  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 2 25
Eksponentne vragolije
S Č
Uvod
S funkcijami se pri matematiki nevede soočimo, še
preden nam jih uradno predstavijo. Najbolj smo na-
vajeni funkcij ene spremenljivke, ki preslikajo realno
število v novo realno število in jih znamo lepo pona-
zoriti z grafom. Pomislimo na funkcije, sestavljene
iz osnovnih aritmetičnih operacij, kot so: število
množimo z 2 ali število kvadriramo. Polinomom, ki
jih lahko sestavimo zgolj z osnovnimi aritmetičnimi
operacijami, se v višjih razredih osnovne in kasneje
tudi srednje šole, pridružijo še druge funkcije, ki jih
najdemo na žepnem računalu. Te funkcije – trigo-
nometrične funkcije, kot so sinus, kosinus, tangens,
njihove inverzne funkcije ter eksponentna in logari-
temska funkcija imenujemo tudi elementarne funk-
cije.
Ko rišemo grafe funkcij, smo omejeni praktično
le z velikostjo papirja ter s svojo domišljijo, prav
tako pa lahko v nedogled kombiniramo funkcije, ki
jih imamo na voljo. Verjetno je marsikateri bralec
v razvedrilo med urami matematike pritiskal po ra-
čunalu in sestavljal funkcije, kot so log(sin(x2)) ali
xx . Obstajajo še kakšne funkcije, ki jih z njim ne
moremo izraziti?
V tem prispevku vas bom peljal po zaviti poti, pol-
ni nenavadnih funkcij, na katero me je v gimnazij-
skih časih zavedla radovednost o enačbi 2x = x2.
Ogledali si bomo izraze, ki zadevajo potenciranje, in
medtem spoznali tudi, kako lahko s šolskim računa-
lom izračunamo vrednosti funkcij, ki nimajo svojega
gumba in jih tudi ne moremo sestaviti iz elementar-
nih funkcij.
Reševanje enačb
Najenostavnejša uporaba funkcij je kar vstavljanje.
Če imamo funkcijo f(x) = x2, ji lahko kot argu-
ment podamo npr. število x = 2 in dobimo vrednost
f(2) = 4. Argument funkcije pa ni vedno znano
število, običajno moramo za reševanje matematič-
nih problemov rešiti tudi kakšno enačbo. Grafično
to pomeni iskanje presečišč dveh krivulj. Kadar re-
šujemo kvadratno enačbo ax2 + bx + c = 0, iščemo
presečišče parabole (leva stran) in vodoravne osi (de-
sna stran). Za ta primer znamo s pomočjo znanega
obrazca presečišči izračunati analitično:
x =
1
2a
(−b ±
√
b2 − 4ac).
V tem obrazcu nastopa funkcija kvadratnega korena,
ki nam omogoči, da dobimo obe presečišči z vstavlja-
njem števil v računalo. Podobno npr. enačbo 2x = 4,
če rešitve že ne uganemo, rešimo z uporabo dvoji-
škega logaritma x = ln2 4 = 2. Pri tem moramo se-
veda paziti, da presečišča sploh obstajajo.
Lahko vsako enačbo, v kateri nastopajo elemen-
tarne funkcije, rešimo z uporabo elementarnih funk-
cij? Na žalost je odgovor v večini primerov negati-
ven. Oglejmo si igrivo enačbo, ki se vpraša, v kate-
rem primeru nam menjava osnove in eksponenta ne
spremeni rezultata
x2 = 2x .
2x
x2
-2 -1 0 1 2 3 4 5
0
5
10
15
x
y
SLIKA 1.
Leva in desna stran enačbe x2 = 2x . Opazimo tri presečišča:
pozitivni pri x = 2 in x = 4 ter eno negativno, ki ga bomo še
izračunali.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 226
Grafa funkcij na levi in desni strani enačaja (slika
1) nam namigneta, da lahko pričakujemo tri prese-
čišča – eno pri negativnem x in dve pozitivni. Ena
pozitivna rešitev, x = 2, je očitna, saj velja 22 = 22.
Drugo, x = 4, za ta primer lahko uganemo; če se še
tako trudimo, pa spremenljivke x ne moremo izra-
ziti. Največ, kar lahko naredimo, je, da enačbo ko-
renimo in vzamemo pozitivno vrednost. Na desni
strani še vedno nastopa naša neznanka, lahko pa do-
bljeni izraz razumemo kot preslikavo, ki vstavljeno
vrednost na desni preslika v novo vrednost
x 7→
√
2x.
Sosledje operacij potenciranja in korenjenja na sliki
prepoznamo kot sledenje od vrednosti x navpično
do krivulje 2x , pozitivni koren pa odgovori na vpra-
šanje, kje vodoravnica skozi ravnokar dobljeno toč-
ko seka desno polovico krivulje x2. Slika 2 nas hitro
prepriča, da je dobljeno število bližje presečišču kot
prejšnje.
2x
2x
2x
x2
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0
1
2
3
4
5
x
y
SLIKA 2.
Iterativno iskanje presečišča z začetno vrednostjo x = 1. Če
sledimo izračunom, navpǐcne črte izračunajo 2x iz trenutnega
približka, vodoravne pa rezultat korenijo. Po zadostnem številu
ponovitev se poljubno približamo rešitvi x = 2.
Če postopek dovolj časa ponavljamo, dobimo po-
ljubno dober približek rešitve – temu postopku re-
čemo tudi iteracija. S tem postopkom dobimo zapo-
redje izrazov
x 7→
√
2
x
7→
√
2
√
2
x
7→ · · · 7→
√
2
√
2
√
2
. .
.
.
Spomnimo še, da pri stolpu potenc izvajamo opera-
cije od zgoraj navzdol, torej xy
z
= x(y
z).
Z običajnim šolskim računalom, ki dovoljuje vnos
izrazov, lahko rezultat dobimo na zelo preprost na-
čin z gumbom Ans , ki ponazarja rezultat prejšnjega
računa. Vstavimo začetni približek, npr. x = 1, priti-
snemo = , vpišemo zgornjo enačbo z Ans namesto x
ter pritiskamo enačaj, kot kaže slika 3, dokler se šte-
vilke ne spreminjajo samo še na decimalnih mestih,
ki nas ne zanimajo več. Tabela 1 prikazuje, kako se
vrednosti približujejo rešitvi x = 2.
SLIKA 3.
Iteracija z računalom. Prvi korak si zapomni začetno število
x = 1 kot prejšnji rezultat, na katerega se potem sklicuje Ans .
Z nekaj pritiski na enačaj dobimo poljubno natančen rezultat.
Podobno lahko s slike vidimo, da, če vzamemo
negativni kvadratni koren, iščemo presečišče z levo
stranjo parabole, s čimer najdemo skrivnostno nega-
tivno rešitev
x 7→ −
√
2
x
7→ −
√
2
−
√
2
x
7→ · · · 7→ −
√
1/2
√
1/2
√
1/2
. .
.
.
Uporabili smo še dejstvo, da minusi v potenci pome-
nijo obratne vrednosti osnove, kar porabi vse minuse
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 2 27
∞ 2,000000000000 0,766664695962 /
50 1,999999993049 0,766664695962 napaka
10 1,983668399304 0,766665092319 5,911914873331
9 1,976341754410 0,766663204247 4,382546732246
8 1,965664886517 0,766670310130 3,644283987905
7 1,950034773806 0,766643566773 3,189324761899
6 1,926999701847 0,766744218071 2,860441497461
5 1,892712696829 0,766365425098 2,592025704908
4 1,840910869291 0,767791240292 2,349005318612
3 1,760839555880 0,762427988549 2,106203352149
2 1,632526919438 0,782654027356 1,837117307087
1 1,414213562373 0,707106781187 1,500000000000
iteracija x →
√
2
x
x →
√
1/2
x
x → 1,5x
TABELA 1.
Vmesni rezultati iteracije potencira-
nja za tri razlǐcne osnove. Prvi
dve konvergirata k vrednostima funk-
cije T(
√
2) ter T(
√
1/2), tretja pa ne
konvergira.
razen tistega spredaj. V drugem stolpcu tabele 1
najdemo zaporedne vrednosti te iteracije brez spre-
dnjega minusa, začneši s približkom x = 1.
2x
- 2x
2x
x2
-2 -1 0 1 2
0
1
2
3
4
5
x
y
SLIKA 4.
Iteracija z začetne vrednosti x = 1 z negativnim korenom, x →
−
√
2
x
, nas privede do negativnega presečišča.
Stolpi potenc
Opazimo, da smo v obeh primerih računali vrednost
neskončnega stolpa enakih potenc. Namesto
√
2 ali
√
1/2 bi lahko vstavili tudi druga števila, zato si kar
predpišimo funkcijo T , ki dano število postavi v ne-
skončni stolp potenc
T(x) = xx
x.
. .
.
Vsaj ena točka te funkcije je očitna na pamet: T(1) =
1. Iteracijo lahko na računalu poskusimo s poljub-
nim x. Po nekaj poskusih opazimo, da nam pri pre-
velikih začetnih številih, npr. za število x = 1,5 v
3. stolpcu tabele 1, števila pobegnejo v neskončnost.
Slika 5 prikazuje graf funkcije T(x) z označenima
vrednostma, ki smo ju potrebovali za izračun prese-
čišč.
Katero je pa največje število, ki ga še lahko vsta-
vimo v naš stolp potenc, da se iteracija še vedno
ustavi? Za ta odgovor si moramo ogledati še eno so-
rodno funkcijo.
Lambertova funkcija
Pobližje si oglejmo funkcijo
f(x) = xex,
kjer je e ≈ 2,71828 osnova naravnega logaritma. Že-
limo poiskati inverz te funkcije oz. izraziti y iz enač-
be
x = f(y) = yey .
Izkaže se, da tega ne moremo storiti zgolj z ele-
mentarnimi funkcijami. Ker se reševanje te enačbe
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 228
T(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
1 /2 2
SLIKA 5.
Graf funkcije T(x), ki jo izračunamo z neskončno iteracijo
potenciranja.
W(x)
x ex
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
-e-1
SLIKA 6.
Graf funkcije f(x) = xex ter njenega inverza, Lambertove
funkcije W(x). Črtkani del ne pride v poštev, saj funkcija ne
more imeti dveh vrednosti.
v znanosti pogosto pojavi, so matematiki funkciji,
ki enačbo reši, dali ime in oznako, četudi ni dobila
svojega gumba na računalih. Vpeljemo Lambertovo
funkcijo W , ki po definiciji reši zgornjo enačbo
y = W(x).
Ta funkcija nam pomaga v fiziki pri izpeljavi Wieno-
vega zakona, pri obravnavi vezij, ki vsebujejo diode,
in še kje.
Ker je Lambertova funkcija inverz funkcije f(x),
dobimo njen graf, prikazan na sliki 6, z zrcaljenjem
grafa f(x) preko diagonale. Pri tem izberemo le
zgornjo vejo rešitve, podobno kot to storimo pri kva-
dratnem korenu. Opazimo, da funkcija nima rešitve
pod določeno vrednostjo. Ta najnižja vrednost xmin,
ki jo še smemo vstaviti, je enaka vrednosti funkcije
f(x) v njenem minimumu. Funkcija f(x) ima mi-
nimum pri x = −1, njena vrednost v tej točki pa
je xmin = f(−1) = −e−1. Bralci, ki poznajo od-
vod, lahko to trditev tudi sami preizkusijo, ostale pa
lahko o tem prepriča slika 6.
Lambertovo funkcijo bomo sedaj uporabili za izra-
čun lastnosti stolpov potenc. Kot je veljalo za osno-
vo
√
2, velja za funkcijo T(x) v splošnem zveza
T(x) = xT(x).
Če želimo uporabiti Lambertovo funkcijo, moramo
enačbo preoblikovati v obliko f() = e = . Po-
maga nam zveza x = elnx , kjer je lnx naravni loga-
ritem:
T(x)x−T(x) = 1
T(x)e− lnx T(x) = 1.
Da bo v potenci stal isti izraz kot pred njo, množimo
enačbo z − lnx:
− lnx T(x)e− lnx T(x) = − lnx.
Na levi prepoznamo f() = f(− lnx T(x)), od ko-
der lahko z Lambertovo funkcijo izluščimo
− lnx T(x) = W(− lnx),
oz. v končni obliki
T(x) = −
W(− lnx)
lnx
.
Če imamo na voljo funkcijo W , lahko izračunamo
vrednosti neskončnih stolpov potenc tudi na ta na-
čin. V računalniškem programu Mathematica jo npr.
najdemo pod imenom ProductLog, v programu Ma-
ple pa pod imenom LambertW.
Izvemo pa še nekaj več. Ker je minimalna vre-
dnost, ki jo še dovoljuje funkcija W , enaka −e−1, do-
bimo pogoj za maksimalno vrednost, ki jo smemo
dati v neskončen stolp potenc:
xmax = e1/e ≈ 1,44467.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 2 29
To ni veliko več od
√
2, ki smo ga vstavljali za rešitev
enačbe 2x = x2, ter manj od 1,5, za katerega smo
videli, da iteracija uide v neskončnost.
Posplošitve
Funkciji 2x in x2 sta se na pozitivnih številih sekali
dvakrat: enkrat pri x = 2, ki je bil tudi rezultat naše
iteracije, in enkrat pri x = 4. Za konec si vprašanje
še posplošimo na splošno osnovo a,
xa = ax ,
ki jo na podoben način lahko obrnemo v iteracijski
postopek
x → (a1/a)x
oziroma
xL = T(a1/a).
a1/a
0 1 2 3 4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
a
e
SLIKA 7.
Graf funkcije a1/a. Maksimum ima pri a = e.
Pri tem smo označili rešitev z xL, ker ta iteracija
vedno vodi le do levega izmed obeh pozitivnih pre-
sečišč, tako kot se je to zgodilo na sliki 2. Funkcija
a1/a, ki nastopa v argumentu naše funkcije (slika
7), ima maksimum pri a = e, kjer ravno dosežemo
zgornjo mejo definicijskega območja T , za katerega
smo pokazali, da je pri e1/e. Za manjše vrednosti,
a < e, nam bo ta funkcija dala le trivialno rešitev.
Kot smo videli na sliki 2, je prvo pozitivno presečišče
ex
xe
0 1 2 3 4
0
5
10
15
20
25
30
35
x
y
e
SLIKA 8.
Grafa funkcij ex in xe so ne sekata dvakrat, temveč se le
dotakneta.
xL=T(a
1/a)
xD
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
a
x
SLIKA 9.
Levo in desno pozitivno presečišče krivulj ax in xa. Zaradi
simetrije problema desne rešitve pri a < e ustrezajo zrcaljenju
leve rešitve pri a > e. Označeni sta rešitvi pri a = 2, ki znašata
xL = 2 in xD = 4, ter enaki rešitvi pri a = 4.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 230
pri xL = a. Pri a = e se funkciji ax in xa ne sekata
dvakrat, temveč se le dotakneta, kot kaže slika 8.
Za a > e presečišči zamenjata vlogi in nam itera-
cijski postopek da drugo, zanimivejšo rešitev. Hkrati
opazimo, da sta v enačbi ax = xa spremenljivki x in
a zamenljivi. To pomeni, da lahko z zrcaljenjem re-
šitev za a > e dobimo drugo presečišče tudi za a < e,
kjer bi sicer z iteracijo dobili le xL = a. Slika 9 pri-
kazuje rešitev, ki jo dobimo z iteracijo xL = T(a1/a),
ter njeno zrcalno sliko, ki nam pomaga določiti xD.
To nam vsaj grafično pokaže vejo rešitve, ki vsebuje
xD = 4 s slike 1.
Pozorni bralec bo opazil, da nismo ničesar rekli o
spodnji meji definicijskega območja funkcije T(x).
Več o tem si lahko preberete v viru [1]. Prav tako se
nismo posvečali analitičnemu izrazu za desno reši-
tev xD, za katerega bi potrebovali spodnjo, črtkano
vejo inverza funkcije f(x) s slike 6. Te ne dobimo z
neskončno iteracijo potenciranja temveč z neskonč-
no iteracijo logaritmiranja.
Iteracija je le ena izmed mnogih numerič-
nih metod za reševanje enačb in s tem za iz-
račun večjega nabora funkcij. Uporaba gumba
Ans nas reši pred stalnim ročnim vstavljanjem
prejšnjega približka v računalo. Na prvi pogled se
zdi, da je iteracija manj natančna kot računanje z
vgrajenimi funkcijami, saj delamo s približki. Zave-
dati pa se moramo, da se izračun vseh funkcij na
koncu prevede na zaporedje seštevanj in množenj.
Žepna računala in računalniki vedno vrnejo le pri-
bližen rezultat z vnaprej znanim številom decimal-
nih mest. Tudi pri pisnem deljenju števil izvajamo
zaporedje seštevanj, odštevanj in množenj, posto-
pek pa ustavimo, ko smo z natančnostjo zadovoljni.
Ločnica med elementarnimi in »specialnimi« funkci-
jami, kamor bi lahko šteli Lambertovo funkcijo in
neskončni stolp potenc, leži torej le v dogovoru ter
morda v obstoju vnaprej pripravljenih gumbov na
žepnem računalu.
Literatura
[1] Luca Moroni, The strange properties of the in-
finite power tower, 2019. arXiv:1908.05559
[math.HO].
×××
SLIKA 3 K PRISPEVKU NARAVNA
UKLONSKA MREŽICA.
Mikroskopska slika peresa v razlǐcnih
povečavah (zgoraj). Shematski pri-
kaz sestave peresa (spodaj).