Edmonds maps on the Fricke-Macbeath curve - Hidalgo, Rubén A. (Ars mathematica contemporanea, 2015)
Leta 1985 so L. D. James in G. A. Jones dokazali, da polni graf ?$K_n$? definira čisto otroško risbo (za črna vozlišča dvodelnega grafa vzamemo vozlišča grafa ?$K_n$?, za bela vozlišča pa središčne točke njegovih povezav) če in samo če je ?$n = p^e$?, kjer je ?$p$? praštevilo. Kasneje, leta 2010, so G. A. Jones, M. Streit in J. Wolfart izračunali minimalno definicijsko območje takšnih čistih otroških risb. Minimalni rod ?$g > 1$? teh tipov čistih otroških risb je ?$g = 7$?, dobljen pa je pri ?$p = 2$? in ?$e = 3$?. V tem primeru obstajata natanko dve takšni čisti otroški risbi, (doslej znani pod imenom Edmondsova zemljevida), ki določata t.i. Fricke-Macbeathovo krivuljo (edino Hurwitzovo krivuljo roda 7) in tvorita kiralni par. Enoličnost Fricke-Macbeathove krivulje zagotavlja, da jo je mogoče definirati nad ?$\mathbb{Q}$?, toda oba Edmondsova zemljevida ne moreta biti definirana nad ?$\mathbb{Q}$?; v resnici je njuno minimalno definicijsko območje kvadratni obseg ?$\mathbb{Q}(\sqrt{- 7})$?. Zdi se, da v literaturi niso zabeleženi nobeni eksplicitni modeli Edmondsovih zemljevidov nad ?$\mathbb{Q}(\sqrt{- 7})$?. V tem članku vzamemo za izhodišče ekspliciten Macbeathov model ?$X$? za Fricke-Macbeathovo krivuljo, ki je definirana nad ?$\mathbb{Q}(e^{2π i/7})$?, potem pa konstruiramo ekspliciten biracionalen izomorfizem ?$L \colon X → Z$?, kjer je ?$Z$? definiran nad ?$\mathbb{Q}(\sqrt{- 7})$?, nad istim obsegom pa sta definirana tudi oba Edmondsova zemljevida.
Keywords: algebraic curve; algebraična krivulja; dessin d'enfant; otroška risba; Riemann surface; Riemannova ploskev