     
P 48 (2020/2021) 58
Kdo je ustvaril
naravna števila?
M J  M J
Naravna števila uporabljamo v vsakdanjem ži-
vljenju, a se tega pogosto niti ne zavedamo. Dnev-
no preštevamo denar, ki ga zapravimo v trgovini.
Kmet mora prešteti živino na pašniku, da preveri,
ali so še vse živali na paši. Nenazadnje že otroci
stari nekaj let samoiniciativno preštevajo stvari,
s katerimi se igrajo, pa naj bodo to avtomobilčki,
kroglice, ali kakšne druge igrače. Pogosto rečemo,
da so naravna števila števila s katerimi štejemo.
Skoraj bi lahko rekli, da so naravna števila nekaj,
kar nam je prirojeno. Zato se je smiselno vpra-
šati, kaj imajo naravna števila pravzaprav opraviti
z matematiko in kako so z njo povezana.
Zgodovina naravnih števil
Pričnimo z znamenitim stavkom, ki ga je izrekel Le-
opold Kronecker (7. 12. 1823 – 29. 12. 1891): »Bog je
ustvaril naravna števila; vse ostalo je delo človeka.«
[4]. Po stavku sodeč bi lahko rekli, da naravna števila
niso zares povezana z matematiko, so prirojena, v
njih ne dvomimo in jih privzemamo takšna, kot jih
je za nas pripravila narava. Dejansko to niti ni tako
daleč od resnice, saj jih bomo tudi mi opisali z izja-
vami, v katere praviloma ne dvomimo in jih privze-
mamo. Govorimo seveda o aksiomih oz. temeljnih
resnicah [1].
Danes vemo, da so naravna števila temelj aritme-
tike [2, 3] in kot taka potrebujejo vso našo pozor-
nost in previdnost. Iz naravnih števil nastanejo cela
števila, iz celih števil racionalna števila itd. A kljub
temu nas tudi strokovno razmišljanje privede do is-
tega vprašanja, ki smo ga postavili na začetku: »Kdo
je ustvaril naravna števila?«.
Naravna števila so zanimala že starodavne civili-
zacije. Tako jih lahko v takšni ali drugačni obliki
najdemo pri Starih Egipčanih, Babiloncih, Rimljanih,
Kitajcih in nenazadnje tudi pri Indijancih v Ameriki
(npr. Majevska civilizacija). Daleč najbolj pomembna
pa je Antična Grčija. Starim Grkom pripisujemo prvo
sistematično obravnavo naravnih števil. Tukaj so iz-
stopali predvsem Arhimed (okoli 287 pr. n. št. – okoli
212 pr. n. št.), Pitagora (okoli 570 pr. n. št. – okoli 495
pr. n. št.) in Evklid (okoli 365 pr. n. št. – okoli 275 pr.
n. št.).
Ne glede na zgodovino in večtisočletno uporabo
naravnih števil raziskovalci niso čutili nuje po mate-
matični pojasnitvi izvora naravnih števil, dokler leta
1860 Hermann Günther Grassmann ni pokazal, da
lahko večino zapletenih dejstev v aritmetiki pojas-
nimo z osnovnimi pojmi. S tem je večina tedanjih
matematikov spoznala, da aritmetika, in s tem tudi
naravna števila potrebujejo formalno vpeljavo. Na
podlagi teh idej je Charles Sanders Peirce leta 1881
predstavil prve aksiome za naravna števila. Že leta
1888 je Richard Dedekind predstavil alternativen na-
bor aksiomov, ki danes predstavljajo temelj matema-
tičnega razumevanja naravnih števil. A zgodba tukaj
še ni bila zaključena, saj je le leto kasneje, leta 1889,
Giuseppe Peano objavil poenostavljeno različico De-
dekindovih aksiomov, ki jih danes imenujemo Pea-
novi aksiomi [5, 6, 7]. Peanovih aksiomov je v osnovi
pet in danes matematikom predstavljajo odgovor na
vprašanje, kdo je ustvaril naravna števila.
     
P 48 (2020/2021) 5 9
Peanovi aksiomi
Preden navedemo vseh pet Peanovih aksiomov, je po-
trebno poudariti, da so to strukturni aksiomi in zato
v smislu teh aksiomov označitev naravnih števil ni
pomembna. Naravna števila običajno označujemo
z arabskimi števkami (0,1,2, . . . ,9) in jih praviloma
uporabljamo v desetiškem sistemu, saj so v takšnem
sistemu najbolj primerna za zapis in nadaljnje raču-
nanje. Znano je, da so se matematiki svoj čas pre-
pirali, ali bi prvo naravno število označili z 0 ali z
1. Danes vemo, da je to prerekanje brezpredmetno
in označitev za samo strukturo naravnih števil ni po-
membna. Bistvo tega pojasnila je, da bi lahko na-
ravna števila pri uporabi Peanovih aksiomov označe-
vali tudi z drugimi objekti. Recimo, število 1 bi lahko
bilo tudi jabolko, število 2 hruška, število 3 avtomo-
bil itd. Da ne bomo preveč otežili razumevanje tega
članka, bomo tudi v Peanovih aksiomih uporabljali
arabske števke, prvo naravno število pa bomo ozna-
čili z 1.
Peanovi aksiomi so dejansko lastnosti, ki jih do-
delimo množici naravnih števil. Kot rečeno, jih po-
znamo pet in jih običajno zapišemo v naslednjem
vrstnem redu:
(1) Število 1 je naravno število.
(2) Vsako naravno število ima natančno enega nasle-
dnika.
(3) Število 1 ni naslednik nobenega naravnega števila.
(4) Če imata dve naravni števili istega naslednika, po-
tem ti števili predstavljata isto naravno število.
(5) Vsaka množica, ki vsebuje število 1 in naslednike
vseh svojih števil, je enaka množici naravnih šte-
vil.
Navedeni aksiomi so relativno preprosti in danes pre-
stavljajo temeljno strukturo, ki jo poznamo pod ime-
nom množica naravnih števil; označimo jo z N. Če-
prav so aksiomi preprosti, jih poskusimo še dodatno
pojasniti.
Aksiom (1) pove, da množica naravnih števil ni
prazna, zato lahko v njej določimo vsaj en element.
Kot rečeno, bomo uporabljali arabske števke, zato se
odločimo ta element označiti z 1.
Aksiom (2) zagotavlja, da je struktura naravnih
števil nerazvejana, tako da lahko hitro določimo na-
slednika vsakega števila, ki je le eden za vsako na-
ravno število.
Aksiom (3) zagotavlja, da pred številom 1 ni no-
benega naravnega števila oz. da se naravna števila
pričnejo pri številu 1.
Aksiom (4) imenujemo tudi injektivnost funkcije
naslednikov. Funkcija je namreč predpis, ki vsakemu
elementu neke množice priredi natančno en element
druge množice. Injektivnost funkcije pa pomeni, da
se poljubna različna elementa prve množice nujno
preslikata v različna elementa druge množice.
Najbolj prepoznan in verjetno najbolj opevan
aksiom med matematiki je zagotovo aksiom (5). Po-
znamo ga namreč tudi pod imenom matematična in-
dukcija. Poenostavljeno povedano, gre za močno ma-
tematično orodje, s katerim lahko dokazujemo trdi-
tve tako na naravnih številih kot tudi na strukturah,
ki so v bijekciji z naravnimi števili. Npr. tudi cela
števila so v bijekciji z naravnimi števili, zato lahko
princip matematične indukcije uporabljamo tudi na
njih.
Sistem oz. seznam Peanovih aksiomov v celoti opi-
suje množico naravnih števil, hkrati pa noben izmed
navedenih aksiomov ni odveč in je nujno potreben,
da imajo naravna števila strukturo, kot jo poznamo.
Če bi lahko kakšen aksiom izpeljali iz preostalih, po-
tem ne bi bil potreben in bi ga lahko črtali iz se-
znama. V nadaljevanju se bomo osredotočili na vsak
aksiom posebej in pokazali, da je nujno potreben.
Formalnih dokazov sicer ne bomo delali, si bomo pa
pomagali s slikami struktur, ki jih lahko dobimo v
primeru, da vsi aksiomi niso izpolnjeni. Čeprav ne
gre za formalni dokaz, lahko takšna intuitivna ilu-
stracija učiteljem v osnovnih in srednjih šolah po-
maga na enostaven način učencem in dijakom poja-
sniti aksiome, ki gradijo naravna števila.
Manjkajoči Peanovi aksiomi
Naravna števila si danes vsi predstavljamo kot eno-
stransko linearen diagram pikic, ki so med seboj po-
vezane z daljicami, na katerih z ustrezno smerjo pu-
ščice označimo naslednike (slika 1). V nadaljevanju
bomo pokazali, da lahko dobimo tudi drugačne di-
agrame, v kolikor niso izpolnjeni vsi aksiomi iz na-
bora petih Peanovih aksiomov.
Za začetek predpostavimo, da imamo samo aksi-
om (1). To pomeni, da imamo v množici vsaj eno
naravno število. Na diagramu to pomeni eno pikico
     
P 48 (2020/2021) 510
1 2 3 4
SLIKA 1.
Digram množice naravnih števil
(slika 2). Pikic bi lahko bilo tudi več, vendar o njih
ničesar ne vemo, dokler uporabljamo le en aksiom.
Ne glede na opisano je jasno, da na sliki 2 ne dobimo
diagrama naravnih števil.
1
SLIKA 2.
Upoštevanje aksioma (1)
Dodajmo sedaj še drugi aksiom, da bomo imeli
dva aksioma, tj. aksioma (1) in (2). Ker je cilj poka-
zati, da lahko dobimo tudi drugačne strukture, kot
je struktura naravnih števil, predstavimo diagram na
sliki 3. Hitro preverimo, da diagram zadošča obema
aksiomoma, saj imamo na seznamu tako število 1
kot tudi upoštevamo lastnost, da ima vsako število
na seznamu natančno enega naslednika. Očitno dia-
gram na sliki 3 spet ni enak diagramu na sliki 1.
1 2 3
SLIKA 3.
Upoštevanje aksiomov (1) in (2)
Če aksiomoma (1) in (2) dodamo še aksiom (3), po-
tem diagram na sliki 3 ni več ustrezen, saj število
1 ne sme biti naslednik nobenega števila. Zato nari-
šemo nov diagram, ki je prikazan na sliki 4. Ideja je
zelo podobna kot na sliki 3, le da smo cikel naredili
tako, da se več ne sklene pri številu 1. Tako ima še
vedno vsako število natančno enega naslednika, saj
iz vsakega števila sledi le ena puščica, prav tako pa
število 1 ni naslednik nobenega števila.
Do sedaj smo pokazali, da prvi trije aksiomi vseka-
kor niso dovolj, da bi dobili nam dobro znano struk-
turo naravnih števil. Dodajmo sedaj še aksiom (4).
1 2 3 4
SLIKA 4.
Upoštevanje aksiomov (1), (2) in (3)
Hitro opazimo, da imata na diagramu slike 4 šte-
vili 1 in 4 istega naslednika, kar aksiom (4) prepove-
duje. Glede na zapisano torej ne smemo narediti ci-
kla v strukturi, saj bi tako kršili aksiom (4). Zato naj-
prej pomislimo na enostransko linearno strukturo di-
agrama na sliki 1, ki prikazuje naravna števila. Hitro
dobimo občutek, da so prvi štirje Peanovi aksiomi
dovolj, da opišemo naravna števila. Toda ta občutek
imamo le zato, ker morda nismo razmišljali »izven
škatle«. Čeprav je razmišljanje izven škatle fraza, pa
nam v tem primeru lahko reši problem, na katerega
smo naleteli. Izven škatle lahko namreč razumemo
tudi kot »izven diagrama«, kar pomeni, da nas ne
sme zavesti intuitivna slika, kjer vnaprej narišemo
nekaj, v kar želimo verjeti. Če na diagram na sliki 1
dodamo še eno strukturo, ki je ločena od prve struk-
ture, kjer se nahaja število 1, potem s tem zadostimo
prvim štirim Peanovim aksiomom, diagram pa niti
približno ne spominja na naravna števila. Brez iz-
gube za splošnost predpostavimo, da dodatno struk-
turo sestavljajo trije elementi, a,b, c, tako da je ele-
ment b naslednik elementa a, element c naslednik
elementa b in element a naslednik elementa c. Po-
tem dobimo diagram prikazan na sliki 5, ki iz istih
razlogov kot prej še vedno zadošča prvim štirim Pe-
anovim aksiomom. Označimo sedaj obe množici oz.
povezani komponenti diagrama na sliki 5 zM1 inM2
in preverimo, da ne zadošča aksiomu (5). Če vza-
memo poljubno množico, ki vsebuje število 1 in vse
svoje naslednike, potem glede na diagram opišemo
le množico M1, ki seveda ni enaka celotni narisani
množici M1 YM2, saj množica M2 ni prazna.
Dodajmo še aksiom (5) in tako uporabimo vseh pet
Peanovih aksiomov. Zaradi istega argumenta kot v
zgornjem odstavku, diagram na sliki 5 ni več ustre-
zen. Izkaže se, da je teh pet aksiomov dovolj, da
si ne moremo več izmisliti novega diagrama, ki bi
te aksiome upošteval in bi hkrati bil različen od dia-
grama na sliki 1.
     
P 48 (2020/2021) 5 11
1 2 3 4
a b
c
M1
M2
SLIKA 5.
Upoštevanje aksiomov (1), (2), (3) in (4)
Operaciji seštevanja in množenja
Čeprav pet Peanovih aksiomov prestavlja preproste
strukturne lastnosti množice naravnih števil, lahko
iz njih izpeljemo mnogo več. Na množici naravnih
števil N definiramo funkcijo naslednikov, ki jo bomo
označili s S : N Ñ N, pri čemer funkcijska vrednost
Spnq predstavlja naslednika naravnega števila n P N
v strukturi naravnih števil. Da je S res funkcija, nam
zagotavlja aksiom (2), ki pove, da ima vsako naravno
število natančno enega naslednika. Če naravna šte-
vila v strukturi po vrsti označimo z arabskimi štev-
kami, tako kot smo se dogovorili, potem je Sp1q “ 2,
Sp2q “ 3, Sp3q “ 4 itd. Ker je S funkcija, ki slika iz
množice naravnih števil nase, jo lahko tudi komponi-
ramo. Tako bi lahko npr. zapisali tudi SpSpSp1qqq “ 4.
Slednje pomeni, da če se od števila 1 premaknemo za
tri naslednike, dobimo v strukturi naravno število,
za katerega smo se dogovorili, da ga označimo s 4.
Omenimo še, da aksiom (4) zagotavlja, da je funkcija
S injektivna, saj poljubni različni naravni števili pre-
slika v različni naravni števili. Zaradi aksioma (3) pa
ni surjektivna, ker v zalogi vrednosti ne dobimo vseh
naravnih števil. Namreč, v število 1 se ne preslika no-
beno naravno število, ker število 1 ni naslednik nobe-
nega naravnega števila.
Ko imamo definirano funkcija S, lahko definiramo
še operaciji seštevanja in množenja. Operacija sešte-
vanja je binarna operacija ` : NˆN Ñ N, ki jo pravi-
loma definiramo rekurzivno za poljubni naravni šte-
vili m,n P N:
m` 1 “ Spmq,
Spm`nq “ m` Spnq.
Rekurziven zapis je morda nekoliko težje razumeti,
zato napravimo nekaj primerov. Izračunajmo 5 ` 1.
Po definiciji operacije seštevanja je
5 ` 1 “ Sp5q.
Ker smo se dogovorili, da Sp5q označimo s 6, dobimo
5 ` 1 “ 6. Nadalje, izračunajmo 5 ` 2. Po definiciji je
5 ` 2 “ 5 ` Sp1q “ Sp5 ` 1q “ Sp6q.
Ponovno upoštevamo dogovor, da smo Sp6q označili
s 7. Zato je 5 ` 2 “ 7. Za konec izračunajmo še 5 ` 3.
Spet po definiciji dobimo
5 ` 3 “ 5 ` Sp2q “ Sp5 ` 2q “ Sp7q.
Upoštevajmo, da smo Sp7q označili z 8. Dobimo 5 `
3 “ 8. Iz teh treh izračunov hitro opazimo, kako
lahko s pridom uporabljamo rekurzijo, saj smo vsak
naslednji korak izračunali s pomočjo prejšnjega.
Operacija množenja je prav tako binarna operacija
¨ : NˆN Ñ N, ki jo definiramo rekurzivno za poljubni
naravni števili m,n P N na naslednji način:
m ¨ 1 “ m,
m ¨ Spnq “ m` pm ¨nq.
Pokažimo izračun množenja še na primeru. Najprej
izračunajmo 5 ¨ 1. Po definiciji operacije takoj sledi
5 ¨ 1 “ 5. Sedaj izračunajmo še 5 ¨ 2. Po definiciji
operacije množenja je
5 ¨ 2 “ 5 ¨ Sp1q “ 5 ` p5 ¨ 1q “ 5 ` 5 “ 10.
Bodimo pozorni, da smo v zadnjem koraku izračuna
uporabili definicijo operacije seštevanja, ki nam za-
gotavlja, da je 5 ` 5 “ 10. Izračunajmo še 5 ¨ 3. Po
definiciji operacije množenja dobimo
5 ¨ 3 “ 5 ¨ Sp2q “ 5 ` p5 ¨ 2q “ 5 ` 10 “ 15.
Ponovno smo v zadnjem koraku uporabili znanje,
ki smo ga pridobili pri operaciji seštevanja, v pred-
zadnjem koraku pa smo uporabili znanje, ki smo ga
pridobili s predhodnim izračunom, kjer smo doka-
zali, da je 5 ¨ 2 “ 10. Torej smo spet s pridom upora-
bili rekurzivno definicijo operacije.
     
P 48 (2020/2021) 512
Ko imamo definirani obe operaciji, lahko pokaže-
mo, da sta komutativni, asociativni in da ju povezuje
distributivni zakon. Operaciji ` in ¨ sta komutativni,
če za poljubni naravni števili m,n P N velja
m`n “ n`m,
m ¨n “ n ¨m.
Operaciji ` in ¨ sta asociativni, če za poljubna na-
ravna števila m,n, ℓ P N velja
m` pn` ℓq “ pm`nq ` ℓ,
m ¨ pn ¨ ℓq “ pm ¨nq ¨ ℓ.
Operaciji ` in ¨ povezuje distributivni zakon, če za
poljubna naravna števila m,n, ℓ P N velja
m ¨ pn` ℓq “ m ¨n`m ¨ ℓ,
pm`nq ¨ ℓ “ m ¨ ℓ`n ¨ ℓ.
Oba pogoja distributivnosti imenujemo levi in desni
distributivni zakon, a ker vemo, da je operacija mno-
ženja komutativna, lahko enega izpustimo. Lastno-
sti komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti
dokažemo s pomočjo matematične indukcije, ki jo
omogoča aksiom (5), in rekurzivnih definicij sešteva-
nja in množenja. Ker je dokaz vseh treh lastnosti
dolgotrajen, pokažimo eno izmed lastnosti, npr. ko-
mutativnost seštevanja, na primeru.
Za poljubno naravno število n P N dokažimo trdi-
tev n ` 1 “ 1 ` n. Po definiciji operacije seštevanja
takoj sledi n` 1 “ Spnq. Preverimo sedaj, da je tudi
1 ` n “ Spnq. To trditev najprej preverimo za prvo
naravno število, tj. 1. Tudi tale trditev sledi takoj iz
definicije operacije seštevanja, saj je 1 ` 1 “ Sp1q.
Predpostavimo sedaj, da trditev 1 ` n “ Spnq velja
za neko izbrano naravno število n in pokažimo, da
velja tudi za njegovega naslednika Spnq. Torej mo-
ramo dokazati trditev 1 ` Spnq “ SpSpnqq. Po defini-
ciji operacije seštevanja sledi 1`Spnq “ Sp1`nq. Če
uporabimo še predpostavko 1 ` n “ Spnq, dobimo
1 ` Spnq “ SpSpnqq, kar smo tudi želeli. Aksiom (5)
zagotavlja, da smo trditev 1 ` n “ Spnq dokazali za
vsako naravno število n P N. Ker je n ` 1 “ Spnq
in hkrati tudi 1 ` n “ Spnq, sledi n ` 1 “ 1 ` n. S
pomočjo rekurzije lahko nato dobimo tudi splošen
rezultat m ` n “ n ` m, kjer sta m in n poljubni
naravni števili.
Literatura
[1] Aksiomi, dostopno na en.wikipedia.org/
wiki/Axiom, ogled 16. 9. 2020.
[2] Arithemtic, dostopno na en.wikipedia.org/
wiki/Arithmetic, ogled 16. 9. 2020.
[3] G. Frege, The Foundations of Arithmetic, 2. iz-
daja, Northwestern University Press, Evanston,
ZDA, 1981.
[4] Leopold Kronecker, dostopno na en.wikipedia.
org/wiki/Leopold\_Kronecker, ogled 16. 9.
2020.
[5] G. Lolli, Giuseppe Peano between Mathematics
and Logic, Proceeding of the International Con-
ference in honour of Giuseppe Peano on the
150th anniversary of his birth, 2008, 47–67.
[6] Peanovi aksiomi, dostopno na en.wikipedia.
org/wiki/Peano\_axioms, ogled 16. 9. 2020.
[7] M. Vencelj, 100 let Peanovih aksiomov, Presek
19 (1991/1992), 108–110.
ˆ ˆ ˆ
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na za-
četku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
16 11
13
17
18
6
13
6
ˆ ˆ ˆ