OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
OBZORNIK MAT. FIZ.    LJUBLJANA    LETNIK 59    ŠT. 6    STR. 201–240   NOVEMBER  2012
C  KM Y 
2012
Letnik 59
6
i
i
“kolofon6” — 2013/1/19 — 9:55 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, NOVEMBER 2012, letnik 59, številka 6, strani 201–240
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za knjigo Repu-
blike Slovenije.
c© 2012 DMFA Slovenije – 1889 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Veselic” — 2013/1/19 — 10:05 — page 201 — #1 i
i
i
i
i
i
VERIŽNICA – ELEMENTAREN IN CELOVIT PRISTOP1
KREŠIMIR VESELIĆ
Lehrgebiet Mathematische Physik
Fernuniversität Hagen
Math. Subj. Class. (2010): 49-01, 97-01
Podan je elementaren dokaz, ki ne zahteva znanja variacijskega računa, da je verižnica
stacionarna točka klasičnega problema iskanja vezanega ekstrema. Dokazano je tudi, da
ima ta problem v verižnici strogi globalni minimum.
CATENARY – AN ELEMENTARY AND COMPLETE APPROACH
The equilibrium of a standard catenary is solved without previous knowledge of the
Variational Calculus. An elementary proof of the strict global minimum is provided.
Verižnica že dolgo rabi kot lep šolski primer iskanja vezanega ekstrema.
Minimizirati moramo funkcional
Φ(y) = ρg
∫ x1
0
y
√
1 + y′ 2 dx (1)
(potencialna energija grafa funkcije y), kjer sta ρ (dolžinska masna gostota)
in g (težnostni pospešek) dani pozitivni konstanti. Funkcional moramo mi-
nimizirati med vsemi zvezno odvedljivimi funkcijami y, ki zadoščajo pogoju∫ x1
0
√
1 + y′ 2 dx = d (2)
(dožina grafa funkcije y je dana). Ob tem si predpǐsemo še robne pogoje.
Obravnavali bomo dva tipa robnih pogojev: ali
y(0) = 0, y(x1) = y1 (3)
(obe robni točki krivulje sta pribiti) ali pa
y(0) = 0, y(x1) = −αx1, α > 0 (4)
(desni rob krivulje drsi vzdolž premice y = −αx).
Pri uvodu v osnove klasičnega variacijskega računa in izpeljavi Euler-
Lagrangeeve enačbe se za robne pogoje (3) hitro najde funkcijo hiperbolični
kosinus kot ekstremalo zgornjega vezanega problema; robni pogoji (4) potre-
bujejo nekaj več teorije, saj se definicijski interval za funkcional Φ spreminja
s funkcijo y. Še nekaj več izpeljav pa je treba za dokaz, da ima v dobljeni
funkciji funkcional Φ tudi enoličen minimum. Pristop, ki nam pomaga iz
1V spomin profesorju Svetozarju Kurepi
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6 201
i
i
“Veselic” — 2013/1/19 — 10:05 — page 202 — #2 i
i
i
i
i
i
Krešimir Veselić
te zagate in nam omogoči, da lahko oba tipa robnih pogojev obravnavamo
hkrati, je, da iskane krivulje ne ǐsčemo kot graf neke funkcije y = y(x),
ampak v parametrični obliki (npr. Troutman [1, pogl. 3])
x = x(s), y = y(s), s ločna dolžina.
Tu sta x in y zvezno odvedljivi funkciji na intervalu [0, d], za kateri velja
x′(s)2 + y′(s)2 − 1 = 0, s ∈ [0, d]. (5)
To nas pripelje do problema, ko moramo minimizirati funkcional
Ψ(x, y) = ρg
∫ d
0
y ds (6)
pri vezeh (5) in robnih pogojih: ali
x(0) = 0, y(0) = 0, x(d) = x1, y(d) = y1, (7)
ali pa
x(0) = 0, y(0) = 0, y(d) = −αx(d), α > 0. (8)
Kot je bilo pokazano že v [1], konveksnost funkcionalov poenostavi iskanje
globalnega minimuma (vsaj za robne pogoje (7)). Vendar dejstvo, da je
funkcional (6) linearen in da je vez (5) predstavljena s kvadratno funkcijo,
omogoči nadaljnjo poenostavitev problema.
Vsak par (x, y) zvezno odvedljivih funkcij, ki zadoščata pogojem (5) in
(7)/(8), bomo imenovali konfiguracija. Za poljubni konfiguraciji (x, y) in
(x̃, ỹ) ter poljubno zvezno funkcijo λ = λ(s) imamo tako
Ψ(x̃, ỹ) =
∫ d
0
(ρgỹ + (x̃′2 + ỹ′2 − 1)λ) ds
=
∫ d
0
((y + ỹ − y)ρg + (y′ + ỹ′ − y′)2λ+ (x′ + x̃′ − x′)2λ− λ) ds
= Ψ(x, y) +
∫ d
0
(
(ỹ − y)ρg + 2y′λ(ỹ′ − y′) + 2x′λ(x̃′ − x′)+
+ (ỹ′ − y′)2λ+ (x̃′ − x′)2λ
)
ds.
Pri predpostavki, da sta x in y dvakrat zvezno odvedljivi funkciji, funkcija
λ pa enkrat zvezno odvedljiva, po integraciji po delih ob upoštevanju robnih
pogojev pri 0 dobimo
Ψ(x̃, ỹ) = Ψ(x, y)+ (9)
+
∫ d
0
(ρg(ỹ − y)− 2(λy′)′(ỹ − y)− 2(λx′)′(x̃− x)) ds (10)
+ 2λ(d)y′(d)(ỹ(d)− y(d)) + 2λ(d)x′(d)(x̃(d)− x(d)) (11)
+
∫ d
0
λ((x̃′ − x′)2 + (ỹ′ − y′)2) ds. (12)
202 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Veselic” — 2013/1/19 — 10:05 — page 203 — #3 i
i
i
i
i
i
Verižnica – elementaren in celovit pristop
Takoj vidimo naslednje: če lahko najdemo taki funkciji x in y, da sta
(10) in (11) enaka 0 za vsako konfiguracijo (x̃, ỹ) in neko pozitivno funkcijo
λ, potem je (x, y) enolična konfiguracija, ki minimizira funkcional Ψ. Rešiti
moramo torej naslednji sistem navadnih diferencialnih enačb
−(2λx′)′ = 0, ρg − (2λy′)′ = 0, x′2 + y′2 = 1 (13)
pri robnih pogojih: ali
x(0) = 0, y(0) = 0, y(d) = y1, x(d) = x1, (14)
ali pa
x(0) = 0, y(0) = 0, y(d) = −αx(d), y′(d) = x′(d)/α (15)
(zadnji robni pogoj pri s = d pomeni, da na desnem robu verižnica ostane
pravokotna na premico, po kateri desni rob drsi).
Enačbe (13) zlahka integriramo
x(s) = c1
(
arsh
(
s− c2
c1
)
+ arsh
c2
c1
)
(16)
y(s) =
√
c21 + (s− c2)2 −
√
c21 + c
2
2 (17)
λ(s) =
ρg
2
√
c21 + (s− c2)2 (18)
in od tod dobimo
y(x) = c1
(
ch
(
x
c1
+ b
)
− ch b
)
.
Konstante določimo iz naslednjih pogojev:
d =
∫ x1
0
√
1 + y′2 dx = c1 sh
(
x1
c1
+ b
)
− c1 sh b (19)
y(x1) = y1 oziroma (20)
y(x1) = −αx1, y′(x1) = sh
(
x1
c1
+ b
)
= 1/α. (21)
Konstanti c1 in b sta v primeru robnih pogojev (3) dobljeni na standar-
den način. Če delimo (20) z (19) in upoštevamo identitete med hiperbolič-
nimi funkcijami, dobimo sistem enačb
thµ =
y1
d
, µ =
x1
2c1
+ b,
201–204 203
i
i
“Veselic” — 2013/1/19 — 10:05 — page 204 — #4 i
i
i
i
i
i
Krešimir Veselić
ki ima enolično rešitev µ. Podobno dobimo še sistem enačb√
d2 − y2i
x1
=
sh ν
ν
, ν =
x1
2c1
,
ki ima enolično pozitivno rešitev ν. Vrednosti µ in ν določata iskani kon-
stanti c1 in b.
V primeru robnih pogojev (4) pa konstanti po nekaj elementarnih ra-
čunskih operacijah enolično določimo takole: naj bo z enolična pozitivna
rešitev enačbe
α√
( sh(z)z )
2 + α2
= th
(
z − arsh 1
α
)
.
S pomočjo te izračunamo
x1 =
d√(
sh z
z
)2
+ α2
, c1 =
x1
2z
, b = arsh
1
α
− x1
c1
.
Sklep
Predstavljena izpeljava verižnice kot stacionarne točke problema vezanega
ekstrema (i) poda popoln odgovor na zastavljeni problem: obstoj, izračun in
enoličnost točke, v kateri ima funkcional minimum, (ii) se izogne težavam z
variabilno končno točko krivulje na naraven način in (iii) uporabi dejstvo, da
je vez predstavljena s kvadratno funkcijo, kar nam z metodo
”
dopolnitve do
popolnih kvadratov“ omogoči algebraičen dokaz obstoja strogega globalnega
minimuma funkcionala.
Verižnica je primer mehaničnega sistema v gravitacijskem polju s togimi
vezmi. Taki sistemi se pogosto lahko opǐsejo s kvadratično Lagrangeevo
funkcijo, in tedaj je možen podoben elementaren dokaz obstoja strogega
globalnega minimuma (npr. v [2], kjer je obravnavana končna verižnica).
Običajno se primer verižnice obravnava šele, ko se izpelje osnove varia-
cijskega računa. Predstavljeni pristop pa se zlahka uporabi tudi kot uvod v
variacijski račun, saj je popolnoma elementaren – obravnavamo le kvadra-
tične funkcionale in rešujemo navadne linearne diferencialne enačbe (edine
nelinearnosti se pojavijo le v integracijskih konstantah). Po drugi strani
pa naš pristop v (9)–(12) že vsebuje nekaj bistvenih korakov Lagrangeeve
metode.
LITERATURA
[1] J. L. Troutman, Variatonal Calculus and Optima Control, Springer, 1983.
[2] K. Veselić, Finite catenary and the method of Lagrange, SIAM, R. 37, (1995), 224–
229.
204 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
DEDEKINDOVE VSOTE IN KVADRATNI
RECIPROCITETNI ZAKON
REBEKA RENKO ZVER
Prva gimnazija Maribor
Math. Subj. Class. (2010): 11F20
Predstavili bomo Dedekindove vsote in z njimi povezano reciprocitetno formulo ter
pokazali, kako je iz le-te možno izpeljati znani kvadratni reciprocitetni zakon.
DEDEKIND SUMS AND THE QUADRATIC RECIPROCITY LAW
We will introduce the Dedekind sums with a related reciprocity formula which will
lead us to the derivation of the known quadratic reciprocity law.
Uvod
Dedekindove vsote so pomemben del klasične teorije števil in še danes po-
gosto uporabljena tema tudi na drugih področjih matematike. Sestavni del
njihove definicije je naslednja funkcija:
Definicija 1 (Dvojni oklepaj).
((x)) =
{
x− [x]− 12 ; če x ni celo število,
0 ; če je x celo število,
(1)
kjer je [x] največje celo število, ki ne presega x ∈ R.
Njen graf je žagaste oblike:
Z uporabo dvojnega oklepaja (1) lahko definiramo najpomembneǰsi po-
jem tega sestavka:
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6 205
Rebeka Renko Zver
Definicija 2 (Dedekindove vsote).
s(h, k) =
k
∑
j=1
((
j
k
))((
hj
k
))
, h ∈ Z, k ∈ N. (2)
Dedekindove vsote so dobile ime po znanem nemškem matematiku Ri-
chardu Dedekindu1.
Ena njihovih glavnih lastnosti je simetričnost, predstavljena z naslednjo
reciprocitetno formulo, ki je veljavna za tuji si naravni števili h, k:
12(s(h, k) + s(k, h)) = −3 +
h
k
+
k
h
+
1
hk
. (3)
Reciprocitetna formula je pomembna sama po sebi, koristna pa je npr.
pri izpeljavi splošnega (Jacobijevega) kvadratnega reciprocitetnega zakona.
V zvezi s tem se spomnimo Legendrovega simbola, pri katerem za vsako
naravno število n in liho praštevilo p, ki ne deli n, velja
(
n
p
)
=
{
1 ; če obstaja tak x, da je x2 ≡ n (mod p),
−1 ; sicer.
Če pa dovolimo za n tudi negativna cela števila, pa lahko povemo, da
velja:
(
−1
p
)
=
{
1 ; če je p ≡ 1 (mod 4),
−1 ; če je p ≡ 3 (mod 4).
Ob upoštevanju multiplikativnosti Legendrovega simbola v n od tod
sledi, da je dovolj poznati vrednosti simbola za naravne n. Vrednost (−1/p)
pa je tesno povezana s predstavljivostjo praštevila p kot vsote dveh kvadra-
tov naravnih števil.
Jacobijev simbol potem definiramo (za poljubno naravno število n in
za liho naravno število m, ki si je tuje z n in ima praštevilski razcep m =
1Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831–1916) se je rodil v Braunschweigu v
Nemčiji, kjer je obiskoval osnovno in srednjo šolo, študiral pa je na univerzi v Göttingenu
in Berlinu. Doktoriral je leta 1852 pri Gaussu v Göttingenu kot njegov zadnji študent,
habilitacijo pa je opravil leta 1854 v Berlinu istočasno z Riemannom, s katerim sta bila
kasneje nekaj časa tudi učiteljska kolega. Vrnil se je v Göttingen, kjer je kot prvi poučeval
Galoisovo teorijo. Kasneje je nekaj časa učil v Zürichu in nato do upokojitve 1894 v ro-
dnem Braunschweigu. Znan je po svojem delu in rezultatih iz algebre (definicija idealov,
algebraični dokaz Riemann-Rochovega izreka za kompaktne Riemannove ploskve), analize
(prerezi kot model za realna števila) in teorije množic (definiciji neskončne množice). Na
njegove matematične raziskave so največ vplivali Gauss, Dirichlet in Riemann, katerih
zbrana dela je urejal. Zbrani in dopolnjeni Riemannovi zapiski so izšli leta 1876 s Hei-
nrichom Webrom kot glavnim urednikom. Rokopisa, ki sta obravnavala teorijo eliptičnih
modularnih funkcij, pa je uredil sam Dedekind [2].
206 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
Dedekindove vsote in kvadratni reciprocitetni zakon
∏r
j=1 pj na ne nujno različne prafaktorje) kot produkt ustreznih Legendrovih
simbolov:
( n
m
)
=
r
∏
j=1
(
n
pj
)
.
Splošni kvadratni reciprocitetni zakon pravi, da za tuji si lihi na-
ravni števili h in k z Jacobijevima simboloma
(
h
k
)
in
(
k
h
)
velja enakost
(
h
k
)(
k
h
)
= (−1)
h−1
2
·
k−1
2 .
Pred leti je Obzornik že pisal [5] o posebnem primeru tega zakona, ko sta h
in k različni lihi praštevili.
V nadaljevanju bomo najprej spoznali nekatere elementarne lastnosti
Dedekindovih vsot (2) in prek njih izpeljali reciprocitetno formulo (3). Nato
bomo (ob privzetku posplošene Gaussove leme) z uporabo reciprocitetne
formule dokazali splošni kvadratni reciprocitetni zakon, na koncu pa dodali
še nekaj opomb o drugih vidikih Dedekindovih vsot.
Dedekindove vsote in reciprocitetna formula
Najprej dokažimo, da je funkcija dvojni oklepaj periodična in liha.
Trditev 1. Za poljubno celo število n in poljubno realno število x velja:
(a) ((x+ n)) = ((x)),
(b) ((−x)) = −((x)).
Dokaz. (a) Za celo število x je ((x + n)) = 0 = ((x)), sicer pa zaradi
[x+ n] = [x] + n velja
((x+ n)) = x+ n− [x+ n]− 12 = x+ n− [x]− n−
1
2 = ((x)).
(b) Za x ∈ Z je dokaz trivialen, za x /∈ Z pa rezultat sledi iz enakosti
[x] + [−x] = −1.
Sedaj se spomnimo pojma, ki ga bomo potrebovali v nadaljevanju.
Popolni sistem ostankov po modulu k je taka množica celih števil
P = {j1, j2, . . . , jk}, da je ji ≡ i (mod k) za vsak i = 1, 2, ..., k.
Pri tem smo upoštevali, da velja k ≡ 0 (mod k), zato bomo posle-
dično za popoln sistem ostankov po modulu k venomer uporabljali množico
{1, 2, . . . , k}.
V primeru, ko je h tuj proti k, je potem tudi hP = {hj1, hj2, ..., hjk}
popolni sistem ostankov po modulu k, saj je hji ≡ hi (mod k) in je presli-
kava i 7→ hi (mod k) v tem primeru injektivna, torej permutacija množice
{1, 2, ..., k}.
205–216 207
Rebeka Renko Zver
Trditev 2. Naj bo P poljuben popolni sistem ostankov po modulu k. Tedaj
velja:
(a)
∑
j∈P
((
j
k
))
=
k
∑
j=1
((
j
k
))
= 0.
(b) Če je k naravno, h pa celo število, tuje proti k, je tudi
k
∑
j=1
((
hj
k
))
= 0. (4)
Dokaz. (a) Izberimo elemente iz popolnega sistema ostankov P in jih zapi-
šimo v obliki:
j1 = 1 + k · n1, j2 = 2 + k · n2, . . .
jk−1 = (k − 1) + k · nk−1, jk = k · nk,
kjer so n1, . . . , nk iz množice celih števil. Tedaj je po trditvi 1
∑
j∈P
((
j
k
))
=
((
1
k
+ n1
))
+
((
2
k
+ n2
))
+ . . .+
((
0
k
+ nk
))
=
k−1
∑
j=1
((
j
k
))
.
To pa je po definiciji 1 in dejstvu
[
j
k
]
= 0 za 1 ≤ j < k naprej enako:
k−1
∑
j=1
((
j
k
))
=
(
1
k
−
1
2
)
+
(
2
k
−
1
2
)
+ . . .+
(
k − 1
k
−
1
2
)
=
k(k − 1)
2k
−
k − 1
2
= 0.
(b) Dokaz sledi iz točke (a), saj je tudi hP popolni sistem ostankov po
modulu k.
Opomba 1. Opazimo, da je zadnji člen v vsoti
∑k
j=1
((
j
k
))
ali
∑k
j=1
((
hj
k
))
enak nič, zato je vseeno, ali v takih vsotah seštevamo do
k ali do k − 1. To bomo v nadaljevanju še večkrat upoštevali.
208 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
Dedekindove vsote in kvadratni reciprocitetni zakon
Dokažimo še nekaj osnovnih lastnosti Dedekindovih vsot.
Trditev 3. Imejmo poljuben popolni sistem P = {j1, j2, . . . , jk} ostankov
po modulu k. Naj bo h poljubno celo, k pa naravno število, tuje s h. Tedaj
velja:
s(h, k) =
∑
j∈P
((
j
k
))((
hj
k
))
.
Trditev pomeni, da je Dedekindova vsota s(h, k) v primeru tujih si števil
h, k neodvisna od izbire popolnega sistema ostankov po modulu k. Doka-
žemo jo na popolnoma enak način kot trditev 2, če le upoštevamo definicijo
popolnega sistema ostankov po modulu k in periodičnost dvojnega oklepaja.
V posebnem primeru je od izbire popolnega sistema ostankov P neod-
visna tudi vsota
s(1, k) =
∑
j∈P
((
j
k
))((
j
k
))
=
∑
j∈P
((
j
k
))2
. (5)
Računanje Dedekindovih vsot pa se da še nekoliko poenostaviti; zapi-
šemo jih lahko samo z enim dvojnim oklepajem.
Trditev 4. Za vsako celo število h in naravno število k, ki si je tuje s h,
velja:
s(h, k) =
k
∑
j=1
j
k
((
hj
k
))
.
Dokaz. Zadnji člen v vsoti (2) je enak nič, tako da imamo:
s(h, k) =
k−1
∑
j=1
((
j
k
))((
hj
k
))
=
k−1
∑
j=1
(
j
k
−
[
j
k
]
−
1
2
)((
hj
k
))
.
Upoštevajmo, da je
[
j
k
]
= 0, za j < k in enakost (4), pa dobimo:
s(h, k) =
k−1
∑
j=1
(
j
k
−
1
2
)((
hj
k
))
=
k−1
∑
j=1
j
k
((
hj
k
))
=
k
∑
j=1
j
k
((
hj
k
))
.
Najpomembneǰsa lastnost Dedekindovih vsot s(h, k) je reciprocitetna
formula. V literaturi zanjo obstaja več dokazov, enega bomo navedli sedaj.
205–216 209
Rebeka Renko Zver
Izrek 5 (Reciprocitetna formula). Za poljubni tuji si naravni števili h
in k velja naslednja enakost:
12(s(h, k) + s(k, h)) = −3 +
h
k
+
k
h
+
1
hk
. (6)
Dokaz. Za h = k = 1 je enakost izpolnjena, saj sta obe strani enaki nič.
V vseh drugih primerih pa lahko zaradi simetričnosti reciprocitetne formule
predpostavimo, da je k > 1. Kot vemo, je zaradi tujosti števil h in k poleg
P = {1, 2, ..., k} tudi P ′ = {hj; j ∈ P} popolni sistem ostankov po modulu
k, zato zaradi (5) velja:
k
∑
j=1
((
hj
k
))2
=
∑
i∈P ′
((
i
k
))2
=
k
∑
j=1
((
j
k
))2
.
Torej po eni strani dobimo
k
∑
j=1
((
hj
k
))2
=
k
∑
j=1
((
j
k
))2
=
k−1
∑
j=1
(
j
k
−
1
2
)2
=
1
k2
k−1
∑
j=1
j2 −
1
k
k−1
∑
j=1
j +
1
4
k−1
∑
j=1
1, (7)
po drugi strani pa imamo:
k
∑
j=1
((
hj
k
))2
=
k−1
∑
j=1
(
hj
k
−
[
hj
k
]
−
1
2
)2
=
= 2h
k−1
∑
j=1
j
k
(
hj
k
−
[
hj
k
]
−
1
2
)
+
k−1
∑
j=1
[
hj
k
]([
hj
k
]
+ 1
)
−
−
h2
k2
k
∑
j=1
j2 +
1
4
k−1
∑
j=1
1 =
= 2h
k−1
∑
j=1
j
k
((
hj
k
))
+
k−1
∑
j=1
[
hj
k
]([
hj
k
]
+ 1
)
−
h2
k2
k
∑
j=1
j2 +
1
4
k−1
∑
j=1
1.
(8)
Če primerjamo (7) in (8), dobimo
2h
k−1
∑
j=1
j
k
((
hj
k
))
+
k−1
∑
j=1
[
hj
k
]([
hj
k
]
+ 1
)
−
h2
k2
k
∑
j=1
j2 =
1
k2
k−1
∑
j=1
j2−
1
k
k−1
∑
j=1
j
210 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
Dedekindove vsote in kvadratni reciprocitetni zakon
in z uporabo trditve 4 najdemo
2hs(h, k) +
k−1
∑
j=1
[
hj
k
]([
hj
k
]
+ 1
)
=
h2 + 1
k2
k−1
∑
j=1
j2 −
1
k
k−1
∑
j=1
j. (9)
V vsoti na levi strani imamo 0 ≤
[
hj
k
]
≤ h − 1. Za lažje računanje
označimo
[
hj
k
]
= i− 1, za neki i = 1, 2, . . . , h. (10)
Skušajmo ugotoviti, za katere j doseže
[
hj
k
]
vrednost i− 1. Ker hj
k
ni celo
število, je enakost (10) ekvivalentna pogoju
i− 1 <
hj
k
< i,
zato lahko zapǐsemo
k(i− 1)
h
< j <
ki
h
.
Če torej j teče od
[
k(i−1)
h
]
+ 1 do vključno
[
ki
h
]
, je za i < h vrednost
[
hj
k
]
enaka i− 1. Če pa je i = h, je ki
h
= k in
[
hj
k
]
= h− 1 natanko takrat,
ko j zavzame vrednosti od
[
k(h−1)
h
]
+ 1 do vključno k − 1. Tako dobimo
k−1
∑
j=1
[
hj
k
]([
hj
k
]
+ 1
)
=
=
h−1
∑
i=1
(i− 1)i
{[
ki
h
]
−
[
k(i− 1)
h
]}
+ (h− 1)h
{
(k − 1)−
[
k(h− 1)
h
]}
=
=
h−1
∑
i=1
(i− 1)i
[
ki
h
]
−
h
∑
i=1
(i− 1)i
[
k(i− 1)
h
]
+ (h− 1)h(k − 1).
Druga vsota na koncu je enaka vsoti
∑h−1
i=1 i(i+ 1)
[
ki
h
]
, zato lahko obe
vsoti združimo in po kraǰsem računu dobimo:
205–216 211
Rebeka Renko Zver
k−1
∑
j=1
[
hj
k
]([
hj
k
]
+ 1
)
=
h−1
∑
i=1
[
ki
h
]
(i(i− 1)− i(i+ 1)) + (h− 1)h(k − 1) =
= −2
h−1
∑
i=1
i
(
ki
h
−
((
ki
h
))
−
1
2
)
+ (h− 1)h(k − 1) =
= −
2k
h
h−1
∑
i=1
i2 + 2h
h−1
∑
i=1
i
h
((
ki
h
))
+
h−1
∑
i=1
i+ (h− 1)h(k − 1) =
= 2hs(k, h)−
2k
h
h−1
∑
i=1
i2 +
h−1
∑
i=1
i+ (h− 1)h(k − 1). (11)
Pri tem smo v zadnji vrstici uporabili trditev 4.
Primerjava (9) in (11) nam sedaj pove:
2hs(h, k) + 2hs(k, h) =
=
h2 + 1
k2
k−1
∑
j=1
j2 −
1
k
k−1
∑
j=1
j +
2k
h
h−1
∑
i=1
i2 −
h−1
∑
i=1
i− (h− 1)h(k − 1) (12)
oziroma
2h(s(h, k) + s(k, h)) =
h2 + 1
k2
·
(k − 1)k(2k − 1)
6
−
1
k
·
(k − 1)k
2
+
+
2k
h
·
(h− 1)h(2h− 1)
6
−
(h− 1)h
2
− (h− 1)h(k − 1).
Poenostavimo in dobimo:
12(s(h, k) + s(k, h)) = −3 +
h
k
+
k
h
+
1
hk
.
Kvadratni reciprocitetni zakon
Za izpeljavo splošnega kvadratnega reciprocitetnega zakona potrebujemo
naslednjo lemo, ki jo navedimo brez dokaza.
Lema 6 (Posplošena Gaussova lema). Naj bosta h in k tuji si naravni
števili, pri čemer je k liho število. Naj pomeni m število najmanǰsih pozitiv-
nih ostankov, večjih od k2 , pri deljenju števil hj, j = 1, 2, . . . ,
k−1
2 , s številom
k. Tedaj velja:
(
h
k
)
= (−1)m.
212 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
Dedekindove vsote in kvadratni reciprocitetni zakon
Dokaz je možno najti v knjigi [1], str. 144–148. Trditev je posplošitev
Gaussove leme, ki je sestavni del dokaza klasičnega Gaussovega kvadratnega
reciprocitetnega izreka (glej npr. [5]). Namesto lihega števila k, ki si je tuje s
h, tam nastopa liho praštevilo p, ki ne deli h, ter Legendrov simbol namesto
Jacobijevega.
Tudi naslednjo trditev navedimo brez dokaza.
Trditev 7. Za liho naravno število k, naravno število h, ki si je tuje s k,
in za Jacobijev simbol
(
h
k
)
velja naslednja modularna enakost
12ks(h, k) ≡ k + 1− 2
(
h
k
)
(mod 8). (13)
Ideja dokaza je naslednja. Najprej lahko brez težav iz trditve 4 izpeljemo
enakost
12ks(h, k) = 2h(k − 1)(2k − 1)− 12
k−1
∑
j=1
j
[
hj
k
]
− 3k(k − 1), (14)
nato pa z uporabo posplošene Gaussove leme postopoma reduciramo desno
stran po modulu 8 (podrobnosti dokaza glej npr. v [4], str. 30–35 ali v [7],
str. 97–99).
Na podlagi predhodno zapisanega sedaj dokažimo izrek:
Izrek 8 (Kvadratni reciprocitetni zakon). Naj bosta h in k lihi, tuji si
celi števili. Tedaj za Jacobijeva simbola
(
h
k
)
in
(
k
h
)
velja:
(
h
k
)(
k
h
)
= (−1)
h−1
2
·
k−1
2 .
Dokaz. Iz enakosti (13) v trditvi 7 sklepamo, da je
12hk(s(h, k) + s(k, h)) ≡ 2hk + h+ k − 2
(
h
(
h
k
)
+ k
(
k
h
))
(mod 8).
Po drugi strani pa po reciprocitetni formuli (6) velja
12hk(s(h, k) + s(k, h)) = −3kh+ h2 + k2 + 1.
Ker pa sta h in k liha, je
h2 ≡ 1 (mod 8) in k2 ≡ 1 (mod 8)
in zato
12hk(s(h, k) + s(k, h)) ≡ −3kh+ 3 (mod 8).
205–216 213
Rebeka Renko Zver
Po primerjavi dobimo:
5hk + h+ k − 3 ≡ 2
(
h
(
h
k
)
+ k
(
k
h
))
(mod 8).
To kongruenco preoblikujmo v obliko, ki jo zahteva kvadratni reciproci-
tetni zakon. Za vrednosti k in h upoštevajmo več možnosti glede deljivosti
s številom 4.
1. Naj bo k oblike k = 4m + 1, m ∈ Z.
Tako je
5h(4m+1)+h+4m+1−3 ≡ 2
(
h
(
h
k
)
+ (4m+ 1)
(
k
h
))
(mod 8),
kar lahko preuredimo v
(h+ 1)(2m− 1) ≡ h
(
h
k
)
+
(
k
h
)
(mod 4).
Ker pa je h lih, je h+ 1 sod in zato 2m(h+ 1) ≡ 0 (mod 4), dobimo
−h− 1 ≡ h
(
h
k
)
+
(
k
h
)
(mod 4)
oziroma
h
(
1 +
(
h
k
))
+
(
1 +
(
k
h
))
≡ 0 (mod 4). (15)
(a) Naj bo še h ≡ 1 (mod 4). Tedaj iz (15) izpeljemo kongruenco
(
h
k
)
+
(
k
h
)
≡ 2 (mod 4).
Ker lahko
(
h
k
)
in
(
k
h
)
zavzameta le vrednosti±1, mora nujno veljati
(
h
k
)
=
(
k
h
)
.
(b) Če pa je h ≡ −1 (mod 4), neposredno izpeljemo
(
h
k
)
≡
(
k
h
)
(mod 4) oziroma
(
h
k
)
=
(
k
h
)
.
214 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
Dedekindove vsote in kvadratni reciprocitetni zakon
V obeh primerih je torej
(
h
k
)(
k
h
)
= 1 = (−1)
h−1
2
·
k−1
2 .
2. Naj bo k oblike k = 4m − 1, m ∈ Z. Tedaj je
5h(4m−1)+h+4m−1−3 ≡ 2
(
h
(
h
k
)
+ (4m− 1)
(
k
h
))
(mod 8),
kar lahko preuredimo v
(h+ 1)(2m− 2) ≡ h
(
h
k
)
−
(
k
h
)
(mod 4).
Spet zaradi lihosti števila h velja 2m(h+ 1) ≡ 0 (mod 4) in zato
−2h− 2 ≡ h
(
h
k
)
−
(
k
h
)
(mod 4)
oziroma
h
(
2 +
(
h
k
))
+
(
2−
(
k
h
))
≡ 0 (mod 4). (16)
(a) V primeru h ≡ 1 (mod 4) iz (16) takoj dobimo
(
h
k
)
≡
(
k
h
)
(mod 4) oziroma
(
h
k
)
=
(
k
h
)
.
(b) Če pa je h ≡ −1 (mod 4), velja
(
h
k
)
+
(
k
h
)
≡ 0 (mod 4), torej
(
h
k
)
= −
(
k
h
)
. V primeru (a)
je rezultat produkta torej enak 1, v (b) pa −1, kar lahko v eni
vrstici zapǐsemo kot
(
h
k
)(
k
h
)
= (−1)
h−1
2
·
k−1
2 .
Tako smo dokazali želeno.
205–216 215
Rebeka Renko Zver
Sklep
Z Dedekindovimi vsotami se je kasneje ukvarjalo še veliko matematikov, ki
so osnovno definicijo prilagajali svojim potrebam. Tako lahko Dedekindove
vsote, poleg omenjene, zapǐsemo še v več drugih oblikah. Navedimo dva taka
možna zapisa, veljavna za tuji si naravni števili h in k (izpeljavo najdemo
npr. v [4]):
1. Trigonometrična oblika:
s(h, k) =
1
4k
k−1
∑
j=1
cot
(
jπ
k
)
cot
(
jhπ
k
)
.
2. Kompleksna oblika:
s(h, k) = −
1
k
∑
ω
1
(1− ωh)(1− ω)
+
k − 1
4k
,
kjer seštevamo po vseh k-tih korenih enote ω, različnih od 1.
Dedekindove vsote so pomembne same zase kot posebne aritmetične
funkcije s številnimi lepimi lastnostmi in prav tako tudi v povezavi z dru-
gimi področji matematike, npr. s trigonometričnimi funkcijami, s številom
celoštevilskih točk v poliedrih v geometriji števil, z Dedekindovo funkcijo
eta v teoriji eliptičnih funkcij, s teorijo enakomerne porazdelitve, s teorijo
particij itd. (primerjaj npr. [4]). Raziskovanje Dedekindovih vsot je še da-
nes zelo živo, saj v matematični bazi podatkov MathSciNet od leta 2000
naprej obstaja več kot 200 člankov na to temo.
Za pomoč pri delu s tem člankom bi se želela zahvaliti dr. Urošu Milu-
tinoviću in dr. Milanu Hladniku.
LITERATURA
[1] P. Bachmann, Die Elemente der Zahlentheorie, Teubner, Leipzig, 1892.
[2] R. Dedekind, Erläuterungen zu zwei Fragmenten von Riemann Riemann’s Gesammelte
Math. Werke (1892), 466–478, Dedekind’s Gesammelte Math. Werke (1930), 159–173.
[3] E. Grosswald, Topics from the Theory of Numbers, Birkhäuser, Boston, 1984.
[4] H. Rademacher in E. Grosswald, Dedekind sums, Math. Association of America, 1972.
[5] T. Peklar, Varianta dokaza kvadratnega recipročnostnega zakona, Obzornik mat. fiz. 36
(1989), 129–133.
[6] B. Riemann, Fragmente über die Grenzfälle der elliptischen Modulfunctionen, Gesam-
melte Math. Werke, Dover, New York, 1953.
[7] R. Renko, Dedekindove vsote, magistrsko delo, Fakulteta za naravoslovje in matema-
tiko Maribor, Univerza v Mariboru, Maribor, 2008.
216 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Vitek” — 2013/1/15 — 21:15 — page 217 — #1 i
i
i
i
i
i
SPIM: MIKROSKOPIJA Z RAVNINSKO OSVETLITVIJO
MARUŠA VITEK
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 87.64.kv, 87.57.qp, 87.18.Nq
Mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo je fluorescenčna metoda, pri kateri vzorec osve-
tljujemo pravokotno na os detekcije s tanko svetlobno plastjo. Bledenje vzorca je pri
tem zelo majhno, metoda pa omogoča hitro zajemanje in dobro prostorsko ločljivost. Je
pomembna na področju razvojne biologije, saj z njo lahko slikamo velike žive vzorce na
različnih prostorskih in časovnih skalah.
SPIM: SELECTIVE PLANE ILLUMINATION MICROSCOPY
Selective plane illumination microscopy is a method in which the sample is illuminated
by a thin light plane, perpendicular to the direction of detection. The method is fast and
provides low photo-bleaching and high spatial resolution. It is important in the field of
developmental biology.
Uvod
Mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo (ang. selective plane illumination mi-
croscopy, SPIM) je nova metoda fluorescenčne mikroskopije [1]. Razvita
je bila za potrebe eksperimentov na področju razvojne biologije, ki preu-
čuje rast in diferenciacijo celic ter razvoj tkiv, organov in celotne anatomije
živali.
Za opazovanje celotnega poteka razvoja moramo slediti številnim pro-
cesom na zelo različnih prostorskih in časovnih skalah. Prostorska skala se
razteza od nekaj µm za procese znotraj celice do nekaj mm za procese na
ravni zarodka, časovna skala pa se razteza od nekaj sekund do nekaj dni.
Poleg široke prostorske in časovne skale je izziv za opazovanje še dejstvo,
da imamo opravka s precej velikim, tridimenzionalnim, v idealnem primeru
živim vzorcem, ki veliko svetlobe siplje ali absorbira. V raziskavah življenj-
skih procesov potrebujemo neinvazivne metode, ki vzorca ne uničijo. Le
tako lahko opazujemo nespremenjene procese in njihov prispevek k celo-
tnemu razvoju organizma.
Za opazovanje tridimenzionalnih bioloških vzorcev se v veliki meri upora-
bljajo fluorescenčne metode. Vzorci morajo zato vsebovati fluorofore, fluo-
rescenčna barvila, ki se s kovalentno vezjo vežejo na makromolekule. Ob
osvetljevanju se svetloba prave valovne dolžine absorbira in vzbudi mole-
kulo v vǐsje energijsko stanje. Z vibracijskimi prehodi molekula nato preide
v nižje vzbujeno stanje, odkoder se z izsevanjem fotona vrne v osnovno sta-
nje. Izsevana svetloba ima večjo valovno dolžino od vpadne, zato ju lahko
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6 217
i
i
“Vitek” — 2013/1/15 — 21:15 — page 218 — #2 i
i
i
i
i
i
Maruša Vitek
ločimo (npr. z dikroičnim zrcalom) in na detektor spustimo le izsevano sve-
tlobo. Tako dobimo sliko opazovanega vzorca.
Pomembna slabost fluoroforov je, da jih določena količina vpadle sve-
tlobe uniči. Vzorec zato s časom bledi, saj zaradi uničevanja fluoroforov
seva vedno manj fluorescentne svetlobe. Čas osvetljevanja mora biti čim
kraǰsi, saj obsežno osvetljevanje lahko poleg bledenja povzroči tudi poškodbe
vzorca [2].
Pri metodi SPIM je čas osvetljevanja posameznega dela vzorca relativno
kratek, osvetljujemo namreč le tisto plast vzorca, katere sliko zajemamo.
Bledenje je zato zelo majhno, malo je tudi poškodb vzorca. Podatke je
mogoče zajemati z veliko hitrostjo [1]. SPIM so razvili leta 2004, temu pa
je sledil še razvoj sorodnih metod, ki so SPIM izbolǰsale in nadgradile.
Mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo
SPIM je metoda, pri kateri ločeno slikamo posamezne plasti vzorca. Optično
ločevanje plasti poteka takole: vzorec od strani osvetlimo s tanko navpično
svetlobno plastjo, imenovano osvetlitvena ravnina. Ta sovpada z gorǐsčno
ravnino mikroskopa in je pravokotna na vodoravno os detekcije (slika 1).
Na presečǐsču osi detekcije in osvetlitvene ravnine je v napravo za mikropo-
zicioniranje vpet vzorec v valju agaroze. Agarozni gel zagotavlja primerno
okolje za živ vzorec, hkrati pa vzorec tudi fiksira. Naprava za mikropozi-
cioniranje omogoča sukanje vzorca okoli navpične osi in premikanje vzdolž
treh prostorskih osi.
Valj z vzorcem je potopljen v vodno okolje v komori mikroskopa. Veči-
noma za opazovanje uporabljamo imerzijski objektiv, ki je v stiku z vodnim
okoljem v komori (slika 1), mogoča pa je tudi uporaba običajnega objektiva
zunaj komore.
V vzorcu vpadna svetloba povzroči fluorescenco. S kamero detektiramo
izsevano fluorescentno svetlobo iz poljubne navpične plasti vzorca. Če po-
snamemo slike dovolj gostega zaporedja plasti v eni smeri (ali v več smereh),
lahko sestavimo tridimenzionalno sliko vzorca [1]. Tipični vzorci za opazo-
vanje z metodo SPIM so zarodki rib medake (Oryzias latipes) in cebrice
(Danio rerio) ter zarodki in odrasli osebki vinske mušice (Drosophila mela-
nogaster). Vzorci so gensko spremenjeni, da vsebujejo fluorofore.
Svetlobno plast za osvetlitev vzorca dobimo tako, da kolimiran laserski
snop primerno obrežemo, nato pa ga pošljemo skozi cilindrično lečo, ki snop
v vodoravni smeri fokusira. V navpični smeri snop ostane kolimiran. Defi-
nirajmo koordinatni sistem, kjer je x-os vzporedna s smerjo detekcije, y-os
navpična, z-os pa vzporedna s smerjo propagacije svetlobe v osvetlitveni
plasti. Gorǐsčna ravnina potemtakem leži v ravnini y-z. V tem koordi-
natnem sistemu lahko dobljeno svetlobno plast opǐsemo kot eno od rešitev
218 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Vitek” — 2013/1/15 — 21:15 — page 219 — #3 i
i
i
i
i
i
SPIM: mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo
Slika 1. Mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo. (a) Shema komore mikroskopa SPIM.
Vzorec osvetljujemo s tanko svetlobno plastjo. Ta sovpada z gorǐsčno ravnino in je pra-
vokotna na os detekcije. Na presečǐsču osvetlitvene ravnine in osi detekcije je živ vzorec,
denimo ribji zarodek, fiksiran v valju agaroze. Osvetlitev v plasti vzorca povzroči fluore-
scenco, ki jo zaznamo s kamero. Spodaj je prikazano zaporedje dvodimenzionalnih slik, ki
jih lahko združimo v 3D sliko. (b) Projekcija tridimenzionalne slike zarodka ribe medake,
posneta s konvencionalnim mikroskopom. (c) Projekcija tridimenzionalne slike istega
vzorca, posneta z metodo SPIM. V tem primeru je kontrast bistveno bolǰsi. Iz vira [1].
Ponatisnjeno z dovoljenjem AAAS.
paraksialne valovne enačbe, eliptičen Gaussov snop:
E(x, y, z) =
= E0
√
wx,0
wx(z)
√
wy,0
wy(z)
· exp
(
− x
2
w2x(z)
)
· exp
(
− y
2
w2y(z)
)
· exp(−iϕ(x, y, z)),
(1)
kjer je E0 amplituda, wx,0 in wy,0 širini grl v smeri x in y, wx(z) in wy(z)
širini snopa pri z v smeri x in y in ϕ faza [3]. Grlo snopa je lega, v kateri je
širina snopa najmanǰsa. V smeri y je grlo približno 200-krat širše od širine
grla v smeri x. Valovna narava svetlobne plasti ni pomembna, intenziteta
fluorescentne svetlobe je odvisna le od intenzitete osvetlitvene ravnine
I(x, y, z) = |E0|2
wx,0
wx(z)
· wy,0
wy(z)
· exp
(
− 2x
2
w2x(z)
)
· exp
(
− 2y
2
w2y(z)
)
. (2)
Laserski snop sestavlja svetloba iz modro-zelenega dela spektra z valov-
nimi dolžinami 488 nm in 514 nm, ki prihaja iz argonskega ionskega laserja,
217–224 219
i
i
“Vitek” — 2013/1/15 — 21:15 — page 220 — #4 i
i
i
i
i
i
Maruša Vitek
ter svetloba, ki prihaja iz dveh He-Ne laserjev in ima valovni dolžini 543
nm in 633 nm [4]. Debelina osvetlitvene plasti je tipično med 3 µm in
10 µm. Omejena je s pogojem, da mora biti plast približno enako debela
na celotnem vidnem polju objektiva (lahko variira do 42 %) [1]. Objektiv z
desetkratno povečavo in numerično aperturo 0.30 ima na primer vidno polje
veliko 660 µm. Da bo na celotnem vidnem polju debelina osvetlitvene plasti
variirala za manj kot 42 %, mora biti grlo plasti v x-smeri široko vsaj 6 µm.
Za detekcijo se uporabljajo CCD kamere. Hitrost zajemanja je od ene
do štirih plasti na sekundo, pri čemer je slika ene plasti velika 1344×1024
pikslov. Vzorec se da vzdolž osi detekcije premikati po korakih velikosti od
0.5 do 5 µm [1].
Zaradi osvetlitve fluorofori v vzorcu izsevajo svetlobo v polni prostorski
kot. Detektiramo le svetlobo, ki se izseva v smeri detektorja. Ker slikamo
tridimenzionalne vzorce, govorimo o prečni ločljivosti v gorǐsčni ravnini in
o osni ločljivosti vzdolž osi detekcije. Prečno ločljivost σxy določa izraz
σxy =
λ√
3− 2 cos θ − cos 2θ
, (3)
kjer je λ valovna dolžina svetlobe, θ pa polovica kota maksimalnega stožca,
iz katerega lahko sistem sprejme svetlobo. Kot θ je povezan z numerično
aperturo objektiva:
NA = n sin θ , (4)
kjer je n lomni količnik okolǐskega medija objektiva.
Osna ločljivost metode je odvisna od osne ločljivosti detektorja in od
debeline osvetlitvene plasti. Vedno je slabša od prečne ločljivosti.
Izbolǰsave metode SPIM
Po letu 2004, ko so metodo SPIM prvič predstavili [1], je ta način slikanja
doživel razcvet. Postal je eno glavnih orodij razvojne biologije, saj je prime-
ren za opazovanje zelo različnih vzorcev: tankih, debelih, prozornih, delno
neprozornih, različno sipajočih, in sicer na zelo različnih časovnih in pro-
storskih skalah. Za različne tipe vzorcev in za različne namene opazovanja
je bilo mogoče metodo še izbolǰsati.
Največji problem pri metodi SPIM povzročata absorpcija in sipanje, saj
imamo opravka z velikimi vzorci s specifično strukturo. Določeni deli vzorca
svetlobo zelo močno absorbirajo. Ko se tak del vzorca znajde v osvetlitveni
ravnini, za njim nastane senca, saj absorbira svetlobo, ki pride do njega.
Prav tako določeni deli vzorca močno sipajo svetlobo. Ko svetloba pride do
takega dela, se siplje v vse smeri. V gorǐsčni ravnini objektiva za takšnim
delom vzorca tako spet nastane senca, zaradi sipane svetlobe pa postanejo
osvetljeni tudi bližnji deli vzorca, ki sicer niso v gorǐsčni ravnini. Ta svetloba,
ki ni v gorǐsču objektiva, prispeva le k ozadju slike in le-to zamegli. Tema
problemoma se lahko delno izognemo z opazovanjem z več zornih kotov.
220 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Vitek” — 2013/1/15 — 21:15 — page 221 — #5 i
i
i
i
i
i
SPIM: mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo
Večinoma vzorec slikamo iz štirih do osmih zornih kotov in pri vsakem kotu
posnamemo 200–300 plasti [1]. Slikanje celotnega vzorca torej traja nekaj
minut, kar omejuje časovno ločljivost mikroskopa. Kvaliteto slike lahko še
dodatno povečamo z uporabo izbolǰsanih metod.
Pojava senc in zmanǰsevanja intenzitete svetlobe vzdolž osvetlitvene rav-
nine se med samim slikanjem lahko znebimo z večsmerno ravninsko osvetli-
tvijo mSPIM (ang. multidirectional SPIM, slika 2) [5]. Vzorec osvetljujemo
z dveh nasprotnih strani hkrati. Poleg tega svetlobno plast v gorǐsčni rav-
nini premikamo tako, da spreminjamo smer širjenja svetlobe med kotoma
−10◦ in 10◦. Zaradi spreminjanja tega kota se spreminja tudi kot senc za
neprozornimi deli vzorca. Spreminjanje nagiba osvetlitvene plasti je hitro
(1 kHz), čas zajemanja slike pa dovolj dolg (10–30 ms), da se sence v času
zajemanja ene slike izpovprečijo (slika 2).
Slika 2. Delovanje metode mSPIM. (a) Shema mikroskopa mSPIM. Na shemi (b) vidimo,
da pri navadni metodi SPIM za deli vzorca, ki absorbirajo, nastanejo sence. Shema (c)
ilustrira, da sence pri metodi mSPIM izginejo, saj vzorec osvetljujemo z obeh strani in
smer širjenja svetlobe spreminjamo med kotoma −10◦ in −10◦. (d, e) Glava 35 ur starega
zarodka cebrice. Na sliki (d), posneti z metodo SPIM, so opazne proge, ki na sliki (e),
posneti z metodo mSPIM, zbledijo. Merilo na slikah je 50 µm. Iz vira [5]. Ponatisnjeno
z dovoljenjem The Optical Society.
Druga izbolǰsava osnovne metode je mikroskopija s strukturirano ravnin-
sko osvetlitvijo SPIM-SI (ang. SPIM with structured illumination, slika 3)
[6]. Z njo lahko ločimo fluorescentno svetlobo, ki se je izsevala iz gorǐsčne
ravnine, od tiste, ki se je izsevala iz bližnjih delov vzorca, osvetljenih s si-
pano svetlobo. Pri tej metodi je pred cilindrično lečo, ki povzroči fokusiranje
kolimiranega snopa v vodoravni smeri, postavljena mrežica, ki povzroči mo-
dulacijo svetlobne ravnine v navpični smeri. Perioda mrežice je 10–150 rež
na mm, zato uklon nima pomembne vloge. Mrežico lahko premikamo v
navpični smeri. Vsako plast vzorca posnamemo pri treh različnih položajih
mrežice. To vsakič premaknemo za tretjino periode v navpični smeri. Za
vsako plast tako posnamemo tri slike I0◦ , I120◦ in I240◦ . Indeks se nanaša
217–224 221
i
i
“Vitek” — 2013/1/15 — 21:15 — page 222 — #6 i
i
i
i
i
i
Maruša Vitek
Slika 3. Metoda SPIM-SI. Shema (a) prikazuje tlorisni pogled, ki je enak kot pri metodi
SPIM. Razliko prikazuje shema (b). Povsem na levi je mrežica, ki povzroča strukturira-
nost osvetlitvene plasti: namesto enotne plasti dobimo tanke pasove. Mrežico premikamo
za tretjino periode mrežice v navpični smeri. Za vsako osvetljeno plast vzorca posna-
memo tri slike pri različnih pozicijah mrežice, ustrezni osvetlitveni vzorci so prikazani
desno zgoraj. Spodaj sta sliki rilčka vinske mušice. Slika (c) je posneta z navadno me-
todo SPIM, slika (d) pa z metodo SPIM-SI. Na njej so kontrasti bistveno bolǰsi. Iz vira
[6]. Ponatisnjeno z dovoljenjem The Optical Society.
na fazni zamik periodične strukture mrežice zaradi navpičnega premika.
Fluorescentna svetloba, ki izhaja iz gorǐsčne ravnine, je vsa prostorsko
modulirana, prispevki, ki ne prihajajo iz gorǐsčne ravnine, pa so posledica
sipanja in niso prostorsko modulirani. Ti prispevki so na vseh treh slikah
iste plasti enaki. Iz treh slik ene plasti izbolǰsano sliko plasti izračunamo
kot
I =
√
1
2
[
(I0◦ − I120◦)2 + (I120◦ − I240◦)2 + (I240◦ − I0◦)2
]
. (5)
Tako se znebimo prispevkov zaradi sipane svetlobe, ne da bi se pri tem
spremenila ločljivost. Dobimo sliko z majhnim ozadjem in velikimi kontrasti.
Čas snemanja treh slik ene plasti je med 0.3 s in 1 s, tako da za celoten
vzorec, razdeljen na denimo 150 plasti, porabimo od 45 do 150 s [6].
222 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Vitek” — 2013/1/15 — 21:15 — page 223 — #7 i
i
i
i
i
i
SPIM: mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo
Mikroskopija z digitalnim laserskim skeniranjem
Mikroskopija z digitalnim laserskim skeniranjem, DSLM (ang. digital scan-
ned laser light sheet fluorescence microscopy) [7], je priredba metode SPIM.
V tem primeru namesto osvetlitvene ravnine uporabimo približno 1 µm de-
bel osvetlitveni žarek, ki ga premikamo v navpični smeri, se pravi vzdolž
y-osi, in s tem skeniramo vzorec. Kamera integrira signal, ki ga dobiva,
medtem ko laserski žarek skenira eno plast. Tako dobimo dvodimenzio-
nalno sliko ene plasti. Vzorec nato enako kot pri metodi SPIM po korakih
premikamo skozi gorǐsčno ravnino, da posnamemo gosto zaporedje plasti.
Ker skeniramo s konstantno hitrostjo, je osvetlitev celotne plasti vzorca
enakomerna. Z uporabo fokusiranega laserskega žarka se močno izbolǰsa iz-
koristek osvetlitve, saj se za osvetljevanje porabi kar 95 % svetlobe, ki pride
iz laserja. Pri metodi SPIM se pri oblikovanju svetlobne ravnine izgubi
velik del svetlobe. Izkoristek osvetljevanja je le 3 % [7]. Zaradi razlike v
izkoristkih pri enakem laserskem izvoru in enakem času osvetljevanja vzorca
dobimo pri metodi DSLM 30-krat več fluorescentne svetlobe kot pri metodi
SPIM. To omogoča bistveno hitreǰse zajemanje podatkov z metodo DSLM.
Eno plast vzorca posnamemo v manj kot 1 ms, celoten vzorec torej slikamo
v nekaj sekundah [7].
Tudi pri metodi DSLM se da prispevek zaradi sipanja zmanǰsati s struk-
turiranim osvetljevanjem (DSLM-SI) [8]. Tu je prehod v strukturirano osve-
tlitev precej preprosteǰsi kot pri metodi SPIM, saj strukturiranost osvetlitve
dosežemo s sinusno modulacijo intenzitete laserskega žarka med skenira-
njem. Frekvenco in fazo modulacije lahko hitro spreminjamo. Tudi tu sliko
ene plasti posnamemo trikrat, pri fazah modulacije 0◦, 120◦ in 240◦ in nato
končno sliko sestavimo po enačbi (5). Pri tem se prispevki zaradi sipanja
spet odštejejo in ostane nam slika z bolǰsim kontrastom. Pri zarodku ribe
medake se kontrast z uporabo metode DSLM-SI v povprečju poveča za 80 %,
pri zarodku vinske mušice, pri katerem je efekt sipanja zelo močan, pa kar
za 260 % [8].
V primerjavi z metodo SPIM-SI ima DSLM-SI tri pomembne prednosti.
Prva je, da je modulacija laserskega žarka lahko zelo hitra, kar omogoča
hitro zajemanje slik s fazno zamaknjenimi strukturami osvetlitve. Druga
prednost je izjemna stabilnost in kvaliteta osvetlitvenega vzorca v naspro-
tju z vzorcem, ki ga pri metodi SPIM-SI tvorimo z mrežico. Ta lahko
rahlo drsi in spreminja lego, zato je manj primerna za dlje trajajoče slikanje
vzorca. Tretja prednost metode DSLM-SI pa je možnost hitrega prilaga-
janja frekvence in faze modulacije intenzitete osvetljevanja, kar omogoča
spreminjanje strukture osvetlitve v skladu s spreminjanjem sipalnih lastno-
sti opazovanega predmeta [8].
Sklep
Mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo vzorca je nova metoda, pomembna
predvsem v razvojni biologiji. Z metodo digitalnega laserskega skeniranja
217–224 223
i
i
“Vitek” — 2013/1/15 — 21:15 — page 224 — #8 i
i
i
i
i
i
Maruša Vitek
so denimo posneli tako imenovan
”
digitalni zarodek“ ribe cebrice. To je
baza podatkov, ki vsebuje lege in hitrosti 92 % celičnih jeder zarodka vse
od prve celične delitve do vzpostavitve bitja srca.
SPIM omogoča slikanje celotnih živih vzorcev, velikih do nekaj mili-
metrov. Je edina metoda, pri kateri je možno opazovanje celotnih živih
organizmov s tako visoko ločljivostjo (∼ µm). Zelo pomembno je, da je ne-
destruktivna, tako da omogoča vpogled v življenjske procese in razvoj. Pri
tovrstnih vzorcih zaradi absorpcije svetlobe in sipanja prihaja do težav, ki
pa se jim lahko izognemo z večsmernim in s strukturiranim osvetljevanjem.
Zaradi uspešnosti metode SPIM v razvojni biologiji se je njena uporaba
začela širiti tudi na druga področja. V fiziki razvijajo sorodno visokoločljivo
metodo za optično sledenje nanodelcem.
SPIM je metoda z visoko ločljivostjo, hitrim zajemanjem, veliko pene-
tracijsko globino ter odličnim razmerjem med signalom in šumom. Slabost
metode pa je, da z njo lahko opazujemo samo vzorce, ki vsebujejo fluoro-
fore. To navadno pomeni, da morajo biti vzorci gensko spremenjeni in torej
niso več enaki izvornim. Leta 2011 je bil objavljen članek, ki predstavlja
nizkokoherenčno mikroskopijo z ravninsko osvetlitvijo za slikanje bioloških
vzorcev brez fluorescence [9]. V to smer bo verjetno tekel tudi nadaljnji
razvoj, saj je končni cilj dobiti metodo, s katero bi lahko z visoko prostorsko
in časovno ločljivostjo opazovali žive nespremenjene vzorce.
LITERATURA
[1] J. Huisken, J. Swoger, F. Del Bene, J. Wittbrodt in E. H. K. Stelzer, Optical Sectio-
ning Deep Inside Live Embryos by Selective Plane Illumination Microscopy, Science
305, 1007–1009 (2004).
[2] J. Huisken in D. Y. R. Stainier, Selective plane illumination microscopy techniques
in developmental biology, Development 136, 1963–1975 (2009).
[3] U. Kržič, Multiple-view microscopy with light-sheet based fluorescence microscope,
Combined faculties for the natural Sciences and for Mathematics of the Ruperto-
Carola University of Heidelberg, Germany, doktorska disertacija, 2009.
[4] K. Greger, J. Swoger in E. H. K. Stelzer, Basic building units and properties of
a fluorescence single plane illumination microscope, Rev. Sci. Instrum. 78, 023705
(2007).
[5] J. Huisken in D. Y. R. Stainier, Even fluorescence excitation by multidirectional
selective plane illumination microscopy (mSPIM), Opt. Lett. 32, 2608–2610 (2007).
[6] T. Breuningen, K. Greger in E. H. K. Stelzer, Lateral modulation boosts image qua-
lity in single plane illumination fluorescence microscopy, Opt. Lett. 32, 1938–1940
(2007).
[7] P. J. Keller, A. D. Schmidt, J. Wittbrodt in E. H. K. Stelzer, Reconstruction of
Zebrafish Early Embryonic Development by Scanned Light Sheet Microscopy, Science
322, 1065–1069 (2008).
[8] P. J. Keller, A. D. Schmidt, A. Santella, K. Khairy, Z. Bao, J. Wittbrodt in
E. H. K. Stelzer, Fast, high-contrast imaging of animal development with scanned light
sheet-based structured-illumination microscopy, Nat. Methods 7, 637–642 (2010).
[9] Z. Xu in T. E. Holy, Development of Low Coherence Light Sheet Illumination Micro-
scope for Fluorescence-free Bioimaging, Proc. SPIE 8129, 812908 (2011).
224 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 225 — #1 i
i
i
i
i
i
ŠOLA
O NAPAKAH V UČBENIKIH FIZIKE1
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 01.50.Zv
V učbenikih fizike naletimo na napake ali zavajajoče trditve. Nekatere so poučne in
je vredno o njih poročati. Ali ponavljajoče se napake razkrivajo značilnosti poučevanja
fizike?
ON ERRORS IN PHYSICS TEXTBOOKS
In physics textbooks errors or misleading statements are encountered. Some of them
are instructive and it is worthwhile to report on them. Do repeated errors disclose cha-
racteristic traits of teaching?
Prispevki v poučevalskih revijah opozarjajo na nepravilnosti v učbenikih
fizike od napak do zavajajočih trditev. Zaradi preglednosti jih po pojema-
joči odgovornosti posameznika poskusimo razdeliti na tri skupine. V prvo
štejemo ponavljajoče se resneǰse napake, ki jih je treba popraviti, v drugo
zgrešene trditve o razvoju fizike, ki se jim kaže izogibati, in v tretjo poime-
novanje zakonov, ki ga ni smiselno spreminjati.
Napake
Najprej se spodobi pomesti pred lastnim pragom. V prvem delu Fizike [1]
sta ostali dve napaki.
• Razlaga dinamičnega vzgona letalskega krila se je oprla na privzetek,
da je zaradi kraǰse poti delov zraka ob spodnji ploskvi krila hitrost manǰsa
in tlak večji kot ob zgornji. Po Bernoullijevi enačbi naj bi bil tlak zraka na
spodnjo ploskev večji kot na zgornjo in bi rezultanta dala dinamični vzgon.
Po ponavljajočih se ugovorih je razlaga, ki so jo vsebovale tudi nekatere
znane knjige, prǐsla na slab glas. Albert Einstein je celo predlagal, da bi
izboklina na zgornji strani krila poskrbela za dodatni vzgon. Po mnenju
preizkusnega pilota je bilo letalo komaj mogoče voditi [2].
1Po prispevku na strokovnem srečanju DMFA 2012
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6 225
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 226 — #2 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Vzemimo, da se gostota zraka ρ ne spreminja in da del zraka ob gornji
ploskvi krila potuje enak čas kot del ob spodnji ploskvi. Srednja hitrost
ob zgornji ploskvi vz je v enakem razmerju s srednjo hitrostjo ob spodnji
vs kot pot dela zraka ob zgornji ploskvi sz s potjo dela ob spodnji ss. Po
Bernoullijevi enačbi bi bil dinamični vzgon:
F = 12ρ(v
2
z − v2s)S ≈ 12ρv
2(s2z/s
2
s − 1)S
s ploščino tlorisa krila S. Vzgon bi težo letala uravnovesil samo pri določeni
hitrosti v. Z dosegljivim razmerjem sz/ss ne bi dobili dovolj velikega vzgona.
Opazovanja v vetrovniku kažejo, da je privzetek o enakem času potovanja
delov zraka zgrešen. Letalo lahko leti tudi na hrbtu in nekatera letala imajo
simetrična krila s sz/ss = 1.
Slika 1. Odboj dela zraka na spodnjem delu nagnjene plošče.
Vzemimo ravno ploščo, ki je nagnjena za kot α, kot najpreprosteǰse si-
metrično krilo. V koordinatnem sistemu, v katerem miruje krilo, ima del
zraka z maso m hitrost v v vodoravni smeri. Vzemimo, da se del na spodnji
strani krila prožno odbije (slika 1). Sprememba komponente gibalne količine
v vodoravni smeri je mv cos 2α−mv = −mv(1− cos 2α) in v navpični smeri
−mv sin 2α− 0 = −mv sin 2α. Po izreku o gibalni količini je navpična kom-
ponenta sunka sile F ′ krila na del zraka F ′t = −mv sin 2α = −ρvStv sin 2α,
tako da je F ′ = −Sρv2 sin 2α. Sila zraka na krilo F = −F ′ je usmerjena
navzgor. Njeni komponenti pravokotno na krilo in tangentno nanj sta:
Fp = F cosα = ρv
2S sin 2α cosα in Ft = F sinα = ρv
2S sin 2α sinα.
(1)
226 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 227 — #3 i
i
i
i
i
i
O napakah v učbenikih fizike
Vodoravna komponenta sile zraka na krilo prispeva k uporu. Pri dani hitro-
sti je vzgon odvisen od hitrosti in od kota. Pri večji hitrosti je kot manǰsi,
pri manǰsi večji. Vzgon je dovolj velik, da uravnovesi težo letala.
Merjenja pokažejo, da razlaga velja samo pri nadzvočni hitrosti [2]. Pri
majhni hitrosti pa so pomembni pojavi na zgornji strani krila, ki jih ni-
smo upoštevali. Tangentna komponenenta Ft požene zrak ob spodnji strani
proti sprednjemu robu krila. Nastane tok zraka okoli krila s sklenjenimi
tokovnicami. Tok se pridruži translacijskemu toku s tokovnicami, ki so v
oddaljenosti vzporedne. Tokova obravnavamo kot laminarna. Podrobneǰse
pojasnilo ni preprosto.2 V sestavljenem toku se na zgornji strani krila hitro-
sti delov zraka v translacijskem in v sklenjenem toku seštejeta, na spodnji
strani pa se prva zaradi druge zmanǰsa. Hitrost delov zraka na spodnji strani
krila je manǰsa kot na zgornji strani. Razlika kvadratov pa je večja, kot smo
privzeli na začetku.
K razumevanju dinamičnega vzgona prispevajo slike tokovnic ob krilu
[3]. Daleč pod krilom in daleč nad krilom so tokovnice preme in je tlak
enak nemotenemu tlaku. Ob krilu pa se tokovnice ukrivijo navzdol. Tlak
od nemotene vrednosti daleč pod krilom proti krilu narašča in je tik pod
krilom večji od nemotenega tlaka. Tlak od nemotene vrednosti daleč nad
krilom proti krilu pojema in je tik nad krilom manǰsi od nemotenega tlaka.
Pri tem smo upoštevali, da se tlak spreminja prečno na ukrivljene tokovnice
in narašča v smeri proč od krivinskega sredǐsča.3 Tlak je pod krilom precej
večji kot nad njim.
• Druga napaka zadeva površinsko napetost. Kapljevina 1 miruje na
vodoravni trdni podlagi 3. Nad njima je para 2 v ravnovesju s kapljevino
ali zrak. Površinska napetost na meji kapljevine in pare je γ12, na meji pare
in trdnine γ13 in na meji kapljevine in trdnine γ23. Napetosti vzamemo za
tangentne (slika 2 levo) in upoštevamo ravnovesje vodoravnih komponent:
γ12 cosϑ+ γ13 = γ23 in cosϑ = (γ23 − γ13)/γ12.
Mejni kot ϑ leži med 0 in 90◦, če kapljevina omoči trdnino, in med 90◦ in
180◦, če je ne omoči. Enačba je prava, slika, ki jo vsebujejo tudi številni
učbeniki, pa ni. Na njej navpične komponente sil niso uravnovešene.
Najprej se je treba dogovoriti, kateri sistem opazujemo. Izberemo priz-
matični del kapljevine med mejnima ploskvama s paro in s trdnino ter z
2Nemški matematik Martin Wilhelm Kutta (1867–1944) je hitrostno polje okoli letal-
skega krila raziskal leta 1902 v doktorskem delu. Ruski fizik Nikolaj Jegorovič Žukovski
(1847–1921) ga je neodvisno izpeljal leta 1906 [2].
3Nekateri menijo, da je v dinamični vzgon vpleten Coandov pojav (J. Strnad, Presneti
čaj, Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 176–182).
225–235 227
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 228 — #4 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Slika 2. Sile pri mirujoči prizmatični kaplji na trdni podlagi niso uravnovešene (levo).
Uravnovesimo jih tako, da dodamo komponento sile trdne podlage na kapljevino in pre-
maknemo drugo komponento v kapljevino.
namǐsljeno mejo v kapljevini. Teže ne upoštevamo. Mejne ploskve sistema
niso enakovredne. Trdnina deluje na kapljevino tudi s komponento sile, pra-
vokotno na mejno ploskev, ki uravnovesi navpično komponento površinske
napetosti γ12 sinϑ. Vodoravna komponenta te sile prijemlje v kapljevini
(slika 2 desno) [4], [5]. Opazovani del kapljevine mora biti dovolj velik, zato
ne moremo opazovati samo roba, v katerem se stikajo vse tri faze. Razlaga
je približna, ker smo sile, porazdeljene po ploskvi, nadomestili s silami, ki
prijemljejo v črti [5].
• Razvpita napaka zadeva iztekanje kapljevine skozi odprtine v nav-
pični steni [6], [7]. Leonardo da Vinci je mislil, da curek zadene tla tem
dlje od posode, čim nižja je odprtina (slika 4). Evangelista Torricelli, ki se
je razumel na tlak v kapljevini in hitrost iztekanja, je že leta 1640 zadevo
spravil v red. Vodoravna komponenta hitrosti iztekanja je taka, kot da bi
del kapljevine padel za vǐsinsko razliko med gladino Z in vǐsino odprtine z0,
torej v20 = 2g(Z − z0). Del kapljevine se giblje po paraboli z = z0 − 12gt
2 in
x = v0t, tako da velja z−z0 = −12gx
2/v20. Za z = 0 sledi x = 2
√
z0(Z − z0).
Doseg je največji pri z0 =
1
2Z. Okvirne razvrstitve dosegov v odvisnosti od
vǐsine odprtin ni težko opazovati. Odprtine v steni pa je treba skrbno iz-
delati, če naj se izid poskusa približa napovedi. Učbeniki so nekaj časa
upoštevali Torricellijev račun, v 19. stoletju pa se je napaka zopet pojavila
[7].
• V številnih učbenikih so entropijo pojasnili kot mero za nered. Menda
je k temu prispevala Boltzmannova statistična pot. Predstava se je zdela
posrečena, ker je abstraktno entropijo povezala z vsakdanjim pojmom. Ven-
dar v splošnem nereda ni mogoče smiselno opredeliti. Po dobrih sto letih
je predstava prǐsla na slab glas. Kos snovi s prostornino 2V ima dvakrat
228 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 229 — #5 i
i
i
i
i
i
O napakah v učbenikih fizike
Slika 3. Curki pri iztekanju iz posode po Leonardu da Vinciju (levo) in po računu
z/Z = z0/Z − (x/Z)2/(4(1 − z0/Z)) (desno). Da Vincijevo delo O gibanju in meri vode
je leta 1828 izdal Francesco Cardinali in ga je mogoče najti na spletu. Spodnji curki so
podobni parabolam.
večjo entropijo kot kos iste snovi s prostornino V v enakih okolǐsčinah. Ali
večjemu kosu ustreza večji nered? Težko je uvideti, da se pri reverzibilnih
pojavih nered ne spremeni. Kako naj razumemo,
”
da je
”
nered“ v podhlajeni
vodi manǰsi potem, ko ustrezni del vode ireverzibilno zmrzne?“ [8] Vzemimo,
da pri navadnem zračnem tlaku vodo z maso m podhladimo do temperature
T . V toplotno izoliranem sistemu del vode z maso ml zmrzne in odda talilno
toploto. Preostala voda se segreje do talǐsča T0 in velja mlqt = mcp(T0−T ).
Delu vode, ki zmrzne, se entropija zmanǰsa za ml(qt/T0− cpln(T0/T )), delu
vode, ki se segreje do talǐsča, pa poveča za (m − ml)cpln(T0/T ). V ce-
loti se entropija poveča za mcp(ln(T0/T ) − 1 + T/T0), ker je sprememba
ireverzibilna. Podobno je pri rjavenju železa, ki je zgled za razpadanje.
Pri navadnem zračnem tlaku in sobni temperaturi meri po enačbi 4Fe +
3O2 → 2Fe2O3 entropija začetnih snovi za 4 mole železa 725 J/K, končnih
pa 176 J/K. Entropija se zmanǰsa za 549 J/K. Z njo se zmanǰsa
”
nered“.
Zaradi oddane reakcijske toplote 168,4 kJ se v celoti entropija poveča za
1684 kJ/(298 K) = 5650 J/K [9],[10].
Predstava o neredu spregleda zvezo entropije z energijo. Predlagajo,
da bi povečanje entropije povezali s širjenjem energije na večjo prostornino
ali z dodatkom energije dani prostornini. Povezava entropije z razpršitvijo
(dispersal) [10] ali širjenjem (spreading) [11] naj bi nadomestila povezavo z
”
neredom“. Morda se bo predlog uveljavil.
• Nekateri učbeniki ne upoštevajo, da se histerezna krivulja feromagne-
tne snovi za magnetizacijo M = B/µ0 −H razlikuje od krivulje za gostoto
magnetnega polja B [12]. Krivulja M(H) ob nasičenju postane vodoravna,
225–235 229
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 230 — #6 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
krivulja B(H) pa ne (slika 3). Remanentna magnetizacija Mr pri jakosti
H = 0 ustreza remanentni gostoti Br = µ0Mr. Koercitivna jakost H
′
k, pri
kateri je M(H ′k) = 0 in ji ustreza gostota B
′
k = µ0H
′
k, pa se razlikuje od
jakosti Hk, pri kateri je B(Hk) = 0 in ji ustreza magnetizacija Mk = Hk.
Pri magnetno mehkih snoveh z ozko histerezno zanko so razlike majhne in
jih na diagramih ne opazimo. Pri magnetno trdih snoveh s široko histere-
zno zanko pa jih kaže upoštevati. Del težav izvira tudi od nedoslednega
poimenovanja. Nekateri H ′k imenujejo pripadajoča koercitivna jakost, drugi
notranja koercitivna jakost, pogosto pa je ne razločijo od Hk.
Slika 4. Histerezni krivulji za magnetizacijo M (levo) in gostoto magnetnega polja B v
odvisnosti od jakosti magnetnega polja (desno). Krivulji ustrezata magnetno trdi snovi
[12].
• V učbenikih včasih še naletimo na
”
relativistično maso“
mr = m/
√
1− v2/c2 [13]. Zares klasična gibalna količina mv preide v
relativistično, če m zamenjamo z mr. Toda relativistična kinetična energija
mc2(1/
√
1− v2/c2−1) se razlikuje od 12mrv
2. Einstein je zapisal:
”
Ne kaže
uvajati pojma mase mr gibajočega se telesa, ki je ni mogoče jasno defini-
rati [. . . ] bolje je omeniti izraz za gibalno količino in energijo gibajočega
se telesa.“ Fiziki, ki se ukvarjajo z delci, uporabljajo samo lastno maso m
[13]. Vendar so se celo ti včasih oprli na relativistično maso, ko so govorili
ali pisali za nefizike. Namesto relativistične mase je veliko bolje izhajati
od predstave, da čas vselej merimo z uro, ki se giblje skupaj z opazovanim
delcem.
• Atomski model Nielsa Bohra iz leta 1913 se je dolgo časa obdržal
v učbenikih, čeprav je vsaj od leta 1927 jasno, da elektronom ni mogoče
prirediti tirnic. Tudi sicer je s kvantno mehaniko povezanih več zgrešenih
trditev. Včasih valovno funkcijo poskusijo obravnavati kot klasično valova-
nje, čeprav to ni mogoče.
230 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 231 — #7 i
i
i
i
i
i
O napakah v učbenikih fizike
Zgrešene trditve
• Nekateri učbeniki zagotavljajo, da je Ole Rømer izmeril hitrost sve-
tlobe. Ukvarjal se je z mrki Jupitrove lune Io, ki so jih na parǐski zvezdarni
zasledovali, da bi z njimi določili zemljepisno dolžino. Spoznali so nee-
nakomernosti in pomislili, da bi utegnile biti povezane s končno hitrostjo
svetlobe. Rømer je ugotovil, da časovni razmik med mrki narašča, ko se
Zemlja oddaljuje od Jupitra, in zmanǰsuje, ko se mu približuje. Leta 1676
je napovedal zakasnitev, ki so jo opazovanja podprla. Po tem je sklepal, da
svetloba potuje s končno hitrostjo. Hitrosti pa ni navedel [14], čeprav bi jo
z razpoložljivimi podatki lahko ocenil na 210 tisoč km/s.
• Pogosto zgrešijo vsebino Newtonove trditve o ohlajanju iz leta 1701
[15]:
”
Če vzamemo enake čase ohlajanja, bodo stopnje toplote v geometrij-
skem razmerju [. . . ].“ To pomeni, da temperatura pojema eksponentno. Ni
jasno, s kakšnim namenom je Newton delal poskuse, pri katerih je uporabil
termometer na laneno olje. Morda mu je šlo le za vpeljavo
”
stopnje toplote“,
naše temperature. Odvisnost velja le, če se telo ohlaja v stalnem toku zraka.
Temperaturo telesa mora označevati en sam podatek in temperatura v toku
daleč od telesa se ne sme spreminjati. Prav tako ne sme biti drugih izvirov
toplote in sevanje mora biti zanemarljivo.
• Henry Cavendish ni ugotovil gravitacijske konstante. Leta 1798 je
s torzijsko tehtnico izmeril gravitacijo med laboratorijskima telesoma in z
dobljenim podatkom izračunal gostoto Zemlje [16]. Gravitacijsko konstanto
so vpeljali pozneje. Iz dobljenih podatkov bi lahko izračunal gravitacij-
sko konstanto in maso Zemlje. Učbeniki pogosto zagotovijo, da je
”
izmeril
gravitacijsko konstanto“ ali
”
stehtal Zemljo“. V tem se kaže razlika med
”
zgodovinarjevo zgodovino fizike“ in
”
fizikovo zgodovino“, v kateri pogosto
nekdanje dosežke presojamo z današnjim znanjem. V naštetih in podobnih
primerih ne kaže ponarejati razvoja. Zadostuje pripomba, da bi to in ono
lahko naredili, pa niso.
Poimenovanje zakonov
Neustrezno poimenovanje zakonov, izrekov, enačb, konstant ni omejeno na
učbenike in je povezano z vprašanjem prvenstva. V tej zvezi strezni ničti
izrek iz zgodovine naravoslovja zgodovinarja naravoslovja Ernsta Petra Fi-
scherja iz leta 2006:
”
Odkritja (pravila, zakona, spoznanja), ki nosi ime po
kaki osebi, ni naredila ta oseba.“ Fizik Michael Berry je šel še dlje:
”
Nikoli ni
nič odkrito prvič.“ Fischerjev izrek velja tudi zase. Že leta 1980 ga je nave-
225–235 231
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 232 — #8 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
del statistik Stephen Stigler kot zakon o eponimih:
”
Nobenega znanstvenega
odkritja ne imenujemo po pravem odkritelju.“ 4 Do podobnega spoznanja so
prǐsli večkrat že prej. Izjave te vrste nakazujejo težave, na katere lahko
naletimo, ko bi radi odkritje poimenovali po eni sami osebi.
Nekatere zakone so odkrivali postopno. Nekdaj je bilo obveščanje te-
žavno in je odkritje večkrat zašlo v pozabo, da so ga pozneje ponovno na-
redili. Značilen zgled je lomni zakon za svetlobo. Ibn Sahl ga je poznal že
konec 10. stoletja, dolgo pred Snelom in drugimi na začetku 17. stoletja
[17], [18]. Omeniti kaže še neodvisna odkritja. Na misel pridejo s konca
19. stoletja odkritja katodnih žarkov, rentgenske svetlobe in elektrona, pri
katerih je sodelovalo več raziskovalcev. C. F. Bohren, sicer oster kritik uč-
benǐskih napak, je zapisal:
”
Če smo pošteni, je pogosto zelo težko ugotoviti,
kdo je kaj naredil prvi, in zato navadno napačno pripǐsemo zakone, kon-
stante, izreke in merjenja [. . . ] Komu pripǐsejo zasluge, je v veliki meri
odvisno od sreče, časovnega poteka, popularnosti in državne pripadnosti.“
[19] Pomembno je tudi, kako je svoje odkritje cenil in objavil odkritelj.
• Isaac Newton leta 1687 ni odkril drugega Newtonovega zakona [20].
Njegov zakon bi se glasil ~F ∝ ∆~G, če bi ga zapisali z današnjimi znaki.
Enačbo ~F = m~a je izpeljal Leonhard Euler leta 1752 v članku z naslovom
Odkritje novega načela mehanike.
• James Clerk Maxwell ni odkril Maxwellovih enačb. Najbrž jih v da-
našnji obliki ne bi prepoznal [19]. V tej obliki jih je zapisal Oliver Heaviside.
Avogadrove konstante ni uvedel Amedeo Avogadro, Boltzmannove ne Lu-
dwig Boltzmann, Diracovega delta ne Paul Dirac. . .
• Hubblovega zakona o širjenju vesolja ni odkril Edwin Hubble. Leta
1922 je Vesto Slipher izmeril relativni rdeči premik galaksij. Leta 1926
je Hubble po siju ugotovil oddaljenosti oddaljenih galaksij. Leta 1927 je
Georges Lemaitre v Analih bruseljske naravoslovne družbe objavil članek
Homogeno vesolje s konstantno maso in naraščajočim polmerom pojasni ra-
dialno hitrost zunajgalaktičnih meglenic. Navedel je rešitve enačb splošne
teorije relativnosti, ki jih je Aleksander Friedmann objavil že leta 1922.
Drugače od Friedmanna, ki ni upošteval astronomskih podatkov, je Lema-
itre po Slipherjevih in Hubblovih podatkih hitrosti oddaljevanja povezal z
oddaljenostjo: v = Hd. Ugotovil je, da se vesolje širi in za koeficient soraz-
mernosti, današnjo Hubblovo konstanto H, navedel 575 ali 670 km/(s·Mpc)
glede na to, kako je razvrstil podatke. Leta 1929 je tudi Hubble spoznal
sorazmernost in za H navedel 500 km/(s·Mpc) (današnja vrednost je (74,3
± 2,1) km/(s·Mpc)). Uporabil je domala iste podatke kot Lemaitre, le po-
4Eponim je oseba, po kateri kaj imenujemo.
232 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 233 — #9 i
i
i
i
i
i
O napakah v učbenikih fizike
datke za oddaljenost galaksij je izbolǰsal z merjenji, ki sta jih on in Milton
Humason naredila s kefeidami in novimi zvezdami. Širjenja vesolja ni omenil
in ga menda tudi pozneje ni zagovarjal [21].
Angleški prevod Lemaitrovega dela je izšel leta 1931 v Mesečnih objavah
Kraljeve astronomske družbe. V njem so manjkali odstavek o sorazmernosti,
podatki o koeficientih in nekaj opomb. Nekateri so v tem videli zaroto.
M. Livio pa je po pismih ugotovil, da je članek prevedel in spustil odstavke
Lemaitre sam [22]. Ni mu šlo za prvenstvo in je skromno menil, da so
Hubblovi podatki bolǰsi.
Raziskovanje in poučevanje
Napakam v raziskovanju se godi drugače kot napakam v učbenikih:
”
Spre-
memba v raziskovanju je hitra, lahko jo je sporočiti in jo na široko upo-
števajo. Sprememba v poučevanju pa rabi veliko časa, mogoče jo je slabo
sporočiti in ji na splošno nasprotujejo razni posebni interesi v skupnosti
poučevalcev fizike.“ [23] V raziskovanju se dokopljejo do novih spoznanj,
medtem ko se zdi, da se poučevanje pogosto vrti v krogu:
”
Kaj dovoljuje,
da gradimo znanje fizike tako, da se nabira, medtem ko se v poučevanju
fizike zdi, da smo prekleti na večne kroge, [. . . ] Zakaj nikoli ne moremo
naslednjemu rodu izročiti, kar smo se naučili v poučevanju fizike.“ [24]
V tej zvezi razločujejo
”
kulturo raziskovanja“ in
”
kulturo poučevanja“ [7].
Za prvo naj bi bilo značilno širjenje novega znanja, iskanje osebnega uspeha
in razvito ocenjevanje del, za drugo pa širjenje starega znanja, iskanje uspeha
drugih in nerazvito ocenjevanje del. Razloček je zares opazen. Pri tem pa
ni mogoče spregledati, da je fizika del naravoslovja, v katerem uporabljamo
naravoslovni raziskovalni način. Trditev preizkusimo z opazovanjem in mer-
jenjem in neustrezno zavržemo ali prilagodimo. Tako pridemo do enotnega
ali vsaj do jasnega večinskega mnenja. Poučevanje pa zajema sestavine
znanosti o ljudeh in družbi, v katerih ne uporabljajo naravoslovnega raz-
iskovalnega načina. Pogosto obstaja več različnih mnenj, ki utegnejo biti
odvisna od okolja in se spreminjati s časom. Tako ni mogoče pričakovati,
da bi poučevanje fizike oblikovali povsem po kopitu raziskovanja. Pretirana
težnja v tej smeri bi poučevanju utegnila škodovati.
Zagotovo je treba biti pozoren na napake, posebno v učbenikih. Na drugi
strani ne gre spregledati, da mora pisec učbenika obvladati široko, čeprav
morda ne globoko, znanje, ki mu čas ostre specializacije ni naklonjen. Zdi
se, da so lahko zaradi napak v srednješolskih učbenikih fizike zaskrbljeni
predvsem v Združenih državah. Pri nas osnovnošolski in srednješolski učbe-
225–235 233
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 234 — #10 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
niki ne zbujajo tolikšne skrbi, ker jih pǐsejo fiziki ali pri pisanju sodelujejo.5
S tega stalǐsča si je smiselno prizadevati, da bi se študij bodočih učiteljev
fizike čim manj oddaljil od študija bodočih fizikov.
Na koncu se je smiselno vprašati, ali morebiti spodbuja nastanek napak
to, da je na dani stopnji treba upoštevati zmožnost učencev ali dijakov. Tem
pogosto zmanjka matematičnega ali fizikalnega znanja. Pri tem se je treba
zadovoljiti z mislijo, da učbenik lahko vsebuje
”
resnico in samo resnico“, a
ne more vsebovati
”
vse resnice“. Navsezadnje tudi fizika še nima odgovorov
na vsa vprašanja.
LITERATURA6
[1] J. Strnad, Fizika, 1. del, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana 2011.
[2] S. Knez in R. Podgornik, Modeli dinamičnega vzgona letalskih kril, Ob-
zornik mat. fiz. 52 (2005) 162–182, 53 (2006) 1–17.
[3] H. Babinsky, How do wings work?, Phys. Educ. 38 (2003) 497–503.
[4] M. V. Berry, The molecular mechanism of surface tension,
Phys. Educ. 6 (1971) 70–84.
[5] A. Marchand, J. H. Weijs, J. H. Snoeijer in B. Andreotti, Why is surface
tension a force parallel to the interface, Am. J. Phys. 79 (2011) 998–
1008.
[6] G. Planinšič, Ch. Ucke in L. Viennot, Holes in a bottle filled with water:
which water-jet has the longest range? http://education.epsdimen-
sions.org/muse/.
[7] J. Slisko, Repeated errors in physics textbook: what do they say about
the culture of teaching?, Physics Community and Cooperation, GIREP
2009, University of Leicester.
[8] I. Kuščer in S. Žumer, Termodinamika, DMFA, Ljubjana 1974, str. 33.
[9] D. Styer, Entropy and rust, Am. J. Phys. 78 (2010) 1077.
[10] H. S. Leff, Removing the mystery of entropy and thermodynamics – part
V, Phys. Teacher 50 (2012) 274–276.
5Pred desetletji je bilo mogoče v učbeniku za nižjo gimnazijo zaslediti dvoumnost v
zvezi s centrifugalno silo.
6Po navedenem izboru je mogoče priti do obsežne literature o napakah.
234 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Strnad” — 2013/1/19 — 20:07 — page 235 — #11 i
i
i
i
i
i
O napakah v učbenikih fizike
[11] F. L. Lambert, The misinterpretation of entropy as
”
disorder“,
J. Chem. Educ. 89 (2012) 310.
[12] H. W. F. Sung in C. Rudowicz, Physics behind the hysteresis loop – a
survey of mis-conceptions in magnetism literature, J. Magn. Magn. Ma-
ter. 260 (2003) 250–260.
[13] Lev B. Okun, The concept of mass, Phys. Today 42 (1989) 31–36 (6).
[14] A. Wroblewski, De mora luminis: A spectacle in two acts with a pro-
logue and an epilogue, Am. J. Phys. 53 (1985) 620.
[15] C. T. O’Sullivan, Newton’s law of cooling – A critical assesment,
Am. J. Phys. 58 (1990) 957–960; C. F. Bohren, Comment on
”
Newton’s
law of cooling“, Am. J. Phys. 5
¯
9 (1991) 1044–1045.
[16] J. Slisko in Z. Hadzibegovic, Cavendish experiment in physics text-
books. Why do authors continue to repeat a denounced error?,
Eur. J. Phys. Ed. 2 (2011) 20–32.
[17] R. Rashed, A pioneer in anaclastics. Ibn Sahl on burning mirrors and
lenses, Isis 81 (1990) 464.
[18] J. Strnad, Deseterica do lomnega zakona, Fizika v šoli 11 (2003) 9.
[19] C. F. Bohren, Physics textbooks writing: Medieval, monasteric mimi-
cry, Am. J. Phys. 77 (2009) 101–103.
[20] B. Pourciau, Is Newton’s second law really Newton’s?, Am. J. Phys. 70
(2011) 1015–1022.
[21] M. Way in H. Nussbaumer, Lemaitre’s Hubble relationship, Phys. Today
564 (2011) 8 (8).
[22] M. Livio, Mystery of the missing text solved, Nature 479 (2011) 121–
123.
[23] J. M. Wilson, Changing the introductory physics sequence to prepare
the physics student of the 1990s, Proc. Conf. on Computers in Physics
Instruction, North Carolina, J. Risley (ur.), Addison-Wesley, Reading,
Mass. 1988.
[24] E. F. Redish, Millikan lecture 1998: Building a science of teaching
physics, Am. J. Phys. 67 (1999) 562–573.
225–235 235
i
i
“Kovic” — 2013/1/15 — 17:40 — page 236 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
C. A. Pickover, The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc.,
New York, 2009, 528 strani.
Matematika je kot ogro-
men labirint, neznana de-
žela velikih čudes, v ka-
terem se človek zlahka iz-
gubi. Marsikdo za vedno
obtiči v kakšnem slepem
rokavu in noče videti širše
slike. Za uspešno gibanje
po tem labirintu pa potre-
bujemo dobrega vodnika,
ki nas bo, podobno kot vo-
dnik po umetnostni gale-
riji ali ogromni knjižnici,
opozoril na najpomemb-
neǰse stvari, ob katerih se
je vredno ustaviti in jih
podrobneje spoznati.
Knjiga The Math Book je tak dober vodnik. Njen pisec, avtor več kot
štiridesetih knjig, doktor molekularne biofizike in biokemije ter lastnik več
kot 40 patentov v ZDA, v bogato ilustrirani in s fotografijami opremljeni
knjigi zgoščeno in privlačno predstavlja 250 mejnikov v zgodovini matema-
tike. Kot sam pravi, je bil njegov namen napisati knjigo, ki bo bralca hitro
vpeljala v najzanimiveǰse matematične probleme, ne da bi se mu bilo treba
mukoma prebijati skozi goščavo tehničnih podrobnosti. Delo je treba brati
počasi ter v majhnih dnevnih količinah, nekako tako, kot se v slaščičarni
ne gre zastrupiti z vsemi slaščicami naenkrat. Ko se seznanimo s proble-
mom, predstavljenim v nekaj vrsticah, je najbolje, da knjigo odložimo in
sami malce (a previdno!) zagrizemo v trde matematične orehe varljivo pre-
prostega videza. Ob tem si razvijamo domǐsljijo, pogum in sposobnosti za
soočanje s težjimi problemi, kot smo jih vajeni reševati iz standardnih uč-
benikov. Da ne gre za še eno poljudno knjigo, ki vzgaja k površnosti in
plitkemu branju, poskrbi bogat seznam referenc s kratkimi povzetki del, ki
236 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“Kovic” — 2013/1/15 — 17:40 — page 237 — #2 i
i
i
i
i
i
The Math Book
zainteresiranemu bralcu olaǰsa nadaljnje poglabljanje v tiste probleme, ki
ga najbolj pritegnejo.
Knjiga tudi lepo prikazuje tesno prepletanje matematike in življenja,
omenja nenavadne značajske poteze genialnih matematikov in orǐse raz-
mere, v katerih so živeli in ustvarjali. Marsikatero slavno ime, poznano
študentom matematike zgolj po eni sami formuli, hipotezi ali izreku, tu
oživi pred nami kot živ lik s svojo srečno ali tragično življenjsko zgodbo, kar
daje knjigi dodatno humanistično, zgodovinsko in kulturno razsežnost, ob
kateri se lahko marsikaj naučimo. Spoznamo nekatere osebnosti, ki so od-
ločilno pripomogle k popularizaciji matematike (npr. Gardner), pa najbolj
ustvarjalne avtorje (npr. Euler), pa tiste, ki so se zbirali v skrivne brato-
vščine in skupine (Bourbaki), pa takšne, ki so znali najbolje sodelovati z
drugimi (Erdös), pa vizionarje, ki so prehiteli svoj čas za več stoletij (Gro-
thendieck), pa takšne, ki so opozarjali na potrebo po strogosti in eksaktnih
definicijah (npr. Cauchy). Naletimo tudi na matematike, ki so odkrili kaj
pomembnega, kljub temu da so v nekaterih njihovih preǰsnjih člankih našli
napake in so jih drugi zato imeli za nekredibilne. Najdemo tudi takšne, ki
so odklonili visoke nagrade za rešitev pomembnega problema. Ob vsem tem
postopoma spoznamo, da lahko k napredku matematike pripomorejo ljudje
najrazličneǰsih značajskih lastnosti in sposobnosti.
Knjiga pa daje misliti tudi v zvezi z najrazličneǰsimi predsodki, ki so
zavirali ali še vedno zavirajo razvoj matematike. Eden od njih je na primer,
da so ustvarjalni le mladi matematiki. Drug tak predsodek oziroma odpor
je bil v zgodovini uperjen proti genialnim ženskam v matematiki. Prega-
njali in izločali so tudi Jude. Še en predsodek, ki se počasi razblinja, je, da
dokazi izrekov, pridobljenih s pomočjo računalnikov (npr. Appel-Hakenov
dokaz izreka 4 barv), niso vredni toliko kot tisti, dobljeni brez njih. Danes,
ko računalnike uporabljajo že tudi za oblikovanje in testiranje hipotez, so
takšni predsodki samo še ovira razvoju, ki pa gre nezadržno svojo pot. Ob
branju knjige začenjamo razumeti, da se matematika, pa naj nam je to všeč
ali ne (delno tudi zaradi Gödlovih, Turingovih in Chaitinovih spoznanj, iz
katerih sledi, da bo tisto, kar lahko spoznamo z deduktivno metodo, vedno
le majhno otočje v oceanu neznanega), počasi spreminja iz deduktivne, aksi-
omatsko zasnovane znanosti v induktivno, eksperimentalno znanost, uteme-
ljeno na oblikovanju in verificiranju hipotez s pomočjo računalnikov! Kjer
ni mogoče dobiti eksaktnih rezultatov ali formul, se moramo zadovoljiti z
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6 237
i
i
“Kovic” — 2013/1/15 — 17:40 — page 238 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
aproksimacijami in konkretnimi številkami; kjer niso možne natančne na-
povedi prihodnjih stanj sistema, se moramo zadovoljiti z verjetnostnimi in
statističnimi ugotovitvami. Svet (in to velja tudi za matematiko), je mnogo
bolj zapleten, kot smo verjeli še pred 100 leti. Zdaj že spoznavamo, da se
neskončnosti matematike ne da ujeti v nobeno končno aksiomatsko mrežo.
Ob branju knjige se nam počasi izoblikuje tudi vse jasneǰsa predstava o
tem, kakšne lastnosti imajo tista odkritja v matematiki, ki jim upravičeno
lahko rečemo mejniki. Gre npr. za izrek, iz katerega sledi cela kopica dru-
gih izrekov. Če se kdo domisli takega temeljnega izreka (oziroma ustrezne
hipoteze), je to zelo pomembno za nadaljnji razvoj matematike. Spomnimo
se samo, kako velik napredek se je začel v matematiki, ko je Descartes pove-
zal geometrijo in algebro, ki sta bili pred njim ločeni disciplini. V današnji
dobi specializacije v matematiki postajajo potrebe po povezujočih izrekih,
metodah, formulah, teorijah, konceptih itd. še toliko pomembneǰse. Nekdo,
ki obvlada veliko orodij iz različnih matematičnih vej, ima večje možnosti,
da odkrije kaj pomembnega ali da reši kak težji problem, ali da spodbudi
povsem novo smer v matematičnem raziskovanju. Mejnik je tudi nekaj, kar
poenostavi preǰsnje zapletene postopke, npr. računske. Mejnik je lahko tudi
napredek v matematični notaciji ali pa iznajdba v komunikaciji (npr. Er-
dösevo intenzivno sodelovanje z drugimi pri pisanju člankov, ali izviren način
predajanja znanja drugim), izum nove matematične teorije, ali zasnovanje
pomembnega matematičnega programa ali nabora pomembnih problemov,
ki lahko začrta smer razvoja matematike za nekaj sto let naprej. Mejnik
je lahko tudi problem, ki je ostal nerešen dolga stoletja ali celo tisočletja.
Mejnik je lahko premik k strogosti od naivne formulacije nekega pojma ali
računskega postopka ali teorije. Mejniki so lahko tudi zanimivi geometrijski
objekti (krivulje, ploskve, vzorci, poliedri, tlakovanja, konfiguracije, frak-
tali) ali razni aritmetični vzorci (Pascalov trikotnik, magični kvadrati).
Ta knjiga lahko nekoga, ki je za to pripravljen, navdihne k pisanju po-
dobnih matematičnih del ali zbudi v njem odločenost, da v matematiki
odkrije nekaj novega, ali da izkoplje iz pozabe stoletij kaj starega, še vedno
zanimivega, ali da začne intenzivneje sodelovati z drugimi matematiki, ali da
začne poučevati matematiko na privlačneǰsi način kot doslej . . . Možnosti
je neskončno. V labirintu matematike je prostora dovolj za vse – tako kot
v Hilbertovem neskončnem hotelu.
Jurij Kovič
238 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“kazalo” — 2013/1/11 — 16:31 — page 239 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 59 (2012)
številke 1–6, strani 1–240
Članki — Articles
Z najmanj truda na Šmarno goro!
(Gašper Jaklič, Tadej Kanduč, Selena Praprotnik in Emil Žagar) . . . 1–10
Nov preizkus posebne teorije relativnosti (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . 11–17
Sredine sredin (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–49
Kubične krivulje trikotnika (Tanja Veber) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50–62
O svetlobnem tlaku (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–71
Razporeditve hiperravnin (Matjaž Konvalinka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–93
Sistem enot na poti do sprememb (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95–99
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
(Edvard Kramar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–133
Utripanje žarnice (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134–141
Neka verižnica (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–169
Atomski interferometer (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170–181
Verižnica – elementaren in celovit pristop (Krešimir Veselić) . . . . . . . . . . . 201–204
Dedekindove vsote in kvadratni reciprocitetni zakon
(Rebeka Renko Zver) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205–216
SPIM: mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo (Maruša Vitek) . . . . . . . . . . . 217–224
Šola — School
Odziv na dva prispevka o poucevanju iz 5. številke Obzornika
(Peter Prelog) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18–19
Vizualizacija vektorskih polj v fiziki z uporabo barvnih kombinacij
(Milan Ambrožič in Marko Gosak) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–108
Slika k članku (Milan Ambrožič in Marko Gosak) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
Ob rob prispevka Petra Preloga o stanju v našem šolstvu
(Bojan Hvala in Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142–146
Reševanje treh velikih starogrških problemov (Marjan Jerman) . . . . . . . . 182–192
O napakah v učbenikih fizike (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225–235
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6 239
i
i
“kazalo” — 2013/1/11 — 16:31 — page 240 — #2 i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
Vprašanja in odgovori — Questions and Answers
Naloge in odgovori (urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–IV
Rešitev naloge
”
Padec palice“ (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78–VII
Naloge in rešitev (Urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–120
Nove knjige — New books
Hal Hellman, Great Feuds in Mathematics, Ten of the Liveliest Disputes
Ever (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21–25
Kevin Poulsen: Kingpin: how one hacker took over the billion-dollar
cybercrime underground (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26–28
Andrej Čadež, Teorija gravitacije (Alojz Kodre in Janez Strnad) . . . . . . . 29–30
Anton Suhadolc, Življenje in delo profesorja Riharda Zupančiča
(Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31–34
Bojan Magajna, Osnove teorije mere (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–35
Izbrana poglavja iz matematike in računalnǐstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36–39
Stefan Banach: Remarkable Life, Brilliant Mathematics
(Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–75
Zbirka izbranih poglavij iz fizike (urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76–77
Stephen Hawking in Leonard Mlodinow: Veliki načrt, Novi odgovori
na zadnja vprašanja o življenju (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109–110
Janez Strnad: Svet nihanj in valovanj (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–111
Fred Watson: Zakaj je Uran prekucnjen? Kar bi radi vedeli o
astronomiji, pa niste nikoli vprašali (Seta Oblak) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112–116
Gorazd Planinšič: Didaktika fizike – aktivno učenje ob poskusih,
I. Mehanika in termodinamika (Stane Arh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147–149
Uta C. Merzbach in Carl B. Boyer, A history od mathematics
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150–152
Alexander Ostermann in Gerhard Wanner, Geometry by its history
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152–154
Walter Thirring, Lust am Forschen – Lebensweg und Begegnungen
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155–156
Joseph O’Rourke, How to fold it – The Mathematics of Linkages,
Origami, and Polyhedra (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–158
E. Hairer, G. Wanner, Analysis by Its History (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . 193–195
C. A. Pickover, The Math Book (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236–238
http://www.obzornik.si/
240 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6
i
i
“kazalo” — 2013/1/11 — 16:31 — page 241 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Vesti — News
Jože Andrej Čibej, matematik in ekonomist (1953–2011)
(Milena Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Matematične novice (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62–64
Strokovno srečanje in 64. občni zbor DMFA Slovenije – vabilo
k sodelovanju (Sandi Klavžar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93–94
Strokovna ekskurzija (Mitja Rosina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
MARS 2012 (David Gajser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159–XV
Prof. Ivana Mulec (1939–2011) (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
Poročilo o strokovnem srečanju in 64. občnem zboru DMFA Slovenije
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195–200
Dr. Milan Hladnik novi častni član, mag. Tine Golež in mag. Lucijana
Kračun-Berc nova prejemnika priznanj DMFA Slovenije
(Sandi Klavžar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239–XXIII
Novi člani društva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII
NOVI ČLANI DRUŠTVA V LETU 20121
V letu 2012 se je v Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
včlanilo 35 novih članov:
2362. Matej Aleksandrov
2363. Maja Alif
2364. Helena Bezgovšek Vodušek
2365. Urška Bobnar
2366. Janez Bonča
2367. Mojca Gavez
2368. Andreja Gomboc
2369. Uroš Hekić
2370. Vesna Iršič
2371. Dominik Jan
2372. Andreja Kardoš
2373. Milan Kardoš
2374. Jure Kop
2375. Igor Košak
2376. Uroš Kovač
2377. Jurij Kovič
2378. Filip Kozarski
2379. Marino Samardžija Marinko
2380. Matjaž Maučec
2381. Gašper Mekǐs
2382. Tomaž Mohorič
2383. Anja Petković
2384. Katja Prezelj
2385. Ana Reberc
2386. Nejc Rosenstein
2387. Blanka Savšek
2388. Jaka Špeh
2389. Jan Šuntajs
2390. Jana Vidrih
2391. Maša Vizovǐsek
2392. Ira Vučko
2393. Nikola Vukovič
2394. Sara Sabrina Zemljič
2395. Marinka Žarn
2396. Mateja Žnidarič
1Novi člani DMFA Slovenije za leto 2011 so bili objavljeni v Obzorniku za matematiko
in fiziko 58 (2011) 6, stran 231.
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 6 XXIII
i
i
“kolofon6” — 2013/1/19 — 9:55 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, NOVEMBER 2012
Letnik 59, številka 6
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Verižnica – elementaren in celovit pristop (Krešimir Veselić) . . . . . . . . . . 201–204
Dedekindove vsote in kvadratni reciprocitetni zakon
(Rebeka Renko Zver) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205–216
SPIM: mikroskopija z ravninsko osvetlitvijo (Maruša Vitek) . . . . . . . . . . . . 217–224
Šola
O napakah v učbenikih fizike (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225–235
Nove knjige
C. A. Pickover, The Math Book (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236–238
Vesti
Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239–XXIII
Novi člani društva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII
CONTENTS
Articles Pages
Catenary – an elementary and complete approach (Krešimir Veselić) . 201–204
Dedekind sums and the quadratic reciprocity law
(Rebeka Renko Zver) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205–216
SPIM: selective plane illumination microscopy (Maruša Vitek) . . . . . . . . . 217–224
School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225–235
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236–238
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239–XXIII
Na naslovnici: Zarodek Drosophile melanogaster slikan z večsmernim SPIM.
Slika celičnih membran (Gap43-mCherry, zarodek v celičnem ciklu št. 14) je od-
vita, tako da se vidi slika celičnih jeder (H2Av-mCherry, zarodek v celičnem ciklu
12). Avtor slike je Uroš Kržič, EMBL Heidelberg (www.spim.me), več podrobnosti
v publikaciji Krzic et al., Nature Methods 9 (2012) 730–733.