i
i
“1101-Domajnko-Bele” — 2010/7/13 — 10:58 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 19 (1991/1992)
Številka 6
Strani 352–353
Vilko Domajnko:
BELE LUKNJE ALI LIMITE PO TANGRAMSKO
Ključne besede: razvedrilo, naloge.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1101-Domajnko.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
007t ,cll0 " l7", u: 'll'L_,,'L_
BELE LUKNJE AU UMITE PO TANGRAMSKO
S estavljanje tangramskih likov z "luknjami" odpira precej zanimivih novih
problemov . Ogledali si bomo zgolj enega izmed njih, najbrž kar najzanimivej-
šega.
Naloga pravi:
Sestavi tangramski lik z največjo možno luknjo .
Pri tem nas zanimajo samo "prave" luknje , torej takšne , ki se v nobeni
svoji točki ne dotikajo zunanjega roba tangramskega lika.
Za pojasnilo si oglejmo sliko 1 s tangramskimi liki na temo "ladja" . Prva
dva lika v njej imata pravo luknjo , naslednja dva pa ne.
Slika 1.
Seveda sta oba "ladijska" predloga precej daleč od rešitve naše naloge ,
saj sta plošči ni njunih lukenj sorazmerno majhni. Pri računanju ploščin lukenj
v tangramskih likih je umestno privzeti , da ima tangramska ploščica v obliki
kvadrata stranico z dolžino 1. Tedaj je ploščina luknje prvega tangramskega
lika na sliki 1 enaka 1, ploščina luknje drugega lika pa celo samo 5 - 3V2 =
= 0,7574 .. . Vsaj prvega podatka vam zares ne bo težko preveriti, če boste
le tudi sami sestavili ladjice s te risbe .
Poskusimo sedaj poiskati kak-
šno boljšo rešitev naloge . Začnimo
kar z likom, ki ga vidimo na sliki
I 2. Luknja v njem se utegne zazdeti
bralcu na prvi pogled že kar velika.
ln res - njena ploš čina je 4. Vendar
je očitno, da se jo da še razširiti .
Poglejmo!
Slika 2.
I
n
' 1,
353
Pomaknimo vsakega izmed o-
beh velikih trikotnikov za dolžino d
proti levi oziroma desni. Pri tem
je treba tudi zgornji trikotn ik po-
makn iti nekoliko navzgor - toliko
pač , da oba "zarnaš ka" (kvadrat in
mali trikotnik) lepo sedeta na robo-
ve trikotnikov. Očitno je pri tem
treba zgornji trikotnik pomakniti
navzgor za natanko d (slika 3) . Slika 3.
Pomik dolžine d pa seveda ne sme biti prevelik, saj sicer z njim uničimo
luknjo v tangramskem liku. Le upoštevamo dogovorjene dimenzije tangram-
skih ploščic , se lahko prepričamo , da mora veljati
O::;d </2-1.
To pomeni, da bi pomik za d = /2 - 1 že ustvaril nepravo luknjo v liku.
Vemo , da je število ../2-1 iracionalno (ni ulomek) . Namesto njega lahko
sicer uporabimo racionalni desetiški približek (ulomek), ki mu je tako blizu,
kakor le želimo, v nobenem primeru pa mu ne bo povsem enak . Recimo:
desetiški približek 161062010 se od števila ../2 - 1 ne razlikuje več kakor eno
samo stotisočinko.
Iz povedanega sledi, da se lahko maksimalni luknji v tangramskem liku
predlagane oblike približamo tako zelo, kakor le želimo , doseči pa je nikdar ni
moč .
Ker je ploščina luknje , ki nastane pri odmiku za d , enaka
d 2 2p(d) = 2 ·2+ 3 · 2 · d + 2 . 2 = 4 + 6d + d ,
je zgornja meja za ploščino luknje v tem liku število
p(/2 - 1) = 4/2 + 1 = 6,6569 ... .
Izdajmo za konec, da ta tangramska luknja nikakor ni največja med doslej
znanimi. Vabimo torej Presekove bralce, da poskusijo sami konstruirati tan-
gramski lik, ki bi vseboval luknjo s še večjo ploščino in da nam pošljejo svoje
rešitve . Najboljšo bomo nagradil i. Sicer pa problem tangramskega lika z
največjo luknjo, kolikor je avtorju članka znano, v matematičnih krogih še
vedno ni dokončno rešen.
Vilko Domajnko