IZ RAZREDA 57 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Število π, obseg kroga in dan števila π Inez Ceglar Osnovna šola Vič, Ljubljana Izvleček V članku je predstavljena obravnava vsebine Krog, natančneje povezavo med številom π (pi) in obsegom kroga. Prestavi konkreten primer, kako lahko učenci na raziskovalen način spoznajo število π. V nadaljevan- ju članka sledi tudi predstavitev delavnic ob praznovanju dneva π. Članek zaključim z refleksijo učne ure in delavnic. Ključne besede: krog, število π Number π, Circumference of Circle, and Pi Day Abstract This article introduces the exploration of the circle, in particular the relationship between the number pi and the circumference of a circle. A concrete example of how students can learn about the number π in an explora- tory manner is provided. Next, workshops in honour of Pi Day are presented. In conclusion, the author reflects on the lesson and the workshops. Keywords: circle, number π Uvod Krog je prav poseben geometrijski lik in ima zato med njimi po- sebno mesto. Poznali so ga že v davnini. Dokaz zanj so arheologi našli v sledeh prebivališč s krožnim tlorisom. Take vrste gradnja se je ohranila do danes, uporabljajo jo še nekatera plemena v Afriki. Krog pa od nekdaj buri duhove tudi matematikom. Najbolj zna- na je problematika kvadrature kroga, ki raziskuje, ali je mogoče samo s šestilom in ravnilom konstruirati kvadrat, ki je ploščin- sko enak krogu s polmerom 1. Matematiki so dokazali, da naloge ni mogoče rešiti. Pred dva tisoč leti si je Arhimed zamislil po- stopek, po katerem lahko izračunamo ploščino kroga s poljubno natančnostjo. Zakaj lahko ploščino kroga izračunamo le s poljubno natančno- stjo in kakšno povezavo ima ploščina s številom π, je lahko za- nimiva tema za izvedbo učne ure (lahko tudi več ur), ki je malo drugačna od običajnih. V obilici vsebin, ki jih moramo učitelji predelati in z učenci utrditi, vedno znova zmanjkuje časa za dru- gačnost in eksperimentiranje. In če si kdaj v letni razporeditvi učne snovi za osmi razred privoščim učno uro izpeljati malo drugače, je to vsekakor v poglavju o krogu. Učno snov pa z učen- ci nadgradimo pri dodatnem pouku matematike, kjer z raznimi delavnicami praznujemo dan števila π. Preverjanje predznanja Učitelji matematike vedno preverimo predznanje, saj so mate- matični koncepti med seboj prepleteni in povezani, zato vsako poglavje zahteva tudi določeno predznanje. Če se izkaže, da učenci nečesa ne znajo oziroma so pozabili, poskrbimo za to, da predznanje dopolnijo, saj brez dobrih temeljev enostavno ne gre. Za usvajanje novega znanja o krogu je nujno predznanje o osnovnih geometrijskih pojmih, povezanih s krogom in formule za ploščine in obsege geometrijskih likov, saj omenjeno poglavje vsebuje tudi obravnavo izračunov obsegov in ploščin sestavlje- nih geometrijskih likov. Znanje sem preverila z naslednjimi dejavnostmi. Preverjanje predznanja z uporabo igralnih kart Učenci so se razdelili v pare. Vsak par je dobil komplet igralnih kart, na katerih so bili različni osnovni geometrijski pojmi, ve- zani na krog, in obrazci za računanje obsegov in ploščin osnov- nih geometrijskih likov (priloga IGRALNE KARTE). Učenca sta karte dobro premešala in si jih razdelila. Če je kateri učenec do- bil par (par je predstavljal opis pojma in ustrezna slika), ga je od- ložil na stran. Učenec, ki je imel v roki največ kart, je karte obrnil proti soigralcu tako da je ta lahko videl hrbtno stran kart. Vsak je izvlekel eno karto in preveril v svojem kupu kart, ali ima par. Če je imel par, je lahko obe karti odložil na mizo. Igra je potekala, dokler enemu izmed igralcev ni ostala v roki samo ena karta, in sicer karta s simbolom števila π (pi). Ta igralec je igro tudi izgu- bil. Med igro sta se učenca lahko pogovarjala, sodelovala in pre- verjala pravilnost rešitev drug drugega ter podajala komentarje in usmeritve. Sama sem dogajanje opazovala. Na kocu igre smo IZ RAZREDA 58 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 se z učenci še skupaj sprehodili skozi pojme, opisane na kartah. Za dodatno utrditev znanja so morali učenci za domačo nalogo napisati še definicije osnovnih geometrijskih pojmov, omenjenih na kartah, obrazce za izračun obsega in ploščine geometrijskih likov pa izpisati v tabelo, za katere obliko smo se skupaj dogovo- rili (Preglednica 1). Preglednica 1: Obsegi in ploščine geometrijskih likov. Lik Skica z označenimi stranicami Obseg Ploščina Pravokotnik Kvadrat Trikotnik Trapez Paralelo- gram Romb Deltoid Predstavitev poglavja in prav posebna domača naloga Na začetku vsakega poglavja se z učenci pogovarjam, kaj se bomo v poglavju učili in kakšni bodo učni cilji in vsebine, ki jih bodo morali osvojiti (Preglednica 2). Poskusimo uzavestiti na- mene učenja naslednjih matematičnih ur. Preglednica 2: Operativni cilji in vsebine. Operativni cilji in vsebine • Razumejo pomen števila π, • izračunajo obseg in ploščino kroga z uporabo obrazcev, • izračunajo dolžino krožnega loka in ploščino krožnega izseka z uporabo obrazcev, • razumejo in uporabljajo dolžino krožnega loka kot del dolžine krožnice ter ploščino krožnega izseka kot del ploščine kroga, • rešijo besedilne naloge v povezavi s krogom (z računalom in brez njega). Sledilo pa je navodilo za prav posebno domačo nalogo, s pomo- čjo katere bodo naslednjo šolsko uro osvojili pojma števila π, obsega kroga in njune povezave. Doma so morali poiskati vsaj en lonec ali kozarec okrogle oblike. Zelo natančno so morali izmeriti njegov obseg in premer. Pogovorili smo se o različnih metodah merjenja obsega (šiviljski meter, nit, razni trakovi …) in tudi premera. Nekateri učenci so se spomnili metode za iska- nje središča kroga (simetrali dveh poljubnih tetiv se zmeraj seka- ta v središču kroga), ker bi na ta način lahko natančno narisali premer kroga in ga tudi izmerili. Sama sem jim svetovala, naj vzamejo večji lonec, ker bodo tako napake pri meritvah manjše. Število π in obseg kroga Morda najbolj znamenito matematično število nato skupaj z učenci in njihovimi meritvami spoznamo na raziskovalen način. Skupaj sestavimo spodnjo tabelo, kamor vpišemo meritve, ki so jih učenci naredili za domačo nalogo. Preglednica 3: Število π in obseg kroga. Ime Obseg: o (cm) Premer: d (cm) Maša 20 6,3 3,1746031746… Martin 38 12 3,1666666666… Kaja 47,5 15,3 3,1045751634… Naja 76,5 23,5 3,2553191498… Maj 67 15 4,4666666666… Peter 78 24,5 3,1836734694… Natalija 56,5 18 3,1388888888… Bor 69 22 3,1363636363… Sara 28 9 3,1111111111… IZ RAZREDA 59 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 Sledi analiza vpisanih podatkov. Ker je poglavje, ki smo ga ravno obravnavali premo in obratno sorazmerje, učenci hitro opazi- jo, da ima krog z dvakrat, trikrat … večjim premerom dvakrat, trikrat … večji obseg. Torej sta obseg kroga in njegov premer premo sorazmerni količini. Učenci so predlagali računanje ko- ličnika med obsegom kroga in premerom kroga. Zato je količnik med obsegom kroga o in premerom kroga d konstanten in za vse kroge enak. Pa je res? Zakaj iz naše tabele to ni čisto razvidno? Učenci ugotovijo, da so pri meritvah delali na- pake. Četudi so se še tako trudili natančno izmeriti obe količini, seveda ni šlo. Ugotovijo tudi, da je pravi količnik verjetno malo več kot 3 in verjetno ima neskončno decimalk. Nekateri učenci vedo, za ostale pojasnimo: količnik med obsegom kroga in pre- merom kroga je zanimivo število, ker ni niti celo število, niti ulo- mek, temveč število z neskončnim številom decimalk brez pe- riodičnega zapisa. Drugače povedano deljenje o : d se nikoli ne konča. Ta količnik je enak številu, ki ga zapišemo z grško črko π. Kot zanimivost povem, da je danes znanih 31.415.926.535.897 decimalk tega števila. Pridobila jih je Emma Haruka Iwao, zapo- slena pri Googlu, s pomočjo Googlovega računalnika v oblaku. To je najnatančnejša vrednost števila π. Pred tem je bilo znanih 22 bilijonov decimalk tega števila. To je torej skoraj devet bilijo- nov decimalk več ko je znašal prejšnji rekord, ki ga je novembra 2016 dosegel Peter Trueb. Število marsikoga zaposluje v prostem času, nekateri se učijo decimalke na pamet, drugi pa jih izraču- navajo. Emma Haruka Iwao je nad številom navdušena že od malih nog in že razmišlja, da bi morda presegla lastni rekord in pridobila še kakšno decimalno mesto. Za izračun je potrebovala 170 terabajtov podatkov, 25 virtualnih računalnikov in 121 dni. Seveda bosta za naše potrebe zadostovala dva približka 3,14 in . Obseg kroga Dejstvo, da je količnik med obsegom kroga in premerom kro- ga konstanten, pa nas preko premisleka vodi tudi do obrazca za obseg kroga o = π · d oziroma če upoštevamo d = 2r sledi o = 2πr. Poudarimo, da na ta način z uporabo približka izračuna- mo obseg kroga le približno. Dan števila π Dan števila π je praznik, s katerim vsako leto 14. marca obeležu- jemo matematično konstanto π (pi). V ameriškem formatu datu- mov je namreč 14. marec zapisan kot 3/14, kar so prve tri števke števila pi. Praznika so se spomnili navdušenci nad matematiko v Združenih državah Amerike, ki so začeli na ta dan prirejati proslave, na katerih jedo pite (po besedni igri, angleška beseda za pito – pie se izgovarja enako kot pi) in tekmujejo v pomnjenju števila pi. Praznovanje je razširjeno v glavnem na univerzah, po- sebej slovesno pa ga prirejajo v univerzitetnem mestu Princeton, kjer je dolgo časa prebival slavni fizik Albert Einstein, po naklju- čju rojen prav na 14. marec. Iz ZDA se je potem praznovanje raz- širilo še drugam po svetu. V začetku marca prirejajo tekmovanje v pomnjenju števila π tudi na Fakulteti za matematiko in fiziko v Ljubljani. Tudi sama sem z učenci pri dodatnem pouku organizirala dan števila π. Nismo ravno pekli pit, izmed dejavnosti sem izbrala tiste, ki so malo bolj izobraževalno naravnane in jih je lahko iz- vesti v razredu v okviru dodatnega pouka iz matematike. Tako kot število π so tudi papirne verige lahko neskončne … v času dejavnosti, dolžini in zabavi. Z učenci smo naredili verigo iz barvnega papirja, pri čemer smo uporabili za vsako izmed 10 števil svojo barvo. Tako vsaka barva v verigi predstavlja eno šte- vilo. Na primer: število ena je zelene barve, število 2 roza barve, število 3 vijoličaste barve … Slika 1: Veriga decimalk števila π. Slika 2: Silhueta π – nebotičnikov. Slika 3: Skrivnost števila π. Število π smo tudi narisali. Učencem sem razdelila papir in bar- vice. S pomočjo bločnega diagrama so za vsako števko števila pi, od leve proti desni, narisali nebotičnik. Prvi nebotičnik je bil visok tri kvadratke oziroma tri centimetre, drugi nebotičnik en kvadratek oziroma centimeter, tretji nebotičnik štiri kvadratke oziroma štiri centimetre … Končni izdelek je izgledal kot obris nebotičnikov kakšnega svetovnega velemesta. Tekmovanje v sestavljanju besed, ki se začnejo na pi Učenci so dobili tudi tekmovalno nalogo. V treh minutah so se morali spomniti čim več besed, ki se začnejo na črki pi. Na pri- mer: PIta, PIsmonoša, PIca, PIngvin, PIvo, PIlates …Pripravlje- ni, pozor, zdaj! IZ RAZREDA 60 Matematika v šoli, št. 1., letnik 28, 2022 V Združenih državah Amerike se število π izgovarja enako kot angleška beseda za pito – pie. Če število 3,14 napišemo na list papirja in pogledamo v ogledalo, dobimo ravno zapis pie, kar smo z učenci tudi preizkusili. Z učenci smo natisnili zgornjo sestavljanko (https://teachbeside- me.com/printable-pi-puzzle-pi-day/) in jo nalepili na karton. Če so učenci želeli, so jo najprej pobarvali. Nato smo jo razrezali na koščke in jih nato poskušali sestaviti skupaj, tako da smo si zapomnili decimalke števila π. Slika 4: Sestavljanka. Zaključek Vsekakor so malo drugače izpeljane ure in dejavna udeležba učencev v njih nadgradnja storilnostno naravna- nega pouka tako za učitelja, še zlasti pa za učence. Že med poukom sem učence pridobila in vzpodbudila nji- hovo radovednost, saj so mi sami v naslednjih učnih urah pripovedovali o zanimivostih števila π, ki so jih sami izbrskali na spletu. Tudi dejavnosti pri dodatnem pouku iz matematike so bile zanje zanimive, v prihodnje so se nam pri podobnih delavnicah hoteli pridružiti tudi učenci, ki dodatnega pouka ne obiskujejo. Vsekakor je vreden razmislek, da bi omenjene delavnice razširila še s kakšno dejavnostjo in jih mogoče širši skupini učen- cev ponudila v obliki naravoslovnega dne. Prav je, da učitelji delamo spremembe in poskušamo. To je mogoče le, če se tudi sami ves čas učimo, preizku- šamo, načrtujemo in izvajamo nove dejavnosti in na koncu naredimo samorefleksijo ter sprejemamo povratne informacije. Vsak učitelj sam lahko najde nove poti in načine, kako pouk narediti zanimivejši in pritegniti učence, saj je le tako lahko uspešen pri poučevanju. Viri Strnad, M., Štuklek M., Kurillo D., Žakelj A. (2005). Presečišče 8. Ljubljana: DZS. https://www.delo.si/novice/znanoteh/znanih-31-bilijonov-cifer-stevila-pi-161007.html, (dostop: 21. 4. 2020). https://sl.wikipedia.org/wiki/Dan_pi (dostop: 21. 4. 2020) Žakelj, A. idr. (2008). UČNI načrt. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. (Dos- topno na: http://eportal.mss.edus.si/msswww/programi2018/programi/media/pdf/un_gimnazija/un_matematika_gimn.pdf, marec 2022)