3. Najprej narišemo stranico B C , dolgo 6 cm . Na raz dalji 4 cm nari šemo
vzporednico k BC . Poiščemo razpolovišče (središče) st ranice BC , ki
ga označimo z M . Ker je ta dolga 5 cm, je oglišče A od točke M
oddaljeno 5 cm, zato narišemo krožni lok s središčem v točki M in
polmerom 5 cm. Kjer le-ta preseka narisano vzporednico, je točka A.
Ker dvakrat pr eseka vzporednico, imamo še možnost Al in torej dve
rešitvi : 6 AB C in 6AlBC. (Slika je na naslednj i st rani.)
Tekmovanje za Vegova priznanja I
B
/
/
/
/
""/
/
/
/
"
/
/
/
/
""
c
7. razred
Sklop A naloga Al A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
odgovor D A D E B D C B
D
A 3 Najbolje, da pr emislimo, koliko rib bi ujel en ribič v enem dnevu:
število 70 delimo s 5 in 6, pa imamo ;.~ . Nato mn ožimo z 9 in 10:
70 ·9 ·10 = 210
5·6 .
A4 Dan o število je sestavlje no iz " delčkov" oblike 679. Ko ugotavljamo
deljivost z 9, lahko števko 9 zanemarimo , opaz uje mo le vsoto števk
6 in 7. V vsakem del čku je opazovana vsota enaka 13. Vprašamo
se, koliko delčkov moram o zapisati, da bo vsota šestic in sedmic, ki
nastopajo v nastalem številu, deljiva z 9. Ker sta si števili 13 in
9 tuji, moramo vzet i vsaj devet takih delčkov in ker je vsak delček
t rimes ten , je iskan o število 27-mestno.
A 5. P remislimo ob sliki. Notra nji kot pravilnega
petkotnika meri 108° . Trikotnik ABF je
enakostraničen , zato merijo vsi njegovi no-
t ranji koti 60° . Tr ikotnika EFA in F CB E r - - -.--- - -J C
sta enakokra ka (IEAI = JAFI = IFBI =
IBCI) . Tako je najprej <r E AF = « F BC =
= <r AB C -<rAB F = 108° -60° = 48°, nato
pa <rE F A = <rCF B = ~(1800-48°) = 66°.
Tako imamo <r EFC = 360° - 2 ·66° - 60° =
= 168° .
naloga Al A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
odgovo r E C B B D C A D
I Tekmovanje za Vegova priznanja
A6. Taka števila so tri: - 1, O in lo
A7. Neenačbo 2x +5 > 5x -14 preuredimo v 3x < 19, od koder je očitno ,
da ji zadoščajo naravna števila {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A8. Izraz pr euredimo: J2 . )2J2 = J2 .J2. 12 = 212.
Bl. P rvi sin je dobil 35 % od 16 ha = 5,6 ha. Ker je drugi sin dobi l
t rikrat več zemlje kot t retji , je tret ji sin dobil četrtino ost anka , to je
(16 ha- 5,6 ha) : 4 = 2,6 ha , drugi pa tri četrtine ostanka: 3 ·2,6 ha =
= 7,8 ha.
B2. Računajmo:
- 2 ' V(~) 2 + 1
(-3 . ) 52 - 24 ) : m+ '1 4 . =
- 2 '2 + 2,7 .3
- 2 ' !25 5 8. V16 - 2 : 4: - -
= -3 · J9 :3 + 5 9 = - 3 + - 25+9 = - 3 + -&- = - 2 .
- '2 + 10 - 1-0 - -10
B3. Ker je trikot nik ADE enakokrak (IAE I = D
= ID EI = a), je <r.D AE = (180° - 150°) : 2 =
= 15° in <r.ADE = 15°. Tudi t rikotnik AB D
je enakokrak ( lA DI = IB D!) , zato je <r.B AD =
= 75° , <r. AB D = 75° , <r. AD B = 30° . Naj bo S
središče enakokrakemu trikotniku AB D očrtane E f--f--r':-+----'t
kro žnice. Le-to leži na simetrali osnov nice AB,
ki sovpada s simetralo kot a ob vrhu . Daljica
D S torej razpolavlja kot AD B. Velja IAS I =
= ISDI = ISBI = r (polmer trikotniku AB D
očrtane krožnice) , zato je <r.SAD = <r. AD S =
= 15° . Tako je trikot nik ABS enakostraničen A B
s stranico r = a, kajti <r.B AS = <r. AB S = 60° .
Polmer očrtane kro žnice je torej enak st ranici kvadrat a.
8. razred
Sklop A
A2. Če od št irih sendvičev in treh sokov odvzamemo dva sendviča in en
sok, nam ostanejo dva sendviča in dva sokova, zato dva sendviča in
dva sokova skupaj stanejo 1360 - 620 = 740 to larjev. Sendvič in sok
staneta skupaj 740 : 2 = 370 to larjev.
Tekmovanje za Vegova priznanja I
A3. S skice v nalogi sklepamo , da pri sestavljanju obroča sskladnimi pra-
vilnimi petkotniki nastaj a pr avilni večkotnik . Po ena stranica vsakega
petko tnika je hkrati stran ica tega večkotnika. Ker je notranji kot pet-
kotnika enak 108° , je notranji kot večkotnika enak 360° - 2 . 108° =
= 144° . Če dve sosednji oglišči nastaj aj očega večkotnika povežemo s
središčem tega večkotnika, dobimo enakokra ki t rikotnik , s kot om 36°
ob vrhu. To pomeni , da z deset imi petkotniki res sklenemo obroč , sa j
je 10 .36° = 360° , in pri tem oblikujemo pr avilni deset kot nik . Ker so
t rije petkotniki že postavljeni , jih potrebujemo še sedem.
A4. Ker je a = 7 . b, je a za 6 . b večje od b, to je za 600 %.
A5. Narisa na pr avokotna t rikotnika sta si podobna, zato zapišemo soraz-
merj e 20 : 24 = x: 60, pr i čemer nam x pomeni širino reke. Izrazimo
24 . x = 20 . 60 in od tod x = 50 m .
A6. P remislimo , kaj imam o ob posam eznem oglišču četverca potem, ko
mu na opisani način porežemo oglišče . V resnici smo ob oglišču od-
rezali manjš i četverec , zato je obseg trikotne ploskve, ki jo oblikujejo
novon astali rob ovi telesa , enak vsoti dolžin tistih t reh robov manjšega
četverca, ki se stikajo v skupnem vrhu (oglišču , ki smo ga porezali).
Ker enak pr emislek velja za vsako oglišče , ne glede na to, ali so
t rikot ne ploskve med seboj skladne ali ne, je skupna dolžina vseh
robov nastalega telesa enaka vsoti do lžin robov pr votnega četverca,
torej 6 . 6 cm = 36 cm.
A 7. Tri točke , ki ne ležijo na isti pr emici, so oglišča t rikotnika. Če želimo
t rikot nik dopolni ti v par alelogram tako, da so oglišča trikot nika tri
izmed št irih oglišč par alelograma , imamo t ri možnost i, kot lahko
vidimo na spo dnjih slikah.
/ V
A B. S slike v nalogi razb eremo, da je <r..ADE = 90° + 60° = 150°.
Trikotnik AED je enakokrak, zato je <r.. D AE = <r.. D E A = 15°. Od
tod sklepamo, da je <r.. E AB = 90° - 15° = 75°. Ker je tudi trikotnik
ABE enakokrak, velja <r.. AE B = 180° - 2. 75° = 30°.
I Tekmovanje za Vegova priznanja
Bl. Označimo število des et ic z x . Število stotic je tedaj x +1, število enic
pa 2x + 1. Vsota števk števila je 4x + 2. Ust rezna enačba je npr.
100(x +1)+10x+(2x+1) = 31(4x +2)+3 (ali 100 (X+l )~I~~+ (2X+l ) =
= 31 + 4x~2). Od tod izračunamo x = 3. Število stotic je 4, število
enic 7, iskano število pa 437 .
b
B
c
Il,
B2. Če primerjamo sliko v nalogi in sliko na D
desni , vidimo, da je ploščina osenčenega .-----"...,.....,,---::,
del a pravokotnika na obeh enaka, zato
si bomo pomagali kar s sliko na desni .
Ploščina pravokotnika je Pp = a > b.
Neosenčeni trikotnik im a ploščino Pt =
1 b ab _ . k= '2 . Il, • '2 = 4" ' neosencem rog pa Pk = A
= 1T(~)2 = ~~2. Ploščina osenčenega dela
je P - ab - ab - rrb
2 = 12ab-rrb2 Za Il, = 6 cm in b = 4 cm dobimo
- 4 16 16·
Po = (18 - 1T) cm2 (~ 14,86 cm").
B3. Oglišča trikotnika so A(-2 , - 2) , B(O, -2) in C(O, -~) , njegov obseg
pa o = lABI + IBCI + lACI , pri čemer je lACI = )4 + (~)2 = 2,5 .
Tako je torej 0= 2+1,5+2 ,5 = 6 dolžinskih enot. Ploščina trikotnika
je P = ~ . lABI · IBCI = 1,5 ploščinskih enot .
y
o
x
B(O , - 2) y = - 2
:4.( - 2, - 2)
Smerni koeficient nosilke stranice b je k = ~, zato je smerni koeficient
nosilke višine na stranico b enak kI = - ~ . Enačba nosilke višine na
stranico b ima obliko y = -~x + n. Ker preseka ordinatno os v točki
B zordinato -2, je n = -2 in imamo y = -~x - 2.
Tekmovanje za Vegova priznanja
39. državno tekmovanje za zlata Vegova priznanja
7. razred
1. Izračunaj vr ednost izraza :
2. 1 7-članski kolektiv izdela na dan določeno število izdelkov. V pone-
deljek dveh delavcev ni bilo na delo, vendar bi navzoči delavci radi
izdelali predvideno šte vilo izdelkov. Koliko odstotkov izdelkov več je
moral izdelati vsak od navzočih delavcev?
3. Na travniku se vsak dan pasejo kr ave, trava pa ponovno ves čas enako-
merno raste. Osem krav bi popaslo vso t ravo (s pri rastom vred) v
desetih dneh , štiri krave pa v t ridesetih dneh. Vsaka krava poje
dnevno enako količino t rave. V kolikšnem času bi vso t ravo popaslo
dvanajst krav, če trava ne bi ponovno rasla?
4. Dan je enakokraki trapez ABCD z osnovnicama a = lAB I, c = JCDI
in višino v = ICEI . Kolikokrat je ploščina trapeza ABCD večja od
ploščine t rikot nika AEC? Utemelji.
5 . V not ranjost i enakokrakega trikot nika ABC (lACI = IBCI , <rACB =
= 1000) leži točka T tako, da meri t a kot a <rT AC = 100 in <rACT =
= 200 • Izračunaj velikost kot a <rCT B.
8. razred
1. Kolesar je ob 14.00 odpe ljal iz kr aj a A v kr aj B . Vozil je s hit rostj o
24 kb'. V kraju B je počakal 20 minut in se s hit rostj o 20 kb' po
isti poti vrn il v kraj A, kamor je pr ispel ob 18.00. Izračunaj , koliko
kilomet rov je prevozil kolesar .
2. Izračunaj vrednosti šte vila m, t ako da se bost a pr emi ci z enačbama
(2m + 3)y + m + 6 = Oin (2m + l )x + (m - l )y + m - 2 = Osekali
na ordinatni osi.
I Tekmovanje za Vegova priznanja
3. Studenec teče v jezero . Vsak dan priteče v jezero enaka količina vode.
183 konj bi popilo vso vodo v enem dn evu (torej bi v 24 urah izpraznili
jezero). 37 konj bi izpraznilo jezero v petih dn eh. V kolikšnem času
bi popil vso vodo en konj?
4. Dolžina daljice AB na sliki je 2 cm. Koliko
kvadratnih centi met rov meri ploščina krožnega
kolobarj a?
5. Kocko A B CDEFGH z robo m a pre-
sekamo z ravnino skozi središča (raz po-
lovišča) robov AB, B C , CG, GH , H E
in AE. Ploščina preseka je 75)3 cm2 .
Izračunaj površino kocke.
E
A
I F
I
I
pJ- - - - - C
B
Rešitve nalog državnega tekmovanja
7. razred
1.
5(- 15+3'7+ J,f )
Računajmo : v9+ (22 ) 2 . 5
( j 13 + \1139 + J25)
= 3 + 24 . 53 = 3 + 2 . (2 . 5)3 = 3 + 2000 = 2003.
58
= 3 + 16· - =55
2. Označimo z a število izdelkov, ki jih izdela na dan vsak delavec 17-
članskega kolektiva . Vseh 17 delavcev izdela 17a izdelkov na dan.
Ko sta dva delavca odsotna, vsak izmed 15 delavcev izdela (a + x)
izdelkov na dan. Iz 15(a + x) = 17a dobimo 15x = 2a oziroma x =
= 125a = 0,1333 .. . a. Vsak izmed navzočih delavcev mora izdelati
13,3 % več izdelkov.
3. Označimo začetno količino t rave s t, enodnev ni prirast trave (količino
trave, ki zraste v enem dn evu ) pa s p . Osem kr av poje v desetih dn eh
začetno količino t in 10 enodnev nih prir ast ov p. Torej 80 (8 · 10) kr av-
jih dn evnih obrokov pomeni t + lOp t rave. Ker bi štiri kr ave popasle
vso t ravo v t ridesetih dneh , v tem času pojedo začetno količino t in 30
Tekmovanje za Vegova pri znanja I
E "; CBA
enodnevnih prirastov p, tako da 120 (4 ·30) kravjih dnevnih obrokov
pomeni t + 30p trave. Sklepamo, da je 40 kr avjih dnevnih obrokov
enako količini 20p trave oziroma da enodnevni prirast trave zadošča
za dve kr avi za en dan. K er vemo, da osem kr av poje v desetih dneh
začetno količino in prirast in da se dv e kravi najesta s prirastom, bi
šest krav pojedlo začetno količino v desetih dneh , dvanajst kr av pa
v p etih dneh. Če trava ne bi sproti rasla, bi torej travnik popaslo
dvanajst krav v petih dneh.
Ker J'e IAE I - a _ a-e - a+e- 2 - 2
in IECI = v , je ploščina triko-
tnika AEC en aka P A E C = ~ .
. ate ·V. Ploščina trapezaje P =
at e. V in je torej dvakrat večja
od ploščine trikotnika AEC.
Premislimo lahko tudi drugače . Če podaljš amo stranico c preko
D do Al, ki je nožišče pravokotnice iz oglišča A, dobimo trikotnik
ADAl , ki je ploščinsko enak trikotniku BCE. Tako je ploščina
trapeza ABCD enaka ploščini pravokotnika AECA l , taje pa dvakrat
večja od ploščine trikotnika AEC, sa j je AC di agonala pravokotnika
AECAl .
4 .
C
5. Postavimo točko T po navo-
dilih naloge (<r.TAC = 10°
in <r. ACT = 20° ). Narišimo
višino iz oglišča C z nožiščem
R, ki je hkrati simetrala kot a
pri C. Daljico AT podaljšamo, ",' ,
da seka višino v točki P . Tedaj ',':..",
je <r.T C R = <r. AC R -<r.ACT = A R B
= 50° - 20° = 30° in <r. AP C = 180° _ 10° - 50° = 120°. Potem pa je
<r. PT C = 30° in trikotnik CTP je enakokr ak , t ako da je ICP I = ITP I·
Nadalj e je « P AR = 30° = « P BR, zato je <r. A P B = 120° . Potem pa
sta trikotnika PTB in PCB skladna, saj se ujemata v dveh stranicah
in kotu m ed njima. Tako je <r. PT B = <r.PCB = 50° in končno
<r.CT B = <r.CT P + <r. PT B = 30° + 50° = 80° .
8 . razred
1. Čas vožnj e je št ir i ure. Označimo dolžino poti v eno smer z x . Dobimo
č b x 1 x 4 ( l' x x 3 2 ) k" šit 40enac o: 24 + 3" + 20 = a I 24 + 20 = 3" ' i rma resi ev x = .
Kolesar je prevo zil 80 km.
[ Tekmovanje za Vegova priznosija
2. Ker se premici sekata na ordinatni osi , je abscisa presečišča enaka
O. Upoštevamo torej x = O v drugi enačbi in izrazimo y = ~-;-n;:.
To vstavimo v prvo enačbo : (2m + 3) . ;,,-_~ + m + 6 = O in dobimo
- m 2 + 6m = Ooziroma m 2 -6m = O, kar razstavimo v m(m-6) = O.
Dobimo dve reš itvi: ml = O in m2 = 6.
3. Označimo začetno količino (prostornino) vode v jezeru z Vj, količino
(prostornino) vode, ki v jezero priteče venem dnevu, pa z Vd . Ker
bi 183 konj popilo vso vodo venem dnevu, to je količino vj + Vd , en
konj popije Vjl~~d vode na dan. V petih dneh je v jezeru vj + 5 . Vd
vode. Ker bi to količino popilo 37 konj v petih dneh, en konj v
v .. Vj +5,Vd de ozi Vj +5,Vd d Iv'tem easu popije -3-7- vo e oziroma~ na an. zenacirno
Vj+V<J _ Vj+5 ·Vd · d td' . V - 365 V ' V _ Vj
~ - ~ In o o IzraZImo j - . dOZIroma d - 365 '
Denimo, da en konj popije vso vodo v x dneh. V tem času je v jezeru
vj +x· Vd vode, en konj pa je v istem času popije Vjl~~d . x. Tako velja
v ·
V . . Vj - V j+"ifo- . - 366x .Vj d k d . v • - 365 d .] + X 365 - 183 X - 183.365 ' o o er izracunamo x - . n i.
En konj bi popil vso vodo venem let u.
4. Narišimo po lmer R večjega kroga in polmer r
manjšega kroga. Ke r je lABI = 2 cm oziroma
lACI = 1 cm, velja R2 = r 2 + 1 oziroma
R 2 - r 2 = 1. Ploščina kro žnega kolobarja je
Pk = 'Tr(R2 - r 2 ) = 'Tr ~ 3,14 cm2 .
5. Presek je pravilni šestkotnik s
st ranico ~ v'2 in ploščino P =
= 6 . (~v'2)2 . ':( = ~a2V3.
Tako je ~a2V3 = 75V3, od
koder izračunamo a = 10 cm.
Površina kocke je P = 600 cm2 .
E
a
'2
D'
- ).. --
B
180 Tekmo vanje dijakov poklicnih šol
TEKMOVANJE DIJAKOV SREDNJIH
POKLICNIH ŠOL V ZNANJU MATEMATIKE
R egijsko t ekmovanje
I. del
1. Če gre Miha v šolo peš, nazaj pa se pelje s kolesom, porabi za pot od
doma do šole in naz aj 1 h 30 min. Če se v obe smeri pelje s kolesom,
porabi 30 min . Koliko časa porabi , če gre v šolo in nazaj peš?
(A) 1 h 15 min
(D) 2 h 45 min
(B) 2 h
(E) 3 h 30 min
(c) 2 h 30 min
2. Katarina se je naučila brati. Zelo rada bere pravljice, ki imajo veliko
ilust racij in ne preveč besedil a . Za roj stni dan je dobila pet takih
enako deb elih knjig. P rvi dan je pr ebrala 15 strani . Razmerje med
številom strani , ki j ih je prebrala pr vi dan , in številom strani, ki jih
je prebrala drugi dan , je 5 : 4. Prebrati mora še 33 strani. Koliko
strani ima vsaka knji ga?
(A) 60 (B) 12
(E) Nemogoče je določiti .
(c) 18 (D) 42
3. J aka je opolnoči pogledal skozi okno in opazil, da dežuje. Kakšnega
vremen a ne more pričakovati 72 ur kasneje?
(A) oblačnega
(D ) meglenega
(B) deževn ega (C) sončnega
(E) nič od navedenega
4. Zgornja ploskev mize ima obliko kvadrat a sstra nico 80 cm . Namizni
prt pravokotne oblike povsod visi 20 cm čez rob mize. Prt bomo
obrobili s č ipko. Koliko čipke potrebujem o?
(A) 4 m (B ) 4,8 m (c) 48 cm (D ) 64 drn (E) 3,2 m
I Tekmovanje dijako v poklicnih šol
5. Na katerem liku ni pobarvana 11
6
lika?
(AlE
(DlA
(BlS
(El.
6. Srečko je pr i igri na srečo zadel 500 000 tolarj ev, vendar mora plačati
davek v višini i tega zneska ter od preostanka nam eniti 10 % v
dobrodelne namene. Koliko mu ostane?
(A) 90000 tolarjev
(D) 360000 tol arj ev
(B) 400000 tolarjev
(E) 100000 to larjev
(C) 410000 to larjev
7. Na košarkarski tekmi so gostje zadeli 24 košev manj kot domačini .
Razmerje med številom košev, ki so jih zadeli domačini , in številom
košev gostov je bilo 5 : 3. Koliko košev so zadeli domačini?
(A) 54 (B) 48 (c) 60 (D) 12 (E) 36
8. V cvetličarni imaj o rdeče in ru mene vrtnice, rdeče gerbere in modre
irise t er dve vrsti zelenja. Na koliko različnih načinov lahko g. Pozor-
nik naroči šopek, če se je odločil za sedem rož ena ke vrste in enake
barve ter za eno zelenje?
(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 32 (E) 7
9. J anez je nameraval kupiti 50 m električnega kabla. Trgovec je dolžino
kabla izmeril z metrsko palico, ki je bila za 1 cm prekratka. Koliko
kabla je Janez dobil ?
(A) 50 m (B) 49 m (c) 49,5 m (D) 45 m (E) 47 ,5 m
I 82 Tekmovanje dijakov poklicnih šol I
10. Tin in Sara sta jeseni zaklenila kolo s ključavnico , ki se zaklepa s
šestmestnim številom, in to število pozabila. Tin se spo mni, da je bilo
število deljivo s 6, Sara pa ve, da so bile prve štiri št evke tega števila
po vrsti 8, 6, O, 5. Kateri par števk jima lahko odklene ključavnico?
(Jl) 6, 6 (13) 3, 5
(E) Takih št evk ni.
II. del
(C) 1,4 (D) 4, 1
1. Ma ja je večkrat povabila 15 sošolk na sok.
Jl. P rejšnj o soboto je pol deklet popilo po 2 dl , pol pa po 3 dl soka.
Koliko litrov soka so v soboto popile vse skupaj z Maj o?
B . V nedeljo so priredile piknik. Bilo je zelo vroče , za to je vsako
dekle popilo 0,5 I soka. Koliko litrov soka so v nedeljo popile vse
skupaj z Maj o?
C. Včeraj je vsako dekl e med pogovorom najprej popilo po 2 dl
soka. Kasneje sta se jim pr idružila Majina st arša in so si vsi
skupaj ogledali fotografije s piknika. Med ogledom fotografij je
vsa k izmed njih popil še po 1,5 dl soka. Koliko litrov soka so
včeraj popi li vsi skupaj?
2. J ata golobov je letela , s tal pa jih je opazoval neki golob in rekel:
"Koliko jih je! Zagotovo jih je sto!"
J at aje od govoril a: "Ni nas sto. Če bi nas bilo še enkrat toliko, kolikor
nas je, in še polovica našega šte vila in še polovica te polovice, in če
bi bil z nami še t i, bi nas bilo sto."
Koliko golobov je v jati?
a
3. Ana je imela na verižici obesek v obliki pravokotnika. 2
Ena stranica je merila 1,6 cm, druga st ranica pa 1,2 cm . LJ
Potem se ji je del obeska pri enem oglišču odlomil, kot
kaže slika. Zlatar je obesek na enak način zbru sil še
pri ostalih t reh ogliščih , da je nastal manj ši štirikotni b
~~~. 2
A. Kako se imenuj e nastali št irikotnik?
B . Izračunaj ploščino novega obeska.
C. Koliko odsto tkov ploščine starega obes ka predstavlja ploščina
novega obeska?
I Tekmovanje dijakov poklicnih šol
4. 3. c razred je ob koncu ocenjevalnega obdobja pri matematiki dosegel
naslednji uspeh:
odl(5) ..
pcl (4)
db (3)
zcl(2)
nzd t l ] .. št . učencev
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.5 16 17 18 19
A . Koliko dijakov je v razredu?
B. Ko likšna je povprečna ocena pri matematiki v razredu? Rezultat
zaokroži na dve decimalki.
C . Kolikšen odstotek učencev je imel oceno višjo od 2?
D. Koliko zadostno ocenjenih učencev bi moralo imeti oceno 3, da
bi bila povprečna ocena v razredu 3?
R ešitve nal og z regijskega t ekmovanja
I. Pravilni odgovori so zbrani v preglednici.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B C B B D C B C C
11/1. (A) Vseh deklet skupaj je 16. V soboto so popile 8 ·2 dl +8·3 dl
= 40 dl = 4 I soka .
(B) V nedeljo so popile 16 ·0,5 l = 8 Isoka.
(C) Med pogovorom so spi le 16 ·2 dl = 32 dl soka. Ko sta se jim
pridružila še starša, je teh 18 oseb spilo še 18·1,5 dl = 27 dl soka .
Tega dne so skupaj spili 32 dl + 27 dl = 59 dl = 5,9 Isoka.
11/2. Označimo število golobov v jati z x . Tedaj je x + x + ~x + ix +
+ 1 = 100, kar nam da x = 36. V jat i je bilo 36 golobov.
11/3. (A) Nastali lik je romb. (Pravilna odgovora sta tudi paralelogram
in deltoid.)
(B) Označimo a = 1,2 cm in b = 1,6 cm. Pri vsakem oglišču je
zlatar zbrusil trikotnik s ploščino ~. ~. ~ = 0,24 crrr'. Stari obesek je
Tekmovanje dijakov poklicnih šol I
ime l ploščino ab = 1,92 cm 2 , novi pa ima ploščimo 1,92 - 4 '0,24 =
= 0,96 cm" .
(C) Ploščina novega obeska meri ~:~~ = 0,5 = 50 %ploščine starega.
II/4. (A) V razredu je 3 + 4 + 14 + 8 + 2 = 31 dijakov.
(B) Povprečna ocena pri matematiki je 3 .5+4.4+1j /+S.2+2. 1 = 2,94.
(C) Takih učencev je 5+
3
4
1+
4 ~ 0,68 = 68%.
(D) Označimo iskano število učencev z x . Tedaj je
3·5+4·4+( 14+ x) ·3+(S - x) ·2+ 2·1 - 3 k d - 2
31 - , ar nam a x - .
Državno tekmovanje
I. del
1. P rofesor matematike po nekaj let ih sreča dijaka, ki je imel ves čas
šolanja prob leme z matematiko. Začudi se, ko vidi, da se fant vozi z
dragim športnim avtomobilom. Vpraša ga , kje dela , da tako dobro
zas luži. Dijak mu odgovori: "V Avstriji kup ujem svinčnike po 20
centov in jih potem prodajam po 30 centov. Od teh 10 % lahko
človek dobro živi." Profesor se nasmehne in si misli: "Matemat ika
mu še vedno ne gre, znajde pa se ." Koliko odstotkov prodajne cene
znaša zas lužek v resnici, če zaokro žimo na cele odstotke?
(A ) 10 % (B) 33 % (C) 50 % (D) 66 % (E) 100 %
2. Iz št irih enakih mrež, kot je mreža na spodnji levi sliki, sestaviš štiri
kocke, ki j ih zlepiš v kvader , kot je narisano na spodnji desn i sliki.
Kolikšna je največja vsota pik na pov ršini nastalega kvadra?
• •• •• •
• ••• •• • •
•
(A) 72 (B) 70 (c) 68 (D) 76 (E) 74
I Tekmovanje dijakov poklicnih šol
3. Na teht nici je na eni strani lubenica , na drugi st rani pa sta polo-
vica enako tež ke lubenice in utež za dva kilograma. Tehtnica je v
ravnovesju. Koliko tehta lub enica?
(A) 2 kg (B) 4 kg
(E) Ni mogoče določiti.
(C) 6 kg (D) 8 kg
4. Na jmanjš i obseg ima pobarvan lik ob črki :
(A) t.iliI
(D)~
(B)~
(E)~
(C)~
5. Proksima Kent avra, našemu osončju naj bližja zvezda, je od Zemlj e
oddaljena 4,25 svet lobnih let. Svetlobno leto je raz dalja, ki jo svetloba
prepotuje venem letu. Približno koliko kilomet rov je to , če svetloba
prepot uje veni sekundi 300000 km ?
(A) 134 milijonov km (B) 9,5 bilijonov km (C) 110 milijard km
(D) 167 milijard km (E) 40 bilijonov km
6. Kolikšna je dolžina daljice AG, če je vsaka izmed daljic AB , BC,
CD , D E , EF in FG do lga 1 m?
E
G
(A) 5 m (B) J5 m (C) 6 m
A B
(D) J6 m (E) 2 m
Tekmovanje dijakov poklicnih šol I
II. del
1. Mama in hči pripravljata jabolka za jabolčne čežano . Mama sama v
desetih minutah olupi in očisti šest jabolk, hči pa enako količino v 15
minutah .
A . Koliko časa bi mama sama pripravljal a 15 jabolk?
B. Ko liko časa bi hči sama pripravljala 15 jabolk?
C. Koliko časa bi ob e skupaj pripravljali 15 jabolk?
D . Koliko jabolk bi pripravili ob e skupaj v tričetrt ure?
2. Dijak SREČKO SMOLA ljubi igre na srečo, najrajši pa ima loto.
Prvič je vplačal 10 evrov in potem vsakokrat dvakrat več kot pri
prejšnj em plačilu. Šestič je zadel dobitek , ki je 4800-krat večji od
zadnje vplačane vloge.
A. Ko liko den arja je porabil, preden je zad el?
B . Ko liko znaša dobiček?
C. Dij ak bo štiri petine dobička pametno nalo žil v nadaljnje izo-
braževanje. Koliko denarja mu ostane?
3. Učenci 3. letnika so izvedli anketo o št evilu otrok v družinah. Re zultat
anket e je prikazan s frekvenčnim kolačem . Odgovori na vprašanj a.
9 družin
Ootrok
1 ot rok
2 otroka
3 otroci
4 ot ro ci
5 otrok
2 dr užini
1 družin a
1 družina7 družin
6 družin
A. Ko liko družin je zajetih v anketo?
B ~--J{oliko je vseh otrok v teh družinah?
C. Kolikšno je povprečno št evi lo otrok v družinah?
D . Ko likšen je od stotek družin , ki imajo vsaj dva otroka?
E. Kolikšen je odstotek otrok, ki živijo v družinah s petimi otroki?
Vse rezul tate zaokroži na eno decimalko,
4 . Iz pipe , ki pušča, priteče v eni minuti 50 kapljic vode. 4000 kapljic
vode je 1 lit er vode, ki ima maso 1 kg .
Tekmovanje dijakov poklicnih šol
A. Koliko kapljic vod e priteče iz pokvarjene pipe venem dnevu?
B. Koliko litrov vod e je to ?
C. V kolikšnem času bi s kapljicami napolnili lonec, ki ima prostor-
nino 15 litrov?
D. Koliko bi tehtal lonec, napolnjen z vodo, če je masa lonca 15 %
mase vode , ki je v njem?
Rešitve nalog z državnega t ekm ovanja
I. Pravilni odgovori so zbrani v preglednici.
1 2 3 4 5 6
B A B C E D
II/l. (A) Mama bi sama pripravljala 15 jabolk 165 . 10 = 25 min.
(B) Hči bi sama pripravljala 15 jabolk 1; .15 = 37,5 min.
(C) Mama pripravi 160 jabolka na minuto, hči pa 165 jabolka na
minuto. Skupaj pripravita 160 + 165 = 1 jabolko na minuto. Obe
skupaj bi pripravljali 15 jabolk 15 minut.
(D) V tričetrt ur e bi obe skupaj pr ipravili 45 jabolk.
II / 2. (A) Srečko je najprej porabil 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = 630
evrov.
(B) Šestič je zadel 320 · 4800 = 1536000 evrov, njegov dobiček pa
je 1536000 - 630 = 1535370 evrov.
(C) Ker bo g dobička vloži l v nadaljnje izobraževanje, mu ostane
še i dobička oziroma i 1535370 = 307074 evrov.
II /3. (A) V anketo je zajetih 2 + 9 + 7 + 6 + 1 + 1 = 26 družin.
(B) Vseh otrok skupaj je 2 · 0 +9· 1 + 7·2 + 6·3 + 1 · 4 + 1· 5 = 50.
(C) Povprečno število otrok v družinah je ~~ ~ 1,9.
(D) Med 26 družinami ima vsaj dva otroka 15 družin, kar predsta-
vlja ~~ = 0.577 = 57,7 % delež.
(E) Med 50 otroci jih 5 živi v druž ini s 5 otroci , kar predstavlja
550 = 0.1 = 10 % delež.
II /4. (A) Dan ima 24 ·60 minut. V tem času iz pipe izteče 24 ·60 ·50 =
= 72000 kapljic vode.
(B) Ta količina prestavlja 72000 : 4000 = 18 1vod e.
(C) Če venem dnevu priteče iz pipe 18 1vod e, se 15 litrov nateče
v ~ ~ . 24 = 20 ur ah.
(D) Voda tehta 15 kg, lonec pa 11050 • 15 = 2,25 kg . Voda in lonec
tehtata skupaj 17,25 kg .
188 Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
TEKMOVANJE V ZNANJU MATEMATIKE ZA
DIJAKE SREDNJIH TEHNIŠKIH IN
STROKOVNIH ŠOL
3. regijsko tekmovanje
P rvi letnik
Al. Koliko je vred nost izraza 1- 31 + 11 - 11- 1211?
(A) -6 (B) -4 (C) 2 (D) 4 (E) 6
A2. Zapiši naravna števila, ki daj o pri deljenju s 7 ostanek 2.
(A ) 7,2 k , k E lN
(D) 7,2
(B) 2k + 7 , k E lN (C) ~
(E ) 7k + 2, k E lN U{O}
A 3. Poenostavi izraz (_ X)6 . (-X)5 . (_ (- x )4).
(A) _ X 15 (B) x 15 (c) x 120
(D) _ X 120 (E) Nič od navedenega.
A 4. Reš i neenačbo 8 - 16x:::; 4x 2 - (2x + 1)2.
(A) X > ~ (B) x :::; ~
(D ) x < 1 (E) O< x :::; ~
(c) x 2: ~
A 5. Bron je zlit ina bakra in kositra v razmerju 47 : 3. Koliko kosit ra je v
spomeniku ii brona , ki tehta 350 kg?
(A ) 7 kg
(D) 329 kg
(B) 21 kg (c) 300 kg
(E) Nič od navedenega.
21 + 20 + 2- 1
A6. Izračunaj vrednost izraza 2 3 4 .
2- + 2- + 2-
(A) 6 (B) 8 (c) 3
21
(D) 24 (E) 512
Bl. Produkt dveh zaporednih naravnih števil za številom n je za 600 večji
od pr odukta dveh zaporednih naravnih števil pred šte vilom n . Določi
število n. Zapi ši rešit ev.
I Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
B2. Pl anet Jupiter obkroži Sonce v dvan aj stih letih , planet Saturn pa v
tridesetih letih. Leta 1941 sta bila oba na isti strani Sonca in smo
ju z Zemlj e videli oba skupaj . Katerega leta smo ju nazadnje videli
skupaj? Katerega let a se bo dogodek prvič ponovil? Zapiši odgovora.
B3. Izračunaj vrednost izraza (a2 - ab + b2 ) : (2a2 - 6b), če je a - b = 3
. 2(a-b) a+2b
m - - - = l.
3 9
B4. Bazen polnijo tri cevi. Prva cev sama napolni bazen v štirih ur ah,
druga v dese t ih, t retja pa v dvaj setih ur ah. Koliko odstotkov bazena
je nap olnj enega, če vse t ri cevi odp remo za dve ur i? Zapiši odgovor.
Drugi letnik
Al. Zapiši enačbo premice, ki po teka skozi točko A(Jr , O) ter presečišče
premic y = Jr - 2x in y = Jr - ~ .
(A ) y = 2x + Jr
(D) y = 2Jr
(B) y= - x + Jr (C) y = X-Jr
(E) Nič od navedenega.
A2. Za premico z enačbo 3; - ~ = 1 velja:
(A) odreže odsek ~ na osi x in -1 na osi y ,
(B) odreže odse k 2 na osi x in - 3 na osi y,
(C) odreže odsek ~ na osi x in 3 na osi y ,
(D) odreže ods ek ~ na osi x in - 3 na osi y,
(E) ne seka osi x .
A3. Za kateri n velja ena kost 32002 - 3200 1 + 32000 - 31999 = n(31999 )?
(A) 18
(D) 21
(B) 19 (C) 20
(E) Ne obstaja takšen n .
A4. Po enostavi izraz
(A) fi + vy
(D) xy
x - Y K ' d biš?r;;. . aj o IS.
y X - vy
(B) x + y
(E) fi - vy
(C) 2x-y
Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
A5. Sup lementarni kot kot a cx meri 78° 18'53" . Ko liko me ri kot cx?
(A) 102°42'7"
(D) 53°
(B ) 12°42'7" (C) 11°41'7"
(E) Nič od naveden ega.
A6. Za koliko ods totkov se poveča oziroma zmanjša ploščina pravokot nika ,
če eno stranico p od alj šamo za 20 %nj ene dol žine, drugo pa skrajšamo
za četrtino njene dolžin e?
(A) Poveča se za 5 %.
(C) Poveča se za 15 %.
(E) Ploščina se ne spremeni .
(B) Zm anj ša se za 10 %.
(D ) Zmanjša se za 1 %.
Bl. V enačbi premice x + m y - 4 = O določi m t ako , da bo razdalj a med
presečiščema premice s koordinatnima osem a enaka 2V5.
B2. Če koren nekega števila delimo z ~, dobimo ravn o toliko, kot če število
zmanjšamo za 3. Katero število je to? Ali je takih števil več?
B3. V t rikotniku AB e meri kot cx = 58° in kot f3 = 84°. Koliko mer i kot
x med simet ralo kota I in višino na st ranico c?
B4. Izračunaj natančno , brez up orabe žepnega računala:
(_2)- 3 _ (~) - 3 . (_3) - 2 . O 1- 1 .
(- 0,2)3 5 '
Tretji letnik
Al. Dana je funkcija s predpisom f (x) = - 2(x + 3)2 + 2. Katera trditev
je pr avilna?
(A) Funkcija je povsod padajoča.
(B) Teme je v točki T (3, 2).
(C) Funkcija nima realnih ničel.
(D) Graf je parabola, ki je zrcalno simetrična glede na prem ico
x = -3.
(E) Nobena izmed naved eni h t rditev ni pravilna .
I Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
A2. Katera funkcija je pr ikazan a na dan em
grafu?
(A) f (x ) = x 3 (B) f (x ) = _x3 + 1
(C) f (x ) = x 3 - 1 (D ) f (x ) = x 2
(E) Nič od navedenega.
- 2 - 1
y
2
2 x
A3. Zapiši rešitev enačbe
(A) x = - ~
(D) x = ~
(~) 2x+5 _ V96x - 33 - .
(B) x = - ~
(E) x = 1
- 1
- 2
(C) x = ~
A4. Kaj velja za št evili a = log3 x in b = log, x ?
(A) a < b za vsak x > 1 (B ) a > b za vsak x > 1
(C) a =j:. b za vsak x > O (D) alog 4 = blog3 za vsak x > O
(E) ab = lOg12 x za vsak x > O
A5. Koliko je u , če ima enačba x 2 = 3(ax - 3) nat anko eno realno rešitev?
(A) a = 2 ali a = - 2
(D) a = 6 ali a = -6
(B) a je lahko le 2
(E) a = ~
(C) a = 4
x 2 + 5x + 4
A6. Kolikokrat spremeni predznak funkcija f(x) = 2 ?
x + 6x + 9
(A) nikoli (B) enkrat (C) dvakrat (D) t rikrat (E) štirikrat
Bl. Kr ogu s ploščino 1001f cm2 včrtamo pr avokotnik , katerega dolžini
stranic se razlikuj eta za 4 cm. Izračunaj ploščino pr avokotnika.
B2. Koliko je 12 % od števila \/(V5 + 2)(v5- 2) + 2-]oglQ 0,01 ? Zapiši
odgovor.
B3 Ski ci ff k oo f() x(x + 1). iciraj gra un cije x = 2 '
x +
B4. Pokaži, da je polinom p(x ) = x 4 - 2x 3 + 5x 2 - 4x + 4 ena k kvad ratu
nekega polinoma.
Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol I
Četrti le tnik
Al. Katera kocka je razgrnjena v mr ežo?
t
A2. Kolikšna je največj a vrednost funk cije g(x ) = 24 - 5 sin x ?
(A) 14
(D) 34
(B ) 19 (C) 24
(E) Nič od navedenega .
A3. Koliko je dolga te lesna diagonala kocke z robom a?
(A) 3a (B) a3 (c) av'2
(D ) av13 (E) Nič od navedenega .
A4. Tričleno naraščajoče aritmetično zaporedje s srednjim členom 10 po-
stane geometrijsko , če t a člen zmanjšamo za 2. Kaj sklepamo?
(A) Aritmetično zaporedje je 3,10, 17.
(B) Aritmetično zap oredj e je 4,10 ,16 .
(C) Geom etrijsko zaporedj e je 8, 8, 8.
(D) Geom etrijsko zaporedje je 1,8,64.
(E) Iz aritmetičnega zaporedja na opisani način ni mogoče dobiti
geomet rijskega.
A5. V skupini dvaj setih fantov tehta vsak povprečno 62 kg. Če se fantom
pridruži še učitelj , je vsak v povprečju t ežak 63 kg. Koliko teht a
učitelj ?
(A ) 62 kg (B) 73 kg (C) 83 kg (D ) 93 kg
(E) Ni mogoče izračunati.
(
cos a sin a )A 6. Po enostavi izraz - - + - - : (tg a + ctg a - 1).
tg a ctg a
(A ) sirr' a + cos o (B ) sin o + cos a (C) tg a
(D) ct g o - 1 (E) 1
Bl D · . . x + 3 x - l . x + 3 D 1 _. k d b d .
. all! so izrazi x 2 _ 4 ' x _ 2 m X + 2· o OCI x t a o, a o rugi
izraz aritmetična sredina prvega in tretjega .
I Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
B2. Izračunaj sin(2a + 7r), če je sin a = 153 in je a ostri kot.
B3. V mestni bolnišnici leži 120 bolnikov. Po jutranj em merjenju srčnega
utripa je glavna sest ra meritve uvrstila v 8 frekvenčnih razredov.
Izračunaj aritmetično sredino meritev in st andardni odklon.
št evilo utripov na minuto frekvenca
60 - 64,9 23
65 - 69,9 16
70 - 74,9 15
75 - 79,9 32
80 - 84,9 24
85 - 89,9 6
90 - 94,9 2
95 - 99,9 2
B4. Dan a je kro žnica k s poimerom R. Na
premeru AB sta taki točki C in D , da
velja lACI = ICD I = ID BI . Nad AC
in AD sta nari sani polkrožnici na eni
strani daljice AB , nad DB in C B pa na A~-~_-o--+_ _ ~ B
drugi strani (glej sliko) . Izrazi ploščino
osenčenega lika z R.
Rešitve nalog regijskega tekmovanja
Prvi letnik
naloga Al A2 A3 A4 A5 A6
odgovor D E B C B B
A4. Neenačbo preoblikujemo v 8 - 16x :::; -4x - 1, ki ima rešit ev x 2: ~ .
A5. Zarad i razmerj a 47 : 3 je v 50 kg brona 3 kg kositra , v 350 kg brona
pa 21 kg kositra.
Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol I
Bl. Naj bo iskano naravno število ti . Ted aj je (n - 2) . (n - 1) + 600 =
= (n + 1) . (n + 2), od koder dobimo n 2 - 3n + 2 + 600 = n 2 + 3n + 2
in izrazimo n = 100.
B2. Ker je najmanj ši skupni večkratnik števil 12 in 30 enak 60, vidimo
Jupiter in Saturn skupaj na isti strani Sonca vsak ih 60 let . Nazadnje
je bilo to leta 1941 + 60 = 2001, prvič pa se bo dogodek po novil let a
2001 + 60 = 2061.
B3. Iz a - b = 3 izrazim o a = b+ 3 in vstavimo v enač bo 2(a
3-b
) _ a~2b =
= 1, od koder dobimo b = 2 in je torej a = 5. Izračunani vrednosti
vst avimo v izraz (a2 - ab + b2 ) : (2a 2 - 6b) in dobimo rezul t at ~.
B4. Veni uri nap olni prva cev ~ bazena, druga IlO in t retja 210 bazen a .
Če vse tri cev i odpremo za dve uri , napolnijo ~ + t + IlO = 180 bazen a ,
kar je 80 %.
Drugi letnik
naloga Al A2 A3 A4 A5 A6
odgovor B D C A E B
Al. Premi ci z enačbama y = Jr - 2x in y = Jr - ~ se sekata v točki B (O, Jr) .
Enačba pr emi ce skozi točki A(Jr, O) in B (O , Jr) je y = -x + Jr.
A2. Dan o enačbo premice lahko preoblikujemo v odsekovno obliko
~ + JL = 1, od koder preberem o odseka: ~ na osi x in -3 na osi y.
"3 - 3
A3. Če na levi st rani enakost i izpost avimo 31999 , dobimo 31999 . (33 - 32 +
+3 - 1) =20 .31999 .
A4. Izraz v števcu zapišemo kot razliko kva dratov, ki jo razstavimo :
(VX)2 _(v'Y)2 = (vx-v'Y)(vx+v'Y) = IX+ iy .
vx-v'Y vx-v'Y V ~ V &
A5. Suplementarni kot kot a 78°18'53" je 101°41'7" , zato je pravilen od-
govor (E).
A6. Ploščina pravokotnika s stranica na 1.2a in 0 .75b je i ~ ~ .ab = 190 . ab,
torej je za 10 % m anj ša od ploščine pravokotnika s st ranicama a in b.
I Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
Bl. Očitno mora biti m #- O, sicer pre-
mica ne bi sekala ordinatne osi. Pri
tem pogoju premica seka ordinatno
os v točki N(O, ~). Abscisno os
seka v točki M(4 , O). Veljati mora
)16 + ~~ = 2V5, od koder izrazimo
m2 = 4 oziroma m = ±2.
B 2. Enačbo JX : ~ = x - 3 preoblikujemo v x 2 - 10x + 9 = O, ki ima
rešitvi Xl = 9 in X2 = 1. Število 9 ustreza pogoju naloge, saj je
J9 : ~ = 9 - 3, število 1 pa ne , saj imamo VI : ~ #- 1 - 3.
B 3. Kot x lahko izračunamo na dva načina, C
in sicer x = ~ - (90° - (3) = 19° - 6° =
= 13° ali x = 90° - cx - ~ = 32° -
- 19° = 13° .
A B
(-2)-3 2 _ 1 125 1
B 4 . Računamo: 3 - (- )-3 . (_3)-2. 0,1- 1 = -f- - - .- ·10 =
(- 0, 2) 5 - 125 8 9
=125.(1_10) _ ~ . 1 25 _ 125
8 9 9 8 72
Tretji let nik
naloga A l A2 A3 A4 A5 A6
odgovor D C B B A C
A l. Iz zapisa funkcije vidimo, da je njen graf parabola stemenom T( -3,2)
in je zrcalno simerična glede na premico x = - 3.
A 3. Enačbo preoblikujemo v 3- 2x - 5 = 36x - 3 , za to je - 2x - 5 = 6x - 3,
od tod pa x = - i .
A 4 . Logaritemska funkcija z višjo osnovo počasneje narašča kot funkcija
z nižjo osnovo, zato je a > b za vsak x > 1.
A 5. Dano enačbo preoblikujemo v x 2 - 3ax + 9 = O. Njena diskrim inanta
je D = 9a2 - 36 in je enaka nič, če je a = 2 ali a = -2.
Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol I
:>
x
2r
a +4
x2 + 5x + 4 (x+ 4)(x + 1) . .
A6. Ker je f(x) = 2 = ( )2 ' Ima graf te racionalne
x + 6x + 9 x + 3
funkci je dve ničli pr ve stopnje in en pol druge stopnje , zato dvakrat
spremeni predznak .
Bl. Iz 1fr 2 = 1001f izračunamo r = 10 cm,
nato pa uporabimo Pit agorov izrek:
a2 + (a + 4)2 = (2r)2. Od to d
izračunamo al = 12 in a2 = -16.
Upoštevamo le pozitivno rešit ev : stra-
nici pravokotnika sta dolgi 12 cm in
16 cm, njegova ploščina je 192 ern",
Ko P it agorov izrek pr eoblikuj emo v
kvadratno enačbo a2 + 4a - 192 = O,
vidimo, da je a(a + 4) = 192. Slednje
je ravno zapis ploščine pr avokotnika
s stran icama a in a + 4. Ne da bi
izračunali dolžini stranic, vemo , da je ploščina 192 cm'' .
B2. Izračunamonajprej \/Cl 5+ 2)(V5 - 2)+T 1og10 0 ,0 1 = ijl+21oglO 100 =
1 4 5 t '-- 12 5 3+ = , na o pa poiscerno 100 ' = S'
B3. Iz zapi sa f (x ) = XSX:
2
1) vi-
dimo , da ima graf funk cije
ničli X l = O in X2 = -1
ter po l x p = - 2. Če zapis
pr eob likujemo v f( x) = x -
- 1 + x~2 ugotovimo, da ima
graf fun kcije asimptoto y =
= x - I in da le-te ne seka .
Nato še skiciramo graf.
B 4. Če zapišemo p(x) = (q(x))2 , domnevamo, da je q(x) = x2 + ax ± 2.
Tedaj je (q(X))2 = x4 + 2ax3 + (a2 ± 4)x2 ± 4ax + 4. Če pr imerjamo
koeficienta pri x3 polinomov p(x) in (q(X))2, ugotovimo, da mora biti
a = - 1, če pa primerjamo še koeficienta pr i x 2 oziroma X, ugotovimo ,
da ima stalni člen polinoma q(x) poz it iven pr edznak. Imamo torej
eno sa mo rešit ev: p(x) = (x2 - X+ 2)2.
I Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
Četrti letnik
naloga Al A2 A3 A4 A5 A6
odgovor C E D B C B
A2. Največja vrednost funk cije g(x) je 29, zato je pravilen odgovor (E) .
A4. Tri členo naraščajoče aritmetično zaporedje s srednjim členom 10 lah-
ko zapišemo 10 - d, 10, 10 + d, kjer je d > O. Ustrezno geometrijsko
zaporedje je 10 - d, 8, 10 + d in velja lO~d = lO:d , od koder je d2 =
= 36, zaradi pogoja d > O pa imamo le rešit ev d = 6. Aritmetično
zaporedje je torej 4, 10, 16.
A5. Vsi fantj e skupaj tehtaj o 20 . 62 = 1240 kg, skupaj z učiteljem pa
21 . 63 = 1323 kg. Učitelj t ehta 83 kg.
A6. Pi šemo : ( ca s cx + s in cx) : (tg a + ctg a _ 1) = ( cos 2 cx + si n 2 cx)
t g et ctg a SIn o cas et"
(
s in cx + cas cx _ 1) = cos 3 cx+ sin 3 cx . s in cxcas cx =
cos o: s in o: s in et cas Q sin2 o -l-cosš o -sin o: cas o:
(cas o-l- s in a)(cos2 a -sin a cas a+sin 2 al
si n ' a+cos2 a -sin a cas a = sin a + cos a .
x - I ~+ x+3
Bl. Pogoju naloge je zadoščeno, če velja - - = x - 4
2
x+2, enačbo pa
x - 2
lahko preuredimo v x 2 = 1, ki ima rešitvi X l = 1 in X2 = - 1.
B 2. Ker je a ostri kot , je cos a = \h - sin2 a = g. Nato i zračunamo
. (2 ) . 2 2 . 2 5 12 120SlU a + 'Tr = - SlU a = - SlU a cos a = - . 13 . 13 = - 169 .
B3. Najprej izračunamo sredine razredov, nato pa x = l ~O . (62.45·23 +
+ 67.45 · 16+ 72.45 ·1 5 + 77.45 ·32 + 82.45· 24 + 87.45 · 6 + 92.45·2 +
+ 97.45· 2) = 1 ~0 · 8964 = 74.7. Po formuli izračunamo še standardni
odklon, ki znaša 8.5.
B 4. Ploščina osenčenega lika iz naloge je
enaka ploščini osenčenega lika na desni
sliki, to je razliki med ploščino kroga
s polmerom ~ R in ploščino kroga s
polmerom i R : S = 'Tr( ~R2 - fJR2) = A~---=,~-o--4'"=- ~B
- 7r R 2- "3 .
98 Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
b-
1
). ( - 1 _ b- 1) .
a ' +b 1 a
3. državno tekmovanje
Prvi letnik
-2 «: ? ( - '1. Vemo,dajeA = ~1=b1inB= a~-b1
. (a- 2 + b- 2 ) - 1 . Dokaži , da je A = B - 1 .
2. Trij e razredi so zbirali papir. Razred A je zbral 20 % več papirja
kot razred B , razred B pa 20 % manj papirj a kot razred C . Koliko
kilogr amov papirj a so zbrali posamezni razredi , če je skupaj zbranih
759 kg papirj a? Zapiši odgovor .
3, Točka T(a+V2,V2-a) naj bo enako oddaljen a od točk A( - V2,V2)
in B (V2,-V2).
a ) Določi vr ednost parametra a.
b) Izračunaj ploščino trikotnika ABT.
4. Naloga iz zbirke LILAVATI, indijskega matematika Bhaskare:
Za zmeraj isto sem ceno kup il zate
teh osem rubinov, zate m sm aragdov deset
in na zadnje še biserov sto,
ki nosiš jih zdaj na uhanih.
Če zberem skupaj po enega
iz vrste vsake žlahtnih kamnov teh,
bo njih cena le za kovance tri manjša,
kot je polovica od sto .
0 , vedro dekle,
če si v računanju spretna dovolj, le brž pov ej m i,
koliko j e kovancev tedaj vsak od teh kamnov me stal.
5 . Dokaži , da vsota petih zaporednih naravnih števil ne more biti pra-
število.
D rugi letnik
1. Poenostavi izr az
( V Vx
3
- 1 x - x
2
)x + 3· - - + - -
9 . 3
. (x - vx=I") .
2 . Dani sta premici z enačbama (1 - a) x - 2ay - 2 = O in -2x + ay -
- 1 = O. Določi a t ako, da se bosta premici sekali na simet rali lihih
kvadrantov.
Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol 99
3.
4 .
5.
V pravilnem šestkot niku ABODEF s stranico dolžine a se nosilki
stranic AP in DE sekata v točki T . Natančno izračunaj dolžino
dalji ce BT .
Dan je t ra pez s podatki a = 7, b = 4, C = 3 in (3 = 900 . Izračunaj
kot med diagonalam a trapeza na sto t inko sto pinje natančno.
3 - 2a 2a - 1
Dani funkc iji f( x) = - -- x +-- določi par ameter a t ako , da
a+5 3- a
bo gra f funk cije sekal ordina tno os nad koordinatnim izhodiščem in
da bo funkcija padajoča.
Tretji let nik
1. Poslovodja je nabavil pul overj e in zanj e plačal 960 tisočakov. V
trgov ini jih je prodaj al po 12 tisočakov . Dobiček , ki ga je ustvari l
pri prodaji vseh puloverj ev, je .bil enak znesku , ki ga je dal za 60
pu loverjev . Koliko pu loverjev je nabavil? Zapi ši odgovor.
2. Reši sistem enačb 3x . 2Y = 648 in log3(x - y) = O.
5
3 . Reši enačbo logx(5 · J5) - 4" = (logx J5) 2.
4 . Zapiši enačbo polinoma 3. stopnje (lahko tudi v razstavljeni obliki),
katerega gra f pot eka skozi točke A(4, -5) , B (- 1, 0), 0 (0, 5) in D (5,O).
Skiciraj graf polinoma.
5 . Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe x 2 + 73 = y2 .
Četrti let nik
1. Dan a je funkcija f( x) = cosx - sinx.
a) Pokaži, da funk cija ni nit i soda nit i liha,
b ) Pokaži, da je f (x ) = - v'2 sin(x - %), in zapiši zalogo vrednosti.
2. Dokaži, da sestavljajo razlike kvadratov zaporednih naravnih števil
aritmetično zaporedje.
3 . Ženin in nevest a sta naročila trinadstropno to rto iz treh enako visokih
tort na med sebo j povezanih in enako oddaljenih podstavkih. Razmik
med sosednjima podstavkoma je bil 11 cm, t rinads t ropna torta pa
je bila visoka 30 cm. Spodnja to rta je bila največja, premer vsake
naslednj e pa je bil za 6 cm krajši od premera prejšnje.
S trinadstropno torto sta nahranil a sebe in še 28 svatov. Upoštevaj ,
da je vsak v povprečju po jedel 24 dag torte in da 77Jr cm ' torte tehta
10 dag. Kolik je bil polmer spo dnje (največj e) torte?
1100 Tekmovanje d~jakov tehniških in strokovnih šol I
4 . Poišči ničle fun kcije f (x) = VI - cos? 2x in nariši njen graf na inte r-
valu [-Jr, 271-].
5. Na dveh šolah so neopravi č eno izostanke prikazali z grafikoni. Na
prvi šoli (šoli A) so pod atke prikazali z dvem a histogramoma.
STEV ILO DIJAKOV PO RAZREDIH ŠTEVILO NEOPRAVIČENIH UR
31 .---- - - - - - - - - --,
130g~~
~1l0
::J
l a lb 2 a 3a 4a 4 b
R a zr ed i
50
~ 90
o
Q)
Z 70
la lb 2a :3 a 4a 4b
Razr ed i
20
> 28
j1
'"::=t-o
. 24..n
Na dru gi šoli (šoli B ),
na kateri je 200 dijakov,
so po datke prikazali s
st rukt urnim krogom.
NEOPRAVIČEN liZOSTANKI (v urah)
D O do 4
. 5 do 9
D 10 do 14
Dl 15 do 19
0 20 do 24
28 %
a) Za vsako šolo razvrsti podatke v ust rezno preglednico.
Šola A Šola B
razred število neopr.d ijakov ure
l a
l b
2a
3a
4a
4b
frekvenč- odsto- število povprečje zmnožekni razred t ek d ijakov razred a
0 - 4
5 -9
10 - 14
15 - 19
20 - 24
b) Koliko znaša povprečno št evilo neopravičenih ur na dij aka na po same-
zni šoli? Zapiši odgovor .
Tekmovanj e dijakov tehniških in strokovnih šol 101
R eši t ve nalog državnega t ekmovanja
P r vi let nik
x
B
1
Yv'2
1
-v'2
b
2
_ a
2
(b-a)(b+a) b+ a
Najprej poenos tavimo izraz A: a
2
b
2 = -- nato
b;;ba (b - a )ab ab '
(1 1) b - a 1 (b a )pa še izraz B: b~a - b~a .~ . b2+a 2 = b _ a - b + a .
ab ab a 2b2
ab(b - a) b2+ab- ab + a2 ab(b- a) ab ..
b2 2 (b )(b ) b2 2 -b-. Vidimo , da res+ a -a +a +a +a
velja A = B- I .
Denimo, da je ra zred C zbral x kg papirja . Tedaj je ra zred B zbra l
0.8x kg papirja, razred A pa 1.2 . 0.8 . x = 0.96x kg papirja. Velja
x + 0.8x + 0.96x = 759, od kod er izračunamo x = 275, nato pa še
0.8x = 220 in 0.96x = 264. Razred A je zbral 264 kg pap irja , razred
B 220 kg in raz red C 275 kg papirja .
Da bo točka T enako oddaljena A ~----If------<1 T
od točk A in B , mora veljati
J(a + v'2 + v'2)2 + (v'2 - a - v'2 )2 =
= J(a + v'2 - v'2)2 + (v'2 - a + v'2)2 , -_----iv'2--+------'k,-------+--+-~
od kod er dobimo a2 + 4a v'2 + 8 + a2 =
= a2+ 8 - 4a v'2 + a2 oziroma 8av'2 = O
in končno a = O.
Točke A , B in T so oglišča enakokra-
kega pr avokotnega trikotnika s katetama
d 1-' 2 '2 PI __ o ikotnika i 2v'2 ' 2v'2 4o zme v.::· osema tega tri ot ni Je 2 = .
Denimo, da je rubin stal x kovancev , smaragd y kovan cev in biser z
kovan cev. Prvi del naloge pove, da je 8x = 10y = 100z , od kod er
lahko izrazimo x = 2; Z in y = 1Oz. Besedi lo drugega dela naloge
prep išemo v enačbo x + y + z = I ~O - 3. Zap išemo torej lahko 225z +
+ 10z + z = 47 in izrazimo z = 2. Biser je stal 2 kovan ca, smaragd
2 0 k o vanc e v , rubin p a 2 5 k o vancev.
Če vzamemo pet zaporednih naravnih šte vil n - 2, n - 1, n , n + 1
in n + 2, je n ::::: 3, vsota teh št evil pa je 5n. Št evilo 5n je za n ::::: 3
sestavlje no.
Če vzamemo pet zaporednih nar avnih števil n , n + 1, n + 2, n + 3 in
n + 4, je n 2: 1, vsota teh šte vil pa je 5n + 10 = 5(n + 2) . Št evilo
5(n + 2) je za n ::::: 1 sest av ljeno, sa j je n + 2 ::::: 3.
1.
2.
5.
3.
4 .
Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol I
D rugi letnik
1. Izraz poenostavimo: (x + \13 . J X3;;1 + x-:t ) . (x - v;;=!) =
= (x + \13 . J XL l+gx- 3X2 ) • (x - v;;=!) = ( X+ \I(X- 1)3) .
. (x - v;;=!) = (x + v;;=!) . (x - v;;=!) = x2 - X+ lo
2 . Če je a = O, sta pr emi ci med seboj vzporedni (njuni enačbi sta tedaj
x - 2 = O in 2x + 1 = O) , zato privzemimo, da a -# O. Izrazimo y =
= ( 1 -~~X-2 iz prve in y = 2X:l iz druge enačbe . Izenačimo dobljeni
desni strani ( 1-~~x-2 = 2x: l in enačbo preur edimo v (-a - 3)x = 4,
od koder izrazimo x = - a~3' če je a -# - 3 (prepričamo se lah ko,
da pr edstavljata dani enačbi dve vzporedni premici, če upoštevamo
a = - 3). Izrazimo še ordinato presečišča: y = a(a+53l . Vsaka točka
na simet rali lihih kvadrantov ima absciso enako ordinati, zato mora
veljat i - a~3 = a(a+53l ' od to d pa končno dobimo a = l .
3. . S skice razberemo, da je TED
IDTI = 2a , IB D I pa je enaka
do lžini dveh višin enakostranične­
ga t rikot nika s stran ico a, torej
IBDI = aV3. Dolžino daljice BT C
izračunamo po P ita orovem izreku :
IB T I IDTI 2 + IBDI 2
= J 4a2 + 3a2 = aV?
4. Označimo r.p = <r. B AC in e =
<r. AB D = <r.B DC. V pr avokotnih
trikotnikih ABC in B CD dobimo
tg r.p = ~ oziroma tg c = ~, t ako
da je r.p = 29.74° in e = 53.13°
ter <r. AE B = 97.13°. Kot med
diagonalama je 82.87°.
(1,
D c C
B
b
5. Da na funk cija je padajoča, če velja 3a;5a < O. Njen graf seka 01' -
dinatno os nad koordinat nim izhodiščem , če velja 23a-=-~ > O. Prva
neenačba je izpolnjena , če imata števec in imenovalec ulomka 3a;5a
različna pr edznaka, to je za a < - 5 ali za a > ~ . Druga neenač ba je
Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
izpolnjena, če imata števec in imenovalec ulomka 23a~al enaka pred-
znaka, to je za ~ < a < 3. Obe neenačbi sta izpolnj eni , če je ~ < a <
< 3.
x
y
B
Denimo, da je poslovodj a nab avil x puloverj ev po nabavni ceni c.
Tedaj velja x ·c = 960000 in x · 12000 = 960000 +60c. Iz druge enačbe
izrazimo c = 200x - 16000 in vstavimo v prvo, ki jo preuredimo v
kvadratno enačbo 200x 2 - 16000x - 960000 = O, po enost avim o v x 2 -
-80x-4800 = Oin razst avimo (x - 120)(x+40) = O. Edina smiselna
rešitev enačbe je x = 120. Poslovodja je nabavil 120 puloverj ev .
Najprej iz log3(x - y ) = O sklepamo, da je x - y = 3° = 1 oziroma
x = y + 1. Nato drugo enačbo za pišemo 3y+l . 2Y = 648 oziroma v
obliki 3 . 3Y • 2Y = 648 in poeno st avimo v 6Y = 216 = 63, od kod er
pr eberemo y = 3 ter izračunamo še x = 4.
Enačbo lahko po enostavimo v ~ log; 5- ~ = (~ logx 5)2 . Če označimo
log; 5 = t in enačbo po enostavimo, dobimo t2 - 6t + 5 = O, ki ima
rešitvi tI = 1 in t2 = 5. Iz logx 5 = 1 dobimo X l = 5, iz log, 5 = 5 pa
x 5 = 5 oziroma X2 = {Y5.
Točki B in D st a ničli polinom a,
zato lahko zapišem o y
= a(x + l )(x - 5)(x - X3). Po-
linom seka ordinatno os v točki
C( 0,5), torej je 5 = a . 1 . (-5) .
. (-X3) oziroma 5ax3 = 5, od
kod er dob imo X3 = ~ , saj je
a =1= O. Končno up oštevamo, da gre
polinom skozi točko A, pa imamo
-5 = a . 5 . (-1) . (4 - ~) oziro ma
a . (4 - ~ ) = 1, od kod er izrazim o --~-+---<>-,..--\----+--
a = ~ . Po linom ima enačbo y =
= ~ (x + l )(x - 5)(x - 2) .
4 .
Tretji letnik
1.
3.
2.
104 Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
5. Enačbo preoblikujemo v y2 - x 2 = 73 ozirom a v (y + x )(y - x ) = 73.
Število 73 je praštevilo, zato ga lah ko razcepimo le na št iri načine:
73 ·1 , l · 73, - 73 · (-1 ) in - l · (-73). Tako pri demo do št irih sist emov
enačb , ki jih rešimo:
y + x = 73 y + x = -73 y+ x = l y + x = -1
y -x = l Y - x =-1 Y - x = 73 Y - x = - 73
y = 37 y = 37 Y = - 37 y = - 37
x = 36 x = - 36 x = - 36 x = 36
Četrti let n ik
1. Ker se f e-x ) = cos(-x) - sine- x) = cos x + sin x razlikuj e od f (x)
in od - f (- x ), funkcija f (x ) ni niti soda niti liha .
Pišimo: -.../2 sin(x - ~) = - .../2(sin xcos ~ - cos xsin~) = cosx -
- sin x = f (x) . Ker je zaloga vrednosti funkcije 9 (x ) = sin (x - ~ )
enaka [- 1, 1], je zaloga vrednosti fun kcije f (x ) enaka [-.../2, .../2].
2. Vzemimo zaporedni nar avni števili nin n + 1. Razlika njunih kvadra-
tov je enaka (n + 1)2 - n2 = 2n + 1. Če n povečamo za 1 (vzamemo
nasl ednji zaporedni naravni št evili ) , dobimo ((n + 1) + 1)2 - (n +
+ 1)2 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3. Razlika kvadratov dveh zaporednih
naravnih števil se torej poveča za 2. Ker to velja za katerakoli dva
zaporedna para po dveh zaporednih naravnih števil, tvorijo dobljena
števila aritmetično zaporedje.
3. Torto je poj edlo 30 ljudi. Ker je vsak v povprečju pojedel 24 dag, je
trinad stropna torta teht ala 30 . 24 = 720 dag. Njena prostornina je
bila 77~;20 = 5544?r ern".
Če je višina posam ezne torte enaka v , razmik med posam ezno torto
in podst avkom nad njo pa x , velja v + x = Il in 3v + 2x = 30. Iz te h
dveh enačb izračunamo v = 8 cm.
Polmere posameznih tort označimo z r , r - 3 in r - 6. Tedaj je
?rr2 . v + ?r(r - 3)2 . V + ?r(r - 6)2 . V = 5544?r. Enačbo lahko poeno-
stavimo (upošt evamo , da je v = 8 cm) v 3r 2 - 18r + 45 = 693 oziroma
r 2 - 6r - 216 = Oin razstavimo (r - 18)(r + 12) = O. Edina smiselna
rešitev enačbe je r = 18. Polmer spodnje (največje torte) je bil 18 cm.
I Tekmovanje dijakov tehniških in strokovnih šol
4. Na jprej zapišemo f (x ) = V I - cos2 2x = Vsin22x = 1sin 2x l. Ničle
funkcije so x = k
2
7r , k E ~.
5. Najprej izpolnimo preglednici.
Šola A
razred število neopr .dij akov ur e
la 30 105
lb 28 80
2a 26 100
3a 27 85
4a 26 130
4b 23 110
160 610
Šola B
frekvenč- odsto- šte vilo povprečje zmnožekni razred t ek dijakov razr eda
0 - 4 34 68 2 136
5-9 15 30 7 210
10 - 14 28 56 12 672
15 - 19 10 20 17 340
20 - 24 13 26 22 572
200 1930
Povprečno število neopravičenih ur na dij aka na šoli A je
x - 105+ 80+100+85+130+1 10 - 6 10 - 3 81
- 30+28+26+27+26+23 - 160 - . ,
na šoli B pa
-y= 68 ·2 +30·7+56· 12+20 ·17+26·22 = 1930 - 9 65
200 200 - . .
Tekmovanje iz znanja poslovne matematike
TEKMOVANJE IZ ZNANJA POSLOVNE
MATEMATIKE
1. šolsko tekmovanje
stroški poslovanjazaposlenihštev.
1. skupina (nižja stopnja zahtevnosti)
1. Prvotna cena blaga je bila 40.520,00 SIT. Blago se je najprej pocenilo
za 13 %, sledila je podražitev za x %, nato ponovna podražitev
za 15 %. Kupec je moral poravnati tudi stroške dodatnih storitev
v višini 1.325 ,00 SIT, tako da je na koncu plačal skupaj s stroški
63.941,70 SIT.
a) Kolikšna je bila neznana podražitev v odstotkih?
b) Koliko odstotkov znaša skupna sprememba cene (od prvotne do
končne) ?
c) Izrazi v odstotkih stroške dodatnih storitev po 15 % podražitvi.
d) Za koliko odstotkov bi se moralo blago trikrat zapored podražiti
za enak odstotek, da bi bila končna cena tega blaga 85.730,00 SIT?
Upošteva], da je začetna cena 40.520,00 SIT.
2. Razdeli 6600 kg blaga med štiri poslovalnice, za katere imamo nasle-
dnje podatke:
poslovalnica
A
B
C
D
5
4
6
5
108.000,00 SIT
144.000,00 SIT
72.000,00 SIT
216.000,00 SIT
a) Razdeli blago premo sorazmerno s številom zaposlenih.
b) Razdeli blago obratno sorazmerno z obsegom stroškov poslova-
nja.
c) Razdeli blago premo sorazmerno s številom zaposlenih in hkrati
obratno sorazmerno z obsegom stroškov poslovanja.
d) Blago razdeli tako, da poslovalnica A dobi 20 % več blaga kot
poslovalnica B , poslovalnica C dobi 40 % manj blaga kot po-
slovalnica A in poslovalnica D 1,5-krat toliko kot poslovalnica
C.
e) Za koliko odstotkov več/manj blaga dob i poslovalnica A od po-
slovalnice C, če upoštevaš podatke iz naloge c?
3. Zlatar je pri izdelavi zlatega predmeta zlil skupaj 5 g zlate rude (pri
čemer je zlata 916,67 promilov, ostalo je baker) , 8 g čistega zlata
in baker. Izdelal je zlati predmet teže 17,76 g. Nabavna cena 1 g
Tekmovanje iz znanja poslovne matematike
čistega zlat a je 5.000 ,00 SIT, 1 kg bakra pa 2.000 ,00 SIT. Zlatar
je zlati predmet izdeloval 6 ur in 35 minut. Ena ur a dela je vredna
5.500 ,00 SIT.
a) Koliko gramov bak ra je zlatar dodal v zlat i predmet , če ne
upošt evaš bakra v zlat i rudi?
b) Kolikšna je bila čist ina zlatega predmet a , izražena v karatih ?
c) Kolikšn a je bila nabavna vrednost po rabljenega čistega zlata?
d) Kolikšn a je bila nabavn a vr ednost vsega por ablj enega bakra?
e) Kolikšn a je bila vrednost opravljenega dela?
f) Kolikšn a je bil a vrednost zlatega predmet a , če upošt evaš suro-
vin e in delo?
4. Am eriški trgovec je v An gliji kupil 50 long ton (It ) in 4 hundredweight
(cwt) premoga, vse skupaj za 472 GBP. Ko je premo g prep eljal v
ZDA , ga je prepakiral v vreče po 1 quarter (qr ) in 6 pound (lb ).
1 USD = 226,38 SIT
1 GBP = 350,55 SIT
1 lb = 0,45 kg
1 qr = 28 lb (VB)
1 qr = 25 lb (ZDA )
1 cwt = 4 qr
1 It = 1016,05 kg
I Jt = 20 cwt
1 cwt = 50,80 kg
a) Koliko bo vred na ena vreča premoga v ZDA ?
b) Po koliko bo trgovec prodajal eno vrečo premog a v ZDA, če bo
obračunal še 49, 5 promilov marže?
c) Kolikšn a je vrednost 1 kg premoga v An gliji v SIT?
d) Koliko vreč premoga je trgovec lahko ponudil v prodaj o v ZDA?
e) Kolikš en bo dobiček t rgovca v USD?
2. skupina (višja stopnja zahtevnosti)
1. V let ošnj em letu 2003 namer avamo kupiti računalniško opremo v
vrednosti 500.000,00 SIT. Trgovec z računalniki ponuj a opremo pod
naslednj imi pogoji:
• 2 % popust a pri t akojšnj em plačilu,
• 1 % popusta pri plačilu v 15 dn eh in
• O % popust a pri odlogu plačila 30 dni.
P riliv sredstev za nakup opreme prav t ako pričakujemo čez 30 dni.
a) Ali je priporočljivo naj et i posojilo pri banki , ki posoj a gotovino
po 15 od stot ni letni obrestni meri (dekurzivno obrestovanj e, na-
vadni obres t ni račun) , ali naj na nakup počakamo do priliva
denarj a?
b) Kateri rok plačila bomo izbrali , če se bomo odločil i za najem
posojila? Odgovor utemelji z izračunom.
1108 Tekmo vanje iz znanja poslovne matematike I
2. Ob koncu leta 2000 smo v banko vložili 95.000,00 SIT, na začetku leta
2005 bomo dvignili 30.000 ,00 SIT, na koncu let a 2009 bomo dvignili še
15.000,00 SIT. Banka prvih devet let obrestuje po šest odstot ni letni
obrestni meri, na to pa do konca obrestovaln ega obdobja po sedem
odstotni letni obrestni meri.
a) Koliko bi imeli na računu na začetku let a 2016 pri dekur zivnem
obr estovanju in celolet ni kapi talizaciji?
b) Koliko bi imeli na računu na začetku let a 2016, če bi bila zadnjih
šest let kapitalizacija polletna, banka pa bi up orablj ala relativno
obrestno mero?
c) Koliko bi imeli na računu na začetku leta 2016, če bi bila zadnjih
šest let kapitalizacija mesečna, banka pa bi uporab ljala konfor-
mno obrestno mero?
d) Primerjaj rezultata pri nalogi a in nalogi c ter nap iši obraz ložite v.
3. Janez je z zavarovalnico skleni l pogodbo o dodatnem prostovoljnem
pokojninskem zavarovanju. Na začetku vsakega leta vlaga po
120.000,00 SIT. Zavarovalnica te vloge obrestuje po pet odstotni
letni obrestni meri .
a) Koliko bo imel na računu po 25 let ih varčevanj a pri letni kapi-
talizaciji?
b) Koliko bo imel na računu po 25 let ih varčevanja pri mesečni
kap italizaciji in relativni obrestni meri?
c) Koliko časa bi moral varčevati z enakimi letnimi prenumeran-
dnimi zneski po 120.000 ,00 SIT, če želi pri pet odstotni letni
obrestni meri in letni kap ital izaciji privarčevati 8.000.000,00 SIT?
4.. Znesek se najprej obrestuje dva meseca po 9,3 odstotni letni obrest ni
meri , naslednj e tri mesece po 14 odstotni letni obrestni meri , zadnji
mesec pa se obrestuje po 5,5 odstotni letni obr estni meri .
a) Za koliko odsto tkov se v celot nem obrestovaln em obdobju poveča
začetna glavnica pri konformnem anticipativnem načinu obresto-
vanja in mesečni kapi talizaciji?
b) Za koliko ods totkov se v celotnem obrestovalnem obdobju poveča
začetna glavni ca pri dekurzivnem navadnem obrest ovanju?
c) Izračunaj povprečno letno obrest no mero v celotnem obrest oval-
nem obdob ju na konformni način.
d) Povprečni let ni dekurzivn i obrestni meri v celot nem obr estoval-
nem obdobju, ki ste jo izračunali pri na logi c, poišči ekvivalent no
ant icipat ivno obrestno mero.
Tekmovanje iz znanja poslovne matematike
Rešitve 1. šolskega tekmovanja
1. skupina (nižja stopnja zahtevnosti)
1. a) Spremembe cen ponazorimo z diagramom:
- 13 % +x % +15 % +1325
40520 -----+ Cl -----+ C2 -----+ C3 -----+ 63941,70.
109
Torej je Cl = 40520 · 0,87 = 35252,40, C3 = 62616,70, C2
- 62616 70 . 100 - 54449 30 in ato x = 54449,30-35252 ,40 . 100 -
- , 115 - ,z 352 52,40 -
= 54,46 %.
b) Skupna sprememba cene je p = 2~~;~,~0 · 100 = 57,80 %.
c) Stroški dodatnih storitev so p = 62~~~~70 ·100 = 2,12 %.
d) Zapišemo enačbo 40520 · (1 + 1~0)3 = 85730, izrazimo p in do-
bimo, da bi se moralo blago trikrat zapored podražiti za p =
= 28,38 %.
2. a) Zapišemo enačbo 5x + 4x + 6x + 5x = 6600, izračunamo x =
= 330 in dobimo A = 5 . 330 = 1650 kg, B = 4 . 330 = 1320 kg,
C = 6·330 = 1980 kg in D = 5 ·330 = 1650 kg .
b) Najprej izračunamo skupne stroške poslovanja 108.000 +
+ 144.000 + 72.000 + 216.000 = 540.000 in razmerja ~6~:ggg = 5,
540 .000 = 15 540.000 = 15 540 .000 = Q nato pa iz enačbe
144 .000 4' 72 .000 2 ' 216 .000 2 '
izrazimo x = 352 in dobimo A = 5 . 352 = 1760 kg , B =
= 11 .352 = 1320 kg, C= 1; .352 = 2640 kg in D = ~ . 352 =
= 880 kg .
c) S pomočjo rezultatov nalog a in b najprej izračunamo razmerja
5 . 5 = 25, 4 · ~5 = 15, 6 . 125 = 45, 5 . ~ = 22
5, nato pa iz enačbe
25
25x + 15x + 45x + 2x = 6600
izrazimo x = 67,69230769 in dobimo A = 25 · 67,6923
= 1692,31 kg, B = 15 . 67,6923 = 1320 kg , C = 45 . 67,6923 =
= 3046,15 kg in D = 2: ·67,6923 = 846,15 kg.
d) Zapišemo enačbo
1,2x + x + (1,2x - 0,4 . 1,2x) + 1,5(1 ,2x - 0,4 . 1,2x) = 6600,
110 Tekmo vanje iz znanja poslovne matematike
izrazimo x = 1650 in dobimo A = 1,2 · 1650 = 1980 kg, B =
= 1650 kg, C = 0,72 · 1650 = 1188 kg in D = 1,08 ' 1650 =
= 1782 kg.
e) Ker dobi A = 1692,31 kg in C = 3046,15 kg, dobi poslovalnica A
3046 15 - 1692 31 01 ' •za 30 46 ,15 ' . 100 = 44,44 10 manj blaga od poslovalni ce C .
3. a) Zlat ar je dod al 17,76 - 5 - 8 = 4,76 g bakra.
b) Zap išemo enačbo
5 '916,67 + 8 . 1000 + 4,76 ' O= 17,76' x ,
izrazimo x = 708,52 in dobimo, da je bila čistina zlatega pred-
meta 24 · 708 ,52 - 17 kar atov1000 - .
c) V zlat i rudi je 5 ·0,91667 = 4,58335 g zlata, torej je zlatar porab il
8 + 4,58335 = 12,58335 g čistega zlata, za katerega je plačal
12,58335 '5000 = 62.916,75 SIT.
d) V zlati rudi je 5 - 4,58335 = 0,41665 g bakra , to rej je zlatar
porabil 4,76 + 0,41665 = 5,17665 g bakra , za katerega je plačal
5,17665 '2 = 10,35 SIT.
e) Zlatar je delal 395 minut , vrednost opravljenega dela pa je 5500 ·
. 3: 05 = 36.208,33 SIT.
f) Vrednost zla tega predmeta je 62.916,75 + 10,35 + 36.208,33 =
= 99.135,43 SIT .
4 . a) Vsega premoga je 50 It + 4 cwt = 1004 cwt, v eni vreči pa je
1 qr + 6 lb = 31 lb premoga . En a vreča premoga bo v ZDA
d 3 1·0,45·472 ·35 0 ,55 O20 USDvre na x = 1004 ' 50 ,8 .226 ,38 = , .
b) Trgovec bo prodaj al eno vrečo premoga po 0,2·1,0495 = 0,21 USD.
c) Vsega premoga je 1004 ' 50,8 = 51003,2 kg, torej je vrednost 1 kg
premoga v Angliji x = 472 . 5315000~~2 = 3,24 SIT.
d) Vsega premoga je 51003,2 kg, v eni vreči pa je 1 qr + 6 lb = 31 .
. 0,45 = 13,95 kg premoga. Ker je 51003,2 : 13,95 = 3656, 14, je
vseh vreč premoga 3656.
e) Dobiček trgovca bo 3656(0,21 - 0,20) = 36,56 USD.
2 . sk u p ina (višja stop nja zahtevnosti)
1. a) Pri takojšnjem plačilu moramo plačati 500000 . 0,98
= 490.000,00 SIT, obrest i pa so o = 490000 · 0,15 . ;605
= 6.041,10 SIT. Priporočlj ivo je najet i posojilo za takojšnje
plačilo , ker so obrest i manjše od 10.000,00 SIT. Pri plačilu v 15
dn eh moramo plačati 500000 ·0,99 = 495.000,00 SIT, obrest i pa
so o = 495000 ·0,15 · 31:5 = 3.051,37 SIT. Tudi v te m primeru je
Tekmovanje iz znanja poslovne matematike
priporočljivo naj et i posojil o za plačilo v 15 dn eh , ker so obrest i
manj še od 5.000,00 SIT.
b) Pri takojšnjem plačilu so stroški 500000 - 10000 + 6041,10 =
= 496.041,10 SIT, pri plačilu v 15 dn eh pa 500000 - 5000 +
+ 3051,37 = 498.051,37 SIT . Odločili bi se za takojšnje plačilo ,
ker je naš prihranek v tem primeru večj i .
2. Ob koncu let a 2000 smo v ban ko vložili 95.000 ,00 SIT , na začetku leta
2005 bomo dvigni li 30.000 ,00 SIT, na koncu leta 2009 bomo dvignili še
15.000,00 SIT. Banka pr vih devet let obrestuje po šest odstot ni letni
obrest ni meri , nato pa do konca obrestovalnega obdobja po sedem
ods to tni letni obrestni meri.
a) Izračunamo x = ((95000. 1,064 - 30000) . 1,065 - 15000) .1 ,076 =
= 158.107 ,55 SIT.
b) Ker je zadnjih šest let kapitalizacija polletna, je p~ = 7 %/2 =
= 3,5 % in zato bi imeli na računu x = ((95000 .1 ,064 - 30000) ·
. 1,065 - 15000) . 1,03512 = 159.196,73 SIT.
c) Na računu bi imeli x = ((95000 . 1,064 - 30000) . 1,065 - 15000) .
. W1,0772 = 158.107,55 SIT .
d ) Rezult ata sta ena ka, sa j up orab a konformne obrestne mere za-
gotavlja, da ima končna glavnica enako vrednost , kot jo ima po
pr votni , celolet ni kapi talizaciji .
3. a) Uporabimo obrazec s (p re ) = a -r . r:- / in dobimo
sr» = 120000 . 1 05 . 1,05
25
- 1 = 6.013.614 45 SIT.
, 1,05 - 1 '
b) Tokr at uporabimo obrazec s (p r e ) = a · r M . r;~~_~l, pri čemer je
r = 1 + lO6.M= 1 + 12500 ' in dobimo
1?
s (pr e ) = 120000. (1 + _5_ ) -
1200
= 6.117.610,47 SIT .
(1 _ 5_) 25 .1 2 - 1+ 1200
( 5 )121 + 1200 - 1
() n i. s (pr e) ( r _1 ) .c) Ker je S pr e = a · r . E.....=... Je r" = + 1 111 zato
r - l ' ar
lo ( s (pr e) ( r _ 1) 1)
g ar +
n=------'- -----.!-
log r
log ( 8000000 .0 ,05 + 1)
120000·1,05
-----'- ---~ = 29,29 let.
log 1,05
112 Tekmovanje iz znanja poslovne matematike
4 . a) Po form uli Gn = Go . <" izračunamo
G = G 12 ( 100 ) 2 12
n o 100 - 9 3,
= Go . 1,06045 .
( )
3
100 12
100 - 14
100
100 - 5,5
Začetna glavnica se poveča za 6,05 %.
b) Po formuli Gn = Go + o izračunamo
Go . 2 . 9 3 Go ' 3 . 14 Go ' 5 5 . 1
G« = Go+ 1200 ' + 1200 + 12~0 = Go·1,055083 .
Začetna glavnica se poveča za 5,51 %.
c) Izračunamo
fi = 100 · {11,0932 . 1,143 . 1,055 - 100 = 10,97 % p.a.
d) Velja
100 · p
'Tr = -:-:-:,---::c-
100 + p
100 '10,97
100 + 10,97 = 9,89 % p.a.
1. državno t ekmovanje
1. skupina (n ižja stopnja zahtevnosti)
1. V t iskarni so konec lanskega leta natisnili 60000 žepnih koledarjev,
dimenzije 6 cm x 3 cm . Zanje so porabili 120 kg papirja.
a) Koliko izvodov bodo lahko natisnili let os, če bodo koledarji veliki
4 cm x 4 cm, v tiskarni pa bodo imeli na voljo za 20 kg manj
papirja? Uporabili bodo tudi za 10 % tanjši papir.
b) Primerjajte število izvodov v lanskem in letošnjem letu in razliko
izrazite absolutno in relativno.
2. Po kakšnem menjalnem tečaju EUR za 1 USD je nemško podjetje
prodalo v ZDA 15 ton blaga, če je iztržilo 3.500,00 USD, cena za
1 kg v Nemčiji pa je 0,26 EUR?
a) P ri izvozu niso imeli dodatnih stroškov.
b) Od izt ržka so plačali posredniku pet odstotno provizijo, država
pa je izvoz subvencionirala s tremi odstotki od čistega izt ržka.
c) Kolikšen bo izt ržek , če izvoznik nima dodatnih stroškov, tečaj iz
točke a pa se poveča za pet odstotkov?
Tekm ovanj e iz znanja poslovne matematike 113
3. V skladu za nagrade je bilo lani 1.000 .000,00 SIT. Prva nagrad a je
bila 75 % celotnega zneska, dru ga nagrada je bila za 15.000,00 SIT
večja od t retje, četrta pa za 35 % manj ša od druge.
a) Koliko SIT so znašale posamezne nagrade?
b) Nagr adni sklad se je let os povečal za 30 %. P rva in četrta
nagrad a sta ostali enaki lanskima . Druga in t retja nagrada sta
v razmerju 5 : 3. Kolikšne so letos posamezne nagrade?
c) Kolikšne bi bile letos nagrade, če je pr vi kandidat dosegel vseh
možnih 31 točk , drugi 26 točk , naslednja dva pa sta si delila
t retje mesto s po 25 točkami . Za vsako izgubljeno točko , glede
na prvouvrščenega, se nagrada zmanjša za 70.000,00 SIT.
4 . V zdravilišču polnij o bazene s termalno vodo iz izvira, ki ima te mpe-
raturo 54° C.
a) V malem termalnem bazenu je temperatura vod e 38° C. Bazen
je dolg 7 m, širok 3 ]11 , višin a vod e je 1,5 m. Koliko navadne
vode moraj o priliti 20 m3 vode iz izvir a?
b) Kakšna mora biti v te m primeru te mperatura navadne vode?
c) Večji plavalni bazen je dvakrat daljši in za polovico širši, voda pa
je za 30 % globlja kot v malem termalnem bazenu . Izračunaj te
volumen vod e v velikem plavalnem baz enu.
d) Uprava zdravilišča je poceni la vstopnice za bazen. S tem so
pri vabili za 40 % več obiskovalcev dn evno, kot jih je bilo prej.
Tako so dnevni prihodek povečali za 15 %. Za koliko odstotkov
so znižali cene vstopnic?
2. sk u p ina (višja stop nja zahtevnost i)
1. Dolg je zapadel v plačilo 23. 11. 2002. Če bi ta dolg vrn ili 10. 9. 2002,
bi z 8,5 odstotnimi diskontnimi obrestmi vred znašal 275.174,80 SIT.
a) S kolikšnim zneskom bi ta dolg poravnali ob roku?
b) S kolikšn im zneskom bi poravnali dolg, če bi zamudili s plačilom
20 dni pri 16 odsto tni letni zamudni obrestni meri ?
c) Kd aj (navedi datum) moramo poravnati dolg, da ne bomo z
obrest mi vred plačali več kot 300.000,00 SIT?
d) Za koliko odstotkov bo plačilo pri nalo gi b večje od plačila pri
nalogi a?
1114 Tekmovanje iz znanja poslovne matematike I
2. P red šestimi leti smo v ban ko vložili 125.000,00 SIT , pred dvema
letoma smo ponovno vložili 60.000,00 SIT, čez t ri let a nam eravam o
dvigni t i 150.000 ,00 SIT. Banka obrestuje pr vih pet let po 10,84 odsto-
tni letni dekurzivni obrest ni meri , naslednjih pet let po 9,6 odstotni
letni dekurzivni obrestni meri, nato pa do konca obrestovanj a po
6 odsto tni letni dekurzivni obrestni meri.
a) Koliko lahko dvignemo čez osem let , če je kapitalizacija ves čas
letna?
b) Koliko lahko dvignemo čez osem let , če je kapi t alizacija prvih pet
let četrtletna , naslednjih pet let dvomesečna , nato pa do konca
obrestovanja mesečna? Obrest ovanj e je dekurzivno , z relativno
obrestno mero .
c) Koliko moramo še vložit i čez šest let , če želimo imeti čez osem
let 400.000,00 SIT in je kapit alizacija enaka kot pri nalogi b?
3. Mih a se je odločil za rentno varčevanje .
a) Koliko bo imel po desetih letih varčevanja , če bo vlag al na začet­
ku vsakega let a po 60.000 ,00 SIT pri 12 odstotni letni dekurzivni
obrest ni meri in letni kapi t alizaciji?
b) Koliko mor a vlagati na začetku vsakega let a desetih let pri
P = 12 % p.a. in četrt letni kapi t alizaciji , da bo privarčeval
2,000.000,00 SIT? Obrestovanje je relati vno.
c) Koliko bo privarčeval v desetih letih, če vlaga na koncu vsakega
meseca po 5.000,00 SIT pr i P = 12 % p.a. in letni kapi t alizaciji,
banka pa up orablj a mešano obrestovanje?
d) Kolikšno polletno postnumerandno rento bo lahko pr ejemal pet
let po zadnji vlogi, če je najprej vla gal deset let na začetku
vsakega let a po 60.000,00 SIT pri P = 12 % p.a., četrtletni kapi-
talizaciji in se pod enakimi pogoji obrestuje tudi rent a? Obre-
stovanje je relat ivno.
4. Glavnica 30.000,00 SIT se obrestuje tri let a po PI = 9 % p.a., nato
še pet let po P2 = 10,5 % p. a..
a) Izračunaj končno glavnico, če je kapi t alizacija mesečna in obre-
stovanje konformno.
b) Koliko časa se mora še obrestovati pri P = 11 % p.a. in mesečni
kapitalizaciji , da bo narasla na 80.000,00 SIT? Obrestovanje je
konformno.
c) Po kolikšni letni dekurzivni obrest ni meri in mesečni kapi t aliza-
ciji se mora končna glavnica iz naloge a obrest ovat i še št iri let a ,
da bo nar asla na 100.000,00 SIT? Obrestovanj e je konformno.
I Tekmovanje iz znanja poslovne matematike
Rešitve 1. državnega tekmovanja
1. skupina (nižja stopnja zahtevnosti)
1. a) Letos bodo lahko natisnili
60000 ·6 ·3 · 100 · 100 62 OO . d
x = = 5 l ZVO ov.
4 ·4 ·120 ·90
1151
b) Letos bo tiskarna natisnila 62500 - 60000 = 2500 izvodov žepnih
koled arjev več kot lani oziroma za x = 2~~~'~go = 4,17 % izvodov
žepnih koledarj ev več kot lani.
2. a) Menjalni tečaj je bil
x = 15 . 1000 . 0,26 = 1 11 EUR/USD .
3500 '
b) V tem primeru je tečaj
x = 15· 1000 . 0,26 . 95 . 103 = 1 09 EUR/USD .
100 . 3500 . 100 '
e) Izt ržek bo
x = 15000 . 0,26 = 3.333 33 USD .
1,114285714 · 1,05 '
3. a) Če označimo z x vr ednost druge nagrade, potem dobimo enačbo
0,75 '1000000 + x + x - 15000 + 0,65' x = 1000000,
iz kat ere izrazimo x = 100000. Torej je bila prva nagrada
750.000,00 SIT, druga nagrada 100.000,00 SIT, tretja nagrada
85.000,00 SIT in četrta nagrada 65.000,00 SIT.
b) Nagradni sklad je letos 1,3 ·1000000 = 1.300.000,00 SIT, zato
je znesek za drugo in tretjo na grado enak 1300000 - 750000 -
- 65000 = 485.000,00 SIT. Ker sta druga in tretja nagrada v
raz merju 5 : 3, iz enačbe 5 · x +3 ·x = 485000 izrazimo x = 60625
in dobimo, da je druga nagrada 5 · x = 303.125,00 SIT in tretj a
nagrada 3 . x = 181.875 ,00 SIT.
e) Če označimo z x znesek prve nagr ade, potem dobimo enačbo
x + x - 5 . 70000 + x - 6 . 70000 + x - 6 . 70000 = 1300000 ,
iz katere izrazimo x = 622500 . Torej bi bila prva nagrada
622.500,00 SIT, druga nagr ad a 272.500,00 SIT, t retja nagr ada
202.500,00 SIT in četrta nagrad a 202.500,00 SIT.
1116 Tekmovanje iz znanja poslovne matematike I
4. a) P rostornina vode v bazenu je V = 7 . 3 . 1,5 = 31,5 m", torej
moraj o prili ti x = 31,5 - 20 = 11,5 m3 vode.
b) Zapišemo enačbo
20 ·54 + 11,5 . x = 31,5 . 38
in dobimo , da mora biti temperatura navadne vode x = 10,17° C.
c) P rostornina vode v velikem plavalnem bazenu je
V = 7· 2 ·1,5· 1,3 ·1 ,5 · 3 = 122,85 m3 .
d) Označimo dnevn i pr ihodek s P, število obiskovalcev z o, ceno
vstopnice z v , spremembo cene pa z x. Potem je bil prihodek
pred spremembo P = o · V , po spremembi pa
1,15' P = 1,4 ' o . x . v .
Sledi, da je x = \ ,145 = 0,82, torej so se cene vstopnic znižale za
18 %. '
2. skupina (višj a stopnja zahtevnost i)
1. a) Označimo vrednost predčasno odplačanega dolga z G- =
= 275174,80, število dni pred rokom z dl = 74 in obresti s PI =
= 8,5. Iz obrazca G- = G · (1 - 3~~~O ) nato izrazimo vrednost
dolga ob roku
G- 275174,80
G = d = 8 5 74 = 280.000,00 SIT.
1 - 3~~OO 1 - 36~OO
b) Označimo zamudne obresti s P = 16 in število dni zamude z
d2 = 20. Znesek dolga z zamudnimi obrestmi je potem
G+ = G· (1 + ~~~o) = 280000 · (1 + ~~~~~) = 282.454,80 SIT.
c) Označimo znesek obrest i z o = 300000 - 280000 = 20000. Iz
obrazca o = f~f~~ izrazimo število dni in dobimo
d = 20000·36500 = 162 dn i .
280000 ·16
Upoštevamo šte vilo dni po mesecih :
N D J
7 31 31
F M
28 31
A M
30 4
in ugot ovimo, da moram o dolg poravnati 4. 5. 2003.
Tekmovanje iz znanj a poslovne matematike 117
cl) Število bo večj e za
x = (282454,80 - 280000) . 100 = O88 rc .
280000 ,o
2. a) Čez osem let lahko dvignemo
G 14 = 125000 · 1,10845 . 1,0965 . 1,064+
+ 60000 .1 ,1084 .1,0965 .1 ,064 - 150000 .1 ,096.1 ,064 =
= 417511,8731 + 132777,3508 - 207551,2122 =
= 342.738,01 SIT .
b) V te m primeru lahko dvignemo čez osem let
G14 = 125000.1 ,027120 .1 ,01630 .1 ,00548+
+ 60000 . 1,02714 . 1,01630 . 1,00548-
- 150000 · 1,0166 . 1,00548 =
= 436462,3635 + 136579,1388 - 209616,0202 =
= 363.425,48 SIT.
c) Ker je 363425,4821 + x . 1,00524 = 400000, moramo vložit i še
x = 400000 - 363425,4821 = 32.448 39 SIT.
1,00524 '
3. a) Po desetih letih varčevanja bo imel
s~~) = ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + ar 5 + ar 6 + ar 7 + ar8 + ar g+ ar 10 =
= ar (r lO - 1) = 60000 . 1,12 . (1 ,12
10
- 1) =
r - 1 1,12 - 1
= 1,179.275 ,00 SIT.
b) Iz obrazca
izrazimo a in dobimo, da mor a vlagati
2000000
( )
= 98.595,10 SIT .
1 034 1,034 ° - 1
, 1,034 - 1
1 118 . Tekmovanje iz znanj a poslovne matematike
c) V enem let u bo vložil v ban ko
o.· p · 1 o.·p ·2 o.·p · ll
A = o. + 1200 + a.+ 1200 + ...+ o. + 1200
= o. (12 + ~~~~) = 5000 (12 + 1~2'0~6) = 63.300,00 SIT.
V desetih let ih bo privarčeval
S~~ ) = A + Ar + Ar2 + ...+ Ar9 = A (1' 10 - 1) =
1' - 1
(
1 1210 _ 1)
= 63300 ~ , 12 _ 1 = 1,110.834,93 SIT .
d) Zapišemo enakost
0.1'24 + o.r2S + ...+ 0.1'56 + 0.1'60 = b + br 2 + .. .+ br 16 + brI S ,
torej je
(
1'40 - 1) (1' 20 - 1)
0.1'24 --- = b - - -
1'4 - 1 1'2 - 1
in zato
60000 . 1 0324 . 1.03 4 ° _1
, 1,03 4 -1
1,032 ° -1
1,032 - 1
4 . a) Najprej izračunamo 1'1 = !.ij1,09= 1,007207329 in 1'2 = !.ij1,105 =
= 1,008355156. Končna glavnica je
Gs = Go . d6 . rgo= 30000 . 1,00720732936 . 1,00835515660 =
= 64.004,75 SIT.
b) Najprej izračunamo r = '~1 , 11 = 1,008734594. Iz obrazca
Go . r 12n = Gn nato izrazimo n in dobimo, da se mora obresto-
vati še
n = log Gn -log Go = log 80000 - log 64004,75434 = 2,14 let .
12 · log r 12 · log 1,008734594
c) Obrestna mera mora biti
P = 100· ( n{G::no - 1) = 100· (4 100000 - 1) = Il 80 o/c .VC;; 64004,75434' o
I Tekmo vanje srednješolcev Slovenije
MATEMATIČNO TEKMOVANJE
SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE
Izbirno tekm ovanje
P rv i letnik
1. Poišči vsa naravna števila, za katera velja: Če številu pri št ejemo vsoto
njegovih števk, dobimo 313.
2. Naj bo 111 razpolovišče stranice B C in N razpolovišče stra nice CD
pr avokotnika ABCD. Določi razmerje dolžin st ra nic pr avokotnika
ABCD, če je AMN pravokot ni trikotnik s hipotenuzo AM .
3 . Na j bo a2 + c2 = 2b2 za pozit ivn a števila a, b in c. Dokaži, da velja
2 1 1
- - = --+--.
a+ c a +b b + c '
4. Babi ca je razrezala okrog lo pico na šest
enakostraničnih trikotnikov in šest kro žnih
odse kov, kot pr ikazuje slika. Vsak izmed
šestih vnukov je po jedel en t rikot nik. Ker
vnuki ne marajo robov, je krožne odseke pice
pojedel pes Muri. Kd o je poj edel več pice,
en vnuk ali Muri?
(Uporabit i smeš , da je ~6 < 11" < 272.)
5. Na j bosta a in b nar avni števili , večj i od 1, za kateri velja Jaja-/ii =
= b. Katera je najmanjša možna vrednost vsote a + b?
D rugi letnik
1. Naj bo a + b + c = O. Dokaži, da velja a3 + b3 + c3 = 3abc.
2. V par alelogramu ABCD označimo zaporedoma z A l , Bl in Dl raz-
polovišča stranic B C , CD in AB. Daljici DDI in BBI sekata AAI
v točkah M in N . Dokaži, daje IMNI = ~IAAII.
3. Dan je trapez z osnovnicam a AB in CD, ki merit a zaporedoma 5 cm
in 1 cm . Na j bosta M in N t akšni točki na AD in B C, da je daljica
M N vzporedna z osnovnico AB, ploščina štir ikotnika ABN M pa je
dvakrat večja od ploščine št irikot nika CDMN. Koliko centimet rov
meri dalj ica M N ?
1
log100! 2003 '
1120 Tekmovanje srednješolcev Slovenije I
4. Barbara je na predzadnjem testu v šolskem letu dosegla 98 točk in
tako zvišala povprečje do takrat doseženih točk za eno točko. Na
zadnjem testu je doseg la 70 točk in znižala novo povprečje za dve
točki . Koliko testov je pisala v celem šolskem letu?
5. Kolikšen ostanek dobimo, ko število 20022001 delimo z 2003? Odgovor
utemelji .
Tretji letnik
1. Za pozitivni realni števili x in y velja
2 log(x - 2y) = log x + log y.
Koliko je ~ ?
y
2. Na j bosta p in q taki praštevili, da sta tudi p + q in p - q praštevili .
Dokaži, da je p2 - q praštevilo.
3. Naj bo D razpolovišče tistega loka AB trikotniku ABC očrtane krož-
nice, na katerem ne leži točka C. Izrazi dolžino dalj ice AD z dolžinami
a = IBCI, b = lACI in c = lAB I.
4. Na eno polje tabele velikosti 5 x 5 smo postavili žeton, ostala po lja
pa smo brez prekrivanja pokrili z dominami velikosti 3 x 1.
Določi vse možne položaje žetona.
5. Poišči vsa realna števila x in y, ki zadoščajo enačbi
(x + y)2 = (x + 3)(y - 3) .
Četrti letnik
1. Dokaži, da je
1 1 1::---,-,...,- + + ...+ ::---..,....,....,...,.
log2 2003 log3 2003 log100 2003
kjer je 100! = 1 . 2 . 3 · . · 99 . 100.
2. Dan je paralelogram ABCD, v katerem je stranica AB daljša od
stranice AD. Na premici AB naj bo X takšna točka, ki ne leži med
Ain B, da je lADI = IBXI . Simetrala kota <r:BAD seka premici CD
in BC v točkah E in F. Dokaži, daje IEXI= IFXI .
I Tekmovanje srednješolcev Slovenije
3. Po išči vsa taka naravna števi la n , da dobimo pri deljenju šte vila 2003
z nostanek 7.
4. Poišči vse možnosti , kako lahko število 2003 zapišemo kot vsoto vsaj
dveh zapored nih naravnih števil.
5. Po išči vse rešitve siste ma enačb
x 2 + y2 = 25 in
x + y + xy = 19.
R eši tve nalog z izbirnega tekmovanja
C
b
AJ
IJ
A 2a B
1/1. Iskana števila so t rimestna. Pišimo: n = 100a + lOb + c. Tedaj
velja 100a + l Ob + c + a + b + c = 313 oziroma lOla + llb + 2c = 313.
Premisliti moramo o dveh možn ih vrednostih števke a, in sicer 2 in 30
Izberimo najprej a = 20 Tedaj je llb + 2c = 111, kar je možno le, če
izberemo b = 9 in c = 6. Eno od iskanih šte vil je 296.
Po glejmo še možnost a = 3. Tedaj je llb + 2c = 10, kar pomeni , da je
b = Oin c = 50 Drugo število s to las t nostjo je 305 0
1/2. 1. način Pišimo lABI =
= 2a in IBGI = 2b. Ker je kot
<r. ANM = i pravi , je « D NA +
+ <r.MNC = i . Sledi <r.CMN =
= i - <r.NM C = <r.DNA o Torej
sta si pravokotna t rikot nika AND
in N M C podobna, od koder sledi
lADI : ID NI = INCI : ICMI
oziroma ~ = %. Sledi a2 = 2b2
m
a:b = v2:l.
20način Označimo še lA NI = x , INMI = y , lAMI = z: Po Pi t agorovem
izreku je x2 = a2 + 4 b2 , y 2 = a2 + b2 , z 2 = 4 a2 + b2 in z 2 = x 2 + y2. Če
izraza za x 2 in y 2 iz prve in druge enačbe upoštevamo v četrti , dobimo
Z2 = 2a2 + 5b2 o Na to izenačimo desni strani tretj e in dobljene enačbe .
Poenostavimo in dobimo a2 = 2b2 , t orej je a : b = v'2 : 1.
122 Tekmovanje srednješolcev Slovenij e I
1/3. Iz 2b2 = a2 + e2 sledi 2b2+2ab+2be+2ae = a2+ e2 +2ab+2be+2ae,
kar lahko razstavimo v 2(0.+ b)(b+ e) = (o. + e)2+ 2b(a + e) = (o. + e)(a +
2b ) 'T' . . 2 - a+b+b+c - lIk . b'l b+ + e . ioreJ Je a+ c - (a+ b)( b+c) - a+b + b+ c ' ot Je iln potre no
do kazati.
1/4. Denimo, da im a pica polmer r, Enakostranični trikot nik im a
ploščino r 2 ':( , krožni odsek pa i7fr2 - r2 ':( . Muri je pojede l vseh šest
krožnih odsekov , skupaj torej r 2 (7f - 31 ). Torej je t reba prime rjati ':(
in tt - 31. Dokažim o, da je Muri pojedel več, ker je 7f - 31 > ':(
oziroma 7f > ':( + 31 = 7':(. Res, če uporabimo spodnji približek i~
za 7f , vid imo, da velja 7f2 > ig~ > 4i~3 , saj je 961 . 16 = 15376 > 14700 =
= 100 · 49 ·3, torej 7f2 > e f )2.
1/5. Iz JaJay'a = b po vr sti dobimo aJay'a = b2 , a3y'a = b4 in
o.7 = v, To pomeni , da je šte vilo o. osma potenca, šte vilo b pa sedma
potenca naravnega št evil a, večjega od 1. Ker iščemo najmanjšo možno
vsoto števil a in b, vzamem o o. = 28 in b = 27 . Tedaj je o. + b = 256 +
+ 128 = 384 .
11/1. 1. način Ker je e = - o. - b, velja 0.3 + b3 + e3 = 0.3 + b3 - (o. +
+ b)3 = -3a2b - 3ab2 = - 3ab(a + b) = 3abe.
2. način Najprej se spomnimo, da velja (A + B)3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB2 +
+B3 = A3+ B 3+ 3A B(A + B). Torej je O= (a + b+e)3 = (a + b)3+ e3 +
+ 3(0.+ b)e(a + b+ e) = (o. + b)3+ e3 , saj je o. + b+ e = O. Če up ošt evamo
še (o. + b)3 = 0.3 + b3 + 3ab(a + b) = 0.3 + b3 + 3ab(- e), dobimo želeno
enakost 0.3 + b3 + e3 = 3abe.
11/2. Ker sta dalji ci
DDI in BB I vzpore dni in je
lADI J = ID I BI , je lAMI =
= IMNI · Narišimo še vzpo-
rednico k Bl B skozi C in
označimo njeno presečišče s
pr emi co AB z E . Naj bo A E
F presečišče premi ce AA I
s premico CE. Potem je IBEI = IDIB I = lADli, zato je INFI = IMNI =
= lAMI. Trikotnika BAIN in CAIF sta skladna , zato je IAINI = lAlF I.
Torej je IAINI = ~IMNI in IAAII = ~IMN I , od koder dobimo IMNI =
= ~ IAA I I ·
Tekmovanje srednješolcev Slovenije 1231
D 1 C
v - h
x
h
5 B
M~ -+-----'l
A(x +5) . h = 2x + 1 . (v - h)2 2 '
(X~5) .h + x t 1 ' (v-h)= 1t 5 V .
11/3. Označimo dolžino M N
z x , višino trap eza ABCD z v in
višino t rap eza ABN lVI s h . Potem
je SABNM = (x~5) . h in SC DMN =
= xt1 ·(v - h ). Ker velja S ABNM =
= 2SC DMN in SABNM + SCDMN =
SABCD, dobimo enačbi
Iz prve izr azimo h = 3xx~\ . 2v in vstavimo v drugo. Dobljeno enačbo
lahko delimo z v in kr aj ši račun pokaže, da je x 2 = 9 oziroma x = 3.
Torej dalj ica M N meri 3 cm .
11/4. Denimo, da je Barbara pred zadnjima dvema t estoma pisala ti
t estov in je im ela povprečje tri točk. Ted aj velja
m
n · m+98
----=m+1
n +1
n . m + 98 + 70 = tri + 1 _ 2 = m _ 1.
n +2
(1)
(2)
Iz prve enačbe dobimo n ·m +98 = n ·m+n +m+1 ozir oma m +n = 97,
iz druge pa n . m + 168 = ti . m - ri + 2m - 2 oziroma 2m - ti = 170 .
Tako pridemo do 3m = 267 oziro ma tri = 89 t er ti = 8. To pomeni , da je
Barbara v celem šolskem letu pisala deset t estov.
11/5. 1. način Če da število a ostanek 2002 pri deljenju z 2003, potem
je a = 2003 ·a' +2002 za neko celo število a' . Zmnožek 2002 ·a da ostanek 1
pri de ljenju z 2003, ker je
2002 · a = 2003 · 2002· a' + 2002 2 = 2003 . (200 2 · a' + 2001) + 1 .
Če da število bost anek 1 pri deljenju z 2003, potem je b = 2003 . b' + 1 za
neko celo število b'. Zmnožek 2002 . b da ostanek 2002 pri deljenju z 2003,
ker je
2002 . b = 2003 . 2002 . b' + 2002 .
Od t od sklepamo, da poten ce števila 2002 izmenično daj o ostanka 2002
in 1 pri deljenju z 2003. P oten ca 200 2200 1 ima lih ekspone nt, zato da
ostanek 2002 pri deljenju z 2003 .
Tekmo vanje srednj ešolcev Slovenij e I
2. način Pi šimo a = 2003. Ko razstavimo (a - 1)2001, so deljivi z a vsi
členi razen (_ 1)2001 = - 1. Ta člen ima ostanek 2002 pri deljenju z 2003.
Torej je ostanek 2002.
3. način Gornji sklep lahko zapišemo s kongruencami: iz 2002 ==
== - 1 (mod 2003) sledi 20022001 == (_ 1)2001 == - 1 == 2002 (mod 2003).
111/1. Da bi bil log(x - 2y) definiran , mora veljati x > 2y . Enačbo
lah ko zapišemo kot log(x - 2y) 2 = log(xy) , od koder sledi (x - 2y )2 = x y
oziroma (x - 4y)(x - y ) = O. Zaradi pogoj a , ki mu morat a zadoščati x in
y, rešit ev x = y ni možna, zato je x = 4y oziroma ~ = 4.
111/2. Če st a p in q lihi števili, je p + q > 2 sodo. Torej mora biti
vsaj eno od šte vil p in q sodo. Ker je p > q, je tako q = 2. Med pr aštevili
p, p - 2 in p + 2 je natanko eno deljivo s 3, zato je enako 3. Torej je lahko
le p = 5 in je p2 - q = 23 res praštevilo.
111/3. Kota <r..ACD in <r.. DCB
sta kota nad enako dolgima tetivama ,
zato sta skladna in je CD simet rala
kota <r..ACB = "(. Torej je <r..DCB =
= ~ in zato <r.. D AB = ~ . Označimo z
E razpolovišče st ranice AB . Tedaj je
IAEI = ~ in zato
IAD I- - C- - C
- 2 cos š - ')J1+COS 1
2 ~ 2
C
D
111/4. Ob arvajmo polja ta-
bele s t remi barvami na dva na-
čina. Ker vsaka izmed domin
velikost i 3 x 1 prekrije po eno
polje vsake barve , morajo bit i
št evila pokri t ih polj vsake barve
enaka. Ker imamo na vsaki sliki
devet sivih polj D in po osem polj drugih dveh bar v, mora bit i žeton
v obeh tabelah na enem izmed sivih polj. Edino polje, ki je pri obeh
I Tekmovanje srednješolcev Slovenije
barvanjih sivo, je središčno polj e tabele. Tekmovalec se bo sam prepričal ,
da je ostala polja t ab ele velikosti 5 x 5 res možno prekriti z dominami
velikosti 3 x 1.
111/5. Ko enač bo poenostavimo , dobimo x 2 + x (y + 3) + (y2 - 3y +
+ 9) = O. Da bi ta kvadratna enačba imela kakšno realno rešitev, mora
biti njena diskriminanta D = (y + 3)2 - 4(y2 - 3y + 9) = - 3(y - 3)2
nenegativn a. Torej je lahko le y = 3, kar nam da x = -3. Prvotni enačbi
zadoščata le realni šte vili x = - 3 in y = 3.
IV/1. Spomnimo se, da velja loga x = l~ ~ . Izračunamo :
1
loglOO! 2003 .
1 1 ln 2 ln 100,--_,----- + oo . + = __ + oo. + _ _ =
log22003 logIOO2003 ln 2003 . ln 2003
ln 2 + ln 3 + . .. + ln 100
ln 2003
In (100!)
ln 2003
IV/2. Označimo kot <r.BAD z 2a. Potem je kot <r. B AE = a in
tudi kot <r.CEF = a . V t rikot niku ABF je kot <r. A B F = 'Tr - 2a, zato
je <r.B F A = a in je ABF ena kokrak. Potem je t udi E CF ena kokra k.
Nar išimo premico skozi C in X te r označimo presečišče s simet ralo z
Y . Ker je t rikot nik X B C enakokrak in je kot « X B C enak 2a , je kot
<r.BCX = ~ - o . Potem je t udi <r. F CY = ~ - a in zato je <r.CY F = ~.
Videli smo že, da je trikotnik E CF enakokra k, zato je IEYI = IYFI in
t udi IEXI = IFXI·
F
A X
IV/3. Ker mora dati št evilo 2003 pr i deljenj u z n ostanek 7, je n > 7,
št evi lo 2003 - 7 = 1996 pa mora bit i deljivo z n . Iz pr aštevilskega razcepa
1996 = 22 . 499 vidimo, da je lahko n = 499, n = 2 . 499 = 998 ali
n = 22 . 499 = 1996.
126 Tekmovanje srednješolcev Slovenij e I
IV/4.2003 = n+(n+1 )+ . .+ m = m(n;+l} _ (n~I}n = m 2 +m;n2+n =
_ (m-n )( m + n }+m+n _ (m-n+ I }(m+n) 'T' . . 4006 - ( _ +1 )( + )
- 2 - 2 . i oreJ Je - m n m n.
Ker je 1 < m - n + 1 < m + n (prva neenakost velja, ker je v vsoti več kot
eno št evilo) in ker je 2003 praštevilo, je edina možnost m - n + 1 = 2 in
m+n = 2003, zato je n = 1001 in m = 1002. Število 2003 lahko zapišemo
le kot vsoto dveh zap orednih nar avnih šte vil, t .j . 2003 = 1001 + 1002.
IV/5. Drugo enačbo pomnožimo z 2 in pri štejemo pr vi, dobimo
x 2 + y2 + 2x + 2y + 2xy = 25 + 2 · 19 ,
preoblikujemo v (x + y )2 + 2(x + y) = 63 ter razstavimo (x + y - 7)(x +
+ y + 9) = O. Če je x + y = 7, iz druge enačbe sledi x y = 12. Iz teh enačb
dobimo kvadratna enačbo za x , ki se lepo razst avi na (x - 3)(x - 4) = O.
Dobimo rešitvi x = 3, y = 4 in x = 4, y = 3. Pri x + y = - 9 sledi x y = 28
in kvad ratna enačba za x , ki jo izpeljemo , t.j . x 2+9x + 28, ima negativno
disk riminanto , zato drugih rešit ev ni .
Državno tekmovanje
Prvi letnik
1. Dano je prašt evilo p. Poišči vsa naravna števila x in y, ki zadoščajo
enačbi p . (x - 5) = x . y .
2. Metka stoji 60 m vzhodno in 80 m južno od kraj a, kjer stoji Tine.
Ob a sta enako oddaljena od lipe v mestnem parku, ki je naravn ost
vzhodno od kraja, kjer je T ine. Sočasno se vsak s svojega kraj a
odpravita naravno st prot i lipi. Koliko metrov poti bo vsak izmed
njiju prehodil do skupnega srečanja pod lipo?
3. Dana je krožnica k s preme rom AB. Na njej izberemo točko iVI, ki
ne sovpada ne z A in ne z B. Naj bo kI krožnica, ki ima središče
v M in se dotika premera AB. Dokaži, da sta tangent a iz točke A in
tangenta iz točke B na krožnico kI vzporedni.
4. Krt je izkop al podzemne sobe in jih povezal z rovi tako, da iz vsake
sobe vodijo natanko trij e rovi v tri različne sobe. Rovi se med seboj
ne sekajo. Med poljubnimi tremi sobam i vedno obstajat a dve, ki
nist a povezani z rovam. Dokaži, da je krt izkopal vsaj šest sob. Ali
je možno , da je kr t izkopal natanko šest sob?
I Tekmo vanje srednješolcev Slovenije
D rugi let nik
1. Za ulomek !ft , kjer sta m in nnaravni števili, velja ! < !ft < 1.
Če števcu prištejemo naravno število, imenovalec pa s te m številom
pomnožimo, se vr ednost ulomka ne spreme ni. Poišči vse take ulomke
!!!
n
2. Vsota in zmnožek dveh ulomkov sta celi števili. Eden izm ed ulomkov
ima imenovalec 2003. Dokaži, da sta tudi ob a ulomka celi števili.
3. Naj točka X leži na simetrali daljice AB in ne na premici AB. Naj
bo C po ljubna točka v notranjosti daljice AB. Dokaži, da imata
t r ikotn ikoma AC X in C B X očrtani krožni ci enaka p olm era ne glede
na izb iro točke C .
4. V jami pod Krimom spi grozna p ošast . Ko postane lačna , se zbud i in
po žre toliko ovc, kolikor je vsota šte vk t istega let a . Potem sp et zaspi
za toliko let , kolikor ovc je pojedla , Vemo, da se je zbudila 12. aprila
let a 354. Ali je pošast lahko pred vr ati?
Tretji letnik
1. Naj za polinom p(x ) s celimi koeficienti velja p(3) = 2. Ali je šte vilo
p(2003) lahko popolni kvadra t ?
2. Naj bo X presečišče diagon al konveksnega št irikotnika ABC D . Do-
kaži, da se trikotnikoma AB X in CD X očrtani kr ožni ci dotikat a
natanko te daj, ko je AB IIC D.
3. Na voljo imamo šest raz ličnih bar v in veliko kock. Posamezn o kocko
pob ar vamo z vse mi šestimi barvami, in sicer vsako mejn o ploskev
z eno barvo. Največ koliko kock lahko pobarvamo, če naj bo vsaka
izm ed njih drugače pobarvana? (Če lahko eno izmed pob arvanih kock
zasučemo t ako, da so barve mejnih ploskev enako razp orejen e kot na
drugi kocki, sta kocki enako pob arvani.)
4. V jami pod Krimom spi grozna pošast . Ko postane lačna , se zbudi in
po žre to liko ovc, kolikor je vsota števk t istega let a . Potem sp et zaspi
za to liko let , kolikor ovc je pojed ia . Vemo, da se je zbudila 12. aprila
let a 666. Ali je pošast lahko pred vr ati? Ali se bo lahko zbudila let a
3003?
Tekmovanje srednješolcev Slovenije I
Četrti letnik
1. Dano je aritmetično zaporedje al, a2, a3 ,. . . Označimo z S i vsoto
prvih i členov tega zaporedja, z Sj vsoto prvih j členov in z Sk vsoto
prvih k členov . Dokaži, da vrednost izraza
S.i (j _ k) + Sj (k - i) + Skk (i _ j)
~ J
ni odvisna niti od izbire števil i, j in k niti od zaporedja.
2. V letalu, ki ima 62 vrst s šestimi sedeži v vsaki vrsti , so se potniki
posedli tako, da v nobenih dveh vrstah niso zasedeni sedeži na istih
mestih. Največ koliko potnikov je lahko v let alu?
3. Naj bo D razpolovišče hipotenuze AB pravokotnega trikotnika ABC.
Označimo z Ol in O2 središči trikotnikoma ADC in DBC očrtanih
krožnic . Dokaži, da je AB tangenta na krožnico s premerom 0 102 .
4. Maček iz sosednje vasi hodi v Butale dražit vaške pse. Vsak večer,
ko že vsi spijo, se prikrade v Butale, na ves glas zamijavka, nato pa
jo ucvre nazaj domov. Ko maček zamijavka, zalajajo vsi psi , ki so od
njega oddaljeni do 90 m. Ker so Butale majhna vas , sta vsaka dva
psa v vas i med seboj oddaljena do 100 m . Ali se lahko maček postavi
tako, da nanj zalajajo vsi vaški ps i hkrat i?
R ešit ve nalog z državnega t ekmovanja
1/1. Ker je p praštevilo, ločimo dve možnosti: p de li x ali pa y .
Oglejmo si najprej možnost , ko p deli x . Tedaj lahko zapišemo x = px'
(x' je pozitivno število) in tako dobimo px' - 5 = x'y, kar zapišemo kot
x'(p - y) = 5. Potem je x' = 1 in y = p - 5 ali x' = 5 in y = p - 1. Toda
x = p in y = p - 5 je reš it ev le takrat , ko je p > 5, x = 5p in y = p - 1 pa
pri vsakem p.
Poglejmo še primer, ko p deli y . Tedaj je y = py' in tako x - 5 = xy'
oziroma x( l - y') = 5. Ta enačba nima rešitev, saj sta x in y' pozitivni
števili .
1/2. Ker sta Metka in Tine enako odda-
ljena od lipe, velja 60 + x = V80 2 + x 2 . Če
obe strani enačbe kvadriramo in nato enačbo
medimo, dobimo 120x = 2800, od tod pa
izrazimo x = 73° m. Vsak izmed njiju bo do
srečanja prehodil 83-! m .
T 60 x L
80U SO' +X'
lVI
Tekmovanje srednješolcev Slovenije
P
Jo;
1/3. Krožnic a kI se do-
tika prem era AB v točki P ,
tangente iz A v točki N in tan-
gente iz B v točki Q. Triko-
tnika AMN in AMP st a skla-
dna , saj sta pravokotna t er
im at a skupno hipotenuzo AM
in skladni kateti M N in M P .
Torej st a kota « N M A in
<r ANI P skladna. Po enakem A iJ"==-------------'''''---<>--""''''''-<1
razmisleku sta skladna tudi :B
kota <r P M B in <r B M Q. Po
Talesovem izreku je <r AM B = <r AM P+ <rPM B pravi kot , od koder sled i,
da je <rN M Q iztegnjeni kot <rN M Q = <r N M A + <rAMP + <rPMB +
+ <rB M Q = 2(<rAMP + <rP M B ) = 2 · <r AM B. Torej je NQ prem er
krožn ice kI , t angenti AN in BQ pa st a vzporedni , saj st a nanj pravokotni.
1/4. Izberimo eno sobo. Iz nje vodijo
trije rov i v tri nove sob e, iz vsake od nji h
pa vodita še dva rova, kot kaže prva slika
na desni . Če bi povezali dva nezaključena
rova na tej sliki, bi dobili tri sobe , ki so
paroma povezane. Torej obstajata vsaj še
dve sob i. Dokazal i smo, daje sob vsaj šest.
Druga slika na desni pa potrjuje, da jih je lahko natanko šest.
11/1. Iz ~ = n.:,~k izr azimo m = k~l. Ker je m naravno št evilo ,
mora biti k = 2, t ako da je tudi tri = 2. Zaradi ~ < ~ < 1 mora biti
2 6 V ' šit 2 2 · 2< ti < . se mo zne resi ve so "3' 4: in "5 .
11/2 . Naj bosta ulomka 2;03 in ~, pri čemer smemo predpostaviti ,
da je ulom ek 1'. okrajšan. Če zapišemo
q
in _ T_. E = b
2003 q ,
sta a in b celi št evi li. Izrazimo
q . T + 2003 . p = 2003 . q . a, T . p = 2003 . q . b.
Iz prve enačbe razberemo, da 2003 deli T ali q, ker je 2003 praštevi lo . Če
2003 deli T, potem je 2;03 celo št evilo in prav t ako ~ , saj je ~ = a - 2;03.
Obravnavajmo še primer, ko 2003 ne deli T . Tedaj 2003 de li p zaradi
Tekmovanje srednješolcev Slovenije I
: B
x .···· ·· · ···· .
A
dr uge enačbe , zaradi prve ena č be pa deli tudi q. To je nemogoče , ker smo
predpostavili, da je ~ okrajšan ulomek. Torej primer , ko 2003 ne deli T ,
sploh ni možen.
11/3. Ker leži točka X
na simet rali daljice AB , je
IAX! = IB XI in je zato
<l:CAX = «x B C . To-
rej sta enaka tudi središčna
kota <l:COl X = <l:X 0 2C.
Trikotnika X OlC in C0 2X
sta enakokraka, z osnovn ico
X C in enakima kotoma pri
vrhovih Ol in O2 . Torej sta
skladna in je zat o 10 1CI =
= 102C I·
A ..~:.---- --+-- - - - """' .B
saj Je OlBX enakokraki t riko-
tnik z vrhom Ol in 0 2DX ena-
kokraki t rikot nik z vrhom O2 .
Torej je o = {J natanko te-
daj, koje <l: Ol X B = <l:0 2X D .
Iz konstrukcije pa vidimo, da je <l:O l X B = <l:02XD natanko te da j, ko so
točke Ol , X in O2 kolinearne. Ta pogoj pa je ekvivalent en pogoju, da se
krožnici s polmeroma OlX in 0 2X v točki X dotikat a.
11/4. Ker je število 354 deljivo s 3, je tudi vsot a njegovih štev k in
zato št evilo požrtih ovc deljivo s 3. Tudi vsako naslednj e let o, ko se pošast
zbudi, je to rej deljivo s 3. Pošast se leta 2003 ne more zbud it i, saj 2003
ni deljivo s 3; to rej tudi danes, 12. aprila 2003, ne more biti pred vrati .
111/1. Ker ima polinom p cele koeficiente, x - y deli p(x) - p(y) .
Potem je p(2003) - p(3) = (2003 - 3)k in p(2003) = 2000k + 2. Torej da
p(2003) pri deljenju s 4 ostanek 2 in ne more biti popolni kvadrat.
111/2. Označimo <l: B AX =
= o in <l:D CX = {J. Potem je
<l: B Ol X = 20 in <l: D 0 2X = 2{J ,
od koder izračunamo
Tekmovanje srednješolcev Slovenije
111/3 . Denimo, da imamo na voljo rdečo , mo dro, zeleno , ru meno ,
oranžno in belo barvo. Kocke post avimo tako, da imaj o spo dnjo mejno
ploskev pobarvano z belo barvo . Za zgornjo ploskev imamo na voljo katero
koli izmed preostalih petih barv .
Sedaj se vprašamo, koliko kock ima lahko zgornjo ploskev pobarvan o z
neko izbran o barvo (denimo oranžno) . Te kocke post avimo tako, da imajo
nepobarvano prednjo, zadnjo, levo in desno mejno ploskev. Z ru meno
barvo pobarvamo zad njo mejno ploskev posamezne kocke. Vsako izmed
teh kock namreč lahko zavrt imo tako, da ima zadnjo ploskev rumeno, ne
da bi pri tem spremenili barvo zgornj e in spo dnje ploskve. Preostale tri
mejne ploskve lahko pobarvamo na šest načinov (npr . tri barve imamo na
voljo za desno mejno ploskev in dve barvi za sprednjo mejno ploskev) .
Vseh možnosti je to rej 5 . 6 = 30. Pobarvamo lahko največ 30 kock, če
želimo, da bo vsaka izmed njih drugače pobarvan a .
111/ 4 . Ker je št evilo 666 deljivo z 9, je tudi vsot a njegovih števk in
zato število požrtih ovc deljivo z 9. Tudi vsako naslednj e leto, ko se pošast
zbudi, je to rej deljivo z 9. Pošast se ne more zbudit i ne leta 2003 ne leta
3003.
IV /1. Vsota pr vih i členov zap oredja je Si = al + a2 + a 3 + .. .+
+ a i = al + (a l + d) + (a l + 2d) + ... + (al + (i - l )d) = i · a l + (i~l)i . d
in podobno Sj = j . al + (j ~l )j . d t er Sk = k . al + (k~l)k . d. Vst avimo
i .al + (i - I)i · d j ·al + (j - I)j · dv izraz in izračunamo i 2 (j - k) + j 2 (k - i) +
( k'-I) k
+ k .al+~. d (i - j ) = a l (j -k+k- i+i- j )+ ~((i - l)(j -k)+ (j -1 )(k-
-i) +(k - l)(i - j )) = ~(ij - ik- j + k +jk - j i - k + i + ki-kj - i+ j ) = O.
IV / 2. Ker je v vsaki vrsti šest sedežev , imam o 26 = 64 različnih
možnosti posedanj a potnikov v posamezni vrst i. Ker lahko za vsakega
izmed 64 načinov posedanj a najdemo njemu komplementarnega (t .j. ta-
kega , ki ima zasedene natanko tiste sedeže , ki so v dani vrsti nezasedeni ) ,
lahko iz 32 komplement arnih parov sestavimo 32 polno zasedenih vrst.
Torej bi bilo v letalu s 64 vrst am i 6 ·32 = 192 potnikov. Ker pa ima naše
let alo le 62 vrst , izpusti mo najmanj zasedeni vrsti: pr azno vrst o in vrsto
z enim potnikom . V let alu z 62 vrstami je lahko največ 192 - 1 = 191
potnikov.
132 Tekmovanje srednješolcev Slov enije
· ··D .. .,: B
k
2
.
A
IV/3. Označimo s k kro žnico,
ki se dot ika st ranice AB v D in
na kateri leži točka C . Naj bo O
središče krožnice k . Potem so točke
O, 01 in O2 kolinearne , saj ležijo
na simet rali daljice CD . Označimo
<r.BAC = 0:. Potem je središčni
kot <r. DOl C kro žnice k enak 20: .
Ker je trikotnik ADC enakokrak,
je <r. B DC = 20:, zato po izreku o
kotu med tetivo DC in tangento
AB kr ožnice k točka 01 leži na tej
kro žnici. Podobno tudi točka O2
leži na krožn ici k. Dokazali smo
že, da so točke O , 01 in O2 kolin earne, zato je 0 102 res premer krožnice
k .
IV/ 4. Maček se lahko postavi tako, da
nanj zala jajo vsi psi hkrati .
Naj bosta A in B psa , ki sta med seboj
najbolj oddaljena. Področje na sliki je presek
krogov s središčema v A in B in polmerom
lABI . Izven tega območja ni nobenega
psa. Če se maček postavi v točko M , ki je
razpolovišče daljice AB, so vsi psi od njega
oddaljeni za največ {} . lABI < 50 . J3 <
< 90 m .
B
A
Izbirna testa za mednarodno matematičnoolimpiado
Prvi izbirni test
1. Dokaži, da za vsako naravno št evilo n obstaj a število kn z naslednjo
lastnostjo : Če v ravnini narišemo kn točk, tako da nob ene t ri niso
kolinearne, in daljice med njimi pobarvamo z n barvami , bomo za-
gotovo lahko našli tri , ki bodo tvorile trikotnik z en ako obarvanimi
stranicami.
2. Naj bo D poljubna točka na kateti AC pr avokotnega trikotnika ABC
s pravim kotom pri C. Krožnici, ki se dotikata premice AB v točkah
Ain B, se sekata v točkah D in E. Dokaži, da je <r.BAC = <r.DEC.
I Tekmovanje srednješolcev Slovenije
3. Naj bo B končna neprazna množica naravnih števil , večjih od 1, z
lastnostjo : Za vsako naravno št evilo n obstaja tako šte vilo s E B, da
je D(s ,n) = 1 ali pa D(s ,n) = s.
Dokaži, da obstajata taki , ne nujno različni , št evili s , t EB, da je
D(s , t ) prašt evilo.
Drugi izbirni test
1. Naj bo p(x) = x n +al x n- I +...+an-I x + 1 polinom z nenegativnimi
realnimi koeficienti in n realnimi ničlami. Dokaži , da velja
za vse x ::::: o.
2. Krožnici kI in k2 se sekata v različnih točkah P in Q. Skupna
tangenta krožnic kI in k2 , ki leži bliže P, se dotika krožnice kI v
točki A , krožni ce k2 pa v točki B . Tangenta na krožnico kI v točki P
seka kro žnico k2 p onovno v točki C, premici AP in BC pa se sekata
v R. Dokaži, da se trikotniku PQR očrtana krožni ca dotika premic
BP in BR.
3. Žeton položimo na polj e (1 ,1) v mreži IN x IN in ga nato premikamo
v skladu z nasl ednjimi pravili:
• S polja (a , b) lahko žeton premaknemo na (2a, b) ali (a ,2b).
• S polja (a , b) lahko žeton premaknemo na (a - b, b), če je a > b.
• S polj a (a , b) lahko žeton prem aknemo na (a , b - aj , če je b > a.
Za katera naravna šte vila x in y lahko žet on premaknemo na polj e
(x, y)?
Rešitve nalog z izbirnih testov za mednarodno
matematičnoolimpiado
1/1. Naloge se lotimo induktivno. Za n = 1 trditev očitno velj a (za
kn lahko izb erem o denimo št evilo 3) . P a recimo, da smo našli število k n ,
ki ustreza trditvi za n . Trdimo, da je pot em primerna izbira za kn +I
št evilo (n + l)(kn - 1) + 2: če je v ravnini danih (n + l)(kn - 1) + 2
točk , izb eremo poljubno izmed njih in si ogled amo dalji ce od te točke
do preostalih (n + l)(kn - 1) + 1 točk. Na volj o im amo n + 1 barv in
(n + 1) (kn - 1) + 1 dalji c, torej jih je po Dirichletovem principu vsaj
(kn - 1) + 1 = kn pobarvanih z enako barvo, denimo modro. Oglejmo
si dalji ce, ki povezuj ejo končne točke t eh kn modro pobarvanih daljic.
1134 Tekmo vanje srednješolcev Slovenije I
Če je med njimi ena, ki je pobarvana mo dro , ta skupaj z daljicam a do
pr votne točke sestavlja t rikotnik, ki ima vse st ranice modre. Sicer imam o
kn točk , daljice med njimi pa so pobarvane z n barvami . Po indukcijski
predpostavki lahko med njimi najdemo t ri daljice, ki so pobarva ne z ena ko
bar vo in ki tvorijo t rikot nik.
Opomba. Nalogo lahko rešimo tudi s pomočjo Ramseyevega izreka , ki
pravi:
Naj bodo n E lN in m l , m2, .. . , m n poljubna naravna števi le: Potem
obsta ja tako najmanjše število r = r(ml, m2 , . . . , m n ) , da v vsakem pol-
nem grafu K r, kat erega povezave so obarvane z n barvami, obstaja barva
i in poln podgraf izomorfen grafu K rni obarvan s to barvo.
Glede na oznake v nalogi lah ko post avimo kn = r(3 , 3, . . . , 3).
1/2. Označimo z G
presečišče premic AB in 1C
2
DE. Po izreku o potenci
točke~ krožnico~l je
GA . GA = GD . GE , po IC I
izreku o potenci toč~G
na krožnico lC21?a je GB ·
. GB = GD · GE . Torej je
GA· GA = GB· GB , kar
nam da IGAl = IGBI . To-
rej je G središče trikotniku
ABC očrtane krožnice in A
<fGAC = <fACG.
Označimo z E' drugo presečišče trikot niku AGC očrtane krožnice s pre-
mico GD . Tedaj je <fAE'G = <fACG = <fGA D = <fAEG, kjer velja
zadnja enakost zar adi izreka o kotu med tetivo AD in tangento AB. Torej
je E = E' in je št irikot nik AGCE tetiven . Sledi <fDEC = <fGEC =
= <fGAC = <fB AC, kot je bilo potrebno dokazati .
1/3. Naj bo n najmanj še naravno število, ki ni tuje nobenemu številu
iz množice S . (Tako število res obstaj a: Produkt vseh števil iz množice S
ni tuje nobenemu št evilu iz S, saj 1 (j. S.)
V pr aštevilskem razcepu št evila n nastopa vsako prašt evilo le v prvi
potenci, sa j bi v nasprotnem n ne bilo najmanjše število z opisano lastno-
st jo.
Tekmovanj e srednješolcev Slovenij e
Ker šte vilo n ni tuje noben emu številu iz množice S, po predpostav ki
naloge obst aja tak s E S, da je D(s , n) = s. Torej sin.
Naj bo p poljuben praš t evilski delitelj štev ila s. Torej p I n in po izbiri
štev ila n je število nlp t uje nekemu številu t E S. Ker je D(t ,nlp) = 1 in
D(t, n) > 1, mora pit.
Ker pa število t ni deljivo z nobenim drugim prašt evil sk im deliteljem
šte vila n (ker t ista praš t evila delijo nlp), je D(s , t) = p.
11/1. Ker ima polin om pnen egati vne realne koeficien te in p(O) = 1,
so vse njegove ničle negativne. Ker jih im a n , ga lahko razcepimo na
naslednj i način:
kjer so X l, . . . ,Xn pozit ivn a realna števila . Zapišimo Vietove formule:
a l = X l + ...+ X n
a2 = X I X2 + X IX3 + ...+ Xn-I X n
an-l = Xl· · ' X n - l + .. .+ X 2· · , X n
Iz p(O ) = 1 sled i, da je X I X 2 . . . X n = 1. Z večkratno upor abo neen akosti
med ari tmetično in geometrično sredino dobimo
(;V xn - l xn - l = 1l . .. n
a n -l > (n,:J !xn- 1 x n - 1 = 1
( n ) - 'VI .. · nn - l
Označimo sedaj q(x ) = L:~=o G )x k . Ker so istoležni koeficien t i polinoma
p večji od koeficientov polinoma q, res velja p(x) .2: q(x) za vse X .2: O.
11/2 . Narišimo dovolj veliko skico . Označimo presečišče premic AB
in pe z X .
Tekmovanje srednješolcev Slovenije
.-.... ... --- - .........-
A l i i
I
I
I
I,,,,,,,
I
1
1
•
" h:\
\
\
\ ,,,, ,
'-
Po izreku o kotu med tetivo in tangento je -s. P AX = <tP QA in
<tX B P = <tB QP . Točke Q,C, B , P so konciklične , zato je tudi <tBCP =
= <tB QP. Ker sta X A in X P tangenti na krožnico kI , je « P AX =
= «x PA. Tor ej je <tCP R = -sX PA = -sP AX.
Ker je
<tB RA = <tRCP + <tCP R = <tB QP + <tP AX = <tB QP + <tPQA =
= <tP QA,
so B ,R ,Q , A konciklične. Torej je <tRAB = <tRQB , kar nam da <tRP B =
<tRQP in je zato po izreku o kotu med tetivo in t angento premica P B res
tangenta na trikotniku PRQ očrtano kro žnico k. Ker je <tB RP = <tRP B ,
je t udi BR t angenta na krožnico k.
11/3. Potreben in zado sten pogoj je, da je d(x , y) = 28 za neko
pozitivno število s . Da je potreben , sledi iz d(p,q ) = d(p,q - p), torej
na nobenem koraku koordinat i ne moreta imeti lihega skupnega delitelja,
ker je na začetku d(l, 1) = 1. Da je zadoste n, dokažimo takole: Naj bo
d(x , y) = 28 • Izmed polj (p,q), iz kat erih lahko dosežemo (x,y) , izberimo
tako, da bo p + q najmanj ši. Ne p ne q ne mor eta biti soda, sicer bi
lahko prišli tudi na polj e (p/2 , q) ali (p, q/2). Če je p > q, je polj e (p, q)
dosegljivo iz ((p + q)/2, q), kar pa je protislovje; podobno ne more biti
p < q. Torej je p = q. Ampak d(p, q) je potenca števila 2. Ker st a p in q
liha, je p = q = 1, torej lahko na polje (x, y) pridemo iz (1,1 ).
NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA
ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in
računalništva. Poleg člankov obj avlja pri kaze novih knji g s teh področij in poročila
z osnovnošo lskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prisp evki
naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih razredov
osnovn ih šol in srednješolcem .
Članek naj vsebuje nas lov, ime avtorja (oz. av to rjev) in sedež institucije, kjer
avtor(j i) dela (jo). Slike in tabele, ki naj bod o oštevilčene , morajo imeti dovolj iz-
črpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedil a . Avtorji člankov , ki
želijo objavit i slike iz drugih virov, si moraj o za to sami priskrbeti dovoljenj e (co-
pyright ). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt , razmak med vrs t icami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljit e odgovorni ur ednici na naslov uredništva DMFA- založ-
ništvo, Uredništvo r evije PRESEK, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na na-
slov elekt ronske pošt e Presek@dmfa. si. Vsak članek se pr aviloma poš lje vsaj
enemu anonimnemu recenzentu, ki oceni primern ost članka za objavo. Če je pr i-
spevek sprejet v objavo in če je besed ilo napisano z računalnikom , potem ur ednica
prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od
standardnih razli čic ur ejevalnikov TEX oziroma 17\TEX, kar bo olajš alo ur edniški
postopek.
PRESEK
list za mlade mat ema t ike , fizike , astroname in računalnikarje
3 1. le tnik, š o ls ko le to 20 03 / 04, štev ilka 2 , strani 65- 136
UREDNIŠKI ODBOR : Vladimir Ba t agelj, Tan ja Bečan (jezikovni pregled ) , Mirko Dob ovišek
(glavni ur ednik) , Vi lko Domajnko, Darjo Felda (tekmo vanja), Bo jan Go lli , Marjan Hr ibar ,
Bošt j an Jaklič (tehnični ur ed nik) , Marj an J erman (matemat ika ) , Mar tin Juvan (računalni­
štvo), Maja Klavžar (odgovorn a ur ednica ), Damjan Kob al , Andrej Likar (fizika), Matija Lokar ,
Franci Oblak , Primož Potočnik (novice) , Marij an P rosen (astro nomija), Marko Razp et , Marija
Ven celj , Matjaž Ven celj .
Dopisi in naročnine : DMFA- zal ožni štvo , Presek , J adranska ul ica 19, 1001 Ljubljana , p .p .2964,
tel. (01) 476 6-553 , (01) 4232 -460, telefaks (01) 2517-28 1. Naročnina za šolsko leto 2003 /2004
je za posamezn e naročnike 3.600 SIT (posamezno naroči lo velja do prek lica) , za sku pinska
naročila učencev šol 3.000 SIT, posamezna številka 900 S I T , tem at ska številka 1.650 SIT ,
stara štev ilka 650 S I T , letna naročnina za t uji no 25 E UR.
Transakcijski račun : 03100-1000018 787.
Devizn a nakazila : SKB banka d .d . Ljublj ana , Ajdovščina 4, Ljubljana , SW IFT: SKBAS I2X ,
IB AN: SI56 0310 0100 0018 787 .
List sofinancira Ministrstvo za šolst vo , znanost in šport
Za ložilo DMFA - za ložni štvo
Tisk: DELO Tiskarn a , Lj ubljana
© 200 3 Društvo mat em at ikov , fizikov in astronomov Slovenij e - 1553
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana