FUNDAMENTALNAGRUPAIN koH-PROSTORI
ALEKSANDRA FRANC
Inˇ stitut za matematiko, ﬁziko in mehaniko
Ljubljana
Math. Subj. Class. (2000): 55M30, 55Q05
V ˇ clanku pokaˇ zemo, da je fundamentalna grupa koH-prostora prosta. Najprej po-
novimo potrebne algebraiˇ cne deﬁnicije in predstavimo pojem fundamentalne grupe. V
osrednjem razdelku deﬁniramo koH-prostore in dokaˇ zemo zgornjo trditev, na koncu pa
predstavimo povezavo z nekaterimi nedavnimi rezultati o fundamentalni grupi mnogote-
rosti.
FUNDAMENTAL GROUP AND coH-SPACES
After a quick revision of necessary algebraic deﬁnitions we explain the concept of the
fundamental group in some detail. In the main section we deﬁne coH-spaces and prove
that the fundamental group of a coH-space is free. Finally, we present some recent results
concerning the fundamental groups of manifolds.
1. Uvod
Realne funkcije lahko seˇ stevamo, odˇ stevamo, mnoˇ zimo, itd. Sploˇ sneje,
na funkcijah, ki slikajo v mnoˇ zico z neko algebraiˇ cno strukturo, lahko deﬁ-
niramo operacijo po toˇ ckah. Tako na primer mnoˇ zico funkcij iz topoloˇ skega
prostora X v grupo G opremimo s strukturo grupe.
Teˇ zje si je predstavljati, kako mnoˇ zico preslikav iz nekega prostora C v
prostor X na naraven naˇ cin opremiti s strukturo grupe. Videli bomo, kako
mnoˇ zico preslikav iz kroˇ znice v poljuben prostor X opremimo s strukturo
grupe, ˇ ce pri tem enaˇ cimo preslikave, ki so homotopne. Prostorom te vrste
pravimo koH-grupe in so osnovni gradniki za konstrukcijo bolj zapletenih
prostorov. Pojem koH-prostora je nekoliko sploˇ snejˇ si: ne zahtevamo, da
je naˇ sa mnoˇ zica funkcij grupa, ˇ zelimo le, da je opremljena z asociativno
operacijo.
Ena od osnovnih lastnosti koH-prostorov je, da imajo prosto fundamen-
talnogrupo. Vˇ clankubomonajprejpredstavilipotrebnoalgebraiˇ cnoozadje
inpojemfundamentalnegrupe,potempabomodeﬁniralikoH-prostorindo-
kazali to trditev. Deﬁnicijo koH-prostora bomo nato posploˇ sili, kar nas bo
pripeljalo do Whiteheadove deﬁnicije Lusternik-Schnirelmannove kategorije
(prikoH-prostorihjenamreˇ ctaenaka1). Seznanilisebomotudiznovejˇ simi
rezultati, ki odgovarjajo na vpraˇ sanje, kaj lahko povemo o fundamentalni
Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 1 1
Aleksandra Franc
grupiprostorovzveˇ cjoLSkategorijo(zanimivisoˇ seprostorizLSkategorijo
2 ali 3).
2. Nekaj algebre
Vosrednjemdeluˇ clankabomopotrebovalipojmeprostegrupe,prostega
produkta grup in prezentacije grupe. Pri slednji gre za opis grupe s podaja-
njem mnoˇ zice generatorjev in mnoˇ zice relacij med njimi. Kadar teh relacij
ni, je grupa prosta. Podobno v prostem produktu poljubnih grup ni relacij
med elementi iz razliˇ cnih faktorjev. Lotimo se bolj formalnega opisa.
Naj bo M 6= ∅ poljubna neprazna mnoˇ zica. Oznaˇ cimo z M
−1
mnoˇ zico
formalnih inverzov M
−1
= {x
−1
| x ∈ M} in naj velja
 
x
−1

−1
= x za vse
x∈M ∪M
−1
.
Elemente M ∪M
−1
razglasimo za abecedo. Oglejmo si mnoˇ zico vseh
konˇ cnih besed, ki jih lahko tvorimo v tej abecedi.
ˇ
Ce na primer naˇ sa abe-
ceda vsebuje ˇ crke a, b in c, so abaa
−1
, cc
−1
in abcabc besede. Najprej se
dogovorimo, da bomo vse besede zapisali karseda enostavno. Besedo, ki ne
vsebuje nobenihˇ crk, oznaˇ cimo zε in jo imenujmo prazna beseda. Kadarkoli
se v besedi pojavi par aa
−1
ali pa a
−1
a, ga zamenjajmo z ε, pare oblike εa
ali aε pa z a. Postopku, s katerim poljubno besedo karseda poenostavimo,
pravimo redukcija.
ˇ
Ce reduciramo besede iz zgornjega primera, dobimo ab,
ε in abcabc.
Oznaˇ cimo mnoˇ zico vseh reduciranih besed (vkljuˇ cno s prazno besedo) z
M
∗
. Na M
∗
lahko vpeljemo operacijo M
∗
×M
∗
→M
∗
takole: dani besedi
staknemo, nato pa po potrebi dobljeno besedo ˇ se reduciramo. Na primer:
ab·cb
−1
7→ abcb
−1
,
aaabc·c
−1
a 7→ aaaba,
ab·b
−1
a
−1
7→ ε.
Izkaˇ ze se, da je M
∗
za tako deﬁnirano operacijo stikanja in redukcije
besed grupa. Stik dveh besed je spet beseda. Enota je prazna beseda ε,
inverzdanebesedepadobimotako,davsenjeneˇ crkezamenjamoznjihovimi
inverzi in obrnemo vrstni red, na primer:
 
ab
−1
c

−1
=c
−1
ba
−1
.
Omenimo ˇ se, da je zaradi krajˇ sanja dokaz asociativnosti teˇ zaven.
2 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
Deﬁnicija 1. Mnoˇ zicaM
∗
z operacijo stikanja in redukcije je prosta grupa
nad mnoˇ zico M. Pravimo, da je M
∗
prosto generirana z M in piˇ semo
M
∗
=F
M
.
Primer 1. Naj bo M ={a} mnoˇ zica z enim elementom. Potem je
M
∗
={ε,a,a
−1
,aa,a
−1
a
−1
,aaa,a
−1
a
−1
a
−1
,...}.
ˇ
Ce piˇ semo
a...a
| {z }
n
=a
n
in a
−1
...a
−1
| {z }
n
=a
−n
,
potem je operacija stikanja in redukcije na M
∗
podana z a
m
·a
n
= a
m+n
,
m,n∈Z, in prosta grupa nad M je izomorfna grupiZ za seˇ stevanje.
Oglejmo si ˇ se eno sorodno konstrukcijo. Naj bosta dani grupi G
1
in
G
2
in tvorimo besede x
1
x
2
...x
n
, v katerih je vsaka od ˇ crk iz ene od grup
G
i
, i = 1,2.
ˇ
Ce nobeni dve zaporedni ˇ crki nista iz iste grupe, pravimo,
da je beseda reducirana. Kadar obstaja par zaporednih ˇ crk x
j
,x
j+1
∈ G
i
,
ju lahko v G
i
zmnoˇ zimo v eno samo ˇ crko. Tako lahko iz poljubne besede
napravimo reducirano. Na mnoˇ zicoG
1
∗G
2
reduciranih besed podobno kot
zgoraj vpeljemo operacijo stikanja z redukcijo in dobimo grupo.
Deﬁnicija 2. Mnoˇ zica G
1
∗G
2
z operacijo stikanja in redukcije je prosti
produkt grup G
1
in G
2
.
Primer 2. Naj bosta G
1
= F
{a}
in G
2
= F
{b}
prosti grupi, generirani z a
oziromab. Potem lahko vsak netrivialni element prostega produktaG
1
∗G
2
zapiˇ semo v obliki
a
n
1
b
m
1
a
n
2
b
m
2
...a
n
k
b
m
k
ali b
m
1
a
n
2
b
m
2
...a
n
k
b
m
k
ali
a
n
1
b
m
1
a
n
2
b
m
2
...a
n
k
ali b
m
1
a
n
2
b
m
2
...a
n
k
.
Vidimo, da je v tem primeru prosti produkt G
1
∗G
2
grupa, ki je prosto
generirana z a in b, F
{a}
∗F
{b}
=F
{a,b}
.
Vprimeruprostegaproduktaprostihgrupsmoznalipoiskatitakomnoˇ zi-
co M, da je bila G
1
∗G
2
prosta grupa nad M (res, za poljubni neprazni
disjunktni mnoˇ ziciM
1
inM
2
jeF
M
1
∗F
M
2
=F
M
1
∪M
2
). V sploˇ snem pa take
mnoˇ zice ne moremo najti.
Deﬁnicija 3. GrupaG je prosta, ˇ ce obstaja kakˇ sna mnoˇ zicaM, da jeG =
F
M
prosta grupa nad M.
1–15 3
Aleksandra Franc
Primer 3. Naj bo (Z
2
,+) grupa ostankov pri deljenju z 2: Z
2
= {0,1},
operacija pa je podana z 0 + 0 = 1 + 1 = 0 in 1 + 0 = 0 + 1 = 1. Naj
bo M neprazna mnoˇ zica in a∈M poljuben element. Potem je grupa F
{a}
neskonˇ cna podgrupa proste grupe nadM, torej je tudi prosta grupa nadM
neskonˇ cna. GrupaZ
2
je konˇ cna, torej ni prosta. Sploˇ sneje, nobena konˇ cna
grupa ni prosta.
Za poljubno grupo G pa obstaja kakˇ sna podmnoˇ zica M ⊂G, za katero
velja, dalahkovsakelementizGzapiˇ semo(mordanaveˇ crazliˇ cnihnaˇ cinov)
kot produkt elementov iz M (na primer kar M = G). Pravimo, da je M
mnoˇ zica generatorjev grupe G.
Trditev 1. Preslikava f: F
M
→G, ki vsaki besedi nad M priredi tisti ele-
ment grupe G, ki ga dobimo, ˇ ce v G zmnoˇ zimo ˇ crke te besede (posebej:
prazni besedi priredi enoto), je surjektivni homomorﬁzem. Vsaka grupa je
torej homomorfna slika neke proste grupe. Jedro kerf je podgrupa edinka v
F
M
in G je izomorfna faktorski grupi F
M
/kerf.
Jedro kerf je generirano z neko mnoˇ zico R ⊂F
M
. Piˇ semo G =hM|Ri
in pravimo, da je grupa G podana z generatorji in relacijami, hM|Ri pa
imenujemo prezentacija grupe G.
Primer 4. ProstagrupaF
M
imaprezentacijohM|∅i =:hMi. Medelementi
proste grupe torej ni relacij. Posebej,Z
∼
=hai.
Primer 5. Grupa (Z
2
,+) je izomorfna ha|a
2
i. Sploˇ sneje, grupa ostankov
(Z
n
,+) je izomorfna ha|a
n
i.
Primer 6. Karteziˇ cni produkt dveh grup ni niti prosti produkt niti prosta
grupa. Elementi G×H so (urejeni) pari (g,h), kjer je g ∈ G in h ∈ H.
Operacija je deﬁnirana po komponentah: (g,h)·(g
′
,h
′
) = (gg
′
,hh
′
). Naje
A
oznaˇ cuje enoto v grupi A. Potem je
(g,e
H
)·(e
G
,h) = (g,h) = (e
G
,h)·(g,e
H
).
Vsak element oblike (g,e
H
) komutira z vsakim elementom oblike (e
G
,h),
zato imamo med elementi karteziˇ cnega produkta relacije
(g,e
H
)(e
G
,h)(g,e
H
)
−1
(e
G
,h)
−1
=e
G×H
.
Taka grupa torej ni prosta.
4 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
Vsaka grupa ima veˇ c razliˇ cnih prezentacij.
ˇ
Ce obstaja kakˇ sna prezen-
tacija G = hM|Ri, ki ima konˇ cno mnoˇ zico generatorjev M, pravimo, da je
grupa G konˇ cno generirana.
ˇ
Ce obstaja prezentacija, v kateri sta mnoˇ zici
M in R obe konˇ cni, pravimo, da je grupa G konˇ cno prezentirana.
V dokazu naˇ sega glavnega izreka bomo potrebovaliˇ se naslednje dejstvo:
Izrek 2 (Nielsen-Schreier). Podgrupa proste grupe je prosta.
3. Fundamentalna grupa
V tem razdelkudeﬁniramo fundamentalno grupo (topoloˇ skega)prostora
in predstavimo tiste lastnosti, ki jih potrebujemo v nadaljevanju. Bralci,
ki ste s tem pojmom ˇ ze seznanjeni, lahko ta del preskoˇ cite, tistim, ki bi o
fundamentalni grupi ˇ zeleli izvedeti kaj veˇ c, pa v branje priporoˇ camo ˇ cla-
nek [3] ali pa prvo poglavje [4]. Pod pojmom prostor bomo vedno razumeli
topoloˇ ski prostor (mnoˇ zico, opremljeno s topologijo).
Pot je zvezna preslikava γ: I → X iz intervala I = [0,1] v prostor X
(slika1). Toˇ ckoγ(0)imenujemo zaˇ cetna, toˇ ckoγ(1)pa konˇ cna toˇ ckapotiγ.
Pot,prikateristazaˇ cetnainkonˇ cnatoˇ ckaisti,imenujemozanka. Vprostoru
X izberemo toˇ ckox
0
, jo razglasimo za izhodiˇ sˇ ce in mnoˇ zico vseh zank, ki se
zaˇ cnejo in konˇ cajo v x
0
, sugestivno oznaˇ cimo z Ω(X,x
0
).
I 0 1
γ
 X γ(0)
γ(1)
Slika 1. Pot v prostoru X je zvezna preslikava γ: I →X.
Na Ω(X,x
0
) imamo naravno operacijo stikanja zank. Ker smo se omejili
le na poti, ki se zaˇ cnejo in konˇ cajo v toˇ cki x
0
, lahko za poljubni dve zanki
α inβ deﬁniramo njun stik kot tisto zanko, ki najprej poteka poα, nato pa
ˇ se po β, oziroma s formulo (α·β): [0,1]→X,
(α·β)(t) =

α(2t), 0≤t≤
1
2
,
β(2t−1),
1
2
≤t≤ 1.
Stik zank α in β je torej tista zanka, pri kateri v prvi polovici ˇ casovnega
intervala prehodimo α, nato pa v drugi polovici ˇ se β (slika 2). Seveda se
moramo zato po α in β premikati dvakrat hitreje.
Vendar pa stikanje zank ni asociativno. Zanka (α·β)·γ ni enaka zanki
α·(β ·γ). Obe sicer opiˇ seta isto krivuljo, a sta razliˇ cno parametrizirani:
1–15 5
Aleksandra Franc
 X
I
I
I
α
β
α·β
Slika 2. Stikanje zank
enkrat se v prvi polovici ˇ casa pomaknemo po α·β (po vsaki od teh dveh
torej v
1
4
celotnega ˇ casa) in v drugi polovici po γ, drugiˇ c pa prvo polovico
ˇ casa porabimo za zanko α in v preostali polovici preteˇ cemo β ·γ (spet za
vsako porabimo
1
4
ˇ casa). Asociativnost torej velja le do reparametrizacije
natanˇ cno. Primer zank, pri katerih sta stika (α·β)·γ inα·(β·γ) razliˇ cna,
je prikazan na sliki 3. Tu so α, β in γ zanke v S
1
, vendar smo zaradi pre-
glednosti na sliko dodali ˇ se dodatno dimenzijo, ki pomeni ˇ casovni interval.
 X
x
0
γ
 X
x
0
α
 X
x
0
β
 X
x
0
(α·β)·γ
 X
x
0
α·(β·γ)
Slika 3. Stika (α·β)·γ in α·(β·γ) nista enaka.
Zatakne se tudi, ko ˇ zelimo najti nevtralni element. Poskusimo s kon-
stantno zanko
c
x
0
: I →X, t7→x
0
,
ki vesˇ cas miruje v izhodiˇ sˇ cu. Ko poljubno zankoα staknemo sc
x
0
, dobimo
zanko, ki je v prvi polovici ˇ casa enaka α in v drugi polovici miruje v izho-
diˇ sˇ cu, vendar lahko s pomoˇ cjo reparametrizacij ˇ cas mirovanja skrajˇ sujemo
in nazadnje ostane le ˇ se α (glej sliko 5).
ˇ
Ce dopuˇ sˇ camo reparametrizacijo,
je torej konstantna zanka desna enota in podoben premislek pokaˇ ze, da je
tudi leva enota.
Kako pa je z inverzi? Za dano zanko α ˇ zelimo najti tako zanko α, da
bomo njun stik lahko nekako povezali s konstantno zanko. Hitro opazimo,
da tu reparametrizacija ne zadoˇ sˇ ca. Ne ˇ zelimo namreˇ c zgolj spreminjati
6 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
hitrosti, s katero prehodimo α in α, temveˇ c sploh ne ˇ zelimo zapustiti izho-
diˇ sˇ ca.
Naˇ se pogoje zatoˇ se nekoliko omilimo in zahtevamo, da veljajo le do ho-
motopijenatanˇ cno: dvezankiˇ stejemozaenaki,kadarlahkoznotrajprostora
X sliko prve zvezno preoblikujemo v sliko druge (slika 4).
 x
0
X
β
α
γ
Slika 4. V tem prostoru z luknjo sta zanki α in β homotopni, α in γ pa ne.
Za zvezni preslikavif,g: A→X pravimo, da sta homotopni, ˇ ce obstaja
zvezna preslikava H: A×I →X, za katero je H(a,0) =f(a) in H(a,1) =
g(a) za vse a ∈ A. Preslikavo H imenujemo homotopija med preslikavama
f in g in piˇ semo H: f ≃ g ali pa kar f ≃ g. Pri vsakem t ∈ I je tako s
predpisom f
t
(a) =H(a,t) podana zvezna preslikava A →X. Ko t teˇ ce od
0 do 1, preslikavaf
t
zvezno deformiraf vg (potek te deformacije medα in
β je na sliki 4 nakazan s puˇ sˇ cicami).
Kadarsta(A,a
0
)in(X,x
0
)prostorazizhodiˇ sˇ cem,zahtevamo,daslikata
f ing toˇ ckoa
0
vtoˇ ckox
0
.
ˇ
CezahomotopijoH: f ≃g veljaˇ seH(a
0
,t)=x
0
za vse t ∈ I, pravimo, da sta f in g homotopni rel izhodiˇ sˇ ce, oziroma da
homotopija H v izhodiˇ sˇ cu miruje.
VprimerupotijeA =I, torejjehomotopijadvehpotizveznapreslikava
kvadrata v prostor, ki njegov spodnji rob preslika v prvo in zgornji rob v
drugo pot. Pri homotopiji, ki naj v izhodiˇ sˇ cu miruje, zahtevamo ˇ se, da se
levi rob kvadrata preslika v izhodiˇ sˇ ce.
ˇ
Ce namesto poti gledamo zanke, se v
izhodiˇ sˇ ce preslika tudi desni rob kvadrata. Na sliki 4 sliki kvadrata ustreza
temno senˇ ceno obmoˇ cje.
Lahkojevideti,dajehomotopnostzankekvivalenˇ cnarelacija. Nakvoci-
entnimnoˇ ziciΩ(X,x
0
)/
≃
vsehhomotopskihrazredovzankvX zizhodiˇ sˇ cem
x
0
lahko torej deﬁniramo operacijo
[α][β] = [α·β],
1–15 7
Aleksandra Franc
 X
x
0
 X
x
0
αc
x
0
 X
x
0
α
t = 0
t =
1
2
t = 1
Slika 5. Zanka αcx
0
je homotopna α.
kiparuhomotopskihrazredovzankpriredirazred,kipripadanjunemustiku.
Zatakodeﬁniranooperacijopostanekvocientnamnoˇ zicagrupa,kijooznaˇ ci-
mo s π
1
(X,x
0
) in jo imenujemo fundamentalna grupa prostora (X,x
0
).
Enota v π
1
(X,x
0
) je homotopski razred konstantne zanke [c
x
0
], inverz
razreda [α] pa predstavlja zanka α, podana z α(t) = α(1−t) (po zanki α
se sprehodimo v nasprotni smeri). Homotopija medα·c
x
0
inα je podana z
druˇ zino reparametrizacij, ki smo jo opisali zgoraj (slika 5), homotopijo med
α·α in c
x
0
pa dobimo tako, da se sprehajamo po vedno krajˇ sih delih poti
α in α, dokler se nazadnje nikamor ne premaknemo (slika 6).
 X
x
0
 X
x
0
αα
 X
x
0
 X
x
0
 X
x
0
c
x
0
t = 0
t =
1
4
t =
1
2
t =
3
4
t = 1
Slika 6. Zanka αα je homotopna konstantni zanki cx
0
.
ˇ
Ce jeX povezan s potmi (med poljubnima dvema toˇ ckama izX obstaja
vsaj ena pot), veˇ ckrat piˇ semo kar π
1
(X). Kadar obstaja pot med toˇ ckama
x
0
,x
1
∈X, sta namreˇ c grupi π
1
(X,x
0
) in π
1
(X,x
1
) izomorfni.
Primer 7.
ˇ
CeobstajahomotopijaH: X×I →X medidentitetoid
X
: X →
X in konstantno preslikavo x 7→ a za neki a ∈ X, pravimo, da je prostor
X kontraktibilen. Tedaj obstaja homotopija med identiteto in poljubno
8 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
konstantno preslikavo (posebej med id
X
in x 7→ x
0
). V takem prostoru
lahko poljubno zankoα skrˇ cimo v toˇ cko. Homotopijo medα in konstantno
zanko dobimo kot kompozitum H ◦(α,id
I
): I ×I → X. Kadar je prostor
X kontraktibilen, imamo torej en sam homotopski razred zank in je grupa
π
1
(X,x
0
) trivialna.
Primer 8. Kroˇ znica S
1
ima netrivialno fundamentalno grupo.
ˇ
Ce si S
1
predstavljamo kot enotsko kroˇ znico v C, potem je za poljubno celo ˇ stevilo
n s predpisom
ω
n
: I →S
1
, t7→e
2πint
,
podana zanka, ki se n-krat navije na S
1
(pri zankah α, β in γ s slike 3 je
zaporedoma n = 1, n = 0 in n = −1). Ni teˇ zko verjeti, da zanke ω
1
, ki se
enkrat navije na kroˇ znico, ne moremo zvezno deformirati do trivialne zanke
ω
0
, ki miruje v izhodiˇ sˇ cu 1 ∈ S
1
.
ˇ
Se veˇ c: zanki ω
n
in ω
m
sta homotopni
natanko tedaj, ko je m = n, poleg tega pa je poljubna zanka v S
1
homo-
topna ω
n
za neko (toˇ cno doloˇ ceno) celo ˇ stevilo n. Tako ugotovimo, da je
π
1
(S
1
,1)
∼
=Z. Formalni dokaz te trditve je obiˇ cajno eden prvih, s katerimi
se sreˇ camo pri ˇ studiju algebraiˇ cne topologije.
Predpis, ki topoloˇ skemu prostoru priredi njegovo fundamentalno grupo,
ima naslednjo pomembno lastnost: zvezna preslikava ϕ: (X,x
0
) → (Y,y
0
)
inducira homomorﬁzem grup
ϕ
#
: π
1
(X,x
0
)→π
1
(Y,y
0
),
podan s predpisom
ϕ
#
([α]) = [ϕ◦α].
ˇ
Cestaϕ,ψ: X →Y homotopnipreslikavi,stainduciranahomomorﬁzmaϕ
#
inψ
#
enaka. Vedno velja tudi (ϕ◦ψ)
#
=ϕ
#
◦ψ
#
, identiteta id
X
: X →X
pa inducira identiteto na π
1
(X). Temu pravimo funktorialnost.
Obstajajo izreki, ki nam povedo, kakˇ sna je fundamentalna grupa pro-
stora, ˇ ce ga znamo nekako sestaviti iz enostavnejˇ sih kosov, katerih funda-
mentalnegrupepoznamo.
ˇ
Cejenaprimerg: I →X zankavX inh: I →Y
zanka vY, potem je preslikava (g,h): I →X×Y zanka vX×Y. Obratno,
vsaki poti I →X×Y pripada par poti (g,h), kjer je g: I →X pot v X in
h: I →Y pot vY.
ˇ
Ce stapr
X
: X×Y →X inpr
Y
: X×Y →Y projekciji,
sta namreˇ c poti g in h doloˇ ceni s predpisom g = pr
X
◦f in h = pr
y
◦f.
Enako iz homotopijeH med zankamaf
1
inf
2
vX×Y dobimo homotopiji
pr
X
◦H med pripadajoˇ cima zankama g
1
in g
2
v X ter pr
Y
◦H med h
1
in
h
2
v Y. Od tod ni veˇ c daleˇ c do naslednjega izreka (glej [4], str. 34):
1–15 9
Aleksandra Franc
Trditev 3.
ˇ
Ce sta prostora X in Y povezana s potmi, potem je
π
1
(X×Y)
∼
=π
1
(X)×π
1
(Y).
Oglejmo si ˇ se primer, ko dana prostora (X,x
0
) in (Y,y
0
) zlepimo v nov
prostor tako, da identiﬁciramo izhodiˇ sˇ ci x
0
in y
0
. Dobljeni prostor imenu-
jemoˇ sop prostorovX inY in ga obiˇ cajno podamo kot podprostor produkta
X×Y:
X∨Y ={(x,y)∈X×Y |x =x
0
ali y =y
0
}.
Primer 9.
ˇ
Sop dveh kroˇ znic S
1
∨S
1
obiˇ cajno imenujemo osmica. Induk-
tivno lahko tvorimo tudi ˇ sop veˇ cjega ˇ stevila prostorov.
ˇ
Ce imamo v ˇ sopu
veˇ c kroˇ znic, dobimo prostor, ki res spominja na ˇ sopek (slika 7).
 ...
S
1
∨S
1
S
1
∨S
1
∨...∨S
1
Slika 7. Osmica (ˇ sop dveh kroˇ znic) in ˇ sop veˇ c kroˇ znic
Trditev 4. Fundamentalna grupa ˇ sopa je prosti produkt fundamentalnih
grup faktorjev:
π
1
(X∨Y) =π
1
(X)∗π
1
(Y).
Fundamentalna grupa ˇ sopa dveh prostorov je torej v sploˇ snem bolj za-
pletena kot fundamentalna grupa produkta. Slednja je preprostejˇ sa, ker
je vsaka zanka v produktu doloˇ cena s po eno zanko iz vsakega faktorja
in ti zanki sta med seboj neodvisni. Zanka v ˇ sopu X ∨Y je sestavljena
iz veˇ c odsekov, od katerih poljubna sosednja leˇ zita v razliˇ cnih prostorih.
Opiˇ semojotorejlahkozzaporedjemzankα
1
,β
1
,...,α
n
,β
n
,priˇ cemerzanke
α
i
leˇ zijovX, zankeβ
i
pavY (pritemlahkokakˇ snonazaˇ cetkualinakoncu
izpustimo, ne smemo pa spreminjati vrstnega reda). To nas takoj spomni
na konstrukcijo proste grupe – vsaki zanki ustreza neka beseda. Zgornji
rezultat nas torej ne preseneˇ ca.
4. O koH-prostorih
Poti smo deﬁnirali kot zvezne preslikave intervala v prostor, potem pa
smo se takoj omejili na zanke. Ker smo vsakiˇ c zahtevali, da se zaˇ cetna in
10 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
konˇ cna toˇ cka intervala preslikata v isto toˇ cko, ju lahkoˇ ze pred tem identiﬁ-
ciramo in zanke deﬁniramo kot zvezne preslikave kroˇ znice v prostor. Kako
pa v tem primeru opiˇ semo stikanje?
Naj bosta α,β: (S
1
,1) → (X,x
0
) zvezni preslikavi kroˇ znice v prostor.
Pri deﬁniciji z intervali smo dobili stik z lepljenjem dveh kopij intervala
tako, da se je konˇ cna toˇ cka prvega ujela z zaˇ cetno toˇ cko drugega. Rezultat
je bil spet interval (sicer nekoliko daljˇ si, a smo si nato pomagali ˇ se z repa-
rametrizacijo), zato smo v tem lahko prepoznali novo pot (slika 2). Na tem
intervalu so se v isto toˇ cko preslikale toˇ cke 0, 1 in
1
2
.
ˇ
Ce te toˇ cke identi-
ﬁciramo, dobimo ˇ sop dveh kroˇ znic. Prvo moramo preslikati z α, drugo pa
z β. Ker ˇ zelimo preslikavo iz S
1
, vse skupaj ˇ se predkomponiramo s presli-
kavo φ: S
1
→S
1
∨S
1
, ki identiﬁcira toˇ cki 1 in −1 (slika 8). Kompozitum
(α∨β)φ: S
1
→X je zanka, ki ustreza stiku α·β.
 S
1
∨S
1
 X
x
0
 S
1
φ
α
β
α·β
Slika 8. Stikanje zank (S
1
,1)→ (X,x0)
Naj bodo X topoloˇ ski prostor, Δ: X → X ×X preslikava, podana s
predpisom x 7→ (x,x), in J: X ∨X → X ×X inkluzija. Kadar obstaja
zvezna preslikava φ: X →X ∨X, za katero je Jφ ≃ Δ, je X koH-prostor.
Pravimo, da do homotopije natanˇ cno komutira diagram
X
φ
// Δ
## G
G
G
G
G
G
G
G
G
X∨X
J
 X×X
(Obstojpreslikaveφniodvisenodizbiretoˇ ck, vkaterihstaknemodvekopiji
prostora X v X∨X.)
Primer 10. Naj bo X = S
1
= {e
iϑ
| ϑ ∈ [0,2π]} kompleksna kroˇ znica.
ˇ
Sop dveh kroˇ znic podajmo kot
S
1
∨S
1
={(e
iξ
,1)|ξ ∈ [0,2π]}∪{(1,e
iψ
)|ψ ∈ [0,2π]}.
1–15 11
Aleksandra Franc
Preslikava φ: S
1
→S
1
∨S
1
naj bo podana s
φ(e
iϑ
) =

(e
2iϑ
,1), ϑ∈ [0,π],
(1,e
2i(ϑ−π)
), ϑ∈ [π,2π].
Potem je Jφ(e
iϑ
) = (e
2iϑ
,1) za ϑ ∈ [0,π] in Jφ(e
iϑ
) = (1,e
2i(ϑ−π)
) za ϑ ∈
[π,2π]. Po drugi strani je Δ(e
iϑ
) = (e
iϑ
,e
iϑ
). Oˇ citno Jφ 6= Δ. Obstaja pa
homotopijaH: S
1
×I →S
1
×S
1
, zakaterojeH|
S
1
×{0}
=JφinH|
S
1
×{1}
=
Δ. Ker je torej Jφ ≃ Δ, je S
1
koH-prostor. Homotopijo H si najlaˇ zje
predstavljamo,ˇ cetorusS
1
×S
1
predstavimokotkvadrat,vkateremzlepimo
paranasprotnihstranic. SlikapreslikaveΔjeenaoddiagonalkvadrata,slika
preslikave Jφ pa par nevzporednih stranic (slika 9). Homotopijo dobimo
tako, da diagonalo potisnemo na stranici.
Slika 9. Sled homotopije H: S
1
×I →S
1
×S
1
med Jφ in Δ
Zdaj lahko konˇ cno formuliramo in dokaˇ zemo naˇ so glavno trditev:
Trditev 5. Naj bo X ko-H prostor. Potem je grupa π
1
(X) prosta.
Dokaz. Zaˇ cnimo s homotopsko komutativnim diagramom
X
φ
// Δ
## G
G
G
G
G
G
G
G
G
X∨X
J
 X×X
iz deﬁnicije koH-prostora. Vemo tudi, da je π
1
(X ∨X) = π
1
(X)∗π
1
(X)
in π
1
(X ×X) = π
1
(X)×π
1
(X). Od tod zaradi funktorialnosti sledi, da
komutira tudi diagram
π
1
(X)
φ
#
// Δ
#
'' O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
π
1
(X)∗π
1
(X)
J
#
 π
1
(X)×π
1
(X)
12 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
torej je J
#
◦φ
#
= Δ
#
. Inducirana preslikava Δ
#
je spet diagonala (le da
tokrat na π
1
(X) in ne na X), ker slika a ∈ π
1
(X) v par (a,a) ∈ π
1
(X)×
π
1
(X).
Seveda je diagonala Δ
#
injektivna, zato je tudi φ
#
injektivna. Poleg
tega je J
#
(imφ
#
) = im(J
#
◦ φ
#
) = imΔ
#
, od koder sklepamo, da je
imφ
#
⊂J
−1
#
(imΔ
#
).
Naj bo
F :=J
−1
#
(imΔ
#
)⊂π
1
(X)∗π
1
(X).
Pravkar smo videli, da je imφ
#
⊂ F in lahko na π
1
(X) gledamo kot na
podgrupo grupe F. Zadostuje torej, ˇ ce pokaˇ zemo, da je grupa F prosta,
ker bo tedaj po Nielsen-Schreierjevem izreku (izrek 2) tudi podgrupaπ
1
(X)
prosta.
Spomnimo se, da so elementi v prostem produktuπ
1
(X)∗π
1
(X) besede
iz elementov π
1
(X). Ker se lahko isti element π
1
(X) v besedi pojavi kot
element poljubnega od faktorjev, bo pomembno vedeti, katerega imamo v
mislih. Zapoljubena∈π
1
(X)najj(a)pomeninjegovegapredstavnikavpr-
vem faktorju inj
′
(a) njegovega predstavnika v drugem faktorju. Preslikava
J
#
torej preslika besedoj(a
1
)j
′
(b
1
)...j(a
n
)j
′
(b
n
) v par (a
1
...a
n
,b
1
...b
n
).
Oznaˇ cimozGpodgrupoπ
1
(X)∗π
1
(X),kijeprostogeneriranazelementi
oblikej(g)j
′
(g), in pokaˇ zimo, da je F =G. Seveda je G prosta grupa, zato
bo od tod sledilo, da je tudi grupa F prosta.
Ker je J
#
(j(a
1
)j
′
(a
1
)...j(a
n
)j
′
(a
n
)) = (a
1
...a
n
,a
1
...a
n
)∈ imΔ
#
, je
G ⊂ F. Dokaˇ zimo ˇ se, da je F ⊂ G.
ˇ
Ce dopuˇ sˇ camo, da je morda prva ali
pa zadnja ˇ crka besede enaka enoti, lahko vsak element iz π
1
(X)∗π
1
(X)
(in tako tudi vsak element F) zapiˇ semo v obliki j(a
1
)j
′
(b
1
)...j(a
k
)j
′
(b
k
)
za neki k ∈N. Oznaˇ cimo s F
n
mnoˇ zico vseh elementov dolˇ zine n iz F, tj.
elementov oblike
j(a
1
)j
′
(b
1
)...j(a
n
)j
′
(b
n
).
Z indukcijo pokaˇ zemo, da za vsa naravnaˇ stevilan veljaF
n
⊂G. Prin = 1
naj bo x ∈ F
1
⊂ F oblike j(a)j
′
(b). Ker je J
#
(x) = (a,b) ∈ imΔ
#
, je
a =b in je x =j(a)j
′
(a) ∈G. Predpostavimo zdaj, da velja F
n−1
⊂G, in
si oglejmo x∈F
n
oblike
x=j(a
1
)j
′
(b
1
)...j(a
n
)j
′
(b
n
).
1–15 13
Aleksandra Franc
Potem je
x = j(a
1
)j
′
(b
1
)...j(a
n
)j
′
(b
n
) =
= j(a
1
)

j
′
(a
1
)j
′
(a
1
)
−1

j
′
(b
1
)...j(a
n
)

j(b
n
)
−1
j(b
n
)

j
′
(b
n
) =
=

j(a
1
)j
′
(a
1
)

j
′
(a
1
)
−1
j
′
(b
1
)...j(a
n
)j(b
n
)
−1

j(b
n
)j
′
(b
n
)

=
=

j(a
1
)j
′
(a
1
)

y
−1

j(b
n
)j
′
(b
n
)

,
kjer je
y = j(b
n
)j(a
n
)
−1
j
′
(b
n−1
)
−1
...j(a
3
)
−1
j
′
(b
2
)
−1
j(a
2
)
−1
j
′
(b
1
)
−1
j
′
(a
1
) =
=

j(b
n
a
−1
n
)j
′
(b
n−1
)
−1

...

j(a
3
)
−1
j
′
(b
2
)
−1

j(a
2
)
−1
j
′
(b
−1
1
a
1
)

neki element F
n−1
. Po indukcijski predpostavki je torej y ∈G, in ker je G
grupa, je tudi y
−1
∈ G. Prav tako je j(a
1
)j
′
(a
1
) ∈ G in j(b
n
)j
′
(b
n
) ∈ G,
zato tudi za x, ki je produkt treh elementov iz G, velja x ∈ G. Pokazali
smo, da je F
∞
:=
S
∞
n=1
F
n
⊂G. Po drugi strani pa smo zgoraj premislili,
da F
∞
generira F, in ker je G grupa, je F =hF
∞
i⊂G.
5. LS kategorija in fundamentalna grupa
Deﬁnirajmo debeli ˇ sopW
n
X prostoraX kot podprostor vseh tistih toˇ ck
v n-ternem produktu X
n
, ki imajo vsaj eno od koordinat enako x
0
. Pri
n = 2 dobimo ˇ sop X ∨X, ki se je pojavil v deﬁniciji koH-prostora. Z
Δ
n
: X →X
n
oznaˇ cimo diagonalo x7→ (x,...,x).
Deﬁnicija 4. NajboX topoloˇ skiprostor. Najmanjˇ senaravnoˇ stevilon,za
katero obstaja zvezna preslikava φ: X →W
n+1
X, zanjo pa do homotopije
natanˇ cno komutira diagram
X
φ
// Δ
n+1
## H
H
H
H
H
H
H
H
H
W
n+1
X
i
 X
n+1
imenujemo Lusternik-Schnirelmannova kategorija (LS kategorija) prostora
X, catX.
V literaturi lahko najdemo veˇ c deﬁnicij LS kategorije, ki v sploˇ snem
sicer niso ekvivalentne, se pa ujemajo na nekaterih pomembnih razredih
topoloˇ skihprostorov(glej[5]). ZgorajsmospoznaliWhiteheadovodeﬁnicijo.
14 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
Zanasbozanimivaˇ seboljgeometriˇ cnadeﬁnicija,kipravi,dajecatX enaka
najmanjˇ semu naravnemuˇ stevilun, za katero obstaja pokritje prostoraX z
n+1 odprtimi mnoˇ zicami, ki so kontraktibilne v X.
Primer 11. Pri n = 0 je W
n+1
X = W
1
X = {x
0
} in Δ
1
= id
X
.
ˇ
Ce ob-
staja preslikava φ: X → {x
0
}, za katero je iφ ≃ id
X
, je id
X
homotopna
konstanti in jeX kontraktibilen. Seveda lahko kontraktibilenprostor pokri-
jemoˇ zezenosamoodprtokontraktibilnomnoˇ zico,torejjetudigeometriˇ cno
kategorija kontraktibilnega prostora enaka 0.
V trditvi5 smo dokazali:
ˇ
Ce je catX = 1, potemje grupaπ
1
(X) prosta.
ˇ
Ce je catX = 0, jeX kontraktibilen, zato je grupaπ
1
(X) trivialna. Kaj pa
lahko povemo o prostorih z LS kategorijo 2, 3 ali veˇ c?
Za poljubno konˇ cno prezentirano grupo π lahko konstruiramo Eilen-
berg-MacLaneov prostorK(π,1), za katerega je π
1
(K(π,1))
∼
=π.
ˇ
Ce se pri
konstrukciji ustavimo, ko smo dodali 2-celice, dobimo 2-dimenzionalen CW
kompleksK (2-skeletEilenberg-MacLaneovegaprostoraK(π,1)),vkaterem
1-celice ustrezajo generatorjem grupeπ, 2-celice pa relacijam. Pri tem velja
π
1
(K) =π. Izunije0-celic,unije1-celicinunije2-celiczlahkakonstruiramo
pokritjeiztrehodprtihmnoˇ zic,kisokontraktibilnevK. TorejjecatK ≤ 2.
Ta primer nam pove, da naˇ sega izreka ne moremo posploˇ siti na prostore z
LS kategorijo 2. Kot smo videli, namreˇ c za poljubno konˇ cno prezentirano
grupo π obstaja prostor K, za katerega je catK = 2 in π
1
(K) =π.
NedavnopasoDranishnikov,KatzinRudyakv[1]pokazali,daobnekaj
dodatnih predpostavkah velja soroden izrek:
Izrek 6. Naj bon≥ 3 naravnoˇ stevilo in naj boM sklenjenan-mnogoterost
s catM = 2. Potem je grupa π
1
(M) prosta.
V istem ˇ clanku so tudi pokazali, da pri catM = 3 analogen izrek ne
velja niti za mnogoterosti. Za poljubno konˇ cno prezentirano grupo π so
konstruirali 4-mnogoterost M, za katero je catM = 3 in π
1
(M) =π.
LITERATURA
[1] A. N. Dranishnikov, M. G. Katz in Y. B. Rudyak, Small values of Lusternik-
Schnirelmann and Systolic Categories for Manifolds, arXiv:0805.1527, 2008.
[2] P. Paveˇ si´ c, Lusternik-Schnirelmannova kategorija, Obzornik mat. ﬁz. 51 (2004) 2,
str. 33–50.
[3] P. Petek, Fundamentalna grupa topoloˇ skega prostora, Obzornik mat. ﬁz. 23 (1976)
1/2, str. 17–26.
[4] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge 2002.
[5] O. Cornea, G. Lupton, J. Oprea in D. Tanr´ e, Lusternik-Schnirelmann category, Ma-
thematicalSurveysandMonographs103,AmericanMathematicalSociety,Providence
2003.
1–15 15