Sa mo to rca , 5.4 .1997 , 1:00 (fo to G regor Ba vde k) M la ka pri K ranju , 6.4 .1997. 21:30 (foto G re uo r Ba vd ek ) S t ra h inj pr i Kranj u , 9 .3 .1997, 3 :00 ( fo to G rego r Bavde k) Z a n la n a . ?!=l .~ 1!=lq 7 (f " t " T ~nl<"() I\iI M 'OA) I PRESEK list za mlade matematike, fizike , astroname in računalnikarje 25. letnik, leto 1997/98, številka 1 , strani 1-64 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO NOVICE NALOGE RAZVEDRILO ZA NIM IV O ST I TEKMOVANJA NA OVITKU Mala šo la topologije - 1. del (Ma rija Vencelj ) . . . . . . . . .. 2-6 Pit agorov izrek iz trapeza (Ma rko Razpet ) 7 O številih 11 1 (J ože Grasselli ) 20-23 Sto let katod ne cev i (Janez Strnad) 8-12 Sencome r (Marija n P ros en) 16-19 Planeti okrog d rugih so nc (M irjam Galičič) . . . . . . . . . . 34-38 Varne poti in kratke poti (Sand i Klavžar) 24-31 Karl Theodor Wilhelm We ierst ras s - ob stoletn ici smrt i (Anita Močnik) 13-1 5 Franc Močnik - odkrit doprsni kip (Zvonko P era t ) 43-4 7 Vs ot a in produkt a (Mart in Juvan) 12 Na gugalnici (Marija Ven celj) 15 Hitro kvadrira nj e šte vil, ki se končujejo s števko 5 (Marija Vencelj) 31 Nalog a k članku P la net i okrog drugih sonc (M a rijan P ros en) 39 Kubi števk (Martin J uvan) 39 Številska križa nka (Dragolju b M. Miloševič, prevod Marija Ven celj ) 40-4 1 Razkrinkajmo Davida Cope rfielda (Matej Me nc inger) .. , 42 Meta nje kocke (Mart in Juvan) 47 Temelji t ost (Marija Vence lj) 23 Križanka "F izika lne vede" (Marko Bokalič) 32-33 Dokazal si je (V ilko Dom ajnko) 41 33. tekmovanje za Zla to Vegovo priznanje (Aleksander Potočnik) 48-5 0 17. državno t ekmova nje iz fizike za Zlat a St efa nov a priznanja (Zlatko Bradač , Mirko Cvahte) 50-5 1 41. matematično t ekmovanje sred nješolcev Slove nij e (Matjaž Željko) 52-54 35. fizikalno tekmovanje sr ed nješolcev Sloven ije (C iril Dominko) 54-57 18. medna rodno matematično t ekmovanje mest - reš itve iz XXIV , P -6, st r. 378 (Aleš Vavpetič) 57-6 2 18. medna ro dno matematično t ekmovanje mest - pomladanski krog (A leš Vavpetič) 62-63 Spomini na kom et Hale-Bopp (slika na nasl ovnici - foto G re- gor Bavdek ) I,II Kip Franca Močnika v Slovenskem šolskem muzeju (glej tudi prispevek na strani 43 ) III Sliki k članku na stran i 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II I Sencomer (glej članek na st rani 16) IV Matematika I MALA ŠOLA TOPOLOGljE - 1. del (Cl(b) EG (a) Topološke p r eslikave Za začetek si oglejmo nasl ednje ris be : (u) (Cl (1) Ob nj ih si lahko zastavimo različne naloge , kakr šn a je npr. naloga po iskati razlike med risbami (nekat ere risb e so npr. sestav ljene iz samih daljic; druge ne). Nas bodo bo lj za nimale las t nost i, ki so vsem risbam skupne. Ena takih las t nost i, ki jo zla hka opazimo , je, da vsaka risba razdeli ravnino na enako število celic ali področij. Zamislimo si, da je risba (b) narisana na zelo t anko gumijas to a pno , ki jo lahko razt egujemo, st iskama in zvijamo po mili volj i, ne sme mo pa je raztrgati niti ne smemo zlep it i dve h ali več točk skupaj. Če apno primerno raztegnemo, kot prikazuje naslednja skica , lahko dos ežemo , da preide risba (b) v risbo (a). Matematika Topologija! je veja matematike, ki se ukvarja z raznimi množicami točk v prostoru (v naših primerih so to narisane figure). Zanimajo jo take lastnosti množic, ki se ohranjajo pri upogibanju, raztezanju ali krčenju (brez raztrganin ali lepljenja). Tako imajo risbe-krivulje na slikah (a) do (f) enake topološke lastnosti. Topologije torej za razliko od sorodne geometrije ne zanimajo dolžine , ploščine, površine ali velikosti kotov; te lahko še poljubno spreminjamo. Pri naši intuitivni obravnavi topologije se bomo omejili le na take množice, ki jih sestavljajo točke in krivulje. Pri tem se domenimo za uporabo nekaterih sicer splošno veljavnih izrazov. (a) Upogibanja, raztezanja ali krčenja brez raztrganin ali lepljenja bomo imenovali topološke preslikave. (b) Lastnosti, ki še vedno veljajo, potem ko množico topološko presli- kamo, imenujemo topološke invariante ali topološko nespre- menljive vrednosti. Tako je očitno medsebojni vrstni red točk topološka invarianta, ni pa topološka invarianta razdalja med dvema točkama. (c) Dve krivulji, za kateri velja, da lahko drugo iz druge dobimo s to- pološko preslikavo, imenujemo topološko ekvivalentni ali topo- loško enakovredni. Na primerih premislimo in utrdimo pomen teh pojmov. 1. Katere od narisanih krivulj so topološko enakovredne krožnici? (Ne pozabimo, da ne smemo ničesar razrezati ali zlepiti!) Takim krivu- ljam pravimo enostavno sklenjene krivulje. Li U PD (a) (b) (c) (d) OO--O~ (c) (1) (g) 1 Beseda topologija je grškega izvora: Ton:oa pomeni v grščini kraj. Topologija je torej nauk o kraju, o legi . Mat ematika I 2. Na risbah je več parov kr ivulj . Ali lahko prvo krivuljo iz par a to- pološko preslikamo v drugo krivuljo? (a) (b) (c) J Y (d) )( cx) 8 5J ~) (O ~sy~o (g) (h) 3. Katere od narisanih krivulj so to pološko enakovredne daljici AB? (b) (c) ·0 (d) (e) (O (g) (h) Mat ematika 5 4. Katere me d naslednj imi petimi risb ami so topološko en akovredne? (a) (b) (c) (d) (c) 5. Med naslednjimi pari risb poišči take stopološko enakovrednimi ris- bami. Če se t i zdi, da sta risbi nekega par a top ološko enakovredni, označi na drugi od obeh risb možni pol ožaj točke A', ki je slika točke A pri topološki preslikavi. Če je za A' možnih več položaj ev, označi vse. A Qg Q H~ (a) (b) O ~ r:!:PV ~ (c) (d) 4" / ~A Ji (c) (f) Mat ematika I 6. V kaj vse lahko spremenimo hrošča? Slika prikazuje or iginalnega žužka in dve ideji za njegovo topo loško preobrazbo. (n) ( h) (e) 7. Nariši naslednjim risbam nekaj to pološko enakovrednih risb . Poskusi naj ti t ud i čimbolj preprost e (oglej si sličico s petelinom ob naslovu tega prisp evka ). (d) (b ) (e) ""'= 7 (a) N e kaj o dgovorov : 1. (a), (d), (e), (g) 2. (a) Da. (b ) Ne. (c) Da . (d) Da. (e) Ne. (I ) Da. (g) Da. (h) Da. 3. (a) , (d), (f) , (h) 4. (a ) , (b) in (d) ; (c) in (e) 5. (a) , (b ), (c) , (e) , (f); točke poiščite sami. M arij a Vencelj I Matematika PITAGOROV IZREK IZ TRAPEZA B Slika 1. A Za dokaz Pitagorovega izreka obstaja več načinov , med katerimi so prav preprosti tisti, v katerih uporabljamo ploščino likov. Oglejmo si primer, kako Pitagorov izrek izpeljemo z uporabo trapeza.! Vzemimo pravokotni trapez ABCD, ki ima za osnovnici a in b, višina pa je enaka vsoti njunih dolžin a + b. Na stranici AD je točka E oddaljena od oglišča A za a oziroma od oglišča D za b. Tri- kotnika ABE in CDE sta očitno pravokotna in skladna. Njuna hi- potenuza je c, kateti pa sta a in b, kot je označeno na sliki 1. Pravo- koten je tudi trikotnik BCE, kar sledi iz komplementarnosti kotov ain {3 . Srednjica trapeza ABCD je ~ (a+ b), njegova višina pa a+b. Ploščina trapeza je enaka produktu srednjice in višine, hkrati pa vsoti ploščin pra- vokotnih trikotnikov ABE, CDE in BCE, zato velja: Od tod dobimo enakost 1 2 1 2 1 2-a + ab+ - b = ab + - c . 2 2 2 Po preureditvi sled i Pitagorov izrek: Marko Razpet 1 Tako je Pitagorov izr ek leta 1876 dokazal Garfield , član ameriškega Predstav- niškega doma, kasnejši predsednik ZDA (op. urednice) . 18 STO LET KATODNE CEVI Fizika I Gledate televizijo ? Računate ali tipkate na računalnik? V obeh pri- merih je pred vami zas lon katodne cevi. Popravljalci televizijskih in radijskih sprejem nikov t er razisko- valci pogosto zasled ujejo časovni potek hitrih poj avov z osc ilogra- fom. Tudi vanj je vgrajen a katodna cev . Katodno cev je pr ed st o leti prvi up orabil Ferd inand Braun. Ca rl Ferdinand Braun (slika 1) je bil roj en let a 1850 v Fuldi . Štu- di ral je na univerzah v Marburgu in Berlinu. Št udij je končal let a 1872 . Dve leti je poučeval na gimnazij i, potem je po stal profesor najprej na univerzi v Marburgu in let a 1880 Slika 1. Ferdi nand Brau n (185 0- 1918) . na un iver zi v Strass burgu. Nekaj časa je pr ed aval na tehniški visoki šoli v Karlsruheju in na univerzi v Tiibingenu. Let a 1895 se je kot profesor in rav natelj fizikalnega inšti tut a vrnil v Strassburg. Najprej je pod vodstvom Georga Hermanna Quinckeja raziskoval nihanje strun in palic. Nato je preučeval vpliv tl aka na t opnost soli . Let a 1874 ga je zanimalo, kako prevaj ajo električni to k nekat eri minerali. Braun je ugot ovil , da tok pogost o ni sorazmer en z napet ostj o in torej ne velja Ohmov zakon. P oleg t ega je bil upor odv isen od smeri. Na kristal je priključil kovinsko konico in d ru gi priključek ter tok dobil samo v en i sme ri. Naprava je delovala kot usmernik. P oskusi z visokofrekvenčnim to kom so ga let a 1897 pripeljali do katodne cev i. Izdelal je tudi natančen elekt rome ter. Let a 1898 se je Braun začel ukvarj ati s pr enašanjem Mor- sovih znakov z visokofrekvenčnimi to kovi t ud i po vodi. Pri tem je sledil Gug lielmu Marconiju, ki si je že od let a 1897 prizad eval , da bi z radijskimi valovi prenašal sporočila . Dosegel je razdaljo okoli 15 km , a t e razd alje ni bilo lah ko preseči. Višja napetost ni pomagala. Nekaj večjo razd alj o so dosegli le z 300 m dolgo žico kot ant eno , ki je vise la z balona. Ted aj so od- dajno anteno priključili nep osredno na krog z izvirom. Električno nihanje vanteni ni im elo določene frekvence in je bilo močno dušeno. Braun je do gn al , da precej energije po rabi iskra v iskrišču , ki je bilo od Hertzevih časov sestavni del kroga . Z nihajnim krogom iz kon denzat orj a in tuljave IFizika so najprej dosegli , da je to k nihal z določeno frekven co. Br aun je let a 1899 pat en tiral kr og s kondenzatorj em in t uljavo brez iskrišča. Oddajno anteno je induktivno sklopil na nihajni krog tako, da je sestavil tulj avo v krogu in drugo t uljavo vanteni v nekakšen transformator. Tako je pre- cej zmanjšal dušenj e. Nato se je posvetil radij skemu pren osu v določeni smeri. Najprej je to dosegel t ako, da je nagnil anteno iz navpične smeri . Let a 1902 pa je uporabil t ri ante ne v ogliščih enakostraničnega trikotnika. Veni od njih je tok za četrt nihaj a pr ehi t eval t okova v drugih dveh . Pri delu z radij skimi valovi st a mu bili v pomoč obe njegovi odkrit j i: kri st alni usmernik in katodna cev . Dognanja je zbral v knjižici Brezžična telegrafija p o vodi in zrak u. Leta 1909 je skupaj z Guglielmom Marconijem dobil Nobelovo nagr ado "za prispevke v razvoju brezžične te legrafije" . Let a 1915 je odpotoval v ZDA, da bi pričal v nekem patentnem spo ru , pove- za nem z radijskimi valovi. Let a 1917 , ko so ZDA vstopile v voj no, so ga internirali. Umrl je leta 1918 pr ed koncem vojne. Spomladi let a 1897 je J oseph John Thomson ugotovil , da sestavlj aj o katodne žarke negativno naelektreni delci. Tako je sklep al, ker je kato- dne žarke odklanj al s prečnim magnetnim in prečnim električnim polj em . Ist ega leta je Ferdinand Braun objavil članek z naslovom O postopku za prikazovanje in raziskovanje časovnega p oteka sprem enljivih tokov. V njem je poročal o poskusih s katodnimi cevmi, ki mu jih je po njegovih navodilih izd elal Ge isslerjev nas lednik v Bonnu. Veni od njih , ki se mu je zde la posebno pripravna , je bi la katoda K iz aluminijeve pločevine , ko- vinska žička kot a noda A, zas lonka C iz aluminijeve pločevine z odprtino s preme ro m 2 mm in s fluor escentno barvo namazani zas lon D iz sljude (slika 2). Z zas lonko je Braun omejil katodne žarke v ozek curek. Na mest u, na katerem so zadeli fluorescentni zas lon , je bilo opazit i drobno svetlo pego. Med anodo in katod o je priključil influenčni st ro j, ki je daj al razme roma visoko enosme rno napetost. Nekatere po skuse je naredil t udi z induktorj em . , , i' +---- --- -16 cm.----------+ C D ,..---- ----19 cm.- - ---- -- - --- - --,--- - - - - - -'-- - .11 Slika 2. Katodna cev Fe rd inanda Brauna iz članka pred sto leti . Pod cev je v bli žini zaslonke postavil t uljavico z vod oravno osjo in speljal skoznj o električni t ok. Pega se je premikala gor in dol po zaslonu, ko je spreminjal tok skozi t uljavico. Odklon pege je bil sorazme ren s Fizika I tokom po t uljavici in ni bilo mogoče opaz it i, da bi bil odklon od visen od frekven ce. Spre me mba odklon a je brez zakas nitve sledila spreme mbi t oka. Braun je po t uljavici spe lja l izmenični t ok iz st rassburške električne cent rale s frekvenco 50 s-l . Zaradi nihajočega to ka v t uljavici je hi t ro nihajoča pega na zaslonu dala navpično črto. Z vrtečim se zrcalom je pego projiciral na steno in opazil sinus no kri vulj o. Primerj al jo je s krivuljo , ki jo je dalo nihanje glasb enih vilic s to frekven co, in zadovoljen ugo tovil, da se krivulji dobro ujemat a (slika 3). Slika 3. Nihanje električnega t ok a (levo ) se uj ema z nih anjem glasben ih vilic z enako fre kvenco . Braun je oboje opazoval z vrtečim se zrcalom . Nat o je skozi t uljavico z navpično osjo spustil izmenični tok in postavil pod njo paličasti magn et, ki ga je hitro vrtel oko li navpične osi . Na zas lon u je Braun dob il sklenjene krivulje, če se je magnet vrtel s frekvenco , s kater o je nihal to k, in s prim erno fazno razliko. Opazoval je Lissajousove kr ivu lje, ki nastanejo, ko sestavimo nihanji v pravokotih smere h (slika 4). Uporabil je tuljavici s pravokotnima osema v dveh krogih , ki sta bila induktivno sklop ljena. Opazoval je, kako se je oblika kr ivulje spremen ila , ko je v enega izmed kr ogov vključil kondenz at or. lJ I·_'----+--~t.... b Slika 4 . Lissa jo usove krivulje, ki j ih j e B raun opazova l neposredno na zaslonu svoje cev i. Braunova cev , v kat er i prep oznamo predhodnico današnj ih katodnih cevi, je im ela vrsto pomanjkljivosti . Najprej je bil v njej ost anek plina , sicer ne bi bilo katodnih ža rkov. V današnjih ceveh z zelo dobrim va- kuumom daje curek elekt ronov elek tronsk i top . Sestavljata ga drobna katoda , ki jo greje električni tok, da iz nje izh lapevajo elekt ro ni, in anoda , na ka te ro je priključena visoka pozitivna napetost pr oti kat odi. Skozi I Fizika ni drobno odprtino v anodi izhaja curek elektronov . Dodatne elektrode med katodo in ano do poskrbijo, da je pega na zaslonu čim manjš a . Poleg tega imajo današnj e katodne cev i vgrajen majhen konden zator z navpičnima ploščama, na kat eri je priključena žagasta napetost , ali ob vr atu par t u- ljav z navpično osjo , skozi kateri poganjamo žagast tok. S tem dos ežemo, da pega en akomerno potuje od levega roba zas lona na desno in se hitro vrne na levi rob . Nape tost , katere časovni potek nas zanima, priključimo na konden zator z vodoravnima ploščama ali na par t uljav z vodoravno osjo . Tako lahko časovno odv isnost op azuj em o neposr edno na zaslonu in . ni treb a uporabiti vrtečega se zrcala . Pri t elevizijskem sprejemniku ali računalniškem zas lonu poganjamo tudi skozi drugi par t uljav žagast tok, le da z nižjo frekven co, tako da pega potuj e t udi z vrhnjega roba zaslona navzdol in otipa ves zaslon . Z napetostjo med katodo in eno od dodatnih elektro d vplivamo na izdatnost elektro nskega curka in s t em na svetlost pege na zas lon u . Za nameček omenimo induktor, ki so ga up orablj ali Braun in drugi , t udi Conrad Wilhem Ront gen , ko je odkril rentgensko svet lobo . Tedaj ni bilo razširj en ega električnega omrežja z izmenično napetostj o in zato ni bilo t ransformatorjev. Namesto njih so uporablja li induktorje. Šop med seb oj izoliranih deb elih železnih žic so ovili s primarn o tuljavo z N i ovoj i debele žice in to s sekundarno tuljavo z N 2 ovoj i tanke žice. Na primarno tuljavo so priključili ak umulatorsko baterijo in mehanično prekinjalo. Na sekundarno t uljavo so priključili elektrodi v cevi z razredčenim pl inom . Ta cevi ni bilo napet osti, ko je poganjala akumulatorska bater ija po primar- nem krogu konstanten tok . Nape tost se je inducirala na cevi v su nkih , ko je prekinj alo prekinilo tok ali ga zop et sklenilo. Sunek napetosti ob prekinitvi, ko se je zmanjšal magnet n i pretok, je bil drugače obrnjen kot sunek nap etosti ob vklj učitvi , ko je magnetni pretok narasel. Morda bo kdo prip omnil, da je bila elektroda cevi zdaj anoda zdaj katoda, in podvo- mil v to , da je naprava sploh delovala. Tranformator za res na sekundarni strani daje N 2 / Ni-krat višjo izmenično napet ost, če ga priključimo na primarni stran i na izmenično napetost . V tem primer u je treb a uporabit i usmernik, ki ga te daj še niso imeli. Njegovo vlogo je mimogred e opravil induktor. P o indukcijskem za- konu Ui = t::.., lJ' ' Marija Vencelj Astronomija I SENCOMER Predstavljam vam preprosto napravo, s kat ero lahko v po ljubnem t renutku hitro izmerimo do lžino sence oziroma višinski kot Sonca , seveda v sončnem vr emenu. Dal sem ji ime sen comer (slika 1). , s. " 'o~ .. " " ~Ci?" ~...~ ....(> 'tI- ~• ~o,e' ....-c e ~(, Slika 1. Sen camer; v - v išin a stožca, s - d olžina nj egove sence na vodoravn ih t leh , (3 - višins ki kot Sonca . Do lžinsko skalo izdela mo tako, d a od sred išča S os novne ploskve stožca vzdolž ploščice nanesemo d olžinske enote (np r. cm) , ska lo za višins ki kot pa lahko izd ela mo na več načinov : eden je iz enačbe tg (3 = :; . Pri kon st ant ni (zna ni ) v išini (npr. v = 10 cm) in od bran ih višinskih kotih vsakič izračunamo dolžin o sen ce s = t;{3 in jo označimo s črt ica na ska li za višins ki kot (g I. še Presek 13, str . 153). Dolžino sen ce al i višinski kot Sonca la hko v tem primeru hitro in sko raj i s točasno odberem o. Glavna dela sencomera st a pokončen slok stožec in vodoravno posta- vljena deščica ali karton z dolžinsko in kotno razdelit vijo na ist i st rani deščice al i pa na različnih straneh, kamor stožec meče senco. (V bistvu že zadostuje samo stožec, če imamo merilec za do lžino vedno pri roki .) Na enem koncu deščice označimo krog za osnov no ploskev stožca . V ta krog n.a.rrr e sst.irrr o stožec t ako, d a nj e g o va s enc a ved no pade n a vodoravno ploščico (slika 2 na IV. strani ovit ka) . Ob vzhodu ali zahodu Sonca ne moremo opazovati sence navpičnega stožca na ploščici , ker je neskončno do lga. Dob ro ur o po vzhodu pa je Sonce že to liko visoko, da senco lahko opazujemo, čeprav je še nekoliko razmazana . Kako uro pred za ho do m Sonca in pozneje so sence sp et tako dolge in razmazane, da jih ne moremo dobro opazovat i. Najbolje jih torej IA stronomija opazujemo od sred ine dopoldneva do sr ed ine po po ldneva. V tem času lah ko pr ecej natančno merimo dolžino sence, ki se do poldneva kr aj ša (zakaj?), op oldne je najkrajša , po poldne pa se daljša. Sestavimo na primer takole preglednico: K raj: Datum : čas opazovanja d olžin a sence opom be (ura) (v cm ) 9. 10 . 11. 12. 13. 14. 15. 16. Slika 3. Graf odvisnost i d olžine se nce od d nev- nega časa za dva d at uma . .. ...........• . ...... . . 0 < ...• •• •••• ••• • •0 ... .. ·· · ··· .. · 1t t12.'0 Na osnovi preglednice nato na- rišemo graf odvisnosti dolžine sence od dnevnega časa. Graf je vsak dan drugačen , sa j ima Sonce vsak dan nekoliko dru- gačno navidezno pot nad ob- zorjem (slika 3) . Zan im ivo je opazovat i pr e- mikanje sence, ki jo meče mi- rujoč st ožec ali kak drug nav- pično postavljen pred met (npr . ravna palica) na vodoravna tl a . Dvoje la hko ugotovimo pri te m premikanju : orientiramo se in ocenimo kotno hitrost vr t enj a Zem lje, kaj t i p remikanje sence je posled ica vrtenja Zemlje. Orientiramo se takole: Vrh sence stožca se v času nekaj minut pre- makne pro ti vzhod u (slika 4). To sme r Vl V2 začrtamo in orient ac ija je končana , saj za znajdenje na zemlj išču zadost uje že ena smer . O določitvi vr ednosti kotne hitrosti vr t enja Zemlj e pa je že pisal P resek v 6. številki 21. letn ika. vodor.tla Slika 4. Orient aci j a po senci , ki jo meče navpični predmet na vodoravna t la . Astronomija I Senco stožca lahko op azu- jem o vsake pol m eseca . Za- pazimo razlike med grafi (sli- ka 3) . To, da se d olžin a opol- dans ke se nce stožca med let om spreminja, je odvisno od navi- deznega let nega gibanja Sonca m ed zvez dam i, ka r je posled i- ca kroženja Zemlje okrog Son - ca (spom nite se na let ne čase) . Dnevno in letno sprem injanje se nce sta t orej posled ici vr te- nja in kroženja Zemlje, na kar človek morda sploh ne pomisli . Povejmo še nekaj o višins kem kotu Sonc a . To je kot med vodo- ravno ravnino in smerjo proti Soncu , natančnej e p rot i njegovemu središču. Označimo ga z (3 . Ob vz hodu Sonca je (3 = O. Potem se vse dopoldne veča . Opold ne, ko je Sonce na jugu , je največji (v Ljublj ani ob kresu 68° , ob božiču pa 20°), na t o pop oldne pada in ob zahodu je spet (3 = O. Višinski kot Sonca lahko ugotovimo na več načinov. Za vs ako opa- zovanje senc e na rišem o pravokotni trikotnik, kater ega ka t eti st a senca in višina stožca, višinski kot , to je kot med senco in trenut nim Sončevim žarkom (hipotenuzo), pa izm erimo s kotomerom. Uporabimo lahko t udi enačbo , naved en o v podpisu k sliki 1. Vend ar je to zamud no . Dost i bo- lje je , da za višins ki kot na deščico že vriše mo ska lo v kotnih stopinjah (slika 1) . Tako la hko v poljubnem času z lahkot o odberemo vre dnost višinskega kot a skoraj zagotovo na stopinjo natančno . Spet lahko med dnevom merimo višinski kot Sonca in sestavimo pre- glednico : Kraj : D atum: čas opa zovanj a v iš inski kot Sonca opombe (ura) (v stopinjah) 9 . 10. I l. 12. 13. 14 . 15 . 16 . I Astronomija Nato narišemo ustrezen graf (sli- ka 5). Ponovno lahko v različnih dnevih merimo višinski kot Son- ca in grafe primerjamo med se- boj . Če nas zanima samo spre- minjanje opoldanskega viš ins ke- ga kota Sonca med let om , me- rimo v različnih dneh samo okoli poldne. Graf sp reminjanja višin- skega kota Sonca opoldan v let u 1997 za Ljubljano kaže slika 6. 60' (3 ;0 6h fD f2 f .. f6 lah ca.< 51 ' zr .r D' L-..L-...L-l..L--'----'-l..l.---'---'--....w.---,,--.l.-U 1 2 :3 • 5 6 7 a v 11 11 1:2 mes, ,.. ...... 7" Slika 6 . Spreminjanje opoldanskega višin- skega kota m ed let om v Ljubl j an i. ... r.fl-r--,----,-,.---,---.--,-,.---,-,----,.,--.----,-~... Slika 5. Spreminjanje višinskega kot a Sonca v Ljubljan i d ne 10 . 4 . 1997. S stožcem pa lahko naredi- mo še naslednje zelo zanimivo opazovanje: Postavimo ga na bel papir na vodoravnih tleh. Pa- pir in stožec ves čas opazovanja nič ne premikamo. Vsake pol ure (na primer od 9. ure dalje do približno 16. ure) zarišemo vrh sence. Popoldne, ko zaključimo z opazovanjem, vrhove senc po- vežemo. Dobim o krivuljo, po ka- t eri se je vr h sence stožca spre- hajal po papirju tistega dne. Do- kazati se da, da je ta krivulja h i- pe rbola, in t udi pokazati, zakaj je vsak dan drugačna. Takšne krivulje lahko opazujemo t udi na prostem, vendar je z opazo- vanjem kar nekaj dela. Namesto majhnega stožca vzamemo kol, preklo, drog. Sam sem opravil res veliko takšnih opazovanj (slika 7 na IV . strani ovitka) . Prav zadovoljen sem bi l, ko sem na koncu dob il odlično ujema- nje teorije in prakse . Teoretična razglabljanja prekoračujejo raven tega prispevka, praktično de lo pa je povsem preprosto . Poskusite se še vi kak sončen dan v letu spoprijeti s takšnim opazovanjem sence in dobiti zani- mivo krivuljo, po kateri se po vodoravnih tleh premika vrh sence vašega stožca ali kakega drugega pokončnega predmeta. Marijan Prosen Mat ematika I o ŠTEVILIH 11. . . 1 V zapisu števil 1, 11 , 111, 111 1, . .. , 11. . . 1, . . . (1) nastopa le števka 1. (Osnova je deset .) Ogledali si bomo dve nj ihovi las t nost i. Znak Jn naj pomeni število ob like (1) z n enkami , npr. h = =1111111. Prva las tnost se tiče delit eljev števil oblike (1) . Vsa so lih a , zato niso delji va z 2; pa t udi s 5 ne, saj se ne končujejo na O ali 5. Za delit elje pridejo tako v poštev le števila tuja 10. In zanim ivost: A. Vsako št evilo, ki j e t uje 10, j e m ed deli telji šte vil oblike (1 ). Prepričajmo se ! Naj bo n naravno števi lo , večje od 1 in t uje 10. Po glejmo števila (2) Po delitvi z n j ih lahko za pišemo J I = kl n +Tl , J2 = k2n+ T2, ' . . , Jn = knn +Tn , Jn+l = kn+ln+Tn+l . (3) Kvoc ien ti kI , k2, . . . , kn , kn+l so nenegati vna cela števila, ostanki TI, T2, " " r« , Tn+l im ajo vrednosti med števili O, 1, 2, . . . , n - 1 . (4) Števil (2) je n + 1, ostankov (4) je možnih le n . Zato morata vsaj dva ostanka v (3) imeti isto vrednost. Naj bo npr. (5) t or ej sledi P o drugi st rani velja Sled i (k t - ks )n = 105 . J t - s . (6) Po privz etku je n t uj številu 10. Zato (6) pove, da n deli J t - s ' Toda to je eno od št evil JI , h , . .. , Jn' saj je 1 ::; t - s ::; n zarad i (5) . Trdit ev A je dognana . Matematika Ugotovit ev A velja seved a poseb ej za vsako praštevilo , različno od 2 in 5. To pomeni , da se m ed prafaktorji števil (1) nahaj aj o vsa praš tevi la razen 2 in 5. P rašt evilsk i razcep začetnih števil iz (1) navaj a preglednica : J 2 = 11 =11 J 3 = 111 = 3 · 37 J 4 = 1111 = II . 101 J 5 = 11 111 = 41 · 271 J 6 = 111111 = 3 · 7 · 11 . 13 ·37 (7) J 7 = 1 111111 = 239 . 4649 J 8 = 11111 111 = 11 ·73· 101 . 137 J 9 = 111 111 111 = 3 2 · 37 · 333667 J lO = 1 111 111 111 = 11 · 41 · 271 · 9091 Videli smo, da je pri n t ujem 10 vsaj eno od števil JI , J 2, . . . , Jn delj ivo z n . Najmanjš i indeks , za ka t erega to velja, zaznamujemo s c(n ). Iz prvih t re h vrstic v (7) izha ja , d a 101 ni delit elj za JI = 1, J 2, J 3, pač pa 101 deli J4 . Zato je c( 101) = 4. Ker je med števili JI , J2, . .. , Jn vsaj eno, ki je delji vo z n , je izpol- nj en a ocena c(n) :::; n . (8) S pomočj o (7) ses t avimo pregled nico štev il c(n) za n , 1 < n :::; 41, ki so t uja 10; kjer c(n) iz (7) ni razv iden , je post avljen vprašaj : c(3) = 3 c(7) = 6 c(9) = 9 c(l1 ) = 2 c(13) = 6 c(17)= ? c(19) = ? c(21) = 6 c(23) = ? c(27) = ? c(29) = ? c(31) = ? c(33) = 6 c(37) = 3 c(39) = 6 c(41) = 5 (9) Pri vprašaj ih lahko z računom prever imo, d a je: c(17) =16 c(19) = 18 c(23) = 22 c(27) = 27 c(29) = 28 c(31) = 15 (10) Mat ematika I Ker je za radi (9) in (10) c(3) = 3 c(9) = 9 c(27) = 27 , ocen e (8) ne moremo izboljša t i. V podrobnejši opis , kako je c(n) odvisen od n, se ne bomo spuščali . Obrnimo se k drugi last nost i št evil (1). Nas lonili se bomo na zn ano dejs tvo: Če j e naravno število a večje od 1 in t uje 10, je decirnalni zap is za ~ čisto periodičen . Np r. k = 0,3 in do lžin a (osnovne) peri ode je ena; l ~l = 0,009 9 in dolžina periode je štiri. V nadaljnjem na j bo q praš t evilo , večje od t r i. Če j e p tako praštevilo , da ima 1 dolžino periode enako q, je p (11) in št evke Cl,C2, .. . ,C<] so vzete med vrednostmi 0, 1,2 , . . . , 9. Ker im a k peri odo dolžine ena , do lžina periode v (11) pa je q ~ 5, je p =1= 3. Če ~ množimo z 10<] in nato odštejemo ~ , dobimo iz (11) 10<] - 1 _ <] - 1 <] -2 - - - - Cl . 10 + c2 . 10 + ... + c<] . p Če označimo naravno število na desni z b, j e 10<] - 1 = bp in zarad i 10<] - 1 = 9J<] tudi 9J <] = bp. Dobljen a enakost pove, da p d eli 9J<]; potem pa p deli J <] , saj za praštevilo p velja p =1= 3. Tako sm o ugotovili : Vsako praštev ilo p , pri ka t er em je dolžin a per iode štev ila ~ enaka praštevilu q ~ 5, je faktor v J <] . Z nekaj več priprave je mogoče do gnati: Če j e q prašt evil o nad tri in praštev ilo p faktor v J <] , j e dol žin a periode štev ila ~ enaka q. Z drug imi besed ami: B. Če j e praštevilo q večje od t r i , se praštevila p , za kater a im a 1 do lžino p p eriode q, na tančno uj em aj o s prafaktorji šte v i l a J <] . Mat ematika - Zanimivosti - Razvedrilo Vzemimo kot zgled q = 5. Iz (7) vidimo , da je J5 produkt prafaktor - jev 41 in 271. Velja 1 - - 41 = 0,02439 2~1 = 0,00369 in števili 4\ ' 2~1 imata res dolžino periode enako pet; po trd it vi B sta 41, 271 edin i praštevili p , za kateri ima ~ dol žin o periode pet . Opomba. Kad ar n ni prašt evilo, nastopaj o v Jn tudi prafaktorji p , pri katerih je dol žin a periode števila ~ manjša od n . Po (7) im a J 8 prafaktorje 11, 73, 101, 137 . Tu je 1 - - = 0 09 11 ' _1_ = 0,0099 101 7 1 3 = 0,01369 863 _1_ = 0,00729927 137 in poj avljajo se period e dol žin 2, 4 in 8. Naloge. 1. Pokaži , da za n ::::: 2 velja L = 0,0 . .. 09 z dolžino periode n . 2. Če je n sest avlj eno št evilo, n = ab, 1 < a < b < ti, je Jn deljiv z Ja in J b ; torej tudi z najmanj šim skupnim večkratnikom šte vil Ja in Ji; 3. Število Jn je praštevil o kvečjemu t ed aj , ko je n pr ašt evilo. (P ri n < 113 se to zgodi le za n = 2,19,23.) 4. Prepričaj se , da je c(17) = 16. 5. Z indukcijo do ženi, da je c(3i ) = 3i , j = 1,2,3, . . .. J ože Grasselli TEMELJITOST Učitelj : Kaj še vedno nisi seštel te h treh šte vil? Učenec : O ja , že desetkrat! Učitelj : Lepo! Rad imam tem eljite učence. Učenec : Hvala. Tu je vseh deset rezultatov! Marija Vencelj Računalništvo I VARNE POTI IN KRATKE POTI Kon ec pomladi so se mali šolarj i pod ali na po t v pravo šolo, da si og ledajo, v kaj se bodo podali jeseni . Ker sem z enim izmed udeležen cev "pohoda" v t esnem sorodu, pot pa poteka po središču mest a , si nisem mogel kaj , da si ne bi zast avil nekaj vprašanj : Katera pot je najbolj varna? Katera pot je najkraj ša? Za ome njeni primer je shemat ični zemljev id mestnega okoliša (Mari- bora ) pod an na sliki 1, kjer je, kot že rečeno , potrebno priti iz vr t ca do šole. Poleg uli c, vrtca in šole so označeni tudi preho di za pešce, križišča in območja, na kat er a ceste razdelij o mestno četrt . Slika 1. Zemlj evid mestne četrt i. Varne poti Varna pot mora seveda potekati le po pločnikih in prehodih za pešce. Dom en im o se, da je naj varnejša t ista pot , ki naj manjkra t prečka cest o . Št ev ilo prečkanj ces t e imenujmo nevarnost poti. Metoda "ost rega očesa" nas hitro prepriča, da je na sliki 1 nevarnost poti iz vrtca do šole enaka 3 - z manj kot tremi prečkanji ceste žal ne morem o iz vrtca do šole. Lotimo se sedaj pr ob lema v splošnem: Kako bi za po ljuben zemljevid in za poljubna začetek in cilj poiskali najvarnejšo pot? Najprej opaz imo, da za reševanje problema ne potrebujemo informacije o obliki posameznih območij zemljevida, sa j se zno tra j območja gibljemo varno. Zat o bomo I Računalništvo vsako območje nad om estili z maj hnim krožcem. Seveda pa moramo ve- deti, iz kat erega v katero območj e lahko pridemo preko prehoda za p ešce. To bomo označili s črto med ustreznima kr ogeem a. Če je med dvema območjema več preho dov , to na varne poti ne vpliva , zato bo ena črta med območj ema zadoščala. Za zemljevid s slike 1 dobimo po enost avlje no situacijo, ki je prikazana na sliki 2. 2 G 8~ 7 ,/ G-- - --{)--- - -{) 1413121110 (}-- - - -{}- - - --{ :)--- - ---{ }-- - - o Slika 2. Graf za iskanje va rn ih poti. Do blje no matematično st rukt uro imenujemo graf. O grafih je več zapisano v knj ižici iz Presekove knj ižnice: B ajc, Pisanski: Naj nuj nejše o grafih. Tu pa povejmo le, da kr ogcem pravimo točke, črtam pa p ovezave grafa . Območju vrtca ustreza točka 6, šolskemu območju pa točka 7. . Po grafu se lahko sprehaj amo . To nar edimo t ako , da gremo iz ene točke v drugo točko po povezavi, ki ju povezuje. Zaporedju t ak ih prehodov rečemo sprehod v grafu . Sprehod, v katerem so vse točke različne, ime- nujemo pot. Spreho d med dvema točkama grafa je najkrajši sprehod, če vsebuje najmanjše možno št evilo povezav. To število povezav imenujemo razdalja med danima točkama. Najkrajši spr ehod med dvem a točkama je vedno pot. Res, če se na sprehodu ist a točka poj avi dvakrat , lahko t ist i del sprehoda , ki pot eka vm es , opustimo in dobimo krajši sprehod. Zato bomo v nadaljevanju namesto o najkrajših sprehodih govorili kar o najkr aj ših pot eh . Opozorimo še, da lahko med dvema točkama obstaja več različnih najkraj ših p oti. Na sliki 3 sta shematično prikazani dv e poti v našem grafu. Prva poteka po točkah 6, 1, 2 ter 7 in je ena od treh najkraj ših poti med po udarjenima točkama 6 in 7, to rej med vr tc em in šolo . P ot po točkah 3, 4, 5, 9, 13 in 14, ki je dolžin e 5, pa ni najkrajša pot med 3 in 14, saj lahko med nji ma hitro najdemo pot dolžine 3. Računalništvo [ 2 6 -, --- - - - -- - V7 9 13 14 Slika 3. Dve poti v grafu za iska nj e va rnih pot i. Prečkanj e ceste na sliki 1 to rej ponazorimo z ust rezno povezavo grafa s slike 2. Zato je nevarnost poti med dvem a območjema s slike 1 enaka raz- dalj i med ustrezni ma točkama s slike 2. Kako v poljubnem grafu poiščemo razdaljo med dvema točkama, bomo povedali nekoliko kasneje, najprej pa si oglejmo nasled nj i soro d ni pr ob lem . Kratke poti Tokr at bi radi iz vrtca do šole pr išli po naj kra jši poti. Seveda sme mo t udi sedaj prečkati ceste le po prehod ih za pešce, n i pa pomembno, kolikokrat prečkamo cesto . Iz zemljevida s slike 1 bomo naredi li graf takole. Njegove točke bodo križišča , sa j moramo prit i v križišče , če želimo prečkati cesto. (Če bi imeli prehode za pešce t ud i izven križišč , bi pač t ud i tam dodali točke . ) Nato d ve točki povežemo , če gre za sosed nj i kri ži š či , Seveda pa potrebujemo t udi dodat no informacijo - dejanske razd alje med posame- znimi točkami. Tako dobimo graf, ki je pr ikazan na sliki 4 . Tak graf imenujemo utežen i graf. Vrednost im na povezavah bomo rekli cene, saj lahko te vred nost i predst avljajo t ud i ka j drugega kot do lžino . Na prim er znesek, ki ga moram o plačati za cest nino, ali pa ceno izgradnj e posame- znega odse ka . Za naš primer si lahko predstav ljamo, da so cene povezav desetkratniki dejanski h vrednosti, t ako na primer cena 10 predstavlja raz- daljo 100 metrov . IRačunalništvo a 10 b 10 c 10 d 11 e f ~~~12 11 10 1010 9 h 10 t 2 10 ~~10 10 10 10 7 2 j 10 k 10 10 ln n Slika 4. Graf za iska nje na j cen ej ših poti . Opozor imo, da so s povezavo povezana t ud i nekater a križišča , ki jih sprva morda ne bi povezali , na primer križišči h in m. Pomen takih povezav je v "bližnjicah" , ki potekajo zno t ra j posameznih območij, v tem primeru po območju št evilka 9. Zop et drugje nimamo diagonal , na primer med križiščema b in h, saj ni bli žnjice med njima znot raj območja 4. Skratka , v primeru iskanj a najkraj ših poti je pom embno t udi poznavanje notranjosti območij . Vrednost poti v utežen em grafu je defini rana kot vsota cen vseh pove- zav na poti . Najkr ajša pot je seveda t ista z najmanjšo možno vr ednostjo. Na prim er , vrednos t poti f - k - 1- h - d je 17+ 10 + 10 + 16 = 53. To ni najkrajša pot med točkama f in d, sa j je vrednost poti f - a - b - c - d enaka 42. J e to najkraj ša pot med f in d? Če na vsako povezavo grafa zapišemo vrednost 1, je vrednost naj- krajše po t i med dv ema točkama enaka nevarnosti med njima . Seveda moramo pazit i, v katerem grafu to nar ed imo: za varne poti mor amo t o naredi ti na grafu s slike 2. Če torej imamo postopek, ki v uteženem grafu poišče vrednosti najkrajših poti , z njim lahko poiščemo tudi nevarnosti med točkami . Iskanje vrednost i najkrajših poti Sedaj bom o opi sali algorit em, ki za vsak par točk utežen ega gr afa poišče vr ednost najkraj še poti med njima. Kot bom o vid eli , je postop ek zelo enost aven . Met od e, s katero pridem o do algorit ma, ne bomo raz ložili (mimogred e, imenuj e se dinamično programiranj e), prav t ako pa ne bomo strog o dokazali , da algor item deluje pr avilno. Obo je namreč presega okvir tega prispevka. Računalništvo I Algoritem je takle. Recimo, da ima obravnavani graf n točk . Njegove točke oštevilčimo s št evili od l do n . Nato v dvorazsežno polj e, im enujmo ga razdalj e, zapišemo cene po sameznih povezav. Natančnej e , če sta točki i in j povezani s povezavo , potem v razdalj e [ L , j l zapišemo ceno povezave med i in i , sicer pa zapišemo oo. V računalniku seve da ne moremo za pisat i vrednost i neskončno , za t o zapišemo dovolj veliko število , na primer IOO-krat večje od tipičnih cen povezav. V spodnjem programu smo izbrali vrednost 99999. No, priročnej e je , če za točki, ki nista povezani s povezavo, kot podatek vnesemo vrednost - 1, to pa potem s programom spre me nimo v 99999. S tem smo pripravili podatke za jedro algorit m a . Ko so podatki pripravljeni oziroma prehrani , se spre ho di mo po vseh točkah. Za vsako točko , imenujmo jo i , se vprašamo, ali morda ne poteka bližnjica iz neke točke j do neke druge točke k pr eko točke i . Pri izbrani točki i to prever imo za vse mo žn e pare točk. Če taka bližnjica obstaj a , si t o seved a zapomnimo. Ko se algoritem izteče , imamo v polju r azda- lj e zapisane vrednosti najkraj ših poti za vse pare točk ut eženega grafa. Zapišimo t a algoritem v obliki progr ama. pr-ograrn najcenej se.poti ; { V utežen em grafu za vsak pa r točk poišče vrednost najkrajše poti } { med njima. } const maximum = 100 ; { Največje dovolj eno št evilo točk gr afa . } var razdalj e : array [1.. m axim um ,1.. maxim u m ] of longint; i , j , k, n: integer; ime: string[20] ; { Im e datoteke, na kat eri so p odatki o cenah. } f: t ext; begin { Pripravimo dato teko, n a ka teri so vpisan i p odatki . } write('Vhodna datoteka : ') ; read ln( ime); assign( f,ime); reset(f) ; { Z datoteke f preb eremo število točk in cene vseh p ovezav. } re adln (f ,n ) ; for i := 1 to n do b egin for j := 1 to n do begin read (f ,razdalj e [i,j]) ; if razdalj e [i,j]= -l then razd a lje [i,j] .- 99999; end; readln(f) ; end; Računalništvo { Bist vo program a so naslednj i trije stavk i for. } { Vprašamo se: ali imamo bližnjica iz j v k preko 1. } fo r i := 1 to n do for j := 1 to n d o fo r k := 1 to n d o if razdalje jj.k] > ra zdalj ejj. i] + razda lje[i,k] t hen razdalje jj ,k] := razd alje[j,i] + razdalje[i,k]; { Samo še izpis rezultatov, pa smo končali . } for i := 1 to n do begin for j := 1 to il d o wri te (razdalje[i,j]:3) ; writeln ; e n d ; end . Seveda bi lahko gornj i postopek sprog ramirali t udi elegant neje, ven- dar bi s tem zameglili njegovo bistvo. Na primer , podat ke bi lahko pri- pravi li (in brali) v taki obliki, da bi vnes li samo neničelne cene , dovolj pa bi t udi bil o vnesti le po lovico podatkov, saj vedno velja r a zdal j e [i , j J = razdalj e [j , iJ . Omenimo še, da opi sani post op ek ni ed ini, ki poišče vrednosti naj- kraj ših poti . Ima t udi pomanjkljivost , saj kot rezulta t dob imo le vrednosti naj kr aj ših poti, ne pa tudi sa mih poti . Seveda pa smo s t remi preprostimi stavki for do bili več , kot bi si lahko mislili na začetku . Prim era Preizkusimo gornji program na ob eh primerih iz tega prisp evka . Graf s slike 2 ima 14 točk , vhodni po datki, ki jih pripravimo na datot eki , pa so naslednj i: 14 O 1 1 1 -1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 -1 - 1 1 O 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 -1 1 -1 -1 -1 - 1 1 1 O 1 - 1 - 1 1 -1 -1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 -1 1 O 1 - 1 -1 1 - 1 -1 -1 -1 - 1 - 1 -1 - 1 -1 1 O 1 -1 -1 1 -1 - 1 -1 - 1 -1 1 - 1 -1 - 1 1 O - 1 -1 1 - 1 - 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 - 1 - 1 O 1 -1 -1 1 -1 - 1 - 1 -1 - 1 - 1 1 - 1 -1 1 O 1 - 1 - 1 1 -1 - 1 - 1 - 1 - 1 -1 1 1 -1 1 O - 1 - 1 -1 1 - 1 -1 1 - 1 - 1 - 1 -1 - 1 - 1 - 1 O 1 - 1 -1 -1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 -1 -1 1 O 1 - 1 -1 - 1 - 1 -1 -1 - 1 - 1 -1 1 - 1 - 1 1 O 1 -1 - 1 -1 -1 - 1 - 1 -1 - 1 - 1 1 -1 - 1 1 O 1 - 1 - 1 -1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 -1 -1 1 O 130 Računalništvo I Izpis , ki ga vrne program , je prikazan v spodnj i tabeli: O 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 2 1 O 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 4 3 1 1 O 1 2 2 1 2 3 2 2 3 4 3 1 2 1 O 1 2 2 1 2 3 3 2 3 3 2 3 2 1 O 1 3 2 1 4 4 3 2 2 1 2 2 2 1 O 3 2 1 3 4 3 2 1 2 1 1 2 3 3 O 1 2 2 1 2 3 4 2 2 2 1 2 2 1 O 1 3 2 1 2 3 2 3 3 2 1 1 2 1 O 4 3 2 1 2 2 1 2 3 4 3 2 3 4 O 1 2 3 4 3 2 2 3 4 4 1 2 3 1 O 1 2 3 3 3 3 2 3 3 2 1 2 2 1 O 1 2 3 4 4 3 2 2 3 2 1 3 2 1 O 1 2 3 3 3 2 1 4 3 2 4 3 2 1 O Najnevarnejše pot i so tiste m ed 2 in 13, 3 in 13, 5 in 10 , 5 in 11 , 6 in 11,7 in 14 , 9 in 10 ter 10 in 14, pr i vse h moramo (vsaj) štirikrat prečkat i cest o. V drugem primeru pa preizkusimo program na ut eženem grafu s slike 4 . Tudi ta graf im a 14 točk , ki jih oštevilčimo na naraven način , torej a naj b o 1 in ti naj bo 14. P odatki za progr am so: 14 O 10 -1 - 1 - 1 12 -1 -1 -1 - 1 -1 - 1 -1 -1 10 O 10 -1 -1 16 11 -1 - 1 - 1 -1 -1 -1 -1 -1 10 O 10 -1 - 1 15 10 - 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 10 O 11 -1 -1 16 10 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - 1 11 O - 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 22 12 16 -1 -1 -1 O 10 - 1 - 1 10 17 -1 -1 -1 -1 11 15 - 1 - 1 10 O 10 -1 -1 10 -1 -1 -1 -1 -1 10 16 -1 -1 10 O 10 -1 -1 10 18 -1 -1 - 1 -1 10 -1 -1 -1 10 O -1 -1 -1 10 -1 -1 -1 -1 -1 -1 10 -1 -1 -1 O 10 -1 -1 -1 -1 -1 - 1 - 1 -1 17 10 -1 -1 10 O 10 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 10 - 1 - 1 10 O 10 -1 - 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 18 10 -1 -1 10 O 7 -1 -1 -1 -1 22 -1 -1 - 1 -1 -1 -1 -1 7 O Računalništvo - Naloge In še rezultat programa: o 10 20 30 41 12 21 30 40 22 29 39 48 55 10 O 10 20 31 16 11 20 30 26 21 30 38 45 20 10 O 10 21 25 15 10 20 35 25 20 28 35 30 20 10 O 11 35 25 16 10 45 35 26 20 27 41 31 21 11 O 46 36 27 21 56 46 37 29 22 12 16 25 35 46 O 10 20 30 10 17 27 37 44 21 11 15 25 36 10 O 10 20 20 10 20 28 35 30 20 10 16 27 20 10 O 10 30 20 10 18 25 40 30 20 10 21 30 20 10 O 40 30 20 10 17 22 26 35 45 56 10 20 30 40 O 10 20 30 37 29 21 25 35 46 17 10 20 30 10 O 10 20 27 39 30 20 26 37 27 20 10 20 20 10 O 10 17 48 38 28 20 29 37 28 18 10 30 20 10 O 7 55 45 35 27 22 44 35 25 17 37 27 17 7 O Najdaljša pot med vsemi najkraj širni pot mi je dolžine 56 in poteka med točkama e in i , druga najdalj ša pa je pot med točkama a in n . Poišči ju! Vse ost ale poti so kr ajše od 50. Naloga Za svoj okoliš ugotovi dejanske po datke o prometni ureditvi in nat o poišči najvarnejše in najkrajše poti. Pri te m lahko varnost poti še nekoliko izp o- po lniš: če cesto prečkamo pr i semaforju , je to varneje, kot če jo prečkamo na nesem aforiziranem križišču (na primer dvakr at varneje) . Kako mo ramo za t a primer prip ravit i p od at ke? San di Kl avžar HITRO KVADRIRANJE ŠTEVIL, KI SE KONČUJEJO S ŠTEVKO 5 Če kvadriramo število, kat erega za dnja št evka v deset iškem za pisu je enaka 5, dob imo število, ki se končuj e s 25. Tud i števke, ki stojijo pred t em dvomest nim kon cem , lahko do bimo na zelo preprost način (samo iz št evk, ki so pred zaklj učno št evko 5 v začetnem šte vilu). 1. Zapiši nekaj pr imerov in poskusi iz nji h uganiti , po kakšn em pravilu do bimo začetne števke kvad ratov takih števil. 2. Zakaj pravil o vedno deluje? 3. Ali lahko še v kakšni bazi, različni od 10, dobimo po do bno pravilo za kvadriranje nekat erih števil? Marija Vencelj Zanimivosti - Razvedrilo I KRIŽANKA "F I ZIK ALN E VEDE" AVTOR VEDA O ČLAN MESTO IN MEZZo- PRIPADNIK lERMON· MARKO GIBANJU IN NAJVISJE GIUSEPPE SL~vKfs~~M SOPRA- ZIVALSKA STAREGA HCER'N NA~~ŠEK TOVA PBOKAlIC MIROVANJU ZNANSTV VERDI NlST.KA NOGA EVROP. MOZ PESNITEVTELES USTANOVE NQVSAK LJUDSTVA NAUKo DUMAGNETNIH POJAVIH (LAl ENAKO~ VREDNOST LOGICNIH IZJAV RIM ZGo- VEZNIK novINAR 1---- HEKTAR 1---- SMUCAR PREDVElIKQ MAH RE NQCNAJ EO SESTI 100m2 SLOVESNA ZIDOVSKI ZAOB~ MESEC LJUBA NAJVISJE NOVINARKA ... PEVEC STAR FARMA- I GORSTVOCITROENQV CEVTSKAMALECKAR SLAVICA AVTO USTANOVA Sl SMUCAR (JURE) ZEMELJSKA SIRSKI PEVEJ: ~ NAZIV VODITELJ (HAFEZEl ) N1PIC LUTKAR MAJARON IZPAD FR SMuCAR~ MLE DELA ~ ~ ORGANA IZ TONE SPO VOTLINE KUNTNER USI DANEZAJC NAUK O 1---- ZVOCNIH VELIKO POJAVIH IZRAELSKO MESTO ~ T1BETANSK SIVA KRHKA VEDA O I OGOVEDO ~SVETLOBNI H POJAVIH ŽiVLJENJE· MESTO V SLOVEC MAKEDONIJI DLAKEPOD PORTUGAL VELIKA ~ ~MUHA BRENCELJ VELIKANSKI POSTELJNO KIP POKRIVALO VEDAO TI: TE~~~A ~NAJDAlJSI PnRJJH~K SLOVNICp,R VRSTA I BQHORIC ENERGIJE JAREM SREDISCE SLIKAR FllIPIN ~ AR,OTOKA ITAL PANAY KAMION VEDA. KI PROUCUJE VESOLJE T~~I m , kar pa je protislovje. Torej tak razrez ne obstaja. 3. Na parabolo narišimo dve vzporedni tetivi in označimo njuni razpo- lovišči. Naj bo ldaljica, ki spaja ti dve točki. Narišimo tetivo , ki je pravokotna na l, in označimo njeno razpolovišče. Premica, ki gre skozi to razpolovišče in ki je vzporedna l, je ordinata in seka parabolo v koordinatnem izhodišču. Sedaj ni težko narisati še abscise. Podkre- pimo konstrukcijo z dokazom. Naj ima prva tetiva kraj išči (Xl, xi) in (X2' x~) in druga tetiva kraj išči (X3' x~) in (X4' x~) . Potem sta naklon- 2 2 2 2 ska koeficienta t etiv enaka X , - X 2 = Xl + X2 in X 3 -X4 = X3 + X4. Ker XI - X2 X3 - X4 sta tetivi vzporedni, je X l + X 2 = X 3 + X4 . Torej imata razpolovišči tetiv enaki abscisi , zato je dalj ica l vzporedna ordinati. 4. Števila fantov , s katerimi se posamezna dekleta poznajo, so 0,1, . .. ,n. Torej je število poznanstev med fanti in dekleti enako ~n(n+ 1). Ker so št evila deklet , ki jih poznajo posamezni fantje, enaka, mora biti število vseh po znanstev deljivo z n. Od tod sledi, da je število n + 1 deljivo z 2. To pomeni, da pri sodem n taka družba ne obstaja. Pokažimo, da pri lihem n družba z dano lastnostjo obstaja. Naj bo Tekmovanja I n = 2k + 1. Razdelimo deklet a v k + 1 parov. Za O ::; i ::; k naj eno dekle v i-te m paru pozna i fantov, drugo v te m paru pa preost alih 2k + 1 - i fantov. Potem so števila fantov, s kat erimi se posamez na deklet a poznaj o, med seboj različna. Vsak fant po zna natanko eno dekle iz vsakega para, torej k + 1 deklet . To rej za vsako liho število n > 1 t aka družba obstaja . R ešitve nalog drugega d ela Prva skupina 1. (a) Naj bodo p , q in r praštevila z iskano las tnostjo. Naj velja p > q > r . Če je r = 2, je r 2 + d = 14 = 2 . 7. To šte vilo pa ni deljivo s pq , saj je p, q > 2. Tudi možnost r = 3 odpade, saj je r2 + d = = 19 prašt evilo. Torej je r ::::: 5. Velja še q ::::: r + 2 in p ::::: r + 6, saj je eno izmed tre h za porednih lihih števil deljivo s 3. Potem dobimo r2 + 10 ::::: pq ::::: (r + 6) (r + 20) = r2 + Sr + 12, kar pa ni možno, za to praštevila ziskano lastnost jo ne obstajajo. (b) Naj bo p = 5, q = 3 in r = 2. Potem je število p2 + 11 = 36 deljivo s qr = 6, q2+ 11 = 20 deljivo s pr = 10 in r2+ 11 = 15 deljivo s pq = 15. 2. (a) Dolžina hipotenuze trikotnika je 5. Ker so do lžine stranic tri- kotnika celošt evil ske, je tudi dolžin a n stranice kvadrat a celo število . Ploščina kvadrat a je n 2 , ploščina trikotnika pa 6. Od to d sledi, da je n deljivo s 6, za to je n = 6m . Tedaj je število trikot nikov , na kat ere je razrezan kvadrat , enako 6m 2 , to rej sodo število. (b) Naj bo kvadrat z rav nimi odseki razrezan na pravokotne t rikot nike s kat etama 1 in 2. Vsak odse k ima za krajišči dve oglišči nekih t r ikotnikov in poteka po st ranica h nekaj trikotnikov. Če del stranice t rikotnika leži na nekem odseku , leži na te m odseku cela stranica , zato leži cel trikotnik bo disi na eni bodisi na drugi strani odseka . Vze mimo poljuben odsek. Označimo z b število hip otenuz t rikot nikov, ki ležijo na eni strani odseka , in z d število hip otenuz trikotnikov , ki ležijo na drugi strani odseka. Ker je dolžina hipotenuze vsakega t rikotnika enaka v5 in ker sta dolžini kat et celoštevilski, je dolžin a izb ranega odse ka enaka a + bV5 = c + dV5 za neki nenegat ivni celi števili a in c. Pri b i- d je v5 = ~=~, kar pa ni možno. Zato je b = d in tako je število trikotnikov, kat erih hipotenuza leži na izb ran em ods eku , sodo. Postopek po novimo za vse odseke in dobimo, da je število trikotnikov, katerih hip otenuza leži znotraj kvadrat a , sodo . P odobno obravnavamo ob a par a vzporednih stranic kvadrat a in dobimo, da je šte vilo hipotenuz na vzpor ednih stranicah enako. Torej je vseh t rikot nikov sodo mnogo. Opomba: Dokaz za pravokotnik je enak. I Tekmovanja Druga skupina 1. Naj bo g(x) = f (J (x )) = x2 - 1996. Enačba x2 -x- 1996 = Oima dve realni rešitvi ; označimo ju z a in b. Naj bo f (a) = p. Pot em je f (p) = = f(J(a) ) = g(a) = a. Od tod sledi, da je g(p) = f(J( p)) = f (a) = p. Torej je t udi prešitev enačbe x2 - x - 1996 = O, zato velja f (a) = a in f (b) = b ali f (a) = b in f(b) = a. Naj bo h(x ) = g(g(x)) = = (x2 - 1996)2 - 1996. Potem iz h(x ) = x sled i x4 - 3992x2 - X + + 3982020 = O. Ker je g(a) = a in g(b) = b, je h(a) = a in h(b) = b. Zato lahko zgorn j i polin om razstavimo: x4 - 3992x2 - X + 3982020= = (x2 - X - 1996)(x2 + X - 1995) = o. Tudi enačba x2 + x - 1995 = = O ima dve realni rešitvi; označimo ju s c in d. Naj bo g(c) = q. Potem je g(q) = g(g(c)) = h(c) = c. Od tod sledi, da je h(q) = = g(g(q)) = g(c) = q, to rej velja q = c ali q = d. Ker je c različen od a in b, je g(c) = d in g(d) = c. Naj bo f (c) = r in f (d) = 8 . Potem je f (r ) = g(c) = d in f (8) = g(d) = c. Ker je h(r ) = f(J (J (J (r )))) = = f(J (J (d))) = f(J (8)) = f (c) = r , je rE {a,b,c,d} . Ker je d =1= f (a) E {a , b}, je r =1= a. Po dobno sklepamo, da je r =1= b. Če je r = c, potem je f (r ) = r in zato g(r) = f (J (r )) = r . To pa ni možno, saj je c različen od a in b, t o pa st a edini rešitvi enačbe g(x ) = x . P odo bno do bimo , da je r =1= d. Tako smo prišli do protislovja, zato t aka funkcija ne obstaja. 2. (a) Igr alec zmaga , če izp oln i kartice na naslednji način : ( l , , 10) , (1, , 5, 11, . . . , 15), (6, . . . , 15), (16, . . . , 25), (16, . . . , 20, 26, , 30), (21, , 30) , (31, , 40), (41, . . . , 50), (51, . . . , 60), (61, , 70), (71, , 80), (81, , 90), (91, . . . , 100). Z dvema šte viloma lahko pr e- prečimo zmago vsake izmed prvih treh karti c (z enim ne mo remo), prav t ako z dvema št eviloma to dosežem o za naslednje t ri karti ce (in t i dve št evili morat a biti različni od prvih dveh ). Z nadaljnjimi sedmimi števili preprečimo zmago zadnj im sedmim kart icam. Torej je potrebnih vsaj 11 števil, da se prepreči zmago vsem 13 karti cam , za to ena kartica vedno zmaga. (b) Recimo, da smo izpoln ili le 12 kar t ic. Recimo, da se neko št evilo pojavi vsaj na t reh kart icah . Če je to število skup aj s še devet imi števili (po enim iz vsak e preost ale kar ti ce) med prepovedanimi št evili, smo izgub ili. Zato se vsako število lahko poj avi naj več na dveh kar- t icah . Tedaj se 10 . 12 - 100 = 20 št evil pojavi na nat anko dveh karti cah (ostala pa le na eni). Izb erem o dve kartici , ki imat a skup no št evilo. Na t eh dveh kar ticah je največ 19 raz ličnih šte vil, zato obsta- ja t a dve drug i kartici, na kater ih se prav tako poj avi skupno št evi lo (drugo kot na pr vih dveh kart icah) . Če so med prepoved animi števili Tekmovanja I skupno število prvih dveh kartic, skupno število drugih dveh kartic ter po eno število iz preostalih osmih kartic, smo izgubili, zato med 12 karticami ni nujno zmagovalne. Aleš Vavpetič 18. MEDNARODNO MATEMATIČNO TEKMOVANJE MEST - pomladanski krog V marcu je potekal pomladanski krog 18. tekmovanja mest. Dijaki prvih in drugih letnikov so tekmovali v prvi skupini, ostali pa v drugi. Izdelek vsakega tekmovalca je bil ocenjen z največjo možno vsoto točk iz treh nalog. V prvem delu so imeli dijaki na izbiro naslednje naloge: Prva skupina 1. Za koliko naravnih števil med 1 in 1997 velja, da je vsota njihovih števk deljiva s 5? (3 točke) 2. Lažnjivi kljukec se je hvalil, da je pri biljardu na mizi oblike enako- straničnega trikotnika udaril kroglo z roba mize tako, da je šla preko neke točke na mizi trikrat in vsakič v drugi smeri, na koncu pa se vrnila na začetno točko. Ali je to možno, če velja običajni odbojni zakon? (3 točke) 3. Dve med seboj pravokotni premici se sekata v točki M, ki leži zno- traj kroga F, in tako razdelita krog na štiri dele . Naj bosta a in b oddaljenosti točke M do premerov, ki sta vzporedna premicama. Določi razliko vsote ploščin največjega in najmanjšega dela razreza- nega kroga in vsote ploščin ostalih dveh delov. (4 točke) 4. Kvadrat je razrezan na 25 manjših kvadratkov, od katerih le eden nima ploščine 1 (ostalih 24 kvadratkov ima ploščino 1) . Določi ploš- čino prvotnega kvadrata. (4 točke) 5. Naj bo ABCD paralelogram, E razpolovišče stranice AD in F nožišče pravokotnice na daljico EC skozi točko B . Pokaži, da je trikotnik ABF enakokrak. (4 točke) Druga skupina 1. Kocka je razrezana na 99 manjših kockic, od katerih le ena nima pro- stornine 1 (ostalih 98 kockic ima prostornino 1). Določi prostornino prvotne kocke. (3 točke) 2. Naj bosta a in b taki naravni števili, da je število a2 + b2 deljivo z ab. Pokaži, da je a = b. (3 točke) I Tekmovanja 3. Središče kroga ima kartezični koordinati (a,b). Koordinatno izhodišče leži v no tranjosti kr oga , tako da koordinatni osi razrežet a kro g na štir i dele. Označimo z S + ploščino dela kroga, kjer ima ta koordinati isti predz nak, in z S - ploščino dela , kjer imata koordinat i različni pred znak. Določi vrednost izraza S + - S - . (4 točke) 4. Pravilni tetraeder ABC D je včrtan v sfero. Konstruiramo takšne pokončne piramide A BCD', A B DC', ACD B ' in B CDA' zunaj t e- traedra, da ležijo točke A' , B' , C ' in D' na sferi. Izračunaj kot med ravninama ABC' in ACD' . (4 točke) 5. Dva dij aka igrat a naslednjo igro: Dij ak A označi neko točko na ravnini z rdečo barvo, nato dij ak B označi 10 točk na ravnini z zeleno barvo , nato po novno dij ak A označi neko točko na ravnini z rdečo barvo , dij ak B označi 10 točk na ravnini z zeleno barvo in t ako naprej. (Vse točke morajo biti raz lične .) Dijak A zm aga , če na ravnini lahko narišemo enakostraničen trikotnik z oglišči rdeče barve. Ali lahko dij ak B prepreči zmago dijaku A? (4 točke) V težjem sklopu nalog pomladanskega kro ga so te kmovalc i reševali sede m nalog. Obj avljamo po dve za vsako skupino: Prva skupina 1. Pokaži, da se število (a) 9797 (4 točke) (b) 199717 (4 točke) ne da zapisati kot vsota kubov nekaj zaporednih naravnih števil. 2. Naj bo P točka znotraj trikotnika ABC, za kat erega velja lABI = = IBGI ,