• kako z matematiko do najboljšega zaslužka? • poizkuševalnica • pentomino • nagradna križanka j moramo vedeti o črnih luknj h? živi pes k nagradna križanka 35_Presek2_K.indd 1 5/11/07 19:49:57 m a t e m a t i č n i t r e n u t k i • V resnici sploh nista bila ujeta skupaj – njuni sliki sta bili položeni skupaj z računalnikom. To izdaja padanje senc na obrazih zvezd: sonce prihaja iz dveh različnih smeri na isti plaži! Bolj dovršeno digitalno ponarejanje odkrivamo s pomočjo matematike. Analiza, linearna al- gebra in statistika so prav posebej uporabni pri določa- nju, kdaj je bil del ene slike skopiran v drugo, ali kdaj je bil en del slike nadomeščen. Ponarejanje slike pusti na datoteki statistične sledi. Na primer, če je oseba odstranjena s slike in nadome- ščena z delom ozadja, potem bosta dva različna dela datoteke identična. Problem pri razkrivanju takih spre- memb je, da sta tako lokacija kot velikost nadomestitve vnaprej neznani. Primer uspešnega algoritma poišče po- navljanja tako, da najprej uredi majhna območja glede na podobnost njihovega digitalnega barvanja, potem pa pregleduje večja območja, ki vsebujejo podobna manjša območja. Oblikovalec algoritma, ki je vodilni digitalni fo- renzični strokovnjak, priznava, da sicer v splošnem po- narejevalci slik ostajajo korak pred detektivi, vendar je napredek v forenziki tak, da je sedaj mnogo težje nare- diti dober ponaredek. Dodaja tudi, da za prijetje ponare- jevalcev „Konec koncev potrebuješ matematiko“. Za več informacij: Can Digital Photos be Trusted?, Ste- ve Casimiro, Popular Science, October 2005. • Odkrivanje ponarejenih fotograf i j Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati- ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen- cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se- dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči- noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob- javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do- voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovorni urednici na naslov uredništva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu recenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispe- vek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejeval- nikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. k o l o f o n 2 n a v o d i l a s o d e l a v c e m P r e s e k a z a o d d a j o p r i s p e v k o v m a t e m a t ič n i t r e n u t k i Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 35, šolsko leto 2007/2008, številka 2 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek (glavni urednik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Mirjam Galičič, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar (odgovorna urednica), Damjan Kobal, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Franci Oblak, Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj. Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2007/2008 je za posamezne naročnike 16,69 eur (3.999,59 sit) – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur (3.501,14 sit), posamezna številka 3,76 eur (901,05 sit), dvojna številka 6,89 eur (1.651,12 sit), stara številka 2,71 eur (649,42 sit), letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje in tehnično urejanje Polona Šterk Ilustracija Ines Kristan Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 2100 izvodov © 2007 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1682 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathematical Moments“, ki jo objavlja Ameriško ma- tematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/ mathmoments. 35_Presek2_K.indd 2 5/11/07 19:49:57 k a z a l o Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati- ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen- cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se- dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči- noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob- javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do- voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovorni urednici na naslov uredništva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu recenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispe- vek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejeval- nikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 35, šolsko leto 2007/2008, številka 2 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek (glavni urednik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Mirjam Galičič, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar (odgovorna urednica), Damjan Kobal, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Franci Oblak, Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj. Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2007/2008 je za posamezne naročnike 16,69 eur (3.999,59 sit) – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur (3.501,14 sit), posamezna številka 3,76 eur (901,05 sit), dvojna številka 6,89 eur (1.651,12 sit), stara številka 2,71 eur (649,42 sit), letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje in tehnično urejanje Polona Šterk Ilustracija Ines Kristan Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 2100 izvodov © 2007 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1682 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. 2 4–5 6 7 7 10–12 12–13 14–15 18 20–23 31 Kazalo • Matematični trenutki Odkrivanje ponarejenih fotografij ..................... • Matematika Z varčevanjem do novega računalnika – Navadni obrestni račun (Ajda Fošner) ................. Kako pisati matematične izraze (Matija Lokar) .. Bistrovidec – Številka Tonetove osebne izkaznice (Ivan Vidav) ............................................. Bistrovidec – Bik se pase, trava rase – rešitev naloge iz prejšnje številke (Marija Vencelj) ......... • Fizika Živi pesek (Janez Strnad) ......................................... Razmisli in poskusi (Mitja Rosina) ......................... Kuhinjska poizkuševalnica – Kateri se bo prvi stalil, odgovor naloge (Mojca Čepič in Gorazd Planinšič) ............................ Iz poizkuševalnice v dnevni sobi – Kakšno obliko ima svetlobna lisa? (Mojca Čepič) ........... • Astronomija Kaj moramo vedeti o črnih luknjah? (Andreja Gomboc) ................................................... Raziskujmo ozvezdja z daljnogledom 10x50 (Andreja Gomboc) ......................................................... • R ačunalništ vo Kaj imajo skupnega polinomi in napake? (Branko Kaučič) ....................................................... RiŠ, Ravnilo in šestilo – Rišem in študiram – Drugi del (Damjan Kobal) ................................... • R azvedrilo Nagradna križanka (Marko Bokalič) .................... Rešitev nagradne križanke Presek 35/1 ............. Sudoku ....................................................................... Rešitev nagradne naloge iz prejšnje številke (Andrej Taranenko) ................................................... • Tekmovanja 48. mednarodna matematična olimpijada (Gregor Dolinar in Irena Majcen) ............................ 43. tekmovanje za Zlata Vegova priznanja (Klavdija Mlinšek) ..................................................... 38. mednarodna fizikalna olimpijada (Ciril Dominko) .......................................................... 43. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje, področno tekmovanje .......................... 43. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje, državno tekmovanja ............................ K naslovnici iz prejšnje številke Preseka: Profesor Stephen Hawking zaradi zdravstvenih težav žal ni mogel priti v Slove- nijo. V tolažbo lahko preberete kakšno od njegovih knjig iz naše ponudbe na ovoju te številke, v Preseku pa nekaj malega o črnih luknjah, ki Hawkinga, verjamemo da tudi vas, še ve- dno vznemirjajo. Na naslovnici prve letošnje številke Preseka je Hawking za kratek čas letel v breztežnosti. Slika je last Zero Gravity Corp. 24–27 28–29 16–17 23 13, 27 30 8 9 19 priloga priloga Slika na naslovnici: Na fotografiji na naslovnici je iranska pokra- jina, kot jo je na poti iz Teherana v Isfahan posnel vodja slovenske ekipe na letošnji mednarodni fizikalni olimpijadi Ciril Dominko. O živem pesku v iranskih puščavah si lahko preberete v prispevku Janeza Strnada. 35_Presek2_K.indd 3 5/11/07 19:49:57 4 m a t e m a t i k a Andrej si je želel, še preden postane študent, kupiti prenosni računalnik. Zato se je odločil, da bo vsak mesec privarčeval toliko denarja, da bo čez eno leto imel z obrestmi vred privarčevanih 1000e. Zadnji dan pouka v tretjem letniku gimnazije je po prejemu spričevala odvihral domov, vzel list pa- pirja in vneto začel računati. Ko sta njegova starša prišla domov, je veselo priskakljal do mame, ki je bila zaposlena na lokalni banki, in ji zavpil: „Mami, od danes naprej bom vsak mesec privarčeval 82 EUR in denar na koncu vsakega meseca vložil v tvojo banko!“ Zdaj pa vprašanje za vas, dragi bralci: Ali je An- drej naredil pravi izračun, če banka vloge obrestuje po navadnem obrestnem računu in 4% letni obrestni meri? Še preden se lotimo računanja, si oglejmo nekaj osnovnih pojmov s področja poslovne matematike. Pri tem se ne bomo mučili z dolgimi uradnimi eko- nomskimi definicijami, saj ste zagotovo za večino teh pojmov že slišali in jih poznate. Tako iz osnovne šole veste, da so obresti nadomestilo za uporabo de- narja, ki ga je varčevalec za določen čas prepustil banki. Pri tem so obresti odvisne od vloženega znes- ka ali glavnice, časa obrestovanja in letne obrestne mere, ki pove, koliko denarnih enot nadomestila do- bimo za vsakih 100 denarnih enot glavnice, vložene za eno leto. V našem primeru je letna obrestna mera 4% : če bi torej Andrej v začetku leta vložil v banko 100e, bi na koncu leta dobil 100 + (4 · 100)/100 = 104e (obresti bi znašale 4e). V našem primeru banka obrestuje vloge po navad- nem obrestnem računu, kar pomeni, da obresti vsa- kokrat računa od prvotne glavnice. Navadni obrestni račun je najpreprostejši način za računanje obresti. Značilen je za obračun hranilnih vlog in za druge klasǐcne kratkoročne posle, uporabljajo ga pri teko- čih računih ter pri obračunu obresti iz obveznosti, ki nastajajo med kupci in prodajalci pri tekočem poslo- vanju. Ker je pri navadnem obrestnem računu izhodišče za obračun obresti ves čas osnovna, nespremenjena glavnica, vsako obdobje med dvema zaporednima pripisoma obresti prinese varčevalcu enak znesek obresti, ki jih bomo označevali s črko o. Začetna glavnica G se po prvem pripisu obresti poveča na G + o, po drugem pripisu obresti na G + 2o, po tre- tjem na G + 3o, . . ., po n-tem na G + no. Očitno je torej, da pri navadnem obrestnem računu glavnica narašča kot aritmetǐcno zaporedje: G,G+ o,G + 2o,G + 3o, . . . , G +no, . . . To zaporedje je seveda naraščajoče, saj so obresti vedno pozitivne. Uporaba navadnega obrestnega ra- čuna torej pomeni linearno rast glavnice. Naj bo sedajG začetna glavnica in p% (to je p/100) letna obrestna mera. Potem znašajo letne obresti 2 Presek 35 (2007/2008) 2 ajda fošner Z varčevanjem do novega računalnika– n a v a d n i o b r e s t n i r a č u n • Andrej si je želel, še preden postane študent, kupiti prenosni ra- čunalnik. Zato se je odločil, da bo vsak mesec privarčeval toliko de- narja, da bo čez eno leto imel z obrestmi vred privarčevanih 1000e. Zadnji dan pouka v tretjem letniku gimnazije je po prejemu spriče- vala odvihral domov, vzel list papirja in vneto začel računati. Ko sta njegova starša prišla domov, je veselo priskakljal do mame, ki je bila zaposlena na lokalni banki, in ji zavpil: „Mami, od danes naprej bom vsak mesec privarčeval 82e in denar na koncu vsakega meseca vložil v tvojo banko!“ 1 i l l, , i i i - l i . l il, i l li - , l i l i i i . i l i i i i - l i l , l li i i l i. i l , l i l l , i il l l l i i, i i il: i, i l i l il ! r j s j š r sta št t t r s ra c a at s j c a sa s c r arc a t arja a c t r st r r arc a a j a a tr tj t a j j r j s r c a a ra st a rja t ac rac at sta j a starša r š a j s r s a ja a j a a s a a a a j a „ a a s a r j sa s c r arc a ar a c sa a s ca t j a “ And e i e želel, e p eden po ne uden , kupi i p eno ni - ˇun lnik. Z o e e odloˇil, d bo v k e e p iv ˇev l oliko de- n , d bo ˇez eno le o i el z ob e i v ed p iv ˇev nih 1000e. Z dn i d n pouk v e e le niku gi n zi e e po p e e u p iˇe- v l odvih l do ov, vzel li p pi in vne o z ˇel ˇun i. Ko n egov p i l do ov, e ve elo p i k kl l do e, ki e bil z po len n lok lni b nki, in i z vpil: i, od d ne n p e bo v k e e p iv ˇev l 82e in den n kon u v keg e e vložil v vo o b nko! 1 r j j r t t t t r r t j m r r t rj t m r tm r r r j tr tj m t m j j r j m r r m t rj t r t t j t r r m j r j m m j j „M m r j m m r r r m t j “ si l l, š s a š , i i s i a- c al i . a s l cil, a sa s c i a c al li - a a, a c l i l s i i a c a i . a i a a l i i a i s ic - ala i al , l lis a i a i ac l ac a i. s a a s a ša išla , s l is a l al a , i ila a sl a a l al i a i, i i a il: a i, a s a sa s c i a c al i a a c sa a s ca l il a ! nd ej je že e e p eden po t ne tudent kup t p eno n ˇun n k Z to e je od oˇ d bo v k e e p v ˇev to ko de n j d bo ˇez eno eto e z ob e t v ed p v ˇev n h 1000 Z dnj d n pouk v t etje etn ku g n z je je po p eje u p ˇe v odv h do ov vze t p p j n vneto z ˇe ˇun t o t njegov t p do ov je ve e o p k k j do e k je b z po en n ok n b nk n j z vp od d ne n p ej bo v k e e p v ˇev 82 n den n kon u v keg e e v ož v tvojo b nko 1 A r i l l, r , i i r i r - l i . l il, ri r l li - r , l i l r i r ri r i e. i r l i i i r ri - l i r l , l li ir i l r i. K r ri l , l ri l l , i il l l l i i, i i il: „ i, r ri r l e i r l il !“ 35_Presek2_K.indd 4 5/11/07 19:49:58 5 m a t e m a t i k a Andrej si je želel, še preden postane študent, kupiti prenosni računalnik. Zato se je odločil, da bo vsak mesec privarčeval toliko denarja, da bo čez eno leto imel z obrestmi vred privarčevanih 1000e. Zadnji dan pouka v tretjem letniku gimnazije je po prejemu spričevala odvihral domov, vzel list pa- pirja in vneto začel računati. Ko sta njegova starša prišla domov, je veselo priskakljal do mame, ki je bila zaposlena na lokalni banki, in ji zavpil: „Mami, od danes naprej bom vsak mesec privarčeval 82 EUR in denar na koncu vsakega meseca vložil v tvojo banko!“ Zdaj pa vprašanje za vas, dragi bralci: Ali je An- drej naredil pravi izračun, če banka vloge obrestuje po navadnem obrestnem računu in 4% letni obrestni meri? Še preden se lotimo računanja, si oglejmo nekaj osnovnih pojmov s področja poslovne matematike. Pri tem se ne bomo mučili z dolgimi uradnimi eko- nomskimi definicijami, saj ste zagotovo za večino teh pojmov že slišali in jih poznate. Tako iz osnovne šole veste, da so obresti nadomestilo za uporabo de- narja, ki ga je varčevalec za določen čas prepustil banki. Pri tem so obresti odvisne od vloženega znes- ka ali glavnice, časa obrestovanja in letne obrestne mere, ki pove, koliko denarnih enot nadomestila do- bimo za vsakih 100 denarnih enot glavnice, vložene za eno leto. V našem primeru je letna obrestna mera 4% : če bi torej Andrej v začetku leta vložil v banko 100e, bi na koncu leta dobil 100 + (4 · 100)/100 = 104e (obresti bi znašale 4e). V našem primeru banka obrestuje vloge po navad- nem obrestnem računu, kar pomeni, da obresti vsa- kokrat računa od prvotne glavnice. Navadni obrestni račun je najpreprostejši način za računanje obresti. Značilen je za obračun hranilnih vlog in za druge klasǐcne kratkoročne posle, uporabljajo ga pri teko- čih računih ter pri obračunu obresti iz obveznosti, ki nastajajo med kupci in prodajalci pri tekočem poslo- vanju. Ker je pri navadnem obrestnem računu izhodišče za obračun obresti ves čas osnovna, nespremenjena glavnica, vsako obdobje med dvema zaporednima pripisoma obresti prinese varčevalcu enak znesek obresti, ki jih bomo označevali s črko o. Začetna glavnica G se po prvem pripisu obresti poveča na G + o, po drugem pripisu obresti na G + 2o, po tre- tjem na G + 3o, . . ., po n-tem na G + no. Očitno je torej, da pri navadnem obrestnem računu glavnica narašča kot aritmetǐcno zaporedje: G,G+ o,G + 2o,G + 3o, . . . , G +no, . . . To zaporedje je seveda naraščajoče, saj so obresti vedno pozitivne. Uporaba navadnega obrestnega ra- čuna torej pomeni linearno rast glavnice. Naj bo sedajG začetna glavnica in p% (to je p/100) letna obrestna mera. Potem znašajo letne obresti 2 o = G · p 100 . Kolikšne pa so obresti za en mesec? Zaradi že ugo- tovljene premosorazmernosti so obresti za en mesec dvanajstkrat manjše: o = G · p 1200 . Obresti za m mesecev torej znašajo o = G · m·p1200 . Sedaj imamo dovolj informacij, da se lahko lotimo računanja. Zaradi lažjega zapisa označimo Andreje- ve vloge s črko a in obrestno mero s p. Andrej bo torej vsak konec meseca v banko vložil znesek a. Zanima nas, kolikšna je skupna vrednost teh zneskov po preteku enega leta. Prikažimo dogajanje grafično s časovno premico: 1�������2��������3 11�����12.���.���. aa aaaa X Hitro lahko opazimo, da se prva vloga obrestuje 11 mesecev; torej je na koncu leta vredna a + o = a + a · (11 ·p)/1200. Druga vloga se obrestuje 10 mese- cev in je na koncu leta vredna a+ a · (10 · p)/1200. Podobno velja za vse ostale vloge. Zadnja med njimi se seveda sploh ne obrestuje. Če označimo z X iska- no vrednost, potem velja X = (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +(a+a · 9·p 1200)+· · ·+ (a+a · 1·p 1200)+a . Člene na desni strani enakosti seštejemo in dobimo X = 12 · a+ a · (11+10+9+···+1)·p1200 . Ker je 11+ 10+ 9+ · · · + 1 = 12 · 11/2 = 66, je X = a·(12+ 66·p1200). Če upoštevamo še, da je a = 82 in p = 4, dobimo X = 1002,04. Če bo torej Andreju načrt uspel in bo vsak mesec v banko vložil 82e, potem si bo po enem letu lahko kupil prenosni racunalnik. Koliko denarja pa bi Andrej privarčeval, če bi vla- gal denar na začetku vsakega meseca? Če si podobno kot zgoraj narišemo časovno premico, opazimo, da se prva vloga obrestuje 12 mesecev, druga vloga 11 mesecev, zadnja vloga pa se obrestuje en mesec. 1�������2��������3 11�����12.���.���. aaa aaa X Torej je X = (a+ a · 12·p 1200)+ (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +· · · + (a+ a · 2·p 1200)+ (a+ a · 1·p 1200) oziroma X = 12 · a+ a · (12+11+10+···+1)·p1200 . 3 . li ti i - t lj ti ti j t t j : . ti t j j · . j i lj i ij, l l ti j . i l j i i j - l i t . j t j l il . i , li j t t t l t . i i j j i : 1�������2��������3 11�����12.���.���. aa aaaa it l i , l t j ; t j j l t . l t j - i j l t . lj t l l . j ji i l t j . i i - t, t lj · · · · . l i t i ti t j i i ( ··· )· . j , j · . t , j i , i , . t j j t l i l il , t i l t l il i l i . li j i j i l, i l - l t i t j i i , i , l t j , l , j l t j . 1�������2��������3 11�����12.���.���. aaa aaa j j · · · · · i ( ··· )· . o = G · p 100 . Kolikšne pa so obresti za en mesec? Zaradi že ugo- tovljene premosorazmernosti so obresti za en mesec dvanajstkrat manjše: o = G · p 1200 . Obresti za m mesecev torej znašajo o = G · m·p1200 . Sedaj imamo dovolj informacij, da se lahko lotimo računanja. Zaradi lažjega zapisa označimo Andreje- ve vloge s črko a in obrestno mero s p. Andrej bo torej vsak konec meseca v banko vložil znesek a. Zanima nas, kolikšna je skupna vrednost teh zneskov po preteku enega leta. Prikažimo dogajanje grafično s časovno premico: 1�������2��������3 11�����12.���.���. aa aaaa X Hitro lahko opazimo, da se prva vloga obrestuje 11 mesecev; torej je na koncu leta vredna a + o = a + a · (11 ·p)/1200. Druga vloga se obrestuje 10 mese- cev in je na koncu leta vredna a+ a · (10 · p)/1200. Podobno velja za vse ostale vloge. Zadnja med njimi se seveda sploh ne obrestuje. Če označimo z X iska- no vrednost, potem velja X = (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +(a+a · 9·p 1200)+· · ·+ (a+a · 1·p 1200)+a . Člene na desni strani enakosti seštejemo in dobimo X = 12 · a+ a · (11+10+9+···+1)·p1200 . Ker je 11+ 10+ 9+ · · · 1 = 2 · 11/2 = 66, je X = a·(12+ 66·p1200). Če upoštevamo še, da je a = 82 in p = 4, dobimo X = 1002,04. Če bo torej Andreju načrt uspel in bo vsak mesec v banko vložil 82e, potem si bo po enem letu lahko kupil prenosni racunalnik. Koliko denarja pa bi Andrej privarčeval, če bi vla- gal denar na začetku vsakega meseca? Če si podobno kot zgoraj narišemo časovno premico, opazimo, da se prva vloga obrestuje 12 mesecev, druga vloga 11 mesecev, zadnja vloga pa se obrestuje en mesec. 1�������2��������3 11�����12.���.���. aaa aaa X Torej je X = (a+ a · 12·p 1200)+ (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +· · + (a+ a · 2·p 1200)+ (a+ a · 1·p 1200) oziroma X = 12 · a+ a · (12+11+10+···+1)·p1200 . 3 o = G · p 100 . Kolikšne pa so obresti za en mesec? Zaradi že ugo- tovljene premosorazmernosti so obresti za en mesec dvanajstkrat manjše: o = G · p 1200 . Obresti za m mesecev torej znašajo o = G · m·p1200 . Sedaj imamo dovolj informacij, da se lahko lotimo računanja. Zaradi lažjega zapisa označimo Andreje- ve vloge s črko a in obrestno mero s p. Andrej bo torej vsak konec meseca v banko vložil znesek a. Zanima nas, kolikšna je skupna vrednost teh zneskov po preteku enega leta. Prikažimo dogajanje grafično s časovno premico: 1�������2��������3 11�����12.���.���. aa aaaa X Hitro lahko opazimo, da se prva vloga obrestuje 11 mesecev; torej je na koncu leta vredna a + o = a + a · (11 ·p)/1200. Druga vloga se obrestuje 10 mese- cev in je na koncu leta vredna a+ a · (10 · p)/1200. Podobno velja za vse ostale vloge. Zadnja med njimi se seveda sploh ne obrestuje. Če označimo z X iska- no vrednost, potem velja X = (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +(a+a · 9·p 1200)+· · ·+ (a+a · 1·p 1200)+a . Člene na desni strani enakosti seštejemo in dobimo X = 12 · a+ a · (11+10+9+···+1)·p1200 . Ker je 11+ 10+ 9+ · · · + 1 = 12 · 11/2 = 66, je X = a·(12+ 66·p1200). Če upoštevamo še, da je a = 82 in p = 4, dobimo X = 1002,04. Če bo torej Andreju načrt uspel in bo vsak mesec v banko vložil 82e, potem si bo po enem letu lahko kupil prenosni racunalnik. Koliko denarja pa bi Andrej privarčeval, če bi vla- gal denar na začetku vsakega meseca? Če si podobno kot zgoraj narišemo časovno premico, opazimo, da se prva vloga obrestuje 12 mesecev, druga vloga 11 mesecev, zadnja vloga pa se obrestuje en mesec. 1�������2��������3 11�����12.���.���. aaa aaa X Torej je X = (a+ a · 12·p 1200)+ (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +· · · + (a+ a · 2·p 1200)+ (a+ a · 1·p 1200) oziroma X = 12 · a+ a · (12+11+10+···+1)·p1200 . 3 . li i : . . , . . . , . : ������� �������� �����.���.���. , ; . . . . , . . , . , , , . , . li i i l, i l l , , , , . ������� �������� �����.���.���. . o = G · p 100 . Kolikšne pa so obresti za en mesec? Zaradi že ugo- tovljene premosorazmernosti so obresti za en mesec dvanajstkrat manjše: o = G · p 1200 . Obresti za m mesecev torej znašajo o = G · m·p1200 . Sedaj imamo dovolj informacij, da se lahko lotimo računanja. Zaradi lažjega zapisa označimo Andreje- ve vloge s črko a in obrestno mero s p. Andrej bo torej vsak konec meseca v banko vložil znesek a. Zanima nas, kolikšna je skupna vrednost teh zneskov po preteku enega leta. Prikažimo dogajanje grafično s časovno premico: 1�������2��������3 11�����12.���.���. aa aaaa X Hitro lahko opazimo, da se prva vloga obrestuje 11 mesecev; torej je na koncu leta vredna a + o = a + a · (11 ·p)/1200. Druga vloga se obrestuje 10 mese- cev in je na koncu leta vredna a+ a · (10 · p)/1200. Podobno velja za vse ostale vloge. Zadnja med njimi se seveda sploh ne obrestuje. Če označimo z X iska- no vrednost, potem velja X = (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +(a+a · 9·p 1200)+· · ·+ (a+a · 1·p 1200)+a . Člene na desni strani enakosti seštejemo in dobimo X = 12 · a+ a · (11+10+9+···+1)·p1200 . Ker je 11+ 10+ 9+ · · · + 1 = 12 · 11/2 = 66, je X = a·(12+ 66·p1200). Če upoštevamo še, da je a = 82 in p = 4, dobimo X = 1002,04. Če bo torej Andreju načrt uspel in bo vsak mesec v banko vložil 82e, potem si bo po enem letu lahko kupil prenosni racunalnik. Koliko denarja pa bi Andrej privarčeval, če bi vla- gal denar na začetku vsakega meseca? Če si podobno kot zgoraj narišemo časovno premico, opazimo, da se prva vloga obrestuje 12 mesecev, druga vloga 11 mesecev, zadnja vloga pa se obrestuje en mesec. 1�������2��������3 11�����12.���.���. aaa aaa X Torej je X = (a+ a · 12·p 1200)+ (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +· · · + (a+ a · 2·p 1200)+ (a+ a · 1·p 1200) oziroma X = 12 · a+ a · (12+11+10+···+1)·p1200 . 3 , . , i , , . l il , ˇ . 1 Ker je 11+ 10+ 9+ · · · + 1 = 12 · 11/2 = 66, je X = a·(12+ 66·p 1200). Če upoštevamo še, da je a = 82 in p = 4, dobimo X = 1002,04. Če bo torej Andreju načrt uspel in bo vsak mesec v banko vložil 82e, potem si bo po enem letu lahko kupil prenosni računalnik. 1 j , j · . , j , i , . j j l i , i l l il i l i . o = G · p 100 . Kolikšne pa so obresti za en mesec? Zaradi že ugo- tovljene premosorazmernosti so obresti za en mesec dvanajstkrat manjše: o = G · p 1200 . Obresti za mesecev torej znašajo o = G · m·p1200 . Sedaj imamo dovolj informacij, da se lahko lotimo računanja. Zaradi lažjega zapisa označimo Andreje- ve vloge s črko a in obrestno mero s p. Andrej bo torej vsak konec meseca v banko vložil znesek a. Zanima nas, kolikšna je skupna vrednost teh zneskov po preteku enega leta. Prikažimo dogajanje grafično s časovno premico: 1�������2��������3 11�����12.���.���. aa aaaa X Hitro lahko opazimo, da se prva vloga obrestuje 11 mesecev; torej je na koncu leta vredna a + o = a + a · (11 ·p)/1200. Druga vloga se obrestuje 10 mese- cev in je na koncu leta vredna a+ a · (10 · p)/1200. Podobno velja za vse ostale vloge. Zadnja med njimi se seveda sploh ne obrestuje. Če označimo z X iska- no vrednost, potem velja X = (a+ a · 11·p 200)+ (a+ a · 10·p 200) +(a+a · 9·p 1200)+· · ·+ (a+a · 1·p 1200)+a . Člene na desni strani enakosti seštejemo in dobimo X = 12 · a+ a · (11+10+9+···+1)·p1200 . Koliko denarja pa bi Andrej privarčeval, če bi vla- gal denar na začetku vsakega meseca? Če si podobno kot zgoraj narišemo časovno premico, opazimo, da se prva vloga obrestuje 12 mesecev, druga vloga 11 mesecev, zadnja vloga pa se obrestuje en mesec. 1�������2��������3 11�����12.���.���. aaa aaa X Torej je X = (a+ a · 12·p 00)+ (a+ a · 11·p 200)+ (a+ a · 10·p 200) +· · · + (a+ a · 2·p 1200)+ (a+ a · 1·p 1200) oziroma X = 12 · a+ a · (12+11+10+···+1)·p1200 . 3 · p 100 . li š e s resti z e esec? r i e - t lje e re s r er sti s resti e esec jst r t jše: · p 1200 . resti esece t rej š j · ·p1200 . e j i lj i f r cij, se l l ti r c j . r i l je is ci reje- e l e s cr i rest er s . rej t rej s ec esec l il ese . i s, li š je s re st te es rete e e let . ri i j je r c s c s re ic : 1�������2��������3 11�����12.���.���. aa aaaa X itr l i , se r l rest je esece ; t rej je c let re · ( · )/ . r l se rest je ese- ce i je c let re · ( · )/ . elj se st le l e. j e ji i se se e s l e rest je. e ci is - re st, te elj ( · 11·p 1200) ( · 10·p 1200) ( · 9·p 1200) · · · ( · 1·p 1200) . le e es i str i e sti sešteje i i · · (11 10 9 ··· 1)·p 1200 . er je · · · · / , je ·( 66·p 1200). e šte še, je i , i , . e t rej rej crt s el i s esec l il , te si e e let l il re s i r c l i . li e rj i rej ri rce l, ce i l - l e r z cet s e esec ? e si t r j riše c s re ic , i , se r l rest je esece , r l esece , j l se rest je e esec. 1�������2��������3 11�����12.���.���. aaa aaa X rej je ( · 12·p 1200) ( · 11·p 1200) ( · 10·p 1200) · · · ( · 2·p 1200) ( · 1·p 1200) ir · · (12 11 10 ··· 1)·p 1200 . o = G · p 100 . Kolikšne pa so obresti za en mesec? Zaradi že ugo- tovljene premosorazmernosti so obresti za en mesec dvanajstkrat manjše: o = G · p 1200 . Obresti za m mesecev torej znašajo o = G · m·p1200 . Sedaj imamo dovolj informacij, da se lahko lotimo računanja. Zaradi lažjega zapisa označimo Andreje- ve vloge s črko a in obrestno mero s p. Andrej bo torej vsak konec meseca v banko vložil znesek a. Zanima nas, kolikšna skupna vrednost teh zneskov po pret ku enega leta. Prikažimo dogajanj grafično s časovno pr mico: 1�������2��������3 11�����12.���.���. aa aaaa X Hitro lahko opazimo, da se prva vloga obrestuje 11 mesecev; torej je na koncu leta vredna a + o = a + a · (11 ·p)/1200. Druga vloga se obrestuje 10 mese- cev in je na koncu leta vredna a+ a · (10 · p)/1200. Podobno velja za vse ostale vloge. Zadnja med njimi se seveda sploh ne obrestuje. Č označimo z X iska no vrednost, potem velja X = (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +(a+a · 9·p 1200)+· · ·+ (a+a · 1·p 1200)+a . Člene na desni strani enakosti seštejemo in dobimo X = 12 · a+ a · (11+10+9+···+1)·p1200 . Ker je 11+ 10+ 9+ · · · 1 = 12 · 11/2 = 66, je X = a·(12+ 66·p1200). Če upoštevamo še, da je a = 82 in p = 4, dobimo X = 1002,04. Če bo torej Andreju načrt uspel in bo vsak mesec v banko vložil 82e, pot m si bo po enem letu lahko kupil prenosni r cunalnik. Koliko denarja pa bi Andrej privarčeval, če bi vla- gal denar na začetku vsakega meseca? Če si podobno kot zgoraj narišemo časovno premico, opazimo, da se prva vloga obrestuje 12 mesecev, druga vloga 11 mesecev, zadnja vloga pa se obrestuje en mesec. 1�������2��������3 11�����12.���.���. aaa aaa X Torej je X = (a+ a · 12·p 1200)+ (a+ a · 11·p 1200)+ (a+ a · 10·p 1200) +· · + (a+ a · 2·p 1200)+ (a+ a · 1·p 120 ) oziroma X = 12 · a+ a · (12+11+10+···+1)·p1200 . 3 . li i : . . , . . . , . : ������� �������� �����.���.���. , ; . . . . , . . , . , , , . , . li i i l, i l l , , , , . ������� �������� �����.���.���. · . i l i i i i l i i l l i i l i i l i l il i li l i i i i l i l l l i l l l l i i l i i l l i i i i i i i l i l il i l l il i l i - i i i i l l l i t - j j j j j · j j j j j j - j j j j j j j j - j j j j j j · · · · j ( ··· )· j j · j j j j j t j j j j j j · · · · · ( ··· )· Andrej bi v tem primeru privarčeval 1005,32e. Literatura [1] J. A. Čibej, Matematika za poslovneže (1. del), Ekonomska fakulteta, Ljubljana 2003. [2] L. Zornada, Zbirka nalog iz poslovne matematike in statistike, Fakulteta za management, Koper 2003. 4 Andrej bi v tem primeru privarčeval 1005,32e. Literatura [1] J. A. Čibej, Matematika za poslovneže (1. del), Ekonomska fakulteta, Ljubljana 2003. [2] L. Zornada, Zbirka nalog iz poslovne matematike in statistike, Fakulteta za management, Koper 2003. 4 Andrej bi v tem primeru privarčeval 1005,32e. Literatura [1] J. A. Čibej, Matematika za poslovneže (1. del), Ekonomska fakulteta, Ljubljana 2003. [2] L. Zornada, Zbir a nalog iz poslovne ma ematike in statistike, Fakulteta za management, Koper 2003. 4 • Literatur Presek 35 (2007 2008) 2 • 1 a aa aa a 2 3 . . . 11 12 x aa 1 aa a a 2 3 . . . 11 12 x 35_Presek2_K.indd 5 5/11/07 19:50:00 6 m a t e m a t i k a Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avtorja. Bil je namreč zelo razočaran nad dejstvom, kako zapišemo eno „osnovnih matematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- mo, kaj lahko storimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem dejstva, da je inverzna matrika transponirane matrike enaka transponirani matriki (s predpostavko, da je prostor enodimenzionalen), dobimo naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avtorja. Bil je namreč zelo razočaran nad dejstvom, kako zapišemo eno „osnovnih matematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- mo, kaj lahko storimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem dejstva, da je inverzna matrika transponirane matrike enaka transponirani matriki (s predpostavko, da je prostor enodimenzionalen), dobimo naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avtorja. Bil je namreč zelo razočaran nad dejstvom, kako zapišemo eno „osnovnih matematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- mo, kaj lahko storimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem dejstva, da je inverzna matrika transponirane matrike enaka transponirani matriki (s predpostavko, da je prostor enodimenzionalen), dobimo naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avto ja. Bil je namreč elo razočaran nad dejstvom, k ko zapišemo en „osnovnih m tematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- mo, kaj lahko storimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem dejstva, da je inverzna matrika transponirane atrike enaka transponirani atriki (s predpostavko, da je prostor enodimenzionalen), dobimo naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avto ja. Bil je namreč elo razočaran nad dejstvom, k ko zapišemo en „osnovnih m tematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- mo, kaj lahko storimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = s n2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem dejstva, da je inverzna matrika transponirane matrike enaka transponirani matriki (s predpostavko, a je prostor enodimenzionalen), dobim naslednjo po nostavitev (z upo bo vektor- 2 Zadnjič i je pod roko prišlo naslednje raz i- šljanje eni neznanega avtorja. Bil je na reč zelo razočaran nad dejstvo , kako zapiše o eno „osnovnih ate atičnih resnic“. Poglej o! Vsi ve o, da velja 1+ 1 = 2. A pak, se ate atiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikak r ne! Poglej- o, kaj lahko stori o. Ve o, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapiše o alo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj ra u lji . Po drugi strani lja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = li z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredi o v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  li z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanje dejstva, da je inverzna atrika transponir e atrike enak transponirani atriki (s predpostavko, da je prostor enodi enzion len), dobi o naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avtorja. Bil je namreč zelo razočaran nad dejstvom, kako zapišemo eno „osnovnih matematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- mo, kaj lahko s orimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ si 2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preur dimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem dejstva, da je inverzna matrika transponirane atrike enaka transponirani atriki (s predpostavko, a je prostor enodimenzionalen), dobim naslednjo po nostavitev (z upo bo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avtorja. Bil je namreč zelo razočaran nad dejstvom, kako zapišemo eno „osnovnih matematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- mo, kaj lahko storimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln( )+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem dejstva, da je inverzna matrika transponirane matrike enaka transponirani matriki (s predpostavko, da je prostor enodimenzionalen), dobimo naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 Zadnjič i je pod roko prišlo naslednje raz i- šljanje eni neznanega avtorja. Bil je na reč zelo razočaran nad dejstvo , kako zapiše o eno „osnovnih ate atičnih resnic“. Poglej o! Vsi ve o, da velja 1+ 1 = 2. A pak, se ate atiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- o, kaj lahko stori o. Ve o, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapiše o alo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razu ljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = li z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredi o v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  li z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanje dejstva, da je inverzna atrika transponirane atrike enaka transponirani atriki (s predpostavko, da je prostor enodi enzionalen), dobi o naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avtorja. Bil je namreč zelo razočaran nad dejstvom, kako zapišemo eno „osnovnih matematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- mo, kaj lahko storimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem ejstva, da je inverzna matrika transp nirane matrike enaka transponirani matriki (s predpostavko, da je prostor enodimenzionalen), dobimo naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko p išlo naslednje ra mi- šljanje meni neznanega avtorj . Bil je namreč zel razočaran n d dejstvom, kako zapišemo eno „osnovnih matematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikak r ne! Poglej- mo, kaj lahko storimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj ra umlji . Po drugi strani lja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem dejstva, da je inverzna matrika transponir e atrike enak transponirani atriki (s predpostavko, da je prostor enodimenzion len), dobimo naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avto ja. Bil je namreč elo razočaran nad dejstvom, k ko zapišemo en „osnovnih m tematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikakor ne! Poglej- mo, kaj lahko s orimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanje dejstva, da je inverzna atrika transponirane matrike enaka transponirani matriki (s predpostavko, a je prostor enodimenzionalen), dobim naslednjo po nostavitev (z upo bo vektor- 2 Zadnjič mi je pod roko prišlo naslednje razmi- šljanje meni neznanega avtorja. Bil je namreč zelo razočaran nad dejstvom, kako zapišemo eno „osnovnih matematičnih resnic“. Poglejmo! Vsi vemo, da velja 1+ 1 = 2. Ampak, se matematiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikak r ne! Poglej- mo, kaj lahko s orimo. Vemo, da je 1 = ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapišemo malo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj ra umlji . Po drugi strani lja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštevanjem dejstva, da je inverzna matrika transponir e atrike enak transponirani atriki (s predpostavko, a je prostor enodimenzion len), dobim naslednjo po nostavitev (z upo bo vektor- 2 Zadnjič i je pod roko prišlo naslednje raz i- šljanje eni neznanega avtorja. Bil je na reč zelo razočaran nad dejstvo , kako zapiše o eno „os ovnih ate tičnih resnic“. Poglej o! Vsi ve o, da velja 1 1 2. A pak, se ate atiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? Nikak r ne! Poglej- o, kaj lahko stori o. Ve o, da je 1 ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 sin2(p) cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 1 2 zapiše o alo bolj elegantno kot ln(e) sin2(p) cos2(p) ∞ n=0 1 2 n . čitno je, da je ta zapis veliko bolj znanstven in se- veda veliko bolj ra u lji . Po drugi strani lja tudi 1 cosh(q) ·  1 tanh2(q) in e li z→∞  1 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e) sin2(p) cos2(p) ∞ n=0 1 2 n preur di o v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  li z→∞  1 1 z z sin2(p) cos2(p) ∞ n=0 cosh(q) ·  1 tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! 1 Z upoštevanje dejstva, da je inverzna atrika transponir e atrike enak transponirani atriki (s predpostavko, da je prostor enodi enzion len), dobi o naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 n + = = = + = + = + + = O z = − = + + + = + + + = − = a ske notacije)  X T −1 −  X −1 T = 0. Če zadevi združimo, dobimo lep, pregleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki smo ga dobili prej ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upoštevamo zgornjo poenostavitev in voila: ln  lim z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 ske notacije)  X T −1 −  X −1 T = 0. Če zadevi združimo, dobimo lep, pregleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki smo ga dobili prej ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upoštevamo zgornjo poenostavitev in voila: ln  lim z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 ke notacije)  X T −1 −  X −1 T = 0. Če zadevi združimo, dobimo lep, pregleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki smo ga dobili prej l  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upoštevamo zgornjo poenostavitev in voila: ln  lim z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 ske not cije)  X T −1 −  X −1 T 0. Če zadevi združimo, dobimo l p, pr gleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki smo ga dobili pr j ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upoštevamo zgornjo poenostavitev in voila: ln  lim z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 ske notacije)  X T −1 −  X −1 T = 0. Če zadevi združimo, dobimo lep, pregleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki smo ga dobili prej ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upoštevamo zgornjo poenostavitev in voila: ln  lim z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 ske notacije)  X T −1 −  X −1 T = 0. Če zadevi združi o, dobi o lep, pregleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki s o ga dobil prej ln  li z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upošteva zgornjo poenostavitev in voila: ln  li z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 ske n tacije)  X T −1 −  X −1 T = 0. Če zadevi združimo, dobimo lep, pregleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki smo ga dobili prej ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2( ) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upoštevamo zgornjo poenostavitev in voila: ln  lim z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 ske n tacije)  X T −1 −  X −1 T = 0. Če zadevi združimo, dobimo lep, pregleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki smo ga dobili prej ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upoštevamo zgornjo poenostavitev in voila: ln  lim z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 t ij ) . i i , i l , l i ! . i , i ili j l li i t t j t it i il : l li ! i t i , i j li lj t t t i . ske notacije)  X T −1 −  X −1 T = 0. Če zadevi združimo, dobimo lep, pregleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki smo ga dobili prej ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upoštevamo zgornjo poenostavitev in voila: ln  lim z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 ij ) . i i , i l , l i ! . i , i ili j l li i j i i il : l li ! i i , i j li lj i . ske notacije)  X T −1 −  X −1 T = 0. Če zadevi združimo, dobimo lep, pregleden izraz  X T −1 −  X −1 T ! = 1. V izrazu, ki smo ga dobili prej ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n upoštevamo zgornjo poenostavitev in voila: ln  lim z→∞  XT −1 −  X−1 T !+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n izraz, ki je nesporno veliko bolj znanstven kot naš začetni 1+ 1 = 2. 3 Presek 35 (2007/2008) 2 matija lokar Kako pisat i matematične izraze • • ji i j i l l j i- lj j i t rj . il j r l r r j t , i „ s i t ti i r s i “. l j ! si ve , a velja 1 1 2. pak, se a e atiku res spodobi to zapisati na tako obǐcajen, enostaven način? ikakor ne! Poglej- o, kaj lahko stori o. e o, da je 1 ln(e). Po drugi strani drži tudi 1 = sin2(p)+ cos2(p). Vsakdo ve, da velja 2 = ∞ n=0 1 2 n . Torej lahko naš izraz 1 + 1 = 2 zapiše o alo bolj elegantno kot ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n . Očitno je, da je ta apis eliko bolj znanst n in se- veda veliko bolj razumljiv. Po drugi strani velja tudi 1 = cosh(q) ·  1− tanh2(q) in e = lim z→∞  1+ 1 z z . Torej lahko naš prejšnji izraz ln(e)+ sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 1 2 n preuredimo v veliko bolj čisto in pregledno obliko ln  lim z→∞  1+ 1 z z + sin2(p)+ cos2(p) = ∞ n=0 cosh(q) ·  1− tanh2(q) 2n In kot bi rekli v televizijski prodaji . . . počakajte, to še ni vse . . . Vsakdo ve, da 0! = 1 Z upoštev je ejstva, d je inverzna atrika transp nirane atrik enaka transponir ni triki (s predpostavko, da je prostor enodi enzionalen), dobi o naslednjo poenostavitev (z uporabo vektor- 2 z v ve  m m m m m m . i i i i i . , lj 0 . r j l i r i l lj l t t l i 2 2 0 . it j , j t i li lj t i - li lj r lji . r i tr i lj t i · t 2 i li z z . r j l r j ji i r l i 2 2 0 r r i li lj i t i r l li l li z z i 2 2 0 · t 2 I t i r li t l i ij i r ji . . . jt , t i . . . , ! t j j t , j i r tri tr ir tri tr i i tri i ( r t , j r t r i i l ), i l j t it ( r t r- ( ) ( ) e o e a ko aš e š z az (e) s ( ) cos ( ) n= 1 2 n e e o v ve ko bo č s o eg e o ob ko   1 1 z   s ( ) cos ( ) n= cos ( ) 1 a ( ) 2n ko b ek v e ev z sk o a očaka e o še vse sak o ve a 0 1 oš eva e e s va a e ve z a a ka a s a e a k e aka a s o k s e os avko a e os o e o e z o a e ob o as e o oe os av ev z o abo vek o 2 35_Presek2_K.indd 6 5/11/07 19:50:07 7 m a t e m a t i k a Števi lka Tonetove osebne izkaznice Nalogo smo za vas izbrskali iz četrt stoletja stare številke Preseka ob 300-letnici izida Newtonove Splo- šne aritmetike, kjer je bila naloga prvǐc zastavljena. Pravilni odgovor je 36 bikov. Morda so se kakšnemu od reševalcev zazdeli po- datki naloge protislovni in je pomislil na tiskarskega škrata, saj Newtonu takšne napake res ne gre pripi- sovati. Kaj pa, če ste na kaj pozabili oziroma kaj spregledali? Na primer drugo polovico naslova nalo- ge: ... trava rase. Pa rešimo nalogo skupaj! Travo bomo merili kar v jutrih, natančneje, kolǐcini trave na enem jutru ob začetku paše. Naj posamezni bik v enem tednu popase za a jutra trave, tedenski prirastek trave na enem jutru naj bo b jutrov. Iz obeh podatkov v nalogi sestavimo sistem enačb: 12 · 4a = 10 3 (1+ 4b) 21 · 9a = 10(1+ 9b), od koder sledi a = 5/54 jutra in b = 1/12 jutra. Izračunajmo še število bikov n, po katerem spra- šuje naloga. Iz dobljenih vrednosti za a in b sesta- vimo enačbo 18 · 5 54 ·n = 24(1+ 18 · 1 12 ), ki ima rešitev n = 36. 2 Nalogo smo za vas izbrskali iz četrt stoletja stare številke Preseka ob 300-letnici izida Newtonove Splo- šne aritmetike, kjer je bila naloga prvǐc zastavljena. Pravilni odgovor je 36 bikov. Morda so se kakšnemu od reševalcev zazdeli po- datki naloge protislovni in je pomislil na tiskarskega škrata, saj Newtonu takšne napake res ne gre pripi- sovati. Kaj pa, če ste na kaj pozabili oziroma kaj spregledali? Na primer drugo polovico naslova nalo- ge: ... trava rase. Pa rešimo nalogo skupaj! Travo bomo merili kar v jutrih, natančneje, kolǐcini trave na enem jutru ob začetku paše. Naj posamezni bik v enem tednu popase za a jutra trave, tedenski prirastek trave na enem jutru naj bo b jutrov. Iz obeh podatkov v nalogi sestavimo sistem enačb: 12 · 4a = 10 3 (1+ 4b) 21 · 9a = 10(1+ 9b), od koder sledi a = 5/54 jutra in b = 1/12 jutra. Izračunajmo še število bikov n, po katerem spra- šuje naloga. Iz dobljenih vrednosti za a in b sesta- vimo enačbo 18 · 5 54 ·n = 24(1+ 18 · 1 12 ), ki ima rešitev n = 36. 2 marija vencelj ivan vidav Prijatelj Tone je opazil, da ima številka njegove osebne izkaznice zanimive lastnosti: sestoji iz de- vetih cifer in v njej nastopajo vse cifre od 1 do 9. Število, ki ga je številka predstavljala, je deljivo z 9. Če odrežemo enice, je dobljeno število deljivo z 8. Če odrežemo enice in desetice, dobimo število, ki je deljivo s 7. Če odrežemo na koncu tri cifre je pre- ostalo število deljivo s 6 itd., do konca. Kakšna je številka Tonetove osebne izkaznice? 2 Presek 35 (2007/2008) 2 B ik se pase, trava rase r e š i t e v n a l o g e • • • • 35_Presek2_K.indd 7 5/11/07 19:50:11 8 m a t e m a t i k a Presek 35 (2007/2008) 2 48.mednarodna matematična ol impijada gregor dolinar in irena majcen Vsako leto priprave na olimpijado prinesejo nove izzive. Potem ko smo na MMO 2006, ki je bila lani v Sloveniji, z izkušeno ekipo petih dijakov četrtega let- nika in enega dijaka tretjega letnika dosegli res velik uspeh, smo septembra 2006 priprave na MMO 2007 začeli s skoraj popolnoma novo zasedbo. Izmed 19 povabljenih dijakov na tedenske priprave v septem- bru smo imeli le enega z izkušnjami s prejšnjih olim- pijad. Na DMFA Slovenije smo bili kljub temu odlo- čeni, da lanski uspeh ni bil zgolj muha enodnevnica, zato smo intenzivnost lanskih priprav prenesli še v tekoče šolsko leto. O izboru ekipe so odločali trije izbirni testi, do- mače naloge ter rezultat na državnem tekmovanju. Testi so se zvrstili v decembru, februarju in marcu, domače naloge pa so dijaki praviloma dobivali enkrat mesečno. Uvrstitev v ekipo je bila tako znana kmalu po državnem tekmovanju, in sicer so Slovenijo na MMO v Vietnamu zastopaliMiha Čančula, Anja Ko- matar, Tom Primožič in Jure Vogrinc z Gimnazije Bežigrad, Ljubljana, Martin Hergouth iz gimnazi- je ŠC Rudolfa Maistra, Kamnik ter Urban Jezernik s I. gimnazije v Celju. Ekipo smo spremljali dr. Gre- gor Dolinar z Univerze v Ljubljani, Irena Majcen z In- štituta za matematiko, fiziko in mehaniko in Matjaž Berčǐc, lanskoletni prejemnik srebrne medalje. Tik pred olimpijado smo se dobili še na štiridnev- nih predavanjih, ki so jih olimpijci poslušali skupaj z ekipo srednjeevropske matematǐcne olimpijade – MEMO (novo tekmovanje, na katerem vsako leto v septembru sodelujejo ekipe devetih držav). Nato je sledila dolga pot v Vietnam, naš najdaljši let je tra- jal kar 13 ur. Že na letališču nas je sprejela prijazna vodǐcka, ki je tekmovalce spremljala ves čas olimpi- jade, in nas razveselila z novico, da bomo vsi bi- vali v hotelih s klimatsko napravo. Tako smo vedno imeli zatočišče, kamor smo se lahko umaknili pred neznosno vročino in vlago. Drugi in tretji dan po prihodu, to je 25. in 26. julija, so se tekmovalci spopadli s šestimi izjemno težkimi nalogami. Izkazalo se je, da je bila tretja na- loga ena izmed najtežjih v zgodovini matematǐcnih olimpijad, pa tudi šesta ni bila dosti lažja. K sreči so bile prva, druga in četrta naloga bolj dostopne. Tudi tokrat smo se izkazali pri geometriji, pri četrti nalogi je bil skupen izkupǐcek naših tekmovalcev 41 točk, kar pomeni, da so izgubili samo točko. Čeprav se je morda ob začetku šolskega leta zdelo, da se bomo težko približali lanskemu uspehu, ga je letošnja eki- pa v nekem smislu presegla, saj je dosegla največje število medalj doslej. Vsi fantje so prejeli bronasto medaljo, Anja pa je domov odšla s pohvalo. Rezultat je razveseljiv tudi zato, ker je Anja dijakinja drugega, Miha in Jure pa dijaka tretjega letnika, tako imajo vsi trije možnost, da Slovenijo zastopajo tudi naslednje leto. Ponovno smo se z MMO vrnili zadovoljni; na eni strani zaradi uspeha, na drugi pa zaradi dejstva, da smo obiskali zanimivo in drugačno državo. Najbolj nas je čudila elektrǐcna napeljava, saj so kabli vse- vprek, in katastrofalen promet, navdušila pa nas je zelena pokrajina in čudoviti otoki v zalivu Halong. 2 Vsako leto priprave na olimpijado prinesejo nove izzive. Potem ko smo na MMO 2006, ki je bila lani v Sloveniji, z izkušeno ekipo petih dijakov četrtega let- nika in enega dijaka tretjega letnika dosegli res velik uspeh, smo septembra 2006 priprave na MMO 2007 začeli s skoraj popolnoma novo zasedbo. Izmed 19 povabljenih dijakov na tedenske priprave v septem- bru smo imeli le enega z izkušnjami s prejšnjih olim- pijad. Na DMFA Slovenije smo bili kljub temu odlo- čeni, da lanski uspeh ni bil zgolj muha enodnevnica, zato smo intenzivnost lanskih priprav prenesli še v tekoče šolsko leto. O izboru ekipe so odločali trije izbirni testi, do- mače naloge ter rezultat na državnem tekmovanju. Testi so se zvrstili v decembru, februarju in marcu, domače naloge pa so dijaki praviloma dobivali enkrat mesečno. Uvrstitev v ekipo je bila tako znana kmalu po državnem tekmovanju, in sicer so Slovenijo na MMO v Vietnamu zastopaliMiha Čančula, Anja Ko- matar, Tom Primožič in Jure Vogrinc z Gimnazije Bežigrad, Ljubljana, Martin Hergouth iz gimnazi- je ŠC Rudolfa Maistra, Kamnik ter Urban Jezernik s I. gimnazije v Celju. Ekipo smo spremljali dr. Gre- gor Dolinar z Univerze v Ljubljani, Irena Majcen z In- štituta za matematiko, fiziko in mehaniko in Matjaž Berčǐc, lanskoletni prejemnik srebrne medalje. Tik pred olimpijado smo se dobili še na štiridnev- nih predavanjih, ki so jih olimpijci poslušali skupaj z ekipo srednjeevropske matematǐcne olimpijade – MEMO (novo tekmovanje, na katerem vsako leto v septembru sodelujejo ekipe devetih držav). Nato je sledila dolga pot v Vietnam, naš najdaljši let je tra- jal kar 13 ur. Že na letališču nas je sprejela prijazna vodǐcka, ki je tekmovalce spremljala ves čas olimpi- jade, in nas razveselila z novico, da bomo vsi bi- vali v hotelih s klimatsko napravo. Tako smo vedno imeli zatočišče, kamor smo se lahko umaknili pred neznosno vročino in vlago. Drugi in tretji dan po prihodu, to je 25. in 26. julija, so se tekmovalci spopadli s šestimi izjemno težkimi nalogami. Izkazalo se je, da je bila tretja na- loga ena izmed najtežjih v zgodovini matematǐcnih olimpijad, pa tudi šesta ni bila dosti lažja. K sreči so bile prva, druga in četrta naloga bolj dostopne. Tudi tokrat smo se izkazali pri geometriji, pri četrti nalogi je bil skupen izkupǐcek naših tekmovalcev 41 točk, kar pomeni, da so izgubili samo točko. Čeprav se je morda ob začetku šolskega leta zdelo, da se bomo težko približali lanskemu uspehu, ga je letošnja eki- pa v nekem smislu presegla, saj je dosegla največje število medalj doslej. Vsi fantje so prejeli bronasto medaljo, Anja pa je domov odšla s pohvalo. Rezultat je razveseljiv tudi zato, ker je Anja dijakinja drugega, Miha in Jure pa dijaka tretjega letnika, tako imajo vsi trije možnost, da Slovenijo zastopajo tudi naslednje leto. Ponovno smo se z MMO vrnili zadovoljni; na eni strani zaradi uspeha, na drugi pa zaradi dejstva, da smo obiskali zanimivo in drugačno državo. Najbolj nas je čudila elektrǐcna napeljava, saj so kabli vse- vprek, in katastrofalen promet, navdušila pa nas je zelena pokrajina in čudoviti otoki v zalivu Halong. 2 • • Slika. Slovenska olimpijska ekipa na MMO 2007. 35_Presek2_K.indd 8 5/11/07 19:50:12 9 m a t e m a t i k a Najboljši osmošolci in devetošolci s področnih tekmovanj so se v soboto 21. aprila 2007 pomerili v sedmih regijah na državnem tekmovanju za Zlato Vegovo priznanje. Tekmovalo je 306 osmošolcev in 305 devetošolcev. Zlato Vegovo priznanje prejmejo osmošolci, ki so osvojili najmanj 24 točk od 50 možnih točk, in deve- tošolci, ki so osvojili najmanj 33 točk od 50 možnih točk. Vse nagrajene devetošolce smo povabili na te- densko poletno šolo matematike v Bohinj. Najboljši tekmovalci so prejeli nagrade: 1. nagrada 8. razred Matej Pelko, OŠ Simona Jenka, Kranj 9. razred Blaž Bratuš, OŠ Bojana Ilicha, Maribor Erik Grabljevec, OŠ Stǐcna Saša Harkai, OŠ Puconci Aljaž Heričko, OŠ Maksa Durjave, Maribor Rebeka Jereb, OŠ Škofja Loka – Mesto Tadej Ostanek Jurina, OŠ Staneta Žagarja, Kranj Jožef Ostroško, OŠ Gorišnica Sara Pohl, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana 2. nagrada 8. razred Matjaž Leonardis, OŠ Franceta Bevka, Ljubljana Veno Mramor, OŠ Ivana Cankarja, Vrhnika Miha Zgubič, OŠ Prežihovega Voranca, Maribor 9. razred Mateja Hrast, OŠ Franceta Bevka, Tolmin David Kocjan, OŠ Frana Metelka, Škocjan Oton Korošec, Waldorfska OŠ Ljubljana Klemen Zajc, OŠ Cerkno 3. nagrada 8. razred Vendi Grobelšek, OŠ Šmarje pri Jelšah Alen Buhanec, OŠ Riharda Jakopiča, Ljubljana Vid Gruden, OŠ Milojke Štrukelj, Nova Gorica Mateja Leskovar, OŠ Ljudski vrt, Ptuj Veronika Vodeb, OŠ Šmarje pri Jelšah 9. razred Darja Božič, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina Luka Kobal, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina Jakob Peterlin, Waldorfska OŠ Ljubljana Kristian Zidarič, OŠ Brežice 2Presek 35 (2007/2008) 2 klavdija mlinšek Najboljši osmošolci in devetošolci s področnih tekmovanj so se v soboto 21. aprila 2007 pomerili v sedmih regijah na državnem tekmovanju za Zlato Vegovo priznanje. Tekmovalo je 306 osmošolcev in 305 devetošolcev. Zlato Vegovo priznanje prejmejo osmošolci, ki so osvojili najmanj 24 točk od 50 možnih točk, in deve- tošolci, ki so osvojili najmanj 33 točk od 50 možnih točk. Vse nagrajene devetošolce smo povabili na te- densko poletno šolo matematike v Bohinj. Najboljši tekmovalci so prejeli nagrade: 1. nagrada 8. razred Matej Pelko, OŠ Simona Jenka, Kranj 9. razred Blaž Bratuš, OŠ Bojana Ilicha, Maribor Erik Grabljevec, OŠ Stǐcna Saša Harkai, OŠ Puconci Aljaž Heričko, OŠ Maksa Durjave, Maribor Rebeka Jereb, OŠ Škofja Loka – Mesto Tadej Ostanek Jurina, OŠ Staneta Žagarja, Kranj Jožef Ostroško, OŠ Gorišnica Sara Pohl, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana 2. nagrada 8. razred Matjaž Leonardis, OŠ Franceta Bevka, Ljubljana Veno Mramor, OŠ Ivana Cankarja, Vrhnika Miha Zgubič, OŠ Prežihovega Voranca, Maribor 9. razred Mateja Hrast, OŠ Franceta Bevka, Tolmin David Kocjan, OŠ Frana Metelka, Škocjan Oton Korošec, Waldorfska OŠ Ljubljana Klemen Zajc, OŠ Cerkno 3. nagrada 8. razred Vendi Grobelšek, OŠ Šmarje pri Jelšah Alen Buhanec, OŠ Riharda Jakopiča, Ljubljana Vid Gruden, OŠ Milojke Štrukelj, Nova Gorica Mateja Leskovar, OŠ Ljudski vrt, Ptuj Veronika Vodeb, OŠ Šmarje pri Jelšah 9. razred Darja Božič, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina Luka Kobal, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina Jakob Peterlin, Waldorfska OŠ Ljubljana Kristian Zidarič, OŠ Brežice 2 Najboljši smošolci in devetošolci s področn h tekmovanj so se v soboto 21. aprila 2007 pomerili v sedmih regijah na državnem tekmovanju za Zlato Vegovo priznanje. Tekmovalo je 306 osmošolcev in 305 devetoš lcev. Zlato Vegovo priznanje prej ejo osmošolci, ki so osv jili najmanj 24 točk od 50 možnih točk, in deve- šolci, ki so osvojili najmanj 33 točk od 50 možnih točk. Vse nagrajene devetošolc sm povabili na te- densko pole no š lo matematike v Bohinj. Najboljši tekmovalci so prejeli nagrade: 1. nagrada 8. razred Matej Pelko, OŠ Simona Jenka, Kranj 9. razred Blaž B tuš, OŠ Bojana Ilicha, Maribor Erik Grabljevec, OŠ Stǐcna Saš Harkai, OŠ Puconci Aljaž Heričko, O Maksa Durjave, Maribor Rebeka Jereb, OŠ Škofja Loka – Mesto Tadej s anek Jurina, OŠ St neta Žagarja, Kranj Jožef Ostroško, OŠ Gorišnica Sara Pohl, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana 2. nagrada 8. razred Matjaž Leonardis, OŠ Franceta Bevka, Ljubljana Veno Mramor, OŠ Ivana Cankarja, Vrhnika Miha Zgubič, OŠ Prežihovega Voranca, Maribor 9. razred M teja Hrast ceta Bevka, T lmi David Kocjan, OŠ Frana Metelka, Škocj n Oton Korošec, Waldorfska OŠ Ljubljana Klemen Zajc, OŠ Cerkno 3. nagrada 8. razred Vendi Grobelšek, OŠ Šmarje pri Jelšah Alen B ha ec, OŠ Riharda Jakopiča, Ljubljana Vid Gruden, OŠ Milojke Štrukelj, Nova Gorica Mateja Leskovar, OŠ Ljudski vrt, Ptuj Veronika Vodeb, OŠ Šmarje pri Jelšah 9. razred Darja Božič, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina Lu a Kobal, OŠ Danila Lo rja, Ajdovščina Jakob Peterlin, Waldorfska OŠ Ljubljana Kristian Zidarič, OŠ Brežice 2 Najboljši osmošolci in devetošolci s področnih tekmovanj so se v soboto 21. aprila 2007 pomerili v sedmih regijah na državnem tekmovanju za Zlato Vegovo priznanje. Tekmovalo je 306 osmošolcev n 305 devetoš lcev. Zlato Vegovo priznanje prejm jo smošolci, ki s osv jili najmanj 24 točk d 50 možnih točk, in deve- tošolci, ki so osvojili najmanj 33 točk d 50 možn h točk. Vse nagrajene devetošolce sm povabili na te- densk poletn šolo mat matike v B inj. Najboljši tekm valci s prejeli nagrade: 1. nagrad 8. r zred Matej Pelko, OŠ Simona Jenka, Kranj 9 Blaž Bratuš Bojana Ilicha, Maribor Erik Grabljevec, OŠ Stǐcna S ša Harkai, OŠ Puconci A jaž Heričko, OŠ Maksa Durjave, Ma ibor Rebeka Jereb, OŠ Škofj Lok – Mest T dej Ostanek Jurina, OŠ Staneta Žagarja, Kranj Jožef Ostroško, OŠ Gor šnica Sar Pohl, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana 2. nagrada 8. r zred Matjaž Leonardis, OŠ Franceta Bevka, Ljubljana Veno Mramor, OŠ Ivana Cankarja, Vrhnika Miha Zgubič, OŠ Prežihovega Voranca, Maribor 9. razred ateja Hrast, OŠ Franceta Bevka, Tolmin Davi Kocjan, OŠ Frana Metelka, Škocjan Oton Korošec, Waldorfska OŠ Ljubljana Klemen Zajc, OŠ Ce k o 3. nagrada 8. razred Vendi Grobelšek, OŠ Šmarje pri Jelšah Alen Buhanec, OŠ Riharda Jakopiča, Ljubljana Vid Gruden, OŠ Milojke Štrukelj, Nova Gorica Mateja Leskovar, Š Ljudski vrt, Ptuj ronika Vod b, Š Š arje pri Jelšah 9. razr d Da ja Božič, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina Luka Kobal, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina J kob Peterlin, Waldorfska OŠ Ljubljana Kristian Zidarič, OŠ Brežice 2 Najboljši osmošolci in devetošolci s področnih tekmovanj s se v soboto 21. aprila 2007 pomer li v sedmih regijah na državnem tekmovanju za Zlato Vegovo priznanje. Tekmovalo je 306 osmošolcev in 305 devetošolcev. Zlato Veg vo priznanje prejmejo osmošolci, ki so osvojili najmanj 24 točk od 50 ožnih točk, in deve- toš lci, ki so osvojili najmanj 33 točk od 50 možnih čk. Vse nagrajene devetošolce smo povabili na te- densko poletno šolo matematik v B hinj. Najboljši ekm valci so prejeli nagrade: 1. nagrada 8. razred Matej Pelko, OŠ Simona Jenka, Kranj 9. razred Blaž Bratuš, OŠ Bojana Ilicha, Maribor Erik G bljevec, OŠ Stǐcna Saša Harkai, OŠ Puconci Alj ž Heričko, OŠ Maksa Durjave, Maribor Rebeka Jereb, OŠ kofja Loka – Mesto Tadej Ostanek Jurina, OŠ Staneta Žagarja, Kranj Jožef s roško, OŠ Gorišnic Sara Pohl, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana 2. nagrada 8. razred Matjaž Leonardis, OŠ Franceta Bevka, Ljubljana Veno Mramor, OŠ Ivana Cankarja, Vrhnika Miha Zgubič, OŠ Prežihovega Voranca, Maribor 9. razred Mateja Hrast, OŠ Franceta Bevka, Tolmin D vid Kocjan a Metelka, Šk cja Oton Korošec, Waldorfska OŠ Ljubljan Klemen Zajc, OŠ Cerkno 3. nagrada 8. razred Vendi Grobelšek, OŠ Šmarje pri Jelšah Alen Buhanec, OŠ Riharda Jakopiča, Ljubljana Vid Gr de , OŠ Milojke Štrukelj, Nova Gorica Mateja Leskovar, OŠ Ljudski vrt, Ptuj Veronika Vodeb, OŠ Šmarje pri Jelšah 9. razred Darja Božič, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina Luka Kobal, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina Ja ob Peterlin, Waldorfs OŠ Ljubljana Kristian Zidarič, OŠ Brežice 2 • 8. razred • 8. razred • 9. r zred • 8. r zred 1. nagrada 2. nagrada 3. nagrada • 9. razred • 9. razred 43.tekmovanje za Zlata Vegova priznanj • • 35_Presek2_K.indd 9 5/11/07 19:50:13 10 f i z i k a Presek 35 (2007/2008) 2 janez strnad Večkrat slišimo, da je fizika v šoli premalo pove- zana z vsakdanjim življenjem. Zaradi tega naj bi si sestavljalci učnih načrtov, pisci učbenikov in uči- telji posebej prizadevali, da bi v šoli pokazali, kako uporabna je fizika v vsakdanjem življenju. Oboje je lahko razumeti. Na eni strani so enačbe in zakoni fizike splošni in se zato morda komu zdijo pusti. Na drugi strani pa je enačbe in zakone fizike mogoče uporabiti za posebne primere, med katerimi so nekateri pomembni in zanimivi v vsakdanjem ži- vljenju. Enačbe za poševni met se komu utegnejo zdeti puste. Z njimi pa lahko opišemo gibanje iz- strelka, gibanje žoge pri strelu z nogo, metu iz outa ali metu na koš, gibanje krogle pri metu krogle ali gibanje ploskega kamna, ki kot žabica poskakuje po gladini vode, opišemo lahko skok v daljino in višino ter še kaj. Pri tem naletimo na težavo, da za posame- zne primere včasih ne zadostujejo preproste splošne enačbe in je treba upoštevati zračni upor ali kako drugo posebnost. Za vse to pa v šoli ni časa. Zato je pravo mesto za zanimive posebne primere Presek. Tak zanimiv primer je živi pesek, ki ima včasih po- dobne lastnosti kot trdnina, drugǐc pa kot tekočina – kot jogurt v članku Mojce Čepǐc Ali teče, ali je tr- dno v drugi številki Preseka lanskega letnika. Kdo še ni slišal zgodb o tem, kako so se ljudje po nesreči pogreznili v živi pesek? Nekaj takih prizorov smo videli tudi v kinu, na primer v filmu Lawrence Arab- ski ali Pes iz Baskervillla. V nekem drugem filmu so na divjem Zahodu rešili nesrečneža, ki je zašel v živi pesek tako, da so ga s konjem potegnili iz peska. V Europhysics News so raziskovalci, ki se na univerzi v Amsterdamu ukvarjajo s fiziko mehke snovi, objavili članek o živem pesku. Kaže, da tudi glasilo Evrop- skega fizikalnega društva EPS rado objavlja članke, ki fiziko povezujejo z zanimivimi pojavi, čeprav na živi pesek ne naletimo vsak dan. Živi pesek ni dobro opredeljen pojem. V navede- nem primeru gre za snov, ki nastane, ko se v pesku z zrnci s premerom okoli 0,06 milimetra pojavi dovolj močan izvir vode. Voda teče navzgor in, če je je do- volj, poruši vezi med zrnci peska, tako da dobi snov lastnosti tekočine. Zaradi tega pojava so se po po- tresu na Japonskem, ko so se pretrgale vodovodne cevi, nagnile na pesku zgrajene stavbe. Znani pre- del z živim peskom v prvobitnem okolju najdemo v Iranu blizu slanega jezera med Teheranom in Quo- mom. V vzorcu iz Irana je po prostornini poleg 2/5 peska in vode, 1/20 do 1/10 gline ter sol (za primer- javo, v kupu pomaranč plodovi zavzemajo 2/3 pro- stornine). Snov ima prvotno lastnosti trdnine zaradi gline, ki med zrnci peska tvori koloidni gel, podoben gostemu jogurtu. To zrncem peska preprečuje, da bi se sesedla na dno. Več kot 9/10 teže človeka, ki bi se postavil na živi pesek, bi nosila zrnca peska. Omenjeni raziskovalci so naredili vrsto poskusov z umetno snovjo, ki je imela enake lastnoti kot iran- ski živi pesek. Sestavili so jo iz peska, bentonitne gline, ki se ji v vodi poveča prostornina, in slane vode. Želeli so odgovoriti na vprašanja: 2 Živi pesek • Večkrat slišimo, da je fizika v šoli premalo povezana z vsak- danjim življenjem. Zaradi tega naj bi si sestavljalci učnih načr- tov, pisci učbenikov in učitelji posebej prizadevali, da bi v šoli pokazali, kako uporabna je fizi- ka v vsakdanjem življenju. 35_Presek2_K.indd 10 5/11/07 19:50:14 11 f i z i k a Presek 35 (2007/2008) 2 Slika 1. Lutka v tresoči se posodici z umetnim živim peskom se pogrezne samo ne- koliko bolj kot do polovice. Fotografije si sledijo z leve na desno, desna je posneta po daljšem času. Iz članka Armaee Khaldoun, Gerarda Wegdama, Erike Eisner in Daniela Bonna Quicksand!, Europhysics News 37 (2006) 19 (4). • pogreznili v živi pesek? Nekaj takih prizorov smo videli tudi v kinu, na primer v filmu Lawrence Arab- ski ali Pes iz Baskervilla. V nekem drugem filmu so na divjem Zahodu rešili nesrečneža, ki je zašel v živi pesek tako, da so ga s konjem potegnili iz peska. V Europhysics News so raziskovalci, ki se na univerzi v Amsterdamu ukvarjajo s fiziko mehke snovi, objavili članek o živem pesku. Kaže, da tudi glasilo Evrop- skega fizikalnega društva EPS rado objavlja članke, ki fiziko povezujejo z zanimivimi pojavi, čeprav na živi pesek ne naletimo vsak dan. Živi pesek ni dobro opredeljen pojem. V navede- nem primeru gre za snov, ki nastane, ko se v pesku z zrnci s premerom okoli 0,06 milimetra pojavi dovolj močan izvir vode. Voda teče navzgor in, če je je do- volj, poruši vezi med zrnci peska, tako da dobi snov lastnosti tekočine. Zaradi tega pojava so se po po- tresu na Japonskem, ko so se pretrgale vodovodne cevi, nagnile na pesku zgrajene stavbe. Znani pre- del z živim peskom v prvobitnem okolju najdemo v Iranu blizu slanega jezera med Teheranom in Quo- mom. V vzorcu iz Irana je po prostornini poleg 2/5 peska in vode, 1/20 do 1/10 gline ter sol (za primer- javo, v kupu pomaranč plodovi zavzemajo 2/3 pro- stornine). Snov ima prvotno lastnosti trdnine zaradi gline, ki med zrnci peska tvori koloidni gel, podoben gostemu jogurtu. To zrncem peska preprečuje, da bi se sesedla na dno. Več kot 9/10 teže človeka, ki bi se postavil na živi pesek, bi nosila zrnca peska. Omenjeni raziskovalci so naredili vrsto poskusov z umetno snovjo, ki je imela enake lastnosti kot iran- ski živi pesek. Sestavili so jo iz peska, bentonitne gline, ki se ji v vodi poveča prostornina, in slane vode. Želeli so odgovoriti na vprašanja: 1 Ali je zares bolje biti pri miru, če zaidemo v živi pesek? Ali se zares ne moremo rešiti iz živega peska? Ali se človek ali večji sesalec zares lahko pogrezne v živi pesek? Poskusi so pokazali, da je snov dobila lastnosti te- kočine, ko so jo z zunanjo silo spravili v gibanje – podobno kot jogurt pri mešanju. Pri tem se je upor pri gibanju zmanjšal do milijonkrat. Zrnca peska se tedaj sesedejo na dno, voda pa se zbere na vrhu. Prej se telo pogreza s hitrostjo nekaj milimetrov na uro, potem pa s hitrostjo meter na sekundo. Zato bi bilo za tistega, ki bi se znašel v živem pesku, bolje, če miruje. Pomemben je tudi delež soli. Če je soli veliko, glina ob spremembi postane neobstojna. V njej na- elektreni delci, ki so se prej zaradi elektrostatǐcnih sil odbijali, postanejo nevtralni in med njimi začnejo delovati privlačne sile. Zato se združijo v kosmǐce in padejo na dno. Na dnu nastane zelo gosta plast s 4/5 peska. Iz te plasti bi se lahko rešili le, če bi va- njo uvedli dovolj vode. To pa je v pesku z drobnimi zrnci težko izvesti. Da bi iz take plasti izvlekli nogo s tlorisnim presekom 100 cm2, bi potrebovali silo 10 tisoč newtonov, kolikor je približno teža osebnega avtomobila. Človeka bi najbrž pretrgali, če bi ga s tolikšno silo hoteli izvleči iz takega živega peska. Človek ali večji sesalec pa se v živi pesek ne mo- reta popolnoma pogrezniti. O tem so se naravnost preprǐcali s preprostim poskusom. V tresočo se poso- dico s snovjo z lastnostmi iranskega živega peska so položili lutko s približno gostoto človeka ali večjega sesalca 1000 kg/m3. Lutka se je počasi pogreznila, 2 , , , . . , . , . , , , . . , . , , . . . , . . , , . , . . . . , Živi pesek 35_Presek2_K.indd 11 5/11/07 19:50:15 12 f i z i k a malo vratov, povezava med zrnci je šibka in noga se močno ugrezne. Bliže morja je vode dovolj, a zraka malo, zato je vratov malo in je učinek enak.1 Temu pasu približno ustreza živi pesek pred spremembo, ko po svojih lastnostih spominja na trdnino. Pas bliže vodi približno ustreza živemu pesku po spre- membi, ko po svojih lastnostih spominja na teko- čino. 1David Mermin je v decembrski številki v Physics Today v Sve- tovnem letu fizike 2005 nazorno razlago pripisal Albertu Einste- inu, a ni mogel navesti vira. 4 Presek 35 (2007/2008) 2 mitja rosina 24. Murphyjev zakon pravi, da pade kos kruha naj- raje na zgornjo stran (ki je namazana z maslom). Ali to sledi tudi iz Newtonovega zakona? Napravi poskus s knjigo, ki leži na mizi, in jo po- časi porini preko roba mize. Tudi knjiga se bo skoraj vedno obrnila in padla na zgornjo stran. Opazuj vr- tenje in padanje knjige. Razmislek. Ko se knjiga prevesi, začne nanjo de- lovati navor in knjiga pridobi kotno hitrost ω. Ko zdrsne, preneha navor in knjiga začne prosto padati, kotna hitrost pa se ne spreminja več. Čas padanja je tpad =  2h/g, kjer je h višina mize. V tem času se knjiga zasuče za kot ϕ =ωtpad. Preveri, ali je ta kot res približno 180◦. Kotno hitrost oceniš z opazovanjem, da se knjiga, predno se odlepi od mize, zasuče za kot kakih ϕ1 ≈ 60◦. Naj bo  stranica knjige pravokotna na rob mize. Čas kotnega pospeševanja oceni s časom začetnega padanja, dokler se knjiga ne odlepi. Pri tem je knjiga prepotovala razdaljo približno , torej je čas zače- tnega padanja t1 ≈  2/g. Iz tega slediω =ϕ1/t1 ∼ 60◦/t1 ter ϕ =ϕ1  h/ ≈ 60◦  h/ . 1 24. Murphyjev zakon pravi, da pade kos kruha naj- raje na zgornjo stran (ki je namazana z maslom). Ali to sledi tudi iz Newtonovega zakona? Napravi poskus s knjigo, ki leži na mizi, in jo po- časi porini preko roba mize. Tudi knjiga se bo skoraj vedno obrnila in padla na zgornjo stran. Opazuj vr- tenje in padanje knjige. Razmislek. Ko se knjiga prevesi, začne nanjo de- lovati navor in knjiga pridobi kotno hitrost ω. Ko zdrsne, preneha navor in knjiga začne prosto padati, kotna hitrost pa se ne spreminja več. Čas padanja je tpad =  2h/g, kjer je h višina mize. V tem času se knjiga zasuče za kot ϕ =ωtpad. Preveri, ali je ta kot res približno 180◦. Kotno hitrost oceniš z opazovanjem, da se knjiga, predno se odlepi od mize, zasuče za kot kakih ϕ1 ≈ 60◦. Naj bo  stranica knjige pravokotna na rob mize. Čas kotnega pospeševanja oceni s časom začetnega padanja, dokler se knjiga ne odlepi. Pri tem je knjiga prepotovala razdaljo približno , torej je čas zače- tnega padanja t1 ≈  2/g. Iz tega slediω =ϕ1/t1 ∼ 60◦/t1 ter ϕ =ϕ1  h/ ≈ 60◦  h/ . 1 • • Ali je zares bolje biti pri miru, če zaidemo v živi pesek? Ali se zares ne moremo rešiti iz živega peska? Ali se človek ali večji sesalec zares lahko pogrezne v živi pesek? Poskusi so pokazali, da je snov dobila lastnosti te- kočine, ko so jo z zunanjo silo spravili v gibanje – podobno kot jogurt pri mešanju. Pri tem se je upor pri gibanju zmanjšal do milijonkrat. Zrnca peska se tedaj sesedejo na dno, voda pa se zbere na vrhu. Prej se telo pogreza s hitrostjo nekaj milimetrov na uro, potem pa s hitrostjo meter na sekundo. Zato bi bilo za tistega, ki bi se znašel v živem pesku, bolje, če miruje. Pomemben je tudi delež soli. Če je soli veliko, glina ob spremembi postane neobstojna. V njej na- elektreni delci, ki so se prej zaradi elektrostatǐcnih sil odbijali, postanejo nevtralni in med njimi začnejo delovati privlačne sile. Zato se združijo v kosmǐce in padejo na dno. Na dnu nastane zelo gosta plast s 4/5 peska. Iz te plasti bi se lahko rešili le, če bi va- njo uvedli dovolj vode. To pa je v pesku z drobnimi zrnci težko izvesti. Da bi iz take plasti izvlekli nogo s tlorisnim presekom 100 cm2, bi potrebovali silo 10 tisoč newtonov, kolikor je približno teža osebnega avtomobila. Človeka bi najbrž pretrgali, če bi ga s tolikšno silo hoteli izvleči iz takega živega peska. Človek ali večji sesalec pa se v živi pesek ne mo- reta popolnoma pogrezniti. O tem so se naravnost preprǐcali s preprostim poskusom. V tresočo poso- dico s snovjo z lastnostmi iranskega živega peska so položili lutko s približno gostoto človeka ali večjega sesalca 1000 kg/m3. Lutka se je počasi pogreznila, a le toliko, da je tudi po daljšem času glava ostala nad gladino. Razmere niso preproste. Povprečna go- stota živega peska je sicer 2000 kg/m3, a vzgona ne moremo izračunati z Arhimedovim zakonom s to go- stoto. Pokaže se, da del teže peščenih zrnc nosijo druga zrnca in ta del ne prispeva k vzgonu. Lutka se potopi bolj kot do polovice, kot bi se potopila v tekočini z gostoto 2000 kg/m3, a se ne potopi vsa, kakor bi se v čisti vodi. Zgodbe, da so se v iranski pesek pogrezile kamele, se zato ne zdijo verjetne. Živi pesek se pogosto po- javi na ustjih rek in ob obali jezera ali morja, npr. pri Mont St. Michelu v Franciji. Če kdo zaide v živi pe- sek, se lahko utopi v bližnji vodi, npr. na morju v prihajajoči plimi. Na misel pride še drug pojav, ki ste ga nekateri od vas najbrž opazili. Pri hoji po pesku (mivki) ob mor- ski obali se najmanj udira in je najlaže hoditi po sre- dnjem pasu, ki ni ne preblizu vode ne preveč odda- ljen od nje. Na pasovih tik ob vodi in dalje od vode se bolj udira in je teže hoditi. Pojava ni težko pojasniti. Na srednjem pasu je delež vode ravno pravi. Med sosednjima zrncema nastane dovolj vodnih povezav v obliki vratu na meji vode in zraka. (O raziskova- nju takih vratov pri spreminjajnu „težnega“ pospe- ška je Presek poročal v prejšnji številki.) Površin- ska napetost si prizadeva zmanjšati površino vratu. Med sosednjima zrncema deluje privlačna sila, za- radi katere je pesek tako trden, da se noga le malo udre. Bolj daleč od morja je vode malo in nastane le 3 Razmisl i in poskusi • 1David Mermin je v decemberski številki v Physics Today v Svetovnem letu fizike 2005 nazorno razlago pripisal Albertu Einsteinu, a ni mogel navesti vira. 35_Presek2_K.indd 12 5/11/07 19:50:16 Odgovori na vprašanja iz prejšnje številke 21. Kako daleč lahko sega kupček kart preko roba mize? Dolžina karte naj bo �, njihovo število n, skraj- ni rob vrhnje karte pa sega največ za L čez mizo. Ali je v limiti n→∞ doseg L končen ali neskončen? Odgovor. Težišče zgornjih ν kart sme ležati kveč- jemu na robu ν+prve karte, tako da se karte ne bodo prevrnile. Izpeljali smo L = �2 (1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n) ≈ � 2 (lnn+ γ) , kjer je γ = 0,57722. Navedeni približek smo zapisali zato, da se jasno vidi, da z večanjem števila kart (n→ ∞) matematǐcno narašča doseg kart proti neskončno (zelo počasi – logaritmǐcno). Fizǐcno pa seveda ne, ker bi bralec porabil preveč časa in bi se karte že davno prej upognile. Za n = 10 dobiš L = 1,46� (približek bi dal L ≈ 1,44�). Poskušal sem s kartami taroka. Dosegel sem seveda malo manj, L = 1,37�. Koliko se posreči tebi? Za L = 2� bi potreboval vsaj 30 kart. Za poskus s 30-imi ali celo 54-imi kartami pa je potrebno precej potrpljenja. 22. Če vrvico naviješ na vodoraven drog, lahko urav- novesiš veliko utež z zelo majhno utežjo na drugi stra- ni. Razmerje uteži narašča eksponentno s številom navojev. Zakaj? Poskusi z različnimi števili navo- jev. Presenečen boš, kako majhna protisila je včasih potrebna. Odgovor. Izpeljali smo, da vsak dodaten navoj pri- nese enak faktor in zato razmerje sil pojema ekspo- nentno: F2 = F1 e−kϕ . Zgled. Napravil sem poskus. Pri pol navoja (ϕ = π ) je bilo razmerje uteži 3, da ravno še niso zdrsnile, pri 3/2 navoja (ϕ = 3π ) pa približno 27. Iz tega sledi koeficient lepenja 0,3. 23. Če britvico z dolžino a in širino b previdno položiš na vodo v skodelici, plava. Zakaj? Lahko jo celo neko- liko obremeniš. Poskusi, kolikšno maksimalno breme lahko nosi? Ali iz tega lahko oceniš površinsko nape- tost vode? Zgled. Predpostavili smo, da površinska napetost ob britvici uravnovesi tlak vode, ki bi od strani rada zalila britvico, in za maksimalno globino h izpeljali zvezo σ ≤ ρgh2/4. Seveda je ta ocena zelo optimi- stǐcna, ker že pri majhni neprevidnosti voda britvico zalije in ker kot vodne površine ob britvici ni zares 0◦. Meni se je posrečila maksimalna globina 4 mm, iz česar sledi σmoj = 0,04 N/m, v tabelah pa je izmer- jena vrednost za površinsko napetost vode σ = 0,07 N/m (malo sem bil očitno neroden, britvica pa tudi ni bila povsem čista). Koliko se posreči tebi? 2 Presek 35 (2007/2008) 2 Odgovori na vprašanja iz prejšnje številke 21. Kako daleč lahko sega kupček kart preko roba mize? Dolžina karte naj bo �, njihovo število n, skraj- ni rob vrhnje karte pa sega največ za L čez mizo. Ali je v limiti n→∞ doseg L končen ali neskončen? Odgovor. Težišče zgornjih ν kart sme ležati kveč- jemu na robu ν+prve karte, tako da se karte ne bodo prevrnile. Izpeljali smo L = �2 (1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n) ≈ � 2 (lnn+ γ) , kjer je γ = 0,57722. Navedeni približek smo zapisali zato, da se jasno vidi, da z večanjem števila kart (n→ ∞) matematǐcno narašča doseg kart proti neskončno (zelo počasi – logaritmǐcno). Fizǐcno pa seveda ne, ker bi bralec porabil preveč časa in bi se karte že davno prej upognile. Za n = 10 dobiš L = 1,46� (približek bi dal L ≈ 1,44�). Poskušal sem s kartami taroka. Dosegel sem seveda malo manj, L = 1,37�. Koliko se posreči tebi? Za L = 2� bi potreboval vsaj 30 kart. Za poskus s 30-imi ali celo 54-imi kartami pa je potrebno precej potrpljenja. 22. Če vrvico naviješ na vodoraven drog, lahko urav- novesiš veliko utež z zelo majhno utežjo na drugi stra- ni. Razmerje uteži narašča eksponentno s številom navojev. Zakaj? Poskusi z različnimi števili navo- jev. Presenečen boš, kako majhna protisila je včasih potrebna. Odgovor. Izpeljali smo, da vsak dodaten navoj pri- nese enak faktor in zato razmerje sil pojema ekspo- nentno: F2 = F1 e−kϕ . Zgled. Napravil sem poskus. Pri pol navoja (ϕ = π ) je bilo razmerje uteži 3, da ravno še niso zdrsnile, pri 3/2 navoja (ϕ = 3π ) pa približno 27. Iz tega sledi koeficient lepenja 0,3. 23. Če britvico z dolžino a in širino b previdno položiš na vodo v skodelici, plava. Zakaj? Lahko jo celo neko- liko obremeniš. Poskusi, kolikšno maksimalno breme lahko nosi? Ali iz tega lahko oceniš površinsko nape- tost vode? Zgled. Predpostavili smo, da površinska napetost ob britvici uravnovesi tlak vode, ki bi od strani rada zalila britvico, in za maksimalno globino h izpeljali zvezo σ ≤ ρgh2/4. Seveda je ta ocena zelo optimi- stǐcna, ker že pri majhni neprevidnosti voda britvico zalije in ker kot vodne površine ob britvici ni zares 0◦. Meni se je posrečila maksimalna globina 4 mm, iz česar sledi σmoj = 0,04 N/m, v tabelah pa je izmer- jena vrednost za površinsko napetost vode σ = 0,07 N/m (malo sem bil očitno neroden, britvica pa tudi ni bila povsem čista). Koliko se posreči tebi? 2 g ri a raša ja iz rejš je šte il e . ko leč l ko seg k ček k rt reko rob ize? olži k rte j bo �, ji ovo število , skr j- i rob vr je k rte seg jveč z čez izo. li je v li iti oseg ko če li esko če ? . ežišče zgor ji kart s e ležati kveč- je a ro rve karte, tako a se karte e o o revr ile. Iz eljali s o � 2 ( 1 2 1 3 1 4 · · · 1 n) � 2 (l ) , kjer je , . ave e i ri ližek s o za isali zato, a se jas o vi i, a z veča je števila kart ( ) ate atǐc o arašča oseg kart roti esko č o (zelo očasi – logarit ǐc o). Fizǐc o a seve a e, ker i ralec ora il reveč časa i i se karte že av o rej og ile. a o iš , � ( ri ližek i al , �). Posk šal se s karta i taroka. osegel se seve a alo a j, , �. oliko se osreči te i? a � i otre oval vsaj kart. a osk s s -i i ali celo -i i karta i a je otre o recej otr lje ja. . ˇe vrvico viješ vo or ve rog, l ko r v- ovesiš veliko tež z zelo j o težjo r gi str - i. z erje teži r šč eks o e t o s število vojev. k j? Posk si z r zlič i i števili vo- jev. Prese eče boš, k ko j rotisil je vč si otreb . . Iz eljali s o, a vsak o ate avoj ri- ese e ak faktor i zato raz erje sil oje a eks o- e t o: F2 F1 e−k . le . a ravil se osk s. Pri ol avoja ( ) je ilo raz erje teži , a rav o še iso z rs ile, ri / avoja ( ) a ri liž o . Iz tega sle i koe cie t le e ja , . . ˇe britvico z olži o i širi o revi o oložiš vo o v sko elici, l v . k j? L ko jo celo eko- liko obre e iš. Posk si, kolikš o ksi l o bre e l ko osi? li iz teg l ko oce iš ovrši sko e- tost vo e? le . Pre ostavili s o, a ovrši ska a etost o ritvici rav ovesi tlak vo e, ki i o stra i ra a zalila ritvico, i za aksi al o glo i o iz eljali zvezo 2/ . Seve a je ta oce a zelo o ti i- stǐc a, ker že ri aj i e revi osti vo a ritvico zalije i ker kot vo e ovrši e o ritvici i zares ◦. e i se je osrečila aksi al a glo i a , iz česar sle i oj , / , v ta ela a je iz er- je a vre ost za ovrši sko a etost vo e , / ( alo se il očit o ero e , ritvica a t i i ila ovse čista). oliko se osreči te i? d ovo n vp n p n v k 21 Ka da ah a up a p a na a na n h a n hn a pa a na a L d L n n a n n n govor T n h ν u n bu ν p d n b d p n p L 1 n γ γ 0 57722 d n p b p d n d d n n n d p n n n p n n p d n b b p b p n b d n p up n Z 10 d b L 1 46 p b b d L 1 44 u d n L 1 37 p b Z L 2 b p b 30 Z p u 30 54 p p bn p p p n 22 na na d a n d ah u a n u a hn u na d u a n Ra u na a a p n n n na Za a u a n na n n a a hna p a a h p na govor p d d d n n p n n n p p n n n ϕ Zg p p u p n b u 3 d n n d n p 3 2 n 3 p p b n 27 d fi n p n 0 3 23 d n n n b p dn p na d d p a a Za a ah n n u n a a n ah n a ah n p n nap d Zg dp d p n n p b b u n d b d n d b n n b n p ρg 4 d n p n p hn n p dn d b n dn p n b b n 0 n p n b n 4 d m 0 04 b h p n dn p n n p d 0 07 b n n d n b p ud n b p p b 2 24. Murphyjev zakon pravi, da pade kos kruha naj- raje na zgornjo stran (ki je namazana z maslom). Ali to sledi tudi iz Newtonovega zakona? Napravi poskus s knjigo, ki leži na mizi, in jo po- časi porini preko roba mize. Tudi knjiga se bo skoraj vedno obrnila in padla na zgornjo stran. Opazuj vr- tenje in padanje knjige. Razmislek. Ko se knjiga prevesi, začne nanjo de- lovati navor in knjiga pridobi kotno hitrost ω. Ko zdrsne, preneha navor in knjiga začne prosto padati, kotna hitrost pa se ne spreminja več. Čas padanja je tpad =  2h/g, kjer je h višina mize. V tem času se knjiga zasuče za kot ϕ = ωtpad. Preverimo, ali je ta kot res približno 180◦. Kotno hitrost oceniš z opazovanjem, če se knjiga, predno se odlepi od mize, zasuče za kot kakih ϕ1 ≈ 60◦. Naj bo  stranica knjige pravokotna na rob mize. Čas kotnega pospeševanja ocenimo s časom zače- tnega padanja, dokler se knjiga ne odlepi. Pri tem je knjiga prepotovala razdaljo približno , torej je čas začetnega padanja t1 ≈  2/g. Iz tega sledi ω =ϕ1/t1 ∼ 60◦/t1 ter ϕ =ϕ1  h/ ≈ 60◦  h/ . Poskus. Razlǐcne knjige počasi porini preko roba mize in zabeleži, kolikokrat se obrnejo in kolikokrat ne. Izmeri stranico knjige in višino mize ter preveri, ali dá gornja razlaga res zasuk okrog 180◦. Računsko in s poskusom oceni meje, kdaj se prekratka knjiga zasuče za več kot 270◦ (in se postavi spet na pravo stran) in kdaj se predolga knjiga zasuče za manj kot za 90◦ (in ostane na pravi strani). Odgovori na vprašanja iz prejšnje številke 21. Kako daleč lahko sega kupček kar pre o roba mize? Dolžina karte naj bo , njihovo številon, skrajni rob vrhnje karte pa sega n jveč za L čez mizo. Ali je v limiti n→∞ doseg L končen ali neskončen? Odgovor. Težišče z ornjih ν kart sme ležati kve- čjemu na robu ν+prve karte, tako da se karte ne bodo prevrnile. Izpeljali smo L = 2 (1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n) ≈  2 (lnn+ γ) , kjer je γ = 0,57722. Navedeni približek smo zapisali zato, da se jasno vidi, da z večanjem števila kart (n→ ∞) matematǐcno narašča doseg kart proti neskončno (zelo počasi – logar tmǐcno). Fizǐcno pa seveda ne, ker bi bralec porabil preveč čas in bi se karte že davno prej upognile. Za n = 10 d biš L = 1,46 (približek bi dal L ≈ 1,44). Poskušal sem s kartami taroka. Dosegel sem seveda malo manj, L = 1,37. Koliko se posreči tebi? Za L = 2 bi potrebov l vsaj 30 kart. Za poskus s 30-imi ali celo 54-imi kartami pa je potrebno pr cej potrpljenja. 22. Če vrvico naviješ na vodoraven drog, lahko urav- novesiš veliko utež z zelo majhno utežjo na drugi strani. Razmerje uteži narašč eksponentno s številom navo 2 o d g v o r i n v p r a š a n j a i z p r e j š n j e š t e v i l k e a b c d e f g h i a 8 2 5 b 5 9 6 c 6 7 4 d 8 7 9 e 5 4 f 4 2 3 g 6 1 4 h 2 3 1 i 4 3 2 Sudoku • f i z i k a + r a z v e d r i l o 13 35_Presek2_K.indd 13 5/11/07 19:50:18 14 f i z i k a mojca čepič in gorazd planinšič Kater i se bo pr v i stal i l? o d g o v o r n a l o g e V mikrovalovni pečici je drugače. Najprej se sta- lijo večji kosi sira, šele kasneje manjši, zelo majhni koščki sira pa se sploh ne stalijo (če so se stalili, so se zato, ker so bili v bližini drugih močno segretih predmetov v pečici, ne pa zaradi mikrovalov). Na sliki 1 so koščki sira, ki ste jih videli v prejšnji šte- vilki Preseka, po obdelavi v pečici. Kot je videti, se je največji kos stalil popolnoma, najmanjši pa sploh ne. Tudi če bi čas delovanja mikrovalovke podaljševali, se najmanjši koščki ne bi stalili. 1 Prav pošteno ste že zagazili v šolo, časa za poiz- kušanje je vse manj, a če so rezultati zanimivi, je verjetno smiselno žrtvovati nekaj minut. Sir v mi- krovalovni pečici je vse tiste, ki kdaj pečejo pizze in podobne mojstrovine v elektrǐcni pečici, presenetil. Kuharji veste, da se majhni koščki sira stalijo naj- prej, večji koščki pa šele po nekoliko daljšem času. V ikrovalovni pečici je drugače. ajprej se sta- lijo večji kosi sira, šele kasneje anjši, zelo ajhni koščki sira pa se sploh ne stalijo (če so e talili, so se zato, ker so bili v b žini drugih močno segretih p d- metov v pečici, ne pa zaradi mikrovalov). Na sliki 1 so oščki sira, te jih vid li v prejšnji številki Pre- seka še pred obdelavo pečici. Kot je videti, se je največji kos stalil popolno a, naj anjši pa sploh ne. Tudi če bi čas delovanja ikrovalovke podaljševali, se naj anjši koščki ne bi stalili. Kaj je v mikrovalovni pečici drugače kot v obǐcajni pečici z elektrǐcnim grelnikom? Razlage poskusov v preizkuševalnicah smo v prejšnjih številkah vedno razlagali le z „mahanjem rok“, kot radi pravijo fiziki razlagam brez računov, in z grafičnimi ponazoritva- mi. Tokrat poskusimo besedam dodati še nekaj e- načb, vi pa nam sporočite, kako vam je bila „resna“ fizika všeč. Fiziki namreč besedne razlage opremimo še z matematǐcnim zapisom, ki povedo isto sporo- čilo na krajši način. Matematǐcni zapis ima še eno zelo pomembno vlogo v pogovorih med znanstve- niki. Omogoča namreč napovedi vrednosti merjenih lastnosti pri eksperimentih. Tako enačbe pogosto razložijo opažanja eksperimentalcev, včasih pa tudi napovedo, kaj (in koliko nečesa) bodo eksperimen- talci izmerili. Komur razmišljanje v obliki matema- tǐcnih zapisov ni dovolj blizu, naj prebere le razlago, ki mu je pridružena. Kaj se dogaja v mikrovalovki, bo prav gotovo razumel. Najprej pojasnimo, kaj se zgodi, ko sirove kocke postavimo v navadno elektrǐcno pečico, ki smo jo prej segreli. Temperatura okolice je v pečici z grel- cem mnogo višja od začetne temperature kock. To- plotni tok teče iz okolice v kocke prek površine. Koc- ke se segrevajo tudi s sevanjem pečice. Toplotni tok se prenaša do notranjih delov sira v glavnem le s pre- vajanjem. Manjši kosi se prej segrejejo do sredice in zato se prej stalijo. Najprej se stalijo oglišča in robovi kock, ki so bolj izpostavljeni in zato vanje toplota prej prodre. Če bomo čakali dovolj dolgo, se bodo stalile tudi največje kocke sira. Kaj pa se dogaja v mikrovalovni pečici? Za razliko od navadne elektrǐcne pečice mikrovalovi ne segreva- jo zraka v pečici, pač pa presevajo hrano in pri tem vrtijo molekule vode v njej. Pravimo, da snov v pečici mikrovalove vpije. Del živila, kjer se vpija največji delež mikrovalov, se najbolj segreva. Mikrovalovi so elektromagnetno valovanje z valovno dolžino nekaj centimetrov in se v živilih vpijajo nekaj centimetrov v globino. Zato v reklamnih brošurah pogosto piše, da se živila grejejo po celotni prostornini, kar za ve- like kose trdnih živil gotovo ne velja. Dokler obrav- navamo kocke sira, velike le nekoliko več kot cen- timeter, pa to približno drži. Sir vpija moč mikro- valovnega sevanja sorazmerno s svojo prostornino1: 1Vpijanje mikrovalov se razlikuje od vpijanja elektromaget- nega valovanja, ki ga oddaja segreta električna pečica . Ta odda- ja predvsem elektromagnetno valovanje z valovnimi dolžinami 2 N Prav pošteno ste že zagazili v šolo, časa za poiz- kušanje je vse manj, a če so rezultati zanimivi, je verjetno smiselno žrtvovati nekaj minut. Sir v mi- krovalovni pečici je vse tiste, ki kdaj pečejo pizze in podobne mojstrovine v elektrǐcni pečici, presenetil. Kuharji veste, da se majhni koščki sira stalijo naj- prej, večji koščki pa šele po nekoliko daljšem času. V mikrovalovni pečici je drugače. Najprej se sta- lijo večji kosi sira, šele kasneje manjši, zelo majhni koščki sira pa se sploh ne stalijo (če so se stalili, so se zato, ker so bili v bližini drugih močno segretih pred- metov v pečici, ne pa zaradi mikrovalov). Na sliki 1 so koščki sira, ki ste jih videli v prejšnji številki Pre- seka še pred obdelavo v pečici. Kot je videti, se je največji kos stalil popolnoma, najmanjši pa sploh ne. Tudi če bi čas delovanja mikrovalovke podaljševali, se najmanjši koščki ne bi stalili. Kaj je v mikrovalovni pečici drugače kot v obǐcajni pečici z elektrǐcnim grelnikom? Razlage poskusov v preizkuševalnicah smo v prejšnjih številkah vedno razlagali le z „mahanjem rok“, kot radi pravijo fiziki razlagam brez računov, in z grafičnimi ponazoritva- mi. Tokrat poskusimo besedam dodati še nekaj e- načb, vi pa nam sporočite, kako vam je bila „resna“ fizika všeč. Fiziki namreč besedne razlage opremimo še z matematǐcnim zapisom, ki povedo isto sporo- čilo na krajši način. Matematǐcni zapis ima še eno zelo pomembno vlogo v pogovorih med znanstve- niki. Omogoča namreč napovedi vrednosti merjenih lastnosti pri eksperimentih. Tako enačbe pogosto razložijo opažanja eksperimentalcev, včasih pa tudi napovedo, kaj (in koliko nečesa) bodo eksperimen- talci izmerili. Komur razmišljanje v obliki matema- tǐcnih zapisov ni dovolj blizu, naj prebere le razlago, ki mu je pridružena. Kaj se dogaja v mikrovalovki, bo prav gotovo razumel. Najprej pojasnimo, kaj se zgodi, ko sirove kocke postavimo v navadno elektrǐcno pečico, ki smo jo prej segreli. Temperatura okolice je v pečici z grel- cem mnogo višja od začetne temperature kock. To- plotni tok teče iz okolice v kocke prek površine. Koc- ke se segrevajo tudi s sevanjem pečice. Toplotni tok se prenaša do notranjih delov sira v glavnem le s pre- vajanjem. Manjši kosi se prej segrejejo do sredice in zato se prej stalijo. Najprej se stalijo oglišča in robovi kock, ki so bolj izpostavljeni in zato vanje toplota prej prodre. Če bomo čakali dovolj dolgo, se bodo stalile tudi največje kocke sira. Kaj pa se dogaja v mikrovalovni pečici? Za razliko od navadne elektrǐcne pečice mikrovalovi ne segreva- jo zraka v pečici, pač pa presevajo hrano in pri tem vrtijo molekule vode v njej. Pravimo, da snov v pečici mikrovalove vpije. Del živila, kjer se vpija največji delež mikrovalov, se najbolj segreva. Mikrovalovi so elektromagnetno valovanje z valovno dolžino nekaj centimetrov in se v živilih vpijajo nekaj centimetrov v globino. Zato v reklamnih brošurah pogosto piše, da se živila grejejo po celotni prostornini, kar za ve- like kose trdnih živil gotovo ne velja. Dokler obrav- navamo kocke sira, velike le nekoliko več kot cen- timeter, pa to približno drži. Sir vpija moč mikro- valovnega sevanja sorazmerno s svojo prostornino1: 1Vpijanje mikrovalov se razlikuje od vpijanja elektromaget- nega valovanja, ki ga oddaja segreta električna pečica . Ta odda- ja predvsem elektromagnetno valovanje z valovnimi dolžinami 2 Pprejeta · µ · V = k1 · a 3. Koeficient k1 pove, kolikšen del moči mikrovalov vpije enota prostornine. Kocka sira pa energijo tudi izgublja. Ker je toplejša od okolice, oddaja (seva) namreč večjo moč, kot jo iz okolice prejme, skupna oddana moč pa je sorazmerna s površino sira in ra- zliko med temperaturo sira in okolice: Poddana = k1 · S · (Tsir − Tmikro). Vsebino enačbe lahko povemo tudi z besedami: košček se bo hitreje hladil, če bo njegova površina večja in če bo večja razlika med temperaturo kocke in temperaturo okolice. V enačbi je k2 koeficient, ki pove, kolikšna je oddana moč na enoto površine sira, če je temperatura Tsir za eno stopinjo višja od tem- perature okolice. Okolico v našem primeru predstav- lja notranjost mikrovalovne pečice Tmikro. Zaradi razlike med prejeto in oddano močjo se sir segreva. Ker je hlajenje sorazmerno z razliko med temperaturo sira in temperaturo okolice, se slej ko prej zgodi, da se s segrevanjem sira in višanjem nje- gove temperature vpita in oddana moč izenačita. Te- daj se sir ne greje več, vsa vpita toplota je oddana v okolico. Pri kateri temperaturi se to zgodi, pokaže račun: k1 · a 3 = k2 · a 2 · (Tsir − Tmikro) Tsir = Tmikro + k1 k2 · a. Ker je za večje stranice a temperatura sira, kjer se prejeta in oddana moč izenačita in se sir ne greje več, višja, pri večjih kockah sira temperatura pogosteje presega temperaturo tališča. Pri manjših kockah sira najvišja temperature kocke ne preseže temperature, kjer se sir zmehča, in kocka obdrži svojo obliko. Poskus, ki smo ga predlagali v prejšnji številki, lepo pokaže, da se kocke sira s stranico nekaj mili- metrov v mikrovalovni pečici sploh ne stalijo, med- tem ko se to pri večjih kockah zgodi. Problem pozna- jo tisti, ki v mikrovalovni pečici kuhajo riž. Ko riž na- brekne in popije vodo v kateri se kuha, ostanejo zrna na površini trda. Majhna so, razmerje med prostor- nino in površino imajo majhno in se zato segrejejo le do temperature, ki še ne omogoča kuhanja. nekaj µm (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za takšno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µm globoko in na področju vpijanja se sir greje. Notranjost sira se greje posredno od toplejših delov. 3 Presek 35 (2007/2008) 2 • Slika 1. Koščki sira po segrevanju v „mikro- valovki“. V lik košček s je že „scvrl“, srednj so se zmehčali, najmanjši so ostali t dni. 35_Presek2_K.indd 14 5/11/07 19:50:21 15 f i z i k a Pprejeta · µ · V = k1 · a 3. Koeficient k1 pove, kolikšen del moči mikrovalov vpije enota prostornine. Kocka sira pa energijo tudi izgublja. Ker je toplejša od okolice, oddaja (seva) namreč večjo moč, kot jo iz okolice prejme, skupna oddana moč pa je sorazmerna s površino sira in ra- zliko med temperaturo sira in okolice: Poddana = k1 · S · (Tsir − Tmikro). Vsebino enačbe lahko povemo tudi z besedami: košček se bo hitreje hladil, če bo njegova površina večja in če bo večja razlika med temperaturo kocke in temperaturo okolice. V enačbi je k2 koeficient, ki pove, kolikšna je oddana moč na enoto površine sira, če je temperatura Tsir za eno stopinjo višja od tem- perature okolice. Okolico v našem primeru predstav- lja notranjost mikrovalovne pečice Tmikro. Zaradi razlike med prejeto in oddano močjo se sir segreva. Ker je hlajenje sorazmerno z razliko med temperaturo sira in temperaturo okolice, se slej ko prej zgodi, da se s segrevanjem sira in višanjem nje- gove temperature vpita in oddana moč izenačita. Te- daj se sir ne greje več, vsa vpita toplota je oddana v okolico. Pri kateri temperaturi se to zgodi, pokaže račun: k1 · a 3 = k2 · a 2 · (Tsir − Tmikro) Tsir = Tmikro + k1 k2 · a. Ker je za večje stranice a temperatura sira, kjer se prejeta in oddana moč izenačita in se sir ne greje več, višja, pri večjih kockah sira temperatura pogosteje presega temperaturo tališča. Pri manjših kockah sira najvišja temperature kocke ne preseže temperature, kjer se sir zmehča, in kocka obdrži svojo obliko. Poskus, ki smo ga predlagali v prejšnji številki, lepo pokaže, da se kocke sira s stranico nekaj mili- metrov v mikrovalovni pečici sploh ne stalijo, med- tem ko se to pri večjih kockah zgodi. Problem pozna- jo tisti, ki v mikrovalovni pečici kuhajo riž. Ko riž na- brekne in popije vodo v kateri se kuha, ostanejo zrna na površini trda. Majhna so, razmerje med prostor- nino in površino imajo majhno in se zato segrejejo le do temperature, ki še ne omogoča kuhanja. nekaj µm (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za takšno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µm globoko in na področju vpijanja se sir greje. Notranjost sira se greje posredno od toplejših delov. 3 a 2 Slika 2b. Kocke sira po se- grevanju v pečici, 30 sekund na 200˚C. Robovi so se že začeli taliti. k u h in js k a p o iz k u š e v a l n ic a Pprejeta · µ · V = k1 · a 3. Koeficient k1 pove, kolikšen del moči mikrovalov vpije enota prostornine. Kocka sira pa energijo tudi izgublja. Ker je toplejša od okolice, oddaja (seva) namreč večjo moč, kot jo iz okolice prejme, skupna oddana moč pa je sorazmerna s površino sira in ra- zliko med temperaturo sira in okolice: Poddana = k1 · S · (Tsir − Tmikro). Vsebino enačbe lahko povemo tudi z besedami: košček se bo hitreje hladil, če bo njegova površina večja in če bo večja razlika med temperaturo kocke in temperaturo okolice. V enačbi je k2 koeficient, ki pove, kolikšna je oddana moč na enoto površine sira, če je temperatura Tsir za eno stopinjo višja od tem- perature okolice. Okolico v našem primeru predstav- lja notranjost mikrovalovne pečice Tmikro. Zaradi razlike med prejeto in oddano močjo se sir segreva. Ker je hlajenje sorazmerno z razliko med temperaturo sira in temperaturo okolice, se slej ko prej zgodi, da se s segrevanjem sira in višanjem nje- gove temperature vpita in oddana moč izenačita. Te- daj se sir ne greje več, vsa vpita toplota je oddana v okolico. Pri kateri temperaturi se to zgodi, pokaže račun: k1 · a 3 = k2 · a 2 · (Tsir − Tmikro) Tsir = Tmikro + k1 k2 · a. Ker je za večje stranice a temperatura sira, kjer se prejeta in oddana moč izenačita in se sir ne greje več, višja, pri večjih kockah sira temperatura pogosteje presega temperaturo tališča. Pri manjših kockah sira najvišja temperature kocke ne preseže temperature, kjer se sir zmehča, in kocka obdrži svojo obliko. Poskus, ki smo ga predlagali v prejšnji številki, lepo pokaže, da se kocke sira s stranico nekaj mili- metrov v mikrovalovni pečici sploh ne stalijo, med- tem ko se to pri večjih kockah zgodi. Problem pozna- jo tisti, ki v mikrovalovni pečici kuhajo riž. Ko riž na- brekne in popije vodo v kateri se kuha, ostanejo zrna na površini trda. Majhna so, razmerje med prostor- nino in površino imajo majhno in se zato segrejejo le do temperature, ki še ne omogoča kuhanja. nekaj µm (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za takšno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µm globoko in na področju vpijanja se sir greje. Notranjost sira se greje posredno od toplejših delov. 3 okolice Tmikro. Okolico v našem primeru preds avlja notranj st mikrovalovne pečice. 2 prostornino 1 1Vpijanje mikrovalov se razlikuje od vpijanja elektromagne- tnega valovanja, ki ga oddaja segreta elektrǐcna pečica. Ta odda- ja predvsem elektromagnetno valovanje z valovnimi dolžinami nekaj µm (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za takšno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µm globoko in na področju vpijanja se sir greje. Notranjost sira se greje po- sredno od toplejši delov. 1 prostornino 1 1Vpijanje ikrovalov se razlikuje od vpijanja elektro agne- tnega valovanja, ki ga oddaja segreta elektrǐcna pečica. Ta odda- ja predvse elektro agnetno valovanje z valovni i dolžina i nekaj µ (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za takšno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µ globoko in na področju vpijanja se s r greje. Notranjo t sira se gr je po- sredno od toplejših delov. 1 prostornino 1 1Vpijanje mikrovalov se razlikuje od vpijanja elektromagne- tnega valovanja, ki ga oddaja segreta elektrǐcna pečica. Ta odda- ja predvsem elektromagnetno valovanje z valovnimi dolžinami nekaj µm (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za takšno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µm globoko in na področju vpijanja se sir greje. Notranjost sira se greje po- sredno od toplejših delov. 1 prostornino 1 1Vpijanje ikrovalov se razlikuje od vpijanja elektro agne- tnega valovanja, ki ga oddaja segreta elektrǐcna pečica. Ta odda- ja predvse elektro agnetno valovanje z valovni i dolžina i nekaj µ (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za takšno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µ globoko in na področju vpijanja se sir greje. Notranjost sira se greje po- sredno od toplejših delov. 1 prostornino 1 1Vpijanje mikrovalov se razlikuje od vpijanja elektromagne- tnega v lovanja, ki ga oddaja segreta elektr čna pečica. Ta odda ja predvsem ele tromagnetno valovanje z valovnimi dolžinami nekaj µm (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za ta šno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µm globoko in na področju vpijanj se sir grej . Notranjost sira se greje po- sredno od toplejš h delov. 1 prostornino 1 1Vpijanje ikrovalov se razlikuje od vpijanja elektro agne- tnega v lovanja, ki ga oddaja segreta elektr čna pečica. Ta odda ja predvse ele tro agnetno valovanje z valovni i dolžina i nekaj µ (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za takšno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µ globoko in na področju vpijanja se sir grej . Notranjost sira se greje po- sredno od toplejš h delov. 1 prostornino 1 1Vpij nje mikrov lov se razlikuje od vpijanja elektromagne- tnega v lovanja, ki ga oddaja segreta elektr čna pečica. Ta odda ja predvsem ele tromagnetno valovanje z valovnimi dolžinami nekaj µm (to je t. i. infra rdeče sevanje). Ker sir ni prozoren za takšno infra rdeče sevanje, prodre to največ nekaj µm globoko in na področju vpi anja se sir grej . Notranjost sira se greje po- sredno od toplejš h delov. 1 Presek 35 (2007/2008) 2 • Slika 1. Koščki sira po segrevanju v „mi- krovalovki“. Velik košček se je že „scvrl“, srednji so se zmehčali, najmanjši so os- tali trdni. Slika 2a. Kocke sira pred segrevanjem v elektrǐcni pečici. Sli a 2b. Kocke sira po segreva ju v pe- čici, 30 sekund na 200 ◦C. Robovi so se že začeli taliti. Slika 2c. Po segrevanju v pečici, 110 se- kund na 200 ◦C. 4 Slika 1. Koščki sira po segrevanju v „mi- krovalovki“. Velik košček se je že „scvrl“, srednji so se zmehčali, najmanjši so os- tali trdni. Slika 2a. Kocke sira pred segrevanjem v elektrǐcni pečici. Slika 2b. Kocke sira po segrevanju v pe- čici, 30 sekund na 200 ◦C. Robovi so se že začeli taliti. Slik 2c. Po segrevanju v peč ci, 110 s - kund na 200 ◦C. 4 35_Presek2_K.indd 15 5/11/07 19:50:24 r a z v e d r i l o 16 Nagradna kr ižanka 35_Presek2_K.indd 16 5/11/07 19:50:26 r a z v e d r i l o 17 n a g r a d n i r a z p i s • Črke iz označenih polj po vrsti zapišite na Preseku priloženo dopisnico, dodajte tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi- snice pošljite na Presekov naslov (poštni- na je že plačana) do 30. novembra 2007, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli Presekov paket. • 35_Presek2_K.indd 17 5/11/07 19:50:27 18 f i z i k a Presek 35 (2007/2008) 2 V eni od lanskih številk smo ugotavljali, kakšno senco meče telo nepravilnih oblik. Ugotovili smo, da je oblika sence odvisna od oddaljenosti zaslona, na katerem senco opazujemo, in od oblike svetila. V današnji poizkuševalnici si poglejmo namesto sence raje svetlobo. Ali si si že kdaj ogledoval sve- tlobne lise na gozdnih tleh, ko sonce prodira skozi listje dreves? Čeprav so odprtine med listi najra- zličnejših oblik, so svetlobne lise največkrat elip- tične. Oglejmo si pojav podrobneje s preprostim poskusom. Potrebujemo dva kosa tršega papirja, škarje, okno, na katerega sije sonce, ali pomočnika, lepilni trak, merilo. V kos tršega papirja izreži dve vrsti odprtin. V eni vrsti izreži odprtine, ki so enake oblike, npr. kvadra- tne ali okrogle, vendar naj se razlikujejo po velikosti. Najmanjša naj ima premer 2 do 3 mm, največja pri- bližno 1 cm. V drugi vrsti naj bodo odprtine s pre- merom približno 5 mm, oblike pa naj se razlikujejo (lahko so okrogle, kvadratne, rombaste, lahko tudi bolj zapletene). Kos papirja z odprtinami nalepi na okensko šipo ali prosi pomočnika, da ti papir pridrži tako, da nanj sije sonce. Drugi papir uporabi kot zaslon. Podrži ga nekaj centimetrov za papirjem z odprtinami in opazuj obli- ko svetlobnih lis. Nato počasi oddaljuj zaslon od pa- pirja z odprtinami in opazuj kaj se dogaja z lisami. Kako se spremina oblika svetlobnih lis razlǐcno velikih odprtin pri oddaljevanju zaslona? Kakšna je oblika lis pri razlǐcno oblikovanih odprtinah? 2 , kaj se dogaja z lisa i. r i ja li 1 V eni od lanskih številk smo ugotavljali, kakšno senco meče telo nepravilnih oblik. Ugotovili smo, da je oblika sence odvisna od oddaljenosti zaslona, na katerem senco opazujemo, in od oblike svetila. V današnji poizkuševalnici si poglejmo namesto sence raje svetlobo. Ali si si že kdaj ogledoval sve- tlobne lise na gozdnih tleh, ko sonce prodira skozi listje dreves? Čeprav so odprtine med listi najra- zličnejših oblik, so svetlobne lise največkrat elip- tične. Oglejmo si pojav podrobneje s preprostim poskusom. Potrebujemo dva kosa tršega papirja, škarje, okno, na katerega sije sonce, ali pomočnika, lepilni trak, merilo. V kos tršega papirja izreži dve vrsti odprtin. V eni vrsti izreži odprtine, ki so enake oblike, npr. kvadra- tne ali okrogle, vendar naj se razlikujejo po velikosti. Najmanjša naj ima premer 2 do 3 mm, največja pri- bližno 1 cm. V drugi vrsti naj bodo odprtine s pre- merom približno 5 mm, oblike pa naj se razlikujejo (lahko so okrogle, kvadratne, rombaste, lahko tudi bolj zapletene). Kos papirja z odprtinami nalepi na okensko šipo ali prosi pomočnika, da ti papir pridrži tako, da nanj sije sonce. Drugi papir uporabi kot zaslon. Podrži ga nekaj centimetrov za papirjem z odprtinami in opazuj obli- ko svetlobnih lis. Nato počasi oddaljuj zaslon od pa- pirja z odprtinami in opazuj kaj se dogaja z lisami. Kako se spremina oblika svetlobnih lis razlǐcno velikih odprtin pri oddaljevanju zaslona? Kakšna je oblika lis pri razlǐcno oblikovanih odprtinah? 2 • Potrebujemo dva kosa tršega papirja, škarje, okno, na katerega sije sonce, ali pomočnika, lepilni trak, merilo. • V eni od lanskih številk smo ugotavljali, ka- kšno senco meče telo nepravilnih oblik. Ugoto- vili smo, da je oblika sence odvisna od oddalje- nosti zaslona, na katerem senco opazujemo in od oblike svetila. V današnji poizkuševalnici si poglejmo namesto sence raje svetlobo. Ali si si že kdaj ogledoval svetlobne lise na gozdnih tleh, ko sonce prodira skozi listje dreves? Čeprav so odprtine med listi najrazličnejših oblik, so sve- tlobne lise največkrat eliptične. Oglejmo si pojav podrobneje s preprostim poskusom. Kakšno obl iko ima svet lobna l isa? Slika 1. Slika 2. mojca čepič iz p o iz k u š e v a l n ic e v d n e v n i s o b i • 35_Presek2_K.indd 18 5/11/07 19:50:29 19 f i z i k a Presek 35 (2007/2008) 2 Fizikalna olimpijada je potekala med 13. in 22. ju- lijem 2007 v iranskem mestu Isfahan. Slovenijo je zastopala ekipa v postavi: Jure Ausec, Gimnazija Kranj, Rok Hribar, ŠC Velenje – Splošna in strokov- na gimnazija, Timotej Lazar, II. gimnazija Maribor terMatjaž Payrits in Jaka Gogala, oba z Gimnazi- je Bežigrad, Ljubljana. V ekipo so se uvrstili kot naj- uspešnejši na državnem in izbirnem tekmovanju za olimpijsko ekipo. Vse stopnje tekmovanja, poleg omenjenih še regijsko, je tudi letos organiziralo Dru- štvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Strokovni vodji ekipe in člana mednarodne komi- sije sva bila dr. Jure Bajc s Pedagoške fakultete v Ljubljani in mag. Ciril Dominko, DMFA Slovenije. Ude- ležbo na olimpijadi sta finančno omogočili DMFA Slo- venije ter Ministrstvo za šolstvo in šport. Na olimpijadi je letos sodelovalo malo manj držav in tekmovalcev kot lani: 327 tekmovalcev iz 69 držav, štiri države pa so bile opazovalke brez tekmovalcev. Nagrajenih in pohvaljenih je bilo 214 tekmovalcev. V naši ekipi so Jure Ausec, Timotej Lazar in Jaka Gogala osvojili pohvale. Čeprav na mednarodni fizikalni olimpijadi ni eki- pnih dosežkov, objavljeni pa so samo rezultati tis- tih tekmovalcev, ki so prejeli medaljo ali pohvalo, spremljevalci ekip navadno ovrednotimo število in vrsto medalj ter pohval in to primerjamo po državah. V taki primerjavi nas letošnji dosežki uvrščajo na delitev 40. mesta. Naslednja 39. mednarodna fizikalna olimpijada bo od 20. do 29. julija 2008 v Hanoju, v Vietnamu. 2 Slika. Slovenska olimpijska ekipa na zaključku olimpi- jade. Z leve proti desni: Jure Bajc (vodja), Matjaž Payrits, Rok Hribar, Timotej Lazar (pohvala), Primož Križaj (sloven- ski konzul v Iranu), Jure Ausec (pohvala), Jaka Gogala (po- hvala), Ciril Dominko (vodja). Slika. Slovenska olimpijska ekipa na zaključku olimpijade. Z leve proti de- sni: Jure Bajc (vodja), Matjaž Payrits, Rok Hribar, Timotej Lazar (pohvala), Primož Križaj (slovenski konzul v Iranu), Jure Ausec (pohvala), Jaka Go- gala (pohvala), Ciril Dominko (vodja). 3 38.mednarodna f iz ikalna ol impi jada ciril dominko • • 35_Presek2_K.indd 19 5/11/07 19:50:30 a s t r o n o m i j a 20 Presek 35 (2007/2008) 2 andreja gomboc Nekaj nasvetov, ki so koristni ob srečanju s čr- nimi luknjami. Kako „velike“ so in kaj je horizont dogodkov? Horizont dogodkov je nekakšna navidezna „površi- na“ črne luknje; znotraj njega je gravitacijska sila tako močna, da ji ne more ubežati niti svetloba. Že tik nad njim pa svetloba ali telo, ki se giblje s sve- tlobno hitrostjo, lahko pobegne. Velikost črne luknje določa njena masa; večja kot je masa, močnejšo gravi- tacijsko silo povzroča in dalj seže območje v katerem je vse, vključno s svetlobo, ujeto vanjo. Če se črna luknja ne vrti in nima elektrǐcnega naboja, je to ob- močje krogelno simetrǐcno, njegovemu polmeru prav- imo Schwarzschildov polmer rSch = 2GM/c2 (kjer sta G gravitacijska konstanta in c svetlobna hitrost) in je premo sorazmeren z maso črne luknje M . V as- tronomskem merilu so zelo majhne. Če bi naše Son- ce, ki ima polmer 700.000 km, stisnili v črno luknjo, bi ta imela polmer le 3 km. Jih je kdo sploh že videl? Nihče jih še ni videl na način, na kakršnega vidimo druge predmete; in sicer tako, da se svetloba od njih odbije v naše oči oziroma instrument. Črnih lukenj na takšen način ne moremo videti, saj ne oddajajo svetlobe. „Vidimo“ pa jih na podlagi močnega gravi- tacijskega polja, ki ga imajo okrog sebe. To vpliva na gibanje snovi in svetlobe v njihovi okolici. Na ta način so črne luknje opazili v rentgenskih dvojnih zvezdah in v središčih mnogih galaksij, vključno s središčem naše Galaksije. Kje jih najdemo in koliko jih je? Astronomska opazovanja kažejo, da obstaja ogrom- no število črnih lukenj, ki jih lahko najdemo v ra- zlǐcnih astronomskih okoljih in so zelo razlǐcne po velikosti. Majhne, z maso nekaj 10 mas Sonca in radijem od nekaj 10 do 100 km, so zaznali v rentgentskih dvoj- nih sistemih zvezd, kjer na podlagi gibanja vidne zvezde sklepajo na obstoj nevidne spremljevalke - črne luknje. Na njenem mestu zaznajo tudi izvor rentgentske svetlobe, ki jo oddaja močno segreta snov, medtem ko jo črna luknja vleče z vidne zvezde vase. Velike ali kar velikanske črne luknje so našli v sre- diščih večine galaksij. Te imajo mase od milijon do nekaj milijard mas Sonca, največje pa so po velikosti primerljive z našim Osončjem. Odkrili so jih na pod- lagi gibanja zvezd in medzvezdnega plina v njihovi bližini. „Požrešne“ med njimi izdaja tudi sevanje snovi, ki po spirali pada vanje in tvori akrecijski disk. Ta se lahko segreje do milijon stopinj in sveti močne- je kot vse zvezde v nekaj 100 galaksijah skupaj. V zadnjih letih odkrivajo dokaze o obstoju t. i. „srednjih“ črnih lukenj. Te imajo maso od okrog 100 do 10.000 mas Sonca. Videti je, da so povezane z mladimi kopicami zvezd. 2 cr luknje; znotraj njega je gravitacijska sila ta- ko močna, da ji ne more ubežati n ti svetloba. Že tik nad njim pa svetloba ali telo, ki se giblje s sv tlobno hitrostjo, lahk pobegne. Velikost črne luknj določa njena masa; večj kot je masa, močnejšo gravitacij- sko il povzroča in dalj seže območje v katerem je vse, vključno s svetlob , ujeto vanjo. Če s črna lu- knja ne vrti n nima elektrǐcnega naboja, j i i , j pol er pra- vimo Schwarzschildov polmer rSch je premo sorazmeren z maso črne luknje M . V astr nomske merilu so zelo majhne. Če bi naše Sonce, ki ima polmer 7 .000 km, st snili v črno lu- knjo, bi t imela polmer le 3 km. 2 Kaj moramo vedeti o črnih luknjah? • Kako „v like“ so in kaj je horizont d godkov? • Jih je kdo sploh že videl? • 35_Presek2_K.indd 20 5/11/07 19:50:32 a s t r o n o m i j a 21Presek 35 (2007/2008) 2 Nekaj nasvetov, ki so koristni ob srečanju s čr- nimi luknjami. Kako „velike“ so in kaj je horizont dogodkov? Horizont dogodkov je nekakšna navidezna „površi- na“ črne luknje; znotraj njega je gravitacijska sila tako močna, da ji ne more ubežati niti svetloba. Že tik nad njim pa svetloba ali telo, ki se giblje s sve- tlobno hitrostjo, lahko pobegne. Velikost črne luknje določa njena masa; večja kot je masa, močnejšo gravi- tacijsko silo povzroča in dalj seže območje v katerem je vse, vključno s svetlobo, ujeto vanjo. Če se črna luknja ne vrti in nima elektrǐcnega naboja, je to ob- močje krogelno simetrǐcno, njegovemu polmeru prav- imo Schwarzschildov polmer rSch = 2GM/c2 (kjer sta G gravitacijska konstanta in c svetlobna hitrost) in je premo sorazmeren z maso črne luknje M . V as- tronomskem merilu so zelo majhne. Če bi naše Son- ce, ki ima polmer 700.000 km, stisnili v črno luknjo, bi ta imela polmer le 3 km. Jih je kdo sploh že videl? Nihče jih še ni videl na način, na kakršnega vidimo druge predmete; in sicer tako, da se svetloba od njih odbije v naše oči oziroma instrument. Črnih lukenj na takšen način ne moremo videti, saj ne oddajajo svetlobe. „Vidimo“ pa jih na podlagi močnega gravi- tacijskega polja, ki ga imajo okrog sebe. To vpliva na gibanje snovi in svetlobe v njihovi okolici. Na ta način so črne luknje opazili v rentgenskih dvojnih zvezdah in v središčih mnogih galaksij, vključno s središčem naše Galaksije. Kje jih najdemo in koliko jih je? Astronomska opazovanja kažejo, da obstaja ogrom- no število črnih lukenj, ki jih lahko najdemo v ra- zlǐcnih astronomskih okoljih in so zelo razlǐcne po velikosti. Majhne, z maso nekaj 10 mas Sonca in radijem od nekaj 10 do 100 km, so zaznali v rentgentskih dvoj- nih sistemih zvezd, kjer na podlagi gibanja vidne zvezde sklepajo na obstoj nevidne spremljevalke - črne luknje. Na njenem mestu zaznajo tudi izvor rentgentske svetlobe, ki jo oddaja močno segreta snov, medtem ko jo črna luknja vleče z vidne zvezde vase. Velike ali kar velikanske črne luknje so našli v sre- diščih večine galaksij. Te imajo mase od milijon do nekaj milijard mas Sonca, največje pa so po velikosti primerljive z našim Osončjem. Odkrili so jih na pod- lagi gibanja zvezd in medzvezdnega plina v njihovi bližini. „Požrešne“ med njimi izdaja tudi sevanje snovi, ki po spirali pada vanje in tvori akrecijski disk. Ta se lahko segreje do milijon stopinj in sveti močne- je kot vse zvezde v nekaj 100 galaksijah skupaj. V zadnjih letih odkrivajo dokaze o obstoju t. i. „srednjih“ črnih lukenj. Te imajo maso od okrog 100 do 10.000 mas Sonca. Videti je, da so povezane z mladimi kopicami zvezd. 2 Kako nastanejo črne luknje? Majhne črne luknje po današnjem razumevanju na- stanejo iz masivnih zvezd ob koncu njihove življen- jske poti. Te zvezde hitro pokurijo svoje jedrsko gorivo in kljub izgubi snovi v teku svojega razvoja (npr. zvezdni veter, eksplozija supernove) ohranijo tolikšno maso, da njihova lastna gravitacija premaga vse druge sile in se ostanek zvezde sesede v črno luknjo. Kako so nastale srednje in velikanske črne luknje, zaenkrat ni jasno. Nekateri menijo, da so ve- likanske črne luknje v središčih galaksij nastale z združevanjem večjega števila majhnih črnih lukenj v eno večjo, ki je potem v ekstremnih pogojih v sredi- šču galaksije z goltanjem snovi iz okolice hitro rasla. Drugi so mnenja, da so bile te črne luknje velike že ob svojem nastanku – ta naj bi se zgodil povezano z nastankom galaksije, vendar se še ne ve točno, kako. Kako nastanejo srednje črne luknje, pa je zaenkrat še večja uganka. Kako vesoljski popotnik prepozna črno luknjo, če se sreča z njo? Prvi namig, da je v bližini črne luknje, je, če čuti gra- vitacijsko silo, ne vidi pa objekta. Drugi, bolj dolo- čnejši namig lahko dobi iz opazovanja oddaljenih astronomskih objektov, kot so npr. zvezde in gala- ksije. Ko se namreč približuje črni luknji, se bo za- radi močne gravitacijske sile pot svetlobe z zvezd in galaksij v ozadju ukrivila in videti bodo popačene. Ko pride črni luknji dovolj blizu, bo ugledal njeno senco in okrog nje zgoščen obroč svetlobe, ki ga se- stavljajo zdaj že močno popačene slike oddaljenih objektov. Najbolj neprijetno bo srečanje popotnika z majhnimi črnimi luknjami. Ker je plimska sila so- razmerna z M/r3 (r je oddaljenost od njenega sre- dišča), velikost črne luknje pa narašča sorazmerno z M , sledi, da je plimska sila v bližini horizonta so- razmerna z 1/M2. Črne luknje z majhno maso bodo tako popotnika raztegnile v dolg špaget, še preden bo prečkal horizont. V velike črne luknje pa bo vsto- pil nǐc hudega čuteč, vendar ga slej ko prej na poti proti njenemu središču čaka enaka usoda. Kaj to pomeni, da z nje ne moremo pobegniti? Splošna teorija relativnosti napoveduje, da znotraj črne luknje radialna koordinata r , ki opisuje oddal- jenost od središča, in koordinata časa t zamenjata vlogi. Posledica je, da vse, kar pade v črno luknjo, neizbežno pada naprej v točko singularnosti oziroma proti r = 0. To je podobno, kot lahko koordinata časa zunaj črnih lukenj (v ostalem vesolju) le narašča in se lahko „premikamo“ le v prihodnost. Znotraj čr- ne luknje pa se lahko premikamo le proti manjšemu r , t. j. le v smeri proti središču. Temu se ni mo- goče izogniti niti z najmočnejšimi raketami, tako kot rakete ne spremenijo dejstva, da za poletjem (in po- čitnicami) pride jesen (in novo šolsko leto). Horizont črne luknje je kot točka brez povratka in brez usmil- jenja, ko ga enkrat prečkamo, ne moremo več nazaj in še huje: tudi ustaviti se ne moremo, ampak nas neizbežno nese v singularnost. 3 Kako nastanejo črne luknje? Majhne črne luknje po današnjem razumevanju na- stanejo iz masivnih zvezd ob koncu njihove življen- jske poti. Te zvezde hitro pokurijo svoje jedrsko gorivo in kljub izgubi snovi v teku svojega razvoja (npr. zvezdni veter, eksplozija supernove) ohranijo tolikšno maso, da njihova lastna gravitacija premaga vse druge sile in se ostanek zvezde sesede v črno luknjo. Kako so nastale srednje in velikanske črne luknje, zaenkrat ni jasno. Nekateri menijo, da so ve- likanske črne luknje v središčih galaksij nastale z združevanjem večjega števila majhnih črnih lukenj v eno večjo, ki je potem v ekstremnih pogojih v sredi- šču galaksije z goltanjem snovi iz okolice hitro rasla. Drugi so mnenja, da so bile te črne luknje velike že ob svojem nastanku – ta naj bi se zgodil povezano z nastankom galaksije, vendar se še ne ve točno, kako. Kako nastanejo srednje črne luknje, pa je zaenkrat še večja uganka. Kako vesoljski popotnik prepozna črno luknjo, če se sreča z njo? Prvi namig, da je v bližini črne luknje, je, če čuti gra- vitacijsko silo, ne vidi pa objekta. Drugi, bolj dolo- čnejši namig lahko dobi iz opazovanja oddaljenih astronomskih objektov, kot so npr. zvezde in gala- ksije. Ko se namreč približuje črni luknji, se bo za- radi močne gravitacijske sile pot svetlobe z zvezd in galaksij v ozadju ukrivila in videti bodo popačene. Ko pride črni luknji dovolj blizu, bo ugledal njeno senco in okrog nje zgoščen obroč svetlobe, ki ga se- stavljajo zdaj že močno popačene slike oddaljenih objektov. Najbolj neprijetno bo srečanje popotnika z majhnimi črnimi luknjami. Ker je plimska sila so- razmerna z M/r3 (r je oddaljenost od njenega sre- dišča), velikost črne luknje pa narašča sorazmerno z M , sledi, da je plimska sila v bližini horizonta so- razmerna z 1/M2. Črne luknje z majhno maso bodo tako popotnika raztegnile v dolg špaget, še preden bo prečkal horizont. V velike črne luknje pa bo vsto- pil nǐc hudega čuteč, vendar ga slej ko prej na poti proti njenemu središču čaka enaka usoda. Kaj to pomeni, da z nje ne moremo pobegniti? Splošna teorija relativnosti napoveduje, da znotraj črne luknje radialna koordinata r , ki opisuje oddal- jenost od središča, in koordinata časa t zamenjata vlogi. Posledica je, da vse, kar pade v črno luknjo, neizbežno pada naprej v točko singularnosti oziroma proti r = 0. To je podobno, kot lahko koordinata časa zunaj črnih lukenj (v ostalem vesolju) le narašča in se lahko „premikamo“ le v prihodnost. Znotraj čr- ne luknje pa se lahko premikamo le proti manjšemu r , t. j. le v smeri proti središču. Temu se ni mo- goče izogniti niti z najmočnejšimi raketami, tako kot rakete ne spremenijo dejstva, da za poletjem (in po- čitnicami) pride jesen (in novo šolsko leto). Horizont črne luknje je kot točka brez povratka in brez usmil- jenja, ko ga enkrat prečkamo, ne moremo več nazaj in še huje: tudi ustaviti se ne moremo, ampak nas neizbežno nese v singularnost. 3 • • Kje jih najdemo in koliko jih je? • Kako n stanejo črne luknje? • Kaj t pomeni, da z je ne moremo pobegniti? • Kako ve oljski popotnik prepozna čr o luknjo, če se sreča z njo? 35_Presek2_K.indd 21 5/11/07 19:50:33 a s t r o n o m i j a 22 Presek 35 (2007/2008) 2 Kaj je v črni luknji? Nihče ne ve zares, ker ne moremo videti vanjo. Od zunaj o njej izvemo le njeno maso, vrtilno kolǐcino in elektrǐcni naboj. Nikakor pa ne moremo izvedeti, iz kakšne snovi je nastala in kaj se je s to snovjo zgodilo potem. Po vsej verjetnosti se je skrčila v točko z neskončno gostoto ali singularnost. So črne luknje res črne? V splošni teoriji relativnosti, ki je klasǐcna teorija polja, so res črne. Vendar ta teorija ne opisuje kvant- nih pojavov neposredno v bližini horizonta črne lu- knje. Znanstveniki se že vrsto let trudijo združiti dve veliki teoriji 20. stoletja: splošno teorijo relativ- nosti in kvantno mehaniko. Kvantno-mehanski izra- čuni v ukrivljenem prostor-času so zelo zahtevni, nji- hove rezultate pa je izredno težko preveriti z ekspe- rimenti. Teoretǐcni argumenti pa kažejo, da imajo čr- ne luknje temperaturo, ki je višja od absolutne nǐcle, in bi torej morale oddajati t. i. sevanje črnega telesa. Stephen Hawking je našel kvantno-mehanski izhod iz tega problema. Poenostavljeno si smemo pred- stavljati, da tako kot drugod v vesolju tudi v bližini horizonta ves čas nastajajo pari virtualnih delcev, ki si za kratek čas izposodijo energijo iz prostora. Obǐcajno se ti delci kmalu spet anihilirajo in to en- ergijo tudi vrnejo. Lahko pa se zgodi, da eden od para pade v črno luknjo, drugi pa pobegne. Videti bo, kot da je ta delec oddala črna luknja. Na ta način naj bi črne luknje oddajale Hawkingovo sevanje oziroma „izhlapevale“. Pobegli delec namreč s sabo odnese tudi energijo, ki je dejansko šla na račun zmanjšanja mase črne luknje. Kot kažejo izračuni naj bi bilo izhapevanje črnih lukenj zelo počasen proces, ki pa je tem hitrejši, čim manjša je črna luknja. Ali drži, da črne luknje požrejo vse, kar se znajde v njihovi bližini? Drži, da niso izbirčne in bodo požrle vse, kar bo po- tovalo po tirnicah, ki vodijo v črno luknjo. A dokler ostanete dovolj daleč od njih, niso nǐc bolj nevarne kot npr. zvezde, saj se daleč stran gravitacijsko polje črne luknje praktǐcno ne razlikuje od polja kakšnega drugega telesa z enako maso. Ali lahko kaka črna luknja prileti v naše Osončje? Načeloma lahko, vendar je verjetnost zelo majhna. Je v laboratoriju mogoče narediti črno luknjo? Črno luknjo načeloma lahko naredite, če vam uspe stisniti določeno maso v dovolj majhen del prostora, t. j. pod njen Schwarzschildov polmer. Izkaže se, da je to v „normalnem“ laboratoriju nemogoče. Če bi na primer želeli narediti črno luknjo iz enega kilograma kruha, bi ga morali stisniti na velikost 3 · 10−27 m oziroma na gostoto 1080 kg/m3! Mini črne luknje da- nes poskušajo narediti v pospeševalnikih osnovnih delcev v CERN-u. Pravijo, da je strah odveč, saj bodo, tudi če jim uspe, zaradi svoje izjemne majhnosti ob- stajale zelo kratek čas, preden bodo izhlapele preko Hawkingovega sevanja. 4 i i l ti ti, i je klasǐcna teorija, s res črne. Vendar ta teorija ne opisuje kvantnih pojav v neposredno v bližini horiz nta črne luknje. Z anstveniki s že vrsto let trudijo združiti ve ve- liki teoriji 20. stoletja: splošno teorijo elativnosti in kva tno mehaniko. Kvantno-mehanski izračuni v ukrivljenem prostor-času so zelo ahtevni, njihove rezultate pa j izredno težko preveriti z eksperimen t . Teoretǐcni argumenti pa kažejo, da imajo črne lu knje temp raturo, ki je višja od absolutne ǐcle, in bi torej morale oddaj ti t. i sevanje cr e a tega problema. Poenostavljeno si me o predsta vljati, da tako t drugod v vesolju tudi v bližin ho- rizonta ves čas nastajajo pari vi tualnih delcev, ki si za krate čas izposodijo energijo iz prostora. Obi- čajno se ti delci kmalu spet anihilirajo in to energijo tud vrnejo. Lahk pa se zgodi, da eden o para pade v č no luknjo, drugi pa pobegne. Vid ti bo, kot da je ta delec oddala ˇrna luknja. Na ta način naj b črne luknje odda ale Hawkingovo sevanje oziroma „ zhla- pevale“. Pobegli d lec namreč s sabo odnese tudi energijo, ki je de ansko šla na račun zmanjš ja ma- se črne luknje. Kot kažejo izračuni naj bi bilo izhla- pev nje črnih lukenj zelo p časen proces, ki pa je t m hitrejši, čim anjša je črna luknja. 3 Kaj je v črni luknji? Nihče ne ve zares, ker ne moremo videti vanjo. Od zunaj o njej izvemo le njeno maso, vrtilno kolǐcino in elektrǐcni naboj. Nikakor pa ne moremo izvedeti, iz kakšne snovi je nastala in kaj se je s to snovjo zgodilo potem. Po vsej verjetnosti se je skrčila v točko z neskončno gostoto ali singularnost. So črne luknje res črne? V splošni teoriji relativnosti, ki je klasǐcna teorija polja, so res črne. Vendar ta teorija ne opisuje kvant- nih pojavov neposredno v bližini horizonta črne lu- knje. Znanstveniki se že vrsto let trudijo združiti dve veliki teoriji 20. stoletja: splošno teorijo relativ- nosti in kvantno mehaniko. Kvantno-mehanski izra- čuni v ukrivljenem prostor-času so zelo zahtevni, nji- hove rezultate pa je izredno težko preveriti z ekspe- rimenti. Teoretǐcni argumenti pa kažejo, da imajo čr- ne luknje temperaturo, ki je višja od absolutne nǐcle, in bi torej morale oddajati t. i. sevanje črnega telesa. Stephen Hawking je našel kvantno-mehanski izhod iz tega problema. Poenostavljeno si smemo pred- stavljati, da tako kot drugod v vesolju tudi v bližini horizonta ves čas nastajajo pari virtualnih delcev, ki si za kratek čas izposodijo energijo iz prostora. Obǐcajno se ti delci kmalu spet anihilirajo in to en- ergijo tudi vrnejo. Lahko pa se zgodi, da eden od para pade v črno luknjo, drugi pa pobegne. Videti bo, kot da je ta delec oddala črna luknja. Na ta način naj bi črne luknje oddajale Hawkingovo sevanje oziroma „izhlapevale“. Pobegli delec namreč s sabo odnese tudi energijo, ki je dejansko šla na račun zmanjšanja mase črne luknje. Kot kažejo izračuni naj bi bilo izhapevanje črnih lukenj zelo počasen proces, ki pa je tem hitrejši, čim manjša je črna luknja. Ali drži, da črne luknje požrejo vse, kar se znajde v njihovi bližini? Drži, da niso izbirčne in bodo požrle vse, kar bo po- tovalo po tirnicah, ki vodijo v črno luknjo. A dokler ostanete dovolj daleč od njih, niso nǐc bolj nevarne kot npr. zvezde, saj se daleč stran gravitacijsko polje črne luknje praktǐcno ne razlikuje od polja kakšnega drugega telesa z enako maso. Ali lahko kaka črna luknja prileti v naše Osončje? Načeloma lahko, vendar je verjetnost zelo majhna. Je v laboratoriju mogoče narediti črno luknjo? Črno luknjo načeloma lahko naredite, če vam uspe stisniti določeno aso v dov lj majhen del pr stora, t. j. pod njen Schwarzschildov polmer. Izkaže se, da je to v „ ormalnem“ l bor toriju nemogoče. Če bi na primer želeli narediti črno luknjo iz en ga kilograma kruha, bi ga morali stisniti na velikost 3 · 10−27 m oziroma na gostoto 1080 kg/m3! Mini črne luknje da- nes poskušajo narediti v pospeševalnikih osnovnih delcev v CERN-u. Pravijo, da je strah odveč, saj bodo, tudi če jim uspe, zar di svoje izjemne majhnosti ob- ta le zelo k at k čas, preden bod izhlapele preko Hawkingovega sevanja. 4 Slika 1. Črne luknje j mogoč posredno „videti“, če te sr- kajo okoliško snov v tako imenova em procesu akrecije. Pri tem se plin, ki pada v črno luknjo, močno segreje in sev . Poj vijo pa se t di curki snovi, ki izhajaj iz notran- ih predelov akrecijskega diska. (Ilustracija: ESA, NASA, Felix Mirabel) 1 Slika 2. Z 8,2 metrskim teleskopom VLT YEPUN na Evrop- skem južnem observatoriju (ESO) so astronomi leta 2002 naredili najostrejši infrardeči posnetek središča Galaksije. Z meritvami hitrosti gibanja tamkajšnjih zvezd so posred- no izračunali maso črne luknje (njena lega je označena s puščicami), ki naj bi bila približno 3 milijone mas Sonca. (Foto: VLT YEPUN/ESO) 2 Kako nastanejo črne luknje? Majhne črne luknje po današnjem razumevanju na- stanejo iz masivnih zvezd ob koncu njihove življen- jske poti. Te zvezde hitro pokurijo svoje jedrsko gorivo in kljub izgubi snovi v teku svojega razvoja (npr. zvezdni veter, eksplozija supernove) ohranijo tolikšno maso, da njihova lastna gravitacija premaga vse druge sile in se ostanek zvezde sesede v črno luknjo. Kako so nastale srednje in velikanske črne luknje, zaenkrat ni jasno. Nekateri menijo, da so ve- likanske črne luknje v središčih galaksij nastale z združevanjem večjega števila majhnih črnih lukenj v eno večjo, ki je potem v ekstremnih pogojih v sredi- šču galaksije z goltanjem snovi iz okolice hitro rasla. Drugi so mnenja, da so bile te črne luknje velike že ob svojem nastanku – ta naj bi se zgodil povezano z nastankom galaksije, vendar se še ne ve točno, kako. ko nastanejo srednje črne luknje, pa je zaenkrat še večja uganka. Kako vesoljski popotnik prepozna črno luknjo, če se sreča z njo? Prvi namig, da je v bližini črne luknje, je, če čuti gra- vitacijsko il , ne vidi pa objekta. Drugi, bolj dolo- čnejši namig lahko dobi iz opazovanja oddaljenih astro omskih objektov, kot so npr. zvezde in gala- ksije. Ko se namreč približuje črni luknji, se bo za- radi močne grav tacijske sile pot svetlobe z zvezd in galaksij v ozadju ukrivila in videti bodo popače e. Ko ride črni luknji dovolj blizu, bo ugledal jeno senco in okrog je zgošč n obroč svetlobe, ki ga se- stavljajo zdaj že močno popačene slike oddaljenih objektov. Najb lj neprijetno bo srečanje popotnika z majhnimi čr i i luknjami. Ker je plimska sila so razmerna z M/r3 (r je oddaljen st od njenega sr dišča), velikos rne luknje pa narašča sorazmerno z M , sledi, da j plimska sila v bližini h rizonta so- razmerna z 1/M2. Črne luknje z ma hno maso bodo tako popotni a raztegnile v dolg špaget, še preden bo prečkal horizont. V velike črne luknje pa bo vsto pil nǐc hudeg čuteč, vendar ga slej ko prej na pot proti njenemu središču čaka enaka usoda. Kaj to p m n , a z nje ne moremo pobegniti? Splošna teorija relativnosti napoveduje, da znotraj črne luknje radialna koordinata r , ki opisuje oddal- jenost od sr dišča, in koord ata časa t zamenjat v ogi. Posl dica je, da vse, kar pade črn luknjo, neizbežno pada naprej v točk singula osti ozirom proti r = 0. To je p dobno, ot lahko koordinata čas zunaj črnih lukenj (v ostalem vesol u) le narašč in s la ko „p mikamo“ le v p ihodnost. Znotraj čr- ne luknje pa se lahko premikamo le proti manjšemu r , t. j. le v smeri proti središču. Temu se ni mo- goče izogniti niti z najmočnejšimi raketami, tako kot rakete ne spremenijo dejstva, da za poletjem (in po- čitn cami) pride jesen (i n v š lsko leto). Horizont črne luknje je kot točka brez povratka i brez usmil- jenja, ko ga enkrat prečkamo e morem več n zaj in še huje: tudi ustaviti se ne moremo, ampak nas neizbež o nese v singula nost. 3 V splošni teoriji relativnosti, ki je klasǐcna teorija, so res črne. Vendar ta teorija ne opisuje kvantnih pojavov neposredno v bližini horizonta črne luknje. Znanstveniki se že vrsto let trudijo združiti dve ve- liki teoriji 20. stoletja: splošno teorijo relativnosti in kvantno mehaniko. Kvantno-mehanski izračuni v ukrivljenem prostor-času so zelo zahtevni, njihove rezultate pa je izredno težko preveriti z eksperimen- ti. Teoretǐcni argumenti pa kažejo, da imajo črne lu- knje temperaturo, ki je višja od absolutne nǐcle, in bi torej morale oddajati t. i. sevanje črnega telesa. Stephen Hawking je našel kvantno-mehanski izhod iz tega problema. Poenostavljeno si smemo predsta- vljati, da tako kot drugod v vesolju tudi v bližini ho- rizonta ves čas nastajajo pari virtualnih delcev, ki si za kratek čas izposodijo energijo iz prostora. Obi- čajno se ti delci kmalu spet anihilirajo in to energijo tudi vrnejo. Lahko pa se zgodi, da eden od para pade v črno luknjo, drugi pa pobegne. Videti bo, kot da je ta delec oddala črna luknja. Na ta način naj bi črne luknje oddajale Hawkingovo sevanje oziroma „izhla- pevale“. Pobegli delec namreč s sabo odnese tudi energijo, ki je dejansko šla na račun zmanjšanja ma- se črne luknje. Kot kažejo izračuni naj bi bilo izhla- pevanje črnih lukenj zelo počasen proces, ki pa je tem hitrejši, čim manjša je črna luknja. 3 • Kaj je v č ni luknji? • So črne luknje res črne? • Ali lahko kakšna črna luknja prileti v naše Osončje? • 35_Presek2_K.indd 22 5/11/07 19:50:35 • Za nagradno križanko iz prejšnje številke Pre- seka smo prejeli 19 pra- vilnih rešitev. Nagradno geslo se je glasilo Dvaj- setletnica. Izžrebani re- ševalci, Ljudmila Cek iz Ljubljane, Klemen Červ iz Ajdovščine in Barba- ra Tiegl iz Ljubljane so razpisane nagrade preje- li po pošti. • a s t r o n o m i j a + r a z v e d r i l o Presek 35 (2007/2008) 2 r e š i t e v n a g r a d n e k r i ž a n k e p r e s e k 3 5 / 1 Ali je mogoče skozi črno luknjo odpotovati na drugi konec vesolja ali celo v druga vesolja? Obstajajo takšna razmišljanja, vendar zaenkrat črne luknje niso videti zelo obetajoče prevozno sredstvo. Obstaja več nejasnosti, med njimi, ali bi popotnik lahko izbral cilj potovanja in ali bi ga sploh preživel. Če obstajajo črne luknje, ali obstajajo tudi bele? Bele luknje so časovni obrat črnih; namesto, da po- žirajo snov in svetlobo, ju bruhajo navzven s svetlo- bno hitrostjo. Torej bi morale imeti odbojno gravita- cijsko silo oziroma biti iz snovi z negativno maso. Zaenkrat ni nobenih dokazov o njihovem obstoju. Kako postanemo strokovnjaki za črne luknje? Tako, da dobro preštudiramo splošno teorijo rela- tivnosti in astrofiziko. Najbolj razvpiti učbenik za tiste, ki želijo postati strokovnjaki za relativnost in črne luknje, je knjiga avtorjev C. W. Misner, K. S. Thorne in J. A. Wheeler z naslovom Gravitation. Ver- jetno bolj razumljiva, lepo berljiva in zanimiva pa je knjiga, ki jo je napisal K. S. Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy. 5 Ali je mogoče skozi črno luknjo odpotovati na drugi konec vesolja ali celo v druga vesolja? Obstajajo takšna razmišljanja, vendar zaenkrat črne luknje niso videti zelo obetajoče prevozno sredstvo. Obstaja več nejasnosti, med njimi, ali bi popotnik lahko izbral cilj potovanja in ali bi ga sploh preživel. Če obstajajo črne luknje, ali obstajajo tudi bele? Bele luknje so časovni obrat črnih; namesto, da po- žirajo snov in svetlobo, ju bruhajo navzven s svetlo- bno hitrostjo. Torej bi morale imeti odbojno gravita- cijsko silo oziroma biti iz snovi z negativno maso. Zaenkrat ni nobenih dokazov o njihovem obstoju. Kako postanemo strokovnjaki za črne luknje? Tako, da dobro preštudiramo splošno teorijo rela- tivnosti in astrofiziko. Najbolj razvpiti učbenik za tiste, ki želijo postati strokovnjaki za relativnost in črne luknje, je knjiga avtorjev C. W. Misner, K. S. Thorne in J. A. Wheeler z naslovom Gravitation. Ver- jetno bolj razumljiva, lepo berljiva in zanimiva pa je knjiga, ki jo je napisal K. S. Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy. 5 Kaj je v črni luknji? Nihče ne ve zares, ker ne moremo videti vanjo. Od zunaj o njej izvemo le njeno maso, vrtilno kolǐcino in elektrǐcni naboj. Nikakor pa ne moremo izvedeti, iz kakšne snovi je nastala in kaj se je s to snovjo zgodilo potem. Po vsej verjetnosti se je skrčila v točko z neskončno gostoto ali singularnost. So črne luknje res črne? V splošni teoriji relativnosti, ki je klasǐcna teorija polja, so res črne. Vendar ta teorija ne opisuje kvant- nih pojavov neposredno v bližini horizonta črne lu- knje. Znanstveniki se že vrsto let trudijo združiti dve veliki teoriji 20. stoletja: splošno teorijo relativ- nosti in kvantno mehaniko. Kvantno-mehanski izra- čuni v ukrivljenem prostor-času so zelo zahtevni, nji- hove rezultate pa je izredno težko preveriti z ekspe- rimenti. Teoretǐcni argumenti pa kažejo, da imajo čr- ne luknje temperaturo, ki je višja od absolutne nǐcle, in bi torej morale oddajati t. i. sevanje črnega telesa. Stephen Hawking je našel kvantno-mehanski izhod iz tega problema. Poenostavljeno si smemo pred- stavljati, da tako kot drugod v vesolju tudi v bližini horizonta ves čas nastajajo pari virtualnih delcev, ki si za kratek čas izposodijo energijo iz prostora. Obǐcajno se ti delci kmalu spet anihilirajo in to en- ergijo tudi vrnejo. Lahko pa se zgodi, da eden od para pade v črno luknjo, drugi pa pobegne. Videti bo, kot da je ta delec oddala črna luknja. Na ta način naj bi črne luknje oddajale Hawkingovo sevanje oziroma „izhlapevale“. Pobegli delec namreč s sabo odnese tudi energijo, ki je dejansko šla na račun zmanjšanja mase črne luknje. Kot kažejo izračuni naj bi bilo izhapevanje črnih lukenj zelo počasen proces, ki pa je tem hitrejši, čim manjša je črna luknja. Ali drži, da črne luknje požrejo vse, kar se znajde v njihovi bližini? Drži, da niso izbirčne in bodo požrle vse, kar bo po- tovalo po tirnicah, ki vodijo v črno luknjo. A dokler ostanete dovolj daleč od njih, niso nǐc bolj nevarne kot npr. zvezde, saj se daleč stran gravitacijsko polje črne luknje praktǐcno ne razlikuje od polja kakšnega drugega telesa z enako maso. Ali lahko kaka črna luknja prileti v naše Osončje? Načeloma lahko, vendar je verjetnost zelo majhna. Je v laboratoriju mogoče narediti črno luknjo? Črno luknjo načeloma lahko naredite, če vam uspe stisniti določeno maso v dovolj majhen del prostora, t. j. pod njen Schwarzschildov polmer. Izkaže se, da je to v „normalnem“ laboratoriju nemogoče. Če bi na primer želeli narediti črno luknjo iz enega kilograma kruha, bi ga morali stisniti a velikost 3 · 10−27 m oziroma na gostoto 1080 kg/m3! Mini črne luknje da- nes poskušajo narediti v pospeševalnikih osnovnih delcev v CERN-u. Pravijo, da e strah odveč, saj bodo, t di če j m usp , zaradi svoje izjemne majhnosti ob- stajale zelo kratek čas, preden bodo izhlapele preko Hawkingovega sevanja. 4 Kaj je v črni luknji? Nihče ne ve zares, ker ne moremo videti vanjo. Od zunaj o njej izvemo le njeno maso, vrtilno kolǐcino in elektrǐcni naboj. Nikakor pa ne moremo izvedeti, iz kakšne snovi je nastala in kaj se je s to snovjo zgodilo potem. Po vsej verjetnosti se je skrčila v točko z neskončno gostoto ali singularnost. So črne luknje res črne? V splošni teoriji relativnosti, ki je klasǐcna teorija polja, so res črne. Vendar ta teorija ne opisuje kvant- nih pojavov neposredno v bližini horizonta črne lu- knje. Znanstveniki se že vrsto let trudijo združiti dve veliki teoriji 20. stoletja: splošno teorijo relativ- nosti in kvantno mehaniko. Kvantno-mehanski izra- čuni v ukrivljenem prostor-času so zelo zahtevni, nji- hove rezultate pa je izredno težko preveriti z ekspe- rimenti. Teoretǐcni argumenti pa kažejo, da imajo čr- ne luknje temperaturo, ki je višja od absolutne nǐcle, in bi torej morale oddajati t. i. sevanje črnega telesa. Stephen Hawking je našel kvantno-mehanski izhod iz tega problema. Poenostavljeno si smemo pred- stavljati, da tako kot drugod v vesolju tudi v bližini horizonta ves čas nastajajo pari virtualnih delcev, ki si za kratek čas izposodijo energijo iz prostora. Obǐcajno se ti delci kmalu spet anihilirajo in to en- ergijo tudi vrnejo. Lahko pa se zgodi, da eden od para pade v črno luknjo, drugi pa pobegne. Videti bo, kot da je ta delec oddala črna luknja. Na ta način naj bi črne luknje oddajale Hawkingovo sevanje oziroma „izhlapevale“. Pobegli delec namreč s sabo odnese tudi energijo, ki je dejansko šla na račun zmanjšanja mase črne luknje. Kot kažejo izračuni naj bi bilo izhapevanje črnih lukenj zelo počasen proces, ki pa je tem hitrejši, čim manjša je črna luknja. Ali drži, da črne luknje požrejo vse, kar se znajde v njihovi bližini? Drži, da niso izbirčne in bodo požrle vse, kar bo po- tovalo po tirnicah, ki vodijo v črno luknjo. A dokler ostanete dovolj daleč od njih, niso nǐc bolj nevarne kot npr. zvezde, saj se daleč stran gravitacijsko polje črne luknje praktǐcno ne razlikuje od polja kakšnega drugega telesa z enako maso. lahk kaka črna luk ja prileti v naše Oso čje? Načeloma lahko, vendar je verjetnost zelo majhna. Je v laboratoriju mog če narediti č no luknjo? Črno luknjo načeloma lahko naredite, če vam uspe stisniti določeno maso v dovolj majhen del prostora, t. j. pod njen Schwarzschildov polmer. Izkaže se, da je to v „normalnem“ laboratoriju nemogoče. Če bi na primer žel li narediti črno luknjo iz enega kilograma kruha, bi ga mora i stisniti na velikost 3 · 10−27 m oziroma na gost to 1080 kg/m3! Mini črne luknje d ne po kušajo narediti v pospeševalnikih osnovnih delcev v CERN-u. Pravijo, da je stra odveč, saj bodo, tudi če jim uspe, zaradi svoje izjemne majhnosti ob- st jale zelo kratek čas, preden bodo izhlap le preko Hawkingovega sevanja. 4 Kaj j v čr i luknji? Nihče ne ve zares, ker ne moremo vid ti vanjo. Od zunaj o njej izvemo le njeno maso, v tilno kolǐcino in elektrǐcni naboj. Nikakor pa ne moremo izvedeti, iz kakšne snovi je nastala in kaj se je s to snovjo zgodilo potem. Po vsej verjetnosti se je skrčila v točko z esk nčno gostot ali singularnost. So črne luknje res črne? V splošni teoriji rela ivnosti, ki je klasǐcna teor ja p lja, so res črne. Vendar ta teorija ne opisuje kvant nih pojavo neposredno v bližini horizonta črne lu knj . Znanstveniki se že vrsto let trudijo družiti dve veliki teoriji 20. stoletja: splošno teorijo relativ osti i kvantno mehaniko. Kvantno-mehanski izra- čun v ukrivljenem prostor-času so zelo zahtevni, nji- hove rezultate pa je izredno težko preveriti z ekspe- rim nti. Teor tǐcni argumenti pa kažejo, da imajo čr ne luknje temperaturo, ki je višja od absolutne nǐcle, in bi torej morale oddaj ti t. i. sevanje čr ega t esa. Stephen H w ing je našel kvant o-mehanski izhod iz tega problema. Poenostavljeno si smemo pr d stavlja i, da tako kot drugod v vesolju tudi v bližini ho izonta ves čas nastajajo pari virtualnih delcev i si za kratek ˇas izposodijo energijo iz prostor . Obǐcajno se ti elci kmalu spet anihilirajo in to en- ergijo tudi vrnej . Lahko pa se zgodi, da ede od para pade v črno luknjo, drugi pa pobeg e. Videti bo, kot da je ta delec oddala črna luknj . Na ta nač n naj bi črn luknje oddajal Hawking vo sevanje ozirom „izhlapevale“. Pobegli delec namreč s sabo odnese tudi energijo, ki je dejansko šla na račun zmanjšanja mase črne luknje. Kot kaž izračuni naj bi bilo izhapevanje črnih lukenj zelo počasen proces, ki pa je tem hitrejši, čim manjša je črna luknja. Ali drži, da črne lu nje požrejo vse, kar se znajde v njihovi bližini? Drži, da niso izbirc e in bodo požrle vse, kar bo po- tovalo po tirnicah, ki vodijo v črno luknjo. A dokler ostanete dovolj daleč od njih, niso nǐc bolj nevarne kot npr. zvezde, s j se daleč stran gr vitacijsko polje črne luknje pr ktǐcn ne azlikuje od polja kakšnega drugega telesa z enako maso. Ali lahk kaka črna luknja prileti v naše Osončje? Načeloma lahko, vend r e verjetnos ze majhna. Je v labor t riju mogoč narediti črn l knjo? Č no luknjo č l ma lahko aredite, č vam uspe stisniti d ločen mas v dovolj majhen d l prostora, t. j. pod jen Schwarzschildov polmer. Izkaže s , da je to v „n rmalne “ laborat riju nemo oče. Če bi na prime želeli narediti črno luknjo z en ga kilograma kruha, bi ga morali st sniti na velikost 3 · 10−27 m ozir ma n gos oto 1080 kg/m3! Mi i črne luknje da- nes poskušajo narediti v pospeševalnikih osnovnih delcev v CERN-u. P avijo, d je strah odveč, saj bodo, udi če jim u pe, zaradi svoje izjemne majhnosti ob- stajale zelo kratek čas, preden bodo izhlapele preko Hawkingov ga sevanj . 4 • • Je v l boratorij mogoče narediti črno luknjo? • Če obstajajo črne luknje, ali obstajajo tudi bele? • Kak postanemo strokovnj ki za črne luknje? • Ali drži, da črne luknje požrejo vse, k r se znajde v njihovi bližini? • Ali je mogoče skozi črno uk jo dpo ov ti na drugi k nec vesolja ali celo v druga vesolja? 23 35_Presek2_K.indd 23 5/11/07 19:50:40 a s t r o n o m i j a 24 Presek 35 (2007/2008) 2 Pred kratkim sem v predalu med starejšimi pa- pirji našel izpisek računalniškega programa, s ka- terim sem se mučil v osnovni šoli. Zob časa je v približno tridesetih letih načel pisavo na papirju in nekatere črke so bile zbledele, nekaterih ni bilo več. Ker jezik, v katerem je bil napisan program, še približno poznam, sem prepoznal tudi zbledele črke in znake. Vseeno sem se zamislil nad tem, kako računalnik prepozna, da pri prenosu podat- kov manjka košček podatkov ali pa se je kak ko- šček spremenil (npr. l je postal i). Malce pretiravam, pa vendarle, verjetno vam ne bi bilo vseeno, če bi simpatiji poslali e-sporočilo, da se dobita ob 20h, ona bi vas pa čakala že ob 10h, ker bi se podatki pri prenosu sporočila pokvarili. Brez panike, v elektronskem svetu so tovrstne za- deve dobro urejene in ogledali si bomo nekaj pre- prostejših tehnik, ki jih v te namene uporabljamo pri pošiljanju (in zapisu) podatkov. V e-svetu je ugota- vljanje napak zmožnost prepoznati napako ali spre- membo podatkov med prenosom od pošiljatelja do prejemnika. Popravljanje napak po njihovi ugotovi- tvi omogoča povrnitev podatkov v prvotno stanje. V splošnem lahko opazimo dva načina, ki omogočata popravljanje napak: Ponovitev prenosa: pošiljatelj skupaj s podatki po- šlje kodo (podatke) za ugotavljanje napak, ki jo prejemnik uporabi, da ugotovi prisotnost napake. Če je napaka prisotna, pošiljatelju javi, naj po- novno pošlje podatke. Popravljanje dobljenih podatkov: pošiljatelj prvo- tne podatke opremi z dodatnimi podatki, ki v pri- meru napake omogočajo popravo, ne da bi jih po- šiljatelj moral še enkrat poslati. Dodatni podatki so obǐcajno izračunani tako, da bi potrebovali ne- prǐcakovano veliko napak v podatkih, da ne bi mo- gli povrniti prvotnih podatkov. 1 Ugotavljanje napak Oglejmo si nekaj preprostih načinov ugotavljanja na- pak, obstaja jih seveda precej več. Vsi predstavljeni načini delujejo tako, da pošljejo več podatkov, kot jih ima prvotni podatek. Nekateri ob prvotnih po- datkih pošljejo dodatno kodo, drugi kodo zapišejo med same podatke. 1.1 Ponavljalne sheme Obstaja mnogo razlǐcic ponavljalnih shem. Delujejo tako, da podatke razdelimo na vnaprej določeno šte- vilo bitov, imenovanih blok, in vsakǐc, ko pošljemo blok podatkov, le-tega ponovimo. Ponovimo ga vna- prej določeno število krat. Če želimo npr. poslati podatek „10101101“, ga razdelimo na dva bloka po 2 t i l t j i i - i ji l i i l i , - t i il i li. j i li t i ti l ti l i i j i t il l l , t i i il . j i , t j il i , i li , l t i l l i . i lil t , l i , i t- j t li j - il ( . l j t l i). l i , l , j i il , i i iji l li - il , i , i l , i i i il ili. i , l - j i l li i j - j i i , i ji lj i ilj j (i i ) . - j t - lj j i li - ilj lj j i . lj j ji i i- i i j . l l i i , i lj j : it : ilj lj j i - lj ( ) lj j , i j j i i, i i . j i , ilj lj j i, j - lj . lj j lj i t : ilj lj - i i i i, i i- j , i ji - ilj lj l l i. i i i j i i , i li - i li i , i - li i i i . l j i j i i lj j - , j ji j . i lj i i i l j j , lj j , ji i i . i i - i lj j , i i j . . l l j li i lj l i . l j j , li j l - il i , i i l , i i , lj l , l - i . i - j l il . li . l i , li l r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r t r r r t s s t s s r s t s r s t r r s s r r r tr s s t s t rst r r s r r st š t t r r š s t s t st r t s r t r s š t r r t t r t t r t st s š t r r s š t s s t š t t r r t r s t st r s t š t š t r š t r t t r t t r r r š t r š r t s t t t s r t tr r t r t r t t lj j s r r st t st s r s r st t š t t r t t t r r t t š t r š s t j st r s t t r r št t s š t t r št r t r s t t „ “ r P ed k a k se v p eda u ed s a e š pa- p naše zp sek ačuna n škega p og a a, s ka- e se se uč v osnovn šo . Zob časa e v p b žno dese h e h nače p savo na pap u n neka e e č ke so b e zb ede e, neka e h n b o več. e ez k, v ka e e e b nap san p og a , še p b žno pozna , se p epozna ud zb ede e č ke n znake. seeno se se za s nad e , kako ačuna n k p epozna, da p p enosu poda - kov an ka košček poda kov a pa se e kak ko- šček sp e en np . e pos a . alce p e i ava , pa venda le, ve e no va ne bi bilo v eeno, če bi i pa i i po lali e po očilo, da e dobi a ob 20h, ona bi va pa čakala že ob 10h, ke bi e poda ki p i p eno u po očila pokva ili. B ez panike, v elek on ke ve u o ov ne za deve dob o u e ene in ogledali i bo o neka p e p o e ih ehnik, ki ih v e na ene upo abl a o p i po il an u in zapi u poda kov. V e ve u e ugo a- vl an e napak z ožno p epozna i napako ali p e e bo poda kov ed p eno o od po il a el a do p e e nika. Pop avl an e napak po n ihovi ugo ovi vi o ogoča pov ni ev poda kov v p vo no an e. V plo ne lahko opazi o dva načina, ki o ogoča a pop avl an e napak: Ponovi ev p eno a: po il a el kupa poda ki po l e kodo poda ke za ugo avl an e napak, ki o p e e nik upo abi, da ugo ovi p i o no napake. Če e napaka p i o na, po il a el u avi, na po novno po l e poda ke. Pop avl an e dobl enih poda kov: po il a el p vo ne poda ke op e i z doda ni i poda ki, ki v p i e u napake o ogoča o pop avo, ne da bi ih po il a el o al e enk a po la i. oda ni poda ki o obǐca no iz ačunani ako, da bi po ebovali ne p ǐcakovano veliko napak v poda kih, da ne bi o gli pov ni i p vo nih poda kov. t gle o i neka p ep o ih načinov ugo avl an a na pak, ob a a ih eveda p ece več. V i p ed avl eni načini delu e o ako, da po l e o več poda kov, ko ih i a p vo ni poda ek. eka e i ob p vo nih po da kih po l e o doda no kodo, d ugi kodo zapi e o ed a e poda ke. . a a e s e e b a a nogo azlǐcic ponavl alnih he . elu e o ako, da poda ke azdeli o na vnap e določeno e vilo bi ov, i enovanih blok, in v akǐc, ko po l e o blok poda kov, le ega ponovi o. Ponovi o ga vna p e določeno evilo k a . Če želi o np . po la i poda ek 10101101 , ga azdeli o na dva bloka po 2 t i l t j i i i ji l i i l i t i il i li j i li t i ti l ti l i i j i t il l l t i i il K j i t j il i i li l t i l l i V i lil t l i i t j t li j il ( l j t l i) M t j t t j - t t t t t t - j j - t j t j t j j j ( ) t - t j t j j t t - t j t j j j j j t - t t t t t j t j j t j t j j t - j ( t ) t j j j j t t t j t j t j j j - j t j j j t j t j - t t t t - j j - j t j t t D t t j t t - t - t t t 1 go av an e napak O j j t t j j - t j j j t j j j t j j t t j t t N t t - t j j t j t 1 1 Pon vlj ln h O t j j D j j t t j t - t j t -t - j t t t t r r m m r m r m - r r r r m , - r m m m . r r r r r , r . r , r m r r m, r m, m r r . m m m, r r , r r - m - r m r. . l r ir m, rl , r m i il s , i sim i i sl li s r il , s i , i s l , r i s i ri r s s r il rili. r i , l r s m s s rs r r i l li si m r r s ši i , i i m r l m ri šil i is . s - l m s r i li s r m m m r s m šil l r m i . r l i i i i m r i r s . s l š m l im i , i m r l : i r s : šil l s s i šl l , i r m i r i, i ris s . ris , šil l i, šl . r l l i : šil l r r mi imi i, i ri m r m r , i i šil l m r l š r sl i. i i s i i r i , i r li ri li i , i m li r i i r i . U lj j l m si r r s i i l , s i s r . si r s l i i i l , šl , i im r i . ri r i i šl , r i iš m s m . . m s m r li i l l i s m. l , r lim r l š il i , im i l , i s i , šl m l , l im . im r l š il r . lim r. sl i „ “, r lim l e a i se e al e s a ejši i a i ji ašel iz ise ac al iš ega g a a s a e i se se cil s i š li casa je i liž i ese i le i acel isa a a i j i e a e e c e s ile z le ele e a e i i il ec e jezi a e e je il a isa g a še i liž z a se e z al i z le ele c e i z a e see se se za islil a e a ac al i e z a a i e s a a j a šce a ali a se je a šce s e e il ( l je s al i) a ce e ava a ve a e ve je o va e b b o v ee o če b a j o a e- o oč o a e ob a ob 20 o a b va a čaka a že ob 10 ke b e o a k e o o oč a okva B ez a ke v e ek o ke ve o ov e za- eve ob o eje e og e a bo o ekaj e- o ej e k k j v e a e e o ab ja o o ja j ( za ) o a kov e- ve je gota v ja je apak z ož o e oz a a ako a e- e bo o a kov e e o o o o ja e ja o eje ka Pop av ja je apak o j ov go ov - v o ogoča ov ev o a kov v vo o a je o e a ko o az o va ač a k o ogoča a o av ja je a ak Po ov tev p e o a o ja e j k aj o a k o- je ko o ( o a ke) za go av ja je a ak k jo eje k o ab a go ov o o a ake ˇe je a aka o a o ja e j jav aj o- ov o o je o a ke Pop av ja je dob je podatkov o ja e j vo- e o a ke o e z o a o a k k v - e a ake o ogočajo o avo e a b j o- ja e j o a e e k a o a o a o a k o ob čaj o z ač a ako a b o ebova e- čakova o ve ko a ak v o a k a e b o- g ov vo o a kov t g ej o ekaj e o ač ov go av ja ja a- ak ob aja j eve a ecej več e av je ač e jejo ako a o jejo več o a kov ko j a vo o a ek eka e ob vo o- a k o jejo o a o ko o g ko o za ejo e a e o a ke l l b aja ogo az č c o av ja e e jejo ako a o a ke az e o a v a ej o oče o e- v o b ov e ova b ok v ak č ko o je o b ok o a kov e- ega o ov o Po ov o ga v a- ej o oče o ev o k a ˇe že o o a o a ek 10101101 ga az e o a va b oka o 2 P d k tk v p d u d t p - p n p k ˇun n k p o , k - t uˇ v o novn o . Zob ˇ v p b no t d t h t h n ˇ p vo n p p u n n k t ˇ k o b b d , n k t h n b o v ˇ. k, v k t b n p n p o , p b no po n , p po n tud b d ˇ k n n k . no n d t , k ko ˇun n k p po n , d p p no u pod t- kov n k ko ˇ k pod tkov p k k ko- ˇ k p n np . po t . l p ti , p nd l , tn n i il n , i i p ti i p l li p il , d d it h, n i p l h, i p d t i p i p n u p il p ili. p ni , l t n tu t tn d d u n in l d li i n p p t ih t hni , i ih t n n up l p i p il n u in pi u p d t . V tu u - l n n n t p p n ti n p li p p d t d p n d p il t l d p ni . l n n p n ih i u t i t i p nit p d t p tn t n . V pl n l h p i d n in , i t p p l n n p : n i n : p il t l up p d t i p l d p d t u t l n n p , i p ni up i, d u t i p i tn t n p . C n p p i tn , p il t l u i, n p n n p l p d t . l n l nih : p il t l p tn p d t p i d d tni i p d t i, i p i u n p p p , n d i ih p il t l l n t p l ti. d tni p d t i i n i un ni t , d i p t li n p i n li n p p d t ih, d n i li p niti p tnih p d t . l i n p p tih n in u t l n n p , t ih d p . V i p d t l ni n ini d lu t , d p l p d t , t ih i p tni p d t . t i p tnih p d t ih p l d d tn d , d u i d pi d p d t . . a ja e s e e t n li i p n l lnih h . lu t , d p d t d li n n p d l n t il it , i n nih l , in i , p l l p d t , l t p n i . n i n p d l n t il t. C li np . p l ti p d t , d li n d l p r r i r l r j i i irji l i i r l i r r ri il i li j ri li ri i l i l i irj i r r il l l ri i il r j i r j il i r r ri li r l i l l r i i lil r l i r ri r j li j r il ( r l j l i) r r r rj s s j s -s r s s r s r r s s r r r r s s s rs - r r j s j r - r s jš j r j r š j j ( s ) -s j t j j s r s r - r s š j j r j r j j j - r r s j s š r j j t r s š j j s j s - š j ( ) j j j r j r r s s j r s š j j j j - š j r j j j t š j j r - r r - r j r j - š j j r š r s s j r r - r - r r lj j j s j r r s j j - s j j s r j s r s j j j š j j j r r r - š j j r š j s 1 1 Po s j r j s j j r r j š - s š j - - r j š r r s „ “ r e a se e a e s a e š a- aše z se ac a š e a a a, s a- e se se c s š . casa e ž ese e ace sa a a e a e e c e s e z e e e, e a e ec. Ke ez , a e e e a sa a , še ž z a , se e z a z e e e c e z a e. Vsee se se za s a e , a ac a e z a, a e s a - a a šce a a a se e a - šce s e e . e s a . Malce e i ava , a ve a le, ve e va e i il v ee , ce i i a i i lali e cil , a e i a , a i va a ca ala e , e i e a i i e cila va ili. e a i e, v ele e ve v e a eve e e e i gle ali i e a e e i e i , i i v e a e e a l a i il a i a i a v. e ve e o - vl e k e a i a a ali e e a v e e il a el a e e i a. Po vl e k i vi g vi vi g ca v i ev a v v v a e. l e la a i va aci a, i g ca a avl a e a a : Po ovi ev e o : il a el a a i l e a e a g avl a e a a , i e e i a i, a g vi i a a e. e e a a a i a, il a el avi, a v l e a e. Po vl e o l e i o kov: il a el v e a e e i a i i a i, i v i e a a e g ca av , e a i i il a el al e e a la i. D a i a i ica i ac a i a , a i e vali e ica va veli a a v a i , a e i gli v i i v i a v. 1 gotav an e napak Ogle i e a e i aci v g avl a a a a , a a i eve a ece vec. i e avl e i aci i el e a , a l e vec a v, i i a v i a e . Ne a e i v i a i l e a , gi a i e e a e a e. . n vl ln h O a a g a licic avl al i e . Del e a , a a e a eli a v a e l ce e vil i v, i e va i lok, i v a ic, l e l a v, le ega vi . P vi ga v a e l ce evil a . e eli . la i a e , ga a eli a va l a branko kaučič • r a č u n a l n i š t v o Kaj imajo skupnega pol inomi in napake? 35_Presek2_K.indd 24 5/11/07 19:50:43 25 r a č u n a l n i š t v o • Presek 35 (2007/2008) 2 Pred kratkim sem v predalu med starejšimi pa- pirji našel izpisek računalniškega programa, s ka- terim sem se mučil v osnovni šoli. Zob časa je v približno tridesetih letih načel pisavo na papirju in nekatere črke so bile zbledele, nekaterih ni bilo več. Ker jezik, v katerem je bil napisan program, še približno poznam, sem prepoznal tudi zbledele črke in znake. Vseeno sem se zamislil nad tem, kako računalnik prepozna, da pri prenosu podat- kov manjka košček podatkov ali pa se je kak ko- šček spremenil (npr. l je postal i). Malce pretiravam, pa vendarle, verjetno vam ne bi bilo vseeno, če bi simpatiji poslali e-sporočilo, da se dobita ob 20h, ona bi vas pa čakala že ob 10h, ker bi se podatki pri prenosu sporočila pokvarili. Brez panike, v elektronskem svetu so tovrstne za- deve dobro urejene in ogledali si bomo nekaj pre- prostejših tehnik, ki jih v te namene uporabljamo pri pošiljanju (in zapisu) podatkov. V e-svetu je ugota- vljanje napak zmožnost prepoznati napako ali spre- membo podatkov med prenosom od pošiljatelja do prejemnika. Popravljanje napak po njihovi ugotovi- tvi omogoča povrnitev podatkov v prvotno stanje. V splošnem lahko opazimo dva načina, ki omogočata popravljanje napak: Ponovitev prenosa: pošiljatelj skupaj s podatki po- šlje kodo (podatke) za ugotavljanje napak, ki jo prejemnik uporabi, da ugotovi prisotnost napake. Če je napaka prisotna, pošiljatelju javi, naj po- novno pošlje podatke. Popravljanje dobljenih podatkov: pošiljatelj prvo- tne podatke opremi z dodatnimi podatki, ki v pri- meru napake omogočajo popravo, ne da bi jih po- šiljatelj moral še enkrat poslati. Dodatni podatki so obǐcajno izračunani tako, da bi potrebovali ne- prǐcakovano veliko napak v podatkih, da ne bi mo- gli povrniti prvotnih podatkov. 1 Ugotavljanje napak Oglejmo si nekaj preprostih načinov ugotavljanja na- pak, obstaja jih seveda precej več. Vsi predstavljeni načini delujejo tako, da pošljejo več podatkov, kot jih ima prvotni podatek. Nekateri ob prvotnih po- datkih pošljejo dodatno kodo, drugi kodo zapišejo med same podatke. 1.1 Ponavljalne sheme Obstaja mnogo razlǐcic ponavljalnih shem. Delujejo tako, da podatke razdelimo na vnaprej določeno šte- vilo bitov, imenovanih blok, in vsakǐc, ko pošljemo blok podatkov, le-tega ponovimo. Ponovimo ga vna- prej določeno število krat. Če želimo npr. poslati podatek „10101101“, ga razdelimo na dva bloka po 2 Pred kratkim sem v predalu med starejšimi pa- pirji našel izpisek računalniškega programa, s k - te im sem se mučil v osnovni šoli. Zob časa je v približno tridesetih letih načel pisavo na p pirju in nekatere črke so bile zbled le, nekaterih ni bilo več. Ker j zik, v katerem j bil napisan program, š približno poznam, s prepoznal tudi zbledele črke in z ake. Vseeno sem se amislil nad tem, ka o računalnik prepozna, da pri prenosu podat- ov m njka košček datkov ali pa se je kak ko- šček spremenil (npr. l je postal i). Malce pretiravam, pa vendarle, verjetno vam ne bi bilo vseeno, če bi simpatiji poslali e-sporočilo, da se dobita ob 20h, ona bi vas pa čakala že ob 10h, ker bi se podatki pri prenosu sporočila pokvarili. Brez panike, v elektronskem svetu so tovrstne za- deve dobro urejene in ogledali si bomo nekaj pre- prostejših tehnik, ki jih v te namene uporabljamo pri pošiljanju (in zapisu) podatkov. V e-svetu je ugota- vljanje napak zmožnost prepoznati napako ali spre- membo podatkov med prenosom od pošiljatelja do prejemnika. Popravljanje napak po njihovi ugotovi- tvi omogoča povrnitev podatkov v prvotno stanje. V splošnem lahko opazimo dva načina, ki omogočata popravljanje napak: Ponovitev prenosa: pošiljatelj skupaj s podatki po- šlje kodo (podatke) za ugotavljanje napak, ki jo prejemnik uporabi, da ugotovi prisotnost napake. Če je napaka prisotna, pošiljatelju javi, naj po- novno pošlje podatke. Popravljanje dobljenih podatkov: pošiljatelj prvo- tne podatke opremi z dodatnimi podatki, ki v pri- meru napake omogočajo popravo, ne da bi jih po- šiljatelj moral še enkrat poslati. Dodatni podatki so obǐcajno izračunani tako, da bi potrebovali ne- prǐcakovano veliko napak v podatkih, da ne bi mo- gli povrniti prvotnih podatkov. 1 Ugotavljanje napak Oglejmo si nekaj preprostih načinov ugotavljanja na- pak, obstaja jih seveda precej več. Vsi predstavljeni načini delujejo tako, da pošljejo več podatkov, kot jih ima prvotni podatek. Nekateri ob prvotnih po- datkih pošljejo dodatno kodo, drugi kodo zapišejo med same podatke. 1.1 Ponavljalne sheme Obstaja mnogo razlǐcic ponavljalnih shem. Delujejo tako, da podatke razdelimo na vnaprej določeno šte- vilo bitov, imenovanih blok, in vsakǐc, ko pošljemo blok podatkov, le-tega ponovimo. Ponovimo ga vna- prej določeno število krat. Če želimo npr. poslati podatek „10101101“, ga razdelimo na dva bloka po 2 Pred kratki se v predalu ed starejši i pa- pirji našel izpisek računalniškega progra a, s ka- teri se se učil v osnovni šoli. Zob časa je v približno tridesetih letih načel pisavo na papirju in nekatere črke so bile zbledele, nekaterih ni bilo več. Ker jezik, v katere je bil napisan progra , še približno pozna , sem prepoznal tudi zbledele črke in znake. Vseeno se se za islil nad te , kako računalnik prepozna, da pri prenosu podat- kov anjka košček podatkov ali pa se je kak ko- šček spre enil (npr. l je postal i). alce pretirava , pa vendarle, verjetno va ne bi bilo vseeno, če bi si patiji poslali e-sporočilo, da se dobita ob 20h, ona bi vas pa čakala že ob 10h, ker bi se podatki pri prenosu sporočila pokvarili. Brez panike, v elektronske svetu so tovrstne za- deve dobro urejene in ogledali si bo o nekaj pre- prostejših tehnik, ki jih v te na ene uporablja o pri pošiljanju (in zapisu) podatkov. V e-svetu je ugota- vljanje napak z ožnost prepoznati napako ali spre- e bo podatkov ed prenoso od pošiljatelja do preje nika. Popravljanje napak po njihovi ugotovi- tvi o ogoča povrnitev podatkov v prvotno stanje. V splošne lahko opazi o dva načina, ki o ogočata popravljanje napak: Ponovitev prenosa: pošiljatelj skupaj s podatki po- šlje kodo (podatke) za ugotavljanje napak, ki jo preje nik uporabi, da ugotovi prisotnost napake. Če je napaka prisotna, pošiljatelju javi, naj po- novno pošlje podatke. P pravljanj d bljenih podatkov: pošiljatelj prvo- tne podatke opre i z dodatni i podatki, ki v pri- eru napake o ogočajo popravo, ne da bi jih po- šiljatelj oral še enkrat poslati. Dodatni podatki so obǐcajno izračunani tako, da bi potrebovali ne- prǐcakovano veliko napak v podatkih, da ne bi o- gli povrniti prvotnih podatkov. ta lja je a a Oglej o si nekaj preprostih načinov ugotavljanja na- pak, obstaja jih seveda precej več. Vsi predstavljeni načini delujejo tako, da pošljejo več podatkov, kot jih i a prvotni podatek. Nekateri ob prvotnih po- datkih pošljejo dodatno kodo, drugi kodo zapišejo ed sa e podatke. 1.1 Ponavljalne she e Obstaja nogo razlǐcic ponavljalnih she . Delujejo tako, da podatke razdeli o na vnaprej določeno šte- vilo bitov, i enovanih blok, in vsakǐc, ko pošlje o blok podatkov, le-tega ponovi o. Ponovi o ga vna- prej določeno število krat. Če želi o npr. poslati podatek „10101101“, ga razdeli o na dva bloka po 2 štiri bite. Ker vsak blok ponovimo npr. trikrat, poši- ljatelju pošljemo 101010101010110111011101 . Recimo, da je prejemnik prejel „1010 1110 1010“. Opazimo lahko, da se en blok podatkov razlikuje od ostalih dveh, zaradi česar vemo, da je nastopila na- paka. Sistem žal odpove, ko se napaka zgodi vedno na istem mestu. Če bi ob zgornjih podatkih prejem- nik za prvi blok podatkov npr. prejel „1011 1011 1011“, bi mislil, da so prispeli pravilni podatki. Kot vidimo, je takšen sistem zelo preprost; ni med naj- boljšimi, uporablja pa se za prenos števil po radij- skih valovih in je bil pred nekaj desetletji še posebej pogosto uporabljen v vohunske namene. 1.2 Polaritetna shema Manj uporabljen način je pošiljanje bitno inverznih podatkov skupaj s prvotnimi podatki. Če želimo po- slati npr. „10101101“, pošljemo tudi „01010010“. Prejemnik nato zamenja vrednosti bitov pri enem od podatkov in ju primerja med seboj. Shema je relatitivno slaba pri ugotavljanju napak lahko bi tudi rekli, da predstavlja zelo poenostavljeno razlǐcico t. i. turbo kod, razvitih za prenos podatkov iz satelitov v vesolju. 1.3 Paritetna shema Podatke ponovno razdelimo na bloke z znanim šte- vilom bitov in preštejemo število enic v bloku. Bloku zatem pripišemo en dodaten bit, t. i. paritetni bit. Njegova vrednost je odvisna od števila enic, v pri- meru lihe paritetne sheme paritetnemu bitu pripi- šemo 0, kadar imamo liho število enic, oziroma 1, kadar imamo sodo število enic. V primeru sode pari- tetne sheme velja obratna logika. Paritetni bit lahko zelo preprosto (in hitro) izračunamo s pomočjo lo- gǐcnega operatorja XOR (∨), kot lahko vidimo na spo- dnjem primeru za „1001“, za obe paritetni shemi. s. p. s. 1001 : 1 ∨ 0 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ∨ 1 = 0 l. p. s. 1001 : ¬(1 ∨ 0 ∨ 0 ∨ 1) = ¬(1 ∨ 0 ∨ 1) = ¬(1 ∨ 1) = ¬0 = 1 Če želimo npr. poslati podatek „101011“, ga razde- limo na dva bloka po tri bite. Vsakemu bloku bomo na začetku (lahko bi tudi na koncu, kar je stvar do- govora) dodali paritetni bit po sodi paritetni shemi. Pošljemo torej 01010011 . Prejemnik za vsak blok ponovno izračuna paritetni bit po isti shemi in ga primerja s paritetnim bitom, ki je bil dodan bloku. Recimo, da je prejemnik pre- jel „0101 0111“. Ko za drugi blok podatkov izra- čuna paritetni bit 1 in ga primerja z 0, ki je bil dodan bloku, ugotovi prisotnost napake. Takoj lahko žal opazimo tudi pomanjkljivost te sheme: ugotovimo lahko le prisotnost lihega števila 3 štiri bite. Ker vsak blok ponovi o npr. trikrat, poši- ljatelju pošlje o 101010101010110111011101 . Reci o, da je preje nik prejel „1010 1110 1010“. pazi o lahko, da se en blok podatkov razlikuje od ostalih dveh, zaradi česar ve o, da je nastopila na- paka. Siste žal odpove, ko se napaka zgodi vedno na iste estu. Če bi ob zgornjih podatkih preje - nik za prvi blok podatkov npr. prejel „1011 1011 1011“, bi islil, da so prispeli pravilni podatki. Kot vidi o, je takšen siste zelo preprost; ni ed naj- boljši i, uporablja pa se za prenos števil po radij- skih valovih in je bil pred nekaj desetletji še posebej pogosto uporabljen v vohunske na ene. . laritet a s e a anj uporabljen način je pošiljanje bitno inverznih podatkov skupaj s prvotni i podatki. Če želi o po- slati npr. „10101101“, pošlje o tudi „01010010“. Preje nik nato za enja vrednosti bitov pri ene od podatkov in ju pri erja ed seboj. She a je relatitivno slaba pri ugotavljanju napak lahko bi tudi rekli, da predstavlja zelo poenostavljeno razlǐcico t. i. turbo kod, razvitih za prenos podatkov iz satelitov v vesolju. . aritet a s e a Podatke ponovno razdeli o na bloke z znani šte- vilo bitov in prešteje o število enic v bloku. Bloku zate pripiše o en dodaten bit, t. i. paritetni bit. jegova vrednost je odvisna od števila enic, v pri- eru lihe paritetne she e paritetne u bitu pripi- še o 0, kadar i a o liho število enic, oziro a 1, kadar i a o sodo število enic. V pri eru sode pari- tetne she e velja obratna logika. Paritetni bit lahko zelo preprosto (in hitro) izračuna o s po očjo lo- gǐcnega operatorja XOR ( ), kot lahko vidi o na spo- dnje pri eru za „1001“, za obe paritetni she i. s. p. s. 1001 : 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 l. p. s. 1001 : (1 0 0 1) (1 0 1) (1 1) 0 1 Če želi o npr. poslati podatek „101011“, ga razde- li o na dva bloka po tri bite. Vsake u bloku bo o na začetku (lahko bi tudi na koncu, kar je stvar do- govora) dodali paritetni bit po sodi paritetni she i. Pošlje o torej 01010011 . Preje nik za vsak blok ponovno izračuna paritetni bit po isti she i in ga pri erja s paritetni bito , ki je bil dodan bloku. Reci o, da je preje nik pre- jel „0101 0111“. Ko za drugi blok podatkov izra- čuna paritetni bit 1 in ga pri erja z 0, ki je bil dodan bloku, ugotovi prisotnost napake. Takoj lahko žal opazi o tudi po anjkljivost te she e: ugotovi o lahko le prisotnost lihega števila 3 l tivno slaba pri ugotavljanju napak. Lahko bi tudi rekli, da predstavlja zelo poenostavlje- no razlǐcico t. i. turb kod, razvitih za prenos podat- kov iz satelitov v vesolju. 2 štiri bite. Ker vsak blok ponovimo npr. trikrat, poši- ljatelju pošljemo 101010101010110111011101 . Recimo, da je prejemnik prejel „1010 1110 1010“. Opazimo lahko, da se en blok podatkov razlikuje od ostalih dveh, zaradi česar vemo, da je nastopila na- paka. Sistem žal odpove, ko se napaka zgodi vedno na istem mestu. Če bi ob zgornjih podatkih prejem- nik za prvi blok podatkov npr. prejel „1011 1011 1011“, bi mislil, da so prispeli pravilni podatki. Kot vidimo, je takšen sistem zelo preprost; ni med naj- boljšimi, uporablja pa se za prenos števil po radij- skih valovih in je bil pred nekaj desetletji še posebej pogosto uporabljen v vohunske namene. 1.2 Polaritetna shema Manj uporabljen način je pošiljanje bitno inverznih podatkov skupaj s prvotnimi podatki. Če želimo po- slati npr. „10101101“, pošljemo tudi „01010010“. Prejemnik nato zamenja vrednosti bitov pri enem od podatkov in ju primerja med seboj. Shema je relatitivno slaba pri ugotavljanju napak lahko bi tudi rekli, da predstavlja zelo poenostavljeno razlǐcico t. i. turbo kod, razvitih za prenos podatkov iz satelitov v vesolju. 1.3 Paritetna shema Podatke ponovno razdelimo na bloke z znanim šte- vilom bitov in preštejemo število enic v bloku. Bloku zatem pripišemo en dodaten bit, t. i. paritetni bit. Njegova vrednost je odvisna od števila enic, v pri- meru lihe paritetne sheme paritetnemu bitu pripi- šemo 0, kadar imamo liho število enic, oziroma 1, kadar imamo sodo število enic. V primeru sode pari- tetne sheme velja obratna logika. Paritetni bit lahko zelo preprosto (in hitro) izračunamo s pomočjo lo- gǐcnega operatorja XOR (∨), kot lahko vidimo na spo- dnjem primeru za „1001“, za obe paritetni shemi. s. p. s. 1001 : 1 ∨ 0 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ∨ 1 = 0 l. p. s. 1001 : ¬(1 ∨ 0 ∨ 0 ∨ 1) = ¬(1 ∨ 0 ∨ 1) = ¬(1 ∨ 1) = ¬0 = 1 Če želimo npr. poslati podatek „101011“, ga razde- limo na dva bloka po tri bite. Vsakemu bloku bomo na začetku (lahko bi tudi na koncu, kar je stvar do- govora) dodali paritetni bit po sodi paritetni shemi. Pošljemo torej 01010011 . Prejemnik za vsak blok ponovno izračuna paritetni bit po isti shemi in ga primerja s paritetnim bitom, ki je bil dodan bloku. Recimo, da je prejemnik pre- jel „0101 0111“. Ko za drugi blok podatkov izra- čuna paritetni bit 1 in ga primerja z 0, ki je bil dodan bloku, ugotovi prisotnost napake. Takoj lahko žal opazimo tudi pomanjkljivost te sheme: ugotovimo lahko le prisotnost lihega števila 3 štiri bite. Ker vsak blok ponovimo npr. trikrat, poši- ljatelju pošljemo 101010101010110111011101 . Recimo, da je prejemnik prejel „1010 1110 1010“. Opazimo lahko, da se en blok podatkov razlikuje od ostalih dveh, zaradi česar vemo, da je nastopila na- paka. Sistem žal odpove, ko se napaka zgodi vedno na istem mestu. Če bi ob zgornjih podatkih prejem- nik za prvi blok podatkov npr. prejel „1011 1 11 1011“, bi mislil, da so prispeli pravilni podatki. Kot vidimo, je takšen sistem zelo preprost; ni med naj- boljšimi, uporablja pa se za prenos števil po radij- skih valovih in je bil pred nekaj desetletji še posebej pogosto uporabljen v vohunske namene. 1.2 Polaritetna shema Manj uporabljen način je pošiljanje bitno inverznih podatkov skupaj s prvotnimi podatki. Če želimo po- slati npr. „10101101“, pošljemo tudi „01010010“. Prejemnik nato zamenja vrednosti bitov pri enem od podatkov in ju primerja med seboj. Shema je relatitivno slaba pri ugotavljanju napak lahko bi tudi rekli, da predstavlja zelo poenostavljeno razlǐcico t. i. turbo kod, razvitih za prenos podatkov iz satelitov v vesolju. 1.3 Paritetna shema Podatke ponovno razdelimo na bloke z znanim šte- vilom bitov in preštejemo število enic v bloku. Bloku zatem pripišemo en dodaten bit, t. i. paritetni bit. Njegova vrednost je odvisna od števila enic, v pri- meru lihe paritetne sheme paritetnemu bitu pripi- šemo 0, kadar imamo liho število enic, oziroma 1, kadar imamo sodo število enic. V primeru sode pari- tetne sheme velja obratna logika. Paritetni bit lahko zelo preprosto (in hitro) izračunamo s pomočjo lo- gǐcnega operatorja XOR (∨), kot lahko vidimo na spo- dnjem primeru za „1001“, za obe paritetni shemi. s. p. s. 1001 : 1 ∨ 0 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ∨ 1 = 0 l. p. s. 1001 : ¬(1 ∨ 0 ∨ 0 ∨ 1) = ¬(1 ∨ 0 ∨ 1) = ¬(1 ∨ 1) = ¬0 = 1 Če želimo npr. poslati podatek „101011“, ga razde- limo na dva bloka po tri bite. Vsakemu bloku bomo na začetku (lahko bi tudi na koncu, kar je stvar do- govora) dodali paritetni bit po sodi paritetni shemi. Pošljemo torej 01010011 . Prejemnik za vsak blok ponovno izračuna paritetni bit po isti shemi in ga primerja s paritetnim bitom, ki je bil dodan bloku. Recimo, da je prejemnik pre- jel „0101 0111“. Ko za drugi blok podatkov izra- čuna paritetni bit 1 in ga primerja z 0, ki je bil dodan bloku, ugotovi prisotnost napake. Takoj lahko žal opazimo tudi pomanjkljivost te sheme: ugotovimo lahko le prisotnost lihega števila 3 • Ponavljalne sheme • Polaritetna shema • Paritetna shema u g o t a v l n j e n p a k 35_Presek2_K.indd 25 5/11/07 19:50:45 26 r a č u n a l n i š t v o • Presek 35 (2007/2008) 2 štiri bite. Ker vsak blok ponovimo npr. trikrat, poši- ljatelju pošljemo 101010101010110111011101 . Recimo, da je prejemnik prejel „1010 1110 1010“. Opazimo lahko, da se en blok podatkov razlikuje od ostalih dveh, zaradi česar vemo, da je nastopila na- paka. Sistem žal odpove, ko se napaka zgodi vedno na istem mestu. Če bi ob zgornjih podatkih prejem- nik za prvi blok podatkov npr. prejel „1011 1011 1011“, bi mislil, da so prispeli pravilni podatki. Kot vidimo, je takšen sistem zelo preprost; ni med naj- boljšimi, uporablja pa se za prenos števil po radij- skih valovih in je bil pred nekaj desetletji še posebej pogosto uporabljen v vohunske namene. 1.2 Polaritetna shema Manj uporabljen način je pošiljanje bitno inverznih podatkov skupaj s prvotnimi podatki. Če želimo po- slati npr. „10101101“, pošljemo tudi „01010010“. Prejemnik nato zamenja vrednosti bitov pri enem od podatkov in ju primerja med seboj. Shema je relatitivno slaba pri ugotavljanju napak lahko bi tudi rekli, da predstavlja zelo poenostavljeno razlǐcico t. i. turbo kod, razvitih za prenos podatkov iz satelitov v vesolju. 1.3 Paritetna shema Podatke ponovno razdelimo na bloke z znanim šte- vilom bitov in preštejemo število enic v bloku. Bloku zatem pripišemo en dodaten bit, t. i. paritetni bit. Njegova vrednost je odvisna od števila enic, v pri- meru lihe paritetne sheme paritetnemu bitu pripi- šemo 0, kadar imamo liho število enic, oziroma 1, kadar imamo sodo število enic. V primeru sode pari- tetne sheme velja obratna logika. Paritetni bit lahko zelo preprosto (in hitro) izračunamo s pomočjo lo- gǐcnega operatorja XOR (∨), kot lahko vidimo na spo- dnjem primeru za „1001“, za obe paritetni shemi. s. p. s. 1001 : 1 ∨ 0 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ∨ 0 ∨ 1 = 1 ∨ 1 = 0 l. p. s. 1001 : ¬(1 ∨ 0 ∨ 0 ∨ 1) = ¬(1 ∨ 0 ∨ 1) = ¬(1 ∨ 1) = ¬0 = 1 Če želimo npr. poslati podatek „101011“, ga razde- limo na dva bloka po tri bite. Vsakemu bloku bomo na začetku (lahko bi tudi na koncu, kar je stvar do- govora) dodali paritetni bit po sodi paritetni shemi. Pošljemo torej 01010011 . Prejemnik za vsak blok ponovno izračuna paritetni bit po isti shemi in ga primerja s paritetnim bitom, ki je bil dodan bloku. Recimo, da je prejemnik pre- jel „0101 0111“. Ko za drugi blok podatkov izra- čuna paritetni bit 1 in ga primerja z 0, ki je bil dodan bloku, ugotovi prisotnost napake. Takoj lahko žal opazimo tudi pomanjkljivost te sheme: ugotovimo lahko le prisotnost lihega števila 3 napak v podatkih. V sodem primeru bomo, podobno kot v prejšnji shemi, preprǐcani, da so podatki pra- vilni. V posebnih primerih lahko to shemo upora- bimo tudi za popravljanje napak na enem bitu, kar je osnova za t. i. Hammingovo shemo, ki bo opisana kasneje. 1.4 Preverjanje vsote Shema, podobno kot paritetna, doda določeno šte- vilo bitov k bloku podatkov. Bloki so obǐcajno večji, dodatni podatki predstavljajo vsoto števil v bloku, ki jo negiramo in prištejemo vrednost 1 (t. i. dvo- jiški komplement). Želimo npr. poslati dvanajst bi- tni podatek „101011101011“. Za potrebe te sheme si ta podatek predstavljamo kot tri štiribitna števila „1010“, „1110“ in „1011“ (torej 10, 14 in 11 v dese- tiškem zapisu), ki jih seštejemo. Ker uporabljamo samo štiri bite, dobimo „0011“. To vrednost negira- mo, dobimo 1100 in po prištevanju 1 dobimo „1101“, kar pripišemo prvotnim podatkom. Prejemniku tako pošljemo 1101101011101011 . Prejemnik nato ob prejemu podatkov po istem po- stopku izračuna vsoto in jo primerja z vsoto, ki je pripisana podatkom. Če se vsoti ne ujemata, je pri- sotna napaka. Opisani postopek v primerjavi s pa- ritetno shemo omogoča večjo občutljivost na priso- tnost napak. 1.5 Preverjanje s Hammingovo razdaljo Spomnimo se, da je Hammingova razdalja med dvema binarnima nizoma enaka številu bitov, v ka- terih se niza razlikujeta. Če želimo zagotoviti ugota- vljanje d bitov napake v n bitnih podatkih, moramo preslikati n bitni podatek v n + d + 1 bitov, tako da je minimalna Hammingova razdalja med vsako pra- vilno preslikavo d + 1. Na tak način, ko prejemnik prejme n+d+1 bitov podatkov, ki ne ustrezajo pre- slikavi (s Hammingovo razdaljo x <= d + 1 katere- gakoli bita v preslikavi), lahko uspešno ugotovi, da je prišlo do napake. 1.6 Ciklično preverjanje redundance Metoda CRC (angl. cyclic redundancy check) je od vseh do sedaj opisanih metod najbolj znana in tudi največkrat uporabljena. Je precej kompleksnejša od prej omenjenih in temelji na množicah s končnim številom elementov ter polinomih. Vsak blok podat- kov v tej tehniki si predstavljamo kot koeficiente po- linomov, ki jih bomo delili z vnaprej določenim poli- nomom. Koeficiente rezultata zatem priključimo pr- votnim podatkom. Oglejmo si metodo nekoliko podrobneje, začenši z aritmetiko po modulu 2, uporabljeno pri polino- mih. Recimo, da imamo naslednji zapis (x3+x)+ (x+1) = x3+2x+1 ≡ x3+1 (mod 2) . 4 napak v podatkih. V sode pri eru bo o, podobno kot v prejšnji she i, preprǐcani, da so podatki pra- vilni. V posebnih pri erih lahko to she o upora- bi o tudi za popravljanje napak na ene bitu, kar je osnova za t. i. Ha ingovo she o, ki bo opisana kasneje. 1.4 Preverjanje vsote She a, podobno kot paritetna, doda določeno šte- vilo bitov k bloku podatkov. Bloki so obǐcajno večji, dodatni podatki predstavljajo vsoto števil v bloku, ki jo negira o in prišteje o vrednost 1 (t. i. dvo- jiški ko ple ent). Želi o npr. poslati dvanajst bi- tni podatek „101011101011“. Za potrebe te she e si ta podatek predstavlja o kot tri štiribitna števila „1010“, „1110“ in „1011“ (torej 10, 14 in 11 v dese- tiške zapisu), ki jih sešteje o. Ker uporablja o sa o štiri bite, dobi o „0011“. To vrednost negira- o, dobi o 1100 in po prištevanju 1 dobi o „1101“, kar pripiše o prvotni podatko . Preje niku tako pošlje o 1101101011101011 . Preje nik nato ob preje u podatkov po iste po- stopku izračuna vsoto in jo pri erja z vsoto, ki je pripisana podatko . Če se vsoti ne uje ata, je pri- sotna napaka. Opisani postopek v pri erjavi s pa- ritetno she o o ogoča večjo občutljivost na priso- tnost napak. 1.5 Preverjanje s a ingovo razdaljo Spo ni o se, da je Ha ingova razdalja ed dve a binarni a nizo a enaka številu bitov, v ka- terih se niza razlikujeta. Če želi o zagotoviti ugota- vljanje d bitov napake v n bitnih podatkih, ora o preslikati n bitni podatek v n + d + 1 bitov, tako da je ini alna Ha ingova razdalja ed vsako pra- vilno preslikavo d + 1. Na tak način, ko preje nik prej e n+d+1 bitov podatkov, ki ne ustrezajo pre- slikavi (s Ha ingovo razdaljo x <= d + 1 katere- gakoli bita v preslikavi), lahko uspešno ugotovi, da je prišlo do napake. 1.6 iklično preverjanje redundance etoda CRC (angl. cyclic redundancy check) je od vseh do sedaj opisanih etod najbolj znana in tudi največkrat uporabljena. Je precej ko pleksnejša od prej o enjenih in te elji na nožicah s končni število ele entov ter polino ih. Vsak blok podat- kov v tej tehniki si predstavlja o kot koeficiente po- lino ov, ki jih bo o delili z vnaprej določeni poli- no o . Koeficiente rezultata zate priključi o pr- votni podatko . Oglej o si etodo nekoliko podrobneje, začenši z arit etiko po odulu 2, uporabljeno pri polino- ih. Reci o, da i a o naslednji zapis (x3+x)+ (x+1) = x3+2x+1 ≡ x3+1 ( od 2) . 4 C M napak v podatkih. V sodem primeru bomo, podobno kot v prejšnji shemi, preprǐcani, da so podatki pra- vilni. V posebnih primerih lahko to shemo upora- bimo tudi za popravljanje napak na enem bitu, kar je osnova za t. i. Hammingovo shemo, ki bo opisana kasneje. 1.4 Preverjanje vsote Shema, podobno kot paritetna, doda določeno šte- vilo bitov k bloku podatkov. Bloki so obǐcajno večji, dodatni podatki predstavljajo vsoto števil v bloku, ki jo negiramo in prištejemo vrednost 1 (t. i. dvo- jiški komplement). Želimo npr. poslati dvanajst bi- tni podatek „101011101011“. Za potrebe te sheme si ta podatek predstavljamo kot tri štiribitna števila „1010“, „1110“ in „1011“ (torej 10, 14 in 11 v dese- tiškem zapisu), ki jih seštejemo. Ker uporabljamo samo štiri bite, dobimo „0011“. To vrednost negira- mo, dobimo 1100 in po prištevanju 1 dobimo „1101“, kar pripišemo prvotnim podatkom. Prejemniku tako pošljemo 1101101011101011 . Prejemnik nato ob prejemu podatkov po istem po- stopku izračuna vsoto in jo primerja z vsoto, ki je pripisana podatkom. Če se vsoti ne ujemata, je pri- sotna napaka. Opisani postopek v primerjavi s pa- ritetno shemo omogoča večjo občutljivost na priso- tnost napak. 1.5 Preverjanje s Hammingovo razdaljo Spomnimo se, da je Hammingova razdalja med dvema binarnima nizoma enaka številu bitov, v ka- terih se niza razlikujeta. Če želimo zagotoviti ugota- vljanje d bitov napake v n bitnih podatkih, moramo preslikati n bitni podatek v n + d + 1 bitov, tako da je minimalna Hammingova razdalja med vsako pra- vilno preslikavo d + 1. Na tak način, ko prejemnik prejme n+d+1 bitov podatkov, ki ne ustrezajo pre- slikavi (s Hammingovo razdaljo x <= d + 1 katere- gakoli bita v preslikavi), lahko uspešno ugotovi, da je prišlo do napake. 1.6 iklično preverjanje redundance etoda CRC (angl. cyclic redundancy check) je od vseh do sedaj opisanih metod najbolj znana in tudi največkrat uporabljena. Je precej kompleksnejša od prej omenjenih in temelji na množicah s končnim številom elementov ter polinomih. Vsak blok podat- kov v tej tehniki si predstavljamo kot koeficiente po- linomov, ki jih bomo delili z vnaprej določenim poli- nomom. Koeficiente rezultata zatem priključimo pr- votnim podatkom. Oglejmo si metodo nekoliko podrobneje, začenši z aritmetiko po modulu 2, uporabljeno pri polino- mih. Recimo, da imamo naslednji zapis (x3+x)+ (x+1) = x3+2x+1 ≡ x3+1 (mod 2) . 4 napak v podatkih. V sodem primeru bomo, podobno kot v prejšnji shemi, preprǐcani, da so podatki pra- vilni. V posebnih primerih lahko to shemo upora- bimo tudi za popravljanje napak na enem bitu, kar je osnova za t. i. Hammingovo shemo, ki bo opisana kasneje. 1.4 Preverjanje vsote Shema, podobno kot paritetna, doda določeno šte- vilo bitov k bloku podatkov. Bloki so obǐcajno večji, dodatni podatki predstavljajo vsoto števil v bloku, ki jo negiramo in prištejemo vrednost 1 (t. i. dvo- jiški komplement). Želimo npr. poslati dvanajst bi- tni podatek „101011101011“. Za potrebe te sheme si ta podatek predstavljamo kot tri štiribitna števila „1010“, „1110“ in „1011“ (torej 10, 14 in 11 v dese- tiškem zapisu), ki jih seštejemo. Ker uporabljamo samo štiri bite, dobimo „0011“. To vrednost negira- mo, dobimo 1100 in po prištevanju 1 dobimo „1101“, kar pripišemo prvotnim podatkom. Prejemniku tako pošljemo 1101101011101011 . Prejemnik nato ob prejemu podatkov po istem po- stopku izračuna vsoto in jo primerja z vsoto, ki je pripisana podatkom. Če se vsoti ne ujemata, je pri- sotna napaka. Opisani postopek v primerjavi s pa- ritetno shemo omogoča večjo občutljivost na priso- tnost napak. 1.5 Preverjanje s Hammingovo razdaljo Spomnimo se, da je Hammingova razdalja med dvema binarnima nizoma enaka številu bitov, v ka- terih se niza razlikujeta. Če želimo zagotoviti ugota- vljanje d bitov napake v n bitnih podatkih, moramo preslikati n bitni podatek v n + d + 1 bitov, tako da je minimalna Hammingova razdalja med vsako pra- vilno preslikavo d + 1. Na tak način, ko prejemnik prejme n+d+1 bitov podatkov, ki ne ustrezajo pre- slikavi (s Hammingovo razdaljo x <= d + 1 katere- gakoli bita v preslikavi), lahko uspešno ugotovi, da je prišlo do napake. 1.6 Ciklično preverjanje redundance Metoda CRC (angl. cyclic redundancy check) je od vseh do sedaj opisanih metod najbolj znana in tudi največkrat uporabljena. Je precej kompleksnejša od prej omenjenih in temelji na množicah s končnim številom elementov ter polinomih. Vsak blok podat- kov v tej tehniki si predstavljamo kot koeficiente po- linomov, ki jih bomo delili z vnaprej določenim poli- nomom. Koeficiente rezultata zatem priključimo pr- votnim podatkom. Oglejmo si metodo nekoliko podrobneje, začenši z aritmetiko po modulu 2, uporabljeno pri polino- mih. Recimo, da imamo naslednji zapis (x3+x)+ (x+1) = x3+2x+1 ≡ x3+1 (mod 2) . 4 napak v podatkih. V sode pri eru bo o, podobno kot v prejšnji she i, preprǐcani, da so podatki pra- vilni. V posebnih pri erih lahko to she o upora- bi o tudi za popravljanje napak na ene bitu, kar je osnova za t. i. a ingovo she o, ki bo opisana kasneje. 1.4 Pre erja je sote She a, podobno kot paritetna, doda določeno šte- vilo bitov k bloku podatkov. Bloki so obǐcajno večji, dodatni podatki predstavljajo vsoto števil v bloku, ki jo negira o in prišteje o vrednost 1 (t. i. dvo- jiški ko ple ent). Želi o npr. poslati dvanajst bi- tni podatek „101011101011“. Za potrebe te she e si ta podatek predstavlja o kot tri štiribitna števila „1010“, „1110“ in „1011“ (torej 10, 14 in 11 v dese- tiške zapisu), ki jih sešteje o. Ker uporablja o sa o štiri bite, dobi o „0011“. To vrednost negira- o, dobi o 1100 in po prištevanju 1 dobi o „1101“, kar pripiše o prvotni podatko . Preje niku tako pošlje o 1101101011101011 . Preje nik nato ob preje u podatkov po iste po- stopku izračuna vsoto in jo pri erja z vsoto, ki je pripisana podatko . Če se vsoti ne uje ata, je pri- sotna napaka. pisani postopek v pri erjavi s pa- ritetno she o o ogoča večjo občutljivost na priso- tnost napak. 1.5 Pre erja je s a i go o raz aljo Spo ni o se, da je a ingova razdalja ed dve a binarni a nizo a enaka številu bitov, v ka- terih se niza razlikujeta. Če želi o zagotoviti ugota- vljanje d bitov napake v bitnih podatkih, ora o preslikati bitni podatek v d 1 bitov, tako da je ini alna a ingova razdalja ed vsako pra- vilno preslikavo d 1. a tak način, ko preje nik prej e d 1 bitov podatkov, ki ne ustrezajo pre- slikavi (s a ingovo razdaljo x d 1 katere- gakoli bita v preslikavi), lahko uspešno ugotovi, da je prišlo do napake. 1.6 i lič o re erja je re a ce etoda CRC (angl. cyclic redundancy check) je od vseh do sedaj opisanih etod najbolj znana in tudi največkrat uporabljena. Je precej ko pleksnejša od prej o enjenih in te elji na nožicah s končni število ele entov ter polino ih. Vsak blok podat- kov v tej tehniki si predstavlja o kot koeficiente po- lino ov, ki jih bo o delili z vnaprej določeni poli- no o . Koeficiente rezultata zate priključi o pr- votni podatko . glej o si etodo nekoliko podrobneje, začenši z arit etiko po odulu 2, uporabljeno pri polino- ih. Reci o, da i a o naslednji zapis (x3 x) (x 1) x3 2x 1 x3 1 ( od 2) . 4 Kot lahko vidimo, 2x postane 0 zaradi seštevanja ko- eficientov po modulu 2: 2x = x + x = x × (1+ 1) = x × 0 ≡ 0 (mod 2) . Podobno velja pri množenju: (x2+x)(x+1) = x3+2x2+x ≡ x3+x (mod 2) . Polinome lahko tudi delimo po modulu 2. Delimo x3 + x2 + x s polinomom x + 1 in dobimo (x3+x2+x) (x+1) = (x2 + 1)− 1 (x+1) oziroma, drugače zapisano, ob upoštevanju aritme- tike po modulu 2 (x3 + x2 + x) = (x2 + 1)(x + 1)− 1 ≡ (x2 + 1)(x + 1)+ 1 (mod 2) . Kot smo že zapisali, lahko vsako zaporedje bitov interpretiramo kot koeficiente polinoma podatka. Kodo CRC, ki jo bomo pripisali podatkom, izraču- namo tako, da najprej pomnožimo polinom podatka z xn in potem poiščemo ostanek pri deljenju s po- linomom stopnje n, t. i. generatorjem. Koeficienti polinoma, ki predstavlja ostanek, so biti kode CRC. V zgornjih izračunih je x2+x+1 predstavljal po- datek „111“, polinom x + 1 je bil generator in osta- nek je bil polinom 1 (oziroma x0), ki je hkrati pred- stavljal tudi kodo CRC. Stopnja generatorja je bila 1, zato smo v izračunu uporabili podatek, ki smo ga pomnožili z x1 in dobili x3 + x2 + x. Splošneje bi lahko zapisali to kot M(x)× xn = Q(x)×G(x)+ R(x) , kjer M(x) predstavlja prvotni podatek in G(x) gene- rator stopnje n. Biti produkta M(x)×xn so enaki bi- tom prvotnih podatkov, ki imajo na desni dodanih n nǐcel. R(x) je polinom ostanka, ki predstavlja kodo CRC, medtem ko kvocienta Q(x) ne potrebujemo. Ko prejemnik prejme M(x) in R(x), preveri, ali je M(x)×xn−R(x) deljivo z G(x). Če je, potem lahko prejemnik z dovolj veliko verjetnostjo domneva, da v dobljenih podatkih ni napak. Metode CRC so v računalništvu in telekomunikaci- jah zelo popularne, ker so preproste za implementa- cijo s strojno opremo, lahko jih je matematǐcno ana- lizirati in so še posebej dobre pri detekciji obǐcajnih napak zaradi šuma v prenosnih kanalih. 1.6.1 Običajno uporabljeni in standardizirani po- linomi Izbira generatorja je najpomembnejši del metode CRC. Kljub temu da se metoda CRC uporablja tudi v standardiziranih telekomunikacijskih sistemih, upo- rabljeni polinomi niso popolnoma standardizirani. Večina polinomov ima nekaj slabosti pri ugotavlja- nju napak in njihova standardizacija bi omogočala da bi „boljši“ polinomi prišli v splošno uporabo. Majhen izbor nekaterih bolj znanih polinomov in njihova področja uporabe prikazuje tabela 1. 5 ot lahko vidi o, 2 postane 0 zaradi seštevanja ko- eficientov po odulu 2: 2 (1 1) 0 0 ( od 2) . Podobno velja pri noženju: ( 2 )( 1) 3 2 2 3 ( od 2) . Polino e lahko tudi deli o po odulu 2. eli o 3 2 s polino o 1 in dobi o (x3+x2+x) (x+1) ( 2 1) 1(x+1) oziro a, drugače zapisano, ob upoštevanju arit e- tike po odulu 2 ( 3 2 ) ( 2 1)( 1) 1 ( 2 1)( 1) 1 ( od 2) . ot s o že zapisali, lahko vsako zaporedje bitov interpretira o kot koeficiente polino a podatka. odo R , ki jo bo o pripisali podatko , izraču- na o tako, da najprej po noži o polino podatka z n in pote poišče o ostanek pri deljenju s po- lino o stopnje , t. i. generatorje . oeficienti polino a, ki predstavlja ostanek, so biti kode R . zgornjih izračunih je 2 1 predstavljal po- datek „111“, polino 1 je bil generator in osta- nek je bil polino 1 (oziro a 0), ki je hkrati pred- stavljal tudi kodo R . Stopnja generatorja je bila 1, zato s o v izračunu uporabili podatek, ki s o ga po nožili z 1 in dobili 3 2 . Splošneje bi lahko zapisali to kot ( ) n ( ) ( ) ( ) , kjer ( ) predstavlja prvotni podatek in ( ) gene- rator stopnje . Biti produkta ( ) n so enaki bi- to prvotnih podatkov, ki i ajo na desni dodanih nǐcel. ( ) je polino ostanka, ki predstavlja kodo R , edte ko kvocienta ( ) ne potrebuje o. o preje nik prej e ( ) in ( ), preveri, ali je ( ) n ( ) deljivo z ( ). ˇe je, pote lahko preje nik z dovolj veliko verjetnostjo do neva, da v dobljenih podatkih ni napak. etode R so v računalništvu in teleko unikaci- jah zelo popularne, ker so preproste za i ple enta- cijo s strojno opre o, lahko jih je ate atǐcno ana- lizirati in so še posebej dobre pri detekciji obǐcajnih napak zaradi šu a v prenosnih kanalih. 1.6.1 bičajno uporabljeni in standardizirani po- lino i Izbira generatorja je najpo e bnejši del etode R . ljub te u da se etoda R uporablja tudi v standardiziranih teleko unikacijskih siste ih, upo- rabljeni polino i niso popolno a standardizirani. ečina polino ov i a nekaj slabosti pri ugotavlja- nju napak in njihova standardizacija bi o ogočala da bi „boljši“ polino i prišli v splošno uporabo. ajhen izbor nekaterih bolj znanih polino ov in njihova področja uporabe prikazuje tabela 1. 5 K x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x K K C C x K C C V x x x x C C x x x x x x x x R x x x x x R x C C x K x R x x x R x x C C C C C K C C V • Ciklično preverjanje redundance • Preverjanje vsote • Preverjanje s Hammingovo razdaljo 35_Presek2_K.indd 26 5/11/07 19:50:47 naziv polinom uporaba CRC-1 x + 1 paritetni bit CRC-4-ITU x4 + x + 1 ITU G.704 CRC-5-ITU x5 + x4 + x2 + 1 ITU G.704 CRC-5-USB x5 + x2 + 1 USB CRC-6-ITU x6 + x + 1 ITU G.704 CRC-7 x7 + x3 + 1 MMC, telek. sistemi CRC-8-CCITT x8 + x7 + x3 + x2 + 1 1-Wire bus CRC-8-Dallas/Maxim x8 + x5 + x4 + 1 1-Wire bus CRC-12 x12 + x11 + x3 + x2 + x + 1 telek. sistemi CRC-16-CCITT x16 + x12 + x5 + 1 Bluetooth, IrDA, PPP, ... CRC-16-IBM x16 + x15 + x2 + 1 USB CRC-32-MPEG2 x32 + x26 + x23 + x22 + x16 + x12 + x11+ USB x11 + x10 + x8 + x7 + x5 + x4 + x2 + x + 1 CRC-32-IEEE 802.3 x32 + x26 + x23 + x22 + x16 + x12+ IEEE 802.3 x11 + x10 + x8 + x7 + x5 + x4 + x2 + x + 1 Tabela 1: Nekaj pogosteje uporabljenih polinomov Navrzimo še en ocvirek. Kako bi lahko metodo CRC uporabili za hitro primerjavo enakosti dveh da- totek? Zapisali smo že, da je računanje CRCja hi- ter postopek. Zatorej izračunamo CRCja obeh dato- tek in v kolikor se med seboj razlikujeta, smo lahko 100%, da sta datoteki razlǐcni. V kolikor sta enaka, če poenostavimo, smo lahko 99% preprǐcani, da sta datoteki enaki. Literatura [1] Wikipedia http://www.wikipedia.org 6 Kot lahko vidimo, 2x postane 0 zaradi seštevanja ko- eficientov po modulu 2: 2x = x + x = x × (1+ 1) = x × 0 ≡ 0 (mod 2) . Podobno velja pri množenju: (x2+x)(x+1) = x3+2x2+x ≡ x3+x (mod 2) . Polinome lahko tudi delimo po modulu 2. Delimo x3 + x2 + x s polinomom x + 1 in dobimo (x3+x2+x) (x+1) = (x2 + 1)− 1 (x+1) oziroma, drugače zapisano, ob upoštevanju aritme- tike po modulu 2 (x3 + x2 + x) = (x2 + 1)(x + 1)− 1 ≡ (x2 + 1)(x + 1)+ 1 (mod 2) . Kot smo že zapisali, lahko vsako zaporedje bitov interpretiramo kot koeficiente polinoma podatka. Kodo CRC, ki jo bomo pripisali podatkom, izraču- namo tako, da najprej pomnožimo polinom podatka z xn in potem poiščemo ostanek pri deljenju s po- linomom stopnje n, t. i. generatorjem. Koeficienti polinoma, ki predstavlja ostanek, so biti kode CRC. V zgornjih izračunih je x2+x+1 predstavljal po- datek „111“, polinom x + 1 je bil generator in osta- nek je bil polinom 1 (oziroma x0), ki je hkrati pred- stavljal tudi kodo CRC. Stopnja generatorja je bila 1, zato smo v izračunu uporabili podatek, ki smo ga pomnožili z x1 in dobili x3 + x2 + x. Splošneje bi lahko zapisali to kot M(x)× xn = Q(x)×G(x)+ R(x) , kjer M(x) predstavlja prvotni podatek in G(x) gene- rator stopnje n. Biti produkta M(x)×xn so enaki bi- tom prvotnih podatkov, ki imajo na desni dodanih n nǐcel. R(x) je polinom ostanka, ki predstavlja kodo CRC, medtem ko kvocienta Q(x) ne potrebujemo. Ko prejemnik prejme M(x) in R(x), preveri, ali je M(x)×xn−R(x) deljivo z G(x). Če je, potem lahko prejemnik z dovolj veliko verjetnostjo domneva, da v dobljenih podatkih ni napak. Metode CRC so v računalništvu in telekomunikaci- jah zelo popularne, ker so preproste za implementa- cijo s strojno opremo, lahko jih je matematǐcno ana- lizirati in so še posebej dobre pri detekciji obǐcajnih napak zaradi šuma v prenosnih kanalih. 1.6.1 Običajno uporabljeni in standardizirani po- linomi Izbira generatorja je najpomembnejši del metode CRC. Kljub temu da se metoda CRC uporablja tudi v standardiziranih telekomunikacijskih sistemih, upo- rabljeni polinomi niso popolnoma standardizirani. Večina polinomov ima nekaj slabosti pri ugotavlja- nju napak in njihova standardizacija bi omogočala da bi „boljši“ polinomi prišli v splošno uporabo. Majhen izbor nekaterih bolj znanih polinomov in njiho a področja up rab prikazuje tabela 1. 5 naziv polinom uporaba -1 x + 1 paritetni bit -4-I x4 + x + 1 I . - -ITU x5 + x4 + x2 + 1 ITU G.704 -5-USB x5 + x2 + 1 USB -6-ITU x6 + x + 1 ITU G.704 -7 1 MMC, telek. sistemi - -CCITT x8 + x7 + x3 + x2 + 1 - i -8-Dallas/Maxim x8 + x5 + x4 + 1 1-Wire bus - 2 x12 + x11 + x3 + x2 + x + 1 telek. sistemi - -CCITT 2 5 Bluetooth, IrDA, PPP, ... -16-IBM x16 + x15 + x2 + 1 CRC-32-MPEG2 x32 + x26 + x23 + x22 + x16 + x12 + x11+ USB x11 + x10 + x8 + x7 5 x4 + x2 + x + 1 CRC-32-IEEE 802.3 x32 + x26 + x23 22 x16 + x12+ IEEE 802.3 x11 + x10 + x8 + x7 + x5 + x4 + x2 + x + 1 Tabela 1: Nekaj pogosteje uporabljenih polinomov Navrzimo še en ocvirek. K k bi lahko metodo CRC uporabili za hitro primerjavo enakosti dveh da otek? Zapisali smo že, da je računanje CRCja hi r postopek. Zatorej izračunamo CRCj obeh dato- tek in v kolikor se med seboj razli ujeta, mo lahko 100%, da sta datoteki razlǐcni. V kolikor sta enaka, če po nost vimo, smo lahko 99% preprǐcani, da sta datoteki enaki. Literatura [1] Wikipedia http://www.wikipedia.org 6 ži ir . i l li it i j ti - t t i li , j j j i- t t . t j i j t - t i li r j li j t , s l da datoteki razlǐc i. li r t , ta i , s la ko 99 t i i. 1 Presek 35 (2007/2008) 2 • Literatur Običajno uporabljeni in standardizirani polinomi naziv polinom uporaba CRC-1 x+1 paritetni bit CRC-4-ITU x4+x+1 ITU G.704 CRC-5-ITU x5+x4+x2+1 ITU G.704 CRC-5-USB x5+x2+1 USB CRC-6-ITU x6+x+1 ITU G.704 CRC-7 x7+x3+1 MMC, telek. sistemi CRC-8-CCITT x8+x7+x3+x2+1 1-Wire bus CRC-8-Dallas/ Maxim x8+x5+x4+1 1-Wire bus CRC-12 x12+x11+x3+ x2+x+1 telek. sistemi CRC-16-CCITT x16+x12+x5+1 Bluetooth, IrDA, PPP,. CRC-16-IBM x16+x15+x2+1 USB CRC-32-MPEG2 x32+x26+x23+x22+x16+x12+x11+ x11+x10+x8+x7+x5+x4+x2+x+1 USB CRC-32-IEEE 802.3 x32+x26+x23+x22+x16+x12+ x11+x10+x8+x7+x5+x4+x2+x+1 IEEE 802.3 Tabela 1. Nekaj pogosteje uporabljenih polinomov • r e š i t e v s u d o k u s s t r a n i 1 3 • • • a b c d e f g h i a 8 2 9 6 5 4 3 1 7 b 5 4 7 1 3 2 8 9 6 c 6 1 3 8 7 9 4 2 5 d 3 6 1 4 2 8 7 5 9 e 9 5 8 7 6 1 2 4 3 f 4 7 2 3 9 5 1 6 8 g 7 9 6 2 1 3 5 8 4 h 2 3 4 5 8 6 9 7 1 i 1 8 5 9 4 7 6 3 2 27 r a č u n a l n i š t v o + r a z v e d r i l o 35_Presek2_K.indd 27 5/11/07 19:50:49 28 r a č u n a l n i š t v o izpiše njegova ploščina. V primeru daljice bi se iz- pisala dolžina daljice. Sedaj lahko že poizkusimo dinamično spreminjati trikotnik in videli bomo, da se hkrati spreminja tudi izpisana ploščina. Toda naša naloga gre še korak dlje. Ploščina je izpisana posebej v besedilu. To je zelo uporabna zadeva. Kako to naredimo? V RiŠu je lahko objekt tudi besedilo. Izberemo ikono in kliknemo kjerkoli. Ko kliknemo, se nam prikaže tekstovno okno, v katerega preprosto na- pišemo besedilo. Ko kliknemo „v redu“, se nam napisano besedilo pojavi tam, kjer smo po izboru tekstovne ikone kliknili. Poskusimo in kar nekaj napišimo. Kot vsi objekti v RiŠu, je tudi besedilo mogoče premikati, seveda pa ga lahko tudi fiksi- ramo. Fiksiranje besedila ali fiksiranje česarkoli je enako. V osebni izkaznici objekta le odkljukamo „konstantno“ in objekt bo obstal tam, kjer je, in ga ne bo mogoče premikati. Kako pa pridemo do osebne izkaznice besedila? V tekstovnem oknu kli- knemo „nadaljnje nastavitve“. Ostane le še eno vprašanje, in sicer kako smo v besedilu, ki se zdi konstantno, uspeli prikazati http://uc.fmf.uni-lj.si/pri/ Presek 35 (2007/2008) 2 R iŠ Ravni lo in šest i lo - Rišem in študiram d r u g i d e l damjan kobal • Prejšnjič smo se v RiŠu naučili narisati dinamični trikotnik, ki je prikazoval dinamično spreminjanje težišča očrtanega in včrtanega kroga. V Preseku in na spletni strani smo zastavili tri nove izzive. Za vse tiste, ki nalog niste uspeli rešiti sami ali ste jih rešili drugače, predstavljamo svoje rešitve, ob katerih se bomo spet naučili nekaj novega. Naloga 4. Želeli smo narisati trikotnik z dinamič- nim izpisom ploščine. rešitev. Pri tej nalogi srečamo nov pojem. Kot smo že povedali, pozna RiŠ mnogotere objekte, npr. točke, daljice, kroge in druge. Zelo uporab- ni objekti so poligoni. Poligon je lahko trikotnik, štirikotnik, petkotnik, ... Tako kot ima daljica dol- žino, ima poligon ploščino. Pa poglejmo našo nalo- go. Točke A, B in C, ki določajo oglišča trikotnika, že znamo narisati. Izberimo ikono za poligon in zaporedoma kliknimo točke, npr. ABCA. Ko smo drugič kliknili na točko A, smo programu povedali, da je naš poligon trikotnik, zato ponovno klikne- mo začetno točko. Ko smo drugič kliknili na prvo točko, se trikotnik pobarva v barvi izbrani v prvi vrstici ikon. „Rodil“ se je nov objekt. Z desno mi- ško kliknimo na (pobarvani) trikotnik in prikaže se „osebna izkaznica“ našega trikotnika. Na vrhu se izpiše ime, ki ga lahko spremenimo. Mi smo npr. naš trikotnik poimenovali tri. Če v osebni izkazni- ci trikotnika izberemo ikono , se na trikotniku 35_Presek2_K.indd 28 5/11/07 19:50:50 29 r a č u n a l n i š t v o Imenujmo to točko T. Izberimo ikono , ki nam omogoči, da narišemo krog s središčem v (0,0) in določenim polmerom. S prvim klikom postavimo središče v (0,0), z drugim klikom pa narišemo krog, a se nam takoj pojavi osebna izkaznica kroga, kjer za polmer vpišimo x(T ). Izberemo si še barvo kro- ga in zadeva je skoraj opravljena. Posebej lahko še središče kroga (ki je tudi objekt) fiksiramo in skrijemo. Je že jasno, zakaj bo premikanje točke T desno povzročilo „napihovanje“ kroga, premikanje gor- dol pa ne bo povzročilo nobene spremembe? Da bi dobili iz svoje naloge konstrukcijo, moramo še x(T ) zamenjati z abs(x(T )). Razmislimo, zakaj. Naloga 6. Pri tej nalogi premikanje rdeče pike povzroča „čudno“ spreminjanje narisane premice. Ta naloga predstavlja še korak naprej. V pro- gramu RiŠ je namreč možno tudi elegantno risati funkcije. Spomnimo se, da se linearna funkcija na- piše kot y=kx+n, pri čemer je k smerni koeficient ali naklon (strmina premice), n pa začetna vrednost ali po domače „dvig“ premice. rešitev. Kot pri prejšnji nalogi narišimo točko T. Kliknimo . Takoj se nam pokaže osebna izkazni- ca funkcije. Razmislimo, kako bomo upoštevali, da smo izbrali, naj bo naša funkcija narisana od -10 do 10, v prostorčku „izraz za y“ pa smo napisa- li x(T )*x+y(T ), ostalih polj pa nismo spreminjali. Program RiŠ razume „*“ kot množenje, zato nariše premico, katere strmina je x(T ) in katere „dvig“ je y(T ). Spreminjanje premice s premikanjem točke T sedaj ni več tako skrivnostno. Povejmo še, da lahko sliko v RiŠu povečujemo ali pomanjšujemo z uporabo ikon , ali kar s „ko- leščkom na miški“. rešitev. Čeprav se zdi, kot da se rdeča pika pre- mika po popolnoma „čisti“ podlagi, pa se v resni- ci premika po koordinatnem sistemu. Koordinatni sistem omogoča, da program RiŠ (in pri zahtevnej- ših problemih tudi mi) ve, kje se nahajajo objekti. Kot nekakšna orientacija v prostoru. Kliknimo (lahko tudi večkrat zaporedoma) na ikono in videli bomo, v kakšnem koordinatnem sistemu in v kakšnih enotah „živi naš RiŠ program“. Vsak objekt „živi“ na točno določenem mestu, ki ga opišemo s koordinatami. Koordinata (2,3) tako pomeni, da smo šli dva koraka (dve enoti) v desno in tri enote navzgor. Koordinata (1,-7) pomeni en korak v desno in sedem korakov navzdol. In tako dalje, kot nam je že znano iz razumevanja koordi- natnega sistema. Premik desno –levo označujemo z x, premik gor–dol pa z y. Ko se v naši nalogi igramo in premikamo rdečo točko opazimo, da premikanje točke gor in dol ne povzroči nikakršne spremembe. Premikanje levo in desno pa povzroči pojavljanje in debeljenje ze- lenega kroga. Kliknimo na ikono za koordinatni sistem in na- rišimo rdečo debelo točko, npr. na mestu (0,3). Presek 35 (2007/2008) 2 dinamično spreminjajočo ploščino trikotnika. Zelo preprosto. V naše tekstovno okno smo zapisali „Ploščina trikotnika ABC meri %abs(tri)% kvadra- tnih enot“. Program RiŠ namreč znotraj besedila vse, kar je med znakoma %%, izračunava. Spomni- mo se, da smo naš trikotnik poimenovali tri. Za program RiŠ torej tri pomeni ploščino trikotnika. Ukaz abs(tri) le povzroči, da ima ta ploščina ve- dno pozitivni znak. V višji matematiki sprememba orientacije trikotnika namreč pomeni, da imamo ploščino za negativno. Brez tega dodatka bi se pri bolj norem spreminjanju oglišč trikotnika lahko ploščina izpisala tudi z minusom. Smo končali? Bi znali sami narediti podobno? Dober uvod v naslednjo nalogo bo še premislek, zakaj v nalogi potrebujemo tudi enoto. Seveda ni vseeno, v kakšnih enotah merimo. V kakšnih eno- tah pa RiŠ izračuna ploščino poligona? Kliknimo (lahko tudi večkrat zaporedoma) na iko- no in videli bomo, v kakšnem koordinatnem sis- temu in v kakšnih enotah „živi naš RiŠ program“. Naloga 5. Pri tej nalogi premikanje rdeče pike povzroči nastajanje in spreminjanje kroga. Izzivi. Na spletni strani http://uc.fmf.uni-lj.si/pri/ te čakajo še trije novi izzivi. • 35_Presek2_K.indd 29 5/11/07 19:50:51 30 r a č u n a l n i š t v o • Presek 35 (2007/2008) 2 V uredništvo smo prejeli dve rešitvi nagradne na- loge, ki je bila objavljena v rubriki računalništvo v prejšnji številki Preseka. Pravilno rešitev nam je po- slal Nino Bašić. Njegovo rešitev in razlago objav- ljamo in jo bomo nagradili. Komentar. LCS(a, b) naj bo dolžina najdaljšega skupnega konca nizov a in b. Skupni konec nizov MATEMATIKA in FIZIKA je IKA, niza PREPROGA in PROGRAMIRANJE pa nimata skupnega konca – skrat- ka preštejemo, v koliko znakih se niza ujemata od zadaj. Če zadnji znak zapišemo ločeno: LCS(x + z1, y + z2), postane jasno, da je LCS(x+z1, y +z2) = 0, čim je z1! = z2. Če pa je z1 == z2, potem je LCS(x + z1, y + z2) = LCS(x,y). Rešitev naloge je potem max{LCS(i, j)}, kjer i pre- teče vse podnize niza a, ki vsebujejo prvi znak, j pa preteče vse podnize niza b, ki prav tako vsebujejo prvi znak. Primer. a = PREPROGA in b = PROGRAMIRANJE P R O G R A M I R A N J E P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 O 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 V tabeli se na mestu (i, j) nahaja LCS(ai, bj), kjer predstavlja ai prvih i znakov niza a, bj pa pred- stavlja prvih j znakov niza b. Rešitev pa je največje število v tej tabeli, t. j. 4 in pripadajoči niz: PROG. Program lahko še malce optimiziramo. Za izračun potrebujemo samo eno vrstico in ne cele tabele, naj- večjo do sedaj odkrito vrednost pa si lahko shranju- jemo kar sproti. 2 V uredništvo smo prejeli dve rešitvi nagradne na- loge, ki je bila objavljena v rubriki računalništvo v prejšnji številki Preseka. Pravilno rešitev nam je po- slal Nino Bašić. Njegovo rešitev in razlago objav- ljamo in jo bomo nagradili. Komentar. LCS(a, b) naj bo dolžina najdaljšega skupnega konca nizov a in b. Skupni konec nizov MATEMATIKA in FIZIKA je IKA, niza PREPROGA in PROGRAMIRANJE pa nimata skupnega konca – skrat- ka preštejemo, v koliko znakih se niza ujemata od zadaj. Če zadnji znak zapišemo ločeno: LCS(x + z1, y + z2), postane jasno, da je LCS(x+z1, y +z2) = 0, čim je z1! = z2. Če pa je z1 == z2, potem je LCS(x + z1, y + z2) = LCS(x,y). Rešitev naloge je potem max{LCS(i, j)}, kjer i pre- teče vse podnize niza a, ki vsebujejo prvi znak, j pa preteče vse podnize niza b, ki prav tako vsebujejo prvi znak. Primer. a = PREPROGA in b = PROGRAMIRANJE P R O G R A M I R A N J E P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 O 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 V tabeli se na mestu (i, j) nahaja LCS(ai, bj), kjer predstavlja ai prvih i znakov niza a, bj pa pred- stavlja prvih j znakov niza b. Rešitev pa je največje število v tej tabeli, t. j. 4 in pripadajoči niz: PROG. Program lahko še malce optimiziramo. Za izračun potrebujemo samo eno vrstico in ne cele tabele, naj- večjo do sedaj odkrito vrednost pa si lahko shranju- jemo kar sproti. 2 V uredništvo smo prejeli dve rešitvi nagradne na- loge, ki je bila objavljena v rubriki računalništvo v prejšnji številki Preseka. Pravilno rešitev nam je po- slal Nino Bašić. Njegovo rešitev in razlago objav- ljamo in jo bomo nagradili. Komentar. LCS(a, b) naj bo dolžina najdaljšega skupnega konca nizov a in b. Skupni konec nizov MATEMATIKA in FIZIKA je IKA, niza PREPROGA in PROGRAMIRANJE pa nimata skupnega konca – skrat- ka preštejemo, v koliko znakih se niza ujemata od zadaj. Če zadnji znak zapišemo ločeno: LCS(x + z1, y + z2), postane jasno, da je LCS(x+z1, y +z2) = 0, čim je z1! = z2. Če pa je z1 == z2, potem je LCS(x + z1, y + z2) = LCS(x,y). Rešitev naloge je potem max{LCS(i, j)}, kjer i pre- teče vs podnize niza a, ki vsebuj jo prvi znak, j pa preteč vs podnize niza b, ki prav tako vsebuj jo prvi znak. Primer. a = PREPROGA in b = PROG AMIRANJE P R O G R A M I R A N J E P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 R 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 1 P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 R 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 O 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 G 0 4 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 V tabeli s na mestu (i, j) nahaj LCS(ai, bj), kjer predstavlja ai prvih i znakov niza a, bj pa pred- stavlja prvih j znakov niza b. Rešitev pa je največje število tej tabeli, t. j. 4 in pripadajoči niz: PROG. Program l hko še malce optimiziramo. Za izr čun potrebuj mo samo en vrstico in ne cel tab le, naj- večjo do sedaj odkrito vrednost pa si lahko shranju- jemo kar sproti. 2 , . . . . . , , . : , , , ! . , . , , , , . . , , . , . . : . . , . r e š i t e v n a g r a d n e n a l o g e i z p r e j š n j e š t e v i l k e andrej taranenko • • import jav .util.*; import java.io.*; class SkupniPodniz2 { private static void findLCS(Stri g s1, String s2) { int i, j; int l1 = s1.length(), l2 = s2.length(); int LCS[] = new int[l2+1]; int max = 0, end = 0; for (i=1; i<=l1; i++) { for (j=l2; j>0; j–) { if (s1.charAt(i-1) == s2.charAt(j-1)) { LCS[j] = LCS[j-1] + 1; if (LCS[j] > m x) { max = LCS[j]; end = j; } } else LCS[j] = 0; } } System.out.println("Dolzina podniza: "+ max); System.out.println("Skupni podniz: ""+ + s2.substring(end - max, end) + ""); } public static void main(String[] args) throws IOException { BufferedReader stdin = new BufferedReader (new InputStreamReader(System.in)); System.out.println ("Vnesi prvi niz in pritisni enter."); String niz1 = stdin.readLine(); System.out.println ("Vnesi drugi niz in pritisni enter."); String niz2 = stdin.readLine(); findLCS(niz1, niz2); } } 1 35_Presek2_K.indd 30 5/11/07 19:50:52 31Presek 35 (2007/2008) 2 Raziskujmo ozvezdja z dal jnogledom 10x50 n o v a i z v i r n a s l o v e n s k a a s t r o n o m s k a k n j i g a • Knjiga Raziskujmo ozvezdja z daljnogledom 10 x 50 zapolnjuje vrzel v slovenskem prostoru. Je 500 strani obsegajoče avtorsko delo Bojana Kambiča, ki ima kot urednik astronomske revije Spika dolgoletne izkušnje na področju polju- dnega pisanja in astronomskih opazovanj. Knjiga je namenjena širšemu krogu bralcev oziroma „vsem, ki želite prodreti v skrivnosti vesolja in z daljnogledom raziskovati lepote nočnega neba“. Zasnovana je namreč tako, da lahko prvi del uporabljamo kot uvodni učbenik in drugi del kot priročnik za opazovanje, pri ka- terem pa ne potrebujemo posebne drage opre- me ampak le daljnogled. Dobrodošla bo za vse, ki jih astronomija zanima, pa niso vedeli, kje pričeti: za učence, dijake, učitelje astronomije, vodje astronomskih krožkov, pa tudi za že iz- kušene amaterske astronome. Prvi del se začne s poglavjema O daljnogle- dih in vsem, kar sodi zraven ter Nebesna me- hankarija, ki odgovarjata na pogosti vprašanji Kako in s čim opazovati. Avtor nas tu seznani z osnovami astronomskih opazovanj in orien- tacije na nebu ter nam posreduje številne ko- ristne nasvete. Naslednje poglavje Ta čudovi- ta, oddaljena sonca govori o zvezdah. Kaj so zvezde, kako nastanejo, kako živijo in umrejo, ali so vse enake, kako daleč so, so vprašanja, na katera avtor odgovarja jedrnato, a obenem razumljivo ter strokovno točno. Od zvezd nas poglavje Nezvezdniki odpelje naprej v vesolje in opiše zvezdne kopice, meglice in galaksije. Obširnejše podpoglavje Naša Galaksija nam predstavi tako zgodovino odkrivanja lastnosti Galaksije kot tudi povzetek sodobnih spoznanj, od središčne črne luknje, problema temne snovi do satelitskih galaksij in lokalne jate galaksij ter razumevanja njenega nastanka in razvoja. Sledi Še nekaj zanimivosti o astronomskih katalogih, o tem zakaj ne moremo izdelati modela vesolja in kako daleč v vesolje lahko vidimo. V drugem delu knjiga preide k praktičnemu delu — opazovanju z običajnim daljnogledom in odgovarja na vprašanja kaj, kje in kdaj opa- zovati. Po poglavju Zadnji napotki, ki razloži, kako se pripraviti na opazovanje, poiskati na nebu želeno nebesno telo ter kako brati zvez- dno karto, se nam nebo „odpre“. Sledi namreč opis vseh ozvezdij, ki so vidna z naših geograf- skih širin. Na začetku vsakega opisa ozvezdja je oblikovno lepa in natančna osnovna zvezdna karta, ki ji sledi kratek opis najsvetlejših zvezd ter podrobnejši opis dvozvezdij, spremenljivk in nezvezdnih objektov, ki so vidni z daljnogle- dom 10 x 50. Če povem, da je v tem delu na dobrih 300 bogato ilustriranih straneh predsta- vljenih 69 ozvezdij in 241 zanimivih objektov, je jasno, da je pričujoča knjiga prava zakladnica za vse, od začetnika do že izkušenega amater- skega astronoma, učitelja, učenca, samouka ali/ in romantika. Da smo dobili v eni knjigi enkraten uvod v astronomijo in obenem bogat priročnik za opa- zovanje, je zares prijetno presenečenje. Knjigo toplo priporočam vsem, ki kadarkoli pogledate nočno nebo. Izvlečke iz knjige in druge informacije o knjigi najdete na spletnem naslovu www.e-spika.si. • andreja gomboc 35_Presek2_K.indd 31 5/11/07 19:50:54 35_Presek2_K.indd 32 5/11/07 19:50:55