5 ISSN 0351-6652M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 39 ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 ) š t e v il k a 5 • konstrukcija pravilnega petnajstkotnika • zvočnik iz lončka, žice in magneta • severni sij • prirejanje grafov in maturantski ples Izraba vetrne energije Matematika nam na več načinov pomaga pri po- stopkih pretvorbe vetra v uporabno energijo. Vetrni modeli večjih območij nam pomagajo pri iskanju pri- merne lokacije, bolj natančni in osredotočeni modeli pa predvidijo najboljšo razporeditev vetrnih turbin v okviru izbrane lokacije tako, da upoštevajo tudi vpliv turbulenc in medsebojne motnje vetrnic. Z di- namiko fluidov lahko opišemo tudi pretok zraka in vleko v okolici turbin.To nam pomaga pri določitvi strukturne in aerodinamične oblike listov, ki izrabijo čim več vetrne energije, pri tem pa niso niti predragi niti preglasni. Z matematiko lahko odgovorimo tudi na dve os- novni vprašanji o vetrnih turbinah. Zakaj ima večina vetrnic ravno tri liste? Turbine z manj listi izkoristijo manj vetrne energije, hkrati pa so zaradi hitrejšega vrtenja bolj glasne. Turbine z več listi bi sicer lahko izkoristile do tri od- stotke več energije, vendar to ne bi opravičilo doda- tnih stroškov. Kolikšen del vetrne energije lahko uporabijo turbine? S pomočjo analize in zakonov o ohranitvi energije lahko utemeljimo Betzov zakon, ki pravi, da nobena turbina ne more ujeti več kot 60 odstotkov energije vetra. Moderne turbine imajo izkoristke med 40 in 50 odstotki. Tako nikakor ne verjemite komurkoli, ki vam bi skušal prodati vetrnico s 65 odstotnim iz- koristkom. Veliko več o izkoriščanju vetrne energije lahko naj- dete v leta 2010 izdani knjigi Wind Energy Explained: Theory, Design and Application. Napisali so jo James F. Manwell, Jon G. McGowan in Anthony L. Rogers. Slika 1 POJASNILO: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathematical Moments“, ki jo objavlja Ameriško ma- tematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. 1 Izraba vetrne energi je Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 39, šolsko leto 2011/2012, številka 5 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Petkovšek (glavni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik. Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2011/2012 je za posamezne naročnike 16,69 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Tehnična urednica Tadeja Šekoranja Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk Košir, Ines Kristan Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1600 izvodov © 2012 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1864 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati- ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen- cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se- dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči- noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob- javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do- voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu. k o l o f o n n a v o d i l a s o d e l a v c e m P r e s e k a z a o d d a j o p r i s p e v k o v • m a t e m a t ič n i t r e n u t k i m a t e m a t i č n i t r e n u t k i 2 presek 39 (2011/2012) 5 • matematika Konstrukcija pravilnega petnajstkotnika (Marko Razpet) Mednarodna matematična olimpijada 2011 (Gregor Dolinar) Presek – dobitnik priznanja Slovenske znanstvene fundacije (Marija Vencelj) fizika Zvočnik iz lončka, žice in magneta (Bor Gregorčič) Poizkuševalnica v mrzli naravi – odgovor naloge – Kako nas pogreje? (Mojca Čepič) Poizkuševalnica v sobi – Akvarij (Mojca Čepič) Razmisli in poskusi – Preprost kompas (Mitja Rosina) razvedrilo Naravoslovna fotografija – Jutranje padavine (Aleš Mohorič) Nagradna križanka (Marko Bokalič) Rešitev nagradne križanke Presek 39/4 (Marko Bokalič) Barvni sudoku Križne vsote Futošiki računalništvo Prirejanje grafov in maturantski ples (Matej Kren) matematični trenutki Izraba vetrne energije astronomija Severni sij (Matic Smrekar) Vabilo na SMART (Astronomsko društvo Labod) tekmovanja 2. tekmovanje v znanju astronomije za učence osnovnih šol – šolsko tekmovanje 2. tekmovanje v znanju astronomije za dijake srednjih šol – šolsko tekmovanje 2. tekmovanje v znanju astronomije za učence osnovnih šol – državno tekmovanje 2. tekmovanje v znanju astronomije za dijake srednjih šol – državno tekmovanje 2 4–8 8–9 9–10 11–13 14–15 18–19 19–20 21–23 24 25–29 30–31 16–17 30 10,19,29 13 20 priloga priloga priloga priloga k a z a l o Kazalo Slika na naslovnici: Opis slike tokratne naslovnice je v prispevku Jutranje padavine na strani 30. Foto: Andrej Guštin. 3Presek 39 (2011/2012) 5 4 m a t e m a t i k a PO DEŽNE KAPLJICE. LOVNA Ljudje smo že zdavnaj spoznali, da nekatere pra- vilne n-kotnike lahko konstruiramo samo z ravni- lom in šestilom, nekatere pa ne. Pod besedo kon- strukcija bomo v tem članku razumeli samo kon- strukcijo z ravnilom in šestilom. Kdaj pravilni večkotnik sploh lahko konstrui- ramo? Tako enakostranični trikotnik, kvadrat, pravilni petkotnik, šestkotnik, osemkotnik, desetkotnik, dva- najstkotnik konstruiramo brez težav, pravilnega se- demkotnika pa ne. Mnogi so se ukvarjali s proble- mom, zakaj ne. Matematik Carl Friedrich Gauß (1777–1855) je vložil precej truda v konstrukcijo pra- vilnega 17-kotnika, ki mu je uspela leta 1796. V svo- jem znamenitem delu Disquisitiones arithmeticae je Gauß leta 1801 objavil in dokazal trditev, ki pove, kdaj je mogoče konstruirati pravilni n-kotnik. Če je n = 2r , kjer je r = 2,3,4, . . ., ali če je n zmno- žek različnih Fermatovih praštevil in potence 2r , kjer je r = 0,1,2,3, . . ., potem je mogoče pravilni n-kotnik konstruirati. Omenjena oblika števila n je torej zadostni pogoj za konstrukcijo pravilnega n-kotnika. Gauß je vedel, da je ta pogoj tudi potreben, a dokaza ni objavil. To je storil leta 1837 matematik Pierre-Laurent Wantzel (1814–1848). Čeprav je bilo o Fermatovih številih, ki jih je študi- ral Pierre de Fermat (1601–1665), v Preseku že veliko napisanega, ponovimo: Fermatova števila so števila Fm = 22 m + 1, kjer je m = 0,1,2,3, . . . Če je Fer- matovo število praštevilo, ga imenujemo Fermatovo praštevilo. Seveda ni vsako praštevilo Fermatovo šte- vilo, pa tudi vsako Fermatovo število ni praštevilo, kot vidimo iz prvih nekaj Fermatovih števil: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 537, F5 = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 . Kot zanimivost povejmo, da je bil sam Fermat leta 1640 prepričan, da so vsa njegova števila praštevila. To trditev je zapisal v pismu Marinu Mersennu (1588– 1648) in z njo seznanil tudi druge matematike, kar je zbudilo precejšnje zanimanje za Fermatova šte- vila. Toda Leonhard Euler (1707–1783) je leta 1732 ugotovil, da F5 ni praštevilo, ker je deljivo s 641. Konstruirati je mogoče torej tudi pravilni petnajst- kotnik, pravilni enainpetdesetkotnik in pravilni pet- inosemdesetkotnik, ker je 15 = 3·5, 51 = 3·17, 85 = 5 · 17 in so F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17 različna Ferma- tova praštevila. Posvetili se bomo seveda najenostav- nejšemu od teh, pravilnemu petnajstkotniku. Najprej velja čisto splošno. Ker je mogoče kon- 2 Ljudje smo že zdavnaj spoznali, da nekatere pra- vilne n-kotnike lahko konstruiramo samo z ravni- lom in šestilom, nekatere pa ne. Pod besedo kon- strukcija bomo v tem članku razumeli samo kon- strukcijo z ravnilom in šestilom. Kdaj pravilni večkotnik sploh lahko konstrui- ramo? Tako enakostranični trikotnik, kvadrat, pravilni petkotnik, šestkot ik, osemkotnik, desetkotnik, dva- najstkotnik konstruiramo brez težav, pravil ega se- demkotnika pa ne. Mnogi so se uk arjali s probl - mom, za j ne. Matematik Carl Friedrich Gauß (1777–1855) je vložil pr cej ruda v konstrukcijo pra- vilnega 17-kotnika, ki mu je uspela leta 1796. V svo- jem znameni em delu Disquisitiones arithmeticae je Gauß leta 1801 objavil in dokazal trditev, ki pove, kdaj je mogoče k nstruirati pravilni n-kotni . Če je n = 2r , kjer je r = 2,3,4, . . ., ali če je n zmno- žek različnih Fermatovih praštevil in potence 2r , kjer je r = 0,1,2,3, . . ., p tem je mogoče pravilni n-kotnik konstruirati. Omenjena oblika števila n je torej zadostni pogoj za konstrukcijo pr vilneg -ko nika. Gauß je vedel, d je ta pogoj tudi potr be , a dokaza ni objavil. To je storil leta 1837 matematik Pierre-L urent Wantzel (1814–1848). Čeprav je bilo o Fermatovih številih, ki jih je študi- ral Pie re d Fermat (1601–1665), Preseku ž veliko napisan ga, ponovimo: Fermatova št vila so št vila Fm = 22 m + 1, kjer je m = 0,1,2,3, . . . Če je Fer- matovo število praštevilo, ga imenujemo Fermatovo pr število. Seveda ni vsako prašt vilo Fermatovo šte- vilo, pa tudi sako Fermatovo število ni praštevilo, kot vidimo iz prvih n kaj Fermatovih števil: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 537, F5 = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 . Kot zanimivost povejmo, da je bil sam Fermat leta 1640 prepričan, da so vsa njegova števila p aštevila. To trdit v je zapis l v pi mu Marinu Mersennu (1588– 1648) in z njo seznanil tudi druge matematike, kar je zbudilo precejš je zanimanje za Fer atova šte- vila. Toda Leonhard Euler (1707–1783) je leta 1732 ugotovil, da F5 ni praštevilo, ker je deljivo s 641. Konstruirati je mogoče t rej tudi pravilni petnajst- kotnik, pravilni enainpetdes tkotnik in pravilni pe - inosemdesetkotnik, ker je 15 = 3·5, 51 = 3·17, 85 = 5 · 17 in so F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17 različna Ferma- tova praštevila. Posvetili se bomo seveda najenostav- nejšemu od teh, pravilnemu petnajstkotniku. Najprej velja čisto splošno. Ker je mogoče kon- 2 Ljudje smo že zdavnaj spoznali, da nekatere pra- vilne n-kotnike lahko konstruiramo samo z ravni- lom in šestilom, nekatere pa ne. Pod besedo kon- strukcija bomo v tem članku razumeli samo kon- strukcijo z ravnilom in šestilom. Kdaj pravilni večkotnik sploh lahko konstrui- ramo? Tako enakostranični trikotnik, kvadrat, pravilni petkotnik, šestkotnik, osemkotnik, desetkotnik, dva- najstkotnik konstruiramo brez težav, pravilnega se- demkotnika pa ne. Mnogi so se ukvarjali s proble- mom, zakaj ne. Matematik Carl Friedrich Gauß (1777–1855) je vložil precej truda v konstrukcijo pra- vilnega 17-kotnika, ki mu je uspela leta 1796. V svo- jem znamenitem delu Disquisitiones arithmeticae je Gauß leta 1801 objavil in dokazal trditev, ki pove, kdaj je mogoče konstruirati pravilni n-kotnik. Če je n = 2r , kjer je r = 2,3,4, . . ., ali če je n zmno- žek različnih Fermatovih praštevil in potence 2r , kjer je r = 0,1,2,3, . . ., potem je mogoče pravilni n-kotnik konstruirati. Omenjena oblika števila n je torej zadostni pogoj za konstrukcijo pravilnega n-kotnika. Gauß je vedel, da je ta pogoj tudi potreben, a dokaza ni objavil. To je storil leta 1837 matematik Pierre-Laurent Wantzel (1814–1848). Čeprav je bilo o Fermatovih številih, ki jih je študi- ral Pierre de Fermat (1601–1665), v Preseku že veliko napisanega, ponovimo: Fermatova števila so števila Fm = 22 m + 1, kjer je m = 0,1,2,3, . . . Če je Fer- matovo število praštevilo, ga imenujemo Fermatovo praštevilo. Seveda ni vsako praštevilo Fermatovo šte- vilo, pa tudi vsako Fermatovo število ni praštevilo, kot vidimo iz prvih nekaj Fermatovih števil: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 537, F5 = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 . Kot zanimivost povejmo, da je bil sam Fermat leta 1640 prepričan, da so vsa njegova števila praštevila. To trditev je zapisal v pismu Marinu Mersennu (1588– 1648) in z njo seznanil tudi druge matematike, kar je zbudilo precejšnje zanimanje za Fer atova šte- vila. Toda Leonhard Euler (1707–1783) je leta 1732 ugotovil, da F5 ni praštevilo, ker je deljivo s 641. Konstruirati je mogoče torej tudi pravilni petnajst- kotnik, pravilni enainpetdesetkotnik in pravilni pet- inosemdesetkotnik, ker je 15 = 3·5, 51 = 3·17, 85 = 5 · 17 in so F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17 različna Ferma- tova praštevila. Posvetili se bomo seveda najenostav- nejšemu od teh, pravilnemu petnajstkotniku. Najprej velja čisto splošno. Ker je mogoče kon- 2 Ljudje s o že zdavnaj spoznali, da nekatere pra vilne -ko nike lah o konstruira sa o z ravni lo in šestilo , n katere pa ne. Pod besed cija bo o v te članku razu eli sa o kon- strukcijo z ravnilo in šestilo . Kdaj pravilni večkotnik sploh lahko konstrui- ra o? Tako enakostranični trikotnik, kvadrat, pravilni petkotnik, šestkotnik, ose kotnik, desetkotnik, dva- najstkotnik konstruira o brez težav, pravilnega se- de kotnika pa ne. nogi so se ukvarjali s proble- o , zakaj ne. ate atik Carl Friedrich Gauß (1777–1855) je vložil precej truda v konstrukcijo pra- vilnega 17-kotnika, ki u je uspela leta 1796. V svo- je zna enite delu Disquisitiones arith eticae je Gauß leta 1801 objavil in dokazal trditev, ki pove, kdaj je ogoče konstruirati pravilni n-kotnik. Če je n = 2r , kjer je r = 2,3,4, . . ., ali če je n z no- žek različnih Fer atovih praštevil in potence 2r , kjer je r = 0,1,2,3, . . ., pote je ogoče pravilni n-kotnik konstruirati. O enjena oblika števila n je torej zadostni pogoj za konstrukcijo pravilnega n-kotnika. Gauß je vedel, da je ta pogoj tudi potreben, a dokaza ni objavil. To je storil leta 1837 ate atik Pierre-Laurent antzel (1814–1848). Čeprav je bilo o Fer atovih številih, ki jih je študi- ral Pierre de Fer at (1601–1665), v Preseku že veliko napisanega, ponovi o: Fer atova števila so števila Fm = 22 m + 1, kjer je = 0,1,2,3, . . . Če je Fer- atovo število praštevilo, ga i enuje o Fer atovo praštevilo. Seveda ni vsako praštevilo Fer atovo šte- vilo, pa tudi vsako Fer atovo število ni praštevilo, kot vidi o iz prvih nekaj Fer atovih števil: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 537, F5 = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 . Kot zani ivost povej o, da je bil sa Fer at leta 1640 prepričan, da so vsa njegova števila praštevila. To trditev je zapisal v pis u arinu ersennu (1588– 1648) in z njo seznanil tudi druge ate atike, kar je zbudilo precejšnje zani anje za Fer atova šte- vila. Toda Leonhard Euler (1707–1783) je leta 1732 ugotovil, da F5 ni praštevilo, ker je deljivo s 641. Konstruirati je ogoče torej tudi pravilni petnajst- kotnik, pravilni enainpetdesetkotnik in pravilni pet- inose desetkotnik, ker je 15 = 3·5, 51 = 3·17, 85 = 5 · 17 in so F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17 različna Fer a- tova praštevila. Posvetili se bo o seveda najenostav- nejše u od teh, pravilne u petnajstkotniku. Najprej velja čisto splošno. Ker je ogoče kon- 2 , - - , . - . , , , , , , , . , . , . , , . , , , , . . , , . . , , , : , , . , , : , , . , . , , . , , . , . . j j j li il - i l i i l i il t ij l li - ij il i til j il i i l l i i i i i il i i i i i j i i il i i j li l - j i l i i ( ) j l il j ij il - i i j l l - j i l i i iti it ti j l j il i l i i j j i i il i - i j j j , , , . . . li j - li i t i t il i t j j , , , , . . . t j il i - t i t i ti j li il j j i j ij il - i l j j i i j il j il l i i - l ( ) j il i ili i ji j i- l i ( ) li i i t t il il j j , , , , . . . j - il il i j t t il i il - il i il i il i i i i j i il , , , , , . i i j j il l i j il il i j i l i i ( ) i j il i i j il j j i j - il l ( ) j l il i il j lji i i j j i il i j i il i i i i il i - i i j , , i , , li il ili j - j il j i j j lj i l j - , , . . , , , , , , , . , . , . , , . , , , , . . , , . . , , , : , , . , , : , , . , . , , . , , . , . . Konstrukcija pravilnega petnajstkotnika • presek 39 (2011/2012) 5 marko razpet j ilni večkotnik sploh lahko konstruiramo? 5 m a t e m a t i k a struirati pravilni m-kotnik in pravilni n-kotnik, če sta števili m in n različni Fermatovi praštevili, po- tem znamo konstruirati tudi pravilni mn-kotnik. Se- veda sta si v takem primeru m in n tuji. Kako, si bomo v nadaljevanju ogledali na preprostem zgledu. Spomnimo na to, da znamo brez težav seštevati in odštevati kote. Pravilni n-kotnik znamo razdeliti na n skladnih enakokrakih trikotnikov, ki imajo skupni vrh v središču S tega n-kotnika. Kot γn ob vrhu ta- kega enakokrakega trikotnika pa meri γn = 360◦/n. Z njim sta preostala kota tega trikotnika natančno določena in s tem notranji ter zunanji koti pravilnega n-kotnika. Če znamo razdeliti kot 360◦ na n ena- kih delov, znamo konstruirati tudi pravilni n-kotnik in obratno. Ko enkrat imamo kot γn, brez težav konstruiramo kote γn/2, γn/4, γn/8, . . ., kajti razpo- lavljanje kateregakoli kota poteka brez težav. Prav tako postopamo pri pravilnem m-kotniku. Slika1 Kot γm·n pa lahko konstruiramo s seštevanjem in odštevanjem kotov γm in γn. To pomeni, da je vre- dno najti taki celi števili x in y , za kateri bo veljala enakost γm·n = x · γm +y · γn (1) oziroma 360◦ m ·n = x · 360◦ m +y · 360 ◦ n . Po preureditvi dobimo preprosto diofantsko enačbo nx +my = 1 , ki ima pri med seboj tujih si številih m in n ne- skončno celoštevilskih rešitev (x,y). Z eno od njih konstruiramo kot γm·n pravilnega mn-kotnika z uporabo kotov γm in γn pravilnega m-kotnika ozi- roma pravilnega n-kotnika. Zgornja enačba je poseben primer splošnejše dio- fantske enačbe ax + by = c, kjer so a,b, c cela šte- vila. Pri diofantskih enačbah vedno iščemo samo ce- loštevilske rešitve. Znani izrek v teoriji števil pravi, da je diofantska enačba ax + by = c rešljiva na- tanko tedaj, ko največji skupni delitelj koeficientov a in b deli prosti člen c. Tedaj je rešitev neskončno mnogo. Navadno eno poiščemo z Evklidovim algo- ritmom, vse ostale pa se z njo preprosto izražajo. V zelo enostavnih primerih pa lahko rešitev poiščemo tudi kako drugače. V primeru pravilnega petnajstkotnika, kjer je γ15 = 24◦, vzamemo m = 5 in n = 3. Ustrezna kota sta γ5 = 72◦ in γ3 = 120◦. Rešiti je treba še enačbo 3x + 5y = 1 (2) v celih številih. Izrazimo 3 struirati pravilni m-kotnik in pravilni n-kotnik, če sta števili m in n različni Fermatovi praštevili, po- tem znamo konstruirati tudi pravilni mn-kotnik. Se- veda sta si v takem primeru m in n tuji. Kako, si bomo v nadaljevanju ogledali na preprostem zgledu. Spomnimo na to, da znamo brez težav seštevati in odštevati kote. Pravilni n-kotnik znamo razde ti na n skladnih enakokrakih rikotnikov, ki imajo s upni rh v sred šču S tega n-kotnika. Kot γn ob vrhu ta- kega enakokrakega trikotnika pa meri γn = 360◦/n Z njim sta preostal kota tega trikotnika natančno določena in s tem notranji ter zuna ji k ti pravilneg -kotnika. Če znamo razdeliti kot 360◦ na n ena- ki delov, znamo konstruirati tudi pravilni n-kotnik in obratno. Ko enk at imamo kot γn, brez težav ko struir mo kote γn/2, γn/4, γn/8, . . ., kajti razpo- lavljanje kater gak li kota potek brez tež . Prav ta postopamo pri praviln m m-kotniku. Slika1 Kot γm·n pa lahko konstruiramo s seštevanjem in odštevanjem kotov γm in γn. To pomeni, da je vre- dno najti taki celi števili x in y , za kateri bo veljala enakost γm·n = x · γm +y · γ (1) oziroma 360◦ m ·n = x · 360◦ m +y · 360 ◦ n . Po preureditvi dobimo preprosto diofantsko enačbo nx +my = 1 , ki ima pri med seboj tujih si številih m in n ne- skončno celoštevilskih rešitev (x,y). Z en od njih konstruiramo kot γm·n pravilnega mn-kotnika z uporabo kotov γm in γn pravilnega m-kotnika ozi- roma pravilnega n-kotnika. Zgornja enačba je poseben primer splošnejše dio fantske enačbe ax + by = c, kjer so a,b, c cela šte- vila. Pri diofantskih enačbah edno iščemo samo ce- loštevilske rešitve. Zna i izrek v teoriji štev l prav , da je diofa tska enačba x + by = c rešljiva na- tanko tedaj, ko na večji skupni delitelj koefici ntov a in b d li prosti člen c. Tedaj je rešitev neskončno mnogo. Navadno eno poiščemo z Evklid vim algo ritmom, vse os ale pa se z njo preprosto izražajo. V zelo enost vnih primerih pa lahko rešitev po ščemo udi kako drugače. V primeru pravilnega petnajstkotnika, kj r je γ15 = 24◦, vzamemo m = 5 in n = 3. Ustrezna kot sta γ5 = 72◦ in γ3 = 120◦. Rešiti je t ba še enačbo 3x + 5y = 1 (2) v celih številih. Izrazimo 3 , , . . , . , . li t , . . . , . r , , e . . . , , n . . , . . n i, , j . . , . . , , . . re . struirati pravilni m-kotnik in pravilni n-kotnik, če sta števili m in n različni Fermatovi praštevili, po- tem znamo konstruirati tudi pravilni mn-kotnik. Se- veda sta si v takem primeru m in n tuji. Kako, si bomo v nadaljevanju ogledali na preprostem zgledu. Spomnimo na to, da znamo brez težav seštevati in odštevati kote. Pravilni n-kotnik znamo razdeliti na n skladnih enakokrakih trikotnikov, ki imajo skupni vrh v središču S tega n-kotnika. Kot γn ob vrhu ta- kega enakokrakega trikotnika pa meri γn = 360◦/n. Z njim sta preostala kota tega trikotnika natančno določena in s tem notranji ter zunanji koti pravilnega n-kotnika. Če znamo razdeliti kot 360◦ na n ena- kih delov, znamo konstruirati tudi pravilni n-kotnik in obratno. Ko enkrat imamo kot γn, brez težav konstruiramo kote γn/2, γn/4, γn/8, . . ., kajti razpo- lavljanje kateregakoli kota poteka brez težav. Prav tako postopamo pri pravilnem m-kotniku. Slika1 Kot γm·n pa lahko konstruiramo s seštevanjem in odštevanjem kotov γm in γn. To pomeni, da je vre- dno najti taki celi števili x in y , za kateri bo veljala enakost γm·n = x · γm +y · γn (1) oziroma 360◦ m ·n = x · 360◦ m +y · 360 ◦ n . Po preureditvi dobimo preprosto diofantsko enačbo nx +my = 1 , ki ima pri med seboj tujih si številih m in n ne- skončno celoštevilskih rešitev (x,y). Z eno od njih konstruiramo kot γm·n pravilnega mn-kotnika z uporabo kotov γm in γn pravilnega m-kotnika ozi- roma pravilnega n-kotnika. Zgornja enačba je poseben primer splošnejše dio- fantske enačbe ax + by = c, kjer so a,b, c cela šte- vila. Pri diofantskih enačbah vedno iščemo samo ce- loštevilske rešitve. Znani izrek v teoriji števil pravi, da je diofantska enačba ax + by = c rešljiva na- tanko tedaj, ko največji skupni delitelj koeficientov a in b deli prosti člen c. Tedaj je rešitev neskončno mnogo. Navadno eno poiščemo z Evklidovim algo- ritmom, vse ostale pa se z njo preprosto izražajo. V zelo enostavnih primerih pa lahko rešitev poiščemo tudi kako drugače. V primeru pravilnega petnajstkotnika, kjer je γ15 = 24◦, vzamemo m = 5 in n = 3. Ustrezna kota sta γ5 = 72◦ in γ3 = 120◦. Rešiti je treba še enačbo 3x + 5y = 1 (2) v celih številih. Izrazimo 3 struirati pravilni -kotnik in pravilni n-kotnik, če sta števili in n različni Fer atovi praštevili, po- te zna o konstruirati tudi pravilni n-kotnik. Se- veda sta si v take pri eru in n tuji. Kako, si bo o v nadaljevanju ogledali na preproste zgledu. Spo ni o na to, da zna o brez težav seštevati in odštevati kote. Pravilni n-kotnik zna o razdeliti na n skladnih enakokrakih trikotnikov, ki i ajo skupni vrh v središču S tega n-kotnika. Kot γn ob vrhu ta- kega enakokrakega trikotnika pa eri γn = 360◦/n. Z nji sta preostala kota tega trikotnika natančno določena in s te notranji ter zunanji koti pravilnega n-kotnika. Če zna o razdeliti kot 360◦ na n ena- kih delov, zna o konstruirati tudi pravilni n-kotnik in obratno. Ko enkrat i a o kot γn, brez težav konstruira o kote γn/2, γn/4, γn/8, . . ., kajti razpo- lavljanje kateregakoli kota poteka brez težav. Prav tako postopa o pri pravilne -kotniku. Slika1 Kot γm·n pa lahko konstruira o s seštevanje in odštevanje kotov γm in γn. To po eni, da je vre- dno najti taki celi števili x in y , za kateri bo veljala enakost γm·n = x · γm +y · γn (1) oziro a 360◦ ·n = x · 360◦ +y · 360 ◦ n . Po preureditvi dobi o preprosto diofantsko enačbo nx + y = 1 , ki i a pri ed seboj tujih si številih in n ne- skončno celoštevilskih rešitev (x,y). Z eno od njih konstruira o kot γm·n pravilnega n-kotnika z uporabo kotov γm in γn pravilnega -kotnika ozi- ro a pravilnega n-kotnika. Zgornja enačba je poseben pri er splošnejše dio- fantske enačbe ax + by = c, kjer so a,b, c cela šte- vila. Pri diofantskih enačbah vedno išče o sa o ce- loštevilske rešitve. Znani izrek v teoriji števil pravi, da je diofantska enačba ax + by = c rešljiva na- tanko tedaj, ko največji skupni delitelj koeficientov a in b deli prosti člen c. Tedaj je rešitev neskončno nogo. Navadno eno poišče o z Evklidovi algo- rit o , vse ostale pa se z njo preprosto izražajo. V zelo enostavnih pri erih pa lahko rešitev poišče o tudi kako drugače. V pri eru pravilnega petnajstkotnika, kjer je γ15 = 24◦, vza e o = 5 in n = 3. Ustrezna kota sta γ5 = 72◦ in γ3 = 120◦. Rešiti je treba še enačbo 3x + 5y = 1 (2) v celih številih. Izrazi o 3 struirati pravilni m-kotnik in pravilni n-kotnik, če sta števili m in n različni Fermatovi praštevili, po- tem znamo konstruirati tudi pravilni mn-kotnik. Se- veda sta si v takem primeru m in n tuji. Kako, si bomo v nadaljevanju ogledali na preprostem zgledu. Spomnimo na to, da znamo brez težav seštevati in odštevati kote. Pravilni n-kotnik znamo razdeliti na n skladnih enakokrakih trikotnikov, ki imajo skupni vrh v središču S tega n-kotnika. Kot γn ob vrhu ta- kega enakokrakega trikotnika pa meri γn = 360◦/n. Z njim sta preostala kota tega trikotnika natančno določena in s tem notranji ter zunanji koti pravilnega n-kotnika. Če znamo razdeliti kot 360◦ na n ena- kih delov, znamo konstruirati tudi pravilni n-kotnik in obratno. Ko enkrat imamo kot γn, brez težav konstruiramo kote γn/2, γn/4, γn/8, . . ., kajti razpo- lavljanje kateregakoli kota poteka brez težav. Prav tako postopamo pri pravilnem m-kotniku. Slika1 Kot γm·n pa lahko konstruiramo s seštevanjem in odštevanjem kotov γm in γn. To pomeni, da je vre- dno najti taki celi števili x in y , za kateri bo veljala enakost γm·n = x · γm +y · γn (1) oziroma 360◦ m ·n = x · 360◦ m +y · 360 ◦ n . Po preureditvi dobimo preprosto diofantsko enačbo nx +my = 1 , ki ima pri med seboj tujih si številih m in n ne- skončno celoštevilskih rešitev (x,y). Z eno od njih konstruiramo kot γm·n pravilnega mn-kotnika z uporabo kotov γm in γn pravilnega m-kotnika ozi- roma pravilnega n-kotnika. Zgornja enačba je poseben primer splošnejše dio- fantske enačbe ax + by = c, kjer so a,b, c cela šte- vila. Pri diofantskih enačbah vedno iščemo samo ce- loštevilske rešitve. Znani izrek v teoriji števil pravi, da je diofantska enačba ax + by = c rešljiva na- tanko tedaj, ko največji skupni delitelj koeficientov a in b deli prosti člen c. Tedaj je rešitev neskončno mnogo. Navadno eno poiščemo z Evklidovim algo- ritmom, vse ostale pa se z njo preprosto izražajo. V zelo enostavnih primerih pa lahko rešitev poiščemo tudi kako drugače. V primeru pravilnega petnajstkotnika, kjer je γ15 = 24◦, vzamemo m = 5 in n = 3. Ustrezna kota sta γ5 = 72◦ in γ3 = 120◦. Rešiti je treba še enačbo 3x + 5y = 1 (2) v celih številih. Izrazimo 3 Ljudje smo že zdavnaj spoznali, da nekatere pra- vilne n-kotnike lahko konstruiramo samo z ravni- lom in šestilom, nekatere pa ne. Pod besedo kon- strukcija bomo v tem članku razumeli samo kon- strukcijo z ravnilom in šestilom. Kdaj pravilni večkotnik sploh lahko konstrui- ramo? Tako enakostranični trikotnik, kvadrat, pravilni petkotnik, šestkotnik, osemkotnik, desetkotnik, dva- najstkotnik konstruiramo brez težav, pravilnega se- demkotnika pa ne. Mnogi so se ukvarjali s proble- mom, zakaj ne. Matematik Carl Friedrich Gauß (1777–1855) je vložil precej truda v konstrukcijo pra- vilnega 17-kotnika, ki mu je uspela leta 1796. V svo- jem znamenitem delu Disquisitiones arithmeticae je Gauß leta 1801 objavil in dokazal trditev, ki pove, kdaj je mogoče konstruirati pravilni n-kotnik. Če je n = 2r , kjer je r = 2,3,4, . . ., ali če je n zmno- žek različnih Fermatovih praštevil in potence 2r , kjer je r = 0,1,2,3, . . ., potem je mogoče pravilni n-kotnik konstruirati. Omenjena oblika števila n je torej zadostni pogoj za konstrukcijo pravilnega n-kotnika. Gauß je vedel, da je ta pogoj tudi potreben, a dokaza ni objavil. To je storil leta 1837 matematik Pierre-Laurent Wantzel (1814–1848). Čeprav je bilo o Fermatovih številih, ki jih je študi- ral Pierre de Fermat (1601–1665), v Preseku že veliko napisanega, ponovimo: Fermatova števila so števila Fm = 22 m + 1, kjer je m = 0,1,2,3, . . . Če je Fer- matovo število praštevilo, ga imenujemo Fermatovo praštevilo. Seveda ni vsako praštevilo Fermatovo šte- vilo, pa tudi vsako Fermatovo število ni praštevilo, kot vidimo iz prvih nekaj Fermatovih števil: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 537, F5 = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 . Kot zanimivost povejmo, da je bil sam Fermat leta 1640 prepričan, da so vsa njegova števila praštevila. To trditev je zapisal v pismu Marinu Mersennu (1588– 1648) in z njo seznanil tudi druge matematike, kar je zbudilo precejšnje zanimanje za Fermatova šte- vila. Toda Leonhard Euler (1707–1783) je leta 1732 ugotovil, da F5 ni praštevilo, ker je deljivo s 641. Konstruirati je mogoče torej tudi pravilni petnajst- kotnik, pravilni enainpetdesetkotnik in pravilni pet- inosemdesetkotnik, ker je 15 = 3·5, 51 = 3·17, 85 = 5 · 17 in so F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17 različna Ferma ova pr števila. Posvetili se bomo seveda naje ostav n jšemu od teh, pravilnemu petnajstkotn ku. Najprej velja čisto splošno. Ker je mogoče kon- 2 Presek 39 (2011/2012) 5 • slika 1. Kot γn = 360°/n v pravilnem n-kotniku γ n γ n γ n γ n γ n A n —1 A n A 1 S A 2 A 3 A 4 x = (1− 2y − 3y)/3 = (1− 2y)/3−y. Ker morata biti x in y celi števili, mora biti število 1 − 2y 3-kratnik drugega celega števila, denimo z. Tako imamo 1− 2y = 3z. Zato je y = (1− z − 2z)/2 = (1− z)/2− z. Število 1 − z mora biti sodo število, kar pomeni, da mora za neko celo število u veljati zveza 1−z = 2u. Zato je z = 1− 2u, y = u− z = 3u− 1, x = z −y = 2− 5u. Enačba (2) ima torej nešteto rešitev v celih številih, in sicer x = 2− 5u, y = 3u− 1, pri čemer je u poljubno celo število. Za u = 0 do- bimo rešitev x = 2 in y = −1, ki zaradi relacije (1) ustreza γ15 = 2γ5−γ3 oziroma 24◦ = 144◦−120◦. To relacijo, ki bi jo lahko navsezadnje tudi uganili, vza- memo za osnovo konstrukcije pravilnega petnajst- kotnika. Primerna je tudi relacija 12◦ = 72◦ − 60◦. Konstrukcija pravilnega petkotnika Konstrukcija pravilnega šestkotnika, ki je včrtan danemu krogu, nam ne dela težav. Preden pa se lo- timo konstrukcije pravilnega petkotnika, skupaj spo- znajmo njegovo čudovito lastnost: Diagonala pravilnega petkotnika je (1+ √ 5)/2-krat daljša od njegove stranice. V ta namen si oglejmo pravilni petkotnik ABCDE na sliki 2. Vse njegove stranice imajo dolžino a, vse diagonale pa d. Diagonali |AC| in |BD| se sekata v točki M . Iz očitno podobnih trikotnikov MBC in MDA takoj dobimo enačbo a d− a = d a . Po njeni preureditvi pridemo do kvadratne enačbe za neznanko d/a (d/a)2 − (d/a)− 1 = 0 z rešitvama d/a = (1+ √ 5)/2 in d/a = (1− √ 5)/2. Edina smiselna rešitev je prva, iz katere dobimo d = 4 6 m a t e m a t i k a • x = (1− 2y − 3y)/3 = (1− 2y)/3−y. Ker morata biti x in y celi števili, mora biti število 1 − 2y 3-kratnik drugega celega števila, denimo z. Tako imamo 1− 2y = 3z. Zato je y = (1− z − 2z)/2 = (1− z)/2− z. Število 1 − z mora biti sodo število, kar pomeni, da mora za neko celo število u veljati zveza 1−z = 2u. Zato je z = 1− 2u, y = u− z = 3u− 1, x = z −y = 2− 5u. Enačba (2) ima torej nešteto rešitev v celih številih, in sicer x = 2− 5u, y = 3u− 1, pri čemer je u poljubno celo število. Za u = 0 do- bimo rešitev x = 2 in y = −1, ki zaradi relacije (1) ustreza γ15 = 2γ5−γ3 oziroma 24◦ = 144◦−120◦. To relacijo, ki bi jo lahko navsezadnje tudi uganili, vza- memo za osnovo konstrukcije pravilnega petnajst- kotnika. Primerna je tudi relacija 12◦ = 72◦ − 60◦. Konstrukcija pravilnega petkotnika Konstrukcija pravilnega šestkotnika, ki je včrtan danemu krogu, nam ne dela težav. Preden pa se lo- timo konstrukcije pravilnega petkotnika, skupaj spo- znajmo njegovo čudovito lastnost: Diagonala pravilnega petkotnika je (1+ √ 5)/2-krat daljša od njegove stranice. V ta namen si oglejmo pravilni petkotnik ABCDE na sliki 2. Vse njegove stranice imajo dolžino a, vse diagonale pa d. Diagonali |AC| in |BD| se sekata v točki M . Iz očitno podobnih trikotnikov MBC in MDA takoj dobimo enačbo a d− a = d a . Po njeni preureditvi pridemo do kvadratne enačbe za neznanko d/a (d/a)2 − (d/a)− 1 = 0 z rešitvama d/a = (1+ √ 5)/2 in d/a = (1− √ 5)/2. Edina smiselna rešitev je prva, iz katere dobimo d = 4 x = (1− 2y − 3y)/3 = (1− 2y)/3−y. Ker orata biti x in y celi števili, ora biti število 1 − 2y 3-kratnik drugega celega števila, deni o z. Tako i a o 1− 2y = 3z. Zato je y = (1− z − 2z)/2 = (1− z)/2− z. Število 1 − z ora biti sodo število, kar po eni, da ora za neko celo število u veljati zveza 1−z = 2u. Zato je z = 1− 2u, y = u− z = 3u− 1, x = z −y = 2− 5u. Enačba (2) i a torej nešteto rešitev v celih številih, in sicer x = 2− 5u, y = 3u− 1, pri če er je u poljubno celo število. Za u = 0 do- bi o rešitev x = 2 in y = −1, ki zaradi relacije (1) ustreza γ15 = 2γ5−γ3 oziro a 24◦ = 144◦−120◦. To relacijo, ki bi jo lahko navsezadnje tudi uganili, vza- e o za osnovo konstrukcije pravilnega petnajst- kotnika. Pri erna je tudi relacija 12◦ = 72◦ − 60◦. Konstrukcija pravilnega petkotnika Konstrukcija pravilnega šestkotnika, ki je včrtan dane u krogu, na ne dela težav. Preden pa se lo- ti o konstrukcije pravilnega petkotnika, skupaj spo- znaj o njegovo čudovito lastnost: Diagonala pravilnega petkotnika je (1+ √ 5)/2-krat daljša od njegove stranice. V ta na en si oglej o pravilni petkotnik ABCDE na sliki 2. Vse njegove stranice i ajo dolžino a, vse diagonale pa d. Diagonali |AC| in |BD| se sekata v točki M . Iz očitno podobnih trikotnikov MBC in MDA takoj dobi o enačbo a d− a = d a . Po njeni preureditvi pride o do kvadratne enačbe za neznanko d/a (d/a)2 − (d/a)− 1 = 0 z rešitva a d/a = (1+ √ 5)/2 in d/a = (1− √ 5)/2. Edina s iselna rešitev je prva, iz katere dobi o d = 4 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m x = (1− 2y − 3y)/3 = (1− 2y)/3−y. Ker orata biti x in y celi števili, ora biti število 1 − 2y 3-kratnik drugega celega števila, deni o z. Tako i a o 1− 2y = 3z. Zato je y = (1− z − 2z)/2 = (1− z)/2− z. Število 1 − z ora biti sodo število, kar po eni, da ora za neko celo število u veljati zveza 1−z = 2u. Zato je z = 1− 2u, y = u− z = 3u− 1, x = z −y = 2− 5u. Enačba (2) i a torej nešteto rešitev v celih številih, in sicer x = 2− 5u, y = 3u− 1, pri če er je u poljubno celo število. Za u = 0 do- bi o rešitev x = 2 in y = −1, ki zaradi relacije (1) ustreza γ15 = 2γ5−γ3 oziro a 24◦ = 144◦−120◦. To relacijo, ki bi jo lahko navsezadnje tudi uganili, vza- e o za osnovo konstrukcije pravilnega petnajst- kotnika. Pri erna je tudi relacija 12◦ = 72◦ − 60◦. Konstrukcija pravilnega petkotnika Konstrukcija pravilnega šestkotnika, ki je včrtan dane u krogu, na ne dela težav. Preden pa se lo- ti o konstrukcije pravilnega petkotnika, skupaj spo- znaj o njegovo čudovito lastnost: Diagonala pravilnega petkotnika je (1+ √ 5)/2-krat daljša od njegove stranice. V ta na en si oglej o pravilni petkotnik ABCDE na sliki 2. Vse njegove stranice i ajo dolžino a, vse diagonale pa d. Diagonali |AC| in |BD| se sekata v točki M . Iz očitno podobnih trikotnikov MBC in MDA takoj dobi o enačbo a d− a = d a . Po njeni preureditvi pride o do kvadratne enačbe za neznanko d/a (d/a)2 − (d/a)− 1 = 0 z rešitva a d/a = (1+ √ 5)/2 in d/a = (1− √ 5)/2. Edina s iselna rešitev je prva, iz katere dobi o d = 4 x = (1− 2y − 3y)/3 = (1− 2y)/3−y. Ker morata biti x in y celi števili, mora biti število 1 − 2y 3-kratnik drugega celega števila, denimo z. Tako imamo 1− 2y = 3z. Zato je y = (1− z − 2z)/2 = (1− z)/2− z. Število 1 − z mora biti sodo število, kar pomeni, da mora za neko celo število u veljati zveza 1−z = 2u. Zato je z = 1− 2u, y = u− z = 3u− 1, x = z −y = 2− 5u. Enačba (2) ima torej nešteto rešitev v celih številih, in sicer x = 2− 5u, y = 3u− 1, pri čemer je u poljubno celo število. Za u = 0 do- bimo rešitev x = 2 in y = −1, ki zaradi relacije (1) ustreza γ15 = 2γ5−γ3 oziroma 24◦ = 144◦−120◦. To relacijo, ki bi jo lahko navsezadnje tudi uganili, vza- memo za osnovo konstrukcije pravilnega petnajst- kotnika. Primerna je tudi relacija 12◦ = 72◦ − 60◦. Konstrukcija pravilnega petkotnika Konstrukcija pravilnega šestkotnika, ki je včrtan danemu krogu, nam ne dela težav. Preden pa se lo- timo konstrukcije pravilnega petkotnika, skupaj spo- znajmo njegovo čudovito lastnost: Diagonala pravilnega petkotnika je (1+ √ 5)/2-krat daljša od njegove stranice. V ta namen si oglejmo pravilni petkotnik ABCDE na sliki 2. Vse njegove stranice imajo dolžino a, vse diagonale pa d. Diagonali |AC| in |BD| se sekata v točki M . Iz očitno podobnih trikotnikov MBC in MDA takoj dobimo enačbo a d− a = d a . Po njeni preureditvi pridemo do kvadratne enačbe za neznanko d/a (d/a)2 − (d/a)− 1 = 0 z rešitvama d/a = (1+ √ 5)/2 in d/a = (1− √ 5)/2. Edina smiselna rešitev je prva, iz katere dobimo d = 4 a(1+ √ 5)/2. Druga rešitev je negativna in tu ne pride v poštev. S tem smo osnovno lastnost pravilnega pet- kotnika dokazali. Število τ = (1+ √ 5)/2 je poleg Pi- tagorovega izreka eden od biserov matematike in se pojavlja še marsikje. Imenujemo ga zlato razmerje. Njegova osnovna lastnost je τ2 = τ + 1. V pravilnem petkotniku je torej diagonala d ravno τ-krat daljša od stranice a, to se pravi d = τa. Drugače pove- dano, diagonali v pravilnem petkotniku se sekata v zlatem razmerju. Slika2 Sedaj bomo izrazili stranico a pravilnega petko- tnika s polmerom R, kateremu je včrtan. Višina na stranico |AB| enakokrakega trikotnika ABS naj bo v . Potem je višina enakokrakega trikotnika ABD na stranico |AB| enaka R+v . Sedaj dvakrat uporabimo Pitagorov izrek (slika 3): (R + v)2 + (a/2)2 = d2, v2 + (a/2)2 = R2. (3) Z upoštevanjem zveze d = τa hitro dobimo iz prve enačbe v (3) R + v = a √ 5+ 2 √ 5/2, iz druge pa R2 − v2 = (R − v)(R + v) = (a/2)2. Torej je po krajšanju (R − v) √ 5+ 2 √ 5 = a/2 in na razpolago imamo enačbi R + v = a 2 · √ 5+ 2 √ 5, R − v = a 2 · (1/ √ 5+ 2 √ 5), ki ju seštejemo in dobimo povezavo med R in a: 2R = a 2 · ( √ 5+ 2 √ 5+ 1/ √ 5+ 2 √ 5) = a(3+ √ 5)/ √ 5+ 2 √ 5. Od tod zlahka izrazimo a in dobimo a = 2R √ 5+ 2 √ 5/(3+ √ 5) = (R/2) √ 5+ 2 √ 5(3− √ 5). Nazadnje je pred nami iskani rezultat: a = (R/2) √ 10− 2 √ 5. 5 a(1+ √ 5)/2. Druga rešitev je nega ivna i tu ne pride v poštev. S tem smo osnovno lastnost pravilnega pet- kotnika dokazali. Število τ = (1+ √ 5)/2 je poleg Pi- tagorovega izreka eden od biserov matematike in se pojavlja še marsikje. Imenujemo ga zlato razmerje. Njegova osnovna lastnost je τ2 = τ + 1. V pravilnem petk tniku je torej diagonala d ravno τ-krat daljša od stranice a, to se pravi d = τa. Drugače pove- dano, diagonali v pravilnem petkotniku se sekata v zlatem razmerju. Slika2 Sedaj bomo izrazili stranico a pravilnega petko- tnika s polmerom R, kateremu je včrtan. Višina na stranico |AB| enakokrakega trikotnika ABS naj bo v . Potem je višina enakokrakega trikotnika ABD na stranico |AB| enaka R+v . Sedaj dvakrat uporabimo Pitagorov izrek (slika 3): (R + v)2 + (a/2)2 = d2, v2 + (a/2)2 = R2. (3) Z upoštevanjem zveze d = τa hitro dobimo iz prve enačbe v (3) R + v = a √ 5+ 2 √ 5/2, iz druge pa R2 − v2 = (R − v)(R + v) = (a/2)2. Torej je po krajšanju (R − v) √ 5+ 2 √ 5 = a/2 in na razpolago imamo enačbi R + v = a 2 · √ 5+ 2 √ 5, R − v = a 2 · (1/ √ 5+ 2 √ 5), ki ju seštejemo in dobimo povezavo med R in a: 2R = a 2 · ( √ 5+ 2 √ 5+ 1/ √ 5+ 2 √ 5) = a(3+ √ 5)/ √ 5+ 2 √ 5. Od tod zlahka izrazimo a in dobimo a = 2R √ 5+ 2 √ 5/(3+ √ 5) = (R/2) √ 5+ 2 √ 5(3− √ 5). Nazadnje je pred nami iskani rezultat: a = (R/2) √ 10− 2 √ 5. 5 cij r ilnega petkotnika slika 2. Presek dveh diagonal v pravilnem petkotniku presek 39 (2011/2012) 5 A B E C D M d 7 m a t e m a t i k a slika 3. Stranica, diagonala in polmer očrtanega kroga pravilnega petkotnika slika 4. Konstrukcija pravilnega petkotnika. • a(1+ √ 5)/2. Druga rešitev je negativna in tu ne pride v poštev. S tem smo osnovno lastnost pravilnega pet- kotnika dokazali. Število τ = (1+ √ 5)/2 je poleg Pi- tagorovega izreka eden od biserov matematike in se pojavlja še marsikje. Imenujemo ga zlato razmerje. Njegova osnovna lastnost je τ2 = τ + 1. V pravilnem petkotniku je torej diagonala d ravno τ-krat daljša od stranice a, to se pravi d = τa. Drugače pove- dano, diagonali v pravilnem petkotniku se sekata v zlatem razmerju. Slika2 Sedaj bomo izrazili stranico a pravilnega petko- tnika s polmerom R, kateremu je včrtan. Višina na stranico |AB| enakokrakega trikotnika ABS naj bo v . Potem je višina enakokrakega trikotnika ABD na stranico |AB| enaka R+v . Sedaj dvakrat uporabimo Pitagorov izrek (slika 3): (R + v)2 + (a/2)2 = d2, v2 + (a/2)2 = R2. (3) Z upoštevanjem zveze d = τa hitro dobimo iz prve enačbe v (3) R + v = a √ 5+ 2 √ 5/2, iz druge pa R2 − v2 = (R − v)(R + v) = (a/2)2. Torej je po krajšanju (R − v) √ 5+ 2 √ 5 = a/2 in na razpolago imamo enačbi R + v = a 2 · √ 5+ 2 √ 5, R − v = a 2 · (1/ √ 5+ 2 √ 5), ki ju seštejemo in dobimo povezavo med R in a: 2R = a 2 · ( √ 5+ 2 √ 5+ 1/ √ 5+ 2 √ 5) = a(3+ √ 5)/ √ 5+ 2 √ 5. Od tod zlahka izrazimo a in dobimo a = 2R √ 5+ 2 √ 5/(3+ √ 5) = (R/2) √ 5+ 2 √ 5(3− √ 5). Nazadnje je pred nami iskani rezultat: a = (R/2) √ 10− 2 √ 5. 5 a(1+ √ 5)/2. Druga rešitev je negativna in tu ne pride v poštev. S tem smo osnovno lastnost pravilnega pet- kotnika dokazali. Število τ = (1+ √ 5)/2 je poleg Pi- tagorovega izreka eden od biserov matematike in se pojavlja še marsikje. Imenujemo ga zlato razmerje. Njegova osnovna lastnost je τ2 = τ + 1. V pravilnem petkotniku je torej diagonala d ravno τ-krat daljša od stranice a, to se pravi d = τa. Drugače pove- dano, diagonali v pravilnem petkotniku se sekata v zlatem razmerju. Slika2 Sedaj bomo izrazili stranico a pravilnega petko- tnika s polmerom R, kateremu je včrtan. Višina na stranico |AB| enakokrakega trikotnika ABS naj bo v . Potem je višina enakokrakega trikotnika ABD na stranico |AB| enaka R+v . Sedaj dvakrat uporabimo Pitagorov izrek (slika 3): (R + v)2 + (a/2)2 = d2, v2 + (a/2)2 = R2. (3) Z upoštevanjem zveze d = τa hitro dobimo iz prve enačbe v (3) R + v = a √ 5+ 2 √ 5/2, iz druge pa R2 − v2 = (R − v)(R + v) = (a/2)2. Torej je po krajšanju (R − v) √ 5+ 2 √ 5 = a/2 in na razpolago imamo enačbi R + v = a 2 · √ 5+ 2 √ 5, R − v = a 2 · (1/ √ 5+ 2 √ 5), ki ju seštejemo in dobimo povezavo med R in a: 2R = a 2 · ( √ 5+ 2 √ 5+ 1/ √ 5+ 2 √ 5) = a(3+ √ 5)/ √ 5+ 2 √ 5. Od tod zlahka izrazimo a in dobimo a = 2R √ 5+ 2 √ 5/(3+ √ 5) = (R/2) √ 5+ 2 √ 5(3− √ 5). Nazadnje je pred nami iskani rezultat: a = (R/2) √ 10− 2 √ 5. 5 a(1+ √ 5)/2. Druga rešitev je negativna in tu ne pride v poštev. S tem smo osnovno lastnost pravilnega pet- kotnika dokazali. Število τ = (1+ √ 5)/2 je poleg Pi- tagorovega izreka eden od biserov matematike in se pojavlja še marsikje. Imenujemo ga zlato razmerje. Njegova osnovna lastnost je τ2 = τ + 1. V pravilnem petkotniku je torej diagonala d ravno τ-krat daljša od stranice a, to se pravi d = τa. Drugače pove- dano, diagonali v pravilnem petkotniku se sekata v zlatem razmerju. Slika2 Sedaj bomo izrazili stranico a pravilnega petko- tnika s pol erom R, kateremu je včrtan. Višina na stranico |AB| enakokrakega trikotnika ABS naj bo v . Potem je višina enakokrakega trikotnika ABD na stranico |AB| enaka R+v . Sedaj dvakrat uporabimo Pitagorov izrek (slika 3): (R + v)2 + (a/2)2 = d2, v2 + (a/2)2 = R2. (3) Z upoštevanjem zveze d = τa hitro dobimo iz prve enačbe v (3) R + v = a √ 5+ 2 √ 5/2, iz druge pa R2 − v2 = (R − v)(R + v) = (a/2)2. Torej je po krajšanju (R − v) √ 5+ 2 √ 5 = a/2 in na razpolago imamo enačbi R + v = a 2 · √ 5+ 2 √ 5, R − v = a 2 · (1/ √ 5+ 2 √ 5), ki ju seštejemo in dobimo povezavo med R in a: 2R = a 2 · ( √ 5+ 2 √ 5+ 1/ √ 5+ 2 √ 5) = a(3+ √ 5)/ √ 5+ 2 √ 5. Od tod zlahka izrazimo a in dobimo a = 2R √ 5+ 2 √ 5/(3+ √ 5) = (R/2) √ 5+ 2 √ 5(3− √ 5). Nazadnje je pred nami iskani rezultat: a = (R/2) √ 10− 2 √ 5. 5 a(1+ √ 5)/2. Druga rešitev je negativna in tu ne pride v poštev. S tem smo osnovno lastnost pravilnega pet- kotnika dokazali. Število τ = (1+ √ 5)/2 je poleg Pi- tagorovega izreka eden od biserov matematike in se pojavlja še marsikje. Imenujemo ga zlato razmerje. Njegova osnovna lastnost je τ2 = τ + 1. V pravilnem petkotniku je torej diagonala d ravno τ-krat daljša od stranice a, to se pravi d = τ . Drugače pove- dano, diagonali v pravilnem petkotniku se sekata v zlatem razmerju. Slika2 Sedaj bomo izrazili stranico a pravilnega petko- tnika s pol erom R, kateremu je včrtan. Višina na stranico |AB| enakokrakega trikotnika ABS naj bo v . Potem je višina enakokrakega trikotnika ABD na stranico |AB| enaka R+v . Sedaj dvakrat uporabimo Pitagorov izrek (slika 3): (R + v)2 + (a/2)2 = d2, v2 + (a/2)2 = R2. (3) Z upoštevanjem zveze d = τa hitro dobimo iz prve enačbe v (3) R + v = a √ 5+ 2 √ 5/2, iz druge pa R2 − v2 = (R − v)(R + v) = (a/2)2. Torej je po krajšanju (R − v) √ 5+ 2 √ 5 = a/2 in na razpolago imamo enačbi R + v = a 2 · √ 5+ 2 √ 5, R − v = a 2 · (1/ √ 5+ 2 √ 5), ki ju seštejemo in dobimo povezavo med R in a: 2R = a 2 · ( √ 5+ 2 √ 5+ 1/ √ 5+ 2 √ 5) = a(3+ √ 5)/ √ 5+ 2 √ 5. Od tod zlahka izrazimo a in dobimo a = 2R √ 5+ 2 √ 5/(3+ √ 5) = (R/2) √ 5+ 2 √ 5(3− √ 5). Nazadnje je pred nami iskani rezultat: a = (R/2) √ 10− 2 √ 5. 5 . r r it j ti i t ri t . t l t t r il t- t i li. t il j l i- t r i r i r t ti i j lj r i j . I j l t j . j l t t j 2 . r il t t i j t r j i l r - r t lj tr i , t r i . r - , i li r il t t i t l t r rj . li j i r ili tr i r il t - t i l r , r j rt . i i tr i | | r tri t i j . t j i i r tri t i tr i | | . j r t r i it r i r ( li ): 2 2 2, 2 2 2. t j itr i i r ( ) , i r 2 2 2. r j j r j j i r l i i , · , i j t j i i i : · . t l i r i i i . j j r i i i r lt t: . a(1+ √ 5)/2. Druga rešitev je negativna in tu ne pride v poštev. S tem smo osnovno lastnost pravilnega pet- kotnika dokazali. Števil τ = (1+ √ 5)/2 je poleg Pi- tagorovega izreka eden od biserov matematike in se pojavlja še marsikje. Imenujem ga zlato razmerje. Njegova osnovna lastnost je τ2 = τ + 1. V pravilnem petk tniku je torej diagonala d ravno τ-krat daljša od stranice a, to se pravi d = τ . Drugače pove- dano, diagonali v pravilnem petkotniku se sekata v zlatem razmerju. Slika2 Sedaj bomo izrazili stranico a pravilnega petko- tnika s pol erom R, kateremu je včrtan. Višina na stranico |AB| enakokrakega trikotnika ABS naj bo v . Potem je viši a enakokrakega trikotnika ABD na stranico |AB| enaka R+v . Sedaj dvakrat uporabimo Pitagor v izrek (slika 3): (R + v)2 + (a/2)2 = d2, v2 + (a/2)2 = R2. (3) Z upoštevanjem zveze d = τa hitro dobimo iz prve enačbe v (3) R + v = a √ 5+ 2 √ 5/2, iz druge pa R2 − v2 = (R − v)(R + v) = (a/2)2. Torej je po krajšanju (R − v) √ 5+ 2 √ 5 = a/2 in na razpolago imamo enačbi R + v = a 2 · √ 5+ 2 √ 5, R − v = a 2 · (1/ √ 5+ 2 √ 5), ki ju seštejemo in dobimo povezavo med R in a: 2R = a 2 · ( √ 5+ 2 √ 5+ 1/ √ 5+ 2 √ 5) = a(3+ √ 5)/ √ 5+ 2 √ 5. Od tod zlahka izrazimo a in dobimo a = 2R √ 5+ 2 √ 5/(3+ √ 5) = (R/2) √ 5+ 2 √ 5(3− √ 5). Nazadnje je pred nami iskani rezultat: a = (R/2) √ 10− 2 √ 5. 5 a(1+ √ 5)/2. Druga rešitev je negativna in tu ne pride v poštev. S tem smo osnovno lastnost pravilnega pet- kotnika dokazali. Št v lo τ = (1+ √ 5)/2 je poleg Pi- tag rovega izreka ede d biserov matematike in se p javlja še marsikje. Imenujemo ga zlato razmerje. Njegova osnovna lastnost je τ2 = τ + 1. V pravil em etkotniku je tore diago ala d ravno τ-k t daljša od stranice a, to se pravi d = τ . Drugače pove- dano, d agonali v pravilnem petkot iku se sek ta v zlatem razmerju. Slika2 Sedaj bomo izrazili stranico a pravilnega petko- tnika s pol erom R, kateremu je včrtan. Višina na stranico |AB| enakokrakega trikotnika ABS naj bo v . Potem je višina enakokrakega trikot ika ABD | | enaka R+v . Sedaj dva rat uporabim Pitagorov izrek (slika 3): (R + v)2 + (a/2)2 = d2, v2 + (a/2)2 = R2. (3) Z upoštevanjem zveze = τa hitro dobimo iz prve enačbe v (3) R + v = a √ 5+ 2 √ 5/2, iz druge pa R2 − v2 = (R − v)(R + v) = (a/2)2. Torej je po krajšanju (R − v) √ 5+ 2 √ 5 = a/2 in na razpolago imamo enačbi R + v = a 2 · √ 5+ 2 √ 5, R − v = a 2 · (1/ √ 5+ 2 √ 5), ki ju seštejemo in dobimo povezavo med R in a: 2R = a 2 · ( √ 5+ 2 √ 5+ 1/ √ 5+ 2 √ 5) = a(3+ √ 5)/ √ 5+ 2 √ 5. Od tod zlahka izrazimo a in dobimo a = 2R √ 5+ 2 √ 5/(3+ √ 5) = (R/2) √ 5+ 2 √ 5(3− √ 5). Nazadnje je pred nami iskani rezultat: a = (R/2) √ 10− 2 √ 5. 5 . . . . . , . , . , . . . : : : a(1+ √ 5)/2. Druga rešitev je negativna in tu ne pride v poštev. S tem smo osno no lastnost pravilnega pet- kotnika dokazali. Št vil τ = (1+ √ 5)/2 je poleg Pi- tag rovega izreka ede d biserov matematike in se p javlja še marsikje. Imenujem ga zlato razmerje. Njegov osnovna lastnost je τ2 = τ + 1. V pravil em etk tniku je tore diago ala d ravno τ-k t daljša od stranice a, to se pravi d = τ . Drugače pove- dano, diagonali v pravilnem petkot iku se s k ta v zlatem r zmerju. Slika2 Sedaj bomo izrazili stranico a pravilnega petko- tnika s pol erom R, ka eremu je včrtan. Višina na stranico |AB| enakokr k ga trikotnik ABS naj bo v . Potem je viši a enakokr kega trikot ika ABD i | | enaka R+v . Sedaj dva rat uporabim Pit gor v izrek (slika 3): (R + v)2 + (a/2)2 = d2, v2 + (a/2)2 = R2. (3) Z upoštevanjem zveze = τa hitro dobimo iz prve enačbe v (3) R + v = a √ 5+ 2 √ 5/2, iz druge pa R2 − v2 = (R − v)(R + v) = (a/2)2. Torej je po krajšanju (R − v) √ 5+ 2 √ 5 = a/2 in na razpolago imamo enačbi R + v = a 2 · √ 5+ 2 √ 5, R − v = a 2 · (1/ √ 5+ 2 √ 5), ki ju seštejemo in dobimo povezavo med R in a: 2R = a 2 · ( √ 5+ 2 √ 5+ 1/ √ 5+ 2 √ 5) = a(3+ √ 5)/ √ 5+ 2 √ 5. Od tod zlahka izrazimo a in dobimo a = 2R √ 5+ 2 √ 5/(3+ √ 5) = (R/2) √ 5+ 2 √ 5(3− √ 5). Nazadnje je pred nami iskani rezultat: a = (R/2) √ 10− 2 √ 5. 5 . v . o . o . a . o , . , e a . , t . a e a . a . a o : : : Slika3 Pomaga nam konstruirati pravilni petkotnik. Za- pišimo ga v enakovredeni obliki, v kateri spoznamo Pitagorov izrek: a2 = R2 + ( √ 5R/2− R/2)2. (4) Ker znamo konstruirati pravokotni trikotnik s kate- tama R, √ 5R/2 − R/2 in hipotenuzo a, znamo kon- truirati tudi pravilni petkotnik, včrtan krogu K pol- mera R. Naj ima K središče v točki S. Načrtamo premer |AB| kroga, nato središče C polmera |SA| in polmer |SD|, pravokotno na premer |AB|, na katerem po- tem konstruiramo točko E, ki je oddaljena od C za toliko, kolikor je D oddaljena od C (slika 4). Očitno je |CD| = |CE| = √ 5R/2 in |SE| = √ 5R/2 − R/2, zato je po (4) |DE| ravno stranica a5 = a iskanega pravilnega petkotnika. S šestilom lahko določimo na K vsa njegova oglišča. S tem smo dobili tudi <)DSF = 72◦. Slika4 Konstrukcija pravilnega petnajstkotnika Za konstrukcijo pravilnega petnajstkotnika (slika 5) je treba samo nekoliko nadaljevati konstrukcijo pravilnega petkotnika s slike 4. Če je D eno oglišče pravilnega petkotnika, potem brez težav konstrui- ramo naslednji oglišči, F in G. Očitno je <)DSG = 144◦. Nato vzamemo D za eno od oglišč krogu K včrtanega pravilnega šestkotnika. Konstruiramo še njegovi oglišči H in I. Seveda je <)DSI = 120◦ in zato <)ISG = 24◦. Dolžina daljice |IG| je potem stra- nica a15 iskanega pravilnega petnajstkotnika. S še- stilom nazadnje z lahkoto dobimo vsa preostala ogli- šča pravilnega petnajstkotnika. Slika5 Lahko pa uporabimo tudi <)HSF = 12◦. Tedaj pre- zrcalimo točko F prek daljice |SH| in dobimo točko J, ki je tudi oglišče pravilnega petnajstkotnika. Oči- tno je |JF| njegova stranica. 6 Slika3 Pomaga nam konstruirati pravilni petkotnik. Za- pišimo ga v enakovredeni obliki, v kateri spoznamo Pitagorov izrek: a2 = R2 + ( √ 5R/2− R/2)2. (4) Ker znamo konstruirati pravokotni trikotnik s kate- tama R, √ 5R/2 − R/2 in hipotenuzo a, znamo kon- struirati tudi pravilni petkotnik, včrtan krogu K pol- mera R. Naj ima K središče v točki S. Načrtamo premer |AB| kroga, nato središče C polmera |SA| in polmer |SD|, pravokotno na premer |AB|, na katerem po- tem konstruiramo točko E, ki je oddaljena od C za toliko, kolikor je D oddaljena od C (slika 4). Očitno je |CD| = |CE| = √ 5R/2 in |SE| = √ 5R/2 − R/2, zato je po (4) |DE| ravno stranica a5 = a iskanega pravilnega petkotnika. S šestilom lahko določimo na K vsa njegova oglišča. S tem smo dobili tudi <)DSF = 72◦. Slika4 Konstrukcija pravilnega petnajstkotnika Za konstrukcijo pravilnega petnajstkotnika (slika 5) je treba samo nekoliko nadaljevati konstrukcijo pravilnega petkotnika s slike 4. Če je D eno oglišče pravilnega petkotnika, potem brez težav konstrui- ramo naslednji oglišči, F in G. Očitno je <)DSG = 144◦. Nato vzamemo D za eno od oglišč krogu K včrtanega pravilnega šestkotnika. Konstruiramo še njegovi oglišči H in I. Seveda je <)DSI = 120◦ in zato <)ISG = 24◦. Dolžina daljice |IG| je potem stra- nica a15 iskanega pravilnega petnajstkotnika. S še- stilom nazadnje z lahkoto dobimo vsa preostala ogli- šča pravilnega petnajstkotnika. Slika5 Lahko pa uporabimo tudi <)HSF = 12◦. Tedaj pre- zrcalimo točko F prek daljice |SH| in dobimo točko J, ki je tudi oglišče pravilnega petnajstkotnika. Oči- tno je |JF| njegova stranica. 6 li tr ir ti r il i t t i . - i i r i li i, t ri it r i r : 2 2 2. r tr ir ti r t i tri t i t - t , i i t , - tr ir ti t i r il i t t i , rt r l- r . j i r i t i . rt r r | | r , t r i l r | | i l r | |, r t r r | |, t r - t tr ir t , i j lj t li , li r j lj ( li ). it j | | | | i | | , t j ( ) | | r tr i 5 i r il t t i . til l l i j li . t ili t i ◦. li t ij il t j t t i tr ij r il t j t t i ( li ) j tr li lj ti tr ij r il t t i li . j li r il t t i , t r t tr i- r l ji li i, i . it j ◦. t li r rt r il t t i . tr ir j i li i i I. j I ◦ i t I ◦. l i lji |I | j t tr - i 15 i r il t j t t i . - til j l t i r t l li- r il t j t t i . li r i t i ◦. j r - r li t r lji | | i i t , i j t i li r il t j t t i . i- t j | | j tr i . Presek 39 (2011/2012) 5 A B R R S E C D d v a F B G D A C K S R a 5 a 5 R/2 E 8 m a t e m a t i k a gregor dolinar slika 5. Konstrukcija pravilnega petnajstkotnika. Slika3 Pomaga nam konstruirati pravilni petkotnik. Za- pišimo ga v enakovredeni obliki, v kateri spoznamo Pitagorov izrek: a2 = R2 + ( √ 5R/2− R/2)2. (4) Ker znamo konstruirati pravokotni trikotnik s kate- tama R, √ 5R/2 − R/2 in hipotenuzo a, znamo kon- struirati tudi pravilni petkotnik, včrtan krogu K pol- mera R. Naj ima K središče v točki S. Načrtamo premer |AB| kroga, nato središče C polmera |SA| in polmer |SD|, pravokotno na premer |AB|, na katerem po- tem konstruiramo točko E, ki je oddaljena od C za toliko, kolikor je D oddaljena od C (slika 4). Očitno je |CD| = |CE| = √ 5R/2 in |SE| = √ 5R/2 − R/2, zato je po (4) |DE| ravno stranica a5 = a iskanega pravilnega petkotnika. S šestilom lahko določimo na K vsa njegova oglišča. S tem smo dobili tudi <)DSF = 72◦. Slika4 Konstrukcija pravilnega petnajstkotnika Za konstrukcijo pravilnega petnajstkotnika (slika 5) je treba samo nekoliko nadaljevati konstrukcijo pravilnega petkotnika s slike 4. Če je D eno oglišče pravilnega petkotnika, potem brez težav konstrui- ramo naslednji oglišči, F in G. Očitno je <)DSG = 144◦. Nato vzamemo D za eno od oglišč krogu K včrtanega pravilnega šestkotnika. Konstruiramo še njegovi oglišči H in I. Seveda je <)DSI = 120◦ in zato <)ISG = 24◦. Dolžina daljice |IG| je potem stra- nica a15 iskanega pravilnega petnajstkotnika. S še- stilom nazadnje z lahkoto dobimo vsa preostala ogli- šča pravilnega petnajstkotnika. Slika5 Lahko pa uporabimo tudi <)HSF = 12◦. Tedaj pre- zrcalimo točko F prek daljice |SH| in dobimo točko J, ki je tudi oglišče pravilnega petnajstkotnika. Oči- tno je |JF| njegova stranica. 6 Slika3 Poma a nam konstruirati pravilni petkotnik. Za- pišimo ga v enakovredeni obliki, v kateri spoznamo Pitagorov izrek: a2 = R2 + ( √ 5R/2− R/2)2. (4) Ker znamo konstruirati pravokotni trikotnik s kate- tama R, √ 5R/2 − R/2 in hipotenuzo a, znamo kon- struirati tudi pravilni petkotnik, včrtan krogu K pol- mera R. Naj ima K središče v točki S. Načrtamo premer |AB| kroga, nato središče C polmera |SA| in polmer |SD|, pravokotno na premer |AB|, na aterem po- tem konstruiramo točko E, ki je oddaljena od C za toliko, kolikor je D oddaljena od C (slika 4). Očitno je |CD| = |CE| = √ 5R/2 in |SE| = √ 5R/2 − R/2, zato je po (4) |DE| ravno stranica a5 = a iskanega pravilnega petkotnika. S šestilom lahko določimo a K vsa njegova oglišča. S tem smo dobili tudi <)DSF = 72◦. Slika4 Konstrukcija pravilnega petnajstkotnika Z nstr kcijo pravilnega petnajstkotnika (slika 5) je treba samo nekoliko nadaljevati konstruk ij pravilnega petkotnika s slike 4. Če je D e o ogliš e pravilnega petk tnika, potem brez težav konstrui- ramo naslednji oglišči, F in G. Očitno je <)DSG = 144◦. Nato vzamemo D za eno od oglišč krogu K včrtanega pravilnega šestkotnika. Konstruiramo še njegovi oglišči H in I. Seveda je <)DSI = 120◦ in zato <)ISG = 24◦. Dolžina daljice |IG| je potem stra- nica a15 iskanega pravilnega petnajstkotnika. S še- stilom nazadnje z lahkoto dobimo vsa preostala ogli- šča pravilnega petnajstkotnika. Slika5 Lahko pa uporabimo tudi <)HSF = 12◦. Tedaj pre- zrcalimo točko F prek daljice |SH| in dobimo točko J, ki je tudi oglišče pravilnega petnajstkotnika. Oči- tno je |JF| njegova stranica. 6 j ilnega petnajstkotnika• Lani je Mednarodna matematična olimpijada (MMO) potekala od 12. do 24. julija v Amsterdamu na Nizozemskem. S pripravami dijakov na MMO začnemo vsako leto že veliko prej, in sicer tradici- onalno takoj na začetku šolskega leta. Od 6. do 8. septembra 2010 smo na Fakulteto za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani povabili 22 dijakov, ki so poslušali naslednja predavanja: Teorija šte- vil (deljivost), Geometrija (skladnost, podobnost), Barvanja, Dirichletov princip. Naslednje strnjene priprave so potekale od 24. od 28. januarja 2011. Pripravili smo naslednja predavanja: Geometrija (Cevov in Menelajev izrek), Teorija števil (kongru- ence), Bijekcije, Neenakosti, Teorija grafov. V šolskem letu 2010/2011 smo organizirali še 14 predavanj: eno predavanje v oktobru 2010, pet v no- vembru 2010, dve v decembru 2010, po eno januarja 2011, marca in aprila 2011 ter tri predavanja maja 2011. Olimpijska ekipa je bila izbrana na podlagi rezul- tatov štirih izbirnih testov (98 točk) in rezultatov dr- žavnega tekmovanja (28 točk). Prvi test v decembru je pisalo 26 dijakov, drugi in tretji test, ki sta bila v februarju, je pisalo 24 dijakov, zadnji test v marcu pa je pisalo 22 dijakov. Državnega tekmovanja v aprilu se je udeležilo 153 dijakov. V slovensko olim- pijsko ekipo so se uvrstili: Nik Jazbinšek, Matjaž Leo- nardis in Veno Mramor z Gimnazije Bežigrad ter Aleš Omerzel, Mihaela Pušnik in Neža Žager-Korenjak s I. gimnazije v Celju. Dijake sva na MMO spremljala Gregor Dolinar in Jure Vogrinc. Pot na olimpijado je dijake, ki jih je spremljal Jure Vogrinc, vodila prek Švice, kjer so ime- li skupaj s švicarsko ekipo še zadnje priprave. Le-te so potekale na prestižni univerzi ETH v Zurichu. Nekaj dni pred prihodom ekip na MMO v Amster- dam smo se predstavniki iz 101 države zbrali v majh- nem kraju blizu Eindhovna in izbirali naloge za lan- sko MMO. Po dolgem času sta bili med šestimi izbra- nimi nalogami dve nalogi s področja kombinatorike in samo ena naloga s področja geometrije. Odločitev je bila sprejeta z zelo tesno večino in je za marsikoga pomenila veliko razočaranje. V času pred samim reševanjem nalog je imel ve- liko dela tudi Posvetovalni odbor MMO, v katerega sem bil izvoljen tudi Gregor Dolinar iz Slovenije. Ker je Google za organizacijo MMO v prihodnjih petih le- tih doniral milijon evrov, je moral odbor pri Gospo- darski zbornici Nizozemske ustanoviti posebno fun- dacijo, ki bo upravljala z omenjenim denarjem. Po- leg tega so bile lani po nekaj letih negotovosti in po- manjkanja kandidatov za organiziranje prihodnjih MMO (stroški organizacije so trenutno okrog 2 mili- jona evrov) izbrane gostiteljice MMO za leta od 2013 do 2015. 2 Lani je Mednarodna matematična olimpijada (MMO) potekala od 12. do 24. julija v Amsterdamu na Nizozemskem. S pripravami dijakov na MMO začnemo vsako leto že veliko prej, in sicer tradici- onalno takoj na začetku šolskega leta. Od 6. do 8. septembra 2010 smo na Fakulteto za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani povabili 22 dijakov, ki so poslušali naslednja predavanja: Teorija šte- vil (deljivost), Geometrija (skladnost, podobnost), Barvanja, Dirichletov princip. Naslednje strnjene priprave so potekale od 24. od 28. januarja 2011. Pripravili smo naslednja predavanja: Geometrija (Cevov in Menelajev izrek), Teorija števil (kongru- ence), Bijekcije, Neenakosti, Teorija grafov. V šolskem letu 2010/2011 smo organizirali še 14 predavanj: eno predavanje v oktobru 2010, pet v no- vembru 2010, dve v decembru 2010, po eno januarja 2011, marca in aprila 2011 ter tri predavanja maja 2011. Olimpijska ekipa je bila izbrana na podlagi rezul- tatov štirih izbirnih testov (98 točk) in rezultatov dr- žavnega tekmovanja (28 točk). Prvi test v decembru je pisalo 26 dijakov, drugi in tretji test, ki sta bila v februarju, je pisalo 24 dijakov, zadnji test v marcu pa je pisalo 22 dijakov. Državnega tekmovanja v aprilu se je udeležilo 153 dijakov. V slovensko olim- pijsko ekipo so se uvrstili: Nik Jazbinšek, Matjaž Leo- nardis in Veno Mramor z Gimnazije Bežigrad ter Aleš Omerzel, Mihaela Pušnik in Neža Žager-Korenjak s I. gimnazije v Celju. Dijake sva na MMO spremljala Gregor Dolinar in Jure Vogrinc. Pot na olimpijado je dijake, ki jih je spremljal Jure Vogrinc, vodila prek Švice, kjer so ime- li skupaj s švicarsko ekipo še zadnje priprave. Le-te so potekale na prestižni univerzi ETH v Zurichu. Nekaj dni pred prihodom ekip na MMO v Amster- dam smo se predstavniki iz 101 države zbrali v majh- nem kraju blizu Eindhovna in izbirali naloge za lan- sko MMO. Po dolgem času sta bili med šestimi izbra- nimi nalogami dve nalogi s področja kombinatorike in samo ena naloga s področja geometrije. Odločitev je bila sprejeta z zelo tesno večino in je za marsikoga pomenila veliko razočaranje. V času pred samim reševanjem nalog je imel ve- liko dela tudi Posvetovalni odbor MMO, v katerega sem bil izvoljen tudi Gregor Dolinar iz Slovenije. Ker je Google za organizacijo MMO v prihodnjih petih le- tih doniral milijon evrov, je moral odbor pri Gospo- darski zbornici Nizozemske ustanoviti posebno fun- dacijo, ki bo upravljala z omenjenim denarjem. Po- leg tega so bile lani po nekaj letih negotovosti in po- manjkanja kandidatov za organiziranje prihodnjih MMO (stroški organizacije so trenutno okrog 2 mili- jona evrov) izbrane gostiteljice MMO za leta od 2013 do 2015. 2 . . . , . . . , : , , , , . . . . : , , , , . : , , , , . . , , , , . . : , , . . . , , , . . . . . , . , , . . i j t ti li ij ( ) t l j lij t i i i ij l t li j i i t i i- l t j t l l t t lt t t ti i i i j lj i ili ij i l li l j j ij t - il ( lji t) t ij ( l t t) j i i l t i i l j t j i t l j j i ili l j j t ij ( i l j i ) ij t il ( - ) ij ij ti ij f l l t r i ir li r j r j t r t - r r j rj r i ril t r tri r j j li ij i j il i r l i r l- t t tiri i ir i t t ( t ) i r lt t r- t j ( t ) r i t t r j i l ij r i i tr tji t t i t il f r rj j i l ij ji t t r j i l ij r t j ril j l il ij l li - ij i r tili i J i tj - r i i r r i ij i r t r l r l i l i i r- r j I i ij lj ij r lj l r r li r i J r ri t li ij j ij i ji j r lj l J r ri il r i j r i - li j i r i j ri r -t t l r ti i i r i ri j i r ri i t r- r t i i i r r li j - r j li i i i ir li l l - l t ili ti i i r - i i l i l i r j i t ri i l r j trij l it j il r j t l t i i j r i il li r r j r i r j l j i l - li l t i t l i r t r il i lj t i r r li r i l ij r j l r i ij ri ji ti l - ti ir l ilij r j r l r ri - r i r i i i t iti f - ij i r lj l j i rj - l t il l i j l ti t ti i - j j i t r i ir j ri ji ( tr i r i ij tr t r ili- j r ) i r tit lji l t La e e aro a a e a č a o a a o e a a o 12. o 24. a s er a a zoze s e . S r ra a a o a zač e o sa o e o že e o re , s cer ra c o a o a o a zače šo s ega e a. 6. o 8. se e ra 2010 s o a Fa e o za a e a o z o erze L a o a 22 a o , so os ša as e a re a a a: eor a š e e os , eo e r a s a os , o o os , ar a a, r c e o r c . as e e s r e e r ra e so o e a e o 24. o 28. a ar a 2011. Pr ra s o as e a re a a a: eo e r a e o e e a e zre , eor a š e o gr e ce , e c e, ee a os , eor a gra o . šo ske e 2010/2011 s o o ga z a še 14 e ava : e o e ava e v ok ob 2010, e v o ve b 2010, ve v ece b 2010, o e o a a a 2011, a ca a a 2011 e e ava a a a 2011. ska ek a e b a zb a a a o ag ez a ov š zb es ov 98 očk ez a ov žav ega ek ova a 28 očk . P v es v ece b e sa o 26 akov, g e es , k s a b a v eb a , e sa o 24 akov, za es v a c a e sa o 22 akov. žav ega ek ova a v a se e e ež o 153 akov. s ove sko o sko ek o so se v s : k azb šek, a až Leo a s e o a o z az e Bež g a e eš e ze , ae a P š k eža age o e ak s . g az e v e . ake sva a s e a a ego o a e og c. Po a o a o e ake, k e s e a e og c, vo a ek Šv ce, k e so e sk a s šv ca sko ek o še za e ave. Le e so o eka e a es ž ve z E v c . eka e o o ek a v s e a s o se e s av k z 101 žave zb a v a e k a b z E ov a zb a a oge za a sko . Po o ge čas s a b e šes zb a a oga ve a og s o oč a ko b a o ke sa o e a a oga s o oč a geo e e. oč ev e b a s e e a z ze o es o več o e za a s koga o e a ve ko azoča a e. čas e sa eševa e a og e e ve ko e a Posve ova o bo , v ka e ega se b zvo e ego o a z S ove e. e e oog e za o ga zac o v o e e o a o ev ov, e o a o bo os o a sk zbo c zoze ske s a ov oseb o ac o, k bo av a a z o e e e a e . Po eg ega so b e a o eka e ego ovos o a ka a ka a ov za o ga z a e o s ošk o ga zac e so e o ok og 2 o a ev ov zb a e gos e ce za e a o 2013 o 2015. 2 ni j dn dn t ti n li pij d ( O) p t k l d . d . julij v A t d u n Ni k . p ip v i dij k v n O n v k l t v lik p j, in i t di i- n ln t k j n tku l k l t . Od . d . pt b n kult t t tik in fi ik Univ v jublj ni p v bili dij k v, ki p lu li n l dnj p d v nj : T ij t - vil (d ljiv t), G t ij ( kl dn t, p d bn t), B v nj , Di i hl t v p in ip. N l dnj t nj n p ip v p t k l d . d . j nu j . ip vili n l dnj p d v nj : G t ij (C v v in n l j v i k), T ij t vil (k n u- n ), Bij k ij , N n k ti, T ij f v. V l l tu r ni ir li pr d nj: n pr d nj t ru , p t n - ru , d d ru , p n j nu rj , r in pril t r tri pr d nj j . Oli pij ip j il i r n n p dl i r ul- t t tirih i irnih t t ( t ) in r ult t dr- n t nj ( t ). r i t t d ru j pi l dij , dru i in tr tji t t, i t il f ru rju, j pi l dij , dnji t t r u p j pi l dij . Dr n t nj prilu j ud l il dij . V l n li - pij ip u r tili: Ni J in , tj - n rdi in V n r r Gi n ij i r d t r Al O r l, ih l u ni in N Ž r-K r nj I. i n ij C lju. Dij n O pr lj l Gr r D lin r in Jur V rin . t n li pij d j dij , i jih j pr lj l Jur V rin , dil pr i , j r i - li up j i r ip dnj pripr . -t p t l n pr ti ni uni r i TH Zuri hu. N j dni pr d prih d ip n O A t r- d pr d t ni i i dr r li jh- n r ju li u indh n in i ir li n l l n- O. d l u t ili d ti i i r - ni i n l i d n l i p dr j in t ri in n n l p dr j trij . Odl it j il pr j t l t n in in j r i p nil li r r nj . V u pr d i r nj n l j i l - li d l tudi t lni d r O, t r il i lj n tudi Gr r D lin r i l nij . K r j G l r ni ij O prih dnjih p tih l - tih d nir l ilij n r , j r l d r pri G p - d r i rni i Ni u t n iti p n fun- d ij , i upr lj l nj ni d n rj . - l t il l ni p n j l tih n t ti in p - nj nj ndid t r ni ir nj prih dnjih O ( tr i r ni ij tr nutn r ili- j n r ) i r n tit lji O l t d d . i j r i li ij ( ) l . . j lij r i . ri r i ij l li r j, i i r r i i- l j l l . . . r l i i i i r j lj i ili ij , i l li l j r j : rij - il ( lji ), rij ( l , ), r j , iri l ri i . l j r j ri r l . . j rj . ri r ili l j r j : rij ( i l j i r ), rij il ( r - ), ij ij , i, rij r . l l i i li j: j , - , , j j , i il i j j . li ij i j il i l i l- i i i i i ( ) i l - j ( ). i j i l ij , i i ji , i il j , j i l ij , ji j i l ij . j il j l il ij . l li - ij i ili: i i , j - i i i ij i l l, i l i i - j I. i ij lj . ij lj l li i i . li ij j ij , i ji j lj l i , il i , j i - li j i i j i . - l i i i i i . j i i i - i i i li j - j li i i i i li l l - . l ili i i i - i i l i l i j i i i l j ij . l i j il j l i i j i il li j . i j l j i l - li l i l i , il i lj i li i l ij . j l i ij i ji i l - i i l ilij , j l i - i i i i i i - ij , i lj l j i j . - l il l i j l i i i - j j i i i j i ji ( i i ij ili- j ) i i lji l . . . . , - . . . , : - , , , , . . . . : , - , , , . i i i : , , , , i i i . i i i i i i i i i i i i . i i i , i i i , i i , i i , i i i . i i i . i i i i i: i i , i i i i i , i i i . i i . i i i i . i i i , i i i , i i , i i i i i . i i i i i . i i i i i i i i i i i i i . i i i i i i i i i i i i i . i i i i i i i . i i i i i , i i i i i i . i i i i i i i i i , i i i i i i i i , i i . i i i i i i i i i i i i i i i i i i . i j r t ti li ij ( ) t l j lij t r i ri r i ij l t li r j i i r tr i i l t j t l l t t r lt t t ti i i i r j lj i ili ij i l li l j r j rij t il ( lji t) trij ( l t t) r j iri l t ri i l j tr j ri r t l j rj ri r ili l j r j trij ( i l j i r ) rij t il ( r ) ij ij ti rij r f l l t r r l r j r j t r t - r r j rj r r l t r tr r j j l j j l r l r l- t t t r r t t ( t ) r lt t r- t j ( t ) r t t r j l j r tr tj t t t l f r rj j l j j t t r j l j r t j r l j l l j l l - j r t l J tj - r r r j r t r l r l l r- r j I j lj j r lj l r r l r J r r t l j j j j j r lj l J r r l r j r - l j r j r r -t t l r t r r j r r t r- r t r r l j - r j l r l l l - l t l t r - l l r j t r l r j tr j l t j l r j t l t j r l l r r j r r j l j l - l l t t l r t r l lj t r r l r l j r j l r j r j t l - t r l l j r j r l r r - r r t t f - j r lj l j rj - l t l l j l t t t - j j t r r j r j ( tr r j tr t r l - j r ) r t t lj l t Lan e edna odna a e a čna o p ada po eka a od 12. do 24. u a v s e da u na zoze ske . S p p ava d akov na začne o vsako e o že ve ko p e , n s ce ad c - ona no ako na zače ku šo skega e a. d 6. do 8. sep e b a 2010 s o na Faku e o za a e a ko n z ko n ve ze v L ub an povab 22 d akov, k so pos uša nas edn a p edavan a: eo a š e- v de vos , eo e a sk adnos , podobnos , Ba van a, ch e ov p nc p. as edn e s n ene p p ave so po eka e od 24. od 28. anua a 2011. P p av s o nas edn a p edavan a: eo e a evov n ene a ev z ek , eo a š ev kong u- ence , B ekc e, eenakos , eo a g a ov. šo ske e u 2010/2011 s o o ganizi a i še 14 p edavan : eno p edavan e v ok ob u 2010, pe v no ve b u 2010, dve v dece b u 2010, po eno anua a 2011, a ca in ap i a 2011 e i p edavan a a a 2011. i pi ska ekipa e bi a izb ana na pod agi ezu a ov š i ih izbi nih es ov 98 očk in ezu a ov d žavnega ek ovan a 28 očk . P vi es v dece b u e pisa o 26 di akov, d ugi in e i es , ki s a bi a v eb ua u, e pisa o 24 di akov, zadn i es v a cu pa e pisa o 22 di akov. žavnega ek ovan a v ap i u se e ude eži o 153 di akov. s ovensko o i pi sko ekipo so se uv s i i: ik azbinšek, a až Leo na dis in eno a o z i nazi e Bežig ad e eš e ze , ihae a Pušnik in eža Žage o en ak s . gi nazi e v e u. i ake sva na sp e a a ego o ina in u e og inc. Po na o i pi ado e di ake, ki ih e sp e a u e og inc, vodi a p ek Švice, k e so i e i skupa s švica sko ekipo še zadn e p ip ave. Le e so po eka e na p es ižni unive zi ET v Zu ichu. eka dni p ed p ihodo ekip na v s e da s o se p eds avniki iz 101 d žave zb a i v a h ne k a u b izu Eindhovna in izbi a i na oge za an sko . Po do ge času s a bi i ed šes i i izb a ni i na oga i dve na ogi s pod oč a ko bina o ike in sa o ena na oga s pod oč a geo e i e. d oči ev e bi a sp e e a z ze o esno večino in e za a sikoga po eni a ve iko azoča an e. času p ed sa i eševan e na og e i e ve iko de a udi Posve ova ni odbo , v ka e ega se bi izvo en udi ego o ina iz S oveni e. e e oog e za o ganizaci o v p ihodn ih pe ih e ih doni a i i on ev ov, e o a odbo p i ospo da ski zbo nici izoze ske us anovi i posebno un daci o, ki bo up av a a z o en eni dena e . Po eg ega so bi e ani po neka e ih nego ovos i in po an kan a kandida ov za o ganizi an e p ihodn ih s oški o ganizaci e so enu no ok og 2 i i ona ev ov izb ane gos i e ice za e a od 2013 do 2015. 2 i j i li ij ( O) l j lij A Ni i i ij O l li j i i i i l j l l O l i i fi i U i j lj i ili ij i l li l j j T ij il ( lji ) G ij ( l ) j Di i l i i N l j j i l j j i ili l j j G ij (C i l j i ) T ij il ( ) ij ij N i T ij V l l l j j - j j l j j Ol j j l l l- ( ) l - j ( ) j l j j l j j l j j j l j D j l j l l j V l l - j l N j - V G j Al O l l N -K j I j C lj D j O lj l G D l V l j j j j j lj l V l j - l j j - l H N j O A - l j - j l l l l - O l l - l l j l j j O l j l j l j l l j V j l j l - l l l O l lj G D l l j K j G l j O j l - l l j j l G - N - j lj l j j - l l l j l - j j j j O ( j l - j ) lj O l Mednarodna matematična olimpijada 2011 • Literatura [1] K. Devlin, Nova zlata doba matematke, Knjižnica Sigma, DMFA, Ljubljana 1993. [2] J. Grasselli, Diofantske enačbe, Knjižnica Sigma, DMFA, Ljubljana, 1984. [3] H. Wußing, Carl Friedrich Gauß, Teubner, Leip- zig, 1989. 7 Literatura [1] K. Devlin, Nova zlata doba matematke, Knjižnica Sigma, DMFA, Ljubljana 1993. [2] J. Grasselli, Diofantske enačbe, Knjižnica Sigma, DMFA, Ljubljana, 1984. [3] H. Wußing, Carl Friedrich Gauß, Teubner, Leip- zig, 1989. 7 Literatura [1] K. Devlin, Nova zlata doba matematke, Knjižnica Sigma, DMFA, Ljubljana 1993. [2] J. Grasselli, Diofantske enačbe, Knjižnica Sigma, DMFA, Ljubljana, 1984. [3] H. Wußing, Carl Friedrich Gauß, Teubner, Leip- zig, 1989. 7 ratura presek 39 (2011/2012) 5 D K J H F BA ES R R/2 120º 144º 24º C I G a 5 a 5 a 15 9 m a t e m a t i k a Na tekmovanju, ki se ga je udeležilo 564 tekmoval- cev iz 101 države, se je izmed članov slovenske ekipe najbolje odrezal Veno Mramor, ki je osvojil bronasto medaljo. Le-to je za malo zgrešil Matjaž Leonardis, ki je dobil pohvalo. Pohvalo sta dobila tudi Neža Ža- ger Korenjak in Nik Jazbinšek. Letos bo MMO v Mar del Plati v Argentini. 3 Lani je Mednarodna matematična olimpijada (MMO) potekala od 12. do 24. julija v Amsterdamu na Nizozemskem. S pripravami dijakov na MMO začnemo vsako leto že veliko prej, in sicer tradici- onalno takoj na začetku šolskega leta. Od 6. do 8. septembra 2010 smo na Fakulteto za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani povabili 22 dijakov, ki so poslušali naslednja predavanja: Teorija šte- vil (deljivost), Geometrija (skladnost, podobnost), Barvanja, Dirichletov princip. Naslednje strnjene priprave so potekale od 24. od 28. januarja 2011. Pripravili smo naslednja predavanja: Geometrija (Cevov in Menelajev izrek), Teorija števil (kongru- ence), Bijekcije, Neenakosti, Teorija grafov. V šolskem letu 2010/2011 smo organizirali še 14 predavanj: eno predavanje v oktobru 2010, pet v no- vembru 2010, dve v decembru 2010, po eno januarja 2011, marca in aprila 2011 ter tri predavanja maja 2011. Olimpijska ekipa je bila izbrana na podlagi rezul- tatov štirih izbirnih testov (98 točk) in rezultatov dr- žavnega tekmovanja (28 točk). Prvi test v decembru je pisalo 26 dijakov, drugi in tretji test, ki sta bila v februarju, je pisalo 24 dijakov, zadnji test v marcu pa je pisalo 22 dijakov. Državnega tekmovanja v aprilu se je udeležilo 153 dijakov. V slovensko olim- pijsko ekipo so se uvrstili: Nik Jazbinšek, Matjaž Leo- nardis in Veno Mramor z Gimnazije Bežigrad ter Aleš Omerzel, Mihaela Pušnik in Neža Žager-Korenjak s I. gimnazije v Celju. Dijake sva na MMO spremljala Gregor Dolinar in Jure Vogrinc. Pot na olimpijado je dijake, ki jih je spremljal Jure Vogrinc, vodila prek Švice, kjer so ime- li skupaj s švicarsko ekipo še zadnje priprave. Le-te so potekale na prestižni univerzi ETH v Zurichu. Nekaj dni pred prihodom ekip na MMO v Amster- dam smo se predstavniki iz 101 države zbrali v majh- nem kraju blizu Eindhovna in izbirali naloge za lan- sko MMO. Po dolgem času sta bili med šestimi izbra- nimi nalogami dve nalogi s področja kombinatorike in samo ena naloga s področja geometrije. Odločitev je bila sprejeta z zelo tesno večino in je za marsikoga pomenila veliko razočaranje. V času pred samim reševanjem nalog je imel ve- liko dela tudi Posvetovalni odbor MMO, v katerega sem bil izvoljen tudi Gregor Dolinar iz Slovenije. Ker je Google za organizacijo MMO v prihodnjih petih le- tih doniral milijon evrov, je moral odbor pri Gospo- darski zbornici Nizozemske ustanoviti posebno fun- dacijo, ki bo upravljala z omenjenim denarjem. Po- leg tega so bile lani po nekaj letih negotovosti in po- manjkanja kandidatov za organiziranje prihodnjih MMO (stroški organizacije so trenutno okrog 2 mili- jona evrov) izbrane gostiteljice MMO za leta od 2013 do 2015. 2 www.dmfa.si www.presek.si • Dne 15. decembra 2011 je Slovenska znanstvena fundacija podelila Preseku prestižno priznanje „Prometej znanosti za odličnost v komuniciranju“ za leto 2011. Slovenska znanstvena fundacija je bila ustanovlje- na leta 1994. Njene ustanoviteljice in ustanovitelji so najpomembnejše slovenske znanstvene, visoko- šolske, industrijske, trgovinske, bančne in medijske organizacije. Osnovni namen ustanove je ustvarja- nje in zagotavljanje pogojev za več znanosti na Slo- venskem. Deluje tako, da podpira osebni razvoj slo- venskih raziskovalcev s pomočjo donacij, to je ne- odvisnih denarnih podpor, ki jih prispevajo tako go- spodarske družbe kot posamezniki. Priznanje Prometej znanosti za odličnost v ko- municiranju podeljuje Slovenska znanstvena funda- cija od leta 2005 dalje, in sicer enkrat letno. V ob- razložitvi je navedeno, da ga je Presek prejel za 40 let populariziranja matematike, fizike, astronomije in računalništva med mladimi. Na naslovnici tele številke Preseka sicer piše, da gre šele za 39. letnik revije. Vendar bo konec leto- šnjega marca minilo 40 let od tistega občnega zbora Društva matematikov, fizikov in astronomov Slove- nije v Murski Soboti, na katerega je skupina mladih navdušencev prinesla prvo in edino številko lista z imenom praPresek in z njo napovedala Presekovo rojstvo. Ogrodje praPreseka so sestavljali zapisi z mate- matičnih in fizikalnih tekmovanj v letu 1971, dodan je bil po en matematǐcni, fizikalni in astronomski čla- nek, pa rubrike Premisli in reši, Bolj za šalo kot zares in Bistrovidec. Poldrugo leto za praPresekom je izšla prva šte- vilka Preseka, lista za mlade matematike, fizike in astronome. Odtlej je Presek redno izhajal, postal spotoma še revija za računalnikarje in v štiridesetih letih našel svoje ugledno mesto v slovenski strokovni literaturi za mlade. Slika 1 Presek je pravzaprav svojevrsten fenomen v sve- tovni matematični, fizikalni in astronomski periodiki za mlade. Ko je pred leti na fizikalno olimpijado v Avstraliji naša ekipa prinesla nekaj izvodov Pre- seka kot darila sotekmovalcem, so v mednarodnih krogih poželi občudovanje in začudenje, da ima je- zikovno tako majhna narodnostna skupina časopis, kakršnega veliko večji narodi ne premorejo. Zato se s ponosom in brez lažne skromnosti lahko veselimo podeljenega priznanja Slovenske znanstve- ne fundacije. Priznanje pripada številnim bivšim in sedanjim sodelavcem, ki so kakorkoli prispevali ali prispevajo k nastajanju in kakovosti Preseka. Doslej je izšlo že okrog 220 številk Preseka. Na 2 . j l t f ij lil ti i j t j ti li t i i j l t . l t f ij j il t lj - l t . j t it lji i t it lji j j l t , i - l , i trij , tr i , i ij r i ij . i t j t rj - j i t lj j j ti l - . l j t , ir i r j l - i r i l j ij, t j - i i r i r, i ji ri j t - r r t i i. ri j t j ti li t - i i j lj j l t f - ij l t lj , i i r r t l t . - r l it i j , j r r j l l t l ri ir j t ti , i , tr ij i r l i t l i i. l i i t l t il r i r i , r l . l t i r ij . r l t - j r i il l t ti t r r t t ti , i i tr l - ij r i ti, t r j i l i ri l r i i t il li t i r r i j l r r j t . r j r r t lj li i i t - ti i i i l i t j l t , j il t ti i, i l i i tr i l - , r ri r i li i r i, lj l t r i i tr i . l r l t r r j i l r t - il r , li t l t ti , i i tr . tl j j r r i j l, t l t r ij r l i rj i tiri ti l ti l j l t l i tr i lit r t ri l . li r j r r j r t f - t i t ti i, i l i i tr i ri i i l . j r l ti i l li ij tr liji i ri l j i r - t ril t l , r i r i li j i j , i j - i t j r t i i , r li ji r i r r j . t i r l r ti l li lj ri j l t - f ij . ri j ri t il i i i i ji l , i r li ri li li ri j t j j i ti r . l j j i l r t il r . e 15 ece ra 2011 e S o e s a z a s e a ac a o e a Prese res ž o r z a e „Pro e e z a os za o č os o c ra “ za e o 2011 S ove ska z a s ve a ac a e b a s a ov e a e a 1994 e e s a ov e ce s a ov e so a o e b e še s ove ske z a s ve e v soko šo ske s ske gov ske ba č e e ske o ga zac e s ov a e s a ove e s va a e zago av a e ogo ev za več z a os a S o ve ske e e ako a o a oseb azvo s o ve sk az skova cev s o oč o o ac o e e o v s e a o o k s eva o ako go s o a ske žbe ko osa ez k P z a e Pro e e z a os za o č os o c ra o e e S ove ska z a s ve a a c a o e a 2005 a e s ce e k a e o ob az ož v e ave e o a ga e P esek e e za 40 e o a z a a a e a ke z ke as o o e ač a š va e a a as ov c e e š ev ke P eseka s ce še a g e še e za 39 e k ev e e a bo ko ec e o š ega a ca o 40 e o s ega obč ega zbo a š va a e a kov z kov as o o ov S ove e v sk Sobo a ka e ega e sk a a av še cev es a vo e o š ev ko s a z e o aP esek z o a ove a a P esekovo o s vo g o e aP eseka so ses av a za s z a e a č z ka ek ova v e 1971 o a e b o e a e a č z ka as o o sk č a ek a b ke P e s eš Bo za ša o ko za es B s ov ec Po go e o za aP eseko e zš a va š e v ka P eseka s a za a e a e a ke z ke as o o e e e P esek e o z a a os a s o o a še ev a za ač a ka e v š ese e aše svo e g e o es o v s ove sk s okov e a za a e S ka 1 P esek e avza av svo ev s e e o e v sve ov a e a č z ka as o o sk e o k za a e o e e e a z ka o o a o v vs a aša ek a es a eka zvo ov P e seka ko a a so ek ova ce so v e a o k og ože obč ova e zač e e a a e z kov o ako a a a o os a sk a časo s kak š ega ve ko več a o e e o e o a o se s o oso b ez až e sk o os a ko vese o o e e ega z a a S ove ske z a s ve e ac e P z a e a a š ev b vš se a so e avce k so kako ko s eva a s eva o k as a a kakovos P eseka os e e zš o že ok og 220 š ev k P eseka a 2 Dne 15. decembra 2011 je Slovenska znanstvena fundacija podelila Preseku prestižno priznanje „Prometej znanosti za odličnost v komuniciranju“ za leto 2011. Slovenska znanstvena fundacija je bila ustanovlje- na leta 1994. Njene ustanoviteljice in ustanovitelji so najpomembnejše slovenske znanstvene, visoko- šolske, industrijske, trgovinske, bančne in medijske organizacije. Osnovni namen ustanove je ustvarja- nje in zagotavljanje pogojev za več znanosti na Slo- venskem. Deluje tako, da podpira osebni razvoj slo- venskih raziskovalcev s pomočjo donacij, to je ne- odvisnih denarnih podpor, ki jih prispevajo tako go- spodarske družbe kot posamezniki. Priznanje Prometej znanosti za odličnost v ko- municiranju podeljuje Slovenska znanstvena funda- cija od leta 2005 dalje, in sicer enkrat letno. V ob- razložitvi je navedeno, da ga je Presek prejel za 40 let populariziranja matematike, fizike, astronomije in računalništva med mladimi. Na naslovnici tele številke Preseka sicer piše, da gre šele za 39. letnik revije. Vendar bo konec leto- šnjega marca minilo 40 let od tistega občnega zbora Društva matematikov, fizikov in astronomov Slove- nije v Murski Soboti, na katerega je skupina mladih navdušencev prinesla prvo in edino številko lista z imenom praPresek in z njo napovedala Presekovo rojstvo. Ogrodje praPreseka so sestavljali zapisi z mate- matičnih in fizikalnih tekmovanj v letu 1971, dodan je bil po en matematǐcni, fizikalni in astronomski čla- nek, pa rubrike Premisli in reši, Bolj za šalo kot zares in Bistrovidec. Poldrugo leto za praPresekom je izšla prva šte- vilka Preseka, lista za mlade matematike, fizike in astronome. Odtlej je Presek redno izhajal, postal spotoma še revija za računalnikarje in v štiridesetih letih našel svoje ugledno mesto v slovenski strokovni literaturi za mlade. Slika 1 Presek je pravzaprav svojevrsten fenomen v sve- tovni matematični, fizikalni in astronomski periodiki za mlade. Ko je pred leti na fizikalno olimpijado v Avstraliji naša ekipa prinesla nekaj izvodov Pre- seka kot darila sotekmovalcem, so v mednarodnih krogih poželi občudovanje in začudenje, da ima je- zikovno tako majhna narodnostna skupina časopis, kakršnega veliko večji narodi ne premorejo. Zato se s ponosom in brez lažne skromnosti lahko veselimo podeljenega priznanja Slovenske znanstve- ne fundacije. Priznanje pripada številnim bivšim in sedanjim sodelavcem, ki so kakorkoli prispevali ali prispevajo k nastajanju in kakovosti Preseka. Doslej je izšlo že okrog 220 številk Preseka. Na 2 Presek — dobitnik priznanja Slovenske znanstvene fundacije • marija vencelj Presek 39 (2011/2012) 5 www.dmfa-zaloznistvo.si 10 m a t e m a t i k a 8 4 3 1 2 8 4 6 2 6 7 1 2 5 1 5 7 1 5 6 Barvni sudoku V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2× 4) nastopalo vseh 8 števil. 1 • spletni strani presek.si lahko najdete kolofone in ka- zala vsebin vseh dosedanjih Presekov ter tudi pona- tise večine člankov do vključno 31. letnika. Iz njih lahko razberete, kako velikemu številu ljudi gre za- sluga za kakovost Preseka in za to, da je ves čas ne- moteno izhajal. Ob odgovornih urednikih so tu pod- uredniki za posamezna področja, ki poleg zbiranja in tudi pisanja člankov skrbijo za strokovno neopo- rečnost besedil in razumljiv strokovni jezik. Nepre- cenljiva je vloga avtorjev, posebno tistih najzvestej- ših, ki redno pišejo ali so pisali za Presek. Ne gre prezreti skrbnega lektoriranja in kakovostnega teh- ničnega dela. Vsi, ki so sodelovali tako ali drugače, zaslužijo našo pohvalo in zahvalo. 3 Dne 15. decembra 2011 je Slovenska znanstvena fundacija podelila Preseku prestižno priznanje „Prometej znanosti za odličnost v komuniciranju“ za leto 2011. Slovenska znanstvena fundacija je bila ustanovlje- na leta 1994. Njene ustanoviteljice in ustanovitelji so najpomembnejše slovenske znanstvene, visoko- šolske, industrijske, trgovinske, bančne in medijske organizacije. Osnovni namen ustanove je ustvarja- nje in zagotavljanje pogojev za več znanosti na Slo- venskem. Deluje tako, da podpira osebni razvoj slo- venskih raziskovalcev s pomočjo donacij, to je ne- odvisnih denarnih podpor, ki jih prispevajo tako go- spodarske družbe kot posamezniki. Priznanje Prometej znanosti za odličnost v ko- municiranju podeljuje Slovenska znanstvena funda- cija od leta 2005 dalje, in sicer enkrat letno. V ob- razložitvi je navedeno, da ga je Presek prejel za 40 let populariziranja matematike, fizike, astronomije in računalništva med mladimi. Na naslovnici tele številke Preseka sicer piše, da gre šele za 39. letnik revije. Vendar bo konec leto- šnjega marca minilo 40 let od tistega občnega zbora Društva matematikov, fizikov in astronomov Slove- nije v Murski Soboti, na katerega je skupina mladih navdušencev prinesla prvo in edino številko lista z imenom praPresek in z njo napovedala Presekovo rojstvo. Ogrodje praPreseka so sestavljali zapisi z mate- matičnih in fizikalnih tekmovanj v letu 1971, dodan je bil po en matematǐcni, fizikalni in astronomski čla- nek, pa rubrike Premisli in reši, Bolj za šalo kot zares in Bistrovidec. Poldrugo leto za praPresekom je izšla prva šte- vilka Preseka, lista za mlade matematike, fizike in astronome. Odtlej je Presek redno izhajal, postal spotoma še revija za računalnikarje in v štiridesetih letih našel svoje ugledno mesto v slovenski strokovni literaturi za mlade. Slika 1 Presek je pravzaprav svojevrsten fenomen v sve- tovni matematični, fizikalni in astronomski periodiki za mlade. Ko je pred leti na fizikalno olimpijado v Avstraliji naša ekipa prinesla nekaj izvodov Pre- seka kot darila sotekmovalcem, so v mednarodnih krogih poželi občudovanje in začudenje, da ima je- zikovno tako majhna narodnostna skupina časopis, kakršnega veliko večji narodi ne premorejo. Zato se s ponosom in brez lažne skromnosti lahko ves limo podeljen ga priznanj Slovenske z anstve ne fundacije. Priznanje pripada številnim bivšim in sedanjim sodelavcem, ki so kakorko i prispevali ali prispev jo k nastajanju in akovosti Preseka. Doslej je izšlo že okrog 220 številk Presek . Na 2 Dne 15. decembra 2011 je Slovenska znanstvena fundacija podelila Preseku prestižno priznanje „Prometej znanosti za odličnost v komuniciranju“ za leto 2011. Slov nska znanstvena fundacija je bila ustanovlje- na leta 1994. Njene ustanoviteljice in ustanovitelji so najpomembnejše slovenske znanstvene, visoko- šolske, industrijske, trgovinske, bančne in medijske organizacije. Osnovni namen ustanove je ustvarja- nje in zagotavlj je pogojev za več znano i a Slo venskem. Deluje tako, da p dpira osebni r zvoj slo- venskih raziskovalcev s pomočjo donacij, to je ne odvisnih ena nih podp r, ki jih prisp vajo tako go- spodarske družbe kot posamezniki. Prizn nje Prom tej znanosti za odličnost v k municiranju podeljuje Slovenska znanstvena funda cija od leta 2005 dalje, in sicer enkrat letno. V ob razlož tvi je navedeno, da ga je Pre ek prejel za 40 let populariziranja matematike, fizike, astronomije in računalništva d mladimi. Na naslovnici tele številke Preseka ic r piše, da gre šele z 39. letnik revije. Venda bo konec leto šnjega marca minilo 40 let od tistega občn ga bora Društva matematikov, fizikov in astronomov Slove- nije v Murski Soboti, na katerega je skupina mladih navdušencev prin sla prvo in edino številko lista z imenom praPresek in z njo napovedala Presekovo ro stvo. Ogrodje praPreseka so sestavljali zapisi z mat matičnih in fizikaln h tekmovanj v letu 1971, do an je bil po en matematǐcni, fizikalni i as ronomski čla- nek, pa rubrike Premisli in reši, Bolj za š lo kot zares in Bistrovidec. Poldrugo leto za praPresekom je izšla prva š vilka Preseka, lista za mlade matematike, fizike i astron me. Odtlej je Presek red o izhajal, post l spotoma še revija za računalnikarje in v štiridesetih letih našel svoje ugledno mesto v slovenski strokovni literaturi za mlade. Slika 1 Presek je pravzaprav svojevrsten fenomen v sve- tovni matematični, fizikalni in astronomski periodiki za mlade. Ko je pred leti na fizikalno olimpijado v Avstraliji naša ekipa prinesla nekaj izvodov Pre- seka kot darila sotekmovalcem, so v mednarodnih krogih poželi občudovanje in začudenje, da ima j zikovno ako majhna n rod ostna skupina čas pis, k kršnega veliko večji narodi ne premorejo. Zato se s ponosom in b ez lažne skromn sti lahko v selimo podeljenega priznanja Slovensk znanstve- ne fundacije. Priznanje pripada številnim bivšim in sedanjim sodelavcem, ki so kakorkoli rispevali ali prispevajo k nastajanju in kakovosti Preseka. Doslej je izšlo že okrog 220 številk Preseka. Na 2 • Barvni sudoku www.presek.si presek 39 (2011/2012) 5 11 f i z i k a VAS. SEŽE V DEVETO GLAS MOJ Majhen zvočnik iz lončka, žice in magneta jepreprosto izdelati, mehanizem njegovega delova- nja pa je enak kot pri običajnih zvočnikih, ki jih običajno uporabljamo za poslušanje glasbe. Za iz- delavo zvočnika potrebujemo lakirano bakreno žico, debeline 0,1 mm (lahko tudi 0,2 mm), pla- stičen ali stiroporen lonček ter majhen močan ma- gnet. Neodimovi magneti so še posebej primerni. Najprej žico navijemo v tuljavo. To storimo s po- močjo kemičnega svinčnika, na katerega navijemo približno tri metre 0,1 mm žice. Če imamo na vo- ljo ohmmeter, lahko izmerimo upor odmerjene žice in se preprǐcamo, da je njen upor 8Ω. Tuljavo sti- snemo med prsti, da jo nekoliko sploščimo. Na obeh koncih pustimo približno deset centimetrov proste žice, da bomo tuljavo lahko priključili na ojačeval- nik. Tuljavo na spodnjo stran dna lončka prilepimo z lepilnim trakom (slika 1). Nato na ta trak z novim kosom lepilnega traku prilepimo še magnet tako, da njegova os sovpada z osjo tuljave (slika 2). Slika1 Slika2 Konca žice obrusimo z brusnim papirjem ali po- strgamo z ostrim nožem, da odstranimo izolacijski lak. Zvočnik je sedaj nared in ga lahko preizkusimo. Obrušena priključka tuljave priključimo na izhod avdio ojačevalnika, ki je namenjen priključevanju zvočnikov. Nato previdno povečujemo glasnost, do- kler ne zaslišimo zvoka. Z glasnostjo ne pretira- vamo. Glasnosti ne povečujemo preko vrednosti, pri kateri poslušamo glasbo z običajnimi zvočniki. Pa- zimo tudi, da priključkov ojačevalnika ne staknemo. Ojačevalnik za delovanje potrebuje vhodni signal. Kot vir glasbe nanj lahko priključimo predvajalnik plošč, prenosni predvajalnik mp3 ali pa radio spre- jemnik. Če hočemo zvočnik napajati neposredno iz pred- vajalnika mp3, se moramo nekoliko bolj potruditi. Čeprav je izhodna moč tovrstnih predvajalnikov obi- čajno nizka in je malo verjetno, da bi s priključitvijo zvočnika s prenizkim uporom škodovali mp3 pred- vajalniku, je bolje, da upor našega zvočnika pove- čamo na 16Ω, kolikor je običajna vrednost upora slu- šalk. Če bi v tuljavo navili dvakrat več žice, debeline 0,2 mm, bi dobili že precej nerodno veliko tuljavo (slika 3). Upor lažje povečamo tako, da k naši tuljavi zaporedno vežemo še 8Ω upornik. To je kompro- misna rešitev. Dodatni upornik varuje predvajalnik, vendar pa ima zvočnik zaradi tega slabši izkoristek. Del energije, ki jo oddaja predvajalnik, porablja upor 2 Majhen zvočnik iz lončka, žic in m gn ta je preprosto izdelati, mehanizem njeg vega delova- nja pa je enak kot pri običajnih zvočnikih, ki jih običajno uporabljamo za poslušanje glasbe. Za iz- delavo zvočnika potrebujemo lakirano bakreno žico, debeline 0,1 mm (lahko tudi 0,2 mm), pl stičen ali stir poren lonček ter majhen močan ma- gnet. Neodimovi magneti so še posebej primerni. Najprej žico navijemo v tuljavo. To storimo s po- močjo kemičnega svinčnika, na katerega navijemo približno tri metre 0,1 mm žice. Če imamo na vo- ljo ohmmeter, lahko izmerimo upor odmerjene žice in se preprǐcamo, da je njen upor 8Ω. Tuljavo sti- snemo med prsti, da jo nekoliko sploščimo. Na obeh koncih pustimo približno deset centimetrov proste žice, da bomo tuljavo lahko priključili na ojačeval- nik. Tuljavo na spodnjo stran dna lončka prilepimo z lepilnim trakom (slika 1). Nato na ta trak z novim kosom lepilnega traku prilepimo še magnet tako, da njegova os sovpada z osjo tuljave (slika 2). Slika1 Slika2 Konca žice obrusimo z brusnim papirjem ali po- strgamo z ostrim nožem, da odstranimo izolacijski lak. Zvočnik je sedaj nared in ga lahko preizkusimo. Obrušena priključka tuljave priključimo na izhod avdio ojačevalnika, ki je namenjen priključevanju zvočnikov. Nato previdno povečujemo glasnost, do- kler ne zaslišimo zvoka. Z glasnostjo ne pretira- vamo. Glasnosti ne povečujemo preko vrednosti, pri kateri poslušamo glasbo z običajnimi zvočniki. Pa- zimo tudi, da priključkov ojačevalnika ne staknemo. Ojačevalnik za delovanje potrebuje vhodni signal. Kot vir glasbe nanj lahko priključimo predvajalnik plošč, prenosni predvajalnik mp3 ali pa radio spre- jemnik. Če hočemo zvočnik napajati neposredno iz pred- vajalnika mp3, se moramo nekoliko bolj potruditi. Čeprav je izhodna moč tovrstnih predvajalnikov obi- čajno nizka in je malo verjetno, da bi s priključitvijo zvočnika s prenizkim uporom škodovali mp3 pred- vajalniku, je bolje, da upor našega zvočnika pove- čamo na 16Ω, kolikor je običajna vrednost upora slu- šalk. Če bi v tuljavo navili dvakrat več žice, debeline 0,2 mm, bi dobili že precej nerodno veliko tuljavo (slika 3). Upor lažje povečamo tako, da k naši tuljavi zaporedno vežemo še 8Ω upornik. To je kompro- misna rešitev. Dodatni upornik varuje predvajalnik, vendar pa ima zvočnik zaradi tega slabši izkoristek. Del energije, ki jo oddaja predvajalnik, porablja upor 2 j i i l , i i j i l i, i j l - j j i i j i i i , i ji i j lj l j l . i - l i j l i i , li , (l i , ), l - i li i l j - . i i i j i i. j j i ij lj . i - j i i i , ij i li i , i . i - lj , l i i j i i i , j j . lj i- i, j li l i . i i i li i i , lj l i lj ili j l- i . lj j l il i l il i ( li ). i l il il i , j j lj ( li ). li li i i i i j li - i , i i l ij i l . i j j i l i i . i lj lj i lj i i i j l i , i j j i lj j i . i j l , - l li i . l j i - . l i j i, i i l l i j i i i i. - i i, i lj j l i . j l i l j j i i l. i l j l i lj i j l i l , i j l i li i - j i . i j i i - j l i , li lj i i. j i i j l i i- j i i j l j , i i lj i ij i i i li - j l i , j lj , i - , li j i j l - l . i lj ili i , li , , i ili j li lj ( li ). l j , i lj i i . j - i i . i i j j l i , i i i l i i i . l ij , i j j j l i , lj a e z oč z o č a, ž ce ag eta e re rosto z e at , e a ze eg ega e o a a a e e a ot r o ča z oč , o ča o ora a o za os ša e g as e. a z e a o z oč a otre e o a ra o a re o ž co, e e e 0,1 a o t 0,2 , a st če a st r ore o če ter a e oča a g et. eo o ag et so še ose e r er . a re ž co av e o v t avo. o stor o s o oč o ke č ega sv č ka, a katerega av e o r b ž o tr etre 0,1 ž ce. ˇe a o a vo o o eter, a ko z er o or o er e e ž ce se re r ča o, a e e or 8 . avo st s e o e rst , a o eko ko s ošč o. a obe ko c st o r b ž o eset ce t etrov roste ž ce, a bo o t avo a ko r k č a o ačeva k. avo a s o o stra a o čka r e o z e trako s ka 1 . ato a ta trak z ov koso e ega trak r e o še ag et tako, a egova os sov a a z os o t ave s ka 2 . S ka1 S ka2 o ca ž ce obr s o z br s a r e a o strga o z ostr ože , a o stra o zo ac sk ak. voč k e se a are ga a ko re zk s o. br še a r k čka t ave r k č o a z o av o o ačeva ka, k e a e e r k čeva zvoč kov. ato rev o oveč e o g as ost, o k er e zas š o zvoka. g as ost o e ret ra va o. as ost e oveč e o reko vre ost , r kater os ša o g asbo z ob ča zvoč k . Pa z o t , a r k čkov o ačeva ka e stak e o. ačeva k za e ova e otreb e v o s g a . ot v r g asbe a a ko r k č o re va a k ošč, re os re va a k 3 a a ra o s re e k. ˇe oče o zvoč k a a at e osre o z re va a ka 3, se ora o eko ko bo otr t . e rav e z o a oč tovrst re va a kov ob ča o zka e a o ver et o, a b s r k č tv o zvoč ka s re zk oro ško ova 3 re va a k , e bo e, a or ašega zvoč ka ove ča o a 16 , ko kor e ob ča a vre ost ora s ša k. ˇe b v t avo av vakrat več ž ce, ebe e 0,2 , b ob že rece ero o ve ko t avo s ka 3 . or až e oveča o tako, a k aš t av za ore o veže o še 8 or k. o e ko ro s a reš tev. o at or k var e re va a k, ve ar a a zvoč k zara tega s abš zkor stek. e e erg e, k o o a a re va a k, orab a or 2 jh n v nik i l n k i in n j p p i d l i h ni nj ov d l v - nj p j n k k p i bi jnih v nikih ki jih bi jn up blj p lu nj l b Z i - d l v v nik p buj l ki n b k n i d b lin (l hk udi ) pl - i n li i op n l n k jh n n - n di vi n i p b j p i ni jp j i n ij ulj T i p - j i n in ni n n ij p i li n i i C i n - lj h l h i i up d j n i in p p i d j nj n up Tulj i- n d p i d j n li pl i h n ih pu i p i li n d n i p i d ulj l h p i lju ili n j l- ni Tulj n p dnj n dn l n p il pi l pilni ( li ) n n i l piln u p il pi n d nj p d j ulj ( li ) li li K n i u i u ni p pi j li p - i n d d ni i l ij i l Z ni j d j n d in l h p i u i u n p i lju ulj p i lju i n i h d di j lni i j n nj n p i lju nju ni p idn p uj l n d - l n li i Z l n j n p i - l n i n p uj p dn i p i i p lu l i jni i ni i - i udi d p i lju j lni n n j lni d l nj p uj h dni i n l K i l n nj l h p i lju i p d j lni pl p n ni p d j lni p li p di p - j ni C h ni n p j i n p dn i p d- j lni p n li lj p udi i C p j i h dn nih p d j lni i- jn ni in j l j n d i p i lju i ij ni p ni i up d li p p d- j lni u j lj d up n ni p - n li j i jn dn up lu- l C i ulj n ili d i d lin i d ili p j n dn li ulj ( li ) p l j p d n i ulj i p dn up ni T j p - i n i d ni up ni uj p d j lni nd p i ni di l i i i l n ij i j dd j p d j lni p lj up , , , . , , , , . N . N . , , . , , Ω. , . N , . . N , . , . . O , . N , . . G , . , . O . , . , . , , , Ω, . , , , . U , Ω . . D , . D , , M j i i l i i m t j t i l ti m i m j l - j j t i i j i i i i ji i j lj m l j l i - l i t j m l i i li mm (l t i mm) l - ti li ti l t m j m m - t im i m ti j im i j r j i ij m t lj t rim - m j mi i i t r ij m ri li tri m tr mm i i m - lj mm t r l i m rim r m rj i i r ri m j j r lj ti- m m r ti j li l im i tim ri li t tim tr r t i m t lj l ri lj ili j l- i lj j tr l ril im l il im tr m ( li ) t t tr im m l il tr ril im m t t j j t lj ( li ) li li i r im r im irj m li - tr m trim m tr im i l ij i l i j j r i l r i im r ri lj t lj ri lj im i i j l i i j m j ri lj j i t r i j m l t - l r li im l tj r tir - m l ti j m r r ti ri t ri l m l i j imi i i - im t i ri lj j l i t m j l i l j tr j i i l t ir l j l ri lj im r j l i l r i r j l i m li r i r - j m i i j ti r i r - j l i m r m li lj tr iti r j i m t r t i r j l i i- j i i j m l rj t i ri lj it ij i r i im r m li m r - j l i j lj r i - m li r j i j r t r l - l i t lj ili r t i li mm i ili r j r li t lj ( li ) r l j m t i t lj i r m r i j m r - mi r it t i r i r j r j l i r im i r i t l i i ri t l r ij i j j r j l i r lj r a e z oč z o č a, ž ce ag e a e re ros o z e a , e a ze eg ega e o a a a e e a o r o ča z oč , o ča o ora a o za os ša e g as e. a z e a o z oč a o re e o a ra o a re o ž co, e e e 0,1 a o 0,2 , a s če a s r ore o če er a e oča a g e . eo o ag e so še ose e r er . a e ž o v e o v avo. o s o o s o oč o ke č ega sv č ka, a ka e eg av e o b ž o e e 0,1 ž ce. ˇe a o a vo o o e e , a ko z e o o o e e e ž ce se e ča o, a e e o 8 . av s s e o e s , a o eko ko s ošč o. a obe ko c s o b ž o ese ce e ov os e ž ce, a bo o avo a ko k č a o ačeva k. avo a s o o s a a o čk e o z e ako s ka 1 . a a a ak z v koso e ega k e o še g e ako, a egova os sov a a z os o ave s ka 2 . S ka1 S ka2 o ca ž ce ob s o z b s a e o s ga z os ože , a o s a o o ac sk ak. voč k e se a a e ga a ko e zk s o. b še a k č a ave k č o a z o a o o ačev ka, k e a e k čeva zvoč kov. a o e o oveč e o g as os , o k e e zas š o zv ka. g as os o e e a v o. as os e oveč e o eko v e os , ka e os ša o g asbo z ob ča zvoč k . Pa z o , a k čkov o ačeva ka e s ak e o. ačeva k za e ov e o eb e v o s g a . o v g asbe a a ko k č o e va a k ošč, e os e va a k 3 a a a o s e e k. ˇe oče o zvoč k a a a e s e o z e va a ka 3, se o a o eko ko bo o . e av e z o a č ov s e va a kov ob ča o zka e a o ve e o, a b s k č v o zvoč a s e zk o o ko ova 3 e v a k , e bo e, a o ašega zvoč ka ove č o a 16 , ko ko e ob ča a v e os o a s ša k. ˇe b v avo av vak a več ž ce, ebe e 0,2 , b ob že ece e o o ve ko avo s ka 3 . o až e oveča o ako, a k aš av za o e o veže o še 8 o k. o ko o s eš ev. o a o k v e e va a , ve a a a zvoč k za a ega s abš zko s ek. e e e g e, k o o a a e va a k, o ab a o 2 Zvočnik iz lončka, žica iz magneta • • bor gregorčič slika 1. Tuljavo z lepilnim trakom prilepimo na spodnjo stran dna lončka. Na sliki je tuljava, narejena iz 0,1 mm debele žice. • Presek 39 (2011/2012) 5 12 f i z i k a Majhen zvočnik iz lončka, žice in magneta je preprosto izdelati, mehanizem njegovega delova- nja pa je enak kot pri običajnih zvočnikih, ki jih običajno uporabljamo za poslušanje glasbe. Za iz- delavo zvočnika potrebujemo lakirano bakreno žico, debeline 0,1 mm (lahko tudi 0,2 mm), pla- stičen ali stiroporen lonček ter majhen močan ma- gnet. Neodimovi magneti so še posebej primerni. Najprej žico navijemo v tuljavo. To storimo s po- močjo kemičnega svinčnika, na katerega navijemo približno tri metre 0,1 mm žice. Če imamo na vo- ljo ohmmeter, lahko izmerimo upor odmerjene žice in se preprǐcamo, da je njen upor 8Ω. Tuljavo sti- snemo med prsti, da jo nekoliko sploščimo. Na obeh koncih pustimo približno deset centimetrov proste žice, da bomo tuljavo lahko priključili na ojačeval- nik. Tuljavo na spodnjo stran dna lončka prilepimo z lepilnim trakom (slika 1). Nato na ta trak z novim kosom lepilnega traku prilepimo še magnet tako, da njegova os sovpada z osjo tuljave (slika 2). Slika1 Slika2 Konca žice obrusimo z brusnim papirjem ali po- strgamo z ostrim nožem, da odstranimo izolacijski lak. Zvočnik je sedaj nared in ga lahko preizkusimo. Obrušena priključka tuljave priključimo na izhod avdio ojačevalnika, ki je namenjen priključevanju zvočnikov. Nato previdno povečujemo glasnost, do- kler ne zaslišimo zvoka. Z glasnostjo ne pretira- vamo. Glasnosti ne povečujemo preko vrednosti, pri kateri poslušamo glasbo z običajnimi zvočniki. Pa- zimo tudi, da priključkov ojačevalnika ne staknemo. Ojačevalnik za delovanje potrebuje vhodni signal. Kot vir glasbe nanj lahko priključimo predvajalnik plošč, prenosni predvajalnik mp3 ali pa radio spre- jemnik. Če hočemo zvočnik napajati neposredno iz pred- vajalnika mp3, se moramo nekoliko bolj potruditi. Čeprav je izhodna moč tovrstnih predvajalnikov obi- čajno nizka in je malo verjetno, da bi s priključitvijo zvočnika s prenizkim uporom škodovali mp3 pred- vajalniku, je bolje, da upor našega zvočnika pove- čamo na 16Ω, kolikor je običajna vrednost upora slu- šalk. Če bi v tuljavo navili dvakrat več žice, debeline 0,2 mm, bi dobili že precej nerodno veliko tuljavo (slika 3). Upor lažje povečamo tako, da k naši tuljavi zaporedno vežemo še 8Ω upornik. To je kompro- misna rešitev. Dodatni upornik varuje predvajalnik, vendar pa ima zvočnik zaradi tega slabši izkoristek. Del energije, ki jo oddaja predvajalnik, porablja upor 2 za gretje in le preostali del se porabi za delovanje zvočnika. Zvočnik brez dodatnega upora lažje nare- dimo, če imamo na voljo žico debeline 0,1 mm. Pri- bližno šest metrov žice, debeline 0,1 mm zadostuje za tuljavo z uporom 16Ω. Zvočnik s takšno tuljavo ima boljši izkoristek in je glasnejši. Slika3 Zvočnik priključimo na izhod predvajalnika mp3 tako, da razdremo stare slušalke in žički, ki vodita v eno slušalko, povežemo na priključka tuljave. Žico, ki vodi do ene od slušalk, odrežemo pri slušalki in s konca žice snamemo plastični ovoj. Znotraj ovoja sta dve tanjši žici, ki sta običajno različnih barv. Konca teh dveh žic obrusimo, kot smo to storili s priključ- koma tuljave. Žici, ki sta prej vodili v slušalko prici- nimo na priključka našega zvočnika (slika 4). Glasnost takšnega sistema je precej manjša kot pri uporabi ojačevalnika, prav tako pa je izdelava neko- liko bolj zapletena (potrebujemo tanjšo žico, ki je težje dostopna, za izdelavo pa je potrebno tudi ci- njenje žic). Če želimo glasnejši in preprostejši zvoč- nik, je priporočljiva 8Ω različica iz 0,2 mm debele žice. Tak zvočnik za delovanje potrebuje avdio oja- čevalnik. Slika4 Kakovost zvočne reprodukcije tako izdelanega zvočnika je seveda slaba, vendar zadostuje za po- slušanje govora. Tudi stara glasba zveni precej očar- ljivo. Oceno razmerja cene in kakovosti pa naj naredi bralec sam. 3 za gretje in le preostali del se orab za delovanje zv čnika. Zvočnik brez dodatnega upora lažje nare- dimo, če imamo na voljo žico debeline 0,1 mm. Pr bližno šest metrov žice, debel ne 0,1 mm zadostuje za tuljavo z uporom 16Ω. Zvoˇnik s takšno tuljavo ima boljši izkor stek in je glasnejši. Slika3 Zvočnik priključimo na izhod predvajalnika mp3 tako, da razdremo stare slušalke in žički, ki vodita v en slušalko, povežemo na priključka tuljave. Žic , ki vodi do ene od slušalk, odrežemo pr slušalki in s konca žice sn memo plastič i ov j. Znotraj ovoja sta dve tanjši žici, ki sta običajno različnih barv. Konca teh dveh žic obrusimo, kot smo to storili s priključ- koma tuljave. Žici, ki sta prej vodili v slušalko prici- nimo na priključka našega zvočnika (slika 4). Glasnost takšnega sistema je precej manjša kot pri uporabi ojačevalnika, prav tako pa je izdelava neko- liko bolj zapletena (potrebujemo tanjšo žico, ki je težje dostopna, za izdelavo pa je potrebno tudi ci- njenje žic). Če želimo glasnejši in preprostejši zvoč- nik, je priporočljiva 8Ω različica iz 0,2 mm debele žice. Tak zvočnik za delovanje potrebuje avdio oja- čevalnik. Slika4 Kakovost zvočne reprodukcije tako izdelanega zvočnika je seveda slaba, vendar zadostuje za po- slušanje govora. Tudi stara glasba zveni precej očar- ljivo. Oceno razmerja cene in kakovosti pa naj naredi bralec sam. 3 Majhen zvočnik iz lončka, žice in magneta je preprosto izdelati, mehanizem njegovega delova- nja pa je enak kot pri običajnih zvočnikih, ki jih običajno uporabljamo za poslušanje glasbe. Za iz- delavo zvočnika potrebujemo lakirano bakreno žico, debeline 0,1 mm (lahko tudi 0,2 mm), pla- stičen ali stiroporen lonček ter majhen močan ma- gnet. Neodimovi magneti so še posebej primerni. Najprej žico navijemo v tuljavo. To storimo s po- močjo kemičnega svinčnika, na katerega navijemo približno tri metre 0,1 mm žice. Če imamo na vo- ljo ohmmeter, lahko izmerimo upor odmerjene žice in se preprǐcamo, da je njen upor 8Ω. Tuljavo sti- snemo med prsti, da jo nekoliko sploščimo. Na obeh koncih pustimo približno deset centimetrov proste žice, da bomo tuljavo lahko priključili na ojačeval- nik. Tuljavo na spodnjo stran dna lončka prilepimo z lepilnim trakom (slika 1). Nato na ta trak z novim kosom lepilnega traku prilepimo še magnet tako, da njegova os sovpada z osjo tuljave (slika 2). Slika1 Slika2 Konca žice obrusimo z brusnim papirjem ali po- strgamo z ostrim nožem, da odstranimo izolacijski lak. Zvočnik je sedaj nared in ga lahko preizkusimo. Obrušena priključka tuljave priključimo na izhod avdio ojačevalnika, ki je namenjen priključevanju zvočnikov. Nato previdno povečujemo glasnost, do- kler ne zaslišimo zvoka. Z glasnostjo ne pretira- vamo. Glasnosti ne povečujemo preko vrednosti, pri kateri poslušamo glasbo z običajnimi zvočniki. Pa- zimo tudi, da priključkov ojačevalnika ne staknemo. Ojačevalnik za delovanje potrebuje vhodni signal. Kot vir glasbe nanj lahko priključimo predvajalnik plošč, prenosni predvajalnik mp3 ali pa radio spre- jemnik. Če hočemo zvočnik napajati neposredno iz pred- vajalnika mp3, se moramo nekoliko bolj potruditi. Čeprav je izhodna moč tovrstnih predvajalnikov obi- čajno nizka in je malo verjetno, da bi s priključitvijo zvočnika s prenizkim uporom škodovali mp3 pred- vajalniku, je bolje, da upor našega zvočnika pove- čamo na 16Ω, kolikor je običajna vrednost upora slu- šalk. Če bi v tuljavo navili dvakrat več žice, debeline 0,2 mm, bi dobili že precej nerodno veliko tuljavo (slika 3). Upor lažje povečamo tako, da k naši tuljavi zaporedno vežemo še 8Ω upornik. To je kompro- misna rešitev. Dodatni upornik varuje predvajalnik, vendar pa ima zvočnik zaradi tega slabši izkoristek. Del energije, ki jo oddaja predvajalnik, porablja upor 2 Majhen zvočnik iz lončka, žice in magneta je preprosto izdelati, mehanizem njegovega delova- nja pa je enak kot pri običajnih zvočnikih, ki jih običajno uporabljamo za poslušanje glasbe. Za iz- delavo zvočnika potrebujemo lakirano bakreno žico, debeline 0,1 mm (lahko tudi 0,2 mm), pla- stičen ali stiroporen lonček ter majhen močan ma- gnet. Neodimovi magneti so še posebej primerni. Najprej žico navijemo v tuljavo. To storimo s po- močjo kemičnega svinčnika, na katerega navijemo približno tri metre 0,1 mm žice. Če imamo na vo- ljo ohmmeter, lahko izmerimo upor odmerjene žice in se preprǐcamo, da je njen upor 8Ω. Tuljavo sti- snemo med prsti, da jo nekoliko sploščimo. Na obeh koncih pustimo približno deset centimetrov proste žice, da bomo tuljavo lahko priključili na ojačeval- nik. Tuljavo na spodnj stran dna lončka prilepimo z lepilnim trakom (sl ka 1). Nato n ta tr k z novim kosom lepilnega traku prilepimo še magnet tako, da njegova os sovpada z osjo tuljave (slika 2). Slika1 Slika2 Konca žice obrusimo z brusnim papirjem ali po- strgamo z ostrim nožem, da odstranimo izolacijski lak. Zvočnik je sedaj nared in ga lahko preizkusimo. Obrušena priključka tuljave priključimo na izhod avdio ojačevalnika, ki je namenjen priključevanju zvočnikov. Nato previdno povečujemo glasnost, do- kler ne zaslišimo zvoka. Z glasnostjo ne pretira- vamo. Glasnosti ne povečujemo preko vrednosti, pri kateri poslušamo glasbo z običajnimi zvočniki. Pa zimo tudi, da priključkov oj čevalnika ne staknemo. Ojače alnik za delovanj potrebuje vhodni signal Kot vir glasbe nanj lahko priključimo predvajalnik plošč, prenosni predvajalnik p3 ali a radio spre- jemnik. Če hočemo zv čnik napajati nep red o iz pred jalnika mp3, se m ramo nekoliko bolj potruditi. Čeprav je izhodna moč tovrstnih predvajalnikov obi čajn nizka in je malo verjetno, da bi s priključitvijo zvo nika s prenizkim uporom škodovali mp3 pred- vajalniku, je bolje, d upor našega zvočnika pove- čamo na 16Ω, kolikor je običajna vrednost up ra slu šalk. Če bi v tuljavo navili dvakrat več žice, debeline 0,2 mm, bi dobili že prece nerodno veliko tuljavo (slika 3). Upor lažje p večamo tako, da k naši t ljavi za oredno vežemo še 8Ω upornik. To je kompro misna rešitev. Dod tni upor ik v ruje edvajaln k, vendar pa ima zvočnik zaradi tega slabš izkorist k. Del e ergije, ki jo od ja redv jalnik, porablja upor 2 lika 2. Pre o tuljave z novim kosom lepiln ga traku nalepimo še ne- odimov magnetek. Os tuljave naj sovpada z osjo magn tka. slika 3. Na sliki sta tuljava iz 0,1 mm debele žice (p d magne m) in tul ava iz 0,2 mm žice. Obe imata upor 16Ω. Če hočem nar diti tulja o z enakim uporom iz 0,2 mm debele žice, mo ramo uporabiti štirikrat daljšo žico kot v prvem primeru. Pro- stornina bakra v tuljavi iz 0,2 mm žice je torej šestnajstkrat večj kot pri 0,1 mm žici. • presek 39 (2011/2012) 5 13 f i z i k a www.dmfa-zaloznistvo.si www.dmfa.si za gretje in le preostali del se porabi za delovanje zvočnika. Zvočnik brez dodatnega upora lažje nare- dimo, če imamo na voljo žico debeline 0,1 mm. Pri- bližno šest metrov žice, debeline 0,1 mm zadostuje za tuljavo z uporom 16Ω. Zvočnik s takšno tuljavo ima boljši izkoristek in je glasnejši. Slika3 Zvočnik priključimo na izhod predvajalnika mp3 tako, da razdremo stare slušalke in žički, ki vodita v eno slušalko, povežemo na priključka tuljave. Žico, ki vodi do ene od slušalk, odrežemo pri slušalki in s konca žice snamemo plastični ovoj. Znotraj ovoja sta dve tanjši žici, ki sta običajno različnih barv. Konca teh dveh žic obrusimo, kot smo to storili s priključ- koma tuljave. Žici, ki sta prej vodili v slušalko prici- nimo na priključka našega zvočnika (slika 4). Glasnost takšnega sistema je precej manjša kot pri uporabi ojačevalnika, prav tako pa je izdelava neko- liko bolj zapletena (potrebujemo tanjšo žico, ki je težje dostopna, za izdelavo pa je potrebno tudi ci- njenje žic). Če želimo glasnejši in preprostejši zvoč- nik, je priporočljiva 8Ω različica iz 0,2 mm debele žice. Tak zvočnik za delovanje potrebuje avdio oja- čevalnik. Slika4 Kakovost zvočne reprodukcije tako izdelanega zvočnika je seveda slaba, vendar zadostuje za po- slušanje govora. Tudi stara glasba zveni precej očar- ljivo. Oceno razmerja cene in kakovosti pa naj naredi bralec sam. 3 Literatura [1] Leoš Dvořak, Informal Physics Education and Te- achers’ Training – Some Examples and Experien- ces. [2] Planinšič G. in Mohorič A., Informal learning and public understanding of physics: selected contri- butions, Ljubljana, Faculty of Mathematics and Physics, 2006, str. 86–95. 4 Literatura [1] Leoš Dvořak, Informal Physics Education and Te- achers’ Training – Some Examples and Experien- ces. [2] Planinšič G. in Mohorič A., Informal learning and public understanding of physics: selected contri- butions, Ljubljana, Faculty of Mathematics and Physics, 2006, str. 86–95. 4 za gretje in e preostali del se porabi z delovanje zvočnika. Zvočnik brez dodatnega upor lažje nare- dimo, če imamo a voljo žico debeline 0,1 mm. Pri bližno šest m rov žice, debeline 0,1 mm zadostu za tuljavo z uporom 16Ω. Zvočnik s takšno t ljavo ima boljši izkoristek in je glasnejši. Slika3 Zvočnik priključimo na izhod predvajalnika mp3 tako, da razdremo stare slušalke in žički, ki vodita v eno slušalko, povežemo na priključka tuljave. Žico, ki vodi d ene od slušalk, odrežemo pri slušalki in s kon a žice snamemo plastični ovoj. Zn traj ovoja sta dve tanjši žici, ki sta obič jno različnih barv. K nca teh dveh žic obrusimo, kot smo to storili s priključ- koma tuljave. Žici, ki sta prej vodili v slušalko prici- nimo na priključka našega zvočnika (slika 4). Glasnost takšnega sistema je precej manjša kot pri uporabi ojačevalnika, prav tako pa je izdelava neko- liko bolj zapletena (potrebujemo tanjšo žico, ki je težje dostopna, za izdelavo pa je potrebno tudi ci- njenje žic). Če želimo glasnejši in preprostejši zvoč- nik, je priporočljiva 8Ω različica iz 0,2 mm debele žice. Tak zvočnik za delovanje potrebuje avdio oja- čevalnik. Slika4 Kakovost zvočne reprodukcije tako izdelanega zvočnika je seveda slaba, vendar zadostuje za po- slušanje govora. Tudi stara glasba zveni precej očar- ljivo. Oceno razmerja cene in kakovosti pa naj naredi bralec sam. 3 slika 4. Na zvočnik lahko pripeljemo signal z enega od obeh ka- nalov predvajalnika mp3, ki ima običajno stereo izhod. Na sliki sta žici, ki sta vodili v eno od slušalk, pricinjeni na pr ljučka tuljave. ratura Križne vsote • Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9, tako, da je vsota števk v zapore- dnih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa mo- rajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) raz- lične. 1 14 14 8 6 20 10 16 6 12 4 16 22 7 11 97 5157 31691 589 25 14 148 620 10 16 612 416 22 7 11 rešitev • • • Presek 39 (2011/2012) 5 Grelne blazinice so iz snovi, imenovane natri- jev acetat, s kemijsko formulo NaCH3COO, ki se pri temperaturi okoli 58◦C stali. Je pa snov mo- goče krepko podhladiti. Kaj pravzaprav pomeni podhlajena tekočina, smo razpravljali že v poizku- ševalnici [1]. Tedaj smo podhladili vodo za nekaj stopinj in potem opazovali njeno skoraj hipno zmr- zovanje. Podhlajena je tekočina takrat, kadar je njena tempe- ratura nižja od temperature strdišča oziroma tališča (za vodo pravimo tudi zmrzišče), nahaja pa se še ve- dno v tekočem stanju. Destilirano vodo, obdano z mešanico ledu in soli, je mogoče podhladiti za 10◦C in več pod njeno običajno zmrzišče 0◦C. Ob tresljaju podhlajena voda nenadoma zmrzne, pri zmrzovanju odda toploto, ki preostalo vodo segreje natanko do temperature tališča, torej do 0◦C. Dogajanje v grelnih blazinicah je enako, le da ima natrijev acetat višjo temperaturo tališča oziroma str- dišča, ga je mogoče precej podhladiti in je poleg tega podhlajen zelo stabilen. Ko pravimo stabilen, po- meni, da že z rahlim tresljajem ne sprožimo kristali- zacije, kot je to pri vodi. Z grelno blazinico torej postopamo na naslednji način. Če je že kristalizirana, jo najprej segrejemo preko temperature tališča natrijevega acetata. To najlažje storimo tako, da jo vržemo v vrelo vodo in čakamo tako dolgo, da se stali ves kristal. Potem jo ohladimo. Blazinica je videti takšna kot blazinica pri nalogi v prejšnji številki Preseka. Napolnjena je s te- kočino. V blazinici se nahaja bodisi plošček bodisi palička. Plošček ali paličko prepognemo in spustimo, kristali- zacija se sproži. Okoli ploščka zacvetijo kristali, bla- zinica pa se segreje na temperaturo tališča acetata. Dogajanje je hitro, saj celotna kristalizacija traja le okoli deset sekund. Kako poteka, vidimo na slikah 1a–d. Toplotna kapaciteta blazinice je precejšnja, zato si z blazinico, ko se je segrela ob kristalizaciji, lahko grejemo roke skoraj kakšno uro. V literaturi najdemo razlago, da se v narezljanih delih ploščka skrivajo kristali, ki se med segreva- njem zaradi večjega tlaka ob stisku kovine med za- rezami niso stalili [2]. Te kristale sprostimo pri pre- pogibu ploščka in potem služijo kot kondenzacijska jedra, ki sprožijo kristalizacijo. Sama nisem prepri- čana, da je to res pravi razlog. Razmislek je nasle- dnji: odvisnost tališča od tlaka je navadno takšna, da moramo tlak povečati za nekaj 100 barov, da se ta- lišče spremeni za nekaj stopinj. Kakšna je dejansko ta odvisnost pri natrijevem acetatu, ne vemo, pa tudi hiter pregled literature ne pomaga. K temu razlogu lahko prispevajo tudi interakcije natrijevega acetata s površinami prožilne ploščice. Če te interakcije vpli- vajo tako, da je za natrijev acetat ugodneje, da se na- haja v kristalnem stanju, če je ob stiku s kovino, po- tem v zarezah morda res kristalčki lahko preživijo. A vseeno se zdi, da je vpliv ploščice preprostejši. 2 , , , . . , . . , , . , , . , , , . , , . , , , . . , . , , . . . . . , . , . , . , . , , , . , , . , . , . : , , . , , . . , , , , . , . l l i i i i i t i- j t t ij f l 3 i i t t i li ◦ t li - l iti j i l j t i lj li i - l i i [ ] j l ili j t i j i t li j j i - j l j j t i t r t r j j t - r t r i j t r t r tr i ir t li ( r i t i r i ) j - t t j tilir i l i li j l iti ◦ i j i j r i ◦ tr lj j l j r ri r j t l t i r t l r j t t r t r t li t r j ◦ j j r l i l i i j l i trij t t i j t r t r t li ir tr- i j r j l iti i j l t l j l t il r i t il - i r li tr lj j r i ri t li- ij t j t ri i r l l i i t r j t l ji i j ri t li ir j j r j r j r t r t r t li trij t t jl j t ri t j r r l i t l t li ri t l t j l i l i i j i ti t t l i i ri l i r j ji t il i r l j j t - i l i i i j i i l i i li l li li r i ti ri t li- ij r i li l tij ri t li l - i i r j t r t r t li t t j j j itr j l t ri t li ij tr j l li t t i i li l t it t l i i j r j j t i l i i j r l ri t li iji l r j r r j r lit r t ri j r l r lj i li l ri j ri t li i r - j r i j tl ti i - r i i t lili [ ] ri t l r ti ri r - i l i t l ij t ij j r i r ij ri t li ij i r ri- j t r r i r l i l j l - ji i t t li tl j t r tl ti j r t - li r i j t i j j j t i t ri trij t t t i it r r l lit r t r t r l l ri j t i i t r ij trij t t r i i r il l i t i t r ij li- j t j trij t t j - j ri t l t j j ti i - t r r r ri t l i l r i ij i j li l i r r t j i re e az ce so z s o , e o a e a r e ace a , s e s o or o a , se r e era r o o 58 s a . Je a s o o goče re o o a . a ra za ra o e o a e a e oč a, s o raz ra a že o z še a c 1 . e a s o o a o o za e a s o o e o azo a e o s ora o z r zo a e. Po a e a e ekoč a ak a , ka a e e a e e a a ž a o e e a e s šča oz o a a šča za vo o av o z z šče , a a a a se še ve o v ekoče s a . es a o vo o, ob a o z eša co e so , e ogoče o a za 10 več o e o ob ča o z z šče 0 . b es a o a e a vo a e a o a z z e, z zova o a o o o, k eos a o vo o seg e e a a ko o e e a e a šča, o e o 0 . oga a e v g e b az ca e e ako, e a a a ev ace a v š o e e a o a šča oz o a s šča, ga e ogoče ece o a e o eg ega o a e ze o s ab e . o av o s ab e , o e , a že z a es a e e s ož o k s a zac e, ko e o vo . g e o b az co o e os o a o a as e ač . ˇe e že k s a z a a, o a e seg e e o eko e e a e a šča a evega ace a a. o a až e s o o ako, a o v že o v v e o vo o čaka o ako o go, a se s a ves k s a . Po e o o a o. B az ca e v e akš a ko b az ca a og v e š š ev k P eseka. a o e a e s e koč o. b az c se a a a bo s ošček bo s a čka. P ošček a a čko e og e o s s o, k s a zac a se s ož . ko oščka zacve o k s a , b a z ca a se seg e e a e e a o a šča ace a a. oga a e e o, sa ce o a k s a zac a a a e oko ese sek . ako o eka, v o a s ka 1a– . o o a ka ac e a b az ce e ece š a, za o s z b az co, ko se e seg e a ob k s a zac , a ko g e e o oke sko a kakš o o. e a a e o az ago, a se v a ez a e oščka sk va o k s a , k se e seg eva e za a več ega aka ob s sk kov e e za eza so s a 2 . e k s a e s os o e og b oščka o e s ž o ko ko e zac ska e a, k s ož o k s a zac o. Sa a se e ča a, a e o es av az og. az s ek e as e : o v s os a šča o aka e ava o akš a, a o a o ak oveča za eka 100 ba ov, a se a šče s e e za eka s o . akš a e e a sko a o v s os a eve ace a , e ve o, a e eg e e a e e o aga. e az og a ko s eva o e akc e a evega ace a a s ov š a ož e ošč ce. ˇe e e akc e v va o ako, a e za a ev ace a go e e, a se a a a v k s a e s a , če e ob s k s kov o, o e v za eza o a es k s a čk a ko ež v o. vsee o se z , a e v v ošč ce e os e š . 2 G ln bl ini i n vi, i n v n n t i- j v t t, k ij k f ul N CH3COO, ki p i t p tu i k li ◦C t li. p n v - k pk p dhl diti. K j p v p v p ni p dhl j n t k in , p vlj li v p i ku- v lni i [ ]. T d j p dhl dili v d n k j t pinj in p t p v li nj n k j hipn - v nj . dhl j n j t in t r t, d r j nj n t p - r tur ni j d t p r tur trdi ir t li ( d pr i tudi r i ), n h j p - dn t t nju. D tilir n d , d n ni l du in li, j p dhl diti ◦C in p d nj n i jn r i ◦C. O tr lj ju p dhl j n d n n d r n , pri r nju dd t pl t , i pr t l d r j n t n d t p r tur t li , t r j d ◦C. D j nj r lnih l ini h j n , l d i n trij t t i j t p r tur t li ir tr- di , j pr j p dhl diti in j p l t p dhl j n l t il n. K pr i t il n, p - ni, d r hli tr lj j n pr i ri t li- ij , t j t pri di. Z r ln l ini t r j p t p n n l dnji n in. C j ri t li ir n , j n jpr j r j pr t p r tur t li n trij t t . T n jl j t ri t , d j r r l d in t d l , d t li ri t l. t j hl di . l ini j id ti t n t l ini pri n l i pr j nji t il i r . N p lnj n j t - in . V l ini i n h j di i pl di i p li . l li p li pr p n in pu ti , ri t li- ij pr i. O li pl tij ri t li, l - ini p r j n t p r tur t li t t . D j nj j hitr , j l tn ri t li ij tr j l li d t und. K p t , idi n li h d. T pl tn p it t l ini j pr j nj , t i l ini , j r l ri t li iji, l h r j r r j n ur . V lit r turi n jd r l , d n r lj nih d lih pl ri j ri t li, i d r - nj r di j tl ti u in d - r i ni t lili [ ]. T ri t l pr ti pri pr - p i u pl in p t lu ij t nd n ij j dr , i pr ij ri t li ij . ni pr pri- n , d j t r pr i r l . R i l j n l - dnji: d i n t t li d tl j n dn t n , d r tl p ti n j r , d t - li pr ni n j t pinj. K n j d j n t d i n t pri n trij t tu, n , p tudi hit r pr l d lit r tur n p . K t u r l u l h pri p j tudi int r ij n trij t t p r in i pr iln pl i . C t int r ij pli- j t , d j n trij t t u dn j , d n - h j ri t ln t nju, j ti u in , p - t r h rd r ri t l i l h pr i ij . A n di, d j pli pl i pr pr t j i. m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m rel e lazi ice so iz s o i, i e o a e a ri- je ace a , s e ijs o or lo a , i se ri e era ri o oli 58 s ali. Je a s o o- goče re o o la i i. aj ra za ra o e i o laje a e oči a, s o raz ra ljali že oiz - še al ici [1]. e aj s o o la ili o o za e aj s o i j i o e o azo ali je o s oraj i o z r- zo a je. Po laje a je ekoči a ak a , ka a je je a e e- a a ižja o e e a e s išča ozi o a ališča (za vo o avi o i z zišče), a aja a se še ve- o v ekoče s a j . es ili a o vo o, ob a o z eša ico le i soli, je ogoče o la i i za 10 i več o je o običaj o z zišče 0 . b esljaj o laje a vo a e a o a z z e, i z zova j o a o lo o, ki eos alo vo o seg eje a a ko o e e a e ališča, o ej o 0 . ogaja je v g el i blazi ica je e ako, le a i a a ijev ace a višjo e e a o ališča ozi o a s - išča, ga je ogoče ecej o la i i i je oleg ega o laje zelo s abile . o avi o s abile , o- e i, a že z a li esljaje e s oži o k is ali- zacije, ko je o i vo i. g el o blazi ico o ej os o a o a asle ji ači . ˇe je že k is alizi a a, jo aj ej seg eje o eko e e a e ališča a ijevega ace a a. o ajlažje s o i o ako, a jo v že o v v elo vo o i čaka o ako olgo, a se s ali ves k is al. Po e jo o la i o. Blazi ica je vi e i akš a ko blazi ica i alogi v ejš ji š evilki P eseka. a ol je a je s e- koči o. blazi ici se a aja bo isi lošček bo isi alička. Plošček ali aličko e og e o i s s i o, k is ali- zacija se s oži. koli loščka zacve ijo k is ali, bla- zi ica a se seg eje a e e a o ališča ace a a. ogaja je je i o, saj celo a k is alizacija aja le okoli ese sek . ako o eka, vi i o a slika 1a– . o lo a ka aci e a blazi ice je ecejš ja, za o si z blazi ico, ko se je seg ela ob k is alizaciji, la ko g eje o oke sko aj kakš o o. li e a i aj e o azlago, a se v a ezlja i eli loščka sk ivajo k is ali, ki se e seg eva- je za a i večjega laka ob s isk kovi e e za- eza i iso s alili [2]. e k is ale s os i o i e- ogib loščka i o e sl žijo ko ko e zacijska je a, ki s ožijo k is alizacijo. Sa a ise e i- ča a, a je o es avi azlog. az islek je asle- ji: o vis os ališča o laka je ava o akš a, a o a o lak oveča i za ekaj 100 ba ov, a se a- lišče s e e i za ekaj s o i j. akš a je eja sko a o vis os i a ijeve ace a , e ve o, a i i e egle li e a e e o aga. e azlog la ko is evajo i i e akcije a ijevega ace a a s ov ši a i ožil e loščice. ˇe e i e akcije v li- vajo ako, a je za a ijev ace a go eje, a se a- aja v k is al e s a j , če je ob s ik s kovi o, o- e v za eza o a es k is alčki la ko eživijo. vsee o se z i, a je v liv loščice e os ejši. 2 Da se kristalizacija sproži, je potrebna energija, podobno kot pri vžigalicah. Snov na kapici vžigalice in les sam na zraku ne zagorita sama od sebe. Ke- mijska reakcija, ki se kaže v gorenju, se sproži šele, ko vžigalico podrgnemo ali približamo ognju. Pri dr- gnjenju ob stranico vžigalične škatlice pride snov v stik s snovjo na stranici, ki zniža potrebno tempe- raturo snovi za vžig. To temperaturo dosežemo že s trenjem vžigalice ob drgnjenju. Če vžigalico ob stranico samo prislonimo, vžigalica ne bo zagorela. Lahko pa seveda vžigalico močno pogrejemo tako, da jo vtaknemo v ogenj in tedaj zagori brez dodatka snovi s površine škatlice vžigalic. V obeh primerih smo za začetek procesa, ki poteka sam od sebe, mo- rali dodati začetno energijo. Z upogibom in sprostitvijo ploščice povzročimo, da se molekule snovi ob ploščici začno hitreje pre- mikati, pri trkih med njimi so energijske izmenjave večje in kristalizacija se sproži. Zakaj menimo, da je ta razlaga bolj verjetna? V fiziki poznamo načelo, da so navadno enostavnejše razlage za pojave bolj verjetne, in ta se zdi enostavnejša od spreminjanja tališča s tlakom v kombinacij z interakcijami s povr- šinami. Imamo tudi grelno blazinico brez ploščka. V njej je paličica. Paličica je take oblike, da nikjer ni mogoče skriti ali zatakniti nestaljenih kristalov. Pa vseeno deluje. Paličko prepognemo, jo spustimo in kristalizacija se začne. Slika 1 3 Grelne blazinice so iz snovi, imenovane natri- jev acetat, s kemijsko formulo NaCH3COO, ki se pri temperaturi okoli 58◦C stali. Je pa snov mo- goče krepko podhladiti. Kaj pravzaprav pomeni podhlajena tekočina, smo razpravljali že v poizku- ševalnici [1]. Tedaj smo podhladili vodo za nekaj stopinj in potem opazovali njeno skoraj hipno zmr- zovanje. Podhlajena je tekočina takrat, kadar je njena tempe- ratura nižja od temperature strdišča oziroma tališča (za vodo pravimo tudi zmrzišče), nahaja pa se še ve- dno v tekočem stanju. Destilirano vodo, obdano z mešanico ledu in soli, je mogoče podhladiti za 10◦C in več pod njeno običajno zmrzišče 0◦C. Ob tresljaju podhlajena voda nenadoma zmrzne, pri zmrzovanju odda toploto, ki preostalo vodo segreje natanko do temperature tališča, torej do 0◦C. Dogajanje v grelnih blazinicah je enako, le da ima natrijev acetat višjo temperaturo tališča oziroma str- dišča, ga je mogoče precej podhladiti in je poleg tega podhlajen zelo stabilen. Ko pravimo stabilen, po- meni, da že z rahlim tresljajem ne sprožimo kristali- zacije, kot je to pri vodi. Z grelno blazinico torej postopamo na naslednji način. Če je že kristalizirana, jo najprej segrejemo preko temperature tališča natrijevega acetata. To najlažje storimo tako, da jo vržemo v vrelo vodo in čakamo tako dolgo, da se stali ves kristal. Potem jo ohladimo. Blazinica je videti takšna kot blazinica pri nalogi v prejšnji številki Preseka. Napolnjena je s te- kočino. V blazinici se nahaja bodisi plošček bodisi palička. Plošček ali paličko prepognemo in spustimo, kristali- zacija se sproži. Okoli ploščka zacvetijo kristali, bla- zinica pa se segreje na temperaturo tališča acetata. Dogajanje je hitro, saj celotna kristalizacija traja le okoli deset sekund. Kako poteka, vidimo na slikah 1a–d. Toplotna kapaciteta blazinice je precejšnja, zato si z blazinico, ko se je segrela ob kristalizaciji, lahko grejemo roke skoraj kakšno uro. V literaturi najdemo razlago, da se v narezljanih delih ploščka skrivajo kristali, ki se med segreva- njem zaradi večjega tlaka ob stisku kovine med za- rezami niso stalili [2]. Te kristale sprostimo pri pre- pogibu ploščka in potem služijo kot kondenzacijska jedra, ki sprožijo kristalizacijo. Sama nisem prepri- čana, da je to res pravi razlog. Razmislek je nasle- dnji: odvisnost tališča od tlaka je navadno takšna, da moramo tlak povečati za nekaj 100 barov, da se ta- lišče spremeni za nekaj stopinj. Kakšna je dejansko ta odvisnost pri natrijevem acetatu, ne vemo, pa tudi hiter pregled literature ne pomaga. K temu razlogu lahko prispevajo tudi interakcije natrijevega acetata s površinami prožilne ploščice. Če te interakcije vpli- vajo tako, da je za natrijev acetat ugodneje, da se na- haja v kristalnem stanju, če je ob stiku s kovino, po- tem v zarezah morda res kristalčki lahko preživijo. A vseeno se zdi, da je vpliv ploščice preprostejši. 2 Kako nas pogreje? o d g o v o r n a l o g e • mojca čepič 14 f i z i k a p o iz k u š e v a l n ic a v m r z l i n a r a v i presek 39 (2011/2012) 5 slika 1. Slika a) Grelna blazinica s snovjo v tekočem stanju. Dobro je viden tudi prožilni plošček. b) Začetek kristalizacije, ki se širi navzven od začetka na prožilnem ploščku. c) Nadaljevanje kristalizacije. d) Blazinica z natrijevim acetatom kristalizira- nim v celoti. (Foto: Katarina Susman) Literatura [1] Čepič M., Podhlajena voda: odgovor naloge, Pre- sek, 2007/2008, 35 5, 18–19. [2] Sandnes B., The physics and the chemistry of the heat pad, Am. Jou. Phys., 2008, 76, 546–550. 4 Literatura [1] Čepič M., Podhlajena voda: odgovor naloge, Pre- sek, 2007/2008, 35 5, 18–19. [2] Sandnes B., The physics and the chemistry of the heat pad, Am. Jou. Phys., 2008, 76, 546–550. 4 Da se kristalizacija sproži, je potrebna energija, podobno kot pri vžigalicah. Snov na kapici vžigalice in les sam na zraku ne zagorita sama od sebe. Ke- mijska reakcija, ki se kaže v gorenju, se sproži šele, ko vžigalico podrgnemo ali približamo ognju. Pri dr- gnjenju ob stranico vžigalične škatlice pride snov v stik s snovjo na stranici, ki zniža potrebno tempe- raturo snovi za vžig. To temperaturo dosežemo že s trenjem vžigalice ob drgnjenju. Če vžigalico ob stranico samo prislonimo, vžigalica ne bo zagorela. Lahko pa seveda vžigalico močno pogrejemo tako, da jo vtaknemo v ogenj in tedaj zagori brez dodatka snovi s površine škatlice vžigalic. V obeh primerih smo za začetek procesa, ki poteka sam od sebe, mo- rali dodati začetno energijo. Z upogibom in sprostitvijo ploščice povzročimo, da se molekule snovi ob ploščici začno hitreje pre- mikati, pri trkih med njimi so energijske izmenjave večje in kristalizacija se sproži. Zakaj menimo, da je ta razlaga bolj verjetna? V fiziki poznamo načelo, da so navadno enostavnejše razlage za pojave bolj verjetne, in ta se zdi enostavnejša od spreminjanja tališča s tlakom v kombinacij z interakcijami s povr- šinami. Imamo tudi grelno blazinico brez ploščka. V njej je paličica. Paličica je take oblike, da nikjer ni mogoče skriti ali zatakniti nestaljenih kristalov. Pa vseeno deluje. Paličko prepognemo, jo spustimo in kristalizacija se začne. Sl ka 1 3 (a) (b) (c) (d) teratura 15 f i z i k a Presek 39 (2011/2012) 5 r a z v e d r i l o 16 Nagradna kr ižanka presek 39 (2011/2012) 5 r a z v e d r i l o 17 n a g r a d n i r a z p i s • Črke iz označenih polj po vrsti zapišite na Preseku priloženo dopisnico, dodajte tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi- snice pošljite na Presekov naslov (poštni- na je že plačana) do 15. maja 2012, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za nagrado prejeli Presekov paket. Presek 39 (2011/2012) 5 18 f i z i k a p o iz k u š e v a l n ic a v s o b i Danes se ne bomo pogovarjali o ribah v akva- riju, o vzdrževanju stalne temperature akvarijske vode, o problemih čiščenja vode v akvariju. Po- govarjali se bomo o totalnem odboju svetlobe in o disperziji, o dveh fizikalnih pojavih, katerih za- nimive posledice lahko v običajnem akvariju opa- zimo brez težav. Če akvarija nimate, je mogoče enake pojave opazo- vati v vsaki večji stekleni posodi z vodo. Morda vas pa naloga vzpodbudi za obisk akvarija? Tedaj se ne posvečajte le fizikalnim pojavom ampak tudi živim bitjem v akvarijskih posodah. Potrebščine: večja steklena posoda, skoraj do roba napolnjena z vodo, baterija, s katero lahko osvetlite vodo v posodi, kapljica ali dve mleka, kamen, kovanec ali podoben predmet, ki se lahko zmoči, lahek predmet, ki v vodi plava, gumijasta igračka ali kaj podobnega. Če boste opazovali pojave v akvariju, potem ne potrebujete niti mleka niti baterije niti predmetov. Nekateri pojavi bodo vidni bolje, če ima akvarij no- tranjo osvetlitev. Nalijte vodo v posodo in jo postavite na rob mize v dobro osvetljeni sobi. Počakajte, da se gladina umiri. Najprej poglejte skozi posodo od spodaj s strani tako, da poskusite pogledati skozi vodo (slika). Kaj vidite? Slika 1 V vodo spustite kamen in plavajočo igračko. Kaj vidite sedaj? V pravem akvariju opazujte ribe in ra- stline, predmetov ne potrebujete. Nato prislonite glavo čim bližje k posodi in posku- site pogledati skozi vodno gladino v strop (kot α naj bo čim manjši). Poskusite ugotoviti, kateri del pro- stora vidite v delu, kjer lahko gledate skozi vodno gladino od spodaj navzgor. Oglejte si rob, ki ločuje del gladine, ki je videti kot zrcalo, in del, skozi katerega lahko vidite. Ali ima barve? Če jih ima, kako si sledijo po vrsti? Poskusite narediti še naslednji poskus. V vodo ka- nite kapljico ali dve mleka, da postane nekoliko mo- tna. Vodo osvetlite z baterijo, prostor pa čim bolj zatemnite. Ali se je barvni rob kaj spremenil? Če opazujete akvarij z notranjo osvetlitvijo, eno- stavno zatemnite prostor in ugasnite ostale luči v 2 j li i - ij , j l ij , l i i j ij . - j li l j l i i iji, i l i j i , i - i i l i l i j ij - i . ij i , j j - i i ji l i i . l i i ij j j l i l i j i i i i j ij i . i : j l , j l j , ij , l li i, lji li l , , li , i l i, l , i i l , ij i li j . li j ij , j i i l i i ij i i . i j i i i lj , i ij - j li . lij i j i i lj i i. j , l i i i. j j l j i j i , i l i i ( li ). j i i li i i l j i . j i i j ij j i i - li , j . i l i l i li j i i - i l i i l i ( j i j i). i i i, i l - i i l , j l l i l i j . l j i , i l j l l i , i j i i l , i l, i l i i . li i ji i , i l ij i i i i l ji . - i lji li l , li - . li ij , i lj i . li j i j il j ij j li ij , - i i i l l i t t t t t t t t r t t t r r t t t r tr t r r t r t r t t r t r t t r t r t tr t t t t r t r t t r r tr t t t t t r r t t r r t tr t t t t t t r t r r t r r t r t tr t t r t t t tr t t t t t r r t r t r t r t r t t r t r t r r t t r t t t t t t t r r t r t t r r r t r tr t t t t t r t r t t anes se ne bo o pogovarjali o ribah v akva- riju, o vzdrževanju s alne e pera ure akvarijske vode, o proble ih čiščenja vode v akvariju. Po- govarjali se bo o o o alne odboju sve lobe in o disperziji, o dveh fizikalnih pojavih, ka erih za- ni ive posledice lahko v običajne akvariju opa- zi o brez ežav. Če akva ija ni a e, je ogoče enake pojave opazo- va i v vsaki večji s ekleni posodi z vodo. o da vas pa naloga vzpodbudi za obisk akva ija? Tedaj se ne posvečaj e le fizikalni pojavo a pak udi živi bi je v akva ijskih posodah. Po ebščine: večja s eklena posoda, sko aj do oba napolnjena z vodo, ba e ija, s ka e o lahko osve li e vodo v posodi, kapljica ali dve leka, ka en, kovanec ali podoben p ed e , ki se lahko z oči, lahek p ed e , ki v vodi plava, gu ijas a ig ačka ali kaj podobnega. Če bos e opazovali pojave v akva iju, po e ne po ebuje e ni i leka ni i ba e ije ni i p ed e ov. eka e i pojavi bodo vidni bolje, če i a akva ij no- anjo osve li ev. alij e vodo v posodo in jo pos avi e na ob ize v dob o osve ljeni sobi. Počakaj e, da se gladina u i i. ajp ej poglej e skozi posodo od spodaj s s ani ako, da poskusi e pogleda i skozi vodo (slika). Kaj vidi e? Slika 1 V vodo spus i e ka en in plavajočo ig ačko. Kaj vidi e sedaj? V p ave akva iju opazuj e ibe in a- s line, p ed e ov ne po ebuje e. a o p isloni e glavo či bližje k posodi in posku- si e pogleda i skozi vodno gladino v s op (ko naj bo či anjši). Poskusi e ugo ovi i, ka e i del p o- s o a vidi e v delu, kje lahko gleda e skozi vodno gladino od spodaj navzgo . glej e si ob, ki ločuje del gladine, ki je vide i ko z calo, in del, skozi ka e ega lahko vidi e. li i a ba ve? Če jih i a, kako si sledijo po v s i? Poskusi e na edi i še naslednji poskus. V vodo ka- ni e kapljico ali dve leka, da pos ane nekoliko o- na. Vodo osve li e z ba e ijo, p os o pa či bolj za e ni e. li se je ba vni ob kaj sp e enil? Če opazuje e akva ij z no anjo osve li vijo, eno- s avno za e ni e p os o in ugasni e os ale luči v 2 D t t t t t t t t r t t t M r r t t t r tr t r r t r t r t t r t r t t r t r t tr t t t t r t r t N t r r tr t t N t t t r r t t r N r t tr t t t t t t r t r r t r r t r t tr t N t r t t t tr t α t t t t r r t r t r t r O t r t t r t r t A r r t t r t t t t t t t r r t r t t A r r r t r tr t t t t t r t r t t m , m , m . m m , , m m m . m , m . m m m m m . : , , , , m , m , m , m , m , , m . , m m m . , m . m . , m . , . m . m , m . m m m . , , . , , , , . m m , . m , m . , m m . m , m Danes se ne bomo pogovarjali o ribah v akva- riju, o vzdrževanju stalne temperature akvarijske vode, o problemih čiščenja vode v akvariju. Po- govarjali se bomo o totalnem odboju svetlobe in o disperziji, o dveh fizikalnih pojavih, katerih za- nimive posledice lahko v običajnem akvariju opa- zimo brez težav. Če akvarija nimate, je mogoče enake pojave opazo- vati v vsaki večji stekleni posodi z vodo. Morda vas pa naloga vzpodbudi za obisk akvarija? Tedaj se ne posvečajte le fizikalnim pojavom ampak tudi živim bitjem v akvarijskih posodah. Potrebščine: večja steklena posoda, skoraj do roba napolnjena z vodo, baterija, s katero lahko osvetlite vodo v posodi, kapljica ali dve mleka, kamen, kovanec ali podoben predmet, ki se lahko zmoči, lahek predmet, ki v vodi plava, gumijasta igračka ali kaj podobnega. Če boste opazovali pojave v akvariju, potem ne potrebujete niti mleka niti baterije niti predmetov. Nekateri pojavi bodo vidni bolje, če ima akvarij no- tranjo osvetlitev. Nalijte vodo v posodo in jo postavite na rob mize v dobro osvetljeni sobi. Počakajte, da se gladina umiri. Najprej poglejte skozi posodo od spodaj s strani tako, da poskusite pogledati skozi vodo (slika). Kaj vidite? Slika 1 V vodo spustite kamen in plavajočo igračko. Kaj vidite sedaj? V pravem akvariju opazujte ribe in ra- stline, predmetov ne potrebujete. Nato prislonite glavo čim bližje k posodi in posku- site pogledati skozi vodno gladino v strop (kot α naj bo čim manjši). Poskusite ugotoviti, kateri del pro- stora vidite v delu, kjer lahko gledate skozi vodno gladino od spodaj navzgor. Oglejte si rob, ki ločuje del gladine, ki je videti kot zrcalo, in del, skozi katerega lahko vidite. Ali ima barve? Če jih ima, kako si sledijo po vrsti? Poskusite narediti še naslednji poskus. V vodo ka- nite kapljico ali dve mleka, da postane nekoliko mo- tna. Vodo osvetlite z baterijo, prostor pa čim bolj zatemnite. Ali se je barvni rob kaj spremenil? Če opazujete akvarij z notranjo osvetlitvijo, eno- stavno zatemnite prostor in ugasnite ostale luči v 2 Akvarij? • mojca čepič slika 1. Postavitev poskusa. Smer, v kateri gledamo skozi vodo, na- kazuje puščica. slika 2. Veliki akvarij v Lizboni. Za fizikalna opazovanja je navadna posoda z vodo boljša, pravi akvarij pa je mnogo lepši. presek 39 (2011/2012) 5 α 19 f i z i k a www.presek.si www.dmfa-zaloznistvo.si rešitev barvni sudoku s str ani 10 7 8 4 6 3 2 5 1 1 5 2 3 8 6 7 4 8 3 5 1 7 4 6 2 6 2 7 4 5 1 3 8 2 4 3 8 6 5 1 7 5 1 6 7 2 8 4 3 3 6 1 2 4 7 8 5 4 7 8 5 1 3 2 6 • • • prostoru. Slika 2 3 • mitja rosina Razmisli in poskusi — Preprost kompas 47. Preprost kompas Namagneti šivanko tako, da jo nekajkrat potegneš vzdolž permanentnega magneta. V kozarec nalij vodo in previdno položi šivanko na površino vode. Čeprav ima šivanka mnogo večjo gostoto od vode, plava na vodi zaradi površinske napetosti vode. Ker je trenje majhno, se šivanka zlahka obrne v smeri sever-jug (slika 1). Če veš, kje je sever, lahko določiš severni in južni pol šivanke. Naloge 1. Približaj permanentni magnet in ugotovi, kje ima severni in kje južni pol (vemo, da se nasprotna pola privlačita, enaka pa odbijata). 2. Ko si potegnil šivanko vzdolž paličastega perma- nentnega magneta, se je namagnetila. Ali se je nama- gnetila v isti smeri, kot kaže severni pol palice, ali v obratni? (Severni pol palice si določil pri prvi nalogi.) 3. Koliko časa ostane šivanka namagnetena? Več ur ali celo več dni? 4. Koliko zmoti tak kompas, če ga približaš raznim kovinskim predmetom v sobi, tudi zidu in radiatorju? 5. Poskuse ponovi z buciko in z britvico. Ali se odzi- vata bolje ali slabše kot šivanka? 6. Ali lahko šivanko namagnetimo tudi z drgnjenjem ob volneno krpo? 2 Danes se ne bomo pogovarjali o ribah v akva- riju, o vzdrževanju stalne temperature akvarijske vode, o problemih čiščenja vode v akvariju. Po- govarjali se bomo o totalnem odboju svetlobe in o disperziji, o dveh fizikalnih pojavih, katerih za- nimive posledice lahko v običajnem akvariju opa- zimo brez težav. Če akvarija nimate, je mogoče enake pojave opazo- vati v vsaki večji stekleni posodi z vodo. Morda vas pa naloga vzpodbudi za obisk akvarija? Tedaj se ne posvečajte le fizikalnim pojavom ampak tudi živim bitjem v akvarijskih posodah. Potrebščine: večja steklena posoda, skoraj do roba napolnjena z vodo, baterija, s katero lahko osvetlite vodo v posodi, kapljica ali dve mleka, kamen, kovanec ali podoben predmet, ki se lahko zmoči, lahek predmet, ki v vodi plava, gumijasta igračka ali kaj podobnega. Če boste opazovali pojave v akvariju, potem ne potrebujete niti mleka niti baterije niti predmetov. Nekateri pojavi bodo vidni bolje, če ima akvarij no- tranjo osvetlitev. Nalijte vodo v posodo in jo postavite na rob mize v dobro osvetljeni sobi. Počakajte, da se gladina umiri. Najprej poglejte skozi posodo od spodaj s strani tako, da poskusite pogledati skozi vodo (slika). Kaj vidite? Slika 1 V vodo spustite kamen in plavajočo igračko. Kaj vidite sedaj? V pravem akvariju opazujte ribe in ra- stline, predmetov ne potrebujete. Nato prislonite glavo čim bližje k posodi in posku- site pogledati skozi vodno gladino v strop (kot α naj bo čim manjši). Poskusite ugotoviti, kateri del pro- stora vidite v delu, kjer lahko gledate skozi vodno gladino od spodaj navzgor. Oglejte si rob, ki ločuje del gladine, ki je videti kot zrcalo, in del, skozi katerega lahko vidite. Ali ima barve? Če jih ima, kako si sledijo po vrsti? Poskusite narediti še naslednji poskus. V vodo ka- nite kapljico ali dve mleka, da postane nekoliko mo- tna. Vodo osvetlite z baterijo, prostor pa čim bolj zatemnite. Ali se je barvni rob kaj spremenil? Če opazujete akvarij z notranjo osvetlitvijo, eno- stavno zatemnite prostor in ugasnite ostale luči v 2 Presek 39 (2011/2012) 5 20 f i z i k a Futošiki V n×n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici in v vsa- kem stolpcu nastopalo vseh n števil ter, da bodo iz- polnjene vse relacije. 1 • 25314 43251 12435 31542 54123 Futošiki rešitev • • •5 2 < < >> > > > 2 3 NARAVE. MATI SPEKTAKEL VELIK presek 39 (2011/2012) 5 47. Preprost kompas Namagneti šivanko tako, da jo nekajkrat potegneš vzdolž permanentnega magneta. V kozarec nalij vodo in previdno položi šivanko na površino vode. Čeprav ima šivanka mnogo večjo gostoto od vode, plava na vodi zaradi površinske napetosti vode. Ker je trenje majhno, se šivanka zlahka obrne v smeri sever-jug (slika 1). Če veš, kje je sever, lahko določiš severni in južni pol šivanke. Naloge 1. Približaj permanentni magnet in ugotovi, kje ima severni in kje južni pol (vemo, da se nasprotna pola privlačita, enaka pa odbijata). 2. Ko si potegnil šivanko vzdolž paličastega perma- nentnega magneta, se je namagnetila. Ali se je nama- gnetila v isti smeri, kot kaže severni pol palice, ali v obratni? (Severni pol palice si določil pri prvi nalogi.) 3. Koliko časa ostane šivanka namagnetena? Več ur ali celo več dni? 4. Koliko zmoti tak kompas, če ga približaš raznim kovinskim predmetom v sobi, tudi zidu in radiatorju? 5. Poskuse ponovi z buciko in z britvico. Ali se odzi- vata bolje ali slabše kot šivanka? 6. Ali lahko šivanko namagnetimo tudi z drgnjenjem ob volneno krpo? 2 loge a s t r o n o m i j a 21 Kadar je na Soncu večja skupina peg, lahko na tistem območju pričakujemo več izbruhov. Vroča plazma, iz katere je zgrajeno Sonce, izbruhne s po- vršja. Takšni izbruhi so pogosti in jih lahko opa- zujemo že skozi manjši teleskop, prirejen za opa- zovanje Sonca v absorpcijski vodikovi črti H-alfa (t. i. H-alfa teleskop). Če ima snov v takem izbruhu dovolj hitrosti, lahko pobegne Sončevi težnosti in odleti v medplanetarni prostor. Hitrost takšnega izbruha je lahko od več 100 km/s do več 1000 km/s. Če je izbruh usmerjen proti Zemlji, potem ti vi- soko energijski delci priletijo v njeno magnetno po- lje. Veliko elektronov in protonov nato potuje vzdolž silnic magnetnega polja proti obema Zemljinima po- loma. Nekaj 100 kilometrov nad površjem Zemlje začnejo trkati ob atome v ozračju in jim oddajo del svoje energije. Atomi na ta način preidejo v vzbu- jeno stanje. Takoj za tem začnejo prehajati nazaj v svoje osnovno stanje in pri tem oddajajo odvečno energijo s sevanjem svetlobe točno določene valovne dolžine. To svetlobo vidimo kot polarni sij, ki mu na severni polobli rečemo tudi severni sij. Močnejši in hitrejši kot je tok delcev s Sonca, glo- blje v Zemljino atmosfero prodrejo elektroni, pre- den izgubijo vso energijo. Višje od 250 kilometrov nad površjem Zemlje nastaja značilna rdečkasta sve- tloba, ki jo oddajajo vzbujeni kisikovi atomi. Nižje od 250 km pa sevajo kisikovi atomi v tipični svetlo- zeleni svetlobi. Če elektroni Sončevega izbruha za- denejo dušikove atome nad 100 km višine, ti odda- jajo vijolično svetlobo, pod to višino pa modro. Tako dobivamo štiri najbolj značilne barve polarnega sija. Slika1 Najpogosteje bomo tako opazili rdečkasto ali ze- lenkasto obarvan polarni sij, saj za njun nastanek potrebujemo manjšo energijo Sončevega vetra kot za modrega ali vijoličnega. Manjši, šibkejši izbruhi so na Sončevem površju namreč precej bolj pogosti od močnejših. Opazovanje polarnega sija Za načrtno opazovanje polarnega sija moramo spre- mljati aktivnost Sonca, npr. na spletnem naslovu spa- ceweather.com. Po izbruhu nabiti delci potrebujejo do Zemlje od 24 ur do štiri dni. To pomeni, da smo o morebitnem pojavljanju polarnega sija obveščeni vnaprej in se na opazovanje lahko pripravimo. Tisti izbruhi, ki povzročijo pri nas viden polarni sij, obi- čajno pridejo v 24-ih urah. 2 j j i , l i j i j i . l , i j j , i - j . i i i i i ji l - j i j i l , i j - j ij i i i i - l ( . i. - l l ). i i lj i i, l i i i l i l i . i i j l . j i j i lji, i i- ij i l i il ij j - lj . li l i j l il i lj i lji i - l . j il j lj j i j i ji j l j ij . i i i j - j j . j j j i j j j i i j j ij j l l l l i . l i i l i ij, i i l li i i ij. j i i i j i j l , l - lj lji j l i, - i ij ij . i j il j lj j il - l , i j j j j i i i i i. i j j i i i i i i i l - l i l i. l i i - j i i i , i - j j ij li l , i i . i i i j lj il l ij . li j j ili li - l l i ij, j j j j ij li ij li . j i, i j i i i j j lj i j i . j l ij j l ij - lj i i , . l l - . . i i i l i j j lj i i i. i, i j lj j l ij i j i j l i i . i i i i, i ij i i l i ij, i- j i j -i . a ar e a So c eč a s a eg, a o a t ste o oč r ča e o eč z r o . roča az a, z atere e zgra e o So ce, z r e s o rš a. a š z r so ogost a o o a z e o že s oz a š te es o , r re e za o a zo a e So ca a sor c s o o črt a fa t. . a fa te es o . ˇe a s o ta e z r o o trost , a o o eg e So če tež ost o et e a etar rostor. trost ta š ega z r a e a o o eč 100 /s o eč 1000 /s. ˇe e zbr s er e rot e , ote t v soko e erg sk e c r et o v e o ag et o o e. e ko e ektro ov roto ov ato ot e vz o ž s c ag et ega o a rot obe a e a o o a. eka 100 k o etrov a ovrš e e e zač e o trkat ob ato e v ozrač o a o e svo e e erg e. to a ta ač re e o v vzb e o sta e. ako za te zač e o re a at aza v svo e os ov o sta e r te o a a o o več o e erg o s seva e svet obe toč o o oče e va ov e o ž e. o svet obo v o kot o ar s , k a sever o ob reče o t sever s . oč e š tre š kot e tok e cev s So ca, g o b e v e o at osfero ro re o e ektro , re e zg b o vso e erg o. š e o 250 k o etrov a ovrš e e e asta a z ač a r ečkasta sve t oba, k o o a a o vzb e k s kov ato . ž e o 250 k a seva o k s kov ato v t č svet o ze e svet ob . ˇe e ektro So čevega zbr a za e e o š kove ato e a 100 k v š e, t o a a o v o č o svet obo, o to v š o a o ro. ako ob va o št r a bo z ač e barve o ar ega s a. S ka1 a ogoste e bo o tako o az r ečkasto a ze e kasto obarva o ar s , sa za asta ek otreb e o a šo e erg o So čevega vetra kot za o rega a v o č ega. a š , š bke š zbr so a So čeve ovrš a reč rece bo ogost o oč e š . v r s a ačrt o o azova e o ar ega s a ora o s re at akt v ost So ca, r. a s et e as ov s a ce eather co . Po zbr ab t e c otreb e o o e e o 24 r o št r . o o e , a s o o oreb t e o av a o ar ega s a obvešče v a re se a o azova e a ko r rav o. st zbr , k ovzroč o r as v e o ar s , ob ča o r e o v 24 ra . 2 K d j n n u v j kupin p , l hk n i b ju p i kuj v i b uh v. V pl , i k j j n n , i b uhn p - v j . T k ni i b uhi p i in jih l hk p - uj k i nj i l k p, p i j n p - v nj n v b p ij ki v dik vi i H- l ( . i. H- l l k p). C i n v v k i b uhu d v lj hi i, l hk p b n n vi n i in dl i v dpl n ni p . Hi k n i b uh j l hk d v k d v k . C j i uh u j n p i Z lji, p i i- n ij i d l i p il ij nj n n n p - lj . V li l n in p n n p uj d l ilni n n p lj p i Z ljini p - l . N j il n d p j Z lj n j i ju in ji dd j d l j n ij . A i n n in p id j u- j n nj . T j n j p h j i n j j n n nj in p i dd j j d n n ij nj l n d l n l n d l in . T l idi p l ni ij, i u n ni p l li udi ni ij. M n j i in hi j i j d l n , l - lj Z ljin p d j l ni, p - d n i u ij n ij . Vi j d il n d p j Z lj n j n iln d - l , i j dd j j uj ni i i i i. Ni j d p j i i i i ipi ni l - l ni l i. C l ni n i uh - d n j du i n d i in , i dd - j j ij li n l , p d i in p d . T d i i i n j lj n iln p l n ij . li N jp j p ili d li - l n n p l ni ij, j njun n n p uj nj n ij n d li ij li n . M nj i, i j i i uhi n n p ju n p j lj p i d n j ih. pazo anje pola nega ija Z n n p nj p l n ij p - lj i i n n , np . n pl n n l u p - w . . i uhu n i i d l i p uj j d Z lj d u d i i dni. T p ni, d i n p j lj nju p l n ij ni n p j in n p nj l h p ip i . Ti i i uhi, i p ij p i n id n p l ni ij, i- jn p id j -ih u h. m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m O m m m m m m m m m m m r s , t st r r . r , t r r , r s rš . š r s st s š t s , r r s r s rt f t. . f t s . s t r tr st , t st t t r r st r. tr st t š r /s /s. e e r s er e r t e , te t s e er s e c r et e et e. e e e tr r t t t e s c et e r t e e . e etr rš e e e c e tr t t e r c e s e e er e. t t c re e e st e. te c e re t s e s st e r te ec e er s se e s et e t c ce e e e. s et t r s , se er rece t se er s . c e š tre š t e t e ce s c , e e t sfer r re e e tr , re e s e er . š e etr rš e e e st c r ec st s e t , e s t . e se s t t c s et e e s et . e e e tr ce e r e e š e t e š e, t c s et , t š r . št r c e r e r e s . ste e t r ec st e e st r r s , s st e tre e š e er ce e etr t re c e . š , š e š r s ce e rš rec rece st c e š . r crt e r e s r s re t t st c , r. s et e s s c t r c . r t e c tre e e e r št r . e , s re t e r e s ešce re se e r r . st r , r c r s e r s , c r e r . a a je a So c ečja i a eg la o a i e o očj iča je o eč iz o oča laz a iz a e e je zg aje o So ce iz e o- ja a i iz i o ogo i i ji la o o a- z je o že ozi a j i ele o i eje za o a- zo a je So ca a o cij i o i o i č i -al a ( i -al a ele o ) ˇe i a o a e iz o olj i o i la o o eg e So če i ež o i i o le i e la e a i o o i o a ega iz a je la o o eč 100 o eč 1000 ˇ j izb j o i lji o i vi- oko gij ki l i il ijo v j o ag o o- lj liko l k o ov i o o ov a o o j vz olž il i ag ga olja o i ob a lji i a o- lo a kaj 100 kilo ov a ov j lj zaˇ jo ka i ob a o v oz aˇj i ji o ajo l voj gij o i a a a ǐ i jo v vzb - j o a j akoj za zaˇ jo aja i azaj v voj o ov o a j i i o ajajo o v ˇ o gijo va j v lob oˇ o oloˇ valov olži o v lobo vi i o ko ola i ij ki a v i olobli ˇ o i v i ij oˇ j i i i j i ko j ok l v So a glo- blj v lji o a o o o jo l k o i - izg bijo v o gijo i j o 250 kilo ov a ov j lj a aja z a ǐl a ˇka a v - loba ki jo o ajajo vzb j i ki ikovi a o i ižj o 250 k a vajo ki ikovi a o i v i iˇ i v lo- z l i v lobi ˇ l k o i So ˇ v ga izb a za- jo ikov a o a 100 k vi i i o a- jajo vijoliˇ o v lobo o o vi i o a o o ako obiva o i i ajbolj z a ǐl ba v ola ga ija Slika1 aj ogo j bo o ako o azili ˇka o ali z - l ka o oba va ola i ij aj za j a a k o b j o a j o gijo So ˇ v ga v a ko za o ga ali vijoliˇ ga a j i ibk j i izb i o a So ˇ v ov j a ˇ j bolj ogo i o oˇ j i v j l sij a aˇ o o azova j ola ga ija o a o - lja i ak iv o So a a l a lov a- e ea he . o Po izb abi i l i o b j jo o lj o 24 o i i i o o i a o o o bi ojavlja j ola ga ija obv ˇ i v a j i a o azova j la ko i avi o i i izb i ki ovz o ǐjo i a vi ola i ij obi- ˇaj o i jo v 24-i a 2 , . , , . , . . . , . . , . . . . . , . , , . , . . , , . . , . , . , . . . , . , , . K d r j n n u v j skupin p , l hk n tist b ju pri kuj v i bruh v. Vr pl , i k t r j r j n n , i bruhn s p - vršj . T kšni i bruhi s p sti in jih l hk p - uj sk i njši t l sk p, prir j n p - v nj n v bs rp ijski v dik vi rti H- lf (t. i. H- lf t l sk p). C i sn v v t k i bruhu d v lj hitr sti, l hk p b n n vi t n sti in dl ti v dpl n t rni pr st r. Hitr st t kšn i bruh j l hk d v k /s d v k /s. Ce je i ruh us erjen pr ti Ze lji, p te ti i- s ener ijs i delci priletij njen netn p - lje. Veli ele tr n in pr t n n t p tuje d l silnic netne p lj pr ti e Ze ljini p - l . Ne j il etr n d p ršje Ze lje cnej tr ti t e r cju in ji dd j del s je ener ije. At i n t n cin preidej u- jen st nje. T j te cnej preh j ti n j s je sn n st nje in pri te dd j j d ecn ener ij s se nje s etl e t cn d l cene l ne d l ine. T s etl idi t p l rni sij, i u n se erni p l li rece tudi se erni sij. M cnejši in hitrejši t je t delce s nc , l - lje Ze ljin t sfer pr drej ele tr ni, pre- den i u ij s ener ij . Višje d il etr n d p ršje Ze lje n st j n ciln rdec st s e- tl , i j dd j j ujeni isi i t i. Ni je d p se j isi i t i tipicni s etl - eleni s etl i. Ce ele tr ni nce e i ruh - denej duši e t e n d išine, ti dd - j j ij licn s etl , p d t išin p dr . T d i štiri n j lj n cilne r e p l rne sij . li N jp steje t p ili rdec st li e- len st r n p l rni sij, s j njun n st ne p tre uje njš ener ij nce e etr t dre li ij licne . M njši, ši ejši i ruhi s n nce e p ršju n rec precej lj p sti d cnejših. pazo anje polarnega ija Z n crtn p nje p l rne sij r spre- lj ti ti n st nc , npr. n spletne n sl u sp - c w t r.c . i ruhu n iti delci p tre ujej d Ze lje d ur d štiri dni. T p eni, d s re itne p j lj nju p l rne sij ešceni n prej in se n p nje l h pripr i . Tisti i ruhi, i p r cij pri n s iden p l rni sij, i- c jn pridej -ih ur h. a a e a So c eč a a eg a o a e o oč ča e o eč z o oča az a z a e e e zg a e o So ce z e o a a z o ogo a o o a z e o že oz a e e o e e za o a zo a e So ca a o c o o č a a a a e e o ˇe a o a e z o o o a o o eg e So če ež o o e e a e a o o o a ega z a e a o o eč 100 o eč 1000 ˇ zb o o v oko g k o v o ag o o ko k o ov o o ov a o o vz o ž ag ga o a o ob a a o o a ka 100 k o ov a ov zaˇ o ka ob a o v oz aˇ o a o vo g o a a aˇ o v vzb o a ako za zaˇ o a a aza v vo o ov o a o a a o o v ˇ o g o va v ob oˇ o o oˇ va ov o ž o v obo v o ko o a k a v o ob ˇ o v oˇ ko ok v So a g o b v o a o o o o k o zg b o v o g o o 250 k o ov a ov a a a z aˇ a ˇka a v oba k o o a a o vzb k kov a o ž o 250 k a va o k kov a o v ˇ v o z v ob ˇ k o So ˇ v ga zb a za o kov a o a 100 k v o a a o v o ˇ o v obo o o v o a o o ako ob va o a bo z aˇ ba v o a ga a S ka1 a ogo bo o ako o az ˇka o a z ka o oba va o a a za a a k o b o a o g o So ˇ v ga v a ko za o ga a v o ˇ ga a bk zb o a So ˇ v ov a ˇ bo ogo o oˇ v s a aˇ o o azova o a ga a o a o a ak v o So a a a ov a e ea he o Po zb ab o b o o o 24 o o o a o o o b o av a o a ga a obv ˇ v a a o azova a ko av o zb k ovz oˇ o a v o a ob ˇa o o v 24 a 2 Kadar je na Soncu večja skupina peg, lahko na tistem območju pričakujemo več izbruhov. Vroč plaz a, iz katere je zgrajen Sonce, izbruhne s po- vršja. Takšni izbruhi so pogosti in jih la ko o a zujemo že sko i manjši teleskop, prirejen za ovanje Sonca v absorpcijski vodikovi črti H-alfa (t. i. H-alfa teleskop). Če ima snov v takem izbruhu dovolj hitrosti, lahko pobegne Sončevi težnosti in odleti v medplanetarni prostor. Hitros takšnega izbruha je lahko od več 100 km/s do več 1000 km/s. Če je izbruh usmerjen proti Zemlji, potem ti vi- soko energijski delci priletij v njeno magnetno po lje. V liko ele tronov in prot nov nato potuj vzdolž silnic magnetnega polja roti obema Zemljinima po- loma. Nekaj 100 kilometrov nad površjem Zemlje začnejo tr ti ob atome v zračju in jim oddajo del svoje energije. Atomi na ta način preidejo v vzbu- jeno stanje. Takoj za tem začnejo prehajati nazaj v svoje osnovno stanje in pri tem ddajajo odvečno energijo se anjem svetlobe točno oločene valov e dolžine. To svetlobo idimo k t p larni sij, ki mu a sever i polobli rečemo tudi severni sij. Močnejši in hitr jši kot je tok delcev s Sonca, glo- blje v Zemljino atmosfero prodr jo elektroni, pre den izgubijo vso energijo. Višje od 250 kilometrov nad površjem Zemlj nastaja značilna rdečkasta sve- tloba, ki jo oddajajo vzbujeni kis kovi atomi. Nižje od 250 km pa sevajo kisikovi atomi tipičn svetlo- zeleni svetlobi. Če elektroni Sončevega izbruha za d nejo dušikove atome nad 100 km višine, ti odd jajo vijolično s tlobo, pod to višino pa modro. Tako dobi amo štiri najbolj značilne barve polarnega sija. Slika1 Najpogosteje bomo tako opazili rdečkasto ali ze- lenkast barvan polarni sij, saj za njun nastanek potrebujemo ma jš energijo Sončevega vetr kot za modrega ali vijoličnega. Manjši, šibkejši izbruhi so na Sončevem p vršju namreč precej bolj pogost od močnejših. Opazovanje polarnega sija Za načrtno opazovanje polarnega sija moramo spre- mljati aktivnost Sonca, npr. na spletne naslovu spa- ceweather.com. Po izbruhu nabiti d lci potrebujejo do Zemlje od 24 ur do štiri dni. To pomeni, da sm o morebitnem pojavljanju polarnega sija obveščeni vnapr j n se na opazovanje lahko pripr vimo. Tist izbruhi, ki povzr čijo pri nas viden pol rni sij, obi- čajno pridejo 24-ih urah. 2 Kadar je na Soncu večja skupina peg, lahko na tistem območju pričakujemo več izbruhov. Vroča plazma, iz katere je zgrajeno Sonce, izbruhne s po- vršja. Takšni izbruhi so pogosti in jih lahko opa- zujemo že skozi manjši teleskop, prirejen za opa- zovanje Sonca v absorpcijski vodikovi črti H-alfa (t. i. H-alfa teleskop). Če ima snov v takem izbruhu dovolj hitrosti, lahko pobegne Sončevi težnosti in odleti v medplanetarni prostor. Hitrost takšnega izbruha je lahko od več 100 km/s do več 1000 km/s. Če je izbruh usmerjen proti Zemlji, potem ti vi- soko energijski delci priletijo v njeno magnetno po- lje. Veliko elektronov in protonov nato potuje vzdolž silnic magnetnega polja proti obema Zemljinima po- loma. Nekaj 100 kilometrov nad površjem Zemlje začnejo trkati ob atome v ozračju in jim oddajo del svoje energije. Atomi na ta način preidejo v vzbu- jeno stanje. Takoj za tem začnejo prehajati nazaj v svoje osnovno stanje in pri tem oddajajo odvečno energijo s sevanjem svetlobe točno določene valovne dolžine. To svetlobo vidimo kot polarni sij, ki mu na severni polobli rečemo tudi severni sij. Močnejši in hitrejši kot je tok delcev s Sonca, glo- blje v Zemljino atmosfero prodrejo elektroni, pre- den izgubijo vso energijo. Višje od 250 kilometrov nad površjem Zemlje nastaja značilna rdečkasta sve- tloba, ki jo oddajajo vzbujeni kisikovi atomi. Nižje od 250 km pa sevajo kisikovi atomi v tipični svetlo- zeleni svetlobi. Če elektroni Sončevega izbruha za- denejo dušikove atome nad 100 km višine, ti odda- jajo vijolično svetlobo, pod to višino pa modro. Tako dobivamo štiri najbolj značilne barve polarnega sija. Slika1 Najpogosteje bomo tako opazili rdečkasto ali ze- lenkasto obarvan polarni sij, saj za njun nastanek potrebujemo manjšo energijo Sončevega vetra kot za modrega ali vijoličnega. Manjši, šibkejši izbruhi so na Sončevem površju namreč precej bolj pogosti od močnejših. Opazovanje polarnega sija Za načrtno opazovanje polarnega sija moramo spre- mljati aktivnost Sonca, npr. na spletnem naslovu spa- ceweather.com. Po izbruhu nabiti delci potrebujejo do Zemlje od 24 ur do štiri dni. To pomeni, da smo o morebitnem pojavljanju polarnega sija obveščeni vnaprej in se na opazovanje lahko pripravimo. Tisti izbruhi, ki povzročijo pri nas viden polarni sij, obi- čajno pridejo v 24-ih urah. 2 Iz Slovenije bomo polarni sij najlažje opazovali, če se odpravimo na kraj, kjer je čim manj svetlobnega onesnaženja. Predvsem je pomembno, da gremo se- verno od večjih svetlobnih onesnaževalcev (mest, va- si, industrijskih con, reklamnih panojev, cerkva). Ta- ko bomo imeli severno nebo, kjer polarni sij priča- kujemo, manj onesnaženo. Dobro je, da gremo čim višje, saj bo prosojnost zraka tam boljša. Dobro je tudi, da si pogledamo, ali je na nebu Luna, ki lahko precej moti morebitna opazovanja. Opazovanja v oblačnem vremenu seveda odpadejo. Ali bomo po- larni sij videli ali ne, je odvisno predvsem od tega, kako močen je bil izbruh na Soncu in če je tok nabi- tih delcev zadel Zemljo. Slika2 Fotografiranje polarnega sija je preprosto. Pripra- vimo si čim bolj širokokotni objektiv (čim manjše go- rišče, npr. 18 mm ali manj) s čim večjo svetlobno jakostjo (f/2,8; f/3,5). Fotoaparat usmerimo proti severnemu obzorju, izostrimo in naredimo minuto ali dve dolg posnetek. Pri digitalnih fotoaparatih je primeren čas osvetlitve mogoče sproti preverjati na zaslonu fotoaparata in ga prilagajati svetlosti polar- nega sija. Uporaba fotografskega stojala je seveda obvezna. Če je polarni sij prisoten, bo severno ob- zorje tipično rdečkasto obarvano. V primeru moč- nejšega izbruha lahko vidimo posamezne pramene, ki se s časom spreminjajo. Takrat lahko s fotoapara- tom zabeležimo celo zeleno barvo, zavese in druge pojave v polarnem siju. Vplivi polarnega sija V primeru, da je tok delcev s Sonca dovolj velik, lah- ko v električnih omrežjih na Zemlji ojači električni tok, kar lahko privede do izpada omrežja (to se je v preteklosti že dogajalo). Polarni sij lahko zmoti plast atmosfere, imenovano ionosfera. Posledično nasta- nejo motnje pri komunikaciji v območju kratkih ra- dijskih valov. Na močne tokove nabitih delcev so ob- čutljivi še sateliti okoli Zemlje, na katerih severni sij lahko poškoduje elektroniko in sončne celice. Polarni sij na drugih planetih Na vsakem planetu, ki ima atmosfero, lahko opa- zujemo polarne sije. Pri planetu, kot je Venera, ki ima zelo gosto atmosfero, vendar je praktično brez magnetnega polja, je pojavljanje polarnega sija pro- storsko precej nepravilno razporejeno. Jupiter, Sa- turn, Uran, Neptun in Zemlja pa imajo dovolj močno magnetno polje, ki tok delcev s Sonca spelje k ma- gnetnim polom, kjer se v atmosferah teh planetov tudi najpogosteje pojavlja polarni sij. Pri Jupitru in Saturnu sta magnetna pola blizu rotacijskih polov, medtem ko je na Uranu in Neptunu blizu ekvatorja. Polarni sij lahko opazujemo celo na nekaterih večjih lunah, ki imajo atmosfero (npr. Jupitrova luna Io). 3 Iz Slov nije bomo p larn sij najlažje opazov li, če se odpravimo na kraj, kjer je čim m nj svetlobnega o esnaže ja. Predvsem je pomembno, d gremo se- verno od večjih svetl bnih onesnaževalcev (mest, va si, industrijskih con, reklamnih panojev, cerkva). Ta- ko bomo im li severn nebo, kjer polarni sij priča- kujemo, manj onesnaženo. Dobro je, da gremo čim višje, saj bo prosojnost zraka ta b ljš . Dobro je tudi, da si pogledam , ali je na nebu Luna, ki lahko precej moti morebitna opazovanja. Opazo nja v oblačnem vr menu seveda dpadejo. Ali bomo po larni sij videli ali ne, j odvisno pr dvsem od tega, kako močen je bil izbruh n Soncu in če je tok nabi- ih delcev zadel Ze ljo. Slika2 Fotografiranje polarnega sija je preprosto. Pripra- vimo si čim bolj širokokotni objektiv (čim manjše go- rišče, npr. 18 mm ali manj) s čim večjo svetlobno jakostjo (f/2,8; f/3,5). Fotoaparat usmerimo proti severnemu obzorju, izostrimo in naredimo minuto ali dve dolg posnetek. Pri digitalnih fot aparat h je primeren čas osvetlitve mogoče sproti prever ati na zaslonu fotoaparata in ga prilagajati svetlosti polar- nega sija. Uporaba fotografskeg stojala je seveda ob ezna. Če je polarni ij prisote , bo severno ob- zorje tipično rdečkasto obarvano. V primeru moč- nejšega izbruha lahko vidim posamezne pramene, ki e s časom sp eminjajo. Takrat lahko s fo oapara tom zabeležimo celo zeleno barvo, zavese in druge pojave v polarnem siju. Vplivi polarneg sija V primeru, da je tok delc v s Sonca do olj velik, lah- k v lektričnih omrežjih na Zemlji ojači električni tok, kar lahko privede do izpada omrežja (to se je v preteklosti že dog jalo). Polarni sij lahko zmoti plast atmosfere, imenovano ionosfera. Posledično nasta- nejo otnje pri k munikaciji v območju kratkih ra dijskih valov. Na močne tokove nabitih delcev so ob- čutljivi še sateliti okoli Zemlje, na kat rih severni sij lahko p škoduje elektroniko i ončne celice. Polarni sij na drugih planetih Na vsak m planetu, ki i a atmosfero, lahko opa- zujemo polarne sij . Pri planetu, kot je Venera, ki ima zelo gosto atmosfero, vendar je praktično brez magnetnega polja, je pojavljanje polarnega sija pro- storsko precej nepravilno razporejeno. Jupiter, Sa- turn, Uran, Neptun in Zemlja pa imajo dovolj močno magnetno polj , ki tok delcev s Sonca spelje k ma- gnetnim p lom, kjer se v atmosferah teh planetov tudi najpogoste e pojavlj polarni sij. Pri Jupitru in Saturnu sta magnetna p la blizu rotacijskih polov, medtem ko j na Uranu in Neptunu blizu ekvat rja. Polarni sij lahko opazujemo celo na nekat rih večjih lunah, ki imajo atmosfero (npr. Jupitrova luna Io). 3 matic smrekar Severni sij • • NARAVE. MATI SPEKTAKEL VELIK Presek 39 (2011/2012) 5 a s t r o n o m i j a 22 • slika 1. Fotografija polarnega sija 6. avgusta 2011 ob 00:05h po lokalnem času, posneta iz Ribniške koče na Pohorju. Malenkost nad sredino fotografije leži zvezda Severnica (najsvetlejša na tem območju). Nad kočo in osvetljenim drevesom vidimo moder pramen severnega sija, levo od njega pa rdečega. Oba pramena sta se v noči preselila proti zahodnemu, desnemu delu foto- grafije, modri se je povzpel celo 70 stopinj nad obzorje. (Foto: Matic Smrekar) Iz Slovenije bomo polarni sij najlažje opazovali, če se odpravimo na kraj, kjer je čim manj svetlobnega onesnaženja. Predvsem je pomembno, da gremo se- verno od večjih svetlobnih onesnaževalcev (mest, va- si, industrijskih con, reklamnih panojev, cerkva). Ta- ko bomo imeli severno nebo, kjer polarni sij priča- kujemo, manj onesnaženo. Dobro je, da gremo čim višje, saj bo prosojnost zraka tam boljša. Dobro je tudi, da si pogledamo, ali je na nebu Luna, ki lahko precej moti morebitna opazovanja. Opazovanja v oblačnem vremenu seveda odpadejo. Ali bomo po- larni sij videli ali ne, je odvisno predvsem od tega, kako močen je bil izbruh na Soncu in če je tok nabi- tih delcev zadel Zemljo. Slika2 Fotografiranje polarnega sija je preprosto. Pripra- vimo si čim bolj širokokotni objektiv (čim manjše go- rišče, npr. 18 mm ali manj) s čim večjo svetlobno jakostjo (f/2,8; f/3,5). Fotoaparat usmerimo proti severnemu obzorju, izostrimo in naredimo minuto ali dve dol posn tek. Pri digitalnih fotoapar tih j i ren čas osvetlitve mogoče sproti preverjati na zaslonu fotoaparata in ga prilagajati svetlosti polar- nega sija. Uporaba fotografskega stojala je seveda obvezna. Če je polarni sij prisoten, bo severno ob- zorje tipično rdečkasto obarvano. V primeru moč- nejšega izbruha lahko vidimo posamezne pramene, ki se s časom spreminjajo. Takrat lahko s fotoapara- tom zabeležimo celo zeleno barvo, zavese in druge pojave v polarnem siju. Vplivi polarnega sija V primeru, da je tok delcev s Sonca dovolj velik, lah- ko v električnih omrežjih na Zemlji ojači električni tok, kar lahko privede do izpada omrežja (to se je v preteklosti že dogajalo). Polarni sij lahko zmoti plast atmosfere, imenovano ionosfera. Posledično nasta- nejo motnje pri komunikaciji v območju kratkih ra- dijskih valov. Na močne tokove nabitih delcev so ob- čutljivi še sateliti okoli Zemlje, na katerih severni sij lahko poškoduje elektroniko in sončne celice. Polarni sij na drugih planetih Na vsakem planetu, ki ima atmosfero, lahko opa- zujemo polarne sije. Pri planetu, kot je Venera, ki ima zelo gosto atmosfero, vendar je praktično brez magnetnega polja, je pojavljanje polarnega sija pro- storsko precej nepravilno razporejeno. Jupiter, Sa- turn, Uran, Neptun in Zemlja pa imajo dovolj močno magnetno polje, ki tok delcev s Sonca spelje k ma- gnetnim polom, kjer se v atmosferah teh planetov tudi najpogosteje pojavlja polarni sij. Pri Jupitru in Saturnu sta magnetna pola blizu rotacijskih polov, medtem ko je na Uranu in Neptunu blizu ekvatorja. Polarni sij lahko opazujemo celo na nekaterih večjih lunah, ki imajo atmosfero (npr. Jupitrova luna Io). 3 Iz Slovenije bomo polarni sij najlažje opazovali, če se odpravimo na kraj, kjer je čim manj svetlobnega onesnaženja. Predvsem je pomembno, da gremo se- verno od večjih svetlobnih onesnaževalcev (mest, va- si, industrijskih con, reklamnih panojev, cerkva). Ta- ko bomo imeli severno nebo, kjer polarni sij priča- kujemo, manj onesnaženo. Dobro je, da gremo čim višje, saj bo prosojnost zraka tam boljša. Dobro je tudi, da si pogledamo, ali je na nebu Luna, ki lahko precej moti morebitna opazovanja. Opazovanja v oblačnem vremenu seveda odpadejo. Ali bomo po- larni sij videli ali ne, je odvisno predvsem od tega, kako močen je bil izbruh na Soncu in če je tok nabi- tih delcev zadel Zemljo. Slika2 Fotografiranje polarnega sija je preprosto. Pripra- vimo si čim bolj širokokotni objektiv (čim manjše go- rišče, npr. 18 mm ali manj) s čim večjo svetlobno jakostjo (f/2,8; f/3,5). Fotoaparat usmerimo proti severnemu obzorju, izostrimo in naredimo minuto ali dve dolg posnetek. Pri digitalnih fotoaparatih je primeren čas osvetlitve mogoče sproti preverjati na zaslonu fotoaparata in ga prilagajati svetlosti polar- nega sija. Uporaba fotografskega stojala je seveda obvezna. Če je polarni sij prisoten, bo severno ob- zorje tipično rdečkasto obarvano. V primeru moč- nejšega izbruha lahko vidimo posamezne pramene, ki se s časom spreminjajo. Takrat lahko s fotoapara- tom zabeležimo celo zeleno barvo, zavese in druge pojave v polarnem siju. Vplivi polarnega sija V pri eru, da je tok delcev s Sonca dovolj velik, lah- ko v električnih omrežjih na Zemlji ojači električni tok, kar lahko privede do izpada omrežja (to se je v preteklosti že dogajalo). Polarni sij lahko zmoti plast atmosfere, imenovano ionosfera. Posledično nasta- nejo motnje pri komunikaciji v območju kratkih ra- dijskih valov. Na močne tokove nabitih delcev so ob- čutljivi še sateliti okoli Zemlje, na katerih severni sij lahko poškoduje elektroniko in sončne celice. Polarni sij na drugih planetih Na vsakem planetu, ki ima atmosfero, lahko opa- zujemo polarne sije. Pri planetu, kot je Venera, ki ima zelo gosto atmosfero, vendar je praktično brez magnetnega polja, je pojavljanje polarnega sija pro- storsko precej nepravilno razporejeno. Jupiter, Sa- turn, Uran, Neptun in Zemlja pa imajo dovolj močno magnetno polje, ki tok delcev s Sonca spelje k ma- gnetnim polom, kjer se v atmosferah teh planetov tudi najpogosteje pojavlja polarni sij. Pri Jupitru in Saturnu sta magnetna pola blizu rotacijskih polov, medtem ko je na Uranu in Neptunu blizu ekvatorja. Polarni sij lahko opazujemo celo na nekaterih večjih lunah, ki imajo atmosfero (npr. Jupitrova luna Io). 3 ol r sij r i sij a r i etih presek 39 (2011/2012) 5 a s t r o n o m i j a 23 Polarni sij je viden tudi iz Slovenije Polarni sij je nad severnimi kraji (Aljaska, Kanada, Skandinavija, Islandija) pogost pojav. V naših krajih pa se pojavi le ob močnejših izbruhih na Soncu, zato je njegovo opazovanje in spremljanje precej bolj za- nimivo. Tako smo 6. avgusta 2011 med polnočjo in drugo uro zjutraj po lokalnem času udeleženci astronom- skega tabora SMART 2011 opazovali polarni sij s Po- horja. Severno nebo so sicer pokrivali oblaki, vendar je bil sij tako obsežen, da je segel visoko in se pri- kazal nad oblaki. S prostim očesom žal ni bil viden, smo ga pa lahko fotografirali. Polarni sij smo pri- čakovali, saj je bil pred tem močan izbruh na Soncu usmerjen proti Zemlji, zato smo vso noč nanj čakali v fotografski zasedi. Slika3 Prav tako smo polarni sij fotografirali 26. septem- bra 2011 v večernih urah, vendar ni bil tako očiten, kot avgustovski. Obenem pa smo ga fotografirali s Krima, ki leži južno od Ljubljane, kar pomeni, da se je precej svetlobe sija izgubilo v oranžno obarvanem ljubljanskem svetlobnem onesnaženju. Pogostost pojavljanja severnega sija je neposre- dno odvisna od Sončeve aktivnosti. V zadnjih ne- kaj letih smo bili priča zelo nizki Sončevi aktivno- sti. Lani pa se je Sonce začelo prebujati in je proti poletju postajalo vse bolj aktivno. Letni časi in ak- tivnost Sonca seveda niso povezani. Gre za običa- jen cikel aktivnosti Sonca, ki se ponavlja vsakih 11 let. V prihajajočih letih, ko se Sonce predvidoma pri- bližuje maksimumu svoje aktivnosti, pričakujemo še kakšno predstavo polarnega sija, ki bo vidna tudi pri nas. Opazujte! 4 Polarni sij je viden tudi iz Slovenije Polarni sij je nad severnimi kraji (Aljaska, Kanada, Skandinavija, Islandija) pogost pojav. V naših krajih pa se pojavi le ob močnejših izbruhih na Soncu, zato je njegovo opazovanje in sprem janje precej bolj za- nimivo. Tako mo 6. vgusta 2011 med po nočjo in drugo uro zjutraj po lokalnem času udeleženci astronom- skega tabora SMART 2011 opazovali polarni sij s Po- horja. Severno nebo so sicer pokrivali oblaki, vend r je b l sij tako obsežen, da je segel visoko in se pri- kaz l nad oblaki. S prostim očesom žal ni bil viden, smo ga pa lahk fotografirali. Polarni sij smo pri čakovali, saj je bil pred tem močan izbruh na Soncu usmerjen proti Zemlji, zato smo vso n č nanj čak li v fotografs i zasedi. Sli a3 Prav tako smo polarni sij fotografirali 26. septem- bra 2011 v večernih urah, vendar ni bil tako očiten, kot avgustovski. Obenem pa smo ga fotografirali s Krima, ki leži južno od Ljubljane, kar pomeni, da se je precej svetlobe sija izgubilo v oranžno obarvanem ljubljanskem svetl bnem onesnaženju. Pogostost pojavljanj severnega sija je neposre- dno odvi na od Sončeve aktivnosti. V zadnjih ne- kaj letih smo bili priča zelo nizki Sončevi aktivno- sti. Lani pa se j Sonce začelo p ebujati in je proti poletju postajalo vse bolj aktivno. Letni časi in ak- tivn st S nca seved niso povezani. Gre za običa jen cikel aktivnosti Sonca, i se ponavlja vsakih 11 let. V prihajajoč h let h, ko se Sonce predvidoma pri bl žuje maksimumu svoje ktivnosti, pričaku mo še kakšno redst vo polarneg s ja, ki bo vidn tudi pri nas. Opazujte! 4 slika 2. Takšni izbruhi so na Soncu pogosti in jih lahko opazujemo skozi t. i. Halfa sončni filter. Če je izbruh močnejši in usmer- jen proti Zemlji, lahko pričakujemo, da bo polarni sij viden tudi v naših krajih. (Foto: Matic Smrekar) slika 3. Skupina peg 1263, ki je povzročila severni sij v noči s 5. na 6. avgust 2011, posneta 5. avgusta, torej na dan, ki je obetal nočno predstavo. Lepo vidimo zapleteno strukturo, značilno za večje pege, ki najpogosteje povzročajo polarni sij. (Foto: Matic Smrekar) Iz Slovenije bomo polarni sij najlažje opazovali, če se odpravimo na kraj, kjer je čim manj svetlobnega onesnaženja. Predvsem je pomembno, da gremo se- verno od večjih svetlobnih onesnaževalcev (mest, va- si, industrijskih con, reklamnih panojev, cerkva). Ta- ko bomo imeli severno nebo, kjer polarni sij priča- kujemo, manj onesnaženo. Dobro je, da gremo čim višje, saj bo prosojnost zraka tam boljša. Dobro je tudi, da si pogledamo, ali je na nebu Luna, ki lahko precej moti morebitna opazovanja. Opazovanja v oblačnem vremenu seveda odpadejo. Ali bomo po- larni sij videli ali ne, je odvisno predvsem od tega, kako močen je bil izbruh na Soncu in če je tok nabi- tih delcev zadel Zemljo. Slika2 Fotografiranje polarnega sija je preprosto. Pripra- vimo si čim bolj širokokotni objektiv (čim manjše go- rišče, npr. 18 mm ali manj) s čim večjo svetlobno jakostjo (f/2,8; f/3,5). Fotoaparat usmerimo proti severnemu obzorju, izostrimo in naredimo minuto ali dve dolg posnetek. Pri digitalnih fotoaparatih je primeren čas osvetlitve mogoče sproti preverjati na zaslonu fotoaparata in ga prilagajati svetlosti polar- nega sija. Uporaba fotografskega stojala je seveda obvezna. Če je polarni sij prisoten, bo severno ob- zorje tipično rdečkasto obarvano. V primeru moč- nejšega izbruha lahko vidimo posamezne pramene, ki se s časom spreminjajo. Takrat lahko s fotoapara- tom zabeležimo celo zeleno barvo, zavese in druge pojave v polarnem siju. Vplivi polarnega sija V primeru, da je tok delcev s Sonca dovolj velik, lah- ko v električnih omrežjih na Zemlji ojači električni tok, kar lahko privede do izpada omrežja (to se je v preteklosti že dogajalo). Polarni sij lahko zmoti plast atmosfere, imenovano ionosfera. Posledično nasta- nejo motnje pri komunikaciji v območju kratkih ra- dijskih valov. Na močne tokove nabitih delcev so ob- čutljivi še sateliti okoli Zemlje, na katerih severni sij lahko poškoduje elektroniko in sončne celice. Polarni sij na drugih planetih Na vsakem planetu, ki ima atmosfero, lahko opa- zujemo polarne sije. Pri planetu, kot je Venera, ki ima zelo gosto atmosfero, vendar je praktično brez magnetnega polja, je pojavljanje polarnega sija pro- storsko precej nepravilno razporejeno. Jupiter, Sa- turn, Uran, Neptun in Zemlja pa imajo dovolj močno magnetno polje, ki tok delcev s Sonca spelje k ma- gnetnim polom, kjer se v atmosferah teh planetov tudi najpogosteje pojavlja polarni sij. Pri Jupitru in Saturnu ta magnet a pola blizu rotacijskih polov, medtem ko je na Uranu in Neptunu blizu ekvatorja. sij lahko opazujemo celo na nekaterih večjih lunah, ki im jo atmosfero (npr. Jupitrova luna Io). 3 r i sij viden tudi iz Slove ije www.presek.si Presek 39 (2011/2012) 5 a s t r o n o m i j a 24 Mladinski astronomski raziskovalni tabor SMART je največji mladinski astronomski tabor v Sloveniji. Namenjen je tako popolnim začetnikom kot izkušenim astronomom, saj zahtevnost progra- ma prilagajamo predznanju in željam posamezni- ka. SMART je namenjen spoznavanju astronomije, neba, zvezd, teleskopov in raziskovanju v počitni- škem okolju, polnem sproščenega in veselega dru- ženja. Tabor bo potekal na Medvedjem Brdu, med 10. in 19. avgustom 2012. Vodilo ga bo deset izkušenih mentorjev, ki bodo poskrbeli, da bo SMART 2012 za vse udeležence zopet ostal nepozaben dogodek. Delovne skupine na taboru bodo: Uvod v astronomijo, Astronomska opazovanja, Astrofizika in astronomske simulacije, Astrofotografija, Meteorji, Temno nebo. Vse informacije o taboru, ter tudi vtise s prejšnjih taborov, o delovnih skupinah, o mentorski ekipi in o prijavi najdete na naši spletni strani: www.ADL.si. Slika1 2 Mladinski astronomski raziskovalni tabor SMART je največji mladinski astronomski tabor v Sloveniji. Namenjen je tako popolnim začetnikom kot izkušenim astronomom, saj zahtevnost progra- ma prilagajamo predznanju in željam posamezni- ka. SMART je namenjen spoznavanju astronomije, neba, zvezd, teleskopov in raziskovanju v počitni- škem okolju, polnem sproščenega in veselega dru- ženja. Tabor bo potekal na Medvedjem Brdu, med 10. in 19. vgust m 2012. Vodilo ga bo deset izkušen h mentorjev, ki bodo poskrbeli, da bo SMART 2012 za vs udel žence zopet ostal nepozaben dogodek. Delovne skupine na taboru bodo: Uvod v astronomijo, Astronomska opazovanja, Astrofizika in astronomske simulacije, Astrofotografija, Meteorji, Temno nebo. Vse informacije o taboru, ter tudi vtise s prejšnjih taborov, o delovnih skupinah, o mentorski ekipi in o prijavi najdete na naši s letni strani: www.ADL.s . Slika1 2 Mladinski astronomski raziskovalni tabor SMART je največji mladinski astronomski tabor v Sloveniji. Namenjen je tako popolnim začetnikom kot izkušenim astronomom, saj zahtevnost progra- ma prilagajamo predznanju in željam posamezni- ka. SMART je namenjen spoznavanju astronomije, neba, zvezd, teleskopov in raziskovanju v počitni- škem okolju, polnem sproščenega in veselega dru- ženja. Tabor bo potekal na Medvedjem Brdu, med 10. in 19. vgust m 2012. Vodilo ga bo deset izkušen h mentorjev, ki bodo poskrbeli, a bo SMART 20 2 za vs udel žence zopet ostal nepozaben dogodek. Delovne skupine na taboru bod : Uvod v astronomijo, Astronomska pazovanja, fizika in astronomske simulacije, fotografija, Meteorji, Temno nebo. Vse i formacije o taboru, ter tudi vtise s prejšnjih taborov, o delovnih skupinah, o mentorski ekipi in o prijavi ajdete na naši s letni strani: www.ADL.s . Slika1 2 Mladinski astronomski raziskovalni tabor SMART je največji mladinski astronomski tabor v Sloveniji. Namenjen je ta o popolnim začetnikom kot izkuše im astronomom, saj zahtevnost progra- ma prilagaj o predznanju in želja posamezni- a. SMART je name jen spoznav nju astronomije, neba, zvezd, teleskopov in raziskovanju v počit i- škem okolju, polnem sprošče eg in veselega dru- ž nja. Tabor bo potekal na Medvedjem Brdu, med 10. in 19. vgust m 2012. Vodilo ga bo deset izkušen h mentorjev, ki bodo poskrbeli, a bo SMART 20 2 za vs udel žence zopet ostal n pozaben dogodek. Delovne skupine na tabo u bo : Uvod v astronomijo, Astronomska pazovanja, fizika in astronomske simulacije, fotografija, Meteorji, Temno nebo. Vse i formacije o taboru, ter tudi vtise s prejšnjih taborov, o del vnih skupinah, o mentorski ekipi in o prijavi ajdete na naši s letni strani: www.ADL.s . Slik 1 2 Mladinski astronomski raziskovalni tabor SMART je največji mladinski astronomski tabor v Sloveniji. Namenjen je ta o popolnim začetnikom kot izkuše im astronomom, saj zahtevnost progra- ma prilagaj o predznanju in želja posamezni- a. SMART je name jen spoznav nju astronomije, neba, zvezd, teleskopov in raziskovanju v počit i- škem okolju, polnem sprošče eg in veselega dru- ž nja. Tabor bo potekal na Medvedjem Brdu, med 10. in 19. vgust m 2012. Vodilo ga bo deset izkušen h mentorjev, ki bodo poskrbeli, a bo SMART 20 2 za vs udel žence zopet ostal n pozaben dogodek. Delovne kupine na tab u bo : Uvod v astronomijo, Astronomska pazovanja, fizika i astr nomske simulacije, fotografija, Meteorji, Temno nebo. Vse i formacije o taboru, ter tudi vtise s prejšnjih taborov, o del vnih skupinah, o mentorski ekipi in o prijavi ajd te na naši s letni strani: www.ADL.s . Slik 1 2 Mladinski astronoms i raziskovalni tabor SMART je ajvečji mladinski astronomski tabor v Sloveniji. N enjen je tako popolni začetnikom ot izkušenim astro omom, saj z htevnost progra- ma prilagajamo predznanju in željam posamez i- ka. SMART je namenjen spoz av nju astronomije, n ba, zvezd, teleskopov in raziskovanju v počitni- škem kolju, polnem sproščenega in veselega dru- ženja. T bor b ot kal na Medv jem Brdu, med 0. n 19. avgu tom 2012. V dilo ga bo deset izkušenih m nt rj v, ki bodo p sk beli, a bo SMART 2012 za vse udeležence zopet ostal nep zaben dogodek. Delovne skupine na taboru bodo: Uvod v astro mij , nomska opazovanja, fizika in astronomske simulacije, Astrofotografija, Meteorji, Tem o n b . Vse i formacije o taboru, ter tudi vtise s prejšnjih taborov, o delovnih sku inah, o mentorski ekipi n o prij vi najdete na naši spletni strani: www.ADL.si. Slika1 2 Mladinski astronomski raziskovalni tabor SMART je največji mladinski astronomski tabor v Sloveniji. Namenjen je tako popolnim začetnikom kot izkušenim astronomom, saj zahtevnost progra- ma prilagajamo predznanju in željam posamezni- ka. SMART je namenjen spoznavanju astronomije, neba, zvezd, teleskopov in raziskovanju v počitni- škem okolju, polnem sproščenega in veselega dru- ženja. Tabor bo potekal na Medvedjem Brdu, med 10. in 19. avgustom 2012. Vodilo ga bo deset izkušenih mentorjev, ki bodo poskrbeli, da bo SMART 2012 za vse udeležence zopet ostal nepozaben dogodek. Delovne skupine na taboru bodo: Uvod v astronomijo, Astronomska opazovanja, Astrofizika in astronomske simulacije, Astrofotografija, Meteorji, Temno nebo. Vse informacije o taboru, ter tudi vtise s prejšnjih taborov, o delovnih skupinah, o mentorski ekipi in o prijavi najdete na naši spletni strani: www.ADL.si. Slika1 2 . , . , , , , . , . . . , , . : , , , , , . , , , : . l i i i i l i j j ji l i i i l iji j j l i i i i j - il j j i lj i- j j j ij l i i j i i- lj l i l - j l j i il i i j i li l l l i ij j i i i l ij j ji i ij i i j ji l i i i i i i ij i j i l i i . . i li a s astro o s raz s o a ta or S e a eč a s astro o s ta or S o e . a e e e ta o o o začet o ot z še astro o o , sa za te ost rogra a r aga a o re z a že a osa ez a. S e a e e s oz a a astro o e, e a, z ez , te es o o raz s o a oč t š e o o , o e s rošče ega ese ega r že a. abor bo oteka a e ve e Br , e 10. 19. avg sto 2012. o o ga bo eset zk še e tor ev, k bo o oskrbe , a bo S 2012 za vse e eže ce zo et osta e ozabe ogo ek. e ov e sk e a tabor bo o: vo v astro o o, stro o ska o azova a, stro z ka astro o ske s ac e, strofotogra a, eteor , e o ebo. se for ac e o tabor , ter t vt se s re š taborov, o e ov sk a , o e torsk ek o r av a ete a aš s et stra : L s . S ka1 2 l din ki n ki i k v lni b T j n jv ji l din ki n ki b v l v niji nj n j k p p lni nik k i ku ni n j h vn p - p il j p d n nju in lj p ni- k T j n nj n p n v nju n ij n b v d l k p v in i k v nju v p i ni- k k lju p ln p n in v l d u- nj T p l n d dj du d in u V dil d i u nih n j i d p li d RT ud l n p l n p n d d l n upin n u d d n ij n p nj fi i in n i ul ij fij ji T n n V in ij u udi i p j njih d l nih upin h n i ipi in p ij i n jd n n i pl ni ni .A . i li AR . N , . AR , , , , . M , . . . , , MA . D : U , A , A , A , M , . , , , : www D . Ml i s i str ms i r is l i t r M j j ji ml i s i str ms i t r l iji. m j j t l im t i m t i š im str m m, s j t st r r - m ril j m r j i lj m s m i- . M j m j s j str mij , , , t l s i r is j it i- š m lj , l m s r š i s l r - j . r te l e e jem r , me . i . st m . il eset i še i me t rje , i s r eli, se ele e ce et st l e e e . el e s i e t r : str mij , str ms j , str i i str ms e sim l cije, str f t r j , ete rji, em e . se i f rm cije t r , ter t i tise s rejš ji t r , el i s i , me t rs i e i i i rij i j ete ši s let i str i: . L.si. li ad n k a ono k az kova n abo S T e na več ad n k a ono k abo v S oven . a en en e ako popo n zače n ko ko zku en a ono o , a zah evno p og a a p aga a o p edznan u n že a po a ezn ka. S T e na en en poznavan u a ono e, neba, zvezd, e e kopov n az kovan u v poč n ke oko u, po ne p o čenega n ve e ega d u žen a. Tabo bo po ka na dv d B du, d 10. n 19. avgu o 2012. Vod o ga bo d zku n h n o v, k bodo po k b , da bo S RT 2012 za v ud ž n zop o a n pozab n dogod k. ovn kup n na abo u bodo: vod v a ono o, ono ka opazovan a, ofiz ka n a ono k u a , o o og afi a, o , T no n bo. V n o a o abo u, ud v p n h abo ov, o d ovn h kup nah, o n o k k p n o p av na d na na p n an : A . S ka1 2 l i i i i l i j j ji l i i i l iji j j l i i i i j - il j j i lj i- j j j ij l i i j i i- lj l i l - j l j i il i i j i li l l l i ij j i i i l ij j ji i ij i i j ji l i i i i i i ij i j i l i i . . i li astronomsko društvo labod Vabilo na smart • presek 39 (2011/2012) 5 25 r a č u n a l n i š t v o GLASBE. UJEMI RITEM V zadnjem letniku srednje šole si vsak dijak iz- bere spremljevalko oziroma spremljevalca za ma- turantski ples. Seveda ima svoje želje, s kom bi želel zaplesati oziroma s kom ne, zato se lahko zgodi, da ostane brez plesnega partnerja. Da se v letošnjem letu to ne bi zgodilo, smo se odločili, da poiščemo algoritem, ki ob upoštevanju vseh že- lja dijakov sestavi plesne pare tako, da čim manj dijakov ostane brez plesnega partnerja. Vsak dijak poda seznam oseb, s kom bi želel ple- sati. Ker mora biti želja po plesu obojestranska, iz- ločimo enostranske želje. Opazimo, da smo nalogo preoblikovali tako, da moramo izbrati čim večje šte- vilo takih želja, da bi čim manj dijakov ostalo brez spremljevalca, pri čemer en dijak nastopa v natanko eni izbrani želji. Matematična stuktura, ki nam bo pomagala rešiti problem, se imenuje graf. Graf določata množica vozlišč V(G) in množica njegovih povezav E(G). Vo- zlišča grafa bodo predstavljala dijake, želje dijakov pa bodo povezave grafa G. Primer na sliki 1 prika- zuje osemnajst dijakov in njihove želje. Slika1 Predstavimo naj še nekaj osnovnih pojmov, ki jih bomo potrebovali za boljše razumevanje algoritma. Elemente množice E(G) imenujemo povezave in jih označujemo z e = [u,v] = [v,u] ali kar e = uv . Naj bo e = uv . Vozlišči u in v imenujemo krajišči povezave e. Vozlišči u in v sta sosednji, če obstaja povezava e, ki ju povezuje. Pravimo, da je povezava e incidenčna z vozliščema u in v . Stopnja vozlišča u je število povezav, ki so incidenčna z u. Zapo- redje vozlišč v1v2 . . . vn, kjer je vivi+1 ∈ E(G), za i = 1,2, . . . , n−1, se imenuje sprehod med začetnim in končnim vozliščem. Če so vsa vozlišča v sprehodu paroma različna, govorimo o poti v grafu G. Cikel v grafu G je sklenjena pot v grafu G. Dolžina sprehoda je definirana kot število povezav, ki jih sprehod vse- buje. Podgraf H grafa G je graf, za katerega velja V(H) ⊆ V(G) in E(H) ⊆ E (G). Graf je povezan, če med poljubnima dvema vozliščema grafa obstaja vsaj ena pot. Če je graf brez ciklov povezan, ga ime- nujemo drevo. Gozd je nepovezana unija dreves. Množico M paroma disjunktnih povezav grafa G imenujemo prirejanje, drugače povedano, množica povezav M grafa G je prirejanje, če nobeni dve pove- zavi iz M nista incidenčni. Velikost prirejanja je ve- likost množice M . Velikost kateregakoli največjega prirejanja imenujemo moč največjega prirejanja, kar bomo označevali z ν (G). Naša naloga je izbrati čim več povezav, pri čemer en dijak nastopa kot krajišče največ ene povezave 2 V zadnjem letniku srednje šol si vs k dij k iz bere sprem jevalko oziro a spremljevalca za ma- turantski ples. Seveda ima svoje želje, s kom bi želel zaplesati oziroma s kom ne, zato se lahko zgodi, da ostane brez plesnega partnerja. Da se v let nje letu to ne bi zgodil , smo se odločili, d poiščemo algor tem, ki ob upoštevanju vseh že- lja dijak v sestavi plesne p re tako, da čim manj dijakov ostane brez plesnega partnerja. Vsak dijak poda seznam oseb, s kom bi želel ple- sati. Ker mora biti želja po plesu obojestranska, iz- ločimo enostranske želje. Opazimo, da smo nalogo preoblikovali tako, da moramo izbrati čim večje šte- vilo takih želja, da bi čim manj dijakov ostalo brez spremljevalca, pri čemer en dijak nastopa v natanko eni izbrani želji. Matematična stuktura, ki nam bo pomagala rešiti problem, se imenuje graf. Graf določata množica vozlišč V(G) in množica njegovih povezav E(G). Vo- zlišča grafa bodo predstavljala dijake, želje dijakov pa bodo povezave grafa G. Primer na sliki 1 prika- zuje osemnajst dijakov in njihove želje. Slika1 Predstavimo naj še nekaj osnovnih pojmov, ki jih bomo potrebovali za boljše razumevanje algoritma. Elemente množice E(G) imenujemo povezave in jih označujemo z e = [u,v] = [v,u] ali kar e = uv . Naj bo e = uv . Vozlišči u in v imenujemo krajišči povezave e. Vozlišči u in v sta sosednji, če obstaja povezava e, ki ju povezuje. Pravimo, da je povezava e incidenčna z vozliščema u in v . Stopnja vozlišča u je število povezav, ki so incidenčna z u. Zapo- redje vozlišč v1v2 . . . vn, kjer je vivi+1 ∈ E(G), za i = 1,2, . . . , n−1, se imenuje sprehod med začetnim in končnim vozliščem. Če so vsa vozlišča v sprehodu paroma različna, govorimo o poti v grafu G. Cikel v grafu G je sklenjena pot v grafu G. Dolžina sprehoda je definirana kot število povezav, ki jih sprehod vse- buje. Podgraf H grafa G je graf, za katerega velja V(H) ⊆ V(G) in E(H) ⊆ E (G). Graf je povezan, če med poljubnima dvema vozliščema grafa obstaja vsaj ena pot. Če je graf brez ciklov povezan, ga ime- nujemo drevo. Gozd je nepovezana unija dreves. Množico M paroma disjunktnih povezav grafa G imenujemo prirejanje, drugače povedano, množica povezav M grafa G je prirejanje, če nobeni dve pove- zavi iz M nista incidenčni. Velikost prirejanja je ve- likost množice M . Velikost kateregakoli največjega prirejanja imenujemo moč največjega prirejanja, kar bomo označevali z ν (G). Naša naloga je izbrati čim več povezav, pri čemer en dijak nastopa kot krajišče največ ene povezave 2 j l i j l i ij i - lj l i lj l - i l . i j lj , i l l l i i , l i, l j . l j l i il , l ili, i l i , i j - lj ij i l , i j ij l j . ij , i l l l - i. i i lj l j , i - l i lj . i , l li li , i i i j - il i lj , i i j ij l lj l , i ij i i i lji. i , i l i i l , i j . l i li i i j i . - li lj l ij , lj ij . i li i i - j j ij i ji lj . li i j j i j , i ji li lj j l i . l i i j i ji j , , li . j . li i i i j ji i . li i i ji, j , i j j . i , j i i li i . j li j il , i i i . - j li . . . , j j i i , , , . . . , , i j i i i li . li li , i i . i l j l j . l i j i il , i ji - j . j , lj i . j , lj i li j j . j i l , i - j . j ij . i i j i i j i j j , , i j i j j , i - i i i i i i. li i j j j - li i . li li j j i j j i j j j i j j , li . l j i i i , i ij ji j za e et sre e šo e s sa a z ere s re e a o oz ro a s re e a ca za a t ra ts es. Se e a a s o e že e, s o že e za esat oz ro a s o e, zato se a o zgo , a osta e rez es ega art er a. a se et š e et to e zgo , s o se o oč , a o šče o a gor te , o ošte a se že a a sesta es e are ta o, a č a a o osta e rez es ega art er a. sak ak o a sez a oseb, s ko b že e e sat . er ora b t že a o es obo estra ska, z oč o e ostra ske že e. az o, a s o a ogo reob kova tako, a ora o zbrat č več e šte v o tak že a, a b č a akov osta o brez s re eva ca, r če er e ak asto a v ata ko e zbra že . ate at č a st kt ra, k a bo o aga a reš t rob e , se e e graf. raf o očata ož ca voz šč ( ) ož ca egov ovezav ( ). o z šča grafa bo o re stav a a ake, že e akov a bo o ovezave grafa . Pr er a s k 1 r ka z e ose a st akov ove že e. S ka1 Pre stav o a še eka os ov o ov, k bo o otrebova za bo še raz eva e a gor t a. E e e te ož ce ( ) e e o ovezave oz ač e o z e [ ] [ ] a kar e . a bo e . oz šč e e o kra šč ovezave e. oz šč sta sose , če obsta a ovezava e, k ovez e. Prav o, a e ovezava e c e č a z voz šče a . Sto a voz šča e štev o ovezav, k so c e č a z . a o re e voz šč 1 2 n, k er e +1 ( ), za i 1 2 1 se e e s re o e začet ko č voz šče . ˇe so vsa voz šča v s re o aro a raz č a, govor o o ot v graf . ke v graf e sk e e a ot v graf . o ž a s re o a e e ra a kot štev o ovezav, k s re o vse b e. Po graf grafa e graf, za katerega ve a ( ) ( ) ( ) ( ). raf e oveza , če e o b a ve a voz šče a grafa obsta a vsa e a ot. ˇe e graf brez c k ov oveza , ga e e o revo. oz e e oveza a a reves. ož co aro a s kt ovezav grafa e e o r re a e, r gače ove a o, ož ca ovezav grafa e r re a e, če obe ve ove zav z sta c e č . e kost r re a a e ve kost ož ce . e kost kateregako a več ega r re a a e e o oč a več ega r re a a, kar bo o oz ačeva z ν ( ). aša a oga e zbrat č več ovezav, r če er e ak asto a kot kra šče a več e e ovezave 2 V dnj l niku dnj l i v k dij k i - b p lj v lk i p lj v l - u n ki pl v d i v j lj k bi l l pl i i k n l hk di d n b pl n p n j D v l o nj l u n bi dilo dl ili d p i l i ki b up v nju v h - lj dij kov vi pl n p k d i nj dij k v n b pl n p n j V dij p d n i l l pl - i K i i lj p pl u j n i - l i n n lj Op i d n l p li li d i i i j - il ih lj d i i nj dij l p lj l p i n dij n p n n ni i ni lji i n u u i n p l i i p l i nuj G d l n i li V G in n i nj ih p E G V - li d p d lj l dij lj dij p d p G i n li i p i - uj n j dij in njih lj li d i n j n j n nih p j i jih p li lj u nj l i l n n i E G i nuj p in jih n uj = u,v = v,u li = uv N j = uv V li i u in v i nuj ji i p V li i u in v dnji j p i ju p uj i d j p in id n n li u in v pnj li u j il p i in id n n u Z p - dj li v v . . . v j j vivi ∈ E G = , , . . . , n− , i nuj p h d d ni in n ni li C li p h du p li n i p i u G Ci l u G j l nj n p u G D l in p h d j d fini n il p i jih p h d - uj d G j lj V ⊆ V G in E ⊆ E G G j p n d p lju ni d li j j n p C j i l p n i - nuj d G d j n p n unij d n i p di jun nih p G i nuj p i j nj d u p d n n i p G j p i j nj n ni d p - i i ni in id n ni V li p i j nj j - li n i V li li n j j p i j nj i nuj n j j p i j nj n li G N n l j i i i p p i n dij n p ji n j n p . , , , . , , , , . , . , . , , , , . M , , . . , . . , . . . . , , . , . , . , , . , . . , . H , H H . , . , . . M , , , . . , . , m t m m m m t t m m t m m t t t t m t t m m t m t t t m m t t m m t r m r t tr m tr m m r t m r m r t m t t m m t r r m r m r t t r t m t t t r m m r t r m m r f r f t m m r f r t r f r m r r m t r t m m m tr r m r tm m t m m m r m m r t t r m m t t r 1 2 r 1 i m r m t m m m r r m r r m t r f r f t r f r r t t r r f r f r f t r r f m m m m r f t t r f r m m r r M r m t r f m m r r r m M r f r r M t t r r t m M t t r r r m m m r r r m r t m r m r t t r za je le i sre je šole si sa ija iz- ere s re lje al o oziro a s re lje alca za a- ra s i les. Se e a i a s oje želje, s o i želel za lesa i oziro a s o e, za o se la o zgo i, a os a e rez les ega ar erja. a se le š je le o e i zgo il , s o se o ločili, a oišče o algori e , i o oš e a j se že- lja ija ses a i les e are a o, a či a j ija o os a e rez les ega ar erja. sak ijak o a s z a os b, s k bi želel le- sa i. e o bi i želja o les bojes a ska, iz- loči o e os a ske želje. azi o, a s o alogo eoblikovali ako, a o a o izb i či večje š e- vilo aki želja, a bi či a j ij k v os alo b ez s e ljevalca, i če e e ijak as o a v a a ko e i izb a i želji. a e a ič a s k a, ki a bo o agala eši i oble , se i e je g a . a loč a ožica vozlišč ( ) i ožica jegovi ovezav ( ). o- zlišča g a a bo o e s avljala ijake, želje ijakov a bo o ovezave g a a . P i e a sliki 1 ika- z je ose ajs ijakov i ji ove želje. Slika1 P e s avi o aj še ekaj os ov i oj ov, ki ji bo o o bovali za boljše az eva je algo i a. Ele e e ožice ( ) i e je o ovezave i ji oz ač je o z e [ , ] [ , ] ali ka e . aj bo e . ozlišči i i je o k ajišči e . ozlišči i s a sose ji, če obs aj ovezava e, ki j ovez je. P avi o, a je ovezav e i ci č a z o lišče a i . S o ja vozlišča je š evilo ovezav, ki so i ci e č a z . a o- e je vozlišč . . . n, kj je i i+ ( ), za 1,2, . . . , 1, se i e je s e o e zače i i k č i vozlišče . ˇe so vsa vozlišča v s e o a o a azlič a, govo i o o o i v g a . ikel v g a je skle je a o v g a . olži a s e o a je e i a a ko š evilo ovezav, ki ji s e o vse- b je. Po g a g a a je g a , za ka ega velja ( ) ( ) i ( ) ( ). je vez , če olj b i a ve a vozlišče a g a obs aja vsaj e a o . ˇe je g a b ez ciklov oveza , ga i e- je o evo. oz je e oveza a ija eves. ožic a o a isj k i ovezav g a a i e je o i eja je, gač ove a o, ožica o ezav g a a je i eja je, če obe i ve o - zavi iz is a i ci e č i. elikos i eja ja je ve- likos ožice . elikos ka e koli ajvečjega i eja ja i e je o oč ajvečjega i eja ja, ka bo o oz ačevali z ν ( ). aš aloga je izb a i či več ovezav, i če e e ijak as o a ko k ajišče ajveč e e ovezave 2 o o o matej kren Prirejanje grafov in maturantski ples • • Presek 39 (2011/2012) 5 26 r a č u n a l n i š t v o slika 1. Primer grafa G slika 2. Graf G z prireja- njem M (dvojne črte) Algoritmi za iskanje največjega prirejanja • grafa G. Naloga je podobna iskanju moči največjega prirejanja grafaG, vendar moramo dejansko poiskati eno izmed največjih prirejanj grafa G. Naj bo M prirejanje grafa G. Vozlišče v je nasi- čeno, če obstaja taka povezava iz M , ki je incidenčna z v . Vozlišče, ki ni krajišče nobene povezave iz M , je nenasičeno. Pot P je M-alternirajoča pot, če so po- vezave iz P izmenično v in izven prirejanja M . Pri tem je dovoljeno, da se M-alternirajoča pot začne in konča s povezavo izven prirejanja M ; tako pot ime- nujemo M-povečana pot. Prirejanje je popolno, ka- dar pokrije celotno množico V(G). V najboljšem pri- meru lahko torej vsakemu dijaku najdemo plesnega partnerja, glede na izražene želje. Če lahko množico vozlišč grafa G razbijemo na dve taki disjunktni neprazni množici A in B, V (G) = A ∪ B, da ima vsaka povezava grafa G eno krajišče v množici A in drugo v množici B, pravimo grafu G dvodelni graf ali bigraf. A∪ B imenujemo biparticija grafa G. Ker lahko množico vozlišč našega grafa G razdelimo na dekleta in fante in ker vsaka povezava grafa G povezuje enega fanta z enim dekletom, je graf G dvodelen. Biparticijo bi lahko označili V(G) = {fantje} ∪ {dekleta}. Primer Graf G na sliki 2 je dvodelen z biparticijo V(G) = {Anže, Blaž, Dino} ∪ {Eva, Gabi, Irena}. Pove- zavi, označeni z dvojnimi črtami, tvorita prirejanje M . Vozlišči Dino in Gabi sta nenasičeni in med njima obstaja povezava, zato očino prirejanje M ni največ- je. Prirejanje M ∪ {[Dino,Gabi]} je največje in tudi popolno, saj pokrije celotno množico vozlišč. Slika2 Algoritmi za iskanje največjega prirejanja Naivni algoritem za iskanje največjega prirejanja Spomnimo se, da je vozlišče v nenasičeno glede na prirejanje M , če ne obstaja povezava iz M , ki bi bila incidenčna z v . Očitno je, da če G vsebuje kakšno M-alternirajočo pot P , ki povezuje dve nenasičeni vozlišči, potem M ne more biti največje prirejanje, saj graf G vsebuje večje prirejanje M′. Tega dobimo tako, da odvzamemo povezave iz P ∩M in dodamo povezave iz P\M . Slika3 Izrek Prirejanje M grafa G je največje prirejanje natanko tedaj, ko v grafu G ne obstaja nobena M-povečana pot. (Lovász, Plummer [1]) 3 grafa G. Naloga je podobna iskanju moči največjega prirejanja grafaG, vendar moramo dejansko poiskati eno izmed največjih prirejanj grafa G. Naj bo M prirejanje grafa G. Vozlišče v je nasi- čeno, če obstaja taka povezava iz M , ki je incidenčna z v . Vozlišče, ki ni krajišče nobene povezave iz M , je nenasičeno. Pot P je M-alternirajoča pot, če so po- vezave iz P izmenično v in izven prirejanja M . Pri tem je dovoljeno, da se M-alternirajoča pot začne in konča s povezavo izven prirejanja M ; tako pot ime- nujemo M-povečana pot. Prirejanje je popolno, ka- dar pokrije celotno množico V(G). V najboljšem pri- meru lahko torej vsakemu dijaku najdemo plesnega partnerja, glede na izražene želje. Če lahko množico vozlišč grafa G razbijemo na dve taki disjunktni neprazni množici A in B, V (G) = A ∪ B, da ima vsaka povezava grafa G eno krajišče v množici A in drugo v množici B, pravimo grafu G dvodelni graf ali bigraf. A∪ B imenujemo biparticija grafa G. Ker lahko množico vozlišč našega grafa G razdelimo na dekleta in fante in ker vsaka povezava grafa G povezuje enega fanta z enim dekletom, je graf G dvodelen. Biparticijo bi lahko označili V(G) = {fantje} ∪ {dekleta}. Primer Graf G na sliki 2 je dvodelen z biparticijo V(G) = {Anže, Blaž, Dino} ∪ {Eva, Gabi, Irena}. Pove- zavi, označeni z dvojnimi črtami, tvorita prirejanje M . Vozlišči Dino in Gabi sta nenasičeni in med njima obstaja povezava, zato očino prirejanje M ni največ- je. Prirejanje M ∪ {[Dino,Gabi]} je največje in tudi popolno, saj pokrije celotno množico vozlišč. Slika2 Algoritmi za iskanje največjega prirejanja Naivni algoritem za iskanje največjega prirejanja Spomnimo se, da je vozlišče v nenasič no glede na prirejanje M , če ne obstaja povezava iz M , ki bi bila incidenčna z v . Očitno je, da če G vsebuje kakšno M-alternirajočo pot P , ki povezuje dve nenasičeni vozlišči, potem M ne more biti največje prirejanje, saj graf G vsebuje večje prirejanje M′. Tega dobimo tako, da odvzamemo povezave iz P ∩M in dodamo povezave iz P\M . Slika3 Izrek Prirejanje M grafa G je največje prirejanje natanko tedaj, ko v grafu G ne obstaja nobena M-povečana pot. (Lovász, Plummer [1]) 3 grafa G. Naloga je podobna iska ju moči ajvečjega prirejanja grafaG, vendar moramo dej nsko poiskati eno izmed največjih prirejanj grafa G. Naj bo M prirejanje grafa G. Vozlišče v je nasi čeno, če obstaja taka p vezava iz M , ki je incidenčna z v . Vozlišče, ki ni krajišče nobe e povezav iz M , je nenasičeno. Pot P je M-alternirajoča pot, če so po- vezave iz P izmenično v in izven prirejanja M . Pri tem je dovoljeno, da se M-alternirajoča pot začne in konča s povezavo izven prirejanj M ; tako pot ime- nujemo M-povečana pot. Prirejanje je popolno, ka- ar pokrije celotno množico V(G). V najboljšem pri- meru lahko torej vsakemu dijaku najdemo plesnega partnerja, glede na izražene želje. Če lahk množico vozlišč grafa G razbijemo na dve taki disjunktni neprazni množici A in B, A ∪ B, da ima vsaka povezava grafa G eno krajišče v množici A in drugo v množici B, pravimo grafu G dvod lni graf ali bigraf. A∪ B imenujemo biparticija grafa G. Ker lahko množico vozlišč našega grafa G razdelimo na dekleta in fante in ker vsaka povezava grafa G povezuje enega fanta z enim dekletom, je graf G dvodelen. Biparticijo bi lahko zn čili V(G) = {fantje} ∪ {deklet }. Prime Graf G na sliki 2 je dvodelen z biparticijo V(G) = {Anže, Blaž, Dino} ∪ {Eva, Gabi, Irena}. Pove- zavi, označeni z dvojnimi črtami, tvorita prirejanje M . Vozlišči Dino in Gabi sta nenasičeni in med njima obstaja povezava, zato očino prirejanje M ni največ- je. Prirejanje M ∪ {[Dino,Gabi]} je najv čje in tudi popolno, saj pokrije celotno množico vozlišč. lika2 č Naivni algoritem za iskanje največjega prirejanja Spomnimo se, da je vozlišče v nenasičeno glede na prirejanje M , če ne obstaja povezava iz M , ki bi bila incidenčna z v . Očitno je, da če G vsebuje kakšno M-alternirajočo pot P , ki povezuje dve nenasičeni vozlišči, potem M ne more biti največje prirejanje, saj graf G vsebuje večje prirejanje M′. Tega dobimo tako, da odvzamemo povezave iz P ∩M in dodamo povezave iz P\M . Slika3 Izrek Prirejanje M grafa G je največje prirejanje natanko tedaj, ko v grafu G ne obstaja nobena M-povečana pot. (Lovász, Plummer [1]) 3 V zadnjem letniku srednje šole si vsak dijak iz- bere spremljevalko oziroma spremljevalca za ma- turantski ples. Seveda ima svoje želje, s kom bi želel zaplesati oziroma s kom ne, zato se lahko zgodi, da ostane brez plesnega partnerja. Da se v letošnjem letu to ne bi zgodilo, smo se odločili, da poiščemo algoritem, ki ob upoštevanju vseh že- lja dijakov sestavi plesne pare tako, da čim manj dijakov ostane brez plesnega partnerja. Vsak dijak poda seznam oseb, s kom bi želel ple- sati. Ker mora biti želja po plesu obojestranska, iz- ločimo enostranske želje. Opazimo, da smo nalogo preoblikovali tako, da moramo izbrati čim večje šte- vilo takih želja, da bi čim manj dijakov ostalo brez spremljevalca, pri čemer en dijak nastopa v natanko eni izbrani želji. Matematična stuktura, ki nam bo pomagala rešiti problem, se imenuje graf. Graf določata množica vozlišč V(G) in množica njegovih povezav E(G). Vo- zlišča grafa bodo predstavljala dijake, želje dijakov pa bodo povezave grafa G. Primer na sliki 1 prika- zuje osemnajst dijakov in njihove želje. Slika1 Predstavimo naj še nekaj osnovnih pojmov, ki jih bomo potrebovali za boljše razumevanje algoritma. Elemente množice E(G) imenujemo povezave in jih označujemo z e = [u,v] = [v,u] ali kar e = uv . Naj bo e = uv . Vozlišči u in v imenujemo krajišči povezave e. Vozlišči u in v sta sosednji, če obstaja povezava e, ki ju povezuje. Pravimo, da je povezava e incidenčna z vozliščema u in v . Stopnja vozlišča u je število povezav, ki so incidenčna z u. Zapo- redje vozlišč v1v2 . . . vn, kjer je vivi+1 ∈ E(G), za i = 1,2, . . . , n−1, se imenuje sprehod med začetnim in končnim vozliščem. Če so vsa vozlišča v sprehodu paroma različna, govorimo o poti v grafu G. Cikel v grafu G je sklenjena pot v grafu G. Dolžina sprehoda je definirana kot število povezav, ki jih sprehod vse- buje. Podgraf H grafa G je graf, za katerega velja V(H) ⊆ V(G) in E(H) ⊆ E (G). Graf je povezan, če med poljubnima dvema vozliščema grafa obstaja vsaj ena pot. Če je graf brez ciklov povezan, ga ime- nujemo drevo. Gozd je nepovezana unija dreves. Množico M paroma disjunktnih povezav grafa G imenujemo prirejanje, drugače povedano, množica povezav M grafa G je prirejanje, če nobeni dve pove- zavi iz M nista incidenčni. Velikost prirejanja je ve- likost množice M . Velikost kateregakoli največjega prirejanja imenujemo moč največjega prirejanja, kar bomo označevali z ν (G). Naša naloga je izbrati čim več povezav, pri čemer en dijak nastopa kot krajišče največ ene povezave 2 presek 39 (2011/2012) 5 a Anže Ev Blaž Gabi Dino Irena j b k c l d e n f o g p h r i s 27 r a č u n a l n i š t v o slika 3. Primer povečanja prirejanja M na M'. Povezave, ki so v ustre- znem prirejanju, so označene dvojno. • S pomočjo tega izreka sestavimo algoritem. VHOD: Graf G IZHOD: Prirejanje M 1. Začnemo s poljubno povezavo v grafu G in jo uvr- stimo v prirejanje M . 2. Poiščemo M-povečano pot v grafu G: (i) Če takšna pot obstaja, prirejanje M povečamo kot v prejšnjem razmisleku. Ponovi korak 2. (ii) Če takšna pot ne obstaja, je po prejšnjem izreku prirejanje M največje prirejanje grafa G. Konec. Algoritem je zapisan brez podrobnosti, saj je v prak- si neuporaben. Izkaže se, da moramo pri iskanju M-povečane poti v grafu na vsaki ponovitvi preveriti vse robne primere za vsako vozlišče, zato je s pro- gramerskega stališča ta algoritem neuporaben. Madžarski algoritem za iskanje največjega prirejanja Naj bo G bigraf z biparticijo A ∪ B in naj bo M po- ljubno prirejanje grafa G. Naj bosta A1 in B1 množici nenasičenih vozlišč v A in B, v tem vrstnem redu. Se- daj želimo poiskati M-povečano pot, ki povezuje A1 z B1, če obstaja. Naj bo množica U množica vozlišč v A dostopnih iz A1 z M-alternirajočo potjo. Množico U skonstruiramo s pomočjo maksimalnega gozda F v grafu G. Tak gozd ima naslednje lastnosti: (i) Vsako vozlišče b iz F v množici B je stopnje 2 in natanko ena povezava iz F , ki je incidenčna z b, pripada prirejanju M . (ii) Vsako drevo v gozdu F vsebuje vozlišče iz A1. Če vozlišče iz A1 ni povezano z nobenim krajiščem povezav izM , potem ga v F uvrstimo kot samostojno komponento. Iz tega sledi, da je U = V(F)∩A. Lema Naj G, M , A, B, A1, B1 in F ustrezajo zgornjim zah- tevam. Prirejanje M je največje natanko tedaj, ko nobeno vozlišče iz B1 ni sosednje z nekim vozliščem v F . (Lovász, Plummer [1]) Z zgornjo lemo lahko sestavimo bistveno učinkovi- tejši algoritem, ki poišče največje prirejanje v dvo- delnem grafu. VHOD: Graf G IZHOD: Prirejanje M in gozd F 1. Zgradimo biparticijo A ∪ B grafa G. Določimo množici A1 = A in B1 = B. 4 S pomočjo tega izreka sestavimo algoritem. VHOD: Graf G IZHOD: Prirejanje M 1. Začnemo s poljubno povezavo v grafu G in jo uvr- stimo v prirejanje M . 2. Poiščemo M-povečano pot v grafu G: (i) Če takšna pot obstaja, prirejanje M povečamo kot v prejšnjem razmisleku. Ponovi korak 2. (ii) Če takšna pot ne obstaja, je po prejšnjem izreku prirejanje M največje prirejanje grafa G. Konec. Algoritem je zapisan brez podrobnosti, saj je v prak- si neuporaben. Izkaže se, da moramo pri iskanju M-povečane poti v grafu na vsaki ponovitvi preveriti vse robne primere za vsako vozlišče, zato je s pro- gramerskega stališča ta algoritem neuporaben. Madžarski algoritem za iskanje največjega prirejanja Naj bo G bigraf z biparticijo A ∪ B in naj bo M po- ljubno prirejanje grafa G. Naj bosta A1 in B1 množici nenasičenih vozlišč v A in B, v tem vrstnem redu. Se- daj želimo poiskati M-povečano pot, ki povezuje A1 z B1, če obstaja. Naj bo množica U množica vozlišč v A dostopnih iz A1 z M-alternirajočo potjo. Množico U skonstruiramo s pomočjo maksimalnega gozda F v grafu G. Tak gozd ima naslednje lastnosti: (i) Vsako vozlišče b iz F v množici B je stopnje 2 in natanko ena povezava iz F , ki je incidenčna z b, pripada prirejanju M . (ii) Vsako drevo v gozdu F vsebuje vozlišče iz A1. Če vozlišče iz A1 ni povezano z nobenim krajiščem povezav izM , potem ga v F uvrstimo kot samostojno komponento. Iz tega sledi, da je U = V(F)∩A. Lema Naj G, M , A, B, A1, B1 in F ustrezajo zgornjim zah- tevam. Prirejanje M je največje natanko tedaj, ko nobeno vozlišče iz B1 ni sosednje z nekim vozliščem v F . (Lovász, Plummer [1]) Z zgornjo lemo lahko sestavimo bistveno učinkovi- tejši algoritem, ki poišče največje prirejanje v dvo- delnem grafu. VHOD: Graf G IZHOD: Prirejanje M in gozd F 1. Zgradimo biparticijo A ∪ B grafa G. Določimo množici A1 = A in B1 = B. 4 2. M = {} 3. Sestavimo maksimalni gozd F glede na prirejanje M , ki ima lastnosti (i) in (ii). 4. Če obstaja povezava med V(F)∩A in vozliščem iz B1, povečamo prirejanje M kot na sliki 3. Ustrezno odstranimo na novo prirejena vozlišča iz A1 in B1. Vrnemo se na korak 3. 5. Če ni povezave, ki bi povezovala V(F) ∩ A z B1, potem je po zgornji lemi prirejanje M največje prire- janje. Konec. Naj bo n = |V(G)| in m = |E(G)|. Madžarski algo- ritem je možno implementirati tako, da teče v času O(n2m). (Lovász, Plummer [1]) Primer Predstavili bomo delovanje algoritma na grafu G. Najprej poiščemo biparticijo in zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika4 Prva povezava, ki jo algoritem najde, je povezava v1v2. To povezavo damo v prerejanje M = {v1v2}. Slika5 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika6 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika7 Pot v3v2v1v4 jeM-povečana in kot na sliki 3 ustrez- no povečamo prirejanje M = {v3v2, v1v4}. Slika8 Edina M-povečana pot, ki jo sedaj najdemo, je P = v6v1v2v3. Prirejanje M povečamo na M = {v3v2, v6v1, v4v5}. Slika9 5 grafa G. Naloga je podobna iskanju moči največjega prirejanja grafaG, vendar moramo dejansko poiskati eno izmed največjih prirejanj grafa G. Naj bo M prirejanje grafa G. Vozlišče v je nasi- čeno, če obstaja taka povezava iz M , ki je incidenčna z v . Vozlišče, ki ni krajišče nobene povezave iz M , je nenasičeno. Pot P je M-alternirajoča pot, če so po- vezave iz P izmenično v in izven prirejanja M . Pri tem je dovoljeno, da se M-alternirajoča pot začne in konča s povezavo izven prirejanja M ; tako pot ime- nujemo M-povečana pot. Prirejanje je popolno, ka- dar pokrije celotno množico V(G). V najboljšem pri- meru lahko torej vsakemu dijaku najdemo plesnega partnerja, glede na izražene želje. Če lahko množico vozlišč grafa G razbijemo na dve taki disjunktni neprazni množici A in B, V (G) = A ∪ B, da ima vsaka povezava grafa G eno krajišče v množici A in drugo v množici B, pravimo grafu G dvodelni graf ali bigraf. A∪ B imenujemo biparticija grafa G. Ker lahko množico vozlišč našega grafa G razdelimo na dekleta in fante in ker vsaka povezava grafa G povezuje enega fanta z enim dekletom, je graf G dvodelen. Biparticijo bi lahko označili V(G) = {fantje} ∪ {dekleta}. Primer Graf G na sliki 2 je dvodelen z biparticijo V(G) = {Anže, Blaž, Dino} ∪ {Eva, Gabi, Irena}. Pove- zavi, označeni z dvojnimi črtami, tvorita prirejanje M . Vozlišči Dino in Gabi sta nenasičeni in med njima obstaja povezava, zato očino prirejanje M ni največ- je. Prirejanje M ∪ {[Dino,Gabi]} je največje in tudi popolno, saj pokrije celotno množico vozlišč. Slika2 Algoritmi za iskanje največjega prirejanja Naivni algoritem za iskanje največjega prirejanja Spomnimo se, da je vozlišče v nenasičeno glede na prirejanje M , če ne obstaja povezava iz M , ki bi bila incidenčna z v . Očitno je, da če G vsebuje kakšno M-alternirajočo pot P , ki povezuje dve nenasičeni vozlišči, potem M ne more biti največje prirejanje, saj graf G vsebuje večje prirejanje M′. Tega dobimo tako, da odvzamemo povezave iz P ∩M in dodamo povezave iz P\M . Slika3 Izrek Prirejanje M grafa G je največje prirejanje natanko tedaj, ko v grafu G ne obstaja nobena M-povečana pot. (Lovász, Plummer [1]) 3 grafa G. Naloga je pod bna iskanju moči največjega pri ejanja grafaG, vendar mor mo dejansko poiskati eno izmed največjih prir janj grafa G. Naj bo M prirejanje grafa G. Vozlišče v je nasi- čeno, če obstaja taka povezava iz M , ki je incidenčna z v . Vozlišče, ki ni krajišče nobene povezave iz M , je nenasičeno. Pot P je M-altern rajoča pot, če so po- vezave iz P izmenično v in izven prirejanja M . Pri tem je dovoljeno, da se M-alternirajoč pot začne in konča s povezavo izve prir janja M ; tako pot ime- nujemo M-povečana pot. Prirejanje je popolno, ka- dar pokrije celotno množico V(G). V najboljšem pri- meru lahko tor j vsakemu dijaku najdemo plesnega partnerja, glede na izražene želje. Če lahko množico vozlišč grafa G razbijemo na dve taki disjunktni neprazni množici A in B, V (G) = A ∪ B, da ima vsaka povezava grafa G en krajišče v množici A in drugo v množici B, pravimo grafu G dvodelni graf ali bigraf. A∪ B i enujemo bipartici a grafa G. Ker lahko množico vozlišč našega grafa G razdelim na dekleta in fa te in ker vsaka povezava grafa G povezuje enega fanta z enim dekl tom, je graf G dvodelen. Biparticijo bi lahk označili V(G) = {fantje} ∪ {dekleta}. Primer Graf G na sliki 2 je dvodelen z biparticijo V(G) = {Anže, Bla ,̌ Dino} ∪ {Eva, Gabi, Iren }. Pove- zavi, označeni z dvojnimi črtami, tvorita prirejanje M . Vozlišči Dino in Gabi sta enasičeni in med njima obstaja povezava, zato očino prirejanje M ni največ- je. Prirejanje M ∪ {[Dino,Gabi]} je največje in tudi opolno, saj pokrije celotno množico vozlišč. Slika2 Algoritmi za iskanje največjega prirejanja Naivni algoritem za iskanje največjega prirejanja Spomnimo se, da je vozlišče v nenasičeno glede na prirejanje M , če ne obstaja povezava iz M , ki bi bila incidenčna z v . Očitno je, da če G vsebuje kakšno M-alternirajočo pot P , ki povezuje dve nenasičeni vozlišči, potem M ne more biti najv čje prirej je, saj graf G vsebuje večje prire nje M′. Tega dobimo tako, da odvzame o povezave iz P ∩M in dodamo povezave iz P\M . Slika3 Izrek Prirejanje M grafa G je največje prirejanje natanko tedaj, ko v grafu G ne obstaja nobena M-povečana pot. (Lovász, Plummer [1]) 3 Presek 39 (2011/2012) 5 n n a a M M' j j f f 28 r a č u n a l n i š t v o • 2. M = {} 3. Sestavimo maksimalni gozd F glede na prirejanje M , ki ima lastnosti (i) in (ii). 4. Če obstaja povezava med V(F)∩A in vozliščem iz B1, povečamo prirejanje M kot na sliki 3. Ustrezno odstranimo na novo prirejena vozlišča iz A1 in B1. Vrnemo se na korak 3. 5. Če ni povezave, ki bi povezovala V(F) ∩ A z B1, potem je po zgornji lemi prirejanje M največje prire- janje. Konec. Naj bo n = |V(G)| in m = |E(G)|. Madžarski algo- ritem je možno implementirati tako, da teče v času O(n2m). (Lovász, Plummer [1]) Primer Predstavili bomo delovanje algoritma na grafu G. Najprej poiščemo biparticijo in zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika4 Prva povezava, ki jo algoritem najde, je povezava v1v2. To povezavo damo v prerejanje M = {v1v2}. Slika5 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika6 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika7 Pot v3v2v1v4 jeM-povečana in kot na sliki 3 ustrez- no povečamo prirejanje M = {v3v2, v1v4}. Slika8 Edina M-povečana pot, ki jo sedaj najdemo, je P = v6v1v2v3. Prirejanje M povečamo na M = {v3v2, v6v1, v4v5}. Slika9 5 2. M = {} 3. Sestavimo maksimalni gozd F glede na prirejanje M , ki ima lastnosti (i) in (ii). 4. Če obstaja povezava med V(F)∩A in vozliščem iz B1, povečamo prirejanje M kot na sliki 3. Ustrezno odstranimo na novo prirejena vozlišča iz A1 in B1. Vrnemo se na kora 3. 5. Če ni povezave, ki bi povezovala V(F) ∩ A z B1, potem je po zgornji lemi prirejanje M največje prire- janje. Konec. Naj bo n = |V(G)| in m = |E(G)|. Madžarski algo- ritem je možno implementirati tako, da eče v času O(n2m). (Lovász, Plummer [1]) Primer Predstavili bomo delovanje algoritma na grafu G. Najprej poiščemo biparticijo in zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika4 Prva povezava, ki jo algoritem najde, je povezava v1v2. To povezavo damo v prerejanje M = {v1v2}. Slika5 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede F . Slika6 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika7 Pot v3v2v1v4 jeM-povečana in kot na sliki 3 ustrez- no povečamo prirejanje M = {v3v2, v1v4}. Slika8 Edina M-povečana pot, ki jo sedaj najdemo, je P = v6v1v2v3. Prirejanje M povečamo na M = {v3v2, v6v1, v4v5}. Slika9 5 2. M = {} 3. Sestavimo maksimalni gozd F glede na prirejanje M , ki ima lastnosti (i) in (ii). 4. Če obstaja povezava med V(F)∩A in vozliščem iz B1, povečamo prirejanje M kot na sliki 3. Ustrezno odstranimo na novo prirejena vozlišča iz A1 in B1. Vrnemo se na korak 3. 5. Če ni povezave, ki bi povezov la V(F) ∩ A z B1, potem je p zgornji lem prirejanje M največje prire- janj . Konec. Naj bo n = |V(G)| in m = |E(G)|. Madžarski algo- ritem je m žn imp ent ati tako, d tece v času O(n2m). (Lovász, Plummer [1]) Primer Pr stavili bomo delovanje algoritma na grafu G. Najprej poiščemo biparticijo in zgradimo gozd F . oišč mo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika4 Prva povezava, ki jo algoritem najde, je povezava v1v2. To povezavo damo v prerejanje M = {v1v2}. Slika5 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, g ede na F . Slika6 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, g ede na F . Slika7 Pot v3v2v1v4 jeM-povečana in kot na sliki 3 ustrez- no povečamo prirejanje M = {v3v2, v1v4}. Slika8 Edina M-povečana pot, ki jo sedaj najdemo, je P = v6v1v2v3. Prirejanje M povečamo na M = {v3v2, v6v1, v4v5}. Slika9 5 2. M = {} 3. Sestavimo maksimalni gozd F glede na prirejanje M , ki ima last osti (i) in (ii). 4. Če obstaja povezava med V(F)∩A in vozliščem iz B1, povečamo prirejanje M kot na sliki 3. Ustrezno odstranimo na novo prirejena vozlišča iz A1 in B1. V nemo se na k rak 3. 5 Č ni pove ve, ki bi p vezov a V(F) ∩ A z B1, potem je p zg rnji lem prirejanje M največje prire- janj . Konec. Naj b n = |V(G)| in m = |E(G)|. Madžarski algo- ritem je žn imp ent ati tako, d tece v času O( 2 ). (Lovász, Plummer [1]) Prim r Predstavili bomo delovanje algoritma na grafu G. Najprej poiščemo biparticijo in zgradimo gozd F . oišč mo pot iz B1 v A1, glede na F Slika4 Prv povezava, ki jo lgoritem najde, je povezava v1v2. To povezavo damo v prerejanje M = {v1v2}. Slika5 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, g ede na F . Slika6 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, g ede na F . Slika7 Pot v3v2v1v4 jeM-povečana in kot na sliki 3 ustrez- no povečamo prirejanje M = {v3v2, v1v4}. Slika8 Edina M-povečana pot, ki jo sedaj najdemo, je P = v6v1v2v3. Prirejanje M povečam M = {v3v2, v6v1, v4v5}. 9 5 2. M = {} 3 Sestavimo m ksimalni g zd F g ede na prirejanje M , ki ima lastn sti (i) in (ii). 4. Če obstaja povezava med V(F)∩A in vozliščem iz B1, povečamo prirejanje M kot na sliki 3. Ustrezno odstrani o na novo prirejena vozlišča iz A1 in B1. Vrnemo se na korak 3. 5 Č ni povez ve, ki bi p vezov a V(F) ∩ A z B1, potem je p zg rnji lem prirejanje M največje prire- janj . Konec. Naj b n = |V(G)| in m = |E(G)| Madžarski algo- ritem je žno imp ent ati tako, d tece v času O( 2 ). (Lovász, Plummer [1]) Prim r P edst vili bom delov nje algoritma na grafu G. Najprej poiščemo biparticijo in zgradimo gozd F . oišč mo p t i B1 v A1, glede na F Slika4 Prv povezava, ki jo lgoritem najde, je povezava v1v2. To povezavo damo v prerejanje M = {v1v2}. Slika5 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, g ede na F . Slika6 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, g ede na F . Slika7 Pot v3v2v1v4 jeM-povečana in k t sliki 3 ustrez- no povečamo prirejanje M = {v3v2, v1v4}. 8 Edina M-povečana pot, ki jo sedaj najdemo, je P = v6v1v2v3. Prirejanje M povečam M = {v3v2, v6v1, v4v5}. 9 5 presek 39 (2011/2012) 5 v 1 v 1 v 1 v 3 v 5 v 1 v 3 v 5 2 v 2 v 2 v 4 v 6 v 2 v 1 v 3 v 3 v 3 Nenasičena vozlišča Nasičena vozlišča v 4 v 4 v 4 v 6 v 5 v 5 v 5 A 1 A 1 A 1 B 1 B 1 B 1 v 6 v 6 A A A G G G F F M: B B B 29 r a č u n a l n i š t v o Ponovno zgradimo gozd F , vendar graf G ima vsa vozlišča nasičena glede na prirejanjeM . Tako ne mo- remo več najti poti iz B1 do V(F) ∩ A in po zgornji lemi je M največje prirejanje. Razmisli, kako bi potekal algoritem za graf G na sliki 1, in poskusi implementirati svojo verzijo mad- žarskega algoritma za iskanje največjega prirejanja. 6 Literatura [1] L. Lovász in M. D. Plummer, Matching theory, North-Holland, 1986. [2] A. S. Asratian, T. M. J. Denley in R. Häggkvist, Bipartite graphs and their applications, United Kingdom,1998. 7 Literatura [1] L. Lovász in M. D. Plummer, Matching theory, North-Holland, 1986. [2] A. S. Asratian, T. M. J. Denley in R. Häggkvist, Bipartite graphs and their applications, United Kingdom,1998. 7 2. M = {} 3. Sestavimo maksimalni gozd F glede na prirejanje M , ki ima lastnosti (i) in (ii). 4. Če obstaja povezava med V(F)∩A in vozliščem iz B1, povečamo prirejanje M kot na sliki 3. Ustrezno odstranimo na novo prirejena vozlišča iz A1 in B1. Vrnemo se na korak 3. 5. Če ni povezave, ki bi povezovala V(F) ∩ A z B1, potem je po zgornji lemi prirejanje M največje prire- janje. Konec. Naj bo n = |V(G)| in m = |E(G)|. Madžarski algo- ritem je možno implementirati tako, da teče v času O(n2m). (Lovász, Plummer [1]) Primer Predstavili bomo delovanje algoritma na grafu G. Najprej poiščemo biparticijo in zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika4 Prva povezava, ki jo algoritem najde, je povezava v1v2. To povezavo damo v prerejanje M = {v1v2}. Slika5 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika6 Ponovno zgradimo gozd F . Poiščemo pot iz B1 v A1, glede na F . Slika7 Pot v3v2v1v4 jeM-povečana in kot na sliki 3 ustrez- no povečamo prirejanje M = {v3v2, v1v4}. Slika8 Edina M-povečana pot, ki jo sedaj najdemo, je P = v6v1v2v3. Prirejanje M povečamo na M = {v3v2, v6v1, v4v5}. Slika9 5 iteratura Sudoku V 9× 9 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 9, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih nastopalo vseh 9 števil. 1 • Sudoku r e š it e v• • • Presek 39 (2011/2012) 5 v 1 v 3 v 5 v 2 v 4 v 6 v 4 v 3 v 2 v 6 v 1 v 5 A G F B abcdefghi a618534792 b324796851 c957218643 d249387516 e176425389 f835169427 g583971264 h761842935 i492653178 a b c d e f g h i a 1 5 b 7 8 5 c 6 4 3 d 4 9 3 8 e f 6 9 4 2 g 5 8 3 h 6 1 2 i 3 7 r a z v e d r i l o 30 r e š i t e v n a g r a d n e k r i ž a n k e p r e s e k 3 9 / 4 • Pravilna rešitev na- gradne križanke iz če- trte številke 39. letnika Preseka je Trikotnik v trikotniku. Izmed pra- vilnih rešitev smo izž- rebali, Najo Bedek iz Polzele, Ivanko Čede iz Petrovč in Majo Arh iz Bohinjske Bistrice, ki so razpisane nagrade preje- li po pošti. presek 39 (2011/2012) 5 • Slika pripada k članku Jutranje padavine, foto: Andrej Guštin Ali regratove lučke zjutraj jočejo ali pa se morda znojijo? Je za travo še prezgodaj, da bi si obrila le- deno brado? Tokratni naravoslovni fotografiji (ena je na naslovnici) prikazujeta pogost pojav, ki ga ni težko razložiti. Oba pojava vtaknemo v predal z na- lepko „padavine“. Najbolj znana med njimi sta dež in sneg, vsem pa je skupno, da jih sestavlja voda in da pridejo iz zraka. Naštejmo še ostale: pršenje, so- snežica, ledene iglice, zrnat sneg, babje pšeno, so- dra, toča, ivje, poledica, rosa, slana, žled in virga (pa- davine iz oblakov, ki pa ne sežejo do tal). Zrak je zmes plinov in aerosolov. V zraku je naj- več dušika in kisika. Poleg tega so v zraku še voda (predvsem v obliki pare), ogljikov dioksid, žlahtni plini, žveplov dioksid, metan, ozon in drugi plini, vendar v manjših količinah. Aerosoli so trdni (dim in prah) ter tekoči (meglica) delci razpršeni v zraku. Vodi v plinastem stanju rečemo para. Količino pare v zraku podamo na veliko načinov: npr. z absolu- tno vlažnostjo, z masno ali prostorninsko koncen- tracijo, z relativno vlažnostjo, itd. Absolutna vla- žnost je delna gostota vodne pare v vlažnem zraku in pove maso pare v enoti zračne prostornine. Ab- solutna vlažnost ne more biti poljubno visoka. Če preseže mejno vrednost, del pare spremeni agrega- tno stanje. Mejna vrednost za absolutno vlažnost je močno odvisna od temperature. Pri 0◦C je mejna go- stota vodne pare 4,8 gm−3, kar predstavlja prostor- ninski delež pare v zraku približno tričetrt odstotka, pri 20◦C je prostorninski delež 1,5 %, pri 30◦C pa že 2,5 %. Kvocient absolutne vlažnosti in mejne abso- lutne vlažnosti pri dani temperaturi vlažnega zraka je relativna vlažnost. Če se vlažni zrak ohlaja, slej- koprej doseže temperaturo, pri kateri ima absolutna vlažnost mejno vrednost. Takrat je relativna vla- žnost enaka 1 (če jo merimo v odstotkih, je to 100 %). To temperaturo imenujemo rosišče. Če se zrak ohladi pod to temperaturo, se del pare v zraku pre- tvori v vodo ali pa v led, če je rosišče dovolj pod le- diščem (ledišče je temperatura, pri kateri se led tali – 0 ◦C). Na ta način nastanejo oblaki in megla. Na- stanek oblakov je drugečen od nastanka megle: ko se zrak dviga, prihaja v območje, kjer je zračni tlak nižji, zato se razpenja, za to pa mora odrivati okoli- šnji zrak – to delo ob odrivanju pa „plača“ iz zaloge svoje notranje energije. Kapljice ali kristalčki, ki na- stanejo, so mikrometrskih velikosti, zato praktično nič ne padajo. Za padavine morajo nekateri oblačni delci zrasti do milimetrskih velikosti – kar je glede mase za milijardo-krat. Ta rast se ne zgodi v vsakem oblaku – zato tudi ni iz vsakega oblaka padavin. Me- gla pa nastane, ko se zrak ohlaja ob tleh, npr. ko se tla preko noči hladijo s toplotnim sevanjem. Te ka- pljice ali kristalčki le težko zrastejo do velikosti, pri kateri bi znatno padali – zato so ob megli tla lahko tudi povsem suha. Rose pravzaprav ne vidimo „padati“, tako kot pa- data dež ali sneg. Rosa začne nastajati kar na pod- lagi, ko se temperatura tal, rastlin ali drugih predme- tov zaradi toplotnega sevanja zniža pod rosišče hi- treje kot temperatura zraka. Zaradi počasnega izlo- čanja vode iz zraka nastanejo in se obdržijo drobne 2 kaplje tudi na zelo majhnih resah regratove lučke (slika). Rosa nastaja predvsem v jasnih, hladnih no- čeh, jeseni in spomladi kmalu po sončnem zahodu, poleti pa včasih šele v jutranjih urah. Nastajanje rose je poleti izdatnejše kakor v hladnejših mesecih, ker je poleti začetna vlažnost v toplem zraku večja kot v hladnem. Slana se pojavi, ko pade temperatura te- lesa pod rosišče, ki pa je pod lediščem. Pri tej tem- peraturi vodna para sublimira – preide neposredno iz plinastega v trdo stanje in se izloča v obliki tankih ledenih kristalov, ki imajo obliko iglic ali perja. Slani na videz podobna, po nastanku pa povsem drugačna padavina je ivje, ki nastaja v meglenem in hladnem vremenu. Ivje nastaja, ko kapljice podhlajene megle trkajo ob predmete, npr. ob vejice grmovja in drevja in nanje primrzujejo. Torej ivje nastaja samo ob me- glenem hladnem vremenu saj je tudi v na videz pov- sem mirnem zraku vsaj nekaj rahle sapice, ki me- glene kapljice nosi s seboj: ivje raste v smer, odko- der vleče ta sapica. (Če je veter močnejši, kapljice ne utegnejo hipoma primrzniti, tedaj nastaja tim. trdo ivje. Če pa dežuje pri temperaturah pod nič stopinj Celzija, pa na predmetih lahko nastaja žled.) Poskusite iz oblike ledenih kristalčkov presoditi, ali je na sliki slana ali ivje (namig: Ali so kristalčki vsi obrnjeni v isto smer?). 3 Jutranje padavine r a z v e d r i l o 31 n a r a v o s l o v n a f o t o g r a f ij a • aleš mohorič Ali regratove lučke zjutraj jočejo ali pa se morda znojijo? Je za travo še prezgodaj, da bi si obrila le- deno brado? Tokratni naravoslovni fotografiji (ena je na naslovnici) prikazujeta pogost pojav, ki ga ni težko razložiti. Oba pojava vtaknemo v predal z na- lepko „padavine“. Najbolj znana med njimi sta dež in sneg, vsem pa je skupno, da jih sestavlja voda in da pridejo iz zraka. Naštejmo še ostale: pršenje, so- snežica, ledene iglice, zrnat sneg, babje pšeno, so- dra, toča, ivje, poledica, rosa, slana, žled in virga (pa- davine iz oblakov, ki pa ne sežejo do tal). Zrak je zmes plinov in aerosolov. V zraku je naj- več dušika in kisika. Poleg tega so v zraku še voda (predvsem v obliki pare), ogljikov dioksid, žlahtni plini, žveplov dioksid, metan, ozon in drugi plini, vendar v manjših količinah. Aerosoli so trdni (dim in prah) ter tekoči (meglica) delci razpršeni v zraku. Vodi v plinastem stanju rečemo para. Količino pare v zraku podamo na veliko načinov: npr. z absolu- tno vlažnostjo, z masno ali prostorninsko koncen- tracijo, z relativno vlažnostjo, itd. Absolutna vla- žnost je delna gostota vodne pare v vlažnem zraku in pove maso pare v enoti zračne prostornine. Ab- solutna vlažnost ne more biti poljubno visoka. Če preseže mejno vrednost, del pare spremeni agrega- tno stanje. Mejna vrednost za absolutno vlažnost je močno odvisna od temperature. Pri 0◦C je mejna go- stota vodne pare 4,8 gm−3, kar predstavlja prostor- ninski delež pare v zraku približno tričetrt odstotka, pri 20◦C je prostorninski delež 1,5 %, pri 30◦C pa že 2,5 %. Kvocient absolutne vlažnosti in mejne abso- lutne vlažnosti pri dani temperaturi vlažnega zraka je relativna vlažnost. Če se vlažni zrak ohlaja, slej- koprej doseže temperaturo, pri kateri ima absolutna vlažnost mejno vrednost. Takrat je relativna vla- žnost enaka 1 (če jo merimo v odstotkih, je to 100 %). To temperaturo imenujemo rosišče. Če se zrak ohladi pod to temperaturo, se del pare v zraku pre- tvori v vodo ali pa v led, če je rosišče dovolj pod le- diščem (ledišče je temperatura, pri kateri se led tali – 0 ◦C). Na ta način nastanejo oblaki in megla. Na- stanek oblakov je drugečen od nastanka megle: ko se zrak dviga, prihaja v območje, kjer je zračni tlak nižji, zato se razpenja, za to pa mora odrivati okoli- šnji zrak – to delo ob odrivanju pa „plača“ iz zaloge svoje notranje energije. Kapljice ali kristalčki, ki na- stanejo, so mikrometrskih velikosti, zato praktično nič ne padajo. Za padavine morajo nekateri oblačni delci zrasti do milimetrskih velikosti – kar je glede mase za milijardo-krat. Ta rast se ne zgodi v vsakem oblaku – zato tudi ni iz vsakega oblaka padavin. Me- gla pa nastane, ko se zrak ohlaja ob tleh, npr. ko se tla preko noči hladijo s toplotnim sevanjem. Te ka- pljice ali kristalčki le težko zrastejo do velikosti, pri kateri bi znatno padali – zato so ob megli tla lahko tudi povsem suha. Rose pravzaprav ne vidimo „padati“, tako kot pa- data dež ali sneg. Rosa začne nastajati kar na pod- lagi, ko se temperatura tal, rastlin ali drugih predme- tov zaradi toplotnega sevanja zniža pod rosišče hi- treje kot temperatura zraka. Zaradi počasnega izlo- čanja vode iz zraka nastanejo in se obdržijo drobne 2 Presek 39 (2011/2012) 5 5 ISSN 0351-6652M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 39 ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 ) š t e v il k a 5 SIG-88 SIG-87 SIG-89