IZ RAZREDA 59 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 59 Preverjanje znanja sklopa trikotniki s tvorjenjem daljšega pisnega besedila Assessing Knowledge of Triangles Through Mathematical Writing Renata Pučko Ivanuša Osnovna šola Ormož Izvleček V članku je predstavljen pomen tvorjenja pisnega besedila pri matematiki. Opisane so prednosti, ki jih prinaša vključevanje tvorjenja pisnega besedila pri pouku matematike za učenca, in prednosti, ki so jih pri tem deležni učitelji. Natančneje je predstavljen primer iz razreda, kjer so učenci tvorili daljše pisno besedilo z namenom preverjanja znanja sklopa trikotniki v 7. razredu. Ob analizi pisnega besedila učencev so izpostavljeni elementi formativnega spremljanja: samovrednotenje, učiteljeva povratna informacija in vrstniško vrednotenje. Ključne besede: matematika, trikotnik, daljše pisno besedilo, samovrednotenje, vrstniško vrednotenje, povrat- na informacija Abstract This paper discusses the importance of composing written texts in mathematics. It discusses the advantages of bringing writing into math classrooms for students as well as teachers. In detail, we describe how Year 7 stu- dents produced a longer written text in order to check their knowledge of triangles. The analysis of the written texts highlights the elements of formative assessment, i.e., self-assessment, teacher feedback and peer assess- ment. Keywords: mathematics, triangle, longer written text, self-assessment, peer assessment, feedback. Uvod Pri predmetu matematika pogosto pridobivamo informacije od učencev z ustnim izražanjem ali reševanjem nalog, redkokdaj pa s pisnim v smislu tvorjenja pisnega besedila (z uporabo mate- matičnega jezika), bodisi je to razlaga definicije, opis postopkov, pojasnjevanje strategije pri reševanju matematičnega problema idr. Pisno izražanje je za večino učencev zahtevnejše, saj miselni proces od učenca zahteva dobro organizacijo, poglobitev v dano vsebino, razlago, analizo in sintezo zapisanega. Tvorjenje daljšega pisnega besedila pri matematiki V učnem načrtu za matematiko v osnovni šoli lahko zasledimo, da matematična kompetenca vključuje tudi matematično pisme- nost in predstavitev v matematičnem jeziku. V osnovni šoli med drugim razvijamo razumevanje in uporabo matematičnega jezi- ka (branje, pisanje in sporočanje matematičnih besedil, iskanje matematičnih virov in njihovo upravljanje), poznavanje, razu- mevanje, uporabo matematičnih pojmov in povezav med njimi ter izvajanje in uporabo postopkov. (Žakelj, 2011). Da bi temu zadostili, nam je na voljo več dejavnosti, ena od teh je, da učen- cem ponudimo izziv, da se tudi pri matematiki soočijo s tvorjen- jem pisnega besedila. Ker je matematični jezik za marsikoga v osnovni šoli zahteven, se moramo tega lotiti postopoma. Tvor- jenje pisnih besedil in izražanje na tak način je pri matematiki zapostavljeno, na prvo mesto uvrščamo ustno izražanje, ki po večini ni tako dovršeno kot pisno (Pugalee, 2001). Tvorjenje pisnih besedil pri matematiki je sprva zahtevna de- javnost, ko pa to postane za učitelja in učence pogosta praksa, je vključevanje tvorjenja pisnih besedil skoraj neizogiben ko- rak k bolj poglobljenemu razumevanju matematičnih vsebin. Pomembno je, da tako učenci kot učitelji spoznajo, da učenec s tvorjenjem daljšega pisnega besedila poglablja svoje znanje, uči- telj pa ima možnost vpogleda v njegovo razmišljanje in hkrati dobi možnost refleksije o svojem pouku in izhodišča za razmis- lek o nadaljnjih dejavnostih, ki jih bo vključil v pouk. Ko učitelj in učenci v pisnih besedilih vidijo prednosti, je vključevanje ta- kih dejavnosti bolj osmišljeno (Burns, 2004, Žakelj, 2011). IZ RAZREDA 60 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 Samo tvorjenje pisnih besedil lahko v pouk matematike vne- semo po korakih, od krajših do daljših besedil, kakor tudi od preprostejših do zahtevnejših besedil. Vključevanja tvorjenja pisnega besedila se lotimo sistematično in osmišljeno, pri čemer upoštevamo predznanje in sposobnosti učencev. Tvorjenja pis- nih besedil se lahko lotimo v različnih oblikah: zapis in razlaga osnovnih definicij, zapis slovarčka matematičnih izrazov, opis težave, ki jo je učenec imel v določeni učni uri, ali zapis, kaj je učenec dobro osvojil, pisanje dnevnika, opis postopka reševanja določenega matematičnega problema, matematična rešitev pro- blema iz življenjske situacije idr. (Burns, 2004). Z vključevanjem tvorjenja pisnega besedila ponudimo učencem možnost izkazati znanje na drugačen način in pridobivanja nove perspektive razumevanja matematike. Tvorjenje pisnega be- sedila lahko uporabimo v vseh fazah učnega procesa: lahko ga uporabimo za preverjanje (pred)znanja, poglabljanje znanja ali pridobivanja dokazov o napredku učenca. Primer tvorjenja pisnega besedila z namenom preverjanja znanja sklopa trikotniki v 7. razredu V 7. razredu smo se tvorjenja pisnega besedila lotili z namenom preverjanja znanja. Učenci so s pisnim besedilom, ki so ga tvorili sami, predstavili določeno matematično vsebino, v tem primeru vsebino sklopa trikotniki. Na tak način so učenci tega oddelka že izkazovali znanje, tako da jim delo ni bilo tuje. 1. Obravnava sklopa trikotniki Del ciljev učnega sklopa trikotniki (opis, delitev, koti) so učenci usvojili večinoma s samostojnim preiskovanjem s koraki forma- tivnega spremljanja (Suban, 2018). Učenci so znanje pridobivali z izkustvenim učenjem, reševanjem problemov, s pomočjo teh- nologije in učbenika. Učenci so prav tako sproti oblikovali krite- rije uspešnosti, ki so zapisani na sliki 1. Slika 1: Kriteriji uspešnosti. Slika 2: Samovrednotenje. Opišem trikotnik in poimenujem oglišča, stranice in kote. Delim trikotnike glede na velikosti notranjih kotov in glede na dolžine stranic. Razumem, kakšen mora biti odnos med dolžinami stranic trikotnika (trikotniško pravilo). Določim vse somernice enakokrakega trikotnika in enakostraničnega trikotnika. Opišem lastnosti osno somernih trikotnikov. Razlikujem med pojmoma notranji in zunanji koti trikotnika ter notranjim kotom trikotnika določim pripadajoče zunanje kote. Poznam vsoto velikosti notranjih kotov trikotnika in jo znam uporabiti. Poznam vsoto velikosti zunanjih kotov trikotnika in jo znam uporabiti. KRITERIJI USPEŠNOSTI SAMOVREDNOTENJE Ime in priimek učenca/-ke: Opišem trikotnik in poimenujem oglišča, stranice in kote. Delim trikotnike glede na velikosti notranjih kotov in glede na dolžine stranic. Razumem, kakšen mora biti odnos med dolžinami stranic trikotnika (trikotniško pravilo). Določim vse somernice enakokrakega trikotnika in enakostraničnega trikotnika. Opišem lastnosti osno somernih trikotnikov. Razlikujem med pojmoma notranji in zunanji koti trikotnika ter notranjim kotom trikotnika določim pripadajoče zunanje kote. Poznam vsoto velikosti notranjih kotov trikotnika in jo znam uporabiti. Poznam vsoto velikosti zunanjih kotov trikotnika in jo znam uporabiti. IZ RAZREDA 61 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 Slika 3: Besedilo učenca 1. 2. Priprava na tvorjenje pisnega besedila Po obravnavi sklopa so učenci dobili nalogo, naj tvorijo matema- tično besedilo, v katerem naj zajamejo vse zastavljene kriterije uspešnosti. Pred pisanjem je pomembno, da učitelj in učenci do- rečejo, kaj, razen matematičnih kriterijev, naj učenci upoštevajo pri tvorjenju besedila (Suban, 2020). Naši dodatni kriteriji so bili: besedilo naj bo zapisano čitljivo, povedi naj bodo tvorjene tako, da jih bo bralec razumel in upoštevati je treba slovnično pravilnost. Med obravnavo sklopa smo si na zadnjo stran zvezka izdelovali tudi slovarček matematičnih izrazov in njihove razla- ge, da so jih učenci lahko suvereno uporabili v pisnem besedilu. 3. Tvorjenje pisnega besedila in samovrednotenje Za tvorjenje pisnega besedila so imeli učenci na voljo eno šolsko uro. Učenci so dobili list, na katerem so imeli tudi prostor za osnutek, da si kaj zapišejo, narišejo, skratka ga uporabijo tako, da jim bo v pomoč pri pisanju. Nekateri učenci so to možnost uporabili, drugi ne. Po tvorjenju pisnega besedila so se učenci IZ RAZREDA 62 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 Slika 4: Besedilo učenca 2. samovrednotili z že vnaprej pripravljeno tabelo (Slika 2), v kateri so bili zapisani kriteriji uspešnosti, ki so jih učenci zapisali med obravnavo sklopa. Učenci so glede na sposobnosti zelo različni. Nekateri se besed- no zelo težko izražajo, drugim ravno to odgovarja, nekateri ne marajo ciljno naravnanih vprašanj in se pri prostem besedilu, ob usmeritvah s kriteriji, bolje znajdejo. V tej fazi je pomembna vloga učitelja. Pomembna so vprašanja, ki podpirajo učenje. Kot dobro se je izkazalo, da učitelj k učencu, ki se pri pisanju v nekem trenutku ne znajde več, pristopi, ga povpraša o idejah, o znanju, ki ga ima o tej snovi. Učenec mu ustno odgovori, nato ga učitelj usmeri, da to še zapiše. Z majhnimi koraki in pravo usmeritvijo bo učenec pokazal svoje znanje. Na slikah 3 in 4 sta prikazana primera pisnega besedila dveh učencev. Pisni besedili na sliki 3 in sliki 4 se precej razlikujeta. Prikaza- ni sta zato, da dobimo vpogled v različne zapise, ki jih učenci ustvarijo. Besedilo učenca 1 na sliki 3 je zelo izčrpno, besedilo učenca 2 je vsebinsko krajše, tudi raba matematičnega jezika je skromnejša. 4. Povratna informacija učitelja Učitelj po končanem pisanju učencem pisna besedila pregleda in jim do naslednje ure poda povratno informacijo na podoben način kot je potekalo samovrednotenje. Tako lahko učenci pri- merjajo samovrednotenje in povratno informacijo učitelja. Po- vratna informacija je učinkovitejša, če učitelj doda še besedni zapis, ki učencu pove, kaj je napisal dobro in ga vzpodbudi k nadaljnjemu učenju. Primer učiteljeve povratne informacije je prikazan na sliki 5. 5. Vrstniško vrednotenje Učenci so v naslednji šolski uri razdeljeni v skupine po tri. Sku- pine so sestavljene premišljeno, glede na ugotovitve učitelja pri podajanju povratne informacije. V vsaki skupini so učenci, ki se med seboj razlikujejo glede na izkazano znanje. Vsaka skupina dobi v pregled tri besedila, katerih avtorji so njihovi sošolci. Ime avtorja je odstranjeno. Učenci morajo v skupini podati vrstniško povratno informacijo za vsa tri besedila. 6. Primerjava samovrednotenja, vrstniškega vrednotenja in učiteljeve povratne informacije Po podani vrstniški povratni informaciji vsak učenec prejme svoje besedilo, samovrednotenje, povratno informacijo učitelja in vrstniško povratno informacijo. Učenec nato povratne infor- macije pregleda, se kritično oceni in izbere kriterije, pri katerih bo izboljšal svoje znanje. IZ RAZREDA 63 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 Slika 5: Primer povratne informacije učitelja. Slika 6: Primer vrstniške povratne informacije. POVRATNA INFORMACIJA UČITELJA Ime in priimek učenca/-ke: Opišem trikotnik in poimenujem oglišča, stranice in kote. X Delim trikotnike glede na velikosti notranjih kotov in glede na dolžine stranic. X Razumem, kakšen mora biti odnos med dolžinami stranic trikotnika (trikotniško pravilo). X Določim vse somernice enakokrakega trikotnika in enakostraničnega trikotnika. X Opišem lastnosti osno somernih trikotnikov. X Razlikujem med pojmoma notranji in zunanji koti trikotnika ter notranjim kotom trikotnika določim pripadajoče zunanje kote. X Poznam vsoto velikosti notranjih kotov trikotnika in jo znam uporabiti. X Poznam vsoto velikosti zunanjih kotov trikotnika in jo znam uporabiti. X (Ime učenca/-ke), del, kjer opisuješ kote in vsoto njihovih velikosti, je ustrezno razložen. Podrobno si opisala tudi trikotnik, morda bi na začetku lahko dodala še, da je trikotnik omejen s tremi stranicami. Razmisli, ali zunanje kote res označimo z rimskimi črkami.  Poskusi raziskati še vse lastnosti osno somernih likov. IZ RAZREDA 64 Matematika v šoli, št. 1., letnik 29, 2023 Vsak element je del mozaika, ki ga učenec uporabi za izboljšanje svojega znanja in to stori s popravo oz. izboljšavo svojega bese- dila. Tako povratna informacija dobi pomen, saj učenca na poti učenja pomakne naprej. 7. Evalvacija Učenci so imeli možnost znanje sklopa trikotniki izkazati s tvor- jenjem pisnega besedila. Po koncu dejavnosti so povedali, da jim sprotno samovrednotenje ustreza, saj ob tem ko razmišljajo, kje v tabeli bodo naredili kljukico, še bolj poglobijo, kaj o vsebini dejansko vedo. Pri polovici učencev je prostor, namenjen osnutku, ostal prazen, pri drugi polovici opazimo, da so si za pomoč pri pisanju zapisali različne izračune, skice (Slika 4), miselne vzorce idr. Nekaterim učencem osnutek pomaga pri tvorjenju besedila, zato ga bomo tudi v prihodnje ohranili. Vse dejavnosti, od tvorjenja pisnega besedila in samovrednoten- ja do vrstniškega vrednotenja, so izjemno pomembne, saj učenec z vsako dejavnostjo poglablja in širi svoje znanje na drugačen način od ustaljenega. Predvsem pomembno je vrstniško vredno- tenje: ob branju in primerjanju besedil se učenci srečajo z ideja- mi drugih, vidijo poglede in razlage sošolcev ter s tem poglobijo svoje razumevanje. Ko učenci prejmejo vrednotenje sošolcev, naj kritično presodijo njihovo pravilnost. Če presodijo, da je vrst- niško vrednotenje neustrezno, prosijo za pomoč učitelja. Zaključek Tvorjenje daljših pisnih besedil pri pouku matematike ni le zapisovanje informacij, temveč je korak k razja- snitvi razmišljanja učenca, priložnost za poglabljanje učenčevega znanja in razmišljanja ter vir informacij za učitelja, kako se njegovi učenci učijo in kako razumejo naučeno. Ne glede na to, v kateri del učnega procesa vključimo tvorjenje pisnih besedil in s tem učence postavimo pred izziv, da morajo razmišljati, naredimo ko- rak v smeri poglabljanja znanja in s tem premik na poti učenja. Viri Burns, M. (2004, oktober). Writing in math. Educational Leadership, stran 30–33. Pugalee, D. (2001, maj). Writing, Mathematics, and Metacognition: Looking for Connections Through Students‘ Work in Mathematical Problem Solving. School Science and Mathematics, 101(5), 236–245. Suban, M., idr. (2018). Formativno spremljanje pri matematiki. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Suban, M., idr. (2020). Ugotavljanje matematičnega znanja. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Dosegljivo na povezavi: https://www.zrss.si/ pdf/ugotavljanje_matematicnega_znanja.pdf Žakelj, A., idr. (2011). Matematika. Učni načrt. Ljubljana: Ministrstvo RS za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo.