IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 2014 Letnik 61 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO OBZORNIK MAT. FIZ. • LJUBLJANA • LETNIK 61 • ŠT. 4 • STR 121-160» JULIJ 2014 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, JULIJ 2014, letnik 61, številka 4, strani 121-160 Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč. Sofinančira jo Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-nančiranje domačih znanstvenih periodičnih publikačij. (g 2014 DMFA Slovenije - 1950 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz matematike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in čitirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima rečenzentoma, ki morata predvsem natančno očeniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TgX oziroma LTgX, kar bo olajšalo uredniški postopek. KAKO IŠČE GOOGLE? MARJETA KRAMAR FIJAVŽ Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 15B48, 15A18, 47H10 Srce spletnega iskalnika Google je algoritem PageRank. V sestavku predstavimo osnovno idejo algoritma ter si ogledamo njegovo teoretično ozadje. Konvergenco algoritma bomo utemeljili na dva načina, s Perron-Frobeniusovo teorijo za pozitivne matrike ter s pomočjo Banachovega izreka o negibni točki. HOW GOOGLE WORKS? We present the main idea of the PageRank algorithm which is the core of the Google search engine. We concentrate on the theoretical background of the algorithm and prove its convergence in two different ways, by the Perron-Frobenius theory for positive matrices and using Banach fixed point theorem. Uvod Že od začetka leta 1989 (za ustanovitelja velja Tim Berners-Lee) se je svetovni splet zelo hitro siril in kmalu dobil glavno vlogo v prenosu informacij. Svetovni splet je ogromen1 in neprestano raste. Poleg tega se stalno spreminja: 40 % strani spremeni vsebino tedensko, nastajajo nove in izginjajo stare strani. Splet je samoorganiziran s pomočjo raznovrstnih medsebojnih povezav. Gre torej za ogromno knjiznico podatkov, ki nima ne kataloga ne knjizničarjev. Kako se tu znajti? Vzporedno z nastajanjem spleta so se razvili spletni iskalniki, ki uporabniku z vnosom ključnih besed pomagajo najti ustrezno stran. Med različnimi iskalniki je zadnja leta najbolj znan Google. Spletni iskalnik Google2 sta leta 1998 zagnala Sergey Brin in Larry Page, takrat doktorska studenta na Stanfordski univerzi v Kaliforniji. Vsak spletni iskalnik ima svojo bazo spletnih strani, ki se seveda neprestano spreminja. Gradi jo s pomočjo avtomatskega programa, ki po spletu stalno posilja virtualne robote, imenovane pajki. Pajki potujejo po spletnih povezavah ter vsako obiskano stran ostevilčijo in indeksirajo njeno vsebino (naslov, ključne besede, imena povezav, sidra ipd.). Tako nastane baza spletnih strani s stvarnim kazalom. Ko uporabnik v iskalnik vtipka poizvedbo, x19. 1. 2014 obstaja vsaj 1.75 milijarde spletnih strani, http://www.worldwideweb size.com/. 2Ime Google naj bi izviralo iz angleske besede »googol« (sl. gugol), ki pomeni stevilo 10100. želi na vrnjenem seznamu videti najbolj relevantne strani na vrhu. In kako spletni iskalnik določi relevantnost strani? To je ena najzahtevnejših nalog iskalnika, in prav zaradi pametnega razvrsčanja je Google, takoj ko se je pojavil, pometel s konkurenco. Spletni iskalniki rangirajo spletne strani na podlagi dveh osnovnih kriterijev. Prvi kriterij je vsebinski. Tu upostevajo, kolikokrat se iskani izraz pojavi na posamezni spletni strani, ali se pojavi v naslovu, podnaslovu, poudarjeno ipd. Drugi kriterij pa je pomembnost strani, in tega si bomo podrobneje ogledali. Algoritem razvrsčanja strani po pomembnosti PageRank sta Brin in Page prvič opisala v članku [3] in je se vedno srce iskalnika Google. Podrobnejsi opis čelotnega postopka delovanja spletnih iskalnikov najde radovedni braleč v izvrstni knjigi [7]. V naslednjem razdelku si bomo ogledali osnovno idejo, na kateri temelji algoritem PageRank. Definirali bomo Googlovo matriko in videli, da zelimo poiskati lastni vektor te matrike k lastni vrednosti 1. Zato bomo obravnavali spektralne lastnosti pozitivnih matrik in utemeljili konvergenčo algoritma. Na konču bomo pokazali obstoj iskanega lastnega vektorja tudi s pomočjo Banačhovega izreka o negibni točki. Pri tem poudarimo, da nas predvsem zanima teoretično ozadje problema in uporaba metod linearne algebre oziroma funkčionalne analize. Konkretnega izračuna ne bomo obravnavali. Rangiranje spletnih strani Posvetimo se vprasanju, kako določiti pomembnost spletne strani. Povezave med spletnimi stranmi si lahko predstavljamo kot demokratične volitve. Avtor spletne strani naredi povezave na druge strani, ki se mu zdijo pomembne (kot glasovi na volitvah). Skupek teh subjektivnih glasov da globalni pomen strani (zmagovalča volitev). Uvedimo najprej nekaj oznak. Denimo, da imamo n spletnih strani: W = {Wk | k = 1,...,n}. Za posamezno stran Wk označimo z Ik := {i | Wi ^ Wk} mnozičo indeksov vseh vstopnih povezav, z Ok := {j | Wk ^ Wj} mnozičo indeksov vseh izstopnih povezav ter z xk > 0 rang strani Wk. Kako čim bolje definirati Xk ? Stran je gotovo pomembnejsa, če nanjo kaze več povezav, torej bi lahko za rang strani vzeli stevilo vstopnih povezav. Tako so delali prvi iskalniki, a dobljeni seznami strani niso bili najboljsi, poleg tega je tudi hitro prislo do zlorab (ustvarjalči strani so npr. umetno ustvarili povezave na določeno stran). Brin in Page sta tu odgovorila: Stran je pomembna, ce nanjo kaze druga pomembna stran! Njuna definicija ranga strani je zato rekurzivna: :=E |||' k = ie/fc Pri tem sta spet uporabila nacelo demokratičnosti in uteZila glasove volivcev glede na stevilo oddanih glasov |Oj|. Torej, če ima stran Wi veliko izhodnih povezav, je njen kazalec na določeno stran Wk proporcionalno manj vreden. Ob tem predpostavimo, da nobena stran ne pokaze nazaj nase. Enacba je na prvi pogled videti krozno odvisna. Poglejmo, ali je res tako. Svetovni splet si lahko predstavljamo kot ogromen usmerjen graf na n tockah (tj. spletnih straneh), povezanih s spletnimi povezavami. Priredimo mu utezeno matriko sosednosti H velikosti n x n, kjer je H TTITT , ce Wj ^ Wi v 0, (2) sicer. Elemente Hij lahko razumemo kot verjetnosti dostopanja do strani Wi s strani Wj. Zberimo range strani v vektor rangov x := (x\,x2,..., xn)T. Rekurzivno enacbo (1) lahko zapisemo v matricni obliki x = Hx. (3) Iscemo torej lastni vektor matrike H, ki pripada lastni vrednosti 1. Takemu vektorju recemo tudi fiksen ali negiben vektor matrike H. Od tu naprej bomo privzeli, daje vektor rangov normiran, tj. ||x||i = Y^a= i Xi = 1. Zanima nas, ali normiran vektor rangov, ki ustreza enacbi (3), vedno obstaja in ali je enolicno dolocen. Primer 1. Vzemimo za primer usmerjen graf na sliki 1. Njegova utezena matrika sosednosti je H njeni fiksni vektorji pa so oblike a(12, 4, 9, 6)T, a € R. Normiran vektor rangov je v tem primeru en sam, njegove koordinate na 2 decimalni mesti natancno so: x = (0.39, 0.13, 0.29, 0.19)T. Po pomembnosti razvrscene strani so tako: 1, 3, 4,2. Ce bi upostevali le stevilo vstopnih povezav, bi bil vrstni red drugacen: 3,1&4,2. Ce pa pri definiciji ranga ne bi upostevali utezi -joiTj glede na stevilo izhodnih povezav (oziroma postavili v matriki H vse nenicelne vrednosti na 1), rekurzivna enacba (1) sploh ne bi imela nenicelne resitve! 0 0 1 1/2\ 1/3 0 0 0 1/3 1/2 0 1/2 U/3 1/2 0 0 Slika 1. Primer usmerjenega grafa na 4 točkah. Pozitivne matrike Oglejmo si nekaj rezultatov iz teorije pozitivnih matrik, ki jih bomo pri nasi obravnavi potrebovali. Definicija 1. Vektor x = (xi,..., xn)T imenujemo pozitiven vektor, če so vse njegove koordinate pozitivna realna Števila: xi > 0. Matriko A = (a imenujemo pozitivna matrika3, ce enako velja za vse njene elemente: Za vektorja x = (x1,..., xn)T in y = (y1,..., yn)T € Rn označimo Naslednje lastnosti je enostavno preveriti, dokaz prepusčamo bralcu. Lema 1. Za poljubno matriko A = (aij)nxn veljajo trditve: (i) A je pozitivna, natanko tedaj, ko je Ax > 0 za vse x > 0. (ii) |Ax| < |A| |x| za poljuben vektor x. 3Nekateri avtorji tako matriko imenujejo nenegativna ter za pozitivne matrike zahtevajo, da so vsi cleni strogo pozitivni: a^ > 0. x < y ^^ x, < yi za vse i = 1,..., n. Absolutna vrednost vektorja x = (x1,..., xn)T € Cn je vektor (iii) Če je A pozitivna matrika, je \Ax\ < A \x\ za poljuben vektor x. Ponovimo se nekaj izrazov. Spekter matrike A je množica vseh lastnih vrednosti matrike, a(A) := (A € C \ 3x = 0 : Ax = Ax}. Spektralni radij matrike A je enak r(A) := max(\A\ \ A € ct(A)}. Teorija pozitivnih matrik je doživela razcvet v začetku 20. stoletja. Eden od pionirjev te teorije je nemski matematik Perron4, ki je v članku [9] dokazal naslednji izrek: Izrek 2 (Perron, 1907). Naj bo A pozitivna matrika s spektralnim radijem r = r(A). Potem je r lastna vrednost matrike A in pripadajoči lastni vektor je pozitiven. Dokaza izreka na tem mestu ne bomo navedli, radovedni bralec ga najde npr. v [8, 2]. V članku [8] je prikazanih tudi veliko primerov uporabe Per-ronovega izreka na razlicnih podrocjih, od numericne matematike in teorije verjetnosti do biologije in ekonomije. Definirajmo se nekaj pojmov. Pozitivno matriko A imenujemo: (i) vrstično stohastična, če je ^jj=1 aij = 1 za vse i = 1,..., n; (ii) stolpčno stohastična, če je ^j=1 aij = 1 za vse j = 1,..., n; (iii) stohastična, če je vrstično in stolpčno stohastična. Utezena matrika sosednosti H v primeru 1 je stolpčno stohastična, ni pa vrstično stohastična. Trditev 3. Za vrstično ali stolpčno stohastično matriko A je spektralni radij r(A) = 1 in je lastna vrednost matrike A. Dokaz. Najprej se spomnimo znane Gelfandove enačbe za spektralni radij matrike:1 r(A) = lim ||Ak||k, (4) ki velja za katerokoli matrično normo (dokaz najdemo npr. v [10, izrek 8], [2, Prop. 3.1.3] ali [7, Example 7.10.1]). Za vrstično stohastično matriko A je j ^ := max \aj\ = 1, ~ ~ j=1 4Oskar Perron (1880-1975) za stolpčno stohastično pa n i =1 i=1 Zaradi enačbe (4) je tako v vsakem primeru r(A) = 1. Naj bo e := (1,..., 1)T in A vrstično stohastična matrika. Potem je Ae = e, torej je r(A) = 1 lastna vrednost matrike A. Ce je A stolpčno stohastična, je AT vrstično stohastična in po gornjem velja 1 € a (AT) = V dokazu zadnje trditve opazimo, da je za vrstično stohastično matriko normiran lastni vektor k lastni vrednosti 1 enak n(1, • • •, 1)T in je strogo pozitiven. Pri stolpčno stohastični matriki pa zaradi Perronovega izreka vemo le, da je lastni vektor k lastni vrednosti 1 pozitiven. Nikakor pa ne moremo se ničesar reči o dimenziji ustreznega lastnega podprostora (to je o enoličnosti normiranega lastnega vektorja). Perron je v [9] ob predpostavki, da so vsi členi matrike strogo pozitivni (aij > 0), pokazal tudi močnejso različičo izreka 2. Tu velja, da je lastni vektor k lastni vrednosti r strogo pozitiven in do skalarja natančno določen. Nadomestimo pogoj o strogi pozitivnosti z neko splosnejso lastnostjo matrike, za katero bomo videli, da je lepo povezana s strukturo grafa, ki ji pripada (glej trditev 8). Definicija 2. Matrika A = (aij)nxn je razcepna, če obstaja taka neprazna indeksna mnoziča M ^ {1,..., n}, da je linearen podprostor invarianten za A. Matrika, za katero to ne velja, je nerazcepna. Opozorimo, da je ta lastnost matrike odvisna od izbire baze: za obrn-ljivo matriko P je matrika P-1AP lahko razčepna, čeprav je A nerazčepna, in obratno! Vendar pa hitro opazimo, da permutačija standardnih baznih vektorjev (ne)razčepnost ohranja. Torej je A razčepna natanko tedaj, ko lahko standardne bazne vektorje Rn preuredimo tako, da je za neki indeks 1 < k < n podprostor invarianten za A. Matrika v preurejeni bazi je torej bločno trikotna. Preureditev baze pomeni, da v matriki na enak način permutiramo vrstiče in stolpče. Dobili smo novo karakterizačijo nerazčepnosti, ki jo je enostavneje preveriti. a(A). Jm := {(xi,..., Xn)T i Xi = 0 za i € M} Jk := {(xi, . . . ,Xn)T i Xfc+1 = ■ ■ ■ = Xn = 0} (5) Trditev 4. Matrika A je razcepna, ce obstaja taka permutacijska matrika P, da je matrika PTAP blocno trikotna: pri čemer sta X in Z kvadratni matriki. Primer 2. Navedimo dva primera nerazcepnih matrik: (i) matrika A = (aij)nxn s strogo pozitivnimi nediagonalnimi elementi: aij > 0 za i = j, ter (ii) permutacijska matrika Pojem (ne)razcepnosti je uvedel nemSki matematik F. G. Frobenius5. V delu [6] je pokazal, da Perronov izrek za strogo pozitivne matrike velja tudi za nerazcepne pozitivne matrike. Izrek 5 (Perron-Frobenius, 1912). Naj bo A pozitivna nerazcepna matrika. Potem je spektralni radij r = r(A) lastna vrednost matrike A, pri-padajoc lastni podprostor je enorazsezen in napet na strogo pozitiven lastni vektor z = (zi,..., zn)T. Dokaz. Najprej uporabimo Perronov izrek 2, ki nam zagotavlja obstoj pozitivnega vektorja z = (zi,..., zn)T, zi > 0, za katerega velja Az = rz. Denimo, da z ni strogo pozitiven. Bazne vektorje preuredimo tako, da velja: zi > 0 za i = 1,..., k in zi = 0 za i = k + 1,..., n. To pomeni, da za poljuben y € Jk (glej (5)) obstaja c > 0, za katerega je |y| < c ■ z. Uporabimo lemo 1 in dobimo od koder sledi € Jk. Torej je Jk invarianten podprostor za A, kar je v nasprotju z nerazcepnostjo A. Vektor z je zato strogo pozitiven. 5Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) /0 1 0 0\ . ... ... 0 0 ... 1 V1 0 ••• 0 |Ay| < A|y| < c Az = cr ■ z, Pokazati moramo se, da je lastni podprostor, ki pripada lastni vrednosti r, enorazsezen. Denimo, da ima A poleg zgoraj omenjenega strogo pozitivnega lastnega vektorja z se en neničeln lastni vektor y € Rn k lastni vrednosti r (realnost vektorja y lahko predpostavimo zato, ker sta tako matrika A kot lastna vrednost r realni; sičer obravnavamo realni in imaginarni del posebej). Potem lahko najdemo tako stevilo c € R, da je vektor x := z — cy pozitiven, a ne strogo pozitiven. Zdaj ponovimo razmislek iz prejsnjega odstavka in neničelnim koordinatam vektorja x priredimo podprostor J m , ki je invarianten za A. To je ponovno v nasprotju z nerazčepnostjo A, zato je z = cy. ■ V resniči sta Perron in Frobenius ob istih predpostavkah dokazala se malče več: za spektralni radij velja: r > 0 in r je pol prvega reda resolvente R(■, A) := ( ■ —A)-1, dokaz tega najdemo npr. v [2]. Strogo pozitiven vektor z v izreku imenujemo Perronov vektor za A in je določen do mnozenja s skalarji natančno (tj. je enoličen, če privzamemo ||z||i = 1). Ce zdruzimo trditev 3 in izrek 5, dobimo naslednjo posledičo za stoha-stične matrike: Posledica 6. Ce je pozitivna nerazcepna matrika A vrstično ali stolpčno stohastična, je spektralni radij r(A) = 1 € a(A), pripadajoč lastni podprostor je enorazsečen in napet na strogo pozitiven lastni vektor. Omenimo se eno lastnost pozitivnih matrik, ki ima pomembno vlogo v limitnih pročesih. Pozitivno nerazčepno matriko imenujemo primitivna, če je r(A) njena edina lastna vrednost na spektralni krozniči {A € C | |A| = r(A)}. Naslednjo karakterizačijo primitivnosti je podal ze Frobenius (najdemo jo npr. v [7]). Lema 7. Pozitivna matrika A je primitivna natanko tedaj, ko je pri nekem m > 0 matrika Am strogo pozitivna.. Googlova matrika Vrnimo se zdaj k resevanju enačbe x = Hx v (3), katere resitev je iskani vektor rangov. Zanima nas torej, ali obstaja enolično določen normiran strogo pozitiven vektor, ki jo resi. V luči poslediče 6 bi ze imeli pozitiven odgovor, če bi bila matrika H pozitivna, nerazčepna ter vrstično ali stolpčno stohastična. Kaj od tega velja za utezeno matriko sosednosti H, podano z (2)? Gotovo je pozitivna, a ni nujno stohastična, saj strani brez izstopnih povezav pripada v H ničelni stolpeč. Kakor hitro pa neka stran Wj ima vsaj eno izhodno povezavo, je n 1 £ Hij = £ ¿i = 1- i=i ieOj jl Ce torej vse ničelne stoplce v H nadomestimo s stolpcem (n, n, • • •, n)T , dobimo stolpčno stohastično matriko. Označimo jo s H. Brin in Page sta ta korak utemeljila s t. i. naključnim obiskovalcem. Uporabnik z verjetnostjo Hij zapusti stran Wj po povezavi na stran Wi. Ce pa pristane na strani brez izhodnih povezav, se od tam resi tako, da v naslovno vrstico brskalnika naključno vtipka neki nov naslov in pri tem skoči na novo stran z verjetnostjo n. Kako pa je z nerazčepnostjo matrike H (oziroma H)? Odgovor nam da naslednja trditev (dokazana je npr. v [2, Prop. 6.1.1]). Trditev 8. Matrika sosednosti nekega grafa je nerazcepna natanko tedaj, ko je pripadajoč graf krepko povezan (tj. za vsak i = j obstaja v grafu pot od Wi do Wj in nazaj). Očitno pri spletu to ne velja! Brin in Page sta v odgovor na to tezavo definirala Googlovo matriko kot G := aH + (1 - a)S, (6) kjer za matriko S velja Sij = n za vse 1 < i, j < n, a € [0,1] pa je neki parameter. Interpretačija je podobna kot zgoraj: naključni obiskovaleč spletne strani se kdaj pa kdaj odloči ročno vtipkati neki nov naslov, tudi če na strani obstajajo izhodne povezave. Googlova matrika G je strogo pozitivna in ji očitno pripada krepko povezan graf. Po trditvi 8 je torej G nerazčepna. Ker je tudi stolpčno sto-hastična, nam poslediča 6 zagotavlja obstoj enoličnega strogo pozitivnega enotskega fiksnega vektorja matrike G. Posledica 9. Normiran strogo pozitiven vektor rangov je rečitev enačbe x = Gx, ||x||i = 1, (7) vedno obstaja in je enoličcno določcen. Iskani vektor lahko izračunamo z uporabo enostavne numerične metode, imenovane potenčna metoda,, pri kateri na začetnem priblizku uporabljamo vedno večje potenče matrike G. Definirajmo zaporedje priblizkov x(k) z x(0) > 0, ||x(0)||i = 1 (začetni vektor), x(k) = Gx(k-1) = Gk x(0), k = 1,2,... Opazimo, daje matrika G tudi primitivna (lema 7), torej je A1 = 1 njena edina lastna vrednost na enotski krozniči. S spektralno teorijo pozitivnih matrik lahko pokazemo, da x(k) vedno konvergira k lastnemu vektorju, ki pripada dominantni lastni vrednosti 1 matrike G (dokaz je npr. vsebovan v [2]). V resnici pravi izračun seveda ni tako enostaven. Googlova matrika je ogromna, velikost gre v milijarde. Za (čim hitrejse) potenciranje tako velikih matrik je treba uporabiti ustrezne algoritme, ki jih na tem mestu ne bomo obravnavali. Namenimo le se nekaj besed parametru a. Povezan je z drugo največjo lastno vrednostjo A2 matrike G, velja |A2| < a, zato vpliva na hitrost konvergence potenčne metode. To pomeni, da bo za manjse a metoda hitreje konvergirala. Hkrati zelimo imeti čim večji a, da bodo rangi dovolj različni med seboj (pri a = 0 dobimo G = S in vektor rangov x = (1,..., 1)T). Parameter a utezi preferenčo obiskovalča do potovanja po povezavah v grafu. Google uporablja a = 0.85. Banachov izrek o negibni tocki Za koneč si poglejmo se elegantnejsi dokaz obstoja vektorja rangov s pomočjo funkčionalne analize. Pri tem si pomagamo z znanim in zelo uporabnim izrekom, ki velja v poljubnem polnem metričnem prostoru (M, d). Preslikavo T : M ^ M imenujemo skrčitev, če obstaja tako pozitivno stevilo q < 1, da za vse x, y € M velja d (T(x), T(y)) < q ■ d(x,y). Število q v zgornji enačbi imenujemo skrčitvena oz. Lipschitzeva konstanta. Izrek 10 (Banach, 1922). Naj bo (M, d) poln metričen prostor in naj bo preslikava T : M ^ M skrčitev. Potem obstaja natanko ena negibna (ali fiksna) točka preslikave T, tj. x* € M, za katero velja T(x*) = x*. Se več, če za poljuben x(0) € M definiramo x(k) := T(x(fc-1)) , k = 1, 2,..., potem zaporedje (T (x(fc))) fceN konvergira k x*, ko gre k ^ ro. Izrek se imenuje Banačhov6 izrek o negibni točki (ali tudi Banačhovo skrŠčitveno naŠčelo) in njegov dokaz braleč najde npr. v uŠčbeniku [11, izrek 14.14]. Pokazimo, kako lahko ta izrek uporabimo v nasem primeru. Vzemimo M := {x € Rn | x > 0, ||xy1 = 1} in d(x,y):= ||x - y||1. 6Stefan Banach (1892-1945) Ni težko videti, da je (M, d) poln metricni prostor. Opazimo tudi, da za Googlovo matriko G velja: G(M) C M (uporabimo lemo 1(i) in dejstvo, da stolpcno stohasticna matrika ohranja || ■ ||i-normo pozitivnega vektorja). Za konstantno matriko S = i1) je Sx = 1 (1,..., 1)T za vse x € M \n)nxnJ nv ' ' ' in zato S(x - y) = (0,..., 0)T za poljubna x, y € M. (8) Po zgornjem in zaradi ||ii ||i = 1 tako dobimo ||Gx - Gy|i = ||aHH(x - y) + (1 - a)S(x - y)11 < a||iH||i|x - y|i = a||x - y||i za vse x,y € M. Torej je G skrcitev na M s skrcitveno konstanto a. Po Banachovem izreku o negibni točki je zato enačba (7) vedno enolično resljiva in potencna metoda konvergira. Priznati moramo, da je nas kratki dokaz o obstoju enolicnega vektorja rangov mocno odvisen od lastnosti (8) matrike S. Ce le-to malo spremenimo tako, da njeni elementi niso vec konstantni, a se vedno ostane strogo pozitivna in stolpcno stohasticna, nas dokaz ne bo vec dober, medtem ko dokaz s pomocjo Perron-Frobeniusove teorije se vedno deluje. Taka sprememba je seveda smiselna, saj lahko vrednosti Sij interpretiramo kot verjetnosti skoka s strani Wj na stran Wi, ki niso nujno vse med seboj enake (strani z bolj podobno vsebino bolj asociirajo druga na drugo, ceprav ne vsebujejo direktne povezave). LITERATURA [1] David Austin, How Google Finds Your Needle in the Web's Haystack, Feature Column from the AMS, december 2006. [2] A. Batkai, M. Kramar FijavZ in A. Rhandi, Positive Operator Semigroups and, Applications, 17th Internet Seminar on Evolution Equations 2013/14, skripta, http: //isem17.unisa.it, dostopano: 3. 11. 2014. [3] Sergey Brin in Lawrence Page, The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine, Computer Networks and ISDN Systems, 33 (1998), 107-117. [4] Kurt Bryan in Tanya Leise, The $25,000,000,000 Eigenvector. The Linear Algebra behind Google, SIAM Review 48 (2006), 569-581. [5] Matthias Frick, Mathematik hinter Google, Zulassungsarbeit, Eberhard-Karls Universität Tubingen, 2007. [6] G. Frobenius, Über Matrizen aus nicht negativen Elementen, S.-B. Pre-uss, Akad. Wiss. (Berlin), 456-477. [7] Amy Langville in Carl Meyer, Google 's PageRank and Beyond: The Science of Search Engine Rankings, Princeton University Press, 2006. [8] C. R. MacCluer, The Many Proofs and Applications of Perron's Theorem, SIAM Review 42 (2000), 487-498. [9] Oskar Perron, Zur Theorie der Matrizen, Math. Ann. 64 (1907), 248-263. [10] Ivan Vidav, Linearni operatorji v Banachovih prostorih, DMFA - zaloznistvo, Ljubljana, 1982. [11] JoZe Vrabec, Metricni prostori, DMFA - zaloZnistvo, Ljubljana, 1990. NEKATERE ZGODOVINSKE KONSTRUKCIJE PRAVILNEGA SEDEMKOTNIKA MILAN HLADNIK Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 01A20, 01A30, 01A40, 01A60, 97G40 V tem kratkem izletu v zgodovino načrtovanja pravilnega sedemkotnika najprej opi-Semo dva starejSa načina, Arhimedovega in Vietovega. Nato predstavimo pristop z uporabo parabole in za konec podamo se eno preprosto novejso konstrukcijo z označenim ravnilom in sestilom. SOME HISTORICAL CONSTRUCTIONS OF THE REGULAR HEPTAGON In this short excursion into the history of constructing the regular heptagon we first describe two old approaches, one ascribed to Archimedes and the other to Viete. Then, we also present another one involving a parabola and finish with a simple modern marked ruler and compass construction. Plemljeva elegantna konstrukcija pravilnega sedemkotnika, o kateri smo poročali v [6], je primeren razlog, da pregledamo Se druge znane konstrukcije tega lika iz starejsih in novejsih časov. Z njimi tudi Plemljev dosežek vidimo v drugačni luči oziroma v sirsem zgodovinskem okviru in ga znamo bolj ceniti. Najprej se posvetimo klasicni grski in islamski tradiciji neevklidskih konstrukcij. Metoda vstavljanja in metoda stožnic Pravilne večkotnike so obravnavali ze pitagorejci, vsaj v zvezi s pravilnimi poliedri. Poznali so npr. pentagram in vedeli, da obstajajo samo trije pravilni večkotniki, s katerimi lahko tlakujemo ravnino (enakostranični trikotnik, kvadrat in pravilni sestkotnik). Zahtevo, da morajo biti vse geometrijske konstrukcije izvedene samo z neoznačenim ravnilom in sestilom, je postavil Platon v 4. stoletju pred nasim stetjem, najbrz v zvezi s problemom podvojitve kocke. To normo je dosledno uposteval Evklid v svojih Elementih. Toda drugi grski matematiki so hitro ugotovili, da se ni vedno mogoče drzati Platonovih navodil in so za resevanje različnih konstrukcijskih problemov poleg ravnila in sestila izumili se druga bolj ali manj domiselna orodja in postopke. Nas bo tu zanimalo predvsem tretjinjenje kota, ki ima, kot smo videli v [6], odločilno vlogo pri konstrukciji pravilnega sedemkotnika. Za ta namen so Grki namesto pri premicah in kroznicah iskali pomoč pri stoznicah in Slika 1. Primer vstavljanja med premicama. drugih višjih krivuljah (npr. Nikomedovi konhoidi ali Arhimedovi spirali). Toda poznali so tudi neko bolj elementarno, vendar zelo uspešno metodo za tretjinjenje kota (in reševanje drugih problemov): vstavljanje (dane razdalje med dve premici, dve kroznici ali med premico in kroznico). Grška beseda za to je neusis. Obenem je Neusis tudi naslov knjige, ki jo je napisal Apolonij iz Perge 262-190 pr. n. st.); original je izgubljen, toda sodobni nizozemski zgodovinar matematike Jan P. Hogendijk1 je Apolonijevo razpravo rekonstruiral na osnovi nekaterih arabskih besedil [7]. Vstavljanje najlaze realiziramo tako, kot so to storili Grki, z uporabo označenega ravnila, tj. ravnila z dvema zarezama na robu (razdalja med njima predstavlja enoto): ravnilo npr. polozimo skozi točko T tako, da zarezi R in S lezita na vnaprej danih dveh sekajocih se premicah (glej sliko 1). Zdi se, daje tako oznaceno ravnilo prvi uporabil Nikomed 280-210 pr. n. st.) pri geometrijski konstrukciji kubicnega korena iz pozitivnega stevila a (Menajhmos je za isti namen ze prej, v 4. stoletju pred nasim stetjem, uporabil sekajoci se paraboli, glej [13]). Sledimo postopku, ki je naveden npr. v [11] (glej sliko 2). Naj bo 0 < a < 8. Nacrtajmo enakokrak trikotnik AABC z osnovnico AB = a/4 in krakoma AC = BC = 1. Podaljsajmo krak AC do tocke D tako, da je A razpolovisce daljice CD. Iz tocke C vstavimo razdaljo 1 med premici skozi A in B ter B in D (tako da je razdalja med preseciscema R in S enaka 1 in da je S = A). Oznacimo x = BR in pokazimo, da je potem x = 3a. Vzporednica z AB skozi C naj seka premico skozi B in D v tocki E, razpolovisce daljice AB pa oznacimo s F. Zaradi podobnosti trikotnikov AADB in ACDE je CE = 2AB = a/2, zaradi podobnosti trikotnikov AECS in ABRS pa je CS/RS = CE/BR oziroma CS = a/(2x). S Pitagorovim izrekom za pravokotna trikotnika AFRC in AFBC dobimo (1 + a/(2x))2 = (1 — (a/8)2) + (x + a/8)2, preuredimo in najdemo za x enacbo cetrte stopnje 4x4 + ax3 — 4ax — a2 = 0, ki je k sreci razcepna: (4x + a)(x3 — a) = 0, tako da je x3 = a in x tretji koren iz a. ■ 1Hogendijk je prvi dobitnik nagrade za zgodovino matematike, ki jo je Evropsko ma- tematično društvo začelo podeljevati poleti 2012. Slika 2. Nikomedova konstrukcija tretjega korena z vstavljanjem. O tretjinjenju kota z metodo vstavljanja pa poroca Papos iz Aleksandrije 290-350), zadnji veliki antični grSki matematik. Iz njegovih spisov in komentarjev, zbranih v osmih knjigah s preprostim skupnim naslovom Zbirka (grsko Synagoge), vemo za prenekatere dosezke zgodnejsih grskih matematikov, ki jih sicer ne bi poznali. Naslednja konstrukcija je spet povzeta po viru [11]. Imejmo poljuben kot ZAVE z vrhom V, vodoravnim krakom AV in nagnjenim krakom EV, dolzine 1/2 (glej sliko 3). Premica p naj bo pravokotna na krak AV in naj poteka skozi točko E, skozi katero naj gre tudi vzporednica q s krakom AV. Iz vrha V vstavimo razdaljo 1 med premici p in q. Presecisci oznacimo z R in S, razpolovisce daljice RS pa naj bo E. Ker je trikotnik A RSE pravokoten, je RE = ES = EE = 1/2, trikotnika AVEB in AEES sta enakokraka z enako dolgimi kraki, kot ZEVE = ZEEV = 2ZESE = 2ZAVS, in zato ZAVE = 3ZAVS. ■ Druga znana grska neevklidska metoda je metoda stožnic. Pod tem razumemo metodo, pri kateri predpostavljamo, da lahko po potrebi nacrtamo eno ali vec stoznic in potem samo z ravnilom konstruiramo vse tocke, ki so presečišča dveh premic, premice in katerekoli stoznice ali dveh poljubnih stožnic. Med stoznice štejemo poleg parabole, hiperbole in elipse seveda tudi krožnico, zato lahko z metodo stožnic nacrtamo vse klasicne evklidske konstrukcije. Ce poleg ravnila dodatno uporabljamo tudi sestilo, zadosca pogosto imeti v ravnini narisano eno samo stoznico, npr. hiperbolo ali parabolo z racionalnimi koeficienti. Po drugi strani se da dokazati (glej npr. [11]), da lahko dobimo vse klasicne evklidske konstrukcije samo z oznacenim ravnilom. To sledi tudi iz naslednje trditve: Trditev 1. Konstrukcija z označenim ravnilom je ekvivalentna konstrukciji z ravnilom in stočnicami. Dokaz. Oboje je namrec v algebrskem smislu ekvivalentno (veckratnemu) resevanju polinomskih enacb kvecjemu cetrte stopnje z realnimi koeficienti. Res, oglejmo si z algebrskega stalisca najprej vstavljanje. Ce ima na primer v kartezicnem koordinatnem sistemu ena premica enacbo y = mx, druga pa y = 0 (abscisna os), in ce ima tocka T koordinati (a,b), presecisce s prvo premico S pa koordinati (p, q), lahko dolocimo absciso r presecisca R z abscisno osjo pod pogojem, da je razdalja med R in S enaka 1 (glej sliko 1). Koordinati p in q se izrazata z r s formulama p = br/(mr — am + b) in q = mp, zato iz pogoja (p — r)2 + q2 = 1 dobimo s kratkim racunom za r enacbo cetrte stopnje m2(r2 — 1)(r — a)2 + m2b2r2 — 2mb(r — a) — b2 = 0. Podobno velja za vstavljanje med dve vzporedni ali pravokotni premici. Obratno lahko, kot je znano [12], vsako polinomsko enacbo cetrte stopnje z realnimi koeficienti najprej prevedemo na enacbo tretje stopnje z realnimi koeficienti. Take enacbe smo obravnavali v [6] z uporabo Carda-novih formul (glej izrek 3). Iz njih vidimo, da za dolocitev realnih korenov iz koeficientov enacbe potrebujemo konstrukcijo tretjega korena iz pozitivnega stevila in vcasih tudi tretjinjenje kota, kar pa oboje lahko izvedemo po Nikomedu in Paposu z metodo vstavljanja. Prvotno enacbo cetrte stopnje potem uzenemo z resevanjem kvadratnih enacb s kompleksnimi koeficienti (oziroma geometrijsko s konstrukcijo kvadratnega korena iz pozitivnega ste-vila in razpolavljanjem kota). Prav tako pridemo pri algebrajskem dolocanju presecisc stoznic do enacb najvec cetrte stopnje, po drugi strani pa lahko korene vsake enacbe oblike ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 poiscemo kot presecisca parabole y = x2 in stoznice (ali premice, ce je a = b = 0) ay2 + bxy + cy + dx + e = 0. Tako imamo tudi ekvivalenco med resevanjem enacb kvecjemu cetrte stopnje z realnimi koeficienti in geometrijskimi konstrukcijami s pomocjo stoznic. ■ Arhimedova konstrukcija in islamski prispevek Gotovo je najbolj znano metodo za tretjinjenje kota prispeval Arhimed (287212 pr. n. st.). Njegov postopek prav tako temelji na vstavljanju, vendar to pot med kroznico in premico, zato je poleg označenega ravnila potreboval tudi sestilo. Razlaga same konstrukcije najbrZ ni potrebna (glej sliko 4). Od pravilnih večkotnikov so Grki znali z ravnilom in sestilom konstruirati enakostranični trikotnik, kvadrat in pravilni petkotnik ter iz njih izpeljane like (npr. pravilni sestkotnik, osemkotnik, desetkotnik, petnajstkotnik itd.). Za konstrukcijo drugih pravilnih večkotnikov so uporabljali le pri-blizke. Za stranico pravilnega sedemkotnika je znan Heronov priblizek, ki smo ga v [6] omenili v zvezi s Plemljevo resitvijo (t. i. indijski priblizek). Dolgo casa je veljalo, da kljub poznavanju razlicnih neevklidskih metod (vstavljanje, stoznice, visje krivulje) nobenemu od grskih geometrov ni uspelo eksaktno konstruirati pravilnega sedemkotnika (ali kaksnega drugega pravilnega lika, katerega konstrukcija z ravnilom in sestilom ni mozna). Potem pa je v dvajsetih letih 20. stoletja nemski zgodovinar matematike Carl Schoy v Kairu med besedili perzijskega astronoma Al Birunija (973-1048) odkril arabski prevod anticne razprave o konstrukciji pravilnega sedemko-tnika. Arabski prevod je preskrbel veliki islamski geometer iz 9. stoletja Thabit Ibn Qurra (836-901), ki je delo pripisal Arhimedu2. Originalna Arhimedova razprava pa je na zalost izgubljena. Svojo konstrukcijo je Arhi-med naslonil na naslednji pomozni rezultat, ki je v anticni geometriji nekaj posebnega (glej sliko 5)3. Lema 2 (Arhimedova lema). V kvadratu ABC D z diagonalo BD naj bo EFGC taka transverzala, da sta ploščini trikotnikov △EAF in △CDG enaki. Iz točke G spustimo na vzporedni stranici AB in CD pravokotnico s presečiščema K in H. Potem velja AB ■ BK = AE2 in EK ■ AK = BK2. Opomba 1. Z vrtenjem transverzale EFGC okrog krajisca C se lahko pre-pricamo, da res obstaja polozaj, ki ustreza pogoju enakih ploscin. Arhimed ne pove, kako tako transverzalo konstruirati, toda z oznakami x, y, z na sliki 5 se potrebna pogoja glasita (y + z)z = x2 in (x + y)y = z2. Ce vzamemo 2Iz arabščine je besedilo leta 1984 prevedel Jan P. Hogendijk, ki smo ga omenili v zvezi z Apolonijevo razpravo Neusis. Originalni arabski tekst in njegov prevod najdemo v dodatku k obseznemu Hogendijkovemu članku [8]. 3V tem sestavku smo originalno konstrukcijo zavrteli za 180 stopinj in uvedli druge oznake, matematična vsebina pa je ostala nespremenjena. D H C Slika 5. Ilustracija Arhimedove leme. se, da je stranica kvadrata enaka 1, dobimo 1 — y = x2 in (x + y)y = (1 — y)2 oziroma y = 1 — x2 in xy = 1 — 2y. Vidimo torej, da ustrezno lego doloca preseciSce parabole in hiperbole, torej lahko po trditvi 1 pridemo do nje tudi z metodo vstavljanja. Dokaz. Iz enakosti ploscin trikotnikov AEAF in ACDG najdemo AE ■ AF = CD ■ GH oziroma AE/CD = GH/AF. Po drugi strani je zaradi podobnosti trikotnikov AEAF in ACHG res tudi GH/AF = CH/AE, tako da imamo AE/CD = CH/AE oziroma, upostevajoc enakost CD = AB in CH = BK, iskano enakost AB ■ BK = AE2. Drugo enakost dobimo iz podobnosti trikotnikov AEKG in ACHG ter trikotnikov ABGK in ADGH, torej EK/CH = GK/GH in GK/GH = BK/DH. Ker je DH = AK in C H = BK, dobimo od tod EK ■ AK = BK2. ■ Izrek 3 (Arhimed). Naj bodo točke E, A, K in B razporejene tako kot pri Arhimedovi lemi, pri čemer je AB ■ BK = AE2 in EK ■ AK = BK2. Za točko M naj velja M A = AE in MK = BK, točka N pa naj leči na podaljčku daljice M K, tako daje KN = AK. Potem je BM stranica, EM in EB pa mala in velika diagonala pravilnega .sedemkotnika. Dokaz. Zaradi lazje obravnave spet privzemimo, da je (stranica kvadrata v Arhimedovi lemi) AB = 1. Potem je s prejsnjimi oznakami x,y,z očitno y < 1/2, torej y < z = x2 < x < 1, tako da trikotnik s stranicami x, y, z oziroma tocka M (presecisce obeh kroznic) gotovo obstaja. Oznacimo ZBEM = a. Ker je trikotnik EAM enakokrak, je zunanji kot ZKAM = 2a. Zaradi KM2 = BK2 = AK ■ EK imamo razmerje EK/KM = KM/AK, kar pomeni, da sta si trikotnika AEKM in AAKM podobna. Torej je ZKEM = ZAMK = a. Zaradi AM2 = AE2 = AB BK = MN ■ M K pa imamo AM/MN = MK/AM, zato sta si podobna tudi trikotnika AAKM in AANM. Torej je ZMNA = ZKAM = 2a in tudi ZNAK = 2a (ker je trikotnik AANK enakokrak). Zaradi podobnosti Slika 6. Arhimedova konstrukcija pravilnega sedemkotnika. enakokrakih trikotnikov A ANK in A BMK sta enaka tudi kota ZKMB in ZMBK (vsi koti so označeni na sliki 6). Iz enega ali drugega trikotnika takoj ugotovimo, da je a = n/7, kar je obodni kot pri pravilnem sedem-kotniku, včrtanem v krog. Obodna kota pri mali in veliki diagonali sta 2a = 2n/7 in 4a = 4n/7. ■ Zgodovinska opomba. V zgornjem dokazu smo sledili analizi islamskega matematika Abu Sahla al Kuhija (^940-1000), kot je prikazana v [11]. Kuhi je proučil Arhimedovo delo in na osnovi njegove leme podal svojo različico konstrukcije trikotnika s koti v razmerju 1:2:4; od tod je izvedel konstrukcijo pravilnega sedemkotnika. Problem, kako razdeliti dano daljico (pri nas daljico EB) iz Arhimedove leme v pravem razmerju, pa s tem se ni bil resen. To so skusali storiti mladi bagdadski geometri Abul Jud, Al Sijzi in Al Ala v zadnji tretjini 10. stoletja in sicer z uporabo stoznic. Njihovo na koncu sicer uspesno prizadevanje ni bilo brez napak in popravkov, pa tudi ne brez medsebojnih prepirov o prioriteti, podobno kot se je skoraj sest stoletij kasneje dogajalo med Cardanom in Tartaglio glede resevanja kubicne enacbe. Kasneje so se se drugi islamski matematiki ukvarjali s konstrukcijo pravilnega sedemkotnika z uporabo stoznic: zabelezenih je vsaj ducat resitev, med njimi jih je menda kar pet prispeval veliki arabski matematik in fizik (utemeljitelj fizikalne optike) Ibn al Haytham (965-1040), ki je deloval v Kairu in je na zahodu bolj znan z latinskim imenom Alhazen.4 Ko smo ze pri stoznicah, si na osnovi konstrukcije v [2] oglejmo, kako bi z uporabo presecisca parabole y = x2 in ustrezne kroznice (x — a)2 + (y — b)2 = a2 + b2 skozi koordinatno izhodisce poiskali stranico pravilnega sedemkotnika, vcrtanega v enotski krog. Ce vstavimo y = x2 v 4O islamskem prispevku h konstrukciji pravilnega sedemkotnika se lahko bralec seznani v temeljiti Hogendijkovi studiji [8]. Slika 7. Konstrukcija pravilnega sedemkotnika s pomočjo parabole. enačbo krožnice in pokrajsamo, vidimo, da abscisa presečišča zadošča kubični enačbi x3 + (1 — 2b)x — 2a = 0. V članku [6] smo spoznali, da je absčisa točki (1,0) najbližjega oglisča pravilnega sedemkotnika enaka x/2, kjer je x3 + x2 — 2x — 1 = 0. Premaknjena vrednost t = x + 1/3 torej zadosča enačbi t3 — (7/3)t — 7/27 = 0, in tako s primerjavo s prejsnjo enačbo te oblike ugotovimo, da mora biti a = 7/54 in b = 5/3 (glej sliko 7). Konstrukčija je zdaj jasna: S sredisčem v točki (7/54, 5/3) načrtamo krožničo, ki poteka skozi izhodisče, in jo sekamo s parabolo y = x2. Absčisa presečisča je x + 1/3, poisčemo x in nato se x/2, ki je absčisa prvega oglisča pravilnega sedemkotnika v prvem kvadrantu (glej sliko 7). Več o geometrijskih konstrukčijah z uporabo stoznič lahko preberemo npr. v [13]. Vietova konstrukcija Ustavimo se se ob eni kasnejsi konstrukčiji pravilnega sedemkotnika, ki je manj znana, odkril pa jo je znameniti frančoski matematik Frančois Viete (1540-1603). Bil je prepričan o nezadostnosti ravnila in sestila in je močno zagovarjal uporabo označenega ravnila. Za tretjinjenje kota je podobno kot Arhimed (slika 4) predlagal metodo z vstavljanjem med premičo in kro-zničo. Ker je bila Arhimedova Knjiga lem, v kateri je znamenita trisekčija Slika 8. Vietova rešitev kubične enačbe. kota, prevedena v latinščino sele leta 1657 (kot Liber Assumptorum), je ni mogel poznati. Najbrž pa je bil seznanjen s Paposovo Zbirko, ki obravnava podobne metode, zato njegova trisekcija kota morda ni čisto originalna. Viete je bil odličen algebraik, med drugim je za resevanje splosnih enačb tretje stopnje iznasel svojo metodo, ki je bila drugačna od Cardanove. Takih enačb pa se je lotil tudi geometrijsko, kot vidimo iz naslednjega primera kubične enačbe, ki spada med bolj zahtevne (časus irredučibilis). Dokaz, ki ga povzemamo po Hartshornu [4], navajamo z modernimi oznakami, medtem ko ga je Viete se v čeloti opisal z besedami. Trditev 4 (Viete). Da bi rešili enačbo oblike x3 — 3x = b, kjer je 0 < b < 2, našrtajmo enakokrak trikotnik z osnovnico b in krakom 1, tretjinimo kot ob osnovnici in našrtajmo drug enakokrak trikotnik s trikrat manjšim osnovnim kotom in krakom 1. Osnovnica novega trikotnika je rešitev enačbe. Dokaz. Narisimo si drugega ob drugem dva enakokraka trikotnika, ADCH z osnovnim kotom 9 in A CFG z osnovnim kotom 39, tako kot kaze slika 8. Ker je drugi kot trikrat večji od prvega, so nujno točke D, H, G kolinearne, zato je slika podobna kot slika 4. Naj bo DH = HC = CG = FG = 1, CF = b in GH = y. Zaradi podobnosti trikotnikov ADAH in ADGB dobimo 1/(x —1) = (x+1)/(y+1) (isto vidimo, če izračunamo potenčo točke D na krozničo skozi točke A, B, G in H). Zaradi podobnosti pravokotnih trikotnikov, ki jih dobimo s projekčijo točk G in H na daljičo DB, pa najdemo se 1/y = x/(x + b). Torej je y = x2 — 2 in xy = x + b, tako da z eliminačijo y dobimo x3 — 3x = b. ■ Slika 9. Evklidova konstrukcija pravilnega petkotnika. Zdaj je Viete pri konstrukciji pravilnega sedemkotnika ravnal podobno kot Evklid pri konstrukciji pravilnega petkotnika, ko je najprej poiskal ena-kokrak trikotnik s kotom ob vrhu 6 in kotom ob osnovnici 26 (glej npr. trikotnik A AFG ali A CFG na sliki 9). Ker od tod sledi, da je 6 = n/5, je osnovnica tega trikotnika (na sliki označena z x) stranica pravilnega deset-kotnika, daljica BG pa stranica pravilnega petkotnika. Lema 5 (Vietova lema). Na podaljšku premera AB kroga s središčem v C obstaja točka D, za katero velja AD/CD = AC2/BD2. Dokaz. Tocko D najdemo z naslednjim postopkom (glej sliko 10): G J/> H/'' 1 \ 1 / 1 r K DA 1 C 1/ 3 E 1/ 3 F B V.- x ->1 Slika 10. Ilustracija k Vietovi lemi. Izberimo AC = 1 in odmerimo CE = EF = 1/3 in BG = 1. Pove-Zimo EG in narisimo vzporednico CI. Zdaj pa (z metodo neusis) iz tocke I vstavimo dolzino J K = 1 med kroznico in premico skozi A in B ter po-tegnimo vzporednico GD k daljici IK. Potem je D iskana tocka. Res: Ce je daljica EH vzporedna daljici C J, oznacimo njeno dolzino z r, razdaljo DE pa z x. Slika 10 je potem podobna sliki 8 z raztegom r, pri cemer je zdaj b = 1/(3r), tako da za razmerje x/r velja (x/r)3 — 3(x/r) = 1/(3r) oziroma x3 — 3r2x = r2/3. Toda r lahko izracunamo iz trikotnikov ACBG in AEFG, velja r = \/7/3, tako da zadosca x enacbi x3 — 7x/3 = 7/27. Ker je AD = x — 4/3, CD = x — 1/3, AC = 1 in BD = x + 2/3, lahko z uporabo zadnje relacije hitro preverimo, da res velja AD/CD = AC2/BD2. Opomba 2. Pozorni bralec je gotovo opazil, da smo enacbo x3 — 7x/3 = 7/27 ze srecali pri konstrukciji pravilnega sedemkotnika s parabolo in kro-znico. Sporocilo je jasno: resnica je v matematiki ena sama, razlicni zgodovinski in modernejsi postopki pri resevanju istega problema so med seboj povezani. To bomo ponovno spoznali se pri eni konstrukciji pravilnega se-demkotnika v naslednjem, zadnjem razdelku. Izrek 6 (Viete). Naj bo razpored kolinearnih točk A,B,C,D tak, kot ga zahteva Vietova lema, E taka točka na krošnici s premerom AB in središčem v C, daje DE = 1, in F drugo presečišče daljice DE s kročnico. Potem je daljica AE stranica pravilnega sedemkotnika, včrtanega v enotski krog. Slika 11. Vietova konstrukcija pravilnega sedemkotnika. Dokaz. Po eni strani je AD ■ BD = DE ■ DF (glej sliko 11), po konstrukciji pa tudi AD/CD = AC2/BD2. Ker je DE = 1 in AC = 1, imamo od tod DE/BD = 1/BD = (AD ■ BD)/CD = DF/CD. To pomeni, da sta daljici BE in CF na sliki 11 vzporedni in zato kota pri B v trikotniku ADBE in pri C v trikotniku ADCF enaka, npr. oba enaka 0. Zaradi enakokrakih trikotnikov ACBE, ADCE in ACEF najdemo se preostale kote, ki so oznaceni na sliki. Iz enega ali drugega trikotnika tudi hitro izracunamo, da mora biti 0 = n/7, tako da srediscnemu kotu 20 (ali obodnemu kotu 0) pripada sedmina kroznega obsega. Vietova konstrukcija je ostala kasneje skoraj neopazena, zanjo vemo po zaslugi Roberta Hartshorna [4]. Kot kaze, je nista poznala niti Plemelj niti Gleason, ceprav temelji njuna konstrukcija pravilnega sedemkotnika, opisana v clanku [6], na podobni ideji, tj. na resevanju kubicne enacbe s tretjinjenjem kota. Johnsonova konstrukcija Leta 1975 je ameriski slikar in ilustrator David Johnson Leisk (1906-1975), znan pod umetniskim imenom Crockett Johnson5, v casopisu The Mathematical Gazette [9] objavil presenetljivo preprosto konstrukcijo (stranice) pravilnega sedemkotnika z vstavljanjem, ki spominja na Arhimedovo tretji-njenje kota ali Vietovo metodo konstrukcije pravilnega sedemkotnika. Pravzaprav je, tako kot Viete, najprej poiskal enakokrak trikotnik s kotom ob vrhu 0 in kotom ob osnovnici 30, zato je, kot bomo videli, tudi dokaz pravilnosti njegovega postopka enak Vietovemu. Johnsonova metoda je naslednja (glej sliko 12). Izrek 7 (Johnson). Kvadratu ABCD s stranico 1 načrtajmo simetralo stranice AB (ali CD) ter kročnico s središčem v ogličču C skozi nasprotno ogličce A, tako da je njen polmer enak \/2. Zdaj uporabimo metodo 5Na spletu najdemo celo galerijo zanimivih Johnsonovih barvnih slik, ki ponazarjajo različne zgodovinske in moderne geometrijske zakonitosti (glej [10]). e = n/l C B Slika 12. Johnsonova metoda konstrukcije pravilnega sedemkotnika z vstavljanjem. vstavljanja (neusis) razdalje 1 med premico in krožnico, izhajajoč iz točke D. Potem je kot enakokrakega trikotnika ADCE ob vrhu E enak n/7. Dokaz. Za dokaz pravilnosti konstrukcije bomo morali zadnjo sliko nekoliko dopolniti. Kot pri vrhu E v enakokrakem trikotniku ADCE označimo s crko 6, kot ob osnovnici pa s 0 (glej sliko 13). Pokazali bomo, da je 0 = 36 in zato seveda 6 = n/7. Dolzina daljice DF naj bo x, tako da velja 2cos0 = 1/(1 + x). Po drugi strani ima trikotnik ACFD, ki smo ga na sliki potemnili, eno stranico DC enako 1, drugo C F enako \/2, tretja DF pa je enaka x. Kosinusni izrek zanj pove, da je 1 = x2 — 2x cos 0. Oboje skupaj nam da zvezo 4x cos2 0 = x — 1. Ce iz obeh relacij izlocimo 0, pa dobimo enakost 1 = x2 — x/(1 + x) oziroma (x — 1)(x + 1)2 = x. Polkroznica s srediscem v F in polmerom 1 naj seka kraka trikotnika ADCE v tockah P in Q. Pokazimo, da je dolzina y daljice DQ enaka 1. Po kosinusnem izreku za trikotnik DQF je y2 = x2 + 1 — 2x cos 26. Upostevajmo, daje 6 = n—20 in 26 = 2n—40, pa imamo y2 = (x+1)2—x(2+ 2cos 40). Ker je 2 + 2cos 40 = 4cos2 20 = 4(2cos2 0 — 1)2 = (4cos2 0 — 2)2, dobimo na koncu xy2 = x(x + 1)2 — (4x cos2 0 — 2x)2 = (x — 1)(x + 1)2 = x, 2 od koder vidimo, da mora biti y = 1. Iz enakokrakih trikotnikov AEFQ, AFDQ in ADCQ potem ugotovimo, daje kot ZQDF enak 20 in kot ZDQC oziroma ZQCD enak 30. Se pravi, da je tudi 0 = 30. Stranica pravilnega sedemkotnika, vcrtanega v enotski krog s središčem v tocki F, je torej enaka PQ. Opomba 3. Opisana Johnsonova konstrukcija enakokrakega trikotnika ADCE in njena utemeljitev imata tesno zvezo z Vietovo metodo. Najprej iz relacije (x — 1)(x + 1)2 = x oziroma (x — 1)/x = 1/(x + 1)2 vidimo, da so točke D, P, F, E razporejene natanko tako kot točke D, A, C, B v Vietovi lemi. Tudi samo Vietovo konstrukcijo pravilnega sedemkotnika lahko, zasukano, opazimo na sliki 13. Poleg tega lahko na tej sliki, ce smo dovolj pozorni, prepoznamo tudi Vietovo metodo resevanja kubicne enacbe iz trditve 3 oziroma slike 11 (zdaj imata enakokraka trikotnika osnovnici EQ in QC). Enakost za x lahko celo prepisemo v obliko x3+x2—2x—1 = 0, ki jo dobro poznamo; zato je x = 2cos(2n/7) dvojna abscisa pravilnega sedemkotnika, kar je nova potrditev, da je Johnsonova konstrukcija pravilna. Za konec kot zanimivost omenimo, da lahko obris Johnsonovega enakokrakega trikotnika ADCE (na sliki 12 ali 13), na katerem temelji konstrukcija pravilnega sedemkotnika, sestavimo iz stirih enako dolgih daljic (dolzine 1) CD, DQ, QF, FE, če jih le poravnamo tako, da so njihova kra-jisča izmenično kolinearna (tako točke D, E, F kot točke C, E, Q na sliki 13). Simetrizirano verzijo te palične konstrukcije s sedmimi enako dolgimi dalji-čami si lahko ogledamo na sliki 14. Kot kaze, pa ta ideja ni nova, pojavila se je ze prej v zvezi s poljubnimi pravilnimi večkotniki [3]. Slika 14. Palicna konstrukcija Johnsonovega trikotnika. LITERATURA [1] A. Aaboe, Episodes From the Early History of Mathematics, New Mathematica Library 13, Random House and L. W. Singer Co. 1964. [2] A. Baragar, Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge, Amer. Math. Monthly 109 (februar 2002), 151-164. [3] A. H. Finlay, Zig-zag Paths, Math. Gazette 43 (oktober 1959), 199. [4] R. Hartshorne, Viete's construction of the regular heptagon, spletna stran: http: //www.math.berkeley.edu/~robin/Viete/construction.html, dostopano: 3. 11. 2014. [5] T. L. Heath, Greek Mathematics, Dover Publ., New York 1963. [6] M. Hladnik, Plemelj in pravilni sedemkotnik, Obzornik mat. fiz. 60 (2013), 161-172. [7] J. P. Hogendijk, Arabic Traces of Lost Works of Appolonius, Archive for History of Exact Sciences 35 (1986), 187-253. [8] J. P. Hogendijk, Greek and Arabic constructions of the regular heptagon, Archive for History of Exact Sciences 30 (1984), 197-330. [9] C. Johnson, A Construction for a Regular Heptagon, Math. Gazette 59 (1975), 17-21. [10] Crockett Johnson Home Page: Paintings (spletna stran: www.k-state.edu/english/ nelp/purple/art.html, dostopano: 3. 11. 2014.). [11] G. E. Martin, Geometric Constructions, UTM, Springer 1998. [12] I. Vidav, Algebra, DMFA Slovenije, Ljubljana 1989. [13] C. R. Videla, On Points, Constructible from Conics, The Mathematical Intelligencer 19 (1997), 53-57. ZAPLETI Z GRAVITACIJSKO KONSTANTO JANEZ STRNAD Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 04.80.-y V seznamu osnovnih konstant CODATA so relativno negotovost gravitacijske konstante G v zadnjem casu dvakrat povečali. Razlike med izmerjenimi vrednostmi so vecje od navedenih negotovosti. G je najbolj negotova od vseh osnovnih konstant. Izmerili so jo tudi v Mednarodnem uradu za utezi in mere. Zelo natančna merjenja so zanimiva tudi s fizikalnega gledisča. COMPLICATIONS WITH THE NEWTONIAN GRAVITATIONAL CONSTANT Recently in the CODATA list of fundamental constants the relative uncertainty of the gravitational constant G has been increased twice. The differences between measured values are greater than the quoted uncertainties. G is the most uncertain of all fundamental constants. The constant has been measured also at the International Bureau of Weights and Measures. Very precise measurements are interesting also from the viewpoint of physics. Uvod Gravitacija je najšibkejša sila v naravi. Gravitacijske konstante ni mogoče povezati z drugimi konstantami v količine, ki bi jih natančno izmerili. Izjema je produkt gravitacijske konstante in mase Zemlje, ki ga izmerijo z relativno negotovostjo 2 ■ 10-9. Vendar mase Zemlje ni mogoče natančno izmeriti. Zato morajo gravitačijsko konstanto meriti neposredno [10]. Ob raziskovanju možnosti za zaznavanje gravitačijskega valovanja so podrobno preiskali nihanje proznih teles z majhno frekvenčo. Kazuaki Kuroda je obravnaval nihanje torzijskih nihal z zičkami in leta 1995 ugotovil, da merjenje moti odstopanje od idealne proznosti in z njim povezano dodatno dusenje [10]. Pri sobni temperaturi se pojavijo napake, zaradi katerih je izmerjena gravitačijska konstanta prevelika za člen, obratno sorazmeren z dobroto nihala Q. O tem so se prepričali pri merjenju z zarjeno volframsko zičko, kremenovo nitko in hladno vlečeno volframsko zičko. V tem vrstnem redu se je zmanjsala dobrota in so za gravitačijsko konstanto dobili vse večje vrednosti. Odtlej gravitačijske konstante ne merijo več s torzijskim nihalom z zičko. Poleg drugih merilnih načinov pa se naprej uporabljajo torzijsko nihalo, v katerem zičko nadomestijo s tankim trakom. Trak in žicka Pri torziji je zasuk p sorazmeren z navorom M, ce navor ni prevelik: M = Dp. Pri merjenju gravitacijske konstante torzijski koeficient D za tanek trak sestavijo iz dveh Členov [7] : ^ Gbs3 Fb2 D = G3T + I2r (1) Prvi - proznostni - Člen je povezan s proznostjo neobremenjenega traku. V njem je G strizni modul, b sirina, s debelina in l dolzina traku. Drugi -obremenitveni - Člen je povezan z obremenitvijo. F je sila, ki napenja trak, to je teza mg, Če je na trak obeseno telo z maso m. Za primerjavo navedimo torzijski koeficient zičke s kroznim presekom s premerom 2R: , GnR4 FR2 nR4 „2, D = 2 + ur = ~2i~(G+^ * = F/(nR)- (2) Proznostna člena je utemeljil Barree de Saint-Venant leta 1864 in ju najdemo v večini učbenikov proznosti. Učbenik L. D. Landaua in E. M. Lifsica ju skrbno obdela in poudari, daje račun podoben kot pri obremenjeni opni in toku viskozne tekočine po ceveh [3]. Obremenitvena člena so odkrili precej pozneje [1]. V večini učbenikov ju ni najti in tudi sicer ju večkrat spregledajo. Pri traku drugi člen postane pomemben pri veliki obremenitvi. Nakazimo izpeljavo obremenitvenih členov. V navpičnem tankem obremenjenem traku z debelino s opazujmo pramena traku s sirino dr v razdalji r na eno in na drugo stran od osi na sredini. Pramen na spodnjem krajisču v navpični smeri obremenjuje sila (F/bs)sdr. Zunanji navor M na spodnjem krajisču povzroči, da se trak zasuče za kot p. Zaradi tega se opazovana pramena za kot sin 0 = 0 = (r/l)sin p = (r/l)p odklonita od navpičnice. Upostevali smo, da sta kota majhna, in sinusa nadomestili z ločno merjenima kotoma. Vodoravna komponenta sile je (F/bs)sdr(r/l) sin p = (F/bs)sdr ■ (r/l)p. Na simetrični pramen na nasprotni strani osi deluje nasprotno enaka vodoravna komponenta sile. Komponenti sestavljata dvojico sil z razdaljo prijemalisč 2r in navorom dvojice (F/bs)sdr ■ (r/l)p ■ 2r. Celotni navor dobimo, ko sestejemo prispevke vseh pramenov v traku od 0 do 2 b: r 2 b M = p(F/lbs) ■ 2s / r2dr = (Fb2/12l)p = Dp. J 0 Podobno računamo pri obremenjeni zički. Opazujemo silo (F/nR2)rdrda na pramen, ki ima na spodnjem krajisču presek rdrda. Integriramo po r od 0 do R in po a od 0 do n: rR rn M = p(F/lnR2) 2r ■ r2dr da = (FR2/2l)p = Dp. 00 V drugem zapisu zveze (2) je napetost a veliko manjša, denimo stokrat, od striZnega modula. Pri Zicki zato proZnostni clen vselej prevlada obremenitvenega in se ni mogoce izogniti odstopanju od idealne proznosti in dodatnemu dusenju. Upostevajmo samo proznostni clen v (2) in izracu-najmo razmerje torzijskih koeficientov D/D', Ce je na traku obeseno telo z enako maso kot na zicki in sta preseka enaka, bs = nR2. Razmerje D/D' = 2ns/(3b) + nba/(6sG) je pri zelo tankem in močno obremenjenem traku manjse kot 1. Torzijska tehtnica s trakom je bolj obcutljiva kot tehtnica z zicko. V tem primeru obremenitveni clen znatno preseze prozno-stnega in dodatno dusenje postane nepomembno. Naprava V Mednarodnem uradu za utezi in mere BIPM v Sevresu blizu Pariza je raziskovalna skupina pred letom 1997 pripravila nacrt za napravo, ki omogoci merjenje gravitacijske konstante na dva nacina [9].1 Z napravo z nekaterimi podobnimi lastnostmi so leta 2000 merili na univerzi Washington v Seat-tlu [10]. Vse kaze, da je skupina na BIPM nacrte naredila neodvisno od te skupine. Leta 1999 je porocala o poizkusnem merjenju [9]. Leta 2001 je objavila rezultat prvega merjenja na oba nacina [5]. Z izdatno predelano napravo je poskus ponovila leta 2013 [6]. Clani skupine so poleg tega sproti objavljali zanimive delne ugotovitve, do katerih so prisli na opisani poti. Za torzijsko tehtnico so izbrali trak iz zlitine bakra in 1,8 % berilija z debelino 0,03 mm, sirino 2,5 mm in dolzino 160 mm. Na traku je visel aluminijast kroznik s premerom 295 mm in debelino 8 mm. Njegovo maso so zmanjsali z okroglimi odprtinami. Na krozniku so bile simetricno namescene stiri valjaste utezi s premerom in visino 55 mm iz zlitine bakra in 0,7 % telurja z maso po 1,2 kg in s sredisci v razdalji 120 mm od osi (slika na naslovnici). Ves kroznik z utezmi je imel maso okoli 6 kg. To ustreza priblizno | porusne obremenitve in zmanjsa delez proznostnega clena na samo 4 % torzijskega koeficienta. S tem so se znebili dodatnega dusenja. Vse to je bilo namesceno v vakuumski posodi. V njej je nihalo, to je kroznik s stirimi majhnimi valji na traku, nihalo z nihajnim casom 120 s in dobroto 105. Zunaj vakuumske posode so bile na vrtiljaku simetricno namescene stiri vecje utezi iz enake zlitine bakra in telurja s premerom 120 mm in visino 115 mm z maso po 11 kg. Osi vecjih utezi so bile v razdalji 214 mm od osi nihala. Vrtiljak so preko jermena premikali s koracnim motorjem. Ce so velike utezi stale nasproti manjsih utezi, z gravitacijo nanje niso izvajale 1Terry Quinn se je leta 2004 upokojil kot direktor in Richard Davis kot višji raziskovalec BIPM, Clive Speake je clan univerze v Birminghamu, Harold Park pa je bil raziskovalec na BIPM. navora. Ko so vrtiljak zavrteli za 18,898° na eno ali na drugo stran, pa je bil navor gravitacije velikih uteZi na majhne uteZi največji. Zasuk so merili z avtokolimatorjem z veliko ločljivostjo na ravnem zrcalu na nihalu. Nanj so bila zaradi simetrije pritrjena tri enaka zrcala, ki jih niso uporabljali. Celotna naprava je bila v posebnem prostoru, v katerem se med merjenjem temperatura ni spremenila za več kot za 0,1°. Naprava je stala na osnovni plosči merilnika koordinat. Pri prvem merilnem načinu so najprej vrtiljak spravili v polozaj, v katerem so bili veliki valji nasproti majhnih in je bil navor gravitacije enak nic. Z avtokolimatorjem so določili v tej legi zasuk f = 0. Potem so zasukali vrtiljak za

0, ny > 0 in nz > 0, od katerih sme biti le eno enako nič [2]. Iz valovne enačbe dobimo frekvenčo u danega načina nihanja, in sičer v kočki n.\2 iUy\2 /nz -=a^T> n f) n T v prizmi pa 'J® n.\2 /%\2 /nz -d=^/(DJ n-t) n T 2 2 Slika 2. Originalna Casimirjeva naloga - v prostoru sta veliki vzporedni prevodni plošči. Na levo ploščo deluje na levi strani tlak zaradi ničelnih kolebanj v veliki kocki z robom l, na desni pa tlak v prizmi z robovi (D, l, l). Isčemo razliko teh tlakov Sp. Na sliki je prikazan eden od uporabljenih koordinatnih sistemov. V kvantni elektrodinamiki vsak nacin nihanja z dano polarizacijo nosi ničelno energijo • Ce kocko vzdolz osi x pocasi malo stisnemo, se frekvenca nihanja poveca in s tem tudi nicelna energija. Delo, ki smo ga pri stiskanju opravili, je enako spremembi te energije, torej dA = Fiz dx = ■ Naprej sklepamo enako kot v enodimenzionalnem primeru in za tlak dobimo —cn /nx\z 1 ^ y/(t")2 + (X)2 + (t)2' V prizmi, kjer malo premaknemo eno od plosc tako, da s tem spremenimo razdaljo D, pa imamo —cn / nx \ 2 1 PD- 2l2D UJ ^d)2 + (ny)2 + (nz)2' Razliko teh tlakov sedaj izracunamo po enodimenzionalnem zgledu. Seste-vanje po ny in nz opravimo z integracijo, kjer namesto n^ + n2z pisemo n2 in vsoti v limiti l ^ to zamenjamo z integralom: ^ny nz ^ | J 2nndn• Faktor 4 uposteva, da sta nx in ny lahko le nenegativni celi ¡števili. Tako dobimo za razliko tlakov . nz—c Ap = pi - p d = ' r