UNIVERZA V LJUBLJANI, FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jaka Cimprič UREDITVE VIŠJEGA EKSPONENTA NA NEKOMUTATIVNIH KOLOBARJIH Disertacija Ljubljana, 1998 Zahvala Zahvaljujem se svojemu mentorju Matjažu Omladiču in vsem drugim, ki so mi pomagali. Jaka Cimprič. Povzetek Prvo in drugo poglavje obravnavata teorijo predureditev na polgrupah. V tretjem poglavju posploˇsimo Beckerjevo verzijo Kadison-Duboisove reprezentacije na asociativne kololobarje. V ˇcetrtem poglavju konstruiramo ureditve vseh sodih eksponentov na kolobarju kvantnih polinomov in na domeni Malceva. V petem poglavju dokaˇzemo preseˇcni izrek za ureditve eksponenta n = 2k na poljubnih domenah in preseˇcni izrek za ureditve poljubnega eksponenta na Orejevih domenah. Obenem poenostavimo dokaz preseˇcnega izreka za nekomutativne obsege. V ˇsestem poglavju dokaˇzemo, da abstraktni Positivstel-lensatz in Nullstellensatz za ureditve viˇsjega eksponenta na asociativnih kolobarjih sledita iz preseˇcnega izreka za domene. Odtod sledi, da izreka veljata za ureditve eksponenta n = 2k na poljubnih kolobarjih in za ureditve poljubnega eksponenta na Noetherskih kolobarjih. V sedmem poglavju ponovimo osnove teorije spektralnih prostorov in v osmem poglavju obravnavamo razliˇcne spektralne prostore, ki nastopajo v teoriji ureditev viˇsjega eksponenta. Deveto poglavje obravnava abstraktno teorijo form viˇsjega reda. Ponovimo dualnost med prostori signatur in reduciranimi prostori form in konstruiramo Postovo ovojnico prostora signatur. MSC (1991) : 06Fxx, 14Pxx, 16Dxx, 16Wxx. Summary Chapters 1 and 2 are concerned with the theory of preorderings on semigroups. In chapter 3, we extend the Becker’s version of the Kadison-Dubois representation theorem to asociative rings. In chapter 4, we construct orderings of all even exponents on the ring of quantum polinomials and on the Malcev domain. In chapter 5, we prove the intersection theorem for orderings of exponent n = 2k on arbitrary domains and the intersection theorem for orderings of arbitrary even exponents on Ore domains. At the same time we simplify the existing proof of the intersection theorem for skew fields. In chapter 6, we reduce the abstract Nullstellensatz and Positivstellensatz for orderings of higher exponent to the general intersection theorem for domains. Thus, we prove both theorems for orderings of exponent n = 2k on arbitrary rings and for orderings of arbitrary exponents on Noetherian rings. Chapter 7 recalls the basics of the thory of spectral speces and chapter 8 presents various constructions of the spectral spaces in the theory of orderings of higher eksponent. Chapter 9 deals with the abstract theory of higher level forms. We recall the duality between spaces of signatures and reduced form schemes and construct the Post hull of a space of signatures. MSC (1991) : 06Fxx, 14Pxx, 16Dxx, 16Wxx Predgovor Eden od osnovnih rezultatov Artin-Schreierjeve teorije urejenih komutativnih obsegov [15] je t.i. preseˇcni izrek: Vsaka predureditev je enaka preseku vseh ureditev, ki jo vsebujejo. Na tem rezultatu temelji Artinova reˇsitev sedemnajstega Hilbertovega problema in Prestelov dokaz realnega Nullstellensatza Duboisa in Rislerja (glej tretji razdelek tretjega poglavja v [27]). V tem dokazu nastopa Positivstellensatz kot pomoˇzna lema. Za posploˇzitve Positivstellensatza in Nullstellensatza na komutativne kolobarje glej [28]. Preseˇcni izrek za sploˇsne (= ne nujno komutativne) obsege je dokazal T. Szele, glej [21], za celostne domene pa R. E. Johnson, glej [22]. Nullstellensatz in Positivstellensatz za nekomutativne kolobarje pa so dokazali ˇsele lete 1997 K. H. Leung, M. Marshall in Y. Zhang, glej [32]. Teorija ureditev viˇsjega eksponenta na komutativnih obsegih pripada E. Beckerju, glej [16] za primer, ko je eksponent potenca ˇstevila 2 in [17, 18, 19] za sploˇsen primer. Dokaz preseˇcnega izreka za ureditve viˇsjega eksponenta sloni na Kadison-Duboisovi reprezentaciji arhimedskih delno urejenih kolobarjev, glej [12]. Beckerjeve rezultate so uporabili M. D. Choi, T. Y. Lam, A. Prestel in B. Reznick pri posploˇsitvi sedemnajstega Hilbertovega problema na 2n-te potence, glej [26]. Nullstellen-satz in Positivstellenzatz za ureditve viˇsjega eksponenta na komutativnih kolobarjih sta najprej dokazala E. Becker in D. Gondard za primer, ko je eksponent potenca ˇstevila 2, glej [29]. Dokaz za sploˇsen eksponent pripada R. Berru, glej [30] in [31]. V svoji habilitacijski nalogi je R. Berr uporabil teorijo ureditev viˇsjega eksponenta na komutativnih kolobarjih pri klasifikaciji singularnosti realnih semialgebraiˇcnih funkcij, glej [40]. Ureditve viˇsjega eksponenta na sploˇsnih obsegih sta ˇstudirala T. Craven v [23] in V. Powers v [24] in dokazala ustrezni preseˇcni izrek. Ureditve viˇsjega eksponenta na nekomutativnih kolobarjih je zaˇcela ˇstudirati V. Powers v [33]. Primera kolobarjev, ki dopuˇsˇcata ureditve viˇsjega reda sta Weylova algebra in kolobar kvantnih polinomov. Oba kolobarja sta Orejevi domeni in vsaka njuna ureditev viˇsjega eksponenta se enoliˇcno razˇsiri na obseg ulomkov. Kazalo 1 Predureditve na polgrupah 8 1.1 Zaprtje in permutacijska lastnost ....................... 8 1.2 Kongruenčna relacija zaprte predureditve................... 10 1.3 Lastnosti predureditve T : lastnosti grupe GT................ 11 1.4 Ciklične predureditve.............................. 13 1.5 Mreža zaprtih predureditev .......................... 15 2 Razširitveni izreki 17 2.1 Polgrupe desnih ulomkov............................ 17 2.3 Eksistenca razširitve .............................. 20 2.4 Lastnosti, ki se ohranjajo pri razširitvah ................... 22 3 Kadison-Duboisova reprezentacija 24 3.1 Predstožci in moduli.............................. 24 3.2 Arhimedski predstožci ............................. 26 3.3 Reprezentacijski prostor............................ 28 3.4 Kadison-Duboisova reprezentacija....................... 30 4 Ciklični stožci na domenah 33 4.2 Polgrupa Malceva................................ 35 4.3 Domena Malceva................................ 38 5 Presečni izreki za domene 41 6 5.2 Preseˇcni izrek za eksponent n = 2k ...................... 43 5.3 Preseˇcni izrek za popolne stoˇzce ........................ 45 5.4 Valuacijski kolobar popolnega stoˇzca ..................... 46 6 Positivstellensatz 49 6.1 Predureditve in ureditve na kolobarjih .................... 49 6.2 Osnovni izrek .................................. 51 6.3 Predureditve na faktorskih kolobarjih ..................... 55 6.4 Nullstellensatz in Positivstellensatz ...................... 57 7 Spektralni prostori 59 7.1 Predspektralni prostori ............................. 59 7.2 Spektralni prostori ............................... 61 7.3 Stoneova antiekvivalenca ............................ 63 8 Realen spekter viˇsjega eksponenta 66 8.1 Prostor T-signatur ............................... 66 8.2 Prostor T-ureditev ............................... 70 8.3 Naravna projekcija iz SigT(R) na SperT(R) .................. 73 8.4 Prostor T-realnih praidealov .......................... 75 8.5 H¨ormander-Lojasiewiczeva neenakost ..................... 77 9 Reducirana teorija form 79 9.1 Prostori signatur ................................ 80 9.2 Prostori form, dualnost ............................. 83 9.3 Postove algebre ................................. 86 9.4 Prostor signatur Postove algebre ........................ 88 9.5 Postova ovojnica prostora signatur ...................... 90 7 1. Predureditve na polgrupah V tem razdelku bomo razvili Artin-Schreierjevo teorijo za polgrupe. Poudarek je na dokazu posledice 16, ki jo bomo uporabili pri dokazu presečnega izreka za obsege v petem poglavju. 1.1 Zaprtje in permutacijska lastnost Naj bo S polgrupa in n poljubno naravno število. Naj bo Sn množica vseh produktov ra-tih potenc elementov polgrupe S. Označimo s Un(S) množico vseh elementov polgrupe S, ki se dajo izraziti kot produkt končnega zaporedja elementov iz S v katerem vsak element nastopa z večkratnostjo deljivo z n. Očitno je Sn C Un(S). Če je naravno število m večkratnik števila n, potem velja Sm C Sn in Um(S) C Un(S). Velja tudi Si = U^S) = S. Podmnožica T polgrupe S je predureditev, če je T • T C T in obstaja tako naravno število n, da velja Un(S) C T. Število n se imenuje eksponent predureditve T in ni enolično določeno. Vsak večkratnik vsakega eksponenta je tudi eksponent. Najmanjši eksponent predureditve T imenujemo strogi eksponent predureditve T. Za pomemben razred predureditev se bo izkazalo, daje vsak njihov eksponent večkratnik strogega eksponenta. Če multiplikativna množica T' vsebuje predureditev T, potem je tudi T' predureditev in vsak eksponent predureditve T je tudi eksponent predureditve T'. Očitno je množica Un(S) predureditev z eksponentom n. Načeloma se lahko zgodi, da n ni njen strogi eksponent. 8 Lema 1 Naj bo T poljubna predureditev na polgrupi S. Za poljuben element s G S velja sT n T ^ 0 natanko tedaj, ko je T s D T ^ 0. Dokaz : Naj bo n poljuben eksponent predureditve T. Če velja sT n T ^ 0, potem obstaja tak element m G T, da velja su G T. Če definiramo v = {su)n~lu, potem velja v eT invs = (su)n-lus G IIra(S) C T. Torej je res Ts n T ^ 0. Dokaz v drugo smer je simetričen. Q.E.D. Vsaki predureditvi T na polgrupi S priredimo njeno zaprtje T :={seS; sT n T ^ 0} = {s G S; TsC\T ^ 0}. Očitno je vsaka predureditev vsebovana v svojem zaprtju. Predureditev T je zaprta, če velja T = T. Izrek 2 Zaprtje poljubne predureditve je zaprta predureditev. Dokaz : Naj bo T poljubna predureditev na polgrupi S. Zadošča, če pokažemo, da je T • T C T in (T) = T. Naj bosta x,y eT poljubna elementa. Potem obstajata taka elementa u,v eT, da velja mx G T in yw G T. Odtod sledi u(xyv) = ux-yveT. Po lemi 1 obstaja tak element v' G T, da velja (xyv)v' G T. Ker je vi/ G T, velja xy G T. Naj bo x G (?) poljuben element. Potem obstaja tak element m G T, da velja xu G T. Vzemimo tak element v G T, da velja (xu)v G T. Po prejšnjem odstavku je uv G T • T C T, zato obstaja tak element w G T, da velja (m;)w G T. Ker velja tudi x((uv)w) = ((xu)v)w eT-T C T, velja iGTpo definiciji zaprtja. Q.E.D. Pravimo, da ima podmnožica M polgrupe S permutacijsko lastnost, če za poljubno naravno število k, poljubne elemente s1}..., sk G S in poljubno permutacijo vr množice {!,...,k} velja S\S2 ¦ ¦ ¦ Sk G M 3. => 4. => 1. in 2. => 3. => 5. => 2. Netrivialni del prvega kroga je 3. => 4. in drugi krog sledi iz prvega zaradi simetrije. Če je TxTHTyT ^ 0, potem obstajajo taki elementi s1} h, s2, t2 G T, da velja s^h = s2yt2. Sledi {s1xt1){s2yt2)n-1 = (s2yt2)n G T. Po izreku 3 sledi s^s^H^1 xyn~l G T. Ker je predureditev T zaprta in ker sitis?-1*?"1 ^ T, sledi xy™"1 G T. Q.E.D. Vsaki zaprti predureditvi T na polgrupi 5 priredimo relacijo ~T s predpisom x ~T y ^^ TxT n TyT ^ 0. 10 Izrek 6 Naj bo T zaprta predureditev eksponenta n na polgrupi S. 1. Relacija ~T je kongruenca. Mnoˇzica T je kongruenˇcni razred. 2. Faktorska polgrupa GT := S/~T je Abelova grupa. Njen nevtralni element je mnoˇzica T, inverz pa je induciran s preslikavo x -»• xn~l. Dokaz : Refleksivnost in simetričnost relacije ~T sta očitni. Dokazujemo tranzitivnost. Vzemimo poljubne elemente x,y,z G S, ki zadoščajo x ~T y in y ~T z. Po lemi 5 je xyn-i e T in yzn-i e T Ker je množica T predureditev, je xynzn~l G T. Izrek 3 nam da (xzn-l)yn G T. Ker je predureditev T zaprta, sledi xzn~l G T, torej x~Tzpo lemi 5. Dokažimo, da je relacija ~T kompatibilna z množenjem. Naj bodo x,y,u,v e S taki elementi, da velja x ~T m in t/ ~T w. Po lemi 5 imamo xun~l G T in y^"1 G T. ker je :rara-V™"1 G T, sledi ^(to)™"1 G T po izreku 3. Lema 5 nam da želeno relacijo xy ~t uv. Dokažimo, da je množica T kongruenčni razred. Za poljubna elementa s,teT velja stn~l G T, torej je s ~T t po lemi 5. Če je x ~T t za nek element ie5in element t G T, potem je xf1"1 G T po lemi 5. Ker je predureditev T zaprta, sledi xeT. Za poljubna elementa x,y G S velja xy(yx)n-1 G IIra(S) C T. Po lemi 5 odtod sledi xy ~t yx. Torej je faktorska polgrupa komutativna. Očitno je množica T njen nevtralni element. Definirajmo preslikavo i(x) = xn~l. Ker je relacija ~T kongruenčna, iz x ~T y sledi i(x) ~t i(y). Ker je predureditev T eksponenta n, ima preslikava, ki jo i porodi na GT vse lastnosti inverza. Torej je polgrupa GT grupa. Q.E.D. 1.3 Lastnosti predureditve T : lastnosti grupe GT Naj po T predureditev na polgrupi S in s G S poljuben element. Naravno število m, ki zadošča sm G T imenujemo red elementa s glede na predureditev T. Najmanjši red elementa s glede na predureditev T označimo z ordT(s) in ga imenujemo strogi red elementa s glede na T. Če je predureditev T zaprta, označimo s vrT : S -> GT kanonično projekcijo polgrupe 5 na njeno faktorsko polgrupo GT = 5/ ~t- Izrek 7 Naj bo T zaprta predureditev na polgrupi S in x e S poljuben element. 11 1. Za poljubno naravno ˇstevilo k velja xk eT tedaj in le tedaj, ko je nT(x)k = T. Strogi eksponent ordT(x) se ujema z redom elementa irT(x) v polgrupi GT. Vsak red elementa x glede na T je veˇckratnik strogega reda ordT(x). 2. Predureditev T ima eksponent n natanko tedaj, ko je Abelova grupa GT n-torzijska. Strogi eksponent predureditve T se ujema z eksponentom Abelove grupe GT. Vsak eksponent predureditve T je veˇckratnik strogega eksponenta. Dokaz : Prva trditev je posledica lastnosti reda elementa v grupi. Druga trditev je posledica prve in leme 4. Q.E.D. Lema 8 Vsaka Abelova grupa konˇcnega eksponenta m vsebuje cikliˇcno podgrupo reda m. Dokaz : Naj bo G Abelova grupa s končnim eksponentom m. Naj bo m = pTpT • • ¦ P"r njegov praštevilski razcep. Po Priifer-Baerovem izreku (glej [3], Corollary 10.37) je G izomorfna direktnemu produktu cikličnih grup. Ker je eksponent grupe G enak m, morajo v tem razcepu nastopati ciklične grupe redov pT,pT, ¦ --,P?r- Njihov produkt je ciklična podgrupa reda m. Q.E.D. Posledica 9 Naj bo T zaprta predureditev na polgrupi S. Obstaja tak element ze S, da se ordT(z) ujema s strogim eksponentom predureditve T. Izrek 10 Naj bo T dana zaprta predureditev na polgrupi S. Potem slika in praslika kanoniˇcne projekcije irT : S -»• GT = S/~T podajata bijektivno korespondenco med pod-grupami v GT in zaprtimi predureditvami na polgrupi S, ki vsebujejo predureditev T. Dokaz : Če je množica P predureditev na polgrupi S, ki vsebuje predureditev T, potem je njena slika nT(P) multiplikativna podmnožica grupe G. Toda v podgrupi s končnim eksponentom je vsaka multiplikativna množica že kar podgrupa. Če je H podgrupa grupe G, potem je množica ^(H) multiplikativna in vsebuje predureditev T, torej je tudi sama predureditev. Pokažimo še, da se ujema s svojim zaprtjem. Če velja xu = v za poljuben element x e S in poljubna elementa u, v G ^(H), potem je 7rT(x)7rT(M) = irT(v) in 7rT(M),7rT(w) G H. Ker je H podgrupa, sledi irT(x) G H, torej x Ettt1(H). 12 Ker je preslikava ttt surjektivna, velja ^(^(H)) = H za vsako podgrupo H grupe GT. Očitno je za vsako predureditev P na polgrupi S množica P' = vr^V^P)) zaprta predureditev, ki vsebuje predureditev P. Za poljuben element x e P' velja vrT(x) = vrT(p) za nek element p G P. Odtod sledi, ^(xp™"1) = 7rT(pra) = T, torej je xpn~l G T. Ker je pn-i G p in t C P, velja x eP. Torej je P' = P. Dokazali smo celo več, kot trdi izrek. Q.E.D. Izrek 11 Naj bosta T m P zaprti predureditvi na polgrupi S in naj P vsebuje T. Potem identični endomorfizem polgrupe S inducira izomorfizem grup GT/MP) in GP. Dokaz : Ker predureditev P vsebuje predureditev T, je preslikava (p : GT -> GP, kjer za vsak x G S postavimo (irT(x)) = irP(x), dobro definirana. Izračunajmo njeno jedro. Če je np(x) = P, potem x G P, in zato ttt(x) G vrT(P). Trditev sledi iz prvega izreka o izomorfizmu. Q.E.D. 1.4 Ciklične predureditve Naj bo \in grupa vseh kompleksnih n-tih korenov enice. Če je (p : S -^ \in homomorfizem polgrup, potem je množica ^(l) očitno zaprta predureditev na polgrupi S z eksponentom n. Taki predureditvi pravimo ciklična predureditev. Lema 12 Zaprta predureditev T na polgrupi S je ciklična natanko tedaj, kadar je grupa GT ciklična. Dokaz : Naj bo T ciklična predureditev na polgrupi S eksponenta n in naj bo (p : S -> \in pripadajoči polgrupni homomorfizem. Ker je {T) = 1, inducira (p surjektiven homomorfizem grup (p' : GT -> /ira. Ker je ^(l) = T, je (p' tudi injektiven. Če je grupa GT ciklična, potem obstajata naravno število n in izomorfizem ju«. Preslikava 0 := 0' o nT : S -^ /ira je homomorfizem polgrup z želeno lastnostjo 0 o 7rT podaja bijektivno korespondenco med grupnimi homomorfizmi iz GT v \in in polgrupnimi homo-morfizmi iz S v ^ ki preslikajp množico T v 1. Lema 14 Naj bo G poljubna Abelova grupa končnega eksponenta in x,y e G poljubna neničelna elementa. Naj bo red elementa x enak r. Potem obstaja tak grupni homomor-fizem X-G^Cx, da velja X{x) = e2m/r m^/l. Dokaz : Naj bo B podgrupa generirana z elementoma x in y. Grupa B je končna Abelova, zato jo lahko razcepimo na ciklične podgrupe. Odtod se hitro vidi, da obstaja tak homomorfizem grup (p : B -> Cx, da velja {x) = e27Ti/r in (y) ^ 1. Ker je grupa Cx deljiva, lahko (p razširimo do homomorfizma X ¦ G -»• Cx (glej [3], Theorem 10.23), ki ima želene lastnosti. Q.E.D. Izrek 15 Naj bo T zaprta predureditev na polgrupi S s strogim eksponentom n in naj bo t E S\T poljuben element. Potem obstaja tak surjektiven polgrupni homomorfizem (p:S^^n,da velja {T) = 1 in x(e) ^ 1. Dokaz : Po posledici 9 obstaja tak element z G S, da velja ordT(z) = n. Če uporabimo lemo 14 z x = nT(z) in y = 7rT(e), dobimo tak homomorfizem grup X ¦ S -»• Cx, da velja X(x) = e27Ti/n in x(y) Ž 1- Iz P^e zveze sledi, da je X surjektiven. Ker je grupa GT eksponenta n, je X(GT) C jura. Preslikava (p := X o nT ima želene lastnosti. Q.E.D. Posledico 16 bomo uporabili v razdelku 5.4. Tam bo S polgrupa neničelnih elementov nekomutativne domene in e = -1. Posledica 16 Naj bo T zaprta predureditev na polgrupi S s strogim eksponentom n in naj bo te S\T poljuben element. Potem je T = f\ P, kjer presek teče po vseh cikličnih predureditvah strogega eksponenta n, ki vsebujejo T in ne vsebujejo t. 14 Posledica 17 Naj bo S poljubna polgrupa mm>2 poljubno naravno število. Potem sta naslednji trditvi ekvivalentni: 1. Obstaja surjektiven polgrupni homomorfizem (p : S -> \im. 2. Velja Um(S) ^ Tlm/p(S) za vsako praštevilo p, ki deli m. Dokaz : Očitno druga trditev sledi iz prve. Druga trditev je ekvivalentna s trditvijo, da je m strogi eksponent zaprte predureditve Um(S). Torej posledica sledi iz izreka 15. Q.E.D. 1.5 Mreža zaprtih predureditev Lema 18 Naj bo T zaprta predureditev na polgrupi S. Naj bosta 71 m T2 poljubni zaprti predureditvi, ki vsebujeta predureditev T. Potem je 7rr(T1 n T2) = 7rr(T1) n 7rT(T2). Dokaz : Očitno je vr^T n T2) C ^(T) n 7rT(T2). Vzemimo sedaj poljuben element z G 7TT(T1)n7rT(T2). Potem obstajata taka elementa t1 G T1 in t2 G T2, da velja z = 7rT(t1) in z = 7rT(t2). Ker je 7rr(*1) = vrT(t2), je po lemi 5 t{F n Tt2 ^ 0. Torej obstajata taka elementa u,v G T, da velja t1u = vt2. Ker je T C T1 n T2 velja hu E T1 ¦ T C 71 in vt2 eT -T2 C T2. Odtod sledi tm G T1 n T2. Ker je 7rT(t1u) = 7rr(*1) = ^, sledi, da zenT{T1nT2). Q.E.D. Izrek 19 PreseA; končnega števila predureditev je predureditev. Presek končnega števila zaprtih predureditev je zaprta predureditev. Dokaz : Naj bo 71 predureditev eksponenta m in T2 predureditev eksponenta n2. Ker je nrai„2(S) C Uni(S) n n„2(5) C T1 n T2, je podpolgrupa T1 n T2 predureditev eksponenta ^1^2. Če sta predureditvi T1 in T2 zaprti, definirajmo zaprto predureditev T = n„iri2(5). Ker velja T C nrai(5) C T1 in T C n„2(5) C T2, sledi T C T1 n T2. Po izreku 10 je T1nT2 = ir^MT1 n T2)). Po izreku 18 je 7rT(T1 n T2) = 7rT(T1) n ttt(T2). Odtod sledi T1lHT2 = ir^MT1) n ttt(T2)) = Tr^farCF1)) n tt^^^^)) = T1 n T2. Torej je T1 n T2 zaprta predureditev. Izrek sledi z indukcijo po številu predureditev. Q.E.D. 15 Izrek 20 Naj bosta T1 in T2 poljubni zaprti predureditvi na polgrupi S. Najmanjˇsa zaprta predureditev, ki vsebuje T1 in T2 obstaja in je enaka T1*T2 = {ze S; (T1 n T2)z(T1 n T2) n (T1 n T2)T1T2(T1 n T2) ^ 0}. Dokaz : Naj bo T = T1 n T2. Po izreku 19 je T zaprta predureditev. V grupi GT ustreza najmanši zaprti predureditvi, ki vsebuje T1 in T2 najmanjša podgrupa, ki vsebuje podgrupi 7Tt(T1) in 7rT(T2). Ta podgrupa je 7rT(T1)7rT(T2). Iskana predureditev je torej 7Tr1(7rT(T1)7rT(T2)). Element zeS leži v njej natanko takrat, ko je nT(z) = 7rT(t1)7rT(t2) za neka elementa t1 G T1 in t2eT2. Po lemi 5 velja to natanko takrat, ko velja TzT n Tt1t2T ^ 0. Q.E.D. Po izreku 20 je množica vseh zaprtih predureditev, ki vsebujejo zaprto predureditev T mreža za operaciji n in *, ki je izomorfna mreži podgrup Abelove grupe GT. 16 2. Razširitveni izreki Splošno znano je, da se da vsaka ureditev na komutativni domeni enolično razširiti na njen obseg ulomkov. Ta rezultat so posplošili v mnoge smeri. Hebisch [6] je našel potrebne in zadostne pogoje, ki zagotavljajo obstoj razširitve dane delne ureditve na polgrupi na dano polgrupo desnih ulomkov in pokazal, da je ta razširitev enolična. V tem poglavju bomo razvili podobno teorijo za predureditve na polgrupah. Poudarek je na dokazih izrekov 8 in 9, ki jih bomo v razdelku 5.1 uporabili za dokaz presečnega izreka za Orejeve domene. 2.1 Polgrupe desnih ulomkov Namen tega razdelka je vpeljati pojem polgrupe desnih ulomkov in podati potrebne in zadostne pogoje za njen obstoj. Naj bo S polgrupa, ki vsebuje podpolgrupo E. Množica Q se imenuje polgrupa desnih ulomkov polgrupe S glede na S, če velja 1. Q je monoid (polgrupa z enico). 2. Polgrupa S je podpolgrupa polgrupe Q. 3. Vsak element iz S je obrnljiv v Q. 4. Za vsak element z G Q obstajata tak element a G S in tak element a G S, da velja z = aa~l. Dogovorimo se, da so grške črke rezervirane za elemente podpolgrupe E. Podpolgrupa E polgrupe S se imenuje množica desnih imenovalcev, če velja 17 1. V polgrupi S lahko elemente iz E krajšamo z leve in z desne. 2. Velja desni Ore-Asanov pogoj: Za poljubna elementa aeSinaeS obstajata taka elementa x G 5 in L G S, da velja aL = qx. Izrek 1 Naj bo S podpolgrupa polgrupe S. Polgrupa desnih ulomkov polgrupe S glede na E obstaja natanko tedaj, ko je E mnoˇzica desnih imenovalcev. Ce je Q polgrupa desnih ulomkov polgrupe S glede na E, potem za poljubna elementa aa-1 eQin bp~l G Q velja aa~l = bp'1 ^^ 3x G S 3L G E : aL = /3x in aL = bx Vs G S Va G E : 6a = as => aa~l ¦ bp~l = as(/3a)-\ Ce polgrupa Q obstaja, jo ti dve relaciji enoliˇcno doloˇcata. Dokaz je v [5]. Izrek 2 Naj bo E mnoˇzica desnih imenovalcev v polgrupi E. Naj bo Q polgrupa desnih ulomkov polgrupe S po E in naj bo U poljuben monoid. Potem obstaja naravna bijektivna korespondenca med homomorfizmi iz monoida Q v monoid U in med homomorfizmi iz polgrupe S v monoid U, ki slikajo elemente mnoˇzica E v obrnljive elemente monoida U. Dokaz : Naj bo (p : S -> U tak homomorfizem polgrup, ki slika elemente množice E v obrnljive elemente monoida U. Za poljubne elemente a, b G S in a, (3 G E, ki zadoščajo aa~l = bp~l obstajata po izreku 1 taka elementa xeSin^eE.da velja aL = px in aL = bx. Odtod sledi 0(a)0(o!)-1 = 0KY«)_1 = {bx){l3x) = 0(6)0(/3)"1. Odtod sledi, daje s predpisom U. Pokažimo sedaj, da je 2. <=> 3. <=> 4. Če v sledečem dokazu obrnemo puščice, dobimo 5. <& 6. <& 7. <& 8. Privzemimo, da drži trditev 1. Vzemimo poljubna elementa a,b E S, ki zadoščata ah E T in poljuben element ^gTHE. Po Ore-Asanovi lastnosti obstajajo taki elementi c E S in r E E, da velja br = Lc. Ker je ab E T, sledi ai{cTn-l) = abrn E T. Če 21 uporabimo trditev 1. dobimo acrn~l G T. Sledi a^b = a^b^r^ = (acr^r^ G T(T n S)"1 = T. Torej drži trditev 2. Če drži trditev 2., vzemimo poljubne elemente a, c G 5 in L G T n S, ki zadoščajo «)c G T. Sledi ac = «)Č-1c g T. Torej drži trditev 1. Če vstavimo k = 2 v trditev 3., dobimo 2. Privzemimo, da drži trditev 2. Če k - 1 krat uporabimo dejstvo, da iz predpostavke abr~l G T' sledi <-1^-1 G T' za poljubne a, b G 5 in L, r G T n S., potem dobimo naslednje zaporedje sklepov ax ¦ ¦ ¦ ak_xak^1 G T' => ax ¦ ¦ ¦ a^^^a^1 e T' => ... => aiCi"1 • • • afc-iČfc-VfcČfc l e T'- ToreJ drži trditev 3. Ekvivalenca med 3. in 4. sledi iz axa^1 ¦ ¦ ¦ aka^ = (a^rVi"™ • • • (a^-1)^" in iz dejstva, da^,...,«^TnSza poljubne au ..., ak G 5 in au..., ak G S. Q.E.D. Izrek 6 Naj 6odo Q, S, E kot zgoraj. Naj bo T E-zaprta predureditev eksponenta n na polgrupi S in naj bo V = T(T D S)"1. Če ima T lastnost 1. iz trditve 5, potem je T1 predureditev eksponenta n. Dokaz : Naj bo T taka S-zaprta predureditev eksponenta n, da iz predpostavke \in tak polgrupni homomor-fizem, da velja T = <$r\\). Po izreku 2 lahko (p razširimo do homomorfizma \in. Naj bo P = ((f}')-1^). Očitno je P ciklična predureditev eksponenta n. Če dokažemo PC\S = T, bo iz enoličnosti razširitve sledilo P = T'. Naj bo x G PC\ S poljuben element. Torej je {x) = '(x) = 1 in zato xeT. Obratna smer je očitna. Q.E.D. 23 3. Kadison-Duboisova reprezentacija Kadison-Duboisova reprezentacija (glej [8],[10] in [11]) velja za kolobarje, ki niso nujno asociativni ali komutativni. Njen dokaz uporablja tehnike iz funkcionalne analize (Banach-Alaoglujev in Krein-Milmanov izrek). Becker in Schwarz [12] sta za komutativne kolobarje našla konkreten opis reprezentacijskega prostora in zelo poenostavila dokaz. V tem poglavju njun opis reprezentacijskega prostora razširimo na asociativne kolobarje. 3.1 Predstožci in moduli Naj bo R poljuben kolobar z enico (ne zahtevamo niti komutativnosti niti asociativnosti). Množica H C R se imenuje predstožec, če zadošča naslednjim lastnostim: 1. H + H C H, 2. H- H C H. 3. 0,1 G H, 4. -1 LH, Množici, ki zadošča samo prvim trem lastnostim pravimo podpolkolobar v R. Če je H poljuben podpolkolobar v R potem velja -1 f, da velja n-Pi ePinn-qieP za vsak i = l,...,l. Definirajmo množico A={r-- r, s G IN, r + sa G Me}. Ker je predstožec P arhimedski, je množica A neprazna. Trdimo, da je inf (A) = 0. Vzemimo poljubni naravni števili r, s, za katere velja r + sa G Me. Naj bo k := In2. Potem velja kr-s + ksa = In2 (r + sa) - s = TLi(n ~ Pi + Pi)(r + sa)(n - qx + qt) - s = Etifa - P*)(r + sa)(n - Ql) + ELi^(^ + sa)(n - qi) + ELi (« - Pi)(r + sa)qi + r ELi Pi* + ^ G ^e- Ločimo dve možnosti. Če je r- > \, potem sta kr - s in fcs naravni števili, zato iz kr-s + ksae Me sledi, da ^ - \ = ^ G A. Če je ^ < \, potem je s - kr > 0. Odtod sledi, da r + ksa = (kr - s + ksa) + (s - kr) + r G Me. Torej je L G A. Ker je število fc fiksno, odtod sledi, da je inf (A) = 0. Vzemimo poljubno naravno število n. Po pravkar dokazanem obstajata taki naravni števili r in s, da velja r- G A in r- < i. Odtod sledi s(l + na) = ra(r + sa) + (s - w) G Me, torej je res a G Arch(M). Q.E.D. Izrek 3 Naj bo M pravi modul nad arhimedskim predstoˇzcem P. Potem je Arch(M) = H S, kjer presek teˇce po vseh maksimalnih pravih modulih nad P, ki vsebujejo modul M. Dokaz : Ker je S maksimalen modul nad P, sledi po trditvi 1, da je Arch(S) = S. Očitno je Arch(M) C Arch(S). Torej je leva stran res vsebovana v desni. Dokažimo sedaj, da je desna stran vsebovana v levi. Vzemimo poljuben element a e f]S in poljubno naravno število n. Če f + na i Arch(M), potem je po trditvi 2 modul M' = M- E(P(1 + na)P) pravi. Po Zornovi lemi obstaja tak maksimalen pravi modul S nad P ki vsebuje modul M'. Iz -f - na G S in a G S sledi protislovje -f G S. Torej f + na G Arch(M) za vsako naravno število n. Ker je po trditvi 1 modul Arch(M) arhimedsko poln, sledi a G Arch(M). Q.E.D. Izrek 4 Naj bo S maksimalen pravi modul nad arhimedskim predstoˇzcem. Potem velja Sl)-S = R. Dokaz : Vzemimo poljuben element a i S. Množica S + Z(PaP) je modul nad P, ki strogo vsebuje modul S. Ker je S maksimalen pravi modul, odtod sledi -1 G S+Z(PaP). 27 Po trditvi 2 odtod sledi, da -a G Arch(S) = S. Q.E.D. 3.3 Reprezentacijski prostor Naj bo R asociativen kolobar z enico, P predstožec na i? in M pravi modul nad P. Če velja M U -M = R, pravimo, da je modul M polureditev nad P. Po izreku 4 je vsak maksimalen pravi modul nad arhimedskim predstožcem P tudi polureditev nad P. Izrek 5 Naj bo P arhimedski predstožec na kolobarju R in naj bo M polureditev nad P. Potem obstaja natanko en unitalen homomorfizem s iz kolobarja R v kolobar realnih števil, ki zadošča (j)S(S) > 0. Dokaz : Vzemimo poljuben element a G R in definirajmo Ms(a) = {^; (r, s) G Z x IN & r - sa G S}. Ker je predstožec P arhimedski, obstajata taki naravni števil k in /, da velja k - a G P in / + a G P. Iz prve relacije sledi, da je množica Ms(a) neprazna. Iz druge relacije dobimo, daje množica Ms(a) navzdol omejena. Za vsak element r- G Ms(a) ° S° namreč velja r + si = (r - sa) + s(l + a) G 5. Ker je modul 5 pravi, odtod sledi r + sl>0, torej je r > -/. s — Definirajmo s(a) = M Ms(a) za vsak element a G i?. Dokažimo najprej, da je s(l) = 1. Ker je modul S pravi, velja r- s G S natanko tedaj, ko je r - s > 0. Torej je r- G Ms(l) natanko tedaj, ko je ^ > 1. To pomeni, da je infMs(l) = l. Dokažimo sedaj, da je s(-a) = - 0. Iz r- + * > 0 sledi 0 -&?(«)• Če je 0 ^ > -6s(a). Odtod sledi ^ 4. Ms(-a) in -=* L Ms(a). Torej je m + na 4 S in -m - na 4 S, kar je v nasprotju s predpostavko, da je S polureditev. Naj bosta a,b G R poljubna elementa. Trdimo, da je (ps(a + b) = s(a) + s(b). Vzemimo poljubna r- G Ms(a) in ^ G Ms(b). Potem je (w + su) - vs(a + b) = v(r-sa) + s(u - vb) G S, torej je ^ + * = ^±^ G Ms(a + 6). Odtod sledi 6s(a + b) < 6s(a) + 0S(&). Nasprotno oceno dobimo, če zamenjamo a in b z -a in -6 in upoštevamo prejšnji odstavek. Naj bosta a,b G R poljubna elementa. Trdimo, da je IR tak unitalen homomorfizem kolobarjev, da velja 6(S) > 0. Naj bo a G i? poljuben element. Če je 6s(a) < ~s, potem je r - sa G S. Odtod sledi r - s6(a) = 6(r - sa) > 0, torej je 6(a) < r-. To pomeni, daje 6(a) < 6s(a). Nasprotno oceno dobimo, če zamenjamo a z -a. Q.E.D. Trditev 6 Za vsako polureditev S velja 6š\\R+) = Arch(S). Dokaz : Naj bo a G i? tak element, daje 6s(a) > 0. Naj bo n poljubno naravno število. Če 1 + na 4 S, potem 1 + na G -S. Odtod sledi, da je 1 + n6s(a) < 0, torej 6s(a) < - 1 , kar je v nasprotju z izbiro elementa a. Torej je 1 + na G S za vsako naravno število n, se pravi a G Arch(S). Obratno, če je a G Arch(S), potem je 1 + na G S za vsak naraven n, torej je 1 + n6s(a) > 0 za vsak naraven n. Odtod sledi, da je 6s(a) > 0. Q.E.D. Naj bo M pravi modul nad arhimedskim predstožcem P. Množici XP(M) = {6 G Ham(R, IR); 6(M) > 0} pravimo reprezentacijski prostor modula M. Izrek 7 Naj bo P arhimedski stoˇzec na kolobarju R in M modul nad P. Preslikavi F : 6 ^ 6~l(\R+) in G : S ^ 6S podajata bijektivno korespondenco med elementi reprezentacijskega prostora modula M in maksimalnimi moduli nad P, ki vsebujejo modul M. Dokaz : Vzemimo poljuben element 6 G XP(M). Trdimo, da je množica 6~l(\R+) maksimalen modul nad P, ki vsebuje M. Očitno je ta množica polureditev nad P, ki vsebuje modul M. Naj bo S maksimalen pravi modul nad P, ki vsebuje množico 6~l(\R+) in naj bo 6S pripadajoči homomorfizem kolobarjev. Ker je 6S(6-\\R+)) C IR+ in 6(6~l(\R+)) C IR+, velja 6 = 6S. Odtod sledi S C <^i1(IR+) = 6~l(\R+) C S. Torej je množica 6~l(\R+) = S res maksimalen modul nad P. Odtod sledi tudi, daje 4>-1,R+) = 0. Potem obstaja tak element (p G XP(M), da velja |0(a) - ip{a)\ < ^, \(p(b) - ^{b)\ < ^ in \(f)(ab) - ij>(ab)\ < f. Potem je \ip{ab) -ip{a)ip{b)\ < \ip{ab) - {ab)\ + \{a)\\(p(b) -^(6)| + \ip{b)\\(ab) = ip{a)ip{b). Podobno dokažemo še ^(a + b) = ij>(a)+4>{b), ip{l) = 1 in ip(M) > 0, torej res i\) G XP(M). Q.E.D. 3.4 Kadison-Duboisova reprezentacija Naj bo M pravi modul nad arhimedskim predstožcem P. Po definiciji topologije na reprezentacijskem prostoru XP(M) velja a G C(XP(M), IR) za vsak element a G R. Po trditvi 5 je reprezentacijski prostor neprazen in po izreku 8 je kompakten. Preslikavi $:R->C{XP{M),R), ${a) = a pravimo Kadison-Duboisova reprezentacija (kolobarja R glede na modul M.) Očitno je $ unitalen homomorfizem kolobarjev, ki zadošča $(M) C C+(XP(M),R), kjer je C+(XP(M), IR) množica nenegativnim zveznih funkcij. Lahko dokažemo celo več. Izrek 9 Pri gornjih predpostavkah velja 1. $-\C+{XP{M), IR)) = Arch(M). 2. $-^0) = Arch(M) n -Arch(M). 3. Množica Q-$(i?) je gosta v C{XP(M), IR), glede na topologijo konvergence po točkah. 30 Dokaz : Velja <$>-\C+(XP(M), IR)) = {a G R; ae C+(XP(M), IR)} = {a G R; {a) G IR+ za vsak 0 G XP(M)} = f%exP(M) 0-1(IR+) Po izreku 7 je ta množica enaka množici fl S kjer S teče po maksimalnih pravih modulih nad P, ki vsebujejo modul M. Po izreku 3 je ta množica enaka Arch(M). Druga trditev sledi iz prve. Tretja trditev sledi iz Stone-Weierstrassovega izreka. Množica IR • $(P) namreč loči točke in vsebuje konstante. Q.E.D. Posledica 10 Naj bo P arhimedski predstožec na kolobarju R. 1. Množica Arch(P) n -Arch(P) je reduciran ideal, ki vsebuje vse elemente oblike xy - yx, kjer x,y G R. 2. Za vsak pravi modul M nad P je množica Arch(M) zaprta za množenje. Posebej je vsak maksimalen pravi modul S nad P zaprt za množenje. Skicirajmo še klasičen pristop k Kadison-Duboisovi reprezentaciji. Naj bo P arhimead-ski predstožec na R. Množica P' = P/P° je arhimedski stožec na faktorskem kolobarju B! = R/P°. Nato stožec P' razširimo do arhimedskega stožca PN na racionalni algebri RN = R 0 Q. Preslikava t(x) := inf{r; r±x G Arch(PiV)} je norma na algebri RN. Ko napolnimo RN v tej normi dobimo Banachovo algebro R* in Arch(PiV) se razširi do stožca P* na R*. Urejena algebra (R*, P*) je izomorfna urejeni algebri (C(X),C+(X)), kjer je X množica pozitivnih karakterjev na algebri (R*,P*). Za dokaz nepraznosti in kompaktnosti množice X potrebujemo Krein-Milmanov in Banach Alaoglujev izrek. Za podrobnosti glej originalne članke. Prednosti Beckerjevega pristopa so: 1. je rahlo splošnejši (M namesto P), 2. dobimo konkreten opis reprezentacijskega prostora z maksimalnimi polureditvami, 3. ne potrebujemo sredstev iz funkcionalne analize. Problem pri uporabi Kadison-Duboisove reprezentacije je v tem, da za nas zanimivi predstožci ponavadi niso arhimedski. Ta problem se delno reši tako, da se reprezentacija uporabi na določenem podkolobarju kolobarja R. Naj bo P poljuben predstožec na kolobarju R. Definirajmo množico A(P) = {a G R; 3ke IN :k±aePe}. 31 Izrek 11 Naj bo P poljuben predstožec na kolobarju R. Potem je množica A(P) umtalen podkolobar v R m množica Pe n A(P) je arhimedski predstožec na R. Dokaz : Naj bosta a,b G A(P) poljubna elementa in naj bosta k, l taki naravni števili, da veljafc±aG Pein/±&G Pe. Potem velja 2(ki - ab) = (k- a){l + b) + (k + a)(l-b) G Pe in 2(fc/ + ab) = (k +a)(l+ b) + (k - a)(l - b) G Pe. Odtod sledi, da ki ± ab G Pe, torej a6 G A(P). Ostale trditve je enostavno preveriti. Q.E.D. Naslednji izrek je neposredna posledica izrekov 9 in 11. Izrek 12 Naj bo P poljuben izoliran predstožec na kolobarju R. 1. Za vsak element a G A(P) je a2 G Arch(P). 2. Če an G Arch(P) za nek a G A(P) m nek lih n, potem je a G Arch(P). 3. I(P) := Arch(P) n -Arch(P) je reduciran ideal v A(P). 32 4. Ciklični stožci na domenah V prvem razdelku konstruiramo primer cikličnega stožca na kolobarju kvantnih polinomov. Preostanek poglavja je posvečen vprašanju: Ali obstaja taka domena, ki se ne da vložiti v obseg in na kateri obstajajo ciklični stožci vseh sodih eksponentov. Domeno, ki se ne da vložiti v obseg je konstruiral Malcev [13], Vinogradov [14] pa je pokazal, da je ta domena linarno urejena. 4.1 Definicije Domena je asociativen kolobar z enico, ki nima deliteljev niča. Lema 1 Za poljubno podmnožico P domene D so ekvivalentne trditve: 1. P je pozitivni stožec kake delne ureditve na D, 2. P + PCP,P-PCPinPn-P = {0}, 3. Px + PX C Px, px ¦ px C Px mOe P. Tu smo označili Px = P \ {0}. Množici, ki zadošča eni od ekvivalentnih lastnosti v lemi 1 pravimo pozitivni stožec. Število n se imenuje eksponent pozitivnega stožca P, če velja Un(D) C P. Pozitiven stožec P ima eksponent n natanko tedaj, ko je množica Px predureditev eksponenta n na polgrupi Dx = D \ {0}. 33 Pozitivnim stožcem, ki imajo kak eksponent pravimo stožci. Vsak stožec vsebuje 1 in zato ne vsebuje -1. Torej je vsak stožec tudi predstožec. Poljuben eksponent poljubnega stožca je sodo število. V petem poglavju bomo potrebovali tole karakterizacijo stožcev. Lema 2 Za poljubno podmnožico P domene D sta ekvivalentni trditvi: 1. P je stožec, 2. OeP in množica Px je aditivna predureditev na polgrupi Dx. Naj bo ii grupa vseh kompleksnih števil z absolutno vrednostjo 1. Homomorfizem grup 4> : Dx -»• fi je signatura, če je množica (p~l{l) zaprta za seštevanje. Pravimo, da je signatura (f) eksponenta n, če velja (f)(Dx) C /in. Za poljubno signature 0 je množica ^(l) U {0} pozitiven stožec. Vsakemu pozitivnemu stožcu take oblike pravimo cikličen pozitiven stožec. Lema 3 Za poljubno podmnožico P domene D so ekvivalentne trditve: 1. P je cikličen stožec. 2. OeP in množica Px je aditivna ciklična predureditev na polgrupi Dx. 3. Obstaja taka signatura (f) na Dx končnega eksponenta, da velja P = a~l(l) U {0}. Odnose med pojmi, ki smo jih uvedli v tem razdelku ponazarja naslednji diagram: predureditve na stožci na pozitivni stožci polgrupi Dx <- domeni D -»• na domeni D T T T ciklične predureditve <- ciklični stožci -> ciklični pozitivni na polgrupi Dx na domeni D stožci na domeni D Primer : Naj bo a tako realno število, da je a > 0 in a ^ 1. Naj bo S polgrupa vseh besed na množici {x, y} in naj bo \R[S] pripadajoči polgrupni kolobar nad obsegom realnih števil. Naj bo / dvostranski ideal v kolobarju \R[S] generiran z elementom yx-axy in naj boD = R[S]/I. Kolobar D je Orejeva domena. Pravimo mu kolobar realnih kvantnih polinomov v dveh spremenljivkah. 34 Vsak element p G i? se da enolično izraziti kot p = a0(x)yk + ... + ak-i(x)y + ak(x), kjer oq(x), .. .,ak(x) G \R[x]. Vzemimo poljubno sodo naravno število n Za vsak p ^ 0 definirajmo a (p) = sgn(a0(x))e2mk/n. Tu je sgn(a0(^)) predznak vodilnega koeficienta polinoma aQ. Trdimo, da je a signatura eksponenta n na domeni D. Dokažimo, da je preslikava a polgrupni homomorfizem. Vzemimo še en element q = b0(x)yl + . .. + bl-1{x)y + bl{x) kolobarja K Potem je pq = c0(x)ym + .. . + cm-1{x)y + cm{x), kjer je m = k+l in vodilni keeficient polinoma c0(x) je ravno produkt vodilnih koeficientov polinomov a0(x) in b0(x) pomnožen z ustrezno potenco števila a. Odtod sledi, da je a(p)a(q) = sgn(a0(x))sgn(6o(x))e2-(fc+ž)/ra = Sgn(c0(x))e2mm/n = a(pq). Dokažimo še, daje množica ^(l) zaprta za seštevanje. Naj bosta p = a0(x)yk + ...+ ak(x) inq = b0(x)yl + .. .+bt(x) poljubna elementa množice ^(l). Ločimo tri možnosti. Čekl, potem imata polinoma p + q in p isti vodilni člen, zato velja a(p + q) = a (p) = 1. Če je k = l, potem imata polinoma a0(x) in b0(y) vodilni koeficient istega predznaka, ki se očitno ujema s predznakom vodilnega koeficienta polinoma a0(x) + b0(x). Torej je tudi v tem primeru a (p + q) = a(q) = 1. Zelo podobno bi lahko konstruirali signaturo eksponenta n na Weylovi algebri poljubnega reda. Tudi Weylova algebra je zelo pomembna v kvantni mehaniki. 4.2 Polgrupa Malceva Pravimo, da polgrupa S zadošča pogoju Z, če za poljubne elemente a, b, c, d, x, y,u,v G S, ki zadoščajo ax = by, cx = dy in au = bv, velja cu = dv. Lema 4 Vsaka polgrupa, ki se da vložiti v grupo zadošča pogoju Z. Dokaz : Naj bo S podpolgrupa grupe G in naj bodo a,b,c,d,x,y,u,v G S poljubni elementi, ki zadoščajo ax = by, cx = dy in au = bv. V grupi G velja b~la = yx~\ d~lc = yx-1 in b~la = vu~l. Odtod sledi d~lc = vu~\ torej je res cu = dv. Q.E.D. Naj bo S prosta polgrupa nad množico {a, b, c, d,x,y,u, v}. Elementom polgrupe S pravimo besede. število črk v besedi je enolično določeno, pravimo mu dolžina besede. Na polgrupi S definirajmo relacijo >t s predpisom: a >t (3 natanko tedaj, ko obstajata taki besedi 7 G S in S G S, da velja bodisi a = jaxS in (3 = jbyS bodisi a = jcxS in 35 (3 = rydyS bodisi a = ^aud in (3 = >ybvS. Naj bosta a in (3 poljubni besedi. Če velja a >t (3, potem pravimo, da je beseda (3 elementarna transformiranka besede a. Če sta besedi a in (3 primerljivi glede na relacijo >t, potem pravimo, da sta elementarno ekvivalentni. V tem primeru sta a in /3 iste dolžine. Beseda (3 je transformiranka besede a, če obstaja končno zaporedje besed, ki se začne z a, konča z /3 in v katerem je vsaka beseda elementarna transformiranka tiste besede, ki stoji neposredno pred njo. Očitno je relacija ”biti transformiranka od” tranzitivna. Če vzamemo v definicijo enoelementno zaporedje, potem vidimo, da je tudi refleksivna. Besedi a in (3 sta ekvivalentni, če obstaja končno zaporedje besed, ki se začne z a, konča z (3 in v katerem je vsaka beseda elementarno ekvivalentna s tisto besedo, ki stoji neposredno pred njo. Relacijo ekvivalence besed označimo z ~. Relacija ~ je kongruenčna relacija, ki ima lastnost levega in desnega krajšanja. Faktorska polgrupa S/ ~ je torej polgrupa s krajšanjem. Pravimo ji polgrupa Malceva. Izrek 5 Polgrupa Malceva se na da vloˇziti v nobeno grupo. Dokaz : Naj bodo A,B,C,D,X,Y,U,V ekvivalenčni razredi besed a,b,c,d,x,y,u,v. Ker velja AX = BY, CX = DY in AU = BV in ker ne velja CU = DV, polgrupa Malceva nima lastnosti Z. Po lemi 1 se torej polgrupa Malceva ne da vložiti v grupo. Q.E.D. Spomnimo se, da imata ekvivalentni besedi na polgrupi S glede na relacijo ~ isto dolžino. Torej je za vsak element polgrupe Malceva (= ekvivalenčni razred po relaciji ekvivalence besed) dobro definirana njegova dolžina. Vsak ekvivalenčni razred je končen in v njem obstaja natanko ena beseda, ki ni tranformiranka nobene druge besede. Tej besedi rečemo najstarejša beseda danega ekvivalenčnega razreda. Beseda, ki je najstarejša beseda kakega razreda, ne vsebuje podnizov by, dy in dv. Naj bo >i leksikografska urejenost na polgrupi S porojena z y >i v >i x >i u >i a>i b>tc>i d. Natančneje, če je dolžina besede a strogo večja od dolžine besede (3, potem je a >i (3. če pa sta njuni dolžini enaki, potem velja a >i (3 natanko takrat, ko obstajajo take besede 7, S, e in taki črki m, n, da velja a = jmS, (3 = jne in m >t n. 36 Naj bosta A in B poljubna ekvivalenčna razreda po relaciji ~ in naj bosta a oziroma (3 njuni najstarejši besedi. Definirajmo relacijo > s predpisom A > B ^^ a >t (3. Očitno vedno velja bodisi A > B bodisi B > A bodisi A = B. Naslednji izrek pripada Vinogradovu, [14]. Izrek 6 Vse leve in vse desne translacije na polgrupi Malceva so monotone glede na relacijo >. Dokaz : Naj bosta A in B poljubna elementa polgrupe Malceva. Naj bo a najstarejša beseda razreda A in naj bo (3 najstarejša beseda razreda B. Spomnimo se, da besedi a in (3 ne vsebujeta podnizov by, dy ali bv. Naj bo 7 najstarejša beseda razreda AB. Če produkt besed a in (3 ne vsebuje podniza by, dy ali bv, potem je 7 = a(3. V nasprotnem primeru je produkt a(3 elementarna transformiranka besede 7. Naj bodo A, B, C, D taki elementi polgrupe Malceva, da velja A > B. Radi bi dokazali, da velja tudi CA > CB in AD > BD. Če se dolžini razredov A in B razlikujeta, je trditev očitna. Če sta dolžini enaki, potem se po prejšnjem odstavku lahko omejimo na primer, ko so razredi A,B,C,D dolžine 1. Toraj moramo samo še preveriti, da so vrstice in stolpci v naslednji tabeli padajoči glede na relacijo >. (besede by, dy oziroma bv so nadomeščne z besedami ax, cx oziroma au. Mesta, kjer je bila elementarna transformacija izvršena so označena s klicajem.) y v X u a b C d y yy yv yx yu ya yb yc yd v vy vv vx vu va vb ve vd X xy XV XX xu xa xb xc xd u uy uv ux uu ua ub uc ud a ay av ax au aa ab ac ad b ax! au! bx bu ba bb bc bd C cy cv cx cu ca cb cc cd d cx! dv dx du da db de dd Q.E.D. 37 4.3 Domena Malceva Naj bo U = S/ ~ polgrupa Malceva. Namen tega razdelka je pokazati, da je celoštevilski polgrupni kolobar Z[U] domena. Pravimo ji domena Malceva. V nadaljevanju bomo večkrat uporabili naslednjo lastnost polgrupe Malceva. Naj bo 7 poljubna beseda, ki dopušča elementarno transformacijo na mestu (i,i + 1). Potem elementarna transformiranka besede 7 ne dopušča elementarne transformacije na mestih (i-l,i), (M + l) ali (z+ l,z+ 2). Lema 7 Naj bodo a1,a2, A,P2 take besede, da sta (3X in (32 iste dolžine in velja ax(3x ~ a2/32. Razcepimo ax = a'px in A = qi/3', kjer sta a',/3' besedi in pi.qi črki. Potem obstajata taki črki p2, q2, da velja a2 ~ a'p2, /32 ~ q2/3' in piqi ~ p2q2. Čepiqi^p2q2, potem piqi,p2q2 G {ax, by, cx,dy, au, bv}. Dokaz : Naj bo a2 = a"p[, (32 = q[p". Ker je ax(3x ~ a2(32, sledi a'piqip' ~ a'%^/3". Potem je bodisi «i ~ a2 in (3X ~ /32 bodisi a' ~ a" in /3' ~ /3" in pl9l ~ p'iq'v V prvem primeru vzamemo p2 = px in q2 = qx, v drugem pa p2 = Pi in q2 = q[. Q.E.D. Trditev 8 Naj bodo X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3 G U taki element, da velja XXYX = X2Y2 m XiY2 = X3Y3. Če imajo elementi XX,X2,X3 isto dolžino, potem velja bodisi Yx = Y2 bodisi Yx = Y3. Dokaz : Recimo, da obstajajo taki elementi X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3 G U, da so elementi XX,X2,X3 iste dolžine in velja X{YX = X2Y2, XXY2 = X3Y3, Yx ^ Y2 ter YX±Y3. Naj bodo 71,72,73 poljubne besede iz razredov XX,X2, X3 in 8l,82, 63 poljubne besede iz razredov Yu Y2, Y3. Naj bo 71 = i m in 8X = nS', kjer sta 7' in S' besedi in m, n črki. Če uporabimo lemo 7 z lx,i,m,l2,w! namesto ax,a',Pl,a2,p2 in z 51}5',n,52,n' namesto (3X, (3', qi,(32,q2, potem iz relacije XXYX = X2Y2 sledi, da obstajata taki črki m' in n', da velja 72 ~ -/'m', 52 ~ ra'č' in mn ~ m'n'. Če uporabimo lemo 7 z 71,7', m, 73,1? namesto «i, a',j?i, a2,p2 in z n'8',8',n',83,q namesto (3X, (3', qx,(32, q2, potem iz relacije XXY2 = X3Y3 in iz 62 ~ n'5' sledi, da obstajata taki črki p in q, da velja 73 ~ i p, 63 ~ qS'.in mn' ~ W. Ker je (n){8') = (či) = Fi ^ F2 = (č2) = {n'){8'), sledi n ^ n'. Če bi veljalo m = m', potem bi sledilo X1 = (7l) = (V)(m) = (V)(m') = (72) = X2. Iz X^ = X2y2 in iz lastnosti krajšanja, bi potem sledilo protislovje Y1 = Y2. Torej je m ^ m'. 38 Odtod sledi mn, m'ri, mri,pq G {ax, by, cx, dy, au, bv}. Ker je m ^ m', se n/ dvakrat pojavi na drugem mestu, zato je n' G {x, y}. Ker je n ^ n', se m dvakrat pojavi na prvem mestu, zato je m G {a, b}. Dokazali smo, da je mn' G {ax,by}. Če je mn' = ax, potem je mn = au in m'n' = cx, Če je mn' = by, potem je mn = bv in m'n' = dy. Oboje je v nasprotju s predpostavko mn ~ m'n'. Q.E.D. Izrek 9 Kolobar Z[U] je brez deliteljev niča. Dokaz : Recimo, da velja L k^ L l3Y3 = Eij HjXYj = 0. Ker so elementi različnih dolžin ne krajšajo med seboj, sledi, da je vsota najdaljših elementov med tistimi, ki nastopajo v Eij HjXYj enaka 0. Toda najdaljši sumandi iz J2ij HjX%Yj so produkti najdaljših sumandov iz L k^ in iz L l3Yj. Torej lahko predpostavimo, da so v vsoti L kiXi vsi elementi enake dolžine in v vsoti L l3Y3- prav tako. Naj bo torej LfciXiL/iyi = EijhljXYj = 0, kjer so vsi elementi Xt med seboj različni in enake dolžine. Naj bodo elementi Y3 med seboj različni in enake dolžine. Poleg tega naj bodo števila H, neničelna. Da bi element XYi v kombinaciji z enim ali več členi dal nič, morata obstajati taka indeksa i ^ 1 in j ^ 1, da velja XYi = XYj- Tu smo uporabili, da ima polgrupa Malceva lastnost krajšanja. Element XYj se razlikuje od elementa XX,YX. Da bi se pokrajšal z nekim drugim elementom, morata obstajati taka indeksa i' ^ 1 in f ^ j, da velja XXY3 = XVY3,. Spet smo uporabili lastnost krajšanja polgrupe Malceva. Po trditvi 8 odtod sledi bodisi Y1 = Y3 bodisi Yj = Y3>. Obe možnosti sta protislovni z izbiro indeksov j in f. Torej vsaj ena od vsot L kiXi, L l3Y3 ne vsebuje neničenlih sumandov. Q.E.D. Izrek 10 Domena Malceva se ne da vložiti v obseg. Dokaz : Če bi se dal kolobar Z[U] vložiti v obseg D. potem bi se polgrupa U dala vložiti v multiplikativno grupo obsega D. To je v nasprotju z izrekom 5. Q.E.D. Izrek 11 Na domeni Malceva obstajajo ciklični stožci vseh sodih eksponentov. Dokaz : Vsak element x G Z[C7] lahko enolično izrazimo kot x = Yfi=lkiXi, kjer je Xx > X2 > ... > Xr. Za poljubno sodo naravno število n definirajmo an{x) = sgn(fc1)e2^d(Xl)/n. Tuje sgn(fci) predznak števila h in d(Xx) dolžina besede Xx. 39 Naj bo y = J2sj=1 ljYj} kjer je Y1 > Y2 > ... > Yr. Iz izreka 6 sledi, da je X1Y1 > X%Yj za poljubna i = 1,..., r in j = 1,..., s, ki nista hkrati enaka 1. Odtod sledi, da je za vsak n preslikava an polgrupni homomorfizem. Če x,y e a~1(l), potem v vsakem od primerov X1 > Y1 Y1 > X1 in X1 = ^.očitno sledi, da x + y G ^(l). Torej je za vsak n preslikava an signatura eksponenta n. Q.E.D. 40 5. Presečni izreki za domene Presečni izrek izvira iz Artin-Schreierjeve teorije formalno realnih obsegov in je pomemben del rešitve sedemnajstega Hilbertovega problema. (glej [27], tretji razdelek tretjega poglavja). Zgodovino posplošitev presečnega izreka kaže naslednja tabela. eksponent 2 eksponent 2k sploˇsno komutativni obsegi E. Artin in O. Schreier, [15] E. Becker [16] E. Becker [17] obsegi T. Szele [21] T. Craven [23] V. Powers [24] domene R. E. Johnson, [22] V. Powers, [33] (za superorejeve) Domnevamo, da je poljuben zaprt stožec končnega eksponenta na poljubni domeni enak preseku vseh cikličnih stožcev, ki ga vsebujejo. Namen tega poglavja je dokazati to domnevo za stožce eksponenta n = 2k na poljubnih domenah in za poljubne stožce končnega eksponenta na Orejevih domenah ter poenostaviti obstoječ dokaz za obsege. 5.1 Zaprtje stožca Po lemi 2 iz četrtega poglavja je podmnožica P domene R stožec natanko tedaj, ko 0 ? P in ko je množica Px = P \ {0} predureditev na polgrupi Rx = R \ {0}, ki je zaprta za seštevanje. 41 Naj bo W zaprtje predureditve Px na polgrupi Rx. Množici P = {0}uF recimo zaprtje stožca P. Stožec P je zaprt, če je enak svojemu zaprtju, to velja natanko tedaj, ko je Px zaprta predureditev na polgrupi Rx. Vsi ciklični stožci in vsi stožci na obsegih so zaprti. Polemi 1 iz prvega poglavja velja P = {x G R; xPxC\P = 0} = {x G R; PxxC\P = 0}. Kot v izreku 2 iz prvega poglavja dokažemo, da je P zaprt stožec na domeni R. Očitno ima množica P permutacijsko lastnost natanko tedaj, ko jo ima tudi množica Px. Iz izreka 3 iz prvega poglavja sledi, da ima vsak zaprt stožec permutacijsko lastnost. Izrek 1 Naj bo R Orejeva domena m D njen obseg ulomkov. Preslikavi T -»• T(Tx)~l in T' -»• T' DR podajata bijektivno korespondenco med stožci na obsegu D in zaprtimi stožci na domeni R. Ta korespondenca ohranja mkluzije in slika ciklične stožce v ciklične stožce. Dokaz : Uporabimo izreka 8 in 9 iz razdelka 2.4 za Q = D \ {0} in S = S = R \ {0}, da dobimo bijektivno korspondenco med zaprtimi polgrupnimi predureditvami na S in polgrupnimi predureditvami na Q (te so vedno zaprte). Ta korespondenca spoštuje inkluzije, eksponent predureditve in lastnost cikličnosti. Naj bo sedaj T zaprt stožec eksponenta n na R. Potem je množica Tx = T\{0} zaprta polgrupna predureditev na S. Po izreku 8 iz razdelka 2.4 je množica Tx (Tx)"1 polgrupna predureditev na Q. Kot v dokazu izreka 3 v razdelku 2.2 sledi iz desne Orejeve lastnosti inkluzija (Tx)-lTx C TX(TX)"1. Obratna inkluzija sledi iz leve Orejeve lastnosti. Iz enakosti (T^"1^ = T^)"1 zlahka izpeljemo, da je množica T^)"1 zaprta za seštevanje. Odtod izpeljemo, da je množica T' = Tx(Tx)~l U {0} stožec na obsegu D. Če je T cikličen stožec na R, potem je Tx ciklična polgrupna predureditev na S. Po izreku 9 v 2.4 je množica Tx(Tx)~l ciklična polgrupna predureditev na Q. Torej je množica T' = Tx(Tx)~l U {0} cikličen stožec na obsegu D. Q.E.D. Odtod takoj sledi, daje presečni izrek za Orejeve domene posledica presečnega izreka za obsege.. 42 5.2 Preseˇcni izrek za eksponent n = 2k Naj bo R poljubna domena. Stožec Q C R je popo/n, če je zaprt in če za vsak element xeR,ki zadošča x2 G Q, velja xgQU-Q. Lema 2 Za poljuben zaprt stožec Q na kolobarju R in poljuben element x i Qx velja QDE(QxQ) = {0}. Dokaz : Naj bo Q poljuben zaprt stožec eksponenta n. Recimo, da obstaja tak element z G Q n E(QxQ), da velja z ^ 0. Odtod sledi, da x ^ 0. Po permutacijski lastnosti, je (Qx)n C Q, zato zrax = ^(z™-1^) G Q ¦ Z((Qx)n) C Q. Ker je Q zaprt in ker zn G Qx, dobimo x G Q, kar je v nasprotju z izbiro elementa z. Q.E.D. Lema 3 Naj bo Q poljuben zaprt stožec eksponenta n. Naj bo a G R tak element, da velja a2 CQ inai-Q. Potem je množica Q[a] := Q + S(QaQ) stožec. Dokaz : Ker je stožec Q zaprt, ima permutacijsko lastnost. Zato iz a2 G Q sledi, da aQa C Q. Množica Q[a] je zato zaprta za množenje. Očitno je množica Q[a] zaprta za seštevanje in vsebuje množico Un(D). Če je Q[a] n -Q[a] ^ {0}, potem obstajajo taki elementi q,q' G Q in z, z' G S(QaQ), da velja g + z = -q' - z' ^ 0. Odtod sledi po lemi 2, daje q + q' = -z-z' G QCiE(Q(-a)Q) = {0}, kar nam da protislovje q = q' = z = z' = 0. Torej je množica Q[a] stožec. Q.E.D. Izrek 4 KsaA; maksimalen stožec je popoln. Dokaz : Naj bo Q poljuben maksimalen stožec. Ker je Q stožec, ki vsebuje Q, velja Q = Q. Naj bo a G i? tak element, da a2 G Q in a ^ -Q. Po lemi 3 je množica Q + S(QaQ) stožec, ki vsebuje Q. Odtod sledi, da je a G S(QaQ) C Q. Torej je stožec Q popoln. Q.E.D. Izrek 5 Vsak popoln stožec, katerega strogi eksponent je potenca števila 2, je cikličen. Dokaz : Naj bo P popoln stožec strogega eksponenta n = 2k. Zaradi permutacijske lastnosti obstaja tak element a G i?, da velja a2"'1 i P. Ker je stožec P popoln, je -a2*-1 G P Prvi korak : Za vsak element xeR obstaja tako naravno število l, da velja xal G P. 43 Naj bo ko najmanjše naravno število, ki zadošča x2k° G P. Če je k0 = 0, potem x G P in lahko vzamemo / = 0. Če je k 0 > 0, potem je -x2"0'1 G P. Odtod sledi a2*-V0-1 G P. Zaradi permutacijske lastnosti odtod sledi (a2"0x)2"0'1 G P. Naj bo kx najmanjše naravno število, ki zadošča (a2k~k°x)2kl G P. Očitno je kx < kQ. Če je kx = 0, potem lahko vzamemo / = 2k~ko. Če je h > 0, potem je -{a2"'"0x)2"1'1 G P. Odtod sledi a2k-\a2k-kox)2k^ G P. Zaradi permutacijske lastnosti odtod sledi (a^V^x)2^1 G P. Naj bo fc2 najmanjše število, za katerega velja (a2"'"1 a2"'"0x)2"2 G P. Če je fc2 = 0, potem lahko vzamemo / = 2fc"fcl + 2k~k°. Če k 2 ^ 0, potem s ponavljanjem gornjega postopka konstruiramo naravna števila k3 > ... > h = 0, kjer je i < k. Potem lahko vzamemo / = 2fc"fc* + ... + 2k~k^ + 2k~k°. Drugi korak : Če je x G R\ {0}, xal G P m xam G P, potem eksponent n deli število l — m. Brez škode lahko predpostavimo, da je m > L Ker je xal G P in {xal)am~l G P in ker je stožec P zaprt, je am~l G P. Odtod sledi n = 2k\m - l. Prvi in drugi korak nam omogočata, da definiramo preslikavo (p : R -> Zra s predpisom 0(x) = 0, če x = 0 in (j)(x) = e2m'\ če z ^ 0 in M' G P. 7te#z L;oraL; : Preslikava (f) je polgrupni homomorfizem m Px = 0_1(1). Vzemimo poljubna elementa x,y G P. Če je vsaj eden od njiju enak nič, potem je trditev očitna. Če sta oba neničelna, potem obstajata taki naravni števili / in m, da velja xal G P in yam G P. Odtod sledi xalyam G P. Iz permutacijske lastnosti dobimo xyai+m G Pj torej je ^ res poigrupni homomorfizem. Zadnje trditev je posledica zaprtosti stožca P. Q.E.D. Izrek 6 Vsak zaprt stožec, katerega strogi eksponent je potenca števila 2, je enak preseku vseh cikličnih stožcev, ki ga vsebujejo. Dokaz : Naj bo T poljuben zaprt stožec eksponenta 2k in naj bo / presek vseh cikličnih stožcev, ki ga vsebujejo. Očitno je T C L Če I 1, potem a2r~ls G -P. Po točki 1 izreka 14 iz 46 razdelka 3.4 je a2^ = (a2r~2s)2 G Arch(P). Po točki 3 izreka 14 iz razdelka 3.4 je I(P) reduciran ideal v A(P). Torej iz a2^1s G Arch(P) n -P C I(P) sledi, da a G I(P). Inkluzija (A(P) n P) U I(P) C A(P) n Arch(P) v drugi točki je očitna. Za dokaz nasprotne inkluzije vzemimo poljuben element a G A(P), ki pripada množici Arch(P) \P. Vzemimo poljuben k G IN. Ker je 2ka - 1 L Arch(P), sledi po prvi točki, da 1 - 2ka e Arch(P), torej je 2(1 - ha) = 1 + (1 - 2ka) G 1 + Arch(P) C P. Ker je fc poljuben, je -a G Arch(P). Torej je res a G I(P). Tretja točka sledi iz prvih dveh. Q.E.D. Naslednji izrek je iz [17], izrek 2.2. Izrek 10 Naj bo P popoln stožec na komutativnem obsegu K. Potem je množica A(P) valuacijski kolobar v K. Dokaz : Naj bo n poljuben eksponent stožca P. Prvi korak : A(P) je lokalen kolobar in I(P) je njegov maksimalen ideal. Zadošča dokazati, da je poljuben element a G A(P) \ P obrnljiv v A(P). Naj bo a i I(P) poljuben element. Naj bo b = an. Ker je I(P) reduciran ideal, je b i I(P). Obstaja torej tak m G IN, da m -b i P. Odtod sledi, da m -b i Arch(P). Po točki 1 leme 9 mora biti b - m G Arch(P). Po definiciji množice Arch(P) sledi b-m = (b-m) + meP odtod pa b G P in 6 + m G P. Po množenju z 4m6"1 dobimo 4m ± 6"1 G P, kar po definiciji pomeni, da b~l G Arch(P). Odtod sledi, daje element a obrnljiv v A(P). Drugi korak : Za vsak element ae P velja bodisi a G A(P) bodisi a~l G A(P). Ker velja l-i^ = i^ePinl-T^ = T^GP, sledi ^, ^ G A(P). Ker je njuna vsota 1 ne moreta biti elementa ^ in ^ oba v I(P), Ker je A(P) lokalen kolobar, je vsaj eden od njiju obrnljiv. Če je ^ obrnljiv, sledi a G A(P). Če je a obrnljiv, sledi a~l G A(P). Tretji korak : Kolobar A(P) je celostno zaprt v K. Ideal I(P) kolobarja A(P) je vsebovan v maksimalnem idealu M celostnega zaprtja B = A(P). Recimo, da obstaja tak element a G B, da an i A(P). Po drugem koraku odtod sledi, da a~n G A(P). Ker je A(P) lokalen kolobar, sledi a~n G I(P) C M. Ker je M ideal v B in an G P, dobimo protislovje 1 G M. Torej za vsak element ae B velja an G A(P). Odtod sledi, da velja a = ± EiC-l)n"i"1n!1)^ + «)n - in) G A(P) za vsak element aeB. 47 Četrti korak : A(P) je valuacijski kolobar v K. Vzemimo poljuben element a G K. Po drugem koraku je bodisi an G A(P), bodisi a~n G A(P). Po tretjem koraku odtod sledi, da je bodisi a G A(P) bodisi a~l G A(P). Q.E.D. Naslednji izrek je iz [45], trditev 2.5. Izrek 11 Naj bo P popoln stožec na obsegu D. Potem je množica A(P) valuacijski kolobar vD. Dokaz : Naj bo P popoln stožec na na obsegu D. Vzemimo poljuben element d G P. Obseg Q(d) je komutativen in vsebuje podkolobar A(P) n Q(d) = A(P n Q(d)). Toda PnQ(d) je popoln stožec na Q(d). Po izreku 10 je A(PnQ(d)) valuacijski kolobar v Q(d). Odtod sledi, da je bodisi d G A(P n Q(d)) C A(P) bodisi d"1 G A(P n Q(d)) C A(P). Torej je A(P) res valuacijski kolobar v D. Q.E.D. Dokaz izreka 12 je podoben dokazu leme 4.1 v [18]. Izrek 12 Naj 6o P popo/n stožec na obsegu D m U poljubna podpolgrupa grupe Dx, M vsebuje Px in ne vsebuje -1. Potem je U zaprta za seštevanje. Dokaz : Ker je n„(Px) C Px C U, velja za vsak element m G P, da u~l = un-\U-l)n G U -U C P. Torej je P podgrupa grupe Px. Iz -1 L P sledi P n -P = 0. Vzemimo poljubna elementa x,yeU. Ker je množica A(P) valuacijski kolobar v P z maksimalnim idealom I(P), velja bodisi x~ly G I(P) bodisi y~lx G A(P). Po prvi točki leme 9 je A(P) C P U -P U I(P). Če je x~ly G I(P), potem je x + y = x(l + x~ly) E U ¦ Px C [/. Če je y"^ G I(P), potem je x + y = y(l + y-1^) G P. Če je y~lx G Px, potem je x = yp za nek p G Px, torej je x + y = yp + y = y(p + 1) G P. Če je y~lx G -Px, potem je x = -yp za nek pePx, torej je presek P n -P neprazen, kar je protislovje. Q.E.D. Naslednji izrek sledi iz posledice 16 v prvem poglavju in iz izreka 12. Izrek 13 Poljuben popoln stožec na poljubnem obsegu je enak preseku vseh cikličnih stožcev, ki ga vsebujejo. Iz izrekov 8 in 13 sledi presečni izrek za obsege. 48 6. Positivstellensatz Nullstellensatz za kolobar realnih polinomov pripada Duboisu in Rieslerju. V Prestelovem dokazu Nullstellensatza nastopa Positivstellensatz kot pomoˇzna lema, glej izrek 3.3 in lemo 3.4 v [27]. Dve smeri posploˇsevanja Positivstellensatza opisuje naslednja tabela. eksponent 2 eksponent 2k sploˇsno komutativni kolobarji G. Stengle [28] E. Becker in D. Gondard, [29] R. Berr [30] asociativni kolobarji K.H. Leung, M. Marshall, in Y. Zhang, [32] Namen tega poglavja je dokazati Positivstellensatz za ureditve eksponenta n = 2k na poljubnih asociativnih kolobarjih in za ureditve poljubnega eksponenta na Noetherskih kolobarjih. 6.1 Predureditve in ureditve na kolobarjih Naj bo R poljuben asociativen kolobar z enico in n poljubno naravno število. Kot pri polgrupah označimo Un(R) = {r G R; obstaja tako naravno število k G IN in taki elementi n,...,rkeR, da je r produkt n kopij elementa r1} ...,n kopij elementa rk}. Na primer za poljubna elementa x,y G R velja xyxy G U2(R). Ker bo kolobar R v nadaljevanju fiksen bomo pisali kar Un namesto Un(R). Označimo z En množico, ki je aditivno generirana z množico Un. 49 Predstožec T imenujemo predureditev, če obstaja tako naravno število n, da velja nn C T. To število imenujemo eksponent predureditve T. Na kolobarju R obstaja kaka predureditev eksponenta n natanko tedaj, ko -1 L En. Eksponent predureditve ni enolično določen, kajti vsak večkratnik vsakega ekponenta je tudi eksponent. Vsak eksponent je sodo število. Najmanjšemu eksponentu dane predureditve T pravimo strogi eksponent predureditve T. Polovici strogega eksponenta pravimo red predureditve T. Spomnimo se, da je predureditev T izolirana, če je T = Te in usmerjena, če je T - T = R. Lema 1 Vsaka izolirana predureditev je usmerjena. Dokaz : Naj bo T izolirana predureditev eksponenta n na kolobarju R. Znano je, da za vsak element r G R velja identiteta n\r = E^-1)n"i"1n"1)^ + i)n ~ in)- Za vsak element r eR obstajata torej taka elementa s, t G Ln C T, da velja n!r = s - t. Odtod sledi ra!(r + t) = s + (n! - l)t G T. Ker je predureditev T izolirana, je r + t G T. To nam da r = (r + t) - t G T - T. Torej je res i? = T - T. Q.E.D. Torej je nosilec vsake izolirane predureditve pravi dvostranski ideal v kolobarju R. Za vsako predureditev T eksponenta n je množica Te usmerjena predureditev eksponenta n. Naj bo 11 množica vseh kompleksnih števil z dolžino 1. Lema 2 Za vsak polgrupni homomorfizem (f): R ^ /i U {0} sta ekvivalentni trditvi: 1. Velja fi U {0} polgrupni homomorfizem in naj bo množica P := ^({0,1}) predstožec. Dokažimo najprej, daje 0(1) = 1. Iz 0(1)2 = 0(12) = 0(1) sledi bodisi 0(1) = 0 ali 0(1) = 1. V prvem primeru bi za vsak xeR veljalo {x) = (p(x ¦ 1) = 0(x)0(l) = 0, kar je v nasprotju s predpostavko -1 (-l) = -1. Iz 0(-l)2 = 0((-l)2) = 0(1) = 1 sledi bodisi {-\) = -1 bodisi {-\) = 1. Druga možnost je v nasprotju s predpostavko -1 L P. Torej iz 2. res sledi 1. Q.E.D. Polgrupni homomorfizem 0 : i? -> /iU{0} je signatura, če je množica ^({O,1}) pred-stožec. Predstožec P je czMčen, če obstaja tak polgrupni homomorfizem (<=> signatura) (p : R -> ^ U {0}, da velja P = ^({Cl}). Nosilec cikličnega predstožca je popoln praideal. Lema 3 Za poljubno signaturo (f) na kolobarju R in za poljubno naravno število n sta ekvivalentni trditvi. 1. n + 1, lahko izberemo poljubne elemente cn,..., c2n_i G T. Ker je J ideal, je z'Clz'c2 ¦ ¦ ¦ z'c2n_xz' G J. Po n-kratni uporabi prvega koraka vidimo, da z' G J. To nam da protislovje -ucv = mxcv + z' e-UC\S = 0. Tretji korak : Za vsak element a G R iz a2 G J sledi ae J. Ker je po drugem koraku S U-S = R, lahko predpostavimo, da a G 5. Vzemimo poljuben element x eT. Velja ax G S, xa G 5, (ax)ra G T in (xa)n G T. Ločimo dve 52 možnosti. Če ax - xa G S, potem {xa)n{ax - xa) G S. Toda (xa)nax G Ra2R C J in (xa)ra+1 G T- 5 C 5, kar nam da (xa)n+l G J. Če xa-axe S, potem (xa-ax)(ax)ra G J. Toda xa(a:r)ra G Ra2R C J in (ax)ra+1 G 5. Podobno kot zgoraj dobimo (ax)n+l G J. Ker je J ideal in ker 2n > n + 1, dobimo v obeh primerih (ax)2™"1« G J Vzemimo sedaj poljubne elemente cu ..., c2n-i G T. Po prejšnjem odstavku je E acn^¦ ¦ ¦ cnn_,a = (a(Cl + ... + c^-^^a G J. l 2n in ker je J ideal, je bodisi a2" G J bodisi b2" G J. Če n-krat uporabimo tretji korak, vidimo, da bodisi aeJ bodisi be J. Q.E.D. V nadaljevanju bomo potrebovali tole posledico osnovnega izreka: Izrek 5 Naj bo T poljubna predureditev eksponenta n in naj bo U tak Tln-sistem, da velja -U n T = 0. Potem obstaja taka predureditev T', da velja T C T', -U D T' = 0 in T' n -T' je popoln praideal. Dokaz : Ker je množica T modul nad krepko predureditvijo Era, obstaja po Zornovi lemi tak modul S nad predureditvijo Era, ki vsebuje T in ki je maksimalen glede na relacijo -UnS = $. Naj bo J = S n -S. Po izreku 4 je množica J popoln praideal. Naj bo T' = T + J. Očitno velja IIra C T C T', T' + T' C T' in T ¦ T C T'. Velja -C/ n T' C -[/ n S = 0. Ker 1 G C/, odtod sledi, da je T' predureditev. Ker je jCT'r\-T CSn-S=J, velja tudi -T' nT' = J. Q.E.D. Pravimo, da je predureditev T praidealska, če je njen nosilec praideal. Praidealom, ki so nosilci kake preureditve pravimo realni praideali. Izrek 6 pove, da je vsak realen praideal popoln. 53 Izrek 6 Naj bo T poljubna predureditev eksponenta n in J := Tn-T njen nosilec. Potem so ekvivalentne trditve: 1. J je popoln praideal. 2. J je praideal. 3. Cˇea,beR in aUnb G J, potem bodisi ae J, bodisi be J. Dokaz : Iz točke 1. očitno sledi 2. Naj velja točka 2. in naj bosta a,b G R taka elementa, da velja aUnb C J. Ker je n\R C Sra - Era, sledi n\{aRb) C a(Sra - L„)& C J. Ker je J ideal, velja {n\)RaRb C J. Če n! G J, potem -1 = -n\ + (n! - 1) G J + T C T, kar je v nasprotju s predpostavko, da je T predureditev. Ker je J praideal in n! L J, velja bodisi a G J bodisi be J. Torej velja točka 3. Naj velja točka 3. Očitno odtod sledi, da je Je = J. Po lemi 1 je množica J = Je = Te n -Te popoln praideal. Množica U = Un \ J je n„-sistem. Ker velja -U D T = 0, obstaja po izreku 5 taka predureditev T', da velja T C T', -U n T' = 0 in J' = T' n -T' je popoln praideal. Očitno velja TC\Un = TT\Un in zato tudi JC\Un = JT\Un. Vzemimo sedaj poljuben element x G J'. Potem (x^)™"^ C J' n n„ = J n Un C J. Po lastnosti iz točke 3. odtod sledi xeJ. Dokazali smo J' C J. Obratna inkluzija je očitna. Torej je množica J popoln praideal. Q.E.D. Vsaki praidealski predureditvi priredimo njeno zaprtje T := {r G i? ; rT+ n T ^ 0}. Praidealska predureditev je zaprta, če je enaka svojemu zaprtju. Če lemo 1 iz razdelka 1.1 uporabimo na polgrupi S = R\T°, vidimo, da velja T := {r e R ; T+r n T ^ 0}. Vsaka ciklična predureditev je praidealska in zaprta. Izrek 7 Naj bo T praidealska predureditev z nosilcem J. Potem je mnoˇzica T zaprta praidealska predureditev z nosilcem J, ki ima permutacijsko lastnost. Predureditev T je eksponenta n natanko takrat, ko vsebuje vse n-te potence elementov kolobarja R. Dokaz : Uporabi izreke 2 in 3 ter lemo 4 iz razdelka 1.1 na polgrupi S = R\J. Q.E.D. 54 6.3 Predureditve na faktorskih kolobarjih Izrek 8 opisuje kako se vedejo predstožci pri prehodu na faktorski kolobar. Trditev 8 Naj bo H poljuben usmerjen stožec na kolobarju R in naj bo vr : R -»• R/H° naravni epimorfizem. Slika in praslika preslikave vr podajata bijektivno korespondenco med množico MH = {P; P je predstožec na R, H C P m P° = H0} in množico MH = {Q; Q je predstožec na R, n(H) C Q m Q° = {0}}. Dokaz : Naj bo P G MH poljuben element in naj bo P' = vr(P). Trdimo, da P' G MH-Očitno je množica P' podpolkolobar, ki vsebuje množico ir(H). Če -1 G P', potem obstaja tak element p G P, da velja -1 = vr(p), Odtod sledi vr(l + p) = 0, se pravi, da 1 +p G H° C -P, kar je v nasprotju s privzetkom -1 L P. Dokažimo še, da je P' n -P' = {0}. Če x G P' n -P', potem obstajata taka elementa pi,p2 G P, da je x = tt(pi) = vr(-p2)- Odtod sledi vr(pi +p2) = 0, torej Pl +p2 e H° C -P. Odtod dobimo Pi,P2 e P° = H0, se pravi x = 0. Naj bo P' G A/"H poljuben element in naj bo P = vr"1^'). Trdimo, da P G MH-Očitno je množica P predstožec. Velja tudi H C Tr"1^^)) C vr"1^') = P in Pn -P = 7T-\P>) H TT-^-P') = TT-^P' n -P') = TT-^O) = H0- Pokazati moramo še, da za poljuben element P' G JVH velja ^(Tr-^PO) = P' in da za poljuben element P G AiH velja n-l(n(P)) = P. Prva trditev sledi iz surjektivnosti preslikave vr. Drugo trditev dokažemo takole. Če z G n-l(n(P)), potem vr(z) G vr(P). Torej obstaja tak element p G P, da velja ir(z) = vr(p). Odtod sledi z-peH° CP, torej z G P. Obratna inkluzija je očitna. Q.E.D. Bijektivna korespondenca iz izreka 8 ohranja vse lastnosti predstožcev, ki so za nas zanimive. Izrek 9 Naj bo R asociativen kolobar, J njegov realen praideal, in (f): R -»• R/J naravni epimorfizem. Potem slika in praslika preslikave (f) podajata bijektivno korespondenco med stožci eksponenta n na kolobarju R/J in predureditvami eksponenta n na R z nosilcem J. Pri tej korespondenci preidejo zaprte predureditve v zaprte stožce in ciklične predureditve v ciklične stožce. 55 Dokaz : Za poljuben element z eR velja (z) G Un(R/J) natanko tedaj, ko obstajajo taki elementi n,..., rk G R, da velja (f)(z) G iT^nf • • • (f)(rk)n) = 0(lT(r? ¦ ¦ ¦ rt)). To pa velja natanko tedaj, ko (f)(z) G (f)(Tln(R)). Odtod sledi, da je 0(11»(i?)) = n„(i?/J). Očitno je Un(R) C ^(n^E/J)). Prva trditev v izreku sledi sedaj iz izreka 8. Naj bo T zaprt stožec na i? z nosilcem J. Trdimo, da je stožec {T) zaprt. Vzemimo poljuben element (f)(z) G 0(T). Odtod sledi, da je 0(z)(0(T))+ n 0(T) ^ 0. Očitno je (0(T))+ = 0(T+). Odtod sledi, da 0(zT+) seka 0(T), torej zT+ seka {T)) = T. Ker je stožec T zaprt, sledi zeT, odtod pa 0(z) G -l{T'). Odtod sledi, daje z(0"1(T/))+n ^-^T') ^ 0. Očitno je (4>-\T>))+ = 4>-\(T>)+). Odtod sledi, da {z){T')+ seka T'. Ker je predureditev T' zaprta, sledi {z) G T', odtod pa z G -l{T'). Naj bo P poljubna ureditev na i? z nosilcem J in naj bo a pripadajoča signatura. Očitno velja a~l(0) = J, torej a inducira polgrupni homomorfizem r : i?/J -> ^ U {0}. Ker je 0 surjektivna, velja 0(P) = ^({0,1}). Torej je <\>{P) cikličen stožec na R/J. Naj bo P' poljubna predureditev na R/J z nosilcem {0} in naj bo r pripadajoča signatura. Potem velja ^(F) = ^(^({O,1}) = (r o ^({0,1}). Torej je ^(F) ureditev na R. Q.E.D. Pravimo da ima zaprta praidealska predureditev z nosilcem J presečno lastnost, če je enaka preseku vseh cikličnih predureditev z nosilcem J, ki jo vsebujejo. Pravimo, da ima kolobar R presečno lastnost eksponenta n, če -1 L Era(i?) in če ima vsaka zaprta praidealska predureditev na R eksponenta n presečno lastnost. Izrek 10 Naj bo R poljuben asociativen kolobar in n poljubna potenca števila 2. Potem ima R presečno lastnost eksponenta n natanko tedaj, ko -1 i En(R). Dokaz : Sledi iz izreka 6 v petem poglavju in iz izreka 9. Q.E.D. Izrek 11 Naj bo R poljuben Noetherski kolobar in n poljubno sodo število. Potem ima R presečno lastnost eksponenta n natanko tedaj, ko -1 i En(R). Dokaz : Sledi iz presečnega izreka za Orejeve domene, izreka 9 in dejstva, da je vsaka Noetherska domena Orejeva. Q.E.D. 56 6.4 Nullstellensatz in Positivstellensatz V tem razdelku predpostavljamo, da ima kolobar R presečno lastnost eksponenta n. Izrek 12 Za poljubno predureditev T eksponenta n in poljubna x,y G R sta ekvivalentni: 1. Za poljubno ureditev P, ki vsebuje T, velja sklep: če x i P+, potem y G P°. 2. Obstaja tako nenegativno celo število k, da velja -ynk eT- ^(UnxUn). Dokaz : Dokažimo najprej, da iz 1. sledi 2. Naj bo U = {ynk;k > 0} in M = T -S(nraxnra). Množica U je multiplikativna in je zato IIra-sistem. Množica M je modul nad krepko predureditvijo Era. Če točka 2. ne drži, potem je -U n M = 0. Po Zornovi lemi obstaja tak modul S nad Era, ki vsebuje množico M in ki je maksimalen glede na lastnost -UnS = $. Po osnovnem izreku je množica J = S n -S popoln praideal in po izreku 5 je množica T' := T + J praidealska predureditev z nosilcem J. Ker je J n -U = 0 in yn G U, sledi, da -yn i J in zato y i J. Če točka 1. drži, potem iz y L J sledi, da je x G P+ za vsako ureditev P, ki vsebuje T in ima nosilec J. Odtod sledi, da x G P za vsako ureditev P, ki vsebuje zaprto predureditev T in ima nosilec J. Ker ima kolobar R presečno lastnost reda n, odtod sledi, daxef. Ker x i J, obstajata taka elementa s, t G (T')+, da velja sx = t. Velja s^H e V C S in -s""1* = -snx e M C S. Odtod sledi s""1* G J, kar je v nasprotju s tem, da je J popoln praideal in s,t & J. Predpostavimo sedaj, da drži točka 2. Vzemimo tako nenegativno celo število k, da velja -ynk G T-E(UnxUn). Potem obstaja tak element t G T, daje ynk + t G E(nra:rIIra). Vzemimo poljubno ureditev P, ki vsebuje T, in naj bo a pripadajoča signatura. Očitno a(ynk + t) G {0,1} in a(E(UnxUn)) C {0.a(x)}. Če z L P+, potem a(x) ^ 1. Odtod sledi, da je a(yrafc + t) = 0. Odtod dobimo a(ynk) = a (t) = 0. torej res y G P°. Točka 1. je s tem dokazana. Q.E.D. Posledica 13 (Nullstellensatz) . Za pojuben element a G R in poljubno predureditev T eksponenta n sta ekvivalentni trditvi: 1. ae P° za poljubno ureditev P, ki vsebuje T. 2. Obstaja tako nenegativno celo število k, da velja -ank G T. 57 Dokaz : Uporabimo izrek 12 z x = 0 in y = a. Q.E.D. Posledica 14 (šibki Positivstellensatz) Za poljuben element a G R in poljubno pre-dureditev T eksponenta n sta ekvivalentni trditvi: 1. ae P za poljubno ureditev P, ki vsebuje T. 2. Obstaja tako nenegativno celo ˇstevilo k, da velja -ank eT - L(IIraaIIra). Dokaz : Uporabimo izrek 12 z x = a in y = a. Q.E.D. Posledica 15 (strogi Positivstellensatz) Za poljuben element a G R in poljubno pre-dureditev T eksponenta n sta ekvivalentni trditvi: 1. ae P+ za poljubno ureditev P, ki vsebuje T. 2. Velja-leT-E(UnaUn). Dokaz : Uporabimo izrek 12zx = amy=l. Q.E.D. Posledica 16 Naj bosta a in b poljubna elementa kolobarja R in T predureditev eksponenta n. Potem so ekvivalentne trditve: 1. a {a) = a{b) za vsako signaturo o G SigT{R). 2. Obstajata tako nenegativno celo ˇstevilo k in tak i = 1,... ,n - 1, da velja -(an + bn)nk eT- E(Tlna*bn-mn). 3. Za vsako ˇstevilo i= 1,... ,n - 1 obstaja tako nenegativno celo ˇstevilo ki, da velja -(an + bn)nki eT- E(UnaW-mn) za vsak i = l,...,n-l. Dokaz : Implikaciji 2. => 1. in 1. => 3. sledita iz izreka 12, če vzamemo x = aibn~i in y = an + bn. Implikacija 3. => 2. je očitna. Q.E.D. 58 7. Spektralni prostori Teorija spektralnih prostorov je splošno znana, vendar redko zaide v učbenike. Namen tega poglavja je olajšati branje zadnjih dveh poglavij. Rezultati so iz [1], [35] in [36]. 7.1 Predspektralni prostori Topološki prostor X se imenuje predspektralen prostor, če izpolnjuje naslednje lastnosti: 1. je kompakten in T0, 2. presek poljubnih dveh kompaktnih odprtih množic je kompaktna množica, 3. kompaktne odprte množice tvorijo bazo topologije, Odtod sledi, da so kompaktne odprte množice zaprte za končne preseke in končne unije. Končnim presekom kompaktnih odprtih množic in njihovih komplementov pravimo bazične konstruktibilne množice. Končnim unijam bazičnih konstruktibilnih množic bomo rekli konstruktibilne množice. Končni preseki, končne unije in komplementi konstruktibilnih množic so spet konstruktibilne množice. Družina poljubnih unij bazičnih konstruktibilnih množic zadošča aksiomom za odprte množice topološkega prostora. Tej topologiji pravimo konstruktibilna topologija, množico X opremljeno s to novo topologijo pa označimo s Xcm. Konstruktibilna topologija je očitno Hausdorfova in popolnoma nepovezana. Konstruktibilne množice so v tej topologiji odprte in zaprte. Množica, ki se ne da izraziti kot unija dveh nepraznih zaprtih podmnožic, se imenuje nerazcepna množica. Točka y G X se imenuje generična točka podmnožice Y C X, če 59 velja Y = {y}. Zaradi lastnosti T0 nobena množica ne more imeti več kot ene generične točke. Izrek 1 Če je X predspektralen prostor. Potem sta ekvivalentni trditvi: 1. konstruktibilna topologija je kompaktna, 2. Poljubna nerazcepna zaprta množica v X ima generično točko. Dokaz : ([35], Proposition 4.) Najprej dokažimo, da iz 1. sledi 2. Naj bo Y poljubna zaprta nerazcepna množica. Označimo z M družino vseh kompaktnih odprtih množic, ki sekajo Y. Ker je Y nerazcepna, je družina M zaprta za končne preseke. Ker so elementi družine M zaprti v konstruktibilni topologiji in ker je množica Y kompaktna v konstruktibilni topologiji, je presek f]MC\Y neprazen. Naj bo y poljubna točka iz tega preseka. Ker je Y zaprte velja {y} C Y. Naj bo sedaj z G Y poljubna točka. Vsaka kompaktna odprta množica, ki vsebuje z, seka Y in zato vsebuje točko y. Po definiciji zaprtja odtod sledi, da je z G {y}, torej velja Fcg Naj sedaj velja točka 2. Naj bo J poljubna družina, ki sestoji iz zaprtih in kompaktnih odprtih množic in ki ima neprazne končne preseke. Če dokažemo, da ima družina J neprazen presek, potem točka 1. sledi iz leme Aleksandrova. Lemo Aleksandrova namreč lahko formuliramo takole: topološki prostor je kompakten natanko tedaj, ko ima vsaka družina. ki sestoji iz komplementov podbazičnih množic in ki ima neprazne končne preseke, tudi sama neprazen presek. Podbaza konstruktibilne topologije, ki jo imamo v mislih, sestoji iz odprtih množic in komplementov kompaktnih odprtih množic. Brez škode za splošnost lahko predpostavimo, da je družina J maksimalna glede na inkluzijo. Naj bo Z presek vseh zaprtih množic iz J. Naj bodo Z1...,Zk poljubne zaprte množice iz J in U1 ..., Ut poljubne odprte kompaktne množice iz J. Množica U:=U1C\...nUije neprazna. Ker je prostor X predspektralen, je U kompaktna. Odtod sledi, da je množica ZnU neprazna. Torej je tudi množica Z D Z1 n... H Zk n U1 n... H Ui = ZDU neprazna. S tem smo dokazali, da ima družina J U {Z} neprazne končne preseke, Sledi Z ej. Dokažimo sedaj, da je množica Z nerazcepna. Če bi veljalo Z = Z1 U Z2, kjer sta Z1 in Z2 neprazni zaprti množici, potem Z1 in Z2 nista v družini J, saj je Z najmanjša zaprta množica iz te družine. Odtod sledi, da družini Ji) {Z1} in Ji) {Z2} nimata vseh končnih 60 presekov nepraznih. Torej obstajajo take odprte množice Uu... ,Uk,Vu... ,Vt e J, da velja Zi H E/i H ... H t/* = 0 in Z2 H Vi H ... H VJ = 0. Odtod sledi, da je (Zx U Z2) n^n ... n Uk n Vi n ... n Vk = 0, kar nasprotuje dejstvu, da Z G J. Naj bo x generična točka zaprte nerazcepne množice Z. Ker vsaka odprta množica iz J seka množico Z ={x} mora vsebovati x. Torej x G D J- Q.E.D. 7.2 Spektralni prostori Predspektralen prostor, ki zadošča eni od ekvivalentnih lastnosti v izreku 1. imenujemo spektralen prostor. Množica, ki je odprta in zaprta v konstruktibilni topologiji spektralnega prostora, je konstruktibilna. Obrat te trditve velja celo v predspektralnih prostorih. Podmnožica spektralnega prostora X je zaprta v konstruktibilni topologiji natanko tedaj, ko je enaka preseku kake družine konstruktibilnih množic. Takim množicam pravimo prokonstruktibilne množice. Poljubno pokritje poljubne prokonstruktibilne množice s konstruktibilnimi množicami ima kako končno podpokritje. Trditev 2 Če je S prokonstruktibilna množica kakega spektralnega prostora, potem je Š = U W- Še več, obstajajo take točke x1}... ,xk G S, da velja Š = {xj U ... U {xj. Dokaz : Ker je {{x}; x G S} pokritje prokonstruktibilne množice S s konstruktibilnimi množicami, obstaja končno podpokritje S C {^} U ... U {xj. Odtod sledi Š = {xj U ...\J{xk}. Q.E.D. Naj bosta x in y poljubni točki poljubnega spektralnega prostora. Če velja y G {x}, potem pišemo x < y in pravimo, da točka y specializira točko x, oziroma, da točka x genenzira točko y. Trditev 3 Za poljubno točko poljubnega spektralnega prostora obstaja vsaj ena zaprta točka, ki jo specializira. Dokaz : Očitno je dana točka zaprta natanko takrat, ko je maksimalna glede na specializacijo <. Naj bo (xi)ieI poljubno naraščajoče zaporedje točk, ki specializirajo dano točko x. Potem je zaporedje množic ({^})iej padajoče. Ker je spektralni prostor kompakten, ima to zaporedje neprazen presek. Vsak element tega preseka je gornja meja zaporedja 61 (xi)iei. Po Zornovi lemi obstaja taka točka, ki specializira x in ki je maksimalna glede na specializacijo. Q.E.D. Sledita karakterizaciji normalnih in popolnoma normalnih spektralnih prostorov. Izrek 4 Za vsak spektralen prostor X so ekvivalentne naslednje trditve: 1. Za vsako točko prostora X obstaja natanko ena zaprta točka, ki jo specializira. 2. Poljubni dve zaprti točki imata disjunktni okolici. 3. X je normalen topoloski prostor. Dokaz : Očitno iz 3. sledi 2. Obrat je posledica trditve 2. Dokažimo sedaj ekvivalenco točk 1. in 2. Zaradi trditve 3 lahko v točki 1. besedo natanko nadomestimo z besedo kvečjemu. Če točka 1. ne drži, potem obstaja taka točka z in taki zaprti točki x in y, da velja z < x, z < y in x ^ y. Poljubni disjunktni okolici točk x in y vsebujeta točko z, zato imata neprazen presek. Torej tudi točka 2. ne drži. Če točka 2. ne drži, potem obstajata taki zaprti točki x ^ y, da poljubna kompaktna odprta okolica točke x seka poljubno kompaktno odprto okolico točke y. Naj bo M družina vseh takih presekov. Iz druge lastnosti predspektralnih prostorov sledi, da ima družina M neprazne končne preseke in da so njeni elementi kompaktne odprte množice. Ker je prostor X kompakten v konstruktibilni topologiji, elementi družine M pa zaprti v konstruktibilni topologiji, ima družina M neprazen presek. Poljubna točka iz preseka ima dve različni zaprti specializaciji x in y. Torej točka 1. ne drži. Q.E.D. Množico zaprtih točk spektralnega prostora X označimo z Max(X). Če je prostor X normalen, potem obstaja naravna preslikava X -> Max(X). Izkaže se, daje ta preslikava zvezna in zato zaprta. Pravimo, da je spektralni prostor popolnoma normalen, če za poljubne točke x,y,z G X, ki zadoščajo z < x in z < y, velja bodisi x < y bodisi y < x. To je ekvivalentno z zahtevo, da je množica specializacij dane točke linearno urejena. Vsak popolnoma normalen spektralen prostor je tudi normalen. 62 7.3 Stoneova antiekvivalenca Mreža v tem razdelku pomeni omejeno distributivno mrežo. Homomomorfizmi mrež naj vedno ohranjajo največji in najmanjši element mreže. Kategorijo distributivnih mrež in njihovih homomorfizmov označimo z D01. Morfizmi spektralnih prostorov so take preslikave, katerih praslike ohranjajo kompaktne odprte množice. Kategorijo spektralnih prostorov in njihovih morfizmov označimo z SS. Vsakemu spektralnemu prostoru X lahko priredimo mrežo L(X) njegovih kompaktnih odprtih množic. Vsaki mreži L lahko priredimo množico St(L) vseh homomorfizmov iz mreže L v mrežo {0,1}. Za vsak element a G L definirajmo množico Ua := {0 G St(L); 0(a) = 1}. Ker velja Ua H Ub = UaUb, tvorijo množice Ua bazo neke topologije na St(L), ki ji recimo Harrisonova topologija. Množice Ua in njihovi komplementi tvorijo podbazo neke topologije na St(L), ki ji recimo topologija Tihonova. Za poljubno mrežo L je prostor ZL := {0,1}L s topologijo konvergence po točkah naravno homeomorfen produktnemu prostoru rheJO, 1} in zato kompakten. Izrek 5 Za poljubno mreˇzo L je prostor St(L) s topologijo Tihonova zaprt podprostor v ZL. Dokaz : Množice Ma := {1} x UbeR\{a}{0,1} in njihovi komplementi tvorijo standardno podbazo prostora ZL. Ker velja Ma n St(L) = Ua in Mca n St(L) = UcaJ se relativna topologija na St(L) ujema s topologijo Tihonova. Vzemimo sedaj poljuben element (p G St(L). Po definicijo topologije na {0,1}L se (p na poljubni končni podmnožici mreže L ujema s kakim elementom iz St(L). Vzemimo poljubna elementa a, b G L in izberimo, tak X e St(L), ki se na {a,b,a n b,a U 6,0,1} ujema z 0. Odtod sledi (f)(a U b) = X{a U b) = X{a) U X{b) = {a) U 0(6). Analogno dokažemo (f)(a D 6) = 0(a) n 0(6), 0(0) = 0 in 0(1) = 1. Torej 0 G St(L). Q.E.D. Po izreku 5 je topologija Tihonova kompaktna. Harrisonova topologija je kompaktna zato, ker je šibkejša od topologije Tihonova. Topologija Tihonova je Hausdorfova in popolnoma nepovezana, za Harrisonovo topologijo pa to ne velja nujno. Izrek 6 Naj bo X = St(L) Stoneov prostor mreˇze L opremljen s Harrisonovo topologijo. 1. Prostor X je spektralen. 63 2. Podmnožica U C X je odprta in kompaktna natanko tedaj, ko obstaja tak a G L, da velja U = Ua. 3. KonstruktiUlna topologija na X se ujema s topologijo Tihonova. Dokaz : Ker so množice Ua zaprte v topologiji Tihonova, so v tej topologiji tudi kompaktne, zato so kompaktne tudi v Harrisonovi topologiji. Nasprotno je vsaka kompaktna odprta množica enaka končni uniji Uai U... U Uar = UaiU...Uar. S tem je točka 2. dokazana. Odtod takoj sledi točka 3. Dokažimo, sedaj, da ima prostor X lastnost T0. Če sta (p,r e St(L) različni točki, potem obstaja tak element a G L, da velja Ua iz mreže L v mrežo L(St(L)) je izomorfizem mrež. Naj bo X poljuben spektralen prostor. Poljubnemu elementu x G X priredimo preslikavo Xx ¦ L(X) -»• {0,1}, ki je definirana s predpisom: za poljuben U G L(X) velja Xx(U) = 1 natanko tedaj, ko x G U. Očitno je Xx mrežni homomorfizem, torej Xx G St(LpO). Posledica 8 Preslikava x -»• Xx iz spektralnega prostora X v spektralni prostor St(L(X)) je homeomorfizem topoloških prostorov. Dokaz : Dokažimo najprej injektivnost. Če za elementa x,y G X velja Xx = Xy, potem poljubna kompaktna odprta množica, ki vsebuje eno točko, vsebuje tudi drugo. Ker kompaktne odprte množice tvorijo bazo topologije prostora X, sta točki x in y topološko nerazločljivi. Ker ima X lastnost T0, sledi x = y. Dokažimo sedaj surjektivost. Vzemimo poljuben element X e St(L(X)). Naj bo M C L(X) družina vseh množic, ki jih X preslika vi. Ker ima družina M neprazne končne preseke in ker so njeni elementi zaprti v topologiji Tihonova, je njen presek J := f)M neprazen. Za poljuben element xeJ velja X = Xx. Iz točke 2. izreka 6 sledi, da je preslikava x -> Xx homeomorfizem. Q.E.D. Kako preslikavi St in L razširimo do funktorjev. Naj bosta X in Y spektralna prostora in / : X -> Y morfizem spektralnih prostorov. Njena praslika /* ohranja kompaktne 64 odprte množice, ter spoštuje preseke in unije. Torej je /* : L(Y) -> L(X) homomorfizem mrež. Naj bosta sedaj M in N poljubni mreži in 0 : M -> N mrežni homomorfizem. Naj bo F^ : St(iV) -»• St(M) preslikava, definirana z F+(x) = X° St |T L st |T L SS D BS —> 65 8. Realen spekter višjega eksponenta Algebraičen pristop k klasični semialgebraični geometriji temelji na bijektivni korespondenci med semialgebraičnimi množicami v IRfc in konstruktibilnimi množicami v Sper(R[Xi,...,Xfc]). Ta korespondenca je motivirala študij realnega spektra poljubnega komutativnega kolobarja (glej 3. del v [1]). Kasneje so se pojavili tudi članki o realnem spektru višjega eksponenta komutativnih kolobarjev ([37], [41]) in o realnem spektru nekomutativnih kolobarjev ([32]). V tem poglavju dajemo skupno posplošitev teh teorij na realen spekter višjega reda za nekomutativne kolobarje. Teorije p-realnega spektra ([40],[41]) ne obravnavamo. V tem poglavju ni pomembnejših originalnih prispevkov. Dokazi so v glavnem enostavne posplošitve dokazov iz [37] in [38]. V tem poglavju predpostavljamo, da je n dano naravno število, R dan kolobar s presečno lastnostjo eksponenta n in T dana prava predureditev s strogim eksponentom n. 8.1 Prostor T-signatur Signatura a na kolobarju R se imenuje T-signatum, če velja a (T) = 1. Vsaka T-signatura je eksponenta n. Ker ima kolobar R presečno lastnost eksponenta n, je množica SigT(R) neprazna. Če število n ni potenca števila 2, potem ne vemo, ali množica SigT(i?) vsebuje kako signature strogega eksponenta n. Za poljuben element a G i? in poljuben element u G \in U {0} definirajmo množico 66 0T(a,u) = {a G SigT(R);a(a) = u}. Množicam oblike 0T(a,u) recimo t-podbazične množice, njihovim končnim presekom pa t-bazične množice. Množicam, ki se dajo izraziti kot unija t-bazičnih množic, recimo t-odprte množice, družini, ki jo tvorijo, pa topologija Tzhonova. Označimo NT(a) = O(a,0) in DT(a,z) = 0(a,C). Vsem množicam oblike DT(a,z) recimo h-podbazične množice. Analogno kot zgoraj definiramo h-bazične množice, h-odprte množice in Harnsonovo topologijo. Če je kolobar R obseg, potem se Harrisonova topologija in topologija Tihonova na SigT(R) ujemata. Ta primer bomo obravnavali v naslednjem poglavju. Trditev 1 Vzemimo na množici n°n := /in U {0} diskretno topologijo, na množici Z = UaeR^n produktno topologijo m na množici SigT(R) topologijo Tihonova. Preslikava $ : SigT(R) -> Z definirana s predpisom $( r(a) = a {a), 3. r+ C at za vsak i = l,...,n, 4. o i C Ti za vsak i = l,...,n. Dokaz : Točki 2. in 3. sta očitno ekvivalentni. Po definiciji zaprtja je točka 1. ekvivalentna z lastnostjo, da vsaka odprta množica, ki vsebuje r vsebuje tudi a. Ker množice DT(a,i) tvorijo podbazo Harrisonove topologije, je ta lastnost ekvivalentna z lastnostjo, da vsaka množica oblike DT(a,i), ki vsebuje r, vsebuje tudi a. Toda ta lastnost je očitno ekvivalentna s točko 3. Dokažimo, da iz 4. sledi 2. Naj bo r(a) ^ 0. Če je a (a) = 0, potem po točki 4. velja r(a) G {0,CJ} za vsak j med 1 in n. To je v nasprotju s predpostavko r(a) ^ 0. Če je a (a) = C za nek 1 med 1 in n, potem po točki 4. sledi r(a) G {0,0}- Iz predpostavke r(a) ^ 0 sledi r(a) = C = a(a). S tem je točka 2. dokazana. Dokažimo še, da iz 2. sledi 4. Vzemimo poljubno število i med 1 in 1 in poljuben element a G i?, ki zadošča a {a) G {0, C}. Če je r(a) = 0 potem r(a) G {0, C}. V primeru r(a) ^ 0 sledi iz 1., da velja r(a) = a (a) G {0, C}. S tem je točka 4. dokazana. Q.E.D. Iz naslednjega izreka sledi, daje spektralni prostor SigT(R) popolnoma normalen. Izrek 4 Za poljubni točki a, t G SigT(i?) sta ekvivalentni trditvi: 1. a m t imata disjunktni h-odprti okolici, 2. a ^ t m t ^ a. 69 Dokaz : Očitno iz 1. sledi 2. Dokazujemo nasprotno smer. Po izreku 3 obstajata taki števili 1 < i,j < n, da velja a* L n in Tj L a j. Potem obstajata taka elementa a,b G R in taki števili 1 < m, / < n, da velja a G ai} a G r+, m ^ i ter 6 G rj} b G T(a,z), r G DT{a,m) in DT(a,i) n DT{a,m) = 0. Če 6 L r°, potem velja a G T>T(6,/), r G T>T(6,j) in DT(b, l) D DT(b, j) = 0. Če velja a G T(a - 6, r), r G T>T(a - 6, /) in DT(a -b,r)D DT(a -b,l) = 0. Q.E.D. Pozorni bralec bo opazil, da lahko v točki 1. besedo h-odprta nadomestimo s h-podbazična. 8.2 Prostor T-ureditev Ureditev P na kolobarju R, ki vsebuje predureditev T se imenuje T-ureditev. Naj bo SperT(R) množica vseh T-ureditev. Kot v prejšnjem razdelku je ta množica neprazna, vsi njeni elementi imajo eksponent n in ne vemo, ali vsebuje kak element strogega eksponenta n. Definirajmo naslednje podmnožice množice SperT(R). UT(a) = {PE SperT(E); a G P+} ZT(a) = {Pe SperT(R); a G P0} WT(a) = {PE SperT(E); a E P} Vpeljimo na množico SperT(R) dve topologiji: Hamsonova topologija naj ima za podbazo množice oblike UT(a) in WT(a)c. Topologija Tihonova naj ima za podbazo množice oblike WT(a) in WT(a)c. Trditev 5 Vzemimo na množici {0,1} diskretno topologijo, na množici Z' = Ua€R{0,l} produktno topologijo in na množici SperT(R) topologijo Tihonova. Preslikava * : SperT(R) -> Z' definirana s predpisom $(P) = (cP(a))aeR, kjer je cP karakteristična funkcija množice P je zaprta vložitev. 70 Dokaz : Če je tf (P) = *(Q), potem je cP = cQ, torej je P = Q. Torej je preslikava * injektivna. Za poljuben aeE definirajmo množico W'(a) = {1} x Ub?R\{a}{0,1}- Veljata relaciji ^-l(W'(a)) = WT(a), V(WT{a)) = W'{a) D Z' iz katerih sledi ^-l(W'(a)c) = WT(a)c in ty(WT(a)c) = W'(a)c n Z'. Preslikava * ohranja podbazne množice, torej je homeomorfizem na svojo sliko. Naj bo P : SigT(R) -> SperT(P) preslikava definirana s P (a) = a-1 {{0,1}). Naj boa: n°n^> {0, 1} preslikava definirana z a(0) = 0 in a(u) = 1, če u ^ 0. Preslikava F := Y\a?na ¦ Z ^ Z' je zvezna in zato zaprta. Ker velja * o P = F o $ in ker je P surjektivna preslikava, velja F(Im($)) = Im(tf). Po izreku 1 je množica Im($) zaprta v Z, torej je množica Im(tf) zaprta v Z' zaradi zaprtosti preslikave F. Q.E.D. Dokaz naslednjega izreka je podoben dokazu izreka 2 zato ga opustimo. Izrek 6 1. Prostor X = SperT(E) s Hamsonovo topologijo je spektralen prostor. 2. Podmnožica prostora X, je h-odprta in h-kompaktna natanko tedaj, ko je enaka končni uniji h-bazičmh množic. 3. Podmnožica prostora X je konstruktibilna natanko tedaj, ko je enaka končni uniji t-bazičnih množic. 4. Konstruktibilna topologija prostora X se ujema s topologijo Tihonova. Naslednji izrek karakterizira specializacijo na spektralnem prostoru SperT(R). Izrek 7 Naj bosta P in Q poljubni T-ureditvi na R. Naslednje trditve so ekvivalentne: 1. Q specializira P, 2. PCQ mQ+ C P+, 3. PCQmQ\PCQ°. Dokaz : Lastnost P C Q je ekvivalentna z lastnostjo, da za vsak a G R iz a i Q sledi a i P, ta pa je ekvivalentna z lastnostjo, da za vsak a G R iz Q G WT(a)c sledi P G WT(a)c. Podobno je lastnost Q+ C P+ ekvivalentna z lastnostjo, da za vsak a G R iz Q G UT(a) sledi P G UT(a). Tako smo dokazali, daje lastnost 2. ekvivalentna z lastnostjo, 71 da vsaka podbazna množica, ki vsebuje Q, vsebuje tudi P. Ta lastnost je ekvivalentna z lastnostjo, da vsaka odprta množica, ki vsebuje Q vsebuje tudi P, kar je ekvivalentno lastnostjo 1. Če velja točka 2., potem je Q \ P C Q \ P+ C Q \ Q+ = Q°, torej velja točka 3. Nasprotno iz točke 3. sledi Q+ = Q \ Q° C Q \ (Q \ P) C P in P° C Q°. Odtod sledi točka 2. Q.E.D. Iz naslednjega izreka sledi, daje spektralni prostor SperT(P) popolnoma normalen. Izrek 8 Za poljubni toˇcki P,Q G SperT(P) sta ekvivalentni trditvi: 1. P inQ imata disjunktni h-odprti okolici, 2. P LQ inQLP. Dokaz : Naj velja točka 2. Ker P ^ Q, lahko privzamemo P L Q. Vzemimo poljuben a G P\Q. Če a L P°, potem je P G C/T(a) in Q G VyT(a)c. Če tak a ne obstaja, je P\Q C P°. Ker Q L P, sledi po točki 3. izreka 7, da je Q L P- Vzemimo poljuben element beQ\P. Če b ^ Q°, potem Q G UT(b) in P G VyT(6)c- V nasprotnem primeru vzemimo poljubna elementa ae P\QCP° in beQ\P CQ°. Velja Q G UT(an - bn) in P G WT(ara - bn)c. Q.E.D. Za poljuben element a G P iz za poljubno število m med 1 in n definirajmo množici UT(a,m) = UT(am) D f| WT(ak)c, k\rn WT(a,m) = WT(am)n f| f/T(afc)c. fc|m Velja VyT(a,m) = f/T(a,m) U ZT(a). Za komplemente velja UT(a,m)c = U Wr(a,fc), fc|n WT(a,m)c = U C/T(a,fc). k\n Za poljubne elemente al}..., ak G P in za poljubna naravna žtevila 1 < ml}..., mk < n definirajmo C/T(ai,...,afc;mi,...,mfc) = C/r(ai,mi) n ... n UT{ak,mk), 72 WT(a1,...,ak;m1,...,mk) = WT(ai,mi) n ... H WT(ak,mk). Tem množicam recimo temeljne odprte oziroma temeljne zaprte množice. Iz zvez UT{a) = UT(a, 1) in WT(a) = WT(a, 1) in iz formul za komplemente sledi, da temeljne odprte množice tvorijo bazo Harrisonove topologije in da preseki temeljnih odprtih množic z množicami oblike ZT(b) tvorijo bazo konstruktibilne topologije. Trditev 9 Vsaka odprta konstruktibilna množica je enaka končni uniji temeljnih odprtih množic. Vsaka zaprta konstruktibilna množica je enaka končni uniji temeljnih zaprtih množic. Dokaz : Prva trditev sledi direktno iz kompaktnosti konstruktibilne topologije. Odtod sledi, daje vsaka zaprta konstruktibilna množica enaka končnemu preseku komplementov temeljnih odprtih množic. Odtod in iz formul za komplemente množic UT(a,m) sledi druga trditev. Q.E.D. 8.3 Naravna projekcija iz SigT(R) na SperT(i?) Preslikavi P : SigT(i?) -»• SperT(i?) definirani s P {a) = ^({0,1}) bomo rekli naravna projekcija. Očitno se strogi eksponent poljubne T-signaturo a ujema z strogim eksponentom pripadajoče T-ureditve P (a). Naj bo (p Eulerjeva funkcija iz teorije števil. Lema 10 Naj bo a poljubna T-signatura na kolobarju R in naj bo m njen strogi eksponent. Potem poljubna signatura t pripada množici P~l(P(a)) natanko tedaj ko obstaja tako naravno število r med 1 in m, ki je tuje proti m in velja t = ar. Moč množice P-\P(a)) je enaka j)(m). Dokaz : Če je P(r) = P (a), potem iz opombe pred lemo sledi, da imata signaturi r in a enak strogi eksponent. Naj bosta a, b poljubna elementa kolobarja R. Izjava r(a) = r(b) je ekvivalentna z abm~l G P(r), ta je po izbiri r ekvivalentna z abm~l G P (a), ki je ekvivalentna z izjavo a (a) = a(b). Odtod sledi, da je s f((k) = r(a"1(Cfc)) podana injektivna preslikava / : \im -> \im. Očitno je ta preslikava bijektiven homomorfizem grup, za te pa vemo, da so ravno potenciranja s števili tujimi proti m. Po definiciji Eulerjeve funkcije (p je med 1 in m, ravno {m) števil, ki so tuja proti m. Ko potenciramo a s temi števili dobimo različne signature. Q.E.D. 73 Naslednja lema nam pove, da je naravna projekcija zvezna glede na Harrisonovo topologijo. Lema 11 Za poljuben element a e R in poljubno naravno število m, ki deli n, velja P-l(UT(a, m)) = U DT{a, r), kjer r teče po vseh številih med 1 in n, ki zadoščajo (n, r) = n m ' Dokaz : Naj bo r poljubno število, ki zadošča (n, r) = ±. Za poljubno T-signaturo a G D T (a,r) velja a(am) = (mr = 1. Če za nek k, ki strogo deli m, velja a(ak) = 1, potem je (rk = 1, torej n\rk. Odtod sledi protislovje, da m = ^ deli k. Tako smo dokazali, da am G P (a) in afc L P (a) za vsak fc, ki strogo deli m. Torej P(a) G UT(a,m). Vzemimo tako signature a, da velja P(a) G UT(a,m). Naj bo a(a) = (r, torej a G L>r(a,r). Dokazati moramo še, da velja (n, r) = ^. Po definiciji množice UT(a,m) je (mr = o-(am) = 1 in (kr = a(ak) ^ 1 za vsak k, ki strogo deli m. Ker n deli mr, sledi, da ^y deli m. Ker n ne deli mk, za noben fc, ki strogo deli m, sledi ^ = m, torej je (n,r) = -=-. Q.E.D. Naj bo pk : SigT(E) -> SigT(E) preslikava definirana s pk{a) = ok. Lema 12 Če je stera/o fc toje proft n, potem je pk avtohomeomorfizem prostora SigT(R) in za vsako število m, ki deli n, njegova slika tranzitivno deluje na družino množic {DT(a,r); K r < n, (n,r) = ^}. Dokaz : Ker je število k tuje proti n, obstajata taki števili c in d, da velja ck + dn=l. Preslikava k. Za poljuben a G R in poljubno število i med 1 in n velja pk(DT(a,i)) C DT(a,ki) in pc{DT{a,ki)) C DT{a,cki) = DT{a,i), torej je pk{DT{a,i)) = DT(a,ki). Odtod sledi, da je pfc homoemorfizem in da njegova slika deluje na omenjeno družino. Tranzitivnost delovanja je posledica naslednje pomožne trditve: Za poljubni naravni števili r in t velja (n, r) = (n, t) natanko tedaj, ko obstaja tako število l tuje proti n, da veljalr = t (n). Naj bo r' = ^ in t' = ^. Ker je r' tuj proti n obstajata taki števili p in q, da velja pn + qr' = 1. Naj bo / = qt'. Ker sta q in t' tuja proti n je tudi / tuje proti n. Velja tudi t-lr = t- qt'r'(n, r) = t - qr't = tpn, torej je Ir = t (n). Nasprotna smer je očitna. Q.E.D. 74 Označimo s Spec(n) množico vseh T-ureditev strogega eksponenta n. Naj bo Sig(ra) množica vseh T-ureditev strogega eksponenta n. Množica Spec(n) je neprazna natanko tedaj, ko je množica Sig(ra) neprazna. Naj bo P poljubna T-ureditev strogega eksponenta n. Potem obstaja tak element a G R, da velja P G UT(a,n). Toda očitno množica UT(a,n) vsebuje samo ureditve strogega eksponenta n. Množica Spec(n) je torej odprta v SpecT(R). Ker je P zvezna preslikava, je tudi množica Sig(ra) odprta v SigT(R). Izrek 13 Prostor Sig(ra) je {n)-listen krovni prostor prostora Spec(n). Za vsako naravno ˇstevilo k tuje proti n je preslikava pk krovna transformacija. Dokaz : Po lemi 10 preslikava pk ohranja vlakna. Po lemi 12 je pk avtohomeomorfizem. Torej je pk krovna transformacija. Po lemi 11 velja P-\UT(a, n)) = \JDT(a,r), kjer r teče po vseh številih med 1 in n, ki so tuja proti n. Očitno so množice iz gornje unije med seboj disjunktne in po lemi 12 so med seboj homeomorfne. Torej je preslikava P|Sig(n) 0(ra)-ttstna krovna projekcija. Q.E.D. Trditev 14 Preslikava P je zvezna in zaprta glede na topologijo Tihonova. Dokaz : Vemo, da množice UT(a,m) in ZT(a) tvorijo podbazo topologije Tihonova. Za poljuben element a G i? in za poljubno T-signaturo a na R velja a G P (a)0 natanko tedaj ko velja a (a) = 0. Torej velja a G NT(a) natanko tedaj, ko velja P (a) G ZT(a). Zveznost preslikave P v topologiji Tihonova sedaj sledi iz leme 11. Zaprtost sledi is dejstva, da sta topologiji Tihonova kompaktni in Hausdorfovi. Q.E.D. 8.4 Prostor T-realnih praidealov Na prostoru SigT(R) lahko definiramo topologijo Zariskega s podbazo {NT(a)c; a G R} in konstruktibilno topologijo Zariskega s podbazo {NT(a); a G R} U {NT(a)c; a G R}. Ker sta obe topologiji šibkejši od topologije Tihonova na SigT(R) sta kompaktni. Ali je prostor SigT(R) s topologijo Zariskega spektralen? Žal je odgovor na to vprašanje negativen. Obstaja lahko namreč več T-signatur z istim nosilcem. Take signature so v topologiji Zariskega nerazločljive in zato topologija Zariskega nima niti lastnosti T0. Torej prostor SigT(R) s topologijo Zariskega v splošnem ni niti predspektralen. Podobno 75 lahko definiramo topologijo Zariskega in konstruktibilno topologijo Zariskega na prostoru SperT(R). Tudi tu ne dobimo spektralnega prostora iz istih razlogov. Kaj pa če bi lastnost T0 prisilno uvedli tako, da bi identificirali topološko nerazločljive točke? Bolj elegantna rešitev je, da se omejimo na množico vseh praidealov, ki so nosilci kake T-signature. Takim idealom recimo T-realm ideali. Množico vseh T-realnih idealov na katero uvedemo relativno topologijo iz Spec(R) označimo s SpecT(R). Pravimo, da je praideal p na kolobarju R T-kompatibilen, če zadošča p n 1 + T = 0 in če za poljubna elementa tut2 G T iz predpostavke tx + t2 G p sledi tut2 G p. Iz osnovnega izreka in presečne lastnosti kolobarja R sledi, da je poljuben praideal p na R T-realen natanko tedaj, ko je T-kompatibilen. Ali prostor SpecT(R) podeduje spektralno strukturo prostora Spec(R)? Žal je to vprašanje nesmiselno, saj spekter nekomutativnega kolobarja v splošnem ni spektralni prostor. Znano je, da se da spekter nekomutativnega kolobarja gosto vložiti v primeren spektralen prostor (glej [39]). V nadaljevanju bomo direktno, brez uporabe tega rezultata, dokazali, daje ob stalnih predpostavkah na R in T, prostor SpecT(R) spektralen. Množicam oblike OT(a) = {p G SpecT(R); a i p} recimo z-podbazične množice. Množicam, ki so bodisi z-podbazične bodisi komplementi z-podbazičnih množic recimo, cz-podbazične množice. Končnim presekom z-podbazičnih množic pravimo z bazične množice, končnim presekom cz-podbazičnih množic pa cz-bazične množice. Prve tvorijo bazo topologije Zariskega, druge pa bazo konstruktibilne topologije Zariskega. Kot smo že navajeni velja naslednji izrek. Izrek 15 Cena množici SpecT(R) vzamemo topologijo Zarskega, potem velja: 1. SpecT(R) je spektralen prostor. 2. Podmnožica prostora SpecT(R) je z-kompaktna in z-odprta natanko tedaj, ko je enaka končni uniji z-bazičmh množic. 3. Podmnožica prostora SpecT(R) je konstruktibilna natanko tedaj, ko je enaka končni uniji cz-bazičmh množic. 4. Konstruktibilna topologija na SpecT(R) je enaka konstruktibilni topologiji Zariskega. Dokaz : Očitno ima prostor SpecT(R) lastnost T0. Naravna preslikava S : SperT(R) -> SpecT(R) definirana z S (P) = P° je surjektivna in njena praslika ohranja podbazične 76 množice za konstruktibilno topologijo Zariskega, zato je P v tej topologijhi zvezna. Odtod sledi, da sta obe topologiji na SpecT(R) kompaktni. Preostanek dokaza je podoben dokazu izreka 2. Q.E.D. 8.5 Hormander-Lojasiewiczeva neenakost V tem razdelku predpostavljamo, da je eksponent prave predureditve T enak potenci števila 2. To ima za Harrisonovo topologijo pomembne posledice. Trditev 16 Pri gornjih predpostavkah velja: 1. Temeljne odprte množice so oblike UT(cn) n ... H UT(ak). 2. Temeljne zaprte množice so oblike WT(cn) n ... n WT{ai). Dokaz : Za vsak naraven k velja UT(a, 2k) = UT(-ak) in UT(a, 2k + 1) = 0. Odtod sledi prva trditev. Druga trditev sledi iz zveze WT(a, m) = UT(a, m) U ZT(a) in iz prve trditve. Q.E.D. Trditev 17 Pri gornjih predpostavkah za vsako zaprto konstruktibilno množico S obstaja tako naravno število r in take prave predureditve Tl}...,Tr, ki vsebujejo T in zadoščajo S = SperTi(E) U ... U SperTr(E). Dokaz : Po trditvi 9 je vsaka zaprta konstruktibilna množica enaka končni uniji temeljnih konstruktibilnih množic. Po trditvi 16 je vsaka temeljna zaprta množica oblike WT(ai) n ... n WT(ai), kjer en,..., en G R. Velja WT(ai) n ... n WT{a{) = SperT,(E), kjer je T' najmanjša predureditev, ki vsebuje predureditev T in elemente au...,cn. Če T' ni prava predureditev, potem velja SperT,(E) = 0. Q.E.D. Naslednji izrek je posplošitev abstraktne Hormander-Lojasiewiczeve neenakosti. Izrek 18 Naj bo eksponent prave predureditve T potenca števila 2, Naj bo S C SperT(R) zaprta konstruktibilna množica in naj bosta a,b G R taka elementa, da velja S D ZT(b) C ZT(a). Potem obstaja tako naravno število k, da velja ank+l ep_ S(T6nT) za vsako T-ureditev P G S. 77 Dokaz : Po trditvi 17 obstaja tako naravno število r in take prave predureditve Tu...,Tr, ki vsebujejo T in zadoščajo S = SperTl(R) U ... U Spermi?). Naj bo i poljubno naravno število med 1 in r. Vzemimo poljubno T-ureditev P, ki vsebuje T; in ki zadošča bn i P+. Potem je b G P°, torej velja P G SperTl(i?) n ZT(b) C S n ZT(6) C ZT(a). Zato je a G P°. Po izreku 12 iz šestega poglavja odtod sledi, da obstaja tako naravno število h, da velja -anki e T* - E(nra&raIIra). Naj bo k = h + ... + kr. Potem za vsak i = l,...,r obstajajo taki elementi Si G T* in «ij,%- e nra, da velja -ank = Si + L,-!%&%. Naj bosta s,t6Te taka elementa, da velja a = s - t. Za poljubno naravno število m med 1 in r velja tL[=i L,- i^fc^ + ank+l = L(Ll=i Ei UijbnVij - ank) + sarafc = *(L,- umjbnvmjt - ank) + (tE^mEj «y&X" + s«rafc) e 7^ + Sra C TL. Za poljubno T-ureditev P e S velja fl™=i Tk Q P* = P, zato je i E[=i Ej Mii&ra% + «rafc+1 G P. S tem je izrek dokazan. Q.E.D. 78 9. Reducirana teorija form Ko želimo teorijo kvadratnih form na komutativnih obsegih posplošiti bodisi na nekomu-tativne obsege bodisi ne forme višjega reda, naletimo na mnoge težave. Najbolj priljubljen izhod iz teh težav je, da se omejimo na reducirane teorije form. Splet teorij, ki nastopajo ob teh vprašanjih kaže naslednji komutativni diagram teorij in njihovih posplošitev. linearno abstraktni urejeni › prostori obsegi ureditev IT IT reducirane reducirane teorija kvadratne forme › specialne Z Booleovih na obsegih grupe algeber 1 1 1 reducirane forme reducirane višjega reda -> formne sheme ! ? na obsegih višjega reda TI TI ureditve abstraktni višjega reda -»• prostori na obsegih signatur Abstraktne prostore ureditev in reducirane specialne grupe je vpeljal Murray Marshall. V svojih ˇclankih je dokazal, da sta si ta dva pojma dualna in da prostor (linearnih) ureditev 79 na (lahko nekomutativnem) obsegu zadošča aksiomomo abstraktnega prostora ureditev. Abstraktne prostore signatur je vpeljal Culm Mulcahy. Teorijo formnih shem višjega reda sta razvila Murray Marshall in Victoria Powers in pokazala, da so reducirane formne sheme dualne abstraktnim prostorom signatur. Reducirano teorijo form višjega reda za komutativne obsege sta razvila Eberhared Becker in Alex Rosenberg v članku [44]. Na nekomutativne obsega jo je posplošila Victoria Powers. V člankih [45] in [24] je pokazala, da so izpolnjeni aksiomi prostora signatur. Zvezo med teorijo kvadratnih form in teorijo Booloeovih algeber je razvil Thomas Craven v svoji disertaciji. Na abstraktne prostore signatur sta jo posplošila Max Dick-mann in Francesco Miraglia, [48]. V prvih dveh razdelkih bomo povzeli dualnost med abstraktnimi prostori signatur in formalno realnimi reduciranimi formnimi shemami. V tretjem razdelku bomo povzeli osnove teorije Postovih algeber. Četrti in peti razdelek vsebujeta originalne prispevke. Konstruirali bomo Postovo ovojnico abstraktnega prostora signatur. S tem želimo pokazati, da Postove algebre dobro nadomestijo ? v gornjem diagramu. Nastanek tega poglavja ne bil bil mogoč brez pogovorov z Maxom Dickmannom, Daniello Gondard in Andrejo Prijatelj. 9.1 Prostori signatur Vse Abelove grupe v tem razdelku bodo multiplikativne in njihov nevtralni element bomo vedno označili z 1. Označimo z fi grupo vseh kompleksnih števil z absolutno vrednostjo 1. Za vsako naravno število n označimo z iin podgrupo grupe fi, ki vsebuje vse kompleksne ra-te korene enice. Za poljubno Abelovo grupo G označimo z G* = Hom(G, /i) njeno grupo karakterjev. Množenje in invertiranje sta definirana po točkah. Če eksponent grupe G deli n, potem je G* = Hom(G,/ira). Na grupi G* vzamemo relativno topologijo iz prostora IJ° = Ugecl^- Njeno podbazo tvorijo množice 0(g,u) := {(p G G*; {g) = u}, kjer sta g G G in u G \i poljubna. V tej topologiji je G* Booleov prostor. Urejeno trojko (X, G, -1), kjer je G Abelova grupa končnega eksponenta, -1 G G in X C G* imenujemo predprostor signatur, če velja 1. Za vsak a G X in vsako liho naravno število / je a1 G X. 2. Množica X je zaprta v G*. 80 3. Za vsak element a G X velja D{y, s) = \Jt€D(i,y) D(x,t). Prvi izrek daje najpomembnejši primer prostora signatur. Za dokaz glej reference v uvodu tega poglavja. Izrek 1 Naj bo D poljuben obseg in T poljubna prava predureditev na D. Definirajmo GT = Dx/Tx. Vsaka T-signatura a inducira nek karakter na GT. Množico vseh takih karakterjev označimo z XT. Naj bo -lT = -1 + Tx G GT. Potem je (XT,GT,-1T) prostor signatur. Naslednja elementarna lema bo zelo koristna v nadaljevanju. Lema 2 Naj bo n poljubno sodo naravno število. Za poljubne elemente a, b,c,d G nn se ekvivalentne trditve: 1. a + b = c + d, 2. a = -b in c = -d ali a = c in b = d ali a = d in b = c, 3. a1 + bl = cl + d1 za vsako liho naravno število l. Izrek 3 Naj bo n sodo naravno število, id : /in -»• /in identična preslikava in Xn = {id, id3, id5,..., id™"1}. Potem je trojka (Xn, /in, -1) prostor signatur. Dokaz : Očitno je (Xn,/jn,-l) predprostor signatur. Preverimo sedaj dodatni aksiom prostora signatur. Za poljuben element ze^so ekvivalentne trditve: 81 1. zes€D(i,x)D{y,s). 2. Obstajajo taki elementi p,q,r G \in, da velja z+p = y + q in q + r=l+x. 3. Velja bodisi z = y bodisi x = -1 bodisi se množici {z, -y} in {x, 1} sekata 4. x = -1 ali y = -1 ali y = -x ali z = x ali z = y ali z = 1. 5. Velja bodisi z = x bodisi y = -1 bodisi se množici {z, -z} in {y, 1} sekata. 6. Obstajajo taki elementi u, v, w G \in, da velja z + M = x + winw + w = l+y. 7- ze\JteD{i,y)D{x,t). Ekvivalenci med 1. in 2. ter med 6. in 7. sledita iz definicij in leme 2. Ekvivalentnost med 3., 4. in 5. je očitna. Če velja 2., in z ^ y in x ^ -1, potem je {z, -y} = {g, -p} in {g, r} = {1, x}, torej g G {z, -y} n {z, 1} in zato velja 3. Naj velja 3.. Če je z = y, potem vzemimo p = q = 1 in r = x. Če je x = -1, potem vzemimo p = y, g = z in r = -z. Če z ^ y in x ^ -1, potem vzemimo g G {z, -y} n {z, 1}. Potem je p := y + q - z E fin, r=l + x-qEfinm velja z + p = y + gterg + r = l+:r. Torej velja 2. Analogno dokažemo ekvivalentnost trditev 5. in 6. Q.E.D. Izrek 4 Naj bo (X, G, -1) prostor signatur in x e G* tak element, da velja x(-l) = -1 in x(a)+x(b) = x(c) + x(d) za poljubne elemente a,b.c,d G G, ki zadoščajo a(a) + a(b) = a(c) + a (d) za poljuben a G X. Potem je x e X. Dokaz : Glej [43] diskusijo lastnosti S5 in S; ter Corollary 2.2. Q.E.D. Vsakemu homomorfizmu grup (p : G -> G" priredimo njegov duaZra homomorfizem G* s predpisom *(x) = X ° *)-\0{g,u})) = {X e G'*; 0*(x)(^) = w} = {x G G'*; x(0(#)) = ^} = O'{ G' poljuben homomorfizem grup. Potem so naslednje trditve ekvivalentne: 1. (j)(-l) = -l mza vsak element aeG velja '(-l) = -1 in za poljubne elemente a,b,c,d G G, ki zadoščajo a (a) + a(b) = a{c) + a (d) za vsak a G X, velja r((f)(a)) + r(0(6)) = r((f)(c)) + r{(j){d)) za vsak teX'. 3. (j)*(X') C X. Dokaz : Ker je G grupa in 0 homomorfizem grup, lahko v točki 2. brez škode za splošnost predpostavimo 6=1. Ekvivalenca med 1. in 2. je sedaj direktna posledica definicije množic D{.,.). Iz 3. takoj sledi 2, obratna smer, pa sledi iz izreka 4. Q.E.D. Homomorfizem grup (p : G -> G", ki zadošča eni od ekvivalentnih lastnosti v izreku 5 imenujemo homomorfizem prostorov signatur (X,G,-1) in (X',G',-1). Kategorijo prostorov signatur in njihovih homomorfizmov označimo z Sos. Naj bo Sosra polna pod-kategorija prostorov signatur strogega eksponenta n. 9.2 Prostori form, dualnost Naj bo G množica. Elementom množice U„=0 Gm, kJer je Gm kartezični produkt m kopij množice G, pravimo forme na G. Poljubno relacijo ~ na množici G2 = G x G lahko razširimo do relacije ~m na Gm. Naj bosta ~0 in ~1 enakosti in ~2 = ~ Ostale relacije defiramo rekurzivno. Za poljubne elemente a1 ..., am, h,..., bm G G in poljubno naravno število m > 3 definirajmo (e1,... ,am) ~m (b1}..., bm) natanko tedaj, ko obstajajo taki elementi x, y, c3,..., cm G G, da je (a2,..., am) ~m_1 (x, c3,..., cm), (62, • • •, 6m) ~m_1 (y,c3,... ,Cm) in (a1)x) ~2 (61,y). Če je ~ ekvivalenčna relacija, potem ni nujno, da so tudi relacije ~m ekvivalenčne. Naj bo sedaj G Abelova grupa končnega eksponenta, -1 G G in naj bo ~ relacija na G x G. Urejeno trojko (G,~,-l) imenujemo prostor form, (= form scheme, special group) če velja: 1. (a, b) ~ (b, a) za poljubna a,beG, 2. Za poljubne a, b, c G G iz (a, 6) ~ (a, c) sledi b = c. 3. Relacija ~3 je tranzitivna. 4. Za vsak aeG velja (a, -a) ~ (1, -1). 83 5. Če je (a, b) ~ (c, d), potem je (xa, xb) ~ (xc, xd) za vsak ieG. Iz druge in četrte lastnosti sledi, da je (-1)2 = 1. Prostor form je reduciran, če velja 6. Za poljubna elementa a, b G G iz (a, 6) ~ (1,1) sledi a = b = 1. Prostor form je formalno realen, če velja 7. Za poljubno naravno število m velja (-1,..., -1) ^m (1,..., 1). Zgodovinsko najpomembnejši prostor form je prostor kvadratnih form na danem ko-mutativnem obsegu F s karakteristiko različno od 2. Definirajmo G = FX/(FX)2. Tej grupi se reče grupa kvadratiˇcnih razredov. Za poljubne elemente a,b,c,d G G definirajmo (a,b) ~ (č,d) natanko tedaj, ko sta matriki diag(a, b) in diag(c, d) kongruentni. Očitno je ta definicije neodvisna od izbire predstavnikov kvadratičnih razredov. Potem je trojka (G, ~ -1) prostor form. V tem primeru je relacija ~m inducirana s kongruenčno relacijo na diagonalnih nesingularnih m x m matrikah. Ta prostor form je reduciran natanko tedaj, ko je F Pitagorejski obseg in formalno realen natanko tedaj, ko je obseg F formalno realen. Ker tega primera v nadaljevanju ne bomo potrebovali, dokaz opustimo. Izrek 6 Naj bo (X, G, -1) prostor signatur in a, b,c,de G. Definirajmo (a, b) ~x (c, d) natanko tedaj, ko za vsak a G X velja a(a) + a{b) = a(c) + a {d). Potem je (G, ~x, -1) reduciran formalno realen prostor form. Dokaz : Glej [42], stran 4087, zgled (3). Q.E.D. Prostor form, ki po izreku 5 pripada prostoru T-signatur iz izreka 1, pravimo prostor T-reduciranih form. Prostor form, ki po izreku 5 pripada prostoru signatur iz izreka 3 označimo s Sn. Naj bodo a,b,c,d G \in poljubni elementi. Po lemi 2 je (a, b) ~Xn (c,d) natanko tedaj, ko je a + b = c + d. Homomorfizem iz prostora form (G, ~ -1) v prostor form (G', ~' . - 1') je tak grupni homomorfizem / : G -> G', da velja /(-1) = -V in za poljubne elemente a,b,c,d G G iz (a, b) ~ (c, d) sledi (f(a),f(b)) ~' (/(c), /(d)). Kategorijo reduciranih formalno realnih prostorov form in njihovih homomorfizmov označimo z Rsg. Naj bo G Abelova grupa eksponenta n. Homomorfizmom iz danega prostora form S = (G, ~ -1) v prostor form Sn, pravimo signature na S. Množico vseh signatur na S označimo z X(S). 84 Izrek 7 Naj bo S reduciran prostor form. Potem je mnoˇzica X(S) neprazna natanko tedaj, ko je prostor S formalno realen. Dokaz : Glej [42], Corollary 6.8. Q.E.D. Naslednji izrek je posplošitev Pfisterjevega lokalno-globalnega principa. Izrek 8 Naj bo S = (G, ~ -1) reduciran formalno realen prostor signatur ina1}...,am, bl,...,bmeG poljubni elementi. Potem velja (a1}..., am) ~m (bh ..., bm) natanko tedaj, ko za vsak o G X{S) velja i in naj bo o*(z) = c0, če je a(x) < i. Druga trditev je očitna. Q.E.D. Ta izrek motivira definicijo Postove algebre: (omejena distributivna) mreža L je Pos-tova algebra, če obstajajo taki elementi c0 < cx < ... < cn_x G L, ki izpolnjujejo točki 1. in 2. iz izreka 11 Izkaže se, da so število n in elementi Co, c\,..., cra_i enolično določeni. Številu n pravimo red Postove algebre L. V točki 2. lahko zahtevamo ax < ... < an_x. V tem primeru so elementi au ..., a„_i enolično določeni ( [47] ). Izrek 12 Vsaka Postova algebra L reda n je izomorfna Postovi algebri oblike C(X,/in), kjer je X Booleov prostor Boolove algebre C {L). 86 Dokaz : [46] Theorem 16. Q.E.D. Naj bo BS kategorija Boolovih prostorov in PSra kategorija Postovih algeber reda n z mrežnimi homomorfizmi, ki ohranjajo konstante. Definirajmo funktor Pn : BS -> PAra. Za vsak Booleov prostor K definirajmo Pn(K) = C(K,fjin). Za vsako pravo preslikavo (j) : K' -> K Booleovih prostorov K' in K definirajmo Pn()(f) = / o 0 za vsak / G Izrek 13 Za vsako naravno ˇstevilo n je funktor Pn antiekvivalenca kategorij BS in PAra. Dokaz : Funktorialnost je očitna. Bijektivnost na objektih sledi iz prejšnjega izreka. Zaradi enoličnosti razcepa v prvi definicijski lastnosti Postovih algeber sledi po krajšem računu, da je vsak morfizem Postovih algeber natanko določen že s svojo skrčitvijo na množico komplementiranih elementov. Odtod sledi, da so morfizmi v PAra v bijektivni korespondenci z morfizmi v BA, ti pa so v bijektivni korespondenci z morfizmi v BS. Q.E.D. Spektralne prostore, ki po Stoneovi antiekvivalenci ustrezajo Postovim algebram imenujemo Postovi prostori. Red Postovega prostora naj bo red pripadajoče Postove algebre. Naj bo n dano fiksno naravno število. Rezultate tega rezdelka lahko strnemo v naslednji komutativni diagram kategorij in funktorjev. PAra -> D01 -> BA III PSra -> SS -> BS V gornji vrsti so kategorije Postovih algeber reda n, omejenih distributivnih mrež in Booleovih algeber. V spodnji vrsti se nahajajo kategorije Postovih prostorov reda n, spektralnih prostorov in Booleovih prostorov. Navpični funktorji so skrčitve Stoneove antiekvivalence. Leva vodoravna funktorja sta pozabljiva funktorja. Desna vodoravna funktorja sta C m D. Gornja vodoravna funktorja nista ekvivalenci kategorij, njun kompozitum pa je Analogno velja za spodnja funktorja. To sledi iz dejstva, da je funktor Pn : BS -> PAra iz izreka 13 antiekvivalenca kategorij in da komutira z ostalimi funktorji v diagramu. 87 9.4 Prostor signatur Postove algebre Naj bo K poljuben Booleov prostor in n poljubno sodo naravno število. Funkcija / : K -> iin je zvezna natanko tedaj, ko obstaja taka particija prostora K na odprto-zaprte množice, da je / na vsakem elementu te particije konstantna. Naj bo GK = C(K, ^n) grupa vseh zveznih funkcij iz K v \in, kjer je množenje definirano po točkah. Grupa GK je Abelova in ima eksponent n. Naj bo G*K grupa karakterjev grupe GK s topologijo iz razdelka 1. Vsakemu elementu x G K lahko priredimo njegovo evaluacijo ex G G*K, ki je definirana s predpisom ex(f) = f(x). Množico vseh evaluacij in vseh njihovih lihih potenc označimo z EK. Naj bo -1 G GK konstantna funkcija -1. Izrek 14 Naj bo K poljuben Booleov prostor in n poljubno sodo naravno ˇstevilo, Potem je (EK,GK,-1) prostor signatur. Dokaz : Lastnosti 1. 3. in 4. prostora signatur sledijo direktno iz definicij. Dokažimo najprej lastnost 2. Iz lastnosti 4. sledi, da je naravna i : K ^ G*K,ki je definirana z i(x) = ex, injektivna. Ker je množica i-\0(g,uj)) = {x G K; ex(g) = uj} = g-\uj) odprta v K za vsak g G GK in vsak u G \in, je i zvezna preslikava. Ker slika iz kompaktnega v Hausdorfov prostor, je i zaprta vložitev. Za vsako naravno število / naj bo pi: G*K^ G*K potenciranje z /. Kar je pTl(0(g, uj)) = 0(gl, uj), je funkcija pi zvezna. Kar je G*K kompakten in Hausdorfov je preslikava pt tudi zaprta. Ker je EK = \Jpi(i(K)), kjer unija teče po vseh lihih številih med 1 in n, je EK res zaprta množica. Dokažimo še lastnost 5. Naj bosta x,y G GK poljubna elementa. Vzemimo poljuben element z G IUd D{y, s). Po definiciji te množice obstajajo taki elementi p,q,r G GK, da velja e(z) + e(p) = e(y) + e(q) in e(q) + e(r) = e(l) + e(x), kjer je e poljubna liha potenca poljubna evaluacije. Odtod sledi z + p = y + q in q + r = 1 + x. Naj bo K = ULi Ci taka particija prostora K na odprto zaprte množice, da so za vsak i = 1,..., r skrčitve funkcij x, y, z, p, q, r na d konstantne. Naj bo Xi = x(d), in naj bodo yi,Zi,Pi,qi, Ti definirani analogno. Po izreku 3 obstajajo za vsak i = l,...,r taki elementi Ui, Vi, Wi G fin, da velja z* + ut = xt + Vi in vt + w, = 1 + ^. Definirajmo u = E[=i «iXi> w = YJ°i=iViXi in w = ELi^iXi, kJer Je Xi karakteristična funkcija množice Q. Ker so funkcije u,v,w konstantne na vsakem elementu odprto-zaprte particije K = U[=1 Ci} so te funkcije zvezne, torej pripadajo Gx. Ker velja z+ u = x+ v in v+ w = 1+ y, velja po lemi 2 tudi e{z) + e{u) = e{x) + e{v) in e(w) + e{w) = e(l) + e(y), kjer je e poljubna liha 88 potenca poljubne evaluacije. Odtod sledi z G UeD(i,y> D{x,t). Dokaz nasprotne inkluzije je simetričen. Q.E.D. Po lemi 2 je izometrična relacija ~ ki pripada prostoru signatur (X, G, -1) definirana s (a, b) ~ (c, d) natanko tedaj, ko a + b = c + d, kjer a, b, c, d gledamo kot kompleksne funkcije na G in jih seštevamo po točkah. Naš naslednji namen je odgovoriti na tole vprašanje. Ali se homomorftzrm Postovih algeber v kategoriji prostorov form ujemajo s homomorfizmi v kategoriji omejenih distributivnih mrež? Odgovor na to vprašanje je pritrdilen v primeru n = 2. (glej [48], Proposition 4.6) V primeru n ^ 2 to v splošnem ne drži kot kaže naslednji enostavni primer. Edini en-domorfizem Postove algebre \in je identiteta, endomorfizmi pripadajočega prostora form, pa so vse lihe potence. Velja pa naslednji izrek: Izrek 15 Vsak homomorfizem Postovih algeber je tudi homomorfizem pripadajočih prostorov signatur, Dokaz : Po izreku 13 je vsak homomorfizem $ Postovih algeber C(K,/jn) in C(K'',//„) oblike Pn(), kjer je (p : K' -> K zvezna preslikava. Odtod takoj sledi, da je $ tudi homomorfizem pripadajočih grup G in G", da je $(-1) = -1 in da $ zadošča točki 2. iz izreka 5. Q.E.D. V primeru n = 2 se da izometrična ralacija na Booleovi algebri preprosto opisati z njenimi mrežnimi operacijami. Velja (a, b) ~ (c, d) natanko tedaj, ko je a U b = c U d in anb = cnd. V splošnem primeru dobimo samo naslednjo karakterizacijo. Izrek 16 Naj bo n poljubno naravno število in K poljuben Booleov prostor. Za poljubne elemente a, b,c,de C(K, /in) sta ekvivalentni trditvi: 1. a + b = c + d, 2. Velja (aUb)U(-cU-d) = (-aU-b)U(cUd), (aUb)D(-cU-d) = (-aU-b)D(cUd), (an&)u(-cn-d) = (-au-b)n(cnd) m (an&)n(-cn-d) = (-an-&)n(cnd). Dokaz : Po lemi 2 velja prva točka natanko tedaj, ko za vsak x G K velja bodisi a(x) = c(x) in b(x) = d(x) bodisi a(x) = d(x) in b(x) = c(x) bodisi a(x) = -b(x) in c(x) = -d(x). 89 Ker za vsak x G K velja a(x) ^ -a(x) in b(x) ^ -b(x) velja ta trditev natanko tedaj, ko za vsak x G K velja {{a{x),b{x)}, {-c{x), -d{x)}} = {{-a{x),-b{x)}, {c{x), d(x)}}. Ker sta dve dvoelementni množici enaki natanko tedaj, ko imata enak minimum in enak maksimum, je druga točka ekvivalentna z naslednjo trditvijo: za vsak element x G K velja: {a(x)Ub(x), -c(x) U -d(x)} = {-a(x) U -b(x), c(x) Ud(x)} in {a(x) D b(x), -c(x) D -d(x)} = {-a(x) n -b(x),c(x) n d(x)}. Odtod takoj vidimo, da iz prve točke sledi druga, obratna smer pa zahteva še nekaj dodatnega dela. Naj velja trditev iz drugega odstavka. Za vsak element x G K ločimo tri možnosti: 1. a(x) U b(x) ^ c(x) U d(x) 2. fl(x)n&(x)/c(x)n(l(i). 3. a(x) U b{x) = c(x) U d{x) in a(x) D b(x) = c(x) D d(x). V prvem primeru dobimo a(x) U b{x) = -a{x) U -b{x) in c(x) U d{x) = -c{x) U -d(x). V drugem primeru dobimo a(x) D b(x) = -a(x) D -b(x) in c(x) D d(x) = -c(x) D -d(x). V obeh primerih množica {a(x),b(x)} seka množico {-a(x),-b(x)} in množica {c{x),d{x)} seka množico {-c{x),-d{x)}, torej velja {a(x),b(x)} = {-a(x),-b(x)} in {-c{x), -d(x)} = {c(x),d(x)}. Iz tretjega primera takoj sledi {a(x),b(x)} = {c{x),d{x)} in {-c{x), -d(x)} = {-a(x), -b(x)}. V vseh treh primerih torej velja trditev iz prvega odstavka. Q.E.D. 9.5 Postova ovojnica prostora signatur Naj bo n fiksno sodo naravno število. V tem razdelku predpostavljamo, da so vsi prostori signatur strogega eksponenta n in da sa vse Postove algebre reda n. Naj bo (X, G, -1) poljuben prostor form. Vsakemu elementu geG lahko priredimo neko preslikavo e(g) : X -> iin s predpisom e(g)(x) = x(g)- Ker je t{g)-\uj) = {^6 X- X(g) = w} = X n 0(g,uj), je t{g) G C(X,/in) = Gx. Predpis g -> e(g) definira neko preslikavo e : G -^ C(X,/ira). Zaradi lastnosti 4. prostorov signatur, je ta preslikava injektivna. Po lemi 2 velja e*(Lx) C X, torej je e homomorfizem prostorov signatur. 90 Naj bo (p : (X,G,fjLn) -»• (Y,H,fin) homomorfizem prostorov signatur. Po izreku 5 velja *(Y) C X. Po diskusiji pred izrekom 5, je (p* zvezna preslikava. Torej je / -> / o (j)*\Y dobro definirana preslikava iz Gx = C(X,/jn) v GY = C(Y,fjin), ki jo lahko izrazimo tudi kot Pn{*\Y). Ta preslikava je homomorfizem grup in slika -1 v -1. Iz leme 2 in točke 2. izreka 5 sledi, da je preslikava Pn{(p*W) homomorfizem iz prostora signatur (Ex,Gx,-l) v prostor signatur (EY,GY,-l). Funktorialnost te preslikave je očitna. Funktorju PHn : Sosn -> PAra, ki je definiran z PHn((X, G, -1)) = (Ex, Gx,-1) in PHn((f) : (X,G,-l) -> (Y,H,-1)) = Pn((f>*\Y) pravimo Postova ovojnica. Ime ovojnica opravičuje naslednja univerzalna lastnost: Izrek 17 Naj bo G grupa eksponenta n, (X, G, -1) prostor signatur, in t : (X, G, -1) -»• (Ex,Gx,-l) naravna vloˇzitev. Za poljubno Postovo algebro GK in poljuben homomorfizem (p : (X,G,-1) -»• (EK,GK,-l) prostorov signatur, obstaja natanko en tak homomorfizem h: GX^GK Postovih algeber, da velja (p = hot. Dokaz : Dokažimo najprej enoličnost preslikave h. Ker je h homomorfizem Postovih algeber, obstaja po izreku 13 taka zvezna preslikava a: K -> X, da je h = Pn(a). Naj bo i : K -^EK preslikava definirana z i(x) = ex, kjer je ex evaluacija v točki x. Ker velja (p = Pn(a) o e, lahko za poljuben x e K in poljuben g e G napravimo naslednji račun: (0* o i)(x){g) = *{ex){g) = (ex o ){g) = (f)(g)(x) = (Pn(a) o e){g){x) = Pn(a)(e(g))(x) = (e(g) o a){x) = e{g){a{x)) = a{x){g). Odtod sledi, da je a = 0* o i, torej je enoličnost preslikave h dokazana. Dokažimo sedaj eksistenco preslikave h. Definirajmo preslikavo a = (p* o i. Ker je (p homomorfizem prostorov signatur, je X zvezna preslikava. Definirajmo h := Pn(a). Po izreku 13 je h homomorfizem Postovih algeber. Za poljubna g G G in x G K velja (h o e){g){x) = Pn(a)(e(g))(x) = (e(g) o a){x) = e{g){a{x)) = a{x){g) = {(p* o i)(x){g) = *{ex){g) = (ex o ){g) = ex{