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VIEHZKHNTBE—
JAHRESBERICHT
DER K. K.
OBER-REALSCHULE
IN GÖR Z,
Am Schlüsse des Schuljahres
i 874
HERAUSGEGEBEN VOM 01 RECTOR
FERDINAND GAXIi
INHALT:
1. Die Elementargebildc im llaumo und ihre Beziehungen unter einander ;
ein Beitrag zu dem Unterrichte der darstellenden Geometrie im neueren Sinne von Clemens Barchanek.
2. Schulnachrichten.
G Ö R Z
Gedruckt bei Seitz. - Im Selbstverläge der Lehraustalt.
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VIERZEHNTER
JAHRESBERICHT
DER K. K.
OBER-REALSCHULE
IN G Ö R Z.
Am Schlüsse des Schuljahres
1874
HERAUSGEGEBEN VOM DIRECTOR
FERDINAND GATT1
INHALT:
1. Die Elementargebilde im Raume und ihre Beziehungen unter einander ;
ein Beitrag zu dem Unterrichte der darstellenden Geometrie im neueren Sinne von Clemens Barchanek.
2. Schulnachrichten.
G Ö R Z
Gedruckt bei Seitz. — Im Selbstverläge der Lehranstalt,
1
DIE
ELEMENTARGEBILDE IM RAUME
umi
ihre Beziehungen unter einander.
EIN BEITRAG ZU DEM UNTERRICHTE DER DARSTELLENDEN GEOMETRIE IM NEUEREN SINNE
voll
PlEMENS pARCHANEK,
Vorbemerkung.
A
wF
A?y/ orliegender Aufsatz bildet eine Fortsetzung meines vorjährigen, an VÖ¥£ gleichem Orte veröffentlichten Programmartikels, in welchem der > W Punkt und die Gerade im Raume, die Ebene und die Axendre-hung abgehandelt wurden. Diesem schliesscn sich nun an: die Beziehungen der Ebene zu den Bildebenen, einige Eigenschaften, ivelche aus der Lage ebener Gebilde abgelesen werden und endlich die Beziehungen der Punkte, der Geraden und der Ebenen unter einander.
Bei diesem Unterrichtsgange, welchen ich hiemit dem Urtheile meiner geehrten Fachcollegen empfehle, leitete mich die doppelte Aufgabe, ivel-cher die darstellende Geometrie an unseren Realschulen gerecht werden soll. In formaler Hinsicht hat sie das natürliche Anschauungsvermögen zu einem vernünftigen Sehen und zu einer richtigen Auffassung des Raumes zu erziehen, die productive Kraft der Phantasie zu bilden, den Schüler zu einem klaren Bewusstsein des Wie und Warum seines Thuns zu erheben und ihn zu befähigen, sich seinen Gegenstand auch ohne äussere Mittel stets anschaulich und klar vorzustellen, wodurch die Gedankenconcentra-tion mehr geübt wird, als dies durch eine andere Disciplin erreicht werden kann. — Nur dann, wenn der Unterricht alle diese Momente gebührend berücksichtigt, nimmt die darstellende Geometrie neben den anderen Lehrgegenständcn, tvelche auf die allgemeine Bildung des Iünglings ab-zielen, einen würdigen Platz ein.
ln materieller Beziehung muss das erworbene Wissen ein wirkliches Können vermitteln', eine Fertigkeit in der Auffassung der räumlichen Dinge nach Gestalt Lage und Grösse und ihre Darstellung in solchen Bildern, aus denen ein jeder mit der Wissenschaft Vertraute nicht nur zu einer klaren Vorstellung derselben gelangen, sondern auch alle Abmes-
sungen vornehmen kann, welche, m ihrer Darstellung nötig sind. In dieser Beziehung bildet die darstellende Geometrie eine treffliche und unerlässliche Vorbereitung für die technischen Hochschulen, erleichtert und befördert das Studium vieler mathematischer Disciplinen und hat auch für jene, welche unmittelbar die Bahn der Praxis betreten, einen dauernden Wert.
Von dieser Anschauung ausgehend, war ich bemüht, jede vorgelegte Frage von verschiedenen Gesichtspunkten zu beleuchten, den Lehrstoff na~ turgemäss und lückenlos zu entwickeln und jeden Schritt nach vorwärts strenge und überzeugend m erweisen. Die einfachsten Fälle und die günstigsten Annahmen bilden stets den Ausgangspunkt und werden wo möglich so zurecht gelegt, dass auch andere und schwierigere Fälle bei geeigneter Transformation darauf zurückgeführt werden können. Die Aufgaben, welche einem jeden Absätze folgen, nehmen eine stete Rücksicht auf die Befestigung des bereits vorgetragenen Lehrstoffes und verdienen volle Beachtung, wenn der Schüler zu einer Selbständigkeit und Freiheit gelangen soll. Mit grösser Vorliebe stelle ich solche Aufgaben, ivo dem Schüler die geringste Wdlkiir gestattet und wo, ich möchte sagen, jeder Schritt und Tritt örtlich, fach - und sacltgemäss bedingt ist, damit die Denkkraft stets rege erhalten werde. Bei manchen Aufgaben kommen Bedingungen vor, ivelchc lebhaft an die Geometrie des Masses erinnern. Dadurch will ich kei-nestvegs unnützen Kram in die darstellende Geometrie einschmuggeln, sondern lediglich das harnioniche Ineinandergreifen verwandter Fächer betonen, welches allein dem strebsamen Lehrer eine reife Frucht und einen wahrhaft zu belobenden Erfolg sichert.
Die einfache Auflösung der Aufgabe, eine Gerade £U eichen, welche
mit den Projectionsebenen gegebene Winkel einschliesst, dürfte nicht ohne Interesse und in didaktischer Beziehung nicht ohne Bedeutung sein, weil diese Aufgabe nun unmittelbar dort zum Vortrage gelangen kann, wo von der Neigung der Geraden zu einer Bildebene die Bede ist.
Aus der Lage der ebenen Gebilde können einige Eigenschaften un mittelbar abgelesen werden, welche eben noch hinreichen, zu zeigen, wie schön die Projectionen derselben Zusammenhängenwie sie von der Affini-tätsaxe beherrscht werden und wie diese zur Auflösung mancher Aufgabe mit Geschick benützt werden kann. Ich erinnere z. B. an einen Winkel, dessen Ebene doppelt geneigt ist und der sich in beiden Bildebenen als ein Bechter projiciren soll, eine fruchtbare Aufgabe, die mich bereits vielfach unterhalten und von der ich hier eine sehr einfache Auflösung gebe.
Bei dem weiteren Unterrichtsgange, wie ich ihn im Sinne habe und hier nicht weiter besprechen kann, mache ich von den Eigenschaften der läge nur dort Erwähnung und Gebrauch, wo dieselben knapp am Wege des vorgeschriebenen Lehrplanes liegen und von selbst in die Augen springen, wie z. B. Pol und Polare bei der Kreislinie, so wie einige Eigenschaften derselben, welche durch das Projiciren nie verloren gehen; die Lage der Erzeugenden und die Eigenschaften der ebenen Schnitte bei Strahlen - und Umdrehungsflächen. Dieses Wenige aus der Geometrie der Lage reicht a-ber bei geschickter Behandlung hin, den Lehrstoff zu conccntrieren und zu erleichtern, die Auflösung vieler wichtiger Aufgaben zu vereinfachen und neues, reges Leben in den geometrischen Unterricht zu bringen. Der Gegenstand wird intensiv durchgearbeitet und der Schüler ganz unbewusst für die Lehren der neueren Geometrie, welche immerhin ein Gegenstand der Hochschulen bleiben sollen, empfänglich gemacht. Qb diese Prädispo-
s it ion nenncsivcrt ist, darüber urtheüe der, der die neuere Geometrie ernstlich betrieben und sich noch zu erinnern weiss, wie bald und wie leicht er sich mit derselben befreundet hat.
Nachdem eine geeignete Betrachtung der erwähnten Eigenschaften der Lage — natürlich am rechten Orte, in entsprechender Weise und im richtigen Masse — so vielseitige Vortheile gewährt und noch überdies zugegeben werden muss, dass hiedurch der Gegenstand nicht erschwert, die Klarheit des Vortrags und die gründliche Einsicht gefördert und der vorgeschriebene Lehrstoff durch dieses Hilfsmittel viel eher, leichter und erfolgreicher bewältigt wird: dann kann ivohl mit Zuversicht angenommen werden, dass der Unterricht der darstellenden Geometrie im neueren Sinne sich alsbald vielseitiger Sympathien erfreuen und demselben die gebührende Anerkennung auch in den weitesten Kreisen nicht versagt werden wird.
Görz im Juli 1874.
CLEMENS BARCHANEK.
Spuren gegebener Ebenen zu finden.
rJÜst eine Ebene durch irgend welche Bestimmnngsstiicke gegeben und y^illes sollen die Spuren derselben bestimmt werden, so überlege man, dass die Spur einer Ebene eine Gerade ist und dass eine Gerade durch zwei Punkto oder durch einen Punkt und die Richtung (den unendlich fernen Punkt) vollkommen bestimmt ist. Daraus ergiebt sich unmittelbar das Verfahren, die Spuren einer Ebene zu finden.
Man wähle in der gegebenen Ebene zwei geeignete Gerade und suche die Spurpunkte derselben, wodurch die Spur der Ebene bestimmt ist. ln manchen Fällen sind in den Bestimmungsstücken zwei Gerade bereits enthalten, deren Spurpunkte sich benützbar und sicher ergeben. Wenn dies nicht der Fall ist, so construire man zwei beliebige Gerade in der gegebenen Ebene, welche dem geforderten Zwecke entsprechen. Mit Vortheil können Spurparallele benützt werden, weil sie die Richtung der Spur unmittelbar angeben.
Es sei Fig. 1 eine Ebene durch ein Paar sich schneidender Geraden Fig. 1. p und q gegeben; es sind die Spuren derselben zu suchen.
Bezeichnen wir diese Ebene kurzweg mit u und suchen zuvor 1?!, die erste Spur derselben. In unserem Falle liegen die gegebenen Geraden p und q so günstig, dass sich ihre Spurpunkte benützbar ergeben; folglich benützen wir dieselben. Wir bringen p2 zum Schnitte mit der Bildaxe und erhalten bekanntlich a2, das zweite Bild des ersten Spurpunktes; a, liegt zugeordnet und in px. Eben so erhalten wir b2 und b,. Durch und bt ist bestimmt, deren Schnittpunkt mit der Bildaxe den Axenpunkt A giebt, von welchem wir bereits wissen, dass er ein Punkt der zweiten Spur ist. "ü3 ergiebt! sich sofort, wenn wir etwa von p den zweiten Spurpunkt c2 suchen. Hätten wir noch überdies d2, den zweiten Spurpunkt von d gesucht, so muss derselbe auch in 12 liegen und wir könnten denselben entweder als Controlpunkt für die Richtigkeit der Construction benützen, oder er ist für uns von besonderem Belang, wenn der Axenpunkt A unbenützbar liegt.
Die erste Spur einer Ebene wird gefunden, wenn man zwei beliebige Gerade dieser Ebeue mit der ersten Bildebene zum Schnitt bringt.
Wie findet man die zweite Spur einer Ebene?
In Fig. 2 sollen die Spuren jeiner durch die zwei parallelen Geraden p und q bestimmten Ebene u gesucht werden, unter der Voraussetzung, dass die Spurpunkte der Geraden q unbenützbar liegen. Wir suchen von p den ersten Spurpunkt a1 und erhalten einen Punkt von uK Weil der erste Spurpunkt der Geraden q nicht benützt werden kann, so müssen wir eine beliebige Gerade in der Ebene u derart ziehen, dass sich ihr Spurpunkt benützbar ergiebt. Noch besser und sicherer gehen wir vor, wenn wir die Richtung der ersten Spur suchen, indem wir uns eine beliebige Einserspurparallele, r in der Ebene u construiren. Da haben wir bekanntlich r2 parallel zur Bildaxe zu ziehen. und ft2 sind die zweiten Bilder der Schnittpunkte mit p und q, deren erste Bilder «, und ß1 zugeordnet und in p, und q, liegen und bestimmen r,, das erste Bild der Einserspurparallelen; ~üx geht durch a, und parallel zu fj. Sucht man noch von der Geraden p den zweiten Spurpunkt b._„ so ist auch die zweite Spur bestimmt.
Ergäben sich	von	den beiden Geraden p und q	die Spurpunkte
unbenutzbar, so müsste zuvor eine Gerade in dieser Ebene so construirt werden, dass sich wenigstens einer ihrer Spurpunkte benützbar ergiebt.
Aufgaben. 1. Zwei zur Bildaxe parallele Gerade p und q sind gegeben;	man bestimme die Spuren der	durch diese Geraden bestimmten
Ebene.
2. Zwei sich schneidende Gerade p und q sind gegeben; p sei parallel zur ersten und q parallel zur zweiten Bildebene. Man suche die Spuren dieser Ebene.
3.	Eine	doppelt geneigte Gerade p und ein ausserhalb liegender
Punkt a sind gegeben;	man bestimme die	Spuren der	durch a und p
bestimmten Ebene.
4. Ein Raumdreieck sei durch die Bilder gegeben; man suche die Spuren der Dreiecksebene.
5.	Drei	Punkte a, b und c sind	im Raume gegeben; a liege eben
so hoch	ober	der ersten als hinter der	zweiten Bildebene, b liege eben so
tief unter der ersten als vor der zweiten Bildebene und c liege in der Axe. Man suche die Spuren der durch a, b, c bestimmten Ebene.
6. Zwei auf der ersten Bildebene senkrecht stehende Gerade sind gegeben: man suche die Spuren ihrer Ebene.
7. Man suche	die Spuren einer durch	drei Punkte	a, b und c bestimmten Ebene; a	liege	in der zweiten, b	in der ersten Bildebene und
c in der Axe.
Die dritte Spur einer gegebenen Ebene zu finden.
Wir wollen diese Aufgabe wegen ihrer besonderen Wichtigkeit für sich betrachten, obwohl sie als spezieller Fall in der vorigen enthalten ist.
Soll die dritte Spur einer Ebene gesucht werden, so wähle man in derselben zwei beliebige Gerade und suche die dritten Spurpunkte derselben.
— li-
hi Fig. 3 ist eine Ebene u durch ein Paar paralleler Geraden p und q bestimmt und eine Bildebene Drei wurde der ersten beliebig zugeordnet; es soll 13 gesucht werden. Aus der Zuordnung der dritten Bildebene sehen wir unmittelbar ein, dass wir fn jenen Punkten «j lind ßt, wo p, und qj die Axe xX8 schneiden, die ersten Bilder der dritten Spurpunkte von p und q erhalten, deren zweite Bilder «.> und ß2 in den Ordinalen und in p2 und q2 liegen. Suchen wir nun nach den uns hinlänglich bekannten Ordinatengesetzen a3 und ßa, so haben wir die dritten Spurpunkte von p und q, wodurch ü3 vollkommen bestimmt ist.
Eine doppelt geneigte Ebene u sei durch die Spuren gegeben, Fig. 4; eine dritte Bildebene wurde ganz allgemein der ersten zugeordnet. Man suche U;j• Der Schnitt von "ü, mit jXg giebt den Axenpunkt A, welcher der dritten Spur eigen ist; wir haben somit noch einen zweiten Punkt von u3 zu suchen.
Zu diesem Behufe werde eine beliebige Gerade in der Ebene u angenommen ; wir nehmen der Einfachheit wegen die Spurparallele p an. Der Schnitt von p5 mit ,X3 giebt b,, das erste Bild des dritten Spurpunktes; b., liegt in der Ordinale und in p2. Sucht man hierauf von b das dritte Bild b3, so hat man einen 2t.en Punkt von Hs.
Es ist nun hinreichend klar, wie man eine beliebige Spur einer Ebene findet. Hätten wir beispielsweise die vierte Spur einer Ebene zu suchen, so nehmen wir in der gegebenen Ebene zwei beliebige Gerade an und suchen die vierten Spurpunkte derselben. Wie wir aus zugeordneten Bildern das dritte und das vierte Bild eines Punktes finden, ist bereits bekannt.
Aufgaben. 1. Eine Ebene sei durch ein Paar sich schneidender Geraden gegeben; man führe eine dritte Bildebene ganz beliebig ein, ordne sie der ersten zu und suche die dritte Spur der gegebenen Ebene.
2. Eine doppelt geneigte Ebene u sei durch die Spuren gegeben; maii führe eine dritte Bildebene senkrecht auf die Bildaxe ein, ordne sie der zweiten Bildebene zu und suche "ü3.
3. Ein Parallelogramm im Raume sei durch die Bilder gegeben; man führe eine dritte Bildebene senkrecht auf jX3 ein, ordne sie der ersten Bildebene zu und suche die dritte Spur der Ebene des Parallelo-grammes.
4. Eine Ebene u soi bestimmt durch die Bildaxe und einen ausserhalb liegenden Raumpunkt a. Man führe eine dritte Bildebene senkrecht auf die Bildaxe ein, ordne sie einmal der ersten und dann der zweiten Bildebene zu und suche jedesmal die dritte Spur der Ebene u.
Eine dritte Bildebene senkrecht auf eine gegebene Ebene einzuführen.
Die besonderen Eigenschaften einer projicirenden Ebene vereinfachen in den meisten Fällen die grafischen Operationen aussserordentlich; es erscheint demnach sehr wünschenswert, einen jeden Fall auf jenen zu
Fig. 4.
Fig. 5.
Fig. 6.
reduciren, wo die gegebene Ebene zu einer projicirenden wird. Durch diese Transformation suchen wir dem orthogonal projicirenden Auge jene Lage anzuweisen, von wo aus dasselbe die gegebene P]bene iu der möglichst einfachsten Weise abbildet, was offenbar dann der Fall ist, wenn das Bild der Ebene ein Strahl ist. Wir erinnern uns, dass bei einer projicirenden Ebene die zugeordnete Spur auf der Bildaxe senkrecht steht und wenn wir demnach eine dritte Bildebene senkrecht auf eine gegebene einführen, so muss eben dieses Merkmal eingehalten werden.
In Fig. 5 sei eine Ebene u durch die Spuren gegeben; es soll eine dritte Bildebene senkrecht auf u eingeführt werden. Zuerst müssen wir uns entscheiden ob die dritte Bildebene der ersten oder der zweiten Bildebene zugeordnet werden soll. Wenn wir das erstere annehmen, so muss jX3 senkrecht auf U1 gezogen werden. Der Schnittpunkt A giebt den A-xenpunkt von "ü3 und wir haben weiter nur noch einen Punkt der dritten Spur zu suchen, was um so leichter geschehen kann, wenn festgehalten wird, dass die Ebene u für die dritte Bildebene projicirend ist und demnach das dritte Bild eines jeden in u liegenden Punktes in "ü3 liegen muss.
Man nehme etwa in 132 einen beliebigen Punkt a an und suche sein
0
drittes Bild a3. Durch A und a3 ist "ü3 bestimmt. Der Schüler führe dieselbe Aufgabe nochmals, aber unter der Vorraussetzung aus, dass die dritte Bildebene der zweiten zugeordnet ist.
Wäre die Ebene u durch andere Bestimmungsstücke gegeben, so ist es nicht nötig, zuerst ihre Spuren zu suchen; denn wir brauchen nicht die Spur als solche, sondern lediglich die Richtung derselben, um die neue Bildaxe ziehen zu können Die ßichtung einer Spur kann durch eine Spurparallele einfach und sicher bestimmt werden.
In Fig. 6 ist eine Ebene u durch ein Paar paralleler Geraden p und q gegeben; eine dritte Bildebene soll der zweiten zugeordnet und senkrecht auf u eingeführt werden.
Die neue Bildaxe muss senkrecht auf der ßichtung der zweiten Spur stehen. Wir construiren daher eine beliebige Zweierspurparallele r und ziehen 2X3 senkrecht auf r2; sucht man dann von zweien in der gegebenen Ebene liegenden Punkten a und c die dritten Bilder a3 und c3, so 0
ist "ü3 dadurch bestimmt.
Wenn wir in diesen Transformationen um einen Schritt weiter gehen, so kommen wir zu der interessanten Aufgabe, eine neue Bildebene einzuführen, welche gleichzeitig auf zwei gegebenen Ebenen senkrecht steht. Wir wollen auf diese Aufgabe bei einer späteren Gelegenheit zurück kommen und bemerken hier noch, dass die erwähnte Transformation schon bei einer Ebene sehr fruchtbar ist und viele constructive Vortheile bringt. Es kann daher dem Schüler dringend empfolen werden, diese Aufgaben an den verschiedenartigsten Beispielen gründlich durchzuarbeiten. Im folgenden mögen einige dieser Aufgaben angedeutet sein
Aufgaben. 1. Eine zur Bildaxe parallele Ebene u sei durch die Spuren gegeben. Man führe eine dritte Bildebene senkrecht auf u ein, ordne
sie einmal der ersten und dann der zweiten Bildebene zu und suche jedesmal die dritte Spur der gegebenen Ebene.
2. Eine Ebene u sei bestimmt durch eine doppelt geneigte Gerade p und einen ausserhalb liegenden Punkt a. Man führe eine dritte Bildebene senkrecht aul u ein, ordne sie der zweiten Bildebene zu und suche o
Hs-
3. Ein Parallelogramm sei durch die Bilder gegeben. Man führe eine dritte Bildebene senkrecht auf die Ebene des Parallelogrammes ein ordne sie einmal der ersten und dann der zweiten Bildebene zu und suche jedesmal das dritte Bild des Parallelogrammes.
4. Eine Ebene u sei durch	ein Paar	sich schneidender	Geraden p
un q	gegeben;	p werde parallel	zur ersten und q parallel zur	zweiten
Bildebene angenommen. Man führe eine dritte und eine vierte Bildebene senkrecht auf die gegebene Ebene ein; die dritte Bildebene werde der
o	o
ersten und die vierte der zweiten Bildebene zugeordnet. Es ist U3 und zu suchen.
Die Projectionen ebener Gebilde und ihre Eigenschaften der Lage.
In Fig. 7	sei eine Ebene	u durch	die Spuren und ax	bi	Cj, das Fig- 7-
erste	Bild eines	in der Ebene u	liegenden	Dreieckes gegeben;	es	soll das
zweite Bild a2 b2 c2 gesucht werden.
Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, so liegt die Gerade selbst in der Ebene. Wir brauchen daher nur die Eckpunkte a, b und c so zu bestimmen, dass sie in der Ebene u liegen.
Wie ein Punkt in einer	Ebene angenommen	wird, ist	uns bereits
bekannt. Wir ziehen nämlich	durch den Punkt eine	beliebige in	u liegende
Gerade und die Bilder des Punktes liegen dann auf den Bildern dieser Geraden.
Wir legen durch a eine Einserspurparallele p, indem wir durch at den Strahl px || "üj ziehen und	erhalten nx n2, jenen	Punkt wo	p die zweite
Spur trifft. p2 geht durch n2	und parallel zu der Bildaxe.	a2 liegt in
einer Ordinale und in p2.
In derselben Weise könnten wir auch durch die übrigen Eckpunkte des gegebenen Polygons Spurparallele ziehen, und ihre zweiten Bilder suchen, in welchen b2 und c2 liegen. Berücksichtigen wir aber, dass das Dreieck abc in der Ebene u liegt und dass jede Gerade einer Ebene jede andere Gerade derselben Ebene schneidet, so können wir die folgenden Punkte auch noch auf eine andere Art finden. Wird z. B. die Seite ab hinreichend verlängert, so schneidet sie die erste Spur in einem Punkte
a,	dessen erstes Bild «, man unmittelbar durch Verlängerung von a, bt bekommt. a2 liegt in der Bildaxe und giebt mit a2 verbunden das zweite Bild der Geraden a«, auf welcher b liegt. Man ziehe durch bx die Ordi-
nale und erhält sofort b2. Ebenso verlängere man ac bis u, in ß geschnitten wird und ziehe dann ct., ß2. In dieser Geraden und in der Ordinale liegt c2 und das zweite Bild des Dreieckes kann nun gezeichnet werden. Für die Genauigkeit der Arbeit diene der Punkt y als Controlle; denn ya bs und cL, müssen in einer Geraden liegen.
Würden die Seiten des gegebenen Polygons die erste Spur unbenutzbar schneiden, so nehme man die zweite Spur zu Hilfe oder ziehe eine geeignete Spurparallele, dass sie eben brauchbare Schnitte liefert.
Betrachten wir in Fig. 7 die Projectionen des in der Ebene u liegenden Dreieckes abc als zwei concrete Gebilde, so finden wir, dass einem jeden Punkte in dem einen Gebilde ein ganz bestimmter Punkt in dem anderen entspricht und dass einer jeden Geraden in dem einen Gebilde auch eine ganz bestimmte Gerade in dem anderen entspricht. Jn zwei einander zugeordnete Funkte liegen in einer Ordinale und weil alle Ordinalen parallel sind, so können wir dieselben als projieirende Strahlen anseben, welche von demselben unendlich fernen Projectionscentrum ausgehen. Liegt ein Punkt aut einer Geraden, so liegen die Bilder des Punktes in den Bildern der Geraden; diesen Satz können wir bei der vorliegenden Betrachtung auch in folgender Fassung ausspreclx n: „Die einander entsprechenden oder verwandten Punkte liegen in verwandten Geraden und umgekehrt: verwandte Gerade gehen durch verwandte Punkte“. Wir finden weiters an diesen Gebilden noch eine äusserst merkwürdige Eigen-Fig. 8. schaft, welche wir der Deutlichkeit wegen in Fig. 8 ganz speziell betrachten wollen.
Eine Ebene u sei durch die Spuren gegeben. In dieser Ebene wurde auf die vor erwähnte Weise ein Parallelogramm a b c d durch orthogonal zugeordnete Bilder angenommen. Verlängern wir die einander entsprechenden Geraden ax bj und a2 b2, so schneiden sich dieselben in einem ganz bestimmten Punkte m. Ebenso wurden ct t!, und c2 d3 bis zu ihrem Schnittpunkte n verlängert. Dasselbe Verfahren wurde	endlich	auch auf	die einander entsprechenden oder verwandten Geraden a,	dt, a2	d2	und b,	cx, b2 c2
angewendet und beziehungsweise die Schnittpunkte r und s gewonnen. Bei richtiger Zeichnung müssen die Punkte m, n, r	und s	in	einer	Geraden
ß liegen, welche durch den Axenpunkt A geht,	d. h.:	Jn	zwei verwandte
Gerade dieser zwei Systeme schneiden sich in einer bestimmten Geraden, welche die Begegnungsgerade heisseu mag. Gebilde, welche den eben aufgezählten Eigenschaften der Lage entsprechen, erkennen wir als perspec-tivisch affine Gebilde *). Die Gerade ß stellt die Gesammtheit der Bilder
*) Die Kenntnis der Gesetze der perspectivischeu Affinität und eine recht geläufige grafische Durchübung derselben, kann au dieser Stelle bereits vorausgesetzt werden. Denn nach dem Lehrpläne für unsere Realschulen geht der Geometrie im Raume die Lehre von den ebenen Curven voraus und bei geeigneter Behandlung dieses Kapitols muss offenbar die Curve als der geometrische Ort eines Punktes erklärt werden, der sich nach einem bestimmten Gesetze bewegt. Wird der Schüler in dieser Weise denkend mit der Enstehung ebener Gebilde vertraut und hat er bereits gelernt gegebene Bedingungen constructiv zu behandeln, so dürfte gerade hier der geeignete Platz sein, den Schüler anzu'eiten, aus einem Gebilde nach gegebenen Bedingungen ein anderes abzu-
jener Punkte vor, welche in der Ebene u liegen, von beiden Bildebenen gleich weit äbstehen und im zweiten und vierten Raume liegen. Die orthogonal ungeordneten Bilder solcher Punkte fallen bekanntlich nach der Vereinigung der Bildebenen in einen Punkt zusammen.
Wir sehen nun ein, wie diese bemerkenswerte Gerade ß die Projec-tionen aller in der Ebene u liegender Gebilde beherrscht. Mit ihrer Benützung können wir die Richtigkeit einer ausgeführten Arbeit prüfen oder, was für uns besonders vortheilhaft ist, wir können die Eigenschaften der Begegnungsgeraden zur Vereinfachung der graphischen Operationen benützen.
Im Folgenden werde deshalb gezeigt, wie die Begegnungsgerade einer Ebene leicht gefunden werden kann.
In Fig. 9 sei eine doppelt geneigte Ebene u durch die Spuren Fig. 9. gegeben; es soll die Begegnungsgerade dieser Ebene gesucht werden. Der Axenpunkt A liegt in u; er ist sein eigenes erstes und zweites Bild, folglich ist er ein Punkt der Begegnungsgeraden: wir brauchen daher nur noch einen zweiten Punkt derselben zu suchen. Zu diesem Behufe ziehen wir in u eine beliebige Gerade, am einfachsten eine Spurparallele |), p2 und verlängern die Bilder derselben; der Punkt m, in welchem der Schnitt erfolgt, ist ein zweiter Punkt der Begegnungsgeraden ß. Man trage Sorge, dass die Punkte A und m nicht nahe an einander liegen, damit der Fehler den man bei dem Ziehen der Geraden ß begeht, möglichst klein werde.
Eine Anwendung von der Begegnungsgeraden wollen wir in der folgenden Fig. 10 machen, woselbst eine doppelt geneigte Ebene u und das erste Fig. io. Bild einer in u liegenden Curve gegeben ist; es ist das zweite Bild derselben zu suchen.
Wenn das erste Bild eines Punktes gegeben ist, so wissen wir bereits das zweite Bild so zu bestimmen, dass derselbe in einer gegebenen Ebene liege. Wir nehmen daher auf der gegebenen Projection der Curve eine Reihe von Punkten a,, b,, c,, d, ... und suchen der gestellten Bedingung gemäss a2, b2, c2, d2, .... Verbinden wir die letzteren Punkte durch einen stetigen Linienzug, so erhalten wir die gesuchte zweite Projection der Curve. Damit das Letztere mit völliger Sicherheit geschehe, ist es unerlässlich, in den einzelnen Curvenpunkten die Richtung der Bewegung des beschreibenden Punktes zu kennen, welche offenbar durch die Tangente angezeigt wird.
Behufs der Tangentenconstruction erinnern wir uns, wie nach den Gesetzen der perspectivischen Affinität zu einer Geraden des einen Systems die Verwandte im anderen Systeme gesucht wird. Wollten wir z. B. in dem Punkte a2 die Tangente an die gesuchte Projection haben, so ziehen wir in a, mit möglichster Schärfe die Tangente an die gegebene Projection und notiren den Punkt 1, wo die Begegnungsgerade geschnitten wird.
1 mit as verbunden giebt die gesuchte Tangente im zweiten System;
leiten. Ein geordnetes und reichhaltiges Materiale liefert die Congruenz, die Symmetrie, die Aehnhchkeit und die ähnlichen und ähnlich liegenden Gebilde. Die Erscheinungen am Planspiegel mögen die perspectivisch affinen Gebilde einleitcn und erklären. Wir hatten übrigens Gelegenheit uns in dieser Beziehung des Weiteren zu ergehen in dem dreizehnten Jahresberichte der öffentl. Oberrealschule in der inneru Stadt Wien (1871):
„Das Projiciren und die geometrischen Oerter in der Ebene“.
denn die Gerade 1 a, hat mit dem Gebilde des ersten Systems nur ein Element gemein, folglich kann die ihr entsprechende Gerade 1 a2 mit dem Gebilde des zweiten Systems auch nur ein Curvenelement gemein haben; 'warum?
Nachdem auf dieselbe Art eine Eeihe von Punkten und Tangenten gefunden worden, kann auch das zweite Bild der Curve mit Sicherheit gezogen werden. Dass hiebei die charakteristischen Curvenpunkte wie z. B. der höchste und der tiefste Punkt, der Wendepunkt u. s. w. besonders berücksichtigt werden müssen, versteht sich von selbst. Die Fig. 10 zeigt im übrigen recht klar die Ausführung und Behandlung der gestellten Aufgabe. Damit die vielseitige Anwendung und Bedeutung der Begegnungsgeraden recht klar werde, mögen noch folgende Aufgaben angeregt werden.
Eine Ebene u und ein in derselben liegender Punkt a sind gegeben Fig. 11. Fig. 11; man ziehe durch a eine Gerade q, welche in der Ebene u liegt und mit den Bildebenen gleiche Neigungswinkel einschliesst. Wir suchen die Begegnungsgerade ß der Ebene u und ziehen durch aj einen Strahl q[ parallel zu ß. Soll qt das erste Bild einer in u liegenden Geraden sein, so muss q2 durch a2 gehen und ß in demselben Punkte schneiden wie q, d. h. q2 ist ebenfalls zu ß parallel. Von dieser in u liegenden Geraden q behaupten wir, dass sie noch überdies mit den Bildebenen gleiche Winkel einschliesse. Der Beweis hiefiir ist sehr leicht zu erbringen. Der Schüler fasse die Fig. 11 näher ins Auge, denke an das erste und zweite Differenzendreieck einer Raumstrecke und bestätige die obige Behauptung selbständig.
Fig. 12.	Es sei Fig. 12 eine Ebene u und ein in derselben liegender Punkt
a gegeben; man ziehe durch a zwei Gerade p und q, dass sie in der Ebene u liegen und deren Bilder sich in beiden Bildebenen unter einem rechten Winkel schneiden. Überlegen wir, dass die Schnittpunkte von p, mit p2 und q, mit q2 in der Begegnungsgeraden liegen und dass jeder Winkel im Halbkreise ein rechter ist, so kommen wir unmittelbar zu der folgenden Auflösung: Wir suchen die Begegnungsgerade ß und schlagen einen Halbkreis, welcher durch a, und a2 geht und dessen Mittelpunkt o in der Begegnungsgeraden liegt. Letzterer wird bekanntlich gefunden, wenn man in dem Halbierungspunkte a der Strecke a, a2 eine Normale errichtet und selbe mit ß zum Schnitt bringt. Die Punkte wo dieser Halbkreis ß schneidet, bezeichnen wir etwa mit m und n. Verbinden wir m mit a, und a2, so erhalten wir p, und pa, die Bilder einer in u liegenden Geraden p. Ebenso giebt n a, und n a2 die Bilder q, und q2 einer zweiten in u liegenden Geraden. Dass die Bilder dieser Geraden normal auf einander stehen, bedarf weiter keines Beweises. Läge der gegebene Punkt a derart, dass sich der erwähnte Halbkreis unbequem und unsicher construiren lässt, so führe man die besagte Construction an einem beliebigen und gegen ß günstig liegenden Punkte der Ebene u aus und merke, dass parallele Gerade parallele Bilder haben.
Aufgaben: 1. Es ist die Begegnungsgerade einer durch 3 Punkte a, b und c bestimmten Ebene zu construiren.
2.	Zwei zu der Bildaxe parallele Gerade p und q sind gegeben; man suche die Begegnungsgerade der durch p und q bestimmten Ebene.
:3. Eine Ebene u gellt durch die Bildaxe und einen beliebigen Kaumpunkt a; was lässt sich über die Begegnungsgerade dieser Ebene sagen.
4. Was lässt sicli über die Begegnungsgerade einer horizontal - oder vertikal projicirenden Ebene sagen.
5. Eine Ebene, bei welcher die Oberseite der Rückseite gleich ist, sei durch ein Paar sich schneidender Geraden p und q gegeben; p läge in der ersten und q in der zweiten Bildebene. Es ist die Begegnungsgerade dieser Ebene zu suchen. *
6. In einer doppelt geneigten Ebene u, bei welcher die Oberseite gleich der Rückseite ist, werde ein Dreieck gezeichnet, dessen Bilder in beiden Projectionen rechtwinklige Dreiecke sind.
7. In einer doppelt geneigten Ebene u werde ein Parallelogramm derart angenommen, dass sich dasselbe in der ersten Bildebene als Quadrat und in der zweiten als Rechteck projicirt.
8. In einer doppelt geneigten Ebene u werde ein Dreieck derart angenommen, dass das erste Bild desselben ein gleichseitiges und das zweite ein gleichschenkliges Dreieck sei.
9. In einer doppelt geneigten Ebene, welche durch die Spuren gegeben ist und bei welcher die Oberseite gleich der Rückseite ist, werde ein Parallelogramm derart angenommen, dass beide Bilder desselben Rhomben sind.
10. In einer doppelt geneigten Ebene u werde ein Dreieck a b c unter folgenden Bedingungen augenommen: Die Ecke a liege in der ersten und b in der zweiten Spur der Ebene u und beide Projectionen sollen gleichschenklige Dreiecke sein.
11. In einer doppelt geneigten Ebene u möge ein Viereck so angenommen werden, dass die Bilder desselben Deltoide sind.
12. In einer doppelt geneigten Ebene, bei welcher die Oberseite gleich der Vorderseite ist, soll ein Dreick derart angenommen werden, dass die Bilder desselben rechtwinklige Dreiecke sind; das erste Bild sei noch überdies ein gleichschenkliges Dreieck und eine der Dreieckseiton schliesse mit den Bildebenen gleiche Neigungswinkel ein.
Gebilde von bestimmter Lage und Grösse in gegebenen Ebenen anzunehmen.
Von dem einfachsten Falle ausgehend, nehmen wir Fig. 13 eine Fig. 13. Ebene u an, welche auf der zweiten Bildebene senkrecht steht.
In dieser Ebene soll ein seiner Grösse und Lage nach bestimmtes Gebilde angenommen werden. Denken wir uns die Ebene u um ihre erste Spur als Drehungsaxe so lange gedreht, bis sie mit der ersten Bildebene zusammenfällt, dann werden wir das fragliche Gebilde in wahrer Grösse sowohl, als auch in der bestimmten Lage gegen die Drehungsaxe erhalten, können somit in der Umlegung dasselbe nach den gegebenen Bedingungen construiren und drehen alsdann die umgelegte Ebene samrnt dem Gebilde in die ursprüngliche Lage zurück.
In Fig. 13 soll in der Ebene u ein Quadrat von gegebener Seite construirt werden; der eine Eckpunkt desselben läge in einem bestimmten Punkte a von Hj und die Seite a b schliesse mit u, einen gegebenen Winkel ein. Denken wir uns, die gestellte Aufgabe sei bereits ausgetuhrt und die vorerwähnte Umlegung ebenfalls vollzogen. Bei dieser Drehung bleibt der Punkt a und der Winkel, welchen ä li mit ut einschliesst unverändert; wir können daher die Umlegung des Quadrates a' b' c' d' nach den gegebenen Bedingungen zeichnen, welche alsdann um u\ als Drehungs-axe in die Urlage zurückzuführen ist. Wenn der Drehungswinkel bekannt wäre, so hätten wir eine der einfachsten und früher ausführlich behandelten Drehlingsaufgaben vor uns. Überlegen wir nun, dass die Punkte b', c' und d' in der ersten Bildebene liegen, folglich b'2, c'2 und d'2 in der Bildaxe; u j steht senkrecht auf der zweiten Bildebene, folglich projiciren sich die Bögen, welche b', c' und d' bei der Drehung beschreiben, in der zweiten Bildebene in wahrer Grösse und wo diese “u2 schneiden, dort erhalten wir b2, c,j und d2, die zweiten Bilder nach bereits vollzogener Drehung, weil eben die Ebene u als vertikal projicirend angenommen wurde; wir sehen somit ein, dass im vorliegenden Falle der stumpfe Winkel, welchen Ts mit der Bildaxe einschliesst der Drehungswinkel ist. Die weitere Ausführung dieser Aufgabe ist bekannt. Wann wäre der spitze Winkel, welchen T2 mit der Bildaxe einschliesst, als Drehlingswinkel aufzufassen?
Wenn wir die Umlegung a' b' c' d' und das erste Bild a b, c, d, auf einander beziehen, so erkennen wir sofort, dass dies zwei perspecti-visch affine Gebilde sind. Je zwei einander entsprechende Punkte liegen in einem projicirenden Strahle senkrecht auf die Drehungsaxe ¥,, welch letztere gleichzeitig als Begegnungsgerade beider Gebilde auftritt.
Auf diesen einfachen Fall, welchen wir so eben betrachtet haben, kann jeder andere zurückgefiihrt werden, weil wir stets eine dritte Bildebene senkrecht auf die gegebene Ebene u einführen können. Es sei z. B.
Fig. 14. Fig. i4 jn der doppelt geneigten Ebene u ein Dreieck a b c von bestimmter Lage und Grösse anzunehmen. Denken wir uns die Ebone u sammt dem Dreiecke abc uin~üt in die erste Bildebene gedreht, so werden wir in der Umlegung das Dreieck seiner Grösse und relativen Lage gegen die Drehungsaxe nach zeichnen können. Angenommen, a'b'c' sei die Umlegung des fraglichen ßaumdreieckes Alsdann führen wir eine Bildebene Drei senkrecht auf jix ein und ordnen sie der ersten Bildebene zu; es muss sohin ,X3 J_ _uI gezogen werden. Nachdem die Sehpfeile angeordnet und
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üs gefunden, so lässt sich mit Hilfe der ersten und dritten Bildebene die vorgelegte Aufgabe leicht auflösen; denn die Ebene n ist für die dritte Bildebene projicirend und wir haben daher den vorbesprochenen Fall vor uns. a2, b2 und c2 liegen in den Ordinalen und die ersten Ordinaten von a, b, und c werden in der dritten Bildebene abgelesen. Wenn wir die Begegnungspunkte ol( ßv y,, deren zweite Bilder «2, ßt, j'2 in der Bikl-axe liegen, benützen, so können wir aus den Eigenschaften der Lage die übrigen Punkte finden, nachdem bereits ein Punkt auf die gewöhnliche Art in die Urlage zurückgeführt wurde. Die klare Durchführung der Fig. 14 erkläre das Nähere.
Aufgaben, t. In einer Ebene u, deren Spuren zur Bildaxe parallel sind, liegt ein reguläres Fünfeck, dessen Umfang gegeben ist und eine Seite desselben liege in ü,. Es sind die orthogonalen Bilder des Fünfeckes zu suchen.
2. In einer doppelt geneigten Ebene u, bei welcher die Oberseite gleich der Rückseite ist, liegt ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck vom gegebenen Flächeninhalte; die Endpunkte der Hypothenuse liegen beziehungsweise in der ersten und zweiten Spur der Ebene u
Man construire die Bilder dieses Dreieckes.
3. In einer doppelt geneigten Ebene u ist ein Punkt a, als die Spitze eines gleichseitigen und in der Ebene u liegenden Dreieckes gegeben, dessen Inhalt der Fläche eines gegebenen Quadrates gleich und dessen Basis der ersten Spur ~ü[ parallel ist. Es sind die orthogonalen Bilder dieses Dreieckes zu construiren.
4. Zwei parallele und gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p und q sind gegeben. In der durch p und q bestimmten Ebene werde ein Quadrat gezeichnet, dessen eine Seite in p liegt und dessen Inhalt doppelt so gross ist als jenes Quadrat, dessen Seite dem Abstande der Geraden p und q gleich ist. Man suche die orthogonalen Bilder desselben.
5. Eine doppelt geneigte Gerade p und ein ausserhalb liegender Punkt a sind gegeben. In der durch a und p bestimmten Ebene liegt ein reguläres Sechseck, dessen Mittelpunkt a ist und eine Seite desselben fällt mit p zusammen; es sind die orthogonalen Bilder desselben zu suchen.
6. In einer doppelt geneigten Ebene, bei welcher die Oberseite der Rückseite gleich ist, liegt eine Curve von gegebener Form; man suche die Bilder derselben.
Die wahre Grösse ebener Gebilde zu bestimmen.
ln dem vorigen Absätze haben wir gelernt, ein Gebilde nach gegebenen Bedingungen anzunehmen. Die wahre Grösse eines durch seine orthogonalen Bilder gegebenen Gebildes zu bestimmen, ist die Umkehrung der vorigen Aufgabe.
Soll die wahre Grösse eines ebenen Gebildes aus seinen Projectionen bestimmt werden, so suche man eine seiner Spuren und lege dann die Ebene sannnt dem Gebildo in die der benützten Spur entsprechende Bildebene um. Hätte man z. B. die erste Spur gesucht, so muss die Umlegung in die erste Bildebene vorgenommen werden; warum?
Gehen wir auf Fig. 13. zurück und fassen die Aufgabe so auf: In der vertikal projicirenden Ebene u liegt ein Viereck, dessen Bilder a, b, c, d, und a2 b2 c2 d2 sind; es soll die wahre Grösse desselben bestimmt werden. Man wähle die erste Spur als Drehungsaxe und lege die Ebene u sammt dem Viereck a b c d in die erste Bildebene um. Jo nachdem wir die Umlegung auf die eine oder die andere Seite von “t vornehmen, darnach richtet sich der Drehungswiukel, welcher in diesem speziellen Falle durch die Neigung von ir2 gegen die Bildaxe bestimmt wird. Das weitere Verfahren ist aus der Lehre über die Axendrchung und aus Fig. 13 selbst klar.
In Fig. 14 ist ein Raumdreieck durch seine orthogonalen Bilder a,
b,	ct und a2 b2 c2 gegeben ; man g'oll die wahre Grösse von abc bestimmen. Wir suchen zu diesem Behufe die erste Spur der Dreiecksebene, bezeichnen sie etwa mit ~ut und legen um dieselbe das Raumdreieck in die erste Bildebene um, was auf verschiedene Art ausgeführt werden kann.
So könnten wir z. B. eine dritte Bildebene senkrecht auf die Drei-
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ecksebene u einführen, suchen "üTs und entnehmen aus der dritten Bildebene den Drehungswinkel und die Drehungshalbmesser der umzulegenden Punkte. Durch dieses Verfahren wird dieser Fall auf den vorigen reducirt.
Wir können die Umlegung auch ohne Hilfe der dritten Bildebene vornehmen. Wir ziehen die Spuren der Drehungsebenen und finden mittels Dilferenzendreiecken die Drehungshalbmesser von a, b und c. Überlegen wir dass die Umlegung a' b' c' und das erste Bild perspectivisch affine Gebilde sind, so brauchen wir nur einen Punkt auf die gewöhnliche Art umzulegen und benützen die Begegnungspunkte at ßi y1( welche nach wie vor der Drehung unverändert bleiben.
Aufgaben. 1. Es ist die wahre Grösse eines durch seine Bilder gegebenen Parallelogramms zu suclien. Man suche zuvor eine Spur der Parallelogrammsebene.
2. Zwei	parallele Gerade p und q	sind durch	die Bilder gegeben;
man suche den Abstand derselben. Wir haben diese, sowie einige der folgenden Aufgaben mit Benützung des Satzes, dass das Theilungsver-hältnis einer Raumstrecke auf ihre orthogonalen Bilder unverändert übergeht, bereits behandelt. Jetzt mögen dieselben Aufgaben directe mittels Umlegung durchgeführt werden.
In der vorliegenden Aufgabe werde etwa die erste Spur der Ebene p, q gesucht um welche die Umlegung in die erste Bildebene vorgenommen wird, woselbst der Abstand in wahrer Grösse erscheint. Behufs einer recht geschickten Auflösung erinnere sich der Schüler, dass Gerade welche vor der	Drehung	parallel waren, auch nach	der Drehung	parallel sind.
3. Eine	doppelt geneigte Gerade	p und ein	ausserhalb liegender
Punkt a sind gegeben; es ist der Abstand des Punktes von der Geraden zu bestimmen. Diese Aufgabe ist in derselben Weise wie die frühere zu lösen.
4. Zwei sich schneidende Raumgerade sind durch die Bilder gegeben; es ist die wahre Grösse ihres Neigungswinkels zu suchen.
5. Einen Winkel im Raume zu halbieren. Man suche die Spur der Winkelebene und lege den Winkel in die Bildebene um. In der Umlegung ziehe man die Winkelhalbierende und drehe letztere in die Urlage zurück. Benützt man den Umstand, dass der Punkt, wo die Winkelhalbierende die Umlegungsspur schneidet, bei der Drehung unverändert bleibt, so kann die Auflösung sehr vereinfacht werden.
G. Eine doppelt geneigte Gerade p und ein Punkt a ausserhalb sind durch die Bilder gegeben; es sind die Bilder des von a auf p gefällten Perpendikels zu suchen.
7.	Eine doppelt geneigte Gerade p und ein beliebiger Raumpunkt a
sind gegeben. Man suche die Bilder jener Geraden q und r, welche durch a gehen, und p unter Winkeln von 60° schneiden.
8. Ein Kaumdreieck sei durch die Bilder gegeben; wie gross ist der Radius des umgeschriebenen Kreises?
9. Ein Dreieck sei durch seine orthogonalen Bilder gegeben; man suche die Bilder jener 4 Punkte, welche in der Dreiecksebene liegen und von den Seiten des Dreieckes gleich weit abstehen.
10. Zwei sich schneidende Gerade p, q und zwei beliebige auf p liegende Punkte a und b sind durch orthogonale Bilder gegeben. Es sind die orthogonalen Bilder jenes auf der Geraden q liegenden Punktes c zu suchen, welcher von a halb so weit entfernt ist als von b.
11. Eine doppelt geneigte Ebene u, bei welcher die Oberseite der Rückseite gleich ist, sei durch die Spuren gegeben. Es ist die wahre Grösse des von den Spuren eingeschlossenen Winkels zu bestimmen.
12. Ein Raumdreieck sei durch die Bilder gegeben; es sind die Bilder der Winkelhalbierenden Transversalen zu suchen.
Schnitt der Geraden mit einer Ebene.
Bevor wir zu der eigentlichen Aufgabe übergehen, wollen wir uns erinnern, dass Gerade, welche ein gemeinsames Bild haben, sich schneiden müssen, weil sie in derselben projicirenden Ebene liegen. In Fig. 15 sind Fig. 15. zwei Gerade p und p' durch ihre orthogonalen Bilder p,, p2 und p't p'2 gegeben. Beide haben ein gemeinsames erstes Bild, folglich liegen sie in einer horizontal projicirenden Ebene und müssen sich schneiden. Der Schnitt von p2 mit p'2 giebb a2, das zweite Bild des Schnittpunktes im Raume, a, liegt in der Ordinate und in p,. Der Schüler betrachte die Zeichnungsfläche als die erste Bildebene, versinnliche sich die Raumgeraden p und p' und betrachte dieselben so, wie das orthogonal projicirende Auge Eins sieht, (Einserdeckgerade).
In Fig. 16 sind wieder zwei Gerade p und p' durch die Bilder gege- Fig. 10. ben. Weil beide ein gemeinsames zweites Bild haben, so liegen sie in einer vertikal projicirenden Ebene und müssen sich demnach schneiden,
a,	und a2 sind die Bilder ihres Schnittpunktes. Der Schüler versinnliche sich diese Geraden über der zweiten Bildebene, betrachte sie im Sinne des projicirenden Auges Zwei und gebe an, welchen Eindruck diese Geraden auf das orthogonal projicirende Auge Zwei hervorbringen. (Zweierdeckgerade).
Es sei Fig. 17 gegeben: eine Ebene, bestimmt durch die paral- Fig- 17. leien Raumgeraden p und q; ferner ein Strahl r, bestimmt durch seine Bilder rt und r„. Es soll der Schnitt der Geraden r mit der durch p und q bestimmten Ebene gesucht werden.
Construiren wir eine in der Ebene p q liegende Gerade r', welche mit der gegebenen Geraden r allenfalls das zweite Bild gemein hat. Nach dieser Annahme fällt r'2 mit r2 zusammen. Um r' zu finden, halten wir fest, dass r' in der Ebene p q liegt und dass jede Gerade einer Ebene
jede andere Gerade derselben Ebene schneidet. a2 und b2 sind mithin die zweiten Bilder der Schnittpunkte von r mit p und q. Die ersten Bilder
a,	und bt liegen zugeordnet in p/und q, und bestimmen sofort r',. Die Geraden r und r' müssen sich, wie bereits bekannt, schneiden; ct und c2 sind die Bilder dieses Schnittpunktes. Überlegen wir, dass c sowohl auf r als auch in der Ebene pq liegt, weil eben r' in dieser Ebene construirt wurde, so sehen wir auch ein, dass c der Schnitt der Geraden r mit der durch p und q bestimmten Ebene ist.
Denken wir uns die Ebene p q als undurchsichtig, so theilt c die Gerade r in zwei Halbstrahlen, wovon der eine von dem projicirenden Auge gesehen wird und der andere nicht. Das Bild des sichtbaren Halbstrahles wollen wir voll ziehen und das Bild des anderen soll gestrichelt werden. Zu diesem Behufe versinnlichen wir uns die Lage der Ebene und die Gerade r und merken, dass das, was ober der Ebene p q liegt von dem Auge Eins und das, was voran liegt von dem Auge Zwei gesehen wird. Damit wir aber auch dann, wenn die Gerade zu der Ebene eine geringe Neigung hat, schnell und sicher entscheiden, vergleichen wir die Geraden r und r', welche in derselben Sehebene liegen, mit einander und beobachten, wie das projicirende Auge auf die Bildebene sieht. In Fig. 17 wurde zu r die Zweierdeckgerade r' construirt, mittels welcher wir in Bezug auf die zweite Bildebene einen sicheren Schluss ziehen können. Ein Blick auf die erste Bildebene lehrt, dass die vom projicirenden Auge Zwei kommenden Strahlen (in Fig. 17 durch Pfeile angedeutet) zuerst den Halbstrahl c, n', treffen, folglich deckt derselbe den Halbstrahl ct nt. Der erstere liegt in der Ebene p q, somit liegt der letztere hinter derselben und wird von dem Auge Zwei nicht gesehen; das zweite Bild desselben muss strichliert und der andere Theil muss nothwendig voll gezogen werden. Nachdem die Entscheidung in der zweiten Bildebene getroffen wurde, erwägen wir die Hauptstellung der Ebene p q, bei welcher in unserem Falle die Oberseite gleich der Vorderseite ist; was ober der Ebene liegt, liegt gleichzeitig vor derselben, folglich sehen beide projicirenden Augen denselben Halbstrahl.
Fig. 18.	Ein	Dreieck	abc und eine Gerade p sind (Fig. 18) durch die ortho-
gonalen Bilder gegeben; es soll untersucht werden, ob die Gerade p die die begrenzte Ebene abc trifft.
Wir construiren wieder eine Gerade p', welche mit p ein gemein-sammes erstes Bild hat und in der Ebene abc liegt, a, und ßt sind die ersten Bilder der Schnittpunkte von p' mit den Seiten ab und ac, deren zweite Bilder «2 und ßs in a,, b_, und a2 c2 liegen, wodurch p'2 bestimmt ist. p und p' liegen in derselben horizontal projicirenden Ebeue, folglich schneiden sie sich in einem Punkte, dessen Bilder d2 und (I, sind Weil d sowohl auf p, als in der Ebene abc liegt, so ist er der Schnitt von p mit der Ebene abc und weil derselbe noch überdies auf der Strecke a ß liegt, so liegt er auch auf der begrenzten Ebene. Vergleichen wir weiter die Gerade p mit ihrer Einserdeckgeraden p', so entscheiden wir sofort den sichtbaren Halbstrahl für das projicirende Auge Eins. In der zweiten Bildebene können wir die Lage von p gegen p' beurtheilen, ebenso wie wir uns daselbts versinnlichen können, wie das Auge Eins auf die erste
Bildebene sieht (in Fig. 18 durch Pfeile angedeutet). Erwägen wir dann, dass bei der Dreiecksebene die Oberseite gleich der Rückseite ist, so erkennen wir auch, dass jedes der projicirenden Augen einen anderen Halbstrahl von p sieht.
In Fig. 19 ist eine Ebene u durch die Spuren und eine Gerade p Fig. 19. durch ihre orthogonalen Bilder gegeben; es ist der Schnitt von p mit u zu suchen.
Wir construiren zu	p eine in	der Ebene u	liegende Einserdeckgerade	p', welche sowohl die	erste, als	auch die zweite Spur von u schneiden
muss; a, und bt sind die ersten Bilder der Schnittpunkte. a2 liegt in der Bildaxe, weil diese das zweite Bild von ist und b2 in T2. Der Schnitt von p mit p' giebt ct, c2, den Schnitt von p mit u. Stellen wir uns die Lage von p gegen die Ebene u richtig vor, so können wir auch sofort den sichtbaren Theil von dem gedeckten unterscheiden
Fiele der Schnitt der Geraden	p' mit einer	der Spuren unbenutzbar,
so	ziehe man zuvor eine	geeignete	in der Ebene	u liegende Gerade.
In Fig. 20 ist der Schnitt der Geraden p mit der Ebene u zu su- *'8- 20-chen. Wir construiren wieder zu p eine in u liegende Deckgerade p', welche IT! in ax schneidet; a2 ist in der Axe. Die Bildaxe, das erste Bild von ITä wird von p' unbenutzbar geschnitten.. Wir ziehen daher in der E-bene u eine beliebige Einserspurparallele q, q2, welche von p', weil in derselben Ebene liegend, in dem Punkte b, h, geschnitten wird. a3 und b2 ' bestimmen p'2, worauf sofort c2 und c;, die Bilder des gesuchten Schnittpunktes ermittelt werden.
In Fig. 21 ist der Schnitt einer Geraden p mit einer Ebene, welche Fig. 2t. auf der zweiten Bildebene senkrecht steht, zu suchen. Nennen wir den
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Schnitt von p mit u etwa a. so muss aj nothwendig in IT* fallen, weil die gegebene Ebene u für die zweite Bildebene projicirend ist.
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Wir bekommen daher unmittelbar in dem Schnitte von p2 mit “2 das zweite Bild des gesuchten Schnittpunktes, a3, dessen erstes Bild ax in P. liegt.
Der Schnitt einer Geraden mit einer projicirenden Ebene kann ohne weiterer Construction angegeben werden; wir können aber jeden Fall auf den vorigen zurückführen.
In Fig. 22 sei eine Ebene u gegeben, welche durch die Bildaxe und Fig. 22. den Raumpunkt a bestimmt ist; ferner sei eine Strecke b c durch die orthogonalen Bilder gegeben. Es soll der Schnitt der Strecke b c mit u gesucht werden. Wir führen eine dritte Bildebene senkrecht auf u ein und
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ordnen dieselbe etwa der zweiten Bildebene zu. Man suche "iT3 und b., c3 woraus sich sofort d3, dann d2 und d,, die Bilder des gesuchten Schnittpunktes ergeben.
Aufgaben. 1. Zwei sich schneidende und gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p q und eine zur Bildaxe parallele Gerade r sind gegeben.
Es soll der Schnitt der Geraden r mit der durch p und q bestimmten Ebene gesucht werden.
2. Es sind gegeben: zwei Gerade p und q parallel zur Bildaxe und eine Gerade r, parallel zur ersten1 und geneigt zur zweiten Bildebene. Es ist der Schnitt von r mit der durch p und q bestimmten Ebene zu suchen.
3. Eine Ebene, bei welcher die Oberseite gleich der Vorderseite ist, sei durch die Spuren und eine Gerade p, senkrecht auf der zweiten Bildebene, sei durch die Bilder gegeben. Man suche den Schnitt von p mit u.
4. Gegeben: Die Spuren einer Ebene u und die Bilder einer zur Axe parallelen Geraden p 15s ist der Schnitt von p mit u zu suchen.
5. Gegeben: Eine Ebene u, parallel zur Axe und eine Gerade p, ebenfalls parallel zur Axe. Es soll untersucht werden, ob p in der Ebene u liegt.
6. Eine doppelt geneigte Ebene und eine beliebige Kaumgerade sind gegeben. Man untersuche, ob die Gerade zu der Ebene parallel ist.
7. Ein Kaumpunkt ax a.,, das erste Bild p, einer beliebigen durch a gehenden Geraden und die Spuren einer doppelt geneigten Ebene u seien gegeben. Es ist p2 so zu bestimmen, dass p parallel zu u sei.
8. Gegeben: Ein leuchtender Kaumpunkt S, ferner ein System materieller Raumpunkte a, b, c, . . . und die Spuren einer doppelt geneigten Ebene u. Es ist der Schlagschatten von a, b, c, . . . auf der Ebene u zu suchen. Man ziehe zu diesem Bebufe von S durch a, b, C, . . . Strahlen und bringe sie mit u zum Schnitt.
9. Gegeben: Eine Ebene u senkrecht auf der ersten und geneigt zur zweiten Bildebene; ferner ein Punkt a im Raume. Man ziehe durch a jene Gerade p, welche zu u und zu der ersten Bildebene parallel ist-
10. Es sind vier Raumpunkte a, b, c und d gegeben. Man ziehe durch d einen Strahl p, parallel zur ersten Bildebene, dessen zweite Neigung 60° beträgt und suche sodann den Schnitt von p mit der durch a, b und c bestimmten Ebene.
Durch eine Gerade eine Ebene zu legen.
Durch eine Gerade können wir unzählig viele Ebenen legen. Man denke sich etwa durch eine Gerade p eine Ebene u gelegt und um die Gerade p, als Drehungsaxe, herumgedreht, so bekommt man eine Vorstellung von all den Positionen jener Ebenen, welche man durch p legen 23- kann. Sollen wir (Fig. 23) eine beliebige durch p gehende Ebene u darstellen, so überlegen wir, dass diese Ebene die gegebene Gerade p ihrer ganzen Ausdehnung nach, folglich auch die Spurpunkte derselben enthalten muss. Durch den ersten und zweiten Spurpunkt muss beziehungsweise die erste und zweite Spur der Ebene gehen und beide müssen sich in der Bildaxe schneiden. Nach dieser Betrachtung sehen wir ein, wie durch eine Gerade eine Ebene gelegt wird. Wir ziehen Fig. 23 durch den ersten Spurpunkt der Geraden p einen beliebigen Strahl und erklären denselben als die erste Spur einer durch p beliebig gelegten Ebene. A, der Schnitt von "U", mit der Bildaxe und b2, der zweite Spurpunkt von p, bestimmen sofort Tr In dem Falle, wenn der Axenpunkt A unbenützbar liegt, kann eine Spurparallele zur Bestimmung der zweiten Spur benützt werden.
In Fig. 24 wurde eine Gerade p angenommen, deren Spurpunkte a, und b._, sich auf der Zeichnungsfläche brauchbar ergeben. Durch b2 wurde if2, die zweite Spur einer durch p beliebig gelegten Ebene so gezogen, dass sie die Bildaxe in einem unzugänglichen Punkte schneidet; es soll die erste Spur dieser Ebene gesucht werden. Durch at muss u \ gehen; wir brauchen demnach nur noch einen Punkt dieser Spur zu bestimmen. Wir nehmen auf p einen beliebigen Punkt c an und ziehen durch denselben, nachdem die Richtung der zweiten Spur bereits gegeben ist, eine Zweierspurparallele t| und suchen d,, den ersten Spurpunkt derselben; a, und dj bestimmen sofort u,.
ln Fig. 25 wollen wir jenen Fall betrachten, wo die Spurpunkte der Geraden p, durch welche die Ebene gelegt werden soll, unbenutzbar liegen. Wir wählen auf p zwei Punkte a und b und ziehen allenfalls durch a2 und bo die beliebigen Parallel-,Stra'ileu q2, r2 und erklären dieselben, wenn sonst keine weitere Bedingung an die Lage der gesuchten Ebene geknüpft ist, als die zweiten Bilder von Zweierspurparallelen, deren erste Bilder qt und rt durch a, und l)( parallel zur Axe gehen. Die ersten Spurpunkte derselben «j und ß, bestimmen IT, ; die zweite Spur geht durch den Axen-punkt parallel zu q,.
Als ganz speziellen und für die Folge sehr wichtigen Fall wollen wir die projicirenden Ebenen hervorheben, welche durch eine Gerade p (Fig.
O
26) gelegt worden können. TT,, die erste Spur der horizontal projicirenden Ebene muss durch p, gehen und T2 geht durch den Axenpunkt senkrecht auf die Axe. Der Schüler versinnliche sich die Gerade p und die Ebene u im Raume und erkläre die Nothwendigkeit der angegebenen Thatsaclio.
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v".,, die zweite Spür der durch p gelegten vertikal projicirenden Ebene V fällt mit p2 zusammen und T, geht durch den Axenpunkt senkrecht auf die Bildaxe. Warum?
Aufgaben. 1. Eine gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p, deren Spuren benützbar liegen, ist gegeben. Durch diese Gerade werde gelegt:
«) Eine Ebene u, bei welcher die Oberseite gleich der Vorderseite ist.
ß) Eine Ebene V. bei welcher die Oberseite der Rückseite gleich ist, und
A) Eine zur Bildaxe parallele Ebene W.
2.	Gegeben:	Eine Gerade	p, parallel zur	ersten und geneigt	zur
zweiten	Bildebene.	Durch p soll	eine Schar von Ebenen gelegt werden.
3. Durch eine Gerade, geneigt zur ersten und parallel zur zweiten Hildebene, mehrere Ebenen zu legen.
4. Durch eine auf der ersten Bildebene senkrecht stehende Gerade mehrere	Ebenen zu	legen.
5.	Durch eine	zur Bildaxe	parallele Gerade	mehrere Ebenen zu	le-
gen. Dieser Fall kann mit Vortheil auf die vorige Aufgabe zurückgeführt werden.
(5. Durch eine Gerade in der Ordiuallage mehrere Ebeneu zu legen.
Fig. 24.
Fig. 25.
Fig: 26.
7. Eine Gerade p liege in der ersten und geneigt zur zweiten Bildebene. Man lege durch p ein Sy-stem von Ebenen.
8. Parallel zur ersten und geneigt zur zweiten Bildebene ist eine Gerade p so anzunehmen, dass der zweite Spurpunkt derselben unbe-nfttzbar liegt. Durch p sind mehrere Ebenen zu legen.
9. Durch eine gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p, welche die Bildaxe schneidet, mehrere Ebenen zu legen.
10. Mehrere Ebenen zu bestimmen, welche durch die Bildaxe gehen.
Die Normalstellung der Geraden zu der Ebene.
Fig. 27.	Steht	eine	Gerade	p	(Fig. 27) normal auf einer Ebene u, so steht
offenbar eine jede durch p gelegte Ebene ebenfalls normal auf dieser Ebene. Unter den vielen durch p gehenden Ebenen betrachten wir die horizontal projicirende Ebene V etwas näher. Diese Ebene V geht durch die Gerade
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p und steht senkrecht auf der ersten Bildebene, folglich geht V, durch pt.
Die Ebene V steht senkrecht auf n und auf der ersten Bildebene, folglich steht sie auch senkrecht auf Tt, dem Schnitte beider. Wenn Tt senkrecht steht auf der Ebene V, so steht sie auch senkrecht auf jeder durch den Fusspunkt A in der Ebene V gezogenen Geraden, mithin auch 0
senkrecht auf ”v t und weil p, in dieser Spur liegt, so erkennen wir, dass das erste Bild einer auf u normal stehenden Geraden auch auf u t normal steht.
Denken wir uns durch p eine vertikal projicirende Ebene gelegt und stellen analoge Betrachtungen wie zuvor an, so gelangen wir zu der Erkenntnis, dass auch das zweite Bild einer auf u normal stehenden Geraden auf normal stehen muss. Die Giltigkeit dieses Satzes lässt sich für jede Bildebene erweisen und wir gelangen zu dem folgenden sehr wichtigen Ergebnis:
Steht eine Gerade senkrecht auf einer Ebene, so steht in jeder Bildebene die Project ion der Geraden senkrecht auf der Spur dieser Ebene.
Ist eine Ebene u parallel zur Bildaxe, so sind auch ihre Spuren parallel zur Axe und die Bilder einer auf u normal stehenden Geraden p stehen daher normal auf der Axe. Die Normale p ist in der Ordinallage und bleibt durch p, und p2 unbestimmt, weshalb eine dritte Bildebene zu Hilfe genommen werden muss; p3 muss senkrecht auf T:1 sein.
Soll auf eine Ebene von einem gegebenen Punkte aus eine Normale gezogen werden, so brauchen wir eigentlich nicht die Spuren als solche, sondern lediglich die Richtungen derselben, auf welchen die Bilder der Geraden senkrecht stehen.
Die Kichtungen der Spuren einer Ebene können wir recht einfach durch Spurparallele ermitteln, deren wir uns auch bedienen wollen, wenn die Ebene nicht durch die Spuren, sondern durch irgend andere Bestimmungsstücke gegeben ist.
Es sei Fig. 28 eine Ebene durch ein Paar paralleler Geraden p und Fig. 28. q gegeben; es soll von dem Punkte a ein Strahl s normal auf diese Ebene gezogen werden.
s, wird durch a( senkrecht auf die Richtung der ersten Spur gehen, welche mittels der Einserspurparallelen r gefunden wurde. In Fig. 28 wurden p und q parallel der zweiten Bildebene angenommen, folglich geben p2 und q2 unmittelbar die Richtung der zweiten Spur an, auf welcher sa senkrecht steht.
Aufgaben. 1. Eine Ebene sei gegeben durch ein Paar sich schneidender Geraden p und q ; man errichte in dem Schnittpunkte dieser Ge« raden eine Normale auf die Ebene p q.
2. Ein Raumdreieck sei durch die orthogonalen Bilder gegeben. Man errichte in dem Schwerpunkte desselben (dein Schnitte der Seitenhalbierenden Transversalen) eine Normale auf die Dreiecksebene.
3. P]ine zur Bildaxe parallele Ebene sei durch ihre Spuren gegeben; man bestimme den horizontalen Neigungswinkel einer Geraden, welche auf der gegebenen Ebene noimal steht.
4. Drei Punkte a, b und c seien durch die orthogonalen Bilder gegeben : man suche einen Punkt d derart, dass die Strecke a d normal sei zu der durch die Punkte a, b, c bestimmten Ebene und überdies gleich der Strecke b c.
5. Eine Ebene u geneigt gegen beide Bildebenen, eine horizontal pro-jicirende Ebene V und ein Raumpunkt a seien gegeben. Man ziehe durch a einen Strahl p normal auf u, einen Strahl q normal auf V und bestimme sodann den von p und q eingeschlossenen Winkel.
Abstand eines Punktes von einer Ebene.
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene wird gemessen durch die kürzeste Strecke, welche man von dem Punkte zu der Ebene ziehen kann. Soll demnach der Abstand eines Punktes a von einer Ebene u gesucht werden, so fälle man von a einen Strahl p normal zu der Ebene u und suche dessen Schnittpunkt b mit u; die Strecke a b misst den gesuchten Abstand.
In Fig. 29 ist eine Ebene u durch die Spuren und ein Raumpunkt	29.
a gegeben; es soll der Abstand des Punktes a von der Ebene u gesucht werden. Wir ziehen durch ai und a., die Strahlen p, und pu beziehungsweise senkrecht auf die erste und zweite Spur; das sind bekanntlich die orthogonalen Bilder des Normalstrahles p, dessen Schnittpunkt b mit der Ebene u sodann gefunden wurde, a, b, und a2 b2 sind die Bilder des Abstandes, dessen wahre Grösse a' b' mittels eines Differenzendreiecks bestimmt werden kann.
Ein besonderes Augenmerk wollen wir jenem Falle zuwenden, wenn die Ebene u projicirend ist.
Es sei Fig. 30 der Abstand des Punktes a von der horizontal pro- Fig. 30. jicirenden Fbene u zu suchen. Wir füllen von a einen Strahl p normal auf u. Wo p, die erste Spur schneidet, ist unmittelbar q,, das erste Bild
des Schnittes von p mit u; warum? b2 liegt zugeordnet lind in pL,. Die Bilder des Abstandes lassen sich,in diesem Falle sehr leicht ermitteln und wenn wir dieselben näher betrachten, so finden wir, dass a, I), unmittelbar die wahre Grösse des Abstandes ab angiebt; warum?
Wir könnten uns dieses Ergebnis etwa in folgender Fassung merken: Ist eine Ebene für die nte Bildebene projicirend, so ist der Abstand des nten Bildes eines Raumpunktes von der nto> Spur gleich dem Abstande dieses Punktes von der Ebene. Jeden anderen Fall können wir auf jenen zurückführen, wo die gegebene Ebene zu einer projicirenden wird; nur müssen wir vorerst eine dritte Bildebene zweckentsprechend einführen Fig. 31.	Es sei Fig. 31 eine doppelt geneigte Ebene u und ein Punkt a ge-
geben; es soll der Abstand des Punkte a von der Ebene u gesucht werden. Wir ordnen zuvor eine dritte Bildebene etwa der ersten so zu, dass ,X3
O
senkrecht auf T[ geführt wird und suchen sodann a3 und "ö":1. Weil u auf
0
der dritten Bildebene senkrecht steht, so giebt der Abstand a3 von T» unmittelbar den Abstand des Punktes a von u an. Wollten wir noch überdies das erste und zweite Bild dieses Abstandes haben, so kann dies sehr einfach geschehen, wie aus dem Vorhergehenden und der Fig. 31 selbst ersichtlich ist.
Aufgaben. 1. Es sind zwei Punkte a und b im Raume gegeben; man bestimme den Abstand des Punktes a von der durch die Bildaxe und den Punkt b bestimmten Ebene.
2. Eine Ebene u, deren Spuren der Bildaxe parallel sind, sei gegeben. Man bestimme den Abstand der Bildaxe von dieser Ebene.
3. Ein Dreieck und ein	Punkt a	seien im	Raume gegeben; man
fälle	von a ein Perpendikel	auf die	Dreiecksebene und bestimme die
wahre Grösse desselben.
4. Vier Raumpunkte abcd sind gegeben; man fälle die Perpendikel von a auf die Ebene bcd, von b auf cda,von c auf dab und von d auf abc.
5. Eine doppelt geneigte	Ebene u	sei durch	die Spuren und ein ober
dieser Ebene liegendes Parallelogramm	abcd sei	durch die orthogonalen
Bilder gegeben. Unter Voraussetzung, dass die Ebene u die Eigenschaften eines Planspiegels zeigt, soll das Spiegelbild des Parallelogrammes gesucht werden.
G. Eine doppelt geneigte Ebene u, bei welcher die Oberseite der Rückseite gleich ist, und ein zur Bildaxe paralleler Strahl p seien gegeben. Man bestimme jene zwei Punkte a und	b auf	der	Geraden	p, welche
von u eben so weit abstehen, wie p von der	Axe.
7.	Eine doppelt geneigte Ebene u sei	durch	die	Spuren	gegeben;
man suche in jenon Punkt a, dessen Abstand von ü“, einer gegebenen Strecke gleich ist.
Durch einen Punkt eine Ebene senkrecht auf eine Gerade zu legen.
Fig. 51
Soll durch einen Punkt a (Fig. 32) eine Ebene senkrecht auf eine
Gerade p gelegt werden, so kann dieselbe am einfachsten durch ein Paar sielt schneidender Geraden bestimmt werden, weil die Richtungen der Spuren im Vorhinein bekannt sind. Die erste Spur steht senkrecht auf pv und die zweite senkrecht auf p2, folglich können die Spurparallelen sofort gezogen werden. qt, das erste Bild der Einserspurparallelen geht durch a, und senkrecht auf p, ; das zweite Bild q2 ist parallel zur Axe. r2, das zweite Bild der Zweierspurparallelen geht durch a2 und senkrecht auf p2 und i'j durch ax parallel zur Axe. Durch die zwei sicli schneidenden Geraden q und r ist die gesuchte Ebene vollkommen bestimmt.
W ollen wir die Spuren einer Ebene u finden (Fig. 33) welche durch Fig. 33. einen Raumpunkt a senkrecht auf eine gegebene Gerade p geführt wird, so brauchen wir nur einen Punkt der ersten oder der zweiten Spur dieser Ebene zu finden, weil die Richtungen der Spuren bekannt sind und sich in der Axe schneiden müssen. Wir ziehen daher durch a etwa eine Zweierspurparallele q und suchen deren ersten Spurpunkt b,, durch welchen u , senkrecht auf pt zu ziehen ist. i7._, geht durch den Axenpunkt A senkrecht auf u 2.
Ergäbe sich der Axenpunkt A unbenützbar, so ziehe man durch a eine Einserspurparallele, bringe sie mit der zweiten Bildebene zum Schnitt und man hat einen Punkt von "ü2 gefunden.
Jenen Fall, wenn die gegebene Gerade p zu einer Bildebene parallel ist, wollen wir besonders betrachten, weil sich daselbst die gestellte Aufgabe sehr leicht auflösen lässt und wir im Stande sind, jeden anderen Fall auf diesen zurückzuführen.
Fs sei Fig. 35 ein Punkt a und eine zur ersten Bildebene parallele Fig. 35. Gerade p gegeben; es soll durch a eine Ebene u senkrecht auf p gelegt werden. Weil p zur ersten Bildebene parallel ist, so ist jede auf p senk-
o
rechte Ebene horizontal projicirend. tT, muss demnach durch at und senkrecht auf Pi gehen; warum? ü2 geht durch den Axenpunkt senkrecht auf die Axe. Im Folgenden zeigen wir, wie andere Fälle auf den vorigen vorteilhaft zurück geführt werden können.
Es sei Fig. 34 ein Punkt a und eine Strecke b c in der Ordinallage Fig. 34. gegeben; man lege durch a eine Ebene senkrecht auf b c und ermittle deren Spuren. Wir führen zuerst eine dritte Bildebene ein, parallel zu bc und ordnen dieselbe allenfalls der zweiten Bildebene zu; 2X3 ist daher parallel zu b„ c2 zu ziehen. Dann werde a3 und b., c3 gesucht. Beziehen wir die vorgelegten Gebilde auf die zweite und dritte Bildebene so haben
o
wir den vorigen Fall vor uns. Die Normale von a8 auf b3 c3 giebt u3; warum ? ; üT2 ergiebt sich dann unmittelbar. Um iTt zu finden, werde das erste Bild d, eines auf JTr liegenden Punktes d gesucht.
Aufgaben. 1. Ein gegen beide Bildebenen geneigter Strahl p, dessen Bilder nach der Vereinigung der Bildebenen in eine Gerade zusammenfallen, ist gegeben; ein Punkt a werde in der ersten und hinter der zweiten Bildebene angenommen und die Spuren jener Ebene gesucht, welche durch a senkrecht auf p gelegt werden kann.
2.	Gegeben: eine doppelt geneigte Gerade p und ein Punkt a, wel-
eher von beiden Bildebenen gleich weit absteht und ober der ersten und hinter der zweiten liegt. Durch ein Paar sich schneidender Geraden ist jene Ebene zu bestimmen, welche durch a senkrecht auf p gelegt werden kann.
3. Gegeben: Eine Gerade p in der zweiten lind ein Punkt a in der ersten Bildebene; man lege durch a eine Ebene senkrecht auf p.
4. Eine Ordinalgerade p, welche mit der ersten Bildebene einen Winkel von 60° einschliesst und die Axe schneidet, ferner ein von beiden Bildebenen gleich weit abstehender Punkt, welcher unter der ersten und von der zweiten Bildebene liegt, sind gegeben; man suche die Spuren der durch a senkrecht auf p gelegten Ebene.
5. Drei Punkte a, b und c sind im Raume gegeben; a liege in der ersten, b in der zweiten Bildebene und c in der Axe. Man lege die Ebenen: u durch a senkrecht auf Eč, v durch b senkrecht auf öä und w durch c senkrecht auf ab.
6. Zwei gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p und q schneiden sich in einem Raumpunkte a. Man lege durch a die Ebenen U und V beziehungsweise senkrecht aut p und q.
7. Zwei sich schneidende Gerade p und q sind gegeben : p liege in der ersten und q in der zweiten Bildebene. Man lege durch einen beliebigen Punkt a die Ebenen u und v senkrecht auf p und q und bestimme sodann die Abstände dieser Ebenen von dem Schnittpunkte der gegebenen Geraden.
Den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu bestimmen.
Diese Aufgabe haben wir im vorhergehenden bereits gelöst. Wir wollen nun hiefür eine andere ganz allgemeine Auflösung geben.
Fig. 3G.	Soll der Abstand eines Punktes a von einer Geraden p (Fig. 36) ge-
funden werden, so lege man durch a eine Ebene u senkrecht auf p und suche deren Schnittpunkt b mit p. Die Streck«» ab misst den gesuchten Abstand. In Fig. 36 wurde die durch a senkrecht auf p gelegte Ebene durch die Spurparallelen q und r bestimmt und der Schnitt von p mit der Ebene q r mittels einer Deckgeraden gefunden. Zur Bestimmung von a' b', der wahren Grösse des Abstandes, wurde das erste Differenzendreieck benützt. Bei der Auflösung dieser Aufgabe erscheint es recht vorteilhaft, die durch a senkrecht auf p gelegte Ebene durch ein Paar sich schneidender Geraden zu bestimmen. Wären die Spuren dieser Ebene gegeben, so ist die weitere Auflösung von selbst klar. l*ig. 37.	In Fig. 37 soll der Abstand eines Punktes a von einer zur ersten
Bildebene parallelen Geraden bestimmt werden. Man lege durch a die auf p senkrechte Ebene u, welche diesfalls horizontal projicirend ist. b,, das erste Bild des Schnittes von p mit u ergiebt sich unmittelbar und demgemäss auch b2 die wahre Grösse a' I)' kann sofort mittels eines Diiferenzendrei-ecks bestimmt werden. Wenn wir diesen Fall ganz besonders hervorheben, so geschieht es deswegen, weil wir jeden anderen durch eine entsprechende Einführung einer dritten Bildebene auf diesen, fluriiekführen können.
Fig. 38 soll der Abstand eines Punktes a von einer doppelt geneig- Fig. 38. ten Geraden p bestimmt werden. Mit Rücksicht auf den vorigen Fall führen wir zuvor eine dritte Bildebene parallel zu p ein und wenn wir dieselbe der ersten zuordnen, so muss ,X;, parallel zu Pj gezogen werden. Nachdem a3 und p3 gefunden, kann a;1 b3, das dritte Bild des gesuchten Abstandes ohneweiters gezogen werden; b, und b2 ergeben sich auch einfach, wie aus dem Vorigen und der Fig. 38 erhellt.
Diese Methode empfielt sich namentlich dann als sehr brauchbar, wenn die Abstände eines Punktsystems von einer iixen Geraden, zu bestimmen sind, eine Aufgabe, welche in der technischen Praxis häufig vorkommt.
Aufgaben. 1. Es ist der Abstand eines beliebigen Raumpunktes von einer zur Bildaxe parallelen Geraden zu bestimmen.
2. Ein Punkt a, welcher von beiden Bildebenen gleich weit absteht und ober der ersten und hinter der zweiten Bitdebene liegt ist gegeben ; man bestimme dessen Abstand von der Bildaxe.
3. Gegeben: Eine Gerade p in der zweiten, geneigt zur ersten und ein Punkt a in der ersten Bildebene; es ist der Abstand dieses Punktes von p zu suchen.
4. Eino gegen beide Bildebenen geneigte Gerade, deren Bilder nach der Vereinigung der Bildebenen zusammenfallen, und ein beliebiger Raum-punkt a sind gegeben; es ist der Abstand desselben von p zu suchen.
5. Drei allgemein im Raume liegende Punkte a, b, c sind gegeben; man fälle die Perpendikel von a auf bö, von b auf ca, von c auf ab und bestimme die wahre Grösse derselben.
(3. Gegeben: Eine Strecke ab in der Ordinallage und ein beliebiger Raumpunkt c; es soll der Abstand dieses Punktes von der durch a b bestimmten Geraden gefunden werden.
7. Gegeben: Ein System von Raumpunkten a, b, c,... und eine gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p; es sollen die Abstände der Punkte a, b, c ... von p gesucht werden.
8. Eino doppelt geneigte Drehungsaxe p und ein Raumpunkt a seien gegeben; man bestimme den Drehungshalbmesser und den Drehungsmittelpunkt für den Punkt a.
9. Es ist der Abstand paralleler Geraden zu suchen.
10. Zwei sich schneidende und gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p, q und ein in der Bildaxe liegender Punkt a seien gegeben. Man fälle von a auf p und q Perpendikel und bestimme sodami ihren Neigungswinkel.
Verschiedene Aufgaben über die Beziehungen der Geraden zu Ebenen.
Durch eine Gerade, eine Ebene senkrecht auf eine gegebene Ebene za legen.
Steht eine Gerade p senkrecht auf einer Ebene, so steht auch jede durch p gelegte Ebene ebenfalls senkrecht auf dieser Ebene. Dieser ste-
rooraetrische Fimdamentalsatz giebt unmittelbar die Auflösung der vorliegenden Aufgabe.
Fig. 39.	Soll Fig. 39 durch die Gerade p eine Ebene senkrecht auf u gelegt
werden, so ziehe man durch einen auf p gewählten Punkt a einen Strahl q normal auf die Ebene u; die durch die 2 sich schneidenden Geraden p und q bestimmte Ebene steht mit Rücksicht auf den vorerwähnten Sat/, senkrecht auf u.
Welche Lage müsste p haben, damit die gestellte Aufgabe unzählig viele Auflösungen zulasse?
Hg. 4«.	Zwei Gerade p und q {Fig. 40), welche im Raume an einander
vorüber gehen, sind gegeben; man lege durch p eine Ebene parallel zu q.
Die Auflösung dieser Aufgabe vermittelt folgender Lehrsatz der Stereometrie: „Ist eine Gerade parallel zu irgend einem Strahle einer gegebenen Ebene, so ist sie auch parallel zu dieser Ebene. Wir nehmen auf p einen beliebigen Punkt a an und ziehen durch denselben r || q; durch die zwei sich schneidenden Geraden p und r ist die gesuchte Ebene bestimmt.
Zwei sich kreuzende Gerade p, q und ein Rnumpanht a sind gegeben ; man lege durch a jene Ebene, welche zu beiden Geraden partdiel ist.
Die Auflösung dieser Aufgabe geht aus der vorigen unmittelbar hervor. Wir ziehen durch a einen Strahl r parallel zu p und einen Strahl s parallel zu q. Durch die Geraden r und s ist die gesuchte Ebene bestimmt.
Zwei sich kreuzende Gerade p, q und eine horizontal projicirende Fig 41. Ebene u sind Fig. 41 gegeben. Man suche eine Schar von Geraden, welche p und q schneiden und zu der Ebene u parallel sind.
Denken wir uns eine Gerade s, welche den gestellten Bedingungen genügt, bereits gefunden, so muss dieselbe nothwendig parallel sein zu einer in u liegenden Geraden, deren erstes Bild bei der speziellen Lage
o
der Ebene u in "ü, ist. Da parallele Gerade auch parallele Bilder haben, o
so muss s, zu U| parallel sein. Wir ziehen somit einen beliebigen Strahl o
s, || "üj und erklären denselben als das erste Bild einer zu u parallelen Geraden, welche p und q schneidet, «j und sind demnach die ersten Bilder dieser Schnittpunkte, deren 2te Bilder «2 und /9g in pa und q2 liegen, wodurch s., bestimmt ist. Es ist auch weiter klar, wie eine Reihe der Geraden von der verlangten Eigenschaft gefunden wird. In Fig. 41 wurden einige derselben bestimmt. Wäre die Ebene u, welche die Richtebene heissen mag, geneigt gegen beide Bildebenen, so lässt sich stets eine neue Bildebene derart einführen, dass dieser Fall auf den vorhin besprochenen Fig. -12 gebracht wird. Es seien z. B. Fig. 42 gegeben: „Zwei doppelt geneigte Gerade p, q und eine doppelt geneigte Ebene u. Es soll wieder eine Schar von Geraden construirt werden, welche zu u parallel sind und p und q schneiden. Zuvor werde eine dritte Bildebene senkrecht auf u eingeführt und
o
der ersten zugeordnet; dann wird p3, q;1 und u;! gesucht. Beziehen wir nun die gegebenen Gebilde auf die erste und dritte Bildebene so erscheint die
gestellte Aufgabe völlig auf den vorigen Fall gebracht. Die dritten Bilder der gesuchten Geraden werden unmittelbar gezogen, woraus die ersten und dann die zweiten sehr bequem folgen. Die Fig. 42 erklärt die Anordnung und Ausführung genugsam.
Drei Gerade p, t| und r Rind Fig. 43 derart gegeben, dass sich durch Fig. je zwei derselben keine Ebene legen lässt. Es soll eine Gerade gefunden werden, welche die drei gegebenen Geraden schneidet.
Man wähle auf p einen beliebigen Punkt 1 an und lege durch denselben und durch die Gerade q eine Ebene u, sodann sucht man den Schnitt I von r mit u. Wird nun 1 mit 1 durch eine Gerade verbunden, so schneidet diese auch q, weil sie in derselben Ebene liegen. Nimmt der Punkt 1 auf dem Strahle p eine andere Lage an, so ändert sich auch u und I, d. h. es giebt unzählig viele Gerade, welche der vorliegenden Aufgabe genügen.
In Fig. 43 wurden drei sich im Raume kreuzende Gerade p, q und r angenommen; es soll eine Schar von Geraden gesucht werden, welche alle drei Leitlinien p, q und r schneiden. Die Annahme wurde so günstig getroffen, dass q auf der ersten Bildebene senkrecht steht.
Wählen wir auf p einen Punkt 1 an und legen durch denselben und durch q eine Ebene u, so steht diese bei unserer speziellen Annahme
o
senkrecht auf der ersten Bildebene; durch .lj und q, ist somit "üi bestimmt und wo letztere i\ schneidet ist unmittelbar It, das erste Bild des Schnittes von r mit u, dessen zweites Bild in r2 und zugeordnet liegt.
Die Gerade 1 I schneidet alle drei Leitgerade. Auf dieselbe Art findet man beliebig viele andere; in Fig. 43 wurden einige gesucht.
Hätten die drei Leitgeraden p, q und r eine allgemeine Lage im Raume, so kann immerhin eine solche Transformation der Bildebenen vorgenommen werden, dass dieser allgemeine Fall auf den vorigen gebracht wird. In Fig. 44, wo keine der Geraden p, q, r auf einer Bildebe- J,’g: ne senkrecht steht, wurde diese Aufgabe etwas allgemeiner ausgeführt. Nachdem p der ersten Bildebene parallel ist, *o kann mit einem Schlage dieser Fall auf den vorigen gebracht werden durch Einführung einer neuen Bildebene, welche der ersten zugeordnet und senkrecht auf p gestellt wird.
Man ziehe ,X3 senkrecht auf p, und suche dann p3, q,, und r3. Mit Hilfe der ersten und dritten Bildebene geschieht die Auflösung wie zuvor; aus den dritten Bildern werden die ersten und aus diesen die 2ten nach den Ordinatengesetzen gefunden. Tn Fig. 44, wo eine Schar der verlangten Geraden gefunden wurde, kann die Anordnung und Ausführung deutlich entnommen werden.
Wenn keine der gegebenen Geraden zu einer Bildebene parallel wäre, so ist die frühere Transformation nur mit einer Bildebene nicht erreichbar. Wollte man auch diesen ganz allgemeinen Fall in ähnlicher Weise transformiran, so führe man zuerst eine Bildebene Drei etwa parallel zu zu p und suche p3, q3 und r8. Dann wird eine vierte Bildebene der dritten zugeordnet und senkrecht auf q eingeführt. Die vierten Bilder der verlangten Geraden können wie im ersten Falle sofort gezogen werden, aus
welchen sich die dritten, aus diesen wieder die ersten und zweiten Bilder ergehen.
Wäre besagte Transformation etwa wegen beschränkter Zeichnungsfläche unzulässig so gelte folgende allgemeine Auflösung, welche der Schüler selbstädig durchführe: Durch eine der Geraden, z. B. durch p lege man eine beliebige Ebene u und bringe q und r mit u zum Schnitt; diese zwei Schnittpunkte bestimmen eine Gerade, welche p, q und r schneidet. In weiterer Folge wollen wir noch auf eine dritte Auflösungsart zurück-kommen.
Aufgaben. 1. Eine durch zwei parallele und gegen beide Bildebenen geneigte Strahlen p und q bestimmte Ebene und eino doppelt geneigte Gerade r sind gegeben. Man lege durch r eine Ebene u senkrecht auf die gegebene Ebene p q. ohne die Spuren der letzteren zu benützen.
2. Vier Punkte a b c und d sind im Raume gegeben; man lege durch ab eine Ebene senkrecht auf die durch b, c, d bestimmte Ebene.
3. Zwei sich schneidende Gerade p und q sind gegeben; man lege durch einen auf der ersten Bildebene senkrechten Strahl r eine Ebene senkrecht auf p q.
4. Eine doppelt geneigte Ebene u, bei welcher die Oberseite gleich der Rückseite ist, sei durch die Spuren gegeben; man lege durch "ü, eine Ebene v senkrecht auf u.
5. Eine Ebene u, welche der Bildaxe parallel ist, sei durch die Spuren gegeben; man lege durch die Bildaxe eine Ebene v senkrecht auf u.
6. Zwei sich schneidende Gerade p und q sollen so angenommen werden, dass p senkrecht auf der ersten und q parallel zur ersten und geneigt zur zweiten Bildebene sei. Man lege durch einen Strahl r, welcher in der zweiten und geneigt zur ersten Bildebene angenommen wurde, eine Ebene u senkrecht auf die Ebene p q und suche deren Spuren.
7. Gegeben: ein Punkt a, eine Gerade p und eine Ebene u; man suche den Abstand des Punktes a von der durch p senkrecht auf u gelegten Ebene.
8. Zwei sich nicht schneidende Gerade p und q sind gegeben; p liege in der ersten geneigt zur zweiten und q in der zweiten und geneigt zur ersten Bildebene. Man lege durch p eine Ebene u parallel zu q und suche deren Spuren.
9. Zwei sich kreuzende und gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p und q sind gegeben. Man lege durch p eino Ebene u || q und durch q eine Ebene v || p.
10. Eine Strecke ab ist in der Ordinallage gegeben; man lege durch die Bildaxe eine Ebene parallel zu ab.
11. Zwei sich kreuzende und gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p und q sind gegeben; man lege durch p eino Ebene u parallel zu q und durch q eine Ebene v senkrecht auf u.
12. Zwei sich kreuzende und gegen beide Bildebenen geneigte Gerade p, q und ein Raumpunkt a sind gegeben; es sind die Spuren jener Ebene zu suchen, welche durch a parallel zu p und q gelegt werden kann.
13. Eine Gerade p und zwei Punkte a und b sind im Raume gege-
ben; man lege durch p eine Ebene u deren Spuren nach der Vereinigung der Bildebenen in eine Gerade fallen und beantworte folgende Fragen;
a) Wie gross ist der Unterschied der Abstände der Punkte a und I) von der Ebene u. ß)	Welcher Punkt	der Ebene u liegt mit a und	b in derselben
Geraden und	wie gross ist dessen Abstand	von ~t.
14. Gegeben: Eine Ebene u, eine Gerade p und ein auf p liegender Punkt a. Man untersuche ob p zu u parallel sei und wenn dies nicht der Fall ist, so werde das zweite Bild von p derart abgeändert, dass p durch a und parallel zu u gehe.
15. Gegeben: Zwei sich kreuzende Gerade p, q und ein Raumpunkt a; p sei senkrecht auf einer und q geneigt gegen beide Bildebenen. Es ist jene durch a gehende Gerade zu suchen, welche p und q schneidet.
16. Die unter N. 15 gestellte Aufgabe werde gelöst unter Voraussetzung, dass p parallel zu einer und q zu beiden Bildebenen geneigt sei.
17.	Die	vorige Aufgabe	zu lösen unter Voraussetzung,	dass p und q
zu beiden Bildebenen geneigt	sind. Für die Aufgaben N. IG	und 17 trachte
man 2 verschiedene Auflösungsarten zu finden.
18. Gegeben; zwei sich kreuzende Gerade p und q; es sei p senkrecht auf der ersten und q senkrecht auf der zweiten Bildebene. Man suche eine Schar von Geraden welche p, q und die Bildaxe schneiden.
19. Drei Gerade p, q und r welche im Baume au einander vorüber gehen, sind gegeben; p sei senkrecht zur zweiten Bildebene. Man suche mehrere Gerade, welche dio gegebenen drei Geraden schneiden.
20. Die vorige Aufgabe werde gelöst unter Voraussetzung, dass p der ersten Bildebene parallel und q und r zu beiden geneigt seien.
21. Die Aufgabe N. 15 unter der Voraussetzung zu lösen, dass die gegebenen drei Geraden sämmtlich doppelt geneigt sind.
22. Gegeben: eine vertikal projicirende Ebene u, eine doppelt geneigte Gerade p und ein Raumpunkt a. Man suche jene Gerade q, welche durch a geht, p schneidet und zu u parallel ist.
,23. Dio vorige	Aufgabe unter der Voraussetzung	zu	lösen,	dass	die
gegebeno Ebene u doppelt geneigt sei.
24. Zwei doppelt geneigte und sich kreuzende Gerade und eine vertikal projicirende Ebene u sind gegeben. Man suche eine Schar von Geraden, welche p und	q schneiden und zu u parallel sind.
25. Die vorige	Aufgabe unter der Voraussetzung	zu	lösen,	dass	die
gegebene Ebene u doppelt geneigt sei.
Neigung der Geraden zu Ebenen.
Der Neigungswinkel einer Geraden mit einer Ebene ist jener Winkel, welchen die Gerade mit ihrer orthogonalen Projection auf dieser Ebene einschliesst; er ist der kleinste unter jenen Winkeln, welche die Gerade mit den durch den Fusspunlct in der Ebene gezogenen Strahlen einschliesst.
In Fig. 45 denken wir uns eine Ebene u und eine Gerade a b, wel- Fig. 45. che u in b schneidet; a'b sei die orthogonale Projection von ab auf u.
Fig. 46.
Fig 4G.
Der Winköl a b a' misst die Neigung von der gegebenen Geraden a b zu der Ebene u. Von diesem Winkel wollen wir zeigen, dass er kleiner ist als jeder andere, welchen p mit irgend einer durch b in u gezogenen Geraden einschliesst, Ziehen wir durch b eine beliebige Gerade bc in u, machen bc = ba, verbinden a mit c und c mit a' durch Gerade. Das Dreieck aa'c ist rechtwinklig; denn aa' steht senkrecht auf u, folglich auch senkrecht auf der Fusspunktsgeraden a' c. Die Hypotenuse ac ist somit grösser als die Kathete a a'. Vergleichen wir weiters die Dreiecke a b a' und abc so finden wir, dass sie eine gemeinsame Seite ab haben und dass nach der Voraussetzung auch ba' = bc ist. Wenn aber in zwei Dreiecken zwei Seiten gleich und das dritte Seitenpaar ungleich ist, so liegen den ungleichen Seiten auch ungleiche Winkel gegenüber und zwar liegt der grösseren Seite auch der grössere Winkel gegenüber; daher Winke] a b a' kleiner als Winkel abc.
Nachdem diese Eigenschaft immer zutrifft, bc möge eine beliebige Lage in u einnehmen, so ist die obige Behauptung erwiesen. Aus dieser Betrachtung geht auch hervor, dass der Neigungswinkel, der spitze Winkel ist, welchen die Gerade mit ihrer orthogonalen Projection einschliesst. Welche Eigenschaft hat der Nebenwinkel des Neigungswinkels ?
In Fig. 46 ist eine Gerade p durch die Bilder und eine Ebene u durch die Spuren gegeben; es ist der Neigungswinkel von p mit u zu suchen.
Nachdem der Schnittpunkt b von p mit u bestimmt wurde, ist von einem beliebig auf p gewählten Punkte a ein Strahl q senkrecht auf u gefällt und sein Schnitt a' mit u gesucht worden. Der gesuchte Neigungswinkel ist alsdann durch die Bilder bestimmt. Die wahre Grösse desselben wird, wie bekannt, ermittelt, wenn eine Spur der Winkelebene gesucht und um diese die Umlegung in die Bildebene vollzogen wird. Ergäbe sich der Punkt b unbenützbar, so suche man von einem zweiten auf q liegenden Punkte die orthogonale Projection auf u.
Betrachten wir Fig. 46 das rechtwinklige Dreieck a ba' so finden wir, dass der spitze Winkel, welchen die Normale q mit p einschliesst das Komplement des gesuchten Neigungswinkels ist; auf diese Tliatsache stützen wir eine zweite Methode, den Neigungswinkel einer Geraden mit der Ebene zu bestimmen.
In Fig. 46 wurde der	Neigungswinkel	der Geraden p mit	der Ebene
u	mittels des Komplementwinkels gesucht.	Von einem auf p	gewählten
Punkte a wurde q senkrecht auf u gefällt, sodann die erste Spur v, der Ebene p q gesucht, um welche der Winkel p q in die erste Bildebene umgelegt und dann zu 90° ergänzt wurde. Letztere Methode ist einfacher.
Läge p so ungünstig, dass sich die Spur der Ebene p q unbenützbar ergäbe, so werde ein beliebiger Baumpunkt a' beliebig angenommen; zieht man durch a' zwei Gerade p' und q' beziehungsweise parallel zu p und q so ist der von p' und q' eingeschlossene Winkel dem gesuchten Neigungswinkel gleich. Weil eben a' beliebig ist, so kann er stets so gewählt werden, dass sich die Spur	der Ebene p' q'	brauchbar ergiebt.
Wenn die Spuren der	Ebene nicht gegeben sind, sondern	irgend au-
dere Bestimmungsstücke, so werden die Richtungen der Spuren durch Spurparallele am einfachsten bestimmt.
In dem Palle, wo die Spuren der Ebene der Bildaxe parallel sind, hat die Normale dieser Ebene die Ordinallage, weshalb eine dritte Bildebene zu Hilfe genommen wird.
Es ist zu ermitteln, tvic gross oder wie klein die Stemme der Nei-gungsivinlcel einer Geraden mit den zugeordneten Bildebenen werden kann.
Bezeichnen wir den Neigungswinkel einer Geraden mit der ersten Bildebene mit a und ihren Neigungswinkel mit der zweiten Bildebene mit ß. Für spezielle Lagen der Geraden zu den Bildebenen kann die Summe dieser Winkel unmittelbar angegeben werden. Liegt die Gerade in oder parallel zur Bildaxe, so ist « == 0 und ß — 0, folglich auch a -f- ß = 0.
Ist die Gerade parallel zur ersten und geneigt zur zweiten Bildebene, so ist « = 0 und ß < 90° mithin (u	-J- ß) < 90°. Ist die	Gerade in oder
parallel zur zweiten und geneigt zur	ersten Bildebene	so ist	ct	< 90° und
ß — 0, folglich (a -)- ß) < 90°. Steht die Gerade senkrecht auf der ersten Bildebene, so ist «	90°	und /9 = 0, daher (« -f- ß) = 90°.
Steht die Gerade senkrecht auf der zweiten Bildebene, so ist a — 0 und ß = 90°, mithin (« -f- ß) ■= 90°. Hat die Gerade die Ordinallage, so erscheinen « und ß als die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreieckes, folglich (a -f- ß) — 90°.
Es bleibt schliesslich nur noch	der allgemeine Fall	zu	betrachten,
wo die Gerade zu beiden Bildebenen	geneigt ist. In	Fig.	48	wollen wir l<'ig: 48.
uns die beiden Bildebenen und eine Gerade a, b2 versinnlichen; aj sei der erste und b2 der zweite Spurpunkt dieser Geraden. Wenn wir uns weiter in ax b, und a2 b2 die orthogonalen Bilder der Geraden denken, dann können wir uns auch die Neigungswinkel « und ß vorstellen. Aus dem rechtwinkligen Dreiecke at b2 bt folgt, dass der Winkel aj b2 b[ den Winkel u zu 90° ergänzt. Der Winkel a, b2 bt ist aber grösser als ß, weil letzterer die Neigung der Geraden zur zweiten Bildebene misst: folglich ist (a ~\- ß) c 90°.
Wir können also allgemein sagen: Die Summe der Neigungswinkel einer Geraden mit den Bildebenen liegt zwischen den Grenzen 0 und 90°; die Grenzwerte können auch erreicht werden.
Eine Gerade zu suchen, welche mit den Bildebenen gegebene Nei-gungswinJeel einschliesst.
Zu der Auflösung dieser Aufgabe diene folgende Erwägung: Denken wir uns eine Strecke a b von beliebig angenommener Länge; der eine Endpunkt a liege in der ersten Bildebene und die erste Neigung dieser Strecke sei gleich einem gegebenen Winkel ct. Unter diesen Voraussetzungen können wir die Länge des ersten Bildes dieser Strecke und die Höhe des Punktes b über der ersten Bildebene sehr leicht finden, indem wir Fig. 49 Fig. 49. eine Strecke AB' =' a b so zeichnen, dass sie mit der Bildaxe den Winkel « einschliesst. In dem rechtwinkligen Dreiecke A B' B/ ist alsdann A B/ gleich dem ersten Bilde und B'B, ' gleich der ersten Ordinate des Endpunktes b.
Denken wir uns weiter dieselbe Strecke a b mit dem Endpunkte-a in der zweiten Bildebene und unter dem Winkel ß gegen dieselbe geneigt, so finden wir aus dem rechtwinkligen Dreiecke Ä B" B;,,'' woboi AB" = ab
und der Winkel B"AB2" = ß, dass die eine Kathete B"Ba" die zweite Ordinate von b und äb2" die Länge des zweiten Bildes der fraglichen Strecke misst.
Lassen wir nun sämmtliclie Bedingungen gleichzeitig bestehen, so haben wir eine Strecke ab vor uns, deren Länge bereits angenommen wurde und welche mit den Bildebenen die gegebenen Winkel u und ß ein-schliesst. Der eine Endpunkt a liegt in der Bildaxe und von dem Pnnkte b sind die Ordinaten bekannt.
Da noch überdies die Länge des ersten und zweiten Bildes dieser Strecke bekannt ist, so können wir die Construction folgends anordnen: In einer beliebig gewählten Ordinale suchen wir die Bilder des Punktes b, welcher den ermittelten Ordinaten entspricht; B'B,' giebt den Abstand ba bis zur Axe und B" B2 giebt den Abstand bt bis zur Bildaxe. Dann wurde mit A Bj," der Länge des ersten Bildes, von bj aus ein Kreisbogen beschrieben, weicher die Axe in a und a' trifft a ba und ab, sind die Bilder der gesuchten Strecke ab; bei richtiger Zeichnung muss ab2 = AB2" sein. Eine zweite Position dieser Strecke ist bestimmt durch a' b2 und a' b,.
Werden abt und a' bt verlängert bis die in a und a' errichteten Ordinalen in at" und a/" geschnitten werden so erhält man in a b2, a/^b, und a' bjj, aj" b, die Bilder einer dritten und vierten Position der Strecke, welche mit den Bildebenen die gegeben Winkel a und ß einschliesst. Dass dies wirklich der Fall ist geht einfach daraus hervor, weil auch hier die Länge des ersten Bildes A3\ gleich ist und sonst die anderen Bedingungen zutreffen. Wenn (« -j- ß) <c 1)0°, so finden wir 4 Gerade, welche durch einen Punkt gehen und mit den Bildebenen die Winkel « und ß einschliessen.
Wäre in Fig. 4!) die Aufgabe, durch den gegebenen Punkt 0[ oa die möglichen Geraden zu ziehen, welche mit den Bildebenen die Winkel a und ß einschliessen, so merke man, dass parallele Gerade parallele Bilder haben und ziehe durch o die Parallelstrahlen zu den gefundenen 4 Positionen der Strecke a b und erhält p, p2, q, q2, r, r2 und s? s2 als die Bilder der verlangten Geraden. Wenn (a -|- ß) = 90°, so giebt unsere Construction nur 2 Positionen in der Ordinallage und wenn (a -(- ß) > <)0° dann finden wir keine Gerade, was auch der Wahrheit entspricht. Der Schüler untersuche diese Fälle selbständig.
Aufgaben. I. Ein Raumdreicck abc und eine doppelt geneigte Gerade p sind gegeben; man bestimme die Neigung der Geraden zu der Dreiecksebene.
2. Gegeben: eine doppelt geneigte Ebene u und eine Strecke ab in der Ordinallage. Wie gross ist die Neigung der durch ab bestimmten Geraden zu der Ebene u und zu den Bildebenen?
3. Gegeben: Eine Ebene, bestimmt durch ein Paar sich schneidender Geraden und eine doppelt geneigte Gerade r, deren Bilder nach der Vereinigung der Bildebenen zusammenfallen. Wie gross sind dio Neigungswinkel, welche r mit den Projectiousebenen und der gegebenen Ebene einschliesst?
4. Eine Ebene u, bei welcher die Oberseite gleich der Rückseite ist,
sei durch die Spuren gegeben. Welchen Winkel schliesst die Bildaxe mit der Ebene u ein ?
5.	Unter Voraussetzung, dass wir den horizontalen Neigungswinkel einer Geraden mit a und den vertikalen mit ß bezeichnen, mögen die möglichen Geraden gesucht werden, welche durch einen beliebig angenommenen Kaumpunkt gehen und der Reihe nach folgenden Werten genügen:
a = 0	a = 0	a = 90°
ß — 0	ß = 90°	/9 = 0
« = 0	R II o	a = 15q
ß = 22° 30'	ß = 0	ß = 75°
« = 30°	« = (50°	a = 75°
ß = 30°	ß = 15°	ß = 45°
G. Gegeben: Zwei sich kreuzende Gerade p, q und ein Raumpunkt a.
Wie gross ist der Neigungswinkel, welchen p mit der durch a und q bestimmten Ebene einschliesst ?
7. Durch einen gegebenen Baumpunkt sind zwei Gerade p und q zu •ziehen, wovon jede mit den Bildebenen die Neigungswinkel « = 30° und ß = 15° einschliesst; wie gross ist der von p und q eingeschlossene Winkel ?
8. Gegeben: Eine Gerade p und ein Punkt a; welche Neigungswinkel bildet das von a auf p gefällte Perpendikel mit den Bildebenen?
9. ln einer Ebone u, bei welcher die Oberseite der Rückseite gleich ist, werde ein Punkt a angenommen, welcher von beiden Spuren gleich weit absteht. Durch a werde ein Strahl p gezogen, welcher mit jeder Bildebene einen Winkel von 30° einschliesst Wie gross ist der Abstand des Axenpunktes der Ebene u von p ?
10. Durch einen gegebenen Riumpunkt a mögen zwei Gerade p und q gezogen werden, dass jede mit der ersten und zweiten Bildebene Winkel von 30° einschliesst; wie gross ist der Abstand der Ebene p q von der Bildaxe ?
Beziehungen der Ebenen zu einander.
Der Schnitt zweier Ebenen.
Da der Schnitt zweier Ebenen eine Gerade ist, so ist derselbe durch zwei Punkte vollkommen bestimmt. Wird in der einen Ebene eine Gerade angenommen und mit der zweiten Ebene zum Schnitt gebracht, so erhält man einen Punkt des Schnittes beider Ebenen.
Es sei Fig. 50 eine horizontal projicirende Ebene u durch die Spu- Fig. 50. reu und eine zweite Ebene, durch ein Paar paralleler Geraden gegeben; es ist der Schnitt dieser Ebenen zu suchen. Wegen der besonderen Stellung der Ebene u können wir sehr leicht zwei Gerade der Ebene p q mit
o
u zum Schnitt bringen, der Schnitt von |), und qt mit Ti giebt unmittel-
bar a, und b,, die ersten Bilder dieser 'Schnittpunkte; a2, h, liegen zugeordnet in p2, q2 und bestimmen sofort r2, das zweite Bild der gesuchten
o
Schnittlinie, deren erstes Bild rt in “uj liegen muss.
In jenem Falle, wenn eine der gegebenen Ebenen projicirend ist, kann der Schnitt sehr leicht gefunden werden; wir können aber jeden anderen Fall	auf den vorigen bringen.
F’g 51.	Fig.	51 Sei eine Ebene u	durch	die	Spuren	und	ein Kaumdreieck
abc durch	die Bilder gegeben:	es soll	der	Schnitt	beider	Ebenen gesucht
werden. Führen wir eine dritte Bildebene senkrecht auf u ein, so erhalten wir eine recht einfache Lösung. [X3 wurde senkrecht auf uj gezogen und
o
sodann das dritte Bild des Dreieckes und gesucht. m8 n„ giebt alsdann unmittelbar das dritte Bild des gesuchten Schnittes, aus welchem m, nx und dann n,	sich sofort ergeben.	In der	dritten Bildebene	lässt sich auch
der von dem projicirenden Auge Eins gesehene Theil des Dreieckes leicht unterscheiden; das erste Bild desselben wurde voll gezogen.
Namentlich dann, wenn der Schnitt zweier begrenzten Ebenen zu suchen ist, kann die vorige Transformation mit Yortheil angewendet werden und gewährt in der dritten Bildebene ein klares Bild über die Lage der Ebenen gegen einander, was dem Anfänger wohl zu Statten kommt, wenn er die sichtbaren Theile von den gedeckten trennen soll.
Fis- 52-	In Fig. 52 sind zwei Kaumdreiecke abc und aßy durch die Bilder
gegeben; man suche den Schnitt dieser Ebenen. Zuvor führen wir eine Bildebene Drei ein, dass etwa das Dreieck abc auf derselben senkrecht steht. Bei unserer Annahme, wo a2 b2 der Bildaxe parallel ist, giebt at bt die Richtung der ersten Spur der Ebene abc an; wir ziehen daher jXa normal auf at b, und suchen die dritten Bilder beider Dreiecke. a3 b3 c3 giebt die Spur der projicirenden Ebene und m3 n3 das dritte Bild des Schnittes; trij n, und m2 n2 ergeben sich aus der Zuordnung. Mit Rücksicht auf die Bildebene Drei kann der sichtbare Theil von dem gedeckten leicht und sicher getrennt werden. Bei dem Dreiecke abc ist die Oberseite gleich der Rückseite, folglich sehen die projicirenden Augen Eins und Zwei ungleichnamige Theile des Dreieckes aßy.
In sehr vielen Fällen empfielt es sich, den Schnitt zweier Ebenen I-ig.	53.	directe, also ohne jeder	Transformation zu suchen.	Es seien Fig. 53 zwei
Ebenen u und v durch	dio Spuren gegeben. Der	Punkt a,, in welchem
sich die ersten Spuren schneiden, liegt in beiden Ebenen, folglich ist dies ein Punkt des Schnittes derselben; a2 ist in der Bildaxe Ebenso giebt b2, der Schnitt der zweiten Spuren, einen zweiten Punkt des Schnittes von u mit v; durch a, bt und a2 b2 sind die Bilder der gesuchten Schnittlinie bestimmt. Der Schüler versinnliche sich die Ebenen u, v und die Schnittlinie ab einmal über der ersten und dann über der zweiten Bildebene.
Als besonderen und wichtigen Fall wollen wir jenen betrachten, wenn eine der gegebenen Ebenen zu einer Bildebene	parallel ist. Es seien
Fig.	54.	Fig. 54 zwei Ebenen u	und v durch dio Spuren	gegeben; u sei geneigt
zu beiden und v parallel zur ersten Bildebene; es soll der Schnitt von u mit v gesucht werden.
Wo sich die zweiten Spuren schneiden ist a2, ein Punkt des Schnittes beider Ebenen, dessen erstes Bild aj in der Axe liegt. Die Ebene V ist zur ersten Bildebene parallel folglich liegt v7 in unendlicher Ferne und schneidet ebenfalls in einem unendlich fernen Punkte b; die Gerade a b ist eine Einserspurparallele. Wäre die Ebene v zur zweiten Bildebene parallel, so erfolgt der Schnitt nach einer Zweierspurparallelen. Der Schüler untersuche diesen Fall selbständig und versinnliche sich sowohl die Ebenen als auch die Schnittlinie im Baume.
ln Fig. 55 soll der Schnitt zweier Ebenen u und v unter der Vor- FiS- 55-aussetzung gesucht werden, dass der Schnitt der ersten Spuren unbenutzbar liegt. Nachdem wir in a2, dem Schnitte der zweiten Spuren, einen Punkt der gesuchten Schittgeraden haben, so kommt es weiter nur darauf an, auf irgend eine Art noch einen zweiten Punkt derselben zu finden. Wir schneiden die gegebenen Ebenen u und v durch eine dritte Ebene w, welche wir beliebig und so wählen, dass sich die Schnittlinien derselben mit u und v leicht und sicher ergeben. Nehmen wir die Ebene w etwa der ersten Bildebene parallel, so schneidet sie u und v nach den Spurparallelen p und q, welche, als in derselben Ebene liegend, sich in b, b2 schneiden. Der Punkt b ist ein zweiter Punkt des Schnittes von u mit v ; warum ?
Wenn sich die Spuren in keiner Bildebene benützbar schneiden, dann muss noch eine zweite Hilfsebene benützt werden, welche abermals zu einer der Bildebenen parallel gelegt werde. Es können aber Fälle Vorkommen, wo sich eine andere Lage der Hilfsebene besser eignet. So sei z, B. in Fig. 56 der Schnitt zweier zur Bildaxe paralleler Ebenen u und v zu Fig. 56. suchen.
Die ersten und die zweiten Spuren dieser Ebenen schneiden sich in unendlicher Ferne, wodurch die Richtung der Schnittlinie bestimmt wird. Schneiden wir die gegebenen Ebenen durch die horizontal projicirende Hilfsebene w, suchen die Schnittlinien a b und c d, so erhalten wir et e2, einen zweiten Punkt der Schnittlinie, welche durch e und parallel zur Axe geht.
Wenn die Ebenen, deren Schnitt gesucht werden soll, nicht durch die Spuren gegeben sind, so gelangt man jedesmal sicher und einfach zum Resultat, wenn man sich an die allgemeine Methode hält: „Der Schnitt zweier Ebenen wird gefunden, wenn man zwei Gerade der einen Ebene mit der anderen Ebene zum Schnitt bringt.“ In Fig. 57 wollen wir diesen allgemeinsten Fall betrachten. Zwei begrenzte Ebenen Fig. 57. sind durch die Bilder gegeben; es soll deren Schnitt gesucht werden ohne Benützung der Spuren und ohne Transformation der Bildebenen. Wir wählen eine beliebige Gerade der einen Ebene, z. B. die Seite f g und bringen sie mit der anderen Ebene abcd zum Schnitt, was im vorliegenden Falle mit Hilfe der Einserdeckgeraden a ß geschah; dadurch erhalten wir A, einen Punkt des gesuchten Schnittes. Wenn wir bloss die begrenzten Ebenen betrachten und ihren Schnitt auch nur insoweit suchen wollen als er auf den begrenzten Ebenen liegt, so ist A ein direkt benützbarer Punkt, weil er auf der Strecke f g und in dem Parallelogramm abcd liegt. Vergleichen wir fg mit der Deckgeraden aß, so sehen wir, dass die Strecke
6
f A ober der Ebene abcd liegt, folglich ist A, ft voll zu ziehen. Bei der Ebene acbd ist die Oberseite gleich der Rückseite, daher liegt A f hinten und wird in der zweiten Bildebene theilweise gedeckt. Wie die Ausführung bei A( g, und A2 g2 zu treffen sei ergiebt sich nun von selbst. Um noch einen zweiten Punkt der Schnittlinie zu finden, wurde der Schnitt der Geraden e h mit der Ebene abcd gesucht, was mittels der Deckgeraden <5X geschah. Durch n und A ist die Schnittlinie der Ebene bestimmt, von welcher in unserem Falle nur jene Strecke A B zu benützen ist, welche auf beiden begrenzten Ebenen liegt. Der Schnittpunkt n, welcher erst dann zu Stande kommt, wenn wir uns die Ebene abcd erweitert denken, ist daher bloss ein Hilfspunkt und wir sehen ein, dass es gar nicht nötig sei, gerade jene Seite heraus zu suchen, welche einen direkt benützbaren Schnittpunkt liefert.
Im Anhänge an den Schnitt zweier Ebenen, wollen wir den Schnitt einer Geraden mit einer Ebene nochmals betrachten, weil es nicht nutzlos sein dürfte, eine so wichtige Aufgabe von verschiedenen Gesichtspunkten zu betrachten.
Soll der Schnitt einer Geraden p mit einer Ebene gesucht werden, so lege man durch p eine beliebige Ebene v und suche die Schnittgerade q der Ebenen u und v. Die Geraden p und q, als in derselben Ebene liegend, schneiden sich in einem Punkte a und dies ist der gesuchte Schnitt-pnnkt, weil er sowohl in p als in u liegt. Es versteht sieh von selbst, dass man bei praktischer Ausführung der Ebene v stets eine solche Lage giebt, welche die Construction vereinfacht.
Fig. 61.	In Fig. 61 sei gegeben eine Gerade p und eine Ebene u; es ist der
Schnitt von p mit u zu suchen. Wir legen durch p der Einfachheit wegen eine horizontal projicirende Ebene v, suchen ihren Schnitt «, /?,, «2 ß., mit u und erhalten sofort at a2 die Bilder des gesuchten Punktes.
Vergleichen wir beide Methoden mit einander, so finden wir, dass die früher gebrauchte Deckgerade bei der zweiten Methode als der Schnitt zweier Ebenen resultirt. Wir sehen weiter ein, dass die grafische Ausführung in beiden Fällen dieselbe ist, nur die ideelle Auflösung ist verschieden. Durch die erste Methode erreichten wir den nicht zu unterschätzenden Vortlieil, den Schnitt der Geraden zu finden, ehe von den Beziehungen der Ebenen zu einander die Rede war. Der Schüler mache sich mit beiden Auffassungen dieser Fundamentalaufgabe gründlich vertraut.
Aufgaben. 1. Eine Ebene u deren Spuren parallel zur Axe sind und ein beliebiger Raumpunkt a sind gegeben. Man lege durch a und durch die Bildaxe eine Ebene V und suche deren Schnitt mit u.
2. Zwei Ebenen u und v sind durch die Spuren gegeben; bei u sei die Oberseite gleich der Vorderseite, bei v die Oberseite gleich der Rückseite und beide Ebenen haben denselben Axenpunkt. Es ist. der Schnitt von u mit v zu suchen.
3. Es ist der Schnitt zweier horizontal projicirenden Ebenen zu suchen.
4. Zwei Ebenen u und v seien durch die Spuren gegeben; u sei zur Bildaxe und v zur zweiten Bildebene parallel. Man suche den Schnitt dieser Ebenen.
5. Eine doppelt geneigte Ebene u werde so angenommen, dass ihre Spuren nach der Vereinigung der Bildebenen in eine Gerade fallen. Es ist der Schnitt von u mit einer Ebene v, welche unter denselben Bedingungen angenommen wurde, zu suchen. Der Schnittpunkt der Spuren liege unbenutzbar.
6. Eine doppelt geneigte Ebene u und eine auf der Bildaxe senkrecht stellende Ebene v seien gegeben. Man bestimme den horizontalen Neigungswinkel der Schnittlinie dieser Ebenen.
7. Zwei begrenzte Ebenen, ein Dreieck und ein Parallelogramm, sollen im Raume so angenommen werden, dass sich die Bilder theilweise decken; bei dem Dreiecke sei die Oberseite gleich der Rückseite und bei dem Parallelogramm die Oberseite gleich der Vorderseite. Man suche den Schnitt dieser Ebenen und trenne die den projicirenden Augen sichtbaren Theile von den gedeckten
8. Eine Ebene u sei durch die Spuren und eine Gerade p durch die Bilder gegeben. Man lege durch p eine Ebene v senkrecht auf u, suche den Schnitt q dieser beiden Ebenen und bestimme sodann den Winkel, welchen q mit einschliesst.
9. Gegeben: zwei Gerade p und q, welche sich in einem Punkte a schneiden. Man lege durch die Bildaxe eine Ebene v senkrecht auf die gegebene Ebene pq, suche r, den Schnitt beider Ebenen, und bestimme den Abstand des Punktes a von r.
10. Ein Raumdreieck abc sei durch die Bilder gegeben. Man lege durch die Seite ab eine Ebene u senkrecht auf die Dreieksebene, durch bc eine Ebene v ebenfalls senkrecht auf abc und suche den Schnitt dieser Ebenen
11. Gegeben: eine Gerade p und ein Punkt a. Man lege durch a eine Ebene seukrecht auf p und suche deren Schnitt mit der durch a und p bestimmten Ebene.
12. Gegeben: die Spuren einer doppelt geneigten Ebene u und die Bilder eines Raumpunktes a. Man lege durch a eine Ebene v senkrecht auf	und eine Ebene w senkrecht auf ü^. Wo schneiden sich die Ebenen U, V, w?
13. Gegeben: ein Dreieck abc im Raume. Man lege durch a eine Ebene u senkrecht auf die Seite bc, durch b eine Ebene v senkrecht auf ca und durch c eine Ebene w senkrecht auf a b. Es siud die Spuren dieser Ebenen zu suchen und ihre gegenseitigen Schnittlinien zu untersuchen.
14. Gegeben: ein Dreieck abc im Raume. In den Halbierungspunkten der Seiten lege man Ebenen senkrecht auf dieselben, suche ihre Schnittlinien unter einander und mit dem Dreiecke.
15. Ein Raumdreieck sei durch die Bilder gegeben. Man suche jene Ebenen, welche die Dreieckswinkel halbieren und auf der Dreieksebene senkrecht stehen. Was lässt sich über die Schnittlinien dieser Ebenen sagen ?
16. Zwei sich kreuzende Gerade p, q und ein Raumpunkt a sind gegeben. Man lege durch a zwoi Ebenen u und v; die erstere senkrecht auf p und letztere senkrecht auf q. Welche Neigungswinkel schliesst der Schnitt der Ebenen u und v mit den Bildebenen ein.
17, Zwei sich kreuzende Gerade p, q und ein Baumpunkt a seien gegeben. Man lege durch a und p und durch a und q Ebenen und suche den Schnitt derselben.
18. Drei sich kreuzende Gerade p, q und r sind gegeben. Man suche eine Gerade s, welche p, q und r schneidet. Diese Aufgabe lässt ununzählig viele Auflösungen zu und kann mit Rücksicht auf die vorhergehende leicht gelöst werden.
Parallele Ebenen.
Wenn zwei Ebenen einander parallel sind, so müssen auch ihre Spuren parallel sein. Wäre dies nicht der Fall, so müssten diese, als in derselben Ebene liegende Gerade, sich schneiden und dann hätten die E-benen einen endlich liegenden Punkt gemein, was jedoch der Voraussetzung gemäss nicht statt haben kann.
Dass parallele Ebenen parallele Spuren haben, können wir auch einsehen, Fig. 58. wenn wir Fig. 58 zwei Ebenen u und v so annehmen, dass || v2 und H Vj ist und den Schnitt dieser Ebenen zu suchen versuchen. Die zweiten Spuren schneiden sich in einem unendlich fernen Punkte, welcher dem Schnitte beider Ebenen angehört. Dasselbe gilt auch von dem unendlich fernen Punkte, in welchem sich die ersten Spuren schneiden. Liegen zwei Punkte einer Geraden unendlif-h ferne, so liegt die Gerade selbst in unendlicher Entfernung, woraus folgt, dass u und v parallel sind.
Fragen wir nun, wie es mit der Umkehrung dieses Satzes steht: Wenn die Spuren zweier Ebenen parallel sind, sind auch die Ebenen parallel? Dieser Satz behält seine Giltigkeit nur unter einer besonderen Beschränkung. Ebenen, welche zur Bildaxe parallel sind, können unendlich viele Lagen uud Stellungen annehmen und jedesmal sind die Spuren derselben zur Axe parallel, ln diesem Falle können wir nicht aus dom Parallelismus der Spuren auch auf den Parallelismus der Ebenen schliessen.
Fig. 56.	Es soll Fig. 56 untersucht werden ob die Ebene u der Ebene v pa-
rallel sei. Wir schneiden beide Ebenen durch eine beliebig gowählte dritte Ebene w und bringen sie mit u und v zum Schnitt. Weil die Schnittlinien ab und cd nicht parallel sind, so sind auch die Ebenen nicht parallel. Die vorstehende Untersuchung hätte auch mittels einer dritten Bildebene Fig. 59. entschieden werden können. In Fig. 59 betrachten wir abermals zwei E-benen u und v, deren Spuren der Bildaxe parallel sind. Damit entschieden werde, ob diese Ebene parallel sind, führen wir allenfalls eine dritte Bildebene ein, ordnen sie der zweiten zu und ziehen der Einfachheit wegen jX;, _L iX3. Dann suchen wir ^ und vT, und da in unserer Figur auch diese dritten Spuren parallel sind, so sind auch die Ebenen parallel. Wir könnten also ganz allgemein sagen: parallele Ebenen haben in jeder Bildebene parallele Spuren. Diese Fassung gestattet eine allgemein giltige Umkehrung.
Fig. co.	In Fig. 00 soll durch einon Punkt a eine Ebene v parallel zu der
gegebenen Ebene u gelegt werden. Nachdem die Spuren von v der Richtung nach bekannt sind, so ziehen wir durch a etwa die Zweierspurpa-
rallele p und suchen b,, den ersten Spurpunkt derselben. v7 geht durch b, und parallel zu u^.
Die zweite Spur geht durch den Axenpunkt und parallel zu u2. Ergäbe sich der Axenpunkt unbenutzbar, so ziehe man durch a noch eine Einserspurparallele und bestimme die Ebene v durch ein Paar sich schneidender Geraden.
Wäre die Ebene u nicht durch die Spuren, sondern durch irgend andere Bestimmungstücke gegeben, so merke man den stereometrischen Fundamentalsatz: Eine Ebene ist zu einer anderen parallel, wenn sie parallel ist zu zweien in dieser Ebene liegenden Geraden.
Aufgaben. 1. Gegeben: Eine Ebene u, bestimmt durch ein Paar paralleler Geraden, und ein Punkt a. Man lege durch a eine Ebene parallel zu u.
2.	Gegeben: Ein Punkt a und eine Ebene u, deren Spuren zur Bildaxe parallel sind. Durch a ist eine Ebene v parallel zu u zu legen.
8.	Zwei Punkte a und b sind im Raume gegeben. Man lege durch a eine Ebene parallel zu jener, welche durch b und die Bildaxe bestimmt ist.
4. Eine Gerade p und zwei Punkte a und b sind gegeben. Durch den Punkt c, in welchem die durch a senkrecht auf p gelegte Ebene die Bildaxe schneidet lege man die Ebenen u und v welche beziehungsweise parallel sind zu den durch a und p, und b und p bestimmten Ebenen.
5. Ein Raumdreieck und ein beliebig gewählter Raumpunkt a sind gegeben; man lege durch a eine Ebene parallel zu der Dreiecksebene, ohne die Spuren zu benützen.
6. Es ist der Abstand zweier parallelen Ebenen u und v zu bestimmen.— Diese Aufgabe werde auf eine zweifache Art gelösst. Man nehme in u einen Punkt a an, fälle von demselben ein Perpendikel auf v und bestimme die wahre Grösse desselben; oder: man führe eine dritte Bildebene senkrecht auf u und v ein, bestimme die dritten Spuren und v„, deren Abstand dem gesuchten Abstande gleich ist; warum?
7. Vier Punkte a, b, c und d seien Raume gegeben; a liege in der Bildaxe, b in der ersten, c in der zweiten Bildebene und d allgemein im Raume. Man lege durch a eine Ebene u parallel zu der durch b, c, und d bestimmten Ebene, durch d eine Ebene v senkrecht auf die Gerade bc und bestimme den Schnitt derselben.
8. Gegeben: ein Punkt a, eine Gerade p und eine Ebene u. Man lege durch a zwei Ebenen: v parallel zu u und w parallel zu p und senkrecht auf u. Auf der Schnittlinie von V mit w soll eine Strecke von gegebener Länge aufgetragen werden.
9. Es soll der kürzeste Abstand giveier sich kreuzenden Geraden p und q bestimmt werden.
Unter allen Strecken, welche irgend zwei Punkte dieser Geraden verbinden, ist eine die kürzeste; Wir sagen von ihr dass sie den Abstand der Geraden p und q misst; sio steht auf beiden Geraden senkrecht. Für die Ausfügrung dieser Aufgabe gelte folgende Andeutung: „Nehme auf q einen Punkt a an und ziehe durch denselben einen Strahl r j| p. Die Ebene q r ist parallel zu p, folglich hat ein jeder Punkt dieser Geraden von der Ebene qr denselben Abstand. Nehme daher auf p einen beliebigen
Punkt b an und lege durch denselben einen Strahl s senkrecht auf die Ebene qr und suche sodann den Schnittpunkt c von s mit dieser Ebene qr. Die Strecke bc ist gleich dem kürzesten Abstande der gegebenen Geraden. Will man den Abstand am wahren Orte haben, so ziehe man durch c eine Parallele zu p bis sie q in dem Punkte d schneidet. Wird nun durch d eine Gerade parallel zu ab gezogen bis p in dem Punkte e geschnitten wird, so erhält man in de den kürzesten Abstand von p und q am wahren Orte.
Au der Hand der soeben gebotenen Erklärung entwickele der Schüler diese Aufgabe im Raume selbst, versinnliche sich alles und erweise die Richtigkeit der Auflösung. Nachdem er die ideelle Auflösung begriffen und sich geläufig eingeprägt, führe er diese Aufgabe in orthogonalen Bildern aus.
In manchen Fällen verlangt man nur die Richtung des kürzesten Abstandes zweier sich kreuzenden Geraden p und q. Legt man eine beliebige Ebene u senkrecht auf p und ebenso eine Ebene v senkrecht auf q, so giebt die Schnittlinie dieser Ebenen die Richtung des kürzesten Abstandes der Geraden p und q.
Mittels Transformation der Bildebenen lässt sich eine recht brauch-Fig. 62. bare Auflösung, der vorliegenden Aufgaben angeben. In Fig. 62 sind zwei sich kreuzende Gerade p und q gegeben. Soll der kürzeste Abstand dieser Geraden gesucht werden, so führe man den gegebeneu Fall auf jenen zurück, wo eine der Geraden auf einer Bildebene senkrecht steht. Da in Fig. 62 q zur ersten Bildebene parallel ist, so ziehe man tX3 J q^ sucht p3 und q3 und der Zweck ist bereits erreicht, q steht auf der dritten Bildebene senkrecht; das Perpendikel a3 ba giebt das dritte Bild des Abstandes und zwar in wahre Grösse. Das erste und zweite Bild kann auch sofort gezeichnet werden, wie aus der Fig. 62 ersichtlich. Wäre keine der gegebenen Geraden zu einer Bildebene parallel, so ist die vorige Transformation mit einer Bildebene nicht erreichbar. Hier müsste zuerst eine dritte Bildebene parallel zu einer Geraden und sodann eine vierte senkrecht darauf eingeführt werden.
Der Schüler leite das in Fig. 62 angegebene Verfahren aus der vorhin erläuterten allgemeinen Auflösung ab und begründe selbständig, warum eiue Vereinfachung in dem Falle, wenn eine Gerade auf einer Bildebene senkrecht steht, eintritt.
Den Neigungswinkel zweier Ebenen zu bestimmen.
Unter dem Neigungs- oder Plächenwiiikel zweier sich schneidender Ebenen versteht man die Grösse der Umdrehung, welche eine von diesen Ebenen um die gemeinzame Gerade, den Schnitt beider Ebenen, machen muss um in die Lage der anderen lu gelangen.
Das Mass des Flächenwinkels zweier Ebenen u und v wird gefunden, wenn man senkrecht auf die Schnittlinie derselben eine Ebene w legt und die Geraden p, q sucht in welchen diese Ebene die gegebenen Ebenen u und V schneidet. Der von p und q eingeschlossene Winkel ist das Mass des Neigungswinkels dieser Ebenen.
Wir könnten denselben Winkel auch auf folgende Art finden: Inder
Schnittlinie der gegebenen Ebenen nehmen wir einen Punkt an und ziehen durch denselben die Geraden p und q, welche beziehungsweise in u und v liegen und senkrecht auf der Schnittlinie dieser Ebenen stehen. Der Winkel (pq) misst den Neigungswinkel.
Noch ein anderes Verfahren wäre folgendes: Auf der Schnittlinie der gegebenen Ebenen nehmen wir einen Punkt an und errichten daselbst zwei Gerade p und q beziehungsweise senkrecht auf u und v. Der Winkel (p q) misst die Neigung dieser Ebenen. Aus diesem Verfahren lässt sich noch ein allgemeineres ableiten, wenn man bedenkt, dass Parallelwinkel gleich sind:
Durch einen beliebig gewählten Punkt ziehe man zwei Gerade p J u und q _L V; der Winkel (p q) ist dem Neigungswinkel gleich.— Der Schüler versinnliche sich alle diese Erklärungen im Raume, trachte hiezu geeignete Modelle zu machen und gebe überall die nötigen stereometrischen Beweise. Im folgenden wollen wir verschiedene Methoden angeben, den Neigungswinkel zweier Ebenen zu suchen.
1. Methode Fig. 63. Man suche die Schnittlinie ab der gegebenen Fig. 65. Ebenen u, v, nehme in derselben einen beliebigen Punkt s an und lege
durch denselben eine Ebene w senkrecht auf ab, was allenfalls mittels der Zweierspurparallelen p geschehen kann. Sodann suche mann den Schnitt von w mit u und v. Diese drei Ebenen schneiden sich in s und wir brauchen daher von jeder Schnittlinie nur noch einen Punkt zu suchen. Der Schnitt von mit üj giebt den Punkt i, welcher offenbar dem Schnitte von w mit u angehört; is bestimmt sonach die Schnittlinie dieser Ebenen. Ebenso bestimmt k s den Schnitt von w mit v und man hat den Neigungswinkel k s i durch seine orthogonalen Bilder ermittelt. Die wahre Grösse desselben wird durch die Umlegung um die Spur der Winkelebene gefunden.
2. Methode. Fig. 64: Man suche den Schnitt von u mit v und ziehe F;g. 64. sodann senkrecht auf a, b, in beliebig gewählter Lage derart, dass die Schnittpunkte m und n von mit ü7 und v7 benützbar liegen und erklärt
^ als die erste Spur der Ebene des Neigungswinkels. Der Punkt s, in welchem diese Ebene die Gerade ab schneidet, kann sehr einfach gefunden werden.
Man lege durch ab eine horizontal projicirende Ebene, und lege dieselbe um a, b, sammt der Schnittgeraden in die erste Bildebene um. Wir können diese Ebene auch als eine dritte Bildebene auffassen, welche der ersten zugeordnet ist. Nachdem das dritte Bild von ab gefunden ist, kann w“, die dritte Spur der Winkelebene, durch A normal auf a3 b3 gezogen werden, weil die Ebene w auf der Geraden ab senkrecht steht.
Ebenso ergiebt sieh s3, das dritte Bild des Scheitels unmittelbar, weil w für die dritte Bildebene projicirend, ist. s3 A giebt den Spurabstand des Punktes s in wahrer Grösse und wir können daher die Umlegung dieses Punktes um w7 als Drehungsaxe sogleich vornehmen, bei welcher Drehung die Punkte m und n, weil in der Drehungsaxe liegend, unverändert bleiben. In m s' n haben wir die wahre Grösse des Neigungswinkels ermittelt, ohne vorher die orthogonalen Bilder desselben gesucht zu haben.
Fig. G6.
Fig 5.
Fig. 67.
3. Methode. Fig. 65. Man wähle einen beliebigen Raumpnnkt o und ziehe durch denselben zwei Strahlen • p J. u und q _L V, was unmittelbar geschehen kann, denn: steht eine Gerade senkrecht auf einer Ebene, so stehen auch ihre Bilder senkrecht auf den Spuren dieser Ebene.
Der von p und q eingeschlossene Winkel ist gleich dem Neigungswinkel der Ebenen u und v. Die wahre Grösse desselben wurde durch die Umlegung in die erste Bildebene bestimmt.
4. Methode, Fig 66. Stehen zwei Ebenen gleichzeitig senkrecht auf auf einer Bildebene, dann steht auch die Schnittlinie derselben auf dieser Bildebene senkrecht. Wir können dieselbe unmittelbar zur Ebene des Neigungswinkels wählen, welcher offenbar durch den Winkel, welchen die Spuren einschliessen, gemessen wird. Im Fig. 66 zeigen wir, wie auch der allgemeinste Fall auf den vorerwähnten reducirt werden kann.
Es sei gegeben: eine doppelt geneigte Gerade p und zwei Raumpunkte a und b; man bestimme den Neigungswinkel jener Ebenen, welche durch a und p, und durch b und p bestimmt sind. — Durch die Gerade p, welche als Schnittlinie dieser beiden Ebenen auftritt, legen wir eine Bildebene Drei, ordnen sie der ersten zu und suchen p3, a3 und b„. Bezeichnen wir kurzweg die durch a p bestimmte Ebene mit u und die E-bene b, p mit v, so fällt ^ und ^ mit p3 zusammen; warum?
Senkrecht auf p3 stellen wir eine vierte Bildebene, welche der dritten zugeordnet wird lind suchen a, und b4. Da nun u und v auf der vierten
o	0
Bildebene senkrecht stehen, so sind u., und 71 durch den Axenpunht und durch a4 uud b,4 bestimmt und der von ihnen eingeschlossene Winkel a misst die Neigung der gegebenen Ebenen.
Das Neigungsmass einer Ebene zu den Bildebenen.
Diese Aufgabe	geht aus der vorigen als spezieller	Fall	hervor. Wäre
in Fig. 5 der Neigungswinkel zu bestimmen, welchen	die	Ebene u mit
der ersten Bildebene einschliesst, so ist offenbar 07 der Schnitt der Ebenen, deren Neigungsmass gesucht wird. Führen wir nun eine Ebene senkrecht auf J7, so können wir dieselbe als eine dritte, der ersten zugeordnete
o
Bildebene ansehen. Wir ziehen daher jX3 senkrecht auf u, und suchen üjj.
0
Der spitze Winkel, welche mit tX3 einschliesst, misst die Neigung der Ebene u zur ersten Bildebene. Warum?
In Fig. 67 ist	ein Kaumdreieck gegeben, dessen	Neigungsmass zu
der	ersten Bildebene	bestimmt werden soll. Man ordne	der	ersten Bilde-
bene eine dritte derart zu, dass sie gleichzeitig auf der gegebenen Breiecksebene senkrecht steht. Zu diesem Behufe ist es nicht nötig, die erste Spur der Dreiecksebene zuvor zu ermitteln. Wir construiren in der Ebene des Dreieckes eine Einserspurparallele p, ziehen jX., senkrecht auf p, und suchen die dritte Spur der Dreiecksebene. Der Winkel, welchen diese mit jX3 einschliesst, misst die erste Neigung des Dreieckes. Ergäbe sich der Scheitel dieses Winkels unbenützbar, so merke, dass Winkel, deren Schenkel parallel sind, gleich sind und ziehe einen beliebigen Strahl parallel zu a3 ca.
In ähnlicher Weise gehe man vor, wenn die zweite Neigung einer Ebene bestimmt werden soll.
In Fig. 6 ist eine Ebene durch ein Paar paralleler Geraden p und q Fig. 67. gegeben. Soll das Mass der Neigung dieser Ebene zu der zweiten Bildebene bestimmt werden, so werde dieser Bildebene eine dritte so zugeordnet, dass sie auf der Ebene p q senkrecht steht, was mittels der Zweierspurparallelen leicht und sicher geschehen kann. Der Winkel, welchen die dritte Spur der gegebenen Ebene mit ..X,, einschliesst ist der gesuchte.
Eine Ebene zu legen, welche mit den Bildebenen gegebene Neigungswinkel einschliesst
Betrachten wir Fig. 68 eine vertikal projicirende Ebene u und einen pj_ 68 auf dieser Ebene senkrecht stehenden Strahl p. Bei unserer speziellen Annahme kann der Winkel «, welcher den horizontalen Neigungswinkel der Ebene u misst, in der zweiten Bildebene unmittelbar abgelesen werden, eben so wie sich auch	die	erste Neigung des Normalstrahles p,
in dieser Bildebene in wahrer Grösse projicirt. Man sieht auch sofort ein, dass a = 90° — a' und dass diese Eigenschaft auch bei jeder anderen Stellung der Ebene und für jede andere Bildebene zutrifft. Wenn wir also die Neigungswinkel, welche eine doppelt geneigte Ebene mit der ersten und zweiten Bildebene einschliesst, beziehungsweise mit « und ß bezeichnen und wenn «' und ß‘ die erste und zweite Neigung eines Normalstrahles dieser Ebene ist, dann ergeben sich unmittelbar folgende ltela-tionen:
«	=	90°	—	ci‘
ß	ZJZ	90°	—	ß‘
a -f	ß	==	180°	—	(«'	+ ß‘)
und weil, wie bereits bekannt:
(„/ _j_ ß‘) < 9oo so ist	(«	-(-/?)> 90°; d. h:
die Summe der Neigungswinkel gegen zwei zugpordnete Bildebenen ist bei einer doppelt geneigten Ebene grösser als 90°.
Ist eine Ebene zu einer Bildebene parallel so ist. der eine Neigungswinkel = 0 und der zweite — 90°. Steht eine Ebene auf der Bildaxe senkrecht, dann ist ein jeder = 90°. Geht die Ebene durch oder parallel zur Axe dann ist die Summe beider = 90°. Wir haben demnach
90° < (« -f ß) < 180°
als die Grenzen für die Summe der Neigungswinkel einer Ebene zu zwei zugeordneten Bildebenen.
Vorstehende Betrachtung vermittelt die Auflösung der folgenden Aufgabe.
Sollen durch einen gegebenen Punkt jene Ebenen gelegt werden, welche mit der ersten und zweiten Bildebene beziehungsweise die Winkel ci und ß einschliessen, so suche man zuerst die Stellung dieser Ebenen.
Wir construiren Fig. 69 eine beliebig gewählte Strecke a b, welche mit Fig. 63,
7
den Bildebenen die Winkel «' —, 90 — « und ß‘ 90 — ß einschliesst. Legt mau nun durch einen beliebigen Axenpunkt eine Ebene normal auf die Strecke ab, so hat man die Stellung jener Ebene, welche der gestellten Bedingung genügt, ermittelt. Durch den Punkt b, b2 können, wie bekannt, vier Strecken gelegt werden, welche mit den Bildebenen die Winkel «' und ß‘ einschliessen, folglich giebt es auch für die gesuchte Ebene vier Stellungen. Die Spuren dieser Ebenen u, v, w und z können sofort gezogen werden, wenn man sich auf die Abbildung der Normalen erinnert.
Aufgaben. 1. Gegeben: ein Punkt a, dessen erste Ordinate =* 2cm. und die zweite Ordinate = 4 cm. ist; eine Gerade p welche mit den Bildebenen die Winkel « = 30° und ß — 45° einschliesst und eine Ebene u deren Neigung zu den Bildebenen durch die Winkel a — 45° und ß;= 75° gemessen wird. Man lege durch a eine Ebene v normal auf p und bestimme den Neigungswinkel dieser Ebene mit u.
2. Vier nicht in einer Ebene liegende Punkte a, b, c, d sind als die Eckpunkte einer Pyramide gegeben. Man bestimme die Flächen - und Kantenwinkel der Ecke a.
3. Zwei begrenzte Ebenen, ein Dreieck und ein Parallelogramm, sind durch ihre orthogonalen Bilder gegeben. Es ist der Neigungswinkel dieser Ebenen zu bestimmen, ohne deren Spuren zu benützen.
4. Gegeben: zwei Punkte a, b und eine Gerade p. Man lege durch p die Ebenen u und v, welche die durch a, p und b, p gebildeten Flä-chenwinkel halbieren.
5. Gegeben: zwei Punkte a und b im Raume. Suche den geometrischen Ort jenes Punktes, welcher von a und b gleich weit absteht.
6. Gegeben: zwei Punkte a und b. Suche einige Lagen jenes Punktes welcher von a lialbsoweit absteht als von b.
7. Gegeben: eine doppelt geneigte Gerade p und ein Kaumpunkt a. Suche den geometrischen Ort jenes Punktes, welcher von a und p gleich weit absteht.
8. Gegeben: zwei parallele Raumgerade p und q. Suche den geometrischen Ort jenes Punktes, welcher von p dreimal soweit absteht als von q.
9. Zwei sich schneidende Gerade p und q sind gegeben. Suche den geometrischen Ort jenes Punktes, welcher von p und q gleich weit absteht.
10. Zwei Ebenen u und v sind gegeben. Es ist der geometrische Ort jenes Punktes zu suchen, welcher von u und v gleich weit absteht. Wie gestaltet sich diese Aufgabe, wenn u und v parallel sind?
Schttlaaclmclit«». *)
Der Lehrkörper.
Director:
Gatti Ferdinand, fungirender Landesschulinspector, lehrte Deutsch in II B.
Professoren und Lehrer:
(in alphabetischer Ordnung.)
Herr Barchanek Clemens, Lehrer, lehrte Geometrie und geometrisches Zeichnen in II A, III und darstellende Geometrie in IV—VII.
„ Čebular Jakob, Lehrer, lehrte Mathematik in V, VII und Physik in VI, VII.
„ Diak Anton, Weltpriester, Professor, Mitglied der Prüfungsoommis-sion für allgemeine Volks - und Bürgerschulen, lehrte Geschichte und Geographie in V—VII.
„	Erjavec Franz, Professor, lehrte Naturgeschichte in allen Klassen.
„	Filippi Jakob, Lehrer, lehrte Italienisch in allen Klassen.
„	Kornfeind Johann, Lehrer, lehrte Französisch in III—VII und Geo-
graphie und Geschichte in III.
„	Kos Simon, Professor, lehrte Arithmetik in II A, II B, III, IV und
Physik in III, IV.
„	Möstl Alois, Lehrer, akademischer Historienmaler, lehrte das Frei-
handzeichnen in II A, III—VII.
„	Müller Emmerich, Lehrer, lehrte Deutsch in IV—VII und Geogra-
phie und Geschichte in IV.
„	Plohl Franz, Lehrer, lehrte Slovenisch in allen Klassen und Kalli-
graphie in I, II B.
„	Sessich Anton, Weltpriester, Besitzer des goldenen Verdienstkreuzes,
Mitglied des Bezirksschulrates in Görz, lehrte Beligion in allen Klassen.
Supplirende Lehrer:
Herr	Baselli Lorenz, lehrte geometrisches Zeichnen in I, II B. Geographie
und Geschichte II B, Freihandzeichnen in II B und Kalligraphie in II A.
„	Garzarolli Karl, Edler von Thurnlak lehrte Chemie in IV, V, VI u.
VII, Arithmetik und Geographie in der I Klasse.
„	Huber Eduard lehrte deutsche Sprache in I, II A, III und Geogra-
phie und Geschichte in II A.
*) I)a der Gefertigte in den letzten scclis Wochen mit Arbeiten überhäuft war, so hatte Herr Professor Barchanek, der als Verfasser der vorstehenden Abhandlung die Drucklegung des einen Theilee des Programnies zu besorgen hatte, die Gefälligkeit, die Redaction auch des anderen Theilos auf sich zu nehmen.
Gatt).
„ Srabotnik Friedrich lehrte Französisch in I, II A, II B, Mathematik in VI.
Assistent:
Herr Pelican Alois für geometrisches und Freihandzeichnen.
Nebenlehrer:
Herr Komel Michael, Übungsschullehrer, lehrte den Gesang.
„ Kursehen Alois lehrte das Turnen.
Schuldiener:
Murzölla Friedrich.
Tuspan Anton.
ZUSAMMENSTELLUNG
des vorgenommenen Lehrstoffes nach den einzelnen Klassen.
I.	Klasse.
Klassenvorstand: Ilr. Srabolnik.
1. Religion. 2. St. Ital. Abth. Storia sacra del vocohio Testamento; nach
Dr. Schuster — Slov. Abth. Zgodbe svetega pisma stare zaveze; nach Dr. Schuster.
A. Sessich.
2. Deutsche Sprache. 4. St. Einübung der gesammten Formenlehre, Über-
sicht der Satzformen in Musterbeispielen aus dem Lesebuche „Neumann und Gehlen“ für die I. und II Klasse. Grammatik nach Brandl. Sprech -, Lese - und Schreibübungen, letztere vorherrschend orthographischer und grammatischer Art, gelegentliches mündliches Wiedergeben des Gelesenen. Alle 8 Tage eine Haus-, alle 14 Tage eine Schulaufgabe.
E.	Huber.
3. Italienische Sprache. 3. St. Graininatica di Puoti. Le forme regolari
della etimologia; sintassi semplice, interpunzionc, raddoppiamento. Esercizii a voce ed in iscritto. Quattro compiti al mese.
i. Filippi
4. Slovenische Sprache. 3. St. Izreka, menjava glasnikov, naglas, pravo-
pisje; pravilna sklanja imen po Janežičevi slovenski slovnici. Vaje iz prvega zvezka Janežičevega Cvetnika, iz katerega so se dijaki pesnij in prozaičnih sestavkov na pamet učili. Vsak todeu po eno domačo, vsak mesec po dve šolski nalogi.
F Plohl.
5. Französische Sprache. 4. St. Aussprache, Declination der Nomina, Po-
sition und C'omparation der Adjectiva, Conjugation von avoir und etre nach Otto’ s franz. Conversations-Grammatik.
F. Srabotnik.
6. Geographie. 3. St. Grundzüge der mathematischen und physikalischen
Erdkunde, soweit dieselbe zum Verständnisse der Karte unentbehrlich sind und in anschaulicher Weise erörtert werden können. Beschreibung der Erdoberfläche in ihrer natürlichen Beschaffenheit und den allgemeinen Scheidungen nach Völkern und Staaten auf Grundlage steter Handhabung der Karte; nach Kozenn.
K. Garzarolli.
7. Arithmetik. 3 St. Dekadisches Zahlensystem. Die Grundrechnungen mit
unbenannten Zahlen ohne und mit Decimalbrüchen. Grundzüge der Theilbarkeit, grösstes gemeinschaftliches Mass, kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches. Gemeine Brüche, Verwandlung derselben in Deci-malbrüche und umgekehrt. Rechnen mit periodischen Decimalbrüchen. Rechnen mit benannten Zahlen; nach Villicus.
K. Garzarolli.
8. Naturgeschichte. 3. St. Anschauungsunterricht in der Naturgeschichte:
I.	Semester: Wirbelthiere; II. Semester: Wirbellose Thiere; nach Pokorny.
F. Erjavec.
9. Geometrisches Zeichnen. 6 St. Geometrische Anschauungslehre, Geome-
trische Gebilde in der Ebene (Linien, Winkel, Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis, Ellipse). Kombinationen dieser Figuren; das geometrische Ornament. Elemente der Geometrie im Ranme, Zeichnen nach Draht-und Holz-Modellen.
L. Baselll.
10. Klligraphie. 1 St. Lateinische und deutsche Currentschrift; nach Näde-
lin’ s Methode,
F. Plohl.
II.	Klasse.
Klassenvorstand der ital. Abth. Ilr. E. Huber.
„	„ Slov.	*	„	F.	Plohl.
1. Religion. 2. St. Ital. Abth. Storia sacra del nuovo Testamento; nach Dr.
Schuster — Slov. Abth. Zgodbe svetega pisma nove zaveze; nach Schuster.
A. Sessich.
2. Deutsche Sprache. 4 St. Wiederholuug der Formenlehre, Lehre vom
einfachen und Zusammengesetzen Satze. Grammatik v. Bran dl. Analyse prosaischer Aufsätze und Memoriren einiger Gedichte aus „Neumann und Gehlen’ s“ Lesebuch. Zahlreiche schriftliche Übungen.
E. Huber.
F. Gattl.
3. Italienische Sprache. 3 St. Grammatica di Puoti. Ripetizione delle for-
me regolari, e quindi forme irregolari, preposizioni, avverbi, interposti. Proposizicni piü sviluppate, die nella prima. Esercizii a voce ed in iscritto. Temi come nella prima classe.
J. Filippl.
4. Slovenische Sprache. 3 St. Nepravilna sklanja; glagol, raba členkov;
goli, izobraženi i skrčeni stavek po Janežičevi slov. slovnici.— Čitanje
II.	Janežičevega Cvetnika. — Slovenje na pamet naučenih pesnij. — Vsak mesec po tri naloge.
F. Plohl.
5. Französische Sprache. 3 St. Formenlehre der flexiblen Redetheile, Con-
jugation der regelmässigen Verba auf er, ir, re, einschliesslich, der häufig vorkommenden unregelmässigen defectiva und unpersönlichen Zeitwörter, Adverbia und Conjunctionen; adjectif, qualitatif und de-terminatif; nach Otto’ s französischer Conversations-Grammatik.
F.	Srabotnik.
6.	Geographie.	2 St. Specielle Geographie Asien’ s und	Afrika’s; detail-
lirte Beschreibung der	Torreinverhältnisse und der	Stromgebiete Eu-
ropa’ s an oftmalige Anschauung und rationelle Besprechung der Schul - und Wandkarten anknüpfend; Geographie des westlichen und südlichen Europa; nach Kozenn.
E.	Huber L. Baselli.
7. Geschichte. 2 St. Übersicht der Geschichte des Alterthums; nach Gin-
dely 1 Bd.
E. Huber.
L. Baselli.
8.	Arithmetik.	3 St. Das	wichtigste aus der Mass - und Gewiehtskunde,
aus dem	Geld - nnd	Miinzwesen, mit besonderer	Berücksichtigung
des französischen Systems. Mass - Gewichts - und Miinzreduction Verhältnisse, Proporzionen, Kettenrechnung, Theilregel, Allegationsrech-nung; nach Villicus.
S.	Kos
9. Naturgeschichte. 3 St. Anschauungsunterricht in der Naturgeschichte:
I.	Semester: Meneralogie; II. Sem. Botanik; nach Pokorny.
F. Erjavec
10. Geometrisches Zeichnen. 3 St. Planimetrie; Übungen mit dem Zirkel
und dem Reisszeuge überhaupt, Gebrauch der Reisschiene und des Dreieckes; nach Močnik.
C. Barchanek.
L. Baselli
11. Freihandzeichnen. 4 St. Strenges Contouriren einfacher vegetabilischer
Ornamente, nach Vorlangen wie nach Tafelzeichnungon; ausschliesslich in Feder durchgeführt. Zeichnen nach plastischen geometrischen Ornamenten in doppelter Kreide. Die Polvchromie wurde geübt nach den bekannten Herdt’ 1 sehen und Schreiber’ sehen Vorlageblättern.
A. Möstl.
12. Kalligraphie. 1 St. Deutsche und lateinische Currentschrift.
L. Baselli
111.	ISLlasse.
Klassenvorstand: Hr. ,/. Kornfeind.
1. Religion. 2 St. Ital. Abth. Corso d’ istruzione religiosa ad uso dei gin-
nasii inferiori; per L. Scliiavi — Slov. Abth. Katekizem ali keršan-ski nauk za niže realke; nach Lesar.
A. Sessich.
2. Deutsche Sprache 4. St. Wiederholung der Lehre vom einfachen und
zusammengesetzten Satze. Briefstyl, Lectüre aus „Neumann und Gehlen’ s Lesebuche. Zahlreiche schriftliche Übungen.
E. Huber.
3. Italienische Sprache. 3 St. Grammatica di Puoti: osservazioni speciali
sulla formazione, sull’ uso, e sullc varie proprietä delle parti del di-scorso, forme piu complicate del discorso, forme piu complicate della proposizione. Esercizii e temi come nella I classe.
J. Filippl.
4. Slovenische Sprache. 3 St. Ponavljatev «klanje in spregatve; skladnja
do glagola po Janežičevi slov. slovnici. — Čitanje iz Janežičevega Cvetnika slov. slovesnosti. Nekoliko pesnij so se dijaki tudi na pamet učili. Vsak mesec po tri nalogo.
F. Plohl.
5. Französische Sprache. 3 St. Bio Formenlehre vollständig; Lecture,
Übersetzen und grammatische Analysis der im Lekrbuche von Otto gegebenen Proben und mehrerer anderer Lesestücke historisch-moralischer Inhaltes nach der Chrestomathie des genannten Auctors; jede Woche eine schriftliche Arbeit.
J. Kornfeind.
6. Geographie. 2 St. Bio Elemente der mathematisch - astronomischen
Geographie; oro-hydrographische und statitische Schilderung der im Öster. Reichs-Rath vertretenen Länder, der Schweiz, Beutschlaud, Belgien, Holland, Skandinavien und Russland.
J. Kornfeind.
7. Geschichte. 2 St. Bie Geschichte des Mittelalters mit specieller Be-
rücksichtigung der vaterländischen Momente.
J. Kornfeind.
o.	Arithmetik. 3 St. Fortgesetzte Übungen im Rechnen mit besonderen Zahlen zur Wiederholung und Erweiterung des bisherigen arithmetischen Lehrstoffes. Zinseszinsrechnungen; nach Villicus.
S.	Kos.
9.	Physik. 5- St. Allgemeine Eigenschaften der Körper; Wärme; Statik und Dynamik fester, tropfbarer und ausdehnsamer Körper; nach Pisko.
S.	Kos
10 Geometrisches Zeichnen. 3 St. Mass und Messen der Strecken; Pro-porzionalität der Streckenpaare; Ähnlichkeit der Dreiecke; ähnliche und ähnlich liegende geometrische Gebilde in der Ebene. Bie Thei-lung der Strecke im beliebigen, im harmonischen, im äusseren und mittleren Verhältnisse. Bie Kreislehre. Anwendung der Planimetrie auf Beispiele aus der technischen Praxis; nach Močnik.
II.	Freihandzeichnen. 4 St. Zeichnen nach dürcbgeführteren stilgerechten vegetabilischen und animalischen Ornamentmotiven, theils nach Vorlagen, theils nach Tafelzeichnungen, in Feder und Farbe durchgeführt. Das plastische vegetabilische Ornament in schwarzer und weisser Kreide geübt. Das Gedächtnisszeichnen wurde in der Schule durch das Entrücken einer ins Detail besprochenen Wandtafelzeichnung vorgenommen.
A. Möstl.
IV.	Klasse.
Klassenvorstand: lir. E. i\liiller.
1. Religion. 2 St. Liturgik oder Erklärung der gottesdienstlichen Handlun-
gen der kath. Kirche; nach Dr. Wappler.
A. Sessich.
2. Deutsche Sprache. 3 St. Wiederholung des gesammten grammatischen
Unterrichtes; Syntax. Anleitung zur Verfassung der im praktischen Geschäftsleben und in Rechtsgeschäften vorkommenden schriftlichen Aufsätze. Besprechen gelesener Beispiele und Memoriren besserer Stücke aus „Neumann und Gehlen“ 2. B. 2. Th. Alle 14 Tage eine schriftliche Arbeit.
E.	Müller.
3. Italienische Sprache. 3 St. Riassunto generale della etimologia, compo-
sizione, derivazione, sinonimia, e varia significazione dei vocaboli. Grammatica di Picci. Le parti essenziali della prosodia, e della me-trica, tropi e figure, le forme di scrivere piü necessarie della vita domestica e sociale. Esercizii come nelle classi antecedenti.
J. Filippi.
4. Slovenische Sprache. 3. St. Ponavljatev vsega oblikovja; iz skladnje:
glagol, množnozloženi stavek; nekaj iz besedoskladja po Janežičevi slovnici. — Pravila iz prozodije in metrike; opravilna pisma; dekla-matorično vaje; čitanje Janežičevaga cvetnika slov. slovesnosti. Vsak mesec po dve nalogi.
F.	Plohl.
5. Französische Sprache. 3 St. Die Formenlehre vollständig; [allgemeine
Syntax der Artikel, Adjective, Numeralien, Pronomina und Präpositionen; Lectüre, Übersetzen und grammatisch-syntactische Analysis der dem Lehrbuche von Otto boigegebenen Proben und einiger anderer Lesestücke nach der Chrestomathie von dem genannten Auctor; jede Woche ein schriftliches Pensum.
J. Kornfeind.
6. Geographie. 2 St. Specielle Geographie des Vaterlandes, Umrisse der
Verfassungslehre. Geographie Amerika’s und Australien^ nach Kozenn.
E.	Müller.
7. Geschichte. 2 St. Übersicht der Geschichte der Neu, eit mit uinstäud-
lieber Behandlung der vaterländischen Geschichte; nach Gindelv III.B.
E.	Müller.
8. Mathematik. 4 St. Ergänzende und erweiternde Wiederholung des ge-
sammten arithmetischen Lehrstoffes der Unterrealsehnle; Grundoperationen mit allgemeinen Zahlen, grösstes Mass, kleinstes Vielfache Brüche, Gleichungen des 1. Grades mit einer und zwei Unbekannten; nach Salomon.
S. Kos.
9. Physik. 2 St. Schall, Licht, Magnetismus, Electricität; nach Pisko.
S. Kos.
10. Chemie. 3 St. Übersicht der wichtigsten Grundstoffe und ihrer Ver-
bindungen mit besonderer Berücksichtigung ihres natürlichen Vorkommens, jedoch ohne tieferes Eingehen in die Theorie und ohne ausführliche Behandlung der Reactionen; nach Hinterberger.
K. Garzarolli.
11. Geometrisches Zeichnen. 3 St. Anwendung der vier algebraischen
Grundoperationon zur Lösung von Aufgaben der Planimetrie und Stereometrie. Die perspectivische Collineation, Affinität und Ähnlichkeit. Theoretisch constructive Behandlung der Curvenlehre. Das Pro-jiciren in der Ebene — Die stereometrischen Fundamentalsätze. Der Punkt im Baume; nach Schnedar.
C. Barchanek.
12. Freihandzeichnen. 4 St. Der menschliche Kopf in seinen Proportionen
wurde erklärend dem Zeichen nach Vorlageblättern erst in strenger Contour und in halbdurchgefühter Weise besprochen, dann geübt; desgleichen der thierische Kopf. Architektonische und kustgewerbliche Objeckte nach Modellen und Vorlagen.
A. Möstl.
V.	Klasse.
Klassenvorstand: Hr. J. Čebular.
1. Religion. 1 St. Beweis der Wahrheit der katholischen Beligion; nach
Dr. Wappler.
A. Se88ioh.
2. Deutsche Sprache. S St. Allgemeine Stvlistik, insbesondere der histo-
rische Styl. Lehre der Betonung, Metrik, der Fignren und Dichtungsarten mit den entsprechenden Proben aus Egger’s Lesebuch, 1 Band. Alle 14 Tage eine Haus - oder Schularbeit.
E.	Müller.
3. Italienische Sprache 3 St. Storia della letteratura italiana esposta per
sommi capi dalle sue origini, fino al secolo XVII. Alcuni cenni sulle diverse specie di scrivere sx in prosa, che in poesia. Si lessero, e si commentarono venti canti deli’ Inferno di Dante. Un compito ogni quindici giorni.
J. Filippi.
4. Slovenische Sprache 3 St. čitauje nekterih prevedov iz staro - iu novo
- klasičnega slovstva.— Nauk o podobah, prilikah in pesniških izdelkih z dotičnimi vzgledi iz Janežičevega cvetnika slov. slovesnosti. — Iz staroslovenskega: glaso - in oblikoslovje in čitanje iz Miklošičevega berila za 8. g. razred. Vsak mesec po dve nalogi.
F.	Plilol.
5. Französische Sprache 3. St. Die Formenlehre vollständig; allgemeine
Syntax der Artikel, Adjective, Numeralien, Pronomina, Präpositionen und Adverbien; Lectüre, Übersetzen und grammatisch-syntactische Analysis der dem Lehrbuche von Otto beigegebenen Proben und einiger anderer Lesestücke historisch-moralischen Inhaltes in der Chrestomathie des genannten Auctors; jade Woche ein schriftuches Pensum.
Kornfeind.
6. Geschichte, 3 St. Pragmatische Geschichte des Alterthums mit steter
Berücksichtigung der hiermit im Zusammenhänge stehenden geographischen Daten; nach Gindely.
A. Diak.
7. Mathematik. (> St. Gleichungen des 1. Grades mit mehreren Unbekann-
ten, unbestimmte Gleichungen. Theorie der Zahlen, Brüche, Potenz-und Wurzelgrössen, laterale und complexe Zahlen; Verhältnisse und Proportionen, Gleichungen des 2. Grades mit einer und 2 Unbekannten ; nach Salamon. Planimetrie, geometrische Constructionen, Anwendungen der Algebra auf die Geometrie; nach Sonndorfer.
J. Čebular.
8. Darstellende Geometrie. 3. St. Der Punkt und die Gerade im Raume
Die Ebene. Beziehungen der Elementargebilde unter einander. Die A xendrehung; nach Schnedar.
C. Barchanek.
9. Naturgeschichte. 3 St. Anatoin.sch-physiologisehe Grundbegriffe des
Thierreiches mit besonderer Rücksicht auf die höheren Thiero; Systematik der Thiero mit genauerem Eingehen in die niederen Thiere-nach 0. Schmidt.
F.	Erjavec.
10. Chemie. 3 St. Gesetze der chemischen Verbindungen, Atome, Mole-
cule Aequivalente, Werthigkeit der Atome, Typen, Bedeutung der chemischen Symbole und Formeln; Metalloide, Metalle der I., II., und
III.	Gruppe WiUigk.
K. Garzarolli.
11. Freihandzeichnen. 4 St. Der menschliche und thierische Ivopf mit
Rücksicht der wichtigsten anatomischen Merkmale nach durchgeführ-ten Vorlagen und Gypsabgiissen. Architektonische Objecte in freier Perspective und elementarer Schattengebung in Sepia ausgeführt. Styl-gerechtes Ornament in den verschiedensten Manieren.
A. Müstl.
VI.	Klasse.
Klassenvorstand: C. Bavchanek.
1. Religion. 1 St. Die katholische Glaubenslehre; nach Dr. Wappler.
A. Sesslch.
2. Deutsche Sprache. 3 St. Abschluss der »yntaktisrhen Übungen; Ge-
schichte der deutschen Literatur bis Klopstock nach A. Egger’s Lehr-und Lesebuch IT. Theil Lectüre: Iphigenie v. Göthe. Aufgaben nach Vorschrift.
E. Müller
3. Italienische Sprache. 3 St. Storia della letteratura italiana esposta per
sommi capi dalle sue origini fino al secolo XVII. Alcuni cenni sulle diverse specie di scrivere si in prosa, che in poesia. Si lessero, e si commentarono venti anni dell’ Inferno. ITn compito ogni quindici giorni.
J. Filippi.
4. Slovenlsche Sprache. 3 St. Čitanje kakor v V. razredu. — Prevajanje
iz nemškega na slovensko. — Staroslovensko oblikoslovje in vaje kakor v V. Slovanske starožitnosti in pregled staroslovenskega slovstva.
F.	Plohl.
5. Französische Sprache. 2 St Die Formenlehre vollständig; allgemeine
Syntax der Artikel, Adjective, Nmneralien, Pronomina, Präpositionen und Adverbien; Lectüre, Übersetzen und grammatisch-syntactische Analysis der dem Lehrbuche von Otto eingefügten Übungs-Stücke und Privatlectüre einiger Erzählungen historisch-moralischen Inhaltes nach der Chrestomathie von dem genannten Auctor; jede Woche eine schriftliche Arbeit.
Kornfeind.
6. Geshcichte 3 St. Vom Kaiser Augustus bis zum XVI. Jahrhunderte in
gleicher Behandlungsweise wie in V; nach Gindelv.
A. Dlak.
7. Mathematik 5 St. Logarithmen, Gleichungen höheren Grades, die sich
auf quadratische zurückführen lassen. Exponentialgleichungen, Reihen, Corabinationslehre, das Binom; nach Salomon. Ebene und sphärische Trigonometrie, Stereometrie; nach Sonndorfer.
F.	Srabotnik.
8. Darstellende Geometrie. 3 St. Die körperliche Ecke. Die Vielflächner.
Die Strahlenflächen, ihre Eintheilung, Darstellung und die ebenen Schnitte derselben. Die Umdrehungsflächen. Berührungsebenen an Strahlen* und Umdrehungsflächen. Durchdringungen ebenflächiger Körper; nach Schnedar.
C Barchanek.
9. Naturgeschichte. 2 St Anatomisch - physiologische Gruudbegriffe des
Pflanzenreiches, Systematik der Pflanzen; nach Bill.
F. Erjavec.
10. Physik. 4 St. Allgemeine Eigenschaften der Körper; Wirkungen der Molekularkräfte, Mechanik, Akustik; nach Pisko.
i. Čebular.
11. Chemie. 3 St. Metalle der 4., 5. Gruppe. Organische Chemie: Constitution
der organischen Verbindungen ; Theorie der organischen Eadicale; Lehre v. d. Substitution, Theorie der Typen von Williamsqn und Gerhardt; Theorie der ehem. Structur. Homologe und heterologe Keihen; Physikalische Verhältnisse organischer Verbindungen; Gesetzmässigkeiten in der Einwirkung ehem. wirksamer Stoffe auf organ. Verbdg; Allgemeines über die Analyse organ. Verbindungen. Ein - zwei - drei - vier <md sechswertige Alkohole und deren Derivate.
K. Garzarolli.
12. Freihandzeichnen 4 St. Fortgesetzte Üehungen des im Vorjahre in den Unterricht eingeführten Lehrstoffes; genaue Beachtung und Unterweisung auf Styl und Perspective. Die menschliche Figur in ihren Proportionen geübt. Das Zeichnen ist vorherrschend nach plastischen Modellen vorgenommen.
A. Möstl.
"VII. Klasse.
Klassen Vorstand: Hr. F. Erjavec.
1. Religion. 1 St. Die katholische Sittenlehre ; nach Dr. Wappler.
A. Sessich.
2. Deutsche Sprache. 2 St. Geschichte der deutschen Literatur bis incl.
Schiller und Goethe; nach A. Egger’s Lehr - und Lesebuch II Theil. Lectüre. „Don Carlos“ Aufgaben nach Vorschrift.
E. Müller.
3. Italienische Sprache. 2 St. Storia della letteratura italiana dei tempi
moderni. Lettura e commento di tutta la cantica del Purgatorio di Dante. Un compito al mese.
i. Filippl.
4. Slowenische Sprache. 2 St. Pregled slovenskega slovstva od Truborja
do sedaj s primernim čitanjem iz Miki. b. za 8. g. r. in iz Janežičevega velikega cvetnika. Vaje v prestavljanji in öitanje kakor v V. in VI. razredu. Vsak mesec po eno nalogo.
F.	Plohl.
5. Französishe Sprache. 2 St. Die Formenlehre vollständig; Allgemeine
Syntax aller ßedetheile; Lecture, Übersetzen und grammatisch-syntac-tische Analysis der dem Lehrbuche v. Otto beigegebennen Proben; Privatlecture mehrerer Losestücke nach der Chrestomathie von dem genannten Auctor; jede Woche ein schriftliches Pensum.
Kornfeind.
{>. Geschichte 3 St. Geschichte der neuen Zeit mit Herv n-hebung der cul-
turhistorischen Momente und besonderer Berücksichtigung der Österreichischen Geschichte; nach Gindelv.
A Diak.
7. Statistik. 1 St. Geographie und Statistik der österreichisch-ungarischen
Monarchie mit eingehender Besprechung der Verfassungsverhältnisse und der historischen Entwicklung ; nach Klun.
A Diak.
8. Mathematik. 5 St. liechnen höherer Ordnung, logarithinische Reihen,
Anwendungen der spärischen Trigonometrie auf die spärische Astronomie, analytische Geometrie; nach Salomon und Sonndorfer.
J Čebular.
9. Darstellende Geometrie. 4 St. Den früheren Lehrstoff wiederholt. Durch-
dringung der Strahlenflächen. Berührungsebenen an Kegel - und Um-drehuugsilächen. Die Schattenlehre. Elemente der Perspective; nach Schnedar.
C. Barchanek.
10. Naturgeschichte. 3 St. Kenntniss der wichtigsten Mineralien nach kry-
stallographischen, physikalischen und chemischen Grundsätzen; Geo-gnosie. Grundziige der Geologie, das wichtigste aus der Klimatologie, der Phyto — und Zoogeographie; nach Fellöcker.
F Erjavec.
11. Physik. 4 St. Electricität, Magnetismus, Wärme, Optik, Grundlehren
der Astronomie und mathematischen Goographie; nach Pisko.
j. Čebular.
12. Chemie» 2 St. Ausführliches über die neueren ehem. Thorien Cyanver-
bindungen. Harnstoff; Verbindungen der Harnsäuregruppe; aromatische Verbindungen.
K. Garzarolli.
13. Freihandzeichnen Die menschliche Figur nach vollendeten Vorlagen und
Gypsabgüssen mit anatomischer Erläuterung. Architektonische Objecte und stylgerechto plastische Ornamente getuscht, selbständige Anwendung der Farbe mit Bezug auf deren Harmonie.
A. Möstl.
Der italienische Freicurs war von 26, der slovenische von 15 und der stenographische im ersten Jahrgang von 28 und im zweiten von 15 Schülern besucht. Den ersten Unterricht ertheilte Herr Filippi, den zweiten Herr Plohl und den letzten Herr Barchanek.
Am Gesangsunterrichte nahmen 95, am Turnunterrichte 131 Schüler
theil.
In den Vorbereitungscursen lehrten:
Herr Dittrich Vincenz, Lehrer an der städtischen Knabenschule.
Herr Komel Michael, Lehrer an der k. k. Übungsschule.
Herr Marušič Josef, Katechet, Professor an der theologischen Lehranstalt, Mitglied der Bezirksschulrates.
— 62 — W'e&Midkaiee
der in den oberen Klassen gegebenen Aufsätze.
«) Aus der deutschen Sprache.
* V. Klasse. Philemon und Baucis. Nach der gleichnamigen Idylle von J. H. Voss.— Margareta Maultasch und die Käruthner. Eine Sage.— Ue-bung ans der Satzlehre. — Der Nibelungenhort. Nach W. Jordans Nibe-lunge. — Cyrus bis zu seiner Thronbesteigung.— Übung aus der Satzlehre.
— Die Sage vom König Oedipus. — Ceres als Freundin der Menschheit.
— Siegfrieds Ermordung. — Der Wirth zum goldenen Löwen und seine Frau. Nach Goethes Hermann und Dorothea — Das Gedicht „Johanna. Sebus“ in Prosa. — Der Kampf mit dem Drachen von Schiller in Prosa.
— Welche Freuden gewährt uns #der Monat, Mai ? — Übung in der Orthographie, Interpunction und Satzanalyse. — Der Frühling. Eine Schilderung.
•— Der Jahrmarkt in einer kleinen Stadt. — Die Zerstörung Carthagos. — Was verkünden uns der Glockon Klänge? — Frankreichs Lage unmittelbar vor dem Auftreten der Jungfrau von Orleans geschildert nach Schillers Prolog im Drama: Die Jungfrau von Orleans.
VI. Klasse. Welche Yortheile und Annehmlichkeiten haben die Küstenbewohner von der Nähe des Meeres? — Über den Nutzen des Holzes.
— Übung aus der Satzlehre. — Caesars Ermordung. — Die Feuersbrunst. Eine Schilderung. — Vergleichung der beiden weiblichen Hauptcharaktere im Nibelungen - und Gudrunepos. — Übung aus der Satzlehre. — ßolands Thaten in Spanien und sein Tod. — Inhaltsangabe der ersten Theiles des Niebelungenliedes. — Karl der Grosse. Eine gedrängte Lebensbeschreibung.
— Erklärung des Sprüchwortes: „Steter Tropfen höhlt den Stein.“— Böse Gesellschaften verderben gute Sitten. (Chrie). — Die Morgenröthe ist den Musen hold. (Chrie). — Das Turnen. — Früh übt sich, was ein Meister werden will. (Chrie). — Inhaltsangabe des 1. Aktes des Goetheschen Drama „Iphigenie auf Tauris.“-- Worin gleichen einander Gebirge und Meere? — Der Kampf zwischen Rudolf von Habsburg und Ottokar von Böhmen. —• Welche Gründe bewogen Rudolf von Habsburg seinem Sohne eine Hausmacht zu schaffen. — Welche Bedeutung hatte Friedrich III. Regierung für Österreich?
VII. Klasse. Welche Erfindungen und Entdeckungen gaben der Neuzeit ihren Charakter? — Der Anfang aller Cultur war der Ackerbau. — Wie kam es, dass das Wiederaufblühen der deutschen Dichtungen im XVIII. Jhd. mit dem Epos begann? — Wodurch erklärt sich die schwankende Haltung Karls V. gegenüber den Protestanten? — Dem Tod entrinnt, wer ihn verachtet; doch den Verzagten holt er ein. (Chrie). — Philipps II. von Spanien Beziehungen zu Elisabeth von England. — Der Pro-fet gilt nirgends weniger als in seinem Vaterlande —.
Von der Stirne heiss Rinnen muss der Schweiss,
Soll das Werk den Meister loben;
Doch der Segen kommt von oben. (Clirie)
Wer ist ein Gebildeter? — Kann der Krieger bloss im Kampfe Mut beweisen? — Das Marchfeld ein wichtiger Schauplatz der Geschichte. — Welche Folgen hatte des dreissigjährige Krieg in politischer Beziehung?
— Charakteristik der Goetheschen Iphigenie. — Charakteristik des Tasso und Antonio in Goethes Torquato Tasso.
/>) Aus der italienischen Sprache.
V. Klasse. II paratulmine, o il vapore — Amore paterno, e ricono-scenza figliale -— Alfonso I d’ Aragona — Le rondinelle — Una lettera di ragguaglio — L'occhio ed il cielo La caduta di Parini — Un atto eroico d' amor di patria — La coltura dei bachi da seta — Nessuno e profeta nella sua patria — Le ferie pasquali — II ritorno alla scuola — Incontro di Dante con Vlrgilio (Dante) — Formazione dei fiumi, loro im-portanza nell' industria, o nell' agricoltura — L’ oro — Dante e I'etrarca, un paralello — Francesca da Eimini ed i Lussuriosi (Dante) — La bat-taglia di Tagliacozzo — Lorenzo de’ Medici come principe e come poeta
— II canto XI dell’ Inferno.
VI. u. VII. Klasse. II cavallo al servizio deli’ uomo — Se visiacon-venienza fra le pene, che assegnö Dante ai violenti, e le loro colpe — L’ uomo e la scimmia — I/ acqua coi varii fenomeni cui va soggetta —
II	canto II dei Purgatorio di Dante — Caratteri della vera e falsa ami-cizia — La guerra dei Paesi Bassi sotto Filippo II di Spagna — Perche l’Italia t! visitata dagli stranieri piü delle altre regioni d’Europa? A che si debbono attribuire le sveuture del Tasso ? La necessita madre dell’ industria — L’ estate in cittä, e 1’ estate in villa.
c) Aus der slovenischen Sprache.
V. Klasse. I. Semester. Gostoljubnost pri Slovencih, črtica iz ljudskega živenja — Mornar in rudar •—• Katere lastnosti pesniških umotvorov ima pesen „Zvonikarjeva“ ? Ansprache an die Studierenden, (Schelling prestava iz nemškega) — Kako praznuje božič otrok, kako mladeueč, kako mož in kako starček? — Kaj ^ s o storili Feničanje za občno omiko?
— Narodna pesen „Kralj Matjaž“ se naj prenaredi v pripovest in se pokaže jena zgodovinska podloga Keka Soča, (poosebitev) -- Vatikanski Apolon, (Winkelmann, prestava iz nemškega) — Kako se ločuje roman od junaške pesni, kako od novele? —
II.	Semester: Zadržek junaške pesni „Jaroslav“, (Kraljedvorski rokopis) — Ni vse zlato, kar se sveti — Katere vezi nas vežejo na domovino? — Katero misel je izrazil Preširen po pesni „Nuna in kanarček“? Jadernik pripoveduje svoje živenje •— Razgovor med- plugom in mečem — Zapopadek predigre Schiller-ove tragedije: „Devica orleanska“ — Popišite kraj, v katerem se vrši ta predigra — Zapišite in razložite vse poetične prilike in podobe v tej predigri
VI. Klasse. I. Semester: Daljnovid in drobnovid, ali nož in igla (primera na izbero) — Nar hujša vseh je bolečin V nesreči srečnih dni
spomin, Dante — Stritar — Hudobnež se boji lastne sence (hrija) — V katerem položaji mora biti pesnik, ki piše:
„Srce mi vtrujeno miruje,
Ne vabi ga vživljenja hrup!
Po sreči mi ne izdihuje Neznan mu strah, neznan je up?“
V	katerem spominu živi Padova ravnina v zgodovini ? — Iz potovanja po Italiji (Göthe prestava iz nemškega) — Kako vojska umetnijam škoduje in kako je pospešuje? — Parabolo o izgubljenem sinu (prestava iz staroslovenskega) — Razloček med heroično in romantično epiko — Razloček mej staro- in novo slovensko sklanjo in spregatvijo.
II.	Semester. O cvetu domačih rastlin. — Gorje, kdor se vseda — Za tujo mizo žive dni; — Vsak grižljej mu preseda — Požirek vsak mu zagreni — Jenko — Katere vezi nas vežejo na domovino? — Zgodovina nas uči kako naj živimo — Kdor materinega jezika ne spoštuje, untere vreden ni — Zasluge Cirila in Metodi ja za slovanski narod — Kaj je zaderžavalo razvoj staroslovenskega slovstva v drugi polovici devetega stoletija? — Kratek pregled slovenske zgodovine od 4. do 9. stoletija — Moj najveselejši dan — Prvi dan šolskih počitnic v očetovej hiši.
Lelirmittelsammlung.
Die Bibliothek zerfällt in eine Lehrer - und eine Selnilerbibliothek.
A.	Lehrerbibliothek.
Bibliothekar: Herr F. PLOHL.
Zuwachs a.) durch Schenkung:
Ostrow; Der Bauernkrieg v. Jahre 184ti in Galizien; Jo Manoel de Macedo: Geographische Beschreibung von Brasilien; Statistischer Bericht der Handels - und Gewerbekammer in Pilsen; Statistischer Bericht der Handels-und Gewerbekammer in Budweis; Untenichtsstatistik des Königreiches Kroatien und Slavonien; Navigazione Austro-Ungarica; Jahresbericht des k. k. Ministeriums für C. und U. für 1873; sämmtliche Werke vom hohen k. k. Unterrichts-Ministerium. Rapporto della Camera di Com-mercio ed lndustria di Gorma, v«n der UM. Handelskammer in Görz. Verhandlungen der zoologisch-botanischen Gesellschaft 1873. von der löbl. Gesellschaft. Otto: Französische Conversationsgrammatik; Otto: Französisches Conversationslesebuch; Sojmdorfor: Geometrie; von der Buchhandlung Wokidat in Görz. Hanuak: Geschichte der Neuzeit, von Beck' s Universitätsbuchhandlung; Smolik; Lehrbuch der freien Perspective, von der Buchhandlung Tempsky. Die astronomisch-geodätischen Arboiten, vom k. k. geographischen Institut. Lenzi Anleitung zur qualitativen chemischen Analyse v. Herrn Lehmann Kohlrausch: Organ des Vereins für Rüben-zuckerindustrie 11. und 12. Jahrgang, v. Herrn Klietsch- Murko: Deutsch-slov. u. slovenisch-doutsches Wörterbuch, von Lapanja, t'^hülor der IV. CI.
Cicero’ s Briete, übersetzt v. Wieland, v. Gruden Schüler der II. Classe. Pertrattazione della Dieta provineiale della Contea principesca di Gorizia e Gradišča, vom löbl. Landesausschusse.
b.) durch Ankauf.
Czörnig: Das Land Görz u. Gradišča 2 Bde. Tretau: Der kleine Zeichner. Greistorfer: Deutscher Aufsatz, auf der Mittelstufe der Stilübungen; Sommer: Hand u. Hilfsbuch f. d. Unterricht in deutschen Aufsätzen. Safarik: Geschichte der slav. Literatur; Benthin: Lehrbuch der Sternkunde; Tyndal: die Wärme; Globus illustrirte Zeitschrift für Länder - u. Völkerkunde; Die Natur, illustrirte Zeitschrift; Buckle’s Geschichte der Civili-sation in England; Masuggio: II Novelliere; Martin: Die Praxis der Naturgeschichte; Burmester; Theorie u. Darstellung der Beleuchtung gesetz-mässig gestalteter Flächen; Renner: Wandtafeln für den Gesangsunterricht Ginzel: Geschichte der Slavenapostel Cyrill und Metliod; Forbiger: Hellas
u.	Koni. Bücher: Die Kunst im Handvveik; Heine: Practischer Unterricht im perspectivischen Zeichnen; Berger: Lehre der Perspective. Miklosich: Vergleichende Grammatik der slavischen Sprachen Syntax 4. u. 5. Heft; Die Realschule; Zeitschrift 1874. Koberstein; Grundriss der Geschichte der deutschen Nationalliteratur, 4. u. 5. Band; Tumaseo, Diziouario della lingua italiana dispensa Hefte 140—150; Shakespeare, 10. Band. Curtius, Griechische Geschichte ;3. Band. Kostrenčič: Beiträge zur Geschichte der protestantischen Literatur der Südslaven von 1559—1565. Van Swindens Geometrie. Hotfmann: Geometrie. Steiner: geometrische Coustructionen. Mascheroni, Geometrie des Zirkels. Gretschel: die karthographischen Pro-jectionen.
B.	Schülerbibliothek.
Zuwachs a.) durch Schenkung:
Brasilien auf der Wiener-Weltaustellung, vom hohen k. k. Ministerium für Cultus u. Unterricht; Masius: Naturstudien; Ovid’s Verwandlungen v. Voss; Palmieri: Incendio-Vesuviano; sämmtliohe Werke v. Herrn v. Ivanotay; Zoncada: Racconti; Robinson Svizzero 2 Bände, von Streinz Schmid: Timotej in Filomen; Evstahija, dobra hči; Caf; Robinson mlajši, von Šorli, beide Schüler der IV. Klasse. Kotzebue: dram. Werke 1 Band, von Kopriva; Schiller: Wilhelm Teil; Bleivveiss: Bob iz Kranja, beide Werke von Lovrenčič; Körner: Geschichte, von Priester; Cuppini: II nono ed i nipotiui, von Tonello, sämmtliche Schüler der III. Kl. Sadjoreja: Dimic potni poduk, von Gruden; Besi; La presa d’ Eubea von Priester; Cigler: Kortoiiica, koroška deklica; Jurčič: Juri Kozjak slov. janičar; Ma-levašič: Zlata vas, von Rastja; Večernice 1972, von Toplikar; Mundt: Cagliostro in Petersburg; Nemški Pavliha v slov. besedi; Lažnjivi Klju-kec; Zarnik: Jurij Strekelj najde zaklad; Peter in Pavl, povest; Bojtek ali pravljica od viteza; Cigler: deteljica, sämmtliche Werke von Trost; Stein: Cooper’s Seegemälde, von Truschnitz; Malavašič: Oče naš, povest; Tomšič: sto malih pripovedek; Večernice 1868; Kociančič: Frančišek Soave ; sämmtliche von Uršič; Mesingasti križ; kmetica in grofinja Gri-zelda; von Vrtovec; Večernice 1862 von Zavnik: Schmid: Genovefa; Sle-
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menik: izdajavec, von Budal, Schüler der II. Kl.; Cigler Kortonica, koroška deklica, von Bele; Verdelski: izvirek premožnosti, von Kreuth; Martin, mladi puščavnik, von Vidrih, Schiller der I. KI.
b.) durch Ankauf :
Hoffmann’s Jugendbibliothek 5 Bde. Lausch: Huch der Kinder und Volksmärchen. Pfeil; Gute Kinder bravo Menschen. Both: der Burggraf imd sein Schildknappe. Bibliothek interessanter Erzählungen u. z. von Za-strow (i Bände, von Kurtius 3 Bde. v. Nellenburg 3 Bde. v. Grothe 1 Bd. von Prenzlau 1 Bd. Anthonv’s Erzählungen 8 Bde. Becker: Erzählungen 2 Bde. Nieritz: der Kaufmann v. Venedig. Jesenko : zemljepisna začetnica. Dante Allighieri con ragionamenti di Nicolö Tomaseo. 3 Bde. Scipio: Aus Nord und Süd, Land und Seebilder. Melville: Meine Abenteuer auf Marquesainsel. Hoffmann : Land und Seebilder für reife Jugend. Proseh-ko's Erzählungen und Gedichte. Hoffman : der Kinder Wundergarten. Diez Erzählungen für die Jugend und das Volk Bde. 1 — 8. Nieritz: Erzählungen Bde 1—5. Müller: Der grosse Krieg und das deutsche Reich. Fene-lou Telemaque. Voltaire: Historia de Charle XII La Fontaine: Mosaique Francaise. Mücke: Frederic et Oscar Dornbusch; Drenkhan: Gotthard et Son Cheval Noir. Salomon: Sammlung v. Aufgaben Arithmetik und Algebra. Razlag: Pesmarica. Listki: Paulus: Lepi dnevi; Krek: O izdaji slov. narodnih pesni. Hostnik: Meta Holdenis. Jesenko : Občni zemljepis. Paulus: Valentin Stanič. 1 viaggi di Marco Polo. Byron tragedie Maffei. Lessona: Volere e potere. Graik: Costanza vince ignoranza. Carcano : Me-morie di Grandi. 2 Bde. Cesare Cantu: La Lombardia nel secolo XVII. Manzoni: I promessi sposi. Tasso: La Gerusaleme liberata. Vestnik priloga „Zori“ 1. 1873. Pichler : Erzählungen Bd. 13—15 und 37—40. Dobelli: Narrazioni storiche. Dobelli: Viaggi, paesi e costumi. Barrili: Semirami-de, racconto Babylonese. Foscolo: Prose letterarie 4 Bde. Foscolo: Poesie. Nicolini: Poesie: Močnik: Nova avstrijska mera in vaga. Stritar: Dunajski soneti: Manzoni: Die Verlobte übersetz v. Clarus. 2 Bde. Paugger. Algebra. Gubernatis : Ricordi biografici. Tomšič: Vrtec 2 Bde 1872 und 1873. Zora: časopis za zabavo in poduk 1873. Slovanstvo.
Physikalisches Cab inet.
Custos: Herr J. ČEBULAR.
Zuwachs durch Ankauf:
Briefwage — Metall-Termometer v. Holzmann — Aneroid-Barometer
—	Kreuzscheibe mit Boussole — Thermoelement — 4 Bunsensche Elemente — 1 Glas für ein Bunsensches Element — Galvanische Uhr — lnterferenzprisma — Feldstecher — Reversionspendel — Rostpendel — Metrische Masse und Gewichte.
Natur historisches	Cabin et.
Custos: Herr F. ERJAVEC.
Zuwachs a) durch Schenkung:
Sylvit und Kainit vom Herrn Carl v. Garzarolli — Vipera ammo-
dytes vom H. Custos — Nephrops norvegicus und mehrere kleinere Sce-thiere in Spiritus vom Schüler der V. CI. Scarpa Carl und 1 Pinna squammosa vom Schüler der I. CI. Colavini Arthur.
b) durch Ankauf:
Eine Sammlung von Pilzmodellen — Nachbildungen des menschlichen Herzens, Kehlkopfes und Gehirnes aus Papiermasse — Geologische Bilder von Ferd. Hochstetter — Wandtafeln der Pflanzenkraukheiten von Dr. Oscar Fraas — Botanische Wandtafeln von Dr. W. Aliles.
Strix flammea ; Syrnium aluco; Falco cenchris; Cypselus apus; Tur-dus saxatilis1 Luscinia lusciola; Sylvia phragmites; Fringilla canaria, montifringilla, carduelis etchloris; Loxia curvirostra; Emberiza hortulana; Parus ater et candatüs; Alauda calandra.
25 Korallen arten — Gypsabgttsse vou Ichthyosaurus integer, Ptero-dactylus, verschiedenen Trilobiten und Pflanzenabdrücken aus der Steinkohlenformation.
Technisches Cabinel.
Custos: Herr CLEMENS BARCHANEK.
Sieben Körperdurchschnitle.
Geographisches Cabinet.
Custos: Herr E. MÜLLER.
Spruner-Menke: Atlas autiquus. 1 Kasten.
Chemisches Laboratorium.
Custos: Herr K. GARZAROLLI.
Zuwachs a) durch Schenkung:
Kalisalze aus Kalusz vom Herrn Prof. Dr. J. Göttlich iii Graz.
b) durch Ankauf:
Einige Gerätschaften zur organ. Elementaranalyse. Ein Trockeuapparat Platindraht. Glaswaren. Chemikalien zu Voiiesungsversuohen.
Cabinel für das Freihandzeichnen.
Custos: Herr A. MÖSTL.
Zuwachs a) durch Schenkung:
Zwei grosso Kupferstiche, darstellend die perspectivische äussere u. innere Ansicht der „Certosa“ bei Pavia; vom A. Bagaalasta. — Eine Sepierung, Farbendruck, von K. Scarpa.
b) durch Ankauf:
Dr. H. Kuudrats anatomische Wandtafeln sammt erläuternden Text.
—	Zwei Bände Gewerbehalle, Jahrgang 1872 und 1873.
Chronik.
Das Schuljahr begann mit der üblichen kirchlichen Eeier, den Auf-nahms - Wiederholungs - und Nachtragsprüfungen.
Mit den Erlässen vom 30. August und 2(5. Octobor 1873, Z. 9723 und 13154 fand sich Seine Excellenz der Herr Unterrichtsminister bestimmt die Errichtung von sprachlich-gesonderten Vorbereitungsklassen au den hierortigen beiden Mittelschulen anzuordnen, welche mit dem Beginne des Schuljahres- ins Leben zu treten hatten und von denen die Vorbereitungsklasse für Schüler der slovenischen Nationalität dem Gymnasium und jene für Schüler der italienischen Zunge der Realschule zugewiesen wurde. Damit nicht durch diese Massregel Schüler genöthigt werden, das Gymnasium neun, oder die Realschule acht Jahre zu besuchen, gestattet der Herr Minister, sie schon nach dem dritten Volksschuljahre, also im Alter von neun Jahren in die Vorbereitungsklasse aufzunehmen. Dazu kommen noch jene Schüler, welche die Aufnahmsprüfung für die erste Klasse der Mittelschulen nicht bestehen, und in den folgenden Jahren die Repetenten dieses Curses. Aus dem Vorbereitungskurse dürfen nur jene Schüler in die erste Klasse der Mittelschulen aufsteigen, welche die erforderlichen Kenntnisse besitzen; die übrigen haben den Curs zu wiederholen. Die Zahl der wöchentlichen Lehrstunden dieser Vorbereitungsschule, welche an der Realschule wegen der grossen Zahl der eingetrebenen Schüler in zwei Parallelen abgetheilt werden musste, war auf 24 festgesetzt worden; von diesen fielen 2 auf die Religion, 10 auf den Unterricht im Deutschen, 5 auf das Rechnen, 3 auf das Schreiben und 2 auf das Turnen.
Mit dem Erlasse vom 4. November 1873, Z. 967 hat der hochlöbliche Lendesschulrath die eine der Parallelklassen dem Lehrer an der k. k. Uebungsschule, Herrn Michael Komel, und mit dem Erlasse vom 29. November 1873, Z. 1056 die andere dem Lehrer an der städtischen Knabenschule, Herrn Vincenz Dittrich, übertragen. Den Religionsunterricht in beiden Abtheilungen übernahm in Folge Note des Fürs terzbischöflichen Ordinariates vom 9. December 1873, Z. 2285 der Katechet der Lehrerbildungsanstalt, Herr Joseph Marušič.
Mit Erlass des hohen Ministeriums vom 12. August 1873, Z. 9965 wurde Herr Emmerich Müller, Supplent an der Landes-Unterrealschule zu Sternberg, und mit Erlass vem 24. September 1873, Z. 12207 Herr Joh. Kornfeind, Supplent an der Landes-Oberrealschulo zu Krems zum wirklichen Lehrer an dieser Realschule ernannt.
Mit Erlass des hochlöblichen Landesschulrathes vom 24. October 1873 Z. 936 erhielt der absolvirte Techniker, Herr Alois Pelican, die Stelle des Assistenten für das laufende Schuljahr.
Mit Erlass des hochlöblichen Landesschulrathes vom 23. December 1873, Z. 1093 wird dem Uebungsschullolirer Herrn Michael Komel, der Gesangsunterricht an der Realschule übertragen.
Durch den Erlass des hohen Ministeriums vom 15. Jänner d. J., Z. 17428 wurde dem Professor Jacob Merkel eine an der Staats - Oberrealschule in Laibach erledigte Stelle verliehen.
In Folge Erlasses des hochlöblichen Landesschulrathes vom 25. April
d. J., Z. 268 trat der absolvirte Techniker Karl Garmrolli Edler von Thurnldk als supplirender Lehrer den Dienst an.
Mit Note vem 21. April 1. J. übersendete die löbliche Direction des hiesigen Theater-Casino der Direction 140 Gulden als das Ergebnis eines zur Unterstützung dürftiger Studirender an den hierortiden beiden Mittelschulen bestimmten Concertes. In dein die Direction sich verpflichtet fühlt, für die grossmüthige Spende den wärmsten Dank auszusprechen, bemerkt sie zugleich, dass die Verwendung des Geldes genau nach den in der geehrten Zuschrift gegebenen Andeutungen geschah, und dass von der erhaltenen Summe noch ein Rest von 23 fl. 45 kr. vorhanden ist.
Die kirlichen Uebungen fanden in der vorgeschriebenen Weise statt und bestanden in dem Hochamte zu Beginn und am Schlüsse des Schuljahres, in der Exhorte und der Messe an Sonn - und Feiertagen, in den religiösen Uebungen in der Charwoche und in der viermaligen Verrichtung der Beicht und Communion.
Am 13. August hatte der Lehrkörper die Ehre Seiner Excellenz dem Statthalter Freiherrn von Pino vorgestellt zu werden.
Am 14. August wurde der Director der Anstalt Ferdinand Gatti. schwer krank. Da der zum Stellvertreter ernannte Keligionslehrer Anton Sessich aus Gesundheitsrücksichten um Enthebung von diesem Posten ansuchte, wurde ihm dieselbe gewährt und mit der suppletorischen Leitung der Anstalt Professor Fr, Erjavec betraut.
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Die Reparatur aus der Religion wurde 0 Schülern der Abtli. B gestattet; 4 Schüler derselben Abth. wurden zum Aufsteigen unreif erklärt.
der Schüler am Schlüsse des Schuljahres 1874 *)
VII.	Klasso.
1. BRESCA JOSEF, Gör*.
2. WHITEHEAD JAMES, Triest.
8. Franz Josef, Obrovazzo, Dalin.
4. Perasso Carl, Villach.
VI. Klasse.
1. Merluzzi Jakob, Villa Vicentina, Kilstenl.
2. Kugelmayr Eduard, Temeswar.
3. Scheföilt Silvio, Korneuburg.
4. Paulizza Josef, Triest.
5. Poberaj Michael, Salcano, Küstenl.
6. Nardini Hieronimus, Görz.
7. Jaschi Heinrich, Pola.
8. Schaffenhauer Odilo, Görz.
9. Eržen Kaspar, Kirchheim, Küstenl.
10. Ellinger Josef, Unter-Tannowitz, Mähren.
11. Del Torre Alfred, Görz.
12. Bolaffio Jakob, Görz.
13. Delchin Johann, Görz.
Nicht locirt:
Kosler Johann, Triest.
Steinhardt Hugo, Gross-Kanisza, Ung.
"V. Itlasse.
1. Marega Franz, Lucinico in Küstenl.
2. Kubbia Conrad, Villach.
3. Comelli Richard, Lussin piccolo in Istrien.
4. Klietsch Leopold, Görz.
5. Deroani Dominik, Seisenberg in Krain.
H.	Polil Ernest, Triest.
7. Cuizza Franz Pola.
8. Grežič Gustav, Gorz.
9. Pittamitz August, Dignano, Istrien.
10. Höchtl Ludwig, Wien.
11. Scarpa Karl, Ritter von, Fiume.
12. Castelig Franz, Görz.
13. Zamboni Heinrich, Pola.
14. Gerber Oskar, Triest,
*) Die Grossschrift bozeichuot die Voraigsscküler.
15. Nardini Alois, Görz.
16. Hoppe Gustav, Lucinico, Küstenl.
Nicht locirt:
Riaviz Heinrich, Pola.
IV. Klasse.
1. HALLER ANTON, Görz.
2. TREFFNY JOSEF, Imst, Tirol.
3. Franz Adolf, Obrovazzo, Palm.
4. Kudler Franz, Theresienstadt, Böhmen.
5. Weher Karl, Görz.
6. Lapanja Johann, Ponikve, Küstenl,
7. Cattinelli Franz, Görz.
8. Šorli Valentin, Žabič, Küstenl.
9. Ritter von Zahony Egon, Triest.
10. von Bogaar Ernst, Ofen.
11. Gregoris Anton, Terzo, Küstenl.
12. Dol Torre Julius, Romans, Küstenl.
13. Prister August, Gradiška, Küstenl.
14. Fidora Hugo, Triest.
15. Bianchi Anton, Haidenschaft, Küstenl.
1(5. Schroll Erich, Stadlo, Galizien.
17. Černopic Josef, Canale, Küstenl.
18. Candutti Josef, Görz.
19. Cecutta Franz, Lucinico.
Nicht locirt:
Collugnati Josef, Romans, Küstenl. Marizza Adolf, Görz.
Perincig Johann, Görz.
Sporer Eduard, Ofen.
Tomschitz Anton, Feistritz, Krain.
111. Itlasse.
1. NACHTIGALL KARL, Görz.
2. HALZL OSCAR, Ritter v. Flamir, Padua.
3. PRISTER VICTOR, Gradišča, Küstenl.
4. LEBAN JOSEF, Stopice, Küstenl.
5. Vertovec Filipp, St. Veit, Wippach.
6. Navajolli Alois, Cormons, Küstenl.
7. Cossovel Krištof. Rovigno.
8. Malussa, Bernhardt, „ Istrien.
9. Jasbitz F.ianz, Triest.
10. Czernoch Leopold, Kronstadt.
11. Poterlunger Richard, Muscoli, Küstenl.
12. Hettmer Karl, Dol. Küstenl.
13. v. Gironcoli Heinrich, Komen, Küsteul,
14. Portelli Sixtus, Buda, Küstenl.
15. Žigon Edmund, Kviško, Küstenl.
16. Niederkorn Theophil. Görz.
17. Mels-Colloredo Arthur, Graf, Medea, Küstl.
18. Mastrella Johann, Aquileja, Küstenl.
19. De Fiori Eugen, Görz.
20. Niederkorn Friedrich, Qörz.
21. BožiC Johann, Podmelec Küstenl.
22. Stegu Ludwig, Bönehi, Küstenl.
23. Pelican Emil, Görz.
24. Chapuis Leonhard, Belluno.
25. Faidutti Justus, Monfalcone, Küstenl.
26. Lutman Mathias St. Andrea.
27. Mosettig Franz, Görz.
28. Scorcia Franz, Triest.
29. Passon Emil, Cörmons, Küstenl.
Nicht locirt:
Bitter Heinrich v. Zahony,
Pauletig Eugen, Görz.
Sfiligoi Ferdinand, Medana.
Stepančič Grazian, Temnica, Küstenl. Kopriva Ferdinand, Pettau.
Blasig Karl, Bonchi Küstenl.
II. Klasse. A.
1. MADBIZ HEBKULES, Görz.
2. BEBNABDIS VINCENZ, St.LorenzoKüst.
3. Mreule Caesar, Farra, Küstenl.
4. Franz Emil, Zara.
5. Colavini Josef, Joauiz, Küstenl.
6. Crascevitz Karl, Görz.
7. Corguolan Alois, Görz.
8. Kraus Bobert, Tetschen a. E.
9. Zorzi, Alois, Görz.
10. Zencovio Bichard, Siuj, I)alm
11. Gibara Emil, Alexandrien.
12. Stein Max. Haidenschaft, Küstenl.
13. Starcich Kasimir, Lussinpiccolo.
14. Trampusch Josef, Görz.
15. Furlan Vincenz, S. Lorenzo, Küstenl.
16. Cicogna Franz, Aquileja, Küstenl.
17. Klausel' Johann, Görz.
18. Beggio Arthur, Görz.
19. Jona Albert, Görz.
20. Urbani Alois, Cervignano Küstenl.
J}1. Planiscbig Anton, Görz.
22. Chiaruttini Leopold, Strassoldo, Küstenl.
23. Trampusch Franz, Görz.
24. Del Mestri Graf Victor, Medea, Küstenl.
25. Kollmann Richard, Pisino, Istrien.
26. Montanari Anton, Fiumicello, Kiistenl.
27. Priester Hieronimus, Gradišča.
28. Mazal Heinrich, Lussinpiccolo, Istrien.
29. Bridiga Karl, Montona, Istrien.
30. Bridiga Josef „	„
31. Gratton Josef, Cervignano, Kiistenl.
32. Markuzzi Alois, Ronchi, Kiistenl.
33. Avanzini Michael, Podgora, Kiistenl.
34. Plauder Johann, Monfalcone, Kiistenl.
35. Mankoč Ferdinand, Podgora, Kiistenl.
Nicht locirt:
Bussi Markus, Triest.
Bramo Johann, Görz.
Donda Friedrich, Cormons.
Marussig Arthur, Ranziano, Kiistenl. Cusmin Franz, Görz.
Sirk Anton, Görz.
Redi Hubert, Montona, Istrien.
II.	Klasse. B.
1. TOPLIKAR JOSEF, Osek, Kiistenl.
2. POLZ FRIEDRICH, Laibach.
3. MOESTL ANTON, Graz.
4. BLASCHKE FRANZ, St. Giorgio, Küstl.
5. VRTOVEC ANDREAS, Šmarje, Kiistenl.
6. Lapajne Anton, Idria, Krain.
7. Gulili Josef, Görz.
H.	Heberling Franz, Waaseu, Oberösterreich.
9.	Huber Franz, Flitsch, Küstenl.
10. Truschnitz Karl, Weiz, Steiermark.
11. Lenardič Alois, St. Florian, Küstenl.
12. Rustja Josef, Skrjlje, Küstenl.
13. Kacafura Alexander, Komen, Küstenl.
14. Fabiani Wilhelm, Kobdil, Küstenl.
15. Gruden Johann, Idria, Krain.
16. Trost Franz, Wippach, Krain.
17. Lenarčič Anton, Potoče, Küstenl.
18. Uršič Viktor, Karfreit, Küstenl.
19. Kocjančič Franz, Cirkno, Küstenl.
20. Hebat Franz, Ranziano, Küstenl.
21. Lasič Franz, Ranziano, Küstenl.
22. Mozetič Josef, Bilje, Küsteul.
Nicht locirt:
Gabler Franz, Woltschach, Kttstenl. Mayer Josef, Wippach, Krain.
Pitamic Franz, Tolmein, Kttstenl. Zavnik Johann, Bilje, Kttstenl.
I. Klasse.
1. ANDRIANI ANTON, Farra, Küstenl.
2. ANDRIANI FELIX, Fiumioello, Küstl.
3. do RUEPPREOHT THEODOR, Triest,
4. LIČEN MAXIMILIAN, Sesana, Küstl.
5. GULIN FRANZ, Tolmein, Küstl.
0.	PAGON JOSEF, Tolmein, Küstenl.
7. STEGU ANTON, Ronchi, Küstenl.
8. BELE ANTON, Schönpass, Küstl.
9. De Tonv Lorenz, Rivalpo, Italien.
10. Kreuth Franz, DraiSiö Kärnthen.
11. Bruschina Anton, Ronclvi, Küstl.
12. Lovisoni Franz, Cervignano, Küstl.
13. Bunc Johann, Kamnje, Küstl.
14. Šekli Anton, Karfreit, Küstl.
15. Fabris Anton, Terzo, Küstl.
10.	Basel!i Arthur, Baron, Triest.
17. Rudolf Franz, Lome Krain.
18. Tomšič Josef, Illyr. Feistritz, Krain.
19. Vidrih Josef, Lože, Krain.
20. Treu Anton, Collalto bei Udine.
21. Kraseviz August, Görz.
22. Jaconcig Carl, Visgnovicco Küstl.
23. Yizzi Alois, Görz.
24. Schnierer Carl, Linz, Oberösterr.
25. Mervic Josef, St Peter bei Görz.
26. Fidora Viktor, Triest.
27. Filipič Matthäus, Ravnica, Küstl.
28. Švara Josef, Komen, Küstl.
29. Mlekuž Anton, Flitsch Küstl.
30. Borghes Viktor, Görz.
31. Colavini Arthur, Triest.
32. Vidrig Anton, Görz.
33. Zuttioni Leonhard, Görz.
34. Brass Josef, Görz.
35. Barich Oskar, Selce Croatien.
36. Hübel Rudolf, Venedig.
37. Nitsch Josef. Troviso, Italien.
38. Travan Leopold, Görz.
39. Coclig Silvius, Görz.
40. Venturini Viktor, Triest.
41. Weisel Julius, Triest.
42. Scorcia Albert, Triest.
43. Nardini Viktor, Görz.
44. Piek Carl, Görz.
Nicht locirt:
Fabiani Gustav, Flitsch. Kttstl. Fagauelli Carl, Mirna, Kttstl.
Forcellini Lorenz, Sagradö, Kttstl. Franceschinis Virgilius, Görz.
Lokar Johann, Haidenschaft Kttstl. Stergulec Johann, Idria, Krain.
Struk Josef, Judenburg Steierm. Krankheitshalber ungeprüft blieb: Gregorig Alois, Görz.
V	orbereitimgsklass© JV.
1. Schaffenhauer Alfons, Görz.
2. Gatti Franz, Görz.
3. Bar. Polesini Benedikt, Parenzo.
4. Burdin Peter, Cormons.
5. Colautti Nicolaus, Aris.
6. Scubli Alois, Görz.
7. Fagauelli Franz, Görz.
8. Prister Engel, Gradišča.
9. Poliak Eduard Salcano.
10 Cumar Viktor, Triest.
11. Seppenhoffen Carl, Görz.
12. Bramo Joseph, Görz.
13. Cav. Cattinelli Andreas, Görz.
14. Lipizer Veit, Torzo.
15. Mreule Felix, Farra.
16. Marussig Cal van, Kanziano.
17. Pontoni Anton, Görz.
18. Hovainskij Emil, Görz.
19. Musina Rudolf, Castellnuovo.
20. Dinarich Franz, Görz.
21. Bar. Bosizio Franz, Görz.
22. Visiutin Josef, Görz.
23. Cescintti Johann, Görz.
24. Fain Antonio, Cormons.
25. Oberhuber Johann, Tolmein.
26. Nitsch Engel Treviso.
27. Tominz Karl, Görz.
28. Manzaui Camillo, Brazzano.
29.	Markig Josef, Görz.
;iO. Tomšič Franz, Görz.
31. Yerzegnassi Josef, St. Peter Isonzo.
32. Sotmnariva Heinrich, Wien.
33. Delpin Franz, Görz.
34. Terpin Josef, Görz.
35. Pertoiit Leopold, Görz.
V orbereitungslslasse Hi.
1.	Blasig Ernst, Ronchi.
2- Susmel Anton, Padua.
3. Juch Victor, Görz.
4. Tedeschi Carl, Siena.
5. Klauser Anton, Görz.
6. Favetti Peter, Görz.
7. Morpurgo Julius, Görz.
8. Candussi Gustav, Romans.
9. Rossi Franz, Görz.
10. Lutman Anton, Görz.
11. Favetti Alois, Görz.
12	Nardini Adolf, Görz.
13. Corsig Anton, Görz.
14. Gorian Dominik, Görz.
15. Dörfles Josef, Gradišča.
16. Bridiga Camillo, Görz.
17. Albisser Victor, Görz.
18. Snppancig Vitalianus, Venedig.
19. Benvenuti Carl, Mariahilf.
20. Culot Anton, Görz.
21. Torelli Anton, Görz.
22. Candutti Johann, Görz.
23. Marincig Anton, Görz.
24. Tominz Peter, Görz.
25. Nardini Achilles, Görz.
26. De Bouyn Paul, Lyon.
27. Ratzmann Alois, Görz.
28. Frinta Georg, Görz.
29. Canussio Hector, Görz.
30. Venturini Albert, Triest.
31. Fillak Anton, Görz
32. Aragni Engel, Gradišča.
33. Massera Johann, St. Peter.
34. Marussig Oskar, Maria Maddalena.
Maluritölsprillungeu.
Von den im vorjährigen Jahresberichte genannten 6 Abiturienten-die sich der Maturitätsprüfung unterzogen hahen, traten im Verlauf derselben lluemcr Carl und Petcani Josef zurück. Von den übrigen vier wurde lilarzino Vigilius für reif mit Auszeichnung, Habe Josef, Seravalle Anton und Thianih Wilhelm für reif erklärt.
Zur heurigen Maturitätsprüfung meldeten sich 5 Schüler. Die schriftlichen Prüfungen wurden am 27., 29. und 31 Juli abgehalten. Die gestellten Fragen waren folgende:
Ans dem Deutschen:
Philipp II. von Macedonien und Napoleon. Eine historische Parallele.
Aus der darstellenden Geomotric:
1. Einen schiefen Kegel nach einer Hyperbel zu schneiden, die wahre Grösse des Schnittes zu ermitteln und das Netz samrnt der Schnittlinie zu entwickeln.
2. Ein Kreiskegel, eine Kugel und die Richtung des parallel einfallenden Lichtes mögen so angenommen werden, dass der Kegel die Kugel deutlich beschattet. Es sollen alle Schatten = und Beleuchtungsconstruc-tionen durchgeführt werden.
3.	Entwerfet	von	dem Katheder sainmt dem darauf stehenden Tische
mul	der	Schultafel	ein	gefälliges	Bild nach den Grundsätzen der freien
Perspective.
Aus der Mathematik:
1. Es sind die coexistirenden Gleichungen:
x + y -J-z — 3h x y z
yx + f/v _|_ ,Vz = 0 5 x3 y“ z* — 12 z2 = 1792
aufzulösen.
2. In einer gegen den Horizont geneigten Ebene wurde gemessen der ebene Winkel A = 91° 47' 40"; ferner die Abweichungen seiner Schenkel von der Lothrechten, nämlich der Winkel Z = 50° und der Winkel C =	92° 471 32;	wie	gross ist	derselbe auf den Horizont reduziert?
3.	Wie gross	ist	die Höhe	und der Kubikinhalt einer regelmässigen
liiufseitigen Pyramide, wenn die Seitenoberfläche gleich S und die Grundkante gleich a ist.
Der Schüler Peteani Josef trat vor der mündlichen Prüfung zurück. ' *>n den vier zurückgebliebenen erhielten JJrcsca Josef und Whitehead James ein Zeugnis der Keife mit Auszeichnung. Frans Josef & Perasso Carl ein Zeugnis der Keife.
Verzeicliniss
jener Schüler, welche die Erlaubnis erhielten, am Ende des Ferien einer Nachprüfung sich zu unterziehen.
In der I. Klasse.
Faganelli Karl (Arith.), Franceschinis Virgil (Arith.) Stergulec Johann (Arith.), Strtiek Josef (Arith.), Fabiani Gustav (Ital.). Forcellini Lorenz (Naturg.) Lokar Johann (Deutsch).
In der II. a Klasse.
Bramo Johann (Ital.), Bussi Markus (Naturg.), Cusmin Franz (Ital.), Donela Friedrich (Arith.), Marussig Arthur (Arith.), Beeil Hubert (Arith.), Sirk Anton (Deutsch).
In der II. b. Klasse.
Gabler Franz (Arith.), Mayer Josef (Deutsch), Pitamitz Franz (Gesch.), Zavnik Josef (Math ).
In der III. Klasse.
Blasig Karl (Arith ), Kopriva Ferdinand (Arith.), Paidetig Eugen (Französ.), Ritter Heinrich (Arith.), Sßligoi Ferdinand (Deutsch), Stepančič Grazian (Deutsch).
In der IV. Klasse.
Collugnati Josef (Chemie). Marizza Adolf (Deutsch). Perincig Johann (Geom.). Sporer Eduard (Deutsch). Tomschitz Anton (Math.)
In der V. Klasse.
liiaviz Heinrich (Darst. Geom.)
In der VI. Klasse.
Koslcr Johann (Darst. Geom ) Steinhardt Hugo (Darst. Geom.)
Aufnahme der Schüler für das Schuljahr 1874-5.
Das nächste Schuljahr beginnt am 3. November mit dem heiligen Geistamte, dem alle katholischen Schüler beizuwohnen verpflichtet sind.
Die Vormerkung zur Aufnahme findet vom 30. October — 3. November bei der Direction vormittags von 9—12, nachmittags von 3—5 Uhr statt. Jeder neu eintretende Schüler hat seinen Tauf - oder Geburtsschein und, wenn er von einer Mittelschule kommt, sein letztes Studienzeugnis vorzuweisen, und soll von seinem Aufsichtsträger begleitet sein.
Zur Aufnahme in die erste Klasse ist gegenwärtig kein Volksschul-zeugnis, sondern nur der Geburts- oder Taufschein über das vollendete
10.	Lebensjahre sowie der Nachweis über den Besitz der nöthigen Vorkenntnisse erforderlich, welcher durch die Ablegung einer Aufnahmsprüfung zu liefern ist Bei dieser Prüfung sind nach der h. Ministerial-Verordnung vom 14. März 1870 Z. 2370 folgende Anforderungen zu stelleu: Jenes Muss von Wisse7i in der Religion, welches in den ersten vier Jahres-cursen der Volksschule erworben werden kann, Fertigkeit im Lesen und Schreiben der Unterrichtssprache und eventuell der lateinischen Schtift Kenntniss der Elemente aus der Formenlehre der Unterrichtssprache, Fertigkeit im Analysiren einfacher bekleideter Sätze, Bekanntschaft mit den Hegeln der Orthographie und Interpunktion und richtige Anwendung derselben beim Dictandoschreiben, Übung in den vier Grundrechnungsarten in ganzen Zahlen.
Alle Schüler haben den Bibliotheksbeitrag von 80 kr., und die neu in die Lehranstalt eintretenden ausserdem eine Aufnahmstaxe von 2 fl. zu entrichten. Das Schulgeld beträgt jährl. 16 fl. und rat in 2 halbjährigen Raten von den von der Zahlung nicht befreiten Schülern zu entrichten.
In jedem Semester wird eine Censur abgehalten, von deren Resultaten, wenn sie ungünstig sind, die Eltern der Schüler brieflich benachrichtigt werden. Zur Entgegennahme von Auskünften über Schüler, welche von den Mitgliedern des Lehrkörpers stets bereitwilligst ertheilt werden, eignet sich am besten die Zeit um 10 Uhr vormittags an den Unterrichts-
U e b e r
der meteorologischen Beobachtungen im Jahre 1873
Oboi’ real
Monat
Mittlere Temperatur
Stunde
Temp.
Stunde
Temp.
Stunde
Temp.
Monatmittel der Temperatur
Jänner Februar März April Mai Juni Juli August September October . November December Jahr . .
4-55 296 8-65 10 09 14-07 18-09 2:3-24 21-88 15 67 13-90 6-17 2-55
7-93
7-64
14-37
14-47
18-55
23-10
28-32
28-20
21-46
18-07
10-75
7-54
5-49 4-49 10-07 10-49 13.08 17-77 22-52 22 43 16-42 14-31 7-01 3 76
5-99
5-06
11-03
11-68
15-24
19-65
24-69
24-17
17-86
15-42
7-98
4-62
13-62
Monat	Mittlerer Dunstdruck	Feuchtigkeit			Niederschlag		
		mittlere	Tag	Min.	Mon.-Summe	Tag	Max. in 24 St.
Jänner	5 72	81-1	22	43	161-45	21	49-10
Februar .	477	71-4	13	31	86-90	28	37-70
März . .	664	69-0	27	19	56-70	20	14-10
April . .	7-01	68-9	2	22	159-60	7	33-40
Mai . .	8-83	69-9	25	30	211-92	27	6490
Juni . .	11-86	69-5	3,4,2224	48	142-23	25	59-33
Juli . .	1424	62-7	31	32	91-65	2	22-50
August .	12 78	58-1	5	30	131-92	30	57-90
September	1.0-98	71-1	24	27	166-94	7	39-70
October .	10 86	82-3	11	46	263-38	31	7219
November	6 59	78-4	11	36	150'52	28	34-60
December	3-98	62-8	11	14	10-54	2S	3-86
Jahr . .	8-69	70-4	11 Dez.	14	1633-75	31 Dez.	72 19
sicht
an der Meteorologischen Station
schul© G ö r z
Temperatur
Tag Max.
Tag
Min.
Luftdruck
Mittel
Tag
Max.
Tag
Min.
1,6 19 18 4 24 23 31 1 22 6 3 1
August
11-8 13 7 19'0 21-0 24-1 29-6 33 8 34-2 26-0 22-5 176 121 34-2
28
14
3
25 31
1
19
11
26 22 17 31
31 Dez.
00 —3-8 3-0 2-8 7-9 10-3 162 17-0 9-0 7 8 —0-8 —60 —6-0
755-39 753 73 751-04
749-64
750-86 753 35 75417 754-29 754-78 753 81 753-27 760-23 .753-71
15
17, 18 24 9 11
21,22
17
13, 16 26 28 26 8
8 Dez.
765 1 769-6 758-3
756-8
758-5
757-9
759-8
758-5
760-7
759-7 762-9 7711 771-1
21 28 11 7 4 7
15 10
16 25 23 28
21 Jänn.
730-4
738-7
741-8 736-3 740 9 745-1 748-7 747 3 747-2 743-0
742-3 747-5 730-4
Zahl der Tage		Mittlerer		Windvertheilung			nach	Percenten			Mittlere
in. Nied.	m. Gew.	Bewölkg.	N.	NO.	0.	SO.	S.	SW.	W.	NW.	Wind Stärke
13	1	5-9	2	60	10	12	6	2	4	2	0-9
11	—	5-4	—	65	10	6	12	4	4	—	1 2
11	—	45	—	41	5	14	36	4	—	—	1-2
18	3	5-8	2	38	8	18	13	10	4	4	1-6
14	6	5-2	4	39	8	3	21	13	6	7	1-5
13	3	4-3	2	34	12	10	19	12	10	2	11
8	5	26	1	46	5	8	7	12	12	7	1-5
5	5	2-1	—	55	9	9	8	6	9	5	1-6
11	8	32	—	45	7	14	13	10	4	6	1-4
16	o	6 4	2	58	3	10	13	10	2	3	11
14	—	4-7	—	56	6	6	21	9	1	1	1-2
4	—	3-3	—-	74	6	10	6	2	2	—	1-4
138	36	4-5	11	50-9	74	10-0	14-6	7.8	4-8	31	1-3
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