
PRESEK - list za mlade matematike. fizike . astronome in računalnikarje
21. letnik. leto 1993/94. številka 1. strani 1-64
VSEBINA
UVOONIK
FIZIKA
MATEMATIKA
RAČUNALNiŠTVO
ASTRONOMIJA
NALOGE
NOVICE
TEKMOVANJA
REŠiTVE NALOG
NOVE KNJIGE
RAZVEORILO
PISMA BRALCEV
NA OVITKU
Namesto uvodnika (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Arh imed in sežig lad ij (J an ez Strnad ) . . . . . . . . . . 2-7
Od sev (Andrej Likar) 60-64 , III
Kako so ra čunal i pred 134 leti ( Pete r Legiša] 8-13
Brezno trikotn ikov (Marko Lovreč i č Sara žin] . , 34-3 7
Babilonsk i približek za ..j2 (V ilko Domajnko) 40-45
Moj prvi gumb (J ože Marin č ek] 16-20
Daljn ogl ed Leonarda da Vincija (Marijan Pr osen) 28-30
Preprost da ljn ogl ed (Marijan Prosen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38-3 9
Ra ziskovalci v pu š č avi (N eža Mramor-Kosta) . . . . . . . . . . . . . . 7
Kvadrat in kub (B or is Lavri č] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Kvadrat pod krogi (Boris Lavrič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Naloge za mlajše bralc e (B orut Za lar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Koliko tr ikotn ikov (Ivan Vidav) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Rutherford na bankovcu (Janez Strnad) 13-15
Je Fermatov zadnj i izrek dokazan? (Marija Ven celj) . . . . . . . . 22
Dokaz, dolg t iso č strani , potrjuje Fermata
(Ian Stewart, prev. Marija Vencelj) : 23-26
Na športni dan k Vegi v Zagorico (Tomaž Pisanski) 26-27
17. državno tekmovanje sredn ješolcev iz znanja
ra čunalništva (Primož Gabrijel či č] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 . državno tekmovanje za Zlato Vegovo priznanje
(A leksander Potočnik) 30-31
37 . matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije
(Darjo Felda) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45-46
Uspeh na ših olimpijcev v Williamsburgu in Istanbulu. . . . . . .. 46
Državno tekmovanje iz fizike za osnovnošolce 1992/93
(M irko Cvahte, Zlatko Bradat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
14 . mednarodno matematično tekmovanje mest - pomla-
danski krog - reš itve iz XX/P-6, str.342 (Matjaž Leljko) 48-53
31. tekmovanje iz srednješolske fizike (Ciril Dominko) 54-56
Fizika in č u stva (Janez Strnad) ' . 56-58
Nagradna uganka.- iz XX/P-6 , s t r. 321 (Marija Vencelj) .. . . 21
Kotn ik J. , Osnovnošolska matematika za v žep
(Branko Robl ek ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kr ižanka Matemati čn i pojmi (Marko Bokalič] 32-33
Reši tve nalog takoj a li kasneje (Jure Vrhovnik , Mar ija Vencelj) 39
Izpo lnila se m i je želja (Primož Kajdič , Marija Vencelj) ... . 58-59
Fotografija hrbtne strani kresničke (foto Andrej Likar) . Glej
tud i č la nek Odsev na strani 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
Odsev na razl i čnih od sevnikih (foto Andrej Likar) . . . . . . . . . . IV
1
NAMESTO UVODNIKA
Jon si je oddahnil. Končno sam! Za nedavni peti rojstni dan si je priboril,
da ne hodi več v vrtec, a ima ob starših, dveh starejših bratih pa še sestri
redkokdaj kakšno mirno urico sam zase. Na živce mu gre , ko se čisto brez
potrebe kar naprej dogovarjajo, kdaj bo kdo doma, 'da Jon ne bo sam '. Kot
da bi imel šele štiri leta!
ln te nenehne prepovedi! Ne smeš tega, ne onega, ne dotikaj se vtičnic
in aparatov, za to si premajhen, lahko se ti kaj zgodi . . . Saj ve, kako je treba
prijeti vtikač! Le zakaj bi bilo potem to zanj bolj nevarno kot za mamico, ki
velikokrat sploh preveč hiti in je zato površna?
No, vsaj računalnika mu niso prepovedali. Jon sicer ve, da je tudi za tem
skrita ena sama preračunljivost. Dobra igrica je enkratna varuška, kadar ga
morajo pustiti nekaj časa samega. A računalnik ima vseeno rad in je zadnje
čase res bolj pridno doma . Prej so ga ob podobnih priložnostih navadno dolgo
panično iskali po okoliških hišah , kamor je šel malo na obisk!
Jon je prižgal računalnik in odtipkal svoje ime. Branje in pisanje, ki so
se z njima mučili brata in sestra , sta se mu sicer zdela čista potrata časa, a
kaj hitro je spoznal vrednost tistih treh črk svojega imena, s katerimi je lahko
na domačem računalniku pognal svojo najljubšo igrico. Nikoli se ni zmotil v
vrstnem redu!
Toda danes se je igrice hitro naveličal. Vabil ga je stari dobri peskovnik
na dvorišču. Samo še trenerko bo slekel, da ne bo prepolna peska - vidite na
kaj vse zna misliti - in oblekel kratke hlačke.
Toda tele hlačke bo trebe polikati! '" Ja, ja, vem, da mi je likalnik
prepovedan, toda saj sploh ne vedo, kaj vse že znam narediti. Hlačke bom
polikel, potem bom pa vse lepo pospravil, da ne bodo nič opazili. Le kaj bi
jih po nepotrebnem razburjal. Očka, ki tudi doma premišljuje kot na kliniki,
že tako pravi, da bodo zaradi mene vsi dobili čir na želodcu.
Premišljeno, narejeno . . . še pospraviti mora.
Jon je potegnil vtikač iz vtičnice. Toda, joj! Zgrožen je ugotovil, da se
likalnik ni 'ustavil'. Se naprej je bil topel. Kako le, saj ni naredil nič narobe! A
luč ugasne, če obrneš stikalo, televizor in računalnik nehata delati, če pritisneš
na gumb, celo avto preneha ropotati, ko obrneš ključ! Le kaj je treba narediti
z likalnikom, da bo spet mrzel? Pa tako je bil prepričan, da že vse ve ...
Jon je resnični deček iz Ljubljane .
Marija Vencelj
Poznal je rotacijski
usmeril sončno svet-
'-,-/'/"r L ""
ARHIMED IN SEŽiG LADIJ
Arhimed je živel od 285 do 212 pred nasim štetjem v Sirakuzah na Siciliji
in je bil uspešen fizik in matematik . V šoli se pri fiziki z njim srečamo, ko
obravnavamo vzvod, vzgon , zrcala .
Poznal je izrek, po katerem je v ravnovesju ravnega vzvoda produkt
bremena in ročice na eni strani osi enak produktu bremena in ročice na drugi
strani . Na osnovi te ugotovitve je izjavil : "Dajt e mi trdno točko, pa bom
dvignil Zemljo."
Odkril je zakon o vzgonu : Mirujoča tekočina deluje na telo , ki ga obdaja z
vseh strani, navpično navzgor s silo , enako teži izpodrinjene tekočine. Preblisk
naj bi dobil v kopaini kadi, nakar naj bi od navdušenja pomanjkljivo oblečen
stekel na ulico in vpil: "Heureka, heureka!" (Odkril sem, odkril sem!)
Odkritje mu je omogočilo, da je določil gostoto vladarjeve krone in s tem
delež zlata v zlitini s srebrom.
Ukvarjal se je z ravnimi in ukrivljenimi zrcali.
paraboloid in vedel za njegove lastnosti . Z zrcali naj bi
lobe na rimske ladje in jih za žgal.!
Bizantinski zgodovinar Tzetzes je v 12. stoletju zapisal : "Ko se je
Marcellus umaknil z ladjami za streljaj od obale , je starec postavil nekakšno
šestkotno zrcalo in je v razdalji v sorazmerju z velikostjo zrcala namestil
manjša pravokotna z njim povezana zrcala na tečajih tako, da jih je bilo
mogoče premikati . Naredil je steklo za središče sončnih žarkov - opoldanskih
žarkov poleti ali pozimi . Potem ko so se žarki odbili , se je vnel na ladjah
strašen ogenj in jih spremenil v pepel. "
Podobno zveni zapis drugega bizantinskega zgodovinarja Joannesa Zo-
narasa iz istega časa : "Nekakšno zrcalo je nagnil proti Soncu in zgostil z njim
žarke , da se je zaradi debelega in gladkega zrcala vnel od njih zrak in je nastal
velik plamen . Usmeril ga je proti zasidranim ladjam , dokler jih ni vseh uničil."
Veliko prej je grški zgodovinar Polib ij sicer poročalo Arhimedovem sode-
lovanju pri obrambi mesta, toda sežiga ladij ni omenil. Tudi rimska zgodov-
inarja Plutarh in Livij omenjata zgolj hlode , ki so jih metali na ladje , da so
1 Na zgodbo pogosto naletimo v revijah, ki so posve čene pou čevanju in zgodovini fizike .
Starejši je na primer prispevek D.L.Simmsa Arhimedes and burning mirrors (Arhimed in
za žigalna zrcala) v Physics Education 10 (1975) 517 . Z vprašanjem se je podrobno ukvar-
jal R.Clift v magistrski nalogi na univerzi v Leicestru v Angliji, ki jo je naredil pod vodstvom
A.A.M illsa: RefJections on the 'burning mirrors od Archimedes' with a consideration of the
geometry and intensity of sunlight refJected from plane mirrors (Razglabljanj e o 'A rhime-
dovih za žigalnih zrcalih' z obravnavanj em geometrije in gostote energijskega toka sončne
svetlobe, ki jo odbijejo ravna zrcala) v European Journal of Physi cs 13 (1992) 268 - 279 .
3
potonile, ali vzvode, s katerimi so dvignili ladje in jih obrnili, da so mornarji
popadali iz njih.
Slika 1. Lesorez po arabskem viru iz knjige o op tiki Federica Risnera , ki je izšla v Baslu
leta 1543.
Čeprav Tzetzes in Zonaras nista na najboljšem glasu, je sporočilo od
nekdaj vznemirjalo fizike. Obdobjem , v kat erih so mu verjeli (slika 1) , so
sledila obdobja , ko so ga odklanjali. Dandanes mu ne verjame mo, ker govorijo
proti njemu fizikalni razlogi. Morda so Sirakužani zažgali rimske ladje z
grškim ognjem, vnetljivo mešani co, s katero so obmetaval i ladje. Metalne
naprave si je najbrž zares zamislil Arhimed . Rimski vojskovodja Marcellus je
po neuspehu leta 213 pred našim štetjem Sirakuze oblega l in jih naslednje
leto zavzel. Vojakom je ukazal , naj pripeljejo Arhimeda . Tistemu, ki je vdrl
4
k njemu , je Arhimed , za top ljen v svoje rač u n e rekel: "Ne dotikaj se mojih
krogov ." To je voja ka tako razhudilo , da je Arhimeda ubil.
Noben pisec kriminalnih zgodb ne bo prezgodaj razkril konca, pisec
fizikalne zgodbe pa si to lahko privošč i , ker je pot do konca pomembnejša od
konca samega . Ta pot je dandanes , ko poskušamo izkoristit i sončno energijo ,
še poseb ej zanim iva.
Z majhno zbiraino l ečo je mogoče s sončno svet lobo zažgati papi r. Leča
ima podoben učinek kot zbiraino ali konkavno (vdrto) zrca lo. Lim večje je
zrcalo , tem bolje uspe poskus . Toda ladje so daleč, vsaj zunaj dometa lokov.
Sonce vidimo kot drobno ploš čice . Že Babilonci so vedeli, da ustre za
preme ru plošči ce kot pol stopinje. Ta kot se med letom nekoliko spreminja,
ker odda ljenost Zemlje od Sonca ni stalna . V povrečju navadno vzamemo ,
da vidimo premer Sonca pod kotom 0,53°. Sonce je zelo oddaljeno od zrcala
in slika nastane v gori ščni ravnini . V ena čbo za zbiraino zrcalo ali lečo
1 1 1
-;+J;=f
vstavimo za razdaljo predmeta a -+ oo, pa dobimo za razdaljo slike b goriščno
razdaljo f. Za velikost slike yi velja enačba yi = Yb]a = yf/ a , če je y
velikost predmeta. Premer slike Sonca je potem
I = ~f = 0,53 ·211" f = -.!..-
y a 360 107'
Pri tem kota ne merimo po babilonsko v stopinjah, ampak z lokom, ki ga izreže
iz kroga zradijem 1. Kot , pod kate rim vidimo v razdalji a premer Sonca y, j e
potem y / a ali O, 53° . 211" /360° (slika 2). Polnemu kotu 360° ustreza namreč
lok 211" . 1, kotu 1° lok 211" . 1° / 360° in kotu 0,53° lok 0,53° · 211" . 1/360° .
Kot je tako majhen , da lahko spregledamo ukrivljenost loka .
~~t
Se nce "
cl
tt - - -
b=f
. :
zbrro tric
z rco to
Slika 2. Premer Sonca vidimo po kotom 0. 53 ° v bab ilon ski meri a li pod kotom 0 ,53 .
211" / 360 = 0 ,0093 v ločni meri . Zb irain o zrcalo v razd alji b = f da sliko v obliki kroga s
prem erom O, 0093f = f / 107 .
5
Na vrh zemeljskega ozračja prihaja skozi 1 kvadratni meter veliko ploskev
pravokotno na smer svetlobe s Sonca moč 1,35 kW (1 kilowattje 1000 wattov ,
1 watt pa je 1 joule na sekundo) . Nekaj se je v ozračju absorbira in nekaj
sipa , tako da je na morski gladini, ko je Sonce v zenitu , pravokotno na smer
svetlobe gostota energijskega toka j = 0,93 kWjm2 . Vzemimo, da zrcalo z
radijem R vso vpad no svetlobo odbije in leča vso prepusti . Na zrcalo ali lečo
pade svetlobni tok 7rR2j , ki pade tudi na s liko 7r. !y ,2j' . Gostota energijskega
toka na slik i je
' 1 _ 4R2 _ (2R) 2 J
J - yl2 - f 1072'
Gostoti energijskega toka toka , ki pade na zrcalo ali lečo, je enaka , ko velja
zveza
l2R+ O.0093b
f
2R = 107.
Približno lahko r ečemo, da v večj i razdalji od stokratnega premera zbiraino
zrcalo ali leča ne zgostita več sončnega energijskega toka.
To spoznanje je omenil Rene Descartes v Dioptiki že leta 1637. Zato ni
verjel vesti o Arhimedovem sežigu ladij s sončno svetlobo . Pozneje pa so na
spoznanje pozabili .
Da bi dobili veliko gostoto energijskega toka, moramo uporabiti zrcalo
ali lečo z majhno goriščno razdaljo in velikim premerom . Velika zrcala in še
posebno velike leče pa imajo napake, za radi katerih je slika Sonca popačena,
tako da je gostota energijskega toka manjša od izračunane . Današnje naprave
za izkoriščanje sončne energije pri visoki temperaturi imajo zato paraboloidna
zrcala z majhno goriščno razdaljo in razmerje f j2R med 0,8 in 1. V razdalji,
ki je večja kot stokratni premer , zbira ino zrca lo ali leča ne zbira več sončne
svetlobe.
ra vno
zrcalo
__------ b----- - -+i
- · -~r
O,0093b!.~..l. .
t·
odb it i
cur ek
Slika 3 . Presek curka sončne svetlobe, ki se odbije na krožnem ravnem zrcalu s premerom
2 R na zaslonu v razdalji b od zrca la.
fi
Premislimo, kako je z ravnim zrcalom. Vzemimo ravno zrcalo v obliki
kroga s premerom 2R v razdalji b od zaslona , na katerega usmerimo odbiti
curek. Na tem zas lonu ima curek premer 2R(1+ ~ b/107) (slika 3) . Svetlobni
tok v tej razdalji 7I"R2(1 + ~b/107)2jb je enak svetlobnemu toku na zrcalu
71" R2j , če je j gostota svetlobnega toka na zrcalu . Gostota svetlobnega toka
v odbitem curku na zaslonu je tedaj
. J
Jb = (1 + ~b/107 R f '
V majhni razdalji od zrcala (b « 2 . 107 R) velja približno jb = J ln je
gostota energijskega toka v odbitem curku taka kot v vpadnem curku . Presek
curka se ujema z obliko in velikostjo zrcala , je na primer pravokotnik, če je
zrcalo pravokotnik. V.veliki razdalji od zrcala (b » 2 . 107 R) pa je gostota
energijskega toka v odbitem curku približno obratno sorazmerna skvadratom
razdalj e: jb = j(2 . 107Rf/b2 . Tako odvisnost poznamo od svetila, ki
seva enakomerno na vse strani . V tem primeru velikost zrcala ne vpliva
na odvisnost gostote energijskega toka od kraja , nanjo vpliva le razdalja od
zrcala . V tem primeru je presek curka krog , ne glede na obliko zrcala .
Vojak lahko brez večjih težav premika ravno zrcalo v obliki pravokotnega
ščita z višino ~ m, širino i min ploščino 1 m2 . Zrcalo je podprto z drogom ,
da ni treba prenašati njegove teže . Njegova zglajena bakrena ploskev odbije
približno polovico vpadnega energ ijskega toka.
Vzemimo, da so Rimljani napadli Sirakuze okoli spomladanskega enako-
nočja , ko je bilo Sonce v Sirakuzah opoldne 37° od zenita . Svetloba prepotuje
v ozračju večjo razdaljo kot tedaj , ko je Sonce v zenitu, in je zato ozračje nekaj
več zadrž i. Na kvadratn i meter veliko ploskev pravokotno na smer svetlobe
pade samo energijski tok 0,87 kW, ne 0,93 kW. Z zemljevida je mogoče
razbrati , da so priplule rimske ladj e od vzhoda . Zato je moralo zrcalo za 90°
preusmeriti sončno svetlobo, tako da sta bila vpadni in odbojni kot skupaj
enaka pravemu kotu in je bil vpad ni kot torej 45°. Efektivna širina zrcala je
tedaj merila samo ~ rn-cos45° = 0,53 m in efektivna ploščina ~ . ~ . cos45°
m2 = 0,7 m2 .
Računajmo za ladje v razdalji b = 60 metrov . V tolikšni razdalji sta bili
višina in širina odbitega svetlobnega curka za b . 0, 53 . 271" /360 = 0,56 m
večj i od višine in širine zrca la. Presek curka je meril (~ + 0, 55)m ·(0 , 53 +
+ 0,55) m == 2 m2 . Ker se je presek curka povečal od 0,7 m2 na 2 m2 ,
se je gostota energijskega toka zmanjšala v enakem razmerju, torej za faktor
0,7/2 = 1/2,86 . Gostota energijskega toka v razdalj i 60 m od zrcala je
7
bila tedaj zaradi izg ub pri odboju in povečanega preseka samo i · 2 ~6 . O, 87
kW/m 2 = O, 15 W/m2 . '
Poskusi v šestdesetih let ih so po kazali , da se suh les vžge v 10 sekundah ,
ko preseže gostota energijskega toka 63 kW / m2 . Les spočetka nekaj svetlob e
odbije , a ko se osmodi in počrn i , je odb ije vse manj. To je 420-krat več od
gostote energijs kega toka , ki jo da op isano zrca lo v oddaljenosti 60 m . S
sončno svetlobo v navedenih o koliščinah bi bilo potemtakem mogoče za žgati
po l kva drat nega metra velik kos lesa, če bi usmerili na nj 420 zrcal. P ri tem bi
moralo 420 mož usmerjati svoja zrcala popolnoma ubrano . To je bilo komaj
mogoče doseč i. Vrhu tega tol iko mož ne bi moglo kako drugače sodelova ti
pri obrambi . Navsezadnje pa bi morna rj i na ladji z vodo brez te žav pogasili
smodeči se les .
Po vsem tem uvidimo, da zgodbi o Arhimedovem se žigu rims kih ladij s
sončno svet lobo ne ka že zaupati . En ako je tudi z nekaterimi drugimi zgodba m i
o Arh imed u, posebno s tisto , da je poma njkljivo oblečen tekel po Sira kuzah
in vpil "Heureka! " . Takšnih zgodb je v zgodovini fizike še nekaj, denimo,
da je Ga lileo Galilei spuščal ka m ne s poševnega stopla v P isi ali da je Isaacu
Newtonu priše l na misel gr av itacijski zakon , ko je na vrtu opazil padajoče
j abolko . Vendar so zgodbe poučne in velja navadno zanje it a lij a nski pregovor:
"L e ni res , je vsaj lepo povedano."
Janez Strnad
RAZISKOVALCI V PUŠČAVI
Št irj e raziskovalci so se nekoč podali peš na pot v izsušeno in čisto prazno
puščavo, skozi divjino , v kate ri ni bilo niti potočka , kaj šele gostilne. Tako so
morali poleg hrane in opreme s seboj nositi tudi dovolj pitne vode za preživetje .
Ob vsej drugi prtljagi je lahko vsak nosil dovolj vode za enega popotnika za
deset dni. Le bi ostali vsi štirje skupaj, bi tako lahko prodrli samo pet dni
hoje v divjino , potem pa bi se moral i obrniti , da bi jim za loge vode zdržale še
za pot nazaj . Le pa bi se eden od njih obrnil čez dan ali dva in bi s seboj vze l
samo dovolj vode zase za pot nazaj , razdeli l med svoje sopotnike toliko , kot
bi ti lahko nosili , ostalo pa odložil nekje , kjer bi drugi trije lahko na šli na poti
nazaj, bi lahko ostali prodrli malo dlje in tako raz iskali še malo več divjine ,
preden bi se morali vrniti . Kako daleč v puščavo bi lahko na ta n a či n prišel
eden od raziskovalcev, če predpostavimo , da so prerazporejali in od lagali svoje
zaloge le ob koncu vsakega dne?
Neža Mramor - Kosta
KAKO SO RAČUNALI PRED 134 LETI
Oglejmo si nekaj nalog iz Močnikove "Računice za slovenske šole na deželi
v avstrijanskem cesarstvu" . Knjiga je izšla leta 1859 . Naloge bomo navajali
praktično dobesedno tako kot v knjigi.
Začnimo s preprostejšimi:
* Oče pošlje Miheta po 1 bokal vina in po 1 hleb kruha. Vino velja 36
krajcarjev , kruh pa 12 krajcarjev; koliko bo naštel?
Tu se srečamo s takratnim denarnim sistemom: 1 goldinar je imel 100
(nov ih) krajcarjev . Novih zato, ker je še malo pred tem en goldinar imel
60 krajcarjev, Denarna reforma je bila eden prvih korakov v modernizaciji
takratn e monarhije .
* Za plašč velja sukno 21 gl. 32 kr., podloga 2 gl, 64 kr., druga priprava
1 gl. 94 kr., plačilo za delo 4 gl. 80 kr.: koliko velja cel plašč?
* Kovač je kmetu Slaneu te-le reči naredil: nov voz okoval za 9 gl. 20
kr., 2 novi sekir i naredil za 1 gl. 84 kr., brano popravil za 88 kr., 2 verigi
naredil za 4 gl. 50 kr., 2 lerneža podstavil za 1 gl. 66 kr. , 3 gnojne vile
popravil za 78 kr.: koliko dobi kovač p lačila?
* Za novo hišo so prevdarili naslednje stroške: za zidarsko delo 1916
gl., za tesarsko 849 gl., za mizarsko 365 gl. , za ključavničarsko 173 gl., za
l o n čars ko 108 gl. in za razne druge reči 108 gI.; koliko za vse skupaj?
* Štacunar je prodal na semnji 4 ducate nožev za 17 gl. 96 kr., 4 ducate
vilic za 5 gl. 76 kr., 9 ducatov žlic za 30 gl. 66 kr. in 3 ducate okrožnikov
za 7 gl. 12 kr. : koliko je izkupil?
Oglejmo si še nekaj statističnih podatkov. Mera za površino zemljišča je
bil oral, to je malo več kot pol hektarja :
* Na Kranjskem je 237625 oralov njiv, 16814 oralov vinogradov , 291550
oralov senožet in vrtov , 414758 oralov pašnikov in 693418 oralov gojzdov;
koliko oralov rodovitne zemlje je to skupaj?
* Kranjska je štela v letu 1836 442900 stanovalcev, v letu 1854 pa
505886 ; za koliko je število ljudi v tem času zraslo?
Iz teh in prejšnjih podatkov lahko hitro preračunarno, koliko rodovitne
zemlje je v letu 1854 prišlo na prebivalca Kranjske . Upoštevajmo, da en oral
meri približno 5752 m 2 , pa ugotovimo, da je takrat na Kranjskem na prebi-
valca prišlo: 2700 kvadratnih metrov njiv, 190 kvadratnih metrov vinogradov,
3300 kvadratnih metrov senožeti in vrtov (kamor so po vsej verjetnosti sodili
tudi sadovnjaki), 4700 kvadratnih metrov pašnikov in 7900 kvadratnih metrov
gozdov . Pri računanju seveda nismo bili tako pedantni kot takratni uradniki
9
in smo rezultate nekoliko zaokrožili. Od vse te tako imenovane rodovitne
zemlje je bilo : gozda 42% , pašn ikov 25% , senožeti in (sadnih) vrtov 18%,
njiv 14% in vinogradov 1% . Ker je treba upoštevati , da je bil določen dele ž
kranjskega ozemlja tudi " nerodoviten" (po takratnih meril ih) , bi bili ti deleži ,
če bi jih računali glede na ce lotno površino , še manjši. Gozda je danes skoraj
gotovo več, saj pokriva približno pol Slovenije. Vseh drugih oblik " rodovitne
zemlje" pa je kvečjemu manj. Ker se je medtem povečalo tudi prebivalstvo ,
bi bile danes vse izračunane količine na prebivalca manjše . Prava primerjava
z današnjimi podatki pa je težka , saj Kranjska ni več upravna enota .
Pač pa to lahko primerjamo s podatki za vse avstrijsko cesarstvo :
* Avstrijansko cesarstvo obseže 11593 kvadratn ih milj zemlje , na kteri
prebiva 36898000 duš v 864 mestih, 2468 trgih, 64218 vaseh in 5336548 hišah .
Rodovitne zemlje ima : 36951164 oralov njiv in riževega polja, 1759271 oralov
vinogradov , 114462 oralov oljkinih in kostanjevih logov, 11595152 oralov
senožet in vrtov, 12377233 oralov pašnikov in 35307355 oralov gojzdov.. .
Na prebivalca Avstrije j e torej takrat prišlo: 5800 kvadratnih metrov njiv
in riževega polja, 270 kvadratn ih metrov vinogradov, 20 kvadratnih metrov
kostanjevih in oljčnih logov, 1800 kvadratnih metrov senožeti in vrtov, 1900
kvadratnih metrov pašnikov in 5500 kvadratnih metrov gozdov.
Kranjska je torej imela v primerjavi s celotno Avstrijo na prebivalca
bistveno manj orne zemlje, zato pa nekaj več gozda in precej več senožeti ,
sadovnjakov in pašn ikov.
Upoštevajmo še , da je ena milja merila približno 7586 metrov . Torej je
cesarstvo imelo površino okrog 670 tisoč kvadratnih kilometrov. Ugotovimo
še , daje kvadratna milja morala imeti 10000 oralov. Od tod hitro izračunamo,
da je v takratni monarh iji od celotne površine odpadlo na njive in riževa
polja 32%, na gozdove 30%, na pašnike 11%, na senožeti in (sadne) vrtove
10%, na vinograde 2% , na kostanjeve in oljčne nasade pa desetinka procenta .
Preostalih 15% površine je bilo verjetno neuporabnih za tako ali drugačno
kmetovanje (naselja, močvirja, visokogorski svet. .. ) .
Nadaljujmo z vajami v odštevanju :
* Kava je v letu 1644 prvič v Evropo prišla ; koliko let je od tistega časa?
* Boštjan je za 347 gI. 65 kr . masla nakupil , za 409 gI. 95 kr . pa
prodal , koliko ima dobička?
* Kmet im a 95 gI. 45 kr . davka na leto plačevati; če je prvega polletja
43 gI. 36 kr . odrajtal, koliko bo imel še za drugo polletje plačati?
* Nekdo plačuje od stanovanja 135 gI. najemnine na leto; koliko je še
dolžan, če je za to leto že 98 gI. 54 kr . plačal?
10
* Neki gospod je vzel ce lo kmet ijo v naj em za 2845 gl. : t a kmetija pa
mu je le 2712 gI. dones la ; koliko j e im el izgube?
* Ba la platna bi imela m eriti 35 va t lov, ima pa ga le 33 ~ va tlov ; koliko
ga je premalo?
Vatel je meril pribl ižno 78 cm . Zmešnjava z merami je bila velika in jo je
kmalu zat em razrešila uvedb a metri čnega sistema . Tako je se ženj a li klaftra
meril 6 čevlj ev ali približno 1,9 metra:
* Od 17 se žnjev nasekan ih dr v prodajo oče 9 ~ se žnja ; koliko so za
domačo kurjavo zadržali ?
Ni navedeno , za katero zemlj episno širino velj ajo naslednj i podatki :
* P ri nas j e na r daljši dan 15 ur 58 ~~ mi nut in nar kraj ši 8 ur 23~~
mi nut; za koliko j e r a z loček med na r dalj šim in nar kraj šim dnevom?
Oglejmo si zdaj naloge iz množenja :
* Za novo hišo je pot reba 85000 o pek .; koliko ve lja vsa op eka , če se jih
1000 po 15 gold ina rjev plača?
Le so bile opeke takra t iste velikost i kot danes , bi to znesla kakih 200
kubikov opeke . Torej j e šlo za ve liko hišo , tudi če upoštevamo, da so bili
zidov i ti ste ča se debeli . To na mreč zvemo iz naslednje na loge:
* V zidu je na do lgost 124 , na visokost 48 in na širokost 6 opek ; koliko
jih j e v celem zidu?
Zdaj se bomo srečali še z eno dolžinsko me ro , to j e čev lj em, ki j e meril
31,6 cm:
* Glas veni seku nd i preleti 1050 čevlj ev, koliko pa veni minuti ?
P rost orn inska mera je bila vedro , ki je imelo 40 bokalov ali približno 57
lit rov:
* Kmet je rneš čanu 345 gold inarjev dol žan; po trgatvi da svojemu poso-
j evav cu 55 vede r mošta po 4 goldinarje ; koliko mu še ostane dolžan?
Tu ima mo t udi obrestni račun :
* Mesar kupi 3 rejene vole, kt eri so brez kože in droba ravno 38 centov
tehtali ; koliko mesa in ko liko loja j e od njih dobil, če se pri vsakem centu šteje
77 funtov mesa in 23 funtov loja?
En funt je bil približno pol kilograma ; 100 funtov je dalo en cent.
* Cent železa velja 12 g l. : koliko moramo plačati, ako vzamemo 57
centov?
* Koliko velja 85 centov koroškeg a svinca , če en cent 8 gI. 54 kr . velja?
Podatki v tej zadnji nalogi so vprašljivi , saj naj bi bil svinec cenejši o d
železa .
* Od 24 bokalov dob rega mleka dobimo t oliko smetane, da se funt masla
11
iz nje skuha ; koliko mleka s smetano je treba , da bi se 50 funtov masla dobilo?
Bokal, ki smo ga že omenili, je meril približno 1,4 litra . Da je iz 34 litrov
mleka prišlo tako malo masla , je morda krivo stanje tehnologija . Takrat še ni
bilo centrifug za posnemanje smeta ne.
* Pri mlenju rži se šteje 84% moke in 14% otrobi . Koliko moke in koliko
otrobi bi se dobilo od 125 funtov rži?
Ta moka je bila očitno precej črna , saj je procent otrobov majhen .
Zanimivo je , da danes spet prihaja v modo taka moka in podobni mlevski
izdelki.
* Mesar kupi 95 ovec in jih plača po 4 gI. 72 kr.; koliko bo moral dati
za vse?
* Usnjar proda 52 butar kož, vsaka butara šteje 10 kož, za vsako kožo
dobi 6 gI. in ima dobička pri vseh 208 gI.; koliko njega velja 1 koža?
Oglejmo si še nekaj drugih nalog iz " proizvodnje" :
* Gospodinja proda 19 funtov težek lonec masla za 7 gI. 50 kr.; če je
prazen lonec 4 funte tehtal, po čem je prodala?
Embalaža, to je glinasti lonec, je bila seveda večkrat uporabljiva.
* Vrtnar proda 65 mlad ih drevesc za 19 gI. 50 kr. ; koliko pride na 1
drevesce?
* Svilar dobi od svojih rneši čkov 8 funtov surove svile; koliko je za njo
potegnil , če je funt po 12 gI. 42 kr. prodal?
V času , ko ni bilo umetnih vlaken, je bila svila edina surovina za fine
tkanine. Bila pa je zaradi opisanega načina proizvodnje zelo draga . Zato so
takrat marsikje poskušali gojiti sviloprejke. Ljubljanska četrt Murgle nosi ime
po nasadu murv, katerih listje je hrana za sviloprejke.
* Koliko velja vedro piva ali ola , če se za 18 veder 65 gI. 16 kr. plača?
Grosistična cena piva je bila torej kakih 6 krajcarjev za liter.
* Koliko znese 48 parov golobov po 34 kr. ?
* Steklenica kisle vode velja 24 kr., koliko bi veljalo 18 steklenic?
Očitno je bila kisla voda luksuzni art ikel in zato sorazmerno draga (mno-
go dražja od piva) . Primerjamo cene še z zaslužki :
* Dninar dela 25 dni in zasluži vsak dan 90 kr.; koliko zasluži?
* Tesar zasluži na dan 85 kr.; koliko pa na teden?
Seveda je takrat teden imel 6 delovnih dni. Tesar je torej zaslužil na
mesec kakih 23 goldinarjev, kar je manj, kot je stal plašč iz ene od prejšnjih
nalog .
* Tkavec stke na leto (v 304 delavnikih) 1520 vatlov platna; koliko vatlov
platna iste sorte bi 30 tkavcev natkalo?
12
Nadaljujmo s snovjo iz kmetijstva in drobnega gospodarstva :
* Na Kranjskem odredijo na leto okolj 84690 krav; koliko mleka se od
njih dobi. ako ena krava sploh 810 bokalov mleka da?
Ena krava je torej dala povp rečno 1200 litrov mleka letno . Današnje do-
bre krave ga dajo nekajkrat toliko. "superkrave" pa tudi desetkratno količino.
Mera za žita je bil mernik. to je približno 30 litrov:
* Tvoj oče prodajo 19 mernikov ajde po 1 gI. 6 kr.; koliko dobijo zanjo?
* Po čem pride 18~ mernikov turšice ali koruze. če je mernik po 2~ gl.?
Danes je razmerje v ceni ravno obratno: ajda je mnogo dra žja od koruze .
* Koliko velja 7 sežnjev drv. če je seženj po 4~ gI. 7
* Tomaž naredi 45 grabelj in j ih proda na semnju po 26 kr.; koliko
potegne zanje?
* Povej mi ti. Železnikarjev Tone. če tvoj oče 300 kos po 70 kr. prodajo,
koliko da za nje potegnejo?
Za konec si oglejmo še naloge iz deljenja :
* Klemen navoz i na veliko cesto 15 vozov peska in dobi 5~ gI. vozrune:
koliko bi si zaslužil, če bi ga 45 vozov navozil?
* V neki fabriki mora oskrbnik delavcem na teden 130 gI. izplačati ; koliko
delavcev je, če vsakteri 6 ~ gI. dob i?
* Koliko velja 1 cent živega srebra . če 14 centov 2450 gI. velja?
* Kaj velja vatel sivega sukna , če 2~ vatla 5 gI. 50 kr. veljata?
* Gospodinja da tkavcu platna delati . te ga tka vec po ~ vatla široko
naredi. ga iz dane preje 54 vatlov ; koliko vatlov ga bo dobila, ako mora platno
1 vatel široko biti?
Opazimo lahko , da so domače platno pogosto tka li precej ozko: t ri čet r t
vatla je približno 60 cm . Konfekcije pa takrat še ni bilo:
* Koliko srajc se da narediti iz 60 vatlov platna. če se za srajco 3 ~ vatla
porabi?
Gostilničarji so sloveli po manipulacijah z vinom :
* Krčmar zmeša 16 veder vina po 12 gI. in 24 veder po 18 gI.; kako
drago je vedro zmešanega vina?
Sociala pa je delovala takole:
* Med 4 vboge učence se razdeli 36 kr. vsem enako; koliko pride na
enega ?
* 28 revežem se razdeli 36 gI. 96 kr.; koliko dobi vsak?
Na koncu navedimo še eno nalogo. ki je bila (verjetno namenoma) slabo
zastavljena:
· /lIO/i /CE .. ..
* Kupovavec pelje de žo masla v mesto . Vrh klanca sirote] zvrne, de ža
se po pečovji v dol poteči , razbij e in maslo raznese. Masla je bilo 3 cen te 45
funtov; koliko škode je imel. če je sam funt po 16 kr. nakupil , in če bi ga bil
v mestu po 24 kr. lahko proda l?
Danes bi bila taka naloga lahko razlog za zan imivo debato v razredu .
Takrat je seveda u čiteljeve avtoriteta bila mnogo večja kot danes in je razpra-
va, če je sploh prišlo do nje, bila po vsej verjetnosti omejena na u čiteljeve
vprašanja in odgovore učencev. Vedelo se je tudi , kdo ima zadnjo besedo.
Peter Legiša
RUTHERFORD NA BANKOVCU
Prese k je poročal o izraelskem bankovcu s sliko Alberta Einsteina , o avstrij-
skem s sliko Erwina Schrodingerja , o hrvaškem s sliko Rudjera Boškovi ča,
Zdaj je prišel v promet novozelandski bankovec za sto dolarjev s sliko Ernes-
ta Rutherforda, najznamenitejšega novozelandskega raziskovalca . Dosedanji
bankovci te države so imeli sliko angleške kraljice.
Ernesta Rutherforda (1871 do 1937) imenujejo očeta jedrske fizike. Ro-
jen je bil na Novi Zelandiji . Po študiju na univerzi je leta 1894 odšel s
štipendijo k J .J.Thomsonu v Cambridge. Tam je kma lu po odkritju za čel
raziskovati radioaktivnost . Leta 1896 je manj prodorno sevanje imenoval
žarke cx in bolj prodorno žarke {3 . Pozneje so zaznali še bolj prodorno se-
vanje "(.
Najprej je kazalo, da se sevanje radioaktivnega izvira s časom ne spre-
minja. Rutherford pa je leta 1899, leto prej je postal profesor v Montrealu v
Kanadi, s sodelavcem opazil , da je bila radioaktivnost nekega izvira odvisna
od tega, ali so vrata laboratorija odprta ali zaprta . Zato sta raziskala plin,
ki sta ga odčrpala iznad izvira , in ugotovila, da njegova radioaktivnost s
časom pojema , in sicer se zmanjša na polovico v rezpoiovnem času. Tako
je bil odkrit eksponentni zakon za radioakt ivno razpadanje. Diagram , ki
kaže , kako radioaktivnost radona pojema in radioaktivnost polonija narašča ,
je Rutherford postavil v grb , ko je dobil plemiški naslov . (Radij razpada na
radon, ta pa na polonij.) Diagram je odtisnjen tudi na bankovcu .
Leta 1902 je Ruitherford napovedal , da se pri radioaktivnem razpadanju
spremenijo atomi , ki so dotlej veljali za nesestavljene in nespremenljive .
Naslednje leto je s Hansom Geigerjev izmeril razmerje med nabojem in maso
14
delcev Q . Ugot ovila sta , da imaj o t i delci maso helija, če imajo dva osnovna
nab oja . Vedeli so , da j e v radioaktivnih snoveh in v njihovi bližini precej helija.
Rutherford je spust il delce Q iz rad ioaktivnega izvira skozi tanko stekleno
cevko v posodico. Zbrani plin je stisnil in pognal skozenj električn i tok. V
izsevani svetlobi je nedvou mno zaz nal črte z valovnimi dolžinami, značil nimi
za helij.
Rutherfordu je uspelo pridobiti tol iko radona, da je izmeril njegove last-
nost i, med njimi vrelišče .
Leta 1907 je Rutherford prešel v Manchester in tam zbral skupino mladih
fizikov z vsega svet a . Se naprej je z Geigerjem raziskoval delce Q iz radioak-
tivnih snovi. Po kinetični energiji delca Q je bilo mogoče sklepati, da se pri
razpadu sprosti energija , ki je večmilijonkrat večja kot pri kemijski reakcij i.
15
Gram radija oddaja energijski tok okoli desetine watta . Rutherford je dom-
neval, da izvira ta energija iz atomov samih . Menil je, da energija te vrste
krije toploto, ki jo oddaja Zemlja.
Od leta 1908 je Geiger opazoval prehod delcev Q skozi samo pol tisoči ne
milimetra debel kovinski listič . Na Rutherfordovo pobudo sta on in Ernest
Marsden raziskala, ali se delci Q morda ne odklonijo za velik kot. Presenečena
sta ugotovila, da se maloštevilni delci močno odklonijo, vsak oserntisoči celo
za kot, večji od pravega. To je bilo v nasprotju s tedanjo sliko, da naj bi
pozitivni naboj, v katerem je zbrana skoraj vsa masa vatomu, bil tako velik
kot atom sam. Leta 1911 je E.Rutherford po Geigerjevih in Marsdenovih
merjenjih sklepal, da je pozitivni naboj več desettisočkrat manjši od atoma .
Tako je bilo rojeno atomsko jedro. Atom so tedaj primerjal i z Osončjern:
okoli jedra se gibljejo elektroni kot planeti okoli Sonca.
Leta 1919, ko je že vodil Cavendishev laboratorij v Cambridgeu, je
Rutherford zasledil prvo jedrsko reakcijo . Delci Q iz radioaktivnega izvira so
potovali skozi posodo s plinom in zadeli fluorescenčni zaslon . Na zaslonu sojih
zaznali po bliskih, ki so jih opazovali skozi mikroskop. Vedeli so, kako debela
plast zraka zadrži delce. Le so namesto zraka vzeli vodik, so na zaslonu opazili
bliske, tudi če so pred zaslon postavili kovinsko ploščice. Pojav so pojasnili s
trkom med delcem Q in vodikovim jedrom, ki prevzame del njegove kinetične
energije in predre ploščice. čeprav je delec Q sam ne more predreti . Začudeni
pa so opazili nekaj bliskov tudi, če so namesto z vodikom napolnili posodo z
zrakom . Z odklonom v magnetnem polju so ugotovili, da tudi v tem primeru
zadenejo zaslon vodikova jedra. Tak izid so opazili samo, če je bil v posodi
dušik, ne pa, če je bil v njej kisik. Pojasniti ga je bilo mogoče le s tem, da se
je pri trku zdelcem Q jedro dušika spremenilo v jedro kisika in v jedro vodika .
Leta 1920 je Rutherford predvidel obstoj nevtrona, ki ga je dvanajst let
pozneje odkril njegov učenec James Chadwick. Leta 1933 pa je izjavil, da je
uporaba energije iz jedrskih reakcij "mesečev sij". Poznejše odkritje verižne
reakcije ga je postavilo na laž.
E.Rutherfod je dobil Nobelovo nagrado iz kemije leta 1908 za "razisko-
vanje spreminjanja elementov in kemije radioaktivnih snovi" .
Janez Strnad
KVADRAT IN KUB
Katero od 1 večje naravno število je kvadrat in katero kub vseh svojih naravnih
deliteljev ?
Boris Lavrič
MOJ PRVI GUMB
Programski jezik BASIC je bil pred leti zelo priljubljen , zlasti pri začetnikih .
Odlikovala ga je preprosta uporaba . Sama beseda basic v angleščini pomeni
osnoven, enostaven . Jezik pa je dobil ime po začetnicah Beginners AII-
purpose Syrnbolic Instruction Set , kar bi prevedli kot simbolični jezik za splo-
šno uporabo, namenjen začetniku. Enostavnost je imela korenine v dejstvu ,
da je BASIC v osnovi tolmač . Torej mu damo ukaz in on ga izpolni. Pro-
grami v BASIC-u pa so zaporedja takih ukazov. Priljubljenost BASIC-a je
dosegla vrhunec s pojavom hišnih računalnikov . Kasneje je zaradi nekaterih
slabosti njegova zvezda nekoliko zašla . Prva pomanjkljivost je počasnost, saj
tolmač znova in znova sproti razvozlava naše ukaze . Druga šibka točka je
množica dialektov , ki so nastali ob poskusih, da bi jezik izboljšali . Kot pošten
Ljubljančan ne razume vsega, kar pove Prekmurec, in obratno, tako BASIC
enega proizvajalca ne razume vsega, kar razume BASIC drugega proizvajalca
(in obratno) .
Dandanes so v naših domovih vedno bolj razširjeni tako imenovani osebni
računalniki. Med njimi pa se nezadržno širi operacijski sistem MS Windows
(Okna) . Odlika dela z Okni je enostavnost , saj kar z miško pokažemo,
kaj pričakujemo od škatle pred nami. Na hitro ponovimo, kako delamo
z Windowsi . Le hočemo pokazati neki objekt , z miško pokažemo nanj in
pritisnemo na njeno (ponavadi levo) tipko. Včasih pomaga, če pritisnemo
dvakrat zapored . Najpogosteje pritiskamo na gumbe različnih vrst. Kadar
moramo z miško kaj pov/eči, to storimo tako , da premikamo miš in hkrati
držimo pritisnjeno (levo) tipko. Besedilo vnašamo v posebne škatlice, v katerih
se miškina puščica spremeni v navpično črto . Pogosto lahko odgovor izberemo
iz seznama pravilnih odgovorov .
Prav zaradi tega pa je programiranje v okolju Windows še toliko bolj
zapleteno. Na prvi pogled se celo zdi, da je začetniku povsem nepristopno,
ker moramo uporabljati gromozansko število funkcij , da lahko nadzorujemo
okna , miško in druge stvari. Na srečo pa nam Visual Basic omogoča tudi
drugi pogled . In ta je prav presenetljiv.
Prednosti Visual Basica pred ostalimi jeziki, ki so doma v Windowsih, so
podobne prejšnji dobrim lastnostim BASIC-a . Zopet gre za neke vrste tolmač.
Je poceni, okrnjena verzija celo zastonj . In, kar je za nas najpomembnejše ,
prav zabavno ga je uporabljati.
Namesto programa imamo v Visual Basicu projekt. To je zbirka obrazcev,
kontrolnih elementov in ustreznih pod programov.
17
Osnova projekta je okvir (Form) . Nanj lahko nalepimo gumbe, škatlice
za vnos besedila , sli čice , sezname, besedila in sploh vse kontrolne elemente
(Controls), ki jih uporabljajo vsi Windows programi , vključno s samimi Win-
dowsi . V resnici je okvir objekt, ki ima določene lastnosti, ki mu jih lahko
spremenimo. Prav tako so objekti vsi zgoraj navedeni elementi . Programi-
ranje v Visual Basicu ni nič drugega kot spreminjanje lastnosti in metod teh
osnovnih objektov.
Kontrolni elementi so zopet objekti . Z njihovo pomočjo vnašamo po-
datke in izpisujemo rezultate ter opravljamo še druge naloge. Primeri kon-
trolnih elementov so gumb (ki ga lahko prit isnemo) , besedilo (izpiše besedilo) ,
slika (nariše sličico) in drugi .
S podprogram; določamo, kako vsi t i objekti sodelujejo med seboj in
se odzivajo na različne dogodke . Podprogrami so edino , kar še spominja na
BASIC, kot ga poznamo denimo s Sinclairjevih mlinčkov .
Ko pokličerno Visual Basic, se po celem zaslonu odpre množica oken.
Osrednje okno je okvir z naslovom Form 1. Drugo okno je seznam lastnosti
objekta (Propert ies), ki ga trenutno določamo. Na začetku so v tem oknu
naštete lastnosti okvira , kot so barva ozadja , oblika črk , napis na vrhu (naslov)
in še vrsta drugih . Za začetek okviru spremenimo naslov. Z miško pokažemo
na polje, kjer piše Caption. Ta las tnost določi ime okvira . (te lastnosti ne
vidimo, jo poiščemo s pomočjo drsnikov .) Spremenimo jo v polju na vrhu
seznama lastnosti (glej sliko 1) . Vtipkamo npr. "Moj prvi program" . Nas lov
okvirja se spreminja hkrati s tipkanjern.
tu popravIjamo vrednost lastnosti
puščica
oznaka
škatla za
vnos
gumb
ime objekta
Slika 1. Škatla z orodji in seznam lastnosti
18
Naslednje okno je škatlica z orodji (Tooibox) . Tam imamo zbrane vse
kontrolne elemente , ki jih pozna Visual Basic. Delo z njimi je zelo enostavno.
Najprej pokažemo objekt, s katerim želimo delati . Nato se pomaknemo
na okvir in tam narišemo objekt. Potem do l oč i mo njegove lastnosti. Pri
tem puščica pa pomeni , da ne bomo dodajali novega objekta , ampak bomo
pokazali objekt, ki je že na obrazcu, in spremenili nekatere njegove lastnosti .
Za osnovn i primer bomo na našemu okvirju dodali besedilo. Z miško
pokažemo polje, kjer je narisana črka A . Potem v okvirju pomaknemo miško
tja , kjer hočemo imeti vogal besedila , in z njo potegnemo do nasprotnega
vogala . V oknu z lastnostmi se sedaj pokažejo lastnosti besedila . Poiščemo
lastnost Caption in jo spremenimo (podobno kot smo spremenili naslov
okvirja), na primer v "Do ber dan!" (naš program mora biti kar se da prijazen).
Na enak način lahko na okvir prilepimo poljubni kontrolni element .
Sestavili smo program, ki izpiše "Dober dan!". Kako to preverimo?
V četrtem oknu, kjer so zbrani ukazi Visual Basica (in je običajno na vrhu
zaslona), poiščemo gumb START, ki požene program . Res , to je gumb, ki
spominja na gumb za predvajanje kasete v vašem radiu . Ko ga pritisnemo,
pomožna okna (škatlica z orodji , seznam lastnosti) izginejo, prav tako pa tudi
pikice na okvirju , ki so namenjene lažji postavitvi objektov nanj . Na okvirju
se izpiše naše besedilo, program pa čaka, da ga ustavimo . Seveda bomo v ta
namen uporabili gumb STOP, ki je spet tak kot na radiu .
Slika 2. Gumba START, STOP
Vendar program, ki samo izpiše besedilo, ni pretirano zanimiv . Pa ga
dopolnimo. Ko smo ustavili program , se je zopet pokazala škatli ca z orodji.
Izberemo puščico in pokažemo besedilo. Okoli besedila se pojavijo majhni
kvadratki , kar pomeni , da ta objekt sedaj spreminjamo. V oknu z lastnostmi
poiščemo lastnost Name (ime) . Trenutno je besedilu ime "Label 1". Ime
popravimo na "Besedilo" . Potem med orodji izberemo gumb in ga dodamo
na okvir. Popravimo mu im e (lastnost Name) na "Gumb" in napis (lastnost
Caption) na "P rit isni!" . (Razlika med im eno m in napisom je , da je napis
namenjen nam, ime pa drugim kontrolnim elementom, kot bomo spoznali čez
19
nekaj vrst ic .) Sedaj bi radi dos egli še , da se bo ob pritisku na gumb napis
v besedilu iz "Dober dan!" spremenil v "Dober program ." . To lahko naredimo
s pomočjo metod. Metode so aktivne lastnosti gum ba . Ko se gum bu nekaj
zgodi (ga pritisnemo, dvakrat pritisnemo, ipd .), se sproži ustrezna metoda
in pok liče podprogram . Ta pa naredi, kar se nam zdi primerno. Metode
poznajo vsi kontrolni elementi , ne samo gumbi . Do seznama metod , ki jih
pozna določen objekt , pridemo tako , da pokažemo nanj in dvakrat pritisnemo
z miško . Od pre se še eno okno . Šele v to okn o lahko pišemo podprogram
v Visual Basicu , ki predstavlja določeno metodo. V našem primeru torej
pokažemo gumb in dvakrat pritisnemo . Iz seznama metod izberemo pritisk
(Click) . Ker še nismo povedali, kaj naj se zgodi ob pritisku na gumb, je ta
me toda prazna (točneje, vsebuje le stavka za začetek in konec podprograma ).
V prazno vrstico med začetek in konec vnesemo:
Besedilo.Caption = "Dober program."
(glej tudi sliko 3) .
f:§['fff:::::::::::Mi:irMiUiMlli@Wffi:::::::::: :::::::::mUfl b
:!!7;i~~M~:::;:::::: : ::=f:t
Duba. d u nl
besedil O\
seznam
metod
/
Fik::::::f:::::::m::::: :=:::::: ::ffffi:::f:tMmM'#K:::::::::=::::::::::::::::::::::: ::fm::::::ff::rg=Z,..
I .1*1 ::=rm%:).(;1 i~~ :r ::1 :m,,~~ Gumb
Sub Gumb-C1 i ck ( ) IBesed i 1o Capt i on = oo Dober program"End Sub \
f.:f:=t: #: ~~j~
\ tu dol očimo metodo
Slika 3. Metoda Click
"Besedilo" je ime našega besedila, Caption pa je lastnost , ki določa.
kaj to besedilo izpiše . Na ta način lahko poznamo vsako lastnost o bj ektov,
le vedeti moramo za njihovo ime. Sedaj lahko nemudoma zo pet pritisnemo
t ipko START. Besedilo izpiše "Dober dan ." . Pritisnemo gu mb in . . .
Tako smo brez težav napisali prvi program v Visua l Basi cu . Prav zaradi
te enostavnosti pa Visual Basic vedno bolj uporabljajo tudi za resno programi-
ranje . Na voljo je tudi že Visual C, ki na enak na čin omogoča delo z "resnim"
jezikom C.
( Mimogr ede: Visual Basic zapustimo tako , da v oknu , kjer sta med
drugim gumba START in STOP, pokažemo besedo File Jn IZ seznama
ukazov , ki se pojavijo, izber emo Exit .)
Jože Marinček
17. DRŽAVNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV IZ
ZNANJA RAČUNALNiŠTVA
15 . maja 1993 je bilo v Ljubljani na Fakulteti za elektrotehniko in računa l­
ništvo že 17 . t ekmova nj e slovenskih s rednješolcev iz znanja računalništva.
Te kmovali so v treh sk up inah . V prvi (najlažj i) je tekmovalo 66 , v drug i 47
in v t retji 30 dijakov . Tekmovalci so imeli za reševa nje štirih na log dve uri in
pol časa .
Kom isija je podelila osemnajst nagrad. Nagrajeni so bili:
1. SKUPINA
1. nagrada: And rej Orešn ik, Srednja šo la Pos toj na ; Mark o Mlinar, Sre dnja elektr o
šola , Ljublja na ; Anže Slosar , Gimnazija Koper;
2. nagrada: Miha Vuk , Gimna zija Bežigrad ; Marko Bukovec, STZŠ Novo mes to;
3. nag rada: J ern ej Kovše , II. gimnaz ija Marib or; Erik Ušaj, Teh niški šo lski center
Nova Gorica ; Grega Bremec, Gimnazija Kra nj.
2. SKUPINA
1. nagrada : Mark o Maček, Gimnazija Vi č ; Matjaž Venc elj , Gimnazija Bežigrad ;
2. nagrada : Jure Žit nik, Gimnazija Kranj ; Aleks Jakul in, United World College ,
Devin ;
3 . nagrada : Damijan Kuh ar , Gimnazija Kran j ; Damjan Strnad, SERŠ Mar ibor ; Jaka
Guben šek , Gimnazija Bežigrad.
3. SKUPINA
1. nagrada: Miha Peternel, Gimnazija Kranj;
2. nagrada: David Gorišek, II. gimnazija Maribor;
3. nagrada : Matjaž Trontelj, Gimnazija Vič .
Znanje t ekmova lcev je bilo dobro , splošni vtis bolj ši kot lan i. Preseneča le
slaba udeležba (obi čajno je bilo tekmovalcev vsaj za tretjino več) . Zadovoljni
so lahko tudi nagrajenci, poleg dobljenih praktičnih nagrad so si lahko ogledali
tudi Hewlett-Packardove tovarne v Nem čiji. Nagrajence iz tretje skupine pa
je sponzor , Hermes Softlab , med počitnicami popeljal tudi na dvomesečno
prakso v razvojne laboratorije Hewlett-Packarda v ZDA .
Primož Gabrijelčič
OCL/-' 'C 1\101ili:"L_,I''''L I"L__'
NAGRADNA UGANKA - Rešitev iz P XX/6 . str. 321
l.e za čnemo pri poudarjeni č r k i K v sredini zgornjega dela lika in beremo vsako
5. č rko v smeri urinega kazalca , izlu š čirno vprašanje:
KATERO OKROGLO OBLETNICO IZHAJANJA SLAVI
PRESEK?
Za odgovor je potrebno pogledati le naslovnico , pa opazimo, da je bila uganka
zastavljena v zadnji številki DVAJSETEGA letnika Preseka .
Pravilni odgovor nam je poslalo 11 reševalcev . treb je dodelil knjižni
nagradi Katji Smolar iz Slovenske Bistrice in Marjeti Plevčak iz Celja.
5e nekaj besed o reševanju . Takih nalog je bilo v Preseku že nekaj , v 6.
številki predlanskega letnika celo članek o tem , kako take naloge sestavljamo.
Naloga je zastavljena tako , da je ob skrbnem premisleku že kar prvi
poskus uspešen . Res! Poudarjena č r ka K se kot začetna črka besedila
sama ponuja . Glede dolžine koraka, s kater im preskakujemo č r ke v okviru,
smo v omenjenem sestavku izvedeli, da pridejo v poštev le števila , ki so
tuja s številom vseh č rk v besedilu. Ker je v okviru razporejenih 42 črk,
ima najmanjši uporabni korak dolžino 5. Takoj lahko izločimo branje s tem
korakom v smeri nasprotni gibanju kazalcev na uri. V tej smeri bi se besedilo
začenjalo z dvema zaporednima č r ka ma K. Takih besed v slovenš čini ni, da
bi pa bil prvi K predlog k besedi, ki se za čenja s K, tudi ni v skladu s pravili
slovenskega knjižnega jezika. Poskus branja v nasprotni smeri pa nam že
prinese pravilno rešitev .
Marija Vencelj
MATEMATIKA - VRATA V NOVE SVETOVE
...Oba z Ano sva spoznala, da je matematika vec kakor golo reševanje
problemov. Bila je vhod v rnagi čne, skrivnostne , ponorele svetove, svetove,
v katerih si moral stopati previdno, svetove, v kater ih si sam postavljal svoja
lastna pravila, svetove, v katerih si moral sprejeti celotno odgovornost za svoja
dejanja . Toda bilo je bolj vznemirljivo in neizmerno, kakor si mogel doumeti .. .
Iz knjige Fynn: Gospod Bog, tukaj Ana
izbrala Dušica Boben
I\'il ' ur« .'j-'I' ,'-'- '
JE FERMATOV ZADNJI IZREK DOKAZAN?
Matema ti čn i svet j e let os konec junija preletela vest , da j e mladi angleški
matemat ik Andrew W iles , ki sicer poučuje na un iverzi P rince ton v ZDA , rešil
največj i še nerešeni problem v matematiki , Fermatov zadnji iz rek , s katerim so
se ubad ali številni znanstveniki v eč kakor 350 let. O dogo dku j e pisalo dnevno
časopisje po vsem svetu. Tudi v dnevnik u Delo j e izše l 7. j ulija so lide n zapis
v rubriki Svet so ljudje .
P resek j e o za dnjem Fer matovem izr eku al i v zvezi z njim že večkr a t pisa l,
zadnji č v peti št evilki lan skega letn ika . Za tiste , ki o nj em še niso slišal i, ga
na hitro predstavimo: Gre za vp raša nj e , za ka kšne na ravne eksponente n
obstajajo taka neni čeln a cela števila x , y , z , da je
Le j e n = 1, j e to enačba x + y = z . Ta kih troj ic števil je tedaj nešteto :
1 + 2 = 3, 103 + 23 = 126, it d .
Le je n = 2, imamo enačbo x 2 + y2 = z 2. Dobra števila so na primer
3 ,4 , 5 , saj je 32 +42 = 52 . T udi tu j e ust rezni h troj ic nešteto , nešteto j e celo
troj ic paroma tujih števil, ki ustrezajo t ej ena čb i ,
Kaj pa , č e j e število n večje kot 2. Francoz Pierre Fermat j e v 17 . stoletju
postavil tr dit ev, da za nob en n večj i kot 2 ni take t roji ce celih števil , ki bi
ustrezala zgo rnj i e n ačb i . Do kaz ati ali ovreči t o t rditev j e slavni Fermatov
za dnji prob lem. Za nimi vo je, da je Fermat sam zapisal, da j e na še l dokaz
za svojo t rdit ev, žal pa svojega do kaza nikjer ni obj avil. Ker so se n ajvečji
m ate ma t iki do naj nov ejših časov ukvarjali s tem problem om in pri t em izdelal i
me tode, o katerih se Fermatu verjetno niti sanja lo ni, je danes upravičen dvom
o n eo po reč nosti njegovega dokaz a .
V stoletjih se je na bra lo nekaj reši tev , zad nja leta 1988, a vse so bile po-
ma njk ljive . Seveda obstaja možnost , da seje tudi Wi les zmoti l. Njegov dokaz
obsega po nekaterih podatkih 200 , po drugih celo 1000 strani. Dokončna
preskušnja bo za njim še le čez nekaj mesecev , ko ga bodo ocen ili in preverili
tisti redk i strokovnja ki, ki so tega sp loh sposobn i. Za P resekove bralce pa
povzemamo zapis, ki ga je 3 . julija 19 93 objavil tedn ik New Sc ientist.
Marija Vencelj
23
DOKAZ, DOLG TISOČ STRANI ,
POTRJUJ EFERMATA
Ena največjih poslastic za matematika je odgovoriti na katerega od ve-
likih problemov, ki so zaposlovali in begali največje učenjake več stoletij.
5teviln i problem i te vrste se imenujejo po njihovih avtorjih, npr. : Riemannova
hipoteza , Poincarčjeva domneva, Keplerjev problem . Eden najtrdovratnejših
je gotovo Fermatov zadnj i izrek , ki se je upiral največjim matematikom več
kot 350 let.
Zadnj i ponedeljek letošnjega jun ija pa je na konferenci v Angliji Andrew
Wiles z univerze Princeton najavil svoj 1000 strani dolg dokaz o veljavno-
sti Fermatovega izreka . To se je zgodilo ob koncu njegovega predavanja
z naslovom Modulske forme, el iptične krivulje in Galoisove reprezentacije .
Toda nabito polna predavalnica na matematičnem inštitutu Isaaca Newtona
v Cambridgu je kaza la, da poslušalci slutijo , da se za naslovom skriva več , da
ima Wiles skritega Fermata v rokavu . Imeli so prav .
And rew Wiles je napravil na pos lušalc e izje men vtis, toda dokaz je treba še preveriti .
24
Pierre de Fermat (1601-1665) je bil francoski odvetnik, katerega konjiček
je bila matematika. Stoletje pred Newtonom je izdelal številne osnovne ideje
infinit ezimalnega računa. Najpomembnejši pa so njegovi dosežki v teorij i
števil, matematični veji, ki se ukvarja z lastnostmi celih števil. To je eno
najzahtevnejših matematičnih področij, kjer se do domnev in številnih vzorcev
zlahka dokopljemo, dokaz i pa so pogosto težko razumljivi .
Fermatov zadnji izrek - tako se imenuje zato, ker je bila to dolga leta
edina njegova trditev, ki je nihče ni uspel niti dokazati niti ovreči - je ena
tak ih domnev. Že stari Grki so vedel i, da obstaja neskončno mnogo takih trojic
celih števil , da daljice ustreznih dolžin tvorijo stranice pravokotnega trikotn ika.
Pitagorov izrek nam pove, da morajo taka števila x, y, z ustrezati enačbi
x 2 + y2 = z2 . Splošno znana sta primera 32 + 42 = 52 in 52 + 122 = 132 .
Fermat se je vprašal , ali lahko sl i čna zveza velja za kube, četrte potence it d.
Bil je prepričan, da ne. Na rob svoje kopije Diofantove knjige Arithmetica
je zapisal: 'Ni mogoče razstaviti kuba v vsoto dveh kubovali bikvadrata v
vsoto dveh bikvadratov. Sploh ni mogoče razstaviti nobene potence, večje
od kvadrata , v vsoto dveh potenc iste stopnje. Za to sem našel res čudovit
dokaz. Rob knjige je preozek , da bi ga zapisal ."
Fermat je trd il, da ena čba x " + r" = z n za n 2: 3 nima celih rešit ev
razen triviaine , v kateri je eno od števil x , y, z enako nič . Dolgo časa je
bila ta domneva videti le zgodovinska zanimivost - zunaj čiste matematike
nima nobene direktne uporabe - toda vprašanje je bilo tako preprosto, da je
matematike neustavljivo privlačevalo.
Fermatovega 'čudovitega' dokaza niso nikdar našli in v splošnem velja
prepričanje, da je v tistem, kar je imel Fermat za dokaz , morala biti napaka .
Težko si je tudi predstavljati, da bi matematična sredstva , ki so bila na voljo
v Fermatovih časih , lahko vodila do dokaza .
Preteklo je več kot 200 let preden je Ernst KummerI napravil prvi večji
prodor v teorem . Razvil je idejo o možnem dokazu Fermatovega izreka, pri
čemer je uvedel algebraična števila, ki so veliko splošnejša kot cela števila .
Potem , ko je razvil povsem novo teorijo tako imenovanih idealov, je bil
sposoben dokazati, da je Fermatova trd itev pravilna za vsak eksponent n :s
:s 100, razen morda za 37, 59 in 67. Kasnejši matematiki so odstranili tudi
te izjeme in potisnili mejo za eksponent tja do 150 000 .
1 V 5. številki lanskega letnika Preseka je izšel prispevek prof. Jožeta GrasseIlija ob stoletnici
smrti tega velikega nemškega matematika.
25
Vmes je leta 1922 angleški matematik Leo Mordell postavil drugo, veliko
abstraktnejšo in splošnejšo domnevo. Ob predpostavki, da je pravilna , bi
sledilo, da ima Fermatova enačba za vsak n 2: 3 kvečjemu končno mnogo
različnih rešitev . Končno število rešitev sicer res ni isto kot nobena rešitev,
toda problem je bil s tem zelo zožen. Mordellova ideja je bila v tem , da
mora obstajati povezava med celoštevilskimi rešitvami enačbe in rešitvami
s kompleksnimi števili . Ker pa je veliko laže obravnavati rešljivost enačb v
kompleksnem , je njegova domneva odprla široko pot za globlje raziskave .
Sprva očitnost Mordellove domneve ni bila ravno prepričljiva , toda Mor-
dellova int uicija je bila potrjena, ko je leta 1983 nemški matematik Gerd
Faltings Mordellovo domnevo dokazal. V dokazu je uporabil močne nove
metode algebraične geometrije. Kmalu za tem je D. R. Heath-Brown dokazal ,
da Fermatov zadnji teorem velja za 'skoraj vse' eksponente. l.e obstajajo
kakšni izjemni eksponenti n , za katere ima enačba rešitev , potem se take
vrednosti izredno redčijo, ko nnarašča.
Med letoma 1780 in 1990 so matematiki s področja algebraične ge-
ometrije in algebraične teorije števil čedalje bolj stiskali mrežo okoli Ferma-
tovega teorema . Izkazalo se je , da če so pravilne neke druge, močnejše,
splošnejše in celo zelo verjetne domneve , potem je veljaven tudi Fermatov
izrek. Te domneve so postavile v ospredje zelo zanimivo področje teorije
števil, imenovano el iptične krivulje (ki imajo , kljub imenu, le bežno zvezo z
elipsami)2 . Jean-Pierre Serre , vodilni francoski matematik, je bil prepričan ,
da je dokaz blizu. Leta 1990 je v popravljeni in dopolnjeni izdaji knjige Eri-
ca Templa Bella Zadnji problem Undervood Dudley zapisal : "Naj brž smo
na robu dokaza." Toda kljub številnim silnim napadom algebraične teori-
je števil je teorem še nekaj časa vzdržal. Sedaj pa je videti, da je Andrew
Wiles končno zapečatil njegovo usodo, ko ga je izpeljal kot poseben primer
Shimura-Taniyama-Weilove domneve, gradeč na rezultatih Gerharda Freya iz
Saarbriickna .
Ob vsaki proglasitvi dokaza kake od velikih domnev, strokovnjaki tistega
področja podrobno razčlenijo vsako vrstico dokaza, da bi bili gotovi, da ni
prišlo do kakšne pojmovne ali računske napake. To je dolgotrajen posel in
dokler ne bo opravljen , ne bomo vedeli, ali je Fermatov izrek res dokazan.
2 Pri Komisiji za tisk DMFA S je leta 1991 izšla kniga prof. Ivana Vidava: Elipti čne
krivulje in elipti čne funkcije. Avtor v predgovoru pravi, da sta prvi dve poglavji. ki sta
najbolj elementeml, dostopni boljšim dijakom zadnjega razreda srednjih 1:01, za razumevanje
celotne knjige pa zedo š če metetneti čne izobrazba diplomanta kek šne od fakultet, kjer se
matematika predava kot pomo žni predmet.
NO/i/CE
Im a pa Wiles s lov es skrbnega in previd nega raz iskov alc a in s ploš no mn enje
strokovnjakov je, da je njegov dokaz najbrž pravile n .
Andrew GranvilIe, angleški strokovnjak s področja teorije števil, ki dela
v ZDA, pravi v The Guardianu : To utegne biti korektna pot do vrha .
Povzemimo še Italijana Enrica Bombierija, ki je leta 1974 prejel Fieldsovo
medaljo (matematičen ekvivalent Nobelove nagrade) : "Zgradba celotnega
dokaza je zelo strnjena in zelo trdna ."
Bombieri je opisal Wilesov dokaz kot 'čudovit'. Povedal pa je, da ga še
ne razum e v vse detajle , kar ni nobeno presenečenje, glede na to , kako dolg
j e. Fermat bi resnično potreboval zelo zelo širok rob pri knj ig i.
lan Stewart, prevedla in priredila Marija Vencelj
NA ŠPORTNI DAN K VEGI V ZAGORICO
Le se boste odločili, da za športni dan izberete ob isk Vegove domačije v
Zagorici, vam zagotovo ne bo žal. Z vlakom do Laz ali Jevn ice, lahko pa
tudi z avtobusom do Dolskega . Severno od ceste Ljubljana - Litija lež i ob
27
Vehova domačija v Zagorici (foto Marija Vencelj).
vznožj u gričevje cerkev Svete Helene . Mimo nje vodi cesta do Zagor ice, kjer
si pri Pokovčevih ogledamo Vegovo spo minsko sobo in Vegov kip pred njo.
Nadaljujemo po cesti do Križevske vasi, kjer najdemo na cerkvici spominsko
ploščo iz prejšnjega stoletja , ki so jo ob tedanjem velikem shodu posta vili
Vegi v čast. Le nato krenemo po zložni poti v hrib, pridemo po petnajstih
minut ah hoje do razpotja . Po desni poti pridemo čez Cicelj do cerkvice
Svetega Miklavža , od koder je ob lepem vremenu čudovit razgled po dolini
Save in kjer je kot zanalaš č pripravljena vrtača z nogometni m igriščem. Le
pa gremo na razpotju na levo, pridemo precej hitreje do Murovice, kj er se
odpre pogled proti Ljubljani . V obeh primer ih se lahko spustimo nazaj proti
Savi , lah ko pa tudi na drugo stran v Moravče.
Ali ni skrajni ča s , da tudi vi spoznate ta biser Slovenije , ki nam je v
osemnajstem stoletju dal moža z bankovca za 50 tolarjev?
Tomaž Pisanski
DALJNOGLED LEONARDA DA VINCIJA
Predno začneš brati ta prispevek, preberi v kaki enciklopediji, kdo je bil
Leonardo da Vinci. Ta vsestranski genij , katerega rojstno leto pomeni pravza-
prav začetek renesanse v znanosti in literaturi , se je ukvarjal tudi z optičnimi
Slika 1. Leonardo da Vinci (1452 do 1519) - avtoportret. Leonardo je menil, da je Zemlja
plan et. Kot že drugi pred njim je mislil na he liocentrično zgradbo ves olja. Po njem naj bi
znanost temeljila na opazovanju .
29
problemi in tako posredno z astronomijo. Ohranilo se je mnogo njegovih
rokopisov in skic , kjer obravnava na primer zgradbo človeškega očesa in
potek svetlobnih žarkov v njem , potek žarkov v raznih lečah , camero obscuro ,
izdelavo leč in zrcal.
V da Vincijevem rokopisu iz leta 1492 (tega leta je Kolumb odkr il
Ameriko) je opisano , kako z eno samo zbiraino lečo , katere goriščna razdalja
je dosti večja od bli ž i šče (najmanjše razdalje predmeta od očesa , s katere
oko še jasno vidi predmet; za normalno oko je 25 cm), dobi velike povečave .
Takole piše: "Lim bolj odmikamo steklo (zbiraino lečo) od očesa, tem večji
se zdijo predmeti za oko petdesetletnika . Le z enim očesom gledamo skozi
lečo , z drugim pa ne, se zdi v prvem primeru za oko predmet večji, v drugem
pa manjš i. Da to opazimo, morajo biti opazovani predmeti oddaljeni od očesa
vsaj 200 laktov (en florentinski laket je meril približno 60 cm)" . Leonardo je
narisal tak enolečni daljnogled in celo razpravljal o njegovem zornem polju
(slika 2) .
Slika 2 . Enolečni daljnogled, risba Leonar-
da da Vincija. Risba ponazarja zorno pol-
je očesa opazovalca, ki opazuje skozi eno-
le čni daljnogled . (S poskusi so pozneje
pokazali , da ima človeško oko z normal-
nim bli ži š čern pri opazovanju skoz i zbiral-
no lečo z gor iščno razdaljo okoli 10 m
približno 1000 cm / 25 cm = 40 kratno
povečavo.)
Slika 3. Shema dvolečnega daljn ogleda,
risba Leona rda da Vincija . c d leča (o bjek-
tiv), AB cev - zaslon ka objektiva, EF cev
okularja , mn l eča opazovalčevega očesa ,
ki leži za lečo okularja . Spodaj: Dvolečni
daljnogled Leonarda da Vincija - rekon-
strukcija .
Zelo verjetno j e Leona rdo izumil tudi dvolečni daljnogled . Našl i so
njegovo s liko iz let a 1509, kje r je nar isal opazovalno cev z dvema zb iraln ima
lečama (slika 3) . Danes takemu tip u daljnogleda rečemo astronomski ali
Keplerj ev daljnog led . Torej je Leo na rdo da Vinc i s prikazano optično shemo
opazovalne cev i prvi na kaza l uporabo daljnogleda z dvema zbiralnima lečama ,
to pa j e kar sto let pred t em , kot je to storil Kepler.
Marijan Prosen
2. DRŽAVNO TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO
PRIZNANJE
Najboljši sedmošolci ln osmošolci z občinskih tekmovanj so se v soboto,
15. maja 1993 , pomerili v šestih reg ijah :
7. razred 8. razred
- Lj ublj ana 99 183
- Celje 30 41
- Maribor 36 61
- Nova Gorica 12 21
- Koper 16 26
- Novo mesto 16 28
SKUPAJ 209 360
Zlato Vegovo priznanje so prejeli učenci , ki so osvojili najmanj 17 od 25
možnih točk.
Nagrade najuspešnejšim tekmovalcem :
7. razred
I. nagrada : Rok ROSTOHAR, OŠ Ju rija Dalmatina , Krško; Andrej PERNE, OŠ
Milojke Štrukelj, Nova Gor ica ; Matic MAZI , OŠ Pr eserje, Preserje ; Anže BURGER, OŠ
Simona Jenka , Kranj;
II. nagrada: Andreja AVBER ŠEK, OŠ Žirovnica , Žirovnica : Luka JU Kit , OŠ Center,
Novo mesto; Simon LUZNAR , OŠ Dr . Vita Kraigherja, Ljubljana; Andrej TOMELJAK,
OŠ Grm , Novo mesto; Martin KNAPI t , OŠ Preska , Medvode ;
III. nagrada: Martina GLASENI tNIK , OŠ Šmartno, Šmartno pri Slovenj Gradcu ;
Urša DOBERŠEK , OŠ Štore, Štore ; Dav id JURMAN , OŠ Dr. Bogomirja Magajne, Diva ča:
Simon RANKEL, OŠ Lucijana Seljaka, Kranj; Martin MILANIt, OŠ Vojke Šmuca, Izola .
/"l-ll u: 1/1" I/l- r:II_I~C ,-, IL JC .
8. razred
1. nagrada: . Janja KOŠIC , OŠ Ivana Groha~ja , Škofja Loka; MatejMARINt, OŠ
l.edina, Ljubljana; Igor LOCATELLI, OŠ Milojke Štrukelj , Nova Gorica ; Matej ROJS, OŠ
Tabor II, Maribor; Nina ZENKOVIC, OŠ Venclja Perka, Domžale;
II. nagrada: Gašper TKACIK, OŠ Borisa Ziherla, Ljubljana; Andrej IVANOVIC,
OŠ Dušana Bordona, Koper; Tanja .SELAR, OŠ Dušana Bordona, Koper; Tanja ZAVRL,
OŠ Ivana Groharja, Škofja Loka ; Boris DIVJAK, OŠ Ketteja in Murna , Ljubljana; Gorazd
LAMPIC, OŠ Ledina, Ljubljana; Nika LENDERO, OŠ Livada , Velenje; Saša FRATINA, OŠ
Nove Fužine , Ljubljana; Miloš JEFTIC, OŠ Vodmat, Ljubljana; Katarina LESKOVEC , OŠ
Vodmat, Ljubljana; Tanja TODOROVIC, OŠ Vodmat, Ljubljana;
III. nagrada: Aleš ŠOLAR, OŠ Železnik i, 2elezniki; Mitja VENTURINI, OŠ Franca
Rozmana Staneta, Maribor; Aleš MARJETiČ, OŠ Grm, Novo mesto; Anita PAJ, OŠ Rada
Robiča, Pekre-Limbuš; Damijan ARNŠEK, OŠ Trbovlje, Trbovlje.
Aleksander Potočnik
Kotnik J. , OSNOVNOŠOLSKA MATEMATIKA ZA V ŽEP ,
Math , Ljubljana 1993, 205 str.
Avtor je vsebino osnovnošolskega priročnika žepnega formata razdelil na
naslednja pog lavja : Množice, Aritmetika, Algebra, Funkcije, Enačbe in ne-
enačbe , Sistem enačb in Dodatek. Vsako poglavje je še naprej razčlenil na
številna podpoglavja, v katerih je vsebina podrobno obravnavana . V njih
posamezne trditve podaja pregledno, primerno osnovnošolski ravni . Posame-'
zne trditve podkrepi in osvetli z zgledi , ki bralcu omogočajo nazornejšo pred-
stavo in boljše razumevanje matematične vsebine . V knjižici je poudarek na
aritmetiki, algebri in analizi, medtem ko je nekaj geometrije le v Dodatku ,
kjer najdemo tudi merjenje količin in pregled uporabljenih znakov . Sistem li-
nearnih enačb z dvema neznankama in presečišč premic naj bi bilo v poglavju
o enačbah in neenačbah, je pa tudi v Dodatku , kjer je še razlaga približkov
in napak .
Leprav je knjižica žepnega formata, je v njej zajeta vsa osno vnošolska
snov iz aritmetike, algebre in analize , tako da njen uporabnik more ob njej
obnoviti vso omenjeno osnovnošolsko matematiko. Ob zgledih se tudi laže
uči in osvaja ter poglablja matematično znanje. Nekaj tiskarskih in rokopisnih
napak bi se dalo v naslednji izdaji odpraviti , za prvo pa bi popravke morda
posebej natisnili. Menim, da je knjižica koristno dopolnilo ostali matematični
literaturi za osnovno šolo in jo bodo s pridom lahko uporabljali učenci višjih
razredov osnovnih šol in tisti, ki bi želeli obnoviti osnovnošolsko matematiko.
Branko Roblek
32
KRIŽANKA MATEMATiČNI POJMI
ŽLA HTNA SKUPINA
TKAN INA ŽiVALI
1
8
LOVRO
TOMAN
SLOV.
MATE-
MATIK
(TOMAŽ)
DENARNA MESTO
ENOTA V FRAN'
EGS RIVIEI
KRČEVIT
JOKALI
JEZA
BENIGNA
MIŠ iČNA
BULA
TOVARNA V
ŽiR EH
DOM ONE-
MOGLIH
(SLAB.)
NESMIS EL
PRITOK
AMURJA
DEL
OBRAZA
PRAVOKOT
NICA NA
KRIVULJO
FR. SLIKAR
(PAUL)
USTANO·
VITELJ
PERZ .
DRŽAVE
ANTILOPA
Z DOLGIMI
ROGOVI
UBOJ
ŽiVALI Z
NOŽEM
DRŽAVA NA
JVZDA
EMIL
NOLDE
SPRETEN
DRŽAVNIK
ITALJ.
PISATELJ
(UMBERTO )
OZVEZDJE
ŽiVAL .
KROGA
REVEZ .
SIROTA
GLAS PRI
STRE LU
PRENOS
DENARJA
VRSTA
SOCVETJA
ZIDOVSKA
MOLILNICA
MESTOV
SRED.ITAL.
OBCUTEK
TEL.
NEMOČ i
KILOGRAM
OTROŠKO
VOZI LCE KRAJ PRI
PULI
NEM. FI-
LOZOF
(EUGEN)
POLITIK
BULATOViČ
POMOČN IK
NASICEN
OGLJIKO-
VODIK
REZIS
ŠKODL-
KARI
DREMI
STAR
EVR
LJUDS'
lPRiŠi1
NAt<.'
SL. PESNIK
(FRANCE)
GR EGOR
STRNISA
33
NA
A
MIKAV· IZDAJA LEC STRONCIJ KRAJ PRt NAPOVE· IZPOVEONI PESNIK
, . NOST DOMOVIN E LJUBLJANI DOVALKA PESNIK 2UPANCIC ARITMETIKA
~ I BAšEVA
- IN
~ ?
1
GR. BOG. TPES ZA LJUBEZNI IME VEC
POGON LAT. IZRAZ PASJIH
ZAUMET· PASEM
NOST
Slo FOLK·
LORIST
(FRANCE)
ANG.PLEM.
NASLOV
NEMSKOZ.
IME
EDOUARD
LALO
MOCVIRNA ERBIJ
RASTlINA ZRNATA
DEL KAMNINA,
TOLARJA IKRAVEC
SPROZITEV PAS PRI
OR02JA KIMONU
RUBINA· VODITELJ
STO RDEC VSTAJE
MINERAL RUS.KMET.
ER DOLFE LUKNJ ICE
AR VOGELNIK V K021-
POGLAVJE 'NOGE '.1
,LJ V KORANU VOZILA
GR.BOGl· PRIOCES·
NJAJUTR. NA LECA
ZARJE SL. PREOS.
MESTOV KANDIDAT
BELGIJI ILJUBO)
PREDSED· KULTURNA
NIK RASTLINA SESTAVIL:
~VICAR. ZA MARKO
KONFED. NARODNE BOKALIC
(AOC LF) JEDI
O
DROG V NEKDANJI
TVO KOZOLCU PERZ IJSKI
EKI VLADAR,PI
J
EMIL J02E
CAKAROV ~MIT
IVAN
I MINATI
IRIDIJ
,~.~
~
POMLA·
DANSKA
GOBA
li)"-'-/i)eme"'" ICI,' 1"",
BREZNO TRIKOTNIKOV
Kada r sedim za mizo s svin čn ikom in papirjem ter tu ht am, mozgam, pa ni č
pametnega ne pogrun tam, se večkrat zalotim pri risanju ta kihle figur:
Hvaležna tema za psihologe, kajne? Pustimo jim , da me študirajo po
mili volji, in skušajmo iz risbice narediti kaj matematike. Vzemimo za začetek
v ravnini dve daljici AaAl in AlA2 :
Na zveznici točk Aa in A2 si izberimo točko A3 tako, da Aa leži med
A2 in A3 in sta daljici AaA2 ter AaA3 skladni :
A2
Ponovimo postopek s točkama Al in A3 . Izberimo novo točko A4 tako,
da bo Al med A3 in A4 ter AlA3 == AlA4 A2
A4
I 35
Nato konstruiramo točko As z lastnostjo, da je A2 m ed A4 in As
ter A2A4 == A2AS itd. Na ta način pride lamo zaporedje točk An (n =
=1,2 , . . .) . Naj bo Tn tr ikotnik z ogl i š č i An , An+l' A n+2 (n =0,1 ,2, .. .) .
Iz konstrukcije je razvidno, da je daljica An-lAn ravno težiščnica trikotnika
Tn . Se pravi , da je v zaporedju Tn vsak trikotnik ploščinsko dvakrat večji od
prejšnjega. Ploščine trikotnikov torej rastejo čez vse meje .
Zdaj pa zadevo o brni mo na g lavo ! Naj bo To = AoA IA2 neki trikotnik
v ravnini in A 3 r azpolovišče st ran ice AoA I :
A,
Ker je A2A3 t e ž i ščn i ca v To, j e trikotnik TI = A IA2A3 ravno polovica
tr ikotnika To. Razpo lovi šče st ranice A IA2 naj bo A4 :
ln tako naprej . V s ploš nem bodi točka A n+l razpolovi šče str a nice
A n- 2An -I ' t rikotn ik z ogl i š č i An, An+l' A n+2 pa označimo s Tn. Tok ra t
je da ljica An+2 A n+3 tež i ščn i ca v Tn, torej je Tn+I nata nko pol tol ikšen kot
Tn. To pomeni , da j e Tn+I vsebovan v Tn. Recimo , da ima To ploščino l.
Po te m je p loš či na T n ena ka 2- n za vsa k n in vidimo, da ploščin e t rikotnikov
Z rastočim n "bežij o" proti O.
Hmm , tole je sumljivo. Ker velja To 2 TI 2 T2 2 .. . 2 T« 2 .. ., bi
človek mislil, da tudi točke An "bež ij o" proti kaki točki . Bolj učeno povedano,
mogoče obstaja limita zaporedja An , kdove? Ob limi t i pa t a koj pomislimo
na "t ež ke to pov e" višje matematike . Ali ne bi mogli reši t i t ega problema bo lj
preprosto?
36
Dejansko se da zastavljeno nalogo rešiti le z nekaj malega znanja o
raztegih v ravnini . Oglejmo si sliko 1. Ker točka A3 razpolavlja daljico
AoA l in A4 daljico AlA2, je A3A4 vzporedna z AoA 2 in
-- 1--
A3 A4 = "2 AoA 2.
Toda A6 razpolavlja A3A4, kar pomeni, da je
Slika 1
Točka As leži na sredini med A2 in A3, zato je A4AS vzporedna daljici Al A3
in le pol toliko dolga . Ker je AlA3 polovica daljice AoAl ' ugotovimo, da je
I 37
Kaj pa AsA6? Oglejmo si natančneje trikotnik A 2A3A4 . Ker As
razpolavlja A2A3 in A6 razpolavlja A3A4 , je AsA6 vzporedna A2A4 in
-- 1--
AsA6 = "2A2A4 .
Od tod sled i, da je dolžina daljice AsA6 le četrtina dolžine daljice AIA2·
Naše razmišljanje nam pravzaprav pove, da sta si t rikotnika To in T4
podobna v razmerju 4 :1 in da je T4 dobljen iz To z ravninskim raztegom (v
resnici s skrčitvijo) s središčem v neki točki P , ki seveda leži med Ao in A4.
Koeficient raztega je - t , zato je
Ao P : P A4 = 4 : 1.
Z drugimi besedami , razdalja med P in A 4 znaša eno petino dolžine teži ščnice
AoA4·
Na podoben način je trikotnik Ta doblj en iz T4 z raztegom, katerega
središče je recimo točka pi , koeficient pa je spet enak -t. Torej je
ozrrorna
-- 4- -
A4 p' = -A4 Aa ·
5
Ampak A4Aa znaša le četrtino dolžine teži ščnice AoA4 , od koder sled i, da je
Torej je pi = P. Z nadaljnjim razmišljanjem ugotovimo, da je v splošnem
trikotnik T4k+4 dobljen iz T4k z raztegom z vedno istim središčem v P in
koeficientom - t. Očitno je točka P vsebovana v vsakem trikotniku Tn (n =
= 0,1 ,2, . .. ). Ker velja To ;2 TI ;2 T2 ;2 . . . ;2 t; ;2 . .. in se stranice
trikotnikov zmanjšujejo proti 0, je P ravno tista točka, proti kateri bežijo
točke An z rastočim n . P leži na štirih petinah te ži ščnice AoA4 , merjeno od
ogli šče Ao .
Marko Lovrečič 5aražin
IMatrični tiskalniki so zadnji KRIK tehnike. I
·
OC-On'\~~l"lo I, ,_, 1" _I Il_ I IL"
PREPROST DALJNOGLED
Tisti, ki se vsaj malo zanimajo za astronomijo in bi radi spoznali najbolj
zanimive vesoljske objekte , ponavadi nimajo niti najpreprostejšega daljnogle-
da. Redko se j im tudi ponudi priložnost, da bi opazovali z daljnogledom .
V trgovini z optičnim materialom sicer' prodajajo dobre lovske daljnoglede, s
katerimi bi lahko odlično spoznavali tudi skrivnosti zvezdnega neba . A da-
Ijnogledi so dragi , denarja pa ni. Zato posredujem navodilo , kako bi izdelali
najpreprostejši daljnogled iz očal.
Vsak daljnogled je sestavljen iz objektiva in okularja. Objektiv, ki je v
našem primeru zbiraina leča , zbere svetlobo. Objektiv daje sliko opazovanega
dela neba ali oddaljenega predmeta v svoji goriščni ravnini na razda lji fo b od
leče . Z okularjem, ki je tudi zbiraina leča (Iupa ali povečeva lno steklo) , opazu-
jemo sliko. Goriščna ravnina okula rja sovpada z goriščno ravnino objektiva in
naj bo v razdalji fok od okularja (slika 1).
goriščna ravnina
1--- - - Job----+----
Slika 1. Potek svetlobnih žarkov v daljnogiedu - refraktorju , ki je se stavljen iz oč a ln e leče
in lupe.
Za objektiv vzamemo kar očalno lečo z dioptrijo od +1 do +2 . (Dioptrijo
O leče merimo z obratno vrednostjo goriščne razdalje f, podane v metrih,
torej O = l/f. Le je f := 1 rn, je O = 1; če je O = 25 cm = 0 ,25 m,
je O = 1/0,25 = 4. Le ne poznamo dioptrije zbiraine leče , jo določimo
takole: Z lečo preslikamo okoli 50 m oddaljeni predmet na bel zaslon (steno) .
Izmerimo f , to je oddaljenost leče od zaslona , in izračunamo D.) Za okular
uporabimo domačo lupo ali pa okular kakega mikroskopa .
Povečava takega daljnogleda je podana z razmerjem fob/fok in je tem
večja , čim večja je goriščna razdalj a objektiva in čim manjša goriščna raz-
dalja okularja. Leče imajo različne napake . Da se tem čim bolj izognemo,
izbiramo leče tako , da naš daljnogled nima večje povečave od 20-kratne .
S takim daljnogledom lahko opazujemo gore in kraterje na Luni, Venerine
I 39
mene , J upit rove sate lite in druge vesoljske objekte. Za bolj resn o delo je tak
da ljnogled premalo natančen .
Staro m a mo a li pa starega očeta poprosi, da ž rtvuje svoja stara očala. T i
pa bodi pri izdelavi da ljnogleda č i m bolj na tančen . Objektiv in okula r postavi
v t rdno cev, da se ne premikata , optičn i osi obeh l e č pa mor a t a sovpadati.
Sk ra t ka, potrud i se ! Le kaj ne bo v red u, ne bod i p reve č razočaran . Velj a
po sk usit i!
Ma;ijan Prosen
PISMA BRALCEV
REŠiTVE NALOG TAKOJ All KASNEJE
Pisal nam je sedaj že četrtošolec Jure Vrh ovnik iz Ljub lj a ne. V pism u je
nekaj po hva l, pa t udi nekaj želj a g lede bodoče vseb ine . Všeč so mu predvsem
fizika lni član k i , ki o pisuj ej o vsakda nje pojave , želi si več raču n a l n i š k i h tem ,
med drugim pa pravi tudi tole:
Z veliko večjim vese ljem rešuj em nalog e, če imam m ožnost takoj pogle-
dati v rešitve. le pa moram do naslednje št evilke čaka ti, da vidim, če sem jih
prav rešil, izg ubim voljo, da bi še enkrat nanje obujal spomine. Ker naloge
niso nagradne, bi lahko rešitv e objavili v isti številki. Tako bi lahko bralci
reševali nalog e ali "pošteno" ali "nepošteno", kot bi pač sami želeli .
Delno im a J ure najbrž prav ; pri takih vpraša nj ih j e tež ko izbrati za vsako-
ga r naj bolj še , ker t a ke izbire pa č ni. Za sedanji način o bj av lja nja rešitev se je
ured niški o dbor P rese ka od l očil , potem ko j e pretehtal š tevilne po m isleke za
t ako izbiro in proti njej. En a izjema vendarle je . V zadnji številki po sameznega
letnika objavimo vedno tu di reši tve v njej zastav ljenih nalog, da je let nik
vsebins ko zaokrož en.
Morda se bom o kdaj od lo či l i za kakšne delne odstope od izbra nega
pravila . Vedno pa to ni mogoče . Marsikatera naloga najde pot v posamezno
št evilko Preseka tud i zato, ker j e pri t eh n i čn em ureja nju na koncu kakšne
strani ostalo še nekaj cen timetrov prostora. Namesto , da bo ga izp olnili z
"okraskom" , se na m zd i bolj e zast avit i na logo. Seveda pa potem za rešit ev,
ki je pra viloma da ljša od naloge , v št evilki ni več prostora.
Juretu - znaneu iz sosednje ulice - pa še tole : Kadarkoli se t i bo zahotelo
reševa t i nal oge "nepošteno" , la hko prideš po rešitve. Saj veš , ka m I
Marija Vencelj
/;)" - '-/;)" - "/ "I" lelI' 1"""
BABILONSKI PRIBLIŽEK ZA -/"2
V Mezopotamiji, torej v široki dolini rek Eufrat in Tigris, je v davnini oziroma v
obdobju od približno 5000 pr.n.št. do približno 500 pr.n.št. živelo večje število
različnih ljudstev z visoko razvitimi kulturami . Omenimo med njimi vsaj
Sumerce, Akadce, Asirce in Babilonce. Izkopane glinene ploščice sklinopisi,
ki so v času svojega nastanka služile za zapisovanje razl ičnih tekstov, so danes
eden najpomembnejših virov pri proučevanju teh kultur . Največ tak ih ploščic
so arheologi izkopali ob koncu prejšnjega in v začetku tega stoletja . Našli so
jih predvsem na območju nekdanjih velikih mest, kot so Babilon, Ur, Nipur,
oo , Samo v Nipurju so tako izkopali okrog 50000 glinenih ploščic sklinopisi.
Te ploščice so danes shranjene v več različnih muzejih širom sveta.
Veni izmed teh klinopisnih zbirk, imenovani Yale Babylonian Col-
lection, ki jo hranijo v mestu New Haven v ZDA, najdemo pod zaporedno
številko 7289 tudi glineno ploščice (poslej jo bomo označevali kar z YBC
7289) . Po vsej verjetnosti je nastala v obdobju prve Hamurabijeve dinastije ,
torej v letih med 1800 in 1500 pr.n.št. Prikazuje kvadrat z včrtanima obema
diagonalama .
41
YBC7289
o i 2 .3 4 cm
Poleg stranice kvadrata je zapisano število 30, ob diagonali pa lahko
preberemo še števili 1;24,51,10 in 42;25,35. 5tevila so seveda zapisana v
šestdesetiškem sistemu , ki je bil takrat v rabi. Več o teh zapisih bo bralec
našel v delih (1) in (2) iz seznama literature na koncu č l a n ka . Na tem mestu
povejmo le to , da vejica v zap isu ločuje med seboj posamezne števke, podpičju
pa j e dodeljena vloga , ki smo je sicer navajeni pri ob ičajni vejici v današnjem
decimalnem zapisu - loči to rej celi del števila od njegovega preostanka . Tako
je torej:
30 = 30
24 51 10
1;24,51 ,10 = 1 + 60 + 602 + 603 = 1,41421296 ...
25 35
42;25,35 = 42 + 60 + 602 = 42 ,42638889 ...
Zveza med temi tremi števil i je preprosta in se nam razkrije, brž ko jih
pomnožimo med seboj . Tretje med števili je namreč produkt prvih dveh. S
tem pa se nam že odpre pot k razvozlanju pomena zapisanih števil na VBe
7289. Predstavljajo namreč zvezo med diagonalo in stranico kvadrata
d=a ·h.
V nadaljevanju nas bo zanimala predvsem vednost babilonskih matematikov
o številu h . Ploščica YBe 7289 namreč priča , da so Babilonci poznali za
to število naravnost izvrsten racionalni približek , ki se s pravo vrednostjo h
42
ujema kar na prvih petih decimalnih mestih za vejico. Poglejmo:
1;24,51,10 =1,41421296 ,
.Ji =1, 41421356 .
Kot dodatno zanimivost omenimo, da je bil ta babilonski približek za 12
tako dober, da so ga mnogo kasneje uporabljali celo starogrški matematiki .
Srečamo ga v delih Arhimeda, Herona in Ptolemeja. Slednji ga je uporabil
pri računanju vrednosti kotnih funkcij v svojih astronomskih tabelah. Vendar
pa stari Grki približka niso prevzeli od Babiloncev , pač pa so prišli do njega
po povsem samostojni poti .
Poleg ploščice YBe 7289 obstaja še precej drugih glinenih ploščic , na
katerih lahko preberemo različne babilonske racionalne približke za 12. Toda
vsi ti se po svoji natančnosti še daleč ne morejo meriti s približkom na YBe
7289 . Tako je recimo znano, da so Babilonci v večini primerov uporabili kot
približek za 12 kar število 1;25.
Poglejmo še, na kak način so babilonski matematiki sploh prišli do tako
natančnega racionalnega približka za 12. Zdi se, da sta pri tem na voljo dva
različna odgovora :
Nekatere racionalne približke za korene so računali po formuli
Va2 + h;::::: a+~,
2a
ki daje dokaj dobre približke v primerih , ko je I h 1< a2 Tako dobimo za
a = j in h = ~ že znani približek
12;::::: 1;25.
Za a = ~ in h = ~ dobimo prav tako pogosto uporabljeni babilonski približek
J3;::::: 1;45 .
Tako izredno natančen približek za 12, kot ga poznamo s ploščice YBe 7289,
pa je s pomočjo zgornjega obrazca nekoliko težje dosegljiv . Danes je sicer
znano , da je ta približni obrazec pravzaprav le začetni del vrste , ki jo dobimo,
če koren .ja2 + h razvijemo po binomskem obrazcu
43
+ (_1) n+l . 1·3·5 ·7· ·· (2n - 3) .~ + ...
... 1 .2.3.4 .. . n .2n a2n-1
Znano je tudi, da lahko v primeru, ko je I h 1< a2 , pridemo do zelo
natančnih približkov kar s seštevkom zadostnega števi la začetnih č l en ov v tej
vsoti . Toda - ne smemo pozabiti , da je vse to znano danes, oziroma kvečjemu
šele nekaj stoletij. Prav nobenega podatka pa ni o tem , da bi bil tak razvoj
poznan tudi Babiloncem pred več kakor tremi tisočletji . Zato se zdi nekoliko
dvomljivo , da bi Babilonci po tej poti prišli do svojega natančnega približka
za Ji.
Otto Neugebauer , ki velja za enega najboljših poznavalcev matematike
Babiloncev, ponuja še drugačno razlago za nastanek tega približka. Poglejmo:
Recimo , da so vzeli Babilonci
1
XQ = l : 30 = 1-, 2
za začetn i približek za Ji. Ni jim bilo težko ugotovit i (s kvad riranjem) , da
je ta približek prevelik , medtem ko je število 1; 20 = 1~ , ki ga dobimo pri
deljenju števila 2 z 1; 30, premajhno kot približek za Ji. Prava vrednost Ji
leži torej med obema številoma . Najenostavneje jo je poiskati kar z njuno
aritmetično sredino. Tako bi, recimo , Babilonci dobili nov približek
5
Xl = I: 25= 1-., 12
Bralec bo najbrž opazil , da smo ga v tem spisu že omeni li. V primeru , da
se babilonskim matematikom ta približek ni zdel dovolj natančen, so lahko
poiskali boljšega kar z nadaljevanjem že začetega postopka . Ker je 1; 25
prevelik približek za Ji, približek 1;24,42,21, ki je spet rezultat deljenje števila
2 z 1;25, pa premajhen , so vzeli za nov približek znova kar aritmetično sredino
obeh števil. Tako so dobili
X2 = 1;24,51.10,
torej znameniti približek s ploščice YBe 7289.
Velika večina zgodovinarjev matematike se danes s to , sicer le hipotetično
Neugebauerjevo razlago povsem strinja. Neugebauer sam o njej pravi: "P rav
nobenega dokaza ni, da Babilonci ne bi računali približka po tej poti ."
Z opisanim postopkom bi babilonski matematiki lahko še nadaljevali in
na tak način prihajali do venomer natančnejših približkov za Ji. Vendar pa
jim je izračunani približek za njihove namene najbrž že povsem zadoščal.
n=O .1.2.3,4. ...
44
Metoda, ki smo jo pravkar opisali, je v uporabi še danes . Velja za izredno
preprosto, a obenem prav toliko učinkovito iterativno metodo za računanje
racionalnih približkov števila va (a E IR+) . V kratkem jo lahko takole
opišemo:
Naj bo Xo > O poljubno izbran začetni racionalni približek za va in
1 a
xn+l = - . (Xn + - )
2 Xn
Zaporedje približkov xo. Xl, X2, oo. se potem steka k številu va.
Naloge
1) Zapiši racionalni približek na ploščici YSe 7289 v obliki ulomka .
2) Za računanje približka za 12po formuli Ja2 + h ~ a + 2ha vzemi a = ~ .
Zatem poišči najprej ustrezno vrednost za h, nato pa še približek.
3) Za računanje približka za 12po formuli~~ a + 2ha vzemi a = g
in h = -114' Pokaži, da se tako izračunani približek v šestdesetiškem sistemu
ujema na prvih dveh "decimalnih mestih" s približkom na plošči ci YSe 7289.
4) Za računanje približka 12s pomočjo razvoja izraza Ja2 + h vzemi a = i
in h = ~ . Izračunaj štiri zaporedne približke v šestdesetiškem sistemu , če
jemlješ zapored po dva, tri, št iri oziroma pet začetn ih členov te vrste.
5) Za računanje približka za 12uporabi iterativno metodo. Izračuna] četrti
približek X3, če vzameš za začetni približek XQ = ~ . Primerjaj njego-
vo natančnost glede na pravo vrednost..j2. Zapiši približek X3 tudi v
šestdesetiškem sistemu in ga primerja] s približkom na ploščici YSe 7289 .
I
6) Na ~ eki glineni ploš č ic i , nastal i
v obdobju Babiloncev, je prikazan
pravilni šest kotni k s stranico dolžine
0;30 in s ploščino 0;6,33 ,45 enega
izmed en a kostrani čn i h tr ikotn ikov.
Po išč i s pomočjo teh dveh poda tkov
približek za VIJ, ki so ga v tem pri-
meru uporabili babilonsk i ma temati-
ki.
Dodatno branje :
(1) Devide V., Matematika skozi kulture ln epohe, Ljubljana , DMFA SRS,
1984
(2) Hogben L., Matematika v nastajanju , Ljubljana, Mladinska knjiga , 1976
(3) Legiša P. , Matematika 2, prvi zvezek , Ljubljana, DZS, 1985
(4 ) St ruik D.J ., Kratka zgodovina matematike , Ljubljana , DMFA SRS, 1977 .
Vilko Domajn ko
37. MATEMATiČNO TEKMOVANJE SREDNJESOLCEV
SLOVENIJE
Pri Kom isiji za popularizacijo matema tike v srednji šoli smo izbra li 164
učencev , ki so se 22. maja zbrali v Kopru. Koprska podru žnica DMFA Sloveni-
je je poskrbela za prijetno bivanje ob slovensk i oba li. U čence j e sicer najprej
ča kal spopad z nalogami v prostor ih Gimnazije Koper , nato pa so se zap eljali
z ladjo in sprehodili ob morju.
Državna tekmovalna komisija je po pregledu izdelkov najboljš im podelila
priznanja . Dobili so jih:
PRVI LETNIK:
3. nagrada: Andrej Zorko , Gimnazija in ekonoms ka sr edn ja šo la Brežice , Sanja Fidle r,
Gimn azija Bežigrad , Lju bljana
Pohvala: Sa šo Ž iva novič, STŠ - Gimnazija Lava , Celje; Matjaž Košak , Gimnazija
Novo mesto; Miha Vuk , Gimnazija Bežigrad , Ljubljana ; Igo r Klep in J ern ej Tonejc, SŠC
Ptuj ; Blaž Vehar, Gim nazija Šentvid, Ljubljana ; Polona Greš ak, Gimnazija Trb ovlje; Klem en
Ivanec in Saša Mlakar , Gimnazija Kočevje.
DRUGI LETNIK :
3. nagrada: Blaž Mavčič, Gimnazija Kranj , Marko Ž n idarič, II. gimnazija Maribor
Pohvala: Andrej Studen in Manc Cirk , Gimnazija Kranj; Dejan Velušček , Gimnazija
Bežigrad , Ljubljana; Jernej Barbič, Gimnazija Tolmin; Nataša Hočevar, Gimnazija Velenje;
46
Sašo Pukši č, ST Š - Gimnazija Lava, Celje ; Mitja Pirc, Gimnazija in ekonomska srednja
šola Brežice; Anže Slosar in Matej Bažec, Gimnazija Koper.
TRETJI LETNIK:
2. nagrada: Iztok Kavkler , STŠ - Gimnazija Lava, Ce lje; Srečko Maksimovi~ , Gim -
na zija Poljane, Ljubljana
3 . nagrada: Gregor Vidmar , SŠ J . Jur či č, lvan čna Gorica ; Primož Moravec , Gimnazija
Novo mesto ; Gvido Cigale , Gimnazija Jurija Vege, Idrija; Petra Ipavec , Gimnazija Bežigrad ,
Ljub ljana
Pohvala: Domen Prašnikar, Marko Oreškovi č , Jernej Kova či č, Andrej Kova č i č in
Kruno Abramovi č, Gimnazija Bežigrad , Lj ublj ana ; Andrej Erharti č in Damijan Markovič,
II. gimnazija Maribor; Arpad Burrnen , Gim nazija Murska So bo ta; Helena Šm igoc in Sonja
Ratej, STŠ - Gimnazija Lava , Celje; Jože Pižern , SŠ Josipa .Jurčiča , lvančna Gor ica ; Dami-
jan Do linar, SENŠ RM Kamnik; Samo Pirc , Gimnazija Kranj ; Sabina Mihelj, Gimnazija
Koper; Mitja Markovič, SKSMŠ Maribor , Dejan Paravan, Srednja šola Nova Gorica; Rok
Kova č i č , Gimnazija Kočevje : Džurica Poplašen , Gimnazija Novo mesto.
ČETRTI LETNIK:
1. nagrada: Andrej Srakar, Gimnazija Bežigrad , Ljubljana ; Mitja Mastnak , STŠ -
Gimnazija Lava, Celje; Bojan Gornik , Gimnazija Novo mesto; Marko Krajnc, II. gimnazija
Maribor .
3. nagrada: Damjan Škulj, Gimnazija in ekonomska srednja šola Brežice; Samo
Pliberšek, II. gimnazija Maribor
Pohvala: Suzana Veren, Miha Peternel in M iha Nastran, Gimnazija Kranj; Tomaž Ur-
bi č in Aleš Hajnšek, Gimnazija Novo mesto; Marko Murovec, Srednja šola
Nova Go rica .
V ekipo, ki je zastopala Slovenijo na Mednarodni matematični olimpiadi
v Istanbulu , so se uvrstili Bojan GORNIK, Petra IPAVEC, Iztok KAVKLER,
Marko KRAJNC, Mitja MASTNAK in Andrej SRAKAR.
Darjo Fe/da
USPEH NAŠiH OllMPIJCEV V WllllAMSBURGU
IN ISTANBULU
Ob podpori Ministrstev za znan ost in tehnologijo ter za šolstvo in špor t
sta se letos lahko udeležili fizikalne olimpiade v Williamsbu rgu v ZDA in
matematične v Istanbu lu v Turčiji tud i petčlanski slovenski reprezentanci . Na
tekmovanju sta obe ekipi dosegli lep uspeh . Vsaka se je vrnila s po dvema
bronastima kolajnama in s po eno pohvalo .
Podrobnejše poročilo bodo pripravili udeleženci obeh olimpiad za eno
kasnejših števi lk.
Lest itamo!
-'-'//ill-l"tor« l" ,Ic" '1_';'ru 'L" ,
DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA
OSNOVNOŠOLCE 1992/93
Oddelek za fiziko Pedagoške fakultete v Mariboru in Društvo matematikov,
fizikov in astronomov sta bila organizatorja 13. tekmovanja iz fizike za os-
novnošo lce. V predavalnicah in laboratorijih Pedagoške fakultete v Mariboru
se je 8. maja 1993 v znanju fizike pomerilo 68 dvočlanskih ekip.
Pred državnim tekmovanjem so bila 3. aprila 1993 področna tekmovanja .
Sodelovalo je 287 ekip iz 7. razredov in 330 ekip iz 8. razred ov, skupaj 1234
učencev . Tekmovalci so reševali pet teoretičnih nalog.
Na državnem tekmovanju so reševali tri teoretične in dve eksperimentalni
nalogi . Naloge sta pripravila Mirko Cvahte in Zlatko Bradač , pri organizaciji
je pomagala Jelis lava Sakelšek.
Rezultati državnega tekmovanja
7. razred
1. mesto: Martin KNAPIt, Rok UŠENltNIK, OŠ Preska, Medvode
2. mesto: Uroš COTELJ, Marko GROHAR, OŠ Bistrica pri Tržiču
3. mesto: Blanka MLAKAR, Marko LUGMAN , OŠ Lenart
Pohvale: Gorazd BASTAŠit , David ZABUKOVNIK , OŠ Polzela, Primož BERLIt,
Robert MOHORIt, OŠ Borisa Ziherla , Ljubljana, Milan TOMAZIN, Gregi REMIC , OŠ
Dr. Franceta Prešerna, Ribnica, Matija MAZI, Andrej TROJ ER, OŠ Preserje, Tomaž
BUH, Blaž DEMŠAR, OŠ Ivana Tavčarja, Gorenja vas, Aleksander HRVATIN, Aleksander
BAKlt, OŠ Lucija, Blaž MRAMOR, Rok GRtAR , OŠ Trnovo, Ljubljana , Andraž BRZIN,
Klemen ROJNIK, OŠ Kolezija, Ljubljana;
8. razred
1. mesto: Samo DEKLEVA, Matej MARINt , OŠ Ledina , Ljublja na ,
2 . mesto: Boštjan GLALAR, Barbara JERONtlt, OŠ Miroslava Vilharja , Postojna,
3. mesto: Marko ANGELSKI, Mitja ŠLENC, OŠ Božidarja Jakca, Ljubljana , Mitja
LUŠTREK , Boštjan POGLAJEN, OŠ Komenda - Moste, Ljubljana, Enej KUŠtER , Boris
DIVJAK, OŠ Ketteja in Murna , Ljubljana ,
Pohvale: Matic FORTUNA, Marko GRABERSKI, OŠ Center, Novo mesto, Uroš
KRLlt , Matija LERDIN, OŠ Livada , Velenje , Andrej MULINA , Janina STIBILJ , OŠ Do-
bravlje, Saša FRATINA, Ivana STANKOVIt, OŠ Nove Fužine, Andrej IVANOVIt , trt
SEUŠEK, OŠ Dušana Bordona , Koper, Grega TOVŠAK , Katarina KRALJ, OŠ Mislinja ,
Aleš ŠOLAR, Jože RIHTARŠlt, OŠ Železniki, Iztok PRISLAN, Mitja MAJERLE, OŠ Petra
Šprajca - Jura .
Ob tej priložnosti še enkrat čestitamo tekmovalcem za dosežene rezul-
tate .
Mirko Cvahte, Zl atko Bradač
48
14. MEDNARODNO MATEMATiČNOTEKMOVANJE
MEST POMLADANSKI KROG -
Rešitve nalog iz XX /P-6 , str. 342
Rešitve nalog prvega dela tekmovanja:
Prva skupina
B
HX+XK HK
AX+XB = AB·
HX KX
XA XB
Ker je AH ..1 CM in AM ..1
CX, je LAHX = LAMC =
= tp. Ker je ctg <p = ~~ ,
je HK = AB . ctg tp. Iskana
dolžina je torej c . ctg tp.
2. Da je odgovor "ne" , pokaže naslednji premislek: Naj prebivata v hiši
A dve mački (vsaka v svojem sta novanju) in trije psi (vsi v drugem
stanovanju) . Naj prebivajo v hiši B tri mačke (vse v prvem stanovanju)
in dva psa (vsak v svojem stanovanju) . Izračunamo deleže mačk v
oh iih : idi da i 1 3· 1 Oposamezni stanovanji ln VI Imo, a Je 1+0 > 3+1 ln 1+3 > 0+1·
Toda 2;3 < 3~2 ·
3. Z d(m, n) označimo največji skupni deljitelj števil min n.
Naj bo d = d(a, b), a = dx in b = dy . Potem sta števili x in y
tuji . Iz ab = ac - be sledi dxy = cx - cy . Torej x deli cy in, ker je
d(x,y) = 1, x deli c. Podobno vidimo, da tudi y deli c in zato tudi
xy]c . Označimo c = kxy. Torej d = k(x - y). Seveda sta števili d
in c tuji, saj bi v nasprotem največji skupni deljitelj števil a, b in c ne
bil L Iz c = kxy in d = k(x - y) pa vidimo, da je k = 1. Enakost
a - b = d(x - y) = k(x - y)2 pokaže, da je a - b res popolni kvadrat.
1. Ker je AH IJ K B, sta trikotni-
ka !:::,. HX Ain!:::,. K X B podob-
na. Torej
4. Oglišča kocke lahko tako pobarvamo z dvema barvama, da sta kraj išči
vsakega roba kocke pobarvani različno . Ker lahko mravlja spreminja
smer le v ogliščih, mora zaporedoma obiskovati oglišča ra z l i č n i h barv.
Torej se skupno število obiskanih oglišč ene barve razlikuje od skupnega
49
števila obiskanih og li šč druge barve kvečjemu za 1. Torej ni možn o, da bi
mravlja bila venem od oglišč že 25 krat, v vsakem od preostalih sedmih
oglišč pa natanko 20 krat .
Druga skupina
1. Recimo, da smo dobili št evilo 2n , ko smo zbrisali prvo št evko v desetiškem
zapisu števila 2m. Naj bo 2m (k + 1)-mestno število s prvo števko
p. Potem je 2n(2 m - n - 1) = lOk p . Torej je 2m - n - 1 deljivo s
5. Pogledamo vse možne ostanke pri deljenju s 5 poten ce števila 2 in
vidimo , da 4 deli (m - n). Torej m - n = 4 t in nadalje
Ker se lihi števili 2 t - 1 in 2 t + 1 razlikujeta za 2, sta tuji . Zato sta
tuji tudi števili 22 t - 1 in 22 t + 1. Torej so števila 2 t - 1, 2 t + 1 in
22 t + 1 paroma tuja . Le je t > 1, ima vsako od teh števil vsaj en lih
praštevilski deljitelj . To pa ni mogoče, saj ima število lOk p kvečjemu
dva liha praštevil ska deljitelja. Torej t = 1 in io-p = 2n ·3 ·5. Sledi
k = 1 in n ::; 2. Le je n = 1, je p = 3; pri n = 2 pa imamo p = 6.
Torej sta 32 in 64 edini rešitvi.
2. Označimo CM = x, CN = y in BM = z = ON. Trikotnika ADM in
CBM sta podobna . Torej je AD = AU za A E (0 ,1) . Tudi trikotnika
ABN in CON sta si podobna in je zato AB = J.LV za neki J.L E (O, 1).
Zaradi podobnosti 6.AD M ~ 6.C B M lahko zapišemo naslednje zveze :
x -v Z-J.LV
-- = =A .
z x
Sledi x - AZ = v = Z-p.AX oziroma (A + J.L )x = (1 + AJ.L)Z. Zaradi
podobnosti 6.ABN ~ 6.CDN pa lahko zapišemo naslednje zveze:
y - U z - AU
--=--=J.L .
z y
Sledi y - J.LZ = U = z-lx oziroma (A + J.L)Y = (1 + AJ.L)Z . Od tod
lahko zaradi A+ J.L > O sklepamo, da je x = y oziroma CM =C N .
50
3 . Z aij označimo j-to število v i-t i vrsti . Iz računamo prvih nekaj vrst in
domnevamo, da je
(i - 1)!(j - 1)!
aij = (i - 1 + j) !
1
Dokažirno formulo z indukcijo . Za števila v prvi vrsti imamo
O!(j - 1)! 1
al j = "1 = --;- .
J . J
Recimo, da je formula točna za števila v i-ti vrstici , in izra čunajrno števila
v naslednji vrstici .
(i - 1)1(j - 1)! (i - 1)!j !
aij - aij+l = (i _ 1 + j)1 - ~(:-Ci-+--'J7.):'-!
_ (i -:- 1)!(j - 1)'(i + j) - (i - 1)!j!
(i + j)!
i!(j - 1)!
= (i + j)! = ai+lj ·
S t em je dokazana pravilnost formule za a i j . Iskano število je torej
1992!0! 1
al993 ,l = 1993! = 1993 .
4 . Pr i kakršnemkoli začetnem stanju (a , b , c) lahko odvzameno kamne na
največ en način . Le smo dob ili stanje (a, b , c) z dodajanjem kamnov
stanju (d, e, f) , lahko odvzamemo kamne z (a , b, c) na natanko en na čin
in dobimo nazaj stanje (d, e , f) . Le torej hočemo popolnoma sprazniti
en kup, ni smiselno dodajati kamnov.
Iz začetnega stanja (1993 ,199 ,19) pridemo po nekaj korak ih do s t anja
(31,199,19) in nadalje do (31,49,19) . Pri t em stanju pa ni več možno
odvzemati kamnov .
Zaradi po sebne oblike začetnega stanja pa lahko nalogo rešimo hitreje,
če o pazimo , da se pri vsaki potezi spremeni št evilo kamnov na natanko
enem kupu za sodo mn og o kamnov in je zato na vseh treh kup ih venomer
liho mnogo kamnov .
Rešitve nekaterih nalog drugega dela tekmovanja:
51
Prva skupina
1. Krog , ki se dotika stranice AC
in nosilk stranic AB in Be. je
pričrtan krog in zato leži nje-
govo središče na simetrali kota
LABC. Torej LABO = ~.
Ker pa leži njegovo središče tu-
di na simetrali zunanjega kota
pri A, je LOAC = 11""2"' . Sledi
LAOB = 'Ir - (11""2'" + cx +
+ ~) = l Kot LADB je
središčni kot nad lokom AB,
katerega obod ni kot meri t -
torej LADB = '1. Ker je tu-
di LAC B = '1, ležijo vse točke
A, B, C in O na isti krožnici .
2. Predpostavimo najprej, da obstaja dijak, ki nima nobenega prijatelja v
razredu. Potem ima lahko vsak dijak največ 24 prijateljev. Ker ima
vsak dijak (razen Petra) različno število prijateljev, je število prijateljev
vsakega od teh 25 dijakov lahko le Oali 1 ali . . . ali 24 . Razdelimo teh 25
dijakov v dve skupini. Dijake, ki imajo vsaj 13 prijateljev, če med njimi
ne štejemo Petra , damo v skupino A, ostale pa v skupino B . Skupno
število prijateljev , ki jih imajo dijaki skupine A, je 0+ 1 + . . .+ 12 = 78 ,
kjer smo skupne prijatelje šteli večktrat. Skupno število prijateljev , ki jih
imajo dijaki skupine B, pa je 13 + 14 + . . . + 24 = 222 . Maksimalno
število prijateljev, ki jih lahko imajo dijaki skupine A znotraj skupine A,
je 12 . 11 = 132 . Ker je 132 + 78 = 222 - 12, mora biti vsak dijak
skupine A Petrov prijatelj. Ker pa morajo vsi prijatelji dijakov skupine B
pripadati skupini A, nima Peter nobenega prijatelja v skupini B . Torej
ima Peter natanko 12 prijateljev.
V drugem primeru pa predpostavimo, da ne obstaja dijak, ki nima
nobenega prijatelja v razredu . Potem ima 25 dijakov (vsi razen Petra)
1, 2, . . . 25 prijateljev zaporedoma . Le razdelimo teh 25 dijakov v skupi-
ni A in B kot prej, nam podobni premisleki kot zgoraj dajo izračune :
1 + 2 + ... + 12 = 78, 13 + 14 + .. . + 25 = 247, 13·12 = 156 in
156 + 78 =247 - 13. Torej mora imeti Peter natanko 13 prijateljev in
vseh teh 13 dijakov pripada skupini A.
52
Druga skupina
1. Naj ima kvadrat Kl ,l stran- LJ C:
ico q E (i,l) . Točki, kjer
diagonala AC seka Kl,l ' oz- Il 1\ 1,1
načimo s C2, in A2 . Potem
imata manjša kvadrata strani-
ci 1 - q . V ta dva kvadrata 1 - IJ
vrišemo kvadrata K2 ,l in K2,2,
katerih stranici sta q(l - q) . 1 - IJ
Postopek nadaljujemo in v vsa-
kem nadaljnjem koraku kon- : \ IJ
struiramo dvakrat več kvadra-
tov . Obseg kvadrata Kl,l je
4q . Obseg kvadratov K2,l in K 2,2 skupaj je 2 '4q(1- q) . Vsota obsegov
kvadratov K3 ,1 ' . . . , K3 ,4 je 4 · 4q(1 - qf . l.e postopek nadaljujemo v
nedogled, je skupna vsota obsegov kvadratov enaka
4 ~(2(1- ))k _ 4q - ~
q L q - 1 - 2(1 - q) - 2q - 1
k=O
Ker je lahko izraz~ za primerno izbran q blizu i poljubno velik,
2q - 1
lahko dosežemo , da bo že vsota obsegov končno mnogo včrtanih kvadra-
tov večja od vsakega vnaprej predpisanega števila . Z računaln ikom lahko
preverimo, da je pri q = i + 10-6 vsota obsegov kvadratov večja od
1993 že po 21000 ~ 10300 včrtanih kvadratih .
2. Trditev dokažimo sprotislovjem - torej predpostavimo , da smo konstru-
irali neskončno zaporedje {ad . Protislovnost predpostavke o neskonč­
nosti zaporedja {ak} bo v tem , da bomo lahko pokazali, da je moč neki
dovolj pozen člen zapisati kot klal + k2a2 + ...+ kna n , kjer je nE IN
in so kI , k2 , . .. , k n nenegativna cela števila .
Za vsako naravno število k ~ 2 označimo z bk največji skupni delitelj
števil {al, ... , ak}' Potem je zaporedje {bd2 (ne nujno strogo) pada-
joče zaporedje naravnih števil. Limito tega zaporedja označimo z b
(število b imenujemo največji skupni delitelj zaporedja {ak })'
Predpostavimo najprej, da je b = 1. Naj bo torej n najmanjši indeks ,
pri katerem je bn = 1.
I
53
Dokažimo nadalje, da obstaja tak No E IN , da je moe vsa števila
{No + 1, No + 2, ... , No + al ' a2 · . . · · an}
izraziti v obliki klal + k2a2 + ...+ kna n, kjer so kI, k2,···, kn nene-
gativna cela števila.
Ker je b = 1 najveej i skupni delitelj števil al , . . . , an , za vsak N E
{l , 2, . .. , ala2 . . . an } obstajajo cela števila kN ,I ' kN,2" ' " kN,n , da je
N = kN 1al + kN 2a2 + .. .+ k N n ano Če potem označimo.' ,
al . . .a n n
No = L L Ik;J I aj ,
;= 1 j=l
bomo lahko vsa števila oblike N + No zapisali kot
kjer so koeficienti kj .
al· ··an
kj = kNJ + L Ik;J I
;=1
nenegativna cela št evila.
Vzemimo nazadnje poljubno število M , veeje od No+ala2 ' " an . Potem
obstaja nek k' E IN, da je No ::; M - k' . al ::; No + ala2'" an·
Torej lahko zapišemo M - ki . al = klal + k2a2 + ...+ kna n, kjer so
kI, k2, .. . , kn nenegativna cela št evila in je potem M = (k ' + kI )al +
+ k2a2 + ...+ knan željena izražava števila M. Dokazali smo to rej, da
je moe vsako število M ~ No zap isati v željeni obliki.
Prišli smo do protislovja , saj potem zaradi neskončnosti zaporedja {ak }
obstaja neki ak ~ No, ki ga lahko izrazimo kot ak = kI al + k2a2 +
+ ...+ kna n, kjer so kI. k2 , ... . kn nenegativna cela števila.
V primeru b > 1 pa obravnavamo zaporedje { ~ } , katerega najveeji
skupni delitelj je 1. Po pravkar dokazanem lahko zapišemo neki dovolj
pozen člen tega zaporedja kot ~ = kI r + k2l;- + ... + kn~ oziroma
ak = klal + k2a2 + .. .+ kna n in pridemo do protislovja tudi v tem
primeru .
Matjaž Željko
54
31. TEKMOVANJE IZ SREDNJEŠOLSKE FIZIKE
Tekmovanje je izvedla Komisija za popularizacijo fizike v srednji šoli, ki deluje
v okviru Društva matematikov, fizikov in astronomov Republike Slovenije . Za
tekmovanje se je v letošnjem šolskem letu prijavilo okrog 1400 učencev iz
41 srednjih šol. Predtekmovanje je potekalo meseca aprila. Izvedle so ga
tiste šole, kjer je bilo prijavljenih učencev več kot šoli po pravilih državnega
tekmovanja pripada .
Državno (republiško) tekmovanje je bilo 8. maja. Organizator je bila
Gimnazija Ravne na Koroškem. Tekmovanja se je udeležilo 174 tekmovalcev
iz 38 srednjih šol. Tekmovali so v štirih skupinah ; v skupini A 58, v skupini B
56, v skupini C 28 in v skupini D 32 tekmovalcev. Le-te je spremljalo okrog
50 mentorjev.
Medtem ko so dijaki reševali naloge, so se mentorji pogovarjali o us-
treznosti izbire tekmovalcev za državno tekmovanje. Z vsake šole se ga nam-
reč lahko udeleži relativno malo dijakov , če želimo, da lahko vsaka šola pri-
javi v vsako skupino vsaj enega tekmovalca. Zainteresiranih šol pa je vsako
leto več , saj se v srednjih šolah program fizike spreminja tako, da program
tekmovanja ustreza večini programov v srednjih šolah. Zato je Komisija za
popularizacijo fizike v srednji šoli predlagala, da se pred državnim tekmovan-
jem vpelje še en krog tekmovanja , ki bi ga izvedli po regijah . Na državno
tekmovanje bi se tako uvrstilo omejeno število najuspešnejših tekmovalcev z
regijskega tekmovanja . Omenjena komisija bo pripravila predlog skupaj z us-
trezno komisijo za matematiko . Učitelji se bodo o ustreznosti predloga lahko
izrekli na posebej sklicanem sestanku ali pa na občnem zboru DMFA Slovenije
v jeseru .
Organizatorji tekmovanja so pripravili in mentorjem uspešno prikazali
fizikalne poskuse, spremljane s pomočjo računalniškega vmesnika in računalni­
ka.
Po končanem reševanju nalog in po kosilu so organizatorji pripravili
ogled Koroške z avtobusi, pod strokovnim vodstvom učiteljev zgodovine in
geografije z Gimnazije Ravne na Koroškem. Medtem je komisija ocenjevala
naloge.
Ob koncu tekmovanja je komisija podelila nagrade in pohvale. Podeljenih
je bilo 5 prvih nagrad, 6 drugih nagrad, 11 tretjih nagrad in 22 pohval.
Komisija se je odločila, da za izbiro olimpijske ekipe pripravi še eno izbirno
tekmovanje, ki naj bi se ga udeležili nagrajeni in pohvaljeni iz skupine D in še
kakšen tekmovalec iz skupine C, če bo po rezultatu izstopal. Tako se je na
55
izbirno tekmovanje, ki je bilo 28 . maja na Fakulteti za fiziko, uvrstilo osem
tekmovalcev iz skupine D ter dva najuspešnejša iz skupine C.
Komis ija se zahvaljuje članom odbora , ki so vzorno organizirali tek-
movanje , še posebej pa se zahvaljujemo vodstvu šole in aktivu fizikov Gim-
nazije Ravne na Koroškem .
Podeljene nagrade ln pohvale:
Skupina A
1. nagrada: ANITA PRAPOTNIK , II. Gimnazija Maribor; KLEMEN LAGAR, Gim-
naz ija Šentvid Ljubljana.
II. nagrada : ANDREJ ZORKO, Gimnazija in ekonomska sr ednja šola Brežice; GRE-
GOR ALUJEViČ, Gimnazija Šentvid Ljubljana.
III. nagrada: MIHA VUK, Gimnazija Bežigrad Ljubljana ; UROŠ MALI, STZŠ Novo
mesto; RAJKO MIKLAVC, Srednja kovinarska strojna in metalurška šola Maribor; MITJA
MARKOViČ, Srednja kovinarska strojna in metalurška šola Maribor; ROMAN KOPAČ,
Srednja šola Rudolfa Maistra Kamnik .
Pohvale: PETER KALAN, SESŠ Kranj; EGON PAVLICA, Srednja šola Nova Gorica;
ANLE SLOSAR, Gimnazija Koper; MAT JAL ČELAN, Gimnazija Šentvid; BOJAN PAVŠiČ,
II. gimnazija Maribor; KLEMEN IVANEC, Gimnazija Kočevje: BORUT BATAGELJ, TŠC
Nova Gorica; SLAVKO MAJCEN, Gimnazija Franca Miklošiča Ljutomer.
Skupina B
II. nagrada: VILI MALNARiČ, STZŠ Novo mesto.
III. nagrada: BLAL MAVČiČ, Gimnazija Kranj; MATEJ BAL EC, Gimnazija Koper;
GREGOR VIDMAR, Srednja šola Josipa Jurči ča lvančna Gorica.
Pohvale: MARJAN ŠTERK, Gimnazija Novo mesto; FRANJO BANDELJ , Srednja
šola Vena Pilo na Ajdov š čina: ANDREJ KOSTANJEVEC, STZŠ Novo mesto; RIHARD
HUDEJ , Srednja šola Vena Pilona Ajdovš čina : SONJA RATEJ , Srednja tehniška šola Celje ;
ANDREJ BARTOLIČ, Srednja šola Nova Gor ica ; DEJAN VELUŠČEK,Gimnazija Bežigrad
Ljubljana .
Skupina C
I. nagrada: JANKO KOLAR, SC Ptuj Gimnazija Ptuj .
II. nagrada: MATJAL VENCELJ , Gimnazija Bežigrad Ljubljana; SEBASTJAN ZOR-
ZUT, TŠC Nova Gorica.
III. nagrada: DEJAN TOMALEVIČ,STZŠ Novo mesto.
Pohvale: ROBERT PLEH, SC Ptuj Gimnazija Ptuj; URBAN MRAK, Gimnazija
Škofja Loka; UROŠ LAVRENČiČ, Gimnazija Bežigrad Ljubljana ; MARKO JANKOVEC,
Srednja elektrotehniška šola Ljubljana .
Skupina O
1. nagrada: JURE ZUPAN , Gimnazija Bežigrad Ljubljana; BOJAN GORNIK, Gim-
nazija Novo mesto.
II. nagrada: ROK LESKOVEC , Srednja elektrotehniška šola Ljubljana.
III. nagrada: GREGOR VEBLE, II. gimnazija Maribor; MITJA MASTNAK, Srednja
tehniška šola Celje.
Pohvale: MIHA NASTRAN, Gimnazija Kranj; DANIEL SVENŠEK, II. gimnazija
Maribor; DAMJAN ŠKULJ, Gimnazija in ekonomska srednja šola Brežice.
56
Po dodatnem izbirnem tekmovanju so se na letošnjo olimpiado iz fizike,
ki je bila v ZDA v začetku julija, uvrstili:
Jure ZUPAN, Gimnazija Bežigrad Ljubljana; Bojan GORNIK, Gimnazija Novo
mesto; Gregor VEBLE, II. gimnazija Maribor; Daniel SVEN5EK, II. gimnazija
Maribor; Matjaž VENCELJ, Gimnazija Bežigrad Ljubljana .
Ciril Dominko
FIZIKA IN ČUSTVA 1
Zakoni fizike niso odvisni od naših želja in čustev, vendar fizike pri iskanju
zakonov in raziskovalnem delu nasploh spremljajo čustva na vsakem koraku.
Da imamo fiziko radi, da se odločimo za njen študij, za delo v kateri od njenih
vej, izberemo raziskovalno nalogo in delamo na njej, dokler nismo z doseženim
zadovoljni, vse to ne izvira iz fizike same. Med čustvi sta radovednost in
nagnjenje k raziskovanju narave na prvem mestu. Dodati jima je treba še
splošne želje, da bi ugotovili nekaj, kar še ni znano, da bi nekaj dosegli in se
uveljavili. Kdor tega nima, odneha že pri prvih težavah. Težav pa ni malo,
najprej pri študiju in še več pozneje pri poklicnem delu. Pogosto raziskovalec
misli, da je vprašanje že rešil, pa ugotovi , da ni tako. Zdaj se zdi, da delo
dobro teče, potem pa se spet zaustavi in ne gre nikamor . Navdušenju sledi
razočaranje in včasih se začne javljati celo malodušje . Ob uspehu pa je vse
to pozabljeno, nastopita zadovoljstvo in veselje.
Leta iskanja v temi resn ice, ki jo čutiš, a je ne moreš izraziti, močno željo in izmen-
javanje samozavesti in zaskrbljenosti , preden ne prod reš do jasnosti in razumevanja, pozna
samo tisti , ki jih je sam izkusil.
A.Einstein, The Origins of the General Theory of Relativity, 1933
Kaj se je torej zgodilo s hladnim, super-logičnim, nečustvenim, rnaterialističnirn is-
kalcem resnice? Psiholog Nick Humphrey zagotavlja : "Morda so nekateri znanstveniki
hladni , preračunljivi, nečustveni, toda to niso dobri znanstveniki . Če pogledamo življenje
katerega koli velikega znanstvenika od Charlesa Darwina do Einsteina , najdemo pesnika."
Vrsto domišljije, brez katere ni velikega znanstvenika , potrebujejo tudi umetniki, pisci
1 Po zapisu ob 31. tekmovanju srednješolcev Republike Slovenije v fiziki na Ravnah na
Koroškem 8.maja 1993.
I 57
ln drugi, ki predrejo površni videz . "Večino znanosti sestavljajo domneve o tem, kaj
bi lahko obstajalo, dolgo preden jih podpremo," pravi Humphrey. Ta močni ustvarjalni
gon spregledajo nasprotniki znanosti, ki vidijo znanstvenike v čisto redukcionistični, celo
razdiralni luči, Toda za znanost je značilna tudi razumu nedostopna sestavina, ki ima
pomembno vlogo pri oblikovanju in sprejemanju zakonov narave.
B.Couttie, Forbidden knowledge, 1988
Pesniki pravijo, da naravoslovje vodi proč od lepote zvezd, ki da so samo plinske
krogle. Nič ni "samo" . Tudi sam lahko vidim zvezde v gluhi noči in jih čutim . Toda, ali
vidim manj ali več? Globina neba izziva mojo dom išljijo, vezano na ta majhni vrtiljak, in
moje majhno oko lahko ujame milijon let staro svetlobo. Velikanski vzorec, katerega del
sem . Morda je snov izbruhala kaka pozabljena zvezda, kakor bruha ta na nebu . Ali jih
vidim z večjim očesom daljnogleda na Mt.Palomarju, kako bežijo od nekakšnega izhodišča,
v katerem so morda bile skupaj. Tajnosti ne škodi, če o njej nekaj malega vemo. Resnica
je veliko čudovitejša , kakor si jo je lahko predstavljal umetnik v preteklosti . Zakaj današnji
pesniki ne govore o njej? Kakšni so ti pesniki , če znajo govoriti o Jupitru kot o možu, a
molčijo, ker je velikanska vrt eča se krogia iz metana in amoniaka?
R.P .Feynman, R.B.Leighton , M.Sands, The Feynman Lectures in Physics, 1965
Zelo malo fizikov sicer odkrije nove osnovne zakone, vendar se velikemu
številu izmed njih posrečijo manjša odkritja. Večina raziskovalcev pozna
občutek, da ve nekaj , česar ne ve nihče drug. Večkrat se sicer pokaže, da so
tudi že drugi prej imeli podobne misli. Vendar je občutek, da je vprašanje
uspešno rešeno, da je odgovor pripravljen za objavo in potem objavljen , za
raziskovalca nadvse prijeten. Tako prijeten je, da se kljub vsem razočaranjem
in težavam nato lot i novega vprašanja.
Raziskovanje lahko spremljajo še bolj neprijetni občutki, če raziskovalec
ne uspe rešiti vprašanja kljub temu, da je vložil veliko truda, ali ga kdo drug
prehiti. Primeri se tudi, da njegovega dela ne cenijo , tako da nima možnosti
za raziskovalno delo.
Ni mogoče mimo slabih čustev, ki jih večkrat zbudi fizika v šoli . Menda
se odloča o tem, ali bo kdo fiziko imel rad ali ne, predvsem v zadnjih razredih
osnovne šole in v prvih razredih srednje šole . Zadeva je zapletena in povezana
s šolskim sistemom in učitelji, tako da učenec ali dijak ne vidi svetlih strani
fizike. Nekaj opravi tudi strah pred slabimi ocenami - treba je priznati, da
fizika ni lahek predmet. Najbrž tudi nekateri učenci in dijaki fizike vnaprej
ne marajo, ne glede na vse drugo. Skoda je za tiste, ki se v tej starosti
popolnoma odvrnejo od fizike, saj si s tem v veliki meri zaprejo možnost, da
bi študirali fiziko, druge znanosti o naravi in tehniko.
Mladi, ki tekmujejo iz fizike, so na dobri poti in naj na njej vztrajajo. Se
posebej se zavedajo čustev od treme preko skrbi ob reševanju nalog do veselja
58
ob morebitnem uspehu . Vedo tudi , da jih slabši uspeh , kot so ga pričakovali,
ne sme potreti . Mimogrede jih kaže opozoriti, da je reševanje na log samo
majhen del fizike.
Vse to prepriča, da fizika nikakor ni nečustveno početje , čeprav njen i za-
koni ne smejo biti odvisni od čustev . Lustva niso samo neizogni spremljevalci
fizike in naravoslovja, kakor smo jih opisali . Imajo še drugo bolj samostojno
vlogo, ki se je v zadnjem času vse bolj zavedamo . Č ep ra v smo ljudje že veliko
dognal i, marsičesa še ne vemo. Od fizike in od drugih zna nost i o naravi ne
smemo pričakovati preveč. Zdaj še ne moremo napovedati, za koliko stopinj
na leto se bo segrela Zemlja, kako se bo razširila ozonska luknja .. . Leprav
odgovore na taka vprašanja pričakujemo v okviru znanih zakonov narave , so
zadeve tako zapletene , da jim za zdaj še ne moremo priti do dna . Vendar
zato ne kaže odlašati z ukrepi . Lahko se namreč dogodi , da bo prepozno za
ukrepanje , če bomo čakali na zanesljive ugotovitve. Tu je smiselno v klju čiti
čustva. Ukrepati je treba čim prej , ne na osnovi podrobnih napovedi , ampak
na osnovi čustev. Sa j ne žel imo poznejšim rodovom, da bi zašli v hude težave .
Potreba po ukrepih ne izvira na ravnost iz znanosti , ampak bolj iz previdnosti
in iz skrbi za prihodnost človeštva. Nikakor ne sme nastati vt is , da okolju
prijazna čustva nasprotujejo fiziki in drugim znanostim o naravi.
Janez Strnad
PISMA BRALCEV
IZPOLNILA SE MI JE ŽEljA
Iz Murske Sobote se nam je oglasil osmošolec Primož Kajdič, ki je medtem
že postal srednješolec. Veseli ga astronomija , včlanil se je tud i v Ustvarjalno
astronomsko društvo Murska Sobota. O tem nam je napisal navdušeno pismo ,
ki ga nekoliko popravljenega objavljamo .
Marija Vencelj
Astronomija me je začela zanimati že v petem razredu osnovne šole.
Najprej sem prebiral le knjige s tega področja in gledal oddaje na televiziji ,
kmalu pa sem začel zbirati še članke o vesolju. Spominjam se dneva, ko sem
slučajno dobil v roke očetov lovski daljnogled. Ko sem z njim opazovalokolico,
mi je prišlo na misel, da bi z njim lahko opazoval tudi z vezde . To mi je nekaj
časa zadostovalo, nato pa sem se želel povezati še z drugimi , ki jih zanima
astronomija . telja se mi je izpolnila , ko sem v časopisu zagledal članek o
ustanovitvi Ustvarjalnega astronomskega društva . Poklical sem jih in sprejeli
59
so me medse. Lez nekaj tednov so organizirali Izobraževalni astronomski
tabor. Tabor je bil na Zaplani nad Vrhniko in je trajal tri dni. te prvi dan
zvečer smo imeli kratko predavanje o najbolj značilnih ozvezdjih in meglicah
na našem nebu . Po predavanju smo šli opazovat nebo. Na voljo smo imeli
20 centimetrski reflektor tipa Newton in dva 7,5 centimetrska refraktorja .
Opazovali smo skoraj do 4h zjutraj.
Naslednji dan smo imeli predavanja. Vsak od udeležencev je moral
napisati referat na eno od astronomskih tem. Izbral sem si planete našega
Osončja. Zvečer smo spet opazovali. Najbolj zanimiv je bil Jupiter s svojimi
štirimi lunami. Vendar nam je kmalu zagodlo vreme - pooblačilo se je.
Zadnji dan je bilo nebo kristalno jasno, kar smo seveda temeljito izkoris-
tili. Najlepše in najbolj znam enite objekte smo sproti opisovali. Povedali so
nam, da naši referati ne bodo šli v koš, ampak bodo zbrani v bro šuri, ki jo bo
dobil vsak udeleženec tabora .
Ta tabor je naredil name velik vtis in kot začetnik sem se res veliko naučil.
Komaj čakam, kdaj bo naslednji.
Primož Kajdič
KVADRAT POD KROGI
Poi šči najmanjše št evilo krogov s premerom 1, ki pokrijejo kvadrat s stranico
2. P ri tem ni nujno , da vsaka toč ka kvadrata leži v not ranjost i kakega kroga
iz pok ritja .
Boris Lavrič
NALOGE ZA MLAJŠE BRALCE
1. Trikotniku povečamo osnov nico za 10 odstotkov , VISIno pa zmanjša mo
za 10 odstotkov . Za koliko odstotkov se sp remeni plcš čina?
2. Ploščina pravokotnika se ne spremeni , če ga za 5cm podaljšamo in za
2cm zožimo. Ploščina se ne spremeni niti, če ga za 5cm skrajšamo in za
4cm razširimo. Kolikšna je njegova ploščina?
3. Naj bo x + y = 3 in xy = 2. Koliko je x 3 + y37
4 . l.e v ulomku 13° š t evec in imenova lec povečamo za isto št evilo , dobimo
i . Za katero štev ilo gre?
Borut Zalar
· ,
cl/-/~'~ .., -, " , . .
ODSEV
Med nočno voznJO z avtom opazimo , da mnogi prometni znaki, registrske
tablice in označbe na cesti v mestih posebno močno odb ijajo svetlobo. Imamo
vtis, da so sami svetlobni vir. Tudi "kresničke" na kolesih in avtomobilih , zad-
nje čase pa tudi na oblekah pešcev močno zasvetijo , ko nanje pad e svetloba iz
avtomobilskih žarometov. Izvedenci , ki skrbijo za varnost v cestnem prometu ,
pravijo , da kresničke odsevajo . Pri tem se spomnimo še na ž a r e č e mačje oči ,
ki jih v temi oplazi curek svetlobe. V tem sestavku si bomo pobliže ogledali
zgradbo odsevnih površin in preprosto razložili odsev .
S poskusi se hitro prepričamo, da odse vna telesa odbijejo svetlobni curek
nazaj proti svetilu, ne glede na lego odsevne ploskve . To ni v skladu z izkušnjo ,
ki jo imamo pri odb oju svetlobe na ravnem zrcalu . Le-to odbije vpad ni curek
proti svetilu le tedaj, ko kaže tja tudi pravokotnica na zrcalo . Ker v avtomobilu
sedimo blizu žarometov, se zdijo odsevna telesa mnogo svetlejša od drugih ,
ki svetl obo le razpršijo . Kako v odsevnikih dosežemo, da se svetloba vedno
odbije proti svetilu , ne da bi morali njihovo lego spreminjati?
Najprej si podrobneje oglejmo kresničko s hrbtne strani . Sestavljajo
jo št evilni ogli kock , ki so postavljeni tako , da so telesne diagona le kock
pravokotne na odsevno ploskev (glej sliko 1 a in b na III. strani ovitka) .
Ogel ne ravnine odbijajo svetlobo kot navadna ravna zrcala . Ogel kocke (glej
sliko 2) ima prav nenavadno lastnost: svetlobni curek, ki se odbije na vseh
treh stranicah, se obrne natančno v smer od koder je prišel.
Za bralce, ki poznajo vektorje, bo dokaz preprost. Orientirajmo koor-
dinatni sistem tako , da leže njegove osi vzdolž robov . Denimo, da pade
svetlobni curek najprej na ravnino xy . Po odboju na tej ravnini se bo pri vek-
torju n= (n x, ny , nz), ki podaja prvotno smer curka , spremenil predznak pri
komponenti nz, preostali dve pa se ne spremenita, torej n' = (n x , ny , - nz ).
Denimo , da je sedaj na vrsti odboj na ravnini x z . Po odboju je nov vektor
smeri nil = (nx , -ny , -nz) . Nazadnje se curek odbije še na ravnini yz ,
ki spremeni predznak komponente nx. Končni vektor smeri je (- n», - ny ,
- nz ), to je vektor, ki kaže v nasprotni smeri kot n, lahko pa je vzporedno
premaknjen. Vidimo, da je vrstni red odbojev na ravninah nepomemben ,
curek se vedno odb ije vase. Zadoščal bi torej en sam ogel. Množico oglov
v kresni čki nared ijo zato, da je le-ta dovolj tanka . Velik odsevnik te vrste
so astronavti postavili na Luni, kjer služi pri natančnem merjenju sprememb
oddaljenosti med Luno in Zemljo. Merijo čas preleta kratkega laserskega
sunka , ki ga z Zemlje usmerijo skozi daljnogled na odsevnik . To merjenje je
61
n a tan čno na 15 centi m et rov. Na s liki 3 na IV. stran i ovitka smo z bliskavico
posnel i tr i zrcala , ki sestavlj ajo ogel kocke. Lepo vid imo odsev bliskav ice na
ro bu slike .
z
xz
x
Slika 2. Ogel kock e s stranicami , ki odbijaj o svetl obo. Ozek svetlobni curek se odbija na
vseh tr eh stranicah . Koord inatn i sist em orient ira mo t ako, da tečejo os i vzdol ž robov.
Oznake na cesti , prometni znaki , registrske tablice in končno tudi rnacje
OCI odsevajo drugače . Oglejmo si , kako odseva mačje oko (glej sliko 4) .
Zadnja stran očesa je prekrita z odbojno plastjo , zato gre svet loba skozi
mrežnico dvakrat. Tako so za svetlobo občutljive celice bolje osvetljene , kar
pride živa li prav pr i nočnem lovu . Prav zaradi te plasti mačje oči za žarijo , ko
jih oplazi curek svetlobe iz žarometov . To se zgodi tudi takrat , ko maček ne
gleda naravnost proti svetilu. Skoraj vzporedni svetlobni curek se na očesni
le či in zrklu lo mi tako, da na mrežn ici, ki je t ik pred odbojno plastjo, nastane
slika svetila kot svetla drobna lisa . Po odboju gre svetloba proti le či in skoznjo
iz očesa. P ri tem se žarki v curku spet lomijo tako, da pride iz očesa skoraj
62
_____~kl O
ne l L-Jn c.
p Ic.. t
< sn· ( \'rCh.~ ! ·\ .... ~ c \- ur k a
~ sme r c d b it c qc r u r e c
Slika 4. Poenostavljena risba mačjega očesa . Podobno je našemu, le da je na zadnji strani
odbojna plast, ki poveča osvetljenost mrežnice. Skoraj vzporeden curek svetlobe se na
očesnem zrklu in v leči lomi in zbere na mrežnici . Odbojna plast preusmeri curek nazaj
skozi lečo in potem iz očesa.
J<rtcpri cur e k
~ \,,, t lo
. ,o d l o <jo
/
Slika 5. Kroglica na svetli podlagi odseva podobno kot mačje oko . Najbolj usmerjen odsev
dobimo, če se curek zbere na meji med kroglico in podlago. Zaradi preglednosti je prikazan
ozek vpadni curek in curek po razpršitvi na svetli podla-gi.
I 63
vzporedni curek svetlobe. V očesu se absorbira le neznaten del vpadnega
svetlobnega toka. Zato lahko rečemo , da mačje oko odbije vpadni curek
svetlobe vase. V odsevnih telesih je namesto odbojne plasti kar belo obarvana
podlaga, lečo pa nadomešča prozorna kroglica . Bela podlaga sicer svetlobo
razprši, kroglica pa jo večji del spet usmeri proti svetilu (glej sliko 5) . Na sliki
6 na IV. strani ovitka smo posneli košček odsevnega premaza pri prehodu
za pešce . Lepo vidimo množico prozornih kroglic , ki so pritrjene na belo
podlago. Na sliki 7 na IV. strani ovitka pa smo z bliskavico posneli odsev
kroglic z ribjim oljem , ki smo jih nasuli na svetlo podlago.
Izračunali bi radi lomni količnik snovi, iz katere je narejena krogla , da
bo slika zelo oddaljenega svetila na krogelnem površju (sferi) . Tedaj bodo
umetne mačje oči delovale kot prave, odbiti curek se bo res odbil sam vase .
Potrebujemo izraz , ki povezuje goriščno razdaljo f debele okrogle leče , lomni
koli čn ik snovi, iz katere je krogia narejena in njen polmer:
n n-1
f R
Enačba velja, dokler je gorišče znotraj krogle in za obosne žarke (glej sliko
5). Želimo, da je gorišče na sferi, torej f = 2R . Sledi
n n-1
2R R
in zato
n = 2.
Snovi s tako velikim lomnim količnikom ni lahko najti. Tudi če imamo na voljo
kroglice iz snovi z bistveno manjšim lomnim količnikom , so odsevne površine
dovolj učinkovite. Bralci naj sami razmislijo, kako se v takem primeru odbije
curek vzporedne svetlobe.
Opisi slik na zadnji strani ovitka:
Slika 3. Iz treh zrcalc smo naredili ogel kocke in ga posneli z bliskavico. Njen odsev se lepo
vidi na robu slike.
Slika 6 . Košček odsevnega premaza pri prehodu za pešce . Lepo vidimo množico prozornih
krogl ic, ki so zalepljene na svetlo podlago. Podobno so narejeni odsevni premazi pri
prometnih znakih in registrskih tablicah .
64
Slika 7. Na svetlo podlago smo posuli kroglice z ribjim oljem . Na posnetku z bliskavico
nekatere kroglice močno odsevajo.
Slika 8. Ogli kock so pri nekaterih odsevnikih tudi takole razporejeni .
Andrej Likar
KOLIKO TRIKOTNIKOV?
a) Koliko je neskladnih trikotnikov , katerih stranice so cela števi la, najv ečj a
med njimi pa je enaka m (tu je m naravno števi lo)?
b) Koliko je takih trikotn ikov, pri katerih nobena stranica ni večj a od m?
Ivan Vidav
PRESEK
list za mlade matematike. fizike, astronome in računalnikarje
21. letnik. šolsko leto 1993/94. številka 1. strani 1 - 64
UREDNI~KI ODBOR: Vladimir Batagelj , Tanja Bečan (jezikovni pregled), Dušica Boben
(oblikovanje teksta), Mirko Dobovišek (glavni urednik), Vilko Domajnko, Roman Drnovšek
(novice), Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Marjan Hribar, Boštjan Jaklič (tehnični
urednik), Martin Juvan (računalništvo), Sandi Klavžar , Boris Lavrič, Andrej Likar (fizika),
Matija Lokar, Franci Oblak, Peter Petek, Pavla Ranzinger (astronomija), Marjan Smerke
(svetovalec za fotografijo), Miha Štalec, Jana Vrabec (nove knjige) , Marija Vencelj (mate-
matika , odgovorna urednica) .
Dopisi in naročnine: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - Podružnica
Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19,61111 Ljubljana, p.p . 64, tel. (061)
265-061/53, št. LR 50101-678-47233. Naročnina za šolsko leto 1993/94 je za posamezne
naročnike 900 SIT, za skupinska naročila šol 720 SIT, posamezna številka 180 SIT,
za tujino 15.000 LIT, devizna nakazila SKB banka d.d. Ljubljana , val-27621-42961/9,
Ajdovščina 4, Ljubljana .
List sofinancirajo MZT , M~~ in MK
Ofset tisk DELO - Tiskarna, Ljubljana
Po mnenju MZT št. 415-52/92 z dne 5.2.1992 šteje revija med proizvode iz 13 . točke
tarifne št. 3 zakona o prometnem davku, za katere se plačuje 5% davek od prometa
proizvodov.
© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1160
Slika 1. a) Zadnja stran odsevnika lepo pokaže množico oglov kocke (tristrani čnih pros-
torsk ih oglav ali trirobnikov, kot bi se izrazili matematiki) . Rob meri nekaj manj kot 2 mm .
b) Pogled na kresničko s sprednje strani. Primerjaj s sliko 3 .
· t;.;~. .-
·· ~ · "ff ~
'l. - če t
:".'-'{'.'t.aA. . ."l, ' '..... ... i';7· ·1·
a" 'M