= LJUBLJANA

-O

'S-

C*>t' O?**?//

K a zalo.

Stran.

Uvod. 1

Prvi oddelek.

Računanje z neimenovanimi in jednoimenskimi celimi
in decimalnimi števili.

I. Tvorba števil. 2

II. Seštevanje. 8

III. Odštevanje.16

IV. Množenje.25

V. Deljenje.43

VI. Naloge za ponavljanje.62

Drugi oddelek.

Računanje z mnogoimenskimi celimi in decimalnimi števili.

1. Drobljenje.69

2. Debeljenje.72

3. Seštevanje.  74

4. Odštevanje.77

5. Množenje.79

6. Deljenje.81

7. Naloge za ponavljanje. 84

Tretji oddelek.

O deljivosti števil.

1. Pojasnila.89

2. Občni izreki o deljivosti.90

3. Znamenja deljivosti.91

4. Razstavljanje na prafaktorje.93

5. Največja skupna mera.94

6. Najmanjši skupni mnogokratnik.•;.96

Četrti oddelek.

Računanje z navadnimi ulomki.

1. Pojasnila in vaje.  99

2. Pretvorba ulomkov.101

3. Seštevanje ulomkov.109

Stran.

4. Odštevanje ulomkov.HO

5. Množenje ulomka s celim številom.112

6. Deljenje ulomka s celim številom.llo

7. Množenje z ulomkom..117

8. Deljenje z ulomkom.120

9. Naloge za ponavljanje.125

Peti oddelek.

Nauk o jednostavnih razmerjih in sorazmerjih.

I. Razmerja.130

II. Sorazmerja.131

III. Razreševanje nalog z jednostavnimi razmerji.140

1. Razreševanje po sklepih (sklepovni račun).141

2 .  Razreševanje s pomočjo sorazmerij.143

IV. Procentni računi.  156

1. Račun od sto.157

2 .  Račun nad in pod sto.165

V. Naloge za ponavljanje.170

Dodatek.

Pregled najvažnejših mer, utežij in novcev.

I. Časovne in ločne mere.179

II. Števne mere.179

III. Mere, uteži in novci avstro-ogerske države.180

IV. Najimenitnejše mere, uteži in računski novci tujih držav.187

Uvod.

§ i.

Kadar treba o več rečeh iste vrste povedati, koliko jih je,
tedaj vzamemo jedno  tako reč za jednoto  (Einheit) ter preiskujemo,
kolikokrat  se ta jednota v dani množini rečij iste vrste nahaja.
Izraz, kateri nam to pove, imenujemo število  (Zalil). Ker jednota
pove, da se reč le jed enkrat  nahaja, moremo tndi jednoto za šte¬
vilo smatrati.

Število, katero izražuje le množino jednot, ne pa njih kako¬
vosti, imenujemo neimenovano  število (unbenannte Zahl); število
pa, katero izražuje množino in kakovost jednot, imenovano  število
(benannte Zahl). Tri je neimenovano, trije goldinarji  imenovano
število.

Imenovano število more biti jedno- ali mnogoimensko. Število,
katero ima jednote jednega samega imena, n. pr. štirje goldinarji,
imenujemo jednoimensko  (einnamig); ako pa ima ono jednote
raznih imen, toda iste vrste, imenujemo ga mnogoimensko  (mehr-
namig), n. pr. štirje goldinarji in trije krajcarji.

§ 2 .

Računati  (rechnen) se pravi, iz danih števil s pomočjo do¬
ločenih izprememb druga števila najti. Vsaka izprememba števila
obstoji v tem, da ga na predpisan način povečamo ali zmanjšamo.

Iskano število, katero z računom dobimo, imenujemo rezultat
ali znesek  računa.

Nauk o številih in njih izpremembah imenujemo računstvo
(aritmetiko).

i

Prvi oddelek.

Računanje z neimenovanimi in jednoimenskimi celimi in
decimalnimi Mii.

I. Tvorba števil.

1. Dekadični številni sistem.

§ 1 .

Dekadična cela števila.

V sako tvorjenje števil (Zahlenbildung) začenja s stavljanjem
jednote, in ker si moremo jednoto zopet in zopet stavljeno in k že
nastali množini jednot dodano misliti, gre to v brezkončno. Števila
tako tvoriti, kakor ona z vednim pridodavanjem jednote po vrsti
postajajo, pravi se šteti  (zahlen). Mi štejemo: jedna, dve, tri, štiri,
pet, šest, sedem, osem, devet, i. t. d. ter izražujemo ta števila pis¬
meno s sledečimi znaki (številkami): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i. t. d.
To vrsto števil imenujemo naravno številno vrsto  (natiirliche
Zahlenreihe).

Vrsto naravnih števil moremo predočiti na naj bolj priprost
način na premi črti OX, na katero vnesemo od točke O v mer
proti X jednake daljice, od katerih nam vsaka jedno jednoto pred¬
stavlja. 1-2 3 4 5 (i 7 8

O ! i I M  | ,'  ■! X

Števila, katera dobivamo s ponavljanim pridodavanjem jednote,
imenujemo cela števila  (ganze Zahlen).

Vsa cela števila, in naj so še tolika, dado se z malo besedami
natanko in določeno imenovati, in s še menj znaki pismeno izra-
ževati. Pri tem se držimo načela, da smatramo zmerom določeno
število nižjih jednot za novo višjo jednoto, za jednoto sledečega viš¬
jega reda, in da ji damo kakor taki tudi posebno ime.

3

V našem  dekadičnem  (desetnem)  številnem sistemu (de-
kadisehes Zahlensystem) tvori po deset  jednot jednega reda jednoto
sledečega višjega reda. Začenši pri jednoti štejemo z znanimi imeni
števil: jedna, dve, tri, ....do  deset. Deset prvotnih jednot,  tudi
jednice  (Einer) imenovanih, tvori novo višjo jednoto, katero imenu¬
jemo desetico;  deset desetic da stotico,  deset stotič tisočico,
deset tisočic desettisočico,  deset desettisočic stotisočico,  deset
stotisočic milijon,  i. t. d. Vsako število obstoji iz jednic, desetic,
stotič, . . . ., in je popolnoma določeno, ako povemo, koliko ima
jednic, desetic, stotič,.

Z ustmenim izraževanjem števil zlaga se tudi njih pismeno
predočevanje. V to potrebujemo le številk (Ziffer) za prvih devet
števil, namreč 1, 2, . . . 9, in znaka 0 (ničle), kateri nam pove, da
število nima jednot določene vrste. Da pa moremo, sestavljajoč teh
deset številk, vsa mogoča cela števila izraževati, v to služi nam na¬
čelo, da pomenja vsaka številka na prvem mestu, začenši od desne,
jednice, in na vsakem sledečem mestu proti levi desetkrat  toliko,
kolikor na prejšnjem. Po tem takem pomeni vsaka številka na
drugem mestu, ako se šteje od desne, toliko desetic, na tretjem to¬
liko stotič, na četrtem toliko tisočic, i. t. d., kolikor na prvem jednic.

Ničla nima sama na sebi nobene vrednosti ter le kaže, da ni
jednot določenega reda. Vsaka druga številka pa ima v napisanem
številu dvojno vrednost, vrednost lika  (figure), katera ji gre po
znaku, in je tedaj nepremenljiva, in vrednost mesta,  katera ji
gre po mestu ter je premenljiva. Tako pomeni n. pr. v številu 4404
vsaka veljavna številka štiri, toda s tem razločkom, da pomeni na
prvem mestu, od desne začenši, štiri jednice, na tretjem štiri stotice,
na četrtem štiri tisočice. Z ozirom na vrednost lika pravimo, da je
n. pr. številka 7 večja  od številke 4, kar nam je tako razumevati,
da je število, katero izražuje številka 7, večje nego število, katero
izražuje številka 4. Oziraje se na mesto številke imenujemo, in to
zopet nepravo, ono številko višjo,  katera izražuje jednote višjega
reda ter stoji na kakem daljem mestu proti levi.

§ 4.

Pravilno napisavanje in pravilno čitanje napisanih števil imenu¬
jemo numeracijo ali številko vanj  e.

Številne rede, katere po dekadičnem številnem sistemu na po¬
sameznih sledečih si mestih nahajamo, razdeljujemo lahko prav

i*

4

ugodno na razrede po tri mesta, v katerili so po vrsti jed niče,
desetice, stotič  e. Tri najnižja mesta so kar jednice, desetice,
stotice; prvi sledeči razred ima jednice, desetice, stotice ti so če v;
v daljem sledečem razredu so jednice, desetice, stotice milijonov,

i. t. d. Ta razdelitev zlajšuje bistveno razumevanje in pismeno izra-
ževanje števil.

Naloge.

Gitaj sledeča števila:

1. ) 2000, 7000, 5600, 2750, 5904, 1039, 5138, 2718. 38090, 27026,

80912, 12345.

2. ) 630427, 938824, 732084, 493220, 815500, 408010, 276939,

356805, 1246829, 538191378.

3. ) Najvišja gora v Avstriji je Ortljev vrb na Tirolskem, čegar

nadmorska višina je 3917 metrov.

4. ) V začetku leta 1870. je imel Dunaj 622927 prebivalcev.

5. ) Solnce je 1413879krat toliko kakor naša zemlja.

To število ima: 1413879 jednic

141387 desetic in 9 jednic

14138 stotič ■»  79 »

1413 tisočic » 879 »

141 desettisočic » 3879 »

14 stotisočic » 13879 »

1 milijon » 413879 »

6. ) V začetku leta 1870. imela je avstro-ogerska država 35943592

prebivalcev; od teh jih je spadalo na dežele, v državnem zboru
zastopane, 20420041, na dežele ogerske krone 15523551.

7 . ) Ako bije žila pri zdravem človeku v jedni minuti 75krat, udari

v jednem dnevi 108000 in v jednem letu 39420000krat.

8. ) Ako je krogov premer 1000000000 metrov dolg, ima njegov

obod 3141592654 metrov.

Zapiši s številkami sledeča z besedami izražena števila:

9. ) Dva tisoč in štirideset, pet tisoč sedem sto štiri in

devetdeset, osem tisoč in tri, tisoč tri sto in deset,
dvanajst tisoč pet in dvajset.

10. ) Odrasel človek sopne v jedni minuti šestnajst krat, v jedni

uri devet sto šestdeset  krat, in v jednem dnevi tri in
dvajset tisoč štirideset  krat.

11 . ) Krompir prinesli so v Evropo leta tisoč šest  sto  tri  in

dvajsetega, tobak leta tisoč  pet  sto  šestdesetega.

5

J 2 .)  Jeden kilogram prediva da, so i/presti v nit, devet sto pet
in devetdeset tisoč šest  sto  metrov dolgo.

13. ) Svetloba preleti pot od solnca do zemlje, katera je dvajset

milijonov šest sto tri in osemdeset tisoč tri sto in
deset  milj dolga, v osmih  minutah in trinajstih  sekundah.

14. ) Ako bi kdo v jedili sekundi j e dna štel, potreboval bi, da na¬

šteje jeden milijon, jednajst  dni, trinajst ur, šest in
štirideset  minut in štirideset  sekund; da našteje jeden
bilijon,  potreboval bi jeden in trideset tisoč sedem sto
in devet let, dve sto devet in osemdeset dni, jedno
uro,  šest in štirideset minut  in štirideset sekund.

§ o-

Decimalna števila.

Vsako jednoto moremo na jednake dele razdeliti ali si jo vsaj
na jednake dele razdeljeno misliti. Število, katero ima le jeden ali
več jednakih delov jednote, imenujemo ulomljeno število ali
ulomek  (gebrochene Zahl oder Bruch), v nasprotji s celim številom,
v katerem je jednota sama jeden- ali večkrat.

Ako idemo v celem številu, napisanem po dekadičnem zakonu,
od leve proti desni nazaj, ima vsaka sledeča številka le deseti  del
one vrednosti, katero je imela na prejšnjem mestu, in tako pridemo
slednjič do jednic. Mogoče pa je številno vrsto po istem zakonu
pod jednice nadaljevati; jednico lahko razdelimo na deset jednakih
delov in jeden tak del, desetino,  smatramo za še nižjo jednoto,
dalje deseti del desetine, t. j. stotino,  za jednoto še nižjega, reda,
in tako pridemo, ako deljenje nadaljujemo, do poljubno majhnih
številnih jednot.

Soglasno s tem moremo po dekadičnem zakonu tudi številno
vrsto od jednic proti desni nadaljevati, tako da pomenja številka
na prvem mestu za jednicami desetine,  na drugem stotine,  na
tretjem tiso čine  i. t. d. Pri takem nadaljevanji številne vrste treba
nam je le s kakim znakom predočiti, kje nehajo jednice; ta znak
je točka, postavljena za jednicami zgoraj na desno; imenujemo jo
decimalno (desetinsko) točko  (Decimalpunkt). Številke na levi
od decimalne točke pomenjajo cela  števila ali celote  (Ganze),
številke na desni decimalne točke pa decimalke ali desetinke
(Decimalen). Po tem takem pomeni 444444'44444 sledeče:

6

celote:

4 4 4 4 4

decimalke:

4 4 4 4 4

Število, katero ima decimalke, imenujemo decimalno število
ali decimalen ulomek  (Decimalzahl, Decimalbruch).

§ 6 .

Decimalno število čitamo,  ako izgovorimo najprej celote in
potem vsako posamezno decimalko z njeno mestno vrednostjo ali brez
te ali pa vse decimalke z njih skupno vrednostjo. N. pr. 47 ■ 385 čitamo:

a)  47 celot, 3 desetine, 8 stotin, 5 tisočin; ali

b)  47 celot z decimalkami 3, 8, 5; ali slednjič

c)  47 celot 385 tisočin.

Drugi način čitanja je najnavadnejši.

Citaj sledeča decimalna števila:

32-517, 7-0703, 0-005, 3-14159, 0'5596, 17-008, 80-072,
0-480107, 0-20903, 725-008, 0'036, 28'00074.

Da napišemo  decimalno število, pišemo najprej celote, za
temi postavimo decimalno točko in potem posamezne decimalke po
redu njih mestne vrednosti. Ako ni celot ali posameznih decimalk,
postavimo na njih mesto ničle.

N. pr. 13 celot, 5 stotin, 6 desettisočin pišemo: 13 0506; 7 de¬
setin zapišemo: 0- 7.

Napiši sledeča decimalna števila:

1. ) 5 celot, 3 desetine;

2. ) 28 celot, 4 desetine, 7 stotin, 1 tisočino;

3. ) 110 celot, 35 tisočin;

4. ) 7 tisoč 28 celot, 4 stotine, 9 tisočin;

5. ) 7 stotisočin;

6. ) 39 tisoč 91 milijonin.

Iz pojma decimalnega števila sledi, da njegove vrednosti ne
izpremenimo, ako mu na desni jedno ali več ničel pripišemo, ker
obdrže pri tem posamezne številke svojo prejšnjo mestno vrednost.
Tedaj je

8-7 = 8-70 = 8-700  = 8-  7000 = 8 • 70000.

Ako ima decimalen ulomek mnogo decimalk, nimajo dostikrat
nižja decimalna mesta z ozirom na kakovost naloge za praktično
življenje nikakeršne vrednosti. V takem slučaji pridržimo toliko deci¬
malk, kolikor jih je za nalogo potrebnih. Ako pa decimalen ulomek
na katerem koli mestu pretrgamo, potem popravimo  (corrigieren)
zarad večje natančnosti številko na tem mestu, t. j. povečamo jo za
1, ako je prva izpuščena številka 5 ali večja od 5. N. pr.: Mesto
decimalnega ulomka 0’357283 pisali bi, ako zadostujejo štiri deci¬
malke O - 3573, in, če zadostujejo tri, 0'357.

Tak decimalen ulomek imenujemo okrajšan;  on je le pri¬
bližen izraz popolnega  decimalnega ulomka. Pogrešek vender ni
večji od polovice jednote zadnjega pridržanega decimalnega mesta.
Ako hočemo naznaniti, da je 0'357 okrajšan decimalen ulomek,
pišemo: 0'357 . . .

Ako računamo z okrajšanimi decimalnimi ulomki kakor s po¬
polnimi, nižja decimalna mesta niso zanesljiva.

2. Rimske številke.

§ 8 .

Številke, katere smo do sedaj rabili, imenujemo arabske.
Poleg teh rabimo včasih tudi rimske  številke.

Rimljani so imeli za števila sedem znakov:

I, V, X, L, C, D, M.

za 1 5 10 50 100 500 1000.

S temi sedmimi znaki izraževali so, prilično jih sestavljajoč,

vsa druga števila po sledečih zakonih:

1. ) Jednake znake, stoječe drug poleg  druzega, treba se¬
števati ; n. pr.:

II pomeni 2, XXX pomeni 30,

III » 3, CCC » 300.

2. ) Nižji znak, stoječ za višjim, treba k temu prištevati; n. pr.:

VI pomeni 6, XXVI pomeni 26,

VIII » 8, CXV . 115,

LX » 60, DCLX * 660.

3. ) Nižji znak, stoječ pred  višjim, treba od tega odštevati; n. pr.:

IV pomeni. 4, XIX pomeni 19,

IX > 9, XLII1 » 43,

8

XL pomeni 40, XCIV pomeni 94,

XC » 90, MDCCCLXIX » 1869.

Čitaj: VII, XIII, XV, XXIV, XLI, LXI, XCI, CIX, CXI,
CMXIX, MCCCXIV, MDCCXL.

Napiši z rimskimi številkami vsa števila od 1 do '20; dalje
28, 49, 84, 365, 719, 930, 1344, 1799, 1878.

II. Seštevanje neimenovanih in jednoimenskih eelih
in decimalnih števil.

§ 9 -

Seštevati (addieren) se pravi, iskati števila, katero ima toliko
jednot, kolikor dve ali več števil skupaj. Dana števila imenujemo
prištevnike (sumande, adende); število pa, katero s seštevanjem
dobimo, vsoto (sumo).

Da prištejemo k številu 3 drugo število 4, treba nam le v
naravni številni vrsti, začenši pri številu 3, za toliko jednot naprej
šteti, kolikor jih ima drugo število 4; število 7, do katerega pridemo,
je iskana vsota.

Znak seštevanja je stoječ +, katerega več (plus) čitamo in
med sumande postavljamo. Med sumande in vsoto pišemo jednačaj
(Gleichheitszeichen) = (jednako), ki nam pove, da so števila ali šte¬
vilne zveze, med katerimi stoji, jednake vrednosti. N. pr.: 3 + 4=7
čitamo: 3 več 4 je jednako 7.

Ako nam je več nego dve števili seštevati, prištejemo k vsoti
dveh števil tretje, k novi vsoti četrto i. t. d.

Ako hočemo naznaniti, da je z neizvedenim računskim poslo¬
vanjem (operacijo) še dalje računati, denemo ga v oklepaje  (Klam-
mern). N. pr.:

(7 + 8) + 3 kaže, da treba k vsoti števil 7 in 8 še število 3
prišteti.

7 + (8 + 3) kaže, da moramo k 7 vsoto števil 8 in 3 prišteti.

Vaje. (Računanje na pamet.)

§ 10 .

1. ) Štej od 1 naprej do 100, prištevajoč zmerom po 1; namreč

1 + 1 - 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, . . ..

2. ) K 1 prištej 2, k vsoti zopet 2, in k vsaki sledeči vsoti 2.

9

3. ) Začni z 2 in prištevaj takisto zmerom po 2.

4. ) Štej s 3 naprej

a)  od 1 do 100, b)  od 2 do 101, c)  od 3 do 102.

5. ) Na isti način štej

a)  prištevajoč 4 začenši z 1, 2, 3, 4;

8. ) a)  Ako korakamo v naravni številni vrsti jedenkrat od 5 za

3 jednote, potem pa od 3 za 5 jednot naprej, katero
število dobimo v obeh slučajih?

b)  Koliko je 7 + 4? Koliko je 4 + 7?

c)  2 + 5 + 8=? 5 + 2 + 8= ? 8 + 2 + 5=?

2 + 8 + 5=? 5 + 8 + 2=? 8 + 5 + 2=?

Množina jednot sumandov ostane ista, naj si tudi slede v ka¬

terem koli redu; tedaj mora ista ostati tudi vsota.

Isti sumandi dado v vsakem redu isto vsoto.

9. ) Na koliko načinov moreš sešteti števila a)  3, 4 in 5, b)  2, 3,

4 in 5 ?

10.) a)  7 + 5 + 9 + 5=? 6)3 + 2 + 9 + 8 + 4=?

2 + 7 + 8 + 9 =? 6 + 9 + 3 + 7 + 5=?

6 + 4 + 3 + 8 =? 8 + 5 +1 + 9 + 7=?

11. ) a)  4 + 7 +9+6 + 5=? b)  9 + 2 + 9 + 8 + 5 + 3 =?

6+8+4+5+7=?  5 + 6 + 8 + 7 + 4 + 9=?

7 + 3 + 4 + 9+  6=?  8 + 9 + 1 + 2 + 8 + 7=?

12. ) Seštej števila od 1 do 9.

13. ) Koliko je 5 desetic in 3 desetice? Koliko je 20 + 10, 30 + 40,

40 + 50, 50 + 60, 80 + 30, 70 + 90?

14. ) Koliko je 4 stotice in 5 stotič? Koliko je 300 + 100, 700 + 200,

400 + 300, 600 + 400?

15. ) a)  Koliko je 56 + 3 ?

(50 + 6) + 3 = 50 + (6 + 3) = 50 + 9 = 59.

Jednice prištevamo k jednicam, desetice ostanejo neizpremenjene.

10

b)  Koliko je 56 + 30?

(50 + 6) + 30 = (50 + 30) + 6 = 80 + 6 = 86.

Desetice prištevamo k deseticam, jednice ostanejo neizpremenjene.

K vsoti prištevamo število, ako ga prištejemo
samo k jednemu sumandu.

16. ) Koliko je 34 + 10, 28 + 20, 47 + 30, 61 + 20, 76 + 30?

17. ) Koliko je 365 + 20, 330 + 200, 560 + 300, 257 + 400?

18. ) a)  Koliko je 46 + 7? Mesto da štejemo v številni vrsti od

46 za 7 = 4 + 3 dalje, štejemo najprej za 4 in potem
še za 3 naprej; tedaj je

46 + (4 + 3) = (46 + 4)+ 3 = 50 + 3 = 53.
b)  Seštoj 46 in 52. Koliko je 46 in 50? — in še 2?

46 + (50 + 2) = (46 + 50) + 2 = 96  + 2 = 98.
Mesto da prištevamo k številu vsoto, moremo sumande
druzega za drugim prišteti.

Včasih postopamo tudi obratno:

Mesto da k številu prištevamo več števil drugo za
drugim, prištejemo najedenkrat vsoto vseh teh števil.  N.p.:
245 + 37 + 63 = 245 + 100 = 345.

19. ) Koliko je 67 + 21, 52 + 41, 58 + 42, 317 + 69?

20. ) Katero število je za 36 večje od 51?

21. ) Mislim si število; ako odštejem od njega 27, ostane mi še 65;

katero število sem si mislil?

22. ) Seštej sledeča, drugo pod drugim stoječa števila:

23. ) a)  19 + 28 + 37 + 46 =? b)  25 + 34 + 19 + 80 =?

24. ) Koliko je 317 + 268? 317 in 200 je ..., in 60 je ..., in 8 je...

25. ) Koliko je 436 + 324, 321 + 654, 818 + 172?

26. ) Koliko je 234 + 345 + 123?

27. ) Uredi sledeče sumande tako, da se seštevanje zlajša:

a)  455 + 123 + 208 + 77 + 45 + 92;

b)  63 + 28 + 116 + 272 + 37 + 84.

28. ) Koliko je 4000 in 3000, 2800 + 4000, 4108 + 500?

29. ) Izračunaj 5680 + 4007, 2936 + 4040.

30. ) Koliko je 5143 + 809, 3095 + 3860, 5138 + 1769?

11

Pismeno seštevanje.

§ H-

Seštevanje celih števil.

Ker moremo le istovrstne jcdnote seštevati, pišemo pri sešte¬
vanji večštevilčnih števil sumande tako druzega pod druzega, da
stoje jednote istega reda druga pod drugo, tedaj jednice pod jed-
nicami, desetice pod deseticami, i. t. d.

sumanda f 245  2  J edn - + 5  ■' e,ln ' = 7  j ednic -

l 342 4 des. + 4 des. = 8 desetic.

v s o tel o87 H stot. d" 2 s *°* ; ' =  h stotič.

7  j• + 8 j. -f 3 j. = 18 j. = l d. + 8 j.

1 d. + 5 d. + 5 d. + 9 d. == 20 d. = 2 st. + 0 d.

2 st. -f- 3 st. + 4 st. +6 st. = 15 st.

1508

Najprej seštevamo tedaj jednice, potem desetice,
stotice, ... in vsakikratno vsoto zapišemo, ako je jedino-
številčna, pod seštete jednote; ako je pa vsota katerega
koli reda dvodštevilena, zapišemo le jednice onega reda
pod seštete jednote, desetice pa prištejemo kakor jednote
sledečega reda k temu.

Ako se hočemo o pravosti vsote prepričati, seštejemo še jeden-
krat, in sicer od zgoraj na spodaj, ako smo seštevali prej od spodaj
na zgoraj; ako je vsota v obeh slučajih ista, moremo jo za pravo
smatrati, ker zarad izpremenjenega reda številk ni lahko obakrat
isti pogrešek mogoč.

Drugo preskušnjo  (Probe) za pravost seštevanja navedli
bodemo pri odštevanji.

§ 12 .

Seštevanje decimalnih števil.

Sumande pišemo po zakonu istovrstnosti druzega pod dru¬
zega, to je celote pod celote, desetine pod desetine, stotine pod
stotine . . ., na ta način pridejo tudi decimalne točke druga pod
drugo; potem seštevamo kakor pri celih številih, pri najnižjem
mestu začenjajoč, in v vsoti postavimo decimalno točko ravno pod
decimalne točke sumandov.

Ako nam je okrajšane decimalne ulomke  seštevati,
okrajšamo vse na isto toliko mest ter jih seštejemo. V vsoti so,

693

458

357

12

ako ni več
najnižje.

1.) 5-82
7'37
3-48
9-06
25-73

kakor 10 sumandov, vse decimalke zanesljive, razven

Najprvo seštejemo stotine; tu dobimo 23 stotin = 2 deseti¬
nama in 3 stotinam; 2 desetini prištejemo k desetinam ter do¬
bimo 17 desetin = 1 jednici 7 desetinam; 1 jednico prištejemo
potem k celotam.

V primeru 3.) je zadnja decimalka v vsoti nezanesljiva.

Naloge. S Ia '

1. ) 38

94 Govori: 7 in 4 je 11, in 8 je 19 , ostane 1; 1 in 6 je 7, in

87 9 je 16, m 3 je 19 .

199

2. ) Seštej sledeča števila, in sicer najprej ona v vertikalnih, potem

ona v horizontalnih vrstah; seštej dalje vsote vertikalnih in
potem one horizontalnih vrst:

34 + 56 + 36 + 27 + 69 + 43 + 87 + 24

57 + 21 + 90 + 67 + 58 + 63 + 35 + 48

19 + 56 + 76 + 34 + 65 + 50 + 89 + 57

42 + 60 + 45 + 86 + 99 + 17 + 25 + 60

68 + 80 + 26 + 77 + 58 + 69 + 43 + 54

5.) Seštej v sledečem četverokotniku najprej števila vsake verti¬
kalne, potem števila vsake horizontalne vrste in slednjič števila
obeh diagonalnih vrst.

13

6. ) Koliko je osmo število v številni vrsti, ki se z 2096 začne, in

v kateri je vsako sledeče število za 214 večje od prejšnjega?

7. ) Kolika je vsota 6 števil, ako je prvo 1275, in vsako sledeče

za 124 večje od prejšnjega?

8. ) Izračunaj vsoto 5 števil; prvo je 3087, drugo je za 690 večje

od prvega, tretje za 516 večje od druzega, četrto za 407 večje
od tretjega, in peto za 375 večje od četrtega.

9.) 92613
81502
70491
47209
18456
310271

Bolj izurjenim priporočamo, (la pri seštevanji besedice in, isto-
tako tudi pozameznih številk, katere ravno seštevajo, ne izgovar¬
jajo, nego le vsakikratno vsoto. Tako bi pri seštevanji jednic v
zraven stoječem primeru ne rekli: 6 in 9 je 15, in 1 je 16, in 2
je 18, in 3 je 21, nego le: 6, 15, 16, 18, 21.

10.) Seštej kakor v nalogi 2. sledeča števila:

41782 + 29714 + 80508 + 26396 + 73614
71396 + 29592 + 75801 + 34567 + 90123
95703 + 88466 + 54953 + 63780 + 77266
18278 + 91705 + 27265 + 53927 + 84706
89924 + 93364 + 62879 + 27048 + 60973

11.) a)  158724
306315
30880
246727
150236
9876

b)  303235
684450
471899
4206
81183
790547

c)  1234567
2345678
3456789
4567890
5678901
6789012

12.) Seštej števila: 3098752, 8345097, 58091, 937248,
7514389, 3507019, 1907338.

5630956,

13. ) 3-62 + 9-57 + 8'26 + 2‘95 + 7'08 + 5-39 =?

14. ) 37 v3 + 30-3 + 3-84 + 7-29 + 3 99 + 67-2 = ?

15. ) 24'7 + 528 + 0‘75 + 37’6 + 8'35 =?

14

16. ) 3 ■ 142 + 4'586 + 5 ■ 92 + 6'364 + 7 ■ 708 — ?

17. ) 38-3 + 20-95 + 60-14 + 505 + 60-39 + 724-9 = ?

18. ) 1-4 + 91 025 + 8-79 + 24-21 + 0-8 + 1 848 + 35-791 = ?

19. ) 9-37 ..+ 34-25..+ 39 73 .. + 4 ■ 79 .. + 0 ■ 29 .. = ?

20. ) 0-5 + 0-25 + 0-125 + 0‘0625 + 003125 = ?

21. ) 550-62 + 184-77 + 29 39 + 70‘913 + 629 + 12-8 = ?

22. ) Seštej 3 števila; prvo je 8 12, drugo za 8-79 večje od prvega

in tretje za 10 35 večje od druzega.

23. ) Od nekega števila seje odštelo 37 865 in ostalo je še 53 196;

koliko je bilo ono število?

24. ) Katero število je za 74'865 večje od 42 "73 4- 91 "68?

25. ) 315-247 + 93 07 + 100 + 0-3947 + 293 2973 + 67-84 =?

26. ) 165-80 + 307-405 + 509 7628 + 769-208 + 725 + 70-464

+ 690-5237 =?

27. ) 87-549 + 297-315 + 934 046 + 971-5411 + 84-3139 + 51-698

+ 35-8423 =?

28. ) 25480 ■ 7 + 4183 ■ 5 + 82091 ■ 08 + 7831 • 359 + 5092'4+1357

+ 631-997 = ?

Seštevanje jednoimenskih števil.

§ 14 .

Pri seštevanji imenovanih števil morajo imeti dana števila
isto ime, in to dobi potem tudi vsota.

Naloge. (Za pismeno in deloma tudi ustmeno razrešitev.)

1. ) Neka gimnazija ima v I. razredu 50, v II. 45, v III. 43, v IV. 37,

v V. 44, v VI. 32, v VII. 29, v VIII. 30 učencev; koliko je vseh
učencev na tej gimnaziji ?

2. ) Koliko dnij preteče v navadnem letu od dne l.januvarja do dne

15. maja?

3. ) Koliko dnij preteče v prestopnem letu od dne l.januvarja do

zadnjega dneva vsacega meseca?

4. ) Cesar Avgust je bil rojen leta 63. pred Krist., umrl pa je leta

15. po Krist.; koliko let je doživel?

5. ) Nekdo je bil rojen leta 1789. in je umrl 53 let star; katerega

leta je umrl?

6. ) Križevniške vojske v sveto deželo začele so se leta 1096. in so

trajale 195 let; kedaj jim je bil konec?

15

7. ) Neki hišni gospodar dobi vsako leto od 5 strank najemnine:

96 gld., 130 gld., 280 gld., 300 gld., 335 gld.; koliko skupaj?

8. ) Ako vzamemo, da preleti prosto padajoče telo v prvi sekundi

svojega pada 4 • 904 m  in v vsaki sledeči sekundi 9 • 808 m  več
kakor v poprejšnji; a)  kolik je prostor padli v drugi, tretji in
četrti sekundi? b)  kolik v vseli štirih sekundah?

9. ) Kupec dobi pet sodov kave, kateri tehtajo posamič: 220, 224,

222, 227 in 2 31 kg ; koliko kg  tehtajo vsi?

10. ) Voznik je naložil tri zaboje; prvi je tehtal 107, drugi 148 kg,

tretji toliko, kolikor ona dva skupaj; kolika je bila teža vsega
tovora ?

11. ) Na nekem trgu prodalo se je: 432 hi  pšenice, 305/*/ reži, 287 hi

ječmena in 613 hi  ovsa; koliko hi  se je prodalo vsega žita?

12. ) Za neko kupčijo da A  2560 gld., B  3050 gld., C  1880 gld.

in D  2400 gld. ; koliko denarja imajo vsi štirje v kupčiji ?

13. ) Mejna črta Češke proti Bavarski je 290‘5, proti Saksonski

424'8, proti Pruski 294 3, proti Moravski 375'5, proti Doljni
Avstriji 102 • 4 in proti Gornji Avstriji 102'6 km  ; koliko km
znašajo vse mejne črte Češke?

14. ) Nekdo ima tri kapitale (glavnice); prvi mu nese vsako leto

61'35 gld., drugi 27'68 gld., tretji 85'395 gld. obresti); ko¬
liko obresti) mu dade vsako leto vsi trije kapitali?

15. ) A  je za 7'825 m  višje od B, B  za 12'15m višje od C, C  za

9'023 m  višje od D;  za koliko je A  višje od D?

16. ) Neka črta ima štiri odseke, kateri so posamič 41'27 m,  37'62 m,

30'55 m  in 26'82 m  dolgi; kolika je dolžina cele črte?

17. ) Stranice peterokotnika so 32'28 m,  35'2 m,  17'35 m,  24'76;«,

21'59 m; kolik mu je obseg?

18. ) Štiri palčice od zlata tehtajo posamič 1 375, 1 248, 0'9315,

0'85 kg ; kolika je teža vsem?

20.) Nekdo ima 31'284 /;« njiv, 0'95 ha  vrtov, 11 ■ 256 ha  travnikov
in 38'5 ha  gozda; koliko ima vsega zemljišča?

16

21. ) Nekdo je dolžan ^4-u 2385 gld., B- u 2220 gld., C-u  3800 gld.,

D -u 950 gld. in E -u 4260 gld.; koliko dolguje vsem ?

22. ) Nekdo zapusti 3568 gld. gotovega denarja, 8350 gld. v državnih

dolžnih pismih, 7280 gld. v posojilih, in hišo, 18500 gld. vredno;
kolika je vsa njegova zapuščina?

23. ) V neki deželi so pridelali v štirih letih zaporedoma 83560, 69012,

64805, 60500 ha  vina; koliko v vseh štirih letih?

24. ) Za skupno kupčijo dal je A  2956'6 gld., B  za 532‘2 gld. več

nego A,  in C  464 • 2 gld. več nego B.  Dobiček iz te kupčije
razdelili so tako, da je dobil A  739’15 gld., B  za 133 - 05 gld.
več nego A,  in C  za 116 1 05 gld. več nego B.  Koliko so vsi
vložili skupaj, in kolik je bil ves dobiček?

25. ) Izdatki neke tvornice so bili:

v januvarji
» febru varji
» marciji
» aprilu
» maji
8  juniji

12685 gld.,
11590 >

12372 *

10483 »

13066 »

12139 »

v juliji
» avgustu
»  septembru
» oktobru
» novembru
» decembru

13704 gld.,
12558 »

10630 >.

12917 »

11828 »
13076 »

Koliki so izdatki za celo leto ?

26. ) Neka železnica imela je dohodkov: v januvarji 755952 gld.,

v februvarji 678879 gld., v marciji 891363 gld., v aprilu
840504 gld., v maji 914154 gld., v juniji 976083 gld.; ko¬
liko v vseh šestih mesecih skupaj ?

27. ) Po zadnjem popisu ljudstva (1. 1880.) je imela Češka 5557134,

Moravska 2151619, Šlezija 565772 prebivalcev; koliko prebi¬
valcev so imele vse tri dežele?

III. Odštevanje neimenovanih in jednoimenskih celih
in decimalnih števil.

§ 15.

Iz obrata seštevanja sledi drug računsk način, katerega ime¬
nujemo odštevanje  (Subtraction). Odštevati  (subtrahieren) se
pravi, iz vsote dveh števil in iz jednega obeh sumandov iskati dru-
zega. Dano vsoto imenujemo minuend  ali zmanjševanec, dani

17

sumand subtrahend ali zmanjševalec, odštevanec, iskani su-
mand diferenco, razliko ali ostanek. Ako prištejemo diferenco k
subtrahendu, dobimo minuend.

Ker vsota dveh števil ne more biti manjša nego jeden njen
sumand, vzamemo tudi tu, da je minuend zmerom večji od sub-
trahenda.

Znak odštevanja je vodoravna črta: —, katero izgovarjamo
menj (minus); minuend pišemo pred, subtrahend za črto. N. pr.:
8 — 3 = 5 čitamo: 8 menj 3 je jednako 5.

Vsako seštevanje dveh števil, n. pr.: 8 + 5 = 13, da v svojem
obratu dve nalogi za odštevanje; dan je namreč razven vsote 13,
katera je kakor minuend zmerom dana, kot subtrahend ali prvi
sumand 8 ali drugi sumand 5. Ako je dan kakor subtrahend prvi
sumand 8, potem nam je preiskavah, koliko treba k 8 še prišteti,
da dobimo 13; v tem slučaji moramo od 8 v številni vrsti za toliko
naprej šteti, da pridemo do 13; število 5, katero na ta način s
seštevanjem najdemo, je drugi sumand, diferenca. Ako je pa drugi
sumand 5 kakor subtrahend dan, tedaj nam je preiskavati, h kate¬
remu številu treba prišteti 5, da dobimo 13 za vsoto, t. j. koliko
od 13 še ostane, ako prištetih 5 zopet odštejemo; ostalo število 8
je iskani prvi sumand, ostanek.

Ker je pa za vsoto vse jedno, kateri od dveh sumandov je
prvi ali drugi, je tudi za diferenco vse jedno, ali se poslužujemo
pri odštevanji prve ali druge zgoraj navedene razrešitve. Pri prvi
nalogi dobimo diferenco 5 tudi, ako od 13 odštejemo 8, in pri drugi
nalogi diferenco 8 tudi tako, da prištejemo k 5 toliko, da dobimo 13.

Odštevanje dveh števil nam je tedaj mogoče izvrševati na dvo¬
jen način: ali prištejemo k subtrakendu toliko jednot, da dobimo
minuend; ali pa odštejemo od minuenda toliko jednot, kolikor jih
ima subtrahend. N. pr. v nalogi: 12 — 5 pravimo ali: 5 in 7 je 12,
ali: 5 od 12 ostane 7.

Vaje. (Računanje na pamet.)

§ 16 -

1. ) Štej od 100 nazaj tako, da vselej 1 odšteješ; namreč 100, 99,

98, . . .

2. ) Katera števila dobiš, ako v naravni številni vrsti a)  od 100,

b)  od 99 zmerom za 2 jednoti nazaj korakaš?


18

3. ) Zmanjšaj u)  100 za 3. in vsakikratni novi ostanek zopet za 3;

potem isto tako b)  99, c)  98.

4. ) Štej od 100 začenši za 4 nazaj; dalje isto tako, od 99, 98,

97 začenši.

5. ) Štej nazaj

a)  za 5 začenši od 100, 99, 98, 97, 96 ;

b)  » 6 » » 100, 99, ....  96, 95;

c) »  7 » 100, 99, ....  95, 94;

d)  » 8 » 100, 99. 94, 93;

e)  » 9 » » 100, 99, ....  93, 92.

6. ) Od 13 odštej 4, 5, 6, 7, 8, 9.

7. ) Za koliko jednot moraš v naravni številni vrsti, od 8 začenši,

naprej šteti, da prideš do števila 15?

8. ) Koliko moraš k 6, 7, 8, 9 prišteti, da dobiš 14?

9. ) Določi sledeče diference:

a)  11 - 3, 25 - 8, 37 - 4, 43 - 7, 54 - 6, 60 - 5.

b)  52 — 9, 93 — 4, 17 - 6, 65 — 8, 82 - 5, 29 — 7.

c)  44 - 6, 73 - 7, 34 - 5, 52 - 4, 39 - 1. 47 - 8.

10.) Štej v številni vrsti od 15 nazaj prvikrat najprej za 4 in po¬

tem za 5, drugikrat najprej za 5 in potem za 4. Katero število
dobiš vsakikrat?

(15 - 4) — 5 = (15 — 5) - 4 = 6.

Ako treba  od  kacega števila dve števili odšteti, za
rezultat je vse jedno, v katerem redu ji odštevaš.

11.) Štej v naravni številni vrsti od 8 najprej za 7 naprej in potem
za 5 nazaj; štej dalje od 8 najprej za 5 nazaj in potem za 7
naprej. Do katerega števila prideš obakrat?

(8 + 7) - 5 = (8 — 5). + 7 = 10.

Ako treba k številu drugo prišteti in od njega tretje
odšteti, vse jedno je za rezultat, v katerem redu pri¬

števaš in odštevaš.

12. ) a)  26 — 5 - 6 =?

31-8-1 = ?
47 — 2 — 7 =?

13. ) a)  4 + 9 — 5 =?

35 - 7 + 5 = ?
28 + 4 — 8 =?

b)  35 — 8 — 3 — 5 =?
59-2-9-7=?
60 - 4 - 3 - 6 =?
b)  78 + 6 - 5 — 4 ='?
46-8 + 5-6=?
52 + 6 + 7- 8= ?

14.) Koliko ti ostane, ako odšteješ 3 desetice od 8 desetic? Koliko
je 70 - 20, 90 - 50, 70 - 50, 80 - 20, 120 - 40, 140-50,

160 — 80?

19

15.  ) Koliko ti ostane, ako odšteješ 5 stotič od 12 stotič? Koliko je

800 — 300, 900 - 200, 1500 - 700?

16. ) Odštej 10 od 200, 60 od 300, 70 od 420.

17. ) a)  Koliko je 68 — o?

(60 + 8) — 5 = 60 + (8 - 5) = 60 1 3 = 63.

Jednice odštevamo od jednic, desetice ostanejo neizpremenjene.
b)  Koliko je 68 — 50?

(60 + 8) - 50 = (60 - 50) + 8 = 10 + 8 = 18.

Desetice odštevamo od desetic, jednice ostanejo neizpremenjene.

Od vsote odštevamo število, ako je le od jednega
sumanda  odštejemo.

18. ) Koliko ti ostane, ako odšteješ 10 od 25, 20 od 35, 40 od 78,

60 od 96?

19. ) Koliko je 126 - 50, 153 - 80, 149 - 90, 118 - 30?

20. ) 29 + 20 — 30 + 70 — 10 =?

21. ) 98 - 40 + 80 — 50 + 20 - 60 =?

22. ) a)  Koliko je 63 — 8? Mesto da korakamo v številni vrsti od

63 za 8 = 3 + 5 nazaj, moremo tudi najprej za 3 in potem
še za 5 nazaj korakati; tedaj je

63 — (3 + 5) = (63 — 3) — 5 — 60 — o —  55.
b)  Od 67 odštej 24. 67 menj 20, ostane 47, menj 4, ostane 43.
67 - (20 + 4) = (67 - 20) - 4 = 47 - 4 = 43.

Mesto da odštevamo od števila vsoto, moremo od
n j e g a tudi posamezne s u m a n d e dr uzega za drugim od¬
števati.

Včasih pa se da s koristjo uporabiti obrat tega izreka:

Mesto da odštevamo od števila več števil drugo za
drugim, odštejemo na jedenkrat njih  vsoto. K. pr.:

397 — 38 — 62 = 397 — 100 = 297.

23. ) Koliko ti ostane, ako odšteješ 16 od 78, 23 od 65, 38 od 80,

18 od 45, 36 od 71, 88 od 124?

24. ) Razlika dveh števil je 27, večje število 56; koliko je manjše?

25. ) Koliko moraš k 32, 45, 67 prišteti, da dobiš 100?

Izračunaj :

26. ) 85 - 24, 67 - 26, 94 - 34, 74 - 53, 83 - 51.

27. ) 62 - 34, 54 - 27, 86 - 18, 36 - 29, 64 - 37.

28. ) 73 - 47, 90 - 55, 41 - 23, 52 — 17, 74 - 28.

29. ) a)  34 + 56 - 42 =? b)  100 — 28 - 42 =?

81 - 45 + 10 =? 87 - 19 - 41 =?

2 *

20

30.) Povej pomen sledečih izrazov in izračunaj jih:

73 + (48 - 25), 73 - (48 - 25),

(73 + 48) - 25, (73 - 48) - 25.

81.) Od 749 odštej 185. 749 menj 100, ostane...; menj 80, ostane...;
menj 5, ostane....

32. ) Koliko je 466 - 149, 393 - 208, 586 - 250, 423 - 173,

832 - 565, 706 - 658?

33. ) n)  Oče je 41, njegov sin 12 let star; 1.) za koliko je oče

starejši od sina; 2.) kolika je bila razlika njijine starosti
pred 10 leti; 3.) kolika bo razlika njijine starosti čez 10 let?
b)  Koliko je 54 — 6, 64 — 16, 74 — 26?

Diferenca se ne izpremeni, ako k minuendu in sub-
trahendu isto število prištejemo, ali od obeli isto število
odštejemo.

Ta izrek včasih s koristjo uporabljamo; n. pr.:

853 - 298 = 855 - 300 = 555,

648 - 303 = 645 - 300 = 345.

Pismeno odštevanje.

§ 17 -

Odštevanje celih števil.

Ker moremo le istovrstne jednote odštevati, pišemo kar sub-
trahend tako pod minuend, da pridejo istovrstna mesta drugo pod
drugo, namreč jednice pod jednice, desetice pod desetice i. t. d. Po¬
tem nam treba le določiti, koliko moramo k jednotam vsacega reda
v subtrahendu še prišteti, da dobimo jednote istega reda v minuendu.
Recimo, da treba n. pr. 324 od 597 odšteti.

minuend 597 4 jed . in  * jed . je 7 jed .

subtrahend 324  2 des. in 7  des. je 9 des.

3 stot. in 2 stot. je 5 stot.

diferenca 273
Določi dalje diferenco 845

216.

845 Da moremo odštevanje pri jednicah izvršiti, pomnožimo jednice v minit-
216 ®*>du r.;i 10 jednic, potem pa moramo, da ostane diferenca neizpremenjena,

^ tudi subtrahend za jedno desetico pomnožiti. Tedaj imamo: 6 jednic in
O jed. je 15 jed.; pri deseticah moramo 2 des. od 4 des. odšteti in dobimo
2  des.; slednjič imamo: 2 stot. in 6  stot. je 8 stot.

Pri odštevanji števil prištevamo tedaj, pri jednicah začenši,
zaporedoma k vsaki številki subtrahenda toliko, da dobimo nad njo
stoječo številko minuenda, in vsakikrat prišteto številko zapišemo v

21

ostanek. Ako je katera subtrahendova številka večja nego nad njo
stoječa v minuendu, tedaj povečamo zadnjo za 10 in potem odšte¬
vamo ; a potem moramo povečati tudi sledeče višje mesto v sub-
trahendu za 1.

O pravosti odštevanja se prepričamo, ako prištejemo ostanek
k subtrahendu; ako smo prav odštevali, dobili bomo potem minuendza
vsoto. Druga pr e skušnja  za pravost odštevanja obstoji v tem, da od¬
štejemo ostanek od minuenda, in potem moramo dobiti subtrahend.

Odštevanje nam služi tudi kot preskušnja za pravost sešte¬
vanja. Ako seštejemo namreč vse sumande razven jednega, ter od¬
štejemo to vsoto od vsote vseh sumandov, dobiti moramo, ako je
bilo seštevanje pravo, izpuščeni sumand. N. pr.:

Vsota vseh štirih sumandov je 2510, zadnjih treh pa 1536; ako
odštejemo to vsoto od prve, dobimo prvi izpuščeni sumand 974 za
ostanek; seštevanje je bilo tedaj pravo.

§ 18 .

Odštevanje decimalnih števil.

Subtrahend pišemo tako pod minuend, da pridejo cela števila
pod cela števila, desetine pod desetine, stotine pod stotine i. t. d.,
potem odštevamo kakor pri celih številih, v ostanku pa postavimo
decimalno točko natanko pod vse druge decimalne točke.

Ako nam je odštevati o k r a j š a n e decimalno  u 1 o m k e,
okrajšamo vse na isto toliko mest in potem odštevamo. V diferenci
najnižja decimalka ni zanesljiva. N. pr.:

1.) 69-287 2.) 12-74 3.) 28-314...

41-195 11-814  4-625...

28-092 0-926 23‘689

V tretjem primeru je zadnja decimalka v diferenci nezanesljiva.

§ 19 .

Naloge.

1.) 76

Govori: 5 in 1 je 6, 2 in 5 je 7, in piši vsakikrat prišteto šte¬
vilko precej med izgovarjanjem pod odštete številke.

974

305

984

247

2510

1536

974

51

22

7. ) Od 1000 odštej števila 234, 423 in 342; ali 1000 — (234 +

+ 423 + 342) = ?

8. ) Katero število da k 2109 prišteto 8056 za vsoto?

9. ) a)  4066 b)  9521 c)  5187 d)  3854

2135 670 2468 1577

10. ) n)  25368 - 14843 =? b)  84691 — 80079 =?

11. ) 37942 + 51092 - 60857 =?

12. ) 24680 - 18772 + 97531 - 68024 =?

13. ) Za koliko je vsota 25936 + 57108 večja od vsote 31527 + 40874?

14. ) Za koliko je diferenca 81352 — 62586 manjša od diference

72542 - 53079?

15. ) Katero število je za isto toliko manjše nego 19432, kakor je

25097 večje od zadnjega števila?

16. ) Šeštej števila 325467, 527496, 907245, 48394, od vsote pa

odštej zaporedoma prve tri sumande; kolik je ostanek?

17. ) Od 401894 odštej števila 139214, 91078, 35709, 102775.

401894

139214

91078

35709

102775

Mesto da sešteješ tu najprvo števila, katera je treba odštevati,
in potem njih vsoto odšteješ od minuenda, moreš se seštevanjem
števil, katera je treba odšteti, ob jednem združiti odštevanje od
minuenda. Ko si namreč seštel jednice vseh subtrahendov, poišči
precej, koliko treba k njih vsoti 26 še prišteti, da dobiš najbližje
višje število, katero ima na mestu jednic dotično številko 4 minu-
33118 en( kb j- 34; 26 in 8 je 34; prištetih 8 jednic zapiši precej med
izgovarjanjem v ostanek. 3 desetice dobljene vsote 34 prištej k
subtrahendovim deseticam ter potem postopaj kakor pri jednicah. Pri tem govori:
5, 14, 22, 26 in 8 je 34, ostane 3; 3, 10, 17, 18 in 1 je 19, ostane 1; i. t. d.

18. ) 5248901 -(863147 + 168854 + 279039 + 996489 + 638505)=?

19. ) a)  80-7 — 65• 3 =? b)  71'19 -36*4  = ?

14'56 — 3 • 89 =? 62-8 — 47-75 =?

9-397 - 0'273 =? 7'92- 3'454 =?

23

20. ) Katero število je za 2'678 manjše nego 8‘765?

21. ) Za koliko je 61'43 a)  večje od 23'958, b)  manjše od 70?

22. ) Razlika dveh števil je 5 • 593, večje je 12 • 75; koliko je manjše?

28.) Odštej:

a)  28-355 b)  85 • 7 c)  9'04 d)  100

16-79 9-416 0'2607 16'667

24. ) Okrajšaj 3 ■ 14159 na 2 decimalni mesti, t.j. vzemi mesto 3 • 14159

decimalno število 3'14; kolik je pogrešek?

25. ) Kolik je pogrešek, ako vzameš mesto 7'23689 a)  7'236,

b)  7-237? Kateri pogrešek je manjši? Kaj moraš tedaj storiti,
ako je pri okrajševanji prva izpuščena decimalka 5 ali večja
od 5?

26. ) Okrajšaj sledeča decimalna števila na tri mesta:

a)  26-3854, b)  39'7378, c)  72-3406,

17-19717, 508276, 0999995.

27. ) oj 13-4262..- 8-9745.. = ? b)  1 - 0-72845..=?

28. ) 35-1097 + 27-4006 - 41-0365 - 10-3721 =?

29. ) 263-544 - 190-468 + 40-7155 — 38-9771 =?

30. ) Kolika je vsota treh števil, od katerih je prvo 128-794, drugo

za 53'165 manje od prvega, in tretje za 9'98 manjše od dru-

zega?

81.) Odštej od 152-4405 števila 9 "1085, 20-3668, 17-4519.

32.) 7901-305 - (206-0408 + 123-456 + 789'012 + 135'79 +
+ 802-406 + 918-273) =?

Odštevanje jednoimenskih števil.

§ 20 .

Pri odštevanji imenovanih števil morata imeti minuend in
subtrahend isto ime; to dobi potem tudi ostanek.

Naloge. (Za pismeno in deloma tudi za ustmeno razrešitev.)

1. ) Od kosa platna, ki je 52 m  dolg, odstriže se 35«; koliko metrov

ga še ostane?

2. ) Sin je izgubil svojega 75 let starega očeta, ko je bil sam 47 let

star; za koliko je bil oče starejši od sina?

3. ) Neko blago se je za 350 gld. kupilo in za 408 gld. prodalo;

koliko je bilo pri njem dobička?

24

4. ) Neki kupec proda za 824 • 64 gld. blaga in dobi pri njem 76'08 gld.;

za koliko je kupil blago?

5. ) Nekdo prejme v četrti leta 900 gld. in izda 813 gld.; koliko

si prihrani ?

6. ) Od 750% kave se je sčasoma odprodalo: 128, 57, 105%;

koliko je je še ostalo?

7 . ) Greda ima 89 • 74 m' 1  ploščine ; koliko je manjša od jednega ara?

8. ) Morje pokriva 0 - 734 zemeljske površine; koliki del te površine

pokriva suha zemlja?

9. ) Od njive, katera ima 4'42 ha , odproda sc 2'0825//«; koliko

je še ostane?

10. ) Nekdo kupi za 569'75 gld. blaga, katero mu je čez 4 mesece

plačati; koliko mu je precej (gotovo, kontantno) plačati, ako
se mu dovoli zarad tega, ker prej plača, 18'28 gld. popusta?

11. ) Nekdo kupi trgovcu bombaža in mu pošlje račun o 1887’92 gld.;

koliko velja blago, ako je v oni vsoti tudi 37'02 gld. nagrade
za kupčev trud?

12. ) Rim je imel 7 kraljev, kateri so vladali zaporedoma od leta 754.

do leta 509. pred Krist, rojst.; koliko časa je trajalo rimsko
kraljestvo ?

13 . ) Kolumb je Ameriko našel leta 1492.; koliko let je sedaj znana?

14. ) Nekdo je bil rojen leta 1793. in je umrl leta 1871.; koliko

časa je živel ?

15. ) Tridesetletna vojska se je končala leta 1648.; kedaj seje začela?

16 . ) Leta 1870. štelo se je 171 let, odkar se je parni stroj izumil,

430 let, odkar se je izumilo tiskarstvo, in 619 let, odkar se je
izumil papir; katerega leta se je izumila vsaka teli iznajdeb?

17. ) Koliko dnij ima prvih šest mesecev v navadnem letu menj nego

zadnjih šest?

18 . ) Na račun 5356 gld. dolga se plača jedenkrat 1028 gld., drugi¬

krat 2175 gld.; kolik je ostali dolg?

19 . ) Nekdo je bil dolžen 742‘5 gld., odplačati ima še 318 "75 gld.;

koliko je že odplačal?

20. ) Odštej :

a)  54‘39% b)  37'09 pud. c)  12 - 48</

15-89 >  30-88 » 9-39  »

21. ) Neki oče zapusti starejšemu svojih dveh sinov 6840 gld., mlaj¬

šemu za 1580 gld. menj; koliko dobita obadva sinova?

25

22. ) Trgovec dobi iz Hamburga štiri zaboje kave, kateri tehtajo:

521 kg,  518%, 509 kg,  408 kg;  zaboji sami tehtajo 42 kg,  42 kg,
41 kg,  40 kg;  koliko kave je a)  v vsakem zaboji, h)  v vseh
skupaj ?

23. ) Kraj A  stoji za 128 m  višje nego B, B  za 87 m  višje nego C

in C  za 68 m  nižje nego D;  za koliko stoji A  višje nego D?

24. ) Gladina reke je pri A  2478 m,  pri B  1938 m  nad morsko gla¬

dino; kolik je pad od H do B ?

25. ) Dolžina nihala, katero vsako sekundo jedenkrat zanihne, je na

tečaji (polu) 996'088 mm,  na ravniku (ekvatorji) 990'891 mm;
kolika je razlika med obema dolžinama?

26. ) Češka je imela leta 1780. 2561749 prebivalcev in leta 1870ega

5140156; za koliko se je v tem času število prebivalcev po¬
množilo ?

27. ) V neki deželi bilo je rojenih v petih si sledečih letih 58725,

58857, 56840, 60838, 62552 ljudij; odmrlo pa jih je 50459,
57559, 52030, 60235, 54976. Za koliko je bilo število rojenih
večje od števila umrlih, in sicer a)  v vsakem letu, b)  v vseh
petih letih?

IV. Množenje neimenovanih in jednoimenskih
celih in decimalnih števil.

§ 21 .

Ponavljano seštevanje jednega in istega sumanda dovodi nas
do množitve  (Multiplication). Množiti  (multiplioieren) se pravi,
vzeti število tolikokrat za sumand, kolikorkrat kaže to drugo število.
N. pr. 5 s 3 množiti se pravi, 5 vzeti 3krat za sumand, tedaj pa
dobimo 5 + 5 + 5 = 15. Število, katero jemljemo večkrat za su-
mand, imenujemo multiplikand  (množenec), število pa, katero
kaže, kolikokrat treba multiplikand za sumand vzeti, multiplikator
(množitelj). Število, katero z množenjem dobimo, imenujemo produkt
(zmnožek). Multiplikand in multiplikator imenujemo tudi faktorja
(činitelja) produkta.

Multiplikator je zmerom neimenovano število; multiplikand je
lahko tudi imenovan, potem pa je tudi produkt imenovan, in sicer
z multiplikandom istoimensk. N. pr.: Ako velja 1 meter 5 gld., veljajo
4 metri 4krat 5 gld. (ne pa 4 metre-krat 5 gld.); tedaj treba 5 gld.
s 4 (ne s 4 metri) množiti, in tako dobimo 20 gld.

26

Znak množitve je poševen križ X ali tudi točka. X. pr.
5 X 3 = 15 ali 5.3 = 15 čitamo: 5 množeno s 3 da 15, ali tudi:
3krat 5 je 15; 5 je multiplikand in 3 multiplikator.

Produkt več nego dveh števil je oni končni produkt, katerega
dobimo, ako množimo produkt prvih dveh števil s tretjim, ta novi
produkt s četrtim številom i. t. d.

Vaje. (Računanje na pamet.)

§ 22 .

1. ).Koliko je Ikrat 1, ikrat 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 V

2. ) Koliko je 2krat 1, 2krat 2, 3, ... 8, 9?

3. ) Kolik je 3kratnik od 1, 2, 3, ... 8, 9 ?

4. ) Koliko je ikrat 1, 4krat 2, 3, ... 8, 9'?

5. ) Koliko je 5krat 1, 5krat 2, 3, ... 8, 9 V

6. ) Katero številno vrsto dobiš, ako vzameš števila 1, 2, 3, . . .

8, 9 zaporedoma 6krat za sumand?

7. ) Koliko je 7krat 1, 7krat 2, 3, ... 8, 9?

8. ) Koliko je 8krat 1, 8krat 2, 3, ... 8, 9?

9. ) Katero število je 9krat toliko kakor 1, 2, 3, ... 8, 9?

10. ) Koliko je 2 X 3? Množi še 6 s 7. Koliko je tedaj 2X3X7?

11. ) a)  7 X 8 + 3 X 4 =? b)  5 X 9 + 6 X 3 =?

9 x 6 + 7 x 5 =? 8X8 — 4X4 =?

12. ) 3X3X714X2X5-3X2X9  —?

18.) a)  Koliko je 5 X 3? Koliko 3X5?

Ako razstaviš 5 v pet jednot in predočiš te v horizontalni
vrsti ter potem napišeš 3 take vrste drugo pod drugo,
11111
11111
1 1 1 1 1,

dobiš oči vidno isto toliko, ako sešteješ jednote vseh horizontalnih
ali pa one vseh vertikalnih vrst. Ako sešteješ jednote horizontalnih
vrst, dobiš 5 jednot 3 krat, ali 5X3;  ako pa sešteješ jednote ver¬
tikalnih vrst, dobiš 3 jednote 5krat, ali 3 X 5. Tedaj je 5X3 =
= 3 X 5 = 15.

Produkt se ne iz prem eni, ako faktorja med
seboj zamenjamo.

b)  Ako nam je več nego dve števili množiti, n. pr. 3, 4 in 5,
produkta ne izpremeniino, če zamenjamo po dva in dva

27

faktorja med seboj. Ako ponavljamo takovo zamenjevanje,
spravimo lahko vsak faktor na vsako poljubno mesto.
3.4.5 = 3.5.4 = 5.3.4 = 5.4.3 = 4.5.3 = 4.3.5 = 60.

Tudi pri več kakor dveh faktorjih je za produkt
vso jedno, v katerem redu jih množimo.

14. ) Koliko je lkrat 10, 2krat 10, 3krat 10, ... 9krat 10?

15. ) Koliko je lkrat 100, 2krat 100, ... 9krat 100?

16. ) Koliko je 2krat 4 desetice? Koliko je 2krat 50, 3krat 40.

5krat 60, 7krat 30, 9krat 80?

17. ) Koliko je Škrat 2 stotici? Koliko je 2krat 400, 5krat 700,

4krat 500, 7krat 600, 8krat 900?

18. ) Koliko je lOkrat 1, lOkrat 2, lOkrat 3, 4, ... 9? Kaj tedaj

postane iz jednic, ako jih lOkrat vzameš?

19. ) Koliko je lOkrat 10, lOkrat 20, lOkrat 50, lOkrat 80? Kaj

tedaj postane iz desetic, ako jih lOkrat vzameš?

20. ) Koliko je lOOkrat 1, lOOkrat 2, lOOkrat 3, 4, ... 9? Kaj po¬

stane iz jednic, ako jih lOOkrat vzameš?

21. ) Koliko je lOOkrat 10, 20, 30, 50, 90? Kaj postane iz desetic,

ako jih lOOkrat vzameš?

22. ) Koliko je 4krat 20? Koliko je 4krat 6? Koliko jc tedaj 4krat 26?

(20 + 6) X 4 = 20 X 4 + 6 X 4 = 80 + 24 = 104.

Vsoto množimo s številom, ako vsak sumand z njim
množimo in dobljene delskc produkte seštejemo.

23. ) Koliko je 3krat 16, 4krat 21, 5krat 34, 6krat 53, 3krat 127?

24. ) a)  72  X 5 + 145 X 2 = ? b)  133 X 4 - 28 X 9 =?

25. ) Vzemi vsako sledečih števil:.

a)  25, b)  84, c)  45, d)  78, e)  51, f)  94,
m)  2krat, n)  3krat, o)  7krat, p)  8krat, r)  9krat.

26. ) Množi vsako sledečih števil:

a)  19, b)  48, <)  71, d)  59, e)  37, f)  66,
m)  s 3, n)  s 4, o)  s 5, p)  s 6, r)  z 8.

27. ) Koliko je 15krat 30?

Mesto da postavimo 30 15krat za sumand, moremo tudi, ker
je 15 = 3 X 5, po tri te jednake sumande v jedno vsoto povzeti;
na ta način dobimo 5 jednakih vsot, katere nam je še sešteti, kar
se zgodi, ako jedno teh vsot s 5 množimo.

28

30 x 1 5 = 90 + 90 + 90 + 90 + 90 = 90 X 5 = 450

tedaj 30 X 15 = (30 X 3) X 5 = 90 X 5 = 450.

Število množimo s produktom, obstoječim iz dveb
faktorjev, ako je množimo z jednim faktorjem, in znesek
potem še z drugim faktorjem.

28. ) Koliko je 20krat 8? 20 je 2 X H); mesto da bi torej z 20

množili, množimo najprej z 2 in znesek še z 10; 2krat 8 je 16,
lOkrat 16 je 160.

29 . ) Koliko je 20krat 10, 30krat 30, 50krat 40 ?

30. ) Koliko je 20krat 12, 30krat 15, 60krat 13?

31 . ) Koliko je 200krat 7, 300krat 20, 400krat 14?

32. ) Koliko je 12krat 35?

Znesek je isti, ali plačamo 12 kosov kacega blaga na j eden
krat, ali pa najprej 10 kosov in potem še 2 kosa po 35 kr.

35 X (10 + 2) = 35 X 10 + 35 X 2 = 350 4- 70 = 420.
Število množimo z vsoto, ako je z vsakim sumandom
množimo in dobljene delske produkte seštejemo.

33. ) Koliko je 13krat 20, 17krat 51, 24krat 33, 22krat 350?

34. ) Primerjaj sledeče izraze z ozirom na njih pomen ter jih izračunaj:

(50 + 4) X (20 + 1), 50 + 4 X (20 + 1),

(50 + 4) X 20 + 1, 50 + 4 X 20 + 1.

Pismeno množenje.

§ 23.

Množenje celih števil.

a)  Mnltiplikator je jednoštevilčen.

Vzemimo n. pr., da nam je 132 s 3 množiti.

multiplikand 132 X 3 mnltiplikator

396 produkt.

Škrat 2 jednici je 6 jednic,

3krat 3 desetice je 9 desetic,

3krat 1 stotica so 3 stotice.

Katerega reda jednote znači produkt, ako množimo jednice,
desetice, stotice, ... z jednieami?

132

132

132

396

29

Recimo, da treba še 456 z 8 množiti.

456 X 8 8krat 6 j. je 48 j. = 4 d. + 8 j.

" , 8krat 5 d. je 40 d., in 4 d. je 44 d. = 4 st. -j- 4 d.

’  ^ 8krat 4 st. je 32 st,., in 4 st. je 36 st.

Z jednoštevilčnim multiplikatorjem množimo torej zaporedoma
jednice, desetice, stotice, . . . multiplikanda in dobljene produkte
zapišemo kakor jednote istega reda; ako je pa produkt dvoštevilčen,
zapišemo le jednice onega reda na dotično mesto, desetice pa pri¬
štejemo kakor jednice sledečega višjega reda k produktu sledeče
višje številke.

V zadnjem primeru pravimo krajše: 8krat 6 je 48, ostane 4; Škrat 5 je 40,
in 4 je 44 , ostane 4; 8krat 4 je 32, in 4 je 36 .

b)  Mutiplikator je 10, 100, 1000, . . .

Da množimo število z 10, 100, 1000, moramo vsaki njegovi
številki lOkratno, lOOkratno, lOOOkratno vrednost dati, to je, vsako
številko za 1, 2, 3 mesta proti levi pomakniti. To se pa zgodi, ako
pripišemo celemu številu na desni 1, 2, 3 ničle. N. pr.:

318 X 10 709 X 100 850 X  1000

3180 70900 850000

Ako je pa multiplikator n. pr. 400 = 4 X 100, množimo multi-
plikand najprej s 4 in produkt potem še s 100, t. j. prvemu pro¬
duktu pripišemo na desni še dve ničli.

Katerega reda jednote znači produkt, ako množimo jednice,
desetice, stotice, ... a)  z deseticami, b)  s stoticnmi, c)  s tisoči¬
cami, . . .?

§ 24.

c)  Multiplikator je večštevilčno število.

Ako nam je n. pr. 649 s 435 množiti, treba multiplikand 400krat,
30krat in 5krat vzeti in dobljene delske produkte  (Tlieilproducte)
sešteti.

Tedaj dobimo 649 X 435

400krat 649 .. . 259600

30krat 649 .. . 19470

5krat 649 . . . 3245

282315

V delskih produktih imajo ničle na desni le ta namen, da na¬
kažejo prvi od ničle različni številki in s to vsem drugim pravo
mesto; smejo se tedaj tudi izpuščati, ako ni mogoče, da bi o mestni

30

vrednosti teh številk nastala dvomba, in temu je tukaj tako, ker
mora najnižja od 0 različna številka vsacega delskega produkta
pomeniti jednote istega reda kakor številka multiplikatorja, s katero
se množi. Gornji račun moremo tedaj krajše tako-le pisati:

649 X  435
2596
1947
3245
282315

Red, v katerem množimo s posameznimi številkami multipli-
katorjevimi, je poljuben, da pišemo le delske produkte tako druzega
pod druzega, kakor jih je pisati treba. V obče pa je najpripravnejše,
da začnemo z najvišjo številko multiplikatorjevo in mno¬
žimo potem zaporedoma z nižjimi; a vsak sledeč de Is k
produkt pomaknemo za jedno mesto proti desni in po¬
tem seštejemo delske produkte, kakor stoje.

Ako ima multiplikator na katerem notranjem mestu ničlo, pre¬
skoči se ta pri množenji, a potem se pomakne sledeči delski produkt
za dve mesti proti desni.

Ako se nahajajo v jednem ali v obeh faktorjih na desni ničle,
prezirajo se te pri množenji, a potem treba produktu ostalih števil
na desni toliko ničel pripisati, kolikor jih imata oba faktorja. N. pr.:

a) 5700 X 26 b)  57 X 260 c)  570 X 2600

114

342

148200

114

342

14820

114

342

1482000

Kajti: a)  57 stotič X 26 jedn. = 1482 stotič,

b)  57 jednic X 26 des. = 1482 desetic,

c)  57 desetic X 26 stot. = 1482 tisočic;

tedaj treba produktu iz 57 in 26 na desni v prvem slučaji 2, v drugem 1, v tretjem

3 ničle pripisati.

Najboljša preskušaj  a za pravost množitve je ta, da zame¬
njamo faktorja in še jedenkrat množimo; ako dobimo zopet isti pro¬
dukt, smemo ga za pravega smatrati. N. pr.:

9038 x 624 624 X 9038

54228

18076

36152

5616

1872

4992

5639712

5639712

31

Dostavek. Kakor pri seštevanji ali odštevanji, moči je tudi
pri množenji tak način napisa vanj a uporabljati, da je pomen vsake
posamezne številke v delskih produktih in v glavnem produktu že iz
razstave števil razviden. Ako pišemo namreč multiplikator tako pod
multiplikand, da štoji najvišja njegova številka pod jednicami zad¬
njega, in pišemo najnižjo številko delskega produkta z najvišjo šte¬
vilko multiplikatorjevo pod najnižjo številko multiplikandovo, potem
najnižjo številko vsacega sledečega delskega produkta za jedno mesto
proti desni, imajo posamezne številke v delskih produktih
in v glavnem produktu isto vrednost, kakor ravno nad
njimi stoječe številke multiplikatorjeve.

Ako nam je n. pr. 5824 množiti s 7603, imamo
5824 multiplikand
7603 multiplikator
40768
34944
17472

44279872 produkt.

§ 25.

Množenje decimalnih števil.

o)  Multiplikator je celo število.

1.) Vzemimo, da nam je 0'756 množiti z 8.

0*756 X 8 8krat 6 tisoein je 48 tisoč in = 4 stotin, -j- 8 tisočin;

6 * 048

8 krat

5 stotin je 40 stotin, in 4 stotine je 44 stotin = 4 desetin, -f-
-f- 4 stotin.; 8krat 7 desetin je 56 desetin, in 4 desetine je
60 desetin = 6 jedn. -p 0 desetin.

Kateri red jednot znači produkt, ako množimo desetine, stotine,
tisočine, ... z jednacimi?

2.) Povej vrednost posameznih številk v sledečih številih:

9-876, 98-76, 987'6, 9876, 98760.

Kolikokratnik prvega števila je vsako sledeče?

Decimalno število tedaj množimo z 10, 100, 1000,...,
ako pomaknemo v njem decimalno točko za 1, 2, 3, ..mesta
proti desni.

Kako množimo decimalno število s 70, 200, 6000?

Kateri red jednot znači produkt, ako množimo desetine, stotine,
tisočine, ... a)  z deseticami, b)  s stoticami, c)  s tisočicami, . . . ?

32

3.) Vzemimo, da nam je 5'903 množiti z 257.

5-903 X 257

200krat 5-903... 1180-6
50krat 5'903... 295"15
7krat 5 • 903 ... 41 • 321

1517-071

§ 26.

b)  Multiplikator je decimalno število.

1.) Množi 357'24 z 0'1, t. j. določi lOti del od 357-24.

Da dobiš lOti del od 357'24, moraš vsako številko tega šte¬
vila za 1 mesto proti desni pomakniti; to se pa zgodi, ako po¬
makneš decimalno točko za jedno mesto proti levi; tedaj
357-24 X 0-1 = 35-724.

Na isti način dobiš

293-17X0-01 1386-4X0-001

2-9317 1-3864

Določi 56-138 X 0-3,  t. j. 3krat lOti del od 56-138.

56-138 X 0-3
16-8414

Koliko je 781'415 X 0-07; 631-09 X 0'005?

Kateri red jednot znači produkt, ako množimo . . . stotice, de¬
setice, jednice, desetine, stotine ... a)  z desetinami, b)  s stotinami,
c)  s tisočinami, . . . ?

2.) Recimo, da nam je 23‘56 množiti s 3-789.

23-56 X 3-789

Na isti način dobimo
15-3 X 3-14

4-23 X 0-01307

45-9
1 • 53
612

0-0423

1269

2961

48-042

0-0552861

33

Ker dobimo najnižjo številko v produktu, ako množimo naj-
nižjo številko multiplikanda z najnižjo številko multiplikatorja, raz¬
vidno je, da mora imeti produkt toliko decimalnih mest, kolikor jih
imata obadva faktorja skupaj.

Dve decimalni števili moremo tedaj tudi tako mno¬
žiti, da ji množimo, ne oziraje se na decimalni točki,
kakor celi števili in potem odrežemo v produktu toliko
decimalnih mest, kolikor jih imata oba faktorja skupaj.

3.) Ako množimo popolno decimalno število z okraj¬
šani  m ali pa o k r a j š a n o z o k r a j š a n i m,  dobimo v produktu
toliko nezanesljivih decimalk, kolikor ima veljavnih številk v prvem
slučaji popolno decimalno število, v drugem pa vsota obeh, kakor
celi števili smatranih faktorjev. N. pr.:

2-482 X 4-23 ... 1 0'94 . . X Q-148 . .

9-928  . . .
4964 . .
7446 .
10-49886 .

1-0 94 . .
4 376 .
8752
1-6 1912

Dostavek.  Ako pišemo nmltiplikand, multiplikator in posa¬
mezne delske produkte tako druzega pod druzega, kakor smo po¬
vedali v dostavku k § 24, razvidna je mestna vrednost vsake številke
v produktu že iz postavka samega, ker pride decimalna točka v
produktu pod decimalno točko multiplikatorja. N. pr.:

7-3 02 35-6308

8 9-4 0-002 47

58 4 16
6 5 718
2 9208

65 2-7988

71 2616
14 25232
2 494156

0-088 008076

§ 27.

Okrajšano množenje decimalnih števil.

Da se izognemo kolikor mogoče vsemu računanju, katero bi
dalo nezanesljiva ali nižja mesta, nego zahteva natančnost računa,
poslužujemo se okrajšanega množenja  (abgekurzte Multiplication).

Vzemimo, da nam je n. pr. produkt 8'5432 X 7'961 izraču¬
nati samo na tri decimalke, t. j. tako, da so tisočine najnižje mesto
v produktu.

3

34

a)  popolno b)  okrajšano

Ker se zahtevajo tu le prve tri decimalke produkta, je v
prejšnji popolni množini n)  račun na desni od črte odveč; pri¬
hraniti si ga moremo na ta način, da množimo z vsako multipli¬
katorjevo številko najprej ono številko multiplikanda, katera da v
produktu tisočine, in potem le njega sledeče višje številke. V pro¬
duktu dobimo tisočine, ako množimo

s 7 jednicami multiplikatorja 3 tisočine multiplikanda,

z 9 desetinami » 4 stotine »

s 6 stotinami » 5 desetin »

z 1 tisočino » 8 jednic »

Očividno je najpripravnejše, ako številke multiplikatorjeve v
takem redu pod multiplikand pišemo, da pomeni produkt vsacih dveh
druga pod drugo stoječih številk tisočine. V to svrho treba le multi¬
plikatorjeve jednice staviti pod tisočine multiplikanda, vse druge multi¬
plikatorjeve številke pa v obratnem redu napisati, kakor v prejšnjem
računu b).  Ako množimo potem z vsako multiplikatorjevo številko
nad njo stoječe in višja mesta multiplikanda, pomenijo najnižja mesta
v vseh delskih produktih tisočine; zarad tega pišemo delske produkte
tako, da stoje njih najnižja mesta drugo pod drugim. Zarad večje
natančnosti množimo z vsako multiplikatorjevo številko tudi za jedno
mesto dalje proti desni stoječo številko multiplikanda, pa od tega
produkta pridržimo samo bližje desetice, katere pomenijo tisočine,
ter jih prištejemo kakor popravo  k prvemu produktu, katerega
nam je napisati.

V prejšnjem računu b)  računamo tako-le:

7krat 2 je 14, ostane I za popravo; 7krat 3 je 21, in 1 (poprava) je 22,
ostane 2; 7krat 4 je 28, in 2 je 30; i. t <1.

9krat 3 je 27, ostane 3 za popravo; 9krat 4 je 36, in 3 je 39, ostane 3;
9krat 5 je 45, in 3 je 48; i. t. d.

6krat 4 je 24, ostane 2 za popravo; 6krat 5 je 30, in 2 je 32, ostane 3;
6krat 8 je 48, in 3 je 51.

1 krat 5 je 5, ostane 1 za popravo; lkrat, 8 je 8, in 1 je 9 .

V vsoti delskih produktov odrežejo se potem 3 decimalke.

35

Iz tega sledi, da treba pri okrajšanem množenji  tako-le
postopati:

1. ) Jednice multiplikatorjeve piši pod ono mesto multiplikanda,
katero se v produktu kakor najnižje zahteva; vse druge številke pa
napiši zraven te v obratnem redu tako, da se prikaže ves multi-
plikator obrnen.

2. ) Množi s prvo na desni stoječo številko obrnenega multi-
plikatorja najprej ono multiplikandovo številko, ki stoji za jedno mesto
dalje proti desni, pa tega produkta ne zapiši, zapomni si le njega
najbližje desetice, katere dade popravo;  potem množi ravno nad
njo stoječo številko multiplikanda, k produktu prištej popravo in tu
začni produkt napisavati; potem množi zaporedoma tudi sledeče
multiplikandove številke. Na isti način množi z drugo, tretjo, . . .
multiplikatorjevo številko ter piši dobljene okrajšane delske produkte
tako druzega pod druzega, da stoje njih najnižje številke natanko
druga pod drugo.

3. ) Delske produkte seštej in v vsoti odreži zahtevano število
decimalk.

Ako hočeš, da je zadnja decimalka zanesljiva, izračunaj jedno
več, nego je prav za prav zahtevanih.

Tu utemeljeno postopanje za okrajšano množenje decimalnih števil velja
tudi za množenje celih števil,  ako se zahteva le nekaj najvišjih mest.

Ako nam je, n. pr., produkt 310786 X 45067 izračunati le na desettisočice,

dobimo

3 1 07 86 x 45067
76054

1243144

155393

1864

127

14  0 0 5 2 8 desettisočic.

§ 28.

Računski prikrajški pri množenji.

1.) Ako se da multiplikator razstaviti na dva fak¬
torja,  s katerima lahko množiš, množi multiplikand najprej z jed-
nim in potem rezultat z družim faktorjem. N. pr.:

1.) 51046 X 24 2.) 21596 X 350

- X 4 - X 7

204184 151172

X 6

X 50

1225104

7558600

8 »

36

2.) Ako je jedna multiplikatorjeva številka 1, potem
pusti nmltiplikand kakor delski produkt te številke neizpremenjen,
množi ga le z družimi številkami nmltiplikatorja ter piši dobljene
delske produkte druzega pod druzega, kakor treba. N. pr.:

3. ) Ako je multiplikator  11,  zapiši prvo številko v mu Iti -
plikandu na desni neizpremenjeno, potem seštej prvo in drugo, drugo
in tretjo, i. t. d. N. pr.:

79264 X 11 krajše 79264 X 11

79264  871904

871904

Govori: 4 je 4; 4 in 6 je 10, ostane 1; 1 in 6 je 7, in 2 je O; 2 in 9
je 11 , ostane 1; 1 in 9 je 10 in 7 je 17, ostane 1 ; 1 in 7 je 8.

4. ) Ako ima multiplikator na vseh mestih, izvzemši
najnižje, številko  9,  prištej toliko jednic, da dobiš 100, 1000,
10000, ...;  nmltiplikand množi najprej s 100, 1000, 10000, ... in
potem še s številko, katero si prištel, ter drugi produkt od prvega
odštej. N. pr.:

34876 00  X 96
139504  100 - 4
3348096

5.) Ako ima multiplikator na vseh mestih, izvzemši
naj višje, številko  9, pomnoži ga za 1; na ta način dobiš število,
katero ima samo jedno veljavno številko s sledečimi ničlami na desni;
s tem številom množi potem nmltiplikand in od produkta odštej
nmltiplikand. N. pr.:

150234 X 599
90140400

600

1

Ako množiš tu s 600, kar se zgodi, ako
zapišeš najprej pod multiplikand dve ničli in
potem produkt s 6, je ta produkt za lkratni
multiplikand, to je za multiplikand sam pre-

89990166

velik . tedaj treba od dobljenega produkta še nad njim stoječi multiplikand odšteti.

37

§ 29.

Naloge.

1. ) a)  96 X 4 = ? b)  57 X 9 = ? cj 78X5=?

2. ) Množi z 2, 3, 4, ... 8, 9 sledeča števila:

24, 714, 956, 512, 382, 4067,

87, 508, 484, 205, 475, 2596,

3. ) Množi število 5 samo s seboj, produkt zopet s 5 i. t,

ne dobiš 5 produktov; a)  kolik je zadnji produkt,
vsota vseh produktov?

4. ) a)  13794 X 2 =? b)  29078 X 6 = ?

5. ) Množi 91072 s 3, produkt s 4, novi produkt s 5.

6. )' a)  49758 X 10 = ? b)  69450 X 100 =?

1982523 X 60 -? 193146 X 5000

7. ) Koliko je 5016237 X 9 + 83406 X 2000 =?

8. ) a)  87 X 39 =? b)  68 X 57 =?

5063 X 37 =? 9154 X 66 =?

13048 X 24 =? 38701 X 53 = ?

9.) Koliko je 206krat a)  49032, b)  52963?

10. ) a)  470300 X 1207 =? b)  85290 X 4930 -

89370 X 8147 =? 21092 X 9753 =

11. ) 31972 X 9044 X 28500 -?

12. ) 132457 X 37150 + 8204 X 8700 =?

13. ) 51738 X 90850 - 63078 X 70857 =?

14. ) Množi z 2, 3, 4, ... 8, 9 sledeča števila:

5-2, 27-5, 4-19, 76'0, 2'18, 0 1937,

0-66, 1-67, 7 09, 43’5, 8’03, 0-3385,

15. ) aj 7-245 X 6 =? b)  3-1416 X 9 = ?

4309 X 0-7 = ? 8752 X 0'08 =?

16. ) 901-2 X 0-3 - 27-84 X 4 - 14'69 X 8 = ?

17. ) Kolik je produkt 5 faktorjev, ako je vsak 0 • 8 ?

18. ) Izračunaj produkt 6 faktorjev, ako je vsak

a)  0-2, b) O b  c) 0 9.

19. ) a)  53 689 X 8 =? b)  395 04 X 9 =?

20. ) 78-932 X 2 X 6 X 8 = ?

21. ) 135 79 X 2 X 3 X 5 X 7 =?

22. ) 640-28 X6X6X6X6=?

23. ) Množi 392507 5krat zaporedoma z 0 2, isto tako s 0 ■ 4,

8406,
9057.
d., dokler
b)  kolika

?

?

6-712.

2-198.

0-7, 0-8.

38

34. ) Koliki so produkti, katere dobiš, ako množiš vsako izmed šte¬

vil a)  3709 - 2, b)  566"25, c)  10'8273 samo s seboj?

35. ) Kolik je produkt treh faktorjev, ako je vsak jednak a)  O - 108,

b) 29-05, c)  31-554?

36. ) 450-79 X 238-57 + 7830-2 X 0-0059 =?

37. ) 10-924 X 85-203 + 34-526 X 19-364-89-158 X 12-007 =?

38.) Izračunaj produkt

a)  7-0572 X 3'885

b)  128-7654 X 0-813

c)  35-239 X 78

d)  17-4315 X 3-1416

e)  5-9702 X 2-468

f)  0-6152 X 0-1234

g)  157-34 X 0-0763

h)  1-34156 X 1-08934

i)  412-869 X 0-0753

na 3 decim.,
»3 »

»1  »

» 3 »

»2  »
»4 »

»3 »

»5  »

» 3

39.) Določi produkt

a)  1-273 . . X 0"247 . . j na toliko decimalk, kolikor jih

b)  4'0624 X 2-7172 . . J je zanesljivih;

c)  1-3865 X 3-7248 X 4-2951 (na 4 dec.).

d)  1-05 X 1-05 X 1-05 X 1-05 (na 4 dec.).

e)  1-055 X 1-055 X 1-055 X 1-055 X 1-055 (na 6 dec.).

39

Izvrši te-le množitve uporabljajoč računske prikrajške:

40 . )

41 . )

42 . )

43 . )

44 . )

45 . )

46 . )

47 . )

48 . )

49 . )

50 . )

51 . )

52 . )

53 . )

54 . )

55 . )

56 . )

h)  126054 X 54 = ?

293491 X 63 =?
b)  70-6942 x 2-7 =?

92478 X 4200 =?
b)  33868 X 1325 = ?
972-315 X 31-78 = ?
708-347 X 6-103 =?

a)  809175 X 48 = ?

287050 X 64 =?
a)  439 061 X 0 56 = ?

17052 X 360 = ?
a)  394251 X 61 = ?

908-56 X 109 = ?

4130 54 X 0 1027 =?

307924 X 157 + 224792 X 351 =?

438-424 X 8-01 - 530375 X 5’19 = ?

a)  561289 X 11 =? b)  834190 X 0-11 =?

806-509 X 11 =? 68-8437 X 110 =?

Množi vsako izmed števil 34129, 932 "566, 573 "5908 4krat
zaporedoma z 11.

b)  51278 X 995 =?

0-790804 x 99-2 =?
b)  253691 X 9992 =?
86-3724 + 99960 =?

a)  360-807 X 97 =?

1975-13 X 9 93 =?
a)  265451 X 9980 =?

1356-79 X 0 9991 =?

490512 X 994 + 623038 X 990 =?

a)  366295 X 499 =? b)  601-922 X 7'99 =?

1179340 X 1999 =? 651-802 X 69990 =?

387-149 X 79 9 - 810-6351 X 2'99 =?

a)  82933 X 1-1 =?

121607 X 350 =?
438572 X 97 =?
a)  717603 X 64 =?

426 184 X 1-29 =?
214369 X 42 =?
a)  65-7042 X 99 4 =?
18-6902 X 350-1 =?
238730 X 51 + 729635 X 54

b)  375-31 X 0-72 =?
391357 X 17 =?
249388 x 49 =?
b)  534740 X 199 =?
9285-72 X 0-011 =?
144081 X 560 =?
b)  34731-4 X 0-317 =?

7058-36 X 7-99 =?

= 9

513-266 X 9 96 — 357'492 X 10’08 =?

Množenje jednoimenskih števil.

§ 30.

Naloge.

1.) 1 hi  vina velja 48 gld; koliko velja 9 hVl

1 hi  vina velja 48 gld., 9 M  je 9krat. 1 h/,  tedaj velja 9 hi  9krat 48 gld =
= 432 gld.

40

2. ) Koliko volja 8« zemljišča, ako velja la a)  17 glcl., bj  28 gld.,

c)  30 gld., d)  36 gld. ?

3. ) 1 q  velja 64 gld.; koliko veljajo a)  3 q? b)  5 q? c)  8 q?

d) q?

4 . ) 1 hi  vina velja 29'28 gld., a)  koliko velja 8 hi? b)  10 hi? c)  67 hi?

5. ) 8 delavcev dovrši neko delo v 17 dneh; koliko časa bi potre¬

boval za ono delo 1 delavec?

6. ) Pri nekem mojstru delata dva pomagača, jeden 7, drugi 6 ted¬

nov (teden po 6 dnij); koliko zaslužka mora obema izplačati,
ako služi vsak na dan 96 kr.?

7 . ) 1 dm  sukna velja 0'34 gld.; koliko velja 1 m?

8. ) 1 l  vina velja O - 48 gld.; koliko velja 1 lil?

9 . ) 1  kg  sladorja velja 54 kr.; koliko velja 1  q?

10. ) 1 m  platna velja 1'08 gld; koliko velja a)  7 m? b)  12 m? c)  25 m?

11. ) Nekdo izda na teden po 12 gld. in izhaja z neko vsoto denarja

14 tednov; koliko časa bode izhajal z njo, ako izda le 1 gld.
na teden?

12. ) Ako daje 1 ha  njive poprek 13 hi  žita, kolik je pridelek od

a)  9 ha? b)  15 ha? c)  20 ha? d)  78 ha?

13. ) Kapital da na leto 173'41 gld. obrestij; koliko v 2‘5  leta?

14 . ) Nekdo proda 43 hi  pšenice po 9 gld. in 53 hi  reži po 6 gld.;

koliko skupi za vse?

15. ) 1 m*  velja 38'58 gld.; koliko stane 7'65 m 3 ?

16 . ) Koliko velja 13 25 hi,  ako velja 1 hi  4'83 gld.?

17. ) Koliko velja 58'75 m  blaga po 5'64  gld.?

18 . ) Premer novih avstrijskih srebernjakov po dva goldinarja, ima

36 mm  in onih po goldinarji 29 mm\  katero dolžino dobimo,
ako jih položimo 2 po dva goldinarja in 32 po goldinarji v
premi črti druzega poleg druzega?

19 . ) Koliko goldinarjev avstrijske vrednosti se kuje iz 236 kg  čistega

srebra ?

20. ) Koliko goldinarjev avstr. vr. da

a)  238 ruskih sreb. rubljev, b)  248 franc, frankov,

c)  136 grških drahem, d)  807 Šved. drž. tolarjev?*

21. ) Dunajski čevelj ima 0'316081 m ; koliko m je 3 16375 dun.

čevlj.? (4 dec.)

* Kjer v nalogi o novcih, merah ali utežih ni za računanje potrebnih podatkov,
vzemo naj se iz pregleda v dodatku.

41

22. ) Cerkev sv. Petra v Londonu je 480 angl. čevljev dolga; kolika

je njena dolžina v metrih ?

23. ) Pretvori na m:

a)  30'2 rusk. čevlj., b)  46 ■ 1 pariž. čevlj. (2 dec.). ‘

24. ) Monakovo je 548 m,  Dunaj 690 dunajskih čevljev nad morskim

površjem; kolika je razlika višin teh dveh glavnih mest v
celih m?

25. J Kakor je zmeril francoski učenjak Delambre stopinjo, ima pre¬

mer zemeljskega ravnika 6543624 franc, toise (toaz) in zemeljska
ds 6533154 toise; kolika je razlika obeh v m ? (Do jednic.)

26. ) Koliko hi  d&:

a)  138 rusk. četvrtov? b)  31'8 angl. quarterja?

27. ) Kolonjska marka ima 0'23387%; koliko ky  je 1345  kolonj.

marke ?

28. ) Idrijski rudnik daje na leto poprek 284 ton živega srebra;

kolik je dohodek, ako se računa tona po 2230 gld. ?

29. ) Razdalja med mesecem in zemljo znaša 58'525 polurnem ze¬

meljskega ravnika; koliko je to, ako vzamemo, da ima polumer
zemeljskega ravnika 859'44 zemljepisne milje?

30. ) A  da B- u 118 hi  ječmena po 5 gld. in dobi za to od B- a 14/«/

vina po 21 gld.; koliko ima od B- a še v denarjih tirjati?

31. ) Nekdo kupi 17/«« njiv po 955 gld., 4/«« travnikov po 583 gld.

in 22 ha  gozda po 295 gld.; koliko mora za vse plačati?

32. ) Sod kave tehta 218'25%, prazni sod tehta 37 ‘5%;  koliko

velja kava, ako velja % čiste teže (netto) 1 gld. 64 kr.?

33. ) Ako se kupi /«/ vina po 23 gld. in se 32 hi  za 832 gld.

proda, kolik je dobiček pri prodaji?

34. ) Trgovec je imel 6 let zapored po 1582 gld. dobička, prvotni

njegov kapital je bil 28300 gld.; kolik je njegov sedanji kapital?

35. ) Pri zdravem odraslem človeku udari žila 4550krat vjedni uri;

kolikokrat a)  v jednem dnevi, b)  v jednem letu?

36. ) Zvok preleti vjedni  sekundi 332'25 m ; koliko preleti svetloba,

katera se 926406krat hitreje razširja?

37. ) Štajerska ima 224 , 54 om 2  in na vsak um' 1  pride 5068 prebi¬

valcev; koliko ima vsega prebivalstva?

38. ) Doljna Avstrijska ima 1886840, Gornja Avstrijska 1089112/««

rodovitne zemlje; ako velja 1 ha  rodovitne zemlje v Doljni Av¬
strijski poprek 670 gld., v Gornji Avstrijski 468 gld., kolika je
denarna vrednost rodovitne zemlje v celi nadvojvodini Avstrijski?

42

39. ) V krogu je premer 4 m ; kolik mu je obod?

Obod kroga je 3*14krat, ali natančneje 314159krat tolik, kolikeršen je
premer. Izračunaj za vsako teh števil obod in povej tudi razliko med rezultati.

40. ) Kolik je obod kroga, čegar premer je a)  7* 845 m, b)  0*73o m  ?

(3 dec.)

41. ) Premer zemeljskega ravnika je 1718'874 zemljep. milje; kolik

mu je obod? (3 dec.)

42 . ) Njiva, katera ima obliko pravokotnika, je 38 m  dolga in 23 /m

široka; koliko m' 1  ima njena površina?

Koliko m 2  moreš ob njeni dolžini položiti? Koliko tacih prog gre druga poleg
druge na širino? Koliko m 2  ima tedaj cela ploskev?

43 . ) Hodišče jc 30 ■ 5 m  dolgo in 3*2 m  široko; kolika mu je ploščina ?

44 . ) 8 m  široko cesto je treba jeden kilometer daleč izpeljati; koliko

m' 1,  zemljišča se potrebuje zanjo?

45. ) V sobo, katera je 8 ’ 4 tu  dolga in 6 • 95 m  široka, treba je nova tla

napraviti; koliko bodo veljala, ako se računa za 1 m  - 4*38 gld.?

46. ) Izmed dveh vrtov je jeden 87*25 m  dolg in 38*34 m  širok,

drugi 62*85 m  dolg in 40*16»« širok; a)  kolika sta oba sku¬
paj, b)  za koliko je prvi večji od druzega?

47 . ) Pravilno zložena skladovnica opek ima v dolžino 420, v širino

84, v višino 36 opek; koliko opek je v celi skladovnici?

48. ) Zid ima 105 dm  dolžine, 9 dm  širine (debeline) in 42 dm  višine;

koliko ima ilm 3 ?

Koliko dni 2  ima osnovna ploskev? Koliko dm 3  moreš na osnovno ploskev
položiti? Koliko takih plastij moreš v višino drugo na drugo položiti? Koliko dm’'
ima tedaj zid?

49. ) Posoda je 2'7 4 m  dolga, 1*45 m široka in 0*52 m  globoka;

koliko m 3  ima nje prostornina?

50 . ) Kolika je prostornina posodi, ki je 1*125»« dolga, 0'973/»

široka in 0*435»« globoka? (3 dec.)

51 . ) Koliki so troski zidu, kateri je 21'34«» dolg, 12*45 m  visok

in 0*84w debel, ako stanc m 3  8'28 gld.? (3 dec.)

52 . ) Koliko tehta 24 četverorobovnih železnih šin, ako je vsaka

35'56 dm  dolga, 1 '25 dm  široka, 0'3 dm  debela in 1 dm 3  že¬
leza 7*8 kg  tehta ?

53. ) Cetverooglata, s premogom napolnjena omara ima 2'36 m  dol¬

žine, 1'25»« širine in 0*985»» višine; kolika je vsa teža, ako
tehta lm 3  premoga 1280 kg  in omara sama 58 kg  ?

43

V. Deljenje neimenovanih in jednoimenskih celih
in decimalnih števil.

§ 31.

Množenju nasprotno je deljenje (Dividieren). Deliti se pravi,
iz produkta dveh faktorjev in iz jednega teh faktorjev druzega iskati.
N. pr.: 20 je produkt faktorjev 5 in 4; iz produkta 20 in jednega
faktorja 5 drugi faktor iskati, pravi se, 20 s 5 deliti. Dani produkt
imenujemo dividend  (deljenec), znani faktor div iz or (delivec,
delitelj), in neznani faktor, katerega z deljenjem najdemo, kvoci¬
jent  (količnik). Kvocijent z divizorjem množen mora dati dividend.

Znak delitve (Division) sta dve točki, stoječi druga nad drugo :.
in on pove, da treba deliti število pred točkama s številom, stoječim
za točkama; n. pr.: 20 : 5 = 4 čitamo 20 deljeno  s 5 je jednako 4.

Kvocijent, katerega dividend in divizor izražata, imenujemo
nakazan kvocijent,  n. pr.: 20 : 5. Dostikrat nakažemo kvocijent
tudi tako, da stavimo divizor pod dividend in med oba črto; to
se zgodi posebno tedaj, kadar je dividend manjši od divizorja;
n. pr. | čitamo: 4 deljeno s 5, ali 4 5tine. V tem slučaji pravimo,
da ima kvocijent obliko ulomka  (Bruchform).

Vsako množenje dveh števil, n. pr. 5X4 = 20, d& v svojem
obratu dve pojmovno  različni nalogi delitve, bodi si da je razven
vsakikrat danega produkta 20, dividenda, dan kakor divizor ali
multiplikand 5 ali pa multiplikatoi' 4.

Ako je dan kakor divizor multiplikand 5, treba je onega šte¬
vila iskati, katero pove, kolikokrat je treba 5 kakor sumand postaviti,
da dobimo dividend 20 za vsoto. To število 4 dobimo, ako preiščemo,
kolikokrat je moči divizor 5 od dividenda 20 odšteti ali kolikokrat
je (se nahaja) divizor 5 v dividendu 20. Delitev je tu preiskavanje
nahajanja  (Enthaltensein), ona je merjenje  (Messen).

Ako je pa multiplikator 4 kakor divizor dan, potem treba nam
onega števila iskati, katero da, 4krat kakor sumand stavljeno, divi¬
dend 20 za vsoto; to število 5 najdemo, ako razdelimo  dividend
na 4 jednake dele. Delitev je tu deljenje  (Theilen) v ožjem pomenu.

Še bolj razvidna je razlika med obema načinoma delitve pri
imenovanih številih. N. pr.:

Naloga množenja: 1 meter velja 5 gld., koliko veljajo 4 metri?
Odgovor: 5 gld. X 4 = 20 gld.

44

Delitveni nalogi, ki se moreta iz prejšnje izvoditi, sta:

1. ) 1 meter velja 5 gld.; koliko metrov dobimo za 20 gld.?
Tu sta dana produkt in multiplikand, multiplikator treba je iskati.
Tu sklepamo: Za o gld. dobimo 1 meter, za 20 gld. dobili bodemo
tolikokrat 1 meter, kolikorkrat je 5 gld. v 20 gld., tedaj 4krat 1 meter,
t. j. 4 metre. Tu merimo 20 gld. s o  gld., ter dobimo 20 gld.:
5 gld. = 4. Ako uporabljamo delitev imenovanih števil za razrešitev
kake naloge o merjenji, morata biti dividend in divizor kakor
produkt in multiplikand istoimenska- kvocijent pa je kakor multi¬
plikator zmerom neimenovan; še le drugo umovanje dati mu more
ime, kakor v navedenem primeru « meter*.

2. ) 4 metri veljajo 20 gld., koliko velja 1 meter? Tu sta dana
produkt in multiplikator, multiplikand pa je treba iskati. Tu skle¬
pamo : 1 meter je 4ti del od 4 metrov, 1 meter velja tedaj le 4ti del
od 20 gld. Treba torej 20 gld. na štiri jednake dele razdeliti,
in kolikor goldinarjev ima tak del, tolilm goldinarjev ima 1 meter;
na ta način dobimo: 20 gld. : 4 = 5 gld. Ako uporabljamo delitev
imenovanih števil kakor deljenje, mora biti divizor kakor multi¬
plikator zmerom neimenovan; kvocijent je kakor multiplikand isto-
iniensk z dividendom kakor produktom.

Kakor je množenje ponavljano prištevanje istega števila, tako
tudi delitev ni nič druzega kakor ponavljano odštevanje od dane
vsote. Pri merjenji vprašamo, kolikokrat se da divizor od divi¬
denda odšteti; n. pr.: 4 je v 20 5krat, pravi se: 4 da se od 20 5krat
odšteti. Pri deljenji vprašamo, katero število se da od dividenda
tolikokrat odšteti, kakor zahteva divizor; n. pr.: 4ti del od 20 je 5,
pravi se: število, katero se da od 20 4krat odšteti, je 5.

Deljenje se da zmerom v merjenje izpremeniti. Ako nam je
n. pr. 20 s 4 deliti, moramo 4ti del od 20 iskati; tega pa najdemo,
ako od vsakih 4, ki so v 20, zmerom le 1 vzamemo, potem dobimo
tolikokrat po 1, kolikorkrat je 4 v 20, t. j. 4ti del od 20 je toliko,
kolikorkrat je 4 v 20. Akoravno sta tedaj obadva načina delitve,
merjenje in deljenje, pojmovno različna, dasta vender oba za isti
dividend in isti divizor, ne glede na ime, isto število za kvocijent,
ter tvorita v izvršitvi jeden sam računsk način.

V naravni številni vrsti ni mogoče zmerom delitve izvesti.
Tako n. pr. ni mogoče števila najti, katero bi bilo 3ji del od 20; šte¬
vilo 6 je premajhno in 7 preveliko. V tern slučaji zadostiti nam mora
približen rezultat; kvocijent treba vzeti tolik, kolikeršen je mogoč,

45

tedaj največje število; katero da z divizorjem množeno produkt, ki
ni večji od dividenda. Ako določujemo kvocijent na ta način, je
med dividendom in produktom iz kvocijenta in divizorja razlika,
katero imenujemo delitven ostanek  (Divisionsrest). V tem slučaji
treba tedaj k produktu iz kvocijenta in divizorja prišteti še ostanek,
da dobimo dividend. Tako je 20:3  = 6 in 2 ostanek, tedaj 6X3 +
+ 2 = 20.

Vaje. (Računanje na pamet.)

§ 32.

Kolikokrat je

1. ) 1 v 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9?

2. ) 2 » 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18?

3. ) 3 » 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27?

4. ) 4 » 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36?

5. ) 5 » 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45?

6. ) 6 » 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54?

7. ) 7 » 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63?

8. ) 8 » 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72?

9. ) 9 » 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81?

10. ) Kolikokrat je 2 v 7? Koliko še ostane?

11. ) Kolikokrat je 3 v 14? Koliko še ostane?

12 . ) Kolikokrat je 2 v 7, 10, 19, 25, 34, 39, in kolik je vsaki-

kratni ostanek?

Kolikokrat je

13. ) 5 v 1, 7, 9, 16, 22, 28, 34, 43, 49?

14. ) 6 » 9, 13, 20, 27, 32, 37, 40, 44, 50?

15. ) 7 > 10, 12, 17, 24, 30, 36, 45, 50, 60?

16. ) 8 » 9, 18, 23, 30, 39, 44, 52, 61, 75?

17. ) 9 » 12, 25, 38, 53, 64, 70, 78, 86, 89?

18. ) Ako razdeliš celoto na dva jednaka dela, kako imenuješ tak

del? Kako imenuješ del, katerega dobiš, ako razdeliš celoto
na 3, 4, 5, ... 8, 9 jednakih delov?

Kolika je

19. ) polovica od 8, 9, 16, 15, 3, 11, 7, 18, 13, 15?

20. ) tretjina » 6, 24, 18, 13, 26, 8, 19, 25, 15, 22?

21. ) četrtina » 20, 7, 14, 35, 32, 17, 10, 37, 23, 30?

22. ) petina » 15, 26, 9, 36, 40, 12, 23, 45, 34, 18?

23. ) šestina » 24, 13, 32, 8, 55, 46, 49, 36, 23, 50?

46

24. ) sedmina od 49, 64, 10, 37, 60, 42, 18, 29, 40, 13?

25. ) osmina » 16, 43, 26, 68, 61, 50, 40, 39, 12, 77?

26. ) devetina » 63, 10, 46, 36, 74, 26, 58, 19, 85, 70?

27. ) Kolikokrat je 10 v 30? Kolikokrat 10 v 50, 20, 80, 60, 40?

V kaj prehajajo desetice, ako jih z 10 deliš?

28. ) Kolik je lOOti del od 100, od 500, 700, 900? V kaj prehajajo

stotice, ako jih s 100 deliš?

29. ) Kolikokrat sta 2 desetici v 6 deseticah, kolikokrat 20 v 100,

30 v 180, 50 v 200, 60 v 360, 80 v 320, 90 v 270?

30. ) Koliko je 80 : 20, 120 : 30, 233 : 50, 137 : 40, 311 : 60?

31. ) Kolik je lOOti del od 1000, 4000, 7000, 8000? V kaj preha¬

jajo tisočice, ako jih s 100 deliš?

32. ) Kolikokrat so 3 stotice v 15 stoticah? Kolikokrat je 400 v

1200, 500 v 2000, 600 v 4200?

33. ) Koliki del od 800 je 100, 200, 400?

34. ) Kolika je polovica od 20? polovica od 4? Kolika je tedaj po¬

lovica od 24?

24 : 2 = (20 + 4) : 2 = (20 : 2) + (4 : 2) = 10 + 2 = 12.

Vsoto deliš s številom, ako vsak sumand s številom

deliš in delske produkte sešteješ.

35. ) Kolikokrat je 4 v 56 ? 56 je 40 + 16; 4 v 40 je lOkrat, 4 v

16 je 4krat, 4 v 56 je tedaj 14krat.

36. ) Deli z 2, 3, 4, ... 8, 9 vsako sledečih števil:

a)  82, 59, 15, 24, 46, 64, 30, 72, 51, 28, 7, 36;

b)  20, 65, 9, 52, 12, 40, 49, 68, 34, 83, 55, 25;

c)  19, 58, 60, 31, 75, 92, 50, 26, 44, 36, 11, 88.

37. ) Kolikokrat je 2 v 106, 3 v 216, 9 v 648, 4 v 114, 8 v 528,

7 v 580, 5 v 372, 6 v 213?

38. ) Koliko je 5krat 6ti del od 138; 7krat 8mi del od 280; 8krat

5ti del od 345?

39. ) a)  Razdeli 60 na 4 jednake dele, in potem še vsak tak del

na 3 jednake dele. Koliko jednakih delov dobiš in kolik
je vsak? Kako moreš tedaj razdeliti število na 12 jed¬
nakih delov?

60 : 12 = 60 : (4 X 3) = (60 : 4) : 3 = 15 : 3 = 5.
b)  Kolik je 6ti del od 4tega dela od 120? Kolik je 24ti
del od 120?

47

Mesto da deliš število s produktom dveh števil, deli
je najprej z jednim faktorjem in rezultat z drugim fak-
torj e m.

40. ) Kolik je 15ti del od 135, 16ti del od 352, 32ti del od 448,

45ti del od 945?

41. ) 80 gld. se i'azdeli med 10 oseb najednake dele; koliko dobi vsaka?

Koliko dobi vsaka oseba, ako razdeliš dvojno, trojno vsoto med
2krat, 3krat toliko oseb ? Koliko dobi vsaka oseba, ako razdeliš
5ti del one vsote med 5ti del onih oseb ?

Kvocijent se ne izpremeni, ako dividend in divizor
z istim številom množiš, ali oba z istim številom deliš.

Pismeno deljenje.

§ 33 .

Delitev celih števil.

a)  Divizor je jednoštevilčen.
Dividend 936 : 3 divizor
312 kvocijent.

9 stot. : 3 = 3 stot.
3 des. : 3 = 1 des.
6 jedn. : 3 = 2 jedn.

Kateri red jednot znači kvocijent, ako deliš jednice, desetice,
stotice, . . , z jednicami?

894 : 6

5 des. = 50 j.
natanko 9 j.

Ako razdeliš 8 stot. na 6 jednakih delov, dobiš 1 stot.
in ostaneta ti še 2 stot. = 20 des.; 20 + 9 des. = 29 des.,
te na 6 jednakih delov razdeljene dade 4 des. in ostane
te na 6 jednakih delov razdeljene dade

149

50 j. + 4 j. = 54 j.

Ako je tedaj divizor jednoštevilčen, deli z njim najprej naj¬
višje ali dve naj višji mesti dividenda; takovo delitev ponavljaj do
jednic ter zapiši vsakikratno številko kvocijenta kakor jednote istega
reda, katere pomenja dotični delski dividend. Ako dobiš pri kakšni
delitvi ostanek, pretvori ga na jednote nižjega reda in te zjedini s
številko, katera stoji na tem mestu.

V zadnjem primeru reci krajše: 6 v 8 lkrat, ostane 2; 6 v 29 4krat,
ostane 5; (5 v 54 9krat.

Sestavine dividendove, iz katerih določujemo posamezne kvo-
cijentove številke, namreč 8 st., 29 d., 54 j., imenujemo delske
dividende  (Theildividende).

827 : 3 Ako tu res deliš, ti je 275 kvocijent in
275f 2 ostanek. Kvocijent je tedaj večji od 275 in

48

manjši od 276, ni ga tedaj moči izraziti z dosedanjimi naravnimi
števili. To se zgodi zmerom, kadar se ne da deliti brez ostanka.
Da nam je mogoče tudi v takih slučajih kvocijent natanko določiti,
primorani smo naravno številno vrsto razširiti s tem, da razdelimo
razstoj med po dvema številoma, t. j. jedno jednoto, uvrsteč nova
števila, na toliko jednakih delov, kolikor jih znači divizor. V tem
slučaji moramo razstoj med po dvema številoma na 3 jednake dele
razdeliti; vsak tak del je tretjina (-|) prvotne jednote. Na številni
črti moremo to tako-le predočiti:

V tej z uvrščenimi tretjinami izpolnjeni številni vrsti, katero
imenujemo ulomkovo številno vrsto (Bruchzahlenreihe), našli
bomo sedaj za vsako delitev s 3 izraz za kvocijent; za gori nave¬
deni primer je ta kvocijent 275f.

Ako dobimo tedaj pri delitvi jednic ostanek, nakažemo njega
delitev z divizorjem v obliki ulomka in ta ulomek pripišemo celemu
številu, katero smo v kvocijentu dobili.
b)  Divizor je 10, 100, 1000, . . .

Da delimo število z 10, 100, 1000, treba, da vzamemo od
vsake številke v dividendu lOti, lOOti, lOOOči del. To se zgodi,
ako odrežemo celemu številu na desni 1, 2, 3 številke; na levi
ostale številke so kvocijent, na desni odrezane ostanek, katerega
treba še z divizorjem deliti, kar nakažemo v obliki ulomka. N. pr.:

O!-

X

283,0 : 10
283

373,00 : 100
373

§ 34.

c)  Divizor je večštevilčno število.
Kolikokrat je 92 v 31924?

31924 : 92 = 347
276

432

368

644

644

0

49

Ker 92 ni niti v 3 niti v 31, vzamemo precej 319 stotič za prvi delski
dividend. 92 je v 319 (poskusoma 9 v 31) Škrat, v 319 stoticah tedaj 300krat;
v kvocijent zapišemo tedaj 3 stotice. 300krat 92 da 3krat 92 st. = 276 st., ako
te od 319 st. odštejemo, ostane še 43 st.; 43 st. = 430 d, in še 2 d. je 432 d ; 92
v 432 (9 v 43) je 4krat, v 432 d. tedaj 40krat; v kvocijent zapišemo tedaj 4 de¬
setice. 40krat 92 je 4krat 92 d. = 368 d., ako te od 432 d. odštejemo, ostane
64 d. = 640 j , in še 4 j., je 644 j.; 92 v 644 (9 v 64) je 7krat, tretja številka
kvocijenta je tedaj 7. 7krat 92 je natanko 644; ostanka tedaj tu ni.

Treba tedaj, da vzamemo v dividenda toliko najvišjih številk,
kolikor jih je v divizorji, ali pa jedno več, ako je z onimi števil¬
kami izraženo število manjše od divizorja, za prvi delski dividend;
tega delimo z divizoijem in tako dobimo prvo in najvišjo številko
kvocijenta. Ako množimo potem s to kvocijentovo številko divizor,
ter odštejemo produkt od prvega delskega dividenda in pripišemo k
ostanku naslednjo nižjo dividendovo številko, je to število drugi
delski dividend, kateri da, z divizorjem deljen, drugo številko kvo¬
cijenta. To postopanje nadaljujemo toliko časa, dokler ne pridejo vse
dividendove številke v račun.

Ako dobiš na konci ostanek, nakaži njega delitev, z divizorjem
v obliki ulomka in pripiši ta ulomek h kvocijentu.

Prva številka v kvocijentu  ima tu z najnižjo številko
prvega delskega dividenda jednako mestno vrednost.

Dolske produkte iz divizorja in vsakikratne številke kvocijenta
odštevamo navadno precej pri množenji  od dotičnih dolskih
dividendov ter le ostanke napisujemo. Ono zgoraj navedeno delitev
izvršili bi tedaj tako-le:

31924 : 92 Govori: 92 v 319 (9 v 31) 3krat; 3kr at 2 je 6 in 3

432 347 j e  9; 3krat 9 je 27 in 4 je 31. K ostanku 43 2 doli;

P 44  92 v 432 (9 v 43) 4krat; 4krat 2 je 8 in 4 je 12,

0  ostane 1; 4krat 9 je 36 in 1 je 37 in 6  je 43; i. t. d.

Ako ima divizor na desni ničle, preziraj jih med delitvijo, ob
jednem pa tudi isto toliko najnižjih številk v dividendu; ako pripišeš te
številke potem k zadnjemu ostanku, dobiš ostanek cele delitve. N. pr.:

389,27 ; 4,00 37950,63 : 52,00

1)71-2 7  1 r, F, 7004 2^6.3

“'400 1 J  ° '‘"5200

510

42 63 ostanek.

O pravosti delitve  prepričaš se, ako množiš dobljeni kvocijent
z divizorjem in k produktu prištteješ še ostanek, katerega si morebiti
dobil; ako si prav delil, dobiš dividend. N, pr.:

50

Delitev.
32875 : 128
727 256

875

107 ostanek

Delitev služi tudi
namreč produkt
N. pr.:

Množitev:
274 X 245
548
1096
1370
67130

Preskušnja.

256 X 128
256
512
2048
32768
+ 107
32875

za množitev. Ako
dobiti moraš multiplikand.

Preskušnja:

67130 : 245 '= 274
1813
980

kakor preskus n j a
z multiplikatorjem deliš,

Dostavek. Tudi pri delitvi dade se števila tako napisavati,
da je mogoče pomen vsake številke v kvocijentu precej po mestu
spoznati, na katerem stoji. Ako napišeš namreč divizor pod prvi
delski dividend, a prvo številko kvocijenta pod divizorjeve jednice,
ima vsaka številka v kvocijentu jednako mestno vrednost
z ravno nad njo stoječo številko dividendovo.

Ako treba n. pr. 134676 deliti z 29, stoji račun tako-le:

134676 dividend
29 divizor

4644 kvocijent
186
127
116
0

§ 35.

Delitev decimalnih števil.

a)  Divizor je 10, 100, 1000, . . .

Povej vrednost posameznih številk v sledečih številih:
345-6, 34-56, 3-456, 0-3456, 0-03456.

51

Koliki del prvega decimalnega števila je vsako sledeče deci¬
malno število?

Decimalno število deliš tedaj z 10, 100, 1000, . . ., ako
pomakneš decimalno točko za 1, 2, 3, . . . mesta dalje proti levi.
b)  Divizor je celo število.

2 ‘ 568 : 6 2 celoti: 6 dasta 0 celot; treba tedaj, da vzameš

„ precej 25 desetin za prvi delski dividend; 25 desetin:

6 da 4 desetine, i. t. d.

Desetine, stotine, tisočine, . . . deljene z jednicami, dade zopet
jednote istega reda.

847-85 : 31 = 27'35 7’3402 : 749 = 0'0098

227 5992

108 0

155

Decimalno število, deli kakor celo število v kvocijentu pa po¬
stavi decimalno točko prej, nego jemlješ desetine dividenda v račun.

Prva številka v kvocijentu ima tudi tukaj jednako mestno
vrednost z najnižjo številko prvega delsltega dividenda.

Ako dobiš pri delitvi ostanek, moreš, ker se vrednost decimal¬
nega ulomka z dodavanjem ničel ne izpremeni, k temu in vsakemu
sledečemu ostanku ničlo pripisati in delitev nadaljevati. N. pr.:

303-8 00  : 56  19 934 :317

23 8 5-425 914 0-06288..

1 40 2800

280 2640

0 104

Isto tako moreš postopati tudi tedaj, kadar dobiš pri delitvi
celih števil ostanek; kajti vsako celo število pretvoriš lahko na deci¬
malno število, treba le, da mu postaviš na desni decimalno točko
in ničel pripišeš, kolikor le hočeš. V kvocijentu postaviš decimalno
točko, kadar pripišeš k ostanku prvo decimalno ničlo. N. pr.:

5964-

0  0  0  0

: 64

204 93-1875

120
560
480
320
0

7836 : 234
816 33-4871..

1140
2040
1680
420
186

4*

52

c)  Divizor je decimalno število.

1. ) V tem slučaji izpremeniš divizor lahko v celo število, mno¬
žeč ga, kadar ima 1, 2, 3, .. . decimalna mesta z 10, 100, 1000, ...
Da pa ostane kvocijent neizpremenjen, treba, da množiš tudi divi¬
dend, oziroma z 10, 100, 1000, . . . kar se zgodi, ako pomakneš
decimalno točko v njem za 1, 2, 3, . . . mesta proti desni.

Na ta način izpremeniš račun v delitev decimalnega števila s
celim številom. N. pr.:

2-201461 : 5 69 = 220 1461 : 569 = 0 3869
49 44
3 926
5121
0

2. ) Drugo občno postopanje za delitev decimalnih števil
opira se na sledeča premišljevanja: Številčna vrsta v kvocijentu za-
visi le od številčne vrste v dividendu in divizorji; zaporedoma si sle¬
deče številke kvocijenta dobimo tedaj, ako izvršimo delitev, ne oziraje
se na decimalni točki v dividendu in divizorji kakor pri celih šte¬
vilih. V kvocijentu je mestna vrednost številk popolnoma določena,
ako je znana le vrednost prve številke; kajti mestna vrednost vsake
sledeče številke je lOti del vrednosti prejšnje številke. Vzemimo, da
je divizor celo število, da pomeni tedaj najnižja divizorjeva številka
jedniee, potem ima, kakor znano, prva številka v kvocijentu
jed n ako mestno vrednost z naj nižjo številko prvega
dolskega dividenda.  Ako pomeni tedaj najnižja divizorjeva številka
desetine, stotine, tisočine . .., ako je tedaj divizor lOti, lOOti, lOOOi
del prejšnjega divizorja, potem je kvocijent lOkrat, lOOkrat, lOOOkrat
tolik, kolikeršen je bil prejšnji, in mestna vrednost prve šte¬
vilke v kvocijentu je po tem takem oziroma za jedno, dve,
tri,  . ..  mesta višja od mestne vrednosti najnižje številke
v prvem dolskem dividendu.  N. pr.:

Najnižja številka prvega dolskega dividenda 2287
pomeni desetice; ker pomeni najnižja divizorjeva šte¬
vilka desetine, ima prva številka 3 v kvocijentu za
jedno mesto višjo vrednost od desetic, tedaj vrednost
stotič

2287572 : 72*3
1185 316*4

462 7
28 92

53

3-79623 : 68'72
36023 0-05524..

16630
28860
1372

Prvi delski dividend je 3'7962, njega najnižja šte¬
vilka pomeni desettisočine, najnižja številka divizorja
pomeni stotine; v kvocijentu ima tedaj prva številka
5 za dve mesti višjo vrednost od desettisoein, torej po-
menja stotine; mesti desetin in celot izpolnita se z
ničlama.

3.) Pri delitvi okrajšanih decimalnih števil je najbolj
pripravno, dati dividendu toliko številk, kolikor jih ima divizor, ali
pa jedno več, ako bi bil tudi tedaj dividend manjši nego divizor.
V kvocijentu je potem v najneugodnejšem slučaji število zanesljivih
številk za dve manjše, nego jih ima divizor, ali pa tudi le za jedno,
ako je le jedno danih dveh decimalnih števil okrajšan.

Dostavek. Ako napišemo dividend, divizor in kvocijent na ta
način, kakor smo v dostavku k § 34. povedali, sledi mestna vrednost
vsake številke v kvocijentu neposredno iz uredbe same, ker pride
decimalna točka v kvocijentu pod decimalno točko dividenda. N. pr.:

344 2-23
62-7
5 4-9
30 7 2
5 6 43
0

4-35 698
1 27-12
0-03 42 ..
54 338
3 4900
9476

§ 36.

Okrajšana delitev decimalnih števil.

Okrajšane delitve (abgekiirzteDivision) se poslužujemo tedaj,
kadar hočemo v kvocijentu le določeno število decimalk dobiti. Ta
je obrat okrajšane množitve, pri kateri se multiplikand zaporedoma
za jedno mesto skrajšuje. Bistvo okrajšane delitve obstoji v sledečem;

Iz mestne vrednosti prve številke v kvocijentu in iz števila
zahtevanih decimalk sledi, koliko številk treba sploh v kvocijentu
določiti. Za okrajšan divizor vzemi potem toliko najvišjih številk
divizorjevih, kolikor se jih v kvocijentu zahteva; od dividendovih
številk pa pridrži le k okrajšanemu divizorju pripadojoči prvi delski
dividend. Potem množi s prvo številko kvocijenta najprej najvišjo
izpuščeno številko divizorja; iz tega produkta dobljeno popravo pri-
štej k produktu iz okrajšanega divizorja in prve številke v kvo¬
cijentu in ta produkt odštej od dividenda. K ostanku ne pripiši
nobedne nove številke, ampak v divizorji izpusti na desni

54

jedno številko, potem deli in to postopanje toliko časa nadaljuj,
da ni v divizorji nobedne številke več.

Vzemimo, da treba n. pr. v sledečih dveh delitvah kvocijenta ,
na tri decimalke izračunati. Potem imamo sledeča računa:

a)  876 54|3 8 : 1,8 -,9,5,719  bj  19 34 0  : 8',1,5,3

118 22 46 2 3 6 3 034 2'372

4 48 588

69 17

12  1

1

V a)  pomeni prva številka 4  v kvocijenta desetice; v kvocijenta treba nam
tedaj izračunati 2 celi mesti in 3 decimalke, skupaj 5 številk; zarad tega vzamemo
18'957 za okrajšan divizor in 876 54 za dividend. V b)  pomeni prva številka v
kvocijenta jednice, določiti nam je tedaj 4 številke; dani divizor 8' 153 je ob jednem
okrajšani divizor, v dividendu pa je treba prazno mesto na desni z ničlo dopolniti.

Okrajšana delitev, katero smo učili tu za decimalna števila more se upo¬
rabljati tudi pri delitvi celili števil, ako se zahteva le nekaj najvišjih mest.

Da določimo n. pr. kvocijent 35874137 : 8435 le do stotič, dobimo
358174137 : 8 t 4|35 = 42 stotič
21
4

§ 37.

Računski prikrajški pri delitvi in še nekateri pri-
krajški pri množitvi.

1. ) Število deliš s 25, ako je s 4 množiš in produkt s 100
deliš. Kajti 25 je v številu natanko tolikokrat, kolikorkrat je 100 v
4krat tolikem številu. N. pr.:

8641950 : 25

- X 4

34567800 : 100 = 345678.

2. ) Število deliš  s 125, ako je z 8 množiš in produkt s
1000 deliš. N. pr.:

3910257 : 125
- X 8

31282056 : 1000 = 31282 T f§„.

8 pomočjo delitve da se tudi množitev  s 25  ali  125  s pri-
krajškom izvrševati.

a)  S 25 množiš število,  ako je s 100 množiš in produkt
s 4 deliš. N. pr.:

00

315876 00  X 25
: 4

7896900.

b)  S 125 množiš število,  ako je s 1000 množiš in pro¬
dukt z 8 deliš. N. pr.:

7058317 noo  X 125
: 8

882289625.

§ 38.

Naloge.

1. j a)  128 : 4 = ? b)  357 : 7 = ? <)  472 : 8 = ?

2. ) Deli z 2, 3, 4, ... 8, 9 vsako sledečih števil:

a)  288, 318, 702, 193, 560, 906, 444, 832;

b)  456, 465, 546, 464, 645, 654, 789, 987;

c)  1240, 3418, 2195, 5436, 2348, 4785.

3.1

4 . )

5 . )

6 . )

7 . )

8 . )

9.)

10 .)

11 .)

12 .)

13 .)

Polovico vsote dveh števil imenujemo njijino srednje število
(ari tli meti sches Mittel). Koliko je srednje število med 1205 in
4317, 1418 in 8324, 2704 in 41352

a)  398024 : 8 = ? b)  906144 : 3 = ?

Kolikokrat je 7 v 132076?

Kolik je 4ti del od 290356?

Ako je 621360 produkt dveh števil in 8 jeden faktor, kolik je
drugi faktor?

Katero število moraš s 3 množiti, da dobiš 123456?

Katero število moreš od 835245 9krat odšteti?

a)  135000 : 100 =? b)  289462 : 1000 = ?

Deli 7904521 s 4 in cela števila tega in vsacega sledečega
kvoeijenta zopet s 4; kolik je sedmi kvocijent?

Deli na isti način število 2715937 6krat zaporedoma s 6.

Izvrši sledeče delitve in napravi vsakikrat tudi preskušnjo:

a)  57990
28567
13356
Deli 11016
a)  s 24,
a)  6720

82 =? 6) 22750:35 =?

53 =? 12059:29 =?

42 =? 30051:58 =?

51 ,

14 . )

15 . )

16 . ) Kolik je 847ti del od 2939620?

b)  z
240 =?

14820 : 570 =?

c)  z 72.

b)  489588 : 516 =?
295070 : 725 =?

56

17. ) Kolikokrat je 293

a)  v 46294? b)  v 234400? c)  v 433640?

18. ) a)  5925780 : 240 =? 6) 3208825: 8000 =?

7531352 : 5300 =? 6825478 : 31500 =?

19. ) Katero število da, množeno z diferenco števil 5724 in 4912,

vsoto števil 2345670 in 5222170 za produkt?

20. ) Produkt dveh števil je za 1392 manjši od 455659938, jeden

faktor je 6958; kolik je drugi faktor?

21.) Deli z 2, 3, 4, ... 8, 9, vsako sledečih števil:

a)  50-4, 24-8, 7'63, 0 918, 32 2, 4'32;

b)  37-86, 8-796, 0'9480, 3'262, 6'425, 75’ 84.

57

33. ) n)  19147-8 : 329 =?

3479-02 : 74'9 = ?
270-2146 : 8-69 =?

34. ) a)  389-007 . . : 0'52 =?

71-6124 : 4-72 . .=?

b) 24-0484 : 0'472 =?
323-7964 : 2'327 =?
540-9835 : 0-02347 = ?

b) 0-784.. : 3'08 =?

616-337. . : 0'2569..=?

35. ) Deli 5409835

a) s 4 61, b)  s 23-47, c)  s 491 8

36. ) Kolikokrat moraš 4 "2052 za sumand vzeti, da dobiš 12640 "8312?

37. ) Deli a)  89990166, b)  2149'09526 z vsakim izmed števil

m)  599, n)  25-039, o)  364’13.

38. ) Določi na okrajšan način sledeče kvocijente:

a)  791'5046 : 87-1892 na 3 decim.;

b)  4-78432:0-3475 >3 »

c)  100 : 3 • 1419 > 2

d)  23"7035 : 438 "973 »> 2

e)  68-397508 : 5 * 736 »3

39. ) Določi sledeče kvocijente:

a)  98698534 : 4851 na 3 decim.;

b)  549-00217 : 0«3234 » 2

c)  578-369432 : 0'5932 » 3

d)  6087-64351 : 1-2345 » 4

e)  7836-0583 : 37 246 » 2

40.) Poišči kvocijente:

a)  12-948 : 11 '89 . .

b)  0 8193. . : 0-2536 ..

c)  41 -0357 ..: 0-924 ..

d)  285-7748 . . : 3865-1

na toliko decimalk, kolikor je
zanesljivih.

Izvrši sledeče račune uporabljajoč delitvene in množitvene pri-
krajške:

41 . )

42. )

a)  8641950 : 25 =?

385-725 : 2'5 =?
a)  333150 : 125 =?
7853 104 : 1-25 =?

b)  8872472 X 25 =V
51-0736 X 0-25 =?
b)  7935-24 X 125 =?
579-1816 X 12-5 =?

43. ) 811475 : 25 + 2373750 : 125 =?

44. ) 7834000 : 25 - 6377 X 25 =?

45. ) 4956-9288 X 25 + 7723-7875 : 25 — 93'76 X 1250 =?

58

Delitev jednoimenskih števil.

§ 39.

Naloge.

1. ) Nekdo kupi 8 hi  vina za 336 gld.; koliko ga stane 1 A/?

1 hi  je 8mi del od 8 hi-,  1 hi  velja tedaj le 8mi del od 336 gld., torej
42 gld.

2. ) Nekdo kupi 9 ha  travnikov za 3780 gld.; koliko velja 1 Aer?

3. ) Im  svilene robe velja 12 gld.; koliko velja 1 din?

4 . ) 1 hi  piva velja 14 gld.; koliko 1/?

5. ) 1 hi  olja tehta 95 kg\  koliko 1/?

6. ) 1 rizma papirja velja 3'4 gld.; koliko volja 1 knjiga?

7 . ) Izmed dveh studencev daje prvi 55/ vode v 4 minutah, drugi

84/ v 7 minutah; kateri je zdatnejši?

8. ) Na nekem vrtu stoji v 10 vrstah 360 dreves; koliko dreves

je v vsaki vrsti?

9. ) V mlinu se nam el j e v 15 dneh 36300 kg  moke; koliko v jednem

dnevi ?

10. ) Uradnik ima 1890 gld. letne plače; koliko dobiva na mesec?

11. ) Neki kapital nese na leto 258'36 gld. obresti); koliko v 1 meseci?

12. ) 1 m  sukna velja 5 gld.; koliko m  ga dobiš za 135 gld.?

Dobil ga bodeš tolikokrat 1 m,  kolikorkrat je 5 gld. v 135 gld.;

135 gld. : 5 gld. = 27.

Dobil ga bodeš tedaj 27krat. 1 m,  t. j. 27 m.

13 . ) Kolesu je obod 3 m; kolikokrat mora se zavrteti, da preteče

potakaje se 1125 m?

14 . ) Vodovod je 744/« dolg; koliko svinčenih cevij se potrebuje

zanj, ako je vsaka 4/« dolga?

15 . ) Ako velja 1 kg  0'5 gld., koliko kg  dobiš za 37 gld.?

16 . ) Koliko je stavbišče, katero velja 14400 gld., ako se plača za

1 m' 1  9 gld. ?

17. ) Nekdo hoče 817 gld. dolga z vinom poravnati; koliko mu za

to treba A/, ako se računa hi  po 19 gld.?

18 . ) Za 16'325 m se jdača 69 gld; koliko za lm?

19. ) 2976 gld. razdeli se med več oseb tako, da dobi vsaka 24 gld.;

koliko je oseb?

20. ) 59415 gld. treba med 255 oseb jednako razdeliti; koliko dobi

vsaka oseba?

21. ) Neka železnica imela je meseca julija 72757 gld. dohodkov;

koliko dohodkov imela je poprek na dan?

59

22. ) Na- neki železnici vozilo seje leta 1875. 1250855 oseb; koliko

poprek na dan?

23. ) Zemlja preteče na poti, katero napisuje vsako leto okoli solnca,

v 3 urah blizo 43866 milj; koliko milj preteče v 1 minuti?

24. ) Višina stopnicam treba daje 4 m,  a višina vsaki stopnji 0'125 /m;

koliko stopenj morajo imeti stopnice?

25. ) Obod kroga je 2 m; kolik mu je polumer? (§ 30, nal. 39.)

26. ) Kolo ima l'2m  v premeru; kolik mu je obod, in kolikokrat

mora se zavrteti, da preteče 1 km?

27. ) Obod zemeljskega ekvatorja je 40070 km-  kolika je dolžina

jedni stopinji ekvatorja? (Obod ekvatorja = 360 stopinjam.)

28. ) Obod zemeljskega ekvatorja ima 5400 zemljep. milj; kolik je

premer? (Deli obod s 3'14159.)

29. ) Ako bi se dalo vse površje avstro - ogerske države sestaviti v

krog, bil bi mu obod 2796 • 831 km ; kolik bi bil premer onemu
krogu? (Deli s 3'1415926.)

30. ) Vrt ima 1992 m'*  in je 83 m  dolg; kolika mu je širina?

31. ) Kolika je dolžina pravokotniku, čegar ploščina znaša 13'5 m' 2

in širina 1'8 m  ?

32. ) Tla, ki so 10'2 m  dolga in 6 3 m  široka, treba pomostiti s

3'4 m  dolgimi in 0 ■ 3 m  širokimi deskami; koliko desek je
treba?

33. ) Pravokotno telo ima 48*375 m 3 , njega osnovna ploskev pa

2 2'5 m -; kolika mu je višina ?

34. ) Koliko 2'8 dni  dolgih, 16 d m  širokih in 0'4 dm  debelih opek

potrebuje se za zid, kateri je 2832 din  dolg, 105 dm  širok (visok)
in 0'8 dm  debel ?

35. ) Medena kocka, kateri je vsaka stranica 1'5 dm  dolga, tehta

28 ‘ 35 kg ; koliko tehta 1 dm 3  medi?

36. ) Koliko hi  drži kašča, katera je 3'5 m  dolga, 1*36 m  široka in

I '25 m  globoka, ako je 1 hi  = 0'1 m 3 ?  (2 dec.)

37. ) Ako dobiš za 24 gld. 72 kg  nekega blaga, koliko ky  ga boš

dobil za 17 gld.?

Ako dobiš za 24 gld. 72 kg , dobil boš za 1 gld. 24ti del od 12 kg-,  za
17 gld. dobil boš potem 17krat toliko, kolikor za 1 gld. Računati treba
tedaj tako-le:

za 24 gld.
» 1  »

» 17 >

12 kg

72 » : 24 = 3 kg
3 » x 17 = 51 »

60

38. ) 38 m  sukna velja 266 gld.; koliko velja 29 m ?

39. ) 14 delavcev dodela neko delo v 6. dneh; koliko dnij potrebuje

12 delavcev za isto delo?

14 delavcev v 6 dneh
1 delavec » 6 » X 14 = 84 dneh
12 delavcev »84 » : 12 = 7 »

40. ) 16 zidarjev sezida zid v 40 dneh; koliko zidarjev treba najeti,

da sezidajo isti zid v 64 dneh?

41. ) Ako velja Ih hi  reži 79 gld. 85 ■ 5 kr., koliko stane 32 hi?

42. ) Za 31'128 gld. dobiš 1 '2 hi ; koliko za 19’455 gld.?

43. ) Koliko velja 18 • 34g blaga, ako se plača za 11 • 375 q  512 • 25 gld.?

44. ) Koliko kg  kave treba dati za 132 kg  sladorja, ako velja 1 kg

kave 1'76 gld. in 1 kg  sladorja 0’48 gld.?

45. ) Nekdo zmeša 1 / vina po 36 kr., 1 l  po 40 kr. in 1 1  po 56 kr.;

koliko velja 1 l  te zmesi?

1 l  prve vrste velja 36 kr.

1» druge » »  40 »

1» tretje » » 56 »

3 l  zmesi veljajo 132 kr.

1 . » velja 44 »

Račun, kateri uči, kako najti vrednost jednote kake zmesi, katera obstoji
iz delov različne vrednosti, imenujemo poprečni račun  (Durchschnitts-
reehnung).

46. ) Tri jednake kapitale treba druzega za drugim poplačati, prvega

čez 2 leti, druzega čez 5 let, tretjega čez 6 let; dolžnik želi
vse tri na jedenkrat plačati; kedaj se mora to zgoditi ?

47. ) Zmesi (leguje) se 7 kg  zlata, 7 kg  srebra in 3 kg  bakra; koliko

zlata je v 1 kg  zmesi?

48. ) Posestvo nese v petih letih zaporedoma 2728 gld., 2504 gld.,

1786 gld., 2230 gld. in 2637 gld.; koliko nese poprek vsako leto?

49. ) Črta zmerila se je štirikrat; pri prvi meritvi določila se je

njena dolžina na 79'245 m,  pri drugi na 79'284m,  pri tretji
na 79'108 m,  pri četrti na 79'316 m; kolika seji  sme vzeti
dolžina z ozirom na vse štiri meritve?

50. ) Nekdo zmeša 4 hi  vina po 28 gld., 4 hi  po 24 gld. in 8 lil  po

20 gld., koliko je vreden 1 hi  zmesi?

4 hi  po 28 gld. veljajo 112 gld.

4 » » 24 » » 96 »

8 » » 20 » velja 160

16 hi  zmesi velja 368 gld.

1 •  » » 368 » : 16 = 23 gld.

61

51.  ) Nekdo kupi 10 % sladorja po 46 kr., 10 % po 48 kr. in 40%

po 50 kr.; koliko stane poprek 1 % ?

52. ) Nekdo razredči 60 l  jesiha po 22  kr. z 12  l  vode; koliko je potem

1 1  vreden?

53.  ) K 13% bakra po 98 kr. primesi se 52% cinka po 56 kr.;

koliko stane 1  % zmesi ?

54. ) Oče zapusti 16800 gld. premoženja. To treba med njegovo ženo,

3 sine in 3 ličere tako razdeliti, da dobi mati 4 dele, vsak sin
3 jednake dele in vsaka hči 2  taka dela. Koliko dobi mati in
koliko vsak otrok?

55. ) Naj višja gora na zemlji, Everest (Ivrist) v Aziji, je 8601m visoka;

kolika je ta višina v angl. čevljih?

56. ) 0'741893pm ima ena zemljep. milja; koliko zemljep. milj ima

1 pm? (5 dec.)

57. ) 65 angl. cpiarterja = 18 hl\ a)  koliko hi  ima 1 quarter; b)  koliko

hi  je 49’5 quarterja; c)  koliko quartcrjev ima 1 hi ; a!) koliko
quarterjev je 216 • 34 hl  ?

58. ) 1  angl. gallon = 3 21  dunajsk. bokal., 1  nemški vrč (Kanne) =

= 0'71 dunajsk. bokal.; a)  koliko nemških vrčev je 270 gal-
lonov; b)  koliko gallonov je 359’5 nemšk. vrč.?

59. ) Po čem se računa kg  čistega srebra, ako se plača za 6'24%

580-32 gld.?

60. ) Novi francoski frank ima 5'389 <7  roblja (Schrot) in 4'5p  zrna

(Korn); kolika mu je čistina (Feingehalt) ?

5’389 delov zmesi ima 4'5 delov srebra,

5389 » » » 4500 » »

4500

1 del zmesi ima-= 0 835

5389

Frank ima tedaj 835 tisoein čistega srebra.

61. ) Koliko frankov je 285'8 gld. avstr. vr. ?

62. ) Koliko je vrednih 1000 gld. avstr. vr. ?

a)  v nemških drž. markah? b)  v laških lirah?

c)  v angl. funt sterling? d)  v ruskih rubljih?

63. ) Nekdo ima 945 gld. letne plače, razven tega dobiva od svojih

kapitalov na leto 400 gld. obrestij in postrani si zasluži 240 gld.;
koliko sme vsak dan porabiti, ako hoče, da si prihrani vsako
leto 250 gld.?

64. ) Vojvodina Slezija ima 513352 prebivalcev, katerih gre 9985 na

tim ' 2 ; koliko gin ' 1  ima Slezija?

62

65. ) Vojvodina Solnograška ima 71'66 mm' 1  in 153159 prebivalcev;

koliko prebivalcev pride poprek na 1 jim 4 ?

66. ) Leta 1876. bilo je rojenih na Štajerskem 38984, a umrlo je

28845 ljudi. Koliko bilo je rojenih in koliko jih je umrlo
poprek 1 dan?

67. ) Neka dežela ima 147380 duš in 147 ljudskih šol s 14382

učenci. Na koliko prebivalcev pride poprek jedmi ljudska šola
in koliko učencev na jedno šolo?

68. ) V teku jednega leta umrlo je

na Češkem 155910 od 5654598 prebivalcev,

» Moravskem 61146 » 2219051 »

v Šleziji 15350 » 564687

Od koliko prebivalcev umrl je v vsaki teh kronovin poprek po
j eden?

VI. Naloge za ponavljanje v računanji z jedno-
inienskimi števili.

1. ) Knjiga ima 248 stranij, na vsaki strani 42 vrst in v vsaki

vrsti poprek 50 črk; koliko črk je tedaj v celi knjigi?

2. ) A  je dolžan B- u 739'29 gld.; plača mu na račun jedenkrat

258'9 gld., drugikrat 312'53 gld.; koliko ostane še dolžan?

3. ) Zemljiški davek neke občine znaša 2’88 gld. za ha ; koliko ha

ima občina, ako plačuje 2280'96 gld. zemljiškega davka?

4. ) Neka drevesnica ima v pravilnih vrstah 31928 rastlin, in sicer

v vsaki vrsti 104 rastline; koliko vrst ima drevesnica?

5. ) Po najnovejših meritvah gornje - avstrijskih jezer globoko je

Traunsko 219 3 m,  Attersko 150 ■ 6 m , gornje Hallstadtsko
12 3'2 m , gornje Wolfgangsko 82 2 m,  Mondsko 71'4m;  za
koliko je Traunsko jezero globokejše nego vsako ostalih?

6. ) Koliko obrestij nese v 2 45 leta kapital, ki daje 159'135 gld.

na leto?

7. ) Tri osebe si imajo 1790 gld. tako med seboj razdeliti, da dobi

A  225 gld. več nego B, B  175 gld. več nego C;  koliko dobi
vsaka oseba?

8. ) Koliko let je minulo od tistega časa, ko se je Rim sezidal,

to je od leta 753. pr. Kr., do razpada zahodno-rimskega cesar¬
stva, t. j. do leta 476. po Kr.?

9. ) Smodnik izumili so leta 1556.; koliko let minulo je od tedaj?

63

10. ) Cesar Franc I. je bil rojen leta 1768., 24 let star nastopil je

vladarstvo ter umrl leta 1835.; a)  katerega leta je nastopil vla-
darstvo, b)  koliko je bil star, ko je umrl?

11. ) Odposlan slador tehta s sodi vred 3208%, sodi sami tehtajo

128%; kolika je teža sladorju?

12. ) Koliko velja 324% žime, % po 0'94 gld. ?

13. ) 8'5 m  sukna velja 69‘87 gld.; koliko stane Im?

14. ) 1 q  bombaža velja 110 mark; koliko q  dobiš za 2870 mark?

15. ) Im  sukna velja 7'28 gld.; koliko velja

a)  35 m? b) 204 m? c)  75'25»i?

16. ) 1?« platna velja 1'08 gld.; koliko ga dobiš

a)  za 9'99 gld.? b)  za 63 72 gld.? c)  za 336‘96 gld.?

17. ) Neko blago se je kupilo za 723 gld., prodalo pa za 802 gld.;

kolik je bil dobiček?

18. ) Trgovec kupi 186 bal papirja po 42 gld. in ima pri prodaji

692 gld. dobička; za koliko ga je prodal?

19. ) 36 m svilenine prodalo se je za 264 96 gld.; po čem se je

kupil lm,  ako je bilo 34 54 gld. dobička?

20. ) Nekdo kupi 925% vinskega kamena za 518 gld.; a)  po čem

je 1 %, b)  koliko velja 25 %?

21. ) 13 hi  vina velja 234 gld.; koliko velja po isti ceni

a) IH hi? b) bi hi? c)  159 hi?

22. ) 37 q  nekega blaga velja

a)  622 gld., b)  1258 gld., c)  1961 gld.;
koliko velja v vsakem slučaji

m)  14 q, n) b8q, o)  87 q?

23. ) Ako velja lb'b2hl  593‘64 gld.; koliko/// dobiš za 1507'05gld.?

24. ) Iz neke cevi priteče v 27 minutah 459/ vode; v koliko mi¬

nutah priteče iz iste cevi 1728/?

25. ) Za 24 krav kupilo se je toliko sena, da bi jim zadostovalo

15 tednov; doklej zadostovalo bo 9 kravam?

26. ) Nekdo zmeša trojen riž, po 30 kr., po 32 kr. in po 37 kr.

kilogram, vzemši jednake dele; koliko je vreden 1% zmesi?

27. ) Zlatar zmesi jednake dele čistega zlata in zlata, ki ima 800 in

540 tisočin čistine; kolika je čistina dobljeni zmesi?

28. ) Ako zmešaš 3'45 A/ vina po 22 gld., s 5'55 hi  po 30 gld., ko¬

liko je vreden 1 / te zmesi?

64

29. ) Nekdo prilije k 20 l  vina po 28 kr. 4 l  vode; koliko je vreden

1 L  zmesi ?

30. ) Nekdo doda k 8 kg  srebra od 900 tisočin čistine 4 kg  srebra

od 600 tisočin; kolika je čistina zmesi?

31. ) Ako zmesiš 3 kg  zlata, katero ima 125 tisočin bakra, s 5 kg

srebra, v katerem je 164 tisočin bakra; koliko bakra je v
vsakem kg  zmesi?

32. ) Ako zmesiš 11 kg  cinka, 3‘3 kg  bakra in L 448% kositarja;

koliko ima a)  cinka, b)  bakra, c)  kositarja vsak kilogram zmesi?

33. ) Mlinar zmeša 12 hi  reži, katere tebta vsak hi  69 kg,  z 8 hi

slabejše vrste, katere ima hi  le 66 kg-,  kolika je teža 1 hi
zmesi ?

34. ) Nekdo ima nekega blaga 60 kg  po 60 kr. in 80% po 55 kr.;

ako doda še 100 kg  tretje vrste, dobi zmes po 50 kr. %; ko¬
liko stane kg  zadnje vrste?

35. ) Predor pod Themso pri Londonu ima 4331 yardov; kolika je

ta dolžina \ m?

36. ) Po najnovejših astronomijskik meritvah znaša razdalja zemlje

od solnca 96160000 britanskih milj; kolik je ta razstoj v p m?
(Do tisočic.)

37. ) Moskva je oddaljena od Petrograda 689 833 vrste; ako bi kdo

na poti od Moskve do Petrograda prehodil na dan 51 km,  ko¬
liko dni bi potreboval, da pride v Petrograd?

38. ) 1 angl. gallon = 4 - 5435^, 1 Švicar, bokal = 1 '5/;  a)  koliko

gallonov ima 1 Švicar, bokal; b)  koliko švicarskih bokalov ima
1 gallon ?

39. ) Ako velja 1 dunajski bokal 56 kr., kolika je primerna cena 1/?

40. ) Pretvori 1562%

a)  na švedske funte, b)  na turške oke.

41. ) Koliko nemških funtov je

a)  2733-58%? b)  412 lond. centov?

42. ) 1 1  vinskega cveta tehta 1-65%;  koliko tehta 1 jw 3 ?

43. ) 1 dnr'  vode tehta 1%; koliko tehta 1 dm 3  zraka, ker je voda

770 težja od zraka?

44. ) Specifična teža  (specifisches Gewicht), t. j. število, katero

pove, koliko gramov tehta kubičen centimeter kacega telesa, je

65

b)

<■)

<■O

e)

Koliko kg  telita 125 dm '  vsake izmed navedenih kovin?

45. ) Določena prostornina živega srebra je 13'598krat težja nego

isto tolika prostornina čiste vode; koliko tehta 2  • 56 dm :t  živega

srebra ?

46. ) Ako je tehtal dunajski vagan pšenice 88  dunajskih funtov,

koliko kg  tehta po tem razmerji 1  k/  pšenice?

47. ) V Angleški tehta 1  jard železnocestnih šin 58 angl. funt. adp.;

koliko kg  pride na lm?

48. ) Pol kg  čistega srebra velja 45 gld. avstr. vr.; koliko je vreden

lg  čistega srebra?

500 g  čistega srebra ....  45 gld. avstr. vr.

1 » » » 0 ‘ 09 » » » ■= 9 kr. avstr. vr.

Notranja vrednost srebernega novca znaša tedaj tolikokrat 9 kr. avstr, vr.,

kolikor ima gramov čistega srebra.

49 . ) Angleški shilling ima 5'231, holandski goldinar 9’45 g  čistega

srebra; koliko je vreden vsak izmed teh novcev v avstr. vr. ?

50 . ) Severo - amerikanski poludollar tehta 12'4415 g,  laška po pet-

lira 25 g,  čistina obeh je 0 - 9,  t. j. med 10 deli imata 9 delov
čistega srebra; kolika je notranja vrednost vsakemu izmed teh
novcev v avstr. vr. ?

51. ) Novi avstrijski zlatnik po osem goldinarjev tehta 6'45161 < 7 , a

čistina mu je 0'9;  koliko je vreden ta zlatnik v avstr, vr.,
ako je vrednost 1 g  čistega zlata 15'5  tolika kakor 1 g  čistega
srebra?

52. ) Koliko je vredna sreberna posoda, katera tehta 11'67 kg,  ako je

nje čistina 720 tisočin in se računa kg  srebra po 93‘5 gld.?

53 . ) Koliko goldinarjev avstr. vr. je po notranji vrednosti:

a)  507’2 Šved. drž. tolarja? b)  988'28 dan. drž. tolarja?

54 . ) Koliko laških lir je po sreberni vrednosti jednakih

a)  2990'6 holand. gld.? 6^)4074-35  severo-amerik. dollarja?

55. ) V Gibraltarji velja 1  fanega (0‘548/fZ) pšenice 98 realov; koliko

angl. shillingov velja v istem razmerji 1  angl. quarter?

66

56. ) A  jo za 79'75 m  višje nego B , B  za 9'48»! višje nego C  in

C  za 5 ‘84 m  višje nego D;  za koliko je A  višje od D?

57. ) Obod kroga delimo na 360 stopinj; koliki del oboda je tedaj

lok, ki ima 5 stopinj ?

58. ) Kolik je obod kroga, čegar premer je

a) bi m, b)  2 • 18 m, c)  58'75 cm?  (§ 30, naloga 39.)

59. ) Kolik premer ima kolo, čegar obod je

a)  3 58 m, b) ll'12b dm, c ) 8'35 cm?

60. ) Okrogla miza ima prostora za 12 oseb, ako se računa na jedno

osebo 0'8 m  oboda; kolik je njen premer?

61. ) Na obodu kolesa, čegar polumer je 3 dm,  treba postaviti 42

zobcev; za koliko bosta oddaljeni sredi po dveh zobcev?

62. ) Kolik mora biti premer vratilu, da se more 226'33 cm  dolga

nit 65krat okoli njega oviti?

63. ) Kolesa, ki gonijo lokomotivo, imajo 12 m  v premeru; kolikokrat

morajo se v jedni minuti zavrteti, da pretečejo v jedni uri
30120 m?

64. ) Kolika je ploščina 148 cm  dolgi in 93 cm  široki mizi?

65. ) Koliko a  ima ploskev, katera je 85 ■ 25 m  dolga in 8 m  široka?

66. ) 118 m dolga njiva proda se za 17'28 gld.; kolikaje njena širina,

ako se računa m 2  po 0'75 gld.?

67. ) Koliko stane tlak pravokotnega, 15'313 m  dolgega in 8'85 m

širokega dvorišča, ako se plača mA  po 4'085 gld.?

68. ) Njiva je 185m dolga in 137 m  široka; za koliko postane njena

ploščina večja, ako se poveča njena dolžina za 18 m  in njena
širina za 24 »j?

69. ) Cetverooglata omara je 1 • 2 m  dolga, 0 ■ 9 m  široka in 0 • 3 m  glo¬

boka ; koliko mA  ima prostornine?

70. ) Apnenica, ki je 3'4»» dolga in 1 5 m  široka, drži, do vrha

napolnjena, 9 18ffl 3  apna; kolika ji je globočina?

71. ) Koliko po 2'6 dm  dolgih, 1'2 dm  širokih in 0 5dm  visokih opek

potrebuje se za zid, ki je bOldm  dolg, 9 dm  širok in 25 dm  visok?

72. ) Cetveroroboven železen drog, kateri je 18 dm  dolg, 0'8 dm  širok

in 0'25 d/m  debel, tehta 28'08 k(j\  koliko tehta 1 dm :>  železa?

73. ) Koliko tehta četveroroboven hrastov hlod, ako ima 4'25 m dol¬

žine, 0'36 m  širine, 0'26 ra  debeline in lm 3  hrastovega lesa
1170 kg  tehta?

74. ) Zrak ima 0'21  kisika in O'79  dušika; koliko m 3  vsakega teh

plinov je v sobi, ki je 8'6 m  dolga, 6'5 m  široka in 3'8w/  visoka?

67

75. ) Posoda je po stari dunajski meri 4'5' dolga, 2'3' široka in

18' globoka; koliko hi  drži?

76. ) l'2m  dolga in 0'9 m,  široka omara je deloma z vodo napol¬

njena. V njo spuščen kamen prouzroči, da voda za 0 • 2 m  poskoči
in kamen popolnoma pokrije; kolika je prostornina kamena?

77. ) Koliko hitrost ima voda na površini reke, t. j. koliko m  pre¬

teče voda v 1 sekundi, ako vanjo vrženo poleno v 3 sekundah
4 ■ 90 m  daleč priplava ?

78. ) Lokomotiva prevozila je v 4'56 ure 18’324 milj; koliko je

prevozila pri jednakomernem gibanji v 1 uri?

79. ) Električni tok preteče v bakreni žici 60000 zemljep. milj v

1 sekundi; kolikokrat more priti v tem času okoli naše zemlje,
ako se računa njen obod na 5400 zemljep. milj ?

80. ) Svetloba preleti pot od solnca do zemlje, t. j. razdaljo od

20683010 zemljep. milj v 493'22 sekunde; koliko milj v 1 se¬
kundi ?

81. ) Med bliskom in početkom groma mine 20 sekund; za koliko

je hudourni oblak oddaljen, ako preleti zvok v 1 sekundi 332»»?

82. ) Med bliskom in pokom topa mine 7 5 sekunde; za koliko je

top od opazovalca oddaljen?

83. ) Reaumur je razdelil na toplomeru razstoj med lediščem in vre¬

liščem na 80, Celsij na 100 stopinj. Koliko stopinj po Celsiji je
a)  1° R, b)  15° R, c)  23" R, d)  34° R;
koliko stopinj po Reaumuru je

e)  1° C, f)  10° C, g)  30° C, h)  38° C?

84. ) Na zajemalnem kolesu je 23 korcev, od katerih d& vsak pri

jedni vrtnji 0‘0275 dm :>  vode; ako se zavrti kolo v 18 minu¬
tah 6krat, koliko vode da v 12'365 ure?

85. ) Neke dežele je 0'108 neobdelane; koliki del te dežele zavzimlje

obdelana površina?

86. ) Mejna grofija Moravska ima 2132306 ha  rodovitne in 90649/»»

nerodovitne zemlje; koliko je vse površje Moravske?

87. ) Avstro-ogerska država ima 350388 ha  vinogradov; koliko hi

vina se pridela na leto v celi državi, ako da 1 ha  poprek 26/»/?

88. ) Ako ima površje naše zemlje 9261238 zemljep. kvadratnih milj

in od tega odpade na topli pas 3692978 kvadratnih milj, na

68

vsakega od obeh mrzlih pasov pa 384084 kvadratnih milj ; ko¬
liko je površje vsakemu obeh zmerno toplih pasov ?

89. ) Avstrija ima 11306'36 zemljep. kvadratne milje površine; ko¬

liki del vsega zemeljskega površja je to? (Naloga 88.)

90. ) Gradec je imel leta 1820. 36012 prebivalcev, leta 1870. pa

80732; za koliko se je število prebivalcev v tem času pomno¬
žilo ?

91. j Avstro - ogerska država ima 6224'76 um”  in 35943592 prebi¬

valcev; koliko prebivalcev pride na 1 um-?

92. ) Gornja Avstrijska ima 119'97 pw 2  površja in 734560 prebi¬

valcev; koliko prebivalcev pride poprek na 1 um"?

93. ) Češka ima 5140156 prebivalcev, in sicer 9893 na 1 tun* ; . ko¬

lika je njena površina?

94. ) Na Štajerskem živi 1 137748 prebivalcev na 224 ■ 54 na

Koroškem 337694 prebivalcev na 103'73 pm tt ; a)  za koliko
um' 1  je Štajerska večja od Koroške; b)  koliko prebivalcev ima
prva več od druge; <)  koliko prebivalcev je v vsaki deželi
na 1 kje je tedaj prebivalstvo gostejše?

Drugi oddelek.

Računanje z mnogoimenskimi celimi in decimalnimi števili.

§ 41.

Število, katero pove, koliko jednot nižjega imena ima jedna
jednota višjega imena, imenujemo pretvorno število ali pre¬
tvornik  (Venvandlungszahl, Verwandlor) med tema dvema imenoma.
Med goldinarji in krajcarji je 100 pretvornik.

Pretvorniki za različna imena iste vrste razvidni so iz pregleda
mer, utežij in novcev, nahajajočega se v dodatku.

1. Drobljenje.

§ 42.

Jednote višjega imena na jednote nižjega imena izpreminjati,
pravi se drobiti  (resolvieren).

1.) Koliko ur je 35 dnij? — 1 dan ima 24 ur, 1 dan je tedaj
24kratnik 1 ure; 35 dnij je 24kratnik od 35 ur; torej
35 dnij = 35 ur X 24 = 840 ur.

Jednote višjega imena razdrobiš tedaj na jednote
nižjega imena,  ako jih z dotičnim pretvornikom množiš.

Po tem pravilu moreš tudi vsako mnogoimensko število na
najnižje ime razdrobiti. N. pr.: Koliko sekund je 5° 14' 53"? —
5° je 5 X 60 = 300' in 14' je 314'; 314' je 314 X 60 = 18840"
in še 53" je 18893". Račun stoji tedaj tako-le:

5° 14' 53"

314'

18893".

Drobljenje je jako jednostavno, ako spadajo imena v decimalni
sistem, t. j. ako so pretvorniki 10, 100 ali 1000; v tem slučaji za¬
pišejo se različna imena drugo poleg druzega, kakor si slede v

70

naravnem redu, številke, katerih ni, nadomestijo se z ničlami, in
število, na ta način dobljeno, dobi potem najnižje ime. N. pr.:

3 gld. 68  kr. = 368 kr. 15 gld. 7 kr. = 1507 kr.

5 »n 8  cm  3 mm =  5083 mm.  15 hi  27 l  = 1527 l.

Im 3  85 dm :l  =  7085 dm :>  2 kg  19 dkg  5^ = 2195< 7 .

2 .) Koliko stopinj, minut in sekund je 43'275 stopinje?
43-275° = 43° 16' 30".

- X 60

16-50'

— X 60
30-0"

Decimalke imenovanega števila razdrobiš tedaj na
celote nižjih imen, ako jih množiš najprej s pretvornikom za
najbližje nižje ime, in z decimalkami, katere v produktu dobiš, na
isti način postopaš.

Drobljenje je jako jednostavno, ako so pretvorniki 10 , 100
ali 1000 ; v tem slučaji tvorijo oziroma jedna, dve ali tri decimalke
proti desni najbližje nižje ime, in mesta, ki so morebiti za najnižjim
imenom ostala, so njegove decimalke. N. pr.:

5'63 gld. = 5 gld. 63 kr. 0’735 gld. = 73'5 kr.

13'863 m —  13 m 8dm  6 cm 3 mm.

7 • 8905 ha  = 7 ha  89 a  5 m' 1 .

0 • 501275 kg  = 50 dkg  1 y  275 mg.

§ 43.

Naloge. (Za pismeno in kolikor mogoče tudi za ustmeno
razrešitev.)

1. ) Koliko krajcarjev je

a)  7 gld.? b)  83 gld.? c)  309 gld.?

2 . ) Koliko krajcarjev je

a)  39 gld. 28 kr.? b)  250 gld. 90 kr.? c)  315 gld. 45 kr.?

d)  4 gld. 13 kr.? e)  45 gld. 9 kr.? f)  206 gld. 5 kr.?

3. ) Koliko krajcarjev je

a)  0-37 gld.? b)  0 085 gld.? c)  13-59 gld.?

4. ) Koliko mm  je

a) lem ? b)  8  m? c) lem.  4 mm  ? d)  0 ■ 38 d m  ? e) 2 Im ?
f) 15 m 2 dm  6  cm?

5. ) Koliko cm' 1  znese

a)  8  dm' 1  ? b) Im' 1  15 dm.' 1  ? c)  0-758hm/ 2 ?

71

6. ) Koliko cm 3  je

a)  15 m 3 ? b)  8 m 3  64 dm :i ? <)  418'2 dm 3 ?

7. ) Koliko l  je

a) 31 hi? b)  2 hi  55 l? c)  0'385/i/?

8. ) Koliko g  je

a)  35 kg? b) ikg 8dkg? c)  138 kg?

9. ) Koliko pol papirja imajo

bJ  4 skladi 3 pole? b)  3 knjige 5 skladov 8 pol?
c)  5 knjig 15 pol? d)  4 rizme 7 knjig 12 pol?

10. ) Koliko dnij je

a)  7 mes. 24 dnij? b)  3 leta 8 mes. 15 dnij?

11. ) Koliko sekund je

n)  51 min. 13 sek.? b)  18 ur 35 min. 40 sek.?

12. ) Koliko sekund ima navadno leto?

Pretvori na najnižje ime:

13. ) 1210 mark 75 fenigov (Nemška).

14. ) 729 quarterjev 7 bushelov 6 gallonov (Angleška).

15. ) 8 sodov 67 vrčev 1 polič (Nemška).

16. ) 3 pude 23 fnt. 60 zlatnikov 72 delov (Ruska).

17. ) Koliko goldinarjev in krajcarjev avstr. vr. je

a)  3'92 gld.? b)  155-07 gld.? c)  207 535 gld.?

18. ) Koliko m, dm, cm  in mm  je

a)  5'397 m ? b)  318'0915m?

19. ) Meter ima 3'16375 starega dunajskega čevlja; koliko ima čev¬

ljev, palcev in črt?

20. ) Koliko ha  in a  je

a)  129-235 ha? b)  6'2325 ha?

21. ) Koliko hi  in l  je

a)  205-88 hi? b)  9‘285 hi?

22. ) Koliko q, kg, dkg  in g  je

a)  4"084 q? b)  7-52085 q?

23. ) Koliko rižem, knjig, skladov in pol papirja je

a)  5'7865 rizme? b)  13-0854 rizme?

24. ) Koliko stopinj, minut in sekund je

a)  35-356°? b)  9'085°? c)  123 452°?

25. ) Naša zemlja potrebuje za svojo vrtnjo okoli solnca 365-24222

dneva; izrazi decimalke dnij v urah, minutah in sekundah?

72

2. Debeljenje.

§ 44.

Jednote nižjega imena na jednote višjega imena iste vrste iz-
preminjati, pravi se debeliti (reducieren).

1. ) Koliko je 187 kosov? — 1 tucat ima 12 kosov, 1 kos je
tedaj 12ti del 1 tucata; 187 kosov je 12ti del od 187 tucatov,
zatorej

187 kosov = 187 tucat. : 12 = 15 tuc-at. 7 kos.

67

7 kosov.

Jednote nižjega imena debeliš tedaj na jednote viš¬
jega imena, ako jih z dotičnim pretvornikom deliš; kvocijent
znači jednote višjega imena, ostanek pa, katerega morebiti dobiš,
jednote nižjega imena.

Ako ima kvocijent jednote še višjega imena, debeliti moreš
na isti način še dalje. N. pr.:

Koliko dnij, ur in minut je 31024 minut?

31024 (min.) : 60

4 min. 517 (ur) : 24

37 21 dnij

13 ur

tedaj: 31024 minut = 21 dnem 13 ur. 4 min.

Ako so imena, katera treba debeliti, razdeljena po decimalnem
sistemu, debeliš jih, ako jih deliš z 10, 100 ali 1000, ako jim tedaj

odrežeš jedno, dve ali tri najnižja mesta; vsak tak oddelek tvori

za-se jedno ime. N. pr.:

792 kr. = 7 gld. 92 kr. 1804 kr. = 18 gld. 4 kr.

3758 mm ='3 m 7 rim bcm  8 mm  5259 • 5 a =  52 ha  59'5 a

1729365 cm* = lm 3  729 dm 3  365 cm 3 ,

2. ) Pretvori 87° 14' 24" na decimalno število, katero ima
ime stopinj.

24('') : 60 = 0.4(')

14 • 4 (') : 60 = 0 • 24 (°)
tedaj: 87° 14' 24" = 87-24°.

Jednote nižjega imena pretvoriš tedaj na decimalen
ulomek višjega imena,  ako jih z dotičnim pretvornikom deliš;
kvocijcntu daj pa obliko decimalnega ulomka in k temu prištej še
jednote istega imena, kakeršno ima ulomek, ako so take morebiti

73

dane. Ako treba ta decimalni ulomek še na višje ime pretvoriti, deli
ga zopet z novim pretvornikom ter postopaj na isti način kakor prej,
dokler ne dobiš decimalnega ulomka, ki ima zahtevano ime.

Ako so imena decimalnega sistema, dade njih števila neposredno
po vrsti, kakor jo zahteva sistem, zahtevane decimalke; treba le, da
se nadomestijo imena ali številke, katerih morebiti ni, z ničlami.
N. pr.:

35 gld. 93 kr. = 35 93 gld. 8 gld. 7 kr. = 8 07 gld.

17 km  98 m  = 17'098 km  3 dkg  7 g idg  = 3'74rfy.

času napravi 100000 nihajev?

11. ) Nekdo prihrani vsak dan 5 kr.; koliko prihrani v 42 letih,

ako je med njimi 10 prestopnih let?

12. ) Lokomotiva preteče v jedni uri 31850 m;  koliko km  je to?

13. ) Studenec daje v jedni minuti 32 l  vode; koliko a)  v jedni uri,

b)  v jednem dnevi, c)  v jednem letu?

14. ) Človek vsopne v vsaki minuti 13100 cm 3  zraka; koliko a)  v

jednem dnevi, b)  v jednem letu?

15. ) Knjiga, obsegajoča 13 tiskanih pol, izdala se je v 4500 izvodih

(eksemplarih); koliko rižem papirja potrebovalo se je zanjo?
Pretvori na decimalen ulomek najbližjega višjega imena:

16. ) n)  47 kr. b)  9 kr. c)  1367 kr. d)  53908'5 kr.

17. ) a)  5237 centesimov (Laška), h)  17956 fenig. (Nemška).

18. ) a)  30563 centov (Holand.). b)  44802 kopejki (Ruska).

19. ) a)  70485 realov (Španska). b)  92567 par (Turška).

20. ) a)  13'485 a b)  546'44/.

74

21. ) a)  337* 8925 dm 3  b)  508 • 375 an :> .

22. ) a)  5789 bokalov (Švic.) b)  74435 vrčev (Nemška).

23. ) a)  627-4  minut. b)  19-8345 ur.

Izpreineni na decimalen ulomek višjega imena:

24. ) a) bm 3 dm 8 cm  1 mm b)  1 m 2  83 dni 1  b cm' 1  23 mm' 1 .

25. ) 3 m 3  618 dm :>  708 cm :> .

26. ) 35 hi 811  7 dl.

27. ) 139 quarterjev 6 bushelov 4 gallone (Angl.).

28. ) 1 četvrt 5 četverikov 2 četverki 8 garnecev (Ruska).

29. ) 2 soda 8 vrčev 1 polič (Nemška).

30 . ) 128 g bdy 8 mg.

31 . ) 13 q  61 kg  8 dkg Ig.

32. ) a)  308 gld. 45 kr. avstr. vr. b)  9 fnt. 15 shilling. 8 pene. (Angl.).

33. ) a)  53° 15' 6" kotne mere. b)  43° 48' 36".

34 . ) 20 ur 34 minut 50 sekund.

3. Seštevanje mnogoimenskih števil.

§ 46.

Pri seštevanji mnogoimenskih števil začni s števili najnižjega
imena ter pretvori vsoto, ako ima celote najbližjega višjega imena,
na to višje ime. Potem seštej takisto zaporedoma števila višjih imen.

Ako je pretvornik 10, 100 ali 1000, in recimo, da dobiš v
vsoti nižjih imen oziroma desetice, stotice ali tisočice, prištej jih
precej kakor jednote višjega imena k temu imenu. Najpripravnejše
pa je, vse sumande na isto najvišje ali isto najnižje ime pretvoriti
in potem sešteti.

Naloge.

1.) Seštej 37 dnij 15 ur in 21 dnij 7 ur.

Na pamet: 37 d. 15 u. in 21 d. je 58 d. 15 u., in 7 u. je 58 dnij in 22 ur.
Pismeno: 37 d. 15 u. 7 u. -f- 15 u. = 22 u.

21 » 7 »  21 d. + 37 d. = 58 d.

58 d. 22 u.

2.) Kolika je vsota sledečim zneskom:

308 gld. 45 kr. ali

308 45 gld.
92-88 »
157-64 >
250'75 »
18309 »

992 gld. 81 kr.

992 81 gld.

75

3.)

8 m  9 d m  9 cm
7 » 8 » 2 »
3 » 6 » 5 »

ali

8-99«
7'82 »
3'65 »

ali

899 o«
782 »
365 »

4.)

5.)

6 .)

20 m  4 dm dem  20'46 m 2046 cm  = 20 m Adm Grm.
Seštej sledeča mnogoimenska števila:

a)  23 m  7 dm  8 cm h mm b)  38 ni- IG dm' 1  56 cm' 1

47 » 3 » 4 »
9 » 4 » 2 »
16 » 9 > 6 »

a) 2Al ha  38 a
109 » 74»

295 » 19»

328 »' 82»

a) b8q Ib kg  8 g
32» 19 » 6 »

19» 6 » 5 »

8 » 85 » 8 » 75

2 » 60 » 59 » 63

7 » 48 » 91 » 28

b)  123 hi  83 l
86 » 72 »

205 » 36 »

174 » 60»

b)  3128 gld. 46 kr.
2091 » 73 »

1963 » 8 »

7. ) Stranice peterokotnika so 5 m S dm  8 cm,  4 m  1 dm lem,  G m

'd dm,  3 m b dm 8 etn  in 4 m  3 dm  ; kolik mu je obseg?

8. ) Peterokotnik da se razstaviti na tri trikotnike, kateri imajo

posamič 31 m' 1  18 dm.' 1 ,  25 m® G dm' 1  in 42 m 2  33 dm ' 1 : kolika
je ploščina temu peterokotniku ?

9. ) Trgovec ima sledeče dolge iztirjati: 351 gld. 84 kr., 247 gld.

73 kr., 480 gld. 76 kr., 37 gld. 8 kr., 147 gld. 68 kr.; koliko
mu je tirjati vsega skupaj ?

10. ) Štirje kapitali neso posamič 208 gld. 36 kr., 165 gld. 45 kr.,

153 gld. 27 kr. in 62 gld. 48 kr. obrestij na leto; koliko obrestij
nes6 vsi skupaj?

11. ) Neko posestvo dalo je 5 let zapored sledeče čiste dohodke:

koliko v vseh 5 letih?

12.) Seštej sledeča števila:

a)  327 mark 57 fen. (Nem.) h)  21 cnt. 88 fnt. 27 n. lot. (Nem.)

76

13. ) V neki tiskarni porabili so tiskalnega papirja:

koliko so ga porabili skupaj?

14. ) Mesto A  je za 12 m  3 rim  višje nego B, B  za 9 m  4 dm  6 cm

višje nego C, in C  za 13 « 5 dm  9 cm  višje nego D;  za koliko
je A  višje nego D?

15. ) Jeden vrt ima 148 m 2  24 d ih",  drugi 181 m' 1  18 dm 2 ; kolika

sta oba skupaj?

16. ) Okrog točke je pet kotov; izmed teli je « = 85° 33' 46",

6 = 47° 18' 48", c  = 63° 29' 17", rf = 58° 43' 50”, e =104°
54' 19"; kolika je vsota vsem tem kotom?

17. ) Kap dobrega upanja ima 33° 55' 42” južne širine, Algir 36"

48' 36" severne širine; za koliko je zadnji severnejši od prvega?

18. ) Evropa je med 11° 50’ 20" zapadne in 60° 30' vzhodne dol¬

žine od Pariza; koliko dolžinskih stopinj ima ta del zemlje?

19. ) V Parizu je poldne za 48 minut 19 sekund pozneje nego v

Pragi; koliko kaže ura v Pragi, kadar kaže v Parizu 3 in
55 minut 40 sekund?

b9 rižem 4 Knjig, id pol

53 » 8 » 20 »

38 ' » 9 » 24 »

45 » 5 » 17 »

20. ) Nekdo je bil rojen dne 5. januvarja 1809. leta in je umrl

60 let 6 mesecev in 12 dnij  star; katerega dne je umrl?

Rojen je bil:  1808 let — mes. 4 d. po Kr.

Učakal je: 60 »6 » 12•»  » »

Umrl je: 1868 lot 6 mes. 16 d. po Kr.

Umrl je tedaj dne 17. julija leta 1869.

21. ) Napoleon I. je bil rojen dne 15. avgusta leta 1769., umrl pa

je 51 let 8 mesecev in 19 dnij star; katerega leta in dne je
umrl?

22. ) Neka hiša kupila se je dne 17. marcija leta 1867. pod tem po¬

gojem, da se plača kupnina čez 2 leti 6 mesecev; katerega dne
moralo se je to zgoditi?

23. ) Neka dekla vstopila je v službo dnč 25. junija leta 1863. in

ostala v nji 15 let 5 mesecev 26 dnij; kedaj je izstopila?

24. ) Od jednega šipa do druzega (sinodski mesec) mine 29 dnij

12 ur 44 minut 3 sekunde; ako je tedaj dne 18. maja ob
5. uri 27 min. 28 sok. zvečer šip, kedaj bode prihodnji šip?

77

4. Odštevanje mnogoimenskih števil.

§ 47.

Tudi odštevanje mnogoimenskih števil treba pri najnižjem
imenu začenjati. Ako je pri katerem koli imenu število subtrahen-
dovo večje nego število minuendovo, pomnoži zadnje za toliko jednot,
kolikor jih ima najbližja višja jednota, in potem odštevaj ; da pa
ostane diferenca neizpremenjena, treba tudi subtraliend v najbližjem
višjem imenu za 1 pomnožiti.

Ako so posamezna imena decimalnega sistema, odštevaj ali
takisto kakor pri večštevilčnih neimenovanih številih, ali pa pretvori
minuend in subtrahend na isto ime in potem odštevaj.

Naloge.

1 . ) Od 15 let 5 mesecev odštej 6 let 8 mesecev.

Na pamet: 15 let 5 mes menj 5 let, ostane 9 let 5 mes , menj o mes.
ostane 9 let, in menj še 3 mes., ostane 8 let 9 mes.

Pismeno: 15 let 5 mes. Tu treba na J'P re i k minuendu 1 J eto ’ ‘O- 12
g ^  g s  mes. prišteti in potem 8 mes. od 17 mes. odšteti:

- n potem moraš tudi subtrahend za 1 leto povečati,

8 let 9 mes. tedaj 7 let. od 15 let odšteti.

2. ) Nekdo ima 1226 gld. 35 kr. dolga; od tega odplača 818 gld.

65 kr. Koliko ostane še dolžan?

1226 gld. 35 kr.
818 » 65 »

407 gld. 70 kr.

3. ) Od 5 ha  28 a odštej 97 ‘5 a.

5 ha  28 a
97 • 5 a
4 ha  30•5 a

Odštej:

4. ) a)  81 m 61 cm 5 mm

27 » 67 » 8 »

5. )

6 . )

a)  1  m 3

— » 618 <&w 3  95 cm*

a)  789 g 502 mg
291» 375 *

ali 1226'35 gld.
818-65 »

407-70 gld.

ali 5 • 28 ha

0-975 »

4 • 305 ha

b)  650 m' 1  47 dni' 1  55 cm-
278 » 8 > 64 »

h)  53 hi  9 l
14 » 72 >

b)  662 gld. 37 kr.
284 » 8 »

7.) Srebernar potrebuje 6 kg  38 dkg  4 g  srebra, a ima ga le 3 kg
72 dkg  5 g ; koliko mu ga je še treba?

7 «

8. ) Za koliko je kot od 43° 17' 32" manjši nego kot od 90°?

9. ) Vsota vsem trem kotoin trikotnika je 180°; kolik je tretji kot,

ako sta druga dva kota 57° 25' 46" in 71° 53' 50"?

10 . ) Železnica prereže njivo 3« 47 m°-  tako, da gre 1« 93 m 2  njive

v izgubo; koliko je še ostane?

11. ) a)  1417 frank. 47 cent. (Franc.) b)  385 ohmov 42 bokal (Švic.)

982 » 72 » 228 » 88 »

12 . ) Vinščak ima 3 sode vina; prvi drži 22 hi  3/, drugi 18 hi  35 l,

tretji 18 hi 241 ; koliko vina mu še ostane, ako ga je 35 hi  28 l
prodal ?

13 . ) Neko blago kupilo se je za 1355 gld. 35 kr., a prodalo za

1524 gld. 42 kr.; kolik je bil dobiček?

14 . ) Nekomu treba čez štiri mesece 2531 gld. 23 kr. plačati; ako

plača precej, dovoli se mu 50 gld. 62 kr. popusta; koliko treba
dolžniku precej plačati?

15. ) Nekdo prejme 588 gld. 83 kr., 213 gld. 55 kr., 308 gld. 60 kr.,

izda pa 419 gld. 34 kr., 75 gld. 65 kr. in 268 gld. 42 kr.;
koliko mu ostane?

16 . ) Nekdo izplača štiri račune; prvi znaša 2105 gld. 64 kr., drugi

za 285 gld. 85 kr. menj od prvega, tretji za 132 gld. 20 kr.
menj od druzega in četrti za 95 gld. 75 kr. menj od tretjega;
koliko znašajo vsi štirje računi skupaj ?

17 . ) Železna cesta od Dunaja do Trsta ima bil km  340»« dolžine;

ako je od Dunaja do Miirzzuschlaga 118 km  289 m,  od Murz-
zuschlaga do Ljubljane 314 km  118 m  dolga, kolika je nje dol¬
žina od Ljubljane do Trsta?

18 . ) Železnica se napne od postaje A  do postaje B  za 3 m 2'8 dni,

od B  do C za 2 m  1 • 3 dm , od C  do D  pade za 4 m  4 ■ 9 cim,
od D do E  napne se zopet za 3 m 3'4dm-,  za koliko je po¬
staja E  višja nego A ?

19 . ) Zemljepisna širina Prage je 50° 5' 29", Dunaja 48° 12' 35",

Gradca 47° 4' 2", Trsta 45° 38' 8"; za koliko širinskih sto¬
pinj je Praga severnejša nego vsako ostalih mest?

20 . ) Innsbruck ima 9° 3' 41", Dunaj 14° 2' 36", Budim 16° 42' 47",

Levov 21° 42' 40" vzhodne dolžine od Pariza; za koliko
dolžinskih stopinj je Levov vzhodnejši nego vsako ostalih mest?

21 . ) Avstro - ogerska država je med 42° 10' 5" in 51° 3' 27" se¬

verne širine in med 6° 13' 52" in 24° 1' 25" vzhodne dol-

79

zine (od Pariza); na koliko širin,škili in dolžinskih stopinj se
razteza tedaj?

22. ) Neka ura je za 13 minut 8 sekund prehitra; ako kaže na 7

in 3 min., kateri je tedaj pravi čas?

23. ) Kadar kaže ura v Gradci 4 in 52 minut 18 sek., kaže ura v

Parizu 3 in 59 min. 50 sek.; koliko je na uri v Parizu, kadar
kaže ura v Gradci 8 in 23 min. 48 sek. ?

24. ) Nekdo je bil rojen dne 3. junija leta 1802., umrl pa je dne

25. septembra leta 1877.; koliko je bil star, ko je umrl?

Umrl je: 1876 1. 8 m. 24 d. po Kr.

Rojen je bil: 1801 » 5 » 2 » » »

Učakal je: 75 1. 3 m. 22 d.

25. ) Kapital imel se je plačati dne 1. julija leta 1857., izplačal pa

se je 3 mesece 24 dnij prej; katerega dne se je to zgodilo?

26. ) Cesar Franc I. umrl je dne 2. marcija leta 1835., 67 let 18 dnij

star; katerega dne je bil rojen?

27. ) Nekdo je bil rojen dne 1. oktobra leta 1814.; koliko je danes

star?

5. Množenje mnogoimenskih števil.

§ 48.

Ako treba mnogoimensko število z neimenovanim
številom množiti,  množi jednote vsakega imena, pri najnižjem
začenši, produkte, pa, katere dobiš pri nižjih imenih, pretvori na
jednote višjih imen.

Ako je pretvornik 10, 100 ali 1000, tedaj je račun jako jedno-
staven, ker treba le desetice, oziroma stotice ali tisočice v produktu
nižjega imena kakor jednote k produktu višjega imena prištevati.
Najpripravnejše pa je vender le, izpremeniti v tem slučaji dano
mnogoimensko število v decimalno število najvišjega imena in po¬
tem množiti.

Naloge. (Na pamet in pismeno.)

I.) Koliko je 9krat 14 dnij 12 ur?

Na pamet: 9krat 14 dnij je (90 -+- 36 =) 126 dnij; 9krat 12 ur je 9
poludnij, t. j. 4 dnij in 12 ur; skupaj 130 dnij 12 ur.

Pismeno: 14 d. 12 u. X 9

130 d. 12 u.

12 u. X 9 = 108 u. = 4 d. 12 u.

14 d. X 9 = 126 d.; 126 d. +41 = 130 d.

80

Lažja debeljenja treba tudi pri pismenem računanji zmerdm na pamet
izvrševati.

2. ) Koliko velja 31 q  blaga, ako velja q  37 gld. 65 kr.?

37 gld. 65 kr. X 31 ali 37‘65 gld. X 31
1129 5 1129-5

1167 gld. 15 kr. 1167 15 gld. = 1167 gld. 15 kr.

3. ) Nekdo izda na dan 2 gld. 45 kr.; koliko na mesec?

4. ) Ako je vreden zlatnik 5 gld. 69 kr., koliko 25 zlatnikov?

5 . ) Im  sukna velja 6 gld. 48 kr.; koliko stane 13 m?

6. ) Koliko vina je v 8 sodili, ako drži vsak sod 9 hi  12/?

7 . ) 1 hi  ječmena telita GA kg \bdkg\  koliko tehta a)  9 hi? b) lb hi?

c)  43 hi?

8. ) Koliko velja GA kg  po 3 gld. 47 kr.?

Tu množiš lahko 3 gld. 47 kr. najprej z 8 in produkt zopet z 8.

9. ) q  blaga stane 42 gld. 52 kr.; koliko velja a)  10 ql b)  23 q?

c)  73 q?

10 . ) 1 ha  njiv proda se poprek po 812 gld. 15 kr.; koliko se skupi

za 1 2 ha ?

11 . ) Koliko velja 87 m' 1  ‘6bdm'\  ako se računa dm 2  po 1 gld. 56 kr.?
12.1 Koliko goldinarjev in krajcarjev avst. vr. je 560 gld. konv. dn.,

ker je 1 gld. konv. dn. = 1 gld. 5 kr. avstr. vr.?

13. i Polumer kroga je

a) bm 23cm\ b) 3dm  5 cm  8 mm\  kolik mu je obod? (§30,
nal. 39.)

14 . ) Izračunaj obod kroga, čegar polumer je

a)  3 m b dm  4 cm\ b) Gdm  3 cm  8 mm.

15 . ) Pravokotnik je 24 m  3 dm  4 cm  dolg in 16 m 5 dm lem  širok;

kolika mu je ploščina?

24 m  3 dm  4 cin  = 24 34 m
16 m  5 dm  7 cm —  16’ 57 m
24 34
14 604
1 2170
_ 17038

Ploščina = 403 • 3138 lil 2  = 403 m-  31 dur  38 cin".

16 . ) Njiva je bi m  34 cm  dolga in 22 m 83 cm  široka; kolika ji je

ploščina?

17 . ) Kolika je prostornina pravokotni posodi, katera je lm b dm

dolga, 8 dm b cm  široka in 3 dm lem  visoka?

81

18. ) Koliko stane zid, kateri je 24/», 5 dni  dolg, 10/« 4 din  visok

in 8 din  debel, ako se plača za m :s  8 gld. 20 kr.?

19. ) V neki shrambi je 12 zabojev, vsak po 37 kg l&dkg,  in 8 za¬

bojev, vsak po 46 kg  24 dkg-  kolika je vsa zaloga?

20 . ) Kolika je teža 2 m 3  739 din 3  svinca, ako tehta 1 m 3  113 q  50 kg?

21. ) Nekdo kupi 43 hi  vina po 23 gld. 38 kr. in 122 lil  pšenice po

8 gld. 80 kr.; koliko treba mu za to plačati ?

22. ) V Hamburgu velja 1 q  kave 96 mark 50 fen.; koliko velja

36£ 57 kg?

23 . ) Koliko gld. avstr. vr. velja 328 angl. vardov nekega blaga, 1 vard

po 15 shillingov sterling, ako se računa 1 funt sterling po 11 gld.
50 kr. avstr. vr. ?

24 . ) Trgovec kupi 128/» 28 cm, lm  po 8 gld. 54 kr., in 106///,

58 cm,  1 m  po 6 gld. 12 kr.; vse blago pa proda po 7 gld. 92 kr.
1 »/; koliko ima pri tem dobička ali izgube?

25 . ) Dve telesi začneta istodobno od istega mesta se pomikati a)  v

isto, b)  v nasprotno mer. Za koliko bosta oddaljeni v vsakem
slučaji čez 56 minut drugo od druzega, ako preteče prvo v
vsaki minuti 38/» 2'hdm,  drugo pa 32 m  1•8 dm.

26. ) Mesečni mesec ima 29 dnij 12 ur 44 minut 3 sekunde; koliko

ima 12 mesečnih mesecev, in za koliko je mesečno leto krajše
nego solnčno leto, ako ima zadnje 365 dnij 5 ur 48 minut
48 sekund?

3. Deljenje mnogoimenskih števil.

§ 49.

Ako treba mnogoimensko število deliti z neimeno¬
vanim številom,  ako se tedaj delitev uporablja kakor deljenje
v ožjem pomenu, deli jednote vsakega imena, začenši pri najvišjem,
a vsakikratni ostanek pretvori na nižje ime in potem ga prištej k
jednotam istega imena, nahajajočim se v dividendu.

Ako so posamezna imena decimalnega sistema, je najbolje, da
pretvoriš dividend na decimalen ulomek najvišjega imena in potem
deliš.

Ako je delitev merjenje, t. j. ako treba mnogoimensko
število z imenovanim številom deliti,  pretvori obe števili na
isto ime in potem doli.

Aritmetika.

6

82

Naloge. (Za ustmeno in pismeno računanje.)

1. ) Kolik je 8mi del od 85 ur 28 minut?

Na pamet: 8mi del od 80 ur je 10 ur; 5 ur je 300 min. in 28 min. je
328 min.; 8mi del od 320 min. je 40 min., 8rni del od 8 min. je 1 min.;
skupaj 10 ur 41 min.

Pismeno: 85 ur 28 min. : 8 = 10 ur 41 min.

5 ur

328 min.

2. ) 42 gld. 65 kr. treba na jednake dele med 5 oseb razdeliti;

koliko dobi vsaka oseba?

42 gld. 66 kr. : 5 = 8 gld. 58 kr., ali 42'65 gld. : 6 = 8'53 gld.

2 6 2 6 = 8 gld. 53 kr.

15 15

3. ) 7 zabojev tehta skupaj 805 kg  63 dkg-  kolika je poprečna teža

vsakemu zaboju?

4. ) Im  velja 5 gld. 20 kr.; koliko velja 1 (im ?

5. ) 1 hi  vina velja 24 gld. 50 kr.; koliko stane 1/?

6. ) 1 q  sladorja velja 50 gld.; koliko velja 1 leg?  koliko 8, 12,

27, 75 kg?

7. ) 12 q  velja 412 mark 8 fen.; koliko velja 1 q?

8. ) Za 28 hi  vina plača se 710 gld. 64 kr.; koliko velja 1 hi?

9. ) Lokomotiva preteče v 1 uri 30 km  720m; koliko v 1 minuti?

10. ) Koliko sodov je treba za 138 hi  4 1  vina, ako drži vsak sod

8 hi 12 1?

11. ) Koliko hi  moreš za 94 gld. 50 kr. kupiti, ako velja 1 hi

5 gld. 25 kr.?

12. ) Za 19 gld. 75 kr. kupiš 1 hi  vina; koliko ga dobiš

a)  za 256 gld. 75 kr., h)  za 730 gld. 75 kr?

13. ) Kolikokrat sta 2° 1' 45” v 105 n  32' 45”?

14. ) Koliko stopenj (štapenj) treba za 9 m  višine, ako je vsaka

stopnja 5 dni ban  visoka?

15. ) Koliko krogel, vsaka po 5 dkg , moči je iz 85 leg  svinca uliti?

16. ) Za 98?« 72 cm  plača se 666 gld. 36 kr.; koliko za 1 m?

17. ) hi  piva velja 15 gld. 5 kr; koliko l  dobiš za 53 gld. 95 kr?

18. ) V Genovi velja b8 kg  nekega blaga 6577 lir 20 centesimov;

koliko velja 1 kg?

19. ) Koliko Napoleon d’orov po 9 gld. 60 kr. je treba plačati za

2208 gld.?

83

20. ) Nekdo kupi 5 banknih delnic (akcij) po teb-le cenah: 835 gld.

24 kr., 840 gld. 57 kr., 834 gld. 48 kr., 837 gld. 30 kr.,
842 gld. 26 kr.; koliko ga stane poprek 1 delnica?

21. ) Sreberna skleda telita 8 kg,  v vsakem kg  je 816^ čistega srebra; po

čem se računa 1 kg  čistega srebra, ako velja skleda 232 gld. 56 kr. ?

22. ) 12 trgovcev kupi 15 cul bombaža; vsaka cula tehta 162 kg

2idkg.  Blago razdele med seboj na jednake dele; koliko ga
dobi vsak?

23. ) Cev da v 12 urah 32 minutah 23 lil bi  vode; v kolikem času

da cev 1 hi  vode ?

24. ) Kolesu treba napraviti na obsegu, kateri ima Im 8 dni,  zobce,

kateri so 7 dm  5 cm  drug od druzega oddaljeni; koliko zobcev
moralo se bo narediti?

25. ) Obod kroga ima 2 m  13 cm  5 mm-,  kolik mu je premer? (§ 30,

nal. 39.)

26. ) Kolik je premer vratilu, ako se da 9 m 2 dm  3 cm  dolga vrvica

25krat okoli njega oviti?

27. ) Vratilo ima 3 dm  25 mm  v premeru; kolikokrat da se 28 m

315 mm  dolga nit okoli njega oviti?

28. ) Vrt meri 833 m 2  46 dm ' 1 ; kolika mu je širina, ako je 38 m

32 cm  dolg?

29. ) Dvorana je 10 m  5 dm  dolga in 9 • 3 m  široka; koliko po 4 m 2 dm

dolgih in 25 cm  širokih desek se potrebuje, dasepomosti dvorano?

30. ) Mramorna gruda, Im  3 dm  dolga in 8 dm  široka, ima 1 m 3

144 dm*'^  prostornine; kolika ji je višina?

31. ) V lm  5 dm  dolg in 5 dm  širok vodnjak izprazni se 20 dm 3

držeča posoda 15krat; kako visoko stoji potem voda v onem
vodnjaku ?

32. ) Koliko stane 62 kg  blaga, ako velja 1/kg a)  40 gld. 48 kr.,

b)  63 gld. 25 kr.?

33. ) Koliko hi  piva dobiš za a)  153 gld. 60 kr., b)  za 192 gld.,

ako ga dobiš za 57 gld. 60 kr. 3 hi?

34. ) Koliko zasluži izbin malar v 28 dneh, ako zasluži v 9 dneh

14 gld. 76 kr.?

35. ) Krčmar kupi 4 hi  vina po 30 gld. 40 kr., 2 hi  po 24 gld. 28 kr.

in 3 hi  po 22 gld.; koliko ga stane poprek 1 A/?

36. ) Na trgu prodalo se je: 54 hi  pšenice po 9 gld. 25 kr., 63 hi

po 9 gld. 10 kr., 80 hi  po 9 gld. 56 kr. in 53 hi  po 9 gld.
80 kr.; kolika je srednja cena l/tl?

e*

84

7. Naloge za ponavljanje v računanji z mnogoimenskimi števili.

§ 50.

1. ) Zemljiškega, hišnega, pridobitnega in dohodninskega davka pla¬

čuje

občina A  1348 gld. 85 kr.

» B  907 » 48 » koliko plačujejo vse štiri

» C  1214 » 67 » občine skupaj?

» D  2092 » 58 > ■

2. ) Ako velja 1 lil  vina 18 gld. 70 kr., koliko velja a)  32 lil,

b)  7 hi  80 U

3. ) 1 hi  vina velja 32 gld. 50 kr.; koliko l  dobil ga bodeš za

23 gld. 40 kr.?

4. ) Izmed dveh kosov nekega blaga telita prvi 265 kg  80 dkg , drugi

187% 24 dkg ; a)  koliko tehtata oba skupaj? b)  koliko tehta

prvi več od druzega?

5. ) Posoda drži 3 hi Ibl  vode; kolika je teža tej vodi? (1/ vode

tehta 1 kg.)

6. ) Sreberna šibika tehta na zraku 24% 20 dkg,  v vodi pa le 21%

7 8 dkg ; koliko teže izgubi v vodi ?

7. ) 543 gld. 72 kr. treba med tri osebe tako razdeliti, da dobi A

polovico, B  tretjino in C  ostanek; koliko dobi vsaka oseba?

8. ) Nekoliko denarja razdelilo se je med 3 osebe tako, da je do¬

bila vsaka 28 gld. 50 kr.; pozneje se je razdelila isto tolika
vsota med 15 oseb. Koliko je dobila sedaj vsaka oseba, in
kolika je bila razdeljena vsota?

9. ) Barometer (tlakomer) stal je v podnožji goi’e na 7 dm  2 cm

9 2 mm  in na vrhu na 6 dm b cm  4 • 5 mm ; za koliko mm  stal
je zgoraj nižje nego spodaj?

10. ) Konjarju ponudi nekdo za konja 123 gld. 50 kr.; a on ne

sprejme te ponudbe, ker bi le 4 gld. 25 kr. zaslužil. Ko po¬
zneje konja proda, ima 20 gld. 45 kr. dobička; koliko je
plačal kupec?

11. ) Rio-Janeiro ima 22° 54' 10" južne širine, Madrid 40° 25’ 18”,

Stuttgart 48° 46' 15", Kopenhagen 55° 41' 4", Stockholm
59° 20' 31" severne širine; določi razliko širin za po dve iz¬
med teh mest.

85

12. ) Katere dolžinske stopinje, štete od Pariza proti vzhodu, ujemajo

se s sledečimi, štetimi od Ferro proti vzhodu: a)  21° 'ib',
b)  27° 20' 35”, c)  103" 8' 39”, ker je Pariz za 20° vzhod-
nejši od Ferro?

13. ) London ima 2° 25' 45” zahodne dolžine (od Pariza), Berolin

11° 2' 30", Dunaj 14° 2' 36”, Petrograd 27° 59' vzhodne
dolžine; kolika jo razlika dolžin za vsaki dve izmed teh mest?

14. ) Za kolikor stopinj je kako mesto naše zemlje vzhodnejše nego

drugo, za tolikokrat po štiri časovne minute ima prej poldan
(zakaj?). Določi iz podatkov prejšnje naloge, koliko kaže ura v
vsakem ondi imenovanih mest, kadar je v Parizu poldan?

15. ) Koliko je ura a)  v Londonu, b)  v Parizu, c) v  Berolinu, d)  v

Petrogradu, kadar je na Dunaji 11 in 15 minut 37 sekund pred
poldnem ?

16. ) Po najnovejših časomernih (chronometerskih) določbah je časovna

razlika med Londonom in New-Yorkom 4 ure 55 min. 18 ‘95 sek.;
katero zapadno dolžino od Pariza ima New-York?

17. ) Neka ura je za 10 minut 35 sekund prekesna; koliko kaže

tedaj, ko je na uri, ki gre prav, poldan?

18. ) Koliko mesecev in dnij je

a)  med 18. marcijem in 25. novembrom;

b)  med 20. majem in 17. oktobrom;

c)  med 9. februvarjem in 30. junijem?

19. ) Koliko dnij in ur je

a)  od torka ob 4 popoldne do petka ob 7 zjutraj;

b)  od ponedeljka ob 8 zjutraj do sobote ob 6 zvečer?

20. ) Cesarica Marija Terezija umrla je dne 29. novembra leta 1780.,

stara 63 let 6 mesecev 16 dnij; kedaj je bila rojena?

21. ) Schiller je bil rojen dne 11. novembra leta 1759. in je učakal

45 let 5 mesecev 29 dnij; kedaj je umrl?

22. ) Goethe umrl je dne 18. marcija 1832. leta, star 82 let 7 mese¬

cev; kedaj je bil rojen?

23. ) Slavni avstrijski vojskovodja maršal Radetzky je bil rojen dne

2. novembra leta 1766. in je umrl dne 1. januvarja leta 1858. ;
kolike starosti je učakal?

24. ) Slavni astronom Herschel je bil 42 let 3 mesece in 8 dnij star,

ko je našel dnč 13. marcija 1781. leta premičnico Urana; umrl
je dne 27. avgusta leta 1822. Kedaj je bil rojen in kolike
starosti je učakal?

86

25 . ) Ako se računa solnčno leto, katero ima 365 dnij 5 ur 48 minut

in 48 sekund, po 365 dnij, a pogrešek skuša s tem popraviti,
da se računa vsako četrto leto za prestopno leto po 366 dnij;
kolik je pogrešek pri tem računu v 400 letih?

26. ) 8 tucatov robcev kupi se za 43 gld. 84 kr.; po čem treba pro¬

dajati robec, da bo pri vsakem tueatu 1 gld. 5 kr. dobička.

27 . ) Nekdo dobi 3 sode sladorja, kateri tehtajo 283 kg  48 dkg,  295 kg

23 dkg  in 334 kg  28 dkg ; prazni sodi tehtajo 14 kg  67 dkg,  15 kg
2 dkg  in 15 kg  27 dky. a)  Koliko sladorja je v vseh treh sodih?
b)  Koliko velja sladdr, ako se plača za 100 kg  48 gld. 56 kr. ?

28. ) Dve culi imata skupaj 335 kg  blaga. V prvi culi je 92 kg  po

1 gld. 36 kr., 1 kg  blaga v drugi culi pa velja 1 gld. 85 kr.;
koliko velja blago v obeh culah?

29 . ) Trgovec kupi 295 m 57 cm  sukna po 7 gld. meter, in 304 m

16 cm  po 6 gld. 25 kr. meter; koliko ima dobička, ako proda
meter poprek po 7 gld. 12 kr.?

30 . ) Lokomotiva preteče v 1 uri 2'5 min. 38 km  312 »h;  koliko v

jedni sekundi?

31 . ) Nekdo prehodi poprek vsako minuto 83 m  ; ako treba mu povsem

15 km  310 m  prehoditi, koliko poti mora še prehoditi, ako je
že 2 uri hodil ?

32 . ) Kanonska krogla preleti v 1 sekundi 320 dunaj. sežnjev; koliko

časa potrebovala bi za 2 km?

33 . ) iSolncu najbližja premičnica, Merkur, zavrti se okoli njega v

87 dneh 23 urah, najbolj oddaljena premičnica, Neptun, v
60625 dneh 19 urah; kolikokrat zavrti se Merkur okoli solnca,
med tem ko se Neptun samo jedenkrat  okoli njega zavrti?

34 . ) Nekomu treba 1450 gld. plačati; ako plača na odbitek 120 ce¬

kinov po 5 gld. 65 kr. in 61 zlatnikov po osem goldinarjev po
9 gld. 65 kr., koliko ostane še dolžan?

35. ) Na Dunaji treba je bilo plačati 425 Napoleon d’orov po

9 gld. 68 kr.;  s koliko a)  cekini po 5 gld. 68 kr., b)  angleškimi
sovereigni po 11 gld. 94 kr., c)  rusk. imperiali po 9 gld. 75 kr.
moglo bi se bilo tudi plačati in koliko bi bilo treba v vsakem
slučaji še v tekočem denarji doplačati?

36 . ) Iz soda, ki drži 32 hi  25 L vina, napolnijo se trije manjši sodi,

od katerih drži prvi 7 1 / 2 , drugi 6%, tretji h 7 /,,,, hi : koliko vina
ostane še v velikem sodu?

87

37. ) Za 10  gld. 8  kr. kupi .1 84 kg  nekega blaga, pozneje ga kupi

po isti ceni še za 6  gld. 48 kr.; koliko blaga je dobil drugič?

38. ) 27 delavcev izgotovi neko delo v 7 mesecih 6  dneh; koliko

časa potrebuje za isto delo 18 delavcev?

39. ) Ako sc dela na dan po 12  ur, dokonča se neko delo v 3 me¬

secih 6  dneh; v kolikem času bo delo končano, ako se dela
na dan le po 9 ur?

40. ) Žitni trgovec kupi 35 lil  pšenice po 9 gld. 80 kr., b‘2hl  po 9 gld.

25 kr. in 8  hi  po 9 gld. 75 kr.; koliko ga stane poprek 1 hi?

41. ) Trije trgovci kupijo skupaj 17 <7  slad 6  rja za 816 gld. 68  kr.,

A  ga dobi 3 q, B  5 q , C  9 q ; n)  koliko mora vsak plačati,
b)  koliko velja 1  kg  sladorja?

42. ) Za 5»» 6  cm  visoke stopnice treba je narediti po 2 dm bcm

visoke stopnje; koliko stopinj imele bodo stopnice?

43. ) Kolesa, ki gonijo lokomotivo, imajo 3 m  21  cm  v obsegu; koliko¬

krat morajo se zavrteti v jedni minuti, da pretečejo v 1  uri
bbkm  401'5 m?

44. ) Okoli točke je 5 kotov, izmed katerih znašajo štirje 63° 15' 57",

31° 48', 110° 52' 30" in 103° 35' 52”; kolik je peti kot,
ker znaša vsota vseh 360°?

45. ) Obod kroga razdelil so je na dva nejednaka loka; ako ima

jeden 135° 43' 19", kolik je drugi?

46. ) Koliki del oboda je lok, kateri ima 2 " 4' 45"?

47. ) Premer krogu je

a)  4 m b dm  7 • 5 cm, b) 1 dm  28 mm-
kolik mu je obod?

48. ) Obod krogu je

a)  3 m  2 dm ian  1 mm, b) lm  2 7 -  2 cm ;
kolik mu je premer?

49. ) Tla so 1 m  2  dm  3 cm  dolga in 5 m  1  dm  6  cm  široka; kolika

je ploščina teh tal?

50. ) Nekdo zamenja njivo, katera meri 957 m 2 , za drugo ploskveno-

jednako in 16 m 5 dm  široko; kolika mora biti dolžina drugi
njivi?

51. ) Mizarju treba narediti 10 ?« 4 dni 6 cm  dolga in 6 ?« 9 dm dem

široka tla; koliko 1 m  29 cm  širokih desek potrebuje za to?

88

52. ) Koliko velja 38 m  dolg in 16 m 2 dm  širok stavben prostor,

ako velja nr a)  5 gld. 34 kr., b)  8 gld. 72 kr.?

53. ) Kolika je prostornina kockastega kamena, ako je njegov rob

2 din  38 mm  dolg?

54. ) Kolika je prostornina pravokotni 4 dm 2 cm  dolgi, 2 dm  1 cm

široki in 1 dm  8 cm  visoki posodi ?

55. ) Ako izteče iz 7 cm' 1  Ib mm' 1  velike luknje v vsaki sekundi

1'4 m  dolg curk vode, koliko je izteče v 1 uri ?

56. ) Koliko tehta 2 vi  3 dm  dolga, 3 dm h cm  široka in 1 dm 8 cm

debela plošča od litega železa, ako tehta 1 dni 3  litega železa

8'1 kg  ?

57. ) Konj pelje 5 </  44 kg  težko breme; koliko konj je treba, da

speljejo 1 m  5 dm  dolgo, lm  široko in 8 dm  visoko mramorno
grudo, ako tehta 1 nr'  mramorja 27 q 20 kg?

58. ) 5 m 2 dm  široko in 2 km  884 mm  dolgo cesto treba je 1 dm 2 cm

visoko s peskom posuti; koliko m 3  in vozov peska se potre¬
buje, ako je truga (krsta) 2 m 2 dm  dolga, lm  široka in 6 dm
5 cm  globoka?

59. ) V 3 m  6 dm  dolgo in 9 dm  široko posodo, katera je deloma z

vodo napolnjena, potopi se kamen, da ga voda čez in čez po¬
kriva; voda stoji potem 4 dm  visoko. Ko se kamen zopet iz
vode vzame, stoji voda le še 3 dm  visoko; koliko prostora
zavzimal je kamen?

Tretji oddelek.

O deljivosti števil.

1. Pojasnila.

§ 51.

Pravimo, da je. število deljivo (theilbar) z drugim številom,
ako da, z njim deljeno, celo število za kvocijent. N. pr. število 24
je deljivo s 6, ker da 24 s 6 deljeno 4 za kvocijent brez vsakega
ostanka; nasprotno pa število 27 ni s 6 deljivo, kajti, ako delimo
27 s 6, dobimo ostanek.

Vsako število je deljivo z 1 in samo s seboj. Ona števila,
katera so deljiva le z 1 in sama s seboj, imenujemo praštevila
(Primzahlen); n. pr. 1 , 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, i. t. d. Ona števila
pa, katera so deljiva ne le z 1 in sama s seboj, nego tudi še z
druzimi števili, imenujemo sestavljena števila (zusammengesetzte
Zalilen); n. pr. število 12 deljivo je z 1 in 12, a vrh tega še z 2,
3, 4, 6; 12 je sestavljeno število.

Ako je deljivo kako število z drugim številom, imenujemo di-
vizor mero  (Mass) dividenda, dividend pa mnogokratnik  (Viel-
faches) divizorja; n. pr. število 18 deljivo je s 6, 6 je tedaj mera
števila 18, in 18 mnogokratnik števila 6.

Ako je deljivih dvoje ali več števil z istim številom, imenu¬
jemo to število skupno mero  (gemeinschaftliches Mass) onih števil;
n. pr. števili 24 in 16 sta deljivi z 8, 8 je tedaj skupna mera števil
24 in 16; isto tako je 5 skupna mera števil 10, 20, 50. Največje
število, s katerim je deljivih dvoje ali več števil, imenujemo naj-
večjo skupno mero  (grosstes gemeinschaftliches Mass) teh števil;
n. pr. števila 2, 3, 4, 6, 12 so skupne mere števil 12, 24, 36, 60,
število 12 pa je njih največja skupna mera.

1 je skupna mera vsem številom; zarad tega 1 ne jemljemo
v poštev, kadar govorimo o skupnih merah več števil. Števila, ka-

90

tera nimajo razven 1 nobedne skupne mere, imenujemo medsebojna
ali relativna praštevila (relative Primzahlen). Tako sta relativni
praštevili 5 in 13, isto tako števili 7 in 15, števili 9 in 25.

Število, katero je deljivo z dvema ali več drugimi števili, ime¬
nujemo skupen mnogokratnik (gemeinschaftliches Vielfache) teli
števil; n. pr. število 24 je deljivo z 8 in 12, 24 je tedaj skupen
mnogokratnik števil 8 in 12; isto tako je 60 skupen mnogokratnik
števil 2, 3, 5, 12, 20. Najmanjše število, katero je deljivo z več dru¬
gimi števili, zovemo najmanjši skupni mnogokratnik (kleinstes
gemeinschaftliches Vielfache) teh števil, n. pr. 60, 120, 180, 240, ...
so skupni mnogokratniki števil 3, 4, 6, 10, a 60 je najmanjši skupni
mnogokratnik onih števil.

Števila, katera imajo na mestu jednic 0, 2, 4, 6 ali 8, imenu¬
jemo soda števila (gerade Zahlen); števila pa, katera imajo na
mestu jednie 1, 3, 5, 7, 9, liha števila (ungerade Zahlen).

2. Občni izreki o deljivosti.

§ 52.

1. ) Ako imata dve števili skupno mero, deljiva je z
njo tudi njijina vsota.

Ker imata števili 30 in 18 skupno mero 6, mora tudi vsota
30 + 18 = 48 s 6 deljiva biti, kajti 6 je v 30 5krat, v 18 3krat,
tedaj v 30 + 18 5krat in 3krat, t. j. Škrat.

2. ) Ako imata dve števili skupno mero, deljiva je z
njo tudi njijina diferenca.

Števili 30 in 18 sta deljivi s 6, tedaj mora tudi diferenca
30 — 18 = 12 deljiva biti s 6. Ker je namreč 6 v 30 5krat, v 18
3krat, mora biti 6 v 30 — 18 5krat menj 3krat, t. j. 2krat.

3. ) Ako je deljivo število z drugim številom, deljiv
je tudi vsak njegov mnogokratnik z istim številom.

Število 30 je deljivo s 6, zatorej mora tudi 30 X 4 = 120
deljivo biti s 6. Kajti 6 je v 30 5krat, tedaj v 4krat 30 4krat
tolikokrat, t. j. 20krat.

4. ) Ako ne da delitev dveh števil nikakeršnega
ostanka, je divizor sam največja skupna mera obeh števil.

N. pr. 60 : 15 = 4; tu je 15 gotovo skupna mera števil 60 in
15, ker sta obe s 15 deljivi; a 15 je tudi največja skupna mera,
ker število 15 ni z nijednim večjim številom deljivo nego je samo.

91

5.) A ko da delitev dveh števil ostanek, je največja
skupna mera med d i v i z o r j e m in ostankom ob j e d n e m
n a j v e č j a skupna mera med d i v i d e n d o m in d i v i z o r j e m.

Delimo n. pr. 96 s 36.

96 : 36 = 2 tedaj a)  96 - 36 X 2 = 24.

72.. 36 X 2 b)  36 X 2 + 24 = 96.

24 ostanek.

Ako imata tu dividend 96 in divizor 36 skupno mero, potem
je z njo ne le 96 in 36 X 2, ampak tudi diferenca 96 — 36 X 2,
t. j. po a)  ostanek 24 deljiv. Ono število je tedaj tudi skupna mera
divizorju 36 in ostanku 24.

Ako imata pa obratno divizor 36 in ostanek 24 skupno mero,
ni le 36 X 2 in 24, ampak tudi vsota 36 X 2 + 24, to je po
b)  dividend 96 z njo deljiv. Ono število je tedaj tudi skupna mera
dividendu 96 in divizorju 36.

Divizor in dividend imata zatorej zmerom isto skupno mero,
kakor divizor in ostanek; zato pa mora največja skupna mera med
divizorjem in ostankom biti ob jednem tudi največja skupna mera
med dividendom in divizorjem.

3. Znamenja deljivosti.

§ 53.

1. ) 2 je v 10 brez ostanka, tedaj tudi v vseh mnogokratnikih

od 10, tedaj v 20, 30, 40..., v 100, 200, 300..., v 1000, 2000,

3000 i. t. d. Desetice, stotice, tisočice . . . katerega koli števila so

tedaj zmerom z 2 deljive; ako stoji zatorej na mestu jednic 0, ali

pa kako z 2 deljivo število, namreč 2, 4, 6 ali 8, mora celo število
z 2 deljivo biti.

Z 2 so zatorej deljiva vsa soda števila.

Katera izmed števil 12, 38, 59, 1235, 2184, 19326, 93128,
13020, 35731, 24689, 75314 so deljiva z 2, katera niso?

Ali je vsota 3124 + 2157 + 3143 + 1938 deljiva z 2?

2. ) Stotice, tisočice . . . vsakega števila so deljive s 4. Ako so
tudi desetice in jednice, vzete kakor število, deljive s 4, potem je
deljivo tudi celo število.

S 4 deljiva so tedaj vsa ona števila, katerih desetice
in jcdnice, vzete kakor število, so s 4 deljive.

92

Katera izmed števil 3924, 1038, 5016, 8033, 9062, 8752,
16536, 24300, 39235, 74636 so deljiva z 2, katera tudi s 4, katera
pa niti s 4 niti z 2?

3. ) Na podoben način dobiš tudi izrek: Z 8 je število
deljivo, ako so stotice, desetice in jedniee, vzete kakor
število, z 8 deljive.

Katera izmed števil 352, 1630, 2876, 4756, 9492, 12748,
22062, 25864, 30508 so deljiva z 2, katera tudi s 4, in katera z 8?

4. ) Po prejšnjem dade se lahko dokazati sledeča pravila:

S 5 so deljiva vsa ona števila, katera imajo na mestu
j e dni c 0 ali 5.

Z 10, 100, 100 0, ... deljiva so vsa ona števila,

katera i m a j o na desni 1, 2 , 3, ...ničle.

Katera izmed števil 35, 120, 1225, 2300, 2400, 3500, 38400,
312705, 278000 so deljiva samo s 5, katera tudi z 10, 100, 1000?

5. ) Vsako število da se razstaviti na dva dela tako, da ima

jeden same mnogokratnike od 9, tedaj tudi od 3, drugi pa vsoto
vseh številovih številk. Tako sestoji n. pr. 5724 iz sledečih delov:

5000 = 1000 X 5 = 999 X 5 + 5

700 = 100 X 7 = 99 X 7 + 7

20 = 10 X 2 = 9X2 + 2

d =.4,

tedaj 5724 = 999 X 5 + 99 X 7 + 9 X 2 + 5 + 7 + 2 + 4.

Prvi del števila zatorej ima same mnogokratnike od 9, je deljiv
z 9, tedaj tudi s 3 ; ako je deljiv z 9 ali 3 tudi drugi del, namreč
številčna vsota, deljivo je tudi število samo. Iz tega sledi:

Število je deljivo  s 3, ako  je  njegova številčna vsota
s 3 deljiva.

Število je deljivo z 9, ako je njegova številčna vsota
z 9 de  1 j i v a.

Katera sledečih števil 273, 1540, 5926, 8028, 12345, 20475,
38124, 67089, 705426, 791426, 310629 so deljiva s 3, katera tudi
z 9, katera pa niso ne z 9 ne s 3?

6. ) Vsako število, katero je deljivo z 2 in 3, deljivo je tudi
z 2 X 3, t. j. s 6.

S 6 so tedaj deljiva vsa ona soda števila, katerih
številčna vsota je s 3 deljiva.

Katera sledečih števil so deljiva s 6: 870, 1258, 5072, 5184,
31406, 560742?

93

Katera izmed števil 5814, 27082, 50931, 86240, 123456,
275085, 934316, 2355526 so deljiva s 6, katera le s 3, in katera
le z 2?

Povej, s katerimi izmed števil 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 so
deljiva sledeča števila:

a)  312, 8316, 3941, 57584, 23584, 740024, 652440;

b)  396, 1840, 5715, 31704, 56784, 714282, 1000362;

c)  375, 3450, 7131, 24377, 150180, 219350, 221625.

Ako delimo dividend in divizor z istim številom, ostane kvo-

cijent neizpremenjen. Ako delimo v nakazanem kvocijentu dividend
in divizor z istim številom, pravimo, da nakazani kvocijent okraj¬
šamo (abkiirzen). — Okrajšaj v sledečih delitvah dividend in divizor
kolikor mogoče s skupnimi merami, potem pa izvrši delitve:

n)  2737664 : 1536; b)  37838448 : 1728;

c)  70148912 : 5142; d)  11767920 : 73547.

Znamenja deljivosti s 7 in 11 nimajo zarad obširnosti dokaza in uporabe ni-
kakeršne praktične vrednosti.

4. Razstavljanje sestavljenega števila na njegove prafaktorje.

§ 54.

Jednostavne faktorje ali prafaktorje (einfache Factoren,
Primfactoren) kakega števila imenujemo tista praštevila, katerih pro¬
dukt je ono število.

Da razstaviš sestavljeno število na njegove prafak¬
torje, deli je z najmanjšim praštevilom, s katerim je deljivo, ne
oziraje se na 1; kvocijent deli zopet z najmanjšim praštevilom, s
katerim je deljiv, ne izvzemši prejšnjega praštevila, in takisto ravnaj
z vsakim sledečim kvocijentom, dokler ne dobiš kvocijenta, ki je
sam praštevilo. Drug za drugim uporabljeni divizorji in pa zadnji
kvocijent so prafaktorji danega števila.

Vzemimo, da je n. pr. 420 dano število, potem dobimo

7 7

tedaj 420 = 2 X 2 X 3 X 5 X 7.

94

Naloge.

Razstavi na prafaktorje:

5. Najveoja skupna mera.

§ 55.

a) D  a najdeš naj večjo skupno mero dveh ali več
števil,  razstavi jih v prafaktorje in potem poišči izmed teh one,
kateri so vsem danim številom skupni. Produkt teh skupnih pra¬
faktorjev je največja skupna mera danih števil.

Alco treba n. pr. najti največjo skupno mero števil 180 in 420,
potem je

najv. sk. mera = 2 X 2 X .3 X 5 = 60.

Ako nimajo dana števila nobednega skupnega faktorja, potem
so relativna praštevila.

1 -)

2 .)

3 . )

4. )

5 . )

6 . )
7 .)

Naloge.

Poišči najv. sk. mero števil
a)  114 in 630;
a)  468 in 624;
a)  320 in  840;
a)  576 in 1080;
a)  294, 336 in 504;
a)  4464, 2604, 8184;
a)  312, 468, 1092, 4680;

b)  105 in 165;

b)  426 in 540;

b)  252 in 448;

b)  954 in 2295;

b)  378, 882, 1386;

b)  740, 925, 2035;

b)  336, 1152, 2016, 2928.

§ 56.

b)  Najv. sk. mero dveh števil moreš pa tudi najti ne raz¬
stavljajoč števili v prafaktorje.

Vzemimo, da treba poiskati n. pr. najv. sk. mero števil 115 in
1495. Ker ta mera ne more večja biti nego je manjše od danih dveh
števil, poskusimo najprej, ali ni morda 115 v 1495 brez ostanka.

95

1495 : 115 = 13 Delitev res ne da ostanka, zatorej je divizor
345 115 sam največje število, s katerim sta 115

0 in 1495 ob jednem deljivi.

Ta slučaj je pa le redek; največkrat dobimo pri delitvi ostanek.
Kako nam postopati, da dobimo naj v. sk. mero obeh števil v tem
slučaji, uči uže dokazani izrek: Največja skupna mera med
divizorjem in ostankom je ob jednem tudi naj v. sk. mera
med dividendom in divizorjem.

Vzemimo, da nam je n. pr. poiskati najv. sk. mero med 481
in 1110.

1110 : 481 = 2
148

481 : 148 = 3
37

148 : 37 = 4

Ako delimo 1110 s 481, dobimo 148 za
ostanek. Vemo pa, da imata dividend 1110
in divizor 481 isto najv. sk mero kakor di¬
vizor 481 in ostanek 148; zatorej iščemo
najv. sk. mero med 481 in 148. V to svrlio
delimo 481 s 148, in tu dobimo 37 za ostanek; a najv. sk. mera
med divizorjem 148 in ostankom 37 mora biti tudi najv. sk. mera
med dividendom 481 in divizorjem 148, torej tudi med 1110 in 481.
Tedaj iščemo dalje najv. sk. mero med 148 in 37, deleč 148 s 37.
Ker ne dobimo pri tej delitvi ostanka, je divizor 37 sam najv. sk.
mera med 148 in 37; zatorej tudi med 481 in 148, in takisto med
1110 in 481.

Račun moremo tudi tako-le izvršiti:

481

37

11102

148 j 3

o!

37 najv. sk. mera.

Najv. s k. mero dveli števil najdemo tedaj na sledeči način:

Večje število delimo z manjšim; ako dobimo ostanek, delimo
z njim prejšnji divizor in tako dalje zmerom prejšnji divizor z ostan¬
kom, dokler ne pridemo do delitve brez ostanka. Zadnji divizor je
potem iskana najv. sk. mera. Ako je zadnji divizor 1, potem nimata
števili razven 1 nobedne skupne mere, tedaj sta relativni praštevili.

Ali moramo, tako računajoč, slednjič priti do delitve brez
ostanka ? Zakaj ?

Da najdemo na ta način za več nego dve števili  najv. sk.
mero, treba da jo poiščemo za prvi dve števili, potem za tako naj¬
deno mero in tretje število, takisto za to novo mero in četrto šte¬
vilo, i. t. d.; zadnja najv. sk. mera je ob jednem najv. sk. mera
vseli števil.

96

Naloge.

Poišči najv. sk. mero števil

je produkt ob jednem njih najmanjši skupni mnogokratnik; ako je
pa deljivih dvoje ali več števil ob jednem z istim številom, potem
imajo tudi manjše skupne mnogokratnike, nego je njih produkt.

a)  Da dobimo v zadnjem slučaji najmanjši skupni mnogo¬
kratnik več števil, treba da jih razstavimo na njihove prafaktoije
in od teh one izločimo, kateri so dvema ali več številom skupni.
Produkt teh skupnih faktorjev, množen s produktom ostalih ne-
skupnih faktorjev, je iskani najmanjši skupni mnogokratnik danili
števil.

Ako so n. pr. dana števila 16, 36, 60, imamo

Na to rešitev opira se to-le praktično postopanje, ako
treba naj m. s k. mnogokratnik več števil najti:

1. ) Dana števila zapiši redoma drugo poleg druzega ter takoj
prečrtaj ona manjša števila, katera so v večjih brez ostanka.

2. ) Potem treba gledati, ali ni kako praštevilo skupna mera
dveh ali več ostalih števil. Ako je, zapiši to mero na desno na stran

97

tor potem z njo deli vsa ona števila, katerim je mera; kvocijente in vsa
nedeljiva števila pa zapiši spodaj v novo vrsto drugo poleg druzega.

3. ) S to novo vrsto ravnaj isto tako, kakor s prvotno, in to
postopanje nadaljuj toliko časa, da dobiš na zadnje vrsto, v kateri
so sama relativna praštevila.

4. ) Ako množiš relativna praštevila zadnje vrste in na desno
zapisane skupne mere, potem je ta produkt najmanjši skupni mnogo¬
kratnik vseli danih števil.

N. pr.: 16, 36, 60 2 Najin. sk. mnogokr. je tedaj

8, 18, 30j2 4X 3 X5X2X2X3= 720
4, 9, 153

4, 3, 5j

Naloge.

Poišči najmanjši skupni mnogokratnik števil

Tu imamo

2, g, 0, 0, 12, 18, 28, 40 2
6, 9, 14, 20 2

g, 9, 7, 10

najm. sk. mnogokr. = 9X7X 10 X2X2  = 2520
Poišči dalje najm. sk. mnogokr. števil

7. ) 2, 4, 8, 16, 3, 9, 27, 6, 12, 24;

8. ) 2, 3, 7, 8, 16, 20, 35, 42, 50;

9. ) 5, 12, 8, 10, 21, 28, 30, 15, 60;

10. ) 16, 12, 9, 8, 25, 15, 24, 54;

11. ) 5, 12, 7, 9, 21, 45, 57, 72, 135;

12 . ) 12, 27, 36, 28, 35, 54, 96, 112;

13. ) 77, 35, 42, 91, 126, 26, 60, 65;

14. ) 105, 126, 168, 210, 231, 294.

§ 58.

b)  Ako se ne dade dana števila lahko na prafaktorje razstaviti,
iščemo najm. sk. mnogokratnik na drug način, kateri se opira na
sledeče umovanje:

Aritmetika. 7

98

Ako delimo dve števili z njijino najv. sk. mero, morata biti
kvocijenta relativni praštevili. Ako množimo jednega teh kvocijentov
z drugim številom, so v tem produktu faktorji obeh števil, tedaj je
z obema številoma deljiv; a nobeden teh faktorjev se ne sme iz¬
pustiti, sicer ni produkt več z obema številoma deljiv. Oni produkt
je tedaj najm. sk. mnogokratnik obeh števil.

Da najdeš tedaj najm. s k. mnogokratnik dveh števil,
poišči najprej njijino najv. sk. mero, s to deli jedno izmed obeh
števil, a s kvocijentom množi drugo število. Produkt je iskani
najm. sk. mnogokratnik danih števil.

Ako sta n. pr. dani števili 1254 in 1653, tedaj je
12541653 1 57 je najv. sk. mera.

57 399[3 1254 : 57 = 22

0 7 1653 X 22 = 36366 najm. sk. mnogokr.

Ako treba poiskati na ta način najin. sk. mnogokratnik
treh ali več števil,  poišči na ravnokar navedeni način najm. sk.
mnogokratnik prvih dveh števil, potem za ta najm. sk. mnogokratnik
in tretje število, takisto za ta poslednji najm. sk. mnogokratnik in
četrto število, i. t. d. Zadnji najm. sk. mnogokratnik je ob jednem
najm. sk. mnogokratnik vseh danih števil.

Naloge.

Poišči na tu navedeni način najm. sk. mnogokratnik števil

5. ) 1555, 2177, 3421 in 4043;

6. ) 9756, 1355, 3252 in 4065;

7. ) 288, 384, 224, 576 in 784;

8. ) 2076, 6228, 3460, 5190 in 5536.

Četrti oddelek.
Računanje i  navadnimi ulomki.

1. Pojasnila in vaje.

§ 59.

Ako razdelimo jednoto (celoto) na več  jednakih delov ter vza¬
memo jeden ali več takih delov, imenujemo na ta način postalo
število ulomljeno število ali ulomek (gebrochene Zalil, Bruch).
Ako razdelimo celoto n. pr. na pet jednakih delov, imenujemo vsak
tak del petino; jedna petina, dve petini, tri petino, štiri petine,
pet petin, šest petin ... so tedaj ulomki.

Za izraževanje ulomka potrebno je dvoje; najprej moramo
vedeti, na koliko jednakih delov je celota razdeljena, potem pa,
koliko takih delov nam je vzeti. Da ulomek izrazimo, potrebno
je tedaj dvoje števil; jedno pove, na koliko jednakih delov je celota
razdeljena, ono znači tedaj kakovost ali vrsto delov ali ono imenuje
dele, in zarad tega mu pravimo imenovalec (Nenner); drugo pove,
koliko takih delov treba vzeti, ono šteje tedaj dele, in zato mu
pravimo števec (Zahler). N. pr. v ulomku dve tretjini je število 3
imenovalec in kaže, da se je razdelila celota na tri jednake dele;
2 je števec in pove, da smo vzeli 2 taka jednaka dela.

Imenovalec pišemo pod števec, med oba pa naredimo črto.
N. pr. ulomek dve tretjini pišemo ali f- ali s, 3 .

Ako vzamemo toliko jednakih delov, kolikor smo jih iz celote
naredili, potem imamo zopet celoto; ulomek, čegar števec je jednak
imenovalcu, jednak je tedaj celoti. Ako vzamemo menj delov, nego
jih ima celota, dobimo menj kakor celoto; ulomek, čegar števec je
manjši od imenovalca, je tedaj manjši od celote. Ako vzamemo
slednjič več delov, nego jih gre na celoto, potem dobimo več nego
celoto, t. j. ulomek, čegar števec je večji od imenovalca, je večji
nego celota.

ioo

Ulomke, katerih vrednost je manjša od celote, imenujemo
prave ulomke (echte Briiche); vse druge ulomke, katerih vrednost
je ali jednaka celoti ali večja od nje, imenujemo pa neprave ulomke
(unechte Briiche). N. pr.:

1  _2_ 5  _ 7  4  7 -pv-po TTl

5? 3? 6? 15? 128 r l£lV1 ?

2 6 1__1 4 5 1 9 2 7 oa  Tl P11V

2? 3 ? 6 ? 15? 128 ? li '-r A

•avi ulomki.

Število, scstoječe iz celega števila in ulomka, imenujemo me¬
šano število  (gemischte Zalil), n. pr. 5f, 57^, 3024ff.

Vsak ulomek smatrati moremo za nakazan kvocijent,
v katerem je števec dividend, a imenovalec divi  z or.

Ulomek | znači 4krat 5ti del 1 celote. Kvocijent 4 : 5 znači
5ti del 4 celot; da pa dobimo 5ti del 4 celot, treba da razdelimo
vsako posamezno celoto na 5 jednakih delov in od vsake vzamemo
1 del; tedaj dobimo tudi tu 4krat 5ti del 1 celote. Tedaj je | = 4 : 5.
N. pr.:

f gld. = 4krat 5ti del 1 gld. — 4krat 20 kr. = 80 kr.

4 gld. : 5 = 5ti del 4 gld. = 5ti del od 400 kr. = 80 kr.

Na ta izrek opira se ono uže v § 33 navedeno pretvarjanje
delitvenih ostankov na obliko ulomkov, ostanek vzame se namreč
za števec ulomku, čegar imenovalec je divizor.

§ 60 .

Vaje. (Računanje na pamet.)

1. ) Koliko krajcarjev je pol goldinarja? Koliko krajcarjev je |, f,

I gld-?

2. ) Koliko l  je \hll  Koliko l  je §, f, \ hVi

3. ) Koliko mesecev je \  leta? Koliko mesecev je f, §-, -J leta?

Pretvori

4. ) 4 m.  | | |» na dm-

5. ) i, |, f," f hi  na l-

6. ) i,  f, f, f knjige papirja na pole;

7. ) Koliko celot je f, f, f, f, \°?

8. ) Koliko mesecev je j,  f, |-, |- leta?

9. ) Koliko tretjin da 1 celoto, 2, 3, 4 celote?

10. ) Koliko tretjin je 2 celoti in 2 tretjini, 4 celote in 2 tretjini?

11. ) Kako dobiš \  celote; kako f-, ~?

12. ) Koliko je j, f, f, f, f, f, 4P jednega gld., jednega M, kg,  leta?

13. ) Koliki del dneva jc 6, 12, 18 ur?

101

14. )

15. )

16. )

17. )

18. )

19. )

20 . )
21 .)

22 .)

23. )

24. )

25. )

26. )

27. )

28. )
29.)

Koliko četrtin ima jedna polovica? Koliko četrtin ima 2 , 3, 4,
5, 10 polovic?

Kolika je 4 rizme, ~ ure, j m ?

Koliko je f rizme, koliko f gld., | ure, f A/?

Koliko celot je 5, 10 , 15, 20 , 25 petin?

Koliko je f, f, f, |, |, |, V jednega leta, jednega dneva?
Koliko delov ure je 10 minut, 20 , 30, 40, 50 minut?

Koliko šestin ima jedna polovica, koliko jedna tretjina?

Koliko šestin imajo 3 celote in 3 šestine, 5 celot in f, 4 celote
in 4, 7  celot in j, 7 celot in f?

Koliko dnij je A, f-, |, 4 tedna?

Koliko ur je |, f, f, f, |, f dneva?

Koliko osmin ima četrtina, koliko polovica?

Koliko devetin je i, koliko f, f, f?

Koliko celot je v ¥ °, v 2 ¥ ° , 2 ¥ 7 , 4 5 ° ?

Koliko kr. je T \, T %-,  T 4 b -, T 7 b , f£, f°- gld.?

Koliko dky  je T V, T 2 5 , T 3 ¥ , t 6 «j,  T 8 o, fo, fo %?

Koliko desetin ima koliko -|?

2. Pretvorba ulomkov.

Pretvorba nepravih ulomkov na cela mešana števila in obratno.

§ 61.

Koliko celot je v * T 5  ?

Na pamet: 4 četrtine tvorijo 1  celoto; v 15 četrtinah je za¬
torej toliko celot, kolikorkrat so 4 četrtine v 15 četrtinah; 4 četrtine
so v 15 četrtinah 3krat, a ostanejo še 3 četrtine; 15 četrtin tvori
tedaj 3 celoto in 3 Četrtine.

Pismeno: = 15 : 4 = 3f.

Da n aj d e m o t e d aj celote, katere so v nepravem
ulomku,  treba da delimo števec z imenovalcem.

Naloge.

1 . ) Koliko celot ima f, %°, 2 T 9 , \ 8 , \° , f f ?

(Te in druge v tem oddelku sledeče naloge treba rešiti na pamet, ako so
števila jednostavna.)

2. ) Poišči celote iz sledečih ulomkov:

7_  3_5 5_7 31 8_5 1^3. 2.J5 j7i Ul  1_00

3? 5 7 6 7  7 7 9 7 1 1 7 1 2 7 1 5 7 2 0 7  25*

3. ) Pretvori na mešana števila sledeče ulomke:

0_3 1_0_5 1_7_1 8 0 2_5_7 1 3 20 1J)_4_1 3 1 7 7 5 0j7

25? 32? 37? 17? 84? 57 ? 418? 208? 471 *

102

§ 62.

Vsako celo in vsako mešano število da se pretvoriti na neprav
ulomek.

Ako treba n. pr. 5 izpremeniti na ulomek z imenovalcem 6,
sklepamo tako-le: 1 celota ima 6 šestin, 5 celot ima tedaj okrat
6 šestin, zatorej 5 = 3 ¥ °.

Da pretvorimo tedaj celo število na ulomek z danim
imenovalcem,  treba množiti celo število z danim imenovalcem;
ta produkt vzamemo za števec in dani imenovalec za imenovalec
iskanemu ulomku.

Pretvorimo dalje še mešano število 3f na ulomek. Najprej
moramo izpremeniti 3 celote na osmine; 1 celota ima 8 osmin, 3
celote imajo 3krat 8 osmin, t. j. 24 osmin; ako k temu prištejemo
še 5 osmin, dobimo 29 osmin; tedaj 3| = 2 ¥ 9 .

Da pretvorimo mešano število na neprav ulomek,
treba celo število z imenovalcem množiti in k produktu števec pri¬
šteti; ta vsota je števec, imenovalec ostane neizpremenjen.

Naloge.

1.) Pretvori 1, 3, 6, 9, 13, 25, 128 na ulomke z imenovalcem a)  10,

b)  25, c)  60, d)  100.

2.) Pretvori
37f,

sledeča mešana števila na neprave

10 1 6J


238 U,

SK4- 3 - 2 -

004 12 5!

702 ¥ Vo,

ulomke: 3f, 8—^,

00  ‘ 4  2  2 ’  J- OUO g i 75 *

6 )  Razširjevanje ulomkov.

§ 63.

Kaj je več, T 7 „ ali ¥(T ? Cim več jednakih delov vzamemo, tem več
dobimo skupaj. Tedaj je T 7 „ več nogo T 3 5 , kar pišemo tako-le: jo >to’

Ako ima tedaj d v oj e ali več ulomkov isti imeno¬
valec, je oni večji, kateri ima večji števec.

Kaj je več, ~2  f? Na čim več delov jednoto razdelimo,
tem manjši so posamezni deli; tedaj je ~  manjša od kar pišemo
tako-le: <C }; tedaj tudi <C f •

Ako ima zatorej dvoje ali več ulomkov isti števec,
je oni manjši, kateri ima večji imenovalec.

§ 64.

Vrednosti ulomkove ne izpremenimo, ako razdelimo njegove
dele zopet na manjše dele. N. pr. ulomek f pomeni 3 jednake dele,
katerih vsak je 5ti del celote; ako razdelimo vsakega izmed teh

103

3 delov zopet na 4 jednake dele, dobimo 3 X 4=12  manjših jed-
nakili delov; vsak tak del je 4ti del celotine otine, tedaj 5X4 =
= 20ti del celote; ulomek -| izpremenili smo na ta način v isto-
vreden ulomek , kateremu sta števec in imenovalec 4krat tolika,
kakor števec in imenovalec ulomka 4-.

5

3 _ .3x4 _ o

j* ~  5 "x ~4  _  2  0 *

Vrednosti ulomkove tedaj ne izpremenimo, ako mno¬
žimo števec in imenovalec z istim številom.

Ta izrek dobimo tako-le umujoč:

Ako množimo števec s 4, dobimo 4krat toliko delov, kolikor jih je imel
prejšnji ulomek; ako množimo ob jednem tudi imenovalec s 4, dobimo dele, kateri
■so posamič 4krat manjši od prejšnjih; novi ulomek ima zatorej 4krat toliko, a 4ki\»t
manjše dele, tedaj je iste vrednosti s prejšnjim.

Ako pretvorimo ulomek j na ijj-, izpremenili smo mu le
obliko,  vrednost pa mu je ostala neizpremenjena.

Kadar izpreminjamo ulomku obliko, množeč števec in imeno¬
valec z istim številom, pravimo, da ulomek  razširjamo.

Z razširjevanjem moremo vsak ulomek brez izpremembe nje¬
gove vrednosti pretvoriti na druzega, ki ima za imenovalec mnogo¬
kratnik prejšnjega imenovalca. Ako hočemo n. pr. pretvoriti na
ulomek, čegar imenovalec je 48, treba da razširimo ~ z 48 : 12,
t. j. s 4; potem je T \ = ff.

Ako hočemo zatorej ulomek razširiti na druzega z
danim imenovalcem, treba je le novi imenovalec deliti s prejšnjim
ter s kvocijentom množiti prejšnji števec; produkt je novi števec.

Ako nam je n. pr. ulomek § pretvoriti na druzega z imeno¬
valcem 20, dobimo

20:4  = 5;  3X5  = 15; tedaj f = |j.

Na pamet: 1 celota ima 20 dvajsetin, 1 četrtina ima 5 dvaj¬
setin; 3 četrtine imajo 3krat 5, t. j. 15 dvajsetin.

Pretvori isto tako f na imenovalec 18, f- na imenovalec 24,
■jv na imenovalec 120, f na imenovalec 240.

Z razširjevanjem mogoče je tudi več ulomkov pretvoriti na
skupen imenovalec, kadar je ta deljiv z vsemi imenovalci danih
ulomkov. Ako treba n. pr. ulomke -f, -|, ~  pretvoriti na skupni
imenovalec 48, dobimo

104

Pretvori

§ 65.

Kadar hočemo več ulomkov glede njih kolikosti primerjati,
seštevati ali odštevati, treba da jih pretvorimo na skupen imeno¬
valec. L>a je pa računanje kolikor mogoče kratko, pretvarjamo jih
navadno na najmanjši skupni imenovalec; ta pa je očividno
najmanjše število, katero je z vsemi danimi imenovalci deljivo, za¬
torej njih najmanjši skupni mnogokratnik.

Naloge.

1.) Pretvori ulomka in T 7 ^ na najmanjši skupni imenovalec.

Najmanjši sk. mnogokratnik števil 4 in 10, zatorej najm. sk. imenovalec
/o J‘ e  20.

Na pamet: ~  —

ulomkov |-

Pismeno: 20 :

2 o ?

_ 2 _ _ 7 _
2  0 ? 10

= 5, 5 X

I = 6 krat

= 7krat JL =
3 = 15:

—  J_ 5 .
20 7
14
2" O*
ali

20

Izpremeni te-le ulomke na ulomke z najm. sk. imenovalcem:

kateri najmanjši?

Da moreš te ulomke glede njih kolikosti primerjati, treba jih pretvoriti na
skupen imenovalec.

12.) Uredi sledeče ulomke po njih kolikosti, začenši z najmanjšim:

2 5 13  17 1 9  J2 j) 3J7 1X1

5? 7? 19? 20? 24? 35? 45? 125*

105

c)  Okrajševanje ulomkov.

§ 66.

Ulomek ne izpremenl svoje vrednosti, ako mu zjedinimo dele
v večje, med seboj jednake dele. N. pr. ulomek znači 12 jed-
nakih delov, od katerih je vsak 20ti del celote; ako združimo od
teh 12 delov po 4 v jedon sam clel, imamo le še 12 : 4 = 3, toda
večje jednake dele; teh delov gre, ker ima vsak 4 prejšnje, le
20 : 4 = o na jedno celoto, t. j. vsak tak del je ^ celote; ulomek
izpremenili smo tedaj v istovreden ulomek f, čegar števec in
imenovalec sta 4ti del števca in imenovalca od

12  12  : 4  3

20 -20:4 3 4 5 * ‘

Vrednosti ulomkove tedaj ne izpremenimo, ako de¬
limo števec in imenovalec z istim številom.

Ta izrek moremo tudi tako-le dokazati:

Ako delimo števec s 4, dobimo 4krat menj delov; ako delimo ob jednem
tudi imenovalec s 4, so posamezni deli novega ulomka 4krat toliki; tedaj dobimo
4krat menj, a 4krat večje dele; ulomku izpremenili smo zatorej, delivši ga, le obliko,
ne pa vrednosti.

S pomočjo tega izreka moremo ulomek okrajšati,  t. j. z
manjšimi števili izraziti, ne izpremenivši mu vrednosti. A to je le
tedaj mogoče, kadar imata števec in imenovalec skupno mero.

Naloge.

2 3 4

1.) a)  A

± .

7 1

b)

1 . 2 -
2 7

4 .

'9 1

<0

16 =  __4_ .
4 4 11-1

5

2 -)

a)

: i 5 =  i_ .
4 0 8 1

10 3

b)

4.2. j)
5 10

4.2. —
5 1

11
1 7 *

3. ) Okrajšaj sledeče ulomke kolikor mogoče:

8 4 ji S 7 2 185 102 _4 1 (I 1_<±2  «3« _96_0_ J.6 2 5 2 Ji ji 2

126? 80? 90? 480? 282? 2520? 240? 900? 1728? 2000? 3024?

lit 4..0 _6_4_8__0_

3360? 15542? 31720'

4. ) Okrajšaj še sledeče ulomke, a tako, da poiščeš med števcem in

imenovalcem po § 56 najv. sk. mero:

8.1A 2 9.2. A _86_4_ _8_2_0_ AJL91 HH 7

9 66? '5 117? 1874? 1023? 6076? 6191’ 284 5'

5. ) Pretvori 40 kr. na ulomek goldinarja in dobljeni ulomek potem

okrajšaj.

1 kr. je lOOti del 1 gld., tedaj

40 kr. = t 4JL gld. = — gld. = | gld.

106

6. ) Kateri ulomek goldinarja da

a)  24 kr.? b) 42  kr.? c )  75 kr.? d)  84 kr.?

7. ) Zdebeli na isti način na kg

a)  30 dkg\ b)  45 dkg ; c)  56 dkg- d)  80 dkg.

8. ) Koliko let je

a)  8 mes. ? b)  10 mes. ? c)  30 mes. ? d)  42 mes.?

9. ) Koliko ur je

a)  6 min.? b)  16 min.? c)  24 min.? d)  56 min.?

d)  Pretvarjanje navadnih ulomkov na decimalne ulomke.

§ 67.

Navaden ulomek pretvorimo na decimalen ulomek,
ako delimo števec z imenovalcem, dokler je mogoče. Kadar ni v
dividendu nobedne številke več, da bi jo pripisali k ostanku, tedaj
postavimo v kvocijentu decimalno točko, k temu in vsakemu slede¬
čemu ostanku pa pripišemo ničlo ter dalje delimo.

Ako delitev nazadnje ne da ostanka, potem je decimalni ulo¬
mek, katerega smo za kvocijent dobili, danemu navadnemu ulomku
popolnoma jednak; a to je le tedaj, kadar je imenovalec 2 ali 5,
ali pa produkt, ki nima od 2 in 5 različnega faktorja. Ako dobimo
pa pri delitvi ostanek, je najdeni decimalni ulomek samo približne
vrednosti, ter tem približnejši, čim več decimalk smo izračunali. N. pr.:

1. ) =  225 : 16 = 14-0625;

2. ) || = 23 : 78 = 0'2948 . . .

V drugem primeru dobimo pri delitvi ostanek; decimalni ulomek 0'2948
ne izražuje tedaj navadnega ulomka popolnoma, ampak le približno.

3. ) Pretvori še sledeče ulomke na decimalne ulomke:

JL a 5. _7_ 11  3.3^1 7 2JS 9JL_28 _7_3_ 1_7 J3 3 5 9 JJ1_ 1_1_7

2? 4? 8> l'2> 12? 128? 5? 25? 135? 625’  20?  80?  24?  11?  35?

H2. 111  _7_1_9_

30? 241? 1 728'

Kadar delitve ni moči izvesti brez ostanka, moramo dobiti,
ako delitev nadaljujemo, slednjič ostanek, katerega smo že prej
imeli, a potem se bodo tudi v kvocijentu v istem redu ponavljale
številke, katere smo bili že prej dobili.

Decimalen ulomek, v katerem se jedna ali več številk ponavlja,
imenujemo povraten ali perij odičen (periodisch), vrsto ponavlja¬
jočih se številk pa po vračaj ali perij  odo  (Periode). N. pr.:

=  29-41666 . . .; |f| = 0-24141 . . .; jf = 0-351351 . . .

V prvem primeru ima perijoda jedno številko, namreč 6 , v drugem dve,
namreč 41, v tretjem tri, namreč 351.

107

Perijodo pišemo navadno le jedenkrat, toda prvo in zadnjo
njeno številko zaznamenujemo s točkama, kateri postavimo nad te
številki. Tedaj je

W = 29-416; fff = 0'2ii ; ff = 0'351.

e)  Pretvarjanje decimalnega ulomka na navaden ulomek.

§ 68 .

Pri pretvarjanji decimalnih ulomkov na navadne treba nam
razločevati sledeče slučaje:

1. ) Ako je decimalen ulomek končen (endlich), t. j. ako nima
perijode, treba ga le izgovoriti in imenovalec dostaviti, a tako. iz¬
govorjeni decimalni ulomek napisati v obliki navadnega ulomka.
N. pr. decimalni ulomek 0 • 48 izgovarjamo: 48 stotin; ako to za¬
pišemo, dobimo 0 • 48 =

Končen decimalen ulomek pretvorimo tedaj na na¬
vaden ulomek, ako vzamemo za števec njegove decimalke, za
imenovalec pa 1 s toliko ničlami, kolikor je decimalk; tako dobljeni
ulomek treba, ako mogoče, še okrajšati. N. pr.:

1. ) a)  0 • 25 = y 7 To  = b b)  0 • 175 = T VA = šVo = jV

2. ) a)  3'5 = 3 t %-  = 3|. b)  18■ 75 = =  18|.

3. ) Pretvori še sledeče decimalne ulomke 0‘4, O - 025, O - 336, 6'48,

36'15, 10'064, 58'0256, 233‘1225 na navadne ulomke.

2. ) Recimo, da nam je pretvoriti na navaden ulomek čisto
perijodičen (rein periodisch) decimalen ulomek, t. j. tak, ki
nima pred perijodo nikakeršnih decimalk, n. pr. 0'408. Ako mno¬
žimo ta brezkončni decimalni ulomek 0'408408408 ... s 1000,
dobimo 408'408408 ...;  ako odštejemo sedaj od 1 OOOčernega ulomka
jednoterni ulomek, je ostanek brez decimalk; dobimo namreč:

lOOOčerni ulomek = 408'408408 ... 1 .

t  odstev.

lterm ulomek = 0'408408 ... J

999terni ulomek = 408,
tedaj jednoterni ulomek = |-||,
vsled tega je 0'408 = |||.

Cisto perijodičen decimalen ulomek pretvorimo
tedaj na navaden ulomek,  ako vzamemo perijodo za števec,
za imenovalec pa toliko 9, kolikor ima perijoda številk. N. pr.:

1. ) a)  0-3 = 4 = i- b)  0'63=||  = t V

2. ) a)  7'6  = 7f = 7|. b)  28'2418 = 28||if = -28flft.

108

Pretvori še sledeče perijodične decimalne ulomke na navadne
ulomke:

3. ) a)  0-5; b)  0'72; c)  3'42; d)  5'07;

4. ) a)  8'98; b)  0'504; c)  0'428; d)  2-936;

5. ) a)  17-422; b)  8'8460; c)  3-7329; d)  053846i.

3.) Ako treba pretvoriti na navaden ulomek nečisto perij o-

dičen (unrein, gemiscbt periodisch) decimalen ulomek, t. j. tak,

ki ima pred perijodo še druge decimalke, n. pr. 0.82345, množimo

brezkončni ulomek 0-82345345345... najprej s 100000 in potem s

100; ako odštejemo sedaj lOOterni ulomek od lOOOOOčernega ulomka,

je ostanek, 99900terni ulomek, brez decimalk, dobimo namreč:

lOOOOOčerni ulomek = 82345‘345345 ... I ,

i odstev.

lOOterni ulomek = 82 345345 ... I

99900terni ulomek = 82203,
in jednoterni ulomek = ffffjj-,

tedaj  je  0-82345 = 2  o s.

Števec tega navadnega ulomka dobili smo na ta način, da smo
odšteli od 82345 število 82, da smo vzeli tedaj pred perijodo stoječi
decimalki 82 s perijodo 345 vred za število in od tega števila 82345
odšteli pred perijodo stoječi decimalki 82. Imenovalec ima toliko 9,
kolikor ima perijoda številk, s toliko ničlami na desni, kolikor deci¬
malk je pred perijodo.

Iz tega sledi:

Nečisto perij odi čen decimalen ulomek pretvorimo
na navaden ulomek,  ako odštejemo število, obstoječe iz decimalk
pred perijodo, od števila, obstoječega iz decimalk pred perijodo in v
perijodi, ter to diferenco vzamemo za števec ulomku, čegar imeno¬
valec ima toliko 9, kolikor ima perijoda številk, s toliko ničlami na
desni, kolikor je pred perijodo decimalk. N. pr.:

1. ) 0-58 = -

2. ) 0 343 = -

3. ) 45-23713

^ ~~  =  53.

90 90 1

~ 3^  _ 3.0.9.

900 3  « 0

23713 — 23
45  99900

iO 3 .
3 0 0 1

A  A 23 0 90 —
^99900

/1^ 2 3 6  9
9 9 9 0*

Pretvori še sledeče nečiste perijodične decimalne ulomke na
navadne ulomke:

109

3. Seštevanje ulomkov.

§ 69.

5 devetin in 2 devetini je 7 devetin; ali

_5 2 —- _7

9 1  9 9*

Ulomke jednakili imenovalcev seštevamo, ako seštejemo
števce, skupni imenovalec pa pridržimo.

Ako imajo ulomki nejednake imenovalce, treba jih pretvoriti
na skupen imenovalec, a potem sešteti.

Naloge.

_ 4 _
1 5

1 .)

2 .) 2 S 0  +

3.)

5|

6|

«1

205

+ ii =

1  1 5

2.JL
1 5

_7_ _1_ • _9_ _L ±  3 =  9
2  0  1  2  0  1  2  0 ’

= l- 7 -.

X  1 5*

Ako seštejemo tu ulomke, dobimo
1  celoto pa prištejemo k celotam sumandov.

15
8

if;

ulomek - 7 - zapišemo,

4. ) 127/ ¥  + 244|| + 105 + 183ff + 17ff =?

5. ) Trgovec dobi i/. Hamburga 12| q  kave in 13| -q  sladorja; ko¬

liko q  skupaj ?

6. ) Nekdo ima 4 kose platna, kateri imajo posamič 47\, 48, 50 J-

in 51 A?«; koliko m  imajo vsi 4 kosi?

7. ) Imamo štiri števila; prvo je 8J, vsako sledeče pa je za 2:

večje od prejšnjega; kolika je vsota vsem?

8. ) Seštej ulomka | in f.

Pretvori ulomka na jednaka imenovalca; najin. sk. imeno-

15. ) 81 + 9f + 101 + 1411 + 12|i =?

16. ) 45 + 311 + f + 63| + 5711 =?

17. ) 35 t 5 ¥  + 48-75 + 10if + 18 + 7‘26  =?

18. ) 243§ + 315 t¥  + 268 T 4 ¥  + 523 T \ + 385 =?

110

19. ) 123444 + 3578ff + 808f4 + 2182fA =?

20. ) 34218f£ + 9835444 + 18072 444 + 40684 + 21790|fi =?

21. ) Ako položiš 4 deske, katere imajo lf,  2 T 3 „, 24, 2 f cm  debeline,

drugo na drugo, kolika je debelina vsem?

22 . ) Nekdo kupi 3j-, 5f in 6 A »n sukna; koliko skupaj?

23. ) Nekomu treba plačati 37f gld., 15 T 7 „ gld., 22 -|f gld., gld.

in 124 gld.; koliko skupaj ?

24. ) 128f marke, + 87-4 m. + 924 m . + 634 m . =?

25. ) Kmet pridela 484A/ pšenice, 404A/ reži, 65f/W ječmena in

82 ^hl  ovsa; koliko žita je pridelal?

26. ) 26|- cm  dolg, 12 ^ cm  širok in 744- cm  visok kamen obmeče se

na vseli straneh \ cm  debelo z malto; kolike so mu sedaj vse
tri razsežnosti?

27. ) Vodnjak polnijo tri cevi; prva ga napolni sama v 1  uri A,

druga v istem času 4, tretja 4 . Koliki del vodnjaka bo na¬
polnjen v jedni uri, ako teče voda iz vseli treh cevij?

28. ) Jedna sesalka more izplati vodo, katera je v nekem rudniku,

v 15, druga pa v 12 dneh; koliki del vode izpoljeta obedve

skupaj v jednem dnevi?

29. ) Nekdo ima pet sodov vina, držečih posamič 1844-, 171 ^ 164,

16 3 - in 1544 A/; koliko vina je v vseh sodih?

30. ) Kolika je vsota petim številom, ako je prvo 73144  j n  vsako

sledeče za 27f večje od prejšnjega?

31. ) Trgovee dobi šest sodov sladdrja; v sodu A ga je 145|- kg,  v

B  1464 kg,  v C  146f/«/, v D  1474 kg,  v E  148 2 9 0  ky , v F

150 t 4Ač/;  koliko sladdrja je v vseh sodih?

32. ) V trikotniku so stranice 2254, 173 | in 205f m ; kolik mu je obseg?

33. ) V peterokotniku znašajo koti posamič 65° 27|', 148° 51 T 4',

92° 32 3 ', 185° 294' in 47° 38,-4-'; kolika jim je vsota?

34. ) Neki posestnik ima 54 A« 8 §- a  njiv, 23 A« 58|a vinogradov,

50 A« 55 T 4 a  travnikov in 89 A« 74  a  gozda; koliko je vse
njegovo posestvo?

1 Odštevanje ulomkov.

§ 70.

7 osmin menj 5 osmin sta 2 osmini; ali

_ 7 _   5 _   2

8  8  8 *

Ulomke jednakih imenovalcev odštevamo, ako odšte¬
jemo števec, skupni imenovalec pa za imenovalec pridržimo.

111

Ulomke nejednakih imenovalcev treba najprej pretvoriti na
skupen imenovalec, potem pa odšteti.

Naloge.

.8  _ A = J* = J_

A V 9 9 9 3’

2. ) a)  it — - 5 _ =9 b)  3Jt — - 7 - —9

)  i 12 12 v n 16

3. ) a)  8| — 5 =? b)  21f — 15 =?

4. ) a)  37 t 7 t  - 10 T ~ = ? 127|| - 78* =?

5. ) 318/g - 209if = 108if = 108£.

Tu ne moremo ij odšteti od jj, , zato pomnožimo ~g  za  celoto = Ti¬
na ta način dobimo potem pa odštejemo j-i od j-j-. Ker smo pa

minuend za 1  celoto pomnožili, pomnožiti moramo tildi subtrahend za 1  ter
210 od 318 odšteti.

6. ) a)  57/* - 38/* = ? b)  4105* - 289/, = ?

7. ) 50 - 23f = 26f.

Tu prištevamo k ulomku v subtrahendu toliko, da dobimo 1 celoto, pri¬
šteti ulomek pa zapišemo takoj v ostanek; potem pomnožimo subtrahend za
1  celoto ter celote odštejemo.

8. ) a)  129 - 89 t \  =? b)  2000 - 1432|£ =?

9. ) Od ti hi  odproda se * hi ; koliko ostane še?

10. ) Od 36 m  platna odproda se 17f- m ; koliko ostane?

11. ) Neki delavec zgotovi prvi dan ji- svojega dela; koliko mora še

zgotoviti?

12. ) Nekdo prejme 228 T¥  gld., izda pa 150 T 7 ¥  gld.; koliko mu še

ostane ?

13. ) A  je 37 T¥  leta star, B  28/ ¥  leta; za koliko je A  starejši od B- a?

14. ) Odštej § od T¥ .

36

tš 3;

I 4

15

8

1 2

ostane

—  JL 5 .
3 6 1

= -g 8 ¥ . Ako pa odšteješ od

JLA

3 6?



1 uubljanaS

112

22. ) a)  329if- - 109if =? b)  705/„V “ 521ff£ =?

23. ) o; 7123||i - 6018|| =? b)  5936 T y* - 6811±ff =?

24. ) a) 704 -45 - 719|f = ? b)  918^ - 577 • 38 = ?

25. ) 623if + 308-1-J - 738f| = ?

26. ) 319ff - 183-lf - 104|l =?

27. ) Neki uradnik ima 871 gld. mesečne plače; koliko prihrani, ako

izda 74f- g'ld?

28. ) Cent sladorja se kupi za 55^- gid., proda pa za 61^ gld;

kolik je dobiček?

29. ) Za koliko postane ulomek T 7 ¥  večji ali manjši, ako

a)  prišteješ k števcu in imenovalcu 1,

b)  odšteješ od števca in imenovalca 1?

30. ) Za koliko je vsota 37-| + 13^ večja od razlike 67f — 19f?

31. ) Imamo sledeče ulomke: l, 1, 1, J,, J r ; za koliko je

vsota prvih dveh ulomkov manjša nego 1? — za koliko vsota
prvih treh, štirih petih, šestih ulomkov?

32. ) Trgovec je imel 23—^ kg  nekega blaga; sedaj ga ima le še 71 %kg\

koliko ga je odprodal?

33. ) Neko telo tehtalo je na samem zraku 17| kg,  pod vodo pa le

14| kg\  koliko svoje teže izgubilo je v vodi?

34. ) 5 pud. 19 T 5 g- fnt. (Ruska). — 2 pud. 3611 f n t. =?

35. ) Nekdo prejme 73 T ~ gld., 9J gld., 281 gld., izda pa 47-lf- gld.,

23j- gld., 31it- gld.; za koliko je prejel več nego izdal?

36. ) Sledečih kovin tehta 1 dm 3  v kg:  platine 22 T 9 ^, zlata 19^,

svinca lil,  srebra 101, bakra 8f; za koliko je 1 drrr  vsake
prejšnje teh kovin težji nego 1 dm. 3  vsake sledeče?

37. ) Tri vreče tehtajo z rižem vred 125§, 127 T 7 ^, 128-1 nemšk. fnt.;

prazne vreče tehtajo 8-1, 8|, 8|- fnt.; koliko riža je v vseh treh
vrečah?

38. ) Od 538 T 3 ff  gld. dolga odplača se po malem 86-1 gld., lOf gld.,

118— gld., 158fl gld.; kolik je ostali dolg?

39. ) Imamo štiri števila: prvo je 251, drugo za 8~ večje od prvega,

tretje za 12f- manjše od druzega, četrto je jednako razliki med
prvim in tretjim; kolika je vsota vsem štirim številom?

5. Množenje ulomka s celim številom.

§ 71 .

Ako vzamemo 5 šestin 7krat za sumand, dobimo 35 šestin; ali
I X 7 = y.

Ulomek množimo s celim številom,  ako števec s celim
številom množimo, imenovalec pa neizpremenjen pridržimo.

113

Ulomek moči je pa še na drag način s celim številom množiti.
Ako pustimo namreč v ulomku števec neizpremenjen, a od imeno¬
valca vzamemo le polovico, tretji, četrti del, dobili bomo dele, ki
so posamič 2-, 3-, 4krat toliki, ker je jednota na menj delov raz¬
deljena; dobili bomo tedaj isto toliko, toda 2-, 3-, 4krat tolike dele,
zato je tudi vrednost novega ulomka 2-, 3-, 4krat tolika kakor je
bila vrednost prejšnjega ulomka.

Ulomek množimo tedaj s celim številom tudi,  ako
imenovalec s celim številom delimo, števec pa neizpremenjen pu¬
stimo. N. pr.: 7  = =

12  d  12 : 3 4 4 '

Ta drugi način moči je očividno le tedaj uporabljati, kadar je
imenovalec danega ulomka deljiv s celim številom.

Naloge.

!.) a)  JL X 11 = S
2.) a)  | X 8 = 6.

88

5

K  J. S

0  1  5  *

b)  f:

II X 9 = v 3  = H-

8 7 - V b)  X 12 = 7.

Iz zadnjih dveli primerov sledi: Ulomek, množen s svoj
imenovalcem, da števec za produkt.

3. ) a)  f X 13 =? b)  f| X 5 =?

4. ) a)  If X 38 -? b)  t 2 t V X 337 =?

2

im

5.) X 12 - V/

012

“18

13

= 8f ; ali — X ,12

Ig

3

2_6 =  Q2
3  ° 3  *

Množitev lahko skrajšamo, kadar imata ulomkov imenovalec in pa celo
število skupno mero, deleč obadva pred množenjem z ono mero.

6. ) a)  X 14 ='? b)  || X 36 =?

7 . ) a) U  X 20 =?  b) flf  X 75 =?

8. ) Množi 5| s 7.

Na pamet: 7krat 5 celot je 35 celot; 7krat 3 četrtine je 21 četrtin, te
dado 5 celot in 1 četrtino; skupaj 40 celot in 1 četrtina.

Pismeno:

X '  Tu govorimo: 7krat | je , t. j. 5 celot in j-, 7krat 5 je
4 Q 1  35, in 5 je 40.

Ali: 5f X 7 = X 7 = 1 | 1  = 40A.

9.) a)  19| X 9 =? b)  18 T V X 11 =?

10 . ) a)  74f X 8 =? b)  19|f X 37 =?

11 . ) a)  53H x 35 b)  23|f X 45

x 5

X 9

267A|

-X 7

1875 T \

2114

--— X 5

1059f

Aritmetika.

8

114

12. ) 1 hi  velja 18| gld. ; koliko velja 8 hi?

13. ) Uradnik ima na dan 4| gld. plače ; koliko na mesec, koliko na leto?

14. ) Kolik je obseg kolesu, katero ima 48 zobcev, ako so ti po 4 ~cm

drug od druzega oddaljeni?

15. ) 1 q  velja 43-44 gld.; koliko velja

a)  7j? b)  25 2? c )  37 2?

16. ) Koliko stane 324 m' 1  stavbenega prostora, ako se plača m' 1  po

m  g id - ?

17. ) Koliko velja 45% po 20 kr.?

Na pamet: 20 kr. = 4 gld.; 45 ky  po 1 gld. velja gld. = 9 gld.

18. ) Koliko velja 36/, ako velja 1/ a)  10 kr., b)  20 kr., c)  25 kr.,

d)  50 kr.?

19. ) Koliko stane 36?« po 30 kr.?

Na pamet: 36 m  po 3 desetice = 108 desetic, t. j. 10 gld. 80 kr.

Pismeno : 36 m  po — gld. . . . -44^ gld. X 36 = =  10| gld.

ali 36 m  po 4- gld.9 gld.

po 2 V s ld — f f ? ld - = ilf §' ld - = 1 t 8

io| gid;

20. ) Koliko velja 127 dkg,  ako velja 1 dkg a)  15 kr., b)  24 kr.,

cj 35 kr., d)  60 kr., e)  75 kr.?

21. ) Avstrijski srebern goldinar telita ¥ 4-%i koliko telita a)  98 gld.,

b)  162 gld., c)  500 gld.?

22. ) Koliko velja 156 angl. sovereignov po 124 gld.?

23. ) Koliko čistega zlata je v šibiki, katera ima 7 % surove teže

(Rauhgewiclit), a T 7 /o°o čistine?

24. ) Koliko krajcarjev imajo f gld ?

Na pamet: 4 gld. je 25 kr., j- gld. so tedaj 3krat 25 kr., t. j. 75 kr.
Pismeno: X 100 = —j— —  75 kr.

25. ) Koliko krajcarjev ima

a)  | gld. ? b)  T V gld. ? c)  ff gld. ? d)  44 gld.? e) T \  gld. ?
f)  1 || gld.? g)  54f gld.? h)  37 t Vč  gld.?

26. ) Koliko ur je f dneva?

27. ) Koliko ur in minut je 44 dneva?

44 x  24 = V = l4 f ">'•

| X 60 = 40 min.,

tedaj 44 dneva = 14 ur 40 min.

28. ) Koliko dkg  in g  je

a)  1 b) kg ? c)  ff kg?

29. ) Koliko fenigov je

a)  f marke? b)  if marke? c)  -|4 marke?

115

30. ) Za koliko je produkt 315§f x  20 večji od produkta 157 Af X 36?

31. ) a)  915^ X 63 =? b)  1257f^ X 48 = ?

32. ) a)  3214|f X 18 =? b)  4150 ¥ 4 5 6 7 8 ¥  X 55 =?

33. ) a)  8019|f| X 235 =? b)  62471ff X 913 =?

34.) a)  7593iff X 2064 =?

b)  3089fff X 5317 =?

35.) Ruski sreb. rubelj velja 1 gld. 61-ff kr. avstr. vr.; koliko v avstr,
vr. so a)  204 rublji? b)  793 rubljev? c)  2495 rubljev?

6. Deljenje ulomka s celim številom.

§ 72.

Ako razdelimo 8 devetin na 4 jednake dele, ima jeden del

2 devetini; ali:

8 - 4=2
9 ' * 9'

Ulomek delimo s celim številom, ako števec s celim
številom delimo, imenovalec pa neizpremenjen pridržimo.

A na ta način ni moči deliti, kadar števec danega ulomka ni
deljiv s celim številom. V tem slučaji treba deliti na drug način.

Ako pustimo v ulomku števec neizpremenjen, imenovalec pa
vzamemo 2-, 3-, 4krat tolik, dobimo isto toliko, a 2-, 3-, 4krat manjše
dele, tedaj je novi ulomek 2-, 3-, 4krat manjši od prejšnjega. Da
dobimo tedaj drugi, tretji, četrti del ulomka, treba mu lo imenovalec
2-, 3-, 4krat povečati.

Ulomek delimo tedaj s celim številom tudi, ako pu¬
stimo števec neizpremenjen, imenovalec pa s celim številom mno¬
žimo. N. pr.:

Naloge.

3 • 4 = —_—
5  5x4

_3_

20 *

1.) a)  2
2 -) a)  |

3.) a)  A

= _A_

1 1 *
• Q = _7_

. O  2  7  •

2 . Q
25 * °

b) $  : 3 =?
b)  Af :2=?
b)  Af : 8=?

c)  A
c) n
4 n

:  4 = ?

: 8  =?

: 12  =?

8  = 2 olj . 1-9 = 2

T8 0  451  d11  15 • 4 5-

b)

: 14 =?

7 3
4 O

4. ) 4L : 12

5. ) a)  Af : 20 = ?

6. ) 9f : 5 = Iff, ali 9* : 5 = 7 /

Pri prvem delitvenem načinu pravimo: 5t.i del od 9 je 1, ostane 4;
4 celote dado 3 ¥ 2  in A je 3 / • 5ti del od 3 / je ~ f .

7. ) a)  12f : 3 =? b)  17f : 5 =? c)  59/f :  8 =?

8. ) a )  tVs : 13 =? b )  jm? : 294  = ? c)  307f : 9 = ?

9. ) a)  342 t 9 t  : 23 =? b)  408f£ : 36 =? c)  1346|f : 31 =?

—  1 3.!*
A 40'

8 *

116

10 .) 9 m  velja 384 gld.; koliko velja Im?

11. ) Nekdo kuj)i 1 tucat srajc za 35| gld; koliko ga stane 1 srajca?

12. ) Lokomotiva preteče v 4 urah 121| km. ; koliko v jedni minuti?

13. ) 1 hi  velja a)  47f gld., b)  28 T 7 ¥  gld., c)  32 T 3 „ gld.; koliko velja

v vsakem slučaji 25/?

14. ) Trgovec plača 1 q  kave po a)  1464 gld., b)  152— gld.,

c)  16844 gld.; koliko ga stane kg?

15. ) a)  517-1 : 36 b)  6804^ : 28

-: 6  - : 7

86H

972 t V

4

144«4 943 JL

14: 2  8  8

16. ) a)  1907^ : 56 =? b)  9248| : 45 =?

17. ) a)  24135-& : 18 =? b)  21372f 7  : 72 =?

18. ) Koliki del jedne ure je f minute?

A ; 0Q = —--— —  —)■—  ure

6 360 72 °

19. ) Koliko let je 5 mesecev 20 dnij?

20 : 30 = ~; 20 dnij je tedaj A me s.

5A : 12 = 41.; zatorej 5 mes. 20 dnij = Ai leta.

20. ) Koliko dnij je 33 ur 45 minut?

21. ) Koliki del m ' 2  je 25 dm? 1  32 mm"?

22. ) Koliko goldinarjev je 18 gld. 184- kr.?

23. ) Ako velja 1 hi  18 gld., koliko hi  dobiš za 499-4 gld.?

24. ) 25 M  reži velja 154 gld. 124  kr.; koliko stane 1  lil?

25. ) Seštej 5ti, 6ti in 8mi del od 143f.

26. ) Kolika je razlika med 8mim in 9im delom od 52844-?

27. ) Ako stane 5q  nekega blaga 168 T ~- gld., koliko stane 9 q?

5 q  stane 168^ gld.

1 , » 168 T V gld. : 6 = 33|4 gld.

9 » * 33|- 7  gld.x9 = 303ff gld.

28. ) 13 m  sukna velja 68-44 gld.; koliko velja 35 m?

29. ) V neki hiši potrošijo vsake 4 dni 13 gld. 724 kr.; koliko

a)  v 7 dneh? b)  v 30 dneh? c)  v 365 dneh?

30. ) Neko posestvo je neslo v 5 letih posamič 1527 T 3 ff gld., 18504 gld.,

1607| gld., 2007-44 gld., 1883| gld.; koliko je neslo poprek
na leto?

31. ) Nekdo zmeša 24 lil  pšenice po 8f gld. in 26 lil  po 94 gld.;

pri prodaji hoče lOti del cene dobička imeti; kolik je dobiček
in po čem mora hi  zmešane pšenice prodati?

117

7. Množenje z ulomkom.

§ 7 3.

Vzemimo, da treba n. pr. 5 s f množiti. Tu bi bilo treba,
oziraje se na ono, kar smo v § 19 o množitvi povedali, število 5
fkrat za sumand vzeti, to pa očividno nima nikakega smisla. Treba
torej pojem, katerega smo za množenje celili števil prej ustanovili,
tako razširiti, da se bode dal porabiti tudi za ulomke.

Da množimo 5 s 3, treba vzeti 5 3krat za sumand; da pa
množimo 5 s 4tim delom od 3, vzeli bodemo 3krat za sumand ne
števila 3 samega, nego njega 4ti del; tedaj

nv s = s X 5 o. 5 = 5 v h = L 5

0 A  4 4  ' 4  ' 4  4 A 0  4 •

Število z ulomkom množiti  se tedaj pravi, število deliti
z imenovalcem ulomkovim, kvocijent pa množiti s števcem.

Pri pismenem računanji množimo navadno najprej s števcem, potem še le
delimo z imenovalcem.

Naloge praktičnega življenja same kažejo, da nam je na ta
način razširiti pojem množitvi. Da v obče iz zneska jednote naj¬
demo znesek istovrstne množine, treba da množimo znesek jednote s
številom, izraževajočim množino. Ako velja n. pr. 1 m  5 gld., veljajo
| m  5 gld. X |. Pomen tega produkta razviden je iz rešitve te na¬
loge ; imamo namreč:

1 m  velja 5 gld.;

\m  velja 4ti del od 5 gld., tedaj £ gld.;

£wt veljajo 3krat toliko, kolikor jiit, tedaj £ gld. X 3;
zato je 5 gld. X £ = £ gld. X 3.

Ako treba množiti ulomek z ulomkom, n. pr. § s dobimo
po prejšnjem izreku

3 w  7 3

~d X  8 ~  5 x 8

X 7

3 X 7
5x8’

t. j. produkt dveb ulomkov  je ulomek, čegar števec je produkt
števcev, in čegar imenovalec je produkt imenovalcev danih ulomkov.

Da dokažemo pravost tudi tega izreka na praktičnem primeru,
hočemo rešiti to-le nalogo: 1 kg  velja f gld., koliko velja | kg  ? Tu
treba množiti f gld. s Prav jednostavno umujoč dobimo:

3

A kg  velja 8mi del od f gld., tedaj . ^ ^  gld.;

.3x7

ikg  velja 7krat toliko, kolikor \kg,  tedaj ^ gld.;

* * o  X o

zatorej f gld. X f = gld.

118

§ 74.

Naloge.

1. ) a)  12 X | = 2 X 5 = 10. 6; 10 x | = =y> = 6 |

2. ) a)  24 X i =? 6) 27 X f =?

3. ) a) 157 X f =? j; 3245 X if =?

4. ) a)  613 X | = = 3831

ali ker je | = | + l = | + i

613 X | b)  938 X f =?

306-1..! -  cj 2159 X = ?

76f...i = i od i d)  35-635 X f = ?

383-1.

5. ) Koliko veljajo 1 1,  ako velja 1/ 72 kr.?

Koliko velja 1 /, koliko veljajo tedaj jj 11

6. ) Nekdo kupi § kg, kg  po 64 kr.; koliko treba mu za to plačati ?

7. ) 7 X 6| = 7 X 3 / = i|8 = 47f,

ali neposredno 7 X 6| = 47f.

Drugič množili smo tako-le: 7 X f = 2 ¥ 8  = 5|-; 1 zapišemo, 5 celot
pa prištejemo k produktu celot; 6krat 7 je 42, in 5 je 47.

8. ) a)  18 X 7| =?

9. ) Množi 209 z 8f.

b)  15 X 9f

Zarad 8f-

8 + 1 + i ali 8| = 9

l dobimo

209 X 8f

ali

1672 . ..
1041..

209 X 8f

menj

1881... 9

b2i

1828f

1828f

10. ) a)  1905 X 9| =?

11. ) a)  1532 X 57 t 7 „ =?

12. ) a)  3068 X 609if =?

13. ) a)

14. ) A X T

X 5 =11

7 6 6'

b)  3156 X 24 § =?
b)  1234 X 28| =?
b)  6942 X 35611 =?
b)  T V X i = m

_5J t_  = ±4 „l;
1 8 0 4 5 0,11

15

X

_ 1_±

Ig 4  5'

3

Ako imata števec jednega in imenovalec druzega ulomka skupno mero,
okrajšata se pred množitvijo s to mero.

15. ) a)  | X if = ? b)  |5 x  | =?

16. ) 4f Xi='°

19 A

4 O

_ 19 —
5

17.) 31 X 6| = | X

2_0

3

7_0

3

H-

:  231

119

18.)

19. )

20 . )
21 .)
22 .)

23. )

24. )

25. )

a)  8| X | = ?
a)  7f X 3i =?
a)  3-1416 X 2i =?
a)  39f X 0-0892 = ?
Koliko velja !\ m 3  drv

b)  25| X T l- = ?
b)  12| X 9| = ?
b)  25-093 X 12-| = ?
b)  10447 x 35-662 = ?

po

42

gld.?

7» J .7krat 4-| gld. = 301- gld.

polovico od 4f »

H

Koliko velja 9 -|hi  vina po 22f gld.?
hi  pšenice velja 9 T ^ 0 ~ gld.; koliko velja

33 gld.

4

5 >

a)

a)  355f X -|

b) H,

5

X 4

C)  17 |,

1423

284|

: 5

d)  86 t 7 i A/?
b)

21874 X 8|
X 2

4374f

: 3

1458 | v .|
17498f.. .8

18956|.

29. ) 57 M  28i l  x 29f =?

30. ) Za koliko je produkt ulomkov | in f manjši nego vsak po¬

samezen faktor?

31. ) Za koliko je produkt ulomkov 4, j, f in 4 manjši od njih vsote?

32. ) Nekdo je podedoval 4 stričevega premoženja ter ga prepustil

| svojemu sinu; koliko mu je še ostalo?

33. ) Za 5 gld. dobiš | m 3 ,  koliko dobiš za 44 gld.?

34. ) Obod krogu je 34krat, natančnejše 444krat tolik kakor polumer :

a)  kolik je za vsak teh podatkov obod krogu, čegar premer
ima 4 m  7 dm ; b)  kolika je razlika obeh rezultatov?

35. ) Med tri osebe je razdeliti 3854 gld. tako, da dobi A  4 i _ )  B  4

in C  ostanek; koliko dobi vsaka oseba?

36. ) B  ima 24-krat toliko denarja kakor A, C  1 ikrat toliko kakor

B, D  pa le 3 krat toliko kolikor B ; ako ima A  45| gld., koliko
ima a)  vsak izmed ostalih, b)  koliko imajo vsi skupaj?

120

37. ) S s]ad6rjem napolnjen zaboj tehta 153§ kg,  zaboj sam pa 24J%;

koliko sladorja je v zaboji in koliko je vreden, ako se računa
k 9  P° /o g ld -?

38. ) Sreberna šibika tehta 12f% in ima 644-4 tisočin čistine; koliko

ima čistega srebra?

39. ) Vrt je 27f m  dolg in 20 m  širok; kolika mu je ploščina?

40. ) Cetverooglata posoda je 9f- dm  dolga, 6f dtn  široka in 54 dm  glo¬

boka; koliko dm 3  drži?

41. ) Obsekan hlod je 7f m  dolg, T 9 5 ?w širok in 4»t debel; koliko

je vreden, ako se računa m :t  po 54 gld. ?

42. ) Kolika je teža 12 četverorobovnim železnim drogom, kateri so

po 3-4 m  dolgi, m  široki in m  debeli, ako tehta m 3  železa
77944%?

8. Deljenje z ulomkom.

§ 75.

Tu treba je pred vsem ustanoviti pojem take delitve. Ako nam
je deliti n. pr. 15 s -§-, moremo delitev brez vsake ovire smatrati za
merjenje, in potem nam je preiskava ti, kolikokrat je -§- v 15 ; nikakor
pa si tu ne moremo misliti deljenja v besede navadnem pomenu,
kajti tirjatev, 15 na f jednakih delov razdeliti, nima nobednega
pomena. V tem slučaji treba tedaj pojem deljenja predrugačiti.

Ako razdelimo n. pr. 15 na 5 jednakih delov, dati mora dobljeni
del 3, 5krat vzet, 15; 15 na 5 jednakih delov razdeliti in
jeden tak del vzeti, ni nič druzega kakor: iskati števila, katero
da, Škrat vzeto,  15. Ako treba 15 s f deliti,  pač ne moremo
reči, da nam je 15 na ■£ jednakih delov razdeliti, vender pa: da
treba iskati števila, katero -krat vzeto, t. j. katerega
61i del, 5krat vzet,  da  15. V tem smislu moremo smatrati
tudi delitev z ulomkom za deljenje.

Kadar je divizor ulomek, moči je delitev izvršiti na različen
način. Jako jednostaven je račun merjenja.

Kolikokrat sta f v 8? —Ako  pretvorimo 8 na tretjine, dobimo ;
2 tretjini stav  2 ^ 4  tolikokrat, kolikorkrat je 2 v 24, tedaj 12krat; zatorej
8 : | = V : | = 24 : 2 = 12.

Kolikokrat je 4 v  s ? — Ako naredimo ulomka istoimenska,
dobimo in f |; 8 štiridesetin je v 25 štiri desetinah tolikokrat,
kolikorkrat je 8 v 25, tedaj 34krat; ali

121

Da delimo tedaj število z ulomkom, treba le dividend in di-
vizor pretvoriti na isti imenovalec in potem samo števca deliti.

A to postopanje se ne da uporabljati, kadar je račun deljenje.

Vzemimo, da nam je 2 gld. s §• deliti, t. j. števila iskati, katero
fkrat vzeto, ali katerega 4ti del 3krat vzet, da 2 gld. Število, ka¬
tero da 3krat vzeto 2 gld., je tretji del od 2 gld., tedaj |- gld.;
število pa, od katerega da že 4ti del 3krat vzet 2 gld., mora 4krat
toliko biti kakor f gld., tedaj | gld. X 4. Tedaj dasta 2 gld., deljena
s f-, 4krat 3tji del od 2 gld.; ali

2 gld. : f = f gld. X 4.

Število delimo tedaj z ulomkom, ako je s števcem
delimo, a kvocijent z imenovalcem množimo.

Na ta delitven način moči je reševati tudi naloge, ki zahtevajo
merjenje. N. pr.: Kolikokrat sta f v f? f sta oti del od 2, tedaj
sta f v A 5krat tolikokrat, kolikorkrat 2 v f.  Da tedaj izvemo, ko¬
likokrat sta | v f,  treba najprej poiskati, kolikokrat je 2 v f, in
dobljeni kvocijent 5krat vzeti. Tedaj je

A : : 2) X 5 = f X 5 = V = lf .

Ravnokar uporabljeno pravilo kaže, kako nam mehanično po¬
stopati, da delimo število z ulomkom.

Imamo: s ■ s = » y J

° • i  3

X 4

6x4

7x3"" 7x3'

Po pravilih za množitev ulomkov dobimo pa tudi

5 X | = | X 4,

5 x A

7  8

5x4
7 X 3'

Tedaj je:

5 : f = 5 X A,

A • A = A X A
7*4  73 *

Delitev z ulomkom izpremenimo tedaj lahko v množitev z
obrnenim ulomkom in reči moremo:

Število delimo z ulomkom, ako je množimo z obr¬
nenim ulomkom.

A to mehanično postopanje pri delitvi uporabljajo naj začetniki

le i

i z i m o m a.

§ 76 -

Kadar je v dividendu ali v divizorji ali v obeh ob jednem
produkt iz več ulomkov, moremo množitev in delitev ulomkov ob
jednem na prav jednostaven način izvršiti, treba le, da uporabimo

122

izrek, da ostane kvocijent neizpremenjen, ako dividend in divizor z
istim številom množimo ali oba z istim številom delimo.

Vzemimo, da nam je deliti n. pr. | X | z j-S-.  Imamo

0.3.11

A A

8 ' 4

10
T l

_

64’

8 4.10
2

Tu množimo najprej dividend in divizor z 8; na ta način
odpade v dividendu imenovalec 8, zato pa pride kakor faktor v
divizor. Takisto spravimo, množeč s 4, dividendov imenovalec 4
kakor faktor v divizor in, množeč z 11, divizorjev imenovalec 11
kakor faktor v dividend. Na ta način dobljeni ulomek j' ^ “  okraj¬
šamo potem s 5.

Ako so faktorji mešana števila, pretvorijo se na neprave
ulomke. N. pr.:

03 7

°4 • 1 o

j<

9

Takisto dobimo

5-1-9-

3

10.7.9

4.10.8

2

3 2

17.0.38.4.6

4.3 s
^4  ' 6

1_8 9 _ t)AX-
64 “64'

2.AAA  _ C) 7 A A

2 5 °  2 5 *

3.5.10.5

Pri takih računih treba je tedaj tako-le postopati:

1. ) Mešana števila pretvori na neprave ulomke, števce pusti
tam, kjer bi morali stati ulomki, imenovalce pa prenesi za faktorje
iz dividenda v divizor in iz divizorja v dividend.

2. ) Števila v dividendu in divizorji okrajšaj, ako mogoče.

3. ) Množi v dividendu in divizorji ostale faktorje, potem pa
deli prvi produkt z drugim.

Tu zapišeš tudi lahko faktorje dividendove na desno, a divi-
zorjeve na levo stran po konci stoječe črte jednega pod druzega
in potem postopaš kakor prej.

Ako treba n. pr. 5|.8f.7 deliti z 2-|. lljg, pišemo

To postopanje imenujemo navadno računanje ob črti
(Strichmethode).

123

Naloge.

1.) Kolikokrat so f v 12?

§ 77.

1  9  • 3  =  4  8
• 4  4

f = 48

a.;

3.:

«; 85: t V=?

3 = 16.

b)  328 : | =? e) 504 : | =?

Koliko velja 1 m,  ako stanejo f m  36 kr. ?

-j- )« velja tretji del od 36 kr., t. j. 12 kr.; 1 m  velja 4krat toliko, kolikor
j- m,  tedaj 4krat 12 kr., t. j. 48 kr.

kg  velja 75 kr.; koliko velja 1 kg ?

b)  i • s = *  • s = ii.

JI • JL = 9
v 12 I 18

= ?

4. ) f

5. ) aj 5 : 3| = V

6. ) o; I : i =?

7. ) 18f :f=?

1_1  — 1  _ 4 _

3  x ll m

3

1 O

3f

_ 3 _

1 O

8 .)

9.) a) T \

10.) a)  27-5388 : f
-X 3

17

S

3X3

a =9
8

*0 2

W H .

b)  0-92407 :

b)  510f
17 = - 3 -

- 1  1  34 '

= ?

i?

c; 91 : A = ?

c)  0-01935 : 1 -?

82-6164

12 .)

13.

41-3082

11 .) yo'M  velja 18i gld.; koliko velja 1 hi?

tV hi  velja 18i gld. : 7 = 2| gld.

1 M  velja 2f gld. X 10 = 26 gld.

f m  veljajo 121 marke; koliko velja I m?

Od katerega števila znaša f natanko 100?

14. ) Sel prehodi v 1 uri •§• milje; v koliko urah prehodi 30 milj?

15. ) Nekdo potrebuje na dan gld.; koliko dnij bo izhajal z 18 gld.?

16. ) Trgovec je imel pri prodaji nekega blaga 25f gld. dobička, in

sicer pri vsakem kg  A gld.; koliko kg  je prodal?

17. ) Avstro-ogerska država, obsezajoča 11306-36 zemljep. kvadratne

milje, je AV Evrope; koliko je torej površje Evrope?

18.) a)  128 gld. 76 kr. :

- X 4

515 gld. 4 kr.
- : 3

b)  257 m 2  25 \dm*  : 3|

171 gld. 68 kr.

257- 255 m-

771-765

• !_?

" 8
X 3

10

77-1765 m' 1

19. ) 102 km  157A« : 7f =?

20. ) Od katerega števila so f isto tolike, kolikeršna je | od 23|?

124

21.) a)  8392- : 2f = 8392! : 2 / b)  53702 : 2f = ?

- X 7 c )  13475-lf : 3f = ?

58746-!

-- : 20

2937|f.

22 . ) %

23. ) a)

24. ) a)

25 .) «;

7921H =
0-5358 :

_5 3^

8 ' 4  _9

10
1  3

iUJi — 9

14 0

9_7_ QJ1_L 2
J 10 • ou 2  ■  3  _ 9

'17! 3

0  ‘ 5 • 4

h ) 3474! 33  • 47- 6 - 9 - =9
7  J,l ’ 6 ! 6  ' ’'! 5 0

6; 92-73584 : 5f = ?


r.i_ 3  *4A Al
°2 • 4 • J 6 • °4  _ v

2 » 41.34

4 5

26. ) Glava sladorja tehta 91% in velja 5% gld.; po čem je kg?

27. ) Njiva, ki ima 2\ha,  proda se za 2520 gld.; koliko stane 1 ha?

28. ) 5 !q  velja 531 gld.; koliko velja 1 q?

29. ) Obod kroga ima 209 mm ; kolik mu je premer? (Glej § 30,

nal. 39.)

30. ) Kolo lokomotive ima 7f dm  v premeru; kolikokrat se zavrti

med vožnjo od Ljubljane do Trsta, ako je dolžina železni cesti
147% km ?

31. ) Sreberna šibika tehta 12§ kg  in ima 6%ly% čistega srebra;

koliko tisočin ima čistega srebra?

32. ) Posoda drži 4| l ; kolikokrat se more napolniti iz soda, ki drži

612f l?

33. ) Nekdo kupi za 25% gld. sladorja in kave, in sicer vsacega za

polovico vsote; koliko bo dobil sladorja in koliko kave, ako
velja 1 kg  sladorja -|| gld. in 1 kg  kave I j j gld. ?

34. ) Ako velja 3j q  nekega blaga 29f gld.; koliko treba plačati za

5 t? ?

Koliko velja 1 q,  — koliko velja torej 5-|g? — Ali: kolikokrat je 3! q
v 5| -q,  — kolikokrat 29|- gld. velja tedaj 5|- § ?

35. ) Ako velja 9j- m  20 gld. 62! kr., koliko m  boš kupil za 36 gld.?

36. ) (Jula bombaža tehta 148!%, cula sama pa 9§■%; koliko stane

1 q  bombaža, ako se je plačalo za celo culo 196% gld.?

37. ) Dva kosa platna imata skupaj 73 \m\  jeden kos ima 3! m  več

nego drugi in zato velja tudi 2j gld. več; koliko m  ima vsak
kos in koliko stane vsak?

38. ) Pot zemlje okoli solnca dolga je 129626823 zemljep. milj; ko¬

liko milj morala bi zemlja, vedno istomerno kretajoč, v 1 se¬
kundi preteči, ako vzamemo, da ima leto 365%- 9 - dneva?

125

9. Naloge za ponavljanje v računanji z navadnimi ulomki

§ 78.

1. ) Kolesu je obseg 4 j- m ; kolikokrat mora se zavrteti, da preteče

3 km 258-m?

2. )  Groblja ima 234 m ' ! ; koliko je še ostane, ako je odpeljejo 46

vozov po fjSl’?

3. ) 1 hi  vina velja 27 j gld.; koliko velja a)  oj, i) 10|, r) 12 T 7 T) ,

d)  25-44 hi?

4. ) Cent kave velja 165 T ~- gld.; koliko velja a)  7-4, b)  14j, c)  31§,

d)  86|f ? ?

5. ) Za 1 gld. dobiš j -m  blaga; koliko za gld. ?

6. ) } a  njive velja 2 j gld.; koliko velja a)  6 T 3 ¥ , b)  15- f 7 ,, cj 37 j,

d)  68|A «?

7. ) Nekdo kupi o hi  pšenice po 9^4-gld., 6 \hl  reži po 6f gld. in

15 j hi  ovsa po 3 t 7 q  gld.; koliko treba za vse plačati?

8. ) Nekdo kupi 374 m  platna po 6 m  za 2f gld.; na račun plača

8 t ~ gld.; koliko ostane še dolžan ?

9. ) Ako stane \m  3f gld., koliko stane 8f m ?

10. ) Njiva, katera ima 4 ha  37||rt, proda se za 6124 ji gld.; kupec

je prepusti 2\\\ha  po isti ceni svojemu sosedu; koliko mora
ta plačati?

11. ) Trgovec dobi štiri sode sladbrja, kateri tehtajo 179‘24%,

172 , 85%, 178 ‘ 52 kg  in 167‘75%; sodi sami tehtajo 22 • 25%,
21'5 %, 20’ 75 kg,  60‘6%; koliko stane slador, ako se računa
q  po 47| gld?

12. ) Trgovec proda na dan poprek 47 4% sladorja; koliko dni j bo

izhajal z 8064%?

13. ) Trgovec ima 1126 T 7 „% kave; koliko mu je še ostane, ako je

odproda 2524%, 87f%, 148%, 320f%?

14. ) Trgovec dobi 7 T 9 „ q  nekega blaga; koliko velja blago q  po

35| marke, ako je v oni teži vračunjena teža posode, katera
znaša 24 %?

15. ) Kaj je bolje, 8 ¥ 9 T % nekega blaga kupiti za 16| gld., ali pa

lOf % istega blaga za 22 T 7 2 gld. ?

16. ) Trgovec kupi 68 \m  blaga za 237 gld. 42 kr. ter proda m  po

4 gld. 24 kr.; koliko ima dobička?

17. ) Krčmar kupi oj/;/ vina po 204 gld. in 24 hi  po 27-jj gld.; oboje

vino zmeša ter prodaja / po 32 kr.; kolik mu je ves dobiček?

126

18. ) Nekdo kupi 45f m  po 4-| gld.; po čem mora 1 m  prodajati, da

dobi 27f gld.?

19 . ) Trgovec kupi 37 A m  sukna, m  po 3 gld. 80 kr.; po čem je

prodal m,  ako ima pri celem kosu 16 gld. 39 kr. dobička?

20. ) Trgovec kupi 643 \m  sukna po 9 T 7 „ gld. ter prodaja m  tako, da

ima dobička ~  kupne cene; po čem prodaja m,  in kolik je ves
dobiček ?

21. ) Za koliko se izpremeni ulomek f~|, a)  ako k števcu in imeno¬

valcu 8 prišteješ; b)  ako od števca in imenovalca 8 odšteješ?

22. ) Za koliko postane ulomek ffff večji ali manjši, ako izpustiš

na desni v števci in imenovalci a)  zadnjo, b)  zadnji dve številki?

23 . ) Petero otrok podedova 28304 gld. na jednake dele; najstarejši

doda svojemu deležu še 2527 T 3 o gld., da si kupi hišo; kolika
je cena hiši, ako potrebuje za nakup še 1111 pjj- gld.?

24 . ) Nekdo hoče hišo kupiti; gotovine ima 5450 gld., podeduje pa

3056 gld.; to dvoje znaša pa skupaj še le kupne cene i
kolika je kupna cena?

25 . ) 2952 gld. treba med štiri osebe tako razdeliti, da dobi A  i.

B C -J fl  in D  ostanek; koliko dobi vsaka oseba?

26 . ) Materi z 2 sinoma in 1 hčerjo treba razdeliti 12600 gld.; mati

dobi -jr, starejši sin T 4 g, mlajši sin \  in hči, kar ostane. Koliko
pride na vsako osebo?

27 . ) 847A gld. treba med 3 osebe tako razdeliti, da dobi A  3 dele,

B  4 isto tolike dele, C  5 takih delov; koliko dobi vsaka oseba?

28. ) Nekdo je volil f svoje gotovine sorodnikom, f ostanka siromašnici

in ostalih 225 gld. svoji ključarici; koliko je zapustil gotovine?

29 . ) Koliko stane kopanje 8 m  globokega vodnjaka, ako se plača za

kopanje prvega m  3f gld., a za vsak sledeč m  gld. več nego
za prejšnji?

30 . ) Izmed treh zidarjev naredi prvi v 3 urah 158 cb« 3 , drugi v 4

urah 205 <hn‘\  tretji v 6 urah 281 dm :t : a)  koliko dm :i  sezidajo
vsi skupaj v jedni uri, b)  v koliko dneh zgotove zid, ki ima
1708 dm 3 ,  ako delajo 12 ur na dan?

31 . ) V sod, ki drži 56/, teče voda iz dveh cevij; prva sama napolni

sod v 16 minutah; druga v 14 minutah; a)  koliko vode da
vsaka cev v 1 minuti, b)  v koliko minutah bode sod poln, ako
teče voda ob jednem iz obeh cevij ?

127

32. ) Jedna cev napolni vodnjak v 3, druga v 4 urah; a)  koliki del

vodnjaka napolni vsaka cev v 1 uri; b)  v koliko urah bo
vodnjak poln, ako sta obe cevi oh jednem odprti?

33. ) Vodnjak napolni jedna cev v 4-1, druga v ure, tretja pa

ga izprazni v 134 ure; v koliko urah bo prazni vodnjak poln,
ako so vse tri cevi ob jednem odprte?

34. ) Prebivalstvo nekega mesta pomnožilo se je v dveh letih zapo¬

redoma, in sicer vsako leto za onega števila, kar ga je
tedaj bilo, ter znaša na konci druzega leta 8405; koliko je
bilo pred dvema letoma?

35. ) Kmet vseje 14ti del pridelanega žita ter nažanje drugo leto

16fkrat toliko, kolikor je vsejal, namreč 336/«/; koliko je
pridelal prejšnje leto?

36. ) Im 3  gašenega apna in 2 m 3  peska da 2f m 3  malte; koliko

apna in koliko peska je treba za 100»« 3  malte?

37. ) Iz soda, ki drži 32j- hi,  napolnijo se trije manjši sodi; izmed

teh drži prvi 7|, drugi 6f, tretji 6-/ s  hl\  koliko vina ostane
še v velikem sodu?

38. ) Štiri glave sladorja tehtajo posamič 9 kg l\dkg,  9 kg  5f dkg,

9 kg  8 Y„dkg  in 10 kg  1 \dkg\  koliko tehta poprek 1 glava?

39. ) Koliko m 3  sena je na vozu, ki tehta 1120 kg,  ako tehta im 3

sena 114 2  kg  ?

40. ) 11 cm  dolga prema razdeli se na 10 jednakih delov, za koliko

je vsak tak del večji od 1 cm  ?

41. ) Zemljepisna širina Dunaja je 48° 1 2 r 7 -', Kima 41° 53~ (l '; za

koliko stopinj in minut je Dunaj severnejši od Kima?

42. ) Stuttgart ima 6° 50f-', Budim 16 n  4244' vzhodne dolžine (od

Pariza); a)  kolika je razlika dolžin teh dveh mest; h)  koliko
je ura v Stuttgartu, kadar je v Budimu 3 in 1 of min. po-
poludne? (§ 50, nal. 14.)

43. ) Ako je krogov premer 1 m , potem mu je obod 2 T 2  m  ali na¬

tančnejše ff§m,  ali še natančnejše 3 • 11159265 m  ; za koliko
m  razlikuje se vsak izmed prvih dveh ulomkov od zadnjega
decimalnega ulomka?

Obadva navadna ulomka treba pretvoriti na decimalna ulomka z 8 deci¬
malkami.

44. ) Krogu je premer a)  5-4),- m, b)  3 m c) lm  5 d m  11 cm ;

kolik mu je obod?

128

45. ) Obod krogu je a) b\dm, b) 2 m  32 ^cm\  kolik mu je premer?

46. ) Nekdo proda 3o m  dolg in 17| m  širok vrt; koliko dobi zanj,

ako se mu plača a  po 164 gld. ?

47. ) 1634 m dolgo in b\ m  široko cesto so pomostili; po čem so

računali m*,  ako stane vse delo 1438 f gld.?

48. ) Zaboj je I^jh  dolg, 1 -§»» širok in \\rn  visok; kolika mu je

prostornina ?

49. ) Hrastov hlod je 34|- dm  dolg, 9~ dni  širok in ravno toliko debel;

po čem se računa dm 3 ,  če velja celi hlod 5 7 A gld.?

50. ) Kolik je tlak 18f m  dolzega, §širocega  in 121 w visocega

zida, ako tehta lm 3  zida 1260 &<??

51. ) Koliko kg  telita plošča iz litega železa, katera je 2 m  1 j-dm

dolga, 6 \dm  široka in 1 f dm  debela, ako telita 1 dm 3  litega
železa 7 \kg c !

52. ) Zlata posoda tehta 3 \kg  in ima čistine 7674-| tisočine; koliko

čistega zlata je v njej?

53. ) Koliko je vredno 2 \kg  zlata, ako ima 720 tisočin čistine in

se računa kg  čistega zlata po 1395 gld.?

54. ) Dvanajst srebernili žlic, z 843f- tisočine čistine, telita 504^^; ko¬

lika je vrednost srebra, ako se računa 1 kg  čistega srebra po 90f gld.?

55. ) Cena knjigi, ki se je na svetlo dala v Lipskem, je tri marke

75 fenig.; koliko velja ta knjiga v avstr, vr., ako je 100 mark =
= 57f gld. avst. vr.?

56. ) Nekdo kupi 18 kosov blaga iz merinje volne, kos po 174»»

in m  po lf lire; koliko gld. av. vr. treba mu za to plačati,
ako je 100 lir = 46f gld. avstr, vr.?

57. ) Za železnico je naročenih na Angleškem 54000 q  šin, in sicer

tona z 10 q  po 3f fnt. sterl.; koliko gld. avstr. vr. bo treba
zanje plačati, ako je 10 fnt. sterl. = 118'4 gld. avstr, vr.?

58. ) V avstrijskih srebernili goldinarjih je 9 delov čistega srebra in

1 del bakra. Ako je tedaj v 45 gld. pol kg  čistega srebra,

a)  kolika je teža 45 goldinarjem? b)  kolika je teža jednemu gol¬
dinarju? c j koliko gld. tehta 1 kg'} d)  kolika je teža 1000 gld.?

59. ) Iz jedne kolonjske marke zlata, katera ima 23f karata čistine,

kuje se 67 ces. zlatnikov (cekinov); a)  kolik je robelj v gramih?

b)  koliko zrno? c)  kolika sreberna vrednost v avstr, vr., z ozi¬
rom na to, da je bila po postavi določena vrednost jednemu
zlatniku 44 gld. konv. vr. ?

129

60. ) Koliko zlatnikov po štiri goldinarje moči je skovati iz 17 ^kg

zlata, ako mu je čistina 720 tisočin in je v 1 takem zlatniku
2'90322 <7  čistega zlata?

61. ) V Angleški je že dolgo sem novčna jednota, funt sterling (livre

sterling), samo računsk novec. Od leta 1816. kuje se sovereign
kakor pravi zlati novec, po vrednosti jednak 1 fnt. sterl. So-
vereignu je teža 7 •98814$', a čistina 916 f tisočine; a)  koliko
mu je zrno, b)  kolika je njegova vrednost v avstr, zlatnikih po
osem goldinarjev, c)  kolika sreberna vrednost v avstr. vr., ako
se računa 1 zlatnik po osem goldinarjev po 8 ~  gld. v srebru ?

9

Aritmetika.

Peti oddelek.

Nauk o jednostavuib razmerjih in sorazmerjih.

I. Razmerja.

§ 79.

Delitev dveh števil v smislu merjenja (§ 31) preiskuje, koliko¬
krat je drugo število v prvem. V tem slučaji imenujemo kvocijent
obeh števil tudi razmerje (Verhaltnis) prvega števila proti drugemu.
Ako treba n. pr. 15 deliti s 5 v smislu merjenja, t. j. ako treba do¬
ločiti, kolikokrat je 5 v 15, izražuje kvocijent 15: 5 razmerje števila
15 proti 5, in tedaj ga čitamo: 15 se ima proti 5, ali: 15 in 5 sta
si, ali krajše: 15 proti 5. Dividend 15 imenujemo prednji člen
(Vorderglied), divizor 5 zadnji člen  (Hinterglied) in izračunani
kvocijent 3 eksponent  (Exponent) razmerja.

V vsakem razmerji sta člena ali oba neimenovana ali oba ime¬
novana; v drugem slučaji morata biti istovrstna, tedaj ja mora biti
moči pretvoriti na isto ime.

Iz teh pojasnil sledi:

1. ) Eksponent  razmerja je jednak prednjemu členu, deljenemu
z zadnjim členom.

2. ) Prednji člen  razmerja je jednak zadnjemu členu, množe¬
nemu z eksponentom.

3. ) Zadnji člen  razmerja je jednak prednjemu členu, delje¬
nemu z eksponentom.

§ 80.

Razmerja, katera imajo isti eksponent, imenujemo jednak  a
razmerja. Tako so 6:2, 9:3, 12:4,  36:12  jcdnaka razmerja,
ker imajo vsa isti eksponent 3.

Dve razmerji moreta biti jednaki, dasi tudi nista člena jednega
razmerja istovrstna s členoma druzega razmerja; n. pr. razmerje

131

10 m : bm  ima za eksponent 2, a tudi razmerje 18 gld. : 9 gld. ima
za eksponent 2; razmerji 10m : bm  in 18 gld. : 9 gld. sta zatorej
jednaki, če tudi izražujeta člena prvega razmerja drugačno vrsto
količin nego člena druzega razmerja.

Vsako razmerje med dvema istoimenskima številoma moči je
tedaj izraziti kakor čisto številno razmerje (reines Zahlenver-
haltnis). Očividno je, da znači razmerje 10 gld. : 5 gld. isto, kar
znači razmerje 10 : 5, ker imata obed ve isti eksponent 2.

Razmerje ostane dotle neizpremenjeno, dokler ostane njega
eksponent neizpremenjen.

Razmerja zatorej ne izpremenimo, ako oba člena z
istim številom množimo ali z istim številom delimo, ker
ostane kvocijent v obeh slučajih neizpremenjen. N. pr.:

36 : 12 36 : 12

36X 6 : 12 X 6 (36 : 6);: (12 : 6)

216 : 72 6:2

Razmerju izpremenimo tedaj obliko, ne pa kolikosti, ako mu
oba člena z istim številom množimo ali z istim številom delimo.

Množitve se poslužujemo tedaj, kadar hočemo v celih številih
izraziti razmerje, čegar člena sta ulomka; tu treba le obadva člena

Da damo razmerju najkrajšo obliko, treba je najprej
raziti v celih številih in potem, ako mogoče, okrajšati. N. pr.:
c . 2  A • in « • A* 8 S - • 4t

” • 3  8  ‘ 4*16  °4  *

18 : 2 5 : 80 12 : 15 \ 5  :

9:1 1 : 16 4:5 175 : 84

6

2JL

S

25 : 12.

§ 81.

Naloge.

1.) Poišči eksponent sledečih razmerij:

8 : 12, 12 : 18, 35 : 28, 28 : 35, 240 : 360, 1024 : 36.

9 *

132

2. ) Izrazi sledeča razmerja s celimi števili:

1.3 03 . 95 7 1.0 3 1 q_5__ •  1 7_ 7 _
2 • ~5> ^4 ■ °6>  'I ' ““lol iE, 16-- L, 12-

3. ) Okrajšaj sledeča razmerja:

57 : 18, 50 : 65, 72 : 56, 375 : 90.

4. ) Izrazi sledeča razmerja z najmanjšimi celimi števili:

294:  168, f| : T \, 3f : 9f, 19-8: 2-2.

5. ) Kako se ima 1 m  proti 1 din?

6. ) Povej razmerje med 5 m  in 2 dni.

7. ) Kako sta si dolžina in širina sobe, ako ima prva 12 m, druga

pa 8 m?

8. ) Povej razmerje med 5 krajcarji in jednim goldinarjem.

9. ) Kakšno je razmerje med hitrostjo minutnega kazalca in hitrostjo

kazalca, ki kaže ure?

10. ) Kanonska krogla preleti v jedni sekundi 228 m,  zvok 332m;

v kakšnem razmerji sta te dve hitrosti?

11. ) Jedna izmed dveh lokomotiv preteče v jedni minuti 120 m,

druga 140 m ; kako sta si njijini hitrosti?

12. ) Jedna izmed dveh lokomotiv preteče jedno miljo v 15 minutah,

druga v 20 minutah; kako se ima hitrost prve lokomotive
proti hitrosti druge?

13. ) Vozovlak preteče v jedni uri 4f- milje, jezdec 2 t 8 q  milje; kakšno

je razmerje med jezdečevo in vlakovo hitrostjo?

14. ) A  pride v treh urah tako daleč kakor B  v štirih urah; kako sta

si njiju hitrosti?

15. ) Razstoj med lediščem in vreliščem razdeljen je na Reaumurovih

toplomerih na 80", na Celsijevih na 100°; kako je tedaj raz¬
merje med 1 0  R in 1 0  C?

16. ) A  stori v 4 urah toliko, kolikor B v  5 urah; kako je razmerje

med njiju zaslužkom?

17. ) Jeden delavec dela 9 ur na dan, drugi 12 ur; v kakšnem raz¬

merji je njiju dovršeno delo, ako sta oba jednako pridna?

18. ) Cesta vzdigne se na lm  za 3 cm •  koliko je razmerje vzdiga?

19. ) 1 din 3  zlata tehta 19~ kg,  1 dni 3  srebra 10 kako sta si te

dve teži?

20. ) Zidan oblok ima 3 m  višine in 4 • 5 m  širine; koliko je razmerje

med višino in širino?

21. ) 1 hi  pšenice velja 8 gld. 90 kr., 1 hi  ječmena 5 gld. 40 kr.;

kakšno je razmerje med ceno pšenice in ječmena?

133

22. ) Izmed dveh koles, katerih zobci sezajo drug v druzega, ima

prvo 28, drugo 36 zobcev; kakšno je razmerje med hitrostjo
vrtenja prvega in druzega kolesa?

23. ) Vodnjak more se napolniti iz dveh cevij, in sicer ga napolni

prva v 2 urah 24 minutah, druga v 3 urah 18 minutah; kako
sta si množini vode, kateri iztečeta v istem času iz vsake teh
dveh cevij?

24. ) Prosto padajoče telo preteče v jedni sekundi 4 • 9 m , v dveh

sekundah 19'6»*, v treh sekundah 44'1»; kakšno je razmerje
med potom v prvi in drugi, prvi in tretji sekundi?

25. ) Najvišji vrh Himalaje v Aziji je 8601 m visok; kakšno je raz¬

merje med to višino in zemeljskim premerom ako ima ta 1719
zemljep. milj in jedna zemljep. milja 7419»«?

26. ) Njiva 20 a kupila se je za 240 gld., druga njiva 28« prodala

se je pa za 280 gld.; v kakšnem razmerji sta ceni za 1 a  teh
dveh njiv?

27. ) Sreberna vrednost avstr, zlatnikov po osem goldinarjev računa

se pri ces. blagajnicah po 8^ gld.; kakšno je tedaj razmerje
med zlatom in srebrom, ker se kuje iz 1 kg  zlata, ki ima ^
čistine, 155 zlatnikov po osem goldinarjev, a iz 1 kg  čistega
srebra 90 gld.?

28. ) V Francoski ima frank 4'5 g  čistega srebra; Napoleon d’or, ka¬

teri velja 20 frankov, tehta 6'4516 g  in ima t 9 q  čistega zlata;
v kakšnem razmerji sta tedaj vrednosti zlata in srebra?

§ 82.

Ako sestavimo od dveh količin, kateri treba drugo z drugo
primerjati, take dele, kateri so po vrednosti, ali veličini, ali teži
i. t. d. jednaki, imenujemo tako jednačenje jednačbo  (Gleichung);
n. pr. 14 kilogramov = 25 dunajsk. funt.

Vsako tako jednačbo moči je prevesti na obliko razmerja.
Ako je n. pr. 14 kg =  25 dun. fnt., je 1 leg  = ff dun. fnt.; ker je
pa 1 dun. fnt. = dun. fnt., ima se 1 kg  proti 1 dun. fnt. kakor
~  : j-A, t. j. kakor 25 : 14.

Da tedaj pretvorimo jednačbo med dvema imenova¬
nima številoma na razmerje,  treba števili tako premestiti, da
se nanaša večje število na količino večje vrednosti, a manjše na
menj vredno.

134

Obratno pa dobimo takoj jednačbo, ako premestimo števili,
izražajoči razmerje med dvema količinama.

Vzemimo n. pr., da sta si 1 l  in 1 dnn. bokal kakor 5 : 7,
potem ima 1 l  5 delov, 1 bokal pa 7; zatorej je = \  dun. bok.,
ali 1 l  = f  dun. bok. in 7 l =  5 bokalom.

Naloge.

1. ) 6 m —  19 dun. če vij.; kako se ima lm  proti 1 dun. čevlj.?

2. ) 100 gld. konv. den. = 105 gld. avstr. vr.; kakšno je razmerje

med 1 gld. konv. den. in 1 gld. avstr. vr. ?

3. ) 100 nemških državnih mark = 50 gld. avstr. vr. ; kako sta si

1 drž. marka in 1 gld. avstr. vr. ?

4. ) 100 zemljep. milj = 742 km-  kako sta si 1 zemljep.milja in 1 km?

5. ) 5 kg  surovega masla da 3 \kg  masla; v kakšnem razmerji sta

vrednosti surovega masla in masla?

6. ) 100% sena ima isto pično vrednost kakor 90 kg  detelje; v

kakšnem razmerji bi morali biti tedaj ceni za 100 kg  sena in
detelje?

7. ) Razmerje med 1 ha  in 1 dun. oralom je 61 : 45 ; pretvori to

razmerje v jednačbo.

8. ) 1 frank in 1 gld. avstr. vr. sta si kakor 81 : 200; izrazi to raz¬

merje z jednačbo.

9. ) Ceni za hi  pšenice in hi  reži sta si kakor 5:3;  pretvori raz¬

merje vrednostij v jednačbo.

II. Sorazmerja.

§ 83.

Jednačenje dveh jednakih razmerij imenujemo sorazmerje,
proporcijo  (Proportion). N. pr. jednaki razmerji 6 : 2 in 15 : 5 dasta
sorazmerje 6:2 = 15:5,  ali: katero čitamo tako-le: 6 se ima proti 2,
kakor se ima 15 proti 5, 6 in 2 sta si kakor 15 in 5, ali krajše:
6 proti 2, kakor 15 proti 5.

Vsako sorazmerje ima dve razmerji, tedaj štiri  člene, katere
imenujemo po vrsti od leve proti desni prvi, drugi, tretji, če¬
trti  člen. Prvi in četrti člen imenujemo tudi vnanja,  drugi in
tretji notranja  člena. V sorazmerji 6:2 = 15:5  je 6 prvi, 2 drugi,
15 tretji, 5 četrti člen; dalje sta 6 in 5 vnanja, 2 in 15 notranja
člena.

135

Sorazmerje more imeti tudi imenovana števila, treba le, da
imata obadva člena vsakega razmerja isto ime. N. pr.:

18 m : 3 m  = 12 m : 2 m.

&kg  : 2 kg  = 15gld.: 5 gld.

15gld.: 3 gld. = 25 : 5.

V prvem sorazmerji so členi obeb razmerij istovrstni, v drugem
sta člena prvega razmerja s členoma druzega raznovrstna, v tretjem
sta le člena prvega razmerja imenovani števili.

Ne le vsako razmerje, tudi vsako sorazmerje, v katerem so
imenovana števila, moči je izraziti kot čisto številno soraz¬
merje  (reine Zahlenproportion).

§ 84 .

V vsakem številnem sorazmerji je produkt vnanjih
členov jednak produktu notranjih členov.

Ako vzamemo katero koli sorazmerje, n. pr. 6 : 2 = 15 : 5 ter
nadomestimo vsak prednji člen s produktom iz zadnjega člena in
eksponenta 3, dobi sorazmerje to-le obliko: 2 X 3 : 2 = o X 3 ; 5,
iz katere je takdj razvidno, da imata obadva vnanja in obadva
notranja člena, množena drug z drugim, iste tri faktorje 2, 3 in 5,
da morata tedaj tudi obadva produkta jednaka biti; vsled tega je
res 6 X 5 = 2 X 15 = 30.

Ta izrek velja tudi za vsako drugo sorazmerje, v katerem
ima le jedno  razmerje imenovani, in sicer istoimenski števili.

Obratno pa morata biti dve razmerji 6:2 in 15 : 5 jednaki,
ako je produkt vnanjih členov jednak produktu notranjih členov,
zatorej se morata dati sestaviti v sorazmerje. Ako je namreč 6X5 =
= 2 X 15, mora biti tudi
6x5 2 x 15

2 X 5

2x5

ali

V) ali 6

2 = 15 : 5.

Znamenje za pravost številnega sorazmerja  tedaj ni
le jednakost eksponentov v obeh dveh razmerjih, nego tudi jednakost
produktov iz obeh dveh vnanjih in obeh dveh notranjih členov.

Ako se hočemo n. pr. prepričati o pravosti sorazmerja 7-| : 2\  —
— 2 \  : J. , treba, da poiščemo eksponenta obeh razmerij; 1\  : 2j ima
eksponent 3i, in 2| : f tudi eksponent 34; te dve razmerji tvorita
tedaj sorazmerje. A to slčdi tudi iz jednakost! produktov vnanjih in
notranjih členov; kajti x  | = 2i X 21 = 5f.

136

Preskusi tudi pravost sledečih postavkov:

1 . ) a)  12 : 3 = 27 : 7 ; b)  3f

2. ) a)  18 : 15 = 6 : 5; b)  6±-

8.) a)  6 : 2 = f : T %; b)  9 : 16 = 8

3 = llf

6 ;

llf =

n

14:

91 .

4.) 1

3f

2 = 3-3

b)  2 J- : 3| = 5 : 6|

§ 85.

Sorazmerju moremo izpremeniti obliko  na več načinov, in
vender ne neha biti pravo, ako ostane le eksponent obeh razmerij
neizpremenjen, ali pa produkt vnanjih členov jednak produktu no¬
tranjih členov.

1.) Ako zamenjamo v sorazmerji istovrstnih ali ne¬
imenovanih števil a)  vnanja člena med seboj, ali b)  no¬
tranja člena med seboj, ali c)  vnanja člena z notranjima
členoma, dobimo vsakikrat zopet pravo sorazmerje.

Vzemimo n. pr. sorazmerje.8 : 2 = 12 : 3

a)  Ako zamenjamo vnanja člena, dobimo soraz-

merje.3 : 2 = 12 : 8

b)  Ako zamenjamo v danem sorazmerji notranja

člena, imamo . 8:12=  2:  3

c)  Ako zamenjamo napdsled v danem soraz¬
merji vnanja člena z notranjima, dobimo . . 2 : 8 = 3 : 12.

Vsi ti postavki so prava sorazmerja, kajti v vseh je eksponent

prvega razmerja jednak eksponentu druzega.

Vnanja člena moreta se sploh v vsakem sorazmerji zamenjati
z notranjima.

2.) Ako množimo v katerem koli sorazmerji jeden
vnanji in jeden notranji člen z istim številom, dobimo
zopet sorazmerje.

Iz sorazmerja 8 : 24 = 12 : 36 sledi tudi:

Uporabljajoč ta izrek moremo vsako sorazmerje, v katerem so
ulomki, izraziti s celimi števili.  Na primer: iz sorazmerja
1 : f = 5 : x,  kjer je x  še neznan člen, slčdi, ako množimo prvi in
drugi člen s 4, 4 : 3 = 5 : x.

137

Izrazi sledeča sorazmerja s celimi števili:

1. ) a) x  : -| = 3 : 7, h) x  : 3 = 5 : f,

2. ) a)  li : * = | : 1, b) \  : f = f : x,

3. ) a) T \ :  5 T \ = x  • 11. a; : 2 ■ 3 = 5 • 35 : 0 ■ 8.

3.) Ako delimo v katerem koli sorazmerji jeden vnanji
in jeden notranji člen z istim številom, dobimo zopet so-
raz merj e.

Uporabljajoč ta izrek, moremo vsako sorazmerje, v katerem
imata jeden vnanji in jeden notranji člen skupno mero, z manj¬
šimi števili izraziti, t. j. okrajšati. N. pr.:

1.) x  : 20 = 3 : 25 2.) 12 : 30 = x  : 15

a: : 4 = 3 : 5. 2 : 5 = : 15.

2 : 1 = x  : 3.

Izrazi še ta-le sorazmerja z najmanjšimi celimi števili:

razmerij imenovana števila.

§ 86 .

Iz treh danih členov sorazmerja četrti še neznani člen najti,
pravi se sorazmerje razrešiti (Proportion auflosen).

Neznani člen sorazmerja zaznamenujemo s črko x,  ali tudi z y, z.

138

Sorazmerje moremo razrešiti, ako poiščemo eksponent znanega
razmerja ter z njegovo pomočjo določimo neznani člen druzega raz¬
merja. N. pr.:

30 : 5 = x  : 3.

Eksponent prvega razmerja je 6, tedaj mora biti tudi ekspo¬
nent druzega razmerja 6 in zato njega prednji člen x  = 3 X 6 = 18.
Sorazmerje je tedaj 30 : 5 = 18 : 3.

Številna sorazmerja razrešujemo najjednostavnejše po sledečih
dveh pravilih:

1.) Vnanji člen sorazmerja najdemo, ako množimo oba-
dva notranja člena med seboj ter ta produkt z znanim vnanjim
členom delimo.

Recimo n. pr., da nam treba razrešiti sorazmerje 8:5=  16 : x.
Produkt notranjih členov je 5 X 16 = 80, tedaj mora biti tudi pro¬
dukt vnanjih členov 80; jeden teh členov, tedaj jeden izmed obeh
faktorjev, je 8; da najdemo drugi faktor, treba le deliti produkt 80
z jednim faktorjem, namreč z znanim vnanjim členom 8; zatorej

x =  ^ ^ 16 ' = 8 s° =  10- Sorazmerje je tedaj 8:5= 16 : 10.

2.) Notranji člen sorazmerja najdemo,  ako množimo
vnanja člena med seboj in ta produkt z znanim notranjim delimo.

Ako treba n. pr. razrešiti sorazmerje 8 : x  = 24 : 9, dobimo
8 X 9 = 72 za produkt vnanjima členoma; zatorej mora biti tudi
produkt notranjih členov 72; tu treba tedaj iz produkta 72 dveh
števil in iz jednega teh dveh števil, namreč 24, druzega iskati, t. j. 72

s  24 deliti; zatorej x —  —— = — = 3, in sorazmerje je 8 : 3 = 24 : 9.

Te dve pravili veljata tudi za taka sorazmerja, v katerih sta
števili onega razmerja, ki ima neznani člen, imenovani, n. pr.:

x  gld.: 24 gld. = 5:6;  x  gld. = glt |: x  = 20 gld.

Naloge.

Razreši ta-le sorazmerja:

1. )- a)  3 : 4 = 5 : x.

2. ) n)  Ig : g7 = x  : 10

4 0 5

3

x  = 20 : 3 = 6f.

b)  3 : x  — 6 : 36.
b)  31 : 4 = 5f : z
7 2 23

A

x  = 46 : 7 = 6f

139

3. ) a)  63 : 21 — 45 : x.

4. ) a) 88 : x = 12 :  63.

5. ) a) x  : \  = 2\  : 3.

6. ) 5i : 7f = a; : 2\.

7. ) a; 14 : 4f = x  : 5|.

8. ) a) l$:x =  3ff : 4f

9. ) a) lOJl : * = 13— : 18*£

10. ) a)  243* : 317# = z : B6|f.

11. ) a)  2'5:0'5=x:0'4.

b)  77 : 56 — x  : 15.

6) a? : 15 = 165 : 66.
b)  7f : 2i = z : 5|.
b) x  : | = 3| : 5.

6; a : 10| = 4f : 9i.
i; 171 :  12* = 14| : x\
b)  9l| ;  ioi = 27f : x.
b)  4 35 : x  = 3'18 : 2 31.
b) x  : 0 45 = 16 625 : 9’5.

§ 87.

a)  Ako sta dve vrsti števil tako druga od druge zavisni, da k
2-,  3-, 4krat tolikemu številu jedne vrste pripada 2-,  3-, 4krat to¬
liko število druge vrste, pravimo: te dve vrsti števil sta premo
sorazmerni  (gerade proportioniert), ali oni sta v premem raz¬
merji  (stehen im geraden Verkaltnisse).

Tako sta blago in cena premo sorazmerni; kajti 2krat toliko
istega blaga velja tudi 2krat toliko denarja, 3krat toliko blaga
velja 3krat toliko denarja, 4krat toliko blaga velja 4krat toliko
denarja. N. pr.:

Ako velja 1 meter sukna 5 goldinarjev,

t. d.

Sploh je razvidno, da je razmerje med po dvema številoma
metrov jednako razmerju med pripadajočima številoma goldinarjev;

n. pr.:

2 metra : 5 metrom = 10 goldinarjev : 25 goldinarjem,
ali 2 : 5 = 10 : 25.

Ako sta tedaj dve vrsti števil premo sorazmerni, je
raz m e r j e med po dvema številoma jedne vrste jednako
razmerju med pripadajočima številoma druge vrste in to
v istem redu.

b)  Ako sta dve vrsti števil tako druga od druge zavisni, da
pripada k 2-, 3-, 4krat tolikemu številu jedne vrste le 2gi, 3tji, 4ti
del števila druge vrste, pravimo: te dve vrsti števil sta obratno
sorazmerni  (verkehrt proportioniert), ali oni sta v obratnem
razmerji  (stehen im verkehrten Verhaltnisse).

140

Tako je število delavcev v obratnem razmerji s časom, ki se
za delo potrebuje; kajti 2krat toliko delavcev potrebuje za isto delo
le polovico časa, 3krat toliko delavcev potrebuje tretji del časa,
4krat toliko delavcev potrebuje le četrti del časa. Ako vzamemo
n. pr. da

potrebuje 1 delavec za neko delo 60 dnij,

lavcev isto kakor razmerje med pripadajočima številoma delovnikov,
vzetih v obratnem redu; n. pr.:

3 delavci : 5 delavcem =12 dnij : 20 dnem,
ali 3 : 5 = 12 : 20.

Ako sta tedaj dve vrsti števil obratno sorazmerni,
je razmerje med po dvema številoma jedne vrste jednako
razmerju med pripadajočima številoma druge vrste, toda
vzetima v obratnem redu.

III. Razreševanje nalog z jednostavnimi razmerji.

(Jednostavna regeldetrija.)

§ 88 .

Ako stojita dve vrsti števil v premem ali obratnem razmerji,
in ako sta znani dve števili jedne vrste, izmed pripadajočih števil
druge vrste pa le jedno, moči nam je najti drugo neznano število,
ako postavimo in razrešimo sorazmerje. Take račune imenujemo
navadno jednostavno regeldetrijo, tristavko (einfache Regel-
detri).

N. pr. 5 rn  sukna velja 30 gld.; koliko velja 9 m?  — 54 gld.

Vsaka regeldetrijska naloga ima dva stavka: prvi izreka pogoj,
drugi izražuje pa vprašanje.

Da imajo regeldetrijske naloge sploh pomen in veljavo za praktično življenje,
treba, da si mislimo pri vsaki taki nalogi za obedve vrsti števil, kateri med seboj
primerjamo, vse v pogojnem in vprašalnem stavku neimenovane okolščine kot jed-
nake; ali, kar je jedno in isto, treba vsakako staviti, bodisi molče, bodisi izrekoma,
pogoj, da pripada k vsaki jednoti jedne vrste v pogojnem in vprašalnem stavku

141

ista množina jeiinot druge vrste. Na ta pogoj treba je paziti pri vseh sledečih na¬
logah, da si tudi se ne naglasa zarad kratkosti povsod izrekoma.

Neznano število zaznamenujemo s črkami x, y, z.

Pri regeldetriji napišemo najprej skup spadajoči števili pogoj¬
nega stavka drugo poleg druzega, a pod te postavimo števili vpra¬
šalnega stavka tako, da stoje istovrstna števila drugo pod drugim.
Istovrstna števila, ako niso istoimenska, treba pretvoriti na isto ime.

1 Razreševanje po sklepih (sklepovni račun).

a) Ustmeno.

§ 89.

Jednostavnejše regeldetrijske naloge dade se dostikrat prav
lahko na pamet razrešiti. V obče sklepamo tu iz dane vrednosti za
kako množino na vrednost jednote in potem iz najdene vrednosti
za jednoto zopet na vrednost kake druge množine. N. pr.:

8 m  sukna velja 32 gld., koliko stane 5 »»? — Ako velja 8 »»
32 gld., velja lm  8mi del od 32 gld., torej 4 gld.; 5 m  velja za¬
torej 5krat 4 gld., t. j. 20 gld.

6 delavcev izvrši neko delo v 20 dneh, koliko dnij bode po¬
trebovalo za isto delo 5 delavcev? — Ako izvrši delo 6 delavcev
v 20 dneh, potreboval bode 1 delavec 6krat 20 dnij, tedaj 120 dnij;
5 delavcev pa bode potrebovalo za isto delo le 5ti del onega časa,
katerega potrebuje 1 delavec, zatorej 5ti del od 120 dnij, t. j.
24 dnij.

Krajša je razrešitev na pamet, kadar je množina v vprašalnem
stavku mnogokratnik ali del ali mnogokratnik kakega dela
istoimenske množine v pogojnem stavku. N. pr.:

5 hi  ječmena velja 21 gld. 15 kr.; koliko stane 30 M? -  - 30 hi
je 6krat 5 hi,  tedaj velja 6krat 21 gld. 15 kr., t. j. 126 gld. 90 kr.

100 gld. kapitala daje na leto 5 gld. obrestij; koliko obresti)
daje na leto 25 gld. kapitala? — Ker je 25 gld. 4ti del od 100 gld.,
d& tudi le 4ti del od 5 gld., tedaj 1 gld. 25 kr. obrestij.

48 m  velja 60 gld. 72 kr.; koliko velja 36»»? — 30 in  je
3krat 12»»; 12»» je 4ti del od 48»», 12»»/, velja tedaj 4ti del od
60 gld. 72 kr., t. j. 15 gld. 18 kr.; 36»» pa velja 3krat 15 gld.
18 kr., zatorej 45 gld. 54 kr.

V posameznih slučajih moči je rešiti regeldetrijske naloge tudi na
ta način, da se množina vprašalnega stavka primerno raztvori. N. pr.:

142

Koliko velja 30 %, ako se plača za 14 kg  43 gld. 82 kr.? —
30 % je 2krat 14 % in še 2 kg  ; 2ki'at 14% velja 2krat 43 gld. 82 kr.,
t. j. 87 gld. 64 kr.; 2 kg  sta 7mi del od 14%, tedaj veljata tudi 7mi
del od 43 gld. 82 kr., t. j. 6 gld. 26 kr.; 87 gld. 64 kr. in 6 gld.
26 kr. je 93 gld. 90 kr.

Ako velja h hi  vina 92 gld., koliko velja 19 lil?  — 20 hi  ve¬
ljalo bi 4krat 92 gld., t. j. 368 gld. Da najdemo ceno za 19%
treba še od 368 gld. odšteti ceno 1 lil-  1 hi  velja 5ti del od 92 gld.,
t. j. 18 gld. 40 kr.; ako odštejemo od 368 gld. najprej 18 gld., ostane
350 gld., in od tega še 40 kr., ostane 349 gld. 60 kr.

h) Pismeno.

§ 90.

Kadar je zarad velikih celili števil, ulomkov ali mnogoimenskih
števil izračunavanje regeldetrijskih nalog na pamet pretežavno, treba
se posluževati pismenega razreševanja. V to ni treba novih pravil,
temveč sklepa se na isti način, kakor se je sklepalo pri občnem
ustmenem razreševanji, le računanje se izvršuje pismeno. N. pr.:

30 m  velja 45 gld.; koliko velja 217 m?

Dostavek: 30 m  45 gld.

217 m x  »

Rešitev. Ako velja 30 m  45 gld., velja lm  30ti del od 45 gld.,
tedaj % gld. Ako pa velja 1 m  || gld., velja 217 m  217krat || gld.
Račun stoji tako-le:

30 m  45 gld.

lm  ff gld.

3

sv  X 217

217 m  —- gld. = gld. == 325| gld.

30

2

Takovo pismeno izračunavanje regeldetrijske naloge imenujemo
dvostavni račun  (Zweisatzrechnung).

Dobro je, da množitve in delitve med umovanjem le nakažemo,
a izvršimo jih v končnem rezultatu še le potem, ko smo ga kolikor
mogoče okrajšali.

Koliko velja 16|a vrta, ako veljajo 4 a  74f gld.?

Posta vek: x  gld. a

Al?. » 4 »

143

Rešitev. 4 a

1 »

Ako 2 hi  20 / vina

gw.

372

372

5.4.2 *
qq

372 33

» = »oe« gld. = 306 t % gld.

velja 37 gld. 18 kr., koliko velja 25 \hl

vina iste vrste?

2 hi  20 1  = 2f hi  V M  g ld -

37 gld. 18 kr. = 37~ gld. 5 J » # »

Tu računamo:

V hl  vel J a  -fl- g ld -

5  1
2

1859

50.11

1859.5

50.11

1859.5

50.11.2

169

1850.0.51

00 . 11.2

10

= 430if gld.

Tu smo zapisali vse vmesne rezultate popolnem zarad tega,
da se umovanja lažje pregledajo; a kadar treba res računati, pri¬
pišejo se neposredno k števcu danega števila 4|jp zaporedoma vsa
ona števila, s katerimi treba množiti, a k imenovalcu vsa ona, s
katerimi treba deliti, kot faktorji, tako da dobimo le končni rezultat,
katerega potem izračunimo.

Sicer pa je mogoče tudi tu umovanja okrajšati:

2 \hl  velja 37/„ gld.

1 »
25i»

37A

H

gld.

1859.51.5

50.2.11

gld. = 430|£ gld.

2. Razreševanje nalog s pomočjo sorazmerij.

§ 91.

Ta razrešitev opira se na izrek, da je moči zmerom sorazmerje
sestaviti iz dveh in dveh skup spadajočih števil dveh vrst, kateri sta
premo ali obratno sorazmerni. Razmerje med dvema številoma

144

jedne vrste treba zjednačiti z razmerjem med pripadajo¬
čima številoma druge vrste, vzetima v istem redu, ako
sta obeclve vrsti premo, a v obratnem redu, ako sta
obratno sorazmerni, in na ta način dobljeno sorazmerje
razrešiti.

V obče je vse jedno, v katerem členu stoji neznano število;
vender je najpripravnejše, neznano takoj v prvi člen postaviti. Ako
bočemo sorazmerje na ta način rešiti, da delimo produkt notranjih
členov z znanim vnanjim, moreta se postaviti kot imenovani števili
le člena onega razmerja, v katerem je x.  Najjednostavnejše pa je,
da postavimo v sorazmerje vse člene kot neimenovane, kajti o imenu
najdenega števila x  ne more nastati nikako dvoumje, ker je zmerom
istoimensko z istovrstnim številom. N. pr.:

1.) 45 m  sukna velja 144 gld., koliko stane 18 m  istega sukna?

Ker velja 2-, 3-, 4krat toliko m  tudi 2-, 3-. 4krat toliko gld.,
ker sta tedaj te dve vrsti števil premo sorazmerni, zato zjednačimo
razmerje dveh števil jedne vrste x  : 144 z razmerjem pripadajočih
števil druge vrste, vzetih v istem redu, namreč 18 : 45; dobljeno
sorazmerje potem razrešimo. Imamo sledeči račun:

45 m  144 gld. x  : 144 = 1$ : 45

18

x  =

144 x 2

288

57f gld.

2.) 16 zidarjev sezida neki zid v 20 dneh; v koliko dneh se¬
zidalo bi 10 zidarjev isti zid?

Te dve vrsti števil sta obratno sorazmerni, ker potrebuje 2-,
3-, 4krat toliko zidarjev, da sezidajo isti zid, le polovice, tretjine,
četrtine onega časa; zato zjednačimo razmerje med dvema številoma
jedne vrste x  : 20 z razmerjem pripadajočih dveh števil druge vrste,
toda vzamemo ji v obratnem redu, namreč 16 : 10.

16 zidarjev 20 dnij x  : 20 = 16 : 40

10 » x  » ^

x  = 2 X 16 = 32 dnij.

Tu utemeljeno postopanje, iz treh danih imenovanih števil četrto
še neimenovano s pomočjo sorazmerja najti, imenujemo regeldetrijo
v ožjem pomenu ali tristavni račun  (Dreisatzrechnung).

Za preskušnjo,  je li smo kako regeldetrijsko nalogo prav
rešili, treba le, da postavimo najdeno število v nalogo, a kako drugo
dano število smatramo kot neznano ter rešujoč novo nalogo tega

145

iščemo. Ako nam da rešitev število, katero smo kot neznano smatrali,
je to dokaz, da smo prav računili.

§ 92.

Naloge.

Izmed sledečih nalog- reši nekatere po sklepovnem računu, druge s pomočjo
sorazmerja, nekaj pa, kjer to dopušča jednostavnost števil, tudi na pamet.

1. ) 4 lil  veljajo 48 gld.; koliko velja 6 hi  ?

2. ) 9 ha  gozda velja 1035 gld.; koliko ha  boš dobil za 690 gld.?

3. ) Ako zasluži 8 delavcev 136 gld., koliko zasluži v istem času

20 delavcev?

4. ) Ako zasluži 12 delavcev 180 gld., koliko delavcev zasluži v

istem času 105 gld.?

5. ) 54 delavcev izvrši neko delo v 16 dneh; koliko dnij potrebuje

za isto delo 72 delavcev?

6. ) 24 delavcev izvrši neko delo v 4 mesecih, koliko delavcev iz¬

vršilo je bode v 3 mesecih?

7. ) Za 15 gld. pelje voznik neko blago 126 km  daleč; kako daleč

je bode peljal za 18 gld.?

8. ) 500 kg  pelje voznik za neko plačilo 84 km  daleč; kako daleč

bode peljal za isti denar 2500 kg?

9. ) Za neko plačilo pelje voznik 8 q  15 milj daleč; koliko q  bode

peljal za isti denar 20 milj daleč?

10 . ) Iz neke cevi priteče v 18 minutah 392 l  vode; koliko l  je pri¬

teče v 30 minutah?

11. ) Iz neke cevi priteče v 11 minutah 308/ vode; v koliko mi¬

nutah je priteče iz iste cevi 980/?

12. ) Za neko knjigo je treba 24 pol, ako se tiska na vsako stran

50 vrst; a)  koliko pol je treba, ako pride na vsako stran le
40 vrst; h)  koliko vrst mora priti na vsako stran, da. ima
knjiga 25 pol?

13. ) Mlin na jedno kolo zmelje v 16 urah 25 lil  rži; a)  koliko v

8 urah, h)  v koliko urah 68 hi?

14. ) Neki kapital nese v 12 mesecih 246 gld. obrestij; a)  koliko

obrestij nese v 30 mesecih, b)  v koliko mesecih nese 369 gld.
obrestij ?

15. ) 480 gld. kapitala da v 3 letih gotove obresti; a)  kateri kapital

da v 4 letih, b)  v koliko letih da 250 gld. kapitala iste
obresti ?

Aritmetika.

10

146

16. ) Iz 40 kg  preje moči je natkati 265 m  tkanine; a)  koliko m  iz

56 kg, b)  koliko kg  preje je treba za 245 m?

17 . ) Iz neke preje moči je natkati 55 m 1  '5 m  širocega platna;

oj koliko m  1 '25 m  širocega platna; b)  kolika bo širina platnu,
ako se natka iz iste preje 60 m?

18 . ) Cetverooglata, 6 dm  visoka posoda drži 186 Z; a)  koliko Z drži

isto toliko široka, pa le 5 dm  visoka posoda; b)  koliko višino
mora imeti posoda, da drži 217 /?

19 . ) Neka družina porabi vsakih 12 dnij 1 kg  kave; oj koliko kave

porabi v 365 dneh, b)  koliko dnij ji zadostuje 18 kg?

20. ) V neki zalogi je hrane, da bi izhajalo 25 ljudi j 9 mesecev z

njo; a)  koliko časa bode zadostovala 21 osebam, b)  koliko oseb
bode izhajalo z njo 7 mesecev?

21. ) Ako se zavrti kolo v 27 minutah 2295krat; a)  kolikokrat zavrti

se v 10 minutah, b)  v koliko minutah zavrti se 3655krat?

22. ) Ako se zavrti izmed dveh koles jedno 36krat, zavrti se drugo

13krat; kolikokrat se bode zavrtelo prvo kolo, ako se zavrti
drugo 117krat?

23. ) 7 hi  rži velja 50 gld.; koliko stane 3o hi?

24. ) Delavec naredi v 5 dneh 3200 opek; koliko v 30 dneh?

25. ) Ako velja 8 m  sukna 42 gld., koliko stane 12 m?

26. ) Ako velja 10 kosov nekega blaga 24 gld., koliko kosov dobiš

za 60 gld.?

27. ) Koliko hi  rži je moči kupiti za 245 gld., ako velja 10 hi

49 gld.?

28. ) 1 hi  vina velja 32 gld.; koliko stane 10 Z?

29. ) Ako velja 6 hi  114 gld., koliko M  dobiš za 551 gld.?

30. ) 38 hi  vina kupilo se je za 1826 gld.; koliko velja 100 hi?

31. ) 4 hi  piva veljajo 68 gld.; koliko velja 5 Z?

32. ) Ako plačaš za 18 kg  prediva 8f gld., koliko velja

a)  60 kg, b) lb\kg, c)  144 kg?

33. ) \g  velja 25j- gld.; koliko stane

n)  6 q b)  23 \q c)  32'5  q?

34. ) Ako velja 20?» 83 gld. 40 kr., koliko m  dobiš za 62 gld.

55 kr.?

35. ) Kos platna ima 40?» in velja 32f gld.; koliko stane 18?»?

36. ) Koliko stanejo 3 q  35 kg  nekega blaga, katerega dobiš 8 kg  za

3J marke?

5

147

37. ) Nekdo kupi 508 kg  sladdrja; koliko mora zanj plačati, ako

stane 300 kg  186 gld. 78 kr.?

38. )' 17 ^ 20 kg  velja 358A gld.; koliko velja 13q  35 kg?

39. ) 32 delavcev zasluži na teden 118- gld.; koliko gld. zasluži v

istem času 56 delavcev?

40. ) Nekdo je delal 35 dnij ter dobil za vsakih 6 dhij 5 T ' (T  gld.;

kolik je ves zaslužek?

41. ) Izmed dveh delavcev zasluži jeden v 7 dneh toliko, kolikor

drugi v 9 dneh: prvi zasluži v nekem času 36’9 gld.; koliko
zasluži drugi v istem času?

42. ) Jednakomerno napeta cesta vzdigne se na 2 \km  za 38 m-  kolik

je vzdig na f km?

43. ) Neka železnica se .vzdigne na vsakih 50 m  dolžine za j- m ; na

koliko m  dolžine znaša vzdig 1 ±m?

44. ) Pešec, kateri prekoraka vsako sekundo 1 ~ ih,  prehodi neko pot

v 1| ure; koliko časa potrebuje v to vlak, kateri preteče vsako
sekundo 10 >w?

45. ) Dva dečka tečeta do oddaljenega mejnika, A  preteče pri vsakem

koraku T 9 ^ m , B  1^koliko korakov potrebuje A  do mejnika,
ako jih potrebuje B  78 ?

46. ) Ako natka 28 tkalcev v 3-| tedna 40 kosov sukna, koliko tkalcev

natkalo bodo isto množino sukna v 2 tednih?

47. ) 30 zidarjev sezida neki zid v 25 dneh; a)  koliko zidarjev

treba najeti, da ga sezidajo v 10 dneh, b)  v koliko dneh bode
50 zidarjev z delom gotovih?

48. ) Ako piše nekdo 7 ur na dan, dogotovi prepis neke knjige

v 48 dneh; v koliko dneh bo prepis gotov, ako piše na dan
12 ur?

49. ) Parostroj 24 konjskih sil potrebuje za neko delo 4 dni; koliko

dnij potrebuje parostroj 16 konjskih sil ?

50. ) Mlin na 6 kamenov potrebuje 21 dnij, da nameljc toliko in

toliko moke; koliko kamenov bi bilo treba, da nameljejo isto
toliko moke v 9 dneh?

51. ) Da se odstrani neko breme, treba je 4 konj, ako pelje vsak

10koliko  konj je treba, ako more vsak le 8 q  peljati?

10 *

148

52. ) Za neko tvornico potrebujejo 4560 m 2  drv, ako so polena 80 n«

dolga; koliko m 3  drv bi bilo treba, ako so polena le 60cm
dolga, sicer pa isto taka?

53. ) m 8  drv velja 3| gld., ako so polena 64 cm dolga, po čem bi

bil tedaj m 2 , ako so polena 80cm dolga?

54. ) Izmed dveh drugo v drugo sezajočih koles ima manjše 38,

večje 114 zobcev; kolikokrat bode se zavrtelo prvo v istem
času, ko se zavrti zadnje 5krat?

55. ) Prednje vozno kolo ima 2 m, zadnje 3 m  v obsegu; kolikokrat

se je zavrtelo zadnje, ako se je zavrtelo prednje 230krat?

56. ) Ako se zavrti kolo v 76 minutah 501 |krat, a)  kolikokrat za¬

vrti se v 57 minutah, b)  v koliko minutah zavrti se 1067krat?

57. ) Nekdo kupi 59 steklenic vina po 75 kr.; koliko steklenic po

60 kr. bi dobil, ako bi zamenjal?

58. ) Ako se razdeli neko volilo med 36 revežev, dobi vsak 3f gld.;

koliko bi dobil vsak, če bi se razdelilo med 45 revežev?

59. ) Neka družina porabi na teden 22f- gld.; koliko v 52 dneh?

60. ) Ua se navozijo 4 m 3  kamena, treba plačati 13f gld.; koliko

za pod sicer jednakimi pogoji?

61. ) Na obseg kolesa gre 60 zobcev, ako so 8 \mm  drug od dru-

zega oddaljeni; koliko jih gre nanj, ako so 104 mm drug od
druzega oddaljeni?

62. ) Vertikalna, l'2m  dolga palica dela 1 ' 7 m  dolgo senco; kolika

je višina drevesu, katero dela istodobno 15 3  m dolgo senco?

63. ) Os naše zemlje znaša 6356 km,  ekvatorjev premer pa 6377 km ;

ako se vzame za zemeljsko oblo (globus) 395 mm dolga os, kolik
mora biti ekvatorjev premer?

64. ) Njiva jo 78 m  dolga in 13f m. široka; kolika mora biti dolžina

drugi njivi, ako ji je širina 94.m, veličina pa ista?

65. ) Ploščina 5'9 m dolgega pravokotnika meri 28'32 m 2 ; koliko

ploščino ima pravokotnik iste širine, ako je 7'9 m  dolg?

66. ) Njiva 6f ha  da 96 \hl  pšenice; a)  koliko ha  treba za 37f lJ

pšenice; b)  koliko pšenice da njiva o | a  ?

67. ) (Jetverorobovna medena palica ima 2 cm 2  v preseku in nosi

4600%; koliko kg  nosi taka palica, ako ima 0’85 cm"  v pre¬
seku ?

149

68. ) Neka dežela ima 158 /.im 2  in 688564 prebivalcev; koliko pre¬

bivalcev pride na 37| [tm'\  ako vzamemo, da je gostota povsod
jednaka?

69. ) Ako znaša zračni tlak pri srednji višini tlakomera na 1-irfm 2

1504%, kolik je zračni tlak na 6b~dm 2 ?

70. ) Koliko M  ovsa dobiš za 34 \hl  pšenice, ako sta si ceni ovsa

in pšenice kakor 2:5?

Tu pretvori razmerje na jednačbo.

71. ) Ilve črti sta si kakor 1| : 4f; kolika je druga, ako meri prva

187 »«?

72. ) Hitrosti dveh gibajočih se teles se imata kakor 9 : 17; ako

potrebuje prvo za neko pot 5 minut 51 sekund, koliko časa
bode potrebovalo drugo za isto pot?

73. ) Ako je razmerje med kurilno močjo smerekovega in brezovega

lesa 39 : 40, koliko »w 3  prvega ima isto vrednost kakor 100 m 3
druzega ?

74. ) Svinec in baker sta si po teži kakor 35 : 26; ako tehta svin¬

čena krogla 3\kg,  koliko tehta isto tolika bakrena krogla?

75. ) Polumera zemlje in meseca sta si kakor 11 : 3; kolik je po-

lumer meseca, ako ima srednji zemeljski polumer 858-g- zemljep.
milje?

76. ) Koliko treba plačati, da se sprede 1650% prediva, ako se plača

od 5 kg  1 gld. 10 kr. ?

77. ) Iz neke preje moči je natkati 1614»» im  širocega platna; ko¬

liko m \m  širocega platna bode se natkalo iz iste preje?

78. ) Za neko obleko treba je 2 m A,dm  sukna, širocega 75««; ko¬

liko m  bi bilo treba, ako bi bilo sukno 51«« široko?

79. ) Da se prevlečejo stene dvorane s tapetami, treba 842»« tapet,

katere so 42 cm  široke; koliko »« tapet bi bilo treba, ako so
64 «m  široke?

80. ) Hleb kruha za 10 kr. tehta b6 dkg,  ako velja hi  rži 7 gld.

28 kr.; kolika mora biti teža takemu hlebu, ako stane hi  rži
le 6 gld. 72 kr.?

81. ) Žemlja za dva krajcarja tehta 8f-f/%, ako stane hi  pšenice

9 gld. 30 kr.; po čem mora biti hi  pšenice, da tehta taka
žemlja 9 dkg  ?

82. ) Za 31 gld. 50 T 7 T) - kr. kupi nekdo 99 kg  blaga in pozneje po isti

ceni še za 22 gld. 5 T 7 „ kr.; koliko blaga dobi drugič?

150

83. ) Nekdo je kupil q  po 75 gld. in prodal kg  po | gld.; pozneje

pa proda z istim dobičkom kg  po T 9 „ gld.; po čem je kupil
drugič 1

84. ) Neki trgovec dobi v treli vrečah 108f kg,  120 \kg,  964 kg  riža

za 130 gld. 15 kr.; po čem se računa 100%?

85. ) Dva trgovca kupita skupaj 2385 kg  olja; A  ga vzame 1845 kg

in plača zanj 1473— gld.; koliko olja ostane i5-u in koliko treba
njemu plačati?

86. ) Voz sena velja 32— gld. in tehta z vozom vred 1455%; ko¬

liko stane 100% sena, ako tehta voz sam 280%?

87. ) Ako vloži zidar v podzidje na dan 500, v oblok pa le 325

opek, in se plača za lm 3  prvega zida J • 2 gld., koliko potem
za 1 m 3  obloka?

88. ) Koliko stane 13| m  sukna, katerega velja 2 ±m  za 3— gld.

več nego lf w?

89. ) Drvarju treba preskrbeti za neko tvornico 4250 mA  80 cm  dolgih

drv; oddal jih je že 2750m®; za ostanek zahtevajo 64 cm  dol¬
gih drv; koliko mora dati tacili drv?

90. ) 12 koscev pokosi travnik v 6 dneh; koliko koscev treba več

najeti, da pokose travnik v 4 dneh ?

91. ) 7 delavcev dobi 37 T 7 0  gld. plačila; a)  koliko delavcev zasluži

v istem času 414 gld. več? b)  kolik je zaslužek, ako pride še
5 delavcev?

92. ) Neki rokopis ima 144 stranij in vsaka stran 32 vrst; koliko

isto tako dolzih vrst mora priti na vsako stran, da bode imel
rokopis 24 stranij menj?

93. ) Ako se zavrti kolo v 4f minute 3412|-krat, v koliko minutah

bode se zavrtelo 10984-krat?

94. ) 624 gld. kapitala naloženih je po 5 procentov ali odstotkov

(5°/ 0 ), t. j. vsacih 100 gld. kapitala daje na leto 5 gld.
obrestij; koliko obrestij nese kapital v 1 letu?

Na pamet: 600 gld. da 6krat 5, t. j. 30 gld.; 24 gld. da po 5°/ 0  24krat
5 kr., t. j. 1 gld. 20 kr.; skupaj 31 gld. 20 kr.

95. ) Koliko obrestij da na leto 975 gld. kapitala, ako je ta po 4°/ 0

naložen ?

Na pamet: 900 gld. da 9krat 4, t. j. 36 gld.; 75 gld. da po 4°/ 0  75krat
4 kr., t. j. 3 gld.; skupaj 39 gld.

151

96. ) Koliko obrestij da na leto 540 gld. kapitala po 6%?

Na pamet: 500 gld. da 5krat 6, t. j. 30 gld.; 40 gld. da po 6%
40krat 6 kr., t. j. 2 gld. 40 kr.; skupaj 32 gld. 40 kr.

97. ) Koliko obrestij nese na leto

a)  1340 gld. po 5 °/ 0  ? b)  1076 gld. po 4-|°/ 0 ?
a) 2328  gld. po 6%? b)  912 gld. po 5|°/ 0 ?

98. ) Nekdo ima naložene tri kapitale: 3085 gld. po 5 °/ 0 , 1970 gld.

po 5-| °/ 0  in 2375 gld. po 6° 0 ;  koliko obrestij mu neso na leto?

99. ) 900 gld. daje 60 gld. obrestij; kolik mora biti kapital, da nese

75 gld.?

100. ) Nekdo ima kapital po 6 °/ 0  naložen in ta mu nese na leto

420 gld. obrestij; kolik je kapital?

101 . ) 725 gld. kapitala nese na leto 29 gld. obrestij; koliko obrestij

daje 100 gld.;

102 . ) 3740 gld. daje na leto 187 gld. obrestij; po koliko % je ka¬

pital naložen?

103 . ) Koliko obrestij da 100 gld. po 6 °/ 0  v  30 dneh? (1 leto =

= 360 dnem.)

104 . ) 7820 gld. kapitala nese v nekem času 391 gld. obrestij; koliko

obrestij nese v istem času 5750 gld. kapitala?

105 . ) Kateri kapital da v 4 letih iste obresti, katere nese 1680 gld.

kapitala v 3 letih?

106 . ) Kateri kapital da po 5 0  „ iste obresti, katere da 32 gld. po 4°/ 0 ?

107 . ) Kateri kapital nese 11 gld. obrestij, ako nese 1230 gld. kapitala

pod 'istimi pogoji 614 gld. obrestij?

108 . ) Neki kapital da po 44% v  nekem času 239f gld. obrestij;

koliko obrestij nese v istem času po 5-4 % ?

109 . ) Neki kapital da v 3 letih 251 gld. 22 kr. obrestij; koliko v

10 mesecih?

110. ) Ako nese 4080 gld. kapitala 500|| gld. obrestij; koliko obrestij

da v istem času kapital, ki je za 1425 gld. večji?

111. ) Ako nese neki kapital v 5 letih 527 gld. obrestij, v koliko

letih nese 210 gld.?

112 . ) Koliko časa mora biti neki kapital po 4% naložen, da nese

toliko obrestij, kolikor po 44% v 2f leta?

113 . ) Kako dolgo mora biti naložen kapital 22• 22 gld., da nese

toliko obrestij, kolikor 33'33 gld. kapitala v li leta?

114 . ) Po koliko % mora 960 gld. naloženih biti,  da dade toliko

obrestij, kolikor jih da v istem času 840 gld. po 6 %

152

115. ) Po koliko °/n treba naložiti kapital, da nese v 3 letih toliko

obrestij, kolikor v 2 letih po 6°/ 0 ?

116 . ) 55?» je 174 dun. čevljev; a)  koliko dun. čevljev je 144’2m?

b)  koliko m  je 245' 2"  dun. čeveljske mere?

117 . ) Tlakomer kaže 28" 1-|"' dun. mere; koliko je to v mm?

118 . ) 100 angl. čevljev = 30|?»; a)  koliko angl. čevljev je 315?»?

b)  koliko m  je 307 angl. čevljev?

119 . ) 77 dun. vatlov = 60?»; a)  koliko m  je 52§ dun. vatlov? b)  ko¬

liko dun. vatlov je 83'45 ?»?

120 . ) 1 dun. vatel platna velja 84 kr.; po čem je 1?»?

121 . ) 1?» sukna velja 4 gld. 28 kr.; koliko velja 1 dun. vatel?

122 . ) 61 ha  je 106 doljn. avstr, oralov; a)  koliko ha  je 548 oralov?

b)  koliko oralov je 728 a?

123 . ) 91 hi  = 148 dun. vaganom; a)  koliko dun. vaganov je 92 l?

b)  koliko hi  je 1000 dun. vaganov?

124. ) 1 dun. vagan pšenice velja 6 gld. 12 kr.; koliko velja 1 hi?

125 . ) 1 hi  rži velja 6 gld. 58 kr.; po čem je 1 dun. vagan?

126 . ) 18 ruskih četvrt = 21/?/; koliko hi  je a)  35, b)  218, c)  1088

ruskih četvrt?

127 . ) lli angl. quarterjev = 32 T 7 g/?Z; koliko quarterjev in bushelov

je 204i hi?

128 . ) 58/ = 41 dun. bokalom; a)  koliko dun. bokalov je 315/?

b)  koliko / imata 2 dun. vedri?

129 . ) 1 dun. vedro vina velja 24 gld.; po čem je 1 /?

130 . ) 1/ vina velja 36 kr.; po čem je 1 dun. bokal?

181 .) 100 švedskih vrčev — 261f/; koliko / je a)  732, b)  908, c)  37f
švedskih vrčev?

132. ) 14 kg =  25 dun. fnt.; a)  koliko dun. fnt. je 318 kg? b)  koliko

kg  je 510 dun. fnt.?

133 . ) Ako stane 1 dun. fnt. kave 96 kr., po čem mora biti 1 kg?

134. ) Ako velja 1 kg  nekega blaga 54 kr., po čem je 1 dun. fnt.?

135. ) 100 angl. fnt. adp. znaša 81 dun. fnt.; koliko dun. fnt. je a)  240,

b)  325, c)  739 angl. fnt.?

136 . ) 127 rusk. fnt. je 52 kg-  koliko kg  je a)  188, b)  705, c)  1397

ruskih funtov?

137 . ) 57 dun. mark. = 16 kg- a)  koliko kg  je 39 dun. mark? b)  ko¬

liko dun. mark je 50 kg?

138. ) Ako se kuje iz jednega kg  čistega srebra 90 gld., koliko gld.

iz jedne dun. marke čistega srebra?

153

139. ) Koliko kg  zlata od 900 tisoči n čistine je 25 \kg  zlata od 540

tisočin čistine?

140. ) Ces. zlatniki (cekini) imajo 23§ karata čistine; kolika jim je

čistina v tisočinah?

141. ) Zlatniki po osem goldinarjev imajo 900 tisočin zlata; koliko

karatno je to zlato?

142. ) V kosu srebra od 750 tisočin čistine je 72 g  čistega srebra;

kolika je teža celemu kosu?

143. ) Po čem je kg  čistega srebra, ako stane kg  srebra od 900 ti¬

sočin čistine 81 gld.?

144. ) Ako velja kg  čistega srebra 90 gld., po čem je kg  srebra od

750 tisočin?

145. ) Za 17f -kg  zmešanega srebra plača se 1321 gld.; koliko stane

8 2 T kg  srebra iste čistine?

146. ) Ib dkg  čistega zlata velja 2091 gld.; koliko dkg  dobiš za

298-53 gld.?

147. ) Iz jednega kg  T 9 7  čistega zlata kuje se 155 zlatnikov po osem

goldinarjev; koliko tacih zlatnikov gre najeden kg  čistega zlata?

148. ) 90 nemških mark je 45 gld. avstr. vr.; a)  koliko gld. avstr. vr.

je 920 mark? b)  koliko mark je 890 gld. avstr. vr.?

149. ) 181 dan. drž. bank. tolarja je 241 hol. goldinarja; a)  koliko

hol. goldinarjev je 926 dan. drž. bank. tolarjev? b)  koliko dan.
drž. bank. tolarjev je 2406 hol. goldinarjev?

150. ) Dunajsk trgovec izda na Hamburg menico*, glasečo se na

3408 državnih mark; koliko bo potegnil zanjo, ako je tečaj
(kurz) na Hamburg 57'55 (100 državnih mark = 57'55 gld.
avstr, vr.)?

151. ) Koliko gld. avstr. vr. je 358 gld. hol. courant, ako se računa,

da je 100 gld. hol. courant = 96'45 gld. avstr. vr. ?

152. ) Kolik je kurz med Dunajem in Milanom (koliko gld. avst. vr.

za 100 lir), ako se plača za 3165 lir 1455 gld. 90 kr.?

153. ) Trgovska hiša v Marseillu ima tirjati od nekega Dunajčana

5682 frankov 56 centimov; kolika je ta tirjatev v avstr, vr.,
ako se računa, da je 100 frank. = 46‘75 gld. avstr. vr. ?

154. ) Londonsk trgovec je dolžen nekemu Dunajčanu 5334 gld.; na

koliko fnt. sterling treba da potegne za to Dunajčan menico,

* Menica (\VechseI) je listina, s katero se izdatelj meničnopravno zaveže, da
lioee gotovo vsoto denarja o določenem času določeni osebi ali sam ali po kom
tretjem izplačati.

154

ako je kurz na London 117'80 (10 fnt. stori. = 117'80 gld.
avstr, vr.)?

155. ) Ako se plača na Dunaji za 432 fnt. 7 shill. sterling 5101 gld.

73 kr. avstr, vr., koliko je vrednih 10 fnt. sterling?

156. ) Koliko cekinov treba plačati za 218 zlatnikov po osem gol¬

dinarjev, ako je kurz cekinom 5 gld. 50 kr. in kurz zlatnikom
po osem goldinarjev 9 gld. 10 kr.?

157. ) Nekdo dobi s Francoskega 6'bo hi  šampanjca za 5880 frnk.;

po čem se je računal 1%?

158. ) Koliko velja 3 T ~ ohma vina (v Švici), ako velja 15 bokalov

19-| franka?

159. ) Ako se plača za 20 angl. cnt.  1 fnt. 17 shillingov sterling voz¬

nine, koliko voznine treba plačati za 128 cnt.  3 quarterje 20
fnt. angl. ?

160. ) Ako velja'm 6f franka, koliko gld. avstr. vr. velja v istem

razmerji 1 dun. vatel?

161. ) Zidanje 27’ 8 km  dolge železnice je stalo 43785000 frankov; ko¬

liko kapitala v avstr. vr. bilo je tedaj treba za jedno avstr, miljo?

162. ) Ako stane 223 fnt. nekega blaga 89A nemšk. drž. marke, ko¬

lika je prilična cena v avstr. vr. za 267 %?

163. ) 15% grozdja da 8% vina, 1 1  vina tehta 990^; koliko grozdja

je treba za 2 "2 hi  vina?

164. ) Nekdo kupi dobro pozlačeno sreberno šibiko, katera tehta

8 - 25%;  v nji je 780 tisočin srebra in 105 tisočin zlata;
koliko treba za šibiko plačati, ako stane % čistega srebra
90 gld., a % čistega zlata 1350 gld.?

165. ) 29 m 3  živega apna da 100 m 3  gašenega ajma; koliko m 3  ži¬

vega apna je treba, da se napolni 3 ■ 2 m  dolga, 2 m  široka in

l'4m  globoka jama z gašenim apnom?

166. ) 24 zidarjev sezida neki zid v 20 dneh; v koliko dneh bode

zid gotov, ako se najme čez 5 dnij še 6 zidarjev?

Čez 5 <lnij imelo bi 24 zidarjev še za 15 dnij dela; a od sihmal je šte-
vilo zidarjev 30; v koliko dneh bode 30 zidarjev z onim delom gotovih, za
katero potrebuje 24 zidarjev 15 dnij ? V 12 dneh. 24 delavcev dela tedaj
5 dnij in 30 delavcev 12 dnij; zid bo tedaj v5-}-12 = 17 dneh gotov.

167. ) Da se izkoplje neka jama, najme se 32 delavcev; ti bi delo

dovršili v 25 dneh; čez 7 dnij se pa odpusti 7 delavcev;
koliko dnij bodo morali ostali še delati?

155

168. ) 10 delavcev dovrši neko delo v 18 dneh; v koliko dneh bo

delo dovršeno, ako čez 4 dnij 6 delavcev odide, a čez 11 dnij
4 zopet nazaj pridejo ?

169. ) 30 delavcev dodela neko cesto v 12 tednih; od početka delalo

je 45 delavcev 6 tednov; koliko delavcev je treba najeti, da
zgotove ostali del ceste v 3-| tedna?

170. ) Na neki ladji je bilo 36 mornarjev in zanje živeža za 60 dnij;

12 dnij potem, ko so se odpeljali, poginilo je v viharji 20 mož;
koliko dnij so izhajali drugi z živežem, kar ga je bilo še
ostalo ?

171. ) Med dve osebi treba 1280 gld. tako razdeliti, da se ima i-ov

del proti B -ovemu kakor 5 proti 3; koliko dobi vsaka oseba ?
5 160 gld. X o =  800 gld. dobi A,

3 160 gld. x 3 = 481 gld. » B,

1280 gld. : 8 = 160 gld. 1280

ali

x  : 1280 = 5:8;  x =  800 gld. dobi A,

y  : 1280 = 3:8;  y  = 480 gld. » Ji.

Naloge, katere zahtevajo, da se razdeli celota po danem razmerji, spa¬
dajo v družbeni račun  (Gesellschaftsreclmung).

172. ) 2700 gld. treba med tri osebe tako razdeliti, da so si deli

kakor števila 3, 4. 5.

173. ) Tri osebe udeležijo se skujmo nekega podjetja; A  da 5000 gld.,

B  3400 gld. in C  4600 gld.; kako jim je razdeliti dobiček od
2600 gld. med seboj?

174. ) Na neki dražbi se je kupilo 35 nf'  drv za 166J gld.; A  jih

je vzel 8f- m 3 , B lb^m*  in C,  kar jih je ostalo; koliko je
moral vsak plačati?

175. ) Za nakup kreditne srečke da A  90 gld., B  60 gld., C  42 gld.;

koliko pride na vsacega, ako dobi srečka 2000 gld.?

176. ) V novih avstr, deseticah sta srebro in baker zmešana v raz¬

merji 2:3;  koliko je treba srebra in koliko bakra, da se
nakuje za 6600 gld. desetic, ako tehta 600 desetic 1 kg i

177. ) 12 delavcev zasluži v 15 dneh 156 gld.; koliko gld. zasluži

30 delavcev v 24 dneh?

Na pamet: 12 delavcev zasluži v 15 dneh.156 gld.

1 delavec » » 15 » 12ti del. 13 »

30 delavcev » »15 » 30krat toliko . . 390 »

30 » o 1 dnevi 15ti del. 26 »

30 » 24  dneh 24krat toliko . . 624 »

156

Pismeno: a)  12 delavcev zasluži v 15 dneh 156 gld.; koliko zasluži
v istem času 30 delavcev?

x :  156 = 30 ; 12; x =  390 gld.

b)  Ako zasluži 30 delavcev v 15 dneh 390 gld., koliko gld. zasluži
ravno toliko delavcev v 24 dneh?

x  : 390 = 24 : 15; x =  624 gld.

Naloge, katere so sestavljene iz dveh ali več jednostavnih regeldetrijskih
nalog, so naloge sestavljene regeldetrije (zusammengesetzte Eegel-
detri).

178. ) 4 tiskarji natisnejo z navadnim tiskalom v 3 dneh 4800 pol;

koliko tiskarjev je treba, da natisnejo 19200 takih pol v 8 dneh?

179. ) 10 delavcev zgotovi 150»» tkanine v 8 dneh; v koliko dneh

bode 12 delavcev s 180 m  iste tkanine gotovih?

180. ) 100 gld. kapitala da v 1 letu 4 gld. obrestij; koliko obrestij

da 4700 gld. kapitala v 3 letih?

181. ) Kateri kapital da po 5 °/ 0  v Ji leta 254^ gld. obrestij?

182. ) Koliko let mora kapital od 1240 gld. po 6% naložen biti, da

nese 372 gld. obrestij?

183. ) Po koliko °/ 0  treba 6890 gld. kapitala naložiti, da nese v 2

letih 689 gld. obrestij?

184. ) 2'5 ?» dolg, l'6»w širok in \'2m  globok vodnjak napolni cev

v 1 uri 40 minutah; kedaj napolni jednaka cev drug vodnjak,
ki je 3 m  dolg, l - 4 m  širok in Im  globok?

IV. Proeentni računi.

§ 93.

V domačem in trgovskem življenji jemljemo za podlogo raz¬
ličnim računom procent ali odstotek, t. j. znesek od 100. Tako
pravimo n. pr., kapital je po 5 procentov naložen, t.j. vsacih 100 gld.
kapitala daje na leto 5 gld. obrestij.

Pri proeentni h računih treba paziti na štiri količine: 1.) na
število 100 kot osnovno število; 2.) na znesek od 100, t. j. na
procente; 3.) na vsoto, od katere treba računati procente; 4.) na
znesek, t.j. na množino, katero da dana vsota po procentih.

Proeentni račun je trojen: od sto (von Hundert); nad sto
(auf Hundert) in pod sto (in Hundert).

a)  Od sto računa se, kadar je vsota, od katere treba procente
računati, istovrstna z osnovnim številom 100. N. pr.: Kolika

157

je opravnina* po 2 °/ 0  od blaga, ki je 500 gld. vredno? To
nalogo rešimo s sledečim razmerjem:

x  : 2 = 500 : 100.

b)  Nad sto računa se, kadar vsota, od katere treba procente ra¬
čunati, ni istovrstna z osnovnim številom 100, nego s številom
100 povečanim za procente. N. pr.: Neko blago velja z
opravnino po 2 °/ 0  vred 500 gld.; kolika je opravnina? To na¬
logo rešimo s sledečim razmerjem:

x  : 2 = 500 : 102.

c)  Pod sto računa se slednjič, ako je dana vsota, od katere se
znesek po procentih računa, istovrstna z osnovnim številom
100, zmanjšanim za procente. N. pr.: Za prodano blago
dobi se po odbitku 2 °/ 0  opravnine 500 gld.; kolika je oprav¬
nina? Tu imamo sorazmerje

x :  2 = 500 : 98.

Iz tega se vidi, da treba smatrati n. pr. za 2 °/ 0
pri računu od sto število 100,

» » nad sto » 102,

» » pod sto » 98

kakor istovrstno z dano vsoto.

Pri procentnem računu od sto pomeni 1 °/ 0  kakega števila
tega števila; 2 °/ 0  kakega števila pomenita T §^-, 3 °/ 0  pa T f w  tega
števila, i. t. d.

1. Račun od sto.

§ 94.

Naloge. (Reši jih, kolikor mogoče na pamet.)

1.) Vzemimo, da treba znesek od 775 gld. po 4 °/ n  določiti, t. j. iz¬
računati, kateri znesek da 775 gld., ako da vsacih 100 gld. 4 gld.
zneska.

Po sklepovnem računu: 700 gld. da 7krat 4 gld., t. j. 28 gld.; 25 gld. da
1 gld., 75 gld. da tedaj 3 gld. ; skupaj 31 gld.

Ali: 1%, t. j. od 775  g ld - J e 7 ' 75  g’ d -

4%, t. j. jfjo  od 775  g' ,d - s0  4krat 7 7 ° £ Id - =  **1 & ld -
S pomočjo sorazmerja:

775 v 4

* : 4 = 775 : 100; X —  -- gld. = 31 gld.

* Ako kdo komu druzemu naroči, da izvrši kako opravilo, n. pr. da kupi ali

proda kako blago, zove se ona oseba, katera to nalogo dobi in izvrši, o pravni  k
(Commissionar), nagrada pa, katero opravnik za svoj trud dobi, opravnina  ali pro-
vizija (Provision).

158

Da tedaj izračunamo znesek od dano vsote po pro¬
centih od sto, treba to vsoto s procenti množiti ter produkt s
100 deliti.

2. ) Koliko je 5 % 0( 1 600?

3. ) Koliko je

4 . ) Nekdo ima na leto 842 gdd. dohodka, od katerega treba plačati

7 0  n  dohodnine; koliko znaša ta davek ?

5 . ) V nekem mestu je 6360 prebivalcev; koliko je 15 °/ 0  od tega?

6. ) Od 523 12 let starih ljudij dočaka 83 °/ 0  30. leto; koliko teh

oseb učaka tedaj 30. leto?

7 . J Dolžnik poravna se s svojim upnikom tako, da mu plača 78 0  0

dolga, kateri znaša 2680 gld.; koliko mu plača tedaj?

8. ) Katero število je

a)  za 3 °/o večje od 200, od 700, 800, 1000?

b)  za 4 °/ 0  manjše od 390, od 500, 600, 950?

9. ) Delavec zasluži 95 kr. na dan; kolika je njegova dnina, ako

zasluži 8 °/ 0  več na dan ?

10 . ) Jeden trgovec prodaja q  sladorja po 50 gld., drugi pa za 24 n j Q

cenejše; po čem ga prodaja drugi?

11. ) Ocean med Evropo in Ameriko ima najslanejšo morsko vodo,

v tej je namreč 36'7°/o soli; koliko soli je v m 3  te vode, ki
tehta 1025 kgl

12. ) Koliko je

a) 5°/ 0  od 325 mark? b)  6^°/o °d 729 frankov?

c)  3| % °d 640 fnt. 14 shill. sterling?

13 . ) Pri neki cesti znaša na 6350»« dolžine vzdig 1'8 °/„; koliko m

znaša tedaj vzdig?

14 . ) Dunajski vatel je za 22 j-  °/ 0  m  krajši nego Im; katero jednačbo

jo moči postaviti med dunajskim vatlom in ml

15 . ) Prebivalstvo mesta, katero je imelo leta 1837. 15860 duš, po¬

množilo se je do leta 1877. za 25 °/ 0 ; koliko prebivalcev je
imelo tedaj mesto leta 1877.?

16. ) Češka ima 11|~| °/ n  od vsega površja avstro-ogerske države.; kolika

je češka, ker ima avstro - ogerska država 6224'74 p?« 2  površja?

17 . ) Doljna Avstrijska ima 198 (.im' 1  24 hm' 1  površja, med temi 32 °/ (|

gozda; koliko um <1  in km 1  je gozda?

a)  3 °/ 0  od 800?
c)  5 °/„ od 440?
e)  4i°/ 0  od 90?

b)  6% od 700?
d)  2i°/ 0  od 400?
f)  23|°/n od 1200?

159

18. ) V sladornici porabijo 1452 ton sladdrjeve moke; koliko dobijo

prečiščenega sladorja po 80 % i n  sirupa po 16 % ?

19. ) V nekem mestu je bilo rojenih nekega leta 1650 otrok, in sicer

52 % dečkov in 48 % deklic; koliko je bilo dečkov in koliko
deklic ?

Včasih računa se znesek za kako vsoto po promila ali od-
tisočku  (Promille, °/ 00 ),  t. j. po 1000. V tem slučaji treba vsoto, za
katero se išče znesek, množiti s promilom in produkt s 1000 deliti.

20. ) Nekdo ima 2 °/ 00  od 2550 gld. tirjati, t. j. 2 gld. od vsakih

1000 gld.; koliko je to?

21. ) Koliko je

a)  1 % 0  od 12360? b)  l|% n  od 9460?

c)  lf% 0  od 8880? d)  2 °/ 00  od 1895?

22. ) Nekdo kupi za druzega za 2400 gld. državnega dolga in dobi

za svoj trud \  °/ 00 ; koliko je to?

23. ) Nove avstr, dvajsetice imajo 500 %o čistega srebra; koliko čistega

srebra je v jedni taki dvajsetici, ako ji je cela teža 2 §■ g?

24.) Katera vsota da po 6 % kot znesek 45 gld. ?

S sklepi:

6 gld. zneska da 100 gld. vsote

, 100 gld. 2

1 » -g— = 16f gld.

45 » » » 16|- gld. x 45 = 750 gld.

Ali: 6%, t. j. T % vsote = 45 gld.

1  %. t- j' rho  ’ =7-0  gld.,

tedaj vsota sama = 7'5 gld. X 100 = 750 gld.

S pomočjo sorazmerja:

x  : 100 = 45 : 6; x —  750 gld.

25. ) Katera vsota da

a)  po 2 °/ 0  48, b)  po 3 °/ 0  74, c)  po 4% 38,

d)  po 4i% 50, e)  po 5 °/ 0  110, f)  po 6% 150

kot znesek?

26. ) Katera vsota da po 5 °/„ 61 gld. 75 kr. kot znesek?

27. ) Koliko prebivalcev ima mesto, ako jih je 22% 572?

28. ) Ako dobiš iz pese 5 % neprečiščenega sladorja, koliko kg  pese

je treba za 4720%  neprečiščenega sladbrja?

29. ) Pri neki kupčiji je bilo 24% izgube; koliko vsoto je bil vložil

oni, ki dobi 2165 gld. nazaj?

160

30. ) Koliko je vredno blago, ako znašajo po 6i°/ 0  računani po¬

stranski stroški 73 gld. 24 kr.?

31. ) Koliko °/o treba od 3900 gld. vzeti, da dobiš 156 gld.?

Sklepaj:

Vsota 3900 gld. da kot znesek 156 gld.

inA  156 »

» 100 » » » » -gg- = 4 gld.,

ali:

1 % od 3900 gld. je 39 gld.; 156 gld. je tedaj toliko °/ 0  od 3900 gld.,
kolikorkrat je 39 gld. v 166 gld., tedaj 156 : 39 = 4%.

S pomočjo sorazmerja:

x  : 156 = 100 : 3900; x  = 4 gld.

Od 100 gld. treba tedaj 4 gld., t,. j. 4% vzeti.

32 . ) Koliko °/o vs °te 600 da 24 za znesek?

33 . ) V neki zmesi iz srebra in bakra je 10 °/ H  bakra, koliko °/„ te¬

daj srebra?

34 . ) Da se pokrijejo deželni stroški, razpiše na vsak goldinar davka

24 kr. priklade; koliko °/ 0  znaša ta priklada?

35. ) Koliko °/o j e

a)  40 kr. od 5 gld? b)  4| gld. od 105 gld.?

c)  75 gld. od 1250 gld.? d)  39 gld. 27 kr. od 748 gld.?

e)  303 marke od 8060 mark?

f)  1624| fnt. sterling od 9848 fnt. sterling?

36 . ) Izmed 461 20letnili oseb učaka jih 300 50. leto ; koliko ° 0  jih

umrje od 20. do 50. leta?

37 . ) Neka dežela ima 87560 otrok, kateri bi morali v šolo hoditi,

a od teh jih obiskuje šolo le 83250; koliko °/„ onih, ki bi
morali, obiskuje tedaj šolo?

38. ) Češka ima 519‘55 /.im*  površja, med temi 238'90 f® 2  njiv;

koliko °/o vsega površja pride na njive?

39 . ) Ulit železen drog od 2‘31 m  dolžine skrajšal seje, ko seje

ohladil, za 0’23 dm\  za koliko °/ 0  seje skrčil?

40 . ) Za koliko °/ 0  od 400 je 406 večje nego 400?

41 . ) Za koliko °/o °d 406 je 400 manjše nego 406?

42 . ) 1 danski čevelj = 0'314m, 1 švedski čevelj = 0'297 t«; a)  za

koliko % j e  1 dan. čevelj večji od 1 Šved. čevlja? b)  za koliko
°/ 0  je 1 Šved. čevelj krajši od 1 dan. čevlja?

43 . ) Razmerje med zemljep. miljo in novo nemško miljo je 231

proti 230; za koliko "/„ je prva večja od druge?

44 . ) Iz 169% apnenca nažge se 83i kg  živega apna; koliko °/o

izgubi apnenec pri žganji?

161

45. ) Pri nekem konkurzu dobi nekdo za 1152 gld., katere ima ter¬

jati, le 768 gld.; koliko °/ n  ima izgube?

46. ) Ako je v 4 lil  pšenice toliko hraniva kolikor v 5 hi  rži, za

koliko °/ 0  je v pšenici več hraniva nego v rži?

47. ) Neka železnica je imela meseca maja 80368 gld., meseca junija

107435 gld. dohodkov, za koliko °/ n  so oni meseca junija večji?

48. ) Dunaj je imel leta 1840. 356870, leta 1870. 622087 prebivalcev;

za koliko °j„  se  j e  prebivalstvo Dunaja v tem času pomnožilo?

49. ) 1245 gld. kapitala je naloženih po 5 °/ 0  i koliko obrestij nesejo

na leto?

50. ) Koliko obrestij da na leto

a) 575 gld. po 4°/ 0 ? b)  708 gld. po 4-1 °/ 0 ?

c)  1560 gld. po 6°/ 0 ? d)  1848 gld.' 84 kr. po 5f °/ 0 ?

51. ) Koliko obrestij da v 1 letu

a)  729 mark 12 fenig. po 5-|°/ 0 ?

b)  2538’18 franka po 6 % ?

52. ) Koliko obrestij da 7238 gld. 72 kr. v 1 letu

a) po 4f °/ 0  ? i)  po 3|°/o? c)  po 6i°/„?

53. ) Neka hiša je vredna 24800 gld. in nese 4\  °' 0  ; kolika je na¬

jemnina ?

54. ) Koliko obrestij da

a)  942 gld. po 5 °/ 0  v 3 letih?

b)  548 gld. 40 kr. po 4|% v 5 letih?

c)  2380 gld. po 51% v 2f leta?

55. ) Koliko obrestij da 739‘35 drahme po 5 °/ 0  v 2|- leta?

56. ) Koliko obrestij da

a)  896 gld. po 4% v 6  mesecih?

b)  2205 gld. po 6 °/ 0  v 4 mesecih?

c)  10808 gld. po 6-| 0, 0  v 2 mesecih?

57. ) Koliko obrestij nese

a)  8345 lir po 6°/ n  v 3 mesecih?

b)  536-lg- fnt. sterling po 5j"/ 0  v  1 meseci?

58. ) Koliko obrestij da

a)  1350 gld. po 6% v 72 dneh?

b)  4065 gld. po 4% v 123 dneh?

c)  2104 gld. po 51%, v 182 dneh?

Leto se računa po 360 dnij.

Aritmetika. 11

162

59. ) Koliko obrestij nese 1238 rubljev po 5f°/ 0

«) v 1 letu? h)  v 4 mesecih? c)  v 1 dnevi?

60. ) Koliko obrestij da 4088 gld. 40 kr. po 6f °/ 0

a) v 1 meseci? b)  v 10 dneh? c)  v 4 dneh?

61. ) Koliko kapitala treba naložiti, da da po 5i°/ 0  na l eto 308  gld.?

Tu sklepamo:

5| gld. obrestij daje 100 gld. kapitala
1 » » » 100 gld. : 5-| = 2 t ° t ° gld. kap.

308 » » » 2 -~  gld. X 308 ■= 5600 gld. kap.

ali:

5|-% ka P- = 308 gld.

l°/ 0 , t. j. kapitala = 308 : 5±  = 56 gld , tedaj kapital sam = 56 gld.
X 100 = 5600 gld.

S pomočjo sorazmerja:

x  : 100 = 308 : 5T; x —  5600 gld.

62. ) Kateri kapital da po 4 ‘-'/o na leto 32-| gld. obrestij ?

63. ) Hiša nese po 5 °/ n  406 gld. obrestij; kolika je nje vrednost?

64. ) Kolik je kapital, kateri nese po o % na loto

a)  165'5 gld., b)  258 mark 68 fenig. obrestij?

65. ) Kateri kapital nese po 5^ °/' n  na leto

a)  355'64 franka, b)  139 rubljev 12 kopejk obrestij?

66. ) Kolik je kapital, kateri da, po 4 °/ 0  izposojen, v 4 mesecih

56 gld. obrestij?

67. ) Kateri kapital nese po 5f°/o 328  gld. 60 kr. obrestij na mesec?

68. ) Po koliko °/ 0  izposojen je kapital od 450 gld., ki daje 18 gld.

obrestij na leto?

69. ) 3445 gld. kapitala daje na leto 250 gld. 31 kr. obrestij; po ko¬

liko °/o j e  naložen?

70. ) Koliko % nese hiša, katera je za 8340 gld. kupljena, a daje

375 gld. 30 kr. najemnine?

71. ) Kolika je obrestna mera (%) °d 6400 mark kapitala, ako daje

oni kapital na leto 288 mark obrestij?

72. ) Od 25 milijonov goldinarjev treba plačati vsako leto 1125000 gld.

obrestij ; koliki so procenti ?

73. ) Neko blago tehta s sodi vred, v katerih je, 1540&y; koliko

znaša tara* po 5 °/ n  ?

* Ako zvagamo kako blago s posodo vred, v kateri je, imenujemo to težo
surovo ali nečisto težo (Brutto-, Sporcogevvicht); težo posode imenujemo pa taro,
in ta je dana dostikrat v procentih od nečiste teže. Ako odštejemo taro od nečiste
teže, dobimo čisto težo (reines, Nettogewicht) blaga.

163

74. ) Kolika je tara

a)  od 285 % po 4°/ 0 ? b)  od 958% po 10 % ?

c)  od 2540 fnt.  po 9-| % ? % od 3175/m/, po 8%?

75. ) Koliko znaša tara od 5044%

«) po 3%? b)  po 5|%? c)  po 12%?

76. ) Odposlane smokve imajo 735 % surove ali nečiste teže: kolika je

a)  tara po 12 %? b)  čista teža?

77. ) Neko blago ima 3780% nečiste teže; kolika je čista teža, ako

znaša tara 3%, 5-§-%, 12 %?

78. ) Koliko stane 6 cul bombaža, ako jim je nečista teža 1180%,

tara 6% in se računa 100% čiste teže po 107f gld.?

79. ) Trgovec dobi kave, katera ima 3244/«/. nečiste teže, 1 fnt.

čiste teže po 78 fenig.; koliko ga stane vsa kava, ako se računa
2 °/ n  tare?

80. ) Na 1950 % nečiste teže dovoli se 78% tare; koliko % znaša

tara ?

81. ) Neko blago ima 7750% nečiste in 6946 % čiste teže; po ko¬

liko % se je računala tara?

82. ) Nekdo kupi za nekega trgovca za 3054 gld. blaga; kolika je

njegova opravnina po 2%? (§93.)

83. ) Kolika je opravnina po 2 %

o) od 458 gld.? b)  od 720 gld.? e) od 912 gld. 75 kr.?
d)  od 1325 gld.? e)  od 3912 gld.? f)  od 1118 gld. 50 kr.?

84. ) Kolika je provizija od 4760 gld.

a)  po |%? ' b)  po |%? c) po 1| %? d)  po lf%?

85. ) Opravnik zaračuna si od 2085 gld., katere je skupil za blago,

1| (l / 0  provizije; kolika je ta?

86. ) Opravnik dobi 22 gld. 74 kr. provizije zato, ker je kupil za

936 gld. blaga; koliko °/ 0  znaša provizija?

87. ) Ako znaša opravnina od neke vsote po 2 % 184 gld. 50 kr.,

kolika bi bila opravnina po 2i%?

88. ) Nekdo kupi za nekoga druzega 3125% kave, q  po 154 gld.;

kolik bode račun, ako znaša provizija 2 % ?

89. ) Opravnik kupi v Parizu za 8563 frank. 36 centim, blaga,

troškov zaračuna 218 frankov in provizije 2%; kolik bode
račun za nakupljeno blago (faktura)?

90. ) Nekdo proda za nekoga druzega za 2085 gld. blaga; koliko

ostane prodajalcu po odbitku lf-%  provizije?

u"

164

91 . ) Koliko velja. 2108% nečiste teže nekega blaga, ako se računa

tara po 9°/ 0 > q  čiste teže po 82 gld. 80 kr. in opravnina za
nakup po 14 °/o

92 . ) Kolika je mešetarina od blaga, vrednega 2640 gld., po i%?*

93. ) Kolika je mešetarina po f °/o

a)  od 618 gld.? b)  od 506 gld. 58 kr.?

c)  od 3096 gld.? d)  od 2744 gld. 87 kr.?

94 . ) Kolika je mešetarina po § %

a)  od 3865 frankov? h)  od 708 mark 65 fenig.?

95. ) Kolika je mešetarina pri menjiškem opravilu od 12845 gld.

P« 1°L?

96. ) Od blaga, ki je 1480 gld. vredno, plača se mešetarju 9 gld.

25 kr.; po koliko °/ 0  računala se je mešetarina?

97. ) Mešetar posreduje nakup 1245% sladorja po 46 kr. in dobi

i°/„ mešetarine; koliko znaša mešetarina?

98. ) Kolika je zavarovalnina od 5380 gld. po 2%?**

99. ) Kolika je zavarovalnina od 7850 gld.

% po {°o ? h )  P° f°/o? c)  po l°/ 0 ? d)  po 1*%?

100. ) 13750 gld. vredno blago zavaruje se od Trsta do Aleksandrije

proti pomorski škodi po lf'Y 0 ; kolika je zavarovalnina?

101. ) Na 17800 gld. cenjena hiša zavaruje so pri zavarovalnem dru¬

štvu proti ognju po l|-°/oi koliko znaša zavarovalnina?

102 . ) Hišni posestnik plača od svoje hiše zavarovalnemu društvu

18 gld. 84 kr.; kolika je vrednost hiše, ako je računalo dru¬
štvo l°/ 0  l e  vrednosti?

103 . ) V Trstu se zavaruje blago za 6800 gld.; koliko je zavarovalnih

troškov, ako znaša zavarovalnina lj°/ 0 , mešetarina l°/ 0 n ' n
velja zavarovalni list (polica) 1 gld. 60 kr.?

104 . ) Zakonita vrednost ces. zlatnikom je bila 4 gld. 30 kr. konv. vr.;

koliko je bil zlatnik vreden pri 15°/ 0  nadavka?***

* Zaprisežene osebe, katerim je posredovati pri kupčiji med trgovci istega
mesta, zovejo se mešetarji ali senzali (Miikler, Sensale). Nagrada, ki jo dobe
za svoj trud, zove se mešetarina ali sen za rij a (Sensarie, Courtage).

** Društva, katera prevzemo proti določeni pristojbini odškodovanje za ne¬
zgode in izgube, nastale bodisi vsled prirodnih, bodisi vsled izvanrednih dogodkov,
zovejo se zavarovalna društva (Assecuranz-Gesellschaften); pristojbina pa, ka¬
tera se jim naprej plačuje zato, da prevzemo odškodovanje, zove se zavaroval¬
nina  (Versicherungspramie)

*** Nadavek  (Agio) zove se znesek, za katerega novec v prometu več velja,
nego mu je zakonita vrednost.

165

105. ) Koliko treba v bankovcih plačati za 860 gld. srebra, ako ima

srebro a)  1%, b)  1 i%, c)  2f°/ 0 , d)  3i 0/ 0  nadavka?

106. ) Za 1350 gld. v zlatu treba plačati 1566 gld. v srebru; koliko

°/ 0  nadavka ima zlato?

107 . ) Nekdo kupi za 928 gld. blaga in ima pri prodaji 12 °/ 0  dobička,

t j. za vsakih 100 gld., katere je pri nakupu izdal, dobi pri
prodaji 112 gld.; a)  kolik je dobiček, b)  koliko skupi pri prodaji?

108 . ) Pri predivu, katero se je kupilo za 600 gld., je pri prodaji

10° 0  dobička; kolik je dobiček?

109 . ) Za koliko se je prodalo blago, katero se je kupilo za 795 gld.

in pri katerem je bilo 6% dobička?

110 . ) 1 q  olja se kupi za 84 mark; po čem treba prodajati kg,  da

je 12°/ 0  dobička?

111. ) m  sukna kupi se po 5 gld. 25 kr.; po čem treba m  prodajati,

da bode 15- % dobička?

112 . ) Koliko dražje treba prodajati lm  sukna, kateri seje kupil

za 3 gld. 48 kr., da bode 12j-°/ 0  dobička?

113 . ) Neko blago se je kupilo za 4250 gld., dobička pa je bilo pri

prodaji 340 gld.; koliko °/o j e  bilo dobička?

114. ) Nekdo kupi 166?» sukna za 396 gld., m  pa proda po 4|-gld.;

kolik je a)  ves dobiček, b)  v procentih?

115 . ) Nekdo kupi m  sukna po 4 gld. 45 kr., prodati pa ga mora s

4°' 0  izgube; a)  koliko izgubi pri lin? b)  po čem prodi 1 m?

116 . ) Žitni trgovec kupi za 1215 gld. ječmena ter prodi s 6|°/ 0

dobička hi  po 4jt gld.; koliko hi  je bil kupil?

117 . ) Nekdo kupi 27 M  vina po 28f gld. in 32 hi  po 25f gld.; prvo

proda l  po 36 kr., drugo po 32 kr.; kolik je ves njegov do¬
biček in kolik v procentih ?

118 . ) Nekdo kupi 34 q  blaga za 1325 gld. v srebru, katero ima 1 ° 0

nadavka, in prodi q  po 5j gld. v papirnatem denarji; koliko
0, 0  ima dobička?

2. Račun nad sto in pod sto.

§ 95 -

Naloge.

1.) Kolik je znesek od 1325 gld. po 6% nad sto, t. j. koliko dh
1325 gld., ako se računa od 106 gld. 6 gld.?

X  : 6 = 1325 : 106; x =  75 gld.

166

2. ) Koliki so zneski nad sto

a)  od 694 gld. po 2 % ? b)  od 923 gld. po 3 % ?

cj od 1314 gld. po 10 %? d)  od 3260 gld. po 5 °/ 0  ?

3. ) Koliko je 6-|% nad sto

oj od 2907 T 8 ¥  marke? 6j od 3544|- franka?

4. ) Nekdo plača čez 1 leto za vsoto, katero si je bil po 5% iz¬

posodil, 3071 gld. 25 kr. nazaj ter poplača s tem kapital in
obresti; koliko je bilo tu obrestij ?

5. ) Kolik je 15% dobiček pri blagu, katero seje  za 1860 gld.

prodalo ?

6. ) Neko blago stane z 2 % kupno opravnino vred 3207 gld. 90 kr.;

a)  kolika je opravnina? b)  kolika je kupna cena sama?

7. ) Katera vsota da 90 gld. po 5% nad sto, t. j. katera vsota je

potrebna, da dobiš 90 gld., ako treba 105 gld., da dobiš 5 gld.?

8. ) Od katerih vsot računani so sledeči zneski nad sto:

a)  78 gld. po 3 %? b)  97'8  gld. po 6%?

c)  164 t 3 ,j-  lire po 8-1%? d)  681f marke po 8f%?

9. ) Koliko znašajo sledeče vsote po odbitku dodanih procentov

nad sto:

a)  1825 gld. po 5%? b)  928 gld. po 12£%?

c)  3645 frankov po 1 %? d)  776 mark po 3 %?

10. ) Koliko znašajo % nad sto, ako se računa mesto 158 gld. samo

153| gld. ?

11. ) Kolik je znesek od 1634 gld. po 5 % pod sto, t. j. koliko da

1634 gld., ako da 95 gld. 5 gld.?

x  : 5 = 1634 : 95; x  = 86 gld.

12. ) Koliki so zneski pod sto od

a)  2508 gld. po 18 %? b)  836 gld. po 8|- % ?

c)  7018 gld. po 21-%? d)  160% marke po 6~%?

13. ) Koliko da 582 gld., ako jih pomnožimo za 3% pod sto?

x  : 100 = 582 : 97 ; x  = 600 gld.

14. ) Nekdo plača za dolg, od katerega se mu 3 ° 0  popusti, 2913 gld.

60 kr.; a)  kolik je popust? b)  kolik je bil dolg?

15. ) Nekdo skupi za prodano blago po odbitku 2 % opravnine 2773 gld.;

kolika je a)  opravnina, b)  čista prodajna cena?

16. ) Katera vsota da 90 gld. po 5 % pod sto, t. j. katera vsota da

90 gld., ako da 95 gld. 5 gld.?

x  : 95 = 90 : 5; x —  1710 gld.

17. ) Od katerih vsot so računani sledeči zneski po dodanih pro¬

centih pod sto:

167

a)  300 gld. po 10%? b)  128-| gld. po il£%?

c)  130-2 franka po 3| % ? d)  781 marke po 1-1%?

18. ) Koliko je % pod sto, ako se računa od 5031 gld. 129 gld.?

19. ) Koliko je % pod sto, ako se računa mesto 937'5 gld. 1000 gld.?

20. ) Neko blago prodalo seje s 15% izgube za 1860 gld.; kolika

je izguba?

21. ) Pri plačevanji nekega blaga znesel je 31% odbitek 1751 gld.;

koliko je plačal kupec?

22. ) Koliko % od sto je a)  6% nad sto, b)  6% pod sto?

23. ) Koliko je 4% od 660 gld. a)  od, b)  nad, c)  pod sto?

24. ) Katera vsota da po 4% 20 gld. n)  od, b)  nad, c)  pod sto?

25. ) Koliko % a )  0( i, b)  nad, c)  pod sto je 20 gld. od 500 gld.?

26. ) Kolik je odbitek (Discont.) od 845 gld. po 2% a)  nad sto,

b)  od sto?*

27. ) Kolik je odbitek nad sto

a)  od 749 gld. po 4 °/ 0  ?
c)  od 1234 gld. po 3 %?

28. ) Kolik je odbitek od sto

a)  od 815 gld. po 6%?

<)  od 3804 - 5 gld. po 1%?

29. ) Vsota od 505 gld., plačljiva čez 2 meseca brez obrestij, izplača

se takdj s 6 % odbitka nad sto pr o anno,  tedaj z 1 % za  2
meseca; a)  kolik je odbitek, b)  koliko gotovo plačilo?

a) x :  1 = 505 : 101, b)  plačilo čez 2 meseca 505 gld.

x —  5 gld. odbitka. odbitek 5 »

b)  od 658 gld. po 4-|%?
d)  od 3245 frank, po 2%?

b)  od 913 gld. 24 kr. po 5|°/o?
d)  od 2407 mark po a % ?

gotovo plačilo 500 gld.
500 gld. gotovega plačila da s 6 °/ 0  obrestmi vred čez 2 me¬
seca 505 gld.

30.) Od 505 gld., plačljivih čez 2 meseca, odpusti se pri gotovem
plačilu za 2 meseca 1 °/o 0 d sto; a)  kolik je odbitek? b)  koliko
gotovo plačilo?

a)  505 gld. po 1 % b)  plačilo čez 2 mes. 505 gld.
5 "05 gld. odbitka odbitek 5'05 »

gotovo plačilo 499 • 95 gld.
499-95 gld. gotovega plačila da s 6% obrestmi čez 2 meseca
504'9405 gld.

* Ako se brezobresten kapital, dolg- za blago ali menica izplača pred dolo¬
čenim plačilnim rokom, dovoljuje se dolžniku zarad te predplačbe primeren odbitek
(Discont, Sconto, Rabatt). Ako se odšteje odbitek od dane vsote, zove se ostanek
gotovo (contant) plačilo.

168

Da je odbitek prav in pravičen, treba da da gotovo plačilo, pomnoženo za
dotične obresti do plačilnega roka, natanko dolžni kapital. Potem pa sledi iz zadnjih
dveh primerov, da ne velja računati odbitka od sto, nego pravilnejše nad sto. A
ker je procentni račun od sto priročnejši nego nad sto, in ker se rezultata obeh
računov za majhne roke le neznatno razlikujeta, računajo trgovci pri blagu in me¬
nicah, ker je tu rok večinoma le kratek, odbitek zmerom po priročnejšem procentnem
računu od sto.

V sledečih nalogah treba tedaj pri plačilih za blago in pri menicah računati
odbitek od sto.

31. ) Nekdo kupi za 3227 gld. blaga; ako se mu dovoli 3% od¬

bitka, koliko bo gotovo plačal?

32'27 X 3 blago velja 3227 gld.

96 ‘81 gld. = 96 gld. 81 kr. odbitka je 96 gld. 81 kr.

gotovo plačilo znaša 3130 gld. 19 kr.

32. ) Koliko treba gotovo plačati za blago, ki velja 818 gld. po od¬

bitku ip/o? r

33. ) Nekdo kupi 738 kg  blaga po 68f kr.; ako plača gotovo, dobi

3-| 0 /„ odbitka; koliko je gotovo plačilo?

34. ) Menica na 780 gld. kupi se 2 meseca pred plačilnim rokom s

5 "/o odbitka; a)  kolik je odbitek; b)  koliko treba kupcu plačati?
Odbitek za 2  meseca je j) °/ 0

35. ) Menica na 2379 gld., katera se izteče dnš 15. oktobra, proda

se dne 9. septembra s 6 °/ 0  odbitka; kolika je vrednost menice
po odbitku?

Pri računanji meničnega odbitka jemljo se meseci po toliko dnij, kolikor
jih v resnici imajo; obrestna mera pa velja za 360 dnij. Tu je od dne 9. sept.
do dne 15. okt. 36 dnij = leta; tedaj treba tu j 6 ^- = f-% odbitka računati-

36. ) Pri nekem blagu je zarad gotovega plačila 2 °/ 0  popusta; ako

znaša ta popust 35p gld., koliko velja blago?

37. ) Ako se prodaja q  blaga za gotovo plačilo po 54'99 gld., po

čem ga treba prodajati na čas z 2-|- % odbitka ?

38. ) V Lyonu plača se za svilo 4309'47 frk. mesto 4353 frk.; ko¬

liko °/ 0  je odbitka?

39. ) Za neko blago treba 1280 gld. čez 40 dnij plačati, plača pa se

gotovo 1267 gld. 20 kr.; koliko °/o odbitka dovoljenih jepro anno?

40. ) Koliko °/o računa se na leto, ako je od 1750 mark za 36 dnij

3| marke odbitka?

41. ) Kolik je odbitek od 6160 gld. nad sto, ako znaša od sto 246 gld.?

42. ) Za 1640 gld. plačalo se je pri 5 °/ 0  nad sto gotovo 1520 gld.;

kedaj je bila ta vsota plačljiva?

169

43. ) Nekdo ponudi za hišo 11820 gld. pod pogojem, da izplača ta

denar še-le čez tri leta; koliko gld. je ponudba sedaj vredna,
ako se računa 5 °/ 0  odbitka ?

44. ) Koliko znaša knjigarsk račun od 432 gld. 48 kr. po odbitku

12-| % rabata?

Popust ali rabat (Rabatt), katerega dovoljujejo založniki ostalim knji-
garjeni na prodajno ceno knjig, je odškodnina za troske in trud pri pre¬
dajanji. Knjigarski rabat računa se zmerom od sto.

46.) Kolik je rabat po 25  % pri knjigarskem računu a)  od 650 gld.
45 kr., b)  od 743 mark 18 fen.?

46. ) (Jista cena knjigi je 4 marke 60 fen.; kolika je prodajna cena,

ako da založnik 25% rabata?

47. ) Kolik je knjigarsk račun, ako znaša rabat po 334% 128 gld.

24 kr.?

48. ) Koliko % znaša rabat, ako je prodajna cer.a 1 izvodu 12 mark

40 fen. in se plača za 30 izvodov 279 mark čisto?

49. ) Založna knjigarna <14 natisniti 2000 izvodov neke knjige; spi -

satelju je plačala 600 gld. nagrade; knjiga ima 15 pol in troški
za papir in tisek znašajo 35 gld. za polo. Koliko ima pr tem
natisu dobička, ako je cena 1 izvodu 1 gld. 40 kr. in rabat,
ki ga dovoli drugim knjigarjem, 25 %?

60. ) m  je za 28-§-% daljši od dun. vatla; koliko m  je 112J- dun. vatla?

61. ) Švedski vatel je za 5f % krajši od danskega; koliko švedskih

vatlov je 250 danskih?

62. ) V neki tvornici so povišali delavcem plačo za 15%; 80 delav¬

cev je dobilo potem skupaj 134 gld. 40 kr. na dan. Koliko
je zaslužil 1 delavec na dan, predno so plačo povišali?

63. ) Nekdo plačuje za 34% pribitka k najemnini na leto 14 gld.;

koliko plačuje na leto najemnine s pribitkom vred?

54.) Koliko treba nekomu danes po 6% izposoditi, da dobi čez tri
leta z obrestmi vred 1475 gld. nazaj?

65.) Kolika je pri 5% obresti) sedanja vrednost 100 gld., plačljivih
a)  čez 1 leto, b)  čez 2 leti, c)  čez 6 mesecev? (Nad sto.)

56. ) Koliko je sedaj vrednih 2000 gld., plačljivih čez 2',  leta, ak>'

se računa 5% odbitka pro nuno?

57. ) Neka hiša ima dva kupca; prvi ponuja 13500 gld. takoj, drugi

15000 gld. čez 6 mesecev ali pa s 6% odbitka takoj; katera
ponudba je za prodajalca ugodnejša?

170

58. ) Po odbitku 4|-°/ 0  nad sto zmanjšala se je neka vsota na 650

goldinarjev; kolika je bila prej?

59. ) Za dolg, katerega treba čez 3f leta plačati, plača se po odbitku

4% takoj 1080 mark; kolik je dolg?

60. ) Kolik je kapital, za katerega se plača po odbitku 4% za 72

dnij tak6j 1500 gld. ?

Koliki del leta je 72 dnij? Koliko °/ 0  odbitka treba tedaj za 72 dnij
računati? Ako pa se plača mesto 100^ gld. čez 72 dnij takoj 100 gld., ka¬
teri vsoti je gotova vrednost 1500 gld.?

61. ) Za 980 gld. dolga, katerega treba čez 6 mesecev plačati, plača

se takoj 931 gld.; koliko °/ 0  odbitka se računa?

62. ) Koliko °/ 0  znaša odbitek, ako se plača 1200 gld., potem ko se

je za 45 dnij 9| gld. odbitka odštelo?

63. ) Nekomu treba 345 gld. davka plačati; dovoli pa se mu 3 °/ 0  P 0-

pusta; koliko bode tedaj plačal?

64. ) Koliko treba za 345 gld. davka s 3 n / 0  priklado vred plačati?

65. ) Nekdo je plačal za neki davek, katerega se mu je 4°/ 0  od¬

pustilo, 398 gld. 40 kr.; kolik je bil davek?

66. ) Za davek in 4°/ 0  priklado plača 468 gld.; koliko je pravega

davka?

67. ) V prodajni ceni od 788 gld. je 6 °/ 0  dobička; kolik je dobiček?

68. ) Za blago, katero se s 3 °/ 0  izgube proda, skupi se 520 gld.;

kolika je a)  izguba, b)  kupna cena?

69. ) Ako se proda neko blago za 150 gld., je 10°/ 0  izgube; za ko¬

liko treba blago prodati, da bode 5°/ 0  dobička?

70. ) Ako se proda neko blago za 462 gld., je 16f n / 0  dobička; ko¬

liko °/n j e  dobička, ako se proda za 420 gld.?

71 . ) Trgovec dobi za prodano blago po odbitku 2i°/„ troskov

6676f franka; koliko je bilo troskov?

72. ) kg  nekega blaga prodaja se z 10°/ 0  troški in 12°/ 0  dobičkom

vred po 45’5 kr.; po čem je bil kupljen?

73. ) Po čem sme trgovec lq  kupiti, ako mora 2 °/o opravnine dati

in hoče kg  z 10°/ o  dobičkom vred po 60 kr. prodajati?

V. Naloge za ponavljanje v računanji z razmerji.

§ 96.

1. ) Koliko treba plačati za 3f« zemlje, ako velja 5f a  52 T 7 (y  gld.?

2. ) Trgovec ima pri 1 kg  kave 16 kr. ali 10 "j, dobička; po čem

je kupil q ?

171

3. ) Koliko obrestij nese na leto 749f gld.

a)  po 4i %? h)  po 5f °/ 0  ? c)  po 6 % ?

4. ) Kateri kapital da po 5-|°/ 0  na leto 189 gld. obrestij?

5. ) Po koliko °/ 0  treba naložiti 3127 gld. kapitala, da nese na leto

125 gld. 10 kr. obrestij?

6. ) Koliko velja kg  čistega zlata, ako velja kg  zlata od 900 tisočin

čistine 1208 gld.?

7. ) lili grške drahme znaša 45 gld. avstr. vr.; koliko goldinarjev

avstr. vr. je 2085 drahem ?

8. ) Za njivo, katera meri bb\m'\  plača se 8f gld.; koliko velja

po isti ceni 1 ha  njive?

9. ) Iz neke cevi priteče v 44 minute 98j-/ vode; koliko l  priteče

iz iste cevi v 45 • 2 minute ?

10. ) Da se prevleče soba s tapetami, treba 28 zvitkov tapet po 45 cm

širokih; koliko zvitkov iste dolžine bode treba, ako so tapete
le 42 cm  široke ?

11. ) Kolika je pot, katero preteče lokomotiva pri istomerni vožnji v

4 urah 24 minutah, ako preteče v 2 urah 15 minutah 69 km
2 74 m ?

12. ) Pravokotno v zemljo zasajena, 1-| m  dolga palica dela 2 T 7 5  m

dolgo senco; kolika je višina stolpu, čegar senca ima istodobno
30im dolžine?

13. ) Izmed dveh cevij napolni jedna vodnjak v 2 urah 48 minutah,

druga pa v 1 uri 51 minutah; koliko hi  vode da prva v 1 uri,
ako je da druga vsako uro 8'35A/?

14. ) A  posodil je B- u 900 gld. na 5 mesecev, in sicer brez obrestij;

za koliko časa mora B A- u 1250 gld. posoditi, da mu ono pri¬
jaznost povrne?

15. ) Koliko obrestij nese kapital v 2f leta, ako nese v 4|- meseca

12 gld. 48 kr.?

16. ) Trgovec z lesom kupi za 918f gld. drv ter jih proda za 1007f gld.;

koliko % dobička ima pri prodaji?

17. ) Knjigar dobi iz Lipskega za 384 mark 60 fen. knjig; koliko

treba mu plačati, ako je 334% rabata?

18. ) Kaj je dražje: 28 »? za 89'04 gld. ali pa 35»? istega blaga

za 112-35 gld.?

19. ) Čisti znesek za prodano blago znaša po odbitku 24% troškov

3448 gld.; za koliko gld. se je prodalo blago?

172

20. ) Mesto 748§ gld. čez 4 mesece plača se takoj 733 T 3 ff  gld.; ko¬

liko °/ 0  znaša odbitek?

21. ) Menica na 928 gld., katero treba plačati dne 15. oktobra, plača

se s 6 odbitka pro anno  dne 2. sept.; kolik je odbitek?

22. ) V koliko kg  srebra od 720 tisočin čistine je toliko čistega srebra,

kolikor ga je v 5f kg  srebra od 940 tisočin čistine?

23. ) K 12 kg  850 tisočdelnega srebra primesijo 3 kg  bakra; kolika

je čistina zmesi?

24. ) Koliko srebra bode se dobilo za 4 ^kg  zlata, ako sta si ceni

srebra in zlata kakor 1 proti 15-1?

25. ) kg  kovnega zlata od 900 tisočin čistine plačuje se v francoskih

kovnicah po stalni ceni, namreč po 3094 frankov; po čem se
računa tedaj kg  čistega zlata?

26. ) V 375 novih avstr, dvajseticah je \kg  čistega srebra, čistina

jim je 0'5; kolika je teža 750 dvajseticam?

27. ) Razmerje med hranivom krompirja in pese je 16 T ~ proti lOf ;

koliko kg  pese ima toliko hraniva, kolikor gaje v 100 kg  pese?

28. ) Koliko hi  rži dobiš za 36 ~hl  pšenice, ako dobiš za 3 hi  pšenice

4f- hi  rži ?

29. ) Od 531 lOletnih ljudi učaka poprek 491 20tega leta; koliko %

jih umrje v dobi od 10. do 20. leta?

30. ) Češka je imela leta 1780. 2561794 in leta 1870. 5140156 pre¬

bivalcev; za koliko °/o pomnožilo se je prebivalstvo Češke v
tem času?

31,i Trdnjava ima 6800 mož posadke in živeža za 6-1 meseca; ko¬
liko mož mora oditi, da bodo ostali z onim živežem 81 meseca
izhajali ?

32. ) Telo preteče v 81 sekundah 672 - 3 ?m;  koliko časa potrebuje

za pot, ki je za 215'8 m  krajša?

33. ) Nekdo kupi dvojo kavo; 4 kg  prve vrste veljajo 7 gld. 36 kr. in

6 kg  druge vrste 10 gld. 56 kr.; kakšno je razmerje med cenama?

34. ) Za blago, ki je bilo za 1740 gld. kupljeno, plačalo se je zarad

opravnine 1770 gld. 45 kr.; koliko °/ 0  je bilo opravnine?

35. ) Nekdo kupi dva soda vina iste kakovosti, skupaj 26 hi 261:

prvi sod drži 15 hi  66/ in velja 391-1 gld.; koliko stane vino,
kar ga je v drugem sodu?

36. ) Za blago, katero je imelo 4192 kg  nečiste teže, plačalo se je

880 gld.; po čem pride q  čiste teže, ako se računa 16-f°/ u  tare?

173

37. ) Nekdo skupi za blago 5730 gld. in ima 4 4 n / 0  'zgube; za ko¬

liko jo bil blago kupil?

38. ) Koliko časa bilo je 364 gld. kapitala naloženega, da je nesel

toliko obrestij, kolikor jih da 390 gld. v 94 meseca?

39. ) Ako d k  8205 gld. v nekem času 765-f gld. obrestij, kateri ka¬

pital da v istem času za 193— gld. več' obrestij ?

40. ) Koliko gld. kapitala treba po 5% naložiti, da nese v nekem

času toliko obrestij, kolikor 3775 gld. po 4°/ 0 ?

41. ) Kapital da po 6 0 / (J  v nekem času 508 1 24 gld. obrestij; koliko

obrestij nese v istem času a)  po 4f-°/ 0 , b)  po 5f % <’)  po 6§°/ 0 ?

42. ) Računa se, da da smleta rž 84 °/ 0  moke in 4 °/ 0  otrobov; koliko

moke in koliko otrobov da 4724 leg  rži?

43. ) Pri neki konkurzni masi je 37500 gld. aktivnega imetka in

210000 gld. pasivnega imetka; koliko % dobe upniki, ako se
aktivni imetek med nje jednako razdeli?

44. ) Pri nekem stroji posezata dve kolesi drugo v drugo, prvo ima

4 dm,  drugo 6 dm  v premeru; kolikokrat se zavrti drugo, med
tem ko se zavrti prvo 12Okrat ?

45. ) Nekdo hoče njivo, katera je 14f m  dolga in 194?« široka, za

3J?« ožjo narediti; za koliko treba njivo podaljšati, da ji ostane
površje isto?

46. ) Nekdo plača 1 gld. 20 kr. zavarovalnine za blago, katero je

po železnici odposlal; za koliko je bilo blago zavarovano, ako
se računa \  °/oo zavarovalnine ?

47. ) Koliko obrestij nese 2896 gld. kapitala po 5-4% v 2 letih 6 me¬

secih 25 dneh?

48. ) Nekdo je dobil od svojega kapitala v 5 letih 8 mesecih 256“ gld.;

kolike so bile obresti od istega kapitala v 34 leta?

49. ) Kateri kapital da v 1 letu 8 mesecih toliko obrestij, kolikor

37154 gld. v 2 letih 4 mesecih?

50. ) Nekomu treba plačati 3000 gld. čez 8 mesecev; ako plača takoj,

dovoli se mu 6 % odbitka pro anno;  koliko je gotovo plačilo,
ako se računa odbitek n)  nad sto, b)  od sto?

51. ) Zidarsk mojster zahteva za neko zidanje 15000 opek po -f r//« *;

9600 takih opek je prejel, a sedaj se mu morejo dati le opeke
po % dm 3 ; koliko taeih opek treba mu še dati?

174

52. ) Gospod obljubi svojemu slugi na leto obleko in 144 gld.; čez

3 mesece ga odpusti in sluga dobi obleko in 18 gld.'; za koliko
se mu je obleka zaračunala?

53. ) V Avstriji se pridela na leto poprek 277400 ton železa; Šta¬

jerska ga pridela največ, namreč 102500 ton; koliko °/o vsega
železa pridela Štajerska?

54. ) Mesto, čegar prebivalstvo se je od leta 1840. do 1870. za 49 °/ 0

pomnožilo, imelo je leta 1870. 28032 prebivalcev; koliko pre¬
bivalcev imelo je mesto leta 1840.?

55. ) Zemlja preteče na svojem potu okoli solnca v jednem letu, t. j.

365'24222 dneva 129626823 zemljep. milj; koliko časa potre¬
buje, da preteče 1719 zemljep. milj, t. j. pot, kateri je jednak
njeni veliki osi?

56. ) Trgovec more kg  kave po 1 gld. 72 kr. prodajati; po čem treba

mu kupiti kg,  ako hoče 12 °/ 0  dobička imeti?

57. ) Pri blagu, katero se je kupilo po 80 gld. q,  je 12°/ 0  dobička;

koliko °/ 0  bode dobička, ako se q  po isti ceni prodaja, a za
5 gld. dražje kupi?

58. ) Nekdo kupi za 3500 frankov blaga; za koliko treba mu pro¬

dati blago čez 6 mesecev, ako računa na mesec \°j 0  obrcstij,
in če hoče 12 °/ 0  dobička imeti ?

59. ) Trgovec kupi 4 kose sukna po 30 m  za 512 gld.; po čem mora

prodajati m,  da dobi 15%?

60. ) Za neko kupčijo se združita 4 in j 8 ter vložita 12000 gld.;

A  je vložil 7000 gld. in kupčija da 960 gld. dobička; koliko
dobi A,  koliko B?

61. ) Za neko kupčijo vloži A  3500 gld., B  5250 gld., C  6750 gld.

in D  4500 gld.; vsega dobička je 1920 gld.; koliko dobi vsak?

62. ) Koliko stane 8 sodov medu, ako jim je nečista teža 2538 kg,

tara 12 °/ 0  in se računa q  čiste teže po 64 gld. 45 kr.?

63. ) Novim avstr, deseticam je čistina 400 tisočin in teža \\g ; ko¬

liko čistega srebra je v jedni desetici?

64. ) Nekdo kupi starih srebernih novcev, kateri tehtajo 2 • 348 kg,

čistina pa jim je 875 tisočin; koliko so vredni, ako se računa
kg  čistega srebra po 89 gld. ?

65. ) Dunajčan kupi menico na 2705 frankov 40 cent. na Pariz;

koliko gld. avstr. vr. mora zanjo plačati, ako je kurz na Pariz
46'50 (100 frankov — 46'50 gld. avstr, vr.)?

175

66.) Tržašk trgovec ima terjati v Hamburgu 3182 mark; koliko
gld. avstr. vr. bo za to dobil, ako je kurz na Hamburg 57'25
(100 mark = 57'25 gld. avstr, vr.)?

67 . ) Nekdo je dolžen A- u 500 gld., B- u 700 gld., C-u 400 gld.,

D- u 300 gld., premoženja ima pa le 1710 gld.; koliko dobe
upniki po razmerji terjatev?

68 . ) Za 207 oseb je živeža za 54 dnij ; s tem živežem se preskr-

bljuje 243 oseb 29 dnij; koliko časa bode izhajalo z ostalim
živežem 324 oseb?

69. ) Koliko 29 cm  dolgih, 12  m širokih in 4 cm  debelih opek gre na

1 m 3 ,  ako je stik 9 mm  širok in se za lom in zametek 94 %
računa ?

70 . ) Dvema pisarjema je zgotoviti jednako delt; prvi je dovrši v

5j- dneva, ako piše po 9f ure na dan; drugi pa napiše 5 pol
med tem, ko napiše prvi le 4, a on piše le 8 -| ure na dan. V
koliko dneh bode drugi pisar z delom gotov?

71 . ) Nekdo kupi 34y blaga za 1325 gld. avstr. vr. v srebru, katero

ima 1 %• nadavka, proda pa kg  po 54 kr. avst. vr. v papirnatem
denarji; koliko °j 0  ima dobička?

72 . ) Neko blago se kupi za 2128 gld., čez 4 mesece pa se proda

za 2540 gld.; koliko °/„ je dobička, ako je bilo tudi 114 gld.
brezobrestnih troškov in se na mesec 4°/o obrestij računa?

73 . ) Mešetar posreduje nakup blaga za 2181 gld. 7 kr. ter računa

14°/o mešetarine, katero plačata na spol kupec in prodajalec;
a)  koliko treba plačati kupcu za blago, h)  koliko dobi proda¬
jalec zanj ?

74 . ) Ako so plača v Frankfurtu na M. za 948 funtov 18- shill.

sterling 21257 mark, koliko znese 10 fnt. sterling?

75 . ) 100 srebernih rubljev tehta 5 fnt. 6  zlatnikov, čistina pa jim

je 834, t. j. v 96 delih, je 834 dela čistega srebra; koliko imajo
čistega srebra?

76 . ) Koliko tisočin čistega zlata imajo ruski poliinperiali, ker jili

gre po postavi 166-703 na 1 kg  čistega zlata in jih 152-712
1  kg  tehta?

77 . ) Koliko zlatnikov po osem goldinarjev je jednakih 1  severo-

amerikanskemu zlatemu orlu (eagle), ker ima 1  zlatnik po osem
goldinarjev 5'80645 <7  čistega zlata, a 1 orel 16-7183 </ telita
in mu je čistina T j-?

176

78. ) Po koliko °/ 0  izposojen je kapital, kateri nese sedaj 180 gld.

obrestij, prej pa je nesel po 5 °/ 0  200 gld. obrestij ?

79. ) Neki kapital narasel je s 5 °/ 0  obrestmi v 6 letih na 455 gld.;

kolik je bil kapital?

80. ) Nekdo je izposodil troje kapitalov: 541 gld. po 4| °/ 0 , 853 gld.

80 kr. po 5 °/ 0 > 1356 gld. po 6i°/ 0 ; kateri kapital moral bi iz¬
posoditi po 5b°' 0 , da bi dobil isto toliko obrestij na leto?

81. ) Trije jednaki kapitali, od katerih je izposojen prvi po 4l°/o>

drugi po 5 °/ 0 , tretji po b\  °/ (1 , neso vkup na leto 1240 gld.
obrestij; kolik je vsak kapital?

82. ) Menica na 4508 gld. izplača se 15 dnij pred plačilnim rokom

s 6 °/ 0  odbitka pro mino;  koliko treba zanjo plačati?

83. ) Ako se plača mesto 2500 gld. čez 2 leti, 2325 gld. 58 kr. čez

9 mesecev, koliko °/ 0  nad sto je odbitka?

84. ) A  kupi jedno delnico Rudolfove železnice v nominalni vred¬

nosti od 200 gld. za 155 gld.; koliko °/ 0  mu nese kapital, ako
plačujejo za delnico vsakega poluleta 5 gld. obrestij v srebru,
in če je nadavek srebru 1 °/ u  ?

85. ) Konjar ima za 28 konj krme za 5f meseca; čez 1|- meseca

pa proda 12 konj; koliko časa bo imel krme za ostale konje?

86. ) 5ti del jarka izkopalo je 22 delavcev v 35| dne; v koliko

dneh bode delo dovršeno, ako sedaj 6 delavcev odide?

87. ) 15 delavcev dovrši neko delo v 10 dneh; čez 3 dni popuste

3 delavci in čez zopet 5 dnij drugi 3 delavci delo; v koliko

dneh bode delo gotovo?

88. ) Neki stroj stane v Angleški 840 fnt. sterling, prevoznina do

Trsta znaša 24 °/ 0  Strojeve vrednosti; koliko stane stroj v Trstu,
ako je 1 fnt. sterl. = 11 gld. 85 kr. avstr. vr. ?

89. ) V nemški državi imajo nove zlatnike po deset mark; teh kujejo

139-1 iz 1 funta (500 gramov) čistega zlata; koliko gld. avstr,
vr. v srebru je vreden 1 zlatnik po deset mark, ker da 1 fnt.
zlata od čistine 771 avstr, zlatnikov po osem goldinarjev in

velja 1 tak zlatnik 8^ gld. avstr. vr. v srebru?

90. ) Na neki hiši sta dva dolga, od katerih treba na leto plačevati

640 gld. obrestij; od jed n ega kapitala, kateri znaša 6000 gld.,
plačuje se 4°/ 0 , od druzega pa 5 °/ 0 ; kolik je drugi kapital?

177

91. ) Nekdo izposodi 3700 gld. po b\  %; nekaj kapitala je sam po

4 °/o na pdsodo vzel; koliko kapitala je njegovega, ako mu na
leto 154~ gld. obrestij preostaja?

92. ) Nekdo vzame 2380 gld. po 4-| % na posodo ter izposodi od

teh 1400 gld. po 5-| °/ 0 ; po koliko % mora ostali del naložiti,
da mu na leto preostaja 14 gld. 35 kr. obrestij ?

93. ) V neko hišo se je zazidalo 28500 gld.; na hiši je hipoteka od

8000 gld., od katere je treba plačevati 41 %; davka je na
leto 651| gld.; za popravke računa se 130 gld. na leto. Ko¬
liko °/ 0  obrestij nese kapital, ako nese hiša na leto 1800 gld.
najemnine?

94. ) Koliko m 3  drže 3 zaboji, ako je vsak 2 m  dolg, l - 25»* širok

in 1'16 jm  visok, in koliko je voznine, ako se plača za vsakih
3'5 m 3  po 24f gld.?

95. ) Koliko treba plačati troškov za zavarovanje blaga, katero je

za 7600 gld. zavarovano, ako je zavarovalnine 11- °/ fi , mešeta-
rine 1% 0 , opravnine -|%, in ako velja zavarovalni list (po¬
lica) 2 gld. ?

96. ) Dunajsk trgovec proda za Tržačana 6 sodov zabelnega olja,

nečiste teže je 5258 kg,  tare 16%?  1 ? čiste teže po 84 gld.;
koliko je čistega zneska, ako se računa 1|% opravnine?

97. ) Tržačan kupi v Amsterdamu 3214 fnt. kave ter plača fnt. po

f gld. hol.; troski znašajo 20 % i koliko gld. avstr. vr. treba mu
plačati, ako se računa, da je 100 gld. hol. = 98 gld. avst vr.?

98. ) Za blago, ki ima nečiste teže 975 kg,  plačal je trgovec 1198 gld.

8 kr., tara znaša 4°/ 0 ; po čem mora kg  prodajati, da hode
imel 124°/ 0  dobička?

99. ) Trgovska hiša v Trstu kupi za trgovca v Gradci 2465 kg

kave po 158 gld. 40 kr. 1 q;  troškov računi 11 gld. 68 kr.,
mešetarine lf%,  opravnine 2 0 / o ; koliko ima terjati tržaška
hiša ?

100.) A  je dobil 5 zabojev blaga; vsak je imel nečiste teže 82 kg,
tare je bilo dovoljene 12%,  kupna cena za 1 kg  čiste teže
| gld.; ako je imel pri prodaji llf%  dobička, kolik je bil
ves dobiček?

Aritmetika.

12

Dodatek.

Pregled najvažnejših mer, utežij in novcev.

§ 97 .

Imamo časovne in prostorne količine.

Za merjenje v prostoru imamo najprej kotno in ločno mero
(Winkel- und Bogenmass).

Ostale prostorne količine določujemo na trojen način: nekatere
merimo po njih razsežnosti v prostoru, v to nam služijo mere v
besede ožjem pomenu; druge določujemo po njih teži, t. j. po
veličini pritiska vsled težnosti na podlogo; še druge določujemo po
številu posameznih kosov, imenujemo jili zarad tega kosovno
blago ali blago v kosih (Stiickgiiter). Mere same delimo na
dolgostne, ploskovne in telesne mere.

Splošno merilo za vrednost različnega blaga v trgovini in pro¬
metu je denar. Najbolj pripravne za uporabo kakor denar so po¬
sebno kovine in to drage kovine, srebro in zlato.

Kovinske kose določene oblike in teže, z napisom, grbom ;
imenom in podobo onega, ki jih daje kovati, imenujemo novce ali
peneze (Miinzen).

Vrednost novca ravna se po kovini, iz katere je skovan, po
čistini te kovine in teži.

Celo težo novca imenujemo njega robelj (Schrot), težo čistega
zlata ali srebra, kar ga je v njem, pa zrno  (Korn). Čistino (Fein-
gehalt) novca določujemo na ta način, da povemo, koliko delov
čistega zlata ali srebra je v kaki določeni zmesi.

Zakonite določbe o teži in čistini novca imenujemo novčno
mero  (Munzfuss).

Novci, skovani po določeni novčni meri te ali one dežele, zo-
vejo se tekoč denar  (Courantgeld). One novce, kateri so v to
odmenjeni, da izravnavajo manjše razlike pri plačevanji, imenujemo

179

drobiž (Scheidemiinzen). Navadno so iz bakra ali srebra, a zmerom
menj čisti nego bi primerno po svoji vrednosti biti morali.

Ako treba vrednost zlatili, ali srebernih novcev ali kake ra¬
čunske vrednosti določiti v kaki drugi vrednosti, gleda se ali na to,
koliko imajo zlata in srebra, ali pa na njih premenljivo, od razno¬
vrstnih okolščin zavisno vrednost, katero imenujemo tečaj ali kurz
(Cours).

I. Časovne in ločne mere.

§ 98.

Čas določujemo po letih, mesecih, tednih, dnevih i. t. d., in
sicer po sledeči razdelitvi:

1 leto ima 12 mesecev, 1 dan ima 24 ur,

1 mesec » 30 dnij, 1 ura » 60 minut,

1 teden » 7 » 1 minuta » 60 sekund.

Pri obrestnih računih računamo sicer navadno mesec po 30
dnij, tedaj leto po 12krat 30, t. j. 360 dnij; v resnici pa ima na¬
vadno leto 365, prestopno 366 dnij; isto tako imajo meseci nejed-
nako število dnij, in sicer :

januvar.31 dnij julij.31 dnij

februvar.28 » avgust.31 »

Obod kroga delimo na 360 jednakih lokov, stopinje (Grade)
imenovanih. Vsaki ločni stopinji (Bogengrad) pripada ob središči
kroga kot, katerega imenujemo tudi stopinjo, toda kotno sto¬
pinjo  (VVinkelgrad). Vsako kotno in ločno stopinjo ( n ) delimo na
60 minut  (') in vsako minuto na 60 sekund  ('j.

II. Števne mere.

§ 99.

Šestdeseterica ali kopa (Schock) ima 60, trideseterica (Shilling)
30, petnajsterica ali razstavka (Mandel) 15, dvanajsterica ali tucat
(Dutzend) 12 kosov.

Bala papirja ima 10 rižem, rizma 10 knjig, knjiga 10 skladov,
sklad 10 pol.

12 *

180

III. Mere, uteži in novci avstro-ogerske države.

§ 100.

1. Nove mere in uteži.

Podloga novim avstr, meram in utežem jo po zakonu od dno
23. julija leta 1871. meterski sistem, katerega so vpeljali naj¬
prej v Francoski in potem v večini evropskih držav.

Osnovna ali normalna j e dno ta temu sistemu je meter. Fran¬
coski učenjaki določili so, da je meter lOOOOOOOski del dolžine, katero
ima kvadrant zemeljskega meridijana (poludnevnika), a poznejše
astronomijske meritve so pokazale, da je natančneje le 10000855ti
del kvadranta zemeljskega meridijana.

Iz dolžine metra dado se prav lahko izvoditi ne le ploskovne
in telesne mere, nego tudi uteži tega sistema.

Nove dolgostne mere.

Jednota novi dolgostni meri je meter.

Mnogokratniki in nižji razdelki meterskega sistema narejeni
so pri dolgostnih in vseh drugih merah, da se lažje razumevajo in
so za računanje bolj priročni, po vsem po decimalnem sistemu. Mnogo¬
kratniki so: lOkratnik, lOOkratnik, lOOOkratnik, lOOOOkratnik; nižji
razdelki pa: lOtina, lOOtina, lOOOčina. Ne ti ne oni ne dobe, kakor
pri starih sistemih, posebnih imen, ampak obdrže le ime osnovne
jednote, pred katero pa se postavljajo zarad natančnejše določitve
gotove besede; te pa so vzete iz latinščine in grščine, da ostanejo
za vse narode jedne in iste.

Mnogokratnike  ne samo metra, nego tudi vseh mer za
ploskve, telesa in uteži, katerim je meter jmdloga, imenujemo na
ta način, da postavimo pred ime osnovne jednote grške  števnike
s končnico a  ali o, in sicer

deka za 10kratnik,
kekto » 100 »

kilo » 1000 »

rnyria » 10000 »

Latinski števniki s končnico i,  postavljeni pred ime osnovne
jednote, zaznamenujejo pa nižje razdelke, in sicer

deci . lOti del,

centi . lOOti »

mili .lOOOči »

181

Vsled tega imamo za mnogokratnike in nižje razdelke meterske
dolgostne mere to-le lestvico:

1 mvriameter (um)  = 10000 metrom,

1 kilometer (km)
1 hektometer
1 dekameter
1 meter  (m)

1 decimeter (dni)
1 centimeter (cm)
1 milimeter (mm)

= 1000
= 100
= 10
= 1 metru,

= 0 • 1 metra,

= 0-01
= o•001

Vsak člen v lestvici dolgostnib  mer  ima 10 jednot naj¬
bližjega nižjega člena.

Hektometer in dekameter nista vzprejeta med avstr, mere, ker
nista niti za praktično življenje niti za znanstvo potrebna. Za dol¬
gostne mere imamo tedaj to-le razdelitev:

1 (im  = 10 km —  10000/«,

1 km =  1000 m,

lm  = 10 drn  = 100 cm  = 1000)«/«,

1 dm  = 10 cm  = 100 mm,

1 cm  = 10 mm.

Nove ploskovne mere.

a)  Za ploskovne mere  služijo v obče kvadrati,  katerih
stranice so jednake dolgostnim jednotam. Kvadrat, čegar stranica je
1 meter dolga, imenujemo kvadraten meter  (m' 1 ).  Ako razdelimo
vsako stranico kvadratnega metra na 10 jednakih delov in zvežemo
nasprotna razdelišča s premami, dobimo 100 kvadratov; vsak ima
za stranico 1 decimeter, tedaj je vsak kvadraten decimeter  (dm 9 )-,
1 /« 2  ima torej 100 dm' 1 .  Ako isto tako storimo s kvadratnim deci¬
metrom, dobimo 100 kvadratnih centimetrov  (cm*)-,  isto tako
sledi, daje  1 cm' 1  =  100 mm*.  Na isti način sledi, da je 1 (im* =
= 100 km' 1 ,  1 km 1  = 100 kvadratnih hektometrov, 1 kvadratni hekto¬
meter = 100 kvadratnih dekametrov in 1 kvadratni dekameter = 100 »m 2 .

Vsak člen iz lestvice ploskovnih mer ima tedaj 100 jednot naj¬
bližjega nižjega člena.

Oziraje se na to, da kvadratni hektometer in kvadratni dekameter
nista uvrščena med avstr, ploskovne mere, imamo tu za splošne
ploskovne mere  to-le lestvico:

182

1 mn 2  = 1UO km" =  100000000 m",

1  knr =

1 m 2  = 100 dm^  = 10000 m« 2  =
1 dm°- =  100 «w 2  =

1 cm 2  =

1000000 m 2 ,
1000000

10000 i««',
100 TO)W 2 .

Jednota meri za površino zemljišč  je ar  f«j, t. j. kva¬
drat, čegar stranica je 10 m  dolga; la  je tedaj jednak 100m 2 .
Mnogokratnik: hektar (ha)  = 100 arom.

Tedaj je

1 ha  = 100 a  = 10000 m' 1 ,

1 a =  100 m' 1 .

1 um' 1  =  10000 ha.

Nove telesne mere.

a)  Kakor ploskovna mera opira se tudi telesna  mera na dol-
gostne mere. V to služi kocka  (Cubus, Wiirfel), katere vsaka stra¬
nica (rob) je dolgostih jednoti jednaka. Kocko s stranico 1 m  imenu¬
jemo kubičen meter  (in 3 ).  Vsaka ploskev kubičnega metra je kva¬
draten meter in ima 100 kvadratnih decimetrov. Ako si mislimo
kubičen meter otel, njega osnovno ploskev na 100 cb» 2  in višino na
10 din  razdeljeno, moremo najprej na osnovno ploskev položiti 100 ko-
cek; vsaka ima 1 dm  za stranico, zaradi tega jo imenujemo kubičen
decimeter  (dni 3 ).  Teh 100 kubičnih decimetrov tvori plast, katere
višina je 1 dm.  Ker pa je kubičen meter 10 dm  visok, ima 10 takih
plastij po 100 dm 3 ,  tedaj povsem  1000 dm 3 ]*  torej 1 m 3  = 1000 dm 3 .
Na isti način sledi, da je 1 dm 3  =  1000 cm 3 ,  1 cm 3  =  1000 mm 3 ,  da
je dalje 1 /um 3  = 1000 km 3 ,  1 km 3  — 1000 kubičnih hektomctrov, i. t. d.

Vsak člen iz lestvice splošnih telesnih  mer  ima tedaj
1000 jednot najbližjega nižjega člena.

Pri avstrijskih merah odpadeta kubični hektometer in kubični
dekameter; za splošne telesne mere  imamo torej to-le razdelitev:

1 fim 3  = 1000 km 3  =

1 km 3  =

1 m 3  = 1000 d m 3  —  1000000 cm 3  —
1 dm 3  =  1000 cm 3  =

1000000000000 m 3 ,
1000000000 m 3 ,
1000000000 mm 3 ,
1000000 mm 3 ,

1 cm 3  = 1000 mm 3 .

h)  Jednota novi otli meri  za suhe in tekoče reči jo 1 i ter (l),
kateri je jednak 1 kubičnemu decimetru.

183

Mnogokratnik: hektoliter (hi) —  100 1,

Nižji razdelki: deciliter (dl)  = T l 5 l,
centiliter (d)  =

Tedaj je

1 hi —  100 l  = 1000 dl =  10000 d,

1 1=  10 dl  = 100 d,

Idi —  iti c/.

Nove uteži.

Uteži izpeljavajo se iz telesnih mer.

Osnovno ime za uteži je gram  (g),  t. j. teža kubičnega
centimetra dcstilovane vode o največji njeni gostoti.

A ker se tako malo vode, kolikor je gre v kubičen centimeter,
ne more lahko natanko zmeriti in zvagati, napolnili so, da bi določili
prautež meterskemu sistemu, lOOOkratnik tega prostora, t. j. kubičen
decimeter s čisto vodo o njeni največji gostoti, katero ima pri 4 sto¬
pinjah toplote lOOdelnega toplomera, ter jo zvagali v brezzračnem
prostoru. Dobljena teža bila je lOOOkratnik grama, tedaj kilogram  (kg).

Mnogokratnika: tona  ( t , Tonne) = 1000%; meterski cent
(q) =  100 kg.

Nižji razdelki:

dekagram (dkg) =  T % kilogr. = 10 gramom,

gram (g)  .=' T „Vo * = 1  S ramu >

dccigram (dg) =  grama,

centigram (cg) =  TTr5 Voo 9 =  Too »

miligram (mg)  = ^hoo »  = ToVo 9

Tedaj je

1 1 =  10 q  = 1000% = 100000 dkg =  1000000 g,

1 q =  100 kg =  10000 dkg =  100000 g,

1 kg  = 100 dkg  = 1000 g,

1 dkg  = 10 g,

Ig—  10 dg =  100 cg —  1000 mg,

1 dg —  10 cg —  100 mg,

leg —  10 mg.

Da se poskusoma določi teža žita, uporabljajo se poskusne
uteži  (Probegewichte), katere predstavljajo 500kratnik svoje težo.
Za mero služi pri tem poskusni hektoliter,  čegar vsebina je
jednaka 500temu delu hektolitra.

Za določevanje čistine zlatih in srebernih zmesij nimamo po¬
sebnih utežij. čistina določuje se, kakor pri novejših zlatih in sre¬
bernih novcih, po tisočinah.  čistina zlata ali srebra je 900 ti-

184

sočin (- f 9 o P o° 7 ,- ali T 9 ff ), pravi se: v 1000 utežnih delih zmešane kovine
je 900 delov zlata ali srebra in 100 delov primesi (bakra). Cisto
zlato ali srebro je lOOOdelno.

Tako zvana konjska sila (Pfcrdekraft), katera služi za mersko
jednoto v določevanje moči strojev, ima 75 kilogram-metro v, t. j.
jemlje se, da vzdigne v jedni sekundi 75 kilogramov 1 meter visoko.

§ 101 .

2. Prejšnje avstro-ogerske mere in uteži.

Dolgostne mere.

Jednota je dunajski čevelj ('), kateri se deli na 12 pal¬
cev (") po 12 črt ('"). 6 čevljev je jeden seženj (°); 4000 sežnjev
j e avstrij ska poštna milja.

Nemška ali zemljepisna milja, katera je 15del jedne
stopinje zemeljskega ekvatorja, ima 3912’735 dunajskih sežnjev.
Tedaj je 1 zemljepisna milja = 0 ■ 978184 avstrijske milje; 1 avstr,
milja = 1'022302 zemljepisne miljo.

Dunajski vatel je=2'46  dunajskega čevlja; deli se na
polovice, četrtine, osmine in šestnajstine.

Ploskovne mere.

lD° = 36n'  po 144□" po 144

Ploskovna mera za zemljišča je doljno-avstrijski oral  =
fj  1600D 0 . 1 avstrijska □milja = 10000 oralom. 1 zemljepisna

□milja = 0'956844 avstrijske □milje; 1 avstrijska □milja =
= 1'041502 zemljepisne milje.

Telesne mere.

1 kub. 0  = 216 kub!  po 1728 kub."  po 1728

Mere za žito so: 1 muth = 30 vaganom; 1 vagan ima
2 mernika (polovnikaj = 8 osminam po 2 mlinarski merici
po 4 merčice po 2 kupici.  1 doljno-avstr. vagan ima 1'9471  kub.'

Mera za tekočine je: 1 vedro = 40 bokalom po 4 četrti (ma-
selce). 1 doljno-avstrijsko vedro = 1'792 kub.’

Uteži.

1. ) Trgovinska utež. Cent  ali stot ima 100 funtov, funt
32 lotov, lot 4 lcvintelje.

2. ) Utež za novce in srebro.  Jednota je dunajska marka
(grivna). Ona ima 16 lotov, 1 lot 4 kvintelje, 1 kvintelj
4 denarje, 1 denar 2 vinarja, 1 vinar 128 fenižčičev  (Richt-
pfennigstheile); 1 marka ima tedaj 65536 fenižčičev.

185

Novčna utež bila je v Avstriji in v Nemčiji kolonjska marka,
katera je imela na Dunaji 233‘87 gramov, tako da je 6 kolonjskih
mark = 5 dunajskim markam. Razven tega določevala se je teža
dostikrat po holandski h asih, katerih se je računalo navadno
4864 na kolonjsko marko.

3. ) Utež za ces. zlatnike (cekine). Zlato in reči iz njega
narejene določevale so se po zlatniški uteži. Zlatnik ima 815~ 5 5 T
dunajsk. fenižč. in se deli na 60 zlatniških granov (zrn).

4. ) Utež za drago kamenje. Karat = 48|- dun. fenižč. =
= 0‘206085 grama in deli se na 4 draguljne grene ali zrnca.
Holandski karat = 0'9900727 dun. karata.

5. ) Lekarska utež. Lekarski funt ima 24 lotov dunajske
trgovinske uteži. Funt ima 12 unec, 1 unča 8 drahem, 1 drahma
3 škraplje, 1 skrupelj 20 lekarskih granov. Unca tedaj 2 lota
trgovinske uteži.

6. ) Simbolična utež za poskušanje zlata in srebra.
Da se določi stopinja čistine zlatu ali srebru, vzame se za jednoto
umanjena marka (verjtingte Mark). Ta umanjena poskusna
marka za zlato ali srebro je = 1 denarju - 256 fenižčičem. —
Pri zlatu deli se na 24 karatov po 12 zlatih zrnec (grenov). Cisto
zlato brez vsake primesi zove se 24karatno; ISkaratno imenuje se
ono zlato, pri katerem je v jedili marki zmesi 18 karatov zlata in
6 karatov primesi; zlato 19 karatov in 7 grenov je ono, pri ka¬
terem je v jedni marki 19 karatov 7 grenov čistega zlata, drugo
pa, namreč 4 karati 5 grenov, primesi. — Pri srebru deli se marka
na 16 lotov po 18 srebernih grenov. Čisto srebro brez vsake pri¬
mesi zove se 16lotno; 13lotno zove se, ako je v jedni marki 13
lotov srebra in 3 lote bakra.

Razmerska števila med novimi in prejšnjimi merami
in utežmi.

1 m —  3'1637496 čevlja.

1 m = 1 ‘286077 vatla.

1 lem =  0 1 131823 avstr, milje.

1 = 10-00931 Dčevlja.

1 ha  = 1-737727 orala.

1 fim 2  = 1 ‘ 737727 Oavstr. milje.
1 m 3  = 31‘66695 kub. čevlja.

1 hi =  1■626365 vagana.

1 čevelj = 0‘ 316081 m.

1 vatel = 0‘777558 m.

1 avstr, milja = 7 ‘585936 km.

1 □ čevelj = 0-099907 m 1 .

1 oral = 0'5754642 ha.

1 avstr. □milj. = 0‘5754642 p m 4 .
1 kub. čevelj = 0‘031578o7 m 3 .

1 vagan = 0'6148682 hi.

186

1 /</ = 1 -767129 vedra.

1 l  =0'7068515 bokala.

1 kg =  1.-785523 d. fnt.

1 dkg =  0‘571367 d. lota.

1 kg  = 3'562928 d. marke.

Ig  = 0'286459 zlatniškc uteži.
1^ = 4'855099 d. karata.

1 kg  = 2-380697 lck. fnt.

1 vedro = 0 ■ 565890 hi.

1 bokal = 1 414724 Z.

1 d. fnt. = 0 • 560060 kg.

1 d. lot = 1 1  750187 dkg.

1 d. marka = 0’280668%.

1 zlatniška utež = 3'490896 g.
1 d. karat = O - 205969 g.

1 lek. fnt. = 0 • 420045 kg.

§ 102 .

3. Kovani in računski novci.

a)  V avstro-ogerski državi je zakonita mera za kovane in ra¬
čunske novce 4 5 goldinarska mera,  po kateri se kuje iz pol
kilograma čistega srebra 45 goldinarjev. Goldinar (gld.) deli se na
100 krajcarjev (kr.). Ta denar zove se avstrijska vrednost.

Pred 1. novembrom leta 1858. računali so na goldinarje, krajcarje in vinarje
srebra (konvencijskega denarja). 1 goldinar = 60 krajcarjem po 4 vinarje. V 20 gld.
bila je jedna kolonjska marka čistega srebra.

V večini avstro-ogerskili dežel računalo se je prej tudi v « Šajnu »  (Ein-
losungssclieine) ali dunajski vrednosti  v razmerji 5 gld. d. vr. = 2 gld. konv.
den. Ta denar od leta 1858. ni nič več v rabi.

Za preračunanje starejših vrednostij v novo avstr, vrednost velja to-le merilo:

100 gld. konv. denar. = 105 gld. avstr. vr.

100 > d. vr. = 42 » » >

h)  Kovani novci so:

1.) /lati novci:

Zlatniki po osem goldinarjev, katerih gre 771, in po štiri
goldinarje, katerih gre 155 na pol kilograma zlata, katerega
čistina je T 9 „.

Ti zlati novci nimajo stalne, nepremenljive vrednosti in sma¬
trajo se le za trgovinske novce.  Ako se vzame 151 : 1 z;l
razmerje vrednosti med zlatom in srebrom, potem velja zlatnik po
osem goldinarjev 8 gld. 10 kr. in po štiri goldinarje 4 gld. 5 kr.
avstr. vr. v srebru.

Razven teh kujejo se še kakor trgovinski novci ces. zlatniki
(cekini), katerih gre 67 na kolonjsko marko 23-jkaratnega zlata. Ro
prejšnjem razmerji vrednosti med zlatom in srebrom velja zlatnik
5 gld. 80 kr. avstr. vr. v srebru.

187

2. ) Sreberni novci:

Kakor deželni novci: po dva goldinarja, po goldinarji
in po četrt goldinarja avstr. vr.;

kakor sr e b er n drobiž:  dvajsetine po 20, desetice po
10 in petice po 5 kr.

Razven tega kujejo se še kakor trgovinski novci tako imeno¬
vani le v a n tinski tolarji  s podobo cesarice Marije Terezije in
letnico 1780 po 2 gld. konv. den.

3. ) Bakren drobiž:

po 4, 1 in \  krajcarja.

c)  Papirnat denar so bankovci  po 10, 100 in 1000 gol¬
dinarjev, in državne note  po 1, 5 in 50 goldinarjev.

IV. Najimenitnejše mere, uteži in računski novci

tujih, držav.

§ 103.

Sestaviti hočemo tu mere in uteži najvažnejših tujih držav in
pri vsaki navesti a)  dolgostno mero, b)  ploskovno mero,
c)  telesno mero, d)  uteži  in pri vsaki meri in uteži nje raz¬
merje proti meterskim meram in utežem in potem povsod še dodati
računske novce  in njih razmerje proti avstr, vrednosti.

1. Angleška.

Dolgostna mera.  1 palica (pole ali perth) = 16| čevlj. 1 čevelj =
= 0'3048 »m. — 1 yard = 3 čevlj. =■ 0'9143 m.  Zakonita bri¬
tanska milja = 5280 čevlj. Angleška morska milja = 1'8551 km.
Poljska mera.  1 acre = 160 □ palicam = 0'4047 ha.

Žitna mera.  1 quarter ima 8 bushelov, 1 bushel 8 gallonov,
1 quarter = 2 ■ 9078 Id.  Gallon je normalna mera za suhe in
tekoče reči in je — 4'54346 l.

Mera za tekočine.  Tona za vino ima 252, za pivo 216,  za ale
192 gallonov, 1 gallon = 4 • 54346 l.

Uteži.  Troy-utež: troy-funt po 12 unec po 20 pennyweight-ov po
20 grenov = 0'37325  kg.  — Avoir-du-poids-utež (adp)  ali trgo¬
vinska utež: tona ima 20 centov po 4 quarterje ali 8 ka-
menov ali 112 funtov; funt jc = 16 unčam po 16 drahem.

1 funt adp  = 7000 troy-grenom = 0 • 4536 kg.

Računski novci.  Računa se v zlatu na funte ali livres sterling
po 20 shillingov po 12 pencev. Sovereign velja 1 funt sterling
in je = 10'1051 gld. avst. vr. v zlatu.

188

2. Belgija.

Merc in uteži so raeterske.

Računski novci, kakor  v Francoski.

3. Danska.

Dolgostne mere. 1 palica (Ruthe) = 10 čevljem; 1 čevelj ima
12 palcev, 1 palec 12 črt. 1 čevelj  = 0'3139 m.  — 1 vatel =
= 2 čevljema = 0 6277»!. — 1 milja = 7 ■ 5325 km.

Poljska mera.  1 tona (Tonne) posetve = 560[jpalicam = 0• 5516 ha.
Žitna mera.  Žitna tona deli se na 8 korcev (Scheffel) in korec na
četrtine, osmine in šestnajstine. Žitna tona = 13912 hi.

Mera za tekočine.  1 fuder ima 6 ohmov, 1 ohm 4 ankerje ali
155 pottov, 1 pott = 54 kub. palcem = 0'9661 /.

Uteži.  Cent ima 100 funtov po 32 lotov po 4 kvintelje. 1 funt — 0'5 kg.
Računski novci.  Računa se na krone v zlatu po 100 orov. 1 zlata
krona = 0 • 5556 gkl. avstr. vr. v zlatu.

4. Francoska.

Meterski  sistem, kateri je v Francoski zakonito vpeljan, raz¬
jasnili smo po njegovi bitnosti že pri avstrijskih merah in utežeh.

Starejša dolgostna mera  je bila toise po 6 čevljev po
12 palcev po 12 črt. 1 pariški čevelj = 0'324842 m.

Računski novci.  Računa se v zlatu in srebru na franke po 100
centimov. 1 frank kakor računsk novec = 0 ■ 405 gld. avstr. vr.

5. Grslca.

Rove mere in uteži so meterske.

Računski novci.  Računa se na drahme po 100 lepet. Nova drahma
od leta 1871. je = 1 franku = 0’405 gld. avstr. vr.

6. Holandska.

Mere in uteži so meterske.

Računski novci.  Računa se v zlatu na goldinarje po 100 centov.
1 holand. goldinar — O - 8326 gld. avstr. vr. v zlatu.

7. Italija.

Mere in uteži so meterske.

Računski novci.  Računa se v zlatu in srebru na lire po 100 cen-
tesimov. 1 lira = 1 franku = 0 -  405 gld. avstr. vr.

189

8. Nemška.

Mere in uteži so meterske.

Dolgostne mere. 1 palica (Štab, meter) = 100 novim palcem
(Neuzoll, centimeter) po 10 črt (Strich, milimeter). 10 palic =
= 1 lancu (Kette, dekameter), 1000 palic = 1 km. —  1 milja =
= 7500 m.

Poljske mere.  1 ar = 100 lcvad. palicam, 1 hektar = 100 arom.
Telesne mere.  1 kubična palica = 1000 vrčem (Kanne, liter) po
2 poliča (Schoppen). 50 vrčev = 1 korcu (Sclieffel), 100 vrčev =
= 1 sodu (Fass, hektoliter).

Uteži.  1 kilogram = 2 funtoma = 1000 gramom po 10 decigramov
po 10 centigramov po 10 miligramov. 10 gramov = 1 novemu
lotu (Neuloth, dekagram), 50 novih lotov — 1 funtu. 50 kilo¬
gramov = 100 funtom = 1 centu, 1000 kilogramov = 20 cen¬
tom = 1 toni.

Računski novci.  Od leta 1875. računa se v zlati vrednosti na
državne marke po 100 fenigov. 1 zlatnik po 10 mark — 5 gld.
avstr. vr. v zlatu, tedaj 1 marka = \  gld. avstr. vr.

Prej se je računalo v severo-nemških državah na tolarje po 30 grošev,
v  južno-nemških državah na goldinarje južno-nemške vrednosti po 60 kraj¬
carjev, v Hamburgu na marke po 16 schillingov. 10 državnih mark =

. 3~  tolarja = 5|- gld. južno-nemške vr. = 8-4 marke barab, courant.

9. Portugalska.

Od leta 1860. vpeljan je meterski  sistem.

Računski novci.  Računa se v zlatu na milereise po 1000 reisov.
1 milereis = 2• 2435 gld. avstr. vr.

10. Ruska.

Dolgostne mere.  1 seženj (saženj) = 3 aršinom = 7 čevljem (fut).
1 čevelj = 0 • 3048 m.  — Vrsta ali ruska milja = 1 0668 km.

Poljske mere.  1 desetina(desjatina) = 2400 kvad. sežnj. = 1 •0925/n«.

Mera za žito.  1 četvrt = 8 četverikom po 4 četverke po 8 gar-
necev. 1 četvrt = 2 ■ 099 hi.

Mera za tekočine.  1 sod ima 40 veder po 10 kružek; jedna
kružka = 1 • 2299 l.

Uteži.  1 pud = 40 funtom, 1 funt = 96 zlatnikom (zolotnik), 1 zlat¬
nik — 96 delom (dolja). 1 funt 0-4095%.

Računski novci.  Računa se na rublje po 100 kopejk. 1 srebern
rubelj = 1-6192  gld. avstr. vr.

190

77. Španska.

Postavne mere in uteži  so od leta  1859. meterske.
Računski novci. Od leta 1870. vpeljan  je  francoski novčni
sistem; peseta = franku deli se na 100 centimov. Računa se pa
večjidel še na dure (piastre) po 20 realov. 1 duro = 2'1298 gld.
avstr. vr.

12. Švedska.

Dolgostne mere.  1 palica = 16 čevljem po 12 palcev, 1 nit =
= 6 čevljem. 1 čevelj = 0'2969 m. — 1 vatel = 0 • 5938 m.
— Milja = 6000 nitim = 10 • 6884 km.

Poljska mera. 1 kvad. vrvica = 10000 kvad. čevlj. — 0 "08815 A«.
Mera za žito.  Kubični čevelj ima 10 vrčev = 0"2617 M.

Mera za tekočine.  Kub. čevelj ima 10 vrčev. 1 vrč =2'6172 l.
Uteži.  1 cent = 100 funtom po 32 lotov. Skal-funt kakor trgo¬
vinska utež = 0'4251 kg.

Računski novci.  Kakor v Danski.

13. Švicarska.

Dolgostne mere.  1 palica (Ruthe) = 10 čevljem, 1 seženj = 6 čev¬
ljem po 10 palcev po 10 črt. 1 čevelj = 0 ■ 3 m.  — 1 vatel =
= 2 čevljema = 0'6 m.  Nova ura hoda = 16000 čevljem = 48 km.
Poljska mera.  1 juhart ima 400 kvad. palic = 0• 36 ha.

Mera za žito.  1 malter = 10 četvrtinam = 100 immijem - 100 mer-
čicam. 1 malter = 1 ' 5 hi.

Mera za tekočine.  1 oh m = 100 bokalom. 1 bokal = 1*5/.
Uteži.  Cent ima 100 funtov, 1 funt 32 lotov po 4 kvintelje. Novi
funt = 0 ’ 5 kg.

Računski novci.  Računa se v zlatu in srebru na franke po sto
rappenov. 1 frank kakor računsk novec = 0 405 gld. avstr. vr.

14. Turška.

Od leta 1871. vpeljan je zakonito meterski  sistem; v resnici
pa se rabijo še zmerom stare mere in uteži, in sicer:

Dolgostne mere. 1 halebi = 0'7087»w.  1 pik  = 0’6831 m.

1 end aš = 0 • 6528 m.

Mera za žito. 1 fortin  = 4 kilo. 1 kilo = 0• 3527 bi.

Mera za tekočine. 1 alm ud = 5'2047/.

191

Uteži. lkantar = 44 okam = 100 rottelom. 1 oka = 1 • 2809 leg.
Računski novci. Računa se na piastre po 40 par. 1 piaster =
= 0'08:99 gld. avstr. vr. Večje vsote računajo se na mošnje
po 500 piastrov.

15. Zjedinjene države sever o-amerikanske.

Mere in uteži.  Kakor v Angleški.

Računski novci.  Računa se na dolare po 100 centov. 1 dolar —
= 2'0155  gld. avstr. vr.

COBISS

NARODNA IN UNIVERZITETNA
KNJIŽNICA

00000492991