4
ISSN 0351-6652M
A
TE
M
A
TI
K
A
+F
IZ
IK
A
+A
ST
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
TV
O
#
presek  letnik 39  ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 )  š t e v il k a  4
• matematika čebeljega satovja
• razgled s triglava
• slovensko astronomsko
izrazoslovje
• kodu: ustvari svojo
računalniško igro
Vzdrževanje bitja srca
Črpanje krvi po telesu se morda zdi na prvi pogled
enostavno, vendar so ustrezni mehanizmi in elek-
trični signali, ki ohranjajo zdrav srčni ritem, zelo
zapleteni. Več področij matematike, med njimi di-
ferencialne enačbe, dinamični sistemi in topologija,
nam pomagajo pri izdelavi modela, ki opisuje ele-
ktrično obnašanje srčnih celic, povezave med njimi
in celotno geometrijo srca. Znanstveniki si željo bo-
lje razumeti delovanje zdravega srca, diagnosticirati
pojav napak in jih pozdraviti.
Med srčne napake sodi veliko vrst težav s srčnim
ritmom. Presenetljivo med njimi ni nepredvidljivega
srčnega ritma. Bitje srca je precej kaotično in daleč
od predvidljivega. Še več, bitje postane manj kao-
tično s starostjo in s popuščanjem srca. Eden od raz-
iskovalcev bolnikom, ki dobijo novo zdravilo, celo
priporoča naj svojega zdravnika vprašajo, kako bo
zdravilo vplivalo na njihovo „fraktalno razsežnost“.
Tisti, ki jih ta tema zanima, si lahko preberejo še
več članku Johna W. Caina: Taking Mathematics to
Heart: Mathematical Challenges in Cardiac Electro-
physiology, Notices of the AMS, April 2011, str. 542–
549.
Slika 1
POJASNILO: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The
Mathematical Moments“, ki jo objavlja Ameriško ma-
tematično društvo AMS na spletni strani
www.ams.org/mathmoments.
1
Vzdrževanje 
bit ja  srca
Presek 
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje 
letnik 39, šolsko leto 2011/2012, številka 4
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni 
pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan 
Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), 
Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun 
Berc (tekmovanja), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš 
Mohorič (odgovorni urednik), Marko Petkovšek (glavni urednik),  
Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija 
Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik.
Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska 
ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553,  
4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si 
Elektronska pošta: presek@dmfa.si
Naročnina za šolsko leto 2011/2012 je za posamezne 
naročnike 16,69 eur – posamezno naročilo velja  
do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, 
posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara 
številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur.
Transakcijski račun: 03100–1000018787.
Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 
Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56  0310  0100  0018  787.
List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost 
Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport
Založilo DMFA–založništvo 
Tehnična urednica Tadeja Šekoranja
Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk Košir, Ines Kristan
Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana
Naklada 1600 izvodov
© 2012 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije 
– 1862
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov 
brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati-
ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja 
prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih 
in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki 
naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen-
cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. 
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se-
dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo 
oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči-
noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki 
morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj  
8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika 
primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob-
javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do-
voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak 
med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni-
štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 
1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. 
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-
cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek 
sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po-
tem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo 
praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov 
TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob-
javo v elektronski obliki na internetu.
k o l o f o n
n a v o d i l a  s o d e l a v c e m  P r e s e k a 
z a  o d d a j o  p r i s p e v k o v
Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathe-
matical Moments“, ki jo objavlja Ameriško matematično 
društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments.
•
m
a
t
e
m
a
t
ič
n
i 
t
r
e
n
u
t
k
i
m a t e m a t i č n i  t r e n u t k i
2 presek 39 (2011/2012) 4
•
matematika
Matematika čebeljega satovja 
(Ivan Lisac)
fizika
Razgled s Triglava 
(Tine Golež)
Poizkuševalnica v mrzli naravi – 
Kako nas pogreje?
(Mojca Čepič)
Poizkuševalnica v kuhinji – 
odgovor naloge – Še o plinih
(Mojca Čepič)
Razmisli in poskusi –
Stopinje in tračnice v snegu
(Mitja Rosina)
razvedrilo
Naravoslovna fotografija –
Uklonske slike
(Aleš Mohorič)
Nagradna križanka 
(Marko Bokalič)
Rešitev nagradne križanke Presek 39/3 
(Marko Bokalič)
Barvni sudoku
Futošiki
računalništvo
Kodu: Ustvari svojo računalniško igro
(Eva Ferk)
 
matematični trenutki
Vzdrževanje bitja srca
astronomija
Slovensko astronomsko izrazoslovje
(Marijan Prosen)
tekmovanja
22. državno tekmovanje v razvedrilni 
matematiki (Klavdija Mlinšek)
47. tekmovanje iz matematike za Vegovo 
priznanje – področno tekmovanje
47. tekmovanje iz matematike za Vegovo 
priznanje – državno tekmovanje
2
4–10
12–15
18
19
20
21–24
25–29
31
16–17
30
10,18
29
10–11
priloga
priloga
k a z a l o
Kazalo
Slika na naslovnici: Čebele, pridne nabiralke medu, si zgradijo sa-
tovje, skupek voščenih celic, v katerega odlagajo med, cvetni prah 
in zalego. Satovje lahko opišemo tudi v matematičnem jeziku.
3Presek 39 (2011/2012) 4
4
m a t e m a t i k a
Predstavimo satovje iz šestkotnih celic. Uve-
demo pojme sprehod, celična razdalja, krogla, tla-
kovanje. Pokažemo, da je ravnino možno tlakovati
le s tremi pravilnimi liki. Izračunamo mere vseh
treh vrst satovij.
Koordinatni sistem
Vzemimo kompleksno ravnino in na njej izberimo
enoto 1 in šesti koren enote:
w = cos(2π
6
)+ i sin(2π
6
) = 1
2
+
√
3
2
i.
Ogrnimo ti dve števili z vsemi možnimi vsotami in
razlikami. Dobili bomo ogrinjačo O, ki je množica
vseh celoštevilskih kombinacij enice in številaw: O =
{u + vw : u,v ∈ Z}. Del te množice je upodobljen
na sliki 1. Ogrinjača O je zaprta za seštevanje in od-
števanje: vsota in razlika dveh števil iz O je zopet
število v O.
Slika 1, Slika 2
Število 0 ima v ogrinjači O šest sosednjih števil
oddaljenih za eno enoto. To so kar zaporedne po-
tence števila w : w,w2,w3,w4,w5 in w6 = 1. Ta
števila predstavljajo oglišča pravilnega šestkotnika
s stranico dolžine 1 in središčem v izhodišču 0. Na-
rišimo ta šestkotnik. Dobimo prvo celico s središčem
v (0,0). Potem pa nadaljujmo z risanjem enakih (t. j.
skladnih) celic tako, da se sosednje celice dotikajo že
narisanih. Po devetnajstih risih celic dobimo satovje
na sliki 2. Celice so označene s parom števil (u,v),
kjer sta u in v koordinati središča celice v posebnem
koordinatnem sistemu z osjo u v smeri števila 1 in
z osjo v v smeri števila w. Središče celice (u,v) v
tem koordinatnem sistemu je kar število u + vw v
običajnem sistemu kompleksne ravnine. S katerimi
številskimi pari (u,v) pa so označene celice?
Izrek 1.
Par celih števil (u,v) predstavlja središče celice na-
tanko takrat, ko je razlika u− v deljiva s 3.
Dokaz.
Za celico (0,0) to drži. To je osnova. Opazimo, da
ima vsaka celica v satovju natanko šest sosednjih ce-
lic. Sosede dane celice (u,v) dobimo s prištevanjem
celic:
(1,1), (−1,2), (−2,1), (−1,−1), (1,−2),
(2,−1). (1)
(glej tudi središče slike 2). Za te pare zlahka pre-
2
Predstavimo satovje iz šestkotnih celic. Uve-
demo pojme sprehod, celična razdalja, krogla, tla-
kovanje. Pokažemo, da je ravnino možno tlakovati
le s tremi pravilnimi liki. Izračunamo mere vseh
treh vrst satovij.
Koordinatni sistem
Vzemimo kompleksno ravnino in na njej izberimo
enoto 1 in šesti koren enote:
w = cos(2π
6
)+ i sin(2π
6
) = 1
2
+
√
3
2
i.
Ogrnimo ti dve števili z vsemi možnimi vsotami in
razlikami. Dobili bomo ogrinjačo O, ki je množica
vseh celoštevilskih kombinacij enice in številaw: O =
{u + vw : u,v ∈ Z}. Del te množice je upodobljen
na sliki 1. Ogrinjača O je zaprta za seštevanje in od-
števanje: vsota in razlika dveh števil iz O je zopet
število v O.
Slika 1, Slik 2
Število 0 ima v ogrinjači O šest sosednjih tevil
oddaljenih za eno enoto. T so k r zaporedne po-
tence števila w : w,w2,w3,w4,w5 in w6 = 1. Ta
števil predstavljajo oglišča pravilnega šestkotnika
s stran co dolžine 1 in središčem v izhodišču 0. Na-
rišimo ta šestkotnik. Dobimo prvo o s središč
v (0,0). Pot pa nadaljujm z risanj m enakih (t. j.
skladnih) celic tako, da se sosednje lice dotikajo že
narisanih. Po devetnajstih risih celic dobimo satovje
na sliki 2. Celice so označ ne s p rom števil (u,v),
kj r sta u n v koordinati redišč celice v posebnem
koordinatnem sistemu z osjo u v smeri števila 1 in
z osjo v v smeri števila w. Središče celice (u,v) v
tem koordinatnem sistemu je kar število u + vw v
običajnem sistemu kompleksne ravnine. S katerimi
številskimi pari (u,v) pa so označ ne celice?
Izrek 1.
P r celih števil (u,v) predstavlja središče celice na-
tanko takrat, ko je razlika u− v deljiva s 3.
Dokaz.
Za celico (0,0) to drži. To je osnova. Opazimo, da
ima vsaka celica v satovju natanko šest sosednjih ce-
lic. Sosede dane celice (u,v) dobimo s prištevanjem
celic:
(1,1), (−1,2), (−2,1), (−1,−1), (1,−2),
(2,−1). (1)
(glej tudi središče slike 2). Za te pare zlahka pre-
2
Predstavimo satovje iz šestkotnih celic. Uve-
demo pojme sprehod, celična razdalja, krogla, tla-
kovanje. Pokažemo, da je ravnino možno tlakovati
le s tremi pravilnimi liki. Izračunamo mere vseh
treh vrst satovij.
Koordinatni siste
Vzemimo kompleksno ravnino in na njej izberimo
enoto 1 in šesti koren enote:
w = cos(2π
6
)+ i sin(2π
6
) = 1
2
+
√
3
2
i.
Ogrnimo ti dve števili z vsemi možnimi vsotami in
razlikami. Dobili bomo ogrinjačo O, ki je množica
vseh celoštevilskih kombinacij enice in številaw: O =
{u + vw : u,v ∈ Z}. Del te množice je upodobljen
na sliki 1. Ogrinjača O je zaprta za seštevanje in od-
števanje: vsota in razlika dveh števil iz O je zopet
število v O.
Slika 1, Slika 2
Število 0 ima v ogrinjači O šest sosednjih števil
oddaljenih za eno enoto. To so kar zaporedne po-
tence števila w : w,w2,w3,w4,w5 in w6 = 1. Ta
števila predstavljajo oglišča pravilnega šestkotnika
s stranico dolžine 1 in središčem v izhodišču 0. Na-
rišimo ta šestkotnik. Dobimo prvo celico s središčem
v (0,0). Potem pa nadaljujmo z risanjem enakih (t. j.
skladnih) celic tako, da se sosednje celice dotikajo že
narisanih. Po devetnajstih risih celic dobimo satovje
na sliki 2. Celice so označene s parom števil (u,v),
kjer sta u in v koordinati središča celice v posebnem
koordinatnem sistemu z osjo u v smeri števila 1 in
z osjo v v smeri števila w. Središče celice (u,v) v
tem koordinatnem sistemu je kar število u + vw v
običajnem sistemu kompleksne ravnine. S katerimi
številskimi pari (u,v) pa so označene celice?
Izrek 1.
Par celih števil (u,v) predstavlja središče celice na-
tanko takrat, ko je razlika u− v deljiva s 3.
Dokaz.
Za celico (0,0) to drži. To je osnova. Opazimo, da
ima vsaka celica v satovju natanko šest sosednjih ce-
lic. Sosede dane celice (u,v) dobimo s prištevanjem
celic:
(1,1), (−1,2), (−2,1), (−1,−1), (1,−2),
(2,−1). (1)
(glej tudi središče slike 2). Za te pare zlahka pre-
2
Pred avimo satovje iz šestkotnih celic. Uve-
demo pojme sprehod, celična razdalja, krogla, tla-
kovanje. Pokažemo, da je ravnino možno tlakovati
le s tremi pravilnimi liki. Izračunamo mere vseh
treh vrst satovij.
Koordinatni sistem
Vzemimo kompleksno ravnino in na njej izberimo
enoto 1 in šesti koren en te:
w = cos(2π
6
)+ i sin(2π
6
) = 1
2
+
√
3
2
i.
Ogrnimo ti dve števili z vsemi možnimi vsotami in
razlikami. Dobili bomo ogrinjačo O, ki je množica
vseh celoštevilskih kombinacij enice in številaw: O =
{u + vw : u,v ∈ Z}. Del te množice je upodobljen
na sliki 1. Ogrinjača O je zaprta za seštevanje in od-
števanje: vsota in razlika dveh števil iz O je zopet
število v O.
Slika 1, Slika 2
Število 0 ima v ogrinjači O šest sosednjih števil
oddaljenih za eno enoto. To so kar zaporedne po-
tence števila w : w,w2,w3,w4,w5 in w6 = 1. Ta
števila predstavljajo oglišča pravilnega šestkotnika
s stranico dolžine 1 in središčem v izhodišču 0. Na-
rišimo ta šestkotnik. Dobimo prvo celico s središčem
v (0,0). Potem pa nadaljujmo z risanjem enakih (t. j.
skladnih) celic tako, da se sosednje celice dotikajo že
narisanih. Po devetnajstih risih celic dobimo satovje
na sliki 2. Celice so označene s parom števil (u,v),
kjer sta u in v koordinati središča celice v posebnem
koordinatnem sistemu z osjo u v smeri števila 1 in
z osjo v v smeri števila w. Središče celice (u,v) v
tem koordinatnem sistemu je kar število u + vw v
običajnem sistemu kompleksne ravnine. S katerimi
številskimi pari (u,v) pa so označene celice?
Izrek 1.
Par celih števil (u,v) predstavlja središče celice na-
tanko takrat, ko je razlika u− v deljiva s 3.
Dokaz.
Za celico (0,0) to drži. To je osnova. Opazimo, da
ima vsaka celica v satovju natanko šest sosednjih ce-
lic. Sosede dane celice (u,v) dobimo s prištevanjem
celic:
(1,1), (−1,2), (−2,1), (−1,−1), (1,−2),
(2,−1). (1)
(glej tudi središče slike 2). Za te pare zlahka pre-
2
Predstavimo sat vje iz šestkotnih celic. Uve
demo pojme sprehod, celična razdalja, krogla, tla-
kovanje. Pok žemo, da je ravnino možno tlakovati
le s tremi pra ilnimi liki. Izračunamo mere vseh
treh vrst satovij.
Koordinatni sistem
Vzemimo kompleksno ravnino in na njej izberimo
enoto 1 in šesti koren enote:
w = cos(2π
6
)+ i sin(2π
6
) = 1
2
+
√
3
2
i.
Ogrnim ti dve števili z vsemi možnimi sotami in
razlikami. Dobili bomo ogrinjačo O, ki je množica
vseh celoštevilskih kombin cij enice in številaw: O =
{u + vw : u,v ∈ Z}. Del te množice je upodobljen
na sliki 1. Ogrinjača O je zaprta za seštevanje in od-
števanje: vsota in razlik dveh števil iz O je zopet
število v O.
Slika 1, Slika 2
Št vilo 0 ima v ogrinjači O šest sos dnjih števil
oddaljenih za eno en to. To so kar z poredne po-
tence števila w : w,w2,w3,w4,w5 in w6 = 1. Ta
št vila predstavljajo oglišča ravilnega šestkot ika
s stranico dolžine 1 in središčem v izhodišču 0. Na-
rišim ta š stkotnik. Dobimo prvo celico s središčem
v (0,0). Potem pa nadaljujmo z risanjem enakih (t. j.
skladnih) celic tako, da se sos dnje celice dotikajo že
narisanih. Po devetnajstih risih celic dobim satovje
na sliki 2. Celice so označene s parom števil (u,v),
kjer sta u in v koordinati središča celi v posebnem
koordinatnem sistemu z osjo u v smeri števila 1 in
z osjo v v sm ri števila w. Sr dišč c lice (u,v) v
tem koordin tnem sistem je k r št vilo u + vw v
običajnem sistemu kompleksne ravnine. S katerimi
številskimi pari (u,v) pa so označene celice?
Izrek 1.
Par celih števil (u,v) predstavlja središče c lice na-
tan o takrat, ko je razlika u− v deljiva s 3.
Dokaz.
Za celico (0,0) to drži. To je snova. Opazimo, da
ima vsaka celica v satovju natanko šest sosednjih c -
lic. Sosede dane celice (u,v) dobimo s prištevanjem
celic:
(1,1), (−1,2), (−2,1), (−1,−1), (1,−2),
(2,−1). (1)
(glej tudi središče slike 2). Za te pare zlahka pre-
2
k
t i t j i t t i li . -
j , li lj , l , tl -
j . , j i tl ti
l t i il i i li i. I
t t t ij.
i t i i t
i l r i i j j i ri
t i ti r t :
i i i.
r i ti t ili i i i t i i
r li i. ili ri j , i j i
l t il i i ij i i t il :
: , . l t i j lj
li i . ri j j rt t j i -
t j : t i r li t il i j t
t il .
li , li
t l i ri j i t ji t il
lj i t . r r -
t t il : , 2, 3, 4, 5 i 6 .
t il r t lj j l il t t i
t i l i i r i i i . -
ri i t t t i . i r li r i
, . t lj j ri j i (t. j.
l ) li t , j li ti j
ri i . t j i i li i s t j
li i . li r t il , ,
j r t i r i ti r i li
r i t i t j ri t il i
j ri t il . r i li ,
r i t i t j r t il
i j i t l r i . t ri i
t il i i ri , li
I r .
r li t il , r t lj r i li -
t t r t, j r li lji .
.
li , t r i. j . i ,
i li t j t t ji e-
li . li , i ri t j
li :
, , , , , , , , , ,
, . ( )
( l j t i r i li ). t r l r -
r s s š s
s r r r
r
s r r r r s
r rs s
r
e e s e e
e šes e e e
c s( ) s ( )
e š e se s
c e c
se ce š e s c e ce š e
{ } e e ce e e
s c e seš e e
š e e s e š e e e
š e
c šes s s š e
e e e s e e
e ce š e
š e s šc e šes
s s c e s e šce šc
š š ce s s e šce
( ) e s e e
s ce c se s s e ce ce e
s e e s s ce c e
s e ce s ce e s š e ( )
e s s e šc ce se e
e s s e s s e š e
s š e šc c ce ( )
e e s s e e š
c e s s e e s e e e
š e s ( ) s ce e ce ce?
e
ce š e ( ) e s s e šce c ce
e e s
ce c ( ) e s
s ce c s šes s se c
c se e e ce ce ( ) s š e e
ce c
) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
e s e šce s e e e e
P e a o a o e z e o ce c e
e o o e e o ce č a az a a og a a
o a e Po aže o a e a o ož o a o a
e e a z ač a o e e e
e a o
s s
z o ko k o av o a zb o
o o 1 ko o
o
2
6
2
6
1
2
3
2
g v v z v ož o a
az ka ob bo o og aˇo k ož a
v o v k ko b v a
ož o ob
a k 1 g aˇa za a za va o
va v o a az k v v z zo
v o v
S ka 1 S ka 2
Š v o 0 a v og aˇ o v
o a za o o o o ka z o o
v a 1 a
v a av a o og ˇa av ga ko ka
a o o ž 1 ˇ v z o ˇ 0 a
a ko k ob o vo o ˇ
v 0 0 Po a a a o z a ak
k a ako a o o ka o ž
a a Po v a ob a ov
a k 2 o oz aˇ a o v
k a koo a ˇa v o b
koo a z o o v v a 1
z o o v v a S ˇ v
koo k v o v
ob ˇa ko k av S ka
v k a a o oz aˇ
z k 1
Pa v av a ˇ a
a o ak a ko az ka va 3
okaz
a o 0 0 o ž o ova az o a
a v aka a v a ov a a ko o
So a ob o va
1 1 1 2 2 1 1 1 1 2
2 1 1
g ˇ k 2 a a z a ka
2
Matematika 
čebeljega 
satovja
•
pre ek 39 (2011/2012) 4
ivan lisac
 e
5
m a t e m a t i k a
(n–2)Π
Predstavimo satovje iz šestkotnih celic. Uve-
demo pojme sprehod, celična razdalja, krogla, tla-
kovanje. Pokažemo, da je ravnino možno tlakovati
le s tremi pravilnimi liki. Izračunamo mere vseh
treh vrst satovij.
Koordinatni sistem
Vzemimo kompleksno ravnino in na njej izberimo
enoto 1 in šesti koren enote:
w = cos(2π
6
)+ i sin(2π
6
) = 1
2
+
√
3
2
i.
Ogrnimo ti dve števili z vsemi možnimi vsotami in
razlikami. Dobili bomo ogrinjačo O, ki je množica
vseh celoštevilskih kombinacij enice in številaw: O =
{u + vw : u,v ∈ Z}. Del te množice je upodobljen
na sliki 1. Ogrinjača O je zaprta za seštevanje in od-
števanje: vsota in razlika dveh števil iz O je zopet
število v O.
Slika 1, Slika 2
Število 0 ima v ogrinjači O šest sosednjih števil
oddaljenih za eno enoto. To so kar zaporedne po-
tence števila w : w,w2,w3,w4,w5 in w6 = 1. Ta
števila predstavljajo oglišča pravilnega šestkotnika
s stranico dolžine 1 in središčem v izhodišču 0. Na-
rišimo ta šestkotnik. Dobimo prvo celico s središčem
v (0,0). Potem pa nadaljujmo z risanjem enakih (t. j.
skladnih) celic tako, da se sosednje celice dotikajo že
narisanih. Po devetnajstih risih celic dobimo satovje
na sliki 2. Celice so označene s parom števil (u,v),
kjer sta u in v koordinati središča celice v posebnem
koordinatnem sistemu z osjo u v smeri števila 1 in
z osjo v v smeri števila w. Središče celice (u,v) v
tem koordinatnem sistemu je kar število u + vw v
običajnem sistemu kompleksne ravnine. S katerimi
številskimi pari (u,v) pa so označene celice?
Izrek 1.
Par celih števil (u,v) predstavlja središče celice na-
tanko takrat, ko je razlika u− v deljiva s 3.
Dokaz.
Za celico (0,0) to drži. To je osnova. Opazimo, da
ima vsaka celica v satovju natanko šest sosednjih ce-
lic. Sosede dane celice (u,v) dobimo s prištevanjem
celic:
(1,1), (−1,2), (−2,1), (−1,−1), (1,−2),
(2,−1). (1)
(glej tudi središče slike 2). Za te pare zlahka pre-
2
Predstavimo satovje iz šestkotnih celic. Uve-
demo pojme sprehod, celična razdalja, krogla, tla-
kovanje. Pokažemo, da je ravnino možno tlakovati
le s tremi pravilnimi liki. Izračunamo mere vseh
treh vrst satovij.
Koordinatni siste
Vzemimo kompleksno ravnino in na njej izberimo
enoto 1 in šesti koren enote:
w = cos(2π
6
)+ i sin(2π
6
) = 1
2
+
√
3
2
i.
Ogrnimo ti dve števili z vsemi možnimi vsotami in
razlikami. Dobili bomo ogrinjačo O, ki je množica
vseh celoštevilskih kombinacij enice in številaw: O =
{u + vw : u,v ∈ Z}. Del te množice je upodobljen
na sliki 1. Ogrinjača O je zaprta za seštevanje in od-
števanje: vsota in razlika dveh števil iz O je zopet
število v O.
Slika 1, Slika 2
Število 0 ima v ogrinjači O šest sosednjih števil
oddaljenih za eno enoto. To so kar zaporedne po-
tence števila w : w,w2,w3,w4,w5 in w6 = 1. Ta
števila predstavljajo oglišča pravilnega šestkotnika
s stranico dolžine 1 in središčem v izhodišču 0. Na-
rišimo ta šestkotnik. Dobimo prvo celico s središčem
v (0,0). Potem pa nadaljujmo z risanjem enakih (t. j.
skladnih) celic tako, da se sosednje celice dotikajo že
narisanih. Po devetnajstih risih celic dobimo satovje
na sliki 2. Celice so označene s parom števil (u,v),
kjer sta u in v koordinati središča celice v posebnem
koordinatnem sistemu z osjo u v smeri števila 1 in
z osjo v v smeri števila w. Središče celice (u,v) v
tem koordinatnem sistemu je kar število u + vw v
običajnem sistemu kompleksne ravnine. S katerimi
številskimi pari (u,v) pa so označene celice?
Izrek 1.
Par celih števil (u,v) predstavlja središče celice na-
tanko takrat, ko je razlika u− v deljiva s 3.
Dokaz.
Za celico (0,0) to drži. To je osnova. Opazimo, da
ima vsaka celica v satovju natanko šest sosednjih ce-
lic. Sosede dane celice (u,v) dobimo s prištevanjem
celic:
(1,1), (−1,2), (−2,1), (−1,−1), (1,−2),
(2,−1). (1)
(glej tudi središče slike 2). Za te pare zlahka pre-
2
Predstavimo satovje iz šestkotnih celic. Uve-
demo pojme sprehod, celična razdalja, krogla, tla-
kovanje. Pokažemo, da je ravnino možno tlakovati
le s tremi pravilnimi liki. Izračunamo mere vseh
treh vrst satovij.
Koordinatni sistem
Vzemimo kompleksno ravnino in na njej izberimo
enoto 1 in šesti koren enote:
w = cos(2π
6
)+ i sin(2π
6
) = 1
2
+
√
3
2
i.
Ogrnimo ti dve števili z vsemi možnimi vsotami in
razlikami. Dobili bomo ogrinjačo O, ki je množica
vseh celoštevilskih kombinacij enice in številaw: O =
{u + vw : u,v ∈ Z}. Del te množice je upodobljen
na sliki 1. Ogrinjača O je zaprta za seštevanje in od-
števanje: vsota in razlika dveh števil iz O je zopet
število v O.
Slika 1, Slika 2
Število 0 ima v ogrinjači O šest sosednjih števil
oddaljenih za eno enoto. To so kar zaporedne po-
tence števila w : w,w2,w3,w4,w5 in w6 = 1. Ta
števila predstavljajo oglišča pravilnega šestkotnika
s stranico dolžine 1 in središčem v izhodišču 0. Na-
rišimo ta šestkotnik. Dobimo prvo celico s središčem
v (0,0). Potem pa nadaljujmo z risanjem enakih (t. j.
skladnih) celic tako, da se sosednje celice dotikajo že
narisanih. Po devetnajstih risih celic dobimo satovje
na sliki 2. Celice so označene s parom števil (u,v),
kjer sta u in v koordinati središča celice v posebnem
koordinatnem sistemu z osjo u v smeri števila 1 in
z osjo v v smeri števila w. Središče celice (u,v) v
tem koordinatnem sistemu je kar število u + vw v
običajnem sistemu kompleksne ravnine. S katerimi
številskimi pari (u,v) pa so označene celice?
Izrek 1.
Par celih števil (u,v) predstavlja središče celice na-
tanko takrat, ko je razlika u− v deljiva s 3.
Dokaz.
Za celico (0,0) to drži. To je osnova. Opazimo, da
ima vsaka celica v satovju natanko šest sosednjih ce-
lic. Sosede dane celice (u,v) dobimo s prištevanjem
celic:
(1,1), (−1,2), (−2,1), (−1,−1), (1,−2),
(2,−1). (1)
(glej tudi središče slike 2). Za te pare zlahka pre-
2
verimo, da velja: če 3 deli u − v , potem 3 deli tudi
razliko koordinat sosednje celice. To pomeni, da do-
dajanje sosednjih celic ohranja opazovano lastnost.
Če začnemo graditi satovje s celico (0,0), potem z
dodajanjem sosednjih celic zgradimo satovje iz celic
s to lastnostjo. Dokaz obratne smeri opustimo.
Slika 3, Slika 4
Konstrukcijo satovja smo tako opisali. Celice po-
krijejo vso ravnino na način, ki mu pravimo tlakova-
nje.
Tlakovanje
Opredelimo ta pojem natančneje in poskusimo najti
vsa možna tlakovanja. Tlakovanje ravnine je taka
postavitev paroma skladnih pravilnih n-kotnikov, ki
pokrije vso ravnino.
Presek poljubnih dveh različnih n-kotnikov je pra-
zen ali pa je le skupna stranica.
Vsako oglišče vsakega n-kotnika ima v svoji sose-
ščini k večkotnikov, katerih presek je ravno to ogli-
šče.
Izrek 2.
Tlakovati ravnino je moč le s tremi pravilnimi liki:
trikotnikom, kvadratom in šestkotnikom.
Dokaz.
Naj bo dano tako tlakovanje ravnine s pravilnimi n-
kotniki, kjer se v vsakem oglišču stika k okoliških
večkotnikov. Notranji kot pravilnega n-kotnika meri
nπ−2π
n radianov. Ker k okoliških večkotnikov razdeli
polni kot okoli danega oglišča na k skladnih kotov,
vsak tak kot pa je notranji kot enega večkotnika (glej
sliki 3 in 4), mora biti
nπ − 2π
n
= 2π
k
oziroma
k = 2n
n− 2 = 2+
4
n− 2 .
Od tod sklepamo, da mora n − 2 deliti 4, kar je mo-
žno samo za n ∈ {3,4,6}. Ravnino je res možno
tlakovati tudi s trikotnikom in kvadratom, kar nam
pokažeta sliki 5 in 6.
Slika 5, Slika 6
3
verimo, da velja: če 3 deli u − v , potem 3 deli tudi
razl ko koordi at sosednje celice. To pomeni, da do
dajanje sosednjih celic ohranja opazovano lastnost.
Če začnemo graditi satovje s celico (0,0), potem z
dodajanjem sosednjih celic zgradimo satovje iz celic
s to lastnostjo. Dokaz obratne smeri opustimo.
Slika 3, Slika 4
Konstrukcijo sa ovja smo t ko opi ali. Celice po
rijejo vso ravnino n način, k mu pravimo tlakova-
nje.
Tlakovanje
Opredelimo ta pojem natančneje in poskusimo najti
vsa možna tlakovanja. Tlakovanje ravnine je taka
postavitev paroma skladnih pravilnih n-kotnikov, ki
pokrije vso ravnino.
Presek poljubnih dveh različnih n-kotnikov je pra-
zen ali pa je le skupna stranica.
Vsako oglišče vsakega n-kotnika ima v svoji sose-
ščini k večkotnikov, katerih presek je ravno to ogli-
šče.
Izrek 2.
Tlakovati ravnino je moč le s tremi pravilnimi liki:
trikotnikom, kvadratom in šestkotnikom.
Dokaz.
Naj bo dano tako tlakovanje ravnine s pravilnimi n-
kotniki, kjer se v vsakem oglišču stika k okoliških
večkotnikov. Notranji kot pravilnega n-kotnika meri
nπ−2π
n radianov. Ker k okoliških večkotnikov razdeli
polni kot okoli danega oglišča na k skladnih kotov,
vsak tak kot pa je notranji kot enega večkotnika (glej
sliki 3 in 4), mora biti
nπ − 2π
n
= 2π
k
oziroma
k = 2n
n− 2 = 2+
4
n− 2 .
Od tod sklepamo, da mora n − 2 deliti 4, kar je mo-
žno samo za n ∈ {3,4,6}. Ravnino je res možno
tlakovati tudi s trikotnikom in kvadratom, kar nam
pokažeta sliki 5 in 6.
Slika 5, Slika 6
3
Presek 39 (2011/2012) 4
•
slika 1.
Del ogrinjače O
slika 3.
Notranji kot meri
n
slika 2.
Del satovja, tudi K2
slika 4.
V soseščini je k 
skladnih kotov
je
6
m a t e m a t i k a
slika 6.
Tlak kvadratov, 
tudi K2
•
Celǐcna razdalja
Sprehod je zaporedje sosednjih celic, ki vodi od za-
četne do končne celice. Dolžina sprehoda je število
korakov od začetne do končne celice (in je zato ne-
negativno celo število). Korakati smemo od dane na
sosednjo celico preko skupne stranice. Celična raz-
dalja med začetno in končno celico je dolžina naj-
krajšega sprehoda od začetne do končne celice.
Izračunajmo celično razdaljo med celico (0,0) in ce-
lico (u,v). Med vsemi sprehodi izpustimo take, ki
imajo kake korake odveč: naj bo dano tako zapo-
redje korakov k1, k2, . . . , kp iz množice (1), ki vodi
do celice (u,v):
k1 + k2 + · · · + kp = (u,v). (2)
[a.] Če se v vsoti (2) pojavita nasprotna koraka, lahko
sprehod skrajšamo tako, da ta dva nasprotna koraka
izpustimo iz sprehoda in dobimo krajši sprehod od
(0,0) do (u,v).
[b.] Če se v vsoti (2) pojavijo trije koraki ka, kb, kc
iz množice (1), ki kažejo v tri različne smeri in si
nobene od teh treh smeri ne nasprotujejo (če si na-
sprotujejo, glej točko a), lahko sprehod skrajšamo
vsaj za en korak, saj velja vsaj ena od enakosti:
[b1.] ±ka = kb + kc (tu zamenjamo člena kb in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±ka) ali
[b2.] ±kb = ka + kc (tu zamenjamo člena ka in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kb) ali
[b3.] ±kc = ka + kb (tu zamenjamo člena ka in kb v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kc).
Tabela 1
Z uporabo skrajševalnih pravil a. in b. tako lahko do-
sežemo, da so v skrajšanem sprehodu od (0,0) do
(u,v) le koraki iz največ dveh (nenasprotnih) smeri.
Denimo, da sta podana u in v takšna, da vodi do
celice (u,v) sprehod s samo dvema smernima ko-
rakoma: (1,1) in (−1,2). Potem lahko zapišemo
končno celico (u,v) kot nenegativno celoštevilsko li-
nearno kombinacijo teh dveh korakov: (u,v) =
a(1,1) + b(−1,2) oziroma a − b = u,a + 2b = v
z rešitvijo a + b = (u + 2v)/3. V tem primeru torej
potrebujemo (u+ 2v)/3 korakov, da pridemo od ce-
lice (0,0) do celice (u,v). Na podoben način lahko
rešimo tak sistem enačb za druge izbire smernih ko-
rakov. Rešitev je zbrana v tabeli 1, posamǐcna obmo-
čja pa so prikazana na sliki 7. Vsako območje je iz
tistih celic, do katerih je najkrajši sprehod od izho-
diščne celice (0,0) sestavljen samo iz ustreznih dveh
smernih korakov.
Slika 7, Slika 8
4
Celǐcna razdalja
Sprehod je zaporedje sosednjih celic, ki vodi od za-
četne do končne celice. Dolžina sprehoda je število
korakov od zač tn do končne celic (in je zato ne-
neg tivn celo število). K rakati sm mo od d ne na
sosednjo celico prek skupne stranice. Celična raz-
dalja med začetno in konč o celico je dolži naj-
krajšega sprehoda od začet e do končne celice.
Izračun jmo celičn razdaljo med celico (0,0) in ce-
lico ( , v). M d vsemi sprehodi izpustimo take, ki
imajo kake korake odveč: naj bo dano tako zapo-
redje korakov k1, k2, . . . , kp iz množice (1), ki vodi
do c lice (u, ):
k1 + k2 + · · · + kp = (u,v). (2)
[a.] Če se v vsoti (2) pojavita nasprotna koraka, lahko
sprehod skrajšamo tako, d ta dva naspr tna kora a
izpustimo iz sprehoda in dobimo krajši spreh d od
(0,0) do (u,v).
[b.] Če se v vsoti (2) pojavijo trije koraki ka, kb, kc
iz množice (1), ki kažejo v tri različne smeri in si
nobe e od teh treh sm ri ne nasprotuj jo (če si na-
sprotujejo, glej točko a), lahko sprehod skrajšamo
vsaj za n korak, saj velja vsaj ena od enakosti:
[b1.] ±ka = kb + kc (tu zamenjamo člena kb in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±ka) ali
[b2.] ±kb = ka + kc (tu zamenjamo člena ka in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kb) ali
[b3.] ±kc = ka + kb (tu zamenjamo člena ka in kb v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kc).
Tabela 1
Z uporabo skrajševalnih pravil a. in b. tako lahko do-
sežemo, da so v skrajšanem sprehodu d (0,0) do
(u,v) le koraki iz največ dveh (nenasprotnih) smeri.
Denimo, da sta podana u in v takšna, da vodi do
celice (u,v) sprehod s samo dvema smernima ko-
rakoma: (1,1) in (−1,2). Potem lahko zapišemo
končno celico (u,v) kot nenegativno celoštevilsko li-
near kombinacijo teh dveh korakov: (u,v) =
a(1,1) + b(−1,2) ziroma a − b = u,a + 2b = v
z rešitvijo a + b = (u + 2v)/3. V tem primeru torej
potrebujemo (u+ 2v)/3 korakov, da pridemo od c -
lice (0,0) d celice (u,v). Na podoben način lahko
rešimo tak sist m načb za druge iz ire smernih ko-
rakov. Rešitev je zbr na v tabeli 1, posamǐcna obm -
čja pa so prikazana na sliki 7. Vsako območje je iz
tistih celic, do k terih je najkrajši sprehod od izho-
diščne celice (0,0) sestavljen samo iz ustreznih dveh
smernih korakov.
Slika 7, Slika 8
4
Celǐcna razdalja
Sprehod je zaporedje sosednjih celic, ki vodi od za-
četne do končne celice. Dolžina sprehoda je število
korakov od začetne do končne celice (in je zato ne-
negativno celo število). Korakati smemo od dane na
sosednjo celico preko skupne stranice. Celična raz-
dalja med začetno in končno celico je dolžina naj-
krajšega sprehoda od začetne do končne celice.
Izračunajmo celično razdaljo med celico (0,0) in ce-
lico (u,v). Med vsemi sprehodi izpustimo take, ki
imajo kake korake odveč: naj bo dano tako zapo-
redje korakov k1, k2, . . . , kp iz množice (1), ki vodi
do celice (u,v):
k1 + k2 + · · · + kp = (u,v). (2)
[a.] Če se v vsoti (2) pojavita nasprotna koraka, lahko
sprehod skrajšamo tako, da ta dva nasprotna koraka
izpustimo iz sprehoda in dobimo krajši sprehod od
(0,0) do (u,v).
[b.] Če se v vsoti (2) pojavijo trije koraki ka, kb, kc
iz množice (1), ki kažejo v tri različne smeri in si
nobene od teh treh smeri ne nasprotujejo (če si na-
sprotujejo, glej točko a), lahko sprehod skrajšamo
vsaj za en korak, saj velja vsaj ena od enakosti:
[b1.] ±ka = kb + kc (tu zamenjamo člena kb in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±ka) ali
[b2.] ±kb = ka + kc (tu zamenjamo člena ka in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kb) ali
[b3.] ±kc = ka + kb (tu zamenjamo člena ka in kb v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kc).
Tabela 1
Z uporabo skrajševalnih pravil a. in b. tako lahko do-
sežemo, da so v skrajšanem sprehodu od (0,0) do
(u,v) le koraki iz največ dveh (nenasprotnih) smeri.
Denimo, da sta podana u in v takšna, da vodi do
celice (u,v) sprehod s samo dvema smernima ko-
rakoma: (1,1) in (−1,2). Potem lahko zapišemo
končno celico (u,v) kot nenegativno celoštevilsko li-
nearno kombinacijo teh dveh korakov: (u,v) =
a(1,1) + b(−1,2) oziroma a − b = u,a + 2b = v
z rešitvijo a + b = (u + 2v)/3. V tem primeru torej
potrebujemo (u+ 2v)/3 korakov, da pridemo od ce-
lice (0,0) do celice (u,v). Na podoben način lahko
rešimo tak sistem enačb za druge izbire smernih ko-
rakov. Rešitev je zbrana v tabeli 1, posamǐcna obmo-
čja pa so prikazana na sliki 7. Vsako območje je iz
tistih celic, do katerih je najkrajši sprehod od izho-
diščne celice (0,0) sestavljen samo iz ustreznih dveh
smernih korakov.
Slika 7, Slika 8
4
Celǐcna razdalja
Sprehod je zaporedje sosednjih celic, ki vodi od za-
četne do končne celice. Dolžina sprehoda je število
korakov od začetne do končne celice (in je zato ne-
negativno celo število). Korakati smemo od dane na
sosednjo celico preko skupne stranice. Celična raz-
dalja med začetno in končno celico je dolžina naj-
krajšega sprehoda od začetne do končne celice.
Izračunajmo celično razdaljo med celico (0,0) in ce-
lico (u,v). Med vsemi sprehodi izpustimo take, ki
imajo kake korake odveč: naj bo dano tako zapo-
redje korakov k1, k2, . . . , kp iz množice (1), ki vodi
do celice (u,v):
k1 + k2 + · · · + kp = (u,v). (2)
[a.] Če se v vsoti (2) pojavita nasprotna koraka, lahko
sprehod skrajšamo tako, da ta dva nasprotna koraka
izpustimo iz sprehoda in dobimo krajši sprehod od
(0,0) do (u,v).
[b.] Če se v vsoti (2) pojavijo trije koraki ka, kb, kc
iz množice (1), ki kažejo v tri različne smeri in si
nobene od teh treh smeri ne nasprotujejo (če si na-
sprotujejo, glej točko a), lahko sprehod skrajšamo
vsaj za en korak, saj velja vsaj ena od enakosti:
[b1.] ±ka = kb + kc (tu zamenjamo člena kb in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±ka) ali
[b2.] ±kb = ka + kc (tu zamenjamo člena ka in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kb) ali
[b3.] ±kc = ka + kb (tu zamenjamo člena ka in kb v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kc).
Tabela 1
Z uporabo skrajševalnih pravil a. in b. tako lahko do-
sežemo, da so v skrajšanem sprehodu od (0,0) do
(u,v) le koraki iz največ dveh (nenasprotnih) smeri.
Denimo, da sta podana u in v takšna, da vodi do
celice (u,v) sprehod s samo dvema smernima ko-
rakoma: (1,1) in (−1,2). Potem lahko zapišemo
končno celico (u,v) kot nenegativno celoštevilsko li-
nearno kombinacijo teh dveh korakov: (u,v) =
a(1,1) + b(−1,2) oziroma a − b = u,a + 2b = v
z rešitvijo a + b = (u + 2v)/3. V tem primeru torej
potrebujemo (u+ 2v)/3 korakov, da pridemo od ce-
lice (0,0) do celice (u,v). Na podoben način lahko
rešimo tak sistem enačb za druge izbire smernih ko-
rakov. Rešitev je zbrana v tabeli 1, posamǐcna obmo-
čja pa so prikazana na sliki 7. Vsako območje je iz
tistih celic, do katerih je najkrajši sprehod od izho-
diščne celice (0,0) sestavljen samo iz ustreznih dveh
smernih korakov.
Slika 7, Slika 8
4
verimo, da velja: če 3 deli u − v , potem 3 deli tudi
razliko koordinat sosednje celice. To pomeni, da do-
dajanje sosednjih celic ohranja opazovano lastnost.
Če začnemo graditi satovje s celico (0,0), potem z
dodajanjem sosednjih celic zgradimo satovje iz celic
s to lastnostjo. Dokaz obratne smeri opustimo.
Slika 3, Slika 4
Konstrukcijo satovja smo tako opisali. Celice po-
krijejo vso ravnino na način, ki mu pravimo tlakova-
nje.
Tlakovanje
Opredelimo ta pojem natančneje in poskusimo najti
vsa možna tlakovanja. Tlakovanje ravnine je taka
postavitev paroma skladnih pravilnih n-kotnikov, ki
pokrije vso ravnino.
Presek poljubnih dveh različnih n-kotnikov je pra-
zen ali pa je le skupna stranica.
Vsako oglišče vsakega n-kotnika ima v svoji sose-
ščini k večkotnikov, katerih presek je ravno to ogli-
šče.
Izrek 2.
Tlakovati ravnino je moč le s tremi pravilnimi liki:
trikotnikom, kvadratom in šestkotnikom.
Dokaz.
Naj bo dano tako tlakovanje ravnine s pravilnimi n-
kotniki, kjer se v vsakem oglišču stika k okoliških
večkotnikov. Notranji kot pravilnega n-kotnika meri
nπ−2π
n radianov. Ker k okoliških večkotnikov razdeli
polni kot okoli danega oglišča na k skladnih kotov,
vsak tak kot pa je notranji kot enega večkotnika (glej
sliki 3 in 4), mora biti
nπ − 2π
n
= 2π
k
oziroma
k = 2n
n− 2 = 2+
4
n− 2 .
Od tod sklepamo, da mora n − 2 deliti 4, kar je mo-
žno samo za n ∈ {3,4,6}. Ravnino je res možno
tlakovati tudi s trikotnikom in kvadratom, kar nam
pokažeta sliki 5 in 6.
Slika 5, Slika 6
3
verimo, da velja: če 3 deli u − v , potem 3 deli tudi
razliko koordinat sosednje celice. To pomeni, da do-
dajanje sosednjih celic ohranja opazovano lastnost.
Če začnemo graditi satovje s celico (0,0), potem z
dodajanjem sosednjih celic zgradimo satovje iz celic
s to lastnostjo. Dokaz obratne smeri opustimo.
Slika 3, Slika 4
Konstrukcijo satovja smo tako opisali. Celice po-
krijejo vso ravnino na način, ki mu pravimo tlakova-
nje.
Tlakovanje
Opredelimo ta pojem natančneje in poskusimo najti
vsa možna tlakovanja. Tlakovanje ravnine je taka
postavitev paroma skladnih pravilnih n-kotnikov, ki
pokrije vso ravnino.
Presek poljubnih dveh različnih n-kotnikov je pra-
zen ali pa je le skupna stranica.
Vsako oglišče vsakega n-kotnika ima v svoji sose-
ščini k večkotnikov, katerih presek je ravno to ogli-
šče.
Izrek 2.
Tlakovati ravnino je moč le s tremi pravilnimi liki:
trikotnikom, kvadratom in šestkotnikom.
Dokaz.
Naj bo dano tako tlakovanje ravnine s pravilnimi n-
kotniki, kjer se v vsakem oglišču stika k okoliških
večkotnikov. Notranji kot pravilnega n-kotnika meri
nπ−2π
n radianov. Ker k okoliških večkotnikov razdeli
polni kot okoli danega oglišča na k skladnih kotov,
vsak tak kot pa je notranji kot enega večkotnika (glej
sliki 3 in 4), mora biti
nπ − 2π
n
= 2π
k
oziroma
k = 2n
n− 2 = 2+
4
n− 2 .
Od tod sklepamo, da mora n − 2 deliti 4, kar je mo-
žno samo za n ∈ {3,4,6}. Ravnino je res možno
tlakovati tudi s trikotnikom in kvadratom, kar nam
pokažeta sliki 5 in 6.
Slika 5, Slika 6
3
verimo, da velja: če 3 deli u − v , potem 3 deli tudi
razliko koordinat sosednje celice. To pomeni, da do-
dajanje sosednjih celic ohranja opazovano lastnost.
Če začnemo graditi satovje s celico (0,0), potem z
dodajanjem sosednjih celic zgradimo satovje iz celic
s to lastnostjo. Dokaz obratne smeri opustimo.
Slika 3, Slika 4
Konstrukcijo satovja smo tako opisali. Celice po-
krijejo vso ravnino na način, ki mu pravimo tlakova-
nje.
Tlakovanje
Opredelimo ta pojem natančneje in poskusimo najti
vsa možna tlakovanja. Tlakovanje ravnine je taka
postavitev paroma skladnih pravilnih n-kotnikov, ki
pokrije vso ravnino.
Presek poljubnih dveh različnih n-kotnikov je pra-
zen ali pa je le skupna stranica.
Vsako oglišče vsakega n-kotnika ima v svoji sose-
ščini k večkotnikov, katerih presek je ravno to ogli-
šče.
Izrek 2.
Tlakovati ravnino je moč le s tremi pravilnimi liki:
trikotnikom, kvadratom in šestkotnikom.
Dokaz.
Naj bo dano tako tlakovanje ravnine s pravilnimi n-
kotniki, kjer se v vsakem oglišču stika k okoliških
večkotnikov. Notranji kot pravilnega n-kotnika meri
nπ−2π
n radianov. Ker k okoliških večkotnikov razdeli
polni kot okoli danega oglišča na k skladnih kotov,
vsak tak kot pa je notranji kot enega večkotnika (glej
sliki 3 in 4), mora biti
nπ − 2π
n
= 2π
k
oziroma
k = 2n
n− 2 = 2+
4
n− 2 .
Od tod sklepamo, da mora n − 2 deliti 4, kar je mo-
žno samo za n ∈ {3,4,6}. Ravnino je res možno
tlakovati tudi s trikotnikom in kvadratom, kar nam
pokažeta sliki 5 in 6.
Slika 5, Slika 6
3
veri o, da velja: če 3 deli u − v , pote 3 deli tudi
razlik koordin t sosednje celice. T po eni, da do-
dajanje s se jih celic ohranja opazovano lastnost.
Če začne o graditi sat vje s celico (0,0), pote z
dodaja je sose njih celic zgradi o satovje iz celic
s to lastnostjo. Dokaz obratne s eri opusti o.
Slika 3, Slika 4
Konstrukcijo satovja s o tako opisali. Celice po-
krijejo vso ravnino na način, ki u ravi o tlakova-
nje.
Tlakovanje
Opredeli o ta poje natančneje in poskusi o najti
vsa ožna tl kovanja. Tlakovanje ravnine je t ka
postavitev paro a skladnih pravilnih n-kotnikov, i
pokrije vso ravnino.
Presek poljubnih dveh različnih n-kotnikov je pra-
zen ali pa je le skupna str nica.
Vsako oglišče vsakega n-kotnika i a v svoji sose-
ščini k večkotnikov, katerih presek je ravno to gli-
e.
Izrek 2.
Tlakovati ravnino je oč le s tre i pravilni i liki:
trikotniko , kvadrato in še tkotniko .
Dokaz.
Naj bo dano tako tlakovanje ravnine s pravilni i n-
kotniki, kjer se v vsake oglišču stika k okoliških
večkotni ov. Notranji ot pravilnega n-kotni a eri
nπ−2π
n radianov. Ker k okoliških večkotnikov r zd li
polni kot okoli danega oglišča na k skladnih kotov,
vsak tak k t pa je otranji kot e ega večkotnika (glej
sliki 3 in 4), ora biti
nπ − 2π
n
= 2π
k
oziro a
k = 2n
n− 2 = 2+
4
n− 2 .
Od tod sklepa o, da ora n − 2 deliti 4, kar je o-
žno sa o za n ∈ {3,4,6}. Ravnino je res ožno
tlakovati tudi s trikotniko in kvadrato , kar na
po ažeta sliki 5 in 6.
Slika 5, Slika 6
3
verimo, da velja: če 3 deli u − v , potem 3 deli tudi
razliko koordinat sosednje celice. To pomeni, da do-
dajanje sosednjih celic ohranja opazovano lastnost.
Če začnemo graditi satovje s celico (0,0), potem z
dodajanjem sosednjih celic zgradimo satovje iz celic
s to lastnostjo. Dokaz obratne smeri opustimo.
Slika 3, Slika 4
Konstrukcijo satovja smo tako opisali. Celice po-
krijejo vso ravnino na način, ki mu pravimo tlakova-
nje.
Tlakovanje
Opredelimo ta pojem natančneje in poskusimo najti
vsa možna tlakovanja. Tlakovanje ravnine je taka
postavitev paroma skladnih pravilnih n-kotnikov, ki
pokrije vso ravnino.
Presek poljubnih dveh različnih n-kotnikov je pra-
zen ali pa je le skupna stranica.
Vsako oglišče vsakega n-kotnika ima v svoji sose-
ščini k večkotnikov, katerih presek je ravno to ogli-
šče.
Izrek 2.
Tlakovati ravnino je moč le s tremi pravilnimi liki:
trikotnikom, kvadrato in šestkotnikom.
Dokaz.
Naj bo dano tako tlakovanje ravnine s pravilnimi n-
kotniki, kjer se v vsakem oglišču stika k okoliških
večkotnikov. Notranji kot pravilnega n-kotnika meri
nπ−2π
n radianov. Ker k okoliških večkotnikov razdeli
polni kot okoli danega oglišča na k skladnih kotov,
vsak tak kot pa je notranji kot enega večkotnika (glej
sliki 3 in 4), mora biti
nπ − 2π
n
= 2π
k
oziroma
k = 2n
n− 2 = 2+
4
n− 2 .
Od tod sklepamo, da mora n − 2 deliti 4, kar je mo-
žno samo za n ∈ {3,4,6}. Ravnino je res možno
tlakovati tudi s trikotnikom in kvadratom, kar nam
pokažeta sliki 5 in 6.
Slika 5, Slika 6
3
slika 5.
Tlak trikotnikov, 
tudi K3
l č  
presek 39 (2011/2012) 4
7
m a t e m a t i k a
slika 9.
Šestkotni tlakovci 
z dorisano obrobo
slika 10.
Satnica
Celǐcna razdalja
Sprehod je zaporedje sosednjih celic, ki vodi od za-
četne do končne celice. Dolžina sprehoda je število
korakov od začetne do končne celice (in je zato ne-
negativno celo število). Korakati smemo od dane na
sosednjo celico preko skupne stranice. Celična raz-
dalja med začetno in končno celico je dolžina naj-
krajšega sprehoda od začetne do končne celice.
Izračunajmo celično razdaljo med celico (0,0) in ce-
lico (u,v). Med vsemi sprehodi izpustimo take, ki
imajo kake korake odveč: naj bo dano tako zapo-
redje korakov k1, k2, . . . , kp iz množice (1), ki vodi
do celice (u,v):
k1 + k2 + · · · + kp = (u,v). (2)
[a.] Če se v vsoti (2) pojavita nasprotna koraka, lahko
sprehod skrajšamo tako, da ta dva nasprotna koraka
izpustimo iz sprehoda in dobimo krajši sprehod od
(0,0) do (u,v).
[b.] Če se v vsoti (2) pojavijo trije koraki ka, kb, kc
iz množice (1), ki kažejo v tri različne smeri in si
nobene od teh treh smeri ne nasprotujejo (če si na-
sprotujejo, glej točko a), lahko sprehod skrajšamo
vsaj za en korak, saj velja vsaj ena od enakosti:
[b1.] ±ka = kb + kc (tu zamenjamo člena kb in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±ka) ali
[b2.] ±kb = ka + kc (tu zamenjamo člena ka in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kb) ali
[b3.] ±kc = ka + kb (tu zamenjamo člena ka in kb v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kc).
Tabela 1
Z uporabo skrajševalnih pravil a. in b. tako lahko do-
sežemo, da so v skrajšanem sprehodu od (0,0) do
(u,v) le koraki iz največ dveh (nenasprotnih) smeri.
Denimo, da sta podana u in v takšna, da vodi do
celice (u,v) sprehod s samo dvema smernima ko-
rakoma: (1,1) in (−1,2). Potem lahko zapišemo
končno celico (u,v) kot nenegativno celoštevilsko li-
nearno kombinacijo teh dveh korakov: (u,v) =
a(1,1) + b(−1,2) oziroma a − b = u,a + 2b = v
z rešitvijo a + b = (u + 2v)/3. V tem primeru torej
potrebujemo (u+ 2v)/3 korakov, da pridemo od ce-
lice (0,0) do celice (u,v). Na podoben način lahko
rešimo tak sistem enačb za druge izbire smernih ko-
rakov. Rešitev je zbrana v tabeli 1, posamǐcna obmo-
čja pa so prikazana na sliki 7. Vsako območje je iz
tistih celic, do katerih je najkrajši sprehod od izho-
diščne celice (0,0) sestavljen samo iz ustreznih dveh
smernih korakov.
Slika 7, Slika 8
4
Celǐcna razdalja
Sprehod je zaporedje sosednjih celic, ki vodi od za-
četne do končne celice. Dolžina sprehoda je število
korakov od začetne do končne celice (in je zato ne-
negativno celo število). Korakati smemo od dane na
sosednjo celico preko skupne stranice. Celična raz-
dalja med začetno in končno celico je dolžina naj-
krajšega sprehoda od začetne do končne celice.
Izračunajmo celično razdaljo med celico (0,0) in ce-
lico (u,v). Med vsemi sprehodi izpustimo take, ki
imajo kake korake odveč: naj bo dano tako zapo-
redje korakov k1, k2, . . . , kp iz množice (1), ki vodi
do celice (u,v):
k1 + k2 + · · · + kp = (u,v). (2)
[a.] Če se v vsoti (2) pojavita nasprotna koraka, lahko
sprehod skrajšamo tako, da ta dva nasprotna koraka
izpustimo iz sprehoda in dobimo krajši sprehod od
(0,0) do (u,v).
[b.] Če se v vsoti (2) pojavijo trije koraki ka, kb, kc
iz množice (1), ki kažejo v tri različne smeri in si
nobene od teh treh smeri ne nasprotujejo (če si na-
sprotujejo, glej točko a), lahko sprehod skrajšamo
vsaj za en korak, saj velja vsaj ena od enakosti:
[b1.] ±ka = kb + kc (tu zamenjamo člena kb in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±ka) ali
[b2.] ±kb = ka + kc (tu zamenjamo člena ka in kc v
zaporedju z nadomestnim korakom ±kb) ali
[b3.] ±kc = ka + kb (tu zamenjamo člena ka in kb v
zaporedju domestnim korakom ±kc).
Tabela 1
Z uporabo skrajševalnih pravil a. in b. tako lahko do-
sežemo, da so v skrajšanem sprehodu od (0,0) do
(u,v) le koraki iz največ dveh (nenasprotnih) smeri.
Denimo, da sta podana u in v takšna, da vodi do
celice (u,v) sprehod s samo dvema smernima ko-
rakoma: (1,1) in (−1,2). Potem lahko zapišemo
končno celico (u,v) kot nenegativno celoštevilsko li-
nearno kombinacijo teh dveh korakov: (u,v) =
a(1,1) + b(−1,2) oziroma a − b = u,a + 2b = v
z rešitvijo a + b = (u + 2v)/3. V tem primeru torej
potrebujemo (u+ 2v)/3 korakov, da pridemo od ce-
lice (0,0) do celice (u,v). Na podoben način lahko
rešimo tak sistem enačb za druge izbire smernih ko-
rakov. Rešitev je zbrana v tabeli 1, posamǐcna obmo-
čja pa so prikazana na sliki 7. Vsako območje je iz
tistih celic, do katerih je najkrajši sprehod od izho-
diščne celice (0,0) sestavljen samo iz ustreznih dveh
smernih korakov.
Slika 7, Slika 8
4
Slika 9, Slika 10
Celǐcna krogla
Z uvedbo celične razdalje lahko opredelimo pojma
krogle in sfere na podoben način, kot ju poznamo
iz ravninske (prostorske) geometrije. Celična krogla
Kr (celična sfera Sr ) je množica celic, ki so od izho-
diščne celice (0,0) oddaljene natanko največ za r ce-
ličnih korakov. Na sliki 2 je narisana krogla K2 z de-
vetnajstimi celicami. Koliko celic ima krogla (sfera) s
polmerom r?
Izrek 3.
Naj bo sr število celic na sferi Sr in kr število celic v
krogli Kr . Potem je
s0 = 1, sr = 6r za r ≥ 1, kr = 3r(r + 1)+ 1.
Dokaz.
Drži, da je s0 = 1. Pogled na sliko 7 nam pove, da so
celice na sferi Sr razporejene v šest skupin moči r+1
vzdolž smeri treh narisanih premic, pri tem pa imata
dve zaporedni skupini natanko eno skupno celico (ta
leži na eni izmed treh nosilnih premic), zato je sr =
6(r + 1) − 6 = 6r . Ker je krogla unija paroma tujih
sfer, le še seštejmo:
kr = 1+
r∑
i=1
6i = 1+ 6r(r + 1)
2
= 3r(r + 1)+ 1.
Izračunamo pa lahko tudi število predelnih sten, t. j.
stranic vseh celic v dani krogli s polmerom r .
Izrek 4.
Naj bo zr število zunanjih predelnih sten in pr šte-
vilo vseh predelnih sten krogle Kr . Potem je
zr = 12r +6 = 6(2r +1), pr = 3(r +1)(3r +2).
Dokaz.
Drži, da je z0 = 12 · 0 + 6 = 6. Naj bo r ≥ 1.
Po prejšnjem izreku je zunanjih celic sr = 6r . Po-
magajmo si s sliko 9. Vsaka od teh zunanjih ce-
lic ima dve zunanji zeleni predelni steni, razen še-
stih celic, ki ležijo na treh nosilnih premicah. Te
imajo tri zunanje predelne stene, skupaj pa je to
zr = 6r ·2+6 = 12r+6. Vse predelne stene za pr pa
dobimo tako, da modrim predelnim stenam za pr−1
prištejemo zunanje zelene predelne stene za zr in še
vmesne rdeče predelne stene celic s sfere Sr : vsaka
taka celica prispeva dve rdeči steni šteti dvakrat, to-
rej ravno sr povezovalnih predelnih sten. Zapišimo:
5
slika 7.
Območja smernih 
korakov, tudi K3
slika 8.
Avtorjeva prilju-
bljena malica
tabela 1.
Celična razdalja do (u, v) po območjih 
č  
Območje Sm. koraka Cel. razd. do (u, v)
I (1, 1),  (–1, 2) (u + 2v) /3
II (–1, 2),  (–2, 1) (–u + v) /3
III (–2, 1),  (–1, –1) (–2u – v) /3
IV (–1, –1),  (1, –2) (– u –2v) /3
V (1, –2),  (2, –1) (u –v) /3
VI (2, –1),  (1, 1) (2u + v) /3
Presek 39 (2011/2012) 4
•
8
m a t e m a t i k a
Modrost čebel
Slika 9, Slika 10
Celǐcna krogla
Z uvedbo celične razdalje lahko opredelimo pojma
krogle in sfere na podoben način, kot ju poznamo
iz ravninske (prostorske) geometrije. Celična krogla
Kr (celična sfera Sr ) je množica celic, ki so od izho-
diščne celice (0,0) oddaljene natanko največ za r ce-
ličnih korakov. Na sliki 2 je narisana krogla K2 z de-
vetnajstimi celicami. Koliko celic ima krogla (sfera) s
polmerom r?
Izrek 3.
Naj bo sr število celic na sferi Sr in kr število celic v
krogli Kr . Potem je
s0 = 1, sr = 6r za r ≥ 1, kr = 3r(r + 1)+ 1.
Dokaz.
Drži, da je s0 = 1. Pogled na sliko 7 nam pove, da so
celice na sferi Sr razporejene v šest skupin moči r+1
vzdolž smeri treh narisanih premic, pri tem pa imata
dve zaporedni skupini natanko eno skupno celico (ta
leži na eni izmed treh nosilnih premic), zato je sr =
6(r + 1) − 6 = 6r . Ker je krogla unija paroma tujih
sfer, le še seštejmo:
kr = 1+
r∑
i=1
6i = 1+ 6r(r + 1)
2
= 3r(r + 1)+ 1.
Izračunamo pa lahko tudi število predelnih sten, t. j.
stranic vseh celic v dani krogli s polmerom r .
Izrek 4.
Naj bo zr število zunanjih predelnih sten in pr šte-
vilo vseh predelnih sten krogle Kr . Potem je
zr = 12r +6 = 6(2r +1), pr = 3(r +1)(3r +2).
Dokaz.
Drži, da je z0 = 12 · 0 + 6 = 6. Naj bo r ≥ 1.
Po prejšnjem izreku je zunanjih celic sr = 6r . Po-
magajmo si s sliko 9. Vsaka od teh zunanjih ce-
lic ima dve zunanji zeleni predelni steni, razen še-
stih celic, ki ležijo na treh nosilnih premicah. Te
imajo tri zunanje predelne stene, skupaj pa je to
zr = 6r ·2+6 = 12r+6. Vse predelne stene za pr pa
dobimo tako, da modrim predelnim stenam za pr−1
prištejemo zunanje zelene predelne stene za zr in še
vmesne rdeče predelne stene celic s sfere Sr : vsaka
taka celica prispeva dve rdeči steni šteti dvakrat, to-
rej ravno sr povezovalnih predelnih sten. Zapišimo:
5
Slika 9, Slika 10
Celǐcna krogla
Z uvedbo celične razdalje lahko opredelimo pojma
krogle in sfere na po oben način, kot ju pozna o
iz ravn ske (prostorske) geometrije. Celična krogla
Kr (celična sfera Sr ) je množica celic, ki so od izho-
diščn elice (0,0) oddaljene n tanko največ za r ce
ličnih korakov. Na sliki 2 je narisana krogla K2 z d
vetnajstimi celicami. Koliko celic im r l (sfera) s
polmero r?
Izrek 3.
Naj bo sr število celic na sferi Sr in kr število celic v
krogli K . Potem j
s0 = 1, sr = 6r za r ≥ 1, kr = 3r(r + 1)+ 1.
Dokaz.
Drži, da je s0 = 1. Pogled na sliko 7 nam pove, da so
celice na sferi Sr razporejene v šest skupin moči r+1
vzdolž smeri treh narisanih premic, pri tem pa mata
dve zaporedni skupin natanko eno skupno celico (
leži n eni izmed treh osilnih premic), zato je sr =
6(r + 1) − 6 = 6r . Ker je krogla unija paroma tujih
sfer, le še seštejmo:
kr = 1+
r∑
i=1
6i = 1+ 6r(r + 1)
2
= 3r(r + 1)+ 1.
Izračunamo pa lahko tudi število predelnih sten, t. j.
st nic vseh celic v dani krogli s polmerom r .
Izrek 4.
Naj bo zr število zunanjih predelnih sten in pr šte-
vilo vseh prede nih ste krogl Kr . Potem je
zr = 12r +6 = 6(2r +1), pr = 3(r +1)(3r +2).
Dokaz.
Drži, da je z0 = 12 · 0 + 6 = 6. Naj bo r ≥ 1.
Po prejšn m izreku je zunanjih celic sr = 6r . Po-
magajmo si s sliko 9. Vsaka od teh zunanjih ce
lic ima dve zunanji zeleni predelni steni, razen š
stih celic, ki ležijo na treh nosi h premicah. Te
imajo tri zunanje predelne stene, skupaj p je to
zr = 6r ·2+6 = 12r+6. Vs pr d lne stene z pr pa
dobimo tako, da modrim predelnim stenam za pr−1
prištejemo zun nje zelene predelne stene za r in še
vmesn rdeče predelne stene c lic s sfere Sr : vsaka
taka celica prispeva dve rdeči steni šteti dvakrat, to-
rej ravno sr povezovalnih predelnih sten. Z pišim :
5
Slika 9, Slika 10
Celǐcna krogla
Z uvedbo celične razdalje lahko opredelimo pojma
krogle in sfere na podoben način, kot ju poznamo
iz ravninske (prostorske) geometrije. Celična krogla
Kr (celična sfera Sr ) je množica celic, ki so od izho-
diščne celice (0,0) oddaljene natanko največ za r ce-
ličnih korakov. Na sliki 2 je narisana krogla K2 z de-
vetnajstimi celicami. Koliko celic ima krogla (sfera) s
polmerom r?
Izrek 3.
Naj bo sr število celic na sferi Sr in kr število celic v
krogli Kr . Potem je
s0 = 1, sr = 6r za r ≥ 1, kr = 3r(r + 1)+ 1.
Dokaz.
Drži, da je s0 = 1. Pogled na sliko 7 nam pove, da so
celice na sferi Sr razporejene v šest skupin moči r+1
vzdolž smeri treh narisanih premic, pri tem pa imata
dve zaporedni skupini natanko eno skupno celico (ta
leži na eni izmed treh nosilnih premic), zato je sr =
6(r + 1) − 6 = 6r . Ker je krogla unija paroma tujih
sfer, le še seštejmo:
kr = 1+
r∑
i=1
6i = 1+ 6r(r + 1)
2
= 3r(r + 1)+ 1.
Izračunamo pa lahko tudi število predelnih sten, t. j.
stranic vseh celic v dani krogli s polmerom r .
Izrek 4.
Naj bo zr število zunanjih predelnih sten in pr šte-
vilo vseh predelnih sten krogle Kr . Potem je
zr = 12r +6 = 6(2r +1), pr = 3(r +1)(3r +2).
Dokaz.
Drži, da je z0 = 12 · 0 + 6 = 6. Naj bo r ≥ 1.
Po prejšnjem izreku je zunanjih celic sr = 6r . Po-
magajmo si s sliko 9. Vsaka od teh zunanjih ce-
lic ima dve zunanji zeleni predelni steni, razen še-
stih celic, ki ležijo na treh nosilnih premicah. Te
imajo tri zunanje predelne stene, skupaj pa je to
zr = 6r ·2+6 = 12r+6. Vse predelne stene za pr pa
dobimo tako, da modrim predelnim stenam za pr−1
prištejemo zunanje zelene predelne stene za zr in še
vmesne rdeče predelne stene celic s sfere Sr : vsaka
taka celica prispeva dve rdeči steni šteti dvakrat, to-
rej ravno sr povezovalnih predelnih sten. Zapišimo:
5
Slika 9, Slika 10
Celǐcna krogla
Z uvedbo celične razdalje lahko opredelimo pojma
krogle in sfere na podoben način, kot ju poznamo
iz ravninske (prostorske) geometrije. Celična krogla
Kr (celična sfera Sr ) je množica celic, ki so od izho-
diščne celice (0,0) oddaljene natanko največ za r ce-
ličnih korakov. Na sliki 2 je narisana krogla K2 z de-
vetnajstimi celicami. Koliko celic ima krogla (sfera) s
polmerom r?
Izrek 3.
Naj bo sr število celic na sferi Sr in kr število celic v
krogli Kr . Potem je
s0 = 1, sr = 6r za r ≥ 1, kr = 3r(r + 1)+ 1.
Dokaz.
Drži, da je s0 = 1. Pogled na sliko 7 nam pove, da so
celice na sferi Sr razporejene v šest skupin moči r+1
vzdolž smeri treh narisanih premic, pri tem pa imata
dve zaporedni skupini natanko eno skupno celico (ta
leži na eni izmed treh nosilnih premic), zato je sr =
6(r + 1) − 6 = 6r . Ker je krogla unija paroma tujih
sfer, le še seštejmo:
kr = 1+
r∑
i=1
6i = 1+ 6r(r + 1)
2
= 3r(r + 1)+ 1.
Izračunamo pa lahko tudi število predelnih sten, t. j.
stranic vseh celic v dani krogli s polmerom r .
Izrek 4.
Naj bo zr število zunanjih predelnih sten in pr šte-
vilo vseh predelnih sten krogle Kr . Potem je
zr = 12r +6 = 6(2r +1), pr = 3(r +1)(3r +2).
Dokaz.
Drži, da je z0 = 12 · 0 + 6 = 6. Naj bo r ≥ 1.
Po prejšnjem izreku je zunanjih celic sr = 6r . Po-
magajmo si s sliko 9. Vsaka od teh zunanjih ce-
lic ima dve zunanji zeleni predelni steni, razen še-
stih celic, ki ležijo na treh nosilnih premicah. Te
imajo tri zunanje predelne stene, skupaj pa je to
zr = 6r ·2+6 = 12r+6. Vse predelne stene za pr pa
dobimo tako, da modrim predelnim stenam za pr−1
prištejemo zunanje zelene predelne stene za zr in še
vmesne rdeče predelne stene celic s sfere Sr : vsaka
taka celica prispeva dve rdeči steni šteti dvakrat, to-
rej ravno sr povezovalnih predelnih sten. Zapišimo:
5
Slika 9, Slika 10
Celǐcna krogla
Z uvedbo celične razdalje lahko opredelimo pojma
krogle in sf re na po ob n način, kot ju p zna o
iz ravni ske (prostorske) geometrije. Celična krogla
Kr (celična sfera Sr ) je množica celic, ki so od izho-
diščn celice (0,0) oddaljene n tanko največ za r ce
ličnih korakov. Na sliki 2 je narisana krogla K2 z d
vetnajstimi celicami. Koliko celic im l (sfera) s
polmero r?
Izrek 3.
Naj bo sr število celic na sferi Sr in kr število celic v
krogli K . Potem j
s0 = 1, sr = 6r za r ≥ 1, kr = 3r(r + 1)+ 1.
Dokaz.
Drži, da je s0 = 1. Pogled na sliko 7 nam pove, da so
celice na sferi Sr razporejene v šest skupin moči r+1
vzdolž smeri treh narisanih premic, pri tem pa mata
dve zaporedni skupin natanko eno skupno celico (
leži n eni izmed treh osilnih premic), zato je sr =
6(r + 1) − 6 = 6r . Ker je krogla unija paroma tujih
sfer, le še seštejmo:
kr = 1+
r∑
i=1
6i = 1+ 6r(r + 1)
2
= 3r(r + 1)+ 1.
Izračunamo pa lahko tudi število predelnih sten, t. j.
st nic vseh celic v dani krogli s polmerom r .
Izrek 4.
Naj bo zr število zunanjih predelnih sten in pr šte-
vilo vseh prede nih ste krogl Kr . Potem je
zr = 12r +6 = 6(2r +1), pr = 3(r +1)(3r +2).
Dokaz.
Drži, da je z0 = 12 · 0 + 6 = 6. Naj bo r ≥ 1.
Po prejšn m izreku je zunanjih celic sr = 6r . Po-
magajmo si s sliko 9. Vsaka od teh zunanjih ce
lic ima dve zunanji zeleni predelni steni, razen š
stih celic, ki ležijo na treh nosi h premicah. Te
imajo tri zunanje predelne stene, skupaj p je to
zr = 6r ·2+6 = 12r+6. Vs pr d lne stene z pr pa
dobimo tako, da modrim predelnim stenam za pr−1
p ištejemo zun nje zelene predelne stene za r in še
vmesn rdeče predelne stene c lic s sfere Sr : vsaka
taka celica prispeva dve rdeči steni šteti dvakrat, to-
rej ravno sr povezovalnih predelnih sten. Z pišimo:
5
pr = pr−1 + zr + sr = pr−1 + 12r + 6+ 6r =
pr−1 + 18r + 6
in seštejmo ter poenostavimo:
pr = 6+
∑r
k=1(18k+ 6) = 6+ 9r(r + 1)+ 6r =
3(3r 2 + 5r + 2) = 3(r + 1)(3r + 2).
Rezultate tabelirajmo1:
Tabela 2
V tabeli 2 so zbrani izpeljani rezultati za n = 6,
pa tudi za n = 4 in n = 3. Pojme razdalje, krogle,
sfere, zunanjih in predelnih sten je moč podobno
opredeliti tudi za ta dva n (glej sliki 5 in 6), rezultati
za enako poimenovana zaporedja so podani v tabeli,
sama izpeljava pa ne.
Modrost čebel
Čebele gradijo v panjih satovja s celicami šestkotne
oblike. Čebelarji jim pripravijo satnice (slika 10). Le
te že imajo vtisnjene šestkotne celične zasnove nizke
globine, sestavljene iz treh rombov. Premer celice je
okoli d = 11 mm, globina pa od 10 do 12 mm. Ce-
lice dogradijo čebele z voskovnimi žlezami. Največ
celic je namenjenih vzreji novih čebel. Vprašajmo
se, koliko voska bi potrebovale čebele, če bi bile ce-
lice trikotne, kvadratne ali šestkotne in bi bil notranji
premer takih celic (t. j. ustreznega včrtanega kroga)
enak. Če je dan premer d včrtanega kroga, meri stra-
nica očrtanega trikotnika a3 =
√
3d, očrtanega kva-
drata a4 = d in očrtanega šestkotnika a6 =
√
3/3d.
Poraba voska za eno celico je sorazmerna obsegu ce-
lice, t. j.
3a3 : 4a4 : 6a6 = 3
√
3 : 4 : 2
√
3
.= 5,20 : 4 : 3,46.
Za gradnjo ene šestkotne celice je torej potrebno
manj voska kot za gradnjo ene kvadratne celice in
manj kot za gradnjo ene trikotne celice. Vendar po-
mislimo še na možnost skupnih predelnih sten pri
več celicah združenih v celično kroglo. Ali se raz-
merje porabe voska kaj spremeni? Denimo, da bi
imeli tri celične krogle z enakim številom celic c: kro-
glo Kr iz c trikotnih celic, kroglo Ls iz c kvadratnih
celic in kroglo Mt iz c šestkotnih celic. Morda taki
naravni r , s in t sočasno sploh ne obstajajo? Uve-
dimo tri funkcije fn(c), ki povejo, koliko voska po-
trebujejo čebele pri gradnji c celične krogle za dani
n ∈ {3,4,6}. Velja:
c = n
2
r(r + 1)+ 1 ⇐⇒ r(c,n) =
√
n2 + 8(c − 1)n−n
2n
1Kroneckerjev delta nam okrajša pisavo: δij = 0 za i = j in
δii = 1.
6
pr = pr−1 + zr + sr = pr−1 + 12r + 6+ 6r =
pr−1 + 18r + 6
in seštejmo ter poenostavimo:
pr = 6+
∑r
k=1(18k+ 6) = 6+ 9r(r + 1)+ 6r =
3(3r 2 + 5r + 2) = 3(r + 1)(3r + 2).
Rezultate tabelirajmo1:
Tabela 2
V tabeli 2 so zbrani izpeljani rezultati za n = 6,
pa tudi za n = 4 in n = 3. Pojme razdalje, krogle,
sfere, zunanjih in predelnih sten je moč podobno
opredeliti tudi za ta dva n (glej sliki 5 in 6), rezultati
za enako poimenovana zaporedja so podani v tabeli,
sama izpeljava pa ne.
Modrost čebel
Čebele gradijo v panjih satovja s celicami šestkotne
oblike. Čebelarji jim pripravijo satnice (slika 10). Le
te že imajo vtisnjene šestkotne celične zasnove nizke
globine, sestavljene iz treh rombov. Premer celice je
okoli d = 11 mm, globina pa od 10 do 12 mm. Ce-
lice dogradijo čebele z voskovnimi žlezami. Največ
celic je namenjenih vzreji novih čebel. Vprašajmo
se, koliko voska bi potrebovale čebele, če bi bile ce-
lice trikotne, kvadratne ali šestkotne in bi bil notranji
premer takih celic (t. j. ustreznega včrtanega kroga)
enak. Če je dan premer d včrtanega kroga, meri stra-
nica očrtanega trikotnika a3 =
√
3d, očrtanega kva-
drata a4 = d in očrtanega šestkotnika a6 =
√
3/3d.
Poraba voska za eno celico je sorazmerna obsegu ce-
lice, t. j.
3a3 : 4a4 : 6a6 = 3
√
3 : 4 : 2
√
3
.= 5,20 : 4 : 3,46.
Za gradnjo ene šestkotne celice je torej potrebno
manj voska kot za gradnjo ene kvadratne celice in
manj kot za gradnjo ene trikotne celice. Vendar po-
mislimo še na možnost skupnih predelnih sten pri
več celicah združenih v celično kroglo. Ali se raz-
merje porabe voska kaj spremeni? Denimo, da bi
imeli tri celične krogle z enakim številom celic c: kro-
glo Kr iz c trikotnih celic, kroglo Ls iz c kvadratnih
celic in kroglo Mt iz c šestkotnih celic. Morda taki
naravni r , s in t sočasno sploh ne obstajajo? Uve-
dimo tri funkcije fn(c), ki povejo, koliko voska po-
trebujejo čebele pri gradnji c celične krogle za dani
n ∈ {3,4,6}. Velja:
c = n
2
r(r + 1)+ 1 ⇐⇒ r(c,n) =
√
n2 + 8(c − 1)n−n
2n
1Kroneckerjev delta nam okrajša pisavo: δij = 0 za i = j in
δii = 1.
6
r r 1 r r r 1
r 1
i t j t r t i :
r
r
1
2 .
lt t t lir j 1:
l
t li r i i lj i r lt ti ,
t i i . j r lj , r l ,
f r , ji i r l i t j
r liti t i t ( l j li i i ), r lt ti
i r j i t li,
i lj .
t l
l r ij ji t j li i t t
li . l rji ji ri r ij s t i ( li ).
t i j ti j t t li i
l i , t lj i tr r . r r li j
li , l i . -
li r ij l i i l i. j
li j j i r ji i l. r j
, li i tr l l , i il -
li tri t , r t li t t i i il tr ji
r r t i li (t. j. tr rt r )
. j r r rt r , ri tr -
i rt tri t i 3 , rt -
r t 4 i rt t t i 6 .
r li j r r -
li , t. j.
3 : 4 : 6 : :
. , : : , .
r j t t li j t r j tr
j t r j r t li i
j t r j tri t li . r -
i li t i r l i t ri
li r i li r l . li r -
rj r j r i i , i
i li tri li r l i t il li : r -
l r i tri t i li , r l s i r t i
li i r l t i t t i li . r t i
r i , i t l t j j -
i tri f ij , i j , li -
tr j j l ri r ji li r l i
, , . lj :
,
2
1 r ec erjev elta a rajša isav : ij a i  j i
ii .
r r 1 r r r 1
r 1
i t j t r t i :
r
r
1
2 .
lt t t lir j 1:
l
t li r i i lj i r lt ti ,
t i i . j r lj , r l ,
f r , ji i r l i t j
r liti t i t ( l j li i i ), r lt ti
i r j i t li,
i lj .
t l
l r ij ji t j li i t t
li . l rji ji ri r ij s t i ( li ).
t i j ti j t t li i
l i , t lj i tr r . r r li j
li , l i . -
li r ij l i i l i. j
li j j i r ji i l. r j
, li i tr l l , i il -
li tri t , r t li t t i i il tr ji
r r t i li (t. j. tr rt r )
. j r r rt r , ri tr -
i rt tri t i 3 , rt -
r t 4 i rt t t i 6 .
r li j r r -
li , t. j.
3 : 4 : 6 : :
. , : : , .
r j t t li j t r j tr
j t r j r t li i
j t r j tri t li . r -
i li t i r l i t ri
li r i li r l . li r -
rj r j r i i , i
i li tri li r l i t il li : r -
l r i tri t i li , r l s i r t i
li i r l t i t t i li . r t i
r i , i t l t j j -
i tri f ij , i j , li -
tr j j l ri r ji li r l i
, , . lj :
,
2
1 r ec erjev elta a rajša isav : ij a i  j i
ii .

pr = pr−1 + zr + sr = pr−1 + 12r + 6+ 6r =
pr−1 + 18r + 6
in seštejmo ter poenostavimo:
pr = 6+
∑r
k=1(18k+ 6) = 6+ 9r(r + 1)+ 6r =
3(3r 2 + 5r + 2) = 3(r + 1)(3r + 2).
Rezultate tabelirajmo1:
Tabela 2
V tabeli 2 so zbrani izpeljani rezultati za n = 6,
pa tudi za n = 4 in n = 3. Pojme razdalje, krogle,
sfere, zunanjih in predelnih sten je moč podobno
opredeliti tudi za ta dva n (glej sliki 5 in 6), rezultati
za enako poimenovana zaporedja so podani v tabeli,
sama izpeljava pa ne.
č
Čebele gradijo v panjih satovja s celicami šestkotne
oblike. Čebelarji jim pripravijo satnice (slika 10). Le
te že imajo vtisnjene šestkotne celične zasnove nizke
globine, sestavljene iz treh rombov. Premer celice je
okoli d = 11 mm, globina pa od 10 do 12 mm. Ce-
lice dogradijo čebele z voskovnimi žlezami. Največ
celic je namenjenih vzreji novih čebel. Vprašajmo
se, koliko voska bi potrebovale čebele, če bi bile ce-
lice trikotne, kvadratne ali šestkotne in bi bil notranji
premer takih celic (t. j. ustreznega včrtanega kroga)
enak. Če je dan premer d včrtanega kroga, meri stra-
nica očrtanega trikotnika a3 =
√
3d, očrtanega kva-
drata a4 = d in očrtanega šestkotnika a6 =
√
3/3d.
Poraba voska za eno celico je sorazmerna obsegu ce-
lice, t. j.
3a3 : 4a4 : 6a6 = 3
√
3 : 4 : 2
√
3
.= 5,20 : 4 : 3,46.
Za gradnjo ene šestkotne celice je torej potrebno
manj voska kot za gradnjo ene kvadratne celice in
manj kot za gradnjo ene trikotne celice. Vendar po-
mislimo še na možnost skupnih predelnih sten pri
več celicah združenih v celično kroglo. Ali se raz-
merje porabe voska kaj spremeni? Denimo, da bi
imeli tri celične krogle z enakim številom celic c: kro-
glo Kr iz c trikotnih celic, kroglo Ls iz c kvadratnih
celic in kroglo Mt iz c šestkotnih celic. Morda taki
naravni r , s in t sočasno sploh ne obstajajo? Uve-
dimo tri funkcije fn(c), ki povejo, koliko voska po-
trebujejo čebele pri gradnji c celične krogle za dani
n ∈ {3,4,6}. Velja:
c = n
2
r(r + 1)+ 1 ⇐⇒ r(c,n) =
√
n2 + 8(c − 1)n−n
2n
1Kroneckerjev delta nam okrajša pisavo: δij = 0 za i = j in
δii = 1.
6

pr = pr−1 + zr + sr = pr−1 + 12r + 6+ 6r =
pr−1 + 18r + 6
in seštejmo ter poenostavimo:
pr = 6+
∑r
k=1(18k+ 6) = 6+ 9r(r + 1)+ 6r =
3(3r 2 + 5r + 2) = 3(r + 1)(3r + 2).
Rezultate tabelirajmo1:
Tabela 2
V tabeli 2 so zbrani izpeljani rezultati za n = 6,
pa tudi za n = 4 in n = 3. Pojme razdalje, krogle,
sfere, zunanjih in predelnih sten je moč podobno
opredeliti tudi za ta dva n (glej sliki 5 in 6), rezultati
za enako poimenovana zaporedja so podani v tabeli,
sama izpeljava pa ne.
Modrost čebel
Čebele gradijo v panjih satovja s celicami šestkotne
oblike. Čebelarji jim pripravijo satnice (slika 10). Le
te že imajo vtisnjene šestkotne celične zasnove nizke
globine, sestavljene iz treh rombov. Premer celice je
okoli d = 11 mm, globina pa od 10 do 12 mm. Ce-
lice dogradijo čebele z voskovnimi žlezami. Največ
celic je namenjenih vzreji novih čebel. Vprašajmo
se, koliko voska bi potrebovale čebele, če bi bile ce-
lice trikotne, kvadratne ali šestkotne in bi bil notranji
premer takih celic (t. j. ustreznega včrtanega kroga)
enak. Če je dan premer d včrtanega kroga, meri stra-
nica očrtanega trikotnika a3 =
√
3d, očrtanega kva-
drata a4 = d in očrtanega šestkotnika a6 =
√
3/3d.
Poraba voska za eno celico je sorazmerna obsegu ce-
lice, t. j.
3a3 : 4a4 : 6a6 = 3
√
3 : 4 : 2
√
3
.= 5,20 : 4 : 3,46.
Za gradnjo ene šestkotne celice je torej potrebno
manj voska kot za gradnjo ene kvadratne celice in
manj kot za gradnjo ene trikotne celice. Vendar po-
mislimo še na možnost skupnih predelnih sten pri
več celicah združenih v celično kroglo. Ali se raz-
merje porabe voska kaj spremeni? Denimo, da bi
imeli tri celične krogle z enakim številom celic c: kro-
glo Kr iz c trikotnih celic, kroglo Ls iz c kvadratnih
celic in kroglo Mt iz c šestkotnih celic. Morda taki
naravni r , s in t sočasno sploh ne obstajajo? Uve-
dimo tri funkcije fn(c), ki povejo, koliko voska po-
trebujejo čebele pri gradnji c celične krogle za dani
n ∈ {3,4,6}. Velja:
c = n
2
r(r + 1)+ 1 ⇐⇒ r(c,n) =
√
n2 + 8(c − 1)n−n
2n
1Kroneckerjev delta nam okrajša pisavo: δij = 0 za i = j in
δii = 1.
6
pr = pr−1 + zr + sr = pr−1 + 12r + 6+ 6r =
pr−1 + 18r + 6
in seštej o ter poenostavi o:
pr = 6+ rk=1(18k+ 6) = 6+ 9r(r + 1)+ 6r =
3(3r 2 + 5r + 2) = 3(r + 1)(3r + 2).
Rezultate tabeliraj o1:
Tabela 2
V tabeli 2 so zbrani izpeljani rezultati za n = 6,
pa tudi za n = 4 in n = 3. Poj e razdalje, krogle,
sfere, zunanjih in predelnih sten je oč podobno
opredeliti tudi za ta dva n (glej sliki 5 in 6), rezultati
za enako poi enovana zaporedja so podani v tabeli,
sa a iz eljava pa ne.
odrost čebel
Čebele gradijo v panjih satovja s celica i šestkotne
oblike. Čebelarji ji pripravijo satnice (slika 10). Le
te že i ajo vtisnjene šestkotne celične zasnove nizke
globine, sestavljene iz treh ro bov. Pre er celice je
okoli d = 11 , globina pa od 10 do 12 . Ce-
lice dogradijo čebele z voskovni i žleza i. Največ
celic je na enjenih vzreji novih čebel. Vprašaj o
se, koliko voska bi potrebovale čebele, če bi bile ce-
lice trikotne, kvadratne ali šestkotne in bi bil notranji
pre er takih celic (t. j. ustreznega včrtanega kroga)
enak. Če je dan pre er d včrtanega kroga, eri stra-
nica očrtanega trikotnika a3 =
√
3d, očrtanega kva-
drata a4 = d in očrtanega šestkotnika a6 =
√
3/3d.
Poraba voska za eno celico je soraz erna obsegu ce-
lice, t. j.
3a3 : 4a4 : 6a6 = 3
√
3 : 4 : 2
√
3
.= 5,20 : 4 : 3,46.
Za gradnjo ene šestkotne celice je torej potrebno
anj voska kot za gradnjo ene kvadratne celice in
anj kot za gradnjo ene trikotne celice. Vendar po-
isli o še na ožnost skupnih predelnih sten pri
več celicah združenih v celično kroglo. Ali se raz-
erje porabe voska kaj spre eni? Deni o, da bi
i eli tri celične krogle z enaki število celic c: kro-
glo Kr iz c trikotnih celic, kroglo Ls iz c kvadratnih
celic in kroglo t iz c šestkotnih celic. orda taki
naravni r , s in t sočasno sploh ne obstajajo? Uve-
di o tri funkcije fn(c), ki povejo, koliko voska po-
trebujejo čebele pri gradnji c celične krogle za dani
n ∈ {3,4,6}. Velja:
c = n
2
r(r + 1)+ 1 r(c,n) =
√
n2 + 8(c − 1)n−n
2n
1Kroneckerjev delta nam okrajša pisavo: δij = 0 za i = j in
δii = 1.
6
pr = pr−1 + zr + sr = pr−1 + 12r + 6+ 6r =
pr−1 + 18r + 6
in seštejmo ter poenostavimo:
pr = 6+
∑r
k=1(18k+ 6) = 6+ 9r(r + 1)+ 6r =
3(3r 2 + 5r + 2) = 3(r + 1)(3r + 2).
Rezultate tabelirajmo1:
Tabela 2
V tabeli 2 so zbrani izpeljani rezultati za n = 6,
pa tudi za n = 4 in n = 3. Pojme razdalje, krogle,
sfere, zunanjih in predelnih sten je moč podobno
opredeliti tudi za ta dva n (glej sliki 5 in 6), rezultati
za enako poimenovana zaporedja so podani v tabeli,
sama izpeljava pa ne.
Modrost čebel
Čebele gradijo v panjih satovja s celicami šestkotne
oblike. Čebelarji jim pripravijo satnice (slika 10). Le
te že imajo vtisnjene šestkotne celične zasnove nizke
globine, sestavljene iz treh rombov. Premer celice je
okoli d = 1 mm, globina pa od 10 do 12 mm. Ce-
lice dogradijo čebele z voskovnimi žlezami. Največ
celic je namenjenih vzreji novih čebel. Vprašajmo
se, koliko voska bi potrebovale čebele, če bi bile ce-
lice trikotne, kvadratne ali šestkotne in bi bil notranji
premer takih celic (t. j. ustreznega včrtanega kroga)
enak. Če je dan premer d včrtanega kroga, meri stra-
nica očrtanega trikotnika a3 =
√
3d, očrtanega kva-
drata a4 = d in očrtanega šestkotnika a6 =
√
3/3d.
Poraba voska za eno celico je sorazmerna obsegu ce-
lice, t. j.
3a3 : 4a4 : 6a6 = 3
√
3 : 4 : 2
√
3
.= 5,20 : 4 : 3,46.
Za gradnjo ene šestkotne celice je torej potrebno
manj voska kot za gradnjo ene kvadratne celice in
manj kot za gradnjo ene trikotne celice. Vendar po-
mislimo še na možnost skupnih predelnih sten pri
več celicah združenih v celično kroglo. Ali se raz-
merje porabe voska kaj spremeni? Denimo, da bi
imeli tri celične krogle z enakim številom celic c: kro-
glo Kr iz c trikotnih celic, kroglo Ls iz c kvadratnih
celic in kroglo Mt iz c šestkotnih celic. Morda taki
naravni r , s in t sočasno sploh ne obstajajo? Uve-
dimo tri funkcije fn(c), ki povejo, koliko voska po-
trebujejo čebele pri gradnji c celične krogle za dani
n ∈ {3,4,6}. Velja:
c = n
2
r(r + 1)+ 1 ⇐⇒ r(c,n) =
√
n2 + 8(c − 1)n−n
2n
1Kroneckerjev delta nam okrajša pisavo: δij = 0 za i = j in
δii = 1.
6
tabela 2.
Členi z poredij sr , kr, zr, pr
n r 0 1 2 3 4 5
6
s
r
 = 6r + δ
0r
1 6 12 18 24 30
k
r
 = 3r (r + 1) +1 1 7 19 37 61 91
z
r
 = 12r + 6 6 18 30 42 54 66
p
r
 = 3(r + 1) (3r + 2) 6 30 72 132 210 306
4
s
r
 = 4r + δ
0r
1 4 8 12 16 20
k
r
 = 2r (r + 1) +1 1 5 13 25 41 61
z
r
 = 8r + 4 4 12 20 28 36 44
p
r
 = 4(r + 1)2 4 16 36 64 100 144
3
s
r
 = 3r + δ
0r
1 3 6 9 12 15
k
r
 = 3r (r + 1) /2 +1 1 4 10 19 31 46
z
r
 =    (9r + 6)/2, r sod
           (9r + 3)/2, r lih
3 6 12 15 21 24
p
r
 =    9r/ 2(r/2+1)+3, r sod
9/4(r+1)2, r lih
3 9 21 36 57 81
presek 39 (2011/2012) 4
•
9
m a t e m a t i k a
raža produkt parov (a, b)·(c, d) = (a+bw)(c+dw)?
4. Nadobudni bralec članka bi si lahko izdelal mo-
del satovja in celične krogle Kr tudi iz lesene pod-
lage ter or enako visokih žebljičkov, ki bi jih zabil v
primernih razdaljah na podlago (ravno na mesta iz
ogrinjače O brez samih središč celic, okoli izhodišča
za največ r celičnih korakov daleč). Na žebljičke bi
nato napeljal nit, ki bi ovita predstavljala predelne
stene. Znate poiskati formulo za or ? Namig: Euler-
jeva formula za ravninske grafe.
Rešitve
1. Najprej je (10,4) − (3,−6) = (7,10). Celǐcna raz-
dalja med podanima celicama je enaka razdalji njune
razlike do izhodiščne celice. Celica (7,10) pade v ob-
močje I, njena razdalja je (7+ 2 · 10)/3 = 9.
2. Uporabimo enačbo za r(c,n): n2 + 8(c − 1)n =
36+ 8 · 1499 · 6 = 71988, r (1500,6) .= 21,86, torej
gre za „kroglo“ s polmerom med 21 in 22.
3. Zmnožimo:
(a, b) · (c, d) = (a+ bw)(c + dw) =
ac + adw + bcw + bdw2 =
= (ac − bd)+ (ad+ bc + bd)w =
(ac − bd,ad+ bc + bd).
4. Na kroglo Kr lahko gledamo kot na ravninski graf,
ki premore kr šestkotnih celic in eno zunanje ob-
močje ter pr povezav. Po Eulerjevi formuli velja:
(kr + 1)− pr + or = 2, od tod pa
or = pr − kr + 1 = 3(r + 1)(3r + 2)− 3r(r + 1)−
1+ 1 = 3(r + 1)(3r + 2− r) = 6(r + 1)2.
8
•
Naloge
tve
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
f4(c) =
a4
d
pr(c,4) = 1 · (
√
8c − 4+ 2c),
f3(c) = a3d pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 (
√
24c−15+4c−1), r lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razširitev definicijskega ob-
močja na interval [1,∞) in postavimo prej opazo-
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4(c)/f6(c). Dokazati je moč, da velja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zanimivost še tole: funkciji f34
in f46 se bližata limitam, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34(c) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši primer:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
kotniki je vsaka predelna stena meja natanko dveh
n-kotnikov. Če „seštejemo“ polovično predelnino
kvadratne mreže in jo delimo s polovičnim „seštev-
kom“ predelnine šestkotne mreže, je razmerje enako
razmerju obsegov enega kvadrata in enega šestko-
tnika, saj je v prvem primeru šteta vsaka predelna
stena natanko dvakrat, v drugem primeru pa natanko
enkrat. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celica) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za par „krogel“
K∞ (vse celice). Pri drugih kroglah Kr to ne drži: te
krogle imajo namreč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, kot tudi zunanje predelne stene,
ki mejijo le na eno celico.
Zaključek: čebele so torej med tremi možnostmi do-
bro izbrale šestkotno satovje.
Naloge
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. Po nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični polmer krogle s toliko
celicami (samo za n = 6)?
3. Pokaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno množenje. Upoštevaj w2 + 1 = w. Kako se iz-
7
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
f4(c) =
a4
d
pr(c,4) = 1 · (
√
8c − 4+ 2c),
f3(c) = a3d pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 (
√
24c−15+4c−1), r lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razširitev definicijskega ob-
močja na interval [1,∞) in postavimo prej opazo-
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4(c)/f6(c). Dokazati je moč, da velja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zanimivost še tole: funkciji f34
in f46 se bližata limitam, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34(c) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši primer:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
kotniki je vsaka predelna stena meja natanko dveh
n-kotnikov. Če „seštejemo“ polovično predelnino
kvadratne mreže in jo delimo s polovičnim „seštev-
kom“ predelnine šestkotne mreže, je razmerje enako
razmerju obsegov enega kvadrata in enega šestko-
tnika, saj je v prvem primeru šteta vsaka predelna
stena natanko dvakrat, v drugem primeru pa natanko
enkrat. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celica) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za par „krogel“
K∞ (vse celice). Pri drugih kroglah Kr to ne drži: te
krogle imajo namreč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, kot tudi zunanje predelne stene,
ki mejijo le na eno celico.
Zaključek: čebele so torej med tremi možnostmi do-
bro izbrale šestkotno satovje.
Naloge
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. Po nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični polmer krogle s toliko
celicami (samo za n = 6)?
3. Pokaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno množenje. Upoštevaj w2 + 1 = w. Kako se iz-
7
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
f4(c) =
a4
d
pr(c,4) = 1 · (
√
8c − 4+ 2c),
f3(c) = a3d pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 (
√
24c−15+4c−1), r lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razširitev definicijskega ob-
močja na interval [1,∞) in postavimo prej opazo-
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4(c)/f6(c). Dokazati je moč, da velja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zanimivost še tole: funkciji f34
in f46 se bližata limi am, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34(c) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši pri er:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
k tniki je vsaka predelna s ena meja nata ko dveh
n-kotnikov. Če „seštejemo“ polovič o predelnino
kvadratne mreže in jo delimo s p lovičnim „seštev-
om“ predelnine šestkotne reže, je razmerje nako
razmerju obsegov enega kvadrata in enega š stko-
tnika, saj je v pr em primeru šteta vsaka predelna
sten natanko dvakrat, v drugem primeru pa natanko
enkr t. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celic ) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za par „krogel“
K∞ (vse elice). Pri drugih kroglah Kr to ne d ži: te
krogle imajo nam eč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, kot tudi zu anje pr delne st ne,
ki mejijo le na no celico.
Zaključek: čebele so torej med tremi možnostmi do-
bro izbrale šestkotno satovj .
Naloge
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. Po nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični pol er krogle s toliko
celic mi (samo za n = 6)?
3. Pokaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno množenje. Upoštevaj w2 + 1 = w. K se iz-
7
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
f4(c) =
a4
d
pr(c,4) = 1 · (
√
8c − 4+ 2c),
f3(c) = a3d pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 ( − ), lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razšir tev definicijskega ob-
močja na interval [1,∞) in postavimo prej opazo
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4( )/f6(c). Dokazati je moč, da velja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zanimivost še tole: funkciji f34
in f46 se bližata limi am, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34(c) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši pri er:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
k tniki je vsaka predelna s ena meja nata ko dveh
n-kotnikov. Če „seštej mo“ polovič o pred lni o
vadratn mreže in jo delimo s p lovičnim „seštev-
om“ predelnine š stkotne reže, je razmerje ak
razmerju obs gov enega kvadrata in e ega š stko-
tnika, saj je v pr m primeru šteta vsaka predelna
sten natanko dvakrat, v drugem primeru pa natanko
e rat. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celic ) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za par „krogel“
K∞ (vse elice). Pri drugih kroglah Kr to ne d ži: te
krogle im jo nam eč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, kot tudi zu nje pr delne st ne,
i mejijo le na no elico.
Zaključek: čebele so torej med tremi možnostmi do-
bro izbrale šestkotno satovj .
Naloge
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. Po nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični pol er krogle s toliko
celic mi (samo za n = 6)?
3. Pokaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno množenje. Upoštevaj w2 + 1 = w. K se iz
7
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
4
4
4 1 · ( 8c − 4+ 2c),
f3(c) = a3pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 (
√
24c−15+4c−1), r lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razširitev definicijskega ob-
močja na interval [1,∞) in postavimo prej opazo-
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4(c)/f6(c). Dokazati je moč, da velja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zanimivost še tole: funkciji f34
in f46 se bližata limitam, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34(c) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši primer:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
kotniki je vsaka predelna stena meja natanko dveh
n-kotnikov. Če „seštejemo“ polovično predelnino
kvadratne mreže in jo delimo s polovičnim „seštev-
kom“ predelnine šestkotne mreže, je razmerje enako
razmerju obsegov enega kvadrata in enega šestko-
tnika, saj je v prvem primeru šteta vsaka predelna
stena natanko dvakrat, v drugem primeru pa natanko
enkrat. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celica) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za par „krogel“
K∞ (vse celice). Pri drugih kroglah Kr to ne drži: te
krogle imajo namreč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, kot tudi zunanje predelne stene,
ki mejijo le na eno celico.
Zaključek: čebele so torej med tremi možnostmi do-
bro izbrale šestkotno satovje.
Naloge
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. Po nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični polmer krogle s toliko
celicami (samo za n = 6)?
3. Pokaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno množenje. Upoštevaj w2 + 1 = w. Kako se iz-
7
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
f4(c)
a4
d r(c,4)
1 · (
√
8c − 4+ 2c),
f3(c) 3pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 (
√
24c−15+4c−1), r lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razširitev definicijskega ob-
močja na interval [1,∞) in postavimo prej opazo-
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4(c)/f6(c). D kazati je moč, da velja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zanimivost še tole: funkciji f34
in 46 se bližata limitam, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34(c) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši pri er:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
k tniki je vsaka predelna stena meja nata ko dveh
n-kotnikov. Če „seštejemo“ polovič o predelni o
kvadratne mreže in j delimo s p lovičnim „seštev-
m“ predelnine šestkotne reže, je razmerje e ako
razmerju obsegov enega kvadrata in e ega šestko-
tnika, saj je v pr em primeru šteta vsaka predelna
sten natanko dvakrat, v drugem primeru pa natan
e krat. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celica) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za p r „krogel“
K∞ (vse celice). Pri drugih kroglah Kr to ne drži: te
krogle im jo na reč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, kot tudi zu anje predelne stene,
ki mejijo le na eno celico.
Zaključek: čebele so t rej med tremi možnostmi do-
bro izbrale šestkotno satovje.
Naloge
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. P nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični pol er krogle s toliko
celic mi (samo za n = 6)?
3. Pokaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno noženje. Upoštevaj w2 + 1 = w. K se iz-
7
in še
f6(c)
a6
d
pr(c,6)
3
3
(
√
12c 3 3c),
f4(c) =
a4
d
pr(c,4) = 1 · (
√
8c 4 2c),
3
a3
d pr(c,3) 3
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 (
√
24c−15+4c−1), r lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privošči o si razširitev definicijskega ob-
očja na interval [1, ) in postavi o prej opazo-
vana raz er a f34(c) f3(c)/f4(c) ter f46(c)
f4(c)/f6(c). kazati je oč, da velja
f6(c) f4(c) f3(c)
kar za vse c 1. Kot zani ivost še tole: funkciji f34
in 46 se bližata li ita , ko raste c preko vseh eja:
li
c→∞
f34( )
3 3
4
.
1,30; li
c→∞
f46(c)
2 3
3
.
1,15.
Li itni pri er pa i a celo enako raz erje kot naj-
anjši primer:
f34(1) f34( )
3 3
4
, f46(1) f46( )
2 3
3
.
To uvidi o tudi takole: v tlakovanju ravnine z -
kotniki je vsaka predelna stena eja natanko dveh
-kotnikov. Če „sešteje o“ polovično predelnino
kvadratne reže in j deli o s polovični „seštev
“ predelnine šestkotne mreže, je raz erje enako
raz erju obsegov en ga kvadrata in enega š stko-
tnika, saj je v prve pri eru šteta saka predelna
stena natanko dvakrat, v druge pri eru pa natan
enkrat. Ta pr isl k velja torej le za par krogel 0
(ena celica) (pri npr. {4,6}) in za p r „krogel“
∞ (vse celice). Pri drugih kroglah r to ne drži: te
krogle i jo na reč tako notranje predelne stene, ki
ejijo na dve celici, kot tudi zunanje predelne stene,
ki ejijo le na eno celico.
Zakl uček: č bele so t rej ed tre i ožnost i do-
bro izbral šestkotno satovje.
al e
1. Kolikšna je celična razdalja ed celica a (10,4)
in (3, 6)?
2 P nek terih pod tkih izleže atica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični polmer krogle s toliko
celica i (sa o za 6)?
3. Pokaži, da j ogrinjača zaprta tudi za ko ple-
ksno noženje. poštevaj 2 1 . Kako se iz-
7
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
4
4
4 1 · ( 8c − 4+ 2c),
f3(c) = 3pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 ( − ), lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razšir tev definicijskega ob-
močja na interval [1,∞) in postavimo prej opazo
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4(c)/f6(c). Dokazati je moč, da velja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zanimivost še tole: funkciji f34
in f46 se bližata limi am, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34(c) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši pri er:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
k tniki je vsaka predelna s ena meja nata ko dveh
n-kotnikov. Če „seštejemo“ polovič o predelnino
kvadratne mreže in jo delimo s p lovičnim „seštev-
om“ predelnine šestkotne reže, je razmerje nako
razmerju obsegov enega kvadrata in enega š stko-
tnika, saj je v pr em primeru šteta vsaka predelna
sten natanko dvakrat, v drugem primeru pa natanko
enkr t. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celic ) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za par „krogel“
K∞ (vse elice). Pri drugih kroglah Kr to ne d ži: te
krogle imajo nam eč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, kot tudi zu anje pr delne st ne,
ki mejijo le na no celico.
Zaključek: čebele so torej med tremi možnostmi do-
bro izbrale šestkotno satovj .
Naloge
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. Po nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični pol er krogle s toliko
celic mi (samo za n = 6)?
3. Pokaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno množenje. Upoštevaj w2 + 1 = w. K se iz
7
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
f4(c) =
a4
d
pr(c,4) = 1 · (
√
8c − 4+ 2c),
3(c) 3d pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 ( − ), lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razšir tev definicijskega ob-
močja na interval [1,∞) in postavimo prej opazo
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4(c)/ 6(c). Dokazati je moč, d v lja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zani ivost še tole: funkciji f34
in f46 se bližata limi am, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34(c) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši pri er:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
k tniki je vsaka predelna s ena meja nata ko dveh
n-kotnikov. Če „seštejemo“ polovič o predelni o
kvadratne mreže in jo delimo s p lovičnim „seštev-
m“ predelnine šestkotne reže, je razmerje ako
razmerju obsegov n ga kvadrata in e ega š stko-
tnika, saj je v pr m primeru šteta vsaka pr del a
sten natanko dvakrat, v drugem rimeru pa natanko
e krat. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celic ) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za par „krogel“
K∞ (vse elice). Pri drugih kroglah Kr to ne d ži: te
krogle im jo na eč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, ot tudi zu anje pr delne st ne,
ki mejijo le na no celico.
Zaključek: čebele so torej med tr mi mož o tmi do-
bro izbr le š stkotno satovj .
Naloge
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. Po nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični pol er krogle s toliko
celic mi (samo za n = 6)?
3. kaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno noženj . Upoštevaj w2 + 1 = w. K se iz
7
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
f4(c) =
a4
d
pr(c,4) = 1 · (
√
8c − 4+ 2c),
f3(c) = a3d pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 (
√
24c−15+4c−1), r lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razširitev definicijskega ob-
močja na interval [1,∞) in postavimo prej opazo-
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4(c)/f6(c). Dokazati je moč, da velja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zanimivost še tole: funkciji f34
in f46 se bližata limitam, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34(c) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši primer:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
kotniki je vsaka predelna stena meja natanko dveh
n-kotnikov. Če „seštejemo“ polovično predelnino
kvadratne mreže in jo delimo s polovičnim „seštev-
kom“ predelnine šestkotne mreže, je razmerje enako
razmerju obsegov enega kvadrata in enega šestko-
tnika, saj je v prvem primeru šteta vsaka predelna
stena natanko dvakrat, v drugem primeru pa natanko
enkrat. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celica) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za par „krogel“
K∞ (vse celice). Pri drugih kroglah Kr to ne drži: te
krogle imajo namreč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, kot tudi zunanje predelne stene,
ki mejijo le na eno celico.
Zaključek: čebele so torej med tremi možnostmi do-
bro izbrale šestkotno satovje.
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. Po nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični polmer krogle s toliko
celicami (samo za n = 6)?
3. Pokaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno množenje. Upoštevaj w2 + 1 = w. Kako se iz-
7
in še
f6(c) =
a6
d
pr(c,6) =
√
3
3
(
√
12c − 3+ 3c),
f4(c) =
a4
d
pr(c,4) = 1 · (
√
8c − 4+ 2c),
f3(c) = a3d pr(c,3) =
√
3
{
3
8 (
√
24c−15+4c+1), r sod
3
8 ( c c− ), r lih.
Te tri funkcije so sprva definirane le za naravne c
enake kr . Privoščimo si razširitev definicijskega ob-
močja na inte val [1,∞) in postavimo prej opazo-
vana razmerja f34(c) = f3(c)/f4(c) ter f46(c) =
f4(c)/ 6(c). Dokazati je moč, da velja
f6(c) ≤ f4(c) ≤ f3(c)
kar za vse c ≥ 1. Kot zani ivost še tole: funkciji f34
in f46 se bližata limi am, ko raste c preko vseh meja:
lim
c→∞
f34( ) =
3
√
3
4
.= 1,30; lim
c→∞
f46(c) =
2
√
3
3
.= 1,15.
Limitni primer pa ima celo enako razmerje kot naj-
manjši pri er:
f34(1) = f34(∞) =
3
√
3
4
, f46(1) = f46(∞) =
2
√
3
3
.
To uvidimo tudi takole: v tlakovanju ravnine z n-
k tniki je vsaka predelna s ena meja nata ko dveh
n-kotnikov. Če „seštejemo“ polovično predelni o
kvadratne mreže in jo delimo s p lovičnim „seštev-
m“ predelnine šestkotne reže, je razmerje ako
razmerju obsegov enega kvadrata in e ega š stko-
tnika, saj je v pr em primeru šteta vsaka predel a
sten natanko dvakrat, v drugem rimeru pa natanko
e kr t. Ta premislek velja torej le za par krogel K0
(ena celic ) (pri npr. n ∈ {4,6}) in za par „krogel“
K∞ (vse elice). Pri drugih kroglah Kr to ne d ži: te
krogle imajo nam eč tako notranje predelne stene, ki
mejijo na dve celici, ot tudi zu anje pr delne st ne,
ki mejijo le na no celico.
Zaključek: čebele so torej med tremi mož ostmi do-
bro izbrale šestkotno satovj .
Naloge
1. Kolikšna je celična razdalja med celicama (10,4)
in (3,−6)?
2. Po nekaterih podatkih izleže matica 1500 jajčec
na dan. Kolikšen bi bil celični pol er krogle s toliko
celic mi (samo za n = 6)?
3. kaži, da je ogrinjača O zaprta tudi za komple-
ksno množenje. Upoštev j w2 + 1 = w. K ko se iz-
7
raža produkt parov (a, b)·(c, d) = (a+bw)(c+dw)?
4. N d bud i bralec članka bi si lahko izdelal mo
del satovja i celične krogle Kr tudi iz lesene pod-
lage ter or enako visokih žebljičkov, ki bi jih zabil v
primernih razdaljah na po lago (ravno na mesta iz
ogrinjače O brez samih središč c lic, okoli izhodišča
z največ r celičnih korakov daleč). Na žebljičke bi
nato napeljal nit, ki bi ovita predstavlj la predelne
stene. Znate poiskat formulo za or ? Namig: Euler-
jeva formula za ravninske grafe.
Rešitve
1. Najprej je (10,4) − (3,−6) = (7,10). Celǐcna raz-
dalja med podan ma celicama j enaka razd lji njune
razlike do izhodiščne celice. Celica (7,10) pade v ob-
močje I, njena razdalja je (7+ 2 · 10)/3 = 9.
2. Uporabimo enačbo za r(c,n): n2 + 8(c − 1)n =
36+ 8 · 1499 · 6 = 71988, r (1500,6) .= 1,86, torej
gre za „kroglo“ s polmerom med 21 in 22.
3. Zmnožimo:
(a, b) · (c, d) = (a+ bw)(c + dw) =
ac + adw + bcw + bdw2 =
= (ac − bd)+ (ad+ bc + bd)w =
(ac − bd,ad+ bc + bd).
4. Na kr glo Kr lahko gledamo kot na ravni ski graf,
ki pr more kr šestkotnih celic in eno zunanje ob-
močje ter r p vezav. Po Eulerjevi formuli velja:
(kr + 1)− pr + or = 2, od tod pa
or = pr − kr + 1 = 3(r + 1)(3r + 2)− 3r(r + 1)−
1+ 1 = 3(r + 1)(3r + 2− r) = 6(r + 1)2.
8
pr = pr−1 + zr + sr = pr−1 + 12r + 6+ 6r =
pr−1 + 18r + 6
in seštejmo ter poenostavimo:
pr = 6+
∑r
k=1(18k+ 6) = 6+ 9r(r + 1)+ 6r =
3(3r 2 + 5r + 2) = 3(r + 1)(3r + 2).
Rezultate tabelirajmo1:
Tabela 2
V tabeli 2 so zbrani izpeljani rezultati za n = 6,
pa tudi za n = 4 in n = 3. Pojme razdalje, krogle,
sfere, zunanjih in predelnih sten je moč podobno
opredeliti tudi za ta dva n (glej sliki 5 in 6), rezultati
za enako poimenovana zaporedja so podani v tabeli,
sama izpeljava pa ne.
Modrost čebel
Čebele gradijo v panjih satovja s celicami šestkotne
oblike. Čebelarji jim pripravijo satnice (slika 10). Le
te že imajo vtisnjene šestkotne celične zasnove nizke
globine, sestavljene iz treh rombov. Premer celice je
okoli d = 11 mm, globina pa od 10 do 12 mm. Ce-
lice dogradijo čebele z voskovnimi žlezami. Največ
celic je namenjenih vzreji novih čebel. Vprašajmo
se, koliko voska bi potrebovale čebele, če bi bile ce-
lice trikotne, kvadratne ali šestkotne in bi bil notranji
premer takih celic (t. j. ustreznega včrtanega kroga)
enak. Če je dan premer d včrtanega kroga, meri stra-
nica očrtanega trikotnika a3 =
√
3d, očrtanega kva-
drata a4 = d in očrtanega šestkotnika a6 =
√
3/3d.
Poraba voska za eno celico je sorazmerna obsegu ce-
lice, t. j.
3a3 : 4a4 : 6a6 = 3
√
3 : 4 : 2
√
3
.= 5,20 : 4 : 3,46.
Za gradnjo ene šestkotne celice je torej potrebno
manj voska kot za gradnjo ene kvadratne celice in
manj kot za gradnjo ene trikotne celice. Vendar po-
mislimo še na možnost skupnih predelnih sten pri
več celicah združenih v celično kroglo. Ali se raz-
merje porabe voska kaj spremeni? Denimo, da bi
imeli tri celične krogle z enakim številom celic c: kro-
glo Kr iz c trikotnih celic, kroglo Ls iz c kvadratnih
celic in kroglo Mt iz c šestkotnih celic. Morda taki
naravni r , s in t sočasno sploh ne obstajajo? Uve-
dimo tri funkcije fn(c), ki povejo, koliko voska po-
trebujejo čebele pri gradnji c celične krogle za dani
n ∈ {3,4,6}. Velja:
c = n
2
r(r + 1)+ 1 ⇐⇒ r(c,n) =
√
n2 + 8(c − 1)n−n
2n
1Kroneckerjev delta nam okrajša pisavo: δij = 0 za i = j in
δii = 1.
6
pr = pr−1 + zr + sr = pr−1 + 12r + 6+ 6r =
pr−1 + 18r + 6
in seštejmo ter poenostavimo:
pr = 6+
∑r
k=1(18k+ 6) = 6+ 9r(r + 1)+ 6r =
3(3r 2 + 5r + 2) = 3(r + 1)(3r + 2).
Rezultate tabelirajmo1:
Tabela 2
V tabeli 2 so zbrani izpeljani rezultati za n = 6,
pa tudi za n = 4 in n = 3. Pojme razdalje, krogle,
sfere, zunanjih in predelnih sten je moč podobno
opredeliti tudi za ta dva n (glej sliki 5 in 6), rezultati
za enako poimenovana zaporedja so podani v tabeli,
sama izpeljava pa ne.
odrost čebel
Čebele gradijo v panjih satovja s celicami šestkotne
oblike. Čebelarji jim pripravijo satnice (slika 10). Le
te že imajo vtisnjene šestkotne celične zasnove nizke
globine, sestavljene iz treh rombov. Premer celice je
okoli d = 11 mm, globina pa od 10 do 12 mm. Ce-
lice dogradijo čebele z voskovnimi žlezami. Največ
celic je namenjenih vzreji novih čebel. Vprašajmo
se, koliko voska bi potrebovale čebele, če bi bile ce-
lice trikotne, kvadratne ali šestkotne in bi bil notranji
premer takih celic (t. j. ustreznega včrtanega kroga)
enak. Če je dan premer d včrtanega kroga, meri stra-
nica očrtanega trikotnika a3 =
√
3d, očrtanega kva-
drata a4 = d in očrtanega šestkotnika a6 =
√
3/3d.
Poraba voska za eno celico je sorazmerna obsegu ce-
lice, t. j.
3a3 : 4a4 : 6a6 = 3
√
3 : 4 : 2
√
3
.= 5,20 : 4 : 3,46.
Za gradnjo ene šestkotne celice je torej potrebno
manj voska kot za gradnjo ene kvadratne celice in
manj kot za gradnjo ene trikotne celice. Vendar po-
mislimo še na možnost skupnih predelnih sten pri
več celicah združenih v celično kroglo. Ali se raz-
merje porabe voska kaj spremeni? Denimo, da bi
imeli tri celične krogle z enakim številom celic c: kro-
glo Kr iz c trikotnih celic, kroglo Ls iz c kvadratnih
celic in kroglo Mt iz c šestkotnih celic. Morda taki
naravni r , s in t sočasno sploh ne obstajajo? Uve-
dimo tri funkcije fn(c), ki povejo, koliko voska po-
trebujejo čebele pri gradnji c celične krogle za dani
n ∈ {3,4,6}. Velja:
c = n
2
r(r + 1)+ 1 ⇐⇒ r(c,n) =
√
n2 + 8(c − 1)n−n
2n
1Kroneckerjev delta nam okrajša pisavo: δij = 0 za i = j in
δii = 1.
6

Presek 39 (2011/2012) 4
10
m a t e m a t i k a
Literatura
[1] F. Javornik in drugi, Čebelarstvo, ČZP Kmečki glas
Ljubljana, 1982.
9
5 7 1
3 6 8 5
3 6 8 7
4
1 3 6
7
5
4 6 1 8
Barvni sudoku
V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do 8, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem
stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2×
4) nastopalo vseh 8 števil.
1
•
raža produkt parov (a, b)·(c, d) = (a+bw)(c+dw)?
4. Nadobudni bralec članka bi si lahko izdelal mo-
del satovja in celične krogle Kr tudi iz lesene pod-
lage ter or enako visokih žebljičkov, ki bi jih zabil v
primernih razdaljah na podlago (ravno na mesta iz
ogrinjače O brez samih središč celic, okoli izhodišča
za največ r celičnih korakov daleč). Na žebljičke bi
nato napeljal nit, ki bi ovita predstavljala predelne
stene. Znate poiskati formulo za or ? Namig: Euler-
jeva formula za ravninske grafe.
Rešitve
1. Najprej je (10,4) − (3,−6) = (7,10). Celǐcna raz-
dalja med podanima celicama je enaka razdalji njune
razlike do izhodiščne celice. Celica (7,10) pade v ob-
močje I, njena razdalja je (7+ 2 · 10)/3 = 9.
2. Uporabimo enačbo za r(c,n): n2 + 8(c − 1)n =
36+ 8 · 1499 · 6 = 71988, r (1500,6) .= 21,86, torej
gre za „kroglo“ s polmerom med 21 in 22.
3. Zmnožimo:
(a, b) · (c, d) = (a+ bw)(c + dw) =
ac + adw + bcw + bdw2 =
= (ac − bd)+ (ad+ bc + bd)w =
(ac − bd,ad+ bc + bd).
4. Na kroglo Kr lahko gledamo kot na ravninski graf,
ki premore kr šestkotnih celic in eno zunanje ob-
močje ter pr povezav. Po Eulerjevi formuli velja:
(kr + 1)− pr + or = 2, od tod pa
or = pr − kr + 1 = 3(r + 1)(3r + 2)− 3r(r + 1)−
1+ 1 = 3(r + 1)(3r + 2− r) = 6(r + 1)2.
8
raža produkt parov (a, b)·(c, d) = (a+b )(c+d )?
4. Nadobudni bralec članka bi si lahko izdelal o-
del satovja in celične krogle Kr tudi iz lesene pod-
lage ter or enako visokih žebljičkov, ki bi jih zabil v
pri ernih razdaljah na podlago (ravno na esta iz
ogrinjače brez sa ih središč celic, okoli izhodišča
za največ r celičnih korakov daleč). Na žebljičke bi
nato napeljal nit, ki bi ovita predstavljala predelne
stene. Znate poiskati for ulo za or ? Na ig: Euler-
jeva for ula za ravninske grafe.
Rešitve
1. Najprej je (10,4) − (3,−6) = (7,10). Celǐcna raz-
dalja ed podani a celica a je enaka razdalji njune
razlike do izhodiščne celice. Celica (7,10) pade v ob-
očje I, njena razdalja je (7+ 2 · 10)/3 = 9.
2. Uporabi o enačbo za r(c,n): n2 + 8(c − 1)n =
36+ 8 · 1499 · 6 = 71988, r (1500,6) .= 21,86, torej
gre za „kroglo“ s pol ero ed 21 in 22.
3. Z noži o:
(a, b) · (c, d) = (a+ b )(c + d ) =
ac + ad + bc + bd 2 =
= (ac − bd)+ (ad+ bc + bd) =
(ac − bd,ad+ bc + bd).
4. Na kroglo Kr lahko gleda o kot na ravninski graf,
ki pre ore kr šestkotnih celic in eno zunanje ob-
očje ter pr povezav. Po Eulerjevi for uli velja:
(kr + 1)− pr + or = 2, od tod pa
or = pr − kr + 1 = 3(r + 1)(3r + 2)− 3r(r + 1)−
1+ 1 = 3(r + 1)(3r + 2− r) = 6(r + 1)2.
8
O
raža produkt parov (a, b)·(c, d) = (a+bw)(c+dw)?
4. Nadobudni bralec članka bi si lahko izdelal mo-
del satovja in celične krogle Kr tudi iz lesene pod-
lage ter or enako visokih žebljičkov, ki bi jih zabil v
primernih razdaljah na podlago (ravno na mesta iz
ogrinjače O brez samih središč celic, okoli izhodišča
za največ r celičnih korakov daleč). Na žebljičke bi
nato napeljal nit, ki bi ovita predstavljala predelne
stene. Znate poiskati formulo za or ? Namig: Euler-
jeva formula za ravninske grafe.
Rešitve
1. Najprej je (10,4) − (3,−6) = (7,10). Celǐcna raz-
dalja med podanima celicama je enaka razdalji njune
razlike do izhodiščne celice. Celica (7,10) pade v ob-
močje I, njena razdalja je (7+ 2 · 10)/3 = 9.
2. Uporabimo enačbo za r(c,n): n2 + 8(c − 1)n =
36+ 8 · 1499 · 6 = 71988, r (1500,6) .= 21,86, torej
gre za „kroglo“ s polmerom med 21 in 22.
3. Zmnožimo:
(a, b) · (c, d) = (a+ bw)(c + dw) =
ac + adw + bcw + bdw2 =
= (ac − bd)+ (ad+ bc + bd)w =
(ac − bd,ad+ bc + bd).
4. Na kroglo Kr lahko gledamo kot na ravninski graf,
ki premore kr šestkotnih celic in eno zunanje ob-
močje ter pr povezav. Po Eulerjevi formuli velja:
(kr + 1)− pr + or = 2, od tod pa
or = pr − kr + 1 = 3(r + 1)(3r + 2)− 3r(r + 1)−
1+ 1 = 3(r + 1)(3r + 2− r) = 6(r + 1)2.
8
raža produkt parov (a, b)·(c, d) = (a+b )(c+d )?
4. Nadobudni bralec članka bi si lahko izdelal o-
del satovja in celične krogle Kr tudi iz lesene pod-
lage ter or enako visokih žebljičkov, ki bi jih zabil v
pri ernih razdaljah na podlago (ravno na esta iz
ogrinjače O brez sa ih središč celic, okoli izhodišča
za največ r celičnih korakov daleč). Na žebljičke bi
nato napeljal nit, ki bi ovita predstavljala predelne
stene. Znate poiskati for ulo za or ? Na ig: Euler-
jeva for ula za ravninske grafe.
Rešitve
1. Najprej je (10,4) − (3,−6) = (7,10). Celǐcna raz-
dalja ed podani a celica a je enaka razdalji njune
razlike do izhodiščne celice. Celica (7,10) pade v ob-
očje I, njena razdalja je (7+ 2 · 10)/3 = 9.
2. Uporabi o enačbo za r(c,n): n2 + 8(c − 1)n =
36+ 8 · 1499 · 6 = 71988, r (1500,6) .= 21,86, torej
gre za „kroglo“ s pol ero ed 21 in 22.
3. Z noži o:
(a, b) · (c, d) = (a+ b )(c + d ) =
ac + ad + bc + bd 2 =
= (ac − bd)+ (ad+ bc + bd) =
(ac − bd,ad+ bc + bd).
4. Na kroglo Kr lahko gleda o kot na ravninski graf,
ki pre ore kr šestkotnih celic in eno zunanje ob-
očje ter pr povezav. Po Eulerjevi for uli velja:
(kr + 1)− pr + or = 2, od tod pa
or = pr − kr + 1 = 3(r + 1)(3r + 2)− 3r(r + 1)−
1+ 1 = 3(r + 1)(3r + 2− r) = 6(r + 1)2.
8
Najbolj uspešni osnovnošolci in srednješolci s
šolskih tekmovanj so se v soboto, 8. oktobra 2011,
pomerili v šestih regijah na državnem tekmovanju
za zlato priznanje iz razvedrilne matematike. V
letošnjem šolskem letu so tekmovali učenci od še-
stega do devetega razreda, dijaki od prvega do če-
trtega letnika in študentje. Na državno tekmovanje
se je uvrstilo 397 tekmovalcev.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi pri-
znanji. V šestem razredu smo podelili 14, v sedmem
razredu 13, v osmem 16 in v devetem razredu 15
zlatih priznanj. V prvem letniku smo podelili 13, v
drugem 8, v tretjem 8 in v četrtem 4 zlata priznanja.
Nagrade prejmejo najboljši tekmovalci, in sicer:
6. razred
I. nagrada
Julij Mlinšek, OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka
II. nagrada
Tadej Mohorčič, OŠ Center, Novo mesto
III. nagrada
Matija Krumpak, OŠ Šmarje pri Jelšah
Uroš Figar, OŠ Ob Rinži Kočevje
7. razred
I. nagrada
Zarja Fabjan, OŠ Center, Novo mesto
Matic Peteh, OŠ Mirana Jarca Črnomelj
III. nagrada
Iza Doberšek, OŠ Dobje
Domen Mohorčič, OŠ Center, Novo mesto
8. razred
I. nagrada
Klara Drofenik, OŠ Frana Kranjca, Celje
II. nagrada
Laura Ahlin, OŠ Toma Brejca, Kamnik
III. nagrada
Anže Glušič, OŠ Center, Novo mesto
9. razred
I. nagrada
2
j lj i l i i r j l i
l i t j t , . t r ,
rili ti r ij r t j
l t ri j i r ril t ti .
l t j l l t t li i -
t t r r , ij i r -
trt l t i i t tj . r t j
j r til t l .
j lj i t l i ili r j i l ti i ri-
ji. t r r lili ,
r r , i t r r
l ti ri j. r l t i lili ,
r , tr tj i trt l t ri j .
r r j j j lj i t l i, i i r:
.
I. r
J ij i , t l rj , fj
II. r
j i , t r, t
III. r
ij , rj ri J l
i , i i j
.
I. r
j j , t r, t
i , ir J r r lj
III. r
I , j
i , t r, t
.
I. r
i , r r j , lj
II. r
i , r j , i
III. r
i , t r, t
.
I. r
Najbolj uspešni osnovnošolci in srednješolci s
šolskih tekmovanj so se v soboto, 8. oktobra 2011,
pomerili v šestih regijah na državnem tekmovanju
za zlato priznanje iz razvedrilne matematike. V
letošnjem šolskem letu so tekmovali učenci od še-
stega do devetega razreda, dijaki od prvega do če-
trtega letnika in študentje. Na državno tekmovanje
se je uvrstilo 397 tekmovalcev.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi pri-
znanji. V š stem razredu smo podelil 14, v sedmem
razredu 13, v osmem 16 in v devetem razr u 15
zlatih priznanj. V prvem letniku smo podelili 13, v
drugem 8, v tretjem 8 in v četrtem 4 zlata priznanja.
Nagrade prejme o najboljši tekmovalci, in sicer:
6. razred
I. nagrada
Julij Mlinšek, OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka
II. nagrada
Tadej Mohorčič, OŠ Center, Novo mesto
III. nagrada
Matija Krumpak, OŠ Šmarje pri Jelšah
Uroš Figar, OŠ Ob Rinži Kočevje
7. razred
I. nagrada
Zarja Fabjan, OŠ Center, Novo mesto
Matic Peteh, OŠ Mirana Jarca Črnomelj
III. nagrada
Iza Doberšek, OŠ Dobje
Domen Mohorčič, OŠ Center, Novo mesto
8. razred
I. nagrada
Klara Drofenik, OŠ Frana Kranjca, Celje
II. nagrada
Laura Ahlin, OŠ Toma Brejca, Kamnik
III. nagrada
Anže Glušič, OŠ Center, Novo mesto
9. razred
I. nagrada
2
j lj i l i i j l i
l i t j t , . t ,
ili ti ij t j
l t i j i il t ti .
l t j l l t t li i -
t t , ij i -
t t l t i i t tj . t j
j til t l .
j lj i t l i ili r j i l ti i ri-
ji. t r r lil ,
r r , i t r r
l ti ri j. r l t i lili ,
r , tr tj i trt l t r j .
r r j j lj i t l i, i i r:
.
I. r
J ij i , t l rj , fj
II. r
j i , t r, t
III. r
ij , rj ri J l
i , i i j
.
I. r
j j , t r, t
i , ir J r r lj
III. r
I , j
i , t r, t
.
I. r
i , r r j , lj
II. r
i , r j , i
III. r
i , t r, t
.
I. r
a bo uspešn osnovnošo c n sredn ešo c s
šo sk h ek ovan so se v sobo o, 8. ok obra 2011,
po er v šes h reg ah na državne ek ovan u
za z a o pr znan e z razvedr ne a e a ke.
e ošn e šo ske e u so ek ova učenc od še
s ega do deve ega razreda, d ak od prvega do če
r ega e n ka n š uden e. a državno ek ovan e
se e uvrs o 397 ek ova cev.
a bo š ek ova c so b nag a en z z a p
znan . V šes e az edu s o pode 14, v sed e
az edu 13, v os e 16 n v deve e az edu 15
z a h p znan . V p ve e n ku s o pode 13, v
d uge 8, v e e 8 n v če e 4 z a a p znan a.
ag ade p e e o na bo š ek ova c , n s ce :
razre
nag ada
ul l nšek, Š Cve ka o a a, Ško a Loka
nag ada
Tade o orč č, Š Cen e , ovo es o
nag ada
at a Kru pak, Š Š a e p e šah
roš F gar, Š b R nž Kočev e
razre
nag ada
Zar a Fab an, Š Cen e , ovo es o
at c Pete , Š ana a ca Č no e
nag ada
za oberšek, Š ob e
o en o orč č, Š Cen e , ovo es o
razre
nag ada
Klara rofen k, Š F ana K an ca, Ce e
nag ada
Laura l n, Š To a B e ca, Ka n k
nag ada
nže luš č, Š Cen e , ovo es o
razre
nag ada
2
N j lj i l i i j l i
l i j
ili i ij j
l i j i il i V
l j l l li i -
ij i -
l i i j N j
j il l
N j lj i l i ili j i l i i i-
ji lili
i
l i i j l i lili
j i l i j
N j j j lj i l i i i
6 d
I.
O G l j j
II.
h O N
III.
m O j i l
U O O i i j
7 d
I.
O N
h O i lj
III.
I D O D j
D m h O N
8 d
I.
D O j lj
II.
Ah O j i
III.
A G O N
9 d
I.
t m t , . t ,
m t m t m
t m t m t .
t m m t t m
t t ,
t t t t t . t m
t t m .
t m r t m r
. t m r r m , m m
r r , m m t m r r
t r . r m t m ,
r m , tr t m trt m t r .
r r m t m , r:
.
r
J ij M i , t r , f
r
j M i , t r, m t
r
M ij , m r r J
i ,
.
r
j j , t r, m t
M i , M r J r r m
r
,
M i , t r, m t
.
r
i , r r ,
r
i , m r , m
r
i , t r, m t
.
r
j lj s š i s š l i i sr j š l i s
š ls i j s s s r
rili š s i r ij r j
l ri j i r il i
l š j š ls l s li i š -
s r r ij i r -
r l i i š j r j
s j rs il l
j ljši e lci s ili je i l i i i-
ji šes e e s elili se e
e s e i e e e e
l i i j e le i s elili
e e je i ce e l i j
e ej ej j ljši e lci i sice
r r
I.
l l š e l j j
II.
e e es
III.
je i elš
š i i ce je
r r
I.
e e es
i c elj
III.
I š je
e e es
r r
I.
l f jc elje
II.
l ejc i
III.
l š e e es
r r
I.
a bo u pe n o novno o c n edn e o c
o k h tek ova o e v oboto, 8. oktob a 2011,
p e v e t h eg ah na d žavne tek ovan u
za z ato p znan e z azve ne ate at ke.
eto n e o ke etu o tek ova učenc od e
tega do devetega az eda, d ak od p vega do č
t tega etn ka n tudent e. a d žavno tek ovan e
e e uv t o 397 tek ova cev.
a bo t k ova o b nagra n z z at pr
znan . V t razr du o pod 14, v d
razr du 13, v o 16 n v d v t razr du 15
z at h pr znan . V prv tn ku o pod 13, v
drug 8, v tr t 8 n v ˇ trt 4 z ata pr znan a.
agrad pr o na bo t k ova , n r:
. az e
nagrada
Ju ij in ek, Š Cv tka o ar a, Škof a Loka
nagrada
Tadej o orčič, Š C nt r, ovo to
nagrada
atija Kru pak, Š Š ar pr J ah
ro Figar, Š b R nž Koˇ v
. az e
nagrada
Zarja Fabjan, Š C nt r, ovo to
atic Pete , Š rana Jar a Črno
nagrada
za ober ek, Š ob
o en o orčič, Š C nt r, ovo to
. az e
nagrada
K ara ro enik, Š Frana Kran a, C
nagrada
Laura in, Š To a Br a, Ka n k
nagrada
nže u ič, Š C nt r, ovo to
. az e
nagrada
2
22. državno 
tekmovanje 
v razvedrilni 
matematiki
•
•
klavdija mlinšek
6. razred
II. nagrada
I. nagrada
. agrada
teratura
presek 39 (2011/2012) 4
Barvni sudoku
11
t e k m o v a n j a
Jakob Fabjan, OŠ Center, Novo mesto
Anja Fink, OŠ Center, Novo mesto
Doris Keršič, OŠ Podčetrtek
Tjaša Okleščen, OŠ Center, Novo mesto
Uroš Prešern, OŠ Otočec
1. letnik
I. nagrada
Ana Gorše, Gimnazija Kočevje
II. nagrada
Tajda Beznik, Gimnazija Kočevje
III. nagrada
Gašper A. Komatar, ŠC Rudolfa Maistra Kamnik,
Gimnazija
2. letnik
I. nagrada
Miha Bizjak, Gimnazija Želimlje
II. nagrada
Tjaša Lukšič, Gimnazija Novo mesto
III. nagrada
Špela Gubič, Gimnazija Franca Miklošiča Ljuto-
mer
3. letnik
I. nagrada
Nino Cmor, Gimnazija Murska Sobota
II. nagrada
Rok Havlas, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Mitja Šadl, Gimnazija Franca Miklošiča Ljutomer
Žiga Rozman, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija
4. letnik
I. nagrada
Mihael Kosi, Gimnazija Franca Miklošiča Ljuto-
mer
Žiga Lukšič, Gimnazija Novo mesto
III. nagrada
Pal Szomi, Sr. grad., geod. in ek. šola Ljubljana -
Sr. strok. šola
3
J j , t r, t
j i , t r, t
i i , trt
j , t r, t
, t
. l t i
I. r
, i ij j
II. r
j i , i ij j
III. r
. , lf i tr i ,
i ij
. l t i
I. r
i i j , i ij li lj
II. r
j i , i ij t
III. r
i , i ij r i l i j t -
r
. l t i
I. r
i , i ij r t
II. r
, II. i ij ri r
III. r
i j , i ij r i l i j t r
i , i ij i r , i ij
. l t i
I. r
i i, i ij r i l i j t -
r
i i , i ij t
III. r
i, r. r ., . i . l j lj -
r. tr . l
akob Fab an, OŠ Cen e , Novo es o
An a F nk, OŠ Cen e , Novo es o
Dor s Kerš č, OŠ Podče ek
T aša Okleščen, OŠ Cen e , Novo es o
Uroš Prešern, OŠ O očec
1 le nik
I. nag ada
Ana Gorše, Gi nazija Kočevje
II. nag ada
Ta da Bezn k, Gi nazija Kočevje
III. nag ada
Gašper A. Komatar, ŠC Rudol a ais a Ka nik,
Gi nazija
2 le nik
I. nag ada
ha B z ak, Gi nazija Želi lje
II. nag ada
T aša Lukš č, Gi nazija Novo es o
III. nag ada
Špela Gub č, Gi nazija F anca iklošiča Lju o-
e
3 le nik
I. nag ada
N no Cmor, Gi nazija u ska Sobo a
II. nag ada
Rok Havlas, II. gi nazija a ibo
III. nag ada
t a Šadl, Gi nazija F anca iklošiča Lju o e
Ž ga Rozman, Gi nazija Bežig ad, Gi nazija
4 le nik
I. nag ada
hael Kos , Gi nazija F anca iklošiča Lju o-
e
Ž ga Lukš č, Gi nazija Novo es o
III. nag ada
Pal Szom , S . g ad., geod. in ek. šola Ljubljana -
S . s ok. šola
3
J j , t r, m t
j i , t r, m t
i i , trt
j , t r, m t
, t
. l t i
I. r
, im ij j
II. r
j i , im ij j
III. r
. , lf M i tr m i ,
im ij
. l t i
I. r
Mi i j , im ij limlj
II. r
j i , im ij m t
III. r
i , im ij r Mi l i j t -
m r
. l t i
I. r
i , im ij M r t
II. r
, II. im ij M ri r
III. r
Mi j , im ij r Mi l i j t m r
i , im ij i r , im ij
. l t i
I. r
Mi i, im ij r Mi l i j t -
m r
i i , im ij m t
III. r
i, r. r ., . i . l j lj -
r. tr . l
Jakob Fabjan, OŠ Center, Novo esto
Anja Fink, OŠ Center, Novo esto
Doris Keršič, OŠ Podčetrtek
Tjaša Okleščen, OŠ Center, Novo esto
Uroš Prešern, OŠ Otočec
1. letnik
I. nagrada
Ana Gorše, Gi nazija Kočevje
II. nagrada
Tajda Beznik, Gi nazija Kočevje
III. nagrada
Gašper A. Komatar, ŠC Rudolfa aistra Ka nik,
Gi nazija
2. letnik
I. nagrada
iha Bizjak, Gi nazija Želi lje
II. nagrada
Tjaša Lukšič, Gi nazija Novo esto
III. nagrada
Špela Gubič, Gi nazija Franca iklošiča Ljuto-
er
3. letnik
I. nagrada
Nino Cmor, Gi nazija urska Sobota
II. nagrada
Rok Havlas, II. gi nazija aribor
III. nagrada
itja Šadl, Gi nazija Franca iklošiča Ljuto er
Žiga Rozman, Gi nazija Bežigrad, Gi nazija
4. letnik
I. nagrada
ihael Kosi, Gi nazija Franca iklošiča Ljuto-
er
Žiga Lukšič, Gi nazija Novo esto
III. nagrada
Pal Szomi, Sr. grad., geod. in ek. šola Ljubljana -
Sr. strok. šola
3
, ,
, ,
,
, ,
,
,
,
. , ,
,
,
,
,
, .
,
, ,
,
,
, . ., . .
. .
Jakob Fabjan, OŠ Center, Novo mesto
Anja Fink, OŠ Center, Novo mesto
Doris Keršič, OŠ Podčetrtek
Tjaša Okleščen, OŠ Center, Novo mesto
Uroš Prešern, OŠ Otočec
1. letnik
I. nagrada
Ana Gorše, Gimnazija Kočevje
II. nagrada
Tajda Beznik, Gimnazija Kočevje
III. nagrada
Gašper A. Komatar, ŠC Rudolfa Maistra Kamnik,
Gimnazija
2. letnik
I. nagrada
Miha Bizjak, Gimnazija Želimlje
II. nagrada
Tjaša Lukšič, Gimnazija Novo mesto
III. nagrada
Špela Gubič, Gimnazija Franca Miklošiča Ljuto-
mer
3. letnik
I. nagrada
Nino Cmor, Gimnazija Murska Sobota
II. nagrada
Rok Havlas, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Mitja Šadl, Gimnazija Franca Miklošiča Ljutomer
Žiga Rozman, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija
4. letnik
I. nagrada
Mihael Kosi, Gimnazija Franca Miklošiča Ljuto-
mer
Žiga Lukšič, Gimnazija Novo mesto
III. nagrada
Pal Szomi, Sr. grad., geod. in ek. šola Ljubljana -
Sr. strok. šola
3
Jakob Fabjan, OŠ Center, Novo mesto
Anja Fink, OŠ Center, Novo mesto
Doris Keršič, OŠ Podč trtek
Tjaša Okl ščen, OŠ Center, Novo mesto
Uroš Prešern, OŠ Otočec
1. letnik
I. nagrada
Ana Gorše, Gimnazija Kočevje
II. nagrada
Tajda Beznik, Gimnazija Kočevje
III. nagrada
ašper A. Komatar, ŠC Rudolfa Maistra Kamnik,
Gimnazija
2. letnik
I. nagrada
Miha Bizjak, Gimnazija Želimlje
II. nagrada
Tjaša Lukšič, Gimnazija Novo mesto
III. nagrada
Šp la Gubič, Gimnazija Franca Miklošiča Ljuto-
mer
3. letnik
I. nagrada
Nino Cmor, Gimnazija Murska Sobota
II. nagrada
Rok Havlas, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Mitja Šadl, Gimnazija Franca Miklošiča Ljutomer
Žiga Rozman, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija
4. letnik
I. nagrada
Mihael Kosi, Gimnazija Franca Miklošiča Ljuto-
mer
Žiga Lukšič, Gimnazija Novo mesto
III. nagrada
Pal Sz mi, Sr. grad., geod. in ek. šola Ljubljana -
Sr. strok. šola
3
J j , t r, st
j i , t r, st
is ši , c trt
j š š , t r, st
š š , t c c
. l t i
I. r
š , i ij c j
II. r
j i , i ij c j
III. r
š . , lf istr i ,
i ij
. l t i
I. r
i i j , i ij li lj
II. r
j š ši , i ij st
III. r
i , i ij r c i l šic j t -
r
. l t i
I. r
i , i ij rs t
II. r
s, II. i ij ri r
III. r
i j , i ij r c i l šic j t r
i , i ij i r , i ij
. l t i
I. r
i si, i ij r c i l šic j t -
r
i ši , i ij st
III. r
i, r. r ., . i . š l j lj -
r. str . š l
J b F bj , Š e ter, v est
j Fi , Š e ter, v est
is e ši , Š P c trte
j š l š e , Š e ter, v est
š P eše , Š t cec
. l t i
I. a ra a
še, i azija cevje
II. a ra a
j ez i , i azija cevje
III. a ra a
špe . t , Š lfa aistra a ik,
i azija
. l t i
I. a ra a
i izj , i azija eli lje
II. a ra a
j š L ši , i azija v est
III. a ra a
Špel bi , i azija Fra ca i l šica Lj t -
er
. l t i
I. a ra a
i , i azija rska S ta
II. a ra a
l s, II. gi azija ari r
III. a ra a
itj Š l, i azija Fra ca ikloš ča Lj to er
i z , i azija ežigra , i azija
. l t i
I. a ra a
i el si, i azija Fra ca ikl šica Lj t -
er
i L ši , i azija v est
III. a ra a
P l Sz i, Sr. gra ., ge . i ek. š la Lj lja a -
Sr. str k. š la
, ,
, ,
,
, ,
,
,
,
. , ,
,
,
,
,
, .
,
, ,
,
,
, . ., . .
. .
Najbolj uspešni osnovnošolci in srednješolci s
šolskih tekmovanj so se v soboto, 8. oktobra 2011,
pomerili v šestih regijah na državnem tekmovanju
za zlato priznanje iz razvedrilne matematike. V
letošnjem šolskem letu so tekmovali učenci od še-
stega do devetega razreda, dijaki od prvega do če-
trtega letnika in študentje. Na državno tekmovanje
se je uvrstilo 397 tekmovalcev.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi pri-
znanji. V šestem razredu smo podelili 14, v sedmem
razredu 13, v osmem 16 in v devetem razredu 15
zlatih priznanj. V prvem letniku smo podelili 13, v
drugem 8, v tretjem 8 in v četrtem 4 zlata priznanja.
Nagrade prejmejo najboljši tekmovalci, in sicer:
6. razred
I. nagrada
Julij Mlinšek, OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka
II. nagrada
Tadej Mohorčič, OŠ Center, Novo mesto
III. nagrada
Matija Krumpak, OŠ Šmarje pri Jelšah
Uroš Figar, OŠ Ob Rinži Kočevje
7. razred
I. nagrada
Zarja Fabjan, OŠ Center, Novo mesto
Matic Peteh, OŠ Mirana Jarca Črnomelj
III. nagrada
Iza Doberšek, OŠ Dobje
Domen Mohorčič, OŠ Center, Novo mesto
8. razred
I. nagrada
Klara Drofenik, OŠ Frana Kranjca, Celje
II. nagrada
Laura Ahlin, OŠ Toma Brejca, Kamnik
III. nagrada
Anže Glušič, OŠ Center, Novo mesto
9. razred
I. nagrada
2
j lj i l i i j l i
l i j , . ,
ili i ij j
l i j i il i .
l j l l li i -
, ij i -
l i i j . j
j il l .
j lj i l i ili j i l i i i-
ji. lili ,
, i
l i i j. l i lili ,
, j i l i j .
j j j lj i l i, i i :
I.
, l j , j
II.
, ,
III.
, j i l
, i i j
I.
, ,
, i lj
III.
I , j
, ,
I.
, j , lj
II.
, j , i
III.
, ,
I.
ajbolj uspešni osnovnošolci in srednješolci s
šolskih tek ovanj so se v soboto, 8. oktobra 2011,
po erili v šestih regijah na državne tek ovanju
za zlato priznanje iz razvedrilne ate atike. V
letošnje šolske letu so tek ovali učenci od še-
stega do devetega razreda, dijaki od prvega do če-
trtega letnika in študentje. a državno tek ovanje
se je uvrstilo 397 tek ovalcev.
Najboljši tek ovalci so bili nagrajeni z zlati i pri-
znanji. V šeste razredu s o podelili 14, v sed e
razredu 13, v os e 16 in v devete razredu 15
zlatih priznanj. V prve letniku s o podelili 13, v
druge 8, v tretje 8 in v četrte 4 zlata priznanja.
Nagrade prej ejo najboljši tek ovalci, in sicer:
6. razred
I. nagrada
Julij linšek, Š Cvetka Golarja, Škofja Loka
II. nagrada
Tadej ohorčič, Š Center, Novo esto
III. nagrada
atija Kru pak, Š Š arje pri Jelšah
Uroš Figar, Š b Rinži Kočevje
7. razred
I. nagrada
Zarja Fabjan, Š Center, Novo esto
atic Peteh, Š irana Jarca Črno elj
III. nagrada
Iza oberšek, Š obje
o en ohorčič, Š Center, Novo esto
8. razred
I. nagrada
Klara rofenik, Š Frana Kranjca, Celje
II. nagrada
Laura Ahlin, Š To a Brejca, Ka nik
III. nagrada
Anže Glušič, Š Center, Novo esto
9. razred
I. nagrada
2
Najbolj uspešni osnovnošolci in srednješolci s
šolskih tekmovanj so se v soboto, 8. oktobra 2011,
pomerili v šestih regijah na državnem tekmovanju
za zlato priznanje iz razvedrilne matematike. V
letošnjem šolskem letu so tekmovali učenci od še-
stega do devetega razreda, dijaki od prvega do če-
trtega letnika in študentje. Na državno tekmovanje
se je uvrstilo 397 tekmovalcev.
Najboljši t kmovalci so bili nagrajen z zlatimi pri-
znanji. V šestem razredu smo podelili 14, v s mem
razredu 13, v osmem 16 in v devetem razredu 15
zlatih priznanj. V prvem letniku smo podelili 13, v
drugem 8, v tret em 8 in v četrtem 4 zlata priznanja.
Nagrade prejmejo najboljši tekmovalci, in sicer:
6. razred
I. nagrada
Julij Mlinšek, OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka
II. nagrada
Tadej Mohorčič, OŠ Center, Novo mesto
III. nagrada
Matija Krumpak, OŠ Šmarje pri Jelšah
Uroš Figar, OŠ Ob Rinži Kočevje
7. razred
I. nagrada
Zarja Fabjan, OŠ Center, Novo mesto
Matic Peteh, OŠ Mirana Jarca Črnomelj
III. nagrada
Iza Doberšek, OŠ Dobje
Domen Mohorčič, OŠ Center, Novo mesto
8. razred
I. nagrada
Klara Drofenik, OŠ Frana Kranjca, Celje
II. nagrada
Laura Ahlin, OŠ Toma Brejca, Kamnik
III. nagrada
Anže Glušič, OŠ Center, Novo mesto
9. razred
I. nagrada
2
7. razred
8. razred
9. razred
i. letnik
ii. letnik
iii. letnik
iv. letnik
. agrada
. agrada
. agrada
I. nagrada
I. nagrada
I. nagrada
I. nagrada
I. nagrada
I. nagrada
II. nagrada
II. nagrada
. agrada
I. nagrada
I. nagrada
I. agrada
II. nagrada
II. nagrada
 Gubič, Gimnazija Franca Miklošiča Ljutomer
Mih el Kosi   Franca Mikl šiča Ljutomer
Presek 39 (2011/2012) 4
12
f i z i k a
slika 1.
Geometrijsko ugotovljena razdalja razgleda s Triglava sega 
do točke PG na Jadranskem morju. Slika je močno pretirana.
•
tine golež
Razgled s 
Triglava
Do kam seže pogled, ko se z vrha Triglava ozre-
mo proti mednarodnim vodam Jadranskega morja?
Sprašujemo se, kolikšna je daljava razgleda, koli-
kšna je torej razdalja od stojišča do obzornice. Na
prvi pogled je vprašanje o daljavi razgleda geome-
trijska naloga. Na skici bo seveda Triglav daleč
prevelik glede na naš planet. Narišemo tangento
na krožnico, ki predstavlja Zemljo. Izberemo ti-
sto tangento, ki poteka skozi vrh Triglava. Točko
dotikališča tangente na morju označimo s PG . Po-
meni točko, ki jo predvideva geometrijski pristop
(slika 1).
Slika 1
Račun je preprost. Gre za pravokotni trikotnik,
ki ga določajo središče Zemlje, vrh Triglava in točka
PG. Pri tem nas prav nič ne moti, da je Zemlja ne-
koliko sploščena in ne popolnoma okrogla. Za pol-
mer Zemlje bomo vzeli R = 6400 km, medtem ko je
nadmorska višina Triglava h = 2,864 km. Daljica,
ki predstavlja daljavo razgleda, je krajša kateta tega
trikotnika. Dolžino daljice bomo označili s pG. Zapi-
šemo:
pG =
√
(R + h)2 − R2 .
Bralec se lahko hitro prepriča, da smo člen h2 brez
slabe vesti kar zanemarili in tako dobili:
pG =
√
2Rh .
Pri danih podatkih seže pogled kar 191 km daleč.
Za Luno odlǐcno, za Zemljo pa ne
Poznavalec omenjenih nebesnih teles na podlagi tega
podnaslova hitro ugotovi, da geometrijski rezultat
odstopa zaradi ozračja. Luna ga nima (pa tudi morja
ni, kakšna gora pa bi se že našla . . . ) in tam je enačba
kar prava. Na Zemlji pa razultat odstopa od dejan-
skega. Seže v resnici pogled še dlje? Odgovor je pri-
trdilen. Seveda moramo najprej ujeti pravo vreme.
Za kaj torej gre?
Pri fizikalnih nalogah povsem upravičeno upošte-
vamo, da je lomni količnik zraka kar 1. V resnici je v
navadnih okoliščinah približno 1,0003, a ob natanč-
nosti ostalih podatkov, ki so navadno dani v nalogi,
je to odstopanje globoko skrito v ostalih zaokrože-
vanjih. Pri razgledu s Triglava pa moramo lom sve-
tlobe v zraku upoštevati. V prvem približku bomo
ozračje do vrha našega očaka razdelili na tri plasti.
Plast pri Zemlji ima večjo gostoto in seveda tudi ve-
čji lomni količnik kot plast nad njo. Zato na meji teh
2
,
, ,
.
.
.
, .
, .
.
,
.
. ,
,
. ,
.
,
. ,
,
. .
:
,
:
.
,
.
, . . .
.
.
. .
, .
, ,
, ,
.
.
.
.
o a seže ogle , o se z r a rigla a ozre-
o roti e aro i o a Ja ra s ega orja?
S raš je o se, oli š a je alja a razgle a, oli-
š a je torej raz alja o stojišča o o zor ice. a
r i ogle je raša je o alja i razgle a geo e-
trijs a aloga. a s ici o se e a rigla aleč
re eli gle e a aš la et. ariše o ta ge to
a rož ico, i re sta lja e ljo. Iz ere o ti-
sto ta ge to, i ote a s ozi r rigla a. oč o
oti ališča ta ge te a orj oz ači o s PG . Po-
e i toč o, i jo re i e a geo etrijs i risto
(sli a 1).
Slika 1
ač je re rost. re za ravokot i trikot ik,
ki ga oločajo sre išče e lje, vr riglava i točka
PG. Pri te as rav ič e oti, a je e lja e-
koliko s lošče a i e o ol o a okrogla. a ol-
er e lje bo o vzeli 6400 k , e te ko je
a orska viši a riglava 2,864 k . aljica,
ki re stavlja aljavo razgle a, je krajša kateta tega
trikot ika. olži o aljice bo o oz ačili s G. a i-
še o:
G ( )2 2 .
Bralec se la ko itro re riča, a s o čle 2 brez
slabe vesti kar za e arili i tako obili:
G 2 .
Pri a i o atki seže ogle kar 191 k aleč.
L lic , lj
Poz avalec o e je i ebes i teles a o lagi tega
o aslova itro gotovi, a geo etrijski rez ltat
o sto a zara i ozračja. L a ga i a ( a t i orja
i, kakš a gora a bi se že ašla . . . ) i ta je e ačba
kar rava. a e lji a raz ltat o sto a o eja -
skega. Seže v res ici ogle še lje? govor je ri-
tr ile . Seve a ora o aj rej jeti ravo vre e.
a kaj torej gre?
Pri zikal i aloga ovse raviče o ošte-
va o, a je lo i količ ik zraka kar 1. res ici je v
ava i okolišči a ribliž o 1,0003, a ob ata č-
osti ostali o atkov, ki so ava o a i v alogi,
je to o sto a je globoko skrito v ostali zaokrože-
va ji . Pri razgle s riglava a ora o lo sve-
tlobe v zrak oštevati. rve ribližk bo o
ozračje o vr a ašega očaka raz elili a tri lasti.
Plast ri e lji i a večjo gostoto i seve a t i ve-
čji lo i količ ik kot last a jo. ato a eji te
2
k p d k v h T v
p dn dn v d d n k
p u k k n d v d k
k n d d d b n
p v p d vp n d v d
k n k b v d T v d
p v k d n n p n n n
n k n k p d v Z b
n n k p k k v h T v T k
d k n n n u n
n k k p dv d v k p p
k
R un p p p n n
d d Z h T n
n p n n d Z n
p n n n p p n Z p
Z d
n d n T
p d d d
n n d n p Z p
p
√
h h p p d n
n n d
p
√
d n h p d h p d d
Za za Ze a e
n n n h n n h n p d
p dn h u d u
d p d un n p ud
n n p n n n
p Z p u d p d d n
n p d d d p
d n d n p u p
Z
fi n h n h p up n up
d n n V n
n dn h n h p n n n
n h p d n dn d n n
d p n h
n h du T p
u up V p p u
d h n d n p
p Z n d ud
n n p n d n Z n h
D m l , i l -
m i m im m m j
j m , li j lj l , li-
j j lj ji i . N
i l j j lj i l m -
ij l . N i i i l l
li l l . N i m
i , i lj mlj . I m i-
, i i i l .
i li m j im . -
m i , i j i m ij i i
( li ).
li
j . G i i i ,
i l j i mlj , i l i
. i m i m i, j mlj -
li l i l m l . l-
m mlj m li R = m, m m j
m i i i l h = , m. D lji ,
i lj lj l , j j
i i . D l i lji m ili . i-
m :
= R + h − R .
l l i i , m l h
l i m ili i ili:
= Rh .
i i i l m l .
uno odlǐ no ljo p n
l m j i i l l i
l i i, m ij i l
i j . im ( i m j
i, i l . . . ) i m j
. N mlji l j -
. i i l lj O j i-
il . m m j j j i m .
j j
i i l i l m i -
m , j l m i li i . i i j
i li i i li , , -
i li , i i l i,
j j l i li -
ji . i l i l m m l m -
l i. m i li m
j lili i l i.
l i mlji im j i i -
ji l m i li i l j . m ji
t
t t
t
t t t
t t
t t t t
t t t
t t t
r r t r r t tr t
r r r t
r t r t
r
r t
r r
r t r r t t t
tr t
2 2
r tr r r 2 r
t r r t
r t r
,
t t
tr t tr r t t
t r r t r
r t
r r r t t t
r r r
tr r r t r r
t r r
r r t
r r r
r t
t t t
t t r t t r
r r r r
t r t t r r
r r r tr t
t r t t t
t t t t
o a seže og e , o se z r a r g a a ozre
o ro e aro o a Ja ra s ega or a?
S raš e o se, o š a e a a a razg e a, o
š a e ore raz a a o s o šča o o zor ce. a
r og e e raša e o a a razg e a geo e
r s a a oga. a s c o se e a r g a a eč
re e g e e a aš a e . ar še o a ge o
a rož co, re s a a e o. z ere o
s o a ge o, o e a s oz r r g a a. oč o
o a šča a ge e a or oz ač o s PG . Po
e oč o, o re e a geo e r s r s o
s a 1 .
S ka 1
ač e e os . e za avoko ko k,
k ga o oča o s e šče e e, v g ava očka
PG. P e as av č e o , a e e a e
ko ko s ošče a e o o o a ok og a. a o
e e e bo o vze 6400 k , e e ko e
a o ska v š a g ava 2 864 k . a ca,
k e s av a a avo azg e a, e k a ša ka e a ega
ko ka. o ž o a ce bo o oz ač s G. a
še o:
G ( )
B a ec se a ko o e ča, a s o č e b ez
s abe ves ka za e a ako ob :
G 2
P a o a k seže og e ka 191 k a eč.
L c m
Poz ava ec o e e ebes e es a o ag ega
o as ova o go ov , a geo e sk ez a
o s o a za a oz ač a. L a ga a a o a
, kakš a go a a b se že aš a . . . a e e ačba
ka ava. a e a az a o s o a o e a
skega. Seže v es c og e še e? govo e
e . Seve a o a o a e e avo v e e.
a ka o e g e?
P z ka a oga ovse av če o oš e
va o, a e o ko č k z aka ka 1. es c e v
ava oko šč a b ž o 1,0003, a ob a a č
os os a o a kov, k so ava o a v a og ,
e o o s o a e g oboko sk o v os a zaok ože
va . P azg e s g ava a o a o o sve
obe v z ak oš eva . ve b žk bo o
oz ač e o v a ašega očaka az e a as .
P as e a več o gos o o seve a ve
č o ko č k ko as a o. a o a e e
2
k p l d k v h T i l v -
p i dn dni v d d n k j
p uj k lik n j d lj v l d k li-
k n j j d lj d ji d b ni
p vi p l d j vp nj d lj vi l d -
ij k n l ki i b v d T i l v d l
p v lik l d n n pl n i n n
n k ni ki p d vlj Z lj I b i-
n n ki p k k i v h T i l v T k
d ik li n n n ju n i -
ni k ki j p dvid v ij ki p i p
( lik )
li
R un j p p p ni i ni
i d l j di Z lj h T i l in
i n p ni n i d j Z lj n -
li pl n in n p p ln l Z p l-
Z lj li d j
n d i in T i l , lji
i p d lj d lj l d j j
i ni l in d lji n ili p Z pi-
p
√
.
l l h hi p p i d l n
l i n ili in d ili
p
√
.
i d nih p d ih p l d d l
Za li za Ze lj a e
n l nj nih n nih l n p dl i
p dn l hi u i d ij i ul
d p di j un ni (p udi j
ni n p i n l ) in j n
p Z lji p ul d p d d j n-
ni i p l d dlj d j p i-
dil n d n jp j uj i p
Z j j
i fi i lnih n l h p up i n up -
d j l ni li ni V ni i j
n dnih li in h p i li n n n -
n i lih p d i n dn d ni n l i
j d p nj l i lih -
njih i l du T i l p l -
l u up i V p p i li u
j d h n d lili n i pl i
l p i Z lji i j in d udi -
ji l ni li ni pl n d nj Z n ji h
,
t
, ,
t t .
t .
t. t t
, t . t
t t t , t .
t t t .
t , t t
.
r r t. r r t tr t ,
r , r r t
. r t r t ,
r .
r , t
r r . ,
r t r , r t t t
tr t . .
:
2 2
r tr r r , 2 r
t r r t :
r t r .
,
t t
tr t , tr r t t
t r r . t r
, r . . . t
r r . r t t t
. r r r
tr . r r t r r .
t r r
r r t
, r r . r
r , , t
t t t , ,
t t r t t r
. r r r r
t r t t . r r
r r r tr t .
t r t t t
t t . t t
D s l s r ri l r -
r i r i J r s rj ?
r š j s li š j lj r l li-
š j r j r lj s jiš r i N
r i l j r š j lj i r l -
rijs l N s i i s ri l l
r li l š l N riš
r i i r s lj lj I r i-
s i s i r ri l
i liš rj i s PG -
i i j r i rijs i ris
(sli )
li
c je e s G e i i i
i l c j s e išce e lje i l i c
i e s ic e i je e lj e-
li s l šce i e l l l-
e e lje eli R = e e je
s iši i l h = , D ljic
i e s lj lj le je jš e e
i i D l i ljice cili s i-
še
= (R + h) − R .
lec se l i e ic s cle h e
sl e es i e ili i ili
= Rh .
i i i se e le lec
uno odlǐ no ljo p n
lec e je i e es i eles l i e
sl i i e e ijs i e l
s i cj i ( i j
i š i se e šl ) i je e c
N e lji l s ej -
s e e e es ici le še lje? O je i-
ile e e j ej je i e e
j ej e?
i i l i l se ice š e-
je l i lic i es ici je
i lišci i li c-
s i s li i s i l i
je s je l s i s li e-
ji i le s i l l s e-
l e š e i e i li
cje še c elili i l s i
l s i e lji i ecj s i se e i e-
cji l i lic i l s j eji e
o am eže og e , o e z a g a a oz e
mo o me a o m o am a a ega mo a
S a emo e, o a e a a a azg e a, o
a e o e az a a o o ča o o zo ce. a
og e e a a e o a a azg e a geome
a a oga. a c o e e a g a a eč
e e g e e a a a e . a emo a ge o
a ož co, e a a em o. z e emo
o a ge o, o e a oz g a a. oč o
o a ča a ge e a mo oz ač mo . Po
me oč o, o e e a geome o
a 1 .
S ka 1
aˇ o . za avoko ko k,
k ga o oˇa o ˇ m , v g ava oˇka
PG. P m a av ˇ mo , a m a
ko ko o ˇ a o o oma ok og a. a o
m m bomo vz 6400 km, m m ko
a mo ka v a g ava 2 864 km. a a,
k av a a avo azg a, k a a ka a ga
ko ka. o ž o a bomo oz aˇ G. a
mo:
G
B a a ko o ˇa, a mo ˇ b z
ab v ka za ma ako ob :
G 2
P a o a k ž og ka 191 km a .̌
L c
Poz ava om b a o ag ga
o a ova o go ov , a g om k z a
o o a za a oz aˇ a. L a ga ma a mo a
, kak a go a a b ž a a . . . am aˇba
ka ava. a m a az a o o a o a
k ga. S ž v og govo
. S v a mo amo a avo v m .
a ka o g
P z ka a oga ov m av ˇ o o
vamo, a om ko ˇ k z aka ka 1. v
ava oko ˇ a b ž o 1,0003, a ob a a ˇ
o o a o a kov, k o ava o a v a og ,
o o o a g oboko k o v o a zaok ož
va . P azg g ava a mo amo om v
ob v z ak o va . v m b žk bomo
oz aˇ o v a a ga oˇaka az a a .
P a m ma v ˇ o go o o v a v
ˇ om ko ˇ k ko a a o. a o a m
2
presek 39 (2011/2012) 4
13
f i z i k a
slika 2.
Zaradi vse manjše gostote zraka in s tem povezane večje 
hitrosti svetlobe se na mejnih plasteh namišljenih plasti 
svetloba lomi stran od vpadne pravokotnice. Geometrijsko 
dobljena točka, ki je označena s črtkanim križcem, nas je 
pripeljala do prekratkega razgleda glede na dejanski razgled, 
ki ga označuje točka PD. Slika je močno pretirana.
•
dveh plasti pride do loma svetlobe, ki je z morske
gladine (od)potovala v vodoravni smeri (slika 2). Gre
za lom stran od vpadne pravokotnice, saj je valova-
nje (svetloba) prešlo na področje, kjer potuje z večjo
hitrostjo. Podobno se zgodi tudi na naslednji meji.
Skica kaže, da do opazovalca pripotuje tudi svetloba,
ki izhaja iz bolj oddaljene točke (PD). Imenujmo jo
točka dejanskega razgleda. Je bolj daleč od Triglava
kot točka PG, do katere smo prišli po geometrijski
poti brez upoštevanja učinkov ozračja.
Slika 2
Najbrž ni treba posebej poudarjati, da niso le tri
plasti zraka. V resnici si predstavljamo, da jih je kar
neskončno in da gre za gladko krivuljo, ne pa za lo-
mljeno črto, kot je na sliki 2. A vendar ni prepro-
sto ugotoviti, kakšen bo lom v danem trenutku. Na
lomni količnik posamezne plasti zraka vpliva poleg
tlaka in temperature še vlaga. Vse to pa je v vsak-
danjem življenju poimenovano z besedo vreme, ki je
postala tudi sinonim za spremenljivost. Prav zato je
smiselno govoriti o nekem povprečnem spreminja-
nju lomnega količnika. Zapis tako postane bolj pre-
prost, a seveda manj natančno opisuje dejansko sta-
nje, ki smo mu priče ob pogledu s Triglava. Znatna
odstopanja od privzetega povprečnega ozračja (ura-
dni naziv je standardna atmosfera), ki smo jim pogo-
sto priče, v resnici botrujejo nekaterim bolj znanim
optičnim pojavom; navidezno mokre ceste ob vro-
čem sončnem dnevu bi že spadale v to skupino. Ne-
kaj o povprečnem ozračju lahko sami ugotavljamo
ob večernih poročilih. Vsak dan napovedo tempera-
turo na 500 metrih nadmorske višine in tudi na 1500
metrih. Če nekaj deset dni spremljamo spreminjanje
temperature z višino, bomo kar dobro napovedali,
za koliko stopinj se v povprečju zmanjša tempera-
tura na kilometer višinske razlike. Podatka ne bomo
zapisali, skušajte ga sami ugotoviti z rednim spre-
mljanjem vremenske napovedi. Lahko pa v spletni
iskalnik odtipkamo Standard atmosphere calculator
in že bomo dobili podatke (gostota, temperatura, hi-
trost zvoka) za poljubno izbrano višino.
V povprečno ozračje sodi tudi zvezno spreminja-
nje lomnega količnika zraka v odvisnosti od višine.
To lahko povemo še drugače: ko se povzpnemo na
hrib ali goro, bo svetloba iz nadmorske višine 0 po-
tovala do nas po krivulji in ne po ravnih odsekih, kot
na sliki 2. Izpeljave enačbe te krivulje presega ra-
ven Preseka [1], zato se zadovoljimo s približkom.
Če bi bil v igri zelo majhen del te krivulje, bi bil ta
približek lahko kar daljica. V našem primeru pa z
daljico ne bomo zadovoljni, saj jo že imamo, ko ra-
čunamo razgled brez ozračja. Zato bo naslednji pri-
bližek krožnica, ki ima sedemkratni polmer Zemlje
(slika 3). Velja seveda za povprečno ozračje [2].
Slika 3
3
dveh plasti pride do loma svetlobe, ki je z morske
gladine (od)potovala v vodoravni smeri (slika 2). Gre
za lom stran od vpadne pravokotnice, saj je valova-
nje (svetloba) prešlo na področje, kjer potuje z večjo
hitrostjo. Podobno se zgodi tudi na naslednji meji.
Skica kaže, da do opazovalca pripotuje tudi svetloba,
ki izhaja iz bolj oddaljene točke (PD). Imenujmo jo
točka dejanskega razgleda. Je bolj daleč od Triglava
kot točka PG, do katere smo prišli po geometrijsk
poti brez upoštevanja uči kov ozračja.
Slika 2
Najbrž ni treba posebej poudarjati, da niso le tri
plasti zraka. V resnici si predstavljamo, da jih je kar
neskončno in da gre za gladko krivuljo, ne pa za lo-
mljeno črto, kot je na sliki 2. A vendar ni prepro-
sto ugotoviti, kakšen bo lom v danem trenutku. Na
lomni količnik posamezne plasti zraka vpliva poleg
tlaka in temperature še vlaga. Vse to pa je v vsak-
danjem življenju poimenovano z besedo vreme, ki je
postala tudi sinonim za spremenljivost. Prav zato je
smiselno govoriti o nekem povprečnem spreminja-
nju lomnega količnika. Zapis tako postane bolj pre-
prost, a seveda manj natančno opisuje dejansko sta-
nje, ki smo mu priče ob pogledu s Triglava. Znatna
odstopanja od privzetega povprečnega ozračja (ura-
dni naziv je standardna atmosfera), ki smo jim pogo-
sto priče, v resnici botrujejo nekaterim bolj znanim
optičnim pojavom; navidezno mokre ceste ob vro-
čem sončnem dnevu bi že spadale v to skupino. Ne-
kaj o povprečnem ozračju lahko sami ugotavljamo
ob večernih poročilih. Vsak dan napovedo tempera-
turo na 500 metrih nadmorske višine in tudi na 1500
metrih. Če nekaj deset dni spremljamo spreminjanje
temperature z višino, bomo kar dobro napovedali,
za koliko stopinj se v povprečju zmanjša tempera-
tura na kilometer višinske razlike. Podatka ne bomo
zapisali, skušajte ga sami ugotoviti z rednim spre-
mljanjem vremenske napovedi. Lahko pa v spletni
iskalnik odtipkamo Standard atmosphere calculator
in že bomo dobili podatke (gostota, temperatura, hi-
trost zvoka) za poljubno izbrano višino.
V povprečno ozračje sodi tudi zvezno spreminja-
nje lomnega količnika zraka v odvisnosti od višine.
To lahko povemo še drugače: ko se povzpnemo na
hrib ali goro, bo svetloba iz nadmorske višine 0 po-
tovala do nas po krivulji in ne po ravnih odsekih, kot
na sliki 2. Izpeljave enačbe te krivulje presega ra-
ven Preseka [1], zato se zadovoljimo s približkom.
Če bi bil v igri zelo majhen del te krivulje, bi bil ta
približek lahko kar daljica. V našem primeru pa z
daljico ne bomo zadovoljni, saj jo že imamo, ko ra-
čunamo razgled brez ozračja. Zato bo naslednji pri-
bližek krožnica, ki ima sedemkratni polmer Zemlje
(slika 3). Velja seveda za povprečno ozračje [2].
Slika 3
3
Do kam seže pogled, ko se z vrha Triglava ozre-
mo proti mednarodnim vodam Jadranskega morja?
Sprašujemo se, kolikšna je daljava razgleda, koli-
kšna je torej razdalja od stojišča do obzornice. Na
prvi pogled je vprašanje o daljavi razgleda geome-
trijska naloga. Na skici bo seveda Triglav daleč
prevelik glede na naš planet. Narišemo tangento
na krožnico, ki predstavlja Zemljo. Izberemo ti-
sto tangento, ki poteka skozi vrh Triglava. Točko
dotikališča tangente na morju označimo s PG . Po-
meni točko, ki jo predvideva geometrijski pristop
(slika 1).
Slika 1
Račun je preprost. Gre za pravokotni trikotnik,
ki ga določajo središče Zemlje, vrh Triglava in točka
PG. Pri tem nas prav nič ne moti, da je Zemlja ne-
koliko sploščena in ne popolnoma okrogla. Za pol-
mer Zemlje bomo vzeli R = 6400 km, medtem ko je
nadmorska višina Triglava h = 2,864 km. Daljica,
ki predstavlja daljavo razgleda, je krajša kateta tega
trikotnika. Dolžino daljice bomo označili s pG. Zapi-
šemo:
pG =
√
(R + h)2 − R2 .
Bralec se lahko hitro prepriča, da smo člen h2 brez
slabe vesti kar zanemarili in tako dobili:
pG =
√
2Rh .
Pri danih podatkih seže pogled kar 191 km daleč.
Za Luno odlǐcno, za Zemljo pa ne
Poznavalec omenjenih nebesnih teles na podlagi tega
podnaslova hitro ugotovi, da geometrijski rezultat
odstopa zaradi ozračja. Luna ga nima (pa tudi morja
ni, kakšna gora pa bi se že našla . . . ) in tam je enačba
kar prava. Na Zemlji pa razultat odstopa od dejan-
skega. Seže v resnici pogled še dlje? Odgovor je pri-
trdilen. Seveda moramo najprej ujeti pravo vreme.
Za kaj torej gre?
Pri fizikalnih nalogah povsem upravičeno upošte-
vamo, da je lomni količnik zraka kar 1. V resnici je v
navadnih okoliščinah približno 1,0003, a ob natanč-
nosti ostalih podatkov, ki so navadno dani v nalogi,
je to odstopanje globoko skrito v ostalih zaokrože-
vanjih. Pri razgledu s Triglava pa moramo lom sve-
tlobe v zraku upoštevati. V prvem približku bomo
ozračje do vrha našega očaka razdelili na tri plasti.
Plast pri Zemlji ima večjo gostoto in seveda tudi ve-
čji lomni količnik kot plast nad njo. Zato na meji teh
2
s l , s r ri l r -
r ti r i J r s rj ?
r š j s , li š j lj r l , li-
š j t r j r lj st jiš r i .
r i l j r š j lj i r l -
trijs l . s i i s ri l l
r li l š l t. riš t t
r i , i r st lj lj . I r ti-
st t t , i t s i r ri l .
ti liš t t rj i s PG . -
i t , i j r i trijs i rist
(sli ).
li
c je re r st. re r t i tri t i ,
i l c j sre išce e lje, r ri l i t c
. ri te s r ic e ti, je e lj e-
li s l šce i e l r l . l-
er e lje eli , e te je
rs iši ri l , . ljic ,
i re st lj lj r le , je r jš tet te
tri t i . l i ljice cili s . i-
še :
( )2 2 .
r lec se l itr re ric , s cle 2 re
sl e esti r e rili i t ili:
.
ri i t i se e le r lec.
li , lj
lec e je i e es i teles l i te
sl itr t i, e etrijs i re lt t
st r i r cj . i ( t i rj
i, š r i se e šl . . . ) i t je e c
r r . e lji r lt t st ej -
s e . e e res ici le še lje? r je ri-
tr ile . e e r j rej jeti r re e.
j t rej re?
ri i l i l se r ice šte-
, je l i lic i r r . res ici je
i lišci ri li , , t c-
sti st li t , i s i l i,
je t st je l s rit st li r e-
ji . ri r le s ri l r l s e-
tl e r šte ti. r e ri li
r cje r še c r elili tri l sti.
l st ri e lji i ecj st t i se e t i e-
cji l i lic i t l st j . t eji te
Do kam eže pogled, ko e z v ha T iglava oz e-
mo p oti medna odnim vodam ad an kega mo ja
Sp a ujemo e, kolik na je daljava azgleda, koli-
k na je to ej azdalja od toji ča do obzo nice. Na
p vi pogled je vp a anje o daljavi azgleda geome-
t ij ka naloga. Na kici bo eveda T iglav daleč
p evelik glede na na planet. Na i emo tangento
na k ožnico, ki p ed tavlja Zemljo. Izbe emo ti-
to tangento, ki poteka kozi v h T iglava. Točko
dotikali ča tangente na mo ju označimo . Po-
meni točko, ki jo p edvideva geomet ij ki p i top
( lika 1).
Slika 1
Raˇun j pr pro t. Gr za pravokotni trikotnik,
ki ga doloˇajo r di ˇ Z mlj , vrh Triglava in toˇka
PG. Pri t m na prav niˇ n moti, da j Z mlja n -
koliko plo ˇ na in n popolnoma okrogla. Za pol-
m r Z mlj bomo vz li R = 6400 km, m dt m ko j
nadmor ka vi ina Triglava h = 2,864 km. Dalji a,
ki pr d tavlja daljavo razgl da, j kraj a kat ta t ga
trikotnika. Dolžino dalji bomo ozna ǐli pG. Zapi-
mo:
pG =
√
R + h 2 − R2 .
Bral lahko hitro pr priˇa, da mo ľ n h2 br z
lab v ti kar zan marili in tako dobili:
pG =
√
2Rh .
Pri danih podatkih ž pogl d kar 191 km dal .̌
Za Luno odlǐcno, za Ze ljo pa ne
Poznaval om nj nih n b nih t l na podlagi t ga
podna lova hitro ugotovi, da g om trij ki r zultat
od topa zaradi ozraˇja. Luna ga nima (pa tudi morja
ni, kak na gora pa bi ž na la . . . ) in tam j naˇba
kar prava. Na Z mlji pa razultat od topa od d jan-
k ga. S ž v r ni i pogl d dlj Odgovor j pri-
trdil n. S v da moramo najpr j uj ti pravo vr m .
Za kaj tor j gr
Pri fizikalnih nalogah pov m upraviˇ no upo t -
vamo, da j lomni koliˇnik zraka kar 1. V r ni i j v
navadnih okoli ǐnah približno 1,0003, a ob natanˇ-
no ti o talih podatkov, ki o navadno dani v nalogi,
j to od topanj globoko krito v o talih zaokrož -
vanjih. Pri razgl du Triglava pa moramo lom v -
tlob v zraku upo t vati. V prv m približku bomo
ozraˇj do vrha na ga oˇaka razd lili na tri pla ti.
Pla t pri Z mlji ima v ˇjo go toto in v da tudi v -
ˇji lomni koliˇnik kot pla t nad njo. Zato na m ji t h
2
r r r
r r J r r
r r
r r r
r r r
r r
r r
r r r
r r
r
r r r
( )
?
?
  č     
Presek 39 (2011/2012) 4
14
f i z i k a
slika 4b.
Povečani izsek slike 4a kaže, da gre res za tri krivulje, vidimo
pa tudi točko presečišča.
slika 3.
Zemlja (manjša krožnica) in krožnica, po kateri potuje sve-
tloba z morske gladine do vrha hriba ali obratno. Seveda so 
v igri le hribi, ki so blizu skupne točke obeh krožnic, zato je 
smiseln le zelo majhen del velike krožnice. Gre za tisti del 
velike krožnice okoli koordinatnega izhodišča, katerega x ko-
ordinata ne presega enega odstotka polmera velike krožnice.
•
Naloge se lotimo po treh poteh. Najprej pojdimo
po grafični poti. V GeoGebri narišimo tri kroge. Prvi
predstavlja naš planet (x2+(y+6400)2=40960000).
Druga krožnica ima središče v središču Zemlje, je pa
večja ravno za nadmorsko višino Triglava (x2+ (y +
6400)2 = 40996667). Tretja krožnica pa predstavlja
pot žarka, s katerim z vrha Zemlje posvetimo v vodo-
ravni smeri. Zaradi ozračja ne gre za premico, pač pa
za del krožnice, ki ima vrhnjo točko v izhodišču ko-
ordinatnega sistema, središče pa šest polmerov Ze-
mlje pod središčem Zemlje oziroma sedem pod izho-
diščem koordinatnega sistema (x2+ (y +44800)2 =
2007040000). Seveda na sliki 4a sploh ne vidimo, da
gre za tri krožnice. V GeoGebri pa zlahka povečamo
merilo in preprosto pogledamo, kje se sekata velika
krožnica in tista, ki pripada Triglavu. Smemo reči,
da je x koordinata te točke kar dolžina razgleda. Če
jo zaokrožimo na celo število, dobimo 207 km (slika
4b).
Slika 4 in 4b
Tisti, ki imajo malo več izkušenj z enačbami, bodo
analitično izračunali koordinato x iz sistema dveh
enačb, ki ju predstavljata „Triglavova krožnica“ in
krožnica žarka.
Na koncu pa se še vprašajmo, če je mogoče na-
mesto tega zamudnega preračunavanja dveh enačb
z dvema neznankama najti kakšen približek, ki bi le
dopolnil enačbo razgleda, ki ne upošteva loma sve-
tlobe v zraku. Pa se podajmo še na to pot.
Zapišimo enačbo največje krožnice:
x2 + (ys + 7R)2 = (7R)2 .
Pri tem je R polmer Zemlje, R = 6400 km, yS pa
ordinata točk na krožnem loku, po katerem potuje
svetloba.
ys =
√
(7R)2 − x2 − 7R .
Manjša krožnica predstavlja površje našega planeta,
zato zapišemo:
x2 + (y + R)2 = R2 .
Danemu x ustreza točka na Zemlji z ordinato y :
y =
√
R2 − x2 − R .
Gre seveda za točko na krožnici s polmerom Zemlje,
ne pa za točko na vrhu hriba. Če je višina hriba enaka
h, potem ob predpostavki, da svetloba potuje po kro-
žnici s polmerom, ki ustreza sedmim polmerom Ze-
mlje, velja:
ys−y=h =
(√
(7R)2 − x2 − 7R
)
−
(√
R2 − x2 − R
)
.
Izrazili smo višino hriba (h) v odvisnosti od dolžine
4
Naloge se lotimo po treh poteh. Najprej pojdimo
po grafični poti. V GeoGebri narišimo tri kroge. Prvi
predstavlja naš planet (x2+(y+6400)2=40960000).
Druga krožnica ima središče v središču Zemlje, je pa
večja ravno za nadmorsko višino Triglava (x2+ (y +
6400)2 = 40996667). Tretja krožnica pa predstavlja
pot žarka, s katerim z vrha Zemlje posvetimo v vodo-
ravni smeri. Zaradi ozračja ne gre za premico, pač pa
za del krožnice, ki ima vrhnjo točko v izhodišču ko-
ordinatnega sistema, središče pa šest polmerov Ze-
mlje pod središčem Zemlje oziroma sedem pod izho-
diščem koordinatnega sistema (x2+ (y +44800)2 =
2007040000). Seveda na sliki 4a sploh ne vidimo, da
gre za tri krožnice. V GeoGebri pa zlahka povečamo
merilo in preprosto pogledamo, kje se sekata velika
krožnica in tista, ki pripada Triglavu. Smemo reči,
da je x koordinata te točke kar dolžina razgleda. Če
jo zaokrožimo na celo število, dobimo 207 km (slika
4b).
Slika 4 in 4b
Tisti, ki imajo malo več izkušenj z enačbami, bodo
analitično izračunali koordinato x iz sistema dveh
enačb, ki ju predstavljata „Triglavova krožnica“ in
krožnica žarka.
Na koncu pa se še vprašajmo, če je mogoče na-
mesto tega zamudnega preračunavanja dveh enačb
z dvema neznankama najti kakšen približek, ki bi le
dopolnil enačbo razgleda, ki ne upošteva loma sve-
tlobe v zraku. Pa se podajmo še na to pot.
Zapišimo enačbo največje krožnice:
x2 + (ys + 7R)2 = (7R)2 .
Pri tem je R polmer Zemlje, R = 6400 km, yS pa
ordinata točk na krožnem loku, po katerem potuje
svetloba.
ys =
√
(7R)2 − x2 − 7R .
Manjša krožnica predstavlja površje našega planeta,
zato zapišemo:
x2 + (y + R)2 = R2 .
Danemu x ustreza točka na Zemlji z ordinato y :
y =
√
R2 − x2 − R .
Gre seveda za točko na krožnici s polmerom Zemlje,
ne pa za točko na vrhu hriba. Če je višina hriba enaka
h, potem ob predpostavki, da svetloba potuje po kro-
žnici s polmerom, ki ustreza sedmim polmerom Ze-
mlje, velja:
ys−y=h =
(√
(7R)2 − x2 − 7R
)
−
(√
R2 − x2 − R
)
.
Izrazili smo višino hriba (h) v odvisnosti od dolžine
4
Naloge se lotimo po treh poteh. Najprej pojdimo
p grafični poti. V GeoGebri narišimo tri kr ge. Prvi
predstavlja naš planet (x2+(y+6400)2=40960000).
Druga krožnica ima središč v središču Zemlje, je pa
večja ravno za nadmorsko višino Triglava (x2+ (y +
6400)2 = 40996667). Tretja krožnica pa predstavlja
pot žarka, s katerim z vrha Zemlje posvetimo v vodo-
ravni smeri. Zaradi ozračja ne gre za premico, pač
za del krožnice, ki ima vrhnjo točk v izhodišču ko-
ordinatnega sistema, središče pa šest polmerov Ze-
mlje pod središčem Zemlje oziroma sedem pod izho-
diščem koordinatnega sistema (x2+ (y +44800)2 =
2007040000). Seveda na sliki 4a sploh ne vidimo, da
gre za tri krožnice. V GeoGebri pa zlahka povečamo
merilo in preprosto pogledamo, kje se sekata velika
krožnica in tista, ki pripada Triglavu. Smemo reči,
da je x koordinata te točke kar dolžina razgleda. Če
jo zaokrožimo na celo število, dobimo 207 km (slika
4b).
Slika 4 in 4b
Tisti, ki imajo malo več izkušenj z enačbami, bodo
analitično izračunali koordinato x iz sistema dveh
enačb, ki ju predstavljata „Triglavova krožnica“ in
krožnica žarka.
Na koncu pa se še vprašajmo, če je mogoče na-
mesto tega zamudnega preračunavanja dveh enačb
z dvema neznankama najti kakšen približek, ki bi le
dopolnil enačbo razgleda, ki ne upošteva loma sve-
tlobe v zraku. Pa se podajmo še na to pot.
Zapišimo enačbo največje krožnice:
x2 + (ys + 7R)2 = (7R)2 .
Pri tem je R polmer Zemlje, R = 6400 km, yS pa
ordinata točk na krožnem loku, po katerem potuje
svetloba.
ys =
√
(7R)2 − x2 − 7R .
Manjša krožnica predstavlja površje našega planeta,
zato zapišemo:
x2 + (y + R)2 = R2 .
Danemu x ustreza točka na Zemlji z ordinato y :
y =
√
R2 − x2 − R .
Gre seveda za točko na krožnici s polmerom Zemlje,
ne pa za točko na vrhu hriba. Če je višina hriba enaka
h, potem ob predpostavki, da svetloba potuje po kro-
žnici s polmerom, ki ustreza sedmim polmerom Ze-
mlje, velja:
ys−y=h =
(√
(7R)2 − x2 − 7R
)
−
(√
R2 − x2 − R
)
.
Izrazili smo višino hriba (h) v odvisnosti od dolžine
4
dveh plasti pride do loma svetlobe, ki je z morske
gladine (od)potovala v vodoravni smeri (slika 2). Gre
za lom stran od vpadne pravokotnice, saj je valova-
nje (svetloba) prešlo na področje, kjer potuje z večjo
hitrostjo. Podobno se zgodi tudi na naslednji meji.
Skica kaže, da do opazovalca pripotuje tudi svetloba,
ki izhaja iz bolj oddaljene točke (PD). Imenujmo jo
točka dejanskega razgleda. Je bolj daleč od Triglava
kot točka PG, do katere smo prišli po geometrijski
poti brez upoštevanja učinkov ozračja.
Slika 2
Najbrž ni treba posebej poudarjati, da niso le tri
plasti zraka. V resnici si predstavljamo, da jih je kar
neskončno in da gre za gladko krivuljo, ne pa za lo-
mljeno črto, kot je na sliki 2. A vendar ni prepro-
sto ugotoviti, kakšen bo lom v danem trenutku. Na
lomni količnik posamezne plasti zraka vpliva poleg
tlaka in temperature še vlaga. Vse to pa je v vsak-
danjem življenju poimenovano z besedo vreme, ki je
postala tudi sinonim za spremenljivost. Prav zato je
smiselno govoriti o nekem povprečnem spreminja-
nju lomnega količnika. Zapis tako postane bolj pre-
prost, a seveda manj natančno opisuje dejansko sta-
nje, ki smo mu priče ob pogledu s Triglava. Znatna
odstopanja od privzetega povprečnega ozračja (ura-
dni naziv je standardna atmosfera), ki smo jim pogo-
sto priče, v resnici botrujejo nekaterim bolj znanim
optičnim pojavom; navidezno mokre ceste ob vro-
čem sončnem dnevu bi že spadale v to skupino. Ne-
kaj o povprečnem ozračju lahko sami ugotavljamo
ob večernih poročilih. Vsak dan napovedo tempera-
turo na 500 metrih nadmorske višine in tudi na 1500
metrih. Če nekaj deset dni spremljamo spreminjanje
temperature z višino, bomo kar dobro napovedali,
za koliko stopinj se v povprečju zmanjša tempera-
tura na kilometer višinske razlike. Podatka ne bomo
zapisali, skušajte ga sami ugotoviti z rednim spre-
mljanjem vremenske napovedi. Lahko pa v spletni
iskalnik odtipkamo Standard atmosphere calculator
in že bomo dobili podatke (gostota, temperatura, hi-
trost zvoka) za poljubno izbrano višino.
V povprečno ozračje sodi tudi zvezno spreminja-
nje lomnega količnika zraka v odvisnosti od višine.
To lahko povemo še drugače: ko se povzpnemo na
hrib ali goro, bo svetloba iz nadmorske višine 0 po-
tovala do nas po krivulji in ne po ravnih odsekih, kot
na sliki 2. Izpeljave enačbe te krivulje presega ra-
ven Preseka [1], zato se zadovoljimo s približkom.
Če bi bil v igri zelo majhen del te krivulje, bi bil ta
približek lahko kar daljica. V našem primeru pa z
daljico ne bomo zadovoljni, saj jo že imamo, ko ra-
čunamo razgled brez ozračja. Zato bo naslednji pri-
bližek krožnica, ki ima sedemkratni polmer Zemlje
(slika 3). Velja seveda za povprečno ozračje [2].
Slika 3
3
slik  4 .
Grafično reševanje naloge.
presek 39 (2011/2012) 4
0
0
4000 6000 8000 10000 120002000-2000-4000-6000-8000-10000
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
-12000
-14000
200 202 204 206 208 210 212 214 216
15
f i z i k a
Naloge se lotimo po treh poteh. Najprej pojdimo
po grafični poti. V GeoGebri narišimo tri kroge. Prvi
predstavlja naš planet (x2+(y+6400)2=40960000).
Druga krožnica ima središče v središču Zemlje, je pa
večja ravno za nadmorsko višino Triglava (x2+ (y +
6400)2 = 40996667). Tretja krožnica pa predstavlja
pot žarka, s katerim z vrha Zemlje posvetimo v vodo-
ravni smeri. Zaradi ozračja ne gre za premico, pač pa
za del krožnice, ki ima vrhnjo točko v izhodišču ko-
ordinatnega sistema, središče pa šest polmerov Ze-
mlje pod središčem Zemlje oziroma sedem pod izho-
diščem koordinatnega sistema (x2+ (y +44800)2 =
2007040000). Seveda na sliki 4a sploh ne vidimo, da
gre za tri krožnice. V GeoGebri pa zlahka povečamo
merilo in preprosto pogledamo, kje se sekata velika
krožnica in tista, ki pripada Triglavu. Smemo reči,
da je x koordinata te točke kar dolžina razgleda. Če
jo zaokrožimo na celo število, dobimo 207 km (slika
4b).
Slika 4 in 4b
Tisti, ki imajo malo več izkušenj z enačbami, bodo
analitično izračunali koordinato x iz sistema dveh
enačb, ki ju predstavljata „Triglavova krožnica“ in
krožnica žarka.
Na koncu pa se še vprašajmo, če je mogoče na-
mesto tega zamudnega preračunavanja dveh enačb
z dvema neznankama najti kakšen približek, ki bi le
dopolnil enačbo razgleda, ki ne upošteva loma sve-
tlobe v zraku. Pa se podajmo še na to pot.
Zapišimo enačbo največje krožnice:
x2 + (ys + 7R)2 = (7R)2 .
Pri tem je R polmer Zemlje, R = 6400 km, yS pa
ordinata točk na krožnem loku, po katerem potuje
svetloba.
ys =
√
(7R)2 − x2 − 7R .
Manjša krožnica predstavlja površje našega planeta,
zato zapišemo:
x2 + (y + R)2 = R2 .
Danemu x ustreza točka na Zemlji z ordinato y :
y =
√
R2 − x2 − R .
Gre seveda za točko na krožnici s polmerom Zemlje,
ne pa za točko na vrhu hriba. Če je višina hriba enaka
h, potem ob predpostavki, da svetloba potuje po kro-
žnici s polmerom, ki ustreza sedmim polmerom Ze-
mlje, velja:
ys−y=h =
(√
(7R)2 − x2 − 7R
)
−
(√
R2 − x2 − R
)
.
Izrazili smo višino hriba (h) v odvisnosti od dolžine
4
aloge se loti o o tre ote . aj rej oj i o
o gra č i oti. eo ebri ariši o tri kroge. Prvi
re stavlja aš la et ( 2 ( 6400)2 40960000).
r ga krož ica i a sre išče v sre išč e lje, je a
večja rav o za a orsko viši o riglava ( 2 (
6400)2 40996667). retja krož ica a re stavlja
ot žarka, s kateri z vr a e lje osveti o v vo o-
rav i s eri. ara i ozračja e gre za re ico, ač a
za el krož ice, ki i a vr jo točko v iz o išč ko-
or i at ega siste a, sre išče a šest ol erov e-
lje o sre išče e lje oziro a se e o iz o-
išče koor i at ega siste a ( 2 ( 44800)2
2007040000). Seve a a sliki 4a s lo e vi i o, a
gre za tri krož ice. eo ebri a zla ka oveča o
erilo i re rosto ogle a o, kje se sekata velika
krož ica i tista, ki ri a a riglav . S e o reči,
a je koor i ata te točke kar olži a razgle a. ˇe
jo zaokroži o a celo število, obi o 207 k (slika
4b).
Slika 4 i 4b
isti, ki i ajo alo več izk še j z e ačba i, bo o
a alitič o izrač ali koor i ato iz siste a ve
e ačb, ki j re stavljata „ riglavova krož ica“ i
krož ica žarka.
a ko c a se še v rašaj o, če je ogoče a-
esto tega za ega rerač ava ja ve e ačb
z ve a ez a ka a ajti kakše ribližek, ki bi le
o ol il e ačbo razgle a, ki e ošteva lo a sve-
tlobe v zrak . Pa se o aj o še a to ot.
a iši o e ačbo ajvečje krož ice:
2 ( s 7 )2 (7 )2 .
Pri te je ol er e lje, 6400 k , S a
or i ata točk a krož e lok , o katere ot je
svetloba.
s (7 )2 2 7 .
a jša krož ica re stavlja ovršje ašega la eta,
zato za iše o:
2 ( )2 2 .
a e streza točka a e lji z or i ato :
2 2 .
re seve a za točko a krož ici s ol ero e lje,
e a za točko a vr riba. ˇe je viši a riba e aka
, ote ob re ostavki, a svetloba ot je o kro-
ž ici s ol ero , ki streza se i ol ero e-
lje, velja:
s
(
(7 )2 2 7
) (
2 2
)
.
Izrazili s o viši o riba ( ) v o vis osti o olži e
4
N l e se l tim p treh p teh. N jprej p jdim
p r ficni p ti. V Ge Ge ri n rišim tri r e. r i
predst lj n š pl net (x2+(y+ )2= ).
Dru r nic im središce središcu Zemlje, je p
ecj r n n dm rs išin Tri l (x2+ (y +
)2 = ). Tretj r nic p predst lj
p t r , s terim rh Zemlje p s etim d -
r ni smeri. Z r di r cj ne re premic , p c p
del r nice, i im rhnj t c i h dišcu -
rdin tne sistem , središce p šest p lmer Ze-
mlje p d središcem Zemlje ir m sedem p d i h -
dišcem rdin tne sistem (x2+ (y + )2 =
). e ed n sli i spl h ne idim , d
re tri r nice. V Ge Ge ri p l h p ec m
meril in prepr st p led m , je se se t eli
r nic in tist , i prip d Tri l u. mem reci,
d je x rdin t te t c e r d l in r led . Ce
j r im n cel šte il , d im m (sli
).
li in
Tisti, i im j m l ec i ušenj en c mi, d
n liticn i r cun li rdin t x i sistem d eh
en c , i ju predst lj t „Tri l r nic “ in
r nic r .
N ncu p se še pr š jm , ce je m ce n -
mest te mudne prer cun nj d eh en c
d em ne n n m n jti šen pri li e , i i le
d p lnil en c r led , i ne up šte l m s e-
tl e r u. se p d jm še n t p t.
Z pišim en c n j ecje r nice:
x2 + (ys + R)2 = ( R)2 .
ri tem je R p lmer Zemlje, R = m, yS p
rdin t t c n r nem l u, p terem p tuje
s etl .
ys =
√
( R)2 − x2 − R .
M njš r nic predst lj p ršje n še pl net ,
t pišem :
x2 + (y + R)2 = R2 .
D nemu x ustre t c n Zemlji rdin t y :
y =
√
R2 − x2 − R .
Gre se ed t c n r nici s p lmer m Zemlje,
ne p t c n rhu hri . Ce je išin hri en
h, p tem predp st i, d s etl p tuje p r -
nici s p lmer m, i ustre sedmim p lmer m Ze-
mlje, elj :
ys−y=h =
√
( R)2 − x2 − R −
√
R2 − x2 − R .
I r ili sm išin hri (h) d isn sti d d l ine
aloge se loti o o tre ote . aj rej oj i o
o gra č i oti. eo ebri ariši o tri kroge. Prvi
re stavlja aš la et ( 2 ( 6400)2 40960000).
r ga krož ica i a sre išče v sre išč e lje, je a
večja rav o za a orsko viši o riglava ( 2 (
6400)2 40996667). retja krož ica a re stavlja
ot žarka, s kateri z vr a e lje osveti o v vo o-
rav i s eri. ara i ozračja e gre za re ico, ač a
za el krož ice, ki i a vr jo točko v iz o išč ko-
or i at ega siste a, sre išče a šest ol erov e-
lje o sre išče e lje oziro a se e o iz o-
išče koor i at ega siste a ( 2 ( 44800)2
2007040000). Seve a a sliki 4a s lo e vi i o, a
gre za tri krož ice. eo ebri a zla ka oveča o
erilo i re rosto ogle a o, kje se sekata velika
krož ica i tista, ki ri a a riglav . S e o reči,
a je koor i ata te točke kar olži a razgle a. ˇe
jo zaokroži o a celo število, obi o 207 k (slika
4b).
Slika 4 i 4b
isti, ki i ajo alo več izk še j z e ačba i, bo o
a alitič o izrač ali koor i ato iz siste a ve
e ačb, ki j re stavljata „ riglavova krož ica“ i
krož ica žarka.
a ko c a se še v rašaj o, če je ogoče a-
esto tega za ega rerač ava ja ve e ačb
z ve a ez a ka a ajti kakše ribližek, ki bi le
o ol il e ačbo razgle a, ki e ošteva lo a sve-
tlobe v zrak . Pa se o aj o še a to ot.
a iši o e ačbo ajvečje krož ice:
2 ( s 7 )2 (7 )2 .
Pri te je ol er e lje, 6400 k , S a
or i ata točk a krož e lok , o katere ot je
svetloba.
s (7 )2 2 7 .
a jša krož ica re stavlja ovršje ašega la eta,
zato za iše o:
2 ( )2 2 .
a e streza točka a e lji z or i ato :
2 2 .
re seve a za točko a krož ici s ol ero e lje,
e a za točko a vr riba. ˇe je viši a riba e aka
, ote ob re ostavki, a svetloba ot je o kro-
ž ici s ol ero , ki streza se i ol ero e-
lje, velja:
s
(
(7 )2 2 7
) (
2 2
)
.
Izrazili s o viši o riba ( ) v o vis osti o olži e
4
N l l tim p tr h p t h. N jpr j p jdim
p r fi ni p ti. V G G ri n ri im tri r . r i
pr d t lj n pl n t x2+ y+ 2= .
Dru r ni im r di r di u Z mlj , j p
j r n n dm r i in Tri l x2+ y +
2 = . Tr tj r ni p pr d t lj
p t r , t rim rh Z mlj p tim d -
r ni m ri. Z r di r j n r pr mi , p p
d l r ni , i im rhnj t i h di u -
rdin tn i t m , r di p t p lm r Z -
mlj p d r di m Z mlj ir m d m p d i h -
di m rdin tn i t m x2+ y + 2 =
. d n li i pl h n idim , d
r tri r ni . V G G ri p l h p m
m ril in pr pr t p l d m , j t li
r ni in ti t , i prip d Tri l u. m m r i,
d j x rdin t t t r d l in r l d . C
j r im n l t il , d im m ( li
).
li in
Ti ti, i im j m l i u nj n mi, d
n liti n i r un li rdin t x i i t m d h
n , i ju pr d t lj t Tri l r ni in
r ni r .
N n u p pr jm , j m n -
m t t mudn pr r un nj d h n
d m n n n m n jti n pri li , i i l
d p lnil n r l d , i n up t l m -
tl r u. p d jm n t p t.
Z pi im n n j j r ni :
x2 + ys + R 2 = R 2 .
ri t m j R p lm r Z mlj , R = m, yS p
rdin t t n r n m l u, p t r m p tuj
tl .
ys =
√
R 2 − x2 − R .
M nj r ni pr d t lj p r j n pl n t ,
t pi m :
x2 + y + R 2 = R2 .
D n mu x u tr t n Z mlji rdin t y :
y =
√
R2 − x2 − R .
Gr d t n r ni i p lm r m Z mlj ,
n p t n rhu hri . C j i in hri n
h, p t m pr dp t i, d tl p tuj p r -
ni i p lm r m, i u tr dmim p lm r m Z -
mlj , lj :
ys−y=h =
√
R 2 − x2 − R −
√
R2 − x2 − R .
I r ili m i in hri (h) d i n ti d d l in
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno blizu
koordinatnega izhodišča (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in zato pri računanju njegove višine z rav-
nokar zapisano enačbo nismo daleč od resnice. Naj-
prej izpostavimo 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R2 − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spremenljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo približni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo razgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, zah-
teva le dodatno konstanto.
Ko vstavimo podatke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km in h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se od tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujejo več
kot za odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezultati razlikujejo kar za okoli osem
odstotkov od napovedi, ki jih dobimo brez upošteva-
nja ozračja.
Zaključek
Pokazali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pravega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v svetu, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se poda v opis realnega sveta. V
našem primeru smo imeli opravka s precej spremen-
ljivim delom realnega sveta. Ozračje smo tako obrav-
navali z modelom povprečnega ozračja, za katerega
pa ni zagotovil, da bo ravno takšno ob našem vzponu
na Triglav. Ne jezimo se torej, če ne bomo, navkljub
jasnemu vremenu, videli predvidenih 207 km daleč
v smeri Jadranskega morja.
5
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno bl zu
koordinatnega izhodišča (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in zato pri računanju njegove višine z rav-
nokar zapisano enačbo nismo daleč od resnice. Naj-
prej izpostavimo 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R2 − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spremenljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo približni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo razgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, zah-
teva le dodatno konstanto.
Ko vstavimo podatke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km in h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se od tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujejo več
kot za odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezultati razlikujejo kar za okoli osem
odstotkov od napovedi, ki jih dobimo brez upošteva-
nja ozračja.
Zaključek
Pokazali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pravega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v svetu, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se poda v opis realnega sveta. V
našem primeru smo imeli opravka s precej spremen-
ljivim delom realnega sveta. Ozračje smo tako obrav-
navali z modelom povprečnega ozračja, za katerega
pa ni zagotovil, da bo ravno takšno ob našem vzponu
na Triglav. Ne jezimo se torej, če ne bomo, navkljub
jasnemu vremenu, videli predvidenih 207 km daleč
v smeri Jadranskega morja.
5
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno bl zu
koordinatnega izhodišča (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in zato pri računanju njegove višine z rav-
nokar zapisano enačbo nismo daleč od resnice. Naj-
prej izpostavimo 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R2 − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spremenljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo približni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo razgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, zah-
teva le dodatno konstanto.
Ko vstavimo podatke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km in h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se od tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujejo več
kot za odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezultati razlikujejo kar za okoli osem
odstotkov od napovedi, ki jih dobimo brez upošteva-
nja ozračja.
Zaključek
Pokazali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pravega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v svetu, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se poda v opis realnega sveta. V
našem primeru smo imeli opravka s precej spremen-
ljivim delo realnega sveta. Ozračje smo tako obrav-
navali z modelom povprečnega ozračja, za katerega
pa ni zagotovil, da bo ravno takšno ob našem vzponu
na Triglav. Ne jezimo se torej, če ne bomo, navkljub
jasnemu vremenu, videli predvidenih 207 km daleč
v smeri Jadranskega morja.
5
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno blizu
koordinatnega izhodišča (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in zato pri računanju njegove višine z rav-
nokar zapisano enačbo nismo daleč od resnice. Naj-
prej izpostavimo 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spremenljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo približni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo razgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, zah-
teva le dodatno konstanto.
Ko vstavimo podatke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km in h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se od tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujejo več
kot za odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezultati razlikujejo kar za okoli osem
odstotkov od napovedi, ki jih dobimo brez upošteva-
nja ozračja.
Zaključek
Pokazali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pravega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v svetu, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se poda v opis realnega sveta. V
našem primeru smo imeli opravka s precej spremen-
ljivim delo realnega sveta. Ozračje smo tako obrav-
navali z modelom povprečnega ozračja, za katerega
pa ni zagotovil, da bo ravno takšno ob našem vzponu
na Triglav. Ne jezimo se torej, če ne bomo, navkljub
jasnemu vremenu, videli predvidenih 207 km daleč
v smeri Jadranskega morja.
5
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno blizu
koordinatnega zhodišč (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in z to pri ra unanju njegove višine z rav-
okar zapisano enačbo nismo dal č od resnice. Naj
prej izpostavimo 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spreme ljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo približni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo r zgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, zah-
tev le dodatno onstanto.
Ko vstavimo p datke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km in h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se d tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujej več
kot za odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezult ti razlikujejo kar za okoli osem
odstotkov od napovedi, ki j h dobimo brez upošteva-
nja ozračja.
Zaključek
Pokazali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pr ega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v sve u, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se p da v opi r alnega sv ta. V
našem primeru smo imeli opravka s precej spr men-
ljivim delo ealnega sveta. Ozračje smo tako obrav
navali z modelom povprečnega ozračja, z katerega
p ni zagot vil, da b ravno takšno ob našem vzponu
n Triglav. Ne jezimo se t rej, če ne bomo, navkljub
jasnemu vremenu, videli p dvidenih 207 km daleč
v meri Jadranskega morja.
5
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno blizu
koordinatnega izhodišča (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in zato pri računanju njegove višine z rav-
nokar zapisano enačbo nismo daleč od resnice. Naj-
prej izpostavimo 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R2 − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spremenljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo približni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo razgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, zah-
teva le dodatno konstanto.
Ko vstavimo podatke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km in h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se od tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujejo več
kot za odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezultati razlikujejo kar za okoli osem
odstotkov od napovedi, ki jih dobimo brez upošteva-
nja ozračja.
Zaključek
Pokazali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pravega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v svetu, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se poda v opis realnega sveta. V
našem primeru smo imeli opravka s precej spremen-
ljivim delom realnega sveta. Ozračje smo tako obrav-
navali z modelom povprečnega ozračja, za katerega
pa ni zagotovil, da bo ravno takšno ob našem vzponu
na Triglav. Ne jezimo se torej, če ne bomo, navkljub
jasnemu vremenu, videli predvidenih 207 km daleč
v smeri Jadranskega morja.
5
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno blizu
koordinatnega izhodišča (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in zato pri računanju njegove višine z rav-
nokar zapisano enačbo nismo daleč od resnice. Naj-
prej izpostavimo 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R2 − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spremenljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo približni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo razgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, zah-
teva le dodatno konstanto.
Ko vstavimo podatke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km in h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se od tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujejo več
kot za odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezultati razlikujejo kar za okoli osem
odstotkov od napovedi, ki jih dobimo brez upošteva-
nja ozračja.
Zaključek
Pokazali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pravega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v svetu, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se poda v opis realnega sveta. V
našem primeru smo imeli opravka s precej spremen-
ljivim delom realnega sveta. Ozračje smo tako obrav-
navali z modelom povprečnega ozračja, za katerega
pa ni zagotovil, da bo ravno takšno ob našem vzponu
na Triglav. Ne jezimo se torej, če ne bomo, navkljub
jasnemu vremenu, videli predvidenih 207 km daleč
v smeri Jadranskega morja.
5
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno blizu
koordinatnega izhodišča (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in zato pri računanju njegove višine z rav-
okar zapisano enačbo nismo daleč od resnice. Naj-
prej izpostavimo 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R2 − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spreme ljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo približni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo razgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, zah-
teva le dodatno konstanto.
Ko vstavimo podatke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km in h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se od tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujejo več
kot za odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezultati razlikujejo kar za okoli osem
odstotkov od napovedi, ki jih dobimo brez upošteva-
nja ozračja.
Zaključek
Pokazali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pravega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v svetu, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se poda v opis realnega sveta. V
našem primeru smo imeli opravka s precej spremen-
ljivim delo realnega sveta. Ozračje smo tako obrav-
navali z modelom povprečnega ozračja, za katerega
pa ni zagotovil, da bo ravno takšno ob našem vzponu
na Triglav. Ne jezimo se torej, če ne bomo, navkljub
jasnemu vremenu, videli predvidenih 207 km daleč
v smeri Jadranskega morja.
5
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno blizu
koordinatnega izhodišča (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in z to pri ra unanju njegove višine z rav-
okar zapisano enačbo nismo dal č od resnice. Naj-
prej izpostavimo 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R2 − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spreme ljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo približni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo r zgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, zah-
tev le dodatno onstanto.
Ko vstavimo p datke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km in h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se d tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujej več
kot za odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezult ti razlikujejo kar za okoli osem
odstotkov od napovedi, ki jih dobimo brez upošteva-
nja ozračja.
Zaključek
Pokazali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pr ega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v sve u, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se p da v opi r alnega sv ta. V
našem primeru smo imeli opravka s precej spr men-
ljivim delo ealnega sveta. Ozračje smo tako obrav-
navali z modelom povprečnega ozračja, z katerega
p ni zagot vil, da b ravno takšno ob našem vzponu
n Triglav. Ne jezimo se t rej, če ne bomo, navkljub
jasnemu vremenu, videli p dvidenih 207 km daleč
v meri Jadranskega morja.
5
razgleda (x). Ker gre za hrib, ki je relativno blizu
koordinatnega izhodišča (slika 4a, 4b), je res skoraj
navpičen in z to pri ra unanju njegove viši e z rav-
kar zapisano enačbo nismo dal č od resnice. Naj
prej izpostavim 7R iz prvega člena in R iz drugega:
h =
(
7R
(√
1− x2(7R)2 − 1
))
−
(
R
(√
1− x2R2 − 1
))
.
Upoštevamo, da smemo za majhne vrednosti spre-
menljivke a zapisati:
(1− a)1/2 ≈ 1− 1
2
a .
[Dvomljivci si lahko z GeoGebro narišejo obe funk-
ciji. Za majhne vrednosti spreme ljivke a (celo pri
Mount Everestu bi bila vrednost (x2/R2) le kakšna
milijoninka), sta skoraj enaki.]
Uporabimo pri ližni zapis in dobimo:
h = x
2
2
(
1
R
− 1
7R
)
oziroma
x =
√
2Rh
√
7
6
.
Enačbo smo zapisali tako, da vsebuje tudi izraz, ki
napove daljavo r zgleda brez upoštevanja vpliva
ozračja. Približek razgleda, ki smo ga izpeljali, ah-
tev le dodatn onstanto.
Ko vstavimo p datke o višini Triglava in polmeru
Zemlje (R = 6400 km i h = 2,864 km), dobimo:
x = 207 km.
Uporaba prave enačbe [1] da rezultate razgledov, ki
se d tisočmetrskih hribov naprej ne razlikujej več
kot z odstotek od zadnjega približka. Po drugi stra-
ni pa se pravi rezult ti razlikujejo kar za okoli sem
odstotkov od napovedi, ki j h dobimo brez upoštev -
ja ozračja.
Zaključek
Po azali smo, da pri navidez lahki matematični na-
logi ne pridemo do pr ega rezultata. V šali lahko
rečemo, da matematika operira v sve u, ki ga ne moti
ozračje. Fizika pa se p da v opi r alnega sv ta. V
naše primeru s o imeli opravka s precej spr en-
ljivim delo ealnega sveta. Ozračje smo tako obrav
avali z modelom povprečnega ozračja, z katerega
p ni zag t vil, da b ravno takšno ob našem vzponu
Triglav. Ne jezim se t rej, če ne bomo, navkljub
jas emu vremenu, videli p dvidenih 207 km daleč
v meri Jadranskega morja.
5
Literatu
[1] A. P. French, How far is the horizon, Am. J. Phys.,
Vol. 50, No. 9, (795–799)
[2] http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/atmos_refr/
horizon.html (citirano: 12. 12. 2011)
6
Lit r tura
[1] A. P. French, How far is the horizon, Am. J. Phys.,
Vol. 50, No. 9, (795–799)
[2] http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/atmos_refr/
horizon.html (citirano: 12. 12. 2011)
6
lj č
ratura
Presek 39 (2011/2012) 4
r a z v e d r i l o
16
Nagradna kr ižanka
presek 39 (2011/2012) 4
r a z v e d r i l o
17
n a g r a d n i  r a z p i s
•  Črke iz označenih polj po vrsti zapišite 
na Preseku priloženo dopisnico, dodajte 
tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi-
snice pošljite na Presekov naslov (poštni-
na je že plačana) do 15. marca 2012, ko 
bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za 
nagrado prejeli Presekov paket. 
Presek 39 (2011/2012) 4
Literatura
[1] Čepič Mojca, Podhlajena voda, Presek,
2007/2008, 35 4, str. 13.
[2] Čepič Mojca, Podhlajena voda, odgovor naloge,
Presek, 2007/2008, 35 5, 18–19.
3
•
mojca čepič
Kako nas 
pogreje?
V trgovinah s športno opremo je mogoče kupiti
grelne blazinice, ki so lahko v mrzlih zimskih dneh
še kako koristne. Blazinice so videti podobno kot
ta, predstavljena na sliki. Kako nas ogrejejo?
Blazinica je običajno napolnjena s tekočino gelastega
videza. V tekočini se nahaja ploščica iz kovine ali
paličica, ki jo prepognemo ter spustimo – in že se
lahko grejemo.
Če je snov v blazinici trdna, moramo blazinico naj-
prej nekaj časa kuhati v vreli vodi. Kuhamo jo tako
dolgo, dokler ni v celoti napolnjena s tekočino in do-
kler v njej ni niti koščka kristala več. Nato jo ohla-
dimo in pripravljena je za rabo.
Kupite takšno blazinico, da bo vrečka, ki obdaja
vsebino, iz prozornega materiala.
Opazujte, kaj se zgodi, ko prepognete paličico ali
kovinsko ploščico.
Kakšna je blazinica na otip med dogajanjem?
Ali morda najdete kakšno podobnost s poskusom,
o katerem smo v Preseku že pisali [1,2]?
Slika 1
2
i j i i
l l i i , i l li i i
i . l i i i i
, lj li i. j j
l i i j i j l j i l
i . i i j l i i i li
li i , i j i i
l j .
j l i i i , l i i j-
j j i li i. j
l , l i l i l j i i -
l j j i i i i l . j l -
i i i lj j .
i l i i , , i j
i , i i l .
j , j i, li i li
i l i .
j l i i i j j
li j ,
i li [ , ]
li
t t t
t t t
t t
t t
t
r t r t
r
tr r
r t r t
r t t
r t r t t
r r r
t t r
r r t r
t t
t
t t
t
Literatura
[1] Čepič Mojca, Podhlajena voda, Presek,
2007/2008, 35 4, str. 13.
[2] Čepič Mojca, Podhlajena voda, odgovor naloge,
Presek, 2007/2008, 35 5, 18–19.
3
18
f i z i k a
p
o
iz
k
u
š
e
v
a
l
n
ic
a
 v
 m
r
z
l
i 
n
a
r
a
v
i
ratura
slika 1.
Grelna blazinica; sivo ploščico za miškinim smrčkom je po-
trebno prepogniti.
presek 39 (2011/2012) 4
rešitev barvni  sudoku 
s  str ani  10
2 8 5 7 6 1 4 3
1 4 3 6 7 2 8 5
3 6 1 4 8 7 5 2
7 5 8 2 1 6 3 4
5 2 4 1 3 8 7 6
6 3 7 8 4 5 2 1
8 1 2 3 5 4 6 7
4 7 6 5 2 3 1 8
• • •
p
o
iz
k
u
š
e
v
a
l
n
ic
a
 v
 k
u
h
in
ji
slika 1.
Sveča v posodi s svežo gazirano pijačo gori (levo), že nekaj 
trenutkov kasneje pa ugasne (desno).
slika 2.
Odprtina ob dnu posode je dovolj velika, da sveči na različ-
nih višinah nemoteno gorita, ker se zrak lahko izmenjuje (le-
vo). Ko praznimo helijev balon, se lažji helij ujame v posodo,
izpodrine zrak in najprej ugasne gornjo svečo, nato pa še 
spodnjo (desno).
19
f i z i k a
•
mojca čepič
Še o plinih 
o d g o v o r  n a l o g e
Plin, ki se sprošča iz gaziranih pijač, je CO2 ali
ogljikov dioksid. Gostota plina CO2 je večja od go-
stote zraka. Zato se v posodi, če vanjo postavimo
pijačo, iz katere CO2 izhaja, plin nabira. Plini (fi-
zikalno) sodijo med tekočine, zato jih je mogoče
pretakati. Plin je zato, ker ima večjo gostoto od
zraka, mogoče zadržati v posodi, mogoče pa ga je
iz ene posode v drugo tudi preliti. Čeprav v po-
sodi ne vidimo ničesar, lahko prisotnost CO2 poka-
žemo tako, da v na videz prazno posodo potopimo
gorečo vžigalico, ki ugasne. Prav tako lahko „nevi-
den“ plin iz ene posode v drugo prelijemo.
V nasprotju s krojači v Cesarjevih novih oblačilih,
kjer oblek nihče ni mogel videti, pa tudi ne otipati,
ali kako drugače dokazati njihovega obstoja, ker ji
pač ni bilo, je „nevidni“ plin mogoče dokazati.
Na dno posode postavimo gorečo svečo, nanjo „iz-
lijemo“ plin. Postopamo enako, kot da bi iz posode
izlivali vodo. Ker sveča v CO2 ne gori, plamen uga-
sne. Vendar so s tem poskusom včasih težave, ker
CO2 iz posode med premikanjem rad uide, ali se to-
liko premeša z zrakom zunaj posode, da včasih po-
skus ne uspe.
Nekoliko drugačna izvedba poskusa je uspešna
(skoraj) vedno. Na dno posode postavimo gorečo
svečo, lahko čajno svečko. Potem na dno posode
nalijemo iz pravkar odprte plastenke ali pločevinke
gazirano pijačo (slika 1 levo). Le-ta se peni in nad
njeno površino se nabira CO2, ki postopoma zaduši
plamen, s katerim gori sveča (slika 1 desno).
Slika 1
V drugem delu poskusa uporabimo plin helij (He)
ki je od zraka lažji. S takim plinom v semanjih dneh
ali v prazničnem času polnijo balone, da jih otroci
lahko ponosno vlečejo za seboj, lebdeče v zraku. Tu-
di v heliju sveča ne gori. Ker je helij od zraka lažji, ga
lahko pretakamo od spodaj navzgor. Gorečo svečo
pokrijemo s posodo in pustimo dovolj veliko odpr-
tino, da se zrak izmenjuje. Sveča nemoteno gori
(slika 2 levo). Nato nekoliko pod odprtino začnemo
prazniti helijev balon. Čeprav smo balon praznili
precej pod posodo, je helij v posodi izpodrinil zrak,
se tam nabral in zadušil plamen (slika 2 desno).
Slika 2
2
, ,
. -
. ,
, , . -
,
. ,
, ,
. -
, -
,
, . -
.
,
, ,
,
, .
,
. ,
. ,
. ,
,
,
.
.
, .
.
,
, .
.
,
, .
. ,
.
, .
.
.
, ,
.
li i r i ir i ij j 2 li
lji i i t t li 2 j j
t t r t i j t i
ij i t r 2 i j li ir li i (
i l ) ij t i t ji j
r t ti li j t r i j t t
r r ti i j
i r t i r liti r
i i i i r l ri t t 2
t i r t i
r i li i r t l „ i
“ li i r r lij
r tj r j i rj i i l ili
j r l i i l i ti t i ti ti
li r ti ji t j r ji
i il j „ i i“ li ti
t i r j „i -
lij “ li t t i i
i li li r 2 ri l -
r t i t r
2 i r i j r i li t -
li r r j i -
li r i j
( r j) t i r
l j t
lij i r r rt l t li l i
ir ij ( li l ) -t i i
j r i ir 2 i t i
l t ri ri ( li )
li
r l r i li lij ( )
i j r l ji t i li ji
li r i l ij l ji tr i
l l j j l r -
i lij ri r j lij r l ji
l r t j r r
rij i ti lj li r-
ti r i j j t ri
( li l ) t li rti
r iti lij l r l r ili
r j j lij i i ri il r
t r l i il l ( li )
li
P n, k se sp ošča z gaz an h p ač, e a
og kov d oks d. os o a p na e več a od go-
s o e z aka. Za o se v posod , če van o pos av o
p ačo, z ka e e zha a, p n nab a. P n -
z ka no sod o ed ekoč ne, za o h e ogoče
p e aka . P n e za o, ke a več o gos o o od
z aka, ogoče zad ža v posod , ogoče pa ga e
z ene posode v d ugo ud p e . ˇep av v po-
sod ne v d o n česa , ahko p so nos poka-
že o ako, da v na v dez p azno posodo po op o
go ečo vž ga co, k ugasne. P av ako ahko nev -
den p n z ene posode v d ugo p e e o.
nasp o u s k o ač v esa ev h nov h ob ač h,
k e ob ek n hče n oge v de , pa ud ne o pa ,
a kako d ugače dokaza n hovega obs o a, ke
pač n b o, e nev dn p n ogoče dokaza .
a dno posode pos av o go ečo svečo, nan o z
e o p n. Pos opa o enako, ko da b z posode
z va vodo. e sveča v ne go , p a en uga
sne. enda so s e poskuso včas h ežave, ke
z posode ed p e kan e ad u de, a se o
ko p e eša z z ako zuna posode, da včas h po
skus ne uspe.
eko ko d ugačna zvedba poskusa e uspešna
sko a vedno. a dno posode pos av o go ečo
svečo, ahko ča no svečko. Po e na dno posode
na e o z p avka odp e p as enke a p očev nke
gaz ano p ačo s ka 1 evo . Le a se pen n nad
n eno pov š no se nab a , k pos opo a zaduš
p a en, s ka e go sveča s ka 1 desno .
S ka 1
d uge de u poskusa upo ab o p n he e
k e od z aka až . S ak p no v se an h dneh
a v p azn čne času po n o ba one, da h o oc
ahko ponosno v eče o za sebo , ebdeče v z aku. Tu
d v he u sveča ne go . e e he od z aka až , ga
ahko p e aka o od spoda navzgo . o ečo svečo
pok e o s posodo n pus o dovo ve ko odp
no, da se z ak z en u e. Sveča ne o eno go
s ka 2 evo . a o neko ko pod odp no začne o
p azn he ev ba on. ˇep av s o ba on p azn
p ece pod posodo, e he v posod zpod n z ak,
se a nab a n zaduš p a en s ka 2 desno .
S ka 2
2
li , i i i i ij , j CO2 li
lji i i . G t t li CO2 j j
t t . t i, j t i
ij , i t CO2 i j , li i . li i (fi
i l ) ij t i , t ji j
t ti. li j t , i j t t
, ti i, j
i t i liti. C
i i i i , l i t t CO2
t , i t i
i li , i . t l i
li i lij .
V r tj r j i C rj i i l ili ,
j r l i i l i ti, t i ti ti,
li r ti ji t j , r ji
i il , j i i li ti.
N t i r , j i -
lij li . t , t i i
i li li . K r CO2 ri, l -
. V r t i t , r
CO2 i r i j r i , li t -
li r r j , i -
.
N li r i j
( r j) . N t i r
, l j . t
lij i r r rt l t li l i
ir ij ( li l ). -t i i
j r i ir CO2, i t i
l , t ri ri ( li ).
li
V r l r i li lij (H )
i j r l ji. t i li ji
li r i l ij l , ji tr i
l l j j, l r . -
i lij ri. K r j lij r l ji,
l r t j r. G r
rij i ti lj li r-
ti , r i j j . t ri
( li l ). N t li rti
r iti lij l . C r l r ili
r j , j lij i i ri il r ,
t r l i il l ( li ).
li
r r
-
r m
r r -
m m
r r m
r m r m
r r r -
m r r -
m r m
r r „ -
“ r r m
m
„ “ m
m „
m “ m
m
m m
m m m
m m
m
m
m
m
m m
m m
m m m
m
m
m m
m m
m
m
m m
Pli , i se s ošča iz gazi a i ijač, je ali
oglji o io si . os o a li a je ečja o go
s o e z a a. a o se oso i, če a jo os a i o
ijačo, iz a e e iz aja, li a i a. Pli i (
zi al o) so ijo e e oči e, za o ji je ogoče
e a a i. Pli je za o, e i a ečjo gos o o o
z a a, ogoče za ža i oso i, ogoče a ga je
iz e e oso e go i eli i. ˇe a o
so i e i i o ičesa , la o iso os o a
že o a o, a a i ez az o oso o o o i o
go ečo žigalico, i gas e. P a a o la o e i
e li iz e e oso e go elije o.
as o j s k ojači v esa jevi ovi oblačili ,
kje oblek i če i ogel vi e i, a i e o i a i,
ali kako gače okaza i ji ovega obs oja, ke ji
ač i bilo, je evi i li ogoče okaza i.
a o oso e os avi o go ečo svečo, a jo iz-
lije o li . Pos o a o e ako, ko a bi iz oso e
izlivali vo o. e sveča v e go i, la e ga-
s e. e a so s e osk so včasi ežave, ke
iz oso e e e ika je a i e, ali se o-
liko e eša z z ako z aj oso e, a včasi o-
sk s e s e.
ekoliko gač a izve ba osk sa je s eš a
(sko aj) ve o. a o oso e os avi o go ečo
svečo, la ko čaj o svečko. Po e a o oso e
alije o iz avka o e las e ke ali ločevi ke
gazi a o ijačo (slika 1 levo). Le- a se e i i a
je o ov ši o se abi a , ki os o o a za ši
la e , s ka e i go i sveča (slika 1 es o).
Slika 1
ge el osk sa o abi o li elij ( e)
ki je o z aka lažji. S aki li o v se a ji e
ali v az ič e čas ol ijo balo e, a ji o oci
la ko o os o vlečejo za seboj, leb eče v z ak . -
i v elij sveča e go i. e je elij o z aka lažji, ga
la ko e aka o o s o aj avzgo . o ečo svečo
ok ije o s oso o i s i o ovolj veliko o -
i o, a se z ak iz e j je. Sveča e o e o go i
(slika 2 levo). a o ekoliko o o i o zač e o
az i i elijev balo . ˇe av s o balo az ili
ecej o oso o, je elij v oso i iz o i il z ak,
se a ab al i za šil la e (slika 2 es o).
Slika 2
2
n, k pr r n h p , 2
k v d k d. t t p n 2 v d -
t t r k . Z t v p d , v n p t v
p , k t r 2 h , p n n b r . n -
k n d d t k n , t h
pr t k t . n t , k r v t t d
r k , dr t v p d , p
n p d v dru tud pr t . pr v v p -
d n v d n r, hk pr tn t 2 p k -
t k , d v n v d pr n p d p t p
r v , k u n . r v t k hk „n v -
d n“ p n n p d v dru pr .
n pr t u r r h n h h,
r n h n d t , p tud n t p t ,
dru d t n h t , r
p n , „n dn “ p n d t .
dn p d p t r , n n „
“ p n. t p n , t d p d
d . r 2 n r , p n u
n . nd r t p u h t , r
2 p d d pr n r d u d , t
pr r un p d , d h p
u n u p .
dru n d p u u p n
r dn . dn p d p t r
, h n . t n dn p d
n pr r dprt p t n p n
r n p . t p n n n d
n n p r n n r 2, p t p du
p n, t r r d n .
dru d u p u up r p n h
d r . t p n n h dn h
pr n n u p n n , d h tr
h p n n , d r u. Tu
d h u n r . r h d r ,
h pr t d p d n r. r
p r p d n pu t d dpr
t n , d r n u . n t n r
. t n p d dprt n n
pr n t h n. pr n pr n
pr p d p d , h p d p dr n r ,
t n r n du p n d n .
li i i i i ij j C li
lji i i G li C j j
i j i
ij i C i j li i li i (fi
i l ) ij i ji j
i li j i j
i i j
i i li i C
i i i i l i C
i i
i li i l i
li i lij
V j j i C j i i l ili
j l i i l i i i i i
li i ji j ji
i il j i i li i
N i j i -
lij li i i
i li li K CO i l -
V i
CO i i j i li -
li j i -
N li i j
( j) N i
l j
lij i l li l i
i ij ( li l ) - i i
j i i CO i i
l i i ( li )
li
V l i li lij ( )
i j l ji i li ji
li i l ij l ji i
l l j j l -
i lij i K j lij l ji
l j G
ij i i lj li -
i i j j i
( li l ) N li i
i i lij l C l ili
j j lij i i i il
l i il l ( li )
li
, s s š , O
s . s O
s . s s , s
, O , .
s ,
. , s
, s ,
s .
s s , s s O
, s
, s .
s .
s s c es e c ,
e e ce e e , e ,
ce e s , e
c , e e ce .
s e s ec s ec ,
e . s e , s e
. e s ec e , e
s e. e s s e s s c s e e, e
s e e e e e, se
e eš s e, c s
s s e s e.
e c e s s e s eš
s e . s e s ec
s ec , c s ec . e s e
e e s e e ce e
c s e . e se e
e š se , s š
e , s e s ec s es .
e e s s e He
e . se e
c e c s e, c
s ece se , e ece .
e s ec e . e e e ,
e s . ec s ec
e s s s e
, se e e. ec e e
s e . e c e
e e . e s
ece s , e e s ,
se š e s es .
P e o ča z gaz a ač e 2 a
og o o o tota a 2 e eč a o go-
tote z a a ato e o o če a o o ta mo
ačo z ate e 2 z a a a a P -
z a o o o me te oč e zato e mogoče
eta at P e zato e ma eč o go toto o
z a a mogoče za žat o o mogoče a ga e
z e e o o e go t e t ˇe a o-
o e mo če a a o ot o t 2 o a-
žemo ta o a a ez az o o o o oto mo
go ečo ž ga co ga e P a ta o a o e -
e z e e o o e go e emo
a rot kro aˇ v ar v ov ob aˇ
k r ob k ˇ mog v t a t ot at
a kako r gaˇ okazat ov ga ob to a k r
aˇ b o v mogoˇ okazat
a o o o o tav mo gor ˇo v ˇo a o z
mo Po to amo ako kot a b z o o
z va vo o r v ˇa v 2 gor am ga
ar o t m o k om vˇa t žav k r
2 z o o m r m ka m ra a to
ko r m a z zrakom z a o o a vˇa o
k
ko ko r gaˇ a zv ba o k a a
kora v o a o o o o tav mo gor ˇo
v ˇo a ko ˇa o v ˇko Pot m a o o o
a mo z ravkar o rt a t k a oˇ v k
gaz ra o aˇo ka 1 vo L ta a
o ovr o ab ra 2 k o to oma za
am kat r m gor v ˇa ka 1 o
S ka 1
r g m o k a orab mo
k o zraka až S tak m om v ma
a v raz ˇ m ˇa o o ba o a otro
a ko o o o v ˇ o za bo b ˇ v zrak
v v ˇa gor r o zraka až ga
a ko r takamo o o a avzgor or ˇo v ˇo
okr mo o o o t mo ovo v ko o r
t o a zrak zm Sv ˇa mot o gor
ka 2 vo ato ko ko o o rt o zaˇ mo
raz t v ba o ˇ rav mo ba o raz
r o o o o v o o z o r zrak
tam abra za am ka 2 o
S ka 2
2
Plin, ki se sprošča iz gaziranih pijač, je CO2 ali
ogljikov dioksid. Gostota plina CO2 je večja od go-
stote zraka. Zato se v posodi, če vanjo postavimo
pijačo, iz katere CO2 izhaja, plin nabira. Plini (fi-
zikalno) sodijo med tekočine, zato jih je mogoče
pretakati. Plin je zato, ker ima večjo gostoto od
zraka, mogoče zadržati v posodi, mogoče pa ga je
iz ene posode v drugo tudi preliti. Čeprav v po-
sodi ne vidimo ničesar, lahko prisotnost CO2 poka-
žemo tako, da v na videz prazno posodo potopimo
gorečo vžigalico, ki ugasne. Prav tako lahko „nevi-
den“ plin iz ene posode v drugo prelijemo.
V nasprotju s krojači v Cesarjevih novih oblačilih,
kjer oblek nihče ni mogel videti, pa tudi ne otipati,
ali kako drugače dokazati njihovega obstoja, ker ji
pač ni bilo, je „nevidni“ plin mogoče dokazati.
Na dno posode postavimo gorečo svečo, nanjo „iz-
lijemo“ plin. Postopamo enako, kot da bi iz posode
izlivali vodo. Ker sveča v CO2 ne gori, plamen uga-
sne. Vendar so s tem poskusom včasih težave, ker
CO2 iz posode med premikanjem rad uide, ali se to-
liko premeša z zrakom zunaj posode, da včasih po-
skus ne uspe.
Nekoliko drugačna izvedba poskusa je uspešna
(skoraj) vedno. Na dno posode postavimo gorečo
svečo, lahko čajno svečko. Potem na dno posode
nalijemo iz pravkar odprte plastenke ali pločevinke
gazirano pijačo (slika 1 levo). Le-ta se peni in nad
njeno površi o se nabira CO2, ki postopoma zaduši
plame , s katerim gori sveča (slika 1 desno).
Slika 1
V drugem delu poskusa uporabimo plin helij (He)
ki je od zraka lažji. S takim plinom v semanjih dneh
ali v prazničnem času polnijo balone, da jih otroci
lahko ponosno vlečejo za seboj, lebdeče v zraku. Tu-
di v heliju sveča ne gori. Ker je helij od zraka lažji, ga
lahko pretakamo od spodaj navzgor. Gorečo svečo
pokrijemo s posodo in pustimo dovolj veliko odpr-
tino, da se zrak izmenjuje. Sveča nemoteno gori
(slika 2 levo). Nato nekoliko pod odprtino začnemo
prazniti helijev balon. Čeprav smo balon praznili
precej pod posodo, je helij v posodi izpodrinil zrak,
se tam nabral in zadušil plamen (slika 2 desno).
Slika 2
2
Presek 39 (2011/2012) 4
•
 •
 •
20
f i z i k a
•
mitja rosina
Razmisli 
in poskusi —
Stopinje  
in tračnice  
v snegu
46. Stopinje in tračnice v snegu
Ko hodimo po sveže zasneženi poljani, pustimo za
seboj več centimetrov globoke sledi – stopinje če-
vljev. Za smučarjem pa ostanejo globoke „tračnice“.
Pod posebnimi pogoji presenečeni čez nekaj dni ali
čez kak teden zagledamo, da stopinje štrlijo nekaj
centimetrov ven iz snega. Tudi tračnice niso več
vglobljene, temveč so nad nivojem snega, kot trač-
nice vlaka.
Prišla je zima in imaš priliko opazovati ta pojav.
Izmeri, koliko centimetrov štrlijo stopinje ali trač-
nice iz snega. Kolikšen rekord si nameril? Poskusi
ta pojav razložiti.
Odgovor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka
45. Opis barv s tremi barvnimi koordinatami
Vzemi razne barvaste predmete in poskusi najti na
zaslonu enako barvo. Določi tudi „napako“ (za ko-
liko smeš spremeniti koordinate, da bo primerjava
še sprejemljiva). Če imaš več računalniških progra-
mov, preveri, ali dajo vsi isto.
Poišči barve, ki so ti posebno všeč, in zabeleži nji-
hove koordinate.
Ali je vtis barve res odvisen samo od razmerij
R,G, B? Zmanjšaj sorazmerno vse tri vrednosti in
preveri.
Barvne koordinate so ponekod normirane od 0 do
1, ponekod pa od 0 do 255.
Odgovor (zgledi)
1. Izbral sem tri predmete in ocenil za ohišje mobija
R = 203 ± 10, G = 40 ± 10 in B = 40 ± 10, za list
aloje R = 97± 20, G = 195± 5 in B = 120± 10 in za
fotografijo na zaslonu (potonko na sliki) R = 240 ±
10, G = 120 ± 20 in B = 160 ± 20. Primerjal sem tri
programe, PowerPoint, Paint in Irfanview, vsi trije so
mi ponudili isto paleto in navedli iste vrednosti R,G
in B .
Slika 1
2. Rad imam modrozelene barve (recimo barvo Soče).
Za računalniški zaslon sem izbral R = 150, G = 201
in B = 203. Kaj pa ti?
3. Če zmanjšamo sorazmerno vse tri vrednosti barv-
nih koordinat, dobimo isti vtis barve, če je barvasta
ploskev velika in okolica ne moti. Če je ploskvica sve-
tlejša od okolice, se nam zdi barva zelo živa, če pa
je ploskvica temnejša od okolice, dobimo vtis sive,
rjave, sivomodre, sivozelene ali umazane barve. Na
sliki sem desnemu vzorcu zmanjšal barvne koordi-
nate na 2/3 in sem dobil vtis rjave barve z vijoliča-
stim odtenkom.
2
46. Stopinje in tračnice v snegu
Ko hodimo po sveže zasneženi poljani, pustimo za
seboj več centimetrov globoke sledi – stopinje če-
vljev. Za smučarjem pa ostanejo globoke „tračnice“.
Pod posebnimi pogoji presenečeni čez nekaj dni ali
čez kak teden zagledamo, da stopinje štrlijo nekaj
centimetrov ven iz snega. Tudi tračnice niso več
vglobljene, temveč so nad nivojem snega, kot trač-
nice vlaka.
Prišla je zima in imaš priliko opazovati ta pojav.
Izmeri, koliko centimetrov štrlijo stopinje ali trač-
nice iz snega. Kolikšen rekord si nameril? Poskusi
ta pojav razložiti.
Odgovor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka
45. Opis barv s tremi barvnimi koordinatami
Vzemi razne barvaste predmete in poskusi najti na
zaslonu enako barvo. Določi tudi „napako“ (za ko-
liko smeš spremeniti koordinate, da bo primerjava
še sprejemljiva). Če imaš več računalniških progra-
mov, preveri, ali dajo vsi isto.
Poišči barve, ki so ti posebno všeč, in zabeleži nji-
hove koordinate.
Ali je vtis barve res odvisen samo od razmerij
R,G, B? Zmanjšaj sorazmerno vse tri vrednosti in
preveri.
Barvne koordinate so ponekod normirane od 0 do
1, ponekod pa od 0 do 255.
Odgovor (zgledi)
1. Izbral sem tri predmete in ocenil za ohišje mobija
R = 203 ± 10, G = 40 ± 10 in B = 40 ± 10, za list
aloje R = 97± 20, G = 195± 5 in B = 120± 10 in za
fotografijo na zaslonu (potonko na sliki) R = 240 ±
10, G = 120 ± 20 in B = 160 ± 20. Primerjal sem tri
programe, PowerPoint, Paint in Irfanview, vsi trije so
mi ponudili isto paleto in navedli iste vrednosti R,G
in B .
Slika 1
2. Rad imam modrozelene barve (recimo barvo Soče).
Za računalniški zaslon sem izbral R = 150, G = 201
in B = 203. Kaj pa ti?
3. Če zmanjšamo sorazmerno vse tri vrednosti barv-
nih koordinat, dobimo isti vtis barve, če je barvasta
ploskev velika in okolica ne moti. Če je ploskvica sve-
tlejša od okolice, se nam zdi barva zelo živa, če pa
je ploskvica temnejša od okolice, dobimo vtis sive,
rjave, sivomodre, sivozelene ali umazane barve. Na
sliki sem desnemu vzorcu zmanjšal barvne koordi-
nate na 2/3 in sem dobil vtis rjave barve z vijoliča-
stim odtenkom.
2
46. St pinje in tračnice v snegu
Ko hodimo po sveže zasneženi poljani, pustimo za
s boj več centimetrov loboke sledi – stopinje če-
ljev. Za smučarjem pa ostanejo globoke „tračnice“.
Pod posebnimi pogoji presenečeni čez nekaj dni ali
čez kak t den zagledamo, da st inje š rlijo nekaj
centimetr v ven iz snega. Tudi tračnice niso več
vglobljene, temveč so ad nivojem sn ga, kot trač-
nice vlaka.
Prišla je zima in imaš priliko opazovati ta pojav.
Izmeri, koliko centimetrov štrlijo stopinje ali trač-
nice iz snega. Kolikšen rekord si nameril? Poskusi
ta pojav razložiti.
Odg vor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka
45. Opis bar s tremi bar nimi koordinatami
Vzemi razne barv ste predmete in poskusi najti na
zasl nu enako barvo. Določi tudi „napako“ (za ko
liko smeš spremeniti koordinate, da bo primerjava
še sprejemljiva). Če imaš več računalniških progra-
mov preveri, ali dajo vsi isto.
Poišči barve, ki so ti posebno všeč, in zabeleži nji-
hove koordinate.
Ali je vtis barve res odvisen samo od razmerij
R,G, B? Zmanjšaj sorazmerno vse tri vrednosti in
preveri.
Barvne koordinate so ponekod normirane od 0 do
, ponekod pa od 0 o 255.
Odgovor (zgledi)
. Izbral sem tri predmete in ocenil za ohišje mobija
R = 203 ± 10, G = 40 ± 10 B = 40 ± 10, za list
aloje R = 97± 20, G = 195± 5 in B = 120± 10 in za
fotografijo na zaslonu (potonko na sliki) R = 240 ±
10, G = 120 ± 20 in B = 160 ± 20. Primerjal sem tri
programe, PowerPoint, Paint in Irfanview, vsi trije so
m ponudili isto paleto in navedli iste vrednosti R,G
in B .
Slika 1
2 Rad i am modrozelene barve (rec mo barvo Soče).
Za računal iški zaslon sem izbral R = 150, G = 201
in B = 203. Kaj pa ti?
3. Če zmanjšamo sor zmern vs tri vrednosti barv-
nih koordinat, dobimo isti vtis barve, če je barvast
ploskev velika in okolica ne moti. Če je ploskvica sve
tlejša od okolice, se nam zdi bar a zelo živa, če pa
je pl skvica temnejša od okolice, dobimo vtis sive,
rjave, sivomodre, sivozelene ali umazane barve. Na
sliki sem desnemu vzorcu zmanjšal barvne koordi-
nate na 2/3 in sem dobil vtis rjave barve z vijoliča-
stim odtenkom.
2
presek 39 (2011/2012) 4
a s t r o n o m i j a
21
Kako in kje so se kovali slovenski astronomski
izrazi in z njimi naše astronomsko pisanje? Kdaj se
je to dogajalo? Navedimo nekaj primerov iz zgodo-
vine slovenskega astronomskega izrazoslovja.
Omejili se bomo na naše prve astronomske spise,
knjige, učbenike, kjer najdemo prvotne izraze. V
poznejših spisih in publikacijah je izrazoslovje že
vse bolj urejeno in čisto.
Zametke astronomskega izrazoslovja v našem jeziku
zasledimo v začetku 18. stoletja. Takrat je kapucin-
ski pridigar, pater Hipolit Novomeški, s pravim ime-
nom Adam Gaiger (1667–1722), zapisal prve izraze
za določene astronomske pojme v slovenščini. Kako
se je to zgodilo?
Hipolit je spisal trojezični slovar v dveh delih Dic-
tionarium trilingue (latinsko-nemško-slovenski in
nemško-slovensko-latinski slovar). Slovar je ostal v
rokopisu, leta 1711 je bila natisnjena naslovnica, ki
se je ohranila do danes (slika 1). Hipolit je v slo-
venščino prevedel tudi ilustrirano enciklopedijo za
otroke in mladino Orbis Pictus (Svet v slikah), ki jo
je napisal znameniti pedagog Jan Amos Komensky
in je izšla leta 1658. Zelo obsežnemu trojezičnemu
slovarju je Hipolit priložil pet dodatkov. Eden med
njimi je bil tudi prevod že omenjene enciklopedije
Orbis Pictus. V tem prevodu so v poglavju o nebe-
snih telesih na treh straneh navedeni pomembnejši
oziroma osnovni astronomski pojmi, najprej v latin-
ščini in nemščini, nato pa še tudi v slovenščini. Za
zdaj velja, da te tri strani Hipolitovega prevoda pred-
stavljajo prvi urejeni tekst astronomskih izrazov, na-
pisanih v slovenskem jeziku.
Hipolit je za številne izraze našel dobre rešitve.
Poglejmo nekaj tipičnih izrazov:
svejsdogleda kunsht (kunšt) – astronomija, semlja
– Zemlja, sonze – Sonce, luna – Luna, svejsda – zvez-
da (nebu je polnu svejsd), osvejsdje – ozvezdje, sve-
rinski krass – živalski krog, nebeshka (nebess) ku-
gla – nebesna krogla, tekozhe svejsde, katere se ime-
nujejo planeti, zejsta ali pot planeta, planetov sta-
liszha (stališča) – konfiguracije planetov, Dvojzhizhi
— Dvojčka, Lokastrejliz – Strelec, Povodnik – Vodnar,
te lune podobe – Lunine mene, ta pervi in ta sajdni
fertelz – prvi in zadnji krajec, marknenie sonza inu
lune – mrki Sonca in Lune itn.
„Hipolitovi astronomski izrazi“ so torej ostali v ro-
kopisu in v javnost niso prišli. Zato je bilo v tistem
času zelo težko napisati kak slovenski astronomski
prispevek; sicer pa so takrat večinoma pisali v latin-
ščini in nemščini. Kljub temu je prvi slovenski pe-
snik Valentin Vodnik (1758–1819) v svoje Velike pra-
tike, ki so izšle v letih 1795, 1796 in 1797, v predgo-
vore o koledarju vedno vključil odstavek o „mrakne-
nju sonca in lune“. Vodnik se je tudi potrudil in oju-
načil ter napisal prvi poljudni slovenski astronomski
spis O repatici (Lublanske novice 2, 1798; slika 2). V
2
Kako in kje so se kovali slovenski astronomski
izrazi in z njimi naše astronomsko pisanje? Kdaj se
je to dogajalo? Navedimo nekaj primerov iz zgodo-
vine slovenskega astronomskega izrazoslovja.
Omejili se bomo na naše prve astronomske spise,
knjige, učbenike, kjer najdemo prvotne izraze. V
poznejših spisih in publikacijah je izrazoslovje že
vse bolj urejeno in čisto.
Zametke astronomskega izrazoslovja v našem jeziku
z sl dimo v začetku 18. stoletja. Takrat je kapucin-
ski pridigar, p t r Hipolit Novomeški, s pravim ime-
nom A am Gaiger (1667–1722), zapisal prve izraze
za določene astronomske pojme v slovenščini. K ko
se je t zgodilo?
Hip lit je spisal trojezični slovar v dveh delih Dic-
tionarium trilingue (latinsko-nemško-slovenski in
nemško-slovensko-latinski sl var). Sl var j ostal v
rokopisu, leta 1711 je bila natisnjena n slovnica, ki
se je ohranil do danes (slika 1). Hipolit je v slo-
v nščino preve el tudi ilustrirano enciklopedijo za
otroke in mladino Orbis Pictus (Svet v slikah), ki jo
je napisal znameniti pedagog Jan Amos Komensky
in je izšla let 1658. Z lo obsež emu trojezičnemu
slovarju je Hipolit priložil pet dodatkov. Eden med
njimi je bil tudi prevod že omenjene enciklopedije
Orbis Pictus. V tem prevodu so v poglavju nebe-
snih telesih na tr h straneh navedeni pomembnejši
oziroma osnovni astronomski pojmi, najpr j v latin-
ščini in nemšči i, nato pa še tudi v slovenščini. Za
zdaj velja, da te tri strani Hipolitovega pr voda pred-
stavljajo prvi urejeni tekst astronomskih izrazov, na-
pisanih v slovenskem jeziku.
Hipolit je za št viln izraze našel dobre rešitve.
Poglejmo n kaj tipičnih izrazov:
svejsdogleda kunsht (kunšt) – astronomija, semlja
– Zemlja, sonze – Sonce, l a – Luna, svejsd – zvez-
da (nebu je polnu svejsd), osvejsdje – ozvezdje, sve-
rinski krass – živalski krog, nebeshka (n bess) ku-
gla – nebe na krogla, te ozhe svejsde, katere e ime-
nujejo planeti, zejsta ali pot planeta, plan tov sta-
liszha (st lišča) – konfiguracije planetov, Dvojzhizhi
— Dvojčk , Lokastrejliz – Strel c, Povodnik – Vodnar,
te lune podobe – Lunine men , ta pervi in ta sajdni
f rtelz – prvi in zad ji kraj c, m rknenie sonz inu
lune – mrki So ca in Lune itn.
„Hipolitovi astro omski izrazi“ so torej ostali v ro-
kopisu in v javnost niso prišli. Zat je bil v tistem
času zelo težko napisati kak slovenski astronomski
prispevek; sicer p so takr t večinoma pi ali v latin-
ščini in nemščini. Kljub temu je prvi slovenski pe-
snik Valentin Vodnik (1758–1819) v svoje V like pra-
tike, ki so izšle v letih 95, 796 in 1797, v pr dgo-
vore o k ledarju v dno vključil odstavek o „mrakne-
nju s nca in lune“. Vodnik se je tudi potrudil in oju-
ačil ter napisal prvi poljudni slovenski astronomski
spis O ep tici (Lublanske novice 2, 1798; slika 2). V
2
Kako in kje so se kovali slovenski astronomski
izrazi in z njimi naš astro omsko pisanje? Kdaj se
je to dogajalo? Navedimo ekaj primerov iz zgodo-
vin slovenskega astronomskega izrazoslovja.
Omejili se bomo na naše prve astronomske spise,
knjig , učbenike, kjer najdemo prvotne izraz . V
poznejših spisih i publikacijah je izrazoslovje že
vse bolj urejeno in čisto.
Zametke astronomskega izrazoslovja v našem jeziku
zasledimo v začetku 18. stoletja. Takrat je kapucin-
ski pridigar, pater Hipolit Novomeški, s pravim ime-
nom Adam Gaiger (1667–1722), zapisal prve izraze
za določene astronomske pojme v slovenščini. Kako
se je to zgodilo?
Hipolit je spisal trojezični slovar v dveh delih Dic-
tionarium trilingue (latinsko-nemško-slovenski in
nemško-slovensko-latinski slovar). Slovar je ostal v
rokopisu, leta 1711 je bila natisnjena naslovnica, ki
se je ohranila do danes (slika 1). Hipolit je v slo-
venščino prevedel tudi ilustrirano enciklopedijo za
otroke in mladino Orbis Pictus (Svet v slikah), ki jo
je napisal znameniti pedagog Jan Amos Komensky
in je izšla leta 1658. Zelo obsežnemu trojezičnemu
slovarju je Hipolit priložil pet dodatkov. Eden med
njimi je bil tudi prevod že omenjene enciklopedije
Orbis Pictus. V tem prevodu so v poglavju o nebe-
snih telesih na treh straneh navedeni pomembnejši
oziroma osnovni astronomski pojmi, najprej v latin-
ščini in nemščini, nato pa še tudi v slovenščini. Za
zdaj velja, da te tri strani Hipolitovega prevoda pred-
stavljajo prvi urejeni tekst astronomskih izrazov, na-
pisanih v slovenskem jeziku.
Hipolit je za številne izraze našel dobre rešitve.
Poglejmo nekaj tipičnih izrazov:
svejsdogleda kunsht (kunšt) – astronomija, semlja
– Zemlja, sonze – Sonce, luna – Luna, svejsda – zvez-
da (nebu je polnu svejsd), osvejsdje – ozvezdje, sve-
rinski krass – živalski krog, nebeshka (nebess) ku-
gla – nebesna krogla, tekozhe svejsde, katere se ime-
nujejo planeti, zejsta ali pot planeta, planetov sta-
liszha (stališča) – konfiguracije planetov, Dvojzhizhi
— Dvojčka, Lokastrejliz – Strelec, Povodnik – Vodnar,
te lune podobe – Lunine mene, ta pervi in ta sajdni
fertelz – prvi in zadnji krajec, marknenie sonza inu
lune – mrki Sonca in Lune itn.
„Hipolitovi astronomski izrazi“ so torej ostali v ro-
kopisu in v javnost niso prišli. Zato je bilo v tistem
času zelo težko napisati kak slovenski astronomski
prispevek; sicer pa so takrat večinoma pisali v latin-
ščini in nemščini. Kljub temu je prvi slovenski pe-
snik Valentin Vodnik (1758–1819) v svoje Velike pra-
tike, ki so izšle v letih 1795, 1796 in 1797, v predgo-
vore o koledarju vedno vključil odstavek o „mrakne-
nju sonca in lune“. Vodnik se je tudi potrudil in oju-
načil ter napisal prvi poljudni slovenski astronomski
spis O repatici (Lublanske novice 2, 1798; slika 2). V
2
i j li l i i
i i i ji i i j j
j j l i j i i -
i l i l j .
jili i ,
ji , i , j j i .
j i i i i li ij j i l j
lj j i i .
i l j j i
l i . l j . j i -
i i i , i li i, i i -
i ( ), i l i
l j l i i.
j il
i li j i l j i i l li i -
ti i t ili (l i - - l i i
- l -l i i l ). l j l
i , l j il i j l i , i
j il ( li ). i li j l -
i l i il i i l ij
i l i i i t ( li ), i j
j i l i i
i j i l l . l j i
l j j i li il il .
ji i j il i j i l ij
i i t . l j -
i l i i j i
i i i j i, j j l i -
i i i i i, i l i i.
j lj , i i i li -
lj j i j i i i , -
i i l j i .
i li j il i l i .
l j j i i i i :
j l ( ) ij , lj
lj , , l , j -
( j l j ), j j j , -
i i i l i , ( ) -
l l , j , i -
j j l i, j li l , l -
li ( li ) ij l , j i i
j , jli l , i ,
l i , i i j i
l i i ji j , i i
l i i i .
i li i i i i j li -
i i j i i li. j il i
l i i l i i
i ; i i i li l i -
i i i i i. lj j i l i -
i l i i ( ) j li -
ti , i i l l i , i , -
l j lj il -
j i l . i j i il i j -
il i l i lj i l i i
i ti i ( l i , ; li ).
a o e so se o a s o e s astro o s
zraz z aš astro o s o sa e? a se
e to oga a o? a e o e a r ero z zgo o
s o e s ega astro o s ega zrazos o a.
e se o o a aše r e astro o s e s se,
g , č e e, er a e o r ot e zraz .
oz e š s s ac a e zrazos o e že
se o re e o č sto.
a etke astro o skega zrazos ov a v aše ez k
zas e o v začetk 18. sto et a. akrat e ka c
sk r gar, ater o t ovo ešk , s rav e
o a a ger 1667–1722 , za sa rve zraze
za o oče e astro o ske o e v s ove šč . ako
se e to zgo o?
o t e s sa tro ez č s ovar v ve e c
o ar r g e at sko e ško s ove sk
e ško s ove sko at sk s ovar . S ovar e osta v
roko s , eta 1711 e b a at s e a as ov ca, k
se e o ra a o a es s ka 1 . o t e v s o
ve šč o reve e t str ra o e c k o e o za
otroke a o rb s P c s Svet v s ka , k o
e a sa z a e t e agog Ja os o e sky
e zš a eta 1658. e o obsež e tro ez č e
s ovar e o t r ož et o atkov. E e e
e b t revo že o e e e e c k o e e
rb s P c s. te revo so v og av o ebe
s te es a tre stra e ave e o e b e š
oz ro a os ov astro o sk o , a re v at
šč e šč , ato a še t v s ove šč . a
z a ve a, a te tr stra o tovega revo a re
stav a o rv re e tekst astro o sk zrazov, a
sa v s ove ske ez k .
o t e za štev e zraze aše obre reš tve.
Pog e o eka t č zrazov:
sve s og e a k s t k št – astro o a, se a
– e a, so ze – So ce, a – L a, sve s a – zvez
a eb e o sve s , osve s e – ozvez e, sve
r sk krass – ž va sk krog, ebes ka ebess k
g a – ebes a krog a, tekoz e sve s e, katere se e
e o a et , ze sta a ot a eta, a etov sta
sz a sta šča – ko g rac e a etov, vo z z
vo čka, Lokastre z – Stre ec, Povo k – o ar,
te e o obe – L e e e, ta erv ta sa
ferte z – rv za kra ec, ark e e so za
e – rk So ca L e t .
„ o tov astro o sk zraz “ so tore osta v ro
ko s v av ost so r š . ato e b o v t ste
čas ze o težko a sat kak s ove sk astro o sk
r s evek; s cer a so takrat več o a sa v at
šč e šč . b te e rv s ove sk e
s k a e t o k 1758–1819 v svo e e ke pra
ke, k so zš e v et 1795, 1796 1797, v re go
vore o ko e ar ve o vk č o stavek o „ rak e
so ca e“. o k se e t otr o
ač ter a sa rv o s ove sk astro o sk
s s repa c L b a ske ov ce 2, 1798; s ka 2 .
2
i j li l i i
i i i ji i e i j j
j j l i j i i -
i e l i l j
jili i
ji e i j j i e
j i i i i li ij j i l j
lj j i i
i l j j i
l i l j j i -
i i i i li i i i -
i ( ) i l i
l j l i i
j il
i li j i l j i i l li i -
ti i t ili (l i - - l i i
- l -l i i l ) l j l
i l j il i j l i i
j il ( li ) i li j l -
i l i il i i l ij
i l i i i t ( li ) i j
j i l i i
i j i l l l j i
l j j i li il il
ji i j il i j i l ij
i i t l j -
i l i i j i
i i i j i j j l i -
i i i i i i l i i
j lj i i i li -
lj j i j i i i -
i i l j i
i li j il i l i
l j j i i i i
j l ( ) ij lj
lj l j -
( j l j ) j j j -
i i i l i ( ) -
l l j i -
j j l i j li l l -
li ( li ) ij l j i i
j jli l i
l i i i j i
l i i ji j i i
l i i i
i li i i i i j li -
i i j i i li j il i
l i i l i i
i i i i li l i -
i i i i i lj j i l i -
i l i i ( ) j li -
ti i i l l i i -
l j lj il -
j i l i j i il i j -
il i l i lj i l i i
i ti i ( l i li )
.
,
, , .
.
. .
, ,
,
.
.
, ,
.
,
.
.
.
,
, .
,
,
.
.
:
,
, , ,
, ,
,
, ,
, ,
,
, , ,
,
,
.
.
;
.
, , ,
.
, ; .
marijan prosen
Slovensko 
astronomsko 
izrazoslovje
•
Presek 39 (2011/2012) 4
•
a s t r o n o m i j a
22
slika 1.
Naslovnica Hipolitovega 
trojezičnega slovarja Dic-
tionarium trilingue (1711), 
kjer najdemo prvi zapis 
slovenskih astronomskih 
izrazov. (Vir: dlib.si.)
slika 2.
Prvi poljudno napisan slovenski astronomski članek, ki ga je 
v Lublanskih novicah objavil Valentin Vodnik. Lahko bi rekli, 
da se je z letom 1798 začela popularizacija astronomije na 
Slovenskem.
njem se že pojavljajo prvi astronomski izrazi v slo-
venščini: komet, planet Venera (Venus), Večernica,
Danica, opazovanje s „svesdnim gledalom“, kakor je
Vodnik imenoval daljnogled (ta Vodnikov izraz za
daljnogled pa se ni udomačil). Članka s takšno ali po-
dobno vsebino potem še dolgo časa ni bilo moč videti
v slovenskem prostoru. Šele leta 1843 je višnjegor-
ski župnik Janez Cigler (1792–1869) napisal drugi
slovenski astronomski spis z naslovom Luna. Izšel
je v Bleiweisovih Novicah (slika 3). V njem Cigler
ne pripoveduje samo o Luni, ampak veliko več. Naj-
demo izraze: svesde, svesdogledzi, nebeshka krogla,
solnze, gledavniki (t. j. daljnogledi); nar blishneji to-
varsh in sosed nashe semlje pa je luna ali mesez.
Slika 1
V slovenščini napisani astronomski članki so si
utrli pot šele v sredini 19. stoletja. V prvi polovici
tega stoletja je bilo objavljenih zelo malo slovenskih
člankov astronomske vsebine, prevladovali so nem-
ško napisani. V drugi polovici stoletja pa so po šte-
vilu slovenski članki daleč prekosili nemške. V 20.
stoletju je bila v začetku rahla suša glede astronom-
skih prispevkov (prva svetovna vojna), pozneje pa je
bilo vse več objav, posebno potem, ko je začela izha-
jati naravoslovna revija Proteus (1933). Izrazoslovje
se je vse bolj urejevalo in utrjevalo.
Slika 2a, 2b, 3a, 3b, 3c
Prvi časopis, v katerem so članki izhajali in kjer
se je tudi oblikovalo slovensko astronomsko izra-
zoslovje, so bile Novice. V Novicah za leto 1847 je
v 16-ih nadaljevanjih izšla prva daljša astronomska
razprava Zvezdoslovje. Napisal jo je župnik Matija
Vertovec (1784–1851) iz Šentvida pri Vipavi. V tej
razpravi, kjer je avtor poljudno obdelal skoraj vso
tedanjo splošno astronomijo, najdemo številne nove
astronomske izraze. V Novice je veliko pisal o astro-
nomskih stvareh tudi sodnik Viljem Ogrinc (1845–
1883) iz Trebnjega. Ker se je odlikoval v dobrem
pisanju, so ga izbrali, da je iz nemške knjige Das
Buch der Natur (Knjiga prirode), avtorja Friedricha
Shoedlerja, prevedel in priredil snopič, ki je obsegal
Astronomijo.
Slika 4
Knjiga Astronomija je izšla leta 1870 (slika 4). Ob-
segala je okoli sto strani ter Lunino in zvezdno karto.
To je bila prva slovensko napisana astronomska knji-
ga. Zaradi še neustaljenega astronomskega izrazo-
slovja je bilo prevajanje zahtevno opravilo. Kljub
temu je bil prevod odličen. Prevajalec je dodal še
svoja dopolnila in slovensko-nemško astronomsko
3
njem se že pojavljajo prvi astronomski izrazi v slo-
venščini: komet, planet Venera (Venus), Večernica,
Danica, opazovanje s „svesdnim gledalom“, kakor je
Vodnik imenoval daljnogled (ta Vodnikov izraz za
daljnogled pa se ni udomačil). Članka s takšno ali po-
dobno vsebin potem še dolgo časa ni b lo moč ideti
slovenskem prostoru. Šele leta 1843 je višnjegor-
ski župnik Janez Cigler (1792–1869) napisal drugi
sl venski astronomski spis z n sl vom Luna. Izšel
je v Bleiweisovih Novicah (slika 3). V njem C gler
ne pripoveduje samo o Luni, amp k veliko več. Naj-
demo izraze: svesde, svesdog dzi, nebeshka krogla,
olnze, gledav iki (t. j. daljnogledi); nar bli hneji to-
varsh in so ed ashe semlje pa je luna ali mesez.
Slika 1
V slovenščini napisani astronomski članki so si
utrli pot šele v sredini 19. stoletja. V prvi polovici
tega stoletja je bilo objavljenih zelo malo slovenskih
člankov astronomske vsebine, prevladovali so nem-
ško napisani. V drugi polovici stoletja pa so po šte-
vilu slove ski čla ki d leč prekosili nemške. V 20.
s o etju je bila v začetku rahla suš glede astr nom-
skih prispevkov (prva svetovna vojna), p znej pa je
bilo vse več bjav, posebno potem, ko je začela izha
jati ravoslovna ev ja Proteus (1933). Izrazoslovje
se je vse bolj urejevalo in utrj valo.
Slika 2a, 2b, 3a, 3b, 3c
Prvi časopis, v katerem so članki izhajali in kjer
se je tudi oblikovalo slovensko astronomsko izra-
zoslovje, so bile Novice. V Novicah za leto 1847 je
v 16-ih nadaljevanjih izšla prva daljša astronomska
razprava Zvezdoslovje. Napisal jo je župnik Matija
Vertovec (1784–1851) iz Šentvida pr Vip vi. V t j
razpravi, kjer je avt r poljudn obdelal skoraj vso
tedanjo splošno astronomijo, najdemo št vilne nov
astronomske izr ze. V Novice je ve iko pisal o astro-
nomskih stvareh tudi sodnik Viljem Ogri c (1845–
1883) iz Trebnjega. Ker se je odlikoval v dobrem
pisanju, so ga izbrali, da je iz nemške knjige Das
Buch der Natur (Knjiga prirode), avt rja Friedricha
Shoedlerja, preved l in priredil snopič, ki je bsegal
Astronomijo.
Slika 4
Knjiga Astronomija je izšla leta 1870 (slika 4). Ob-
segala je okoli sto strani ter Lunino in zvezdno karto.
To je bila prva slovensko napisana astronomska knji-
ga. Zaradi še neustaljenega astronomskega izrazo-
slovja je bilo prevajanje zahtevno opravilo. Kljub
temu je bil prevod odličen. Prevajalec je dodal še
voja dopoln la in slovensko- emško astronomsko
3
njem se že pojavljajo prvi astronomski izrazi v slo-
venščini: komet, planet Venera (Venus), Večernica,
Danica, opazovanje s „svesdnim gledalom“, kakor je
Vodnik imenoval daljnogled (ta Vodnikov izraz za
daljnogled pa se ni udomačil). Članka s takšno ali po-
dobno vsebino potem še dolgo časa ni bilo moč videti
v slovenskem prostoru. Šele leta 1843 je višnjegor-
ski župnik Janez Cigler (1792–1869) napisal drugi
slovenski astronomski spis z naslovom Luna. Izšel
je v Bleiweisovih Novicah (slika 3). V njem Cigler
ne pripoveduje samo o Luni, ampak veliko več. Naj-
demo izraze: svesde, svesdogledzi, nebeshka krogla,
solnze, gledavniki (t. j. daljnogledi); nar blishneji to-
varsh in sosed nashe semlje pa je luna ali mesez.
Slika 1
V slovenščini napisani astronomski članki so si
utrli pot šele v sredini 19. stolet a. V prvi polovici
tega stoletja je bilo objavljenih zelo malo slovenskih
člankov astronomske vsebine, prevl ovali so nem-
ško napisani. V drugi polovici toletja pa o p šte-
vilu slovenski članki daleč prekosili nemške. V 20.
stoletju je bila v začetku rahla suša glede astronom-
skih prispevkov (prva svetovna vojna), pozneje pa je
bilo vse več objav, posebno potem, ko je začela izha-
jati naravoslovna revija Proteus (1933). Izrazoslovje
se je vse bolj urejevalo in utrjevalo.
Slika 2a, 2b, 3a, 3b, 3c
Prvi časopis, v katerem so članki izhajali in kjer
se je tudi oblikovalo slovensko astronomsko izra-
zoslovje, so bile Novice. V Novicah za leto 1847 je
v 16-ih nadaljevanjih izšla prva daljša astronomska
razprava Zvezdoslovje. Napisal jo je župnik Matija
Vertovec (1784–1851) iz Šentvida pri Vipavi. V tej
razpravi, kjer je avtor poljudno obdelal skoraj vso
tedanjo splošno astronomijo, najdemo številne nove
astronomske izraze. V Novice je veliko pisal o astro-
nomskih stvareh tudi sodnik Viljem Ogrinc (1845–
1883) iz Trebnjega. Ker se je odlikoval v dobrem
pisanju, so ga izbrali, da je iz nemške knjige Das
Buch der Natur (Knjiga prirode), avtorja Friedricha
Shoedlerja, prevedel in priredil snopič, ki je obsegal
Astronomijo.
ika 4
Knjiga Astronomija je izšla leta 1870 (slika 4). Ob-
segala je okoli sto strani ter Lunino in zvezdno karto.
To je bila prva slovensko napisana astronomska knji-
ga. Zaradi še neustaljenega astronomskega izrazo-
slovja je bilo prevajanje zahtevno opravilo. Kljub
temu je bil prevod odličen. Prevajalec je dodal še
svoja dopolnila in slovensko-nemško astronomsko
3
njem se ž pojavljajo prvi astronomski izrazi v slo
venščini: komet, planet Ve era (Venus), Več rnica
D ica, opazovanje s „svesdnim gledal “, kakor je
Vod ik imenoval daljn gled (ta Vodnikov izraz za
daljnogl d pa se ni udoma il). Članka s takšno ali po-
d bno vs bino potem še dolgo časa ni bilo moč videti
v slovenskem prostoru. Šele leta 1843 je višnjegor-
ski župnik Janez Cigler (1792–1869) napisal drugi
slovenski astronomski spis z naslovom Luna. Izšel
j v Bl iweisovih Novicah (slik 3). V njem Cigler
ne pripoveduje samo o Luni, ampak veliko več. Naj-
demo izraze: svesde, svesdogledzi, nebeshka krogla,
solnze, gledavniki (t. j. daljnogledi); nar blishneji to-
varsh in sosed nashe semlje pa je luna ali mesez.
Slika 1
V slovenščini napisani astron mski članki so si
ut li pot šele v sredini 19. s oletja. V prvi polovici
tega stoletja je bilo objavljenih zelo malo lovenskih
člankov astro mske vsebine, prevladovali so em-
ško napisani. V drugi polovici stoletja a so po šte
vilu lovenski članki daleč prekosili nemške. V 20.
stoletju je bila v z četku rahla suša glede astr no -
skih prispevkov (p va svetovna vojna), poz eje pa je
bilo vs več objav, posebno pot m, ko je začela izha-
jati naravoslovna r v ja Proteus (1933). Izrazoslovje
se je vse b lj urejevalo i utrjeval .
l 2a, 2b, 3a, 3b, 3c
Prv časopis, v katerem so čl nki izhajali in kjer
je tudi blik valo slovensko astronomsko izra-
z slovje, so bile Novice. V Novicah za leto 1847 je
v 16-ih nadaljevanjih izšla prva daljša astronomska
razprava Zvezdoslovje. Napisal j je župnik Matija
Vertov c (1784–1851) iz Šentvida pri Vipavi. V tej
razpravi, kjer je avtor poljud o obdel l skoraj vs
tedanjo splošno astronomijo, najdemo številne nove
astronomske izraze. V Novice je veliko pisal o astro-
nomskih stvareh tudi sodnik Viljem Ogrinc (1845–
1883) iz Trebnjega. Ker se je odlikoval v dobrem
pisanju, so ga izbrali, da je iz nemške knjige Das
Buch der Natur (Knjiga prirode), avtorja Friedricha
Shoedlerja, prevedel in priredil snopič, ki je obsegal
Astronomijo.
Slika 4
Knjiga Astronomija je izšla leta 1870 (slika 4). Ob-
segala je okoli sto strani ter Lunino in zvezdno karto.
To je bila prva slovensko napisana astronomska knji-
ga. Zaradi še neustaljenega astronomskega izrazo-
slovja je bilo prevajanje zahtevno opravilo. Kljub
temu je bil prevod odličen. Prevajalec je dodal še
svoja dopolnila in slovensko-nemško astronomsko
3
Kako in kje so se kovali slovenski astronomski
izrazi in z njimi naše astronomsko pisanje? Kdaj se
je to dogajalo? Navedimo nekaj primerov iz zgodo-
vine slovenskega astronomskega izrazoslovja.
Omejili se bomo na naše prve astronomske spise,
knjige, učbenike, kjer najdemo prvotne izraze. V
poznejših spisih in publikacijah je izrazoslovje že
vse bolj urejeno in čisto.
Zametke astronomskega izrazoslovja v našem jeziku
zasledimo v začetku 18. stoletja. Takrat je kapucin-
ski pridigar, pater Hipolit Novomeški, s pravim ime-
nom Adam Gaiger (1667–1722), zapisal prve izraze
za določene astronomske pojme v slovenščini. Kako
se je to zgodilo?
Hipolit je spisal trojezični slovar v dveh delih Dic-
tionarium trilingue (latinsko-nemško-slovenski in
nemško-slovensko-latinski slovar). Slovar je ostal v
rokopisu, leta 1711 je bila natisnjena naslovnica, ki
se je ohranila do danes (slika 1). Hipolit je v slo-
venščino prevedel tudi ilustrirano enciklopedijo za
otroke in mladino Orbis Pictus (Svet v slikah), ki jo
je napisal znameniti pedagog Jan Amos Komensky
in je izšla leta 1658. Zelo obsežnemu trojezičnemu
slovarju je Hipolit priložil pet dodatkov. Eden med
njimi je bil tudi prevod že omenjene enciklopedije
Orbis Pictus. V tem prevodu so v poglavju o nebe-
snih telesih na treh straneh navedeni pomembnejši
oziroma osnovni astronomski pojmi, najprej v latin-
ščini in nemščini, nato pa še tudi v slovenščini. Za
zdaj velja, da te tri strani Hipolitovega prevoda pred-
stavljajo prvi urejeni tekst astronomskih izrazov, na-
pisanih v slovenskem jeziku.
Hipolit je za številne izraze našel dobre rešitve.
Poglejmo nekaj tipičnih izrazov:
svejsdogleda kunsht (kunšt) – astronomija, semlja
– Zemlja, sonze – Sonce, luna – Luna, svejsda – zvez-
da (nebu je polnu svejsd), osvejsdje – ozvezdje, sve-
rinski krass – živalski krog, nebeshka (nebess) ku-
gla – nebesna krogla, tekozhe svejsde, katere se ime-
nujejo planeti, zejsta ali pot planeta, planetov sta-
liszha (stališča) – konfiguracije planetov, Dvojzhizhi
— Dvojčka, Lokastrejliz – Strelec, Povodnik – Vodnar,
te lune podobe – Lunine mene, ta pervi in ta sajdni
fertelz – prvi in zadnji krajec, marknenie sonza inu
lune – mrki Sonca in Lune itn.
„Hipolitovi astronomski izrazi“ so torej ostali v ro-
kopisu in v javnost niso prišli. Zato je bilo v tistem
času zelo težko napisati kak slovenski astronomski
prispevek; sicer pa so takrat večinoma pisali v latin-
ščini in nemščini. Kljub temu je prvi slovenski pe-
snik Valentin Vodnik (1758–1819) v svoje Velike pra-
tike, ki so izšle v etih 1795, 1796 in 1797, v predg
ore o koledarju vedno vključil odstavek o „mrakne-
nju sonca in lune“. Vodnik se je tudi potrudil in oju-
načil ter napisal prvi poljudni slovensk astronomski
spis O r patici (Lublanske novice 2, 1798; slika 2). V
2
presek 39 (2011/2012) 4
•
a s t r o n o m i j a
23
slika 4.
Naslovnica Knjige priro-
de, kjer je v drugem sno-
piču poleg Kemije izšla 
tudi Astronomija (1870), 
prva slovenska astro-
nomska knjiga.
slika 3.
Ciglerjev članek o Luni
•
njem se že pojavljajo prvi astronomski izrazi v slo-
venščini: komet, planet Venera (Venus), Večernica,
Danica, opazovanje s „svesdnim gledalom“, kakor je
Vodnik imenoval daljnogled (ta Vodnikov izraz za
daljnogled pa se ni udomačil). Članka s takšno ali po-
dobno vsebino potem še dolgo časa ni bilo moč videti
v slovenskem prostoru. Šele leta 1843 je višnjegor-
ski župnik Janez Cigler (1792–1869) napisal drugi
slovenski astronomski spis z naslovom Luna. Izšel
je v Bleiweisovih Novicah (slika 3). V njem Cigler
ne pripoveduje samo o Luni, ampak veliko več. Naj-
demo izraze: svesde, svesdogledzi, nebeshka krogla,
solnze, gledavniki (t. j. daljnogledi); nar blishneji to-
varsh in sosed nashe semlje pa je luna ali mesez.
Slika 1
V slovenščini napisani astronomski članki so si
utrli pot šele v sredini 19. stoletja. V prvi polovici
tega stoletja je bilo objavljenih zelo malo slovenskih
člankov astronomske vsebine, prevladovali so nem-
ško napisani. V drugi polovici stoletja pa so po šte-
vilu slovenski članki daleč prekosili nemške. V 20.
stoletju je bila v začetku rahla suša glede astronom-
skih prispevkov (prva svetovna vojna), pozneje pa je
bilo vse več objav, posebno potem, ko je začela izha-
jati naravoslovna revija Proteus (1933). Izrazoslovje
se je vse bolj urejevalo in utrjevalo.
Slika 2a, 2b, 3a, 3b, 3c
Prvi časopis, v katerem so članki izhajali in kjer
se je tudi oblikovalo slovensko astronomsko izra-
zoslovje, so bile Novice. V Novicah za leto 1847 je
v 16-ih nadaljevanjih izšla prva daljša astronomska
razprava Zvezdoslovje. Napisal jo je župnik Matija
Vertovec (1784–1851) iz Šentvida pri Vipavi. V tej
razpravi, kjer je avtor poljudno obdelal skoraj vso
tedanjo splošno astronomijo, najdemo številne nove
astronomske izraze. V Novice je veliko pisal o astro-
nomskih stvareh tudi sodnik Viljem Ogrinc (1845–
1883) iz Trebnjega. Ker se je odlikoval v dobrem
pisanju, so ga izbrali, da je iz nemške knjige Das
Buch der Natur (Knjiga prirode), avtorja Friedricha
Shoedlerja, prevedel in priredil snopič, ki je obsegal
Astronomijo.
Slika 4
Knjiga Astronomija je izšla leta 1870 (slika 4). Ob-
segala je okoli sto strani ter Lunino in zvezdno karto.
To je bila prva slovensko napisana astronomska knji-
ga. Zaradi še neustaljenega astronomskega izrazo-
slovja je bilo prevajanje zahtevno opravilo. Kljub
temu je bil prevod odličen. Prevajalec je dodal še
svoja dopolnila in slovensko-nemško astronomsko
3
njem se že pojavljajo prvi astronomski izrazi v slo-
venščini: komet, planet Venera (Venus), Večernica,
Danica, opazovanje s „svesdnim gledalom“, kakor je
Vodnik imenoval daljnogled (ta Vodnikov izraz za
daljnogled pa se ni udomačil). Članka s takšno ali po-
dobno vsebin potem še dolgo časa ni b lo moč ideti
slovenskem prostoru. Šele leta 1843 je višnjegor-
ski župnik Janez Cigler (1792–1869) napisal drugi
sl venski astronomski spis z n sl vom Luna. Izšel
je v Bleiweisovih Novicah (slika 3). V njem C gler
ne pripoveduje samo o Luni, amp k veliko več. Naj-
demo izraze: svesde, svesdog dzi, nebeshka krogla,
olnze, gledav iki (t. j. daljnogledi); nar bli hneji to-
varsh in so ed ashe semlje pa je luna ali mesez.
Slika 1
V slovenščini napisani astronomski članki so si
utrli pot šele v sredini 19. stoletja. V prvi polovici
tega stoletja je bilo objavljenih zelo malo slovenskih
člankov astronomske vsebine, prevladovali so nem-
ško napisani. V drugi polovici stoletja pa so po šte-
vilu slove ski čla ki d leč prekosili nemške. V 20.
s o etju je bila v začetku rahla suš glede astr nom-
skih prispevkov (prva svetovna vojna), p znej pa je
bilo vse več bjav, posebno potem, ko je začela izha
jati ravoslovna ev ja Proteus (1933). Izrazoslovje
se je vse bolj urejevalo in utrj valo.
Slika 2a, 2b, 3a, 3b, 3c
Prvi časopis, v katerem so članki izhajali in kjer
se je tudi oblikovalo slovensko astronomsko izra-
zoslovje, so bile Novice. V Novicah za leto 1847 je
v 16-ih nadaljevanjih izšla prva daljša astronomska
razprava Zvezdoslovje. Napisal jo je župnik Matija
Vertovec (1784–1851) iz Šentvida pr Vip vi. V t j
razpravi, kjer je avt r poljudn obdelal skoraj vso
tedanjo splošno astronomijo, najdemo št vilne nov
astronomske izr ze. V Novice je ve iko pisal o astro-
nomskih stvareh tudi sodnik Viljem Ogri c (1845–
1883) iz Trebnjega. Ker se je odlikoval v dobrem
pisanju, so ga izbrali, da je iz nemške knjige Das
Buch der Natur (Knjiga prirode), avt rja Friedricha
Shoedlerja, preved l in priredil snopič, ki je bsegal
Astronomijo.
Slika 4
Knjiga Astronomija je izšla leta 1870 (slika 4). Ob-
segala je okoli sto strani ter Lunino in zvezdno karto.
To je bila prva slovensko napisana astronomska knji-
ga. Zaradi še neustaljenega astronomskega izrazo-
slovja je bilo prevajanje zahtevno opravilo. Kljub
temu je bil prevod odličen. Prevajalec je dodal še
voja dopoln la in slovensko- emško astronomsko
3
izrazos ovje. Šte ilo sl venskih astronomskih izra
zov se je zelo povečalo, veliko se jih je ustalilo in
ohranilo prav do d našnjega časa, npr. odso(l)nčje,
priso(l)nčje, enak nočje, pomladišče, nadglavišče (za
zenit), plima in oseka, mrk, (s)ozvezdje, utrinek, dvo-
zvezdje, meglenica (za galaksijo) itn. Za Sonce je bil
uveden izraz solnce. Ta izraz (z vsemi njegovimi iz-
peljankami) se je vlekel vse do leta 1934, ko ga je
ukinil dr. Lavo Čermelj v svojem učbeniku Kozmo-
grafija za višje razrede srednjih šol.
Kozmografija je bila prvi uradni učbenik astrono-
mije na Slovenskem. Učbenik je imel bogato vsebino,
bil pa je tudi terminološko dovršeno delo. Obravna-
val je vse glavne poteze klasične astronomije (zvez-
dno nebo, orientacijo na njem, koordinatni sistemi,
gravitacija, navidezno in pravo gibanje nebesnih te-
les) in že osnove astrofizikalnih načinov preučeva-
nja vesoljskih teles ter kozmogonijo (Kant- Laplace-
ova, Jeansova hipoteza). Priložena mu je bila vrtljiva
zvezdna karta. Značilno za ta učbenik je, da so v
njem vesoljska telesa Zemlja, Luna in Sonce pisana
z veliko začetnico (lastna imena!), s čimer je imel dr.
Čermelj predhodno kar precej bitk z jezikoslovci, ki
so temu nasprotovali. Toda on je vztrajal, da se ta
vesoljska telesa pišejo z veliko začetnico in uspel.
Zdaj je to splošno privzeto. Čermeljev učbenik je bil
v uporabi skoraj štiri desetletja in še sedaj ga je z
veseljem prebirati. Leta 1971 smo v Sloveniji dobili
drugi uradni srednješolski učbenik Astronomija za
4. razred gimnazije, avtorjev Franceta Avsca in Mari-
jana Prosena.
Slika 5
Ta učbenik je še zdaj v veljavi. Ima bogato in
tudi moderno vsebino, ki si jo lahko ogledate, saj
učbenik lahko kupite. Terminološko se naslanja na
že privzete oziroma ustaljene astronomske izraze v
preteklosti, uvaja pa tudi precej novih. Vsega ne
moremo naštevati, omenili bomo samo nekaj tipič-
nih. Tako uvaja izraz Sončev, da ga ločimo od izraza
sončni (npr. Sončev mrk namesto prejšnjega sonč-
nega mrka; Sončev veter; Sončeva atmosfera). V uč-
beniku je beseda Galaksija napisana z veliko zače-
tnico, če gre za naš zvezdni sistem, če ne, pa z malo
začetnico. Učbenik ostro loči pojma Galaksija in Rim-
ska cesta, ki je videz naše Galaksije na nebu. Na-
tančno opredeli sij vesoljskega telesa z gostoto sve-
tlobnega toka, ki z vesoljskega telesa pade na Ze-
mljo, definira tudi izsev zvezde kot oddani svetlobni
tok zvezde. Do tega časa so npr. za sij zvezde upo-
rabljali različna imena, prav tako za izsev zvezde;
učbenik pa je poenotil izraz za posamezni pojem
oziroma količino ter naredil red. Še bi lahko našte-
vali podrobnosti v slovenskem astronomskem izra-
zoslovju oziroma pisanju, vendar bodi to dovolj.
V članku smo želeli na kratko prikazati, kje in
kdaj so večinoma nastajali in bili nato splošno pri-
vzeti astronomski izrazi, ki jih dandanes v sloven-
ščini uporabljamo v govoru in pri pisanju. Zato smo
4
izrazoslovje. Število slovenskih astronomskih izra-
zov se je zelo povečalo, veliko se jih je ustalilo in
ohranilo prav do današnjega časa, npr. odso(l)nčje,
priso(l)nčje, enakonočje, pomladišče, nadglavišče (za
zenit), plima in oseka, mrk, (s)ozvezdje, utrinek, dvo-
zvezdje, meglenica (za galaksijo) itn. Za Sonce je bil
uveden izraz solnce. T izraz (z vsemi njegovimi iz-
peljankami) se je vlekel se do leta 1934, ko ga je
ukinil dr. Lavo Čermelj v svojem učbeniku Kozmo-
grafija za višje razrede srednjih šol.
Kozmografija je bila prvi uradni učbenik astrono-
mije na Slovenskem. Učbenik je imel bogato vsebino,
bil pa je tudi terminološko dovršeno delo. Obravna-
val je vse glavne poteze klasične astronomije (zvez-
dno nebo, orientacijo na njem, koordinatni sistemi,
gravitacija, navidezno in pravo gibanje nebesnih te-
les) in že osnove astrofizikalnih načinov preučeva-
nja vesoljskih teles ter kozmogonijo (Kant- Laplace-
ova, Jeansova hipoteza). Priložena mu je bila vrtljiva
zvezdna karta. Značilno za ta učbenik je, da so v
njem vesoljska telesa Zemlja, Luna in Sonce pisana
z veliko začetnico (lastna imena!), s čimer je imel dr.
Čermelj predhodno kar precej bitk z jezikoslovci, ki
so temu nasprotovali. Toda on je vztrajal, da se ta
vesoljska telesa pišejo z veliko začetnico in uspel.
Zdaj je to splošno privzeto. Čermeljev učbenik je bil
v uporabi skoraj štiri desetletja in še sedaj ga je z
veseljem prebirati. Leta 1971 smo v Sloveniji dobili
drugi uradni srednješolski učbenik Astronomija za
4. razred gimnazije, avtorjev Franceta Avsca in Mari-
jana Prosena.
Slika 5
Ta učbenik je še zdaj v veljavi. Ima bogato in
tudi moderno vsebino, ki si jo lah o ogledate, saj
učbenik lahko kupite. Terminološko se naslanja na
že privzete oziroma ustaljene astronomske izraze v
preteklosti, uvaja pa tudi precej novih. Vsega ne
moremo naštevati, omenili bomo samo nekaj tipič-
nih. Tako uvaja izraz Sončev, da ga ločimo od izraza
sončni (npr. Sončev mrk namesto prejšnjega sonč-
nega mrka; Sončev veter; Sončeva atmosfera). V uč-
beniku je beseda Galaksija napisana z veliko zače-
tnico, če gre za naš zvezdni sistem, če ne, pa z malo
začetnico. Učbenik ostro loči pojma Galaksija in Rim-
ska cesta, ki je videz naše Galaksije na nebu. Na-
tančno opredeli sij vesoljskega telesa z gostoto sve-
tlobnega toka, ki z vesoljskega telesa pade na Ze-
mljo, definira tudi izsev zvezde kot oddani svetlobni
tok zvezde. Do tega časa so npr. za sij zvezde upo-
rabljali različna imena, prav tako za izsev zvezde;
učbenik pa je poenotil izraz za posamezni pojem
oziroma količino ter naredil red. Še bi lahko našte-
vali podrobnosti v slovenskem astronomskem izra-
zoslovju oziroma pisanju, vendar bodi to dovolj.
V članku smo želeli na kratko prikazati, kje in
kdaj so večinoma nastajali in bili nato splošno pri-
vzeti astronomski izrazi, ki jih dandanes v sloven-
ščini uporabljamo v govoru in pri pisanju. Zato smo
4
Presek 39 (2011/2012) 4
a s t r o n o m i j a
24
•
izrazoslovje. Število slovenskih astronomskih izra-
zov se je zelo povečalo, veliko se jih je ustalilo in
ohranilo prav do današnjega časa, npr. odso(l)nčje,
priso(l)nčje, enakonočje, pomladišče, nadglavišče (za
zenit), plima in oseka, mrk, (s)ozvezdje, utrinek, dvo-
zvezdje, meglenica (za galaksijo) itn. Za Sonce je bil
uveden izraz solnce. Ta izraz (z vsemi njegovimi iz-
peljankami) se je vlekel vse do leta 1934, ko ga je
ukinil dr. Lavo Čermelj v svojem učbeniku Kozmo-
grafija za višje razrede srednjih šol.
Kozmografija je bila prvi uradni učbenik astrono-
mije na Slovenskem. Učbenik je imel bogato vsebino,
bil pa je tudi terminološko dovršeno delo. Obravna-
val je vse glavne poteze klasične astronomije (zvez-
dno nebo, orientacijo na njem, koordinatni sistemi,
gravitacija, navidezno in pravo gibanje nebesnih te-
les) in že osnove astrofizikalnih načinov preučeva-
nja vesoljskih teles ter kozmogonijo (Kant- Laplace-
ova, Jeansova hipoteza). Priložena mu je bila vrtljiva
zvezdna karta. Značilno za ta učbenik je, da so v
njem vesoljska telesa Zemlja, Luna in Sonce pisana
z veliko začetnico (lastna imena!), s čimer je imel dr.
Čermelj predhodno kar precej bitk z jezikoslovci, ki
so temu nasprotovali. Toda on je vztrajal, da se ta
vesoljska telesa pišejo z veliko začetnico in uspel.
Zdaj je to splošno privzeto. Čermeljev učbenik je bil
v uporabi skoraj štiri desetletja in še sedaj ga je z
veseljem prebirati. Leta 1971 smo v Sloveniji dobili
drugi uradni srednješolski učbenik Astronomija za
4. razred gimnazije, avtorjev Franceta Avsca in Mari-
jana Prosena.
Slika 5
Ta učbenik je še zdaj v veljavi. Ima bogato in
tudi moderno vsebino, ki si jo lahko ogledate, saj
učbenik lahko kupite. Terminološko se naslanja na
že privzete oziroma ustaljene astronomske izraze v
preteklosti, uvaja pa tudi precej novih. Vsega ne
moremo naštevati, omenili bomo samo nekaj tipič-
nih. Tako uvaja izraz Sončev, da ga ločimo od izraza
sončni (npr. Sončev mrk namesto prejšnjega sonč-
nega mrka; Sončev veter; Sončeva atmosfera). V uč-
beniku je beseda Galaksija napisana z veliko zače-
tnico, če gre za naš zvezdni sistem, če ne, pa z malo
začetnico. Učbenik ostro loči pojma Galaksija in Rim-
ska cesta, ki je videz naše Galaksije na nebu. Na-
tančno opredeli sij vesoljskega telesa z gostoto sve-
tlobnega toka, ki z vesoljskega telesa pade na Ze-
mljo, definira tudi izsev zvezde kot oddani svetlobni
tok zvezde. Do tega časa so npr. za sij zvezde upo-
rabljali različna imena, prav tako za izsev zvezde;
učbenik pa je poenotil izraz za posamezni pojem
oziroma količino ter naredil red. Še bi lahko našte-
vali podrobnosti v slovenskem astronomskem izra-
zoslovju oziroma pisanju, vendar bodi to dovolj.
V članku smo želeli na kratko prikazati, kje in
kdaj so večinoma nastajali in bili nato splošno pri-
vzeti astronomski izrazi, ki jih dandanes v sloven-
ščini uporabljamo v govoru in pri pisanju. Zato smo
4
izrazoslovje. Število slovenskih astronomskih izra-
zov se je zelo povečalo, veliko se jih je ustalilo in
ohranilo prav do današnjega časa, npr. odso(l)nčje,
priso(l)nčje, enakonočje, pomladišče, nadglavišče (za
zenit), plima in oseka, mrk, (s)ozvezdje, utrinek, dvo-
zvezdje, meglenica (za galaksijo) itn. Za Sonce je bil
uveden izraz solnce. Ta izraz (z vsemi njegovimi iz-
peljankami) se je vlekel vse do leta 1934, ko ga je
ukinil dr. Lavo Čermelj v svojem učbeniku Kozmo-
grafija za višje razrede srednjih šol.
Kozmografija je bila prvi uradni učbenik astrono-
mije na Slovenskem. Učbenik je imel bogato vsebino,
bil pa je tudi terminološko dovršeno delo. Obravna-
val je vse glavne poteze klasične astronomije (zvez-
dno nebo, orientacijo na njem, koordinatni sistemi,
gravitacija, navidezno in pravo gibanje nebesnih te-
les) in že osnove astrofizikalnih načinov preučeva-
nja vesoljskih teles ter kozmogonijo (Kant- Laplace-
ova, Jeansova hipoteza). Priložena mu je bila vrtljiva
zvezdna karta. Značilno za ta učbenik je, da so v
njem vesoljska telesa Zemlja, Luna in Sonce pisana
z veliko začetnico (lastna imena!), s čimer je imel dr.
Čermelj predhodno kar precej bitk z jezikoslovci, ki
so temu nasprotovali. Toda on je vztrajal, da se ta
vesoljska telesa pišejo z veliko začetnico in uspel.
Zdaj je to splošno privzeto. Čermeljev učbenik je bil
v uporabi skoraj štiri desetletja in še sedaj ga je z
veseljem prebirati. Leta 1971 smo v Sloveniji dobili
drugi uradni srednješolski učbenik Astronomija za
4. razred gimnazije, avtorjev Franceta Avsca in Mari-
jana Prosena.
Slika 5
Ta učbenik je še zdaj v veljavi. Ima bogato in
tudi moderno vsebino, ki si jo lahko ogledate, saj
učbenik lahko kupite. Terminološko se naslanja na
že privzete oziroma ustaljene astronomske izraze v
preteklosti, uvaja pa tudi precej novih. Vsega ne
moremo naštevati, omenili bomo samo nekaj tipič-
nih. Tako uvaja izraz Sončev, da ga ločimo od izraza
sončni (npr. Sončev mrk namesto prejšnjega sonč-
nega mrka; Sončev veter; Sončeva atmosfera). V uč-
beniku je beseda Galaksija napisana z veliko zače-
tnico, če gre za naš zvezdni sistem, če ne, pa z malo
začetnico. Učbenik ostro loči pojma Galaksija in Rim-
ska cesta, ki je videz naše Galaksije na nebu. Na-
tančno opredeli sij vesoljskega telesa z gostoto sve-
tlobnega toka, ki z vesoljskega telesa pade na Ze-
mljo, definira tudi izsev zvezde kot oddani svetlobni
tok zvezde. Do tega časa so npr. za sij zvezde upo-
rabljali različna imena, prav tako za izsev zvezde;
učbenik pa je poenotil izraz za posamezni pojem
oziroma količino ter naredil red. Še bi lahko našte-
vali podrobnosti v slovenskem astronomskem izra-
zoslovju oziroma pisanju, vendar bodi to dovolj.
V članku smo želeli na kratko prikazati, kje in
kdaj so večinoma nastajali in bili nato splošno pri-
vzeti astronomski izrazi, ki jih dandanes v sloven-
ščini uporabljamo v govoru in pri pisanju. Zato smo
4
izra oslovj . Število slovenskih astronomskih izra-
zov se je zelo pov čalo, veliko se jih je ustalilo in
ohra ilo prav do današnjega časa, npr. odso(l)nčje,
priso(l)nčje, enakonočje, pomladišče, nadglavišče (za
zenit), plima in oseka, mrk, (s)ozvezdje, utrinek, dvo-
zvezdje, meglenica (z galaksijo) itn. Za Sonce je bil
uveden izraz solnce. Ta izraz (z vsemi njegovim iz-
peljankami) se je vlekel vse do l ta 1934, ko ga je
ukinil dr. L o Čermelj v svojem učbeniku Kozmo
grafija za višj razrede srednjih š l.
Kozmografija j bila prvi uradni učbe ik astrono
mije a Slove sk m. Učbenik je imel bogato vsebino,
bil pa je tudi terminološko d vršen delo. Obravna
val je vse glavne poteze klasične astronomije (zvez-
dno nebo, orientacijo a njem, koordinatni sistemi,
gravitacija, navidezno in pravo gibanje neb sn h te-
les) in že osnove astrofizikal ih nacinov preučeva-
nja vesoljskih teles ter kozmogonijo (Kant- Laplace-
ova, Jeansova hipoteza). Priložena mu je bila vrtljiv
zvezdna karta. Značilno za ta učbenik je, da o v
njem vesoljska telesa Z mlja, Luna in Sonce pisana
z veliko začetnico (lastna im na!), s čimer je imel dr.
Č rmelj predhodno kar precej bitk z jezikoslovci, k
so temu nasprotovali. Toda on je vztrajal, da se t
vesoljska teles pišejo z veliko začetnico in uspel.
Zdaj je to splošno privzeto. Čermeljev učbenik je bil
v uporabi skoraj štiri desetletja in še sedaj ga je z
veseljem prebirati. Leta 1971 smo v Sloveniji dobili
drugi uradni srednješolski učbenik Astronomija za
4. razred gimnazije, avtorjev Franceta Avsca in Mari-
jana Prosena.
Slika 5
Ta učbenik je še zdaj v veljavi. Ima boga o in
tudi moderno vsebino, ki si jo lahko ogledate, saj
učbe k lahko kupite. Terminološko se asl nja na
ž privzete oziroma ustaljene astronomske izraze v
preteklosti, uvaja pa tudi precej ovih. Vsega ne
moremo naštevati, omenili bomo samo nekaj tipič-
nih. Tak uvaja izraz Sončev, da g ločimo od izraza
ončni (npr. Sončev mrk namesto prejšnjega sonč
nega mrka; Sončev ter; Sončeva atmosfera). V uč
beniku je beseda Galaksija napisana z veliko zač
tnico, č gre za naš zvezdni sistem, če ne, pa z malo
začetnico. Učbenik ostro loči pojma Galaksija in Rim
ska cesta, ki je vid z naše Galaksije na nebu. Na-
tančno o red li sij vesoljskega telesa z gostoto sve-
tlobneg t ka, ki z vesoljskega tel sa pade na Z
mljo, definira tudi izse zvezde ko ddani svetlobni
tok z ezde. Do tega časa so pr. za s j zvezde upo-
rabljali različna im na, prav ta za izsev zvezde;
učbenik pa je poe otil izraz za posamezni pojem
o iroma količino ter naredil red. Še bi lahko našte
vali podrobnosti v slovenskem astronomskem izra-
zoslovju oziroma pisanju, vendar bodi to dovolj.
V članku smo želeli na kratko prikazati, kje in
kdaj so večinoma nastajali in bili nato splošno pri-
vzeti astronomski izrazi, ki jih dandanes v sloven-
ščini uporabljamo v govoru in pri pisanju. Zato smo
4
se zaustavili le pri najpomembnejših delih, kjer so se
izoblikovali naši astronomski izrazi. Danes lahko re-
čemo, da je naše astronomsko izrazoslovje zgledno
urejeno. Zasluge za to imajo tudi drugi pisci astro-
nomskih vsebin. Eni naredijo glede izrazoslovja več,
drugi manj, vsak pa po svoje doda delček k mozaiku
velike zgradbe naše astronomije.
Slika 6
Seveda se slovenski astronomski izrazi še kujejo v
številnih avtorsko napisanih astronomskih knjigah,
prevodih, leksikonih, člankih v revijah in dnevnem
časopisju, tako tudi v Preseku in predvsem v prvi
slovenski astronomski reviji Spiki. Posebno pa so
pozorni na naše astronomsko izrazoslovje na naših
univerzah, kjer profesorji študentom posredujejo
najmodernejša poglavja iz astronomije in se tako sre-
čujejo z vedno novimi strokovnimi izrazi. Naše astro-
nomsko izrazoslovje se bo še nadalje razvijalo in
oblikovalo pač v skladu s svetovnim napredkom
astronomije. Tako je tudi prav.
5
e zau tavili le pri najpomembnejših delih, kjer so e
izoblikovali aši i izrazi. Danes lahko re-
čemo, d je naše astronomsko izrazoslovje zgledn
urejeno. Zasluge za to im jo tudi drugi pisci astro-
nomskih vsebi . Eni naredijo glede izrazoslovj več,
drugi manj, vsak pa po svoje doda e ček k mozaiku
veli e zgradbe naše astronomij .
Slika 6
Seveda se slovenski astronomski izrazi še kujejo v
številnih avtorsko napisanih astronomskih knjigah,
prevodih, leksikonih, člankih v revijah in dnevnem
časopisju, tako tudi v Preseku in predvsem v prvi
slovenski astronomski reviji Spiki. Posebno pa so
pozorni na naše astronomsko izrazoslovje na naših
univerzah, kjer profesorji študentom posredujejo
najmodernejša poglavja iz astronomije in se tako sre-
čujejo z vedno novimi strokovnimi izrazi. Naše astro-
nomsko izrazoslovje se bo še nadalje razvijalo in
oblikovalo pač v skladu s svetovnim napredkom
astronomije. Tako je tudi prav.
5
slika 5.
Naslovnic  prvega slo
venskega srednješo ske-
ga učb ni a
slika 6.
Začetna stran v „Ogrin-
čevi Astronomiji“
www.presek.si
presek 39 (2011/2012) 4
25
r a č u n a l n i š t v o
Imate odlično idejo za novo računalniško igrico,
pa ne veste, kako bi jo ustvarili? Nimate nika-
kršnih izkušenj s programiranjem? Programsko
orodje Kodu Game Lab je pravi odgovor na vaše že-
lje. Uporabniku omogoča prijazen pristop do pro-
gramiranja iger, ki je tako preprost, da ga lahko
razumejo vse generacije.
Kodu je vizualni programski jezik, ki je namenjen
predvsem ustvarjanju računalniških iger. Namesto
tipkanja programske kode imajo uporabniki za gra-
dnjo iger na voljo vizualne elemente. Je preprost za
uporabo, saj v celoti temelji na ikonah, ki nadome-
ščajo marsikomu zapleten programski jezik. Zasno-
van je tako, da je dostopen celo otrokom in lahko v
njem uživa vsakdo.
Slika 1
Vmesnik sistema, ki temelji na ikonah, omogoča
hitro izgradnjo celotnega 3D sveta. Začenši s pra-
znim svetom lahko igralci le s pritiskom na gumb
spreminjajo teren ter dodajajo objekte in zgradbe
različnih velikosti, oblik in barv. Ko je svet poseljen,
lahko vsakemu objektu določimo preprosto vedenje.
Dejanja, kot sta gibanje in boj, so predstavljena s
primitivnimi stavki tipa „ko videti sadje, premakniti
bližje in jesti“. S temi stavki sami določimo vedenje
objektov v različnih situacijah. Kodu je primeren za
enostavno gradnjo preprostih mini-iger ali podrob-
nejših arkad v le nekaj minutah.
Programski jezik
Programski jezik Kodu je poenostavljen; programi-
ramo izključno z uporabo krmilnika. S tem opu-
ščamo klasično programiranje, vključno s spremen-
ljivkami, zankami, nizi, podprogrami. Preprostost
programskega jezika je dosežena s programiranjem
vedenja posameznih objektov v 3D svetu, programi
pa so sestavljeni iz pravil, ki temeljijo na podlagi po-
gojev in ukrepov.
Tipičen „Pozdravljen, svet!“ v programu Kodu je:
(WHEN) see – apple (DO) move – toward
(KO) videti – jabolko (NAREDI) premik – v smeri.
Pravila so formulirana na naslednji način:
<pogoj><dejanje>.
Ko je <pogoj> izpolnjen, se izvede <dejanje>.
<pogoj> je predstavljen kot
<senzor>[<filter>. . . ],
2
,
,
.
, ,
.
,
.
.
, ,
.
,
.
, ,
.
, . ,
.
, ,
,
.
.
.
;
.
,
, , , .
,
,
.
, ! :
.
:
.
, .
. . . ,
I li i j l i i i
i j ili i i -
i i j i j
j j i -
lj i ij i -
i j i i j l
j ij
j i l i i j i i j j
j j l i i i
i j i j i i -
j i lj i l l
j l i lji i i -
j i l i j i -
j j l i l
j i
li
i i i lji i
i i j l i -
i l i l i l i i
i j j j j j i
li i li i li i j lj
l j l i j
j j i j i j lj
i i i i i i i i i j i i
li j i j i i i i l i j
j li i i ij j i
j i i i-i li -
j i l j i
i j i
i j i j lj i-
i lj il i -
l i i j lj -
lji i i i i i
j i j i j
j i j i
lj i i il i ljij l i -
j i
i i lj j
( ) l ( )
( ) i i j l ( I) i i
il li l ji i
j j j
j j i l j i j j
j j lj
[ l ]
ate o č o e o za o o rač a š o gr co,
a e este, a o o st ar ? ate a
rš z še s rogra ra e ? Progra s o
oro e o a e La e ra o go or a aše že
e. ora o ogoča r aze r sto o ro
gra ra a ger, e ta o re rost, a ga a o
raz e o se ge erac e.
o e v z a rogra sk ez k, k e a e e
re vse stvar a rač a šk ger. a esto
t ka a rogra ske ko e a o orab k za gra
o ger a vo o v z a e e e e te. Je re rost za
orabo, sa v ce ot te e a ko a , k a o e
šča o ars ko za ete rogra sk ez k. as o
va e tako, a e osto e ce o otroko a ko v
e ž va vsak o.
S ka 1
es k s ste a, k te e a ko a , o ogoča
tro zgra o ce ot ega 3 sveta. ače š s ra
z sveto a ko gra c e s r t sko a g b
s re a o tere ter o a a o ob ekte zgra be
raz č ve kost , ob k barv. o e svet ose e ,
a ko vsake ob ekt o oč o re rosto ve e e.
e a a, kot sta g ba e bo , so re stav e a s
r t v stavk t a „ko v et sa e, re ak t
b ž e est “. S te stavk sa o oč o ve e e
ob ektov v raz č s t ac a . o e r ere za
e ostav o gra o re rost ger a o rob
e š arka v e eka ta .
r r s
Progra sk ez k o e oe ostav e ; rogra
ra o zk č o z orabo kr ka. S te o
šča o k as č o rogra ra e, vk č o s s re e
vka , za ka , z , o rogra . Pre rostost
rogra skega ez ka e oseže a s rogra ra e
ve e a osa ez ob ektov v 3 svet , rogra
a so sestav e z rav , k te e o a o ag o
go ev kre ov.
če „Poz rav e , svet!“ v rogra o e:
E see – a e o e – to ar
v et – abo ko E re k – v s er .
Prav a so for ra a a as e ač :
< ogo >< e a e>.
o e < ogo > z o e , se zve e < e a e>.
< ogo > e re stav e kot
<se zor> < ter>. . . ,
2
I dli n id j n v un lni k i i
p n v k k bi j u v ili i nik -
k nih i ku nj p i nj k
dj du b j p vi d v n v -
lj p bniku p ij n p i p d p -
i nj i ki j k p p d l hk
u j v n ij
K du j i u lni p i j i i j n nj n
p d u j nju un lni ih i
ip nj p d i j up ni i -
dnj i n lj i u ln l n p p
up j l i lji n i n h i n d -
j i u pl n p i j i Z n -
n j d j d p n l in l h
nj u i d
li
V ni i i lji n i n h
hi i dnj l n Z n i p -
ni l h i l i l p i i n u
p inj j n d d j j j in d
li nih li i li in K j p lj n
l h u j u d l i p p d nj
j nj i nj in j p d lj n
p i i i ni i i ip id i dj p ni i
li j in j i i i i d l i d nj
j li nih i u ij h K du j p i n
n n dnj p p ih ini-i li p d -
n j ih d l n j inu h
P a ki jezik
i j i K du j p n lj n p i-
i lju n up ilni pu-
l i n p i nj lju n p n-
lji i n i ni i p dp i p
p j i j d n p i nj
d nj p nih j u p i
p lj ni i p il i ljij n p dl i p -
j in u p
Tipi n d lj n p u K du j
( ) ppl ( ) v d
(K ) id i j l ( R I) p i i
il uli n n n l dnji n in
p j d j nj
K j p j i p lnj n i d d j nj
p j j p d lj n
n [ fil ]
m ,
, N m
m m m
K G m
. U m
m , ,
m .
m , m
m . N m
m m
m .
, m , m
m m m .
, m
m .
m m , m , m
D .
m m m m
m
, . ,
m m .
D , ,
m m , m
. m m m
. m
m
m .
og
m ; m
m m . m
m m , m
m , m , , m .
m m m
m D , m
, m
.
, ! m :
WH N DO m w
O NA D m m .
m :
.
, .
. . . ,
I ate o lič o i ejo za o o rač al iš o igrico,
a e este, a o i jo st arili? i ate i a-
rš i iz še j s rogra ira je ? Progra s o
oro je o a e La je ra i o go or a aše že-
lje. ora i o ogoča rijaze risto o ro-
gra ira ja iger, i je ta o re rost, a ga la o
raz ejo se ge eracije.
o je viz al i rogra ski jezik, ki je a e je
re vse stvarja j rač al iški iger. a esto
ti ka ja rogra ske ko e i ajo orab iki za gra-
jo iger a voljo viz al e ele e te. Je re rost za
orabo, saj v celoti te elji a iko a , ki a o e-
ščajo arsiko za lete rogra ski jezik. as o-
va je tako, a je osto e celo otroko i la ko v
je živa vsak o.
Slika 1
es ik siste a, ki te elji a iko a , o ogoča
itro izgra jo celot ega 3 sveta. ače ši s ra-
z i sveto la ko igralci le s ritisko a g b
s re i jajo tere ter o ajajo objekte i zgra be
različ i velikosti, oblik i barv. o je svet oselje ,
la ko vsake objekt oloči o re rosto ve e je.
eja ja, kot sta giba je i boj, so re stavlje a s
ri itiv i i stavki ti a „ko vi eti sa je, re ak iti
bližje i jesti“. S te i stavki sa i oloči o ve e je
objektov v različ i sit acija . o je ri ere za
e ostav o gra jo re rosti i i-iger ali o rob-
ejši arka v le ekaj i ta .
r r ms i j i
Progra ski jezik o je oe ostavlje ; rogra i-
ra o izklj č o z orabo kr il ika. S te o -
šča o klasič o rogra ira je, vklj č o s s re e -
ljivka i, za ka i, izi, o rogra i. Pre rostost
rogra skega jezika je oseže a s rogra ira je
ve e ja osa ez i objektov v 3 svet , rogra i
a so sestavlje i iz ravil, ki te eljijo a o lagi o-
gojev i kre ov.
i iče „Poz ravlje , svet!“ v rogra o je:
( E ) see – a le ( ) o e – to ar
( ) vi eti – jabolko ( E I) re ik – v s eri.
Pravila so for lira a a asle ji ači :
< ogoj>< eja je>.
o je < ogoj> iz ol je , se izve e < eja je>.
< ogoj> je re stavlje kot
<se zor>[< lter>. . . ],
2
Imate odlično idejo za novo računalniško igrico,
pa ne veste, kako bi jo ustvarili? Nimate n ka-
krš ih izkušenj s programiranjem? Programsko
o odje Kod Game Lab je pravi odgovor na v še že-
lje. Uporabniku omogoča prijazen pristop do pro
gramiranja iger, ki je tako preprost, da ga lahko
razumejo vse generacije.
Kodu je vizualni programski jezik, ki je namenjen
predvs m ustvarjanju računalniških iger. Namesto
tipkanja programske kode imajo uporabniki za gra-
dnjo iger na voljo vizualn elemente. Je preprost za
uporabo, s j v celoti tem lji na ikonah, ki nadome-
ščajo mar ikomu zapleten programski jezik. Zasno-
van je t ko, da je dostopen celo otro om in lahko v
njem uživa vs kdo.
Slika 1
Vmesnik sistema, ki temelji na ikonah, omogoča
hitro izgradnjo celotnega 3D sveta. Z čenši s pra-
znim svetom lahko igralci le pritiskom na gumb
spreminjajo teren ter dodajajo objekte in zgradbe
različnih velikosti, oblik in b rv. Ko je svet poseljen,
l hko vsak mu objektu določimo preprosto vedenje.
Dejanja, ot sta gibanje in boj, so predsta ljena s
primitivnimi t vki tipa „ko videti sadj , premakniti
bližje in jesti“. S temi stavki sami določimo vedenje
objektov v različnih situ cijah. Kodu je primeren za
enostavno gradnjo preprostih mini-ig r ali podrob-
nejših arkad v le nekaj minutah.
Programski jezik
Programski jezik Kodu je poenostavljen; programi-
ramo izključno z uporabo krmilnika. S tem opu-
ščamo klasi n programiranje, vključno s spremen-
ljivkami, zankami, nizi, podprogrami. Preprostost
programskega jezika je dosežena s programiranjem
vedenja posameznih objektov v 3D svetu, progra i
pa so sestavljeni iz pravil, ki temeljijo na podla i po-
gojev in ukrepov.
Tipičen „Pozdra ljen, svet!“ v programu Kodu je:
(WHEN) see – apple (DO) move – toward
(KO) videti – jabolko (NAREDI) pr mik – v smeri.
Pravila so formulirana na naslednji način:
<pogoj><dejanje>.
Ko je <pogoj> izpolnjen, se izvede <dejanje>.
<pogoj> je predstavlj n kot
<senzor>[<filter>. . . ],
2
eva ferk
Kodu: 
Ustvari svojo 
računalniško 
igro
•
•
slika 1.
Programsko orodje Kodu Game Lab z začetnim menijem
Presek 39 (2011/2012) 4
•
26
r a č u n a l n i š t v o
<dejanje> pa kot
<glagol>[<določilo>. . . ].
Primer zgoraj navedenega programa (glej sliko 2) je
see – red – apple – move – toward – quickly
(videti – rdeče – jabolko – premik – v smeri – hitro).
Za naveden primer je <pogoj> videti rdeče jabolko,
<dejanje> pa premik v smeri. V pogoju je see sen-
zor, red in apple pa sta filtra. Dejanje definira obna-
šanje objekta, ko le-ta vidi rdeče jabolko, t. j. move
toward. V dejanju move predstavlja glagol, toward
in quickly pa sta prislova.
Slika 2
S pomočjo programa Kodu lahko ustvarimo mno-
go različnih iger, od dirk, strategij, avantur do sesta-
vljank.
Kako začeti?
Ob zagonu programskega orodja najprej izberemo
nov prazen svet (New empty world), s katerim od-
premo novo delovno okolje. V meniju lahko izbi-
ramo med svetovi, ki smo jih ustvarili sami ali preto-
čili s spleta (svetovi z vodičem). Po izboru želenega
okolja pritisnemo Igraj (Play). Vsak svet je pripra-
vljen kot igra, za urejanje pa je potrebno pritisniti
tipko Esc.
Slika 3
Ob prihodu v urejevalnik se na dnu prikaže oro-
dna vrstica (slika 3). Prvo orodje v obliki hiše prikaže
meni, puščica nam zažene ustvarjen svet, s klikom
na dlan pa nadzorujemo postavitev kamere. Najpo-
membnejše orodje je orodje za dodajanje, urejanje
in programiranje predmetov (Object Tool). Sledijo
orodja, s katerimi ustvarjamo poti, spreminjamo
podlago (teren) in brišemo nastale objekte. Z za-
dnjim orodjem urejamo posamezne nastavitve sveta
- med drugim lahko določimo dan in noč ter spremi-
njamo nastavitve hitrosti objektov.
Igro ustvarimo v štirih korakih.
1. korak. S klikom na orodje Ground Brush ustva-
rimo želeni teren. Za osnovno igro je to lahko ravna
plošča, ki jo po želji pobarvamo. Pri napredni igri
lahko ustvarimo hribe in doline, s pomočjo orodja
za zniževanje površja pa lahko ustvarimo tudi reko.
Slika 4
3
<dejanje> pa kot
<glagol>[<določilo>. . . ].
Primer zgoraj navedenega programa (glej sliko 2) je
see – red – apple – move – toward – quickly
(videti – rdeče – jabolko – premik – v smeri – hitro).
Za naveden primer je <pogoj> videti rdeče jabolko,
<dejanje> pa premik v smeri. V pogoju je see sen-
zor, red in apple pa sta filtra. Dejanje definira obna-
šanje objekta, ko le-ta vidi rdeče jabolko, t. j. move
toward. V dejanju move predstavlja glagol, toward
in quickly pa sta prislova.
Slika 2
S pomočjo programa Kodu lahko ustvarimo mno-
go različnih iger, od dirk, strategij, avantur do sesta-
vljank.
Kako začeti?
Ob zagonu programskega orodja najprej izberemo
nov prazen svet (New empty world), s katerim od-
premo novo delovno okolje. V meniju lahko izbi-
ramo med svetovi, ki smo jih ustvarili sami ali preto-
čili s spleta (svetovi z vodičem). Po izboru želenega
okolja pritisnemo Igraj (Play). Vsak svet je pripra-
vljen kot igra, za urejanje pa je potrebno pritisniti
tipko Esc.
Slika 3
Ob prihodu v urejevalnik se na dnu prikaže oro-
dna vrstica (slika 3). Prvo orodje v obliki hiše prikaže
meni, puščica nam zažene ustvarjen svet, s klikom
na dlan pa nadzorujemo postavitev kamere. Najpo-
membnejše orodje je orodje za dodajanje, urejanje
in programiranje predmetov (Object Tool). Sledijo
orodja, s katerimi ustvarjamo poti, spreminjamo
podlago (teren) in brišemo nastale objekte. Z za-
dnjim orodjem urejamo posamezne nastavitve sveta
- med drugim lahko določimo dan in noč ter spremi-
njamo nastavitve hitrosti objektov.
Igro ustvarimo v štirih korakih.
1. korak. S klikom na orodje Ground Brush ustva-
rimo želeni teren. Za osnovno igro je to lahko ravna
plošča, ki jo po želji pobarvamo. Pri napredni igri
lahko ustvarimo hribe in doline, s pomočjo orodja
za zniževanje površja pa lahko ustvarimo tudi reko.
Slika 4
3
<dejanje> pa kot
<glagol>[<določilo>. . . ].
Primer zgoraj navedenega programa (glej sliko 2) je
see – red – apple – move – toward – quickly
(videti – rdeče – jab lko – premik – v smeri – hitro).
Za naveden primer j <pog j> videti rdeče jabolko,
<dejanje> pa premik v smeri. V pogoju je see sen-
zor, red in apple pa sta filtra. Dej nje definira obna-
šanje objekta, ko le-ta vidi rdeče jabolko, t. j. move
toward. V dejanju move predstavlja glagol, toward
in quickly pa sta prislova.
Slika 2
S pomočjo programa Kodu lahko ustvarimo mno-
go različnih iger, od dirk, strategij, avantur do sesta-
v jank.
Kako začeti?
Ob zago u programskega orodja najprej izberemo
nov prazen svet (New empty world), s katerim od-
premo novo delovno okolje. V meniju lahko izbi-
ram med svetovi, ki smo jih ustvarili sami ali preto-
čili s spleta (svetovi z vodičem). Po izboru želenega
okolj pritisnemo Igraj (Play). Vsak sv t je p ipra-
vljen kot igra, za urejanje pa je potrebno pritisniti
tipko Esc.
Slika 3
Ob prihodu v urejevalnik se na dnu prikaže oro-
dna vrstica (slika 3). Prvo orodje v obliki hiše prikaže
meni, puščica nam zažene ustvarjen svet, s klikom
na dlan pa nadzorujemo postavitev kamere. Najpo-
membnejše orodje je orodje za dodajanje, urejanje
in prog amiranje pr dmetov (Object Tool). Sledijo
orodja, s katerimi ustvarjamo poti, spreminjamo
podlago (teren) in briš mo nastal obj kte. Z za-
dnjim orodjem urejamo posamezne n stavitve sveta
- med drugim lahko določimo dan in noč ter spremi-
njam n stavitv hitrosti objektov.
Igro ustvarimo v štirih korakih.
1. korak. S klikom na orodje Ground Brush ustva-
rimo želeni teren. Za osnovno igro je to lahko ravna
plošča, ki jo po želji pobarvamo. Pri napredni igri
lahko ustvarimo hribe in doline, s pomočjo orodja
za zniževanje p vršja pa lahko ustvarimo tudi reko.
S ika 4
3
<dejanje> pa kot
<glagol>[<določilo>. . . ].
Primer zgoraj navedenega programa (glej sliko 2) je
s e d – apple – move – toward – quickly
(videti – rdeč – jabolko – mik – v smeri – hitro).
Za aveden rimer je <pogoj> videti rdeče jabolko,
<dejanje> pa premik v smeri. V pogoju je see sen
zor, red in apple pa sta filtra. D janje definira obna-
šanje objekta, ko le-ta vidi r eče jabolko, t. j. move
toward. V dejanju m e predstavlja glagol, toward
in quickly pa sta p islova.
Slika 2
S pomočjo p ograma Kodu lahko ustva imo mno
g različnih iger, od dirk, strategij, avantur do sesta
vljank.
Kako začeti?
Ob zag nu programsk ga orodja najprej izberemo
nov prazen sv t (New empty world), s k terim od
premo novo delovno okolje. V meniju lahko izbi
ramo med svetovi, ki smo jih ustvarili sami ali pr to-
čili s spleta (svet vi z vodičem). Po izboru želenega
okolja pritisnemo Igraj (Play). Vsak svet je pripra-
vljen kot igra, za urejanje pa je potrebno pritisniti
tipko Esc.
Slika 3
Ob prihodu v ureje alnik se na dnu ikaže oro-
dna vrstica (slik 3). Prvo orodje v obliki hiš pr aže
meni, puščic nam zažene ust arj n svet, s klikom
na dla pa nadzorujem postavitev kamere. Najpo
me bnejše orodje j orodje za dodajanje, urejanje
in programiranje predmetov (Object Tool). Sledij
orodja, s katerimi ustvarjamo poti, spreminjamo
podlag (teren) in brišemo nastal objekte. Z za-
dnjim o odjem urejamo posamezne nastavitve sveta
- med drugim lahko d ločimo dan in noč ter spremi-
njamo nastavitve hitrosti objektov.
Igro ustvarimo v štirih k rakih.
1. korak. S klikom na orodje Ground Brush ustva-
rimo želeni teren. Za osnovno igro je to lahko ravna
plošča, ki jo p želji pobarvamo. Pri napredni igri
lahko ustvarim hribe in doline, s po čjo o odja
za zniževanje površja pa lahko ustvarimo tudi reko.
Slika 4
3
<dejanje> pa kot
<glagol>[<določilo>. . . ].
Primer zgoraj navedenega programa (glej sliko 2) je
see – red – apple – move – toward – quickly
(videti – rdeče – jabolko – premik – v smeri – hitro).
Za naveden primer je <pogoj> videti rdeče jabolko,
<dejanje> pa premik v smeri. V pogoju je see sen-
zor, red in apple pa sta filtra. Dejanje definira obna-
šanje objekta, ko le-ta vidi rdeče jabolko, t. j. move
toward. V dejanju move predstavlja glagol, toward
in quickly pa sta prislova.
Slika 2
S pomočjo programa Kodu lahko ustvarimo mno-
go različnih iger, od dirk, strategij, avantur do sesta-
vljank.
Kako začeti?
Ob zagonu programskega orodja najprej izberemo
nov prazen svet (New empty world), s katerim od-
premo novo delovno okolje. V meniju lahko izbi-
ramo med svetovi, ki smo jih ustvarili sami ali preto-
čili s spleta (svetovi z vodičem). Po izboru želenega
okolja pritisnemo Igraj (Play). Vsak svet je pripra-
vljen kot igra, za urejanje pa je potrebno pritisniti
tipko Esc.
Slika 3
Ob prihodu v urejevalnik se na dnu prikaže oro-
dna vrstica (slika 3). Prvo orodje v obliki hiše prikaže
meni, puščica nam zažene ustvarjen svet, s klikom
na dlan pa nadzorujemo postavitev kamere. Najpo-
membnejše orodje je orodje za dodajanje, urejanje
in programiranje predmetov (Object Tool). Sledijo
orodja, katerimi ustvarjamo poti, spreminjamo
podlago (teren) in brišem nastale objekte. Z z
dnjim orodjem urej mo posamezne nastavitve svet
- med drugim lahko dol čimo dan in noč ter spremi-
njamo nastavitve itrosti objektov.
Igro ustvarimo v štirih korakih.
1. korak. S klikom na orodje Ground Brush ustva-
rimo želeni teren. Za osnovno igro je to lahko ravna
plošča, ki jo po želji pobarvamo. Pri napredni igri
lahko ustvarimo hribe in doline, s pomočjo orodja
za zniževanje površja pa lahko ustvarimo tudi reko.
Slika 4
3
slik  2.
Primer nav eg  rogram
slika 3.
Orodna vrstica v urejevalniku programsk ga orodja Kodu Ga-
me Lab
Imate odlično idejo za novo računalniško igrico,
pa ne veste, kako bi jo ustvarili? Nimate nika-
kršnih izkušenj s programiranjem? Programsko
orodje Kodu Game Lab je pravi odgovor na vaše že-
lje. Uporabniku omogoča prijazen pristop do pro-
gramiranja iger, ki je tako preprost, da ga lahko
razumejo vse generacije.
Kodu je vizualni programski jezik, ki je namenjen
predvsem ustvarjanju računalniških iger. Namesto
tipkanja programske kode imajo uporabniki za gra-
dnjo iger na voljo vizualne elemente. Je preprost za
uporabo, saj v celoti temelji na ikonah, ki nadome-
ščajo marsikomu zapleten programski jezik. Zasno-
van je tako, da je dostopen celo otrokom in lahko v
njem uživa vsakdo.
Slika 1
Vmesnik sistema, ki temelji na ikonah, omogoča
hitro izgradnjo celotnega 3D sveta. Začenši s pra-
znim svetom lahko igralci le s pritiskom na gumb
spreminjajo teren ter dodajajo objekte in zgradbe
različnih velikosti, oblik in barv. Ko je svet poseljen,
lahko vsakemu objektu določimo preprosto vedenje.
Dejanja, kot sta gibanje in boj, so predstavljena s
primitivnimi stavki tipa „ko videti sadje, premakniti
bližje in jesti“. S temi stavki sami določimo vedenje
objektov v različnih situacijah. Kodu je primeren za
enostavno gradnjo preprostih mini-iger ali podrob-
nejših arkad v le nekaj minutah.
Programski jezik
Programski jezik Kodu je poenostavljen; programi-
ramo izključno z uporabo krmilnika. S tem opu-
ščamo klasično programiranje, vključno s spremen-
ljivkami, zankami, nizi, podprogrami. Preprostost
programskega jezika je dosežena s programiranjem
vedenja posameznih objektov v 3D svetu, programi
pa so sestavljeni iz pravil, ki temeljijo na podlagi po-
gojev in ukrepov.
Tipičen „Pozdravljen, svet!“ v programu Kodu je:
(WHEN) see – apple (DO) move – toward
(KO) videti – jabolko (NAREDI) premik – v smeri.
Pravila so formulirana na naslednji način:
<pogoj><dejanje>.
Ko je <pogoj> izpolnjen, se izvede <dejanje>.
<pogoj> je predstavljen kot
<senzor>[<filter>. . . ],
2
 
 č
presek 39 (2011/2012) 4
•
27
r a č u n a l n i š t v o
<dejanje> pa kot
<glagol>[<določilo>. . . ].
Primer zgoraj navedenega programa (glej sliko 2) je
see – red – apple – move – toward – quickly
(videti – rdeče – jabolko – premik – v smeri – hitro).
Za naveden primer je <pogoj> videti rdeče jabolko,
<dejanje> pa premik v smeri. V pogoju je see sen-
zor, red in apple pa sta filtra. Dejanje definira obna-
šanje objekta, ko le-ta vidi rdeče jabolko, t. j. move
toward. V dejanju move predstavlja glagol, toward
in quickly pa sta prislova.
Slika 2
S pomočjo programa Kodu lahko ustvarimo mno-
go različnih iger, od dirk, strategij, avantur do sesta-
vljank.
Kako začeti?
Ob zagonu programskega orodja najprej izberemo
nov prazen svet (New empty world), s katerim od-
premo novo delovno okolje. V meniju lahko izbi-
ramo med svetovi, ki smo jih ustvarili sami ali preto-
čili s spleta (svetovi z vodičem). Po izboru želenega
okolja pritisnemo Igraj (Play). Vsak svet je pripra-
vljen kot igra, za urejanje pa je potrebno pritisniti
tipko Esc.
Slika 3
Ob prihodu v urejevalnik se na dnu prikaže oro-
dna vrstica (slika 3). Prvo orodje v obliki hiše prikaže
meni, puščica nam zažene ustvarjen svet, s klikom
na dlan pa nadzorujemo postavitev kamere. Najpo-
membnejše orodje je orodje za dodajanje, urejanje
in programiranje predmetov (Object Tool). Sledijo
orodja, s katerimi ustvarjamo poti, spreminjamo
podlago (teren) in brišemo nastale objekte. Z za-
dnjim orodjem urejamo posamezne nastavitve sveta
- med drugim lahko določimo dan in noč ter spremi-
njamo nastavitve hitrosti objektov.
Igro ustvarimo v štirih korakih.
1. korak. S klikom na orodje Ground Brush ustva-
rimo želeni teren. Za osnovno igro je to lahko ravna
plošča, ki jo po želji pobarvamo. Pri napredni igri
lahko ustvarimo hribe in doline, s pomočjo orodja
za zniževanje površja pa lahko ustvarimo tudi reko.
Slika 4
3
2. korak. Z orodjem Object Tool objekte dodajamo
in jim določamo vedenje. Na terenu izberemo me-
sto, kamor želimo postaviti objekt. Pojavi se okno,
v katerem izberemo želen objekt. Osnovna figura je
Kodu (glej sliko 1), lahko pa med drugim Koduja po-
sadimo na motor (slika 4).
3. korak. Za programiranje objektov ponovno iz-
beremo orodje Object Tool in z desnim klikom izbe-
remo objekt. Ob prikazu menija izberemo zavihek
Program. Programiranje objektov je predstavljeno z
zaporedjem pravil v oštevilčenih vrsticah (glej sliko
5).
4. korak. Pritisnemo tipko Igraj (Play) in uživamo
v ustvarjeni igri.
Slika 5
Računalniška igrica: Dirka z motorji
V naslednjih vrsticah bomo prikazali programiranje
preproste igre, v kateri bo Kodu tekmoval s tremi
prijatelji v dirki z motorji na ustvarjenem dirkališču.
Najprej ustvarimo teren (naložimo prazen svet). Z
izbiro orodja Ground Brush določimo material za ce-
sto (na voljo imamo izbiro barv in velikost območja
za risanje). Na terenu nato ustvarimo poljubno dir-
kališče (glej sliko 6).
Slika 6
Z orodjem Object Tool ustvarimo tekmovalce: iz-
beremo Kodujev položaj (priporočena izbira je na za-
četku proge), nato v novem oknu izberemo Cycle (in
s tem Koduja posadimo na motor). Za lažje razli-
kovanje tekmovalcev lahko s pritiskom smernih tipk
(levo/desno) določimo barvo oblačil objekta. Posto-
pek ponovimo še za preostale tri tekmovalce. Sadovi
tega dela so predstavljeni na desni strani slike 6.
Izberimo si Koduja, ki ga bomo v igri upravljali
mi, in sprogramirajmo, da se bo odzival ob pritisku
smernih tipk. Z desnim miškinim klikom iz menija
izberemo zavihek Program. Za premik s pomočjo
tipkovnice ustvarimo naslednjo vrstico (glej tretjo
vrstico na sliki 8):
WHEN keyboard arrows DO move.
Koduju določimo višjo hitrost v delu <dejanje> s
pomočjo dodajanja ikone quickly. Za premikanje so-
tekmovalcev pa najprej določimo pot vožnje. Z orod-
jem za izris poti (Path Tool) na dirkališču ustvarimo
točke, med katerimi poteka pot. Za izvedbo tekmo-
vanja zadošča že ena pot, lahko pa vsakemu sotek-
movalcu ustvarimo svojo.
4
2. korak. Z orodjem Object Tool objekte dodajamo
in jim določamo vedenje. Na terenu izberemo me-
sto, kamor želimo postaviti objekt. Pojavi se okno,
v katerem izberemo želen objekt. Osnovna figura je
Kodu (glej sliko 1), lahko pa med drugim Koduja po-
sadimo na motor (slika 4).
3. korak. Za programiranje objektov ponovno iz-
beremo orodje Object Tool in z desnim klikom izbe-
remo objekt. Ob prikazu menija izberemo zavihek
Program. Programiranje objektov je predstavljeno z
zaporedjem pravil v oštevilčenih vrsticah (glej sliko
5).
4. korak. Pritisnemo tipko Igraj (Play) in uživamo
v ustvarjeni igri.
Slika 5
Računalniška igrica: Dirka z motorji
V naslednjih vrsticah bomo prikazali programiranje
preproste igre, v kateri bo Kodu tekmoval s tremi
prijatelji v dirki z motorji na ustvarjenem dirkališču.
Najprej ustvarimo teren (naložimo prazen svet). Z
izbiro orodja Ground Brush določimo material za ce-
sto (na voljo imamo izbiro barv in velikost območja
za risanje). Na terenu nato ustvarimo poljubno dir-
kališče (glej sliko 6).
Slika 6
Z orodjem Object Tool ustvarimo tekmovalce: iz-
beremo Kodujev položaj (priporočena izbira je na za-
četku proge), nato v novem oknu izberemo Cycle (in
s tem Koduja posadimo na motor). Za lažje razli-
kovanje tekmovalcev lahko s pritiskom smernih tipk
(levo/desno) določimo barvo oblačil objekta. Posto-
pek ponovimo še za preostale tri tekmovalce. Sadovi
tega dela so predstavljeni na desni strani slike 6.
Izberimo si Koduja, ki ga bomo v igri upravljali
mi, in sprogramirajmo, da se bo odzival ob pritisku
smernih tipk. Z desnim miškinim klikom iz menija
izberemo zavihek Program. Za premik s pomočjo
tipkovnice ustvarimo naslednjo vrstico (glej tretjo
vrstico na sliki 8):
WHEN keyboard arrows DO move.
Koduju določimo višjo hitrost v delu <dejanje> s
pomočjo dodajanja ikone quickly. Za premikanje so-
tekmovalcev pa najprej določimo pot vožnje. Z orod-
jem za izris poti (Path Tool) na dirkališču ustvarimo
točke, med katerimi poteka pot. Za izvedbo tekmo-
vanja zadošča že ena pot, lahko pa vsakemu sotek-
movalcu ustvarimo svojo.
4
2. korak. Z orodjem Object Tool objekte dodajamo
in jim določamo vedenje. Na terenu izberemo me-
sto, kamor želimo postaviti objekt. Pojavi se okno,
v katerem izberemo želen objekt. Osnovna figura je
Kodu (glej sliko 1), lahko pa med drugim Koduja po-
sadim na motor (slika 4).
3. korak. Za programiranje objektov ponovno iz-
beremo orodj Object Tool in z desnim klikom izbe-
remo objekt. Ob prikazu menija izberem zavihek
Program. Programiranje objektov je predstavljeno z
zaporedjem pravil v oštevilčenih vrsticah (glej sliko
5).
4. k rak. Pritisnemo tipko Igr j (Play) in uži amo
v ustvarjeni igri.
Slika 5
Računalniška igrica: Dirka z motorji
V naslednjih vrsticah bomo prikazali programiranje
preproste igre, v kateri bo Kodu tekmoval s tremi
prijatelji v dirki z motorji na ustvarjenem dirkališču.
Najprej ustvarimo teren (n loži prazen svet). Z
izbiro orodja Ground Brush določimo material za ce-
sto (na voljo imamo izbiro ba v in velik st območ a
za risanj ). Na terenu nat ustvarimo poljubno dir-
kališč (glej sliko 6).
Slika 6
Z orodjem Object Tool ustvarimo tekmovalce: iz-
beremo Kodujev položaj (priporočena izbira je na za-
četku proge), nato v novem oknu izberemo Cycle (in
s tem Koduja posadimo na motor). Za lažje razli-
kovanje tekmovalcev lahko s pritiskom smernih tipk
(levo/desno) določimo barvo oblačil objekta. Posto
p k ponovimo še za preostale t i t kmovalce. Sadovi
t ga dela so predstavljeni na desni strani slike 6.
Izberimo si K duja, ki ga b mo v igri upravljali
mi, i sprogramirajmo, da se bo odzival ob pritisku
smernih tipk. Z desnim miškinim klikom iz menija
izberem zavih k Program. Za pre ik s pomočjo
ipkovnice ustvarimo naslednjo vr tico (glej tretjo
vrstico na sliki 8):
WHEN keyboard arrows DO ove.
K duju določimo višjo hitrost delu <dejanj > s
pomočjo dodajanja ikone quickly. Za premikanje so-
tekmovalcev pa najprej določimo pot vožnje. Z orod-
jem za izris poti (Path Tool) na dirkališču ustvarimo
točke, med katerimi poteka pot. Za izvedbo tekmo-
vanja zadošča že ena pot, lahko pa vsakemu sotek-
moval u ustv rimo sv jo.
4
2. korak. Z orodjem Object Tool objekte dodajamo
in jim določamo vedenje. Na terenu izberemo me-
sto, kamor želimo postaviti objekt. Pojavi se okno,
v katerem izberemo želen objekt. Osnovna figura je
Kodu (glej sliko 1), lahko pa med drugim Koduja po-
sadim na motor (slika 4).
3. korak. Za programiranje objektov ponovno iz-
beremo orodj Object Tool in z desnim klikom izbe-
remo objekt. Ob prikazu menija izberem zavihek
Program. Programiranje objekt v je predstavljeno z
zapore jem pravil v ošt vilčenih vrsticah (glej sliko
5).
4. k rak. Pritisnemo ti ko Igr j (Play) in uži amo
v ustvarjeni igri.
Slika 5
Računalniška igrica: Dirka z motorji
V naslednjih vrsticah bomo prik zali programir nje
preprost igre, v kateri bo Kodu tekmoval s tremi
prijatelji v dirki z motorji na ustvarjenem dirkališču.
Najprej ustvarimo teren (n loži prazen svet). Z
izbiro orodja Ground Brush določimo material za ce-
sto (na voljo imamo izbiro ba v in velik st območ a
za risanj ). Na terenu nat ustvarimo poljubno dir-
kališč (glej sliko 6).
Slik 6
Z orod em Object Tool ustvarimo tekmovalc : iz-
berem Kodujev položaj (prip ročena izbira je n za
četku pr ge), nato v novem oknu izberemo Cycle (in
s tem Koduja posadimo na motor). Za ažje razli
ovanje tekmovalcev lahko s pritiskom smernih tipk
(levo/desno) določimo barvo oblačil objekta. Posto
p k ponovimo še za preostale tri t kmovalce. Sadovi
t ga dela so predstavljeni na desni strani slike 6.
Izberimo si K duja, ki ga b mo v igri upravljali
mi, i sprogramirajmo, da se bo odzival ob pritisku
smernih tipk. Z desnim miškini kliko iz m n ja
izb rem zavih k Program. Za pre ik s pomočjo
ip ovnice ustvarimo naslednjo vr tico (glej tretjo
vrstico na sliki 8):
WHEN keyb ard arrows DO ove.
K uju določimo višjo hitrost delu <dejanj > s
pomočjo d dajanja ikone quickly. Za premikanje so-
tekmovalcev pa najprej določim pot vožnje. Z orod-
jem za izris poti (Path Tool) na dirkališču ustvarimo
točke, ed katerimi poteka pot. Za izvedbo tekmo-
vanja zadošča že ena pot, lahk pa vsakemu sotek-
moval u u tv rimo svojo.
4
•
slika 4.
Izbira objekta v dveh delih
slika 5.
Primer vrstic, s katerimi programiramo objekt
č l iš  igric :   t rji
Presek 39 (2011/2012) 4
28
r a č u n a l n i š t v o
slika 6.
Dirka z motorji: ustvarjeno dirkališče (levo) in tekmovalci na startu (desno)
slika 7.
Pogled na dirkališče z vrisanimi potmi in tekmovalci
•
2. korak. Z orodjem Object Tool objekte dodajamo
in jim določamo vedenje. Na terenu izberemo me-
sto, kamor želimo postaviti objekt. Pojavi se okno,
v katerem izberemo želen objekt. Osnovna figura je
Kodu (glej sliko 1), lahko pa med drugim Koduja po-
sadimo na motor (slika 4).
3. korak. Za programiranje objektov ponovno iz-
beremo orodje Object Tool in z desnim klikom izbe-
remo objekt. Ob prikazu menija izberemo zavihek
Program. Programiranje objektov je predstavljeno z
zaporedjem pravil v oštevilčenih vrsticah (glej sliko
5).
4. korak. Pritisnemo tipko Igraj (Play) in uživamo
v ustvarjeni igri.
Slika 5
Računalniška igrica: Dirka z motorji
V naslednjih vrsticah bomo prikazali programiranje
preproste igre, v kateri bo Kodu tekmoval s tremi
prijatelji v dirki z motorji na ustvarjenem dirkališču.
Najprej ustvarimo teren (naložimo prazen svet). Z
izbiro orodja Ground Brush določimo material za ce-
sto (na voljo imamo izbiro barv in velikost območja
za risanje). Na terenu nato ustvarimo poljubno dir-
kališče (glej sliko 6).
Slika 6
Z orodjem Object Tool ustvarimo tekmovalce: iz-
beremo Kodujev položaj (priporočena izbira je na za-
četku proge), nato v novem oknu izberemo Cycle (in
s tem Koduja posadimo na motor). Za lažje razli-
kovanje tekmovalcev lahko s pritiskom smernih tipk
(levo/desno) določimo barvo oblačil objekta. Posto-
pek ponovimo še za preostale tri tekmovalce. Sadovi
tega dela so predstavljeni na desni strani slike 6.
Izberimo si Koduja, ki ga bomo v igri upravljali
mi, in sprogramirajmo, da se bo odzival ob pritisku
smernih tipk. Z desnim miškinim klikom iz menija
izberemo zavihek Program. Za premik s pomočjo
tipkovnice ustvarimo naslednjo vrstico (glej tretjo
vrstico na sliki 8):
WHEN keyboard arrows DO move.
Koduju določimo višjo hitrost v delu <dejanje> s
pomočjo dodajanja ikone quickly. Za premikanje so-
tekmovalcev pa najprej določimo pot vožnje. Z orod-
jem za izris poti (Path Tool) na dirkališču ustvarimo
točke, med katerimi poteka pot. Za izvedbo tekmo-
vanja zadošča že ena pot, lahko pa vsakemu sotek-
movalcu ustvarimo svojo.
4
Slika 7
V meniju Program posameznemu sotekmovalcu
določimo barvo poti, ki ji bo sledil. Tokrat lahko
<pogoj> izpustimo, saj je naš cilj, da tekmovalci z
dirko pričnejo ob zagonu igre. Vrstica sotekmoval-
cev bo torej predstavljena kot (glej prvo vrstico na
sliki 8)
WHEN DO move on path red quickly quickly
quickly.
Ob izbiri zavihka Igraj (Play) preizkusimo ustvar-
jeno igro. Ob zagonu opazimo, da sotekmovalci prič-
nejo z dirko, Koduja pa lahko usmerjamo s smernimi
tipkami. Pri testni vožnji ob prečkanju ciljne črte
ugotovimo, da se dirka še ne zaključi. Zapisanim
pogojem manjka dodatna vrstica, s katero določimo
konec dirke. Zaključek dirke določimo s prečkanjem
ciljne črte: če sotekmovalec pride prvi do ciljne črte,
je igre konec (Game Over), če zmaga Kodu (uporab-
nik), se pojavi napis Zmagovalec (Winner). Pri Ko-
duju dodamo še vrstico
WHEN on land type DO win
(KO na tleh vrsta NAREDI zmaga),
pri sotekmovalcih pa
WHEN on land type DO end
(KO na tleh vrsta NAREDI konec).
Ciljna črta je narisana z drugo barvo (druga vrsta te-
rena). Ko objekti pridejo na ciljno črto (on land), ki
jo določimo s type, je tekme konec in smo izgubili (v
primeru zmage sotekmovalcev, end) ali smo zmagali
(v primeru Koduja, win).
Slika 8
Ustvarjanje iger v programskem orodju Kodu Game
Lab je enostavno in uporabniku prijazno. V štirih
korakih smo ustvarili preprosto igro, ki jo je mogoče
nadgraditi z dodatnimi objekti, novimi ukazi objek-
tom, dodelanim terenom.
Slika 9
Seznanili smo se z vizualnim jezikom in okoljem
Kodu, kjer lahko uporabniki programirajo vsak ob-
jekt posebej (npr. ribo, motor, jabolko, drevo). Pro-
gramska koda definira povezanost objektov s sve-
tom in vsebuje sklope pravil, v katerih je vsako pra-
vilo analogno ukazu v tipǐcnem programskem jeziku.
Programske ikone uporabnik na smiseln način
združuje v obliko <pogoj><dejanje>. V programu je
med drugim omogočena gradnja gnezdenih stavkov,
5
Slika 7
V meniju Program posameznemu sotekmovalcu
določimo barvo poti, ki ji bo sledil. Tokrat lahko
<pogoj> izpustimo, saj je naš cilj, da tekmovalci z
dirko pričnejo ob zagonu igre. Vrstica sotekmoval-
cev bo torej predstavljena kot (glej prvo vrstico na
sliki 8)
WHEN DO move on path red quickly quickly
quickly.
Ob izbiri zavihka Igraj (Play) preizkusimo ustvar-
jeno igro. Ob zagonu opazimo, da sotekmovalci prič-
nejo z dirko, Koduja pa lahko usmerjamo s smernimi
tipkami. Pri testni vožnji ob prečkanju ciljne črte
ugotovimo, da se dirka še ne zaključi. Zapisanim
pogojem manjka dodatna vrstica, s katero določimo
konec dirke. Zaključek dirke določimo s prečkanjem
ciljne črte: če sotekmovalec pride prvi do ciljne črte,
je igre konec (Game Over), če zmaga Kodu (uporab-
nik), se pojavi napis Zmagovalec (Winner). Pri Ko-
duju dodamo še vrstico
WHEN on land type DO win
(KO na tleh vrsta NAREDI zmaga),
pri sotekmovalcih pa
WHEN on land type DO end
(KO na tleh vrsta NAREDI konec).
Ciljna črta je narisana z drugo barvo (druga vrsta te-
rena). Ko objekti pridejo na ciljno črto (on land), ki
jo določimo s type, je tekme konec in smo izgubili (v
primeru zmage sotekmovalcev, end) ali smo zmagali
(v primeru Koduja, win).
Slika 8
Ustvarjanje iger v programskem orodju Kodu Game
Lab je enostavno in uporabniku prijazno. V štirih
korakih smo ustvarili preprosto igro, ki jo je mogoče
nadgraditi z dodatnimi objekti, novimi ukazi objek-
tom, dodelanim terenom.
Slika 9
Seznanili smo se z vizualnim jezikom in okoljem
Kodu, kjer lahko uporabniki programirajo vsak ob-
jekt posebej (npr. ribo, motor, jabolko, drevo). Pro-
gramska koda definira povezanost objektov s sve-
tom in vsebuje sklope pravil, v katerih je vsako pra-
vilo analogno ukazu v tipičnem programskem jeziku.
Programske ikone uporabnik na smiseln način
združuje v obliko <pogoj><dejanje>. V programu je
med drugim omogočena gradnja gnezdenih stavkov,
5
Slika 7
V meniju Program posameznemu sotekmovalcu
določimo barvo poti, ki ji bo sledil. Tokrat lahko
<pogoj> izpustimo, saj je naš cilj, da tekmovalci z
dirko pričnejo ob zagonu igre. Vrstica sotekmoval-
cev bo torej predstavljena kot (glej prvo vrstico na
sliki 8)
WHEN DO move on path red quickly quickly
quickly.
Ob izbiri zavihka Igraj (Play) preizkusimo ustvar-
jeno igro. Ob zagonu opazimo, da sotekmovalci prič-
nejo z dirko, Koduja pa lahko usmerjamo s smernimi
tipkami. Pri testni vožnji ob prečkanju ciljne črte
ugotovimo, da se dirka še ne zaključi. Zapisanim
pogojem manjka dodatna vrstica, s katero določimo
konec dirke. Zaključek dirke določimo s prečkanjem
ciljne črte: če sotekmovalec pride prvi do ciljne črte,
je igre konec (Game Over), če zmaga Kodu (uporab-
nik), se pojavi napis Zmagovalec (Winner). Pri Ko-
duju dodamo še vrstico
WHEN on land type DO win
(KO na tleh vrsta NAREDI zmaga),
pri sotekmovalcih pa
WHEN on land type DO end
(KO na tleh vrsta NAREDI konec).
Ciljna črta je narisana z drugo barvo (druga vrsta te-
rena). Ko objekti pridejo na ciljno črto (on land), ki
jo določimo s type, je tekme konec in smo izgubili (v
primeru zmage sotekmovalcev, end) ali smo zmagali
(v primeru Koduja, win).
Slika 8
Ustvarjanje iger v programskem orodju Kodu Game
Lab je enostavno in uporabniku prijazno. V štirih
korakih smo ustvarili preprosto igro, ki jo je mogoče
nadgraditi z dodatnimi objekti, novimi ukazi objek-
tom, dodelanim terenom.
Slika 9
Seznanili smo se z vizualnim jezikom in okoljem
Kodu, kjer lahko uporabniki programirajo vsak ob-
jekt posebej (npr. ribo, motor, jabolko, drevo). Pro-
gramska koda definira povezanost objektov s sve-
tom in vsebuje sklope pravil, v katerih je vsako pra-
vilo analogno ukazu v tipǐcnem programskem jeziku.
Programske ikone uporabnik na smiseln način
združuje v obliko <pogoj><dejanje>. V programu je
med drugim omogočena gradnja gnezdenih stavkov,
5
Slika 7
V meniju Program posameznemu sotekmovalcu
določimo barvo poti, ki ji bo sledil. Tokrat lahko
<pogoj> izpustimo, saj je naš cilj, da tekmovalci z
dirko pričnejo ob zagonu igre. Vrstica sotekmoval-
cev bo torej predstavljena kot (glej prvo vrstico na
sliki 8)
WHEN DO move on path red quickly quickly
quickly.
Ob izbiri zavihka Igraj (Play) preizkusimo ustvar-
jeno igro. Ob zagonu opazimo, da sotekmovalci prič-
nejo z dirko, Koduja pa lahko usmerjamo s smernimi
tipkami. Pri testni vožnji ob prečkanju ciljne črte
ugotovimo, da se dirka še ne zaključi. Zapisanim
pogojem manjka dodatna vrstica, s katero določimo
konec dirke. Zaključek dirke določimo s prečkanjem
ciljne črte: če sotekmovalec pride prvi do ciljne črte,
je igre konec (Game Over), če zmaga Kodu (uporab-
nik), se pojavi napis Zmagovalec (Winner). Pri Ko-
duju dodamo še vrstico
WHEN on land type DO win
(KO na tleh vrsta NAREDI zmaga),
pri sotekmovalcih pa
WHEN on land type DO end
(KO na tleh vrsta NAREDI konec).
Ciljna črta je narisana z drugo barvo (druga vrsta te-
rena). Ko objekti pridejo na ciljno črto (on land), ki
jo določimo s type, je tekme konec in smo izgubili (v
primeru zmage sotekmovalcev, end) ali smo zmagali
(v primeru Koduja, win).
Slika 8
Ustvarjanje iger v programskem orodju Kodu Game
Lab je enostavno in uporabniku prijazno. V štirih
korakih smo ustvarili preprosto igro, ki jo je mogoče
nadgraditi z dodatnimi objekti, novimi ukazi objek-
tom, dodelanim terenom.
Slika 9
Seznanili smo se z vizualnim jezikom in okoljem
Kodu, kjer lahko uporabniki programirajo vsak ob-
jekt posebej (npr. ribo, motor, jabolko, drevo). Pro-
gramska koda definira povezanost objektov s sve-
tom in vsebuje sklope pravil, v katerih je vsako pra-
vilo analogno ukazu v tipǐcnem programskem jeziku.
Programske ikone uporabnik na smiseln način
združuje v obliko <pogoj><dejanje>. V programu je
med drugim omogočena gradnja gnezdenih stavkov,
5
Slika 7
V eniju Progra posa ezne u sotek ovalcu
določi o barvo poti, ki ji bo sledil. Tokrat lahko
<pogoj> izpusti o, saj je naš cilj, da tek ovalci z
dirko pričnejo ob zagonu igre. Vrstica sotek oval-
cev bo torej predstavljena kot (glej prvo vrstico na
sliki 8)
HEN DO ove on path red quickly quickly
quickly.
Ob izbiri zavihka Igraj (Play) preizkusi o ustvar-
jeno igro. Ob zagonu opazi o, da sotek ovalci prič-
nejo z dirko, Koduja pa lahko us erja o s s erni i
tipka i. Pri testni vožnji ob prečkanju ciljne črte
ugotovi o, da se dirka še ne zaključi. Zapisani
pogoje anjka dodatna vrstica, s katero določi o
konec dirke. Zaključek dirke določi o s prečkanje
ciljne črte: če sotek ovalec pride prvi do ciljne črte,
je igre konec (Ga e Over), če z aga Kodu (uporab-
nik), se pojavi napis Z agovalec (Winner). Pri Ko-
duju doda o še vrstico
HEN on land type DO win
(KO na tleh vrsta NAREDI z aga),
pri sotek ovalcih pa
HEN on land type DO end
(KO na tleh vrsta NAREDI konec).
Ciljna črta je narisana z drugo barvo (druga vrsta te-
rena). Ko objekti pridejo na ciljno črto (on land), ki
jo določi o s type, je tek e konec in s o izgubili (v
pri eru z age sotek ovalcev, end) ali s o z agali
(v pri eru Koduja, win).
Slika 8
Ustvarjanje iger v progra ske orodju Kodu Ga e
Lab je enostavno in uporabniku prijazno. V štirih
korakih s o ustvarili preprosto igro, ki jo je ogoče
nadgraditi z dodatni i objekti, novi i ukazi objek-
to , dodelani tereno .
Slika 9
Seznanili s o se z vizualni jeziko in okolje
Kodu, kjer lahko uporabniki progra irajo vsak ob-
jekt posebej (npr. ribo, otor, jabolko, drevo). Pro-
gra ska koda definira povezanost objektov s sve-
to in vsebuje sklope pravil, v katerih je vsako pra-
vilo analogno ukazu v tipǐcne progra ske jeziku.
Progra ske ikone uporabnik na s iseln način
združuje v obliko <pogoj><dejanje>. V progra u je
ed drugi o ogočena gradnja gnezdenih stavkov,
5
presek 39 (2011/2012) 4
29
r a č u n a l n i š t v o
Futošiki
V n×n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici in v vsa-
kem stolpcu nastopalo vseh n števil ter, da bodo iz-
polnjene vse relacije.
1
slika 8.
Programska koda za prijatelje (zgoraj) in Koduja (spodaj)
slika 9.
Dodelana igrica
Slika 7
V meniju Program posameznemu sotekmovalcu
določimo barvo poti, ki ji bo sledil. Tokrat lahko
<pogoj> izpustimo, saj je naš cilj, da tekmovalci z
dirko pričnejo ob zagonu igre. Vrstica sotekmoval-
cev bo torej predstavljena kot (glej prvo vrstico na
sliki 8)
WHEN DO move on path red quickly quickly
quickly.
Ob izbiri zavihka Igraj (Play) preizkusimo ustvar-
jeno igro. Ob zagonu opazimo, da sotekmovalci prič-
nejo z dirko, Koduja pa lahko usmerjamo s smernimi
tipkami. Pri testni vožnji ob prečkanju ciljne črte
ugotovimo, da se dirka še ne zaključi. Zapisanim
pogojem manjka dodatna vrstica, s katero določimo
konec dirke. Zaključek dirke določimo s prečkanjem
ciljne črte: če sotekmovalec pride prvi do ciljne črte,
je igre konec (Game Over), če zmaga Kodu (uporab-
nik), se pojavi napis Zmagovalec (Winner). Pri Ko-
duju dodamo še vrstico
WHEN on land type DO win
(KO na tleh vrsta NAREDI zmaga),
pri sotekmovalcih pa
WHEN on land type DO end
(KO na tleh vrsta NAREDI konec).
Ciljna črta je narisana z drugo barvo (druga vrsta te-
rena). Ko objekti pridejo na ciljno črto (on land), ki
jo določimo s type, je tekme konec in smo izgubili (v
primeru zmage sotekmovalcev, end) ali smo zmagali
(v primeru Koduja, win).
Slika 8
Ustvarjanje iger v programskem orodju Kodu Game
Lab je enostavno in uporabniku prijazno. V štirih
korakih smo ustvarili preprosto igro, ki jo je mogoče
nadgraditi z dodatnimi objekti, novimi ukazi objek-
tom, dodelanim terenom.
Slika 9
Seznanili smo se z vizualnim jezikom in okoljem
Kodu, kjer lahko uporabniki programirajo vsak ob-
jekt posebej (npr. ribo, motor, jabolko, drevo). Pro-
gramska koda definira povezanost objektov s sve-
tom in vsebuje sklope pravil, v katerih je vsako pra-
vilo analogno ukazu v tipǐcnem programskem jeziku.
Programske ikone uporabnik na smiseln način
združuje v obliko <pogoj><dejanje>. V programu je
med drugim omogočena gradnja gnezdenih stavkov,
5
Slika 7
V meniju Program posameznemu sotekmovalcu
določimo barvo poti, ki ji bo sledil. Tokrat lahko
<pogoj> izpustimo, saj je naš cilj, da tekmovalci z
dirko pričnejo ob zagonu igre. Vrstica sotekmoval-
cev bo torej p edstavljena kot (glej prvo vrstico na
sliki 8)
WHEN DO m ve on path d quickly quickly
quickly.
Ob izbiri zavihka Igraj (Play) preizkusimo ustvar-
jeno igro. Ob zagonu opazimo, da sotekmovalci prič-
nejo z dirko, Koduja pa lahko usmerjamo s smernimi
tipkami. Pri testni vožnji ob prečkanju ciljne črte
ugotovimo, da se dirk še ne zaključi. Zapisanim
pogojem manjka dodatna vrstica, kater določimo
konec e. Zaključek dirke določimo s prečkanje
ciljne črte: če sotekm valec pride prvi do črte,
je igre konec (Game Over), če zmaga Kodu (uporab-
nik), se poj vi napis Zmagovalec (Winner). Pri Ko-
duju dodamo še vrstico
WHEN on land type DO win
(KO na tleh vrsta NAREDI zmaga),
pri sotekmovalcih pa
WHEN on land type DO end
(KO na tleh vrsta NAREDI konec).
Ciljna črta je narisana z drugo barvo (druga vrsta te-
rena). Ko objekti pridejo na ciljno črto (on land), ki
jo določimo s type, je tekme ec in smo izgubili (v
primeru zmage sotekmovalcev, end) ali smo zmagali
(v primeru Koduja, win).
Slika 8
Ustvarjanje iger v programskem orodju Kodu Game
Lab je enostavno in uporabniku prijazno. V štirih
korakih smo ustvarili preprosto igro, ki jo je mogoče
nadgraditi z dodatnimi objekti, novimi ukazi objek-
tom, dodelanim terenom.
Slika 9
Seznanili smo se z vizualnim jezikom in okoljem
Kodu, kjer lahko uporabniki programirajo vsak ob-
jekt posebej (npr. ribo, motor, jabolko, drevo). Pro-
gramska koda definira povezanost objektov s sve-
tom in vsebuje sklope pravil, v katerih je vsa pra-
vilo analogno u azu v tipǐcnem programskem jeziku.
Programske ikone uporabnik na smis ln način
združuje v obliko <pogoj><dejanje>. V programu je
med drugim omog č na gradnja gnezdenih stavkov,
5
kot je npr. “če se žoga zal ti v leteči krožnik in je
žoga rdeče barve, potem leteči krožnik raznese
igralčev rezultat se zviša za 10 točk“. Ti ko ple-
ksni nizi pravil mogočajo e ostavno objektno ori-
entirano programiranje.
Izkušnje kažejo, da uporabniki več časa namenijo
programiranju in konfiguriranju lastnih programov
kot pa igranju ustvarjenih iger. Programsko orodje
Kodu je izdelovanje programov približalo tudi vsak-
danjim uporabnikom in med drugim predstavlja iz-
vrstno odskočno desko za nadobudneže, ki želijo ka-
sneje preizkusiti tudi resnejše programske jezike.
6
kot je npr. “če se žoga zaleti v leteči krožnik in je
žoga rdeče barve, potem leteči krožnik raznese in
igralčev rezultat se zviša za 10 točk“. Ti komple-
ksni nizi pravil omogočajo enostavno objektno ori-
entirano programiranje.
Izkušnje kažejo, da uporabniki več časa namenijo
programiranju in konfiguriranju lastnih programov
kot pa igranju ustvarjenih iger. Programsko orodje
Kodu je izdelovanje programov približalo tudi vsak-
danjim uporabnikom in med drugim predstavlja iz-
vrstno odskočno desko za nadobudneže, ki želijo ka-
sneje preizkusiti tudi resnejše programske jezike.
6
Literatura
[1] Kodu (2011), Microsoft Research. Pridobljeno
8. 10. 2011 iz http://research.microsoft.com/en-
us/projects/kodu/.
[2] Kodu Game Lab (2010), Microsoft Rese-
arch FuseLabs. Pridobljeno 8. 10. 2011 iz
http://fuse.microsoft.com/page/kodu.aspx.
[3] K. T. Stolee in T. Fristoe, Expressing Computer Sci-
ence Concepts Through Kodu Game, Lab. Techni-
cal Symposium on Computer Science Education
(SIGCSE), (2011) Dallas, TX.
7
Literatura
[1] Kodu (2011), Microsoft Research. Pridobljeno
8. 10. 2011 iz http://research.microsoft.com/en-
us/projects/kodu/.
[2] Kodu Game Lab (2010), Microsoft Rese-
arch FuseLabs. Pridobljeno 8. 10. 2011 iz
http://fuse.microsoft.com/page/kodu.aspx.
[3] K. T. Stolee in T. Fristoe, Expressing Computer Sci-
ence Concepts Through Kodu Game, Lab. Techni-
cal Symposium on Computer Science Education
(SIGCSE), (2011) Dallas, TX.
7
Literatura
[1] Kodu (2011), Microsoft Research. Pridobljeno
8. 10. 2011 iz http://research.microsoft.com/en-
us/projects/kodu/.
2 Game Lab (2010), Microsoft R se-
arch FuseLabs. Pridobljeno 8. 10. 2011 iz
htt ://fuse.microsoft.com/page/kodu.aspx.
3 . T. Stolee in T. Fristoe, Expressing Computer Sci
ence Concepts Through Kodu Game, Lab. Techni-
cal Symposium n Computer Science Education
(SIGCSE), (2011) Dallas, TX.
7
ratura
Presek 39 (2011/2012) 4
•
635124
356241
163452
241635
524316
412563
Fut šiki
rešitev
• • •3 <
<
>
<
<
<
<
<
>
>
<
>
1
6
2
5
6
r a z v e d r i l o
30
r e š i t e v 
n a g r a d n e 
k r i ž a n k e 
p r e s e k  3 9 / 3
• Pravilna rešitev nagra-
dne križanke iz druge 
številke 39. letnika Pre-
seka je Kako zapolniti 
prostor. Izmed pravilnih 
rešitev smo izžrebali, Ar-
manda Škapina iz Loga 
pri Brezovici, Borisa Ko-
žlina iz Dobrov v Brdih 
in Žiga Gradišarja iz 
Domžal, ki so razpisane 
nagrade prejeli po pošti.
presek 39 (2011/2012) 4
Uklonske slike
r a z v e d r i l o
31
n
a
r
a
v
o
s
l
o
v
n
a
 f
o
t
o
g
r
a
f
ij
a
• 
aleš mohorič
Presek 39 (2011/2012) 4
Na fotografiji je niz raznobarvnih svetečih diod;
po vrsti si z desne sledijo zelena, rumena, modra,
rdeča, vijolična in ultravijolična. Sveteče diode so
svetila narejena iz majhne polprevodniške diode, po-
krite s prozorno plastično lečo. Njihov udomačeni
izraz je tudi „ledica“, kar izvira iz angleškega imena
LED (light emitting diode). Sodijo med varčna sve-
tila. To pomeni, da pretvorijo v svetlobo večino ele-
ktrične energije, ki jih napaja. Najpogosteje jih upo-
rabljamo kot indikatorske luči. Oglejte si televizor.
Ali gori na njem kakšna drobna lučka, ko je v sta-
nju pripravljenosti? Ali pa pokukajte na tipkovnico
vašega računalnika. V desnem zgornjem robu so obi-
čajno tri lučke, ki povedo, ali je vključen numerični
del tipkovnice, velike črke in vklop drsenja (Scroll
Lock). To so sveteče diode. Svetloba sveteče diode se
očem kaže kot enobarvna. Barvo svetlobe opišemo z
njenim spektrom. To je porazdelitev gostote energij-
skega toka po valovnih dolžinah (ali pa po frekven-
cah). Človeško oko zazna svetlobo z valovno dol-
žino med 400 in 700 nm. Pri 400 nm je vijolična,
pri 700 pa rdeča. Čista barva je svetloba z relativno
natančno določeno valovno dolžino. Taki svetlobi
se najbolj približamo z lasersko svetlobo, ki zajema
pas valovnih dolžin tudi več kot 10 000-krat manjši
kot je pas pri svetečih diodah. Pri svetečih diodah je
spekter širok približno 50 nm, odvisno od izvedbe.
Zato vidimo tudi ultravijolično diodo, ker je samo del
njene svetlobe očem neviden. Bele diode, ki jih upo-
rabljamo kot svetila, imajo v plastični kapici še doda-
tno snov, ki spekter vijolične svetlobe pretvori v širši
pas večjih valovnih dolžin, ki skupaj dajo vtis bele
svetlobe. Spekter svetlobe lahko razločimo, če sve-
tloba potuje skozi uklonsko mrežico. Uklonska mre-
žica je narejena iz množice ozkih vzporednih ravnih
rež. Reže so pri mrežici za uklon vidne svetlobe od
100 nm do 10 µ m narazen. Na fotografiji je pred
diode postavljena uklonska mrežica in zato so slike
diod pomnožene. Pozorni bralec bo opazil, da so
najbolj narazen slike rdeče diode najmanj pa slike
ultravijolične. Kot, pod katerim se ukloni svetloba
valovne dolžine λ, je dan z izrazom d sinϕ = Nλ.
N je uklonski red, d pa razdalja med sosednjima re-
žama. Kot je večji za večjo valovno dolžino. Prepro-
sto uklonsko mrežico imate tudi doma. Oglejte si
katero od svetečih diod kot odsev na CD-ju ali DVD-
ju. Ali tam tudi vidite večkratno sliko?
fotografija: Tomaž Lovšin
2
Na fotografiji je niz raznobarvnih svetečih diod;
po vrsti si z desne sledijo zelena, rumena, modra,
rdeča, vijolična in ultravijolična. Sveteče diode so
svetila narejena iz majhne polprevodniške diode, po-
krite s prozorno plastično lečo. Njihov udomačeni
izraz je tudi „ledica“, kar izvira iz angleškega imena
LED (light emitting diode). Sodijo med varčna sve-
tila. To pomeni, da pretvorijo v svetlobo večino ele-
ktrične energije, ki jih napaja. Najpogosteje jih upo-
rabljamo kot indikatorske luči. Oglejte si televizor.
Ali gori na njem kakšna drobna lučka, ko je v sta-
nju pripravljenosti? Ali pa pokukajte na tipkovnico
vašega računalnika. V desnem zgornjem robu so obi-
čajno tri lučke, ki povedo, ali je vključen numerični
del tipkovnice, velike črke in vklop drsenja (Scroll
Lock). To so sveteče diode. Svetloba sveteče diode se
očem kaže kot enobarvna. Barvo svetlobe opišemo z
njenim spektrom. To je porazdelitev gostote energij-
skega toka po valovnih dolžinah (ali pa po frekven-
cah). Človeško oko zazna svetlobo z valovno dol-
žino med 400 in 700 nm. Pri 400 nm je vijolična,
pri 700 pa rdeča. Čista barva je svetloba z relativno
natančno določeno valovno dolžino. Taki svetlobi
se najbolj približamo z lasersko svetlobo, ki zajema
pas valovnih dolžin tudi več kot 10 000-krat manjši
kot je pas pri svetečih diodah. Pri svetečih diodah je
spekter širok približno 50 nm, odvisno od izvedbe.
Zato vidimo tudi ultravijolično diodo, ker je samo del
njene svetlobe očem neviden. Bele diode, ki jih upo-
rabljamo kot svetila, imajo v plastični kapici še doda-
tno snov, ki spekter vijolične svetlobe pretvori v širši
pas večjih valovnih dolžin, ki skupaj dajo vtis bele
svetlobe. Spekter svetlobe lahko razločimo, če sve-
tloba potuje skozi uklonsko mrežico. Uklonska mre-
žica je narejena iz množice ozkih vzporednih ravnih
rež. Reže so pri mrežici za uklon vidne svetlobe od
100 nm do 10 µ m narazen. Na fotografiji je pred
diode postavljena uklonska mrežica in zato so slike
diod pomnožene. Pozorni bralec bo opazil, da so
najbolj narazen slike rdeče diode najmanj pa slike
ultravijolične. Kot, pod katerim se ukloni svetloba
valovne dolžine λ, je dan z izrazom d sinϕ = Nλ.
N je uklonski red, d pa razdalja med sosednjima re-
žama. Kot je večji za večjo valovno dolžino. Prepro-
sto uklonsko mrežico imate tudi doma. Oglejte si
katero od svetečih diod kot odsev na CD-ju ali DVD-
ju. Ali tam tudi vidite večkratno sliko?
fotografija: Tomaž Lovšin
2
foto: Janez Lovšin
  
 
   
 
4
ISSN 0351-6652M
A
TE
M
A
TI
K
A
+F
IZ
IK
A
+A
ST
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
TV
O
#
presek  letnik 39  ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 )  š t e v il k a  4
SIG-88
SIG-87
SIG-89