-/••rw. FÜR BEARBEITET VON E. F. WENGHART, BÜRGERSCHULDIREKTOR i. R. MIT 161 FIGUREN, 118 GEOMETRISCHEN ORNAMENTEN UND 1 TAFEL MIT BUCHSTABEN. VIERTE, NACH DEM LEHRPLAN VOM 15. JULI 1907, Z. 2368, UMGEARBEITETE AUFLAGE. \ Mit Miniöterialerlaß vom 27. Januar 1908, Z. 1629, allgemein zulässig erklärt. PREIS: GEBUNDEN 1 K 70 h. WIEN 1908. VERLAG VON F. TEMPSIvY. Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechtes, Vorbehalten. Buchdruckerei G. Freytag, Gesellschaft m. b. H., Wien. I. Abschnitt. Betrachtung der ebenen geometrischen Gebilde. 1. Gr und Vorstellungen der Raumgebilde. (Der Würfel wird auf dem Tische oder einem Stative so aufgestellt, daß zwei Flächen eine horizontale Lage haben und eine Fläche den Schülern zugewendet ist.) Wir können durch unsere Sinne eine große Menge von Gegen¬ ständen wahrnehmen, so beispielsweise im Schulzimmer den vorstehenden Würfel, die Schultafel, den Kasten, die Bänke u. s. w. — Alle diese Gegenstände nehmen einen Raum ein, welcher von ihnen nach allen Richtungen ausgefüllt wird; sie sind nach allen Richtungen hin begrenzt. Ein von allen Seiten begrenzter Raum heißt Körper. Der Würfel ist ein Körper. Obwohl die Körper nach allen Rich¬ tungen ausgedehnt sind, unterscheidet man doch 3 Hauptrichtungen der Ausdehnung (Di¬ mensionen): die Länge, die Breite und die Dicke (Tiefe oder Höhe). • • Zeige am Würfel und an anderen Gegenständen des Schulzimmers diese 3 Hauptrichtungen! Der Würfel wird von 6 Flächen eingeschlossen. Diese sind: die obere und die untere, die vordere und die rückwärtige, die rechte und die linke Fläche. Wie viele Flächen zeigen sich am Kasten, an einer zylindrischen Feder¬ schachtel, an einem Zuckerhute, an einer Kugel? Die Körper sind von Flächen begrenzt. Jede Fläche des Würfels ist nach 2 Hauptrichtungen ausgedehnt; so die untere Fläche von links nach rechts und von vorne nach rückwärts. Auch an der Tafelfläche, an den einzelnen Flächen des Kastens u. s. w. lassen sich zwei Hauptausdehnungen nachweisen. Die Flächen haben 2 Hauptausdehnungen, nämlich eine Länge und eine Breite. 1 * 4 Jede Würfelfläche wird von 4 Linien (Kanten) eingeschlossen. Von wie vielen Linien wird ein Dreieck, ein Sechseck, die Kreisfläche begrenzt? Die Flächen werden von Linien eingeschlossen. Bestimme mit Hilfe eines Maßstabes die Länge einer Würfelkante! — Linien lassen sich nur nach einer Richtung ausmessen, sie besitzen daher nur eine Dimension. Die Linien haben nur eine Ausdehnung, nämlich eine Länge. Die beiden Grenzen einer Linie (Kante) heißt man Punkte (Ecken). Die Linien werden von Punkten begrenzt. Die Punkte nehmen keinen Raum ein, sie lassen sich daher auch nicht abmessen. Die Körper, Flächen und Linien nennt man Raumgrößen, weil sie sich im Raume ausdehnen. Die Punkte sind keine Raumgrößen. Die Lehre von den Raumgrößen heißt Geometrie. Im gewöhnlichen Leben betrachtet man häufig ein Blatt Papier als eine Fläche und feinen Draht, dünne Fäden u. s. w. als Linien, obwohl alle diese Dinge eine gewisse Länge, Breite und Dicke besitzen und daher Körper sind. Wenn der Nil aus seinen Ufern tritt, so pflegt er nicht selten die Grenzen der einzelnen Grundstücke zu zerstören und unkenntlich zu machen. Deshalb sah man sich schon im Altertum (unter Sesostris) genötigt, um unnützem Streit unter den einzelnen Grundbesitzern vorzubeugen, das vom Nilschlamme befruchtete Land alljährlich zu vermessen und zu verteilen. Dieses von der Priesterkaste vorgenommene Geschäft führte zum Studium der einzelnen Figuren und deren Eigenschaften und gab so die Veranlassung zum Entstehen einer neuen Wissenschaft, der Lehre von der Erdmessung oder Geometrie. Die Ägypter selbst und später die Perser, Griechen, Araber und andere Völker haben diese Wissenschaft, die im Altertume als eine hochansehnliche galt, immer mehr ausgebildet und entwickelt. Aber auch in unseren Tagen bestehen Ämter (Grundbuchsämter der Gerichte und Steuerbemessungsbehörden), wo in eigenen Büchern (Grundbücher und Grundsteuerkataster) die Grundstücke und Gebäude sorgfältig verzeichnet und deren Lage, Gestalt und Größe durch geometrisch genaue Zeichnungen (Grund¬ buchsmappe und Katastralmappe) ausgewiesen sind./ 2. Die Punkte. Die Punkte können, da sie weder eine Länge noch Breite oder Dicke besitzen, nur gedacht werden. Um nun die Stelle, wo man sich einen Punkt hinzudenken hat, sichtbar zu machen, bringt man an dem betreffenden Orte der Zeichenfläche mit dem Bleistifte, mit der Feder oder der Kreide einen Tupfen an. Solche Tupfen sind jedoch nicht wirkliche Punkte; sie sind bloß Zeichen derselben. Manch* mal benutzt man auch als Zeichen für die Punkte Ringelchen, kleine Kreuze oder mitunter auch Sternchen. 6 Die Punkte werden dadurch an¬ gegeben, daß man zu den dieselben versinnlichenden Zeichen Buchstaben des lateinischen Alphabetes oder auch Ziffern setzt. Zuweilen werden auch mehrere Punkte mit demselben Buch¬ staben bezeichnet; nur muß man dann diese Buchstaben zur Unterscheidung rechts oben mit kleinen Strichen versehen oder denselben rechts unten kleine Ziffern (Indices) anfügen. Man sagt: der Pi nkt a, h , c, A, D, 1, 4, 11, III , m‘, m“, r„r 2 , r s , u. s. w. Verwendungsbeispiele (Gruppe I). 1 und 3 ägyptische Wandmalerei. 2 Weißstickerei. 4 Tupfmuster für Häkelarbeit, Kreuzstich oder zum Stopfen des Netzes. 5 ein Tischtuch. 6 ein Sacktuch. 7 Kreuz¬ stich, in Farben ausführbar. 8 von einem Teppich (Filet Gobelin). Es ist Bedürfnis eines jeden Menschen, alles, was ihn umgibt, oder was er an sieh trägt, zu verschönern, zu verzieren. Schon bei den ältesten Völkern finden wir Tupf, Kreuz oder Stern, mit welchem der Mann seine Waffe kennzeichnete oder seinen Rang darstellte. Bald nahmen diese Tupfen Reihenfolge oder wiederholende (rhythmische) Ordnung an und wurden zur Zierde, zum Ornament. A 3. Die Linien. (Betrachtung des Würfels und des geraden Kreiszylinders.) Alle Kanten des Würfels sind gerade Linien. Solche Linien ent¬ stehen, wenn sich ein Punkt (Spitze des Bleistiftes, Kreidenspitze u. s. w.) immei nach einer und derselben gerade Linie in mehrere gleiche Piff. 3. Fig. 4. Richtung bewegt Teilt man .eine Teile und beobach L et die Richtung derselben, so sieht man, daß diese bei allen Teilen unverändert und gleich¬ bleibend ist (Fig. 4). Gerade Linien sind solche Linien, welche in allen ihren Teilen eine gleiche Richtung haben. Betrachtet man dagegen die am Zylinder (Fig. 3) oben und unten vor¬ kommenden Linien und denkt sich auch diese wieder in mehrere gleiche Teile zerlegt, so sieht man, daß jeder Teil eine andere Richtung besitzt; man nennt derartige Linien krumme Linien (Fig. 4). — Wie entsteht eine krumme Linie? Krumme Linien sind solche Linien, von denen jeder Teil eine andere Richtung hat. Nenne Gegenstände, an denen sich gerade Linien vorfinden, und zeige die letzteren! — An welchen Gegenständen bemerken wir krumme Linien? Zeige sie! Zeichne eine gerade und eine krumme Linie an die Tafel! Linien, welche sich aus lauter geraden Linien von verschie- dener Richtung zusammensetzen, heißen geradgebrochene Linien (Fig. 5). Linien, welche sich aus lauter krummen Linien zusammen- setzen, nennt man krummgebrochene Linien. Linien, welche teils aus geraden, teils aus krummen Linien bestehen, heißen gemischte Linien. Man unterscheidet gerade, krumme, geradgebrochene, krummgebrochene und gemischte Linien. 7 Die Linien benennt man mit 2 Buchstaben oder Ziffern oder auch mit einem Buchstaben oder einer Ziffer; im letzteren Falle werden diese Buch¬ staben oder Ziffern in die Mitte der Linien gesetzt und zumeist eingeklammert (Fig. 6). Man sagt: die Linie AB oder 4, 5 oder m oder 2. Eine beiderseits begrenzte Gerade heißt Strecke. Z. B. ab (Fig. 7). # . Linien, welche wohl einen Anfang, aber kein Ende haben, nennt man Strahlen. Das Fortlaufen einer Linie pflegt man durch einen Pfeil anzudeuten. Z. B. cx. Linien, welche weder einen Anfang noch ein Ende besitzen, werden unendliche Linien genannt. Z. B. yz. Die Naht, welche die Frau zum Zusammenfügen der Teile der Kleidung ver¬ wendete, führte zum Linienornament, denn bald verstand sie aus der Not eine Tugend, aus der Naht eine Zierde zu m ackern^ Verwendungsbeispiele (Gruppe IIL 1 gerade und krumme Linie. 2 die Naht als gebrochene Linie. 3 deren Verwendung zur Verlängerung eines Kinderrockes. 4 Vorlage für Häkel- und Stickmuster. Eine Gerade, welche die Richtung des Bleilotes oder Senkels hat, heißt lotrecht oder vertikal. Z. B. die Linie a (Fig. 8). Ein freifallender Körper bewegt sich in ver¬ tikaler Richtung nach abwärts. Eine Gerade, welche die Richtung eines auf dem ruhigen Wasserspiegel schwimmen¬ den Stäbchens oder eines auf beiden Seiten gleichbelasteten Wagebalkens hat, heißt wasserrecht, wagrecht oder horizontal. Z. B. die Linie b. Eine Gerade, welche weder lotrecht noch wagrecht ist, heißt schief oder schräge. Z. B.c. Die gerade Linie kann lotrecht, wagrecht oder schief sein. Zum Zeichnen gerader Linien bedient man sich des Lineales. Die Linien werden entweder in einem Zuge ohne Unterbrechung (b) 8 Fig. 9. ausgezogen und heißen dann volle Linien, oder - 3 - sie werden punktiert oder gestrichelt oder endlich gestrichelt-punktiert (Fig. 9). Strenge genommen sind die aus lauter ..-.. Bleistift- oder Kreideteilchen sich zusammen¬ setzenden Striche keine Linien; man bedient ' sich jedoch gewöhnlich derselben als Zeichen (Symbole) der letzteren. Aufgaben: 1. Zeichnet eine gerade, eine krumme, eine geradgebrochene, eine krummge¬ brochene und eine gemischte Linie! Bezeichnet jede dieser Linien mit 2 Buchstaben. 2. Ziehet mit Hilfe des Lineales eine Strecke, einen Strahl und eine unendliche Linie! Jede dieser 3 Linien ist mit 2 Ziffern zu bezeichnen. 3. Ziehet eine lotrechte, eine wagrechte und eine schräge Gerade! Benennt diese 3 Linien mit je einem Buchstaben! 4. Zeichnet eine volle, eine punktierte, eine gestrichelte und eine strichpunk¬ tierte Linie! Die einzelnen Linien sind mit je einer Ziffer zu bezeichnen. Verwendungsbeispiele (Gruppe III). 1 gerade Linien von verschiedener Rich- tung.2 wie man Linien auf Tupfpapier über¬ trägt. 3 Vereinigung lotrechter und wag- rechter Linien zu einer Rand verzier ung mit Eckbildung, verwendbar für Decken und Deckchen mit aufgenähter Schnur. 4 und 6 Tupfvorlagen für Häkelarbeit, Kreuzstich, gezählten Flachstich, zum Ausnähen des Netzes und für Perlarbeit. 5 schiefe Linien. Ornament, verwendbar wie 3 auch für Stiel- und Schnurstich. 7 Ornament, verwendbar zur Bändchenbenähung für Kinder¬ kleider u. dgl. 4. Das Messen der Strecken. Die Länge einer Strecke bestimmen, heißt diese messen. Hierzu nimmt man eine Strecke von bekannter Länge als Einheit an und untersucht, wie oft diese als Einheit angenommene Strecke in der zu _ % _ messenden enthalten ist. Die Zahl, welche dies angibt, heißt die Maß zahl der Strecke. Als Einheit des Längenmaßes gilt das Meter (m), das in 10 Dezimeter (dm) eingeteilt wird. 1 Dezimeter hat 10 Zentimeter (cm), und jedes Zenti¬ meter ist gleich 10 Millimeter (mm). 1000 Meter geben 1 Kilometer (km), und 10 Kilometer machen 1 Myriameter (jum) aus. ln Zeichen: 1 1 1 1 1 t um km m dm cm 10 km 1000 m 10 dm 10 cm 10 mm lm = 100 cm Das Meter ist der 40,000.000. Teil eines Erdmeridianes. Zum Ausmessen der Längen bedient man sich gewöhnlich eines Stabes von Holz oder Metall, worauf eines der Längenmaße nebst den entsprechen¬ den Untereinteilungen aufgetragen ist (Maßstab). Fig. 10 stellt die Länge eines Dezimeters mit dessen Einteilung in Zentimeter und Millimeter dar. Fig. 10. Schätze dem Augenmaße nach die Länge des lotrechten und des wag¬ rechten Tafelrandes und bestimme sodann mit Hilfe eines Maßstabes, um wieviel du gefehlt hast! Versuche dies ebenso mit anderen Linien! Mv 5. Die Kreislinie. Von allen krummen Linien ist die Kreislinie (kurzweg: der Kreis) die wichtigste. An welchem Körper haben wir Kreise gesehen? Zur Darstellung des Kreises bedient man sich des Zirkels. Während die eine Spitze in einem bestimmten Punkte (dem Mittelpunkte) eingesetzt wird, beschreibt die zweite Spitze eine in sich selbst zurückkehrende krumme Linie. Da hierbei die beiden Zirkelspitzen immer dieselbe Entfernung von¬ einander beibehalten, so haben alle Punkte der Kreislinie von dem Mittel¬ punkte die gleiche Entfernung. Daher kann man sagen: J-VEine Kreislinie ist eine in sich selbst zurückkehrende krumme Linie von der Beschaffenheit, daß alle ihre Punkte von einem gegebenen Punkte die gleiche Entfernung haben. Der in der Mitte der Kreislinie (Fig. 11) gelegene Punkt Oheißt Mittel¬ punkt oder Zentrum. N 10 Jede gerade Linie, welche den Mittelpunkt des Kreises mit irgend¬ einem Punkte der Kreislinie verbindet, heißt Halb¬ messer oder Radius. Z. B. AO. Alle geraden Linien, welche zwei entgegen¬ gesetzte Punkte der Kreislinie verbinden, nennt man Durchmesser oder Diameter. Z. B. BC. In welchem Punkte treffen alle Halbmesser eines und desselben Kreises zusammen? In welchem Punkte schneiden sich sämtliche Durchmesser? Alle Halbmesser eines und desselben Kreises sind unter¬ einander gleich. Warum? Alle Durchmesser desselben Kreises haben gleiche Größe. Weshalb? Jeder Durchmesser ist doppelt so groß als ein Halbmesser desselben Kreises. Warum? Ein Teil der Kreislinie heißt Kreis¬ bogen oder kurz Bogen. Z. B. Fig. 12, BEF. Jede Strecke, welche zwei beliebige Punkte des Kreisumfanges verbindet, wird Sehne ge¬ nannt. Z. B. BF. DieLängederKreislinienennt man auchümfang oderPeripherie. Die ganze Kreislinie pflegt man in 3G0 gleiche Bogen einzuteilen; jedes Stück heißt ein Bogengrad. Wie viele Bogengrade enthält a) der Halbkreis? b) ein Viertelkreis oder Quadrant? c) ein Achtelkreis oder Oktant? Fig. 12, * * » 1 und 3 Kreisreihen, wie wir sie an Perlenschnüren sehen; kleine Metallplättchen werden oft in dieser Weise an Handarbeiten gereiht. 2 übereinander gereihte Kreise. 5 gereihte Halbkreise; sie finden Verwendung bei Perlenketten; aus ihnen bildet sich 6 der gotische Bogen, der so wie 4 und 7 als Ausschlägernuster für nicht fransende Stoffe wie Tuch, Flanell u. s. w. Verwendung findet. 8 Reihung von Viertelbogen zur Wellenlinie, welche in mehr¬ facher Überein anderlegung die geometrische Grundlage der Flechtbänder bildet. 9 das Wellenband, wie es als Abschluß von Wäschestücken häufig verwendet wird. 11 Bei feineren Messungen wird jeder Grad überdies in 60 Bo ge n mi n u t e n und jede Bogenminute in 60 Bogensekunden eingeteilt. Die Grade, Minuten und Sekunden werden mit °, ' und " bezeichnet. Man schreibt: Der Kreisumfang enthält 360°, 1° = 60' und 1' = 60". Wie viele Grade enthält ein Sechstel (Sextant) des Kreises? Wie viele Grade kommen auf die Hälfte eines Sechstelkreises ? Wie viele Grade enthält ein Kreisbogen, der sich aus einem Sechstelkreise und aus der Hälfte eines zweiten Sechstelkreises zusammensetzt? Wie könnte man ein solches Bogenstück nach dem früher Gesagten bezeichnen? Wie viele Grade ent¬ halten 2 Sechstelkreise? Fig. 13. 6. Lage zweier in derselben Ebene liegenden geraden Linien. Die obere und die untere Kante der Schultafel haben überall die gleiche Entfernung voneinander; dasselbe gilt auch bezüglich der linken und rechten Kante. Gerade Linien, welche überall eine gleiche Entfernung vonein¬ ander haben, heißen gleichlaufend oder parallel. Zeichen hierfür: || . Parallele Linien schneiden sich nie, wenn sie auch noch so weit verlängert werden; parallele Linien sind Linien von gleicher Eichtung (Fig. 13). Suchet parallele Linien im Schul¬ zimmer auf! Betrachtet man an der Schultafel die obere und die linke Seite der vorderen Fläche, so findet man, daß sie sich in einem Punkte (der Tafel- ecke) schneiden. Gerade Linien, welche sich in einem Punkte treffen, heißen sich schneidende Gerade. Nach jener Richtung, wo sie zusammenlaufen, heißen sie konvergierend und dort, wo sie aus¬ einandergehen, divergierend (Fig. 14). Zeige im Schulzimmer Linien, welche sich schneiden! Wo ist ihr Schnittpunkt? Zwei gerade in einer und derselben Ebene liegenden Linien sind entweder zu¬ einander parallel oder sie schneiden sich. Zeichne an die Tafel eine lotrechte Linie und ziehe zu ihr nach dem Augenmaße eine Parallele! Dasselbe soll auch zu einer wagrechten und zu einer schiefen Geraden geschehen! Fig. 14. O i\ i \ / \ konvergierend Ai \C Br. • ; J) divergierend 12 Zwei parallele Linien zeigen uns den Saum als Schmuck nicht nur der Kleidungs¬ und Wäschestücke, sondern auch der einfach getünchten Wand, der Flächen unserer Möbel, der Seiten eines Baches u. s. w. Als Schraffierung begrenzter Flächen erscheinen parallele Linien schon seit ältester Zeit. Verwendungsbcispiele (Gruppe Y). I ' k 5 1 aus ägyptischen Gräbern. 2 Verwendung paralleler Linien in der Strickerei. 3 von einem Mumienkasten. 4 Federn, Gräten u. s. w. 5 Schraffierung. 7. Die Winkel. Dreht sich der Strahl AO (Fig. 15) um den festen Punkt 0 so, daß er nach und nach in die Lagen OB , OC : OD und OE kommt und zuletzt wieder in die ursprüngliche Lage zurückkehrt, so weicht er bei dieser Drehung von seiner ursprünglichen Lage AO immer mehr ab; die Größe der jeweiligen Dre¬ hung wird Winkel genaunt. Die ebene, nach einer Seite hin offene Fläche, welche zwischen den beiden Strahlen liegt, heißt Winkelfläche. Zeichen für Winkel: <£ oder Die beiden Strahlen, welche den Winkel bilden, heißen Schenkel; ihr Durchschnittspunkt wird Scheitel oder Spitze des Winkels genannt (Fig. 16). Man bezeichnet einen Winkel (Fig. 17) entweder durch einen Buch¬ staben am Scheitel (z. B. / a ) oder durch zwei Buchstaben in der Mitte der Schenkel (z. B. Winkel rs) oder durch drei Buchstaben, von denen zuerst der Buchstabe an dem Ende des einen Schenkels, dann der Buchstabe am Scheitel und zuletzt der Buchstabe am Ende des andern Schenkels ausge¬ sprochen wird (z. B. /_ ABO oder /_ CBA). Fig. 15. c 13 Zeichne einen beliebigen Winkel an die Tafel! Verlängere jeden Schenkel desselben und gib an, ob sich hierbei die Größe des Winkels geändert hat! Wie müßten die Schenkel gezeichnet werden, damit der Winkel größer würde? Fig. 16. Fig. 17. Ein Winkel wird desto größer, je mehr seine Schenkel von¬ einander abweichen; die Länge der Schenkel hat aber keinen Einfluß auf die Größe eines Winkels. Zwei Winkel sind gleich, wenn sie so aufeinander gelegt werden können, daß sowohl die Scheitel als auch die Schenkel sich beziehungsweise decken. Macht der Strahl weniger als ein Viertel einer vollen Umdrehung, so Fig. 18. entsteht ein spitzer Winkel (/, a). Beträgt diese Drehung gerade ein Viertel einer vollen Umdrehung, so heißt der Winkel ein rechter (/_ b). Zeichen für den rechten Winkel: R. Macht die Drehung mehr als ein Viertel einer vollen Um¬ drehung aus, erreicht sie jedoch noch nicht eine halbe Umdre¬ hung, so nennt man den Winkel einen stumpfen (/_ g ). Be¬ trägt die Drehung 'bereits eine halbe Umdrehung, bilden also beide Schenkel eine gerade Linie, so heißt der Winkel ein ger ader oder gest re c kter LOE Winkel von mehr als einer halben Umdrehung nennt man erhabene Winkel (/_ e). Hat der Strahl eine ganze Umdrehung gemacht, so ent¬ steht ein voller Winkel (/ /). 14 Der spitze und der stumpfe Winkel heißen auch schiefe Winkel. Der spitze, der rechte und der stumpfe Winkel werden häufig auch hohle Winkel genannt.^^* Strenge genommen bilden die beiden sich schneidenden Strahlen immer zwei Winkel. So hat man es bei den 2 sich schneidenden geraden Linien AB und BC (Fig. 19) mit den Winkeln m und n zu tun; gewöhnlich bezeichnet man den kleineren (/_ m) als inneren und den größeren als äußeren Winkel. Beide Winkel ergänzen sich zu einem vollen Winkel; darum wird jeder von ihnen der Ergänzungswinkel des andern genannt. Jenen von den 2 Winkeln, welchen man meint, hebt man in der Zeichnung gewöhnlich dadurch hervor, daß man zwischen seinen Schenkeln einen kleinen Kreisbogen zieht, wie dies in Fig. 18 zu ersehen ist. Zeichne einen stumpfen Winkel an die Schultafel und halbiere ihn! Es soll ein spitzer Winkel an die Tafel gezeichnet und hierauf in 4 gleiche Teile geteilt werden! (Immer nach dem Augenmaße). Was für einen Winkel beschreibt der Minutenzeiger einer Uhr in 10, 15, 25, 30, 40 Minuten? Welchen Winkel macht derselbe in 1 Stunde? Was für einen Winkel bilden die beiden Zeiger einer Uhr a ) um 3, 6, 9 Uhr? b) um 2, 5, 10 Uhr? Durch Reihung von Winkeln dürfte das unter dem Namen Zickzack bekannte Ornament entstanden sein, das bei den Assyrern Treppenform annahm imd wohl auch die Grundlage des Zahnschnittornamentes bildet. Verwendungsbeispiele (Gruppe VI). Fig. 19. A C r i 2 1 Zickzackband. 2 Fischgrätenstich, häufig verwendet auf Wäschegegenständen oder als Zierstich auf Kleidern. 3 Zackenlitze als Einsatz zwischen zwei gesäumten Stoff- teilen. 4 Ausschlagemustei für Tuch, Flanell u. s.w. 5 Treppenform der Assyrer. 15 8. Das Messen der Winkel. Wie früher bemerkt wurde, hängt die Größe eines Winkels nur von der Größe der Umdrehung ab. Man nimmt nun den rechten Winkel wegen seiner unveränderlichen Größe als Ausgangspunkt des Winkelmaßes an und teilt ihn in 90 gleiche Winkel,-welche man Winkelgrade nennt. Ein Winkelgrad entsteht, wenn der den Winkel erzeugende Strahl bei seiner Drehung nur den 360. Teil einer vollen Umdre¬ hung beschreibt. Bei feineren Messungen wird jeder Winkel¬ gradin 60 gl eich eT eile zerlegt, welche manWin kelminuten nennt, desgleichen teilt man jede Winkelminute in 60 Winkelsekunden ein. Die Winkelgrade, Minuten und Sekunden bezeichnet man (wie beim Kreise) durch °, ', Die Größe eines Winkels ist vollkommen bestimmt, wenn man angibt, wie viele Grade und Gradteile er enthält. Aus diesen Erklärungen folgt: Ein spitzer Winkel enthält weniger als 90°, ein rechter Winkel 90°; ein stumpfer Winkel hat mehr als 90°, aber weniger als 180°; ein gestreckter Winkel enthält 180°, ein erhabener Winkel mehr als 180°; der volle Winkel hat 360°. Teilt man die Peripherie eines Kreises in 360 Bogengrade und zieht vom Mittelpunkte zu jedem Teilungspunkte einen Halbmesser, so entstehen um den Mittelpunkt 360 Winkel, welche alle untereinander gleich sind (Winkel¬ grade). Jedem einzelnen Winkelgrad entspricht je ein Bogengrad. Demnach enthält ein Winkel eben so viele Winkelgrade, als der zugehörige Bogen Bogengrade hat. Daher kann jeder Winkel durch den Kreisbogen, ii i ci i * Fig. 20. welchen man aus dem Schei¬ tel zwischen den Schenkeln beschreibt, gemessen werden. Darauf beruht der Gebrauch des Winkelmessers oder Trans¬ porteurs; derselbe dient teils zum Messen eines gegebenen, teils zur Konstruktion eines verlangten Winkels. Fig. 20 zeigt, wie ein ge- -bener Winkel DCE abzumessen ist; derselbe enthält 55°. ■ ■ ^ pniw^ Häufig Rv^mt die Aufgabe vor, einen gegebenen Winkel ABC vj. 21) abzuzei\jinen oder zu kopieren. Gesetzt, es wäre dieser Winkel die Gerade A'B' zu übertragen. Man ziehe von B aus den Bogen mn und n B' aus mit gleichem Halbmesser den Bogen mx. Nun messe man mit / 16 G Fig. 21. Hilfe des Zirkels die Länge des ersten Bogens mn und übertrage sie auf den zweiten Kreisbogen (m'n'). Zieht man noch B'C so erhält man den Winkel A'B'C\ welcher ebenso groß ist als ABC , weil beide Winkel gleich Um¬ drehungsbogen besitzen. Zeichne an die Schultafel r mehrere spitze, stumpfe und er- Gradzahl zuerst mit freiem Auge ab und bestimme sodann die letztere mi Hilfe des Transporteurs! Aufgaben: 1. Zeichnet an die Schultafel einen spitzen Winkel und übertraget denselbe an eine andere Stelle! Dasselbe soll mit einem stumpfen Winkel geschehen! 2. Zeichnet nach dem Augenmaße Winkel von 60°, 30°, 15°, 120°, 90°, 45 (Nachmessen mit dem Transporteur.) 3. Zeichnet mit Hilfe des Transporteurs Winkel von 36°, 72°, 135°! Fig. 22. B 9. Nebenwinkel und Scheitelwinkel. Wird ein Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus verlängert, so entstehen zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemeinschaft liehen Schenkel haben, und deren beide anderen Schenkel auf entgegen¬ gesetzten Seiten des Scheitels in einer geraden Linie liegen. Solche Winke : heißen Nebenwinkel. AOB (Fig. 22) ist ein Neben¬ winkel von BOC ; ebenso sind AO± und COD Nebenwinkel. Da je zwei Nebenwinkel zu sammen genommen einen gestreck ten Winkel geben, so folgt: Di' Summe zweier Nebenwinke ist gleich zwei Rechten. Was für Winkel sind Neben winkel, wenn sie gleich sind, und was für Winkel sind sie, wenn sie ungleich sind? Wie groß ist der Nebenwinkel von 20°, 35°, 64°, 100°, 148°, 55° 40 115° 16' 45"? Bildet eine Gerade mit einer andern Geraden zwei gleiche Ne^ so sagt man: sie steht auf ihr senkrecht oder normal. Bildet ex. ^ mit einer andern Geraden zwei ungleiche Nebenwinkel, so steht sie c. ■ ^ schief. 17 Eine Senkrechte bildet also mit der Geraden, auf welcher sie senkrecht steht, zwei rechte Winkel; eine Schiefe bildet mit der andern Geraden einen spitzen und einen stumpfen Winkel. In Fig. 22 ist BO senkrecht auf AC, was man so bezeichnet: BO 1 AC\ dagegen steht BO auf AC schief (Zeichen: /). Wenn sich eine horizontale und eine vertikale Linie treffen, so bilden sie stets einen rechten Winkel, stehen also immer senkrecht aufeinander. Aber nicht von je zwei senkrechten Linien kann man sagen, daß die eine horizontal und die andere vertikal ist. Bei der Wage steht immer das Zünglein senkrecht auf dem Wagebalken. Doch ist das Zünglein nur dann vertikal und Ler Wagebalken horizontal, wenn die beiden Schalen leer oder gleich belastet sind; in jedem anderen Falle sind sie schräge. / Verwendungsbeispiele (Gruppe VII). Durch Übereinanderlegen zweier gerader Linien gewinnen wir das Kreuz, u. zw. 1 und 2 das liegende oder griechische Kreuz, das in unseren Handarbeiten als Kreuzstich viel¬ fach Verwendung findet; das stehende oder Andreaskreuz wird in unseren Kreuzstich¬ arbeiten über das liegende gelegt, wenn mit demselben große Muster erzeugt werden sollen. 6 das sogenannte Sw^astikakreuz, aus welchem die Griechen jenes herrliche Orna¬ ment bildeten, das unter dem Namen gebrochener Stab, auch Mäander bei allen Kultur¬ völkern heute noch vielfache Verwendung findet; so in 7, 10, 11 und 12 als Randborte mit Eck- und Mittelbildung, in 8, 9 und 14 als Flächenfüllung. 13 gibt das Hakenkreuz, 3 und 5 durch Reihung des liegenden Kreuzes den Rautenstab. 4 Reihung des liegenden Kreuzes zur Bandverschlingung. Mocn ik-Wenghart, Geometrische Formenlehre für Madchenbiirgerschulen. 18 Fig. 23. Zieh eine Gerade, nimm darin fünf Punkte an und errichte in jedem derselben auf die Gerade eine Senkrechte! Welche Lage gegeneinander haben diese Senkrechten? Zeichne zwei parallele Gerade, nimm in der einen fünf Punkte an und fälle aus jedem auf die andere Gerade eine Senkrechte! Wie verhalten sich diese Senkrechten in bezug auf ihre Länge? Verlängert man beide Sei enkel eines Winkels AOB (Fig. 23) über den Schütel 0 hinaus, so heißt der von diesen Verlängerungen gebildete Winkel COD der Scheitelwinkel des gegebenen Winkels AOB. Scheitelwinkel werden also von denselben zwei geraden Linien auf ent¬ gegengesetzten Seiten ihres Durchschnitts¬ punktes gebildet. Da zwei sich schneidende Gerade auf beiden Seiten des Durchschnittspunktes ihre Richtungen beibehalten, so ist auch die Abweichung dieser Richtungen auf beiden Seiten dieselbe; d. h.: Je zwei Scheitelwinkel sind einander gleich. / 10. Gegenwinkel, Wechselwinkel und Anwinkel. Werden zwei gerade Linien von einer dritten geschnitten, so entstehen um die beiden Durchschnittspunkte acht Winkel. Die vier Winkel, welche zwischen den beiden geschnittenen Geraden liegen, heißen innere, die anderen vier äußere Winkel. In Fig. 24 sind AB und CD die beiden geschnittenen Geraden, EF ist die schneidende Gerade; c, d, m und n sind innere, a, 6, o und p sind äußere Winkel. Ein äußerer und ein innerer Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf derselben Seite der Schneidenden liegen, heißen Gegenwinkel, Zwei äußere oder zwei innere Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf verschiedenen Seiten der Schneidenden liegen, werden Wechsel¬ winkel genannt. Zwei äußere oder zwei innere Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf derselben Seite der Schneidenden liegen, heißen A n- winkel. Gegenwinkel: a und m b „ n G ,, 0 Wechsel winkel: a und p b c d 0 n m An winkel: a und o b „ p c „ m d n d „ p Schreitet die Gerade AB (Fig. 24) längs der EF mit sich selbst parallel fort, bis sie in der Lage CD kommt, so wird sie, da sich dabei ihre Lage gegen die EF nicht ändert, mit dieser stets dieselben vier Winkel bilden; es werden 10 also, wenn AB nach CT) gelangt, je zwei Gegenwinkel aufeinander fallen, also einander gleich sein; je zwei Wechselwinkel werden in zwei Scheitel¬ winkel übergehen, also auch einander gleich sein; je zwei Anwinkel endlich werden zu Nebenwinkeln, also zusammen 180° betragen. Es ist also 1. a = m 2. a = p 3. a-\- o = 180° b — n b — o b -j- p =180° c = o c = n c - j- m— 180° d = p d = m d \-n = 180°;d.h. : Werden zwei parallele Gerade von einer dritten geschnitten, so sind 1. je zwei Gegenwinkel einander gleich, 2. je zwei Wechselwinkel einander gleich, 3. je zwei An winkel zusammen gleich 180°. Umgekehrt folgt: Werden zwei Gerade von einer dritten so ge¬ schnitten, daß entweder zwei Gegenwinkel oder zwei Wechsel¬ winkel gleich sind oder zwei Anwinkel zusammen 180° betragen, so müssen die geschnittenen Geraden parallel sein. Es sei (Eig. 25) AB || DE und AC || DF . Fig. 25. F CF C C i. In7 sind die parallelen Schenkel der Winkel a und m gleichgerichtet und ist, da < a — x und m = x als Gegenwinkel, auch a = m. In II sind die parallelen Schenkel der Winkel a und m entgegengesetzt gerichtet; da a dem Winkel x als Gegenwinkel und m dem Winkel x als Wechsel winkel gleich ist, so ist auch in diesem Falle a = m. In III haben die Winkel a und n auch paarweise parallele Schenkel; es ist jedoch nur ein Paar paralleler Schenkel nach derselben Seite, das andere Paar aber nach entgegengesetzten Seiten gerichtet. Da a -f- y == 2i? und n= y ist, so ist auch a,n — 2 R. 20 Zeichne die drei gegebenen Figuren so, daß a immer ein stumpfer Winkel ist! Es zeigt sich wieder, daß in 1 und II die beiden Winkel gleich sind, während sich in III die Winkel a und n zu 180° er¬ gänzen. Daraus folgt: Schiefe Winkel, deren Schenkel pa¬ rallel laufen, sind einander gleich, wenn beide spitz oder beide stumpf sind; sie be¬ tragen 180°, wenn der eine spitz und der andere stumpf ist. Häufig bedient man sich zum Ziehen paralleler Linien des Lineals und des Dreieckes. Wäre zur Geraden AB (Fig. 26) eine Parallele zu ziehen, so lege man das Dreieck mit einer Seite (am besten mit einem Schenkel des rechten Winkels) bei A an und längs der zweiten Seite (des andern Schenkels des rechten Winkels) gebe man das Lineal. Nun gleite man mit dem Dreiecke an dem festgehaltenen Lineal so weit herab, bis man an jene Stelle kommt, wo die und zeichne die Linie CB. Die Geraden weil sie mit der Geraden AC gleiche Qegenwinkel (R) bilden. Fi s- 27 - In Fig. 27, 7 und 77, sind zwei spitze Winkel beziehungsweise ein spitzer und ein stumpfer Winkel ersichtlich, deren Schen¬ kel aufeinander senkrecht stehen. Es läßt sich leicht zeigen, daß < a = m ist, beziehungsweise die < a und n zusammen¬ genommen 2 R betragen. Man braucht nur die Winkel m und n, ohne ihre Größe zu ändern, um einen Viertelkreis zu drehen und in die punktierte Lage zu bringen; die Winkel a und m, beziehungsweise a und w, sind dann Winkel mit parallelen Schenkeln und es gelten dann die oben angegebenen zwei Sätze. Hieraus folgt: Winkel, deren Schenkel senkrecht aufeinander stehen, sind entweder einander gleich oder sie ergänzen sich zu 180°. Parallele gezogen werden soll, AB und CD sind parallel, I E 21 Verwendungsbeispiele (Gruppe VIII). 1 und 2 Linien Verzierungen zur Ausführung für stumpfe Ecken. 3 und 5 Linienmäander. 4 Bandverschlingung. 11. Die Figuren. (Betrachtung des 3-, 4- und mehrseitigen Prismas.) Auf jeder Würfelfläche lassen sich nach allen Richtungen gerade Linien so ziehen, daß sie in ihren Teilen mit der Würfelfläche zusammenfallen; man nennt solche Flächen ebene Flächen. Ebene Flächen (auch Ebenen genannt) sind solche Flächen, in welchen man nach allen Richtungen gerade Linien ziehen kann. Die vorstehenden, oben und unten gleich weiten Körper heißen Pris¬ men. Ihre Begrenzungsf'ächen sind lauter Ebenen; jede dieser Ebenen wird von geraden Linien nach allen Seiten hin begrenzt. Eine nach allen Seiten'begrenzte ebene Fläche heißt Figur. Am Prisma bemerken wir nur solche Figuren, welche von geraden Linien eingeschiossen werden. Die Kreisfläche dagegen wird von einer krummen Linie be¬ grenzt. Ein Halbkreis wird von einer geraden und von einer krummen Linie eingeschlossen. Es gibt geradlinige, krummlinige und gemischtlinige Fi¬ guren (Fig. 28). Geradlinige Figuren sind solche Figuren, welche nur von geraden Linien begrenzt werden. 22 Krummlinige Figuren sind solche Figuren, welche nur /on krummen Linien eingeschlossen werden. Gemischtlinige Figuren sind solche Figuren, welche teils von geraden teils von krummen Linien eingeschlossen werden. Zeige im Schulzimmer geradlinige, krummlinige und gemischtlinige Figuren! c Betrachtet man die Deckflächen der vorstehenden Prismen, so sieht man, daß die geradlinigen Figuren von 3, 4 oder von mehr als 4 Strecken (auch Seiten genannt) eingeschlossen werden können. Die von mehr als 4 Strecken eingeschlossenen geradlinigen Figuren heißen Vielecke (Po¬ lygone). Die geradlinigen Figuren werden eingeteilt in Dreiecke, Vierecke und Vielecke oder Polygone. Ein Dreieck ist eine geradlinige Figur, welche von 3 Strecken eingeschlossen wird lg * * (Fig. 29, I). Zeichen für Dreieck: A. Ein Viereck K ist eine geradlinige Figur, welche von 4 Strecken einge¬ schlossen wird (Fig. 29, II). Ein Vieleck oder Polygon ist eine geradlinige Figur, welche von mehr als 4 Strecken eingeschlossen wird (Fig. 29, III). Zeige im Schulzimmer Dreiecke, Vierecke und Vielecke! Die Figuren werden benannt, indem man die einzelnen an die Ecken gesetzten Buchstaben der Reihenfolge nach ausspricht; so heißt das in Fig. 29 abgebildete Dreieck: ABC. Benenne in gleicher Weise das Viereck und das Polygon! Aufgaben: 1 ) £ H J 1. Zeichnet mit Hilfe des Dreieckes und des Zirkels eine geradlinige, eine krumm¬ linige und eine gemischtlinige Figur (z. B. ein Viereck, einen Kreis und einen Viertel¬ kreis) ! 2. Zeichnet ein Dreieck, ein Viereck und ein Vieleck! 12. Das Dreieck. (Betrachtung des Tetraeders, einer geraden und einer schiefen Pyramide.) Die vorgeführten, in eine Spitze auslaufenden Körper heißen Pyra¬ miden. Was für geradlinige Figuren sind die Seitenflächen der vorstehenden Pyramiden ? Eine von drei Strecken begrenzte Figur heißt ein Dreieck. Die drei Strecken heißen Seiten des Dreieckes. Jedes Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Jede Seite hat zwei anliegende und einen gegenüberliegen¬ den Winkel. Jeder Winkel wird von zwei Seiten eingeschlossen; die dritte Seite liegt ihm gegenüber. Nenne in dem Dreiecke ABC (Fig. 30) alle drei Seiten und alle drei Winkel! Nenne zu jeder Seite die anliegenden Winkel und den gegenüberliegenden Winkel! Nenne zu jedem Winkel die Seiten, von denen er eingeschlossen wird, und die Seite, welche ihm gegenüberliegt! In jedem Dreiecke ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte. Denn der Umweg über AC und CB, um von A nach B zu ge¬ langen, ist länger als der gerade Weg über AB. Diejenige Seite, über welche man sich das Dreieck errichtet denkt, heißt die Grundlinie. Da man sich über jeder Seite das Dreieck errichtet Fig. 31. . Fig. 32. denken kann, so kann im allgemeinen auch jede Seite die Grundlinie sein. Der Scheitel des Winkels, welcher der Grundlinie gegenüberliegt, wird die Spitze oder der Scheitel, und die Senkrechte, die von der Spitze auf die Grundlinie gefällt wird, die Höhe des Dreieckes genannt. Nimmt man im Dreiecke ABC (Fig. 31) AB als Grundlinie an, so ist C der Scheitel und CD die Höhe. Wird in dem Dreiecke ABC (Fig. 32) die Seite AB verlängert und durch B die BE || AC gezogen, so entstehen die zwei Winkel m und n, von denen m dem Winkel a als Gegenwinkel, n dem Winkel c als Wechselwinkel gleich ist. Die Summe der drei Winkel a, c, b ist daher so groß wie die Summe der Winkel m, n, b. Die letztere Summe aber beträgt einen gestreckten Winkel oder zwei Rechte; also muß auch die Summe von a, c und b zwei Rechte betragen. Die Summe der drei Winkel eines Dreieckes ist gleich zwei Rechten oder 180°. 24 Aus diesem Satze folgt: 1. Zwei Dreieckswinkel betragen zusammen weniger als 180°. Können in einem Dreiecke zwei rechte Winkel oder zwei stumpfe Winkel oder ein rechter und ein stumpfer Winkel Vorkommen? — Jedes Dreieck hat daher wenigstens zwei spitze Winkel. 2. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel bekannt sind, so findet man den dritten, indem man die beiden gegebenen Winkel addiert und ihre Summe von 180° subtrahiert. Zwei Winkel eines Dreieckes sind: a ) 65° und 87°; b) 43° 10' und 102° 27'; c) 25° 46' 21" und 74° 48' 49"; d) 57° 38' 34" und 61° 10' 16"; wie groß ist der dritte Winkel? 3. Sind zwei Winkel eines Dreieckes gleich zwei Winkeln eines andern Dreieckes, so müssen auch die dritten Winkel in beiden Dreiecken gleich sein. Betrachtet man die einzelnen Dreiecke der vorstehenden Pyramiden genauer, so findet man, daß diese rücksichtlich ihrer Seiten auffallende Unterschiede zeigen. Während die erste Pyramide (auch Tetraeder oder Vierflächner genannt) solche Dreiecke enthält, deren sämtliche Seiten gleich sind, finden sich bei der zweiten Pyramide Dreiecke vor, in denen je zwei Seiten (Schenkel) dieselbe Länge haben; die schiefe Pyramide ent¬ hält Dreiecke, in welchen alle drei Seiten ungleich sind. In Beziehung auf die Länge der Seiten unterscheidet man gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige Dreiecke. Ein Dreieck, in Fig. 33. F welchem alle drei Seiten gleich lang sind, heißt gleich¬ seitiges Dreieck (Fig. 33, I). Um ein gleichsei- \ tiges Dreieck zu er- halten, zeichne man eine Gerade AB , fasse diese in den Zirkel und ziehe von A und B aus zwei sich in C schneidende Bogen. Wird nun C mit A und B durch Gerade verbunden, so erhält man das gleichseitige Dreieck ABC. Ein Dreieck, in welchem nur zwei Seiten einander gleich sind, heißt gleichschenkliges Dreieck (Fig. 33, II). Die zwei gleichen Seiten nennt man auch Schenkel, die dritte Seite Gr undlinie oder Basis und die ihr gegenüberliegende Ecke den Scheitel. Soll über der Geraden DE ein gleichschenkliges Dreieck gezeichnet werden, so beschreibe man mit einer beliebigen Zirkel weite (aber mehr als die Hälfte von DE) von D und~E aus zwei sich in F schneidende Bogen und verbinde dann den Schnittpunkt F geradlinig mit D und E. 25 Ein Dreieck, in welchem alle drei Seiten eine verschiedene Länge haben, heißt ungleichseitig (Fig. 33, III). Das gleichseitige Dreieck enthält drei spitze Winkel. Verfertige ein gleichseitiges Dreieck aus Papier und falte es in seiner Mitte zusammen! Man bekommt nun zwei Dreiecke, wovon jedes einen rechten und zwei spitze Winkel enthält. An der schiefen Pyramide finden sich ferner auch solche Dreiecke vor, die einen stumpfen Winkel enthalten. Nach dem Gesagten zeigen die Dreiecke auch bezüglich ihrer Winkel auf¬ fallende Unterschiede. Mit Rücksicht auf die Winkel gibt es spitzwinklige, recht¬ winklige und stumpfwinklige Dreiecke. Ein Dreieck, welches drei spitze Winkel enthält, heißt spitzwinkliges Dreieck (Fig. 34, I). Ein Dreieck, in welchem ein rechter und zwei spitze Winkel Vorkommen, heißt rechtwinkliges Dreieck (Fig. 34, II). Jene zwei Seiten’( EF und FG), K welche den rechten Win- Flg ‘ kel bilden, werden Ka- * theten genannt; die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite (EG) heißt Hypo¬ tenuse. Ein Dreieck, in welchem ein stump¬ fer und zwei spitze Winkel Vorkommen, heißt stumpfwinkliges Dreieck (Fig. 34, III). Einer der beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreieckes ent¬ hält 44° 51' 16"; wie groß ist der andere? Stellt in jedem der in Fig. 34 abgebildeten Dreiecke immer die untere Seite die Grundlinie oder Basis vor, so sieht man, daß im spitzwinkligen Dreiecke die Höhe innerhalb der Dreiecksfläche fällt; im rechtwinkligen Dreiecke trifft sie mit einer Kathete zusammen; im stumpfwinkligen Drei¬ ecke fällt sie außerhalb der Dreiecksfläche, weshalb die Grundlinie ent¬ sprechend verlängert werden muß. Konstruiere ein gleichseitiges und ein gleichschenkliges Dreieck, zieh überall die Höhe und vergleiche nun die einzelnen Dreiecke, in welche das gleichseitige und das gleichschenklige Dreieck zerfällt! Aufgaben: 1. Zeichne mit Hilfe des Zirkels und des Dreieckes ein gleichseitiges, ein gleich¬ schenkliges und ein ungleichseitiges Dreieck! 2. Zeichne a) einen spitzen, b) einen rechten und c) einen stumpfen Winkel und verbinde bei jedem dieser Winkel die freien Enden! Was für Dreiecke erhält man dadurch ? 26 Verwcndungsbeispiele (Gruppe IX). 1 Netzunterlage für viele Dreiecks¬ muster. 2 byzantinische Fußbodenmosaik. 3 für Auflegearbeit oder Plattstich verwendbar, sowohl für drei¬ eckige Decken oder fortgesetzt als Flächenfüllung. 4 und 6 eignen sich besonders als Füll¬ stichmuster mit schwarzer Seide auf hellem Atlas für Kleider einsätze oder als Borte von belie¬ biger Breite. 5 pompeanische Fuß- 10 bodenmosaik. In Plattstich ausge¬ führt, als Randverzierung mit Eck¬ bildung verwendbar. 7 und 9 in Stielstich ausführbar für kleine Untertassen. 8 Häkelmuster. 10 das vielfach verwendete dreieckige Tuch, das wir in Leinen aus¬ führen oder stricken, häufig aber häkeln. 13. Kongruenz der Dreiecke. Zieht man in einem gleichschenkligen Dreiecke die Mittellinie, so er¬ hält man zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Ausgeschnitten und gehörig s 27 übereinander gelegt, decken sich diese vollständig (d. h. in allen Seiten und Winkeln). Die beiden Dreiecke sind nicht nur gleich groß, sie stimmen auch in ihrer Gestalt überein (beide enthalten beispielsweise je einen rechten und zwei beziehungsweise gleiche spitze Winkel); man sagt: die zwei Drei¬ ecke sind kongruent. Kongruente Figuren sind solche Figuren, welche dieselbe Gestalt und dieselbe Größe haben. Werden kongruente Figuren übereinander gelegt, so decken sie sich. Zeichen für kongruent: =. Obwohl jedes Dreieck sechs Bestimmungsstücke (nämlich drei Seiten und drei Winkel) enthält, so sind doch im allgemeinen nur drei Stücke notwendig, um bereits auf die Kongruenz zweier Dreiecke schließen zu können, weil durch diese drei Stücke die Größe der anderen bestimmt wird. Wir wollen im folgenden zeigen, welche Bestandteile in zwei Drei¬ ecken paarweise gleich sein müssen, um auf deren Kongruenz schließen zu können. 1. Fall. Gesetzt, es wäre das Dreieck ABC (Fig. 35) gegeben. Man mache zuerst die Strecke A' B' = AB. Nun fasse man die zweite Seite AC in den Zirkel und beschreibe damit von A' Fig. 35. c aus einen Bogen. Hierauf messe man auf gleiche Weise BO ab und beschreibe von B' aus einen zweiten Bogen, welcher den vorigen in C' schneidet. Man hat nur noch den Punkt C' mit A' und B' geradlinig zu verbinden. Beide Dreiecke haben der Konstruktion nach die drei Seiten beziehungsweise gleich. Ausgeschnitten und gehörig aufein¬ ander gelegt, decken sie sich vollständig; sie sind also kongruent. Fig. 36. drei Seiten paarweise gleich sind. ✓2. Fall. Wäre es nur gestattet, die beiden Seiten AB und AC und den von 28 ihnen eingeschlossenen Winkel abzumessen, so läßt sich auch aus diesen drei Bestimmungsstücken ein zweites Dreieck herstellen, welches mit dem gegebenen Dreiecke kongruent ist. Man mache vorerst A'B' = AB und über¬ trage sodann den Winkel m nach m'. Hierauf mache man A'C' = AC und verbinde C' mit B' (Fig. 36). Beide Dreiecke ausgeschnitten und aufeinander gelegt, decken sich. II. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn in denselben zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel paarweise gleich sind. j 3. Fall. Auf gleiche Weise ist es auch möglich, ein zweites, zu einem gegebenen Dreiecke kongruentes zu zeichnen, wenn es nur erlaubt wäre, vom ersten Dreiecke zwei Seiten, AB und AC, abzu- C messen und den der größeren Seite (AC) gegenüberliegenden Winkel m (Fig. 37). Man mache zuerst A'B' = AB, über¬ trage sodann den Winkel m nach m', ziehe B'C' vorerst über C' hinaus, fasse sodann AC in den Zirkel und beschreibe von A' aus einen Bogen, welcher die Gerade B'C' in C' durchschneidet. Hierauf ver¬ binde man A' und C' durch die Gerade A'C'. Beide Dreiecke, ausgeschnitten und gehörig aufeinander gelegt, decken sich und sind mithin kongruent. J1I. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn in denselben zwei Seiten und der der größeren. Seite gegenüberliegende Winkel paarweise gleich sind. (Man versuche aus zwei Seiten eines Dreieckes und dem der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkel das zugehörige kongruente Dreieck zu zeichnen. Ist letzteres hierdurch vollständig bestimmt?) Fig. 37. O Fig. 38. (?' 4. Fall. Auch aus einer Seite AB und den beiden anliegenden Winkeln m 29 und n (Fig. 38) läßt sich ein zweites Dreieck konstruieren, welches mit dem ersten Dreiecke kongruent ist. Man mache zuerst A'B' = AB und übertrage sodann die beiden Winkel m und n nach m' und n. Der gemeinsame Durchschnittspunkt C' gibt die dritte Ecke des verlangten Dreieckes. Auch hier kann man sich durch Ausschneiden und Aufeinanderlegen überzeugen, daß beide Dreiecke kongruent sind. IV. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn in denselben eine Seite und die ihr anliegenden Winkel paarweise gleich sind. Anmerkung. Zur Veranschaulichung der hier angegebenen Kon¬ gruenzsätze beim Unterricht empfiehlt es sich, hierzu geeignete Draht¬ modelle zu verwenden. Indem man denselben jedesmal die betreffenden Bestimmungstücke entnimmt, läßt sich rasch das zweite kongruente Dreieck herstellen und durch tatsächliche Deckung leicht die Erprobung beider Dreiecke auf ihre Kongruenz durchführen. Aus dem Gesagten ergibt sich auch, daß ein Dreieck vollkommen bestimmt ist und sich hiernach auch konstruieren läßt, wenn entweder alle drei Seiten desselben oder zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel oder zwei Seiten gegeben sind und derjenige Winkel, welcher der größeren Seite ge¬ genüberliegt, oder eine Seite mit den beiden anliegenden Winkeln gegeben ist. Zu einem gegebenen Dreiecke (Muster) ein kongruentes zeichnen, heißt man dasselbe kopieren. Das erhaltene Dreieck wird auch Kopie genannt. Meistens bedient man sich zum Kopieren des I. Kongruenzsatzes. Aufgaben: 1. Zeichne ein beliebiges Dreieck und kopiere es mit Hilfe des 1. Kongruenzsatzes! 2. Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck und benutze zum Kopieren desselben den 2. und 3. Kongruenzsatz! 3. Ein stumpfwinkhges Dreieck ist mit Hilfe des 4. Kongruenzsatzes zu kopieren. 14. Anwendung der Kongruenzsätze. Es sei das Dreieck ABC (Fig. 39) gleichschenklig, und zwar AC =BC. Man halbiere die Seite AB im Punkte D, ziehe CD und vergleiche die beiden Dreiecke ACD und BCD; es ist in denselben die Seite CD gemeinschaftlich, ferner AC = BC nach der Voraussetzung und AD = BD ver¬ möge der Konstruktion. In den beiden Drei¬ ecken sind also alle drei Seiten paarweise gleich, folglich sind die Dreiecke ACD und BCD kongruent. Aus der Deckung dieser Dreiecke folgt o ABO,AAcd fV) ACD und A Ade ~ ,42)2? und daher auch Vieleck Abcde ™ ABC DE. Ferner gilt, wie leicht einzusehen, auch bezüglich der Viel¬ ecke der Satz, daß ihre Winkel paarweise gleich groß und die gleichliegenden Sei¬ ten proportional sind. Hieraus ergibt \ sich: \ 1. Zwei ähn¬ liche geradlinige Figurenvon mehr als drei Sei¬ ten lassen sich immer in gleich¬ viel Drei¬ ecke zerle¬ gen, welche- der Ordnung nach einan¬ der ähnlich sind. 2. In ähn¬ lichen ger ad- linigen Figu¬ ren von mehr als drei Sei¬ ten sind die Winkel 61 paarweise gleich groß und die gleichliegenden Seiten propor¬ tioniert. Der Punkt A in den Fig. 93 und 94 wird der Ähnliehkeitspunkt genannt. Dieser Punkt kann übrigens beliebig gewählt werden; man kann denselben in eine jede Seite, ferner innerhalb der Fläche der gegebenen Figur oder auch außerhalb derselben verlegen (Fig. 95). Aufgabe: Zeichne ein beliebiges Viereck, Fünfeck, Sechseck und Siebeneck und kon¬ struiere hierzu die entsprechende ähnliche Figur! Der Ähnlichkeitspunkt soll beim Vierecke in der Mitte desselben liegen; beim Fünfecke ist derselbe in einer Ecke an- zunelimen; beim Sechsecke soll er in einer der Seiten und beim Siebenecke außerhalb der Fläche desselben angenommen werden. Fig. 96. A> C *■ E* F 26. Der Proportionalwinkel. Es seien die Strecken AB, CD und EF (Fig. 96) nach dem Verhält¬ nisse wie 5: 3 zu verkleinern. Man zeichne eine beliebige Gerade Ox, und zwar etwas länger als die größte Strecke AB, und trage auf dieselbe von dem einen Endpunkte 0 aus fünf gleiche Teile auf. Nun beschreibe man von 0 aus den Bogen 5z, nehme von den auf der Geraden Ox liegenden Teilen eine Strecke gleich drei solchen Teilen ab und durchschneide damit vom Punkte 5 aus den früheren Bogen in 5'. Hierauf ziehe 6^ ' /j man die Gerade Oy, wodurch sich der Winkel a ergibt. Der Konstruktion zu¬ folge verhält sich 05 zu. 5 5' wie 5 zu 3. Nun trage man von 0 aus die Geraden AB, CD und EF auf Ox auf und zeichne die entsprechenden Kreisbogen MM', NN' und PP'. Die Sehnen dieser Kreisbogen, welche in der vorstehenden Zeichnung durch volle Linien angedeutet sind, geben, wie leicht einzusehen ist, die zu AB, CD und EF gesuchten, im Verhältnisse wie 5 zu 3 ver¬ kleinerten Strecken an. Mit Hilfe eines solchen Winkels a lassen sich also mehrere gegebene Strecken auf eine sehr einfache Weise proportional verkleinern; deshalb nennt man diesen Winkel auch Pro portionalwinkel. Der Proportionalwinkel kann auch für Vergrößerungen ange¬ wendet werden, aber nur dann, wenn die Strecken nicht über das zwei* fache vergrößert werden sollen. Warum? Wäre die Aufgabe gestellt, die Strecken AB, CD, EF und GE (Fig. 97) im Verhältnisse wie 3 : 4 zu vergrößern, so trage man auf der Geraden Ox von 0 aus drei gleiche Teile auf und ziehe den Bogen 3z; nun fasse man vier solche Teile in den Zirkel und durchschneide den früheren Bogen von dem Punkte Ci ^ 62 ^ 3 aus in 3 '. Die Strecke 05 verhält H sich nun zu 3 3' wie 3: 4. Werden nun die zu vergrößernden Strecken AB, CB, EF und GH von 0 aus auf Ox aufgetragen, so geben die Sehnen MM', NN', PP', und QQ' die gesuchten vergrößerten Strecken an. Aufgaben: 1. Zeichne vier beliebige Strecken und verkleinere diese mit Hilfe des Propor¬ tionalwinkels wie 7:3! 2. Zeichne vier beliebige Strecken und vergrößere diese mit Hilfe des Propor¬ tionalwinkels im Verhältnisse wie 2:3! 27. Das Verkleinern und Vergrößern gegebener Figuren. Diese Aufgabe stützt sich auf die Konstruktion ähnlicher Figuren und kann auf verschiedene Weise bewerkstelligt werden. Einige Beispiele mögen dies veranschaulichen. Das Dreieck ABC (Fig. 98) soll nach dem Seitenverhältnisse 3:2 verkleinert werden. Fig. 98. a struiere solchen Dreieck Zwecke Fig. 99. c Man teile zunächst jede der Dreieckseiten in drei gleiche Teile und kon- nun mit je zwei Teilen ein neues abc. Zu diesem mache man zu¬ nächst ab = 2 / 3 AB. Hier¬ auf fasse man zwei Teile von AC in den Zirkel und be¬ schreibe von a aus den Bogen mn, dann nehme man zwei Teile von BC ab und ziehe von b aus den Kreisbogeh pq. Der Durch¬ schnittspunkt beider Kreisbogen c gibt, mit a und b geradlinig ver¬ bunden, das verlangte ähnliche Dreieck. Es sei zu einem gege¬ benen Vielecke abcde (Fig. 99) 63 ein ähnliches Vieleck so zu konstruieren, daß die Seiten der zwei Vielecke ein gegebenes Verhältnis, z. B. 3:5, haben. Man zerlege das gegebene Vieleck von einem Punkte a aus durch Dia¬ gonalen in Dreiecke und teile jede Seite sowohl als auch die einzelnen Dia¬ gonalen in drei gleiche Teile ein. Nun konstruiere man mit je fünf solchen Teilen zunächst das Dreieck I, hierauf anschließend das Dreieck II und endlich noch das. Dreieck III. — Die Zerlegung in Dreiecke könnte auch von einem Punkte im Innern des gegebenen Vieleckes aus geschehen. Zum Vergrößern oder zum Verkleinern der Seiten bedient man sich auch sehr vorteilhaft des Proportional winkeis. Gesetzt, es soll das Trapezoid ABCJD (Fig. 100) nach dem Seitenverhältnisse 4:3 verkleinert werden. Man zeichne zunächst den zu diesem Verhältnisse gehörigen Proportionalwinkel a. Nun verkleinere Fig. 100. man mit Hilfe desselben sowohl die einzelnen Seiten als auch die Diagonale AC und konstruiere aus diesen Stücken zuerst das Dreieck abc und an¬ schließend hieran das Dreieck acd. Das Vergrößern und Verkleinern von Figuren kann aber auch, ähnlich wie das Kopieren mittels Abszissen und Ordinaten durchgeführt werden. Man soll das in Fig. 101 dargestellte Muster für Litzenauf- nähen im Verhältnisse wie 5 : 7 vergrößern. Wie leicht einzusehen ist, muß man zunächst sowohl alle einzelnen Ab¬ szissenabstände [ad, df u.s.w.) als auch die Ordinaten (ab, cd, ef u.s.w.) nach 64 dem verlangten Verhältnisse vergrößern. Es unterliegt sodann keiner Schwie¬ rigkeit, aus diesen Stücken das verlangte vergrößerte Muster zu konstruieren. Aufgaben: 1. Das in Fig. 100 dargestellte Vieleck soll nach dem Seitenverhältnisse 2 : 3 ver¬ größert werden. 2. Das in Fig. 101 gegebene Muster ist nach dem Verhältnisse 4 : 3 zu verkleinern. des 28. Das Verkleinern und Vergrößern von Schnittmustern. Auch hierbei muß man in erster Linie die Längenausdehnungen Originals nach dem gegebenen Verhältnisse verkleinern oder ver- 701 - Fig. 102. J o 1 - - 2 - - 10 5 0 6 8 8 9 M 9 M großem, worauf mit diesen geänderten Strecken die neue Zeichnung aus¬ geführt werden kann. Sehr zweckmäßig ist es, wenn man das gegebene Schnittmuster in ein Rechteck einschließt, welches den geraden Linien des Schnittes möglichst angepaßt erscheint, wie dies Fig. 102 (Frauen¬ hemd ohne Sattel) darstellt. Wir wollen annehmen, es sei das vorliegende Schnittmuster im Verhältnisse 4: 3 zu verkleinern. Man messe zunächst die Länge und Breite dieses Rechteckes mit Hilfe eines Maßstabes möglichst genau (bis auf Millimeter) ab; für unseren im verkleinerten Maßstabe gezeich- 65 neten Schnitt ergeben sich 9 cm und 4 cm. Die einzelnen Maßzahlen multipli¬ ziert man nun mit der dem gegebenen Verhältnisse entsprechenden Re¬ duktionszahl ^ hier — um die Länge und Breite des neuen Rechteckes zu erhalten. 9 cm X T 4 90 mm X 7 4 270 mm 67-5 mm — 6 cm 7 1 / 2 mm (Länge des neuen Rechteckes). 3 3 120 mm 4 cm x 7 = 40 mm X 7 =--= 30 mm = 3 4 4 4 cm (Breite des neuen Rechteckes). Nun konstruiere man aus der so gefundenen Länge- und Breiteangabe das neue Rechteck, in welches der zu verkleinernde Schnitt eingezeichnet werden soll. Hierauf werden am Originale die einzelnen Strecken möglichst genau abgemessen und ihre Längen wieder, wie dies oben gezeigt wurde, ge¬ hörig reduziert. Man hat nun nur die eben gefundenen Längen in das neue Rechteck einzutragen, worauf mit freier Hand die noch notwendigen Verbindungs¬ linien zu ziehen sind. Da die Umrechnung der Maßzahlen des Originals, besonders bei verwickelteren Reduktionszahlen, eine umständliche und zeitraubende Arbeit mit sich bringt, er¬ scheint es empfehlenswert, sich hierfür einen eigenen, der jeweiligen Ver¬ kleinerung oder Vergrößerung an¬ gepaßten Maßstab zu konstruieren. In Fig. 102 stellt M den gewöhnlichen und M f den sogenannten verjüngten Maßstab vor; in letzterem beträgt jede Längeneinheit 3 / 4 des ursprünglichen Maßes. Beim praktischen Gebrauche der¬ artiger Maßstäbe bestimmt man von jeder am Originale abgenommenen Strecke zuerst auf dem ursprünglichen Maßstabe die Maßzahl ihrer wahren Länge. Dann sucht man auf dem zweiten Maßstabe die dieser Maßzahl entsprechende reduzierte Länge auf und setzt nun aus den so geänderten Strecken die neue Figur zusammen. Häufig bedient man sich auch zum Vergrößern und Verkleinern der einzelnen Strecken des früher erwähnten Proportionalwinkels. Ist das Original in ein Quadratnetz eingezeichnet, so hat man die Quadratseiten nur dem verlangten Verhältnisse gemäß zu verkleinern oder zu Fig. 103. 66 vergrößern, worauf die Eintragung der Figur in das neue Netz erfolgt. Auf ähnliche Weise muß man verfahren, wenn das Original mit einem stig- mographischen Netze versehen ist. Die Netzmethode findet namentlich im geographischen Unter¬ richte bei Herstellung von Kartenskizzen reichliche Anwendung. Aufgaben: 1. Die in Fig. 85 dargestellten Muster sind im Verhältnisse 4 : 5 mit Anwendung der entsprechenden Reduktionszahl zu vergrößern. 2. Vergrößere die Schnittmuster in Fig. 86 nach dem Verhältnisse 3:5! 3. Vergrößere das in Fig. 103 gegebene Monogramm nach dem Verhältnisse 2:3! III. Abschnitt. Umfang und Flächeninhalt der Figuren. 29. Umfang und Flächeninhalt im allgemeinen. Alle Grenzlinien einer Figur zusammengenommen nennt man deren Umfang. Um den Umfang einer geradlinigen Figur zu bestimmen, braucht man nur die Seiten derselben zu messen und die gefun¬ denen Maßzahlen, die sich offenbar auf das Längenmaß bezie¬ hen, zu addieren. Ist die F\gur gleichseitig, so ist der Umfang gleich der Länge einer Seite, multipliziert mit der Anzahl der Seiten. Die Bestimmung des Umfanges einer geradlinigen Figur unterliegt daher keiner weiteren Schwierigkeit. Der Flächenraum, welcher von den Grenzlinien einer Figur eingeschlossen wird, heißt Flächeninhalt einer Figur. Zwei Figuren, welche gleichen Flächeninhalt haben, heißen flächen- glcich. Sowie eine Linie nur durch eine Linie, ebenso kann eine Fläche nur durch eine Fläche gemessen werden. Um daher den Flächeninhalt einer Figur zu bestimmen, muß man irgendeine bestimmte Fläche als Einheit annehmen und untersuchen, wie oft diese in der gegebenen Fläche enthalten ist. Die Zahl, welche dieses anzeigt, heißt die Maßzahl der Fläche. Als Einheit des Flächenmaßes nimmt man ein Quadrat an, dessen Seite der Einheit des Längenmaßes gleich ist, von welcher dann das Quadrat den Namen erhält. Ein solches Quadrat heißt ein Quadratmeter (m 2 ), ein Quadratdezimeter (dm 2 ) u. s. w., je nachdem die Seite einem Meter, Dezimeter u. s. w. gleich ist. Eine Fläche messen heißt, demnach untersuchen, wie viele Quadrat¬ meter, Quadratdezimeter u. s. w. die Fläche enthält. Die Bestimmung des Flächeninhaltes geschieht übrigens nicht durch unmittelbares Aufträgen der genannten Quadratmaße auf die zu messende Fläche, da dies mühsam und meistens auch unausführbar wäre. Man bestimmt vielmehr den Flächeninhalt mittelbar, indem man die¬ jenigen Strecken, von denen die Größe der Figur abhängt, mit dem Längen¬ maße mißt und aus den Maßzahlen dieser Strecken den Inhalt der Fläche durch Rechnung ermittelt, wie im folgenden gezeigt werden soll. Aus den in den Grundbuchsämtern (siehe I. Abschnitt, Seite 4) geführten Ver¬ zeichnissen und geometrischen Darstellungen der einzelnen Liegenschaften lassen sich jederzeit jene Daten entnehmen, die Aufschlüsse über die Gestalt und Größen Verhält¬ nisse eines Grundstückes geben. Nach diesen Angaben ist man aber mit Hilfe der Geo¬ metrie, wie wir später sehen werden, leicht imstande, durch Rechnung den Flächen¬ inhalt einer Liegenschaft mit vollster Genauigkeit zu bestimmen und so den Wert einer allenfalls zu erstehenden Bodenfläche zu ermitteln. In den Grundbuchsämtern werden aber auch alle Änderungen im Besitzstände sorgfältig vermerkt und auch aufgenommenc Darlehen auf Liegenschaften grundbücherlich verzeichnet, so daß man durch Einsicht¬ nahme in diese Bücher stets in der Lage ist, zu erkennen, ob die zu erwerbenden Grund¬ stücke und Gebäude schuldenfrei sind oder nicht und welche Darlehen auf denselben lasten, eine Einrichtung, die vorsichtige Käufer oder Geld Verleiher vor Schaden zu be¬ wahren imstande ist.—Ähnlich geben die Grundsteuerkataster und Katastralmappen über die einzelnen Liegenschaften und deren jeweiligen Erträgnisse die notwendigen Aufschlüsse. 30. Das Quadrat. Fig. 104. D Die Seite des Quadrates AB CD (Fig. 104) messe 3 dm. Teilt man jede Seite in 3 gleiche Teile, wovon jeder 1 dm lang ist, und verbindet dann die gegenüberliegenden Teilungspunkte durch gerade Linien, so zerfällt das ge¬ gebene Quadrat in lauter kleinere Quadrate, deren jedes 1 dm 2 vorstellt; und zwar enthält der Streifen längs der Seite AB 3 dm 2 , der darüber befindliche Streifen ebenfalls 3 dm 2 und der dritte Streifen auch 3 dm 2 . Man hat also im ganzen dreimal 3 dm 2 = 9 dm 2 . Zeichne ein Quadrat, dessen Seite 4 cm ist, und bestimme auf gleiche Weise, wieviel Quadratzentimeter es enthält! Der Flächeninhalt eines Quadrates wird gefunden, indem man die Maßzahl einer Seite mit sich selbst multipliziert, d. i. B zur zweiten Potenz erhebt. Daher kommt es, daß man auch im Rechnen die zweite Potenz einer Zahl das Quadrat derselben nennt. Bezeichnet man die Maßzahl der Seite eines Quadrates durch s und den Flächeninhalt desselben durch F , so ist F = s 2 . Die Benennung des Flächeninhaltes hängt von der Benennung der 68 Seiten ab; ist z. B. die Seite in Metern ausgedrückt, so wird die Zahl, welche man als Flächeninhalt bekommt, Quadratmeter anzeigen; ist die Seite des Quadrates in Dezimetern angegeben, so erhält man auch den Flächeninhalt in Quadratdezimetern. Wenn der Flächeninhalt eines Quadrates bekannt ist und man die Länge einer Seite finden will, so braucht man nur eine Zahl zu suchen' welche, mit sich selbst multipliziert, den gegebenen Flächeninhalt gibt, d. h. man muß aus dem bekannten Flächeninhalte die Quadratwurzel aus- ziehen. Es ist also s =\/F. Fig. 105. D C Ein Quadrat (Fig. 105), dessen jede Seite 1 dm = 10 cm beträgt, hat 10 X 10 cm 2 = 100 cm 2 . Ein solches Quadrat ist nun 1 dm 2 . Also ist 1 dm 2 = 100 cm 2 . Auf gleiche Weise kann man zeigen, daß 1 m 2 = 100 dm 2 , 1 cm 2 = 100 mm 2 ist, u. s. f.; man hat daher: 1 ( um 2 =100 km 2 1 m 2 =100 dm 2 1 km 2 = 1000000 m 2 1 dm 2 = 100 cm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 . Beim Boden maße heißt eine Fläche von 100 m 2 ein Ar, eine Fläche von 100 Ar ein Hektar. Ein Ar ist 10 m lang und 10 m breit. Ein Hektar ist 100 m lang und 100 m breit. Aufgaben: Die Seite eines Quadrates beträgt a) 21 m, b) 5 m 4 dm , c) 3 m 5 dm 9 cm , d) 0-715 m; wie groß ist der Umfang, wie groß der Flächeninhalt? Der Umfang einer Quadrates ist 23 m 2 dm) wie groß ist a) die Seite7 b) der Flächeninhalt?^ d 3. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist 15 m 2 52 dm 2 36 cm 2 ; wie groß ist die Seite, wie groß der Umfang? 4. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Flächeninhalt d) 376-36 dm\ b) 2 m 2 13 dm 2 16 cm 2 , c) 12-3201 m 2 ist? 5. Wieviel Spitzen sind zur glatten Umrandung einer quadratischen Tischdecke von 1-25 m Seitenlänge erforderlich, wenn wegen der Ecken 24 cm hinzugerechnet werden müssen ? Wieviel kostet ein quadratischer Bauplatz von 36 m Seitenlänge, wenn man das Quadratmeter mit 11 ü&bezahlt? 7. Ein quadratischer Acker kostete 1250 K ; wieviel Meter beträgt eine Seite desselben, wenn 1 a zu 8 K gerechnet wurde? 8. Die Seite eines Quadrates ist 3 dm , die eines zweiten Quadrates 12 dm\ wie verhalten sich a) die Umfänge, b) die Flächeninhalte der beiden 2 9. Ein quadratischer Hof von 12 m Seitenlänge soll mit quadratischen Steinplatten von 1 6 dm Umfang gepflastert werden; wieviel solche Stein¬ platten sind erforderlich? 10. An der Fläche eines Quadrates, dessen Seite 48 cm ist, wird der Rand 3 cm breit vergoldet; wieviel Quadratdezimeter beträgt die Ver¬ goldung ? 11. Man will in einem quadratförmigen Garten, dessen Seite 58 m 5 dm ist, ringsherum einen Weg machen, der eine Breite von 1 m 2 dm haben soll; welchen Flächenraum wird dieser Weg einnehmen? 12. Ein quadratischer Bauplatz mit 37 m Seitenlänge ist pro Quadrat¬ meter auf i5 K geschätzt; auf demselben lastet eine grundbücherliche Schuld von 10.000 K. Welches Darlehen könnte dem Besitzer des Bauplatzes noch gegeben werden, ohne den Schätzungswert zu überschreiten? 13. Ein quadratischer Weingarten mit 116 m Umfang wird pro Qua¬ dratmeter mit 3-5 K geschätzt. Es lastet bereits eine Grundbuchsschuld von 1500 K auf ihm; erscheint es geraten, ein zweites Darlehen in derselben Höhe zu bewilligen. 14. Auf einem Bauplatze, 46 m im Quadrate und pro Quadratmeter auf 22 K geschätzt, haftet eine Schuld von 40.000 K. Kommt der Gläubiger zu seinem Gelde, wenn dieser Bauplatz mit 60°/ 0 des Schätzungswertes zwangsweise versteigert wird? Fig. 106. 31. Das Rechteck. Es sei in dem Rechtecke AB DO (Fig. 106) die Grundlinie CD = 6 cm und die Höhe AG = 4 cm. Teilt man nun CD in sechs, ferner AC in vier gleiche Teile und zieht durch die Teilpunkte mit ß den Seiten parallele Linien, so ist ein jedes der dadurch entstehenden Quadrate 1 cm 2 . Man erhält vier Streifen solcher Quadrate von je 6 cm 2 ; der Flächeninhalt des Rechteckes ABDC beträgt ö daher viermal 6 cm 2 = 24 cm 2 . Durch ähnliche Zeichnungen und Schlüsse findet man, daß ein Rechteck, welches 7 m lang C D und 3 m breit ist, 3 x 7 m 2 = 21 m 2 enthält; daß der Flächeninhalt eines Rechteckes, dessen Grundlinie und Höhe 8 dm und 5 dm sind, 5x8 dm 2 = 40 dm 2 beträgt. Der Flächeninhalt eines Rechteckes wird gefunden, indem man die Maßzahl der Grundlinie mit der Maßzahl der Höhe multipliziert. Man pflegt diesen Satz kürzer so auszudrücken: Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich dem Pro¬ dukte aus der Grundlinie und derHöhe, oder derLänge mal der Breite. Ist der Flächeninhalt eines Rechteckes und zugleich die Grundlinie bekannt, so findet man die Höhe, indem man den Flächeninhalt durch die Grundlinie dividiert. Ebenso wird die Grundlinie gefunden, indem man den Flächeninhalt durch die Höhe dividiert. Bezeichnet G die Grundlinie, H die Höhe eines Rechteckes und F den Flächeninhalt desselben, so ist F F F = G.H, 0 H 9 H G' 0 Aufgaben: l) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt folgender Rechtecke: Länge 9-2 m, Breite 5*8 m; 12 m 3 dm, „ 9 m 2 dm\ 3*215 m, „ 1*064 m! 2. Der Umfang eines Rechteckes beträgt 87 m 4 dm, die kürzere Seite 18 m 4 dm; wie groß ist a) die längere Seite, b) der Flächeninhalt? 3. Ein Spiegel mit Rahmen ist 5 dm 8 cm breit und 8 dm 2 cm hoch; wie groß ist der Umfang? 4. Längs der Hecke eines Gartens, welcher 33 m lang und 21 m breit ist, werden ringsum Maulbeerbäume, welche 3 m voneinander abstehen, gepflanzt; wieviel Maulbeerbäume sind dazu erforderlich? 71 >> yy yy 5. Miß die Länge, Breite und Höhe des Schulzimmers und berechne wieviel Flächenraum der Boden, die Decke und die vier Wände (Tür und Fenster mitgerechnet) haben! 6. Die Seiten eines Rechteckes sind 9 dm und 6 dm, die Seiten eines zweiten Rechteckes sind doppelt so groß; wie verhalten sich d) die Um¬ fänge, b) die Flächeninhalte der beiden Rechtecke? 7. Berechne die Höhe der Rechtecke von d) 9 m 2 Flächeninhalt und 3-6 m Grundlinie; b) 46-92 dm 2 „ „ 9-2 dm c) 22-3767 m 2 ,, „5m 29 cm 8. Berechne die Grundlinie der Rechtecke von a ) 24 m 2 Flächeninhalt und 3-2 m Höhe; b) 26 dm 2 5ö cm 2 ,, ,, 4 dm 5 cm c) 5444-16 cm 2 ,, „ 63-6 cm 9. Wie groß ist die Fläche einer Tischplatte, deren Länge 1-2 m und deren Breite 5 / 6 von der Länge beträgt ? 10. Eine gehäkelte Bettdecke ist aus Quadraten von je 9 cm Seiten¬ länge zusammengesetzt; wieviel Quadrate sind erforderlich, wenn die Decke 2*7 m lang und 1-71 m breit ist? 11. Ein Bettvorleger von 75 cm Breite und 1-5 m Länge soll ringsum mit einem 15 cm breiten Plüschstreifen besetzt werden; wieviel cm sind davon erforderlich, wenn der Plüsch 1-5 m Breite hat und wie teuer kommt der Besatz, wenn das Meter dieses Stoffes 13-2 K kostet? 12. Wie viel a hat ein rechteckiger Garten von 38 m Länge und 32 m Breite? 13. Ein Acker enthält 63-84 a , seine Länge ist 42-56 m; wie groß ist seine Breite ? 14. Jemand vertauscht einen Acker, welcher 746 m 2 20 dm 2 Flächen¬ inhalt hat, gegen einen andern von gleichem Inhalte, welcher 18 m 2 dm breit ist; wie lang muß dieser Acker sein? 15. Ein Spiegel mit Rahmen hat 6 dm 3 cm Breite und & dm 5 cm Höhe; wie groß ist der Inhalt der sichtbaren Spiegelfläche, wenn der Rahmen 5 cm breit ist? >v v ^ 16. Jemand kauft einen Bauplatz von der Form eines Rechteckes 34 m 4 dm lang und 19 m 2 dm breit, und bezahlt das Quadratmeter zu 11 K\ wieviel kostet der Bauplatz? 17. Wieviel kostet die Verglasung von acht Fenstern, deren jedes im Lichten 0-9 m breit und 1-5 m hoch ist, wenn man für 1 m 2 Verglasung 5 K 60 h rechnet. 18. Ein Fußboden von 5 m Länge und 4-5 m Breite wurde mit Lack gestrichen; wie teuer kommt 1 m 2 Anstrich, wenn sich die Kosten auf 8 K 10 h beliefen? 19. Ein Fußboden von 7-5 m Länge und 6-4 m Breite soll mit harten Mocnik-W enghart, Geometrische Formenlehre fjk 1 ’’Mädchenbürgerschulen. 1 72 Bretteln belegt werden; wieviel wird der Tischler dafür verlangen, wenn er 1 m 2 Belegung mit 8 K 50 h berechnet? 20. Ein Quadrat ist flächengleich einem Rechtecke von 54 m Länge und 24 m Breite; um wieviel ist der Umfang des Quadrates kleiner als der Umfang des Rechteckes? 21. A hat zwei Gärten von gleicher Größe, einen quadratischen von 56 m Seitenlänge und einen rechteckigen von 49 m Breite; um jeden dieser Gärten will er eine Hecke anpflanzen lassen; um wieviel Meter .wird die Hecke um den rechteckigen Garten länger sein als die um den quadratischen ? 22. 6 größere Türen, jede 2-3 m hoch und 1-3 m breit, und 4 kleinere Türen, jede 1*9 m hoch und 1 m breit, sollen von innen und außen mit Öl¬ farbe angestrichen werden; wie teuer kommt der Anstrich, wenn das Quadratmeter 1 K 70 h kostet? 23. Der Umfang eines Rechteckes, dessen Seiten sich wie 5 : 7 ver¬ halten, beträgt 47 m 4 cm\ wie lang und wie breit ist es? 24. In einem Rechtecke, dessen Flächeninhalt 79 m 2 35 dm 2 beträgt, verhält sich die Länge zur Breite wie 5:3; wie groß ist jede Seite desselben und wie groß dessen Umfang? 25. Die Länge eines Tischteppiches beträgt um 32 cm mehr als die Breite. Zur Einfassung desselben waren 5 m 72 cm Borten notwendig. Welche Länge und welche Breite hat dieser Teppich? 26. Ein Zimmer von der Form eines Rechteckes wurde mit Wachs ein¬ gelassen, wobei das Quadratmeter mit 16 li berechnet erscheint. Die Länge ver¬ hält sich zur Breite wie 7: 5, und zwar mißt die eine Ausdehnung um 2 m 84cm mehr als die andere. Wie hoch kam das Einlassen des Fußbodens zu stehen? 27. Ein Quadrat von 36 cm Seitenlänge hat denselben Inhalt wie ein Rechteck, dessen kürzere Seite 27 cm mißt. Welchen Umfang und Inhalt hat das Rechteck? 28. Ein Hof, welcher 45 m 72 cm lang und 38 m 4 cm breit ist, soll mit quadratischen Steinen, deren jede Seite 12 cm beträgt, gepflastert werden; wie viele Steine sind notwendig? 29. Ein Acker von 79 m Länge und 23 m Breite ist pro Quadratmeter auf 14 K geschätzt. Auf demselben haftet bereits eine im Grundbuche ver¬ merkte Schuld von 1200 K. Welches zweite Darlehen kann dem Besitzer der Ackers noch bewilligt werden, wenn angenommen wird, daß im Falle zwangs¬ weiser Versteigerung des Grundstückes bloß 70°/ 0 des Schätzungswertes erzielt werden? 30. Ein Bauplatz mit einer Länge von 43 m und mit einem Umfange von 156 m ist bereits mit einer grundbücherlichen Schuld von 6000 K be¬ lastet. Ein zweiter Gläubiger leiht dem Besitzer ohne sich zu erkundigen, ob die Liegenschaft schuldenfrei ist, 5000 K. Nach einiger Zeit wird der Bauplatz zwangsweise mit 9 K pro m 2 verkauft. Wieviel verliert der zweite Gläubiger durch seine Fahrlässigkeit? 73 31. Ein Weingarten in der Form eines Rechteckes ist bei einem Um¬ fange von 238 m 6mal so lang als breit. Auf demselben haftet eine grund- bücherliche Schuld von 600 K und eine weitere von 400 K. Ein dritter % Gläubiger bewilligt noch ein Darlehen von 200 K; kommt derselbe zu seinem Gelde, wenn die Liegenschaft nach einiger Zeit mit 1-5 K pro m 2 zwangs¬ weise versteigert wird? 32. Das schiefwinklige Parallelogramm. Jedes schiefwinklige Parallelogramm (Rhombus und Rhomboid, I und II, Fig 107) kann in ein Rechteck von derselben Grundlinie und Höhe verwandelt werden, indem man das rechtwinklige Dreieck BCE von der einen Seite abschneidet und an die Stelle von ADF überträgt. Um den In¬ halt des Recht¬ eckes zu finden, muß man die Grundlinie mit derHöhe multi¬ plizieren ; daher der Satz: Der Flächenin¬ halt eines schiefwinkligen Parallelogramms ist gleich dem Produkte aus der Grundlinie und der Höhe. E C 7T Verbindet man die benachbarten Halbierungspunkte der Seiten eines Rechteckes ABCD (Fig. 108) geradlinig, so ergibt sich ein Rhombus EFGH. Zieht man noch die zwei Halbierungs¬ linien EG und FH, so zerfällt das ganze Recht¬ eck in acht kongruente Dreiecke, von welchen B vier auf den Rhombus entfallen. Demnach be¬ trägt die Fläche des Rhombus die Hälfte von der Fläche des Rechteckes. Da nun die Länge AB des Rechteckes der einen Diagonale EG des Rhombus ent¬ spricht, während seine Breite AD der Länge A der zweiten Diagonale FH des Rhombus gleich¬ kommt, so können wir sagen: Der Flächeninhalt eines Rhombus ist gleich dem halben Produkte aus seinen Diagonalen. Aufgaben: 1. In einem Rhombus ist die Grundlinie l ci} 108 dm, b) 17-7 dm, c) 8m 5 dm 1 cm; die Höhe a) 64 dm, b) 9*3 dm, c) 7 m 4 dm Sem ; wie groß ist der Umfang und Flächeninhalt? % 4* 74 (2. In einem Rhomboid betragen zwei anstoßende Seiten 38 m und 23 m; wie groß ist der Umfang? 3. Wie groß ist die Fläche eines Rhomboides, in welchem die Grund¬ linie 4 m 3 dm 4 cm und die Höhe 2 m 3 dm 2 cm beträgt? 4. Der Flächeninhalt eines Rhomboides beträgt 18 m 2 75 dm 2 , die Höhe ist 3 m 75 cm; wie groß ist die Grundlinie? 5. Bestimme die Höhe eines Rhombus, dessen Flächeninhalt 31-79 m 2 und dessen Grundlinie 7-48 m ist! 6. Ein Acker von der Gestalt eines Rhomboides mißt 42 a 75 m 2 bei 225 m Höhe; wie groß ist die Grundlinie ? 7. Der Umfang eines Rhombus beträgt 38 cm; wie groß ist eine Seite ? 8. Ein Tischtuch hat die Form eines Rhombus: zu seiner Einfassung 7 O waren 4 m 96 cm Börtchen notwendig. Wie lang ist eine Seite? 9. Die beiden Diagonalen eines Rhombus messen 37 cm und 2 6 cm; wie groß ist dessen Flächeninhalt? 10. In einem Blumenbeete von der Form eines Rhombus verhalten sich die beiden Diagonalen wie 2 : 3. Wie lang ist jede Diagonale, wenn der Inhalt des Rhombus 9 m 2 72 dm 2 beträgt? 33. Das Dreieck. Jedes Dreieck ABC (Fig. 109) kann als die Hälfte eines Parallelo¬ gramms dargestellt werden, welches mit ihm gleiche Grundlinien und gleiche Höhe hat; man braucht nur durch zwei Eckpunkte B und C mit den gegen¬ überliegenden Seiten Parallele zu ziehen. Um den Flächeninhalt des Parallelogramms zu erhalten, muß man die Grundlinie mit d ,r Höhe multiplizieren; zur Bestimmung der Dreiecksfläche wird man daher auch die Grundlinie mit der Höhe multiplizieren, jedoch von diesem Produkte nur die Hälfte nehmen. Der Flächeninhalt eines Dreieckes wird gefunden, indem man das Produkt aus der Grundlinie und der Höhe durch 2 divi¬ diert.— Zu demselben Ergebnisse kommt man, wenn man die halbe Grundlinie mit der ganzen Höhe oder die halbe Höhe mit der ganzen Grundlinie multipliziert. Wird der doppelte Flächeninhalt eines Dreieckes durch die Grundlinie dividiert, so erhält man die Höhe; wird er durch die Höhe dividiert, so er¬ hält man die Grundlinie. Fig. 109. Bezeichnet G die Grundlinie, H die Höhe und F den Flächeninhalt eines Dreieckes, so ist F G X II G rr 11 2 xH =2 XG ’ G 2 F H 2 F G * 2 2 2 ’ H ’ Tn einem rechtwinkligen Dreiecke wird gewöhnlich eine Kathete als Grundlinie angenommen; die andere Kathete stellt dann die Höhe vor. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes ist gleich dem halben Produkte der beiden Katheten. Aufgaben: 1. Wie groß ist der Umfang eines Dreieckes, dessen Seiten 38 m 7 dm, 25 m 4 dm , 31 m 5 dm sind? 2. Die Seite eines gleichseitigen Dreieckes ist a) 2-3 m } b) 1 m 5 e£m 2 cm, c) 97 3 / 4 cm; wie groß ist der Umfang? 3. Wie groß ist die Seite eines gleichseitigen Dreieckes, dessen Umfang 10 m 3 dm 5 cm beträgt? 4. Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke: a) Grundlinie 3-6 m, Höhe 3*2 m; [&) ; „ 4-25 dm , „ 2*84 dm; c) „ 1 m 4 dm 2 cm, „ 5 dm 9 cm! 5. Ein Stück Land von der Gestalt eines Dreieckes hat 108 m zur Grundlinie und 72 m zur Höhe; wieviel ist es wert, wenn das Hektar zu 2030 K gerechnet wird ? 6. Berechne die Höhe der Dreiecke von a) 2*75 m 2 Flächeninhalt und 2*5 m Grundlinie; b) 58-96 (im 2 ,, „ 13*4 dm c) 2722*08 cm 2 „ „ 85*6 cm . Berechne die Grundlinie der Dreiecke von a) 12 m 2 Flächeninhalt und 3*2 m Höhe; 33-54 cm 2 ,, ,, 10-32 cm c) 847-53 dm 2 ,, „ 38-7 dm 8. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die eine Kathete 29 m 3 dm, die andere 18 m 4 dm; wie groß ist der Inhalt? 9. In einem rechtwinkligen Dreiecke, welches 20 m 2 72 dm 2 enthält, ist eine Kathete 7 m 4 dm; wie groß ist die zweite Kathete? 10. Die Seite eines Quadrates ist 36 mm. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, welches ebenso groß ist wie jenes Quadrat und dessen eine-Kathete 54 mm ist? 11. Der Umfang eines Dreieckes beträgt 45-6 cm; die Seiten eines ihm ähnlichen Dreieckes sind 4-5 cm, 4-4 cm und 6-3 cm; wie groß sind die Seiten des ersten Dreieckes? 12. Ein Turmdach besteht aus 4 gleichschenkligen Dreiecken. Wieviel Quadratmeter Blech braucht man zu dessen Deckung, wenn die Grundlinie © 55 55 55 / eines solchen Dreieckes 2m 2 dm , die Höhe 4m 5 dm beträgt und für Ver¬ schnitt und Falze 6°/ 0 hinzugerechnet werden? 34. Der pythagoräische Lehrsatz. Zeichne einen rechten Winkel ABC (Fig. 110), trage auf den einen Schenkel drei, auf den andern vier gleiche Teile, z. B. Zentimeter, auf und verbinde die Endpunkte durch eine Fig * Strecke AC; die Hypotenuse des dadurch entstandenen Dreieckes wird genau 5 cm enthalten. Das Quadrat von 3 ist 9, das Quadrat von 4 ist 16 und die Summe der Quadrate 25; das Qua¬ drat der Hypotenuse 5 ist auch 25. Es ist also das Quadrat der Hypo¬ tenuse so groß wie die Summe aus den Quadraten der beiden Katheten. Dieses läßt sich auch bildlich dar¬ stellen. Beschreibt man nämlich sowohl über der Hypotenuse als auch über den Katheten Quadrate und zerlegt jedes derselben in Quadratzentimeter, so sieht man, daß in dem Quadrate der Hypotenuse ebenso viele Quadratzentimeter Vorkommen als in den Quadraten der beiden Katheten zusammengenommen. Hierdurch wird man auf den folgenden Satz geleitet: In einem rechtwinkligen Dreiecke ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe aus den Quadraten der beiden Ka¬ theten. Dieser für den weiteren geometri¬ schen Unterricht sehr wichtige Lehr¬ satz wurde von Pythagoras (584—504 v. Chr.) aufgefunden und daher der pythagoräische Lehrsatz genannt. Für das gleichschenklige recht¬ winklige Dreieck läßt sich, wie Fig. 111 zeigt, die Wahrheit des pythagoräischen Lehrsatzes gleichfalls anschaulich dar¬ stellen. Um sich jedoch zu überzeugen, daß dieser Satz für jedes rechtwink¬ lige Dreieck, z. B. ABC (Fig. 112), gültig ist, errichte man über der Hypotenuse AC das Quadrat AC DE , verlängere B C und fälle darauf die Senk¬ rechten DF und EG\ ebenso fälle man auf EG die Senkrechten AH und DJ. Fig. 112. Dann sind die rechtwinkligen Dreiecke ABC , CFD, EJD und AUE, die wir kürzer mit m, n , p und q bezeichnen wollen, kongruent. Die Figur ABFDJII enthält nun die Quadrate der beiden Katheten AB und BC. Man erhält aber offenbar denselben Flächenraum, wenn man von dieser Figur die zwei Dreiecke m und n unten wegnimmt und sie oben an die Stelle der Dreiecke p und q anlegt. Die Figur ACDE } die dadurch entsteht, ist nun das Quadrat der Hypotenuse AC, welches daher denselben Flächeninhalt hat wie die Quadrate der beiden Katheten zu¬ sammengenommen. j Mit Hilfe des pythagoräischen Lehr¬ satzes kann man, wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes bekannt sind, ß die dritte Seite durch Rechnung finden. 1. Sind die beiden Katheten bekannt, so erhebt man jede Kathete zum Quadrate und addiert die Quadrate. Diese Summe gibt das Quadrat der Hypotenuse; um die Hypotenuse selbst zu erhalten, braucht man nur aus jener Summe die Quadratwurzel zu ziehen. Es sei z. B. die eine Kathete 36 cm, die andere 160 cm; wie groß ist die Hypotenuse? 36 cm 36 2 = 1296 160 cm 160 2 = 25600 Katheten ]/26896 = 164; also mißt die Hypo¬ tenuse 164 cm. 2. Sind die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, so erhebe man beide zum Quadrate und subtrahiere vom Quadrate der Hypotenuse das Quadrat der bekannten Kathete; der Rest gibt das Quadrat der andern noch unbekannten Kathete. Will man diese Kathete selbst finden, so braucht man nur aus jenem Reste die Quadratwurzel zu ziehen. Es sei z. B. die Hypotenuse 2 m 8 cm, eine Kathete 8 dm ; wie groß ist die andere Kathete? Hypot. 208 cm Kathete 80 cm 208 2 = 43264 80 2 = 6400 /36864 = 192. Die zweite Kathete be¬ trägt demnach 192 cm = 1 m 92 cm. Aufgaben: 1/ Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes sind a) 33 m und 56 m, b) 10-5 m und 8*8 m, m 73 cm und 1 m 36 cm, \d) 10 m 54 cm und 6 m Tz'cm; wie groß ist die Hypotenuse, der Umfang und der Flächeninhalt ? 2. Bei einem rechtwinkligen Dreiecke ist a) die Hypotenuse 51 dm, eine Kathete 24 dm; b) „ „ 6-5 m, „ „ 5-6 m; c ) „ „ 1*94 m, „ „ 1-44 m; d) » » 9-37 m, „ „ 9-12 m; wie groß ist die andere Kathete, der Umfang und der Flächeninhalt? 3. Wie lang muß eine Leiter sein, damit sie an einer Mauer 5-94 m hoch reiche, wenn sie unten 1-2 m weit von der Mauer aufgestellt werden soll? 4. Berechne die Hypotenuse und den Flächeninhalt eines rechtwinkelig gleichschenkligen Dreieckes, dessen Kathete Im 3 dm i cm beträgt! 5. In einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke ist die Hypo¬ tenuse 58 mm; wie groß ist jede Kathete, wie groß ist der Flächeninhalt? 6. In einem gleichseitigen Dreiecke beträgt eine Seite 1 dm; wie groß ist die Höhe desselben? 7. Berechne die Höhe und den Flächeninhalt eines gleichseitigen Drei¬ eckes, dessen Seite a) 2 dm 4 cm,\b ^4 m 2 dm 6 cm beträgt! 8. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, das einem gleichseitigen Dreiecke von 4-8 dm Seitenlänge flächengleich ist? „ 9. In einem gleichschenkligen Dreiecke beträgt die Grundlinie 2 m 28 cm und die Höhe 3 m 52 cm; wie groß ist ein Schenkel? -* - » , * « %* 10. In einem gleichschenkligen Dreiecke beträgt die Grundlinie 1 m 36 cm und jede der gleichen Seiten 2 m 93 cm; wie groß ist die Höhe und wie groß der Flächeninhalt? 11. Wie groß ist die Diagonale eines Quadrates, dessen Seite 1 m ist? 12. Die Diagonale eines Quadrates ist 1 m 7 dm; wie groß ist die Seite, wie groß der Flächeninhalt? 13. Eine quadratische Tischplatte hat 0*9409 m 2 ; wie groß ist die Diagonale? 14. Die anstoßenden Seiten eines Rechteckes sind 8*5 m und 3*36 m; wie groß ist die Diagonale? In einem Rechtecke beträgt die Diagonale 923 mm und eine Seite 355 mm. Wie groß ist die anstoßende zweite Seite? Welchen Umfang und Inhalt besitzt dieses Rechteck? 16. Wie groß ist die Diagonale eines Rechteckes, dessen Länge 5*2 m und dessen Flächeninhalt 20*28 m 2 beträgt? 17. Die Diagonalen eines Rhombus betragen 1*3 m und 1*44 m; wie groß ist a) eine Seite, b) der Umfang und c) der Flächeninhalt? 18. Ein Garten hat die Form eines Rhombus; wieviel Ar enthält er, wenn eine Seite 29 m und eine Diagonale 42 m beträgt? 79 35. Das Trapez. Man ziehein dem Trapeze ABCD (Fig. 113) die Mittellinie EF und errichte in den Punkten E und F zwei Senkrechte GH und JK auf die Grund¬ linie. Denkt man sich nun die beiden Dreiecke AEG und BFJ unten weg¬ genommen und dafür bei DEH und CFK angesetzt, so erhält man das Rechteck GJKH , welches mit dem Trapeze gleich groß ist. Wie ersichtlich ist, hat das Recht¬ eck dieselbe Höhe LM wie das Trapez, während seine Grundlinie der Mittel¬ linie EF des letzteren entspricht. Die Gerade EF stellt aber eine Linie vor, deren Länge gerade zwischen der kürzeren und längeren Parallelen des Trapezes liegt; sie ist das arithme¬ tische Mittel aus diesen Parallelen und wird gefunden, wenn man letztere summiert und durch 2 teilt. Daraus folgt : Der Flächeninhalt eines Trapezes wird gefunden, indem man das arithmetische Mittel (oder die halbe Summe) der beiden parallelen Seiten mit der Höhe des Trapezes multipliziert. Betragen beispielsweise die parallelen Seiten 21 cm und 33 cm und die Höhe 18 cm, so hat man zunächst für die Mittellinie 21 cm 4- 33 cm 54 cm -2- = — = 27cm als arithmetisches Mittel der zwei Parallelen; der Flächeninhalt ist dann gleich 27 cm 2 X 18 = 486 cm 2 . Heißt die eine der Parallelseiten a , die andere b und die Höhe h, so ist der Flächeninhalt F = Aufgaben: 1. In einem Trapeze betragen die parallelen Seiten 35 m und 27 m, die Höhe ist 18 m; wie groß ist der Flächeninhalt? (IT) Berechne den Flächeninhalt folgender Trapeze; _jz) Parallelseiten 5 m und 7 m, Höhe 4 m; b) ,, 3-5 m und 2-7 m, Höhe 1-6 m; c) ,, 2 m 54 cm und 5 m 36 cm, Höhe 4 m 28 cm \ 3. In einem Trapeze, dessen Parallelseiten und 4 2 /- m sind, be¬ trägt der Flächenraum 20-79 m 2 ; wie groß ist der Abstand der beiden parallelen Seiten? 4. Ein Trapez von 1-05 m Höhe hat 2-6565 m 2 Flächeninhalt; wenn nun die eine Parallelseite 2-75 m beträgt, wie groß ist die andere? 5. Ein Bauplatz hat die Form eines Trapezes, worin die Parallelseiten Fig. 113. Iil) L CK A Cf AI J JB 80 185 m 5 dm und 140 m 2 dm betragen und 25 m 2 dm voneinander abstehen; welchen Flächenraum hat dieser Platz? 6. In einem trapezförmigen Garten betragen die Parallelseiten 54-4 m und 46-8 m, ihr Abstand ist 34-5 m; wieviel ist der Garten wert, das Ar zu 50 K gerechnet? 7. Eine Dachfläche hat die Form eines Trapezes, in welchem die untere Länge 24 m , die obere Länge (der First) 16-4 m und der Abstand des Firstes von der unteren Seite 7-5 m beträgt; wieviel kostet die Schiefereindeckung dieser Dachfläche, wenn 1 m 2 mit 3-6 K berechnet wird? 8. Ein Fußboden hat die Form eines symmetrischen Trapezes; die parallelen Seiten betragen 6 m und 7*84 m, die Höhe mißt 5 1 / 4 m. Wieviel Meter Schutzleisten sind zum Umsäumen dieses Zimmers notwendig und wie teuer kommt diese Arbeit, wenn das laufende Meter mit 18 h berechnet wird? 9. In einem rechtwinkligen Trapeze messen die zwei Parallelen 3 m und 4-19 m , die Höhe beträgt 1-2 cm; wie groß ist dessen Umfang und Inhalt? 10. Eine Wiese hat die Form eines Trapezes; die Parallelseiten betragen 73 m und 111 m, der Abstand mißt 37 m. Wie groß ist das Erträgnis der¬ selben, wenn für 100 m 2 53 kg Heu geliefert wurden und 100 kg Heu mit 4 K bezahlt werden? 11. Die längere Parallele eines Baugrundes von der Form eines sym¬ metrischen Trapezes verhält sich zur kürzeren Seite wie 5: 3. Wie groß ist der Umfang und Flächeninhalt desselben, wenn die längere parallele Seite 340 m und jede der beiden nicht parallelen Seiten 293 m mißt? WelchenW ert hat dieser Bauplatz, wenn das Quadratmeter mit 3 K berechnet wird? Könnte darauf ein Darlehen von 100.000 K bewilligt werden, ohne im Verkaufs¬ falle Schaden zu erleiden? 36. Das Trapezoid. Ein Trapezoid wird seinem Flächeninhalte nach berechnet, man es durch eine Diagonale AG (Fig. 114) in zwei Dreiecke zerlegt, jedes Dreieck einzeln berechnet und dann ihre Flächeninhalte summiert. Einfacher gestaltet sich der Vorgang bei einem symme- indem trischen Tra¬ pezoid (Deltoid [Fig. 115]); das¬ selbe besteht aus zwei kongruenten Dreiecken ABD und BCD. Der Flächeninhalt des Dreieckes ABD Fig. 114. A 81 wird aber gefunden, wenn man die eine Diagonale BD mit der halben Höh eAE multipliziert. Der Flächeninhalt beider Dreiecke ist jedoch doppelt so groß, weshalb die Diagonale BD mit AE zu multiplizieren ist. Die Strecke AE stellt aber die Hälfte der zweiten Diagonale vor. Anstatt die eine Diagonale BD mit der Hälfte der andern Diagonale zu multiplizieren, kann man auch das Produkt beider Diagonalen suchen und dieses durch 2 teilen. Demnach hat man: Der Flächeninhalt eines Deltoides ist gleich dem halben Produkte seiner beiden Diagonalen. Aufgaben: 1. Die vier Seiten eines Fußbodens von der Form eines Trapezoides betragen 54 m, 442 m, 5-16 m und 4*9 m; wieviel Meter Schutzleisten sind zur Umsäumung notwendig? 2. Wie groß ist der Flächeninhalt des Trapezoides in Fig. 114, wenn AG = 6 cm, BE = 4 cm und DF = 3 cm ist? 3. Die Diagonale eines Trapezoides beträgt 39 mm, die von den gegen¬ überliegenden Ecken hierauf gefällten Senkrechten messen 23 mm und 18 mm; welcher Flächeninhalt ergibt sich hieraus? 4. Welchen Wert besitzt ein Wiesengrund von der Form eines Tra¬ pezoides, in welchem eine Diagonale 219 m mißt und die von den gegenüber¬ liegenden Ecken auf sie gefällten Senkrechten 84 m und 96 m betragen, wenn für das Ar 5 K gerechnet werden? 5. Die vier Seiten eines Trapezoides verhalten sich wie 13: 10: 11 : 14. Wie groß ist jede Seite, wenn der Umfang des Trapezoides 3 m 36 cm beträgt? 6. Berechne den Umfang des Deltoides in Fig. 115, wenn AE = 48 mm, BE = 36 mm und ED = 64 mm ist! Suche auch dessen Flächeninhalt! 7. In einem Deltoide betragen die beiden Diagonalen 7 m 26 cm und 4 m 58 cm; welchen Flächeninhalt besitzt es ? 8. Die beiden Diagonalen eines Deltoides verhalten sich wie 4: 7. Wie lang ist jede Diagonale, wenn der Flächeninhalt dieses Deltoides 23 m 2 66 dm 2 beträgt? 9. Ein Bauplatz hat die Form eines Trapezoides; eine der beiden Diagonalen mißt 28 m, die von den gegenüberliegenden Ecken auf diese Diagonalen gefällten Senkrechten betragen 14 m, beziehungsweise 16 m. Jedes Quadratmeter ist mit 24 K geschätzt. Darf hierauf noch ein Darlehen als zweiter Satz in der Höhe von 4000 K bewilligt werden, wenn die Liegen¬ schaft bereits mit 5600 K grundbücherlich belastet ist? 37. Das Vieleck. Die Fläche eines regelmäßigen Vieleckes ABCDEF (Fig. 116) findet man am leichtesten, indem man von der Mitte zu allen Eckpunkten 82 Fi g. 116. E gerade Linien zieht und die dadurch entstehenden Mittelpunktsdreiecke berechnet. Da aber diese Dreiecke kongruent sind, so braucht man nur eines zu bestimmen und die gefundene Fläche mit der Anzahl der Dreiecke zu multiplizieren. Der Flächeninhalt eines Teildreieckes AOB ist gleich der Grundlinie AB, multipliziert mit der halben Höhe OH; daher die Fläche aller sechs Dreiecke C sechsmal AB, multipliziert mit der halben Höhe OH; sechsmal AB ist aber der Umfang des Vieleckes, OH ist der Abstand des Mittelpunktes von der Seite des Vieleckes; daher gilt der Satz: Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes ist gleich dem Umfange, multipliziert mit dem halben Abstande des Mittelpunktes von einer Seite. Bezeichnet U den Umfang, a den Abstand des Mittelpunktes von einer Seite und F den Flächeninhalt, so ist - * - II F= ü. a r Der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite kann nicht willkürlich angenommen werden, er hängt auf eine ganz bestimmte Weise von der Länge der Seite ab. Um die Maßzahl für den Abstand des Mittelpunktes von einer Seite zu finden, multipliziere man die gegebene Seite in einem gleichseitigen Dreiecke mit 0-28 868, regelmäßigen Fünfecke ,, 0*68819, Sechsecke „ 0*86603, Achtecke ,, 1*20711, Zehnecke ,, 1*53884. Den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vieleckes kann man vorzüglich auf zwei Arten bestimmen. 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 5 ? Fig. 117. Fig. 118. A. Durch Zerlegung in Dreiecke. Man zerlege die Figur durch Diagonalen in Dreiecke, be¬ rechne jedes derselben und addiere alle Dreiecksflächen. Es sei die Fläche des Vieleckes ABCDEFG (Fig. 117) auszurechnen. 83 Man zerlege das Vieleck in Dreiecke, und es sei BG = 39 m, BE = 42-5 m, CD = 31*5 m, GE = 39-5 m, Aa = 11-6 m, Cc = 19-7 m, Ee = 12-1 m, Bb = 35-4 m, D/ = 16-4 m. Vieleck ABCDEFG = 1858-46 m 2 D. Mittels Abszissen und Ordinaten. Man ziehe durch zwei Eckpunkte eine Gerade als Abszisse und fälle darauf von allen übrigen Eckpunkten Senkrechte (Ordinaten); dadurch zerfällt die Figur in lauter rechtwinklige Dreiecke und Trapeze, welche einzeln berechnet und addiert werden. Dabei werden die Ordinaten als Grundlinien der Dreiecke oder als parallele Seiten der Trapeze, die Abszissenteile als Höhen betrachtet. Es sei (Fig. 118): Bb = 15 m, Cc = 13 m, Ee = 14 m, Ab = 10 m, be — h m, ec = 15 m und cD = 12 m. Man hat: A ABb 15 X 10 m- _ 15 4-13 Trapez BbcC = --- X 20 m 2 A DCc A DEe 13 X 12 m- 14 X 27 m A AEe 14 X 15 m 75 m 2 . 280 m 2 , = 78 m 2 189 m 2 und 105 m 2 ; daher Vieleck ABC BE = 727 m 2 . Aufgaben: 1. Wie groß ist der Umfang eines regelmäßigen Sechseckes, dessen Seite 1 m 2 dm 5 cm ist ? 2. Wie groß ist der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite a) in einem regelmäßigen Fünfecke mit der Seite 8-2 dm' 1 . b) in einem regelmäßigen Zehnecke mit der Seite 2-5 dm ? 230; 230 cm = 2 m 3 dm => Halbmesser. 15. Wie groß ist der Halbmesser eines Kreises, dessen Flächeninhalt a) 28-26 dm 2 , b) 153-86 cm 2 , c) 10 dm 2 17 cm 2 36 mm 2 beträgt? (tv =i3-14.) 16. Die Durchmesser zweier Kreise sind 2-4 dm und 3-6 dm; wie ver¬ halten sich a) ihre Umfänge, b) ihre Flächeninhalte? 17. Wie verhalten sich die Flächeninhalte zweier Kreise zu einander, wenn sich ihre Umfänge wie 3 : 5 verhalten? 18. Ein kreisrunder Saal hat 8 m 5 dm im Durchmesser; wie groß ist der Flächeninhalt? (tv => 3-14.) 19. Der Umfangeines Baumstammes ist 2 3 / 4 m; wie groß ist der Durch¬ messer, wie groß der Flächeninhalt eines Querschnittes? (tv ^ß 1 /^) 20. Wieviel Menschen haben in einem kreisrunden Saale Platz, dessen Durchmesser 14m ist, wenn ein Mensch 19 1 / 4 dm 2 einnimmt? (tv =^^j r ) 4 5 * 90 21. Auf einem Anger ist eine Kuh mit einem 2*5 m langen Stricke angebunden; wieviel Quadratmeter Weide sind ihr zugemessen? (tt =» 314.) 22. Bestimme den Halbmesser eines Kreises, der an Inhalt gleich ist" einem Quadrate mit der Seite 2 m 2 dm\ (tt => 3 x / 7 .) 23. Ein Kreis hat mit einem Quadrate gleichen Umfang, nämlich 25-12 dm; wie groß ist der Unterschied zwischen den Flächeninhalten des Kreises und des Quadrates? (tt =^3-14.) 24. Für einen kreisrunden Tisch, dessen Platte 50-24 dm 2 groß ist, soll eine Decke gestrickt werden, die überall um 15 cm herabhängt; welchen Durchmesser wird diese haben und wieviel Meter Fransen benötigt man zur Umrandung derselben? (tt -3-14.) 25. Wie groß ist die Fläche eines Kreisringes, wenn die zwei konzentri¬ schen Kreise 3 m 6 dm und 4 m 4 dm zu Durchmessern haben? 26. Bestimme den Flächeninhalt eines Kreisringes, wenn die ihn ein¬ schließenden Kreisumfänge 37-68 m und 28-26 m betragen! (tt =»3*14.) 27. Ein kreisrunder Grasplatz von 18 m Durchmesser ist mit einem 2 m breiten Wege umzogen; wieviel Flächenraum nimmt dieser Weg ein? 28. Ein Garten ist 68 m 2 dm lang, 41 m 3 dm breit; in der Mitte des¬ selben befindet sich ein kreisrunder Teich, welcher samt der ihn einschließen¬ den Mauer 12 m 4 dm im Durchmesser hat; wie groß ist die Landfläche des Gartens? Wie lang ist ein Bogen von 72° bei einem Kreise, dessen Halbmesser 2 dm ist? (tt = 3-14.) 30. Bestimme die Bogenlänge für a) 36°, 'b) 120°, c) 144°, d) 180° in einem^Kreise, dessen Halbmesser 28cm beträgt! (tt =»3 1 /_.) ILjDer Durchmesser eines Kreises ist a) 4 m, b ) 21 m, f?) 3 m 17 cmjl welche Länge hat in jedem Kreise ein Bogen von 60°? (tt =>3T4.) 32. Ein Bogen von 48° mißt 18-84 cm; wie groß ist der Halbmesser dieses Kreises? (tt =3-14.) 33. Welchen Durchmesser hat ein Kreis, in welchem ein Bogen von 15° a\ 9-42m, b) 47-1 cm lang ist? (tt ^3-14.) Wieviel Grade hat ein Bogen von 30 1 / 4 cm Länge, wenn der Kreis- diirchniesser 77 cm beträgt? (tt Wie groß ist der Inhalt eines Kreisausschnittes, dessen Halbmesser 5-8 m und dessen Bogenlänge 8-2 m ist? Ein Kreisausschnitt von 4-5 dm Halbmesser hat einen Bogen von a) 18°, i) 54°, c) 144°, d) 135°; wie groß ist die Länge des Bogens, wie groß der Inhalt des Aufschnittes? (tt =j3-14.) 37. Wieviel Grade umfaßt der Bogen eines Kreisausschnittes, dessen Fläche 235-5 cm 2 und dessen Halbmesser 3 dm beträgt? (tt = 3-14.) Wie groß ist der Flächeninhalt eines Kreises, wenn der zu 24° gehörende Ausschnitt 188-4 cm 2 beträgt, und welche Länge hat der Bogen des Kreisausschnittes? (tt =3-14.) 91 39. Wie groß ist der Inhalt eines Kreisabschnittes, dessen Sehne von 12 cm Länge dem Halbmesser des Kreises gleich ist? (tt =3-14.) 40. Der Halbmesser eines Kreises, welchem ein Quadrat eingezeichnet ist,mißt 16 cm; wie groß ist jeder der vier gleichen Kreisabschnitte? (tt =«3*14.) 41. Einem Kreise, dessen Halbmesser 2 m 4 dm beträgt, wird ein regel¬ mäßiges Sechseck eingeschrieben; um wieviel ist die Fläche des Sechseckes kleiner als die Fläche des Kreises? 42. Einem Quadrate von 12 cm Seitenlänge wird ein Kreis einge¬ schrieben; um wieviel ist der Flächeninhalt des Kreises kleiner als jener des Quadrates? 43. Raffaels berühmtes Bild, die Madonna della sedia, ist auf einer kreisrunden Fläche, deren Durchmesser 0-675 m beträgt, gemalt. Wieviel Quadratmeter enthält eine Schutzdecke für dieses Bild, wenn letztere 25 cm darüber hinausgehen soll? (n =»3-14.) 44. Ein Fenster ist breit und 2 m hoch; oben besitzt es einen halbkreisförmigen Abschluß. Wie teuer kommt ein Laden für dasselbe, wenn das Quadratmeter mit 6 K berechnet wird? (tv =>3*14.) 45. Eine Tischfläche besitzt die Form eines Halbkreises und wurde mit einer Schutzdecke versehen, zu deren Einsäumung 3 m 8-4 cm Börtchen notwendig waren. Wieviel Quadratmeter enthält die Tischfläche? ( 7t = 3-14.) 41. Flächeninhalt der Ellipse. Der Umfang einer Ellipse AB CD (Fig. 122) läßt sich nicht genau, sondern nur annäherungsweise bestimmen. — Man berechnet den Umfang Fig. 122. B einer Ellipse annäherungsweise, wenn man das arithmetische Mittel der beiden Achsen (AG und BD) mit it multipliziert. Z. B. Es sei AG =»11 cm und BD = 7 cm; 11 ent 4- 7 cm -- X 3-14 = 28-26 cm = 2 == Umfang der Ellipse. Ferner hat man gefunden, daß eine Ellipse ebensoviel Flächenraum einschließt wie ein Kreis, bei welchem das Quadrat des Halbmessers gleich ist dem Produkte aus den beiden Halbachsen der Ellipse. Da nun der Flächeninhalt eines Kreises gleich ist dem Quadrate des Halbmessers, multipliziert mit der Ludolfischen Zahl, so folgt: Der Flächeninhalt einer Ellipse wird gefunden, indem man das Produkt der beiden halben Achsen mit der Ludolfischen Zahl multipliziert. Zur Yeranschauligung des Gesagten zeichne man sich in der Ellipse (Fig. 122) über AO ein Rechteck mit den Seiten AO und OB; der Flächen- 92 inhalt desselben beträgt AO mal AB oder das Produkt der beiden Halb¬ achsen. Wie leicht einzusehen, ist ein Viertel der Ellipsenfläche kleiner als dieses Rechteck und somit die ganze Ellipsenfläche nicht 4 mal das Produkt der beiden Halbachsen, sondern weniger, genau 3*14 mal soviel. Z. B. Wie groß ist der Flächeninhalt einer Ellipse, deren Achsen 11 cm und 7 cm sind? Produkt der Halbachsen = 11 / 2 X 7 / 2 = 19 1 / 4 . 19 1 / 4 X 3 x / 7 =3 60 1 / 2 ; Flächeninhalt / 2 cm 2 . Aufgaben: 1. Die kleine Achse der Ellipse sei 80 cm , die Exzentrizität 42 cm; wie groß ist die halbe große Achse? Welchen Umfang und Flächeninhalt hat diese Ellipse? ( tz =3-14.) 2. Die Exzentrizität einer Ellipse ist 4-8 m, die große Achse 16 m; wie groß ist die kleine Achse, der Umfang und Inhalt dieser Ellipse ? (tz =3*14.) 3. Ein Gärtner hat eine Ellipse zu konstruieren, deren Achsen 522 cm und 378 cm betragen; wie weit muß er die Brennpunkte voneinander nehmen? Welcher Umfang und welcher Inhalt entspricht dieser Ellipse? (tz =3-14.) 4. Ein Blumenbeet hat die Form einer Ellipse von 4 1 / 2 m Länge und 3 3 / 4 m Breite; wie groß ist der Umfang und Flächeninhalt? (tz =3-14.) 5. Eine Untertasse in Form einer Ellipse, deren Achsen 27 cm und 18 cm betragen, soll gehäkelt werden; wieviel kurze Maschen wird man ausführen müssen, wenn 1 cm 2 36 kurze Maschen erfordert? 6. Wie groß ist der Umfang und Flächeninhalt einer Ellipse, deren kleine Achse 7*2 dm ist und deren Brennpunkte 3 dm voneinander abstehen? (tz=3-14:.) 7. Wie teuer ist die Einfassung eines elliptischen Teppiches, der 2 1 / 2 m lang und l 2 / 5 m breit ist, wenn das Meter Börtchen mit 12 h bezahlt wird? (rz =3 2 / ? .) 8. Zur Einfassung eines elliptischen Teiches, dessen große Achse 18 m beträgt, waren 157 Steine notwendig, jeder an seiner äußeren Seite 30 cm lang. Wie groß ist die kleine Achse dieses Teiches? (tz = 3*14.) IY. Abschnitt. Die Körper; Oberfläche und Kubikinhalt derselben. 42. Lage zweier geraden Linien im Raume. Wir haben schon früher (Seite 11) gesehen, daß zwei in einer und derselben Ebene liegende gerade Linien entweder zueinander parallel sind oder sich schneiden. Betrachtet man nun an einem Würfel die obere Kante des vorderen Quadrates und die rechts liegende Seite des rückwärtigen Quadrates, so sieht man, daß sie aneinander vorübergehen, ohne zueinander parallel zu sein, noch sich zu schneiden. 93 Von Linien, welche nicht zueinander parallel sind und auch so aneinander vorübergehen, daß sie sich nicht in einem Punkte treffen, sagt man: sie kreuzen sich. Zwei gerade Linien im Raume sind entweder zueinander parallel oder sie schneiden sich oder sie kreuzen sich. Zeige am Schulkasten a) zwei parallele Gerade, b) zwei sich schneidende Gerade, c) zwei sich kreuzende Gerade! 43. Arten der Flächen. Außer den bisher betrachteten ebenen Flächen oder Ebenen (Seite 21) gibt es noch weiterhin Flächen anderer Art. Betrachtet man die den Zylinder umhüllende gekrümmte Fläche, so sieht man, daß man auf letzterer nur nach einer Richtung (u. zw. von der oberen zu der unteren Grundfläche) gerade Linien ziehen kann; alle nach einer andern Richtung auf dieser Fläche gezogenen Linien sind krumme Linien. Eine ähnliche Fläche bemerkt man auch bei einem Zuckerhute. Flächen, auf welchen sich nur nach einer Seite gerade Linien ziehen lassen, heißen einseitig gekrümmte Flächen. An der Oberfläche der Kugel ist es nicht möglich, gerade Linien zu ziehen. Solche Flächen, auf welchen man nach gar keiner Richtung gerade Linien ziehen kann, heißen allseitig gekrümmte Flächen. Nenne Gegenstände, -die von allseitig gekrümmten Flächen einge¬ schlossen werden! Hieraus folgt: Es gibt ebene, einseitig gekrümmte und allseitig gekrümmte Flächen. Die ebenen Flächen sind entweder lotrecht, wagrecht oder schief. Zeige die vier lotrechten Wände des Schulzimmers! Was für gerade Linien lassen sich hier ziehen? Lotrechte Ebenen sind solche Ebenen, auf welchen sich lotrechte, wagrechte und schiefe Linien ziehen lassen. Halte dein Heft wagrecht! Was für Linien kann man hier zeichnen? Eine wagrechte Ebene ist eine solche Ebene, auf welcher bloß wagrechte Linien gezeichnet werden können. Neige das Heft so, daß es eine schiefe oder schräge Lage einnimmt, und bestimme sodann, was für Linien sich nunmehr auf demselben ziehen lassen! Schief e Ebenen sind solche Ebenen, auf welche sich teils wagrechte, teils schiefe Linien ziehen lassen. Man benennt die Ebenen gewöhnlich mit zwei Buchstaben, welche man an zwei gegenüberliegenden Ecken schreibt. Z. B. (Fig. 123) die Ebene MN. Kg. 123. 94 44. Die Gerade und die Ebene. Halte den Bleistift so, daß er von der Bankfläche überall gleichweit entfernt ist! Eine gerade Linie, welche von einer Ebene an allen Stellen denselben Abstand hat, ist zu ihr parallel. zur vordem Zimmerfläche? Halte den Stift geneigt, und zwar so, daß er die Bankfläche in einem Eine gerade Linie, welche eine Ebene unter einem spitzen Winkel trifft, ist zu ihr geneigt. Z. B. CD __/ PQ (Fig. 125). Halte den Stift zur Bankfläche so, daß er mit allen durch seinen Fu߬ punkt gezogenen Geraden immer nur rechte Winkel bildet! Man sagt: er steht zur Bankfläche senkrecht. Eine gerade Linie steht auf einer Ebene senkrecht, wenn sie Welche Kanten sind senkrecht zur vorderen Zimmerfläche gerichtet? Z. B. AB || MN (Fig. 124). Welche Kanten des Schulzimmers sind zum Fußboden parallel? Welche Fig. 124. Punkte trifft! Dieser Punkt heißt F u ß p u n k t. Die einzelnen Punkte A B der Geraden sind nicht mehr gleich weit von der Ebene (Bankfläche) ent- jY fernt. Die gerade Linie bildet mit den einzelnen durch ihren Fußpunkt gehenden und in der Ebene gezogenen geraden Linien bald größere, bald kleinere Winkel. Der kleinste unter diesen Winkeln heißt Neigungswinkel; er ist ein spitzer Winkel. Fig. 125. F J) von derselben nach allen Seiten unter einem rechten Winkel ab¬ steht. Z. B. EF _L RS. Welche Kanten des Schulzimmers stehen auf dem Fußboden senkrecht ? Nach dem Gesagten unterscheiden wir also eine dreifache Lage der Geraden zur Ebene: Eine gerade Linie ist entweder zu einer Ebene parallel oder zu ihr geneigt, oder sie steht auf ihr senkrecht. 95 Fig. 126. 45. Lage zweier Ebenen. Der Fußboden und die Zimmerdecke haben überall denselben Abstand. Zwei Ebenen, welche an allen Stellen voneinander gleich weit entfernt sind, heißen parallel. Z. B .MN || PQ (Fig. 126). Welche Wände des Zimmers sind zuein¬ ander parallel? Zeige andere parallele Ebenen! öffne das Buch nur teilweise, aber so, daß jedes einzelne Blatt desselben von dem andern getrennt ist! M.* Je zwei Blätter treffen oder schneiden sich in einer geraden Linie (Rücken des Buches). Ebenen können sich nur in einer ^ geraden Linie treffen. P c — Zwei Ebenen, welche sich in einer geraden Linie schneiden, hei ßen geneigt. Z. B. MN _/ MP (Fig. 127). Die gemeinschaftliche Durchschnittslinie heißt auch Spur oder Trasse. Der von beiden Ebenen gebildete Winkel wir d durch den Neigungs- Fig. 127. winkel gemessen. Um ihn zu bestimmen, wähle man in der Trasse einen beliebigen Punkt B und ziehe auf dieselbe in jeder Ebene eine Senkrechte. < ABC ist der £ Neigungswinkel der beiden Ebenen MN und MP, Ist der Neigungswinkel zweier Ebenen ein rechter, so sagt man, sie stehen aufeinander senkrecht. Z. B. ST _]_ SU. Beträgt der Neigungswinkel weniger als 90°, so stehen die beiden Ebenen aufeinander schief. Welche Wände des Schulzimmers stehen senkrecht aufeinander? Aus dem Gesagten folgt: Zwei Ebenen sind entweder zueinander parallel, oder sie stehen aufeinander senkrecht, oder sic sind gegeneinander schief gerichtet. 46. Körperecken. (Betrachtung von drei-, vier- und mehrseitigen Pyramiden.) Wie viele Flächen treffen bei jeder der vorstehenden Pyramiden in einer Spitze zusammen? 96 Der nach einer Seite unbegrenzte Raum, den mehrere sich schneidende und in einem Punkte zusammenstoßende Ebenen einschließen, heißt ei n körperlicher Winkel oder ei ne Kör perec ke. Die Geraden, in denen sich je zwei auf¬ einander folgende Ebenen schneiden, nennt man Kanten. Der Punkt, in welchem alle Ebenen Zusammenstößen, heißt Scheitel oder Spitze des Körperwinkels. Ein Winkel, welcher von zwei benachbarten Kanten gebildet wird, heißt Kantenwinkel. (Fig. 128.) Zwei Ebenen bilden noch keine Körperecke, weil dieselben einen nach zwei Seiten offenen Raum einschließen. Erst wenn dieser Raum noch durch eine dritte Ebene vollständig abgeschlossen wird, entsteht ein körperlicher Winkel. Z ur Bildung einer Kör per ecke sind mindestens drei Ebenen erforderlich. Es gibt drei-, vier- und mehrseitige Körperecken. Zeige diese Körperecken an den einzelnen Pyramiden! Schneide einen beliebigen Winkel (etwa von 45°) aus Papier mehrmals (z. B. neunmal) aus und versuche sodann mit drei, vier, fünf u. s. w. in einem Punkte zusammenstoßenden Winkeln eine Ecke zu bilden! Dies gelingt nur so lange, als die Summe aller Kantenwinkel die Zahl 360° nicht erreicht. In jeder Körperecke ist die Summe aller Kantenwinkel kleiner als 360°. Wie viele Körperwinkel enthält das Schul zimmer? Von wie vielen Ebenen wird jede dieser Körperecken gebildet? V ie groß ist jeder Kanten¬ winkel? Suche die Summe aller Kantenwinkel an jeder dieser Körper¬ ecken auf! 47. Die regelmäßigen Körper. Wir wissen aus dem Vorhergehenden, daß die Summe allerKantenwinkel einer Körperecke kleiner als 360° sein muß und daß zur Bildung einer körper¬ lichen Ecke mindestens drei Ebenen erforderlich sind. . Da nun ein W T inkeJ des regelmäßigen (gleichseitigen) Dreieckes 60° mißt, so können drei, vier und auch fünf solcher Winkel eine Körperecke bilden; aus sechs oder aus mehr als sechs solchen Winkeln aber kann keine Ecke entstehen, da hier die Summe bereits 360° oder mehr als 360° betragen würde. Von gleichseitigen Dreiecken können daher nur drei regelmäßige Körper gebildet werden, nämlich das Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder (Fig. 129). Das Tetraeder oder der Vierflächner (Fig. 129, 1 ) wird von vier kongruenten und gleichseitigen Dreiecken begrenzt. 97 Das Oktaeder oder der Achtflächner (Fig. 129, II) wird von acht kongruenten und gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das Ikosaeder oder der Zwanzigflächner (Fig. 129, III) wird von 20 kongruenten und gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Jeder Winkel eines regelmäßigen Viereckes (Quadrates) ist ein rechter; von solchen Winkeln können nur drei in einer Ecke Zusammen¬ treffen; aus vier oder mehr als vier rechten Winkeln kann keine Ecke ge¬ bildet werden, da ihre Summe bereits 360° oder mehr als 360° beträgt. Es gibt daher nur einen einzigen von Quadraten begrenzten Körper; er heißt Würfel, Kubus, auch Hexaeder oder Sechsflächner. Das Hexaeder, der Sechsflächner, Kubus oder Würfel (Fig. 130) wird von sechs kongruenten Quadrateneingeschlossen. Der Winkel eines regelmäßigen Fünfeckes beträgt 108°; von solchen Winkeln können nur drei eine Ecke bilden. Es gibt daher nur einen einzigen, von regelmäßigen Fünfecken begrenzten Körper, welcher Dodekaeder ge¬ nannt wird. Fig. 129. Fig. 130. Fig. 131. T V M Das Dodekaeder oder der Zwölfflächner (Fig. 131) wird von zwölf kongruenten und regelmäßigen Fünfecken begrenzt. Im regelmäßigen Sechsecke ist jeder Winkel bereits 120°. Von solchen Winkeln wie auch von den Winkeln eines regelmäßigen Vieleckes von mehr als sechs Seiten kann keine Ecke gebildet werden. Es sind daher nur fünf Körper mit regel mäßigen geradlinigen Figuren möglich. Weil diese Körper nur von regelmäßigen Figuren ein¬ geschlossen werden, nennt man sie regelmäßige Körper. Regelmäßige Körper sind solche Körper, welche nur von regelmäßigen und kongruenten geradlinigen Figuren begrenzt werden. Es gibt fünf regelmäßige Körper; diese heißen: das Tetraeder, das Oktaeder, das Ikosaeder, das Hexaeder und,das Dodekaeder. Wie viele Kanten und wie viele Ecken enthält jeder der fünf regel¬ mäßigen Körper? 48. Das Prisma. Jedes Prisma (Fig. 132) enthält (eben und unten) zwei kongruente und parallel gestellte geradlinige Figuren; man nennt sie Grundflächen. An 98 den Seiten wird es von ebensovielen Parallelogrammen begrenzt, als eine der Grundflächen Seiten hat; man heißt diese Flächen Seitenflächen. Ein Prisma ist ein Körper, welcher von zwei parallelen und kongruenten geradlinigen Figuren als Grundflächen und an der Seite von sovielen Fig. 132. I K ii Parallelogrammen eingeschlossen wird, als eine der Grund¬ flächen Seiten hat. Man kann sich ein Prisma dadurch ent¬ standen denken, daß sich eine geradlinige Figur aus ihrer Ebene heraus, mit ihrer an¬ fänglichen Lage parallel, in unveränderter Größe so fortbewegt, daß ihre Eckpunkte gerade, mitein¬ ander parallele Linien beschreiben. Alle Seitenflächen zusammen nennt man den Mantel und die Seiten¬ flächen samt den beiden Grundflächen die Oberfläche des Prismas. Jene Kanten, welche die Grundfläche begrenzen, heißen Grund¬ kanten. Diejenigen Kanten, in welchen sich je zwei benachbarte Seitenflächen schneiden, werden Seitenkanten genannt. Alle Seitenkanten eines Prismas sind gleich lang und zu¬ einander parallel. (Warum?) Mit Rücksicht auf die Zahl der Seitenflächen unterscheidet man drei-, vier- und mehrseitige Prismen (Fig. 132). Die Seitenkanten stehen entweder auf der Grund¬ fläche senkrecht (Fig. 132, / und II), oder sie sind zu ihr geneigt (Fig. 132, III). In Hinsicht auf die Stellung der Seitenkanten unterscheidet man gerade (senkrechte) und schiefe Prismen. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt die Höhe des Prismas (Fig. 132, AB, CD und EF). Bei jedem geraden Prisma stellt eine Seitenkante zugleich auch die Höhe vor. Gerade Prismen, deren Grundflächen regelmäßige Figuren sind, heißen regelmäßige Prismen. Ein Prisma, dessen Grundflächen Parallelogramme sind, wird nur von Parallelogrammen (und zwar immer von sechs Parallelo¬ grammen) eingeschlossen; es heißt darum auch Parallelepiped. Beim Parallelepiped kann jede Seitenfläche als Grundfläche ange¬ sehen werden. Fig. 133. 99 Der Würfel ist ein gerades Parallelepiped. Wie viele Grundkanten und wie viele Seitenkantei. enthält a) ein drei¬ seitiges Prisma? b) ein Parallelepiped? c ) ein sechsseitiges Prisma? Schneidet man ein gerades Prisma (Fig. 133) mehrmals parallel mit den Grundflächen, so erhält man lauter Figuren, welche sowohl unterein¬ ander als auch mit den beiden Grundflächen gleich groß sind. Alle diese Figuren haben dieselbe Gestalt und dieselbe Größe. Übereinander gelegt, decken sie sich; sie sind kongruent. 49. Die Pyramide. Jede Pyramide (Fig. 134) enthält bloß eine Grundfläche. Außerdem wird sie noch von so vielen Dreiecken (als Seitenflächen) begrenzt, als die Grundfläche Seiten hat. Diese Dreiecke laufen in einem Punkte, der Spitze, zusammen. Eine Pyramide ist ein Körper, der von einer geradlinigen Figur als Grundfläche und an der Seite von ebensovielen sich in einer Spitze vereini¬ genden Dreiecken ein¬ geschlossen wird, als die Grundfläche Sei¬ ten hat. Man kann sich eine Pyramide dadurch ent¬ standen denken, daß sich eine geradlinige Figur aus ihrer Ebene heraus, mit ihrer anfänglichen Lage parallel, in stetig ab¬ nehmender Größe so fort- bewegt, daß ihre Endpunkte gerade, in einer Spitze zusammentreffende Linien beschreiben. Alle Seitenflächen zusammen nennt man den Mantel und die Seiten¬ flächen samt der Grundfläche die Oberfläche der Pyramide. Jene Kanten, welche die Grundfläche einschließen, heißen Grund¬ kanten. Diejenigen Kanten, in welchen sich je zwei benachbarte Seiten¬ flächen treffen, werden Seitenkanten genannt. Mit Rücksicht auf die Zahl der Seitenflächen gibt es drei-, vier- und mehrseitige Pyramiden. In einer dreiseitigen Pyramide kann jede Seitenfläche auch als Grund¬ fläche angenommen werden. Eine Pyramide, bei welcher alle Seitenkanten gleich lang sind, heißt gerade; ist dieses nicht der Fall, so heißt die Pyramide schief. Nach der Länge der Seitenkanten gibt es gerade und schiefe Pyramiden. 100 Der Abstand zwischen Grundfläche und Spitze der Pyramide wird ihre Höhe genannt (Fig. 134, A B und CD). Gerade Pyramiden, deren Grundflächen regelmäßige Figuren sind, heißen regelmäßige Pyramiden. Das Tetraeder ist eine regelmäßige dreiseitige Pyramide. Das Oktaeder ist eine quadratische Doppelpyramide. Wie viele Grundkanten und wie viele Seitenkanten enthält a) eine drei¬ seitige Pyramide? 6) eine vierseitige Pyramide? c) eine fünfseitige Pyramide? 50. Ähnlichkeit im Raume. Schneidet man eine Pyramide parallel zur Grundfläche, so erhält man zwei Teile: eine kleinere Pyramide (Fig. 135,/) und den Pyramiden¬ stumpf oder die abgekürzte Pyramide (Fig. 135, II). Fig. 135. Fig. 136. Betrachtet man nun die Schnitt¬ fläche (ab cd), so sieht man, daß sie zwar mit der Grund¬ fläche (ABCD) die¬ selbe Gestalt oder Form, aber nicht dieselbe Größe hat; sie ist mit der¬ selben ähnlich. Nimmt man bei einer Pyramide den parallelen Schnitt mehrmals an ver¬ schiedenen Stellen vor, so ist leicht einzusehen, daß derselbe um so kleinere, aber noch immer ähnliche Figuren gibt, je weiter er gegen die Spitze der Pyramide geschieht (Fig. 136). Wie aus Fig. 136 ersichtlich ist, sind die gleichliegenden Winkel überall gleich groß, dagegen nimmt die Größe der Seiten in einem be¬ stimmten Verhältnisse ab. Hätte man beispielsweise die Höhe der Pyramide in drei gleiche Teile zerlegt und durch jeden Teilpunkt einen parallelen Schnitt zur Grundfläche vorgenommen, so wäre die Seite s 3 der Schnitt¬ figur III gleich einem Drittel der Seite s 1 der Grundfläche, dagegen die Seite s 2 der Schnittfigur II gleich zwei Dritteln der Seite s v Die Seitenkante AB (Fig. 137) einer geraden quadratischen Pyramide betrage 4 cm; demnach enthält die Grundfläche 16 cm 2 . Teilt man nun die Höhe dieser Pyramide in mehrere, z. B. vier gleiche Teile und führt durch jeden Teilpunkt einen zur Grundfläche parallelen Schnitt, so ergeben sich drei mit der Grundfläche ähnliche Figuren, 101 nämlich drei Quadrate mit den Seiten¬ langen 3 cm, 2 cm und 1 cm, deren Flächen¬ inhalte beziehungsweise 9 cm 2 , 4 cm 2 und 1 cm 2 betragen. Die Abstände 0'"S, 0"S 9 O'S und OS der vier Quadrate von der gemein¬ schaftlichen Spitze S verhalten sich zu einander wie 1 : 2 : 3 : 4, während die Flächeninhalte derselben im Verhältnisse stehen wie 1 : 4 : 9 :16. Dasselbe läßt sich auch an jeder andern Pyramide mit beliebiger Grundfläche zeigen. Hieraus folgt: Wird einePyramide parallel zur Grundfläche geschnitten, so verhal¬ ten sich die Schnittflächen wie die Quadrate ihrer Abstände von der gemeinschaftlichen Spitze. (Anwendung in der Akustik und in der Optik.) Fig. 137. . 51. Der Zylinder. Ein Zylinder ist ein Körper, welcher von zwei kongruenten und parallelen krummlinigen Figuren als Grundflächen und von einer einseitig gekrümmten Fläche als Mantelfläche ein¬ geschlossen wird. Am häufigsten sind jene Zylinder, deren Grundflächen Kreise sind; man nennt sie Kreiszylinder oder auch Zylinder schlechtweg. Wir wollen dm folgenden nur Kreiszylinder voraussetzen. Man kann sich einen Zylinder dadurch entstanden denken, daß sich eine Kreisfläche aus ihrer Ebene heraus, mit ihrer ursprünglichen Lage parallel, in unveränderter Größe so fortbewegt, daß der Mittelpunkt stets in derselben Geraden bleibt. Die gekrümmte Seitenfläche des Zylinders heißt der Mantel desselben. Jede gerade Linie, welche auf der Mantelfläche von der oberen zu der unteren Grundfläche gezogen wird, heißt Mantellinie oder Seite des Zylinders. Die Gerade, welche die Mittelpunkte beider Kreisflächen verbindet, wird die Achse des Zylinders genannt. Z. B. AB und CD (Fig. 138). Unter Höhe versteht man den Abstand der beiden Kreisflächen von einander. Z. B. AB und CE (Fig. 138). 102 I Fig. 138. jr Fig. 139. Stellt die Achse auf den Grundflächen senkrecht, so heißt der Zylinder ein gerader, sonst ein schiefer. Es gibt gerade und schiefe Zylinder (Fig. 138, 7 und II). Beim geraden Zylinder fallen Achse und Höhe zusammen; beim schiefen Zylinder ist dies nicht der Fall. Ist bei einem geraden Zylinder die Achse gerade so groß wie der Durch¬ messer der Grundfläche, so heißt er ein gleichseitiger Zylinder. Einen geraden Zylinder kann man sich auch dadurch entstanden denken, daß sich ein Rechteck um eine seiner Seiten herumdreht; er ist ein Umdrehungskörper. Schneidet man einen geraden Zylinder (Fig. 139) parallel zur Grund¬ fläche, oder, was dasselbe ist, senkrecht gegen die Achse, so erhält man stets einen Kreis (7). Alle auf diese Weise erhaltenen Kreise sind unter- J[ einander kongruent. (Siehe Seite 98.) Erfolgt der Schnitt schräg gegen die Achse, so bekommt man eine Ellipse (77). Beide Schnittfiguren erhält man auch in der freien Oberfläche einer Flüssigkeit, welche man in ein zylindrisches Glasgefäß gießt; bei gewöhnlicher Stellung des Gefäßes bildet die freie Oberfläche einen Kreis, wird dasselbe aber geneigt, so erhält man eine Ellipse. 52. Der Kegel. Ein Kegel ist ein Körper, welcher von einer krummlinigen Figur als Grundfläche und von einer einseitig gekrümmten, in eine Spitze auslaufendem Fläche als Mantelfläche eingeschlossen wird (Fig. 140). Am häufigsten sind jene Kegel, deren Grundflächen Kreise sind. Man nennt sie Kreiskegel oder auch Kegel schlechtweg. Wir wollen im folgenden nur Kreiskegel voraussetzen. Man kann sich einen Kegel da¬ durch entstanden denken, daß sich eine Kreisfläche aus ihrer Ebene heraus, mit Fig. 140. 103 ihrer anfänglichen Lage parallel, in stetig bis zu einem Punkte ab¬ nehmender Größe so fortbewegt, daß der Mittelpunkt immer in derselben Geraden bleibt. Die einseitig gekrümmte Seitenfläche des Kegels heißt der Mantel desselben. Jede gerade Linie, welche auf der Mantelfläche eines Kegels von einem Punkte des Umfanges der Grundfläche bis zur Spitze gezogen werden kann, heißt Mantellinie oder Seite des Kegels. Die Gerade, welche den Mittelpunkt der Grundfläche mit der Spitze verbindet, ward Achse genannt (Fig. 140, AB und CD). Unter Höhe versteht man den Abstand der Spitze von der Grund¬ fläche (Fig. 140, AB und CE). Steht die Achse senkrecht auf der Grund¬ fläche, so heißt der Kegel ein gerader, sonst ein schiefer. Es gibt gerade und schiefe Kegel (Fig. 140). Beim geraden Kegel fallen Achse und Höhe zusammen; beim schiefen Kegel ist dies nicht der Fall. Ist bei einem geraden Kegel die Seite gerade so groß wie der Durch- eichseitiger Einen geraden Kegel kann man sich auch dadurch entstanden denken, daß sich ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete herum¬ dreht; er ist ein Umdrehungskörper. 53. Schnitte am geraden Kegel. Wird ein gerader Kegel durch eine Ebene, welche mit der Grundfläche parallel ist, geschnitten, so entstehen zwei Körper, und zwar ein kleiner Kegel und der zwischen den zwei parallelen Kreisflächen enthaltene Körper, welcher abgekürzter Kegel oder Kegelstumpf genannt wird (Fig. 141). Die Entfernung pP der beiden Kreisflächen bestimmt die Höhe des Kegelstumpfes. Eine Strecke (wie aA), welche von dem Umfange der oberen Grund¬ fläche längs der Mantelfläche bis zum Umfange der unteren Grundfläche gezogen wird, nennt man eine Seite des abgekürzten Kegels. Erfolgt, wie oben angenommen wurde, der Schnitt parallel zur Grundfläche, so ist der obere Teil des Kegels selbst wieder ein gerader Kegel; wird dagegen der Schnitt schräg zur Grundfläche vorge¬ nommen, so ist der obere Teil ein schiefer Kegel. Wird ein gerader Kegel mehrmals parallel zur Grundfläche, oder, was dasselbe ist, senkrecht gegen seine Achse geschnitten, so erhält man lauter Kreise. Diese werden um so kleiner, je näher der Schnitt gegen die Spitze zu erfolgt. (Siehe Seite 100.) Steht aber die schneidende Ebene nicht senkrecht auf der Achse, so sind drei Fälle möglich. Trifft die schneidende Ebene alle Seiten des Kegels, so ist die Schnitt¬ figur eine Ellipse (Fig. 142 } AB). messer der Grundfläche, so heißt er ein gl Mocnik-Wenghart, Geometrische Formenlehre für Mädchenbürgerschulen. 6 104 Ist die Schnittebene parallel zu einer Seite des Kegels, so entsteht eine nach einer Seite offene krummlinige Figur (CDE), welche Parabel genannt wird. Die Gerade DD' heißt Achse, D der Scheitel der Parabel; DE 1 und DC werden die beiden Äste genannt. In der Geraden DD', nahe beim Scheitel D, liegt der Brennpunkt dieser Kurve. Ist endlich die schneidende Ebene parallel zu zwei Seiten des Kegels, welcher Fall z. B. eintritt, w^enn sie parallel zur Achse wird, so ist der Schnitt eben- Fig. 141. Fig. 142. S falls eine nach einer Seite offene krumm¬ linige Figur ( FGH ), welche Hyperbel heißt; man erhält jedoch hierbei nur die eine Hälfte dieser Kurve. Will man die ganze Hyperbel bekom¬ men, so erweitere man die Mantel¬ fläche eines geraden Kegels über die Spitze hinaus (Fig. 143) und schneide den so erhaltenen Doppelkegel durch eine Ebene parallel zur Achse. Die vollständige Hyperbel besteht aus zwei Ästen (ABC und A'B'C'). Die gemeinschaftliche Mittellinie heißt Achse (xx'). Jeder Ast besitzt einen Brennpunkt. Der Kreis, die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel heißen auch Kegelschnittslinien, weil sie durch den Schnitt des Kegels mit einer Ebene entstehen. (Die Kegelschnittslinien lassen sich auf eine sehr anschauliche Weise darstellen, wenn man ein kegelförmig zugespitztes Trinkglas zum Teile mit gefärbtem Wasser füllt, dann oben verschließt und entsprechend neigt.) 54. Die Kugel. Die Kugel (Fig. 144) ist ein Körper, welcher von einer all¬ seitig gekrümmten Fläche dergestalt eingeschlossen wird, daß jeder Punkt dieser Fläche von einem innerhalb liegenden Punkte gleich weit absteht. Der in der Mitte der Kugel liegende Punkt heißt der Mittelpunkt derselben. Die allseitig gekrümmte Fläche, von welcher die Kugel eingeschlossen wird, bildet ihre Oberfläche. Jene Gerade, welche vom Mittelpunkte bis an die Oberfläche gezogen wird, heißt ein Halbmesser oder Radius der Kugel. Fig. 144. 105 Alle Halbmesser einer Kugel sind einander gleich. Warum? Jede Gerade, welche von einem Punkte der Oberfläche durch den Mittelpunkt bis zum entgegengesetzten Punkte der Oberfläche geht, heißt Durchmesser oder Diameter der Kugel. Alle Durchmesser einer Kugel sind einander gleich. Warum? Man kann sich jede Kugel durch Umdrehung eines Halbkreises um seinen Durchmesser entstanden denken. Die Kugel ist also ein U m- drehungskörper. Dieser Durchmesser heißt Achse (Fig. 145, AB); seine Endpunkte werden Pole der Kugel genannt (A und B). Jeder größte Kreis, welcher durch die beiden Pole geht, heißt Meridia n. Alle Meridiane treffen sich in den beiden Polen und sind gleich groß. Ein zwischen zwei benachbarten Meridianen gelegenes Stück der Kugelfläche heißt ein sphärisches Zweieck, z. B. ACBD. Jener größte Kugelkreis, welcher von den Polen gleich weit absteht, wird Äquator genannt. Die Ebene des Äquators steht senkrecht auf der Achse und trifft diese im Mitteipunkte der Kugel. Alle Kreise, welche auf der Kugelfläche parallel zum Äquator gezeichnet werden können, heißen Parallelkreise. Die Parallelkreise werden gegen die Pole zu immer kleiner. Durch die eben besprochenen Kreise erhält man auf der Oberfläche der Kugel ein Netz, welches sich aus dreieckigen und viereckigen Flächen zusammensetzt; diese Flächenstücke heißen sphärische Dreiecke, be¬ ziehungsweise sphärische Vierecke. Durch den Schnitt einer Kugel mit einer Ebene zerfällt die Kugel in zwei Teile, welche man Kugelabschnitte heißt. Letztere sind einander gleich oder haben verschiedene Größe, je nachdem die schneidende Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel oder außerhalb desselben geht; im ersten Falle heißt jeder der beiden Kugelabschnitte eine Halbkugel (Fig. 146). Die gekrümmte Oberfläche eines Kugelabschnittes (Fig. 146, ASM) wird Kugelmütze oder Kalotte genannt. Wird eine Kugel durch zwei parallele Ebenen durchschnitten, so heißt der zwischen ihnen befindliche Teil der Kugel eine Kugelschicht; der 6 * 106 # dazu gehörige Teil der Kugeloberfläche wird Kugelzone oder Gürtel genannt (Fig. 146, BCZ). 55. Oberfläche und Kubikinhalt der Körper im allgemeinen. Bei der Größenbestimmung der Körper handelt es sich um die Be¬ rechnung der Oberfläche und des Körperinhaltes (Kubikinhaltes). Um die Oberfläche eines Körpers zu finden, braucht man nur den Flächeninhalt jeder Grenzfläche für sich zu bestimmen und alle ge¬ fundenen Zahlen zu addieren. Die Oberfläche eines Körpers wird demnach durch das Flächenmaß gemessen. Um den Kubikinhalt eines Körpers zu bestimmen, nimmt man irgendeinen bekannten Körper als Einheit des Körpermaßes (Kubikmaßes) an und untersucht, wie oft derselbe in dem zu bestimmenden Körper ent¬ halten ist. Die Zahl, welche dieses angibt, heißt die Maßzahl für den Kubik¬ inhalt des Körpers. Als Einheit des Kubikmaßes nimmt man einen Würfel oder Kubus an, dessen Kante der Längeneinheit gleich ist und welcher ein Kubik¬ meter (m 3 ), ein Kubikdezimeter (dm 3 ) u. s. w. heißt, je nachdem die entsprechende Längeneinheit ein Meter, ein Dezimeter u. s. w. ist. Einen Körper aufseinen Kubikinhalt messen, heißt also unter¬ suchen, wieviel Kubikmeter oder Kubikdezimeter u. s. w. in demselben ent¬ halten sind. Es würde aber zu mühsam und in vielen Fällen unausführbar sein, diese Untersuchung durch wirkliches Neben- und Aufeinanderlegen der Kubikeinheit vorzunehmen. Einfacher wird der Kubikinhalt eines Körpers mittelbar aus dem Maße der Linien und Flächen, von denen die Größe desselben abhängt, durch Rechnung gefunden. Zwei Körper, welche denselben Kubikinhalt haben, heißen inhalts¬ gleich. Wie bereits früher gezeigt wurde, kann man sich die Prismen, Pyramiden, Zylinder und Kegel durch Parallelbewegung einer geradlinigen oder krummlinigen Figur (Grundfläche) entstanden denken. Bleibt die Größe der Grundfläche während der Parallel¬ bewegung unverändert, so entsteht ein Prisma oder ein Zylinder, je nachdem das sich bewegende Gebilde geradlinig oder krummlinig war; nimmt dagegen die sich bewegende Fläche während der Parallelbewegung stetig ab, bis sie in einem Punkte verschwindet, so erhält man eine Pyramide oder einen Kegel. Der Kubikinhalt des hierbei beschriebenen Raumes ist jeden¬ falls um so größer, je größer die sich bewegende Fläche ist; er wird aber auch zunehmen, wenn die Höhe wächst, bis zu welcher sich die Figur erhebt. Die Größe des Raumes bleibt aber dieselbe, ob das sich bewegende Gebilde in einer senkrechten oder einer schiefen Linie zur Grundfläche fortschreitet, 107 Um dies einzusehen, denke man ßi^h ein gerades Prisma (Fig. 147, 7) durch möglichst viele parallele und gleich weit entfernte Schnitte in lauter prismatische Platten zerlegt; werden nun letztere nach schräger Rich¬ tung verscho¬ ben (Fig. 147, II), so ergibt ■ sich ein Körper, der sich um so mehr einem schiefen Prisma ■ nähert, je dün¬ ner die Platten sind. Bei un¬ endlich vielen Schnitten fal- . len die Platten unendlich dünn aus und der Körper II geht in ein schiefes Prisma über. Da aber beide Prismen aus derselben An¬ zahl von gleich großen Platten sich zusammensetzen, so folgt hieraus, daß sie inhaltsgleich sind. Hieraus ergibt sich: Jedes schiefe Prisma ist inhaltsgleich einem geraden Prisma, mit dem es dieselbe Grundfläche und Höhe hat. Hätte man statt des geraden Prismas einen geraden Zylinder, eine gerade Pyramide oder einen geraden Kegel genommen und diese Körper durch parallele Schnitte zerlegt und sodann verschoben, so würde man auf gleiche Weise inhaltsgleiche schiefe Zylinder, Pyramiden oder Kegel erhalten haben, woraus folgt: Jeder schiefe Zylinder ist inhaltsgleich einem geraden Zylinder von derselben Grundfläche und Höhe. Jede schiefe Pyramide ist inhaltsgleich einer geraden Pyra¬ mide von derselben Grundfläche und Höhe. Jeder schiefe Kegel ist inhaltsgleich einem geraden Kegel von derselben Grundfläche und Höhe. Der Kubikinhalt einer Kugel hängt bloß von ihrem Halbmesser ab. Zwei Kugeln sind inhaltsgleich, wenn sie gleiche Halb¬ messer haben. 56. Berechnung des Würfels. Um die Oberfläche eines Körpers geometrisch darzustellen, konstruiert man alle Grenzflächen desselben zusammenhängend in einer Ebene. Eine solche Zeichnung heißt das Netz des Körpers. Fig. 147. H i 108 Fig. 148. Fig. 148 stellt das Netz eines Würfels vor. Wird ein solches Netz gehörig ausgeschnitten und zusammengefügt, so kann man daraus einen Würfel herstellen. (Klebestreifen hierbei.) Der Würfel wird von sechs kongruenten Qua¬ draten begrenzt. Die Oberfläche eines Würfels ist daher gleich dem sechsfachen Flächeninhalt einer Grenzfläche. Bezeichnet s die Maßzahl einer Seite, so ist s * 2 die Maßzahl für den Flächeninhalt einer Grenzfläche, daher die Oberfläche 0 = 6 s 2 , und umgekehrt s 0 6 Fig. 149. Ist die Länge der Seite eines Würfels 3 cm (Fig. 149), so beträgt die Grundfläche 3 X 3 cm 2 == 9 cm 2 . Es lassen sich demnach auf der Grundfläche 9 cm 3 auflegen, und zwar bis zu einer Höhe von 1 cm; von da bis zur Höhe von 3 cm liegen noch zwei solche Schichten von 9 cm 3 ; also ent¬ hält der Würfel 3 X 9 cm 3 = 3 X 3 X 3 cm 3 = 27 cm 3 . Um dieses zu versinnlichen, nehme man 27 kleine und gleiche Würfel und lege diese gehörig neben- und aufeinander. Man überzeugt sich auf gleiche Weise, daß ein Würfel, = 64 cm 3 , = 125 cm 3 , = 216 cm 3 4 X 4 X 4 cm 3 5 X 5 X 5 cm 3 6X^X6 cm 3 dessen Seite 4 cm ist, „ „ 5 cm „ „ „ 6 cm „ enthält u. s. w. Der Kubikinhalt eines Würfels wird also gefunden, indem man die Maßzahl einer Seite (Kante) dreimal als Faktor setzt oder zur dritten Potenz erhebt. Darum wird auch im Rechnen die dritte Potenz einer Zahl der Kubus derselben genannt. Bezeichnet s die Länge einer Seite und K den Kubikinhalt eines Würfels, so ist K = s 3 * * * * * * 10 . Hieraus folgt: Die Kubikinhalte zweier Würfel verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer Seiten. Ein Würfel, dessen Seite 10 dm beträgt, hat 10 X 10 X 10 dm z = 1000 dm 3 . 109 Ein solcher Würfel ist nun 1 m*; also ist lm 3 = 1000 dm 3 . 1 dm 3 = 1000 cm 3 , 1 cm 3 = 1000 mm 3 . Ebenso folgt 1 Kubikdezimeter heißt als Hohlmaß ein Liter; 100 Liter = 1 Hektoliter. — 1 m 3 Hohlraum faßt 10 hl. — ldm 3 Wasser wiegt bei 4° C 1 kg; 1 cm 3 Wasser wiegt bei derselben Temperatur 1 g. Aufgaben: 1. Berechne die Oberfläche und den Kubikinhalt eines Würfels, dessen c) 1-35 m, /) 0-575 m beträgt! d) 12 dm , _J>) 2 m 4 dm , I) 27 cm, e) 1 m 3 tZm 5 cm, 2. Die Oberfläche eines Würfels beträgt 398-535 cm 2 ; wie groß ist a) die Seite, b) der Kubikinhalt desselben? 3. Es soll ein würfelförmiges, oben offenes Gefäß von 0-38 m Kanten¬ länge angefertigt werden; wieviel Quadratmeter Kupferblech braucht man? 4. Die Seitenfläche eines Würfels beträgt 3 m 2 61 dm 2 ) wie groß ist a) die Kante, b) der Kubikinhalt? -^-öTEin würfelförmiges Gefäß hat 4-8 dm innere Weite; wieviel Liter faßt es? 6. An einem Würfel von Granit beträgt jede Seite 1-4 m; wieviel wiegt der Würfel, wenn 1 dm 3 Granit 2-7 kg wiegt? 7. Die Seiten zweier Würfel sind 4 cm und 12 cm; wie verhalten sich d) ihre Oberflächen, b) ihre Kubikinhalte? 8. Die Oberfläche eines Granitwürfels enthält 107*3574 dm 2 ; wie groß ist a) eine Kante, b) der körperliche Inhalt, c) sein Gewicht? 9. Wieviele Liter faßt ein kubischer Behälter, dessen Grundfläche 64 dm 2 beträgt? 10. Eine Kohlenkiste von der Form eines Würfels hat 12 dm Seiten¬ länge. Wieviel Meterzentner Kohle faßt diese, wenn ldm 3 Kohle l-kkg wiegt und 15°/ 0 wegen der leeren Räume in Abzug kommen? 11. Wie schwer ist eine Wagenladung von 120 Würfeln aus Sandstein, wenn die Seite eines jeden Würfels 2-5 dm beträgt und 1 dm 3 Sandstein 2-4 kg -wiegt? 12. Die Oberfläche eines Würfels beträgt 10-64 m 2 ; welchen Körper¬ inhalt hat ein anderer Würfel, dessen Seite um 0-21 m größer ist als die des ersten Würfels? 57. Berechnung des Prismas. Um das Netz eines geraden Prismas (Fig. 150) zu erhalten, zeichne man die Parallelogramme (Rechtecke), welche die Mantelfläche bilden, so nebeneinander, daß je zwei eine gemeinschaftliche Seite haben, und konstruiere dann über und unter einem dieser Parallelogramme die Grundflächen. (Von 110 den Netzen schiefer Körper wollen wir wegen der Schwierigkeit in der Herstellung absehen.) Soll die Größe der Mantelfläche eines Prismas bestimmt werden, so muß man zuerst die Seitenflächen als Parallelogramme berechnen; ihre Summe gibt die Mantelfläche. Bei einem geraden Prisma bildet die Mantelfläche, wenn man sich dieselbe auf eine Ebene abgewickelt denkt, ein Rechteck, dessen Grundlinie dem Umfange der Grundfläche und dessen Höhe der Seitenkante des Prismas gleich ist (Fig. 150). Also gilt der Satz: Die Mantelfläche eines geraden Prismas wird gefunden, indem man den Umfang der Grund¬ fläche mit einer Seitenkante multipliziert. Addiert man hierzu noch die doppelte Grundfläche, so erhält man die Oberfläche des Prismas. . Um den Kubikinhalt eines Prismas zu finden* wollen wir vom rechtwinkligen Paralielepiped ausgehen. Es sei der Kubikinhalt eines recht¬ winkligen Parallelepipeds (Fig. 151), in welchem die Länge AB = 4 dm , die Breite BC = 2 dm und die Höhe AD = 3 dm ist, zu bestimmen. Da die Fig. 150. Fig. 151. Grundfläche 2X4 dm 2 = 8 dm 2 enthält, so läßt sich auf ihr ein dm 3 achtmal auflegen; das Paralielepiped enthält also bis zu einer Höhe von 1 dm eine Schichte von 8 dm 3 ; zu der Höhe EF gehört eine neue Schichte von 8 dm 3 und zu der Höhe FD wieder eine Schichte von 8 dm 3 . Das ganze Paraliel¬ epiped hat daher dreimal 8 dm 3 oder 2X^X3 dm 3 = 24 dm 3 . — Allgemein lassen sich auf der Grundfläche jedesmal so viele Kubikeinheiten auf stellen, als dieselbe Quadrateinheiten enthält und es erscheinen so viele solcher Schichten von Würfeln übereinander, als die Höhe Längeneinheiten enthält. Man muß daher, um den Kubikinhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds zu erhalten, die Grundfläche mit der Höhe, oder, was dasselbe ist, die Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren. Daraus folgt: Der Kubikinhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds wird gefunden, indem man die Maßzahlen seiner Länge, Breite « und Höhe oder indem man die Maßzahlen seiner Grün und Höhe miteinander multipliziert. Oder kürzer: Der Kubikinhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds ist gleich dem Produkte aus der Länge, Breite und Höhe oder dem Produkte aus der Grundfläche und der Höhe. Ist jedoch die Grundfläche eines geraden Prismas eine beliebige geradlinige Figur, so berechne man stets zuerst den Flächeninhalt dieser Figur. Angenommen, der Flächeninhalt der Grundfläche des in Fig. 150 dargestellten fünfseitigen Prismas betrage 52 cm 2 , während die Höhe des¬ selben 10 cm messe. Wie leicht” einzusehen ist, lassen sich auf die Grund¬ fläche 52 cm 3 aufstellen und diese Schichte, lOmal übereinander gelegt, füllt den ganzen Körper aus. Man findet also auch hier den körperlichen Inhalt (520 cm 3 ), wenn man die Grundfläche mit der Höhe multipliziert. — Wäre das zu berechnende Prisma ein schiefes, so müßte auch hier derselbe Vorgang eingehalten werden, da nach dem auf Seite 107 Gesagten jedes schiefe Prisma inhaltsgleich einem geraden Prisma ist, mit dem es dieselbe Grundfläche und Höhe hat. Hieraus folgt allgemein: Der Kubikinhalt eines jeden Prismas ist gleich dem Pro¬ dukte aus der Grundfläche und der Höhe. Bezeichnet G die Maßzahl der Grundfläche, H die Maßzahl der Höhe und K den Kubikinhalt eines Prismas, so ist K K K = G.H , &=-, H= Aufgaben: 1. Berechne die Oberfläche und den Kubikinhalt folgender recht¬ winkliger Parallelepipede: o?i Länge 24 dm , Breite 18 dm , Höhe 36 dm; \b „ 1*26 m, „ 1-05 m, „ 0*84 m; c) „ 12 m 1 dm 4 cm, „ 1 m 7 dm 5 cm, „ 8 m 3 dm\ 2. Wie groß ist der Kubikinhalt eines Prismas, dessen Grundfläche 5 dm 2 46 cm 2 und dessen Höhe 3 dm 9 cm ist? 3. Die Grundfläche eines 6 dm hohen geraden Prismas ist ein Quadrat, dessen Seite 5 dm i cm beträgt; wie groß ist a) die Oberfläche, b) der Kubik¬ inhalt? 4. Der Inhalt eines Prismas ist 5-85 m 3 , die Höhe 1*3 m; wie groß ist die Grundfläche? 5. In einem rechtwinkligen Parallelepiped ist die Grundfläche 7-3 dm lang und 2-4 dm breit; wie groß ist die Höhe, wenn der Inhalt 61*32 dm* beträgt? Welche Oberfläche besitzt dasselbe? 112 6. Eine Säule mit quadratischer Grundfläche hat 40-368 dm 3 Inhalt und 1-5 dm Höhe; wie groß ist eine Grundkante? 7. Eine vierseitige Schachtel, welche 3 dm lang, 1-5 dm breit und 1-6 dm hoch ist, soll mit buntem Papier überzogen werden; wieviel Quadratdezi¬ meter Papier braucht man dazu? 8. Berechne a) die Oberfläche* b) den Kubikinhalt eines Holzblockes, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit 0-2 m Seitenlänge ist, und dessen Höhe 2-3 m beträgt! Wie schwer ist derselbe, wenn 1 dm 3 0-86 kg wiegt? 9. Wieviel Hektoliter Getreide kann ein Getreidekasten aufnehmen, wenn die Länge desselben 2 m, die Breite 1-3 m und die Höhe 14 m beträgt? 10. Ein Wasserbehälter ist, von außen gemessen, 2 m lang, 8 dm breit und b dm hoch; wieviel Liter kann er fassen, wenn die äußeren Wände und der Boden 1 dm dick sind? 11. Die Grundfläche eines prismatischen Gefäßes ist ein Rechteck von 2 m Länge und 1-2 m Breite; wie tief muß das Gefäß sein, wenn es 12 hl fassen soll? ' «■ 12. Die Länge einer Mauer ist 21 m, die Höhe 2m 1 dm, die Dicke 9 dm ; wieviel Ziegel braucht man, um diese Mauer aufzuführen, wenn ein Ziegel samt Yerbindungsmittel 30 cm lang, 15 cm breit und 7 cm hoch anzu¬ nehmen ist ? 13. Ein rechteckiger Kasten von 3 m Länge, 2 m Breite und l-2m Höhe wird mit Steinkohlen gefüllt; wie groß ist das Gewicht dieser Stein¬ kohlen, wenn 1 m 3 davon 1275% wiegt? 14. Welches Gewicht hat eine Eisenstange von 1-5 dm Länge, deren Querschnitt ein regelmäßiges Achteck mit 0-8 cm Seitenlänge ist? (1 dm 3 Eisen wiegt 7*5 kg.) 15. Der Dachraum einer Scheune bildet ein dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche 5-6 m zur Grundlinie, 3 m zur Höhe hat und dessen Höhe (Länge des Daches) 84 m beträgt; wieviel Kilogramm Heu kann dieser Raum auf¬ nehmen, wenn 1 m 3 Heu 114% wiegt? 16. Ein Balken ist 4 m lang und hat zu Grundflächen zwei gleiche Trapeze, in denen die Parallelseiten 4 dm und 3 dm sind und die Höhe 1-5 dm beträgt; wie groß ist der Kubikinhalt? 17. Ein Kasten von 1-2 m Länge und 0-7 m Breite war zum Teil mit Wasser gefüllt; als man in denselben einen Stein von unregelmäßiger Form legte, stieg das Wasser um 1 dm und bedeckte den Stein; wie groß ist der Kubikinhalt des Steines? -# 18. Ein Reisekoffer besitzt die Form eines geraden Parallelepipedes; derselbe ist 60 cm lang, 32 cm breit und 36 cm hoch. Wieviel Meter Lein¬ wand, welche 75 cm breit ist, braucht man, um den Koffer zu überziehen, wenn wegen Verschneidens und Einfassens 10°/ 0 mehr genommen werden müssen ? 19. Der Canal du midi ist 244.092 m lang, hat am Grunde eine Breite 113 von 10 m und oben eine solche von 20 m und ist 2 m tief. Wieviel Kubik¬ meter faßt der Kanal? 20. Bestimme die Länge, Breite und Höhe des Schulzimmers und be¬ rechne hieraus den Rauminhalt desselben! Wie viel Kinder könnte das Zimmer fassen, wenn für jedes Kind 3 m 3 Luftraum angenommen werden? 21. Ein Schwimmbassin ist 24 m lang und 12 m breit; an dem einen (tieferen) Ende ist es 4 m und am andern (seichteren) Ende 0-75 m tief. Wie¬ viel Hektoliter Wasser sind zur Füllung notwendig? 58. Berechnung des Zylinders. Denkt man sich die Mantelfläche eines geraden Zylinders (Fig.152) trennbar (z. B. als Papierhülle) und nach der Richtung einer Mantel¬ linie durchschnitten, so bildet dieselbe, wenn man sie auf eine Ebene aus¬ breitet, ein Rechteck, dessen Grundlinie dem Umfange der Grundfläche und dessen Höhe der Höhe des Zylinders {AB, Fig. 152, I) gleich ist. Um daher das Netz eines geraden Zylin¬ ders zu konstruieren, zeichne man ein Rechteck, dessen Grundlinie 0 dreieinsiebentelmal so groß ist als der Durchmesser der Grundfläche, und dessen ilöhe der Höhe des Zylinders gleichkommt; hierauf be¬ schreibe man oben und unten zwei den Grundflächen kongruente Kreise. Bei einem geraden Zylin¬ der ergibt sich die Mantelfläche, indem man den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Zylinders multi¬ pliziert. Um nun die Oberfläche des Zylinders zu erhalten, berechnet man die beiden Grundflächen als Kreise, dann die krumme Mantelfläche als Rechteck und bringt diese Zahlen in eine Summe. Da jeder Zylinder als ein Prisma, dessen Grundflächen Kreise sind, betrachtet werden kann, so gilt der Satz: Der Kubikinhalt eines Zylinders ist gleich dem Produkte aus der Grundfläche und der Höhe. Häufig ist der Kubikinhalt einer zylindrischenRöhrezu bestimmen. Zu diesem Zwecke braucht man nur den Kubikinhalt der beiden hierzu ge¬ hörigen Zylinder zu berechnen und den Inhalt des kleineren Zylinders von jenem des größeren zu subtrahieren. Bisher wurden nur Zylinder mit kreisförmiger Grundfläche voraus¬ gesetzt; es ist wohl selbstverständlich, daß bei Zylindern mit elliptischen Grundflächen statt des Umfanges oder Inhaltes eines Kreises immer der Umfang und Inhalt einer Ellipse gesetzt werden muß. Fig. 152. / / yiii Aufgaben: Grundfläche eines geraden Zylinders hat 3*5 dm zum Halb¬ messer, seine Höhe ist 12’4 dm; wie groß ist d) die Mantelfläche, b) die ganze Oberfläche; c) der Kubikinhalt des Zylinders? (n = 3*14.) 2. Berechne die Oberfläche und den Kubikinhalt folgender gerader Zylinder: d) Durchmesser der Grundfläche 23 cm, Höhe 15 cm; b) Halbmesser „ „ 8*25 dm, „ 25*23 dm; c ) Umfang der Grundfläche 4 m 71 cm, Höhe 1 m 88 cm! (?r=3T4.) 3. Wie groß ist die Oberfläche eines geraden Zylinders, in welchem die Höhe 8 dm 4 cm und der Inhalt der Grundfläche 12 dm 2 56 cm 2 beträgt? (tv = 3-14.) 4. Die Mantelfläche eines geraden Zylinders ist 6*28 dm 2 , der Durch¬ messer der Grundfläche 4 dm; wie groß ist die Höhe? (n = 3-14.) 5. Der Kubikinhalt eines geraden Zylinders ist 4-62 r/i 3 , der Durch¬ messer der Grundfläche 14 m; wie groß ist die Höhe? (n = 3 1 / 7 .) 6. Welchen Inhalt hat ein elliptischer Zylinder von 24 cm Höhe, wenn die große Achse der Grundfläche 16 cm und die kleine xAchse 12 cm beträgt? (7t = 3-14.) 7. Bestimme den Halbmesser der Grundfläche eines Zylinders, dessen Höhe 6 dm und dessen Inhalt 169 dm 3 560 cm 3 beträgt! (n = 3-14.) 8. Ein gleichseitiger Zylinder hat 2-8 dm zur Seite; suche d) seine Mantelfläche, b) die Oberfläche, c) den Kubikinhalt! (tt=3 1 / 7 .) 9. Die Mantelfläche eines geraden Zylinders beträgt 4*71 dm 2 , der Um¬ fang der Grundfläche 1*57 dm; wie groß ist der Kubikinhalt des Zylinders und wie viel Liter faßt derselbe? (7t = 3*14.) 10. Wieviel Quadratdezimeter Eisenblech braucht man für eine Ofen¬ röhre, welche 5 m lang ist und 2 dm im Durchmesser hat? (rt = 3*14.) 11. Ein zylindrisches Gefäß soll 1 l halten; wie hoch muß es sein, wenn der innere Durchmesser 10 cm beträgt? (7t = 3-14.) 12. Wie groß ist der Durchmesser eines zylindrischen Gefäßes, das 5 dm hoch ist und 1 hl hält? (7t — 3*14.) 13. In ein zylindrisches Gefäß von 4 dm Durchmesser, welches zum Teile mit Wasser gefüllt war, wurde ein unregelmäßiger Körper gesenkt, so daß ihn das Wasser bedeckte; das Wasser stand dann 36 cm hoch. Nach¬ dem man den Körper herausgenommen) hatte, stand das Wasser noch 24 cm hoch; welchen Kubikinhalt hat der Körper? (rt = 3*14.) 14. Der innere Durchmesser eines runden Turmes ist 4*2 m, die Mauer ist 1*2 m dick; wieviel Kubikmeter enthält die Mauer, wenn die Höhe des Turmes 14*5 m beträgt? (7t = 3*14.) 15. Wieviel Ziegel braucht man, um ein Tor zu verlegen, welches mit vollem Bogen geschlossen ist, wenn die Weite im Lichten 2-4 m, die Höhe bis zum Schlußsteine 3*6 m, die Dicke der Mauer 8 dm ist, und wenn auf 1 m 3 Mauerwerk 264 Ziegel gerechnet werden? (7t = 3*14.) 115 16. Welches Gewicht besitzt ein zylindrischer Barren von Silber, welcher 45 cm lang ist und dessen Querschnitt einen Durchmesser von 4 cm besitzt? (1 cm 3 Silber wiegt 10-51 g, n = 3-14.) 17. Eine Dachrinne von halbkreisförmigem Querschnitte, welche oben 12 cm weit ist, faßt 25-434 l\ wie lang ist diese? (n = 3-14.) 18. Eine elliptische Badewanne ist l-8m lang, 0-8 m breit; wieviele Liter Wasser faßt diese, wenn sie bis zu einer Höhe von 60 cm gefüllt wird? (n = 3-14.) 19. Ein kreisrundes Bassin hat 8 m Durchmesser, jede Sekunde fließen von demselben durch eine seitliche Röhre 2 l Wasser ab; um wieviel ist der Wasserspiegel nach 10 Stunden 28 Minuten gesunken? (tt = 3-14.) 59. Berechnung der Pyramide. Das Netz einer geraden Pyramide (Fig. 153) erhält man, w r enn man zuerst die Seitendreiecke nebeneinander so konstruiert, daß sie den Scheitel gemeinschaftlich haben, und einem dieser Dreiecke die Grundfläche anschließt. Um die Man¬ telfläche einer 153 Pyramide zu be¬ rechnen, bestimme man die Größe der einzelnen Seiten¬ flächen als Drei¬ ecke und summiere die erhaltenen Re¬ sultate. Addiert man hierzu noch den Inhalt der Grundfläche, so erhält man die Oberfläche- Ist die Pyra¬ mide eine regel¬ mäßige, so braucht man nur ein Seitendreieck zu berechnen und dessen Fläche mit der Anzahl der Seitenflächen zu multiplizieren; dazu wird noch die Grundfläche addiert. Bei einem Pyramidenstumpfe bestimmt man zuerst die Seiten¬ flächen als Trapeze und addiert zu ihrer Summe die beiden Grundflächen. Man verfertige sich ein beliebiges hohles Prisma und eine hohle Pyramide von derselben Grundfläche und von gleicher Höhe (Fig. 154). Füllt man die Pyramide ganz mit Sand an und gießt diesen sodann in das hohle Prisma, so wird letzteres nur bis zu einem Drittel der Höhe angefüllt. — Hieraus folgt: Jede Pyramide ist der dritte Teil eines Prismas von der selben Grundfläche und von gleicher Höhe, 116 Da nun der Kubikinhalt eines jeden Prismas gleich dem Produkte aus der Grundfläche und Höhe ist, so muß der Kubikinhalt einer Pyra¬ mide von derselben Grundfläche und von gleicher Höhe gleich dem dritten Teile des obigen Produktes sein. Es gilt also der Satz: Der Kubikinhalt einer Pyramide (Fig. 155) ist gleich dem Produkte aus der Grundfläche und dem dritten Teile der Höhe. Um den Kubikinhalt eines Pyramidönstumpfes zu finden, bestimme man die Inhalte der beiden Pyramiden, deren Unterschied der Pyramidenstumpf ist, und subtrahiere den Inhalt der kleineren Pyramide von dem der größeren. Kürzer gestaltet sich die Berechnung nach folgendem Satze: Der Kubikinhalt eines Pyramidenstumpfes wird gefunden, indem man die Summe der beiden Grundflächen und der Quadrat¬ wurzel aus dem Produkte derselben mit dem dritten Teile der Höhe multipliziert. Annäherungsweise findet man den Kubikinhalt eines Pyra- Fig. 154. Fig. 155. midenstumpfes, indem man die halbe Summe der beiden Grundflächen mit der Höhe des Stumpfes multipliziert. Aufgaben: 1. Die Grundfläche einer regelmäßigen Pyramide ist ein Quadrat von 6 dm Seitenlänge, die Seitenhöhe beträgt 12*37 dm; wie groß ist ihre Oberfläche ? 2. Berechne den Kubikinhalt folgender Pyramiden: a) Grundfläche 13 dm 2 , Höhe 9 dm; b) ,, 2*34 dm 2 , Höhe 6*3 dm; c) ,, Im 2 85 dm 2 , Höhe 5 dm 4 cm! 3. Der Inhalt einer Pyramide ist 0-6264 m 3 , die Höhe 0*9 m; wie groß ist die Grundfläche? 4. Der Inhalt einer Pyramide ist 9 m 3 261 dm 3 , die Grundfläche 4 m 2 41 dm 2 ; wie groß ist die Höhe? 5. Bei einer Pyramide ist die Grundfläche ein Rechteck von 3 dm (jüiAa 4 cm Länge und 1 dm 9 cm Breite, ihr Kubikinhalt beträgt 17 dm 2 765 cm 3 ; wie groß ist die Höhe? 6. Es soll eine Pyramide, deren Grundfläche 1 m 2 15 dm 2 und deren Höhe 2 m beträgt, aus Eisen gegossen werden; wieviel wird sie wiegen, da 1 dm 2 Eisen 7-21 kg wiegt? 7. Wie groß ist das Gewicht einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide aus Marmor, wenn die Höhe 3 m, eine Seite der Grundfläche 5 dm beträgt * und 1 dm 2 Marmor 2-72 kg wiegt? U^/HBie Grundflächen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind Quadrate mit den Umfängen 1 m 6 dm und 1 m 2 dm , die Höhe eines Seiten - trapezes beträgt 2m 8 dm ; wie groß ist die Oberfläche? 9. Tn einem Pyramidenstumpfe, dessen Grundflächen Quadrate sind, beträgt eine Seite der unteren Grundfläche 2 dm 5 cm , eine Seite der oberen Grundfläche 1 dm dem. die Höhe 1*2 dm] berechne den Kubikinhalt des¬ selben nach jeder der drei oben angeführten Methoden! 10. Wieviel wiegt ein Pyramidenstumpf aus Marmor, dessen Grund¬ flächen Quadrate von 1-2 m und 1 m Seitenlänge sind und 1*5 m voneinander abstehen? (1 dm 2 Marmor v'iegt 2-72 kg.) JLf Wieviel Liter faßt ein 6-3 dm tiefes Gefäß von der Form eines Pyramidenstumpfes, dessen Grundflächen Quadrate von 4-8 dm und 3-2 dm Seitenlänge sind? 12. Die Grundkante einer geraden quadratischen Pyramide mißt 10 cm , jede Seitenkante 13 cm; wie groß ist a) die Höhe eines Seitendrei¬ eckes, b) der Flächeninhalt eines Seitendreieckes, c) die Mantelfläche, d) die Grundfläche und e ) die Oberfläche? 13. Die Grundkante einer geraden Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck ist, beträgt 16 cm, jede Seitenkante mißt 65 cm. Wie groß ist a) die Grundfläche, b) die Höhe der Pyramide, c) der Körperinhalt? 14. Die Grundkante einer geraden quadratischen Pyramide beträgt 14 cm, die Höhe der Pyramide mißt 24 cm. Wie groß ist a ) die Grundfläche, b) ein Seitendreieck, c) die Mantelfläche, d) die Oberfläche und e) der Körper¬ inhalt? 15. Die Grundfläche einer geraden Pyramide ist ein Bechteck, dessen längere Seite 16 dm und dessen kürzere Seite 12 dm mißt; jede Seitenkante beträgt 26 dm. Wie groß ist der Körperinhalt dieser Pyramide und welches Gewicht besitzt dieselbe, -wenn sie aus Granit besteht? (1 dm 2 Granit wiegt 2 ' 7 kg ' ] 16. Die Pyramide zu Giseh ist 142-8 m hoch, die untere Grundfläche ist ein Quadrat von 186-9 m Seitenlänge, die obere stellt gleichfalls ein Quadrat von 3-7 m Seitenlänge dar. Wie groß ist der Kubikinhalt dieser Pyramide ? 17. Die Grundkante eines eisernen Denkmals in Form einer quadrati¬ schen Pyramide mißt 2-2 m, ihr Gewacht beträgt 1052-7 q. Wie groß ist die Höhe dieser Pyramide? (1 m 2 Eisen wiegt 72-5 q.) 118 18. Wieviel Meter Leinwand von 85 cm Breite sind notwendig zur Herstellung eines Zeltes von der Form einer geraden Pyramide, deren Grund¬ fläche ein Quadrat darstellt, wenn jede Seite des Quadrates 34 m mißt und die Höhe des Zeltes 2-64 m beträgt? 60. Berechnung der fünf regelmäßigen Körper. Das Netz eines Tetraeders (Fig. 156,^4) besteht aus vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken; das Netz des Oktaeders (B) setzt sich aus acht und Fig. 15G. Fig. 157. A B - jenes des-Ikosaeders ( C ) aus 20 solchen Figuren zusammen. Das Netz des Würfels (Fig. 157) wurde bereits früher besprochen. Um das Netz des Do¬ dekaeders (Fig. 158) zu konstruieren, zeichne man mit der Kante des Do¬ dekaeders ein regelmäßiges Fünfeck und beschreibe über die Seiten desselben wieder regelmäßige Fünfecke von derselben Größe (wobei man sich mit Vor¬ teil der Verlängerung der Diagonalen bedient). Nun zeichne man an dieses Netz ein zweites, mit ihm kongruentes, so daß beide in einer Seite Zusammen¬ stößen. Die Oberfläche der fünf regelmäßigen Körper wird gefunden, indem man vorerst die Größe einer Seitenfläche ermittelt und sodann das Resultat mit der Zahl der Seitenflächen multipliziert. Der Körperinhalt des Tetraeders sowohl als auch jener des Okta¬ eders läßt sich leicht berechnen, indem man dieäe Körper als dreiseitige Pyramide, beziehungsweise als quadratische Doppelpyramide auffaßt. Be¬ züglich des Würfels wurde das Notwendige hierfür bereits mitgeteilt. Von der Körperinhaltsberechnung des Ikosaeders und Dodekaeders wollen wir des geringen praktischen Wertes wegen absehen. 119 A ufgaben: 1. Die Kante eines Tetraeders beträgt 2 dm) bestimme die Größe eines Seitendreieckes und die gesamte Oberfläche! 2. Die Seite eines Oktaeders mißt 12 cm, wie groß ist a) ein Seiten¬ dreieck, b) die Oberfläche, c) der Körperinhalt? 3. Welchen Körperinhalt besitzt ein Tetraeder, dessen Kante 28 cm mißt? 4. Die Seitenkante eines Ikosaeders mißt 15 cm; wie groß ist dessen Oberfläche ? 5. Welche Oberfläche besitzt ein Dodekaeder, dessen Seitenkante 18 cm beträgt? 61. Berechnung des Kegels. Wird die Mantelfläche eines geraden Kegels (Fig. 159) auf einer Ebene ausgebreitet, so erscheint sie als ein Kreisausschnitt, dessen Halb¬ messer die Seite des Kegels und dessen Bogenlänge der Umfang der Grund- Fig. 159. 11 Fig. 160. fläche des Kegels ist. Um daher das Netz eines geraden Kegels zu er¬ halten, zeichne man mit der Seite als Halbmesser einen Kreisausschnitt, dessen Bogenlänge ebensogroß ist wie der Umfang der Grundfläche des Kegels und konstruiere dann hierzu einen der Grundfläche kongruenten Kreis, welcher den Bogen des Kreisausschnittes berührt. Fig. 160 stellt das Netz eines geraden Kegelstumpfes dar; die Mantelfläche erscheint als Teil eines Kreisringes. Die Oberfläche eines Kegels findet man, indem man zuerst die Grundfläche, dann die Mantelfläche berechnet und beide addiert. Bei einem geraden Kegel wird die Mantelfläche gefunden, indem man den Umfang der Grundfläche mit der halben Seite des Kegels multi¬ pliziert. Die Mantelfläche eines geraden Kegelstumpfes wird berechnet, indem man die halbe Summe der Umfänge seiner Grundflächen mit der Seite Mocnik-Wenghart, Geometrische Formenlehre für Mädchenbürgorsclnilen. t desselben multipliziert. Denkt man sich nämlich in dem Mantel des Stumpfes unzählig viele Seiten gezogen, so zerfällt derselbe in Figuren, die man als ebene Trapeze ansehen kann. Es ist daher die Mantelfläche des Kegelstumpfes gleich der Summe aus den Flächen aller dieser Trapeze und wird gefunden indem man die halbe Summe ihrer Parallelseiten, d. i. die halbe Summe der Umfänge der beiden Grundkreise mit der Höhe der Trapeze, d. i. mit der Seite des Kegelstumpfes multipliziert. Da ein Kegel als eine Pyramide, deren Grundfläche ein Kreis ist, be¬ trachtet werden kann, so folgt: Der Kubikinhalt eines Kegels ist gleich dem Produkte aus der Grundfläche und dem dritten Teile der Höhe. Der Kubikinhalt eines Kegelstumpfes wird auf dieselbe Weise wie der Inhalt eines Pyramidenstumpfes berechnet, indem man die Summe der beiden Grundflächen und der Qua¬ dratwurzel aus dem Produkte derselben mit dem dritten Teile der Höhe multipliziert. In der Praxis begnügt man sich häufig mit einer angenäherten Be¬ stimmung des Kubikinhaltes eines Kegelstumpfes, indem man diesen wie einen Zylinder berechnet, dessen Grundfläche gleich ist der halben Summe der beiden Grundflächen des Stumpfes und dessen Höhe die Höhe des Stumpfes ist. Bisher wurden nur Kegel mit kreisförmigen Grundflächen voraus¬ gesetzt; bei Kegeln mit elliptischen Grundflächen ist statt des Kreisinhaltes immer der Inhalt der Ellipse zu setzen, ufgaben: 1) In einem geraden Kegel mit kreisförmiger Grundfläche ist a) der Durchmesser der Grundfläche 4 dm , eine Seite 6 dm ; Halbmesser „ „ 5 -6 dm, „ „ 8*4 dm; c) „ Umfang „ „ 1 m 5 dm 7 cm, „ „ 3 dm 2 cm wie groß ist der Mantel und wie groß ist die ganze Oberfläche? ( 7t = 3-14.) 2. Berechne den Kubikinhalt folgender Kegel: a) Halbmesser der Grundfläche 0*2 dm, Höhe 7*5 dm; b) Durchmesser „ „ 14 1 / 2 cm , „ 23 3 / 5 cm; c) Umfang „ „ 1 m % dm 8-4 cm, Höhe 2 m 4: dm 6 cm! (7t = 3-14.) 3. Der Kubikinhalt eines Kegels ist 5 dm 3 525 cm 3 , die Grundfläche 4 dm 2 25 cm 2 ; wie groß ist die Höhe ? 4. Der Inhalt eines Kegels ist 1-088052 m 3 , die Höhe 1-8 m; wie groß ist die Grundfläche? 5. Die Seite eines geraden Kegels ist 3-6dm, die Mantelfläche 13-5648 dm 2 ; wie groß ist der Durchmesser der Grundfläche? (n = 3-14.) 6. Wie groß ist der Halbmesser der Grundfläche eines Kegels, dessen Höhe 3-9 dm und dessen Inhalt 9-1845 dm % beträgt? (tt = 3-14.) 7. Suche a) die Seite, b) die Mantelfläche eines geraden Kegels, dessen Höhe 2 m 4 dm ist und dessen Grundfläche 7 dm zum Halbmesser hat! (rc = 3-14.) 8. Wie groß ist a) die Höhe, b) der Kubikinhalt eines geraden Kegels, dessen Seite 8-5 dm beträgt und dessen Grundfläche 3*6 dm zum Halb¬ messer hat? (rc = 314.) 9. Die Mantelfläche eines geraden Kegels ist 1695*6 cm 2 , der Halb¬ messer der Grundfläche 18 cm; wie groß ist der Kubikinhalt? (rc = 3*14.) 10. Bestimme die Oberfläche eines gleichseitigen Kegels, dessen Seite 1 m 4 dm beträgt! (rc = 3 1 / 7 ). 11. In einem gleichseitigen Kegel ist die Seitenlänge 7*6 dm; wie groß ist a) die Oberfläche, b) der Inhalt? ( rc = 3*14.) 12. Ein kegelförmiger Trichter hat 2 dm Durchmesser und 2*4 dm Länge; wieviel Quadratdezimeter Blech enthält er? (rc = 3*14.) 13. In einem kegelförmig aufgeschütteten Getreidehaufen beträgt der Umfang der Grundfläche 2 m 64 cm und die Höhe 1 m; wieviel Hektoliter Getreide enthält der Haufen? (rc = 3 1 / 7 .) m Ein kegelförmiger Heuschober hat 2*6 m Durchmesser und 4*5 m Höhe; wieviel Kilogramm Heu enthält er, wenn das Kubikmeter Heu 114 kg wiegt? (rc = 3-14.) 15. Welchen Wert hat eine Tanne, welche 12*6 m hoch ist und unten 2*2 m im Umfange hat, wenn das Kubikmeter Holz mit 16 K 80 h bezahlt wird? (rr= 3 1 / 7 .) 16. Aus einem kegelförmigen, mit Wasser gefüllten Gefäße von 21 cm Durchmesser und 30 cm Höhe wird das Wasser in ein zylindrisches Gefäß von 15 cm Durchmesser gegossen; wie hoch wird das Wasser in diesem Ge¬ fäße stehen? (n = 3*14.) ^T^Die Seite eines geraden Kegelstumpfes ist 6 dm , die Durchmesser der Grundflächen betragen 9 dm und 7 dm; wie groß ist die Oberfläche? (rc — 3*14.) 18. Bestimme die Oberfläche eines geraden Kegelstumpfes, dessen Seite 7*4 cm ist und dessen Grundflächen 4*5216 cm 2 und 32*1536 cm 2 Flächeninhalt haben! (rc = 3-14.) y* Wieviel Hektoliter faßt ein Behälter von der Form eines Kegel- stumpfes, dessen Grundflächen 3 m und 2 m Durchmesser haben und 1*2 m von einander abstehen? (rc = 3*14.) 20. Ein Bottich hat 1*56 m unteren und 0*78 m oberen Durchmesser und mißt an der Seite 0*89 m; wieviel Liter hält derselbe? (rc = 3*14.) 21. Wieviel Kubikmeter Scheitholz gibt ein Baumstamm von 5m Länge, der an dem einen Ende 7 dm, an dem andern 6 dm Durchmesser hat, wenn m&n annimmt, daß 1 m 3 Stammholz 1 1 / 2 m 3 Scheitholz gibt? (rc = 3*14.) 22. Welchen Körperinhalt hat ein elliptischer Kegel von 36 cm Höhe, wenn die große Achse der Grundfläche 20 cm und die kleine Achse 14 cm mißt? (rc = 3*14.) 23. Ein elliptischer Behälter, welcher am Boden 184 cm lang und 72 cm breit ist, besitzt an seinem oberen Rande eine Länge von 207 cm und eine 122 Breite von 81 cm; wieviel Liter Wasser faßt derselbe, wenn die Tiefe 60 cm beträgt? (n = 3T4.) 24. Welches Gewicht besitzt ein kreisförmiger Kegel aus Gußeisen, dessen Grundfläche 84 cm zum Halbmesser hat und dessen Mantellinie 205 cm beträgt? (1 cm 3 Gußeisen wiegt 7-21 g\ it = 3*14.) 62. Berechnung der Kugel. Vergleicht man bei einer Halbkugel die sie begrenzende Kreisfläche mit der halben Kugelfläche, so sieht man sofort, daß letztere größer ist, als die Kreisfläche. Genaue Untersuchungen haben ergeben, daß die halbe Kugelfläche gerade doppelt so groß ist, als die Kreisfläche. Man pflegt diesen Kreis einen größten Kugelkreis zu nennen, zum Unterschiede von den Parallel kreisen, weiche einen kleineren Flächeninhalt besitzen. Hieraus folgt: Die Oberfläche einer Kugel ist gleich dem vierfachen Flächeninhalte eines größten Kreises derselben. Bezeichnet man den Halbmesser der Kugel durch r und die Oberfläche derselben durch O so ist r 2 n der Flächeninhalt eines größten Kreises, folglich 0—4 r 2 n. Man kann aber auch sagen: Die Oberfläche einer Kugel wird gefunden, indem man das Quadrat des Halbmessers mit der vierfachen Ludolfischen m ultipliziert. Wenn man umgekehrt aus der bekannten Oberfläche einer Kugel den Halbmesser derselben finden will, so braucht man nur die Oberfläche durch die vierfache Ludolfische Zahl zu dividieren; der Quotient stellt das Quadrat des Halbmessers dar. Zieht man daraus die Quadratwurzel, so erhält man den Halbmesser selbst. Fs ist demnach ' in Aus dem Obigen folgt auch: Die Oberflächen zweier Kugeln ver¬ halten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser. Legt man durch den Durchmesser AB (Fig. 161) mehrere größte Kreise (Meridiane) und senkrecht darauf mehrere Parallelkreise CD , EF, GH ..., so zerfällt die Oberfläche der Kugel in lauter Vierecke und Dreiecke, welche man für eben und geradlinig ansehen kann, wenn die Anzahl jener Kreise sehr groß angenommen wird. Zieht man nun von allen Durchschnittspunkten der Oberfläche gerade Linien zum Mittelpunkte der Kugel und denkt sich durch je zwei benach¬ barte Strecken eine Ebene gelegt, so erscheint die Kugel aus lauter Pyramiden zusammen- Fig. 161. jB 123 gesetzt, welche alle ihre Grundflächen an der Kugeloberfläche und ihren Scheitel im Mittelpunkte haben; ihre Höhe ist daher der Halbmesser der Kugel. Der Kubikinhalt einer solchen Pyramide (abcdO) wird aber ge¬ funden, indem man die Grundfläche mit dem dritten Teile der Höhe multipliziert. Der Kubikinhalt aller jener Pyramiden zusammengenommen, d. i. der Inhalt der ganzen Kugel, ist demnach gleich der Summe aller Grundflächen, d. i. der Kugeloberfläche, multipliziert mit dem dritten Teile des Halbmessers. Der Kubikinhalt einer Kugel ist gleich dem Produkte aus der Oberfläche derselben und dem dritten Teile des Halbmessers. Bezeichnet man mit r den Halbmesser, mit 0 die Oberfläche und mit J den Kubikinhalt einer Kugel, so ist 0= 4r 2 fr, daher J = 4 r 2 ^ / 3 . rhr; d. h. der Kubikinhalt einer Kugel ist gleich dem Kubus des Halb¬ messers, multipliziert mit 4 / 3 der Ludolfischen Zahl. Ferner hat man: Die Kubikinhalte zweier Kugeln verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer Halbinesser. Aufgaben: 1. Berechne die Oberfläche und den-Kubikinhalt einer Kugel, deren Halbmesser a) 1 dm, 5)~ T4 m^c) S. T7 lr l~ 2 'cm~ist ! {n = 3-14.) 2. Der Durchmesser einer Kugel ist d) 21 dm, b) 4*2 cm, c) 1 dm 4 cm 7 mm; wie groß ist die Oberfläche, wie groß der Kubikinhalt? (?r = 3 1 / 7 .) 3. Der Umfang eines größten Kugelkreises beträgt 282-6 cm; berechne die Oberfläche und den Kubikinhalt der Kugel! (jr = 3-14.) 4. Der größte Kreis einer Kugel hat 78*5 cm 2 Flächeninhalt; wie groß ist d) die Oberfläche, b) der Kubikinhalt? (n = 3-14.) 5. Die Oberfläche einer Kugel ist a) 200*96 dm 2 , b) 19*625 cm 2 ; wie groß ist der Halbmesser, wie groß der Kubikinhalt? (tc = 3*14.) 6. Wie groß ist die Oberfläche der Erde, wenn diese als eine Kugel betrachtet wird, deren Halbmesser 6368*96 km beträgt? (rc = 3-141593.) 7. Der Durchmesser eines Erdglobus ist 4 dm; wie verhält sich dessen Oberfläche zur Oberfläche der Erde? (tt == 3*14.) 8. Man will einen kugelförmigen Luftballon machen, dessen Durch¬ messer 6*3m beträgt; wieviel Meter Taft von 84cm Breite wird man dazu brauchen ? (n = 3' 1 / 7 .) 9. Ein kugelrunder Turmknopf von 1*2 w Durchmesser soll vergoldet werden; wie hoch kommt die Vergoldung, wenn für 1 m 2 Vergoldung 97 K 60 h zu zahlen sind? (n = 3*14.) 10. In einen gleichseitigen Zylinder von 1 dm Halbmesser werden eine Kugel und ein gerader Kegel eingeschrieben; a) wie groß ist der Kubikinhalt jedes dieser drei Körper? b) wie verhalten sich die Inhalte des Kegels, der Kugel und des Zylinders zueinander?*) (tt == 3*14.) *) Das sich ergebende merkwürdige Verhältnis entdeckte Cicero auf einem Denk¬ male von Archimedes zu Syrakus. 124 11. Eine Kugel, ein gleichseitiger Zylinder und ein Würfel haben gleiche Oberfläche, nämlich Körper? (tt = 3 1 /?.) 12. Um eine Kugel von 1 dm Halbmesser werden ein gleichseitiger Zylinder und ein gleichseitiger Kegel beschrieben; wie verhalten sich d) die Oberflächen, b) die Inhalte dieser drei Körper? (rr = 3-14.) 13. Wenn man den Halbmesser der Erde = 6368-96 km und die Höhe ihrer Luftschichte = 63 km setzt, wieviel Kubikkilometer beträgt der Inhalt der Luftschichte? (tt = 3-141593.) 14. Wieviel Mondkörper von 3495-52 km Durchmesser können aus der Erde gemacht -werden, wenn der Durchmesser der Erde 12737-92 km beträgt? (iv = 3-141593.) 15 Wie schwer ist eine hölzerne Spielkugel, deren Durchmesser 12 cm mißt, wenn 1 dm 3 Holz mit 0-8 kg angenommen wird? (x = 3-14.) 16. Welches Gewacht besitzt eine Hohlkugel aus Gußeisen, deren äußerer # Durchmesser 1-4 m und deren Wandstärke 8 cm beträgt, w r enn ldm 3 Gu߬ eisen 7-21 kg wiegt? (n = 3-14.) 17. Wieviel Liter faßt ein eiserner Kessel von der Form einer halben Hohlkugel, deren innerer Durchmesser 4 dm 2 cm beträgt? (ti = 3V 7 .) 18. Ein Meilenstein besitzt die Form eines geraden Zylinders, welcher 14 m lang ist und 0-36 m im Durchmesser hat; derselbe ist an seiner oberen Seite durch eine halbe Kugel abgeschlossen. Welches Gewacht hat dieser Körper, w^enn er aus Kalkstein besteht? (1 dm 3 Kalkstein wiegt 2-46 kg; it = 3-14.) 19. Wie teuer kommt die Vergoldung von 24 Stück Rosetten zu stehen, w r enn deren Durchmesser 38 cm beträgt und für 1 cm 2 samt Arbeitslohn 18 h angesetzt werden? (Die Oberfläche einer Rosette wird wde eine halbe Kugel¬ oberfläche von gleichem Radius berechnet, n — 3-14.) 20. Ein Halbkugel besitzt eine Oberfläche von 1814-92 cm 2 ; welchen Halbmesser hat diese? (rc = 3-14.) 63. Körperinhalt der Fässer. Ein Faß nähert sich in der Form einem Zvlinder; nur ist es in der • «/ 7 Mitte bauchig und sein Durchmesser daselbst größer als der Durchmesser seiner Grund- oder Bodenfläche. Man begeht übrigens keinen erheblichen Fehler, wenn man den Inhalt eines Fasses dem Inhalt eines Zylinders gleich¬ setzt, dessen Höhe gleich ist der Länge des Fasses und dessen Grundfläche den dritten Teil aus dem doppelten Spund- und dem einfachen Bodendurch¬ messer zum Durchmesser hat. Am zweckmäßigsten werden die Maßlängen in Dezimetern ausgedrückt, da dann das Faß so viele Liter enthält, als der Kubikinhalt desselben Kubik¬ dezimeter hat. Aufgaben: 1. Wie groß ist der Inhalt eines Fasses, dessen Durchmesser am Spunde 6-2 dm , am Boden 4-8 dm mißt und dessen Länge 10-6 dm beträgt? (tt = 3-14.) 44 dm 2 ; wie groß sind die Kubikinhalte dieser drei 125 2. Ein Bierfaß hat 8-4 dm Spunctdurchmesser, 7-2 dm Bodendurcli- tnesser und 13 dm Länge; wieviel Liter enthält es? (tt = 3-14.) 3. Bestimme den Inhalt folgender Fässer: Spunddurchmesser Bodendurchmesser Länge a) 7-2 dm, 5-4: dm, 11*2 dm; b) 6*5 dm, 5 dm, 10-4 dm) c) 6 dm, 4-8 dm, 9-8 dm ! 4. Ein Faß von 6 dm Spund- und 4-5 dm Bodendurchmesser soll 1 hl fassen; welche innere Länge muß man ihm geben? 64. Bestimmung des Kubikinhaltes durch das Gewicht. Der Kubikinhalt eines Körpers oder sein Volumen läßt sich auch durch das Gewicht bestimmen. Die Größe des Druckes, den ein Körper von beliebigem Rauminhalte auf seine horizontale Unterlage ausübt, heißt das absolute Gewicht des Körpers. Das Gewicht, das eine Kubikeinheit, z. B. ein Kubikdezimeter, des Körpers hat, nennt man dessen spezifisches Gewicht. Z. B. 1 dm 3 Silber wiegt 10-51 kg\ diese sind das spezifische Gewicht des Silbers für 1 dm 3 als Kubikeinheit. Das spezifische Gewicht des Wassers beträgt für 1 dm 3 1 kg und für 1 cm 3 1 g. Hieraus ersieht man, daß, wenn die spezifischen Gewichte der einzelnen Körper für 1 dm 3 bekannt sind, sich leicht auch die spezifischen Gewichte für 1 cm 3 ermitteln lassen; man braucht nur der entsprechenden Zahl statt „leg“ die Benennung „g u beizusetzen. Hier folgen die spezifischen Gewichte einiger Körper. 1 Kubikdezimeter Es sei z. B. der Kubikinhalt eines Silberbarrens, der 31-53 kg wiegt, zu bestimmen. Da 1 dm 3 Silber 10*51 kg wiegt, so nehmen 31-53 kg Silber soviel Kubikdezimeter Raum ein, als 10-51 kg in 31-53 kg enthalten sind; man hat daher: 31*53 kg : 10-51 kg = 3, also 3 dm 3 . 126 Der Kubikinhalt eines Körpers oder sein Yolumen (in Kubik¬ dezimetern) wird demnach gefunden, indem man das absolute Gewicht desselben (in Kilogrammen) durch das spezifische Ge¬ wicht (für 1 dm 3 ) dividiert. Hiernach kann man auch den Inhalt eines Gefäßes durch das Ge¬ wicht bestimmen. Man wägt das leere Gefäß ab, füllt es mit Wasser, be¬ stimmt dann das Gewicht des so gefüllten Gefäßes und subtrahiert das erste Gewicht von dem zweiten. So viele Kilogramm der Gewichtsunterschied beträgt, so viele Kubikdezimeter oder Liter hält das Gefäß. Umgekehrt findet man aus dem Kubikinhalt eines Körpers das abso¬ lute Gewicht desselben, indem man dessen spezifisches Gewicht (für 1 dm 3 ) mit der Maßzahl des in Kubikdezimetern ausgedrückten Kubikinhaltes (Volumen) multipliziert. Ist z. B. das absolute Gewicht von 346 dm 3 Steinkohlen zu bestimmen, so hat man: 1 dm 3 Steinkohlen wiegt 1-3 kg, 346 ,, „ wiegen 1-3 kg X 346 = 449*8 kg. Aufgaben: 1. Wieviel Kubikmeter enthält ein Balken aus Eichenholz, der 30*1 kg wiegt? 2. Eine Goldstange wiegt 29*04 kg; welchen Kubikraum nimmt sie ein? 3. Welchen Kubikinhalt haben 102*15 kg Blei? 4. Wieviel Kubikdezimeter und Kubikzentimeter enthält eine Kugel aus Blei, welche 82 kg 112*25 6 g wiegt? 5. Ein Gefäß wiegt leer 1*4 5 kg, mit Wasser gefüllt 10*95 kg; wieviel Liter hält es? 6. Wieviel Kilogramm wiegt das Wasser, das in einem prismatischen Gefäße von 165 cm Länge, 85 cm Breite und 7 dm Tiefe enthalten ist? 7. Eine Walze von Messing soll 3165*12 g wiegen und 3 dm lang sein; welchen Durchmesser muß sie haben? (gt = 3*14.) 8. Wieviel Kilogramm wiegt eine prismatische Stange aus Stabeisen, die 3 m lang, 2 cm breit und 1*5 cm dick ist? 9. Wieviel Kilogramm wiegt eine vierseitige Pyramide von Granit, wenn eine Seite der quadratischen Grundfläche 0*6 m lang ist und die Höhe 3 m beträgt? 10. Wieviel wiegt eine Kugel a ) von Elfenbein, deren Durchmesser 6 cm beträgt? b) von Marmor, „ „ 3*2 dm „ (gt = 3*14.) 11. Welches Gewicht hat ein Zuckerhut von 2 dm Bodendurchmesser und 4 dm Höhe? (gt — 3*14.) 12. Wieviel wiegt das in einem Rahmen von 1 m 2 aufgeschichtete Buchenholz von 80 cm Scheitlänge, wenn man für die leeren Zwischenräume ein Viertel des Inhaltes in Abzug bringt? Inhalt. I. Abschnitt: Betrachtung der ebenen geometrischen Gebilde. Seite 1< GrundvorstellungenderRaumgebilde 3 2. Die Punkte.4 3. Die Linien.5 4. Das Messen der Strecken.9 5. Die Kreislinie.9 6. Lage zweier in derselben Ebene liegenden geraden Linien .... 11 7. Die Winkel.12 8. Das Messen der Winkel.15 9. Nebenwinkel und Scheitelwinkel. .16 10. Gegenwinkel, Wechselwinkel und Anwinkel.18 11. Die Figuren.21 12. Das Dreieck.22 13. Kongruenz der Dreiecke .... 26 14. Anwendung der Kongruenzsätze . 29 15. Das Viereck.32 16. Das Vieleck (Polygon).37 17. Nähere Betrachtung des Kreises. 42 18. Konstruktionen über den Kreis. . 44 19. Die Ellipse und die Eilinie ... 48 20. Die Spirale und die Schnecken¬ linie .51 II. Abschnitt: Kopieren, Vergrößern und Verkleinern der Figuren. Seite 21. Kopieren der Figuren.53 22. Kopieren von Schnittmustern . . 54 23. Verhältnisse der Strecken. Propor¬ tionen .56 24. Ähnlichkeit der Dreiecke .... 57 25. Ähnlichkeit der Vierecke und der Polygone.59 Seite 26. Der Proportionalwinkel.61 27. Das Verkleinern und Vergrößern gegebener Figuren.62 28. Das Verkleinern und Vergrößern von Schnittmustern.64 III. Abschnitt: Umfang und Flächeninhalt der Figuren. 29. Umfang und Flächeninhalt im all¬ gemeinen . 30. Das Quadrat. 31. Das Rechteck. 32. Das schiefwinklige Parallelo¬ gramm . 33. Das Dreieck. 34. Der pythagoräische Lehrsatz . . Seite 66 67 70 73 74 76 35. Das Trapez. 36. Das Trapezoid. 37. Das Vieleck. 38. Umfang und Flächeninhalt licher geradliniger Figuren 39. Umfang des Kreises . . . 40. Flächeninhalt des Kreises 4L Flächeninhalt der Ellipse . ähn- Seite 79 80 81 84 85 87 91 IV. Abschnitt: Die Körper; Oberfläche und Kubikinhalt derselben Seite 42. Lage zweier geraden Linien im Raume.92 43. Arten der Flächen.93 44. Die Gerade und die Ebene ... '94 45. Lage zweier Ebenen.95 46. Körperecken.95 47. Die regelmäßigen Körper .... 96 48. Das Prisma.97 49. Die Pyramide.99 50. Ähnlichkeit im Raume.100 51. Der Zylinder.101 52. Der Kegel.102 53. Schnitte am geraden Kegel ... 103 der 54. Die Kugel. 55. Oberfläche und Kubikinhal Körper im allgemeinen 56. Berechnung des Würfels . 57. Berechnung des Prismas . 58. Berechnung des Zylinders 59. Berechnung der Pyramide 60. Berechnung der regelm. Körper 61. Berechnung des Kegels . . 62. Berechnung der Kugel . . 63. Körperinhalt der Fässer . 64. Bestimmung des Kubikinhaltes durch das Gewicht. Seite 104 106 107 109 113 115 118 119 122 124 125 Anhang: Eine Buchstabentafel. Die geometrischen Ornamente sind zum Teil der Grammatik der Ornamente von Owen Jones und der Ornamentik von Franz Salis Mayr entnommen, die Handarbeitsbeispiele größtenteils der in dieser Beziehung so reich ausgestatteten Zeitschrift „Wiener Mode“. Mocnik-W enghart, Geometrische Formenlehre für Mädchenbürgerschulen. 128 Tafel mit Buchstaben. 00000493121 /» ft* m w*' ■ ■ .. ■■.-■•.• ■ ■■„•'• jfrm :>■ ..; hi .*.,> i *, : ff%4g|ijN?»>*- s v $ , 9SSt V •. •• -f ;: «7, •--. :; - >•. -^r v % i * « u-r .^:-vT* . * ;%>•# .^•f' inli lifönSE ■ ■ %. •*§ •: ¥ : : '- ! V:4n itBäM ~tV -ji/S f #Äg|- % ^JMßS € m t 4*: ^ iS!»«***** >' r - ■'■* , ,|::rf; -1 4§Ä -i M&0ß4 m '<***& ^BölfefV fm/Heftfö ,,. ;,: j.;■ j ,., &hmßm 'JfL' * CT / i ' **•/ -feiy^r- 3C9i :.t- •■: J •> ■•••”' ■ ■■ '-- • -! .- ■ .« ■„; ;,-. - •' • >• *V ,; -1 V&* p h n m I? Vf j; ,.,, iiä -„ r ,. 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