i
i
“kolofon” — 2009/10/15 — 13:51 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JULIJ 2009, letnik 56, številka 4, strani 121–160
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: Zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Mirko Dobovišek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko
in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Irena Drevenšek Olenik, Damjan
Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Nada Razpet, Peter Šemrl, Vladimir Bensa (tehnični
urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re-
publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport.
c© 2009 DMFA Slovenije – 1759 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
HADAMARDOVE MATRIKE IN MISIJA MARINER 9
ALEKSANDAR JURIŠIĆ
Fakulteta za računalnǐstvo in informatiko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2000): 05B20, 05B25, 05B30, 05C12, 05C62, 05C50, 05E20, 05E30,
05E35, 68R05, 68R10, 68R141, 11T71, 51E, 52C
J. Hadamard (1865–1963) je bil eden izmed pomembneǰsih matematikov na prehodu
iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembneǰsa dela zajemajo področja teorije analitičnih
funkcij in matematične fizike. Najbolj znan pa je po dokazu izreka o gostoti praštevil (leta
1896, hkrati s C. J. De La Vallée-Poussinom). V tem članku predstavljamo Hadamardove
matrike, njihove karakterizacije s Hadamardovimi grafi, geometrijami in Hadamardovimi
kodami ter nekaj zanimivih konstrukcij in uporabo Hadamardovih matrik v praksi.
HADAMARD MATRICES AND MARINER 9 MISSION
J. Hadamard (1865–1963) was one of more important mathematicians at the turn of
the 19th century. His is most celebrated for his contributions in analtycal functions and
mathematical physics. His most important result is the prime number theorem, which he
proved in 1896 (at the same time as C. J. De La Vallée-Poussin). In this article we intro-
duce Hadamard matrices, their characterizations with Hadamard graphs, geometries and
Hadamard codes, some interesting constructions and applications of Hadamard matrices
in practice.
Hadamardove matrike
Naj bo A kvadratna matrika z n stolpci, za katero velja |(A)ij | ≤ 1.
Kako velika je lahko det A? Če si vrstice (oziroma stolpce) matrike A pred-
stavljamo kot vektorje v Rn, potem je njihova dolžina navzgoraj omejena
s
√
n. Po drugi strani pa vemo, da absolutna vrednost determinante pred-
stavlja prostornino paralelepipeda, ki ga določajo ti vektorji, torej velja
|det A| ≤ nn/2. Ali lahko v tej neenakosti velja enakost? V tem primeru so
vsi elementi matrike enaki ±1, vsaki dve različni vrstici (oziroma stolpca)
pa morata biti paroma pravokotni. To je bila motivacija Brennerja (1972)
za naslednjo definicijo.
Kvadratni matriki H z n vrsticami in z elementi ±1, za katero velja
HHT = nIn, (1)
pravimo Hadamardova matrika reda n. Glede na to, da matrični produkt
v (1) sestavljajo produkti vrstic matrike H, lahko stolpce (oziroma vrstice)
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 121
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleksandar Jurišić
Hadamardove matrike poljubno premešamo (permutiramo) ali pa pomno-
žimo z −1, pa bo nova matrika še vedno Hadamardova. Rekli bomo, da sta
si taki Hadamardovi matriki ekvivalentni. Na prvi pogled se zdi, da iden-
titeta (1) zagotavlja le pravokotnost vrstic. Vendar jo lahko pomnožimo
z desne s H in dobimo HHT H = nInH oziroma HHT H = HnIn. Upo-
števamo še obrnljivost matrike H, in že smo pri identiteti HT H = nIn, v
kateri sta vlogi vrstic in stolpcev zamenjani glede na identiteto (1). To po-
meni med drugim tudi, da so različni stolpci matrike H paroma pravokotni.
Predstavimo nekaj manǰsih Hadamardovih matrik:
(1) ,
(
1 1
1 −1
)
,

1 1 1 1
1 −1 1 −1
1 1 −1 −1
1 −1 −1 1
 in

+ + + + + + + +
+ − + − + − + −
+ + − − + + − −
+ − − + + − − +
+ + + + − − − −
+ − + − − + − +
+ + − − − − + +
+ − − + − + + −

(v slednji smo ±1 zamenjali s + in −). Zgornje Hadamardove matrike
označimo zaporedoma s H1, H2, H4 in H8 (indeks torej kaže njihovo veli-
kost). Opazimo, da sta v vseh štirih primerih prva vrstica in prvi stolpec
sestavljena iz samih enic. Same enice v prvem stolpcu oziroma vrstici Hada-
mardove matrike dobimo tako, da vrstice oziroma stolpce matrike H, ki se
začnejo z negativnim številom, pomnožimo z −1. Temu postopku pravimo
normalizacija. Če je n > 1, potem mora imeti v normalizirani matriki vsaka
preostala vrstica polovico pozitivnih in polovico negativnih elementov, kar
pomeni, da je n sod. S podobnim razmislekom pridemo do še močneǰsega
sklepa.
Trditev. Če je H Hadamarova matrika reda n, potem je n = 1, n = 2 ali
pa 4 | n.
Dokaz. Naj bo n > 2. Normaliziramo H, potem pa s permutacijo stolpcev
spravimo prve tri vrstice matrike H v naslednjo obliko:
1. vrstica
2. vrstica
3. vrstica
+ + + . . . + ++
+ + + . . . + ++
+ + + . . . + ++︸ ︷︷ ︸
a stolpcev
+ + + . . . + ++
+ + + . . . + ++
−−− . . .−−−︸ ︷︷ ︸
b stolpcev
+ + + . . . + ++
−−− . . .−−−
+ + + . . . + ++︸ ︷︷ ︸
c stolpcev
+ + + . . . + ++
−−− . . .−−−
−−− . . .−−−︸ ︷︷ ︸
d stolpcev
122 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Hadamardove matrike in misija Mariner 9
Za a, b, c, d ∈ N0 velja:
a + b + c + d = n,
a− b + c− d = 0 (produkt tretje vrstice s prvo vrstico),
a + b− c− d = 0 (produkt druge vrstice s prvo vrstico),
a− b− c + d = 0 (produkt druge in tretje vrstice),
vsota zgornjih štirih enačb pa nam da 4a = n.
Če se v zgornjem sistemu enačb osredotočimo samo na predznake, v
njem zagledamo matriko, ki je ekvivalentna H4. Kot bomo videli, lahko
pridemo do H4 na več načinov. Do naslednjega si v naslednjem razdelku
pomagamo z grafi, bolj natančno s 4-razsežno kocko.
Karakterizaciji z grafi in geometrijami
V povezanem grafu je razdalja med dvema vozlǐsčema definirana kot šte-
vilo povezav najkraǰse poti med njima, njegov premer pa je enak največji
razdalji med njegovimi vozlǐsči. V povezanem grafu premera d ∈ N izberimo
vozlǐsči u in v, ki sta na razdalji i ∈ {0, 1, . . . , d}, ter opazujmo sosede voz-
lǐsča v glede na razdaljo od vozlǐsča u. Zaradi trikotnǐske neenakosti velja,
da so le-ta od u lahko oddaljena bodisi i− 1 (kadar je i > 0), i ali pa i + 1
(kadar je i < d). Število teh sosedov na razdalji i−1, i in i+1 označimo za-
poredoma s ci, ai in bi. Očitno je a0 = 0 in c1 = 1, smiselno pa je privzeti še
c0 = 0 = bd. Če števila ai, bi in ci niso odvisna od izbire vozlǐsč u in v na raz-
dalji i za vsak i ∈ {0, . . . , d}, bomo rekli, da je graf razdaljno-regularen. Tak
graf je seveda regularen, saj je število sosedov vsakega njegovega vozlǐsča
enako b0. Zato velja tudi b0 = ai + bi + ci in v njegovem presečnem zapo-
redju: {b0, . . . , bd−1; c1, . . . , cd} običajno izpustimo števila a1, . . . , ad (vseeno
pa je treba omeniti, da število ai predstavlja ravno regularnost grafa, ki ga
inducirajo vozlǐsča na razdalji i od poljubnega vozlǐsča).
Hadamardov graf reda 2n, n ∈ N, je razdaljno-regularen graf s presečnim
zaporedjem
{2n, 2n− 1, n, 1; 1, n, 2n− 1, 2n} .
Pri Hadamardovem grafu torej velja ai = 0 za i = 1, 2, 3, 4. Za n = 1
dobimo 8-cikel (C8), za n = 2 pa 4-razsežno kocko (Q4). Glej sliko 1, s
katere se lahko hitro prepričamo, da gre pri n = 2 res za Hadamardov graf.
Če pa se želimo prepričati, da je za n = 2 vsak Hadamardov graf izo-
morfen Q4, je morda smiselno preučiti še kakšno lastnost teh grafov. Za
121–135 123
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleksandar Jurišić
Slika 1. 4-razsežna kocka, predstavljena na tri načine (prva dva sta povezana z vložitvijo
na torus): zaradi simetrije lahko izberemo za vozlǐsče u iz definicije razdaljno-regularnega
grafa poljubno vozlǐsče. Potem je očitno b0 = 4. Ker v tem grafu ni trikotnikov, velja
a1 = 0 in zato tudi b1 = 3. Sledi c2 = 2, a2 = 0 (glede na to, da v grafu ni niti petkotnikov)
ter b2 = 2. Tako nadaljujemo vse do konca.
graf premera d pravimo, da je antipoden, če je biti na razdalji d ali 0 ekvi-
valenčna relacija na množici vozlǐsč. Če pa je v antipodnem grafu velikost
vsakega antipodnega razreda enaka 2, rečemo, da je G 2-krov. In v resnici
gre za topološke 2-krove. Npr. C8 krije C4, Q8 pa poln dvodelen graf K4,4,
kot bomo videli v nadaljevanju.
Lema. Hadamardov graf reda 2n je dvodelen 2-krov premera 4 z 8n vozlǐsči.
Dokaz. Naj bo G Hadamardov graf reda 2n. Ker je c4 = b0, je premer
grafa G enak štiri.
2n
0
1
2n
0
1
−12n
−12n 2n
−v
2n+v
0
n
n
−24n
Slika 2. Razdaljna particija Hadamardovega grafa glede na izbrano vozlǐsče: na levi je
vozlǐsče v+, nato proti desni sledijo v prvem krogu zbrani njegovi sosedi, v drugem zbrana
vozlǐsča na razdalji 2 od v+, v tretjem vozlǐsča na razdalji 3 in končno še vozlǐsče v− na
maksimalni razdalji. Povezave lahko potekajo le med zaporednimi krogi ali znotraj njih.
Števila znotraj krogov predstavljajo števila ki, tik nad črto so števila bi, pod njo pa števila
ci. Pod krogi pa so še števila ai.
Naj bo ki oznaka za število vozlǐsč na razdalji i od fiksnega vozlǐsča.
Ker poznamo presečno zaporedje grafa G, lahko izračunamo iz rekurzivne
zveze kici = ki−1bi−1 (ki na dva načina šteje povezave med vozlǐsči, ki so
na razdalji i in i + 1): k1 = b0 = 2n, k2 = 4n − 2, k3 = 2n in končno
k4 = 1. To pomeni, da ima G res 8n vozlǐsč in da za vsako vozlǐsče v+ v
grafu G obstaja natanko eno vozlǐsče v−, ki je na razdalji 4 od vozlǐsča v+,
torej je graf G 2-krov. Sedaj izberemo poljubno vozlǐsče v, nato pa množico
vseh vozlǐsč grafa G razdelimo na dva dela glede na to, ali je razdalja do
124 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Hadamardove matrike in misija Mariner 9
vozlǐsča v soda oziroma liha. Vozlǐsča, ki so na razdalji i ∈ {1, 2, 3, 4} od
vozlǐsča v, inducirajo graf stopnje ai. Ker pa je ai = 0, to pa pomeni, da
nam je uspelo razdeliti vozlǐsča grafa G na dva dela, tako da vsak del zase
ne vsebuje sosednjih vozlǐsč, tj. graf G mora biti dvodelen.
Za vozlǐsči v+ in v− iz zgornjega dokaza bomo rekli, da sta antipodni,
saj sestavljata antipodni razred. Mimogrede, tudi 1-skeleti Platonovih teles
so razdaljno-regularni 2-krovi.
Konstrukcija. Naj bo G Hadamardov graf reda 2n. Ker je G dvodelen
graf, obstaja delitev njegovih vozlǐsč na množici A in B, od katerih nobena
ne vsebuje sosednjih vozlǐsč. Potem je |A| = |B| = k1+k3 = 1+k2+k4 = 4n.
Ker sta antipodni vozlǐsči na medsebojni razdalji 4, morata obe ležati bodisi
v množici A bodisi v množici B. V posamezni množici A oziroma B imamo
torej 2n parov antipodnih vozlǐsč. Pare iz A označimo z a1, a2, . . . , a2n, iz
B pa z b1, b2, . . . , b2n. Potem je vsako vozlǐsče para ai = {a+i , a
−
i } sosednje
natanko enemu izmed vozlǐsč para bj = {b+j , b
−
j }. Naj bo H (2n × 2n)-
razsežna matrika, za katero je Hij = 1, če je vozlǐsče a+i sosednje vozlǐsču
b+j in Hij = −1 sicer.
Opomba. Naj bo G antipoden graf. Potem dobimo antipodni kvocient
grafa G tako, da vzamemo za njegova vozlǐsča antipodne razrede, dva ra-
zreda pa sta sosednja, če je v G med njima kakšna povezava. Iz priprave na
zgornjo konstrukcijo je razvidno, da je antipodni kvocient Hadamardovega
grafa reda 2n res poln dvodelen graf K2n,2n. Kaj pa so antipodni kvocienti
1-skeletov Platonovih teles?
Trditev. Matrika H iz zgornje konstrukcije je Hadamardova.
Dokaz. Ker je skalarni produkt vsake vrstice te matrike s seboj enak k1 =
2n, je dovolj pokazati, da sta poljubni različni vrstici, npr. i 6= i′, med seboj
pravokotni. Vrednosti, ki jih imata ti vrstici v j-tem stolpcu, se ujemata, če
sta para vozlǐsč ai in ai′ povezana s parom bj na enak način, se pravi, če je z
obema vozlǐsčema a+i in a
+
i′ povezano bodisi vozlǐsče b
+
j bodisi b
−
j . Ujemanje
vrednosti vrstic v j-tem stolpcu torej pomeni, da imata vozlǐsči a+i in a
+
i′
skupnega soseda (če pa ga nimata, ga morata imeti a+i in a
−
i′ ). Skalarni
produkt dveh različnih vrstic je zato enak c2 − (2n− c2) = 2(c2 − n) = 0.
Prǐsli smo na pol poti do naslednjega izreka.
121–135 125
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleksandar Jurišić
Izrek (Darke, Shad, Delorme). Za n ∈ N obstaja Hadamardov graf reda
2n natanko tedaj, ko obstaja Hadamardova matrika reda 2n.
Pri drugem delu dokaza tega izreka pa nam pomaga konstrukcija iz na-
slednje trditve:
Trditev. Naj bo H Hadamardova matrika reda 2n, n ∈ N. Potem je graf
G(H) z vozlǐsči a+i , a
−
i , b
+
i , b
−
i , i ∈ {1, . . . , 2n} in povezavami {aεi , b
η
j}, kjer
je ε = η, če je Hij = 1 in ε 6= η, če je Hij = −1, Hadamardov graf.
Dokaz. Zaradi očitne simetrije v definiciji grafa G(H) med vozlǐsči a+i , a
−
i ,
b+i in b
−
i je dovolj opazovati vozlǐsča glede na njihovo razdaljo od vozlǐsča
u = a+i . Potem je {bεj | ε = sgn(Hij)} množica sosedov vozlǐsča u, {aεj | i 6=
j} množica vozlǐsč na razdalji 2 od u, {bεj | ε = − sgn(Hij)} množica vozlǐsč
na razdalji 3 od u, edino preostalo vozlǐsče a−i pa je potem na razdalji 4 od
u.
Torej je G(H) antipoden graf premera 4 s presečnimi števili b0(G) =
2n = c4, c1(G) = 1 = b3, b1(G) = 2n− 1 = c3 in c2(G) = n = b2.
Iz Hadamardovih grafov je Nomura [10] skonstruiral objekte, ki se ime-
nujejo spin modeli in so povezani tako s fiziko kot tudi s teorijo vozlov, glej
npr. [4].
Na kratko omenimo še eno karakterizacijo Hadamardovih matrik. Le-ta
je povezana s končnimi geometrijami. Naj bo H Hadamardova matrika, ki
smo jo normalizirali tako, da so v prvem stolpcu in prvi vrstici same enice.
Če zbrǐsemo prvi stolpec in prvo vrstico, dobimo kvadratno matriko N reda
4n − 1, ki je (−1, 1) točka/premica incidenčna matrika Hadamardovega 2-
načrta. Predstavlja kvadratni 2-(4n − 1, 2n − 1, n − 1) načrt, tj. končno
geometrijo, sestavljeno iz
• množice 4n− 1 točk in enako velike množice blokov (premic),
• velikost vsakega bloka je 2n − 1, kar je hkrati tudi število blokov, ki
vsebujejo poljubno točko,
• poljubni dve točki ležita v n− 1 blokih (to število pa hkrati pomeni tudi
velikost preseka poljubnih dveh blokov).
Naj bo I relacija incidenčnosti med točkami in bloki. Paleyjev načrt
definiramo takole: če je 4n− 1 = q potenca praštevila, potem vzamemo za
točke in bloke elemente končnega obsega s q elementi, tj. GF(q), ter x I y
126 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Hadamardove matrike in misija Mariner 9
Slika 3. Fanova ravnina
natanko tedaj, ko x + y ni popoln kvadrat. Za q = 7 dobimo znano Fanovo
ravnino (glej sliko 3), iz nje pa H8.
Geometrija, ki jo dobimo za q = 11, pa je povezana z enostavno končno
grupo M12, znano pod imenom Mathieujeva grupa, in že smo pri Hadamar-
dovi matriki reda 12. Omenimo še, da lahko tedaj, ko je q praštevilo, za
incidenčno matriko izberemo cirkulant, tj. matriko, katere vrstice dobimo s
cikličnim zamikom prve.
Konstrukcije in Hadamardova matrična domneva
Iz n-razsežne Hadamardove matrike U in m-razsežne Hadamardove ma-
trike V lahko s tenzorskim produktom matrik, ki je definiran z
U⊗V =
u11V u12V . . .u21V u22V
...
. . .
=

u11v11 u11v12 . . . u12v11 u12v12 . . .
u11v21 u11v22 u12v21 u12v22
...
. . .
u21v11 u21v12
u21v21 u21v22
...

,
sestavimo (nm)-razsežno Hadamardovo matriko (namig: uporabi identiteti
(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD) in (A ⊗ B)T = AT ⊗ BT ). Bralec lahko
hitro preveri, da velja H4 = H2 ⊗H2 in H8 = H2 ⊗H4, ter rekurzivno kon-
struira še Hadamardovo matriko Hn reda n = 2k za vsak k ∈ N. Omenimo
še, da je vsaka Hadamardova matrika velikosti n, n ≤ 8, ekvivalentna H1,
H2, H4 ali H8. Tudi Hadamardova matrika reda 12 je enolično določena
(do ekvivalentnosti), po drugi strani pa obstaja natanko pet neekvivalen-
tnih Hadamardovih matrik reda 16, tri reda 20, 60 reda 24 in 487 reda 28.
Dobljeno zaporedje 1, 1, 1, 5, 3, 60, 487, . . . ima oznako Sloan A007299.
Za konstrukcijo Hadamardovih matrik lahko uporabimo tudi konferenčne
matrike, ki jih je leta 1950 vpeljal Belevitch [1] (za uporabo v telefoniji).
121–135 127
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 128 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleksandar Jurišić
Drugače od Hadamardovih matrik ima n-razsežna konferenčna matrika C
na diagonali same ničle in velja CCT = (n − 1)I. Posebno enostavni sta
konstrukciji, če je C
• antisimetrična: v tem primeru vzamemo H = I + C, ali pa
• simetrična: dvakrat večja matrika H je v tem primerub sestavljena iz
štirih blokov, na diagonali I +C in −I−C, preostala bloka pa sta enaka
I − C.
Slika 4. (428× 428)-razsežna Hadamardova matrika, tj. matrika s paroma pravokotnimi
stolpci in elementi, enakimi bodisi +1 (svetli piksli) bodisi −1 (temnni piksli). Ta primer
sta odkrila H. Kharaghani in B. Tayfeh-Rezaie leta 2004 kot prvo tako matriko te velikosti.
Še vedno pa ne vemo, ali obstaja (668 × 668)-razsežna Hadamardova matrika, čeprav je
bila postavljena domneva, da (4n× 4n)-razsežni primeri obstajajo za vsak n ∈ N.
Konferenčne matrike reda q +1 (oziroma 2(q +1)), kjer je q potenca prašte-
vila in je q ≡ 3 (mod 4) (oziroma q ≡ 1 (mod 4)), pa je konstruiral Paley
leta 1933 [11] iz končnih obsegov (in popolnih kvadratov, ki jih je ravno
polovica med neničelnimi elementi). Že samo pravkar opisane konstrukcije
so dovolj, da skonstruiramo Hadamardove matrike do reda 100, z izjemo
n = 92.1 V slednjem primeru pa so L. Baumert, S. W. Golomb in M. Hall
1Bolj natančno znamo s Paleyjevim izrekom skonstruirati Hadamardovo matriko reda
n, ko 2e | n za e > 1 in je (n/2e)− 1 potenca lihega praštevila. Za n < 1000 nam potem
128 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 129 — #9 i
i
i
i
i
i
Hadamardove matrike in misija Mariner 9
leta 1962 poleg Williamsonove bločne metode [12], ta je prvi skonstruiral
Hadamardovo matriko reda 172, že uporabili računalnike. Slavna Hada-
mardova matrična domneva iz leta 1893 pravi, da obstaja Hadamardova
matrika reda 4n za vsako naravno število n. Leta 2004 sta iranska mate-
matika H. Kharaghani in B. Tayfeh-Rezaie [7] konstruirala Hadamardovo
matriko reda 428 (na sliki 4 je lepo razvidna tudi Williamsonova bločna
metoda). Najmanǰsi odprti primeri obstoja Hadamardove matrike so sedaj
matrike reda 668, 716, 876, 892. Najnoveǰso konstrukcijo (Hadamardova
matrika reda 764) pa je lansko leto odkril Djoković [3].
Hadamardove kode in ekspedicija Mariner 9
Definicija Hadamardovih matrik nam zagotavlja nekakšno ”uravnoteže-
nost“, zato jih lahko uporabimo na številnih področjih. Tu predstavljamo
sestavljanje učinkovitih kod za odpravljanje napak. Spomnimo se, da je
koda podmnožica nekega prostora, v katerem je definirana razdalja [6]. Na
prostoru m-teric najbolj pogosto uporabljamo Hammingovo razdaljo, ki je
enaka številu različnih koordinat med dvema n-tericama. Morebitne napake
v tem primeru odpravljamo po principu najblǐzjega soseda, ki dani m-terici
izbere najbližji element kode.
Slika 5. H-koda
ostanejo še naslednje velikosti: 92, 116, 156, 172, 184, 188, 232, 236, 260, 268, 292, 324,
356, 372, 376, 404, 412, 428, 436, 452, 472, 476, 508, 520, 532, 536, 584, 596, 604, 612,
652, 668, 712, 716, 732, 756, 764, 772, 808, 836, 852, 856, 872, 876, 892, 904, 932, 940,
944, 952, 956, 964, 980, 988, 996.
121–135 129
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 130 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleksandar Jurišić
Naj bo H Hadamardova matrika reda 4m. Vzemimo vrstice matrike H
in matrike −H ter zamenjajmo vse ”−1“ z ”0“, glej sliko 5. Tako dobimo
8m vektorjev dolžine 4m nad binarnim obsegom Z2 (pri dolžini mislimo na
število koordinat in ne evklidske razdalje). Neposredno iz definicije Hada-
mardove matrike sledi, da je Hammingova razdalja med poljubnima različ-
nima vektorjema bodisi 2m ali 4m (razdalja do svojega negativa je 4m, do
vseh drugih pa 2m). Te vrstice generirajo vektorski podprostor v (Z2)4m,
ki predstavlja kodo. Potem je njena najmanǰsa razdalja 2m, koda pa lahko
popravi do (m− 1)-napak.
Tako dobljenim kodam pravimo Hadamardove kode. Če pa dobimo iz
Hadamardove matrike reda 2 Hadamardovo matriko s tenzorskim produk-
tom, potem kodo imenujemo tudi Reed-Mullerjeva koda prve vrste.
Proces uporabe kod bomo preverili na aplikaciji iz realnega sveta. Ma-
riner 9 je bila vesoljska sonda iz leta 1971, katere namen je bil leteti do
Marsa in pošiljati črno-bele slike na Zemljo (prva sonda, ki je letela v orbiti
drugega planeta). Čez vsako sliko je bila nameščena podrobna mreža in za
vsak kvadratek v tej mreži (piksel) je bila izmerjena sivina na skali od 0
do 63 (tj. 26 možnosti oziroma 6 bitov informacije). Ta števila, zapisana v
binarni obliki, so bili podatki, ki so bili poslani na Zemljo (bolj natančno v
laboratorij kalifornijskega instituta za tehnologijo v Pasadeni). Ob prihodu
je bil signal šibek in je moral biti ojačan. Motnje iz vesolja ter termične mo-
tnje iz ojačevalca povzročijo, da včasih poslano enico preberemo kot ničlo
(in obratno ničlo kot enico). Že če je verjetnost napake le 5 %, bo ob pred-
postavki, da ne bomo uporabili nobenih kod, kvaliteta slik izredno slaba
(le 26 % pravilna, velja namreč 1 − 0, 956 ≈ 0, 26). Torej ni dvoma, da
moramo uporabiti kode za odpravljanje napak. Vprašamo pa se lahko tudi,
katere kode naj uporabimo. Vsaka koda bo povečala velikost podatkov, ki
jih moramo poslati.
Mariner 9 je bilo majhno vozilo, ki ni moglo nositi velikega oddajnika,
tako da je moral biti signal usmerjen, vendar je na velikih razdaljah signal
težko uspešno usmeriti. Poleg tega pa je bila omejena tudi maksimalna
velikost podatkov, ki se jih da poslati v danem trenutku (ko je oddajnik
naravnan). Le-ta je bila enaka petkratni velikosti originalnih podatkov.
Ker so bili podatki sestavljeni iz šestih bitov, so bile lahko kodne besede
sestavljene iz tridesetih bitov.
Kode s ponavljanjem smo predstavili že v [5] (če vsak simbol ponovimo
m-krat, lahko z večinskim pravilom odkodiramo pravilno, če je pri prenosu
prǐslo do manj kot m/2 napak). Koda s petimi ponovitvami je bila ena izmed
130 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 131 — #11 i
i
i
i
i
i
Hadamardove matrike in misija Mariner 9
možnosti, saj jo je enostavno implementirati, vendar pa le-ta lahko popravi
le 2 napaki. Hadamardova koda, ki je zasnovana na Hadamardovi matriki
reda 32, pa je lahko popravila 7 napak, tako da je bila vredna nekoliko bolj
zapletene implementacije. Z uporabo te kode je verjetnost napake na sliki
zreducirana na samo 0,01 % (v primeru kode s petimi ponovitvami pa bi
bila verjetnost približno 1 %).
Predpostavimo, da je verjetnost, da se spremeni en bit, enaka p = 0, 01.
Potem je verjetnost, da je sprejeti piksel napačen 1− 0, 996 ≈ 0, 06. Verje-
tnost v primeru kode s ponavljanjem pa je:
1−
[(
5
0
)
(1− p)5 +
(
5
1
)
p(1− p)4 +
(
5
2
)
p2(1− p)3
]6
in v našem primeru verjetnost 6 · 10−5, da bo prejeti piksel napačen. V
primeru Hadamardove kode pa imamo:
1−
7∑
i=0
(
32
i
)
pi(1− p)32−i =
32∑
i=8
(
32
i
)
pi(1− p)32−i ,
kar nam da bistveno bolǰso verjetnost 8 · 10−10. Reed-Mullerjeva koda sicer
res potrebuje približno enako količino dodane informacije, je pa zato skoraj
70 000-krat zanesljiveǰsa.
Sedaj pa preusmerimo našo pozornost k problemu kodiranja in odkodi-
ranja z uporabo Hadamardove kode. Na prvi pogled kodiranje ne bi smelo
povzročati težav. Imamo namreč 64 različnih podatkov in 64 kodnih besed,
kar pomeni, da bi morala delovati že poljubna bijekcija. Težava pa je v tem,
da je Mariner 9 majhna naprava, ta način pa bi zahteval hranjenje vseh 64
32-bitnih kodnih besed. Veliko bolj ekonomično v smislu prostora in lažje
je bilo narediti hardware, ki dejansko izračuna kodno besedo, namesto da
jo prebere iz pomnilnika.
S pravilno izbiro Hadamardove matrike postane Hadamardova koda li-
nearna (o linearnih kodah si lahko preberete več v [8]), tako da je ta izračun
v resnici množenje podatkov z generatorsko matriko kode. Prava izbira za
Hadamardovo matriko je tista, ki jo dobimo iz tenzorskega produkta Ha-
damardove matrike reda 2. Z matematično indukcijo lahko preverimo, da
je taka koda linearna. Sedaj pa si oglejmo pobliže še problem odkodiranja.
Prejeti signal, tj. zaporedje 32-ih ničel in enic, je najprej spremenjen v obliko
±1 (tako da zamenjamo ”0“ z ”−1“). Tako dobimo vektor x, in če ni bilo
napak, potem je xHT , kjer je H originalna Hadamardova matrika, vektor z
31-imi koordinatami enakimi 0 in eno koordinato enako ±32.
121–135 131
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 132 — #12 i
i
i
i
i
i
Aleksandar Jurišić
Slika 6. Površina Marsa
Če pa nastanejo napake, potem se ta števila spremenijo. Vendar pa naj-
več 7 napak poveča vrednost z 0 na največ 14, vrednost 32 pa se zmanǰsa
kvečjemu do 18 (v tem primeru prejeta beseda spominja na poslano kodno
bolj kot katera koli izmed preostalih 63 kodnih besed). Torej nam mesto, na
katerem se pojavi po absolutni vrednosti največja vrednost vektorja xHT ,
pove, katera vrstica matrike H (oziroma −H, če je originalna vrednost nega-
tivna) je bila poslana. Ker je bil originalni algoritem za odkodiranje signalov
sonde Mariner 9 počasen (potreboval je 322 množenj in ustrezna seštevanja
za vsako kodno besedo), so na Zemlji uporabili številne računske trike in
tako zreducirali računanje na vsega eno tretjino.
Hadamardove matrike v kemiji in statistiki
Hadamardove matrike se uporabljajo tudi za izbolǰsavo natančnosti pri
merjenjih podobnih objektov. Problem kemijskega ravnotežja, pri katerem
lahko objekte postavimo na katero koli stran tehtnice, glej sliko 7, je skoraj
popolnoma rešen s Hadamardovimi načrti, ki jih lahko dobimo iz Hadamar-
dovih matrik [9].
Brez tega postopka bi morali v nekaterih primerih tehtati tudi do
(
n
n/2
)
-
krat oziroma
(
n
(n+1)/2
)
-krat, pri čemer je n število objektov. Npr. stolpce
lahko interpretiramo kot uteži na inštrumentu z dvema skalama, vrstice pa
kot objekte, ki jih želimo tehtati. Med vsakim izmed n tehtanj uporabimo
vseh n objektov. Ko merimo j, postavimo i-ti objekt na levo stran, če
je Hij = 1, sicer pa na desno. Ta način merjenja bo natančneǰsi (manǰsa
varianca/sprememba), kot če bi merili vsak objekt posebej.
132 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 133 — #13 i
i
i
i
i
i
Hadamardove matrike in misija Mariner 9
Slika 7
Kompleksne Hadamardove matrike
Če namesto Hij = ±1 zahtevamo pri definiciji Hadamardove matrike
raje |Hij | = 1, transponiranje pa pomeni hermitsko transponiranje, do-
bimo kompleksne Hadamardove matrike. Podobno kot pri običajnih Hada-
mardovih matrikah imamo v bistvu natanko eno kompleksno Hadamardovo
matriko reda 3 (t. i. Butson-Hadamardovo matriko) in jo sestavimo s pri-
mitivnim kubičnim korenom števila 3, ki ga označimo z w:1 1 11 w w2
1 w2 w
 .
Kompleksne Hadamardove matrike obstajajo za vsako naravno število
n (medtem ko pri realnih ni tako). Npr. Fourierove matrike (Fn)jk :=
e2πi(j−1)(k−1)/n, za j, k = 1, 2, . . . , n, pripadajo temu razredu.
Za konec pa postavimo bralcem še nekaj zanimivih nalog:
Naloga 1. Za n = 2m in 1 ≤ i ≤ m definiramo matriko M (i)n z M (i)n :=
I2m−i ⊗ H2 ⊗ I2i−1 . Dokaži, da je produkt M
(1)
n M
(2)
n . . .M
(m)
n enak Hada-
mardovi matriki Hn, ki smo jo skonstruirali s tenzorskim produktom.
Naloga 2. V primeru Reed-Mulerjeve kode prve vrste je sprejeta beseda x
odkodirana tako, da izračunamo xHTn . Če ni prǐslo do prevelikega števila
napak, potem bodo vse vrednosti vseh koordinat tega produkta blizu 0,
z izjemo tiste, katere absolutna vrednost bo blizu n. Tako bomo vedeli,
kateri vektor je bil v resnici poslan. Množenje s ±1 imenujemo operacija.
Primerjaj število operacij, ki so potrebne za odkodiranje, če
(a) uporabimo matriko Hn, (b) uporabimo reprezentacijo iz prve na-
loge.
121–135 133
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 134 — #14 i
i
i
i
i
i
Aleksandar Jurišić
Drugi primer je poznan kot hitra Fourierova transformacija.
Slika 8. Še nekaj predstavitev Hadamardovih matrik iz različnih rekurzivnih konstrukcij
(naključne, Walshove in Paleyjeve Hadamardove matrike). Več o Hadamardovih matri-
kah lahko najdete v priročniku [2] (v katerem je 5. del posvečen prav Hadamardovim
matrikam) ter na Wikipediji in Wolframovem raziskovalnem centru.
Naloga 3. Naj bo M (m× n)-razsežna binarna matrika, v kateri je Ham-
mingova razdalja med poljubnima dvema različnima vrsticama vsaj d (če
postavimo Hadamardovo matriko H nad matriko −H in zamenjamo simbole
134 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Hadamard-novi” — 2009/10/15 — 15:01 — page 135 — #15 i
i
i
i
i
i
Hadamardove matrike in misija Mariner 9
±1 v ničle in enice, dobimo primer z m = 2n in d = n/2). Preštej število
urejenih trojic (i, j, k), za katere sta i in j (indeksa) različni vrstici, k pa je
tak stolpec, da je M(i, k) 6= M(j, k) , na dva načina – tako da nam en da
neenakost, ki vsebuje d, drugi pa stolpčne vsote matrike M . Če privzamemo
2d > n, potem dokaži oceno
m ≤ 2d
2d− n
,
ki ji pravimo v teoriji kodiranja tudi Plotkinova ocena. Kateri pogoj nam
zagotovi enakost?
Naloga 4. V preǰsnji nalogi privzemi d = n/2 in dokaži, da je potem m ≤
2n ter da enakost implicira eksistenco Hadamardove matrike reda n.
LITERATURA
[1] V. Belevitch, Theory of 2n-terminal networks with applications to conference tele-
phony, Electrical Communication 27 (1950), str. 231–244.
[2] C. J. Colbourn in J. H. Dinitz, Handbook of Combinatorial designs, druga izdaja,
Chapman&Hall/CRC, 2007.
[3] D. Ž. Djoković, Hadamard matrics of order 764 exist, Combinatorica 28 (2008),
str. 487–489.
[4] P. de la Harpe, Spin models for link polynomials, strongly regular graphs and Jaeger’s
Higman-Sims model, Pacific J. Math. 162 (1994) 1, str. 57–96.
[5] A. Jurǐsić, Napake niso večne – Presek, zgoščenke, planeti in kode, Presek 30
(2002/2003) 6, str. 361–366.
[6] A. Jurǐsić in A. Žitnik, Reed-Solomonove kode, Obzornik mat. fiz. 51 (2004) 5,
str. 129–143.
[7] H. Kharaghani, A Hadamard matrix of order 428, J. Combin. Des. 13 (2005),
str. 435–440.
[8] S. Klavžar, O teoriji kodiranja, linearnih kodah in slikah z Marsa, Obzornik mat.
fiz. 45 (1998) 4, str. 97–106.
[9] A. M. Mood, On Hotelling’s Weighing Problem, Ann. Math. Statist. 17 (1946),
str. 432–446.
[10] K. Nomura, Spin models constructed from Hadamard matrices, J. Combin. Th.
Ser. A 68 (1994), str. 251–261.
[11] R. E. A. C. Paley, On orthogonal matrices, J. Math. Phys. 12 (1933), str. 311–320.
[12] J. Williamson, Hadamard’s determinant theorem and the sum of 4 squares, Duke
Math. J. 11 (1944), str. 65–81.
121–135 135
i
i
“Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 136 — #1 i
i
i
i
i
i
SPOMINSKA PLOŠČA FRANCU HOČEVARJU
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2000): 01A55, 01A60, 01A70
Matematiku Francu Hočevarju so 20. junija 2009 v rojstni Metliki odkrili spominsko
ploščo. Prispevek vsebuje njegov kratek življenjepis in delo ter predstavi nekaj njegovih
znanstvenih objav.
MEMORIAL TABLET TO FRANC HOČEVAR
On June 20, 2009 a memorial tablet to mathematician Franc Hočevar at his birthplace
in Metlika, Slovenia was unveiled. This article contains his short biography and work, and
presents some of his scientific publications.
I. Ko smo odkrivali spominsko obeležje matematiku Francu Jožefu Ho-
čevarju (1853–1919), smo se lahko v mislih vsaj za hip preselili v svoja
osnovnošolska in dijaška, morda tudi v študentska leta, ko smo bolj ali manj
uspešno stopali v svet matematike. Nekomu je bila morda pretežka, dru-
gemu se je zdela nepotrebna, tu in tam pa se je le našel kdo, ki z njo ni imel
posebnih težav. Še več, vzljubil jo je in postala mu je celo življenjska nuja
in užitek, kot se je izrazil prof. Josip Plemelj (1873–1967). Nedvomno je za
to potrebno imeti nekaj nadarjenosti, ki pa jo je treba še odkriti. Pri tem
pa ne smemo pozabiti, da to ni vse: poleg nadarjenosti so za uspeh potrebni
tudi pogum, delavnost in vztrajnost. In zato so po navadi dobrodošli dobri
učitelji in profesorji. Franc Hočevar je imel to srečo, da je na gimnaziji v
Ljubljani imel izvrstnega in priljubljenega profesorja, ki je spoznal njegove
sposobnosti in ga popeljal v svet matematike, tako da jo je vzljubil za vse
življenje.
Po končani gimnaziji je mladi Franc odšel na cesarski Dunaj, kjer je
študiral matematiko in fiziko pri samih uglednih znanstvenikih tistega časa.
Ludwig Boltzmann (1844–1906) je bil njegov profesor matematike in pri
njem je mladi Franc tudi doktoriral, star komaj 22 ali 23 let, po podatkih
v [4] leta 1875, po [2] pa leta 1876, in sicer se je v svoji doktorski disertaciji
posvetil nekaterim določenim integralom. Postal je doktor filozofije in takoj
za tem asistent na dunajski tehnǐski visoki šoli. V šolskem letu 1875/76 je
136 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 137 — #2 i
i
i
i
i
i
Spominska plošča Francu Hočevarju
na Terezijanski akademiji na Dunaju opravil tudi vse predpisane obveznosti,
ki so mu dovoljevale poučevati na srednjih šolah.
Kot zanimivost povejmo še, da je pri Boltzmannu leta 1879 doktoriral
tudi Ignac Klemenčič (1853–1901) z raziskavami o obnašanju stekla po raz-
bremenitvi. Da Slovenci na Dunaju njega dni niso bili od muh, pove tudi
podatek, da je Boltzmann doktoriral pri Jožefu Stefanu (1835–1893).
A tudi tisti časi so bili trdi za zaposlitve v velikih univerzitetnih sredǐsčih,
kajti mladih doktorjev znanosti se je z leti kar nekaj nabralo in le redki so
imeli srečo, da so ostali na Dunaju. Toda monarhija je imela tudi druga
visokošolska sredǐsča, stareǰsa, noveǰsa in nastajajoča, kjer se je morda laže
dobilo službo.
Tako se je Franc Hočevar umaknil na Tirolsko, kjer je dve leti poučeval na
gimnaziji, obenem pa je na univerzi v Innsbrucku spoznal še nekaj znanih
matematikov in se habilitiral za privatnega docenta, kar mu tiste čase ni
dajalo rednih prejemkov, ampak le pravico predavati na univerzi in upati, da
se medtem najde mesto pravega docenta. Hočevarju se je upanje uresničilo
in zlahka je postal na nemški tehnǐski visoki šoli v Brnu najprej izredni in
nato redni profesor. Tudi čas delovanja na Moravskem je bil zanj le prehodno
obdobje, kajti čez štiri leta so ga povabili v Gradec, kjer je na tamkaǰsnji
sloviti tehniki predaval matematiko in s tem sodeloval pri izobrazbi številnih
136–143 137
i
i
“Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 138 — #3 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
inženirjev, tudi iz slovenskih dežel, in dolga leta opravljal funkcijo dekana
strojne fakultete ter prejel naslov dvornega svetnika. V Gradcu je ostal
Hočevar do svoje smrti. Več podrobnosti o njegovem življenju in delu lahko
preberemo v [4, 5, 6, 8].
Hočevarju je čas poučevanja na gimnaziji zagotovo koristil, kajti na pod-
lagi svojih bogatih pedagoških izkušenj je v nemščini napisal celo vrsto odlič-
nih učbenikov za aritmetiko in geometrijo za gimnazije in realke. Zelo se je
zavzemal tudi za uvedbo odvoda in integrala v srednje šole. Veliko njegovih
učbenikov so prevedli v druge jezike takratne monarhije in jih še dolgo upo-
rabljali. Žal smo Slovenci ostali v takratnem spletu zgodovinskih okolǐsčin
brez prevoda Hočevarjevih del.
Hočevarjeve učbenike še prav posebej odlikujejo jedrnatost, jasnost, pre-
glednost, razumljivost, a kljub temu ne na škodo matematične natančnosti.
Uporablja preprost in lahko razumljiv jezik, skrbi za uravnoteženost med
teorijo in uporabo, izbira primerne in koristne naloge, tako da vzbuja pri
dijakih zanimanje za predmet.
Zaradi vsega naštetega je nedvomno prav, da je Franc Jožef Hočevar do-
bil spominsko ploščo v svojem rojstnem mestu Metlika. V sodelovanju Belo-
kranjskega muzejskega društva, DMFA ter Občine Metlika so jo na pobudo
metlǐskega učitelja matematike Jožeta Vraničarja odkrili 20. junija 2009,
torej 90 let in en dan po Hočevarjevi smrti, in sicer na metlǐski komendi.
Kljub močno deževnemu vremenu se je slovesnosti udeležilo precej ljudi od
blizu in daleč, med njimi tudi podpredsednica DMFA Nada Razpet in ča-
stni član prof. Dušan Modic. Zbrane so pozdravili metlǐska županja Renata
Brunskole, direktorica Belokranjskega muzeja v Metliki Andreja Brancelj
Bednaršek in minister za šolstvo in šport dr. Igor Lukšič, nekaj besed o Ho-
čevarju pa je dodal avtor tega prispevka. Slovesnost so povezovali domači
recitatorji, za glasbene vložke pa so poskrbeli domači tamburaši, ki so vnesli
v prireditev nekaj značilnega belokranjskega melosa.
Spominsko obeležje v Metliki, odkrito v čast matematiku Francu Hoče-
varju, se je tako pridružilo verigi obeležij v Zagorici, Moravčah, Cerknem,
Ljubljani, Gornjem Gradu, Novem mestu in Štrukljevi vasi ter na Bledu in
Kamnem Potoku. Lahko bi bilo Metliki, vsej Beli krajini, Sloveniji in svetu
v ponos.
II. Povejmo še nekaj o znanstveni dejavnosti Franca Hočevarja. Objavil je
celo vrsto razprav, ki segajo od problematike srednješolskega matematičnega
138 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 139 — #4 i
i
i
i
i
i
Spominska plošča Francu Hočevarju
pouka do področij mehanike in elektrotehnike, največ pa v čisto matematiko.
Njegove matematične razprave obravnavajo probleme iz diferencialnega in
integralnega računa, diferencialnih enačb, sistemov diferencialnih enačb, al-
gebre, teorije števil, neskončnih vrst in produktov, numerične analize in
analitične geometrije v prostoru. Več člankov je posvetil algebraičnim for-
mam in deljivosti le-teh z linearnimi in kvadratnimi formami. Opravil je
obsežno in pestro delo, ki se lahko kosa z delom marsikaterega matematika
v našem času.
V Sloveniji žal še vedno nimamo zbranih vseh Hočevarjevih člankov. Na
srečo so na svetovnem spletu v bazi podatkov pri Zentralblatt für Mathe-
matik dostopni povzetki. Tako si lahko ustvarimo vsaj približno predstavo,
o čem je pisal. Oglejmo si še nekaj njegovih znanstvenih rezultatov.
1. V članku Über die unvollständige Gammafunktion (O nepopolni funkciji
gama) je Hočevar našel razvoj nepopolne funkcije gama v vrsto. Ta je za
pozitivni realni spremenljivki a in x definirana z integralom (uporabimo
oznake iz [1, 3]):
γ(a, x) =
x∫
0
ta−1e−tdt . (1)
Podintegralske funkcije pa ne integriramo po celotnem poltraku (0,∞) kot
pri funkciji gama, ki je dana z integralom
Γ(a) =
∞∫
0
ta−1e−tdt ,
zato ji pravimo nepopolna. Integrala (1) se lotimo z metodo per partes:
γ(a, x) =
1
a
tae−t
∣∣∣∣x
0
+
1
a
x∫
0
tae−tdt =
1
a
xae−x +
1
a
γ(a + 1, x) .
Tako smo našli rekurzijo
γ(a, x) =
1
a
xae−x +
1
a
γ(a + 1, x) .
Če jo uporabimo večkrat, najdemo razvoj v vrsto
γ(a, x) =
1
a
xae−x
(
1 +
x
a + 1
+
x2
(a + 1)(a + 2)
+ · · ·
)
,
ki je uporabna za majhne x in velike a.
136–143 139
i
i
“Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 140 — #5 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
2. Znano je, da je naravno število, ki je zapisano v desetǐskem sistemu,
deljivo z 11, če je alternirajoča vsota njegovih števk deljiva z 11. Hočevar
je to pravilo v članku Zur Lehre der Teilbarkeit der ganzen Zahlen (K te-
oriji deljivosti celih števil) posplošil na naravno število n, ki je zapisano v
številskem sistemu s poljubno osnovo b:
n = arar−1 . . . a2a1a0(b) = arbr + ar−1br−1 + · · ·+ a1b + a0 . (2)
Pri tem so ar, ar−1, . . . , a1, a0 števke števila n v številskem sistemu z osnovo
b. Velja 0 ≤ ak < b. V zapisu (2) razdelimo števke od desne proti levi v
skupine po q števk:
. . . |a3q−1 . . . a2q+1a2q|a2q−1 . . . aq+1aq|aq−1 . . . a1a0| .
Nato definiramo cela števila
m0 = aq−1 . . . a1a0(b) , m1 = a2q−1 . . . aq+1aq(b) ,
m2 = a3q−1 . . . a2q+1a2q(b) , . . .
in alternirajočo vsoto
m = m0 −m1 + m2 ± · · · =
∑
r≥0
(−1)rmr ,
ki je tudi celo število.
Velja trditev: Če število bq + 1 deli m, potem bq + 1 deli tudi n.
Dokažemo jo pa tako. Najprej je:
n =
∑
k≥0
akb
k =
∑
r≥0
q−1∑
s=0
aqr+sb
qr+s =
∑
r≥0
brq
q−1∑
s=0
aqr+sb
s =
∑
r≥0
brqmr .
Oglejmo si razliko:
n−m =
∑
r≥1
mr(bqr − (−1)r) .
Za lihe indekse r, denimo r = 2j +1, dobimo v členih zgornje vsote na desni
strani faktorje (bq)2j+1 + 1, ki se dajo razstaviti:
(bq)2j+1 + 1 = (bq + 1)P (b, q, j) ,
kjer je P (b, q, j) celo število.
140 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 141 — #6 i
i
i
i
i
i
Spominska plošča Francu Hočevarju
Za sode indekse r, denimo r = 2j, pa dobimo v členih vsote na desni
strani faktorje (bq)2j − 1, ki se tudi dajo razstaviti:
(bq)2j − 1 = (b2q)j − 1 = (b2q − 1)Q(b, q, j) = (bq + 1)(bq − 1)Q(b, q, j) ,
kjer je Q(b, q, j) neko celo število.
Torej je celo število n − m deljivo z bq + 1. Sedaj takoj spoznamo: če
bq + 1 deli m, potem deli tudi n.
Očitno za b = 10 in q = 1 dobimo kriterij deljivosti naravnega števila n
z 11.
3. Franc Hočevar se je ukvarjal, kot smo že zapisali, tudi z diferencialnimi
enačbami in sistemi diferencialnih enačb. V svojem prispevku Zur Integra-
tion der Jacobi’schen Differentialgleichung Ldx+M dy +N(x dy−y dx) (K
integraciji Jacobijeve diferencialne enačbe Ldx+ M dy + N(x dy− y dx)) je
podal eleganten zapis rešitve diferencialne enačbe
dx
a1x + b1y + c1 − x(a3x + b3y + c3)
=
dy
a2x + b2y + c2 − y(a3x + b3y + c3)
,
ki ima same realne koeficiente. Uporabimo nekoliko moderneǰso obravnavo.
Avtor si je pomagal z matriko A, ki jo je priredil zgornji enačbi:
A =
a1 a2 a3b1 b2 b3
c1 c2 c3
 .
Kadar ima matrika A različne lastne vrednosti λk, (k = 1, 2, 3), obstajajo
linearno neodvisni lastni vektorji vk = [αk, βk, γk]t, (k = 1, 2, 3), in rešitev
dane diferencialne enačbe v implicitni obliki, to se pravi njen integral, je
(α1x + β1y + γ1)λ2−λ3(α2x + β2y + γ2)λ3−λ1(α3x + β3y + γ3)λ1−λ2 = konst .
Avtor se ni izognil obravnavi primera, ko sta dve lastni vrednosti matrike A
konjugirano kompleksni, in primerov, ko imamo dve ali vse tri lastne vredno-
sti matrike A med seboj enake. Ugotovil je tudi, da je integral obravnavane
diferencialne enačbe algebraičen, če so realni deli vseh treh lastnih vrednosti
matrike A med seboj enaki.
Tako obravnava Jacobijevo diferencialno enačbo Vjačeslav Vasiljevič Ste-
panov (1889–1950) v [7] (nemški prevod iz ruščine) s pripombo, da jo tako
predava tudi Dmitrij Fjodorovič Egorov (1869–1931) na univerzi v Moskvi.
136–143 141
i
i
“Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 142 — #7 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
4. V članku Über die Integration eines Systems simultaner Differentialgle-
ichungen (O integraciji nekega sistema simultanih diferencialnih enačb) se
je Hočevar lotil sistema diferencialnih enačb
dx1
X1 − x1X
= . . . =
dxn
Xn − xnX
=
dz
Xn+1 − zX
,
kjer je X homogena funkcija poljubne stopnje h in X1, . . . , Xn+1 linearne
homogene funkcije spremenljivk x1, . . . , xn, z. Dokazal je, da se tedaj, ko
je h celo število in
X = a1xh1 + · · ·+ anxhn + an+1zh,
sistem da rešiti z integracijami do konca.
5. Ob koncu omenimo še Hočevarjevo prizadevanje za uvedbo odvoda in
integrala v srednje šole. Verjetno je sledil Felixu Kleinu (1849–1925), ki je
tudi videl potrebo po uporabi odvoda in integrala za korektno obravnavo
fizikalnih problemov. Hočevar je v prispevku Sind die Elemente der Infi-
nitesimalrechnung an den Mittelschulen einzuführen oder nicht? (Ali gre
uvajati elemente infinitezimalnega računa v srednje šole ali ne?) najprej
orisal obseg in potek pouka matematike na avstrijskih univerzah, visokih
tehnǐskih in srednjih šolah vključno z izobrazbo strokovnih učiteljev. Prǐsel
je do spoznanja, da je treba dotakratno učno snov skrbno prerešetati in v
teorijo funkcij vpeljati odvod in integral. Podal je nekaj predlogov, katere
vsebine bi se dalo skrčiti na račun novih. S problemi, kaj sodi in kaj ne sodi
v pouk matematike, se tudi pri nas ukvarjamo zadnja desetletja.
LITERATURA
[1] M. Abramowitz in I. Stegun, Handbook of mathematical functions with formulas,
graphs, and mathematical tables, Dover publications, New York, 1972.
[2] J. Blackmore, Ludwig Boltzmann, His later life and philosophy, 1900–1906, Book one:
a documentary history, Kluwer, 1995.
[3] I. S. Gradstein in I. M. Ryzhik, Tables of integrals, sums and products, ur. Jeffrey,
Academic Press, New York, 1994.
[4] J. Povšič, Bibliografija Franca Hočevarja, SAZU, Ljubljana, 1978.
[5] J. Povšič, Franc Hočevar: ob stoletnici njegovega rojstva, Obzornik mat. fiz. 3 (1953) 4,
str. 97–102.
[6] J. Povšič, Prispevek Franca Hočevarja pouku elementarne matematike, Obzornik mat.
fiz. 8 (1961) 2, str. 87–92.
[7] W. W. Stepanow, Lehrbuch der Differentialgleichungen, VEB deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin, 1956.
142 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 143 — #8 i
i
i
i
i
i
Spominska plošča Francu Hočevarju
[8] P. Šǐsma, Mathematics at the German Technical University in Brno, Franzbecker,
Berlin, 2006.
VESTI
MATEMATIČNE NOVICE
Predavanje profesorja Efima Zelmanova na Fakulteti za matema-
tiko in fiziko v Ljubljani
Prvega junija 2009 je profesor Em Zelmanov s Kalifornijske univerze
v San Diegu imel na FMF v Ljubljani predavanje z naslovom Asymptotic
properties of finite groups and finite dimensional algebras.
Profesor Zelmanov je leta 1994 na Mednarodnem matematičnem kon-
gresu v Zürichu dobil Fieldsovo medaljo, najbolj prestižno nagrado na po-
dročju matematike. Zato je njegov obisk privabil matematike iz vse Slove-
nije. Profesor Zelmanov je znan po svojem delu na področju neasociativne
algebre, natančneje Jordanovih in Liejevih algeber. Največjo slavo pa si je
pridobil, ko je z uporabo svojih rezultatov rešil dolgo neosvojljivi Omejeni
Burnsidov problem iz teorije grup. Predavanje je pokazalo izredno širino
metod, ki jih obvlada profesor Zelmanov – od teorije števil do kombinato-
rike in teorije grafov. Poslušalci smo lahko občudovali njegovo navdušenje
nad matematičnim raziskovanjem.
Efim Izakovič Zelmanov se je rodil v Habarovsku leta 1955. Začetni del
svoje kariere je naredil v Novosibirsku. Leta 1987 je emigriral iz Sovjetske
zveze. Od leta 1990 dela v ZDA. Kot smo lahko videli, je profesor Zelma-
nov skromen in dostopen znanstvenik. Fotografije s predavanja profesorja
Zelmanova si lahko ogledate na portalu flickr [1]. (Najenostavneje je, če v
internetni brskalnik vtipkate Efim Zelmanov flickr.)
Nova matematična priznanja
Nobelove nagrade za matematiko žal ni. Kot nekakšno nadomestilo je
dolgo časa veljala Fieldsova medalja. Dve do štiri take medalje podeljujejo
vsaka štiri leta na Mednarodnem matematičnem kongresu. Dobitniki Fi-
eldsove medalje morajo biti mlaǰsi kot štirideset let. V denarju nagrada ni
obilna in znaša okrog deset tisoč EUR. Še zmeraj pa nosi izreden prestiž.
136–143 143
i
i
“Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 144 — #9 i
i
i
i
i
i
Vesti
To je nazadnje pokazal velik odmev, ko Grigorij Perelman leta 2006 ni hotel
sprejeti te medalje.
Od leta 2003 imamo Abelovo nagrado. Sredstva zanjo je dala Abelova
domovina Norveška. Letos jo je dobil ruski matematik Mihail Gromov, ki
zdaj dela v Franciji. Nagrada je letos znašala približno sedemsto tisoč EUR.
V letu 2004 je bila prvič podeljena Shawova nagrada za matematiko, ki
znaša milijon amerǐskih dolarjev. V sklad za nagrado je prispeval podjetnik
Run Run Shaw iz Hongkonga. Letos sta nagrado dobila angleški matematik
Simon K. Donaldson in amerǐski matematik Clifford H. Taubes. Profesor
Donaldson je leta 1986 dobil tudi Fieldsovo medaljo. Simon Donaldson je
bil leta 1994 na Univerzi v Oxfordu mentor doktoranda Pavla Sakside, ki je
zdaj profesor na FMF.
Naslednje leto pa bodo na Mednarodnem matematičnem kongresu v In-
diji prvič podelili Chernovo medaljo. Slavni kitajski matematik Shiing –
Shen Chern (1911–2004) je doktoriral leta 1936 v Hamburgu. Njegovo po-
dročje je bila diferencialna geometrija. Po njem se imenujejo Chernovi ra-
zredi. Dolgo je bil profesor na Kalifornijski univerzi v Berkeleyu in je bil
velikodušen donator za znanost. Nagrada bo znašala pol milijona dolar-
jev. Polovico nagrade dobi prejemnik, drugo polovico ustanova, ki jo izbere
prejemnik.
To so le nekatere najbolj opazne nagrade. Mednarodna matematična
unija podeljuje še nagrado za matematične prispevke na področju Informa-
cijskih znanosti. Nagrada nosi ime finskega matematika Rolfa Nevanlinne,
saj sredstva znajo prispeva Univerza v Helsinkih. Nagrada Carla Friedricha
Gaussa pa je rezervirana za Uporabno matematiko. Sklad za Gaussovo na-
grado je (nemški državni) denar, ki je ostal po Mednarodnem matematičnem
kongresu v Berlinu.
Na srečo je zadnja leta več donatorjev ustanovilo še druge nagrade in
štipendije za področje matematike ter celo privatno financirane matematične
raziskovalne inštitute. Lepe vsote denarja prinaša tudi rešitev nekaterih
dolgo odprtih matematičnih problemov.
LITERATURA
[1] Slike s predavanja Efima Zelmanova na FMF:
http://www.ickr.com/photos/39093307@N04/sets/72157619231076682 .
Peter Legǐsa
144 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Jupiter” — 2009/10/15 — 15:04 — page 145 — #1 i
i
i
i
i
i
GALILEJEVE LUNE
ALEŠ MOHORIČ
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 96.30.L-
Pred štiristo leti se je Galilej lotil opazovanja nočnega neba s teleskopom. Pri tem
je odkril štiri največje Jupitrove lune. Opazovanje gibanja lun je pomembno prispevalo
k razvoju heliocentričnega sistema in k spoznanju o končni hitrosti svetlobe. Opazovanja
Jupitrovih lun se s preprostimi sodobnimi pripomočki lahko lotimo tudi sami.
JOVIAN SATELLITES (GALILEAN MOONS)
Four hundred years ago Galileo observed the night skies with a telescope. He disco-
vered the four largest moons of Jupiter. The motion of the moons contributed to advent
of the heliocentric system and recognition of the finite speed of light. The observation of
the Jovian satellites can be done at home with the use of some simple modern utilities.
Kadar je Jupiter v opoziciji∗, je poleg Lune najsvetleǰsi objekt na nočnem
nebu. Od njega sta lahko svetleǰsa le Venera in Mars. Začetek letošnje
jeseni nam je postregel z izrazitim Jupitrom, ki dominira na nočnem nebu
in ubira podobno pot kot podnevi Sonce. Njegovo opaznost so izkoristili
tudi ob svetovnem letu astronomije ter 28. avgusta letos organizirali ogled
Jupitra in Lune. Poleg tega pa pripravljajo tudi projekt Galilejeve noči (od
22. do 24. oktobra 2009), kjer bo ljudem omogočeno, da ponovijo Galilejeva
opazovanja izpred 400 let. V času Galilejevih noči bo imel Astronomsko
geofizikalni observatorij na Golovcu (poleg vsake prve srede v mesecu) dan
odprtih vrat v četrtek, 22. oktobra. V primeru slabega vremena pa v petek,
23. oktobra.
Tudi sam sem s preprostim fotoaparatom septembra nekaj dni sledil
plesu Galilejevih lun (Io, Evropa, Ganimed in Kalisto). Rezultat je prika-
zan v kolažu močno povečanih (premer Jupitra je le 16 točk) izsekov slik,
kjer predzadnji dan izstopa po zamegljenosti (vsaka noč pač ni enako jasna).
Fotoaparat Minolta DiMAGE Z3 izstopa edino po 12-kratnem zoomu ozi-
roma ekvivalentnem teleobjektivu 420 mm. Drugi podatki pri slikanju so: 4
milijoni slikovnih točk, čas osvetlitve 3,2 s (pri borni občutljivosti ISO 400
in močno zašumljeni sliki) ter zaslonsko število 4,2.
∗Leži na zveznici Zemlje in Sonca, vendar na drugi strani Zemlje kot Sonce.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 145
i
i
“Jupiter” — 2009/10/15 — 15:04 — page 146 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
Slika 1. Jupiter lahko opazujete okoli desete ure zvečer na južnem nebu kar visoko nad
obzorjem. Če ni oblakov, ga ne boste zgrešili.
Naj navržem še nekaj podatkov o Jupitru. Je največji planet v Oson-
čju, peti po vrsti in spada med plinaste planete, saj nima trdnega površja.
Njegov premer je 11,21-krat večji od Zemljinega in je precej sploščen (ekva-
torialni polmer meri 71 500 km, polarni pa 66 900 km). Njegova povprečna
gostota je 1,3-krat večja od gostote vode, kar pomeni maso 1,9×1027 kg (320
Zemljinih mas). Oddaja 1,67-krat več energije, kot je prejema od Sonca, in
pri masi mu manjka še kakšen velikostni red, pa bi zagorel, in nebo na Ze-
mlji bi krasili dve sonci. Njegova površina je prepredena z vzorcem pasov
in vrtincev, od katerih je najbolj prominentna Velika rdeča pega. Večinoma
je sestavljen iz vodika (87 %) in helija (13 %). Ima več kot 60 znanih lun,
od katerih so štiri prej naštete večje in jih je že leta 1610 odkril Galileo
Galilej (1564–1642), ter sistem tankih prstanov. Galilejevo odkritje gibanja
Jupitrovih lun, ki ga lahko opazimo že po nekaj urah, je bilo prvo odkritje
nebesnega gibanja, ki ni bilo navidezno osredotočeno na Zemljo, in velika
podpora Kopernikovi heliocentrični sliki gibanja planetov.
Jupitrove lune so pomembne tudi zato, ker je mladi danski astronom
146 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Jupiter” — 2009/10/15 — 15:04 — page 147 — #3 i
i
i
i
i
i
Galilejeve lune
Slika 2. Kolaž sedmih zaporednih slik Jupitrovih lun. Na sliki je dobro vidno premikanje
štirih Galilejevih lun. Štiri lune lahko razločite na četrtem posnetku.
Ole Christensen Rømer (1644–1710) v sedemdesetih letih 17. stoletja z opa-
zovanjem zakasnitve mrkov Jupitrove lune Io pokazal, da hitrost svetlobe
ni neskončna. Mrki si ne sledijo v enakih časovnih razmikih, ampak za
malenkost prehitevajo izračunane napovedi v obdobju, ko se Zemlja giblje
proti Jupitru, in malenkostno zaostajajo, ko se Zemlja od Jupitra oddaljuje.
Zakasnitev mrkov med trenutkom, ko je Zemlja najbliže Jupitru, in trenut-
kom, ko je Zemlja najdlje, je ocenil na 22 minut. S svojim odkritjem ni
takoj prepričal strokovne javnosti. Znani astronom Cassini, ki je bil takrat
njegov šef v parǐski zvezdarni, se ni strinjal z njegovo interpretacijo, idejo
pa sta podprla Huygens in Newton. Hitrosti svetlobe ni nikoli izračunal, le
ocenil je, da porabi svetloba manj kot sekundo, da prepotuje razdaljo, ki je
enaka enemu zemeljskemu premeru (to ustreza 12 000 km/s).
V urednǐstvu pozivamo bralce, da pošljejo svoje fotografije Jupitra. Naj-
bolǰso bomo objavili in nagradili z DVD-jem Velike oči, zazrte v nebo (Eyes
on the Skies).
145–147 147
i
i
“Jupiter” — 2009/10/15 — 15:04 — page 148 — #4 i
i
i
i
i
i
VESTI
OB ODPRTJU PRENOVLJENEGA
PETERLINOVEGA PAVILJONA†
Danes predajamo v uporabo Peterlinov paviljon, objekt, ki zajema Ve-
liko fizikalno predavalnico, Malo fizikalno predavalnico in prostore, kjer pri-
pravljamo in hranimo fizikalne eksperimente, namenjene predavanjem iz fi-
zike.
Prof. dr. Anton Peterlin se je zavedal, da iz republǐskega proračuna ne
bo mogel dobiti dodatnih sredstev za prostorsko in tehnično izbolǰsanje štu-
dija in pouka fizike na univerzi. Zato je našel zanj značilno rešitev iz zagate.
S Kidričevim privoljenjem je vključil gradnjo današnjega Peterlinovega pa-
viljona v okvir sprejetega projekta gradnje Fizikalnega instituta SAZU, ki
ga je financirala takratna zvezna vlada.
Tretjega novembra leta 1953 je bila predana v uporabo ta predavalnica,
ki danes nosi ime po njenem pobudniku Antonu Peterlinu. V tej stavbi
že od začetka izvajamo predavanja iz osnovnih kurzov fizike za študente
naravoslovnih ter tehnǐskih fakultet.
Ob odprtju leta 1953 je A. Peterlin dejal: Nova zgradba obsega poleg
velike predavalnice za 350 slušateljev še manǰso predavalnico za specialna
predavanja vǐsjih letnikov, posebne prostore za praktične vaje študentov ter
garderobe in stranske prostore. Namenjena pa je predavanjem iz fizike in
matematike tako za slušatelje univerze kakor tudi za tehnike. Po načinu
gradnje in celotni opremi je to najmoderneǰsa predavalnica ne le v Ljubljani,
temveč v vsej državi. V njej bo mogoče organizirati pouk na res sodoben
način in čim bolj ekonomično.
Pri projektiranju se Peterlin ni zanašal le na arhitekta, temveč se je
pri zamisli zgledoval po takratnih sodobnih predavalnicah v Baslu in Züri-
chu. Tja je celo poslal na ogled demonstratorja in elektrotehnika Davorina
Tomaºi£a.
V vseh letih po dograditvi predavalnice je Oddelek za fiziko (OF) iz la-
stnih sredstev skrbel za vzdrževanje in posodabljanje zbirke fizikalnih ekspe-
rimentov, ki jih je kakih 4000. Pri izbiri in posodabljanju zbirke smo pogosto
upoštevali želje uporabnikov drugih članic Univerze v Ljubljani (UL). Prav
†Iz nagovora predstojnika Oddelka za fiziko FMF prof. dr. Janeza Bonče ob odprtju
prenovljenega Peterlinovega paviljona 29. maja 2009.
148 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Jupiter” — 2009/10/15 — 15:04 — page 149 — #5 i
i
i
i
i
i
Ob odprtju prenovljenega Peterlinovega paviljona
tako smo s pomočjo dveh tehnikov skrbeli za tehnično podporo učiteljem
Fakultete za matematiko in fiziko (FMF) kot tudi drugih fakultet.
Kljub rednim vzdrževalnim delom, ki so bila financirana izključno iz
lastnih sredstev OF FMF, so se v zadnjem času pokazale bistvene strukturne
napake na objektu. Prostori Male fizikalne predavalnice ter pripravljalnice
so se začeli pogrezati, pokale so stene. Objekt bi lahko v kratkem postal z
varnostnega vidika neuporaben, grozila je izguba dovoljenja za opravljanje
pedagoške dejavnosti v njem.
Zato je FMF v letu 2007 zaprosila službo za investicijska dela na UL za
pomoč pri sanaciji objekta ter iz lastnih sredstev krila pripravo projektne
dokumentacije. Projekt prenove je sestavil arhitekt Boris Volk ob upošte-
vanju naslednjih arhitekturnih smernic:
• Ojačanje statike objekta tako, da ustreza aktualnim predpisom o proti-
potresni gradnji;
• ohranitev prvotne zunanje arhitektonske zasnove objekta ter, kolikor
je bilo mogoče, smiselna ohranitev prvotne oblike pri zasnovi notranje
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 149
i
i
“Jupiter” — 2009/10/15 — 15:04 — page 150 — #6 i
i
i
i
i
i
Vesti
opreme;
• sledenje osnovnemu namenu predavalnice: prikaz fizikalnih poizkusov. V
ta namen sta obe predavalnici opremljeni s številnimi električnimi pri-
ključki, potrebnimi za izvedbe fizikalnih poizkusov, kot tudi s sodobno
avdio- in videotehniko.
• uporaba trajnih materialov; objekt je v skoraj nespremenjeni obliki z
zglednim vzdrževanjem služil osnovnemu namenu več kot 50 let.
• obnova vse električne, vodovodne ter plinske instalacije in zunanje po-
dobe objekta.
Za izvedbo projekta je bilo v različnih fazah zaslužnih veliko ljudi. UL ter
Ministrstvo za visoko šolstvo, znanost in tehnologijo sta prispevala finančna
sredstva. Potrebno je bilo sodelovanje Univerze, Ministrstva in Instituta
Jožef Stefan (IJS). Pomemben je bil tudi prispevek zaposlenih na fakulteti.
Pohvalo zasluži celotna ekipa projektantov, izvajalcev ter nadzornikov. Po-
sebej smo hvaležni projektantu arhitektu Borisu Volku za razumno upošte-
vanje naših posebnih želja. Izkazal je obilico potrpljenja pri vključevanju
naših želja v smiselno celoto.
Relief je oblikovala kiparka Neºa Jurman pod vodstvom prof. Matjaºa
Po£ivav²ka, ki je razpisal natečaj, na katerem so sodelovali študenti Aka-
demije za likovno umetnost. Posebna zahvala gre tudi doc. dr. Primoºu
Ziherlu, ki je dal idejo za postavitev spominskega obeležja prof. Peterlinu
ter tudi poskrbel za izvedbo.
Za konec želim poudariti, da je fizika tako pridobila v uporabo sodobno
opremljeno predavalnico, ki zadošča svetovnim standardom za fizikalne pre-
davalnice. Predavalnica ne bo koristila le študentom FMF temveč vsem
študentom naravoslovnih in tehnǐskih fakultet, ki bodo v njej poslušali pre-
davanja. Sodobno opremljena predavalnica je morda tudi priznanje za ve-
lik prispevek FMF na področju znanstvenoraziskovalne dejavnosti UL. Pred
dvema letoma smo znatno pripomogli k uvrstitvi UL na seznam 500 najbolj-
ših svetovnih univerz, merjeno po šanghajski lestvici. Fakulteta za matema-
tiko in fiziko je prispevala približno 30 odstotkov celotne bere znanstvenih
del na UL. To je približno šestkrat toliko, kot znaša njena relativna udeležba
v proračunu UL. Zahvaljujem se tudi IJS, ki je kot lastnik odobril obnovo
paviljona. Pri tem ne morem mimo dejstva, da so nadpovprečni raziskovalni
dosežki mnogih kolegov s FMF tudi posledica tesnega sodelovanja med IJS
ter FMF.
150 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“Jupiter” — 2009/10/15 — 15:04 — page 151 — #7 i
i
i
i
i
i
Vesti
PRENOVLJENI PETERLINOV PAVILJON
Konec maja, natančneje 29. 5. 2009, smo slovesno odprli prenovljeni
Peterlinov paviljon. Velika fizikalna predavalnica v njem je pred tem prak-
tično nespremenjena več kot petdeset let od jutra do večera gostila množice
študentov. Zato smo težko čakali konec del. Prenova je obdržala dobre
plati originalne zasnove, pri kateri je preceǰsnjo besedo imel pobudnik gra-
dnje prof. dr. Anton Peterlin. Seveda pa je v paviljonu zdaj tudi mnogo
izbolǰsav. Navzoče je pozdravil dekan Fakultete za matematiko in fiziko
akademik prof. dr. Franc Forstnerič. Sledil je slavnostni nagovor rektorice
prof. dr. Andreje Kocijančič, ki je sama poslušala fiziko v tej stavbi. Na
prireditvi so se zbrali mnogi nekdanji in sedanji člani matične fakultete in
tudi drugih naravoslovnih fakultet.
Z odličnim glasbenim programom (izvedenim tudi na nestandardnih in-
strumentih, ki bi lahko bili del zbirke eksperimentov) sta prireditev pope-
strila priznana umetnika Janez Dovč (absolvent fizike) in Boštjan Gombač.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 151
i
i
“Jupiter” — 2009/10/15 — 15:04 — page 152 — #8 i
i
i
i
i
i
Vesti
O sami gradnji in zaslugah za prenovo je duhovito poročal predstojnik
Oddelka za fiziko prof. dr. Janez Bonča. Pred njegovim nagovorom smo
si ogledali v Veliki fizikalni predavalnici posnet odlično zaigrani odlomek iz
slovenskega filma Ne čakaj na maj (1957). To delo je nadaljevanje filma
Vesna; oba filma je režiral češki režiser Frantǐsek Čap. V odlomku vidimo
(zelo mladega) Franeta Milčinskega Ježka kot profesorja filozofije, ki razlaga,
da stvarnost ni odvisna od naše percepcije. Zato si med predavanjem zakrije
oči. To izkoristi junakinja filma, da pobegne iz predavalnice. Slab zgled dobi
več posnemovalk . . . Profesor, ki nadaljuje predavanje, zmagoslavno oznani,
da se, kljub temu da nekaj časa ni videl okolice, stvarnost ni spremenila.
Ko umakne roko izpred oči, pa presenečen opazi prazno Veliko fizikalno
predavalnico.
Videli smo tudi številne fotografije raznih faz obnove, ki je bila precej
zahtevna. Po predstojnikovih besedah zaradi globokega prepričanja fizikov,
da se na vse najbolje spoznajo, ni prǐslo do večjih težav z drugimi akterji
prenove. Na koncu je predstojnik pokazal še nekaj privlačnih in osupljivih
fizikalnih eksperimentov.
Peter Legǐsa
152 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“topologije-0” — 2009/10/15 — 13:53 — page 153 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
SPLOŠNA TOPOLOGIJA IN TOPOLOGIJA
Knjigi Splošna topologija Petra Pavešića in Topologija Janeza Mrčuna
sta prva učbenika za topologijo, ki sta prilagojena novim (bolonjskim) uni-
verzitetnim študijskim programom, konkretno univerzitetnemu študijskemu
programu matematike na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Lju-
bljani.
Skupno število slovenskih učbenikov v neposredni zvezi s topologijo tudi
sicer ne presega števila prstov ene roke. Prvi je bil 3. del serije Strukture
N. Prijatelja iz leta 1972. Vsaj po snovi, ki jo obravnava, je tudi monografijo
Metrični prostori J. Vrabca iz leta 1990 mogoče šteti za topološki učbenik.
Naslednji je bil učbenik Topologija M. Cenclja in D. Repovša iz leta 2001,
ki je nastal kot nadgradnja zapiskov avtorjev pri predavanjih na Pedagoški
fakulteti Univerze v Ljubljani.
Mislim, da lahko v imenu vseh slovenskih topologov rečem, da smo vr-
sto let pričakovali topološki učbenik od profesorja Jožeta Vrabca, pionirja
slovenske topologije. Še posebej nestrpni smo postali, ko je dal študentom
kot skripta na voljo osnutka dveh poglavij – sedmega in osmega – učbenika
v nastajanju. Kolikor mi je znano, se je tu ustavilo, zato pa sta več kot
dobrodošli deli Pavešića in Mrčuna, ki sta poskrbela, da imata predmeta
Splošna topologija in Uvod v geometrijsko topologijo, ki se predavata na
Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, svoja učbenika v
slovenščini.
Brez dvoma sta obe deli zelo koristen pripomoček za vse slušatelje teh
predmetov, gotovo pa bo po njiju posegel še marsikdo, ki potrebuje topo-
logijo kot orodje kje drugje, na primer pri funkcionalni analizi ali teoriji
mere. Glede snovi, ki jo pokrivata, sta knjigi primerni tudi kot referenčna
učbenika v slovenskem jeziku.
Petar Pavešić: SPLOŠNA TOPOLOGIJA, Izbrana poglavja iz
matematike in računalnǐstva 43, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana
2008, 100 strani.
Kakor pove že naslov, je učbenik Splošna topologija namenjen istoimen-
skemu predmetu, ki je obvezen semestrski predmet v drugem letniku uni-
verzitetnega študijskega programa matematike.
Učbenik ima tri poglavja. Prvo poglavje vsebuje osnovne definicije,
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 153
i
i
“topologije-0” — 2009/10/15 — 13:53 — page 154 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
povezane s topološkimi prostori in preslika-
vami med njimi. Na začetku je nekaj strani
posvečenih definiciji topologije ter primer-
javi s strukturo metričnega prostora. Vpe-
ljava topologije je motivirana z uporabo v
analizi. Avtor predstavi osnovne topološke
pojme tako, da jih definira v jeziku metrič-
nih prostorov in definicije posploši na topo-
loške prostore, kjer se bližina izraža z oko-
licami. V razdelku o bazah in podbazah so
obdelani med drugim tudi: osnovne lastnosti
topologije produkta končno mnogo topolo-
ških prostorov, prvi in drugi aksiom števno-
sti ter separabilnost. V razdelku o podpro-
storih je obdelano vprašanje zveznosti pre-
slikave na danem topološkem prostoru, ki je sestavljena iz zveznih preslikav,
ki so definirane na članicah primernega pokritja za ta prostor.
Drugo poglavje predstavi najpomembneǰse pojme splošne topologije: lo-
čljivost (separacijski aksiomi), povezanost in lokalna povezanost ter kom-
paktnost, lokalna kompaktnost in kompaktifikacija z eno točko. Zadnje po-
glavje z naslovom Prostori preslikav obravnava dve najobičajneǰsi topologiji
na množici zveznih preslikav med dvema topološkima prostoroma in mno-
žico zveznih realnih funkcij na normalnem topološkem prostoru. V okviru
slednje teme dokaže Urisonovo lemo, Tietzejev razširitveni izrek in celo Uri-
sonov metrizacijski izrek. Ob zveznih funkcijah na normalnih prostorih sta
obravnavana še pojem absolutnega ekstenzorja za normalne prostore in po-
jem razčlenitve enote, podrejene končnemu odprtemu pokritju normalnega
prostora. Poglavje se konča z dokazom Stone-Weierstrassovega izreka za al-
gebro zveznih realnih funkcij (s kompaktno-odprto topologijo) na poljubnem
topološkem prostoru.
Globina podane snovi ustreza programu predmeta Splošna topologija,
nivo strogosti dokazovanja pa je dokaj konstanten: tudi proti koncu učbenika
v zadnjem poglavju, kjer so zajete teme z globoko topološko vsebino, so
dokazi natančni. Avtor je očitno skrbno izbral teme in jih vključil ravno
toliko, da bralec nikdar ne izgubi rdeče niti, če bere od začetka do konca.
Učbenik odlikujejo bralcu prijazne definicije, ki so praviloma pospre-
mljene s primernim uvodom in motivacijo. Dokazi so skrbno izdelani do
podrobnosti in ilustrirani z intuitivnimi barvnimi skicami, kot jih upora-
154 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“topologije-0” — 2009/10/15 — 13:53 — page 155 — #3 i
i
i
i
i
i
Splošna topologija in Topologija
bljamo pri dokazovanju na tabli. V kontrastu s spremnim besedilom in
besedilom dokazov, ki je črno na beli podlagi, je besedilo trditev modro,
besedilo izrekov pa modro na rumeni podlagi. Nazivi na novo vpeljanih
pojmov so lahko opazni, ker so v poudarjenem rdečem tisku. Bralec lahko
tako pri hitrem pregledovanju ali pri ponovnem branju nemudoma najde
definicije pojmov in pomembne rezultate. Vsak razdelek na koncu vsebuje
tudi nekaj vaj brez rešitev, ki so namenjene utrjevanju preštudirane snovi.
Tempo podajanja snovi je primeren za vsakega bralca. Za slušatelje pred-
meta Splošna topologija pa je po mojem mnenju učbenik nadvse dragocen
pripomoček.
Janez Mrčun: TOPOLOGIJA, Izbrana poglavja iz matematike in
računalnǐstva 44, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana 2008, 156 strani.
Učbenik Topologija je v prvi vrsti name-
njen predmetu Uvod v geometrijsko topolo-
gijo, ki je izbiren semestrski predmet v dru-
gem letniku študijskega programa matema-
tike. Ker vsebinsko pokriva tudi program
predmeta Splošna topologija, ga je mogoče
začeti brati brez topološkega predznanja in
je uporaben za oba predmeta.
Učbenik ima sedem poglavij. Prvo po-
glavje obravnava vpeljavo topologije s pomo-
čjo odprtih množic, s pomočjo zaprtih mno-
žic in z operatorjem zaprtja. Sledijo baze,
podbaze, aksioma števnosti, separabilnost,
topologija podprostora ter zveznost presli-
kave, ki jo sestavljajo zvezne preslikave, po-
dane na članicah pokritja prostora.
V drugem poglavju so obdelani najpomembneǰsi pojmi splošne topolo-
gije: separacijski aksiomi, kompaktnost, lokalna kompaktnost in kompakti-
fikacija z eno točko ter povezanost in lokalna povezanost.
Tretje poglavje obravnava tvorbo ”novih“ topoloških prostorov iz ”sta-
rih“. Sistematično so predstavljeni: produkt končne in neskončne (indeksi-
rane) družine topoloških prostorov in produktne lastnosti, kvocientni pro-
stori in deljive lastnosti, topološka vsota družine topoloških prostorov in
zlepki. V tem poglavju je dokaj podrobno obravnavan prostor orbit za de-
lovanje topološke grupe na topološkem prostoru.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 155
i
i
“topologije-0” — 2009/10/15 — 13:53 — page 156 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Četrto poglavje je namenjeno zveznim realnim funkcijam na topološkem
prostoru. Tu sta dokazana Urisonova lema in Tietzejev razširitveni izrek,
sledi pa jima obravnava absolutnih ekstenzorjev in absolutnih retraktov za
dan razred topoloških prostorov. Definirana je razčlenitev enote, podrejena
odprtemu pokritju (poljubne kardinalnosti), in dokazan je obstoj razčlenitve
enote, podrejene odprtemu pokritju parakompaktnega prostora. Na koncu
poglavja sta dokazana Stone-Weierstrassov izrek za splošne topološke pro-
store in tudi njegova kompleksna različica.
V petem poglavju so navedeni in deloma dokazani klasični izreki to-
pologije evklidskih prostorov: Brouwerjev izrek o negibni točki je dokazan
za dimenziji 1 in 2, dokazana je trditev, da topološki diski ne separirajo
evklidskega prostora, Jordan-Brouwerjev izrek in Schoenfliesov izrek pa sta
navedena brez dokaza. Brez dokaza je naveden tudi posplošeni Schoenfliesov
izrek, izrek o invarianci odprtih množic pa je preveden na Jordan-Brouwerjev
izrek. Da bi bilo mogoče formulirati dva pomembna izreka, ki sta ekvivalen-
tna Brouwerjevemu izreku o negibni točki, sta vpeljana pojem homotopije
in pojem kontraktibilnega prostora. Kot zgled za uporabo Brouwerjevega
izreka v dimenziji 2 je dokazan fundamentalni izrek algebre. Avtor je izbral
primeren kompromis med berljivostjo knjige in popolnostjo dokazov: teh-
ničnih podrobnosti je v tem poglavju dovolj, da bralec dobi vtis o globini
topologije evklidskih prostorov in metodah dokazovanja. Po drugi strani jih
ni preveč in ohranjen je pregled nad vsemi pomembnimi izreki.
V šestem poglavju o mnogoterostih so vpeljane topološke mnogoterosti
s kratko obravnavo osnovnih lastnosti in zgledov. Kratko so obravnavani
načini, kako iz danih mnogoterosti pridobimo nove: odprta podmnožica, rob,
produkt, povlek submerzije, prostor orbit delovanja diskretne grupe, vsota,
zlepek, povezana vsota. Avtor se ne ukvarja z vprašanjem, ali oziroma kako
je povezana vsota odvisna od izbir v njeni konstrukciji. Poglavje se konča s
kratko obravnavo sklenjenih ploskev.
V sedmem poglavju so podrobno obravnavani kompleksi: (celični in)
CW kompleksi skupaj z natančnim pregledom njihovih temeljnih topolo-
ških lastnosti, geometrični simplicialni kompleksi in lastnosti, abstraktni
simplicialni kompleksi in geometrična realizacija. Natančno sta definirani
orientacija simpleksa in orientabilnost triangulacije mnogoterosti. Na koncu
je brez dokaza naveden izrek o klasifikaciji sklenjenih ploskev.
Učbenik odlikujeta tako globina kot širina: bralec, ki ga veseli topolo-
gija, bo tu lahko našel številne teme, ki presegajo okvir predmetov Splošna
topologija in Uvod v geometrijsko topologijo, zato pa snov zaokrožijo v kom-
156 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“topologije-0” — 2009/10/15 — 13:53 — page 157 — #5 i
i
i
i
i
i
Splošna topologija in Topologija
pleksno celoto. Nekatere teme so se tu prvič pojavile v slovenskem učbeniku.
Vaje so del glavnega besedila knjige in so namenjene nadgrajevanju podane
snovi: bralec lahko kreativno sodeluje pri branju z lastnim dokazovanjem.
Kot del glavnega besedila so bralcu na voljo številni premǐsljeni zahtevni
zgledi, s katerimi lahko poglobi razumevanje snovi in gradi topološko in
geometrično intuicijo. Tempo podajanja snovi in širina snovi sta primerna
tudi za najzahtevneǰse bralce.
Jaka Smrekar
Wilfried Imrich, Sandi Klavžar in Douglas F. Rall: TOPICS IN
GRAPH THEORY: GRAPHS AND THEIR CARTESIAN PRO-
DUCT, A K Peters, Wellesley, Massachusetts, 2008, 220 strani.
V svetovnem matematičnem letu 2000
je pri založbi Wiley-Interscience izšla knjiga
Wilfrieda Imricha in Sandija Klavžarja z na-
slovom Product Graphs: Structure and Reco-
gnition, ki je prvič na enem mestu zbrala vse
glavne rezultate o strukturi in algoritmič-
nih lastnostih najpomembneǰsih štirih grafo-
vskih produktov: kartezičnega, direktnega,
krepkega in leksikografskega. Knjiga je pri
raziskovalcih, pedagogih in študentih doži-
vela zelo lep sprejem.
Zdaj je pred nami nova knjiga istih av-
torjev, ki se jima je pridružil še Douglas
F. Rall, izdala pa jo je založba A K Peters.
Skupaj s knjigo Graphs on Surfaces Bojana
Moharja in Carstena Thomassena, ki jo je leta 2001 izdala založba Johns
Hopkins University Press, je to že tretja knjiga slovenskih (so)avtorjev na
področju teorije grafov, objavljena pri ugledni mednarodni znanstveni za-
ložbi. Ta podatek prav gotovo potrjuje vitalnost in prodornost slovenske
diskretne matematike in še posebej teorije grafov v svetovnem merilu.
Preden se posvetimo vsebini nove knjige, povejmo nekaj besed o avtorjih.
Wilfried Imrich je profesor na Montanistični univerzi v Leobnu (Avstrija).
Sandi Klavžar je profesor na univerzah v Ljubljani in Mariboru. V letu 2000
je prejel Zoisovo priznanje za pomembne znanstvene dosežke v matematiki
na področju teorije grafov, v letu 2007 pa Zoisovo nagrado za vrhunske
znanstvene in razvojne dosežke na področju matematike. Douglas F. Rall
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 157
i
i
“topologije-0” — 2009/10/15 — 13:53 — page 158 — #6 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
je profesor na Furmanovi univerzi v Greenvilleu (Južna Karolina, ZDA).
Ker so avtorji sami vodilni raziskovalci na področju grafovskih produktov,
prinaša knjiga veliko svežih rezultatov, ki so bili objavljeni v znanstvenih
revijah približno sočasno z izidom knjige. Hkrati je bila knjiga že pred
izidom temeljito preskušena pri podiplomskih tečajih na domačih univerzah
avtorjev.
Zasnova knjige je zanimiva in inovativna: za rdečo nit so avtorji izbrali
kartezične produkte grafov in njihove podgrafe, ki imajo zaradi svojih le-
pih metričnih lastnosti številne uporabe v teoriji kodiranja, dodeljevanju
radijskih frekvenc, teoretični kemiji in drugod. Ob tej vodilni témi bralec
spozna vsa pomembna področja teorije grafov – od povezanosti, hamilton-
skosti in ravninskosti prek številnih invariant do metričnih, algebraičnih in
algoritmičnih vidikov. Knjiga je tako razdeljena na pet delov, vsak od njih
pa obsega več poglavij, ki jih je v celoti osemnajst. Zelo pohvalno je, da
poglavja v povprečju ne presegajo deset strani, kar naredi knjigo berljivo
in dostopno tudi manj veščim bralcem. Dobrodošli so tudi kratki ”napove-
dniki“ na začetku vsakega poglavja, ki podajajo pregled vsebine poglavja in
ga umeščajo v širši kontekst.
V prvem delu knjige spoznamo definicijo in osnovne lastnosti kartezič-
nega produkta grafov ter nekaj praktično pomembnih družin grafov, ki so
definirane ali karakterizirane z njegovo pomočjo. To so hiperkocke (kar-
tezične potence polnega grafa K2), Hammingovi grafi (kartezični produkti
poljubnih polnih grafov) in hanojski grafi (vpeti podgrafi Hammingovih gra-
fov, ki ustrezajo prostoru stanj pri reševanju znanega problema hanojskega
stolpa). V drugem delu se srečamo s hamiltonskostjo, ravninskostjo, prekri-
žnimi števili, povezanostjo in podgrafi, najprej v splošnem, nato pa še s po-
sebnim ozirom na kartezične produkte grafov. Navedena je odprta domneva
Rosenfelda in Barnetta iz leta 1973, da je prizma (kartezični produkt z gra-
fom K2) nad poljubnim 3-povezanim ravninskim grafom hamiltonski graf,
hkrati pa je podan eleganten dokaz izreka, da je k-kratna prizma (kartezični
produkt z grafom Kk2 ) nad takim grafom hamiltonski graf za vse k ≥ 2. Do-
kaz med drugim uporablja tudi karakterizacijo hamiltonskosti kartezičnega
produkta hamiltonskega grafa in drevesa avtorjev Batagelja in Pisanskega
iz leta 1982. Tretji del knjige je posvečen grafovskim invariantam, kot so
neodvisnostno število, kromatično število, P-kromatično število (kjer je P
neka dedna lastnost grafov), krožno kromatično število, seznamsko kroma-
tično število, L(2, 1)-označevalno število, kromatični indeks in dominacijsko
število. Avtorji si zastavijo zanimivo vprašanje, kaj lahko povemo o vredno-
sti neke invariante na kartezičnem produktu, če poznamo njene vrednosti na
158 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“topologije-0” — 2009/10/15 — 13:53 — page 159 — #7 i
i
i
i
i
i
Topics in Graph Theory
posameznih faktorjih. Kot izvemo, so razmere pri različnih invariantah zelo
različne: medtem ko je npr. razmeroma preprosto videti, da je kromatično
število kartezičnega produkta enako največjemu izmed kromatičnih števil
njegovih faktorjev, pa je Vizingova domneva iz leta 1968, ki pravi, da je do-
minacijsko število kartezičnega produkta večje ali kvečjemu enako produktu
dominacijskih števil faktorjev, še vedno odprta.
Kot že omenjeno, velika praktična uporabnost kartezičnih produktov iz-
haja predvsem iz njihovih lepih metričnih lastnosti, s katerimi se ukvarja
četrti del knjige. Avtorji npr. pokažejo, da sta premer oziroma polmer kar-
tezičnega produkta grafov enaka vsoti premerov oziroma polmerov njegovih
faktorjev in da je mogoče njegov Wienerjev indeks (s katerim v teoretični
kemiji opisujejo fizikalno-kemične lastnosti molekul) preprosto izračunati iz
vrednosti Wienerjevega indeksa faktorjev. Med podgrafi kartezičnih produk-
tov avtorji posebej izpostavijo izometrične podgrafe, pri katerih se metrika
podgrafa ujema z zožitvijo metrike celotnega grafa na množico vozlǐsč pod-
grafa. Tako npr. izometrične podgrafe hiperkock imenujemo delne kocke,
izometrične podgrafe Hammingovih grafov pa delni Hammingovi grafi. Ta
del knjige se sklene z dokazom fundamentalnega izreka metrične teorije kar-
tezičnih produktov, ki pravi, da ima vsak graf kánonsko metrično predsta-
vitev, tj. enolično izometrično vložitev v kartezični produkt z maksimalnim
številom neredundantnih faktorjev.
Peti del knjige obravnava algebraične in algoritmične lastnosti karte-
zičnih produktov. Če izomorfnih grafov ne ločimo med seboj, je množica
grafov, opremljena s kartezičnim produktom, Abelov monoid z enoto K1.
Po analogiji s praštevili imenujemo grafe, ki nimajo netrivialnih kartezičnih
razcepov, pragrafi. Avtorji pokažejo, da izrek o enoličnem razcepu grafa
na pragrafe velja za vse povezane grafe, za nepovezane pa v splošnem ne.
Zato je kar presenetljivo, da za vse grafe (tudi nepovezane) veljata pravili
kraǰsanja in enoličnosti r-tih korenov. S pomočjo enoličnega razcepa pove-
zanega grafa na pragrafe avtorji razkrijejo strukturo grupe avtomorfizmov
povezanega grafa: le-ta je izomorfna grupi avtomorfizmov disjunktne unije
prafaktorjev grafa. Te rezultate uporabijo za analizo razlikovalnega števila
grafa, tj. najmanǰsega naravnega števila d, za katero obstaja označitev vo-
zlǐsč grafa z d oznakami, ki jo ohranja le identični avtomorfizem. Tako
npr. dokažejo, da je razlikovalno število k-te kartezične potence poljubnega
netrivialnega povezanega grafa, različnega od grafov K2 in K3, enako 2 za
vse k ≥ 2. Nazadnje avtorji predstavijo dva pomembna algoritma, in sicer
za razcep povezanega grafa na pragrafe in za razpoznavanje delnih kock,
oba s časovno zahtevnostjo O(mn), kjer je n število vozlǐsč, m pa število
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 159
i
i
“topologije-0” — 2009/10/15 — 13:53 — page 160 — #8 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
povezav danega grafa.
Posebna dragocenost knjige so naloge, s katerimi se konča vsako poglavje
in ki jih je skupaj več kot dvesto. Na koncu knjige najdemo rešitev ali vsaj
namig za rešitev prav vsake od nalog. Seznam literature obsega 122 referenc,
sledijo pa mu tri koristna kazala: imensko kazalo, kazalo oznak in stvarno
kazalo.
Knjiga bo rabila raziskovalcem na področju grafovskih produktov kot
enciklopedija znanih rezultatov, pedagogom in študentom kot izvrsten uč-
benik, veseli pa je bodo tudi vsi drugi ljubitelji teorije grafov, ki se želijo
seznaniti z najnoveǰsimi rezultati na tem področju.
Marko Petkovšek
William P. Berlinghoff in Fernando Q. Gouvêa: MATEMATIKA
SKOZI STOLETJA, Modrijan, Ljubljana 2008, 224 strani.
Ob prebiranju knjige sem se spomnil starih časov, ko sem na Fakulteti
za strojnǐstvo vodil vaje iz matematike. Pogosto so bili študenti nemirni.
Ko pa sem začel pripovedovati kakšno zgodbo iz zgodovine matematike, so
nenadoma vsi utihnili in prisluhnili ter me celo kaj vprašali. To najbrž
pomeni, da študente, pa tudi učence, dijake, učitelje, profesorje in vse, ki
imajo opravka z matematiko, le-ta zanima tudi po zgodovinski plati.
V slovenščini je kar nekaj del, ki posebej obravnavajo zgodovino mate-
matike, pa tudi nekaj takih, ki ji posvečajo vsaj kak razdelek. Pričujoča
knjiga pa jim je lahko dobrodošel in koristen dodatek. Bralec bo spoznal,
da matematika ni od včeraj, ampak je, taka kot je, rezultat svojega večti-
sočletnega razvoja, v katerem so bile tudi zablode, tragedije in afere, saj so
jo ustvarjali živi ljudje.
Avtorja knjige najprej povesta, komu in čemu je knjiga namenjena. To
so predvsem učitelji matematike, ki naj bi vnesli v pouk tudi kakšno zanimi-
vost iz zgodovine matematike. Nato bralca približno tretjina knjige popelje
skozi zgodovino matematike, od njenih najstareǰsih začetkov prek starogr-
ške, kitajske, indijske, arabske, srednjeveške pa vse do današnje matematike.
Naslednji del knjige sestavlja 25 skic, od katerih vsaka obravnava najpo-
membneǰse mejnike v razvoju matematike, na primer zapise števil, razvoj
matematičnih simbolov, težave pri uvajanju negativnih in kompleksnih šte-
vil. Tako spoznamo razvoj posameznih matematičnih področij skozi stoletja
in glavne ideje, ki so jih omogočile.
Knjiga nas ves čas opozarja na matematično literaturo, kjer lahko naj-
160 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4
i
i
“topologije-0” — 2009/10/15 — 13:53 — page 161 — #9 i
i
i
i
i
i
Matematika skozi stoletja
demo drugačne poglede na zgodovinski ra-
zvoj matematike in poglobljene študije tovr-
stne problematike. Delo se konča s sezna-
mom 141 del, ki jih lahko bralec v ta namen
vzame v roke, 15 od teh pa jih avtorja na-
vajata kot obvezna za študij zgodovine ma-
tematike. Čisto na koncu pa je dodano še
stvarno kazalo.
Avtorja sta večkrat zapisala: ”Zaupajmo,
vendar preverjajmo!“ To velja tudi za slo-
vensko izdajo obravnavane knjige, v katero
se je žal prikradlo kar precej takšnih in dru-
gačnih neljubih napak, in nepošteno bi bilo,
da nekaterih ne bi vsaj omenili. Na srečo jih
bo večino pozorni bralec takoj opazil sam in upajmo, da se nihče ne bo
izgovarjal, češ, saj v knjigi tako pǐse. Omenimo jih samo nekaj. Na strani
34 je očitna napaka že v prvem stavku, kajti nemogoče je, da bi islamski im-
perij obstajal okoli leta 750 pred Kr. Moralo bi pisati 750 let po Kr. Slavni
francoski matematik Lagrange je pisan napačno: Langrange. Napako opa-
zimo v formuli za korena kvadratne enačbe, sredi Cardanove formule in še
kje. Navedena sta Pascalov in njemu dualni izrek, ki se začneta z bese-
dami: Preseku stožca lahko včrtamo šestkotnik . . . Zveni tako, kot da ne
moremo na primer elipsi vedno včrtati šestkotnika. Pascalov izrek vsebuje
dve različni besedi za isto reč: šestkotnik in šesterokotnik. Naše matema-
tično izrazoslovje že vsaj četrt stoletja uporablja besedo šestkotnik. Besedna
kombinacija presek stožca bi bila lahko povsod kar stožnica. Ta že dolgo
zamenjuje starinsko besedo stožernica, ki jo tudi srečamo v obravnavani
knjigi. Pogosto gre samo za tiskovno napako, ko je kakšna črka preveč.
Največ napak opazimo v podnapisih k slikam. Prikazana je kitajska
varianta znanega Pascalovega trikotnika. Iz vsega skupaj ni jasno, ali je
Jang Hui zapisal njegovih prvih 7 vrstic, kajti na sliki jih je 9. Na strani 105
pǐse pod sliko Prvih sto decimalk . . . , očitno pa jih je tisoč. Na strani 160
je v podnapisu tudi spodrsljaj: moralo bi pisati sin(90◦ − α) = cos α, ne pa
sinα(90◦ − α) = cos α. Na strani 165 sta med seboj zamenjana znaka <
in >.
Torej stavek ”Zaupajmo, vendar preverjajmo!“ velja tudi za knjigo samo.
S to opazko pa jo bralcem, ki jih zanima zgodovina matematike, vseeno toplo
priporočamo.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 XV
i
i
“kolofon” — 2009/10/15 — 13:51 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JULIJ 2009
Letnik 56, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Hadamardove matrike in misija Mariner 9 (Aleksandar Jurišić) . . . . . . . . . 121–135
Spominska plošča Francu Hočevarju (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136–143
Galilejeve lune (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145–147
Nove knjige
Splošna topologija in Topologija (Jaka Smrekar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153–157
Topics in Graph Theory (Marko Petkovšek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–160
Matematika skozi stoletja (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–XV
Vesti
Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143–144
Ob odprtju prenovljenega Peterlinovega paviljona (Janez Bonča) . . . . . . 148–150
Prenovljeni Peterlinov paviljon (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151–152
CONTENTS
Articles Pages
Hadamard Matrices and Mariner 9 Mission (Aleksandar Jurišić) . . . . . . . . 121–135
Memorial tablet to Franc Hočevar (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136–143
Jovian satellites (Galilean moons) (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145–147
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153–XV
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143–152
Na naslovnici: Jupiter razkazuje Veliko rdečo pego, poleg pa so štiri največje
Galilejeve lune (od vrha) Io, Evropa, Ganimed in Kalisto (vir: NASA). Glej članek
na strani 145.