-~ 5al , mora biti a5 = 1. Pod obno vidimo, da je tudi a4 = 1. Pri a4 2: 2 je namreč 324 Za vsakogar nekaj - Rešitve nalog I Naj bo sedaj a 3 :::: 2. Potem imamo En akost 4al = 3a l + 2 velja le za a l = 2. Tedaj dobimo rešit ev Ili Ostane še možnost a 3 = 1. Poenostavljena enačba se glas i Glede na vrednost a2 ločimo več možnosti. Pri a2 = 1 ne dob imo rešitve, saj je a l -=1= al + 4. Za a2 = 2 dobimo al = 5, za a2 = 3 pa al = 3. Pri a2 :::: 4 ni več novih rešitev , saj je al . a2 :::: 4a l > 2al + 3 :::: a l + a2 + 3. Na j povzamem . Enačba ima tri rešitve. Po leg že v besedi lu naloge omenjene peterke (5,2 ,1,1 , 1) sta to še pe terki (2,2 ,2,1, 1) in (3,3,1 ,1 , 1) . Martin Juvan PRODUKT = VSOTA - 2. rešitev Ker smo matematiki, ne bomo reševali naloge zgolj za k = 5, temveč bomo pogledali, kako dobimo vse rešit ve za poljubno naravno šte vilo k. Če pr edpostavimo, da je a l :::: a2 :::: . . . ak , dobimo oziroma a2 · . . . · ak ::; k . Torej bodo šte vila a2, . . . , ak nastopala v razcepu števila , manjšega ali enakega k, na k - 1 fak torjev , kjer je med faktorji lahko t udi več enic. Na jprej poglejmo, kako bi poiskali vse take raz cep e poljubnega narav- nega šte vila n na m faktorj ev al, . .. , am , da bo velja lo a l :::: a2 :::: ... :::: am ' Velja n = al . . . . . am :::: am . . . . . am = a~ . Torej je am je delitelj števila n, manjši ali enak ytn. Poiščemo vsa števila am, ki ust rezaj o pogojem. Za vsak možen am dobimo enačbo , iz katere razberemo pogoje za am-l : n m - l - = al ' . . . . am- l :::: am-l ' .. . . am-l = am_l' am I Za vsakogar nekaj - Rešit ve nalog Št evilo am-l je torej delit elj št evila ...II:...- (ki je nar avno število, saj am delia= n) , manjš i ali enak =-1~ t er večj i ali enak am 'V a= Ta postop ek nadaljujemo, dokler ne pridemo do enačbe n al = --- -- a2 · ··· · am Na ta način lah ko poiščemo vse razcep e šte vila n na m faktorjev." Sedaj pa se lotimo iskanj a razcepa vseh števil, manj ših ali enakih k , na k - 1 fak torj ev. Iz vsakega razcepa pr eberem o števila a2, . . . ,ak , iz enačbe a l . .. . ' ak = = al + ... + ak pa izračunamo še al . Če bi bilo a2 = .. . = ak ~ 1, bi dobili a l = a l + (k - 1), ta enačba pa pri k 2: 2 nima rešit ve. Tako lahko pr edpostavimo, da a2 .. . . . ak =1= 1 in a2 + ...+ ak al = . a2 .. ... ak - 1 Rezultate, kjer al ni nar avn o šte vilo, večje ali enako a2 , ovr žemo in ostanejo nam natanko vse iskan e rešitve. Za rešit ev enačbe a l . . . . . a5 = a l + ...+ a5 torej najprej poiščemo vse razcep e št evil 1, 2, 3, 4, 5 na 4 fak torje, potem pa izračunamo t em raz cepom pripadajoče vrednost i števila al . Razcep e za tako majhna naravn a števila zlahka izračunamo "na pamet" , brez uporabe algor it ma . a2 a3 a4 a5 al 5 1 1 1 8/4 = 2 4 1 1 1 7/3 2 2 1 1 6/3 = 2 3 1 1 1 6/2 = 3 2 1 1 1 5/ 1 = 5 1 1 1 1 / Če up oštevam o, da je a l nar avno število, veeje ali enako a2, ustrezaj o rešitvi enačbe le peterke (2,2,2, 1, 1), (3,3, 1, 1, 1) in (5,2, 1, 1, 1) . Opa- zimo , da je rešit ev , kjer je a l naravno št evilo, a manjše od a2 , le permu- t acija neke druge rešit ve, kjer je al 2: a2. To smo t udi pričakovali, kaj ti 1 Postopek lahko močno skrajšamo , če določimo naj prej najmanj še možno število enic , ki nastop a jo v razcepu števi la nna m fakt orj ev. P re mislite , kako! Pri parametrih , ki nastopajo v dani na logi, je en ic kar pr ecej . (O p. ur .) Za vsakogar nekaj - Rešitve na log I Mat ija Pretnar množenje in sešt evanje sta komutati vni op eraciji , pri iskanju razcepov pa smo pazili le na ur ejenost šte vil a2, . . . , ak (nismo izključili možnosti a2 > ad · o V RTN ARJEVI NALOGI o· _-.~_- - _ - o----' 1008060, o20 60 ao I . 2 0 80 · V t retj i številki t ega let nika P reseka je Boj an Mohar zastavil neka j vpra- ša nj o Vrtnarjevi nalogi , ki jo je v prisp evku Predalčno načelo v prvi šte vilki tega letnika opisal J ože Gras selli . Zastavljena vpraša nja so tež ka , da pa ne bod o osta la povsem neod- govorje na , bom pod al odgovor na dru gi del vp rašanj a (B) . Opisal bom tako razp oreditev več kot 300 točk znot raj kvadrat a s st ranico 100 enot, da nob en krog polmera 8 enot ne bo vseboval več kot 6 dan ih točk. Konstrukcija sploh ne bo zaplete na , bo pa nekoliko odstopala od nasvet a iz besedila naloge . Ta namreč priporoča "dokaj enakom erno" raz poreditev točk po kvadratu. Skica razpored itve je pr ikazana na sliki na desni . Vsaka pika pom eni gručo 6 točk , ki so zelo zelo blizu druga drugi. Vodoravne razdalje med gručami so malen kost večje od 2 · 8= 16 enot , tako da noben krog po lmera 8 ne mor e vsebovati točk iz dveh različnih gruč , ki sta v ist i vr- sti. Zaporedni piki iz ist e vrs te sku- paj s piko nad razpoloviščem njune zveznice tvorita enakostranični t ri- kotnik. Navpične razdalje med vr- stami so tako malenkost večje od 16v'3/ 2 ~ 13.86 enot. Nob en krog pohn era 8 tako ne more vse bovati točk iz gruč v dveh različnih vrstah. Krog polmera 8 lahko tako vsebuje le točke iz ene same gruče, t eh pa je le 6. Kad ar začnemo na robu , lah ko v vrsto zložimo 7 pik (6 · 16 = = 96 < 100 )y , v vrst o z zamaknjenim začetkom pa jih lahko post avimo 6. V kvad rat gre 8 vrst (7 · 8v'3 ~ 96.99 < 100). V celot i smo torej razporedili 6 . (4 . 7 + 4 . 6) = 312 točk, in to v pr avokot nik s st ranica ma, ki mer ita dobrih 96 in slabih 97 enot. Martin Juvan I Za vsakogar nekaj NOGOMETNA KOMBINATORIKA Svet ovno prvens tvo v nogom etu je pr ed vrati. Selektor slovenske repre- zentance Srečko Katanec je v Korejo pripeljal 23 igralcev: 3 vratarj e, 6 bran ilcev , 9 vezn ih igralcev in 5 napadalcev. Čeprav je s tem že odpravil št evilne dvome in skrbi, ga še vedno muči cel kup vprašanj . Pomagaj mu po iskati od govore. 1. Na koliko načinov lah ko Srečko sestavi enajsterico, v kateri bodo vratar , t rije branilci , št irje vezni igralci in trije napadalci? 2. Kaj pa enajste rico, v kateri bo poleg natanko enega vr atarja vsaj en napadalec? 3. Na koliko načinov lahko Srečko razdeli dr ese s številkami od 1 do 11 med svojih 23 izbran cev? 4 . Kaj pa, če mora številko 1 dobiti vr atar , ost ale pa drugi igralci? 5 . Koliko različnih petmestnih št evil lah ko sest avimo, če se v vrsto postavi nekaj igralcev , ki imajo na hrbtu številke od 5 do Ll.? 6 . V korejskem hotelu Mitsa-Matsa bodo slovenskim reprezentantom in selektorju na voljo 3 različne št iriposteljne sobe te r 6 raz ličnih dvoposteljnih sob . Koliko različnih razporeditev 24 oseb po sob ah je možnih? 7 . Vstopnice za te kmo slovenske reprezentance menda stanejo 20 (sedež i 2. kategor ije) , 30 (sedeži 1. kategori je) in 70 evrov (sedež i v poseb- nih ložah) . Skupina navijačev namerava za nakup vstopnic porabiti natanko 200 evrov. Na koliko načinov lahko kupijo vstopnice, če nas zanima samo šte vilo vstopnic posamezne vrste? 8 . Cimerotič , Ačimovič in Čeh so na zadnjih treningih skupaj dosegli 7 golov, a ni nujno, da je vsak od njih res dos egel gol. Na koliko načinov se je to lahko zgodilo? 9 . Zahovič , Pavlin , Osterc in Rudonja pa so na zadnjih t reningih skupaj dosegli 15 golov. Na koliko načinov so to lahko storili , če je dal vsak vsaj dva gola? 10.* Enajsteri ca , primerna za tekmo, je sestavljena iz enega vr atarja, vsaj dveh br ani lcev in vsaj enega napadalca. Med koliko primernimi enajstericami lahko izbira slovensk i selektor? Boštjan Ku zman, Martin Juvan Rešitev je na str. 365. Mat ematika I KRISTALN E MREŽE - 2. del Zlaganje krogel V prejšnji št evilki Preseka smo si v članku Kristalne mreže, 1. del, ogledal i dva načina zlaganja skladnih kro gel. Tu bomo predst avili še enega. Narišimo kocko ABCDAIB ICIDI z robom a. Na njej označimo vsa oglišča in vsa središča osnovnih t er stranskih ploskev (slika 1), to je skupaj 8 + 6 = 14 točk . Nato zlagamo skladne kopij e t e "osnovne celice" , ki ji pravimo "ploskovno centrirana ko cka", tako da imat a sosednj i kocki skup na št ir i oglišča. Oglišča in središča mejnih ploskev tako zlože nih kock sestavljajo mno- žico točk v prost oru. Kot je razvidno iz vprašanja 3 na koncu tega članka, je ta mn ožica točk trirazsežna mreža, kak ršno smo opisali v prve m de lu članka o kri st alnih mrežah. D' Oo F o _- - "- A'~':'-_------'-:r :~ . E D' 6 .. I _-A/~" A F B' B C' ' , 1 - - - - .- . " C Slika 3. Slika 4. 330 Mat ematika I Ker je IGHI = %V2, se g in h dotikata. Enako vidimo , da se g dotika kro gel a, h, e, j do tika krogel i , e, c, f dotika kro gel b', h , i . Zdaj vemo, kam moramo položiti krogle g , i , f . Oglej te si t udi sliko 5 in fot ogr afijo na naslovn ici. Slika 5. Vprašanje 1. Kje na sliki 4 je proj ekcija točke B ? (Namig: Kater ih označenih krogel se dotika kr ogla b?) Uporabimo zdaj pridobljeno znanje za reševanje zanimivega problema. Relativna atomska masa aluminija je 26,98, 'zato ima 1 mol atomov aluminija maso rti = 26,98 g. Gostota aluminija je 2,70kgjdm3 . Al u- minij kri stalizira v kubično naj gostejšem skladu . Določi po lmer atoma aluminija. R ešitev . V 1 molu je Avogadrovo število NA ~ 6,02 . 1023 atomov aluminija, vsak ima torej maso tri . ( NA) - l . Če je R polmer atoma aluminija, ima osnovna celica rob a = 2V2R. Na osnovno celico odpadejo, kot smo ugotovili , 4 atomi, torej masa ~:. I Mat ematika Gostota je 4m Od tod je 26,98 .10-29 m3 = 269,8 .10-30 m3 4V2· 6,02 ·2,70 4V2 ·6,02·2,70 in 269,8 . 10-10 m ~ l 43 . lO-10m . 4V2 ' 6,02 . 2,70 ' V nadaljevanju zahtevamo od bralca več samosto jnega dela. Vprašanje 2. Svin ec ima gostoto 11,34 gj cm 3 in relativno atomsko maso 207,2. Kr istalizira v kubično naj gostejšem skladu. Določite polmer ato ma svinca. Opomba. V st aljenem svin cu so atomi bolj neurejeni kot v kristalu in prostora ne zapolnjujejo tako učinkovito . Zato se pri strjevanju svinec skrči . Kovin e, ki krist alizirajo v manj gost ih skladih, pa pri strjevanju lahko zvečajo prostornino. Tak e kovine niso najbolj primerne za vlivanj e. Pos eben primer je kositer , ki pri nizkih temperaturah kristalizira v manj gost em skladu kot pri sobni temperaturi. To je vzrok t. i. "kositrove kuge" , ki je povzročila mnogo škode . Vprašanje 3. Vrnimo se k sliki 3. Naj bo P paralelepiped z osnovno ploskvijoB'H El in s stranskim robom B'F. a) Določite preostala oglišča paralelepipeda. b) Če ima kocka rob a, določite robove paralelepipeda. c) Določite kota, ki ju B' F oklepa z B'H in B' I. d) Iz tršega papirja naredite nekaj modelov za P , če rob paralelepipeda P meri 6 cm. Zložite modele tako, da imata sosednja modela skupna 4 oglišča . Oglišča zloženih paralelep ipedov sestavljajo mrežo središč krogel kubično najgostejšega sklad a. Primerjajte s sliko 3. Da je to res prava mreža , je razvidno iz naslednje točke. e) Naj bo B' 1 = a,B'H = b, B'F = c. Če za izhodišče vzamemo točko B' , izrazite kr aj evne vektorj e vseh oglišč kocke in vseh središč mejnih ploskev v bazi {a,b,c}. Mat ematika - Nove knjig e I Vprašanje 4. Na sliki 3 post avimo pravokotni koordinatni sistem tako, da bo A izhodišče O, OB = 2z, OD = 2J, OA' = iko Kaj je množica vseh točk T , za katere je OT = mz+ nj + pI. , kjer so m , n ,p E ~ in je vsota m + n + p sod o št evilo? Odgovori na vprašanja: 1. P roj ekcija točke B je v središču t rikotnika AG B' . 2. 1,75 · 10- 10m. 3. a) G, D , J b) ~a c) 60° e) GA = 2b, OB = a+b - c, OG = 2a, OD = a+b+ c, OA' = - a+ b+ C, OB' = O, 0(5 = a- b+ C, 0J5i = 2c, OE = a+ i. OF = C, OG = b+ C, OH = b, OJ = a, OJ = a+c. 4. To je mreža kubično naj gostejšega sklada, kat erega osnovna celica je kocka ABGDA' B' G'D' . Peter Legiša Judita Cofman: KAJ N A J R EŠUJEMO? - 1. in 2. del V zbirki Knj ižni ca Sigma je pr ed kr at- kim v dveh delih izšel prevod knjige What to Salve?, avtor ice Judite Co- fman. Original je v ang leškem jeziku let a 1990 izdala ugledna zalo žba Cla- rendon Press. Avtorica je po ro du Mad žarka iz Vojvodine, že vrsto let pa poučuj e na različnih univerzah v Anglij i, Nemčij i in na Madž arskem . Podnaslov knjige Naloge in nasveti za m lade m ate- matike pojasnjuje, kak šna je vsebina dela . Le-to je nastalo na osnovi gra- div , ki jih je avtori ca skupaj s sode- lavci pripravljala za seminarje in razi- skovalne tabore za mlade matem atike. • • • INo ve knjige Sestavljeno je iz štirih pogl avij in treh dodatkov. Vsako poglavje se začne z uvodom, ki mu sledijo naloge in nato še njihove rešitve. Lažj e naloge, namenjene manj izkušenim bralcem, so pos eb ej označene. Prvi del ima dobrih 150 strani in poleg predgovora vsebuje pr evod prvega in drugega poglavj a originala. V pr vem poglavju , ki ima naslov Naloge za raziskovanje, so pr edstavlj eni nekateri prij emi , ki jih pogost o uporabimo ob prvem srečanju z matematičnim problemom. Sem sodi uporaba analogij, iskanje vzorcev, posploševanj e ipd. Načini reševanja nalog je naslov drugega poglavja. Tu spoznamo pr everjene metode za reševanje problemov: uporabo invariant , matematično indukcijo , dokazo- vanje s pr otislovjem , pa tudi kakšen manj znan prijem, kot je npr. metoda neskončnega spust a. Drugi del je nekoliko kraj ši ter poleg t retjega in četrtega poglavja originala vsebuje še vse tri dodatk e. Tretj e poglavj e pr edstavi nekatere znamenite probleme iz zgodovine matematike: trditve o praštevilih in O številu Jr , uporabo kompleksnih šte vil in kvaternionov, odkritje neev - klidskih geometrij in razvoj "umetnost i štetj a" . V zadnjem poglavju so opisani izbrani eleme ntarn i problemi , s katerimi so se ukvarj ali znamenit i matem atiki 20. stolet ja . Med njimi je t udi slavni zadnji Fermatov izrek. Prvi dodatek služi predvsem kot slovar, saj vsebuje definicije in poja- snila matematičnih pojmov, ki jih srečamo v besedilu. V drugem dodatku so kratki biografski podatki o matem atikih, omenjenih v besedilu, tretji dodatek pa je obširen seznam knjig, priporočenih za nad aljnje branje. Knjigi nista tež ko branj e, moč pa ju je pr ebirati tudi po delih . Dejstva iz zgodovine matem atike, ki so vpletena v besedilo, le-to lepo poživijo in nar edij o zanimivo t udi samo za list anj e. Med nalogami je kar nekaj t akih , ki jih še nisem srečal. Tudi rešitve so večkrat napisane bolj "na dolgo" , ne t ako izpilj eno, kot jih običajno srečamo v zbirkah tekmovalnih nalog. Tak način podajanja bo verjetno bližji matematično manj izkušenim bralcem, saj je iz njega običajno lažje ra zbrati , kako je nastala ideja za rešitev naloge. Seveda pa so pr edstavljene rešitve še vedno povsem pr avilne in matematično korektne. Če vas torej zanimajo matematične nalog e, popestrene s ščepcem zgodovine , vas vabim, da knji žici vzamete v roke in ju prelistate. Knjigi lahko kupite pri DMFA - založništvo, Jadranska 19, Ljubljana, ali ju naročite po telefonu (01) 4766-553. Martin Juvan Astronomija I ZAKRITJE Zakritj e ali ok ultacija (occ ult atio, lat. skrivanje, t aj enj e) v astronomij i na splošno pomeni poj av , da prvo vesoljsko te lo zakrije ali okultira drugo. V te m primeru leži drugo, to je zakr ito telo , bolj daleč kot prvo telo . Zakritje večkrat uporabljamo kot pomoč pri ugotavlj anju, katero od dveh vesoljskih te les, ki sta ud eleženi pri zakritju, je od nas bolj oddaljeno. Z roko zakr ijmo (zas trimo) luč na st en i. Kaj je od nas bolj oddaljeno, roka ali luč? Tako lahko Luna pri svojem navideznem mesečnem gibanju na nebu zakrije zvezde, pl anete , glave komet ov, radij ske vir e, kar vse pomeni, da so zvezde, planeti, kometi , radijski viri od nas bolj oddalj eni , kot je oddalj en a Luna . Planet lahko zakrij e zvezdo (let a 1679 je Saturn zakril zvezdo Omi- kron Bika, 1976 je Mars zakr il zvezdo Epsilon Dvojčka, 1981 pa Vener a zvezdo Sigma Strelca). Znani so primeri , da pl anet zakrije planet (leta 1590 je Venera zakr ila Mars) ali da planet zakrije satelit, ki kro ži okrog njega (npr. da Jupit er zakrije kako svojo luno; o tem najdet e podatke v as t ronoms kih efeme ridah Naše nebo). Najbolj znana, številna, raziskana in tudi pomembna so Lunina zakri- tj a zvezd . Zato tu predstavimo predvsem t a poj av (slika 1) . Pri Luninem zakrit ju zvezda v hipu zaide za Luno, včasih pa prav tako tudi vzide izza nje. Ker se Luna premika glede na zvezde od zahoda proti vzhodu, zvezd a (planet ali kako drugo vesolj sko telo) izgine za Luninim vzhodnim robom (poj av imenujem o tudi imersij a), pojavi pa se izza nj enega zahodnega robu (em ersija). Od mlaj a mimo prvega krajca do polne lune se izginotj e zvezde torej dogaja na temnem vzhodnem robu Lune, od ščipa mimo zadnjega krajca do ml aj a pa se ponovni pojav zvezde kaže na temnem zahodnem robu. Lunina zakrit ja zvezd uporablj ajo za določitev natančne lege Lune, za katero vem o (glej Presek 28, 2000-2001 , 206), da im a zelo zamotano gibanje, njeno natančno lego pa pogosto potrebujemo v raznih izračunih. Lege zvezd na nebu so določene zelo natančno , ker gre za točkasta t elesa z gib anji , katerih lastnosti dobro poznamo. Luna pa ni točkasta, pr avzaprav je navidezno zelo razsežno telo , pa še nj eno gibanje je zelo t ežko natančno pr edvideti. Lege Lune torej ni možno napoved ati z enako natančnostjo kot lege zvezd. Če pa na primer izmerimo čas (trenutek) , ko Luna zakrije zvezdo, je lega točke na Luninem robu (to je zvezde, ki se ravno dotika Luninega diska , kjer se odigra poj av ) v t em času tudi znana. IAstronomija Slika 1. Ko Lu na prečka nebo , občasno prid e pred kakšno zvezdo v ozadju t ako, da jo začasno zas t re in prepreči , da bi jo opazovali - rečemo , da Lu na za krije zvezd o. Raz- meroma pogosto za krije dovolj sve t lo zvezd o, ki jo lahko opazuje mo že z daljnogledam manjše povečave. Slika prikazuj e , da bo Luna km alu za krila zvezdo - zgo d ilo se bo Lunino zakritje zvez de . Poj av se od igra v nekaj stot in kah sekunde . Zak ritje j e mogoče posn eti na filmsk i trak, s TV kamero , fot oce lico, fotomet rom, videom. Kot za nim ivos t na j povem o, da natančni pr egledi posn etkov kažejo , da Luno obkroža skrajno redka a t mosfera (t ako redka, da bi lahko rek li, d a je nima) . Pri izredno natančnem op azovanju sij zvez de nekak o dv e do tri sekunde preden zvez da izgine za Lu ni n rob zelo rahlo pade, svet loba zvezd e nekako šibko "za m iga t a" oziro ma zvezd a "obled i". Na zgorn j i s liki je zvez da še nekoliko navidezno oddaljen a od Luninega ro b u; Luna se j i nav idezn o približuj e od zahoda proti vz ho d u (gib lje se v levo) . Spo daj je zvez da tik pred za kritjem. Astronomija I Iz te h podatkov lahko nato določimo natančno lego Lu ne, pravzaprav središča nje nega diska ob zakrit ju (slika 2) . Zato Lunina zakritja zvezd pazlj ivo opazujejo . V pre te klosti so opazovanja te h zakr it ij pomagala tudi pri od kr ivanju sp rememb v vrtenju Zem lje . Slika 2. K določitvi natančne lege Lune s pomočjo Luninega zakrit ja zvezde. Zaradi Luninega gibanja glede na zvezde proti vz hodu zvezda Zl izgine (zaide) za Luno - zakritje (imersija), zvezda Z2 pa se po javi (vzide) - odkrit je (emersija) . Zvezde imajo kot točkasta telesa natančno določeni nebesn i koordinati (rektascenzijo o in deklinacijo 8) , Luna kot razsežno in zelo "muhast o" telo pa ne. Natančnejši koordinati Lune (pravzaprav središča Luninega diska) ob zakritju dobimo , da upoštevamo smer Luninega gibanja na nebu, podanega npr. s kotom e, in znanim navideznim polmerom p Lune. Naj ima zvezda Zl znani koord inati a l in 81 . Tedaj sta koordinati središča To (aa, 80 ) Luninega d iska enaki: aa = al - Pcos e in 80 = 81 - p sin c (a se veča v levo, 8 pa navzgor) . Pa še vedno je tako določena lega središča Luninega diska približna, ka jti Luna se gib lje zelo nepravilno . To povemo zato, da začutite vso zamotanost Lu ni nega gibanja. Nastop pojava in okoliščine Luninega zakrit ja zvezde, kar nekako spominja na mrk zvezde, lahko predvi dimo (izračunamo) po posebno zapletenih formulah (za radi prezahtevnosti j ih seveda ne navajamo). Trenutke zakritja svetlih zvezd, vidnih z lovskim daljnogledom, pri- našajo številne astronomske efemeride. Opazovanj e teh pojavov, ki jih spremljajo na številnih observatorij ih, in nj ihova teoretična analiza se uporablja za natančno določitev osnovnih elementov t ira Luninega gibanja okrog Zem lje . I Astronomija Slika 3. Če zvezda za ide (vz ide) skora j v hipu, pa plan et , ki je z daljn ogledom vide n kot majčken disk-plošček , kar nekaj časa za - haj a (leze ) za Lu nin rob (vzha ja izza ro bu) . Iz časa zaha janja vesoljskega te lesa za Lunin rob je mogoče izm eri ti zorn i kot vesoljs kega telesa in pri zn ani oddaljenosti še njegovo velikost - premer . Slika prikazuje vzhajanje Saturna izza Luni- nega ro bu. Mimogrede , leta 1983 smo lahko opazova li, kako je Luna zakri la planet Jupi- te r . Prav pred kratkim je Lun a tud i za kr ila neki svet el p lanet . Poskusit e ugotovi ti , kateri. - Tudi zemlje pisno dolžino je zelo prikladno določit i po trenutku, ko Lu- na zakrije zvezdo, saj so v nekate- rih efemeridah navedeni potrebni po- datki za skoraj vse svet lejše zvezde in sicer točni čas zakritja kot t udi mesta vstopa in izstopa zvezde za poljuben kraj na Zem lji , kjer lahko pojav (za- kritj e ali odkritje) opaz ujemo . V sredini pret eklega stolet ja so Lunina zakrit ja zvezd začeli upora- bljati tudi za določevanje polmerov (velikosti) zvezd . Metoda se je izka- zala za usp ešno in jo uporabljajo še dan es. Govorit i oziroma pisat i o vsem tem pa so že druge, kar zahtevne zgod- be. Morda o njih kdaj drugič. lvIarijan Prosen ... .. Računalništvo I REŠITEV POZABLJENE NALOGE - s str. 290 Kolega Martin ima odlično ur ejen arhiv . Sam sem medt em na "pozablje no nalogo" zares že čisto pozab il. Najprej je vpraševala po pr aštevilu z najdaljšim deset iškim zapiso m, ki ob črtanju števk z desne ves čas ostaja pr aštevilo. Izkaže se, da imajo takšna praštevila osem števk in da jih je pet , namreč 23399339, 29399999 , 37337999, 59393339 in 73939133. Vsa števila v zaporedju 23399339, 2339933, 233993, 23399, 2339, 233, 23, 2 so pr ašt evila , podobn o velja za ost ala št iri šte vila . Če nam esto na desni črtamo števke na levi, pri demo do dolžine 24 (ne 23, kot sem let a 1995 napačno napi sal v pismu Martinu!) in do enega sa- mega pr aštevila , namreč 357686312646216567629137. Vsi členi zaporedja 357686312646216567629137,576863 12646216567629137, . . . , 137, 37, 7 so pr aš tevila . Če lah ko črtamo št evke na levi in desni, dobimo tri "najdaljša" praštevila (dolžine 31), in sicer 6279821572756282163864793777199 , 8833367216294578819534799139337 , 8939662423123592347173339993799 . Zdaj je treba na vsakem koraku povedati, ali črtamo števko na levi ali na desni . Za srednje od gornjih t reh števil dobimo npr. naslednj e zaporedje praštevil: 8833367216294 5788 19534799139337 833367216294578819534799139337 83336721629457881953479913933 3336721629457881953479913933 336721629457881953479913933 367216294578819534799139 33 6721629457 88195347991 3933 721629457 8819 5347991 3933 216 29457 881953479913933 216 29457 88195347991393 216 29457 8819534799139 16294578819534799139 6294578819534799139 294578819534799139 945788 19534 79 9139 945 7881953 479913 4578819534799 13 57881953479913 788195347991 3 788195347991 88195347991 8195347991 819534 799 1953479 9 953479 9 534799 53479 5347 347 47 7 I Računalništvo Zanimivo: Zaporedj e odločitev , katero števko odvreči (prvo ali zadnjo) , je skoraj eno lično določeno . Edino možno var iacijo gorn jega zaporedja dobimo, če predzadnje število v levem stolpc u (94578819534799139) na- domestimo s števi lom 29457881953479913. Dalj ših praštevil z naštetimi lastnostmi ni. Kako sem vse to ugot ovil? Seveda ne "ročno" , ampak s programom Nlatl1ematica. Števk nisem črtal , temveč dodaj al. Začel sem z enomestnimi praštevili 2, 3, 5, 7, na desni dodaj al št evke 1, 3, 7, 9 (zakaj ne t udi drugih ?), na levi pa vse razen O. Iz mn ožice tako doblj enih števil sem na vsakem kor aku izbral praštevila . Največjo "vmesno množico" prašt evil sem dobil, ko sem dopuščal dod aj anj e na levi in desni , in sicer 15923 praš t evil dolžine 13. Iz vsakega od njih lahko s črtanj em šte vk na levi oz . desni (vendar v pravilnem vr stnem redu) dobimo zaporedj e t rinajst ih prašt evil. Ali je število praš t evilo, sem preverjal s funkcijo PrimeQ + , ki je hitra , a upo- rablj a verjetnostni algoritem. Če reče "ne" , je število gotovo sestavljeno , če pa reče "da", šte vilo ni nujno praš t evilo. Znano je , da pri šte vilih do 1016 program ne napr avi napake, vendar v tem primeru to ne zadošča , saj imamo opravit i z 31-mest nimi pr ašt evili. Matl1ematica pozna t udi funkcijo ProvablePrimeQ+ , ki ne dela napak , je pa precej počasnejša. Zgoraj ome nje na praštevila sem poiskal s fun kcijo P rimeQ + , nato pa jih preveril še s ProvablePrimeQ + , a napake ni bilo. Za preverj anj e 31- mestnega pr aštevila je funkcija P rimeQ+ po treb ovala med O.Ols in 0.02s, funkcija ProvablePrimeQ+ pa med 6s in 7s. Kolega Ma rtin me je opozor il tudi na internetno stran z naslovom mathworld.wolfram.com/Truncat ablePrime.html+ , kjer dobimo še več po- datkov o teh prašt evilih. Tako se npr. praštevil a, ki pri črtanju števk z leve ves čas ostajajo pr ašt evila, ne morem o pa jih na levi z od nič različno števko podaljšat i v prašt evilo , imenuj ejo praš tevila Henrika V III. Vprašanja: 1. Kako dolga pr aštevila z zgoraj opisanimi las tnostmi dobimo v drugih številskih sestavih (npr. t ro j iškem, štiriškem , . . . , šestnajstiškem)? 2. Kako dolga prašt evila dobimo, če dovolimo črtanje katerekoli št evke, ne nujno prve ali zadnje? 3. Kako dolga praštevila lahko dobimo, če dopuščamo t udi za pise, ki imajo na začetku eno ali več ničel? Primer: Št evilo 102607 + 3 je prašt evilo, št evilo 3 pa t udi, t orej je (če črtamo št evke z leve) odgovor vsaj 2608. Marko Petkovšek Fizika I AT OMI SO SESTAVLJENI Ne bi bilo prav, če v vrsti prisp evkov o atomih ne bi nazadnje omenili, da so atomi sestavljeni. Atomi so veljali za nede lj ive in nesestavljene pred po lt retjim tisočletjem, ko so le razmi šljali o deljivosti snovi, in v 19. stoletju, ko so z nj imi poj asnili osnovne kemijske zakone. P o tej last nosti so dobili ime. Danes bi rekli , da so atome imeli za osnovne delce. Vend ar so se razmero ma zgodaj po javila osamlj ena nasprotna mne- nj a . An dre Marie Ampere je že let a 1814 mislil , da atome sestavlja jo manjši delci. Sledili so mu nekateri drugi fra ncosk i fiziki, ki so menili , da ato ma osrednji del z maso obdajajo št evilni "et rski delci" brez mase. Po let u 1826 je nemš ki fizik in psiholog Gu st av Theodor Fechner atome primerj al z vesoljskimi t elesi in trdil, da oboje povezuj ejo enake sile. W ilhe lm Edua rd Webe r! je leta 1871 opozoril na to , da med telesi v vesolju deluje gravitacija, med deli a tomov pa električna sila. Taka in podobna razmi šlj anj a sprva niso imela op ore v opazovanj ih in so jih nekateri fiziki kot izmi šljotine s poudarkom odk lonili. Zaradi nji h je Ernst Mach nasprotova l atomom in je prišlo do spora, ki smo ga omenili v članku Atomi in P errinova merj enj a v pr ejšnji številki Preseka . P ozneje pa so izidi poskusov omenj ene zamisli postop no po dprli. Od let a 1858 so J ulius Pliicker in drugi fiziki raziskovali električni to k v razredčenih plinih . Opazovali so katodn e žarke, svete l pr amen , ki je izh ajal iz katode, t o je negat ivne elekt ro de v stekleni cev i z razredčenim plinom . Nanj je bilo mogoče vp livati z magnetom. Večina nemških fizikov je mislila , da gre za nekakšno valovanje, večina angleških pa st avila na naelektrene delce. Let a 1897 se je Joseph John T homso n z odklanjanje rn v električnem in magnetnem polju prepričal , da so katod ni žarki negati vn o naelektreni delci s skoraj dvatisočkrat manjšo maso od vodikovega atoma. Pozneje so jih imenovali elek troni. K temu spoznanju , ki se je le počasi uveljavilo, je prispevalo veliko fizikov .2 Iz let a 1897 izvir aj o t ud i poskusi , ki so nakazali , da so elekt roni ses t avni del a tomov, Pi eter Zeem an je ra ziskoval sevanje natrijeve par e v magnetnem polju. Z močnim magnet om in odbojno ukl onsko mrežico je ugotovil, da se rumen a na t rij eva spekt ralna črta v magnetnem polju 1 P o nj em im a ime enot a za m a gn et ni pretok. Bi l je st a rejš i bra t fiziolog a E rn sta Heinri cha Webr a , ki si je za m islil Web er- Fechnerj ev zakon , d a je od ziv , npr . v očesn a li ušesu , sorazmere n z loga ritm om dra žljaj a . 2 C urek elektronov , ki ga po sp eši napetost 10 tisoč voltov in več, ust vari s liko na zaslonu t elevizij skega spreje m nika a li računalnika . IFizika razširi. Kadmijeva spektralna črta pa se je v močnem magnetnem polju razcepil a na dve bližnji črt i, če je opazoval svetlo bo v smeri magnetnega polja , in na tri, če je opazoval svetlobo pr avokotno na to sme r. Antoon Hendrik Lorentz, kateremu je poročal o svojih opazovanjih , je pojav teo- retično pojasnil. Lorent zov račun. Elektron z negat ivnim osnovn im nabojem - eo, ki so ga poznali od merjenj pri elekt rolizi, in maso m naj v določeni smeri nih a s frekvenco v in s to frekvenco kro ži po krogu s polm erorn r v ravnini , pr avokotni na to smer. Elektron veže na atom centripe taIna električna sila Z e5/471"cor2 = m(271"v )21'. Pri tem je Z število pozitivnih osnovih nabojev v atomu in co influenčna konstanta. Magnetno polje z gostoto B ne vpli va na elektron , ki niha v smeri polj a . Z majhno dod atno silo eovB pa deluje na elekt ron, ki kroži v pr avokotni ravnini s hitrostjo v = 271" v1'. Smer sile je od visna od smisla kroženj a . Magnetna sila malo poveča cent ripe t aIno silo ali jo malo zmanjša in zaradi t ega kroži elektron malo hitreje ali malo počasnej e. Frekvenca nihajočega elekt rona se v magnetnem polju ne spremeni, frekvenca krožečega elek- trona pa se spremeni za ±6v: m B eo 6v = - . - . 471" m Člen s (6v )2 sm o zan emarili. Izid računa je dobro opis al izide pri merj enju in specifični naboj eol m pri t em Zeemanovem pojavu se je v okviru natančnosti pri merjenju ujemal s specifičnim nabojem katodnih žarkov. V ti st em času so uspela še druga odkrit ja. Let a 1895 je Conr ad Wilhelm Rentgen odkril rentgensko svetl obo in leto zatem Henri Becqu erel radioaktivnost. P rva leta naslednjega stoletj a so dala spoznanj e, da so delci {3, ki jih oddaj aj o radi oak tivn e snovi , elektroni in de lci cl: helijevi ion i. Začela se je uvelj avljati misel, da so atomi sest avlj eni in da jih sestavljajo elektroni . Atomi so navzven električno nevtralni , zato jih poleg negati vnih elektronov sestavlj a tudi pozitivni električni naboj. Ker imajo elektroni zelo majhno maso, odpade domala vsa masa atoma na poziti vni naboj . O te m tedaj ni bilo eksperime ntalnih podatkov, zato so si zamislili veliko različnih atomskih modelov. 342 Fizika I Slika l. Model a t om a , ki ga je v let ih 190 3 in 1904 opisa l Hant a ro Naga- oka . Izh aj a l je iz ml adostne razprave James C lerka Maxwella o Saturn ov ih obročih , zato so ga im enovali sat ur - novski model. V leti h 1903 in 1904 SI Je J. J. T homson pr eds tavljal , da je poz itivni naboj enakomern o porazdeljen po vsem atomu in elektroni v njem mirujejo "kot češplje v pudi ngu" . V tem času je ja- ponski fizik Hantaro Nagaoka pr edlagal drugačen mod el (slika 1). V njem se okoli majhnega osrednjega poz itivnega naboja giblje več skup in elekt ronov. Sevanje atomov je po jasnil 7. dod atnim nihanjem te h skupin s frekvenco izse- vane svetlo be. Nekateri drugi fiziki so vztrajali pr i poziti vnem naboju, poraz- deljenem po vsem atomu, in so poskusili poj asn iti sevanje ato mov z motnjami v gibanju elekt ronov. Na inšti tutu Ernesta Rutherforda v Man chest ru st a Hans Geiger in Ernest Ma rsden v leti h 1908 in 1909 opazovala prehod delcev o: skozi zelo tanke kovin ske l ist iče . Ma loštevilni delci o: so se na lističih odk lonili za velik kot (slika 2) . Nekateri so se celo odbili . Iz tega je izhaj alo, da pozit ivni naboj atoma deluje na delec o: z veliko silo. Zato mora biti pozitivni nab oj v atomu zbran v zelo majhnem prostoru (slika 3) . Sl ika 2. Prispodoba za gibanje delc a a vatom u , v ka t erem bi p ozitivni naboj izpoln il ves a t om (levo), in v a tomu z jed ro m (desno ). Električn i poten cia lni ene rgij i delca a priredimo težno poten cial no ene rgijo in si m islimo, d a zakotal imo krogli co proti hribu. (Na desni je hrib tako visok, d a ves ne pr ide n a ri sb o in sm o ga za t o odrezali.) V prvem primeru bi se d elci a le neznatno odklonili o p rvotne smer i, v d rug em pa se nekater i močno od klon ijo. Le z drugim je mogoče opisati op a zova no ved en je delcev o p r i prehod u skoz i tanek kovinski li sti č . Polm era atoma in jedra n ista narisani v pravem ra zmerju. 5 rlR -------- Fizika Wp/WpR I., ul :::i ::jf-.- ------ --- 5 r/ R Slika 3. Električna sila (levo) in po tencia lna ene rg ij a (des no) naelektren ega delc a v enakomern em oblaku pozit ivnega naboj a v odvisn osti od oddaljenos t i od središča. Količini smo izračunali za točkast delec, medt em ko je delec Q je dro he lij a s po lmerom 1,7.10- 15 m . Na navpično os smo nanesli razm erji F I FR in W pIWpR, če sta FR sila in W pR pot en cialna energ ija na robu oblaka pri r = R, na vodoravno os pa rl R . Rutherford je leta 1911 zapisa l: "Da bi poj asn ili te in druge izide, moramo privzeti , da gre naelektreni delec v atomu skozi močno električno polje. Gibanje tega delca obravnavamo za vrsto atoma, ki ga sestavlja osrednji električni nab oj , zbra n v točki in ki ga obdaja enakomeren krogeIni naboj dru gega znaka enake velikost i." Tako je v fiziko stopilo at om sko jedro . Sila med naelektrenima de1cema in potencialna energija. Na točkast delec z nabojem Z Ieo deluj e delec z nab ojem Z2eO in polmerom R z odbojno silo r F = -FRR pri O R. FR = ZIZ2e6 /4 7rcoR2 je sila na robu naboja pri r = R. Električna potencialna energija je pr i O< r < R in Rw, = -WpR r pri r > R. W pR = Z IZ2e6/ 47rco R je potenci alna energija na robu nab oj a pri r = = R. Za delec et je Z I = 2 in za atom zlata Z2 = 79. Atom zlata ima polmer 1,44 .10- 10 m, jedro zlata z relativno atomsko maso 197 pa 6,40 .10 - 15 m. Poenostavljeno srno vzeli , da je delec et točkast , medtem ko ima jedro helija polmer 1,7 .10- 15 m. Pizika I Odbojna električna sila na robu jedraje (1, 44. 10- 10/6,4.10- 15 ) 2 = = 5 · 108-krat večja od sile na robu atoma, ki bi ga enakomerno izpol- njeval enak po zitivni električni naboj . Električna sila na robu ato ma, ki bi enakomerno izpolnjeval po zitivni električni naboj , ne more znat no odkloniti hitrega delca a . Velik odklon de lca pri prehodu skozi kovinski list ič lahko po jasni le velika sila na veliko manjšem jedru . Potencialna ene rgija na robu jedra je 1, 44 . 10- 10 / 6, 4. 10-15 = 2,3 · 104-krat večja od poten cialne energ ije na robu atoma , ki bi ga enakome rno izpolnj eval poziti vni naboj . Negativnih elektronov ni t reba up ošte vati , ker imajo zelo majhno maso in jih delec a z veliko kinetično energijo brez težave odrine iz atoma. P ri te m se samo malo zmanjša njegova kinetična energija. Delec a , za katerega je Rutherford ugo tovil, da se giblj e s hi t rostjo Vo = 2,09.107 mi s in ima maso M = 4 ' 1,6 .10- 27 kg, se od bije od jedra zlat a , ko se mu približa do najmanjše razdalj e središč ro. V tej raz- dalji je potencialna energija enaka kinetični energij i: ZlZ2e6/41rEO ro = = Wk = ~l\!Iv6' Pri tem vzamemo, da ostane jedro pri miru. Dobimo _ Zl Z2e6 _ ? . -15r o - VV - _, 5 10 m . 41rEo k Izid je pokazal, da je jed ro veliko m anjše od atoma. Z današnjim podatkom za jedro zlata bi se delec a zapičil v jedro. Spočetka niso poznali št evila elektronov v atomu in so ga precenjevali. Rutherford je po prehodu delcev a skozi t anek l ist ič zlat a sklepal, da je v ato mu zlata sto (namesto 79) elekt ronov in ima jedro zlata sto (namesto 79) po ziti vnih osnovnih nabojev . Nekateri so t rdili, da je šte vilo elekt ro- nov v atomu enako polovici relativne atomske mase. Pozneje so uvideli , da št evilo elektronov v atomu in število pozitivnih osnovnih nab ojev v jedru določa vrstno ali atom sko število, to je zaporedno številko elementa v p eriodni preglednici. Rutherford je spočetka dopustil možnost , da so elekt roni razporejeni po vsem ato mu in mirujejo. Z Osončjem so atom začeli primerj ati pozneje. Tedaj so se zavedali pomanjklj ivost i mod ela . Elektroni v atomu z jedrom ne morejo mirovati in nj ihovo gibanje je pospešeno, saj je tudi enakome rno kr oženj e posp ešen o gib anje. Pospešeno se gibaj oči naelektreni delec pa seva in s t em izgublja energijo. Zarad i sevanja bi se zmanjševala energija atoma, elekt roni bi se približali jedru in nazadnje padli vanj. I Fizika Na to , da so atomi sestavljeni, bi lahko sklepali že po periodni pr eglednici element ov, ki jo je sestavil Dimitrij 1. Mendelejev let a 1869. Če obstaj a veliko različnih delcev , ki veljajo za osnovne, in jih je mogoče razvrs titi v ur ejeno pr eglednica , t i delci niso osnovn i, ampak sestavljeni. Sp oznanj a ne moremo imeti za zakon narave, a se je doslej obneslo . Uporab ili so ga pri atomskih jedrih, ki j ih sestavljajo protoni in nevtroni, in pri protonih , nevtronih in sorodnih delcih , ki jih sestavlj ajo k varki. Po izkušnj ah z ato mi nas ne pr eseneti , če nekateri fiziki že domnevajo, da so tudi kvarki sestavljeni, čeprav za to nimajo trdne ekspe rimentalne opore. Fi ziki so se znašli v zagati, saj so atomi obstojni . Rešit ev je ponudil nov način razmišljanja. Max P lanck je let a 1900 sevanje črnega telesa , to je te lesa , ki absorbira vse vpadno sevanje in ki od vseh te les pri dan i temperat ur i najmočnej e seva , poj asnil z nenavadno zamislijo. Sevanje izmenjuje energijo s steno telesa le v obrokih , energijskih k vantih , ki so jih pozneje imenovali fotoni. Arthur Erich Ha as z Dunaja let a 1910 in John W illiam Nicholson iz Londona in Oxforda let o zatem sta med prvimi poskusila po novem pojasniti gibanje elektronov v atomu. To je uspelo let a 1913 Nielsu Bohru, ki je bil od vsega začetka prepričan , da gibanja elekt ronov vato mih ne bo mogoče po jasniti po starem , klasično. V klas ični elekt rodinamiki naelektren i delci sevaj o elekt romagnetno va- lovanj e s frekvenco, ki se ujema s frekvenco njihovega kroženja ali ni- hanj a. Bohr se je nasloni l na Pl an ckovo kvantno zamisel in priv zel, da v vodikovem atomu elekt ron lahko kro ži okoli jedra samo po krogih z določenim polmerom, ko ima določeno energijo . Seva le, ko z eneg a od krogov preide na manj ši kr og in pri tem razliko energij pr evzam e foton . S tem je dosegel , da se je frekvenca izsevane svetlobe razlikovala od frekvence kroženj a elekt ronov. Boh rov pod vig bi morda kazalo opisati posebej drugo let o ob devetdeset let nici. Za zdaj se zadovoljimo s spoznanjem , da atome sest avljajo elekt roni, jedra in močno električno po lje med njimi. Okvirni razvoj spoznanj o zgra dbi atomov je op ozor il na to , da se je zamisel o osrednjem delu ato ma poj avila , ko še ni imela ekspe rimentalne opore. V fiziki danes ne zavržemo takih zamisli , kako r je zahteval Mach, zavedamo pa se, da jih merj enja ne podpirajo. Dokončno sprejmemo samo t ist o, kar podpirajo merj enj a. K spoz nanju , da sestavljajo atom e elekt roni in jedra je prispevalo veliko več fizikov, kot smo jih omenili . Njihovi koraki so šli v različne smeri in pogosto se je šele po daljšem času pokazalo, kateri so usp ešni . Jan ez Strnad lVIatematika I EVARISTE GALOIS (1811-1832) Svetli komet na matematičnem nebu 19. stoletja Tragično zgodbo norveškega matem a- t ika Nielsa Henrika Ab ela, opisano v prejšnj i številki Preseka , malodane vsi pisci zgodov ine matematike 19. stoletja primerj aj o s temno usod o drugega mate- matičnega genija t istega časa, Franco za Evarista Galoisa. Njuni kratki življenj i sta se časovno deloma pokrivali, delovala sta v veliki meri na ist ih matemat ičnih področj ih , oba sta umrla zelo mlada . Toda Abela je ubila revščina, Galois paje umrl po neumnem . P adel je v dvob oju, st ar kom aj enaindvajset let in po l. Te dni (31. maj a ) mineva 170 let od njegove smrti. Evariste Galois se je ro dil na obrobju P ariza , v kr aju Bou rg-la-Rein e, kjer je bil nj egov oče Nicolas-Gabriel Galois župan. Evaristova izobražena st ar ša sta bila brez matematičnega t alenta, je pa sin po njij u po dedoval nespravljivo mržnjo do t ir an ije. Kaže, da je imel srečno otroštvo. Dvan aj stlet en se je Galois vpisal na licej Louis-Ie-G rand v Parizu. Dot lej ga je, v nekoliko ekscentričnem filozofskem duhu, poučevala mama Adelaide-Marie Dem an te. Ker se na liceju ni hotel podvreči t rdi d iscip lin i, ki st a jo v času restavracije šolam vsilili oblast in Cerkev , je kljub bistrost i veljal za problematičnega učenca . V šoli se je pravzaprav prvič srečal z matematiko. Toda ni ga zani- mala algebr a , kak ršno so te daj poučevali v šolah , prevzela ga je Legen- drova C eometrie. Petnaj stletnik jo je na dušek preštudiral in nadaljeval z branjem Lagr an gejevih del, s čimer si je prido bil solidne matematične osnove. Ob vzpodbudi odličnega učit elj a matematike Loui s-Paul-Emila Richar da je odk ril svoj matematični t alent. Ko je bi l st ar 17 let , je začel št ud irati najnovejša dela iz teorije enačb , teorij e števil in t eor ije eliptičnih fun kcij . Redno šolsko delo je puščal ob strani . V ta čas sod i tud i njegov prvi objav ljeni članek, v katerem je dopolnil neki Lagrangeov rezu lt at o verižnih ulomkih . Ne da bi poznal Ab elove rezultate, je let a 1828, podobno kot Abel osem let pr ed njim, naj pr ej napak verjel, da je za splošno algebrsko enačbo pet e stopnj e našel rešit ev z radikali. Hitro je uvid el svojo zmoto, nad aljeval s teorijo algebrskih enačb na povsem novih osnovah, do kler ni I Mat ematika uspešno poj asnil splošnega pr oblema z uporab o teorij e gru p. Doblj ene rezultate je maj a 1829 predložil fran coski akad emiji znanosti. Ocenil naj bi jih zanje najprimernejši razsodnik, Au gustin Cauchy. Sledili so dogodki , ki so i zničili blesteči začetek in pustili globoke sledi v osebnosti mlad ega matem atika. Najprej je njegov oče, pr eganj an in zintrigiran zara di svojega liberalnega delovanj a , v začetku julija 1829 napravil sa momo r. Mesec kasneje je Galois padel na sprejemnem izpi tu za Ecole polyteclmique, ker je pri matematičnem delu izpita odklonil , da bi odgovarjal na način , ki so ga zahtevali izpraševalci . Ko je tako izgubil upanje, da bi nadaljeval šolanje na šoli z visokim znanstvenim ugledom in liberaln o tradicijo , materi velikih francoskih matem atikov, se je pri javil na Eco le pr eparatoires, današnj o Eco le norm ale superiere, ki je vzga jala bodoče srednješo lske učitelj e. Novembra 1829 je bil na šolo sprejet pr edvsem zara di odlične ocene iz matem atike pri sp reje mnem izpi tu. Približno tedaj je Galois iz Bulletin des sciences mathem atiques iz- vede l za nedavno Ab elovo smrt in , kar je pomenilo nov ud arec, da Abe lov zadnj i objavljeni članek vsebuje pr ecej rezul tatov, ki jih je on sa m, kot originaln e, pr edložil akademiji v oceno . Cauchy je Galoisu svetoval, naj svoje delo popravi, tako da bo up ošteval Ab elove raziskave nasploh in t udi njegove najnovejše rezultate. Tako je nastal nov te kst , ki ga je Galois pr edložil akademiji februarj a 1930, upajoč , da bo zanj pr ejel veliko nagrad o akademije za t isto leto. Toda delo se je nesrečno izgubilo, ko je njegov ocenjevalec, to pot Joseph Fourier , nenad om a um rl. Nepričakovano odstranjen iz natečaj a za nagrad o je bil Galois prepričan , da gre za načrtno preganjanje, tako s strani ur adne znanost i kot družb e nasploh. Nekaj rezul t atov iz izgubljenega dela , ki so se mu ohra nili v zapiskih, je aprila 1830 objavil v Bulletin des sciences mathematiques in nato do junija še dva članka. To dokazuje , da je kljub smoli , ki ga je spremlj ala, kot matem atik že sto pal iz anonimnosti. Buržoazna revolucija julija 1830, ki je pometla z Bour bo ni in ustoličila Louis a Philippa, je ostro vplivala t udi na Galoisovo življensko pot . Eva- rist e se je strastno zagrizel v politi ko, seveda na strani repub likancev. Čedalje teže je pr enašal st rogo disciplino na Ecole pr eparatoires, ki je di- jakom pr epovedovala ud eležbo na demonstracijah , objavil v op ozicijskem časopisu divji članek proti dir ektorju šole - in bil dece mbra 1830 iz šole izključen. Prepuščen sa m sebi je Galois večino svoj ega časa posvet il politični propagandi te r sodeloval v demonstracijah in neredih, ki so ted aj pr etresali Pari z. Do neke mere je nad alj eval tudi matematično delo. Objavil je Mat ematika I kr aj ši članek iz analize in daljši članek o pouku nar avoslovja. Na Poisso- novo pob udo je v naglici napisal novo verzijo svoje razprave o reš evanju algebrskih enačb in jo januarja 1831 predložil akademij i. P oisson je o tem najpom embnejšem Galoisovem delu poročal v začetku ju lija . Menil je, da del prikazanih rezul t atov lahko najdem o v nedavno posmrtno objavljenih Ab elovih člankih , ostanek pa je nerazumljiv . Globoko nepravična ocena, kot se je izkazalo kasneje, je lahko samo še zakr knila mladega Galoisa v njegovi up ornosti . 9. maj 1831 je pomenil začetek konca. Galoisa so aret irali, ker je v zdravici na banketu republikancev zaželel smrt kr alju , a ga je dober odvetnik izvlekel iz zapo ra. Med rep ublikanskimi demonstracijami ob ob let nici francoske revolu cije 14. julija ist ega let a je bil Galois ponovn o ar et iran in pr idržan v zapo ru Sainte-P elagie, kjer je v neprimernih razme- rah nad alj eval z matematičnimi raziskavami. Popravil je svojo razpravo o reševanju algeb rskih enačb in se ukvarj al z up orabo svoje teorije t er z eliptičnimi funkcijami. Marca 1832 so ga zaradi grozeče nevarnosti epidemije kolere pr eselili v bolni šn ico. Tam je v svobodnejšem ozračju , t udi z možnostjo izhoda, ur ejeval svoja matematična dogn anja , napisal nekaj esejev o filozofiji znanosti in se zaplete l v ljubezensko afero, katere nesrečni razpl et je njega in njegov ponos hudo prizadel. V nerazjasnj enih okolišč inah , ki so sled ile tej zgodbi, je bil izzvan na dvoboj . V slutnj i bližnj e smrti je Galois 29. maj a , na predvečer dvoboja, nap isal nekaj ob upanih pisem svojim republikanskim prija teljem , hlastno ur edi l svoje matematične zapiske, namenjene akademi ji , in prij atelju Au- gust u Chevalierju napisal oporočno pismo, tragični do kument , v katerem je poskušal skicirati glavne rezultate svoj ih naj novejših matematičnih dognanj . Zavedajoč se pomemb nos t i svoj ih zadnj ih odkri tij , je prosil Chevalierj a, naj pismo izroči ali Gauss u ali J acobiju. Ne v potrditev pravilnosti rezultatov , ampak v oceno njihove vr ednosti za razvoj mate- mat ike. Ob zori, 30. maja, je bil v dvo boju smrt no ranj en . Prepeljali so ga v bolnišni co, kjer je naslednjega dne umrl. Njegov pogreb 2. junija je bil pr iložnost za republikan ske dem onst racije , predhodnico krvavih nemirov nas led nje dni v Parizu. Kaže, da se noben od Galoisovih sodobnikov ni zares zavedal vre- dnosti dela mladega matem at ika . Cauchy, ki je bi l sposobe n do je t i nje- gov po men, je videl le pr ve orise, saj je kot vn et pristaš Bourbonov že septembra 1830 zapust il Francijo . Nekaj člankov, ki j ih je Galois še za življenja ob javil, ni nudilo dovolj vpogleda v njegovo delo, še po sebej ne v teorijo algebrsk ih enačb , ki jo je zavrge l Poisson . Tudi objava slovitega oporočnega pisma septembra 1832 ni pri tegni la zasluže ne pozornost i. Ko- likor je znano, pismo nikoli ni prišlo niti do Gaussa ni ti do J acobij a . Matematika - Na loge Šele septembra 1843 je Jo seph Liouville, ki je pripravljal Galoisove rokopise za objavo, ur ad no obvestil fran cosko akademijo, da je Galois v oporočnem pismu dejansko rešil problem o določitvi vseh enačb, ki jih lah ko rešimo z rad ikali.' Kljub temu st a delo, ki je bilo 1931. let a predloženo Poi ssonu, in članek o rešljivosti pr imi t ivnih enačb z radikali izšla šele jeseni let a 1846 v J ournal mathemati ques pures et appliquees , Tako je šele št irina js t let po Galoisovi smrt i matematični svet izvedel za najpomembnejša odkritj a mlad ega ma tematika, ki so nato bist veno vplivala na razvoj moderne matematike. Teorij a gru p , ki jo je Galois razvil za reševanje prob lem a algebrskih enačb , je bila ključ do moderne algebre in moderne geometrije. Danes velja Galoisova teorija in njen povezujo či pr incip za enega naj vidnejših dosežkov v matemat iki 19. stoletja. Seveda se njene ra zlage v Preseku še zdaleč ne moremo dotak niti . Marija Vencelj POVEZANA KRIP TARITMA Rešite kr iptaritma G A U S S E U L E R + E U L E R + H E R O N 6 8 O O 3 7 1 6 7 7 tako, da v obeh nadomest ite enake črke z enakimi deset iškimi števkami, različne z različnimi. (Odgovor je na str. 364) Marija Vencelj ROJSTNE LETNICE PETIH MATEMATIKOV Pred 180 let i so hkrati živeli: norveški matematik Ab el, nem ška matema- t ika Gauss in J acobi te r francoska matemat ika Cauchy in Galois . T istega leta so bili vsi skupaj stari 127 let . Skupna staros t prv ih t reh je bila te daj 83 let , zadnji trije so bili skupaj stari 62 let . Poiščite njihove roj stne let nice. (Odgovor je na str. 364) Ma rija Vencelj 1 V zapisu o Abelu v prejšnji šte v ilki P reseka smo izvedeli, da se je s tem pro blemom uk va rjal že Ab el, a je delo na njem prek in il za rad i slovitega matematičnega dvoboja z Jacobij em. Astronomija I ZVEZDE, KI SE DOTAKNEJO OBZORJA Med nadob zornicami , t o je zvezdami, ki so stalno nad ob zorj em , so po- sebno zanimive ti ste, ki se pri svojem navidezne m dnevnem kro ženj u v kakšnem kr aju dotaknejo obzo rja (horizon ta). Oglejmo si idealno situacijo . Recimo , da v določenem kr aju na seve rn i zem eljski po lut i opazujemo takšno zvezdo. Ko prid e v spodnjo ku lminacijo (prehod čez kr ajevni meridian), se dotakne idealnega obzorja natanko na severu (slika 1) . Njen višinski kot je tedaj nič. z sp. kulmina cija \oo:;..._~ N Q' z· Q .-:.'------t S meridian Slika 1. Navidezna dnevna pot nadobzornic ~1 , ~2 , ~3 , . .. , ki se v d anem kr aj u na severni zemeljski polut i dot aknejo obzorja. P a izpeljimo pogoj , ki velj a za t e zvezde . Ker je višinski kot t akš ne zvezde v spodnji kulminaciji enak nič , hit ro razberemo (slika 2) , da je lj - (900 - 'P) = O, od koder sledi lj + 'P = 900 . Velja torej , da sta dekli- nacija lj (Ij > O) zvezde in zemljepisna širina kraja 'P ('P > O) na severni zem eljski po luti komplem entarni. Poglejmo razm ere pri nas, kje r za vso Slovenijo lahko vzamemo kar 'P = 46 0 . Sled i, da je lj = 44 0 . Tako imaj o torej vse zvezde, ki ležijo na nebesnem vzporedniku z deklinacijo 440 , v naših kraj ih lastnost , ki je zapisana v naslovu - dotaknejo se idealnega obzorj a . IAstronomija z sp. kulminacija "'t""'T-~:-------I..---c:::~"-------:-=-L---+SN Slika 2. K izpeljavi enačbe (pogoja) za nad ob zornice , ki se v dane m kraju (cp > O) dot aknejo ob zorj a . Zelo zanimiv primer nastopi, ko je <5 =

-i, spodnja pa pr i j ::; - i ), nato pa upoštevamo še odmik po lja od začetka oz. konca st ranice. Tako pridemo do naslednjih formul za število, ki je v Ulamovi spirali zap isano na po lju (i , j ): pogoj k pravilo stranica - i < j ::; i (2k - 1)2 + k + j desna j ~ li l j (2k-1 )2+3k -i zgornja i ::; j ::; - i - i (2k - 1)2 + 5k - j leva j ::; - li l -j (2k - 1)2 + 7k + i spodnja Za polj e (2002,2002) lah ko uporabimo prvi ali drugi pr edpis (po lje leži na stiku desne in zgornje st ranice) . Z obema pr edpisoma seveda dobimo enako vrednost , in sicer (2 · 2002 - 1)2 + 2 ·2002 = 16028013 . Podobno poteka t ud i določanje po lja , na katerem je napisano dano število n . Najprej določimo t ako število k, da velja (2k - 1)2 < < n ::; (2k + 1)2. Torej k = f()n - 1)/ 21- Nato pogledamo razliko r := (2k + 1)2 - n in glede na količnik med r in 2k določimo st ranico, nato pa še lego šte vila na tej st ranici. Tako dobimo naslednja pr avila: pogo j po lje stranica O::; r ::; 2k (k -r,-k) spodnja 2k ::; r ::; 4k (-k , - 3k + r) leva 4k ::; r ::; 6k (- 5k + r , k ) zgornja 6k ::; r < 8k (k ,7k -r) desna Pog lejmo, kaj dobimo pri n = 2002. Ker je 432 = 1849 < 2002 < 2025 = = 452 , imamo k = 22. Razlika r je enaka 2025 - 2002 = 23. Iz prveg a pravila tako razberemo, da je število 2002 zap isa no na po lju (-1 , - 22). Mart in Juvan Slika 1. Oc enjevanje kotov z iztegnj eno in razp rto ro ko. Glej še Presek 26 (1998-99) , st r. 163. Astronomija I ODPRTINA To, da naša roka lahko služi kot dobra naprava za ocenjevanj e kotov (nav ideznih razdalj) med predmeti na zemlj išču ali pa med vesoljskimi telesi na nebu, je dobro zna no (sli- ka 1). Roko (desno ali levo) pa lahko up orabimo še drugače . S pakem in kazalcern naredimo (približno) krož- no odprtino, pod lah tnico postavimo pr avokotno na nadl ahtnico in v pr a- vokot ni smeri pogledam o skozi od- prtino (slika 2) . Skozi njo vidimo določen kos pokrajine ali pa neba. Recimo, da nas zanima, kolikšen kos neba (nebesne polkrogle nad nami) zajamemo s to odprtino. Izmerim o raz daljo r od očesa do odprt ine (kar je približno enako dolžini nad lahtnice) in polmer R odprtine. Kvoci- ent 27f R~ = ~ pove, kolikšen del polkrogle s polmerom r na njej zajame 'TrT ...r krožna ploskvica s polmerorn R oz. kolikšen del neba zajame omenjena odpr tina . P ri sebi sem izmeril r = 30 cm in R = 1,5 cm. Tako je številčna vrednost kvocienta 21;;2= 8~O (za drugo osebo velja drugačen kvocient ). Slika 2. Pogled skoz i odprt ino, s katero lahko oce nimo število zvezd na nebu. A stronomija Sedaj pa vzemimo, da želimo oceniti št evilo zvezd , ki jih v času našega opazovanja ponoči vidimo na nebu . Skozi odprt ino pogle- damo na nekaj mestih (na naj- manj deset ih od obzorja do nad- glavišča) jasno zvezdno nebo in vsakič pr eštejemo število zvezd , ki jih vidimo skozi odprt ino . Nato izračunamo povprečno šte vilo zvezd" ki jih vidimo skozi od- pr tino. Končno to število po- mn ožimo z recipročno vrednostj o kvocienta . Seveda sem sam nar edil to oceno . (No, v bistvu je šlo bolj za igro, ali je to mogoče nar ed it i ali ne.) Skozi odprtino sem pogle- Slika 3 . K i zračunu kvocienta ~ . dal na deset ih delih neba. Skozi njo sem videl povrečno k zvezd (k je bilo na dve decim aini mesti izraču­ nan o decim aino število). Ocenjeno število zvezd na nebu v času mojega opazovanja je torej bilo k . 800. Po moj ih ocenah je dan es s pr ostim očesom možno videti na jasnem nočen nebu le okoli 2000 in ne 3000 zvezd , kot pripovedujejo učbeniki (ra- zlogi: nižinski smog, svetlobna onesnaženost , kerozinska onesnaženost za- rad i pr eletavanj a velikega števila let al). Ob obzorju sem naštel zares malo zvezd , raj e ne izdam številke. Zgrožen sem, kaj je človek v ra zmeroma kr atkem času (50 let ) nar ed il z ozračj em . Vendar pa se onesnaževanje nadaljuje. Opazovalna n aloga za čas le tnih počitnic Poskusite t udi vi po gornjem načinu (a li pa si izm islit e drugačnega) ocenit i š t ev ilo zvezd n a n ebu. Nalogo vzem ite b olj za sp rostitev v n arav i ko t resno meritev. Inšt rument (roko in oko) imate namreč stalno pri sebi, ustrezni kvocient izračunate dom a , za opazovanje pa izberi t e krist alno jasno noč (če jo najdet e) brez mesečine , najbolje nekje v gorah ali pr i morju . Pa ne naprezaj t e se preveč, čeprav bost e najbrž km alu opaz ili, da celo tako preprosto opazovanje zahteva celega človeka, oz. vzame kar precej časa . Marijan Prosen Tekmovanja I 23. MEDNARODNO MATEMATIČNO TEKMOVANJE MEST - Naloge jesenskega kroga Prva skupina (prv i del) 1. Dan je št irikot nik ABCD z vzporednima st ranicama AD in BC. Naj bo K točka na stranici AB. Skozi oglišče A potegnemo premico p, vzpore dno z dalj ico K C , skozi oglišče B pa prem ico q, vzporedno z dalji co K D. Dokaži, da se premici p in q sekata v skupni točki, ki leži na stranic i DC . (4 točke) 2. Klar a je izračunala pro dukt prvih n nar avnih števil, Valerij a pa pro- dukt prvih m sodih nar avnih števil, pri čemer je n , m 2: 2. Dobili sta enak rezul t at . Dokaži , da se je vsaj ena od nj iju zmotila . (4 točke) 3. Kleme n sumi, da sta dva od št ir ih kovancev v nj egovi roki ponare- jena . Ve, da so mase pravih kovancev enake in mase pon ar ejenih kovancev enake, pri čemer je masa pon ar ejenega kovanca manjša od mase pravega kovanca. Ali se lahko Klem en z dvem a te htanje ma na prime rjaln i tehtnici prepriča , da je njegov sum utem eljen? (4 točke) 4. Dve skupini petih enakih kroglic, ki se ne st ikajo, se gibljeta po skupni premici, pri čemer im aj o vse kroglice en ako hit rost . Kroglice leve skupine se gibljejo desno, kroglice desne skupine pa levo. Ko se dve kroglici za let ita, se odbije ta po odbojne m za konu (vsaka se začne gibat i v nasprotno smer z enako hit rostjo). Koliko trkov nastopi? (4 točke) 5. V ravnini so dane vsaj št iri točke . Če odstranimo katerokoli izmed teh točk, je preost al a množica točk zrcalno simetrična preko neke pre- mice. Ali je nujno, da je že prvotna množ ica točk zrcalno simetrična preko kake premice? (4 točke) Druga skupina (prvi del ) 1. Naj bo Toglišče petkotnika . St ranico, katere kraj išči nist a sosednj i oglišču T, imenujmo nasprotna stranica oglišča T. Višina pet ko- t nika je dalj ica , ki povezuj e neko oglišče s pravokotno projekcijo tega oglišča na nosilko njemu nasprotne st ranice. Srednj ica p etkotnika je dalj ica , ki povezuj e oglišče z razpoloviščem njemu nasprot ne st ranice. Dokaži: Če so vse višine in vse srednj ice petkotnika enako dolge, je ta petkotnik pravilen . (4 točke) I Tekmovanja 2. Znano je, da obstaja 1000 zaporednih naravnih šte vil, med kater imi ni nob enega praštevi la (primer: 1001!+2, 1001!+3, . . . , 100l! +1001) . Ali obs taja 1000 zaporednih naravnih števil, med katerimi je natanko pet pr aš tevil? (4 točke) 3. Dve skupini petih enakih kroglic, ki se ne stikajo, se gibljeta po skupni pr emi ci, pri čemer imajo vse kroglice enako hitrost. Kro glice leve skupine se gib ljejo desno , kroglice desne skupine pa levo. Ko se dve kro glici zalet ita, se odbijet a po odbojnem zakonu (vsa ka se začne gibat i v nasprotno smer z enako hitrostjo). Koliko t rkov nastopi? (4 točke) 4. Po tanki kvadratni piti so posuti t rikotni koščki čoko lade, ki se ne pr ekrivajo. Ali je možno pito razr ezati na konveksne večkotnike tako , da je na vsakem izmed nj ih natanko en košček čokolade? (4 točke) 5. Na običaj ni šahovski deski stojijo tri trdnjave. Bela stoji v spodnjem levem vogalu , rdeča na sosednjem polju na desn i in črna na sose- dnj em polju nad tem vogalom . S trdnjavami lahko vlečemo običajne šahovske poteze, zahtevam o pa, da je v vsakem t renutku za po ljubno izbrano trdnjavo v 'njeni' vrstici ali v 'nje nem ' sto lpc u vsaj še ena t rdnjava. Ali lah ko na ta način t rdnjave pr estavimo v po ložaj , kjer bela trdnjava stoji v gornje m desnem vogalu , rdeča na sosednje m po- lju pod njo in črna na sosednjem polju levo od tega vogala? (4 točke) P rva skupina (dru gi del) 1. Ali obstaja t ako zaporedje naravnih števil al < a 2 < . . . < a lO O, da je največji skupni delit elj števil a k - l in a k večji od največj ega skupnega delit elja števil ak in a k+ l , za vsak k , 2 ::::: k ::::: 99? (4 točke) 2. Na j bo n ::::: 3 naravno število. Krožnico razdelim o z 2n točkami na 2n lokov. Vsak izmed lokov ima eno od t reh možnih dolžin , pri čemer sta dolžini poljubnih dveh sosednjih lokov različni . Točke na krožnici izmenično pobarvamo z rdečo in modro barvo. Dokaži, da ima večkotnik, katerega oglišča so rdeča , enak obseg in enako ploščino kot večkotnik , katerega oglišča so modre barve. (5 točk) 3. Na j bo ri ::::: 3 naravno šte vilo. V vsako vrstico tab ele velikosti (n - 2) x n so vpisana vsa šte vila 1,2, .. . , ti v nekem vrstnem red u. Vemo, da so števila v poljubnem stolpc u tabele paroma različna. Dokaži, da lah ko dano t ab elo dopolnimo do t ab ele velikosti n x n , ki ima v vsakem stolpcu vsa šte vila 1,2 , . . . ,n . (5 točk) I378 Tekmovanja I 4. Naj bo n naravno šte vilo. Pravilni (2n+ 1)-kotnik z diagonalami, ki se ne sekajo (raz en mord a v krajiščih) , raz delimo na (2n- 1) t rikot nikov. Dokaži, da so vsaj trije od teh t rikot nikov enakokraki. (5 točk) 5. Aleš na prazno šahovnico velikosti 8 x 8 postavi t rdnjavo. Potem za- pored dodaj a po eno t rdnjavo tako, da ta napad a liho število trdnj av, ki so že na šahovnici. Največ koliko t rdnjav lahk o Aleš tako post avi na šahovnico? (6 točk) 6. Nekaj šte vil je zapisanih v vrsto. Robert izbriše tak par sosednjih št evil v vrsti, da je levo število večje od desnega. Nato št evili podvoji , ju zamenja in vpiše na pr votni mesti . Dokaži, da lahko Robert opisani postopek ponovi le končno mnogokrat . (8 točk) 7. Vemo, da je 2333 101-mestno število, katerega pr va števka je enaka 1. Koliko izmed šte vil oblike 2k , kjer je 1 ::::; k ::::; 332, ima prvo šte vko enako 4? (8 točk) Druga skupina (drug i del) 1. V ravnini ležita t rikotnik z rdeče obarvan imi oglišči in trikot nik z modro obarvanimi oglišči . Oba trikot nika imat a skupno notranjo točko O, ki je od poljubnega rdečega oglišča oddaljena manj kot od poljubnega modrega oglišča. Ali je možno , da oglišča obeh t rikotni- kov ležijo na skup ni krožnici? (4 točke) 2. Ali obstaja tako zaporedje naravnih števil al < a 2 < .. . < alOO , da je naj manj ši skupni večkratnik šte vil a k - l in ak večj i od najmanjšega skupnega večkratnika števil ak in a k+ b za vsak k , 2 ::::; k ::::; 99? (5 točk) 3. V polj a 8 x 8 tabele so vpisana št evila 1,2 , 3 . . . , 64 t ako, da poljubni zaporedni šte vili ležita v sosednjih poljih ist e vrst ice oz. stolpca . Kolikšna je največj a možna vsota št evil vzdolž diagonale tabele? (6 točk) 4. Naj bo FI poljuben št irikotnik. Za k ~ 1 naj bo Fk + l št irikot ik, ki ga dobimo, če prerežemo Fk vzdolž ene izmed njegovih diagonal , obrne mo enega izmed dobljenih dveh kosov in ga znova prilepimo na preostali kos vzdolž pr ereza. Največ koliko neskladnih št irikotnikov lahko dobimo na t a način? (6 točk) 5. Naj bost a a in d taki naravni števili, da za vsako naravno število n v deseti škem zapi su števila a + n d naj demo blok zaporednih števk, ki je enak desetiškemu zapisu števila n . Dokaži, da je število d potenca števila 10. (7 točk) I Tekmo vanja - R ešitve nalog 6. V vrsti stoji 23 škatel s kroglicami. Za vsako število k , 1 :::; k < 23, obstaja škatla, ki vseb uje natanko k kroglic. V eni pot ezi sme mo podvojit i število kroglic v neki škatl i tako, da manjkajoče krog lice vzamemo iz škatle z več kroglicami in jih dod am o v izbran o škatlo. Ali lahko na ta način dosežemo, da je po nekaj korakih v k-ti škat li nat anko k kroglic? (7 točk) 7. V ravninskem koordinatnem sist emu leži t rikotnik T , katerega oglišča imaj o koordinate (Xl , YI), (X2,Y3) in (X3' Y3). Za poljubni celi števili h in k, ki nist a ob e enaki O, se notranjost t rikot nika z oglišči v točkah (Xl+h, YI + k), (X2+h,Y3+k) in (X3+ h,Y3+ k) ne seka z not ranj ostjo t rikotnika T . a) Ali je lahko ploščina t rikot nika T večja od ~ ? b) Kolikšna je največj a možna ploščina t rikotnika T ? (3 točke) (6 točk) Gregor Cigler KRIŽANKA "K R IŽA N K A "OB 200-LETNICI ROJSTVA VELIKEGA MATEMATIKA" Rešitev s str. 352 ~l ~ ~ -,s: OS ;li! ~~ = -- ~ ~ :::l ~ .,..~ ..5;. -~I - - - - ~ p o M P - J o U R N A L -~ P o T U H A ~ o K E L ~ A L G E B R A ~ S L A L o M Ž R T E V ~ J o N ::;;r; I N T E G R A L I~ __ _ N I E L S iH E N R I K iir T R V A G M --~ ;;;; = ~ A o R T A ~ o G I .00_ ~ o B R o o -. .1 =A B E- ~ Jt1:" ! ~A L B E E ~W ~ o o I C A =S E A T o ~ o G=L I E ~ K E M P ~ P A S T o R ~ - N A V Č E K":lJ" - ~ ~= o S L o ~ M A R A T T A B L A I o o L - !!! ~ J T ~ S T A T o R ~ N I T R I T ~ M A J ~ K F= ~ ~< Z I o A R ~ ~ Š K o F ~ R I N E Ž .=,M A J E R ~Č o T A R ~ Č o p ~ F E N - , L M ~.::~ K A R o:!li: :lS; S A M Ji K U P E ~ I R H ~ l :t~ ..:t.':"N J U S T ~ C o L""""1 ~ K R I S T I A N I J A ~; T U B E R K U L o Z A'=:::1 -::f1i A K N A N U J A .i:.,JI'... G R U P A K A R A B I N- = -= J E A N - A L E N ~~ U G R I N ~ A T A I N o~ ~'W Letno kazalo I PRESEK - list za mlade matematike, fizike , astro- nome in računalnikarje - 29. letnik, leto 2001/2002, številke 1-6, strani 1-384 MATEMATIKA Predalčno načelo (Jože Grasselli) 4-11 Risanje kock in kva drov (Peter Legiša ) 134-139 O približkih za število tt (Martin Juvan) 152-153 Modularna redukcija in Mersennova šte vila (Šte fko Miklavič) 168-170 Štev ilo 1 kot vsota in produ kt ulomkov (Jože Grasselli) 198-201 Rezanje in sestavljanje pravi lnega četverca (Nada Razpet ) 233-237 Kristalne mreže - 1. del (Peter Legiša) 264-269 Ime rože, labirint in pregled grafa (Štefko Miklavič , Martin Juvan) 292-297 Kristalne mr eže, 2. del - Zlaganje krogel (Pe ter Legiša) 328-332 Evarist e Galois (1811- 1832) (Marija Vencelj) 346-349 FIZIKA Na sejmu v Otavalu (Jože Pahor) 12-15 Včasih se s ceste promet močno sliši (Jože Rakovec) 40-46 Ali steklo teče? (Janez St rnad) 140-142 Pobliskujoča morska gladina (Andrej Likar) 154-157 T lak po jema z višino (Janez Strnad) 162-167 Brownovo gibanje (Janez Strnad) 204-209 Merjenj e temperature z roko (Andrej Likar) 220-222 Monokristali (B. Č abrič, A. J ani č ij evi č , prev. M. Vencelj) 226-230 Atomi in Perrinova merj enja (Janez Strnad) 274-279 Avogadrov zako n (Janez Strnad) 285-287 Atomi so sestavljeni (Janez Strnad) 340-345 Zalivski tok slabi (Ivan Meško) 354-356 ASTRONOMIJA Astronomske osnove našega koledarj a (Ma rijan P rosen ) . . .. . . . . . . . . . . . . 16-22 Kako do enačbe sence? - Reš itve vaj na st r. 173 (Marijan Prosen) . . . 144-148 Bližnj i (NEO) asteroid 2001 YB s je v začetku januarja letel mimo Zem Ue (lIerlnan Mikuž) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Vsi rekordi Alvana Clarka (Marijan Prosen) 214-218 Zenit ne zvezde - reš. na str. 291 (Marij an Prosen) 280-284 Zakrit je (Marijan P rosen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334-337 Zvezde , ki se dot ak nejo obzorja - reš. na st r. 366 (Marijan Prosen) . . 350-351 Odp rtina (Marijan Prosen) 374-375 Letno kazalo RAČUNALNIŠTVO Zlaganje kovan cev - reš. str. 150 (Ma rtin Juvan ) 23 P rogram ski jezik Pascal (Mat ija Lokar ) 24-27 Polkraljice - reš . st r. 231 (Ma rt in Juvan ) 158-159 ) 6 + VI5 je najboljši približek za 7r (Žiga Ramšak, Janez Brank) 171-173 Računanje z velikimi števili - Ub asic (Mar tin Juvan ) 210-213 Pozabljena naloga (Mart in J uvan) 290-291 Rešitev pozabljene naloge - s st r. 290 (Marko Petkovšek ) 338-339 Kako deli ti skr ivnosti? (Aleksandar Juriši č] 358-364 NOVICE Uvo dnik (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Čestitka slovenskim mladi m fizikom (Iz ur edništva) 15 Qu an tum pr enehal izhajati (Janez Strnad) 30-31 32. mednarodna fizikaina olimpiada (Ciril Dominko) 143 42. mednar odna matematična olimpiada (Matjaž Željko) 149 Norveška ustanavlja Ab elovo nagrado za matematiko (Marija Vencelj ) . XVIII Niels Henrik Abel (1802- 1829) - Ob dvestoletnici roj st va (Marija Vencelj ) 259-263 ZANIMIVOSTI - R AZVEDRILO Ali je miš požrešn ejša od slona? (Vida Kari ž Merhar ) 27-28 Križanka "Las t nost i računskih operacij" - reš . str. 53 (Marko Bokalič). 32-33 Varnostna žlica (J ože Pah or ) 34-37 Igra z dvema "L" (Marija Venc elj ) III Povratni rebus - reš. na st r. 143 (Marko Bokalič) 133 Kvadriranje dvomestnih števil, ki se začenjajo s 5 - reš. str. 219 (Marija Vencelj ) 157 K ri žanka "Členi računskih operacij" - reš. na str. 177 (Marko Bokalič) 160-161 Zlaganj e zemljevida (Marija Vencelj) 174 Bin e izbo ljšuj e avto (Jože Pahor) 175-177 Kri žanka "Prest ižna nagrad a" - reš. na st r. 237 (Marko Bokalič ) 224 Rebus - reš . na st r. 230 (Marko Bokalič) XV Skora j gotov dogodek - Utrinek (Dušan Mur ovec) 258 Binetu je vroče (Jo že Pah or ) 270-273 Kri žanka "Matematiki antike" - reš. na st r. 299 (Marko Bokalič) . . . . . . . . 288 Kri žanka "Ob 200-letnici rojstva velikega mat em atika" - reš . na st r. 379 (Marko Bokalič) 352-353 Bine in mleko (J ože Pahor) 367-372 382 N ALOGE Letno kazalo I P ribližek št evila 'Tr - Nagradna naloga (P et er P et ek) 2 Geome t rijs ka kr ižanka - reš . na str. 23 (D . M . Miloševič) 3 Naloga o luninem let u - reš. na st r. 51 (Marijan Prosen ) 22 Trikratna ploščina - reš. na str. 31 (Marija Vencelj) 29 Poišči osnovo - reš. na str. 52 (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Naloga iz zadnje številke Quantuma - reš. na str. 37 (Janez St rnad ) 31 Geometrijs ki drobi ž - od g. na st r. 53 (Marija Ven celj) 38-39 Razkrijte vse t ajne agente 007 Njenega Veličanstva - Nag radna naloga (Marija Vencelj) 130 Vrtnarj eva na loga - Nagradna nalo ga (Bojan Mohar) 131-132 Skok na Luno - reš. na str. 223 (Gor an Sabol i č) 133 Tri škat le - reš . na st r. 202 (Marija Vencelj) 151 Prerazpored i šte vila - reš. na st r. 174 (Marija Ven celj) 159 Črke in številke - reš. na st r. 209 (Bošt jan Jaklič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Tri enice in enajs t fi žolčkov - Nagradna nalo ga (P eter Petek) XIV Nekaj (ne)resnih o letu 2002 - reš . na st r. 218 (Mart in Juvan) 196-197 Naloga za maturante - reš. na str. 222 (Dušan Murovec) 197 Ni deljivo - reš . na st r. 232 (Dragoljub M . Miloševič) 197 Poveži točke - reš. na str. 230 (Marija Vencelj) 197 T im , Fermat in količniki - reš. na str. 298 (Marija Ven celj) 203 Produkt = vsota - Nagradna naloga (Martin Juvan) 258 Črke in št evi la 2 - reš. na st r. 299 (Bošt jan Jaklič) 284 Štiri muhe - Nagradna na loga (Marija Vencelj) 322 Nogometna kombinatorika - reš . na str. 365 (Boštjan Kuzman, Martin Juvan) 327 Povezana kriptaritma - reš . na st r. 364 (Marija Ven celj ) 349 Rojstne let nice petih matematikov - reš. na st r. 364 (Marija Vencelj) 349 Ulamova spirala - reš. na st r. 372 (Martin Juvan) 357 REŠITVE NALOG Reši tvi nagradnih na log iz XXVIII , P-5 in P-6 (Iz uredništ va ) 2 Bine bo žalost en - s st r. 34 (J ože Pahor) 50-51 Deset iška - Reši tev iz XXVIII , P- 6 , str. 324 (Marko Razp et ) 52 Rešitev nagradne naloge iz 1. št evilke (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Razkrijte vse t ajne age nte Njenega Veličanstva - Reši t ev nagradne naloge s str. 130 (Marija Vence lj) 194-195 Rešitve nagradnih nalog iz 3., 4. in 5. številke Preseka (Marija Ven celj) 322-323 Tri enice in en aj st fižolčkov - Rešitev nagradne naloge s st r. P-4 /II (Peter Petek) 323 Produkt = vso ta - Rešitev nagrad ne naloge s st r. 258 (Mart in J uvan) 323-324 Produkt = vsota - 2. rešitev (Mat ija P ret nar ) 324-326 O vrtnarjevi nalogi (Martin Juvan) 326 · 1 Letno kazalo NOVE KNJIGE Tekmujem o v razvedrilni matematiki in logiki (Vladimir Bensa) 47-50 Evropski matematični ken guru 1996 - 2001 (Darjo Felda) 139 J. Cofman: Kaj naj reš ujemo? (Martin Juvan) 332-333 J . Strnad: Sto let fizike (Anton Ramšak) XX II I M . in S. P rosen : Spoznavajmo Zemlj o in veso lje (Marija Vencelj ) XXIV TEKMOVANJA 37. t ekmovanje za Zlato Vegovo priz nanje (Aleksander Potočnik) 54-55 21. državno tekmovanje iz fizike za osnovnošolce in osnovnošolke za Zlata Stefanova priznanja (Zlatko Bradač, Mirko Cvahte) 55-57 45. matematično te kmovanje srednješolcev Slovenije (Matjaž Željko) 58-59 39. fizikalno te kmovanje srednješolcev in srednješolk Slove nije (C ir il Dominko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59-62 1. t ekmovanj e dijakov srednji h poklicnih šol v znanju matematike (Dušanka Vrenčur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62-63 1. tekmovanje dijakov srednji h tehniških in strokovnih šol v znanju mat ematike (Sonja Perko) 63-64 E vrops ki matematični k enguru (pr ipravila Gregor Dolinar in Matj až Željko) Naloge za 2. razred osnovne šole 65-66 Naloge za 3. in 4. razred osnovne šole 67-68 Naloge za 5. in 6. razred osnovne šole 69- 73 Naloge za 7. in 8. razred osnovne šole ter 1. in 2. let nik srednje šole, kat egor iji A in B 73- 78 Naloge za 3. in 4. let nik srednje šole , kat egoriji A in B 78-82 Naloge za vse let nike srednje šole, kategorija C 83 Rešitve nalog 83 Tek m ovanje za Vego vo priznanje (pripravil A leksander Potočnik) 36. področno tekmovanje za srebrno Vegovo prizn anj e - Naloge 84-88 Rešitve nalog s področnega t ekmovanj a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88-89 36 . držav no t ekmovanje za zlato Vegovo priznanje - Naloge , 90-91 Rešitve nalog z d ržavnega t ekmovanj a 91-92 Tekmovanje dijakov srednjih p oklicnih šol (pr ipravili A nja Jesenek in D ušanka Vrenčur) Regijsko t ekmovanje - reš. str. 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93-95 Državno tekmovanje - reš. str. 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96-98 Tekmovanj e dij akov srednjih strokovnih in tehnišk ih šol (pr ipravili A ndreja Leskovar, Iz tok Leskovar, So nja Perko, Irena Pi vko) Regijsko tekmovanje - reš. str. 104 99-104 Držav no te kmovanje - reš. str. 108 106-108 Matematično tek movanje srednješolcev Slovenije (pripravil Matjaž Željko) Izbirno tekmovanj e - reš . str. 113 . . . . . . . . . . . . .. . . . . ... . . ... .. .. . . . . . 112-113 Državn o t ekmovanj e - reš . st r. 119 117-119 Izbi rna t est a za mednarodno matematično olimpiado 125-126 Letno kazalo I Rešitve nal og z izbirnih testov za mednarodno matematično olimpiado 126-VII Urnik t ekmovanj v letu 2002 (D arjo Felda ) 178-180 21. področno t ekmovanje iz fizike za osn ovnošolce - reš . st r. 185 (Mirko Cva ht e, Zlatko Bradač) 181-184 Naloge z reg ijskega fizikalnega tekmovanj a sred nje šolcev Slovenije v šolske m letu 2000/01 (Ciri l Dominko) 188-192 21. državno tekmovanje iz fizike za osnovnošolce - reš . st r. 243 (Zl atko Bradač , Mi rko Cvahte) 238-242 Rešitve nalog s predtekmovanja iz sr ednješo lske fizike v šolskem let u 2000/2001 - s st r. 188 (Bojan Golli ) 247-251 Naloge z državnega fizikalnega tekmovanja srednješolcev Slovenije v šo lskem letu 2000/2001 (C iril Dominko) 251-256 Re šitve na log z državnega tekmovanj a iz sred nješolske fizike v šolskem letu 2000 / 2001 - s st r . 251 (Bojan Golli) 300-307 22. m ednarodno matematično t ekmovanje mest - Naloge pomladanskega kroga (Gregor Cig ler ) 307-311 22. mednarodno matematično tekmovanje m est - R ešitve na log poml ad anskega kroga s str. 307 (G regor Cigler) 311-318 42. m ednarodna matematična olimpiada - rešitvi izbranih nalog s st r. 149 (M atjaž Željko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318-320 22. m ednarodno matematično tekmovanje mest - Na loge jesenskega kroga (Gregor C igler) 376-379 PRESEK lis t za mlade matematike, fizike , ast ron ome in računalnikarje 29. letnik , šo lsko le t o 2001/ 02 , številka 6, stran i 321-384 UREDNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled) , Mirko Dobovi šek (glavni urednik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (t ekmovanja), Bojan Golli , Marjan Hribar, Boštjan J aklič (tehnični urednik) , Martin Juvan (računal­ ništvo), Sandi Klavžar, Boris Lavrič , Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar, Fra nci Ob lak , Peter Petek, Primož Potočnik (novice) , Marij an Prosen (astronomija) , Marija Vencelj (matematika , odgovorna urednica). Dopis i in naročnine: DMFA - založništ vo, Presek , Jadranska ulica 19, 1001 Ljublja- na , p.p. 2964, tel. (01) 4766-553, telefaks (Ol) 2517-281, št . ŽR 50106-678-47233. Naročnina za šolsko leto 2001/ 02 je za posam ezne naročnike 3 .0 00 SIT (posamezno naroči lo velja do preklica), za skupinska naročila šol 2 .500 SI T , posamezna šte vilka 750 SIT, te matska številka 1. 500 SIT, stara številka 650 SIT, let na naročnina za t uj ino 25 EUR , devizna nakazila SKB banka d .d. Ljub ljan a , Ajdovščina 4, Ljubljan a, SWIFT : SKB ASI2X , številka računa 042961. List sofinan cira MŠZŠ Založilo DMFA - založništvo Tisk: DELO T iskarna, Ljubljana © 2002 Društvo mat ematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1495 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljan a Anton Ramšak I No ve knjige Janez Strnad: STO LET FIZIKE Zgod ovina fizike sega v antiko in še dlje". Po velikem usp ehu v Newtonovem času je veliko zanimanje za znanost in tehniko v viktori- janskem času napovedovalo njun triumfalni razcvet v 20. stoletju . S t em obdobjem se seznanimo ob branju nove knji ge profesorj a St rn ada Sto let fizike. Knjiga obravnava vsa področja fizike 20. st oletj a . Tako najprej pokaže ozadj e in nastanek splošne teor ije relativnost i t er nakaže probleme, ki so odprli pot kvantni mehaniki. Na to pr eko posplošit ve na relati- vistično kvant no mehaniko bralca pr ivede v svet ra dioakt ivnosti, ki je bila v vzponu v t ri- deset ih let ih , in nato na kratko oriše tehnične in moralne težave fizikov pri izdelavi atom- ske bombe. Po drugi svetovni vojni je bil po memb en razcvet pospeševalniške fizike ter lov za novimi delci, kar je v knjigi lepo pr i- kazan o hkrati s prikazom osnov kvantne ele- ktrodinam ike. Poleg prikaza osnovnih novih idej fizike nam eni avtor t udi nekaj prostora aplikat ivnim dosežkom, ki so nep osredna posledica bazičnih odkrit ij . Tako na hit ro opiše razvoj radi a , polprevodnikov, tranzisto rja in računalnikov ter laserj ev. S področja fizike trdne snovi omeni pojav superprevodnost i in superfluidnosti te r Bose-Einsteinovo kondenzacijo. V zvezi s slednjo t ud i napove pod elit ev Nob elove nagrade za fiziko. Naslednji razdelki v knjigi so posvečeni astronomiji in astrofiziki, ki sta še poseb ej v zadnjem delu stoletja z razvojem nove opr eme doživeli posp ešen na- predek. Omenj ena so tudi vprašanja kozmologije, ki so pr av v zadnjih let ih na prvih st ra neh fizikalnih publikacij . Poleg opisanih standardnih tem om eni avtor še nano t ehnologijo, kaoti čne siste me, vp liv na biologijo , kr atek razvoj fizike mehke snovi in molekularno biologijo. Knjigo zaključi z ugibanji o prih odnosti fizike in z mnenji nekater ih uglednih fizikov na to tem o. Nova knji ga profesorja St rnada Sto let fizike je namenj ena širšemu krogu bral- cev . Nap isan a je zanimivo in pr emi šljeno ter v Hawkingovem stilu brez enačb. Zato je dostopna tudi nefizikom , ki jih zanima raz voj moderne znanosti . Knjigo lahko kupite pri DMFA - založništvo, J adranska 19, Ljubljana, ali jo naročite po te lefonu (01) 4766- 553. No ve knj ige I Marijan in Stana Prosen: SPOZN AVAJMO ZEMLJO IN VESOLJE Pri založbi DZS je izšel pri - ročnik za učitelje in vzgo- jitelje Sp oznavajm o Zemljo in vesolje avtorjev Mari- jana in St an e P rosen , ki se že dalj časa ukvarjata s po- sredova njem astronomskih vsebin za ot roke. Priročnik je bil nap isan kot dopol- nilo h knji žici Prvi pogled (DZS, 1998) , pomo žnemu učbeniškemu gradiv u pri pouku spoznavanja okolja v pr vem in dru gem trile- tju osnovne šole, vendar ga bo do lahko koristno up o- ra bili t udi učitelji naravo- slovnih pr edmetov v višjih razredih osnovne šole. Zvezek velikega forma- t a z 72 bogato ilust riranimi stranmi je raz delje n na šest poglavij, ki prinašajo šte- vilne podat ke in razlage o nebu, Soncu, Zem lji, Luni, planetih in zvezdah. Priročnik je zasnovan tako, da se iz njega lah ko pouče bralci, ki o Zemlji in vesolju nič ne vedo, pa t udi taki, ki niso povsem nepoučeni , a so jim nekateri podatki ali razlage že ušli iz glave. Čeprav gre za učbeniško gradivo , bi ga zato toplo priporočila t udi starše m ali kar v družinsko branje. Skup ni izleti in po letni večeri bodo zanimivejš i, z odgovor i ne bomo v zadreg i. Delo zaklj učuj e slovarček, pravi mali astronomski leksikon z več kot sto gesli, ki jih srečamo pri pouku naravoslovja , geogra fije, fizike, izbranih vsebin iz astronomije in ki so, ne nazadnje, del sp lošne izobrazbe. Marija Vencelj