IZ RAZREDA 28 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 Zaporedja in potence Tomaž Miholič Osnovna šola Duplek Učenci ob zaporedju in »pritisku« velikih števil začutijo uporabnost zapisa števila s po- tenco, nato pa še zapis n-tega člena. Predstavljen je učni scenarij za izvedbo dejavnosti pri pouku matematike. Izvedba traja eno šolsko uro in je primerna za učence v 8. razredu. Ključna vodilna vprašanja: • Kdaj šteti, kdaj računati in kdaj zapisati n-ti člen zaporedja? • Kako uporabiti potence za zapis velikih števil? • Kako ustrezno zapisati spremembe posameznih korakov pri vzorcih/zaporedjih? Učni scenarij (učna priprava) Splošne informacije Šola: Osnovna šola Duplek Učitelj: Tomaž Miholič Predmet/razred: matematika, potence – 8. razred Učna tema: Potence Učni cilji: Tema: Uporaba potenc pri algebrskih zapisih a) Vsebinski cilji Učenci: • spoznajo način zapisa n-tega člena – posplošitev, • prepoznajo pravilo geometrijskega vzorca. b) Procesni cilji Učenci znajo: • Pisno in ustno argumentirajo svoje ugotovitve. • Uporabljajo/izdelajo preglednico za raziskovanje lastnosti. • Se sami odločajo med štetjem in računanjem glede na kompleksnost primera. c) Predznanje • Poznajo potence (osnova, stopnja, vrednost). • Znajo določiti vrednost potence. Pripomočki: • enotske kocke • računalniki/pametni telefoni IZ RAZREDA 29 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 CILJI Vpišite tako vsebinske kot procesne cilje, z ležečo pisano označite transverzalne veščine DEJAVNOSTI UČENCEV Predstavitev strategije oz. metod in oblik dela PRIČAKOVANI REZUL TATI (5 minut) Mobilizacija s pomočjo že usvojenih ciljev: prostornina kocke. Ob konkretnem modelu se spomnijo, kako določiti prostornino kocki (delo v parih). Učenci s sestavljanjem kock s slike nimajo težav, zaplet pričakujem že ob kocki z robom 4e ali 5e – zaradi pomanjkanja časa in gradnikov. (5 minut) Uporaba potence pri izračunu prostornine kocke. Učenci predvidevajo, da rob 13. kocke meri 13e in izračunajo število potrebnih enotskih kock za izgradnjo modela. (10 minut) Spoznajo način zapisa n-tega člena − posplošitev. Uporabljajo/izdelajo preglednico za raziskovanje lastnosti. Izdelajo preglednico in jo izpolnijo. Število Dolžina roba kocke Število enotskih kock v kocki Zapis s potenco 1 1 1 1 3 2 2 8 2 3 3 3 27 3 3 4 4 64 4 3 5 5 125 5 3 6 6 216 6 3 13 13 2197 13 3 n n ? n 3 Učenci samostojno izpolnijo preglednico (skupaj izberemo ustrezne stolpce). IZ RAZREDA 30 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 CILJI Vpišite tako vsebinske kot procesne cilje, z ležečo pisano označite transverzalne veščine DEJAVNOSTI UČENCEV Predstavitev strategije oz. metod in oblik dela PRIČAKOVANI REZUL TATI (3 minute) Poimenovanje zaporedja števil, razlika med zapisom s potenco in brez nje. Poimenovanje n-tega člena. Učenci izračunajo potrebno število enotskih kock za nekaj primerov (večja števila) s pomočjo računala. Ugotovijo, da je poznavanje n-tega člena popolnoma dovolj za določitev števila enotskih kock v katerikoli kocki. (15 minut) Zapis n-tega člena v podobnem primeru. Učenci si sami ob sliki postavijo raziskovalno vprašanje. Samostojno oblikujejo preglednico in jo uporabijo za iskanje odgovora na raziskovalno vprašanje. Oblikujejo preglednico s stolpci: • številka lika, • število manjših kvadratov, • zapis s potenco. Izpolnijo prvih 5 vrstic (za like iz slike) v celoti. Zapišejo kratko poročilo raziskave na naslov url.sio.si/raziskava. (5 minut) Določimo oris kriterija za raziskovanje: Kako sem raziskoval? Vrednotijo ugotovitve sošolcev – frontalno. Poudarek na opisu »Kako sem raziskoval?« (tretji stolpec) Zapisi vseh učencev so v urejeni obliki zbrani na tabli. Učenec/- ka Raziskovalno vprašanje Kako sem raziskoval/-a Ugotovitev A Kako izračunaš število kvadratov? Z razpredelnico v zvezku. Napisala sem si zaporedna števila, število kvadratov in število kvadratov s potenco. Je enako kot pri trikotnikih samo, da npr. če je pri drugem trikotniku število trikotnikov 4 je pri kvadratu to pri prvem. B Koliko kvadratov bo imela 8. slika? Raziskoval sem tako, da sem vse od kvadratov v spodnji vrsti podvojil in nato dobljeno število še enkrat pomnožil z 2. 8. slika bo imela 530 kvadratov. C Koliko kvadratov je na 5. sliki? Raziskoval sem tako, da sem računal koliko je 4 3 in nato sem preštel štirikotnik in ugotovil da je na 5. sliki 4 5 in na 1000 je 4 1000 . Formula kvadratov je 4n. Na 5. sliki je 4 5 in na 1000 je 4 1000 in formula je: kvadratov je 4 n Razumevanje drugačnega pristopa Ugotovitev pomembnosti urejenega zapisa pri raziskovanju (npr.: preglednica) IZ RAZREDA 31 Matematika v šoli, št. 1., letnik 26, 2020 31 Primeri zelo dobrega zapisa Učenec/-ka Raziskovalno vprašanje Kako sem raziskoval/-a Ugotovitev Č Koliko kvadratov je na poljubni sliki? Najprej sem pogledal sliko in videl, da so na prvi sliki 4 mali kvadrati. Na drugi jih je 16 itd. Napisal sem jih kot potence. Nato sem si naredil tabelo in napisal v prvi stolpec število zaporednega trikotnika v drugem pa število, koliko malih kvadratkov je v kvadratu. Napisal sem s potenco. Ugotovil sem, da če imamo poljubno zaporedno število kvadratov, toliko je eksponent v potenci. Primer n n . Če imamo zaporedno število kvadratov 7, je 4 7 . D Z Miho sva si naredila raziskovalno tabelo in sva v enem stolpcu napisala zaporedno število štirikotnikov, v drugem stolpcu sva napisala število štirikotnikov, v tretjem stolpcu pa sva napisala število s potenco. Pri potencah se je eksponent zviševala za ena. Učenec/-ka Raziskovalno vprašanje Kako sem raziskoval/-a Ugotovitev E Kako se povečuje število kvadratov, če se en poveča vedno za štiri? V zvezek sem si narisala tabelo in si vanjo napisala zaporedna števila lika, število kvadratov v liku in število kvadratov zapisano s potenco. Vedno se povečuje za štiri, npr. ko imaš en lik iz tega nastanejo štiri, ko imaš štiri nastane šestnajst likov. S potenco pa sem zapisala, da, če je bilo število kvadratov 256, bi bila potenca 64 2 . F Koliko kvadratov je na 1000 sliki. Raziskoval sem tako, da sem računal koliko je 4 3 in nato sem preštel štirikotnike. Ugotovil sem, da je na 5. slikici 4 5 in na 1000 je 4 1000 . Formula je: kvadratov je 4 n in n slikic. Na 5. slikici je 4 5 in na 1000 je 4 1000 . Formula je: kvadratov je 4 n , slikic pa n slikic. Učenec/-ka Raziskovalno vprašanje Kako sem raziskoval/-a Ugotovitev G Koliko kvadratov bo imela 8. slika? Raziskoval sem tako, da sem vse od kvadratov s spodnji vrsti podvojil in nato dobljeno število še enkrat pomnožil z 2. 8. slika bo imela 530 kvadratov. H Kako si prišla do izračuna? Računala sem, si pomagala s tabelo. Množila sem številke, in ko sem dobila sem za naslednji izračun, sem spet množila s prvo številko, in potem dala v potence Slika 1: Vprašalnik v googlovih obrazcih (url.sio.si/raziskava). Primeri dobrega zapisa Primeri slabega zapisa