M
A
TE
M
A
TI
K
A
+F
IZ
IK
A
+A
ST
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
TV
O
#
presek  letnik 3 8  ( 2 0 1 0/ 2 0 1 1 )  š t e v il k a  5
5
ISSN 0351-6652
• zlaganje pitagorejskih
trikotnikov v pravokotnik
• trikotne sence
• astrografija s
preprostim sledenjem
• program in projekt sage
• nagradna križanka
Pogumno
naprej
Presek 
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje 
letnik 38, šolsko leto 2010/2011, številka 5
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni 
pregled), Vladimir Bensa, Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko 
Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Andrej Guštin 
(astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja 
Klavžar, Damjan Kobal, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš 
Mohorič (odgovorni urednik), Marko Petkovšek (glavni urednik),  
Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija 
Vencelj, Matjaž Vencelj.
Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska 
ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553,  
4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si 
Elektronska pošta: presek@dmfa.si
Naročnina za šolsko leto 2010/2011 je za posamezne 
naročnike 16,69 eur – posamezno naročilo velja  
do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, 
posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara 
številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur.
Transakcijski račun: 03100–1000018787.
Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 
Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56  0310  0100  0018  787.
List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost 
Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport
Založilo DMFA–založništvo 
Tehnična urednica Tadeja Šekoranja
Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk Košir
Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana
Naklada 1700 izvodov
© 2011 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije 
– 1828
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov 
brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati-
ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja 
prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih 
in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki 
naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen-
cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. 
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se-
dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo 
oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči-
noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki 
morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj  
8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika 
primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob-
javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do-
voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak 
med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni-
štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 
1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. 
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-
cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek 
sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po-
tem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo 
praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov 
TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob-
javo v elektronski obliki na internetu.
k o l o f o n
n a v o d i l a  s o d e l a v c e m  P r e s e k a 
z a  o d d a j o  p r i s p e v k o v
Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathe-
matical Moments“, ki jo objavlja Ameriško matematično 
društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments.
•
m
a
t
e
m
a
t
ič
n
i 
t
r
e
n
u
t
k
i
m a t e m a t i č n i  t r e n u t k i
2 Presek 38 (2010/2011) 5
• Cevi na zgornji sliki ilustrirajo nizko energijske poti, 
po katerih lahko vesoljska vozila potujejo z manjšo 
porabo goriva. Te, pred kratkim odkrite poti, so prej 
nemogoče spremenile v  mogoče. Večina vesoljskih 
potovanj je odvisnih od izračunov, trigonometrije in 
vektorske analize, toda obstoj teh poti izpeljemo s po-
močjo dinamičnih sistemov in jih uporabimo za štu-
dij medsebojnega delovanja gravitacije sonca, bližnjih 
planetov ter lun.
Sile med dvema nebesnima telesoma in njunima 
orbitama ni težko izračunati; če pa hočemo določiti 
sile, orbite in trajektorije med več telesi, moramo po-
znati dinamične sisteme in teorijo kaosa. Že za pro-
blem treh teles je dokazano, da ne obstaja ena splošna 
rešitev. Za nekatere posebne primere pa je problem 
rešljiv, in to ne samo za omenjeno nalogo, ampak tudi 
v atomski fiziki -- za študij poti določenih vzburjenih 
elektronov. Na tak način matematika išče nove poti za 
vesoljska potovanja in hkrati ustvarja povezave med 
atomskim in vesoljskim.
Za več informacij: „Ground Control to Niels Bohr: 
Exploring Outer Space with Atomic Physics,“ Mason A. 
Porter and Predrag Cvitanović, Notices of the American 
Mathematical Society, October, 2005.
matematika
Zlaganje pitagorejskih 
trikotnikov v pravokotnik 
(Marko Razpet)
Jin Akiyama in Mari-Jo Ruiz:  
Dogodivščine v Deželi  
matematičnih čudez (Darja Antolin)
fizika
Trikotne sence
(Nada Razpet)
Galilei in sprememba nihala
(Janez Strnad) 
Igrajmo se z mavrično vzmetjo – 
Poizkuševalnica doma
(Mojca Čepič)
Barve brez barvil – odgovor naloge – 
Poizkuševalnica doma
(Mojca Čepič)
Razmisli in poskusi
(Mitja Rosina)
razvedrilo
Optična vlakna – Naravoslovna fotografija
(Nada Razpet)
Nagradna križanka 
(Marko Bokalič)
Rešitev nagradne križanke Presek 38/4 
(Marko Bokalič)
Futošiki
Barvni sudoku
računalništvo
Program in projekt SAGE
(Matjaž Kovše)
 
matematični trenutki
Pogumno naprej
astronomija
Astrofotografija s preprostim sledenjem
(Bojan Kambič)
SMART – Mladinski astronomski 
raziskovalni tabor 2011
(Ad Labod)
tekmovanja
30. mednarodno matematično tekmovanje 
mest – pomladanski krog 2008/09
Naloge z regijskega fizikalnega tekmovanja 
srednješolcev Slovenije v šolskem letu 
2009/10 – regijsko tekmovanje
(Ciril Dominko)
Naloge z državnega fizikalnega tekmovanja 
srednješolcev Slovenije v
šolskem letu 2009/10 – državno tekmovanje
(Ciril Dominko)
2
4–7
8–9
10–13
14–15
18–19
20–22
22
23–26
9
27–30
31
16–17
30
9
19,30
priloga
priloga
priloga
k a z a l o
Kazalo
Slika na naslovnici: V novo leto nas je pospremil delni Sončev 
mrk. Na sliki z naslovnice se skriva za drevesnimi vejami, saj je 
bil v naših krajih viden 4. januarja zjutraj nizko nad obzorjem. 
(foto: Andrej Guštin)
3Presek 38 (2010/2011) 5
4
m a t e m a t i k a
Obravnavali bomo trojice (a, b, c), ki jih sesta-
vljajo naravna števila a, b in c , za katera velja re-
lacija a2 + b2 = c2 . Trikotnik, ki ima stranice dolge
a, b in c enot, je pravokotni s hipotenuzo c in ka-
tetama a in b. Pri tem je seveda a < c in b < c . Ker
za tak trikotnik velja Pitagorov izrek, imenujemo
(a, b, c) pitagorejska trojica.
Števila a,b, c bomo imenovali kar stranice, natanč-
neje a in b kateti, c pa hipotenuza pitagorejske tro-
jice (a, b, c). Hitro se vidi, da v pitagorejski trojici
(a, b, c) velja: a = b. V primeru a = b bi namreč
dobili 2a2 = c2, kar pa je pri naravnih a in c nemo-
goče. Najbolj znana je pitagorejska trojica (3,4,5).
Pitagorejska trojica (a, b, c) določa pravokotni triko-
tnik, ki mu pravimo pitagorejski trikotnik in ga bomo
označevali kar z (a, b, c). Če števila a,b, c nimajo
skupnega delitelja, govorimo o primitivni pitagorej-
ski trojici oziroma o primitivnem pitagorejskem tri-
kotniku.
Slika 1
Pitagorejska trojica (a, b, c) je primitivna, čim je naj-
večji skupni delitelj dveh stranic 1, na primer
D(a,b) = 1.
V primitivni pitagorejski trojici je ena kateta liho,
druga pa sodo število. Vsako pitagorejsko trojico
dobimo iz primitivne z množenjem z naravnim šte-
vilom.
Dva enaka pitagorejska trikotnika (a, b, c) brez te-
žav staknemo vzdolž hipotenuz in dobimo pravoko-
tnik s stranicama a in b (slika 1). Oglejmo si sedaj
postopek, po katerem lahko zložimo v pravokotnik
tri in štiri pitagorejske trikotnike.
Slika 2
Položimo v ravnini pitagorejska trikotnika (a, b, c)
in (x,y, z) na dano premico s tako, da ležita na is-
tem bregu premice s, da kateti a in x ležita na s in
da imata trikotnika skupen vrh ostrih kotov (slika 2).
Kdaj sta v taki legi hipotenuzi obeh pitagorejskih tri-
kotnikov med seboj pravokotni? V prvem trikotniku
naj bo nasproti katete a kot α, nasproti katete b pa
kot β. V drugem trikotniku pa naj bo nasproti katete
x kot ξ, nasproti katete y pa kot η. Pri tem veljajo
enačbe:
α+ β = 90◦ , ξ + η = 90◦ , β+ η = 90◦ .
Če od prve in druge enačbe odštejemo tretjo, dobimo
α = η in β = ξ. Torej mora za kateti veljati relacija
2
,
, ,
. ,
, ,
. .
,
.
,
,
. ,
:  .
,
. .
,
.
,
.
,
,
.
,
.
.
.
,
.
,
,
.
,
.
, .
:
,
.
•
slika 1.
Pitagorejska trikotnika se-
stavljata pravokotnik.
presek 38 (2010/2011) 5
r li tr ji ( , , c), i ji s st -
lj j r št il , i c , t r lj r -
l ij 2 2 c2 . ri t i , i i str i l
, i c t, j r t i s i t c i -
t t i . ri t j s c i c . r
t tri t i lj it r i re , i j
( , , c) it rejs tr jic .
te il , , c i e li r str ice, t c-
eje i teti, c i te it rejs e tr -
jice ( , , c). itr se i i, it rejs i tr jici
( , , c) elj :  . ri er i rec
ili 2 c2, r je ri r i i c e -
ce. j lj je it rejs tr jic ( , , ).
it rejs tr jic ( , , c) l c r t i tri -
t i , i r i it rejs i tri t i i
ce li r ( , , c). e šte il , , c i j
s e elitelj , ri ri iti i it rej-
s i tr jici ir ri iti e it rejs e tri-
t i .
li
it rejs tr jic ( , , c) je ri iti , ci je j-
ecji s i elitelj e str ic , ri er
( , ) .
ri iti i it rejs i tr jici je e tet li ,
r s šte il . s it rejs tr jic
i i ri iti e e je r i šte-
il .
e it rejs tri t i ( , , c) re te-
st e l i te i i r -
t i s str ic i (sli ). lej si se j
st e , tere l l i r t i
tri i štiri it rejs e tri t i e.
li
l i r i i it rejs tri t i ( , , c)
i ( , , ) re ic s t , le it is-
te re re ice s, teti i le it s i
i t tri t i s e r stri t (sli ).
j st t i le i i te i e it rejs i tri-
t i e se j r t i? r e tri t i
j s r ti tete t , s r ti tete
t . r e tri t i j s r ti tete
t , s r ti tete t . ri te elj j
e c e:
◦ , ◦ , ◦ .
e r e i r e e c e šteje tretj , i
i . rej r teti elj ti rel cij
Obravnavali bomo trojice (a, b, c), ki jih sesta-
vljajo naravna števila a, b in c , za katera velja re-
lacija a2 + b2 = c2 . Trikotnik, ki ima stranice dolge
a, b in c enot, je pravokotni s hipotenuzo c in ka-
tetama a in b. Pri tem je seveda a < c in b < c . Ker
za tak trikotnik velja Pitagorov izrek, imenujemo
(a, b, c) pitagorejska trojica.
Števila a,b, c bomo imenovali kar stranice, natanč-
neje a in b kateti, c pa hipotenuza pitagorejske tro-
jice (a, b, c). Hitro se vidi, da v pitagorejski trojici
(a, b, c) velja: a = b. V primeru a = b bi namreč
dobili 2a2 = c2, kar pa je pri naravnih a in c nemo-
goče. Najbolj znana je pitagorejska trojica (3,4,5).
Pitagorejska trojica (a, b, c) določa pravokotni triko-
tnik, ki mu pravimo pitagorejski trikotnik in ga bomo
označevali kar z (a, b, c). Če števila a,b, c nimajo
skupnega delitelja, govorimo o primitivni pitagorej-
ski trojici oziroma o primitivnem pitagorejskem tri-
kotniku.
Slika 1
Pitagorejska trojica (a, b, c) je primitivna, čim je naj-
večji skupni delitelj dveh stranic 1, na primer
D(a,b) = 1.
V primitivni pitagorejski trojici je ena kateta liho,
druga pa sodo število. Vsako pitagorejsko trojico
dobimo iz primitivne z množenjem z naravnim šte-
vilom.
Dva enaka pitagorejska trikotnika (a, b, c) brez te-
žav staknemo vzdolž hipotenuz in dobimo pravoko-
tnik s stranicama a in b (slika 1). Oglejmo si sedaj
postopek, po katerem lahko zložimo v pravokotnik
tri in štiri pitagorejske trikotnike.
Slika 2
Položimo v ravnini pitagorejska trikotnika (a, b, c)
in (x,y, z) na dano premico s tako, da ležita na is-
tem bregu premice s, da kateti a in x ležita na s in
da imata trikotnika skupen vrh ostrih kotov (slika 2).
Kdaj sta v taki legi hipotenuzi obeh pitagorejskih tri-
kotnikov med seboj pravokotni? V prvem trikotniku
naj bo nasproti katete a kot α, nasproti katete b pa
kot β. V drugem trikotniku pa naj bo nasproti katete
x kot ξ, nasproti katete y pa kot η. Pri tem veljajo
enačbe:
α+ β = 90◦ , ξ + η = 90◦ , β+ η = 90◦ .
Če od prve in druge enačbe odštejemo tretjo, dobimo
α = η in β = ξ. Torej mora za kateti veljati relacija
2

li ji , , , i ji -
lj j il , i , lj -
l ij . i i , i i i l
, i , j i i i -
i . i j i .
i i lj i i , i j
, , i j ji .
il , , i li i , -
j i i, i i j -
ji , , . i i i, i j i ji i
, , lj :  . i i
ili , j i i i -
. j lj j i j ji , , .
i j ji , , l i i -
i , i i i j i i i i
li , , . il , , i j
li lj , i i i i i i j-
i ji i i i i i i j i-
i .
li
i j ji , , j i i i , i j j-
ji i li lj i , i
, .
i i i i i j i ji i j li ,
il . i j ji
i i i i i j i -
il .
i j i i , , -
l i i i -
i i i ( li ). l j i j
, l l i i
i i i i i j i i .
li
l i i i i j i i , ,
i , , i , l i i -
i , i i l i i
i i i i ( li ).
j i l i i i i j i i-
i j i i i
j i , i
. i i j i
, i . i lj j
:
, , .
i j j , i
i . j i lj i l ij
t ( ) t
t t
2 2 2 t t
t t t
t t t
t t t t r r
( ) t r tr
t r tr t
t t t t r tr
tr t r tr
 r r r
2 2 r r r
t r tr
t r tr r t tr
t r t r tr t
r t
t r r t t r
tr r r t t r tr
t
t r tr r t
t tr r r
r t t r tr t t
r t t r tr
r t r t
t r tr t r t
t t r
t tr
t t r r t
tr t r t r tr t
r t r tr t
r t t
t r r t t t
t tr t r tr t
t t t t r tr
t r t r tr t
r t t t t r t t t
t r tr t r t t t
t r t t t t r t
◦ ◦ ◦
r r t tr t
r r t t t r
li ji , , i ji -
lj j il i lj -
l ij i i i i i l
i j i i i -
i i j i
i i lj i i i j
, , i j ji
il , , i li i -
j i i i i j -
ji , , i i i i j i ji i
, , lj  i i
ili j i i i -
j lj j i j ji , ,
i j ji , , l i i -
i i i i j i i i i
li , , il , , i j
li lj i i i i i i j-
i ji i i i i i i j i-
i
li
i j ji , , j i i i i j j-
ji i li lj i i
,
i i i i i j i ji i j li
il i j ji
i i i i i j i -
il
i j i i , , -
l i i i -
i i i ( li ) l j i j
l l i i
i i i i i j i i
li
l i i i i j i i , ,
i , , i l i i -
i i i l i i
i i i i ( li )
j i l i i i i j i i-
i j i i i
j i i
i i j i
i i lj j
, , .
i j j i
i j i lj i l ij
marko razpet
a
c
b b
a
Zlaganje 
pitagorejskih 
trikotnikov 
v pravokotnik
5
m a t e m a t i k a
•
slika 2.
Pravokotni hipotenuzi pitagorejskih trikotnikov.
Presek 38 (2010/2011) 5
Obravnavali bomo trojice (a, b, c), ki jih sesta-
vljajo naravna števila a, b in c , za katera velja re-
lacija a2 + b2 = c2 . Trikotnik, ki ima stranice dolge
a, b in c enot, je pravokotni s hipotenuzo c in ka-
tetama a in b. Pri tem je seveda a < c in b < c . Ker
za tak trikotnik velja Pitagorov izrek, imenujemo
(a, b, c) pitagorejska trojica.
Števila a,b, c bomo imenovali kar stranice, natanč-
neje a in b kateti, c pa hipotenuza pitagorejske tro-
jice (a, b, c). Hitro se vidi, da v pitagorejski trojici
(a, b, c) velja: a = b. V primeru a = b bi namreč
dobili 2a2 = c2, kar pa je pri naravnih a in c nemo-
goče. Najbolj znana je pitagorejska trojica (3,4,5).
Pitagorejska trojica (a, b, c) določa pravokotni triko-
tnik, ki mu pravimo pitagorejski trikotnik in ga bomo
označevali kar z (a, b, c). Če števila a,b, c nimajo
skupnega delitelja, govorimo o primitivni pitagorej-
ski trojici oziroma o primitivnem pitagorejskem tri-
kotniku.
Slika 1
Pitagorejska trojica (a, b, c) je primitivna, čim je naj-
večji skupni delitelj dveh stranic 1, na primer
D(a,b) = 1.
V primitivni pitagorejski trojici je ena kateta liho,
druga pa sodo število. Vsako pitagorejsko trojico
dobimo iz primitivne z množenjem z naravnim šte-
vilom.
Dva enaka pitagorejska trikotnika (a, b, c) brez te-
žav staknemo vzdolž hipotenuz in dobimo pravoko-
tnik s stranicama a in b (slika 1). Oglejmo si sedaj
postopek, po katerem lahko zložimo v pravokotnik
tri in štiri pitagorejske trikotnike.
Slika 2
Položimo v ravnini pitagorejska trikotnika (a, b, c)
in (x,y, z) na dano premico s tako, da ležita na is-
tem bregu premice s, da kateti a in x ležita na s in
da imata trikotnika skupen vrh ostrih kotov (slika 2).
Kdaj sta v taki legi hipotenuzi obeh pitagorejskih tri-
kotnikov med seboj pravokotni? V prvem trikotniku
naj bo nasproti katete a kot α, nasproti katete b pa
kot β. V drugem trikotniku pa naj bo nasproti katete
x kot ξ, nasproti katete y pa kot η. Pri tem veljajo
enačbe:
α+ β = 90◦ , ξ + η = 90◦ , β+ η = 90◦ .
Če od prve in druge enačbe odštejemo tretjo, dobimo
α = η in β = ξ. Torej mora za kateti veljati relacija
2
Obravnavali bomo trojice ( , b, c)a , ki jih sesta-
vljajo naravna števila a, b in c , za katera velja re-
lacija a2 + b2 = c2 . Trikotnik, ki ima stranice dolge
a, b in c enot, je pravokotni s hipotenuzo c in ka-
tetama a in b. Pri tem je seveda a < c in b < c . Ker
za ta trikotnik velja Pitagorov izrek, imenujemo
(a, b, c) pitagorejska trojica.
Števila a,b, c bomo imenovali kar stranice, natanč-
neje a in b kateti, c pa hipotenuza pitagorejske tro-
jice (a, b, c). Hitro se vidi, da v pitagorejski trojici
(a, b, c) velja: a = b. V p imeru a = b bi namreč
dobili 2a2 = c2, kar pa je pri naravnih a in c nemo-
goče. Najbolj znana je pitagorejska trojica (3,4,5).
Pitagorejska trojica (a, b, c) določa pravokotni triko-
tnik, ki mu pravim pitagorejski trikotnik in ga bomo
označev li kar z (a, b, c). Če števila a,b, c nimaj
skupnega del telja, govorimo o primitivni pitagorej
ski trojici oziroma o primitivnem pitagorejskem tri-
kotniku.
Slika 1
Pitagorejska trojica (a, b, c) je primitivna, čim je naj-
večji skupni delitelj dveh stranic 1, na primer
D(a,b) = 1.
V primitivni pit g rejski tr jici je en kateta liho,
druga pa sodo št vilo. Vsako pitagor jsko trojico
obimo iz primitivne z m oženjem z naravnim šte-
vilom.
Dva enaka pitag rejska trikotnika (a, b, c) brez te-
ž v staknem vzdolž hipotenuz in dobimo pravoko-
tnik s stranica a a in b (slika 1). Oglejm si sedaj
postopek, po katerem lahko zložimo v pravokotnik
tri in štiri pitagorejske trikotnike.
Slika 2
Položimo v ravnini pitagorejska trikotnika (a, b, c)
in (x,y, z) na dano premico s tako, da ležita na is-
tem bregu premice s, da kateti a in x ležita na s in
da imata trikotnika skupen vrh ostrih kotov (slika 2).
Kdaj sta v taki legi hipotenuzi obeh pitagorejskih tri-
kotnikov med seboj pravokotni? V prvem trikotniku
naj bo nasproti katete a kot α, nasproti katete b pa
kot β. V drugem trikotniku pa naj bo nasproti katete
x kot ξ, nasproti katete y pa kot η. Pri tem veljajo
enačbe:
α+ β = 90◦ , ξ + η = 90◦ , β+ η = 90◦ .
Če od prve in druge enačbe odštejemo tretjo, dobimo
α = η in β = ξ. Torej mora za kateti veljati relacija
2
a : b = y : x. To pomeni, da lahko v posebnem
primeru vzamemo x = b in y = a, torej pitagorejski
trikotnik (x,y, z) = (b,a, c).
Radi bi videli, da je pitagorejski tudi trikotnik, ki
ima za kateti hipotenuzi c in z danih dveh pitago-
rejskih trikotnikov. Tak trikotnik bi potem dana dva
lepo zaključil v trapez. Toda pri enakih katetah c
tretji trikotnik ne more biti pitagorejski. Da bi to
dosegli, vzemimo danima trikotnikoma podobna pi-
tagorejska trikotnika
(qa, qb, qc)
in
(x,y, z) = (pb,pa,pc),
kjer sta p in q naravni števili, ki ju bomo še dolo-
čili. Nova trikotnika položimo na dano premico na
prej opisani način. Hipotenuzi oklepata pravi kot,
ker velja y : x = (pa) : (pb) = a : b. Pravokotni
trikotnik, ki leži nad njima, pa bo pitagorejski, čim
bo p2c2+q2c2 kvadrat naravnega števila. Števili p in
q ne moreta biti enaki, saj bi v primeru p = q zahte-
vali, da je 2p2c2 kvadrat naravnega števila, kar pa je
nemogoče. Cilj bomo dosegli, če vzamemo za števili
p in q kateti poljubne pitagorejske trojice, denimo
(p, q, r). Pri tem seveda velja p2 + q2 = r 2. Oči-
tno je potem (pc, qc, rc) tudi pitagorejski trikotnik.
Vsi trije pitagorejski trikotniki sestavljajo pravoko-
tni trapez, ki ima za vzporedni stranici pa in qb, za
višino pa qa+ pb.
Če je ap = bq, lahko trapez dopolnimo do pravo-
kotnika še z enim pravokotnim trikotnikom, ki ima
kateti qa+ pb in |pa− qb|. Presenetljivo je pri tem
to, da je tudi ta trikotnik pitagorejski, če je le trojica
(p, q, r) pitagorejska. Velja namreč:
(qa+pb)2+|pa−qb|2 = q2a2+2pqab+p2b2+
p2a2 − 2pqab + q2b2 =
= p2(a2+b2)+q2(a2+b2) = (p2+q2)(a2+b2) =
r 2c2 = (rc)2 .
Dobljeni pravokotnik ima stranici qa + pb in
max{pa,qb}. Če je pa > qb, ima nazadnje opisani
pitagorejski trikotnik kateto pa − qb, ki je vzpore-
dna pravokotnikovi stranici pa. Če je qb > pa, pa
ima kateto qb − pa, ki je vzporedna pravokotnikovi
stranici qb (slika 3).
Slika 3
Kaj pa, če je pa = qb? Tedaj sestavljajo že trije med
seboj podobni pitagorejski trikotniki pravokotnik s
stranicama qa+ pb in pa.
Opomba. Velja splošno: če sta trikotnika (a, b, c)
in (p, q, r) pitagorejska ter velja ap = bq oziroma
aq = bp, sta pitagorejska tudi trikotnika (|ap −
bq|, aq + bp, cr) oziroma (|aq − bp|, ap + bq, cr).
3






a
z
s
x
y
α
βη
ξ
b
c

| − qb|2 =
q2a2 + 2pqab p2b2 + p2a2 − 2pqab + q2b2 =
p2(a2 + b2)+ q2(a2 + b2) = (p2 + q2)(a2 + b2) =
r 2c2 = (rc)2 .
Dobljeni pravokotnik ima stranici qa + pb in
max{pa,qb}. Če je pa > qb, ima nazadnje opisani
pitagorejski trikotnik kateto pa − qb, ki je vzpore-
dna pravokotnikovi stranici pa. Če je qb > pa, pa
ima kateto qb − pa, ki je vzporedna pravokotnikovi
stranici qb (slika 3).
2
 , i
i i i i i , i i
i i . i i
, i i i i i, i
, , i . :
Če je ap = bq, lahko trapez dopolnimo do pravo-
kotnika še z enim pravokotnim trikotnikom, ki ima
kateti qa+ pb in |pa− qb|. Presenetljivo je pri tem
to, da je tudi ta trikotnik pitagorejski, če je le trojica
(p, q, r) pitagorejska. Velja namreč:
(qa+ pb)2 + |pa− qb|2 =
q + p + p2a2 − 2pqab + q2b2 =
p2(a2 + b2)+ q2(a2 + b2) = (p2 + q2)(a2 + b2) =
r 2c2 = (rc)2 .
Dobljeni pravokotnik ima stranici qa + pb in
max{pa,qb}. Če je pa > qb, ima nazadnje opisani
pitagorejski trikotnik kateto pa − qb, ki je vzpore-
dna pravokotnikovi stranici pa. Če je qb > pa, pa
ima kateto qb − pa, ki je vzporedna pravokotnikovi
stranici qb (slika 3).
2
Če je ap = bq, lahko trapez dopolnimo do pravo-
kotnika še z enim pravokotnim trikotnikom, ki ima
kateti qa+ pb in |pa− qb|. Presenetljivo je pri tem
to, da je tudi ta trikotnik pitagorejski, če je le trojica
(p, q, r) pitagorejska. Velja namreč:
(qa+ pb)2 + |pa− qb|2 =
q2a2 + 2pqab + p2b2 + p2a2 − 2pqab + q2b2 =
p2(a2 + b2)+ q2(a2 + b2) = (p2 + q2)(a2 + b2) =
r 2c2 = (rc)2 .
Dobljeni pravokotnik ima stranici qa + pb in
max{pa,qb}. Če je pa > qb, ima nazadnje opisani
pitagorejski trikotnik kateto pa − qb, ki je vzpore-
dna pravokotnikovi stranici pa. Če je qb > pa, pa
ima kateto qb − pa, ki je vzporedna pravokotnikovi
stranici qb (slika 3).
2
Če je ap = bq, lahko trapez dopolni o do pravo-
kotnika še z eni pravokotni trikotniko , ki i a
kateti qa+ pb in |pa− qb|. Presenetljivo je pri te
to, da je tudi ta trikotnik pitagorejski, če je le trojica
(p, q, r) pitagorejska. Velja na reč:
(qa+ pb)2 + |pa− qb|2 =
q2a2 + 2pqab + p2b2 + p2a2 − 2pqab + q2b2 =
p2(a2 + b2)+ q2(a2 + b2) = (p2 + q2)(a2 + b2) =
r 2c = (rc) .
Dobljeni pravokotnik i a stranici qa + pb in
ax{pa,qb}. Če je pa > qb, i a nazadnje opisani
pitagorejski trikotnik kateto pa − qb, ki j vzpore-
dn pravo o ni vi str nici pa. Če je qb > pa, pa
i kateto qb − pa, ki je vzporedna pravokotnikovi
str nici qb (slika 3).
2

6
m a t e m a t i k a
•
presek 38 (2010/2011) 5
Kakorkoli primerjamo med seboj katete teh dveh
trikotnikov, ugotovimo, da nobena kateta prvega ne
more biti enaka nobeni kateti drugega. Pokažimo, da
druga kateta ne more biti enaka drugi:
(aq + bp)− (ap + bq) = a(q − p)− b(q − p) =
(a− b)(q − p) = 0 .
Podobno preverimo ostale možnosti.
Kdor je vešč v računanju s kompleksnimi števili,
to je s števili oblike t = x+ iy , kjer sta x in y realni
števili in i imaginarna enota, za katero je i2 = −1, bo
hitro odkril njihovo povezavo s pitagorejskimi troji-
cami. Navadno označimo x = Re(t), kar je realni del
kompleksnega števila t, in y = Im(t), kar je imagi-
narni del kompleksnega števila t.
Kompleksno število x+iy , kjer sta x in y celi šte-
vili, imenujemo celo kompleksno število. Vzemimo
celo kompleksno število t =m+ in, pri čemer sta m
in n različni naravni števili. Kvadrat števila t je
t2 = (m+ in)2 =m2 + 2mni+ (in)2 =
(m2 −n2)+ i(2mn) .
Naj bo a = |m2 − n2| in b = 2mn. Račun takoj
pokaže, da je a2 + b2 = (m2 +n2)2, zato števila
a = |m2 −n2| , b = 2mn, c =m2 +n2
sestavljajo pitagorejsko trojico (a, b, c). Ko tečeta
m in n po naravnih številih, dobimo vse primitivne
pitagorejske trojice, če vzamemo, da je od števil m
in n eno sodo in eno liho ter da sta si tuji. Torej sta
|Re(t2)| in Im(t2) kateti pitagorejskega trikotnika.
Vsako pitagorejsko trojico dobimo iz primitivne, če
jo pomnožimo z naravnim številom.
Iz pitagorejskih trikotnikov (a, b, c) in (p, q, r) la-
hko, kot smo videli, dobimo nova pitagorejska triko-
tnika (x,y, z), če vzamemo
x = |Re((a+ bi)(p + iq))| ,
y = Im((a+ bi)(p + iq)) , z = cr ,
x = |Re((a+ bi)(q + ip))| ,
y = Im((a+ bi)(q + ip)) , z = cr ,
pri čemer mora v prvem primeru veljati pogoj ap =
bq, v drugem pa aq = bp, da dobimo pozitivne ka-
tete.
Primer 1. Vzemimo enaki pitagorejski trojici
(a, b, c) = (p, q, r) = (4,3,5). Ker je pa = 16 =
9 = qb, sestavljajo pravokotnik s stranicama 24 in
16 štirje pitagorejski trikotniki:
(16,12,20), (12,9,15), (20,15,25), (7,24,25).
Prvi trije so si podobni (slika 4).
Slika 4
4
Kakorkoli primerjamo med seboj katete teh dveh
trikotnikov, ugotovimo, da nobena kateta prvega ne
more biti enaka nobeni kateti drugega. Pokažimo, da
druga kateta ne more biti enaka drugi:
(aq + bp)− (ap + bq) = a(q − p)− b(q − p) =
(a− b)(q − p) = 0 .
Podobno preverimo ostale možnosti.
Kdor je vešč v računanju s kompleksnimi števili,
to je s števili oblike t = x+ iy , kjer sta x in y realni
števili in i imaginarna enota, za katero je i2 = −1, bo
hitro odkril njihovo povezavo s pitagorejskimi troji-
cami. Navadno označimo x = Re(t), kar je realni del
kompleksnega števila t, in y = Im(t), kar je imagi-
narni del kompleksnega števila t.
Kompleksno število x+iy , kjer sta x in y celi šte-
vili, imenujemo celo kompleksno število. Vzemimo
celo kompleksno število t =m+ in, pri čemer sta m
in n različni naravni števili. Kvadrat števila t je
t2 = (m+ in)2 =m2 + 2mni+ (in)2 =
(m2 −n2)+ i(2mn) .
Naj bo a = |m2 − n2| in b = 2mn. Račun takoj
pokaže, da je a2 + b2 = (m2 +n2)2, zato števila
a = |m2 −n2| , b = 2mn, c =m2 +n2
sestavljajo pitagorejsko trojico (a, b, c). Ko tečeta
m in n po naravnih številih, dobimo vse primitivne
pitagorejske trojice, če vzamemo, da je od števil m
in n eno sodo in eno liho ter da sta si tuji. Torej sta
|Re(t2)| in Im(t2) kateti pitagorejskega trikotnika.
Vsako pitagorejsko trojico dobimo iz primitivne, če
jo pomnožimo z naravnim številom.
Iz pitagorejskih trikotnikov (a, b, c) in (p, q, r) la-
hko, kot smo videli, dobimo nova pitagorejska triko-
tnika (x,y, z), če vzamemo
x = |Re((a+ bi)(p + iq))| ,
y = Im((a+ bi)(p + iq)) , z = cr ,
x = |Re((a+ bi)(q + ip))| ,
y = Im((a+ bi)(q + ip)) , z = cr ,
pri čemer mora v prvem primeru veljati pogoj ap =
bq, v drugem pa aq = bp, da dobimo pozitivne ka-
tete.
Primer 1. Vzemimo enaki pitagorejski trojici
(a, b, c) = (p, q, r) = (4,3,5). Ker je pa = 16 =
9 = qb, sestavljajo pravokotnik s stranicama 24 in
16 štirje pitagorejski trikotniki:
(16,12,20), (12,9,15), (20,15,25), (7,24,25).
Prvi trije so si podobni (slika 4).
Slika 4
4
Primer 2. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (4,3,5) in
(p, q, r) = (3,4,5) velja pa = 12 = qb, zato sesta-
vljajo pravokotnik s stranicama 25 in 12 trije med
seboj podobni pitagorejski trikotniki: (slika 5).
(12,9,15), (16,12,20), (15,20,25)
Slika 5
Primer 3. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (3,4,5)
in (p, q, r) = (5,12,13) velja pa = 15, qb = 48, zato
sestavljajo pravokotnik s stranicama 56 in 48 štirje
pitagorejski trikotniki: (slika 6).
(15,20,25), (36,48,60), (25,60,65), (56,33,65)
Slika 6
Primer 4. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (3,4,5)
in (p, q, r) = (12,5,13) velja pa = 36, qb = 20, zato
sestavljajo pravokotnik s stranicama 63 in 36 štirje
pitagorejski trikotniki:
(36,48,60), (15,20,25), (60,25,65), (16,63,65).
Ta in prejšnji primer pokažeta, da obstajata nepo-
dobna primitivna pitagorejska trikotnika z enako hi-
potenuzo: (56,33,65) in (16,63,65).
Primer 5. Enaki pitagorejski trojici
(a, b, c) = (p, q, r) = (12,5,13)
dasta pa = 144, qb = 25, zato lahko sestavimo pra-
vokotnik s stranicama 120 in 144 s štirimi pitagorej-
skimi trikotniki:
(144,60,156), (60,25,65), (156,65,169),
(119,120,169).
Primer tudi pove, da je višina pravokotnika lahko
tudi večja kot njegova dolžina.
Problem. Ali po opisanem postopku lahko zlo-
žimo tri pitagorejske trikotnike v kvadrat tako, kot
kaže slika 4? Kdaj lahko tako pravokotnik s celošte-
vilskima stranicama razrežemo na tri pitagorejske
trikotnike? Kdaj na štiri? Brez škode za splošnost
lahko privzamemo, da je D(a,b) = D(p,q) = 1.
5
slika 3.
Primera štirih pitagorejskih trikotnikov, ki sestavljajo 
pravokotnik.
a : b = y : x. To pomeni, da lahko v posebnem
primeru vzamemo x = b in y = a, torej pitagorejski
trikotnik (x,y, z) = (b,a, c).
Radi bi videli, da je pitagorejski tudi trikotnik, ki
ima za kateti hipotenuzi c in z danih dveh pitago-
rejskih trikotnikov. Tak trikotnik bi potem dana dva
lepo zaključil v trapez. Toda pri enakih katetah c
tretji trikotnik ne more biti pitagorejski. Da bi to
dosegli, vzemimo danima trikotnikoma podobna pi-
tagorejska trikotnika
(qa, qb, qc)
in
(x,y, z) = (pb,pa,pc),
kjer sta p in q naravni števili, ki ju bomo še dolo-
čili. Nova trikotnika položimo na dano premico na
prej opisani način. Hipotenuzi oklepata pravi kot,
ker velja y : x = (pa) : (pb) = a : b. Pravokotni
trikotnik, ki leži nad njima, pa bo pitagorejski, čim
bo p2c2+q2c2 kvadrat naravnega števila. Števili p in
q ne moreta biti enaki, saj bi v primeru p = q zahte-
vali, da je 2p2c2 kvadrat naravnega števila, kar pa je
nemogoče. Cilj bomo dosegli, če vzamemo za števili
p in q kateti poljubne pitagorejske trojice, denimo
(p, q, r). Pri tem seveda velja p2 + q2 = r 2. Oči-
tno je potem (pc, qc, rc) tudi pitagorejski trikotnik.
Vsi trije pitagorejski trikotniki sestavljajo pravoko-
tni trapez, ki ima za vzporedni stranici pa in qb, za
višino pa qa+ pb.
Če je ap = bq, lahko trapez dopolnimo do pravo-
kotnika še z enim pravokotnim trikotnikom, ki ima
kateti qa+ pb in |pa− qb|. Presenetljivo je pri tem
to, da je tudi ta trikotnik pitagorejski, če je le trojica
(p, q, r) pitagorejska. Velja namreč:
(qa+pb)2+|pa−qb|2 = q2a2+2pqab+p2b2+
p2a2 − 2pqab + q2b2 =
= p2(a2+b2)+q2(a2+b2) = (p2+q2)(a2+b2) =
r 2c2 = (rc)2 .
Dobljeni pravokotnik ima stranici qa + pb in
max{pa,qb}. Če je pa > qb, ima nazadnje opisani
pitagorejski trikotnik kateto pa − qb, ki je vzpore-
dna pravokotnikovi stranici pa. Če je qb > pa, pa
ima kateto qb − pa, ki je vzporedna pravokotnikovi
stranici qb (slika 3).
Slika 3
Kaj pa, če je pa = qb? Tedaj sestavljajo že trije med
seboj podobni pitagorejski trikotniki pravokotnik s
stranicama qa+ pb in pa.
Opomba. Velja splošno: če sta trikotnika (a, b, c)
in (p, q, r) pitagorejska ter velja ap = bq oziroma
aq = bp, sta pitagorejska tudi trikotnika (|ap −
bq|, aq + bp, cr) oziroma (|aq − bp|, ap + bq, cr).
3
pa
pa
pc
pc
rc
rc
qc
qc
pb pbqa qa
qb
qb
qa + pb qa + pb
pa — qb qb — pa 
7
m a t e m a t i k a
slika 6.
Primer štirih pitagorejskih trikotnikov, ki sestavljajo nekoliko ve-
čji pravokotnik.
www.presek.si
www.dmfa.si
Presek 38 (2010/2011) 5
Primer 2. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (4,3,5) in
(p, q, r) = (3,4,5) velja pa = 12 = qb, zato sesta-
vljajo pravokotnik s stranicama 25 in 12 trije med
seboj podobni pitagorejski trikotniki: (slika 5).
(12,9,15), (16,12,20), (15,20,25)
Slika 5
Primer 3. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (3,4,5)
in (p, q, r) = (5,12,13) velja pa = 15, qb = 48, zato
sestavljajo pravokotnik s stranicama 56 in 48 štirje
pitagorejski trikotniki: (slika 6).
(15,20,25), (36,48,60), (25,60,65), (56,33,65)
Slika 6
Primer 4. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (3,4,5)
in (p, q, r) = (12,5,13) velja pa = 36, qb = 20, zato
sestavljajo pravokotnik s stranicama 63 in 36 štirje
pitagorejski trikotniki:
(36,48,60), (15,20,25), (60,25,65), (16,63,65).
Ta in prejšnji primer pokažeta, da obstajata nepo-
dobna primitivna pitagorejska trikotnika z enako hi-
potenuzo: (56,33,65) in (16,63,65).
Primer 5. Enaki pitagorejski trojici
(a, b, c) = (p, q, r) = (12,5,13)
dasta pa = 144, qb = 25, zato lahko sestavimo pra-
vokotnik s stranicama 120 in 144 s štirimi pitagorej-
skimi trikotniki:
(144,60,156), (60,25,65), (156,65,169),
(119,120,169).
Primer tudi pove, da je višina pravokotnika lahko
tudi večja kot njegova dolžina.
Problem. Ali po opisanem postopku lahko zlo-
žimo tri pitagorejske trikotnike v kvadrat tako, kot
kaže slika 4? Kdaj lahko tako pravokotnik s celošte-
vilskima stranicama razrežemo na tri pitagorejske
trikotnike? Kdaj na štiri? Brez škode za splošnost
lahko privzamemo, da je D(a,b) = D(p,q) = 1.
5
Primer 2. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (4,3,5) in
(p, q, r) = (3,4,5) velja pa = 12 = qb, zato sesta-
vljajo pravokotnik s stranicama 25 in 12 trije med
seboj podobni pitagorejski trikotniki: (slika 5).
(12,9,15), (16,12,20), (15,20,25)
Slika 5
Primer 3. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (3,4,5)
in (p, q, r) = (5,12,13) velja pa = 15, qb = 48, zato
sestavljajo pravokotnik s stranicama 56 in 48 štirje
pitagorejski trikotniki: (slika 6).
(15,20,25), (36,48,60), (25,60,65), (56,33,65)
Slika 6
Primer 4. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (3,4,5)
in (p, q, r) = (12,5,13) velja pa = 36, qb = 20, zato
sestavljajo pravokotnik s stranicama 63 in 36 štirje
pitagorejski trikotniki:
(36,48,60), (15,20,25), (60,25,65), (16,63,65).
Ta in prejšnji primer pokažeta, da obstajata nepo-
dobna primitivna pitagorejska trikotnika z enako hi-
potenuzo: (56,33,65) in (16,63,65).
Primer 5. Enaki pitagorejski trojici
(a, b, c) = (p, q, r) = (12,5,13)
dasta pa = 144, qb = 25, zato lahko sestavimo pra-
vokotnik s stranicama 120 in 144 s štirimi pitagorej-
skimi trikotniki:
(144,60,156), (60,25,65), (156,65,169),
(119,120,169).
Primer tudi pove, da je višina pravokotnika lahko
tudi večja kot njegova dolžina.
Problem. Ali po opisanem postopku lahko zlo-
žimo tri pitagorejske trikotnike v kvadrat tako, kot
kaže slika 4? Kdaj lahko tako pravokotnik s celošte-
vilskima stranicama razrežemo na tri pitagorejske
trikotnike? Kdaj na štiri? Brez škode za splošnost
lahko privzamemo, da je D(a,b) = D(p,q) = 1.
5
Primer 2. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (4,3,5) in
(p, q, r) = (3,4,5) velja pa = 12 = qb, zato sesta-
vljajo pravokotnik s stranicama 25 in 12 trije med
seboj podobni pitagorejski trikotniki: (slika 5).
(12,9,15), (16,12,20), (15,20,25)
Slika 5
Primer 3. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (3,4,5)
in (p, q, r) = (5,12,13) velja pa = 15, qb = 48, zato
sestavljajo pravokotnik s stranicama 56 in 48 štirje
pitagorejski trikotniki: (slika 6).
(15,20,25), (36,48,60), (25,60,65), (56,33,65)
Slika 6
Primer 4. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (3,4,5)
in (p, q, r) = (12,5,13) velja pa = 36, qb = 20, zato
sestavljajo pravokotnik s stranicama 63 in 36 štirje
pitagorejski trikotniki:
(36,48,60), (15,20,25), (60,25,65), (16,63,65).
Ta in prejšnji primer pokažeta, da obstajata nepo-
dobna prim tivna pitagorejska triko nik z nak hi
potenuz : (56,33,65) in (16,63,65).
Primer 5. Enaki pitagorejski trojici
(a, b, c) = (p, q, r) = (12,5,13)
dasta pa = 144, qb = 25, zato lahko sestavimo pra-
vokotnik s stranicama 120 in 144 s štirimi pitagorej-
skimi trikotniki:
(144,60,156), (60,25,65), (156,65,169),
(119,120,169).
Primer tudi pove, da je višina pravokotnika lahko
tudi večja kot njegova dolžina.
Problem. Ali po opisanem postopku lahko zlo-
žimo tri pitagorejske trikotnike v kvadrat tako, kot
kaže slika 4? Kdaj lahko tako pravokotnik s celošte-
vilskima stranicama razrežemo na tri pitagorejske
trikotnike? Kdaj na štiri? Brez škode za splošnost
lahko privzamemo, da je D(a,b) = D(p,q) = 1.
5
Prime 2. Za pitagorejski trojici (a, b, c) = (4,3,5) in
(p, q, r) = (3,4,5) velja pa = 12 = qb, zato sesta-
vljajo pravokotnik s stranicama 25 in 12 trije med
seboj podobni pitagorejski trikotniki: (slika 5).
(12,9,15), (16,12,20), (15,20,25)
Slika 5
Primer 3. Za pitagorejski trojici (a, b, c) (3,4,5)
in (p, q, r) = (5,12,13) velja pa = 15, qb = , zato
sestavljajo prav kotnik s stranicama 56 in 48 štirje
pitagorejski trikotniki: (slika 6).
(15,20,25), (36,48,60), (25,60,65), (56,33,65)
Slika 6
Primer 4. Za pitagorejski trojici (a, b, c) (3,4,5)
in (p, q, r) = (12,5,13) velja pa = 36, qb = 20, zato
sestavljajo prav kotnik s stranicama 63 in 36 štirje
pitagorejski trikotniki:
(36,48,60), (15,20,25), (60,25,65), (16,63,65).
Ta i prejšnji primer pokažeta, da obstajata nepo
d bna primitivna pitagorejska trikotnika z enako hi-
potenuzo: (56,33,65) in (16,63,65).
Primer 5. Enaki pitagorejski trojici
(a, b, c) = (p, q, r) = (12,5,13)
dasta pa = 144, qb = 25, zato lahko sestavimo pra
vokotnik s stranicama 120 in 144 s štirimi pitagorej-
skimi trikotniki:
44 60,15 ), (60,25,65), (156,65,169),
(119,120,169).
Primer tudi pov , d je višina pravokotnika lahko
tudi večja kot njeg va dolžina.
Problem. Ali po opisanem postopku lah zl -
žimo tri pitagorejske trikotnike v kvadrat tako, kot
kaže slika 4? Kd j l hko tako pravokotnik s celošte-
vilskima stranicam razrežemo na tri pitagorejske
trikotnike? Kdaj na štiri? Brez škode za splošnost
lahko privzamemo, da je D(a,b) = D(p,q) = 1.
5
slika 4.
Primer štirih pitagorejskih trikotnikov, ki sestavljajo 
pravokotnik.
slika 5.
Primer treh pitagorejskih trikotnikov, ki sestavljajo pra-
vokotnik.
8
m a t e m a t i k a
Dežela matematičnih čudes je muzej interaktivnih
matematičnih modelov v Hokkaidu na Japonskem, ki
je bil osnovan leta 2003 na pobudo Jina Akiyama,
enega izmed avtorjev knjige. Matematǐcni modeli, ki
jih najdemo v tem muzeju (mnogi izmed njih so bili
razstavljeni po celi Japonski in v drugih mestih po
svetu), so bili razviti iz tistih, ki jih je omenjeni avtor
uporabil v svojih na Japonskem zelo uspešnih tele-
vizijskih oddajah, s katerimi približuje matematiko
širšemu krogu ljudi. Na podlagi izkušenj s televizij-
sko oddajo se je porodila zamisel o muzeju oziroma
hiši, kjer bi (predvsem mladi) obiskovalci preko prak-
tičnih izkušenj z razstavljenimi modeli odkrivali in
doživeli čudesa matematike.
Knjiga Dogodivšine v Deželi matematičnih čudes opi-
suje izkustva treh mladih izmišljenih junakov, učen-
cev višjih razredov osnovne šole, ob njihovem obi-
sku Dežele matematičnih čudes. Dan, ki ga preži-
vijo v tej hiši matematičnih čudes, je poln zanimi-
vih odkritij in izzivov. Med drugim se fantje name-
sto navadnega sprehoda po Deželi matematičnih ču-
des prevažajo s prav posebnimi kotalkami, katerih
kolesa imajo obliko napihnjenih trikotnikov. Spo-
znajo stroj, ki izdeluje kvadratne luknje ter se pre-
izkusijo v tekmovanju spuščanja po toboganih, ki
imajo oblike različnih krivulj. Nadvse zanimivi sta
tudi soba polna pravokotnih trikotnikov ter glasbena
soba, kjer lahko tekajo po glasbenih stopnicah in
sami odkrivajo povezanost glasbe in matematike.
Tam je še posebna igralna naprava imenovana ma-
tematični pachinko, tricikel s kvadratnimi kolesi, na-
prava, ki samodejno izračuna največji skupni delitelj
in najmanjši skupni večkratnik dveh števil ter še ve-
liko drugih zanimivih interaktivnih modelov, ki jih
fantje preizkusijo. Ob tem neizmerno uživajo, obe-
nem pa vsaka taka izkušnja z modeli zbudi v njih ra-
dovednost ter jih spodbudi k lastnemu nadaljnjemu
raziskovanju in matematičnem odkrivanju. Na pote-
panju po Deželi matematičnih čudes spoznajo nekaj
prijaznih vodičev, ki jim v izziv ponudijo tudi raz-
lične aktivnosti kot so: posebno zvijanje, zgibanje
ter rezanje papirja, izdelovanja sestavljank, ki jih
dobimo iz razrezanih tetraedrov in omogočajo tla-
kovanje ravnine ter spoznavanje t. i. obrnljivih te-
les in teles, s katerimi lahko zapolnimo tridimenzio-
nalni prostor. Ko ob koncu dneva preživetega v De-
želi matematičnih čudes, fantje odhajajo od tam, so
bogatejši za veliko novih spoznanj obenem pa polni
resničnega spoštovanja do matematike. Izkusili in
spoznali so namreč njeno lepoto, uporabnost in ne-
izbežnost.
Knjiga je napisana tako, da jo lahko berejo najstniki,
ali morda celo mlajši. Vendar ne moremo reči, da
gre za otroško knjigo; kajti kljub temu, da je napi-
sana v stilu, ki je popolnoma primeren za najstni-
škega bralca, bo pritegnila tudi vsakega odraslega
človeka, ki bo posegel po njej. Ne glede na to, kakšno
matematično predznanje ima bralec, bo o branju te
knjige spoznal nekatera čudovita matematična dej-
stva, ki jih prej ni poznal, ter občutil zadovoljstvo
2
J in Akiyama in 
Mari-Jo Ruiz:
Dogodivščine 
v Deželi 
matematičnih 
čudes
darja antolin
•
Dežela matematičnih čudes je muzej interaktivnih
mat matičnih odelov v Hokkaidu na Japons em, ki
je bil osnovan leta 2003 na pob do ina Akiyama,
enega izmed avtorjev knjige. Matematǐc i modeli, ki
jih n jde o v tem muze u (mnogi izmed njih so bil
razstavljeni po celi Japonski in v drugih mestih po
svetu), so b li razviti iz tistih, ki jih je omenjeni avtor
uporabil v svojih na Japonskem zelo uspešnih tele-
vizijskih odda a , s k terimi približuje matematiko
š ršemu krogu ljudi. Na podlagi izkuš nj s levizij-
sko oddajo se je porodila zamisel o muzeju oziroma
hiši, kjer bi (predvsem mladi) obiskovalci preko prak-
tičnih izkušenj z razstavljenim modeli odkrivali in
dož veli č d sa matem tik .
Knjiga Dogodivšine v Deželi matematičnih čudes opi-
suje izkustva treh mladih iz išljenih junakov, učen
cev višjih razredov osnovne šole, ob njihovem obi
sku Dežele matematič ih čudes. Dan, ki ga prež
vijo v tej hiši matematičnih čudes, je poln zanim
h odkritij in izzivov. Med drugim s fantje na e
sto navadnega sprehoda po Deželi matema ičnih ču
des prevažajo prav posebnimi kot lkami, katerih
kolesa imajo obliko napihnjenih trikotnikov. Spo-
znajo stroj, ki izdeluje kvadratne lu nje ter se pre
izkusijo v tekmovanju spušč nja po toboganih, ki
majo blike različnih krivulj. N dvse zanimivi sta
tudi soba poln pravokotnih trikotnikov ter glasben
soba, kjer lahko tekaj po glasbenih stopnicah in
ami odkriv jo povezanost glasbe in matem tike.
T je še posebna igr lna naprava menovan ma-
te atični pachinko, tricikel s kvadr tnimi kolesi, n
prava, ki samodejno izračuna največji skupni delitelj
in najmanjši skupni večkratnik d h števil ter še ve-
liko drugih zanimivih interaktivnih modelov, ki jih
fantje preizkusijo. Ob tem neizmerno uživajo, obe-
nem pa vsaka taka izkušnja z mod li zb di v njih ra
dovednost ter jih spodbudi k lastnemu nadaljnjemu
raziskovanju in matematičnem odkrivanju. Na pote-
panju po Deželi ih ču es spoznajo nekaj
rijaznih vodičev, ki jim v izziv ponudijo tudi raz-
lične aktivnosti kot so: posebno zvijan e, zgibanje
ter rezanje papirja, izdel vanja sest vl ank, ki jih
dobimo iz razrezanih tetraedrov in omogočajo tla-
k vanje ravnine ter spozn vanje t. i. obrnljivih te
les in t les, s katerimi lahko zapolnimo tridimenzio
nalni prostor. Ko ob koncu dneva preživetega v De
že i matematičnih čudes, fantj odhajajo od tam, so
bogatejši z veliko novih spoznanj obenem p polni
resničnega spošt vanja do matematike. Izkusili in
spoznali so namreč eno lepo o, uporabnost in ne-
izbežnost.
Knjiga je napisana tako, da jo lahko berejo najstniki,
ali morda celo mlajši. Vendar ne mo mo reči, da
gre za otrošk knjigo; kajti kljub temu, da j napi-
sana v s ilu, ki je p polnoma primeren z najstn
škega bra ca, bo pritegnila tudi vsak ga odr slega
človeka, ki bo posegel po njej. Ne glede n t , k kšno
mat matičn redznanje ima bralec, bo o branju te
knjige spoznal nekatera čudovit matematična dej-
stva, ki jih prej ni poznal, ter občutil zadovoljstvo
2
Dežela matematičnih čudes je muzej interaktivnih
matematičnih modelov v Hokkaidu na Japonskem, ki
je bil osnovan leta 2003 na pobudo Jina Akiyama,
enega izmed avtorjev knjige. Matematǐcni modeli, ki
jih najdemo v tem muzeju (mnogi izmed njih so bili
razstavljeni po celi Japonski in v drugih mestih po
svetu), so bili razviti iz tistih, ki jih je omenjeni avtor
uporabil v svojih na Japonskem zelo uspešnih tele-
vizijskih oddajah, s katerimi približuje matematiko
širšemu krogu ljudi. Na podlagi izkušenj s televizij-
sko oddajo se je porodila zamisel o muzeju oziroma
hiši, kjer bi (predvsem mladi) obiskovalci preko prak-
tičnih izkušenj z razstavljenimi modeli odkrivali in
doživeli čudesa matematike.
Knjiga Dogodivšine v Deželi matematičnih čudes opi-
suje izkustva treh mladih izmišljenih junakov, učen-
cev višjih razredov osnovne šole, ob njihovem obi-
sku Dežele matematičnih čudes. Dan, ki ga preži-
vijo v tej hiši matematičnih čudes, je poln zanimi-
vih odkritij in izzivov. Med drugim se fantje name-
sto navadnega sprehoda po Deželi matematičnih ču-
des prevažajo s prav posebnimi kotalkami, katerih
kolesa imajo obliko napihnjenih trikotnikov. Spo-
znajo stroj, ki izdeluje kvadratne luknje ter se pre-
izkusijo v tekmovanju spuščanja po toboganih, ki
imajo oblike različnih krivulj. Nadvse zanimivi sta
tudi soba polna pravokotnih trikotnikov ter glasbena
soba, kjer lahko tekajo po glasbenih stopnicah in
sami odkrivajo povezanost glasbe in matematike.
Tam je še posebna igralna naprava imenovana ma-
tematični pachinko, tricikel s kvadratnimi kolesi, na-
prava, ki samodejno izračuna največji skupni delitelj
in najmanjši skupni večkratnik dveh števil ter še ve-
liko drugih zanimivih interaktivnih modelov, ki jih
fantje preizkusijo. Ob tem neizmerno uživajo, obe-
nem pa vsaka taka izkušnja z modeli zbudi v njih ra-
dovednost ter jih spodbudi k lastnemu nadaljnjemu
raziskovanju in matematičnem odkrivanju. Na pote-
panju po Deželi matematičnih čudes spoznajo nekaj
prijaznih vodičev, ki jim v izziv ponudijo tudi raz-
lične aktivnosti kot so: posebno zvijanje, zgibanje
ter rezanje papirja, izdelovanja sestavljank, ki jih
dobimo iz razrezanih tetraedrov in omogočajo tla-
kovanje ravnine ter spoznavanje t. i. obrnljivih te-
les in teles, s katerimi lahko zapolnimo tridimenzio-
nalni prostor. Ko ob koncu dneva preživetega v De-
želi matematičnih čudes, fantje odhajajo od tam, so
bogatejši za veliko novih spoznanj obenem pa polni
resničnega spoštovanja do matematike. Izkusili in
spoznali so namreč njeno lepoto, uporabnost in ne-
izbežnost.
Knjiga je napisana tako, da jo lahko berejo najstniki,
ali morda celo mlajši. Vendar ne moremo reči, da
gre za otroško knjigo; kajti kljub temu, da je napi-
sana v stilu, ki je popolnoma primeren za najstni-
škega bralca, bo pritegnila tudi vsakega odraslega
človeka, ki bo posegel po njej. Ne glede na to, kakšno
matematično predznanje ima bralec, bo o branju te
knjige spoznal nekatera čudovita matematična dej-
stva, ki jih prej ni poznal, ter občutil zadovoljstvo
2
Dežela matematičnih čudes je muzej interaktivnih
mat matičnih odelov v Hokkaidu na Japons em, ki
je bil osnovan leta 2003 na pob do ina Akiyama,
enega izmed avtorjev knjige. Matematǐc i modeli, ki
jih n jde o v tem muze u (mnogi izmed njih so bil
razstavljeni po celi Japonski in v drugih mestih po
svetu), so b li razviti iz tistih, ki jih je omenjeni avtor
uporabil v svojih na Japonskem zelo uspešnih tele-
vizijskih odda a , s k terimi približuje matematiko
š ršemu krogu ljudi. Na podlagi izkuš nj s levizij-
sko oddajo se je porodila zamisel o muzeju oziroma
hiši, kjer bi (predvsem mladi) obiskovalci preko prak-
tičnih izkušenj z razstavljenim modeli odkrivali in
dož veli č d sa matem tik .
Knjiga Dogodivšine v Deželi matematičnih čudes opi-
suje izkustva treh mladih iz išljenih junakov, učen
cev višjih razredov osnovne šole, ob njihovem obi
sku Dežele matematič ih čudes. Dan, ki ga prež
vijo v tej hiši matematičnih čudes, je poln zanim
h odkritij in izzivov. Med drugim s fantje na e
sto navadnega sprehoda po Deželi matema ičnih ču
des prevažajo prav posebnimi kot lkami, katerih
kolesa imajo obliko napihnjenih trikotnikov. Spo-
znajo stroj, ki izdeluje kvadratne lu nje ter se pre
izkusijo v tekmovanju spušč nja po toboganih, ki
majo blike različnih krivulj. N dvse zanimivi sta
tudi soba poln pravokotnih trikotnikov ter glasben
soba, kjer lahko tekaj po glasbenih stopnicah in
ami odkriv jo povezanost glasbe in matem tike.
T je še posebna igr lna naprava menovan ma-
te atični pachinko, tricikel s kvadr tnimi kolesi, n
prava, ki samodejno izračuna največji skupni delitelj
in najmanjši skupni večkratnik d h števil ter še ve-
liko drugih zanimivih interaktivnih modelov, ki jih
fantje preizkusijo. Ob tem neizmerno uživajo, obe-
nem pa vsaka taka izkušnja z mod li zb di v njih ra
dovednost ter jih spodbudi k lastnemu nadaljnjemu
raziskovanju in matematičnem odkrivanju. Na pote-
panju po Deželi ih ču es spoznajo nekaj
rijaznih vodičev, ki jim v izziv ponudijo tudi raz-
lične aktivnosti kot so: posebno zvijan e, zgibanje
ter rezanje papirja, izdel vanja sest vl ank, ki jih
dobimo iz razrezanih tetraedrov in omogočajo tla-
k vanje ravnine ter spozn vanje t. i. obrnljivih te
les in t les, s katerimi lahko zapolnimo tridimenzio
nalni prostor. Ko ob koncu dneva preživetega v De
že i matematičnih čudes, fantj odhajajo od tam, so
bogatejši z veliko novih spoznanj obenem p polni
resničnega spošt vanja do matematike. Izkusili in
spoznali so namreč eno lepo o, uporabnost in ne-
izbežnost.
Knjiga je napisana tako, da jo lahko berejo najstniki,
ali morda celo mlajši. Vendar ne mo mo reči, da
gre za otrošk knjigo; kajti kljub temu, da j napi-
sana v s ilu, ki je p polnoma primeren z najstn
škega bra ca, bo pritegnila tudi vsak ga odr slega
človeka, ki bo posegel po njej. Ne glede n t , k kšno
mat matičn redznanje ima bralec, bo o branju te
knjige spoznal nekatera čudovit matematična dej-
stva, ki jih prej ni poznal, ter občutil zadovoljstvo
2
presek 38 (2010/2011) 5
SMART – Mladinski astronomski raziskovalni ta-
bor je največji mladinski astronomski tabor v Slove-
niji. Namenjen je tako popolnim začetnikom kot iz-
kušenim astronomom, saj zahtevnost programa pri-
lagajamo predznanju in željam posameznika.
SMART je namenjen spoznavanju astronomije, neba,
zvezd, teleskopov in raziskovanja v počitniškem oko-
lju, polnem sproščenega in veselega druženja.
Tabor bo potekal na Ribniški Koči na Pohorju, med
29. julijem in 7. avgustom 2011. Vodilo ga bo 10
izkušenih mentorjev. S pomočjo domiselnega dru-
žabnega programa bomo kot vedno poskrbeli, da bo
SMART 2011 za vse udeležence ostal nepozaben do-
godek!
Delovne skupine na taboru bodo: Uvod v astrono-
mijo, Astronomska opazovanja, Astrofizika in
astronomske simulacije, Astrofotografija, Meteorji,
Temno nebo.
Vse informacije o taboru, delovnih skupinah, men-
torski ekipi in o prijavi najdete na naši spletni strani:
www.adl.si ali na telefonski številki 040/480383
(Nina, vodja tabora).
2
SMART – Mladinski astron mski raziskovalni ta
bor je največji mladinski astronomski tab r v Slove
niji. Namenjen je tako popolnim začetnikom kot iz
kušenim astronomom, saj zahtevnost rograma pri-
lagajamo predznanju in željam posameznik .
SMART je namenje spozna ju astronomij , neba,
zvezd, teleskop v in raziskovanja v počitniškem oko-
lju, polnem sprošče ega i veselega druženja.
Tabor bo potek l na Ribniški Koči na Pohorju, med
29. julijem in 7. avgustom 2011. Vodilo ga bo 10
izkušenih mentorjev. S pomočjo domiselnega dru-
žabnega progr ma bomo kot v dno poskrbeli, da bo
SMART 2011 za vse udeležence ostal nepozaben do-
god k!
Delovne skupine na taboru bodo: Uvod v astrono-
mijo, Astrono sk opazovanja, Astrofizika in
astronomske simulacije, Astrofotografija, Meteorji,
Temno ebo.
Vse informacije o taboru, d lovnih skupinah, men-
torski ekipi in o prijavi najdete na naši spletni strani:
www.adl.si ali na telefonski številki 040/480383
(Nina, vodja tabora).
2
smart—Mladinski 
astronomski 
raziskovalni  
tabor 2011
ad labod
•
•
Dežela matematičnih čudes je muzej interaktivnih
matematičnih modelov v Hokkaidu na Japonskem, ki
je bil osnovan leta 2003 na pobudo Jina Akiyama,
enega izmed avtorjev knjige. Matematǐcni modeli, ki
jih najdemo v tem muzeju (mnogi izmed njih so bili
razstavljeni po celi Japonski in v drugih mestih po
svetu), so bili razviti iz tistih, ki jih je omenjeni avtor
uporabil v svojih na Japonskem zelo uspešnih tele-
vizijskih oddajah, s katerimi približuje matematiko
širšemu krogu ljudi. Na podlagi izkušenj s televizij-
sko oddajo se je porodila zamisel o muzeju oziroma
hiši, kjer bi (predvsem mladi) obiskovalci preko prak-
tičnih izkušenj z razstavljenimi modeli odkrivali in
doživeli čudesa matematike.
Knjiga Dogodivšine v Deželi matematičnih čudes opi-
suje izkustva treh mladih izmišljenih junakov, učen-
cev višjih razredov osnovne šole, ob njihovem obi-
sku Dežele matematičnih čudes. Dan, ki ga preži-
vijo v tej hiši matematičnih čudes, je poln zanimi-
vih odkritij in izzivov. Med drugim se fantje name-
sto navadnega sprehoda po Deželi matematičnih ču-
des prevažajo s prav posebnimi kotalkami, katerih
kolesa imajo obliko napihnjenih trikotnikov. Spo-
znajo stroj, ki izdeluje kvadratne luknje ter se pre-
izkusijo v tekmovanju spuščanja po toboganih, ki
imajo oblike različnih krivulj. Nadvse zanimivi sta
tudi soba polna pravokotnih trikotnikov ter glasbena
soba, kjer lahko tekajo po glasbenih stopnicah in
sami odkrivajo povezanost glasbe in matematike.
Tam je še posebna igralna naprava imenovana ma-
tematični pachinko, tricikel s kvadratnimi kolesi, na-
prava, ki samodejno izračuna največji skupni delitelj
in najmanjši skupni večkratnik dveh števil ter še ve-
liko drugih zanimivih interaktivnih modelov, ki jih
fantje preizkusijo. Ob tem neizmerno uživajo, obe-
nem pa vsaka taka izkušnja z modeli zbudi v njih ra-
dovednost ter jih spodbudi k lastnemu nadaljnjemu
raziskovanju in matematičnem odkrivanju. Na pote-
panju po Deželi matematičnih čudes spoznajo nekaj
prijaznih vodičev, ki jim v izziv ponudijo tudi raz-
lične aktivnosti kot so: posebno zvijanje, zgibanje
ter rezanje papirja, izdelovanja sestavljank, ki jih
dobimo iz razrezanih tetraedrov in omogočajo tla-
kovanje ravnine ter spoznavanje t. i. obrnljivih te-
les in teles, s katerimi lahko zapolnimo tridimenzio-
nalni prostor. Ko ob koncu dneva preživetega v De-
želi matematičnih čudes, fantje odhajajo od tam, so
bogatejši za veliko novih spoznanj obenem pa polni
resničnega spoštovanja do matematike. Izkusili in
spoznali so namreč njeno lepoto, uporabnost in ne-
izbežnost.
Knjiga je napisana tako, da jo lahko berejo najstniki,
ali morda celo mlajši. Vendar ne moremo reči, da
gre za otroško knjigo; kajti kljub temu, da je napi-
sana v stilu, ki je popolnoma primeren za najstni-
škega bralca, bo pritegnila tudi vsakega odraslega
človeka, ki bo posegel po njej. Ne glede na to, kakšno
matematično predznanje ima bralec, bo o branju te
knjige spoznal nekatera čudovita matematična dej-
stva, ki jih prej ni poznal, ter občutil zadovoljstvo
2
ob razumevanju. Omeniti pa velja, da se v knjigi po-
javijo besede kot so: Rouleauxov trikotnik, epicikloi-
dna krivulja, brahistrohrona krivulja, tavtohrona kri-
vulja, ki se bodo mlademu bralcu najverjetneje zdele
neznane in težke, vendar pa za samo razumevanje
besedila niso ključne.
V knjigi so predstavljene matematične vsebine in
modeli, ki se do sedaj še nikoli niso pojavili v knji-
gah podobnih zvrsti; npr. obrnljiva telesa, tlakovanje
ravnine s kosi, ki jih dobimo iz razrezanih tetraedrov
in dvo-funkcijska telesa, ki so izpeljana iz avtorjevih
lastnih znanstvenih člankov, objavljenih v matema-
tičnih revijah. Knjiga je privlačna tudi na pogled.
Pritegne nas še ob samem listanju, saj vsebuje ve-
liko živahnih barvnih ilustracij potepanja po Deželi
matematičnih čudes. Na koncu je naveden obširen
seznam virov ter osnovni podatki o avtorjih knjige.
Namen knjige je vzbuditi pri mladih interes do ma-
tematike ter jim na zanimiv način približati nekatere
matematične vsebine. Iz te knjige se lahko ogromno
naučijo tudi starši in učitelji. Slednjim je lahko odli-
čen pripomoček za popestritev učnih ur matematike
ter vir novih idej.
Knjižico lahko naročite pri DMFA–založništvo po
članski ceni 16,00 EUR.
3
ob razumevanju. Om niti pa velj , d se v knjigi po
ja ijo bes de kot so: Rouleauxov trikotnik, epicikloi
dna krivulja, brahistrohron kri ulja, tavtohrona kr
vulja, ki se bodo mlademu bralcu najverjetneje zdele
neznane in težke, vendar pa za samo razumevanj
b sedila niso ključn .
V knjigi so predstavljene matematične vsebine in
modeli, ki se do sedaj še nikoli niso poja ili v knji-
gah podobnih zvr ti; npr. obrnljiva telesa, tlakova e
r vnine s kosi, ki jih dobimo iz razrezanih etraedrov
in dvo-funkcijs a telesa, ki so izpeljana iz avtorjevih
lastnih z anstvenih čl n ov, objavljenih v matema-
tičnih revijah. Knjiga je privlačna tudi na pogled.
Pritegne nas še ob s m m l st nju, saj vsebuje ve-
liko živahnih barvnih ilustracij potepanja po D želi
matematičnih čudes. Na koncu je naveden obšir n
seznam virov ter osnovni p datki o avtorjih knjige.
Namen knjige je vzbuditi pri mladih interes do ma-
tematike ter jim na zanimiv način približati nekatere
matematične vsebine. Iz te knjige se lahko ogromno
naučijo udi starši in učitelji. Slednjim je lahko odli-
čen pripomoček za popestritev uč ih ur m tematike
t r vi n vih idej.
Knjižico lahko naročite pri DMFA–založništvo po
članski ceni 16,00 EUR.
3
ob razum vanju. Omeniti pa velja, da se v knjigi po
javijo be de k t so: Roule uxo trikotnik, piciklo
dna krivulja, brahistrohrona krivulja, tavtohrona kri-
vulja, ki se bodo mlademu bralcu najverjetneje zdel
n znane in težke, v ndar pa za samo razumevanje
besed la niso ključne.
V knjigi so preds avljene matematične sebine in
modeli, ki se do edaj še nikoli niso pojavili v k i-
g h podobnih zvrsti; npr. obrnljiva telesa, lakovanje
r vnine s kosi, i j dobimo iz razrezanih tetr edrov
in dvo-fu kcijska teles , i so izpeljana z avtorjevih
las nih z nstvenih člankov, objavljenih v mat ma
t čnih revijah. Knj g j pr vl čna tudi na pogled.
Prit gne nas še ob samem listanju, saj vsebuj ve-
liko živahnih barvnih ilustracij potepanja po Dež li
matematičnih čudes. Na k ncu je naveden obširen
seznam virov ter osnovni odatki o avtorjih knjige.
Namen knjige j vzbuditi pri mladih interes d ma-
tematike ter jim na zanimiv način približati nekatere
matema ične vsebine. Iz te knjige se lahko ogromno
naučijo tudi starši in učitelji. Sled jim je l hko odli-
č n p ip moče za p pestritev učnih ur matematike
ter vir novih idej.
Knjižico lahko naročite pri DMFA–založništvo po
članski ceni 16,00 EUR.
3
Presek 38 (2010/2011) 5
351462
432516
265143
124635
546321
613254
Futošiki
3 6
6
2
4
45
>
>
<
><
<
>
> >
<
<
< rešite v
• • •
Futošiki
V n×n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici in v vsa-
kem stolpcu nastopalo vseh n števil ter, da bodo iz-
polnjene vse relacije.
1
     č     
 julije  in 7. avgustom 2011. Vo il  ga bo 10 izk
šenih ment rjev. S po očj  d miselnega družabnega 
programa bomo kot vedno poskrbeli, da o SMART 
2011 za vse udelež nce ostal n poz ben d god k!
9
m a t e m a t i k a + o b v e s t i l o
10
f i z i k a
•
nada razpet
Trikotne 
sence
Gore in hribi v Sloveniji imajo vrhove različnih
oblik. Te so lahko špičaste, kopaste, zaobljene,
nazobčane. Včasih imamo srečo in smo na vrhu
gore ravno takrat, ko je vreme lepo, sonce pa v
taki legi, da lahko vidimo senco gore. Če dobro po-
znamo kraje v okolici, lahko ugotovimo, kam pada
vrh sence. Na sliki je senca Špika. Slika je bila
posneta 12. novembra 2005 ob 15.07. Fotograf An-
drej se ni mogel spomniti, ali je ura na aparatu ka-
zala poletni ali zimski čas. Ali jo lahko določimo
s podatki, ki jih najdemo na spletnih straneh, na
zemljevidu in v efemeridah?
Slika 1 in slika 2 (ena zraven druge)
Iz karte Atlasa Slovenije lahko razberemo, da je azi-
mut vrha sence 21◦. Azimut je kot, ki ima en krak
usmerjen proti severu, drugi krak pa proti konici
sence, vrh kota je vrh Špika. Pozitivna smer je smer
proti vzhodu. Vzhod ima torej azimut 90◦.
Računanje si lahko poenostavimo, saj ne potrebu-
jemo velike natačnosti. V enem dnevu se Zemlja pre-
makne na svojem tiru okrog Sonca za približno 1◦,
zato lahko za nekaj ur računamo, da je naklonski
kot žarkov proti Zemljini osi konstanten. Zemlja se
okrog svoje osi zavrti vsako uro za 15◦. Narišimo
lego krajev, ki imajo zemljepisno širino 46◦, vodo-
ravno ravnino in ravnino, ki je vzporedna z ekvator-
sko ravnino.
Slika 3
Namesto računanja uporabimo računalniški pro-
gram za prostorsko geometrijo Cabri 3D.
Slika 4
Palico ED zasadimo pravokotno na ravnino, ki je
vzporedna z ekvatorsko ravnino (na sliki obarvana
modro). Ker vemo, da je slika nastala dve ali tri
ure po 12. uri, začnemo risati sence od 12. ure da-
lje. Senca, ki jo opazujemo na ravnini, vzporedni z
ekvatorsko ravnino, se v dveh urah zasuče za 30◦
(zeleni trikotnik na modro obarvani ravnini) in je ves
čas enako dolga. Za koliko pa bi se senca zasukala v
ravnini, kjer jo zares opazujemo, torej v (naši) vodo-
ravni ravnini (na sliki svetlo siva)? Iz meritev, ki jih
opravimo z računalnikom, ugotovimo, da približno
za 22◦. Za približno enako pa se je premaknil tudi
vrh naše sence od smeri proti severu (izmerimo na
zemljevidu). To pa pomeni, da je Andrej sliko po-
2
i i i l iji i j li i
li . l i , , lj ,
. i i i
, j l ,
i l i, l i i . -
j li i, l i ,
. li i j i . li j il
. . . -
j i l i i, li j -
l l i li i i . li j l l i
i, i ji j l i ,
lj i i i
li i li ( )
I l l ij l , j i-
. i j , i i
j i , i i i i
, j i . i i j
i . i j i .
j i l i , j -
j li i. lj -
j i i li ,
l j , j l i
i lji i i . lj
j i i . i i
l j , i i j lj i i i , -
i i i , i j -
i .
li
j i l i i -
ij i .
li
li i i , i j
i ( li i
). , j li l li i
. i, i i . -
lj . , i j j i i, i
i ,
( l i i i i i i) i j
l . li i l
i i, j j j , j ( i) -
i i i ( li i l i ) I i , i ji
i l i , i , i li
. i li j il i
i i (i i
lj i ). i, j j li -
r r r r
s š st st
s sr s r
r r t r t r s
t s r r
r t
r s s s
s t r t r f
r s s t r r t
t s s
s t s t str
f r ?
s e r e r e
rte t s e e r ere e
t r se ce ◦ t e t e r
s er e r t se er r r r t c
se ce r t e r t s er e s er
r t t re t ◦
c e s e st s e tre
e e e t c st e e e se e re
e s e t r r c r ◦
t e r r c e s
t r r t e s st te e se
r s e s rt s r ◦ r š
e r e e e s š r ◦
r r r e re e t r
s r
est r c r r c š r
r r st rs e etr r
c s r t r e
re e t rs r s r
r er e e s st e tr
re r c e r s t se ce re
e e c e r re
e t rs r se e r s ce ◦
e e tr t r r r e es
c s e se se c s
r er res e t re š
r r s s et s ? er te
r r c t r
◦ r e se e re t
r še se ce s er r t se er er
e e e e re s
o e in h ibi v Sloveniji i ajo v hove azličnih
oblik. Te o lahko piča e, kopa e, zaobljene,
nazobčane. ča ih i a o ečo in o na v hu
go e avno ak a , ko je v e e lepo, once pa v
aki legi, da lahko vidi o enco go e. Če dob o po-
zna o k aje v okolici, lahko ugo ovi o, ka pada
v h ence. a liki je enca Špika. Slika je bila
po ne a 12. nove b a 2005 ob 15.07. Fo og a n-
d ej e ni ogel po ni i, ali je u a na apa a u ka-
zala pole ni ali zi ki ča . li jo lahko določi o
poda ki, ki jih najde o na ple nih aneh, na
ze ljevidu in v e e e idah
Slika 1 in lika 2 ( na z av n d ug )
Iz ka la a Slov nij lahko azb o, da j azi-
u v ha n 21 . zi u j ko , ki i a n k ak
u j n p o i v u, d ugi k ak pa p o i koni i
n , v h ko a j v h Špika. Pozi ivna j
p o i vzhodu. Vzhod i a o j azi u 90 .
Raˇunanj i lahko po no avi o, aj n po bu-
j o v lik na aˇno i. V n dn vu Z lja p -
akn na voj i u ok og Son a za p ibližno 1 ,
za o lahko za n kaj u aˇuna o, da j naklon ki
ko ža kov p o i Z ljini o i kon an n. Z lja
ok og voj o i zav i v ako u o za 15 . a i i o
l go k aj v, ki i ajo z lj pi no i ino 46 , vodo-
avno avnino in avnino, ki j vzpo dna z kva o -
ko avnino.
Slika 3
a o aˇunanja upo abi o aˇunalni ki p o-
g a za p o o ko g o ijo Cab i 3 .
Slika 4
Pali o E za adi o p avoko no na avnino, ki j
vzpo dna z kva o ko avnino (na liki oba vana
od o). K v o, da j lika na ala dv ali i
u po 12. u i, zaˇn o i a i n od 12. u da-
lj . S n a, ki jo opazuj o na avnini, vzpo dni z
kva o ko avnino, v dv h u ah za uˇ za 30
(z l ni iko nik na od o oba vani avnini) in j v
ˇa nako dolga. Za koliko pa bi n a za ukala v
avnini, kj jo za opazuj o, o j v (na i) vodo-
avni avnini (na liki v lo iva) Iz i v, ki jih
op avi o z aˇunalniko , ugo ovi o, da p ibližno
za 22 . Za p ibližno nako pa j p aknil udi
v h na n od i p o i v u (iz i o na
z lj vidu). To pa po ni, da j nd j liko po-
2
G
V
N
A
A
A
A
N
N
D
D
A
r i ri i l iji im j r r li i
li . s l š i st , st , lj ,
. si im m sr i sm r
r r t r t, j r m l , s
t i l i, l i im s r . r -
m r j li i, l t im , m
r s . sli i j s i . li j il
s t . m r . . t r f -
r j s i m l s m iti, li j r r t -
l l t i li ims i s. li j l l im
s t i, i ji j m s l t i str ,
mlj i i f m ri ?
li i sli (e r e r e)
I rte tl s l e ije l r erem , je i-
m t r se ce ◦. im t je t, i im e r
smerje r ti se er , r i r r ti ici
se ce, r t je r i . iti smer je smer
r ti . im t rej im t ◦.
c je si l e st im , s j e tre -
jem eli e t c sti. e em e se emlj re-
m e s jem tir r c ri li ◦,
t l e j r r c m , je l s i
t r r ti emlji i si st te . emlj se
r s je si rti s r ◦. rišim
le r je , i im j emlje is širi ◦, -
r r i i r i , i je re e t r-
s r i .
li
mest r c j r im r c l iš i r -
r m r st rs e metrij ri .
li
lic s im r t r i , i je
re e t rs r i ( sli i r
m r ). er em , je sli st l e li tri
re . ri, c em ris ti se ce . re -
lje. e c , i j jem r i i, re i
e t rs r i , se e r s ce ◦
( ele i tri t i m r r i r i i) i je es
c s e l . li i se se c s l
r i i, jer j res jem , t rej ( ši) -
r i r i i ( sli i s etl si )? I merite , i ji
r im r c l i m, t im , ri li
◦. ri li e se je rem il t i
r še se ce smeri r ti se er (i merim
emlje i ). me i, je rej sli -
o e S o e a o o e az č
o e o a o ča e o a e zao e e
azo ča e ča a o ečo o a
go e a o a a o e e e e o o ce a
a eg a a o o e co go e ˇe o o o
z a o a e o o c a o go o o a a a
e ce a e e ca Š a S a e a
o e a 12 o e a 2005 o 15 07 Fo og a
e e oge o a e a a a a a a
za a o e a z ča o a o o oč o
o a a e o a e a e a
ze e e e e a
S ka 1 ka 2 a z av g
z ka a a S ov a ko azb o a az
v a 21 z ko k a k ak
o v g k ak a o ko
v ko a v Š ka Poz v a
o vz o z o a o az 90
aˇ a a ko o o av o a o b
o v k a aˇ o v a
ak a vo ok og So a za b ž o 1
za o a ko za ka aˇ a o a ak o k
ko ža kov o o ko a a
ok og vo o zav v ako o za 15 a o
go k a v k a o z o o 46 vo o
av o av o av o k vz o a z kva o
ko av o
S ka 3
a o aˇ a a o ab o aˇ a k o
g a za o o ko g o o ab 3
S ka 4
Pa o za a o avoko o a av o k
vz o a z kva o ko av o a k oba va a
o o v o a ka a a a v a
o 12 zaˇ o a o 12 a
S a k o o az o a av vz o z
kva o ko av o v v a za ˇ za 30
z ko k a o o oba va av v
ˇa ako o ga a ko ko a b a za ka a v
av k o za o az o o v a vo o
av av a k v o va z v k
o av o z aˇ a ko go ov o a b ž o
za 22 a b ž o ako a ak
v a o o v z o a
z v o a o a ko o
2
in h ibi v l v niji i j v h v li nih
blik. T l hk pi , k p , blj n ,
n b n . ih i in n v hu
vn k , k j v l p , n p v
ki l i, d l hk vidi n . C d b p -
n k j v k li i, l hk u vi , k p d
v h n . liki j n pik . lik j bil
p n . n v b b . . n-
d j ni l p ni i, li j u n p u k -
l p l ni li i ki . li j l hk d l i
p d ki, ki jih n jd n pl nih n h, n
lj vidu in v id h
li in li ( n n d u )
I l l nij l h , d j i-
u h n . i u j , i i n
u j n p i u, d u i p p i ni i
n , h j h pi . i i n j
p i h du. V h d i j i u .
R un nj i l h p n i , j n p u-
j li n n i. V n dn u Z lj p -
n n j i u n p i li n ,
l h n j u un , d j n l n i
p i Z ljini i n n n. Z lj
j i i u . i i
l j , i i j lj pi n i in , d -
n nin in nin , i j p dn -
nin .
li
un nj up i un lni i p -
p ij C i .
li
li E di p n n nin , i j
p dn nin (n li i n
d ). K , d j li n l d li i
u p . u i, n i i n d . u d -
lj . n , i j p uj n nini, p dni
nin , d h u h u
( l ni i ni n d ni nini) in j
n d l . Z li p i n u l
nini, j j p uj , j (n i) d -
ni nini (n li i l i ) I i , i jih
p i un lni , u i , d p i li n
. Z p i li n n p j p nil udi
h n n d i p i u (i i n
lj idu). T p p ni, d j nd j li p -
G r r r r
s š st st
V s sr s r
r r t r t r s
t s r r
r t
r s N s s
s t r t r f A
r s s t r r t
t s s A
s t s t str
f r ?
s e r e r e
rte At s e e r ere e
t r se ce ◦ A t e t e r
s er e r t se er r r r t c
se ce r t e r t s er e s er
r t t re t ◦
c e s e st s e tre
e e e t c st e e e se e re
e s e t r r c r ◦
t e r r c e s
t r r t e s st te e se
r s e s rt s r ◦ N r š
e r e e e s š r ◦
r r r e re e t r
s r
N est r c r r c š r
r r st rs e etr r D
c s r t r e
re e t rs r s r
r er e e s st e tr
re r c e r s t se ce re
e e c e r re
e t rs r se e r s ce ◦
e e tr t r r r e es
c s e se se c s
r er res e t re š
r r s s et s ? er te
r r c t r
◦ r e se e re t
r še se ce s er r t se er er
e e e e A re s
o e i i i Slo e iji i ajo o e azlič i
o li . e o la o iča e, o a e, zao lje e,
azo ča e. ča i i a o ečo i o a
go e a o a a , o je e e le o, o ce a
a i legi, a la o i i o e co go e. ˇe o o o-
z a o aje o olici, la o go o i o, a a a
e ce. a li i je e ca Š i a. Sli a je ila
o e a 12. o e a 2005 o 15.07. Fo og a -
ej e i ogel o i i, ali je a a a a a a-
zala ole i ali zi i ča . li jo la o oloči o
o a i, i ji aj e o a le i a e , a
ze lje i i e e e i a
Slika 1 i lika 2 ( a z av g )
Iz ka la a Slov ij la ko azb o, a j azi-
v a 21 . zi j ko , ki i a k ak
j o i v , gi k ak a o i ko i i
, v ko a j v Š ika. Pozi iv a j
o i vz o . z o i a o j azi 90 .
aˇ a j i la ko o o avi o, aj o b -
j o v lik a aˇ o i. v lja -
ak a voj i ok og So a za ibliž o 1 ,
za o la ko za kaj aˇ a o, a j aklo ki
ko ža kov o i lji i o i ko a . lja
ok og voj o i zav i v ako o za 15 . a i i o
l go k aj v, ki i ajo z lj i o i i o 46 , vo o-
av o av i o i av i o, ki j vz o a z kva o -
ko av i o.
Slika 3
a o aˇ a ja o abi o aˇ al i ki o-
g a za o o ko g o ijo ab i 3 .
Slika 4
Pali o D za a i o avoko o a av i o, ki j
vz o a z kva o ko av i o ( a liki oba va a
o o). v o, a j lika a ala v ali i
o 12. i, zaˇ o i a i o 12. a-
lj . S a, ki jo o az j o a av i i, vz o i z
kva o ko av i o, v v a za ˇ za 30
(z l i iko ik a o o oba va i av i i) i j v
ˇa ako olga. a koliko a bi a za kala v
av i i, kj jo za o az j o, o j v ( a i) vo o-
av i av i i ( a liki v lo iva) Iz i v, ki ji
o avi o z aˇ al iko , go ovi o, a ibliž o
za 22 . a ibliž o ako a j ak il i
v a o i o i v (iz i o a
z lj vi ). o a o i, a j j liko o-
2
Gore in hribi v Sloveniji imajo vrhove različnih
oblik. Te so lahko špičaste, kopaste, zaobljene,
naz bča e. Včasih imamo srečo in smo na vrhu
gore ravno takrat, ko je vr me lepo, sonce pa v
taki legi, da lahko vidimo senco gore. Če dobro po-
znamo kraje v okolici, lahko ugotovimo, kam da
vrh sence. Na sliki je senca Špika. Slika je bila
posneta 12. novembra 2005 ob 15.07. Fotograf An-
d ej ni mogel spomniti, ali je ur na ap ratu ka-
zala poletni ali zimski čas. Ali jo lahk določimo
s podatki, ki jih najdemo na spletnih str neh, na
emljevidu in v efemeridah?
Slika 1 in slika 2 (ena zraven druge)
Iz rte At as Slovenije lahko razberemo, da je azi-
mut vrha sence 21◦. Azimut je kot, ki ima en krak
usmerjen proti severu, drugi krak pa proti konici
sence, vrh kota je rh Špika. Pozitivna smer je smer
proti vzhodu. Vzhod ima tore azimut 90◦.
Računanje s lahko poenostavimo, s j ne potrebu-
j mo velike natačnosti. V enem dnevu se Z mlja pr -
makne na svojem tiru okr g Sonca za približno 1◦,
zato lahko za nekaj ur računamo, da je naklonski
kot žarkov proti Zemljini osi konstanten. Zemlja se
okrog svoje si zav ti vsako uro za 15◦. Narišimo
leg krajev, ki imajo zemljepisno širino 46◦, vodo-
ravno avnino in ravnino, ki je vzpored a z kvator-
s o ravnino.
Slika 3
Namesto računanja uporabimo računalniški pro-
gram za prostorsko geometrijo Cabri 3D.
Slika 4
P lico ED zasadimo pravokotno na ravnino, ki je
vzporedna z ekvatorsko ravnino (na sliki obarvana
modro). Ker vemo, da je slika nastala dve ali tri
ure po 12. uri, začnemo risati sence od 12. ure da-
lje. S nca, ki jo opazujemo a rav ini, vzporedni z
ekvat rsko ra nin se v dveh urah zasuče za 30◦
(z leni trikotnik na modro obarva i ravnini) in j ves
čas enako dolga. Za koliko pa bi se senca zasukala v
ra nini, jer jo zares opazujemo, torej v (naši) vodo-
ravni ravnini (na sliki svetl siva)? Iz mer tev, ki jih
opravim z račun lnikom, ugotovimo, da približno
za 22◦. Za približno en ko pa se je prem knil tudi
vrh naše sence od smeri prot severu (izm rimo na
zemljevidu). To pa pomeni, da je Andrej sl ko po-
2
presek 38 (2010/2011) 5
11
f i z i k a
slika 3.
Vodoravna in ekvatorska ravnina ter konstrukcija sence na 
ravnino, ki je vzporedna z ekvatorsko ravnino.
slika 4.
Zasuk sence v dveh urah. Rumena črta kaže smer sončnih 
žarkov, črtkana pa smer proti severu.
•
Gore in hribi v Sloveniji imajo vrhove različnih
oblik. Te so lahko špičaste, kopaste, zaobljene,
nazobčane. Včasih imamo srečo in smo na vrhu
gore ravno takrat, ko je vreme lepo, sonce pa v
taki legi, da lahko vidimo senco gore. Če dobro po-
znamo kraje v okolici, lahko ugotovimo, kam pada
vrh sence. Na sliki je senca Špika. Slika je bila
posneta 12. novembra 2005 ob 15.07. Fotograf An-
drej se ni mogel spomniti, ali je ura na aparatu ka-
zala poletni ali zimski čas. Ali jo lahko določimo
s podatki, ki jih najdemo na spletnih straneh, na
zemljevidu in v efemeridah?
Slika 1 in slika 2 (ena zraven druge)
Iz karte Atlasa Slovenije lahko razberemo, da je azi-
mut vrha sence 21◦. Azimut je kot, ki ima en krak
usmerjen proti severu, drugi krak pa proti konici
sence, vrh kota je vrh Špika. Pozitivna smer je smer
proti vzhodu. Vzhod ima torej azimut 90◦.
Računanje si lahko poenostavimo, saj ne potrebu-
jemo velike natačnosti. V enem dnevu se Zemlja pre-
makne na svojem tiru okrog Sonca za približno 1◦,
zato lahko za nekaj ur računamo, da je naklonski
kot žarkov proti Zemljini osi konstanten. Zemlja se
okrog svoje osi zavrti vsako uro za 15◦. Narišimo
lego krajev, ki imajo zemljepisno širino 46◦, vodo-
ravno ravnino in ravnino, ki je vzporedna z ekvator-
sko ravnino.
Slika 3
Namesto računanja uporabimo računalniški pro-
gram za prostorsko geometrijo Cabri 3D.
Slika 4
Palico ED zasadimo pravokotno na ravnino, ki je
vzporedna z ekvatorsko ravnino (na sliki obarvana
modro). Ker vemo, da je slika nastala dve ali tri
ure po 12. uri, začnemo risati sence od 12. ure da-
lje. Senca, ki jo opazujemo na ravnini, vzporedni z
ekvatorsko ravnino, se v dveh urah zasuče za 30◦
(zeleni trikotnik na modro obarvani ravnini) in je ves
čas enako dolga. Za koliko pa bi se senca zasukala v
ravnini, kjer jo zares opazujemo, torej v (naši) vodo-
ravni ravnini (na sliki svetlo siva)? Iz meritev, ki jih
opravimo z računalnikom, ugotovimo, da približno
za 22◦. Za približno enako pa se je premaknil tudi
vrh naše sence od smeri proti severu (izmerimo na
zemljevidu). To pa pomeni, da je Andrej sliko po-
2
Gore in hribi v Sloveniji imajo vrhove različnih
oblik. Te so lahko špičaste, kopaste, zaobljene,
nazobčane. Včasih imamo srečo in smo na vrhu
gore ravno takrat, ko je vreme lepo, sonce pa v
taki legi, da lahko vidimo senco gore. Če dobro po-
znamo kraje v okolici, lahko ugotovimo, kam pada
vrh sence. Na sliki je senca Špika. Slika je bila
posneta 12. novembra 2005 ob 15.07. Fotograf An-
drej se ni mogel spomniti, ali je ura na aparatu ka-
zala poletni ali zimski čas. Ali jo lahko določimo
s podatki, ki jih najdemo na spletnih straneh, na
zemljevidu in v efemeridah?
Slika 1 in slika 2 (ena zraven druge)
Iz karte Atlasa Slovenije lahko razberemo, da je azi-
mut vrha sence 21◦. Azimut je kot, ki ima en krak
usmerje proti s veru, drugi krak pa proti konici
sence, vrh kota je vrh Špika. Pozitivna smer je smer
proti vzhodu. Vzhod ima torej azimut 90◦.
R čunanje si lahko poenostavimo, saj ne potrebu
jemo velike atačnosti. V enem dnevu se Zemlja pre-
makne na sv jem tiru ok o Sonca z pribl žn 1◦,
zato lahko za n kaj ur računamo, da je naklonski
kot žarkov proti Zemljini si konstanten. Zemlja se
okrog svoje osi zavrti vsako uro za 15◦. Narišimo
l go krajev, ki imajo zemlj pisno širino 46◦, vodo
ravno ravnin in ravnino, ki je vzporedna z ekvator-
sko ravnino.
Slika 3
N mesto računanja uporabimo računalniški pro-
gram za prostorsko geometrijo Cabri 3D.
Slika 4
Palico ED zasadimo pravokotno na ravnino, ki je
vzporedna z ekvatorsko ravnino (na sliki obarvana
modro). Ker vemo, da je slika nastala dve ali tri
ure po 12. uri, začnemo risati sence od 12. ure da-
lje. Senca, ki jo opazujemo na ravnini, vzporedni z
ekv torsko ravnino, se v dveh urah zasuče za 30◦
( eleni trikotni na modro obarvani ravnini) in je ves
čas enako dolga. Za koliko pa bi se senca zasukala v
ravnini, kjer jo res opazujemo, torej v (naši) vo o
ravni ravnin (na sliki svetlo siva)? Iz meritev, ki jih
opr vimo z raču alnikom, ugotovimo, da približno
za 22◦. Za pr bližno enak pa se je premak il tudi
vrh naše sence od smeri proti severu (izmerimo na
zemljevidu). To pa pomeni, da je Andrej sliko p
2
Gore in hribi v Sloveniji imajo vrhove različnih
oblik. Te so lahko špičaste, kopaste, zaobljene,
nazobčane. Včasih imamo srečo in smo na vrhu
gore ravno takrat, ko je vreme lepo, sonce pa v
taki legi, da lahko vidimo senco gore. Če dobro po-
znamo kraje v okolici, lahko ugotovimo, kam pada
vrh sence. Na sliki je senca Špika. Slika je bila
posneta 12. novembra 2005 ob 15.07. Fotograf An-
drej se ni mogel spomniti, ali je ura na aparatu ka-
zala poletni ali zimski čas. Ali jo lahko določimo
s podatki, ki jih najdemo na spletnih straneh, na
zemljevidu in v efemeridah?
Slika 1 in slika 2 (ena zraven druge)
Iz karte Atlasa Slovenije lahko razberemo, da je azi-
mut vrha sence 21◦. Azimut je kot, ki ima en krak
usmerjen proti severu, drugi krak pa proti konici
sence, vrh kota je vrh Špika. Pozitivna smer je smer
proti vzhodu. Vzhod ima torej azimut 90◦.
Računanje si lahko poenostavimo, saj ne potrebu-
jemo velike natačnosti. V enem dnevu se Zemlja pre-
makne na svojem tiru okrog Sonca za približno 1◦,
zato lahko za nekaj ur računamo, da je naklonski
kot žarkov proti Zemljini osi konstanten. Zemlja se
okrog svoje osi zavrti vsako uro za 15◦. Narišimo
lego krajev, ki imajo zemljepisno širino 46◦, vodo-
ravno ravnino in ravnino, ki je vzporedna z ekvator-
sko ravnino.
Slika 3
Namesto računanja uporabimo računalniški pro-
gram za prostorsko geometrijo Cabri 3D.
Slika 4
Palico ED zasadimo pravokotno na ravnino, ki je
vzporedna z ekvatorsko ravnino (na sliki obarvana
modro). Ker vemo, da je slika nastala dve ali tri
ure po 12. uri, začnemo risati sence od 12. ure da-
lje. Senca, ki jo opazujemo na ravnini, vzporedni z
ekvatorsko ravnino, se v dveh urah zasuče za 30◦
(zeleni trikotnik na modro obarvani ravnini) in je ves
čas enako dolga. Za koliko pa bi se senca zasukala v
ravnini, kjer jo zares opazujemo, torej v (naši) vodo-
ravni ravnini (na sliki svetlo siva)? Iz meritev, ki jih
opravimo z računalnikom, ugotovimo, da približno
za 22◦. Za približno enako pa se je premaknil tudi
vrh naše sence od smeri proti severu (izmerimo na
zemljevidu). To pa pomeni, da je Andrej sliko po-
2
slika 1.
Senca Špika
 2.
Pogled a Špik
Pr sek 38 (2010/2011) 5
smer sončnih žarkov
vrtilna os
44°
φ=46°
A
1
K
N
E
D
palica
ploskev, vzporedna z ekv. ravnino
ekvatorska avnina
vodoravna ravnina
senca
sever
jug
12
f i z i k a
•
lončka, TEX-ov maskote – levčka, kvadra ter dveh valjev 
in kvadra. Na zadnji sliki so vidne tudi polsence. Svetilo 
je okenska odprtina. Slike so nastale zgodaj zjutraj, ko je 
sonce ravno hotelo pokukati iza strehe hiše, ki jo v daljavi 
vidim skozi okno. Opazujemo jih lahko tudi blizu računalni-
škega monitorja, na kateri je osvetljena bela ploskev. Ven-
dar je fotografiranje takrat težavnejše.
Gore in hribi v Sloveniji imajo vrhove različnih
oblik. Te so lahko špičaste, kopaste, zaobljene,
nazobčane. Včasih imamo srečo in smo na vrhu
gore ravno takrat, ko je vreme lepo, sonce pa v
taki legi, da lahko vidimo senco gore. Če dobro po-
znamo kraje v okolici, lahko ugotovimo, kam pada
vrh sence. Na sliki je senca Špika. Slika je bila
posneta 12. novembra 2005 ob 15.07. Fotograf An-
drej se ni mogel spomniti, ali je ura na aparatu ka-
zala poletni ali zimski čas. Ali jo lahko določimo
s podatki, ki jih najdemo na spletnih straneh, na
zemljevidu in v efemeridah?
Slika 1 in slika 2 (ena zraven druge)
Iz karte Atlasa Slovenije lahko razberemo, da je azi-
mut vrha sence 21◦. Azimut je kot, ki ima en krak
usmerjen proti severu, drugi krak pa proti konici
sence, vrh kota je vrh Špika. Pozitivna smer je smer
proti vzhodu. Vzhod ima torej azimut 90◦.
Računanje si lahko poenostavimo, saj ne potrebu-
jemo velike natačnosti. V enem dnevu se Zemlja pre-
makne na svojem tiru okrog Sonca za približno 1◦,
zato lahko za nekaj ur računamo, da je naklonski
kot žarkov proti Zemljini osi konstanten. Zemlja se
okrog svoje osi zavrti vsako uro za 15◦. Narišimo
lego krajev, ki imajo zemljepisno širino 46◦, vodo-
ravno ravnino in ravnino, ki je vzporedna z ekvator-
sko ravnino.
Slika 3
Namesto računanja uporabimo računalniški pro-
gram za prostorsko geometrijo Cabri 3D.
Slika 4
Palico ED zasadimo pravokotno na ravnino, ki je
vzporedna z ekvatorsko ravnino (na sliki obarvana
modro). Ker vemo, da je slika nastala dve ali tri
ure po 12. uri, začnemo risati sence od 12. ure da-
lje. Senca, ki jo opazujemo na ravnini, vzporedni z
ekvatorsko ravnino, se v dveh urah zasuče za 30◦
(zeleni trikotnik na modro obarvani ravnini) in je ves
čas enako dolga. Za koliko pa bi se senca zasukala v
ravnini, kjer jo zares opazujemo, torej v (naši) vodo-
ravni ravnini (na sliki svetlo siva)? Iz meritev, ki jih
opravimo z računalnikom, ugotovimo, da približno
za 22◦. Za približno enako pa se je premaknil tudi
vrh naše sence od smeri proti severu (izmerimo na
zemljevidu). To pa pomeni, da je Andrej sliko po-
2
snel približno ob 14. uri.
Že, že, boste rekli, ampak palica ni pravokotna na
vodoravno ravnino. Če palico sukamo v ravnini, ki je
na spodnji sliki označena črtkano, ugotovimo, da se
smer sence ne spremeni, torej velja sklep, da se v vo-
doravni ravnini senca v dveh urah po poldnevu pre-
makne za 22◦ tudi za palico, ki je postavljena pravo-
kotno na vodoravno ravnino, spremeni se le dolžina
sence.
Slika 5
Na fotografiji vidimo ob spodnjem robu nekaj zelo
svetlih prog, kar pomeni, da je takrat Sonce ravno
zahajalo za vrhom Špika. Zato lahko ocenimo še na-
klonski kot sončnih žarkov. S pomočjo zemljevida
izmerimo dolžino sence od nožišča vrha do konice
sence. Na zemljevidu je to 8,8 cm, kar je z upošte-
vanjem merila s = 4400 m. Nadmorska višina Gozd
Martuljka je 755 m, višina Špika pa 2472 m. Torej
sta višinska razlika h1 in naklonski kot žarkov proti
vodoravni ravnini:
h1 = 2472 m− 755 m = 1717 m
tanα = h1s =
1717
4400
α ≈ 21◦.
Opoldan tistega dne je bil naklonski kot žarkov okoli
30◦ (poiščemo v efemeridah), ker pa je slika nastala
kasneje, je naklonski kot žarkov seveda manjši.
Ali ima še kakšen vrh trikotno senco?
Ker je Špik ošiljen, je njegova senca trikotna. Ali
imajo lahko različno oblikovani predmeti pri dnevni
svetlobi prav tako trikotne sence? Odgovor je pritr-
dilen. Samo opazovati jih je treba ob pravem času
na pravem mestu. Ni nam treba hoditi daleč, lahko
jih opazujemo kar na mizi ali na tleh ob oknu ali ste-
klenih vratih. Opazujmo sence na vodoravni ravnini
(slika 6).
Slika 6 (roza, levci, kocka, skatle1)
Nastanek takih senc si še razložimo. Iz izkušenj
vemo, da pri zelo razsežnih svetilih in majhnih pred-
metih opazimo sence in polsence.
Slika 7
Najprej opazujemo senco predmeta, ki ima pravo-
kotni presek. Opazimo, da se pri premiku predmeta
vzporedno s svetilom višina trikotne sence ne spre-
minja. To dokažemo s podobnimi trikotniki.
Trikotnik ABS razdelimo na trapez ABRO in tri-
kotnik OSR. Trapez ima višino v trikotnik pa višino
3
snel približno ob 14. uri.
Že, že, boste rekli, ampak palica ni pravokotna na
vodoravno ravnino. Če palico sukamo v ravnini, ki je
na spodnji sliki označena črtkano, ugotovimo, da se
smer sence ne spremeni, torej velja sklep, da se v vo-
doravni ravnini senca v dveh urah po poldnevu pre-
makne za 22◦ tudi za palico, ki je postavljena pravo-
kotno na vodoravno ravnino, spremeni se le dolžina
sence.
Slika 5
Na fotografiji vidimo ob spodnjem robu nekaj zelo
svetlih prog, kar pomeni, da je takrat Sonce ravno
zahajalo za vrhom Špika. Zato lahko ocenimo še na-
klonski kot sončnih žarkov. S pomočjo zemljevida
izmerimo dolžino sence od nožišča vrha do konice
sence. Na zemljevidu je to 8,8 cm, kar je z upošte-
vanjem merila s = 4400 m. Nadmorska višina Gozd
Martuljka je 755 m, višina Špika pa 2472 m. Torej
sta višinska razlika h1 in naklonski kot žarkov proti
vodoravni ravnini:
h1 = 2472 m− 755 m = 1717 m
tanα = h1s =
1717
4400
α ≈ 21◦.
Opoldan tistega dne je bil naklonski kot žarkov okoli
30◦ (poiščemo v efemeridah), ker pa je slika nastala
kasneje, je naklonski kot žarkov seveda manjši.
Ali ima še kakšen vrh trikotno senco?
Ker je Špik ošiljen, je njegova senca trikotna. Ali
imajo lahko različno oblikovani predmeti pri dnevni
svetlobi prav tako trikotne sence? Odgovor je pritr-
dilen. Samo opazovati jih je treba ob pravem času
na pravem mestu. Ni nam treba hoditi daleč, lahko
jih opazujemo kar na mizi ali a leh ob oknu ali ste-
klenih vr tih. Op zujmo sence na v oravni ravnini
(slika 6).
Slika 6 (roz , levci, kocka, skatle1)
Nastanek takih senc si še razložimo. Iz izkušenj
vemo, da pri zelo razsežnih svetilih in majhnih pred-
metih opazimo sence in polsence.
Slika 7
Najprej opazujemo senco predmeta, ki ima pravo-
kotni presek. Opazimo, da se pri premiku predmeta
vzporedno s svetilom višina trikotne sence ne spre-
minja. To dokažemo s podobnimi trikotniki.
Trikotnik ABS razdelimo na trapez ABRO in tri-
kotnik OSR. Trapez ima višino v trikotnik pa višino
3
snel približno ob 14. uri.
Že, že, boste rekli, ampak palica ni pravokotna na
vodoravno ravnino. Če palico sukamo v ravnini, ki je
na spodnji sliki označena črtkano, ugotovimo, da se
smer sence ne spremeni, torej velja sklep, da se v vo-
doravn rav ini senca v dveh urah po poldnevu pre-
makne za 22◦ tudi za palico, ki je postavljena pr vo-
k tno na vodoravno ravnino, pre eni se le dolž na
sence.
Slika 5
Na fotografiji vidimo ob spodnjem robu nekaj zelo
svetlih prog, kar pomeni, da je takrat Sonce ravno
zah jalo za vrhom Špika. Zato lahko ocenimo še na-
klonski kot sončnih žarkov. S pomočjo zemljevida
izmerimo dolžino sence od nožišča vrha do konice
sence. Na zemljevidu je to 8,8 cm, kar je z upošte-
vanjem merila s = 4400 m. Nadmorska višina Gozd
Martuljka je 755 m, višina Špik pa 2472 . Torej
sta višinska razlika h1 in naklonski kot žarkov proti
vodo avni ravn i:
h1 = 2472 m− 755 m = 1717
tanα = h1s =
1717
4400
α ≈ 21◦.
Opoldan tistega dne je bil naklonski kot žarkov okoli
30◦ (poiščemo v efemeridah), ker pa je slika nastala
kasneje, je naklonski kot žarkov seveda manjši.
Ali ima še kakšen vrh trikotno senco?
Ker je Špik ošilj n, j njegova senca trikotna. Ali
imajo lahko različno oblikovani predmeti pri dnevni
svetlobi prav tako trikotne sence? Odgovor je pritr-
dilen. Samo opazovati jih je treba ob pravem času
na pravem mestu. Ni nam treba hoditi daleč, lahko
jih opazujemo kar na mizi ali na tleh ob o nu li ste-
klenih vratih. Opazujmo sence na vodoravni ravni
(slika 6).
Sli a 6 (roz , levci, kocka, skatl 1)
Na tanek takih senc si še r zl žimo. Iz izkuše j
vemo, da pri zelo razsežnih svetilih in majhnih pr d
metih pa imo s nce in polsenc
Slika 7
Najprej opazujemo senco predmeta, ki ima pravo-
kotni presek. Opazimo, da se pri premiku predmeta
vzporedno s svetilom višina trikotne sence ne spre-
minja. To dokažemo s podobnimi trikotniki.
Trikotnik ABS razdelimo na trapez ABRO in tri-
kotnik OSR. Trapez ima višino v trikotnik p višino
3
snel približno ob 14. uri.
Že, že, bo te rekli, ampak palica ni pravokotna n
vodo avno ravnino. Če palico sukamo v ravnini, ki j
na spodnji sliki označena črtkano, ugotovimo, da se
smer senc ne spremeni, torej velja sklep, da se v vo-
doravni ravnini senca v dveh ur h po poldnevu p -
m kne za 22◦ tudi za palico, ki je postavljena pravo-
k tno na vodoravno ravnino, spremeni se le dolžina
sence.
Slika 5
Na fotografiji vidimo ob spodnjem robu nekaj zelo
svetlih prog, kar pomeni, da je takrat Sonce ravno
zahajalo za vrhom Špika. Zato lahko ocenimo še na-
klonski kot sončnih žarkov. S pomočjo zemljevida
izmerimo dolžino sence od nožišča vrha do konice
sence. Na zemljevidu je to 8,8 cm, kar je z upošte-
vanjem merila s = 4400 m. Nadmorska višina Gozd
Martuljka je 755 m, višina Špika pa 2472 m. Torej
sta višinska razlika h1 in naklonski kot žarkov proti
vodoravni ravnini:
h1 = 2472 m− 755 m = 1717 m
tanα = h1s =
1717
4400
α ≈ 21◦.
Opoldan tistega dne je bil naklonski kot žarkov okoli
30◦ (poiščemo v efemeridah), ker pa je slika nastala
kasneje, je naklonski kot žarkov seveda manjši.
Ali ima še kakšen vrh triko no senco?
Ker je Špik ošiljen, je njegova senca trikotna. Ali
imajo lahko različno oblikovani predmeti pri dnevni
svetlobi prav tako trikotne sence? Odgovor je pritr-
dilen. Samo opazovati jih je treba ob pravem času
na pravem mestu. Ni nam treba hoditi daleč, lahko
jih opazujemo kar na mizi ali na tleh ob oknu ali ste
le ih vratih. ujmo sence na vodoravni ravnini
(slika 6).
Slika 6 (roza, levci, kocka, skatle1)
Nastanek takih senc si še razložimo. Iz izkušenj
vemo, da pri zelo razsežnih svetilih in majhnih pred-
metih opazimo sence in polsence.
Slika 7
Najprej opazujemo senco predmeta, ki ima pravo-
kotni presek. Opazimo, da se pri premiku predmeta
vzporedno s svetilom višina trikotne sence ne spre-
minja. To dokažemo s podobnimi trikotniki.
Trikotnik ABS razdelimo na trapez ABRO in tri-
kotnik OSR. Trapez ima višino v trikotnik pa višino
3
snel približno ob 14. uri.
Že, že, boste rekli, ampak palica ni pravokotna na
vodoravno ravnino. Če palico sukamo v ravnini, ki je
na spodnji sliki označena črtkano, ugotovimo, da se
smer sence ne spremeni, torej velja sklep, da se v vo-
doravni ravnini senca v dveh urah po poldnevu pre-
makne za 22◦ tudi za palico, ki je postavljena pravo-
kotno na vodoravno ravnino, spremeni se le dolžina
sence.
Slika 5
Na fotografiji vidi o ob spodnjem robu nekaj zelo
svetlih prog, kar pomeni, da je takrat Sonce ravno
zahajalo za vrhom Špika. Zato lahko ocenimo še na-
klonski kot sončnih žarkov. S pomočjo zemljevida
izmerimo dolžino sence od nožišča vrha do konice
sence. Na zemljevidu je to 8,8 cm, kar je z upošte-
vanjem merila s = 4400 m. Nadmorska višina Gozd
Martuljka je 755 m, viši a Špika pa 2472 m. Torej
sta višinska razlika h1 in naklonski kot žarkov proti
vodoravni ravnini:
h1 = 2472 m− 755 = 1717 m
tanα = h1s =
1717
4400
α ≈ 21◦.
Opoldan tistega dne je bil naklonski kot žarkov okoli
30◦ (poiščemo v efemeridah), ker pa je slika nastala
kasneje, je naklonski kot žarkov seveda manjši.
Ali ima še kakšen vrh trikotno senco?
Ker je Špik ošiljen, je njegova senca trikotna. Ali
imajo lahko različno oblikovani predmeti pri dnevni
svetlobi prav tako trikotne sence? Odgovor je pritr-
dilen. Samo opazovati jih je treba ob pravem času
na pravem mestu. Ni nam treba hoditi daleč, lahko
jih opazujemo kar na mizi ali na tleh ob oknu ali ste-
klenih vratih. Opazujmo sence na vodoravni ravnini
(slika 6).
Slika 6 (roza, levci, kocka, skatle1)
Nastanek takih senc si še razložimo. Iz izkušenj
vemo, da pri zelo razsežnih svetilih in majhnih pred-
metih opazimo sence in polsence.
Slika 7
Najprej opazujemo senco predmeta, ki ima pravo-
kotni presek. Opazimo, da se pri premiku predmeta
vzporedno s svetilom višina trikotne sence ne spre-
minja. To dokažemo s podobnimi trikotniki.
Trikotnik ABS razdelimo na trapez ABRO in tri-
kotnik OSR. Trapez ima višino v trikotnik pa višino
3
s el ri li . ri.
e, e, ste re li, lic i r t
r r i . e lic s r i i, i je
s ji sli i ce crt , t i , se
s er se ce e s re e i, t rej elj s le , se -
r i r i i se c e r l e re-
e ◦ t i lic , i je st lje r -
t r r i , s re e i se le l i
se ce.
li
f t r ji i i s je r e j e
s etli r , r e i, je t r t ce r
j l r i . t l ce i še -
l s i t s c i r . cj e lje i
i eri l i se ce išc r ice
se ce. e lje i je t , c , r je šte-
e eril s . rs iši
rt lj je , iši i . rej
st iši s r li 1 i l s i t r r ti
r i r i i:
1
t h1s
◦.
l tiste e je il l s i t r li
◦ ( išce efe eri ), er je sli st l
s eje, je l s i t r se e jši.
li i r tri t ?
er je i šilje , je je se c tri t . li
i j l r lic li i re eti ri e i
s etl i r t tri t e se ce? r je ritr-
ile . ti ji je tre r e c s
r e est . i tre iti lec, l
ji je r i i li tle li ste-
le i r ti . j se ce r i r i i
(sli ).
li (r , le ci, c , s tle )
st e t i se c si še r l i . I i še j
e , ri el r se i s etili i j i re -
eti i se ce i lse ce.
li
j rej je se c re et , i i r -
t i rese . i , se ri re i re et
re s s etil iši tri t e se ce e s re-
i j . e s i i tri t i i.
ri t i r eli tr e i tri-
t i . r e i iši tri t i iši
snel približno ob 14. uri.
Že, že, boste rekli, ampak palica ni pravokotna na
vodoravno ravnino. Če palico sukamo v ravnini, ki je
na spodnji sliki označena črtkano, ugotovimo, da se
smer sence ne spremeni, torej velja sklep, da se v vo-
doravni ravnini senca v dveh urah po poldnevu pre-
makne za 22◦ tudi za palico, ki je postavljena pravo-
kotno na vodoravno ravnino, spremeni se le dolžina
sence.
Slika 5
Na fotografiji vidimo ob spodnjem robu nekaj zelo
svetlih prog, kar pomeni, da je takrat Sonce ravno
zahajalo za vrhom Špika. Zato lahko ocenimo še na-
klonski kot sončnih žarkov. S pomočjo zemljevida
izmerimo dolžino sence od nožišča vrha do konice
ence. Na zemljevidu je to 8,8 cm, kar je z upošte-
vanjem merila s = 4400 m. N dmorska višina Gozd
Martuljka je 755 m, višina Špika pa 2472 m. Torej
sta višinska razlika h1 i naklo ski kot žark v proti
vodorav i ravnini:
h1 = 247 m− 755 m = 1717 m
tanα = h1s =
1717
4400
α ≈ 21◦.
Opoldan tistega dne je bil naklonski kot žarkov okoli
30◦ (poiščemo v efemeridah), ker pa je slika nastala
kasneje, je naklonski kot žarkov seveda manjši.
Ali ima še kakšen vrh trikotno senco?
Ker je Špik ošiljen, je njegova senca trikotna. Ali
imajo lahko različno oblikovani predmeti pri dnevni
svetlobi prav tako trikotne sence? Odgovor je pritr-
dilen. Samo opazovati jih je treba ob pravem času
na pravem mestu. Ni nam treba hoditi daleč, lahko
jih opazujemo kar na mizi ali na tleh ob oknu ali ste-
klenih vratih. Opazujmo sence na vodoravni ravnini
(slika 6).
Slika 6 (roza, levci, kocka, skatle1)
Nastanek takih senc si še razložimo. Iz izkušenj
vemo, da pri zelo razs žnih svetilih in majhnih pred-
metih opazimo sence in polsence.
Slika 7
Najprej opazujemo se co predmeta, ki ima pravo
kotni pres k. Opazimo, da s pri premiku predmeta
vzporedno s svetilom višina trikotne sence ne spre-
minja. To dokažemo s podobnimi triko niki.
Trikotnik ABS razdelim na trapez ABRO i tri-
kotnik OSR. Trapez ma višino v trikotnik pa višino
3
slika 5.
Projekcija senc na 
vodoravno ravnino lika 6.
Trikotne sence cvetličnega 
      
presek 38 (2010/2011) 5
13
f i z i k a
v1. Označimo razdaljo AB = a stranica pravoko-
tnika RO = b Iz podobnosti sledi:
a
v + v1
= b
v1
v1 =
bv
a− b .
Oglejmo si še drugi trikotnik ABH. Trapez ABGF
ima tudi višino v (stranici na isti vzporednici). Triko-
tnik FGH ima višino v2. Tako kot prej iz podobnih
trikotnikov dobimo:
a
v + v2
= b
v2
v2 =
bv
a− b .
Dokazali smo torej, da sta višini trikotniških senc
enaki.
Zdaj pa poglejmo še, kaj se zgodi s sencami, če
spreminjamo razdaljo med predmetom in svetilom.
Tokrat bomo opazovali predmet z okroglim prese-
kom.
Slika 8
Vidimo, da je višina trikotne sence odvisna od raz-
dalje med predmetom in svetilom, njegove osnovne
ploskve in od razsežnosti svetila.
Omenjali smo samo preseke predmetov. Kaj pa
njihove višine?
Slika 9
Na sliki 9, kjer sta senci dveh različno visokih va-
ljev, opazimo, da sta trikotni senci enako veliki. Ko
pade na predmet direktna sončna svetloba, pa sence
niso več trikotne. (Mejni primer lahko bralci opazu-
jejo sami.) Sončni žarki so med seboj vzporedni in
dobimo pri kvadru paralelogramsko senco, prav tako
tudi pri valju. Ostali predmeti imajo sence različnih
oblik, njihova dolžina pa je odvisna od naklonskega
kota sončnih žarkov in od velikosti predmeta.
Ob primernih pogojih so torej sence gora ne glede
na njihovo obliko trikotne. Nekaj takih slik lahko
najdete tudi na svetovnem spletu.
4
snel približno ob 14. uri.
Že, že, boste rekli, ampak palica ni pravokotna na
vodoravno ravnino. Če palico sukamo v ravnini, ki je
na spodnji sliki označena črtkano, ugotovimo, da se
smer sence ne spremeni, torej velja sklep, da se v vo-
doravni ravnini senca v dveh urah po poldnevu pre-
makne za 22◦ tudi za palico, ki je postavljena pravo-
kotno na vodoravno ravnino, spremeni se le dolžina
sence.
Slika 5
Na fotografiji vidimo ob spodnjem robu nekaj zelo
svetlih prog, kar pomeni, da je takrat Sonce ravno
zahajalo za vrhom Špika. Zato lahko ocenimo še na-
klonski kot sončnih žarkov. S pomočjo zemljevida
izmerimo dolžino sence od nožišča vrha do konice
sence. Na zemljevidu je to 8,8 cm, kar je z upošte-
vanjem merila s = 4400 m. Nadmorska višina Gozd
Martuljka je 755 m, višina Špika pa 2472 m. Torej
sta višinska razlika h1 in naklonski kot žarkov proti
vodoravni ravnini:
h1 = 2472 m− 755 m = 1717 m
tanα = h1s =
1717
4400
α ≈ 21◦.
Opoldan tistega dne je bil naklonski kot žarkov okoli
30◦ (poiščemo v efemeridah), ker pa je slika nastala
kasneje, je naklonski kot žarkov seveda manjši.
Ali ima še kakšen vrh trikotno senco?
Ker je Špik ošiljen, je njegova senca trikotna. Ali
imajo lahko različno oblikovani predmeti pri dnevni
svetlobi prav tako trikotne sence? Odgovor je pritr-
dilen. Samo opazovati jih je treba ob pravem času
na pravem mestu. Ni nam treba hoditi daleč, lahko
jih opazujemo kar na mizi ali na tleh ob oknu ali ste-
klenih vratih. Opazujmo sence na vodoravni ravnini
(slika 6).
Slika 6 (roza, levci, kocka, skatle1)
Nastanek takih senc si še razložimo. Iz izkušenj
vemo, da pri zelo razsežnih svetilih in majhnih pred-
metih opazimo sence in polsence.
Slika 7
Najprej opazujemo senco predmeta, ki ima pravo-
kotni presek. Opazimo, da se pri premiku predmeta
vzporedno s svetilom višina trikotne sence ne spre-
minja. To dokažemo s podobnimi trikotniki.
Trikotnik ABS razdelimo na trapez ABRO in tri-
kotnik OSR. Trapez ima višino v trikotnik pa višino
3
v1. Označimo razdaljo AB = a stranica pravoko-
tnika RO = b Iz podobnosti sledi:
a
v + v1
= b
v1
v1 =
bv
a− b .
Oglejmo si še drugi trikotnik ABH. Trapez ABGF
ima tudi višino v (stranici na isti vzporednici). Triko-
tnik FGH ima višino v2. Tako kot prej iz podobnih
trikotnikov dobimo:
a
v + v2
= b
v2
v2 =
bv
a− b .
Dokazali smo torej, da sta višini trikotniških senc
enaki.
Zdaj pa poglejmo še, kaj se zgodi s sencami, če
spreminjamo razdaljo med predmetom in svetilom.
Tokrat bomo opazovali predmet z okroglim prese-
kom.
Slika 8
Vidimo, da je višina trikotne sence odvisna od raz-
dalje med predmetom in svetilom, njegove osnovne
ploskve in od razsežnosti svetila.
Omenjali smo samo preseke predmetov. Kaj pa
njihove višine?
Slika 9
Na sliki 9, kjer sta senci dveh različno visokih va-
ljev, opazimo, da sta trikotni senci enako veliki. Ko
pade na predmet direktna sončna svetloba, pa sence
niso več trikotne. (Mejni primer lahko bralci opazu-
jejo sami.) Sončni žarki so med seboj vzporedni in
dobimo pri kvadru paralelogramsko senco, prav tako
tudi pri valju. Ostali predmeti imajo sence različnih
oblik, njihova dolžina pa je odvisna od naklonskega
kota sončnih žarkov in od velikosti predmeta.
Ob primernih pogojih so torej sence gora ne glede
na njihovo obliko trikotne. Nekaj takih slik lahko
najdete tudi na svetovnem spletu.
4
v1. Označimo razdaljo AB = a stranica pravoko-
tnika RO = b Iz podobnosti sledi:
a
v + v1
= b
v1
v1 =
bv
a− b .
Oglejmo si še drugi trikotnik ABH. Trapez ABGF
ima tudi višino v (stranici na isti vzporednici). Triko-
tnik FGH ima višino v2. Tako kot prej iz podobnih
trikotnikov dobimo:
a
v + v2
= b
v2
v2 =
bv
a− b .
Dokazali smo torej, da sta višini trikotniških senc
enaki.
Zdaj pa poglejmo še, kaj se zgodi s sencami, če
spreminjamo razdaljo med predmetom in svetilom.
Tokrat bomo opazovali predmet z okroglim prese-
kom.
Slika 8
Vidimo, da je višina trikotne sence odvisna od raz-
dalje med predmetom in svetilom, njegove osnovne
ploskve in od razsežnosti svetila.
Omenjali smo samo preseke predmetov. Kaj pa
njihove višine?
Slika 9
Na sliki 9, kjer sta senci dveh različno visokih va-
ljev, opazimo, da sta trikotni senci enako veliki. Ko
pade na predmet direktna sončna svetloba, pa sence
niso več trikotne. (Mejni primer lahko bralci opazu-
jejo sami.) Sončni žarki so med seboj vzporedni in
dobimo pri kvadru paralelogramsko senco, prav tako
tudi pri valju. Ostali predmeti imajo sence različnih
oblik, njihova dolžina pa je odvisna od naklonskega
kota sončnih žarkov in od velikosti predmeta.
Ob primernih pogojih so torej sence gora ne glede
na njihovo obliko trikotne. Nekaj takih slik lahko
najdete tudi na svetovnem spletu.
4
v1. Označimo razdaljo AB = a stranica pravoko-
tnika RO = b Iz podobnosti sledi:
a
v + v1
= b
v1
v1 =
bv
a− b .
Oglejmo si še drugi trikotnik ABH. Trapez ABGF
ima tudi višino v (stranici na isti vzporednici). Triko-
tnik FGH ima višino v2. Tako kot prej iz podobnih
tri otnikov dobimo:
a
v + v2
= b
v2
v2 =
bv
a− b .
Dokazali s o torej, da sta viši i trikotniških senc
enaki.
Zdaj pa p gl jmo še, kaj s zgodi s sencami, če
spreminjamo razdaljo med pr met m in sv tilom.
T krat bomo opazovali predmet z okroglim prese-
kom.
Slika 8
Vidimo, da je višina trikotne sence odvisna od raz-
dalje med predmetom in svetilom, njegove osnovne
ploskve in od razsežnosti svetila.
Omenjali smo samo preseke predmetov. Kaj pa
njihove višine?
Slika 9
Na sliki 9, kjer sta senci dveh različno visokih va-
ljev, opazimo, da sta trikotni senci enako veliki. Ko
pade na predmet direktna sončna svetloba, pa sence
niso več trikotne. (Mejni primer lahko bralci opazu-
jejo sami.) Sončni žarki so med seboj vzporedni in
dobimo pri kvadru paralelogramsko senco, prav tako
tudi pri valju. Ostali predmeti imajo sence različnih
oblik, njihova dolžina pa je odvisna od naklonskega
kota sončnih žarkov in od velikosti predmeta.
Ob primernih pogojih so torej sence gora ne glede
na njihovo obliko trikotne. Nekaj takih slik lahko
najdete tudi na svetovnem spletu.
4
v1. Označimo razdaljo AB = a stranica pravoko-
tnika RO = b Iz podobnosti sledi:
a
v + v1
= b
v1
v1 =
bv
a− b .
glejmo si še drugi trikotnik ABH. Trapez ABGF
ima tudi višino v (stranici na isti vzporednici). Triko-
tnik FGH ima višino v2. Tako kot prej iz podobnih
trikotnikov dobimo:
a
v + v2
= b
v2
v2 =
bv
a− b .
Dokazali s o torej, da sta viši i trikotniških senc
enaki.
Zdaj pa p gl jmo še, kaj s zgodi s sencami, če
spreminjamo razdaljo med pr met m in sv tilom.
T krat bomo opazovali predmet z okroglim prese-
kom.
Slika 8
Vidimo, da je višina trikotne sence odvisna od raz-
dalje med predmetom in svetilom, njegove osnovne
ploskve in od razsežnosti svetila.
Omenjali smo samo preseke predmetov. Kaj pa
njihove višine?
Slika 9
Na sliki 9, kjer sta senci dveh različno visokih va-
ljev, opazimo, da sta trikotni senci enako veliki. Ko
pade na predmet direktna sončna svetloba, pa sence
niso več trikotne. (Mejni primer lahko bralci opazu-
jejo sami.) Sončni žarki so med seboj vzporedni in
dobimo pri kvadru paralelogramsko senco, prav tako
tudi pri valju. Ostali predmeti imajo sence različnih
oblik, njihova dolžina pa je odvisna od naklonskega
kota sončnih žarkov in od velikosti predmeta.
Ob primernih pogojih so torej sence gora ne glede
na njihovo obliko trikotne. Nekaj takih slik lahko
najdete tudi na svetovnem spletu.
4
v1. Označimo razdaljo AB = a stranica pravoko-
tnika RO = b Iz podobnosti sledi:
a
v + v1
= b
v1
v1 =
bv
a− b .
Oglejmo si še drugi trikotnik ABH. Trapez ABGF
ima tudi višino v (stranici na isti vzporednici). Triko-
tnik FGH ima višino v2. Tako kot prej iz podobnih
trikotnikov dobimo:
a
v + v2
= b
v2
v2 =
bv
a− b .
Dokazali s o torej, da sta viši i trikotniških senc
enaki.
Zdaj pa p gl jmo še, kaj s zgodi s sencami, če
spreminjamo razdaljo med pr met m in sv tilom.
T krat bomo opazovali predmet z okroglim prese-
kom.
Slika 8
Vidimo, da je višina trikotne sence odvisna od raz-
dalje med predmetom in svetilom, njegove osnovne
ploskve in od razsežnosti svetila.
Omenjali smo samo preseke predmetov. Kaj pa
njihove višine?
Slika 9
Na sliki 9, kjer sta senci dveh različno visokih va-
ljev, opazimo, da sta trikotni senci enako veliki. Ko
pade na predmet direktna sončna svetloba, pa sence
niso več trikotne. (Mejni primer lahko bralci opazu-
jejo sami.) Sončni žarki so med seboj vzporedni in
dobimo pri kvadru paralelogramsko senco, prav tako
tudi pri valju. Ostali predmeti imajo sence različnih
oblik, njihova dolžina pa je odvisna od naklonskega
kota sončnih žarkov in od velikosti predmeta.
Ob primernih pogojih so torej sence gora ne glede
na njihovo obliko trikotne. Nekaj takih slik lahko
najdete tudi na svetovnem spletu.
4
v1. Ozn čimo razdaljo AB = a s ranica pravoko-
tni a RO = b Iz podobnosti sledi:
a
v + v1
= b
v1
v1 =
bv
a− b .
Oglejmo si še drugi trikotnik ABH. Trapez ABGF
ima tudi višino v (stranici na isti vzporednici). Triko-
tnik FGH ima višino v2. Tako kot prej iz podobnih
trikotnikov dobimo:
a
v + v2
= b
v2
v2 =
bv
a− b .
Do azali s o torej, da st višini trikotniških senc
enaki.
Zd j pa poglejmo še, kaj se zgodi s sencami, če
spreminjamo razdaljo med predmetom in svetilom.
Tokrat bomo opazovali predmet z okr glim prese-
k m.
Slika 8
Vidimo, da je viši trikotne se ce odvisna od raz-
dalje med predmetom in s til m, nj gov osnovne
p oskve in od razsežnosti svetila.
Omenjali smo samo pr seke predmetov. K j pa
jihov višine?
S ika 9
Na sliki 9, kjer sta senci dveh različno visokih va-
ljev, opazimo, da sta trikotni senci enako veliki. Ko
pade na predmet direktna sončna svetloba, pa sence
niso več trikotne. (Mejni primer lahko bralci opazu-
jejo sami.) Sončni žarki so med seboj vzporedni in
dobimo pri kvad u paralelogramsko se co, prav tako
tudi pri valju. Ostali p edmeti imajo sence razl čnih
oblik, njihova dolž na pa je odvisna od n klon kega
kota sončnih žarkov in od velikosti predmeta.
Ob primernih pogojih s torej sence gora n glede
na njihovo obliko trikotne. Nekaj takih slik lah
najdete tudi na svetovn m spletu.
4
slika 7.
Razsežno svetilo je ponazorjeno z daljico AB. Senci predme-
tov s pravokotnima presekoma sta obarvani tako, kot sta 
obarvana predmeta. S siv  barvo je označena še polsenca 
zeleno obarvanega predmeta. Če predmete pomikamo po 
vzporednici s svetilom, se onice trikotnih senc prav t ko 
premikajo po vzpor dnici s svetilom.
slika 8.
Senca predmeta z okroglim presekom, ki ga približujemo 
svetilu. Višina trikotne sence se krajša, krajšala bi se tudi, če 
bi povečali razsežnost svetila (dolžino daljice AB). To lahko 
bralci dokažejo sami.
slika 9.
Senci dveh valjev z enakim presekom a različnih višin. Tri-
kotni senci sta enako veliki. Na sosednji sliki sta prikazana 
oba valja skupaj. Senca je še vedno trikotna, čeprav sta višini 
valjev različni.
Presek 38 (2010/2011) 5
A
B
B
A
D
P
N O
svetilo
F
E G
H
S
R
M
N
14
f i z i k a
slika 2. 
„Za kratko pojasnilo sem narisal kost, katere naravno dolžino 
sem trikrat podaljšal in katere debelino sem povečal, dokler 
ni izpolnila enake naloge kot manjša kost v majhni živali. Po 
narisani velikosti lahko vidite, kako nesorazmerna se zdi večja
kost. Jasno, če želite, da bi velik velikan imel okončino v ena-
kem razmerju kot običajno velik človek, morate najti trdnejši in 
močnejši material za kosti ali pa se sprijazniti z manjšo močjo
v primerjavi s človekom običajne zgradbe. Velikan bi padel in 
se zrušil zaradi lastne teže, če bi neobičajno povečali njego-
vo višino. Če pa pomanjšamo velikost telesa, se moč telesa ne 
zmanjša v enakem razmerju, zares, čim manjše je telo, tem 
večja je relativna moč.“
Presek je poročal o „drugi znanosti“ Galilea Gali-
leija iz njegove knjige Razprave in matematični do-
kazi o dveh novih znanostih. Danes bi „drugi znano-
sti“ rekli kinematika enakomernega in enakomerno
pospešenega premega gibanja ter vodoravnega
meta. Kaj pa je bila Galilejeva „prva znanost“? Če-
prav Galilei po njej ni tako znan kot po drugi, je
dovolj zanimiva. V glavnem zadeva trdnost teles.
Ker še ni imel izdelanih pojmov sile in navora, ne-
kateri njegovi sklepi niso obveljali (slika 1). Morda
zaradi tega „prve znanosti“ ne omenjamo tako po-
gosto kot „drugo znanost“. Ob raziskovanju trdno-
sti je Galilei prišel do pomembnega sklepa, ki ga
kaže omeniti.
Na začetku „prve znanosti“ na obisku v beneškem
notranjem pristanišču trije možje razpravljajo o tem,
da je treba pri gradnji velikih ladij uporabiti neso-
razmerno močnejše opornike in odre kot pri gradnji
majhnih. Postavijo si vprašanje, ali bi se velika ladja
lahko zrušila pod lastno težo. Enemu od njih se
zdi vprašanje povsem odveč: „Ker je mehanika osno-
vana na geometriji, v kateri sama velikost ne ustvari
oblike, ne uvidim, zakaj bi se lastnosti [. . . ] valjev,
stožcev in drugih trdnih teles spremenile z veliko-
stjo. Če bi torej naredili velik stroj tako, da bi bili
njegovi deli v enakem medsebojnem razmerju kot v
manjšem, [. . . ] ne uvidim, zakaj tudi večji ne bi pre-
stal katerega koli resnega [. . . ] preizkusa, ki bi ga
prestal manjši.“
Slika 1
Tako je bilo tudi mnenje mladega Galileja. Na za-
četku poklicne poti je pozimi 1587/88 imel v Firen-
cah dve javni predavanji. Pri tem je obravnaval na-
črt in velikost pekla iz Dantejeve Božanske komedije.
Tedaj ni bilo nenavadno resno razpravljati o pesni-
škem predmetu. V razpravi se je oprl na geometrijo
in sorazmerja. Primerjal je dva načrta. Enega si je
izmislil meščan Firenc, drugega mož iz mesta Lucca,
ki je tekmovalo s Firencami. Galilei se je odločil za
prvi načrt in je odklonil drugega. S tem si je pridobil
naklonjenost poslušalcev. Predavanji sta mu zgladili
pot do mesta profesorja na univerzi v Pisi leta 1589.
Slika 2
V enem od predavanj je izračunal debelino peklen-
skega stropa. Privzel je, da sta debelina stropa in
njegov razpon v enakem razmerju kot debelina in
razpon stropa firenške katedrale. Za debelino pe-
2
•
janez strnad
Galilei in 
sprememba 
merila 
Presek je poročal o „drugi znanosti“ Galilea Gali-
leija iz njegove knjige Razprave in matematični do-
kazi o dveh novih znanostih. Danes bi „drugi znano-
sti“ rekli kinematika enakomernega in enakomerno
pospešenega premega gibanja ter vodoravnega
meta. Kaj pa je bila Galilejeva „prva znanost“? Če-
prav Galilei po njej ni tako znan kot po drugi, je
dovolj zanimiva. V glavnem zadeva trdnost teles.
Ker še ni imel izdelanih pojmov sile in navora, ne-
kateri njegovi sklepi niso obveljali (slika 1). Morda
zaradi tega „prve znanosti“ ne omenjamo tako po-
gosto t „drug zna ost“. Ob raziskovanju trdno-
sti je Galilei prišel do pomembnega sklepa, ki ga
k že omeniti.
Na z četk „prve z anosti“ na obisku v beneškem
n tranje p stanišču trije možje razpravlja o o tem,
da je treba pri gradnji velikih ladij uporabiti neso-
razmerno močnejše opornike in odre kot pri gradnji
majh ih. Postavijo si vprašanje, ali bi velika ladja
lahko zrušila pod lastno težo. Enemu od njih se
zdi vpraš nje povsem odveč: „Ker je mehanika osno-
vana na geometriji, v kateri sama velikost ne ustvari
oblike, ne uvidim, zakaj bi se lastnosti [. . . ] valjev,
stožcev in drugih trdnih teles spremenile z veliko-
stjo. Če bi torej naredili velik stroj tako, da bi bili
njegovi deli v enakem medsebojnem razmerju kot v
manjšem, [. . . ] ne uvidim, zakaj tudi večji ne bi pre-
stal katerega koli resnega [. . . ] preizkusa, ki bi ga
prestal manjši.“
Slika 1
Tako je bilo tudi mnenje mladega Galileja. Na za-
četku poklicne poti je pozimi 1587/88 imel v Firen-
cah dve javni predavanji. Pri tem je obravnaval na-
črt in velikost pekla iz Dantejeve Božanske komedije.
Tedaj ni bilo nenavadno resno razpravljati o pesni-
škem predmetu. V razpravi se je oprl na geometrijo
in sorazmerja. Primerjal je dva načrta. Enega si je
izmislil meščan Firenc, drugega mož iz mesta Lucca,
ki je tekmovalo s Firencami. Galilei se je odločil za
prvi načrt in je odklonil drugega. S tem si je pridobil
naklonjenost poslušalcev. Predavanji sta mu zgladili
pot do mesta profesorja na univerzi v Pisi leta 1589.
Slika 2
V enem od predavanj je izračunal debelino peklen-
skega stropa. Privzel je, da sta debelina stropa in
njegov razpon v enakem razmerju kot debelina in
razpon stropa firenške katedrale. Za debelino pe-
2
Presek je poročal o „drugi znanosti“ Galilea Gali-
leija iz njegove knjige Razprave in matematični do-
kazi o dveh novih znanostih. Danes bi „drugi znano-
sti“ rekli kinematika enakomernega in enakomerno
pospešenega premega gibanja ter vodoravnega
meta. Kaj pa je bila Galilejeva „prva znanost“? Če-
prav Galilei po njej ni tako znan kot po drugi, je
dovolj zanimiva. V glavnem zadeva trdnost teles.
Ker še ni imel izdelanih pojmov sile in navora, ne-
kateri njegovi sklepi niso obveljali (slika 1). Morda
zaradi tega „prve znanosti“ ne omenjamo tako po-
gosto kot „drugo znanost“. Ob raziskovanju trdno-
sti je Galilei prišel do pomembnega sklepa, ki ga
kaže omeniti.
Na začetku „prve znanosti“ na obisku v beneškem
notranjem pristanišču trije možje razpravljajo o tem,
da je treba pri gradnji velikih ladij uporabiti neso-
razmerno močnejše opornike in odre kot pri gradnji
majhnih. Postavijo si vprašanje, ali bi se velika ladja
lahko zrušila pod lastno težo. Enemu od njih se
zdi vprašanje povsem odveč: „Ker je mehanika osno-
vana na geometriji, v kateri sama velikost ne ustvari
oblike, ne uvidim, zakaj bi se lastnosti [. . . ] valjev,
stožcev in drugih trdnih teles spremenile z veliko-
stjo. Če bi torej naredili velik stroj tako, da bi bili
njegovi deli v enakem medsebojnem razmerju kot v
manjšem, [. . . ] ne uvidim, zakaj tudi večji ne bi pre-
stal katerega koli resnega [. . . ] preizkusa, ki bi ga
prestal manjši.“
Slika 1
Tako je bilo tudi mnenje mladega Galileja. Na za-
četku poklicne poti je pozimi 1587/88 imel v Firen-
cah dve javni predavanji. Pri tem je obravnaval na-
črt in velikost pekla iz Dantejeve Božanske komedije.
Tedaj ni bilo nenavadno resno razpravljati o pesni-
škem predmetu. V razpravi se je oprl na geometrijo
in sorazmerja. Primerjal je dva načrta. Enega si je
izmislil meščan Firenc, drugega mož iz mesta Lucca,
ki je tekmovalo s Firencami. Galilei se je odločil za
prvi načrt in je odklonil drugega. S tem si je pridobil
naklonjenost poslušalcev. Predavanji sta mu zgladili
pot do mesta profesorja na univerzi v Pisi leta 1589.
Slika 2
V enem od predavanj je izračunal debelino peklen-
skega stropa. Privzel je, da sta debelina stropa in
njegov razpon v enakem razmerju kot debelina in
razpon stropa firenške katedrale. Za debelino pe-
2
j l i i lil li-
l ij i j ji i t ti i -
i i ti . i i -
i li i i i
i j
. j j il lil j -
lil i j j i i, j
lj i i . l l .
i i l i l i j il i , -
i j i l i i lj li ( li ).
i i j -
. i j -
i j lil i i l l , i
i i.
i i
j i i ij j lj j ,
j i ji li i l ij i i -
j i i i ji
j i . ij i j , li i li l j
l il l . ji
i j : j i -
iji, i li i
li , i i , j i l i [. . . ] lj ,
i i i l il li -
j . i j ili li j , i ili
j i li j j
j , [. . . ] i i , j i ji i -
l li [. . . ] i , i i
l j i.
li
j il i j l lil j . -
li i j i i i l i -
j i ji. i j l -
i li l i j ij .
j i il lj i i-
. i j l ij
i j . i j l j . i j
i i lil i , i ,
i j l i i. lil i j l il
i i j l il . i j i il
l j l l . ji l ili
j i i i i l .
li
j j i l li l -
. i l j , li i
j j li i
l . li -
Prese e oroča o „ r g z a ost “ a ea a
e a z ego e ge azprave a e a č do
kaz o dve ov z a os . a es „ r g z a o
st “ re e at a e a o er ega e a o er o
os eše ega re ega g a a ter o ora ega
eta. a a e a a e e a „ r a z a ost“? ˇe
ra a e o e ta o z a ot o r g , e
o o za a. g a e za e a tr ost te es.
er še e z e a o o s e a ora, e
ater ego s e so o e a s a 1 . or a
zara tega „ r e z a ost “ e o e a o ta o o
gosto ot „ r go z a ost“. raz s o a tr o
st e a e r še o o e ega s e a, ga
aže o e t .
a začetk „ rve z a ost “ a ob sk v be eške
otra e r sta šč tr e ož e raz rav a o o te ,
a e treba r gra ve k a orab t eso
raz er o oč e še o or ke o re kot r gra
a . Postav o s v raša e, a b se ve ka a a
a ko zr š a o ast o težo. E e o se
z v raša e ovse o več: „ er e e a ka os o
va a a geo etr , v kater sa a ve kost e stvar
ob ke, e v , zaka b se ast ost . . . va ev,
stožcev r g tr te es s re e e z ve ko
st o. ˇe b tore are ve k stro tako, a b b
egov e v e ake e sebo e raz er kot v
a še , . . . e v , zaka t več e b re
sta katerega ko res ega . . . re zk sa, k b ga
resta a š .“
S ka 1
ako e b o t e e a ega a e a. a za
četk ok c e ot e oz 1587/88 e v F re
ca ve av re ava . Pr te e obrav ava a
črt ve kost ek a z a te eve Boža ske ko ed e.
e a b o e ava o res o raz rav at o es
ške re et . raz rav se e o r a geo etr o
soraz er a. Pr er a e va ačrta. E ega s e
z s ešča F re c, r gega ož z esta L cca,
k e tek ova o s F re ca . a e se e o oč za
rv ačrt e o k o r gega. S te s e r ob
ak o e ost os ša cev. Pre ava sta zg a
ot o esta rofesor a a verz v P s eta 1589.
S ka 2
e e o re ava e zrač a ebe o ek e
skega stro a. Pr vze e, a sta ebe a stro a
egov raz o v e ake raz er kot ebe a
raz o stro a re ške kate ra e. a ebe o e
2
k j p l d u i n n i lil li-
l ij i nj v knji R in t ti ni -
i h n ih n n tih n bi d u i n n -
i kli kin ik n k n in n k n
p p n p ib nj v d vn
j p j bil lil j v p v n n C -
p v lil i p nj j ni k n n k p d u i j
d v lj ni iv l vn d v dn l
ni i l i d l nih p j v il in n v n -
k i nj vi kl pi ni bv lj li ( lik ) d
di p v n n i n nj k p -
k d u n n b i k v nju dn -
i j lil i p i l d p bn kl p ki
k ni i
u p n n i n i u n
n nj p i ni u ij j p lj j
d j p i dnji li ih l dij up i i n -
n n j p ni in d p i dnji
jhnih ij i p nj li i li l dj
l h u il p d l n n u d njih
di p nj p d K j h ni n -
n n iji i li n u i
li n u idi j i l n i [ ] lj
in d u ih dnih l p nil li -
j C i j n dili li j d i ili
nj i d li n d jn ju
nj [ ] n u idi j udi ji n i p -
l li n [ ] p i u i i
p l nj i
li
T j il udi n nj l d lil j -
u p li n p i j p i i i l i n-
h d j ni p d nji i j n l n -
in li p l i n j n ij
T d j ni il n n dn n p lj i p ni-
p d u V p i j p l n ij
in j i j l j d n n i j
i i lil n i n d u i u
i j l i n i lil i j dl il
p i n in j d l nil d u i j p id il
n l nj n p lu l d nji u l dili
p d p j n uni i i i l
li
V n d p d nj j i un l d lin p l n-
p i l j d d lin p in
nj p n n ju d lin in
p n p fi n d l Z d lin p -
G G
. D
. K G
G ,
. V .
K ,
.
. O
G ,
.
N
,
. ,
.
:
,
, , . . . ,
. ,
, . . . ,
. . . ,
.
G . N
.
D .
.
. .
, ,
. G
.
.
.
. ,
.
r s j r l „ r i sti“ lil li-
l ij i j ji z r e i m tem tic i -
zi e i z sti . s i „ r i -
sti“ r li i m ti m r i m r
s š r m i j t r r
m t . j j il lil j „ r st“? -
r lil i j j i t t r i, j
lj imi . l m tr st t l s.
r š i im l i l i jm sil i r , -
t ri j i s l i is lj li (sli ). M r
r i t „ r sti“ m j m t -
st t „ r st“. r is j tr -
sti j lil i riš l m m s l , i
m iti.
cet „ r e sti“ is e eš em
tr jem rist išc trije m je r r lj j tem,
je tre ri r ji eli i l ij r iti es -
r mer m c ejše r i e i re t ri r ji
m j i . st ij si r š je, li i se eli l j
l r šil l st te . em ji se
i r š je sem ec: „ er je me i s -
e metriji, teri s m eli st e st ri
li e, e i im, j i se l st sti [. . . ] lje ,
st ce i r i tr i teles s reme ile eli -
stj . e i t rej re ili eli str j t , i ili
je i eli e em me se j em r merj t
m jšem, [. . . ] e i im, j t i ecji e i re-
st l tere li res e [. . . ] rei s , i i
rest l m jši.“
li
je il t i m e je ml e lilej . -
cet lic e ti je imi / imel ire -
c e j i re ji. ri tem je r l -
crt i eli st e l i teje e ž s e me ije.
e j i il e res r r lj ti es i-
š em re met . r r i se je rl e metrij
i s r merj . rimerj l je crt . e si je
i mislil mešc ire c, r e m i mest cc ,
i je te m l s ire c mi. lilei se je l cil
r i crt i je l il r e . tem si je ri il
l je st sl š lce . re ji st m l ili
t mest r fes rj i er i isi let .
li
e em re j je i r c l e eli e le -
s e str . ri el je, st e eli str i
je r e em r merj t e eli i
r str re š e te r le. e eli e-
P e ek e po oča o d ug znano a ea a
e a z n egove kn ge Ra p av n a a ˇn do
ka o dv h nov h nano h. ane b d ug znano
ek k ne a ka enako e nega n enako e no
po pe enega p e ega g ban a e vodo avnega
e a. a pa e b a a e eva p va znano Če
p av a e po n e n ako znan ko po d ug , e
dovo zan va. g avne zadeva dno e e .
e e n e zde an h po ov e n navo a, ne
ka e n egov k ep n o obve a ka 1 . o da
za ad ega p ve znano ne o en a o ako po
go o ko d ugo znano . b az kovan u dno
e a e p e do po e bnega k epa, k ga
kaže o en .
a zaˇ ku p v znano na ob ku v b n k
no an p an ˇu ož azp av a o o ,
da ba p g adn v k h ad upo ab n o
az no oˇn opo n k n od ko p g adn
a hn h. Po av o vp a an , a b v ka ad a
ahko z u a pod a no žo. En u od n h
zd vp a an pov odv :̌ K han ka o no
vana na g o , v ka a a v ko n u va
ob k , n uv d , zaka b a no . . . va v,
ož v n d ug h dn h p n z v ko
o. Č b o na d v k o ako, da b b
n gov d v nak d bo n az u ko v
an , . . . n uv d , zaka ud v ˇ n b p
a ka ga ko n ga . . . p zku a, k b ga
p a an .
S ka 1
Tako b o ud n n ad ga a a. a za
ˇ ku pok n po poz 1587 88 v F n
ah dv avn p davan . P ob avnava na
ˇ n v ko p k a z an v Bo an k ko d .
T da n b o n navadno no azp av a o p n
k p d u. V azp av op na g o o
n o az a. P a dva naˇ a. En ga
z ˇan F n , d ug ga ož z a Lu a,
k k ova o F n a . a od oˇ za
p v naˇ n odk on d ug ga. S p dob
nak on no po u a v. P davan a u zg ad
po do a p o o a na un v z v P a 1589.
S ka 2
V n od p davan z aˇuna d b no p k n
k ga opa. P vz , da a d b na opa n
n gov azpon v nak az u ko d b na n
azpon opa fi n k ka d a . Za d b no p
2
j l i ti lil li-
l ij i j ji i t ti i -
i i sti i i -
ti li i ti i
i j t
t j j il lil j t -
lil i j j i t t i j
lj i i l t t t l
i i l i l i j il i -
t i j i l i i lj li ( li )
i t ti j t -
t t t i j t -
ti j lil i i l l i
iti
t r ti i
tr j ri t i trij j r r lj j t
j tr ri r ji li i l ij r iti -
r r j r i i r t ri r ji
j i t ij i r j li i li l j
l r il l t t ji
i r j r j i -
triji t ri li t t ri
li i i j i l t ti [ ] lj
t i r i tr i t l r il li -
tj i t r j r ili li tr j t i ili
j i li j r rj t
j [ ] i i j t i ji i r -
t l t r li r [ ] r i i i
r t l j i
li
j il t i j l lil j -
t li ti j i i i l ir -
j i r ji ri t j r l -
rt i li t l i t j s ij
j i il r r r lj ti i-
r t r r i j rl trij
i r rj ri rj l j rt i j
i i lil ir r i t
i j t l ir i lil i j l il
r i rt i j l il r t i j ri il
l j t l l r ji t l ili
t t r f rj i r i i i l t
li
r j j i r l li l -
tr ri l j t li tr i
j r r rj t li i
r tr r t r l li -
r s r „ r s “ G G
z r e e c
z e z . D s „ r
s “ r r r
s š r r r
. K G „ r s “?
r G r ,
. V r s s.
K r š s r ,
r s s s . r
r „ r s “
s „ r s “. r s r
s G r š s ,
.
N ce „ e s “ s e eš e
e s šc e e e ,
e e e es
e c e še e e
. s s š e, se e
š s e . e se
š e se ec: „ e e e s
e e , e s e s e s
e, e , se s s . . . e ,
s ce e es s e e e e
s . e e e e s ,
e e e e e se e e
še , . . . e , ec e e
s e e es e . . . e s ,
es š .“
e e e e G e . N
ce c e e / e e
c e e . e e
c e s e D e e e ž e e e.
e e es es
š e e e . se e e e
s e . e e c . e s e
s ešc e c, e es cc ,
e e s e c . G e se e c
c e e . e s e
e s s š ce . e s
es es e s e .
e e e e c e e e e
s e s . e e, s e e s
e e e e e e
s e š e e e. e e e
j l i i lil li-
l ij i j ji i t ti i -
i i ti . i i -
i li i i i
i j
. j j il lil j -
lil i j j i i, j
lj i i . l l .
i i l i l i j il i , -
i j i l i i lj li ( li ).
i i j -
. i j -
i j lil i i l l , i
i i.
i i
j i i ij j lj j ,
j i ji li i l ij i i -
j i i i ji
j i . ij i j , li i li l j
l il l . ji
i j : j i -
iji, i li i
li , i i , j i l i [. . . ] lj ,
i i i l il li -
j . i j ili li j , i ili
j i li j j
j , [. . . ] i i , j i ji i -
l li [. . . ] i , i i
l j i.
li
j il i j l lil j . -
li i j i i i l i -
j i ji. i j l -
i li l i j ij .
j i il lj i i-
. i j l ij
i j . i j l j . i j
i i lil i , i ,
i j l i i. lil i j l il
i i j l il . i j i il
l j l l . ji l ili
j i i i i l .
li
j j i l li l -
. i l j , li i
j j li i
l . li -
t
s
t t
t
t t
t t
t t t
t
t t t
t t t t
t
t
t r t
tr r t tr r r t
tr r r r t
r r r r t r r
t r
r t t
r r
tr t r t t r
t t
t r tr t r
t t r r tr t
r r t
t r
t t r r r
r t
t
t t r
r r t r
rt t t s
r r r t
r t r r r tr
r r r r rt
r r t
t r
r rt r t r
t r t
t t r f r r t
r r
tr r t tr
r r r t
r tr r t r
.
.
,
. .
,
.
.
,
.
,
. ,
.
:
,
, , . . . ,
. ,
, . . . ,
. . . ,
.
.
.
.
.
. .
, ,
.
.
.
.
. ,
.
slika 1. 
„Predlog VI. Prizmam in valjem enake dolžine, a neenake debeli-
ne se odpornost poveča v enakem razmerju kot kub premera ali 
roba osnovne ploskve.“ Galilei se je motil. Trdnost je sorazmer-
na s četrto potenco, ne s kubom. Nekdo je duhovito pripomnil, 
d  bi se zid podrl prej, kot bi se prelomil vodoravni drog, če bi 
sodili po sliki. Ta slika in naslednja sta iz angleškega prevoda 
Razprav in matematičnih dokazov.
r sek 38 (2010/2011) 5
15
f i z i k a
slika 3. 
Galilei je obravnaval tudi vrvi. Ugotovil je, da ima v dveh toč-
kah pritrjena vrv ali verižica obliko parabole. Pozneje so spo-
znali, da je to le približek. Enačbo prave krivulje, verižnice, 
so v okviru nagradne naloge leta 1691 ugotovili brata Johann 
in Jacob Bernoulli ter Christiaan Huygens in Gottfried Wilhelm
Leibniz. Verižnica na risbi se le malo razlikuje od parabole.
Presek je poročal o „drugi znanosti“ Galilea Gali-
leija iz njegove knjige Razprave in matematični do-
kazi o dveh novih znanostih. Danes bi „drugi znano-
sti“ rekli kinematika enakomernega in enakomerno
pospešenega premega gibanja ter vodoravnega
meta. Kaj pa je bila Galilejeva „prva znanost“? Če-
prav Galilei po njej ni tako znan kot po drugi, je
dovolj zanimiva. V glavnem zadeva trdnost teles.
Ker še ni imel izdelanih pojmov sile in navora, ne-
kateri njegovi sklepi niso obveljali (slika 1). Morda
zaradi tega „prve znanosti“ ne omenjamo tako po-
gosto kot „drugo znanost“. Ob raziskovanju trdno-
sti je Galilei prišel do pomembnega sklepa, ki ga
kaže omeniti.
Na začetku „prve znanosti“ na obisku v beneškem
notranjem pristanišču trije možje razpravljajo o tem,
da je treba pri gradnji velikih ladij uporabiti neso-
razmerno močnejše opornike in odre kot pri gradnji
majhnih. Postavijo si vprašanje, ali bi se velika ladja
lahko zrušila pod lastno težo. Enemu od njih se
zdi vprašanje povsem odveč: „Ker je mehanika osno-
vana na geometriji, v kateri sama velikost ne ustvari
oblike, ne uvidim, zakaj bi se lastnosti [. . . ] valjev,
stožcev in drugih trdnih teles spremenile z veliko-
stjo. Če bi torej naredili velik stroj tako, da bi bili
njegovi deli v enakem medsebojnem razmerju kot v
manjšem, [. . . ] ne uvidim, zakaj tudi večji ne bi pre-
stal katerega koli resnega [. . . ] preizkusa, ki bi ga
prestal manjši.“
Slika 1
Tako je bilo tudi mnenje mladega Galileja. Na za-
četku poklicne poti je pozimi 1587/88 imel v Firen-
cah dve javni predavanji. Pri tem je obravnaval na-
črt in velikost pekla iz Dantejeve Božanske komedije.
Tedaj ni bilo nenavadno resno razpravljati o pesni-
škem predmetu. V razpravi se je oprl na geometrijo
in sorazmerja. Primerjal je dva načrta. Enega si je
izmislil meščan Firenc, drugega mož iz mesta Lucca,
ki je tekmovalo s Firencami. Galilei se je odločil za
prvi načrt in je odklonil drugega. S tem si je pridobil
naklonjenost poslušalcev. Predavanji sta mu zgladili
pot do mesta profesorja na univerzi v Pisi leta 1589.
Slika 2
V enem od predavanj je izračunal debelino peklen-
skega stropa. Privzel je, da sta debelina stropa in
njegov razpon v enakem razmerju kot debelina in
razpon stropa firenške katedrale. Za debelino pe-
2
Presek je poročal o „drugi znanosti“ Galilea Gali-
leija iz njegove knjige Razprave in matematični do-
kazi o dveh novih znanostih. Danes bi „drugi znano-
sti“ rekli kinematika enakomernega in enakomerno
pospešenega premega gibanja ter vodoravnega
meta. Kaj pa je bila Galilejeva „prva znanost“? Če-
prav Galilei po njej ni tako znan kot po drugi, je
dovolj zanimiva. V glavnem zadeva trdnost teles.
Ker še ni imel izdelanih pojmov sile in navora, ne-
kateri njegovi sklepi niso obveljali (slika 1). Morda
zaradi tega „prve znanosti“ ne omenjamo tako po-
gosto kot „drugo znanost“. Ob razis ovanju trdno-
sti je Galilei prišel do pomembnega sklepa, ki ga
k že omeniti.
Na začetku „prve znanosti“ na obisku v beneškem
notranjem pristanišču trije možje razpravljajo o tem,
d je treba pri gradnji v l kih l dij uporabiti neso-
razm r o močnejše opornike in odre kot pri gr dnji
majhnih. Postav jo si vprašanje, ali bi se velika ladja
lahko zrušila pod lastno t žo. Enemu o njih se
zdi vprašanje povs odveč: „Ker je mehanika osno-
vana na geometriji, kateri sama velikost e ustvari
oblike, ne uvidim, zakaj bi se lastnosti [. . . ] valjev,
stožcev in drugih trdnih teles spremenile z veliko-
stjo. Če bi torej naredili velik stroj tako, da bi bili
njegovi deli v enakem medsebojnem razmerju kot v
manjšem, [. . . ] ne uvidim, zakaj tudi večji ne bi pre-
stal katerega koli resnega [. . . ] preizkusa, ki bi ga
prestal manjši.“
Slika 1
Tako je bilo t di mnenje mlad ga Galileja. Na za-
četku poklicne poti j pozimi 1587/88 imel v Firen-
cah dve javni predavanji. Pri te je obravn val n -
črt in velik st pekla iz D ntejeve Božanske komedije.
Tedaj ni b lo nenavadno esno razpravljati o pesn -
škem predmetu. V r zpravi se je oprl n geometrijo
in sorazmerja. Prime j l je dva načrta. Enega si je
izmislil meščan Firenc, drugega mož iz mesta Lucca,
ki je tekmovalo s Firencami. Galilei se je odločil za
prvi načrt in je odklonil drugega. S tem si je pridobil
naklonjenost poslušalcev. Predavanji sta mu zgladili
pot do mesta profesorja na univerzi v Pisi leta 1589.
Slika 2
V enem od predavanj je izračunal debelino peklen-
skega stropa. Privzel je, da sta debelina stropa in
njegov razpon v enakem razmerju kot debelina in
razpon stropa firenške katedrale. Za debelino pe-
2
Presek je poročal o „drugi znanosti“ Galilea Gali-
leija iz njegove knjige Razprave in matematični do-
kazi o dveh novih znanostih. Danes bi „drugi znano-
sti“ rekli kinematika enakomernega in enakomerno
pospešenega premega gibanja ter vodoravnega
meta. Kaj pa je bila Galilejeva „prva znanost“? Če-
prav Galilei po njej ni tako znan kot po drugi, je
dovolj zanimiva. V glavnem zadeva trdnost teles.
Ker še i imel izdelanih pojmov sile in navora, ne-
teri nj govi sklepi i o obveljali (slika 1). Morda
zaradi tega „prve zna osti“ ne omenjamo tako po-
g to kot „drugo znanost“. Ob raziskovanju trdno-
sti je G lilei prišel do pomembnega sklepa, ki ga
kaže omeniti.
Na začetku „prve znanosti“ na obi u v beneškem
notranjem pristanišču trije možje razpravljajo o tem,
da je treba pri gradnji velikih ladij uporabiti neso-
razmerno močnejše opornike in odre kot pri gradnji
majhnih. Postavijo si vprašanje, ali bi se velika ladja
lahk zrušila p d l stno težo. Enemu od njih se
zdi vprašanje povsem odveč: „Ker je mehanika osno-
v na na geometriji, v kat r sam velikost ne ustvari
oblik , uvidim, zakaj b se lastnosti [. . . ] v ljev,
stožcev in drug h trdnih teles spremenile z veliko-
stjo. Če bi torej naredili v lik stroj tako, a bi bili
jegovi deli v enak medsebo nem razmerju kot v
manjšem, [. . . ] ne u idim, zakaj tudi večji e bi pre
stal katerega koli resnega [. . . ] preizkusa, ki bi ga
prestal manjši.“
Slik 1
Tako je bilo tudi mnenje mladega Galileja. Na za-
četku poklicne poti je pozimi 1587/88 i l v Firen-
cah dve javni pr davanji. Pri tem je obravnaval na
črt in velikost pekla iz Dantejeve Božanske komedije.
Tedaj ni bilo nenavadno resno razpravljati o pesni-
škem predmet . V razpravi se j oprl na geometrijo
in sorazmerja. Prim rjal je dva načrta. Enega si je
izmislil meščan Firenc, drugega ož iz mest Lucc ,
ki je tekm valo s Firenc mi. Galilei se je odločil za
prvi načrt n je odklonil d ugega. S tem si je pridob l
n lonjenost posluš lcev. Predavanji st mu zgladili
pot do mesta profesorj na univerzi v P si leta 1589.
Slik 2
V enem od predava j je izračunal debelino peklen-
skega stropa. Privzel je, da st debelina str pa in
njegov razpon v enakem razmerju kot d bel na in
r zp stropa firenške katedr le. Za debelino pe-
2
klenskega stropa je tako dobil približno dvesto ki-
lometrov in je bil s tem rezultatom zadovolj n. V
naslednjih letih je spoznal, da se je glede debeline
pe lenskega stropa kr pko zmotil. Kaže, da ga je to
spoznanje močno prizadelo.
V Razpravah drugi mož pouči prvega, da lahko:
„[. . . ] z geom trijo pokažemo, da v čji stroj ni so
razmerno močnejši od manjšeg . Nazadnje lahko re-
čem za vsak stroj li nap vo, umetno ali naravno,
da obstaja nujna meja [velikosti], ki je n m reta
preseči ne umetnost ne narava. Pri tem seveda ra-
zumemo, da uporabimo enak material in enako raz-
merje.“ [. . . ] „Kdo ne ve, da bi si konj polomil kosti,
ko bi padel iz višine dveh ali treh metrov, medtem
ko bi se pes pri padcu iz tolikšne višine ali mačka
pri padcu iz višine šest do sedem metrov ne poško-
dovala.“ Izjava je prvega moža presenetila: „V glavi
se mi vrti. Moj razum je kot oblak, ki ga trenutno
osvetli blisk, ta hip poln nenavadne svetlobe [. . . ]. Po
tem, kar si rekel, se mi ne zdi mogoče zgraditi dveh
podobnih zgradb iz enakega materiala v različnih ve-
likostih, ki bi bili sorazmerno enako močni.“
Slika 3
Sledilo je še pojasnilo: „sile, upore itd. lahko obrav-
navamo [. . . ] ločeno od snovi ali povezano s snovjo.
Tako se lastnosti, značilne za oblike, ki so zgolj ge-
ometrijske in niso snovne, spremenijo, ko te oblike
napolnimo s snovjo in jim s tem damo težo.“ Velikan
ne more imeti udov v enakem razmerju kot človek
običajne velikosti. Če bi imel kosti iz enake snovi,
bi se sesedel zaradi lastne teže (slika 2). „Tako bi
majhen pes na hrbtu verjetno mogel nositi dva do
tri pse svoje velikosti, a mislim, da konj ne bi mogel
nositi niti enega konja svoje velikosti.“ Danes ugoto-
vimo, da je teža povezana s prostornino, ki pri po-
dobnih telesih narašča sorazmerno s kubom veliko-
sti, trdnost pa s presekom, ki narašča sorazmerno
s kvadratom velikosti. Lastnosti majhnih teles do-
loča bolj površina, lastnosti velikih pa bolj prostor-
nina. Pribijmo, da so zakoni narave občutljivi za
spremembo merila oziroma da niso invariantni proti
spremembam merila.
3
klenskega stropa je tako dobil p ibližno dvesto ki-
lo etrov in je bil s tem rezultat m adovolj n. V
naslednjih letih je spoznal, da se je glede ebe ine
e lenskega stropa kr pko zmotil. Kaže, da ga je to
spoznanje močno prizadelo.
V Razpravah drugi mož pouči pr ega, da lahko:
„[. . . ] z geom tr jo pokaž mo, da v čji str j ni so
razmerno močne ši od manjšeg . Nazad j lahko re-
č m za vs k stroj ali nap vo, umetno ali naravno,
da obstaja nuj a mej [velikosti], ki je n m reta
preseči ne umetnost ne narava. Pri t m seveda ra-
zum o, a uporabimo enak material in enako raz
m rje.“ [. . . ] „Kdo n ve, da bi si konj polomil sti,
ko bi p del iz viši e dveh li treh metrov, medtem
ko bi e pes pri padcu iz olikšne višin ali ačk
i padcu iz viši e šest do sedem metrov ne poško
dovala.“ Izj va je prvega moža pr senetila: „V gl vi
se mi vrti. Moj razum je kot oblak, ki ga trenutno
osvetli blisk, ta hip poln nenavadne sv tl be [. . . ]. Po
tem, kar si rekel, se mi ne zdi mogoče zgr diti dveh
odobnih zgradb iz enakega materiala v različnih ve
likostih, ki bi bili so azmerno enako močni.“
Slika 3
Sledilo je še pojasnilo: „sile, upore itd. lahko obrav-
navamo [. . . ] ločeno od snovi ali povezano s snovjo.
Ta o se lastnosti, značilne za oblike, ki so zgolj ge-
ometrijske in niso snovne, spremenijo, ko te oblike
napolnimo s snovjo in jim s tem damo težo.“ Velikan
ne m re imeti udov v enakem razmerju kot človek
običajne velik sti. Če bi imel kosti i enake snovi,
bi se sedel zaradi last e teže (slika 2). „Tako bi
majhen p s na hrbtu erjetno ogel nositi dva do
tri pse sv je velikosti, a islim, k nj ne bi mogel
ositi niti enega k nja svoje velikosti.“ Danes ugoto-
vimo, da j teža povezana s prostornino, ki pri po-
dobnih telesih narašč sorazmerno s kubom veliko-
sti, trdnost pa s presekom, ki narašča sorazmern
s kvadrat m velikosti. Lastnosti majhnih teles do-
loča bolj površina, lastnosti ih pa bolj prostor
n na. Pribijmo, da so zakoni narave občutljivi za
spremembo merila ozirom da nis invariantni proti
premembam merila.
3
klenskega stropa je tako dobil približno dvesto ki-
lometrov in je bil s tem rezultatom zadovoljen. V
naslednjih letih je spoznal, da se je glede debeline
peklenskega stropa krepko zmotil. Kaže, da ga je to
spoznanje močno prizadelo.
V Razpravah drugi mož pouči prvega, da lahko:
„[. . . ] z geometrijo pokažemo, da večji stroj ni so-
razmerno močnejši od manjšega. Nazadnje lahko re-
čemo za vsak stroj ali napravo, umetno ali naravno,
da obstaja nujna meja [velikosti], ki je ne moreta
preseči ne umetnost ne narava. Pri tem seveda ra-
zumemo, da uporabimo enak material in enako raz-
merje.“ [. . . ] „Kdo ne ve, da bi si konj polomil kosti,
ko bi padel iz višine dveh ali treh metrov, medtem
ko bi se pes pri padcu iz tolikšne višine ali mačka
pri padcu iz višine šest do sedem metrov ne poško-
dovala.“ Izjava je prvega moža presenetila: „V glavi
se mi vrti. Moj razum je kot oblak, ki ga trenutno
osvetli blisk, ta hip poln nenavadne svetlobe [. . . ]. Po
tem, kar si rekel, se mi ne zdi mogoče zgraditi dveh
podobnih zgradb iz enakega materiala v različnih ve-
likostih, ki bi bili sorazmerno enako močni.“
Slika 3
Sledilo je še poj snilo: „sile, upore it . lahko obrav
n vamo [. . . ] ločeno od snovi ali pov zano s sn vj .
Tako se lastnosti, značilne za oblike, ki so zgolj g -
ometrijske in niso sn vn , spremenij , ko te oblike
napolnimo s snovjo in j m s tem damo težo.“ Ve ikan
n more imeti udov v enakem r merju kot čl vek
običajne velikosti. Če bi imel kosti iz enake snovi,
bi se sesedel zaradi lastne teže (slika 2). „Tako bi
majhen pes na hrbtu verjetno mogel nositi dva do
tri pse svoje velikosti, a mislim, da konj ne bi mogel
nositi niti enega konja svoje velikosti.“ Danes ugoto-
vimo, da je teža povezana s prostornino, ki pri po-
dobnih telesih narašča sorazmerno s kubom veliko-
sti, trdnost pa s presekom, ki narašča sorazmerno
s kvadratom velikosti. Lastnosti majhnih teles do-
loča bolj površina, lastnosti velikih pa bolj prostor-
nina. Pribijmo, da so zakoni narave občutljivi za
spremembo merila oziroma da niso invariantni proti
spremembam merila.
3
www.presek.si
www.dmfa.si
Presek 38 (2010/2011) 5
1.15
1.10
1.05
—0.4 —0.2 0.2 0.4
www.dmfa-zaloznistvo.si
r a z v e d r i l o
16
Nagradna kr ižanka
presek 38 (2010/2011) 5
r a z v e d r i l o
17
n a g r a d n i  r a z p i s
•  Črke iz označenih polj po vrsti zapišite 
na Preseku priloženo dopisnico, dodajte 
tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi-
snice pošljite na Presekov naslov (poštni-
na je že plačana) do 23. aprila 2011, ko 
bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za 
nagrado prejeli  Presekov paket. 
Presek 38 (2010/2011) 5
18
f i z i k a
p
o
iz
k
u
š
e
v
a
l
n
ic
a
 d
o
m
a
Mavrično vzmet verjetno poznate. Vidite jo tudi
na sliki, verjetno pa se z njo znate tudi igrati.
Tokrat si bomo ogledali nekaj pojavov, značilnih za
valovanje, ki jih je na mavrični vzmeti mogoče zelo
podrobno opazovati. Ogledali si bomo, kako se gi-
bljejo deli vzmeti, če po njih potuje motnja. Ob tem
bomo pobližje spoznali tudi interferenco. Iz motenj
bomo sestavili valovanje in opredelili številne fizi-
kalne količine, s katerimi valovanja opisujemo.
Slika 1
Potrebščine
mavrična vzmet,
košček barvnega traku ali barvnega lepilnega traku
(npr. izolirni trak),
prostor na gladkih tleh (parket, ploščice, vsekakor
ne preproga) dolg nekaj metrov in širok vsaj meter
in pol.
Mavrično vzmet raztegnite toliko, da bo dolga nekaj
metrov oziroma da bodo zavoji približno centimeter
narazen. Če imate le zelo kratko mavrično vzmet (da
je rahlo raztegnjena dolga le kak meter), si izposo-
dite še eno podobno in ju povežite z lepilnim tra-
kom. Na enem ali dveh mestih navežite na enega od
zavojev pentljico iz barvnega traku ali nalepite kos
barvnega lepilnega traku.
Da bomo vedeli, o čem govorimo in kaj opazu-
jemo, vpeljimo še nekaj poimenovanj.
Kadar hitro izmaknemo začetek vzmeti in ga ena-
ko hitro vrnemo v začetno lego, nastane na vzmeti
motnja. Motnja je videti kot deformacija vzmeti –
bodisi je na enem delu vzmet vbočena ali izbočena
bodisi je le stisnjena ali raztegnjena. Motnjo lahko
s skico predstavimo, kot kaže slika 2. Na njej smo
vzmet predstavili s črto.
Slika 2
Ker imata motnji lahko različni smeri glede na smer
raztegnjene vzmeti, ju poimenujemo hrib in dolina.
Preden začnemo eksperimentirati, se s prijateljem
dogovorimo, katero smer bomo imenovali hrib in ka-
tero dolina. Motnje na tleh bomo namreč naredili z
gibi levo in desno glede na smer vzmeti, tako pove-
zava gor ali dol, ki se povezuje z imenoma hrib in
dolina, ni več očitna.
Glede na to, kako daleč in kako hitro bomo na
začetku zamahnili z roko, bo lahko nastala višja ali
nižja motnja, krajša ali daljša oziroma oboje hkrati
(večja ali manjša). Višino motnje opisujemo z am-
2
Mavrično vzmet verjetno poznate. Vidite jo tudi
na sliki, verjetno pa se z njo znate tudi igrati.
Tokrat si bomo ogledali nekaj pojavov, značilnih za
valovanje, ki jih je na mavrični vzmeti mogoče zelo
podrobno opazovati. Ogledali si bomo, kako se gi-
bljejo deli vzmeti, če po njih potuj motnja. Ob tem
bomo pobližje spoznali tudi interferenco. Iz motenj
b mo sestavili valovanje in opredelili številne fi i-
k ne količine, s kateri i alovanja op sujemo.
Slika 1
Potrebščine
mavrična vzmet,
košček barvnega traku ali barvnega lepilnega traku
(np . izolirni trak),
prostor na gladkih tleh (parket, ploščice, vsekakor
ne preproga) dolg nekaj metrov in širok vsaj meter
in p l.
Mavrično vzmet raztegnite toliko, da bo dolga nekaj
met v ziroma a bodo zavoji približno centimete
araz n. Če imate le zelo kratko mavrično vzmet (da
je rahlo raztegnjena dolga le kak meter), si izposo-
dite še eno podobno in ju povežite z lepilnim tra-
kom. Na ene ali dv h m stih navežite na enega od
zavojev pentljico iz barvnega traku ali nalepite kos
b vn ga lepilnega traku.
Da bomo vedeli, o čem govori o in kaj o azu
jemo, vpeljim še nekaj poimenovanj.
Kadar hitro izmaknemo začetek vzmeti in ga ena-
ko hitro vr emo v začet o lego, nastane na vzmeti
mot ja. Motnja je videti kot deformacija vzmeti –
bodisi je na enem delu vzmet vbočena ali izbočena
bodisi je e stisnjena li razt gnjena. Motnjo lahko
s skico predstavimo, kot kaže sli a 2. Na jej smo
vzme predstavili s črto.
Slika 2
Ker imata motnji lahko različni smeri glede na smer
raztegnjene vzmeti, ju poimenujemo hrib in dolina.
Preden začnemo eksperimentirati, se s prijateljem
dogovorimo, katero smer bomo imenovali hrib in ka-
tero dolina. Motnje na tleh bomo namreč naredili z
gibi levo in desno glede na smer vzmeti, tako pov -
z va or ali dol, k se vezuje z imenoma hrib in
dolina, ni več očitna.
Glede na to, kako daleč in kako hitro bomo na
začetku z mahnili z roko, bo lahko nastala višja ali
n žja m t ja, krajša ali daljša oziro a oboje hkrati
(večja ali manjša). Višin motnje opisujemo z am-
2
Mavrično vzmet verjetno poznate. Vidite jo tudi
na sliki, verjetno pa se z njo znate tudi igrati.
Tokrat si bomo ogledali nekaj pojavov, značilnih za
valovanje, ki jih je na mavrični vzmeti mogoče zelo
podrobno opazovati. Ogledali si bomo, kako se gi-
bljejo deli vzmeti, če po njih potuje motnja. Ob tem
bomo pobližje spoznali tudi interferenco. Iz motenj
bomo sestavili valovanje in opredelili številne fizi-
kalne količine, s katerimi valovanja opisujemo.
Slika 1
Potrebščine
mavrična vzmet,
košček barvnega traku ali barvnega lepilnega traku
(npr. izolirni trak),
prostor na gladkih tleh (parket, ploščice, vsekakor
ne preproga) dolg nekaj metrov in širok vsaj meter
in pol.
Mavrično vzmet raztegnite toliko, da bo dolga nekaj
metrov oziroma da bodo zavoji približno centimeter
narazen. Če imate le zelo kratko mavrično vzmet (da
je rahlo raztegnjena dolga le kak meter), si izposo-
dite še eno podobno in ju povežite z lepilnim tra-
kom. Na enem ali dveh mestih navežite na enega od
zavojev pentljico iz barvnega traku ali nalepite kos
barvnega lepilnega traku.
Da bomo vedeli, o čem govorimo in kaj opazu-
jemo, vpeljimo še nekaj poimenovanj.
Kadar hitro izmaknemo začetek vzmeti in ga ena-
ko hitro vrnemo v začetno lego, nastane na vzmeti
motnja. Motnja je videti kot deformacija vzmeti –
bodisi je na enem delu vzmet vbočena ali izbočena
bodisi je le stisnjena ali raztegnjena. Motnjo lahko
s skico predstavimo, kot kaže slika 2. Na njej smo
vzmet predstavili s črto.
Slika 2
Ker imata motnji lahko različni smeri glede na smer
raztegnjene vzmeti, ju poimenujemo hrib in dolina.
Preden začnemo eksperimentirati, se s prijateljem
dogovorimo, katero smer bomo imenovali hrib in ka-
tero dolina. Motnje na tleh bomo namreč naredili z
gibi levo in desno glede na smer vzmeti, tako pove-
zava gor ali dol, ki se povezuje z imenoma hrib in
dolina, ni več očitna.
Glede na to, kako daleč in kako hitro bomo na
začetku zamahnili z roko, bo lahko nastala višja ali
nižja motnja, krajša ali daljša oziroma oboje hkrati
(večja ali manjša). Višino motnje opisujemo z am-
2
Mavrično vzmet verjetno poznate. Vidite jo tudi
na sliki, verjetno pa se z njo znat tudi igrati.
Tokrat si bomo ogledali nekaj po vov, značilnih za
valovanje, ki jih je na mavrični vzmeti mogoče zelo
podrobno opazovati. Ogledali si bomo, kako se gi-
b jejo deli vzmeti, če po njih potuje motnja. Ob tem
bomo pobližje spoznali tudi interferenco. Iz motenj
bomo sestavili valovanje in opredelili številne fizi-
kalne količine, s katerimi valovanja opisujemo.
Slika 1
Potrebščine
mavrična vzmet,
košček barvnega traku ali barvnega lepilnega traku
(npr. izolirni trak),
prostor na gl dkih tleh (p r et, ploš ice, vsekakor
ne preproga) dolg nekaj metrov in širok v aj meter
in pol.
Mavrično vzmet ra tegnite toliko, da bo dolga nekaj
metrov oziroma d bodo zavoji približno centimeter
narazen. Če imate le zelo kratko mavrič o vzmet (da
rahlo raztegnje a dolga le kak meter), si izposo-
dite še eno podobno in ju povežite z lep lnim tr
m. Na enem ali dveh mestih navežite na enega od
zavojev pentljico iz barvnega traku ali n lepite kos
arvnega lepil ga traku.
Da bomo vedeli, o čem govorimo in kaj opazu-
jemo, vpeljimo še nekaj poim novanj.
Kadar hitro izmaknemo začetek vzmeti in ga ena-
ko hitro vrnemo v začetno lego, nastane na vzmeti
motnja. Motnja je videti kot deformacija vzmeti –
bodisi je na enem delu vzmet vbočena ali izbočena
bodisi je le stisnjena ali raztegnjena. Motnjo lahko
s skico predstavimo, kot kaže slika 2. Na njej smo
vzmet predstavili s črto.
Slika 2
Ker imata motnji lahko različni smeri glede na smer
raztegnjene vzmeti, ju poimenujemo hrib in dolina.
Pred n začnemo e sperimentirati, se s prijateljem
dogovorimo, katero smer bomo imenovali hrib in ka-
tero dolina. Motnje na tleh bomo namreč naredili z
gibi levo in desno glede na smer vzmeti, tako pove
zava gor ali dol, ki se povezuje z imenoma hrib in
dolina, ni več očitna.
Glede na to, kako daleč in kako hitro bomo na
začetku zamahnili z roko, bo lahko nastala višja ali
nižja motnja, krajša ali daljša oziroma oboje hkrati
(večja ali manjša). Višino motnje opisujemo z am-
2
m jc  čepič
Igrajmo se z 
mavrično 
vzmetjo
•
otrebščine
slika 1.
M vrična vzmet
slika 2.
Motnji na sliki običajno poi enujemo z imenoma hrib in 
lina.
pr sek 38 (2010/2011) 5
Mavrično vzmet verjetno poznate. Vidite jo tudi
na sliki, verjetno pa se z njo znate tudi igrati.
Tokrat si bomo ogledali nekaj pojavov, značilnih za
valovanje, ki jih je na mavrični vzmeti mogoče zelo
podrobno opazovati. Ogledali si bomo, kako se gi-
bljejo deli vzmeti, če po njih potuje motnja. Ob tem
bomo pobližje spoznali tudi interferenco. Iz motenj
bomo sestavili valovanje in opredelili številne fizi-
kalne količine, s katerimi valovanja opisujemo.
Slika 1
Potrebščine
mavrična vzmet,
košček barvnega traku ali barvnega lepilnega traku
(npr. izolirni trak),
prostor na gladkih tleh (parket, ploščice, vsekakor
ne preproga) dolg nekaj metrov in širok vsaj meter
in pol.
Mavrično vzmet raztegnite toliko, da bo dolga nekaj
metrov oziroma da bodo zavoji približno centimeter
narazen. Če imate le zelo kratko mavrično vzmet (da
je rahlo raztegnjena dolga le kak meter), si izposo-
dite še eno podobno in ju povežite z lepilnim tra-
kom. Na enem ali dveh mestih navežite na enega od
zavojev pentljico iz barvnega traku ali nalepite kos
barvnega lepilnega traku.
Da bomo vedeli, o čem govorimo in kaj opazu-
jemo, vpeljimo še nekaj poimenovanj.
Kadar hitro izmaknemo začetek vzmeti in ga ena-
ko hitro vrnemo v začetno lego, nastane na vzmeti
motnja. Motnja je videti kot deformacija vzmeti –
bodisi je na enem delu vzmet vbočena ali izbočena
bodisi je le stisnjena ali raztegnjena. Motnjo lahko
s skico predstavimo, kot kaže slika 2. Na njej smo
vzmet predstavili s črto.
Slika 2
Ker imata motnji lahko različni smeri glede na smer
raztegnjene vzmeti, ju poimenujemo hrib in dolina.
Preden začnemo eksperimentirati, se s prijateljem
dogovorimo, katero smer bomo imenovali hrib in ka-
tero dolina. Motnje na tleh bomo namreč naredili z
gibi levo in desno glede na smer vzmeti, tako pove-
zava gor ali dol, ki se povezuje z imenoma hrib in
dolina, ni več očitna.
Glede na to, kako daleč in kako hitro bomo na
začetku zamahnili z roko, bo lahko nastala višja ali
nižja motnja, krajša ali daljša oziroma oboje hkrati
(večja ali manjša). Višino motnje opisujemo z am-
2
plitudo, dolžina in velikost pa nimata posebnega po-
mena. Na sliki 3 vidite zaporedoma po dve motnji,
ki ju opisujemo kot motnji z manjšo ali večjo ampli-
tudo oziroma daljša in krajša motnja. Zadnji motnji
se razlikujeta tako po amplitudi kot tudi po dolžini.
Čeprav v povezavi z dolžino nismo uvedli posebnega
poimenovanja, tako poimenovanje obstaja. Podrob-
neje ga bomo razložili v odgovoru.
Slika 3
Sedaj pa k nalogam. Potrebujete pomočnika, ki bo
na eni strani držal vzmet, da bo ostala raztegnjena.
Na njenem drugem kocu pa boste poskusili ustvariti
različne motnje. Včasih bosta motnje hkrati ustva-
rila tudi oba s pomočnikom.
a) Hitro zamahnite z roko levo ali desno in nazaj na
sredino. Opazujte, kakšna motnja nastane. Kaj mo-
rate narediti, da bo imela motnja večjo amplitudo,
večjo dolžino ali oboje hkrati?
b) Opazujte potovanje motnje po mavrični vzmeti.
S štoparico izmerite hitrost motnje. Ali na hitrost
potovanja motnje vpliva oblika (amplituda, velikost)
motnje? Ali na hitrost potovanja vpliva smer poto-
vanja motnje? Svoje predvidevanje najprej zapišite
na papir, nato šele izvedite poskus.
c) Opazujte, kako se giblje pentljica ali lepilni trak, s
katerim ste označili del vzmeti. Primerjajte gibanje
pentljice in gibanje roke. Kako se gibanji razlikujeta?
d) S pomočnikom naredita hkrati vsak svojo motnjo.
Obe naj bosta ali hrib ali dolina in naj imata čim bolj
enaki amplitudi in dolžini. Kaj se zgodi, ko se motnji
srečata? Zapišite svoje opazovanje.
e) Kaj se bo zgodilo, če se srečata hrib in dolina,
ki potujeta v nasprotnih smereh? Napovejte svoje
predvidevanje. S pomočnikom naredite hkrati vsak
svojo motnjo, ena naj bo hrib in druga dolina. Naj
bosta amplitudi in dolžini čim bolj enaki. Kaj se
zgodi, ko se motnji srečata? Zapišite svoje opazo-
vanje.
3
plitud , dolžina n velikost pa nimata p seb eg po-
m na. Na sliki 3 vidite z poredoma po dve motnji,
ki ju opisujemo kot motnji z manjšo ali večjo ampli-
tudo oziroma daljša in krajša motnja. Zadnji motnji
se razlikujeta tako po amplitudi kot tudi po dolžini.
Čeprav v povezavi z dolžino nism uvedl posebn ga
poimenovanja, tako poimenovanje obstaja. Pod b-
neje g bo o razloži v dgovoru.
Slika 3
Sedaj pa k nalogam. Potrebujete pomočnika, ki bo
na eni strani držal vzmet, da bo ost la raztegn na.
Na njenem drugem kocu pa boste poskusili ustvariti
različne motnje. Včasih bosta motnje hkrati ustva-
rila tudi oba s pomočnikom.
a) Hitro zamahnite z roko levo ali desno in nazaj na
sredino. Opazujte, kakšna motnja nastane. Kaj mo-
rate nar diti, da bo imela motnj večjo amplitudo
večj dolžino ali ob je hkrati?
b) Opazujte potovanje motnje po mavrični vzmeti.
S štop rico izmerite hitrost motnje. Ali na hitro t
potovanja motnje vpliva oblika (amplituda, velikost)
motnje? Ali na hitrost potovanja vpliva smer poto-
vanja motnje? Svoje predvidevanje najprej zapišite
na papir, nato šele izvedite poskus.
c) Opazujte, kako se giblje pentljica ali lepilni trak, s
katerim ste označili del vzmeti. Primerjajte gibanje
pentljice in gibanje roke. Kako se gibanji razlikujeta?
d) S pomočnikom naredita hkrati vsak svojo motnjo.
Obe naj bosta ali hrib ali dolina in naj imata čim bolj
enaki amplitudi in dolžini. Kaj se zgodi, ko se motnji
srečata? Zapišite svoje opazovanje.
e) Kaj se bo zgodilo, če se srečata hrib in dolina,
ki potujeta v nasprotnih smereh? Napovejte svoje
predvidevanje. S pomočnikom naredite hkrati vsak
svojo motnjo, ena naj bo hrib in druga dolina. Naj
bosta amplitudi in dolžini čim bolj enaki. Kaj se
zgodi, ko se motnji srečata? Zapišite svoje opazo-
vanje.
3
plitudo, dolžina in velikost pa nimata posebnega po-
mena. Na sliki 3 vidite zaporedoma po dve motnji,
ki ju opisujemo kot motnji z manjšo ali večjo ampli-
tudo oziroma daljša in krajša motnja. Zadnji motnji
se razlikujeta tako po amplitudi kot tudi po dolžini.
Čeprav v povezavi z dolžino nismo uvedli posebnega
poimenovanja, tako poimenovanje obstaja. Podrob-
neje ga bomo razložili v odgovoru.
Slika 3
Sedaj pa k nalogam. Potrebujete pomočnika, ki bo
na eni strani držal vzmet, da bo ostala raztegnjena.
Na njenem drugem kocu pa boste poskusili ustvariti
različne motnje. Včasih bosta motnje hkrati ustva-
rila tudi oba s pomočnikom.
a) Hitro zamahnite z roko levo ali desno in nazaj na
sredino. Opazujte, kakšna motnja nastane. Kaj mo-
rate narediti, da bo imela motnja večjo amplitudo,
večjo dolžino ali oboje hkrati?
b) Opazujte potovanje motnje po mavrični vzmeti.
S štoparico izmerite hitrost motnje. Ali na hitrost
potovanja motnje vpliva oblika (amplituda, velikost)
motnje? Ali na hitrost potovanja vpliva smer poto-
vanja motnje? Svoje predvidevanje najprej zapišite
na papir, nato šele izvedite poskus.
c) Opazujte, kako se giblje pentljica ali lepilni trak, s
katerim ste označili del vzmeti. Primerjajte gibanje
pentljice in gibanje roke. Kako se gibanji razlikujeta?
d) S pomočnikom naredita hkrati vsak svojo motnjo.
Obe naj bosta ali hrib ali dolina in naj imata čim bolj
enaki amplitudi in dolžini. Kaj se zgodi, ko se motnji
srečata? Zapišite svoje opazovanje.
e) Kaj se bo zgodilo, če se srečata hrib in dolina,
ki potujeta v nasprotnih smereh? Napovejte svoje
predvidevanje. S pomočnikom naredite hkrati vsak
svojo motnjo, ena naj bo hrib in druga dolina. Naj
bosta amplitudi in dolžini čim bolj enaki. Kaj se
zgodi, ko se motnji srečata? Zapišite svoje opazo-
vanje.
3
•
slika 3.
Motnji z različnima amplitudama (zgoraj), z različnima d l
žinama (v sredini) in motnji z različnima velikostma (ampli-
tudi in dolžino).
Presek 38 (2010/2011) 5
f i z i k a
19
Barvni sudoku
3
2
4
Barvni sudoku
V n×n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem
stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n
števil.
1
Milne mehurčke ste zagotovo že napihovali in
spuščali. Milnične opne, iz katerih napihnemo me-
hurček, pa tudi opazovali. Poglejmo si, kako si na
milnični opni sledijo barve, potem pa bomo še na
kratko razložili, kako te barve nastanejo (slika 1).
Slika 1
Opna na levi je bila fotografirana takoj po nastanku.
Barve na njej nakazujejo še pretakanje milnice, a vse-
eno lahko vidimo nekatere zakonitosti. V gornjem
delu opne so zastopane vse mavrične barve, v sre-
dnjem se izmenjujeta le še zelena in magenta, na
dnu pa je opna črna, ker skoznjo vidimo črno za-
veso. Opna na desni je bila posneta nekaj časa po
nastanku. Tokovi milnice so se že umirili, a razpo-
red barv je enak. Na vrhu vidimo tako modro kot ru-
meno in rdečo oziroma magento, nižje se pojavljata
le magenta in zelena. V obeh opnah vidimo tudi slike
okolice in ozadje. A z njimi se tokrat ne bomo ukvar-
jali. Ponovno lahko vidimo enak razpored barv na
milnem mehurčku, čeprav nam jo je zagodla ostrina.
Zakaj se barve sploh pojavijo? Milnici nismo do-
dali nikakršnega barvila, barve se tudi neprestano
spreminjajo, očitno pa za barvna zaporedja veljajo
tudi določene zakonitosti.
Razlog se skriva v interferenci. Interferenca je po-
jav, ki je značilen le za valovanja. Če za nek po-
jav pokažemo prisotnost interference, potem vemo,
da pojav sodi v druščino valovanj. Kaj interferenca
pravzaprav sploh je? Kadar se poti dveh teles sre-
čata in bi se telesi morali znajti ob istem času na
istem mestu, trčita in se običajno odbijeta, kot npr.
žogi, ali pa se sprimeta, kot dve kepi gline, ali pa se
zgodi nekaj vmes kot pri prometni nesreči. Kadar
se srečata dve valovanji, nemoteno potujeta drugo
skozi drugo. Temu pravimo interferenca ali sešte-
vanje valov. Če potujeta valovanji v isti smeri, se
zaradi interference lahko oslabita, ojačata ali nekaj
vmes. Razlog za barve mehurčkov in open, čeprav
milnica ni obarvana, se skriva v interferenci.
Katero valovanje pa je povezano z barvami open
in mehurčkov? Seveda vidna svetloba, ki je elektro-
magnetno valovanje z valovnimi dolžinami med 400
nm (modra) in 700 nm (rdeča). Med tema valovnima
dolžinama oziroma barvama se zvrstijo vse valovne
dolžine, ki jih zaznavamo kot barve v mavrici. Del
svetlobe, ki pada na milnično opno, se ob prehodu iz
zraka v milnico odbije, del pa se širi naprej. Zato vi-
dimo skozi opno zaveso za njo in zato vidimo v opni
sliko luči, ki so bile prižgane za fotografovim hrb-
tom. Enako se zgodi tudi pri prehodu iz milnice v
zrak, z odbito svetlobo se zgodba ponavlja (slika 2).
Odbiti in prepuščeni deli valovanj med seboj inter-
ferirajo. Od valovne dolžine svetlobe oziroma njene
barve je odvisno, ali se bo na različnih plasteh odbita
svetloba ojačila ali oslabila ali nekaj vmes.
2
Milne mehurčke ste zagotovo že napihovali in
spuščali. Milnične opne, iz katerih napihnemo me-
hurček, pa tudi opazovali. Poglejmo si, kako si na
milnični opni sledijo barve, potem pa bomo še na
kratko razložili, kako te barve nastanejo (slika 1).
Slika 1
Opna na levi je bila fotografirana takoj po nastanku.
Barve na njej nakazujejo še pretakanje milnice, a vse-
eno lahko vidimo nekatere zakonitosti. V gornjem
delu opne so zastopane vse mavrične barve, v sre-
dnjem se izmenjujeta le še zelena in magenta, na
dnu pa je opna črna, ker skoznjo vidimo črno za-
veso. Opna na desni je bila posneta nekaj časa po
nastanku. Tokovi milnice so se že umirili, a razpo-
red barv je enak. Na vrhu vidimo tako modro kot ru-
meno in rdečo oziroma magento, nižje se pojavljata
le magenta in zelena. V obeh opnah vidimo tudi slike
okolice in ozadje. A z njimi se tokrat ne bomo ukvar-
jali. Ponovno lahko vidimo enak razpored barv na
milnem mehurčku, čeprav nam jo je zagodla ostrina.
Zakaj se barve sploh pojavijo? Milnici nismo do-
dali nikakršnega barvila, barve se tudi neprestano
spreminjajo, očitno pa za barvna zaporedja veljajo
tudi določene zakonitosti.
Razlog se skriva v interferenci. Interferenca je po-
jav, ki je značilen le za valovanja. Če za nek po-
jav pokažemo prisotnost interference, potem vemo,
da pojav sodi v druščino valovanj. Kaj interferenca
pravzaprav sploh je? Kadar se poti dveh teles sre-
čata in bi se telesi morali znajti ob istem času na
istem mestu, trčita in se običajno odbijeta, kot npr.
žogi, ali pa se sprimeta, kot dve kepi gline, ali pa se
zgodi nekaj vmes kot pri prometni nesreči. Kadar
se srečata dve valovanji, nemoteno potujeta drugo
skozi drugo. Temu pravimo interferenca ali sešte-
vanje valov. Če potujeta valovanji v isti smeri, se
zaradi interference lahko oslabita, ojačata ali nekaj
vmes. Razlog za barve mehurčkov in open, čeprav
milnica ni obarvana, se skriva v interferenci.
Katero valovanje pa je povezano z barvami open
in mehurčkov? Seveda vidna svetloba, ki je elektro-
magnetno valovanje z valovnimi dolžinami med 400
nm (modra) in 700 nm (rdeča). Med tema valovnima
dolžinama oziroma barvama se zvrstijo vse valovne
dolžine, ki jih zaznavamo kot barve v mavrici. Del
svetlobe, ki pada na milnično opno, se ob prehodu iz
zraka v milnico odbije, del pa se širi naprej. Zato vi-
dimo skozi opno zaveso za njo in zato vidimo v opni
sliko luči, ki so bile prižgane za fotografovim hrb-
tom. Enako se zgodi tudi pri prehodu iz milnice v
zrak, z odbito svetlobo se zgodba ponavlja (slika 2).
Odbiti in prepuščeni deli valovanj med seboj inter-
ferirajo. Od valovne dolžine svetlobe oziroma njene
barve je odvisno, ali se bo na različnih plasteh odbita
svetloba ojačila ali oslabila ali nekaj vmes.
2
Milne mehurčke ste zagotovo že napihovali in
spuščali. Milnične opne, iz katerih napihnemo me-
hurček, pa tudi opazovali. Poglejmo si, kako si na
milnični opni sledijo barve, potem pa bomo še na
kratko razložili, kako te barve nastanejo (slika 1).
Slika 1
Opna na levi je bila fotografiran takoj po nastanku.
Barve na njej nakazujejo še pretakanje milnice, a vse-
e o lahko vidimo ekat e zakonitosti. V gornjem
d lu opne so zastopan vse mavrične barve, v sre-
dnjem se izmenjujeta le še zelena in magent , na
dnu pa je opna črna, ker skoznjo vidimo črn za
veso. Opna na desni je bila posneta nekaj č sa po
nast nku. Tokovi milnice so se že umirili, a razpo-
red barv je enak. Na vrhu vidim tako modro kot ru
meno in rdečo ozir ma magento, nižje se poj vljat
le magenta in zelena. V obeh opnah vidimo tudi slike
okolice in ozadje. A z njimi se t krat ne bomo ukvar
jali. Ponovno lahko dimo enak razpored barv a
milnem mehur ku, čeprav nam jo je zagodla ostrina.
Zakaj se barve sploh pojavijo? Milnici nismo do-
dali nikakršnega barvila, barve se udi neprestano
spreminjajo, očit o pa za barvna zaporedja veljajo
tudi določ ne zakonit sti.
Razlog e skriva v interferenci. Interferenca je po-
jav, ki je značilen le za v lovanja. Če za n k po
jav pokažemo pri otn st interference, potem vemo,
da pojav odi v druščino valovanj. Kaj interferenca
pravz prav ploh je? Kadar se poti dveh teles sre-
čata n bi se telesi morali znajti ob istem času na
istem mestu, trčita in se običajno dbijeta, kot npr.
žogi, ali pa se sprimeta, kot dve kepi gline, ali pa se
zgodi nekaj vmes kot pri prometni ne reči. Kadar
se srečata dve valov nji, nemoteno potujeta drugo
skozi drugo. Temu pravimo interferenca ali sešte-
vanje valov. Če potujeta valova ji v isti smeri, se
zaradi interferenc lahko oslabita, ojač ta ali nekaj
vmes. Razl g za barve mehurčkov in open, č prav
ilnica i obar a, se skriva v interferenci.
Katero valovanje pa je povezano z barvami open
in mehurčk v? Seved idn vetloba, ki j elektro-
magnetno valovanje z val vnimi dolžina i med 400
nm (modra) in 700 n (rdeča). Med tema valovnima
dolžinama oziroma barvama se zv stijo vse valovne
olžine, ki jih za navamo kot barve v mavrici. Del
vetlobe, ki pada na milnično opno, se ob prehodu iz
zraka v milnico odbije, del a se širi naprej. Zato vi-
dimo sk zi opno zaveso za nj in zato vidimo v opni
sliko luči, ki so bile prižgane za fotografovim hrb
tom. Enako se zgodi tudi pri prehodu z ilnic v
zrak, z odbito svetlobo se zgodba ponavlja (slika 2).
Odbiti in prepuščeni deli v ovanj med eboj inter-
ferirajo. Od valovne dolžine svetlobe oziroma njene
barve je odvisno, ali se bo na različnih plasteh odbita
svetloba ojačila ali oslabila ali nekaj vmes.
2
. ,
, . ,
,
, .
.
,
.
,
,
,
.
. ,
.
,
.
.
.
, .
,
,
.
.
, .
, ,
.
, , .
, , ,
.
,
.
. ,
,
. ,
, .
,
.
, .
, ,
, .
,
.
, .
.
,
.
il t t i l i
l il i i t i i -
t li l j i i
il i i i l ij t
t l ili t t j ( li )
li
l i j il f t r r t j t
r j j j j r t j il i -
l i i t it ti r j
l t ri r r -
j i j j t l l i t
j r r j i i r
i j il t j
t i il i irili r -
r r j r i i t r t r
i r ir t i j j lj t
l t i l i i t i li
li i j ji i t r t r
j li l i r r r
il r r j j l tri
j r l j ij il i i i -
li i r r il r i r t
r i j j it r r j lj j
t i l it ti
l ri i t rf r i I t rf r j -
j i j il l l j
j ri t t i t rf r t
j i r i l j j i t rf r
r r l j r ti t l r -
t i t l i r li jti i t
i t t tr it i i j ij t t r
i li ri t t i li li
i j t ri r t i r i r
r t l ji t t j t r
i r r i i t rf r li t -
j l t j t l ji i ti ri
r i i t rf r l l it j t li j
l r r i r
il i i r ri i t rf r i
t r l j j r i
i r i tl i j l tr -
t l j l i i l i i
( r ) i (r ) t l i
l i ir r tij l
l i i ji t r ri i l
tl i il i r i
r il i ij l iri r j t i-
i i j i t i i i
li l i i il ri f t r f i r
t i t i ri r il i
r it tl lj ( li )
iti i r i li j j i t r-
f rir j l l i tl ir j
r j i li r li i l t it
tl j il li l il li j
ne ehurčke s e zago ovo že nap hova n
spušča . n čne opne, z ka er h nap hne o e
hurček, pa ud opazova . Pog e o s , kako s na
n čn opn s ed o barve, po e pa bo o še na
kra ko raz ož , kako e barve nas ane o s ka 1 .
S ka 1
pna na ev e b a o og afi ana ako po nas anku.
Ba ve na n e nakazu e o še p e akan e n ce, a vse
e o ahko v d o eka ere zakon os . V go n e
de u opne so zas opane vse av čne ba ve, v s e
dn e se z en u e a e še ze ena n agen a, na
dnu pa e opna č na, ke skozn o v d o č n za-
veso. pna na desn e b a posne a neka časa po
nas anku. Tokov n ce so se že u , a azpo
ed ba v e enak. a v hu v d ako od o ko u-
eno n dečo oz a agen o, n ž e se po av a a
e agen a n ze ena. V obeh opnah v d o ud s ke
oko ce n ozad e. z n se k a ne bo o ukva -
a . Ponovno ahko vid o enak azpo ed ba v a
ne ehu cku, čep av na o e zagod a os na.
Zaka se ba ve sp oh po av o? n c n s o do
da n kak šnega ba v a, ba ve se tud nep es ano
sp e n a o, oč o pa za ba vna zapo ed a ve a o
ud do očene zakon s .
Raz og se sk va v n e e enc . n e e enca e po
av, k e znač en e za va ovan a. Če za nek po-
av pokaže o p so n s n e e ence, po e ve o,
da po av sod v d ušč no va ovan . Ka n e e enca
p avzap av sp oh e? Kada se po dveh e es s e
ča a in b se e es o a zna ob s e času na
s e es u, č a n se ob ča no db e a, ko np .
žog , a pa se sp e a, ko dve kep g ne, a pa se
zgod neka v es ko p p o e n nes eč . Kada
se s eča a dve va ovan , ne o eno po u e a d ugo
skoz d ugo. Te u p av o n e e enca a seš e
van e va ov. Če po u e a va ova v s s e , se
za ad n e e ence ahko os ab a, o ača a a neka
v es. Raz g za ba ve ehu čkov n open, čep av
n ca oba va a, se sk va v n e e enc .
Ka e o va ovan e pa e povezano z ba va open
n ehu čk v? Seveda v dna sve oba, k e e ek o
agne no va ovan e z va vn do ž na ed 400
n od a n 700 n deča . ed e a va ovn a
do ž na a oz o a ba va a se zvrs o vse va ovne
o ž ne, k h za nava o ko ba ve v av c . e
sve obe, k pada na n čno opno, se ob p ehodu z
z aka v n co odb e, de a se š nap e . Za o v
d o sk z opno zaveso za n n za o v d o v opn
s ko uč , k so b e p žgane za o og a ov h b-
o . Enako se zgod ud p p ehodu iz n ce v
z ak, z odb o sve obo se zgodba ponav a s ka 2 .
db n p epuščen de valovan ed sebo n e
e a o. d va ovne do ž ne sve obe oz o a n ene
ba ve e odv sno, a se bo na az čn h p as eh odb a
sve oba o ač a a os ab a a neka v es.
2
il i l i
l il i i i i -
li l j i i
il i i i l ij
l ili j ( li )
li
O l i j il j
j j j j j il i -
n l i i n i i j
l i -
j i j j l l i
j j i i o
O i j il j
i il i i ili -
j N i i o
i i o i j j lj
l i l i i i li
li i j A ji i o
j li l i n
il ˇ j j l i
j l j ij il i i i -
li i il i
i j j i n j lj j
i l i o i
l i i i I j -
j i j il l l j
j i o i
j i i l j j i
l j i l -
i l i li j i i
i i i i j o ij
i li i i li li
i j i i i
l ji j
i i i li -
j l j l nji i i i
i i l l i j li j
lo i
il i ni n i i i
l j j i
i o i l i j l -
l j lo i i l i i
( ) i ( ) l i
l i i ij l
d l i i ji z i i D l
l i il i i
il i ij l p i i j i-
i o i jo i i i i
li l i i il i i
i i i il i
i l lj ( li )
O i i i i li j j i -
i j O l l i l i j
j i li li i l i
l j il li l il li j
•
mojca čepič
Barve brez 
barvil 
o d g o v o r   n a l o g e
Slika 2
Svetloba običajne svetilke ali sončna svetloba vse-
buje vse valovne dolžine vidne svetlobe v takih de-
ležih, da je videti bela. Po odboju na tanki milnični
opni pa se svetloba enih valovnih dolžin zaradi oja-
čitev odbije v večjih deležih kot svetloba drugih va-
lovnih dolžin. Katere so te valovne dolžine, določa
debelina opne, pa tudi snov, iz katere opna je. Če
je opna zelo tanka, precej manj kot valovna dolžina
svetlobe, je opna videti prozorna, ker se oslabitve in
ojačitve sploh ne pojavijo. Če je debela okoli 200 do
300 nm, se zares ojači le ena valovna dolžina, ostale
pa mnogo manj in opna bo videti ojačene barve. Ba-
rva opne se z naraščajočo debelino spreminja od mo-
dre proti rdeči. Rdeča barva se ne pojavi, ker je tedaj
poleg rdeče hkrati ojačena tudi modra barva in opna
je videti barve ciklame - magenta. Te barve v mavrici
ne najdemo, saj je sestavljena iz dveh barv z naspro-
tnih koncev spektra vidne svetlobe. Zelena barva, ki
ima valovno dolžino med rdečo in modro, pa je osla-
bljena. V opnah, debelih nekaj valovnih dolžin, se
ojačuje več barv iz cele mavrične palete hkrati. Va-
lovne dolžine med sosednjimi ojačenimi barvami v
spektru pa so oslabljene. Če pogledamo seštevek teh
barvnih svetlob, se z naraščajočo debelino opne iz-
menjujeta le še magenta in zelena. Ti barvi sta med
seboj komplementarni. Če se debelina opne še po-
večuje, se barve svetlob, ki so ojačene in oslabljene,
razlikujejo že tako malo, da mešanico oko ponovno
zazna kot belo svetlobo.
Sedaj lahko razumemo, zakaj si barve opne sle-
dijo, kot vidimo na sliki 1. Milnična opna se pod
vplivom teže preliva in je zato na različnih mestih
različno debela. To vidimo na sliki 1 levo. Ko se pre-
takanje čez nekaj časa umiri, je opna na spodnjem
delu debelejša, na gornjem pa tanjša. Zato je v naj-
višjem delu prozorna, nato je modra, sledijo pa ji
mavrične barve, ki se končajo z magento. Takrat,
ko je opna dovolj debela, da se ojači rdeča barva,
je hkrati tudi ponovno dovolj debela, da se nekoliko
ojači tudi odboj modre barve. Z naraščanjem debe-
line se potem na krajših in krajših razdaljah izme-
njujeta magenta in zelena, dokler ne postane opna
spet prozorna. Enako velja za mehurček. Tudi po
mehurčku se barve spreminjajo na podoben način.
Na vrhu je mehurček tanek, ker je milnica odtekla
navzdol, in je prozoren. Nato si barve sledijo kot na
navpično postavljeni opni, le njih površine so zaradi
okrogline mehurčka večje. Na dnu je mehurček debel
in zato spet prozoren.
Fotografiranje open in mehurčkov je zahtevno de-
lo. Vse se dogaja precej hitro, fotoaparat noče ubo-
gati fotografa in ostriti na razdaljah, kjer se nahaja
mehurček, pa še ti zlobni mehurčki najraje počijo
takrat, ko jih ujameš v objektiv. S kolegom Gora-
nom Iskrićem sva se za posnetke pošteno namučila,
a nisva najbolj zadovoljna. Zato najinih fotografskih
dosežkov ne sodite prestrogo.
3
slika 1.
Milna opna takoj po nastanku (levo), em, ko so j  preta
k nje že umirilo (sredina), in milni mehurček (desno).
presek 38 (2010/2011) 520
f i z i k a
p
o
iz
k
u
š
e
v
a
l
n
ic
a
 d
o
m
a
•
Slika 2
Svetloba običajne svetilke ali sončna svetloba vse-
buje vse valovne dolžine vidne svetlobe v takih de-
ležih, da je videti bela. Po odboju na tanki milnični
opni pa se svetloba enih valovnih dolžin zaradi oja-
čitev odbije v večjih deležih kot svetloba drugih va-
lovnih dolžin. Katere so te valovne dolžine, določa
debelina opne, pa tudi snov, iz katere opna je. Če
je opna zelo tanka, precej manj kot valovna dolžina
svetlobe, je opna videti prozorna, ker se oslabitve in
ojačitve sploh ne pojavijo. Če je debela okoli 200 do
300 nm, se zares ojači le ena valovna dolžina, ostale
pa mnogo manj in opna bo videti ojačene barve. Ba-
rva opne se z naraščajočo debelino spreminja od mo-
dre proti rdeči. Rdeča barva se ne pojavi, ker je tedaj
poleg rdeče hkrati ojačena tudi modra barva in opna
je videti barve ciklame - magenta. Te barve v mavrici
ne najdemo, saj je sestavljena iz dveh barv z naspro-
tnih koncev spektra vidne svetlobe. Zelena barva, ki
ima valovno dolžino med rdečo in modro, pa je osla-
bljena. V opnah, debelih nekaj valovnih dolžin, se
ojačuje več barv iz cele mavrične palete hkrati. Va-
lovne dolžine med sosednjimi ojačenimi barvami v
spektru pa so oslabljene. Če pogledamo seštevek teh
barvnih svetlob, se z naraščajočo debelino opne iz-
menjujeta le še magenta in zelena. Ti barvi sta med
seboj komplementarni. Če se debelina opne še po-
večuje, se barve svetlob, ki so ojačene in oslabljene,
razlikujejo že tako malo, da mešanico oko ponovno
zazna kot belo svetlobo.
Sedaj lahko razumemo, zakaj si barve opne sle-
dijo, kot vidimo na sliki 1. Milnična opna se pod
vplivom teže preliva in je zato na različnih mestih
različno debela. To vidimo na sliki 1 levo. Ko se pre-
takanje čez nekaj časa umiri, je opna na spodnjem
delu debelejša, na gornjem pa tanjša. Zato je v naj-
višjem delu prozorna, nato je modra, sledijo pa ji
mavrične barve, ki se končajo z magento. Takrat,
ko je opna dovolj debela, da se ojači rdeča barva,
je hkrati tudi ponovno dovolj debela, da se nekoliko
ojači tudi odboj modre barve. Z naraščanjem debe-
line se potem na krajših in krajših razdaljah izme-
njujeta magenta in zelena, dokler ne postane opna
spet prozorna. Enako velja za mehurček. Tudi po
mehurčku se barve spreminjajo na podoben način.
Na vrhu je mehurček tanek, ker je milnica odtekla
navzdol, in je prozoren. Nato si barve sledijo kot na
navpično postavljeni opni, le njih površine so zaradi
okrogline mehurčka večje. Na dnu je mehurček debel
in zato spet prozoren.
Fotografiranje open in mehurčkov je zahtevno de-
lo. Vse se dogaja precej hitro, fotoaparat noče ubo-
gati fotografa in ostriti na razdaljah, kjer se nahaja
mehurček, pa še ti zlobni mehurčki najraje počijo
takrat, ko jih ujameš v objektiv. S kolegom Gora-
nom Iskrićem sva se za posnetke pošteno namučila,
a nisva najbolj zadovoljna. Zato najinih fotografskih
dosežkov ne sodite prestrogo.
3
Slika 2
Svetloba običajne svetilke ali sončna svetloba vse-
buje vse valovne dolžine vidne svetlobe v takih de-
ležih, da je videti bela. Po odboju na tanki milnični
opni pa se svetloba enih valovnih dolžin zaradi oja-
čitev odbije v večjih deležih kot svetloba drugih va-
lovnih dolžin. Katere so te valovne dolžine, določa
debelina opne, pa tudi snov, iz katere opna je. Če
je opna zelo tanka, precej manj kot valovna dolžina
svetlobe, je opna videti prozorna, ker se oslabitve in
ojačitve sploh ne pojavijo. Če je debela okoli 200 do
300 nm, se zares ojači le ena valovna dolžina, ostale
pa mnogo manj in opna bo videti ojačene barve. Ba-
rva opne se z naraščajočo debelino spreminja od mo-
dre proti rdeči. Rdeča barva se ne pojavi, ker je tedaj
poleg rdeče hkrati ojačena tudi modra barva in opna
je videti barve ciklame - magenta. Te barve v mavrici
ne najdemo, saj je sestavljena iz dveh barv z naspro-
tnih koncev spektra vidne svetlobe. Zelena barva, ki
ima valovno dolžino med rdečo in modro, pa je osla-
bljena. V opnah, debelih nekaj valovnih dolžin, se
ojačuje več barv iz cele mavrične palete hkrati. Va-
lovne dolžine med sosednjimi ojačenimi barvami v
spektru pa so oslabljene. Če pogledamo seštevek teh
barvnih svetlob, se z naraščajočo debelino opne iz-
menjujeta le še magenta in zelena. Ti barvi sta med
seboj komplementarni. Če se debelina opne še po-
večuje, se barve svetlob, ki so ojačene in oslabljene,
razlikujejo že tako malo, da mešanico oko ponovno
zazna kot belo svetlobo.
Sedaj lahko razumemo, zakaj si barve opne sle-
dijo, kot vidimo na sliki 1. Milnična opna se pod
vplivom teže preliva in je zato na različnih mestih
različno debela. To vidimo na sliki 1 levo. Ko se pre-
takanje čez nekaj časa umiri, je opna na spodnjem
delu debelejša, na gornjem pa tanjša. Zato je v naj-
višjem delu prozorna, nato je modra, sledijo pa ji
mavrične barve, ki se končajo z magento. Takrat,
ko je opna dovolj debela, da se ojači rdeča barva,
je hkrati tudi ponovno dovolj debela, da se nekoliko
ojači tudi odboj modre barve. Z naraščanjem debe-
line se potem na krajših in krajših razdaljah izme-
njujeta magenta in zelena, dokler ne postane opna
spet prozorna. Enako velja za mehurček. Tudi po
mehurčku se barve spreminjajo na podoben način.
Na vrhu je mehurček tanek, ker je milnica odtekla
navzdol, in je prozoren. Nato si barve sledijo kot na
navpično postavljeni opni, le njih površine so zaradi
okrogline mehurčka večje. Na dnu je mehurček debel
in zato spet prozoren.
Fotografiranje open in mehurčkov je zahtevno de-
lo. Vse se dogaja precej hitro, fotoaparat noče ubo-
gati fotografa in ostriti na razdaljah, kjer se nahaja
mehurček, pa še ti zlobni mehurčki najraje počijo
takrat, ko jih ujameš v objektiv. S kolegom Gora-
nom Iskrićem sva se za posnetke pošteno namučila,
a nisva najbolj zadovoljna. Zato najinih fotografskih
dosežkov ne sodite prestrogo.
3
slika 2.
Večkratni dboj svetlo-
be na tankih plasteh
Presek 38 (2010/2011) 5
f i z i k a
21
vpadla svetloba
zrak
zrak
milnica
odbit  svetloba
42. Kako hitro se svinčnik prevrne? Postavi svinč-
nik na mizo navpično na konico in ga, kar se da pre-
vidno, izpusti. Štopaj ali oceni, v kolikšnem času se
svinčnik prevrne in pade na mizo. Kolikšen najkrajši
čas se ti je posrečil?
Zakaj svinčnik pravzaprav pade, saj je v ravno-
težju? Sila svinčnikove teže in sila podlage pod ko-
nico sta namreč nasprotno enaki.
Primerjaj čas padanja s teoretičnim pričakovanjem.
Izpeljava, ki je tukaj ne navajamo, pokaže, da na-
klonski kot φ raste s časom približno eksponentno:
φ(t) = φ0 exp(t/τ) ,
kjer je značilni čas τ =
√
/3g. Čas padanja je to-
rej približno t ≈ τ ln(φ1/φ0). Privzemi končni kot
φ1 = π/2 in začetni kot φ0 ≈ 0,1◦ = 0.0017 , kar
pomeni, da si vrh svinčnika dolžine  = 18 cm držal
le za x0 = φ ≈ 0,3 mm nenatančno. Ker je odvi-
snost od φ0 logaritmična, se izboljšava (zmanjšanje)
φ0 le malo pozna, zmoti že tresenje okolice. Tudi
pri skrajni natančnosti bi zmotile celo termične in
kvantne fluktuacije.
Kaj pa če konica svinčnika ni ostra, temveč topa?
Kolikšen mora biti radij krogca, da se ti posreči po-
staviti svinčnik v stabilno lego? Za šalo lahko pre-
dlagamo novo metodo za merjenje drhtavice (kako
nemirno roko imaš). Potrebuješ le zaporedje bolj ali
manj ošiljenih svinčnikov in ravno podlago (slika 1).
Slika 1
2
•
mitja rosina
Razmisli in 
poskusi
•
42. Kako hitro se svinčnik prevrne? Postavi svinč-
nik na izo navpično na konico in ga, kar se da pre-
vidno, izpusti. Štopaj ali oceni, v kolikšne času se
svinčnik prevrne in pade na izo. Kolikšen najkrajši
čas se ti je posrečil?
Zakaj svinčnik pravzaprav pade, saj je v ravno-
težju? Sila svinčnikove teže in sila podlage pod ko-
nico sta na reč nasprotno enaki.
Pri erjaj čas padanja s teoretični pričakovanje .
Izpeljava, ki je tukaj ne navaja o, pokaže, da na-
klonski kot raste s časo približno eksponentno:
(t) = 0 exp(t/τ) ,
kjer je značilni čas τ =
√
/3g. Čas padanja je to-
rej približno t ≈ τ ln( 1/ 0). Privze i končni kot
1 = π/2 in začetni kot 0 ≈ 0,1◦ = 0.0017 , kar
po eni, da si vrh svinčnika dolžine  = 18 c držal
le za x0 =  ≈ 0,3 nenatančno. Ker je odvi-
snost od 0 logarit ična, se izboljšava (z anjšanje)
0 le alo pozna, z oti že tresenje okolice. Tudi
pri skrajni natančnosti bi z otile celo ter ične in
kvantne fluktuacije.
Kaj pa če konica svinčnika ni ostra, te več topa?
Kolikšen ora biti radij krogca, da se ti posreči po-
staviti svinčnik v stabilno lego? Za šalo lahko pre-
dlaga o novo etodo za erjenje drhtavice (kako
ne irno roko i aš). Potrebuješ le zaporedje bolj ali
anj ošiljenih svinčnikov in ravno podlago (slika 1).
Slika 1
2
slika 3.
Oljni madež na mokrem asfaltu. Barve nastanejo zaradi od-
boja na tankih plasteh (zgoraj). Barve tekoče kristalne opne 
nakazujejo, da se debelina opne spreminja (Foto: E. Gorec-
ka). Deli različni barv so različno debeli (spodaj).Slika 3
Še nekaj. Barve, ki nastanejo brez barvil, vidimo mar-
sikje. Če pušča olje na avtomobilu, bomo mavrice, ki
se cedijo izpod avtomobila, videli ob deževnih dneh.
Na podoben način je nastala tudi slika 3 levo. Ma-
vrične madeže olja lahko vidite tudi na vodni gla-
dini v pristanišču. Pojav, ki smo ga opisovali danes,
uporabljajo tudi znanstveniki za določanje struktur.
Slika 3 desno je nastala ob študiju posebnega fa-
znega prehoda, ko so ob ohlajanju opne iz tekočih
kristalov na njej pri določeni temperaturi začeli rasti
labirinti.
4
presek 38 (2010/2011) 522
f i z i k a
a s t r o n o m i j a
23
Prav gotovo ste že kdaj občudovali slike, ki so
jih posneli mojstri astrofotografije. Posnetki so ze-
lo ostri, z zvezdami in zvezdicami, ki so zares ve-
čje ali manjše pike in ne le bolj ali manj razma-
zane packe. Res je, da lahko danes, v digitalni dobi,
mnogo lažje posnamemo odlične astronomske fo-
tografije kot pred leti. Toda dobre rezultate lahko
tudi danes dosežemo le s temeljitim poznavanjem
lastnosti fotoaparata, tehnik ostrenja, časov osve-
tlitve. Zapisano velja seveda tudi za fotografe, ki bi
radi posneli dobre neastronomske fotografije. Ti-
sto, kar je pri astrofotografiji posebnega, so dolgi
časi osvetlitve in s tem povezano sledenje zvez-
dam, ki po nebu drsijo proti zahodu. Saj vemo – v
resnici se Zemlja neprestano vrti okoli svoje osi.
Fotografiranje nebesnih objektov z objektivi in tele-
objektivi je med amaterskimi astronomi od nekdaj
zelo priljubljeno. Omogoča nam prvi stik s pravo
astrofotografijo. Potrebujemo le fotoaparat in naj-
preprostejši amaterski teleskop na ekvatorialni na-
stavitvi, ki ga bomo uporabili kot sledilni teleskop.
Na ta način se bomo prvič srečali s sledenjem zvez-
dam med osvetljevanjem, ki pa na srečo pri fotogra-
firanju z objektivi ni tako kritično. Ti prvi koraki v
svet astrofotografije s sledenjem nas bodo vsekakor
ohrabrili, da bomo naredili še korak naprej – k foto-
grafiranju v primarnem gorišču teleskopa.
Nove generacije objektivov so se s svojimi karak-
teristikami že zelo približale astrokameram. Kako-
vostni 300-milimetrski f/2,8 teleobjektiv, ki ima 107
milimetrov veliko lečje, je po svojih lastnostih le ne-
koliko slabši od 15-centimetrske f/2 astrokamere ti-
pa Schmidt, ki ima enako goriščno razdaljo.
Poglejmo si vse, kar smo povedali, nekoliko po-
drobneje.
Teleskop za sledenje
Preprost sistem za astrofotografijo s teleobjektivi se-
stavljata teleskop na ekvatorialni nastavitvi in pa
vzporedno z njim pritrjen fotoaparat (slika 1). Nujno
je, da ima nastavitev možnost preciznih pomikov po
obeh oseh vsaj z gibkimi vijaki. Motor za sledenje
je koristen, saj olajša delo, ni pa nujno potreben.
Vsaj pri astrofotografiji s kratkogoriščnimi objektivi
lahko shajamo brez njega.
Potrebujemo še okular z osvetljenim nitnim kri-
žem in Barlow lečo, ki nam podaljša goriščno razda-
ljo teleskopa. Ker bomo s teleskopom izbrani zvezdi
le sledili, je popolnoma vseeno, kako kakovostna je
slika te zvezde v zornem polju. Za čim bolj natančno
sledenje je pomembno le to, da je povečava na sle-
dilnem teleskopu čim večja. Ko bomo sledili zvezdi,
ki jo bomo skušali držati na sredini nitnega križa,
2
j li li , i
ji li j i j . i -
l i, i i i i, i -
j li j i i l lj li j -
. j , l , i i l i i,
l j li -
j l i. l l
i l lji i j
l i , i j , -
li . i lj i , i i
i li j . i-
, j i ji , l i
i li i l j -
, i ij i . j
i i lj i li j i.
j i j j i i i l -
j i i j i i i j
l ilj lj . i i
j . j l i j-
j i i l i l i -
i i, i ili l il i l .
i i li l j -
lj j , i i -
j j i i i i i . i i i
j l j
ili, ili j -
j i i l .
ij j i ji i -
i i i l i li l . -
i - ili i , l j i , i i
ili li l j , j ji l i l -
li l i - i i-
i , i i i lj .
l j i , li, li -
j .
l l j
i j l j i i -
lj l i l i i i i
ji i j ( li ). j
j , i i i i i
j i i i ij i. l j
j i , j l j l , i j .
j i ji i i i j i i
l j j .
j l lj i i i i-
i l l , i lj i -
lj l . l i i i
l l ili, j l , j
li lj . i lj
l j j l , j l -
il l i j . l ili i,
i j li i i i i i ,
r t st s s
s str str f t r s t s
str s r s
š r
s s t
s str s f
t r t r t r r t t
t s s s t t
st st f t r t t str s s
t t s s t f t r f
r s r str s f t r
st r r str f t r s s
s s t t s t s
rs r t –
r s s r st rt s s
t r r e e es e t e t te e
e t e e ters str e
e r e c r st s r
str f t r tre e e f t r t
re r ste š ters te es e t r
st t r t s e te es
t c se r c srec s s e e e e
e s et e e srec r f t r
r e t t r t c r r
s et str f t r e s s e e e s se r
r r re še r re – f t
r r r r e r šc te es
e e er c e e t s se s s r
ter st e e r e str er
st etrs f/ te e e t
etr e ec e e s st st e e
s š ce t etrs e f/ str ere t
c t e r šc r
e s se r s e e
r e e
re r st s ste str f t r s te e e t se
st t te es e t r st t
re r tr e f t r t s
e st te st rec
e se s t r s e e e
e r ste s š e tre e
s r str f t r s r t r šc e t
s re e
tre e še r s et e t r
e r ec š r šc r
te es er s te es r e
e s e e see st e
s te e e r e c t c
s e e e e e e t e ec s e
e te es c ec s e e
s š r t sre t e r
P av go ovo e že kdaj občudovali like, ki o
jih po neli oj i a o o og afije. Po ne ki o ze-
lo o i, z zvezda i in zvezdica i, ki o za e ve-
čje ali anj e pike in ne le bolj ali anj az a-
zane packe. e je, da lahko dane , v digi alni dobi,
nogo lažje po na e o odlične a ono ke o-
og afije ko p ed le i. Toda dob e ezul a e lahko
udi dane do eže o le e elji i poznavanje
la no i o oapa a a, ehnik o enja, ča ov o ve-
li ve. Zapi ano velja eveda udi za o og a e, ki bi
adi po neli dob e nea ono ke o og afije. Ti-
o, ka je p i a o o og afiji po ebnega, o dolgi
ča i o ve li ve in e povezano ledenje zvez-
da , ki po nebu d ijo p o i zahodu. Saj ve o v
e nici e Ze lja nep e ano v i okoli voje o i.
Fo og afi anj n b nih obj k ov z obj k ivi in l -
obj k ivi j d a a ki i a ono i od n kdaj
z lo p iljublj no. ogoˇa na p vi ik p avo
a o o og afijo. Po buj o l o oapa a in naj-
p p o j i a a ki l kop na kva o ialni na-
avi vi, ki ga bo o upo abili ko l dilni l kop.
a a na ǐn bo o p viˇ ˇali l d nj zv z-
da d o v lj vanj , ki pa na ˇo p i o og a-
fi anju z obj k ivi ni ako k i iˇno. Ti p vi ko aki v
v a o o og afij l d nj na bodo v kako
oh ab ili, da bo o na dili ko ak nap j k o o-
g afi anju v p i a n go i ˇu l kopa.
ov g n a ij obj k ivov o voji i ka ak-
i ika i ž z lo p ibližal a oka a . Kako-
vo ni 300- ili ki 2,8 l obj k iv, ki i a 107
ili ov v liko l ˇj , j po vojih la no ih l n -
koliko lab i od 15- n i k 2 a oka i-
pa S h id , ki i a nako go i ˇno azdaljo.
Pogl j o i v , ka o pov dali, n koliko po-
d obn j .
elesk za sle e je
P p o i za a o o og afijo l obj k ivi -
avlja a l kop na kva o ialni na avi vi in pa
vzpo dno z nji p i j n o oapa a ( lika 1). ujno
j , da i a na avi v ožno p iznih po ikov po
ob h o h v aj z gibki i vijaki. o o za l d nj
j ko i n, aj olaj a d lo, ni pa nujno po b n.
V aj p i a o o og afiji k a kogo i ˇni i obj k ivi
lahko haja o b z nj ga.
Po buj o okula z o v lj ni ni ni k i-
ž in Ba lo l ˇo, ki na podalj a go i ˇno azda-
ljo l kopa. K bo o l kopo izb ani zv zdi
l l dili, j popolno a v no, kako kakovo na j
lika zv zd v zo n polju. Za ǐ bolj na anˇno
l d nj j po bno l o, da j pov ˇava na l -
diln l kopu ǐ v ˇja. Ko bo o l dili zv zdi,
ki jo bo o ku ali d ža i na dini ni n ga k iža,
2
R
O
N
N
T op d n
N
M
w
r t st j li sli , i s
ji s li m jstri str f t r j . s t i s -
l stri, mi i i mi, i s r s -
j li m jš i i l lj li m j r m -
. s j , l s, i it l i i,
m l j s m m li str ms f -
t r j t r l ti. r r lt t l
t i s s m l s t m ljitim j m
l st sti f t r t , t i str j , s s -
tlit . is lj s t i f t r f , i i
r i s li r str ms f t r j . i-
st , r j ri str f t r ji s , s l i
si s tlit i s t m sl j -
m, i rsij r ti . j m –
r s i i s mlj r st rti li s j si.
t r r je e es i je t je ti i i tele-
je ti i je me m ters imi str mi e j
el rilj lje . m c m r i sti s r
str f t r j . tre jem le f t r t i j-
re r stejši m ters i teles e t ri l i -
st it i, i m r ili t sle il i teles .
t ci se m r ic srec li s sle e jem e -
m me s etlje jem, i srec ri f t r -
r j je ti i i t ritic . i r i r i
s et str f t r je s sle e jem s se r
r rili, m re ili še r rej – f t -
r r j rim r em rišc teles .
e e er cije je ti s se s s jimi r -
teristi mi e el ri li le str mer m. -
st i -milimetrs i f/ , tele je ti , i im
milimetr eli lecje, je s ji l st sti le e-
li sl ši -ce timetrs e f/ str mere ti-
c mi t, i im e rišc r lj .
lejm si se, r sm e li, e li -
r eje.
l l j
re r st sistem str f t r j s tele je ti i se-
st lj t teles e t ri l i st it i i
re jim ritrje f t r t (sli ). j
je, im st ite m st reci i mi
e se s j i imi ij i. t r sle e je
je riste , s j l jš el , i j tre e .
s j ri str f t r ji s r t rišc imi je ti i
l s j m re je .
tre jem še l r s etlje im it im ri-
em i rl lec , i m ljš rišc r -
lj teles . er m s teles m i r i e i
le sle ili, je l m see , st je
sli te e e r em lj . cim lj t c
sle e je je mem le t , je ec sle-
il em teles cim ecj . m sle ili e i,
i j m s š li r ti sre i i it e ri ,
P a go o o e že a o č o a e, o
o e o a o o og a e. Po e o ze
o o , z z ez a z ez ca , o za e e
č e a a e e e e o a a az a
za e ac e. e e, a a o a e , g a o ,
ogo až e o a e o o č e a o o e o
og a e o e e . o a o e ez a e a o
a e o eže o e e e oz a a e
a o o oa a a a, e o e a, ča o o e
e. a a o e a e e a za o og a e,
a o e o e ea o o e o og a e.
o, a e a o o og a o e ega, o o g
ča o e e e o eza o e e e z ez
a , o e o o za o . Sa e o
e c e e a e e a o o o o e o .
Fo og a a b ob k ov z ob k v
ob k v a a k a o o o k a
z o b o. ogoˇa a v k avo
a o o og a o. Po b o o oa a a a
o a a k ko a kva o a a
av v , k ga bo o o ab ko ko .
a a aˇ bo o v ˇ ˇa zv z
a o v va , k a a ˇo o og a
a z ob k v ako k ˇ o. v ko ak v
v a o o og a a bo o v kako
o ab , a bo o a ko ak a k o o
g a a v a go ˇ ko a.
ov g a ob k vov o vo ka ak
ka ž z o b ža a oka a . ako
vo 300 k 2,8 ob k v, k a 107
ov v ko ˇ , o vo a o
ko ko ab o 15 k 2 a oka
a S , k a ako go ˇ o az a o.
Pog o v , ka o ov a , ko ko o
ob .
s s
P o za a o o og a o ob k v
av a a ko a kva o a a av v a
vz o o z o oa a a ka 1 . o
, a a a av v ož o z o kov o
ob o v a z g bk v ak . o o za
ko , a o a a o, a o o b .
a a o o og a k a kogo ˇ ob k v
a ko a a o b z ga.
Po b o ok a z o v k
ž Ba o ˇo, k a o a a go ˇ o az a
o ko a. bo o ko o zb a zv z
, o o o a v o, kako kakovo a
ka zv z v zo o . a ˇ bo a a ˇ o
o b o o, a ov ˇava a
ko ˇ v ˇ a. o bo o zv z ,
k o bo o k a ža a ga k ža,
2
v t v t kd j b ud v li lik ki
jih p n li j t i t f t fij n tki -
l t i v d i in v di i ki v -
j li nj pik in n l b lj li nj -
n p k j d l hk d n v di it lni d bi
n l j p n dli n t n k f -
t fij k t p d l ti T d d b ult t l hk
tudi d n d l t ljiti p n v nj
l tn ti f t p t t hnik t nj v v -
tlitv Z pi n v lj v d tudi f t f ki bi
di p n li d b n t n k f t fij Ti-
t k j p i t f t fiji p bn d l i
i v tlitv in t p v n l d nj v -
d ki p n bu d ij p ti h du j v v
ni i Z lj n p t n v ti k li v j i
t r fir nj n nih j t j ti i in t l -
j ti i j d t r i i tr n i d n d j
l prilju lj n n pr i ti pr
tr f t r fij tr uj l f t p r t in n j-
pr pr t j i t r i t l p n t ri lni n -
t it i i up r ili t l dilni t l p
t n in pr i r li l d nj -
d d tlj nj i p n r pri f t r -
fir nju j ti i ni t riti n Ti pr i r i
t tr f t r fij l d nj n d r
hr rili d n r dili r n pr j f t -
r fir nju pri rn ri u t l p
n r ij j ti ji i r -
t ri ti i l pri li l tr r K -
tni - ili tr i f t l j ti i i
ili tr li l j j p jih l tn tih l n -
li l i d - nti tr f tr r ti-
p h idt i i n ri n r d lj
l j i r p d li n li p -
dr n j
ele k za le e je
r pr t i t tr f t r fij t l j ti i -
t lj t t l p n t ri lni n t it i in p
p r dn nji pritrj n f t p r t ( li ) ujn
j d i n t it n t pr i nih p i p
h h j i i i ij i t r l d nj
j ri t n j l j d l ni p nujn p tr n
V j pri tr f t r fiji r t ri ni i j ti i
l h h j r nj
tr uj ul r tlj ni nitni ri-
in rl l i n p d lj ri n r d -
lj t l p K r t l p i r ni di
l l dili j p p ln n tn j
li t d rn p lju Z i lj n t n n
l d nj j p n l t d j p n l -
diln t l pu i j K l dili di
i j u li dr ti n r dini nitn ri
r s s , s
s s r s r r . s s
s r , , s r s
š r
. R s , s, ,
s s r s
r r . r r
s s s
s s r , s r , s s
. s s r ,
r s r s r s r .
s , r r s r r s , s
s s s s
, rs r . –
r s s r s r s s .
e e es e e e e
e e e e s s e
e e . O c s s
s . e e e
e s e š e s e es e
s , s e e es .
N c se c s ec s s e e e e
e s e e e , s ec
e c .
s e s e s s e e e s se
, e še e –
e šc e es .
N e e e c e e s se s s
e s e e e s e .
s e s / , e e e ,
e e ec e, e s s s e e
s š ce e s e / s e e
c , e šc .
e s se, s e , e
e e.
T op d n
e s s s e s s e e e se
s e es e s
e e s . N
e, s e s ec
e se s . s e e e
e s e , s š e , e e .
s s s šc e
s e e .
e e še s e e
e w ec , š šc
e es . e s e es e
e s e , e see , s e
s e e e e . c c
s e e e e e e , e ec s e
e e es c ec . s e e ,
s š s e e ,
j li li i
ji li j i j i -
l i i i i i i -
j li j i i l lj li j -
j l i i l i i
l j li -
j l i l l
i l lji i j
l i i j -
li i lj i i i
i li j i-
j i ji l i
i li i l j -
i ij i j
i i lj i li j i
j i j j i i i l -
j i i j i i i j
l ilj lj i i
j j l i j-
j i i l i l i -
i i i ili l il i l
i i li l j -
lj j i i -
j j i i i i i i i i
j l j
ili ili j -
j i i l
ij j i ji i -
i i i l i li l -
i - ili i l j i i i
ili li l j j ji l i l -
li l i - i i-
i i i i lj
l j i li li -
j
l l j
i j l j i i -
lj l i l i i i i
ji i j ( li ) j
j i i i i i
j i i i ij i M l j
j i j l j l i j
j i ji i i i j i i
l j j
j l lj i i i i-
i l l i lj i -
lj l l i i i
l l ili j l j
li lj i lj
l j j l j l -
il l i j l ili i
i j li i i i i i
P a goto o te že a o č o a e, o
o e mo t a t ofotog a e. Po et o ze
o o t , z z ez am z ez cam , o za e e
č e a ma e e e e o a ma azma
za e ac e. e e, a a o a e , g ta o ,
m ogo až e o amemo o č e a t o om e fo
tog a e ot e et . o a o e ez tate a o
t a e o ežemo e teme t m oz a a em
a t o t fotoa a ata, te o t e a, ča o o e
t t e. a a o e a e e a t za fotog afe,
a o e o e ea t o om e fotog a e.
to, a e a t ofotog a o e ega, o o g
ča o et t e tem o eza o e e e z ez
am, o e o ot za o . Sa emo
e c e em a e e ta o t o o o e o .
Fotogra ra b ob ktov z ob kt v t
ob kt v m amat r k m a tro om o k a
z o r b o. mogoˇa am rv t k ravo
a trofotogra o. Potr b mo fotoa arat a
r ro t amat r k t ko a kvator a a
tav tv , k ga bomo orab kot t ko .
a ta aˇ bomo rv ˇ r ˇa m zv z
am m o v t va m, k a a r ˇo r fotogra
ra z ob kt v tako kr t ˇ o. rv korak v
v t a trofotogra m a bo o v kakor
o rabr , a bomo ar korak a r k foto
gra ra v r mar m gor ˇ t ko a.
ov g ra ob kt vov o vo m karak
t r t kam ž z o r b ža a trokam ram. ako
vo t 300 m m tr k f 2,8 t ob kt v, k ma 107
m m trov v ko ˇ , o vo a t o t
ko ko ab o 15 t m tr k f 2 a trokam r t
a S m t, k ma ako gor ˇ o raz a o.
Pog mo v , kar mo ov a , ko ko o
rob .
s s
Pr ro t t m za a trofotogra o t ob kt v
tav ata t ko a kvator a a tav tv a
vz or o z m r tr fotoa arat ka 1 . o
, a ma a tav t v mož o t r z om kov o
ob o v a z g bk m v ak . otor za
kor t , a o a a o, a o otr b .
a r a trofotogra kratkogor ˇ m ob kt v
a ko a amo br z ga.
Potr b mo ok ar z o v t m t m kr
ž m Bar o ˇo, k am o a a gor ˇ o raz a
o t ko a. r bomo t ko om zbra zv z
, o o oma v o, kako kakovo t a
ka t zv z v zor m o . a ˇ m bo ata ˇ o
om mb o to, a ov ˇava a
m t ko ˇ m v ˇ a. o bomo zv z ,
k o bomo k a ržat a r t ga kr ža,
2
r v v s kd j b ud v li slik ki s
jih p sn li js ri s r r fij sn ki s -
l s ri v d i in v di i ki s r s v -
j li njš pik in n l b lj li nj r -
n p k s j d l hk d n s v di i lni d bi
n l j p sn dli n s r n sk -
r fij k pr d l i T d d br r ul l hk
udi d n s d s l s lji i p n v nj
l s n s i p r hnik s r nj s v sv -
li v Z pis n v lj s v d udi r ki bi
r di p sn li d br n s r n sk r fij Ti-
s k r j pri s r r fiji p s bn s d l i
si sv li v in s p v n sl d nj v -
d ki p n bu drsij pr i h du j v – v
r sni i s Z lj n pr s n vr i k li sv j si
fi nje ne esnih je je i i in ele-
je i i je ed e s i i s n i d ne d j
el p ilju ljen c n p i s i s p
s fij e uje le p in n j-
p ep s ejši e s i eles p n e i lni n -
s i i i up ili sledilni eles p
n cin se p ic s ec li s sledenje e -
d ed s e lje nje i p n s ec p i -
fi nju je i i ni i icn Ti p i i
s e s fije s sledenje n s d se
h ili d n edili še n p ej – -
fi nju p i ne išcu eles p
e ene cije je i s se s s ji i -
e is i i e el p i li le s e K -
s ni - ili e s i / ele je i i i
ili e eli lecje je p s jih l s n s ih le ne-
li sl ši d -cen i e s e / s e e i-
p ch id i i en išcn d lj
lej si se s p ed li ne li p -
d neje
ele k za le e je
ep s sis e s fij s ele je i i se-
s lj eles p n e i lni n s i i in p
p edn nji p i jen p (sli ) ujn
je d i n s i e n s p eci nih p i p
eh seh s j i i i ij i sledenje
je is en s j l jš del ni p nujn p e en
Vs j p i s fiji s išcni i je i i
l h sh j e nje
e uje še ul s e ljeni ni ni i-
e in l lec i n p d ljš išcn d -
lj eles p Ke s eles p i ni e di
le sledili je p p ln seen s n je
sli e e de ne p lju Z ci lj n ncn
sledenje je p e n le d je p ec n sle-
dilne eles pu ci ecj K sledili e di
i j s uš li d i n s edini ni ne i
,
.
, ,
. R , , ,
.
, ,
. ,
.
, ,
, .
.
. O
.
, .
N
,
.
,
.
N
.
, ,
,
, .
, ,
.
T op d n
. N
,
.
, , .
.
w ,
.
, ,
.
,
. ,
,
P a goto o te že aj o č o ali li e, i o
ji o eli oj t i a t ofotog a je. Po et i o ze-
lo o t i, z z ez a i i z ez ica i, i o za e e-
čje ali a j e i e i e le olj ali a j az a-
za e ac e. e je, a la o a e , igital i o i,
ogo lažje o a e o o lič e a t o o e fo-
tog a je ot e leti. o a o e ez ltate la o
t i a e o eže o le te eljiti oz a a je
la t o ti fotoa a ata, te i o t e ja, ča o o e-
tlit e. a i a o elja e e a t i za fotog afe, i i
a i o eli o e ea t o o e fotog a je. i-
to, a je i a t ofotog a ji o e ega, o olgi
ča i o etlit e i te o eza o le e je z ez-
a , i o e ijo oti za o . Saj e o
e ici e e lja e e ta o ti o oli oje o i.
Fotogra ra j b i obj ktov z obj ktivi i t l -
obj ktivi j a at r ki i a tro o i o k aj
z lo rilj blj o. ogoˇa a rvi tik ravo
a trofotogra jo. Potr b j o l fotoa arat i aj-
r ro t j i a at r ki t l ko a kvatorial i a-
tavitvi, ki ga bo o orabili kot l il i t l ko .
a ta a ǐ bo o rviˇ r ˇali l j zv z-
a o v tlj va j , ki a a r ˇo ri fotogra-
ra j z obj ktivi i tako kritiˇ o. i rvi koraki v
v t a trofotogra j l j a bo o v kakor
o rabrili, a bo o ar ili korak a r j k foto-
gra ra j v ri ar gori ˇ t l ko a.
ov g ra ij obj ktivov o voji i karak-
t ri tika i ž z lo ribližal a troka ra . ako-
vo t i 300- ili tr ki f 2,8 t l obj ktiv, ki i a 107
ili trov v liko l ˇj , j o voji la t o ti l -
koliko lab i o 15- ti tr k f 2 a troka r ti-
a S i t, ki i a ako gori ˇ o raz aljo.
Pogl j o i v , kar o ov ali, koliko o-
rob j .
l s sl j
Pr ro t i t za a trofotogra jo t l obj ktivi -
tavljata t l ko a kvatorial i a tavitvi i a
vz or o z ji ritrj fotoa arat ( lika 1). j o
j , a i a a tavit v ož o t r iz i o ikov o
ob o v aj z gibki i vijaki. Motor za l j
j kori t , aj olaj a lo, i a j o otr b .
aj ri a trofotogra ji kratkogori ˇ i i obj ktivi
la ko aja o br z j ga.
Potr b j o ok lar z o v tlj i it i kri-
ž i Barlo l ˇo, ki a o alj a gori ˇ o raz a-
ljo t l ko a. r bo o t l ko o izbra i zv z i
l l ili, j o ol o a v o, kako kakovo t a j
lika t zv z v zor olj . a ǐ bolj ata ˇ o
l j j o b o l to, a j ov ˇava a l -
il t l ko ǐ v ˇja. o bo o l ili zv z i,
ki jo bo o k ali ržati a r i i it ga križa,
2
r s s s
s s r s r r s s
s r s r s
š r
s s
s s r s
r r r r
s s s
s s r s r s s
s s r
r s r s r s r
s r r s r r s s
s s s s
rs r –
r s s r s r s s
e e es e e e e
e e e e s s e
e e c s s
s e e e
e s e š e s e es e
s s e e es
c se c s ec s s e e e e
e s e e e s ec
e c
s e s e s s e e e s se
e še e –
e šc e es
e e e c e e s se s s
e s e e e s e
s e s / e e e
e e ec e e s s s e e
s š ce e s e / s e e
c e šc
e s se s e e
e e
e s s s e s s e e e se
s e es e s
e e s
e s e s ec
e se s s e e e
e s e s š e e e
s s s šc e
s e e
e e še s e e
e ec š šc
e es e s e es e
e s e e see s e
s e e e e c c
s e e e e e e e ec s e
e e es c ec s e e
s š s e e
•
bojan kambič
Astrofotografija 
s preprostim 
sledenjem
•
Presek 38 (2010/2011) 5
a s t r o n o m i j a
24
•
Prav gotovo ste že kdaj občudovali slike, ki so
jih posneli mojstri astrofotografije. Posnetki so ze-
lo ostri, z zvezdami in zvezdicami, ki so zares ve-
čje ali manjše pike in ne le bolj ali manj razma-
zane packe. Res je, da lahko danes, v digitalni dobi,
mnogo lažje posnamemo odlične astronomske fo-
tografije kot pred leti. Toda dobre rezultate lahko
tudi danes dosežemo le s temeljitim poznavanjem
lastnosti fotoaparata, tehnik ostrenja, časov osve-
tlitve. Zapisano velja seveda tudi za fotografe, ki bi
radi posneli dobre neastronomske fotografije. Ti-
sto, kar je pri astrofotografiji posebnega, so dolgi
časi osvetlitve in s tem povezano sledenje zvez-
dam, ki po nebu drsijo proti zahodu. Saj vemo – v
resnici se Zemlja neprestano vrti okoli svoje osi.
Fotografiranje nebesnih objektov z objektivi in tele-
objektivi je med amaterskimi astronomi od nekdaj
zelo priljubljeno. Omogoča nam prvi stik s pravo
astrofotografijo. Potrebujemo le fotoaparat in naj-
preprostejši amaterski teleskop na ekvatorialni na-
stavitvi, ki ga bomo uporabili kot sledilni teleskop.
Na ta način se bomo prvič srečali s sledenjem zvez-
dam med osvetljevanjem, ki pa na srečo pri fotogra-
firanju z objektivi ni tako kritično. Ti prvi koraki v
svet astrofotografije s sledenjem nas bodo vsekakor
ohrabrili, da bomo naredili še korak naprej – k foto-
grafiranju v primarnem gorišču teleskopa.
Nove generacije objektivov so se s svojimi karak-
teristikami že zelo približale astrokameram. Kako-
vostni 300-milimetrski f/2,8 teleobjektiv, ki ima 107
milimetrov veliko lečje, je po svojih lastnostih le ne-
koliko slabši od 15-centimetrske f/2 astrokamere ti-
pa Schmidt, ki ima enako goriščno razdaljo.
Poglejmo si vse, kar smo povedali, nekoliko po-
drobneje.
Teleskop za sledenje
Preprost sistem za astrofotografijo s teleobjektivi se-
stavljata teleskop na ekvatorialni nastavitvi in pa
vzporedno z njim pritrjen fotoaparat (slika 1). Nujno
je, da ima nastavitev možnost preciznih pomikov po
obeh oseh vsaj z gibkimi vijaki. Motor za sledenje
je koristen, saj olajša delo, ni pa nujno potreben.
Vsaj pri astrofotografiji s kratkogoriščnimi objektivi
lahko shajamo brez njega.
Potrebujemo še okular z osvetljenim nitnim kri-
žem in Barlow lečo, ki nam podaljša goriščno razda-
ljo teleskopa. Ker bomo s teleskopom izbrani zvezdi
le sledili, je popolnoma vseeno, kako kakovostna je
slika te zvezde v zornem polju. Za čim bolj natančno
sledenje je pomembno le to, da je povečava na sle-
dilnem teleskopu čim večja. Ko bomo sledili zvezdi,
ki jo bomo skušali držati na sredini nitnega križa,
2
nam bo lahko nekoliko uhajala, pa se to na sliki ne
bo prav nič poznalo. Koliko nam bo zvezda lahko
uhajala, da bo posnetek še vedno oster, pa je odvi-
sno od goriščne razdalje objektiva, s katerim foto-
grafiramo, od povečave v sledilnem teleskopu – torej
od goriščne razdalje objektiva in okularja – in pa od
tega, kako ostro sliko želimo.
Slika 1
Natančnost sledenja
Kot primer vzemimo, da za sledilni teleskop upora-
bljamo najpreprostejši in najcenejši 60-milimetrski
refraktor z goriščno razdaljo 900 milimetrov, ki mu
dodamo Barlow lečo 2X. Ta nam podaljša gorišče
objektiva na 1800 milimetrov. Okular z osvetljenim
nitnim križem ima goriščno razdaljo 9 milimetrov
in polje 52 stopinj. S to kombinacijo dobimo 200-
kratno povečavo in približno 16 ločnih minut veliko
zorno polje. Za kakovostna opazovanja nebesnih te-
les s takšnim refraktorjem je povečava že prevelika,
za sledenje pri astrofotografiji pa je ravno prava.
Na ta sledilni teleskop vzporedno pritrdimo foto-
aparat s 50-milimetrskim objektivom. Usmerimo ga
v želeno smer neba in v zornem polju teleskopa po-
iščemo kakšno razmeroma svetlo zvezdo. Sprožimo
fotoaparat in v sledilnem teleskopu pazimo, da je iz-
brana zvezda vedno v sredini nitnega križa. Njeno
uhajanje sproti popravljamo z gibkimi vijaki. In to
je to! Posneli smo astronomsko fotografijo s slede-
njem!
Tisti, ki ste to že kdaj poskusili, že veste, da je
zvezdo pri 200-kratni povečavi nemogoče za dalj ča-
sa obdržati natančno v sredini nitnega križa. Pa to
tudi ni potrebno. Od goriščne razdalje objektiva, s
katerim fotografiramo, je odvisno, koliko nam lahko
zvezda uhaja iz sredine nitnega križa, ne da bi se to
poznalo na ostrini slike.
Za začetek si moramo postaviti vprašanje, kako
velika je še lahko slika najšibkejših zvezd, da bomo
z ostrino zadovoljni. Za izkušene astrofotografe, ka-
terih fotografije so polne fantastičnih podrobnosti,
je to na fotografiji 20 krat 30 centimetrov okrog 0,2
milimetra. Za nas, ki smo na začetku naše astrofo-
tografske kariere, naj bo ta meja dvakrat večja, torej
0,4 milimetra.
Koliko nam lahko pri teh pogojih zvezda, ki ji sle-
dimo, uhaja iz sredine nitnega križa, vidimo na sliki
2. Če namesto s 50-milimetrskim objektivom sne-
mamo s 35-milimetrskim objektivom, ki ima večje
zorno polje, je sledenje lažje. Težje pa je, če ho-
čemo s takšno kombinacijo snemati nočno nebo s
300-milimetrskim teleobjektivom, ki ima majhno zo-
rno polje. Izkušnje nas bodo naučile, da potrebu-
jemo za kakovostno sledenje pri fotografiranju z dol-
gogoriščnimi teleobjektivi tudi kakovosten in dolgo-
goriščen sledilni teleskop z motornim pogonom po
obeh oseh in elektronsko korekcijo hitrosti. Pri astro-
fotografiji z objektivi lahko uporabljamo vse filtre,
3
nam bo lahko nek liko uhajala, pa se t na sliki e
bo prav nič poznalo. Koliko n m b zvezda lahko
uhajala, da b posnetek še vedno oster, pa je odv -
sno od goriščne raz alje objektiva, s kat rim foto-
grafiramo, od povečave v sledilnem teleskopu – torej
od goriščne razdalje objektiva in okularja – in pa od
tega, kako ostro sliko želimo.
Slika 1
Natančnost sledenja
Kot primer vzemimo, da za sledilni teleskop upora-
bljamo najpreprostejši in najcenejši 60-milimetrski
refr ktor z goriščno razdaljo 900 milimetrov, ki mu
dodamo Barlow lečo 2X. Ta nam podaljša gorišče
objekt va na 1800 milimetrov. Okular z osvetljenim
nitnim križem ima gorišč o razdaljo 9 ili etrov
in polje 52 stopinj. S to kombinacijo dobimo 200-
kratno povečavo in približno 16 ločnih minut veliko
zorno polje. Za kakovostna opazovanja neb snih te-
les s takšnim refraktorjem je povečava že prev lika,
za sled nje pri astrofotografiji pa je ravn prava.
Na ta sledilni teleskop vzporedno pritrdimo foto-
aparat s 50-milimetrskim objektivom. Usm rimo ga
v želeno smer neba in v zornem polju teleskopa po-
iščemo kakšno razmeroma svetlo zvezdo. Sprožimo
foto p rat in v sledilnem teleskopu paz mo, da je iz
br n zvezda vedno v sredini n tnega križa. Njeno
uhaja je sproti popravljamo z gibkimi vija i. In to
je to! Posneli smo astronomsko fotografijo s slede-
njem!
Tisti, ki ste to že kdaj poskusili, že veste, da je
zvezdo pri 200-kratni povečavi nemogoče za dalj ča-
sa obdržati natančno v sredini nitne a križa. Pa to
tudi ni potrebno. Od goriščne razdalje objektiva, s
katerim fotografiramo, je odvisno, koliko nam lahko
a uhaja iz sredine nitnega križa, ne d bi se to
poznalo na ostri i slike.
Za zače ek si moramo postaviti vprašanje, k ko
velika je še lahko slika najšibkejših zvezd, da bom
ostrino zadovoljni. Za izkušene astrofotografe, ka-
terih f tografije so polne fantastičnih podrobnosti,
je to na fo ografiji 20 krat 30 cen met ov okrog 0,2
milimetra. Z nas, ki smo na začetku naše strofo-
tografske kariere, aj bo ta m ja dvakrat večj , torej
0,4 milimetra.
Koliko nam lahko pri teh pogojih zvezda, i ji sle-
dimo, uh ja iz sredine nitnega križa, vidimo na sliki
2. Če namesto s 50-milimetrskim objektivom sn -
ma o s 35-milimetrskim objektivom, ki ima večje
zorno polje, je sledenje lažje. Težje pa je, če ho
če s t kšno kombinacijo snemati nočn ebo s
300-milimetrskim teleobjektivom, ki ima majhno zo
rno polje. Izkušnje nas b do naučile, da potrebu-
jemo za kakovostno sledenje pri fotografiranju z dol
gogoriščnimi tele bjektivi tudi kakovoste in dolgo-
goriščen sledilni teleskop z motornim pogonom po
obeh seh in elektronsko korekcijo h trosti. Pri astro-
fotografiji z objektivi lahko uporabljamo vse filtre,
3
nam bo lahko nekoliko uhajala, pa se to na sliki ne
bo prav nič poznalo. Koliko nam bo zvezda lahko
uhajala, da bo posnetek še vedno oster, pa je odvi-
sno od goriščne razdalje objektiva, s katerim foto-
grafiramo, od povečave v sledilnem teleskopu – torej
od goriščne razdalje objektiva in okularja – in pa od
tega, kako ostro sliko želimo.
Slika 1
Natančnost sledenja
Kot primer vzemimo, da za sledilni teleskop upora-
bljamo najpreprostejši in najcenejši 60-milimetrski
refraktor z goriščno razdaljo 900 milimetrov, ki mu
dodamo Barlow lečo 2X. Ta nam podaljša gorišče
objektiva na 1800 milimetrov. Okular z osvetljenim
nitnim križem ima goriščno razdaljo 9 milimetrov
in polje 52 stopinj. S to kombinacijo dobimo 200-
kratno povečavo in približno 16 ločnih minut veliko
zorno polje. Za kakovostna opazovanja nebesnih te-
les s takšnim refraktorjem je povečava že prevelika,
za sledenje pri astrofotografiji pa je ravno prava.
Na ta sledilni teleskop vzporedno pritrdimo foto-
aparat s 50-milimetrskim objektivom. Usmerimo ga
v želeno smer neba in v zornem polju teleskopa po-
iščemo kakšno razmeroma svetlo zvezdo. Sprožimo
fotoaparat in v sledilnem teleskopu pazimo, da je iz-
brana zvezda vedno v sredini nitnega križa. Njeno
uhajanje sproti popravljamo z gibkimi vijaki. In to
je to! Posneli smo astronomsko fotografijo s slede-
njem!
Tisti, ki ste to že kdaj poskusili, že veste, da je
zvezdo pri 200-kratni povečavi nemogoče za dalj ča-
sa obdržati natančno v sredini nitnega križa. Pa to
tudi ni potrebno. Od goriščne razdalje objektiva, s
katerim fotografiramo, je odvisno, koliko nam lahko
zvezda uhaja iz sredine nitnega križa, ne da bi se to
poznalo na ostrini slike.
Za začetek si moramo postaviti vprašanje, kako
velika je še lahko slika najšibkejših zvezd, da bomo
z ostrino zadovoljni. Za izkušene astrofotografe, ka-
terih fotografije so polne fantastičnih podrobnosti,
je to na fotografiji 20 krat 30 centimetrov okrog 0,2
milimetra. Za nas, ki smo na začetku naše astrofo-
tografske kariere, naj bo ta meja dvakrat večja, torej
0,4 milimetra.
Koliko nam lahko pri teh pogojih zvezda, ki ji sle-
dimo, uhaja iz sredine nitnega križa, vidimo na sliki
2. Če namesto s 50-milimetrskim objektivom sne-
mamo s 35-milimetrskim objektivom, ki ima večje
zorno polje, je sledenje lažje. Težje pa je, če ho-
čemo s takšno kombinacijo snemati nočno nebo s
300-milimetrskim teleobjektivom, ki ima majhno zo-
rno polje. Izkušnje nas bodo naučile, da potrebu-
jemo za kakovostno sledenje pri fotografiranju z dol-
gogoriščnimi teleobjektivi tudi kakovosten in dolgo-
goriščen sledilni teleskop z motornim pogonom po
obeh oseh in elektronsko korekcijo hitrosti. Pri astro-
fotografiji z objektivi lahko uporabljamo vse filtre,
3
  l j
č  
slika 1.
Na ekv torialno nast vitev telesko a sta vzporedno pritrjena
nosilec za fotoapara  in sledilni teleskop.
presek 38 (2010/2011) 5
fotoaparat
s teleobjektivom
okular 
z osvetljenim 
nitnim križem
teleskop
za sledenje
a s t r o n o m i j a
25
čo 2X in 9-milimetrskim okularjem z nitnim križem. Krogi 
kažejo, za koliko lahko pleše zvezda, ki ji sledimo, pri foto-
grafiranju z različnimi objektivi.
•
nam bo lahko nekoliko uhajala, pa se to na sliki ne
bo prav nič poznalo. Koliko nam bo zvezda lahko
uhajala, da bo posnetek še vedno oster, pa je odvi-
sno od goriščne razdalje objektiva, s katerim foto-
grafiramo, od povečave v sledilnem teleskopu – torej
od goriščne razdalje objektiva in okularja – in pa od
tega, kako ostro sliko želimo.
Slika 1
Natančnost sledenja
Kot primer vzemimo, da za sledilni teleskop upora-
bljamo najpreprostejši in najcenejši 60-milimetrski
refraktor z goriščno razdaljo 900 milimetrov, ki mu
dodamo Barlow lečo 2X. Ta nam podaljša gorišče
objektiva na 1800 milimetrov. Okular z osvetljenim
nitnim križem ima goriščno razdaljo 9 milimetrov
in polje 52 stopinj. S to kombinacijo dobimo 200-
kratno povečavo in približno 16 ločnih minut veliko
zorno polje. Za kakovostna opazovanja nebesnih te-
les s takšnim refraktorjem je povečava že prevelika,
za sledenje pri astrofotografiji pa je ravno prava.
Na ta sledilni teleskop vzporedno pritrdimo foto-
aparat s 50-milimetrskim objektivom. Usmerimo ga
v želeno smer neba in v zornem polju teleskopa po-
iščemo kakšno razmeroma svetlo zvezdo. Sprožimo
fotoaparat in v sledilnem teleskopu pazimo, da je iz-
brana zvezda vedno v sredini nitnega križa. Njeno
uhajanje sproti popravljamo z gibkimi vijaki. In to
je to! Posneli smo astronomsko fotografijo s slede-
njem!
Tisti, ki ste to že kdaj poskusili, že veste, da je
zvezdo pri 200-kratni povečavi nemogoče za dalj ča-
sa obdržati natančno v sredini nitnega križa. Pa to
tudi ni potrebno. Od goriščne razdalje objektiva, s
katerim fotografiramo, je odvisno, koliko nam lahko
zvezda uhaja iz sredine nitnega križa, ne da bi se to
poznalo na ostrini slike.
Za začetek si moramo postaviti vprašanje, kako
velika je še lahko slika najšibkejših zvezd, da bomo
z ostrino zadovoljni. Za izkušene astrofotografe, ka-
terih fotografije so polne fantastičnih podrobnosti,
je to na fotografiji 20 krat 30 centimetrov okrog 0,2
milimetra. Za nas, ki smo na začetku naše astrofo-
tografske kariere, naj bo ta meja dvakrat večja, torej
0,4 milimetra.
Koliko nam lahko pri teh pogojih zvezda, ki ji sle-
dimo, uhaja iz sredine nitnega križa, vidimo na sliki
2. Če namesto s 50-milimetrskim objektivom sne-
mamo s 35-milimetrskim objektivom, ki ima večje
zorno polje, je sledenje lažje. Težje pa je, če ho-
čemo s takšno kombinacijo snemati nočno nebo s
300-milimetrskim teleobjektivom, ki ima majhno zo-
rno polje. Izkušnje nas bodo naučile, da potrebu-
jemo za kakovostno sledenje pri fotografiranju z dol-
gogoriščnimi teleobjektivi tudi kakovosten in dolgo-
goriščen sledilni teleskop z motornim pogonom po
obeh oseh in elektronsko korekcijo hitrosti. Pri astro-
fotografiji z objektivi lahko uporabljamo vse filtre,
3
ki jih proizvajalci ponujajo za vizualno opazovanje:
filtre za izboljšanje kontrasta slike, vse vrste emi-
sijskih filtrov (H-alfa, OII, OIII . . . ) in barvne filtre.
Pomembno je, da na začetku za vsak filter posebej
ugotovimo, v kateri legi obročka za ostrenje je slika
najbolj ostra. Zavedati se moramo, da še tako kako-
vosten objektiv rdečo in modro svetlobo preslika v
različni gorišči. Za vse vrste astrofotografije z objek-
tivi je za začetek najprimernejša izbira občutljivosti
400 ali 800 ISO, kar je dovolj, da bomo lahko posneli
tudi šibkejše objekte.
Slika 2
In kdo nam bo poziral?
Pravi projekt, ki je primeren za društva in šolske
krožke, pa tudi za posameznike, je fotografiranje po-
sameznih ozvezdij. Za to potrebujemo objektive od
35-milimetrov (za največja ozvezdja, kot je na pri-
mer Veliki medved) do 135-milimetrov (za tista naj-
manjša, kot sta na primer Delfin ali Žrebiček). Naj-
večkrat pa lahko celotno ozvezdje ujamemo v 50-
milimetrski objektiv.
Da bo naloga nekoliko zahtevnejša in seveda še
bolj zanimiva, lahko z izbiro različnih časov osvetli-
tve ozvezdja posnamemo tako, da so na enem po-
snetku le tiste zvezde, ki jih vidimo s prosti i očm
(torej je mejna magnituda na posnetku 6,5), na dru
em posnetku zvezde do osme magnitude, na tre-
tjem do devete itn.
Ko usmerimo fotoaparat proti izbranemu ozvez-
dju, moramo biti prepričani, da bo celotno ozvezdje
res na posnetku. Ker v iskalu fotoaparata vidimo
le najsvetlejše zvezde, si pomagamo s preprostim
trikom. Ko so naše oči prilagojene na gledanje v
temi, lahko v iskalu fotoaparata vidimo temno sil-
hueto naše roke na svetlejšem ozadju neba. Da pre-
verimo, kateri predel neba bomo posneli, gledamo v
iskalo in premikamo roko pred objektivom, dokler
ne pridemo do roba zornega polja. Sedaj dvignemo
oči le toliko nad fotoaparat, da vidimo, kam kaže
roka. To je približno rob našega posnetka. Posto-
pek lahko ponovimo za vse štiri strani. Tako se nam
bo le redko primerilo, da fotografirani objekt ne bo v
sredini zornega polja.
Kratkogoriščni objektivi so primerni še za fotogra-
firanje vseh svetlejših in razsežnejših meglic, ki naj-
večkrat sploh niso vidne s prostimi očmi. Na zim-
skem nebu je takšnih meglic največ v ozvezdju Ori-
ona in Samoroga.
Večje in svetlejše razsute kopice, kot so Plejade in
Hijade v ozvezdju Bika ali pa M 35 v ozvezdju Dvojč-
kov, so prav primerni objekti za preprosto astrofo-
tografijo. Kateri objektiv bomo izbrali za določen
objekt? Odgovor je odvisen od naših želja.
Kot primer si oglejmo fotografiranje Plejad. Na-
videzni premer kopice je približno 100 ločnih mi-
nut oziroma 1,7 stopinje. Če želimo panoramski po-
snetek Plejad, na katerem bo vidno, kje na nebu ko-
4
ki jih izvajalci ponujajo za vizualno opazovanje:
filtre za izboljšanje kontrasta slike, vse vrste emi
ijskih filtrov (H-alfa, OII, OIII . . . ) in barvne filtre.
Pomembno je, d a za etku za vs k fil er posebej
ugotovimo, v kateri legi obročka za strenje je slika
najbolj ostra. Zavedat s moramo, da še tako kako
osten objektiv rdeč i modro svetlobo preslika v
različni gorišči. Za se vrste astrofotografije z objek-
tivi je za z četek najprimernejša izbira občutljivosti
400 ali 800 ISO, kar je dovolj, da bomo l hko posneli
udi šibkejše objekte.
Slika 2
In kdo nam o oziral?
Pravi projekt, ki je primeren za društva in šolske
krožke, pa tudi za posameznike, je fotografiranje po-
sa eznih z ezdij. Za potrebujemo bj ktive od
35-milimetrov (za največja ozve dja, kot je n pri
mer Veli i medv ) do 135-milimetrov (za tista naj-
manjša, kot sta na primer Delfin ali Žrebiček). Naj-
v čk at pa lahko celotno ozvezdje ujamemo v 50-
milime rs i objektiv.
Da bo naloga nek liko zahtevnejša in seveda še
bolj zanimiva, lahk izbiro različnih časov osvetli-
tve ozvezdja posnamemo ako, da so na enem po-
netku le tiste zvezde, ki jih vidimo s prostimi očmi
(torej je mejna magnituda na osnetku 6,5), na d u
gem posnetku zvezde do o me magnitude, na tre
tjem do devete itn.
Ko usmerimo fotoaparat proti izbranemu ozvez
dju, moramo biti prepričani, da bo celotno ozvezdje
res na posnetku. Ker v iskalu fotoaparata vi imo
le najs etlejše zvezde, si pomagamo s preprostim
trikom. Ko so naše oči prilagojen na gledanje v
emi, lahko v iskalu fo oaparata vidimo temno sil-
hueto naše r ke na svetlejšem ozadju neba. Da pre-
verimo, kat ri predel neba bomo pos eli, gledamo v
iskalo n premikamo roko pred objektivom, dokler
e pridemo do roba zornega polja. Sedaj dvignemo
oči l toliko nad fo oaparat, da vidimo, kam kaže
roka. To je približno rob našega posnetka. Posto-
pek lahko ponovimo za vse štiri strani. Tako se nam
bo le redko primerilo, da fotografirani objekt ne bo v
sredini zornega polja.
Kratkogoriščni objektivi so primerni še za fotogra-
firanje vseh svetlejših in razsežnejših meglic, ki naj-
večkrat sploh niso vidne s prostimi očmi. Na zim-
skem nebu je takšnih meglic največ v ozvezdju Ori-
ona in Samoroga.
Večje in svetlejše razsute kopice, kot so Plejade in
Hijade v ozvezdju Bika ali pa M 35 v ozvezdju Dvojč-
kov, so prav primerni objekti za preprosto astrofo-
tografijo. Kateri objektiv bomo izbrali za določen
objekt? Odgovor je odvisen od naših želja.
Kot primer si oglejmo fotografiranje Plejad. Na-
videzni premer kopice je približno 100 ločnih mi-
nut oziroma 1,7 stopinje. Če želimo panoramski po-
snetek Plejad, na katerem bo vidno, kje na nebu ko-
4
ki jih proizvajalci ponujajo za vizualno opazovanje:
filtre za izboljšanje kontrasta slike, vse vrste emi-
sijskih filtrov (H-alfa, OII, OIII . . . ) in barvne filtre.
Pomembno je, da na začetku za vsak filter posebej
ugotovimo, v kateri legi obročka za ostrenje je slika
najbolj ostra. Zavedati se moramo, da še tako kako-
vosten objektiv rdečo in modro svetlobo preslika v
različni gorišči. Za vse vrste astrofotografije z objek-
tivi je za začetek najprimernejša izbira občutljivosti
400 ali 800 ISO, kar je dovolj, da bomo lahko posneli
tudi šibkejše objekte.
Slika 2
In kdo nam bo poziral?
Pravi projekt, ki je primeren za društva in šolske
krožke, pa tudi za posameznike, je fotografiranje po-
sameznih ozvezdij. Za to potrebujemo objektive od
35-milimetrov (za največja ozvezdja, kot je na pri-
mer Veliki medved) do 135-milimetrov (za tista naj-
manjša, kot sta na primer Delfin ali Žrebiček). Naj-
večkrat pa lahko celotno ozvezdje ujamemo v 50-
milimetrski objektiv.
Da bo naloga nekoliko zahtevnejša in seveda še
bolj zanimiva, lahko z izbiro različnih časov osvetli-
tve ozvezdja posnamemo tako, da so na enem po-
snetku le tiste zvezde, ki jih vidimo s prostimi očmi
(torej je mejna magnituda na posnetku 6,5), na dru-
gem posnetku zvezde do osme magnitude, na tre-
tjem do devete itn.
Ko usmerimo fotoaparat proti izbranemu ozvez-
dju, moramo biti prepričani, da bo celotno ozvezdje
res na posnetku. Ker v iskalu fotoaparata vidimo
le najsvetlejše zvezde, si pomagamo s preprostim
trikom. Ko so naše oči prilagojene na gledanje v
temi, lahko v iskalu fotoaparata vidimo temno sil-
hueto naše roke na svetlejšem ozadju neba. Da pre-
verimo, kateri predel neba bomo posneli, gledamo v
iskalo in premikamo roko pred objektivom, dokler
ne pridemo do roba zornega polja. Sedaj dvignemo
oči le toliko nad fotoaparat, da vidimo, kam kaže
roka. To je približno rob našega posnetka. Posto-
pek lahko ponovimo za vse štiri strani. Tako se nam
bo le redko primerilo, da fotografirani objekt ne bo v
sredini zornega polja.
Kratkogoriščni objektivi so primerni še za fotogra-
firanje vseh svetlejših in razsežnejših meglic, ki naj-
večkrat sploh niso vidne s prostimi očmi. Na zim-
skem nebu je takšnih meglic največ v ozvezdju Ori-
ona in Samoroga.
Večje in svetlejše razsute kopice, kot so Plejade in
Hijade v ozvezdju Bika ali pa M 35 v ozvezdju Dvojč-
kov, so prav primerni objekti za preprosto astrofo-
tografijo. Kateri objektiv bomo izbrali za določen
objekt? Odgovor je odvisen od naših želja.
Kot primer si oglejmo fotografiranje Plejad. Na-
videzni premer kopice je približno 100 ločnih mi-
nut oziroma 1,7 stopinje. Če želimo panoramski po-
snetek Plejad, na katerem bo vidno, kje na nebu ko-
4
pica leži, bomo uporabili 50-milimetrski objektiv. Če
bodo Plejade v sredini posnetka, bomo zajeli še oko-
lico z Aldebaranom in Hijadami in še dele vseh sose-
dnjih ozvezdij. Vedeti pa moramo, da bodo Plejade
na takšnem posnetku majhne, velike le 1,5 milime-
tra. Če želimo posneti portret samih Plejad, moramo
izbrati teleobjektiv z goriščno razdaljo med 400 in
600 milimetri.
Kroglaste kopice, planetarne meglice in galaksije
pa zaradi razmeroma majhne navidezne velikosti za
astrofotografijo z objektivi niso primerne (razen ne-
kaj izjem, kot je na primer galaksija M 31 v ozvezdju
Andromede). Če planetarno meglico M 57 v ozvez-
dju Lire posnamemo z 200-milimetrskim teleobjekti-
vom, bo njena velikost na fotografiji 20 krat 30 cen-
timetrov le 0,7 milimetra.
Za dobre fotografije navidezno majhnih objektov
moramo uporabiti dolgogoriščne objektive oziroma
kar objektiv teleskopa in posneti sliko v njegovem
primarnem gorišču. To pa je že druga zgodba.
Slika 3
Slika 4
5
    ozi al
slik  2.
Z rno polje refr ktorj
60/900 z dodano Barlow le-
Presek 38 (2010/2011) 5
35 mm
50 mm
135 mm
300 mm
a s t r o n o m i j a
26
•
•
•
pica leži, bomo uporabili 50-milimetrski objektiv. Če
bodo Plejade v sredini posnetka, bomo zajeli še oko-
lico z Aldebaranom in Hijadami in še dele vseh sose-
dnjih ozvezdij. Vedeti pa moramo, da bodo Plejade
na takšnem posnetku majhne, velike le 1,5 milime-
tra. Če želimo posneti portret samih Plejad, moramo
izbrati teleobjektiv z goriščno razdaljo med 400 in
600 milimetri.
Kroglaste kopice, planetarne meglice in galaksije
pa zaradi razmeroma majhne navidezne velikosti za
astrofotografijo z objektivi niso primerne (razen ne-
kaj izjem, kot je na primer galaksija M 31 v ozvezdju
Andromede). Če planetarno meglico M 57 v ozvez-
dju Lire posnamemo z 200-milimetrskim teleobjekti-
vom, bo njena velikost na fotografiji 20 krat 30 cen-
timetrov le 0,7 milimetra.
Za dobre fotografije navidezno majhnih objektov
moramo uporabiti dolgogoriščne objektive oziroma
kar objektiv teleskopa in posneti sliko v njegovem
primarnem gorišču. To pa je že druga zgodba.
Slika 3
Slika 4
5
slika 3.
To fantastično fotografijo Andromedine galaksije je posnel eden naših 
najboljših astrofotografov Jurij Stare.
slika 4.
Komet Hyakutake, posnet 27. marca 1996 s 65-milimetrskim f/3,5 
objektivom na film T-M x 400. Čas osvetlitve je bil 22 minut, polje na 
sliki je veliko 40 krat 40 stopinj. T hnik  sledenja je pri kometih nekoliko 
drugačna. Kometi imajo navadi tako veliko lastno gibanje po nebu, da 
moramo obvezno v sledilnem teleskopu slediti kometu in ne kateri od 
bližnjih zvezd. Tako bo slika kometa stra i  polna podrobnosti, zvezde 
pa bodo krajše a i daljše črtice (odvisno od časa osvetlitve in velikosti 
lastnega gibanja kometa). Foto: Herman Mikuž in Bojan Kambič.
presek 38 (2010/2011) 5
27
r a č u n a l n i š t v o
Predstavljen je program SAGE, ki ga nekateri ime-
nujejo tudi veleprojekt svetovne matematične sku-
pnosti in predstavlja alternativo mnogim znanim
komercialnim programom, kot so Magma, Maple,
Mathematica in Matlab. Predstavljenih je nekaj eno-
stavnih primerov uporabe.
Nekaj osnovnih podatkov o programu
SAGE je odprtokodni matematični program, ki ga la-
hko uporabimo za raziskovanje in eksperimentira-
nje na področju elementarne in višje matematike, na
področju teoretične in uporabne matematike. Mate-
matična področja, ki jih zajema, so: teorija števil, al-
gebra, analiza, numerična matematika, kriptografija,
teorija grup, kombinatorika, teorija grafov. Program
je primeren tako za izobraževalne namene kot za
raziskovanje. Namen SAGEa je poenotiti, združiti, a
hkrati tudi razširiti obstoječe programe in program-
ska okolja s področja matematike. Znotraj programa
je možno uporabljati in povezati mnoge ostale ko-
mercialne in nekomercialne programe. Sam program
je zgrajen s pomočjo skoraj 100 obstoječih odprto-
kodnih paketov (ki izvirajo iz samostojnih razisko-
valnih projektov), ki so v SAGEu združeni s poeno-
tenim vmesnikom. Ker uporablja visoko razvita in
optimizirana odprtokodna orodja, kot so GMP, PARI
(teorija števil), GAP (teorija grup), NTL, je pri neka-
terih izračunih zelo hiter. Celotna sintaksa ukazov,
ki niso uvoženi iz ostalih orodij, je enaka kot v pro-
gramskemu jeziku Python.
SAGE lahko uporabljamo znotraj brskalnika, ki se
lokalno poveže s programom iz našega računalnika,
ali preko katerega izmed obstoječih strežnikov na
omrežju. Prav tako lahko objavimo delovne liste in
jih na svetovnem spletu delimo z ostalimi uporab-
niki. Znotraj SAGE beležke lahko ustvarjamo mate-
matične formule, grafiko in še mnogo druge stvari.
Simbolično računanje je zelo enostavno in učinko-
vito. Z učinkovitostjo in pestrostjo uporabe je SAGE
odprtokodna alternativa znanim komercialnim pro-
gramom, kot so Magma, Maple, Mathematica in Ma-
tlab.
Glavna spletna stran projekta je
http://www.sagemath.org/.
Na tej strani se nahajajo osnovne informacije o pro-
gramu, povezave na spletne strani, od koder si je
možno prenesti program, in povezave na druge stra-
ni, povezane s projektom. Inštalacija v operacijskih
sistemih Linux ali Mac OS X je zelo enostavna. Pri
inštalaciji v operacijskih sistemih Windows pa si mo-
ramo pomagati z virtualnim okoljem, kot je recimo
VirtualBox.
Najbolj znan strežnik, preko katerega lahko upo-
rabljamo SAGE, se nahaja na naslovu:
http://www.sagenb.org.
2
t lj j , i t i i -
j j t i l j t t t ti -
ti i t lj lt ti i i
i l i , t , l ,
t ti i tl . t lj i j j -
t i i .
j i t
j rt i t ti i r r , i l -
r i r i j i ri tir -
j r j l t r i i j t ti ,
r j t r ti i r t ti . t -
ti r j , i ji j , : t rij t il, l-
r , li , ri t ti , ri t r j ,
t rij r , i t ri , t rij r f . r r
j ri r t i r l t
r i j . j titi, r iti,
r ti t i r iriti t j r r i r r -
lj r j t ti . tr j r r
j r lj ti i ti t l -
r i l i r i l r r . r r
j r j j r j t j i rt -
i t ( i i ir j i t j i r i -
l i r j t ), i r i -
t i i . r r lj i r it i
ti i ir rt r j , t , I
(t rij t il), (t rij r ), , j ri -
t ri i r i l it r. l t i t ,
i i i i t li r ij, j t r -
r j i t .
l r lj tr j r l i , i
l l r r i r l i ,
li r t r i t j i tr i
r j . r t l j i l li t i
ji t l t li t li i r -
i i. tr j l l t rj t -
ti f r l , r i r t ri.
i li r j j l t i i -
it . i it tj i tr tj r j
rt lt r ti i r i l i r -
r , t , l , t ti i -
tl .
l l t tr r j t j
tt : . t . r .
t j tr i j j i f r ij r -
r , l t tr i, r i j
r ti r r , i r tr -
i, r j t . I t l ij r ij i
i t i i li j l t . ri
i t l iji r ij i i t i i i -
r ti irt l i lj , t j r i
irt l .
j lj tr i , r t r l -
r lj , j l :
tt : . . r .
Pre s a e e rogra S E ga e a er e
e o e e ro e s e o e a e a č e s
os re s a a a er a o og z a
o erc a rogra o o so ag a a e
a e a ca a a Pre s a e e e a e o
s a r ero ora e
s v v r r
S E e o oko a e a č og a k ga a
ko o ab o za az skova e eks e e a
e a o oč e e e a e v š e a e a ke a
o oč eo e č e o ab e a e a ke a e
a č a o oč a k za e a so eo a š ev a
geb a a a za e č a a e a ka k og a a
eo a g ko b a o ka eo a g a ov P og a
e e e ako za zob aževa e a e e ko za
az skova e a e S Ea e oe o z ž a
k a azš obs o eče og a e og a
ska oko a s o oč a a e a ke o a og a a
e ož o o ab a oveza oge os a e ko
e c a e eko e c a e og a e Sa og a
e zg a e s o oč o sko a 100 obs o eč o o
ko ake ov k zv a o z sa os o az sko
va o ek ov k so v S E z že s oe o
e v es ko e o ab a v soko azv a
o z a a o oko a o o a ko so P P
eo a š ev P eo a g L e eka
e z ač ze o e e o a s aksa kazov
k so vože z os a o o e e aka ko v o
g a ske ez k Py o
S E a ko o ab a o z o a b ska ka k se
oka o oveže s og a o z ašega ač a ka
a eko ka e ega z e obs o eč s ež kov a
o ež P av ako a ko ob av o e ov e s e
a sve ov e s e e o z os a o ab
k o a S E be ežke a ko s va a o a e
a č e o e g a ko še ogo ge s va
S bo č o ač a e e ze o e os av o č ko
v o č kov os o es os o o abe e S E
o oko a a e a va z a ko e c a o
g a o ko so ag a a e a e a ca a
ab
av a s e a s a o ek a e
h // sage a h o g/
a e s a se a a a o os ov e o ac e o o
g a ovezave a s e e s a o ko e s e
ož o e es og a ovezave a ge s a
oveza e s o ek o š a ac a v o e ac sk
s s e L x a ac S e ze o e os av a P
š a ac v o e ac sk s s e o s a s o
a o o aga z v a oko e ko e ec o
a Box
a bo z a s ež k eko ka e ega a ko o
ab a o S E se a a a a as ov
h // sagen o g
2
d t vlj n j p m AG , ki n k t i im -
nuj j tudi v l p j kt v t vn m t m ti n ku-
pn ti in p d t vlj lt n tiv mn im n nim
k m i lnim p m m, k t M m , M pl ,
M th m ti in M tl b. d t vlj nih j n k j n -
t vnih p im v up b .
Nekaj o no nih podatko o p og a u
AG j dprt dni m t m ti ni pr r m, i l -
h up r im r i nj in p rim ntir -
nj n p dr ju l m nt rn in i j m t m ti , n
p dr ju t r ti n in up r n m t m ti . M t -
m ti n p dr j , i jih j m , : t rij t il, l-
r , n li , num ri n m t m ti , ript r fij ,
t rij rup, m in t ri , t rij r f . r r m
j prim r n t i r ln n m n t
r i nj . N m n AG j p n titi, dru iti,
h r ti tudi r iriti t j pr r m in pr r m-
lj p dr j m t m ti . Zn tr j pr r m
j m n up r lj ti in p ti mn t l -
m r i ln in n m r i ln pr r m . m pr r m
j r j n p m j r j t j ih dprt -
dnih p t ( i i ir j i m t jnih r i -
lnih pr j t ), i AG u dru ni p n -
t nim m ni m. K r up r lj i r it in
ptimi ir n dprt dn r dj , t GM , ARI
(t rij t il), GA (t rij rup), NT , j pri n -
t rih i r unih l hit r. C l tn int u ,
i ni u ni i t lih r dij, j n t pr -
r m mu j i u th n.
AG l h up r lj m n tr j r lni , i
l ln p pr r m m i n r un lni ,
li pr t r i m d t j ih tr ni n
mr ju. r t l h j im d l n li t in
jih n t n m pl tu d lim t limi up r -
ni i. Zn tr j AG l l h u t rj m m t -
m ti n f rmul , r fi in mn dru t ri.
im li n r un nj j l n t n in u in -
it . Z u in it tj in p tr tj up r j AG
dprt dn lt rn ti n nim m r i lnim pr -
r m m, t M m , M pl , M th m ti in M -
tl .
Gl n pl tn tr n pr j t j
ttp: www. m t . r .
N t j tr ni n h j j n n inf rm ij pr -
r mu, p n pl tn tr ni, d d r i j
m n pr n ti pr r m, in p n dru tr -
ni, p n pr j t m. In t l ij p r ij ih
i t mih inu li M O X j l n t n . ri
in t l iji p r ij ih i t mih Wind w p i m -
r m p m ti irtu lnim lj m, t j r im
Virtu l .
N j lj n n tr ni , pr t r l h up -
r lj m AG , n h j n n l u:
ttp: www. b. r .
Predstavljen je progra SAGE, ki ga nekateri i e-
nujejo tudi veleprojekt svetovne ate atične sku-
pnosti in predstavlja alternativo nogi znani
ko ercialni progra o , kot so ag a, aple,
athe atica in atlab. Predstavljenih je nekaj eno-
stavnih pri erov uporabe.
Nekaj osnovnih podatkov o progra u
SAGE je odprtokodni ate atični progra , ki ga la-
hko uporabi o za raziskovanje in eksperi entira-
nje na področju ele entarne in višje ate atike, na
področju teoretične in uporabne ate atike. Mate-
atična področja, ki jih zaje a, so: teorija števil, al-
gebra, analiza, nu erična ate atika, kriptografija,
teorija grup, ko binatorika, teorija grafov. Progra
je pri eren tako za izobraževalne na ene kot za
raziskovanje. Na en SAGEa je poenotiti, združiti, a
hkrati tudi razširiti obstoječe progra e in progra -
ska okolja s področja ate atike. Znotraj progra a
je ožno uporabljati in povezati noge ostale ko-
ercialne in neko ercialne progra e. Sa progra
je zgrajen s po očjo skoraj 100 obstoječih odprto-
kodnih paketov (ki izvirajo iz sa ostojnih razisko-
valnih projektov), ki so v SAGEu združeni s poeno-
teni v esniko . Ker uporablja visoko razvita in
opti izirana odprtokodna orodja, kot so GMP, PARI
(teorija števil), GAP (teorija grup), NTL, je pri neka-
terih izračunih zelo hiter. Celotna sintaksa ukazov,
ki niso uvoženi iz ostalih orodij, je enaka kot v pro-
gra ske u jeziku Python.
SAGE lahko uporablja o znotraj brskalnika, ki se
lokalno poveže s progra o iz našega računalnika,
ali preko katerega iz ed obstoječih strežnikov na
o režju. Prav tako lahko objavi o delovne liste in
jih na svetovne spletu deli o z ostali i uporab-
niki. Znotraj SAGE beležke lahko ustvarja o ate-
atične for ule, grafiko in še nogo druge stvari.
Si bolično računanje je zelo enostavno in učinko-
vito. Z učinkovitostjo in pestrostjo uporabe je SAGE
odprtokodna alternativa znani ko ercialni pro-
gra o , kot so Mag a, Maple, Mathe atica in Ma-
tlab.
Glavna spletna stran projekta je
ht p://www.sage ath.org/.
Na tej strani se nahajajo osnovne infor acije o pro-
gra u, povezave na spletne strani, od koder si je
ožno prenesti progra , in povezave na druge stra-
ni, povezane s projekto . Inštalacija v operacijskih
siste ih Linux ali Mac OS X je zelo enostavna. Pri
inštalaciji v operacijskih siste ih indows pa si o-
ra o po agati z virtualni okolje , kot je reci o
VirtualBox.
Najbolj znan strežnik, preko katerega lahko upo-
rablja o SAGE, se nahaja na naslovu:
ht p://www.sagenb.org.
2
•
matjaž kovše
Program in 
projekt sage
•
Predstavljen je program SAGE, ki ga nekateri ime-
nujejo tudi veleprojekt svetovne matematične sku-
pnosti in predstavlja alternativo mnogim znanim
komercialnim programom, kot so Magma, Maple,
Mathematica in Matlab. Predstavljenih je nekaj eno-
stavnih primerov uporabe.
Nekaj osnovnih podatkov o programu
SAGE je odprtokodni matematični program, ki ga la-
hko uporabimo za raziskovanje in eksperimentira-
nje na področju elementarne in višje matematike, na
področju teoretične in uporabne matematike. Mate-
matična področja, ki jih zajema, so: teorija števil, al-
gebra, analiza, numerična matematika, kriptografija,
teorija grup, kombinatorika, teorija grafov. Program
je primeren tako za izobraževalne namene kot za
raziskovanje. Namen SAGEa je poenotiti, združiti, a
hkrati tudi razširiti obstoječe programe in program-
ska okolja s področja matematike. Znotraj programa
je možno uporabljati in povezati mnoge ostale ko-
mercialne in nekomercialne programe. Sam program
je zgrajen s pomočjo skoraj 100 obstoječih odprto-
kodnih paketov (ki izvirajo iz samostojnih razisko-
valnih projektov), ki so v SAGEu združeni s poeno-
tenim vmesnikom. Ker uporablja visoko razvita in
optimizirana odprtokodna orodja, kot so GMP, PARI
(teorija števil), GAP (teorija grup), NTL, je pri neka-
terih izračunih zelo hiter. Celotna sintaksa ukazov,
ki niso uvoženi iz ostalih orodij, je enaka kot v pro-
gramskemu jeziku Python.
SAGE lahko uporabljamo znotraj brskalnika, ki se
lokalno poveže s programom iz našega računalnika,
ali preko katerega izmed obstoječih strežnikov na
omrežju. Prav tako lahko objavimo delovne liste in
jih na svetovnem spletu delimo z ostalimi uporab-
niki. Znotraj SAGE beležke lahko ustvarjamo mate-
matične formule, grafiko in še mnogo druge stvari.
Simbolično računanje je zelo enostavno in učinko-
vito. Z učinkovitostjo in pestrostjo uporabe je SAGE
odprtokodna alternativa znanim komercialnim pro-
gramom, kot so Magma, Maple, Mathematica in Ma-
tlab.
Glavna spletna stran projekta je
http://www.sagemath.org/.
Na tej strani se nahajajo osnovne informacije o pro-
gramu, povezave na spletne strani, od koder si je
možno prenesti program, in povezave na druge stra-
ni, povezane s projektom. Inštalacija v operacijskih
sistemih Linux ali Mac OS X je zelo enostavna. Pri
inštalaciji v operacijskih sistemih Windows pa si mo-
ramo pomagati z virtualnim okoljem, kot je recimo
VirtualBox.
Najbolj znan strežnik, preko katerega lahko upo-
rabljamo SAGE, se nahaja na naslovu:
http://www.sagenb.org.
2
Za delo na strežniku si moramo izbrati samo uporab-
niško ime in geslo. Razen obremenjenosti strežnika
in vpliva hitrosti prenosa podatkov preko interneta
je delo v programu, ki smo ga namestili na samo-
stojnem računalniku ali strežniku, identično.
Sage lahko uporabljamo na več načinov:
s pomočjo grafičnega vmesnika (v poljubnem stan-
dardnem brskalniku, kot so Mozilla Firefox, Chrome,
Safari, Opera, Internet Explorer),
s pomočjo ukazne vrstice,
pomočjo pisanja programov, ki jih potem nalo-
žimo v samem programu,
s pomočjo skript napisanih v programskem jeziku
Python.
Delo v SAGEu in nekaj primerov uporabe
Nov delovni list ustvarimo s klikom na
new worksheet
in že lahko pričnemo z delom. Vpišemo na primer
2+2 in kliknemo na evaluate (oziroma pritisnemo
hkrati tipki Shift in Enter):
2+ 2 = 4 .
SAGE računa z ulomki na simboličen način:
1/2+ 2/3 = 7
6
in jih samodejno okrajša:
5/10 = 1
2
.
Prav tako lahko definiramo spremeljivke in jim dolo-
čimo vrednosti. Recimo
a=2
b=-1
in potem izračunamo
a+ b = 1 .
Privzeto je v programu definirana samo spremen-
ljivka x. Tako lahko izračunamo
x + x = 2x .
Ostale spremenljivke definiramo s pomočjo ukaza
var(), recimo var(’y’). Za množenje se upora-
blja ukaz *. Tako izraz 3x + 2 pravilno vnesemo
kot 3*x+2. Za vnos potence uporabimo operator ^
ali operator **. Tako lahko x2 zapišemo kot x^2 ali
x**2.
Nekaj primerov uporabe simboličnega računja pri-
kažeta naslednja dva primera. Ukaz expand razširi
izraz sestavljen iz spremenljivk, tako nam ukaz
3
j i    
  sageu in nekaj pri erov uporabe
Presek 38 (2010/2011) 5
28
r a č u n a l n i š t v o
•
Za delo na strežniku si moramo izbrati samo uporab-
niško ime in geslo. Razen obremenjenosti strežnika
in vpliva hitrosti prenosa podatkov preko interneta
je delo v programu, ki smo ga namestili na samo-
stojnem računalniku ali strežniku, identično.
Sage lahko uporabljamo na več načinov:
s pomočjo grafičnega vmesnika (v poljubnem stan-
dardnem brskalniku, kot so Mozilla Firefox, Chrome,
Safari, Opera, Internet Explorer),
s pomočjo ukazne vrstice,
pomočjo pisanja programov, ki jih potem nalo-
žimo v samem programu,
s pomočjo skript napisanih v programskem jeziku
Python.
Delo v SAGEu in nekaj primerov uporabe
Nov delovni list ustvarimo s klikom na
new worksheet
in že lahko pričnemo z delom. Vpišemo na primer
2+2 in kliknemo na evaluate (oziroma pritisnemo
hkrati tipki Shift in Enter):
2+ 2 = 4 .
SAGE računa z ulomki na simboličen način:
1/2+ 2/3 = 7
6
in jih samodejno okrajša:
5/10 = 1
2
.
Prav tako lahko definiramo spremeljivke in jim dolo-
čimo vrednosti. Recimo
a=2
b=-1
in potem izračunamo
a+ b = 1 .
Privzeto je v programu definirana samo spremen-
ljivka x. Tako lahko izračunamo
x + x = 2x .
Ostale spremenljivke definiramo s pomočjo ukaza
var(), recimo var(’y’). Za množenje se upora-
blja ukaz *. Tako izraz 3x + 2 pravilno vnesemo
kot 3*x+2. Za vnos potence uporabimo operator ^
ali operator **. Tako lahko x2 zapišemo kot x^2 ali
x**2.
Nekaj primerov uporabe simboličnega računja pri-
kažeta naslednja dva primera. Ukaz expand razširi
izraz sestavljen iz spremenljivk, tako nam ukaz
3
Za delo na strežniku si ora o izbrati sa o uporab-
niško i e in geslo. Razen obre enjenosti strežnika
in vpliva hitrosti prenosa podatkov preko interneta
je delo v progra u, ki s o ga na estili na sa o-
stojne računalniku ali strežniku, identično.
Sage lahko uporablja o na več načinov:
s po očjo grafičnega v esnika (v poljubne stan-
dardne brskalniku, kot so ozilla Firefox, Chro e,
Safari, Opera, Internet Explorer),
s po očjo ukazne vrstice,
po očjo pisanja progra ov, ki jih pote nalo-
ži o v sa e progra u,
s po očjo skript napisanih v progra ske jeziku
Python.
elo v S Eu in nekaj pri erov uporabe
Nov delovni list ustvari o s kliko na
new worksheet
in že lahko prične o z delo . Vpiše o na pri er
2+2 in klikne o na evaluate (oziro a pritisne o
hkrati tipki Shift in Enter):
2+ 2 = 4 .
SAGE računa z ulo ki na si boličen način:
1/2+ 2/3 = 7
6
in jih sa odejno okrajša:
5/10 = 1
2
.
Prav tako lahko definira o spre eljivke in ji dolo-
či o vrednosti. Reci o
a=2
b=-1
in pote izračuna o
a+ b = 1 .
Privzeto je v progra u definirana sa o spre en-
ljivka x. Tako lahko izračuna o
x + x = 2x .
Ostale spre enljivke definira o s po očjo ukaza
var(), reci o var(’y’). Za noženje se upora-
blja ukaz *. Tako izraz 3x + 2 pravilno vnese o
kot 3*x+2. Za vnos potence uporabi o operator ^
ali operator **. Tako lahko x2 zapiše o kot x^2 ali
x**2.
Nekaj pri erov uporabe si boličnega računja pri-
kažeta naslednja dva pri era. Ukaz expand razširi
izraz sestavljen iz spre enljivk, tako na ukaz
3
Za delo na strežniku si moramo izbrati samo uporab-
niško ime in geslo. Razen obremenjenosti strežnika
in vpliva hitrosti prenosa podatkov preko interneta
je delo v programu, ki smo ga namestili na samo-
stojnem računalniku ali strežniku, identično.
Sage lahko uporabljamo na več načinov:
s pomočjo grafičnega vmesnika (v poljubnem stan-
dardnem brskalniku, kot so Mozilla Firefox, Chrome,
Safari, Opera, Internet Explorer),
s pomočjo ukazne vrstice,
pomočjo pisanja programov, ki jih potem nalo-
žimo v samem programu,
s pomočjo skript napisanih v programskem jeziku
Python.
Delo v SAGEu in nekaj primerov uporabe
Nov delovni list ustvarimo s klikom na
new worksheet
in že lahko pričnemo z delom. Vpišemo na primer
2+2 in kliknemo na evaluate (oziroma pritisnemo
hkrati tipki Shift in Enter):
2+ 2 = 4 .
SAGE računa z ulomki na simboličen način:
1/2+ 2/3 = 7
6
in jih samodejno okrajša:
5/10 = 1
2
.
Prav tako lahko definiramo spremeljivke in jim dolo-
čimo vrednosti. Recimo
a=2
b=-1
in potem izračunamo
a+ b = 1 .
Privzeto je v programu definirana samo spremen-
ljivka x. Tako lahko izračunamo
x + x = 2x .
Ostale spremenljivke definiramo s pomočjo ukaza
var(), recimo var(’y’). Za množenje se upora-
blja ukaz *. Tako izraz 3x + 2 pravilno vnesemo
kot 3*x+2. Za vnos potence uporabimo operator ^
ali operator **. Tako lahko x2 zapišemo kot x^2 ali
x**2.
Nekaj primerov uporabe simboličnega računja pri-
kažeta naslednja dva primera. Ukaz expand razširi
izraz sestavljen iz spremenljivk, tako nam ukaz
3
Za delo na strežniku si moramo izbrati samo uporab-
niško ime in geslo. Razen obremenjenosti strežnika
in vpliva hitrosti prenosa podatkov preko int r et
je de o v programu, ki smo g namestili na samo-
stojnem računalniku ali trežniku, id n čno.
Sage lahko uporabljamo na več nači ov:
s pomočjo grafičnega vmesnika (v poljubnem stan-
dardne brskalniku, kot so Mozilla Firefox, Chrome,
S fari, Ope a, Internet Explorer),
s pomočjo ukazne vrstice,
pomočjo pisanja programov, ki jih potem nalo-
žim v samem programu,
s pomočjo skript napisanih v programskem jeziku
Python.
Delo v SAGEu in nekaj primerov uporabe
Nov delovni list ustvarimo s klikom na
new worksheet
in že lahko pričnemo z delom. Vpišemo na primer
2+2 in kliknemo na evaluate (oziroma pritisnemo
hkrati tipki Shift in Enter):
2+ 2 = 4 .
SAGE računa z ulomki na simboličen način:
1/2+ 2/3 = 7
6
in jih samodejno okrajša:
5/10 = 1
2
.
Prav tako lahko definiramo spremeljivke in jim dolo-
čimo vrednosti. R cimo
a=2
b -1
in potem izračunamo
a+ b = 1 .
Privzeto je v programu definirana samo spremen-
ljivka x. Tako lahko izračunamo
x + x = 2x .
Ostale spremenljivke definiramo s pomočjo ukaza
var(), reci o var(’y’). Za množenje se upora-
blja ukaz *. Tako izraz 3x + 2 pravilno vnesemo
kot 3*x+2. Za vn s potence uporabimo perator ^
ali operator **. Tako lahko x2 zapiše kot x^2 ali
x**2.
Nekaj primerov uporabe simboličnega računja pri-
kažeta naslednja dva primera. Ukaz exp nd r zširi
izraz sestavljen iz s e nljivk, tako nam ukaz
3
Za delo na strežniku si moramo izbrati samo uporab-
niško ime in geslo. Razen obremenjenosti strežnika
in vpliva hitrosti prenosa podatkov preko int r et
je de o v programu, ki smo g namestili na samo-
stojnem računalniku ali trežniku, id n čno.
Sage lahko uporabljamo na več nači ov:
s pomočjo grafičnega vmesnika (v poljubnem stan-
dardne brskalniku, kot so Mozilla Firefox, Chrome,
S fari, Ope a, Internet Explorer),
s pomočjo ukazne vrstice,
pomočjo pisanja programov, ki jih potem nalo-
žim v samem programu,
s pomočjo skript napisanih v programskem jeziku
Python.
Delo v SAGEu in nekaj pri erov uporabe
Nov delovni list ustvarimo s klikom na
new worksheet
in že lahko pričnemo z delom. Vpišemo na primer
2+2 in kliknemo na evaluate (oziroma pritisnemo
hkrati tipki Shift in Enter):
2+ 2 = 4 .
SAGE računa z ulomki na simboličen način:
1/2+ 2/3 = 7
6
in jih samodejno okrajša:
5/10 = 1
2
.
Prav tako lahko definiramo spremeljivke in jim dolo-
čimo vrednosti. R cimo
a=2
b -1
in potem izračunamo
a+ b = 1 .
Privzeto je v programu definirana samo spremen-
ljivka x. Tako lahko izračunamo
x + x = 2x .
Ostale spremenljivke definiramo s pomočjo ukaza
var(), reci o var(’y’). Za množenje se upora-
blja ukaz *. Tako izraz 3x + 2 pravilno vnesemo
kot 3*x+2. Za vn s potence uporabimo perator ^
ali operator **. Tako lahko x2 zapiše kot x^2 ali
x**2.
Nekaj primerov uporabe simboličnega računja pri-
kažeta naslednja dva primera. Ukaz exp nd r zširi
izraz sestavljen iz s e nljivk, tako nam ukaz
3
expand((x+y)^5) vrne
x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 +y5 .
Ukaz factor poskrbi za razcep izraza sestavljenega
iz spremenljivk, tako nam ukaz
factor(x^2+2*x*y+y^2)
vrne
(
x +y
)2 .
Ukaz simplify poenostavi izraz, sestavljen iz spre-
menljivk, tako ukaz
simplify(factor((x^2-1)/(x-1)))
vrne
x + 1 .
V kolikor imena funkcije, ki bi jo potrebovali, ne po-
znamo v celoti, lahko vtipkamo samo nekaj začetnih
črk ter pritisnemo na tipko TAB. S tem zaporedjem
ukazov se izpišejo vsi vgrajeni ukazi, ki vsebujejo
kot podniz niz znakov, ki smo jih pred tem zapi-
sali. V kolikor je X poljuben matematični objekt, ki
smo ga definirali, lahko z ukazom X. in pritiskom na
tipko TAB dobimo seznam vseh ukazov, ki so pove-
zani z objektom X.
Če vtipkamo plot?, se izpišejo osnovne informa-
cije o funkciji plot (za risanje grafov funkcij) in nekaj
primerov njene uporabe. Če vptipkamo plot??, se
nam prikaže vsa dokumentacija te funkcije, kjer si
lahko ogledamo tudi podrobnosti o tem, kako je vse
skupaj sprogramirano.
Enostavnejše matematične funkcije lahko defini-
ramo na naslednji način: f(x) = x^3+3*x^2+7*x-4.
Graf funkcije f na intervalu [−5,5] narišemo z
ukazom:
p = plot(f, x, -5, 5).
Slika 1
Pri tem f predstavlja ime funkcije, katere graf želimo
narisati, x ime spremenljivke, ki nastopa v funkciji,
-5 ter 5 predstavljata meji intervala, kjer želimo na-
risati graf funkcije.
Definirajmo funkcijo ex sin(2x) z naslednjim za-
poredjem ukazov:
g(x) = exp(x) * sin(2*x).
Potem lahko njen drugi odvod izračunamo s po-
močjo ukaza diff(g, x, 2), in dobimo
d2
dx2
ex sin(2x) = −3ex sin(2x)+ 4ex cos(2x) .
4
expand((x+y)^5) vrne
x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 +y5 .
Ukaz factor poskrbi za razcep izraza sestavljenega
iz spremenljivk, tako nam ukaz
factor(x^2+2*x*y+y^2)
vrne
(
x +y
)2 .
Ukaz simplify poenostavi izraz, sestavljen iz spre-
menljivk, tako ukaz
simplify(factor((x^2-1)/(x-1)))
vrne
x + 1 .
V kolikor imena funkcije, ki bi jo potrebovali, ne po-
znamo v celoti, lahko vtipkamo samo nekaj začetnih
črk ter pritisnemo na tipko TAB. S tem zaporedjem
ukazov se izpišejo vsi vgrajeni ukazi, ki vsebujejo
kot podniz niz znakov, ki smo jih pred tem zapi-
sali. V kolikor je X poljuben matematični objekt, ki
smo ga definirali, lahko z ukazom X. in pritiskom na
tipko TAB dobimo seznam vseh ukazov, ki so pove-
zani z objektom X.
Če vtipkamo plot?, se izpišejo osnovne informa-
cije o funkciji plot (za risanje grafov funkcij) in nekaj
primerov njene uporabe. Če vptipkamo plot??, se
nam prikaže vsa dokumentacija te funkcije, kjer si
lahko ogledamo tudi podrobnosti o tem, kako je vse
skupaj sprogramirano.
Enostavnejše matematične funkcije lahko defini-
ramo na naslednji način: f(x) = x^3+3*x^2+7*x-4.
Graf funkcije f na intervalu [−5,5] narišemo z
ukazom:
p = plot(f, x, -5, 5).
Slika 1
Pri tem f predstavlja ime funkcije, katere graf želimo
narisati, x ime spremenljivke, ki nastopa v funkciji,
-5 ter 5 predstavljata meji intervala, kjer želimo na-
risati graf funkcije.
Definirajmo funkcijo ex sin(2x) z naslednjim za-
poredjem ukazov:
g(x) = exp(x) * sin(2*x).
Potem lahko njen drugi odvod izračunamo s po-
močjo ukaza diff(g, x, 2), in dobimo
d2
dx2
ex sin(2x) = −3ex sin(2x)+ 4ex cos(2x) .
4
r e
5 4 3 2 2 3 4 5 .
s r i r ce i r sest lje e
i s re e lji , t
r e
( )2 .
e st i i r , sest lje i s re-
e lji , t
r e
.
li r i e f cije, i i j tre li, e -
cel ti, l ti s e j cet i
cr ter ritis e ti . te re je
se i išej si r je i i, i se jej
t i i , i s ji re te i-
s li. li r je lj e te tic i je t, i
s e ir li, l i ritis
ti i se se , i s e-
i je t .
e ti , se i išej s e i f r -
cije f ciji l t ( ris je r f f cij) i e j
ri er je e r e. e ti , se
ri e s e t cij te f cije, jer si
l le t i r sti te , je se
s j s r r ir .
st ejše te tic e f cije l e i-
r sle ji ci : .
r f f cije i ter l [ , ] riše
:
li
ri te re st lj i e f cije, tere r f eli
ris ti, i e s re e lji e, i st f ciji,
ter re st lj t eji i ter l , jer eli -
ris ti r f f cije.
e ir j f cij ex si ( ) sle ji -
re je :
te l je r i i r c s -
cj , i i
2
2
ex si ( ) ex si ( ) ex c s( ) .
expand((x+y)^5) vrne
x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 +y5 .
Ukaz factor poskrbi za razcep izraza sestavljenega
iz spremenljivk, tako nam ukaz
factor(x^2+2*x*y+y^2)
vrne
(
x +y
)2 .
Ukaz simplify poenostavi izraz, sestavljen iz spre-
menljivk, tako ukaz
simplify(factor((x^2-1)/(x-1)))
vrne
x + 1 .
V kolikor imena funkcije, ki bi jo potrebovali, ne po-
znamo v celoti, lahko vtipkamo samo nekaj začetnih
črk t r pritisn mo na tipko TAB. S tem zaporedjem
ukazov se izpišejo vsi vgrajeni ukazi, ki vsebujejo
kot podniz niz znakov, ki smo jih pred tem zapi-
sali. V kolikor je X poljuben matematični objekt, ki
smo ga definirali, lahko z ukazom X. in pritiskom na
tipko TAB dobimo seznam vseh ukazov, ki so pove-
zani z objektom X.
Če vtipkamo plot?, se izpišejo osnovne informa-
cije o funkciji plot (za risanje grafov funkcij) in nekaj
primerov njene uporabe. Če vptipkamo plot??, se
nam prikaže vsa dokumentacija te funkcije, kjer si
lahko ogledamo tudi podrobnosti o tem, kako je vse
skupaj sprogramirano.
Enostavnejše matematične funkcije lahko defini-
ramo na naslednji način: f(x) = x^3+3*x^2+7*x-4.
Graf funkcije f na intervalu [−5,5] narišemo z
ukazom:
p = plot(f, x, -5, 5).
Slika 1
Pri tem f predstavlja ime funkc je, katere graf želimo
narisati, x ime spremenljivke, ki nastopa v funkciji,
-5 ter 5 predstavljata meji intervala, kjer želimo na-
risati graf funkcije.
Definirajmo funkcijo ex sin(2x) z naslednjim za-
poredjem ukazov:
g(x) = exp(x) * sin(2*x).
Potem lahko njen drugi odvod izračunamo s po-
močjo ukaza diff(g, x, 2), in dobimo
d2
dx2
ex sin(2x) = −3ex sin(2x)+ 4ex cos(2x) .
4
presek 38 (2010/2011) 5
200
150
100
50
-50
-4 -2 2 4
29
r a č u n a l n i š t v o
potrebno v tem primeru pogosto popraviti vse nare-
kovaje. V kolikor naletimo na težave pri izpisovanju
matematičnih simbolov v brskalniku, je dobro preve-
riti, če je ustrezno nameščen program jsMath.
Kako se najlažje naučimo SAGEa?
Pomoč lahko najdemo na podstrani Help and Support
(http://sagemath.org/help.html). Tam lahko poleg
osnovne dokumentacije najdemo tudi posnetke krat-
kih uvodnih predstavitev programa in razna ostala
gradiva namenjena novim uporabnikom. Prav tako
priporočamo strani Tutorial
http://sagemath.org/doc/tutorial/index.html.
(Interaktivno verzijo priročnika lahko prikličemo tudi
znotraj samega programa, z izbiro menuja Help). Pri-
poročamo tudi kartice z zbirko osnovnih ukazov –
Quick Reference Cards, priročnik, ki razlaga konstru-
kcije – Constructions, in kratke predstavitve SAGEa
– Sage Feature Tour.
Poleg tega obstajata dve zelo aktivni novičarski
skupini, kjer je možno zelo hitro poiskati pomoč:
http://groups.google.com/group/sage-devel (name-
njena razvijalcem),
http://groups.google.com/group/sage-support
(namenjena vsem uporabnikom, ki potrebujejo po-
moč). Precej razvijalcev programa tudi aktivno obja-
vlja zapise o SAGEu na blogih ali objavlja skripte in
predavanja, povezana z uporabo SAGEa.
SAGE skupnost
Vsi sodelujoči razvijalci pri projektu so prostovoljci.
Vsakdo je dobrodošel, da se pridruži pri nadaljnjem
razvoju projekta. Običajno se nekajkrat na leto vse
nove funkcije in aplikacije, ki so jih sprogramirali
prostovoljci, dodajo v novo verzijo programa, ki je
potem prosto dosegljiva na spletni strani in omogoča
enostavno posodobitev programa. Vse nove funkcije
so recenzirane, tako da se napake običajno odpra-
vljajo sproti. Prednost pred komercialnimi paketi je
tudi ta, da lahko uporabnik dostopa do vseh delov
programa in vidi, kako je kaj sprogramirano.
Nekajkrat na leto se zvrstijo SAGE dnevi – SAGE
days, bodisi v obliki samostojnih dogodkov ali kot
spremljevalno dogajanje na različnih matematičnih
konferencah. Poleg uvodnih predstavitev, katerih na-
men je razširiti krog uporabnikov, se pogosto sre-
čajo razvijalci s sorodnih raziskovalnih področij in
se posvetijo razvoju programa glede na določeno po-
dročje. Več o teh dogodkih je možno spremljati na
spletni strani: http://wiki.sagemath.org/SageDays.
V Sloveniji uporabljamo SAGE na Oddelku za mate-
matiko in računalništvo, Fakultete za naravoslovje in
matematiko, Univerze v Mariboru. Pričujoči prispe-
vek je skromna želja avtorja razširiti krog uporab-
nikov programa SAGE v slovenskem matematičnem
prostoru.
6
•
expand((x+y)^5) vrne
x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 +y5 .
Ukaz factor poskrbi za razcep izraza sestavljenega
iz spremenljivk, tako nam ukaz
factor(x^2+2*x*y+y^2)
vrne
(
x +y
)2 .
Ukaz simplify poenostavi izraz, sestavljen iz spre-
menljivk, tako ukaz
simplify(factor((x^2-1)/(x-1)))
vrne
x + 1 .
V kolikor imena funkcije, ki bi jo potrebovali, ne po-
znamo v celoti, lahko vtipkamo samo nekaj začetnih
črk ter pritisnemo na tipko TAB. S tem zaporedjem
ukazov se izpišejo vsi vgrajeni ukazi, ki vsebujejo
kot podniz niz znakov, ki smo jih pred tem zapi-
sali. V kolikor je X poljuben matematični objekt, ki
smo ga definirali, lahko z ukazom X. in pritiskom na
tipko TAB dobimo seznam vseh ukazov, ki so pove-
zani z objektom X.
Če vtipkamo plot?, se izpišejo osnovne informa-
cije o funkciji plot (za risanje grafov funkcij) in nekaj
primerov njene uporabe. Če vptipkamo plot??, se
nam prikaže vsa dokumentacija te funkcije, kjer si
lahko ogledamo tudi podrobnosti o tem, kako je vse
skupaj sprogramirano.
Enostavnejše matematične funkcije lahko defini-
ramo na naslednji način: f(x) = x^3+3*x^2+7*x-4.
Graf funkcije f na intervalu [−5,5] narišemo z
ukazom:
p = plot(f, x, -5, 5).
Slika 1
Pri tem f predstavlja ime funkcije, katere graf želimo
narisati, x ime spremenljivke, ki nastopa v funkciji,
-5 ter 5 predstavljata meji intervala, kjer želimo na-
risati graf funkcije.
Definirajmo funkcijo ex sin(2x) z naslednjim za-
poredjem ukazov:
g(x) = exp(x) * sin(2*x).
Potem lahko njen drugi odvod izračunamo s po-
močjo ukaza diff(g, x, 2), in dobimo
d2
dx2
ex sin(2x) = −3ex sin(2x)+ 4ex cos(2x) .
4
expand((x+y)^5) vrne
x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 +y5 .
Ukaz factor poskrbi za razcep izraza sestavljenega
iz spremenljivk, tako nam ukaz
factor(x^2+2*x*y+y^2)
vrne
(
x +y
)2 .
Ukaz simplify poenostavi izraz, sestavljen iz spre-
menljivk, tako ukaz
simplify(factor((x^2-1)/(x-1)))
vrne
x + 1 .
V kolikor imena funkcije, ki bi jo potrebovali, ne po-
znamo v celoti, lahko vtipkamo samo nekaj začetnih
črk ter pritisnemo na tipko TAB. S tem zaporedjem
ukazov se izpišejo vsi vgrajeni ukazi, ki vsebujejo
kot podniz niz znakov, ki smo jih pred tem zapi-
sali. V kolikor je X poljuben matematični objekt, ki
smo ga definirali, lahko z ukazom X. in pritiskom na
tipko TAB dobimo seznam vseh ukazov, ki so pove-
zani z objektom X.
Če vtipkamo plot?, se izpišejo osnovne informa-
cije o funkciji plot (za risanje grafov funkcij) in nekaj
primerov njene uporabe. Če vptipkamo plot??, se
nam prikaže vsa dokumentacija te funkcije, kjer si
lahko ogledamo tudi podrobnosti o tem, kako je vse
skupaj sprogramirano.
Enostavnejše matematične funkcije lahko defini-
ramo na naslednji način: f(x) = x^3+3*x^2+7*x-4.
Graf funkcije f na intervalu [−5,5] narišemo z
ukazom:
p = plot(f, x, -5, 5).
Slika 1
Pri tem f predstavlja ime funkcije, katere graf želimo
narisati, x ime spremenljivke, ki nastopa v funkciji,
-5 ter 5 predstavljata meji intervala, kjer želimo na-
risati graf funkcije.
Definirajmo funkcijo ex sin(2x) z naslednjim za-
poredjem ukazov:
g(x) = exp(x) * sin(2*x).
Potem lahko njen drugi odvod izračunamo s po-
močjo ukaza diff(g, x, 2), in dobimo
d2
dx2
ex sin(2x) = −3ex sin(2x)+ 4ex cos(2x) .
4
expand((x+y)^5) vrne
x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 +y5 .
Ukaz factor poskrbi za razcep izraza sestavljenega
iz spremenljivk, tako nam ukaz
factor(x^2+2*x*y+y^2)
vrne
(
x +y
)2 .
Ukaz simplify poenostavi izraz, sestavljen iz spre-
menljivk, tako ukaz
simplify(factor((x^2-1)/(x-1)))
vrne
x + 1 .
V kolikor imena funkcije, ki bi jo potrebovali, ne po-
znamo v celoti, lahko vtipkamo samo nekaj začetnih
črk ter pritisnemo na tipko TAB. S tem zaporedjem
ukazov se izpišejo vsi vgrajeni ukazi, ki vsebujejo
kot podniz niz znakov, ki smo jih pred tem zapi-
sali. V kolikor je X poljuben matematični objekt, ki
smo ga definirali, lahko z ukazom X. in pritiskom na
tipko TAB dobimo seznam vseh ukazov, ki so pove-
zani z objektom X.
Če vtipkamo plot?, se izpišejo osnovne informa-
cije o funkciji plot (za risanje grafov funkcij) in nekaj
primerov njene uporabe. Če vptipkamo plot??, se
nam prikaže vsa dokumentacija te funkcije, kjer si
lahko ogledamo tudi podrobnosti o tem, kako je vse
skupaj sprogramirano.
Enostavnejše matematične funkcije lahko defini-
ramo na naslednji način: f(x) = x^3+3*x^2+7*x-4.
Graf funkcije f na intervalu [−5,5] narišemo z
ukazom:
p = plot(f, x, -5, 5).
Slika 1
Pri tem f predstavlja ime funkcije, katere graf želimo
narisati, x ime spremenljivke, ki nastopa v funkciji,
-5 ter 5 predstavljata meji intervala, kjer želimo na-
risati graf funkcije.
Definirajmo funkcijo ex sin(2x) z naslednjim za-
poredjem ukazov:
g(x) = exp(x) * sin(2*x).
Potem lahko njen drugi odvod izračunamo s po-
močjo ukaza diff(g, x, 2), in dobimo
d2
dx2
ex sin(2x) = −3ex sin(2x)+ 4ex cos(2x) .
4
.
i i lj
i lji ,
.
i i , lj i -
lji ,
.
li i ij , i i j li, -
l i, l i j i
i i i . j
i i j i j i i, i j j
i i , i ji i-
li. li j lj i i j , i
i li, l i i i
i i , i -
i j .
i , i i j i -
ij iji l ( i j ij) i j
i j . i ,
i ij ij , j i
l l i i , j
j i .
j i ij l i-
l ji i : .
ij i l , i
:
li
i lj i ij , li
i i, i lji , i iji,
lj ji i l , j li -
i i ij .
i j ij i l ji -
j :
l j i i -
j , i i
i i .
Nedoločeni integral funkcije g(x) lahko izračunamo
s pomočjo ukaza integral(g,x) in dobimo
x → 1
5
(sin(2x)− 2 cos(2x))ex .
Ukaz integrate(g,x,1,5) nam vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x → −1
5
e sin(2)+2
5
e cos(2)+1
5
e5 sin(10)−2
5
e5 cos(10) .
S pomočjo zaporedja ukazov
N(integrate(g,x,1,5),digits=10)
lahko izračunamo numerični približek zgornjega iz-
računa na deset števk natančno:
32.71689711 .
Sezname zapišemo tako, da damo elemente seznama
med oglate oklepaje [ in ] in jih ločimo z vejico.
Sisteme linearnih enačb lahko rešujemo s pomočjo
ukaza solve. Recimo
solve([x +y == 6, x −y == 4], x,y)
nam vrne rešitev
[[x == 5, y == 1]] .
Bolj zapleten primer reševanja nelinearnega sistema
enačb
var(’a,b,c’)
eqn = [a+b*c==1, b-a*c==0, a+b==5]
s = solve(eqn, a,b,c)
nam vrne rešitve sistema enačb
[bc + a = 1,−ac + b = 0, a+ b = 5]:
[
a = 25i
√
79+ 25
6i
√
79− 34 , b =
5i
√
79+ 5
i
√
79+ 11 ,
c = 1
10
i
√
79+ 1
10
]
[
a = 25i
√
79− 25
6i
√
79+ 34 , b =
5i
√
79− 5
i
√
79− 11 ,
c = − 1
10
i
√
79+ 1
10
]
.
Delovni list (worksheet) lahko shranimo na lokalni
računalnik tako, da v menuju File izberemo mo-
žnost Save worksheet to a file. Iz lokalnega ra-
čunalnika ali spletne povezave lahko naložimo de-
lovni list tako, da v istem menuju izberemo možnost
Upload worksheet from a file. S klikom na
gumbek Edit lahko vnašamo besedilo med posame-
zna delovna polja (možno je tudi uporabljati latex-
formule). Pri kopiranju ukazov iz priročnikov je po-
trebno biti pozoren na to, da se lahko znaki za na-
rekovaje ’ izpišejo drugače, kot bi se morali, zato je
5
Nedoločeni integral funkcije g(x) lahko izračunamo
s pomočjo ukaza integral(g,x) in dobimo
x → 1
5
(sin(2x)− 2 cos(2x))ex .
Ukaz integrate(g,x,1,5) nam vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x → −1
5
e sin(2)+2
5
e cos(2)+1
5
e5 sin(10)−2
5
e5 cos(10) .
S pomočjo zaporedja ukazov
N(integrate(g,x,1,5),digits=10)
lahko izračunamo numerični približek zgornjega iz-
računa na deset števk natančno:
32.71689711 .
Sezname zapišemo tako, da damo elemente seznama
med oglate oklepaje [ in ] in jih ločimo z vejico.
Sisteme linearnih enačb lahko rešujemo s pomočjo
ukaza solve. Recimo
solve([x +y == 6, x −y == 4], x,y)
nam vrne rešitev
[[x == 5, y == 1]] .
Bolj zapleten primer reševanja nelinearnega sistema
enačb
var(’a,b,c’)
eqn = [a+b*c==1, b-a*c==0, a+b==5]
s = solve(eqn, a,b,c)
nam vrne rešitve sistema enačb
[bc + a = 1,−ac + b = 0, a+ b = 5]:
[
a = 25i
√
79+ 25
6i
√
79− 34 , b =
5i
√
79+ 5
i
√
79+ 11 ,
c = 1
10
i
√
79+ 1
10
]
[
a = 25i
√
79− 25
6i
√
79+ 34 , b =
5i
√
79− 5
i
√
79− 11 ,
c = − 1
10
i
√
79+ 1
10
]
.
Delovni list (worksheet) lahko shranimo na lokalni
računalnik tako, da v menuju File izberemo mo-
žnost Save worksheet to a file. Iz lokalnega ra-
čunalnika ali spletne povezave lahko naložimo de-
lovni list tako, da v istem menuju izberemo možnost
Upload worksheet from a file. S klikom na
gumbek Edit lahko vnašamo besedilo med posame-
zna delovna polja (možno je tudi uporabljati latex-
formule). Pri kopiranju ukazov iz priročnikov je po-
trebno biti pozoren na to, da se lahko znaki za na-
rekovaje ’ izpišejo drugače, kot bi se morali, zato je
5
Nedol eni integral funkcije ( ) lahk zračunamo
s pomočjo ukaza integral(g,x) in dobimo
x → 1
5
(sin(2x)− 2 cos(2x))ex .
Ukaz integrate(g,x,1,5) nam vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x → −1
5
e sin(2)+2
5
e cos(2)+1
5
e5 sin(10)−2
5
e5 cos(10) .
S pomočjo zaporedja ukazov
N(integrate(g,x,1,5),digits=10)
l hko izr čunamo numerič i približek zgornjega iz-
računa na deset števk natančno:
32.71689711 .
Sezname zapišemo tako, da damo elemente seznama
med oglate oklepaje [ in ] in jih ločimo z veji o.
Sisteme linearnih enačb lahko rešujemo s pomočjo
ukaza solve. Recimo
solve([x +y == 6, x −y == 4], x,y)
nam vrne rešitev
[[x == 5, y == 1]] .
Bolj zapleten primer reševanja nelinearnega sistema
enačb
var(’a,b,c’)
eqn = [a+b*c==1, -a*c==0, a+b==5]
s = solve(eqn, a,b,c)
nam vrne rešitve sistema enačb
[bc + a = 1,−ac + b = 0, a+ b = 5]:
[
a = 25i
√
79+ 25
6i
√
79− 34 , b =
5i
√
79+ 5
i
√
79+ 11 ,
c = 1
10
i
√
79+ 1
10
]
[
a = 25i
√
79− 25
6i
√
79+ 34 , b =
5i
√
79− 5
i
√
79− 11 ,
c = − 1
10
i
√
79+ 1
10
]
.
Delovni list (worksheet) lahko shranimo na l kalni
računalnik tako, da v menuju File izberemo mo
žnost Save worksheet to file. Iz lokalnega ra
čunalnika ali spletne povezave lahko nal žimo de-
lovni list tako, da v istem menuju izberemo m žnost
Upload worksheet from a fil . S klik m na
gumb k Edit lahko vnašamo besedilo med pos me
zna delovna p lja (možno je tudi uporabljati latex
formule). Pri kopiranju ukazov iz prir čnikov je po
trebno biti pozoren na to, da se lahko znaki za na-
rekovaje ’ izpišejo drugače, kot bi se morali, zato je
5
Nedol eni integral funkcije ( ) lahk zračunamo
s pomočjo ukaza integral(g,x) in dobimo
x → 1
5
(sin(2x)− 2 cos(2x))ex .
Ukaz integrate(g,x,1,5) nam vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x → −1
5
e sin(2)+2
5
e cos(2)+1
5
e5 sin(10)−2
5
e5 cos(10) .
S pomočjo zaporedja ukazov
N(integrate(g,x,1,5),digits=10)
l hko izr čunamo numerič i približek zgornjega iz-
računa na deset števk natančno:
32.71689711 .
Sezname zapišemo tako, da damo elemente seznama
med oglate oklepaje [ in ] in jih ločimo z veji o.
Sisteme linearnih enačb lahko rešujemo s pomočjo
ukaza solve. Recimo
solve([x +y == 6, x −y == 4], x,y)
nam vrne rešitev
[[x == 5, y == 1]] .
Bolj zapleten primer reševanja nelinearnega sistema
enačb
var(’a,b,c’)
eqn = [a+b*c==1, -a*c==0, a+b==5]
s = solve(eqn, a,b,c)
nam vrne rešitve sistema enačb
bc + a = 1,−ac + b = 0, a+ b = 5]:
[
a = 25i
√
79+ 25
6i
√
79− 34 , b =
5i
√
79+ 5
i
√
79+ 11 ,
c = 1
10
i
√
79+ 1
10
]
[
a = 25i
√
79− 25
6i
√
79+ 34 , b =
5i
√
79− 5
i
√
79− 11 ,
c = − 1
10
i
√
79+ 1
10
]
.
Delovni list (worksheet) lahko shranimo na l kalni
računalnik tako, da v menuju File izberemo mo
žnost Save worksheet to file. Iz lokalnega ra
čunalnika ali spletne povezave lahko nal žimo de-
lovni list tako, da v istem menuju izberemo m žnost
Upload worksheet from a fil . S klik m na
gumb k Edit lahko vnašamo besedilo med pos me
zna delovna p lja (možno je tudi uporabljati latex
formule). Pri kopiranju ukazov iz prir čnikov je po
trebno biti pozoren na to, da se lahko znaki za na-
rekovaje ’ izpišejo drugače, kot bi se morali, zato je
5
Nedoločeni integral funkcije g(x) lahko izračunamo
s pomočjo ukaza integral(g,x) in dobimo
x → 1
5
(sin(2x)− 2 cos(2x))ex .
Ukaz integrate(g,x,1,5) nam vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x → −1
5
e sin(2)+2
5
e cos(2)+1
5
e5 sin(10)−2
5
e5 cos(10) .
S pomočjo zaporedja ukazov
N(integrate(g,x,1,5),digits=10)
lahko izračunamo numerični približek zgornjega iz-
računa na deset števk natančno:
32.71689711 .
Sezname zapišemo tako, da damo elemente seznama
med oglate oklepaje [ in ] in jih ločimo z vejico.
Sisteme linearnih enačb lahko rešujemo s pomočjo
ukaza solve. Recimo
solve([x +y == 6, x −y == 4], x,y)
nam vrne rešitev
[[x == 5, y == 1]] .
Bolj zapleten primer reševanja nelinearnega sistema
enačb
var(’a,b,c’)
eqn = [a+b*c==1, b-a*c==0, a+b==5]
s = solve(eqn, a,b,c)
nam vrne rešitve sistema enačb
[bc + a = 1,−ac + b = 0, a+ b = 5]:
[
a = 25i
√
79+ 25
6i
√
79− 34 , b =
5i
√
79+ 5
i
√
79+ 11 ,
c = 1
10
i
√
79+ 1
10
]
[
a = 25i
√
79− 25
6i
√
79+ 34 , b =
5i
√
79− 5
i
√
79− 11 ,
c = − 1
10
i
√
79+ 1
10
]
.
Delovni list (worksheet) lahko shranimo na lokalni
računalnik tako, da v menuju File izberemo mo-
žnost Save worksheet to a file. Iz lokalnega ra-
čunalnika ali spletne povezave lahko naložimo de-
lovni list tako, da v istem menuju izberemo možnost
Upload worksheet from a file. S klikom na
gumbek Edit lahko vnašamo besedilo med posame-
zna delovna polja (možno je tudi uporabljati latex-
formule). Pri kopiranju ukazov iz priročnikov je po-
trebno biti pozoren na to, da se lahko znaki za na-
rekovaje ’ izpišejo drugače, kot bi se morali, zato je
5
Nedoločeni integral funkcije g(x) lahko izračunamo
s pomočjo ukaza integral(g,x) in dobimo
x → 1
5
(sin(2x)− 2 cos(2x))ex .
Ukaz integrate(g,x,1,5) nam vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x → −1
5
e sin(2)+2
5
e cos(2)+1
5
e5 sin(10)−2
5
e5 cos(10) .
S pomočjo zaporedja ukazov
N(integrate(g,x,1,5),digits=10)
lahko izračunamo numerični približek zgornjega iz-
računa na deset števk natančno:
32.71689711 .
Sezname zapišemo tako, da damo elemente seznama
med oglate oklepaje [ in ] in jih ločimo z vejico.
Sisteme linearnih enačb lahko rešujemo s pomočjo
ukaza solve. Recimo
solve([x +y == 6, x −y == 4], x,y)
nam vrne rešitev
[[x == 5, y == 1]] .
Bolj zapleten primer reševanja nelinearnega sistema
enačb
var(’a,b,c’)
eqn = [a+b*c==1, b-a*c==0, a+b==5]
s = solve(eqn, a,b,c)
nam vrne rešitve sistema enačb
[bc + a = 1,−ac + b = 0, a+ b = 5]:
[
a = 25i
√
79+ 25
6i
√
79− 34 , b =
5i
√
79+ 5
i
√
79+ 11 ,
c = 1
10
i
√
79+ 1
10
]
[
a = 25i
√
79− 25
6i
√
79+ 34 , b =
5i
√
79− 5
i
√
79− 11 ,
c = − 1
10
i
√
79+ 1
10
]
.
Delovni list (worksheet) lahko shranimo na lokalni
računalnik tako, da v menuju File izberemo mo-
žnost Save worksheet to a file. Iz lokalnega ra-
čunalnika ali spletne povezave lahko naložimo de-
lovni list tako, da v istem menuju izberemo možnost
Upload worksheet from a file. S klikom na
gumbek Edit lahko vnašamo besedilo med posame-
zna delovna polja (možno je tudi uporabljati latex-
formule). Pri kopiranju ukazov iz priročnikov je po-
trebno biti pozoren na to, da se lahko znaki za na-
rekovaje ’ izpišejo drugače, kot bi se morali, zato je
5
l i i t r l f ij ) l i r
j i i
i .
r r t -
l i t r l f ij i t r l , :
i 5 i 5 .
j r j
l i r ri i ri li r j i -
r t t t :
. .
i t , l t
l t l j i i ji l i ji .
i t li r i l r j j
. i
l , , ,
r r it
, .
lj l t ri r r j li r i t
r r it i t
, , :
i
i
,
i
i
,
i
i
i
,
i
i
,
i .
l i li t ( ) l r i l l i
r l i t , j i r -
t . I l l r -
l i li l t l l i -
l i li t t , i t j i r t
. li
l il -
l lj ( j t i r lj ti l t -
f r l ). ri ir j i rir i j -
tr iti r t , l i -
r j i i j r , t i r li, t j
Nedoločeni integral funkcije g(x) lahko izračunamo
s pom jo ukaza integral( , ) in d b mo
x → 1
5
(sin(2x)− 2 cos(2x))ex .
Ukaz integrate(g,x,1,5) nam vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x → −1
5
e sin(2)+2
5
e cos(2)+1
5
e5 sin(10)−2
5
e5 cos(10) .
S pomočjo zaporedja ukazov
N(integrate(g,x,1,5),digits=10)
lahko izračunamo numerični približek zgornjega iz-
r čuna n deset števk nata čno:
32.71689711 .
Sezname zapišemo tako, da damo elemente seznama
med oglate oklepaje [ in ] in jih ločimo z vejico.
Sisteme linearnih enačb lahko rešujemo s pomoˇjo
ukaza solv . Recimo
solve([x +y == 6, x −y == 4], x,y)
nam vrne rešitev
[[x == 5, y == 1]] .
Bolj zapleten primer reševanja nelinearnega sistema
enačb
var(’a,b,c’)
eqn = [a+b*c==1, b-a*c==0, a+b==5]
s = solve(eqn, a, ,c)
nam vrne rešitve sistema enačb
[bc + a = 1,−ac + b = 0, a+ b = 5]:
a = 25i
√
79+ 25
6i
√
79− 34 , b =
5i
√
79+ 5
i
√
79+ 11 ,
c = 1
10
i
√
79+ 1
10
]
[
a = 25i
√
79− 25
6i
√
79+ 34 , b =
5i
√
79− 5
i
√
79− 11 ,
c = − 1
10
i
√
79+ 1
10
]
.
Delovni list (worksheet) lahko shranimo na lokalni
računalnik tako, da v menuju File izberem mo-
žnost Save worksheet to a file. Iz lokalnega ra
čunalnika ali spletne povez ve lahko naložimo de
lovni list tako, da v istem menuju izberem možnost
Upload worksheet from a file. S klik m na
gumbek Edit lahko vnašamo bes dilo med p same-
zna d lovna polja (možno je tudi uporabljati l tex
formule). Pri k piranju ukazov iz priročnikov je po
trebno biti pozoren na to, da se lahk znaki za na
rekovaje ’ izpišejo drugače, kot bi se morali, zato je
5
l i i l ij ) l i
očj g x i o i
i .
-
l i l ij i l , :
i i .
j j
l i i i i li j i -
a a n :
. .
i , l
l l j i i ji l i ji .
i li i l j cj
e. i
, , ,
i
, .
lj l i j li i
b
i i
, , :
, ,
, ,
.
l i li ( ) l i l l i
l i , j i o -
. I l l
l i li l a l l i
l i li , i j i o
. li o
l e il o -
el lj ( j i lj i la
l ). i o i j i i i j
i i , l o i
j i i j , i li, j
Nedoločeni integral funkcije g(x) lahko izračuna o
s po jo ukaza integral( , ) in d bi o
x
1
5
(sin(2x)− 2 cos(2x))ex .
Ukaz integrate(g,x,1,5) na vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x −1
5
e sin(2)+2
5
e cos(2)+1
5
e5 sin(10)−2
5
e5 cos(10) .
S po očjo zaporedja ukazov
N(integrate(g,x,1,5),digits=10)
lahko izračuna o nu erični približek zgornjega iz-
r čuna n deset števk nata čno:
32.71689711 .
Sezna e zapiše o tako, da da o ele ente sezna a
ed oglate oklepaje [ in ] in jih loči o z vejico.
Siste e linearnih enačb lahko rešuje o s po oˇjo
ukaza solv . Reci o
solve([x +y == 6, x −y == 4], x,y)
na vrne rešitev
[[x == 5, y == 1]] .
Bolj zapleten pri er reševanja nelinearnega siste a
enačb
var(’a,b,c’)
eqn = [a+b*c==1, b-a*c==0, a+b==5]
s = solve(eqn, a, ,c)
na vrne rešit siste a enačb
[bc + a = 1,−ac + b = 0, a+ b = 5]:
[
a = 25i
√
79+ 25
6i
√
79− 34 , b =
5i
√
79+ 5
i
√
79+ 11 ,
c = 1
10
i
√
79+ 1
10
]
[
a = 25i
√
79− 25
6i
√
79+ 34 , b =
5i
√
79− 5
i
√
79− 11 ,
c = − 1
10
i
√
79+ 1
10
]
.
Delovni list (worksheet) lahko shrani o na lokalni
računalnik tako, da v enuju File izbere o-
žnost Save worksheet to a file. Iz lokalnega ra-
čunalnika ali spletne povez ve lahko naloži o de-
lovni list tako, da v iste enuju izbere ožnost
Upload worksheet from a file. S klik na
gu bek Edit lahko vnaša o bes dilo ed p sa e-
zna d lovna polja ( ožno je tudi uporabljati l tex-
for ule). Pri k piranju ukazov iz priročnikov je po-
trebno biti pozoren na to, da se lahk znaki za na-
rekovaje ’ izpišejo drugače, kot bi se orali, zato je
5
   č  sagea?
Presek 38 (2010/2011) 5
Ukaz integrate(g,x,1,5) nam vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x → −1
5
e sin(2)+ 2
5
e cos(2)+ 1
5
e5 sin(10)−
2
5
e5 cos(10) .
cj r j
2
Ukaz integrate(g,x,1,5) nam vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g na intervalu [1,5]:
x → −1
5
e sin(2)+ 2
5
e cos(2)+ 1
5
e5 sin(10)−
2
5
e5 cos(10) .
2
kaz integrate(g,x,1,5) na vrne vrednost do-
ločenega integrala funkcije g intervalu [1,5]:
x
1
5
e sin(2)
2
5
e cos(2)
1
5
e5 sin(10)
2
5
e5 cos(10) .
j j
2
Interaktivno verzijo priročnika lahko rikliče o t i
, i ir enuja Help
2
30
r a č u n a l n i š t v o
r e š i t e v 
n a g r a d n e 
k r i ž a n k e 
p r e s e k  3 8 / 4
• Za nagradno križanko 
iz četrte številke 38. le-
tnika Preseka smo prejeli 
12 pravilnih rešitev. Na-
gradno geslo se je glasilo 
Glasni trk valjev. Izžreba-
ni reševalci, Andraž Šuta 
iz Ptuja, Anka  Đudarić 
iz Celja in Alojz Kubale 
iz Rogaške Slatine so raz-
pisane nagrade prejeli po 
pošti.
•
potrebno v tem primeru pogosto popraviti vse nare-
kovaje. V kolikor naletimo na težave pri izpisovanju
matematičnih simbolov v brskalniku, je dobro preve-
riti, če je ustrezno nameščen program jsMath.
Kako se najlažje naučimo SAGEa?
Pomoč lahko najdemo na podstrani Help and Support
(http://sagemath.org/help.html). Tam lahko poleg
osnovne dokumentacije najdemo tudi posnetke krat-
kih uvodnih predstavitev programa in razna ostala
gradiva namenjena novim uporabnikom. Prav tako
priporočamo strani Tutorial
http://sagemath.org/doc/tutorial/index.html.
(Interaktivno verzijo priročnika lahko prikličemo tudi
znotraj samega programa, z izbiro menuja Help). Pri-
poročamo tudi kartice z zbirko osnovnih ukazov –
Quick Reference Cards, priročnik, ki razlaga konstru-
kcije – Constructions, in kratke predstavitve SAGEa
– Sage Feature Tour.
Poleg tega obstajata dve zelo aktivni novičarski
skupini, kjer je možno zelo hitro poiskati pomoč:
http://groups.google.com/group/sage-devel (name-
njena razvijalcem),
http://groups.google.com/group/sage-support
(namenjena vsem uporabnikom, ki potrebujejo po-
moč). Precej razvijalcev programa tudi aktivno obja-
vlja zapise o SAGEu na blogih ali objavlja skripte in
predavanja, povezana z uporabo SAGEa.
SAGE skupnost
Vsi sodelujoči razvijalci pri projektu so prostovoljci.
Vsakdo je dobrodošel, da se pridruži pri nadaljnjem
razvoju projekta. Običajno se nekajkrat na leto vse
nove funkcije in aplikacije, ki so jih sprogramirali
prostovoljci, dodajo v novo verzijo programa, ki je
potem prosto dosegljiva na spletni strani in omogoča
enostavno posodobitev programa. Vse nove funkcije
so recenzirane, tako da se napake običajno odpra-
vljajo sproti. Prednost pred komercialnimi paketi je
tudi ta, da lahko uporabnik dostopa do vseh delov
programa in vidi, kako je kaj sprogramirano.
Nekajkrat na leto se zvrstijo SAGE dnevi – SAGE
days, bodisi v obliki samostojnih dogodkov ali kot
spremljevalno dogajanje na različnih matematičnih
konferencah. Poleg uvodnih predstavitev, katerih na-
men je razširiti krog uporabnikov, se pogosto sre-
čajo razvijalci s sorodnih raziskovalnih področij in
se posvetijo razvoju programa glede na določeno po-
dročje. Več o teh dogodkih je možno spremljati na
spletni strani: http://wiki.sagemath.org/SageDays.
V Sloveniji uporabljamo SAGE na Oddelku za mate-
matiko in računalništvo, Fakultete za naravoslovje in
matematiko, Univerze v Mariboru. Pričujoči prispe-
vek je skromna želja avtorja razširiti krog uporab-
nikov programa SAGE v slovenskem matematičnem
prostoru.
6
potrebno v tem primeru pogosto popraviti vse nare-
kovaje. V kolikor naletimo na težave pri izpisovanju
matematičnih simbolov v brskalniku, je dobro preve-
riti, če je ustrezno nameščen program jsMath.
Kako se najlažje naučimo SAGEa?
Pomoč lahko najdemo na podstrani Help and Support
(http://sagemath.org/help.html). Tam lahko poleg
osnovne dokumentacije najdemo tudi posnetke krat-
kih uvodnih predstavitev programa in razna ostala
gradiva namenjena novim uporabnikom. Prav tako
priporočamo strani Tutorial
http://sagemath.org/doc/tutorial/index.html.
(Interaktivno verzijo priročnika lahko prikličemo tudi
znotraj samega programa, z izbiro menuja Help). Pri-
poročamo tudi kartice z zbirko osnovnih ukazov –
Quick Reference Cards, priročnik, ki razlaga konstru-
kcije – Constructions, in kratke predstavitve SAGEa
– Sage Feature Tour.
Poleg tega obstajata dve zelo aktivni novičarski
skupini, kjer je možno zelo hitro poiskati pomoč:
http://groups.google.com/group/sage-devel (name-
njena razvijalcem),
http://groups.google.com/group/sage-support
(namenjena vsem uporabnikom, ki potrebujejo po-
moč). Precej razvijalcev programa tudi aktivno obja-
vlja zapise o SAGEu na blogih ali objavlja skripte in
predavanja, povezana z uporabo SAGEa.
SAGE skupnost
Vsi sodelujoči razvijalci pri projektu so prostovoljci.
Vsakdo je dobrodošel, da se pridruži pri nadaljnjem
razvoju projekta. Običajno se nekajkrat na leto vse
nove funkcije in aplikacije, ki so jih sprogramirali
prostovoljci, dodajo v novo verzijo programa, ki je
potem prosto dosegljiva na spletni strani in omogoča
enostavno posodobitev programa. Vse nove funkcije
so recenzirane, tako da se napake običajno odpra-
vljajo sproti. Prednost pred komercialnimi paketi je
tudi ta, da lahko uporabnik dostopa do vseh delov
programa in vidi, kako je kaj sprogramirano.
Nekajkrat na leto se zvrstijo SAGE dnevi – SAGE
days, bodisi v obliki samostojnih dogodkov ali kot
spremljevalno dogajanje na različnih matematičnih
konferencah. Poleg uvodnih predstavitev, katerih na-
men je razširiti krog uporabnikov, se pogosto sre-
čajo razvijalci s sorodnih raziskovalnih področij in
se posvetijo razvoju programa glede na določeno po-
dročje. Več o teh dogodkih je možno spremljati na
spletni strani: http://wiki.sagemath.org/SageDays.
V Sloveniji uporabljamo SAGE na Oddelku za mate-
matiko in računalništvo, Fakultete za naravoslovje in
matematiko, Univerze v Mariboru. Pričujoči prispe-
vek je skromna želja avtorja razširiti krog uporab-
nikov programa SAGE v slovenskem matematičnem
prostoru.
6
sage t
presek 38 (2010/2011) 5
1 2 3 4
4 3 2 1
3 4 1 2
2 1 4 3
r
e
š
it
e
v
 b
a
r
v
n
i 
s
u
d
o
k
u
•
 •
 •
Optična vlakna
r a z v e d r i l o
31
•
n
a
r
a
v
o
s
l
o
v
n
a
 f
o
t
o
g
r
a
f
ij
a
nada razpet
Pred približno tremi desetletji so v nekdanji to-
varni Iskra začeli izdelovati optična vlakna. Izde-
lavo takih vlaken smo si lahko tudi ogledali in ob
koncu obiska prejeli kolut vlaken, izdelanih v po-
skusni seriji.
Optično vlakno je imelo več plasti. Plast v sredini je
imela največji lomni količnik, na obodu pa najmanj-
šega. Vlakno je bilo krhko, zato so ga zaščitili s po-
sebnim zaščitnim slojem.
Svetloba se pri prehodu iz snovi, ki ima večji lo-
mni količnik, v snov, ki ima manjši lomni količnik,
lomi stran od vpadne pravokotnice. Od določenega
mejnega vpadnega kota naprej svetloba ne prehaja
več v sosednjo plast, ampak se na meji popolnoma
odbije. To pomeni, da svetloba v vlaknu ostane. Čim
manj je preide skozi plasti, tem boljše je vlakno, ker
je manj izgub. Svetlobo moramo v vlakno poslati v
taki smeri, da se je na meji dveh plasti čim več od-
bije.
Današnja vlakna imajo večinoma le tri plasti: sre-
dico ali jedro, ki ima večji lomni količnik, oblogo, ki
ima manjši lomni količnik, in zaščito, ki varuje krhki
del vlakna.
Kako je nastala fotografija? Vlakna smo narezali na
enako dolge dele in jih na enem koncu pritrdili na
stojalo ter postavili navpično. Zaradi teže so se vla-
kna upognila navzdol, v nekakšno palmo. Za vlakni
smo na mizo postavili gorečo svečo. Ker je plašč
gladek, se na njem svetloba odbija po odbojnem za-
konu. Od sveče v oko prihaja le del svetlobnih žar-
kov, ki se odbije na vlaknih, in sicer tisti, ki se od-
bije pod določenimi koti, znotraj nekega intervala. Ti
žarki tvorijo plašč stožca, ki ima vrh v očesu, prečni
presek (ki je približno krog) pa na vlaknih, zato vi-
dimo na vlaknih svetel kolobar.
2
Pred približno tremi desetletji so v nekdanji to-
varni Iskra začeli izdelovati optična vlakna. Izde-
lavo takih vlaken smo si lahko tudi ogledali in ob
koncu obiska prejeli kolut vlaken, izdelanih v po-
skusni seriji.
Optično vlakno je imelo več plasti. Plast v sredini je
imela največji lomni količnik, na obodu pa najmanj-
šega. Vlakno je bilo krhko, zato so ga zaščitili s po-
sebnim zaščitnim slojem.
Svetloba se pri prehodu iz snovi, ki ima večji lo-
mni količnik, v snov, ki ima manjši lomni količnik,
lomi stran od vpadne pravokotnice. Od določenega
mejnega vpadnega kota naprej svetloba ne prehaja
več v sosednjo plast, ampak se na meji popolnoma
odbije. To pomeni, da svetloba v vlaknu ostane. Čim
manj je preide skozi plasti, tem boljše je vlakno, ker
je manj izgub. Svetlobo moramo v vlakno poslati v
taki smeri, da se je na meji dveh plasti čim več od-
bije.
Današnja vlakna imajo večinoma le tri plasti: sre-
dico ali jedro, ki ima večji lomni količnik, oblogo, ki
ima manjši lomni količnik, in zaščito, ki varuje krhki
del vlakna.
Kako je nastala fotografija? Vlakna smo narezali na
enako dolge dele in jih na enem koncu pritrdili na
stojalo ter postavili navpično. Zaradi teže so se vla-
kna upognila navzdol, v nekakšno palmo. Za vlakni
smo na mizo postavili gorečo svečo. Ker je plašč
gladek, se na njem svetloba odbija po odbojnem za-
konu. Od sveče v oko prihaja le del svetlobnih žar-
kov, ki se odbije na vlaknih, in sicer tisti, ki se od-
bije pod določenimi koti, znotraj nekega intervala. Ti
žarki tvorijo plašč stožca, ki ima vrh v očesu, prečni
presek (ki je približno krog) pa na vlaknih, zato vi-
dimo na vlaknih svetel kolobar.
2
.
,
.
.
,
. ,
.
,
, , ,
.
,
. , .
, ,
.
,
.
:
, , ,
, ,
.
.
, .
.
,
.
, , ,
, .
, ,
,
.
i li t i tl tji ji t -
i I li i l ti ti l I -
l t i l i l t i l li i
i j li l t l i l i -
i iji
ti l j i l l ti l t r i i j
i l j ji l i li i j j-
l j il r t itili -
i it i l j
tl ri r i i i i ji l -
i li i i i j i l i li i
l i tr r t i l
j t r j tl r j
j l t ji l
ij i tl l t i
j j r i i l ti t lj j l r
j j i tl r l l ti
t i ri j ji l ti i -
ij
j l i j i l tri l ti r -
i li j r i i ji l i li i l i
i j i l i li i i it i r j r i
l l
j t l f t r j l r li
l l i ji ritr ili
t j l t r t ili i r i t l -
il l l l i
i t ili r r j l
l j tl ij j -
ri j l l tl i r-
i ij l i i i r ti ti i -
ij l i i ti tr j i t r l i
r i t rij l t i i r r i
r ( i j ri li r ) l i t i-
i l i t l l r
Pre r ž o re ese e so e a o
ar s ra zače z e o a o č a a a. z e
a o a a e s o s a o og e a o
o c o s a re e o a e , z e a o
s s ser .
č o v ak o e e o več as . P as v s e e
e a a več o ko č k, a obo a a a
šega. ak o e b o k ko, za o so ga zašč s o
seb zašč s o e .
Sve oba se e o z s ov , k a več o
ko č k, v s ov, k a a š o ko č k,
o s a o v a e avoko ce. o oče ega
e ega v a ega ko a a e sve oba e e a a
več v sose o as , a ak se a e o o o a
o b e. o o e , a sve oba v v ak os a e. ˇ
a e e e skoz as , e bo še e v ak o, ke
e a zg b. Sve obo o a o v v ak o os a v
ak s e , a se e a e ve as č več o
b e.
a aš a v ak a a o več o a e as : s e
co a e o, k a več o ko č k, ob ogo, k
a a š o ko č k, zašč o, k va e k k
e v ak a.
ako e as a a o og a a? ak a s o a eza a
e ako o ge e e a e e ko c a
s o a o e os av av č o. a a eže so se v a
k a og a avz o , v ekakš o a o. a v ak
s o a zo os av go ečo svečo. e e ašč
g a ek, se a e sve oba o b a o o bo e za
ko . sveče v oko a a e e sve ob ža
kov, k se o b e a v ak , s ce s , k se o
b e o o oče ko , z o a ekega e va a.
ža k vo o ašč s ožca, k a v v očes , eč
esek k e b ž o k og a a v ak , za o v
o a v ak sve e ko oba .
2
Presek 38 (2010/2011) 5
foto: Marko Razpet
M
A
TE
M
A
TI
K
A
+F
IZ
IK
A
+A
ST
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
TV
O
#
presek  letnik 3 8  ( 2 0 1 0/ 2 0 1 1 )  š t e v il k a  5
5
ISSN 0351-6652