GG ˇ 
GG ˇ 
P50(2022/2023)5
13
Krivulja prislonjene lestve
Bˇ  K
Pomlad je prišla in delo na vrtu kliˇ ce tudi ma-
tematike. V tokratnem kotiˇ cku si bomo ogledali
skorajvsakdanjiproblem: dokodsežeprislonjena
lestev. Natanˇ cneje, s pomoˇ cjo GeoGebre bomo na-
risali krivuljo, ki jo opiše vrh v fiksni toˇ cki prislo-
njenelestve,ˇ cenjenspodnjidelprostopremikamo
povodoravnipovršini. Problembomorešilinadva
naˇ cina: najprej zgolj z uporabo preproste geome-
trijske konstrukcije, nato še z izraˇ cunom parame-
triˇ cne enaˇ cbe krivulje, za katerega bomo uporabili
Pitagorov izrek in podobnost trikotnikov.
Problem bomo reševali kar v ravnini. Lestev in
njeno oporo bosta predstavljali daljici. Opišimo za-
poredje korakov za geometrijsko konstrukcijo:
Vstavimo drsnik z imenom l, ki predstavlja dol-
žino lestve. Zavzame naj vrednosti med 0 in 10.
Z orodjem za dodajanje toˇ cke in klikom na ustre-
znokoordinatnoosvstavimopoljubnotoˇ ckoAna
osi x in poljubno toˇ cko B na osi y. Oznaˇ cimo še
toˇ ckoO=(0,0).
Narišemo daljicoOB. Ta predstavlja oporo, na ka-
tero bomo prislonili lestev.
Narišemo poltrak iz toˇ cke A skozi toˇ cko B in kro-
žnico s središˇ cemA in polmeroml.
Oznaˇ cimosC preseˇ cišˇ cepoltrakainkrožnice. Na-
šolestevdolžinelzdajpredstavljadaljicaskoziA
in C. (Po potrebi poveˇ cajmo l, da bo lestev res
prislonjena na oporo.)
Zdajlahkoopazujemogibanjetoˇ ckeC,kipredsta-
vlja vrh lestve, v odvisnosti od pomikanja toˇ ckeA
po vodoravni površini.
Daljice in toˇ cke po želji odebelimo in pobarvamo,
terzrisalnepovršineskrijemovsenepotrebneele-
mente.
ˇ
Ce želimo, lahko narišemo krivuljo gibanja vrha
lestve po toˇ ckah s pomoˇ cjo vklopa sledi toˇ cke C,
alipanarišemocelotnokrivuljovnaprejzukazom
Sled(C,A) (slika 1).
SLIKA1.
Geometrijska konstrukcija toˇ cke C in njena sled glede na
toˇ cko A.
SLIKA2.
Doloˇ canje koordinat toˇ cke C s pomoˇ cjo podobnih trikotnikov.


P50(2022/2023)5
14
Zanimivo je opazovati, kako se spreminja oblika
krivulje,ˇ cespreminjamodolžinolestvelalivišino
opore (toˇ ckaB).
Pozorni bralec je seveda opazil, da lahko vrh le-
stve v resnici opiše le zanko, ne pa tudi levega ali
desnega kraka krivulje na sliki, saj v tem primeru
vrh lestve nima veˇ c opore in bi lestev padla na tla.
Kot smo napovedali na zaˇ cetku, je naloga zani-
miva in dovolj enostavna tudi za reševanje s pomo-
ˇ cjo enaˇ cb. Namesto geometrijske konstrukcije toˇ cke
C s pomoˇ cjo preseˇ cišˇ ca poltraka in krožnice lahko
izraˇ cunamo njene koordinate v odvisnosti od polo-
žaja toˇ ckeA. Oglejmo si skico na sliki 2.
Naj bo toˇ cka C = (x
C
,y
C
) krajišˇ ce lestve in naj
bo D = (x
C
,0) njena pravokotna projekcija na vo-
doravno os. Zaradi podobnosti trikotnikov △AOB
in △ADC velja |AD| : |AC| = |AO| : |AB|. Torej
je|AD|=
l·d
√
h
2
+d
2
, kjer je h dolžina daljice|OB| ozi-
roma višina opore, d pa dolžina daljice OA oziroma
x-koordinata toˇ cke A. Zato se x-koordinata toˇ cke C
izraža kot
x
C
=d−|AD|=d−
l·d
√
h
2
+d
2
.
Še enostavneje dobimoy-koordinato toˇ ckeC iz zve-
ze|DC|:|AC|=|OB|:|AB| in torej
y
C
=
l·h
√
h
2
+d
2
.
Izraˇ cun lahko uporabimo pri izdelavi mo-
dela tako, da ponovimo prve tri korake
prejšnje konstrukcije in oznaˇ cimo daljici
d=Daljica(O,A) in h=Daljica(O,B), nato
pa direktno vnesemo še toˇ cko C z ukazom
C=(d-l∗d/sqrt(h
2
+d
2
), l∗h/sqrt(h
2
+d
2
)).
Potem lahko podobno kot prej model še dopolnimo
z dodatnimi daljicami, risbo sledi in podobno.
Nadebudnibralciinbralkepalahkoposkusijokri-
vuljo narisati še na tretji naˇ cin s pomoˇ cjo ukaza
Krivulja za risanje parametriˇ cnih krivulj.
×××
ˇ 

ˇ 
 50/4
Pravilna rešitev nagra-
dne križanke iz ˇ cetrte
številke Preseka letnika
50 je Vˇ crtani lik. Med
pravilnimi rešitvami
smo izžrebali naslednje
reševalce: KatarinaŠipec
iz Kranja, Tadeja Bone
iz Ajdovšˇ cine in Neža
Korenjak iz Mengša, ki
bodo nagrade prejeli po
pošti.
×××