Razvoj matematičnih kompetenc Development of Mathematical Competences Tina Bregant Univerzitetni rehabilitacijski inštitut RS – Soča Σ Povzetek Beseda matematika izhaja iz antike in pomeni znanost, učen- je in celo ljubezen do učenja. Razumemo jo kot znanstveno vedo, ki raziskuje vzorce in pri tem zahteva poznavanje abs- traktnih lastnosti množin, struktur, sprememb in prostora. Za obvladovanje tovrstnih informacij je ključno, da posedu- jemo matematične kompetence. Nekatere so nam vrojene – biološko dane, druge pa razvijemo pod vplivi okolja. V članku predstavimo definicijo matematičnih kompetenc in njihov pomen za vsakdanje življenje. Obvladovanje ma- tematike namreč pomeni v današnjem svetu možnost aka- demskega udejstvovanja, boljši zaslužek in celo višji BDP na nacionalnem nivoju. Pomeni lahko celo razliko med življen- jem in boleznijo. Pri procesiranju informacij, ki so ključne za obvladovanje matematičnih kompetenc, sodelujejo specifični, posebej temu namenjeni predeli možganov. V članku jih na kratko predstavimo. V članku razpravljamo o vplivih razvoja na sposobnost ma- tematičnega mišljenja. Matematične kompetence povezuje- mo z zgodnjimi zaznavnimi in gibalnimi izkušnjami, telesno shemo in celo s socialno-čustvenimi kompetencami, ki smo jih razvili v otroštvu znotraj družine. Ocenjevanje številčnos- ti neke skupine, primerjanje dveh vrednosti ali količin ter osnovno dodajanje ali odvzemanje so biološko določene spo- sobnosti, ki so prirojene ljudem in nekaterim živalim. Kas- α Matematika v šoli ∞ XXII. [2016] ∞ 04-20 05 neje v razvoju občutek za količino nadgradimo pod vplivom okolja, zlasti formalnega učenja, z uporabo števk, simbolič- nim učenjem in učenjem algoritmov. Razumevanje temeljnih principov osvajanja matematičnih veščin nam pomaga otrokom približati matematiko na na- čine, ki so skladni z njihovim razvojem in delovanjem mož- ganov. Ključne besede: aproksimacija količine, aritmetika, matema- tične veščine, telesna shema Σ Abstract The word ‘mathematics’ comes from Antiquity and means sci- ence, learning, and even the love of learning. It is understood as a scientific discipline, which studies patterns and requires knowledge of the abstract properties of quantities, structures, changes, and space. In order to master such information, we must possess mathematical competences. Some of them are in- nate – biologically given, whereas others are developed under the influence of the environment. The article presents the definition of mathematical competen- ces and their importance in everyday life. In today’s world, the mastery of mathematics provides the opportunity to be acade- mically active, have a higher income, and even a higher GDP at the national level. It can even mean the difference between life and illness. When processing information that is crucial for mastering mathematical competences, specific areas of the brain are in- volved, which are intended for this purpose. The article briefly describes them. The article discusses the impact of development on the ability to think mathematically. Mathematical competences are con- nected with early sensory and movement experiences, with the body scheme, and even with the social and emotional compe- tences that we developed within our family during childhood. Estimating the numbers within a group, comparing two values or quantities, and basic addition or subtraction are biologically determined abilities, which are innate to humans and certain animals. In our subsequent development, we upgrade our sense of quantity under the influence of the environment, especially 06 Razvoj matematičnih kompetenc of formal learning, by using digits, symbolic learning, and the learning of algorithms. The understanding of the basic principles of learning mathema- tical skills helps us to present mathematics to children in ways that are suitable for their stage of development and brain func- tion. Key words: approximation of quantity, arithmetic, mathemati- cal skills, body scheme α Uvod Matematika (starogrško μαθηματικά: ma- thēmatiká iz izraza μάθημα: máthēma - -thematos - znanost, znanje, učenje, študij; μαθηματικός: mathematikos - ljubezen do učenja) je znanstvena veda, ki raziskuje vzorce. Razumevanje matematike in njena uporaba zahteva poznavanje abstraktnih lastnosti množin, struktur, sprememb in prostora. Matematična logika je temeljna matematična panoga, ki obravnava in for- malizira neprotislovno sklepanje. Matema- tiko lahko tudi vidimo kot znanost nujnih sklepov. β Matematične kompetence Matematike kot znanstvene vede razisko- vanja vzorcev, ki vsebuje veliko abstraktnih pojmov, se moramo priučiti. Matematične kompetence nam omogočajo razumeti ma- tematiko in matematične pojme. Matema- tične kompetence so temeljne kognitivne sposobnosti, ki jih večinoma pridobimo skozi formalno šolanje (1). Razumemo jih kot osrednjo komponento človekovega uma, ki pomembno določa izobrazbo in poklicne dosežke (2). Lahko jih definiramo skozi pedagoško prizmo kot sposobnosti, ki nam omogočajo reševanje vsakdanjih problemov z matematičnim mišljenjem in zajemajo poleg občutka za količino in raču- nanja tudi veščine logičnega mišljenja, pros- torske predstave in sposobnost abstrakcije, ki se kaže v razumevanju formul, modelov, konstruktov, grafov in razpredelnic (3). V življenju srečamo veliko informacij, ki so numerične oziroma povezane s količino. Nanje se odzovemo z razmislekom, ki vse- buje matematično analizo, ki nam pomaga informacijo ustrezno uporabiti (4). Zani- mivo je, da je veliko informacij, povezanih z zdravjem, matematičnih. Nekdo, ki ima slabe matematične kompetence, tako zaradi slabega obvladovanja tovrstnih podatkov ravna za svoje zdravje škodljivo, kar vodi celo v večjo obolevnost in lahko tudi poviša smrtnost (5). Lahko bi celo rekli, da znanje matematike pomembno vpliva na zdrav- je in preživetje. Matematične kompeten- ce gradimo skozi razvoj in jih mojstrimo; kasneje v nevrodegenerativnih procesih pa te kompetence tudi izgubljamo. Najprej izgubimo sposobnost zelo kompleksnih operacij, kasneje pa npr. pri demenci lah- ko izgubimo tudi zelo osnovne sposobnosti zaznave količin (6). K matematičnim kompetencam sodi in- tuitivno znanje matematike, ki je vrojeno – genetsko dano. Najbolj raziskano je zazna- 07 vanje količine. Gre za vrojene, evolucijsko starejše sposobnosti, ki smo jih podedovali od naših prednikov in si jih delimo z neka- terimi živalskimi vrstami (7, 8). Na te vro- jene sposobnosti najtežje vplivamo, saj so genetsko – biološko določene (7). Vrojene sposobnosti lahko nadgradimo z izkušnja- mi zlasti iz predšolskega, manj iz šolskega obdobja. Predšolsko obdobje je namreč ob- dobje, ko so kritična obdobja za razvoj mar- sikaterih veščin, tudi matematičnih, široko odprta in omogočajo hitrejše, robustnejše učenje z manjšim vložkom energije, saj so možgani pripravljeni na tovrstne izkušnje (9). Za celotno otroštvo je namreč značil- no izjemno hitro in učinkovito učenje, ki je zvezano z občutljivimi obdobji, ki so časov- no širša kot kritična obdobja. V občutljivem obdobju, ki ga uravnavajo posebne moleku- le, vezane na biološko notranjo uro, izkušnje nepovratno vplivajo na razvoj določenih predelov živčevja (9). Vrojene sposobnosti v kombinaciji s priučenimi lastnostmi in veščinami pa pomembno vplivajo na naš kasnejši, akademski uspeh, hkrati pa celo določajo višino naše plače in vplivajo na ekonomsko uspešnost države (10). γ Pomen matematike Zadnji izsledki OECD-jeve raziskave PISA, ki ocenjuje znanje in veščine petnajstlet- nikov, segajo v december 2013, po analizi rezultatov pridobljenih v letu 2012 (11). V raziskavo je bilo takrat vključenih približ- no 510000 dijakov iz 65 različnih držav ši- rom po svetu. Raziskovalci so preučevali znanje na področju matematike, branja in znanstvenih veščin – naravoslovja. Razis- kava PISA se je v letu 2015 osredotočila na naravoslovno pismenost in je vključila približno 70 držav. Rezultate raziskav PISA in TIMSS pričakujemo šele decembra 2016. V letu 2012 se je raziskava osredotočila na matematične veščine. Glavni argument je bil, da izurjenost v matematičnih veščinah določa uspehe v kasnejšem, torej univerzi- tetnem izobraževanju, ter vpliva na višino zaslužka. Najvišje uvrščeni dijaki v znanju matematike so bili iz Šanghaja in Singapu- ra, zelo visoko tudi iz ostalih azijskih dr- žav (Hongkong, Taipei, Koreja, Japonska) pa tudi iz evropskih držav – Liechtenstein, Švica, Nizozemska in Finska. Slovenija se je v matematičnih veščinah uvrstila soraz- merno visoko, za Avstrijo, na 20. mesto (11). V analizi rezultatov raziskave PISA so ugotavljali, da če se v procesu izobraževan- ja osredotočimo na pridobivanje znanja in jasno definirane učne cilje, potem lahko dosežemo boljše rezultate. To dokazujejo države, ki izboljšujejo povprečne rezultate na področju matematike in se posvetijo do- seganju višjih minimalnih standardov, npr. Italija, Poljska in Portugalska; pa tudi dr- žave, ki izboljšujejo že tako nadpovprečne rezultate: Šanghaj in Singapur. Temu tudi služi raziskava PISA, saj naj bi nudila pov- ratno informacijo načrtovalcem obveznega šolanja. Zato v teh raziskavah preizkušajo predvsem spretnosti, ki pridejo prav v vsak- danjem življenju. Minimalni standardi so zato določeni kot nivo znanja, ki omogoča dijakom živeti aktivno in produktivno (12). Glede na nivoje znanja, ki jih ima PISA šest, je kot minimalni standard definiran drugi nivo. V raziskavi OECD leta 2012 so poudarili pomen dati priložnosti za uspeh vsakemu otroku, saj prav osnovne matematične veš- čine omogočajo nadaljevanje šolanja, bol- je plačane službe in kasneje višje dohodke tudi na nivoju države. Matematika v slo- venski šoli v predmetniku poleg slovenšči- 08 Razvoj matematičnih kompetenc ne zavzame največ ur na teden, večinoma do štiri, največ pa pet ur tedensko. Pomena matematike in matematičnih kompetenc za kasnejši uspeh v življenju se torej v šolstvu zavedamo. Morda se v Sloveniji najmanj za- vedamo pomena znanja. Sicer stremimo k vedno višjim povprečnim ocenam, a to ne pomeni nujno tudi stremenja k odličnosti in znanju. Prav matematika je predmet, pri katerem dobivajo učenci izmed vseh pred- metov najpogosteje negativne ocene; po njihovih navedkih je teh kar ena tretjina (13, 14). Slovenski osnovnošolci sprejemajo in razumejo matematiko zelo različno. Neka- terim je najljubši predmet, mnogim vzbu- ja strah in marsikdo se bojuje z negativno oceno (15). Nekateri slovenski učenci v ma- tematiki ne uživajo in se v njej ne počutijo domače (16). Zanimivo je sicer, da tudi v tujini poročajo o strahu pred matematiko, ki se pojavi približno v drugi triadi, kar sovpade z uvedbo ocen (17). Strah je po- membno čustvo, ki vpliva na naše spoznav- ne sposobnosti in spomin ter na ta način hromi usvajanje matematičnih veščin. Ne- kateri akademiki so sicer mnenja, da je strah posledica napačnega pristopa poučevanja, kar pa ni nujno edini razlog. Ne nazadnje smo danes priča velikim pritiskom staršev na učitelje in učence, pri čemer so pritiski na otroke uničujoči zlasti z osebnega vidi- ka. Želja staršev, da naj se otrok »le uči, za ostalo bodo poskrbeli starši«, namreč otro- kom nalaga breme učne uspešnosti, hkrati pa otroku ne omogoča potrjevanja uspeš- nosti na drugih področjih življenja. Zlasti je breme učne uspešnosti težko za otroke, ki akademskih želja niti nimajo, imajo pa druge lastnosti, kot so umetniški in šport- ni talenti, estetski čut, smisel za sočloveka, občutek za naravo: živali in rastline ipd. Te lastnosti praviloma zaživijo v neformalnih, ustvarjalnih okoljih, ki niso tako strogo strukturirana kot akademski svet, so pa za zadovoljstvo v življenju in tudi uresničevan- je v poklicu, ki ga kasneje opravljamo, zelo pomembni. Na vprašanje, zakaj bi se sploh učili ma- tematike, je meni najljubši »klasični« odgo- vor, zapisan kar v dokumentu »The Com- mon Core«, ki mu sledijo vrtci in šole ZDA v 42 državah in okrožju Columbia (18). Smernice in implementacija le-teh zago- tavlja solidno znanje tistim, ki po končani srednji šoli bodisi vstopajo na trg dela bodi- si vstopajo v visokošolske programe preko kolidžev. V dokumentu je zapisano, da se učimo matematike zato, ker: 1. Je čudovit in osupljiv človekov dosežek. 2. Zaradi nje same. 3. Nas pripravlja na kolidž in bodoče karier- ne izzive, zlasti v naravoslovju: znanosti, tehnologiji, inženirstvu in matematiki (t. i. področje STEMI – angl. Science, Technology, Engineering, Mathematics, Informatics). V »klasični« razlagi matematiko razu- memo v luči antike, ki vključuje ljubezen do učenja in vidi v razvrščanjih in prepoz- navi vzorcev dodano vrednost ter hkrati ceni pravila logike in človekov um. Danes se zdi, da to ni dovolj, oziroma da je ljudi, ki bi jim ta razlaga zadoščala, zelo malo. Za abstrakcije in ideje žal večina ni dostopna oziroma jim ne zadostujejo. Tem lahko po- nudimo zelo praktične argumente: – Preko matematike spoznavamo raznoli- kost človekovega mišljenja, še zlasti če jo gledamo v luči kulturne raznolikosti in zgodovinske perspektive. – Matematiko uporabljamo v vsakodnev- nih dejavnostih. 09 – Preko matematike lahko izpeljemo ana- lize, kritike in razumevanje sodobnega sveta; celo sociološke in politične feno- mene lahko opredelimo in analiziramo. δ Matematika kot funkcija delovanja možganov Pri proučevanju možganov smo se včasih zanašali na anatomijo in patologijo. Sodob- ne metode, kot je npr. preiskava z magnetno resonanco ali magnetoencefalografija, pa nam omogočajo preučevanje procesov, ki se odvijajo v možganih. Možgane prvenstveno razumemo kot kompleksen procesor infor- macij. Nevroni se, povezani v kompleksno mrežje, s serijo mehaničnih, električnih in kemičnih procesov odzovejo na informa- cijo, jo pretvorijo oziroma procesirajo, od- dajo naprej ter se nanjo prilagodijo. Mrežje se organizira in spremeni – to imenujemo plastičnost. Podlaga za plastičnost je speci- fično delovanje sinaps. Procesi na sinapsah namreč omogočajo obdelavo informacij v otroštvu, kar imenujemo razvojna plas- tičnost, omogočajo pa tudi učenje in pom- njenje še pozno v starost, kar imenujemo plastičnost učenja in spomina; ter nado- mestitev izgube funkcije ob poškodbi, kar imenujemo plastičnost, ki jo vzpodbudi poškodba. Možgani nam tako vse življenje omogočajo obdelavo informacij, učenje in pomnjenje (9). Preiskave s funkcijskim magnetno-re- sonančnim slikanjem (slikanje s fMR) so omogočile prepoznavo možganskih struk- tur, ki omogočajo osnovno količinsko pa tudi matematično procesiranje. V luči prejšnjega odstavka procesiranje pomeni odzive nevronov na informacijo. Če gre za procesiranje številčnih podatkov, npr. arabskih števk, potem gre v možganih za procesiranje simbolne informacije, zapisane s specifičnimi simboli. Če gre za količinsko procesiranje, gre za procesiranje informaci- je, za katero simboli niso potrebni, zadostu- je sistem zaznave in sledenja objektu. Ker so možgani izjemno ekonomični, poteka pro- cesiranje organizirano. Tako obstajajo pod- ročja v možganih – posebni sistemi, ki so specializirani npr. za simbolno procesiran- je in sistemi, kjer je pomembno le sleden- je objektu. Matematična intuicija Vsa človeška bitja, pa tudi nekatere živali, so sposobna prepoznave količine. Tako se vsi ljudje in nekatere živali specifično odzo- vejo pri analizi nesimbolnih dražljajev, npr. skupine madežev ali zaporedja tonov (8, 19). Odziv nam omogoča sistem za osnov- no prepoznavanje količine; imenujemo ga tudi sistem aproksimacije (angl. Approxi- mate Number System - ANS) (19). Sistem ni odvisen od uporabe jezika (govora) ali simbolov, pač pa deluje kot kognitivni sis- tem sledenja objektu. Prisoten je že ob rojst- vu in nato z zorenjem doseže vedno večjo natančnost in sposobnost razpoznave tako večjih količin kot manjših razlik, tako da odrasla oseba brez preštevanja oziroma štet- ja zmore razločiti skupino 100 predmetov od 115 (20). Če pri malčku ugotavljamo dobro delujoč in zrelejši sistem aproksima- cije kot pri vrstnikih, je velika verjetnost, da bo otroku v šoli pri matematiki dobro šlo in da bo pri matematiki uspešnejši od vrst- nikov (21). Dojenčki že kmalu po rojstvu, večinoma pri treh mesecih, postanejo pozorni na šte- vilčnost niza predmetov. Pri šestih mesecih vizualno ločijo skupini z osmimi in šestnaj- 010 Razvoj matematičnih kompetenc stimi elementi, pri enajstih mesecih pa že izražajo poznavanje ordinalnosti (22). Ta občutek za količino imenujemo tudi mate- matična intuicija, saj so te presoje hitre, av- tomatične in brez introspekcije (23). Intui- cija ne zajema kompleksnih matematičnih operacij in kognitivno zahtevnih konceptov kot so ulomki, koreni, negativna in realna števila. Slednje razvijemo in razumemo šele z izobraževanjem oziroma se jih priučimo. Pri matematični intuiciji gre torej zgolj za osnovno razumevanje števil, ki je prisotno celotno življenjsko obdobje (z izjemo stanj, kot je npr. demenca) in ga poznajo tudi ne- katere živalske vrste (24). Matematično procesiranje Matematično procesiranje, ki vključuje ra- čunsko prakso, uporabo jezika in kognitiv- no zahtevnejših konceptov, kot so iracional- na in negativna števila, je bolj kompleksno. Zahteva simbolno mišljenje, ki je kasneje nadgrajeno s sposobnostjo abstrakcije in obvladovanje jezika - govora. Numerična kognicija je osnovna, bazična sposobnost procesiranja numerične oziroma številčne informacije. Za reševanje kompleksnejših matematičnih problemov pa je treba nu- merično kognicijo nadgraditi z aritmetič- nim procesiranjem, saj je števila treba po- vezati z besedami in s količinsko predstavo, izbrati je treba najbolj ustrezno metodo za reševanje določenega problema, algorit- mom je treba dati pomen in razumevanje. Poleg razumevanja aritmetičnih nalog je za uspešnost pri matematičnih nalogah – to- rej za brezhibno matematično procesiranje, zelo pomembno prepoznavanje numerične informacije iz diagramov, tabel in enačb. Gre za sposobnost razbiranja numeričnih informacij iz različnih formatov. Podatki iz raziskav nakazujejo, da so matematično »sposobnejši« posamezniki boljši ne toliko v priklicu aritmetičnih znanj, pač pa v de- lovanju višjih, kognitivnih procesov, zlasti pri procesiranju matematičnih simbolov (19, 24). ε Predeli v možganih, ki so aktivni med matematičnim procesiranjem Anatomsko možgane ločimo na mož- ganski hemisferi ali polobli, male možga- ne in možgansko deblo s podaljšano hrb- tenjačo. Poloble delimo na režnje. Spredaj je čelni reženj, ki je ključnega pomena za razmišljanje, načrtovanje, reševanje prob- lemov, čustvene odzive, osebnostne zna- čilnosti, gibanje in delno govor. Temenski reženj ima pomembno vlogo pri natanč- ni zaznavi in ločevanju dražljajev, kot so pritisk, dotik, temperatura in bolečina ter sodeluje pri gibanju in zaznavi informacij, tudi objektov. V tem predelu zbiramo po- membne informacije iz okolja. Senčnični reženj je pomemben za zaznavo in prepoz- navo slušnih dražljajev, govor ter pomnjen- je. Zatilni reženj ima pomembno vlogo pri vidu. Del možganov so tudi mali možgani, ki sodelujejo pri izvrševanju gibov in nad- zoru drže, pomembni so tudi za izvedbo miselnih procesov. Iz možganov navzdol v hrbtenjačo poteka možgansko deblo, kjer so pomembni predeli za uravnavanje osnov- nih življenjskih funkcij, kot je uravnavanje dihanja in bitja srca. Razdelitev možganov na dve funkcionalno različni polobli in na funkcijske enote (režnje), ki pa so med se- boj povezani, povezani pa so tudi z ostali- mi, evolucijsko starejšimi predeli možga- nov, šele omogoča kompleksno delovanje možganov in telesa. 011 Procesiranje tako količinske kot nume- rične informacije povezujemo z aktivacijo temenskih režnjev. Temensko področje se aktivira ob predstavitvi informacije, ki je tako v obliki vzorca pik kot v simbolni obli- ki arabskih števk. Če se količina ali način predstavitve v predstavljenem vzorcu spre- meni, pride do ponovne aktivacije in ojačit- ve v tem predelu, kar lahko z vidika delovan- ja možganov razumemo kot procesiranje numerične informacije. Bolj ko se količina razlikuje, bolj izrazita je sprememba (25). V študiji so med numeričnim procesiranjem zaznali tudi razlike v obeh hemisferah. Leva hemisfera je bila bolj aktivna med abstrakt- nimi numeričnimi reprezentacijami, med- tem ko je bila desna aktivnejša med pri- merjanjem in poimenovanjem številk. Raz- like med hemisferama so bile najbolj očitne pri primerjavi števil in pri računanju. Med primerjanjem dveh števil je intraparietalna in prefrontalna dejavnost močnejša v desni hemisferi, pri množenju v levi hemisferi, pri odštevanju pa je aktivnost prisotna obojes- transko. V erjetno za primerjavo števil zados- tuje le aktivna desna hemisfera, čeprav sta pri primerjanju števil običajno aktivni obe. Pri poimenovanju in računanju pa se pravi- loma aktivira le leva hemisfera (26). Intraparietalni sulkus (IPS), še posebej njegov horizontalni del (hIPS), je stranski del temenskega režnja. Je ključen za osnov- no določanje količine in je aktiven pri vseh številskih nalogah in pri vseh predstavitvah količine, ne glede na zapis količine in mo- dalnost (24). Osnovno numerično procesi- ranje povezujemo z aktivacijo horizontal- nega segmenta intraparietalnega sulkusa (angl. horizontal segment of the intraparie- tal sulcus – hIPS) (27), ki ga edinega tudi povezujemo zgolj s številčnimi informaci- jami, neodvisno od konteksta (28), medtem ko je za kompleksnejše matematične proce- se ali procesiranje zahtevnejših konceptov, kot so negativne vrednosti, nujno usklajeno delovanje več področij (1, 29). Prvi predlagani model numeričnega procesiranja sta predstavila v študijah De- haene in Cohen, in velja še danes, z nekate- rimi dopolnili. Za numerično procesiranje so ključni trije predeli: 1. Bilateralni predeli ob intraparietalnem sulkusu (IPS) med procesiranjem nume- rične količine, torej katera števka je večja. 2. Temensko področje, predvsem levo, ki ga imenujemo angularni girus (AG), med preprostim računanjem (seštevan- je/odštevanje; množenje/deljenje). 3. Bilateralni zgornji predeli temenske skorje, ki jih povezujemo s pozornostjo in vidno-prostorskimi zaznavami, ki so potrebne med numeričnim ali matema- tičnim procesiranjem. Ob tem prihaja do aktivacije predelov, kjer se vrši vidna predstava količine – senčnični predel; ob izreki oz. poimenovanju tudi artikula- cijska zanka in govorni predel; za priklic in prepoznavo aritmetičnih dejstev so ključne globoke možganske strukture – bazalni gangliji in talamus. Pri izbiri stra- tegije in načrtovanju računske operacije/ reševanje matematičnega problema je nujno tudi aktiviranje prefrontalne skor- je. Pomembnejši predeli pri tem so me- dialni in superiorni girusi čelnega režnja, ki omogočajo načrtovanje, stopenjsko reševanje problema; srednji girusi čelne- ga režnja za zahtevnejše, večstopenjske probleme, in spodnji del čelnega režnja, kjer se vrši nadzor nad preprostimi prob- lemi (24). Ker je procesiranje matematičnih prob- lemov izjemno kompleksno in zahteva usklajeno in brezhibno delovanje različnih 012 Razvoj matematičnih kompetenc predelov možganov, lahko razumemo, zakaj je včasih stereotipno veljalo, da je nekdo, ki obvlada matematiko, zares bister. Tudi po- datki iz raziskav nakazujejo, da so matema- tično »sposobnejši« posamezniki boljši ne toliko v priklicu aritmetičnih znanj, torej delovanju spomina, pač pa v delovanju viš- jih, kognitivnih procesov, zlasti to velja pri procesiranju matematičnih simbolov. Pri dobrih matematikih se ti procesi zelo aktiv- no odvijajo v levem angularnem girusu, ki je pri njih bolj dejaven kot pri slabih mate- matikih. Lahko celo sklepamo, da je delo- vanje višjih kognitivnih procesov biološka danost, ki pa nato preko urjenja veščin pos- tane tudi subspecializacija določenega pre- dela možganov. Velja tudi opažanje, da nekdo, ki je go- vorno spreten, ni nujno spreten tudi v ob- vladanju matematičnih veščin. Matematič- ne sposobnosti se namreč ne povezujejo s sposobnostjo in hitrostjo poimenovanja in izražanja, ki so tudi eno od meril kognitiv- nega razvoja. Iz nevrološkega vidika ma- tematika tudi ni jezik. Uporablja simbole, podobno kot jezik, vendar pa za uspešno reševanje matematičnih problemov upo- rablja povsem drugo, vendar pa podobno zapleteno nevronsko mrežje kot jezik. ζ Povezava med možgani in telesom določa intuitivno razumevanje matematike Prostorske in količinske predstave otrok prične usvajati zelo zgodaj, takrat ko pričen- ja uporabljati svoje telo. Takrat tudi prične z oblikovanjem lastne telesne sheme. Teles- na shema je miselni konstrukt, ki opisuje, kako si predstavljamo svoje telo v prosto- ru, kar vključuje postavitev našega telesa v prostor, dolžino in meje naših udov glede na prostor, razmerja delov telesa, razpo- reditev in razmerja med deli telesa in ob ustreznem treningu tudi podaljške našega telesa, kot npr. palica ali violina. Ko dojen- ček leži na hrbtu, okoli tretjega meseca sta- rosti namensko poseže po predmetu. Sprva je njegov poseg v prostor negotov: premo- čan ali prešibak, nenatančno usmerjen na predmet, a sčasoma se dojenček izuri in s spoznavanjem svojega telesa poseže ne le z roko po predmetu pač pa tudi s telesom v prostor: prične s kotaljenjem, plazenjem, kobacanjem in okoli prvega rojstnega dne tudi shodi. S celim telesom otrok spozna- va, kaj je daleč in kaj blizu; kaj je več in kaj manj. Njegovo telo mu omogoča razumeti osnovne koncepte: več-manj, močno-šibko, daleč-blizu, ostro-topo, ravno-ukrivljeno itd. Prve koračnice otroku omogočijo novo modalnost: matematične količine spoznava preko glasbe, s celim telesom občuti zapo- redje in ritem. Matematiko tako pričenjamo razumeti v tem obdobju intuitivno. [Slika 1] Otroci, ki se učijo igranja na instrument, so v veliki prednosti pri osvajanju matematičnih kompetenc. Urijo svoje prstke, ki so ključni za šte- vilčne predstave. Preko celotnega telesa spoznavajo ritem, melodijo in s poznavanjem not celo telesno občutijo, kaj so ulomki: celinka, polovinka, četrtin- ka. Ulomki so za njihovo trenutno mišljenje pri npr. šestih letih, sicer preveč zahtevni, a jih zmorejo razu- meti telesno. Najstniki pa preko instrumenta spoz- navajo zakone akustike. Vir slike: arhiv avtorice. 013 Štetje na prste in uporabo desetiškega sistema pri večini kultur razlagamo s teori- jo povezave med telesom in umom (30). Ob uporabi prstov se pri preiskovancih, ki sicer kulturološko uporabljajo desetiški sistem, aktivirajo ista področja kot ob preprostem računanju z arabskimi števkami. Uporaba prstov in manipulacije z njimi služijo kot konkretna podlaga za abstraktne pojme. Reprezentacija prstov v naših možganov se kaže podobno kot naše miselno-abstraktne predstave o količinah in manipulaciji z nji- mi, z aktivacijo istih področij v možganih. Lahko sklepamo, da prsti kasneje s trenin- gom preštevanja in štetja ter razvojem lo- gičnega mišljenja, postanejo tudi abstraktni pojmi. Računanje na prste tako predstavlja prelomnico med intuitivnim in konkretnim mišljenjem (30). S teorijo povezave med telesom in umom lahko razložimo tudi nekatere dru- ge miselne predstave. Lakoff in Nunez sta uporabila sistem metafor (teorijo kogni- tivnih ali konceptualnih metafor), v kateri predlagata aritmetiko kot način zbiranja predmetov oziroma aritmetiko kot gibanje vzdolž osi (31). Če ste desnični, kar velja za večino populacije, in uporabljate evropski način pisanja, od leve proti desni, potem je za vas vse, kar je večje, boljše in prihodnje, umeščeno na vašo desno. Zahodnoevro- pejci smo znani po linearnem razmišljanju, z numerično osjo, ki se pričenja na levi in po velikosti raste proti desni (32). Pri pos- kusih s številčnimi vrednostmi na ekranih smo pri pritisku na gumb kot reaktivnem času prepoznave vrednosti pri večjih koli- činah hitrejši z desnico kot levico. Podobno za nas velja pri vertikalni številčni osi, kjer višje za nas pomeni tudi večje. Tako pre- iskovanci pri generiranju števil ob premikih telesa navzgor, generirajo večje vrednos- ti, kot če se premikajo navzdol (33). Če so preiskovanci kimali navzgor, so generi- rali višje vrednosti, kot če so kimali z gla- vo navzdol (34). Naši možgani poleg tega enačijo modalnosti. Tako razumemo večje napisano številko tudi kot količinsko večjo od drobno napisane in količino pikic pre- cenimo, če prekrivajo večjo površino (35). Povezavo med telesom in umom nevro- znanstveniki utemeljujejo z aktivacijo istih možganskih predelov ob gibalni ali miselni nalogi, saj se ob procesiranju števil in koli- čin v možganih aktivira predel temenskega režnja, pri čemer je aktivacija podobna kot pri procesiranju prostorskih informacij ob gibanju, kjer navzgor pomeni več, navzdol manj; levo manj, desno več ipd. (36). η Problem modalnosti Pri preučevanju delovanja možganov se srečamo s problemom modalnosti. Mo- dalnost je posledica sposobnosti osrednje- ga živčevja, ki je najbolj kompleksna prav pri sesalcih in omogoča preko različnih zaznavnih sistemov, vidnega, slušnega in somato-senzoričnega, prepoznavo istega dražljaja na različne načine. Ob tem pri- haja do aktivacije različnih predelov mož- ganske skorje. Možgani modalnosti enačijo, kar pomeni da kljub različni pojavnosti in aktivaciji različnih možganskih predelov, možgani »prepoznajo«, da gre za opis iste vsebine. Modalnost pri matematičnem draž- ljaju bi morda najbolje opisali kot obliko pojavnosti, ki je lahko različna, čeprav vse- bina, v tem primeru količina, ostaja enaka. Tako ste, ko ste vzeli v roke revijo, pre- brali, kdaj je izšla in kako je številčno ozna- čena. Če ste se odločili za branje točno do- ločenega prispevka, ste morali prepoznati številko strani, na kateri se nahaja, in revijo 014 Razvoj matematičnih kompetenc prelistati. Če imate v rokah septembrsko številko, ali ste pomislili, da gre za 9. šte- vilko? Morda IX? Beseda september je tudi zelo drugačna od besede devet. Poleg tega prepoznava govora aktivira druga področja kot prepoznavanje količin. Številke so abstraktni simboli, ki lahko pomenijo različne stvari: količino kot npr. trije članki ali pa zaporedje: npr. tretji, ki je lahko tudi zadnji, članek ali pa zgolj sim- bol – npr. za Radensko – tri srca. Številke lahko zapišemo že samo simbolično na več načinov: tri ali 3 ali III ali pa nesimbolično, npr. tri pike ali ooo. Lahko bi tudi trikrat plosknili, trikrat zatrobili, trikrat utripnili z lučjo itd. in na ta način spremenili modal- nost iz vidnega dražljaja v zvočnega. Prav vsi zapisi, ne glede na modalnost, pa pome- nijo enako količino (24). Danes menimo, da za razumevanje ko- ličine ni treba imeti razvitega govora, pač pa imamo nekatere sisteme vrojene. Empi- rični dokazi iz skupnosti otrok Aboriginov, ki štejejo brez števk, saj poznajo le besede ena, dve, malo in veliko, so pokazale, da so ti otroci povsem primerljivi v določanju količine in tudi pri preprostih oblikovanjih enako velikih skupin (torej seštevanju/od- števanju), enako starim angleško govorečim otrokom (8). Poleg tega danes menimo, da nam možgani omogočajo »začutiti« količi- no. Količino prepoznamo amodalno - to- rej ne glede na modalnost. Ljudje imamo vrojena dva sistema reprezentacije števil. Prvi sistem je ocena (aproksimacija) števi- la elementov v skupini. Seveda je določanje številčnosti netočno, a se natančnost z zre- lostjo možganov izboljšuje. Aproksimacija ni omejena le na vidne (vizualne) objekte, temveč velja tudi za slušne dražljaje. Drugi sistem je sistem določanja natančne vred- nosti količine oz. števila objektov. Otroci in odrasli lahko natančno število elementov določijo le, če teh ni veliko. Dojenčki do- jamejo številčnost elementov, če je število objektov največ tri, in ne glede na diskretne ali kontinuirane vrednosti (npr. število piš- kotov, količina soka), oziroma vizualne ali avditorne dogodke (npr. skoki lutke, zvočni signali) (19). θ Prepoznavanje količin in števil Že v predšolskem obdobju prepoznavanje različnih količin in snovanje števil, prila- gojeno potrebam in zmožnostim posamez- nika, vpliva na razvoj in izboljšanje mate- matičnih sposobnosti. Dobro poznavanje količine in intuitivne številske predstave so namreč predpogoj za uspešno razumevanje matematike in kasneje, v šolskem obdobju, korelirajo z matematičnimi sposobnostmi osnovnošolcev. Novejše raziskave so poka- zale, da razvoj aritmetičnih sposobnostih ne temelji zgolj na pridobivanju izkušenj in učenju, temveč so nam nekatere aritmetič- ne sposobnosti, predvsem občutek za koli- čino, vrojene (19). Sposobnost določanja količine ni vrojena le ljudem, pač pa jo poznajo tudi živali. Ži- vali sicer zelo verjetno ne štejejo v lingvis- tičnem pomenu štetja. Torej živali ne štejejo ena, dve, tri … pač pa imajo vrojeno spo- sobnost določanja in razločevanja količine. Gre najverjetneje za evolucijsko prednost teritorialnih živali, ki jim ta sposobnost omogoča določiti teritorij, kjer je več hrane za celotno skupino. Presoja, kje bo taščica našla več črvov ali presoja levinje, v kateri čredi antilop je možnost ulova največja, je živalim vrojena, saj je pomembna za obstoj vrste (8). 015 Sistem za določanje količine je razvit tako pri ljudeh kot pri živalih. Gre za nekak- šen vmesnik med vidom in mišljenjem, ki omogoča »videti« male količine. Zato lahko »vidimo« količino do 5 predmetov, ne da bi jih prešteli. Vrojena sposobnost »videti« količino se oblikuje iz interakcij med količi- no predmetov in številko, ki jih predstavlja. Težave pri količinski zaznavi naraščajo s številčnostjo elementov pa tudi z velikostjo same količine. Manjša ko je številčnost ele- mentov, bolj smo točni pri oceni. Bolj ko je količina majhna, lažje in večkrat si jo zmo- remo predstavljati. Že dojenčki so sposobni razlikovati množici z različnimi elementi, številčnost pa dojemajo amodalno. Pri šestih mesecih ločijo množici, katerih število elementov je v razmerju 1 : 2, s starostjo pa se to razmer- je hitro izboljšuje. Petletni otroci že ločijo skupini, katerih število elementov je v raz- merju 7 : 8. Sposobnost primerjanja dveh količin se začne razvijati šele po 15. mese- cu starosti, preštevanja pa se otroci naučijo spontano, z učenjem jezika (19). Govor otroku omogoči, da števila dobi- jo abstrakten, simbolni pomen, s tem pa se odpre pot k simbolni aritmetiki. Zanimivo pa je, da za preštevanje ni potrebno znanje jezika, saj so osnovni numerični koncepti vrojeni in niso odvisni od razvoja govora oziroma jezika. Do tretjega leta starosti šte- jejo brez težav do 10, tri in pol letni otrok zazna napako v preštevanju, do četrtega leta pa usvoji osnovni princip preštevanja, t.j. da je vsak predmet štet le enkrat in da si števila morajo slediti zaporedno. Domnevamo, da gre za vrojeno sposobnost, ki je posledica sposobnosti spontanega učenja jezika. Šele po četrtem letu starosti otroci praviloma začnejo razumeti, čemu je preštevanje na- menjeno, t.j. da končno število predstavlja število vseh elementov v skupini (10). Otro- ci se najprej naučijo prešteti tri medvede in ne zgolj število tri. Ker učenje temelji na predvidevanju, torej kaj naši možgani pričakujejo, da sledi, je sosledje konceptov zelo pomembno. Otroci si lažje zapomnijo in usvojijo koncept števila, če jim najprej predstavimo predmete – torej medvede, in šele nato njihovo količino – torej tri medve- de. Z navodilom: »Poglej medvede, trije so!« si otroci zapomnijo količino kar za 30 % bolje, kot če rečemo: »Poglej, trije medve- di!« [Slika 2, 3] Otroci med petim in sedmim letom spontano pričenjajo z opismenjevanjem. V to vklju- čujejo tudi števke. Zelo radi ustvarjajo vzorce, raz- vrščajo simbole, tudi števke, kar je razvidno iz slike 5-letnice, kjer so števke še zapisane zrcalno. Leto dni kasneje, pri šestih letih, je v zgodbo v obliki stri- pa že vključena beseda, ki odgovarja na vprašanje »Koliko?« »Za tri piškote. Za celo vrečo.« Vir slike: arhiv avtorice. 016 Razvoj matematičnih kompetenc θ Uspešnost učencev in spodbude pri usvajanju matematičnih veščin Na uspešnost učencev pri usvajanju mate- matičnih veščin ima velik vpliv biološka da- nost. So otroci, ki so resnično bolj nadarjeni za matematiko in jim usvajanje matematič- nih konceptov ne predstavlja večjih ovir. To so praviloma otroci, ki tudi kasneje v poznem najstništvu posegajo po akadems- kih dosežkih, saj so njihove kognitivne spo- sobnosti, zlasti sposobnosti abstraktnega mišljenja, nadpovprečne. Poleg genetske predispozicije ima velik vpliv tudi zgodnje otroštvo. Gibanje in obli- kovanje telesne sheme je najbolj izrazito v predšolskem obdobju. Večina otrok usvoji odrasle, zrele gibalne vzorce ob vstopu v šolo. Kasneje le z velikim naporom oziroma profesionalnim treningom vplivajo nanje. Telesna shema vpliva zlasti na naše intuitiv- no razumevanje matematike, ki je ključno v vsakdanjem življenju. Ker pa ljudje nismo samo biološka in telesna bitja, pač pa smo vpeti v družbo, nas oblikujejo tudi medosebni odnosi. Re- cipročnost odnosov med šolo in domom je tako pomembna, da so otroci bolj osredo- točeni na šolske naloge, in zanimivo, hkrati tudi bolj uspešni pri matematiki, če njihovi starši mislijo, da so njihovi otroci uspešni (37). Ravno obratno pa nezaupanje v otro- kove sposobnosti vodi v splošno slabšo učno uspešnost in tudi slabše matematične kompetence. Starši, zlasti očetje, s trajanjem šolanja povečujejo zaupanje v sinove ma- tematične kompetence, medtem ko jih za hčere zmanjšujejo. Kako matere razumejo otrokove matematične sposobnosti, pa do- loča formalno in neformalno matematično znanje ter tudi uspešnost, pri čemer je ma- terino znanje matematike tisto, ki določa formalni nivo znanja otroka (38). Predšolske izkušnje in spodbudno pred- šolsko okolje je tisto, ki vpliva na kasnejše uspehe pri matematiki (39). Učinki obo- gatenih materialov, dejavnosti in interakcij med vzgojitelji-učitelji in učenci v najzgod- nejših letih učenja se kažejo še štiri leta po učinkoviti intervenciji, usmerjeni v mate- matiko (40). Še bolj zanimivi kot pričako- vani uspehi pri matematiki, so drugi učinki spodbud učenja matematike, ki segajo od uravnavanja in zmanjšanja težavnih vedenj, več samonadzora in pripadnosti šoli in učen- ju ter večja pogostost pozitivnih socialno- čustvenih vedenj, kar pa je najverjetneje povezano z otrokovo dobro samopodobo. ι Zaključek S prispevkom sem poskusila osvetliti neka- tere vidike osvajanja matematičnih kom- petenc, ki lahko pridejo prav učiteljem pri delu z učenci. Zakonitosti delovanja mož- ganov in naše biološke danosti so dejstva, ki jih včasih ni enostavno sprejeti. Kot uči- telji tako pri nadarjenih za matematiko ni- mamo posebnih zaslug za njihove uspehe, prav tako kot nismo »krivi«, če otrok, pri katerem že intuitivno zaznavanje mate- matičnih količin pomeni doseganje meja njegovih kompetenc, ne zmore dlje od osnov aritmetike. Drži pa, da s formalnim načinom učenja vplivamo na matematične kompetence. Snovanje števil, prilagojeno potrebam in zmožnostim malčka, z začetkom že v predšolskem obdobju, vpliva na izboljšanje matematičnih sposobnosti. Dobro pozna- vanje količin in razumevanje števil je nam- reč predpogoj za uspešno razumevanje 017 matematike. Predšolski otroci imajo dobro razvito matematično intuicijo, znajo oceniti številčnost skupine, preštevajo, seštevajo in odštevajo, seveda na svoj intuitiven način. V šoli jim z učenjem algoritmov intuicijo zameglimo, kar povzroči, da postane mate- matika težka in manj priljubljena. Učencem moramo zato omogočiti, da uporabljajo matematično intuicijo tudi v šolskih klo- peh, saj ima le-ta ključni pomen za razume- vanje matematike in za razvoj matematič- nih kompetenc. κ Literatura 1. Grabner R.H., Reishofer G., Koschutnig K. in Ebner F. (2011). Brain correlates of mathematical competence in processing mathematical representations. Front Hum Neurosci. Dostopno na: http://dx.doi.org/10.3389/fn- hum.2011.00130 (20. 6. 2016). 2. Schmidt, F. L. in Hunter, J. E. (1998). The validity and utili- ty of selection methods in personnel psychology: practical and theoretical implications of 85 years of research findin- gs. Psychol. Bull. 124, 262–274. 3. KEYCONET. (2006). Mathematical competence and basic competences in science and technology. Recommendation of the European Parliament and of the Council of 18 De- cember 2006 on Key Competences for Lifelong Learning (2006/962/EC): Mathematical competence. Dostopno na: http://keyconet.eun.org/maths-science-tech (20. 6. 2016). 4. Parsons, S. in Bynner, J. (2005). Does Numeracy Matter More? London: National Research and Development Cen- tre for adult literacy and numeracy. 5. Reyna, V. F., Nelson, W. L., Han, P. K. in Dieckmann, N. F. (2009). How numeracy influences risk comprehension and medical decision making. Psychol. Bull. 135, 943–973. 6. Gurd J.M., Kischka U. in Marshall J.C. (2010). Handbo- ok of Clinical Neuropsychology. Oxford university Press, New Y ork; 2010. 7. Libertus M.E., Feigenson L. in Halberda J. (2011). Pre- school acuity of the approximate number system corre- lates with school math ability. Developmental Science; 14 (6): 1292–1300. 8. Bregant, T. (2013). Ali je matematika doma le v človekovih možganih?. Proteus; 75 (5): 209-216. 9. Bregant, T. (2012) Razvoj, rast in zorenje možganov. Psi- hološka obzorja, letn. 21, (št. 2), str. 51-60. Dostopno na: http://psiholoska-obzorja.si/arhiv_clanki/2012_2/bre- gant.pdf. 018 Razvoj matematičnih kompetenc 10. Bregant, T. (2004). Ali malček spoznava matematiko že v vrtcu?. V: Vrbovšek B. (ur.). Spodbujanje matematičnega mišljenja v vrtcu. Ljubljana: Supra, str. 12-17. 11. OECD. Programme for International Student Assessment (PISA). Dostopno na: http://www.oecd.org/pisa/aboutpi- sa/ (29.1. 2016). 12. OECD. Programme for International Student Assessment (PISA).About PISA. FAQ. Dostopno na: https://www.oecd. org/pisa/aboutpisa/pisafaq.htm (20. 6. 2016). 13. Peklaj, C. (2012). Učenci z učnimi težavami v šoli in kaj lahko stori učitelj. Ljubljana: Znanstvena založba Filozof- ske fakultete. 14. Kavčič, R. A. (2005). Učenje z gibanjem pri matematiki. Priročnik gibalnih aktivnosti za učenje in poučevanje ma- tematike v 2. razredu devetletke. Ljubljana: Bravo. 15. Kavkler, M., Žerdin, T. in Magajna, L. (1991). Brati, pisati, računati. Murska Sobota: Pomurska založba. 16. Zajc, I. in Koželj, M. (2001). Matematika v srcu umetnosti. Ljubljana: Jutro. 17. Forgasz, H. in Rivera, F. (2012). Towards Equity in Mathe- matics Education: Gender, Culture, and Diversity. San Jose: Springer. 18. Common Core State Standards for Mathematics (CCS- SM). Common Core. States Standards Inititative. Prepa - ring America's students for success. http://www.corestan- dards.org/ (29. 1. 2016). 19. Levstek, T., Bregant, T. in Podlesek, A. (2013). Razvoj arit- metičnih sposobnosti. Psihološka obzorja, letn. 22, str. 115- 121. http://psy.ff.uni-lj.si/psiholoska_obzorja/arhiv_clan- ki/2013/levstek_et_al.pdf (29. 1. 2016). 20. Sousa, D. (2010). Mind, Brain, and Education: Neurosci- ence Implications for the Classroom. Solution Tree Press. 21. Mazzocco, M.M.M., Feigenson, L. in Halberda, J. (2011). »Preschoolers' precision of the approximate num- ber system predicts later school mathematics perfor- mance«. PLoS ONE 6(9): e23749. doi:10.1371/journal. pone.0023749. (29. 1. 2016). 22. Dehaene, S. (2009). Origins of Mathematical Intuitions. The Case of Arithmetic. The Year in Cognitive Neu- roscience 2009: Annual NewYork Academy of Science, letn. 1156, str. 232–259, dostopno na doi: 10.1111/j.1749- -6632.2009.04469.x 23. Dehaene, S., Molko, N., Cohen, L. in Wilson, A. J. (2004). Arithmetic and the brain. Current Opinion in Neurobio- logy, letn.14, str. 218-224. 019 24. Bregant, T. (2012). Nevrokognitivne osnove numeričnega procesiranja = Brain mechanisms underlying numerical processing. Psihološka obzorja, letn. 21, št. 3/4, str. 69- 74. http://psy.ff.uni-lj.si/psiholoska_obzorja/arhiv_clan- ki/2012_3/bregant.pdf (29. 1. 2016). 25. Piazza, M., Pinel, P., Le Bihan, D. in Dehaene, S. (2007). A Magnitude Code Common to Numerosities and Number Symbols in Human Intraparietal Cortex. Neuron, letn. 53, str. 293-305. 26. Chochon, F., Cohen, L., Moortele, P. F. in Dehaene, S. (1999). Differential contributions of the left and right in- ferior parietal lobules to number processing. Journal of Cognitive Neuroscience, letn. 11, str. 617-630. 27. Dehaene, S., Piazza, M., Pinel, P . in Cohen, L. (2003). Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neu- ropsychology, letn. 20 (3/4/5/6), str. 487-506. 28. Thioux, M., Pesenti, M., De Volder, A., in Seron, X. (2002). Category-specific representation and processing of num- bers and animal names across semantic tasks: A PET stu- dy. NeuroImage, letn. 13, št. 6 suppl. 2/2, str. S617. 29. Blair, K.P., Rosenberg-Lee, M., Tsang, J.M., Schwartz, D.L. in Menon, V. (2012) Beyond natural numbers: negati- ve number representation in parietal cortex. Frontiers in Human Neuroscience, letn. 6, št. 7. http://10.3389/fn- hum.2012.00007 (29. 1. 2016). 30. Krinzinger, H., Koten, J.W., Horoufchin, H., Kohn, N. in Amdt, D. (2011). The role of finger representations and sa- ccades for number processing: an fMRI study in children. Frontiers in psycholog, letn. 2, str. 56-67. 31. Lakoff, G. in Nunez, R.E. (2000). Where mathematics co- mes from, New York: Basic Books. 32. Dehaene, S., Bossini, S., in Giraux, P . (1993). The mental re- presentation of parity and number magnitude, Journal of Experimental Psychology: General, letn. 122, str. 371– 396. 33. Hartmann, M., Grabherr, L., in Last, F.W. (2012). Moving along the mental number line: Interactions between whole- -body motion and numerical cognition, Journal of Experi- mental Psychology: Human Perception and Performance, letn. 38, št. 6, str. 1416-1427. 34. Winter, B. in Matlock, T. (2013). More is up… and right: Random number generation along two axes, V: Knauff, M., Pauen, M., Sebanz, N., Wachsmuth, I. (ur.)., Proceedings of the 35th Annual Conference of the Cognitive Science So- ciety, Austin, TX: Cognitive Science Society, str. 3789-3974. 020 Razvoj matematičnih kompetenc 35. Hurewitz, F ., Gelman, R. in Schnitzer, B. (2006). Sometimes area counts more than number. Proceedings of the Nati- onal Academy of Sciences, U.S.A., letn. 103, str. 599– 604. 36. Bregant, T. (2016). Matematične sposobnosti pri otrocih : nekaj vrojenega, nekaj pridobljenega, a vedno lahko vir zadovoljstva. Obzornik za matematiko in fiziko, let. 63, št. 1, str. 18-24. 37. Aunola, K., Nurmi, J.E., Lerkkanen, K. in Rasku-Puttonen, K. (2003). The role of achievement-related behaviors and parental beliefs in children’s mathematical performance. Educational Psychology, letn. 23, št. 4, str. 403-421. 38. Blevins-Knabe, B., Whiteside-Mansell, L. in Selig, J. (2007). Parenting and mathematical development. Academic Exchange Quarterly, letn. 11, št. 2, str. 76-80. 39. Brooks-Gunn, J., Fuligni, A.S. in Berlin, L.J. (2003). Early child development in the 21st Century: Profiles of current research initiatives, New York: Teachers College Press. 40. Preisner-Feinberg, E.S., Burchinal, M.R. in Clifford, R.M. (2001). The relation of preschool child-care quality to children's cognitive and social developmental trajectories through second grade. Child Development, letn. 72, št. 5, str. 1534-1553.