I Nove knjige Ian Stewart: KAKŠNE OBLIKE JE SNEŽINKA ? Vzorci v naravi Pri za ložbi Didak t a je izšla lepa in izjemno zanimiva knji ga Kakšne oblike j e snežinka? s podnaslovom Vzorci v naravi, ki jo je napi sal angleški matemat ik Ian Ste wart . Gr e za eno najnovejših del t ega znanega pisca po ljudnih ma- tematičnih knj ig in člankov ter hkrat i za prvo Stewar tovo delo, ki je izšlo v slovenščini, v pr evodu Sete Oblak. Nadaljevanje na III. strani ovitka. LETNO KAZALO IPRESEK list za mlade matematike, fizike , astronome in računalnikarje 31. letnik, le t o 2003/04, številka 6, strani 321-384 VSEBINA MATEMATIKA Trisekcija kota , II . de l (Branislav Č abri č , prir. Marjan Jerman) 324-325 Zakon malih šte vil (J anko Bračič) 342-34 4 FIZIKA Zakaj se v skodelici čaja zrna sladkorja zbiraj o na sre di ob dnu (Jože Rakovec) 326-332 Ladja in mehur (Janez Strnad) 354-35 7 ASTRONOMIJA Upo raba verižnih ulomkov v as trono mij i (Marijan Prosen ) 338-34 1 RAČUNALNIŠTVO Uvod v programski jezik java (Matj až Zaveršnik) 334- 337 NOVE KNJIGE Ian Stewart , Kakšne obl ike je sn ežinka? Vzorci v naravi (Marij a Venc elj) II-IV ZANIMIVOSTI, Kri žanka - reš . na str. 378 (Marko Bokalič) 352-353 RAZVEDRILO NOVICE Odkrito novo največj e (Mersennovo) pr aš tevilo (C iril Pet r ) . oo • oo • oo • oo • oo • oo • • oo • oo • • oo oo • oo • • oo 345-34 6 Ob 125-letnici Einstein ovega rojstva (Janez Strnad) 347-351 Gabriel Cramer (1704 - 1752) : Cramerj evo pravilo, Cramerje v paradoks, Cast illon-C ramerje v problem, satanova krivulja (Marija Vence lj ) 358-361 NALOGE Lin earna spi ra la - reš. st r . 362 (Andreja Pečovnik Mencinger) 322-323 Število hiš v Ce rkne m leta 1486 - reš . st r. 351 (Marko Razpet) 336 TEKMOVANJA Evropski matematični kenguru 2004 - reš . str. 375 (Matjaž Željko) 364- 374 Mednarodno tekmovanje iz matem at ike (Mira Babič) . .. oo • oo • • • • •• • oo • oo • oo • • oo • oo • • oo •• 375-378 379-383 NA OVITKU Albert Einstein (187 9-1955) , glej t ud i prispevek na str. 347 . Naloge I LINEARNA SPIRALA Bralci Preseka gotovo poznate šiviljs ki meter (glej sliko 1), saj ste ga verjetno že zvijali v kolut , kot kaže slika 2. Slika 1. Slika 2. Naloga, ki vam jo P resek to krat nalaga, je dvo jna: a) Z domačega (maminega ali babičinega) šiviljs kega metra odčitaj nje- govo dolžin o, s pomičnim meri lom izm eri njegovo deb elina , lahko pa izmeriš tudi širino metra ( čeprav t a podatek v bistvu ni potreb en) . Poišči svinčnik in izmeri njegov premer . Šiviljski meter navij na svinčnik, da nast ane kolut (slika 2), in preštej, kolikokrat se meter ovije okoli svinčnika . INaloge b) Doblj eni eksperime ntalni podatek poskusi potrditi računsko. V po- moč naj t i bodo naslednja navodila: 1. način. Ko met er zvijamo, se njegov volumen (tako rekoč) ne spreminja; torej je volumen kvadra (ko je met er popolnoma raven - slika 3) enaka volumnu kolobarja (razlika dveh valjev - slika 4). Če primerjamo samo tlorisa teles na slikah 3 in 4, lahko podobno sklepamo tudi za ploščini pravokotnika in kolobarja . 2R 2r š š Slika 3. Kvad er Slika 4. Izr ezani valj 2. način. Ko met er zvijamo, se njegova dol žina (tako rekoč) ne sp remmja. Spiralno krivuljo lahko zaradi lažjega računanja približno opišemo s koncentričnimi krogi (glej sliki 5 in 6) . Slika 5. Spirala Slika 6. Koncentrične krožni ce Če se računski rezultat od eksperimentalnega ne razlikuj e za več kot dva zavoja, si (verj etno) pravilno računal (in meril ) . Izračunaj še, koliko navojev bi približno pri šlo v spiralo, če bi 10 meterski trak debeline ~ milimetra navili na kolut pr emera 3 centimetre. Andreja Pečovnik M encing er Rešitve so na strani 362. Matematika I TRISEKCIJA KOTA, II. del V prejšnji številki Preseka smo za pisali nekaj o zgodovini probl em a tri- sekcije kot a in poved ali , da konstrukcija samo z ravnilom in šestilom v splošnem ni mogoča. V t em delu pa bomo opi sali mehanični napravi, s katerima je konstrukcija možna. Ena od naprav , ki sem jih skonstruiral, je prikazana na sliki 1. Sest avljen a je iz ravnil AB in BC , ki oklepata pravi kot , ter ravnil AC in BD. Ravnilo BD ima os v točki B , točke A , C in D pa so igle , ki lahko drsijo zaporedo ma po ravnilih AB, B C in AC . Pri te m velja še AC=2BD. Trisekcijo kota 3 0: izvršimo takole: Napravo post avimo tako, da se točka B ujema z vrhom kota, ravnilo AB pa leži na enem od njegovih kr akov. Potem iglo D premikamo toliko časa, dokler se ravnilo BD ne pokrije z drugim kr akom kota. Ted aj ravnilo AC oklepa z ravnilom AB kot 0: . A B A B Slika l . P rva naprava za trisekcijo kot a . Slika 2. Zakaj prva naprava deluje? Konstrukcijo utem eljimo s sliko 2. Naj bo E razpolovišče st ranice AC . Ker je t rikot nik ABC polovica pr avoko tnika , v kat erem se diagonali razpo lavljata, je BD = BE. Zato je . r , t:>.z in t:>.l : V = t:>. rt:>. zt:>.l = t:>.r S (S = t:>. zt:>.l ) . V tem volu mnu je masa čaja tri = pV = pt:>.rS (p je gostota čaja, skoraj enaka gostot i vode). Ko čaj pomešamo, se prej ravna gladina čaj a usloči ; ob robovih se dv igne, na sredi pa zniža (slika 3) . Slika 3. Zato je na sredi v skodelici, kjer je čaja manj , t lak P1 nižj i, na večji oddaljenos t i od središča , kjer je čaja več , pa je na isti globini t lak P2 višji . T lak P1 ob no t ran ji ploskvi Sl je to rej nižji , t lak P2 ob zunanj i ploskvi S2 pa višji . To je vzrok za silo Fn = P1S1 - P2S2. Ker sta Sl in S2 skoraj I Fizika enaki, Sl ::::::J S2 = S, je zato sila Fn ::::::J S( P1 - P2) = - pg6.hS . Negativni znak pomeni , da kaže sila v naspro tno smer kot narašča oddalj enost r od središča skodelice; imamo torej silo proti središču skodelice. Sila na masno enoto je Fn/m = (-pg6.hS) /(p6.rS) = -g6.h/6.r . Posled ica te sile je (po 2. Newtonovem zakonu a = F/m) pospešek an "navznote r", poprek na smer obodne hitrosti: Ali lahko določimo tudi obliko gladine čaja v skodelici? Ker velja enakost med pospeškom an - rQ2 in specifično silo Fn/m = -g6.h/6.r , ki povzroča t a pospešek lahko od tod določimo strmino 6.h/6.r gladine čaja : Q 2 6.h /6.r = -r . 9 Čim dlj e je od središča skodelice (večj i r ), tem bolj st rma je gladina. Kri vulj a , katere strmina linearno narašča v odvisnosti od oddalj enosti od izhodišča, je parabola: [22 h(r ) = ho + _ r2 . 2g Oblika gladine čaja v skodelici je torej parabolična. Zakaj se sladkor zbira na sredini Če kro žnega gibanja čaja v skodelici nič ne zavira ali posp ešuj e, deli čaja krožijo enakomerno po krožnicah. To velja povsod v skodelici, razen ob njenih ste nah. Ob dnu skodelice pa gibanje zavira t renje. (Trenje se sicer poj avlja t udi ob stranskih stenah skodelice, toda to za našo obravnavo ni zelo pomembno.) Trenje zm anj šuje hitrost , to pa pomeni , da se bo (v skladu s sliko 2b) čaj pri dnu gibal spiralasto proti sredini skodelice. S tem smo že pojasnili, zakaj se zrnca sladkorja in lističi č aj a zbirajo ob dnu na sredini: ko zaradi večje teže potonejo k dnu posode, jih v plasti trenja ob dnu spiralast tok nosi proti sredini. 330 Fizika I Kam pa gre tekočina, ki se ob dnu steka pro t i sredini? Seveda mora nekam odtekati; v sred ini se čaj dviga. Tr enj e ob dnu to rej povzroči , da se poleg horizontalnega kr oženj a naokrog po skode lici poj avi t ud i dviganj e na sred ini navzgor , in seveda ob robovih skodelice potem spuščanje navzdol. To sekundarno kroženje je precej počasnej še od osnov nega hori zon t alnega kroženj a , je tako rahlo , da ne more odnesti navzgor težjih zrnc sladkorja in lističev čaja , ta ostanejo na sredi ob dnu (slika 4) . ;:- - - , , - - ..... ( ... "11 \ ,'GT'~".. I I ..--" "I i , ,'Cl0" - III ! II I I I t t 1 •• , \ , \ , ~e:t~5'=? Slika 4. In kaj ima čaj opraviti z vremenom Krožna gibanja so mar sikje, ne le v skode lici ca ja. V ozracju imamo krožne vrtince zraka; okrog velikih območij z veliko nakopičenega zraka, to rej vanticiklanih z visokim zračnim t lakom , zrak kroži (na seve rni po lobli) v sme ri kazalcev na uri . Okrog območij , kjer je zraka manj in j e zat o zračni tlak n ize k , torej v cik lo n ih, p a (na severn i polobli) v s mer i, nasp rotni gibanju kazalcev na uri . (Na južni polobli sta smeri kroženj a ravno obrat ni.) Ti vrtinc i so veliki, imaj o prem er nekaj tisoč kilometrov. Območja nizkega zračnega tl aka (cikloni) spominj aj o na vrteči se čaj v skode lici; kot je v skodelici na sredi manj čaj a in je zato tam tl ak nižji , je v sredi eikionov manj zraka in tam je zračni tl ak nižji. Zato tj a pospešuj e sila zaradi tlačnih razlik. Fizika I,,, - eJ' I .".,,'"- _ o CI '---' -- ." - ." I ', ,,, ,. I I 'li ... li' \ I I \ I , ( ........ ~-:; ~ \ t I ~ \ I I ~.~ \ I I I I I ~~ Zrak v višinah ne občuti kaj dosti t renja. Pri tleh pa na gibanje zraka kar precej vpliva trenje ob t la . Ta plast , v kateri je t renje pomemb no, je razmeroma debela , nad ravno pokr ajino sega nekako do višine kakih 1000 do 2000 km nad tlemi. V tej plasti se zrak spiralasto ste ka proti središču ciklona . Na sredi ciklonov se raj e dviga , kot da bi se stisnil, tam imamo to rej zaradi trenja pri tleh rahlo dviganj e zraka, s hitrostj o med 0.01 in 0.1 mi s. V ant iciklonih pa imamo podobno močno spuščanj e zraka. In zakaj je to pomembno? Zrak, ki se spušča iz višin, prihaja navzdol med zračne mase, v kat erih je tlak višji. Zato ga okolica toliko stisne, da se tl aki izravnajo. Pri st i- skanju pa se zrak segreva; saj veste, kad ar polnite zračnico svojega kolesa, se zračna tla č i lka segreje zaradi stiskanja zra ka (kompresorj i za stisnjen zrak imaj o rebraste hladilne lamele, da se hladij o, ko se ob stiskanju zrak v njih segreva) . Ob dv iganju pa le-t a pr ide v redkejšo okolico, zato se razpne. Ob dviganj u in raz penjanju se to rej zrak ohla ja. V ciklonih , kjer se zrak dviga , se ob tem ohlaja, v ant iciklonih pa se ob spuščanju segreva. Tudi če bi bili v ant iciklonih v višinah oblaki, bi ob spuščanj u in hkratnem segre vanju zraka kaplj ice v njem ob potovanju navzdol izhlap ele. Zato je v ant iciklonih največkrat (a ne vedno!) jasno vreme. V ciklonih pa se zrak dviga , ob te m se ohlaja in morebitna ohladit ev pod rosišče pomeni nastanek kapljic - nast aj aj o oblaki. Zato je v ciklonih po navadi (a ne vedno!) oblačno vreme (slika 5) . Slika 5. 332 Fizika I Na tem mestu je potrebno opozoriti še na eno pomembno stvar: cim močnejše je dviganje, tem močnejše je ohlajanje, tem močnejša je tvorba oblakov. Ker trenje pri tleh povzroča le dv iganje s hitrostjo okrog 0.01 do 0.1 mis, je to le manj pomemben vzrok za oblačnost. Zrak se pogosto dviga precej močneje; zaradi dviganja ob pobočjih obsežnih gorskih masivov ali pa če se toplejši lažji zrak nariva nad gmoto težjega hladnega zraka, so vertikalne hitrosti lahko tudi 1 ali morda 10 mis. Tam je oblačnost še posebej gosta in padavine močne. V nevihtnih oblakih pa neuravnoteženi vzgon včasih požene zrak navzgor tudi s hitrostjo nekaj deset metrov na sekundo. Takrat pa res dežuje, kot bi "padale ošpičene prekle" . Drugače kot pri čaju je za velike vremenske tvorbe - ciklone in anticiklone - pomemben tudi vpliv vrtenja Zemlje. Ne kroži samo zrak v ozračju, temveč se vrti tudi Zemlja sama. Iz tega sledi pospešek, Coriolisov pospešek, katerega velikost je premo sorazmerna hitrosti in ki na severni po lobli kaže v desno od smeri hitrosti, na južni pa v levo. Zato se poruši simetrija glede smeri vrtenja. Čaj bi lahko zavrteli v eno ali drugo stran, zrak v ciklonih pa na severni polobli vedno kroži v smeri, nasprotni gibanju kazalcev na uri (v anticiklonih pa v smeri kazalcev na uri). V ciklonih ta pospešek na severni polobli zaradi tlačnih razlik deluje nasproti sili in njene učinke torej nekoliko zmanjšuje. Zrak kroži nekoliko počasneje, kot da bi bila strmina ,0.h/,0.r nekoliko manjša, kot je v resnici (v anticiklonih pa obratno, nekoliko hitreje, kot da bi bila strmina nekoliko večja). Ob upoštevanju take "navidezno manjše" strmine pa imamo torej skoraj popolno podobnost med ciklonom in čajem. Jože Rakovec INaloge ŠTEVILO HIŠ V CERKNEM LETA 1486 Konec avgusta let a 1486, skoraj natanko šest let pr ed Kolumbovim odkri - tj em Amerike, je prečastiti škof Peter kot vizitator oglejskega patriarha potoval po nekaterih naših deželah. S svojim spremstvom, v katerem je bil t udi t ajnik Pavel Santonino, je potoval iz Tolmina skozi Cerkno v Škofjo Loko. Santonino je o tem potovanju pisal t udi dnev nik , ki je dragocen vir pod atkov o življenju naših kraj ev v tistih časih . C~rkno A4 GOII! k. m Za Cerkno , kjer se je dobrih 300 let kasneje rodil matematik dr . Franc Močnik (1814- 1892) , znan predvsem kot pisec št evilnih matematičnih učbenikov , navaja Santonino tudi število hiš. To št evilo pa dobite, če rešite naslednj o nalogo. Naloga. Če bi leta 1486 v Cerk nem šest hiš do tal porušili , ali pa če bi dozidali sedem novih , potem bi lahko za tako prenovljeno vas sestavili popoln kvadratni sezna m vseh hiš. Koliko hiš je bilo takrat v Cerknem? Ma rko Razpet Rešit ev je na strani 351. Računalništvo I UVOD V P RO GR AM SKI JEZIK JAVA V prejšnj em Preseku smo si ogledali , kako pot eka delo s pr ogramskim jezikom java . Sestavili smo ogrodje preprostega pr ograma v javi , pa tudi ogrodje pro grama , ki ga lahko vključimo na spletno st ran (takemu pro- gramu pravimo applet ). V tem članku se bomo lotili osnov pro gramiranja v javi , pr edpostavili pa bomo, da br alec že pozna osnove programiranja v jez iku C ali C++, saj je med javo in tema dvema programskima jezikoma kar precej podobnost i. Osnovni podatkovni tipi Osnovni podatkovni t ipi v javi so cela števila, realna števila in logične vrednost i. Nekateri med osnovne podatkovne tipe uvrščajo še znake, v resnici pa so to samo poseben primer celih šte vil. Celošte vilski podatkovni tipi v javi imajo natanko določeno velikost. Tip byte zavzame 8 bitov, short 16 bitov, i nt 32 bitov in l ong 64 bitov. Spomnimo se, da standard za C ne pr edpisuj e, kako velik mora biti posamezen t ip , pr edpisuj e samo njihov vrst ni red (najmanjš i je short , sled i int , te mu long, v zadnj i izdaji st andarda pa se jim je pridružil še l ong long). V javi je torej veliko več reda. Medte m ko so v C-ju celoštevilski t ipi lahko predznačeni ali nepredznačeni , java nepredznačenih celoštevilskih tipov ne pozna . Tudi pri znakih (t ip char ) je pomembna raz lika. V C-ju so zna ki 8- bitni (lahko so predznačeni ali nepredznačeni), v javi pa so 16-bi tni (vedno nepredznačeni). Seveda pa lahko z znaki računamo kot s celimi šte vili. Podobno kot C in C+ + tudi java pozna realn a t ipa fl oat in double , ne pozna pa tipa long double . J ava pozna še logični t ip boolean. Edini vrednosti tega t ipa sta true in false . P ro gramski jezik C nima logičnega t ipa, v jez iku C++ pa obstaja t ip baal. Kontrolne strukture Pogojne stavke in zanke se v javi up orab lja na ena k način kot v C-ju. Obstaj a sa mo drobna razlika pri pisanju pogojev . V C-ju so pogoji lahko poljubni izrazi. Če je vrednost tega izraza enaka O, pogoj ni izpolnjen, katerakoli druga vr edn ost pa pomeni , da je pogoj izpolnjen. V javi pa je pogoj lahko samo izraz, katerega vrednos t je logičnega tipa . I Računalništvo Tabel e Tabela je v C-ju pr edstavljena s kazalcem na njen prv i element, v javi pa je tabela referenca na dinamično dodeljen pomnilnik , kjer je poleg eleme ntov tabele zapisana še njena velikost. Pod obno kot v C-ju so tudi v javi element i tabe le oštevilčeni od Onaprej . Poglejmo si nekaj primerov definicij t abe l celih števil v javi : int[] t1 = {1, 5 , 0 , -3 , 1, O}; int[] t2 = new int [6] ; int[] t3 = t1; int[] t4 = null; Tabelo ti smo ustvarili t ako, da smo našteli vse njene eleme nte. To mož nost poznamo že iz C-ja, samo oglate oklepaje moramo v C-ju pisati za imeno m tabele. Tabelo t2 smo ust varili s pomočjo op eratorja new, pri čemer smo določili samo njeno dolžino, vsi njen i element i pa se nast avijo na vr ednost O, 0.0 , false ali null , odv isno od t ipa elementov (v zgorn jem primeru dobimo cela števila O). Dolžina tabele, ki jo zapišemo voglatih oklepajih , je lahko poljuben izraz, katerega vrednost je nenegativno celo število. V C-ju bi nekaj podobnega lahko nar edili na dva načina. int t2[6]; int *t2 = malloc(6 * sizeof(int)); P rvi način bi uporabili , če je dolžina tabe le znana že ob prevajanju programa, drugega pa, če lahko dolžino naračunamo ali omejimo šele med izvaj anj em programa. Začetne vrednosti elementov teh dveh t abel niso določene (lahko so po ljubne). Tab ela t3 je enaka tabeli ti. To ni kopija tabele ti , pač pa sta ti in t3 referenci na isto tabe lo (različni imeni za isto tabe lo). Pri dek laracij i tabe le t4 smo določili samo t ip njenih elementov, tabe la sama pa še ne obstaja . V C-ju moramo vsako tabelo, ki jo ustvarimo s klicem funkcije mal- IDe , sprostit i s klicem funkcije free , ko je ne potrebujemo več. V javi nam za to ni t reba skrbeti. Za sproščanje tabel in objektov, ki jih ne pot re- buje mo več , pos krbi poseben mehani zem (angleško mu pravimo garbage collector). V C-ju moramo bit i še posebej pazljivi , če tabelo pr enašam o kot parameter pri klicu funkcije. V funkcij i namreč ne moremo več izračunati njene dolžine, zato moramo dolžino v večini pri merov prenašati kot do- daten par ameter. V javi takih težav nimamo. Za vsako tabe lo (če t ab ela obstaja) lah ko ugotovimo njeno dolžino . Dolžino tab ele tab nam vrn e izraz tab. length. Računalništvo I Objekti Objekt je po sebna podat kovna st rukt ura, v kat eri lahko poleg različnih vr st pod atkov (kompo nente) hranimo t udi metod e za delo s t emi pod atki . V prog rams kem jeziku C ob jektov nim amo, imamo pa st rukt ure, v kate- rih lahko hranimo samo komponente, br ez metod. Opis objektov iste vrste imenujem o razred. P ri progr amiranju opišemo, kakšne komponente in me tode bo vse boval po samezen razred, pot em pa z operatorjem new ust varimo nov objekt tega razred a . Objektov nam ni t reba sproščati, ko jih ne po trebujemo več . J ava vse buje obsež ne knjižni ce, v katerih je že definiranih preko 2500 razredov, ki jih lahko up orablj amo v svojih programih. Nizi V C-ju je niz t abela znakov , pri čemer je zadnj i znak v nizu vedno znak s kodo O. Za delo z nizi imamo na razp olago več funkcij iz knjižnice . V javi pa je niz ob jekt razred a String. Podrobnosti o načinu predstavitve niza nam ni t reba poznati , saj imamo za vse, kar potrebujemo , na razpolago več metod. Najpomembnejši sta length in eharAt , sp isek vseh ostalih pa dobit e v dokument aciji razreda String. String niz = "abcdefgh"; int dolzina = niz.length () ; char znak = niz .charAt (2 ) ; II definicija niza II dolžina niza II znak na mestu z indeksom 2 V javi lahko nize tudi seš te vamo. Vsot a dveh nizov je st ik t eh nizov, torej nov niz, ki ga dobimo tako, da na konec prvega niza dodamo drugi niz. Vsota "abe" + "xy" je t ako "abexy" . Pravzap rav lahko nizu prišt ejem o karkoli , čeprav je učinek včasih te žko vn ap rej napovedati. Sumand , ki ni niz, bo program pred elal v niz in naredil običajen stik nizov. Tako je "abe" + 5 enako "abe5" in "abe" + 2 .5 enako "abe2. 5". Branje in izpis podatkov Za izpis pod atkov na standardni izhod ima java metodi print in println objekta System . out. Ob e me todi izpišet a dani podatek , edina razlika je t a , da metoda println na koncu naredi še skok v novo vr st o. Spodnja stavka izpi šeta račun in rezultat , vse skupaj v eni sami vr sti ci. System .out.print("l + 2 = ") ; System.out.println(l + 2); Enak izpi s lahko dosežem o tudi samo z enim stavkom, če up orabimo st ik niza" 1 + 2 = " in vsote 1 + 2. P ri t em mo ramo vsoto zapisat i IRačunalništvo v oklepajih, sicer bo program nar edil dva stika (naj prej bo dodal enko, potem pa še dvo jko) . System.out.println ("1 + 2 = " + (1 + 2) ) ; Branje s standardnega vhoda je bo lj zapleteno. J ava sicer pozna metodo read objekta System. in, ki pa ni nič kaj uporabna, sa j lahko z njo beremo samo enega ali več znakov . Zato običajno ustvarimo drugačen objekt , ki nam omogoča branj e celih vrsti c. BufferedReader vhod = ney BufferedReader(ney InputStreamReader (System.in) ); Uporabljena razreda BufferedReader in InputStreamReader pr ipa- dat a paketu java. io , zato ga moramo na vrhu datoteke vklj učiti z ukazom import . Ker lahko pr i branju podatkov pr ide do najrazličnejših napak , s katerimi se zae nkrat ne želimo ukvarjati , pa moramo pri definic ij i met od e main na koncu vrst ice (za par amet ri) nap isati še throws IOException. Z metod o readLine objekt a vhod lahko zdaj beremo cele vr st ice s standardnega vhoda. Tako vpisane po datke preb eremo v obliki niza. Če je po datek v resnici število, ga moramo ust rezno pr edelati . Celo število dobimo iz niza s pomočj o met od e Integer .parselnt , realno število pa s pomočjo metod e Double. parseDouble. String niz = vhod .readLine ( ) ; int celo = Integer.parselnt(vhod.readLine () ); double realno = Double.parseDouble(vhod .readLine ()); V zgornjem primeru preberemo t ri vrstice. Prvo shranimo v niz, drugo pr edelamo v celo število, t re tjo pa v realno šte vilo. Če števila ne vpišemo v pr avi lni obliki , lahko pr i pretvorbi pri de do napake, ki prekine izvajanje programa . Zaključek Vid eli smo , da obstajajo določene razlike med jezikom a java in CjC++ , vendar niso tako strašne, da se ne bi mogli navaditi nanje. Pravzaprav je razlik še več . Tu smo našte li sa mo t iste najbolj pomembne, s katerimi se nov program er v javi sreča t akoj na začetku . Da bi se pr ivad ili na razlike med jezikom a , je potrebno samo nekaj vaj e in sedenj a za računalnikom . P obrskaj t e to rej po starih številkah Preseka , poiščite kakšen program, napisan v C-ju , in ga poskusit e prepisati v javo. V eni od prihodnjih številk bomo kakšen pri mer nar edili t ud i pri Preseku. Matjaž Zaveršnik Astronomija I UPORABA VERIŽNIH ULOMKOV V ASTRONOMIJI V ast ronomiji pogosto računajo s približki (npr. pri koledarju). Zelo primerno sredstvo za ugotavlj anj e približkov pa so verižni ulomki . Navedli bomo tri zanimive primere. 1. Že davno so mezopotamski opazovalci neba opazili, da se Lunini in Sončevi mrki ponavlj ajo vsakih 18 let in 10 dni . To periodo so imenovali seros. Po njej so napovedovali nastop mrkov, čeprav niso vedeli, kje je vzrok za to periodo in zakaj ima le-ta takšno številčno vrednost. To so ugotov ili dosti pozn eje, šele po natančnem proučevanju gibanja Lune. Vprašajmo se, kolikšen je obhodni čas Lune okrog Zemlj e. Od govor je lahko različen, pač glede na to , za kateri obhodni čas gre. Astronomi raz- likuj ejo najmanj pet takih obhodnih časov , imenovanih mesec, od katerih pa nas zdaj zanimata le dva. • Sinodski mesec, to je obhodni čas Lune okrog Zemlje glede na Sonce oz. čas med dvem a zaporednima enakima Luninima menam a (npr. od ščipa do prvega naslednjega ščipa) . Ta čas t raja 29,5306 dni . • Vozelski m esec, to je čas , v katerem se Luna vrača k ist emu vozlu svojega t ira (dvižnemu ali pa padnemu; vozel je presek Lunega tira z ravnino Zemljinega tira) . Ta mesec traj a 27,2122 dni. Mrki nastopajo le ob ščipu (polni luni) in mlaju (prazni luni) zelo blizu enega od vozlov , ko ležijo Zemlj a , Sonce in Luna na isti pr emici. Če je npr. dan es mrk, bo takšen mrk nastopil ponovno čez toliko časa, da bo celo šte vilo x vozelskih mesecev enako celemu številu y sinodskih mesecev . Ta čas dobimo, če rešimo enačbo 27 ,2122x = 29 ,5306y , ki jo preob lik ujemo v sorazmerje ~ = ;~~ig~ . Natančna r ešitev te enačbe j e npr. x = 295306 in y = 272122. Zapisano enačbo pa lahko rešimo t udi približno. Ulomek 295306272122 raz vijemo v veri žni ulomek . Najprej je 295306 23184 1 272122 = 1 + 272122 = 1 + 11 +~ . 23184 IAstronomija Če bi t ako nadaljevali , bi na koncu dobili 295306 = 1 + 1 272122 11 + 1 1 1+ 1 2+ 1 1 + 1 4 + 1 4+ 1 17+--1 1 + - 7 1 t 1 ka d bi 1 d o obložk 12 13 38 5 1Z ega ven znega u om o Imo nas eonje pn IZ e: IT' 12 ' 35' 47 ' 242 101 9 P t i 1 k t i ° - d l' d b ibli ž k . d .223 ' 939 'o . ° e l Uame v vrs 1 Je ze ovoij o er pn ize , saJ aje zadovoljivo natančnost . Zadržimo se pri njem. Torej vzamemo x = 242 in y = 223. Perioda, ko se mrki ponovijo, je enaka 223 sinodskim ali 242 vozelskim mesecem. Preračunano je to 6585~ dni ali 18 let in 11,3 dni oz. 10,3 dni glede na to, ali pride v saros št iri ali pet pr estopnih let o ti r zunanjega pla neta t ir Zem lje Mars (z unanj i plan et ) Slika 1. Lega zunanjega plane ta ob opozicij i s Soncem. Astronomija I 2 . P lanet Ma rs je bil konec avg usta 2003 v opoz icij i s Soncem. To po- meni, da je bil, gledano z Zemlje, na nasp rotni strani kot Sonce. Kad ar je plan et v opoziciji s Soncem , je viden vso noč , saj vzhaja, ko Sonce zahaja. Planet je takrat t udi najbližje Zemlji in ga lahko dobro opazujemo . Mars je pr ibliž no vsaki dve leti v opozicij i s Soncem. To so navadne opozicije . P ribližno vsakih 15 let pa pri de do tako imenovanih velikih opozicij, ko se Mars dosti bolj pri bliža Zemlji kot ob navadnih opoz icijah . Velike opozicije rdečega plan eta so bile np r. 1939, 1956, 1971, 1985. Malokdo ve, zakaj se ta dogodek ponavlja vsakih 15 let . Takole je s to stvarjo . Obhodni čas Zemlje okrog Son ca je 365:1 dneva , obhodni čas Ma rsa pa 687 dn i. Vzem imo , da sta dan es oba planet a v najmanjši medsebojni oddaljenosti ob veliki opoz icij i. V takšni oddaljenosti bosta 13.8 Mars ()OOO-oG 23.7 17.5 Slika 2. Opozicije Marsa do let a 1999. Zarad i nazornosti je ekscentričnost Marsovega tira pr etirana. Številke ob Marsu povedo navidezni premer p lanet a ob opozicij i. I Astronomija spet čez to liko časa, ko bo celo število zemeljskih let x enako celemu številu marsovskih let y . Rešiti je t reba enačbo (v celih številih) 365t x = 687y ali ~ == 1,88 = ~~ . Ulomek raz vijemo v verižni ulomek 47 1 25 = 1 +---:1~ 1 +--1 7+ "3 Če vza memo prve t ri člene , dobimo že dober približek 1 15 1+--1 =-. 1 + _ 8 7 To je čez 15 zemeljskih ali 8 marsovskih let . Torej se velike Marsove opo zicije ponavljajo vsakih 15 let (zaradi poenostavit ve nal oge smo vzeli 1,88 namesto 1,8809). 3. Tako lahko ugot ovimo tudi periodičnost največjih približevanj Jupi- tra. Jupitersko let o je 11,86 (točneje 11,8622) zemeljskih let . Razvijmo to v ver ižni ulomek: 43 1 11,86 = 11 - = 11 + 1 50 1+ -- 1 6 + - 7 Prvi trij e členi dajo približek Bl . Velike opozicije Jupitra se torej pona- vljajo vsakih 83 zemeljskih ali 7 jupiterskih let. Zadnja velika opozicija Jupitra s Soncem je bila let a 1951. Na koncu pa še dve kr atki vaji , katerih rezul tat ugotovimo neposredno iz vsebine članka, pri pr vi vaji od zadnje velike opozicije odštejemo 15 let , pri drugi pa pr ištejemo 83 let: 1. Kd aj je bila zadnja velika opozicija Mar sa s Soncem? 2. Kd aj bo pr va velika opoz icija Jupitra s Soncem? Marijan Prosen Mat ematika I ZAKON MALIH ŠTEVIL Nari šimo kro žnico in na njej izberimo dve različni točki . Na koliko delov raz de li tetiva , ki povezuje t i dve točki, krog? Izberimo zdaj na krožnici tri različne točke , nar išimo vse t ri tetive in se ponovno vprašajmo, na koliko delov so te tetive razdelile krog. Nadaljujmo s štirimi točkami na kro žnici. Na koliko delov šest tetiv, ki povezujejo štiri različne točke na krožnici, razdeli krog? Poglejmo še primer petih različnih točk na krožnici. Pet točk na krožnici izberimo tako, da se nobene t ri te t ive, ki jih povezuj ejo , ne sekajo v isti točki - pr avim o, da morajo biti izbran e točke v splošni legi. Teti v, ki povezuje pet točk v splošni legi na krožnici, je 10. Na koliko delov razdelijo te tet ive krog? Slika 1. Na koliko delov so razdeljeni krogi? Od govore na zastavljena vprašanja naj demo na sliki 1. P rv i krog je razdeljen na 2 dela , drugi krog na 4 = 22 dele, tretj i krog na 8 = = 23 delov in četrt i krog na 16 = 24 delov. P omislit e na pr avilo: Če je na krožnici n točk v splošn i legi, potem vse tetive, ki imaj o kraj išča v izbran ih točkah , razdelijo krog na 2n - 1 delov . Ali ta trditev res velja? Na j vam še povem , da v primeru desetih točk na krožnici, ki so v splošni legi, pripadajoče tetive razdelijo krog na 256 = 28 delov. Če se še vedno ne morete odločit i glede veljavnosti trditve, narišite krožnico, izberit e na njej šest točk v splošni legi, narišit e vse tetive in pr eštejt e, na koliko delov so tetive raz delile kro g. Naravno število p je praštevilo, če ima natanko dva delitelja: 1 in p. Prvih pet pr aštevil je 2,3,5, 7, 11. Ni se težko prepričati , da je tudi število 31 pr aštevilo. Nekoliko več t ruda je potrebno za ugotovitev, da so vsa števila v nizu 331,3331,33331, 333 331, 3 333331 pr ašt evila . Ali na sp lošno velja, da so šte vila , ki imaj o deset iški zapis 33 . .. 31, praštevila? Bi vam bilo lažje odgo vor it i, če vam povem, da je naslednj e šte vilo v omenj enem zaporedju, to je 33333 331, pr ašt evilo? Da bost e izvedeli prav ilni odgovo r na zastavljeno vprašanj e, poiščite ostanek pri deljenj u števila 333 333 331 s 17. Matematika Matematiki pri svo jem delu pogosto nalet ijo na podobne primere: pr vih nekaj členov kakšn ega zaporedja se pokorava pravilu, ki za kasnejše člene za po redja ne velja. Krivec, da t akšni primeri obstajajo , je zakon malih števil. Matem atik Richard K. Guy ga je formuliral t akol e: Malih šte vil je premalo, da bi lahko zadostila vsem potrebam. Če že govor imo o malih šte vilih, je umestno vprašanj e, kater a števila so mala . Lahko bi rekli , da vsa t ista, ki jih je mogoče zapisati z vsemi šte vkami (rec imo v deseti škem sestavu) in jih torej lahko vidimo. Zgledi malih števil so : 1000000, 1 234 567 890 pa t udi 9999 999 999 999999999. Za število ((((101OO)!)100)!)1O0 bi lahko rekli , da ni malo, saj ga praktično ne morem o zapisa t i z vsemi števkami in ga torej t udi videt i ne moremo. Iz zakona malih števil sledi zakon okroglih števil. V vsakdanjem življenju rečemo, da je število okroglo, če je deljivo z l O, 100 , 1000 itd. (spomnite se okroglih obletnic) . V matem atiki okrog la števila definiramo malce drugače . Za natančno definicijo potrebujemo po jem desetiškega 10- garitma. Nekoliko po enost avljeno bi lahko rekli, da je desetiški logaritem naravnega šte vila ti približno za 1 manj , kot je št evilo števk v deseti škem zapisu števila ti. Ust alj ena oznaka za desetiški logaritem naravn ega števila n je log n . V spodnji tabe li so dane vrednosti desetiškega logari tma za nekatera naravn a števila . n log n 1 0,000 . .. 2 0,301. . . 5 0,698 . 10 1,000 . 15 1,176 . 100 2,000 . 150 2,176 . 1000 3,000 . Označimo z d(n) število delit eljev naravn ega števila n. Očitno je d(l ) = 1 in d(p) = 2, če je p praštevilo. Za majhna števila n vrednosti d(n) ni težko določiti : d(10) = 4, d(100) = 9, d( lOOO) = 16 itd. V splošn em pa si pomagamo z naslednjim dejst vom . Naj bo razcep števila ti na produkt potenc različnih prašt evil , potem je d(n) = (el + 1) ... (ek + 1) . Mat ematika I Ok roglost nar avn ega števila n določimo tako, da pogledamo , kakš no je razmerje med številom deliteljev števila n in velikostjo deset iškega loga- ritma števi la n, Bolj natančno , nar avno število n je t em bolj okroglo, čim večja je njegova mera okroglost i ( ) _ d(n) o n - logn . V naslednji t ab eli je neka j zgledov. n d(n) o(n) 10 4 1 100 9 4,5 1000 16 5,333 . . . 5316 12 5,220 . . . 4525 6 1,641 . . . 2112 28 8,421 .. . Število 2112 je zelo okroglo, celo bolj kot št evilo 100000, sa j Je 0(100000) = 7, 2. Še bo lj okroglo je število 43200 z mero okroglosti 0(43 200) = 18,121. .. . J asno, ker je malih števil premalo, t udi okroglih števil ni dovo lj - velja zakon okrog lih števil: Okroglih števil j e premalo , da bi lahko zadostila vsem potrebam . V vsakdanjem življenju nas za kona malih in okroglih števil lahko zavedeta , da vidimo skr ite zakonitosti in povezave tam , kjer jih mogoče ni . Kot zgled navedimo Josepha Campbe lla (1904-1987), priznan ega an- gleškega profesorj a lit erature, sp ecialist a za mit e. V eni od svojih raziskav je ugotovil naslednje: 1. V indij ski mi tologiji traja obdobj e enega eona 4320 000 let . 2. Po prepričanju ljudstev v Mezopotamiji okrog leta 290 pred našim štetj em je od kronanja prvega zem eljs kega kralja do vesoljnega potopa minilo 432 000 let . 3. V islandski Edd i je zapisa no , da je v dvorani bo jevnikov boga Othina 540 vrat in skozi vsaka od njih na dan bit ke prid e 800 vojščakov (pripo mnimo , da je 540 x 800 = 432 000) . Campbell je sklepal, da takšno sovpadanje ne more biti naklučj e . No, mi smo lah ko vsaj malce skeptični in se vprašamo, ali so stara ljudstva imela skr ivno skupno znanje, katerega del je bilo število 432000, ali pa je bil na delu zakon okroglih šte vil. Janko Bračič I Novice ODKRITO NOVO NAJVEČJE (MERSENNOVO) PRAŠTEVILO Števila , s kat erimi štejemo, imenuj emo naravn a števila. Št evila, ki imajo nat anko dva različna delitelja , samega sebe in število 1, so praštevila. Že pred več kot 2300 let i je Evklid dokazal, da je praštevil neskončno mn ogo. Število oblike 2n -1 imenuj emo Mersennovo število in ga označujemo z M n . Če je M n prašt evilo, ga imenujemo Mersennovo prašt evilo . Po- glejmo , kakšno število je M n , če je n sestavljeno število. Recimo, da je n enak zmnožku rs, potem lahko Mersennovo šte vilo ivIn = Mr s zapišemo takole: Mn = 2r s - 1 = (2r - 1)(2r (s - 1) + 2r (s - 2 ) + ...+ 2r + 1) . Vid imo , da je v tem pr imeru M n produkt dveh števil, zato ni praštevilo. Torej velja , da če je M n prašt evilo, mora biti tudi ti praštevilo. Mnogi so domnevali, da so vsa Mersennova števila M n , kjer je n prašt evilo, t udi praštevila. Let a 1536 je Hudalricus Regius pokazal , da 211 - 1 ni praštevilo (saj je enako zmnožku 23 in 89) . Zgodovina iskanja naslednjih Mersennovih praštevil in velikih praštevil nasp loh je pisana, o čemer smo v P reseku že pisali v članku P. Potočnik : Največja znana praštevila - nekoč in danes, Presek 28 (2000/2001), 349~35 1. Domneva , da je t udi Mersennovih praštevil neskončno , ni dokazana. 17. novembr a 2003 je računalnik študenta Michaela Shaferja na ekran zapisa l sporočilo o najdbi novega, največj ega zna nega Mersennovega pra- števila 2 20996011 - 1, ki je tudi največj e zna no pra št evilo. Sestavlja ga kar 6 320430 desetiških števk, v celot i pa si lahko to ogromno število ogledamo na medmrežnem naslovu htt p: //mer s enne. or g/prime6. t xt . Na Michaelovem računalniku je tekel program , ki ga dob imo na naslovu http: / /www .mersenne .org in je izhodiščna st ran tako imenovanega velikega medmrežnega iskanja Mersennovih praštevil (GIMPS - Great Int ern et M ersenn e P rime Search) . 346 Novice I Program za iskanje Mersennovih praštevil je napi sal ustanovitelj GIMPS George Woltman. J edro pr ograma pr edstavlja algoritem za hi- tro množenj e velikih števil, ki ga je odkril matematik Richard Crandall, strojno in programs ko opremo za porazdeljeno ob delovanje pa je dalo na razpolago podjetj e Entropia Inc. Vseh zadnjih šest največj ih Mersennovih praštevil je bilo najdenih s pomočjo proj ekta GIMPS, ki t raja že od januarja 1996. Vsako od nj ih je v času odkr itja predstavljalo tud i največj e znano praštevilo. Na jdite lj 38. Mersennovega praštevila je dobil od organizacije Elec- tronic Frontier Foundation (ht t p: / / www . eff . org) nagrad o 50 000 ame- riških dolarj ev za odkritje pr aštevila z vsa j 1 000000 števkami. Za odkritje praštevila z najmanj 10000000 števkami je razpisan a nagrad a v višini 100000 ame riških dolarj ev. Sedaj poznamo 40 Mersennovih praštevil z naslednjimi pot encami dvojke: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701 , 23209 , 44497 , 86243, 110503, 132049 , 216091 , 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 in 20996011. Ali sta števili M13466917 in M 20996011 tudi 39. in 40. Mers enn ovi praštevili, še ni ugotovljeno . Do sedaj so bile pr everj ene vse potence do 12441900, to rej je še veliko kandidatov za nova Mersennova praštevila do zadnjega odkritega praštevila . Za 10000000 števk bi morala biti pot enca dvojke večja od 33219280. Proje kt GIMP S se nad aljuje in sedaj čakamo na naslednj e rekordno Mer- sennovo praštevilo. Ga bo našel kdo izmed vas? Ciril Petr P red oddajo Preseka v t iskarno smo pr ejeli novico, da je bilo 15. maj a 2004 odkrito novo največje (Marsennovo) pr aštevilo M24036583 , ki ga sestavlja 7235 733 deseti ških števk. O te m najnovejšem odkritju bomo še poročali veni od naslednjih številk P reseka. INovice OB 125-LETNICI EINSTEINOVEGA ROJSTVA 14. marca je minilo stolet je in četrt od rojstva Alberta Einst eina. V spomin na njegovo "čudežno leto" 1905, v katerem je šestindvajse tl et en s petimi deli pr etresel fiziko in ves svet , so razglasili svetovno leto fizike 2005 . Zato bo naslednj e let o mogoče veliko prebrati in slišat i t ud i o Einsteinovem delu in o njem. Na tem mest u zgolj nakaž imo , kaj je dosegel leta 1905 in kako vsestranski je bil njegov prispevek fiziki. Alb ert Ei nstein (1879-1955, risba J . Scha rla iz let a 1946) je bil ro jen v Ulm u , osn ov no šolo in gimnazijo je ob iskova l v Munchnu. Sprejem nega izp it a na Dr žavno tehnično visoko šolo ETH v Zur ichu pa ni opravi l. Potem ko je naredi l zad nje leto sred nje šole in opravi l maturo , je na ETH štud iral matematiko in fiziko in postal profesor matem at ike in fizike. Na las t no pobudo je osamljen raziskoval v teoretični fiziki , najprej brez stalnega delovnega mesta in potem kot urad nik na švica rskem patentnem ur ad u . Dela l je ob omejen em dostopu do st rokovne lit erature , ločen od univer zit et nega okolja , le ob pogovorih s prijatelj i in s prvo ženo, Vojvodinko Milevo Marič . Leta 1909 je zapustil pat ent ni ur ad in post al profeso r v Zur ichu , P ragi in zopet v Zurichu. Nato je do bi l v Berlinu mesto, na katerem mu ni bilo treba pr edavati št udent om. Leta 1933 se je preselil v Princeton v Zd ruženi h d ržavah . Tam je umrl let a 1955 . V prvih člankih se je Einstein ukvarj al z vprašanjem, ali obstajajo molekule in kakšne sile delujejo med njimi . V naslednjih se je lotil osnov statistične mehanike, veje fizike, ki lastnosti snovi po jasni z lastnost mi njenih gradnikov, na pr imer molekul. To je bila dobra pri prava na pet del v "čudežnem letu" , ki so med sebo j povezala mehani ko, termo dinamiko in elekt rodinamiko. "Precej varno je reči, da ne bo , dokler bo obstajala fizika , nihče več dosegel treh večjih prebojev v enem letu." 348 Novice I Najprej je Einstein dopolnil zamisel Maxa Plancka, da svetloba v votlini s steno votline izmenjuje energijo v obrokih, energijskih kvantih. Trdil je, da v svetlobi energija tudi potuje v obrokih, ki jim danes rečemo fotoni. Pri fotoefektu elektron pr evzame energijo fotona in je del porabi, da zapust i kristal. Pojav izkoriščajo med drugim televizijske snemalne cevi. Za razlago, ki so jo z merjenjem podprli let a 1915, je Albert Einstein leta 1922 dobil Nobelovo nagrado. Pojasnil je tudi neurejeno gibanje drobnih smolnih kr oglic, ki jih vidimo z mikroskopom. V zraku ali v vodi se zdaj s t e, zdaj z druge strani v kroglico zalet i več molekul. Enačbe so bile pomembne, ker t edaj nekateri fiziki in kemiki še niso sprejeli misli , da obstaj ajo molekule z določeno m aso in velikostjo . Šest let za te m so Jean Perrin in sodelavci Einsteinove enačbe podprli z merjenji in s tem odpravili dvome o obstoju molekul (Presek 29 , str. 204 in 274) . Einstein je nadalje razvil teorijo relativnosti. Svetloba po praznem prostoru potuje s hitrostjo, ki ni odvisna od hitrosti opazovalca glede na svetilo . Dva dogodka , ki st a sočasna za kakega opazovalca, v splošnem nist a sočasna za drugega opazovalca , če se ta giblj e glede na prvega. Gibajoča se ura teče drugače kot mirujoča in gibajoča se te lesa se skrčijo v smeri gibanja. Te ugotovitve so spremenile pogled na prostor in čas t er pripeljale do zakonov za gibanje, ki se pri veliki hitrosti razlikuj ejo od Newtonovih zakonov. Hitrost svetlobe v praznem prostoru je zgornja meja za hitrost delcev, energije in sporočil. V kratkem dopolnilu je Einstein izpelj al "najbolj razvpito enačbo vseh časov", E = m c2 , po kateri masi ustreza energija . V tem letu je velik i znanstvenik sestavil še doktorsko delo o novi določitvi velikosti molekul. V njem je gradil na ugotovitvi , da se molekule raztopljene snovi , na primer sladkorja, v razredčeni vodni raztopini ved ejo kot mo lekule plina v posodi. Poleg tega je napisal več poročil o novih knjigah. Leta 1907 je Einstein zamisel o kvantih uporabil za gradnike, ki v kristalih nihajo okoli ravnovesnih leg. Ugotovil je, kako povprečna ener- gija nihanja narašča z naraščajočo t emper aturo. Gram snovi segrejemo za stopinjo s toploto, ki je t em manjša, čim bliže smo absolut ni ničli . Ugot ovitev te prve up orabe zamisli o kvantih za delce snovi so fiziki laže sprejeli kot zamisel o fotonih . Einstein je spoznal , da teorija relativnosti ne zajame t eže ali na sp lošno gravitacije. Potem ga je prešinila "naj srečnej ša misel", da nekdo, ki prosto pada, ne čuti teže in zanj velja teorija relativnosti. Leta 1916 je rešil vprašanje gravitacije v okviru nove teorij e relativnosti, ki je dobila ime splošna, medtem ko je prejšnja postala posebna. Napoti do tega je, INo vice ob pomoči svojega nekd anj ega študentskega tovariša in tedanj ega mate- mat ika Marcela, obv ladal matematične t ežave . Enačbe posebne teorije relativnosti je mogoče pregledno zapisati, če obravnavamo čas na enaki podlagi kot t ri kr aj evne koordinate. Dobljeni št irirazsežni pr ostor je raven , kar naj pomeni , da ima v vsaki točki - točka ust reza dogodku - enake lastnost i. V splošni teor iji relat ivnosti pa post ane št irira zsežni prostor ukri vljen , kar pomeni , da v vsaki točki nim a enakih lastnost i. Masa teles in energija v okolici točke določata t e lastnosti , ki jih izrazimo z ukrivljenost jo, ukrivljenost pa določa t o, kako se telo tam giblje. V splošni teor iji relat ivnosti je hitrost svetlobe v praznem prostoru odv isna od gravitacije. Ura na večj i nadmorski višini teče hit reje kot ur a na manjši (A. Likar , Ali natančne cezijeve ure vedno tečejo enako hi tro?, Presek 31 , str. 294) . Splošna teorija relativnost i je napovedala t udi to , da privlačna sila Sonca odkloni svet lobo z oddaljene zvezde pri prehodu mimo Sonca . Leta 1919 so napovedani poj av ob sončnem mrku podprli z merjenji. V času, ko so ljudje po pr vi svetovni vojni iskali t rdnosti, je ta uspeh Einsteinu pri nesel svetovno slavo. Let a 1917 je nap ovedal , da obstajajo gravitacijski valovi, ki potujejo po praznem prostoru s hit rostj o svet lobe . (Nepos redno jih še ni usp elo zaznat i, posredno pa so se prepričali , da obstajajo . Izmerili so energijo, ki jo zaradi valov izgubljata gosti vesoljski telesi, krožeči okoli skupnega težišča.) Istega let a je s splošno teor ijo relat ivnosti Einstein poskusil opisati vesolje. Podobno kot Newton pred njim je naletel na težavo , da ni bilo rešitve, ki ne bi bila odvisna od časa . Ted aj so mislili, da se vesolje ne spreminja s časom, zato je tako rešitev izsilil. Enačbi je dodal člen s kozmološko konstanta , ki ga je teorij a dopuščala . Poz neje je člen um aknil in ga imenoval "največjo zablodo" . Če ga ne bi vp eljal , bi lah ko napovedal , da se vesolje širi, kar so pozneje razkrila merjenja . Mogoče bi ga potolažilo, če bi vedel, da raziskovalci vesolja te dni zopet vneto razpravljaj o o kozmološki konst anti . V letih 1916 in 1917 se je Einstein ukvarjal s sevanjem svet lob e. Pri tem je ugotovil, da sam sebi prepuščen atom izseva foton in odd a energijo ter jo dobi, ko absorbira foton s pravo energijo. Poleg tega pa atom izseva t ak fot on , če se znajde v svet lobi, katere fotoni imaj o pr avo energijo. Ta t ret ji pojav , stim ulirano sevanje, je bil novost , ki je po letu 1960 pripeljala do prvi h laserjev. Danes izkoriščamo posebnost i svet lobe laserjev v raz iskovanju , tehn iki in zdr avstvu. Einstein je tudi pos redno prisp eval k razvoju kvantne mehanike. Leta 1924 je podprl zamisel Louisa de Brogliea , da je t reba gibajočemu se elek- tronu prir edi t i nekakšno valovanje. Istega leta je zamisel Satyend ranatha Boseja uporabil pri poskusu, da bi plin opisal v kvant nem duhu. P ri tem Novice I je napovedal nenavaden po jav, da se pri zelo nizk i temperaturi molekule plina združujejo in se začnejo vesti kot ena sama velika tvorba. To je Bose- Einsteinova kondenzacija , ki se je tedaj zdela nekoristen računski zaplet , dan es pa z njo opišemo supe rprevodnost, supertekočnost in nekatere druge poj ave. Čeprav je Einstein najprej vzpodbudil razvoj kvantne mehanike, se je nazadnje od nje odvrnil. Po enost avljeno rečemo , pri zad eval si je opisati gibanje elekt ronov v pr ostoru in času , podobno kot gibanje velikih te les. Vztrajno je ugovarjal pr ija te lju Nielsu Bohru in - čeprav ni imel prav - s tem veliko prisp eval k razjasnit vi osnov kvantne mehanike. Leta 1935 je z Bor isom Podolskim in Nathanom Rosenom pos kušal pokazati, da je kvant ni opis nep opoln . Pri te m so izhaj ali od namišljenega poskusa, ki ga ponazorimo s pri sp odobo. Nekdo vrže eno copato na levo in drugo na desno. V trenutku, ko ugotovim o, da je na levo vrgel levo copato, vemo , da je na desno vrge l desno, čeprav je desna copata zelo daleč in je ne opaz ujemo nepo sredno. Ta p ojav Einst eine-Podolskege-Rosene je zanim iv in dan es posvečajo veliko pozornost prepletenim stanjem , v naši prispodobi parom copat . Na eni st rani pri tem pojavu ne prenašamo sporočil , na drugi pa ga je mogoče izkoristiti za šifriranje , ki ga ni mogoče nepooblaščeno razvozlat i. Že v starih časih so se po javile domneve, da obstajajo te lesa , ki j ih zaradi velike gravitacije svetloba ne more zapustiti . Splošna teorija relat ivnosti je nap ovedala obstoj takih zelo gostih teles , ki so dobila ime črne luknj e. Einstein je let a 1939 v članku poskušal dokazati , da črne luknj e ne morejo obstajati . Danes pr evladuje mn enj e, da so črne luknje neizogibna razvojna stopnja zvezd z veliko maso. Einstein si je dolgo časa pri zad eval, da bi se dokopal do teorij e, ki bi na enotni osnovi zajela elektromagnet izem in gravitacijo. Mislil je že, da je uspel, pa se je motil. Še dan es fiziki tega cilja niso dosegli , a okvirno so prepričani , da vod i pot pr eko kvan tne teorij e polja. Einstein se ni ukvarjal sa mo s teorijo . S sodelavci je izvedel t udi nekaj pomembnih poskusov in je celo sestavil gospodinjski hladilnik, za katerega je patent odkupila znana evropska tovarna. Stran E insteinovega dela, ki s m o j o osvetlili, j e za fiziko n ajpome m b - nejša . K laskavemu naslovu osebnosti 20. stoletja pa so pri sp evale še druge njegove dejavnost i. Einstein je gra dil na dosežkih drugih fizikov. Sam je skromno rekel, da bi drugi pr ej ali slej odkrili to, kar je on , na primer posebno teorijo relativnosti . Le pri splošni teoriji relativnosti , je pripomnil, bi brez njega t ra jalo dlj e in bi morda šlo na drug način . Na poti do praktične uporab e I Novice - Rešitve nalog odkritij, ki smo jih omenili, na pr imer te levizijski h snemalnih cevi, laser- jev, superprevodnosti, so sodelovali številni fiziki in inženirji . Čeprav je svetovno leto fizike vezano na njegove uspehe iz let a 1905, se je fizika po Einste inu razvijala z velikimi koraki . "Einste in je do konca v določenem sm islu verje l v dejanskost in prvobitnost neposredno zaznanega svet a in v prostor in čas , kot ju je videl. [.. . ] Rezultat 'stoletja napredka ' v fiziki je , da se noben teoretični fizik ne more jemati resno, če tako misli na koncu [20.] stolet ja." Jan ez Strnad ŠTEVILO HIŠ V CERKNEM LETA 1486 - Rešitev s str. 333 Označimo z x število hiš v Cerknem leta 1486. Če bi jih od teh porušili šest, bi jih bilo še x-6, kar pa mora biti kvadrat nekega nar avnega števila , denimo m . Če pa bi sedem hiš na novo dozidali, bi Cerkno štelo x + 7 hiš, kar pa mora spet biti kvadrat nekega nar avnega števila, recimo n : Tako imamo enačbi x - 6 = m 2 , x + 7 = n 2 . Če od druge enačbe odštejemo prvo, dobimo n 2 - m 2 = 13 . Če levo stran doblj ene enačbe razstavimo, imamo (n -m)(n +m) = 13 . Ker je očitno ti > m in ker je 13 pr aštevilo, deljivo le z 1 in 13, ne gre drugače , kot da je n-m =l , n+ m = 13 . Če sedaj enačbi med seboj najprej seštejemo, nato pa še odštejemo , do- bim o 2n = 14 , 2m = 12 . Torej je n = 7 in m = 6. Nazadnje izračunamo x = m 2 + 6 = n 2 -7 = 42. Cerkno je to rej leta 1486 št elo 42 hiš . Po hipotetični spremembi pa bi jih lahko ra zvrstili v seznam razsežnosti 6 x 6 oziroma 7 x 7. Marko Razpet Zanimivosti - Razvedrilo I KRIŽANKA I " AM KP ( ARI POGOSTA lj MATE- Ve MATlCNA L KONSTANTA D~ S.IN 3.SA- MOGLASNIK OBLOGA IZ DESK CRKA P STARA MERAZA OBDELO- VALNO ZEMLJO GORRESEV. PRIPRAVA GOTOVCEV OPERNI JUNAK EMAJL &~~~~- NJAK ZNAN- STVENA USTANOVA TEHTALNA PRIPRAVA ~~~~~~ KOŽE LUCAJ, VR1EK DUŠEVNA TLAKOVAN OTOPELOST PROSTOR BREZ- NA DELU VOWNOST STAVBE ~~~\~~ GOZONE ZVERIANGLESKI FIZIK, KI JERAZISKOVAL IONOSFERO NAPRAVAZA MERJENJE JAKOSTI TOKA OBOOBJE ZEMEW. PRAVEKA JACK LONDON PRED- SEDNIK VCAOE HRIB NAD BEVKOVO VASJO NEROOEN CLOVEK SVETA OEžECA NA BLlŽJEM VZHODU BOLGAR. DENARNA ENOTA LOVSKA DRUŽINA GCAVNI JUNAK VERGILO- VEGAEPA PEVSKI ZLOG HLAPLJIVA ORGANSKA TEKOCINA ŽiVILO, KIGAPRI- DČ~~~~~O BARJA KOŽE, POLT s~G~~~KA (MARTINA) UKQVNICA VOGELNIK IGRALKA TAYLOR TERENSKI AVTO, OŽIP NARECNI IZRAZ ZA TELICO PESNICA ŠKERL RIMSKI CESAR,KI JE RAZDEJAL JERUZALEM SPOMINSKO TEKMOVANJE MILNEJEV MEDVEDEK OKlESCEK, KREPELCE NEJASNA MISEL, DA R~~N~O, DOZDEVA CILSKI PESNIK IN DIPLOMAT, NOBELOVEC (PABLO) AWAž PEGAN DEKLA IZ FINŽ- GARJEVE POVESTI I Zanimivosti - Razvedrilo ~GUBA IGE PRI ISKLA· ŠČENIH :1VIL1H PREDS NOIDAT JOHN) LSKIPLIN DEBELI JE PRI ANKARANU KAMNINA IZ ZLEPLJENIH JAJCASTIH SKUPKOV OOLIT NADA LGUR PONOCENA CUNJA VECJI KRAJ PRI CERKNICI POLlTICNO GIBANJE V ITALIJI DESNI PRI- TOKVOLGE GIBLJIVA OBRAZNA KOST STAREJŠi CITROENOV AVTO AFR PTIC TEKAC PRIPRAVA ZA TOLCENJE POPERILU MAJHEN KIP POKOJNI s\~6~7c ?:.vi>:. . . . ::. ';h~~~' :~ ~ " 1 ~]il;'t~ 1 ~ ..~.~ . Slika 2. Pri pos kus u je mogoče dobro videt i, kako se glad ina vode dvign e, ko se ji prib liža mehur, in kak o se na obe h straneh izbokline obli kujeta do lin i (levo). Barvi lo na glad ini pokaže, da se deli vode ob dolinah doka j izr azito gibljejo navzd ol (des no) . Poskusom so sledile še računalniške simulacije. Pri tem so privzeli, da so po navpični ploskvi razmeščeni delci, ki delujejo drug na drugega. Pos top ek, ki je pripraven za delo z računalnikom , poznajo kot "zglajeno delčno hidrodinamiko" . Dob ljeni izid se je okvirno ujemal z izidom pri poskusu (slika 3) . Poskusi in računalniške simu lacije so pokazale, da bi se v dveh razsežnosti h ladja lahko potopila , če bi jo po naključju zajel dvigajoči se dovolj velik mehur metana. Mehur pa ne bi smel biti dosti I Fizika Slika 3. Računalniška sim m ulaci ja dvigajočega se mehurj a da približno enake izide kot poskus. manjši kot ladja. Sklep je dovolj okviren, da ga je mogoče pr enesti v tri razsežnost i, čeprav se pojavijo v podrobnostih razlike. Tako je na primer tlak v globini 150 m 16-krat večj i kot na gladini in bi se polmer mehurj a , ki bi se dvignil z dna, na gladini dvakrat povečal, če plin v mehurju ne bi spreje l t oplote in je ne bi oddal. Jan ez Strnad Novice I GABRIEL CRAMER (1704 - 1752) Cramerjevo pravilo, Cramerjev paradoks, Castillon-Cramerjev problem, satanova krivulja Letos min eva tristo let od roj- stva švicarskega matem atika Gabriela Cramerja, čigar ime nosi pr avilo za zapis rešitve siste ma linearnih enačb z upo- rab o determinant. Cramerjeva družina izha- ja iz avstrijskega Holsteina pri Strasbourgu , Gabriel Cramer pa se je rodil v Ženevi , kjer je imel njegov oče zdravniško prakso. Im el je dva br ata , od katerih je bil eden zdravnik in drugi pr ofesor prava. Gabriel je s šolanjem o- pravil po bližnjici, saj je že pri osemnajstih letih doktoriral s te zo iz teorij e zvoka . Dve leti kasn eje mu je bila , skupaj s prav tako mladim in obe- tavnim matem atikom Calan- drinijem , dodeljen a katedra za matematiko na Calvinovi akad emiji v Že- nevi. Calandrini je pr edaval algebro in astronomijo, Crarner geometrijo in mehaniko. Cramerju gre zasluga , da so na Calvinovi akademiji poleg latinščine , tradicionalnega šolskega jezika tistega časa, začeli up orabljati tudi francoš čino" . Del Cramerjeve zaposlitve na Calvinovi akademiji so predstavljala t udi potovanj a in obiski pri vodilnih evropskih matematikih. Tako je pet mesecev prebil v Baslu z J ohannom Bern oullij em in njegovimi učenci , med katerimi sta bila t udi Dani el Bernoulli in Leonhard Euler. Nato ga je pot vodila v Anglijo kHalleyu , Moivr eu in St irlingu ter v Pariz, kjer je delal skupaj z Fontenellom, Ma upet uisom, Clairautom in drugimi . Leta 1730 se je potegoval za nagrado francoske akademije znano- sti . Njegovo delo je bilo ocenjeno kot drugo najboljše med pri spelimi na natečaj , nagrado pa je pr ejel Johan n Bern oulli. Ta dogodek je morda 1 Žen eva leži v francoskem jezikovnem območju Švice. I Novice tipičen za Cramerjev položaj v zgodovini matematike. Ostajal je v senci svojih slavnih sodobnikov in soustvarjalcev matematike. Tako je najbolj znan po Cramerjevem pravilu, ki pravzaprav ni njegovo originalno delo, in po Cramerjevem paradoksu, ki ga ni v celoti pojasnil. Cramerjevo življ enje je bilo izjemno delavno. Predavanja na uni- verzi , dopisovanje s številnimi matematiki, pisanje odmevnih člankov iz geometrije, zgodovine matematike, filozofije, astronomije in verj etnosti . Njegovo najpomembnejše delo je monografija Introduction ii l'analyse de lignes courbes algebriques (Uvod v analizo algebraičnih krivulj), ki ga je izdal leta 1750. Nekoliko presenetljivo je, da v knjigi ni uporabil infinitezimalnega računa (ne v Newtonovi ne v Leibnizovi obliki, ki sta bili tedaj že na voljo) , čeprav v njej obravnava tudi teme, kot so tangenta, maksimum, minimum in ukrivljenost. Cramer je slovel kot vešč založnik. Med drugim je izdal zbrana dela Johanna in Jakoba Bernoullija ter, skupaj z italijanskim matematikom Castillonom, korespondenco med Johannom Bernoullijem in Leibnizem . Deloval je tudi v lokalni upravi , kjer je bil kot matematik in znanstvenik zadolžen za artilerijo, utrdbe, obnovo poslopij, predore in arhiv. Prekomerno delo in padec s kočije sta načela njegovo zdravje in ga za dva meseca priklenila na posteljo. Zdravnik mu je zato predpisal počitek v južni Franciji. Cramer je odpotoval iz Ženeve in na poti v Francijo umrl na začetku leta 1752 . Cramerjevo pravilo Gre za znano pravilo, ki podaja pregleden zapis rešitve linearnega sistema z determinantami. Študentje študijskih smeri, ki imajo vsaj minimalen program matematike, ga spoznajo že v prvem letniku fakultete. Danes ga povemo takole: Naj bo dan sistem n linearnih enačb z n neznankami. Če je determinanta koeficientov sistema različna od nič, je sistem enolično rešljiv. Vrednost posamezne neznanke je kvocient dveh determinant. V imenovalcu je vedno determinanta koeficientov, v števcu pa deter- minanta, ki jo dobimo tako, da stolpec koeficientov pri iskani neznanki madomestimo s stolpcem desnih strani enačb sistema. V dodatku k tretjemu poglavju Uvoda v analizo algebraičnih krivulj je Cramer pravilo splošno opisal in ilustriral s primerom sistema petih linearnih enačb. Podoben način reševanja sistemov linearnih enačb je Novice I sicer že leta 1693 omenil Leibniz v svojem pismu L'Hospit alu , vendar so priznali Cra merju prvenstvo pri obj avi pr avila. Kasneje je sicer znani matematični zgodovinar Boyer odkril, da je že leta 1748, torej dve leti pr ed izidom Cramerjeve knjige, ekvivalent no pr avilo v svoj i knji gi Tr eati se of Algebra opisal Newtonov učenec , škotski matematik Maclaurin. Boyer je mn enja , da so Maclaur inov opis prav ila prezrli, ker je up orablj al veliko bolj zap letene oznake kot Cra mer. Got ovo je k poimenovanju pr avila po Cramerju pripomoglo t udi Eulerjevo mn enj e, da je Cr am er oblikoval 't res belle regle' - zelo lep o pravilo. Cramerjev paradoks Med zn an a Cramerjeva 'dela ' sodi tudi Cramerjev paradoks, ki ga je Cramer oblikoval v zvezi s teorijo algebraičnih krivulj. Zaradi enostavnost i se bomo pri opisu par adoksa omejili na alge- braične krivulje tretj e stopnje, čeprav ' velja ' tudi za višje stopnj e. Algebraična ravninska krivulja tretj e stopnje je množica točk, katerih pr avokotni koordinati x, y ustrezata enačbi v kateri so a, b, . .. , r številski koeficienti . Polinom na levi ima deset členov , zato v njem nastopa deset koeficientov. Vendar dobimo isto kri- vuljo , če enačbo delimo s poljubnim neničelnim koeficientom , kar število prostih koeficientov v splošni enačbi zmanjša na devet . Če v ravnini izb eremo poljubnih devet točk in vstavimo njihove koor- dinate v spl ošno enačbo algebraične krivulje tretj e stopnje , dobimo siste m devetih linearnih enačb za devet nezn anih koeficientov. Rešitev siste ma je v večini primerov (t .j. izborov devetih točk) ena sa ma. To pa pomeni, da devet poljubno izbranih točk v večini primerov enolično določa algebraično krivuljo tretj ega reda, ki pot eka skoznj e. Po drugi strani pa velja , da imata dve algebraični krivulji toliko skupnih točk , kolikor je produkt njunih stopenj (upoštevaj e večkratnost , kompleksna presečišča in neskončno točko). Dve krivulji tretje stopnje imat a torej devet skupnih točk. Pa smo pri Cramerjevem parad oksu: Devet poljubnih točk praviloma enolično določa kri vuljo tretje st opnje in dve poljubni krivulji tretje stopnje se sekata v devetih točkah. Cramerj eva razlaga paradoksa je bila pomanjkljiva. Natančno ga je pojasnil šele P liiker več kot 70 let po Cramerjevi smrti . Skrivnost je v tem , da je z osmimi presečišči dveh krivulj tretj e st opnje deveto presečišče že enolično določeno. Množica poljubno izbranih devetih točk v ravnini I Nov ice je torej le v izjemnih pr imerih t udi množica presečišč dveh kri vulj tret je stopnje. Castillon-Cramerjev problem To je zanimiva geomet rijska naloga , ki jo je Cramer zastavil Castill onu. Dan j e krog in tri točke v nj egovi notranjosti . V krog j e tre ba včrtati trikotnik tako , da bo skozi vsako od danih točk potekala po ena od trikotnikavih s tranic. Nalogo je Castillon rešil šele 24 let po Cramerjevi sm rti. Nalogo je moč rešit i na različne načine , med dru gim analit ično ali z up orabo trigonometrije. Zelo lepa je element arno-geometrijska kon- strukcija iskan ega trikotnika z ravn ilom in šestilom, ki jo lahko razširimo na konst ru kcijo tet ivnega večkotnika z dano očrtano krožnico, katerega nosilke st ranic potekaj o skozi dan e točke . Zelo preprosto in elegant no lahko nalogo rešimo s sredstvi proj ekti vne geomet rije . Projekt ivna rešit ev vodi do rešit ve različnih oblik problem a - v stožnico včrtat i večkotnik ali ji ga očrtat i . Satanova krivulja Zaključimo z nenavadno krivulj o, s katero se je Cra mer ukvarjal in o njej pisal , kasn eje pa jo je obravnaval t ud i francoski matematik Lacroix . Poimenovali so jo Satanova kri vulja, njena splošna implicitna enačba v pravokotnem koordinat nem sist emu (x , y) je y4 - x4 + ax 2 + by2 = 0, enega od možnih grafov pa pr ikazuje slika l . Slika 1. Satanova kri vu lja . Marija Ven celj Rešitve nalog I LINEARNA SPIRALA - Rešitev s str. 322 Šiviljski meter, ki je na sliki 1, meri 150 cm, njegova debelina je 0.6 mm, njegova šir ina pa je 1 cm . Na svinčnik pr emera 2r = 7.7 mm ga lahko ovijemo n = 22 krat. Upoštevajoč navodila iz prejšnje številke Preseka bomo ta "eksperiment" računsko potrdili na dva načina: 1. način Volum en kvadra je enak V = l . tJ. . Š, volum en izrezanega valja pa je enak V = Jr (R 2 - r2 ) . š. Po enačenju obe h volumnov dobimo od koder sledi R =Jl~ +r2. Število zavojev n v spirali je tako približno enako kvocientu debeline navitja in deb eline merskega traku R - r JI'; + r2 - r n - -- - tJ. ;:::o 22.5 .- tJ. - 2 . način. Spiralo lahko pr ibližno opišemo z ti koncentričnimi krožnicami. Po l- mer prve krožnice je enak r + tJ., po lmer vsake naslednje kro žnice pa je od prejšnjega večj i za tJ., tako da polrneri tvorijo aritmetično zaporedje z začetnim členom aa = r + tJ. in diferenco d = tJ.. V tem primeru enačimo vsoto obsegov n koncentričnih kro žnic in dolžino šiviljskega traku l: 2Jr (r + tJ.) + 2Jr (r + 2tJ.) + ...+ 2Jr (r + [n - 1] tJ.) = l . Če zgornjo enačbo okrajšamo z 2Jr in upošt evamo, da je vsota prvih n - 1 naravnih števil enaka ~ (n - 1) n , dobimo l nr + tJ. (1 + 2 + ...+ n - 1) = - 2Jr nr + (n - 1) n tJ. = ~ 2 2Jr ' Rešitve nalog od koder sledi za ti kvadratna enačba: 2 l n ~ + (2r -~) n - - = O. 'Jr Ena rešit ev je negati vna , druga pa je enaka J4r 2 - 4r~ + ~2 + 4~1 - 2r + ~ n = 2~ ~ 22.9 . Za ra dovedne bralce na koncu omenimo , da z obema zgornj ima nači­ nom a dobim o približek. Točno vrednost je malo težje izračunati . Upo ra- biti je t reba formulo za ločno dolžino parametrično pod an e krivulje. Če je namreč (x( :J ....... " ~ I K _. K I P E C ~ A M P R M E T E R A .=- Ž -~ Č~ P R E I E R ~ K o J C ~ N o J ":1,'tS"" I=-J!i: P A L S T I N A ~. L E A P A = A L I 5'.. S T N E C T A S S= L D = L A T E N - ~ .- E N E J ~ - E R T L I I R E D E N T A_. ~ T I T ..- M E M o R I A L Č A A L G o L.- .:",~ -..,- o C E P E K ~ D o Z D E V K ~ Č E L J U S T- ~ e -.. -N E R U D A ~ A P A N A A M I ~ S T o ILetno kazalo PRESEK - list za mlade matematike , fizike , astronome in računalnikarje - 31. letnik, leto 2003/04 , štev ilke 1-6, strani 1-384 MATEMATIKA Trojišk i ses tav (Aleksandar Juriši č ) 20-21 Žužki - nožiščne krivulje as te ro ide (Marko Razp et) 47-52 O Lucasovih št evilih - reš . na str. 167 (Sandi Kl avžar) 144-149 Št evilo Jr in Jurij Vega (Martin Juvan) 213-21 9 Računanje z logaritmi (Zvonimir Bohte) 230-235 Kako je Vega računal iogaritme (Anton Suhad olc) 249-254 Trisekcija kota (Bra nislav Čabri č , prir. Marjan J erman) 264-265 Pret akanje vode in binom ski simboli (Nada R azpet) 278-282 Trisekcija kot a, II. de l (Branislav Čabric , prir. Marjan J erman) 324-325 Zakon malih števil (J anko Bračič) 342-344 FIZIKA Ali sloni tečej o? (J anez St rn ad) 16-19 O trenju, 1. del (Janez Strnad) 28-31 S trenj em do visokih t emperatur (Andrej Likar) 34-36 O trenj u , II. del (Janez St rnad) 150-1 53 Orien t acija z natančnimi ur ami (Andrej Likar ) 158-162 Jurij Vega in iztekanje vod e (Janez Strnad) 239-245 O tre nju , III . del (J anez St rnad) 266-271 Ali natančne cezijeve ure vedno tečejo enako hitro? (Andrej Likar) 294-299 Zakaj se v skodelici čaj a zrn a sladkorj a zbirajo na sred i ob dnu (Jože Rakovec) 326-332 Ladja in mehur (J anez Strnad) 354-357 RAČUNALNIŠTVO O razvrstitvah in permutacijah (Martin Juvan) 22-27 Srečanj e z javo (Matjaž Zaveršnik) 283-286 Uvod v progr amski jezik java (Matjaž Zaveršn ik) 334-337 380 ASTRONOMIJA Letno kazalo I Enakonočj e (Marijan P rosen ) 8-12 In potem so zavladali reflektorji (Marijan Prosen) 40-46 Sončev obrat (Marijan Prosen ) 141-143 Vega in astronomija (Mar ijan Prosen) 236-238 Prehod Venere - vabilo k sod elovanju XVIII, XIX Astronomski pojav br ez primere - reš. st r. 271 (Ma rijan Prosen ) 259-263 Neposredno opazovanje z daljnogledom in fotografiranj e navideznega Venerinega pr ehoda prek Sonca (Andrej Kregar) 290-293 Navidezni Venerin pr ehod čez Sonce 8.6. 2004 (Marijan Prosen , Andrej Kr egar ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XX Uporaba veri žnih ulomkov v as t ronomiji (Mar ijan Prosen) 338-341 NOVICE Francois Viete (1540 - 1603), ob štiristoletnici smrti (Marija Vencelj) . . . . . 4-6 34. mednarodna fizika ina olimpiada (Ciril Dominko) 153, XII Pred dvesto let i je bil roj en Christ ian Doppler (Janez St rnad) 163-167 Uvodnik (Tomaž Pisanski) 202-203 Razst ava o Juriju Vegi v Tehniškem mu zeju Sloven ije (Ores t Jarh) 220-227 , XV Carl Gu stav Jacob J acobi (1804 - 1851) - Ob dvestoletnici ro jst va (Mar ija Venc elj) 274-277 Odkrito novo največj e (Mersennovo) pr aštevilo (Ciril Petr) 345-346 Ob 125-letnici Einsteinovega roj stva (Janez Strnad) 347-351 Gabriel Cramer (1704 - 1752) : Cr amerjevo pravilo, Cramerjev paradoks, Castillon-Cramerjev problem, satanova kr ivu lja (Marija Vencelj) 358-361 NOVE KNJIGE Vesna Omladič : Matem at ika in odločanj e (Zvonimir Bohte) II Marija Vilfan in Igor Muševič : Tekoči kristali (Ir ena Drevenšek-Olenik) . 36-37 Dr. Stanislav Južnič: Hallerst ein , kitajski astronom iz Men gša (Simon Vidrih) 170-171 Marijan Prosen : Ukvarjanje s senco (Sa ndi Klavžar ) 272-273 Stephen W . Hawk ing, Kratka zgodovina časa in Ilustrirana kratka zgodovina časa (J an ez Strnad) 300-302 Ian Stewart , Kakšne oblike je snežinka? - Vzorci v naravi (Marija Vencelj ) XXII-XXIV Letno kazalo ZA NIMIVOSTI - RAZVEDRILO Drobna o zlatem rezu (Nada Razpet) 7 Z net ranziti vn ostjo v igri kock do 's kora j zanes lj ive' zmage - reš . st r. 46 (Mate j Mlakar) 13-15 Kri žanka "Pojmi iz algebre" - reš. na st r. 39 (Marko Bokalič) 32-33 Baloni in vodne bombe? Ne, zrca la in leče ! (Vida Kariž Mer har) 38-39 Edouard Lu cas (1842 - 1891) (Ciril Petr) 154-157 Križanka - reš . na str. 171 (Marko Bokalič) 168-169 Jurij Vega 204 Vega st re lja s t op om (Stanislav Južnič) 205-212 , XIV Kr ižanka - reš . na st r. 255 (Marko Bokalič) 228-229 Nekaj knjig o Juriju Vegi (Mart in Juvan) 246-248 Kr ižanka - reš . na st r. 303 (Marko Bokalič) 28-289 Kr ižanka - reš. na str. 378 (Marko Bokalič) 352-35 3 NALOGE Izpit ni rezu lt ati - reš. str. 52 (Marija Vencelj) '. . . . . . . .. 2 Tri različne za najmla jše - reš . st r. 31 (Dragoljub Milo ševi č , prev . Marija Vence lj) 2 Na loga za spretne (in potrpežljive) računarje - reš . str. 27 (Ivan Vidav) 3 Tovornjaki - reš. st r. 46 (Dušan Murovec) 3 Koliko živali je vide l Na ce? (Marko Razp et ) X Dopolni račune - Nagradna na loga (Marija Ven celj) 138 Vegova naloga - reš. na str. 255 (Janez Strnad) 245 Krog v trikot niku - Nagradna naloga (Boris Lavrič) 258 Skriti magični kvadrat - reš . na str. 303 (Marija Vencelj ) 258 Linearna spirala - reš . str. 362 (Andreja Pečovnik Men cinger) 322-323 Šte vilo hiš v C erknem le t a 1486 - r e š. str . 351 (Mar ko R a zpet) 3 3 6 REŠITVE NALOG Ko liko živali je vid el Nace? - Rešitev naloge z II . strani ovitka iz 3. številke Preseka (Marko Razpet) 287 Letno kazalo I TEKMOVANJA 39. t ekmovanje za Zlato Vegovo pr iznanje (Aleksander Potočnik) 53-54 23. državno tekmovanje iz fizike za Zlata Stefanova priznanja (J elisiava Sakelšek) 54-55 1. tekmovanje dijakov in d ijakinj srednjih strokovnih šol iz znanja poslovne matematike (Sabina Gajšek) 55-56 3. tekmovanje d ijakov ter dijakinj srednjih poklicnih šol v znanju matematike (D ušanka Vrenčur) 56-57 3. tekmovanje dijakov in dijakinj srednji h tehniških in strokovnih šol v znanju matematike (Darinka Žižek , Polonca Pavlič, Irena P ivko) . . . 57-60 47 . matematično tekmovanje srednješolcev in srednješolk Slovenije (Matjaž Željko) 60-61 41. fizikalno tekmovanje srednješolcev in srednješolk Slovenije (Ciril Dominko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62-64 Tekmovanje za Vegovo priznanje (pripravil A leksander Potočnik) 38. področno t ekmovanje za srebrna Vegova priznanja 66-70 Rešitve nalog s področnega t ekmovanja 71-75 39. državno t ekmovanj e za zlat a Vegova priznanja 76-77 Rešitve nalog z državnega tekmovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77-79 Tekmovanje dijakov srednj ih poklicnih šol (pripravili Dušanka Vrenčur in Anja Jesenek) Regijsko t ekmovanje 80-83 Rešitve nalog z reg ijskega tekmovanja 83-84 Državno t ekmovanje 84-87 Rešitve nalog z državnega tekmovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih šol (pripravile Darinka Žižek , Polonca Pavlič in Irena Pivko) 3. reg ijsko tekmovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88-93 Rešitve nalog z regijskega t ekmovanja 93-97 3. državno tekmovanje 98-100 Rešitve nalog z državnega tekmovanja 101-105 Tekmovanje iz znanja poslovne m at em atike (pripravila Sab ina Gajšek) 1. šolsko tekmovanje 106-108 Reš it ve 1. šolskega tekmovanja 109-112 1. državno tekmovanje 112-114 Rešitve 1. državnega t ekmovanja 115-118 ILetno kazalo Matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije (pripravil Matjaž Željko) Izbirno tekmovanje 119-121 Rešitve nalog z izbirnega tekmovanja 121-126 Državno tekmovanje 126-128 Rešitve nalog z drž avnega tekmovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128-132 Izbirna t esta za mednarodno matematično olimpiado 132-133 Rešitve na log z izbirnih testov za mednarodno matematično olimpiado 133-136 Evropski matematični kenguru - Izb rane naloge - reš . str. 157 (Matjaž Željko) " 138-140 Urnik tekmovanj v letu 2004 (Darjo Feld a) 172-174 23. t ekmovanje osnovnošolcev v znanj u fizike za sre brna Stefanova priznanja (Tekmovalna komisija ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175-178 Rešitve nalog s 23. tekmovanj a osnov nošolcev v znanju fizike za srebrna St efa nova priznanja - s str. 174 (Tekmovalna komisija ) . . . 179-182 Dr žav no tekmovanje iz fizike za osnovnošolce (Tekmovalna komisija ) . 182-186 Rešitve nalog z državnega tekmovanja iz fizike za osnovnošolce - s str. 182 (Tekmovalna komisija) 187-189 Na loge z regijskega fizika lnega tekmovanja srednješolcev Sloven ije v šolskem letu 2002/ 03 (Ciri l Dominko) 190-193 Rešit ve nalog s predtekmovanja iz srednj ešolske fizike v šolskem letu 2002 /2003 - s str. 190 (Bo jan Go lli) 194-200 Evro pski matematični kenguru - Izbrane na loge - reš. str. 306 (Matjaž Željko) 304-306 Na loge z državnega fizikalnega tekmovanja srednješolcev Slovenije v šolskem letu 2002/03 (C iril Domi nko) 306-311 Rešitve nalog z državnega tekmovanja iz fizike v šo lskem let u 2002 /2003 - s str. 306 (Bojan Go lli) 311-319 Evropski matematični kenguru 2004 - reš . str. 375 (Matjaž Željko) .. 364-374 Mednarodno tekmovanje iz matematike (Mira Babič) . . . . . . . . . . . . . . . . 375-378 NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Presek objav lja po ljudne in strokovne članke iz matematike , fizike , astrono mije in računal­ ništva . Poleg člankov ob javlja prikaze nov ih knj ig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješo lski h te kmova nj v mat emat iki in fiziki . Prisp evk i naj bodo zanimivi in razu mljivi širše mu krogu bralc ev , učencem višji h razredov osnovnih šol in sred nj ešolcem . Članek na j vsebuje nas lov, ime avt orja (oz . avtorjev) in sedež inst it ucije , kjer avtor(j i) dela(jo). Slike in t abele, ki naj bodo oštevilčene, mor aj o ime ti dovolj i zčrpen op is, da jih lah ko večinoma razume mo ločeno od besed ila . Avtorji člankov , ki želijo objavit i slike iz drugih virov , si mor aj o za to sa mi priskrbeti dovoljenj e (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razm ak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispev ke pošljite odg ovo rn i ur ednici na nas lov ur edništva D M FA - zalo ž n iš t vo , Ure- dništvo r e vije PRESEK, p. p. 2964, 1001 Ljubljana a li na naslov elekt ro nske pošte Pres ek @cImfa . s i. Vs ak članek se pravilom a pošlje vsaj ene mu ano nimnemu recen zent u , ki oceni prime rnost članka za objavo . Če je prispeve k spreje t v objavo in če je besed ilo napi sano z računalnikom , potem ur ednica prosi avtorja za izvorn o datoteko. Le-te naj bod o prav ilom a napisan e veni od stand ardnih različi c ur ejevalnikov TEX oziro ma IATEX, kar bo ola jša lo ur edniški post op ek . PRESEK list za mlade m atematike , fizike , a stronome in računalnikarje 31. letnik, šolsko leto 2003/04, š t e v ilka 6 , s t r a n i 321- 38 4 UR E DN IŠ KI O DBOR: Vladimir Bat agelj , Tanja Bečan (jezikovni pregled) , Mirko Do- bovišek (glavni urednik) , Vi lko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Marjan Hriba r , Boštjan Jakl ič (tehnični ur ednik) , Marjan Jerman (matem atika) , Martin Juvan (računalništvo) , Maja Klavžar (odgovorna ur ednica) , Damjan Kobal , Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar, Franci O blak, Primož Potočnik (novice) , Marijan Prosen (as t ro nomija) , Marko Razpet, Marija Ven celj , Matjaž Vencelj. Dopi si in naročnine: DMFA- založništ vo , Presek, Jadranska ulica 19, 100 1 Ljubljana, p .p.2964 , tel. (Ol) 4766-553, (Ol) 4232 -460, telefaks (Ol ) 2517-281. Naročnina za šolsko let o 2003/2004 je za posamezn e naročnike 3.600 SIT (posamezno naročilo velja do prekli ca ), za skupinska naročila učencev šol 3.000 SIT, posamezn a številka 900 SIT, t em atska številka 1.650 SIT, stara številka 650 SIT, letna naročnina za tujino 25 EUR. Transakcijsk i račun: 03100-1000018787 . Devizn a nakazila : SKB banka d .d. Ljubljana, Ajdovščina 4, Ljubljana , SWIFT: SKBASI2X , !BAN: SI56 0310 0100 0018 787 . Sponzor: SRCSI sistemske integracije List sofinancira Ministrstvo za šols t vo, znanost in šport Založilo DMFA - za ložn ištvo Tisk: DEL O T iskarna, Ljublj an a © 2004 Društvo matem atikov, fizikov in as tronomov Sloven ije - 1575 Pošt nina plačana pri pošti 1102 Ljubljana Nove knjige I Nadaljevanje z II. strani ovitka. o knjigi: Na več kot dvesto straneh t er ob skoraj prav toliko barvnih fotografijah in risbah nam knjiga na poljuden način pripoveduje, kako se življenje na Zemlji sicer razvija v genetskih procesih, vendar se pri tem ravna tudi v skladu z matematičnimi pravili . Knjiga ne govori le o snežinki, kot bi lahko sklepali po naslovu, pač pa o domala vseh vzorcih v naravi . Vzo rci so vsepovsod: v puščavskem pesku in v kristalih, v svetu atomov in v vesolju, v mol ekulah DNK, opažamo jih pri živalih in rastlinah, v valovih na vodi, v mikroskopsko malih organizmih, v svetlobi v de žnih kapljicah in v mavrici, pa pri tlakovanju, zlaganju pomaranč na optimalen način in stiskanju milnih mehurčkov, v glasbi. Vsepovsod so tudi ne-vzorci - nepravilne in nenapovedljive reči: vr eme, muhe, slapovi, gor e, mačke . Kaj pomeni ta presenet ljiva mešanica tako neverjetno različnih reči? St e- wart nas približa t emu vprašanju in odgovoru nanj, saj današnja naravoslovna znanost in matematika začenjata odkrivati mehanizme, ki tičijo za povsod navzočim prepletanjem vzorcev in nevzorcev. Včasih je kakšna stvar videti povsem naključna, pa vendar skriva v sebi določen red in matematika nam daje orodje za odkrivanje t ega reda. Knjigo sestavljajo trije deli , katerih skopi naslovi (Zakonitosti in vzorci , Matematični svet ter Enostavnost in zapletenost) o bogastvu vsebine ne povedo veliko. Vendar je to knjiga, ki jo pr eb eremo na dušek in jo nato še velikokrat vzamemo v roke. Je prijazno branje, ki ti močno razširi ob zorje. V vzpodbudo bralcem, ki se boje, da je de lo matematično prezahtevno, zaključimo opis knj ige z zadnjim odstavkom avtorjevega uvoda: Matematikom se zdi njihova veda skrajno lepa in polna intelektualne vsebine. Za večino ljudi pa je nekaj prav nasprotnega - steri1ni svet lil ,- smiselnega 'računanja' in nejasnih simbolov. V tej knjigi bi rad prika zal lepoto matematike, računanjepa v celoti izpustil. Še vedno bo tam zadaj; a samo znanst venikom in matematikom je potrebno poznati krvave podrobno- sti, zato jih lahko obdržim skrite za odrom, kamor spadajo. Tudi one imajo svojo lepoto, toda le za izbrani okus strokovnjakov. Lepoto matematičnih vzorcev pa lahko občudujemo vsi . Ne goljufam, ko skušam to dokazati z oblikami v naravi. Če smo pošteni, smo prav iz tega izpeljali svojo matema- tiko. I Nove knjige In o avtorj u : Ian Stewart je redni pr ofesor za matemat iko na univerzi v Warwicku v Angliji , razisko- valni matem atik in plodni avtor znanstve- nih , polj udnomatematičnih , interdisciplinar - nih ter znanstvenofantastičn ih del. Napi - sa l je več kot šest deset knji g, nekatere v soavtorstvu. Največje usp ešnice med njimi so Does God Play Dice? (Ali Bog kocka? , 1990), Fearful Symmetry (Srhlj iva simetrija, 1992), The Magical Ma ze (Magičn i blod njak, 1997), Life's Other Secret (Druga skrivnost življenja, 1998) in Nature's Numbe rs (Št evila v nar avi , 1995). St ewart je akt ivn i popularizator matematike in njene povezave z drugimi področj i znanost i. Pri t em zna ta večdimenzionalni mojst er sestopit i z udob- nih akademskih višin , da bi lahko svojo ljubezen do znanost i delil s širokimi množicami . Ima redne oddaje po televizij i in radiu ter piše članke za številne revije, med njimi Nat ure in New Scientist. Deset let je bil odličen kolumnist pri reviji Scient ific Ameri can za področje matematične rekreacije. Leta 1995 je za velik pri sp evek k splošnemu razumevanju znanos ti pr ejel Farad ayevo medaljo, ki jo podeljuje Roya l Society, naj starejša angleška akademija znanost i, in bil izvoljen za člana te ustan ove. Stewartova najnovejša knjiga Flat terland je t ik pod vrhom Independent Best Selim' List , ameriške neodvisne top lestvice usp ešnic stvarne lit erature. Delo je nadaljevanj e knj ige Edwina Abbotta FIati and (P loska dežela) , o kateri je P resek pisal pr ed leti .! Stewar t je t udi avtor nedavno izdan e koment irane razli čice Flatlanda , ki so jo občudovalci originala zelo dobro sprejeli. St ewart sam pravi , da posveča velik del svoj ega časa populari zaciji ma- te matike, ker pri tem uživa in ker meni, da je stvar vredn a truda . Ugotavlja namreč , da je on sam post al matematik predvsem zato, ker ga je za matem a- tiko še kot fantiča navdušila kolumna Martina Gard nerj a ' matematične igre' v Scientific American. Marija Vence lj 1 Marija Venc elj : Tr idimen zion alne težave gospoda Ploščaka , Presek XXII I, st r. 257-263 .