i
i
“368-Repovs-cetverokotnik” — 2010/9/7 — 10:16 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 6 (1978/1979)
Številka 3
Stran 165
Dušan Repovš:
TETIVNI ČETVEROKOTNIK
Ključne besede: matematika, geometrija, olimpijada, četverokotnik,
naloge.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/6/368-Repovs-cetverokotnik.pdf
c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Kar f katurs Ja pr i ** Maloge Ja s f 4. 
TETIVNI čETVEROKOTNIK - rešitev s str. 165
c
c
vu
D
D
Pravi kot je v oglišču B.
Izberemo poljubno točko na
diagonali AC. Iz nje nari-
šemo pravokotnico na stra-
nice. S tem smo že dobili
B
4 tetivne četverokotni ke , dva sta celo pravokotnika. Pravo-
kotnik lahko razdelimo na poljubno število pravokotnikov.
Potemtakem je v tem primeru razdelitev možna.
20 Naj bodo zdaj vsi koti
ostri ali topi, le 900 naj
ne meri nobeden izmed njih.
Enostavno dokažemo, da ob-
sta jas tra ni ca, ob ka t er il ~f!=~~~=:;;;;~~~:- __ 8
sta oba kota topa. Označi­
mo jo s CD .
Takole ravnajmo : Konstrui-
rajmo daljico XD , pravo ko!
no na daljico AD v točki D
in prav tako daljico YC ,
pravokotno na BC v točki ~
Presečno točko daljic XD
in YC označimo K . Narišimo
premico s , vzporedno dalji
c i AB , in si cer naj s e s s eka zda 1j ico XD znot raj dal j ice DK
in z daljico YC znotraj daljice CK~ Narišimo pravo kotnici iz
X in Y na daljico AB .
10 Naj ima četverokotnik vsaj
en pravi kot. Ker je teti-
ven, je tudi nasproten kot
prav i. Razdel i tev na 4 te-
tivne četverokotnike pote-
ka takole:
*Bralec naj premisI i o eksistenci take premice s.
190
Tako smo d o b i l  i 4 E e t v a r o k o t n i  ke. Eetvero.kotnlka AVXD f n  YBGX 
s t a  t e t j v n a .  urm j e  p ravoko tn i k .  Pokaza t i  moramo Jc, da J e  E l -  
t v e r o k o t n i k  XXCR prav  tako  tetiven. V t a  namen j e  po t rebno  i n  
zadostno, t e  pokafcmu, da J e  
kot(XRC) + k o t ( X ~ ~ )  = n 
Ker j e  E e t v e r o k o t n i k  ABCD t e t l v e n ,  v e l j a  
kot{ADC) + kot(ABC) = n 
k o t  ( X D C ) * k o t ( X P I C )  = k o t  ( A m )  -n/2+2~-11/2-kat( iQT] 
Iz E e t v e r o k o t n i k a  VBGP r i d i n o ,  da j e  
k o t  ( m e )  + kot(xxc) = kut(mc] + n - n + k o t ( A ~ )  = 
= kot(&c) + k o t ( ~ ~ c )  = n 
S tern smo t r d l t e v  d o k a r a l i .  
Ker lahko pravoka tn f l t  vedno razdelimo na p o t j u b n o  J t e v f I o  pra -  
v o t o t n i k o v ,  smo t n a f i r  sklepanjem d o k a t a l i ,  da l a h k o  vsak t e -  
t i v n i  e e t v e r o k o t n i k  r a z d a l i m o  na poljubno Itevtlo t e t t v n i h  Ee- 
t v e r a k o t n i k o v ,  Ce f i h  sine b i t 1  vet! k o t  tri. Bralec naj razet-  
s l i ,  kako b i  b i l o  za d = 2 a l l  3 .  
DuBan BtrpooH 
Ill H a t e m a t i C k o - f i z i t k f  1  i s t ,  Zagreb, 23(1972/73)3