     P 49 (2021/2022) 1 13 lahko zgodili in je vse teklo gladko, sodelovalo še več pomočnikov, ki so opravili različna dobra dela (dve od njih sta v rumenih majicah na sliki 5). Pripraviti so morali učilnico, kjer so naši dijaki tekmovali, pri- merno so morali namestiti kamere, preko katerih je potekal vrhovni nadzor, preizkušali so internetne po- vezave, razporedili eksperimentalno opremo po mi- zah, ko je bil čas za to, kopirali naloge, nadzirali di- jake med tekmovanjem, skenirali izdelke, na EFO pa so pomagali tudi pri koordinaciji nadzora in nadzoru vseh tekmovalcev preko kamer, in, zelo pomembno, pri ocenjevanju (anonimiziranih) nalog vseh tekmo- valcev. To zadnjo nalogo, ocenjevanje izdelkov na EFO, so izvrstno opravili udeleženci preteklih olim- pijad. V ekipi 43-ih ocenjevalcev so bili tudi slovenci Marko Ljubotina, Mitja Zidar, Žiga Krajnik, Simon Čo- par in Tevž Lotrič. SLIKA 5. Ivana, Jure in Saša potem, ko so pripravili učilnico na Pedagoški fakulteti za tekmovanje. Bila je zanimiva izkušnja, a v prihodnosti bi bilo za vse udeležence, še posebej dijake, bolje, če bi olimpijade spet lahko potekale v živo. Najpomemb- nejši del dogajanja je letos na žalost odpadel: to pa je spoznavanje in živo druženje mladih, ki so si zelo različni po barvi kože in las ter potezah obraza, pa zelo podobni po zanimanju in sposobnostih. Tek- movanje in dokazovanje teh sposobnosti je šele na tretjem mestu. (Na drugem je druženje vodij ekip.) Če bosta leta 2022 Evropska in Mednarodna fizi- kalna olimpijada potekali v živo, bo 6. EFO v Lju- bljani, 52. MFO pa v Belorusiji. ˆ ˆ ˆ 62. mednarodna matematična olimpijada J J S Od 14. do 24. julija 2021 je potekala 62. Med- narodna matematična olimpijada (IMO). Slovensko ekipo so sestavljali Nejc Amon, Lovro Drofenik in Jaka Vrhovnik s I. gimnazije v Celju, Juš Kocutar z II. gimnazije Maribor, Lana Prijon z Gimnazije Bežigrad in Gal Zmazek z Gimnazije Ptuj. Ekipo sva spremljala Gregor Dolinar in Jakob Jurij Snoj. Lovro Drofenik in Nejc Amon sta na tekmovanju osvojila bronasti medalji, Jaka Vrhovnik in Juš Ko- cutar pa pohvali. SLIKA 1. Grafika IMO2021. Tekmovanje je bilo že drugo leto zapored organi- zirano na daljavo v organizaciji Rusije – večina ekip je naloge reševala v svoji državi ob prisotnosti med- narodnih nadzornikov, slovenska ekipa pa je obele- žila dolgoletno prijateljstvo s švicarsko ekipo in je v času olimpijade gostovala v Wildhausu v Švici (lani      P 49 (2021/2022) 114 SLIKA 2. Fotografija slovenske ekipe. so njihovi tekmovalci gostovali pri nas na Bledu v Ple- mljevi vili). Kot običajno so imeli tekmovalci v dveh tekmovalnih dneh na voljo vsakič po 4,5 h časa za reševanje treh od skupaj šestih nalog. V netekmoval- nih dneh sta si ekipi krajšali čas predvsem z razisko- vanjem narave, med drugim sta se odpravili tudi na celodnevni pohod v Liechtenstein. Naloge na olimpijadi so bile letos nadpovprečno zahtevne – meja za zlato medaljo, ki je bila letos pri 24 točkah, se običajno giblje pri okoli 30 toč- kah. Za najbolj presenetljivo se je izkazala naloga št. 2 z dokazovanjem neenakosti, ki je bila izbrana kot srednje zahtevna, a jo je v popolnosti rešilo le 16 tekmovalcev, s čimer se je izkazala za skoraj naj- zahtevnejšo na tekmovanju. Slovenski tekmovalci so večino svojih točk zbrali pri tradicionalno lažjih na- logah št. 1 iz teorije števil z rahlim kombinatoričnim pridihom in št. 4 iz geometrije. V nadaljevanju bomo predstavili nalogo št. 5, ki ima s pravim navdihom kratko elegantno rešitev. Nalogo je od slovenskih tekmovalcev v celoti rešil Nejc Amon. Besedila osta- lih nalog bralci najdejo na spletni strani MMO. Naloga. Veverici Eva in Vera sta nabrali 2021 ore- hov za zimo. Vera je oštevilčila orehe od 1 do 2021 in nato skopala 2021 majhnih lukenj, ki so obliko- vale krožni vzorec okrog njunega najljubšega dre- vesa. Naslednje jutro je Vera opazila, da je Eva polo- žila po en oreh v vsako luknjo, vendar se pri tem ni ozirala na oštevilčenje orehov. Vera se je zato odlo- čila, da bo prerazporedila orehe v 2021 zaporednih korakih. V k-tem koraku Vera med seboj zamenja sva oreha, ki sta sosednja orehu, oštevilčenim s šte- vilom k. Dokaži, da obstaja število k, tako da Vera v k-tem koraku zamenja oreha s številoma a in b z lastnostjo a ă k ă b. Rešitev. Napisali bomo dokaz s protislovjem. Pred- postavimo, da takšno število k ne obstaja, torej v vsa- kem koraku zamenjamo oreha s številkama, ki sta obe večji ali obe manjši od k. Predstavljajmo si, da v k-tem koraku oreh številka k tudi pobarvamo – to na razporeditev seveda ne vpliva. Po predpostavki to- rej v vsakem koraku zamenjamo dva oreha, ki sta že oba pobarvana ali pa oba še nepobarvana. Zato za- menjava ne spremeni položajev lukenj, v katerih so pobarvani orehi. Predstavljamo si lahko, da v posa- meznem koraku pobarvamo oreh št. k, barva orehov v ostalih luknjah pa se torej ne spremeni. Opazujmo sedaj število parov dveh sosednjih po- barvanih orehov. Na začetku je to število enako 0, na koncu pa 2021. Vsakič, ko pobarvamo en oreh, se to število bodisi ne spremeni (če sta bila oba soseda nepobarvana) bodisi se poveča za 2 (če sta bila oba soseda pobarvana). To število torej ves čas ostaja sodo, kar nas privede do protislovja. ˆ ˆ ˆ Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za- porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na za- četku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne. 5 7 8 11 11 15 8 11 ˆ ˆ ˆ