1 LETNIK 32 (2004/2005) ŠTEVILKA 4 = GAUSS NAGRADNA NALOGA LETO FIZIKE 2005 KRIŽANKA = Presek 4-n6.indd 1 2/9/2005 14:19:13 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 2 Uvodnik Dragi bralci in bralke, pred vami je prva številka Preseka v letu 2005. Kot smo že večkrat zapisali v prvih treh številkah, je leto 2005 proglašeno za Svetovno leto fizike. Temu dogodku smo posvetili že kar precej pozornosti, v tej številki, ki je pred vami, pa začenjamo tudi serijo zapisov o verižnem eksperimentu, ki bo potekal pod okriljem Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Morda se boste tudi sami pridružili temu projektu. Leto 2005 ni samo leto fizike, pač pa je posvečeno tudi velikemu matematiku, astronomu, fiziku in geodetu Carlu Friedrichu Gaussu. S tem Nemčija in mesto Göttingen obeležujeta 150 letnico smrti velikega vsestranskega znanstvenika. O življenju enega najpomembnejših matematikov vseh časov pišemo v uvodnem članku te revije, Gaussov prispevek k astronomiji pa zaključuje to številko. Pred vrati so nova tekmovanja iz matematike in fizike. Na njih vam želimo čim več uspeha, če pa rezultat ne bo najboljši, si tega ne ženite preveč k srcu. Povsem že zadošča, če ste zaradi tekmovanj osvojili nekaj novega znanja in pridobili veselje do teh temeljnih znanstvenih disciplin. Za konec naj vas samo še povabimo k reševanju nagradne naloge “Kvadratki v krogu”. Vsake vaše ideje in rešitve bomo veseli. Maja Klavžar odgovorna urednica Carl Friedrich Gauss strani 5 do 8 in 35 do 37 1+2+3+...+98+99+100 Presek 4-n6.indd 2 2/9/2005 14:19:13 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 3 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in raèunalnikarje letnik 32, šolsko leto 2004/2005, številka 4 Uvodnik Nagovor odgovorne urednice .................................................................................... 1 Matematika Carl Friedrich Gauss – ob 150. obletnici smrti ......................................................... Linearne preslikave ravnine in 2×2 matrike ............................................................ Kvadratki v krogu – nagradna naloga ...................................................................... 2 Fizika Kako rastejo snežinke? ............................................................................................ Verižni eksperiment ................................................................................................ Kvarkadabra: Zakaj je nebo modro? ......................................................................... 3 Računalništvo Mala šola LaTeXa (prvi del) .................................................................................... Brezplačni matematični programi ............................................................................ 4 Astronomija Gauss in astronomija .............................................................................................. Zanimivost: Gaussovo leto ....................................................................................... Razvedrilo Križanka ................................................................................................................. Vrste in verige ........................................................................................................ Slikovna uganka ..................................................................................................... Tekmovanja Tekmovanja ............................................................................................................ Kazalo KAZALO stran 2 stran 5–8 stran 9–12 stran 13 stran 15–19 stran 24–25 stran 25 stran 27–30 stran 31–33 stran 35-37 stran 37 stran 20–21 stran 22–23 stran 23 priloga +98+99+100 Presek 4-n6.indd 3 2/9/2005 14:19:15 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 4 444 444 444 MATEMATIKA 23 2 2 678 2+2 22 1+2+3+...+98+99+100 o Presek 4-n6.indd 4 2/9/2005 14:19:16 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 5 Carl Friedrich Gauss - ob 150. obletnici smrti MATEMATIKA 1. Površno gledano, je bilo Gaussovo življenje preprosto. Med trpkim otroštvom v revni in polpismeni družini se je izjemno zgodaj pokazala njegova velika intelektualna nadarjenost. Ko je bilo »čudežnemu otroku« štirinajst let, je začel pre- jemati štipendijo braunschweiškega vojvode, ki mu je omo- gočila, da se je naslednjih šestnajst let lahko brez večjih fi- nančnih skrbi posvečal intelektualnemu delu. Že pred svojim petindvajsetim letom je bil slaven ter upoštevan matematik in astronom. Tridesetleten je postal direktor astronomskega observatorija v Göttingenu. Tam je ostal in deloval do svoje smrti v starosti 78 let. Vse svoje življenje je delal praktično sam, brez matematičnih sodelavcev. V izrazitem nasprotju s to zunanjo preprostostjo je bilo Ga- ussovo osebno življenje zapleteno in po svoje žalostno. Nje- gov oče je bil dninar, ki se je trdo prebijal navzgor po druž- beni lestvici. Bil je vrtnar, rokodelec, preddelavec, trgovski pomočnik in nazadnje blagajnik majhne zavarovalnice. Po Gaus sovih besedah je bil sicer spoštovan, a gospodovalen, surov in neotesan človek. Gaussova mati je bila zelo inteli- gentna, toda polpismena hči vaškega kamnoseka, ki je služi- la kot dekla, preden je postala druga žena Gaussovega oče- ta. Kljub nesrečnemu zakonu je ohranila svoj vedri značaj in trdno stala ob strani svojemu edinemu sinu. Umrla je v Letos poteka 150 let od smrti enega najveèjih matematikov vseh èasov, »kne- za znanosti« Carla Friedricha Gaussa (slika 1). O vsestranskosti njegove znan- stvene vladavine na prehodu iz osemnajstega v devetnajsto stoletje prièa tudi napis na spominski plošèi v Braunschweigu, vzidani na mestu, kjer je nekoè stala Gaussova rojstna hiša (slika 2). Bil je matematik, astronom1, fizik in geo- det. V prvi vrsti in v najveèji meri pa je bil Carl Friedrich Gauss matematik. V Preseku smo Gaussa že veèkrat omenili, nazadnje v prispevkih o Abelu (Presek 29, 259–263), Galoisu (Presek 29, 346–349) in Jacobiju (Presek 31, 274–277). Slovenski srednješolci že v prvem letniku spoznajo Gaussovo elimi- nacijsko metodo za reševanje sistemov linearnih enaèb, Gaussovo ime nosijo številni pomembni matematièni izreki in pojmi, pa tudi eden od kraterjev na Luni. Slika 1. Carl Friedrich Gauss se je rodil 30. aprila 1777 v Braunschwei- gu in umrl 23. februarja 1855 v Göttingenu. Oba kraja ležita v današnji Nemčiji. Mesto Göt- tingen, tamkajšnja univerza in Gaussovo društvo so leto 2005 proglasili za Gaussovo leto. 1 Glej prispevek Marijana Prosena na strani 35. MATEMATIKA Presek 4-n6.indd 5 2/9/2005 14:19:29 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 6 MATEMATIKA starosti 97 let, potem ko je po moževi smrti zadnjih 22 let živela pri sinu. Mali Gauss je znal računa- ti, še preden je dobro govo- ril. Ko mu je bilo tri leta, je svojega očeta opozoril na napako v izračunu tedenske mezde za enega od delavcev. Brati se je naučil sam. Iz ranega otroštva izhaja tudi zgodbica, ki jo o Gaussu naj- večkrat pripovedujejo. Ko mu je bilo osem let, je osup- nil svojega učitelja z blisko- vitim izračunom vsote prvih sto naravnih števil2 . Po tem dogodku je učitelj opremil mladega genija s knjigami in ga ob materini podpori, očetovemu nasprotovanju navkljub vzpodbudil k na- daljnemu izobraževanju. Do enajstega leta je nad Slika 2. Prevod napisa: Tu je stala rojstna hiša Carla Friedricha Gaussa – matematika, astronoma, fizika, geodeta – ki se je rodil 30. 4. 1777 v Braunschweigu in umrl 23. 2. 1855 v Göttingenu. je njegova naravoslovna in klasična izo- brazba daleč presegala nivo študentov njegove starosti. Že v tem času je odkril številne pomembne matematične rezul- tate. Nekatere je »ponovno odkril«, ne da bi vedel, da so pred njim prišli do njih že Euler, Lagrange ali drugi mate- matiki 18. stoletja (tudi kvadratni reci- pročnostni zakon v teoriji števil). Veliko rezultatov pa je bilo novih. Leta 1795 se je vpisal na univerzo v Göttingenu. Tam je imel dostop do li- terature, ki je v Braunschweigu niso imeli. Dobesedno požiral je klasične mojstrovine in matematične članke v Carlom Friedrichom bedel matematik Martin Bartels, tedanji pomočnik na šoli v Braunschweigu in kasnejši učitelj velikega ruskega matematika Lobačev- skega v Kazanu. Leta 1788 je oče Ga- uss popustil pritiskom z vseh strani in dovolil svojemu sinu, da se vpiše v gim- nazijo. V gimnaziji je mali Gauss izred- no hitro napredoval v vseh predmetih, najbolj v svojih najljubših, klasiki in ma- tematiki. Na nenavadno nadarjenega dečka so opozorili braunschweiškega vojvodo, ki je Gaussa leta 1792 začel štipendirati in mu s tem omogočil neod- visnost. Ko se je Gauss istega leta vpi- sal na Karlov kolegij v Braunschweigu, 2 Opazil je, da imajo v 1+2+3+...+98+99+100 pari števil: prvo in zadnje, drugo in predzadnje, tretje in predpredzadnje itd. enake vsote, in sicer 101. Takih parov je petdeset, torej je vrednost zapisane vsote 5050. 3 Fundamentalni izrek algebre pravi, da ima vsaka algebrska enačba s kom- pleksnimi koeficienti vsaj eno kompleksno rešitev. Od tod sledi, da ima vsaka taka enačba stopnje n natanko n komplaksnih rešitev. starih revijah, pri čemer je ugotovil, da številna njegova odkritja niso nova. Razočaranje, ki je sledilo, in dejstvo, da sta ga poučevala briljantni klasik Hei- ne in drugorazredni matematik Käst- ner, je malodane odločilo, da postane jezikoslovec. Toda leta 1796 je devetnajstleten pri- šel do bleščečega odkritja, ki ga je za- pisalo matematiki. Že v antiki je bilo znano, da lahko zgolj z uporabo šestila in neoznačenega ravnila konstruiramo enakostranični trikotnik in pravilni pet- kotnik, niso pa znali konstruirati nobe- nega drugega pravilnega večkotnika s praštevilskim številom stranic, niti niso vedeli, če je to sploh možno. Gauss je pri sistematski obravnavi krožnodelitvene enačbe xn – 1 = 0 kot stranski produkt našel pogoj za konstrukcijo pravilnega n-kotnika s šestilom in ravnilom. Pogoj izpolnjuje tudi praštevilo 17 in tako je lahko objavil konstrukcijo pravilnega sedemnajstkotnika, kar je pomenilo prvi napredek na tem področju po več kot 2000 letih. Gauss je odkritje pro- slavil z začetkom pisanja svojega ma- tematičnega dnevnika, v katerega je v naslednjih osemnajstih letih zapisal veliko svojih odkritij in rezultatov. Leta 1798 se je Gauss vrnil v Braunsch- weig, kjer je v izolaciji intenzivno delal. To je bil začetek obdobja desetih izjem- no uspešnih braunschweiških let. Leta 1799 je s prvim od svojih štirih dokazov fundamentalnega izreka algebre3 dok- toriral na univerzi v Helmstadtu. Leta 1801 se je ustvarjalnost preteklih let odrazila v dveh izjemnih dosežkih: mo- nografiji Disquisitiones arithmeticae s področja teorije števil in natančnem Presek 4-n6.indd 6 2/9/2005 14:19:35 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 7 MATEMATIKA Slika 3. Glavna področja Gaussovega znanstvenega delovanja in nji- hova medsebojna povezanost. Puščice nakazujejo, kako so Ga- ussa raziskave na danem podro- čju motivirale oziroma navdih- nile za delo na drugem podro- čju. Štirje njegovi najpomemb- nejši izumi so navedeni zunaj ovalov. Velikosti ovalov približ- no ustrezajo pomembnosti in vlogi vpisanih področij v celo- tnem Gaussovem znanstvenem delovanju, vpisana števila pa Gaussovo starost v času ukvar- janja s posameznim področjem. Presek 4-n6.indd 7 2/9/2005 14:19:41 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 8 MATEMATIKA izračunu orbite na novo odkritega pla- netoida Ceresa. V delu Disquisitiones arithmeticae je Gauss zbral vsa mojstr- ska dela svojih predhodnikov in ga do- datno tako obogatil, da velja danes za začetek moderne teorije števil. Astronomija je Gaussu ponudila zani- mivo alternativo. Čeprav je bil še vedno deležen vojvodove podpore, celo pove- čane, si je želel trdnejšega položaja. Misel, da bi poučeval matematiko, ga je odbijala. Tedaj je to pomenilo ele- mentarno urjenje slabo pripravljenih in nemotiviranih študentov. Domneval je tudi, da bi mu kot poklicnemu astro- nomu ostalo več časa za raziskave kot profesorju matematike. Začel se je pri- pravljati na kandidaturo za direktorja astronomskega observatorija v Göttin- genu. S sistematičnim programom te- oretičnega dela in opazovanj je kmalu postal najprimernejši kandidat za to mesto. Ko je bil leta 1807 nastavljen, je bil že uveljavljen znanstvenik. O tem priča ponujeno službeno mesto v car- skem mestu Petrogradu in članstvo v londonski Kraljevi družbi ter ruski in francoski akademiji znanosti. Prva leta Gaussovega službovanja v Göttingenu so pomenila drugi veliki val Gaussovih idej in rezultatov na različ- nih področjih matematike. Kmalu se je Gauss začel zanimati za perturbacije planetov. Tako so nastala njegova dela: Teorija gibanja nebes- nih teles (1809), članek o privlačnosti splošnih elipsoidov (1813), delo o me- hanski kvadraturi (1814) in študija o sekularnih perturbacijah (1818). Iz te dobe je tudi Gaussov članek o hiper- geometričnih vrstah (1812), ki je po- menil prvo sistematično proučevanje konvergence vrst. Po letu 1820 se je začel Gauss aktivno zanimati za geodezijo. Svoje teoretične matematične rezultate je uporabljal pri triangulaciji. Za njegov najpomembnej- ši dosežek iz te dobe bi lahko šteli teo- rijo ploskev, opisano v delu Disquisitio- nes generales circa superficies curvas (1827), kjer so praktična razmišljanja s področja višje geodezije tesno poveza- na z abstraktno diferencialno analizo. Toda celo v tej dobi, ko je Gauss vso svojo aktivnost osredotočil na proble- me iz geodezije, ni zanemaril svoje prve ljubezni, teorije števil. V letih 1825 in 1831 sta izšla njegova članka o bikva- dratnih ostankih, nadaljevanje njegove teorije o kvadratnih ostankih iz Disqui- sitiones arithmeticae. Uporabil je pov- sem novo metodo, teorijo kompleksnih števil. Nova teorija kompleksnih števil je razjasnila številne nejasnosti v arit- metiki. V delu iz leta 1831 je Gauss po- dal tako algebro kot aritmetiko kom- pleksnih števil. Poleg tega je kompleks- na števila ponazoril s točkami v ravnini in tako za vedno odstranil misterij, ki jih je obdajal. V letih 1833 in 1834 je Gaussa začela privlačiti fizika. V tej dobi je opravil ve- liko poskusov v zvezi z zemeljskim mag- netizmom. Toda čas je našel tudi za iz- V ta čas sodijo tudi edina leta Gaussove osebne sreče. Leta 1805 se je poročil z Johanno Osthoff, ki mu je rodila sina in hčerko ter ustvarila prijazen in veder dom. Umrla je po tretjem porodu leta 1809, kmalu za njo tudi novorojenček. Gauss je »za- tisnil angelske oči, v katerih je pet let gledal nebesa« in se potegnil v osamljenost. Izgube ni nikoli zares prebolel. Manj kot leto dni po Johannini smrti se je poročil z Minno Waldeck, najboljšo prijateljico svoje pokojne žene, najverjetneje iz potrebe po urejenem življenju. Imela sta dva sina in hčerko, vendar družina ni bila srečna. Minna je bila večno nezadovoljna in slabega zdravja, Gauss je bil gospodovalen oče svojima hčerama in se grobo prepiral z mlajšim sinom, ki je zato emigriral v Ameriko. Miren in prijazen dom je svojemu očetu ustvarila po smrti svoje matere (1831) najmlajša Gaussova hči Theresa, ki mu je bila tudi zaupna prijateljica zadnjih štiriindvajset let življenja. Carl Friedrich Gauss je umrl v spanju 23. februarja 1855. redno pomemben teoretični dosežek. V članku iz leta 1840 obravnava teorijo privlačnih in odbojnih sil med telesi, ki so obratno sorazmerne z razdaljami med telesi. To je bil začetek potencialne teorije kot posebne veje matematike. Gauss je delal vse do svoje smrti. V po- znejših letih se je čedalje več ukvarjal z uporabno matematiko. Žal Gaussove objave ne dajo prave slike o njegovi znanstveni veličini. Iz njegovih dnevnikov in nekaterih pisem vidimo, da je nekatere najpronicljivejše misli obdržal zase. Zdaj vemo, da je Gauss že leta 1800 odkril eliptične funkcije4 in zagotovo že okoli leta 1816 obvladal neevklidsko geometrijo5, čeprav s teh področij ni nikoli ničesar objavil. Tudi pričujoči zapis je le bleda sen- ca primerne predstavitve Gaussovega dela. Kaj več ne dopuščata ne obseg in ne zahtevnostna raven Preseka. Vsaj malo poskušajmo to nepopolnost po- praviti z diagramom na sliki 3. Marija Vencelj 4 Sloviti dvoboj med Abelom in Jacobijem pri raziskavi eliptičnih funkcij, ki smo ga opisali v članku o Abelu (Presek 29, 359–263), se je odvijal leta 1828. 5 Lobačevski je o Evklidovem 5. aksiomu predaval leta 1826, njegova knjiga o izgradnji neevklidske geometrije pa je izšla 1829/30. V tem času je tudi Madžar Bolyai objavil svoja razmišljanja o tej temi (Presek 21, 186–189). Presek 4-n6.indd 8 2/9/2005 14:19:41 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 9 MATEMATIKA Linearne preslikave ravnine in 2 2 matrike \ Uvod Ta sestavek je namenjen dijakom srednjih šol, ki že pozna- jo vektorje. Ob reševanju uporabne matematične naloge se bomo seznanili z osnovnimi idejami linearne algebre. Denimo, da ravnino, opremljeno s pravokotnim koordinat- nim sistemom, najprej zavrtimo okoli izhodišča za kot 30° v pozitivni smeri, jo nato pravokotno projiciramo na premico y = 2x, potem jo prezrcalimo čez simetralo drugega in četr- tega kvadranta ter jo na koncu še zasukamo okoli izhodišča za pravi kot v negativni smeri. Kje konča točka (x,y), ko opravimo vse štiri opisane transformacije? Zakaj bi sploh reševali tako zapletene naloge? Pri računal- niških igricah je pogosto potrebno zarotirati sliko na zaslonu okoli neke središčne točke ali pa jo prezrcaliti preko pre- mice, ki poteka skozi to središčno točko. Včasih nam koristi tudi projiciranje prostora (ki je na zaslonu predstavljen rav- ninsko) na kakšno steno (ki je na sliki predstavljena z daljico, ta daljica pa seveda določa premico). In seveda je pogosto potrebno izvesti več takih transformacij zaporedoma. Kaj se potem zgodi s sliko na zaslonu? Pri iskanju odgovora na tako vprašanje nam pomaga, če vemo, kaj se zgodi z vsako točko na zaslonu. To pa pomeni, da moramo rešiti nalogo, podobno zgoraj zastavljenemu problemu. S sorodnimi ma- tematičnimi problemi se srečujejo sestavljalci programske opreme, namenjene arhitektom, oblikovalcem, prodajnim salonom pohištva. Tako kot pri vsaki zahtevnejši matematični nalogi bomo tudi svoj uvodni problem razbili v manjše, lažje obvladljive nalo- ge. Vprašali se bomo, kaj se zgodi s poljubno točko (x,y) pri rotaciji ravnine okoli izhodišča za kot {, kaj se zgodi s točko pri zrcaljenju preko premice, ki poteka skozi izhodišče, in še kam se preslika točka (x,y) pri pravokotnem projiciranju na premico skozi izhodišče koordinatnega sistema. Pri tem bomo opazili nekatere podobnosti med navedenimi različni- mi problemi in te podobnosti izkoristili pri njihovem reševa- nju. To nas bo pripeljalo do osnovnih idej linearne algebre. Končali bomo z nekaj opombami o možnih posplošitvah na trorazsežni prostor in višje dimenzije. \ Matrike V tem poglavju si bomo pripravili orodje, ki bo poenostavilo računanje pri reševanju zastavljenega problema. Matrika je tabela števil. Oglejmo si najprej nekaj primerov: 0 1 0 1 1 3 12 , 0 0 1 1 , 7 3 . π 0 –1 2 2 1 1 0 0 1 1 Prva matrika ima dve vrstici in tri stolpce, druga štiri vrsti- ce in štiri stolpce, zadnja pa eno samo vrstico in dva stolpca. Rečemo, da je velikost prve matrike 2 × 3, drugi matriki rečemo 4 × 4 matrika, zadnji pa 1 × 2 matrika. V tem članku bomo večinoma potrebovali 2 × 2 in 2 × 1 matrike. Matrika velikosti 2 × 2 je tabela štirih števil, raz- porejenih v dve vrstici in dva stolpca: a11 a12 . a21 a22 Število aij imenujemo (i, j )-ti člen matrike. Prvi indeks pove, v kateri vrstici leži ta člen, drugi pa v katerem stolpcu. Matrika x y Presek 4-n6.indd 9 2/9/2005 14:19:43 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 10 Slika 2. Slika 3. Slika 4. 0 r 2r R{(2r ) 0 2R{r R{r { r je 2 × 1 matrika s členoma x in y. Taki matriki bomo rekli tudi matrični stolpec. \ Linearne preslikave ravnine Naj bo ravnina R opremljena s pravokotnim koordinatnim sistemom. Potem vsaki točki T v ravnini pripada urejen par koordinat (x,y). V okviru tega sestavka bomo namesto obi- čajnega zapisa (x,y) koordinati točke T vedno pisali v ma- tričnem stolpcu x y . Vektor r z začetno točko v izhodišču koordinatnega sistema in končno točko T imenujemo kra- jevni vektor točke T. Koordinati tega vektorja sta x y (glej sliko 1). Slika 1. Najprej obravnavajmo rotacijo ravnine za kot { okoli koordi- natnega izhodišča. Pri tej rotaciji se točka T s koordinatama x y transformira v točko T ’ s koordinatama x' y' . Ponavadi si ravnino predstavljamo kot množico točk. Mi pa jo raje obra- vnavajmo kot množico ustreznih krajevnih vektorjev. Potem je rotacija ravnine za kot { okoli koordinatnega izhodišča trans- formacija, ki vsak krajevni vektor zasuka za kot { (slika 2). Označimo to rotacijo z R { . Potem pišemo R { r = r ' ali R { x y = x' y' . Vektor r najprej podaljšamo s faktorjem 2 in ga potem zavrtimo za kot { (slika 3). Dobimo enak rezultat kot v primeru, ko vektor r najprej za- vrtimo za kot { in ga potem podaljšamo s faktorjem 2 (slika 4). V prvem primeru smo najprej vektor r transformirali v vek- tor 2r in potem po zasuku dobili vektor R { (2r ). r T(x,y) 0 0 r r ' T T ' { MATEMATIKA Presek 4-n6.indd 10 2/9/2005 14:19:44 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 11 domestimo z nasprotnim vektorjem (slika 6). Zato velja R{ (–r ) = –R{r za vsak vektor r . Za vsak vektor r pa je res tudi R { (0r )=0=0R { r . S tem smo dognali, da formula (1) velja za vsako realno število t in vsak vektor r . V naslednjem koraku pa premislimo, kako rotacija deluje na vsoto vektorjev r + s . Vektorja r in s naj- prej seštejemo in potem njuno vsoto zavrtimo okoli izhodišča za kot { (slika 7). Slika 7. Slika 8. V drugem primeru pa smo v prvem koraku prišli do vektorja R { r in tega potem podaljšali do vektorja 2R { r . Ker smo obakrat dobili isto, velja R{ (2r ) = 2R{r . Namesto s skalarjem 2 bi lahko vektor pomnožili s katerimkoli pozitivnim skalarjem t in z enakim raz- mislekom ugotovili, da velja R{ (tr ) = t (R{r ). (1) Vektor r najprej nadomestimo z nasprotnim vektor- jem in potem tega zavrtimo za kot { (slika 5). Slika 5. Slika 6. Dobimo enak rezultat kot v primeru, ko vektor r naj- prej zavrtimo za kot { in potem dobljeni vektor na- 0 R{r r –R{r 0 { r –r R{(–r ) 0 r { r+s s R{(r +s) 0 R{r r s R{r+R{s R{s MATEMATIKA { Presek 4-n6.indd 11 2/9/2005 14:19:45 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 12 Slika 10. Slika 11. Slika 12. Dobimo enak rezultat kot v primeru, ko najprej za- vrtimo vektorja r in s in potem zavrtena vektorja seštejemo (slika 8). Ugotovili smo, da za poljubna vektorja r in s velja R { (r +s )=R { r +R { s . Transformacijo A : R R imenujemo linearna presli- kava, če za vsako realno število t in vsak par vektor- jev r in s velja A(t r )= t (Ar ) in A(r +s )=Ar + As Pravkar smo ugotovili, da je rotacija za kot { okoli izhodišča linearna preslikava. Naj bo dana premica p, ki poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema. Označimo z Zp transformacijo ravnine, ki vsako točko prezrcali preko premice p. Slika 9 in slika 10 nas pre- pričata, da je tudi Zp : R R linearna preslikava. Slika 9. In končno naj bo Pp : R R transformacija, ki vsa- ko točko ravnine pravokotno projicira na premico p. Tudi to je linearna transformacija ravnine (slika 11 in slika 12). Peter Šemrl MATEMATIKA r Zpr s r+s Zps Zpr+Zps=Zp(r+s ) p 0 0 tr r p Ppr tPpr=Pp(r+s ) 0 r+s r s Ppr +Pps =Pp (r+s ) p 0 tr r p Zpr tZpr =Zp(tr) Presek 4-n6.indd 12 2/9/2005 14:19:46 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 13 MATEMATIKA Kvadratki v krogu - nagradna naloga Izšle so astronomske efemeride Naše nebo 2005 Naročite jih lahko po telefonu (01) 4766 553 ali 4232 460 in po elektronski pošti zaloznistvo@dmfa.si za 1.800 SIT. Na kvadratni mreži narišite krog s pol- merom dveh enot tako, da bo v njem čimveč celih kvadratkov. Odgovor ute- meljite. Rešitve pošljite najkasneje do petka, 18. marca 2005, na naš naslov: Presek Jadranska 19 p.p. 2964 1001 Ljubljana Izmed reševalcev, ki bodo poslali pra- vilno rešitev naloge, bomo izžrebali na- grajenca, ki bosta prejela knjižno na- grado. Peter Petek Presek 4-n6.indd 13 2/9/2005 14:19:47 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 14 FIZIKA meritevsilapospesektrenjepoljemagnetx+ypotsporocilovalovanjemagnetbalonmehurckizrak pritiskzvokvalovanjeslika4elementiformulemerjenjekrivuljameritevsilapospesektrenjepoljemagnetx+y magnetbalonmehurckizrakpritiskzvokvalovanjeslika4elementiformulemeritevsilapospesektrenjepolx+ypotsporocilo valovanjemagnetbalonmehurckizrakpritiskzvokvalovanjeslika4elementiformulezvokvalovanje 9T(i, j )=a(T––T(i,j )) Presek 4-n6.indd 14 2/9/2005 14:19:47 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 15 Kako rastejo snežinke? FIZIKA 2. V zelo hladnem zraku padajo snežinke v obliki majhnih šest- kotnih zvezdic. Nekatere imajo nazobèane krake, druge spet dolge drevesaste izrastke (glej sliko 1). Zvezdice se moèno razlikujejo med seboj, skoraj ne najdemo dveh povsem ena- kih. Rast snežink v oblakih je oèitno zelo zapletena. Ali jo lahko vsaj v grobem pojasnimo? Pokazali bomo, da lahko s preprosto predstavo o primrzovanju vodnih molekul na lede- no površino in z upoštevanjem zakona o prevajanju toplote presenetljivo dobro opišemo ta pojav. Obravnavali bomo kar se da preprost mo- del zmrzovanja. Vodne molekule bomo po- stavili v vozlišča šesterokotne mreže v rav- nini. Najprej bomo privzeli, da vse moleku- le, razen ene na sredi, tvorijo tekočo fazo. Nato bomo začeli tekočino ohlajati tako, da bomo hladili podlago. Ko bo tempera- tura v vozlišču padla pod ledišče, bo mole- kula primrznila, vendar le, če ima kakega soseda. Ker se pri primrzovanju sprošča toplota, bomo v vozlišču dvignili tempera- turo. Seveda ne bomo dovolili, da bi mo- lekula zaradi tega spet prešla v tekočino, saj bi za to potrebovala talilno toploto, ki jo je pri primrznitvi oddala, del te toplote pa je že odtekel drugam. Na vsakem voz- lišču bomo morali računati temperaturo, saj se voda ohlaja, pa tudi segreva, in sicer tem bolj, čim bliže smo vozliščem, kjer so molekule pred kratkim prešle v led. Tem- peratura zato ne bo enaka v vseh vozliščih, opraviti imamo s temperaturnim poljem. Da pridemo do šesterokotne mreže, tvo- rimo najprej pravokotno mrežo, kamor bomo postavili molekule vode. Ker bomo rast snežink spremljali z računalnikom, si bomo omislili polje vozlišč in vsakemu vozlišču priredili par naravnih števil (i,j ). Temperaturno polje bomo predstavili z matriko T(i,j ), prav tako tudi agregatno stanje molekul z matriko p (i,j ), ki ji bomo rekli matrika stanja. Na posameznem mestu bo njena vrednost lahko le 1 ali 0. Enica bo pomenila, da je na da- nem mestu molekula del kristala, ničla pa, da je molekula še del tekočine. Na sliki 2 je predstav- ljena osnovna pravokotna mreža in sosedje vozliš- ča (i,j ). Vidimo, da so osnovna vozlišča, ki ležijo levo ali desno, precej bliže kot tista nad ali pod. (Kolikšno je razmerje med stranicama osnovnega pravokotnika?) Tako bodo sosedje vozlišča (i,j ) tvorili šestkotnik, snežinke bodo imele tako sime- trijo, ki jo opazimo v naravi. To bomo upoštevali, ko bomo matriko p (i,j ) prikazovali na zaslonu. Morda bi koga skrbelo, da smo z izbiro sosedov vozlišča (i,j ) prezrli tista, ki so mu zares najbližja. A v teh molekule nikoli ne primrznejo, saj nimajo svojih sosedov. Tako z zvijačo in malo truda pri- demo do šestkotne mreže. Na vsakem koraku računa bomo pregledali vsa vozlišča (i,j ) in zabeležili, če se je agregatno stanje molekule morebiti spremenilo, če je torej tempera- tura T (i,j ) pod lediščem in ima molekula vsaj ene- ga, že primrznjenega soseda. Vrednost p (i,j ) bomo tedaj spremenili od vrednosti 0 na vrednost 1. Pri vsaki spremembi matrike stanja bomo dano mesto segreli za 9T, saj se ob zmrzovanju spro- sti talilna toplota. Hitro lahko izračunamo velikost 9T, saj vemo, koliko toplote se sprosti, ko zmrzne 1 kg vode; qt = 80.4200 J/kg. Toliko toplote bi segrelo 1 kg vode za 80 K. Seveda moramo pri zmrzovanju to toploto odvesti, da ima mešanica vode in ledu ves čas temperaturo ledišča. Toplota zato odteče v hladno okolico, s katero sta zmrzu- Presek 4-n6.indd 15 2/9/2005 14:19:48 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 16 joča voda in nastali led v stiku. Pri nas pa bomo za toliko segreli vozlišče, v ka- terem je molekula primrznila. Zaradi gretja bomo morali po nekem pravilu obnavljati temperature vozlišč T(i,j ). Tako bomo upoštevali toplotne tokove od mest, kjer so molekule pri- mrznile, na sosednja vozlišča in v hlaje- no podlago s stalno temperaturo Tp. Do enačbe, ki bo opisovala temperaturne spremembe, pridemo po temle prepro- stem premisleku. Denimo, da merimo temperaturo valjastega merjenca, ki je v toplotnem stiku z dvema velikima telesoma s temperaturama T1 in T2. Če je toplotni stik z obema telesoma enak, bo njegova končna temperatura na sredi ravno povprečna temperatura 1 2(T1+T2). Podoben premislek velja, če je zvezdasto oblikovan merjenec v stiku z več telesi z različnimi temperatura- mi. Temperaturno spremembo vozlišča (i,j ) pri majhnem časovnem koraku 9t bomo zato določili kot 9T(i, j )=a (T – –T(i,j )), kjer smo s T – označili povprečno tempe- raturo najbližjih sosedov, s katerimi je vozlišče v toplotnem stiku T – = 1_n R n k=1 Tk . S slike 2 razberemo, da je povprečna temperatura najbližjih šestih sosedov vozlišča (i,j ) in podlage podana takole: T – = 1_7T(i+2,j)+T(i+1,j–1)+ T (i+1, j+1)+T(i–1,j–1)+ T(i–1,j+1)+T(i–2,j )+Tp )). Poleg temperatur sosednjih vozlišč smo upoštevali še temperaturo podlage, s katero je vsako vozlišče v stiku. Koe- ficient a je povezan s časovnim kora- kom 9t, toplotno prevodnostjo, gostoto in specifično toploto ledu ali vode ter razdaljo med najbližjimi sosedi. Spet FIZIKA Slika 1. Fotografije snežink, ki jih včasih opazimo v naravi. Večinoma so snežinke nepravilnih oblik, mnoge so v obliki paličic in stebričkov, ki jih naš račun ne zajema. Slike posameznih snežink smo našli na spletni strani http://www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/photos. bomo privzeli, da so lastnosti ledu in vode povsem enake. Čim manjši a iz- beremo, tem natančnejši bo račun. Se- veda se bo s tem podaljšal skupni čas računanja, zato ne kaže pretiravati z natančnostjo, še posebno ne, ker smo v našem preprostem računanju marsi- kaj zelo poenostavili. Prevelike vred- nosti a >> 1 pa vodijo do nesmisel- nih rezultatov. Priporočljivo je izbrati časov ni korak 9t tako, da je na primer a = 0.25. Program, s katerim smo sledili rasti snežink, je zelo preprost. Priporočljivo je delati z dvema temperaturnima ma- trikama Ts(i,j ) in Tn(i,j) ter dvema ma- trikama stanja ps(i,j) in pn (i,j). Indek- sa s in n označujeta staro stanje, ki ga moramo obnoviti, in obnovljeno novo stanje. Za naslednji korak prepišemo novo stanje temperatur in agregatnih stanj v staro. Na sliki 3 je prikazana hitra rast sne- žinke, ko je bila temperatura podlage za 0,7 K pod lediščem, na sliki 4 pa po- Presek 4-n6.indd 16 2/9/2005 14:19:49 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 17 FIZIKA Slika 2. Šestkotna mreža, kamor postavimo molekule vode. Prikaza- no je vozlišče (i,j) in sosednja vozlišča, ki tvorijo šestkotno mrežo. časna rast, ko je bila ta temperatura le 0,1 K pod lediščem. S spreminjanjem temperature podlage med rastjo se lah- ko tvorijo tudi drugačne oblike. Skup- no vsem snežinkam s te slike so dolgi zvezdasti izrastki. Nastanejo zato, ker se vozlišča blizu izrastkov najhitreje ohlajajo. To je posebno pomembno pri rasti blizu ledišča. Na sliki 5 vidimo nekaj razvojnih stopenj snežink, ki so nastajale pri temperaturi 0.025 K pod lediščem. Na tretji sličici sta prikazani dve snežinki na istem mestu, mlajša s krožci, starejša s pikami. Tako vidimo, na katerih mestih snežinka najhitreje raste. Zanimivo je, da lahko tako zapleten pojav, kot je rast snežink, kar dobro pojasnimo z zelo prepro- stim računanjem. Naše snežinke so seveda zelo majhne, saj jih sestavlja le nekaj sto molekul. Tudi če si namesto molekul mislimo mikroskopske kap- ljice, bo primrzovanje kazalo enake značilnosti. Zapleten vzorec nastane zaradi zelo preprostih zakonitosti, ki uravnavajo zmrzovanje. V naravi so seveda razmere precej bolj zapletene, posebno zato, ker snežinke rastejo tudi v debelino. Razme- re so v oblakih lahko precej drugačne kot na na- šem polju vozlišč. Zato najdemo v naravi snežinke, ki jih z našim računom ne moremo pričarati. Na spletni strani http://www.its.caltech.edu/~ato- mic/snowcrystals najdemo poleg lepih posnetkov snežink tudi nekaj razlage o njihovi rasti. Andrej Likar Presek 4-n6.indd 17 2/9/2005 14:19:51 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 18 Slika 5. Rast snežinke pri zuna- nji temperaturi Tp = –0.025 K. Največji snežinki sta narisani na istem mestu, manjša s krož- ci, večja s pikami, da se vidijo mesta najhitrejše rasti. Slika 3. Rast snežinke pri zunanji temperaturi Tp = – 0,7 K FIZIKA Presek 4-n6.indd 18 2/9/2005 14:19:52 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 19 Slika 4. Počasnejša rast snežinke pri zunanji temperaturi Tp = – 0, 1 K FIZIKA SE NADALJUJE NA STRANI 24 Presek 4-n6.indd 19 2/9/2005 14:19:53 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 20 RAZVEDRILO Križanka Presek 4-n6.indd 20 2/9/2005 14:19:53 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 21 RAZVEDRILO Presek 4-n6.indd 21 2/9/2005 14:19:55 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 22 RAZVEDRILO Vrste in verige - igra za dva Eden od igralcev v kvadratke izmenoma vpisuje števili 1 in 3, zato ga bomo imenovali lihi igralec. Drugi, sodi igra- lec, izmenoma vpisuje števili 2 in 4. Igra poteka takole: Lihi igralec vpiše v poljubne- ga od petindvajsetih kvadrat- kov število 1. Nato vpiše sodi igralec v enega od preostalih kvadratkov število 2. Na- daljuje lihi igralec, ki vpiše število 3, za njim sodi števi- lo 4. Na petem koraku vpiše lihi igralec spet število 1, na šestem sodi igralec število 2, nato lihi število 3 itd. Števila vpisujeta seveda le v prazne kvadratke. Nadaljujeta tako Igrico Tri v vrsto verjetno vsi pozna- te. Pred številnimi drugimi igrami ima prednost, da za igranje ne potrebujemo posebnih rekvizitov, zadošèata pisalo in papir. Ima pa tudi veliko hibo; èe igre ne igramo povsem na slepo, hitro spregleda- mo preprostost strategije igranja in nas ne privlaèi veè. Tokrat si oglejmo njeno zanimivejšo sorodnico, ki si jo je pred približno 40- timi leti izmislil tedanji študent William McGrail iz Massachusettsa. Njen opis sem našla v knjižici Madachy’s Mathe- matical Recreations avtorja Josepha S. Madachyja. Imenovali jo bomo Vrste in verige. Najpreprostejša oblika je igra za dva igralca na polju s 5 × 5 kvadratki. množica štirih ali več kvadratkov z ena- kimi številkami. Pri tem imata sosednja (povezana) kvadratka ali skupno strani- co ali skupno oglišče. Vrednost vrste ali verige podaja naslednja tabela: 5 kvadratkov v vrsti 6 točk 4 kvadratki v vrsti 5 točk 3 kvadratki v vrsti 4 točke 6 kvadratkov v verigi 3 točke 5 kvadratkov v verigi 2 točki 4 kvadratki v verigi 1 točka Vrsti, ki potekata v različnih smereh, točkujemo ločeno, čeprav imata mor- da skupen kvadratek. Ločeno točkuje- mo tudi verigo in vrsto, četudi je vrsta del verige. Nekaj možnih porazdelitev s pripadajočimi točkami prikazuje sli- ka 2. 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 11 točk 2 točki 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 0 točk 8 točk dolgo, da ostane od začetnih petindvaj- setih kvadratkov prazen en sam. V osta- lih kvadratkih so vpisana števila 1, 2, 3 in 4, vsako šestkrat. Možen zaključek vpisovanja števil prikazuje slika 1. 3 3 2 2 1 4 4 3 3 2 3 4 2 2 3 1 4 1 1 1 4 1 4 2 Nato je na vrsti točkovanje. Točke pri- našajo ustvarjene vrste in verige. Vrsta je zaporedje treh ali več kvadratkov z enakimi številkami, ki si neposredno slede v vodoravni, navpični ali diagonal- ni smeri. Veriga je poljubna povezana Presek 4-n6.indd 22 2/9/2005 14:19:57 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 23 Rešitev križanke RAZVEDRILO Slikovna uganka Uganite, kaj predstavljata risbici in prenesite črke s pomočjo nitk v desni stolpec. Rešitev je znani pojem s področja računalništva. Jože Berdon Za vajo točkujmo še izid na sli- ki 1. Lihi igralec ima tri enke v vrsti in pet enk v verigi, kar mu prinese 6 točk, ter pet trojk v verigi za 2 točki, skupaj torej 8 točk. Sodi igralec ima pet dvojk v verigi, tri štirice v vrsti in šest štiric v verigi, kar skupaj da 9 točk. Igro je dobil sodi igralec. Običajno velja dogovor, da prvi igralec ne sme začeti igre v srednjem kvadratku igralnega polja. V nasprotnem je drugi igralec že na začetku v rahlo slabšem položaju. Dodatno po- slabša njegov položaj še dejstvo, da mora odigrati zadnjo potezo igre, ki je pogosto nepomembna za končni izid. Strategija igranja igre Vrste in verige je precej bolj zapletena kot pri igri Tri v vrsto. Seveda lahko igramo tudi bolj ali manj ‘na slepo’. Dosedanje izkušnje kažejo, da prinaša v takih pri- merih obrambna igra statistič- no več točk kot napadalna. Pre- verite, če je to res! \ Opombe 1. Namesto pisanja številk na papir lahko polagate na ig- ralno ploščo dimenzije 5 × 5 kartončke s številkami ali figuricami. Le pripraviti jih morate. 2. Seveda se lahko spoprimete tudi s študijem igralne stra- tegije. 3. Igra je gotovo zanimiv izziv za tiste, ki radi programira- te. Marija Vencelj Presek 4-n6.indd 23 2/9/2005 14:19:59 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 24 Verižni eksperiment Zagotovo ste že kdaj razmišljali o čisto svoje- vrstni napravi - posebnem stroju, ki bi zjutraj na- mesto vas pospravil posteljo ali preveril, če se v šolski torbi nahaja vse, kar potrebujete za tisti dan. Lahko bi vam, denimo, tudi poiskal copate in pripravil zobno pasto na zobno krtačko. Najbrž si takšno napravo v mislih že kar predstavljate: brcnete v prečko ob robu postelje in iz stropa se, kot rolo na oknu, spustijo posebne ročke, ki za- grabijo odejo, jo dvignejo visoko v zrak in z nje stresejo vse papirčke. Morda ste že celo poskušali skicirati načrt, kako naj bi taka naprava delovala. Ali ste premislili, kako naj bo izdelan mehanizem, ki bo zagotavljal, da bo zravnana odeja lepo padla nazaj na posteljo? Mogoče ga lahko izdelate s po- močjo nekaj vrvic in drugih stvari, ki jih najdete v domači garaži. Povabite še sošolce in prijatelje, da se pridružijo izdelovanju čudežne naprave in prispevajo svoje ideje. Skupaj se prijavite kot eki- pa za sodelovanje v Verižnem eksperimentu! FIZIKA Slika 1. Predstavitev Demo verižnega eksperimenta na srečanju DMFA novembra 2004 v Cerknem. Projekt Verižni eksperiment je ena od pomembnejših aktivnosti namenjenih obeležitvi Svetovnega leta fizike 2005 v Sloveniji. Gre za organizacijo dogod- ka, podobnega akcijam podiranja dolge kolone domin, le da pri njem namesto padanja domin aktiviramo različne na- prave, ki zapovrstjo prožijo ena drugo in tvorijo verigo zanimivih fizikalnih eksperimentov. Kotalijo se kroglice, prelivajo tekočine, nihajo palice, pre- gorevajo žičke. Vse skupaj ustvarja dramatično vzdušje svojevrstne gleda- liške predstave o prenosu energije. Ve- riga je sestavljena iz poljubno izdelanih naprav, ki morajo imeti le to skupno lastnost, da se vsaka izmed njih konča tako, da sproži delovanje naslednje. fizika2005.net. Prijavljeni udeleženci bodo po registraciji na dan prireditve izžrebali številko, ki bo pomenila zapo- redno mesto njihovega eksperimenta v celotni verigi. S tem bomo dosegli, da bo dogodek čimbolj družaben in vzne- mirljiv tako za konstruktorje naprav kot za druge obiskovalce prireditve. Najbolj originalne in zanimive eksperi- mente bomo nagradili. Vzdušje pred zagonom verige bo zago- tovo dramatično. Misliš, da si bo kdo upal staviti, da bo vsa veriga stekla brez posredovanja nepretrgoma od začetka do konca? Verjemi ali ne, bolj kot bo neka skupina napredovala v izdelova- nju svojega eksperimenta, manj bo pre- pričana, da bo šlo vse kot po maslu. Od osnutka do zanesljivo delujoče naprave je namreč precej bolj zahtevna pot, kot si predstavljamo. A ravno v tem je iz- ziv: poskušanje, izkušnje, učenje in spet poskušanje ter končno napredovanje do dovršenega izdelka. Potrebno je vztra- jati in verjeti, da fizikalni zakoni zares »delujejo«. To so spoznanja, do katerih se je dokopala večina konstruktorjev, ki so sodelovali pri izdelovanju naprav za tako imenovani Demo verižni ekspe- riment. Gre za verigo desetih naprav, ki so jih izdelali študentje Fakultete za matematiko in fiziko ter Pedagoške Tovrstnega zabavnega druženja na temo fizike so se pred nekaj leti domis- lili na Massachusetts Institute of Tech- nology (MIT) v ZDA in je kmalu pre- raslo v enega izmed najbolj priljubljenih in obiskanih dogodkov na tej univerzi. Leta 2003 je v verigi na MIT sodelovalo 30 skupin, ki so za svoje naprave upo- rabile raznovrstne predmete: frnikule, mišolovko, punčko Barbie in celo živega zajca. V Sloveniji bomo pod okriljem Društva za matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (DMFA) podobno srečanje organizirali 14. maja 2005 v Ljubljani. Projekt je namenjen vsem, ki jih veseli eksperimentiranje s fiziko. Pri udeležbi ni omejitev. Pričakujemo pa, da se bodo odzvali predvsem učenci in dijaki. V skupinah po dva do pet članov z mentorjem, ki je nujen vsaj za osnov- nošolce, naj bi pripravili inovativne eks- perimente, posamezne člene omenjene verige. Zamisel za potek eksperimenta je prepuščena domišljiji vsake skupine posebej, vezni člen med eksperimenti pa bo kovinska kroglica, ki mora pasti z neke predpisane višine. Za sodelovanje v verigi se je potrebno prijaviti najkasneje do 28. 2. 2005. Prijavni obrazec in druge koristne in- formacije se nahajajo na spletni stra- ni Svetovnega leta fizike: http://www. Presek 4-n6.indd 24 2/9/2005 14:20:02 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 25 fakultete Univerze v Ljubljani ter štu- dentje Pedagoške fakultete Univerze v Mariboru. Namen Demo verižnega eks- perimenta je s prikazom na javnih me- stih pritegniti k opisani aktivnosti čim- več ljudi. Njegova prva predstavitev je bila oktobra 2004 v Ljubljani v okviru desetega Slovenskega festivala znano- sti. Kasneje si ga je bilo možno ogledati še na občnem zboru DMFA novembra 2004 v Cerknem ter na prireditvi Mladi umi decembra 2004 v Mariboru. Posa- mične naprave iz Demo verižnega eks- perimenta bomo natančneje predstavili v naslednjih številkah Preseka. Dodali bomo tudi podrobnejši opis nekaterih zanimivih fizikalnih pojavov, ki so bili vključeni v njih. Kvarkadabra: Zakaj je nebo modro? Pri Založbi Krtina je v knjižni zbirki KRT izšel zbornik Kvarkadabra: Zakaj je nebo modro? Za- časni odgovori na večna vprašanja, v katerem so zbrani prispevki skupine znanstvenikov mlajše generacije, ki raziskovalno delujejo na področju fizike in matematike. Knjiga je sestavljena kot zbirka odgovorov na pre- prosta in na prvi pogled celo naivna vprašanja o fizičnem svetu in naravnih pojavih (zakaj je nebo modro, kako nastane plimovanje, kako se lahko neskončno vesolje še naprej širi, ali je mogoče z jadrnico pluti hitreje od vetra). Avtorji v osmih poglavjih z vso resnostjo odgovarjajo na vprašanja in jih interpretirajo kot prave teoretske probleme, pri tem pa se izognejo strogo znanstvenemu jezi- ku; uporabljajo jezik in slog, ki je razumljiv tudi za bralca brez poglobljenega naravoslovnega zna- nja. Posebna privlačnost knjige je ta, da so vpra- šanja, na katera so v zborniku podani znanstveni odgovori, zastavili bralci spletne revije Kvarka- dabra – časopisa za tolmačenje znanosti (www. kvarkadabra.net). Da bi bili odgovori na zastavljena vprašanja še jasnejši in nazornejši, je knjiga, ki vsebuje več kot 320 strani, obogatena s skicami, fotografijami in podrobnim stvarnim kazalom. Podrobnejše infor- macije o knjigi so predstavljene na spletni strani Založbe Krtina (www.zalozbakrtina.si). Daniel Svenšek FIZIKA Slika 2. Ena od štu- dentskih skupin pred svojo »napravo«. V začetku mednarodnega leta fizike si je Demo verižni eks- periment mogoče ogledati na javni predstavitvi od 7. do 18. marca 2005 na Pedagoški fakulteti v Ljubljani in od 28. ja- nuarja do 23. februarja 2005 na Pedagoški fakulteti v Mari- boru. V okviru slednje se je možno dogovoriti tudi za vodene skupinske oglede (pišite na elektronski naslov: natasa.vau- potic@uni-mb.si). Vse, ki Demo verige še niste uspeli videti, vabim na ogled na eno izmed omenjenih ustanov. Prepričana sem, da vas bodo rezultati študentske fizikalne domišljije prijetno presenetili in da se boste navdušeni nad projektom tudi sami lotili dela ter se zagnali v že dolgo odlašano iz- delavo vašega čisto posebnega »stroja za ...«. Nato ga bo potrebno le še dopolniti z veznimi členi in že se lahko 14. maja 2005 uspešno vključite v veliki Verižni eksperiment. Vabljeni k sodelovanju! Irena Drevenšek-Olenik Presek 4-n6.indd 25 2/9/2005 14:20:04 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 26 RAÈUNAL NIŠTVO.tex .dvi.ps.pdf. log((x**2–4)/(x+1)) \begin{document} \end{document} \d o c u m e n tc la ss [1 2 p t, a 4 p a p e r] {a rt ic le } \b e g in {d o c u m e n t} P o z d ra v lj e n s v e t! T o j e n a \v {s } p rv i d o k u m e n t v \ L aT e X {u }. \e n d {d o c u m e n t} Presek 4-n6.indd 26 2/9/2005 14:20:05 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 27 Mala šola LaTeXa (prvi del) RAÈUNALNIŠTVO 3. V naslednjih nekaj lekcijah si bomo pogledali, kako napisati dokument s pomočjo LaTeXa. LaTeX je ukazni urejevalnik besedil, kar pomeni, da izgled besedila določamo v samem besedilu s pomočjo ukazov, ne pa Kot zanimivost povejmo, da ima TeX poseben način označevanja različic, saj se od tretje različice dalje posodobitve označijo z dodajanjem novega decimal- nega mesta na koncu, tako da se šte- vilo asimptotično približuje številu π. Trenutna različica je 3.141592. LaTeX je posebna različica Knuthove- ga TeXa, saj ga dopolni z zbirko ma- krojev in predlog, ki zelo poenostavijo pisanje dokumentov, tako da omogo- čijo uporabniku, da se bolj osredotoči na strukturo dokumenta kot na pravil- no oblikovanje ukazov. To pomeni, da LaTeX še vedno uporablja TeX, sama uporaba njegovih makrojev pa je upo- rabniku veliko prijaznejša. Tako lahko npr. z enim ukazom zapišemo naslov razdelka v dokumentu, kjer bi v TeXu morali spremeniti velikost pisave, obli- ko pisave, razmak pred in za naslovom ter verjetno še kaj. Donald E. Knuth vizualno kot v znanih urejevalnikih besedil, npr. Microsoft Word ali OpenOffice.org Writer. Vrsti slednjih urejevalnikov pravimo tudi WYSIWYG (angl. What You See Is What You Get), torej »to kar vidiš, to dobiš«, saj izgled besedila do- ločamo kar v programu, ki nam že med urejanjem besedila izpisuje njegov končni izgled. No, z LaTeXom temu ni tako. Kljub temu, da moramo v LaTeXu besedilo urejati s pomočjo ukazov, ima svoje prednosti. Ena ključnih prednosti doku- mentov napisanih v LaTeXu je ta, da bo dokument na vseh računalnikih izgledal popolnoma identično, ne glede na to, v katerem operacijskem sistemu si ga ogledujemo, kar je pri urejevalnikih tipa WYSIWYG včasih problematično. Z LaTe- Xom ne bo teh težav! \ Kratka zgodovina LaTeXa Vse se je začelo v poznih 70-ih letih prejšnjega stoletja, ko se je Donald Knuth, profesor računalništva na ameriški uni- verzi v Stanfordu in med drugim tudi avtor zbirke knjig pod naslovom The Art of Computer Programming, odločil, da bo razvil svoje okolje za pisanje strokovnih dokumentov. Poime- noval ga je TeX. Razvil ga je zato, ker ni bil zadovoljen z iz- gledom in obliko prvih treh knjig prej omenjene zbirke. TeX je imel in še vedno ima nekaj zelo zanimivih lastnosti, zaradi katerih se je zelo razširil in je še danes med najbolj uporabljenimi načini pisanja dokumentov. Naj omenim samo nekaj teh lastnosti: namenjen je bil temu, da ga uporabljajo avtorji sami, prišel je iz akademskih krogov in je bil na voljo brezplačno ter postal primeren za različne računalniške in operacijske sisteme. Presek 4-n6.indd 27 2/9/2005 14:20:12 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 28 RAÈUNALNIŠTVO Za pregledovanje .dvi datotek paket MikTeX že vsebuje pregledovalnik z imenom Yap. Za datoteke tipa .ps potrebujemo dva brezplačna pro- grama, ki ju prav tako najdemo na internetu. Prvi je GhostScript, drugi je GhostView. Brez prvega drugi ne deluje. Datoteko tipa .dvi pretvo- rimo v .ps datoteko z dodatnim programom dvips.exe, ki je priložen v paketu MikTeX. Datoteke tipa .pdf lahko gledamo s pomočjo prav tako brezplačnega programa Adobe Reader. PDF format datotek je dandanes med najbolj priljubljenimi formati za prenašanje besedilnih in podobnih dokumen- tov med računalniki, kot tudi med različnimi operacijskimi sistemi. V kolikor želimo uporabljati LaTeX s prej omenjenim urejevalnikom TeXnicCenter, je priporočljivo, da najprej namestimo paket MikTeX, nato pregledovalnike datotek .ps in .pdf (v kolikor jih želimo uporab- ljati) in na koncu namestimo še omenjeni urejevalnik besedil. Z na- mestitvijo programov v tem vrstnem redu lahko izkoristimo možnost samodejne nastavitve povezav s prevajalnikom in pregledovalniki. \ Potek urejanja besedila v LaTeXu V LaTeXu urejamo besedilo tako, da vključimo ukaze, ki določajo iz- gled besedila, kar v samo besedilo. Zato poteka pisanje dokumentov v LaTeXu v naslednjih korakih: 1. Ustvarimo LaTeX vhodno datoteko. Le-ta vsebuje besedilo ter uka- ze za oblikovanje in mora biti navadna tekstovna datoteka s pripono .tex. 2. Izvorno datoteko prevedemo z ukazom LaTeX.exe datoteka.tex, kjer je datoteka.tex ime datoteke, v kateri je shranjen naš dokument. Da- toteko v programu TeXnicCenter prevedemo preko menuja Build, nato Current File in Build Output, za kar imamo v orodni vrstici tudi bljiž- njico. Prevajalnik, če v dokumentu ni napak, tvori izhodno datoteko z imenom datoteka.dvi; v primeru, da se napake pojavijo, jih moramo odpraviti ter datoteko ponovno prevesti. Prevajalnik javi, kje in kaj je napaka, vendar se je na javljanje napak potrebno malo navaditi. 3. Izhodno datoteko si ogledamo z ustreznim programom (Yap), kar na- redimo z ukazom yap.exe datoteka.dvi1. V programu TeXnicCenter si lah- ko izhodno datoteko ogledamo preko menuja Build in nato View output. Slika 1. Z LaTeXom lahko zapišemo najza- pletenejše matematične formule. 1 Programa LaTeX.exe in yap.exe morata biti nastavljena v poti okolja, da ju operacijski sistem lahko najde, v kolikor ju izvajamo preko konzolnega okna. LaTeX se veliko uporablja v matema- tičnih, fizikalnih in računalniških kro- gih za pisanje raznih dokumentov, od člankov do knjig, saj lahko z njim pre- gledno zapišemo tudi najzapletenejše formule (slika 1). \ Kaj potrebujem za pisanje dokumentov v LaTeXu Za pisanje dokumentov v LaTeXu po- trebujemo naslednje programe: navadni urejevalnik besedil, prevajalnik za LaTeX datoteke in vsaj enega od programov za pregle- dovanje izhodnih datotek tipa .dvi, .ps ali .pdf. Za urejevalnik besedil zadostuje v ope- racijskih sistemih Windows že program Beležnica. Najdemo pa tudi mnoge brezplačne programe, namenjene pi- sanju LaTeXovih dokumentov, saj vse- bujejo bližnjice za vstavljanje večine osnovnih LaTeXovih ukazov. Osebno uporabljam in priporočam program TeXnicCenter, ki ga najdemo na eni od straneh, naštetih na koncu članka. Pro- gram ne le da vsebuje mnoge bližnjice do ukazov, omogoča tudi samodejno nastavitev prevajalnika in pregledoval- nikov datotek. Prevajalnik, ki je najpogosteje uporab- ljan med uporabniki v Windows oko- lju, se nahaja v brezplačnem paketu MikTeX, ki ga najdemo na internetni strani, zapisani na koncu besedila. Na voljo je več paketov različnih velikosti, za povprečnega uporabnika zadostuje manjši paket, kar je ugodno tudi za uporabnike s počasnim dostopom do interneta. Presek 4-n6.indd 28 2/9/2005 14:20:17 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 29 RAÈUNALNIŠTVO \ Moj prvi dokument Poglejmo si naslednjo vhodno LaTeX datoteko: \documentclass[12pt, a4paper]{article} \begin{document} Pozdravljen svet! To je na\v s prvi dokument v \La- TeX{u}. \end{document} Kar v končni .dvi datoteki izgleda kot Dokument v LaTeXu ima natančno določeno stukturo vhod- ne datoteke. Oglejmo si jo kar na prejšnjem primeru. Vsaka vhodna datoteka se začne z vrstico \documentc- lass[...]{...}. Med zavita oklepaja {} zapišemo vrsto doku- menta, ki ga ustvarjamo. Osnovni tipi LaTeX dokumentov so: article za strokovne članke, predstavitve, kratka poročila; report za poročila z več poglavji, manjše knjige, seminarske in raziskovalne naloge; book za knjige; slides za prosojnice in letter za pisma. Med oglatima oklepajema [ ] zapišemo dodatne nastavitve za vrsto dokumenta, ki ga želimo upo- rabljati. Nastavitve zajemajo velikost osnovne pisave (npr. 10pt, 11pt, 12pt), velikost papirja (npr. a4paper, a5paper, letterpaper) ter še mnoge druge. Telo besedila se prične z \begin{document}, ki mu sledi celo- tno besedilo prepleteno z LaTeXovimi ukazi. Na koncu do- kumenta moramo imeti ukaz \end{document}. Poglejmo še telo dokumenta na prejšnjem primeru. Le-to je vsebovalo naslednjo vrstico: Pozdravljen svet! To je na\v s prvi dokument v \LaTeX{u}. Na primeru lahko vidimo, da šumnikov v osnovnem LaTeXu ne moremo pisati direktno, podamo pa jih lahko z določenim ukazom. Vsi ukazi v LaTeXu se pričnejo z znakom \, ki mu sledi ime ukaza. V primeru šumnikov je to ukaz \v, ki mu sledi ime črke, nad katero naj se izpiše strešica. Strešico lahko v LaTeXu zapišemo nad poljubnim znakom oz. črko, ne samo nad c, s in z. Naslednje zaporedje ukazov: \v c, \v s, \v z, \v C, \v S, \v Z, \v a, \v V v končni .dvi datoteki izgleda kot Ukaz \LaTeX{} izpiše besedo latex v posebni obliki (kot LATEX ), pri čemer doda pripono, ki je med zavitimi oklepaji. Pri urejanju dokumentov z LaTeXom se moramo zavedati naslednjih nekaj pravil: Ne glede na to, koliko presledkov (tabulatorjev ali prelo- mov vrstic) si sledi v vhodni datoteki, jih LaTeX obravnava enako, kot če bi jih zapisali enkrat samkrat. Ena ali več praznih vrstic v LaTeXu prične nov odstavek. LaTeX razlikuje med velikimi in malimi črkami, npr. ukaz \V c ni enak ukazu \v c. Nekateri simboli imajo v LaTeXu poseben pomen, zato jih ne smemo neposredno dodajati v besedilo. Ti simboli so: # % & { } \ in jih vse, razen poševnice nazaj, v LaTeXu za- pišemo tako, da pred njimi zapišemo simbol \, npr. simbol Tugboat, revija za uporabnike TeX-a izhaja od leta 1980 Presek 4-n6.indd 29 2/9/2005 14:20:20 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 30 RAÈUNALNIŠTVO % izpišemo z ukazom \%. Poševnico nazaj izpišemo z uka- zyom $\backslash$. Za konec poglejmo še en primer in njegov izpis (slika 2). \documentclass[12pt, a4paper]{article} \begin{document} Ne glede na to koliko presledkov zapi\v sem med posameznimi besedami, v kon\v cnem dokumentu je vedno izpisan samo en. Ena ali ve\v c praznih vrstic pa pri\v cne nov odstavek, kjer je na za\v cetku vedno prva beseda zamaknjena. Pa nasvidenje do prihodnji\v c. \end{document} V drugem delu si bomo pogledali nekaj podrobnosti ureja- nja besedila. Dodatne informacije za prvi in ostale dele ter omenjene programe lahko najdete na straneh: Slika 2. Izgled izhod- ne datoteke zadnjega primera v programu YAP. http://www.wikipedia.org – spletna enci- klopedija http://www.miktex.org – domača stran projekta MikTeX http://www.toolscenter.org – domača stran programa TeXnicCenter http://www.adobe.com – domača stran pregledovalnika PDF datotek http://www.cs.wisc.edu/~ghost – domača stran programov za pregledovanje PS dato- tek http:/www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/ vaje/LaTeX/lshort.ps – slovenski prevod knjige za LaTeX z naslovom Ne najkrajši uvod v LaTeX2e Andrej Taranenko http://zaloznistvo.dmfa.si/presek/ Presek 4-n6.indd 30 2/9/2005 14:20:24 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 31 RAÈUNALNIŠTVO Brezplačni matematični programi V računalništvu se pogosto srečamo z vezavo strojna-programska oprema. Dejstvo je, da je strojna oprema brez programske ravno toliko kot avtomobil brez motorja. Torej brez programske opreme nikakor ne moremo uresničiti svojih idej. To pa ni edini problem, saj vemo, da je programska oprema lahko zelo draga in si je velikokrat ne moremo privoščiti. Na srečo nas vseh obstajajo tudi prosto dostopni (angl. freeware) programi, ki jih lahko uporabljamo za delo. Žal si ne vzamemo dovolj časa, da bi preiskali svetovni splet, ki nam ponuja brezplačne programe. Običajno se odločimo za nakup dragih progra- mov, ki so »bolj znani«. \ Risanje grafov in računanje Področje matematike in računalni- štva zahteva veliko računanja in risa- nja grafov raznih funkcij. Pogosto je to zelo zahtevno opravilo za človeka, zato se radi poslužujemo programov, ki nam to delo olajšajo. V nadaljeva- nju si bomo ogledali dva zelo priročna programa, namenjena operacijskemu sistemu Windows, ki zmoreta prav to. Povezave do predstavljenih in mnogih drugih brezplačnih programov lahko najdete na naslovih, podanih ob koncu članka. \ GnuPlot GnuPlot je program, ki odlično obvla- da risanje ravninskih grafov, omogoča pa tudi risanje prostorskih ploskev. Na prvi pogled je precej neprijazen do upo- rabnika. Marsikoga bo odvrnilo tudi dejstvo, da gre za program, ki zahte- va pisanje ukazov. Vsi ukazi pa so prav tako shranjeni v orodni vrstici, tako da jih lahko enostavno vstavljamo v ukaz- no polje s klikom na miško. Pa si poglejmo, kako uporabljamo osnov- ne funkcije. Program operira z osnovni- mi operatorji za seštevanje (+), odšte- vanje (–), množenje (*), deljenje (/ ) in potenciranje (**). Za zapisovanje funk- cij ene spremenljivke uporabljamo spre- menljivko x, za zapisovanje funkcij dveh spremenljivk pa spremenljivki x in y. Program uporablja naslednji nabor osnovnih funkcij: trigonometrične funkcije sin, cos, tan, krožne funkcije asin, acos, atan, eksponentno in logaritemsko funkci- jo z osnovo e exp, log, hiperbolične funkcije sinh, cosh, tanh. S pomočjo teh funkcij lahko zapišemo poljubno sestavljeno funkcijo. Slika 1. Graf funkcije ƒ(x,y)=(x2+3y2)e1–(x 2+y2) narisan z GnuPlotom Presek 4-n6.indd 31 2/9/2005 14:20:28 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 32 RAÈUNALNIŠTVO Primer. Funkcijo ene spremenljivke log x 2– 4 x+1 bi zapisali z ukazom log((x**2–4)/(x+1)). Graf funkcije ene spremenljivke nariše- mo z ukazom plot f(x), npr. plot sin(x). Za risanje grafa funkcije dveh spremen- ljivk uporabimo ukaz splot f(x,y), npr. splot (x**2+3*y**2)*exp(1–(x**2+ y**2)) (slika 1). Kadar želimo, da program nariše funk- cijo le na določenih intervalih, zapi- šemo pred funkcijo ene spremenljivke ukaz [x1:x2][y1:y2], pred funkcijo dveh spremenljivk pa ukaz [x1:x2][y1: y2][z1:z2], kjer so [x1:x2] interval za spremenljivko x, [y1:y2] interval za spremenljivko y in [z1:z2] interval za spremenljivko z. Primer. Ukaz plot[–pi/2:pi/2][–10:10] tan(x) bo narisal funkcijo ƒ(x)=tg(x) le na intervalu [– π2 ,π2 ] z zalogo vrednosti z intervala [–10, 10]. Program lahko riše tudi grafe funkcij, ki so podane v polarnem zapisu. Pre- den to storimo, moramo programu po- vedati, da rišemo v polarnem načinu. Polarni način omogočimo z ukazom set polar. Izklopimo ga z ukazom set nopolar. Neodvisna spremenljivka x se nadomesti s spremenljivko t. Pri polar- nem zapisu gledamo odvisnost razdalje od izhodišča, ko kot preteče 360°. Primer. Narisati želimo krožnico, po- dano v polarnem zapisu. Razdalja od izhodišča je pri krožnici vedno kon- stanta, ker so na krožnici točke, ki so enako oddaljene od izhodišča. Če že- limo narisati krožnico s polmerom 1, bomo izvedli naslednje ukaze: set polar plot 1 Kot rezultat dobimo krožnico s polme- rom 1. Pogledali smo si nekaj preprostih pri- merov z GnuPlotom. Program ponuja tudi druge uporabne funkcije (npr. nu- merično računanje podatkov, parame- trično risanje grafov). Predstavljeno programsko orodje je zelo dobra izbira in olajša delo tudi pri najzahtevnejših primerih. \ GraphCalc Prav gotovo ni nikogar izmed nas, ki ne bi poznal namiznega računala, vključe- nega v okolju Windows. Gre za upora- ben program, vendar, kot bomo videli, ga GraphCalc prekaša v vseh pogledih. Poleg tega, da je brezplačen, je zelo uporaben in uporabniku prijazen. Že na prvi pogled GraphCalc naredi na nas lep vtis, ko pa z njim začnemo računa- ti, ga ni več mogoče izpustiti iz rok. Kaj pravzaprav GraphCalc je? Po- vedali smo že, da vsebuje podobne funkcije kot Windows računalo. Ob tem omogoča še zapisovanje funkcij, katerih grafe lahko tudi narišemo. V svoji osnovi deluje program kot čisto navadno računalo. Vse osnovne ope- racije so podobne kot v drugih podo- bnih programih. Operatorje preprosto vnašamo preko tipkovnice ali s klikom na ustrezen gumb v programu. Pro- gram vsebuje tudi nabor elementar- nih matematičnih funkcij, ki jih lahko vnašamo preko orodne vrstice v pro- gramu. Kliknemo Insert in izberemo funkcijo. Med funkcijami, ki so na vo- ljo, najdemo trigonometrične, potenč- ne, korenske, logaritemske in ekspo- nentne funkcije. Presek 4-n6.indd 32 2/9/2005 14:20:32 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 33 RAÈUNALNIŠTVO Grafe funkcij si lahko ogledamo pod zavihki 2D Graph in 3D Graph. Ko želimo ponovno delati v numeričnem načinu, pre- klopimo na zavihek Output. Pomembna funkcija GraphCalca je pretvorba številskih si- stemov. Tako lahko število zapisano v desetiškem sistemu pretvorimo bodisi v število zapisano v binarnem (dvojiškem) bodisi v katerem koli drugem številskem sistemu z osnovno med 2 in 36. Primer. V oknu Output vnesimo število 123, ki bi ga radi iz- pisali v dvojiškem sistemu. Kliknemo na gumb Base, nato na Convert To Base in izberemo binarno bazo. Program izpiše v oknu 123 convbase2. Če pritisnemo enter, dobimo zapis števila 123 v dvojiškem sistemu, in sicer 1111011(2). Ker se pogosto ukvarjamo tudi z ravninskimi liki ali prostor- skimi telesi in nas zanimajo njihove ploščine oziroma prosto- rnine, je GraphCalc priročen za računanje le-teh. To naredi- mo tako, da pokličemo določeno skripto, ki je programirana za računanje posamezne lastnosti objekta (ploščina lika, volumen in površina telesa). Skripte kličemo tako, da v pro- Slika 2. Reševanje enačbe v GraphCalcu jetni rešitvi. Če bi ugibali rešitev bližje –2, bi program vrnil slednjo. Kot smo videli, ima GraphCalc nekaj zanimivih funkcij. Na voljo so še mnoge druge funkcije, ki jih lahko preiskusite sami. Program je enostaven za uporabo in predstavlja solid- no programsko rešitev za računanje in risanje grafov. Težave nastopijo le pri risanju težkih grafov, saj potrebuje več časa. \ Uporabiti ali ne uporabiti To je vprašanje, ki si ga postavi vsak, ki se sreča z računal- nikom. Dejstvo je, da brez nekaterih programov ne moremo, pa naj se še tako trudimo. Toda veliko plačljivih programov je nadomestljivih s povsem preprostimi in brezplačnimi pro- grami, ki jih lahko najdemo na internetu, npr. na straneh projektov SourceForge in Ofset. Res je, da so manj kom- pleksni po zgradbi in da morebiti nudijo manj funkcij, toda še vedno jih je dovolj, da pomagajo uresničiti želeno idejo. Torej, kaj še čakamo? \ Povezave http://gcalc.sourceforge.net/index.shtml http://www.gnuplot.info http://www.ofset.org http://www.sourceforge.net Marko Jakovac gramu kliknemo na Tools in izberemo Script Library. Nato izberemo lastnost, ki jo želimo izračunati. Nazadnje omenimo še reševanje enačb. GraphCalc je priročen tudi pri reševanju tega problema. Rešuje algebraične enačbe z eno spremenljivko. Primer. Rešiti želimo enačbo x2–4=0. V orodni vr- stici kliknemo na Tools in nato Equation Solver. Od- pre se nam novo okno, kjer v polje Expression vnesemo našo enačbo. V polje Initial guess pa vnesemo rešitev enačbe, ki je po naši oceni najbolj verjetna. S pritiskom na gumb Solve dobimo rešitev enačbe. Kot vemo, ima naša enačba dve rešitvi, in sicer –2 in 2. Če za verjetno rešitev vnesemo 1, nam bo program vrnil rezultat 2 (slika 2), zato ker je izračunana rešitev najbližja ver- Presek 4-n6.indd 33 2/9/2005 14:20:35 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 34 ASTRONOMIJA k = 0,017202099 a3/2/M1/2 d . Presek 4-n6.indd 34 2/9/2005 14:20:38 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 35 Gauss in astronomija ASTRONOMIJA 4. Zakaj in kdaj se je Gauss (1777 – 1855) začel zanimati za astronomijo, so raziskovalci njegovega življenja in dela raz- pravljali v veliki meri. Z deli Keplerja, Galileja in Newtona je astronomija postala tista veja znanosti, kjer je bilo moč uporabljati znanje matematike. Ta tradicija se je nadaljevala v delih Eulerja, d’Alemberta, Clairauta, Lagrangea, Lapla- cea. Matematiki so torej lahko računsko ugotavljali dolo- čena dogajanja v vesolju, jih potrjevali in celo napovedovali nebesne dogodke in pojave, kot so mrki, navidezna srečanja planetov, prihodi kometov v bližino Sonca. Gauss se je zgodaj začel zanimati tudi za astronomijo. Ne- kaj astronomskih opazovanj je opravil že v svojem rojstnem kraju Braunschweigu. Del svoje denarne podpore, ki jo je dobival od deželnega kneza, je porabil za nakup sekstanta, s katerim je opravil nekaj meritev. Ko je bil v Göttingenu, je dalj časa iskal računsko nalogo, v kateri bi obravnaval pri- merno zahteven astronomski problem. Tedaj je objavil način, kako izračunamo čas nastopa velike noči in drugih verskih praznikov. Prilika za reševanje dosti zahtevnejše naloge se je pokaza- la leta 1801. Dne 1. januarja 1801 je v Palermu astronom Piazzi (1746 – 1826) pri sestavljanju svojega zvezdnega ka- taloga odkril do tedaj neznano zvezdo 8. magnitude. Po 40- V mesecu juniju 1801 pa je ta vest prišla do astronoma von Zacha (1754 – 1832), ki je v tem času izdajal edino evropsko astronomsko revijo. Zach je takoj pograbil vest in izrekel hipotezo, da »gre za davno domnevan planet med Marsom in Jupitrom in, kot se zdi, je zdaj ta novi veliki planet odkrit«. Da bi se Zachova hipoteza izkazala za pra- vilno, bi morali na vsak način poiskati ta »izgubljeni« planet. Da pa bi ga po- novno našli, bi bilo treba ugotoviti nje- gov tir gibanja v prostoru. Izračunati elemente eliptičnega tira iz Piazzijevih opazovanj navideznega tira v kotni dol- žini 9, je bila naloga, ki je daleč prese- gala računske sposobnosti astronomov tedanjega časa. Tega preprosto ni znal nihče. Septembra 1801 je Gauss pustil vne- mar vsa svoja druga opravila. Začel je z računanjem tira »izgubljenega plane- ta«. Novembra so bili računi zaključe- ni, objavljeni pa že v decembrski števil- tir Jupitra Sonce 1a.e. tir Marsa tir Ceresa odsonèje prisonèje Slika 1. Tir gibanja planetoida Ceresa; Gauss je prvi izračunal ele- mente njegovega tira. Med elemente tira štejemo npr. veliko polos (pri Ceresu znaša 2,8 a.e.) in ekscentričnost (0,08) eliptičnega tira, obhodni čas okrog Sonca (1681 dni), čas prihoda planetoida v perihe- lij, dolžino dvižnega vozla, argument perihelija, naklonski kot (10,6). dnevnem sistematičnem opazovanju pa jo je nenadoma »izgubil«. Piazzi se je obrnil na najpomembnejše evropske astronome tedanjega časa s prošnjo, da bi mu pomagali najti »izgubljeno zvezdo«. Njegova prošnja je na začetku naletela na gluha ušesa. tir Zemlje ASTRONOMIJA Presek 4-n6.indd 35 2/9/2005 14:20:38 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 36 ASTRONOMIJA ki Zachove astronomske revije. V noči od 31. decembra 1801 na 1. januar 1802, natanko eno leto po Piazzijevem odkritju, je znani nemški astronom Ol- bers, ki se je opiral na Gaussove poda- tke, na predvidenem mestu na nebu na- šel iskani »planet«, pozneje imenovan Ceres (Cerera). To je bila prvovrstna senzacija (slika 1). Dne 25. marca 1802 je Ol- bers nato odkril še en tak »planet«, imenovan Palas (Palada). Spet je Gauss na hitrico izračunal njegov tir in dokazal, da tudi ta leži med Marsovim in Jupitro- vim tirom. S tem je bil od- krit drugi mali planet (pla- netoid, asteroid). Gaussova računska metoda, po kateri iz opazovanj navi- deznega tira »planeta« do- ločimo resnični tir v prostoru, je tako postala za astronome učinkovita in nesporna. Gaussov sloves je s tem do- datno zrasel. Eden od znakov priznanja je bil, da so ga takoj izbrali za dopisne- ga člana peterburške Akademije nauk. Pripravljali so mu tudi mesto direktorja Peterburškega observatorija. Gaussu se je zdelo imenitno, da so ga povabili v kraj, kjer je nekoč delal znameniti Eu- ler, in je že mislil na preselitev. Ta čas pa si je Olbers tudi zelo prizadeval, da bi obdržali Gaussa v Nemčiji. Že leta 1802 je predlagal kuratorju göttin- genske univerze, da povabi Gaussa na službeno mesto pravkar postavljenega tamkajšnjega observatorija. Tja je Ga- uss potem tudi odšel. Sprejel je mesto direktorja astronomskega observatori- ja ter hkrati profesorja matematike in astronomije na univerzi v Göttingenu, kjer je ostal do konca svojega življe- nja. Leta 1809 je izšlo v izpiljeni obliki nje- govo slavno, v latinščini napisano delo Teorija gibanja nebesnih teles, ki kroži- jo po stožnicah okrog Sonca (Theoria motus corporum coelestium in sectioni- bus conics solem ambientium). V njem je Gauss natančno podal in pojasnil svojo metodo izračunavanja elementov planetnih tirov. Da bi bralce prepričal o učinkovitosti oziroma o matematični moči svoje metode, je za zgled ponovil izračun tira kometa iz leta 1769, ki ga je svoj čas v treh dneh neprestanega težavnega računanja določil Euler. Ga- uss je za izračun elementov istega tira kometa potreboval eno uro. V tem delu je Gauss tudi pojasnil svojo znamenito metodo najmanjših kvadratov. Posebna zanimivost v zvezi s to knji- go pa je naslednja. Knjigo je napisal že leta 1807. Do zamude je deloma prišlo zaradi bojazni izdajatelja, da v nem- škem jeziku napisana knjiga ne bo na- šla dovolj odjemalcev, deloma pa tudi zato, ker jo je Gauss iz domoljubnih nagnjenj zavrnil tiskati v francoščini. Tako so našli kompromis, knjigo so iz- dali v latinščini. Poleg nekaj tiskanih prispevkov je to edina Gaussova knjiga o astronomiji. Leta 1810 je dobil Gauss premijo pa- riške akademije znanosti, zlato meda- ljo londonskega Kraljevega društva in bil izbran v nekoliko akademij. Dovolj posla z astronomijo je imel do konca svojega življenja. Tako so tir znameni- tega in množično opazovanega kometa iz leta 1812, ki naj bi napovedal požar Moskve, izračunali po Gaussovi meto- di. Dne 28. 8. 1851 je Gauss opazoval tudi Sončev mrk. Gauss je imel številne učence, ki so po- stali znani astronomi. Med njimi so bili Schumaher, Gerling, Nikolai, Struve. Tudi dopisoval se je z vrsto pomembnih astronomov, imel redna predavanja iz astronomije (čeprav ni preveč rad pre- daval), natisnil je tudi številne recen- zije. \ Še tri naloge o planetoidu Ceresu 1. Obhodni čas Ceresa okrog Sonca je 1681 dni. Izračunaj dolžino velike polosi njegovega eliptičnega tira okrog Sonca in jo izrazi v astronomskih eno- tah (a.e.), t. j. razdaljah Zemlja-Sonce. S to nalogo preveriš pravilnost zapisa pod sliko 1. 2. Izračunaj največjo in najmanjšo od- daljenost planetoida od Sonca, če je ekscentričnost njegovega tira gibanja f=e/a=0,08, kjer e pomeni dolžinsko ekscentričnost (oddaljenost gorišča elipse od njenega središča). 3. Izračunaj povprečno hitrost Ceresa na njegovem tiru. Kolikokrat je hitrost planetoida v prisončju večja od njego- ve hitrosti v odsončju (glej sliko 1)? Za astronomsko enoto vzemi kar okroglo vrednost 150 milijonov km. Marijan Prosen Slika 2. Tir planetoida Jurijvega (zaporedna številka 14966), ki ga je 30. 7. 1997 na Obser- vatoriju Črni Vrh odkril naš astronom Herman Mikuž. Obhodni čas planetoida je približno 3,5 leta, premer pa okoli 5 km. Črtkani del tira leži pod ekliptiko (ravnina tira gibanja Zemlje okrog Sonca) ostali del tira pa nad njo. Naklonski kot ravnine tira planetoida na ekliptiko pa je blizu 9. Presek 4-n6.indd 36 2/9/2005 14:20:39 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 37 ASTRONOMIJA Zanimivost: Gaussovo leto Leto 2005 so fiziki razglasili za leto fizi- ke, matematiki bi ga lahko za Gaussovo leto, v astronomiji pa ima Gaussovo leto že povsem opredeljen pomen. To je čas 365,2568983 dneva in zelo spominja na trajanje enega leta, tako da je nekako povezan z gibanjem Zemlje okrog Son- ca. In prav zares. Če brezmasni delec ob- kroži telo ene Sončeve mase po nemo- tenem eliptičnem tiru z glavno polosjo enako eni astronomski enoti, tj. razdalji Zemlja-Sonce, tedaj je njegov obhod- ni čas enak Gaussovemu letu. Njegovo vrednost izračunamo iz Gaussove gra- vitacijske konstante k = √G—, kjer je G splošna gravitacijska konstanta 6,67· 10–11m3/ kg s2, in tretjega Keplerjevega zakona takole: Gaussovo leto (v dnevih)=2π/k, če je k izražen v sistemu enot: masa Sonca M, trajanje srednjega Sončevega dne d in astronomska enota a, tako da je Izšle so astronomske efemeride Naše nebo 2005 Naročite jih lahko po telefonu (01) 4766 553 ali 4232 460 in po elektronski pošti zaloznistvo@dmfa.si za 1.800 SIT. 1. Iz tretjega Keplerjevega zakona, ki pravi, da je količnik kuba velike polosi a3 njegovega eliptič- nega tira in kvadrata obhodnega časa t2 planeta za vse planete konstantno število, torej a3/t2=konstantno=(1 a.e.)3/(leto)2, sledi a=(t/leto)2/3a.e. Čas t pretvorimo v leta in dobimo a = (4,6)2/3 a.e.=2,8 a.e. 2. Sonce leži v gorišču eliptičnega tira planeto- ida. Od središča elipse je gorišče pomaknjeno za dolžinsko ekscentričnost e=f·a=0,08·2,8 a.e.=0,2 a.e. Največja oddaljenost (odsončje) planetoida od Sonca je a+e=2,8a.e.+0,2a.e.=3a.e., naj- manjša (prisončje) pa a–e=2,6a.e. 3. Ker se tir planetoida zelo malo razlikuje od krožnice, bomo zaradi preprostosti pri računanju upoštevali kar gibanje po krožnici s polmerom a. Povprečna hitrost planetoida je pot čas v== 2πa t 2π·2,8·150·106km 1681·24·60·60s ==18km/s Po drugem Keplerjevem zakonu, ki pravi, da zveznica Sonce-planet opiše v enakih časih enake ploščine, da sta torej ploščini v prisončju in od- sončju enaki, vpr·9t(a–af)=vod·9t(a+af), pa sledi vpr vod= 1+f 1–f 1+0,08 1–0,08 ==1,2. Hitrost planetoida v prisončju je približno 1,2- krat večja od njegove hitrosti v odsončju. k = 0,017202099 a3/2/M1/2 d . Leta 1976 je Mednarodna astronomska zveza (IAU) na ta način natančneje do- ločila vrednost astronomske enote. Ker je ta sestavek mišljen le kot zanimi- vost, sem podrobnosti izpustil, prav tako se ni treba preveč ukvarjati z enotami. Pri izračunu Gaussovega leta vzamemo k kar brez enot, čeprav to fizikalno ni pov- sem v redu. Vendar če upoštevamo vse enote, se izkaže, da je izračun pravilen. Naj omenimo, da je Gaussovo leto daljše od tropskega leta 365,2422 dneva, ki je osnovna enota za kateri koli koledar. Daljše je tudi od trajanja leta v julijan- skem koledarju 365,25 dneva in našem gregorijanskem koledarju 365,2425 dneva in torej v teoriji koledarja nima nobene vloge, ne pomeni prav nič, pa saj gre za neko navidezno ali izmišljeno ča- sovno enoto. Marijan Prosen \ Rešitve tir Jupitratir Marsatir Jurijvege 3.a.e. 2 1 5.a.e.1 2 c Presek 4-n6.indd 37 2/9/2005 14:20:41 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 38 KOLOFON Presek objavlja poljudne in strokovne član- ke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja pri- kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmo- vanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte- vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vr- sticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovorni urednici na naslov uredništva DMFA–založništvo, Uredništvo revije PRESEK, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj ene- mu anonimnemu recenzentu, ki oceni pri- mernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem urednica prosi av- torja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 32 šolsko leto 2004/2005 številka 4 Uredniški odbor Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mirko Dobovišek (glavni urednik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Marjan Hribar, Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar (odgovorna urednica), Damjan Kobal, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Franci Oblak, Primož Potočnik (novice), Ma- rijan Prosen (astronomija), Marko Razpet, Andrej Taranenko (raču- nalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj. Dopisi in naroènine DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 2517 281. Naročnina za šolsko leto 2004/2005 je za posamezne naročnike 4.000 SIT (posamezno naročilo velja do preklica), za skupinska na- ročila učencev šol 3.500 SIT, posamezna številka 900 SIT, dvojna številka 1.650 SIT, stara številka 650 SIT, letna naročnina za tujino pa znaša 25 EUR. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, SWIFT (BIC): SKBASI2X, IBAN: SI56 0310 0100 0018 787. Sponzor List sofinancirata Agencija za raziskovalno dejavnost ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje Polona Šterk in Matjaž Čuk Ilustracija Polona Šterk, Matjaž Čuk, Nina Rupel Tehnièno urejanje Matjaž Čuk Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana © 2005 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1593 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja izdajatelja ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana \ Navodila sodelavcem Preseka za oddajo prispevkov \ Kolofon .tex Presek 4-n6.indd 38 2/9/2005 14:20:43 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 39 Presek 4-n6.indd 39 2/9/2005 14:20:44 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 40 Presek 4-n6.indd 40 2/9/2005 14:20:44 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC