Anleitung

s u m

Rechnen

für die zweyte und dritte Classe der
Pfarr- und Hauptschulen

in den k. k. Staaten.

Verfaßt von

Woctor Franz MozhniK,

Lehrer der vierten Classe an der Hauptschule zu Görz.

Kostet ungebunden 12 Kr. C. M.

Gebunden in ledernen Rücken 16 Kr. C. M.

Wein, 1848.

Im Verlage der k. k. Schulbücher-Verschleiß-Admini-
stration bey St. Anna in der Johannisgasse.


In den öffentlichen Schulen sind nur die vorgeschrie-
benen, mit dem Stampcl des Schulbücher-Verlages
versehenen Bücher zu verwenden, auch dürfen diese
Bucher nicht gegen höhere als die auf dem Titel-
blatte angegebenen Preise verkauft werden.


Vorbegrisfe.

8- 1.

Ä^ehrere Dinge von einerley Art nennt man eine
Mehrheit, jedes einzelne solche Ding heißt Eins
oder eine Einheit. Z. B. drey Kreuzer bilden eine
Mehrheit; denn man hat einen Kreuzer und noch einen
Kreuzer und wieder einen Kreuzer, also drey Dinge
von derselben Art; ein Kreuzer ist eine Einheit. Eben
so sind fünf Striche, vier Äpfel, sieben Schüler Mehr¬
heiten; ein Strich, ein Apfel, ein Schüler hingegen
sind Einheiten.

Die Einheit sowohl als auch jede beliebige Mehr¬
heit wird eine Zahl genannt. Vey jeder Zahl muß eine
Einheit gedacht werden, welche darin einmahl oder
mehrmahl enthalten ist.

8- 2.

Es gibt unbenannte und benannte Zahlen.

Wenn bey einer Zahl kein Nähme vorkommt, so
heißt sie unbenannt; bey einer unbenannten Zahl
sieht man nicht auf die Art der Einheiten, welche darin
vorkommen, sondern bloß auf ihre Menge. Z. B. fünf
ist eine unbenannte Zahl, sie drückt nur die Menge der

A 2

4

Einheiten aus, sagt aber nicht, was für Einheiten es
sind. Eine unbenannte Zahl kann was immer für
Einheiten vorstellen; unter fünf kann man sich fünf
Kreuzer, fünf Striche, fünf Schüler, oder was immer
für fünf Einheiten denken.

Eine Zahl, bey welcher ein Nähme vorkommt, heißt
benannt, dabev wird nicht nur die Menge, sondern
auch die Art der Einheiten, welche darin enthalten
sind, angezeigt. Z. B. fünf Kreuzer ist eine benannte
Zahl, sie drückt aus, wie viel Einheiten da sind, und
zugleich, was für Einheiten cs sind. — Eine benannte
Zahl kann nur eine Art von Einheiten verstellen; so
kann die Zahl fünf Kreuzer nur fünf Kreuzer bedeuten.

8- 3.

Zede Zahl kann durch hörbare Wörter und durch
sichtbare Schriftzcichcn auSgedrückt, d. h. sie kann aus¬
gesprochen und an geschrieben werden.

Die aufeinander folgenden Zahlen durch Wörter
ausdrücken, heißt zählen. Die Schriftzeichen der Zah¬
len nennt man Ziffern.

----

Erstes Hauptstück.

Zahlen unter hundert und ihr
Zusammenhang.

8. 4.

28cnn man zu eins wieder eins, und dann noch
eins, und immer wieder eins dazusetzt, so bekommt

5

man nach und nach immer neue und größere Zahlen.
Weil nun dieses Hinzusetzen von eins zu der schon
vorhandenen Zahl ohne Ende fortgesetzt werden kann,
so sind unendlich viele Zahlen möglich.

Wollte man jede solche Zahl mit einem eigenen
Worte und einer eigenen Ziffer bezeichnen, so müßte
man unzählig viele Nahmen und Ziffern haben, die
man aber alle sich nicht merken könnte. Man suchte
daher die Bezeichnung aller möglichen Zahlen sich da¬
durch zu erleichtern, daß man sie in mehrere Abthei-
lungen brachte, bey denen die Zahl zehn als Ruhe-
punct dient; wahrscheinlich darum, weil man anfangs
Alles an den zehn Fingern der bepden Hände abzn-
zählen Pflegte.

Die Nahmen und Ziffern der ersten neun Zah¬
len, welche hier durch Striche versinnlichet werden
sollen, sind.

>.  . eins ... 1,

Die hier angeführten Ziffern werden gewöhnlich
arabische genannt.

8- 5.

Auf neun folgt zehn. Zehn Einheiten nennt man
einen Zehne '. Wenn man beym Zählen bis zehn
kommt, so fängt man wieder von vorn an, indem
man sagt:

6

Hierauf folgt zehn und zehn, wofür man zwanzig
sagt. Zwanzig ist also zweymahl zehn, oder es enthält
zwey Zehner.

Nach zwanzig fängt man wieder von eins zu zäh¬
len an, nähmlich ein und zwanzig, zwey und zwanzig,...
neun und zwanzig.

Statt zehn und zwanzig sagt man dreyßig. Dreyßig
enthält also dreymahl zehn Einheiten oder drey Zehner.

Auf dieselbe Art wird auch das weitere Zählen
vorgenommen, nur wird

statt zehn und dreyßig . . vierzig,

„ zehn und vierzig . . fünfzig,
„ zehn und fünfzig . . sechzig,
„ zehn und sechzig . . siebenzig,
„ zehn und siebenzig. . achtzig,
,, zehn und achtzig . . neunzig

gesagt. Daraus folgt, daß

vierzig . . viermahl zehn Einheiten oder vier Zehner^

fünfzig . . fünfmahl zehn „

sechzig . . sechsmahl zehn „

siebenzig . siebenmahl zehn „

achtzig . . achtmahl zehn ,/

neunzig. . neunmahl zehn „

,, fünf „

// sechs „

„ sieben „

„ acht „

„ neun „

in sich enthält.

7

Um die Größe und die Bestandteile der Zahlen,
welche aus Zehnern und Einheiten bestehen, recht an¬
schaulich zu machen, versinnliche man jeden Zehner
durch eine Reihe von zehn Strichen, mache so viele
solche Reihen unter einander, als Zehner da sind, und
unter die letzte Zehnerreihe setze man noch so viele
Striche, als Einheiten neben den Zehnern vorkommen;
z. B. sieben und zwanzig würde man so versinnlichen:

8- 6.

Um die verschiedenen Zehner anzuschreiben, be¬
dient man sich derselben Ziffern, mit denen die Einhei¬
ten bezeichnet werden, nur hängt man jeder Ziffer
rechts das Zeichen 0, welches die Nulle heißt, an.
Man bezeichnet nahmlich:

1 Zehner oder zehn durch 10,

2 Zehner ,, zwanzig „ 20,

3 Zehner „ dreyßig „ 30,

9 Zehner „ neunzig /, 90.

Kommen in einer Zahl neben den Zehnern auch
Einheiten vor, so schreibt man die Einheiten an die
Stelle der Nulle, also in die erste Stelle zur Rechten,
die Zehner bleiben aber an der zweyten Stelle. Z. B.
sieben und vierzig enthält 4 Zehner und 7 Einheiten,
man schreibt also 47; zwölf bestehet aus 1 Zehner und
2 Einheiten, es wird daher durch 12 bezeichnet.

Eben so schreibt man

sechs undneunzig . . 96,
neun und achtzig . . 89,

8

ein und dreyßig . . 31

achtzehn.18

So viele Einheiten eine Ziffer für sich allein be¬
deutet, eben so viele Zehner bedeutet sie an der zwey-
ten Stelle von der Rechten.

8- 7-

Wenn man umgekehrt eine mit zwey Ziffern ange¬
schriebene Zahl aussprechen will, braucht man nur die
beyden Ziffern in ihrer wahren Bedeutung zu nehmen,
nähmlich die erste von der Rechten als Einheiten, die
zweyte als Zehner.

Z. B. in 48 bedeutet die erste Ziffer rechts 8 Ein¬
heiten also acht, die zwepte Ziffer von der Rechten 4 Zeh¬
ner also vierzig; 48 wird daher gelesen: acht und
vierzig.

Beym Anschreibcn werden früher die Zehner und
dann die Einheiten angesetzt, beym Aussprechen aber
nennt man zuerst die Einheiten, dann die Zehner, und
verbindet beyde durch das Wörtchen und.

In 90 stehet an der rechten Stelle rechts o, es kom¬
men also keine Einheiten vor, und man spricht nur
die neun Zehner aus, also neunzig.

So liest man

29 . . . neun und zwanzig,

51 ... ein und fünfzig,

66 . . . sechs und sechzig,

40 . . . vierzig,

14 . . . vierzehn.

8. 8.

Die Zahlen unter hundert sind für das ganze Rech¬
nen von der größten Wichtigkeit, so daß Anfänger nicht
eher die weitern Zahlen vorzunchmen haben, als bis sie

9

die ersten recht klar überblicken, und damit die
verschiedensten Veränderungen fertig auszuführcn im
Stande sind. Zu diesem Ende sind hier folgende Übun¬
gen vorznnehmen.

1. Übungen im Hinzusetzen der Zasilen.

Man fange bey irgend einer Zasil an, und zähle
nach und nach immer l dazu, z. B. 1 und 1 ist 2,
2 und 1 ist 3, 3 und 1 ist 4, u. s. w. Dann setze man
eben so wiederhosilt 2, dann 3, 4, 5, ... hinzu.

Die Versinnlichung dabey geschieht am besten da¬
durch, daß man so viele Striche neben einander hin¬
schreibt, als die betreffenden Zahlen Einheiten enthalten,

Bey diesen Übungen ist stets auf die Ergänzung
-er Zehner besondere Rücksicht zu nehmen. Wenn
z. B. zu 36 die Zahl 9 hinzugesetzt werden soll, so
wird zu 36 in Gedanken zuerst so viel dazugezählt, daß
man die nächsten Zehner, nähmlich 4V bekommt, und
dann noch das Übrige dazu gesetzt; man denkt nähm¬
lich: 36 und 4 ist 40, und noch die 5 dazu ist 45;
man zerlegt hier 9 in 4 und 5, zählt zuerst 4 und dann
5 dazu.

2. Übungen im Hinwegnehmen der Zahlen.

Man beginnt wieder in irgend einer Zahl, und
nimmt wiederhohlt 1 hinweg, z. B. 1 von 99 bleibt 98,
1 von 98 bleibt 97, 1 von 97 bleibt 96, u. s. w.
Später wird 2, dann 3, 4, 5, . . . wiederhohlt weg-
gcnommen.

Auch hier kann die Versinnlichung durch Striche
geschehen.

8. 9.

3. Übungen im Vervielfachen der Zahlen.

Diese sollen in der Einübung des sogenannten
Einmahleins bestehen, und zwar nach folgendem Stu¬
fengange:

10

1 Man zähle zu 1 noch 1 dazu, so erhält man 2,
2mahl 1 ist 2; setzt man zu 2 wieder 1, so bat
man 3, 3mahl 1 ist also 3, u. s. w.

2. Man setze zu 2 noch 2 hinzu, so hat man 4,
2mahl 2 ist also 4, oder das 2fache von 2 ist 4; wenn
man zu 4 noch einmahl 2 setzt, so kommt 6 heraus, und
man hat 3mahl 2 ist 6, oder das 3fache von 2 ist 6 1
zählt man zu 6 wieder 2, so hat man 8, zugleich
kommt darin 2 4mahl vor, 4mahl 2 ist also 8, oder
das 4fache von 2 ist 8; u. s. w.

3. Auf dieselbe Art können auch die Vielfachen
Hon 3, 4, 5, ... 9 abgeleitet werden.

Am anschaulichsten geschehen diese Übungen,
wenn man so viele Striche anschreibt, als die Zahl
Einheiten enthält, deren vielfache man Haben will,
dann in einiger Entfernung noch einmahl so viel
Striche ansetzt, dann wieder so viel Striche u. s. w.
Wenn man z. B. die Vielfachen von 3 einüben wollte,
so wird man nach und nach folgende Reibe bilden
II! !I!'ÜI III III III III II! II!

3 6 9 12 15 18 2l 24 27.

So oft man 3 neue Striche macht, wird bemerkt,
wie Vielmahl 3 Striche man hat, und wie viel Striche
es zusammen sind.

Durch Beobachtung dieses Stufenganges wird
man in den Stand gesetzt, nachstehende Tabelle nicht
nur mechanisch herzusagen, sondern anch von deren
Richtigkeit Rechenschaft abzulegen.

IZ

Eben so suche man, wie oft 3 in den Zahlen un¬
ter 30, 4 in den Zahlen unter 40, ... 9 in den
Zahlen unter 90 enthalten ist.

Sehr zweckmäßig ist es, bep diesen Übungen die
Vielfachen der betreffenden Zahl in einer Reihe hinzu-
schreibcn, und unter jeder Zahl auch zu bemerken, das
Wieviclfache sie von der angenommenen Zahl ist
Z. B. man will wissen, wie oft 6 in den verschiedenen
Zahlen enthalten ist, so schreibt man

6 12 18 24 30 36 42 48 54
12345. 0789

Wie oft ist nun 6 in 12 enthalten? 12 ist das
Lfache von 6, also ist 6 in 12 2mahl enthalten. —
Wie oft ist 6 in 54 enthalten? 54 ist das 9fache von
6, also ist 6 in 54 9mahl enthalten.

Wie oft kommt 6 in 29 vor? 29 ist kein Viel¬
faches von 6, das nächst kleinere Vielfache ist 24, und
zwar das 4fache, also ist 6 in 24 4mahl, daher auch
in 29 4mahl enthalten. — Wie oft ist 6 in 52 ent¬
halten? 52 kommt unter den Vielfachen von 6 nicht
vor, das nächst kleinere Vielfache ist 48, und zwar das
8fache, in 48 ist also 6 8mahl enthalten, daber kommt es
auch in 52 8mahl vor.

Hier kann nicht genug eingcschärft werden, daß
Anfänger nicht eher zu einer folgenden Zahl den
Übergang machen, als bis sie durch oftmahliges Wie¬
derholten und verschiedenseitiges Ausfafsen das Enthal-
tcnseyn der vorhergehenden Zahlen sich recht gut eigen
gemacht haben.

--

14

Zweytes Hauptstück.

Zahlen über hundert hinaus.

8- r i.

^ehn Zehner bilden ein Hundert.

Wenn man bis hundert zählen kann, so ist das
weitere Zählen nichts Neues. Man fängt nähmlich wie¬
der bey eins an, und sagt:

hundert eins, hundert zwey, .... hundert neun-
und neunzig.

Statt hundert und hundert sagt man zweyhun-
dert, dann zählt man eben so weiter:

zweyhundert eins, zweyhundert zwey, zweyhundert
drey,.... und kommt nach und nach auf-reyhundert,
vierhundert, u. s. w.

8- !2.

Zur Bezeichnung der Hunderte bedient man sich
derselben Ziffern, mit denen man die Einheiten bezeich¬
net, nur werden jeder Ziffer zwey Nullen augehängt,
so daß die Ziffer der Hunderte an der dritten Stelle
von der Rechten erscheint. Man schreibt nähmlich
für 2 Hunderte oder zweyhundert . . . 200,

„ 3 Hunderte dreyhundert . . . 300,

„ 9 Hunderte „ neunhundert . . . 900.

15

Wenn außer den Hunderten auch Zehner vorkom¬
men, so setzt man diese an die zweyte Stelle; kommen
auch Einheiten vor, so werden sie an der ersten Stelle
recht« geschrieben; z. B.

vierhundert fünfzig schreibt man 450,
dreyhundert vierzig „ „ 34V,

siebenhundert acht ,, ,, 708,

hundert fünf „ „ 105,

fünfhundert dreyund achtzig,, „ 583.

Wie schreibt man: zweyhundcrt neunzig; neun¬
hundert eins; fünfhundert drey und vierzig; sechshun¬
dert neun und dreyßig; siebenhundert eilf?

Auf die Hunderte müssen jedesmahl noch zwey
Ziffern folgen, die Ziffer der Zehner und die Ziffer

der Einheiten.

8- 13.

Um umgekehrt eine mit drey Ziffern geschriebene
Zahl auszusprechen, muß man bedenken, daß die
dritte Ziffer, von der Rechten angefangen, Hunderte,
die zweyte Zehner, und die erste Einheiten bedeutet.
Z. B. in 893 bedeutet 8 so viele Hunderte, also acht¬
hundert; 9 bedeutet 9 Zehner also neunzig; 3 bedeutet
Einheiten also drey; zusammen achthundert drey und
neunzig. Man nennt also zuerst die Hunderte, dann
spricht man die Einheiten und zuletzt die Zehner aus.

So liest man

354 . . . dreyhundert vier und fünfzig,

712 . . . siebenhundert zwölf,

830 . . . achthundert dreyßig,

902 . . . neunhundert zwey

700 .. . siebenhundert.

j 6

Man soll noch folgende Zahlen aussprechen: 300,
250, 390, 70?, 407, 231,588, 991, 471, 139, 811.

8- 14.

Zehn Hunderte nennt man ein Tausend.

Beym Zählen über tausend hinaus fängt man
wieder bey eins an; nähmlich

tausend eins, tausend zwey, ... tausend hundert;
tausend hundert eins, tausend hundert zwey,... tau¬
send zweyhundert; tausend zweyhundert eins, tausend
zweyhundert zwey, u. s. w. bis man auf zweytau-
send kommt.

Dann zählt man wieder von vorne, und kommt
«ach und nach auf drehtauseud, viertausend,.,
zehntausend.

Auf dieselbe Art wird dann weiter gezählt.

Zehnmahl zehntausend ist hunderttausend, zehn-
mahl hunderttausend ist tausendmahl tausend, was man
eine Million nennt.

So wie die ursprünglichen Einheiten, Zehner,
Hunderte, Tausende, Zehntausende, Hunderttausende
aufcinanderfolgen, so kommen dann die Einheiten der
Millionen, Zehner der Millionen, Hunderte der Millio¬
nen, Tausende der Millionen, Zehntausende der Mil¬
lionen und Hunderttausende der Millionen.

Eine Million Millionen heißt eine Billion, eine
Million Billionen eine Trillion, u. s. w. Dabey wird
dann ebenfalls nach Einheiten, Zehnern, Hunder¬
ten, . . . gezählt.

8. 15.

Die Zahlen über tausend hinaus werden nach
denselben Grundsätzen angeschrieben, wie die Zahlen

17

unter tausend; man schreibt nähmlich die Einheiten an
die erste Stelle zur Rechten, die Zehner an die zweyte,
die Hunderte an die dritte, die Tausende setzt man an
die vierte Stelle, die Zehntausende an die fünfte, die
Hunderttausende an die sechste, die Einheiten der
Millionen an die siebente, u. s. w.

Z. B. die Zahl siebentausend fünfhundert acht und
dreyßig enthält 7 Tausende, 5 Hunderte, 3 Zehner und
8 Einheiten, wird also durch 7538 ausgedrückt. —
Die Zahl achttausend sieben und fünfzig bestehet aus
8 Tausenden, keinen oder 0 Hunderten, 5 Zehnern
und 7 Einheiten, daher schreibt man 8057.

Eben so bezeichnet man

dreytausend vierhundert sechs, durch 3406,

fünftausend zweyhundert neunzig,, 5290,

sechstausend „ 6000,

zwey Millionen fünfhundert drey

Tausend und acht „ 250P>08.

8- 16.

Will man umgekehrt eine mehrziffrige Zahl aus¬
sprechen, so braucht man nur jede Ziffer in ihrer
wahren Bedeutung zu nehmen, und alles zusammen zu
setzen.

Z. B. 3842 bedeutet drey Tausende, acht Hunderte,
vier Zehner und zwey Einheiten; wird also gelesen:
dreytausend achthundert zwey und vierzig.

Eben so liest man

5006 . . fünftausend und sechs,'

27380 . . sieben und zwanzig Tausend, dreyhundert
achtzig.

1350600 . . eine Million, dreyhundert fünfzig Tau¬
send, sechshundert.

Rechenb. f. d. II. u. m. Cl. B

18

17.

Um mehr Fertigkeit im Anschreiben und Lesen
mehrziffriger Zahlen zu erlangen, pflegt man sie in
Klassen einzutheilen. Die ganze Aufeinanderfolge
der Zahlenarten enthält nachstehende Tabelle:

19

Aus dieser Tafel ersieht man, daß immer Einhei¬
ten, Zehner und Hunderte; dann wieder Einheiten,
Zehner und Hunderte auf einander folgen. Am zweck¬
mäßigsten ist es also, diese Reihe als eine Klasse zu
betrachten. Die erste Klaffe von der Rechten angefan¬
gen hat keinen Beysatz, die zweyte hat den Beysatz
Tausende, die dritte Millionen, die vierte Tausende
(der Millionen), die fünfte Billionen, die sechste Tau¬
sende (der Billionen), u. s. w.

Da jede Zahl aus einer oder mehreren Klassen be¬
stehet, und eine Klaffe nur Zahlen unter tausend ent¬
halten kann, so laßt sich das Anschreiben und Lesen
jeder noch so großen Zahl auf das Anschreiben und
Aussprechen der Zahlen unter tausend zurückführen.

8- 18.

Um irgend eine ausgesprochene Zahl an¬
zuschreiben, gebe man Acht, nach welcher Zahl
zuerst das Wort Tausend, Million, . . . gehört
wird; diese Zahl, welche eiu-, zwcy- oder dreyziffrig
ist, muß zuerst angesetzt werden. Die übrigen Klaffen
werden dann eine nach der andern, wie sie ausgespro¬
chen werden, hingeschrieben. Auf das Wort Million
müssen noch zwey Klassen, auf Tausend eine folgen.
Werden in einer Klaffe nicht alle drey Bestandtheile
d. i. Hunderte, Zehner und Einheiten ausgesprochen,
so wird das Fehlende durch Nullen ergänzt. Wenn
bepm Aussprechen der Zahl eine ganze Klasse nicht
vorkommt, so werden alle drey Stellen derselben mit
Nullen ausgefüllt.

Die Zahl: neun und vierzig Tausend, vierhun¬
dert zwölf schreibt man so an: 49412. Es wird

B 2

20

nähmlich zuerst die Zahl bis zum ersten Beysatze
Tausend, nähmlich 49 angeschrieben, und dann
die folgende Klasse 412, als wenn sie für sich allein vor¬
handen wäre.

Eilf Tausend, fünf Millionen, dreihundert vier
und zwanzig wird angeschrieben: 11005000324. Hier
wird die Klasse der Tausende, welche nach den Milli¬
onen vorkommen muß, nicht ausgesprochen, daher
besetzt man ihre drey Stellen mit Nullen; eben so
schreibt man Nullen an die Stelle der Hunderte und
Zehner der Millionen, welche mit Stillschweigen über¬
gangen werden.

Man schreibe noch folgende Zahlen an:
vier und dreyßig Tausend, sechshundert ein und vierzig ;
ein Tausend ein und fünfzig;

hundert dreytausend, fünfhundert und dreyßig;
sechs und fünfzig Millionen, achthundert Tausend;
neunzig Tausend, zweyhundert sieben;

acht Millionen, zwey und vierzig Tausend, und drey.

8- 19-

Wenn man eine vielziffrige Zahl ausspre¬
chen soll, so theile man sie, von der Rechten angefan¬
gen, in Klassen zu drey Ziffern ab; die letzte Klasse
kann auch weniger als drey Ziffern haben. Hinter der
ersten Klaffe setze man einen Punct, hinter der zwey-
ten einen Strich, hinter der dritten einen Punct, hin¬
ter der vierten zwey Striche u. s. w. Sodann lese
man, von der Linken angefangen, jede Klasse für sich,
als wenn sie allein da wäre, und setze beym Puncte
das Wort Tausend, beym Striche das Wort Million,
bey zwey Strichen das Wort Billion u. s. w. dazu.

21

So z. B. wird 39.043,673.402 gelesen: neun
und dreyßig Tausend, drey und vierzig Millionen,
sechshundert drey und siebenzig Tausend, vierhun¬
dert zwey.

Man spreche folgende Zahlen aus:

52 853,

1 502 316 078,

7503 000 476 321 003,

47 326 030 001 340,

50 080 071,

900 008.

Bey kleineren Zahlen braucht man die Eintheilung
in Klaffen und das Ansetzen der Puncte und Striche
nur in Gedanken zu verrichten.

8- 20.

Die nach einem bestimmten Gesetze geordnete Zu¬
sammenstellung der Zahlen nennt man ein Zahlen¬
system oder Zahlengebäude.

Das Gesetz unseres Zahlensystems ist aus dem
Vorhergehenden leicht zu ersehen. Jede Ziffer bedeu¬
tet an der ersten Stelle zur Rechten Einheiten; an der
zweyten Stelle bedeutet sie Zehner, ein Zehner aber ist
zehnmahl so viel als eine Einheit, also bedeutet eine
Ziffer an der zweyten Stelle zehnmahl so viel als an
der ersten;» an der dritten Stelle bedeutet eine Ziffer
Hunderte, ein Hundert aber ist wieder zehnmahl so
viel als ein Zehner, an der dritten Stelle ist also der
Werth einer Ziffer zehnmahl so groß, als an der
zweyten; u. s. w.

Das Gesetz unseres Zahlensystems besteht also
darin, daß jede Ziffer an der folgenden Stelle gegen

22

die Linke zehnmahl so viel bedeutet als an der nächst¬
vorhergehenden. Unser Zahlengebäude wird darum
auch das Zehnersystem oder das dekadische Zah¬
lensystem genannt (vom griechischen deka, welches
zehn heißt).

Wenn der Anfänger unser Zahlensystem vollkom- '
men aufgefaßt hat, so wird er folgende und ähnliche
Fragen ohne Schwierigkeit beantworten können:

Wie viel Zehner hat ein Hundert? — wie viel
Einheiten enthält ein Hundert?

Wie viel Hunderte enthält ein Tausend? — wie
viel Zehner enthält ein Tausend? — wie viel Einhei¬
ten hat ein Tausend?

Wie viel Einheiten enthalten 2 Zehner? — wie
viel 5 Hunderte, 7 Tausende?

Wie viel Zehner enthalten 8 Hunderte? — wie
viel 3 Tausende, 9 Zehntausende?

Wie viel Einheiten machen 6 Millionen? — wie
viel Zehner? — wie viel Hunderte? — wie viel
Tausende? — wie viel Zehntausende? wie viel
Hunderttausende?

8- 21.

Zur Bezeichnung der Zahlen werden nicht selten
auch die römischen Ziffern angewcndet.

Die Römer hatten sieben Zahlzeichen, nähmlich
die Buchstaben

i, v, x, i., e, v,

für eins, fünf, zehn, fünfzig, hundert, fünfhundert,

LI.

tausend.

23

Die übrigen Zahlen werden durch gehöriges
Zusammenstellm der angeführten Buchstaben ausge¬
drückt, wobey folgende Grundsätze zu beobachten sind:

Stehen mehrere gleiche Buchstaben neben einander,
so bedeuten sie so viel, als die Werthe der einzelnen
Buchstaben zusammengenommen betragen. So bedeu¬
tet II zwey, III drey, XXX drey Zehner oder dreyßig,
666 3 Hunderte oder 300 u. s. w.

Steht ein niedrigeres Zahlzeichen vor einem
höhern, so wird das letztere um so viel vermindert
als das niedrigere bedeutet. Z. B. !V bedeutet 5 weni¬
ger 1, also 4; IX bedeutet 10 weniger 1, also 9;
X6 ist 50 weniger 10, d. i. 40; X6 ist 100 weniger
10, d. i. 90; 6N bedeutet 1000 weniger 100, also 900.

Steht aber ein niedrigeres Zahlzeichen hinter
einem höhern, so wird das höhere um so viel ver¬
mehrt, als das niedrigere bedeutet. Z. B. VI ist 5
mehr 1, also 6; VII ist 5 und 2, d. i. 7; IX be¬
deutet 50 und 10, also 60; 6XX ist 100 und 20,
also 120, V6QX ist 500 mehr 100 mehr 50 mehr 10,
d. i. 660.

Nach den angegebenen Grundsätzen bedeutet:

-»Er«-

24

Drittes Hauptstück.

Die vier Rechnungsarten mit unbe¬
nannten und einnahmigen Zahlen.

8. 22.

<4-us bekannten Zahlen durch bestimmte Verbindungen
eine unbekannte Zahl finden, heißt rechnen.

Z. B. Wie viel ist 3 und 4? Antwort: 7. — Hier
sind zwcy Zahlen 3 und 4 als bekannt angegeben, die
Zahl 7 aber wird nicht angegeben, sondern muß erst
aus den bekannten zwey Zahlen gefunden werden.
Das Verfahren, durch welches dieses geschieht, ist eine
Rechnung.

Man unterscheidet eine zweyfache Art des Rech¬
nens, das mündliche oder Kopfrechnen, und das
schriftliche oder Zifferrechnen. Beym Zifferrech¬
nen bedient man sich der geschriebenen Zahlen, d. i.
der Ziffern, und verfährt nach bestimmten Regeln.
Beym Kopfrechnen ist man an keine festen Regeln
gebunden, matt braucht dabey keine Ziffern, und darf
sich dieselben auch nicht einmahl vorstellen.

I. Das Addiren.

8 23.

Um zu erfahren, wie viel zwey oder mehrere
Zahlen zusammen genommen betragen, muß man sie
zusammenzHhlen oder addiren. Addiren heißt dem¬
nach nichts anderes, als eine Zahl suchen, welche

25

zwey oder mehreren gegebenen Zahlen zusam¬
men genommen gleich ist.

Die gegebenen Zahlen heißen Poften oder
Addenden, und die Zahl, welche beym Addiren
herauskommt, die Summe. Die Summe zeigt also
an, wie viel die Addenden zusammen genommen

ausmachen.

Z. B. 2 und 1 ist 3; hier sind 2 und 1 die
Posten, 3 ist ihre Summe.

Das Zeichen der Addition ist ein stehendes
Kreuz -j- (mehr), welches zwischen die Addenden
gesetzt wird. — Hier ist auch das Gleichheitszei¬
chen — (gleich) zu merken, wodurch augezeigt wird,
daß die Zahlenausdrücke, zwischen welchen es steht,
einander gleich sind. Z. B. 2-j-3 — 5 heißt: 2 mehr
3 ist gleich 5; oder 2 und 3 ist 5.

8- 24.

Kleinere Zahlen lassen sich im Kopfe zusam¬
menzählen.

Beispiele.

1. 5 und 2 ist 7; 8 und 5 ist 13; 25 und 3
ist 28; 48 und 7 ist 55.

2. 40 und 20 ist 60; denn 40 sind 4 Zehner,
20 sind 2 Zehner, 4 Zehner und 2 Zehner sind 6 Zeh¬
ner d. i. 60. — 30 und 20 ist 50; 50 und 30 ist 80;
70 und 10 ist 80.

3. 24 und 30 ist 54; denn 20 und 30 ist 50,

und noch die 4 von 24 ist 54. — 35 und 40 ist 75;

16 und 40 ist 56; 63 und 30 ist 93.

4. 67 und 21 ist 88; denn 60 und 20 ist 80,

7 und 1 ist 8, zusammen 88; oder 67 und 20 ist 87,

und noch 1 ist 88. — 45 und 34 ist 79; 26 und 24
ist 50; 74 und 19 ist 93.

26

5. 432 und 346 ist 778; denn 4 Hunderte und
3 Hunderte sind 7 Hunderte, 3 Zehner und 4 Zehner
sind 7 Zehner, 2 Einheiten und 6 Einheiten sind
8 Einheiten, zusammen 7 Hunderte 7 Zehner und
8 Einheiten d. i. 778; oder 432 und 300 ist 732,
und 40 ist 772, und 6 ist 778. 328 und 65 ist 393 ;
718 und 148 ist 866.

8 25.

Aus dem Zusammenzählen im Kopfe überzeugt
man sich, daß nur gleichnahmige Zahlen zu einan¬
der gefügt werden können, nähmlich Einheiten zu Ein¬
heiten, Zehner zu Zehnern, Hunderte zu Hunderten.

Dasselbe gilt auch beym schriftlichen Addiren.
Um dabep die gleichnahmigen Zahlen leicht heraus zu
finden und zusammen zu zählen, ist es am zweckmäßig¬
sten, gleich beym Anschreiben die Posten so unter¬
einander zu setzen, daß Einheiten unter Einheiten,
Zehner unter Zehner, ... zu stehen kommen.

1. Man addire 25 und 64. Man schreibt die gleich¬
nahmigen Stellen unter einander, nähmlich

25

64

Nun zählt man zusammen: 4 Einheiten und 5 Ein¬
heiten geben 9 Einheiten, welche man unter die Stelle
der Einheiten hinschreibt. 6 Zehner und 2 Zehner sind
8 Zehner, diese werden unter die Zehner geschrieben.
Die Summe Pslegt man durch einen Querstrich von
den Posten abzusondern. Die ganze Rechnuiuz wird also
so stehen

25

64

89

27

Addirt man hier, wie beym Kopfrechnen, zuerst
die Zehner und dann die Einheiten, oder addirt man
von oben herab, so wird man auch dann noch immer
dieselbe Summe erhalten.

Man addire eben so: 257 und 321 ; 518 und
80; 214, 131 und 424; 3285, 1402 und 4012.

2. Es soll die Summe von 142, 361 und 295 gefun¬
den werden. Man schreibt wieder die gleichnahmigen
Stellen unter einander, nähmlich

142
361
295

Man fange zuerst bey den Einheiten an: 5 Ein¬
heiten und 1 Einheit sind 6 Einheiten, und 2 Einhei¬
ten sind 8 Einheiten; diese schreibt man an die Stelle
der Einheiten. 9 Zehner und 6 Zehner sind 15 Zeh¬
ner, und 4 Zehner sind 19 Zehner; diese geben 9 Zeh¬
ner und 10 Zehner oder 1 Hundert, es werden daher
nur die 9 Zehner unter die addirten Zehner angesetzt,
1 Hundert aber wird zu den Hunderten hinzugezählt.
1 Hundert (welches bey den Zehnern herausgekommen
ist) und 2 Hunderte sind 3 Hunderte, und 3 Hunderte
sind 6 Hunderte, und 1 Hundert sind 7 Hunderte,
welche man unter die Hunderte setzt, die Summe ist
also 798, und die Rechnung steht:

142
361
295
798

Würde man hier bey den Hunderten zu addiren
ansangen, so erhielte man zuerst 6 Hunderte, welche
unter die Hunderte gesetzt werden sollten; dann
19 Zehner, von denen 9 Zehner unter die Zehner zu

28

setzen, 1 Hundert aber zu den bereits erhaltenen
6 Hunderten zu zählen wäre, man müßte also die schon
angeschriebenen 6 Hunderte in 7 Hunderte verbessern.—
Fängt man in der höchsten Stelle zu addiren an, so
würde ein solches Verbessern der in der Summe be¬
reits angeschriebenen Ziffern immer eintreten, so ost
die Summe der nächst niedrigern Reihe größer als
9 ist. Um daher das Verändern schon hingeschriebener
Ziffern zu vermeiden, beginnt man das schriftliche
Addiren jedesmahl bey den Einheiten, und setzt es
dann gegen die Linke fort.

Daraus steht man, daß sich das schriftliche Addi¬
ren von jenem im Kopfe nur dadurch unterscheidet,
daß man beym schriftlichen zuerst die Einheiten, dann
die Zehner, u. s. w. addirt; beym mündlichen aber,
wobey keine Ziffer angeschrieben wird, und also auch
keine Verbesserung derselben eintreten kann, das Addi¬
ren bey der höchsten Stelle beginnt.

Eben so addire man folgende Zahlen: 57 und 26;
144, 735 und 1286; 3208, 5969, 870, 3086 und 97.

Aus allen diesen Beyspielen gehen für das
schriftliche Addiren folgende Regeln hervor:

1. Man schreibe die Posten so unter einander, daß
Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u. s. w.,
überhaupt gleichnahmige Stellen unter einander zu
stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich.

2. Man addire zuerst die Einheiten, dann die
Zehner, Hunderte, u. s. w., und schreibe die jedes-
mahlige Summe, wenn sie nicht größer als 9 ist, un¬
ter die addirten Ziffern. Ist aber die Summe einer
Reihe größer als 9, also zweyziffrig, so werden nur
die Einheiten unter die addirte Reihe geschrieben, die
Zehner aber zählt man zu der nächstfolgenden Reihe.

29

752l 3085 321508 123456

252 1297 39621 234567

1214 706 57906 345678

8987 5088 890 456789

419925 1160490

Im ersten Beyspiele spricht man: 4 und 2 ist 6,
und 1 ist 7; 1 und 5 ist 6, und 2 ist 8; 2 und 2 ist 4,
und 5 ist 9; 1 und 7 ist 8. — Im zweyten Beyspiele
sagt man: 6 und 7 ist 13, und 5 ist 18, 8 angeschrie-
ben, bleibt 1; 1 und 9 ist 10, und 8 ist 18, 8 ange¬
schrieben bleibt 1; 1 und 7 ist 8, und 2 ist 10, 0 an¬
geschrieben, bleibt 1; 1 und 1 ist 2, und 3 ist 5.

Um die Richtigkeit der Summe zu prüfen, ist es
am besten, die Addition noch einmahl zu wiederhohlen,
so jedoch, daß man das zweyte Mahl von oben hin¬
unter addirt, wenn man das erste Mahl von unten
hinauf addirt hat, und umgekehrt. Erhält man jedes-
mahl dieselbe Summe, so kann man sie als richtig an¬
sehen, da wegen der veränderten Reihenfolge der Zah¬
len nicht leicht in beyden Fällen derselbe Fehler
möglich ist.

26.

Aufgaben.

1. Ein Bäcker kauft nach und nach 25, 29 und
28 Metzen Mehl; wie viel Mehl hat er zusammen
gekauft? — Hier will man erfahren, wie viel die Zah¬
len 25, 29 und 28 zusammen betragen, man muß sie
also addiren; zur Summe bekommt man: 82 Metzen.

2. Jemand nimmt in einem halben Jahre folgen¬
des Geld ein: den ersten Monath 225 fl., den zwey-

50

Icn 194 fl., den dritten 170 si., den vierten 209 si.,
den fünften 310 fl., den sechsten 98 fl.; wie viel nahm
er zusammen ein? — 1206 fl.

3. Ein Besitzer hat drey Güter; das erste trägt
ihm jährlich 820 fl., das zweyte 540 fl., das dritte
385 fl. ein; wie groß ist sein ganzes jährliches Ein¬
kommen? — 1745 fl.

4. Jemand gibt folgende Summen aus: an
.4. 1580 fl., an L 792 fl., an 6 2350 fl.; wie viel
hat er im Ganzen ausgegeben? — 4722 fl.

5. Ein Flachshändler hat 7 Ballen Flachs, im
ersten sind 85 KI im zweyten 83, im dritten 90, im
vierten 96, im fünften 87, im sechsten 91, im sieben¬
ten 102 K; wie groß ist der ganze Flachsvorrath? —
634 N.

6. Jemand besitzt an barem Gelde 4580 fl., an
Kapitalien 8785 fl., und an liegenden Gründen
5084 fl.; wie groß ist sein ganzes Vermögen? —
18449 fl.

7. Jemand ist an .4 584 fl. schuldig, an 8 1205 fl.,
an 0 750 fl., und an ü 1081 fl.; wie viel ist er
allen zusammen schuldig? — 3620 fl.

8. Ein Kaufmann kauft um 1245 fl. Zucker;
wie viel wird er dafür einnehmen müssen, damit er
148 fl. gewinne? — 1245 fl., die er beym Ein¬
käufe ausgegeben, und noch die 148 fl., die er ge¬
winnen will; zusammen 1393 fl.

9. Die große Kaiserin» Maria Theresia war im
Jahre 1717 geboren, und lebte 63 Jahre; in wel¬
chem Jahre starb sie? — Als diese berühmte Für¬
stin» geboren war, zählte man das Jahr 1717; als
sie starb zählte man 63 Jahre mehr, also 1717 und
63 d. i. 1780.

31

10. Eine fünfseitige Fläche läßt sich in drey
Drcyecke zerlegen; das erste Dreyeck enthält 2425,
das zweyte 748, das dritte 3106 Quadratfuß; wie
groß ist der Flächeninhalt des ganzen Fünfeckes? —
6279 Quadratfuß.

11. Jemand hat vier Kapitalien; von dem
ersten zieht er jährlich 75, von dem zweyten 128,
von dem dritten 340, von dem vierten 36 fl.; wie
viel Interessen bekommt er jährlich von allen vier Ka¬
pitalien? — 579 fl.

12. Bey einem vorzunehmenden Baue wurden
folgende Kosten veranschlagt:

auf die Maurerarbeit 842 fl.

,, „ Zimmermannsarbcit 126 „

„ ,, Tischlerarbeit 84 „

„ ,/ Schlosserarbeit 81 „

„ Verschiedenes 25 „

wie viel zusammen? 1158 fl.

13. In Triest sind im Monathe August 1845
geschlachtet und verzehret worden: 1182 Ochsen, 1507
Kalber, 20 Lämmer und 1232 Hammel; wie viel
sind es Thiere zusammen? — 3941.

14. Die Seidenerzeugnisse des österreichischen Kai-
scrstaates im Jahre 1844 hatten im Durchschnitte
folgenden Werth: in der Lombardie 29253589, im
Venetianischen 17450302, in Tirol 2869583, in
Ungarn und der Militärgränze 519487, im Küsten¬
lande 201330 fl.; wie groß war der Gesammt-
werth? — 50294291 fl.

11. Das Subtrahrren.

z. 27.

Will man wissen, um wie viel Einheiten eine Zahl
größer ist als eine andere, braucht man nur die kleinere

32

von der größer» hinwegzunehmen; diese Rechnungsart
wird das Subtrahiren genannt. Subtrahiren oder
abztehen heißt also eine Zahl von einer andern
wegnehmen.

Beym Subtrahiren werden immer zwey Zahlen
angegeben; die größere, von welcher man abzieht,
heißt der Minuend, die kleinere Zahl, welche man
abzieht, der Subtrahend, und die Zahl, welche beym
Subtrahiren herauskommt, der Rest. Der Rest zeigt also
an, um wie viel Einheiten der Minuend größer ist als
der Subtrahend, darum heißt er auch der Unterschied.

Z. B. 4 von 6 bleiben 2; hier ist 6 der Minuend,
4 der Subtrahend, und 2 der Rest oder Unterschied.

Das Zeichen der Subtraction ist ein liegender
Strich — (weniger); der Minuend wird vor, der
Subtrahend nach dem Striche gesetzt. Z. B. 3 — 2 — 1
bedeutet: 3 weniger 2 ist gleich 1, oder: 2 von 3 bleibt 1.

Wenn man den Unterschied zu der kleinern Zahl
hinzuaddirt, so muß natürlich die größere Zahl her¬
auskommen. Der Minuend kann daher immer als die
Summe zweyer Zahlen betrachtet werden, der Subtra¬
hend ist eine dieser zwey Zahlen, der Rest die andere.

8- 28.

Kleinere Zahlen können im Kopfe abgezo¬
gen werden.

B e y s p i e l e.

1. 3 von 8 bleiben 5; 2 von 11 bleiben 9;
4 von 25 bleiben 21; 30 weniger 6 sind 24; 9 von
72 bleiben 63. —

Wie viel bleibt übrig, wenn man 6 von 19;
7 von 38; 3 von 42; 8 von 63 wegnimmt?

2. 30 von 80 bleiben 50; denn 80 sind 8 Zeh
ner, 30 sind 3 Zehner; 8 Zehner weniger 3 Zehner
sind 5 Zehner d. i. 50. —

33

Wie viel bleibt 10 von 60? — 20 von 50? —
30 von 90? — 10 von 80? — 50 von 60?

3. Will man 40 von 75 wegnehmen, so nimmt

man 40 von 70 weg, und die 5 bleiben ungeän¬
dert, nähmlich 40 von 70 bleiben 30, und die 5
sind 35. — 20 von 24 bleiben 4; 30 von 57 blei¬
ben 27; 70 von 99 bleiben 29.

4. Was bleibt übrig, wenn man 32 von 95

abzieht? Man wird von 95 zuerst 30, und dann 2

abziehen, und sagen: 30 von 95 bleiben 65, 2 von
65 bleiben 63; oder: 9 Zehner weniger 3 Zehner
find 6 Zehner, 5 Einheiten weniger 2 Einheiten sind
3 Einheiten, es bleiben also 6 Zehner und 3 Ein¬
heiten d. i. 63. — 83 von 98 bleiben 15; 49 von
269 bleiben 220; 234 von 485 bleiben 251; 127
von 355 bleiben 228; 542 von 800 bleiben 258.

8- 29.

Aus dem Subtrahiren im Kopfe sicht man, daß
nur gleichnahmige Zahlen von einander weggenom¬
men werden können, nähmlich Einheiten von Einhei¬
ten, Zehner von Zehnern, u. s. w.

Dasselbe gilt auch beym schriftliche» Sub¬
trahiren. Man setzt darum gleich beym Anschreiben
den Subtrahend so unter den Minuend, daß die gleich¬
namigen Stellen unter einander zu stehen kommen.

1. Man ziehe 172 von 695 ab. Man schreibt
Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner, . . -
nähmlich

695

172

Nun subtrahirt man: 2 Einheiten von 5 Einhei¬
ten bleiben 3 Einheiten, diese schreibt man als Rest
Rechend, f. d. ll. u. m. Cl. C

34

in die Stelle der Einheiten; 7 Zehner von 9 Zehnern
bleiben 2 Zehner, welche man unter die Zehner schreibt;
1 Hundert von 6 Hunderten bleiben 5 Hunderte, diese
setzt man an die dritte Stelle unter die Hunderte; der
ganze Rest ist also 523. Der Rest wird von den zwei-
gegebenen Zahlen durch einen Querstrich getrennt; die
ganze Rechnung ist also

695
172
523

Subtrahirt man hier zuerst die Hunderte, dann
die Zehner und zuletzt die Einheiten, so kommt auch da
derselbe Rest zum Vorschein.

Man subtrahirt auf gleiche Weise 123 von 566,
2l3 von 527, 153 von 684, 2510 von 4765, 1304
von 8846, 17V von 4593.

2. Um 169 von 549 abzuziehen, setze man wieder
die gleichnahmigen Stellen unter einander, nähmlich

549

169

Man beginnt bey den Einheiten: 9 Einheiten von
9 Einheiten bleiben 0 Einheiten, unter die Einheiten
wird daher eine Nulle geschrieben. Nun zieht man die
Zehner ab: 6 Zehner können von 4 Zehnern nicht
weggenommen werden, man ist daher genöthiget, im
Minuend von den 5 Hunderten 1 Hundert zu borgen,
dieses geborgte Hundert gibt 10 Zehner, und die schon
vorhandenen 4 Zehner dazu gezählt, sind 14 Zehner;
von diesen 14 Zehnern lassen sich nun 6 Zehner abzie¬
hen, es bleiben nähmlich 8 Zehner. An der Stelle der
Hunderte sind dann im Minuend nicht mehr 5 Hun¬
derte, sondern weil einer weggeborgt wurde, nur noch
4 Hunderte; daß dort 1 Hundert weniger ist, wird

35

dadurch angezeigt, daß man der Ziffer 5 rechts oben
einen Punct hinzusetzt. Endlich subtrahirt man die
Hunderte: 1 Hundert von 4 Hunderten bleiben 3 Hun¬
derte. Der Rest ist also 380, und die Rechnung steht

4H. 14Z. 9E.
1 ,, 6 „ 9 „
3H. 8Z.0E.

Aus diesem Beyspiel ersieht man: Wenn eine
Stelle des Subtrahends größer ist als die gleichnah-
mige Stelle im Minuend, so muß man in ver nächst
höhern Stelle 1 borgen, welches in der niedrigem
Stelle 10 gilt, und die Ziffer, von welcher man ge¬
borgt hat, mit einem Puncte bezeichnen.

Würde man in dem frühem Beyspiele das Ab¬
ziehen bey den Hunderten anfangen, so hätte man:
1 Hundert von 5 Hunderten bleiben 4 Hunderte, welche
man anschreibt; 6 Zehner von 4 Zehnern kann man
nicht abziehen, man muß von den übrig gebliebenen
4 Hunderten 1 Hundert borgen; an der dritten Stelle
bleiben dann nur noch 3 Hunderte, und man müßte
die schon angeschriebenen 4"Hunderte in 3 Hunderte
verbessern. — Ein solches Verbessern schon hinge¬
schriebener Ziffern würde, wenn man von der höchsten
Stelle zu subtrahiren anfängt, immer eintreten, so oft
man von einer Stelle borgen muß. Um dieses zu ver¬
meiden, fängt man jedesmahl bey den Einheiten zu
subtrahiren an. Eben dadurch unterscheidet sich das
schriftliche Abziehen von dem mündlichen, daß man
bey jenem in der mindesten, bey diesem in der höch¬
sten Stelle zu subtrahiren beginnt.

Man verrichte noch die Subtraction folgender
Zahlen: 315 von 742, 842 von 1626, 925 von 982,
392 von 46«, 3156 von 37222.

C 2

5491

169^ was so zu verstehen:

3801

36

3. Wie viel bleibt übrig, wenn man 456 von
863 abzieht. Man schreibt

803

456

und fängt bey den Einheiten zu subtrahiren an:
6 Einheiten kann man von 3 Einheiten nicht wegneh¬
men, man muß daher 1 Zehner borgen; aber in der
Stelle der Zehner ist 0, und man kann davon nichts
borgen; man borgt daher in der dritten Stelle 1 Hun¬
dert, worauf nur noch 7 Hunderte bleiben, was mit
dem Borgepuncte angezeigt wird. Das weggenom¬
mene Hundert gibt 10 Zehner, welche an der Stelle
der Nulle sind; von diesen 10 Zehnern borgt man
nun 1 Zehner, worauf an der Stelle der Nulle noch
9 Zehner bleiben. Der geborgte Zehner gibt 10 Einheiten,
und die bereits vorhandenen 3 Einheiten sind 13 Ein¬
heiten. Man hat dann: 6 Einheiten von 13 Einhei¬
ten bleiben 7 Einheiten; 5 Zehner von 9 Zehnern
bleiben 4 Zehner; 4 Hunderte von 7 Hunderten
bleiben 3 Hunderte. Diese Rechnung steht

803) ^7 H. 9 Z. 13 E.

456^ so viel als '4 „ 5 „ 6 „
3471 f3H.4Z. 7 E.

Die Nulle mit dem Borgepuncte bedeutet also 9.

Auf dieselbe Weise ziehe man ab: 578 von 904,
295 von 1046, 1377 von 3004, 2505 von 3000,
9789 von 40012.

Aus allen Vorhergehenden ergeben sich für das
schriftliche Subtrahiren folgende Regeln:

1. Man schreibe den Subtrahend so unter den
Minuend, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner un¬
ter Zehner, . . . zu stehen kommen, und ziehe dar¬
unter einen Querstrich.

37

2. Man subtrahire zuerst die Einheiten, dann
die Zehner, Hunderte, u. s. w., und schreibe den Rest
jedesmahl unter die Stelle, an welcher subtrahirt
wurde. Bleibt in der letzten Stelle kein Rest, so wird die 0
daselbst nicht angeschrieben.

3. Ist eine Ziffer des Subtrahends größer als
die darüber stehende Ziffer im Minuend, von welcher
abgezogen werden soll, so borgt man von der nächst
höhern Stelle 1, welches in der niedrigern Stelle
10 gilt, wozu die schon vorhandene Ziffer addirt wird.
Die Ziffer, von welcher geborgt wurde, wird mit
einem Puncte bezeichnet, und gilt um 1 weniger.

4. Ist die Ziffer, von welcher man borgen soll,
eine Nulle, so muß so lange weiter geborgt werden,
dis man aus eine bedeutliche Ziffer kommt. Die Nulle
mit dem Borgepunete gilt dann 0.

B e y s P i e l e.

7498 230165 90089456

2375 183305 8506778

5123 46860 81582678

Im ersten Beyspiele sagt man: 5 von 8 blei¬
ben 3; 7 von 9 bleiben 2; 3 von 4 bleibt 1; 2 von
7 bleiben 5. — Im zweyten Beyspiele spricht man:
5 von 5 bleibt 0; 0 von 6 bleiben 6; 3 von 11
bleiben 8; 3 von 9 bleiben 6; 8 von 12 bleiben 4;
1 von 1 geht auf. -

Die Probe für die Richtigkeit des Restes besteht
darin, daß man den Rest zu dem Subtrahend
addirt; erhält man dadurch den Minuend zur Summe,
so ist richtig subtrahirt worden.

38

8. 30.

Aufgaben.

1. Ein Getreidehändler hat 95 Metzen Weizen
vorräthig, und verkauft 38 Metzen; wie viel wird ihm
noch bleiben? — 95 Metzen weniger 38 Metzen d. i.
57 Metzen.

2. Jemand nimmt in einem Jahre 1200 fl. ein,
und gibt davon nur 745 fl. aus: wie viel erspart er? —
Hier muß man die Ausgabe von der Einnahme ab¬
ziehen, man bekommt 455 fl.

3. Ich habe eine Schuld von 1470 fl. zu for¬
dern; darauf zahlt man mir 785 fl.; wie viel habe
ich noch zu fordern? — 1470 fl. weniger 785 fl.,
man muß also subtrahiren, wodurch man 685 fl. erhält.

4. sagt: die Länge dieser Brücke beträgt
150 Schritte. Er schreitet sie ab, und findet nur
133 Schritte; um wie viel hat er gefehlt? — Um
zu sehen, um wie viel 150 größer als 133 ist, muß
man subtrahiren, man bekommt 17 Schritte.

5. Die Ortelsspitze liegt 12351, der Großglock¬
ner 11991 Fuß über der Meeresfläche; um wie viel
ist die Ortelsspitze höher als der Großglockner? —
Um 360 Fuß.

6. Jemand ist im Jahre 1814 geboren, unv setzt
schreibt man 1848; wie alt ist er? — 34 Jahre.

7. Jemand kauft 1540 M Zucker, und 995 M
Kaffeh; wie viel K" macht dieses zusammen, und wie
viel M sind mehr vom Zucker als vom Kaffeh? —
Man hatzusammen 1540 Mund 995 M, also2535M; vom
Zucker hat man 1540 weniger 995 d. i. 545 M mehr
als vom Kaffeh.

39

8. Frankreich hatte im Anfänge des Jahres 1844
zusammen 13656 Handelsschiffe, England 23V24;
wie viel Handelsschiffe hatte Frankreich weniger als
England? — 9368.

9. Auf den deutschen Eisenbahnen war die Zahl
der transportirten Personen im ersten Halbjahre 1845
4809987, und im ersten Halbjahre 1844 4382666;
um wie viel ist die erste Zahl größer als die zweyte?—
Um 427321.

10. Im Jahre 1844 betrug in Triest die Einfuhr
von Kaffeh 210402, und die Ausfuhr 209244 Zentner;
um wie viel war die Einfuhr größer als die Aus¬
fuhr? — Um 1158 Zentner.

11. Ein Kaufmann hatte zu Anfänge des Jahres
1208 N Ahl vorräthig; dazu bekam er während des
Jahres 6 Fässer, enthaltend 824, 785, 806, 820, 805,
798 A. Wenn er nun nach und nach 404, 275, 1220,
155, 1300, 430, 342, 528, 92, 785 G' verkauft; wie
groß war sein Vorrath an Ahl am Schluffe des Jah¬
res? — 515 A.

12. In Wien sind im Jahre 1843 17948 Men¬
schen geboren worden, und 15472 gestorben; im
Jahre 1844 betrug die Zahl der Gebornen 18524,
und die der Verstorbenen 14774; wie viele sind im
Jahre 1843 mehr geboren worden, als gestorben,
wie viele im Jahre 1844; um wie viel ist im Jahre
1844 die Zahl der Geborenen größer, und die Zahl
der Verstorbenen kleiner als im Jahre 1843 ? — Im
Jahre 1843 sind 2476 Menschen, im Jahre 1844
3750 mehr geboren worden, als gestorben; die Zahl
der Gebornen war im Jahre 1844 um 576 grö¬
ßer, die der Verstorbenen um 698 kleiner als im
Jahre 1843.

40

III. Das Multipliciren.

8. 31.

Wenn eine und dieselbe Zahl öfters genommen
werden soll, so bedient man sich dazu statt des Addi-
r ens einer eigenen kürzern Rechnungsart, welche das
Multipliciren genannt wird; multipliciren heißt
nähmlich eine Zahl so ostmahl nehmen, als eine andere
Einheiten in sich enthält.

Z. B. 8 mit 4 multipliciren heißt 8 so ostmahl
nehmen, als 4 Einheiten in sich enthält, also 8 4mahl
nehmen, wodurch man 32 erhält.

Die Zahl, welche man mehrmahl nimmt, heißt
der Multiplicand; die Zahl, welche anzcigt, wie
ost der Multiplicand genommen werden soll, der Mul¬
tiplikator; jede von diesen beyden Zahlen wird auch
ein Factor genannt. Die Zahl, welche bey der Multi¬
plikation herauskommt, heißt das Product.

In dem frühern Bepspiele sind 8 und 4 die Fak¬
toren, und zwar 8 der Multiplicand, 4 der Multipli¬
kator; 32 ist das Product.

Das Zeichen der Multiplikation ist ein schiefes
Kreuz X, welches zwischen die Factoren gesetzt wird.
Z. B. 8 X 4 — 32 wird gelesen: 8 multiplicirt mit 4
ist gleich 32.

8- 32.

Einfache Multiplikationen lassen sich, im
Kopfe verrichten.

Bepspiele.

1. 3mahl 6 ist 18; Smahl 8 ist 40; «mahl 6 ist 54.

41

2. Omahl 10 ist 60; denn 10 ist 1 Zehner,
6mahl 1 Zehner sind 6 Zehner d. i. 60. — 7mahl 20
ist 140; denn 7mahl 2 Zehner sind 14 Zehner oder
140 Einheiten. — 3mahl 60 sind 3mahl 6 Zehner,
also 18 Zehner oder 180.

3. 3mahl 12 ist 36; denn 3mahl 10 ist 30, 3mahl
2 ist 6, zusammen 36. — 5mahl 16 ist 80; 9mahl
32 ist 288; 8mahl 48 ist 384.

4. lOmahl 6 ist 60. — lOmahl 15 ist 150; denn
lOmahl 1 Zehner gibt 1 Hundert, und lOmahl 5 Ein¬
heiten geben 5 Zehner, 1 Hundert und 5 Zehner sind
150. — lOmahl 80 ist 800. — 30mahl 50 ist 1500;
denn lOmahl 5 Zehner sind 50 Zehner oder 5 Hun¬
derte , 30mahl 5 Zehner ist 3mahl so viel, also 3mahl
5 Hunderte d. i. 15 Hunderte, oder 1500.

5. 12mahl 14 ist 168; nähmlich lOmahl 14 ist
140, 2mahl 14 ist 28, 140 und 28 sind 168. —
Wie viel ist 15mahl 82? — 18mahl 62? —
32mahl 54?

8- 33.

Beym schriftlichen Multipliciren ist vor Allem
der Satz zu merken:

Wenn ein Faetor 0 ist, so ist auch das Product 0.

Die Richtigkeit dieses Satzes erhellet aus dem
Begriffe der Multiplikation. Denn, ist der Multipli¬
kand 0, so hat man 0 (nichts) öfters zu nehmen, wo¬
durch gewiß auch 0 herauskommt; ist aber der Mul¬
tiplikator 0, so hat man den Multiplikand Omahl
(keinmahl) zu nehmen, wodurch man sicher auch nichts
d. i. 0 erhält.

Es ist also z. B. 3mahl 0 gleich 0; und Omahl
3 auch gleich 0.

42

Beym schriftlichen Multipliciren sind mehrere
Fälle zu unterscheiden.

s. Wenn der Multiplikator etnziffrig ist.

1. Man multiplicire 232 mit 3.

Um 232 3mahl zu nehmen, wird man die Einhei¬
ten 3mahl nehmen, die Zehner 3mahl nehmen, und die
Hunderte 3mahl nehmen, und die dadurch erhaltenen
Einheiten unter die Einheiten, die Zehner unter die
Zehner, und die Hunderte unter die Hunderte schrei¬
ben. Man wird also haben: 3mahl 2 Einheiten sind
6 Einheiten, 3mahl 3 Zehner sind 9 Zehner, 3mahl
L Hunderte sind 6 Hunderte. Die Rechnung steht

232
3

696

Dasselbe Product erhält man auch, wenn man
zuerst die Hunderte, dann die Zehner, und endlich die
Einheiten mit 3 multipliciren würde.

Auf dieselbe Art multiplicire man 42 mit 2, 321
mit 3, 2112 mit 4.

2. Wie viel ist 9mahl 345?

Man multiplicire hier: 9mahl 5 Einheiten sind
45 Einheiten, diese geben 4 Zehner und^5 Einheiten;
die 5 Einheiten schreibt man unter die Einheiten, die
4 Zehner aber werden zu dem Produkte der Zehner
gezählt; man behält sie so lange im Gedächtnisse, bismau
das Product der Zehner erhalten hat; 9mahl 4 Zehner
sind 36 Zehner, und die im Gedächtnisse behaltenen 4 Zeh¬
ner sind 40 Zehner d. i. 4 Hunderte und 0 Zehner; unter
die Zehner wird daher 0 gesetzt, die 4 Hunderte merkt
man sich; endlich: 9mahl 3 Hundert sind 27 Hun-

43

derte, und die aus den Zehnern gezogenen 4 Hun¬
derte sind 31 Hunderte, oder 3 Tausende und
1 Hundert; 1 Hundert kommt in die Stelle der Hun¬
derte, die 3 Tausende aber in die Stelle der Tau¬
sende. — Die ganze Rechnung stehet

345 oder  345  X 9

9 3105

3105

Weil hier von den niedriger« Stellen in die höhern
hinübergezählt wird, so ist es natürlich, daß man die
Multiplikation bey den Einheiten beginne, und sodann
gegen die Linke hin fortsetze.

Eben so multiplicire man 67 mit 5, 283 mit 4,
708 mit 6, 52016 mit 8.

Wenn also der Multiplikator einziffrig
ist, so beobachte man beym schriftlichen Multiplicire«
folgende Regeln:

1. Man schreibe den Multiplikator unter die Ein¬
heiten des Multiplicands, und ziehe darunter einen
Querstrich.

Oft wird der Multiplikator auch gar nicht unter den
Multiplikand geschrieben, sondern sogleich das Product un.
ter den Querstrich hingeseßt.

2. Man multiplicire mit dem einziffrigen Multiplika¬
tor zuerst die Einheiten, dann die Zehner, ... des
Multiplicands, und schreibe das jedesmahlige Product,
wenn es einziffrig ist, unter diejenige Stelle, welche
man multiplicirt hat; ist aber das Product zweyziffrig,
so werden nur die Einheiten davon an jene Stelle
gesetzt, die Zehner aber zu dem Produkte der nächst
höhern Stelle hinzugezählt. Das letzte Product wird
ganz angeschrieben.

44

B e y s p i e l e.

1) 8213 oder 8213 X  3

3 2463!»

24639

2) 370813 oder 3708137

7 2595691

2595691

Zm ersten Beyspiele spricht man: 3mahl 3 ist 9;
3mahl 1 ist 3; 3mahl 2 ist 6; 3mabl 8 ist 24. —
Zm zweyten Beyspiele wird gesagt: 7mahl 3 ist 21,

1 angeschrieben, bleiben 2; 7mahl 1 ist 7, und 2
ist 9; 7mahl 8 ist 56, 6 angeschrieben, bleiben 5;
7mahl 0 ist 0, und 5 ist 5; 7mahl 7 ist 49, 9 ange¬
schrieben, bleiben 4; 7mahl 3 ist 21, und 4 ist 25.

3) 123456  X 6 4)  307120 X 9

740736 2764080

5) 5 0413207  X 5 6) 987654321 X 4

252066035 3950617284

8- 34.

I>. Wenn der Multiplikator 10, 100,
1000, ... ist.

1. Um eine Zahl z. B. 275 mit 10 zu multipli-
ciren, muß man jede Ziffer derselben lOmahl neh¬
men, 5 Einheiten lOmahl genommen geben 5 Zehner,
7 Zehner lOmahl genommen geben 7 Hunderte,

2 Hunderte lOmahl genommen geben 2 Tausende.
Wenn man also eine Zahl mit 10 multiplicirt, so
erscheinen im Produkte die früher» Einheiten als Zeh¬
ner, die frühem Zehner als Hunderte u. s. w., über¬
haupt rückt jede Ziffer um eine Stelle weiter gegen die
Linke; diese ganze Vorrückung wird dadurch erreicht,

45

wenn man die Ziffern ungeändert läßt, und ihnen
rechts eine Nulle anhängt.

2. Es sey z. B. 326 mit 100 zu multipliciren.
Ich muß zu diesem Ende jeden Theil lOOmahl neh¬
men; lOOmahl 6 Einheiten sind 6 Hunderte, lOOmahl

2 Zehner sind 2 Tausende, lOOmahl 3 Hunderte sind

3 Zehntausende; es rückt also jede Ziffer um 2 Stel¬
len gegen die Linke; dieses wird erreicht, wenn man
der Zahl rechts 2 Nullen anhängt. Eine Zahl wird
also mit 100 multiplicirt, wenn man ihr rechts 2 Nul¬
len anhängt.

Auf ähnliche Weise multiplicire man 783 mit
1000, 586 mit 10000.

Man wird durch diese Beispiele auf folgende Re¬
gel geleitet:

Eine Zahl wird mit 10, IVO, 100«, . . .
multiplicirt, wenn man jede Ziffer um 1, 2, 3 . . .
Stellen weiter gegen die Linke rückt, was bewirkt wird, in¬
dem man der Zahl rechts 1, 2, 3, . . . Nullen anhängt.

B e y s P i e l e.

7243  X 10 85609 X 100 704  X 1000

72430 8560900 704000

8- 35.

e. Wenn der Multiplicator mehrztffrig ist.

Man pflegt den Multiplicator so unter den Mul¬
tiplikand zu setzen, daß Einheiten unter Einheiten,
Zehner unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen.

1. Es sey 567 mit 53 zu multipliciren. Man muß
hier 567 sowohl 3mahl als 50mahl nehmen, und
beydes zusammensetzen. 567 3mahl genommen oder
mit 3 multiplicirt gibt 1701; um die Zahl 567
50mahl zu nehmen, sucht man zuerst das 5fache

46

davon, indem man sie mit 5 multiplicirt, und nimmt
dieses Sfache noch lOmahl, indem man es um eine
Stelle gegen die Linke rückt, oder ihm rechts eine Nulle
anhängt, man erhält 28350; endlich wird das Zfache
und das 50fache zusammengezählt, wodurch man 30051
bekommt. Die Rechnung stehet

567

53

1701
28350

30051

2. Man multiplicire 2347 mit 2305. Hier muß
man 2347 zuerst 5mahl, dann 300mahl, endlich
2000mahl nehmen, und alles zusammen zählen.
5mahl 2347 ist 11735; um 300mahl 2347 zu be¬
kommen, multiplicirt man 2347 mit 3, und nimmt das
3sache lOOmahl, indem man rechts 2 Nullen anhängt,
man bekommt dadurch 704100; endlich wird 2347
noch 2000mahl genommen, indem man mit 2 multi¬
plicirt, und rechts 3 Nullen anhängt, man erhält
4694000; das 5fache, das 300fache, und das 2000fache
wird nun addirt, wodurch man 5409835 bekommt.
Die ganze Rechnung stehet

2347

23»5

11735
704100

4694000

5409835

Aus diesem und ähnlichen Beyspieken ersieht man,
daß die erste bedeutlichc Ziffer eines jeden Theilpro-
ductes immer unter die Ziffer des Multiplikators zu
stehen kommt, mit welcher man multiplicirt; wenn man

47

auf dieses Rücksicht nimmt, so können dann die Nullen
rechts, welche ohnehin beym Addiren nichts ändern,
auch gänzlich weggelassen werden; man braucht dann
nur den ganzen Multiplicand mit jeder Ziffer des Mul¬
tiplikators zu multipliciren, und die erste Ziffer eines
solchen Produktes unter diejenige Ziffer des Multipli-
cands zu setzen, mit welcher man multiplicirt. Die
obigen zwey Beyspiele würden dann so stehen:

56? 2347

53 2305

1701 11735

2835  7041

30051 " 4694

5409835

Aus dem zweyten Beyspiele sieht man, daß, wenn
der Multiplikator in der Mitte eine Nulle hat, diese
beym Multipliciren ganz übergangen wird.

Es ist gleichviel, in welcher Ordnung mit den
Ziffern des Multiplikators multiplicirt wird; das
zweyte Beyspiel läßt sich daher auf sechsfache Art aus¬
arbeiten :

2347 oder 2347 oder 2347

2305 2305 2305

11735 4694 7041

7041 7041 4694

4694 11735 11735

5409835 5409835 5409835

oder 2347 oder 2347 oder 2347

2305 2305 2305

11735 4694 7041

4694 11735 11735

7041 7041 4694

5409835 5409835 5409835

48

Am gewöhnlichsten ist die erste Art, wo man
zuerst mit den Einheiten, dann mit den Zehnern, . . .
multiplicirt.

Wenn also der Multiplikator mehrziffrtg
ist, so sind beym schriftlichen Multipliciren folgende
Regeln zu beobachten:

1. Man schreibe den Multiplikator so unter den
Multiplicand, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner
unter Zehner, ... zu stehen kommen, und ziehe dar¬
unter einen Querstrich.

2. Man multiplicire nun den ganzen Multiplikand
zuerst mit den Einheiten, dann mit den Zehnern, Hun¬
derten, ... des Multiplikators, und fange das jedes-
mahlige Product unter diejenige Ziffer des Multiplicato r s
zu schreiben an, mit welcher man multiplicirt hat.

Kommt im Multiplikator eine Nulle vor, so wird die¬
selbe bepm Multipliciren übergangen.

3. Man addire die einzelnen Produkte, so wie sie
angeschrieben sind; die Summe dieser Theilproducte
ist das gesuchte Product.

B e p s P i e l c.

1) 2385 2) 72183 3) 603514

137 806 380

166S5 433098 48281120

7155 577464 1810542

2385  58179498 229335320

326745

Im dritten Beyspiele hängt man zu dem ersten
Theilproducte rechts eine Nulle hinzu, weil die erste
bedeutliche Ziffer unter die Zehner kommen muß.

4) 3021958 X 72 — 217580976.

5) 238047 X 322 -- 76651134.

6) 56321 X 53402 — 3007654042.

49

Es ist für das Product gleichgültig, welchen Fac¬
tor man als Multiplikand annimmt; z B.

1548 oder 226

226 1548

9288 1808

3096 904

3096  1130

349848 226

349848

Am Zweckmäßigsten ist es, denjenigen Factor als
Multiplikand zu nehmen, welcher mehr bedeutliche und
verschiedene Ziffern enthält.

Die beste Probe für die Richtigkeit der Multipli¬
kation besteht darin, daß man noch einmahl multipli-
cirt; bekommt man wieder das nähmliche Product, so
darf man es als richtig ansehen, besonders, wenn
man bey der zwepten Multiplikation die Faktoren ver¬
wechselt, d. i. denjenigen zum Multiplikand annimmt,
der früher Multiplikator war.

§. 36.

ä. Wenn in den Faktoren rechts Nullen vor¬
kommen.

1. Hat der Multiplikand rechts Nullen, so wer¬
den diese auch im Produkte vorkommen, weil 0 mit
was immer für einer Zahl multiplicirt 0 zum Produkte
gibt. Z. B.

7230 56800 30800Ü

23 12 304

21690 "113600 1232000

14460 56800 924000

166290 681600 93632000

2. Hat der Multiplikator rechts Nullen, so wird
die erste bedeutliche Ziffer des Produktes an jene

Rechenb. f. d. 11. u. NI. Cl. D

so

Stelle zu stehen kommen, an welcher sich die erste bedeut-
liche Ziffer im Multiplikator befindet; d. h. es wird
auch das Product rechts so viele Nullen erhalten, als
ihrer im Multiplikator rechts Vorkommen. Z. B.

5824 3245 342156

130 4300  60000

174720 973500 20529360000

5824 12980

757120 13953500

3. Haben endlich beyde Faktoren rechts Nullen, so
werden im Punkte außer den Nullen des Multipli-
cands auch sene des Multiplikators vorkommen; d. h.
im Produkte werden rechts so viele Nullen erscheinen,
als ihrer beyde Faktoren rechts haben. Z. B.

345600 50284000

130 300800

10368000 40227200000

345600 150852000

44928000 15125427200000

Aus allen diesem ergibt sich folgende Regel:

Kommen in einem oder in beyden Facto-
ren rechts Nullen vor, so wird die Multiplikation
am einfachsten verrichtet, wenn man jene Nullen weg¬
läßt, die dann übriggebliebenen Zahlen mit einander
rnultiplicirt, und dem Produkte rechts so viele Nullen
anhängt, als ihrer in beyden Faktoren weggelaffen
wurden.

Um z. B. 305200 mit 180 zu multipliciren, sucht
man das Product aus 3052 und 18, und hängt die¬
sem Produkte 54936 die in beyden siactoren rechts vor¬
kommenden und während der Rlchnung weggelaffenen
3 Nullen wieder an. Die Rechnung steht also:

51

305200 X 180

18

24416
3052

54936000

Man multiplicire auf gleiche Weise 12345000
mit 87; 53124 mit 2800; 30142b0 mit 204000;
3612000 mit 50020.

§. 37.
Aufgaben.

In der Anwendung der Multiplikation auf wirk¬
liche Aufgaben wird der Multiplikator wäbrend der
Rechnung als unbenannt betrachtet, und das Product
erhält gleichen Nahmen mit dem Multiplikand.

(1) . 1 Ztr. Reis kostet 14fl.;was kosten 9 Ztr.? —
Man folgert: wenn 1 Ztr. 14 fl. kostet, so kosten 2 Ztr.
doppelt so viel, also 2mahl 14 fl., 3 Ztr, kosten 3mahl
14 fl., 4 Ztr. 4mahl 14 fl., ... 9 Ztr. also 9mahl
14 fl. Man muß also 14 fl. mit 9 multipliciren, wodurch
man 126 fl. erhält.

(2) . Was kosten 25 Ellen Tuch zu 5 fl. ? — 25mahl
5 d. i. 125 fl.

(3) . Es sind 5 Erben, von denen feder 2354 fl.
erbt; wie groß war das ganze Vermögen?— 11770 fl.

(4) . Ein Schüler zahlt monathl ch 24 fl. Kost-und
Quartiergeld; wie viel beträgt dieses für 10 Mona-
the? — Für 2 Monathe zahlt er 2mahl 24 fl., für
3 Monathe 3mahl 24 fl., . . . für 10 Monathe also
lOmahl 24 fl. d. L. 240 fl.

(5) . In einer Fabrik sind 96 Arbeiter, deren feder
monathlich 18 fl. bekommt; wie viel erhalten sie alle
zusammen in einem Monathe, wie viel in einem Jahre?
— Wenn 1 Arbeiter monathlich 18 fl. erhält, so wer-

D L

52

den 96 Arbeiter 96mahl 18 fl. bekommen, man muß
also 18 fi. mit 96 multipliciren, wodurch man 1728 fl.
erhält; in einem Jahre bekommen sie 12mahl so viel
als in einem Monathe, also 12mahl 1728 fl.d. i. 20736.

(6) . Wie viel Kreuzer machen 25 fl.?— 1 fl. hat
60 Kr., 2 fl. machen 2mahl 60 Kr., 3 fl. 3mahl
60 Kr. . . . 25 fl. also 25mahl 60 Kr. d. i. 1500 Kr.

(7) . Wie viel Loth machen 68 N? — 1 N hat
32 Loth, 68 N machen also 68mahl 32 — 2176 Loth.

(8) . Wie viel wiegen 15 Kisten, jede zu 84 A? —
1260 A.

(9) . Wie viel Maß Wein enthalten 28 Fässer, wenn
jedes Faß 360 Maß enthält? — 10080 Maß.

(10) . Bey einer öffentlichen Versteigerung wurden
12 Ztr. Zucker zu 24 fl., 8 Ztr. Kaffeh zu 31 fl. und 2 Ztr.
Kakao zu 23 fl. hintangegeben; wie groß war der
ganze Ertrag ?— 12 Ztr. Zucker zu 24 fl. machen 288 fl.;
8 Ztr. Kaffeh zu 31 fl. machen 248 fl.; 2 Ztr. Kakao zu
23 fl. betragen 46 fl.; zusammen 582 fl.

(11) . Wie viel betragen lOBanknoten zu 100 fl.,
16 Banknoten zu 10 fl., und 37 zu 5 fl.? — 10 Bank¬
noten zu 100 fl. machen lOmahl 100 d. i. 1000 fl.;
16 Banknoten zu 10 fl. betragen I6mahl 10 fl. d. i.
160 fl.; 37 Banknoten zu 5 fl. machen 37mahl 5 fl-
d. L. 185 fl.; diese Werthe zusammen addirt geben
1345 fl.

(12) . Nach sehr genauen Versuchen legt der Schall
in 1 Secunde 1050 Fuß zurück, wie viel in einer Mi¬
nute? — 60mahl 1050, also 63000 Fuß.

(13) . Jemand ist 500 fl. schuldig, und hat
diese in monathlichen Raten zu 40 fl. abzutragen;
wenn er nun schon 9 Raten gezahlt hat, wie viel
bleibt er noch schuldig? — 9 Raten zu 40 fl. machen

9mahl 40 fl. d. i.360 ff.; diese muß man nun von 500fl.
abziehen, wornach 140 fl. als noch zu tilgende Schuld
übrig bleiben.

(14.) Jemand kauft 3 Fässer Waare, das erste
Faß enthält 218 N, das zweyte 195 das dritte
202 K". Wenn nun 1 M 2 fl. kostet, wie viel ist die
ganze Waare Werth? — Hier muß man zuerst die
Menge der Waare bestimmen, indem man 2l8, 195
und 202 N addirt, man bekommt 615 N; wenn nun
1 K" 2 fl. kostet, so werden 615 A 615mahl 2 fl.
d. i. 1230 fl. kosten.

IV. DaS Dividiren.

8- 38.

Häufig verlangt man zu wissen, wie ost eine Zahl
in einer andern enthalten ist; man könnte dieses finden,
wenn man die kleinere Zahl so ost von der größer«
wegnehmen würde, als dieses geschehen kann, also
durch wiederhohltes Subtrahiren. Kürzer und geschwin¬
der findet man es durch eine eigene Rechnungsart,
welche das Dividiren heißt. Eine Zahl durch eine
andere dividiren heißt nähmlich untersuchen, wie ost
die zweyte Zahl in der ersten enthalten ist.

Z. B. 18 durch 3 dividiren heißt untersuchen, wie
ost 3 in 18 enthalten ist, 3 läßt sich von 18 6mahl
abziehen, oder 3 ist in 18 6mahl enthalten.

Beym Dividiren werden zwei) Zahlen angegeben;
die Zahl, welche dividirt wird, heißt der Dividend,
und die Zahl, durch welche dividirt wird, der Divi¬
sor; die Zahl aber, welche beym Dividiren heraus¬
kommt, wird der Quotient genannt. In dem frühe-

54

ren Beyspiele ist 18 der Dividend, 3 der Divisor, und
6 der Quotient. Der Quotient zeigt also an, n ie oft
der Divisor in dem Dividende enthalten ist. Wenn man
nun den Divisor so oftmahl nimmt, als der Quotient
anzeigt, d. h. wenn man den Divisor mit dem Quo¬
tienten multiplicirt, so muß wieder der Dividend her¬
auskommen.

Das Dividiren wird auch angewendet, wenn eine
Zahl in mehrere gleiche Theile getheilt wird, und wenn
man die Größe eines solchenTheiles wissen will. Z.B. wie
groß ist der dritte Theil von 18? Diese Frage ist
zwar von der Frage: wie oft ist 3 in 18 enthalten?
wesentlich verschieden; doch kommen beyde darin über¬
ein, daß sie in der Antwort dieselbe Zahl 6 enthalten;
auf die erste Frage antwortet man: 6mahl. — Überhaupt
läßt sich durch eine einfache Folgerung das Theilen in glei¬
che Theile leicht auf das Enthaltenseyn zurückführen,
nähmlich: um den 3ten Theil von 18 zu erhalten, wird
man von 3 immer nur 1 nehmen; man wird also so viel-
mahl 1 haben, als wie oft 3 in 18 vorkommt, d. h.
der 3te Theil von 18 ist so viel, als wie oft 3 in 18
enthalten ist; 3 in 18 ist 6mahl enthalten; der 3te Theil
von 18 ist also 6.

Wegen dieses innigen Zusammenhanges zwischen
dem Enthaltenseyn und dem Theilen in gleicheTheile wird
für beyde Aufgaben nur eine Rechnungsart angewendet.
Dividiren heißt daher auch: eine Zahl in so viele gleiche
Theile theilen, als der Divisor Einheiten enthält.
Der Quotient zeigt dann an, wie groß ein Theil ist.

Z. B. 18 durch 3 dividiren heißt auch 18 in 3
gleiche Theile theilen, wodurch 6 als ein solcher Theil
herauskommt. 6 ist also wieder der Quotient.

Dil Division kann demnach als Enthaltenseyn

55

oder Vergleichung, und als Theisen in gleiche Theile
angesehen werden. In beyden Fällen ist übrigens das
Verfahren dasselbe. Bey der wirklichen Ausführung
wird fast immer das Enthaltenscyn zu Grunde gelegt.

Das Zeichen der Division bestehet in zwey über
einander stehenden Puncten, nähmlich (:). und zeigt an-
daß die Zahl vor den Puncten durch die Zahl hinter
den Puncten zu dividiren ist. Z. B. 18:3 — 6 wird
gelesen: 18 dividirt durch 3 ist gleich 6. — In der
Ausübung schreibt man gewöhnlich den Dividend zwi¬
schen zwey Striche, und setzt links den Divisor; der
Quotient kommt dann rechts vom Dividende zu stehen.
So würde man obiges Beyspiel schreiben: 3 ! 18 , 6.—
Oft wird die Division bloß angezeigt, besonders dann,
wenn der Dividend kleiner ist als der Divisor; dieses
geschieht, indem man den Divisor unter den Dividend,
und zwischen beyde einen Strich setzt. Ist z. B. 3 durch
4 zu dividiren, so kann diese Division nicht wirklich
verrichtet werden, weil 4 in 3 gar nicht enthalten ist;
man zeigt daher die Division nur an, indem man
schreibt: welches gelesen wird: 3 dividirt durch 4,
oder 3 4tel.

Eine so angezeigte Division oder ein auf diese
Art dargestellter Quotient, wird ein Bruch genannt.

8. 39.

Wenn der Divisor kleiner als 10 ist, so kann diese
Division oft leicht im Kopfe geschehen.

Beyspiel e.

(1). 4 ist in 12 3mahl enthalten; 3 in 21 geht
7mahl; 7 in 42 geht 6mahl; 5 kommt in 43 8mahl
vor, und es bleiben noch 3; 8 in 76 geht 9mahl,
bleiben 4

56

(L). 2 in 46 ist 23mahl enthalten; 3 in 63 geht
Llmahl; 5 in 104 geht 20mahl, und cs bleiben noch
4; 3 in 157 geht 52mahl, bleibt 1.

(3). 5 in 60 geht 12mahl; 3 in 87 geht29mahl;
4 in 114 geht 28mahl, bleiben 2; 5 in 284 ist
56mahl enthalten, bleiben 4.

8- 40.

Beym schriftlichen Dividiren sind mehrere Fälle
zu unterscheiden.

s. Wenn der Divisor Ift, 10V, 1VVO,... ist.

(1) . Es sey eine Zahl z. B. 486 durch 10 zu divi¬
diren , so muß man die Hunderte, dann die Zehner
und endlich die Einheiten durch 10 dividiren. 4 Hun¬
derte durch 10 dividirt geben 4 Zehner, acht Zehner
durch 10 dividirt geben 8 Einheiten; die 6 Einheiten
aber können durch 10 nicht wirklich dividirt werden,
und bleiben als Nest, dessen Division durch 10 nur
angezeigt werden kann. Man hat somit

10 I 486 I 48^.

Um daher eine Zahl durch 10 zu dividiren, braucht
man nur die Einheiten als Rest zu betrachten, die Zeh¬
ner als Einheiten, die Hunderte als Zehner u. s. w.
anzunehmen. Dieses alles geschieht indem man eine
Ziffer rechts abschneidet und deren Division durch 10
bloß anzeigt, die übrigen Ziffern aber als Quotienten
ansieht.

(2) . Um eine Zahl durch 100 zu dividiren, muß
man sie so verändern, daß jede Ziffer nur den lOOsten
Theil ihres frühem Werthes bedeutet; man muß also
die Hunderte zu Einheiten, die Tausende zu Zehnern,
die Zehntausende zu Hunderten u. s. w. machen, oder
jede Ziffer um 2 Stellen gegen die Rechte rücken; die

Zehner und Einheiten können durch 100 nicht wirklich
dividirt werden, man zeigt dieses nur an, indem man
100 darunter schreibt.

Man dividire 23400 durch 100: da braucht man
nur die 2 Nullen rechts wegzulaffeu, weil dadurch sede
Ziffer um 2 Stellen gegen die Rechte gerückt wird. Es
ist also

100 § 23400 I 234

Wenn statt der 2 Nullen rechts bedeutliche Ziffern
Vorkommen, so wird ihre Division durch 100 ange¬
zeigt. Z. B.

100 § 5638 ! 56^; 100 < 30402 j 304^

Auf ähnliche Art dividire man

die Zahlen 34000, 57123, 34037 durch 1000,
„ „ 560000,31095,248134, „ 10000.

Man wird daraus die allgemeine Regel aufstellenr

Eine Zahl wird durch Iv, 1ÜV, 1VOO,...
dividirt, wenn man ihr rechts 1, 2, 3, . . . Ziffern
abschneidet; die übrig gebliebenen Ziffern sind dann
der Quotient, die abgeschnittenen aber der Rest, wel¬
cher noch durch den Divisor zu dividiren ist, was nur
angezeigt wird.

B e y s p i e l e.

10 ! 80 I 8; 10 I 2560 1 256; 10 > 389 ! 38^;

100 1 5200 ! 52; 100 3000 ! 30; 160 j 2567 > 25^;
1000 ! 7000 ! 7; 1000 ! 51000 ! 51; 1000 ! 30143 j 30-1^-'
10000 ! 576335 ! 57^A; 100000 ! 123456 ! IM,^-' °°

41.

Wenn der Divisor rechts eins bedeutliche
Ziffer enthält.

(1). Es seh 639 durch 3 zu dividiren.

Man theilt zuerst die Hunderte, dann die Zehner

58

und endlich die Einheiten: 6 Hunderte getheilt durch

3 geben 2 Hunderte; 3 Zehner getheilt durch 3 geben
1 Zehner; 9 Einheiten durch 3 dividirt geben 3 Ein¬
heiten. Der ganze Quotient ist daher 2 Hunderte,
1 Zehner, 3 Einheiten, d. i. 213; 3 ist also in 639
213mahl enthalten, oder der 3te Theil von 639 ist
213. — Man braucht zu den einzelnen Ziffern des
Quotienten ihre Bedeutung gar nicht hinzusetzen,
weil sie nach der Ordnung Hunderte, Zehner, Einhei¬
ten bedeuten, und weil dieselben, wenn man sie nur nach
der Reihe hinschreibt, schon durch diese Anordnung
selbst in ihrer wahren Bedeutung erscheinen. Es ist also

3 > 639 ! 213

Man dividire eben so 844 durch 4; 6248 durch 2;
9063 durch 3.

(2). Es soll 939 durch 4 dividirt werden.

Hier werden wieder zuerst die Hunderte getheilt,

4 in 9 geht 2mahl, also 2 Hunderte; aber 2mahl 4
ist nur 8, und wenn man diese von den 9 Hunderten
abzieht, so bleibt noch 1 Hundert übrig; dieses Hun¬
dert kann so lange es als Hundert betrachtet wird, nicht
in 4 gleiche Theile so getheilt werden, daß der Quotient
Hunderte enthält,man löset es daher in 10 Zehner auf, dazu
setzt man die schon vorhandenen 3 Zehner, so hat man
13 Zehner; um dieses vor Augen zu haben,setzt man zu dem
bey den Hunderten übrig gebliebenen Reste 1 die Zehner
3 herab. Nun theilt man die Zehner: 4 in 13 ist 3mahl
enthalten, also 3 Zehner; 4mahl 3 Zehner sind 12 Zehner,
von 13 abgezogen bleibt noch 1 Zehner zurück; dieser
Zehner gibt 10 Einheiten, dazu die schon vorhande¬
nen 6 Einheiten sind 16 Einheiten; um diese Zusam¬
mensetzung anzuzeigen, schreibt man zu dem letztem
Reste 1 die 6 Einheiten herab. Nun dividirt man die

59

Einheiten: 4 in 16 geht 4mahl, also 4 Einheiten;
4mahl 4 ist gerade 16, es bleibt also nichts übrig.
Der Quotient ist 2 Hunderte, 3 Zehner, 4 Einhei¬
ten d. i. 234, und die Rechnung stehet

4 § 936 I 234

8

13

12

16
16

0

Auf gleiche Weise dividire man 725 durch 5;
73224 durch 4; 73416 durch 3; 942375 durch 7.

(3). Man dividire 2465 durch 5.

Hier sind zuerst 2 Tausende durch 5 zu theilen;
aber 2 Tausende können nicht in 5 gleiche Theile so getheilt
werden, daß der Quotient Tausende enthält; man
löset sie daher in Hunderte auf, 2 Tausende ge¬
ben 20 Hunderte, und die schon vorhandenen 4 Hun¬
derte, sind 24 Hunderte, welche nun durch 5 leicht
zu theilen sind; 5 in 24 geht 4mahl; also 4 Hun¬
derte; 4mahl 5 ist 20, von 24 bleiben 4 Hunderte;
diese geben 40 Zehner, und die vorhandenen 6
sind 46 Zehner; 5 in 46 ist 9mahl enthalten, also
9 Zehner; 9mahl 5 ist 45, von 46 bleibt 1 Z ehner; 1 Zeh¬
ner gibt 10 Einheiten, und die bereits vorhandenen 5,
sind 15 Einheiten; 5 in 15 geht gerade 3mahl, also 3 Ein¬
heiten. Der Quotient ist daher 493, und die Rechnung steht
5 > 2465 > 493

20

46
45

15

15

0

60

Man verrichte ebenso folgende Divisionen: 35628
durch 4; 1792431 durch 3; 86733 durch 9.

Daraus wird man ersehen:

Wenn der Divisor in der höchsten Stelle des Di¬
vidende nicht enthalten ist, so muß man sogleich die
beyden höchsten Stellen zusammen nehmen, und sie durch
den Divisor theilen.

(4) . Es sey 924 durch 3 zu dividiren.

9 Hunderte durch 3 dividirt geben 3 Hunderte;

2 Zehner können durch 3 nicht wirklich dividirt wer¬
den, man setzt daher in dem Quotienten an die Stelle
der Zehner eine Nulle; die zwey Zehner geben 20 Ein¬
heiten, und die 4 schon vorhandenen Einheiten dazu,
sind 24 Einheiten, welche durch 3 dividirt, genau
8 Einheiten geben, weil 8mahl 3 24 ist. Die Rech¬
nung steht

3 ! 924 I 308

9

-24

24

0

Auf dieselbe Art dividire man 832 durch 4;
2135 durch 7; 91503 durch 3.

Man wird daraus die Regel ableiten:

Wenn der Divisor größer ist als die Ziffer des
Dividends, welche man dividiren will, so schreibt
man in den Quotienten eine Nulle, und setzt zu der
dividirten Ziffer sogleich die nächstfolgende Ziffer des
Dividends hinzu.

(5) . Es soll 598 durch 5 dividirt werden.

5 Hundert durch 5 dividirt geben 1 Hundert;
Imahl 5 ist 5, von 5 geht auf; 9 Zehner werden
herabgesetzt, 5 in 9 geht Imahl, also 1 Zehner, Imahl

61

5 ist 5, von 9 abgezogen bleiben 4; zu den 4 Zehnern
oder 40 Einheiten werden die 8 Einheiten herabgesetzt,
worauf man 48 Einheiten hat, diese durch 5 dividirt,
geben 9 Einheiten; 9mahl 5 ist 45, von 48 bleiben
3 Einheiten. Die 3 Einheiten können nun weiter durch
5 nicht wirklich getheilt werden; man zeigt also diesen
Quotienten nur an, indem man den Divisor unter den
letzten Rest in Bruchform schreibt, und dieses dem
Quotienten hinzufügt. Die ganze Rechnung steht

5 1 598 I 119§

5

-9

5

48
45

3

(6). Man dividire 736 durch 23.

Hier sind zuerst die Hunderte zu theilen; aber die
7 Hunderte können, so lange man sie als Hunderte
betrachtet, nicht in 23 gleiche Theile so getheilt werden,
daß der Quotient Hunderte enthält, man löset sie daher
in Zehner auf, 7 Hunderte geben 70 Zehner, und
die schon vorhandenen 3 Zehner sind 73 Zehner; diese
lassen sich durch 23 theilen, dabey sieht man zunächst
wie oft 2 in 7 enthalten ist, und schließt daraus, daß
auch 23 in 73 nicht mehr als 3mahl enthalten seyn
kann; man erhält also im Quotienten zuerst 3 Zehner.
3mahl 23 ist aber nur 69, also bleiben von 73 Zehnern
noch 4 Zehner zurück; zu diesen 4 Zehnern oder 40 Ein¬
heiten setzt man die 6 Einheiten dazu, wodurch man
46 Einheiten erhält; diese durch 23 getheilt geben 2 Ein¬
heiten, 2mahl 23 ist gerade 46, somit bleibt kein Rest
übrig. Die Rechnung steht

62

23 > 736 I 32

6S

46

46

O

Eben so dividire man 83412 durch 12; 1080
durch 45; 54S36 durch 18; 326745 durch 137;
32S76 durch 916.

Aus allem Vorhergehenden kann man für das
schriftliche Dividiren, wenn der Divisor rechts eine
bedeutiche Ziffer hat, folgende Regeln aufstellen:

1. Man setze den Dividend zwischen zwey aufrech¬
ten Strichen, links schreibt man den Divisor, rechts
kommt nach und nach der Quotient zu stehen.

2. Die Division beginnt bey der höchsten Stelle.
Man nimmt so viele Ziffern des Dividends, daß der
Divisor darin enthalten ist, also eben so viele,
als der Divisor Stellen hat, oder um eine mehr,
wenn jene Ziffern kleiner sind als der Divisor. Diese
Ziffern bilden dann den ersten Theildividend; man pflegt
ihn manchmahl von den folgenden Ziffern durch einen
Punct abzusondern.

3. Man untersucht, wie oft der Divisor in dem
ersten Theildividende enthalten ist, und schreibt die
Zahl, welche dieses anzeigt, in den Quotienten. Wenn
der Divisor mehrziffrig ist, so erleichtert man sich die
Arbeit, wenn man versucht, wie oft die höchste Ziffer
des Divisors in der höchsten oder in den zwey höchsten
Ziffern des Dividends enthalten ist.

4. Man multiplicire den ganzen Divisor mit der
gefundenen Ziffer des Quotienten, schreibe das Pro¬
duct unter den ersten Theildividend, und ziehe es von die¬
sem ab.

L t j-n-z Pro d uct größer als der erste Theildividend, so

63

daß cS sich nicht adziehen läßt, so ist der Quotient zu
groß angenommen worden; man muß ihn also kleiner
nehmen. Bleibt aber ein Rest, der eben so groß oder
größer ist als der Divisor, so ist der Quotient zu klein
angenommen worden; man muß ihn größer nehmen.

5. Zum übrig bleibenden Reste wird die nächste
Ziffer des Dividends herabgesetzt, und die Zahl, welche
dadurch entsteht, ist der neue Theildividend. Man unter¬
sucht wieder, wie oft der Divisor in dem neuen Theildivi-
dende enthalten ist; die Zahl, welche dieses anzeigt,
schreibt man als die zweyte Ziffer in den Quotienten.

6. Mit dieser neuen Ziffer des Quotienten
wird nun der Divisor multiplieirt, und das Product
von dem letzten Dividende abgezogen. Zu dem Reste
wird wieder die nächstfolgende Ziffer des Dividends her¬
abgesetzt, und dieser neue Dividend durch den Divisor
dividirt, um die dritte Ziffer des Quotienten zu erhalten.

7. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis man
nach und nach alle Ziffern des Dividends herabge¬
setzt hat.

Wenn der Divisor größer ist als irgend ein Theildividend,
so daß er in diesem nicht enthalten ist, so schreibt man
in dem Quotienten eine Nulle, und setzt sogleich die nächst¬
folgende Ziffer des Dividends herab.

8. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist der Divi¬
sor im Dividende genau enthalten; man schreibt hier
das Zeichen an die Stelle des letzten Restes. Bleibt
aber ein Rest, so ist dieser noch durch den Divisor zu
dividiren, was man dadurch anzeigt, daß unter den
Rest der Divisor, und zwischen beyde ein Strich gesetzt
wird; dieser Bruch wird mit etwas kleinern Ziffern
an den Quotienten angehängt, zum Zeichen, daß der
Quotient noch um etwas, was aber kleiner als 1 ist,
vermehrt werden muß.

64

B e y s p i e l e.

(1). Es sey 14070 durch 6 zu dividiren. Man
schreibt

6 ! 14.070 I 2345

12

20

18

27

24

30

30

und sagt: 6 in 14 geht 2mahl, 2mahl 6 ist 12, von
14 bleiben 2; 0 herab, 6 in 20 geht 3mahl, 3mahl
6 ist 18, von 20 bleibe» 2; 7 herab, 6 in 27 geht
4mahl, 4mahl 6 ist 24, von 27 bleiben 3; 0 herab,
6 in 30 ist 5mahl enthalten, 5mahl 6 ist 30, von 30
geht auf.

(2). Man dividire 1650967 durch 8051. Die Rech¬
nung stehet

8051 > 16509.67 § 205,M

16102

40767

40255

512

Hier untersucht man zuerst, wie ost 8501 in 16509,
oder versuchsweise, wie ost 8 in 16 enthalten ist; eS
geht 2mahl. Nun multiplicirt man den Divisor 8051
mit 2, und zieht das Product 16102 von 16509 ab.
Zu dem Reste 407 setzt man die nächste Ziffer 6 herab;
8051 ist in 4076 Omahl enthalten; in den Quotien¬
ten kommt also eine Nulle, und zu dem Dividende
4076 wird sogleich die nächste Ziffer 7 herabgesetzt;

65

8051 in 40767, oder 8 in 40 ist 5mahl enthalten;
5mahl 8051 ist 40255, was von 40767 abgezogen
512 zurückläßt. Unter den Rest 512 wird der Divisor
8051 gesetzt, und dieses dem Quotienten 205 angehängt.

(3). 306 > 992970 > 3245

918

749

612

1377

1224

1530

1530

(4). 483506 ! 3108423562 > 6428UA-'
2901036

2073875

1934024

1398516

967012
4315042'
3868048

446994

Die Probe für die Richtigkeit der Division bestehet
darin, daß man den Quotienten mit dem Divisor
multiplicirt, wodurch, wenn die Division ohne Rest
aufgegangen ist, der Dividend herauskommen muß;
ist aber ein Rest übrig geblieben, so muß man zu dem
Produkte aus dem Quotienten und Divisor noch den
Rest addiren; erhält man dadurch den Dividend, so
ist richtig dividirt worden.

8- 42.

c. Wenn der Divisor rechts Nulle» hat,
aber von 10, 100, 1000 . . . verschieden ist.

Rechenb. d. H. u. I». Cl. E

66

Wenn der Divisor rechts Nullen hat, und man
verfährt nach den früher entwickelten Divisionsregel«,
so wird auch das Product aus ihm und der jedes-
mahligen Ziffer des Quotienten rechts so viele Nul¬
len haben, und daher von dem letzten Dividende
abgezogen eben so viele rechts stehende Ziffern des¬
selben ungeändert lassen. Die jedesmalige Ziffer des
Quotienten würde daher eben so richtig herauskommen,
wenn man im Divisor die Nullen, und in jedem Di¬
vidende eben so viele Ziffern rechts »«berücksichtiget
lassen würde; nur in dem letzten Reste, der nicht
mehr dividirt werden kann, müssen auch die letzten
Ziffern nothwendig vorkommen.

Daraus folgt:

Wenn im Divisor rechts Nullen vorkom¬
men, so lasse man während der Division diese Nul¬
len, und zugleich auch im Dividende eben so viele
Ziffern zur Rechten außer Acht, zum letzten Reste
setze man dann diese Ziffern herab; die Zahl, welche
dadurch entstehet, ist als Rest der ganzen Division
anzusehen.

Beispiele.

(1). Es sey 3783475 durch 5700 zu dividiren:

67

(2) . Man dividirt 285630572 durch 3974000.

3974000 I 285630572 > 71^zzß

27818

7450
3974
3476572

(3) . 273024-00 : 7900 — 3456

(4) . 4560840017 : 853000 — 5346W^.

§. 43.

Aufgaben.

Wenn die Division als Enthaltenseyn oder
Vergleichung angewendet wird, so müssen Dividend
und Divisor gleichen Nahmen haben; der Quotient er¬
scheint durch die Rechnung selbst als unbenannt, erhält
aber dann den Nahmen nach den Umständen der Aufgabe.

Wird aber die Division als Theilung angewen-
dct, so betrachtet man den Divisor während der Rech¬
nung als unbenannt, und der Quotient bekommt den¬
selben Nahmen, welchen der Dividend hat.

(1) . 8 Ellen Tuch kosten 48 fl., wie hoch kommt
1 Elle? — Wenn 8 Ellen 48 fl. kosten, so kostet die
Hälfte von 8 Ellen auch die Hälfte von 48 fl., der
3tc Theil von 8 Ellen den 3ten Theil von 48 fl., u. s. w.;
1 Elle ist nun der 8te Theil von 8 Ellen, also wird
sie den 8ten Theil von 48 fl. kosten; man muß daher
48 fl. durch 8 dividiren, wodurch man 6 fl. be¬
kommt.

(2) . Eine Steuer von 228 fl. ist unter 19 Grund¬
besitzer zu gleichen Thcilen zu vertheilen; wie viel muß
jeder Besitzer bezahlen? — 19 Besitzer müssen 228 fl.
bezahlen, 1 Besitzer ist nun der 19te Theil von 19 Be-

E 2

68

sitzern, er wird also auch nur den 19ten Theil von
228 fl. zahlen; 228 fl. dividirt durch 19 geben aber
12 fl., also werden auf jeden Grundbesitzer 12 fl. zu
zahlen kommen.

(3) . Ein Beamter hat eine jährliche Besoldung von
600 fl.; wie viel bezieht er monathlich? — Wenn auf
1 Jahr KOO fl. kommen, so kommt auf die Hälfte von
1 Jahr auch nur die Hälfte von 600 fl.; auf den
3ten Theil von 1 Jahr kommt der 3te°Theil von 600 fl.,
u. s. w.; 1 Monath ist nun der 12te Theil von 1 Jahr,
also wird man den 12ten Theil von 600 fl. nehmen,
d. i. man wird 600 fl. durch 12 dividiren, wodurch
man 50 fl. erhält.

(4) . Eine Handlungsgesellschaft gewinnt 8000 fl.;
wenn nun davon auf jeden Theilnehmer 500 fl. ent¬
fallen, wie viele Personen waren wohl in der Gesell¬
schaft? — Wenn 8000 fl. unter mehrere Theilneh¬
mer so vextheilt werden, daß jeder Theilnehmer 500 fl.
bekommt, so sind gewiß so viele Theilnehmer da, als
wie oft 500 fl. in 8000 fl. enthalten sind; dieses findet
man, wenn man 8000 durch 500 dividirt; man
bekommt zur Antwort: 16 Personen.

(5) . Für ein Unternehmen müssen 1204 fl. ausge¬
legt werden; wie viel Personen müssen daran Theil
nehmen, damit auf eine Person die Auslage von14fl.
kommt? — 86 Personen.

(6) . Wie viel Gulden geben 720 Kreuzer? —
60 Kr. machen 1 fl.; 720 Kr. werden daher so viele
Gulden geben, als wie oft 60 in 720 enthalten ist;
man muß also 720 durch 60 dividiren, wodurch man
12 erhält ; also 12 fl.

(7) . Wie viel Pfund geben 2080 Loth ? — 32 Loth
geben 1 K", man muß also sehen, wie oft 32 in 2080

69
enthalten ist; 2080 dividirt durch 32 gibt 65; also
65

(8) . Es soll eine 5646 Fuß lange Wasserleitung
mittelst Röhren von Bley ausgeführt werden; wie viel
solche Röhren werden dazu erfordert, wenn eine jede
derselben 8 Fuß lang ist? — 8 in 5640 ist 705mahl
enthalten, also 705 Röhren.

(9) . 65 Eimer Wein kosten 325 fl.; wie hoch kommt
davon 1 Eimer? Auf 5 fl.

(10) . Jemand gibt in 24 Tagen 96 fl. aus; wie
viel kommt auf 1 Tag? — 4 fl.

(11) . Ein Taglöhner, welcher täglich 35 Kreuzer
Verdient, bezieht am Ende der Arbeit 7 Gulden; wie
viel Tage hat er wohl gearbeitet? — 1 fl. hat 60 Kr.,
7 fl. also 7mahl 60 d. i. 420 Kr.; 35 Kr. sind aber
in 420 Kr. 12mahl enthalten; 7 fl. waren also der
Lohn für 12 Arbeitstage.

(12) . In einer Mühle werden in 26 Tagen 849 Ztr.
Mehl gemahlen; wie viel in 1 Tage? — 32^ Ztr.

(13) . Im Jahre 1844 zählte Wien 8690 Häuser,
welche von 375834 Einwohnern bewohnt wurden,
und einen Zinsertrag von 13062743 fl. Metallmünze
vbwarfen; wie viel Einwohner und wie viel Zins
kann man im Durchschnitte auf ein Haus rechnen? —
43^ggo> also beynahe 43 Einwohner, und 1503-^U fl.
Zinsertrag.


70

Viertes Hauptstück.

Das Rechnen mit rnehrnahmigen
Zahlen

1. Die verschiedenen rnehrnahmigen Zahlen und
ihre Verwandler.

8- 44.

Bey unbenannten Zahlen werden immer 10 nie¬
drigere Einheiten zusammen als eine höhere betrachtet;
10 Einheiten nennt man einen Zehner, 10 Zehner
nennt man ein Hundert, u. s. w. Dasselbe geschieht,
um das Zählen und Auffassen zu erleichtern, auch bey
benannten Zahlen. Man pflegt nähmlich, wenn beym
Zählen bestimmter Dinge eine Einheit zu Grunde ge¬
legt wird, irgend eine Anzahl jener Einheiten als eine
höhere Einheit zu betrachten, und mit einem besondern
Nahmen zu bezeichnen; eine gewisse Anzahl dieser
neuen Einheiten kann wieder als nächst höhere Einheit
angenommen und eigentümlich benannt werden. So
nimmt man beym Gelde z. B. den Pfennig als die
niedrigste Einheit an, 4 Pfennige zusammen betrachtet
man als eine höhere Einheit, und nennet sie einen
Kreuzer; 60 Kreuzer machen wieder eine nächst höhere
Einheit aus, welche den Nahmen Gulden erhält.

Die größern Einheiten nennt man Einheiten
von höherer Benennung, die kleineren Einhei¬
ten von niedrigerer Benennung. So sind z.B. die

71

Kreuzer eine höhere Benennung als die Pfennige, zu¬
gleich aber auch eine niedrigere als die Gulden.

Jede Einheit einer höhern Benennung enthält
eine gewisse Menge Einheiten der niedrigem Benen¬
nung; z. B. 1 Gulden enthält 60 Kreuzer; 1 Zent¬
ner 100 Pfund, 1 Jahr 12 Monathe, u. s. w. Die¬
jenige Zahl nun, welche anzeigt, wie viele Einheiten
der niedrigem Benennung auf eine Einheit der hohem
Benennung gehen, heißt der Verwandler zwischen
jenen beyden Benennungen. So ist zwischen Gulden
und Kreuzern 60, zwischen Zentnern und Pfunden 100,
zwischen Jahren und Monathen 12 der Verwandler.

Eine benannte Zahl, welche nur einen Nahmen
führt, heißt einnahmig, z. B. 5 Gulden; 27 Pfunde.

Eine benannte Zahl, deren Bestandtheile ver¬
schiedene Nahmen haben, heißt eine mehrnahnrige
Zahl. 4 Gulden 25 Kreuzer sind eine mehrnahmige
Zahl; eben so 17 Pfunde 28 Loth.

§. 45.

Da bey Rechnungen mit mehmahmigen Zahlen
die Kenntniß der Verwandler zwischen den verschiede¬
nen Einheiten derselben Art unentbehrlich ist, so soll
hier das Vorzüglichste darüber angeführt werden.

^4 Bestimmung der Zeit.

Die Zeit wird nach Jahren, Monathen, Tagen
u. s. w. und zwar nach folgender Tafel berechnet:

1 Jahr hat 12 Monathe,

1 Monath ,/ 30 Tage (m der Zinsenrechnung)

1 Tag ,, 24 Stunden,

1 Stunde „ 60 Minuten,

1 Minute ,/ 60 Secunden.

72

In der Rechnung wird zwar gewöhnlich der Mo-
nath zu 30 Tagen, und somit das Jahr zu 12mahl
30 d. i. 360 Tagen angenommen; in der Wirklichkeit
aber hat ein gemeines Jahr 365, ein Schaltjahr 366
Tage; eben so haben die Monathe eine ungleiche An-

§. 46.

L. Bestimmung der räumlichen Größen.

Hier sollen nur die in den österreichischen
Staaten üblichen Münzen, Gewichte und Maße an¬
geführt werden.

1. Münzen.

Für die Rechnung merke man:

1 Gulden (st.) gilt 60 Kreuzer (Kr.)

1 Kreuzer ,, 4 Pfennige (^t)

Im lombardisch-venezianischen Königreiche rech¬
net man nach Lire und Centesimi, und zwar hat 1 Lire
100 Centesimi. 3 österreichische Lire machen 1 st.

Der kaiserliche Dukaten (G) wird zu 4 fl. 30 Kr.,
oder 270 Kr. gerechnet.

Im Allgemeinen wird nach Gulden Conventions-
Münze gerechnet. Es werden aber auch »och öfters
Rechnungen nach Gulden in Scheinen oder Gulden

73

Wiener-Währung gemacht, von welchen 5 fl. gleich
L fl. Conventions-Münze angenommen werden.

Die wirklich geprägten Münzen sind aus Gold,
Silber oder Kupfer.

Goldmünzen gibt es folgende:

Souveraind'or zu 13 fl. 2V Kr.

halbe Souveraind'or „ 6 ,/ 40 „

kaiserliche Dukaten „ 4 „ 30 „

Doppeldukaten „ 9 „ — „

Silbermünzen:

Ein Kronthaler gilt 2 fl. 12 Kr.

„ halber Kronthaler ,, 1 „ 6 „

„ Viertel // 33 „

/, Speziesthaler ,, 2 „ — „

Dann gibt es Guldenstücke, und zwar ganze,
halbe und Viertel, ferner Zwanziger, Zehner, Fünfer
und Groschen zu 3 Kr. Endlich sind die österreichischen
Lire zu 20 Kr., und zwar ganze, halbe und Viertel.

Kupfermünzen:

Kreuzer, halbe und Viertel-Kreuzer; Stücke zu
5, 3 und 1 Centesimi.

2. Gewichte.

Die meisten Maaren werden nach dem Handels-
gewichte gewogen. Nach diesem gilt

1 Zentner . . . 100 Pfunde (N),

1 Pfund ... 32 Loth (Lth.),

1 Loth ... 4 Quentchen (Qtch).

§- 47.

3. Maße.

Die Maße unterscheidet man a) in Längen-,
b) Flächen- und c) in Körpermaße.

74

«. Längenmaß e.

Größere Längen werden nach Meilen, kleinere
nach Klaftern Schuh (0, Zoll ("), Linien ('")
bestimmt, und zwar nach folgendem Verhältnisse:

1 Meile enthält 4000 Klafter,

1 Klafter „ 6 Schuh oder Fuß,

1 Fuß „ 12 Zoll,

1 Zoll „ 12 Linien.

Zum Messen der Tücher, Zeuge und anderer
Schnittwaaren braucht man die Elle. 2 Ellen sind
etwas kleiner als 5 Fuß.

I>, Flächenmaße.

Die Größe der Flächen wird durch Vierecke ge¬
messen, welche gleich große und gegen einander gleich
geneigte Seiten haben (HI) und Quadrate heißen.
Ze nachdem eine Seite eines solchen Quadrates eine
Meile, eine Klafter, ein Fuß, ... ist, wird es eine
Quadratmeile, eine Quadratklafter, ein Quadrat¬
fuß, . . . genannt.

Die Eintheilung dabep ist folgende:

1 Quadratmeile s ! I  Meile) hat 16000000 Quadrat¬
klafter (uz«),
1 Quadratklafter hat 36 Quadratfuß (ssHO,

1 Quadratfuß ,, 144 Quadratzolle (ID"),

1 Quadratzoll „ 144 Quadratlinien

Ein Joch hat 1600 Quadratklafter.

«. Körpermaße.

Die Größe der Körper wird im Allgemeinen durch
einen Würfel oder Kubus gemessen, welcher eine
Kubikklafter, ein Kubikfuß genannt wird, je nachdem

75

eine Seite desselben eine Klafter, einen Fuß, . . .
beträgt.

Die Verwandler ersieht man aus folgendem:

1 Kubikklafter hat 216 Kubikfuß,

1 Kubikfuß „ 1728 Kubikzoll,

1 Kubikzoll ,, 1728 Kubiklinien.

Zum Körpermaße gehöret auch das sogenannte
Hohlmaß, womit das Getreide und die Flüssigkeiten
gemessen werden.

Die Eintheilung des Getreide- oder Fruchtmaßes
stellt folgende Tafel dar:

1 Muth hat 30 Metzen,

1 Metzen „ 8 Achtel,

1 Achtel „ 4 große Maßel

1 großes Maßel ,, 2 kleine Maßel,

1 kleines Maßel „ 2 Becher.

Flüssigkeiten, als Wein, Bier, . . . werden nach
Faß, Eimer, Maß, u. s. w. gemessen, und zwar:

1 Eimer hat 40 Maß (in der Rechnung),

1 Maß „ 4 Seidel,

1 Seidel „ 2 Pfiffe.

In der Wirklichkeit enthält der Weineimer 41,
der Biereimer 42 und 1 halbe Maß.

Beym Weine enthält das Faß 10, bepm Bier
2 Eimer.

Viele Gegenstände können nicht anders gemessen
werden, als durch das Abzählen von Stück für Stück.
Sie werden daher zählende Güter genannt.

Die hierbey vorkommenden Benennungen sind
folgende:

4. Zählbare Dinge.

1 Schock enthält 60 Stück

1 Schilling „ 30 ,/

76

Ein Mandel enthält 15 Stück

Ein Duzend „ 12 „

Ein Bund Federn sind 25 „

1 Ballen Papier hat 10 Rieß

1 Rieß „ „ 20 Buch .

1 Buch Schreibpapier ,/ 24 Bogen

1 » Druckpapier ,, 25 „

2. Daö Resolviren und Reduciren.

8- 48.

Häufig tritt der Fall ein, daß man eine höhere
Benennung in eine niedrigere, und umgekehrt eine
niedrigere Benennung in eine höhere verwandeln muß.

Das erste heißt das Auflösen der höhern Be¬
nennung in die niedrigere, oder das Resolviren;
das zweyte das Zurückführen der niedriger« Be¬
nennung auf die höhere, oder das Reduciren.

a. Es sep zuerst eine einnahmige Zahl in eine
niedrigere Benennung zu resolviren, z. B. 9 Gulden
in Kreuzer. Da 1 st. 60 Kr. hat, so machen 2 fl.
2mahl 60, 3 fl. 3mahl 60, . . . also 9 fl. 9mahl
60 Kr.; man muß also 60 mit 9, oder was gleichviel
ist, 9 mit 60 multipliciren, wodurch man 540 Kr.
erhält. Hier ist also die Zahl der Gulden, nähmlich 9,
mit 60 d. i. mit dem Verwandler zwischen Gulden und
Kreuzer multiplicirt worden.

Um daher eine einnahmige Zahl in eine niedrigere
Benennung aufzulösen, muß man die Einheiten der
höhern Benennung mit dem betreffenden Verwandler
multipliciren.

B e y s p i e l e.

(1 ).Wie vielBogen enthalten 45 Buch Schreibpapier?

77

45 Buch

24

180

90

1080

(2). Wie viel Zoll betragen 28 Klafter?

Hier wird man die Klafter zuerst in Fuß, und
dann diese in Zoll verwandeln.

28°

6
168'

12

336

168

2016

b. Hat man eine mehrnahmige Zahl z. B.
8 fl. 25 Kreuzer in die niedrigste Benennung (Kreuzer)
zu verwandeln, so resolvirt man zuerst 8 fl. in Kreuzer,
indem man 8 mit dem Verwandler 60 multiplicirt;
man bekommt dadurch 480 Kr., wozu noch die bereits
vorhandenen 25 Kreuzer addirt werden; man hat also
zusammen 505 Kr. Die Rechnung stehet

8 fl. 25 Kr.

60

480 Kr.

-s- 25

505 Kr.

Um daher eine mehrnahmige Zahl in die nie¬
drigste Benennung zu resolviren, so multiplicire man
die Einheiten der höchsten Benennung mit dem Ver¬
wandler für die nächst niedrigere, und addire zu dem
Producte die bereits vorhandenen Einheiten jener Be¬
nennung. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man
auf die niedrigste Benennung kommt.

78

Beyspiele.

(1) . Wie viel Pfennige betragen 248 fl. 38 Kr. 3

248 fl. 38 Kr. 3 ^5

60

" 14880 Kr.

-1-38

14918 Kr.

4

59672

59675

(2) . Man verwandle 23 Jahre 4 Monathe 25 Tage
in Tage:

23 I. 4. M. 25 T.

12

46-

23

276 M.

^4

280 M.

30

8400 T.

-1-25

8425 Tage.

(3) .25Zentner63 A25 Lth.3Qtch—328167Qtch.

(4) . 2" 5' 8" 11'" — 2555'".

8- 49.

Wenn umgekehrt Einheiten einer niedrigern Be¬
nennung z. B. 2400 Loth auf die höhere Benennung
Pfund zu redlrciren sind, so bedenke man zuerst, wie
viel Loth auf 1 Pfund gehen; 1 A hat 32 Loth; es
werden also in 2400 Loth so viel U enthalten seyn,
als wie oft 32 Loth darin vorkommen; man muß also
2400 d. i. die Einheiten der niedrigern Benennung

79

durch 32 d. i. durch den Verwandler zwischen Loth
und Pfund dividiren; man hat

32 ! 2400 § 75 N

224

160

160

Wären z. B. 924 Kreuzer auf Gulden zurückzu¬
führen, so muß man 924 durch 60 dividiren; es wer¬
den nähmlich in 924 Kr. so viel fl. enthalten seyn,
als wie oft 60 Kr. darin vorkommen; 60 in 924 ist
15mah! enthalten, und es bleiben noch 24 Kr.; also
Hst man 15 fl. 24 Kr. Aus diesen Beyspielen ergibt
sich folgende Regel:

Sind die Einheiten einer niedriger» Benennung
in eine mehrnahmige Zahl, worin auch höhere Be¬
nennungen vorkommen, zu reduciren, so dividire man
die gegebenen Einheiten durch den Verwandler für
die nächst höhere Benennung. Der Quotient bedeutet
Einheiten der nächst höhern, der Rest aber die noch
übriggebliebenen Einheiten der niedrigern Benennung.
Der Quotient wird, wenn es angehet, auf die nähm-
liche Art auf die nächst höhere Benennung reducirt.

B e y s p i e l e.

(1). Man redueire 2325 Pfennige auf die höhern
Benennungen.

4 I 2325 § 58l Kr. 1 6.0 ! 58.1 f 9 fl. 41 Kr.

20 54

32 41 Kr.

32

5

4

2325 betragen also 9 fl. 41 Kr. 1

80

(2). Wie vrel Klafter, Fuß, Zoll, Linien machen
45233 Linien aus?

12 > 45233 j 3769" 5'"

, 36

5'" 1" 2'

Antwort: 52° 2' 1" 5"'.

(3) . Wie viel Zeit braucht man, um eine Million
zu zählen, wenn man in jeder Secunde eins zählt? —
1000000 Secunden — 11 Tage 13 Stunden 46 Mi¬
nuten 3V Sekunden.

(4) . Wie viel Zeit würde man brauchen, um eine
Billion zu zählen, wenn man ebenfalls in jeder Se¬
cunde 1 zählen möchte? — 1000000000000 Sekun¬
den — 31709 Jahre 289 Tage 1 Stunde 46 Minuten
40 Sekunden.

Das Jahr zu 365 Tagen gerechnet.

3. Das Addiren.

§. 50.

a. Man zähle 20 fl. 40 Kr. und 15 fl. 18 Kr.
zusammen. — Im Kopfe würde man so rechnen:
20 fl. und 15 fl. sind 35 fl.; 40 Kr. und 18 Kr. sind
58 Kr.; zusammen 35 fl. 58 Kr. — Eben so zählt
man auch beym schriftlichen Addiren nur die gleich-
nahmigen Zahlen zusammen, und schreibt sie wegen
der leichtern Übersicht gleich beym Ansätze unter einan¬
der; das ganze Beyspiel würde so stehen:

8l

20 st. 40 Kr.
15 „ 18 „
35 fl. 58 Kr.

Hier ist es gleichgültig, ob man die Gulden, oder
die Kreuzer früher zusammenzählt.

b. Man addire folgende Posten:

12 S 18 Lth.

25 /, 30 ,,
12 „ 27 „

Beym mündlichen Addiren würde man zuerst die
A zusammenzählen, und dann die Loth, nähmlich:
12 K" und 25 sind 37 N, und 12 M sind 40
18 Lth. und 30 Lth. sind 48 Lih., und 27 Lth. sind
75 Lth.; in 75 Loth sind 2 A enthalten, weil 32 in
75 2mahl vorkommt, und es bleiben noch 1 l Loth dar¬
über ; man hat also bey den Pfunden 49 N, und be¬
den Lothen 2 N 11 Lth. erhalten, zusammen 51 Al
11 Lth. — Beym schriftlichen Addiren wird man dage¬
gen, um die schon ungeschriebenen N nicht verbessern
zu müssen, bey der niedrigern Benennung, nähmlich
dey Loth, anfangen, aus der Summe 75 Lsth die
Pfunde herausziehen, indem man durch 32 dividirt,
den Rest 11 als zurückgebliebene Loth unter die Loth
setzen, den Quotienten 2 aber als erhaltene N zu den
Pfunden weiter zählen. Die Rechnung stehet

12 K 18 Lth. 32 > 75 I 2 M

25 ,, 30 „  6^

12 „ 27 „ 11 Lth.

51 N 11 Lth.

Daraus ergeben sich für das schriftliche Addi-
ren mehrnahinig'r Zahlen folgende Regeln:

1. Man schreibe die Posten so unter einander,
Rechenb. f. d. U- » IO. Cl. F

82

daß Zahlen derselben Benennung unter einander zu
stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich.

2. Man beginnt bey der niedrigsten Benennung
zu addiren, und geht dann immer zu der nächst Hähern
über; die jedesmahlige Summe wird unter die addir-
ten Zahlen gesetzt.

3. Wenn eine Summe so groß ist, daß sie Ein¬
heiten der nächst Hähern Benennung enthält, so redu-
cirt man sie durch Division mit dem Verwandler aus
diese höhere Benennung; die übrig gebliebenen Einheiten
werden an die gehörige Stelle der Summe geschrieben, die
erhaltenen Hähern Einheiten aber zu ihrer Benennung
weiter gezählt.

In die Stelle, wo eine Benennung fehlt, kommt
ein Strich.

B e y s p i e l e.

(1). Man addire folgende Zahlen:

523 fl. 15 Kr. 1 Pf. 4 6 ! 1 Kr. 60 ! 88 > 1 fl.

87 „ 48 „ 3 „ 4 6

120 „ 3 „ — „ 2 Pf. 28 Kr.

14 ,/ 21 ,/ 2 ,,

745 fl. 28 Kr. 2 Pf.

In diesem Beyspiele erhält man bey den Pfen¬
nigen 6 zur Summe; diese wird, da sie auch Kreuzer
enthält, auf Kreuzer reducirt, indem man sie durch
4 dividirt; der Nest 2 Pf. wird angeschrieben, der
Quotient 1 Kr. aber zu den Kreuzern weiter gezählt.
Bey den Kreuzern erhält man dann 88 zur Summe,
diese dividirt man, weil darin Gulden vorkommen,
durch 60, schreibt den Rest 28 Kr. unter die Kreuzer,
den Quotienten 1 fl. aber zählt man zu den Gulden.

Man addire folgende Zahlen:

83

25 Ztr. 27 K" 21 Lth. 3 Qntch.

17 „ 85 „ 15 „ — „

91 ,/ 7 „ — ,, 2 ,,

9 „ 93 „ 28 ,, 1 ,,

"144^.14^ 1 Lth. 2 Qtch.

4 j 6 j 1 Lth. 32Z 65 § 2 A 100 i 214 < 2 Ztr.

4 64 2

2 Qtch. 1 Lth. 14 A

8 51.

Aufgaben.

(1) . Ein Kaufmann nahm auf einem Markte am
ersten Tage 452 fl. 18^.Kr., am zweyten 340 fl. 45 Kr.,
am dritten 97 fl. 48 Kr., am vierten 389 fl. 50 Kr.
ein; wie viel beträgt seine ganze Einnahme? — 1280fl.
41 Kr.

(2) . Jemand leihet folgendes Geld aus: an .4 420 fl.,
an L 234 fl. 30 Kr., und an e 745 fl. 20 Kr.; wie
viel hat er zusammen ausgeliehen? — 1399 fl. 50 Kr.

(3) . Ein Wirth kauft von ^4 5 Eimer 25 Maß,
von L 6 Eimer 15 Maß, von 0 15 Eimer 10 Maß
Wein; wie viel Wein hat er zusammen gekauft? —
27 Eimer 10 Maß.

(4) . Ein Tabakverleger verschleißt im erstenMonathe
35 Ztr. 72 A, im zweyten 29 Ztr. 54 N 17 Lth.,
im dritten 36 Ztr. 27 N 23 Lth. Tabak; wie groß ist
der Verschleiß während des ganzen Quartals ?—101 Ztr.
54 N 8 Lth.

(5) . Ein Wirth hat einem Kaufmanne für Zucker
8 fl. 24 Kr., für Kaffeh 5 fl. 20 Kr., für Öhl 4 fl.
25 Kr., und für andere kleinere Artikel 1 fl. 47 Kr.

F 2

84

zu bezahlen; wie viel ist er dem Kaufmanne im Ganze»
schuldig? — 19 fl. 56 Kr.

(6) . Ein Landmann hat 9 Joch 588 fD" Ackergrnnd,
1244 Garten, 3 Joch 58 Wiesen, 8 Joch
1007 Waldungen, »nd 1 Joch 840 Hutweiden;
wie viel Boden hat er zusammen? — 23 Joch
537 HK".

(7) . Jemand wurde am 5. August 1795 geboren,
und starb 49 Jahre 6 Monathe 15 Tage alt; wann
ist er gestorben? — Am 5. August 1795 waren seit
der Geburt Christi 1794 Jahre 7 Monathe und 4 Tage
verflossen, dazu 49 Jahre, 6 Monathe und 15 Tage,
so hat man: 1844 Jahre, 1 Monath und 19 Tage,
welche zur Zeit des Todes seit Christus verflos¬
sen waren; der Sterbetag war also der 20. Fe¬
bruar 1845.

(8) . Für einen Rock kostet das Tuch 16 fl. 42 Kr.,
das Futter 54 Kr., das übrige Zugehör 1 fl. 25 Kr.,
Macherlohn ist 4 fl. 20 Kr.; was kostet der Rock? —-
23 fl. 21 Kr.

(9) . Ein Buchdrucker verbraucht 280 Ballen Druck¬
papier, 2 Ballen 9 Rieß 15 Buch Velinpapier, und
56 Ballen 3 Rieß 10 Buch Schreibpapier; wie viel
macht dieses Papier zusammen? — 339 Ballen 3 Rieß
5 Buch.

(10) . Bey einem Kostenüberschlage beträgt die Mau¬
rerarbeit 231 fl. 47 Kr., die Zimmermannsarbeit
72 fl. 5 Kr., die Schlosserarbeit 24 fl. 32 Kr., die
Tischlerarbeit 11 fl. 42 Kr-, die Hafnerarbeit 27 fl,,
die Spenglerarbeit 42 fl. 40 Kr., die Glaserarbeit
7 fl. 32 Kr., und die Anstreicherarbeit 3 fl. 20 Ke.;
Wie groß ist der ganze Betrag? — 420 fl. 38 Kr.

85

4. Das Subtrahiren.

8- 52.

s. Man ziehe 23 fl. 31 Kr. von 65 fl. 47 Kr.
ab. —

Im Kopfe wird dieses so geschehen: 23 fl. von
65 fl. bleiben 42 fl.; 31 Kr. von 47 Kr. bleiben 16 Kr.;
zusammen 42 fl. 16 Kr. — Dasselbe Verfahren wird
auch beym schriftlichen Subtrahiren beobachtet,
man zieht nähmlich die gleichnahmigen Zahlen einzeln
von einander ab; die Rechnung würde stehen

65 fl. 47 Kr.

23 „ 31 „

42 fl. 16 Kr.

Man kann hier das Subtrahiren bey den Gulden
oder bey den Kreuzern anfangen; in beyden Fällen
erhält man denselben Rest.

i>. Es sollen 35 fl. 50 Kr. von 60 fl. 24 Kr.
abgezogen werden.

Mündlich. 35 fl. von 60 fl. bleiben 25 fl.;
50 Kr. kann man von 24 Kr. nicht wegnehmen, man
borge daher von dem Guldenreste 1 fl. oder 60 Kr.,
rvo sodann noch 24 fl. bleiben, 60 Kr. und 24 Kr.
sind 84 Kr., davon 50 Kr. abgezogen, bleiben 34 Kr.;
es bleiben also im Ganzen 24 fl. 34 Kr.

Beym schriftlichen Subtrahiren muß man
hier zuerst die Kreuzer und dann die Gulden abziehen,
»veil man sonst die schon angeschriebenen 25 fl. in
24 fl. verbessern müßte. Da 50 Kr. von 24 Kr. nicht
abgezogen werden können, so borgt man 1 fl.; bei¬
den Gulden bleiben dann im Minuend nur 59, was
durch den Borgepunct angezeigt wird; bey den Kreu¬
zern bekommt man 60 und 24 d. i. 84. Nun zieht man

86

ab: 0 von 4 bleiben 4, 5 von 8 bleiben 3, also
34 Kr.; ferner: 5 von 9 bleiben 4, 3 von 5 bleiben
L, also 24 fl.; zusammen 24 fl. 34 Kr. Die Rech¬
nung stehet

60 fl. 24 Kr.

35 /, 50 „

24 fl. 34 Kr.

Aus diesen und ähnlichen Beyspielen lassen sich
für das schriftliche Verfahren mehrnahmtger
Zahlen folgende Regeln ableiten:

1. Man schreibt den Subtrahend so unter den
Minuend, daß die gleichnahmigen Zahlen unter ein¬
ander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen
Querstrich.

2. Man fange bey der niedrigsten Benennung zu
subtrahiren an, subtrahire Benennung für Benennung,
bis man zur höchsten kommt, und schreibe den jedes-
mahligen Rest unter die subtrahirten Zahlen.

3. Ist bey einer Benennung die untere Zahl
größer als die darüberstehende, so borge man bey
der nächst höhern Benennung eine Einheit, löse sie in
die niedrige Benennung auf, und zähle die schon
vorhandenen Einheiten dieser Benennung dazu, dann
kann man abziehen. Die Zahl der höhern Benennung,
bey welcher 1 geborgt wurde, wird mit dem Borge-
puncte bezeichnet.

Wenn bey einer Benennung nichts übrig bleibt,
so wird unter dieselbe ein Querstrich gesetzt.

B e y ssp i e l e.

(1). Man subtrahire 385 fl. 12 Kr. 2 von
573 fl. 31 Kr. 2

87

573 fl. 31 Kr. 2

385 ,, 12 ,/ 2 ,,

188 fl. 19 Kr. —

(2) .Mansubtrahire5Ztr.27 N 12Lth.von12Ztrn.

17^4 Lth.

. ION. 32

12 Ztr. 17 N 4 Lth. 32 100

5 „ 27 „ 12 ,/ Z-4 -^-16

^6 Ztr. 89N24Lth7 36^ "ll6^

—12 —27

24 Lth. 89 N

Hier können 12 Loth von 4 Loth nicht abgezo¬
gen werden, man borgt daher 1 N, welches 32 Lth.
gibt; die 4 Lth. dazu, sind 36 Lth.; nun kann man
abziehen: 12 von 36 bleiben 24 Lth. Von 16 M kön¬
nen 27 N wieder nicht abgezogen werden, man borgt
1 Ztr-, welcher 100 M gibt; dazu die schon vorhande¬
nen 16 A, sind 116 M; 27 N davon abgezogen, blei¬
ben 89 K". Nun zieht man noch 5 Ztr. von 11 Ztr. ab.

(3) . Es sollen 4 Jahre 7 Monathe 25 Tage von
8 Jahren abgezogen werden.

. 11 so

8 I. — M. — T.

4 ,/ >7 ,/ 25 ,/

3 I. 4 M. 5 T.

Hier borgt man, da weder Tag noch Monathe
vorkommen, sogleich bey den Jahren; 1 Jahr gibt
12 Monathe, davon 1 geborgt, bleiben 11; der ge¬
borgte Monath gibt 30 Tage. Sodann wird subtrahirt.

§. 53.

Aufgaben.

(1). Ein Beamter bezieht durch 1 Quartal 237 fl.
36 Kx.; wie viel bleibt ihm davon übrig, wenn er
185 fl. 52 Kr. ausgegeben hat? — 51 fl. 44 Kr.

88

(2) . Ein Kaufmann hatte 1 Ballen und 8 Rieß
Papier vorräthig; wenn er nun davon bereits 8 Rieß
17 Buch verkauft hat, wie groß ist noch sein Papier¬
vorrath? — 9 Rieß 3 Buch.

(3) . Jemand zahlt an Hauszins jährlich 140 st.; wie
viel ist er noch schuldig, wenn er auf die dießjährige
Rechnung schon 85 fl. 45 Kr berichtiget hat? —
54 fl. 15 Kr.

(4) . ^4 ist dem k 586 fl. 35 Kr. schuldig; darauf
zahlt er einmahl 240 fl. 20 Kr., ein anderes Mahl
183 fl. 32 Kr.; wie viel hat er schon gezahlt, und wie
viel bleibt er noch schuldig?— Er zahlte bereits 423 fl.
52 Kr., und bleibt noch 162 fl. 43 Kr. schuldig.

(5) . Ein Landmann besitzt 8 Joch 548 Quadrat-
klafter Ackergrund; wenn er nun 1 Joch 895 Qua¬
dratklafter verkauft, wie viel bleibt ihm noch? —
6 Joch 1253 Quadratklafter.

(6) . Aus einem Fasse, welches 15 Eimer 18 Maß
enthält, werden 6 Eimer 24 Maß herausgenommen;
wie viel Wein bleibt noch darin? — 8 Eimer 34 Maß.

(7) . Jemand hatte 26 Ztr. 75 K Kaffeh vorräthig.
Davon verkauft er nach und nach 1 Ztr. 68 K°, 3 Ztr.
15 K", 88 A, 6 Ztr. 45 N, 5 Ztr.; wie groß ist
noch sein Vorrath? — 9 Ztr. 59 N.

(8) . Jemand ist am 2. April 1787 geboren, und
starb am 3. October 1835, wie alt ist er geworden ? —
48 Jahre 6 Monathe 1 Tag.

Beym Tode waren 1834 1.9 Mon. 2 Tage

bey der Geburt „ 1786 „3 „ 1 ,, seit
Christo verfl.; also ist die Zeit 48J.6Mon. 1 Tag das
gesuchte Lebensalter.

(9) . Jemand ist am 24. Juni 1831 geboren; wie

89

alt ist er, wenn man heute den 2V. Februar 1845
schreibt? — 13 Jahre 7 Monathe 26 Tage.

. ir 30

Heute sind 1844 I. 1 M. 19 Tage,
am Geburtstag e 1830 „ 5 ,, 23 „  nach Chr. G,
versl.d.Zwischenzt. 13 I. 7 M. 26 Tage ist das Alter.

5. Das Multipliciren.

8. 54.

Bey der Multiplikation muß der Multiplikator
wahrend der Rechnung immer als eine unbcnannte
Zahl betrachtet werden.

(5) . Man multiplicire 28 Ztr. 25 K mit 2.

Hier muß jeder Bestandtheil 2mahl genommen
werden.

Im Kopfe 2mahl 28 Ztr. sind 56 Ztr.; 2mahl
25 K" sind 50 KZ zusammen 56 Ztr. 50 K°.

Schriftlich: 28 Ztr. 25 M

2

56 Ztr. 50 K>

Deym schriftlichen Multipliciren wird also das
Product der Pfunde unter die Pfunde, das Produkt
der Zentner unter die Zentner gesetzt.

(6) . Es sollen 208 fl. 35 Kr. mit 9 multiplicirt
werden.

Jin Kopfe: 9mahl 208 (9mahl 200 ist 1800,
Smahl 8 ist 72, und 1800) ist 1872, also hat man
erstlich 1872 fl.; 9mahl 35 Kr. sind (9mahl 30 sind
270, 9mahl 5 sind 45 , zusammen) 315 Kr.; 300 Kr.
geben 30 Zehner oder 5 fl., 315 Kr. sind also 5 fl.
15 Kr.; und die früher» 1872 fl. sind 1877 fl. 15 Kr.

Beym schriftliche« Multipliciren muß man,

90

weil in dem Kreuzerproductc Gnlden enthalten sind,
und diese zu dem Guldenproducte gezählt werden
muffen, bey den Kreuzern zu rechnen anfangen, damit
man nicht nöthig habe, die im Produkte schon ange¬
schriebene Zahl der Gulden wieder auszubeffern. Man
nimmt also erstlich 35 Kr. 9mahl, was 315 Kr. gibt;
diese durch die Division mit 60 in Gulden verwandelt,
machen 5 fl., und es bleiben noch 15 Kr., welche
man im Produkte unter die Kreuzer schreibt; die 5 fl.
werden zu dem Produkte der Gulden weiter gezählt:
Omahl 8 sind 72, und die übertragenen 5 sind 77 fl.,
(7 wird angeschrieben) bleiben 7; 9mahl 0 ist 0, und
7 ist 7; 9mähl 2 ist 18. Die Rechnung steht

208 fl. 35 Kr. 6.0 ! 31,5 § 5 fl.

9 30

1877 fl. 15 Kr. 15 Kr.

Ist also eine mehrnahmige Zahl mit einer
unbenannten zu multipliciren, so beobachte man
Folgendes:

1. Man schreibe den Multiplikator unter die
niedrigste Benennung des Multiplicands, und ziehe
darunter einen Querstrich.

2. Man fange bey der niedrigsten Benennung
zu multipliciren an, multiplicire Benennung für Be¬
nennung, bis man zur höchsten kommt, und schreibe
das sedesmahlige Product unter die multiplicirte
Stelle.

3. Ist bey einer Benennung das erhaltene Pro¬
duct so groß, daß es Einheiten der nächst höhern Be¬
nennung enthält, so reducirt man es durch Division
mit dem Verwandler auf diese höhere Benennung;
die übrig gebliebenen Einheiten der niedriger» Benen¬
nung werden an die gehörige Stelle geschrieben, die

9L
erhaltenen höher« Einheiten aber zu dem Products
dieser letztern weiter gezählt.

B e y s p i e l e.

1. Man'multiplieire 5 ff. 24 Kr. 3 Z mit 1.

5 ff. 24 Kr. 3 3 24 Kr.

7 7 7

37 ff. 53 Kr. 1 -L 4 § 21 1 5 Kr. 6.0 § 17.3 ! 2 ff.

20 12

1 53^Kr.

Hier erhält man: 7mahl 3 sind 21 welche auf
Kreuzer reducirt 5 Kr. 1 geben, man setze 1
an die Stelle der Pfennige, die 5 Kr. werden weiter
gezählt; ferner: 7mahl 4 ist 28, und 5 ist 33, (3 an¬
geschrieben) bleiben 3; 7mahl 2 ist 14, und 3 ist 17,
die 173 Kr. geben 2 ff. 53 Kr.; man setze die 53 Kr.
an die Stelle der Kreuzer , die 2 ff. werden weiter ge¬
zählt; 7mahl S ist 35, und 2 sind 37 ff.

2. Man multiplieire 14 ' 4' 9" 5"' mit 27.

14- 4, 9"

27

Das Multipliciren mehrnahmiger Zahlen kann
auch dadurch verrichtet werden, daß man dieselbe auf
die niedrigste Benennung bringt, und dann die Mul¬
tiplikation verrichtet; das Product enthält Einhei-

92

ten derselben niedrigsten Benennung, welche dann wie¬
der auf die höher« Benennungen reducirt werden.

B e y s p i e l.

Man multiplicire 3Ztr. 64 Ml8Lth. 3Qtch. mit 18.

3 Ztr. 64Ml8Ltb.3Qtch.

ION

3t>0 M 46667 Qtch.

-j-64 18

"364 M 373336

32 46667—

"728 4 I 840066 Qtch. I 210001 Lth.

1002 8

11648 Lib. -4

-1-18 4- 

11666 Llb. -0006

4 4

46664 Qtch. 2 Qtch.

^3_

46667 Qtch.

32 > 210001 Lth. § 6562 M

192

180 1.00 ! 65.62 M I 65 Ztnr.

160 62 M

200

192

81

64

17 Lth.

Das Product ist also:

65 Ztr. 62 M 17 Lth. 2 Qtch.

9 Z

8. 55.

Aufgaben.

(1) . Ein Taglöhner verdient täglich 48 Kr.; wie
viel macht dieses in 27 Tagen? — 2l fl. 36 Kr.

(2) In einer Haushaltung gibt man im Durch¬
schnitte monathlich 88 fl. 45 Kr. aus; wie hoch be¬
läuft sich die Ausgabe für 11 Monathe? — Auf 976 fl.
15 Kr.

(3) . 1 Zentner Heu wird mit 1 fl. 12 Kr. be¬
zahlt; was kosten 92 Zentner? — IlO fl. 24 Kr.

(4) . Wie viel kosten 25 Metzen Weizen; wenn
der Meßen 2 fl. 20 Kr. kostet? — 58 fl. 20 Kr.

(5) . Wenn 1 Zentner Eisen 12 fl. 18 Kr. kostet;
wie hoch krmmen 56 Zentner? — Ans 688 fl. 48 Kr.

(6) . Bey einem Mittagmahle waren 14 Personen;
wie groß war wohl die Rechnung, wenn sede Person
1 fl. 36 Kr. zahlen muß? — 22 fl. 24 Kr.

(7) - Ein Tagsschreiber bezieht täglich 1 fl.36 Kr. ;
wie viel in einem Jahre (365 Tagen)? — 584 fl.

(8) . Wie viel Öhl enthalten 12 Fässer, sedes zu
H Zentnern 28 K" 8 Lcth? — 75 Zentner 39 K".

(9) . Wieviel wiegen 8Zuckerhüte zu 12 N 12 Lth.,
«. d wie viel sind sie werth, wenn 1 K mit 24 Kr.
bezahlt wirr? — 8 Zuckerhüte zu 12 K" 12 Lth.
enihaltcn 99 und diese betragen zu 24 Kr.
99mahl 24 Kr. , was 39 fl. 36 Kr. macht.

(10) . Jemand ist 800 fl. schuldig; darauf gibt er
320 fl. 40 Kr. im Gelde, dann 32 Eimer Wein zu
8 fl. 36 Kr., und 48 Metzen Hafer zu 48 Kr.; wie
viel hat er im Ganzen schon abgezahlt, und wie viel
bleibt er noch schuldig? — Mit barem Gelde wur¬
den 320 fl. 40 Kr., mit Wein 275 fl. 12 Kr., und

94

mit Hafer 38 ff. 24 Kr., zusammen 634 fl. 16 Kr.
Berichtiget; die Schuld beträgt also noch 165 ff. 44Kr.

(11) . In einer Erziehungsanstalt sind 65 Zög¬
linge, feder kostet täglich 35 Kr.; wie viel wird für
alle täglich, wie viel monatlich, und wie viel in 10
Monathen ausgegeben?- — Die tägliche Ausgabe ist
37 fl. 55 Kr.; die monathliche 30mahl so groß, also
1137 fl. 30 Kr.; in 10 Monathen also 11375 fl.

(12) . Ein Beamter hat jährlich 800 fl. Gehalt;
er gibt täglich 48 Kr. auf Kost; monathlich 12 ff.
auf Wohnung und Bedienung, und jährlich 250 ff.
auf die übrigen Bedürfnisse aus; wie viel erspart
er im ganzen Jahre? — Für die Kost gibt er 365mahl
48 Kr. d. i. 292 fl., für Wohnung und Bedienung
12mahl 12 — 144 fl., und für die übrigen Bedürf¬
nisse 250 fl., zusammen 686 fl. aus; diese von 800 ff.
abgezogen geben 114 fl. als jährliches Ersparnis

6. Das Dividiren.

§. 56.

Beym Dividiren mehrnahmiger Zahlen sind zwey
Falle zu unterscheiden.

n. Wenn die Division als Enthaltenseyn oder
Vergleichung angewendet wird.

In diesem Falle müssen Dividend und Divisor
gleichnahmig seyn. Man verwandelt daher die beyden
mehrnahmigen Zahlen in eine gleiche, und zwar die
niedrigste Benennung; dann dividirt man die zwey
einnahmigen Zahlen durch einander.

B e y s p i e l e.

(1). Wie oft sind 12 fl. 23 Kr. in 185 fl. 45 Kr.
enthalten?

95

Antwort:

als Thetlung ange

die Division

1>. Wenn
wendet wird.

In diesem

32976 M.
36mahl.

Falle ist nur der Dividend benannt,
der Divisor aber muß während der Rechnung als
unbenannt angesehen werden; der Quotient erhält
dann mit dem Dividende einerley Nahmen.

(1)- Es sey 48 fl. 16 Kr. durch 8 zu dividiren.

Man muß hier offenbar sowohl von den Gulden
als von den Kreuzern den 8ten Theil nehmen.

Im Kopfe: 48 fl. durch 8 getheilt geben 6 st.,
IS Kr. durch 8 getheilt geben 2 Kr.; zusammen
k fl. 2 Kr.

96

Ganz auf dieselbe Art verfahrt man auch beym
schriftlichen Dividiren, und schreibt

8 I 48 fl. 16 Kr. > 6 fl. 2 Kr.

(2). Man theile 345 fl. 6 Kr. in 14 gleiche Theile.

Wenn man hier 345 fl. in 14 gleiche Theile
theilt, so bekommt man 24 fl., und es bleiben noch
S fl., welche durch 14 nicht mehr getheilt werden
können; man löst daher die 9 fl. durch Multiplikation
mit 60 in Kreuzer auf, sie geben 540 Kr., und die
bereits vorhandenen 6 Kr. dazu, sind 546 Kr.; diese
werden nun durch 14 dividirt, wodurch man 39 Kr.
bekommt. Der Quotient ist also 24 fl. 39 Kr., und
die Rechnung stehet

14 > 345 fl. 6 Kr. > 24 fl. 39 Kr.

28

65

5 6

!' st-

60

540 Kr

6

546 Ke.

42

126

126

Wenn also eine mehrnahmtge Zahl durch
eine «nbenannte z« dividiren ist, wo nähmlich
die Division als Theilung angcwendet wird, so
beobachte man folgende Regeln:

1. Man schreibe den Dividend zwischen zwey
aufrechten Strichen, und links vor demselben den
Divisor; der Quotient kommt nach und nach rechts
nach dem Dividende zu stehen.

9?

' s. Man fange bey der höchsten Benennung'zu divi-"
diren an, dr'vitire Benennung für Benennung, bis
man zur niedrigsten kommt, und gebe dem jedesmahligen
Quotienten jenen Nahmen, den die dividirte Zahl hat.

3. Bleibt bey der Division einer Benennung ein
Nest, so verwandle man ihn durch Multiplikation mit
dem Verwandler in die nächst niedrigere Benennung,
und addire dazu die im Dividende bereits vorhandenen
Einheiten dieser Benennung. Tann wird weiter dividirt.

B e p s P i e l e.

(1). Man dividire 214 Zentner 13 A 8 Lth.
durch 8.

8 > 214 Ztr. 13 A 8 Lth. I 26, Ztr. 76 N 21 Lth.

16

54

48

6 Ztr.

100

600 A

13

613 N

56

53

48

5 S

32

"160 Lth.

8

168 Lth.

16

8

8

Rechend, f. d. li. u. III. Cl.

G

98

(2). Man suche den Lasten Theil von 158 ff. 42 Kr.

24 j 158 ff. 42 Kr. > 6 ff. 36 Kr. 3

144

14 ff.

60

840 Kr.

42

882 Kr.

72

162

144

18"Kr.

4

72^-c

72

Die Division einer mehrnahmkgen Zahl durch
eine unbenannte kann auch dadurch ausgeführt werden,
daß man die mehrnahmige Zahl in die niedrigste
Benennung auflöset, dann die Division verrichtet, und
endlich den Quotienten wieder auf die höhete Be¬
nennung reducirt.

B e y s P i e l.

Wte'groß ist der 15te Theil von 19 Ztr. 93 A 4 Lth.

19 Zt.

100

1900 N 15 I 63780 > 4252 Lth.

93 60

63780 Lth.

99

32 I 4252 Lth. I 132 S

3 2

105 1.00 I 1.32 1 1 Ztr.

96  32 M

92

_64

28 Lth.

Der Quotient ist also:

1 Ztr. 32 A 28 Lth.

§. 58.

Au f g a b e n.

(1) . 1 K"Kerzen kostet 16 Kr.; wie viel bekommt
man um 4 st. 48 Kr. ? — 18 N.

(2) . Ein Knecht hat monatlich 7 fl. 30 Kr.; wie
lang wird er dienen müssen, um 37 fl. 30 Kr. zu ver¬
dienen? — 5 Monathe.

(3) . Ein Beamter bezieht monathlich 37 fl. 30 Kr.;
wie viel kommt aus einen Tag? — 1 fl. 15 Kr.

(4.) Ein Gärtner gibt 65 Stück junge Bäumchea
um 19 fl. 30 Kr.; wie theuer hat er das Stück ver¬
kauft? — Um 18 Kr.

(5) . Ein Kaufmann verkauft um 90 fl. Tuch, die
Elle zu 3 fl. 20 Kr.; wie viel Ellen hat er verkauft? —
27 Ellen.

(6) . Unter 52 durch Feuer verunglückte Familien
sind 9.'5 fl. 36. Kr. zu gleichen Theilen vertheilt wor¬
den; wie viel bekam eine jede Familie? — 17fl.48Kr.

(7) . Jemand kauft 27 N Wolle um lO fl. 48Kr.;
wie theuer bezahlte er das M davon? — Zu 24 Kr.

^8). Wie viel Balken braucht man zu einem
35° 2' 6" langen Geländer; wenn jeder Balken 8' 6"
lang ist? — 25 Balken.

G 2

100

(9) . 12 Wirthe kaufen zusammen 69 Eimer Wein;
-wenn nun jeder gleichviel zahlt, wie viel Wein be¬
kommt jeder Wirth? — 5 Eimer 3V Maß.

(10) . Ein Schafzüchtler hat 1038 Schafe, und ver¬
kauft die Hälfte davon, jedes zu 2 fl. 42 Kr., unter
der Bedingung, daß das Geld innerhalb eines JaLres
in vierteljährigen Terminen bezahlt werden.müsse;
wie viel Schafe verkauft er, wie viel Geld hat er da¬
für im Ganzen zu bekommen, und wie viel muß
vierteljährig gezahlt werden? — Es werden 519 Schafe
um 1401 fl. 18 Kr. verkauft, daher muß vierteljährig
der 4te Theil davon, nähmlich 350 fl. 19^ Kr., ge¬
zahlt werden.

(11) . Auf einem Wvchenmarkte werden 12 Metzen
Weizen zu 2 fl. 36 Kr., 26 Metzen zu2fl. 30 Kr.,
und 38 Metzen zu 2 fl. 20 Kr. verkauft. Wie viel
Metzen Weizen sind im Ganzen verkauft worden, wie
viel kosten sie alle zusammen, und wie hoch kommt im
Durchschnitte 1 Metzen?—Es sind zusammen 76 Metzen;
12 Metzen zu 2 fl. 36 Kr. machen 31 fl. 12 Kr.,
26 Metzen zu 2 fl. 30 Kr. machen 65 fl., und 38
Metzen zu 2 fl. 20 Kr. betragen 88 fl. 40 Kr.; also
sind alle 76 Metzen um^184 fl. 52 Kr. verkauft wor¬
den; daher kommt auf 1 Metzen im Durchschnitte
2 fl. 25 Kr. 3 -L.

(12) . Für einen Brückenbau haben 4 Gemeinden
742 fl. 12 Kr. zu gleichen Theilen beyzutragen; die
Gemeinde ^4 zahlte auf Rechnung 120 fl., die Ge¬
meinde « 134 fl. 25 Kr., 6 92 fl. 50 Kr., 0 148 fl.
8 Kr. Wie groß ist der Betrag, der auf jede Gemeinde
entfällt, und wie viel hat jede einzelne Gemeinde noch
nachzuzahlcn? — Auf jede Gemeinde kommen 185 ss.
-3 Kr. zu zahlen; davon hat noch 65 fl. 33 Kr.§

10L

L 51 fl. 8 Kr., 6 92 fl. 43 Kr., v 37 fl. 25 Kr.
zu berichtigen.

-»«s>«-

Fünftes Hauptftück.

Theilbarkeit der Zahlen.

§. 59.

^ine Zahl heißt durch eine andere theilbar, wenn
sie durch dieselbe dividirt keinen Rest zurückläßt. Z. B.
32 ist durch 8 theilbar, weil 8 in 32 gerade 4mahl
enthalten ist und kein Rest übrig bleibt; 36 aber ist
durch 8 nicht theilbar, weil da ein Rest übrig bleibt.

Jede Zahl ist durch sich selbst und durch 1 theil¬
bar. So ist z. B.

8 : 8 — 1, und 8:1— 8.

, 17 : 17 — 1, und 17 : 1 — 17.

Jene Zahlen, welche nur durch sich selbst und
durch 1 theilbar sind, heißen einfache oder Prim¬
zahlen; z. B. 1, 2, 3, 5, 7, 11, u. s. w.

Welche sind die Primzahlen von 1 bis 100?

Jene Zahlen, welche nicht nur durch sich selbst und
1, sondern auch noch durch eine andere Zahl theil¬
bar sind, heißen zusammengesetzte Zahlen; z. B.
8 läßt sich durch 8 und 1, aber auch durch 2 und 4
ohne Rest dividiren; 8 ist also eine zusammenge¬
setzte Zahl.

102 M

§. 60.

Regeln für die Theilbarkeit der Zahlen ?

1. Durch 1 ist je-e Zahl theilbar. Allein,
'da die Division durch 1 nichts ändert, wird durch 1
nie divl'dirt.

2. Durch 2 find alle geraden Zahlen thcil-
bar, d. i. jene Zahlen, welche in der Stelle der Ein¬
heiten 0, 2, 4, 6 oder 8 haben; z. B. 50, 92, 774,
86, 2218.

Der Grund dieser Regel läßt sich leicht cinsehen.
Alle Zehner, Hunderte, Tausende, . . . sind einmahl
durch 2 theilbar; kommen nun gar keine Einheiten vor,
oder stehet in der Stelle der Einheiten eine durch 2
Heilbare Zahl, nähmlich 2, 4, 6, 8, so muß auch die
ganze Zahl durch 2 theilbar seyn.

Jene Zahlen, welche in der Stelle der Einheiten 1,3,
5,7, 9 haben, heißen ungerade Zahlen, und sind
durch 2 nicht theilbar; z. B. 2l, 73, 45, 2187, 559.

3. Durch 3 find alle Zahlen theilbar, deren
Ziffernsumme durch 3 theilbar ist; z. B. 735
ist durch 3 theilbar, weit die Ziffernsumme 7 -s- 3
-s- 5 — 15 durch 3 theilbar ist; eben so sind 54, 87,
1437, 51294 durch 3 theilbar.

Von der Nichtigkeit dieser Regel kann man sich
auf folgende Art überzeugen. 10 : 3 — 3, und cs
Lleibt 1 zum Neste; 20 : 3 — 6, und eS bleibt 2
zum Neste; 30 : 3 — 10, und cs lleibt kein Nest,
oder 30 : 3 — 9, und cs bleibt der Nest 3; eben so
kann man 40 : 3 — 12 scheu und 4 als Nest anneh¬
men . . .; wenn man also 1 Zehner durch 3 thcilt,
so bleibt 1 zum Neste; diridirt man 2 Zehner durch 3,
so erhält man 2 zum Neste; überhaupt so viele Zehner
durch 3 dividirt werden, eben so viele Einheiten karm

lor

man als Rest/ annehmen. Ferner: wenn man 1 Hun¬
dert durch *3 dividirt, so^bleibt auch 1 zum Neste;
werden 2. 3, 4, . . Hunderte durch 3 dividirt, so kann
man 2,3,4,... als Neste aunchmcn. Dasselbe'gilt
von? den Tausenden , Zehntausend« , u/ s. w. Wenn
man!daher die Zehnen, Hunderte, Tausende,. . . durch
3 dividirt, so kann man die Ziffern selbst, welche in
der Stelle der Zehner, Hunderte, Tausende, ... ste¬
hen, alsss, Nestes.der Division^anschcn; sind nun alle
diese Neste und dazu noch die Einheiten zusammcngc-
nommcn durch 3 theilbar; so ist cS auch die ganze
Zahl; wenn aber jene Neste und die Einheiten durch

3 nicht theilbar sind, so ist cs auch die gcnzc Zahl
nicht. Jene Neste aber und die Einheiten zusammcn-
gcnommen bilden eben die Ziffcrnsumme. Eine Zahl
ist also durch 3 theilbar , wenn sich ihre Ziffcrnsumw.e
durch V.theilen laßt.

4. Durch L sind alle Zahlen theilbar,
deren zwey niedrigste Stellen rechts durch L
theilbar sind. Z. B. 732 ist durch 4 theilbar, weil
die ersten zwey Stellen rechts, nähmlich 32 durch 4 thcil-
bar sind; eben so sind 124, 2912, 5004, 2Li:0 durch

4 theilbar.

Alle Hunderte sind durch 4 theilbar, eben so alle
Tausende, Zehntausende, u. s. w. Sind nun auch
die Zehner und die Einheiten d. i. die zwey niedrig¬
sten Ziffern durch 4 theilbar, so ist cs auch die
ganze Zahl.

5. Durch 5 sind alle Zahlen theilbar,
welche in der Stelle der Einheiten 0 oder 5
haben; z. B. 10, 35, 80, 325, 7105, 129300.

Denn die Zehner, Hunderte, Tausende, . . .
sind einmahl durch 5 theilbar; cS kommt also nur auf

104

Die Einheiten an; sind entweder gar keine Einheiten
da, oder gerade 5 Einheiten, so ist die ganze Zahl
durch 5 theilbar; sonst nicht.

«. Durch 10, 100, 1000., ... find alle
Zahlen theilbar, welche? rechts 1, S, L, .. .
Nullen haben. So ist 450, 19200 durch 10; 3400,
5710000durch 100; 3000, 5920000durch 1000theilbar.

Für die Ausübung ist cs hinreichend, wenn man
die Kennzeichen der Theilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 10,
100, 1000 weiß; die Kennzeichen für die Theilbar¬
keit durch andere Zahlen sind viel zusammenge¬
setzter, und daher minder brauchbar.

Aufgaben.

(1) . Durch welche Zahlen ist 103740 theilbar?

(2) . Man gebe von allen Zahlen unter 100 an,
durch welche kleinere Zahlen sie theilbar sind.

(3) . Es soll bey nachstehenden Zahlen:

360, 2268, 1080, 4725, 75600, 96000
angegeben werden, durch welche andere Zahlen sie
ohne Rest getheilt werden können.

Sechstes Haupt stück.

Lehre von den Brüchen.

8- 61.

Äöenn man eine Einheit ein- oder mehrmahl nimmt,
so erhält man eine ganze Zahl; z. B. eine Elle,
fünf Ellen; die erste Zahl enthält die Einheit, nähm-
lich eine Elle einmahl, die zweyte fünfmal

105

Man kann aber auch die Einheit in mehrere glei¬
che Theile theilen, und dann einen oder mehrere solche
Theile nehmen. Eine Zahl, welche dadurch ent¬
stehet, heißt ein Bruck. Wenn man z. B. eine Elle
in vier gleiche Theile theilt, so ist jeder solche Theil
ein Viertel-Elle; ein Viertel-Elle, zwey Viertel-Ellen,
drey Viertel-Ellen sind daher Brüche, weil man sich
darunter nur einen Theil der Einheit, nähmlich den
vierten Theil einer Elle vorstellt, und zwar unter der
ersten Zahl einmahl, unter!der zweyten zweymahl,
unter der dritten dreymahl.

Ein Bruch ist demnach nichts anderes als elne^uyt,
welche einen oder mehrere gleiche Theile der Einheit
enthalt.

Wenn man ein Ganzes in 2, 3, 4, 5,. . . gleiche
Theile theilt, so heißt ein solcher Theil der zweyte,
-ritte, vierte, fünfte . . . Theil, oder die Hälfte,
das Drittel, Viertel, Fünftel, ... des Ganzen.

Um sich das Entstehen der Brüche recht anschau¬
lich zu machen, ziehe man unter einander mehrere
gleich lange Linien, lasse die erste ganz ungetheilt,
die zweyte theile man in 2, die dritte in 3, ... gleiche
Theile, wie folgende Darstellung zeigt.

I >-- -— —— —  -1

.? § ' i

3 '- -- -1

4 !-!-!-I-«

5 !-!-,-l!-1

! - -1-i-j-t

u. s. w.

1C6

Die erste Linie stellt die Einheit, das ungeteilte
Ganze vor. — Die zweyte Linie ist in 2 gleiche Theile
gethcilt worden, ein solcher Theil heißt die Hälfte
des Ganzen, oder ein Halbes; zwey solche Theile sind
jwcy Halte, und machen wieder die ganze Linie, em
Ganzes aus. — Die dritte Linie enthält 3 gleiche Theile;
ein solcher Theil heißt ein Tritte! der ganzen Linie;
zwey solche Theile bilden zwey Drittel; drey solche
Theile oder drey Drittel geben wieder die ganze Linie u. s. w.

Ter Begriff der Brüche kann auch durch Gulden-
theile sehr vorteilhaft Versinnlichetwerden. — Ein Gul¬
den enthält 60 Kr., wenn man einen Gulden in 2
gleicheTheile theilt, so enthält jeder solcheTheil30 Kr.;
ein halber Gulden oder die Hälfte eines Guldens sind
also 30 Kr.; zwey halbe Gulden machen 2mahl 30
d. i. 60 Kr., also einen ganzen Gulden. — Theilt
man einen Gulden in 3 gleiche Therle, so enthält ein
solcher Theil 20 Kr.; der dritte Theil oder das Drittel
eines Guldens sind also 20 Kr., 2 Drittel betragen
2mahl 20 d. i. 40 Kr.; 3 Drittel 3mahl 20 d. i.
60 Kr. oder einen ganzen Gulden u. s. w.

An den geteilten Linien, so wie an den verschie¬
denen Guldcnthcilcn ersieht man, daß ein Ganzes in
mehr oder weniger gleiche Theile getheilt werden, und
man von diesen mehr oder weniger nehmen könne.
Daraus folgt, daß zur Bestimmung eines Bruches
zwey Sachen erforderlich sind; erstlich muß man wis¬
sen , in wie viel gleiche Theile das Ganze ge¬
theilt ist; und dann, wie viel solche Theile zu
nehmen sind. Um also einen Bruch auszudrücken,
braucht man 2 Zahlen; die eine, welche anzciet, in wie
viel gleiche Theile das Ganze getheilt ist, welche also
die Theile benennt, und darum der Nenner Heißth

107

die ordere, »reiche anzeigt, wie viel solche Theile man
nrhrren müße, welche also die Theile zählt, und darum
der Zähler genarrt wird. Z. B. in dem Bruche drey
Viertel ist die Zahl 4 der Nenner, und zeigt an,
daß das Ganze in 4 gleiche Theile gctheilt wurde;
3 ist dir Zahler, und gibt an, daß man von solchen.
Theilcn 3 genommen habe.

Wie wohl man sich bcy Entstehung eines Bruches
früher verstellen muß, was für Theile er enthält, und
dann erst, wie viel solche Theile er hat, also frü¬
her auf den Nenner, und dann erst auf den Zähler
derlt, so wird doch beym Aussprcchcn und Anschreiben
der Brüche die umgekehrte Ordnung beobachtet.

Beym Aussprechen der Brüche wird zuerst
der Zähler und dann der Nenner genannt; z. B. drcy
Viertel, sieben Zehntel.

Eben so seyt man beym Anschreiben zuerst den
Zähler an, zieht einen Strich, und schreibt den Nen¬
ner darunter; z. B. § oder oder '/,<>.

Aufgaben.

(1) . Wie viel ist Gulden? — Wenn man ei¬
nen Gulden oder 60 Kreuzer in 10 gleiche Theile theilt,
so enthält 1 solcher Theil 6 Kr.; also fl. — 6 Kr.

(2) . Wie viel Kreuzer enthält z, z, f, i,

-o, Gulden?

(3) . Wie viel beträgt ß Gulden?— Wenn man ei¬
nen Gulden in 3 gleiche Theile theilt, so kommen auf
einen Theil 20 Kr.; 2 solche Theile enthalten also
Lmahl 20 d. i. 40 Kr.; also fl. — 40 Kr.

54» Was maät

inuut 4, z, 5, z, s, 10,10, Iw
z,, ss Kultus
LL/ 15, 20, 30, v" .

(5). Wie viel ist ^,7^ Zentner?

108

(6) . Wie viel Pfund machen r, Zentner?

(7) Wie viel Loth macht z, r z,

Pfund?

(8) . Wie viel Monathe beträgt r, irl
I, i, Jahr?

§. 62.

Man theilt die Brüche in echte und unechte ein.

Ein echter Bruch ist derjenige, dessen Zähler
kleiner ist als der Nenner; jeder andere Bruch, des¬
sen Zähler entweder gleich dem Nenner oder größer
als der Nenner ist, heißt ein unechter Bruch. Z. B.

1 «) o 7 124

2, Z, Z,'i2, 273 stud echte Brüche.!

2, 3, 5,"12, 273 sind unechte Bruche.

Der Unterschied läßt sich recht gut durch Linien
versinnlichen.

SH

-1-'-.. -V

2^^--!-!- !-^<8

.L.

.-j-u-.-T—

Es stelle die Linie .18 die Einheit vor, welche in
4 gleiche Theile oder Viertel eingetheilt wird. An der
ersten Linie nimmt man nur 3 solche Theile, au der

los
zweyten 4, an der dritten 5. Im ersten Falle ist also
der Zähler kleiner als der Nenner, im zweyten eben
so groß, im dritten größer. Die erste Linie stellt also
einen echten Bruch, die zweyte und dritte stellen un¬
echte Brüche vor.

An diesen Linien ersteht man auch, daß ein echter
Bruch kleiner, ein unechter aber gleich oder größer
ist als die Einheit. Davon Mnn man sich auch über¬
zeugen, wenn man echte" und unechte Guldenbrüche
betrachtet, und untersucht,'ob sie kleiner, gleich oder
größer als ein ganzer Gulden sind. Z. B. V» fl. —
45 Kr.; fl. — 00 Kr.; fl. — 75 Kr.

Eine Zahl, welche aus eincr^ganzen Zahl und
aus einem angehängten Bruche besieht, heißt eine
gemischte Zahl; z. B. 2?, 25^, 348^.

Wenn bey der Division ganzer Zahlen ein Re
übrig bleibt, so ist der Quotient immer eine gemischte
Zahl.

8- 63.

° Jeder unechte Bruch laßt sich in eine ganze
oder gemischte Zahl verwandeln»

Es sey z. B. ;; 4 Viertel machen ein Ganzes,
4 ist aber in 8 2mahl enthalten, also machen 8 Vier¬
tel 2 Ganze, oder ; — 2. — Es sey ferner "; 3 Drit¬
tel machen 1 Ganzes, 14 Drittel also machen so viel
Ganze, als wiegst 3 in 14 enthalten ist; 3 ist in 14
4mahl enthalten, und es bleiben noch 2; also betra¬
gen 14 Drittel 4 Ganze und noch 2 Drittel, oder
? -- 41.

Eben so ziehe man aus folgenden Brüchen die
Ganzen heraus: 2, ",

z io

Daraus ersieht man:

Um aus einem unechten Bruche die Gan-
Ze« heraus zu ziehen, muß man untersuchen, wie
oft der Nenner in dem Zähler enthalten ist, d. h. man
muß den Zähler durch den Nenner dividiren; der
Quotient gibt die Anzahl Ganze, bleibt ein Rest, so
ist er der Zähler des noch anzuhängenden Bruches,
dessen Nenner dem frühem Nenner gleich ist.

B e y s p i e l e.

(1) - Man ziehe aus die Ganzen heraus. 9 ist
in 45 5mahl enthalten; also — 5.

(2) . soll in Ganze verwandelt werden. 8 ist
in 68 8mahl enthalten, mit dem Neste 4; als»
«8    04

L«   Og.

(3) . — 27^, denn 21 I 578 , 27^

4r

158

147

11

(4) . H-0 -- 38lA.

M. A - "L-

12345 ^141

Aus dem Vorhergehenden folgt auch, daß ei«
Bruch als eine angezeigte Division betrachtet werden
kann; der Zähler stellt den Dividend, der Nenner de»
Divisor vor. Es ist also

s - » : t; s - I, : s- - - S : S

Ill

§- 64-

Wie jeder unechte Bruch auf eine ganze oder
gemischte Zahl gebracht werden kann, so läßt sich auch
umgekehrt jede ganze oder gemischte Zahl irr
«inen unechten Bruch verwandeln.

1. Es soll z. B. 4 in einen Bruch, dessen Nen-
ner 6 ist, also in Sechstel verwandelt werden. 1 Gan¬
zes hat 6 Sechstel, also 4 Ganze 4mahl 6 Sechstel
d. i. 24 Sechstel; daher 4 — — Man bringe

eben so 5 auf Viertel, 7 auf Achtel; 12 auf Zehntel.

Man wird daraus ersehen:

Um eine ganze Zahl in einen Bruch, dessen
Nenner gegeben ist, zu verwandeln, multiplicirt
man die ganze Zahl mit dem gegebenen Nenner; die¬
ses Product setzt man als Zähler, und den gegebene«
Nenner als Nenner des unechten Bruches.

B e y s p i e l e.

— 2 — 3 — 4 —5 — 6 — 10—56.
1—2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 10 — 56'

— 10 — 15 — 20 — 25-30 — 35 — 50.

2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 —10'

12 - 20 -- M. 47 ^-0

2. Man verwandle die gemischte Zahl 5' m
einen unechten Bruch. Zuerst bringt man 5 auf Vier¬
tel, 1 Ganzes gibt 4 Viertel, 5 Ganze also 5X4
d. i. 20 Viertel; nun addirt man noch die 3 Viertel
dazu, so hat man 23 Viertel; also 5' — — Auf

dieselbe Art sollen die gemischten Zahlen 3^, 7^, 12^
7^ in unechte Brüche verwandelt werden.

gemischte Zahl in einen unechten Bruch ver-
WMelnMrßt die gemischte Zahl einrichten.

sz? Kr«!-»»« 7I-

112

Aus den früheren Bcyspiclcn entnimmt man die
Regel:

Eine gemischte Zahl wird eingerichtet,
wenn man die ganze Zahl mit dem Nenner deS Bru¬
ches multiplieirt, und zu diesem Produkte den Zähler
addirt; dieses ist dann der Zähler, worunter als Nen¬
ner der frühere Nenner gesetzt wird.

B e y s p i e l e.

2 — 22.,. 4 60 83

5—5?, ^7—7' 10 — 10»

5 972^ 83 5 ^869

8 — d ' 3 — 3 ' .6" 6

___ . c,,- 82123. 7 2f7 — 2W

12 — 12 ' ^^Io2 — 102'^ 348—^8

§. 65.

Nun soll untersuüt werden, was mit dem Werthe
eines Bruches geschieht, wenn man den Zähler des¬
selben, oder den Nenner, oder Zähler und Nenner
zugleich, durch die Multiplikation oder Division ver¬
ändert.

1. Veränderung des Zahlers.

Je größer der Zahler wird, indessen der Nenner
ungeändert bleibt, desto größer ist der Bruch; denn
je mehr gleich große Theile man nimmt, desto mehr
hat man zusammen. Z. B. 4 Drittel sind 2mahl so
viel als 2 Drittel, 6 Trittcl sind 3mahl so viel als
2 Trittcl, u. s. w.; wovon man sich auch durch
Bestimmung der Guldcntheile überzeugen kann;
? fl. -- 40 Kr.; r st. - 80 Kr.; § fl. -- 120 Kr.;
oder durch die Einteilung einer Linie:

11Z

. .

-1—

Daraus ersieht man, daß man, um den Werth eines
Bruches 2mahl, 3mahl, 4mahl, . . so groß zu erhalten,
nur den Zahler 2, 3, 4mahl so groß zu nehmen
habe; oder:

Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl
multtplictrt, wenn man den Zähler damit multi-
plicirt, den Nenner aber ungeändert läßt.

B e y s p i e l e.

1 X 6 3; x 12 9;

25 - 800 - 28 X 22-> - ^^74^1 !

Z2 X 6d — > 344 - 344 344'

Aus dem Vorigen folgt auch, daß 2 Drittel die
Hälfte von 4 Dritteln, der dritte Theil von 6 Dritteln
ist, u. s. w. Um daher von einem Bruche den 2ten,
3ten, 4ten Thell zu erhalten, darf man nur von dem
Zähler den 2ten, 3ten, 4ten Theil nehmen; oder:

Ein Bruch wird ddrch eine ganze Zahl
dtvidirt, wenn man den Zähler dadurch dividirt, dem
Nenner aber ungeändert läßt.

B e y s p i c l e.

L..»—_2 4 _,2. 30 . - - 6.

25'6—25; '3' 9' 7 7^

25,—^ - 1» — 12, 729 . 27 — 27.

64' — 64» V25 ' 625Z 500 ' 500-

Rechend, f. d. ll. u. M. Cl. H

114

2. Veränderung des Nenners.

Wenn der Nenner größer wird, der Zähler aber
ungeändert bleibt, so wird der Bruch kleiner; denn in
je mehr Theile das Ganze getheilt wird, desto kleiner
sind ri > einzelnen Theile, folglich auch desto kleiner
eben so viele solche Theile zusammen. Nimmt man
z. B. den Bruch 5, und multiplicirt den Nenner mit
3, so erhält man in beyden Fällen hat man 2 Bruch-
theile, im ersten Falle sind es 2 Drittel, im zweyten
2 Neuntel; nun ist 1 Neuntel der 3te Theil von 1 Drit¬
tel, also sind auch 2 Neuntel nur der 3te Theil von2 Drit¬
teln; wovon man sich auch an einer eingetheilten Linie
überzeugen kann.


Wenn man also den Nenner eines Bruches 2,
3, 4mahl so groß nimmt, so erhält man dadurch nur
den 2ten, 3ten, 4ten Theil des frühern Bruches; oder:

Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl
-tvidirt, wenn man den Nenner damit multiplicirt,
den Zähler aber ungeändert läßt.

B e y s p i e l e.

. o — 9 .

10 ' o 80 '

Nt in

16 ' 192'

f . 2   t. 1 _ 5

3 ' — 6' 8 ' o — 24'

12 12 2 2

25 ' o — 125 > 27 ' — 270 '

Aus dem Vorigen folgt auch umgekehrt, daß das

3fache von; ist. Wenn man also von dem Nenner eines

115

Bruches nur den 3ten Theil nimmt, so wird der Werth
des Bruches 3mahl so groß; überhaupt:

Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl
multiplicirt, wenn man den Nenner dadurch divi-
dirt, den Zähler aber ungeändert läßt.

B e p s p i e l e.

— X5 —-- ——- —1-'—

25 — — 5 — 5 > 81 9'

—X25 —— — 20^' — X 2 — —
20^^ — ö' 125 z —^5, 128 ^^^64

Es gibt also eine zweyfache Art, einen Bruch mit
einer ganzen Zahl zu multipliciren, entweder indem
rnan den Zähler damit multiplicirt, oder wenn man
den Nenner dadurch dividirt. Letzteres kann nur dann
geschehen, wenn der Nenner durch die ganze Zahl
theilbar ist.

Ebenso gibt es ein doppeltes Verfahren, einen
Bruch durch eine ganze Zahl zu dividiren; entweder
wird der Zähler dadurch dividirt, oder der Nenner
damit multiplicirt. Ersteres kann nur dann geschehen,
wenn der Zähler durch die ganze Zahl theilbar ist.

66.

3. Veränderung des Zählers und des Nen¬
ners zugleich.

s. Wenn man Zähler und Nenner eines
Bruches mit derselben Zahl multiplicirt, so
wird der Werth des Bruches nicht geändert. —
Denn, wird der Nenner z. B. mit 3 multiplicirt, so
ist das Ganze in 3mahl so viel Theile getheilt, also
sind die einzelnen Theile 3mahl so klein als früher;

H 2

116

wird nun zugleich auch der Zähler mit derselben Zahl
3 multiplicirt, so erhält man dadurch 3mahl so viel
Theile, aber jeder Theil ist nur ein Drittel eines frü-
Hern Theils; man erhält also dadurch eben so viel,
als man früher hatte; d. h. der Werth eines Bruches
wird nicht geändert, wenn man Zähler und Nenner
mit einerley Zahl multiplicirt. — Die Richtigkeit die¬
ses Satzes könnte man auch so nachweisen: wenn m an
den Zähler mit 3 multiplicirt, so wird auch der Bruch
mit 3 multiplicirt, man erhält also 3mahl so viel;
wird der Nenner mit 3 multiplicirt, so wird der Bruch
durch 3 dividirt, man erhält also nur das Drittel deS
frühern; wird aber eine Zahl 3mahl, und davon wie¬
der das Drittel genommen, so bleibt die ursprüngliche
Zahl ungeändert.

Auch durch Linien kann hier die Versinnlichung
geschehen.

-s

->-!--,-> "'->1 -1- l

Man theile eine gerade Linie in 4 gleiche Theile,
und nehme 3 solche Theile, so hat man den Bruch —
Nun ziehe man eine eben so lange Linie, theile sie in
2mahl so viel, also in 8 Theile, und nehme deren
2mahl so viel als früher, also 6, so hat man den Bruch Z.
Man sieht, daß er denselben Werth hat, als der

117

Bruch — Zieht man ferner eine dritte eben so lange
Linie, theilt sie in 3mahl so viel, also in 12 gleiche
Theile, und nimmt von solchen Theilen 3mahl so viel
als das erste Mahl, also 9, so hat man den Bruch
welcher, wie man sieht, mit und ß einerley Werth hat.

Zur noch größern Überzeugung kann man fol¬
gende Guldenbrüche

123^^101530
2' 4' 6' 10' 12' 20' 34' 60

betrachten, die alle aus dem ersten entstehen, wenn
man darin Zähler und Nenner mit einerley Zahl mul-
tiplicirt. Drückt man jeden dieser Brüche in Kreuzern
aus, so findet man, daß alle gleichviel bedeuten.

b. Wenn man Zähler und Nenner eines
Bruches durch die nähmliche Zahl dividirt, so
bleibt der Werth eines Bruches unverändert.—
Denn: wird der Nenner z. B. durch 3 dividirt, so
wird dadurch das Ganze in 3mahl weniger Theile
getheilt, also werden die einzelnen Theile 3mahl so
groß seyn als Anfangs; wird nun zugleich der Zähler
durch die nähmliche Zahl 3 dividirt, so erhält man
dadurch 3mahl weniger Theile, aber jeder einzelne
Theil ist 3mahl so groß als früher; also hat man zu¬
sammen eben so viel, als Anfangs da war d. h. der
Werth des Bruches ist ungeändert geblieben. — Oder:
wird der Zähler durch 3 dividirt, so wird auch der
Bruch durch 3 dividirt, man erhält also nur ein Drit¬
tel des srühern Bruches; wird der Nenner durch 3
dividirt, so wird dadurch der Bruch mit 3 multipli-
cirt, also 3mahl genommen; wenn man aber von
einer Zahl zuerst ein Drittel nimmt, und dieses wie¬
der 3mahl setzt, so erhält man die ursprüngliche Zahl.

118

Dasselbe ersieht man auch aus den oben einge-
theilten Linien; es ist nähmlich

6 3 ^93

8^4' und 12 4

Auch findet man, daß

Man kann also die Form eines Bruches ohne
Veränderung des Werthes auf zweyfache Art ändern,
entweder indem man Zähler und Nenner mit derselben
Zahl multiplicirt, oder indem man beyde durch die¬
selbe Zahl dividirt.

67.

Um zwey oder mehrere Brüche hinsichtlich ihrer
Größe mit einander vergleichen zu können, müssen sie
einerley Nenner haben. Von den zwey Brüchen § und
§ ist der zweyte größer als der erste, weil 3 Fünftel
gewiß mehr betragen als 2 Fünftel.

Von Brüchen, welche gleiche Nenner haben, ist
also derjenige größer, welcher den größer» Zäh¬
ler hat.

Nimmt man aber zwey Brüche, welche ungleiche
Nenner haben, z. B. und §, so kann man ihre
gegenseitige Größe nicht leicht unmittelbar abschätzen;
man muß sie erst in solche verwandeln, welche einen
gemeinschaftlichen Nenner haben. Es ist, wenn man
durch die Multiplikation die Form verändert,

? — 6 —

3 — 6 — 9—12

3 6 9

4 — 8 — 12

119

Statt der Brüche z und hat man also zwey
andere Brüche und welche einerley Nenner
haben, und den vorigen am Werthe gleich sind. Nun
ist offenbar größer als also ist auch größer
als — Man kann sehr leicht finden, wie die neuen
Brüche und aus den gegebenen und E entstan¬
den find. Betrachtet man den neuen Nenner 12, so
sieht man, daß er das Product aus den beyden andern
3 und 4 ist. Der Nenner des Bruches ß ist in 12 4mahl
enthalten, es ist also der Nenner mit 4 multiplicirt
worden, daher muß man auch den Zähler mit 4 mul-
tipliciren, 2mahl 4 ist 8, welches der neue Zähler ist;
der Nenner des Bruches ist in 12 3mahl enthalten,
dieser Nenner ist also mit 3 multiplicirt worden,
daher muß, auch der Zähler mit 3 multiplicirt werden,
3mahl 3 ist 9, also der neue Bruch — Daraus sieht
man auch, daß der neue gemeinschaftliche Nenner durch
jeden gegebenen Nenner theilbar seyn müsse.

Auf gleiche Weise verfährt man auch, wenn mehr
als zwey Brüche auf gleichen Nenner zu bringen sind.
Es seyen Vic'Brüche §, ° auf einen gemein¬
schaftlichen Nenner zu bringen. Man wird zuerst eine
Zahl suchen, welche durch alle vier Nenner theilbar
ist; diese findet man sicher, wenn man alle Nenner mit ein¬
ander multiplicirt; es wird also 3X4X5X?— 42S
der gemeinschaftliche Nenner aller Brüche sepn. Um den
neuen Zähler eines jeden Bruches zu finden, muß man
untersuchen, mit welcher Zahl jeder Nenner multipli¬
cirt werden muß, um den neuen Nenner zu bekommen,
d. i. wie oft jeder Nenner in dem neuen enthalten ist;
mit der nähmlichen Zahl muß dann auch jeder Zähler
multiplicirt werden Man hat also

§20

420 : 3 140; 2 X 140 — 280; also i-

420 : 4 — 105; 3 X 105 — 3l5; „

420 : 5 — 84; 4 X 84 — 336; „ z —

420 : 7 — 60; 6 X 60 — 360; „ °—

Wenn man die Nenner aller Brüche mit einan¬
der multiplicirt, so ist das Product gewiß durch jeden
dieser Nenner Heilbar. Allein oft gibt es noch kleinere
Zahlen, welche ebenfalls durch alle jene Nenner Heil¬
bar sind, und zwar da, wo einige Nenner in den
großem ohne Rest enthalten, oder wo mehrere Nenner
durch die nähmliche Zahl Heilbar sind. Wären z. B.
die Nenner 2, 3, 4, 12 angegeben, so ist sicher ihr
Product 2X3X4X 12 — 288 durch sie alle
Heilbar, allein es haben auch die kleinern Zahlen
276, 264, 252, 240, ... 60, 48, 36, 24, 12 die
Eigenschaft, daß sie sich durch alle obigen Nenner ohne
Rest Heilen lassen. Die kleinste Zahl, welche durch
jene Nenner theilbar ist, ist 12; diese Zahl ist also der
kleinste gemeinschaftliche Nenner. Da es bequemer ist,
mit kleinern Zahlen zu rechnen, so Pflegt man die
Brüche gewöhnlich auf den kleinsten gemeinschaftlichen
Nenner zu bringen.

Den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner
mehrerer Brüche findet man durch folgendes Verfahren:

1. Man schreibt alle Nenner in eine Reihe neben
einander, und streicht die kleinern Nenner, welche in
den größcrn ohne Rest enthalten sind, durch.

2. Nun sieht man, ob nicht von den übriggeblie-
denen Nennern zwey oder mehrere durch eine gemein¬
schaftliche Zahl theilbar sind. Ist dieses der Fall, so
zieht man darunter eine Linie, setzt links die Zahl, durch
ltvelche jene Nenner theilbar sind, und dividirt durch dieselbe
die hierdurch Heilbaren Nenner; jene Nenner, welche da-

121

durch nicht theilbar sind, werden unverändert herunterge¬
setzt, von den übrigen kommen nur die Quotienten herab;
der Quotient 1 wird nicht angeschrieben.

3. Die erhaltenen neuen Zahlen kürzt man, wenn
es möglich ist, auf dieselbe Weise ab, und wiederhohlt
dieses Verfahren so lange, bis kein Paar der Unter der
Linie erhaltenen Zahlen durch eine gemeinschaftliche
Zahl mehr theilbar ist.

4. Endlich multiplicirt man die Zahlen unter der
letzten Querlinie und die links stehenden Zahlen, durch
welche man dividirt hat, mit esnander. Das Product
Ist der kleinste gemeinschaftliche Nenner.

Wäre z. B. zu den Nennern 2, 3, 4, 5, 8,12,15,
18 der kleinste Hauptnenner zu suchen, so würde die
Rechnung so stehen:

2, 3,.4, Z, 8, 12, 15, 18

2-

4, 6, 15, 9

2 -

2, 3, 15, S

3 -

2, 5, 3.

Der kleinste Hauptnenner ist also:

2X5X3X 2X2X3^ 360.

Nach allem Vorhergehenden muß man, um meh¬
rere Brüche auf den kleinsten gemeinschaft¬
liche« Nenner zu bringen, folgende Regeln
beobachten:

1. Man suche den kleinsten gemeinschaftlichen
Nenner.

2. Der gefundene gemeinschaftliche Nenner wird
durch jeden gegebenen Nenner dividirt, und mit dem
Quotienten der dazu gehörige Zähler multiplicirt;
dieses Product ist der neue Zähler.

122

Man zieht gewöhnlich neben den gegebenen Brü¬
chen eine aufrechte Linie, schreibt obenan den Haupt¬
nenner; rechts setzt man dann die erhaltenen Quotien¬
ten, und noch weiter, nachdem man eine zweyte auf.
rechte Linie gezogen hat, die Producte, welche die
neuen Zähler bilden.

nähmlich 35,

auf

r

6

4

3

2

1

20

05

«

7
n

1 6 l 41 3

6 folglich 2 jz, g — 12, 4 — 12'

4

3 5 — 10 _7

10 6 — 12' 12 — 12'

7

B e p s p i e l e.

(1) . Man bringe die Brüche § und auf den
kleinsten gemeinschaftlichen Nenner.

Zuerst sucht man diesen kleinsten gemeinschaftlichen
Nenner. Da 5 und 7 durch keine gemeinschaftliche Zahl
theilbar sind, so ist ihr Product selbst,
der kleinste Hauptnenner; und man hat

35

^7,21 also^Z's-

5 j 20

Eben so bringe man , und und ferner
r, § und endlich 1, §, ß und auf den kleinsten
Hauptnenner.

(2) . Man bringe die Brüche
den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner.

Man hat

2, 3, 4, 6, 12.

Hier sind also alle kleinern Nenner in dem größ¬
ten 12 ohne Rest enthalten, daher ist 12 der kleinste
Hauptnenner. Die weitere Rechnung stehet:

12

12Z

Auf dieselbe Art sollen die Brüche und
und z; r »nd ß; ferner i, iß, auf
die kleinste gemeinschaftliche Benennung gebracht
werden.

(3). Die Brüche ß, ß, z, sollen auf gleiche
Benennung gebracht werden.

Die ganze Rechnung stehet

3, ä, 6, 10

2-

3, 5

also 3 X 5 X 2 — 30 der Hauptnenner;

30

gleichnamig machen.

§. 68.

So wie die Formveränderung der Brüche durch
die Multiplication dazu dient, um mehrere Brüche
auf gleichen Nenner zu bringen; so wird auch die Form¬
veränderung durch die Division angewendet, um die
Brüche abzukürzen. Es heißt aber einen Bruch ab-
kürzen, denselben ohne Änderung des Werthes mit
kleineren Zahlen darstellen. Dieses kann in allen Fällen
geschehen, wo Zähler und Nenner durch die nähmliche
Zahl theilbar sind; man braucht sie nur beyde durch
jene Zahl zu dividiren.

So kann man z. B. in dem Bruche ° Zähler und
Nenner durch 3 dividiren, weil beyde dadurch theil-

124

Lar sind; nach verrichteter Division erhält man
welcher Bruch in kleinern Zahlen dargestellt ist
als §, aber damit gleichen Werth hat, weil der Werth
eines Bruches nicht geändert wird, wenn man Zähler
und Nenner durch einerley Zahl dividirt.

I. Das Addiren der Brüche.

8. 69.

Beyrn Addiren der Brüche sind mehrere Fälle
zu unterscheiden.

a. Wenn die Brüche gleiche Nenner haben.

Es seyen die Brüche und zu addiren. 3 Fünf¬
tel und 4 Fünftel geben gewiß 7 Fünftel, oder 1 Gan¬
zes und 2 Fünftel; also § -s- 4 — iL.

Brüche von gleichen Nennern werden also
addirt, wenn man ihre Zähler addirt, und als Nen¬
ner den gemeinschaftlichen Nenner beybehält.

Beispiele.

sN - -t- - — - — s.

8 8 — 8 — 2

s»-» - — - _ i

125

15 15 15 15 15 — 15 15

^^5,11,19.23 59 ^ II.

i>. Wenn die Brüche ungleiche Nenner haben.

Es seyen z. B. und E zu addiren. So wie 2 Kr.
und 3 fl. weder 5 Kr. noch 5 fl. geben, eben so machen
2 Drittel und 3 Viertel zusammen weder 5 Drittel
noch 5 Viertel aus; man muß die zwey Brüche zuerst
auf eine gemeinschaftliche Benennung bringen. Der
kleinste Hauptnenner ist 12, und die neuen Brüche
heißen und ; da sie nun gleiche Nenner haben, so
kann man sie addiren, wenn man die Zähler addirt;
man erhält — 1^,. Die ganze Rechnung stehet

12

^4 ! 8

11-1-

12 — 12

Um also Brüche zu addiren, welche un¬
gleiche Neuner haben, bringe man sie zuerst
auf einen gemeinschaftlichen Nenner, addire dann die
Zähler und setze den gemeinschaftlichen Nenner darunter.

B e p s p i e l e.

10

8

4

2

1

4

(1).^2-2


^ii

4 4

18

^8

4

2

1

8 , 11 , 29-139
(4)- 9 -k" 12 30 - 2sW

(3). z

4

8

—

16

^5

16

30

(2). ; 10 20

r 6 24

3 27

71

30'

126

236?

52
ist

127?

74

— i >»
,g — ix»-

375^

^444

1
51?

KO

3 (3). 104?^20 40

5 35

v. Wenn unter den Addenden ganze oder ge¬
mischte Zahlen verkommen.

In diesem Falle werden die Ganzen für sich, und
die Brüche für sich addirt, und wenn in den
Brüchen auch Ganze vorkommen, diese zu den Ganzen
hinzugezählt.

Beym Kopfrechnen werden früher die Ganzen
und dann die Brüche, beym schriftlichen Rechnen aber
früher die Brüche und dann die Ganzen addirt. Der
Grund dieser Abweichung liegt darin, weil man sonst
beym Zifferrechnen häufig die in den Ganzen schon
angeschriebenen Ziffern ändern müßte.

Es seyen z. B. 3? und 5^- zu addiren.

Im Kopfe: 3 und 5 sind 8 Ganze; 5 Sechstel
geben 10 Zwölftel, und 7 Zwölftel sind 17 Zwölftel,
diese machen 1 Ganzes und 5 Zwölftel, also zusammen
S Ganze und 5 Zwölftel. Schriftlich:

12

3 §s2! 10

5^1 l l 7

L? — 1'

"ir ir «r»

Aus der Summe der Brüche erhält man 1^; der
Bruch wird ungeschrieben, 1 Ganzes aber wird zu
den Ganzen weiter gezählt.

B e y s p i e l e.

9

(1). 35? (2). 7^ 3

5

1

127

(4) .2l^ 3^-t- 24 43.

(5) .3^7^24^-1-^Z-13^50Z-

(6) . 52^ 8Z-1-72^- 100^11^ 246Z

8- 70.

Aufgaben.

(1) . Ein Tuchhändler verkauft von einem Stücke
Tuch nach und nach 4z, 2z, 5z Ellen; wie viel Ellen
zusammen? — 12,1, Ellen?

(2) . Jemand gab für verschiedene Bedürfnisse
nachstehende Summen aus, 45z, 5^, 27z, und 26 fl.;
wie viel beträgt die ganze Ausgabe? — 103zz fl.

(3) . Ein Kaufmann kauft den Zentner Kaffeh zu
32^ fl.; wie theuer wird er einen Zentner verkaufen
müssen, um dabey 5z fl. zu gewinnen? — Um 32z
üz d. i. um 37z fl.

(4) . Die Auslagen für einen Bau betragen für
die Maurer 984z fl., für die Zimmerleute 228' fl., für
de» Schlosser 108§ fl., für Baumaterialien 548 fl.,
und für Verschiedenes 314z fl.; wie hoch kommt der
ganze Bau zu stehen? — Auf 2184^ fl.

(5) . Jemand erhält 5 Kisten Maaren, die erste
wiegt 108^ N, die zweyte 136z N, die dritte 115 A,
die vierte 110z M, die fünfte 98z A; wie viel wiegen
alle 5 Kisten? — 569 L

(6) . Bey einem Thurme beträgt die Höhe bis zu
den Glocken 18° 3z,, und von da bis zur Spitze 10"
5z,; wie groß ist die ganze Höhe des Thurmes? —
LS° 3z,.

(7) . Jemand hat an Zinsen zu zahlen:

128

137 fl. 24z Kr., 205 fl. 15^ Kr., 308 fl. 48 Kr.,
75 fl. 27^ Kr., wie viel macht dieses zusammen? —
726 fl. 55z Kr.

II. Das Subtrahiren der Brüche.

8. 71.

s. Wenn die Brüche gleiche Nenner haben.

Nimmt man 2 Fünftel von 4 Fünftel weg, so
bleiben natürlich noch 2 Fünftel übrig; oder

4   2   2

5 5 5'

Brüche, welche gleiche Nenner haben, wer¬
den also subtrahirt, wenn man ihre Zähler von ein¬
ander subtrahirt, und unter den Rest den gemeinschaft¬
lichen Nenner schreibt.

i e l e.

— 7.

— 9

2

iö — 1Ö 19-5

— t.

25 25 — 25—5

d. Wenn die Brüche verschiedene Nenner
haben.

Da nur gleichnahmige Zahlen von einander abge¬
zogen werden können, so muß man Brüche, welche
ungleiche Nenner haben, zuerst auf gleiche Benennung
bringen, dann zieht man die neuen Zähler von ein¬
ander ab, und nimmt als Nenner den gemeinschaftli¬
chen Nenner beyder Brüche an.

B e y s P

1 — 8^1

^'9 9—9

7 3 4

129

B e y s p i e l e.

8 KO KO

(1). ;^1 ! 7 (2).^ 5125 (3).zis234

' 2 12^ ^5 25

L LL __»/

» «o «o—ro

/^5^ — II-

12 9-"36

3_2_^1.

z 7—35

e. Wenn etn Bruch von einer ganzen Zahl
abzuziehen ist.

Es soll ' von 12 weggenommen werden. — Man
borgt bey 12 1 Ganzes, wo sodann noch 11 Ganze
tbrig bleiben; 1 Ganzes gibt davon § weggenom¬
men, bleiben §, und die 11 Ganzen sind 11§.

Wenn also ein Bruch von einer ganzen
Zahl zu fubtrahtren ist, so borgt man bey der
ganzen Zahl 1 Ganzes, löset dieses in solche Bruch-
theile auf, wie sie der abzuziehende Bruch enthält, und
subtrahirt die Brüche; wird der übriggebliebene Bruch
zu der um 1 verminderten ganzen Zahl hinzugesetzt, so
hat man den gesuchten Rest.

B e y s p i e l e.

8 100 555

1 7 IS

3  _ 10  _ LL

7z 99^ 554^

6. Wenn eine gemischte Zahl von einer
ganzen Zahl abzuziehen ist.

Man soll 2; von 8 subtrahiren.

Rechend, s. d. H. u. UI. Cl. I

130

Im Kopse: L von 8 bleiben 6, und von dem
Reste 6 noch § weggenommen, bleiben 5^.

Beym schriftlichen Rechnen aber wird früher der
Bruch und dann erst die ganze Zahl abgezogen. Man
borgt nähmlich bey 8, 1 Ganzes, löset dieses in Z auf
und subtrahirt davon noch wovon k übrig bleibt;
nun zieht man die Ganzen ab; im Minuend sind nur
noch 7 Ganze, weil ein Ganzes weggeborgt wurde,
2 von 7 bleiben 5; der ganze Rest ist 5^.

Wenn also eine gemischte Zahl von einer
ganze« Zahl abgezogen werden soll, so borgt
man bey der ganzen Zahl 1 Ganzes, verwandelt dieses
in solche Bruchtheile, wie sie der abzuziehende Bruch
enthält, und subtrahirt diese Brüche; dann subtrahirt
man die Ganzen des Subtrahends von der um 1 ver¬
minderten ganzen Zahl im Minuend, ^und setzt die
beyden Reste zusammen.

B e y s p i e l e.

10 214 500

5z 81^ 499,^

4k 132^

Ist eine ganze Zahl von einer gemischten abzuzie¬
hen, so setzt man den Bruch des Minuends sogleich in
den Rest, und subtrahirt nur die Ganzen; z. B.

17^ 324^

6 128

196^

6. Wenn ein Bruch oder eine gemischte
Zahl von einer gemischten Zahl abzuziehen ist.

In diesem Falle ist es am besten, zuerst die ge¬
mischten Zahlen einzurichten, und dann erst zu sub-
trahiren.

131

B e y s P i e l e.

24

(1). 10^ (2). 3 4l7

Z__3 1^ 2 230

4—4 12^)2

— q1 IS

4—^4 ^2 24^^24

(3). 5?-3^ IZ

(5) . 29^-3^ 25^

(6) .2iz-9Z-11Z

§. 72.

Aufgaben.

(1) . Von einem 54 Ellen langen Stücke Leinwand
werden 25z Ellen verkauft; wie viel Ellen bleiben
noch? — 28z Ellen.

(2) . Jemand kauft eine Waare um 65z fl., und ver¬
kauft sie dann um 8iz fl.; wie viel gewinnt er da-
bey? — 16z fl.

(3) . Jemand ist 100 fl. schuldig, und zahlt nach
und nach 25, 8^, 12z, 42^ fl.; wie viel hat er schon
abgezahlt, und wie viel bleibt er noch schuldig? —
88zz fl. hat er bereits abgezahlt, also bleibt er noch
liz^ fl. schuldig.

(4) . Ein Gut trägt nach einem zehnjährigen Durch¬
schnitte im Ganzen jährlich 2544 fl. 18z Kr. ein; die
jährliche Ausgabe beträgt 964 fl. 35z Kr.; wie groß
ist im Durchschnitte der reine Ertrag eines,Jahres? —
1639 fl. 42i Kr.

I 2

132

(5) . Ein Faß enthält ioz Eimer; wie viel bleibt
noch darin, wenn Eimer herausgenommen wer¬
den? — 7^ Eimer.

(6) . Eine Glocke, welche 12 Ztr. 14 N Z Lth. wog,
wurde umgegoffen, und wiegt jetzt noch 11 Ztr. 39 K
16z Lth.; um wie viel wiegt sie weniger als vorher? —
Um 74 A 15^ Lth.

(7) . Von 14 Ballen Rieß werden 2 Ballen
9z Rieß verkauft; wie viel Papier bleibt noch übrig ? —
11 Ballen 8^ Rieß.

(,8). Jemand bekommt 3 Ballen Flachs, der erste
enthält 5 Ztr. 28z N, der zweyte 4 Ztr. 95 der
dritte 4 Ztr. 88z ; davon werden nach und' nach

29z, 75, 8z, 5iz, 87 K"verkauft. Wie groß ist noch
der Vorrath an Flachs? — Der Vorrath nach dem
Einkäufe war 15 Ztr. 12z N, verkauft wurden 2 Ztr.
51 N, also waren zuletzt noch 12 Ztr. 61 z N vor-
räthig.

III. Das Multipliciren der Brüche.

§. 73.

Auch beym Multipliciren der Brüche sind
mehrere Fälle zu unterscheiden.

a. Wenn ein Bruch mit einer ganzen Zahl
zu multipliciren ist.

Dieses kann, wie schon oben abgeleitet wurde, auf
zweyfache Art geschehen: entweder, indem man dm
Zähler mit der ganzen Zahl multiplicirt und den Neu¬
ser ungeändert läßt; oder, indem man den Zähler
ungeändert läßt, und den Nenner durch die ganze Zahl
dividirt. Die zwepte Art ist nicht immer anwendbar.
Z. B.

133

5 - 5X4 20 5 ^1

8 8 8 2 "" 2,

oder ^X ^"8H^2^^2

d. Wenn eine gemischte Zahl mit einer
ganzen Zahl zn multipliciren ist.

Man multiplicire z. B 8z mit 7.

Im Kopfe: 7mahl 8 Ganze sind 56 Ganze; 7mahl
3 Viertel sind 21 Viertel; diese geben 5 Ganze und
1 Viertel; zusammen 61 Ganze und 1 Viertel.

Beym schriftlichen Rechnen wird früher der Bruch
und dann die ganze Zahl multiplicirt. 7mahl § ist

— 5^; der Bruch z wird angeschrieben, 5 Ganze
aber werden zu dem Producte der Ganzen weiter
gezählt; 7mahl 8 ist 56, und 5 ist 61; das Product
ist also 61;.

Um daher eine gemischte Zahl mit einer
ganze« Zahl zu multipliciren, so multiplicirt man
mit der ganzen Zahl zuerst den Bruch, dann die Gan¬
zen der gemischten Zahl; kommen bey der Multiplika¬
tion des Bruches auch Ganze heraus, so werden sie zu
dem Producte der Ganzen addirt.

B e p s P i e l e.

(1) . Man multiplicire 78ß mit 9

78§ X 9 3X9

707z " — 5z

Hier sagt man: 9mahl 3 ist 27, also hat man
diese geben 5^; z schreibt man an, 5 wird zu den Gan¬
zen gezählt; 9mahl 8 ist 72, und 5 ist 77, 7 ange¬
schrieben, bleiben 7; 9mahl 7 ist 63, und 7 ist 70;
das Product ist also 707z.

(2) . Es soll 334^ mit 25 multiplicirt werden.

134

8360^

Man könnte die Multiplication auch verrichten,
wenn man die gemischte Zahl zu einem unechten Bruche
einrichtet, dann den Zähler mit der ganzen Zahl rnul-
tiplicirt, und das Product durch den Nenner dividirt..

(3) . 19^X8^ 157>

(4) . 37^X24^906

(5) . 19^X11^215^

(6) . 315^X35^ 11053^

c. Wenn eine ganze Zahl mit einem Bruche
zu multipliciren ist.

135

Es sey z.B. 5 mit' zu multipliciren, d. i. 5^mahx
zu nehmen. 5 Imahl genommen gibt 5; ^mahl genom¬
men, also nur den vierten Theil von 5, nähmlich E; und
^mahl genommen 3mahl den 4ten Theil von 5, also-
3mahl ; d. i. Man muß also 5 durch 4 dividiren
und den 4tcn Theil von 5 3mahl nehmen d. i. mit 3
multipliciren. — Oder: 5 mit 3 multiplicirt gibt
3mahl 5 d. i. 15; nun ist aber 5 nicht mit 3, sondern
mit dem 4ten Theile von 3 zu multipliciren, daher
wird man auch nur den 4ten Theil von 3mahl 5 oder
15, also erhalten.

Es muß also 5 mit 3 multiplicirt, und das Pro¬
duct durch 4 dividirt werden.

Auf gleiche Art multiplicire man 8 mit 1»
mit , 25 mit , 2 mit

Man wird daraus folgende Regel ableiten:

Um eine ganze Zahl mit einem Bruche zu
multipliciren, wird dieselbe entweder durch den
Nenner dividirt, und der Quotient mit dem Zähler
multiplicirt; oder sie werden mit dem Zähler multiplicirt,
und dann das Product durch den Nenner dividirt.

Beym Kopfrechnen ist es meistens vortheilhafter,
früher zu dividiren, und dann zu multipliciren, weil
man dadurch in kleinern Zahlen arbeitet; beym Ziffer¬
rechnen ist das Multipliciren vor dem Dividiren vor¬
zunehmen.

B e y s p i e l e.

5X^"-2l;20X^^l5

2 32 „2.» 7 945   18!)

6.;135X^

Anfängern, die sich unter Multipliciren immer ein
Vermehren vorstellen, kommt es befremdend vor, daß

136

eine Zahl durch dasMultipliciren mit einem echten Bruche
verkleinert wird. Der Grund davon ist sehr einfach:
wenn man eine Zahl Imahl nimmt, so bekommt man die
Zahl selbst zum Produkte; multiplicirt man aber eine
Zahl mit einem echten Bruche, der natürlich kleiner als
1 ist, d. h. nimmt man eine Zahl weniger als Imahl,
so wird man gewiß auch weniger als die Zahl selbst zum
Produkte erhalten.

Wenn eine ganze Zahl mit einer gemisch¬
ten Zahl zu multipltctren ist , so wird die ganze
Zahl sowohl mit dem Bruche als mit den Ganzen der
gemischten Zahl multiplicirt; kommen dey der Multi¬
plikation mit dem Bruche auch Ganze heraus, so wer¬
den diese zu dem Produkte mit den Ganzen hinzuge¬
zählt. Z. B.

9X2^23^; weil 9 X^^-5^ ist.

Auch hier kann man früher die gemischte Zahl ein¬
richten, und dann die Multiplikation ausführen;
nähmlich:

9X2Z^9X^^^^23z-

B e y s p i e l e.

(1). 12X2^ —12X^^^3O

(2> 19X18^351^

ü. Wenn ein Bruch mit einem Bruche zu
multipliciren ist.

Man multiplicire z. B. § mit H. Wird ; 5mahl
genommen, so erhält man aber E ist nicht mit 5,

137

sondern nur mit dem 8ten Theile von 5 zu multiplici-
ren, daher wird auch das Product nur den 8ten Theil
von betragen, man muß also " noch durch 8 divi-
diren, welches geschieht, wenn man den Nenner 4 mit
8 multiplicirt; dadurch erhält man A Vergleicht man
dieses Product mit den bepden gegebenen Brüchen, so
sieht man, daß der Zähler des ersten mit dem Zähler
des zweyten multiplicirt wurde, und dieses Product
als Zähler des Productes erscheint; eben so wurde der
Renner des ersten Bruches mit dem Nenner des zwey-
ten Bruches multiplicirt, ihr Product gibt den Nenner
des neuen Bruches (des Productes).

Eben so soll mit mit mit

2

Mlt^ multiplicirt werden.

Dadurch kommt man auf die Regel:

Et« Bruch wird nGt einem Bruche mul-
tiplicirt, wenn man Zähltr mit Zähler, und Nen¬
ner mit Nenner multiplicirt; das Product der Zähler
wird als Zähler, das Product der Nenner als Nen¬
ner angenommen.

B e p s P i e l e.

5 7. — 35 8^ 3—24—6 — 2

6 X 12 — 72; 9 4 — 36 — 9 — 3;

3^ 3—^ 12^15—180—18 — ^)

. 10 X 5 50; 25 X 32 800 80 — 40.

e. Wenn eine gemischte Zahl und ein Bruch
oder zwey gemischte Zahlen mit einander zu mul-
tipliciren sind.

In diesem Falle richte man die gemischten Zahlen
ein, und multiplicire dann die beyden Brüche mit
einander.

138

B e y s p i e l e.

12^ ?-Mx ?-M - 7??

^1^,. "g X g — 5 "" 40 — 40'

^0 ^ii — 10 11 — IIO—55— Lb'

,0-, »2 ^-14 19-266-M 7

4z X ^i2— 3 ^12—36—18—^18'

(N- Z X6^6.

(5) . 6^ X

(6) . 6^X24^151^.

(7) . 186^ X 7^ 1400.

(8> 13^ X 9^ 132^.

§. 74.

Aufgaben.

(1) . Wie viel Kreuzer machen Gulden? — 1 ff.
beträgt 60 Kr., ff. also ^mahl 60 Kr., d. i. —
28 Kr.

(2) . Wie viel Loth betragen N? — 1 A hat

32 Loth, Loch machen also x 32 — 22Lth:

(3) . Wie viele Mvnathe sind § Jahr? — 9 Mo-
nathe.

(4) . Wie'viel Pfund machen A Ztr.? — 24 N.

(5) . Wie viel Gulden machen 36 Kr. ? — 1 Kr.

ist^fl., 36 Kr. also X 36 -- § ff.

(6) . Wie viel in Jahren ausgedrückt geben 8 Mo-

139
nathe? — 1 Monath ist Jahr, 8 Monathe also
8mahl d. i. ; Jahr.

(7) . Ein Beamter hat täglich 1; fl., wie viel irr
einem Monathe? — 3vmahl 1; d. i. 37? st.

(8) . Was kosten 58 Eimer Wein zu 8' fl. ? —
498z fl.

(9) . Für eine gewisse Strecke der Eisenbahn zahlt
man von jedem Zentner 28? Kr.;!wie viel von 64 Ztrn. ?
— 30 fl. 40 Kr.

(10) . Ein Kubikfuß Wasser wiegt 56? N; was
wiegen 13 Kubikfuß? — 734z N.

' (11). Was kosten 69 M zu 8? Kr.? — 9 fl.
46z Kr.

(12) . 1 Elle Tuch kostet 4z fl.; was kosten
2§ Ellen? — lizz fl., oder 11 fl. 55 Kr.

(13) . Eine Hausfrau kauft 48? Ellen Leinwand
zu 25' Kr., 25 A Roßhaar zu 24z Kr., 7? N Eisen¬
draht zu 8? Kr., und, '16z Ellen Kattun zu 36 Kr.;
wie viel hat sie im Ganzen ausgegeben? — 4i fl.
57 Kr.

(14) . Jemand ist 85 fl. 40 Kr. schuldig; darauf gibt
er 4 Eimer Wein zu 8? fl., 3? Metzen Weizen z«
2? fl. ',und 4 Schinken, wovon der erste 7? A, der
zweyte 8ß A, der dritte 8 M 18 Loth, und der vierte
9^10 Loth wiegt, das Pfund zu 14 Kr. Wie viel
hat er b ereits abgezahlt, und wie viel bleibt er noch
schuldig? — 50 fl. 11 Kr. hat er bereits gezahlt, 35 fl.
19 Kr. bleibt er noch schuldig.

(15) . Im Jahre 1843 wurden in den österreichi¬
schen Staaten 878 Ztr. gemeines Papier, 1312 Ztr.
feines Papier, und 742 Ztr. Pappdeckel eingeführt.
Wenn nun für 'jeden Ztr. gemeines Papier 3? fl., für
1 Ztr. feines Papier 10 fl., und von 1 Ztr. Pappdeckel
ß fl. Einfuhrzoll gezahlt werden muß; wie hoch belief

140

sich der ganze Zoll für das eingeführte Papier? —
Das gemeine Papier gab 2926^ fl., das feine Papier
13120 fl.; der Pappdeckel 618^ fl. Einfuhrzoll, zusam¬
men 16665 fl.

IV. Das Dividiren der Brüche.

8- 75.

n. Wenn ein Bruch durch eine ganze Zahl
zu dividiren ist.

Dieses kann, wie schon oben gezeigt wurde, auf
zweyfache Art geschehen: entweder indem man den
Zähler durch die ganze Zahl dividirt; oder, indem
man den Nenner mit der ganzen Zahl multiplicirt.
Das erstere Verfahren kann nur in einigen Fällen
angewendet werden. Z. B.

8 . y — 8^2 __ r

9 ' — 9 "9'

b. Wenn eine gemischte Zahl durch eine
ganze Zahl zu dividiren ist.

Dabep werden sowohl die Ganzen als der Bruch
der gemischten Zahl dividirt; bleibt bey der Division
der Ganzen ein Rest, so wird er in solche Bruchtheile
Verwandelt, wie sie der angehängte Bruch enthält,
dazu dieser Bruch addirt, und die Summe weiter divi¬
dirt; — oder man richtet die gemischte Zahl ein, wor¬
auf man einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividi¬
ren hat.

B e y s p i e l e.

(1). 8^ : 2 -- ch oder-8^ : 2--^:2-^4?

141

(2) . 16?:4^4^;oder16?:4^:4^ß^4^.

(3) . 5?: 2--2?; oder 5?: 2 : 2 - -2?

(4) . 128? - 50 2?Z -- 2A

oder 128? : 50 — ??? : 50 — 2^?.

4 4 40

Im ersten Beyspiele ist 8 : 2 — 4 , und
§ : 2 — ß; daher der ganze Quotient 4^. — Im drit¬
ten Beyspiele hat man 5:2 — 2, und es bleibt
noch 1 Ganzes, dieses gibt und ' sind
: 2 — ; der gesuchte Quotient ist also 2ß.

e. Wenn der Divisor ein Bruch ist.

Ist der Divisor eine ganze Zahl, so kann die
Division als Theilung oder als Entpaltenseyn betrach¬
tet werden; z. B. 8 durch 2 dividiren heißt entweder,
8 in 2 gleiche Theile theilen, und einen solchen Theil
nehmen, oder untersuchen, wie Vielmahl 2 in 8 ent¬
halten ist. Anders ist es, wenn man durch einen Bruch
zu dividiren hat; da kann die Division nur das Ent-
haltenseyn bedeuten, z. B. 8 durch dividiren, kann
nur heißen: untersuchen, wie ost in 8 enthalten ist;
denn die Forderung, 8 in gleiche Theile zu theilen,
hat gar keinen Sinn.

Es sey nun erstlich eine ganze Zahl 8 durch § zu
dividiren, d. i. zu finden, wie ost ? in 8 enthalte»
ist. 1 ist in 8 8mahl enthalten, ist 3mahl so klein,
also in 8 3mahl so ost enthalten als 1, folglich 3mahl
8 — 24mahl; ist nun doppelt so groß als also
kommt es in 8 nur halb so ost vor als x, also " —
12mahl; der gesuchte Quotient ist also 12, oder ",
oder Hier ist die ganze Zahl 8 mit dem Nenner

142

3 des Bruches multiplicirt, und das gefundene Pro-
Luct 24 durch den Zähler 2 dividirt worden.

Man hätte auch so verfahren können. Um zu
finden, wie oft § in 8 enthalten ist, macht man beyde
Zahlen gleichnahmig, man bringt nähmlich die 8
Ganzen auf Drittel, indem man 8 mit 3 multiplicirt,
dadurch erhält man dann untersucht man, wie oft
2 Drittel in 24 Dritteln enthalten sind , indem man
24 durch 2 dividirt; denn 2 Gulden kommen in
24 Gulden, 2 Drittel in 24 Dritteln gewiß so oft
wor, als 2 in 24 enthalten ist. Man erhält dadurch
12, wie früher. Hier ist also wieder die ganze Zahl
8 mit dem Nenner 3 des Bruches multiplicirt, und das.
Product 24 durch den Nenner 2 dividirt worden.

Auf dieselbe doppelte Weise führe man noch fol¬
gende Divisionen durch: 25 durch ß, 164 durch
84 durch ß, 222 durch

Man wird dadurch auf folgende Regel geleitet.

Eine ganze Zahl wir- durch einen Bruch
Dividirt, wenn man sie mit dem Nenner des Bru¬
ches multiplicirt, und das erhaltene Product durch
den Zähler dividirt.

Nach der nähmlichen Schlußfolge, nach welcher
hier eine ganze Zahl durch einen Bruch dividirt wurde,
läßt sich auch der Quotient bestimmen, wenn ein
Bruch oder eine gemischte Zahl durch einen Bruch zu
dividiren ist. Man führe auf diese Art folgende Di¬
visionen durch: ß durch durch 5§ durch
durch

Dadurch wird man ein sehen:

Um irgend eine Zahl durch einen Bruch
zu dividiren, braucht man sie nur mit dem Nen-

143

ner zu multipliciren, und das Product durch den
Zähler zu dividiren.

Diese allgemeine Regel läßt sich noch auf eine an¬
dere Art darstellen. Es ist nähmlich

..3   5X4. 3.4 — 3X7. „1. 5 7 . 5 7X8

4 3 ' 5 ' 7 5X4' ^2' 8 — 2'8 — 2X5'

Nach den Regeln für die Multiplication der Brü¬
che findet man aber auch

? 7-3X1. zl 7 8—7X8

3 ' 5-^4 ^5X4' 2X5—2^5 —2XZ-

Vergleicht man diese Produkte mit den früheren
Quotienten, so sieht man, daß gleichviel herauskommt,
ob man 5 durch E dividirt, oder mit multiplicirt; ob
man § durch 7 dividirt, oder mit dem umgekehrten Bru¬
che multiplicirt; ob man 87 durch § dividirt, oder mit
§ multiplicirt. Die Division durch einen Bruch kann
also in eine Multiplication mit dem umgekehrten Divi¬
sor verwandelt werden, und es besteht die Regel:

Eine Zahl wird durch einen Bruch -ivt-
dirt, wenn man sie mit dem umgekehrten Divisor mul¬
tiplicirt.

B e p s p i e l e.

(1) . 10:^ 1OX^ ^2S.

(2) . 38:^38 XZ-. -101z.

. 3 1v>5  20   6   .3

7 - 5 — 7 2 14 ^14 — ^7.

s-L-, 8—72 .22 __ ,1t

10'8 10 5 50 — ^50 — 25'

144

2-'-^— — X——— — 7^ — 7-

' 10 — 5 3 15 " ^15 3'

1 E - 16 8

1,v^. ' 12 10 7— 70 —^70—^«35'

(7) . 35:^ 77.

(8) . 4

(91.19^:^24

(10).20^:A- 363^.

Da man sich unter Dividiren gewöhnlich ein Verkleinern
denkt, so ist es auch hier auffallend. daß eine Zahl durch
einen echten Bruch dividirt, immer vergrößert wird. Dieses ist
übrigens ganz klar: eine Zahl durch einen Bruch dividi¬
ren, heißt untersuchen, wie oft der Bruch in jener Zahl
enthalten ist; 1 ist in jeder Zahl so oft enthalten, als die
Zahl selbst es anzeigt; ein echter Bruch ist aber kleiner als
1, also wird er auch in der Zahl öfters enthalten sepn
als 1, also öfters, als die Zahl es anzeigt; durch das
Dividiren mit einem echten Bruche wird also eine Zahl
vergrößert.

6. Wenn der Divisor eine gemischte Zahl ist.

In diesem Falle braucht man nur die gemischte
Zahl einzurichten, und dann durch den unechten Bruch
zu dividiren.

Beispiele.

(1) . S:2z

(2) .

145

(3) . 214?- 6-^ - x Z  _ 3320 _ 52

3"5 3 ' 5 - 3 ^33^^-^9»

(4) . 81 : 4^18

(6).11?:ö^2A

8- 76.

Aufgaben.

(1) . 1 Elle Tuch kostet 3 fl.; wie viel Ellen er¬
hält man um 25^ fl.? — «r Ellen.

(2) . Es sollen 40 4- fl. unter 5 Personen zu gleichen
Theilen vertheilt werden; wie viel kommt auf 1 Per¬
son? — 8,^fl.

(3) . Ein Taglöhner bekommt für 26 Tage 15« fl.
Arbeitslohn; wie viel kommt auf 1 Tag?— fl. oder
35 Kr.

(4) . Jemand braucht für alle seine Bedürfnisse
täglich 4 fl.; wie viel Tage wird er mit 15 fl. auskom¬
men? — Durch 18 Tage.

(5) . Wie theuer ist ein Pfund, wenn der Zentner
37z fl. kostet? — r fl. oder 22^ Kr.

(6) . Wie viel N bekommt man um 15^ fl->
wenn 1 K'4 fl. kostet? — 18^ A

(7) . Jemand kauft 12 Eimer Wein um 82^ fl.;
wie hoch kommt 1 Eimer? — Auf 6^ fl-

(8) . Wie viel Hemden können aus 60 Ellen Lein¬
wand verfertiget werden, wenn man zu 1 Hemde 3^ El¬
len braucht? — 16 Hemdey.

Rechenb. f. d. II. u. M. Cl. K

146

(S). Wie viel in Gulden geben 22^ Kr. ? — Den
«Osten Theil von 22^, also § st.

(1V). Welchen Guldenbruch machen 3?E Kr. ? —

(11) . Welchen Bruch in Zentnern geben 2 N 4^
Lth.? — 4^ Lth. sind K) also hat man 2^ N;
diese geben Ztr.

(12) . Eine Hausfrau kauft ein Stück Leinwand
von 48^ Ellen um 22 fl. 45 Kr.; wie theuer bezahlte
sie die Elle? — Mit fl. oder 28 Kr.

(13) . Jemand war durch 48 Tage auf der Reise,
und gab im Ganzen 136^ fl. aus; wie viel kommt im
Durchschnitte auf 1 Tag? — 2^; fl.

(14) . Ein Taglöhner ist 45 fl. schuldig, er zahlt
darauf seinem Gläubiger 9 fl. 48 Kr., den Rest will er
durch Arbeitslohn abtragen; wie vielTage wird er arbei¬
ten müssen, um seine ganze Schuld getilgt zu haben, wenn
der tägliche Lohn fl. betrügt? — Nach Abschlag der
S fl- 48 Kr. bleibt er noch 35 fl. 12 Kr., oder 35- fl.
schuldig, und um diese zu verdienen, muß er 44 Tage
arbeiten.

(15) . Jemand ist 345 fl. schuldig, wenn er nun
die Schuld, so weit es möglich ist, in Ducaten zu 4^- fl.
zahlen will; wie viel Dueaten wird er dazu brau¬
chen, und wie viel muß er noch in Silber bezahlen?
— 76 Ducaten und 3 fl. Silbergeld.

(16) . Für 4 Gemeinden, deren Felder durch Ha¬
gel gänzlich verwüstet wurden, wird eine Sammlung
veranstaltet: man bekommt 267^ Metzen Weizen, 150'
Metzen Korn, 152A Metzen Gerste und 285^ Metzen
Mais. Dieses Getreide wurde, da die Gemeinden an
Einwohnerzahl ziemlich gleich waren, unter dieselben

147

zu gleichen Theilen vertheilt; es entsteht nun die Frage,
wie viel Getreide wurde im Ganze« eingesammelt;
wie viel Getreide von jeder einzelnen Art erhielt jede
Gemeinde, und wie viel Getreide zusammen? — Die
ganze Sammlung enthielt 856^ Metzen, jede Gemeinde
bekam 66^ Metzen Weizen, 37^ Metzen Korn, 38z
MctzenGerste und 71 ^Metzen Mais, zusammen 214^
Metzen Getreide.

Siebentes Hauptstück.

Verhältnisse und Droportionen

I. Verhältnisse.

8- 77.

§8enn man z. B. bey einem Zimmer, welches 6 Klaf¬
ter lang und 3 Klafter breit ist, die Länge und die
Breite mit einander vergleicht, so kann man entweder
suchen, um wie viel die Länge des Zimmers größer ist
als die Breite, oder wie vielmahl die Länge des Zim¬
mers so groß ist als die Breite desselben. Im ersten
Falle zieht man 3" von 6 ' ab, wodurch man 3" be¬
kommt; die Länge ist also un 3" größer als die Breite-
Im zweiten Falle muß man untersuchen, wie oft 3°
in 6" enthalten ist, man muß also 6 durch 3 dividi-
ren, wodurch man 2 erhält; die Länge ist asso 2mahl
so groß als die Breite.

K 2

148

Vergleicht man eben so 24 Kreuzer und 8 Kreu¬
zer mit einander, so findet man, daß 24 Kr. um IS
Kr. mehr sind als 8 Kr., und daß 24 Kr. 3mahl so
viel sind als 8 Kr.

So können was immer für zwey benannte Zahlen
mit einander verglichen werden, nur müssen sie gleich¬
artig seyn. Z. B. Klafter und Gulden kann man nicht
mit einander vergleichen, wohl aber Gulden und Gul¬
den, auch Gulden und Kreuzer, nur müssen die letzter«
früher gleichnahmig gemacht werden.

Auch unbenannte Zahlen kann man auf zweyfache
Art mit einander vergleichen; z. B. 18 und 8, man
kann entweder fragen, um wie viele Einheiten 18 grö¬
ßer ist als 3, oder wie Vielmahl l8 so groß ist als K.
Durch das Subtrahiren findet man, daß 18 um 15
größer ist als 3; durch die Division, daß 18 6mahl so
groß ist als 3.

Jede Vergleichung von zwey gleichartigen Zahlen
wird ein Derhältniß genannt. Die Vergleichung
zweyer Zahlen, um zu sehen, um wie viel Einheiten
die eine größer ist als die andere, heißt ein arithme¬
tisches Berhältntß; die Vergleichung zweyer Zahlen
aber, um zu sehen, wie Vielmahl die eine größer ist
als die andere, wird ein geometrisches Verhältaiß
genannt.

Für das Rechnen sind nur die geometrischen Verhält¬
nisse besonders wichtig, darum sind auch in der Folge, -
so oft von Verhältnissen die Rede seyn wird, immer
geometrische Verhältnisse darunter zu verstehen.

8- 78.

Zu einem Verhältnisse werden zwey Zahlen er¬
fordert ; sind sie benannt, so müssen sie gleichartig seyn.

149

Sie heißen Glieder des Verhältnisses, und zwar die
erste das Vorderglied, die zweyte das Hinterglted.
Wenn man z. B. die zwey Zahlen 12 fl. und 3 fl. mit
einander vergleicht, um zu sehen, wie oftmahl 12 fl.
so viel sind als 3 fl., so ist 12 fl. das Vorderglied, 3 fl.
das Hinterglied des Verhältnisses von 12 fl. zu 3 fl.

Bey einem geometrischen Verhältnisse wird unter¬
sucht, wie vielmahl das Vorderglied so groß ist als
das Hinterglied. Um dieses zu erfahren, muß man sehen,
wie oft das Hinterglied in dem Vordergliede enthal¬
ten ist, d. i. man muß das Vorderglied durch das Hin¬
terglied dividiren. Daher wird ein Verhältniß dadurch
angezeigt, daß man zwischen die Glieder desselben das
Divisionszeichen setzt; z. B. 12: 3, welches man so aus¬
spricht: 12 verhält sich zu 3, oder kürzer: 12 zu 3.

Ein Verhältniß kann betrachtet werden, als ein
angezeigter Quotient; das Vorderglied ist der Di¬
vidend, das Hinterglied der Divisor.

Die Zahl, welche anzeigt, wie oft das Hinter¬
glied in dem Vordergliede enthalten ist, heißt der
Nähme oder Exponent des Verhältnisses. Um daher
den Exponenten zu erhalten, braucht man nur das
Vorderglied durch das Hinterglied zu dividiren. Zn dem
Verhältnisse 12: 3 ist 4 der Exponent, weil 3 in 12
4mahl enthalten ist; der Exponent des Verhältnisses
2 : 3 ist weil 2 durch 3 dividirt zum Quotienten
gibt.

Man suche die Exponenten folgender Verhältnisse:
6 : 2, 8 : 4, 20 : 4, 36 : 8, 100 : 16, 84 : 8;
4 : 4, 6 : 6, 2:5, 4 : 16, 5 : 12, 18 : 42.

Um sich von dem Wesen eines geometrischen Ver¬
hältnisses eine noch deutlichere Vorstellung zu machen

150

theile man eine gerade Linie 46 in den Puncten k, 0,
I), 8, 8 in 6 gleiche Theile.

4 8 6 !) 8 8 6

Vergleicht man nun die ganze Linie 46 mit der
kleineren Linie 48, so sieht man, daß die erstere 6mahl
so groß ist als die zweyte; die Linien 46 und .4.8 ha¬
ben also das Verhältniß 6 : 1 gegen einander, und
der Erponent ist 6. Umgekehrt stehen vie Linien.48 und
.46 in dem Verhältnisse 1:6, dessen Erponent ist.
--- Nimmt man die Linien 48 und 46, so sieht man,
daß 484 gleiche Theile und 46 2 eben solche Theile
enthält; das Verhältniß der zwey Linien 48 und 46
ist also 4 : 2, und der Erponent 2; umgekehrt ist das
Verhältniß der Linien 46 und 48 2:4, dessen Er¬
ponent E — 2 t'st. — So haben, wie man sich auf die¬
selbe Art überzeugt,
dieLin. 48u.48d-Verh.5 :1 m. d. Exponenten 5,

u. s. w.

79.

Wenn man die beyden Glieder eines Verhältnis¬
ses mit einander vergleicht, so sieht man, daß sie ent¬
weder gleich oder ungleich sind.

15 L

Sind beyde Glieder gleich, so heißt das Verhält-
niß ein Werhältniß der Gleichheit; z. B. 1:1,

2 : 2, 5 : 5, 12 : 12. Ein solches Verhältniß findet
Statt zwischen den gegenüberliegenden Seiten eines
Tisches, einer Tafel, zwischen den gegenüberstehenden
Wänden, zwischen dem Boden und der Decke eines Zim¬
mers. — Der Exponent eines Verhältnisses der Gleich¬
heit ist 1, weil jede Zahl in sich selbst 1 mahl enthal¬
ten ist.

Wenn das Vorderglied eines Verhältnisses größer
ist als das Hinterglied, so heißt das Verhältnis fallend r
z. B. 3 : 2, 5 : 1, 12 : 8, 20 : 15. Der Exponent
eines solchen Verhältnisses ist immer größer als 1. In
einem fallenden Verhältnisse stehet z. B. die Höhe einer
Thür zu deren Breite.

Wenn endlich das Vorderglied eines Verhältnisses
kleiner ist als das Hinterglied, so heißt das Verhält-
niß steigend; z. B. 1 : 2, 2 : 3, 7 : 10, 15 : 25.
Der Exponent ist immer ein echter Bruch, also kleiner
als 1. In einem steigenden Verhältnisse stehet z. B. die
Breite eines Fensters zu der Höhe desselben.

§. 80.

Wenn zwey oder mehrere Verhältnisse den nähm-
lichen Exponenten haben, so heißen sie gleiche Ver¬
hältnisse. So sind 8 : 2, 9 : 3, 12 : 4, 30 : 10
gleiche Verhältnisse, weil sie alle denselben Exponenten

3 haben. -

Da bey einem Verhältnisse der Gleichheit der Ex¬
ponent gleich 1, bey einem fallenden Verhältnisse grö¬
ßer als 1, bey einem steigenden kleiner als 1 ist, so
kann ein Verhältnis; der Gleichheit nicht gleich seyn ei-»

152

«em fallenden, oder einem steigenden Verhältnisse, und
umgekehrt. Wenn daher zwey Verhältnisse gleich seyn
sollen, so müssen entweder beyde fallend, oder beyde
steigend, oder beyde Verhältnisse der Gleichheit seyn.

Zwey gleiche Verhältnisse können übrigens auch
ungleich benannte Glieder haben; z. B. das Verhält-
rüß 8 M : 2 N hat den Exponenten 4, das Verhält-
niß 24 st. : 6 fl. hat auch den Exponenten 4, die zwey
Verhältnisse 8 N: 2 N und 24 fl. : 6 fl. sind also
gleich, wiewohl die Glieder des ersten Verhältnisses
eine andere Benennung haben, als die Glieder des
zweyten.

Ein Verhältniß bleibt so lange ungeändert, als
der Exponent desselben beständig bleibt.

L Ein Verhältniß k-leibt daher unverän¬
dert, wenn man beyde Glieder mit einerley
Zahl multiplicirt, weil dadurch der Exponent nicht
geändert wird. So gibt das Verhältniß 6:2, wenn
man beyde Glieder mit 2, oder mit 3, oder mit 4
multiplicirt, die Verhältnisse 12 : 4, oder 18 : 6,
oder 24 : 8, welche alle dem ersten Verhältnisse gleich
sind; weil sie mit ihm einerley Exponenten 3 haben.

Mit Hülfe der Multiplikation kann man ein Ver¬
hältniß, worin Brüche oder gemischte Zahlen vorkom¬
men, durch ganze Zahlen darstellen. Um z. B. das Ver¬
hältniß 4 : Z in ganzen Zahlen darzustellen, braucht
man nur beyde Glieder mit dem Nenner 3 zu multi-
pliciren, als Vorderglied erhält man 4 x 3 — 12,
als Hinterglied aber X 3 — 2, das neue Verhältniß
12 : 2 ist nun in ganzen Zahlen ausgedrückt, und dem
vorigen ganz gleich. — Ist das Verhältniß § : 3^ in
ganzen Zahlen darzustellen, so multiplicirt man zuerst
beyde Glieder mit dem einen Nenner 5, wodurch man

153

das gleich große Verhältniß 2 : erhält; nun multi-
plicirt man wieder beyde Glieder mit dem zweyten Nen¬
ner 2, wodurch man das Verhältniß 4:35 bekommt,
welches in ganzen Zahlen ausgedrückt, und mit dem
gegebenen Verhältnisse ? : 3^ gleichbedeutend ist.

Um also ein Vcrhältniß, welches in Brüchen oder
gemischten Zahlen ausgedrückt ist, durch ganze Zahlen
darzustellen, braucht man nur beyde Glieder mit jedem
Nenner zu multipliciren.

Man stelle folgende Verhältnisse in ganzen Zahlen
dar: S: 7:4?, § : 4, 5L : 3, Z : ?, ly? : Z,

7 - 4i, 8- : 3ß.

2. Ein Derhältniß bleibt unverändert,
wenn man beyde Glieder durch einerley Zahl
dividtrt, weil auch dadurch der Exponent nicht geän¬
dert wird. So ist z. B- das Verhältniß 12 : 4 gleich
dem Verhältnisse 6:2, welches aus dem ersten dadurch
entstehet, daß man beyde Glieder durch 2 dividirt; weil
in beyden 3 der Exponent ist.

Mit Hülfe dieses Satzes kann man jedes Verhält¬
niß, dessen beyde Glieder durch dieselbe Zahl theilbar
sind, abkürzen, wenn man Vorder - und Hinterglied
durch jene Zahl dividirt. So kann man das Verhältniß
16 : 12, dessen beyde Glieder durch 4 theilbar sind,
durch die Division mit 4 in das einfachere, aber gleich
große Verhältniß 4 : 3 verwandeln.

Eben so gibt 24 : 8 abgekürzt 3:1,

30 : 24 „ 5 : 4,
120 : 48 „ 5:2.

Um ein Derhältniß auf -te einfachste
Gestalt zu bringen, muß man es zuerst in gan¬
zen Zahlen darstellen, und dann, wenn es angeht, ab¬
kürz en.

154

Man bringe folgende Verhältnisse auf die ein¬
fachste Form: 8 : 6, 6 : 5 : 3z: 14, 5?- : 6j,

L ^10/ ' 16'

Am leichtesten und schnellsten macht man sich die
wahre Vorstellung von einem solchen Verhältnisse, des¬
sen Hinterglied 1 ist; z. B. 4:1, 2; : 1, ß: 1,
weil da das Vorderglied zugleich der Exponent ist. Ein
Berhältniß, dessen Hinterglied 1 ist, heißt ein Grund-
verhältntß.

Man kann jedes Berhältniß in ein Grundverhält-
niß verwandeln, wenn man es zuerst in ganzen Zahlen
darstellt und abkürzt, d. i. auf die einfachste Form bringt,
und dann beyde Glieder durch das Hinterglied dividirt.
Um z. B. 8z : in ein Grundverhältniß zu verwan¬
deln, bringt man es durch Multiplikation mit 2 und
12 auf ganze Zahlen, man bekommt 204 : 10, dann
kürzt man es durch 2 ab, wodurch man 102 : 5, be¬
kommt; endlich dividirt man beyde Glieder durch 5,
wodurch man das Grundverhältniß 20z : 1 erhält.

Eben so gibt 8 : 4 das Grundverhältniß 2:1,
16 : 10 „ 1§ : 1,

6 : „ 8z : 1,

s . r . 1

» ' is " » - K,

N - „ zz : i,

12z: iz „ 7zz: 1.

8- 81.

Aufgaben.

(1). Ein Thurm ist 24 Klafter hoch, ein ande¬
rer nur 20 Klafter; wie verhält sich die Höhe des ersten

155

Thurmes zu der Höhe des zweyten? — Wie 24 zu 20,
oder 6 : 5, oder 1^ : 1.

(2) . Wie verhält sich 1 Kreuzer zu 1 Gulden? —
Wie 1 : 60, oder : 1.

(3) . Wie verhält sich 1 Zoll zu 1 Fuß? — Wie
1 : 12, oder - 1-

(4) . In welchem Verhältnisse steht 1 N zu t Loth?

— In dem Verhältnisse 32 : 1.

(5) . 1 N Zucker kostet 20 Ko, 1 N Kaffeh
24 Kr.; wie verhält sich der Preis des Zuckers zu
dem Preise vom Kaffeh? — Wie 20 : 24, oder 5 : 6,
oder 'g : 1.

(6^. Ein Bothe macht in 10 Stunden 6 Meilen,
ein anderer legt in derselben Zeit 8 Meilen zurück,
wie verhalten sich die Geschwindigkeiten der beyden
Bothen zu einander? — Wie 6 : 8, 3 : 4, oder S : 1.

(7) . Eine österreichische Meile hat 4000 Wiener
Klafter, eine deutsche geographische aber 3906 Wiener
Klafter, wie verhält sich nun die österreichische Meile
zu der deutschen geographischen? — Wie 4000 : 3906,
oder 2000 : 1953, oder 1^ t 1.

(8) . Das Kaiserthum Österreich hat 36 Millio¬
nen Einwohner, das Königreich Preußen 15 Millio¬
nen, welches Verhältniß findet zwischen den Einwohner¬
zahlen dieser beyden Monarchien Statt? — 36 : 15,
oder 12 : 5, oder H : 1.

(9) . Die Sonne ist von der Erde 21000000
Meilen entfernt, die mittlere Entfernung des Mon¬
des von der Erde beträgt 51000 Meilen; wie ver¬
halten sich diese Entfernungen zu einander? — Wie
21000000 : 51000, oder 7000: 17, oder 411f? : 1.

186

(10). Eine Kanonenkugel legt in einer Secunde
700 Fuß zurück, der Schall 1050 Fuß; wie verhal¬
fen sich diese Geschwindigkeiten zu einander? — Wie
700 : 1050, oder 2 : 3, oder z : 1.

II. Proportionen.

8- 82.

Die Gleichsetzung zweyer gleichen Verhältnisse
nennt man eine Proportion. Die beyden Verhält¬
nisse 8 : 2 und 12 : 3 haben denselben Exponenten
4, sie sind gleich und können also auch gleichgesetzt
Werden 8 : 2 — 12 : 3. Dicß ist dann eine Pro¬
portion, welche so gelesen wird: 8 verhält, sich zu
2, wie sich 12 zu 3 verhält; oder: 8 zu 2, wie 12
zu 3. — Die Verhältnisse 8 : 2 und 15 : 3 sind
ungleich, weil sie verschiedene Exponenten haben; sie
können daher auch nicht gleichgestellt, und folglich in
keine Proportion gebracht werden.

Jede Proportion besteht aus zwey gleichen Ver¬
hältnissen, also aus vier Gliedern; diese werden nach
der Ordnung von der Linken gegen die Rechte benannt:
das erste, zweyte, dritte, vierte Glied der Pro¬
portion. Auch werden das erste und vierte Glied die
außer», das zweyte und dritte die innern Glieder
genannt. In der Proportion 8 : 2 — 12 : 3 ist 8
Pas erste, 2 das zweyte, 12 das dritte, 3 das vierte
Glied; ferner sind 8 und 3 die äußern, 2 und 12
aber die innern Glieder.

Da nur gleiche Verhältnisse eine Proportion bil¬
den können, so muß eine Proportion entweder zwey
fallende oder zwey steigende, oder zwey Verhältnisse
Per Gleichheit enthalten. — Ist daher in einer Pro-

157

Portion das vierte Glied kleiner als das dritte, so
muß auch das zweyte kleiner als das erste seyn; ist
das vierte Glied größer als das dritte, so muß auch
das zweyte größer als das erste seyn; ist endlich das
vierte dem dritten gleich, so muß auch das zweyte dem
ersten gleich seyn.

Um sich in der Bildung der Proportionen zu üben,
nehme man irgend ein Verhältniß, z. B. 2 : 1, und
suche Verhältnisse, welche denselben Exponenten, nähm-
lich S, haben.

Je zwey solche Verhältnisse z. B. 4: 2, 6 : 3,
8: 4, LO : 10, z : z bilden eine Proportion.

Man suche zu 9 : 3 ein gleiches Verhältniß, ein
solches ist 18 : 6; 9:3— 18 : 6 ist dann eine
Proportion. Eben so suche man zu folgenden Verhält¬
nissen lO : 2, 6:4, 5:3, 18 : 15, 3 : z, 7z: 5,
gleiche Verhältnisse, und bilde aus je zwey glei¬
chen Verhältnissen eine Proportion.

Wenn vier Zahlen da stehen, so ist es leicht zu
entscheiden, ob sie in jener Ordnung eine Proportion
bilden oder nicht. Man suche nähmlich den Exponen¬
ten zwischen den ersten zwey Zahlen, und dann dey
Exponenten zwischen den andern zwey Zahlen; sind
die beyden Exponenten gleich, so geben die Zahlen in
der Ordnung, wie sie dastehen, eine Proportion; sind
die Exponenten ungleich, so bilden jene Zahlen keine
Proportion. So geben die Zahlen 7, 2, 14, 4 die
Proportion 7 : 2 — 14 : 4, weil 7 : 2 den Expo¬
nenten z, und 14 : 4 auch den Exponenten — z
gibt. Die Zahlen 7, 2, 14, 5 hingegen bilden keine
Proportion, weil 7 : 2 den Exponenten z, 14 : 5
aber den Exponenten gibt, welcher von z verschie¬
den ist.

158

Man prüfe die Richtigkeit folgender Ansätze:

4 : 6 — 6 : 9, 51 : 3 — 34 : 2,

12 : 3 15 : 3, 1 : 5 7 : 35,

16 : 2z — 18 : 3^, 40 : 9 — 30 : 7,

18 : 6 — 27 : 9 20 : 5 — 36 : 9.

8- 83.

Man betrachte die Proportion 4 : 2 — 10 : 5;
die äußern Glieder sind 4 und 5, ihr Product also
20; die innern Glieder sind 2 und 10; ihr Product
auch 20; das Product der äußern Glieder ist also eben
so groß als das Product der innern.

Man nehme ferner die Proportion 3 : 8 — 9 :24.
Multiplicirt man die äußern Glieder mit einan¬
der , so hat man 3mahl 24 — 72; und eben so die
innern, so erhält man 8mahl 9 — 72; man sieht
wieder, daß das Product der äußern Glieder gleich
ist dem Producte der innern.

Aus diesen und mehreren solchen Beyspielen über¬
zeugt man sich von dem Satze:

In jeder Proportion ist das Product der
austeru Glieder gleich dem Producte der innern
Glieder.

Es gibt also ein zweyfaches Kennzeichen für
die Richtigkeit einer Proportion: erstens, wenn die
Exponenten beydcr Verhältnisse gleich sind; zweytens,
wenn das Product der äußern Glieder gleich ist
dem Producte der innern Glieder. Das erste Kenn¬
zeichen ist natürlicher und dem Begriffe einer Pro¬
portion entsprechender, das zweyte ist gewöhnlich
einfacher.

Man prüfe nach dem zweyten Kennzeichen die
Richtigkeit folgender Ansätze:

159

60 : 12 — 10 : 2, 5^ : 6 — 2ß : 3,

7z : 9 — 2 z: 3, 35 : 5 — 28 : 4,

15z : 2 -- 17 : 3, 6z: 11^ iz: 2z,

16 : 4 — 36 : 6, 9 : 12 — 8 : 14.

8- 84.

So wie es Verhältnisse zwischen benannten Zah¬
len gibt, so können benannte Zahlen auch eine Pro¬
portion bilden.

Z. B. 1 Elle Tuch kostet 6 Gulden, 2 Ellen Tuch
kosten doppelt so viel, also 12 Gulden. Das Verhält-
niß der Ellen ist hier 1 Elle : 2 Ellen, das Verhält-
niß der Gulden, 6 Gulden : 12 Gulden; das erste
Werhältniß hat den Exponenten z, das zweyte eben¬
falls den Exponenten z: die beyden Verhältnisse sind
also gleich und bilden eine Proportion, nähmlich:

1 Elle : 2 Ellen — 6 Gulden : 12 Gulden,
welche mit der Zahlenproportion

1 : 2 — 6 : 12

gleichbedeutend ist.

Eben so ist das Verhältniß 12 Arbeiter : 8 Ar¬
beitern gleich dem Verhältnisse 18 Tage : 12 Tagen,
weil beyde den Exponenten iz haben; daher bestehet
die Proportion:

12 Arbeit.: 8 Arbeit. — 18 Tage : 12 Tagen,
welche auch durch die Zahlenproportion

12 : 8 — 18 : 12
ausgedrückt werden kann.

8- 85.

Wenn in einer Proportion nur drcy Glieder
bekannt sind, so kann das unbekannte Glied leicht
gesunden werden. Aus einer Proportion, in welcher

160

drey Glieder bekannt sind, das unbekannte Glied fin¬
den , heißt die Proportion anflöscn.

Das unbekannte Glied einer Proportion wird
durch den Buchstaben x bezeichnet.

s. Es sey die Proportion x : 3 — 8 : 6 auf¬
zulösen. — Das Produet der äußern Glieder muß
gleich sepn dem Produkte der innern Glieder; das
Product der innern Glieder ist Lmahl 8 — 24, also
muß auch das Product der äußern Glieder 24 sepn;
wenn nun die beyden äußern Glieder mit einander
multiplicirt 24 geben müssen, und eines derselben 6
ist, so muß das andere äußere Glied nothwendig 4
sepn, welches man bekommt, wenn man 24 durch 6
dividirt. Die Proportion heißt 4 : 3-8:6.—
Hier ist also das Product der innern Glieder, nähm-
lich 24, durch das bekannte äußere Glied 6 dividirt
worden.

Auf gleiche Weise sind noch folgende Proportionen
aufzulösen:

x: 7 — 4 : 2 9 : 6 — 12 : x,

x : 9 — 8 : 24 15 : 8 — 30 : x,

x : 3 — 10 : 6 2:6— 9 : x.

Dadurch kommt man auf die Regel:

Um ein äußeres Glied der Proportion zu
finden, multiplicire man die beyden innern mit ein¬
ander , und dividire das Product durch das bekannte
äußere Glied.

B e p s p i e l e.

(1). Man löse die Proportion x: 2 — 15:3 auf.

2 X 15—30; 30 : 3 — 10;

also x 10.

161

Die Proportion heißt also 10 : 2 — 15 : 3.
Nm sich von der Richtigkeit zu überzeugen, sucht man
entweder die Exponenten der beyden Verhältnisse, oder
man vergleicht das Product der äußern Glieder mit
dem Produkte der inner«. Hier haben beyde Verhält¬
nisse den Exponenten 5; auch ist sowohl das Product
der äußern als das Product der innern Glieder gleich
30; also ist die Proportion richtig.

(2) . Es sey die Proportion x : z — 16 : 3 auf¬
zulösen. Man hat

16 X L 12; 12 : 3 — 4;

also ist x — 4, und die Proportion 4 : z — 16 : 3.

(3) . Um die Proportion x: z — 2z : 3 auf¬
zulösen hat man

»2. _ v I   v.9.0   » .

^4 ^ 2   4 ^ 2 8)8*0   z

also X — z, und ß : z — 2z: 3 die Proportion.

(4) . Man löse die Proportion 2z: 5 — 3§: x auf.

5 X 3^ 17; 17 : 2^ 17 x - «l;
also x — 6z, und die Proportion 2z : 5 — 3z: 6z.

(5) . Man suche aus 1^ : 5^ — 8; : x das
unbekannte Glied.

^3 0 1   4^ 1/7   ?3l  »

^8 Oz — 8 /V r 116 1

732  . 1»_ 731 .7 781  4 _ 2924  _ 731  _3

16 ' ^4 16 *4- 16 7 11 2 i28

Das vierte Glied der Proportion ist also 26^ ,
und die vollständige Proportion heißt iz : sz —
8z: 26/,.

(6). Man löse noch folgende Proportionen auf:

x : 9 — 8 : 24,

x : Z 5 : 4,

x : 6 — 2 : tz,

x : 8; - 1 : 1i,

x : - 2z : 6^

Rechend- f. d. H. u. III. Cl.

9 : 12 — 15 : x
2 : 5 — 7^: x,

; : 6 8 : X,

z : 2/,^ 9 : X,

ioz: 3z 6ß : X.

L

162

88.

b. Man löse die Proportion 4 : x — 10 : 15
auf. — Das Product der äußern Glieder ist 4mahl
15 — 60, also muß auch das Product der inner»
Glieder 60 seyn; es ist also hier die Frage: welche
Zahl gibt mit 10 multiplicirt 60 zum Produkte? Die¬
ses findet man, wenn man 60 durch 10 dividirt; es
ist die Zahl 6. Die Proportion ist demnach 4:6—10:15.
— Hier hat man zuerst die beyden äußern Glieder
multiplicirt, und dann ihr Product 60 durch das
bekannte innere Glied 10 dividirt.

Eben so soll auch in folgenden Proportionen das
unbekannte Glied gefunden werden;

2 : x — 8 : 12 4 : 5 — x : 10,

12 : x — 8 : 6 20 : 12 — x : S,

10 : x — 15 : 3 18 : 27 — x: 3.

Dabey wird man auf die Regel geleitet:

Um ein inneres Glied der Proportion zu
finden, multiplicire man die beyden äußern Glieder
mit einander, und dividire das Product durch das
bekannte innere.

B e y s p i e l e.

(1) . Es sey die Proportion 8 : x — 10 : 50
aufzulösen.

8 X 50 — 400; 400 : 10 — 40;

also X — 40, und 8: 40 — 10:50 die Proportionen.

(2) . Man löse die Proportion § : 6 — x: auf.

s r — « , e .   l  .

« L ro > io ' " — ro>

folglich x — und die Proportion heißt;: 6 —

(3) . Man suche das unbekannte Glied aus der
Proportion 5^: x—3^: 7^. Die Rechnung wird stehen:

163

'V- - 15 _ «15.

8 2 — H",

Ll-5 » - "1 5  . 13   «1^ >/ _»_. 2»«n    «15   11»».

- i « ^>ig   -20^-   n   H 52 i

die vollständige Proportion ist also 5z: lizz — 3z: 7z.

(4). Es sollen noch folgende Proportionen auf-
gelöset werden:

9 : x — 3 : 5, 2 : 1 — x : 7,

z : X - 2 : i, 5 : 3 X: L,

5z : x — ^ : 4, 1? : z x : 6,

§ : x - z : ß, 6§ : x : z,

iz:x--2z:3l, 6^: 1k - x : 3z.

Achtes Haupt stück.

Die Regel de Tri.

8- 87.

§8enn zwey Arten von Zahlen so Zusammenhängen,
daß, wenn die eine Art größer wird, auch die andere
in demselben Verhältnisse zunimmt, und wenn die eine
Art kleiner wird, auch die andere in demselben Ver¬
hältnisse abnimmt; so heißen die bepden Arten von
Zahlen gerade proportionirt, oder man sagt: sie ste¬
hen in einem geraden Verhältnisse.

So sind Waare und Preis gerade proportio¬
nirt; denn Lmahl so viel von derselben Waare kostet
L 2

164

auch 2mahl so viel Geld, 3mahl so viel Waare kostet
auch 3mahl so viel Geld; die Hälfte der Waare hat
auch nur die Hälfte des Preises, der dritte Theil
der Waare kostet auch nur den dritten Theil des Gel¬
des. Waare und Preis sind also in einem solchen Zu¬
sammenhänge, daß sie beyde in demselben Verhält¬
nisse wachsen, oder beyde in demselben Verhältnisse
abnehmen, d. h. Waare und Preis sind gerade pro-
portionirt.

Eben so stehen in geradem Verhältnisse:

-Arbeitszeit und Lohn; denn für 2mahl so
viel Arbeitstage wird man auch 2mahl so viel Arbeits¬
lohn erhalten, für die 3fache Arbeitszeit auch den 3fa-
chen Lohn; für die halbe Arbeitszeit nur den halben
Lohn; —

Kapital und Zins; Z, 3mahl so viel Kapital
gibt auch 2, 3mahl so viel Zins; der vierte Theil des
Kapitals gibt auch nur den vierten Theil des Zinses; —

Zeit und Zins; in einer 3mahl so großen Zeit
wird man von demselben Kapitale auch 3mahl so viel
Zins bekommen; für die Hälfte der Zeit wird man auch
nur den halben Zins erhalten; —

Geschwindigkeit der Bewegung und Größe
-es zurückgelegten Raumes; wer sich 2mahl,
3mahl, 4mahl so geschwind bewegt, wird auch einen
2mahl, 3mahl, 4mahl so großen Raum zurücklegen;
mit der halben Geschwindigkeit wird man auch nur
den halben Weg zurücklegen; —

Münzen und Münzen; 2mahl so viel Duca-
ten geben auch 2mahl so viel Gulden; die Hälfte der
Anzahl der Ducaten gibt auch nur die Hälfte von der
Anzahl der Gulden.

165

Auf gleiche Weise kann man sich überzeugen, daß
auch folgende Arten von Zahlen gerade proportionirt
sind:

Zeit und Wirkung, — Gewicht der Last und
Fracht, — Weite des Weges und Fracht, — Länge
und Inhalt, — Breite und Inhalt, — Höhe und In¬
halt, — Menge der Nahrungsmittel und Zahl der zu
Nährenden, — Menge der Nahrungsmittel und Dauer
derselben, — Zahl der Arbeiter und Größe der Arbeit,
— Einlage bep einer Unternehmung und der Gewinn
oder Verlust.

88.

Wenn zwey Arten von Zahlen von einander so
abhängen, daß, wenn die eine Art größer wird, die
andere in demselben Verhältnisse kleiner werden muß;
so heißen die beyden Arten von Zahlen verkehrt
proportionirt, oder man sagt: sie stehen im ver¬
kehrten Verhältnisse.

So sind die Zahl der Arbeiter und die
Dauer der Arbeitzeit verkehrt proportionirt; denn
2mahl so viel Arbeiter werden für dieselbe Arbeit nur
die Hälfte der Zeit brauchen, 3mahl so viel Arbeiter
brauchen nur den dritten Theil der Zeit; die Hälfte
der Arbeiter braucht die doppelte Zeit, der dritte
Theil der Arbeiter braucht Zmahl so viel Zeit. Wenn
also die Zahl der Arbeiter zunimmt, so wird die Dauer
der Arbeitzeit in demselben Verhältnisse kleiner, und wenn
die Zahl der Arbeiter abnimmt; so wächst die Dauer
der Arbeitzeit in demselben Verhältnisse.

Verkehrt proportionirt sind auch:

Dauer der Nahrungsmittel und Zahl der
zu Nährenden; durch Lmahl so viel Tage werden

166

nur halb so viel Personen mit denselben Lebensmitteln
auskommen; umgekehrt, Lmahl, 3mahl so viel Per¬
sonen werden mit denselben Nahrungsmitteln nur die
Hälfte, den dritten Theil der Zeit ausreichen; —

Geschwindigkeit und Zett bey demselben
Wege; wenn sich ein Körper mit einer 3mahl, 4mahl
so großen Geschwindigkeit bewegt, so braucht er, um
denselben Weg zurückzulegen, nur den dritten, vierten
Theil der Zeit; —

Kapital und Zahl bey gleichem Zinsbeträge;
Lmahl so viel Kapital braucht nur halb so viel Zeit
angelegt zu seyn, um dasselbe Interesse zu geben; die
Hälfte des Kapitals muß Lmahl so viel Zeit anliegen.

Eben so kann man nachweisen, daß folgende
Arten von Zahlen in einem verkehrten Verhältnisse
steheü:

Länge und Breite, Länge und Höhe, Breite und
Höhe (bey demselben Inhalte), — der Preis des Ge¬
treides und das Gewicht eines Backwerks (von immer
gleichem Preise), — die Zahl der Erben und die Größe
des Erbtheiles, — Gewicht der Last und Weite des
Weges (bey derselben Fracht), — die Größe einer Ein¬
lage und die Zeit, (bey demselben Erträgnisse).

8- 8!).

Es gibt auch Arten von Zahlen, welche zwar in
einem innigen Zusammenhänge stehen, jedoch weder
gerade noch verkehrt proportionirt sind.

Zeit und Fallraum wachsen zwar beyde, sind
aber doch nicht gerade proportionirt: wenn nähmlich
ein Stein in 1 Secunde aus einer Höhe von 15 Fuß
fällt, so wird er in 2 Secunden nicht Lmahl 15 — 3Ü
Fuß, in 3 Secunden nicht 3mahl 15 — 45 Fuß,

167

sondern der Erfahrung gemäß in 2 Sekunden 4mahl
15 — 65 Fuß, in 3 Secunden 9mahl 15 — 135
Fuß tief fallen.

Das Gewicht des Menschen nimmt bis zu
einem gewissen Alter mit diesem zu, darum sind aber
das Gewicht und das Alter des Menschen doch nicht
gerade proportionirt. Wenn z. B. ein lOjähriger
Knabe 50 wiegt, so wird er mit 20 Jahren nicht
gerade 2mahl 50 M, mit 30 Jahren nicht 3mahl
30 K", mit 60 Jahren nicht 6mahl 50 N wiegen. .

Die Zeit und die Arbeit unter ungleichen
Umständen sind nicht proportionirt. Wenn z. B-
mehrere Arbeiter in 3 Tagen eine Grube 5 Fuß tief
graben, so wäre es fehlerhaft zu schließen, daß sie in
6 Tagen die Grube 10 Fuß tief ausgraben werden,
da die Arbeit immer schwieriger wird, je größer
die Tiefe ist.

Der Durchmesser einer Kugel und der In¬
halt, eben so die Seite eines Würfels und der
Inhalt, sind nicht einfach proportionirt. Wenn ein
Würfel, dessen jede Seite 3 Fuß ist, 580 Maß ent¬
hält; so wird ein würfelförmiges Gefäß, dessen jede
Seite nur 1 Fuß ist, nicht den 3ten Theil von
580 Maß, sondern nur den 27sten Theil davon fassen.

Dasselbe gilt von der Größe und dem Preise
eines Diamanten, einer Spiegeltafel.

8. so.

Wenn zwei) Arten von Zahlen gerade
oder verkehrt proportionirt sind, so kann man
immer ans zwei) Paaren zusammengehöriger
Zahlen der beyden Arten eine Proportion

168

bilden; wie man aus folgenden Bcyspielcn
sehen kann.

3 Ellen Tuch kosten 12 fl., 6 Ellen Tuch werden
gewiß doppelt so viel, also 24 fl. kosten. Die Zahlen
der einen Art sind 3 Ellen und 6 Ellen, ihr Verhält-
niß also 3 Ellen : 6 Ellen, wovon ? der Exponent
ist; die Zahlen der zweyten Art sind 12 fl. und 24 fl.,
ihr Verhältniß also 12 fl. : 24 fl., und der Exponent
desselben auch^; die beyden Verhältnisse 3 Ellen: 6 El¬
len, und 12 fl. : 24 fl. sind daher gleich, und bilden
eine Proportion, nähmlich 3 Ellen : 6 Ellen —
12 fl. : 24 fl.

8 Arbeiter brauchen zu einer gewissen Arbeit
10 Tage, 4 Arbeiter werden zu derselben Arbeit dop¬
pelt so viel Zeit brauchen, also 20 Tage. Hier sind
die Zahlen der einen Art 8 Arbeiter und 4 Arbei¬
ter, ihr Verhältniß 8 Arb. : 4Arb., und dessen Ex¬
ponent 2; die Zahlen der andern Art sind 10 Tage
und 20 Tage, das Verhältniß derselben, wenn man
sie in umgekehrter Ordnung nimmt, 20Tage: lOTagen,
und der Exponent desselben auch 2; die beyden Ver¬
hältnisse bilden also eine Proportion, nähmlich 8 Arb.:
4 Arb. — 20 Tage : 10 Tagen.

Wenn daher zwey Arten von Zahlen gerade oder
verkehrt proportionirt sind, und man setzet zwey Zah¬
len der einen Art in ein Verhältniß, so bilden immer
auch die zwey zugehörigen Zahlen der andern Art,
in derselben oder in umgekehrter Ordnung genom¬
men, ein Verhältniß, welches dem vorigen gleich ist.

8- 91.

Wenn zwey Arten von Zahlen in geradem oder
verkehrtem Verhältnisse stehen, und wenn von einer

169

Art beyde Zahlen angegeben werden, von den zuge¬
hörigen Zahlen der andern Art aber nur eine bekannt
ist; so kann man die andere unbekannte Zahl dieser
zweyten Art leicht finden. Die Rechnung, durch welche
dieses geschieht, heißt die Regel de Tri.

Bep der Regel de Tri wird also vorausgesetzt:

1. Daß zwey Arten von Zahlen angegeben wer¬
den, welche entweder gerade oder verkehrt proportio-
nirt sind;

2. daß drey Zahlen bekannt sind, die zwey Zah¬
len der einen Art, und eine der dazu gehörigen Zah¬
len der andern Art.

Z. B. Wenn 4 Pfund einer Waare 52 Kreu¬
zer kosten, wie viel Kreuzer werden 3 Pfund von der¬
selben Waare kostend — Die bepden Arten von
Zahlen, welche hier Vorkommen, sind Pfund und Kreu¬
zer; sie sind gerade proportionirt, weil 2mahl, 3mahl,
4mahl so viel Pfund auch 2mahl, 3mahl, 4mahl so
viel Kreuzer kosten werden; von der ersten Art sind
beyde Zahlen gegeben, nähmlich 4 Pfund und 3 Pfund;
von den dazu gehörigen Zahlen der zweyten Art ist
nur eine bekannt, nähmlich 52 Kr., die andere ist
unbekannt und soll erst gefunden werden. Dieß ist
also eine Aufgabe, welche zur Regel de Tri gehört.

Die unbekannte Zahl wird in der Rechnung mit
dem Buchstaben x bezeichnet, und in der Proportion
gewöhnlich in das vierte Glied gesetzt.

8. 92.

Es seyen folgende Regel de Tri-Aufgaben aufzu¬
lösen:

a. 6 Pfund Zucker kosten 2 Gulden; wie viel Gul¬
den kosten 25 Pfund Zucker d

170

Bey der Regel de Tri werden die zusammenge¬
hörigen Zahlen neben einander, die gleichartigen aber
unter einander geschrieben. Man schreibt also

6 Pfund 2 Gulden

25 ,/ x „

Die deyden Arten von Zahlen sind hier Pfund
und Gulden, und stehen in geradem Verhältnisse; es
läßt sich daher aus ihnen eine Proportion bilden.
Setzt man nähmlich die unbekannte Zahl x in das
vierte, und die damit gleichnahmige Zahl 2 in das
dritte Glied, wodurch man das Verhältniß 2 : x be¬
kommt; so muß sich auch aus den dazu gehörigen
Zahlen der Pfunde 6 und 25 ein Verhältniß bilden
lassen, welches dem vorigen gleich ist. Es entstehet
nun die Frage, in welcher Ordnung müssen 6 und
25 in ein Verhältniß gebracht werden, damit dasselbe
dem Verhältnisse 2 : x gleich sey? Um dieses zu er¬
fahren, muß man wissen, ob x kleiner oder größer
als 2 ausfallen soll. Man beurtheilet also: wenn 6 N
2 fl. kosten, werden 25 A mehr oder weniger als
2 st. kosten? Gewiß mehr, x wird also größer als
2 ausfallen. Wenn aber in einer Proportion das vierte
Glied größer als das dritte ist, so muß auch das
zweyte größer als das erste seyn; man wird daher
von den beyden Zahlen 6 und 25 die kleinere 6 in das
erste, und die größere 25 in das zweyte Glied setzen.
Dadurch erhält man die Proportion

6 : 25 2 : x.

Aus dieser Proportion wird nun der Werth von
x gefunden, wenn man die beyden inner» Glieder
mit einander multiplicirt, und das Product durch das
bekannte äußere Glied dividirt; man hat nähmlich

k7t

6 : 25  2  :  x

6 I 50 ! 8z fl.
48

2 

6 - 3'

Wenn also 6 M Zucker 2 si. kosten, so wird man
für 25 M 8^ st. bezahlen.

b. Mr 8 Zentner Waare muß man 9 fl. Fracht
zahlen; wie viel st. wird man für 3 Zentner zahlen
müssen?

Man schreibt

8 Ztr. 9 fl.

3 „ x „

Hier find wieder zwey Arten von Zahlen angege¬
ben, welche gerade proportionirt sind, nähmlich Zent¬
ner und Gulden. Setzt man daher die unbekannte Zahl
x in das vierte und die damit gleichnahmige Zahl 9
in das dritte Glied, wodurch man das Verhältniß 9 : x
erhält, so müssen auch die zugehörigen Zahlen der Zent¬
ner, in derselben oder in umgekehrter Ordnung, ein
Verhältniß geben, welches dem vorigen gleich ist. Um
zu wissen, ob x größer oder kleiner als 9 seyn wird,
fragt man: wenn man für 8 Zentner Waare 9 fl. Fracht
zahlen muß, wird man für 3 Zentner mehr oder weni¬
ger als 9 fl. zahlen? Gewiß weniger; x wird also
kleiner als 9 ausfallen, folglich wird das vierte Glied
kleiner als das dritte, daher muß man auch von den
beyden Zahlen der andern Art die größere 8 in das
erste, und die kleinere 3 in das zweyte Glied setzen.
Man hat dann die Proportion

8 : 3 — 9 : x

8 j 27 I 3? fl.

24

3

172

Wenn man also für 8 Ztr. Waare 9 fl. Fracht
zahlen muß, so wird man für 3 Ztr. 3-,- fl. Fracht
zahlen.

Aus diesen Beyspielen ergibt sich für die Regel de
Tri folgendes Verfahren:

1. Man schreibe die zusammengehörigen Zahlen
neben einander, und die gleichartigen unter einander,
die gleichartigen Zahlen müssen, wenn sie nicht gleich-
nahmig sind, auf gleiche Benennung gebracht werden.

2. Man setze die unbekannte Zahl x in das
vierte, und die damit gleichnahmige Zahl in das dritte
Glied; die zwey Zahlen der andern Art kommen in
gehöriger Ordnung in das erste und zweyte Glied zu
stehen. Um diese Ordnung zu bestimmen, beurtheile
man aus den Umständen der Aufgabe, ob x größer
oder kleiner ausfallen wird, als die damit gleichnah¬
mige Zahl. Soll x größer ausfallen, so ist das vierte
Glied größer als das dritte; man muß daher von ven
beyden Zahlen der andern Art die kleinere in das erste,
und die größere in das zweyte Glied setzen. Soll aber
x kleiner ausfallen, so ist das zweyte Verhältniß fal¬
lend; man bringt daher auch die Zahlen der andern
Art in ein fallendes Verhältniß, indem man die grö¬
ßere in das erste, und die kleinere in das zweyte Glied
setzet.

3. Die Proportion wird aufgelöset.

Aufgaben, welche nicht zu große Zahlen enthal¬
ten, können meistens leichter und schneller tm Kopfe
als schriftlich aufgelöset werden.

173

93.

Beyspielc und Aufgaben.

Waarc und Betrag.

(1). 3 Ellen Tuch kosten 15 fl.; wie viel fl. kosten
12 Ellen?

Auflösung im Kopfe. Wenn 3 Ellen 15 fl
kosten, so wird i Elle nur den 3ten Theil von 15 fl.,
also 5 fl. kosten; 12 Ellen werden aber 12mahl <o viel
als 1 Elle, also 12mahl 5 fl. — 60 fl. kosten. — Oder:
12 Ellen sind 4mahl so viel als 3 Ellen; wenn also
3 Ellen 15 fl. kosten, so werden 12 Ellen 4mahl 15 fl.
— 60 fl. betragen.

Schriftlich. Man schreibt

3 Ell. 15 fl.

12 „ x ,/

und setzt x in das vierte, und 15 in das dritte Glied.
Dann beurtheilet man: wenn 3 Ellen 15 fl. kosten, wer¬
den 12 Ellen mehr oder weniger als 15 fl. kosten; of¬
fenbar mehr; x muß also größer als 15 ausfallen,
daher muß auch das zweyte Glied größer als das erste
seyn. Man setzt daher von den beyden Zahlen der an¬
dern Art die kleinere 3 in das erste, und die größere
12 in das zweyte Glied; dadurch erhält man

3 : 12 — 15 : x

12

30

15

3 I 180 j 60 fl

18

- 0

12 Ellen werden also 60 fl. kosten.

174

(2) . Was kostet 1 Maß, wenn 3 Eimer auf 32 fl.
zu stehen kommen?'

Mündlich. Wenn 3 Eimer auf 32 fl. kommen,
so kostet I Eimer nur den 3ten Theil davon, also 32
Zwanziger; 1 Maß kostet nun den 40sten Theil von
dem, was 1 Eimer kostet; der 20ste Theil von 32 Zwan¬
zigern sind 32 Kreuzer; der -Oste Theil also ist die
Hälfte davon, nähmlich 3Z halbe Kreuzer, oder 16 Kr.
Eine Maß kostet also 16 Kr.

Schriftlich.

x fl. 1 Maß 120 : 1 32 : x

32 „ 120 „ 12032!^,^^ fl.--16 Kr.

Da Eimer und Maß verschiedene Benennungen
sind, so müssen sie gleichnahmig gemacht werden; man
dringt also 3 Eimer auf Maß, indem man mit 40
nmltiplicirt; die 120 Maß werden unter 1 Maß ange¬
schrieben. Nun setzt man x in das vierte, und die
damit gleichnahmige Zahl 32 in das dritte Glied, und
folgert: wenn 120 Maß 32 fl. kosten, so wird 1 Maß
gewiß weniger als 32 fl. kosten; x wird also kleiner
als 32 ausfallen, und das Verhältniß 32: x ist ein
fallendes. Man bildet daher auch aus 1 und 120 ein
fallendes Verhältniß, setzt dieses dem andern Verhält¬
nisse gleich, und löset dann die Proportion auf. Man
bekommt dadurch fl. — 16 Kr. 1 Maß kostet also
16 Kr.

(3) . Jemand kauft 6 M Zucker um 2^fl.; wie viel
Zucker von derselben Gattung wird er um 15 fl. be¬
kommen ? — 36 A.

(4) . 5 Ellen Leinwand werden mit 2^ fl. bezahlt,
wie hoch kommen 12 Ellen? — Auf 5^ fl.

175

(5) . 4 Loth Quecksilber kosten 26 Kr.; wie theuer
sind 3z N? — 12 fl. 8 kr.

(6) . Ein Kalb wiegt 125 N; wie viel muß man
dafür geben, wenn 1 Ztr. auf 13 fl. angeschlagen wird?
— 16 fl. 15 Kr.

(7) . Wie viel muß man für 45 N einer Waare
bezahlen, wovon man 1 Ztr. um 6V fl. erhält? — 27 fl.

(8) . Ein Kaufmann hat 42; Ztr. Waare für 296 fl.
40 Kr. gekauft; wie viel von dieser Waare bekommt
er für 148 fl. 20 Kr. — 2iz Ztr.

Hier müssen die Kreuzer in Guldenbrüche verwandelt
werden. — Diese Aufgabe läßt sich sogleich im Kopfe
auslösen, da 148 fl. 20 Kr. genau die Hälfte von 296 fl.
40 Kr. sind, so wird man dafür auch gerade die Hälfte
von 42 V» Ztr., also 2t'/8 Ztr. bekommen.

(9) . Was kosten 4 N, wenn 3 Ztr-20 Aum760fl.
gekauft werden? — 9 fl. 30 Kr.

(!0). Wenn 3; Ellen Taffet 5 fl. 24 Kr. kosten,
wie hoch kommen 11; Ellen? — Auf 16 fl. 12 Kr.

8- 94.

Kapital, Zeit und Zins.

(1). 100 fl. Kapital geben in einem Jahre 5 fl.
Zins; wie viel Zins werden in derselben Zeit 240 fl.
Kapital geben? — Oder kürzer: Wie viel Zins geben
240 fl- Kapital in einem Jahre zu 5 Percent?

Im Kopfe. Wenn 100 fl. jährlich 5 fl. Zins
geben, so wird man von 200 fl. doppelt so viel, also
10 fl. bekommen; 20 fl. sind der 5te Theil von 100 fl.,
also geben sie nur den 5ten Theil des Zinses, nähmlich
1 fl., daher 40 fl. doppelt so viel, also 2 fl.; 200 fl.

176

geben also 10 fl., 40 fl. geben 2 fl., folglich 240 fl.
10 und 2 d. i. 12 fl. Zins.

Schriftlich.

100 fl. Kap. 5 fl. Zins 100 : 240 — 5 : x

240 „ „ x „ „ 1.00 > 12.00 I 12 fl.

Hier schließt man: 100 fl. Kapital geben 5 fl. In¬
teresse, 240 fl. werden gewiß mehr Zins geben; x
wird also größer als 5, u. s. w.

(2) . Welches Kapital gibt. zu 4 Percent jährlich
50 fl. Zins?

Zu 4 Percent heißt: von 100 fl. bekommt man
jährlich 4 fl. Zins.

Auflösung im Kopfe. Um 4 fl. jährlichen Zins
zu bekommen, muß man 100 fl. Kapital anlegen; um
1 fl. Zins zu erhalten, braucht man nur den 4ten Theil
von 100 fl., also nur 25 fl. Kapital anzulegen; um
nun jährlich 50 fl. Zins zu haben, muß das Kapital
50mahl so viel, also 50mahl 25 fl. betragen; 5mahl
20 ist 100, 5mahl 5 ist 25, daher 5mahl 25 gleich
125 , 50mahl 25 wird also 125 Zehner, d. i. 1250
machen. Um daher jährlich 50 fl. Zins zu bekommen,
muß man 1250 fl. Kapital anlegen.

Schriftlich.

100 fl. Kap. 4 fl. Zins 4 : 50 — 100 : X,
x /, „ 50 „ „ woraus x —1250 fl. folgt.

Hier folgert man: um 4 fl. Zins zu bekommen,
muß man 100 fl. Kapital anlegen; um 50 fl. Zins zu
erhalten, wird man gewiß mehr Kapital anlegen müs¬
sen; x wird also größer als 100 ausfallen.

(3) . Ein Kapital gibt in 1 Jahre 248 fl. Interes¬
sen, wie viel gibt es in 2^ Jahren?

Mündlich. In 2 Jahren gibt das Kapital dop¬
pelt so viel Zins, also 2mahl 248 fl. d. i. 496 fl.; in

177

2 Jahre gibt es die Hälfte von 248 fl., also 124 fl. ;
zusammen 620 fl Zins.

Schriftlich.

1 Jahr 248 fl. Zins 1 : 2z — 248 : x

2z ,/ x „ ,/ also x 620 fl.

Man folgert: in 1 Jahre bekommt man 248 fl.
Zins; in 2z Jahren wird man gewiß mehr Zins be¬
kommen ; u. s- w.

(4) . 360 fl. Kapital geben in einer gewissen Zeit
48 fl. Zins; wie viel Zins geben in derselben Zeit 1200 fl.
Kapital? — 160 fl. Zins.

(5) . Ein Kapital gibt jährlich 45 fl. Interesse; wie
viel gibt es in 2 Monathen? — 7z fl-

(6) . Ein Kapital gibt in 1 Jahre 14sz fl. Zins;
wie lange Zeit wird das Kapital angelegt bleiben müs¬
sen, um 3S8z fl. Zins zu erhalten? — 2^ — 2^
Jahre, oder 2 Jahre und 8 Monathe.

(7) . Wie viel beträgt der Zins von 1260 fl. Ka¬
pital bey 6 Percent in 3 Jahren 4 Monathen? —
252 fl.

(8) . Wie viel Zeit muß ein Kapital zu 5 Per¬
cent angelegt bleiben, damit es sich verdoppelt? —
2V Jahre.

Die Ausgabe heißt eigentlich: in wie viel Jahren wer¬
den 100 fl. Kapital 100 fl. Zins abwerfen, wenn sie in
1 Jahr 5 fl. Zins geben? — Im Kopfe würde man rech¬
nen: um 5 fl. Zins zu bekommen, müssen die 100 fl.
Kapital 1 Jahr anliegen, um 100 fl. Zins zu bekommen,
müssen sic 20mahl so lange, also 20 Jahre angelegt
bleiben.

(9) . Zu wie vielPercent muß man 1680 fl. Kapital
anlegen, um jährlich 56 fl. Zins zu ziehen? — Zu 3z
Percent.

Rechenb. s. d. II. u. III Cl. M

178

Die Aufgabe heißt eigentlich, wenn man von
1680 fl. Kapital 56 fl. Zins haben will, wie viel
ZinS muß man von 100 fl. Kapital verlangen?

(10). Zu wie viel Percent sind 2115 fl. ausge¬
liehen, wenn sie jährlich 105 fl. 45 Kr. Zins tra¬
gen? — Zu 5 Percent.

8. 95.

Arbeitszeit und Lohn.

(1) . Eine Köchinn hat monathlich 4 fl. Dienst¬
lohn; wie viel kommt auf 12 Tage?

Mündlich. Auf 1 Monath oder KO Tage kom¬
men 4 fl., also auf 1 Tag der 30ste Th eil von 4 fl.,
der 30ste Theil von 1 fl. sind 2 Kr., also von 4 fl.
4mahl so viel, nähmlich 8 Kr.; auf 1 Tag kommen
also 8 Kr., auf 12 Tage daher ILmahl 8, d. i. 96 Kr.
oder 1 fl 36 Kr.

Schriftlich.

30 Tage 4 fl. 30 : 12 — 4 : x .

12 „ x „ 30 § 48 § 1§ fl. -

30

18_ . » Sk

30 L

Hier folgert man, wenn man in 30 Tagen 4 fl.
' Lohn bekommt, so wird der Lohn für 12 Tage weni¬
ger als 4 ff. betragen; x wird also kleiner als 4
«msfallen, u. s. w.

(2) . Jemand hat monathlich 15 fl. Lohn; wie
Lange muß er dienen, um 120 fl. zu erhalten? —
8 Monathe.

(3) . Ein Diener bekommt für 3^ Monathe 33 fl.
15 Kr. Lohn; wie viel kommt auf 1 Monath? —
s;- fl.

179

(4) . Ein Knecht hat alle 2 Monathe 15 fl. Lohn;
in wie viel Zeit wird er 225 fl. verdienen? — In
2^ Jahren.

(5) . Jemand verdient monathlich 36 fl., und er¬
spart seiner Einnahme; wie viel erspart er in 10^
Monathen? — 94^ fl.

(6) . Ein Taglöhner hat das ganze Jahr hin¬
durch 212 fl. verdient; wie hoch stellt er sich im Durch¬
schnitte tägl'ch? — Auf 34HZ Kr. oder ungefähr 34z Kr.

96.

Zahl der Arbeiter, Größe und Dauer der
Arbeitszeit.

(1) . 1V Menschen machen täglich 8000 Ziegel;
wie viel Stücke Machen 15 Menschen?

Mündlich. Wenn 10 Menschen 8000 Ziegel
machen, so macht 1 Mensch nur den lOten Theil von
8000, also 800 Ziegel; 15 Menschen machen nun
15mahl so viel, also 12000 Ziegel.

Schriftlich.

10 Menschen 8000 Ziegel 10 : 15 — 8000: x

15 „ x „ 1.0 1 12000.0 l 12000 Ziegel.

(2) . Wenn 5 Personen eine Arbeit in 20 Tagen
vollenden; wie viele Personen werden erfordert, um
damit in 25 Tagen fertig zu werden?

Mündlich. Wenn 5 Personen eine Arbeit in
20 Tagen vollenden, so würde man, um mit dersel¬
ben Arbeit in 1 Tage fertig zu werden, 20mahl so
viel Personen, also 20mahl 5 — 100 Personen auf-
nehmen müssen; um nun die Arbeit in 25 Tagen zu
vollenden, braucht man nur den 25sten Theil von 100
Personen, also nur 4 Personen?

M 2

180

Schriftlich.

5 Pers. 20 Tage 25 : 20 — 5 :  x

x „ 25 „ 25 § 100 1 4 Pers.

100

Folgerung^ Wenn in 20 Tagen eine Arbeit von
5 Personen vollendet wird, so braucht man, wenn
dieselbe Arbeit erst in 25 Tagen fertig werden soll,
gewiß weniger Arbeiter; x wird also kleiner als 5
ausfallen, u. s. w.

(3). 14 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Ta¬
gen ; in wie viel Tagen kommen 12 Arbeiter damit
zu Stande?

Im Kopfe. 14 Arbeiter vollenden eine Arbeit
in 6 Tagen; 1 Arbeiter wurde 14mahl so viel Zeit
also 14mahl 6 — 84 Tage dazu brauchen; 12 Arbei¬
ter brauchen nur den 12ten Tcheil so viel Zeit als 1
Arbeiter, also den 12ten Tcheil von 84, d. i. 7 Tage.

Schriftlich.

14 Arb. 6 Tage 12 : 14 — 6 . x

12 „ x „ 12 § 84 s 7 Tage.

84

Man schließt, wenn 14 Arbeiter eine Arbeit in 6
Tagen vollenden, so werden 12 Arbeiter dazu gewiß
mehr als 6 Tage brauchen; x muß also größer als 6
werden u. s. w.

(4) . 15 Menschen reinigen in einem Tage einen
Graben, welcher 24 Klafter lang ist; wie viel Men¬
schen werden in derselben Zeit mit der Reinigung eines
Grabens von 72 Klafter Länge fertig? — 45 Menschen.

(5) . Ein Damm ist von 9 Arbeitern in 8 Tagen
aufgeworfen worden; wie viel Arbeiter werden nöthig

181

seyn, um einen gleich großen Damm in 6 Tagen auf¬
zuwerfen? — 12 Arbeiter.

(6) . Um eine Wiese abzumähen, braucht man 12
Mäher durch 6 Tage, der Eigenthümer aber will solche
in 4 Tagen abgemähct haben; wie viel Mäher wird er
noch aufnehmen müssen? — Um die Wiese in 4 Tagen
abzumühen, sind 18 Mäher nöthig; also müssen zu den
frühern noch 6 ausgenommen werden.

(7) . Ein Canalbau wird dahin berechnet, daß
800 Mann in 10 Monathen fertig werden, derselbe
soll aber schon in 4 Monathen fertig seyn; wie viel
Mann wird man noch aufnehmen müssen? — Noch 1200
Mann.

8- 97.

Zeit und Ergeb n iß.

(1) . In einer Haushaltung gibt man alle 4 Tage
8 fl. 40 Kr. aus; wie viel in 25 Tagen?

Im Kopfe. Wenn man in 4 Tagen 8 fl. 40 Kr.
ausgibt, fo kommt auf 1 Tag nur der 4te Theil davon,
nähmlich 2 fl. 10 Kr.; auf 25 Tage also 25mahl 2 fl.
10 Kr.; 25mahl 2 fl. sind 50 fl., 25mahl 10 Kr. sind
25 Zehner, d. i. 4 fl. 10 Kr., zusammen 54 fl. 10 Kr.

Schriftlich.

4 Tage 8^ fl. 4 : 25 — 8^ : x

25 „ x 8^X25 ^«X25—^

x^^:4_-.^^54^fl.

(2) . In einer Mühle mahlte man in 2 Stunden
15 Meßen Korn; wie viel Zeit wird man brauchen,
um 96 Metzen zu mahlen? — 12z Stunden.

(3) . Jemand nimmt monathlich 66 fl. 40 Kr. ein;
wie viel kommt auf 5 Tage? — 11^ fl.

182

(4). Jemand gibt in 7 Tagen 12 si. 40 Kr°
aus; wie lange wird er verhältnißmäßig mit 126 fl.
40 Kr. ausreichen? — Durch 70 Tage.

8. 98.

Gewicht der Fracht, Weite des Weges und
Frachtlohn.

(1) . Für 2 Ztr. Waare muß man 7 fl. Fracht
zahlen; wie viel für 20 Ztr.

Mündlich. Für 2 Ztr. muß man 7 fl. Fracht
zahlen, also für 1 Ztr. nur die Hälfte davon, nähm-
lich 3^ fl., daher für 20 Ztr. 20mahl 3-^ — 70 fl.
— Oder: für 2 Ztr. zahlt man 7 fl., von 20 Ztr.
wird man lOmahl so viel, also 70 fl. Fracht zablen.

Schriftlich.

2 Ztr. 7 fl. Fracht 2 : 20 — 7 : x

20 „ x „ 2 I 140 > 70fl.

14

(2) . Ein Fuhrmann verspricht, 10 Ztr. für ein
gewisses Frachtgeld 9 Meilen weit zu führen; wie weit
wird er für eben so viel Geld 15 Ztr. führen?

Mündlich. Wenn man 10 Ztr- um ein gewis¬
ses Geld 9 Meilen weit führt, so wird man 1 Ztr.
um dasselbe Geld lOmahl so weit, also 90 Meilen
führen; man wird daher 15 Ztr. den 15ten Theil von
90, also 6 Meilen weit führen.

Schriftlich.

10 Ztr. 9 Meilen 15 : 10 — 9 : x

15 ,, x „ 15 I '90 I sHeilen.

90

183

Man schließt hier: Wenn man 10 Ztr. um ein
gewisses Frachtgeld S Meilen weit führt, so wird man
15 Ztr. um dasselbe Geld nicht so weit führen können;
x wird also kleiner als 9 ausfallen; u. s. w.

(3) . Ein Fuhrmann verlangt um eine bestimmte
Waare 5 Meilen weit zu führen, 2 fl. 20 Kr.; wie
viel Fracht wird man ihm zahlen, daß er dieselbe
Waare '12; Meilen weit führe? — 5 fl. 25 Kr.

(4) . 18; Ztr. führt der Fuhrmann für ein bestimm¬
tes Frachtgeld 12 Meilen weit, nun setzt man ihm
noch 2; Ztr. dazu; wie weit wird er diese vermehrte Last
um dieselbe Fracht führen? — 10 U Meilen.

(5) . Ein Zentner wird um 32 Kr. 6 Meilen weit
verführt; wie weit um 1 fl. 20 Kr. ? — 15 Meilen.

(6) . Wie viel Frachtgeld muß man für 8; Ztr.
bezahlen; wenn für 3 Ztr. 2^ fl. Fracht gezahlt wird? —
«r fl-

(7) . Ein Fuhrmann erhält für seine ganze Ladung,
welche 32§ Ztr. beträgt, 42 fl. Fracht, und für einen
Ballen dieser Ladung beträgt die Fracht 1 fl. 45 Kr. ;
wie viel wiegt ein solcher Ballen? — 1 Ztr. 35

Die ganze Ladung hat 24 Ballen.

8- 99.

Länge, Breite, Höhe und Inhalt.

(1). Jemand läßt Leinwand machen; wenn diese
' Ellen breit gemacht wird, so bekomm: er aus dem
hergegebenen Garn 54 Ellen: wie viel Ellen wird er
nun bekommen, wenn die Leinwand 1 Elle breit
seyn soll?

Im Kopfe. Bey ? Ellen Breite bekommt man
54 Ellen; bey ; Ellen Breite würde man 3mahl so
viel, also 162 Ellen bekommen; bev der Breite von

184

1 Elle wird man nun den 4ten Theil so viel Ellen
erhalten, als bep der Breite von Elle, also den
4ten Theil von 162, nähmlich 40^ Ellen.

Schriftlich

ZEll. Breite 54 Ell. Länge 1: E —54.^x

1 „x „ '-P^4Ö^40z Elle.

Hier wird gefolgert: wenn die Leinwand Ellen
breit gemacht wird, bekommt man 54 Ellen; macht
man die Leinwand 1 Elle breit, also breiter, so wird
man gewiß ein minder langes Stück bekommen; x
wird also kleiner als 54 ausfallen; u. s. w.

(2) . Ein viereckiges Gefäß, welches 1 Fuß
4 Zoll hoch ist, hält 88 Maß; wie viel Maß wird
ein eben so weites Gefäß, welches nur 1 Fuß hoch ist,
halten?

Mündlich. Auf 1 Fuß 4 Zoll d. i. auf 16 Zoll
Höhe gehen 88 Maß, auf 1 Zoll Höhe geht nur der
16te Theil davon, also 5^ Maß; auf 12 Zoll Höhe
daher 12mahl 5^ Maß> d. i. 66 Maß.

Schriftlich

16 Zoll hoch 88 Maß 16 : 42 — 88 : x,
12 „ x „ woraus x — 66 Maß.

(3) . Eine Allee soll angelegt werden; pflanzt
man die Bäumchen 12 Fuß von einander, so sind
3660 Stück erforderlich; wie viele Bäume wird man
benöthigen, wenn man sie nur 10 Fuß von einander
setzt? — 4392 Stücke.

(4) . Jemand braucht für ein Kleid zum Unterfut¬
ter 4^ Ellen E Ellen breite Leinwand; wie viel Leinwand
wird er nun brauchen, wenn diese 1 Elle breit ist? —
3^ Ellen.

(5) . Zu einem Dutzend Hemden braucht man

185

42 Ellen 5 Viertel breite Leinwand; wie viel von
einer 4 Viertel breiten? — 52^ Elle.

(6) . Zu dem Überzüge von 6 Sesseln Kraucht man
18 Ellen 5 Viertel breiten Zeug; wie breit müßte der
Zeug seyn, um mit 15 Ellen auszukommen? —
6 Viertel.

(7) . Ein Garten ist 28 Klafter lang und 1V Klaf¬
ter breit; wie breit muß ein anderer Garten, dessen
Länge 20 Klafter beträgt, gemacht werden, damit
beyde Gärten die nähmliche Fläche haben? — 14Klaster.

(8) . Jemand will einen Acker, welcher 15 Klaf¬
ter lang, und 6 Klafter breit ist, um 1 Klafter schmä¬
ler machen; um wie viel länger muß dann der Acker
ausfallen, damit er mit dem frühern gleich groß
bleibe? — Der Acker muß dann 18 Klafter lang,
also um 3 Klafter länger gemacht werden, als er frü¬
her war.

§. 100.

Zeit, Geschwindigkeit und zurückgeleg¬
ter Raum?

(1) . Jemand legt in 4 Tagen 36 Meilen zurück;
wie viel in 17 Tagen?

Mündlich. Wenn man in 4 Tagen 36 Meilen
macht, so legt man in 1 Tag den 4ten Theil von 36,
also 9 Meilen, daher in 17 Tagen 17mahl 9 — 153
Meilen zurück.

Schriftlich.

4 Tage 36 Meilen 4 : 17 — 36 : x

17 ,/ x „ woraus x — 153 Meilen.

(2) . Ein Bothe geht täglich 6 Meilen weit, und
braucht, um einen gewissen Ort zu erlangen, 12 Tage;

186

wie viel Zeit würde er brauchen, wenn er täglich
8 Meilen zurücklegen möchte?

Im Kopfe. Wenn man durch 12 Tage täglich
6 Meilen macht, so legt man zusammen 12mahl
6 — 72 Meilen zurück, der Ort, an den der Boche
gelangen will, ist also 72 Meilen entfernt; wenn nun
der Boche täglich 8 Meilen zurücklegen möchte, so
würde er den 8ten Theil von 72, also 9 Tage
brauchen.

Schriftlich.

6 Meilen tägl. 12 Tage 8 : 6 — 12 : x

8 „ x „ 8 § 72 ! 9 Tage.

72 !

! i

Man schließt: wenn man täglich 6 Meilen macht,
so braucht man 12 Tage, um an einen gewissen Ort
zu kommen; wenn man täglich 8 Meilen macht, so
wird man, um an denselben Ort zu kommen, weniger
Tage brauchen; x wird also kleiner als 12 ausfal¬
len; u. s. w.

(3) . An einen Ort kann man in 4 Tagen gelan¬
gen, wenn man täglich durch 9 Stunden fährt; wie
viel Stunden muß man täglich fahren, um diese Reise
in 3 Tagen zu vollenden? — 12 Stunden.

(4) . Ein Eilbothe kann in 15 Tagen an den Ort
seiner Bestimmung kommen, wenn er täglich 16 Mei¬
len macht; er kommt aber schon in 12 Tagen an; wie
viel Meilen hat er täglich zurückgelegt? — 20 Meilen.

(5) . Wenn man täglich 4^ Meilen macht,
erreicht man das Ziel seiner Reise in 17^ Tagen; wie
viel Meilen muß man täglich zurücklegen, um diese
Reise in 15 Tagen zu vollenden? — 5^ Meilen.

L87

IVI.

Münzen, Maße und Gewichte.

(1) . 14 preußische Thaler geben 20 fl. Con¬
ventions-Münze; wie viel fl. Conv. Münze betragen
30 preußische Thaler?

Im Kopfe. 30 ist 2mahl 14. und noch 2; 2mahl
14 oder 28 Thlr. werden 2mahl 20 d. i. 40 fl. C. M.
geben; 2 Thlr. sind der 7te Theil von 14 Thlrn., sie wer¬
den daher den 7ten Theil von 20 fl., also 2° fl. betra¬
gen; zusammen 42° fl.

Schriftlich.

l4 preuß. Thl. 20 fl. C. M. 14 : 30 — 20: x
30 „x „ also x 42^ fl. C. M.

(2) . Wie viel Gulden betragen 648 Franken,
wenn 51934 Franken 20000 Gulden geben? —
Nahe 249 fl. 33 Kr.

(3) . Wie viel Gulden betragen 243^ russische
Rubel, wenn 13 Rubel 20 Gulden ausmachen? —
374^ fl.

(4) . 100 Venetianer Eklen machen 82 Wiener
Ellen; wie viel Wiener Ellen geben 30 Venetianer
Ellen? — 24§ Wiener Ellen.

(5) . Wie viel Eimer halten 240 6on-i Wein;
wenn 2 OonLi 3 Eimer geben? — 360 Eimer.

(6) . Wie viel Wiener Metzen betragen 9d böh¬
mische Strich; wenn 23 Strich 35 Wiener Metzen
ausmachen? — 140 Metzen.

(7) . Wie viel Triester Star machen 749^ Wie¬
ner Metzen; wenn man 5 Star auf 6 Metzen rech¬
net? — 624^ Star.

(8) . Wie viel Wiener K" geben 98 Lemberger N,

j 88

wenn 4 Lemberger N 3 Wiener N betragen L —
73z Wiener N.

102.

Preis des Kornes und Gewicht des
Brotes.

(1) . Wenn der Metzen Korn 2 fl. kostet, so wiegt
ein Zweygroschenbrot 3z M; wie schwer wird man das
Zweygroschenlaib ausbacken, wenn der Metzen Korn
mit 2 fl. 30 Kr. bezahlt werden muß?

Im Kopfe. Um 2 Groschen bekommt ma»
3z M Kornbrot, um 2 fl. also 20mahl so viel, nähm-
lich 65 A"; folglich erhält man bcy dem Preise von 2 fl.
aus einem Metzen Getreide 65 N Brot; wird nun
der Metzen mit 2 fl. 30 Kr. bezahlt, so wird man für
2 fl. 30 Kr. 65 K" Kornbrot erhalten; 2 Groschen sind
aber in 2 fl. 30 Kr. 25mahl enthalten, also wird man
für 2 Groschen auch nur den 25sten Theil von 65 M
bekommen; der 5te Theil von 65 ist 13, und davon
wieder der 5te Theil sind 2§ U; das Zweygroschen¬
brot wird also nur 2" N wiegen.

Schriftlich.

2 fl. der Metzen 3z S 2z: 2 — 3i: x

2z „ x ,/ woraus x — 2§ V.

Man beurtheilt: wenn der Metzen Korn 2 fl. gilt,
so wird ein Zweygroschenlaib Kornbrot 3z M wiegen;
wird ein Zweygroschenlaib, wenn der Metzen Korn
2 fl. 30 Kr. gilt, mehr oder weniger Gewicht haben?
Gewiß weniger; x wird also kleiner als 3z ausfallen;
daher u. s. w.

(2) . Eine Kreuzersemmel wiegt 7z Lcth, wenn
der Metzen Weizen 3 fl. 20 Kr. kostet; wie viel muß

189

der Metzen kosten, damit eine solche Semmel 8 Loch
schwer ausgebacken werden könne? 3^ fl.

(3) . Wenn der Metzen Korn 1 fl. 54 Kr. gilt,
so wiegt ein Groschenlaib 1 K 23 Lth.; wie schwer
wird ein solches Brot seyn, wenn der Metzen Korn
2 fl. 12 Kr. kostet? 1 K" 15^ Lth.

(4) . Der Metzen Weizen, welcher früher 2 fl.
50 Kr. kostete, steigt um 20 Kr.; um wie viel leichter
wird man nun eine Mundsemmel, welche früher 4^
Loth wog, ausbacken? — Die Mundsemmel muß 4^
Lotst schwer, also um Loth leichter ausgebacken
werden.

(5) . Wenn ein Metzen Roggen 162 Groschen
W. W. kostet, wiegt ein Groschenlaib 1 N 14 Ltst.;
um wie viel muß der Metzen Roggen im Wertste fal¬
len, damit man das Groschenlaib um 8 Ltst. schwerer
ausbacken könne? — Der Metzen Roggen muß, damit
ein Groschenlaib 1 N 22 Lth. wiegen könne, 138 Gro¬
schen kosten, also um 24 Gr. im Werthe fallen.


Inhalt.
    '

> ' - W-.'

Seite

Vorbegriffe 3

Erstes Hauptstück.

Zahlen unter hundert und deren Zusam¬
menhang  4

Zweytes Hauptstück.

Zahlen über hundert hinaus . . . 14

Drittes Hauptstück.

Die vier Rechnungsarten mit unbenannten

und einnahmigen Zahlen . . . 24

. l. Das Addiren    . —

2. Das Subtrahiren 31

3. Das Multipliciren 40

->. Das Dividiren   .53

Viertes Hauptstück.

Das Rechnen mit mehrnahmigen Zahlen - 70

!. Die verschiedenen mehrnahmigen Zahlen und ihre

Verwandler . . . —

2. Das Resolvir.n irgd Reduciren ' . . 7. . 76

3. Das Addiren . v. . . . . . 8h«> "

4. Das Subtrahiren . - . . - . . .85

5. Das Multipliciren . . . D . - . 80 "

6. Das Dividiren ... . . . . . .<.94

Fünftes Hauptstück.

Seite
Theilbarkeit der Zahlen 101
Sechstes Hauptstück.
Lehre von den Brüchen . . . . . 104

I. Das Addiren 124

II. Das Subtrahiren 128

III. Das Multipliciren 132

IV. Das Dividircn 140

Siebentes Hauptstück.

Verhältnisse und Proportionen ... 147

I'. Verhältnisse .     —

II. Proportionen . . ... . . . 158

Achtes Hauptstück.

Die Regel de Tri 163

Mkoom Itt 17^7^2

(/)

'"^-Gedruckt  Key  Leopold  GrunA^

MI« IH WIÄM

8 681