α Matematika v šoli ∞ XXII. [2016] ∞ 057-065 Pouk matematike v realističnem kontekstu: iz teorije v prakso Realistic Mathematics Education from Theory to Practice Σ Povzetek Prispevek obravnava pouk matematike v realističnem konteks- tu (RME). Ideja o pouku matematike v realističnem kontekstu je bila oblikovana na Nizozemskem na podlagi Freudenthalo- vega pogleda na matematiko. Meni, da moramo matematiko povezati z resničnim življenjem in jo učencem približati. Pouk matematike bi se moral osredotočiti na aktivnost, na postopek matematizacije v izobraževalnem kontekstu. Prispevek obrav- nava teoretično podlago in praktična vprašanja izvajanja po- uka matematike v realističnem kontekstu. V prvem delu poja- sni glavna načela pouka matematike v realističnem kontekstu: 1) progresivna shematizacija, 2) številni modeli, 3) avtentični realistični konteksti, 4) integracija različnih učnih sklopov. V drugem delu obravnava vprašanja, povezana z izvajanjem pouka matematike v realističnem kontekstu v razredu. Pripra- va bodočih in delujočih učiteljev na pouk matematike v rea- lističnem kontekstu je ključnega pomena za začetek izvajanja le-tega. Pozornost smo namenili metodam poučevanja v RME razredu, načrtovanju učnega načrta s strani učiteljev, učbeni- kom in preverjanju znanja. Analize, razlage in primeri, podani v prispevku, bodo morda spodbudili učitelje, da razmislijo o svoji praksi poučevanja. Ključne besede: pouk matematike v realističnem kontekstu, matematizacija, realistični kontekst, celostno poučevanje. Jasmina Milinković Pedagoška fakulteta, Beograd 058 Pouk matematike v realističnem kontekstu od teorije k praksi α Uvod Prispevek obravnava pouk matematike v re- alističnem kontekstu (RME). Ideja o RME je bila zasnovana na Nizozemskem, na njen razvoj pa je vplival Freudenthalov pogled na matematiko. RME predpostavlja določen pogled na šolsko matematiko in na način poučevanja predmeta matematika. O pouku matematike v realističnem kontekstu (RME) lahko razmišljamo kot o alternativi mehani- stičnemu ali strukturalističnemu pristopu. Za mehanistični pogled je matematika na- bor pravil in algoritmov. Te je treba usvojiti in izdatno utrjevati za dosego dobrih učnih rezultatov. Pri preverjanju je poudarek na poznavanju pravil in njihovi uporabi pri re- ševanju sorodnih problemov. Za francosko Σ Abstract This paper addresses realistic mathematics education (RME). The idea of RME was conceptualized in Netherlands and was determined by Freudenthal’s view about mathematics. It pro- poses that mathematics must be connected to reality and be re- levant for learners. The focal point of mathematics education should be on activity, on the process of mathematization in an educational context. This paper discusses theoretical basis as well as practical issues in implementing RME. In the first part we shell explain the main principles of RME: 1) progressive sche- matization, 2) multiple models, 3) genuine realistic contexts, 4) integration of various learning strands. In the second part we shell discuss issues related to implementation of RME in the classroom. Preparing pre-service and in-service teachers for RME education is a critical point in attempt to implement it. We will pay attention to teaching methods in RME classroom, teachers’ curriculum planning, textbooks and assessment. Pro- vided analysis, explanations and examples may inspire teachers to reconsider their practice. Key words: realistic mathematics education, mathematization, realistic context, integrative teaching. matematično šolo Bourbakija je matematika organiziran in formaliziran deduktivni sis- tem. Po njihovem mnenju je učenje matema- tike v svojih temeljih kognitiven izziv razu- mevanja strukture matematičnega sistema. V nasprotju z njimi RME poudarja, da mora biti matematika povezana z realnostjo in bli- zu učencu. Osrednji poudarek pouka mate- matike bi moral biti na dejavnostih, na pro- cesu matematizacije in na učnem kontekstu. Namesto učenja predhodno pripravljenih in učencu posredovanih strategij se učenca spodbudi k odkrivanju in ustvarjanju lastnih in se ga postopoma vodi k bolj formalnemu pristopu. V prispevku so predstavljene teoretične osnove in praktična vprašanja, povezana z izvedbo RME. 059 β Osnovna načela RME Ideje Freudenthala in Treffersa so temelji RME. Treffers (1987) je opisal naslednje zna- čilnosti RME: 1. uporaba konteksta, 2. uporaba modelov, 3. uporaba učenčevih lastnih izdelkov in konstrukcij, 4. interaktivno poučevanje 1 in 5. prepletanje različnih učnih vsebin. V nadaljevanju bomo podrobneje izposta- vili osnovna načela RME. Hans Freudenthal je bil prepričan, da morajo otroci odkriti matematiko tako, da se z njo ukvarjajo. Van den Huvel-Panhuizen ugotavlja, da RME na- čela izhajajo iz Trefferjeve teorije poučevanja (1987), ki poudarja pomembnost konteks- ta, »vertikalnih instrumentov 2 «, učenčevih izdelkov, interaktivnosti procesa učenja in poučevanja in prepletanja učnih vsebin. Progresivna shematizacija Ko je Freudenthal razmišljal o poučevanju matematike, je izpostavil, da je matematiza- cija ključnega pomena. Treffers (1978, 1987) je ločil dva tipa matematizacije v učnem okolju: horizontalno in vertikalno. Hori- zontalna matematizacija vključuje prehod iz realnosti v svet matematičnih simbolov. Učenci rešujejo situacije iz realnega življenja z matematičnimi orodji. Vertikalna matema- 1 Interaktivnost – sodelovanje med učenci, učencem in učiteljem, učenci sprašujejo, razlagajo, preverjajo, se strinjajo, nasprotujejo in ugovarjajo, razširijo prob- lem … 2 ‘Vertikalo’, to je prehod od realnega do abstraktnega, omogočajo npr. dejavnosti z modeli, ki učencu v kon- tekstu danega problema pomagajo v procesu matema- tizacije. tizacija je proces izgradnje in reorganizacije znotraj matematične strukture z odkrivan- jem povezav in odnosov med pojmi ter is- kanjem bližnjic. Shematizacija je proces postopne izgradn- je miselnih shem do matematično formalnih shem. Shematizacija v matematiki je rezultat matematizacije. Učenci gredo pri učenju ma- tematike čez različne nivoje razumevanja. V začetku učnega procesa začnejo z reševanjem problema in razvijanjem sposobnosti iskanja neformalnih rešitev, ki so pogojene s kontek- stom. Učenci postopoma gradijo sheme os- novnih načel in širših povezav. Sposobnost reflektiranja preteklih aktivnosti označuje naslednjo stopnjo v procesu učenja. Progre- sivna shematizacija je rezultat horizontalne in vertikalne matematizacije. Pri tem se she- me dosežejo v več zaporednih stopnjah od horizontalne do vertikalne matematizacije. Številni modeli Modeliranje prevede probleme, podane v realističnem kontekstu, v matematično do- meno. Učenci razvijejo modele razmišljanja, ki olajšajo razumevanje. Modeli so orodja mediacije med stvarnostjo in abstraktnim matematičnim svetom. Učencu pomagajo reševati matematične probleme na različnih ravneh abstrakcije. Modeliranje problemske situacije je sestavni del procesa reševanja problemov v realnem kontekstu z matema- tizacijo. Rezultat procesa je matematični model. Rešitev problema se najprej poišče na osnovi matematičnega modela in nato prevede nazaj v realistični kontekst. Modeli služijo kot didaktični pripomočki za prehod med neformalnim matematičnim znanjem povezanim z realnim kontekstom in formal- nim matematičnim sistemom (Van den He- uvel-Panhuizen, 2000). 060 Avtentični realistični kontekst Poučevanje matematike na razredni stopnji se tradicionalno opira na intuicijo učencev. Učitelji začnejo z nalogami, ki so tako pre- proste, da je rešitev »vizualno očitna«. Pre- proste problemske situacije so pogosto predstavljene s slikami. Primer takšne prob- lemske situacije je naloga, kjer morajo učenci prešteti ptice, ki sedijo na električnih žicah, in v nadaljevanju ustrezno dopolniti svoj od- govor, ko na žico priletijo nove ptice. Realistični kontekst v RME lahko razli- kujemo na osnovi kompleksnosti. Kontekst mora biti bogat in pripravljen tako, da učenca izzove in spodbudi k razmisleku. Realistični kontekst večplastnih problemov zagotavlja možnost za razširitev učne izkušnje, vzpos- tavljanje povezav in prenos znanja. Takšni problemi so lahko izhodišče za učni proces. To pomeni, da je njihova vloga dvojna. Upo- rabljajo se, da izzovejo, oblikujejo ali ponov- no vzpostavijo matematični koncept. Poleg tega se z njimi pokaže, kako je mogoče mate- matično znanje uporabiti za reševanje prob- lemskih situacij v realističnem kontekstu. Rezultati intuitivnega reševanja proble- mov iz realnega sveta, ki temeljijo na čutni izkušnji, so matematični koncepti, ki se ob- likujejo spontano. Znanje v obliki miselnih shem prvotno temelji na čutnem dojemanju predmetnega sveta. Lahko bi ga označili tudi kot znanje, ki ga pridobimo s pomočjo čut- nega zaznavanja (senzorno učenje/sensory based knowledge). Prepoznavanje skupnih in različnih značilnosti, povezav in odnosov vodi k razlikovanju med primeri, ki se (ali pa ne) dobro ujemajo s shemo. Matematični simboli, besede in objekti nastopajo v vlogi stvari, bitij in situacij. Beseda realistično je lahko kot bistve- na značilnost za RME zavajajoča. Izraz se ne nanaša samo na »realistične situacije« v učenčevi okolici. Označuje tudi namišljene učne situacije, primerne za učenca. Kontek- st se res lahko nanaša na stvarno situacijo, lahko pa gre za kontekst iz pravljice, zgodbe itd. Otroci si lahko včasih predstavljajo tudi »formalni matematični svet«. Micic (2005) govori tudi o možnih načinih za raziskovanje lastnosti trikotnika z uporabo igri podobne dejavnosti z didaktičnim orodjem, poimeno- vanim »mrdalice« (ang. dangler). Tipični primer problema v realističnem kontekstu je sledenje spreminjanju števila potnikov v avtobusu (Gravemeijer, 1994). Pripoved o dogajanju na avtobusnih pos- tajah (slika 1) vodi v diskusije (običajno v manjših skupinah), oblikovanje predstav in v razvoj neformalnih strategij reševanja. [Slika 1] Problem avtobusa (vir: Gravemeijer, K.P .E. (1994). Developing Realistic Mathematics Education. Utrecht: CD-b press/ Freudenthal Institute (dostopno 13. 1. 2016)). Objavljeno z dovoljenjem Freudenthal Institute. Pouk matematike v realističnem kontekstu od teorije k praksi 061 Združevanje različnih učnih vsebin O združevanju vsebin v matematiki lahko razmišljamo na nivoju obravnave posamez- nega problema, učne ure, enote, sklopa, predmeta ali učnega načrta. V matematič- ni domeni, kot pojasnjuje House (2003, str. 5), to pomeni celostni matematični kurikul, kjer: 1. se teme različnih matematičnih področij povezujejo in se tako poudari medsebojna povezanost področij in/ali 2. so vključene povezave med temami znot- raj matematike ter med matematiko in drugimi disciplinami. Znotraj integracije matematičnih tem lahko nadalje razlikujemo a) integracijo skozi koncept, ki združuje, po- vezuje različne matematične vsebine (taka koncepta sta npr. funkcija ali matematič- no modeliranje) in b) integracijo z združevanjem matematičnih sklopov. Zaznavanje realnosti kot kompleksnega sistema je rezultat prepoznavanja podrob- nosti in kako so le-te med seboj povezane in prepletene (ne glede na to, ali gre za očitno povezavo ali ne). To se odraža v načinu pri- dobivanja znanja v šoli in tudi v vsakdanjem življenju. Prepoznavanje povezav je osnova za razvijanje znanja v znanosti in tudi v šoli v okviru šolskih predmetov (Milinkovic idr., 2010). Eden ključnih ciljev takšnega pristopa je otrokom omogočiti, da razvijejo večplas- ten pogled na določene probleme. Uporaba bogatih odprtih 3 problemskih situacij vodi 3 Ill defined – pomeni ‘slabo’ definiranih, ker ni mogoč enoznačen odgovor. To pomeni manjkajoče podatke ali manjkajoče pogoje oziroma situacijo, v kateri si mora učenec sam pridobiti podatke, privzeti določene okoliščine in postaviti raziskovalno vprašanje. učenca k identificiranju problema in razvi- janju načrta za razrešitev, ki zahteva vzposta- vitev povezav in prenos znanja (Milinkovic idr., 2012). Glavni cilj je pospeševanje razvo- ja celovitega pristopa k problemom in h koheziji ter povezavi funkcionalnega znanja (Milinković 2010). Na primer, med štiriletnim kurikulom v ZDA bodo učenci poglobljeno raziskovali matematične teme o številih, ulomke, raz- merja, desetiške ulomke, cela števila, mer- jenje, evklidsko geometrijo, koordinatno geometrijo, transformacije, verjetnost in sta- tistiko, algebro, vzorce in funkcije (kurikul v okviru projekta Matematika v kontekstu (MIC)). Kljub temu da je večina enot v kuri- kulu MIC osredotočena na eno področje, ve- liko drugih povezuje matematične koncepte. Enota Connections (Povezave) v projektu MIC prepleta geometrijo, števila, verjetnost in algebro. Učenci pričnejo z raziskovanjem različnih vrst zemljevidov, risanjem in pre- učevanjem grafov. Razumevanje razširijo z različnimi reprezentacijami pojmov in se učijo sprejemati odločitve. γ Implementacija RME v razredu Ena od osrednjih dilem raziskav izobraže- valnih programov je implementacija dog- nanj v šole. Poleg uradnih ustanov, ki želijo in odobrijo spremembe programov, so za sprejemanje sprememb pomembni tudi uči- telji. Uspešnost tovrstnih reform je odvisna od motiviranosti učiteljev, saj od njih terjajo dodatno prizadevanje, udeležbo na seminar- jih, branje, izdelavo novih učnih priprav in didaktičnega materiala za otroke. Če učitelji predlagane pristope prepoznajo kot takšne, ki bi jih bilo vredno preizkusiti v razredu, smo na dobri poti do uspeha. RME se upo- 062 rablja predvsem na Nizozemskem, vendar so ključne ideje o pristopu razširjene po vsem svetu. Preučujejo in uporabljajo se tudi novi programi, ki izhajajo iz idej RME. Omenimo tri raziskovalne projekte, ki so bili oblikovani znotraj okvirjev RME: 1. Mathematics in Context (Matematika v kontekstu), 2. Core Plus Mathematical Project (Projekt Jedrna plus matematika) in 3. Connected mathematics (Povezana mate- matika). V tem prispevku bomo podrobneje opi- sali pristop, ki je bil razvit v okviru projekta Matematika v kontekstu. Priprava bodočih učiteljev in učiteljev za proces RME Odgovori na nekaj osnovnih vprašanj so uči- teljem v pomoč pri pripravi na RME: 1. Kakšna je učiteljeva vloga v razredu pri RME? 2. Katere učne metode naj učitelj uporablja? 3. Katera didaktična sredstva so primerna? 4. Kako oceniti učenčev učni napredek? Marja Van den Heuvel-Panhuizen po- udarja, da imajo »v RME tako učitelji kot tudi didaktična sredstva (učbeniki) odločil- no vlogo pri pridobivanju znanja … Učenci potrebujejo prostor, kjer lahko sami kons- truirajo matematične koncepte in orodja.« (Van den Heuvel-Panhuizen, 2000, str. 9). Didaktična sredstva so najpomembnejši pri- pomočki pri pripravi učnega procesa. Učbe- niki določajo vsebino in odločilno vplivajo na izbiro učne metode. Če se od učencev pri- čakuje, da odkrivajo matematiko, potem jih učbeniki pri tem raziskovanju ne smejo ovi- rati. Učitelji so tisti, ki skupaj z učbeniki so- oblikujejo smernice pri odkrivanju in razis- kovanju matematike. Učne metode pri pouku matematike v realističnem kontekstu Pristop v okviru RME izhaja iz teorije »so- cialnega konstruktivizma.« T eorija temelji na prepričanju, da vsak prispeva osebno izkuš- njo stvarnosti in zgradi lastno razumevanje učne vsebine skozi interakcije v učilnici, ki predstavlja socialno okolje. Izgradnja znanja je rezultat skupnega razumevanja, utemel- jitev interpretacij in domnev, o katerih se razpravlja v učilnici. Proces izgradnje znanja se prične z izkušnjo; posredovane informa- cije se organizirajo in shranijo v spomin. S ponavljanjem izkušnje um oblikuje »shemo« - kompleksno mrežo medsebojno povezanih dejstev (pojmov, pravil, postopkov, strategij) in odnosov (Greeno, 1991, Romberg, 1991). Kakšna je torej vloga učitelja pri pouku matematike v realističnem kontekstu? Učitelj nastopa v vlogi usmerjevalca, ki pomaga or- ganizirati učenje. Učitelj sprejema odločitve, povezane s sodelovanjem v skupinah, z indi- vidualnim delom, manipulativnimi učnimi pripomočki in uporabo učne tehnologije. Od učitelja se pričakuje, da učencu omogoči učenje z lastnim tempom, ki vključuje tudi napor. Učenec običajno potrebuje več časa, da sam zgradi lastno matematično znanje v primerjavi z učenjem, kjer je nenehno vo- den. Učitelj naj bo torej dovolj potrpežljiv in pripravljen učencem dovoliti, da (počasi in z velikim naporom) rešijo probleme na svoj neformalen način, namesto da si zgolj zapomnijo formalni postopek brez razume- vanja. Učitelj mora spremljati tudi učenčev napredek skozi daljše časovno obdobje. Us- pešno vzpostavljena komunikacija med uči- telji in učenci dodatno prispeva k nadaljnje- mu razvoju učenca. Učna priprava Priprava na učno uro temelji na učnih cil- jih in pričakovanih dosežkih, ki so zapisa- Pouk matematike v realističnem kontekstu od teorije k praksi 063 ni v učnem načrtu. Pomen matematičnega računanja, kdaj in kaj naj se poučuje, vloga razvijanja računskih spretnosti, uporaba računal in sodobne tehnologije vplivajo na pedagoško prakso. V začetnih fazah razvo- ja RME je bila pozornost usmerjena v obli- kovanje realističnih problemov v kontekstu. V ospredje je bila postavljena horizontalna matematizacija. Skozi leta so RME programi preusmerili pozornost na vertikalno mate- matizacijo, zavedajoč se njene pomembnosti. Opišimo »običajno« učno uro pri pouku matematike v realističnem kontekstu. Ura bi se pričela s konkretno problemsko situacijo, zanimivo za učence. Učenci dobijo navodilo, da poiščejo rešitev s pomočjo modeliranja. Problem je kontekst za učenje. Bolj ali manj kompleksen problem zahteva kombinacijo ene ali več pomembnih matematičnih idej (npr. vsota dolžin dveh stranic trikotnika je vedno večja od dolžine tretje stranice). V nadaljevanju učitelj načrtuje aktivnos- ti na način, ki se prilagaja potrebam učen- cev. Učitelj pri tem načrtuje vrsto različnih aktivnosti, s katerimi se nadgrajuje začetna problemska situacija, na primer raziskovanje v drugačnem kontekstu, raziskovanje skozi igro itd. Ocenjevanje Kako pa učitelji prepoznajo, kaj učenci vedo pri pouku matematike o realističnem kon- tekstu? Da si učitelj ustvari pravilno sliko o učenčevem razumevanju in učni uspešnosti, potrebuje več virov informacij. Namen ocen- jevanja pri RME je pridobitev informacij o razvoju strukture matematičnega znanja. Pomembna elementa tega procesa sta na- črtovanje in zbiranje dokazov o učenčevih matematičnih kompetencah in izdelava in- formativnega profila, s katerim učitelj pre- verja učenčev napredek in rezultate primerja s preteklimi profili, učiteljevimi cilji in stan- dardi. Učenčev profil naj vključuje naslednje informacije: – način reševanja (smiselnih) matematičnih problemov, – kako podaja ideje (v matematičnem jezi- ku), – učinkovitost matematičnega sklepanja, – ali povezuje matematiko z drugimi pod- ročji in vsakdanjim življenjem, – razumevanje matematičnih konceptov in postopkov, učenčev odnos do matematike (ustvarjalnost, interes, zaupanje). Viri teh informacij vključujejo kontrolne sezname opazovanj, intervjuje, listovnike, naloge in konstrukcije modelov, eseje, go- vorne predstavitve v razredu, domače naloge in tudi medsebojno sodelovanje. Na primer, v projektu MIC v enoti Obdelava podatkov se učitelju priporočajo individualne in sku- pinske aktivnosti. Učence se najprej seznani s krajšo uvodno zgodbo. Spomin »vrh, sok, daj, nos, pes« To so besede z enim zlogom in nekatere se da zlahka zapomniti. Kaj menite, koliko si jih lahko zapomni- te od dvajsetih (v katerem koli vrstnem redu)? Ko zanimanje učencev za zgodbo naraste, dobijo nabor podatkov iz študije o človeko- vem spominu. Učenci dobijo navodilo, da na osnovi gradiva 1. vizualno predstavijo podatke z uporabo grafov, 2. analizirajo podatke, 3. poiščejo vzorce, 4. označijo odnos med starostjo in spomi- nom. 064 Prav tako se učenci odločijo, katera vizu- alna predstavitev podatkov je najprimernejša in svojo odločitev tudi utemeljijo. Ob koncu učenci izračunajo še povprečje in mediano za vsako od starostnih skupin. S tem se učna ura ne zaključi. Učenci dobijo nadaljnja na- vodila za delo v skupini: Pripravite eksperiment, s katerim boste preverili, ali so vaši rezultati pri pomnjen- ju boljši od zgoraj navedenih. Rezulta- te prikažite grafično in jih primerjajte s predhodnimi odgovori. Ob koncu se učence oceni na osnovi raz- ličnih konceptov in postopkov, ki se nanaša- jo na učno enoto od risanja drevesnega diag- rama, škatle z brki, histogramov, računanja povprečja in mediane do argumentiranja in dodatnih aktivnostih, ki so pokazatelji spo- sobnosti reševanja problemov v različnih kontekstih (na primer o razvadi kajenja med mladoletniki). δ Zaključek RME je stalno razvijajoč se izobraževalni pristop k poučevanju matematike. Ne daje povsem jasnih in dokončnih odgovorov o tem, kako naj se matematika poučuje na vsaki stopnji šolanja. Ne vemo, ali je pristop primeren za vse učence (spol, zanimanje za matematiko, poklicna usmerjenost). Zagoto- vo pa gre za pristop, ki je vreden razmisleka. ε Viri 1. De Lange, J. (1987) Mathematics, Insights and Mea- ning. Utrecht, OW&OC, Utrecht University. 2. Fredenthal, H. (1991) Revisiting mathematics educa- tions. China lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 3. Gravemeijer, K.P.E. (1994). Developing Realistic Mathematics Education. Utrecht: CD-b press/ Freu- denthal Institute. 4. Greeno, J. (1991) Number sence as a situated knolwing in a conceptual domain. Journal for research in mathe- matics education, 22(3) 170-213. 5. House, P .A. & Coxford, A. F. (1995) Connecting Mathe- matics across the Curriculum, 1995 Y earbook. NCTM. 6. National Center for Research in Mathematical Sciences Educational Staff at the University of Wisconsin-Ma- dison T.A. Romberg, Director, G. Burrill, M. A. Fix, J. A. Middleton, M. Meyer, M. Pligge, J. Brendefur, L.J. Brinker, J. Browne, J. Burrill, R. Byrd, P. Christiansen, B. Clarke, D. Clarke, B. Cole, F. Dremock, T. Halevi, J. Milinkovic, M. Shafer, J. A. Shew, K. Schultz, A., N. Simon, M. Smith, S. Z. Smith, M. S. Spence, & K. A. Pouk matematike v realističnem kontekstu od teorije k praksi 065 Steele, Freudenthal Institute Staff at the University of Utrecht, The Netherlands, J. deLange, Director, E.eijs, M. van Reeuwijk, M. Abels, N. Boswinkel, F . van Galen, K. Gravemeijer, M. van den Heuvel-Panhuizen, J. Auke de Jong, V . Jonker, R. Keijzer, M. Kindt, J. Niehaus, N. Querelle, A. Roodhardt, L Streefland, A. Treffers, M. Wijers, and A. de Wild (1998) Mathematics in Contex- t:A middle school curriculum for grades 5–8, developed by the Mathematics in Context (MiC) project, Enciclipe- dia Brittanica, Educational Corporation. 7. Micic, V. (2005) Ucenje otkrivanjem – mozda novi pristup. Nastava matematike, L, 4, 13-21. Drustvo matematicara Srbije. 8. Milinkovic, J. (2012). Problem solving in integrated research: the results of an action research project. In Feyza Doyran (Ed) Research on Teacher Education and Training (pp.165-176). Athens Institute for Education and Research. 9. Milinkovic, J. (2010). Pupils’ active learning in integra- ted mathematics and technical education class: case study. In Student in contemporary learning and teaching (pp 97-109) Učiteljski fakultet. 10. Мilinkovic, J. (2007) Realno okruzenje kao izvor mate- matickih pojmova Didakticko metodicki aspekti prome- na u osnovnoskolskom vaspitanju. 11. Romberg, T. (1991) How one comes to know. Paper pre- sented as the ICMI Study conference on Assessment in mathematics and its effects, April, 1991, Calonge, Spain. 12. Treffers, A. (1987) Three dimensions. A Model of Goal and Theory Description in Mathematics Instruction – the Wiskobas Project Dordrecht: Reidel Publishing Company. 13. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2001) Realistic Mathematics Education as work in progress”, Procee- dings of 2001 The Netherlands and Taiwan Conference on Mathematics Education. 14. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2000) Mathematics education in the Netherlands: A guided tour. Freu- denthal Institute Cd-rom for ICME9, Utrecht, Utrecht University. Prevod članka iz angleščine: Katja Breznik