Maja Duh1, Andraž Stožer2 Goldman-Hodgkin-Katzev model membranskega potenciala in njegova primerjava z ohmskim modelom membranskega potenciala The Goldman-Hodgkin-Katz Model of Membrane Potential and Its Comparison With the Ohmic Model of Membrane Potential IZvLEČEK KLJUČNE BESEDE: mirovni membranski potencial, Goldman-Hodgkin-Katzev model, Nernst-Planckova enačba Kadar je celična membrana prepustna za več vrst ionov, za določitev toka posameznega iona in mirovnega membranskega potenciala obstaja več pristopov. Eden izmed njih je preprost linearni ohmski model, ki predvideva linearno odvisnost med tokom in mem- branskim potencialom ter je konceptualno preprost in univerzalen. Vendar eksperimen- talni podatki kažejo, da odnos med tokom in membranskim potencialom pogosto ni linearen. V tem članku zahtevnejšim bralcem predstavljamo drugi, kompleksnejši nelinearni oz. t. i. Goldman-Hodgkin-Katzev model za tok in membranski potencial, ki izhaja iz Nernst- Planckove enačbe za difuzijo ionov pod vplivom različnih polj. Enačbo, ki izraža odvisnost toka od membranskega potenciala v tem modelu, imenujemo Goldman-Hodgkin-Katzeva enačba za tok in predstavlja ekvivalent Ohmovemu zakonu v primeru preprostejšega ohm- skega modela. Enačbo, ki predstavlja vrednost membranskega potenciala v odvisnosti od koncentracij posameznih ionov in prepustnosti membrane, pa imenujemo Goldman- Hodgkin-Katzeva enačba za membranski potencial. Medtem ko sta enačbi za tok vsake- ga od modelov zelo različni, pa sta si enačbi za membranski potencial na prvi pogled precej podobni, kar predstavlja potencialen vir napak in težav pri razumevanju, še posebej zato, ker tudi najboljši učbeniki tipično obravnavajo samo enega od modelov, brez izpeljave in predstavitve razlik. Zato v zadnjem delu članka kvantitativno grafično primerjamo rezul- tate, ki jih podajata oba modela za tok in za membranski potencial v odvisnosti od kon- centracij ionov in prevodnosti oz. prepustnosti membrane za ione. 1 Asist. dr. Maja Duh, mag. fiz., Inštitut za fiziologijo, Medicinska fakulteta, Univerza v Mariboru, Taborska ulica 8, 2000 Maribor; Oddelek za fiziko, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Univerza v Mariboru, Koroška cesta 160, 2000 Maribor; Univerza Alma Mater Europaea, Slovenska ulica 17, 2000 Maribor; maja.duh3@gmail.com 2 Prof. dr. Andraž Stožer, dr. med., Inštitut za fiziologijo, Medicinska fakulteta, Univerza v Mariboru, Taborska ulica 8, 2000 Maribor 431Med Razgl. 2025; 64 (4): 431–44 • doi: 10.61300/mr640404 • Pregledni članek mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 431 abSTracT KEY WORDS: resting membrane potential, Goldman-Hodgkin-Katz model, Nernst-Planck equation When the cell membrane is permeable to several ion species, there are different approaches to determining the current carried by each ion and the resting membrane potential. One of these approaches is the simple linear ohmic model, which assumes a linear relationship between current and membrane potential and is conceptually straight- forward and widely applicable. However, experimental data show that the relationship between current and membrane potential is often not linear. In this article, we present a second, more complex nonlinear model of membrane potential called the Goldman- Hodgkin-Katz model, which is derived from the Nernst-Planck equation for ion diffusion under the influence of various external fields. The equation for current as a function of membrane potential in this model is called the Goldman-Hodgkin-Katz current equation and is analogous to Ohm's law in the simpler ohmic model. Similarly, the equation for the membrane potential as a function of ion concentrations and permeabilities is called the Goldman-Hodgkin-Katz voltage equation. While the current equations differ sub- stantially between the two models, the equations for membrane potential are very sim- ilar, which is a potential source of errors and confusion. This is further complicated by the fact that even the best textbooks typically present only one of the two models, with- out derivation from basic principles or a presentation of the differences between them. Therefore, in the final part of the article, we quantitatively and graphically compare the results that the two models yield for ionic currents and membrane potential as functions of ion concentrations and membrane conductances or permeabilities. je odnos med tokom in napetostjo za posa- mezen ion linearen. Model je zelo upora- ben, ker je konceptualno preprost in univerzalen. Uporabimo ga lahko za vse ione, za katere je membrana prepustna, ne glede na njihovo valenco (1). Rezultati elektrofizioloških poskusov kažejo, da odnos med tokom in napetostjo ni linearen. Zato bomo v tem prispevku predstavili še t. i. Goldman-Hodgkin-Katzev model, ki predvideva nelinearen odnos med tokom in napetostjo. Model je mate- matično precej zahtevnejši od prejšnjega, k sreči pa še vedno ni prezahteven za raven matematičnega znanja tipičnega bralca tega prispevka. Med mnogimi različnimi nelinearnimi modeli smo Goldman-Hodgkin- Katzev model izbrali zato, ker bolje od ohmskega razloži določene vidike dogaja- 432 Maja Duh, Andraž Stožer Goldman-Hodgkin-Katzev model membranskega potenciala in njegova … UvOD V prvem delu članka Nernstov potencial in ohmski model za membranski potencial smo opredelili in izpeljali izraz za izračun Nernstovega potenciala, ki je enak mem- branskemu potencialu v primeru, da je celična membrana prepustna za samo eno vrsto ionov (1). V drugem delu tega pri- spevka pa smo spoznali preprost model za razlago nastanka in vrednosti membran- skega potenciala v primeru, ko je membrana prepustna za več vrst ionov. Ta model temelji na predpostavki, da se ioni obnašajo kot elektroni v analognem elektronskem vezju, v katerem predstavimo celično mem- brano kot kondenzator, prevodnosti za posamezne ione pa kot upornike oz. pre- vodnike. Ta preprost ohmski model upo- števa Ohmov zakon in zato predvideva, da mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 432 nja v električno vzdražnih celicah in ker je med vsemi nelinearnimi modeli najpre- prostejši. Glavna motivacija za podrobnej- šo predstavitev tega modela je dejstvo, da mnogi fiziološki učbeniki navajajo bodisi preprostejši ohmski model bodisi zahtev- nejši Goldman-Hodgkin-Katzev model, ven- dar žal vedno brez predstavitve osnovnih predpostavk izbranega modela, brez izpe- ljave in brez primerjave z drugimi modeli (2–7). Ravno slednja pomanjkljivost pa sku- paj s podobnostjo enačb enega in drugega modela otežuje razlikovanje med Goldman- Hodgkin-Katzevim in preprostejšim ohm- skim modelom ter razumevanje glavnih prednosti in pomanjkljivosti vsakega od modelov. V tem prispevku bomo v prvem delu izpeljali Goldman-Hodgkin-Katzevi enačbi za tok določenega iona in mem- branski potencial v primeru prepustnosti celične membrane za več ionov. V drugem delu bomo na kvantitativen grafičen način predstavili razlike med obema modeloma v oceni toka in membranskega potenciala. GOLDmaN-HODGKIN-KaTZEv mODEL Preden po korakih izpeljemo Goldman- Hodgkin-Katzevi enačbi za tok in mem- branski potencial, izpostavimo, da mora vsaka modelna enačba za tok (tako ohm- ska kot Goldman-Hodgkin-Katzeva, pa tudi vsaka druga) zadostiti pogoju, da je tok določenega iona enak nič, kadar je vrednost membranskega potenciala enaka Nernstovemu potencialu tega iona. Prav tako mora enačba, ki izraža odvisnost mem- branskega potenciala od koncentracije posa- meznih ionov, dati za rezultat Nernstov potencial določenega iona, če je membra- na prepustna samo za ta ion. Enačbo za Nernstov potencial smo namreč izpeljali neposredno iz osnovnih termodinamskih zakonov in zato ne more biti odvisna od vrste izbranega modela. Zapomnimo si ti dve zahtevi, saj ju bomo kasneje uporabili za preverjanje ustreznosti dobljenih enačb. Pri tem velja poudariti, da pogoj, da je vsota vseh tokov skozi membrano enaka nič, v splošnem ne drži. Med akcijskim poten- cialom ali v elektrofizioloških poskusih, kjer membranski potencial namerno vsilimo (npr. pri depolarizaciji ali hiperpolarizaci- ji), skozi membrano teče neto tok. V nada- ljevanju bomo obravnavali poseben primer stacionarnega stanja, ko se membranski potencial s časom ne spreminja in je vsota vseh ionskih tokov enaka nič. Ta predpo- stavka omogoča izpeljavo izraza za miro- vni membranski potencial, ki je cilj naše- ga prispevka. Gostota toka določenih ionov (j) v smeri x s področja z določeno koncentracijo (in posledično določeno kemično potencialno energijo) teh ionov ter določenim elektri- čnim potencialom na področje z drugačno koncentracijo (in drugačno kemično poten- cialno energijo) teh ionov ter drugačnim električnim potencialom na najbolj splošen način opisuje t. i. Nernst-Planckova enač- ba (enačba 1). V enačbi je Nernstov člen prvi, Planckov pa drugi. (1) Pri tem so D difuzijska konstanta, c kon- centracija in z valenca danega iona. φ pred- stavlja električni potencial, e osnovni naboj (e = 1,6 · 10−19 As), k Boltzmanovo število (k = 1,38 · 10–23 JK–1) in T temperaturo sistema. Prvi člen na desni strani enačbe predstavlja prispevek k skupni gostoti toka j zaradi koncentracijskega gradienta , drugi člen pa prispevek zaradi gradienta električnega potenciala . Negativna pred- znaka označujeta dejstvo, da je tok pozi- tivnih ionov usmerjen v smeri nižje kon- centracije in nižjega električnega potenciala. Ta oblika enačbe 1 predvideva gradient kon- centracije in potenciala samo v eni smeri, v tem primeru v smeri osi x. To je za gra- dienta koncentracije in potenciala prek celične membrane dober približek. V pri- meru, da je tok ionov enak nič (j = 0), lahko 433Med Razgl. 2025; 64 (4): mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 433 (5). Tukaj cEC predstavlja koncentracijo ionov v zunajceličnem prostoru in cIC koncentra- cijo ionov v znotrajceličnem prostoru. Razmerje med difuzijsko konstanto danega iona (D) in debelino membrane (l) je enako prepustnosti membrane za ta ion (P, izražena v ms–1), kot je prikazano v enačbi 6: (6). Za boljše razlikovanje Goldman-Hodgkin- Katzevega modela od ohmskega modela je ključno poudariti, da prepustnost (P, izra- žena v ms–1), ki nastopa v tem modelu, in prevodnost (p, izražena v enoti siemens (S)), ki nastopa v ohmskem modelu, ne pred- stavljata iste fizikalne količine (1). Prepu- stnost (P) meri hitrost difuzije ionov čez membrano in je sorazmerna z gostoto toka, medtem ko je prevodnost (p) del analognega električnega modela, kjer nastopa kot obrat- na vrednost upornosti ionov ter določa razmerje med tokom in potencialno razli- ko (Ohmov zakon). Če v enačbi 5 upošte- vamo enačbo 6, dobimo razmerje med gostoto električnega toka, prepustnostjo membrane za ta ion (ne prevodnostjo), membranskim potencialom in koncentra- cijo iona na obeh straneh membrane, znano tudi kot Goldman-Hodgkin-Katzeva enač- ba za tok (enačba 7): (7). Preden nadaljujemo, preverimo, ali ta enač- ba zadosti pogoju, da mora biti membran- ski potencial enak Nernstovemu potencialu, ko je tok ionov enak nič. V tem primeru (enačba 8) mora biti števec na desni stra- ni enačbe enak nič, torej: (8). 434 Maja Duh, Andraž Stožer Goldman-Hodgkin-Katzev model membranskega potenciala in njegova … enačbo 1 preoblikujemo v enačbo za Nernstov potencial. Za osvežitev spomina smo enač- bo za Nernstov potencial določene vrste ionov izpeljali v dodatku i. V nadaljevanju bomo enačbo 1 upora- bili za izpeljavo enačb za tok in membran- ski potencial v primeru, ko je membrana prepustna za več različnih ionov. Izpeljava bo veliko lažja, če predpostavimo, da je elek- trično polje prek celične membrane kon- stantno. Ta predpostavka je za vse nadaljnje korake tako ključna, da se v literaturi ime- nuje približek za primer konstantnega elek- tričnega polja (8, 9). Če je električno polje prek celične membrane konstantno, (napetost (MP) prek debeline celične membrane (l)), potem velja enačba 2: (2). Če to upoštevamo v enačbi 1, dobimo enač- bo 3: (3). Pri tem je j gostota toka množine delcev (mol m–2 s–1). Da bi dobili gostoto elektri- čnega toka (i), moramo obe strani enač- be 3 pomnožiti z valenco (z), osnovnim nabojem (e) in Avogadrovim številom (NA = 6,02 × 10 23 mol–1). Na levi strani enačbe simbol j po tem množenju nado- mestimo s simbolom i, ki označuje elek- trični tok na enoto površine (A m–2), in dobimo enačbo 4: (4). Za izpeljavo enačbe, ki izraža električni tok v odvisnosti od koncentracij ionov na obeh straneh celične membrane, moramo enač- bo integrirati. Izpeljavo do končnega rezul- tata najdejo najzahtevnejši bralci v dodat- ku ii. Za bolj tekoče nadaljevanje na tem mestu preskočimo na enačbo 5, ki pred- stavlja rezultat integriranja: mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 434 V naslednjem koraku (enačba 9) izpostavi- mo eksponentno funkcijo: (9) in enačbo logaritmiramo (enačba 10): (10). Za membranski potencial po izpostavitvi dobimo enačbo 11: (11), kar je enačba za Nernstov potencial. Tako lahko zaključimo, da je Goldman-Hodgkin- Katzeva enačba za tok združljiva z zahtevo, postavljeno v uvodu – tok določenega iona je enak nič, kadar je vrednost membranske- ga potenciala enaka Nernstovemu potencialu tega iona. Glavna prednost Goldman- Hodgkin-Katzeve enačbe v primerjavi z ohm- sko je, da predvideva, da tudi ob konstan- tnih prepustnostih odnos med tokom in membranskim potencialom ni linearen, kar je bližje resničnemu stanju kot v pri- meru preprostejše ohmske enačbe. V nadaljevanju bomo enačbo 7 upora- bili za izpeljavo enačbe, ki ponazarja odvis- nost mirovnega membranskega potenciala od koncentracije ionov in prepustnosti. To bomo storili na podoben način, kot smo v primeru ohmskega modela uporabili Ohmov zakon za zvezo med tokom in nape- tostjo (1). Z drugimi besedami, ponovno bomo izhajali iz predpostavke, da je v sta- cionarnem stanju vsota tokov vseh ionov, za katere je membrana prepustna, enaka nič. Če vsota tokov ionov ni enaka nič, se namreč vrednost membranskega po- tenciala spreminja (npr. med akcijskim potencialom ali elektrotoničnim širjenjem depolarizacije). Zelo pomembna omejitev Goldman-Hodgkin-Katzevega modela je, da bo dobljena enačba (enačba 12) za odnos med membranskim potencialom in kon- centracijami posameznih ionov razmeroma preprosta le, če bomo upoštevali izključno enovalentne ione, to so ioni Na+, K+ in Cl–: (12). V izrazu za vsoto tokov je členom (za posa- mezne ione) veliko parametrov v števcu skupnih (MP, e, NA in tudi z po absolutni vrednosti) in jih lahko izpostavimo. Prav tako pa je vsem skupen tudi imenovalec (glej enačbo 7). Ker so izpostavljeni faktorji v imenovalcu konstante, različne od nič, mora veljati, da je seštevek enačb 7 za posamezne ione K+, Na+ in Cl– enak nič, da bi vsota tokov bila nič (enačba 13): (13). Namesto oznake c za zapis koncentracij ionov smo uporabili oznako [ ]. S tem se iz- ognemo dvojnemu indeksiranju in bralcu olajšamo sledenje. Nadalje velja enačba 14: (14), kjer smo upoštevali, da so vsi ioni enova- lentni (zK = 1, zNa = 1 in zCl = –1). Če obe stra- ni delimo z izrazom (PK∙[K]IC + PNa ∙ [Na]IC + PCl ∙ [Cl]EC) in enačbo logaritmiramo, dobi- mo enačbo 15: (15). Od tod pa za membranski potencial sledi mnogim bralcem po obliki poznana Goldman-Hodgkin-Katzeva enačba za mem- branski potencial (enačba 16): (16). Ker je enačbo 16 mogoče izpeljati do takšne oblike samo za enovalentne ione, z njeno pomočjo ni mogoče upoštevati prispevka 435Med Razgl. 2025; 64 (4): mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 435 brane za ion y, izražena na enoto površine membrane (S/m2). Poudariti pa je treba, da se v elektrofiziološki literaturi pogosto uporablja nekoliko drugačna konvencija, pri kateri prevodnost ni izražena na enoto površine, temveč na enoto kapacitivnosti. Glavni razlog za to je, da se v elektrofizio- loških meritvah z metodami, kot je metoda vpete krpice membrane (angl. patch-clamp), neposredno ocenjuje kapacitivnost in ne površina membrane. Za biološke membra- ne pa obstaja neposredna povezava med površino in kapacitivnostjo – specifična kapa- citivnost znaša za praktično vse tipe celic pri- bližno 1µF/cm2 (kar ustreza 0,01F/m2). To pomeni, da lahko iz kapacitivnosti vedno izračunamo površino in obratno, kar upra- vičuje takšno obliko izraza. Če s cm označi- mo specifično kapacitivnost v enoti F/m2, velja zveza, prikazana z enačbo 19: (19). Specifična prevodnost se torej lahko izra- zi tudi v enoti nS/pF. V nadaljevanju bomo uporabili slednjo konvencijo, v kate- ri so upoštevane vrednosti in ter in (10–12). Za koncentra- cije ionov upoštevamo vrednosti, ki smo jih uporabljali že v prejšnjem prispevku, in ter in (1). Na podlagi teh vrednosti dobimo Nernstova potenciala (enačba 11): NK = –89 mV in NNa = 71 mV. Odvisnost toka od membran- skega potenciala in od modela je prikaza- na na sliki 1A za K+ ter na sliki 1B za Na+. Slika 1C prikazuje razliko v toku med modeloma v odvisnosti od membranskega potenciala, medtem ko slika 1D prikazuje izsek slike 1C, tako da je razlika med toko- voma za Na+ bolj razločna. 436 Maja Duh, Andraž Stožer Goldman-Hodgkin-Katzev model membranskega potenciala in njegova … v mnogih primerih zelo pomembnih dvo- valentnih ionov, npr. Ca2+ in Mg2+. Izpeljava enačbe, ki vključuje tudi dvovalentne ione Ca2+ in izvira iz enakih predpostavk, je precej zahtevnejša. Najzahtevnejši bralci jo najdejo v dodatku iii. PrImErJava GOLDmaN- -HODGKIN-KaTZEvEGa IN OHmSKEGa mODELa V prejšnjem poglavju smo izpeljali Goldman- -Hodgkin-Katzeva izraza za električni tok iona v odvisnosti od koncentracij (enačba 7) in membranskega potenciala in za vrednost membranskega potenciala v odvisnosti od koncentracij in prepustnosti membrane za ione (enačba 16). V tem poglavju bomo vrednosti, ki jih podajata Goldman-Hodgkin- Katzeva izraza, primerjali z vrednostmi, dobljenimi s preprostejšimi ohmskimi enač- bami. Ohmski izraz za tok smo spoznali v prispevku Nernstov potencial in ohmski model membranskega potenciala (1). Tukaj ga ponovno zapišimo v obliki, ki vsebuje specifično prevodnost membrane za ion y, gy, ki predstavlja prevodnost na enoto povr- šine membrane (enačba 17): (17). Pri tem je Ny Nernstov ravnotežni poten- cial za ion y (enačba 11). Ta oblika enačbe podaja vrednosti električnega toka, ki so pri- merljive z vrednostmi, dobljenimi po Goldman-Hodgkin-Katzevi enačbi. Za večjo preglednost na tem mestu še enkrat napi- šimo tudi analogno Goldman-Hodgkin- -Katzevo enačbo za gostoto električnega toka (enačba 7, enačba 18): (18). Za kvantitativno primerjavo obeh pristopov k izračunu toka bomo grafično prikazali tok Na+ in K+ kot funkcijo membranskega poten- ciala v razponu od –100 mV do +100 mV. V enačbi 17 je gy specifična prevodnost mem- mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 436 Na sliki 1 vidimo, da je odnos med tokom in membranskim potencialom za ohmski model linearen, za Goldman- Hodgkin-Katzev model pa nelinearen. Prav tako vidimo, da je tok za oba modela enak nič, ko je membranski potencial enak Nernstovemu potencialu (NK = –89 mV in NNa = 71 mV). Absolutna razlika med vred- nostmi, ki jih predvidevata modela, je za Na+ na celotnem področju vrednosti mem- branskega potenciala majhna, vendar veli- ka v relativnem smislu, če vrednosti razlik med modeloma primerjamo z absolutnimi vrednostmi tokov po enem in drugem modelu. Za K+ je razlika med modeloma raz- meroma majhna za negativne vrednosti membranskega potenciala, predvsem pod −40mV. Glede na absolutne vrednosti tokov v tem področju je za K+ razlika tudi v rela- tivnem smislu na tem področju vrednosti membranskega potenciala bistveno manj- ša kot v primeru Na+. V področju mem- branskih potencialov nad −40mV pa razlika med modeloma narašča, kar pomeni, da postaneta modela vse manj skladna pri bolj pozitivnih membranskih potencialih. Takšne vrednosti so v fizioloških pogojih redkejše in značilne predvsem za faze depo- larizacije med akcijskim potencialom. Zato ima povečano neskladje med modeloma nad 437Med Razgl. 2025; 64 (4): 0 100 –100 –50 0 50 100 200 300 400 500 a) c) b) d) T o k (p A /p F ) T o k (p A /p F ) Membranski potencial (mV) 0 100 50 150 250 350 –100 –50 –50 0 50 100 200 300 Membranski potencial (mV) 0 20 10 30 –100 –80 –60 –40 –20 –10 0 40 Membranski potencial (mV) –8 –4 –6 –2 2 –100 –50 –10 0 50 100 0 Membranski potencial (mV) Slika 1. Primerjava med Goldman-Hodgkin-Katzevim in ohmskim modelom za tok K+ in Na+ na enoto kapa- citivnosti membrane. Zaradi zveze med površino membrane in kapacitivnostjo predstavlja tok, izražen na enoto kapacitivnosti membrane, pravzaprav posebno obliko zapisa površinske gostote toka. A – tok na enoto kapacitivnosti membrane v odvisnosti od membranskega potenciala za K+, kot ga predvideva Goldman- -Hodgkin-Katzeva enačba (črtkana črta) in ohmska enačba (polna črta). B – tok na enoto kapacitivnosti membrane v  odvisnosti od membranskega potenciala za Na+, kot ga predvideva Goldman-Hodgkin- -Katzeva enačba (črtkana črta) in ohmska enačba (polna črta). C – razlika med tokom, ki ga da ohmska enačba, in tokom, ki ga da Goldman-Hodgkin-Katzeva enačba, za K+ (modra krivulja) in Na+ (rdeča krivulja). D – izsek slike C za membranski potencial v razponu od −100 mV do 0 mV. mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 437 438 Maja Duh, Andraž Stožer Goldman-Hodgkin-Katzev model membranskega potenciala in njegova … –40 –20 0,1 1 10 0 20 40 60 –100 –80 –60 a) M em b ra n sk i p o te n ci a l ( m V ) –20 –10 0 10 20 30 40 0,1 1 10 b) M P – M P (m V ) O H M G H K g /gK Na P /PK Na Slika 2. Membranski potencial v odvisnosti od razmerja prevodnosti oz. prepustnosti membrane za K+ in Na+ ter razlika med modeloma. A – Membranski potencial kot funkcija razmerja prevodnosti oz. prepustnosti na področju od do oz. od . do za (zeleni krivulji), (rdeči krivulji) in . (modri krivulji). Polne krivulje predstavljajo membranski potencial, kot ga predvideva ohmska enačba, črtkane krivulje pa membranski potencial, kot ga predvideva Goldman-Hodgkin-Katzeva enačba. B – Razlika med vrednostjo membranskega potenciala, izračunano po ohmskem pristo- pu (MPOHM) in izračunano po Goldman-Hodgkin-Katzevem pristopu (MPGHK) za zgoraj navede- ne koncentracije K+ v zunajceličnem prostoru ( ). mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 438 −40 mV večji pomen predvsem pri analizi hitrih sprememb membranskega poten- ciala, medtem ko pri oceni mirovnega potenciala ostaja zanemarljivo. Rezultate, ki jih modela podata za mem- branski potencial, bomo primerjali s pomoč- jo slike 2, na kateri je membranski potencial za oba modela predstavljen v odvisnosti od razmerja prevodnosti za K+ in Na+, . Primerjali smo vrednosti tega razmerja od do (oz. vrednosti med 20-krat večjo prevodnostjo za Na+ do 20-krat večjo prevodnostjo za K+), in sicer za tri različ- ne zunajcelične koncentracije K+ (slika 2). ZaKLJUČEK V članku Nernstov potencial in ohmski model membranskega potenciala smo poudarili, da v primeru, ko je celična mem- brana prepustna za več vrst ionov, za dolo- čitev toka določenega iona in vrednosti mirovnega membranskega potenciala obstaja več modelov (1). Prav tako smo pred- stavili preprost linearni ohmski model. Tok iona je po tem modelu linearna funk- cija membranskega potenciala, membran- ski potencial pa obtežena vsota Nernstovih potencialov vseh vrst ionov, za katere je membrana prevodna. Obtežitveni faktor je pri tem delež, ki ga prevodnost za določe- no vrsto ionov predstavlja glede na skup- no prevodnost membrane. Ker pa eksperi- mentalni podatki kažejo, da odnos med tokom in membranskim potencialom ni linearen, smo v tem prispevku obravnava- li še kompleksnejši Goldman-Hodgkin- -Katzev model, ki predvideva nelinearni odnos med tokom in membranskim poten- cialom ter omogoča natančnejši opis ion- skega toka v primerih, ko linearen model ni zadosten. Poznavanje Goldman-Hodgkin-Katzevega modela pomaga razumeti, da med vsemi elektrofiziološkimi koncepti edino Nernstov potencial izhaja iz osnovnih termodinam- skih nastavkov in ni odvisen od modela, ki ga izberemo za obravnavo toka ionov prek membrane in za določitev vredno- sti membranskega potenciala, ko je mem- brana hkrati prepustna za več ionov. Niti preprostejši ohmski niti kompleksnejši Goldman-Hodgkin-Katzev model ne pred- stavljata absolutne resnice in ne podajata pravih vrednosti tokov in membranskega potenciala, ampak sta naši orodji, s pomoč- jo katerih si sploh lahko predstavljamo kompleksno elektrofiziološko dogajanje v mikrokozmosu celične membrane in ion- skih kanalov. Avtorja prispevka upava, da sva tako študentom kot bolj izkušenim bralcem v tem prispevku razjasnila po- membno resnico in na poglobljen način odgovorila na vprašanje, katera enačba je boljša za določitev vrednosti mirovnega membranskega potenciala, ko je membra- na prepustna za več ionov. 439Med Razgl. 2025; 64 (4): mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 439 DODaTEK i. Kako iz Nernst-Planckove enačbe dobimo izraz za Nernstov potencial? Ponovimo enačbo 1, ki predstavlja Nernst-Planckovo enačbo (enačba 20): (20). Če v Nernst-Planckovi enačbi predpostavimo pogoj, da je tok danega iona enak nič (j = 0) in izpostavimo iz obeh členov difuzijsko konstanto D, dobimo enačbo 21: (21) in od tod enačbo 22: (22). Enačbo 22 integriramo od znotrajceličnega prostora s koncentracijo ionov cIC in električ- nim potencialom VIC do zunajceličnega prostora s koncentracijo ionov cEC in električnim potencialom VEC (enačba 23): (23) in dobimo enačbo 24: (24). Ker je membranski potencial MP = VIC – VEC in ker je v trenutku, ko je tok iona enak nič (j = 0), membranski potencial enak Nernstovemu potencialu (torej MP = N), dobimo izraz za Nernstov potencial (enačba 25, enačba 26): (25) oz. (26), kot smo to izpeljali v našem prejšnjem članku Nernstov potencial in ohmski model mem- branskega potenciala (1). ii. Izpeljava integrala Nernst-Planckove enačbe Pri iskanju integrala za enačbo 3 je v veliko pomoč, če tok ionov na enoto površine (j) najprej nadomestimo z električnim tokom na enoto preseka (i), tako da enačbo 3 po- množimo z valenco (z), osnovnim nabojem (e) in Avogadrovim številom (NA). Potem dobi- mo enačbo 27 (8, 9): (27). 440 Maja Duh, Andraž Stožer Goldman-Hodgkin-Katzev model membranskega potenciala in njegova … mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 440 Nadalje izpostavimo (enačba 28): (28). Zaradi večje preglednosti pri nadaljnjem izpeljevanju enačbo 28 poenostavimo v enač- bo 29: (29), pri čemer smo vpeljali dve novi spremenljivki in . Enačbo 29 preoblikujemo v obliko, za katero bomo lahko ugotovili vrednost integrala (enač- ba 30): (30). Za rešitev enačbe je treba uporabiti substitucijo , s čimer enačbo poenosta- vimo v obliko, ki omogoča enostavno integracijo. Enačba 30 se tako preoblikuje v enač- bo 31: (31). Integrala za levo in desno stran sta prikazana v enačbi 32: (32), kjer je m integracijska konstanta. Z obratnim postopkom logaritmiranja (eksponentira- njem) dobimo enačbo 33: (33). Če na desni strani izraz em nadomestimo z A in izraz preuredimo tako, da izpostavimo c, dobimo enačbo 34: (34). Predpostavimo zdaj za znotrajceličnino x = 0 in c = cIC, za zunajceličnino pa x = l in c = cEC. Za koncentracijo ionov v znotrajceličnini potem velja enačba 35: (35), za koncentracijo ionov v zunajceličnini pa velja enačba 36: (36). 441Med Razgl. 2025; 64 (4): mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 441 442 Maja Duh, Andraž Stožer Goldman-Hodgkin-Katzev model membranskega potenciala in njegova … Če enačbi 35 in 36 odštejemo (da dobimo izraz za A), dobimo enačbo 37: (37). Za A pa dobimo (enačba 38): (38). V naslednjem koraku vstavimo enačbo 38 v eno od zgornjih dveh enačb, npr. v enačbo 35, in dobimo enačbo 39: (39). Za b (ki vsebuje tok (i), ki nas zanima) potem dobimo enačbo 40: (40). Ker vemo, da je (izvorne spremenljivke), lahko gostoto električnega toka (i) zapišemo z enačbo 41: (41). Če zdaj v enačbi 41 upoštevamo enačbo 40 in simbol a nadomestimo z izvornimi spre- menljivkami , dobimo izraz za gostoto električnega toka (enačba 42): (42). iii. Izpeljava Goldman-Hodgkin-Katzeve enačbe za membranski potencial v primeru prispevka dvovalentnih ionov Ponovno bomo izhajali iz predpostavke, da je v stacionarnem stanju vsota tokov vseh ionov, za katere je membrana prepustna, enaka nič. V primeru ionov Na+, K+ in Ca+2 potem mora veljati enačba 43: (43). Za lažje sledenje bralcev bomo v enačbah 44, 45, in 46 izpisali gostote tokov posamez- nih ionov (enačba 7): (44), (45), (46). mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 442 Pri tem smo upoštevali, da sta Na+ in K+ enovalentna, Ca2+ pa dvovalenten (zNa = 1, zK = 1 in zCa = 2). Težava nastane, ker ima gostota električnega toka iCa (enačba 46) drugačen imenovalec kot izraza iNa (enačba 44) in iK (enačba 45). To težavo lahko obidemo z uvedbo novega koeficienta prepustnosti za kalcij (enačba 47): (47). Če enačbo 47 upoštevamo v enačbi 46, dobimo enačbo 48: (48). Ker imajo zdaj vse enačbe posameznih tokov enak imenovalec, lahko upoštevamo enač- be 44, 45 in 48 v enačbi 43 in izpostavimo parametre, ki so skupni vsem trem izrazom. Dobimo enačbo 49: (49). Če najprej izpostavimo eksponentno funkcijo, nato obe strani delimo z izrazom in potem enačbo logaritmiramo, dobimo enačbo 50: (50), od tod pa enačbo 51: (51). 443Med Razgl. 2025; 64 (4): mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 443 LITEraTUra 1. Stožer A. Nernstov potencial in ohmski model membranskega potenciala. Med Razgl. 2014; 53 (2): 193–202. 2. Silbernagl S, Despopoulos A. Color atlas of physiology. Fundamentals and Cell Physiology. Stuttgart: Thieme; 2015. 3. Costanzo LS. Physiology. Cellular Physiology. Philadelphia: Elsevier Health Sciences; 2018. 4. Schmidt RF, Lang F, Heckmann M. Physiologie des Menschen: Mit Pathophysiologie. Nervenzelle und Umgebung. Heidelberg: Springer; 2018. 5. Klinke R, Pape HC, Kurtz A, et al. Physiologie. Membranpotenzial und Signalübertragung in Zellverbänden. Stuttgart: Thieme; 2010. 6. Hall JE, Hall ME. Guyton and Hall textbook of medical physiology. Membrane Potentials and Action Potentials. Philadelphia: Elsevier Health Sciences; 2020. 7. Petersen OH. Lecture notes: Human physiology. Cell Physiology. Chichester: Wiley; 2019. 8. Keener J, Sneyd J. Mathematical physiology: I: Cellular physiology. Cellular Homeostasis. New York: Springer; 2010. 9. Hobbie RK, Roth BJ. Intermediate physics for medicine and biology. Impulses in Nerve and Muscle Cells. New York: Springer; 2015. 10. Strickholm A, Clark HR. Ionic permeability of K, Na, and Cl in crayfish nerve. Regulation by membrane fixed charges and pH. Biophys J. 1977; 19 (1): 29–48. doi: 10.1016/S0006-3495(77)85560-4 11. Strickholm A. Ionic permeability of K, Na, and Cl in potassium-depolarized nerve. Dependency on pH, cooper- ative effects, and action of tetrodotoxin. Biophys J. 1981; 35 (3): 677–97. doi: 10.1016/S0006-3495(81)84820-5 12. Hodgkin AL, Katz B. The effect of sodium ions on the electrical activity of giant axon of the squid. J Physiol. 1949; 108 (1): 37–77. doi: 10.1113/jphysiol.1949.sp004310 Prispelo 6. 2. 2025 444 Maja Duh, Andraž Stožer Goldman-Hodgkin-Katzev model membranskega potenciala in njegova … mr25_4_Mr10_2.qxd 15.12.2025 8:21 Page 444