i
i
“4-2-Repovs-Naloga” — 2010/5/10 — 10:47 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 4 (1976/1977)
Številka 2
Strani 98–99
Dušan Repovš:
NALOGA O ŠAHOVSKI DESKI
Ključne besede: tekmovanja, naloge, matematika, rekreacijska mate-
matika, teorija števil.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/4/4-2-Repovs.pdf
c© 1976 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NALOGE~---
NALOGA O šAHOVS KI OES KI *
Razdelimo šahovsko des ko razsežno sti 8x8 na p pravokot ni kov,
ki nimajo s kupni h notranj ih to čk in se pri tem držimo nasled-
njih pravil:
a) vsak pra vokotnik j e sestavljen iz določenega š t evi l a polj,
in sicer ima enako š t evi l o be lih in črnih;
b) č e je a
i
število be l i h polj v i - t em pravokotniku, potem je
a l < a 2 < .• • < ap
P o i š či največ ji p, pri katerem je ta ka razs tavitev še mogoča .
Zanj po išči vse mogoče končne skupine takih šte vil a l ' a 2 ' .. .
... , ap '
Reš itev :
> > >Iz pogojev na loge sledi, da je a l = 1, a 2 = 2 , ... , ap = p ,
za to je vsota a l + a 2 + + ap ~ 1 + 2 + .. . + P = p (p +l ) / 2 .
Vemo pa, da je a l + a 2 + + ap = 32 , saj ima des ka 64 polj.
Odtod dobimo pogoj za število p
p(p+l)/2 ~ 32
ki nam pove, da mora biti p ~ 7.
Vse možne razstavit ve števi la 32 na vsoto sedmih različnih šte -
vil so: 32 1+2+3+4+5+6+11 ( 1)
32 1+2+3+5+6+7+8 (2)
32 1+2+3+4+5+7+10 (3)
32 1+2+3+4+5+8+9 (4)
32 1+2+3+4+6+7+9 ( 5)
Na na š i desk i ni moč na jti pravokotnika, ki bi obsegal na tanko
22 pol j , za to razstavi tev (1) ni možna. Vs e os t a l e štiri raz-
sta vitve pa so možne in na s l ik a h 1-4 si l ah ko ogledate primer
za vsako (na sli ki 1 primer za razstavitev (2), na sliki 2 za
(3), itd.) .
--
98
S J . 1
S l. 3
NALOGE
S I . 2
S l . 4
Duš an Re pov š
~
"16 . mednarodna matematiana oUmpiada srednješol.cev , Erfurt, NDR , 1974
99