MATEMATIKA
gibati po loku DB. Kota se s spremembo lege točke C spreminjata, pri tem je a < ¡3, njuna vsota pa je konstantna. Ce izberemo lego tocke C drugače, velja drugačna relacija med koti in moramo vloge kotov v nadaljevanju ustrezno spremeniti.
Trikotniku včrtamo krožnico, poiščemo presečišče te krožničo s simetralama kotov a in ¡3. V teh točkah narišemo pravokotniče na te simetrale. Pra-vokotniče sekajo straniči c in b oziroma a. Dobimo nove trikotnike AB1C1, AB2C2 in B3BC3, v katere zopet včrtamo krožniče.
Vsoto ploščin rdečega (pr), modrega (pm) in vijoličnega (pv) kroga označimo s p1, vsoto ploščin rdečega, modrega in zelenega (pz) kroga pa s p2, če je pv > pz je p1 > p2. V koordinatni sistem (na desno strani slike 6) rišemo sled točke T1(sin(a/2), pv), vijolična krivulja, in sled točke T2(sin(a/2, pz), zelena
krivulja, ko se oglišče C giblje po loku DB. Program riše obe sledi hkrati. Ordinati odebeljenih pik na krivuljah kažeta, kolikšna je ploščina vijoličnega oz. zelenega kroga za trenutno izbrana kota a in ¡3.
Bralči naj še premislijo, kolikšna sta kota a in ¡3, ko je p1 = p2.
Kaj smo se naučili? Pri geometrijskih nalogah se pogosto zgodi, da pri reševanju upoštevamo odnose med količinami, ki jih razberemo s slike. Ta pa nas lahko zavede, zato je vedno dobro, da rešitev preverimo tudi na kakšnih posebnih primerih, kot v našem primeru na enakostraničnem trikotniku ali pa na zelo dolgem in ozkem trikotniku.
Literatura
[1]	M. Andreatta, A. Bedzek, J. P. Boronski, The Problem of Malfatti: Two Centuries of Debate, The Mathematičal Inteligenčer, Springer, 2010.
[2]	H. Lob, H. W. Ričhmond, On the solution to Malfatti's problem for a triangle, Proč. Lond. Mat. Soč, 2, 30, 287-304, 1930.
[3]	M. Goldberg, On the original Malfatti problem, Mathematičs Magazine 40, 241-427, 1967.
[4]	V. A. Zalgaller, G. A. Los, The solution of Malfatti's problem for a triangle, Journal of the Mathematičal Sčienče, 72, No. 4, 3163-3177, 1994.
_XXX
O pitagorejskih trojicah malo
drugače
-i' -i' -i'
Marjan Jerman
V pravokotnem trikotniku s katetama a in b ter hipotenuzo c velja Pitagorov izrek, ki pravi, da je
■	a2 + b2 = c2.
Če dodatno zahtevamo, da so števila a, b in c naravna, trojici (a,b,c) rečemo pitagorejska trojica. Posebej slavna pitagorejska trojica, s pomočjo katere so v starem Egiptu načrtovali prave kote, je trojica (3,4, 5).
Kadar stranice a, b in c nimajo skupnega faktorja, recemo, da je pitagorejska trojica (a,b,c) primitivna. Na primer, (6,8,10) je pitagorejska trojica, ki ni primitivna in je dobljena s celoštevilskim raztegom trojice (3,4, 5).
Pokažimo, da je v vsaki primitivni pitagorejski trojici ena kateta soda in ena liha.
Ce sta obe kateti v pitagorejski trojici sodi, je soda tudi hipotenuza. Zato takšna trojica ni primitivna. Ce bi bili obe kateti lihi, enačba
■	(2k - 1)2 + (2l - 1)2 = 4(k2 - k + l2 - l) + 2
pove, da bi dal kvadrat hipotenuze ostanek 2 pri deljenju s 4. Ker kvadrat sodega števila da pri deljenju s 4 ostanek 0, kvadrat lihega števila (2k - 1)2 = 4(k2 - k) + 1 pa ostanek 1, takšna hipotenuza ni mo-goca.
S pomocjo zadnje trdive lahko, recimo, pokažemo, da je (3,4, 5) najmanjša Pitagorejska trojica.
Ker išcemo najmanjšo pitagorejsko trojico, mora biti iskana trojica (a,b,c) primitivna. Glede na trditev

10	PRESEK 45 (2017/2018) 3

MATEMATIKA
—^ lahko dodatno privzamemo, da je kateta a liha, kateta b pa soda in zato hipotenuza c liha. Po Pitago-rovem izreku velja b2 = c2 - a2, kvadrata lihih števil pa se razlikujeta vsaj za 32 - 12 = 8, zato je b2 > 8 in je b > 4. Ce poskusimo z najmanjšima možnima katetama a = 1 in b = 4, dobimo necelo hipotenuzo c = vTŽ. Naslednja možnost a = 3 in b = 4 pa da iskano trojico (3,4, 5).
Iskanje pitagorejskih trojic je navdihovalo mnoge civilizacije. Iz glinenih tablic iz let med 1900 in 1600 pred našim štetjem lahko upraviceno sklepamo, da so že Babilonci poznali pravila za njihovo tvorbo.
Ce sta m in n naravni števili, je lahko preveriti, da
je
(m2 - n2)2 + (2mn)2 = (m2 + n2)
2\2
(1)
zato lahko za naravni števili m > n neskončno pitagorejskih trojic dobimo s pravilom
22 a = m2 - n2,
b = 2mn, c = m2 + n2.
(2)
Najprej privzemimo, da za tuji števili razlicne par-nosti m > n velja a = m2 - n2, b = 2mn in c = m2 + n2. Pokažimo, daje (a,b,c) primitivna pitago-rejska trojica.
Števila a, b in c so zaradi veljavnosti enacbe (1) stranice pravokotnega trikotnika.
Pokazati je treba še, da so paroma tuja. Ce neko praštevilo p hkrati deli števili a = m2 - n2 in c = m2 + n2, deli tudi njuno vsoto in razliko: p|(a + c) = 2m2 in p| (c - a) = 2n2. Ker sta števili a in c zaradi razlicne parnosti m in n lihi, je p = 2 in hkrati deli m2 in n2. To pa je v nasprotju s tujostjo števil m in n.
Ker števila a, b in c zadošcajo Pitagorovemu izreku, praštevilo, ki deli b in c, deli tudi a. Podobno, praštevilo, ki deli a in b, deli tudi c. V prejšnjem odstavku smo pokazali, da praštevilo, ki bi hkrati delilo števili a in c, ne obstaja.
Presenetljivo je, da so se že v stari Grciji vprašali tudi obratno: Ali je vsaka pitagorejska trojica zgornje oblike?
Dokončen odgovor daje lema v deseti knjigi Ev-klidovih Elementov iz let približno 300 pred našim štetjem, ki bi jo v današnjem matematičnem jeziku zapisali takole:
Trojica naravnih števil (a, b,c) je primitivna pitagorejska trojica natanko takrat, ko obstajata tuji števili m in n različne parnosti, m > n, da velja (2).
O pitagorejskih trojicah je bilo v Preseku že veliko napisanega. Pogledate si lahko na primer clanka prof. Edvarda Kramarja (letnik 16, 1988/89, str. 274280) in prof. Ivana Puclja (letnik 5, 1977/78, str. 195197). V clanku, ki ga je napisala prof. Milena Strnad (letnik 17, 1989/90, str. 8-11), najdete tudi moderno razlicico Evklidovega dokaza. Originalni dokaz je zapisan v geometrijskem jeziku in temelji na zviti uporabi elementarnih lastnosti deljivosti naravnih števil.
V tem prispevku bi radi prikazali zanimiv in eleganten dokaz s pomocjo analiticne geometrije, ki smo ga našli kot 18. nalogo v prvem poglavju knjige A. Ostermana in G. Wannerja, Geometry by Its History. Sorodna metoda je pogosto uporabljena za iskanje racionalnih tock na stožnicah.
SLIKA 1.
Slika k dokazu
Naj bo sedaj (a,b,c) primitivna pitagorejska trojica. Vemo, da je ena od katet soda, druga pa liha. Brez škode za splošnost privzemimo, da je kateta b soda. Ker drži a2 + b2 = c2, za strogo pozitivni racionalni števili % = a in y = b, ki sta zapisani z okrajšanima ulomkoma, velja:
■ %2 + y2 = 1.
Z drugimi besedami: tocka C(x,y) v prvem kvadrantu ima racionalni koordinati in leži na krožnici s središcem v izhodišcu in polmerom 1. Skozi tocki A(-1,0) in C potegnimo premico, ki seka ordinatno os v tocki U(0,u), u G (0,1). Oznacimo še tocki 0(0,0) in B(x, 0) (glej sliko 1).
10
PRESEK 45 (2017/2018) 3
MATEMATIKA
Pravokotna trikotnika AOU in ABC sta si podobna, zato je
OU _u _ 1 _ AO BC = y = 1 + x = AB'
Od tu dobimo zvezo y = u(1 + x), ki med drugim pove, da je tudi število
b i y c b
u
1 + x 1 + f a + c
x
1+ u2'
Zato je
■ y = u(1 + x) =
2u
1 u2
(3)
(4)
x
m2 + n2
in y =
2mn m2 n2
sodi števec in sodi imenovalec. Zato lahko dvojko v števcu in imenovalcu pokrajšamo in v števcu ostane liho število mn. Ulomek
mn
m2+n
racionalno.
Tocka (x,y) = (x,u(1 + x)) leži hkrati na premici y = u(1+x) in na krožnici x2 +y2 = 1, zato zadošča enačbi
■	x2 + u2 (1 + x)2 = 1,
■	x2(u2 + 1) + 2u2x + u2 - 1 = O.
Tudi tocka A(-1,0) leži na isti premici in krožnici, zato je x = -1 ena od rešitev te kvadratne enacbe. S pomocjo znane nicle lahko zadnjo kvadratno enacbo enostavno razstavimo na linearna faktorja
■	(x + 1)((u2 + 1 )x + (u2 - 1)) = 0, od koder vidimo še drugo rešitev
1 u2
pokrajšajmo, kolikor se da. Po opravljenem krajšanju bo v števcu ostalo liho število. Ker je ta okrajšani ulomek enak okrajšanemu ulomku b, je to v nasprotju s sodostjo b. Zato imata števili m in n razlicno parnost.
Enako kot v obratni smeri dokaza sedaj vidimo, da so števila m2 - n2, 2mn in m2 + n2 tuja. Zato so ulomki
a m2 n2
c m2 + n2
b 2mn
in - = —^-2
c m2 n2
Radoveden bralec lahko premisli, da ima kvadratna enacba z racionalnimi koeficienti, ki ima eno niclo racionalno, racionalno tudi drugo niclo. Zato metoda s presecno premico skozi eno racionalno tocko deluje le za krivulje drugega reda.
Ker je u strogo pozitivno racionalno število, ga lahko zapišemo v obliki u = m za primerni tuji naravni števili m in n, m > n. Po tej zamenjavi enacbi (3) in (4) preideta v
Ker sta števili m in n tuji, nista obe sodi. Pokažimo, da nista niti obe lihi. V primeru, ko sta obe števili m in n lihi, ima ulomek
b 2mn
' y = t =
c m2 n2
okrajšani in velja (2). To pa smo želeli pokazati. Prispevek povzemimo s trditvijo:
Vse pitagorejske trojice (a,b,c) so natanko oblike
■	a = k(m2 - n2), b = 2kmn, c = k(m2 + n2),
kjer je k neko naravno število, m> n pa tuji naravni števili razlicne parnosti.
Trojico precej dolgih celoštevilskih stranic pravokotnega trikotnika (12709,13500,18541) na babilonski tablici je, recimo, dobljena z izbiro k = 1, m = 125 in n = 54.
Na koncu bralcem postavimo še zanimivi vprašanji: Katera naravna števila so lahko katete primitivnih pitagorejskih trojic? Katera števila so lahko hipo-tenuze?
Za odgovor je seveda zelo koristno uporabiti naš najpomembnejši rezultat (2). Za katete si pomagajte z enacbo
■	(n + 1)2 - n2 = 2n + 1,
za hipotenuze pa poskušajte uporabite pomemben izrek iz teorije števil, ki pravi:
Naravno število n = 1 lahko napišemo kot vsoto dveh kvadratov naravnih števil natanko tedaj, ko v razcepu n na produkt praštevil vsako praštevilo, ki da pri deljenju s 4 ostanek 3, nastopa v sodi potenci.
_XXX
m2 n2
10	PRESEK 45 (2017/2018) 3