     
P 46 (2018/2019) 6 13
Sat
A L
Sat je skupek voščenih celic, kamor čebele shra-
njujejo med, cvetni prah in zalego. Očara nas s
pravilno zgradbo, saj so pravilni šestkotniki tesno
zloženi drug ob drugem (glej sliko 1). Le kako se
čebelam posreči zgraditi tako pravilno zgradbo?
SLIKA 1.
Celice v satu so skoraj pravilni šestkotniki.
Že od pamtiveka so ljudje slutili, da se za zgradbo
sata skriva nekakšen globlji smisel. Čebelji vosek
morajo čebele uporabiti čim bolj smotrno, saj ga ni
lahko narediti. Vosek nastane s presnovo medu v
čebeljih voskovnih žlezah. Za kilogram voska pora-
bijo čebele 8,4 kilograma medu. Zato je misel, da
je satovje zgrajeno, kar se da premišljeno, povsem
razumljiva. In res, ameriški matematik Thomas Ha-
les je nedavno tega dokazal satno domnevo. Sat iz
pravilnih šestkotnikov je najekonomičnejši: pri dani
ploščini celic P0, s tem pa tudi pri njeni prostornini,
je poraba voska pri dani debelini sten najmanjša. Sat
z drugačno obliko celic pri enaki ploščini P0 in enaki
debelini sten bi bil glede voska bolj potraten. To je
pomembna zmaga za čebele!
Pa poglejmo na treh primerih, kako je s to domne-
vo. Denimo, da bi najprej ravnino prekrili s kvadrati,
kjer je ena stranica kateregakoli kvadrata hkrati stra-
nica drugega kvadrata. Kakšno je razmerje med vso-
to obsegov kvadratov v velikem delu ravnine in vsoto
njihovih ploščin? Obseg enega kvadrata je v povpre-
čju obp = 2a, kjer je a njegova stranica. Ena stranica
je namreč hkrati tudi stranica sosednjega kvadrata,
zato je ne smemo šteti dvojno. Če izberemo kvadra-
tovo ploščino P0 = a2, je razmerje med povprečnim
obsegom in to izbrano ploščino
obp
P0
= 2 1√
P0
.
Prekrivanje z enakostraničnimi trikotniki da
obp
P0
= 4
√
27
1
√
P0
= 2,280 1√
P0
.
Ti dve vrednosti primerjajmo s prekrivanjem v
obliki sata:
obp
P0
= 4
√
12
1
√
P0
= 1,861 1√
P0
.
Najbolj ekonomično prekrivanje od teh je zadnje,
saj je koeficient pred 1√
P0
tu najmanjši. Hales je do-
kazal, da je to najmanjši koeficient med vsemi mo-
žnimi prekrivanji s poljubnimi liki enake ploščine.
     
P 46 (2018/2019) 614
Čebelja »pamet« nas sicer lahko očara, a smo vse-
eno v dvomih; ničesar ne vemo o debelini sten. So
tudi te optimalno izbrane? Ekonomičnost bi se iz-
boljšala, če bi čebele delale nekoliko večje celice. Ali
je velikost celic tudi kako optimirana? O tem satna
domneva nič ne pove.
SLIKA 2.
Prvotne celice v satu so okrogle, med njimi je precej praznega
prostora (modro).
Velikost celic je določena z velikostjo same čebele.
Kako gradijo čebele sat? Vosek z usti pregnetejo in
okoli sebe zgradijo sprva okrogle celice, ki jih na-
slonijo na dve že zgrajeni. Sat iz okroglih celic bi
imel prav slabo ekonomijo, saj je koeficient pri njem
kar 3,54 v primeri z najmanjšim 1,861. Nastane tudi
precej praznega prostora med celicami (glej sliko 2).
Kmalu zatem pa čebele zapolnijo prazne prostore
z naključnim brcanjem v stene sprva okroglih celic.
Čebele vosek s telesi segrejejo na temperaturo okrog
35 ◦C. Tedaj je mehak in gnetljiv ter se brcam zlahka
vdaja. Brcanje ja lahko povsem naključno, ni nujno,
da je usmerjeno proti vrzelim v prvotnem satu. Br-
canje pripelje do sata s celicami v obliki pravilnih
šestkotnikov. Da bi to trditev podprl, sem napisal
računalniški program, kjer začnem z okroglo celico,
potem pa z naključnimi radialnimi sunki po malem
celico preoblikujem. Vsak sunek nekoliko premakne
steno celice. V praznem prostoru, kamor čebele ne
morejo, ni sunkov v nasprotni smeri, v sosednjih ce-
licah pa čebele, ki so tam, poskrbijo za nasprotne
sunke. S tem se širjenje sten ustavi. O pravilnih
šestkotnikih čebele ne vedo ničesar, pojavijo se sami
od sebe. Preobrazba iz krožne celice v šestkotno je
prikazana na sliki 3. Na levi je originalna celica, ki
jo čebele naredijo najprej, potem pa se z majhnimi,
naključno velikimi sunki, celica preoblikje v pravilni
šestkotnik.
SLIKA 3.
Tudi z naključnimi sunki v radialni smeri se sprva okrogla celica
preobrazi v šestkotno, prazni prostori (modro) se zapolnijo.
Preoblikovanje v šestkotnike opazimo tudi pri
drugih pojavih. Če gruči enako velikih vodnih ba-
lonov omejimo širjenje, se pri polnjenju začno pre-
oblikovati v šestkotnike in se postavijo kot celice v
satu. V programu prikažemo polnjenje balonov z
vodo z enakomernimi sunki (glej sliko 4). Tudi pr-
sti na rokah, ki jih z vrhovi blazinic staknemo in vti-
snemo ene proti drugim, tvorijo značilne kote 120
(glej sliko 5). Stisnjene paličice, ovite z vato, so prav
tako podobne satu (glej sliko 6).
SLIKA 4.
Sprva okrogli baloni postopno dobivajo v prerezu obliko
šestkotnikov.
Izjemne lastnosti voska torej pomagajo čebelam
priti do najbolj ekonomičnega sata. Vosek je gne-
tljiv in voljan pri višji temperaturi in zelo trden pri
nižji, kar omogoča zanesljivo hrambo medu in cve-
tnega prahu ter dobro zaščito zaroda. Osja gnezda
imajo nekoliko bolj okrogle celice (glej sliko 7), če-
prav tudi tu najdemo predele zelo podobne satu. Pri
osah je gradivo podobno papirju, ki nima lastnosti
voska. Izdelava takega gradiva pa stane ose precej
manj, kot stane čebele izdelava voska.
         
P 46 (2018/2019) 6 15
SLIKA 5.
Blazinice prstov na rokah se pri tesnem stiku postavijo pod
značilnim kotom 120◦.
SLIKA 6.
Tudi stisnjene vatirane palǐcice so podobne satu.
SLIKA 7.
Zapuščeno osje gnezdo – celice so skoraj okrogle.
×××
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na
začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
15 14
12
17 8
16
10 8
9
3
5
17
17
3
̌ ̌ 
1514
12
84178
16
79108
9
81
3
125
17
197
17
845
3
12
×××