Anleitung zum Ne ch n e n für die zweyte und dritte Claffe der Pfarr. und «Hauptschulen in den k. k. Staaten. Verfaßt von Poctor Franz Mozhnik, Lehrer der vierten Classe an der Hauptschule zu Görz- Kostet ungebunden 12 Kr. C. M. Gebunden in ledernen Rücken —16 Kr. C. M. Wien, I8Ä7. Im Verlage der k. k. Schulbücher-Verschleiß-Admini¬ stration bep St. Anna in der Johannisgaffe. 11066^ '5^ c. Vorbegriffe 8- I. ÄUehrere Dinge von einerlcy Art nennt man eine Mehrheit, jedes einzelne solche Ding heißt EinS oder eine Einheit. Z. B. drey Kreuzer bilden eine Mehrheit; denn man hat einen Kreuzer und noch einen Kreuzer und wieder einen Kreuzer, also drey Dinge von derselben Art; ein Kreuzer ist eine Einheit. Eben so sind fünf Striche, vier Äpfel, sieben Schüler Mehr¬ heiten; ein Strich, ein Apfel, ein Schüler hingegen sind Einheiten. Die Einheit sowohl als auch jede beliebige Mehr¬ heit wird eine Zahl genannt. Bey jeder Zahl muß eine Einheit gedacht werden, welche darin einmahl oder mehrmahl enthalten ist. 8- 2. Es gibt unbenannte und benannte Zahlen. Wenn bey einer Zahl kein Nähme vorkommt, so heißt sie unbrnannt; bey einer unbenannten Zahl sieht man nicht auf die Art der Einheiten, welche darin vorkommen, sondern bloß auf ihre Menge. Z. B. fünf ist eine unbenannte Zahl, sie drückt nur die Menge der A 2 4 Einheiten aus, sagt aber nicht, was für Einheiten eS sind. — Eine unbenannte Zahl kann was immer für Einheiten vorstellen; unter fünf kann man sich fünf Kreuzer, fünf Striche, fünf Schüler, oder was immer für fünf Einheiten denken. Eine Zahl, bey welcher einNahme vorkommt, heißt benannt, dabey wird nicht nur die Menge, sondern auch die Art der Einheiten, welche darin enthalten sind, angezeigt. Z. B. fünf Kreuzer ist eine benannte Zahl, sie drückt aus, wie viel Einheiten da sind, und zugleich, was für Einheiten es sind. — Eine benannte Zahl kann nur eine Art von Einheiten vorstellen; so kann die Zahl fünf Kreuzer nur Kreuzer bedeuten. 8. 3. Jede Zahl kann durch hörbare Wörter und durch sichtbare Schriftzeichen ausgedrückt, d. h. sie kann aus¬ gesprochen und angeschrieben werden. Die auf einander folgenden Zahlen durch Wörter auSdrückcn, heißt zählen. Die Schriftzeichen der Zah¬ len nennt man Ziffern. --- Erstes Hauptstück. Zahlen unter hundert und ihr Zusammenhang. 8. 4. Ä8enn man zu eins wieder eins, und dann noch ernö, und .immer wieder eins dazusetzt, so bekommt 5 man nach und nach immer neue und größere Zahlen. Weil nun dieses Hinzusetzen von eins zu der schon vorhandenen Zahl ohne Ende fortgesetzt werden kann, so sind unendlich viele Zahlen möglich. Wollte man jede solche Zahl mit einem eigenen Worte und einer eigenen Ziffer bezeichnen, so müßte man unzählig viele Nahmen und Ziffern haben, die man aber alle sich nicht merken könnte. Man suchte daher die Bezeichnung aller möglichen Zahlen sich da¬ durch zu erleichtern, daß man sie in mehrere Abhei¬ lungen brachte, bey denen die Zahl zehn als Ruhe- Punct dient; wahrscheinlich darum, weil man Anfangs Alles an den zehn Fingern der beyden Hände abzu¬ zählen pflegte. Die Nahmen und Ziffern der ersten neun Zah¬ len, welche hier durch Striche versinnlichet werden sollen, sind: j .eins ... 1, I !.zwey . . . S, ! ! !.drey ... 3, I ! ! !.vier ... 4, !!!!!-... fünf ... 5, !!!!!!... sechs... 6, ! l ! ! ! I ! - - sieben. . . 7, !!!!!!!!- acht ... 8, !!!!!!!!! neun. . . 9, Die hier angeführten Ziffern werden gewöhnlich arabische genannt. 8- 5. Auf neun folgt zehn. Zehn Einheiten nennt man einen Zehner. Wenn man beym Zählen bis zehn kommt, so fängt man wieder von vorn an, / indem man sagt: 6 Hierauf folgt zehn und zehn, wofür man zwanzig sagt. Zwanzig ist also zweymahl zehn, oder es enthält zwey Zehner. Nach zwanzig fängt man wieder von eins zu zäh¬ len an, nähmlich ein und zwanzig, zwey und zwanzig,... neun und zwanzig. Statt zehn und zwanzig sagt man dreyßig. Dreyßig enthält also dreymahl zehn Einheiten oder drey Zehner. Auf dieselbe Art wird auch das weitere Zählen vorgenommen, nur wird statt zehn und dreyßig ,, zehn und vierzig „ zehn und fünfzig „ zehn und sechzig „ zehn und siebenzig ,, zehn und achtzig . . vierzig, - - fünfzig, - - sechzig, . . siebenzig, . . achtzig, . . neunzig gesagt. Daraus folgt, daß Vierzig . . viermahl zehn Einheiten oder vier Zehner, fünfzig . . fünfmahl zehn sechzig . . sechsmahl zehn siebenzig. . siebenmahl zehn achtzig . . achtmahl zehn neunzig . . neunmahl zehn " „ fünf „ » „ sechs „ „ „ sieben „ „ „ acht „ „ ,, neun ,, in sich enthält. 7 Um die Größe und die Bestandteile der Zahlen, welche aus Zehnern und Einheiten bestehen, recht an¬ schaulich zu machen, versinnliche man jeden Zehner durch eine Reihe von zehn Strichen, mache so viele solche Reihen unter einander, als Zehnerda sind, und unter die letzte Zehnerreihe setze man noch so viele Striche, als Einheiten neben den Zehnern vorkommen; z. B. sieben und zwanzig würde man so versinnlichen: §. 8- 'Um die verschiedenen Zehner anzuschreiben, be¬ dient man sich derselben Ziffern, mit denen die Einhei¬ ten bezeichnet werden, nur hängt man jeder Ziffer , rechts das Zeichen 0, welches die Null le heißt, an. Man bezeichnet nähmlich: 1 Zehner oder zehn durch 10, 2 Zehner „ zwanzig „ 20, 3 Zehner drcyßig „ 30, / 9 Zehner „ neunzig ,/ 90. Kommen in einer Zahl neben den Zehnern auch Einheiten vor, so schreibt man die Einheiten an die Stelle der Nulle, also in die erste Stelle zur Rechten, die Zehner aber bleiben an der zwcyten Stelle. Z. B. sieben und vierzig enthält 4 Zehner und 7 Einheiten, man schreibt also 47; zwölf bestehet aus 1 Zehnerund 2 Einheiten, es wird daher durch 12 bezeichnet. Eben so schreibt man sechs und neunzig . . 96, neun und achtzig . . 89, 8 ein und dreyßig . . 31, achtzehn. 18. So viele Einheiten eine Ziffer für sich allein be¬ deutet, eben so viele Zehner bedeutet sie an der zwey- ten Stelle von der Rechten. 8- 7. Wenn man umgekehrt eine mit zwey Ziffern ange¬ schriebene Zahl aussprechen will, braucht man nur die beyden Ziffern in ihrer wahren Bedeutung zu nehmen, nähmlich die erste von der Rechten als Einheiten, die zweyte als Zehner. Z. B. in 48 bedeutet die erste Ziffer rechts 8 Ein¬ heiten also acht, die zweyte Ziffer von der Rechten 4 Zeh¬ ner also vierzig; 48 wird daher gelesen: acht und vierzig,. Beym Anschreiben werden früher die Zehner und dann die Einheiten angesetzt, beym Aussprechen aber nennt man zuerst die Einheiten, dann die Zehner, und verbindet beyde durch das Wörtchen und. > In 90 stehet an der ersten Stelle rechts 0, es kom¬ men also keine Einheiten vor, und man spricht nur die neun Zehner aus, also neunzig. So liest man 29 . . . neun und zwanzig, 51 . . . ein und fünfzig, 66 . . . sechs und sechzig, 40 . . . vierzig, 14 . . . vierzehn. 8- 8. " Die Zahlen unter hundert sind für das ganze Rech¬ nen von der größten Wichtigkeit,,sö daß Anfänger nicht eher die weitern Zahlen vorzunehmen haben, als bis sie 9 die ersten recht klad überblicken, und damit die verschiedensten Veränderungen fertig auszuführen im Stande sind. Zu diesem Ende sind hier folgende Übun¬ gen vorzunehmen. L. Übungen im Hinzusetzen der Zahlen. Man fange bey irgend einer Zahl an, und zähle nach und nach immer I dazu, z. B. 1 und I ist 2, 2 und 4 ist 3, 3 und 1 ist 4, u. s. w. Dann setze man eben so wiederhohlt 2, dann 3, 4, 5, . . . hinzu. Die Versinnlichung dabey geschieht am besten da¬ durch, daß man so viele Striche neben einander hin¬ schreibt, als die betreffenden Zahlen Einheiten enthalten. Bey diesen Übungen ist stets auf die Ergänzung der Zehner besondere Rücksicht zu nehmen. Wenn z. B. zu 36 die Zahl 9 hinzugesetzt werden soll, so wird zu 36 in Gedanken zuerst so viel dazugezählt, daß man die nächsten Zehner, nähmlich 40 bekommt, und dann noch das Übrige dazu gesetzt; man denkt nähm¬ lich: 36 und 4 ist 40, und noch die 5 dazu ist 45; man zerlegt hier 9 in 4 und 5, zählt zuerst 4 und dann 5 dazu. 2. Übungen im Hinwegnehmen der Zahlen. Man beginnt wieder bey irgend einer Zahl, und nimmt wiederhohlt 4 hinweg, z. B. 4 von 99 bleibt 98, 4 von 98 bleibt 97, I von 97 bleibt 96, u. s. w. Später wird 2, dann 3, 4, 5, . . . wiederhohlt weg¬ genommen. Auch hier kann die Versinnlichung durch Striche geschehen. 8. 9. 3. Übungen im Vervielfachen der Zahlen. Diese sollen in der Einübung des sogenannten Einmahleins bestehen, und zwar nach folgendem Stu- engange: L0 1. Man zähle zu I noch 1 dazu, so erhält man 2, Lmahl I ist also 2; setzt man zu 2 wieder I, so hat man 3, 3mahl 1 ist also 3, u. s. w. 2. Man setze zu 2 noch 2 hinzu, so hat man 4, 2mahl 2 ist also 4, oder das 2fache von 2 ist 4; wenn man zu 4 noch einmahl 2 setzt, so kommt 6 heraus, und man hat 3mahl 2 ist 6, oder das 3fache von 2 ist 6; zählt man zu 6 wieder 2, so hat man 8, zugleich kommt darin 2 4mahl vor, 4mahl 2 ist also 8, oder das4fache von 2 ist 8; u. s. w. 3. Auf dieselbe Art können auch die Vielfachen von 3, 4, 5, ... 9 abgeleitet werden. Am anschaulichsten geschehen diese Übungen, wenn man so viel Striche anschreibt, als die Zahl Einheiten enthält, deren Vielfache man haben will, dann in einiger Entfernung noch einmahl so viel Striche ansetzt, dann wieder so viel Striche, u. s. w. Wenn man z. B. die Vielfachen von 3 einüben wollte, so wird man nach und nach folgende Reihe bilden III !!I I!! I!! III !!! III III III 3 6 9 12 15 18 21 24 27. So oft man 3 neue Striche macht, wird bemerkt, wie vielmahl 3 Striche man hat, und wie viel Striche es zusammen sind. Durch Beobachtung dieses Stufenganges wird man in den Stand gesetzt, nachstehende Tabelle nicht nur mechanisch herzusagen, sondern auch von deren Richtigkeit Rechenschaft abzulegen. Eittmahleirrs Haben die Anfänger einmahl recht viel Geläufig¬ keit in der Angabe der verschiedenen Vielfachen der¬ selben Zahl, nähmlich wie viel z. B. I mahl 3, 2mahl 3, 3mahl 3, 4mahl 3, Smahl 3, . . . ist; so sollen sie auch die Gleichvielfachen verschiedener 12 Zahlen angeben, nähmlich wie viel z. B. 3mahl I, 8nmhl 2, 3mahl 3, 3mahl 4, 3mahl 5, . . . ist. §. 10. 4. Übungen im Enthaltenseyn der Zahlen. Eine ganz anschauliche Art, diese Übungen vor¬ zunehmen, bestehet in der Versinnlichung durch Striche. Man schreibt zuerst einen Strich an, und dazu nach und nach immer wieder einen Strich,, und zählt jedes- mahl ab,.wie oft zuerst 1 Strich in Her angeschriebenen Anzahl Striche vorkommt, dann wse oft 2 Striche in der jedesmahligen Anzahl enthalten sind, u. s. w. Am gründlichsten verfährt man jedoch, wenn man diese Übungen nebstbey auch aus dem Einmahleins ab¬ leitet, und zwar nach folgendem Stufengange. 1. Daß 1 in I lmahl, 1 in 2 2mahl, 1 in 3 3 Mahl, -. . . enthalten ist, ist von selbst klar. 2. Nun bestimme man, wie oft 2 in den Zahlen unter L0 enthalten ist. Zu diesem Hude wiederhohltman zuerst die Vielfachen von 2, und schließt dann: weil 2 das I fache von 2 ist, so ist 2 in 2 Imahl enthal¬ ten; weil 4 das 2fache von 2 ist, so kommt 2 in 4 2mahl vor; 6 ist das Zfache von 2, also ist 2 in 6 3mahl enthalten; u. s. w. — Ist aber eine Zahl nicht eben ein Vielfaches von 2, so nehme man das nächst kleinere Vielfache, und sehe, wie oft 2 darin enthalten ist; z. B. wie oft ist 2 in !3 enthalten? 1'3 ist kein Vielfaches von 2, das nächst kleinere Vielfache ist 12, und zwar das 6fache, 2 ist also in 12 «mahl, folglich auch in 13 6mahl enthalten; 7mahl kommt es darin nicht vor, weil 7mahl 2 schon 14 ist. 13 Eben so suche man, wie oft 3 in den Zahlen un¬ ter 30, 4 in den Zahlen unter 40, . . . 9 in den Zahlen unter 90 enthalten ist. Sehr zweckmäßig ist es, bey diesen Übungen die Vielfachen der betreffenden Zahl in einer Reihe hinzu¬ schreiben, und unter feder Zahl auch zu bemerken, das Wievielfache sie von der angenommenen Zahl ist. Z. B. man will wissen, wie oft 6 in den verschiedenen Zahlen enthalten ist, so schreibt man 6 12 18 2t 30 36 42 48 54 12345878« Wie oft ist nun 6 in 12 enthalten? 12 ist das Zfache von 6, also ist 6 in 12 2mahl enthalten. — Wie oft ist 6 in 54 enthalten? 5t ist das öfache von 6, also ist 6 in 5t 9mahl enthalten. Wie oft kommt 6 in L9 vor? 29 ist kein Viel¬ faches von 6, das nächst kleinere Vielfache ist 24, und zwar das tfache, also ist 6 in24 4mahl, daher auch in 29 4mahl enthalten. — Wie oft ist 6 in 52 ent¬ halten ? 52 kommt unter den Vielfachen von 6 nicht vor, das nächst kleinere Vielfache ist 48, und zwar das 8fache, in 48 ist also 6 8mahl enthalten, daher kommt es auch in 52 8mahl vor. Hier kann nicht genug eingeschärft werden, daß Anfänger nicht eher zu einer folgenden Zahl den Übergang machen, als bis sie durch oftmahliges Wic- derhohlen und verschiedenseitiges Auffaffen das Enthal- tenscyn der vorhergehenden Zahlen sich recht gut eigen gemacht haben. - A LX-ov«- 14 Zweytes Haupt stück. Zahlen über hundert hinaus. 8- 11. Zehn Zehner bilden ein Hundert. / Wenn man bis hundert zählen §ann, so ist das weitere Zählen nichts Neues. Man fängt nähmlich wie¬ der bey eins an, und sagt: hundert eins, hundert zwey, .... hundert neun und neunzig. Statt hundert und hundert sagt man zweyhun« dert, dann zählt man eben so weiter: zweyhundert eins, zweihundert zwey, zwcyhundert drey, .... und kommt nach und nach auf dreyhundert, vierhundert, u. s. w. 8- 12. Zur Bezeichnung der Hunderte bedient man sich derselben Ziffern, mit denen man die Einheiten bezeich¬ net, nur werden jeder Ziffer zwey Nullen angehängt, so daß die Ziffer der Hunderte an der dritten Stelle von der Rechten erscheint, Man schreibt nähmlich für 2 Hunderte oderZwephundert . . . 200, „ 3 Hunderte » dreyhundcrt . . . 800, // 9 Hunderte ,/ neunhundert . . . 900. 15 Wenn außer den Hunderten auch Zehner vorkom-- men, so setzt man diese an die zweyte Stelle; kommen auch Einheiten vor, so werden sie an der ersten Stelle rechts geschrieben; z. V. Vierhundert fünfzig schreibt man 450, dreyhundert vierzig „ ,/ 340, siebenhundert acht „ „ 708, hundert fünf „ /, 105, fünfhundert drey und achtzig „ „ 583. Wie schreibt man: zweyhundert neunzig; neun-- hundert eins; fünfhundert drey und vierzig; sechshun¬ dert neun und dreyßig; siebenhundert eilf? ^Äuf die Hunderte müssen jedesmahl noch zwey Ziffern folgen, die Ziffer der Zehner und die Ziffer der Einheiten. §- 13. Um umgekehrt, eine mit drey Ziffern geschriebene Zahl auszusprechen, muß man bedenken, daß die dritte Ziffer von der Rechten angefangen Hunderte, die zweyte Zehner, und die erste Einheiten bedeutet. Z. B. m 893 bedeutet 8 so viele Hunderte, also acht¬ hundert; 9 bedeutet 9 Zehner also neunzig; 3 bedeutet Einheiten also drey; zusammen achthundert drey und neunzig. Man nennt also zuerst die Hunderte, dann spricht man die Einheiten und zuletzt die Zehner aus- So liest man 351 - - . dreyhundert vier und fünfzig, "12 . . . siebenhundert zwölf, 830 . . . achthundert dreyßig, 902 . . . neunhundert zwey, 700 . . . siebenhundert. 16 Man soll noch folgende Zahlen aussprechen: 360, 256, 396, 762, 467, 231, 588, 991, 471, 139, 811. 8- 14. (Zehn Hunderte nennet man ein Tausend.) Bcym Zählen über tausend hinaus fängt man wieder bey eins an; nähmlich tausend eins, tausend zwey, . . . tausend hundert; tausend hundert eins tausend hundert zwey, . . . tau¬ send zweyhundert; tausend zwcyhundert eins, tausend zweyhundcrt zwey, u. s. w. bis man auf zweytau- send kommt. Dann zählt man wieder von vorne, und kommt nach und nach auf dreytausend, viertausend, . . . zehntausend. Auf dieselbe Art wird dann weiteLHezählt. Zehnmahl zehntausend ist hunderttausend, zehn- mahl hunderttausend ist tausendmahl tausend, was man eine Million nennt. So wie die ursprünglichen Einheiten, Zehner, Hunderte, Tausende, Zehntausende, Hunderttausendc aufeinanderfolgen, so kommen dann die Einheiten der Millionen, Zehner der Millionen, Hunderte der Millio¬ nen, Tausende der Millionen, Zehntausende der Mil¬ lionen und Hunderttausende der Millionen. Eine Million Millionen heißt eine Billion, eine Million Billionen eine Trillion, u. s. w. Dabey wird dann ebenfalls nach Einheiten, Zehnern, Hunder¬ ten, . . . gezahlt. 8. 15. Die Zahlen über tausend hinaus werden nach denselben Grundsätzen angeschrieben, wie die Zahlen / . " unter tausend;fman schreibt nähmlich dre Einheiten an die erste Stelle zur Rechten, die Zehner an die zweyte, die Hunderte an die dritte, die Tausende setzt man an die vierte Stelle, die Zehntausende an die fünfte, die Hunderttausende an die sechste, die Einheiten der Millionen an die siebente, u. s. w?) Z. B. die Zahl siebentausend fünfhundert acht und dreyßig enthält 7 Tausende, 5 Hunderte, 3 Zehner und 8 Einheiten, wird also durch 7538 ausgedrückt. — Die Zahl achttausend sieben und fünfzig bestehet aus 8 Tausenden, keinen oder 0 Hunderten, 5 Zehnern und 7 Einheiten, daher schreibt man 8057. Eben so bezeichnet man dreytausend vierhundert sechs, durch 3 l06, fünftausend zweyhundert neunzig „ 5290, sechstausend „ 6000, zwey Millionen fünfhundert drey Tausend und acht ,, 2503008. 8. 16. Will man umgekehrt eine mehrziffrige Zahl aus¬ sprechen, so braucht man nur jede Ziffer in ihrer wahren Bedeutung zu nehmen, und alles zusammen zu setzen. Z. B. 3842 bedeutet drey Tausende, acht Hunderte, vier Zehner und zwey Einheiten; wird also gelesen: dreytausend achthundert zwey und vierzig. Eben so liest man 5006 . . fünftausend und sechs, 27380 . . sieben und zwanzig Tausend, dreyhundert achtzig. 1350600 . . eine Million, dreyhundert fünfzig Tau¬ send, sechshundert. Rechend, f. d. It. «. M. El. B 18 8- >7. Um mehr Fertigkeit im Anschreibcn und Lesen mehrziffrigcr Zahlen zu erlangen, pflegt man sie in Klassen einzuthcilcn. Die ganze Aufeinanderfolge der Zahlenartcn enthält nachstehende Tabelle: 19 Aus dieser Tafel ersieht man, daß immer Einhei¬ ten, Zehner und Hunderte; dann wieder Einheiten, Zehner und Hunderte auf einander folgen. Am zweck¬ mäßigsten ist es also, diese Reihe als eine Klasse zu betrachten. Die erste Klasse von der Rechten angefan¬ gen hat keinen Bcysatz, die zwcyte hat den Bcysatz Tausende, die dritte Millionen, die vierte Tausende (der Millionen), die fünfte Billionen, die sechste Tau¬ sende (der Billionen), u. s. w. Da jede Zahl aus einer oder mehreren Klassen be¬ stehet, und eine Klaffe nur Zahlen unter tausend ent¬ halten kann, so läßt sich das Anschreiben und Lesen feder noch so großen Zahl auf das Anschreiben und Aussprechen der Zahlen unter tausend zurückführcn. 8- 18. Um irgend eine ausgesprochene Zahl an¬ zuschreiben, gebe man Acht, nach welcher Zahl zuerst das Wort Tausend, Million, . . . gehört wird; diese Zahl, welche ein-, zwcy- oder dreyziffrig ist, muß zuerst angcsetzt werden. Die übrigen Klassen werden dann eine nach der andern, wie sic ausgespro¬ chen werden, hingcschriebcn. Auf das Wort Million müssen noch zwcy Klassen, auf Tausend eine folgen. Werden in einer Klasse nicht alle drcy Bcstanvthcrle d. i. Hunderte, Zehner und Einheiten ausgesprochen, so wird das Fehlende durch Nullen ergänzt. Wenn bcym Aussprechen der Zahl eine ganze Klasse nicht vorkommt, so werden alle drcy Stellen derselben mit Nullen ausgefüllt. Die Zahl: neun und vierzig Tausend, vierhun¬ dert zwölf schreibt man so an: 49412. Es wird V 2 20 nähmlich zuerst die Zahl bis zum ersten Beysatze Tausend, nähmlich 49 ungeschrieben, und dann die folgende Klasse 412, als wenn sie für sich allein vor¬ handen wäre. Eilf Tausend, fünf Millionen, dreyhundert vier und zwanzig wird angeschrieben: 11005000324. Hier wird die Klasse der Tausende, welche nach den Mil¬ lionen vorkommen muß, nicht ausgesprochen, daher besetzt man ihre drey Stellen mit Nullen; eben so schreibt man Nullen an die Stelle der Hunderte und Zehner der Millionen, welche mit Stillschweigen über¬ gangen werden. Man schreibe noch folgende Zahlen an: vier und dreyßig Tausend, sechshundert ein und vierzig; ein Tausend, ein und fünfzig; hundert dreytausend, fünfhundert und drepßig; sechs und fünfzig Millionen, achthundert Tausend; neunzig Tausend, zweyhundert sieben; acht Millionen, zwey und vierzig Tausend, und drey. 8- 19. Wenn man eine vielziffrige Zahl ausspre- chen soll, so theile man sie, von der Rechten angefan¬ gen , in Klassen zu drey Ziffern ab; die letzte Klasse kann auch weniger als drey Ziffern haben. Hinter der ersten Klasse setze man einen Punct, hinter der zwey- ten einen Strich, hinter der dritten einen Punct, hin¬ ter der vierten zwey Striche, u. s. w. Sodann lese man, von der Linken angefangen, jede Klasse für sich, als wenn sie allein da wäre, und setze beym Puncte das Wort Tausend, beym Striche das Wort Million, bey zwey Strichen das Wort Billion u. s. w. dazu. 21 So z. B. wird 39.013,673.402 gelesen: neun und dreyßig Tausend, drey und vierzig Millionen, sechshundert drey und siebenzkg Tausend, vierhun¬ dert zwey. Man spreche folgende Zahlen aus: 52 853, 1 502 316 078, 7503 000 476 321 003, 47 326 030 001 310, 50 080 071, 900 008. i Bey kleineren Zahlen braucht man die Eintheilung in Klassen und das Ansetzen der Puncte und Striche nur in Gedanken zu verrichten.) §. 20. Me nach einem bestimmten Gesetze geordnete Zu¬ sammenstellung der Zahlen nennt man ein Zahlen¬ system oder Zahlengebäude. Das Gesetz unseres Zahlensystems ist aus dem Vorhergehenden leicht zu ersehen. Jede Ziffer bedeu¬ tet an der ersten Stelle zur Rechten Einheiten; an der zwcyten Stelle bedeutet sie Zehner, ein Zehner aber ist zehnmahl so viel als eine Einheit, also bedeutet eine Ziffer an der zwcyten Stelle zehnmahl so viel als an der ersten; an der dritten Stelle bedeutet eine Ziffer Hunderte, ein Hundert aber ist wieder zehnmahl so viel alT ein Zehnez-, an der. dritter Stelle ist ajsso der Werth einer Ziffer zehnmahl so groß, als an der zwcyten; u. s. w. Das Gesetz unseres Zahlensystems besteht also darin, daß jede Ziffer an der folgenden Stelle gegen 22 die Linke zehnmahl so viel bedeutet als an der nächst- vorhcrgehendcn. Unser Zahlcngcbäudc wird darum auch das Zehnersystem oder das dekadische Zah¬ lensystem genannt (vom griechischen deka, welches zehn heißt). Wenn der Anfänger unser Zahlensystem vollkom¬ men aufgefaßt hat, so wird er folgende und ähnliche Fragen ohne Schwierigkeit beantworten können: Wie viel Einheiten hat ein Zehner? Wie viel Zehner hat ein Hundert? wie viel Einheiten enthält ein Hundert? Wie viel Hunderte enthält ein Tausend? — wie viel Zehner enthält ein Tausend? — wie viel Einhei¬ ten hat ein Tausend? Wieviel Einheiten enthalten 2 Zehner? — wie viel 5 Hunderte, 7 Taufende? Wie viel Zehner enthalten 8 Hunderte? — wie viel 3 Tausende, 9 Zehntausende? Wie viel Einheiten machen 6 Millionen? — wie viel Zehner? — wie viel Hunderte? — wie viel Tausende? — wie viel Zehntauscnde? — wie viel Hunderttausende? 8- 21. Zur Bezeichnung der Zahlen werden nicht selten auch die römischen Ziffern angewendct. Die Römer hatten sieben Zahlzeichen, nähmlich die Buchstaben v, H v, d, für eins, fünf, zehn, fünfzig, hundert, fünfhundert, »l tausend. 23 Die übrige» Zahle» werden durch gehöriges Zusammenstellen der angeführten Buchstaben ausge- drückt, wobey folgende Grundsätze zu beobachten sind: Stehen mehrere gleiche Buchstaben neben einander, so bedeuten sie so viel, als die Werthe der einzelnen Buchstaben zusammengenommen betragen. So bedeu¬ tet H zwey, III drey, XXX drey Zehner oder drcyßig, 060 3 Hunderte oder 300 u. s. w. Steht ein niedrigeres Zahlzeichen vor einem höher», so wird das letztere um so viel vermindert als das niedrige bedeutet. Z. B. IV bedeutet 5 weni¬ ger I, also 4; IX bedeutet 10 weniger I, also 9; X0 ist 50 weniger 10, d. i. 40; XO ist 100 weniger 10, d. i. 90; ON bedcutet.IOOO weniger 100, also 900. Steht aber ein niedrigeres Zahlzeichen hinter einem höher», so wird das höhere um so viel ver¬ mehrt, als das niedriger^Mbedeutet. Z. B. VI ist 5 mehr I, also 6; VII ist"und 2, d. i. 7; OX be¬ deutet 50 und 10, also 60; OXX ist 100 und 20, also 120, VOOX ist 500 mehr 100 mehr 50 mehr 10, d. i. 660. Nach den angegebenen Grundsätzen bedeutet: —»O G -O DTxvvL- I. 24 Drittes Haupt st ück. Die vier Rechnungsarten mit unbe¬ nannten und einnahmigen Zahlen» A Das Addireu. 8. 2?. Äms bekannten Zahlen durch bestimmte Verbindungen eine unbekannte Zahl finden, heißt rechnen. Z. B. Wie viel ist 3 und 4? Antwort: 7.— Hier sind zwey Zahlen 3 und 4 als bekannt angegeben, die Zahl 7 aber wird nicht angegeben, sondern muß erst aus den bekannten zwey Zahlen gefunden werden. Das Verfahren, durch welches dieses geschieht, ist eine Rechnung. »G Man unterscheidet ein"zweyfache Art des Rech¬ nens, das mündliche oder Kopfrechnen, und das schriftliche oder Zifferrechnen. Beym Ztfferrech- nen bedient man sich der geschriebenen Zahlen, d. i. der Ziffern, und verfährt nach bestimmten Regeln. Beym Kopfrechnen ist man an keine festen Regeln gebunden, mau braucht dabey keine Ziffern, und darf sich dieselben auch nicht einmahl verstellen.) §. 23. Um zu erfahren, wie viel zHey oder mehrere Zahlen zusammen genommen betragen, muß man sie zusammenzählen oder addiren. Addircn heißt dem¬ nach nichts anderes, als eine Zahl suchen, welche 25 zwey oder mehreren gegebenen Zahlen zusam¬ men genommen gleich ist. ) Die gegebenen Zahlen heißen Posten oder Addenden, und die Zahl, welche beym Addiren herauskommt, die Summe. Die Summe zeigt also an, wie viel die Addenden zusammen genommen ausmachen. Z. B. 2 und l ist 3; hier sind 2 und 1 die Posten, 3 ist ihre Summe. Das Zeichen der Addition ist ein stehendes Kreuz -z- (mehr), welches zwischen die Addenden gesetzt wird. — Hier ist auch das Gleichheitszei¬ chen — (gleich) zu merken, wodurch angezeigt wird, daß die Zahlenausdrücke, zwischen welchen cs steht, einander gleich sind. Z. B. S -i- 3 — 5 heißt: 2 mehr 3 ist gleich 5; oder 2 und 3 ist 5. r- Kleinere Zahlen lassen sich im MpMA zusam- menzählcn. B e y s p i e l e. 1. 5 und 2 ist 7; 8 und 5 ist 13; 25 und 3 ist 28; 48 und 7 ist 55. 2. 40 und 20 ist 60; denn 40 sind 4 Zehner, 20 sind 2 Zehner, 4 Zehner und 2 Zehner sind 6 Zeh¬ ner d. i. 60. — 30 und 20 ist 50; 50 und 30 ist 80; 70 und 10 ist 80. 3- 24 und 30 ist 54; denn 20 und 30 ist 50, und noch die 4 von 24 ist 54. — 35 und 40 ist 75; 16 und 40 ist 56; 63 und 30 ist 93. 4. 67 und 21 ist 88; denn 60 und 20 ist 80, 7 und 1 ist 8, zusammen 88; oder 67 und 20 ist 87, und noch 4 ist 88. — 45 und 34 ist 79; 26 und 24 ist 50; 74 und 19 ist 93. 26 5.432 und 346 ist 778; denn 4 Hunderte und 3 Hunderte sind 7 Hunderte, 3 Zehner und 4 Zehner sind 7 Zehner, 2 Einheiten und 6 Einheiten sind 8 Einheiten, zusammen 7 Hunderte 7 Zehner und 8 Einheiten d. i. 778; oder 432 und 300 ist 732, und 40 ist 772, und 6 ist 778. 328 und 65 ist 303; 718 und 448 ist 866. 8- 25. Aus dem Zusammenzählen im Kopfe überzeugt man sich, daß nur gleichrrahmige Zahlen zu einan¬ der gefügt werden können, nähmlich Einheiten zu Ein¬ heiten, Zehner zu Zehnern, Hunderte zu Hunderten. Dasselbe gilt auch bepm schriftlichen Addiren. Um dabey die gleichnahmigen Zahlen leicht heraus zu finden und zusammen zu zählen, ist es am zweckmäßig¬ sten, gleich bepm Anschreiben die Posten so unter einander m setzen, daß Einheiten unter Einheiten, ZehnerZehner, . . . zu stehen kommen. - 4. Man addire25 und 64. Man schreibt die gleich¬ nahmigen Stellen unter einander, nähmlich 25 64 Nun zählt man zusammen: 4 Einheiten und 5 Ein¬ heiten geben 9 Einheiten, welche man unter die Stelle der Einheiten hinschreibt. 6 Zehner und 2 Zehner sind 8 Zehner, diesederden unter die Zehner geschrieben. Die Summe pflegt man durch einen Querstrich von den Posten abzusondern. Die ganze Rechnung wird also so stehen 25 64 89" 27 Addirt man hier, wie beym Kopfrechnen, zuerst die Zehner und dann die Einheiten, oder addirt man von oben herab, so wird man auch dann noch immer dieselbe Summe erhalten. Man addirc eben so: 257 und 321; 518 und 80; 214, 131 und 424; 3285, 1402 und 4012. 2. Es soll die Summe von 142, 361 und 205 gefun¬ den werden. Man schreibt wieder die glcichnahmigcn Stellen unter einander, nähmlich 142 361 205 Man fange zuerst bey den Einheiten an: 5 Ein¬ heiten und I Einheit sind 6 Einheiten, und 2 Einhei¬ ten sind 8 Einheiten; diese schreibt man an die Stelle der Einheiten. 9 Zehner und 6 Zehner sind 15 Zeh¬ ner, und 4 Zehner sind 10 Zehner; diese geben 9 Zeh¬ ner und 1t» Zehner oder 1 Hundert; es werd,en daher nur die 9 Zehner unter die addirtcn Zehner angesetzt, 1 Hundert aber wird zu den Hunderten hinzugezählt. 1 Hundert (welches bey den Zehnern hcrausgekommen ist) und 2 Hunderte sind 3 Hunderte, und 3 Hunderte sind 6 Hunderte, und I Hundert sind 7 Hunderte, welche man unter die Hinderte setzt, die Summe ist also 708, und die Rechnung stebt: 142 361 295 ^98 Würde man hier bey den Hunderten zu addiren anfangen, so erhielte man zuerst 6 Hunderte, welche unter die Hunderte gesetzt werden sollten; dann 10 Zehner, von denen 9 Zehner unter die Zehner zu 28 setzen, I Hundert aber zu den bereits erhaltenen 6 Hunderten zu zählen wäre, man müßte also die schon angeschriebenen 6 Hunderte in 7 Hunderte verbessern. — Fängt man in der höchsten Stelle zu addiren an, so würde ein solches Verbessern der in der Summe be¬ reits ungeschriebenen Ziffern immer cintreten, so ost die Summe der nächst niedrigem Reihe größer als 9 ist. Um daher das Verändern schon hingeschriebener Ziffern zu vermeiden, beginnt man das schriftliche Addiren jedesmahl bey den Einheiten, und setzt es dann gegen die Linke fort. Daraus sieht man, daß sich das schriftliche Addi¬ ren von jenem im Kopfe nur dadurch unterscheidet, daß man beym schriftlichen zuerst d e Einheiten, dann die Zehner, u. s. w. addirt; beym mündlichen aber, wobey keine Ziffer angcschrieben wird und also auch keine Verbesserung derselben eintreten kann, das Addi¬ ren bey -er höchsten Stelle beginnt. Ebenso addire man folgende Zahlen: 57 und 26; 144, 785 und 4286; 3208, 5969, 870, 3086 und 97. Aus allen diesen Beyspielen gehen für das schriftliche Addiren folgende Regeln hervor: 4. Man schreibe die Posten so unter einander, daß Einheiten unter Einheiten, Zchncr unter Zehner u. s. w., Überhaupt gleichnahmigc Stellen unter einander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 2. Man addire zuerst die Einheiten, dann die Zehner, Hunderte, u. s. w., und schreibe die jedes- mahlige Summe, wenn sie nicht größer als 9 ist, un¬ ter die addirten Ziffern. Zst aber die Summe einer Reihe größer als 9, also zweyzissrig, so werden nur die Einheiten unter die addirte Reihe geschrieben, die Zehner aber zählt man zu der nächstfolgenden Reihe. 29 Im ersten Beyspiele spricht man: 4 und 2 ist 6, und t ist 7; 1 und 5 ist 6, und 2 ist 8; 2 und 2 ist 4, und 5 ist 9; I und 7 ist 8. — Zm zweyten Beyspicle sagt man : 6 und 7 ist 13, und 5 ist 18, 8 angeschrie¬ ben, bleibt 1; I und 9 ist 10, und 8 ist 18, 8 ange¬ schrieben bleibt 1; 1 und 7 ist 8, und 2 ist 10, 0 an- geschrieben, bleibt I; 1 und 1 ist 2, und 3 ist 5. Um die Richtigkeit der Summe zu prüfen, ist es am besten, die Addition noch einmahl zu wiederhohlen, so jedoch, daß man das zweyte Mahl von oben hin¬ unter addirt, wenn man das erste Mahl von unten hinauf addirt hat, und umgekehrt. Erhält man jedes- mahl dieselbe Summe, so kann man sie als richtig an¬ sehen, da wegen der veränderten Reihenfolge der Zah¬ len nicht leicht in bepden Fällen derselbe Fehler möglich ist. Aufgaben. 1. Ein Bäcker kauft nach und nach 25, 29 und 28 Metzen Mehl; wie viel Mehl hat er zusammen gekauft? — Hier will man erfahren, wie viel die Zah¬ len 25, 29 und 28 zusammen betragen, man muß sie also addiren; zur Summe bekommt man: 82 Metzen. 2. Jemand nimmt in einem halben Jahr folgen¬ des Geld ein: den ersten Monath 225 fl., den zwey- 30 tcn 194 fl., den dritten 179 fl., den vierten 209 fl., den fünften 310 fl-, den sechsten 98 fl.; wie viel nahm er zusammen ein? — 1206 fl. 3. Ein Besitzer hat drey Güter; das erste trägt ihm jährlich 820 fl., das zweyte 540 fl., das dritte 385 fl. ein; wie groß ist sein ganzes jährliches Ein¬ kommen? — 1745 fl. 4. Jemand gibt folgende Summen aus: an .4 1580 fl., an 8 792 fl., an 6 2350 fl.; wie viel hat er im Ganzen ausgcgcbcn? — 4722 fl. 5. Ein Flachshändler hat 7 Ballen Flachs, im ersten sind 85 A, rm zwcytcn 83, im dritten 90, im vierten 96, im fünften 87, im sechsten 91, im sieben¬ ten 102 K'; wie groß ist der ganze Flachsvorrath? — 634 K'. 6. Jemand besitzt an barem Gelbe 4580 fl., an Kapitalien 8785 fl., und an liegenden Gründen 5084 fl.; wie groß ist sein ganzes Vermögen? — 18449 fl. 7. Jemand ist an ä. 584 fl. schuldig, an 8 1205 fl., an O 750 fl., und an 8 1081 fl.; wie viel ist er allen zusammen schuldig? — 3620 fl. 8. Ein Kaufmann kauft um 1245 fl. Zucker; wie viel wird er dafür Minimen müssen, damit er 148 fl- gewinne? — llklW^fl., die er beym Ein¬ käufe ausgcgcbcn, und noch die 148 fl., die er ge¬ winnen will; zusammen 1393 fl. 9. Die große Kaiserin» Maria Theresia war im Jahre 1717 geboren, und lebte 63 Jahre; in wel¬ chem Jahre starb sie? — Als diese berühmte Für- stinn geboren war, zählte man das Jahr 1717; als sie starb zählte man 63 Jahre mehr, also 1717 und 63 d. i. 1780. 31 K). Eine fünfscitige Fläche läßt sich in drey Drepeckc zerlegen; das erste Drepeck enthält 2125, das zwcpte 748, das dritte 3106 Quadratfuß; wie groß ist der Flächeninhalt des ganzen Fünfeckes? — 6279 Quadratfuß. 11. Jemand hat vier Kapitalien; von dem ersten zieht er jährlich 75, von dem zweiten 128, von dein dritten 340, von dem vierten 36 fl.; wie viel Interessen bekommt er jährlich von allen vier Ka¬ pitalien? — 579 fl. 12. Bep einem vorzunehmenden Baue wurden folgende Kosten veranschlagt: auf die Maurerarbeit 842 fl. ,, /, Zimmermannsarbeit 126 „ ,/ „ Tischlerarbeit 84 ,, „ „ Schlosserarbcit 81 „ „ Verschiedenes 25 ,, wie viel zusammen? 1158 fl. 13. In Triest sind im Monathc August 1845 geschlachtet und verzehrt worden: 1182 Ochsen, 1507 Kälber, 20 Lämmer und 1232 Hammel; wie viel sind es Thierc zusammen? — 3941. 14. Die Seidcnerzcugnissc des österreichischen Kai¬ serstaates im Jahre 1844 hatten im Durchschnitte folgenden Werth: in der Lombardic 29253589, im Venetianischcn 17450302, in Tirol 2869583, in Ungarn und der Militärgränze 519487, im Küsten¬ lande 201330 fl.; wie groß war der Gesammt- werth? — 50294291 fl. H- Das Subtrahiren. 8. 27. Witt man wissen, um wie viel Einheiten eine Zahl größer ist als eine andere, braucht man nur die kleinere 32 von der großem hinwegzunehmen; diese Rechnungsart wird das Subtrahiren genannt. Subtrahiren oder abztehen heißt also eine Zahl von einer andern Wegpehmen. Beym Subtrahiren werden immer zwey Zahlen angegeben; die größere, von welcher man abzieht, heißt der Minuend, die kleinere Zahl, welche man abzieht, der Subtrahend, und die Zahl, welche beym Subtrahiren herauskommt, der Rest. Der Nest zeigt also an, um wie viel Einheiten der Minuend großer ist als der Subtrahend, darum heißt er auch der Unterschied. Z. B. 4 von 6 bleiben 2; hier ist 6 der Minuend, 4 der Subtrahend, und 2 der Rest oder Unterschied. Das Zeichen der Subtraction ist ein liegender Strich — (weniger); der Minuend wird vor, der Subtrahend nach dem Striche gesetzt. Z. B. 3 — 2 — 4 bedeutet: 3 weniger 2 ist gleich L, oder: 2 von 3 bleibt 1. Wenn man den Unterschied zu der kleinern Zahl hinzuaddirt, so muß natürlich die größere Zahl her¬ auskommen. Der Minuend kann daher immer als die Summe zweyer Zahlen betrachtet werden, der Subtra¬ hend ist eine dieser zwey Zahlen, der Nest die andere. 8- 28. Kleinere Zahlen können im Kopfe abgezo¬ gen werden. B e y s p i e l e. 1. 3 von 8 bleiben 5; 2 von 14 bleiben 9; 4 von 25 bleiben 24; 30 weniger 6 sind 24; 9 von 72 bleiben 63. — Wie viel bleibt übrig, wenn man 6 von 49; 7 von 38; 3 von 42; 8 von 63 wegnimmt? 2. 30 von 80 bleiben 50; denn 80 sind 8 Zeh¬ ner, 80 sind 3 Zehner; 8 Zehner weniger 3 Zehner sind S Zehner d. i- äv. —- 33 Wie viel bleibt 10 von 60? — 20 von 50? — 30 von 90? — 10 von 80? — 50 von 60? 3. Will man 40 von 75 wegnehmen, so nimmt man 40 von 70 weg, und die 5 bleiben ungeän¬ dert, nähmlich 40 von 70 bleiben 30, und die 5 sind 35. — 20 von 24 bleiben 4; 30 von 57 blei¬ ben 27; 70 von 99 bleiben 29. 4. Was bleibt übrig, wenn man 32 von 95 abzieht? Man wird von 95 zuerst 30, und dann 2 abziehen, und sagen: 30 von 95 bleiben 65, 2 von 65 bleiben 63; oder: 9 Zehner weniger 3 Zehner sind 6 Zehner, 5 Einheiten weniger 2 Einheiten sind 3 .Einheiten, es bleiben also 0 Zehner und 3 Ein¬ heiten d. i. 63. — 83 von 98 bleiben 15; 49 von 269 bleiben 220; 234 von 485 bleiben 251; 127 bvn 355 bleiben 228; 542 von 800 bleiben 258. 8- 29. Aus dem Subtrahiren im Kopfe sieht man, daß nur gleichnahmige Zahlen von einander weggenom¬ men werden können, nähmlich Einheiten von Einhei¬ ten, Zehner von Zehnern, u. s. w. Dasselbe gilt auch beym schriftlichen Sub¬ trahiren. Man setzt darum gleich beym Anschreiben den Subtrahend so unter den Minuend, daß die gleich- nahnngen Stellen unter einander zu stehen kommen. I- Man ziehe 172 von 695 ab. Man schreibt Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner, . . - nähmlich 695 172 Nun subtrahirt man: 2 Einheiten von 5 Einhei¬ ten bleiben 3 Einheiten, diese schreibt man als Rest Rechenb. s. d. I!. u. UI. Cl. C 34 in die Stelle der Einheiten; 7 Zehner von 9 Zehnern bleiben 2 Zehner, welche man unter die Zehner schreibt; I Hundert von 6 Hunderten bleiben 5 Hunderte, diese setzt man an die dritte Stelle unter die Hunderte; der ganze Rest ist also 523. Der Rest wird von den zwey gegebenen Zahlen durch einen Querstrich getrennt; die ganze Rechnung ist also 695 172 523 Subtrahirt man hier zuerst die Hunderte, dann die Zehner und zuletzt die Einheiten, so kommt auch da derselbe Rest zum Vorschein. Man subtrahirt auf gleiche Weise 123 von 566, 213 von 527, 153 von 681, 2510 von 4765, 1304 von 8846, 170 von 4593. 2. Um 169 von 519 abzuziehen, setze man wieder die gleichnahmigen Stellen unter einander, nähmlich 549 169 Man beginnt bey den Einheiten: 9 Einheiten von 9 Einheiten bleiben 0 Einheiten, unter die Einheiten wird daher eine Nulle geschrieben. Nun zieht man die Zehner ab: 6 Zehner können von 4 Zehnern nicht weggenommen werden, man ist daher genöthigct, im Minuend von den 5 Hunderten I Hundert zu borgen, dieses geborgte Hundert gibt 10 Zehner, und die schon vorhandenen 4 Zehner dazu gezählt, sind 14 Zehner; von diesen 14 Zehnern lassen sich nun 6 Zehner abzie¬ hen, cs bleiben nähmlich 8 Zehner. An der Stelle der Hunderte sind dann im Minuend nicht mehr 5 Hun¬ derte, sondern weil einer wcggebvrgt wurde, nur noch 4 Hunderte; daß dort 4 Hundert weniger ist, wird 35 dadurch angezeigt, daß man der Ziffer 5 rechts oben einen Punct hinzusetzt. Endlich subtrahirt man die Hunderte: I Hundert von 4 Hunderten bleiben 3 Hun¬ derte. Der Nest ist also 380, und die Rechnung steht 549) e4H. 14Z.9E. 169 > was so zu verstehen: 380) 13 H. 8Z.0E. Aus diesem Beispiel ersieht man: Wenn eine Stelle des Subtrahends größer ist als die gleichnah- mige Stelle im Minuend, so muß man in der nächst höhern Stelle 1 borgen, welches in der niedrigem Stelle 10 gilt, und die Ziffer, von welcher man ge¬ borgt hat, mit einem Puncte bezeichnen. Würde man in dem frühem Beyspiele das Ab¬ ziehen bey den Hunderten anfangen, so hätte man: 1 Hundert von 5 Hunderten bleiben 4 Hunderte, welche man anschreibt; 6 Zehner von 4 Zehnern kann man nicht abziehen, man muß von den übrig gebliebenen 4 Hunderten L Hundert borgen; an der dritten Stelle bleiben dann nur noch 3 Hunderte, und man müßte die schon angeschriebenen 4 Hunderte in 3 Hunderte verbessern. — Ein solches Verbessern schon hinge- schricbcner Ziffern würde, wenn man von der höchsten Stelle zu subtrahiren anfängt, immer eintrcten, so oft man von einer Stelle borgen muß. Um dieses zu ver¬ meiden, fängt man fedcsmahl bey den Einheiten zu subtrahiren an. Eben dadurch unterscheidet sich das schriftliche Abziehen von dem mündlichen, daß man bey jenem in der mindesten, bey diesem in der höch¬ sten Stelle zu subtrahiren beginnt. Man verrichte noch die Subtraction folgender Zahlen: 315 von 742, 842 von 1626, 925 von 982, 392 von 461, 3156 von 37222. C 2 36 3. Wie viel bleibt übrig, wenn man 456 von 803 abzieht. Man schreibt 803 456 und fängt bey den Einheiten zu subtrahiren an: 6 Einheiten kann man von 3 Einheiten nicht wegneh¬ men, man muß daher 1 Zehner borgen; aber in der Stelle der Zehner ist 0 und man kann davon nichts borgen; man borgt daher in der dritten Stelle l Hun¬ dert, worauf nur noch 7 Hunderte bleiben, was mit dem Borgepuncte angezeigt wird. Das weggenom¬ mene Hundert gibt 40 Zehner, welche an der Stelle der Nulle sind; von diesen 10 Zehnern borgt man uun 1 Zehner, worauf an der Stelle der Nulle noch 9 Zehner bleiben. Der geborgte Zehner gibt 10 Einheiten, und die bereits vorhandenen 3 Einheiten sind 13 Ein¬ heiten. Man hat dann: 6 Einheiten von 13 Einhei¬ ten bleiben 7 Einheiten; 5 Zehner von 9 Zehnern bleiben 4 Zehner; 4 Hunderte von 7 Hunderten bleiben 3 Hunderte. Diese Rechnung steht 8,'»3t ^7 H. 9 Z. 13 E. 456 ? so viel als vl „ 5 „ 6 „ 347' (3H.4Z. 7L Die Nulle mit dem Borgepuncte bedeutet also 9. Auf dieselbe Weise ziehe man ab: 578 von 904, 295 von 1046, 1377 von 3004, 2505 von 8000, 9789 von 40012. Aus allen Vorhergehenden ergeben sich für das schriftliche Subtrahiren folgende Regeln: 1. Man schreibe den Subtrahend so unter den Minuend, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner un¬ ter Zehner, ... zu stehen kommen, und ziehe dar¬ unter einen Querstrich. 37 2. Man subtrahire zuerst die Einheiten, dann die Zehner, Hunderte, u. s. w., und schreibe den Rest sedesmahl unter die Stelle, an welcher subtrahirt wurde. Bleibtin der letzten Stelle kein Nest, so wird die 0 daselbst nicht angeschrieben. 3. Ist eine Ziffer des Subtrahends größer als die darüber stehende Ziffer im Minuend, von welcher abgezogen werden soll, so borgt man von der nächst höhern Stelle 1, welches in der niedrigem Stelle 10 gilt, wozu die schon vorhandene Ziffer addirt wird. Die Ziffer, von welcher geborgt wurde, wird mit einem Punkte bezeichmt, und gilt um 1 weniger. 4. Ist die Ziffer, von welcher man borgen soll, eine Nulle, so muß so lange weiter geborgt werden, bis man auf eine bedenkliche Ziffer kommt. Die Nulle mit dem Borgepuncte gilt dann 9. Beispiele. 7498 230165 90089456 2375 183305 8506778 5123 46860 81582678 Im ersten Beyspiele sagt man: 5 pon 8 blei¬ ben 3; 7 von 9 bleiben 2; 3 von 4 bleibt 1; 2 von 7 bleiben 5. — Im zweyten Beyspiele spricht man: 5 von 5 bleibt 0; 0 von 6 bleiben 6; 3 von 11 bleiben 8; 3 von 9 bleiben 6; 8 von 13 bleiben 4; 1 von 1 geht auf. Die Probe für die Richtigkeit des Restes besteht darin, daß man den Nest zu dem Subtrahend addirt; erhält man dadurch den Minuend zur Summe, so ist richtig subtrahirt worden. 38 Z. 30. Aufgaben. 1. Ein Getreidehändler hat 95 Meßen Weizen vorräthig, und verkauft 38 Metzen; wie viel wird ihm noch bleiben? — 95 Metzen weniger 38 Metzen d. i. 57 Metzen. 2. Jemand nimmt in einem Jahre 1200 fl. ein, und gibt davon nur 715fl. aus; wie viel ersparter? — Hier muß man die Ausgabe von der Einnahme ab¬ ziehen, man bekommt 455 fl. 3. Ich habe eine Schuld von 1470 fl. zu for¬ dern; darauf zahlt man mir 785 fl.; wie viel habe ich noch zu fordern? — >170 fl. weniger 785 fl., man muß also subtrahiren, wodurch man 685 fl. erhält. 4. sagt: die Länge dieser Brücke beträgt 150 Schritte. Er schreitet sie ab, und findet nur 133 Schritte; um wie viel hat er gefehlt? — Um zu sehen, um wie viel 150 größer als 133 ist, muß man subtrahiren, man bekommt 17 Schritte. 5. Die Ortelsspitze liegt 12351, der Großglock¬ ner 11991 Fuß über der Meeresfläche; um wie viel ist die Ortelsspitze höher als der Großglockner? — Um 360 Fuß. 6. Jemand ist im Jahre 1811 geboren,' und fetzt schreibt man 1815; wie alt ist er? — 31 Jahre. 7. Jemand kauft 1510 Zucker, und 995 K" Kaffeh; wie viel K' macht dieses zusammen, und wie viel A sind mehr vom Zucker als vom Kaffeh? — Man hat zusammen 1540 Nund 995 N, also 2535 A; vom Zucker hat man 1540 weniger 995 d. i. 545 K" mehr als vom Kaffeh. 3S 8. Frankreich hatte im Anfänge des Jahres 1844 zusammen 13656 Handelsschiffe, England 23024; wie viel Handelsschiffe hatte Frankreich weniger als England? — 9368. 9. Auf den deutschen Eisenbahnen war die Zahl der transportirten Personen im ersten Halbjahre 1845 4809987, und im ersten Halbjahre 1844 4382666; um wie viel ist die erste Zahl größer als die zweyte?— Um 427321. 10. Im Jahre 1814 betrug in Triest die Einfuhr von Kaffeh 210102, und die Ausfuhr Z09244 Zentner; um wie viel war die Einfuhr größer als die Aus¬ fuhr? — Um 1158 Zentner. 11. Ein Kaufmann hatte zu Anfänge des Jahres 1208 K Öhl vorräthig; dazu bekam er während des 'Jahres 6 Fässer, enthaltend 824, 785, 806, 820, 805, 798 A. Wenn er nun nach und nach 404, 275, 1220, 155, 1300, 430, 342, 528, 92, 785 K' verkauft; wie groß war sein Vorrath an Ohl am Schluffe des Jah¬ res? — 515 N. 42. In Wien find im Jahre 1813 17948 Men¬ schen geboren worden, und 15472 gestorben; im Jahre 1844 betrug die Zahl der Gebornen 18524, und die der Verstorbenen 14774; wie viele sind im Jahre 1813 mehr geboren worden, als gestorben, wie viele im Jahre 1841; um wie viel ist im Jahre 1844 die Zahl der Geborenen größer, und die Zahl der Verstorbenen kleiner als im Jahre 1843? — Im Jahre 1843 sind 2476 Menschen, im Jahre 1844 3750 mehr geboren worden, als gestorben; die Zahl der Gebornen war im Jahre 1844 um 576 grö¬ ßer, die der Verstorbenen um 698 kleiner als im Jahre 1843. 40 III. Das Multipliciren. 8- 3l. Wenn eine und dieselbe Zahl öfters genommen werden soll, so bedient man sich dazu statt des Addi- rens einer eigenen kürzer» Rechnungsart, welche das Multipliciren genannt wird; nrultipliciren heißt nähmlich eine Zahl so ostmahl nehmen, als eine andere Einheiten in sich enthält. Z. B. 8 mit 4 multipliciren heißt 8 so ostmahl nehmen, als 4 Einheiten in sich enthält, also 8 4mahl nehmen, wodurch man 32 erhält. i Die Zahl, welche man mehrmahl nimmt, heißt der Multiplikand; die Zahl, welche anzcigt, wie oft der Multiplikand genommen werden soll, der Mul¬ tiplikator ; jede von diesen bcpdcn Zahlen wird auch ein Factor genannt. Die Zahl, welche bcy der Multi¬ plikation herauskommt, heißt das Product. In dem frühem Beyspiele sind 8 und 4 die Fak¬ toren, und zwar 8 der Multiplikand, 4 der Multipli¬ kator; 32 ist das Product. Das Zeichen der Multiplikation ist ein schiefes Kreuz X, welches zwischen die Faktoren gesetzt wird. Z. B. 8 X § — 32 wird gelesen: 8 multiplicirt mit 4 ist gleich 32. §. 32. Einfachere Multiplikationen lassen sich im Kopfe verrichten. Beyspiele. 1. 3mahl 6 ist 18; 5mahl 8 ist 40; Lmahl 6 ist 54. 41 2. 6mahl 10 ist 60; denn 10 ist 1 Zehner, 6mahl 1 Zehner sind 6 Zehner d. i. 60. — 7mahl 20 ist 140; denn 7mahl 2 Zehner sind 14 Zehner oder 140 Einheiten. — 3mahl 60 sind 3mahl 6 Zehner, also 18 Zehner oder 180. 3. 3mahl 12 ist 36; denn 3mahl 10 ist 30, 8mahl 2 ist 6, zusammen 36. — 5mahl 16 ist 80; 9mahl 32 ist 288; 8mahl 48 ist 381. 4. lOmahl 6 ist 60. — lOmahl 15 ist 150; denn lOmahl 1 Zehner gibt 1 Hundert, und lOmahl 5 Ein¬ heiten geben 5 Zehner, 1 Hundert und 5 Zehner sind 150. — lOmahl 80 ist 800. — 30mahl 50 ist 1500; denn lOmahl 5 Zehner sind 50 Zehner oder 5 Hun¬ derte, 30mahl 5 Zehner ist 3mahl so viel, also 3mahl 5 Hunderte d. i. 15 Hunderte, oder 1500. 5. 12mahl 14 ist 168; nähmlich lOmahl 14 ist 140, 2mahl 14 ist 28, 140 und 28 sind 168. — Wie viel ist 15mahl 82? — 18mahl 62? — 32mahl 54? §. 33. Beym schriftlichen Multipliciren ist vor Allem der Satz zu merken: Wenn ein Factor 0 ist, so ist auch das Product 0. Die Nichtigkeit dieses Satzes erhellet aus dem Begriffe der Multiplikation. Denn, ist der Multipli¬ kand 0, so hat man 0 (nichts) öfters zu nehmen, wo¬ durch gewiß auch 0 herauskommt; ist aber der Mul¬ tiplikator o, so hat man den Multiplikand Omahl (kcinmahl) zu nehmen, wodurch man sicher auch nichts d. i. 0 erhält. Es ist also z. B. 3mahl 0 gleich 0; und Omahl 3 auch gleich 0. 42 Beym schriftlichen Multipliciren sind mehrere Fälle zu unterscheiden. s. Wenn der Multiplikator einziffrig ist. 1. Man multiplicire 232 mit 3. Um 232 3mahl zu nehmen, wird man die Einhei¬ ten 3mahl nehmen, die Zehner 3mahl nehmen, und die Hunderte 3mahl nehmen, und die dadurch erhaltenen Einheiten unter die Einheiten, die Zehner unter die Zehner, und die Hunderte unter die Hunderte schrei¬ ben. Man wird also haben: 3mahl 2 Einheiten sind 6 Einheiten, 3mahl 3 Zehner sind 9 Zehner, 3mahl 2 Hunderte sind 6 Hunderte. Die Rechnung steht 232 3 696 Dasselbe Product erhält man auch, wenn man zuerst die Hunderte, dann die Zehner, und endlich^ die Einheiten mit 3 multipliciren würde. Auf dieselbe Art multiplicire man 42 mit 2, 324 mit 3, 2142 mit 4. 2. Wie viel ist 9mahl 345? Man multiplicirt hier: 9mahl 5 Einheiten sind 45 Einheiten, diese geben 4 Zehner und 5 Einheiten; die 5 Einheiten schreibt man unter die Einheiten, die 4 Zehner aber werden zu dem Producte der Zehner gezählt; man behält sic so lange im Gedächtnisse, bis man das Product der Zehner erhalten hat; 9mahl 4 Zehner sind 36 Zehner, und die im Gedächtnisse behaltenen 4 Zeh¬ ner sind 46 Zehner d. i. 4 Hunderte und 0 Zehner; unter die Zehner wird daher 0 gesetzt, die 4 Hunderte merkt man sich; endlich: 9mahl 3 Hundert sind 27 Hun- 43 derte, und die aus den Zehnern gezogenen 4 Hun¬ derte sind 31 Hunderte, oder 3 Tausende und 1 Hundert; 1 Hundert kommt in die Stelle der Hun¬ derte, die 3 Tausende aber in die Stelle der Tau¬ sende. — Die ganze Rechnung stehet 315 oder 315 X 9 9 3195 3105 Weil hier von den niedrigem Stellen in die hohem hinübergezählt wird, so ist es natürlich, daß man die Multiplikation bey den Einheiten beginne, und sodann gegen die Linke hin fortsetze. Eben so multiplicire man 67 mit 5, 283 mit 4, 708 mit 6, 52016 mit 8. Wenn also der Multiplicator einziffrig ist, so beobachte man bepm schriftlichen Multipliciren folgende Regeln: 1. Man schreibe den Multiplicator unter die Ein¬ heiten des Multiplicands, und ziehe darunter einen Querstrich. Oft wird der Multiplicator auch gar nicht unter den Multiplicand geschrieben, sondern sogleich das Product un¬ ter den Querstrich hingesetzt. 2. Man multiplicire mit dem einziffngen Multiplica¬ tor zuerst die Einheiten, dann die Zehner, ... des Multiplicands, und schreibe das sedesmahlige Product, wenn es einziffrig ist, unter diejenige Stelle, welche man multiplicirt hat; ist aber das Product zweyziffrig, so werden nur die Einheiten davon an jene Stelle gesetzt, die Zehner aber zu dem Producte der nächst höher» Stelle hinzugezählt. Das letzte Product wird ganz angeschrieben. 44 B e y s p i e l e. 1) 8213 oder 8213 X 3 3 21639 24639 2) 370813 oder 370813 X 7 7 2595694 2595691 Im ersten Beyspiele spricht man: 8mahl 3 ist 9; 3mahl 1 ist 3; 3mahl 2 ist 6; 3mahl 8 ist 24. — Im zweyten Beyspiele wird gesagt: 7mahl 3 ist 21, I angeschrieben, bleiben 2; 7mahl 1 ist 7, und 2 ist 9; 7mahl 8 ist 56, 6 angeschriebcn, bleiben 5; 7mahl 0 ist 0, und 5 ist 5; 7mahl 7 ist 49, 9 ange¬ schriebcn, bleiben 4; 7mahl 3 ist 21, und 4 ist 25. 3) 123456 X 6 4) 307120 X 9 710736 2761080 5) 50413207 X 5 6) 987651321 X 4 252066035 3950617284 8- 31. 6. Wenn der Multiplikator 10, 100, 1000, ... ist. 1. Um eine Zahl z. B. 275 mit 10 zu multipli- ciren, muß man jede Ziffer derselben I0mahl neh¬ men, 5 Einheiten I0mahl genommen geben 5 Zehner, 7 Zehner 10mahl genommen geben 7 Hunderte, 2 Hunderte 10mahl genommen geben 2 Tausende. Wenn man also eine Zahl mit 10 multiplicirt, so erscheinen im Produkte die frühem Einheiten als Zeh¬ ner, die frühem Zehner als Hunderte u. s. w., über¬ haupt rückt jede Ziffer um eine Stelle weiter gegen die Linke; diese ganze Vorrückung wird dadurch erreicht, 45 wenn man die Ziffern ungeändert läßt, und ihnen rechts eine Nulle anhängt. 2. Es sey z. B. 326 mit LOO zu multipliciren. Ich muß zu diesem Ende jeden Theil lOOmahl neh¬ men; lOOmahl 6 Einheiten sind 6 Hunderte, lOOmahl 2 Zehner sind 2 Tausende, LOOmahl 3 Hunderte sind 3 Zehntauscndc; es rückt also jede Ziffer um 2 Stel¬ len gegen die Linke; dieses wird erreicht, wenn man der Zahl rechts 2 Nullen anhängt. Eine Zahl wird also mit IOO multiplicirt, wenn man ihr rechts 2 Nul¬ len anhängt. Auf ähnliche Weise multiplicire man 783 mit 1000, 586 mit 10000. Man wird durch diese Beyspiele auf folgende Re¬ gel geleitet: fEine Zahl wird mit 10, 100, 1000, . . . multiplicirt, wenn man jede Ziffer um 1, 2, 3 . . . Stellen weiter gegen die Linke rückt, was bewirkt wird, in¬ dem man der Zahl rechts 1, 2, 3, . . . Nullen anhängt.) Beyspiele. 7243 X 10 85603 X 100 704 X 1000 72430 8560900 704000 8- 35. c) Wenn der Multiplikator mehrzisfrig ist. Man pflegt den Multiplikator so unter den Mul¬ tiplikand zu setzen, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen. 1- Es scy 567 mit 53 zu multipliciren. Man muß hier 567 sowohl 3mahl als 50mahl nehmen, und beydes zusammensctzen. 567 3mahl genommen oder mit 3 multiplicirt gibt 1701; um die Zahl 567 ZOmahl zu nehmen, sucht man zuerst das 5fache 46 davon, indem man sie mit 5 multiplicirt, und nimmt dieses 5fache noch lOmahl, indem man es um eine Stelle gegen die Linke rückt, oder ihm rechts eine Nulle anhängt, man erhält 28350; endlich wird das 3fache und das 50fache zusammengczählt, wodurch man 30051 bekommt. Die Rechnung stehet / 587 53 1701 28350 30051 2. Man multiplicire 2317 mit 2305. Hier muß man 2317 zuerst 5mahl, dann ZOOmahl, endlich LOOOmahl nehmen, und alles zusammen zählen. Smahl 2317 ist 11735; um 800mahl 2317 zu be- vmmen, multiplicirt man 2347 mit 3, und nimmt das Zsache lOOmahl, indem man rechts 2 Nullen anhängt, man bekommt dadurch 704100; endlich wird 2317 noch 2000mahl genommen, indem man mit 2 multi¬ plicirt, und rechts 3 Nullen anhängt, man erhält 4601000; das 5fache, das 300fache, und das 2000fache wird nun addirt, wodurch man 5409835 bekommt. Die ganze Rechnung stehet <2347 2305 11735 704100 4691000 "5409835 / Aus diesem und ähnlichen Beyspielen ersieht man, daß die erste bedeutliche Ziffer eines jeden Thcilpro- duetes immer unter die Ziffer des Multiplicators zu stehen kommt, mit welcher man multiplicirt; wenn man 47 auf dieses Rücksicht nimmt, so können dann die Nullen rechts, welche ohnehin beym Addiren nichts ändern, auch gänzlich weggclassen werden; man braucht dann nur den ganzen Multiplicand mit jeder Ziffer des Mul¬ tiplikators zu multipliciren, und die erste Ziffer eines solchen Produktes unter diejenige Ziffer des Multipli- cands zu setzen, mit welcher man multiplicirt. Die obigen zwey Bcyspiele.würden dann so stehen: 567 2317 53 2305 1701 11735 2835 7041 3005L 4694 5109835 Aus dem zwcyten Bcyspiele sieht man, daß, wenn der Multiplikator in der Mitte eine Nulle hat, diese beym Multipliciren ganz übergangen wird. Es ist gleichviel, in welcher Ordnung mit den Ziffern des Multiplikators multiplicirt wird; daS zwcyte Bcyspicl laßt sich daher auf sechsfache Art aus¬ arbeiten : 2347 oder 2347 oder 2347 2305 2305 2305 11735 4694 7041 7041 7011 4694 4694 11735 11735 ^409835^ 5409835 > 5409835 / oder /2347 oder i 2347 oder '2347 2305 2305 2305 11735 4694 7041 4694 11735 11735 7011 7011 4691 5409835 - 5109885 > HÖ9835 / 48 Am gewöhnlichsten ist die erste Art, wo man zuerst mit den Einheiten, dann mit den Zehnern, . . . multiplicirt. Wenn also der Multiplicator rnehrziffrig ist, so sind beym schriftlichen Multiplicircn folgende Regeln zu beobachten: s I. Man schreibe den Multiplicator so unter den Multipticand, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner, ... zu stehen kommen, und ziehe dar¬ unter einen Querstrich. 2. Man multiplicire nun den ganzen Multiplikand zuerst mit den Einheiten, dann mit den Zehnern, Hun¬ derten, ... des Multiplikators, und fange das jcdcs- mahlige Product unter diejenige Ziffer des Multiplikators zu schreiben an, mit welcher man multiplicirt hat. Kommt im Multiplicator eine Nulle vor, so wird die¬ selbe bepm Multiplicircn übergangen. 3. Man addire die einzelnen Produkte, so wie sic ungeschrieben sind; die Summe dieser Theilproducte ist das gesuchte Products B e p s p i e l e. 1) 2385 2) 72183 3) 603511 137 806 380 16695 433098 48281120 7155 577464 1810542 2385 58179498 229335320 326745 Im dritten Bcpspiele hängt man zu dem ersten Theilproducte rechts eine Nulle hinzu, weil die erste bedeutliche Ziffer unter die Zehner kommen muß. 4) 3021958 X 72 217580976. 5) 238047 X 322 — 76651134. 6) 56324 X 53402 3007654042. 49 Es ist für das Product gleichgültig, welchen Fac¬ tor man als Multiplikand annimmt; z. B. 1548 oder 226 226 1548 9288 1808 3096 904 3096 1130 349848 226 349848 Am Zweckmäßigsten ist es, denjenigen Factor als Multiplikand zu nehmen, welcher mehr bedeutliche und verschiedene Ziffern enthält. Die beste Probe für die Richtigkeit der Multipli¬ kation besteht darin, daß man noch einmahl multipli- cirt; bekommt man wieder das nähmliche Product, so darf man es als richtig ansehen, besonders, wenn man bey der zweyten Multiplikation die Faktoren ver¬ wechselt, d. i. denjenigen zum Multiplikand annimmt, der früher Multiplikator war. 36. ck. Wenn in den Faktoren rechts Nullen vor¬ kommen. 1. Hat der Multiplikand rechts Nullen, so wer¬ den diese auch im Produkte Vorkommen, weil 0 mit was immer für einer Zahl multiplicirt 0 zum Produkte gibt. Z. B. 7230 56800 308000 23 12 304 21690 1136ÖÖ 1232000 11160 58800 924000 166290 681600 93632000 2. Hat der Multiplikator rechts Nullen, so wird die erste bedeutliche Ziffer des Produktes an jene Rechend, f. d. II. u. m, Cl- D 50 Stelle zu stehen kommen, an welcher sich die erste bedeut- liche Ziffer im Multiplikator befindet; d. h. es wird auch das Product rechts so viele Nullen erhalten, als ihrer im Multiplicator rechts vorkommen. Z. B. 5824 3245 342156 IKO 4300 60000 474720 973500 20520360000 5824 12080 757420 43053500 3. Haben endlich beyde Factoren rechts Nullen, so werden im Producte außer den Nullen des Multipli- cands auch jene des Multiplikators vorkommen; d. h. im Produkte werden rechts so viele Nullen erscheinen, als ihrer beyde Factoren rechts haben. Z. B. 345600 50284000 430 300800 10368000 40227200000 345600 150852000 4492ÄM 15125427200000 Aus allem diesen ergibt sich folgende Regel: Kommen in einem oder in beyden Facto¬ ren reckts Nullen vor, so wird die Multiplikation am einfachsten verrichtet, wenn man jene Nullen weg¬ läßt, die dann übriggebliebenen Zahlen mit einander multiplicirt, und dem Producte rechts so viele Nullen anhängt, als ihrer in beyden Factoren weggelassen wurden/ Um Z. B. 305200 mit 180 zu multiplicircn, sucht man das Product aus 3052 und 18, und hängt die¬ sem Producte 54936 die in beyden Factoren rechts vor¬ kommenden und während der Rechnung weggelassenen 3 Nullen wieder an. Die Rechnung steht also: 51 305200 X 180 18 24416 3052 54936000 Man multiplicire auf gleiche Weise 12345000 mit 87; 53124 mit 2800; 3014200 mit 204000; 3612000 mit 50020. 8- 37. Aufgaben. In der Anwendung der Multiplikation auf wirk¬ liche Aufgaben wird der Multiplikator während der Rechnung als unbenannt betrachtet, und das Product erhält gleichen Nahmen mit dem Multiplikand. (1) . 1 Ztr. Reis kostet 14 fl.; was kosten 9 Ztr. ? — Man folgert: wenn 1 Ztr. 14 fl. kostet, so kosten 2 Ztr. doppelt so viel, also 2mahl 14 ff., 3 Ztr. kosten 3mahl 14 fl., 4 Ztr. 4mahl 14 fl., ... 9 Ztr. also 9mahl 14 fl. Man muß also 14 fl. mit 9 multipliciren, wodurch man 126 fl. erhält. (2) . Was kosten 25 Ellen Tuch zu 5 fl.? — 25mahl 5 d. i. 125 fl. (3) . Es sind 5 Erben, von denen feder 2354 fl. erbt; wie groß war das ganze Vermo^m? — 11770 fl. (4) . Ein Schüler zahlt monathlich 24 fl. Kost-und Quartiergeld; wie viel beträgt dieses für 10 Mona- the? — Für 2 Monathe zahlt er 2mahl 24 fl., für 3 Monathe 3mahl 24 fl., . . . für 10 Monathe also lOmahl 24 fl. d. i. 210 fl. (5) . In einer Fabrik sind 96 Arbeiter, deren feder monathlich 18 fl. bekommt; wie viel erhalten sie alle zusammen in einem Monathe, wie viel in einem Jahre? — Wenn 1 Arbeiter monathlich 18 fl. erhält, so wer- D r 52 *den 96 Arbeiter' 96mahl 18 ff. bekommen, man muß also 18 ff. mit 96 multiplicircn, wodurch man 1728 ff. erhält; in einem Jahre bekommen sie 12mahl so viel als in einem Monathe, also I2mahl 1728 ff. d. i. 20786. '(6). Wie viel Kreuzer machen 25 ff.? — 1 ff. hat 60 Kr., 2 ff. machen 2mahl 60 Kr., 3 ff. 8mahl 60 Kr. . . 25 ff. also 25mahl 60 Kr. d. i. 1500 Kr. (7) . Wie viel Loth machen 68 K'? —- 1 K" hat 32 Loth, 68 K' machen also 68mahl 32 — 2176 Lth. (8) . Wie viel wiegen 15 Kisten, jede zu 84 K? — 1260 K'. (9) . Wie viel Maß Wein enthalten 28 Fässer, wenn jedes Faß 360 Maß enthalt? — 10080 Maß. (10) . Bey einer öffentlichen Versteigerung wurden 12 Ztr. Zucker zu 24 ff., 8 Ztr. Kaffeh zu 31 ff. und 2 Ztr. Kakao zu 23 ff. hintangegeben; wie groß war der ganze Ertrag? — 12 Ztr. Zucker zu 24 ff. machen 288 ff. 8 Ztr. Kaffeh zu 31 ff. machen 248 ff.; 2 Ztr. Kakao zu 23 ff. betragen 46 ff.; zusammen 582 ff. (11) . Wie viel betragen 10 Banknoten zu 100 ff., 16 Banknoten zu 10 ff-, und 37 zu 5 ff.? — 10 Bank¬ noten zu 100 ff. machen lOmahl 100 d. i. 1000 ff. 16 Banknoten zu 10 ff. betragen 16mahl 10 ff. d. i. 160 ff.; 37 Banknoten zu 5 ff. machen 37mahl 5 ff. d. i. 185 ff.; diese Werthe zusammen addirt geben 1345 ff (12) . Nach sehr genauen Versuchen legt der Schall in 1 Secunde 1050 Fuß zurück, wie viel in einer Mi¬ nute? — «Omahl 1050, also 63900 Fuß. (13) . Jemand ist 500 ff. schuldig, und hat diese in monathlichen Raten zu 40 ff. abzutragen; wenn er nun schon 9 Raten gezahlt hat, wie viel h leibt er noch schuldig? — 9 Raten zu 40 ff. machen 53 9mahl 40 fl. d. 360 fl.; diese muß man nun von 500 fl. abziehen, wornach 140 fl. als noch zu tilgende Schuld übrig bleiben. 00- Jemand kauft 3 Fässer Waare, das erste Faß enthält 218 KI das zweyte 195 KI das dritte 202 K". Wenn nun 1 K° 2 fl. kostet, wie viel ist die ganze Waare wcrth? — Hier muß man zuerst die Menge der Waare bestimmen, indem man 218, 195 und 202 K" addirt, man bekommt 615 K>; wenn nun 1 K° 2 fl. kostet, so werden 615 K' 615mahl 2 fl. d. i. 1230 fl. kosten. IV. Das Dividiren. 8. 38. Häufig verlangt man zu wissen, wie oft eine Zahl in einer andern enthalten ist; man könnte dieses finden, wenn man die kleinere Zahl so oft von der größer» wegnehmen würde, als dieses geschehen kann, also durch wiederhohltes Subtrahiren. Kürzer und geschwin¬ der findet man es durch eine eigene Rechnungsart, welche das Dividiren heißt. Eine Zahl durch eine andere dividiren heißt nähmlich untersuchen, wie oft die zweyte Zahl in der ersten enthalten ist. Z. B. 18 durch 3 dividiren heißt untersuchen, wie oft 3 in 18 enthalten ist, 3 läßt sich von 18 6mahl abziehen, oder 3 ist in 18 6mahl enthalten. Bepm Dividiren werden zwey Zahlen angegeben; die Zahl, welche dividirt wird, heißt der Dividend, und die Zahl, durch welche dividirt wird, der Divi¬ sor; die Zahl aber, welche beym Dividiren heraus¬ kommt , wird der Quotient genannt. In dem frühe- 54 ren Beispiele ist 18 der Dividend, 3 der Divisor, und 6 der Quotient. Der Quotient zeigt also an, wie oft der Divisor in dem Dividende enthalten ist. Wenn man nun den Divisor so oftmahl nimmt, als der Quotient anzeigt, d. h. wenn man den Divisor mit dem Quo¬ tienten multiplicirt, so muß wieder der Dividend her¬ auskommen. Das Dividircn wird auch angewendct, wenn eine Zahl in mehrere gleiche Thcile getheilt wird, und wenn man die Größe eines solchen Theils wissen will. Z. B. wie groß ist der dritte Theil von 18? Diese Frage ist zwar von der Frage: wie oft ist 3 in 18 enthalten? wesentlich verschieden; doch kommen beyde darin über¬ ein, daß sie in der Antwort dieselbe Zahl tt enthalten; auf die erste Frage antwortet man: 6mahl. — Überhaupt läßt sich durch eine einfache Folgerung das Theilen in glei¬ che Theile leicht auf das Enthaltenseyn zurückführen, nähmlich: um den 3ten Theil von 18 zu erhalten, wird man von 3 immer nur 1 nehmen; man wird also so viel- mahl 1 haben, als wie oft 3 in 18 vorkommt, d. h. der 3te Theil von 18 ist so vrel , als wie oft 3 in 18 enthalten ist; 3 in 18 ist 6mahl enthalten; der 3te Theil von 18 ist also 6. Wegen dieses innigen Zusammenhanges zwischen dem Enthaltenseyn und dem Theilen in gleicheTheile wird für beydc Aufgaben nur eine Rechnungsart angewendet. Divtdiren heißt daher auch: eine Zahl in so viele gleiche Thcile theilen, als der Divisor Einheiten enthält. Der Quotient zeigt dann an, wie groß ein Theil ist. Z. B. 18 durch 3 dividiren heißt auch 18 in 3 gleiche Theile theilen, wodurch 6 als ein solcher Theil herauskommt. 6 ist also wieder der Quotient. Die Division kann demnach als Enthaltenseyn 55 oder Vergleichung, und als Theilen in gleiche Theile angesehen werden. In beyden Fällen ist übrigens das Verfahren dasselbe. Bey der wirklichen Ausführung wird fast immer das Enthallenscyn zu Grunde gelegt. Das Zeichen der Division bestehet in zwey über einander stehenden Puncten, nähmlich (:), und zeigt an, daß die Zahl vor den Puncten durch die Zahl hinter den Puncten zu dividiren ist. Z. B. 18:8 — 6 wird gelesen: 18 dividirt durch 3 ist gleich 6. — In der Ausübung schreibt man gewöhnlich den Dividend zwi¬ schen zwey Striche, und setzt links den Divisor; der Quotient kommt dann rechts vom Dividende zu stehen. So würde man obiges Beyspicl schreiben: 3 I 18 § 6.— Oft wird die Division bloß angezeigt, besonders dann, wenn der Dividend kleiner ist als der Divisor; dieses geschieht, indem man den Divisor unter den Dividend, und zwischen beyde einen Strich setzt. Ist z. B. 3 durch 4 zu dividiren, so kann diese Division nicht wirklich verrichtet werden, weil 4 in 3 gar nicht enthalten ist ; man zeigt daher die Division nur an, indem man schreibt: 2, welches gelesen wird: 3 dividirt durch 4, oder 3 4tel. Eine so angezeigte Division oder ein auf diese Art dargestellter Quotient, wird ein Bruch genannt. 8. 39. Wenn der Divisor kleiner als 10 ist, so kann die Division oft leicht im Kopfe geschehen. B c y s p i e l e. (0- 4 ist in 12 3mahl enthalten; 3 in 21 geht 7mahl; 7 in 42 geht 6mahl; 5 kommt in 43 8mahl vor, und cs bleiben noch 3; 8 in 76 geht 9mahl, bleiben 4. 56 (2) . 2 in 46 ist 23mahl enthalten; 3 in 63 geht 2Imahl; 5 in 104 geht 20mahl, und es bleiben noch 4; 3 in 157 geht 52mahl, bleibt 1. (3) . 5 in 60 geht I2mahl; 3 in 87 geht 29mahl; 4 in 114 geht 28mahl, bleiben 2; 5 in 284 ist 56mahl enthalten, bleiben 4. 8- 40. Beym schriftlichen Dividiren sind mehrere Fälle zu unterscheiden. ». Wenn der Divisor 10, 100, 1000,... ist. (1) . Es sey eine Zahl z. B. 486 durch 10 zu divi¬ diren, so muß man die Hunderte, dann die Zehner und endlich die Einheiten durch 10 dividiren. 4 Hun¬ derte durch 10 dividirt geben 4 Zehner, acht Zehner durch 10 dividirt geben 8 Einheiten; die 6 Einheiten aber können durch 10 nicht wirklich dividirt werden, und bleiben als Rest, dessen Division durch 10 nur angezeigt werden kann. Man hat somit 10 § 486 1 48,^. Um daher eine Zahl durch 10 zu dividiren, braucht man nur die Einheiten als Rest zu betrachten, die Zeh¬ ner als Einheiten, die Hunderte als Zehner u. s. w. anzunehmen. Dieses alles geschieht indem man eine Ziffer rechts abschneidet und deren Division durch 10 bloß anzcigt, die übrigen Ziffern aber als Quotienten ansieht. (2) . Um eine Zahl durch 100 zu dividiren, muß man sie so verändern, daß jede Ziffer nur den lOOsten Theil ihres frühem Werthcs bedeutet; man muß also die Hunderte zu Einheiten, die Tausende zu Zehner, die Zchntausende zu Hunderten u. s. w. machen, oder jede Ziffer um 2 Stellen gegen die Rechte rücken; die 57 Zehner und Einheiten können durch 100 nicht wirklich dividirt werden, man zeigt dieses nur an, indem man 100 darunter schreibt. Man dividire 23400 durch 100; da braucht man nur die 2 Nullen rechts wegzulafsen, weil dadurch jede Ziffer um 2 Stellen gegen die Rechte gerückt wird. Es ist also 100 > 23400 231 Wenn statt der 2 Nullen rechts bedeutlichc Ziffern Vorkommen so wird ihre Division durch 100 ange¬ zeigt. Z. B. 100 I 5638 j 56/^ ; 100 I 39402,394^, Auf ähnliche Art dividire man die Zahlen 34000, 57123, 34037 durch 1000, » „ 560000,31095,248134, „ 10000. Man wird daraus die allgemeine Regel aufstellen: Eine Zahl wird durch 10, 100, 1000, . dividirt, wenn man ihr rechts I, 2, 3, . . . Ziffern abschneidct; die übrig gebliebenen Ziffern sind dann der Quotient, die abgeschnittenen aber der Rest, wel¬ cher noch durch den Divisor zu dividire» ist, was nur angezeigt wird. B e y s p i e l e. 10 ! 80 ! 8; 10 , 2560 ! 256; 10 > 389 ! 38^; 100 j 5200 ! 52; 100 1 3000 ! 30; 100 ! 2567 ! 25^; 1000 > 7000 ! 7; 1009 ! 51000 I 51; 1000 1 30143 l 3o)^,; 10000 ! 576335 > 5734^; 100000 j 123456 > 1-E^. 8- 41. 6. Wenn der Divisor rechts eine dedeutliche Ziffer enthält. (I). Es sey 639 durch 3 zu dividire». Man theilt zuerst die Hunderte, dann die Zehner 58 und endlich die Einheiten: 6 Hunderte getheilt durch 3 geben 2 Hunderte; 3 Zehner getheilt durch 3 geben I Zehner; 9 Einheiten durch 3 dividirt geben 3 Ein¬ heiten. Der ganze Quotient ist daher 2 Hunderte, 1 Zehner 3 Einheiten, d. i. 213; 3 ist also in 639 2I3mahl enthalten, oder der 3te Theil von 639 ist 213. — Man braucht zu den einzelnen Ziffern des Quotienten ihre Bedeutung gar nicht hinzuzusetzen, weil sie nach der Ordnung Hunderte, Zehner, Einhei¬ ten bedeuten, und weil dieselben, wenn man sie nur nach der Reihe hinschreibt, schon durch diese Anordnung selbst in ihrer wahren Bedeutung erscheinen. Es ist also 3 1 639 1 213 Man dividire eben so 814 durch 4; 6248 durch 2; 9063 durch 3. (2). Es soll 936 durch 4 dividirt werden. Hier werden wieder zuerst die Hunderte getheilt, 4 in 9 geht 2mahl, also 2 Hunderte; aber 2mahl 4 ist nur 8, und wenn man diese von den 9 Hunderten abzieht, so bleibt noch 1 Hundert übrig; dieses Hun¬ dert kann so lange cs als Hundert betrachtet wird, nicht in 4 gleiche Theile so getheilt werden, daß der Quotient Hunderte enthält, man löset es daher in 10 Zehner auf, dazu setzt man die schon vorhandenen 3 Zehner, so hat man 13 Zehner; um dieses vor Augen zu haben, setzt man zu dem bey den Hunderten übrig gebliebenen Reste 1 die Zehner 3 herab. Nun theilt man die Zehner: 4 in 13 ist 3mahl enthalten, also 3 Zehner; 4mahl 3 Zehner sind 12Zehner, von 13 abgezogen bleibt noch 1 Zehner zurück; dieser Zehner gibt 10 Einheiten, dazu die schon vorhande¬ nen 6 Einheiten sind 16 Einheiten; um diese Zusam¬ mensetzung anzuzeigen, schreibt man zu dem letzten Reste 1 die 6 Einheiten herab. Nun dividirt man die 59 Einheiten: 4 in 16 geht 4mahl, also 4 Einheiten; 4mahl 4 ist gerade 16, cs bleibt also nichts übrig. Der Quotient ist 2 Hunderte, 3 Zehner, 4 Einhei¬ ten d. i. 234, und die Rechnung stehet 4 I 936 ! 231 8 13 12 16 16 0 Auf gleiche Weise dividire man 725 durch 5; 73224 durch 4; 73116 durch 3; 942375 durch 7. (3). Man dividire 2465 durch 5. Hier sind zuerst 2 Tausende durch 5 zu theileu; aber 2 Tausende können nicht in 5 gleiche Theile so gethcilt werden, daß der Quotient Tausende enthält; man löset sie daher in Hunderte auf, 2 Tausende ge¬ ben 20 Hunderte, und die schon vorhandenen 4 Hun¬ derte , sind 24 Hunderte, welche nun durch 5 leicht zu theilen sind; 5 in 24 geht 4mahl; also 4 Hun¬ derte; 4mahl 5 ist 20, von 24 bleiben 4 Hunderte; diese geben 40 Zehner, und die vorhandenen 6 sind 46 Zehner; 5 in 46 ist 9mahl enthalten, also 9 Zehner; 9mahl 5 ist 45, von 46 bleibt 1 Zehner; 1 Zeh¬ ner gibt 10 Einheiten, und die bereits vorhandenen 5, sind 15 Einheiten; 5 in 15 geht gerade 3mahl, also 3 Ein¬ heiten. Der Quotient ist daher 493, und die Rechnung steht 5 j 2465 § 493 20 46 45 15 15 60 Man verrichte eben so folgende Divisionen: 35628 durch 4; 179243I durch 3; 86733 durch 9. Daraus wird man ersehen: Wenn der Divisor in der höchsten Stelle des Di¬ vidente nicht enthalten ist, so muß man sogleich die beyden höchsten Stellen zusammen nehmen, und sie durch den Divisor theilen. (4) . Es sey 924 durch 3 zu dividiren. 9 Hunderte durch 3 dividirt geben 3 Hunderte; 2 Zehner können durch 3 nicht wirklich dividirt wer¬ den, man setzt daher in dem Quotienten an die Stelle der Zehner eine Nulle; die 2 Zehner geben 20 Ein¬ heiten, und die 4 schon vorhandenen Einheiten dazu, sind 24 Einheiten, welche durch 3 dividirt, genau 8 Einheiten geben, weil 8mahl 3 2t ist. Die Rech¬ nung steht 3 s 924 s 308 9 ^24" 24 0 Auf dieselbe Art dividire man 832 durch 4; 2135 durch 7; 91503 durch 3. Man wird daraus die Regel ableiten: Wenn der Divisor größer ist als die Ziffer des Dividends, welche man dividiren will, so schreibt man in den Quotienten eine Nulle, und setzt zu der dividirten Ziffer sogleich die nächstfolgende Ziffer des Dividends hinzu. (5) . Es soll 598 durch 5 dividirt werden. 5 Hundert durch 5 dividirt geben 1 Hundert; Imahl 5 ist 5, von 5 geht auf; 9 Zehner werden herabgesetzt, 5 in 9 geht Imahl, also 1 Zehner, Imahl 61 5 ist 5, von 9 abgezogen bleiben 4; zu den 4 Zehnern oder 40 Einheiten werden die 8 Einheiten herabgesetzt, worauf man 48 Einheiten hat, diese durch 5 dividirt, geben 9 Einheiten; 9mahl 5 ist 45, von 48 bleiben 3 Einheiten. Die 3 Einheiten können nun weiter durch 5 nicht wirklich getheilt werden; man zeigt also diesen Quotienten nur an, indem man den Divisor unter den letzten Rest in Bruchform schreibt, und dieses dem Quotienten hinzufügt. Die ganze Rechnung steht 5 > 598 j 119? 5 -9 5 48 45 3 (6). Man dividire 736 durch 23. Hier sind zuerst die Hunderte zu theilen; aber die 7 Hunderte können, so lange man sie als Hunderte betrachtet, nicht in 23 gleiche Theile so getheilt werden, daß der Quotient Hunderte enthält, man löset sie daher in Zehner auf, 7 Hunderte geben 70 Zehner, und die schon vorhandenen 3 Zehner sind 73 Zehner; diese lassen sich durch 23 theilen, dabey sieht man zunächst wie oft 2 in 7 enthalten ist, und schließt daraus, daß auch 23 in 73 nicht mehr als 3mahl enthalten seyn kann; man erhält also im Quotienten zuerst 8 Zehner. 3mahl 23 ist aber nur 69, also bleiben von 73 Zehnern noch 4 Zehner zurück; zu diesen 4 Zehnern oder 40 Ein¬ heiten setzt man die 6 Einheiten dazu, wodurch man 46 Einheiten erhält; diese durch 23 getheilt geben 2 Ein¬ heiten, 2mahl 23 ist gerade 46, somit bleibt kein Nest übrig. Die Rechnung steht 62 23 ! 736 I 32 69 46 46 "'o' Eben so dividire man 83412 durch 12; 1080 durch 45; 54936 durch 18; 326745 durch 137; 32976 durch 916. Aus allem Vorhergehenden kann man für das schriftliche Dividiren, wenn der Divisor rechts eine bedeutliche Ziffer hat, folgende Regeln aufstellen: 1. Man setze den Dividend zwischen zwey aufrech¬ ten Strichen, links schreibt man den Divisor, rechts kommt nach und nach der Quotient zu stehen. 2. Die Division beginnt bey der höchsten Stelle. Man nimmt so viele Ziffern des Dividends, daß der Divisor darin enthalten ist, also eben so viele, als der Divisor Stellen hat, oder um eine mehr, wenn jene Ziffern kleiner sind als der Divisor. Diese Ziffern bilden dann den ersten Theildividend; man pflegt ihn manchmahl von den folgenden Ziffern durch einen Punct abzusondern. 3. Man untersucht, wie ost der Divisor in dem ersten Theildividende enthalten ist, und schreibt die Zahl, welche dieses anzeigt, in den Quotienten. Wenn der Divisor mehrziffrig ist, so erleichtert man sich die Arbeit, wenn man versucht, wie oft die höchste Ziffer des Divisors iu der höchsten oder in den zwey höchsten Ziffern des Dividends enthalten ist. 4. Man multiplicirc den ganzen Divisor mit der gefundenen Ziffer des Quotienten, schreibe das Pro¬ duct unter den ersten Theildividend, und ziehe es von die¬ sem ab. Ist jenes Product größer als der erste Theildividend, so 63 daß es sich nicht abziehen läßt, so ist der Quotient zu groß angenommen worden; man muß ihn also kleiner nehmen. Bleibt aber ein Rest, der eben so groß oder größer ist als der Divisor, so ist der Quotient zu klein angenommen worden; man muß ihn größer nehmen. 5. Zum übrig bleibenden Reste wird die nächste Ziffer des Dividends herabgesetzt, und die Zahl, welche dadurch entsteht, ist der neue Theildividend. Man unter¬ sucht wieder, wie ost der Divisor in dem neuen Theildivi- dende enthalten ist; die Zahl, welche dieses anzeigt, schreibt man als die zweyte Ziffer in den Quotienten. 6. Mit dieser neuen Ziffer des Quotienten wird nun der Divisor multiplicirt, und das Product von dem letzten Dividende abgezogen. Zu dem Neste wird wieder die nächstfolgende Ziffer des Dividends her¬ abgesetzt, und dieser neue Dividend durch den Divisor dividirt, um die dritte Ziffer des Quotienten zu erhalten. 7. DicsesVerfahren wird so lange fortgesetzt, bis man nach und nach alle Ziffern des Dividends herabge¬ setzt hat. Wenn der Divisor größer ist als irgend ein Theildividend, so daß er in diesem nicht enthalten ist, so schreibt man in dem Quotienten eine Nulle, und setzt sogleich die nächst¬ folgende Zister des Dividends herab. 8. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist der Divi¬ sor im Dividende genau enthalten; man schreibt hier das Zeichen - an die Stelle des letzten Nestes. Bleibt aber ein Rest, so ist dieser noch durch den Divisor zu dividircn, was man dadurch anzeigt, daß unter den Rest der Divisor, und zwischen bcyde ein Strich gesetzt wird; dieser Bruch wird mit etwas kleinern Ziffern an den Quotienten angehängt, zum Zeichen, daß der Quotient noch um etwas, was aber kleiner als 1 ist, vermehrt werden muß. 64 B e y s p i e l e. (1). Es sey 14070 durch 6 zu dividiren. Man schreibt 6 I 14.070 I 2345 12 20 18 27 24 30 30 und sagt: 6 in 14 geht 2mahl, 2mahl 6 ist 12, von 14 bleiben 2; 0 herab, 6 in 20 geht 3mahl, 3mahl 6 ist 18, von 20 bleiben 2; 7 herab, 6 in 27 geht 4mahl, 4mahl 6 ist 24, von 27 bleiben 3; 0 herab, 6 in 30 ist ömahl enthalten, 5mahl 6 ist 30, von 30 geht auf. (2). Man dividire 1650967 durch 8051. Die Rech¬ nung stehet 8051 , 16509.67 > 205^ 16102 40767 40255 512 Hier untersucht man zuerst, wie oft 8501 in 16509, oder versuchsweise, wie oft 8 in 16 enthalten ist; es geht 2mahl. Nun multiplicirt man den Divisor 8051 mit 2, und zieht das Product 16102 von 16509 ab. Zu dem Reste 407 setzt man die nächste Ziffer 6 herab; 805 l ist in 4076 Omahl enthalten; in den Quotien¬ ten kommt also eine Nulle, und zu dem Dividende 4076 wird sogleich die nächste Ziffer 7 herabgesetzt; 65 8051 in 40767, oder 8 in 40 ist 5mahl enthalten; 5mahl 8051 ist 40255, was von 40767 abgezogen 512 zurückläßt. Unter den Nest 512 wird der Divisor 8051 gesetzt, und dieses dem Quotienten 205 angehängt. (3). 306 ! 992970 § 3245 918 749 612^ 1377 1224 1530 1580 (4). 48S506 1 3108428562 > 6428 MU 2901036 2073875 1931024 1398516 !t67012 4315042 386 8048 446994 Die Probe für die Richtigkeit der Division bestehet darin, daß man den Quotienten mit dem Divisor multiplicirt, wodurch, wenn die Division ohne Rest aufgegangen ist, der Dividend herauskommen muß; ist aber ein Nest übrig geblieben, so muß man zu dem Produkte aus dem Quotienten und Divisor noch den Rest addircn; erhält man dadurch den Dividend, so ist richtig dividirt worden. 8- 42. o. Wenn der Divisor rechts Nullen hat, aber von 10, 100, io«tt . . . verschieden ist. Rechend, f. d. I!. u. III. Cl. E 66 Wenn der Divisor rechts Nullen hat, und man verfährt nach den früher entwickelten Divisionsregeln, so wird auch daS Produet aus ihm und der jedes- mahligen Ziffer deS Quotienten rechts so viele Nul¬ len haben, und daher von dem letzten Dividende abgezogen, eben so viele rechts stehende Ziffern des¬ selben ungeändert lassen. Die jedesmalige Ziffer des Quotienten würde daher eben so richtig herauskommen, wenn man im Divisor die Nullen, und in jedem Di¬ vidende eben so viele Ziffern rechts unberücksichtiget lassen würde; nur in dem letzten Neste, der nicht mehr dividirt werden kann, müssen auch die letzten Ziffern nothwendig vorkommen. Daraus folgt: Wenn im Divisor rechts Nnllen vorkom¬ men, so lasse man während der Division diese Nul¬ len, und zugleich auch im Dividende eben so viele Ziffern zur Rechten außer Acht, zum letzten Reste setze man dann diese Ziffern herab; die Zahl, welche dadurch entstehet, ist als Nest der ganzen Division anzusehen. B e y s p L e l e. (l). Es sey 3783475 durch 5700 zu dividiren: 67 (2). Man dividirt ^285630572 durch 3974t,09. 3971009 > 285639572 , 71 -3^6572 27818 3U740M 7450 3974 3176572 (3 ). 27392409 : 7900 — 3456 (4). 4560840917 : 853090 5346 702017 853000. §. 43. Aufgaben. Wenn die Division als Enthaltenseyn oder Vergleichung augewendet wird, so müssen Dividend und Divisor gleichen Nahmen haben; der Quotient er¬ scheint durch die Rechnung selbst als unbenannt, erhält aber dann den Nahmen nach den Umständen der Aufgabe. Wird aber die Division als Theilung angewen¬ det, so betrachtet man den Divisor während der Rech¬ nung als unbenannt, und der Quotient bekommt den¬ selben Nahmen, welchen der Dividend hat. (1) . 8 Ellen Tuch kosten 48 fl., wie hoch kommt I Elle? — Wenn 8 Ellen 48 fl. kosten, so kostet die Hälfte von 8 Ellen auch die Hälfte von 48 fl., der 3te Theil von 8 Ellen den 3tcn Theil von 48 fl., u. s. w.; 1 Elle ist nun der 8te Theil von 8 Ellen, also wird sie den 8ten Theil von 48 fl. kosten; man muß daher 48 fl. durch 8 dividiren, wodurch man 6 fl. be¬ kommt. (2) . Eine Steuer von 228 fl. ist unter 19 Grund¬ besitzer zu gleichen Theilen zu vcrtheilen; wie viel muß jeder Besitzer bezahlen? — 19 Besitzer müssen 228 fl. bezahlen, 1 Besitzer ist nun der 19te Theil von 19 Be- E 2 68 sitzern, er wird also auch nur den 19tcn Theil von 228 fl. zahlen; 228 fl. dividirt durch 19 geben aber 12 fl., also werden auf jeden Grundbesitzer 12 fl. zu zahlen kommen. (3) . Ein Beamter hat eine jährliche Besoldung von 600 fl.; wie viel bezieht er monatlich? — Wenn auf 1 Jahr 600 fl. kommen, so kommt auf die Hälfte von 1 Jahr auch nur die Hälfte von 600 fl.; auf den 3ten Theil von I Jahr kommt der 3te Theil von 600 fl., u. s. w.; 1 Monath ist nun der 12tc Theil von 1 Jahr, also wird man den I2ten Theil von 600 fl. nehmen, d. i. man wird 600 fl. durch 12 dividiren, wodurch man 50 fl. erhält. (4) . Eine Handlungsgcscllschaft gewinnt 8000 fl.; wenn nun davon auf jeden Theilnchmcr 500 fl. ent¬ fallen, wie viele Personen waren wohl in der Gesell¬ schaft? — Wenn 8000 fl. unter mehrere Theilneh- mer so vcrtheilt werden, daß jeder Theilnehmer 500 fl. bekommt, so sind gewiß so viele Theilnehmer da, als wie oft 500 fl. in 8000 fl. enthalten sind; dieses findet man, wenn man 8000 durch 500 dividirt; man bekommt zur Antwort: 16 Personen. (5) . Für ein Unternehmen müssen 1201 fl. ausge¬ legt werden; wie viel Personen müssen daran Theil nehmen, damit auf eine Person die Auslage von 14 fl. kommt? — 86 Personen. (6) . Wie viel Gulden geben 720 Kreuzer? — 60 Kr. machen 1 fl.; 720 Kr. werden daher so viele Gulden geben, als wie oft 60 in 720 enthalten ist; man muß also 720 durch 60 dividiren, wodurch man 12 erhält; also 12 fl. (7) . Wie viel Pfund geben 2080 Loth? — 32 Loth geben 1 K, man muß also sehen, wie ost 32 in 2080 69 enthalten ist; 2080 dividirt durch 32 gibt 65; also 65 A (8) . Es soll eine 5610 Fuß lange Wasserleitung mittelst Röhren von Bley ausgeführt werden; wie viel solche Röhren werden dazu erfordert, wenn eine jede derselben 8 Fuß lang ist? — 8 in 5610 ist 705mahl enthalten, also 705 Röhren. (9) . 65 Eimer Wein kosten 325 fl.; wie hoch kommt davon I Eimer? — Auf 5 fl. (10) . Jemand gibt in 24 Tagen 96 fl. aus; wie viel kommt auf I Tag? — 4 fl. (11) . Ein Taglöhner, welcher täglich 35 Kreuzer verdient, bezieht am Ende der Arbeit 7 Gulden; wie viel Tage hat er wohl gearbeitet? — I fl. hat 60 Kr., 7 fl. also 7mahl 60 d i. 420 Kr.; 35 Kr. sind aber in 420 Kr. I2mahl enthalten; 7 fl. waren also der Lohn für 12 Arbeitstage. (12) . In einer Mühle werden in 26 Tagen 849 Ztr. Mehl gemahlen; wieviel in I Tage? —32 Ztr. (13) . Im Jahre 1844 zählte Wien 8690 Häuser, welche von 375834 Einwohnern bewohnt wurden, und einen Zinsertrag von 13062743 fl. Metallmünze abwarfen; wie viel Einwohner und wie viel Zins kann man im Durchschnitte auf ein Haus rechnen? — 43 also beynahe 43 E.nwohner, und 1503 fl. Zinsertrag. ,, > 70 Viertes H a u p tstück. Das Rechnen mit mehrnahrnigen Zahlen. 1. Die verschievenen mehrnahmigeu Zahlen und ihre Verwandler. 8- 44 Bey unbenannten Zahlen werden immer 10 nie¬ drigere Einheiten zusammen als eine höhere betrachtet; 10 Einheiten nennt man einen Zehner, 10 Zehner nennt man ein Hundert, u. s. w. Dasselbe geschieht, um das Zählen und Auffassen zu erleichtern, auch bey benannten Zahlen. Man pflegt nähmlich, wenn beym Zählen bestimmter Dinge eine Einheit zu Grunde ge¬ legt wird, irgend eine Anzahl jener Einheiten als eine höhere Einheit zu betrachten, und mit einem bcsondern Nahmen zu bezeichnen; eine gewisse Anzahl dieser neuen Einheiten kann wieder als nächst höhere Einheit angenommen und eigenthümlich benannt werden. So nimmt man beym Gelde z. B. den Pfennig als die niedrigste Einheit an, 4 Pfennige zusammen betrachtet man als eine höhere Einheit, und nennet sic einen Kreuzer; 60 Kreuzer machen wieder eine nächst höhere Einheit aus, welche den Nahmen Gulden erhält. ^Die größer» Einheiten nennt man Einheiten von höherer Benennung, die kleineren Einhei¬ ten von niedriger Benennung.^ So sind z. B. die 71 Kreuzer eine höhere Benennung als die Pfennige, zu¬ gleich aber auch eine niedrigere als die Gulden. Jede Einheit einer höhern Benennung enthält eine gewisse Menge Einheiten der niedrigem Benen¬ nung; z. B. I Gulden enthält 60 Kreuzer; 1 Zent¬ ner 100 Pfund, 1 Jahr 12 Monathe, u. s. w./Die- jenige Zahl nun, welche anzeigt, wie viele Einheiten der niedrigem Beneimung auf eine Einheit der höhern Benennung gehen, heißt der Verwandler)' zwischen jenen beyden Benennungen. So ist zwischen Gulden und Kreuzern 60, zwischen Zentnern und Pfunden 100, zwischen Jahren und Monathen 12 der Verwandler. Eine benannte Zahl, welche nur einen Nahmen führt, heißt einnahmig,^z. B. 5 Gulden; 27 Pfunde. 'Eine benannte Zahl, deren Beftandtheile ver¬ schiedene Nahmen haben, heißt eine mehrnahmige Zahl.) 4 Gulden 25 Kreuzer sind eine mehrnahmige Zahl; eben so 47 Pfunde 28 Loth. 8- 45. Da bey Rechnungen mit mehrnahmigen Zahlen vie Kenntniß der Verwandler zwischen den verschiede¬ nen Einheiten derselben Art unentbehrlich ist, so soll hier das Vorzüglichste darüber angeführt werden. Bestimmung der Zeit. ?Die Zeit wird nach Jahren, Monathen, Tagen u. s. und zwar nach folgender Tafel berechnet/ - 1 Jahr hat 12 Monathe, 1 Monath „ 30 Tage (in der Zinsenrechnung) 1 Tag „ 21 Stunden, 1 Stunde „ 60 Minuten, 1 Minute „ 60 Secunden. / 72 In der Rechnung wird zwar gewöhnlich der Wo¬ nach zu 30 Tagen, und somit das Jahr zu I2mahl 30 d. i. 360 Tagen angenommen; in der Wirklichkeit aber hat ein gemeines Jahr 365, ein Schaltjahr 366 Tage; eben so haben die Monathe eine ungleiche An¬ zahl Tage, und zwar: 8- 46. L. Bestimmung der räumlichen Größen. Hier sollen nur die in den österreichischen Staaten üblichen Münzen, Gewichte und Maße an¬ geführt werden. 4. Münzen. Für die Rechnung merke man: 4 Gulden (fl.) gilt 60 Kreuzer (Kr.) 4 Kreuzer „ 4 Pfennige (^) Im lombardisch-venezianischen Königreiche ^rech¬ net man nach Lire und Centesimi, und zwar hat ? Lire 400 Centestmi. 3 österreichische Lire machen 4 fl. Der kaiserliche Dukaten (ss) wird zu 4 fl. 30 Kr., oder 270 Kr. gerechnet. Im Allgemeinen wird nach Gulden Conventions- Münze gerechnet. Es werden aber auch noch öfters Rechnungen nach Gulden in Scheinen oder Gulden 73 Wiener-Währung gemacht, von welchen 5 fl. gleich 2 fl. Conventions-Münze angenommen werden. Die wirklich geprägten Münzen sind aus Gold, Silber oder Kupfer. Goldmünzen gibt es folgende: ^Souveraind'or zu 13 fl. 20 Kr. halbe Sonveraind'or ,/ 6 „ 40 „ kaiserliche Dukaten „ 4 ,, 30 „ Doppeldukaten ,, 9 „ — „ ' - Silbermünzen: / /. . Ho Ein Kronthaler gilt 2 fl. 12 Kr. .Z / „ halber Kronthaler „ 1 „ 6 „ „ Viertel „ „ — ,/ 33 ,, „ Speziesthalcr „ 2 „ — „ Dann gibt es Guldenstücke, und zwar ganze halbe und Viertel, ferner Zwanziger, Zehner, Fünfer und Groschen zu 3 Kr. Endlich sind die österreichischen tzire zu 20 Kr., und ztvar ganze, halbe und Viertel. Kupfermünzen: Kreuzer, halbe und Viertel-Kreuzer; Stücke zu 5, 3 und 1 Centesimi. 2. Gewichte. Die meisten Maaren werden nach dem Handels¬ gewichte gewogen. Nach diesem gilt ZWner . . . 100 Pfunde (M, 1 Pfund ... 32 Loth (Lth.) 1 Loth ... 4 Quentchen (Qtch.) 8- 47. 3. Maße. Die Maße unterscheidet man ->) in Längen-, t>) Flächen- und e) in Körpermaße. 74 a. Längenmaße. Größere Längen werden nach Mellen, kleinere nach Klaftern (°), Schuh (0, Zoll (")/ Linien ("0 bestimmt, und zwar nach folgendem Verhältnisse: 1 Meile enthält 4000 Klafter, 1 Klafter „ 6-Schuch oder Fuß, t Fuß „ 12 Zoll, t Zoll „ 12 Linien.) fZum Messen der Tücher, Zeuge und anderer Schnittwaaren braucht man die Elle.) 2 Ellen sind etwas kleiner als 5 Fuß. l>. Flächenmaße. Die Größe der Flächen wird durch Vierecke ge¬ messen , welche gleich große und gegen einander gleich geneigte Seiten haben (ff)) und Quadrate heißen. Je nachdem eine Seite eines solchen Quadrates eine Melle, eine Klafter, ein Fuß, ... ist, wird es eine Quadratmeile, eine Quadratklafter, ein Quadrat¬ fuß, .. . genannt. Die Eintheilung dabey ist folgende: 1 Quadratmeile (ff) Meile) hat 16000000 Quadrat¬ klafter (ff)->), 1 Quadratklafter hat 36 Quadratfuß (ssss), 1 Quadratfuß 144 Quadratzolle (M"), 1 Quadratzoll „ 144 Quadratlinien (ff)"O- Ein Joch hat 1600 Quadratklafter. «. Körpermaße. Die Größe der Körper wird im Allgemeinen durch einen Würfel oder Kubus gemessen, welcher eine Kubikklafter, ein Kubikfuß genannt wird, je nachdem 75 eine Seite desselben eine Klafter, einen Fuß, . . . beträgt. Dje Verwandler ersieht man aus folgendem: <1 Kubikklafter hat 216 Kubikfuß, I Kubikfuß „ 1728 Kubikzoll, I Kubikzoll ,, 1728 Kubiklinien. /Zum Körpermaße gehöret auch das sogenannte Hohlmaß, womit das Getreide und die Flüssigkeiten gemessen werden. ! Die Einteilung des Getreide- oder Fruchtmaßes stellt folgende Tafel dar: hat 30 Metzen, „ 8 Achtel, „ 4 große Maßcl, „ '2 kleine Maßet, „ 2 Becher. Wein, Bier, . .. werden nach s. w. gemessen, und zwar: Maß (in der Rechnung), 1 Maß „ 4 Seidel, I Seidel ,, 2 Pfiffe. In der Wirklichkeit enthält der Weiueimer 41, der Biereimer 42 und I halbe Maß. Beym Weine enthält das Faß Ist, beym Bier 2 Eimer. Viele Gegenstände können nicht anders gemessen werden, als durch das Abzählen von Stück für Stück. Sie werden daher zählende Güter genannt. Die hicrbcy vorkommenden Benennungen sind folgende: 4. Zählbare Dinge. I Schock enthält 6st Stück I Schilling „ 30 // ! I I l Metzen Achtel großes Maßet kleines Maßet /Flüssigkeiten, als Faß/Eimer, Maß, u. I Eimer hat 40 76 Ein Mandel enthält 15 Stück /Ein Duzend „ 12 „ Ein Bund Federn sind 25 /, 1 Ballen Papier hat 10 Rieß 1 Rieß „ ,/ 20 Buch 1 Buch Schreibpapier „ 24 Bogen 1 ,/ Druckpapier 25 „ s 2. Das Resolviren und Reduciren. 8. 48. Häufig tritt der Fall ein, daß inan eine höhere Benennung in eine niedrigere, und umgekehrt eine niedrigere Benennung in eine höhere verwandeln muß. Das erste heißt das Auflösen der höhern Be¬ nennung in die niedrigere, oder das Resolviren; das zweyte das Zurückführen der niedrigem Be¬ nennung auf die höhere, oder das Reduciren. r,. Es sey zuerst eine einnahmige Zahl in eine niedrigere Benennung zu resolviren, z. B. 9 Gulden in Kreuzer. Da I ff. 60 Kr. hat, so machen 2 ff. 2mahl 60, 3 ff. 3mahl 60, ... also 9 ff. 9mahl 60 Kr; man muß also 60 mit 9, oder was gleichviel ist, 9 mit 60 multipliciren, wodurch man 540 Kr. erhält. Hier ist also die Zahl der Gulden, nähmlich 9, mit 60 d. i. mit dem Verwandler zwischen Gulden und Kreuzern multiplicirt worden. Um daher eine einnahmige Zahl in eine niedrigere Benennung auszulösen, muß man die Einheiten der höhern Benennung mit dem betreffenden Verwandler multipliciren. B e y s P i e l e. (l).WievielBogen enthalten 45BuchSchreibpapicr? 77 45 Buch 24 180 90 1080 Bogen. (2). Wie viel Zoll betragen 28 Klafter? Hier wird man die Klafter zuerst in Fuß, und dann diese in Zoll verwandeln. 28° 6 168' 12 336 168 2016" I>. Hat man eine mehrnahmige Zahl z. B. 8 fl. 25 Kreuzer in die niedrigste Benennung (Kreuzer) zu verwandeln, so resolvirt man zuerst 8 fl. in Kreuzer, indem man 8 mit dem Verwandler 60 multiplicirt; man bekommt dadurch 480 Kr., wozu noch die bereits vorhandenen 25 Kreuzer addirt werden; man hat also zusammen 505 Kr. Die Rechnung stehet 8 fl. 25 Kr. 60 480 Kr. ^-25 505 Kr. Um daher eine mehrnahmige Zahl in die nied¬ rigste Benennung zu resolvircn, so multiplicire man die Einheiten der höchsten Benennung mit dem Ver¬ wandler für die nächst niedrigere, und addirc zu dem Produkte die bereits vorhandenen Einheiten jener Be¬ nennung. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man auf die niedrigste Benennung kommt. 78 B e y s p i e l e. (4). Wie viel Pfennige betragen 248 fl. 38 Kr. 3 ? 248 fl. 38 Kr. 3 60 14880 Kr. 138 44918 Kr. 4 59672 13 59675 (2) . Man verwandle 23 Jahre 4 Monathe 25 Tage in Tage: 23 I. 4 M. 25 T. 42 46 — 23 ^76 M. 1' 280 M. 30 " 8100 T. 125 812» Tage. (3) . S5Zentner63 M25Lth.3Qtch.^328467Qtch.. (4) . 2° 5' 8" 44"' — 2555'". 8- 49. Wenn umgekehrt Einheiten einer niedrigem Be¬ nennung z. B. 2400 Loth auf die Höhere Benennung Pfund zu reduciren sind, so bedenke man zuerst, wie Viel Loth auf 1 Pfund gehen; 4 K' hat 32 Loth; es werden alfo in 2l00 Loth so viel K' enthalten seyn, als wie oft 32 Loth darin vorkommen; man muß also 2460 d. i. die Einheiten der niedrigem Benennung 79 durch 32 d. r'.-durch den Verwandler zwischen d'oth und Pfund dividiren; man hat 32 1 2400 I 75 M 224 IW 160 Wären z. B. 924 Kreuzer auf Gulden zurückzu¬ führen, so muß man 924 durch 60 dividiren; es wer¬ den nähmlich in 924 Kr. so viel fl. enthalten seyn, als wie oft 60 Kr. darin Vorkommen; 60 in 924 ist 15mahl enthalten, und es bleiben noch 24 Kr.; also hat man 15 fl. 24 Kr. Aus diesen Beyspielen ergibt sich folgende Regel: Sind d e Einheiten einer niedrigem Benennung in eine mehrnahmigc Zahl, worin auch höhere Be¬ nennungen vorkommen, zu redueiren, so dividire man die gegebenen Einheiten durch den Verwandler für die nächst höhere Benennung. Der Quotient bedeutet Einheiten der nächst höhern, der Rest aber die noch übriggeblicbenen Einheiten der niedrigem Benennung. Der Quotient wird, wenn es angehet, auf die nähm- liche Art auf die nächst höhere Benennung reducirt. B e y s p i e l e. (I). Man reducire 2325 Pfennige auf die höhern Benennungen. 4 I 2325 j 581 Kr. I 6.0 1 58.1 I 9 fl. 41 Kr.. 20 54 32 44^Kr. 32 5 * 4 2325 betragen also 9 fl. 41 Kr. I 80 (L). Wie viel Klafter, Fuß, Zoll, Linien machen 45233 Linien aus? 12 ! 45233 , 3769" 5'" (3) . Wie viel Zeit braucht man, um eine Million zu zählen, wenn man in jeder Seeunde eins zählt? — 1000000 Secunden — I l Tage 13 Stunden 46 Mi¬ nuten 40 Secunden. (4) . Wie viel Zeit würde man brauchen, um eine Billion zu zählen, wenn man ebenfalls in jeder Se¬ kunde 1 zählen möchte? — 1000000000000 Sekun¬ den — 31709 Jahre 289 Tage 1 Stunde 46 Minuten 40 Secunden. Das Zahr zu 365 Tagen gerechnet. 3. Das Addircn. ' §. 50. a. Man zähle 20 fl. 40 Kr. und 15 fl. 18 Kr. zusammen. — Im Kopfe würde man so rechnen: 20 fl. und 15 fl. sind 35 fl.; 40 Kr. und 18 Kr. sind 58 Kr.; zusammen 35 fl. 58 Kr. — Eben so zählt man auch beym schriftlichen Ad-iren nur die gleich- nahmigcn Zahlen zusammen, und schreibt sie t^egen der leichtern Übersicht gleich beym Ansätze unter einan¬ der; das ganze Beyspiel würde so stehen: 20 ff. 40 Kr. 15 „ 18 „ 81 35 ff. 58 Kr. Hier ist es gleichgültig, ob man die Gulden, oder die Kreuzer früher zusammenzählt. t>. Man addire folgende Posten: 12 A 18 Lth. 25 „ 80 ,, 12 „ 27 „ Beym mündlichen Addiren würde man zuerst die N zusammenzählen, und dann die Loth, nähmlich: 12 A und 25 N sind 37 N, und lO N sind 49 18 Lth. und 30 Lth. sind 48 Lth., Vrd 27 Ltf^ sind 75 Lth.; in 75 Loth sind 2 N enthalten,Mveil 32 in 75 2mahl vor^ommt, und es bleiben noch Al Loth dar¬ über; man hat also bey den Pfunden 49 N, und bey den Lothen 2 N 11 Lth. erhalten, zusammen 51 M 11 Lth. — Beym schriftlichen Addiren wird man dage¬ gen, um die schon ungeschriebenen A nicht verbessern zu müssen, bey der niedrigem Benennunff, nähmlich bey Loth, anfangen, aus der Summe 75 Loth die Pfunde herausziehen, indem man durch 32 dividirt, den Nest 11 als zurückgebliebene Loth unter die Loth setzen, den Quotienten 2 aber als erhaltene zu den Pfunden weiter zählen. Die Rechnung stehet 12 N 18 Lth. 32 I 75 I 2 N 25 „ 30 „ 64 12 » 27 „ H 51 N 11 Lth. Daraus ergeben sich für das schriftliche Addi¬ ren mehrnahmigee Zahlen folgende Regeln: 1. Man schreibe die Posten so unter einander^ Rcchcnb. s. d. II. u. III. Cl. F .82 daß Zahlen derselben Benennung unter einander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 2. Man beginnt bey der niedrigsten Benennung zu addiren, und geht dann immer zu der nächst höhern über; die jedesmahlige Summe wird unter die addir- ten Zahlen gesetzt. 3. Wenn eine Summe so groß ist, daß sie Ein¬ heiten der nächst höhern Benennung enthält, so redu- cirt man sie durch Division mit dem Verwandler auf diese höhere Benennung; die übrig gebliebenen Einheiten werden an die gehörige Stelle der Summe geschrieben, die erhaltenen böhern Einheiten aber zu ihrer Benennung weiter gezählüB An die Stelle, wo eine Benennung fehlt, kommt ein Strichs B e y s P i e l e. * (1). Man addire folgende Zahlen: 523 fl. 15 Kr. 1 Pf. 4 , 6 > 4 Kr. 60 88 > 1 fl. 87 „ 48 „ 3 „ 4 6 420 „ 3 „ — „ z Pf 44 „ 24.,, 2 „ 745 fl. 28 Kr. 2 Pf. In diesem Beyspiele erhält man bey den Pfen¬ nigen 6 zur Summe; diese wird, da sie auch Kreuzer enthält, auf Kreuzer reducirt, indem man sie durch 4 dividirt; der Rest 2 Pf. wird angcschrieben, der Quotient 4 Kr. aber zu den Kreuzern weiter gezählt. Bey den Kreuzern erhält man dann 88 zur Summe, diese dividirt man, weil darin Gulden vorkommen, durch 60, schreibt den Nest 28 Kr. unter die §Mizer, den Quotienten 4 fl. aber zählt mau zu den (Eldcn. Man addire folgende Zahlen: 83 25 Ztr. 27 A 21 Lth. 3 Qntch. 144 Ztr. 14 N 1 Ltd. 2 Otch. (1). Ein Kaufmann nahm auf einem Markte am ersten TaK 452 st. 18 Kr., am zweyten 840 ff. 45 Kr., am drittelt 48 Kr., am vierten 389 ff. 50 Kr. seine ganze Einnahme?—1280 ff. 4i HM. HM Jemand leihet folgendes Geld aus: an ^4 420 ff., 234 ff. 30 Kr. und an 6 745 ff. 20 Kr.; wie vTl bat er zusammen ausgeliehen? — 1399 ff. 50 Kr. G (3). Ein Wirth kauft von 5 Eimer 25 Maß, von v 8 Eimer 15 Maß, von 6 15 Eimer 10 Maß Wein; wie viel Wein hat er zusammen gekauft? — 27 Eimer 10 Maß. (4) . Ein Tabakverlcger verschleißt im ersten Monathe 35 Ztr. 72 N, im zweyten 29 Ztr. 54 17 Lth., im dritten 36 Ztr. 27 K" 23 Lth. Tabak; wie groß ist der Verschleiß während des ganzen Quartals? —101 Ztr. 54 M 8 Ltb. (5) . Ein Wirth bat einem Kaufmanne kür Zucker 8 ff. 24 Kr., für Kaffeh 5 ff. 20 Kr., für Lhl 4 ff. 25 Kr., und für andere kleinere Artikel 1 ff. 47 Kr. F2 84 zu bezahlen; wie viel ist er dem Kaufmanne im Ganzen schuldig? — 19 fl. 56 Kr. (6) . Ein Landmann hat 9 Joch 588 Ackergrund, 1244 Garten, 3 Joch 58^" Wiesen, 8 Joch 1007 Hü" Waldungen, und 1 Joch 840 Hutweiden; wie viel Boden hat er zusammen? — 23 Joch 537 H?. (7) . Jemand wurde am 5. August 1795 geboren, und stkrb 49 Jahre 6 Monathe 15 Tage alt; wann ist er gestorben? — Am 5. August 1795 waren seit der Geburt Christi 1794 Jahre 7 Monathe und 4 Tage verflossen, dazu 49 Jahre, 6 Monathe und 15 Tage, so hat man: 1814 Jahre, 1 Monath und 19 Tage, welche zur Zeit des Todes seit Christus verflos¬ sen waren; der Sterbetag war also der 20. Fe¬ bruar 1845. .s. (8) . Für einen Nock kostet das MH 16 M42 Kr., das Futter 54 Kr., das übrige Zugehvr 1 fl. 25 KH., Macherlohn ist 4 fl. 20 Kr.; was kostet der Rock?.'— 23 fl. 21 Kr. (9) . Ein Buchdrucker verbraucht 280 Ballen DrRck» papier, 2 Ballen 9 Niest 15 Buch Velinpapier, und 56 Ballen 3 Rieß 10 Buch Schreibpapier; wie viel macht dieses Papier zusammen? — 339 Ballen 3 Niest 5 Buch. (10) . Bey einem Kostenüberschlage beträgt die Mau¬ rerarbeit 231 fl. 47 Kr., die Zimmermannsarbeit 72 fl. 5 Kr., die Schlosserarbeit 24 fl. 32 Kr., die Tischlerarbeit 11 fl- 42 Kr., die Hafnerarbeit 27 fl-, die Spenglerarbeit 42 fl. 40 Kr., die Glaserarbeit 7 fl. 32 Kr., und die Anstreicherarbeit 3 fl. 20 Kr.; wie groß ist der ganze Betrag? — 420 fl. 38 Kr., 85 4. Das Subtrahiren. 8. 52. s. Man ziehe 23 fl. 3! Kr. von 65 fl. 47 Kr. ab. — Im Kopfe wird dieses so geschehen: 23 fl. von 65 fl. bleiben 42 fl.; 31 Kr. von 47 Kr. bleiben 16 Kr.; zusammen 42 fl. 16 Kr. — Dasselbe Verfahren wird auch beym schriftlichen Subtrahiren beobachtet, man zieht nähmlich die gleichnamigen Zahlen einzeln von einander ab; die Rechnung würde stehen 65 fl. 47 Kr. 23 „ 31 „ 42 fl. 16 Kr. Man kann hier das Subtrahiren bey den Gulden oder bey den Kreuzern anfangen; in beyden Fällen erhält man denselben Nest. t>. Es sollen 35 fl. 50 Kr. von 60 fl. 24 'Kr. abgezogen werden. Mündlich. 35 fl. von 60 fl. bleiben 25 fl.; 50 Kr. kann man von 24 Kr. nicht wegnehmen, man borge daher von dem Guldcnreste 1 fl. oder 60 Kr., wo sodann noch 24 fl. bleiben, 60 Kr. und 24 Kr. sind 81 Kr., davon 50 Kr. abgezogen, bleiben 34 Kr.; cs bleiben also im Ganzen 24 fl. 34 Kr. Beym schriftlichen Subtrahiren muß man hier zuerst die Kreuzer und dann die Gulden abziehen, weil man sonst die schon angeschriebenen 25 fl. in 24 fl. verbessern müßte. Da 50 Kr. von 24 Kr. nicht abgezogen werden können, so borgt man 1 fl.; bey den Gulden bleiben dann im Minuend nur 59, was durch den Borgepunct angezeigt wird; bey den Kreu¬ zern bekommt man 60 und 24 d. i. 84. Nun zieht man 86 ab: 0 von 4 bleiben 4, 5 von 8 bleiben 3, also 34 Kr.; ferner: 5 von 9 bleiben 4, 3 von 5 bleiben 2, also 24 fl.; zusammen 24 fl. 34 Kr. Die Rech¬ nung stehet - « M. L T. Hier borgt man, da weder Tag noch Monathe vorkommen, sogleich bey den Jahren; 1 Jahr gibt 12 Monathe, davon 1 geborgt, bleiben 11; der ge¬ borgte Monath gibt 30 Tage. Sodann wird subtrahirt. §. 53. Aufgaben. (1). Ein Beamter bezieht durch 1 Quartal 237 fl- 36 Kr.; wie viel bleibt ihm davon übrig, wenn er 185 fl. 52 Kr. ausgegeben hat? — 51 fl. 41 Kr. 88 (2) . Ein Kaufmann hatte 1 Ballen und 8 RieK Papier vorräthig; wenn er nun davon bereits 8 Rieß 17 Buch verkauft hat, wie groß ist noch sein Papier¬ vorrath ? — 9 Rieß 3 Buch. (3) . Jemand zahlt an Hauszins jährlich 149 fl.; wie viel ist er noch schuldig, wenn er auf die dießjährige Rechnung schon 85 fl. 45 Kr. berichtiget hat? — 54 fl. 15 Kr. (4) . ist dem L 586 fl. 35 Kr. schuldig; darauf zahlt er einmahl 240 fl. 20 Kr., ein anderes Mahl 183 fl. 32 Kr.; wie viel Haler schon gezahlt, und wie viel bleibt er noch schuldig? — Er zahlte bereits 423 fl. 52 Kr., und bleibt noch 162 fl. 43 Kr. schuldig. (5) . Ein Landmann besitzt 8 Joch 548 Quadrat¬ klafter Ackergrund; wenn er nun 1 Joch 895 Qua¬ dratklafter verkauft, wie viel bleibt ihm noch? — 6 Joch 1253 Quadratklafter. (6) . Aus einem Fasse, welches 15 Eimer 18 Maß enthält, werden 6 Eimer 24 Maß herausgenommen; wie viel Wein bleibt noch darin? — 8 Eimer 34 Maß. (7) . Jemand hatte 26 Ztr. 75 N Kaffeh vorräthig. Davon verkauft er nach und nach 1 Ztr. 68 K", 3 Ztr. 15 K", 88 KI 6 Ztr. 4A K, FZtr.; §vie groß ist noch sein Vorrath? — 9 Ztr. 59 N. (8) . Jemand ist am 2. April 1787 geboren, und starb am 3. October 1835, wie alt ist er geworden? — 48 Jahre 6 Monathe 1 Tag. Beym Tode waren 183 l J.9Mon.2Tage bep der Geburt „ 1786 „ 3 „ 1 „ seit Christo verfl.; also ist die Zeit 48 J.6Mon.1Tag das gesuchte Lebensalter. (9) . Jemand ist am 21. Juni 1831 geboren ; wie 89 alt ist er, wenn man heute den 20. Februar 1845 schreibt? — 13 Jahre 7 Monathe 26 Tage. . 12 30 Heute sind 1844 I. 1 M. 19 Tage, am Geburtstage 1830 /, 5 „ 2 3 „ nach Chr.G. verfl. d. Zwischenzt. 13 I. 7 M. 26 TageistdasAlter- 5. Das Multipliciren. §. 54. Bey der Multiplieation muß der Multiplikator während der Rechnung immer als eine unbenannte Zahl betrachtet werden. (»). Man multiplicire 28 Ztr. 25 A mit 2. Hier muß jeder Bestandtheil 2mahl genommen werden. Im Kopfe 2mahl 28 Ztr. sind 56 Ztr.; 2mahl 25 N sind 50 K) zusammen 56 Ztr. 50 Ä". Schriftlich: 28 Ztr. 25 S 2 56 Ztr. 50 K" Beym schriftlichen Multipliciren wird also das Product der Pfunde unter die Pfunde, das Product der Zentner unter die Zentner gesetzt. (d). ES sollen 208 fl. 35 Kr. mit 9 multiplicirt werden. Im Kopfe: 9mahl 208 (9mahl 200 ist 1800, 9mahl 8 ist 72, und 1800) ist 1872, also hat man erstlich 1872 fl.; 9mahl 35 Kr. sind (9mahl 30 sind 270, 9mahl 5 sind 45, zusammen) 315 Kr.; 300 Kr. geben 30 Zehner oder 5 fl., 315 Kr. sind also 5 fl. 15 Kr.; und die frühem 1872 fl. sind 1877 fl. 15Kr. Beym schriftlichen Multipliciren muß man, So weil in dem Kreuzerproducte Gulden enthalten sind, und diese zu dem Guldenproducte gezählt werden müssen, bey den Kreuzern zu rechnen anfangen, damit man nicht nöthig habe, die im Producte schon ange¬ schriebene Zahl der Gulden wieder auszubessern. Man nimmt also erstlich 35 Kr. 9mahl, was 315 Kr. gibt; diese durch die Division mit 6lt in Gulden verwandelt, machen 5 fl., und es bleiben noch 15 Kr., welche man im Producte unter die Kreuzer schreibt; die 5 fl. werden zu dem Producte der Gulden weiter gezählt: 9mahl 8 sind 72, und die übertragenen 5 sind 77 fl., (7 wird angeschrieben) bleiben 7; 9mahl 0 ist 0, und 7 ist 7; 9mahl 2 ist 18. Die Rechnung steht 208 fl. 35 Kr. 6,0 > 81.5 > 5 fl. 9 30 1877 fl. 15 Kr. 15 Kr. Ist also eine mehrnahmigeZahl mit einer unbenannten zu multtplictren, so beobachte man Folgendes: 1. Man schreibe den Multiplicator unter die niedrigste Benennung des Multiplicands, und ziehe darunter einen Querstrich. 2. Man fange bey der niedrigsten Benennung zu multipliciren an, multiplicire Benennung für Be¬ nennung, bis man zur höchsten kommt, und schreibe das fedesmahlige Product unter die multiplicirte Stelle. 3. Ist bey einer Benennung das erhaltene Pro¬ duct so groß, daß eS Einheiten der nächst höher« Be¬ nennung enthält, so reducirt man es durch Division mit dem Verwandler auf diese höhere Benennung; die übrig gebliebenen Einheiten der niedrigern Benen¬ nung werden an die gehörige Stelle geschrieben, die 91 erhaltenen höher« Einheiten aber zu dem Produkte dieser letzter» weiter gezählt. B e y s p i e l e. 1. Man multiplicire 5 fl. 24 Kr. 3 mit 7. 5 fl. 24 Kr. 3 3 24 Kr. 7 7 7 37 fl. 53 Kr. 1 flL 4 ! 21 > 5 Kr. 6.0 > 17.3 I 2fl. 20 12 I 53 Kr. Hier erhält man: 7mahl 3 sind 21 flk, welche auf Kreuzer reducirt 5 Kr. 1 geben, man setzt 1 an die Stelle der Pfennige, die 5 Kr. werden weiter gezählt; ferner: 7mahl 4 ist 28, und 5 ist 33, (3 an¬ geschrieben) bleiben 3; 7mahl 2 ist 14, und 3 ist 17, die 173 Kr. geben 2 fl. 53 Kr.; man setzt die 53 Kr. an die Stelle der Kreuzer, die 2 fl. werden weiter ge¬ zählt; 7mahl 5 ist 35, und 2 sind 37 fl. 2. Man multiplicire 14° 4' 9" 5'" mit 27. , 14° 4/ 9" 5"/ 27 399° 3' 2" 3'" 27 27 27 27 5 9 4 14 Das Multipliciren mehrnahmiger Zahlen kann auch dadurch verrichtet werden, daß man dieselbe auf die niedrigste Benennung bringt, und dann die Mul¬ tiplikation verrichtet; das Product enthält Einhei- 92 ten derselben niedrigsten Benennung, welche dann wie¬ der auf die höhern Benennungen reducirt werden. Beispiel. Man multiplicire 3 Ztr. 64 KI8 Lth.3Qtch.mit 18. 3 Ztr. 64 N18 Lth. 3 Qtch. IW 800 A 46667 Qtch. Z-64 18 364 A 373336 32 46667 728 4 I 840006 Qtch I 210001 Lth. 1092 8 11648 Lth. -4 ^18 4 11666 Lth. - 0006 4 4 46664 Qtch. 2 Qtch. ^3 46667 Qtch. 32 I 210001 Lth. I 6562 M 192 180 1.00 I 65.62 N, 65 Ztnr. 160 62 K" 200 192 81^ 64 17 Lth. Das Product ist also: 65 Ztr. 62 N 17 Lth. 2 Qtch. 93 §. 55. Aufgaben. (1) . Ein Taglöhner verdient täglich 48 Kr.; wie viel macht dieses in 27 Tagen? — 21 ff. 36 Kr. (2) . In einer Haushaltung gibt man im Durch¬ schnitte monathlich 88 fl. 45 Kr. aus; wie hoch be¬ läuft sich die Ausgabe für LI Monathe? Auf 976 si. 15 Kr. (3) . 1 Zentner Heu wird mit 1 fl. 12 Kr. be¬ zahlt; waS kosten 92 Zentner? — 110 fl. 24 Kr. (4) . Wie viel kosten 25 Metzen Weizen; wenn der Metzen 2 fl. 20 Kr. kostet? — 58 fl. 20 Kr. (5) . Wenn 1 Zentner Eisen 12 fl. 18 Kr. kostet; wie hoch kommen 56 Zentner? — Auf 688 fl. 48 Kr. (6) . Bey einem Mittagmahle waren 14 Personen; wie groß war wohl die Rechnung, wenn jede Person 1 fl. 36 Kr. zahlen muß? — 22 fl. 24 Kr. (7) . Ein TagSschreibcr bezieht täglich 1 fl. 36Kr.; wie viel in einemZahre (365 Tagen)? — 584 fl. (8) . Wie viel Öhl enthalten 12 Fässer, jedes zu 6 Zentnern 28 A 8 Loth? — 75 Zentner 39 A. (9) . Wie viel wiegen 8 Zuckerhüte zu 12 N12 Lth., und wie viel sind sie Werth, wenn 1 M mit 24 Kr. bezahlt wird? — 8 Zuckerhüte zu 12 N 12 Lth. enthalten 99 N, und diese betragen zu 24 Kr. 99mahl 24 K., was 39 fl. 36 Kr. macht. (10) . Jemand ist 800 fl. schuldig; darauf gibt er 320 fl. 40 Kr. im Gelde, dann 32 Eimer Wein zu 8 fl. 36 Kr., und 48 Metzen Hafer zu 48 Kr.; wie viel hat er im Ganzen schon abgezahlt, und wie viel bleibt er noch schuldig? — Mit barem Gelde wur¬ den 320 fl. 40 Kr., mit Wein 275 fl. 12 Kr. , und 94 mit Hafer 38 fl. 24 Kr., zusammen 634 fl. 16 Kr. berichtiget; die Schuld beträgt also noch 165 fl. 44 Kr. (1t). In einer Erziehungsanstalt sind 65 Zög¬ linge, feder kostet täglich 35 Kr.; wie viel wird für alle täglich, wie viel monathlich, und wie viel in 16 Monathen ausgegeben? — Die tägliche Ausgabe ist 37 fl. 55 Kr.; die monatliche 30mahl so groß, also 1137 fl. 30 Kr.; in 10 Monathen also 11375 fl. (12). Ein Beamter bat jährlich 800 fl. Gehalt; er gibt täglich 48 Kr. auf Kost; monathlich 12 fl. auf Wohnung und Bedienung, und jährlich 250 fl. auf die übrigen Bedürfnisse aus; wie viel erspart er im ganzen Jahre? — Für die Kost gibt er 365mahl 48 Kr. d. i. 202 fl., für Wohnung und Bedienung ISmahl 12 — 144 fl., und für die übrigen Bedürf¬ nisse 250 fl., zusammen 686 fl. aus; diese von 800 fl. abgezogen geben 114 fl. als jährliches Ersparnis 6. Das Dividiren. 8. 56. Beym Dividiren mehrnahmiger Zahlen sind zwey Fälle zu unterscheiden. ». Wenn die Division als Enthaltenseyn oder Vergleichung angewendet wird. In diesem Falle müssen Dividend und Divisor gleichnahmig seyn. Man verwandelt daher die beyden mehrnahmigen Zahlen in eine gleiche, und zwar die niedrigste Benennung; dann dividirt man die zwey einnahmigen Zahlen durch einander. B e y s p i e l e. (1). Wie oft sind 12 fl. 23 Kr. in 185 fl. 45 Kr. enthalten? 85 12 fl. 23 Kr. 185 fl. 45 Kr. 743 > 11145 > 15 60 60 713 7-0 Kr. 11100 Kr. 3715 23 45 3715 743 Kr. 11115 - 12 fl. 23 Kr. sind also in 185 fl. 45 Kr. 15mahl enthalten. (2). Wie oft sind 15 Stunden 16 Minuten in 22 Tagen 21 Stunden 36 Minuten enthalten? 15 St. 16 M. 22 T. 21 St. 36 M. Antwort: 36ntahl. §. 57. d. Wenn di« Division als Theilung ange¬ wendet wird. , In diesem FaLe ist nur der Dividend benannt, der Divisor aber snuß wahrend der Rechnung als unbenannt angesehetl werden; der Quotient erhält dann mit dem Dividende einerley Nahmen. (1). Es sey 48 R 16 Kr. durch 8 zu dividiren. Man muß hier Offenbar sowohl von den Gulden als von den KreuzernLen 8ten Theil nehmen. Im Kopfe: 48?fl. durch 8 gethcilt geben 6 fl., 16 Kr. durch 8 geteilt geben 2 Kr.; zusammen 6 fl. 2 Kr. dö Ganz auf dieselbe Art verfährt man auch beym schriftlichen Dividiren, und schreibt 8 ! 48 fl. 16 Kr. ! 6 fl. 2 Kr. (2). Man theile 315 fl. 6 Kr. in 14 gleiche Theile. Wenn man hier 345 fl. in 14 gleiche Theile theilt, so bekommt man 24 fl., und es bleiben noch 9 fl., welche durch 14 nicht mehr getheilt werden können; man löst daher die 9 fl. durch Multiplikation mit 60 in Kreuzer auf, sie geben 510 Kr., und die bereits vorhandenen 6 Kr. dazu, sind 546 Kr.; diese werden nun durch 14 dividirt, wodurch man 39 Kr. bekommt. Der Quotient ist also 24 fl. 39 Kr., und die Rechnung stehet 14 I 345 fl. 6 Kr. , 24 fl. 39 Kr. 28 , 55 ! 9 fl. 60 540 Kr. 6 5t6 Kr. 42 126 126 / Wenn also eine mehrnMmige Zahl durch eine unbenannte zu dtvidiFn ist, wo nähmlich die Division als Theilung «ngewcndet wird, so beobachte man folgende Regeln» 1. Man schreibe den Mvidend zwischen zwey aufrechten Strichen, und linH vor demselben den Divisor; der Quotient komnm nach und nach rechts nach dem Dividende zu stehen. 97 2. Man fange bey der höchsten Benennung zu divi- diren an, dividire Benennung für Benennung, bis man zur niedrigsten kommt, und gebe dem jedesmaligen Quotienten jenen Nahmen, den die dividirte Zahl hat. 3. Bleibt bey der Division einer Benennung ein Rest, so verwandle man ihn durch Multiplication mit dem Verwandler in die nächst niedrigere Benennung, und addire dazu die im Dividende bereits vorhandenen Einheiten dieser Benennung. Dann wird weiter dividirt. ) B e y s p i e l e. (1). Man dividire 211 Zentner 13 A 8 Lth. durch 8. 8 ! 21! Ztr. 13 A 8 Lth. , 26 Ztr. 76 N 21 Lth. 16 51 ^18 l 6 Ztr. I 100 600 A ! 13 j 613 K" I 56 I 53 48 1 5 H 32 j M Lth. » 8 _ L 168 Lth. I 16 R 8 I. 8 I Rechend, f. d. Il./u. M. El. G 88 (2). Man suche den 24sten Theil von 158 fl. 42 Kr, 24 j 158 fl. 42 Kr. > 6 fl. 36 Kr. 3 144 14 fl. 60 840 Kr. 42 882 Kr. 72 162 144 18 Kr. 4 72^ Die Division einer mehrnahnsigen Zahl durch eine unbenannte kann auch dadurch aü-geführt werden, daß man die mehrnahmige Zahl in die niedrigste Benennung auflöset, dann die Division verrichtet, und endlich den Quotienten wieder auf § die höhere Be¬ nennung reducirt. B e y s P i e l. » Wie groß ist der 15te Theil von Iv Ztr 93 K' 4 Lth. 19 Zt. 100 1900 R 93 1993 L 32 3986 5979 63/76 Lth. 4 15 ! 63780 4252 Lth. 60 37^ / 80 / 78 s 75 z 30 / 30 63/80 Lth. 99 32 ! 4252 Lth. > 182 N 32 105 IM I 1.32 ! I Ztr. 86 32 A 92 64 28 Lth. Der Quotient ist also: I Ztr. 32 A 28 Lth. 58. Aufgaben. (1) . 1 K" Kerzen kostet 16 Kr.; wie viel A bekommt -man um 4 fl. 48 Kr.? — 18 K". (2) . Ein Knecht hat monatlich 7 fl. 30 Kr.; wie lang wird er dienen müssen, um 37 fl. 30 Kr. zu ver¬ dienen? — 5 Monathe. (3) . Ein Beamter bezieht monathlich 37 fl. 30 Kr.; wie viel kommt auf einen Tag? — 1 fl. 15 Kr. (4) . Ein Gärtner gibt 65 Stück junge Bäumchen um 19 fl. 30 Kr.; wie theuer hat er das Stück ver¬ kauft? — Um 18 Kr. (5) . Ein Kaufmann verkauft um 90 fl. Tuch, die Elle zu 3 fl. 20 Kr; wie viel Ellen hat er verkauft? — 27 Ellen. (6) . Unter 52 durch Feuer verunglückte Familien sind 925 fl. 36 Kr. zu gleichen Theilen vertheilt wor¬ den; wie viel bekam eine jede Familie? — 17 fl. 48 Kr. (7) . Jemand kaust 27 K Wolle um 10 fl. 48 Kr.; wie theuer bezahlte er das M davon? — Zu 24 Kr. (8) . Wie viel Dalken braucht man zu einem 35» 2' 6" langen Geländer; wenn jeder Balken 8^ 6" lang ist? — 25 Balken. G 2 100 (9) . 12 Wirthe kaufen zusammen 69 Eimer Wein; wenn nun jeder gleichviel zahlt, wie viel Wein be¬ kommt jeder Wirth? — 5 Eimer 30 Maß. (10) . Ein Schafzüchtler hat 1038 Schafe, und ver¬ kauft die Hälfte davon, jedes zu 2 fl. 42 Kr., unter der Bedingung, daß das Geld innerhalb eines Jahres in vierteljährigen Terminen bezahlt werden müsse; wie viel Schafe verkauft er, wie viel Geld hat er da¬ für im Ganzen zu bekommen, und wie viel muß vierteljährig gezahlt werden? — Es werden 519 Schafe um 1401 fl. 18 Kr. verkauft, daher muß vierteljährig der 4te Theil davon, nähmlich 350 fl. 19? Kr., ge¬ zahlt werden. (11) Auf einem Wochenmarkte werden 12 Metzen Weizen zu 2 fl. 36 Kr., 26 Metzen zu 2 fl. 30 Kr., und 38 Metzen zu 2 fl. 20 Kr. verkauft. Wie viel Metzen Weizen sind im Ganzen verkauft worden, wie viel kosten sie alle zusammen, und wie hoch kommt im Durchschnitte 1 Metzen? — Es sind zusammen 76 Metzen; 12 Metzen zu 2 fl. 36 Kr. machen 31 fl. 12 Kr-, 26 Metzen zu 2 fl. 30 Kr. machen 65 fl., und 38 Metzen zu 2 fl. 20 Kr. betragen 88 fl. 40 Kr.; also find alle 76 Metzen um 181 fl. 52 Kr. verkauft wor¬ den; daher kommt auf 1 Metzen im Durchschnitte 2 fl. 25 Kr. 3 (12) . Für einen Brückenbau haben 4 Gemeinden 742 fl. 12 Kr. zu gleichen Theilen beyzutragen; die Gemeinde zahlte auf Rechnung 120 fl., die Ge¬ meinde kl 134 fl. 25 Kr., 0 92 fl. 50 Kr. , v 148 fl. .8 Kr. Wie groß ist der Betrag, der auf jede Gemeinde entfällt, und wie viel hat jede einzelne Gemeinde noch uachzuzahlen? — Auf jede Gemeinde kommen 185 fl. 33 Kr. zu zahlen; davon hat ä. noch 65 fl. 33 Kr., lOl k 5l fl. 8 Kr., 6 92 fl. 43 Kr., v 37 fl. 25 Kr. zu berichtigen. Fünftes Hauptstück. Theilbarkeit der Zahlen. §. 59. >Tinc Zahl heißt durch eine andere theilbar, wenn sie durch dieselbe dividirt keinen Rest zurückläßt. Z. B. 32 ist durch 8 theilbar, weil 8 in 32 gerade 4mahl enthalten ist und kein Rest übrig bleibt; 36 aber ist durch 8 nicht theilbar, weil da ein Nest übrig bleibt. Jede Zahl ist durch sich selbst und durch L theil¬ bar. So ist z. B. 8 : 8 — 1, und 8:1^ 8. 17 : 17 1, und 17 : 1 17. Jene Zahlen. welche nur durch sich selbst kund durch 1 theilbar sind, heißen einfache oder Prim¬ zahlen; z. B. I, 2, 3, 5, 7, II, u. s. w. Welche sind die Primzahlen von 1 bis IOO? Jene Zahlen, welche nicht nur durch sich selbst und I, sondern auch noch durch eine andere Zahl theil¬ bar sind, heißen zusammengesetzte Zahlen;) z. B. 8 läßt sich durch 8 und 1, aber auch durch 2 und 4 ohne Nest dividiren; 8 ist also eine zusammenge¬ setzte Zahl. 1l>2 8- 60. Regeln für die Theilbarkeit der Zahlen r 1. Durch 1 ist jede Zahl theilbar. Allein, da die Division durch 1 nichts ändert, wird durch 1 nie dividirt. 2. Durch 2 sind alle geraden Zahlen theil- har, d. i. jene Zahlen, welche in der Stelle der Ein¬ heiten 0, 2, 4, 6 oder 8 haben; z. B. 50, 92, 77 t, 86, 2218. Der Grund dieser Regel läßt sich leicht cinsehen. Alle Zehner, Hunderte, Tausende, ... sind einmahl durch 2 theilbar; kommen nun gar keine Einheiten vor, oder stehet in der Stelle der Einheiten eine durch 2 theilbare Zahl, nähmlich 2, 4, 6, 8, so muß auch die ganze Zahl durch 2 theilbar seyn. Jene Zahlen, welche in der Stelle der Einheiten 1,3, 5, 7, 9 haben, heißen ungerade Zahlen, und sind durch 2 nicht theilbar;^;. B. 21, 73, 45, 2187, 559. 3. Durch 3 sind alle Zahlen theilbar, deren Ziffernsumme durch 3 theilbar ist z. B. 735 ist durch 3 theilbar, weil die Ziffernsummc 7 Z- 3 -j- 5 — 15 durch 3 theilbar ist; eben so sind 54, 87, 4437, 51291 durch 3 theilbar. Von der Nichtigkeit dieser Regel kann man sich auf folgende Art überzeugen. 10 : 3 — 3, und es bleibt 1 zum Reste; 20 : 3 — 6, und es bleibt 2 zum Reste; 30 : 3 — 10, und es bleibt kein Rest, oder 30 : 3 — 9, und cs bleibt der Rest 3; eben so kann man 40: 3 — 12 setzen und 1 als Nest annch- men . . .; wenn man also 1 Zehner durch 3 theilt, so bleibt 1 zum Reste; dividirt man 2 Zehner durch 3, so erhält man 2 zum Neste; überhaupt so viele Zehner durch 3 dividirt werden, eben so viele Einheiten kamr 103 man als Rest annehmen. Ferner: wenn man I Hun¬ dert durch 3 dividirt, so bleibt auch 1 zum Reste; werden 2, 8, 4, .. Hunderte durch 3 dividirt, so kann man 2, 3, 4, ... als Neste annehmen. Dasselbe gilt von den Tausenden, Zehntausenden, u. s. w. Wenn man daher die Zehner, Hunderte, Tausende, ... durch 3 dividirt, so kann man die Ziffer selbst, welche in der Stelle der Zehner, Hunderte, Tausende, ... ste¬ hen, als Neste der Division ansehen; sind nun alle diese Reste und dazu noch die Einheiten zusammenge¬ nommen durch 3 theilbar; so ist es auch die ganze Zahl; wenn aber jene Reste und die Einheiten durch 3 nicht tbeilbar sind, so ist es auch die ganze Zahl nicht. Jene Reste aber und die Einheiten zusammen¬ genommen bilden eben die Ziffcrnsumme. Eine Zahl ist also durch 3 theilbar, wenn sich ihre Ziffernsumme durch 3 theilen läßt. ! 4. Durch 4, sind alle Zahle» theilbar, deren zwey niedrigste Stellen rechts durch 4, theilbar sind^)Z.B. 732 ist durch 4 theilbar, weil die ersten zwey Stellen rechts, nähmlich 32 durch 4 theil¬ bar sind; eben so sind 124, 2912, 5094, 2980 durch 4 theilbar. Alle Hunderte sind durch l theilbar, eben so alle Tausende, Zehntausende, u. s. w. Sind nun auch die Zehner und die Einheiten d. i. die zwey niedrig¬ sten Ziffern durch 4 theilbar, so ist cs auch die ganze Zahl. 5. Durch 5 sind alle Zahlen theilbar, welche in der Stelle der Einheiten <9 oder » habens. B. 10, 35, 80, 325, 7105, 129300. Denn die Zehner, Hunderte, Tausende, . . . sind einmahl durch 5 theilbar; cs kommt also nur auf 104 die Einheiten an; sind entweder gar keine Einheiten da, oder gerade 5 Einheiten, so ist die ganze Zahl durch 5 Heilbar; sonst nicht. ' 6. Durch 1v, IW«, . . . sind alle Zahlen theilbar, welche rechts 1, 2, 3, . . . Nullen haben. So ist 450, 19200 durch 10; 8400, 5710000 durch 100; 3000,5920000 durch 1000 Heilbar. Für die Ausübung ist es hinreichend, wenn man die Kennzeichen der Thcilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 weiß; die Kennzeichen für die Theilbar- keit durch andere Zahlen sind viel zusammenge¬ setzter, und daher minder brauchbar. Aufgaben. (1) . Durch welche Zahlen ist 103740 Heilbar? (2) . Man gebe von allen Zahlen unter 100 an, durch welche kleinere Zahlen sie Heilbar sind. (3) . Es soll bey nachstehenden Zahlen: 360, 2268, 1080, 4725, 75600, 96000 angegeben werden, durch welche andere Zahlen sie ohne Rest getheilt werden können. Sechstes Haupt stück. Lehre von den Brüchen. 8- 61. A^enn man eine Einheit ein- oder mehrmahl nimmt, so erhält man eine ganze Zahl; z. B. eine Elle, fünf Ellen; die erste Zahl enthält die Einheit, nähm- lich eine Elle einmahl, die zwepte fünfmahl. 1si5 Man kann aber auch die Einheit in mehrere glei¬ che Theile Heilen, und dann einen oder mehrere solche Theile nehmen. Eine Zahl, welche dadurch ent¬ stehet, heißt ein Bruch. Wenn man z. B. eine Elle in vier gleiche Theile theilt, so ist jeder solche Theil ein Viertel-Elle; ein Viertel-Elle, zwey Viertel-Ellen, drey Viertel-Ellen sind daher Brüche, weil man sich darunter nur einen Theil der Einheit, nähmlich den Vierten Theil einer Elle vorstellt, und zwar unter der ersten Zahl einmahl, unter der zweyten zweymahl, unter der dritten dreymahl. Ein Bruch ist demnach nichts anderes als eine Zahl, welche einen oder mehrere gleiche Theile der Einheit enthält. Wenn man ein Ganzes in 2, 3, 4, 5, . . . gleiche Theile theilt, so heißt ein solcher Theil der zweyte, dritte, vierte, fünfte . . . Theil, oder die Hälfte, das Drittel, Viertel, Fünftel . . . des Ganzen. Um sich das Entstehen der Brüche recht anschau¬ lich zu machen, ziehe man unter einander mehrere gleich lange Linien, lasse die erste ganz ungetheilt, die zweyte theile man in 2, die dritte in 3,... gleiche Theile, wie folgende Darstellung zeigt. 1 -> 2 !----i ;; I-l-!—-> 4 >-!— -1-1- -i 5 ,-!- 1-§-, 6 !- -i-!-t-!---1 U. s. w. 106 Die erste Linie stellt die Einheit, das ungetheilte Ganze vor. — Die zweyte Linie ist in 2 gleiche Theile getheilt worden, ein solcher Theil heißt die Hälfte des Ganzen, oder ein Halbes; zwcy solche Theile sind zwey Halbe, und machen wieder die ganze Linie, ein Ganzes aus. — Die dritte Linie enthält 3 gleiche Theile; ein solcher Theil heißt ein Drittel der 'ganzen Linie» zwey solche Theile bilden zwey Drittel; drey solche Theile oder drey Drittel geben wieder die ganze Linie u. s. w. Der Be-griff der Brüche kann auch durch Gulden- theilc sehr vortheilhaft versinnlichet werden. — Ein Gul¬ den enthält 60 Kr., wenn man einen Gulden in 2 gleicke Tbeile tbeilt, so enthält ieder solche Theil 30 Kr.; ein halber Gulden oder die Hälfte eines Guldens sind also 30 Kr.; zwey halbe Gulden machen 2mahl 30 d. i. 60 Kr., also einen ganzen Gulden. — Theilt man einen Gulden in 3 gleiche Theile, so enthält ein solcher Theil 20 Kr.; der dritte Theil oder das Drittel eines Guldens sind also 20 Kr., 2 Drittel betragen 2mahl 20 d. i. 40 Kr.; 3 Drittel 3mahl 20 d. i. 60 Kr. oder einen ganzen Gulden u. s. w. An den getheilten Linien, so wie an den verschie¬ denen Guldentheilen ersieht man, daß ein Ganzes in mehr oder weniger gleiche Theile getheilt werden, und man von diesen mehr oder weniger nehmen könne. Daraus folgt, daß zur Bestimmung eines Bruches zwey Sachen erforderlich sind; erstlich muß man wis¬ sen, in wie viel gleiche Theile das Ganze ge¬ theilt ist; und dann, wie viel solche Theile zu nehmen sind. Ilm also einen Bruch auszudrücken, braucht man 2 Zahlen; die eine, welche anzcigt, in wie viel gleiche Theile das Ganze getheilt ist, welche also die Theile benennt, und darum der Nenner heißt; 107 Hie andere, welche anzeigt, wie viel solche Theile man nehmen müsse, welche also die Theile zählt, und darum der Zähler genannt wird. Z. B. in dem Bruche drey Viertel ist die Zahl 4 der Nenner, und zeigt an, daß das Ganze in 4 gleiche Theile getheilt wurde; 3 ist der Zähler, und gibt an, daß man von solchen Theilen 3 genommen habe. Wie wohl man sich bey Entstehung eines Bruches früher vorstellen muß, was für Theile er enthält, und dann erst, wie viel solche Theile er hat, also frü¬ her auf den Nenner, und dann erst auf den Zähler denkt, so wird doch beym Aussprechcn und Anschreiben der Brüche die umgekehrte Ordnung beobachtet. Beym Aussprechen der Brüche wird zuerst der Zähler und dann der Nenner genannt;^. B. drey Viertel, sieben Zehntel . Eben so setzt man beym Anschreiben zuerst den Zähler an, zieht einen Strich, und schreibt den Nen¬ ner darunter; ;. B. E oder °/^, oder v^> Aufgaben. (1). Wie viel ist Gulden? — Wenn man ei¬ nen Gulden oder 60 Kreuzer in lO gleiche Theile theilt, so enthält l solcher Theil 6 Kr.; also fl. 6 Kr. (L). Wie viel Kreuzer enthält z, z, z, -o, Gulden? (3s).Wie viel beträgt^ Gulden? — Wenn man ei¬ nen Gulden in 3 gleiche Theile theilt, so kommen auf einen Theil 20 Kr.; 2 solche Theile enthalten also Lmahl 20 d. i. 40 Kr.; also 5 fl. — 40 Kr. (4). Was macht E, 5, ä, .», /r, rö, Gulden? (5> Wie viel ist s, z, s, -ä>, Zentner? ro8 (6) . Wie viel Pfund machen 7^, 77, zß Zentner? (7) . Wie viel Loch macht z, I, i, ?°, E, Z-- Pfund? (8) . Wie viel Monache beträgt 7, ,, 7, 2 ä 1> 2/ «/ 12 * 8- 62. Man theilt die Brüche in echte und unechte ein. Ein echter Bruch ist derjenige, dessen Zähler kleiner ist als der Nenner; jeder andere Bruch, des¬ sen Zähler entweder gleich dem Nenner oder größer als der Nenner ist, heißt ein unechter Bruch. Z. B. 12 3 7 j'>4 2' 3' Z' 12' 273 sind echte Brüche. 2 3 8 17 388 „ . m 2' 3' 5' 12' 2?3 sind unechte Bruche. Der Unterschied läßt sich recht gut durch Linien versinnlichen. 2V i-!-—8- .. --1-!-,- -->-i—--I- Es stelle die Linie .4.1! die Einheit vor, welche in 4 gleiche Theile oder Viertel eingetheilt wird. An der ersten Linie nimmt man nur 3 solche Theile, an der 109 zweyten 4, an der dritten 5. Im ersten Falle ist als» der Zähler kleiner als der Nenner, im zweyten eben so groß, im dritten größer. Die erste Linie stellt also einen echten Bruch, die zweyte und dritte stellen un¬ echte Brüche vor. An diesen Linien ersteht man auch, daß ein echter Bruch kleiner, ein unechter aber gleich oder größer ist als die Einheit. Davon kann man sich auch über¬ zeugen , wenn man echte und unechte Guldenbrüche betrachtet, und untersucht, ob sie kleiner, gleich oder- größer als ein ganzer Gulden sind. Z. B. st. — 45 Kr.; V» fl. — 60 Kr.; st-— 75 Kr. Eine Zahl, welche aus einer ganzen Zahl und aus einem angehängten Bruche besteht, heißt eine gemischte Zahl; z. B. 2?-, 25", 348^. Wenn bey der Division ganzer Zahlen ein Rest übrig bleibt, so ist der Quotient immer eine gemischte Zahl. 8. 63. Jeder unechte Bruch läßt sich in eine ganze oder gemischte Zahl verwandeln. Es sey z. B. 4 ; 4 Viertel machen ein Ganzes, 4 ist aber in 8 2mahl enthalten, also machen 8 Vier¬ tel 2 Ganze, oder — 2. — Es sey ferner 3 Drit¬ tel machen 1 Ganzes, l4 Drittel also machen so viel Ganze, als wie oft 3 in 14 enthalten ist; 3 ist in 14 , 4mahl enthalten, und es bleiben noch 2; also betra¬ gen 14 Drittel 4 Ganze und noch 2 Drittel, oder _ ,1? - 's- Eben so ziehe man aus folgenden Brüchen die Ganzen heraus: ß, 7, 7, 110 Daraus ersieht man: Um aus einem unechten Bruche die Gan¬ zen heraus zu ziehen, muß man untersuchen, wie ost der Nenner in dem Zähler enthalten ist, d. h. man muß den Zähler durch den Nenner dividiren; der Quotient gibt die Anzahl Ganze, bleibt ein Rest, so ist er der Zähler des noch anzuhängenden Bruches, dessen Nenner dem früher» Nenner gleich ist. B e y s p i e l e. (1) . Man ziehe aus " die Ganzen heraus. 9 ist in 45 5mahl enthalten; also " — 5. (2) . soll in Ganze verwandelt werden. 8 ist in 68 8mahl enthalten, mit dem Reste 4; also «X A -- "8* (3) . — 27^, denn 21 j 578 > 27^ 42 158 147 11 Aus dem Vorhergehenden folgt auch, daß ein Bruch als eine angezeigte Division betrachtet werden kann; der Zähler stellt den Dividend, der Nenner den Divisor vor. Es ist also 4-8-4; U-17-5; 5-8. ns /, Wie jeder unechte Bruch.'-auf eine ganze oder gemischte Zahl gebracht werden kann, so läßt sich auch umgekehrt jede ganze oder gemischte Zahl in einen unechten Bruch verwandeln. I. Es soll z. B.-4 in einen Bruch, dessen Nen¬ ner 6 ist, also in Sechstel verwandelt werden. I Gan¬ zes hat 6 Sechstel, also 4 Ganze 4mahl 6 Sechstel d. i. 24 Sechstel; Häher 4 — — Man bringe ebenso 5 auf VierieA<7 auf.Achtel; 12 auf Zehntel. /'Man wird daraus ersehen Um eine ganze Zahl in einen Bruch, dessen Nenner gegeben ist, zu verwandeln, multiplicirt man die ganze Zahl mit dem gegebenen Nenner; die¬ ses Product setzt man als Zähler, und den gegebenen Nenner als Nenner des unechten Bruches. ' B e y s p i e l e. I — 2—3 —4 — 5 —6—w —56. 2 3 4 5 6 10 56' - — 10__ 15 — 20 — 25 __30 —35 —50. 2 3 4 5 6 7 si)' 12 — A 20 — M; 47 — ^0 6 ' a ' 10 2. Man Verwandle die gemischte Zahl 5' in einen unechten Bruch. Zuerst bringt man 5 auf Vier¬ tel, 1 Ganzes gibt 4 Viertel, 5 Ganze also 5X4 d. i. 20 Viertel; nun addirt man noch die 3 Viertel dazu, so hat man 23 Viertel; also 5? — — Auf dieselbe Art sollen die gemischten Zahlen 3 -, 7 ^, 12 §, 7^ in unechte Brüche verwandelt werden. ^Me gemischte Zahl in einen unechten Bruch ver¬ tändelns heißt die gemischte Zahl einrichten. Aus den früherer^W-eyspielen entnimmt man die Regel:) V Eine gemischte Zahl wird eingerichtet, wenn man die ganze Zahl mit dem Nenner des Bru¬ ches multiplicirt, und zu diesem Producte den Zähler addirt; dieses ist dann der Zähler, worunter als Nen¬ ner der frühere Nenner gesetzt wird.) B e y s P i e l e. 42^22. 5 5 ' 8 4 — 7 7 ' 93. 10 10' 10^^. 8 8 ' I -t — — 34973. ^"l2 12 > »7 2I_S3. ,^5^809. ^^3 3' ^6 0 ' 8N5—— —7277 — 2^ 102 102 ' ^348 348' §. 65. Nun soll untersucht werden, was mit dem Werthe eines Bruches geschieht, wenn man den Zähler des¬ selben, oder den Nenner, oder Zähler und Nenner zugleich durch die Multiplikation oder Division ver¬ ändert. 1. Veränderung des Zählers Je größer der Zähler wird, indessen der Nenner ungeändert bleibt, desto größer ist der Bruch; denn je mehr gleich große Theile man nimmt, desto mehr hat man zusammen. Z. B. 4 Drittel sind 2mahl so viel als 2 Drittel, 6 Drittel sind 3mahl so viel als 2 Drittel, u. s. w.; wovon mane sich auch durch Bestimmung der Guldcntheile überzeugen kann: Z fl. — 40 Kr.; fl. — 80 Kr.; ' fl. 120 Kr.; oder durch die Einteilung einer Linie: 113 Daraus ersieht man, daß man, um den Werth eines Bruches 2mahl, 8mahl, 4mahl, . . so groß zu erhalten, nur den Zähler 2, 3, 4mahl so groß zu nehmen habe; oder: Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multiplicirt, wenn man den Zähler damit multi- plicirt, den Nenner aber ungeändert läßt. B e y s p i e l e. I X 6 - o g. 3 x iz 9; 5 vH — 40 — ^_X9 — — — k » 9X0 — io X " ig »Ig, 25 «m 900 4 . 1— 255 30 ^.»74 32 X 02 —32 ' 344 X 344 — ^344' AuS dem Vorigen folgt auch, daß 2 Drittel die Hälfte von 4 Dritteln, der dritte Theil von 6 Dritteln ist, u. s. w. Um daher von einem Bruche den 2ten, 3ten, iten Theil zu erhalten, darf man nur von dem Zäbler den 2ten, 3ten, Iten Theil nehmen; oder: Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividirt, wenn man den Zähler dadurch dividirt, den Nenner aber ungeändert läßt B e y s p i e l e. . -1 . 4.1, 2, 30, _ 6, 25 25' 9'^—9' 7 7' 25 . - — 5 . f-i4 . — 12 . 729 . 27 64 ' 64' 625 ' §25' 500 ' 500' Rechend, f. d. II. u. III. Cl. H 114 2. Veränderung des Nenners. Wenn der Nenner größer wird, der Zähler aber ungeändert bleibt, so wird der Bruch kleiner; denn in je mehr Theile das Ganze getheilt wird, desto kleiner sind die einzelnen Theile, folglich auch desto kleiner eben so viele solche Theile zusammen. Nimmt man z. B. den Bruch und multiplicirt den Nenner mit 3, so erhält man in bepden Fällen hat man 2 Bruch- theile, im ersten Falle sind es 2 Drittel, im zweyten 2 Neuntel; nun ist 1 Neuntel der 3te Theil von 1 Drit¬ tel, also sind auch 2 Neuntel nur der 3te Theil von2 Drit¬ teln; wovon man sich auch an einer eingctheilten Linie überzeugen kann. Wenn man. also den Nenner eines Bruches 2, 3, Imahl so groß nimmt, so erhält man dadurch nur den 2ten, 3ten, Iten Theil des frühem Bruches; oder: Ein Bruch wird durch eine gauze Zahl dividirt, wenn man den Nenner damit multiplicirt, den Zähler aber ungeändert läßt. B e y s p i e l e. 12 25 1 . 2 _ 1. 5 . z L- 3 ' " 6' 8 ' 21' - — 12 . 2 . io — 2 — 125 ' 27 27«,' -0 ' 8 -- -0- 10 ' 80' NI . — 111 102' Aus dem Vorigen folgt auch umgekehrt, daß das 3fache von § ist. Wenn man also von dem Nenner eines 115 Bruches nur den 3ten Th eil nimmt, so wird der Werth des Bruches 3mahl so groß; überhaupt: Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multiplicirt, wenn man den Nenner dadurch divi- dirt, den Zähler aber ungeändert läßt. B e p s p i e l e. 3^.-3. 7 7 , 2. 5^0—5. 25^^-z' Z, —1. '03 103—yg 3, 2— 20 X 4 — ^, ^'5, 94 Es gibt also eine zweifache Art , einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multipliciren, entweder indem man den Zähler damit multiplicirt, oder wenn man den Nenner dadurch dividirt. Letzteres kann nur dann geschehen, wenn der Nenner durch die ganze Zahl theilbar ist. Eben so gibt es ein doppeltes Verfahren, einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividiren; entweder wird der Zähler dadurch dividirt, oder der Renner damit multiplicirt. Ersteres kann nur dann geschehen, wenn der Zähler durch die ganze Zahl theilbar ist. §. 6ö. 3. Veränderung des Zählers und des Nen¬ ners zugleich. ». Wenn man Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl multiplicirt, so wird der Werth des Bruches nicht geändert. — Denn, wird der Nenner z. B. mit 3 multiplicirt, so ist das Ganze in «mahl so viel Theile gcthcilt, also sind die einzelnen Theile Smahl so klein als früher; H 2 116 wird nun zugleich auch der Zähler mit derselben Zahl 3 multiplicirt, so erhält man dadurch 3mahl so viel Theile, aber jeder Theil ist nur ein Drittel eines frü¬ hem Theils; man erhält also dadurch eben so viel, als man früher hatte; d. h. der Werth eines Bruches wird nicht geändert, wenn man Zähler und Nenner mit einerley Zahl multiplicirt. — Die Richtigkeit die¬ ses Satzes könnte man auch so nachweisen: wenn man den Zähler mit 3 multiplicirt, so wird auch der Bruch mit 3 multiplicirt, man erhält also 3mahl so viel; wird der Nenner mit 3 multiplicirt, so wird der Bruch durch 3 dividirt, man erhält also nur das Drittel des frühem; wird aber eine Zahl 3mahl, und davon wie¬ der das Drittel genommen, so bleibt die ursprüngliche Zahl ungeändert. Auch durch Linien kann hier die Verstnnlichung geschehen. Man theile eine gerade Linie in 4 gleiche Theile, und nehme 3 solche Theile, so hat man den Bruch — Nun ziehe man eine eben so lange Linie, theile sie in Lmahl so viel, also in 8 Theile, und nehme deren 2mahl so viel als früher, also 6, so hat man den Bruch °. Man steht, daß er denselben Werth hat, als der 117 Bruch — Zieht man ferner eine dritte eben so lange Linie, theilt sie in 3mahl so viel, also in 12 gleiche Theile, und nimmt von solchen Theilen 3mahl so viel als das erste Mahl, also 9, so hat man den Bruch welcher, wie man sieht, mit E und z einerley Werth hat. Zur noch größern Überzeugung kann man fol¬ gende Guldcnbrüche 1 2 3 ä 101530 2' 4' tz/ 10/ 12/ 20/ 30' 60 betrachten, die alle aus dem ersten entstehen, wenn man darin Zähler und Nenner mit einerley Zahl mul- tiplicirt. Drückt man jeden dieser Brüche in Kreuzer aus, so findet man, daß alle gleichviel bedeuten. b. Wenn man Zähler und Nenner eines Bruches durch die nahmliche Zahl dividirt, so bleibt der Werth eines Bruches unverändert.— Denn: wird der Nenner z. B. durch 3 dividirt, so wird dadurch das Ganze in 3mahl weniger Theile getheilt, also werden die einzelnen Theile 3mahl so groß seyn als Anfangs; wird nun zugleich der Zähler durch die nähmliche Zahl 3 dividirt, so erhält man dadurch 3mahl weniger Theile, aber jeder einzelne Thcil ist 8mahl so groß als früher; also hat man zu¬ sammen eben so viel, als Anfangs da war d. h. der Werth des Bruches ist ungeändert geblieben.—Oder: wird der Zähler durch 3 dividirt, so wird auch der Bruch durch 3 d.vidirt, man erhält also nur ein Drit¬ tel des früher» Bruches; wird der Nenner durch 3 dividirt, so wird dadurch der Bruch mit 3 multipli- rirt, also 3mahl genommen; wenn man aber von einer Zahl zuerst ein Drittel nimmt, und dieses wie¬ der 3mahl setzt, so erhält man die ursprüngliche Zahl. 118 Dasselbe ersieht man auch aus den oben einge- Heilten Linien; es ist nähmlich Auch findet man, daß - - L». fl. -- 2! K-. Ist. Man kann also die Form eines Bruches ohne Veränderung des Werthes auf zweyfache Art ändern, entweder indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplicirt, oder indem man beyde durch die¬ selbe Zahl dividirt. 8. 67. l Um zwey oder mehrere Brüche hinsichtlich ihrer Größe mir einander vergleichen zu können, müssen sie eincrley Nenner habens Von den zwey Brüchen § und Z ist der zweyte größer als der erste, weil 3 Fünftel gewiß mehr betragen als 2 Fünftel. tVon Brüchen, welche gleiche Nenner haben, ist also derjenige größer, welcher den größer» Zäh¬ ler hat.s Nimmt man aber zwey Brüche, welche ungleiche Nenner habens z. B. und ^,/so kann man ihre gegenseitige Troße nicht leicht unmittelbar abschätzen; man muß sie erst in solche verwandeln, welche einen gemeinschaftlichen Nenner haben. Es ist, wenn man durch die Multiplikation die Form verändert,^ 2 — 4 — 6 — 9 3 6 Ü — 12 3 6—9 4 " 8 12 119 Statt der Brüche § und hat man also zwey andere Brüche und , welche einerley Nenner haben, und den vorigen am Werthe gleich sind. Nun ist offenbar größer als ,2 , also ist auch ; größer als — Man kann sehr leicht finden, wie die neuen Brüche und aus den gegebenen Z und § entstan¬ den sind. Betrachtet man den neuen Nenner !2, so sieht man, daß er das Product aus den beyden andern 3 und 4 ist. Der Nenner des Bruches § ist in 12 -Imahl enthalten, es ist also der Nenner mit 4 multiplicirt worden, daher muß man auch den Zähler mit 4 mul- tipliciren, Zmahl 4 ist 8, welches der neue Zähler ist; der Nenner des Bruches ist in !2 3mahl enthalten, dieser Nenner ist also mit 3 multiplicirt worden, daher muß auch der Zähler mit 3 multiplicirt werden, Zmahl 3 ist 9, also der neue Bruch — Daraus sieht man auch, daß der neue gemeinschaftliche Nenner durch jeden gegebenen Nenner theilbar scpn müsse. Ans gleiche Weise verfährt man auch, wenn mehr als zwcy Brüche auf gleichen Nenner zu bringen sind.. Es seyen die Brüche 2, 7 auf einen gemein¬ schaftlichen Nenner zu bringen. Man wird zuerst eine Zahl suchen, welche durch alle vier Nenner theilbar ist; diese findet man sicher, wenn man alle Nenner mit ein¬ ander multiplicirt;Gs wird also3X4 X 5X7 — 420 der gemeinschaftliche Nenner aller Brüche seynft Um den neuen Zähler eines jeden Bruches zu finden, muß man untersuchen, mit welcher Zahl jeder Nenner multipli¬ cirt werden muß, um den neuen Nenner zu bekommen, d. i. wie oft jeder Nenner in dem neuen enthalten ist; mir der nähmlichen Zahl muß dann auch jeder Zähler multiplicirt werden.' Man hat also 120 420 : 3 140; 2 X 140 280; also W; 420 : 4 105; 3 X 105 -- 315; „ rzz; 420 : 5 — 84 ; 4 X 84 — 336; „ — 420 : 7 60; 6 X 60 — 360; „ Wenn man die Nenner aller Brüche mit einan¬ der multiplicirt, so ist das Product gewiß durch jeden dieser Nenner theilbar. Allein oft gibt es noch kleinere Zahlen, welche ebenfalls durch alle jene Nenner theil¬ bar sind, und zwar da, wo einige Nenner in den größern ohne Rest enthalten, oder wo mehrere Nenner durch die nähmliche Zahl theilbar sind. Wären z. B. die Nenner 2, 3, 4, 12 angegeben, so ist sicher ihr Product 2X3X4X 12 — 288 durch sie alle theilbar, allein es haben auch die kleinern Zahlen 276, 261, 252, 240, . . . 6», 48, 36, 24, 12 die Eigenschaft, daß sie sich durch alle obigen Nenner ohne Rest theilen lassen. Die kleinste Zahl, welche durch jene Nenner theilbar ist, ist 12; diese Zahl ist also der kleinste gemeinschaftliche Nenner- Da cs bequemer ist, mit kleinern Zahlen zu rechnen, so pflegt man die Brüche gewöhnlich auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner zu bringen. Den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner mehrerer Brüche findet man durch folgendes Verfahren: 1. Man schreibt alle Nenner in eine Reihe neben einander, und streicht die kleinern Nenner, welche in den größern ohne Nest enthalten sind, durch. 2. Nun sieht man, ob nicht von den übriggeblie¬ benen Nennern zwey oder mehrere durch eine gemein¬ schaftliche Zahl theilbar sind. Ist dieses der Fall, so zieht man darunter eine Linie, setzt links die Zahl, durch welche jene Nenner theilbar sind, und dividirt durch dieselbe die hierdurch thcilbaren Nenner; jene Nenner, welche da- 121 durch nicht theilbar sind, werden unverändert herunterge¬ setzt, von den übrigen kommen nur die Quotienten herab; der Quotient I wird nicht angeschrieben. 3. Die erhaltenen neuen Zahlen kürzt man, wenn es möglich ist, auf dieselbe Weise ab, und wiederhohlt dieses Verfahren so lange, bis kein Paar der unter der Linie erhaltenen Zahlen durch eine gemeinschaftliche Zahl mehr theilbar ist. 4. Endlich multiplicirt man die Zahlen unter der letzten Querlinie und die links stehenden Zahlen, durch welche man dividirt hat, mit einander. Das Product ist der kleinste gemeinschaftliche Nenne» Wäre z. B. zu den Nennern 2,3,4,5,8,12,15, 18 der kleinste Hauptnenner zu suchen, so würde dir Rechnung so stehcn: 2, 3, 4, 5, 8, 12, 15, 18 2-- 4, 6, 15, 9 2 - 5, 3, 15, 9 3 - 2, 5, 3. Der kleinste Hauptnenner ist also: 2X5X3X2X2X3^ 369. Nach allem Vorhergehenden muß man, um meh¬ rere Brüche auf den kleinsten gemeinschaft¬ lichen Nenner zu bringen, folgende , Regeln beobachten: 1. Man suche den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner. 2. Der gefundene gemeinschaftliche Nenner wird durch jeden gegebenen Nenner dividirt, und mit dem Quotienten der dazu gehörige Zähler multiplicirs; dieses Product ist der neue Zähler. 122 Man zieht gewöhnlich neben den gegebenen Brü¬ chen eine aufrechte Linie, schreibt obenan den Haupt¬ nenner; rechts setzt man dann die erhaltenen Quotien¬ ten, und noch weiter, nachdem man eine zweyte auf¬ rechte Linie gezogen hat, die Produkte, welche die neuen Zähler bilden. B e p s p i e l e. (1)- Man bringe die Brüche Z und h auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner. Zuerst sucht man diesen kleinsten gemeinschaftlichen Nenner. Da 5 und 7 durch keine gemeinschaftliche Zahl theilbar sind, so ist ihr Product selbst, nähmlich 35, der kleinste Hauptnenner; und man hat 35 3 _ 21 4 _ 20 5 I 7 21 also 5 35 7 35 hi 5! 20 5 30,7 30 Eben so bringe man h und '; und hh; ferner h, ß und endlich i, h, ß und auf den kleinsten Hauptnenner. (2). Man bringe die Brüche h, », ß/ auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner. Man hat 2, 3, 4, «, 12. Hier sind also alle kleinern Nenner in dem grö߬ ten 12 ohne Rest enthalten, daher ist l2 der kleinste Hauptnenner. Die weitere Rechnung stehet: 12 6 4 3 2 L «i ' '--L 3 — 10 7 — 10 6 12, 12 — 12. 7 123 Auf dieselbe Art sollen die Brüche 7 und ß und z; z, z und i; ferner E, 1^, D auf die kleinste gemeinschaftliche Benennung gebracht werden. (3). Die Brüche i, §, i, sollen auf gleiche Benennung gebracht werden. D e ganze Rechnung stehet 3, Z, 6, Itt 2- 3, 5 also 3 x 5 X 2 — M der Hauptnenner; gleichnahmig machen. 8- 68. So wie die Formveränderung der Brüche durch die Multiplikation dazu dient, um mehrere Brüche auf gleichen Nenner zu bringen; so wird auch die Form¬ veränderung durch die Division ««gewendet, um die Brüche abzukürzen. Es heißt aber einen Bruch ab- Lürzen, denselben ohne Änderung des Werthes mit kleineren Zahlen darstellen. Dieses kann in allen Fällen geschehen, wo Zähler und Nenner durch die nähmliche Zahl theilbar sind; man braucht sie nur beyde durch jene Zahl zu dividiren. So kann man z. B. in dem Bruche § Zähler und Nenner durch 3 dividiren, weil beyde dadurch theil- 124 Lar sind; nach verrichteter Division erhält man welcher Bruch in kleinern Zahlen dargestellt ist als §, aber damit gleichen Werth hat, weil der Werth eines Bruches nicht geändert wird, wenn man Zähler und Nenner durch einerley Zahl dividirt. B e y s P i e l e. 2 3 4 10 — 5 11 — 1 kil — g 1 18 —' 9, 24 8' 28 7 5 10 5 5 45 — ^0 — Ist — 2 95 19, 1250 125 25 5 I. Das Addiren der Brüche. 69. ^Beym Addiren der Brüche sind mehrere Fälle zu unterscheidens s. Wenn die Brüche gleiche Nenner haben. Es seycn die Brüche Z und * zu addiren. 3 Fünf¬ tel und 4 Fünftel geben gewiß 7 Fünftel, oder I Gan¬ zes und 2 Fünftel; also 5 Z- — L — ^5- s Brüche von gleichen Nennern werden also addirt, wenn man ihre Zähler addirt, und als Nen¬ ner den gemeinschaftlichen Nenner beybehält.j B c y s p i e l e. 3 r. 1 - 1 1 8^8 8 2 4,5_ st —. , 9^9 9 125 13 — 34 -.z 4 15 15 15 23 —59—z 11 24 24 24 b. Wenn die Brüche ungleiche Nenner haben. Es seyen z. B. 1 und § zu addiren. So wie 2 Kr. und 3 fl. weder 5 Kr. noch 5 fl. geben, eben so machen 2 Drittel und 3 Viertel zusammen weder 5 Drittel noch 5 Viertel aus; man muß die zwey Brüche zuerst auf eine gemeinschaftliche Benennung bringen. Der kleinste Hauptnenner ist 12, und die neuen Brüche heißens und da sie nun gleiche Nenner haben, so kann man sie addiren, wenn man die Zähler addirt; man erhält H — 1-^- Die ganze Rechnung stehet 12 i !3>s 17 — 1-5. 12 12 Um also Brüche zu addiren, welche un¬ gleiche Nenner haben, bringe man sie zuerst auf einen gemeinschaftlichen Nenner, addire dann die Zähler und setze den gemeinschaftlichen Nenner darunter^ B e y s p i e l e. H-4-?9 139 9 12 30 180 126 sz") ? « - -4- ö , 3 — ^467 5 -s- 5 7 "N 8 — -e 840' ^I_?,2,5,7 — -r.03 o> z-n 4^ 7 ' 8 N" u o 504 c. Wenn unter den Addenden ganze oder ge¬ mischte Zahlen vorkommen. In diesem Falle werden die Ganzen für sich, und die Brüche für sich addirt, und wenn in den Brüchen auch Ganze Vorkommen, diese zu den Ganzen hinzugezählt. Beym Kopfrechnen werden früher die Ganzen und dann die Brüche, beym schriftlichen Rechnen aber frühdr die Brüche und dann die Ganzen addirt. Der Grund dieser Abweichung liegt darin, weil man sonst beym Zifferrechnen häufig die in den Ganzen schon angeschriebenen Ziffern ändern müßte- Es seyen z. B. 3« und 5^ zu addiren. Im Kopfe: 3 und 5 sind 8 Ganze; 5 Sechstel geben 10 Zwölftel, und 7 Zwölftel sind 17 Zwölftel, diese machen 1 Ganzes und 5 Zwölftel, also zusammen 8 Ganze und 5 Zwölftel. Schriftlich: 12 3 LVr s io o 5 1_7 , -5 ^^2 12 12' Aus der Summe der Brüche erhält man I /?; der Bruch wird «»geschrieben, I Ganzes aber wird zu den Ganzen weiter gezählt. B e y s p i e l e. 9 (1.) 85-' (2). 7^3 127? 25 74 19? 1 2L6; si z 00 3 (3). 101; 20 375 ,'2 5 5 ^4 - 480" 9 ot) 40 35 14 1 1 9 _ , 5 9 tio" - «v' 127 M- 2^3^12^-,-^ 24^43 (5) . 3^7^ 24^^43^50^. (6) . 52^ Z- 8 72^ -j- 100^ 44^ 246Z. 8- 70. Aufgaben. (1) - Ern Tuchhändler verkauft von einem Stücke Tuch nach und nach 4s, 2s, 5' Ellen; wie viel Ellen zusammen? — 12^ Ellen. (2) . Jemand gab für verschiedene Bedürfnisse nachstehende Summen aus, 45s, 5,s>, 27« und 26 fl.; wie viel beträgt die ganze Ausgabe? — I03s - Wenn ein Bruch 4 36' 4 17 B e y s p i e l e. 8 100 555 7 16 3 10 2 5 ' 651^ ü. Wenn eine gemischte Zahl von einer ganzen Zahl abzuzichcn ist. Man soll 2H von 8 subtrahiren. Rechend, f d. II. u. III. T!. I 130 Im Kopfe: 2 von 8 bleiben 6, und von dem Reste 6 noch weggenommen, bleiben 5^. Beym schriftlichen Rechnen aber wird früher der Bruch und dann erst die ganze Zahl abgezogen. Man borgt nähmlich bey 8, 1 Ganzes, löset dieses in E auf und subtrahirt davon §, wovon noch übrig bleibt; nun zieht man die Ganzen ab; im Minuend sind nur noch 7 Ganze, weil ein Ganzes weggeborgt wurde, L von 7 bleiben 5; der ganze Nest ist 5^ Wenn also eine gemischte Zahl von einer ganzen Zahl abgezogen werden soll, so borgt man bey der ganzen Zahl l Ganzes, verwandelt dieses in solche Bruchtheile, wie sie der abzuziehende Bruch enthält, und subtrahirt diese Brüche; dann subtrahirt man die Ganzen des Subtrahends von der um 1 ver¬ minderten ganzen Zahl im Minuend, und setzt die Heyden Neste zusammen. B e y s p i e l e. 10 214 50« 5^ - l32/ö Ist eine ganze Zahl von einer gemischten abzuzie¬ hen, so setzt man den Bruch des Minuends sogleich in den Rest, und subtrahirt nur die Ganzen; z. B. 17> 324i 6 l»8 "Nä" 196i «. Wenn ein Bruch oder eine gemischte Zahl von einer gemischten Zahl abzuziehen ist. In diesem Falle ist es am besten, zuerst die ge¬ mischten Zahlen einzurichten, und dann erst zu sub- trahiren. 131 2 23« B e y s P i e l e. 24 (I). 100-1(2). 17^13^ g^7 3^.3 g^__115 4 4 12 12 ^9^91 (3) . 5^-3^-.IZ . (4) . 178 -2?-.15? M —7io 24 24 W.U^-»r-25D 1^6^ 21^ 9^ — II— ^'^45 ^18-"30 §. 72. Aufgaben- (1) . Von einem 54 Ellen langen Stücke Leinwand werden 25; Ellen verkauft; wie viel Ellen bleiben noch? — 28; Ellen. (2) . Jemand kauft eine Waare um65;fl., und ver¬ kauft sie dann um 8iz fl.; wie viel gewinnt er da- bey? - 16z fl. (3) . Jemand ist 100 fl. schuldig, und zahlt nach und nach 25, 8-, 12,, 42; fl.; wie viel hat er schon . abgezahlt, und wie viel bleibt er noch schuldig? — 88z; fl. hat er bereits abgezahlt, also bleibt er noch lizhfl. schuldig. (4) . Ein Gut trägt nach einem zehnjährigen Durch¬ schnitte im Ganzen jährlich 2544 fl. 18; Kr. ein; die jährliche Ausgabe beträgt 804 fl. 35? Kr.; wie groß ist im Durchschnitte der reine Ertrag eines Jahres? — 1639 fl. 42; Kr. I 2 L 32 (5) . Ein Faß enthält UH Eimer; wie viel bleibt noch darin, wenn L; Eimer herausgenommen wer¬ den ? — 7/ö Eimer. (6) . Eine Glocke, welche 12 Ztr. 14 Lth. wog, wurde umgegoffen, und wiegt jetzt noch 11 Ztr. 39 A UH Lth.; um wie viel wiegt sie weniger als vorher? — Um 74 M 15^ Lth. (7) . Von 14 Ballen 8; Rieß werden 2 Ballen 9; R eß verkauft; wie viel Papier bleibt noch übrig?— 41 Ballen 8;<", Rieß. (8) . Jemand bekommt 3 Ballen Flachs, der erste enthält 5 Ztr. 28; der zweyte 4 Ztr. 95 N, der dritte 4 Ztr. 88; K"; davon werden nach und nach 29;, 75, 8;, -5l;, 87 N verkauft. Wie groß ist noch der Vorrath an Flachs? — Der Vorrath nach dem Einkäufe war 15 Ztr. 12^ K", verkauft wurden 2 Ztr. 51 M, also waren zuletzt noch 12 Ztr. 61; A vor- räthig. UI. Das Multipliciren der Brüche. 8- 73. Auch beym Multipliciren der Brüche sind mehrere Fälle zu unterscheiden. s. Wenn ein Bruch mit einer ganzen Zahl zu multipliciren ist. -Dieses kann, wie schon oben abgeleitet wurde , auf zweyfache Art geschehen: entweder, indem man den Zähler mit der ganzen Zahl multlplicirt und den Nen¬ ner ungeändert läßt; oder, indem man jden Zähler ungeändert läßt, und den Nenner durch die ganze Zahl dividirt. Die zweyte Art ist nicht immer anwendbar.- Z. V. 133 5 H — 5^4 20 — 5 8 8 8 2—^2, oder x 4 Z^2l b. Wenn eine gemischte Zahl mit einer ganzen Zahl zu multipliciren ist. Man multipicire z. B. 8^ mit 7. JmKopfe:7mahl8 Ganze sind 56 Ganze; 7mahl 3 Viertel sind 2l Viertel; diese geben 5 Ganze und L Viertel; zusammen 6l Ganze und l Viertel. Beym schriftlichen Rechnen wird früher der Bruch und dann die ganze Zahl multiplicirt. 7mahl ist — 5^; der Bruch ; wird angeschrieben, 5 Ganze aber werden zu dem Producte der Ganzen weiter gezählt; 7mahl 8 ist 56, und 5 ist 61; das Product ist also 6i;-. ^Um daher eine gemischte Zahl mit einer ganzen Zahl zu multipliciren, so multiplicirt man mit der ganzen Zahl zuerst den Bruch, dann die Gan¬ zen der gemischten Zahl; kommen bey der Multiplika¬ tion des Bruches auch Ganze heraus, so werden sie zu dem Producte der Ganzen addirt-^- B e y s p i e l e. N (1) . Man multiplicire 78? mit 9 78§ X 9 3 X 9 7MZ 5; Hier sagt man: 9mahl3 ist 27, also hat man diese geben L?; § schreibt man an, 5 wird zu den Gan¬ zen gezählt; 9mahl 8 ist 72, und 5 ist 77, 7 ange¬ schrieben, bleiben 7; 9mahl 7 ist 63, und 7 ist 70; das Product ist also 707^. (2) . Es soll 334^ mit 25 multiplicirt werden. 134 8360;; -».Man könnte die Multiplikation auch verrichten, wenn man die gemischte Zahl zu einem unechten Bruche einrichtet, dann den Zähler mit der ganzen Zahl mul- tiplicirt, und das Product durch den Nenner dividirt.-^ 15 z l (3^ 19? X 8 1571 (4). 37^ X 24 906 )5). 19^X11^2151 (6). 315^ X 85 11053^1 e. Wenn eine ganze Zahl mit einem Bruche zu multipliciren ist. 135 Es sey z. B. 5 mit § zu multipliciren, d. i. 5 ^mahl zu nehmen. 5 Imahl genommen gibt 5; ^mahl genom¬ men, also nur den vierten Theil von 5, rühmlich E; und xmahl genommen 3mahl den 4ten Th eil von 5, also 3mahl E d. i. Man muß also 5 durch 4 dividiren, und den Iten Theil von 5 3mahl nehmen d. i. mit 3 multipliciren. — Oder: 5 mit 3 multiplicirt gibt 3mahl 5 d. i. 15; nun ist aber 5 nicht mit 3, sondern mit dem 4ten Th eile von 3 zu multipliciren, daher Wird man auch nur den 4ten Theil von 3mahl 5 oder 15, also " erhalten. Es muß also 5 mit 3 multiplicirt, und das Pro¬ duct durch 4 dividirt werden. Auf gleiche Art multiplicire man A mit §, 10 mit 25 mit ß, 2 mit b. Man wird daraus folgende Regel «bleiten: Um eine ganze Zahl mit einem Bruche zu multipliciren, wird dieselbe entweder durch den Nenner dividirt, und der Quotient mit dem Zähler multiplicirt; oder sie wird mit dem Zähler multiplicirt, und dann das Product durch den Nenner dividirt. Beym Kopfrechnen ist es meistens vortheilhafter früher zu dividiren, und dann zu multipliciren, weil man dadurch in kleinern Zahlen arbeitet; beym Ziffer¬ rechnen ist das Multipliciren vor dem Dividiren vor¬ zunehmen. B e y s p i e l' e. 5x^^2sZ 20X^-0--l5 2--32— 7—945—189 — 0.1 .Anfängern, die sich unter Multipliciren immer ein Vermehren vorstellen, kommt es befremdend vor, daß 136 cine Zahl durch das Multipliciren mit einem echten Bruche verkleinert wird. Der Grund davon ist s hr einfach: wenn man eine Zahl Imahl nimmt, so bekommt man die Zahl selbst zum Producte; multiplicirt man aber eine Zahl mit einem echten Bruche, der natürlich kleiner als 1 ist, d. h. nimmt man eine Zahl we.ägcr als lmahl, so wird man gewiß auch weniger als die Zahl selbst zum Producte erhalten. Wenn eine ganze Zahl mit einer gemisch- ten Zahl zu multipliciren ist, so wird die ganze Zahl sowohl mit dem Bruche als mit den Ganzen der gemischten Zahl multiplicirt; kommen bey der Multi¬ plikation mit dem Bruche auch Ganze heraus, so wer¬ den diese zu dem Producte mit den Ganzen hinzuge¬ zählt. Z. B. Auch hier kann man früher die gemischte Zahl ein¬ richten, und dann die Multiplikation ausführen"; nähmlich: 9xr^9X^^-23? B e y s P i e l e. (1) . IL xsl^lL X^—^ — 30 (2) . 19X18^35^ (3) . 37X24^922^ <1. Wenn ein Bruch mit einem Bruche zu multipliciren ist. Man multiplicire z- B. § mit Wird °- 5mahl genommen, so erhält man aber ? ist nicht mit 5^ 137 sondern nur mit dem 8ten Theile von 5 zu multiplici- ren, daher wird auch das Product nur den 8ten Theil von " betragen, man muß also " noch durch 8 divi- diren, welches geschieht, wenn man den Nenner 4 mit 8 multiplicirt; dadurch erhält man A Vergleicht man dieses Product mit den beyden gegebenen Brüchen, so sicht man, daß der Zähler des ersten mit dem Zähler des zweyten multiplicirt wurde, und dieses Product als Zähler des Productes erscheint; eben so wurde der Nenner des ersten Bruches mit dem Nenner des zwey¬ ten Bruches multiplicirt, ihr Product gibt den Nenner des neuen Bruches (des Productes). Eben so soll z nut 7 mit Mt ,, . 2 Mt multiplicirt werden. Dadurch kommt man auf die Regel: > Ein Bruch wird mit einem Bruche mul- ttpltctrt, wenn man Zähler mit Zähler, und Nen¬ ner mit Nenner multiplicirt; das Product der Zähler wird als Zähler, das Product der Nenner als Nen¬ ner angenommen.! Beyspiele. 6 X 12 — 72; 9 X 4 36 — 9 10^5 so; 25-^32 d09^80^40 e. Wenn eine gemischte Zahl und ein Bruch oder zwey gemischte Zahlen miteinander zu mul- tipliciren sind. In diesem Falle richte man die gemischten Zahlen ein, und multiplicire dann die beyden Brüche mit einander.^ 138 B e y s p i e l e. 1->I Z—'03^, 3 — 309 —.29 X g — jj 5 40 ^40 ^»5 I. v -r^__ Z, 58— 406-203 »38 10 jo X n— 110—55 —»55 4? V v '9-266—133-.7 3 12^36—18-^18 (4) . ?X6-^6 (5) . 6j x^4^ (6) . 6?X24?-I5I? (7) . 186? X 7^-1400 c» H2^;oderH2^:2--t9 -2^ (4). 128-^50^2^^2^ oder 128^: 50^^: 50 — 2^ 4 4 40 Im ersten Beyspiele ist 8 : 2—4, und ^:2— daher der ganze Quotient 4§. — Im drit¬ ten Beyspiele hat man 5 : 2 — 2, und es bleibt noch 1 Ganzes, dieses gibt und s sind 2 — der gesuchte Quotient ist also 2ß. c. Wenn der Divisor ein Bruch ist. Ist der Divisor eine ganze Zahl, so kann die Division als Theilung oder als Enthaltenscyn betrach¬ tet werden; z. B. 8 durch 2 dividiren heißt entweder, 8 in 2 gleiche Theile theilen, und einen solchen Theil nehmen, oder untersuchen, wie vielmahl Z in 8 ent¬ halten ist. Anders ist es, wenn man durch einen Bruch zu dividiren hat; da kann die Division nur das Ent- haltenseyn bedeuten, z. B. 8 durch ß dividiren, kann nur heißen: untersuchen, wie oft in 8 enthalten ist; denn d e Forderung, 8 in ß gleiche Theile zu theilen, hat gar keinen Sinn. Es sey nun erstlich eine ganze Zahl 8 durch , zu dividiren, d. i. zu finden, wie oft ß in 8 enthalten ist. 1 ist in 8 8mahl enthalten, , ist 3mahl so klein, also in 8 3mahl so oft enthalten als 1, folglich 3mabl 8 — 2lmahl; § ist nun doppelt so groß als also kommt cs in 8 nur halb so oft vor als , also " I2mahl; der gesuchte Quotient ist also 12, oder oder Hier ist die ganze Zahl 8 mit dem Nenner 142 8 des Bruches multiplrcirt, und das gefundene Pro¬ duct 24 durch den Zähler 2 dividirt worden. Man hätte auch so verfahren können. Um zu finden, Wie oft in 8 enthalten ist, macht man beyde Zahlen gleichnahmig, man bringt nähmlich die 8 Ganzen auf Drittel, indem man 8 mit 3 multiplicirt, dadurch erhält man dann untersucht man, wie oft 2 Drittel in 24 Dritteln enthalten sind, indem man 24 durch 2 dividirt; denn 2 Gulden kommen in 24 Gulden, 2 Drittel in 24 Dritteln gewiß so oft vor, als 2 in 24 enthalten ist. Man erhält dadurch 42, wie früher. Hier ist also wieder die ganze Zahl 8 mit dem Nenner 3 des Bruches multiplicirt, und das Product 24 durch den Neuner 2 dividirt worden. Auf dieselbe doppelte Weise führe man noch fol¬ gende Divisionen durch: 25 durch Z, 104 durch 2, 84 durch 222 durch Man wird dadurch auf folgende Regel geleitet. Eine ganze Zahl wird durch einen Bruch -ividirt, wenn man sie mit dem Nenner des Bru¬ ches multiplicirt, und das erhaltene Product durch den Zähler dividirt. Nach der nähmlichen Schlußfolge, nach welcher hier eine ganze Zahl durch einen Bruch dividirt wurde, läßt sich auch der Quotient bestimmen, wenn ein Bruch oder eine gemischte Zahl durch einen Bruch zu dividiren ist. Man führe auf diese Art folgende Di¬ visionen durch: durch *, durch 5x durch S, durch Dadurch wird man einsehen: Nm irgend eine Zahl durch einen Bruch zu dividiren, braucht man sie nur mit dem Nen- 143 ner zu multipliciren, und das Product durch den Zähler zu dividiren. Drese allgemeine Regel läßt sich noch aus eine an¬ dere Art darstellen. Es ist nähmlich -.3 — 5X4. 3.4 — 3X7.»I . 5 — 7 . 5 — 7X8 4 3 ' 5 ' 7 5X4* 2 '8 2'8 2XZ Nach den Regeln für die Multiplikation der Brü¬ che findet man aber auch ?v,7 —3X7.--1^8 —7^8 —7X8 SXz- z > 5^4 —5X4'^5 —2^Z —2X5' Vergleicht man diese Producte mit den ftüheren Quotienten, so sieht man, daß gleichviel herauskommt, ob man 5 durch ° dividirt, oder mit z multiplicirt; ob man § durch 7 dividirt, oder mit dem umgekehrten Bru¬ che multiplicirt; ob man durch ß dividirt, oder mit § multiplicirt. Die Division durch einen Bruch kann also in eine Multiplikation mit dem umgekehrten Divi¬ sor Verwandelt werden, und es besteht die Regel: Eine Zahl wird durch einen Bruch divi- -irt, wenn man sie mit dem umgekehrten Divisor mul¬ tiplicirt. B e p s p i'e l e. X - ^25 (Z). 38:^ - 38 X — 1(»l1 4.2__4 5 _ 20 — , 6 ,3 7'5 7 2 — 14 ^14 " 7 S. . 5 _ 8 — 72 ,22 .U 10 ' 8 tO 5 — 5Ö 50 25 144 (5) - X ^0^7^71 (6) .-5z-L-^X^-lA^6^S3K (7) . 35: ^77 (9) . 19^-3^ (10) . 20^:^863^ Da man sich unter Dividiren gewöhnlich ein Verkleinern denkt, so ist cs auch hier auffallend, daß eine Zahl durch einen echten Bruch dividirt, immer vergrößert wird. Dieses ist übrigens ganz klar: eine Zahl durch einen Bruch dividi- ren, heißt untersuchen, wie oft der Bruch in jener Zahl enthalten ist; 1 ist in jeder Zahl so oft enthalten, als die Zahl selbst es anzeigt; ein echter Bruch ist aber kleiner als 1, also wird er auch in der Zahl öfters enthalten seyn als l, also öfters, als die Zahl es anzeigt; durch das Dividircn mit einem echten Bruche wird also eine Zahl vergrößert. -k. Wenn der Divisor eine gemischte Zahl ist. In diesem Falle braucht man nur die gemischte Zahl einzurichten, und dann durch den unechten Bruch zu dividiren. B e y s p i e l e. (1).8:2^ ^8:^ 8 x --3^ 6 _ 2 5 2l — 105 — 35 145 (3) . 214?:^ (4) . 81: 4^ 18 (5> (6).1l':5l-2z 6". 33 _ 644 5^ __3220 _ »,52 3^5 3 ^33 99 ^99 8- 76. Aufgaben. (!)- 1 Elle Tuch kostet 3 fl.; wie viel Ellen er¬ hält man um 25z ff. ? — 8? Ellen. (2) . Es sollen 40/r fl- unter 5 Personen zu gleichen Theilen vertheilt werden; wie viel kommt auf 1 Per¬ son ? - 8;', fl. (3) . Ein Taglöhner bekommt für 26 Tage 15z fl. Arbeitslohn; wie viel kommt auf 1 Tag? — fl. oder 35 Kr. (4) - Jemand braucht für alle seine Bedürfnisse täglich ß fl.; wie viel Tage wird er mit 15 fl. auskom¬ men ? — Durch 18 Tage. (5) . Wie theuer ist ein Pfund, wenn der Zentner 37 z fl. kostet? — Z fl. oder 22z Kr. (6) . Wir viel A bekommt man um I5j^ fl-, wenn 1 K' z fl. kostet? — 18^ A- (7) . Jemand kauft 12 Eimer Wein um 82z fl.; wie hoch kommt 1 Eimer? — Auf 6z fl- (8) . Wie viel Hemden können aus 60 Ellen Lein¬ wand verfertiget werden, wenn man zu 1 Hemde 3z El¬ len braucht? — Hemden. Rechend- f. d. II. u. III. El. K 146 (9). Wie viel in Gulden geben 22? Kr. ? — Den 6ststen Thcil von 22 s, also § fl. (Ist.) Welchen Guldenbruch machen 37^ Kr.? — 1^1 fl. 240 (11) . Welchen Bruch in Zentnern geben 2 M 4s Lth-? — 4s Lth. sind A, also hat man Z«; ; diese geben Ztr. (12) . Eine Hausfrau kauft ein Stück Leinwand von 48§ Ellen um 22 fl. 45 Kr.; wie theuer bezahlte sie die Elle? — Mit^ fl. oder 28 Kr. (13) . Jemand war durch 48 Tage auf der Reise, und gab im Ganzen 186* fl. aus; wie viel kommt im Durchschnitte auf I Tag? — 2 s.s fl- (14) . Ein Taglöhner ist 45 fl. schuldig, er zahlt darauf seinem Gläubiger 9 fl. 48 Kr., den Nest will er durch Arbeitslohn abtragen; wie viel Tage wird er arbei¬ ten müssen, um seine ganze Schuld getilgt zu haben, wenn der tägliche Lohn s fl. beträgt? — Nach Abschlag der 9 fl. 48 Kr. bleibt er noch 35 fl. 12 Kr., odcr35sfl. schuldig, und um diese zu verdienen, muß er 44 Tage arbeiten. (15) . Jemand ist 345 fl. schuldig, wenn er nun die Schuld so weit es möglich ist, in Ducaten zu 4s fl- zahlen will; wie viel Ducaten wird er dazu brau¬ chen, und wie viel muß er noch in Silber bezahlen? — 76 Ducaten und 3 fl. Silbergeld. (16) . Für 4 Gemeinden, deren Felder durch Ha¬ gel gänzlich verwüstet wurden, wird eine Sammlung veranstaltet: man bekommt 267s Metzen Weizen, 15sts Metzen Korn, 152s Metzen Gerste und 285s Metzen Mais. Dieses Getreide wurde, da die Gemeinden an Einwohnerzahl ziemlich gleich waren, unter dieselben 147 z« gleichen Theilen vertheilt; es entsteht nun die Frage, wie viel Getreide wurde im Ganzen eingesammelt; wie viel Getreide von jeder einzelnen Art erhielt jede Gemeinde, und wie viel Getreide zusammen? — Die ganze Sammlung enthielt 856z Metzen, jede Gemeinde bekam 66z Metzen Weizen, 37s^ Metzen Korn, 38z Metzen Gerste und 71/z Metzen Mais, zusammen 214^ Metzen Getreide. Siebentes Hauptstück. Verhältnisse und Proportionen. l. Verhältnisse. Z. 77. ÄÄenn man z. B. bey einem Zimmer, welches 6 Klaf¬ ter lang und 3 Klafter breit ist, die Länge und die Breite mit einander vergleicht, so kann man entweder suchen, um wie viel die Länge des Zimmers größer ist als die Breite, oder wie vielmahl die Länge des Zim¬ mers so groß ist als die Breite desselben. Im ersten Falle zieht man 8" von 6» ab, wodurch man 3° be¬ kommt ; die Länge ist also um 3" größer als die Breite. Im zweyten Falle muß man untersuchen, wie oft 3° in 6" enthalten ist, man muß also 6 durch 3 dividi- ren, wodurch man 2 erhält; die Länge ist also 2mahl so groß als die Breite. K 2 148 Vergleicht man eben so 24 Kreuzer und 8 Kreu¬ zer mit einander, so findet man, daß 24 Kr. um 16 Kr. mehr find als 8 Kr., und daß 24 Kr. 3mahl so viel find als 8 Kr. So können was immer für zwey benannte Zahlen mit einander verglichen werden, nur müssen sie gleich¬ artig seyn. Z. B. Klafter und Gulden kann man nicht mit einander vergleichen, wohl aber Gulden und Gul¬ den, auch Gulden und Kreuzer, nur müssen die letztem früher gleichnahmig gemacht werden. Auch unbenannte Zahlen kann man auf zweyfache Art mit einander vergleichen; z. B. 18 und 3, man kann entweder fragen, um wie viele Einheiten 18 grö¬ ßer ist als 3, oder wie vielmahl 18 so groß ist als 3. Durch das Subtrahiren findet man, daß 18 um 15 größer ist als 3; durch die Division, daß 18 6mahl so groß ist als 3. /Hede Vergleichung von zwey gleichartigen Zahlen usird ein Werhältniß genannt. Die Vergleichung zweyer Zahlen, um zu sehen, um wie viel Einheiten die eine größer ist als die andere, heißt ein arithme¬ tisches Derhältntß; die Vergleichung zweyer Zahlen aber, um zu sehen, wie vielmahl die eine größer ist als die andere, wird ein geometrisches Verhältniß genannt.) Für das Rechnen sind nur die geometrischen Verhält¬ nisse besonders wichtig, darum sind auch in der Folge, so oft von Verhältnissen die Rede seyn wird, immer geometrische Verhältnisse darunter zu verstehen. 8- 78. (Zu einem Verhältnisse werden zwey Zahlen er¬ fordert; sind sie benannt, so müssen sie gleichartig seyn. 14S Sie heißen Glieder des Verhältnisses, und zwar die erste das Vorderglied, die zweyte das Htnterglied.) Wenn man z. B. die zwey Zahlen 12 fl. und 3 fl. mit einander vergleicht, um zu sehen, wie oftmahl 12 fl. so viel sind als 3 fl., so ist 12 fl. das Vorderglied, 3 fl. das Hinterglied des Verhältnisses von 12 fl. zu 3 fl. Bey einem geometrischen Verhältnisse wird unter¬ sucht, wie vielmahl das Vorderglied so groß ist als das Hinterglied. Um dieses zu erfahren, muß man sehen, wie oft das Hinterglied in dem Vordergliede enthal¬ ten ist, d. i. man muß das Vorderglied durch das Hin¬ terglied dividiren. Daher wird ein Verhältniß dadurch angezeigt, daß man zwischen die Glieder desselben das Divisionszeichen setzt; z. B. 12: 3, welches man so aus¬ spricht: 12 verhält sich zu 3, oder kürzer: 12 zu 3. ("Ein Verhältniß kann betrachtet werden, als ein angezeigter Quotient; das Vorderglied ist der Di¬ vidend, das Hinterglied der Divisors fDie Zahl, welche anzeigt, wie oft das Hinter¬ glied in dem Vordergliede enthalten ist, heißt der Nähme oder Exponent des Verhältnisses. Um daher den Exponenten zu erhalten, braucht man nur das VordergUed durch das Hinterglied zu dividiren) In dem Verhältnisse 12: 3 ist 4 der Exponent, weil 3 in 12 4mahl enthalten ist; der Exponent des Verhältnisses 2 : 8 ist ß, weil 2 durch 8 dividirt ß zum Quotienten gibt. Man suche die Exponenten folgender Verhältnisse: 6 : 2 , 8 : 4 , 20 : 4, 36 : 8, 100 : 16, 84 : 8; 4: 4, 6: 6, 2:5, 4:16, 5:12,18:42. Um sich von dem Wesen eines geometrischen Ver¬ hältnisses eine noch deutl chere Vorstellung zu machen 150 Heile man eine gerade Linie -46 in den Puncten 8, 6, v, 8, Id in 6 gleiche Theile- -4 8 6 v 8 8 6 I-1-!-1-11- 1 Vergleicht man nun die ganze Linie .46 mit der kleinern Linie -48 , so sieht man, daß die erstere 6mahl sofgroß ist als die zweyte; die Linien 46 und 48 ha¬ ben also das Verhältniß 6 : t gegen einander, und der Exponent ist 6. Umgekehrt stehen die Linien 48 und 46 in dem Verhältnisse 1:6, dessen Exponent ist. — Nimmt man die Linien 48 und 46, so sieht man, daß .4.8 4 gleiche Theile und 46 2 eben solche Theile enthält; das Verhältniß der zwey Linien 48 und -40 ist also 4:2, und der Exponent 2; umgekehrt ist das Verhältniß der Linien .40 und -48 2:4, dessen Ex¬ ponent r — rst- — So haben, wie man sich auf die¬ selbe Art überzeugt, die Lin- -48 u. .48 d. Verh. 5:1m. d. Exponenten 5, u. s. w. 8 79. Wenn man die bcyden Glieder eines Verhältnis¬ ses mit einander vergleicht, so sieht man, daß sie ent¬ weder gleich oder ungleich sind.) 15L ' Sind beyde Glieder gleich, so heißt das Verhält¬ nis ein Verhältniß der Gleichheit^ z. B. 1 : I, 3 : 2, 5 : 5, 12 : 12. Ein solches Verhältniß findet Statt zwischen den gegenüberliegenden Seiten eines Tisches, einer Tafel, zwischen den gegenüberstehenden Wänden, zwischen dem Boden und der Decke eines Zim¬ mers. — Der Exponent eines Verhältnisses der Gleich¬ heit ist 1, weil jede Zahl in sich selbst Lmahl enthal¬ ten ist. Menn das Vorderglied eines Verhältnisses größer ist als das Hinterglied, so heißt das Verhältniß fallend z) z. B. 3 : 2, 5 : 1, 12 : 8, Zl) : 15. Der Exponent eines solchen Verhältnisses ist immer größer als 1. In einem fallenden Verhältnisse stehet z. B. die Höhe einer Thür zu deren Breite. Wenn endlich das Vorderglied eines Verhältnisses kleiner ist als das Hinterglied, so heißt das Verhält¬ niß steigend;);. B. 1 : 2, 2 : 3, 7 : 10, 15 : 25. Der Exponent ist immer ein echter Bruch, also kleiner als I. In einem steigenden Verhältnisse stehet z. B. die Breite eines Fensters zu der Höhe desselben. §. 80. Wenn zwcy oder mehrere Verhältnisse den nähm-- lichen Exponenten haben, so heißen sie gleiche Ver¬ hältnisse. So sind 6 : 2, 9 : 3, 12 : 4 I0 : 10 gleiche Verhältnisse, weil sie alle denselben Exponenten 3 haben. Da bey einem Verhältnisse der Gleichheit der Ex¬ ponent gleich 1, bey einem fallenden Verhältnisse grö¬ ßer als 1, bey einem steigenden kleiner als 1 ist, so kann ein Verhältniß der Gleichheit nicht gleich seyn ei- 152 nem fallenden, oder einem steigenden Verhältnisse, und umgekehrt. Wenn daher zwey Verhältnisse gleich seyn sollen, so müssen entweder beyde fallend, oder beyde steigend, oder beyde Verhältnisse der Gleichheit seyn. Zwey gleiche Verhältnisse können übrigens auch ungleich benannte Glieder haben; z. B. das Verhält- niß 8 K: 2 hat den Exponenten 4, das Verhält- niß 24 ff. : 6 fl. hat auch den Exponenten 4, die zwey Verhältnisse 8 K" : 2 N und 24 fl. : 6 fl. sind also gleich, wiewohl die Glieder des ersten Verhältnisses eine andere Benennung haben, als die Glieder des zweyten. (Ein Verhältniß bleibt so lange ungeändert, als der Exponent desselben beständig bleibt^) (l. Ein Verhältniß bleibt daher unverän¬ dert, wenn mam beyde Glieder mit einerley Zahl multiplicirt^ weil dadurch der Exponent nicht geändert wird. So gibt das Verhältniß 6:2, wenn man beyde Glieder mit 2, oder mit 3, oder mit 4 multiplicirt, die Verhältnisse 12 : 4, oder 18 : 6, oder 24 : 8, welche alle dem ersten Verhältnisse gleich find; weil sie mit ihm einerley Exponenten 3 haben. Mit Hülfe der Multiplikation kann man ein Ver¬ hältniß, worin Brüche oder gemischte Zahlen vorkom¬ men, durch ganze Zahlen darstellen. Um z. B. das Ver¬ hältniß 4 : § in ganzen Zahlen darzustellen, braucht man nur beyde Glieder mit dem Nenner 3 zu multi- pliciren, als Vorderglied erhält man 4 X 3 — 12, als Hinterglied aber ß X 3 — 2, das neue Verhältniß 12 : 2 ist nun in ganzen Zahlen ausgedrückt, und dem vorigen ganz gleich. — Ist das Verhältniß §: 3? in ganzen Zahlen darzustellen, so multiplicirt man zuerst heyde Glieder mit dem einen Nenner 5, wodurch man 153 das gleich große Verhältniß 2 : erhält; nun multi- Plicirt man wieder beyde Glieder mit dem zweytenNen- ner 2, wodurch man das Verhältniß 4 : 85 bekommt, welches in ganzen Zahlen ausgedrückt, und mit dem gegebenen Verhälnisse § : 8 z gleichbedeutend ist. Um also ein Verhältniß, welches in Brüchen oder gemischten Zahlen ausgedrückt ist, durch ganze Zahlen darzustellen, braucht man nur beyde Glieder mit jedem Nenner zu multipliciren- Man stelle folgende Verhältnisse in ganzen Zahlen dar-3 : i, 7 : 4z, § : 4, 5z : 3, z : 10z : 7 02 . o« ^2. Ein Verhältniß bleibt unverändert, wenn man beyde Glieder durch einerley Zahl dividirt^weil auch dadurch der Exponent nicht geän¬ dert wird. So ist z. B. das Verhältniß 12 : 4 gleich dem Verhältnisse 6 : 2, welches aus dem ersten dadurch entstehet, daß man beyde Glieder durch 2 dividirt; weil in beyden 3 der Exponent ist. Mit Hülfe dieses Satzes kann man jedes Verhält¬ niß, dessen beyde Glieder durch dieselbe Zahl theilbar sind, abkürzen, wenn man Vorder- und Hinterglied durch jene Zahl dividirt. So kann man das Verhältniß 16 : 12, dessen beyde Glieder durch 4 theilbar sind, durch die Division mit 4 in das einfachere aber gleich große Verhältniß 4 : 3 verwandeln. Eben so gibt 24 : 8 abgekürzt 3 : I, 30 : 24 „ 5:4, 120 : 48 „ 5:2. Um ein Verhältniß auf -ie einfachste Gestalt zu bringen, muß man es zuerst in gan¬ ten Zahlen darstellen, und dann, wenn es angeht, ab- klirzen. 154 Man bringe folgende Verhältnisse auf die ein¬ fachste Form: 8 : 6, 6 : §, 5 : ß, U : 14, Sz : 6z, 3 . H 3 , L3 . » 5 * ^10/ ;Am leichtesten und schnellsten macht man sich die wahre Vorstellung von einem solchen Verhältnisse, des¬ sen Hinterglied I ist;Hz. B. 4 : 1, sz : 1, 2 r 4, ' weil da das Vordergliso zugleich der Exponent ist. Ein Verhältniß, dessen Hinterglied 1 ist, heißt ein Grund- verhältniß. ' Man kann jedes Verhältniß in ein Grundverhält- niß verwandeln, wenn man es zuerst in ganzen Zahlen darstellt und abkürzt, d. i. auf die einfachste Form bringt, und dann beyde Glieder durch das Hinterglied dividirt. Um z. B- 8z: in ein Grundverhältniß zu verwan¬ deln , bringt man es durch Multiplikation mit 2 und 12 auf ganze Zahlen, man bekommt 204 : 10, dann kürzt man es durch 2 ab, wodurch man 102 : 5, be¬ kommt; endlich dividirt man beyde Glieder durch 5, wodurch man das Grundverhältniß L0Z : 1 erhält. Eben so gibt 8:4 das Grundverhältniß 2 : I, 8. 81. Aufgaben. (I). Ein Thurm ist 24 Klafter hoch, ein ande¬ rer nur 20 Klafter; wie verhält sich die Höhe des ersten 155 Thurmes zu der Höhe des zweyten? — Wie 24 zu 20, oder 6 : 5, oder 1^ : 1. (2) . Wie verhält sich 1 Kreuzer zu 1 Gulden? — Wie 1: 60, oder : 2. (3) . Wie verhält sich 1 Zoll zu I Fuß? — Wie 1:12, oder : I. (4) . In welchem Verhältnisse steht L A zu 1 Loth? — In dem Verhältnisse 32 : I. (5) . 1 Zucker kostet ZO Kr., 1 A Kaffeh 24 Kr.; wie verhält sich der Preis des Zuckers zu dem Preise vom Kaffeh? — Wie 20 : 24, oder 5 : 6, oder : I. (6) . Ein Bothe macht in 10 Stunden 6 Meilen, ein anderer legt in derselben Zeit 8 Meilen zurück, wie verhalten sich die Geschwindigkeiten der beyden Bothcn zu einander? — Wie 6:8, 3:4, oder § : 1. (7) - Eine österreichische Meile hat 4000 Wiener Klafter eine deutsche geographische aber 3906 Wiener Klafter, wie verhält sich nun die österreichische Meile zu der deutschen geographischen? — Wie 4000 : 3906, oder 2000 :1953, oder 1^:1. (8) . Das Kaiserthum Österreich hat 36 Millio¬ nen Einwohner, das Königreich Preußen 15 Millio¬ nen, welches Verhältniß findet zwischen den Einwohner¬ zahlen dieser beyden Monarchien Statt? — 86 : 15, oder 12 : 5, oder 2§ : I. (9) . Die Sonne ist von der Erde 21000000 Meilen entfernt, die mittlere Entfernung des Mon¬ des von der Erde beträgt 51000 Meilen; wie ver¬ halten sich diese Entfernungen zu einander? — Wie 21000000 : 51000, oder 7000 : 17, oder 411^: I. 156 (10). Eine Kanonenkugel legt in einer Secunde 700 Fuß zurück, der Schall 1050 Fuß; wie verhal¬ ten sich diese Geschwindigkeiten zu einander? — Wie 700 : 1050, oder 2 : 3, oder Z : I. II. Proportionen. z. 82. (Die Gleichsetzung zweyer gleichen Verhältnisse nennt man eine Proportion. -Die beyden Verhält¬ nisse 8:2 und 12 : 3 haben denselben Exponenten 4, sie sind gleich und können also auch gleichgesetzt werden 8 : 2 — 12 : 3. Dieß ist dann eine Pro¬ portion, welche so gelesen wird: 8 verhält sich zu 2, wie sich 12 zu 3 verhält; oder: 8 zu 2, wie 12 zu 3. — Die Verhältnisse 8 : 2 und 15 : 3 sind ungleich, weil sie verschiedene Exponenten haben; sie können daher auch nicht gleichgestellt, und folglich in keine Proportion gebracht werden. ^ede Proportion besteht aus zwey gleichen Ver¬ hältnissen, also aus vier Gliedern; diese werden nach der Ordnung von der Linken gegen die Rechte benannt: das erste, zweyte, dritte, vierte Glied der Pro¬ portion. Auch werden das erste und vierte Glied die äußer«, das zweyte und dritte die inner« Glieder genannt.^)Jn der Proportion 8 : 2 — 12 : 3 ist 8 das erste, 2 das zweyte, 12 das dritte, 3 das vierte Glied; ferner sind 8 und 3 die äußern, 2 und 12 aber die innern Glieder. Da nur gleiche Verhältnisse eine Proportion bil¬ den können, so muß eine Proportion entweder zwey fallende oder zwey steigende, oder zwey Verhältnisse der Gleichheit enthalten. — Ist daher in einer Pro- 157 Portion das vierte Glied kleiner als das dritte, so muß auch das zweyte kleiner als das erste seyn; ist das vierte Glied größer als das dritte, so muß auch das zweyte größer als das erste seyn; ist endlich das vierte dem dritten gleich, so muß auch das zweyte dem ersten gleich seyn. Um sich in der Bildung der Proportionen zu üben, nehme man irgend ein Verhältniß, z. B. 2 : 1, und suche Verhältnisse, welche denselben Exponenten, nahm- lich 2, haben. Je zwey solche Verhältnisse z. B. 4 : 2, 6 : 3, 8 : 4, 20 : 10, bilden eine Proportion. Man suche zu 9 : 3 ein gleiches Verhältniß, ein solches ist 18 : 6; 9 : 3 — 18 : 6 ist dann eine Proportion. Eben so suche man zu folgenden Verhält¬ nissen 10 : 2, 6 : 4, 5 : 3, 18 : 15, 3 : z, 7^ : 5, gleiche Verhältnisse, und bilde aus je zwey glei¬ chen Verhältnissen eine Proportion. Wenn vier Zahlen da stehen, so ist cs leicht zu entscheiden, ob sie in jener Ordnung eine Proportion bilden oder nicht. Man suche nähmlich den Exponen¬ ten zwischen den ersten zwey Zahlen, und dann den Exponenten zwischen den andern zwey Zahlen; sind die beyden Exponenten gleich, so geben die Zahlen in der Ordnung, wie sie dastehen, eine Proportion; sind die Exponenten ungleich, so bilden jene Zahlen keine Proportion. So geben die Zahlen 7, 2, 14, 4 die Proportion 7 : 2 — 14 : 4, weil 7 : 2 den Expo¬ nenten und 14 : 4 auch den Exponenten " — gibt. Die Zahlen 7, 2, 14, 5 hingegen bilden keine Proportion, weil 7 : 2 den Exponenten 2, 11 : 5 aber den Exponenten 'zä gM, welcher von verschie¬ den iü. 158 Man prüfe die Richtigkeit folgender Ansätze: 4 : 6 — 6 : 9, ' 51 : 3 — 34 : 2, 42 : 3 — 15 : 3, I : 5 7 : 35, 16 : 2i — 18 : 3 z, 40 : 9 — 30 : 7, 48 : 6 — 27 : 9 20 : 5 — 36 : 9. 8- 83. Man betrachte die Proportion 4 : 2 — 40 : 5; die äußern Glieder sind 4 und 5, ihr Product also 20; die innern Glieder sind 2 und 40; ihr Product auch 20; das Product der äußern Glieder ist also eben so groß als das Product der innern. Man nehme ferner die Proportion 3 : 8 — 9 : 24- Multiplicirt man die äußern Glieder mit einan¬ der, so hat man Zmahl 24 — 72; und eben so die innern, so erhält man 8mahl 9 — 72; man sieht wieder, daß das Product der äußern Glieder gleich ist dem Producte der innern- ^Aus diesen und mehreren solchen Beyspielen über¬ zeugt man sich von dem Satze: In jeder Proportion ist das Product der äußern Glieder gleich dem Produkte der innern Glieder. Es gibt also ein zweyfaches Kennzeichen für die Richtigkeit einer Proportion: erstens, wenn die Exponenten beyder Verhältnisse gleich sind; zweytens, wenn das Product der äußern Glieder gleich ist dem Producte der innern Glieder. Das erste Kenn¬ zeichen ist natürlicher und dem Begriffe einer Pro¬ portion entsprechender, das zweyte ist gewöhnlich einfacher.^/ Man prüfe nach dem zweyten Kennzeichen die Richtigkeit folgender Ansätze: 159 60 : 12 — 10 : 2, 5°- : 6 2§ : 3, 7z : 9 — 2^: 3, 35 : 5 — 28 : 4, I5i: 2 17 : 8, 6^: liz^ 1^: Zz, 16 : 4 — 36 : 6, 9 : IZ — 8 : 14. 8- 84.' So wie es Verhältnisse zwischen benannten Zah¬ len gibt, so können benannte Zahlen auch eine Pro¬ portion bilden. Z. B- 1 Elle Tuch kostet 6 Gulden, 2 Ellen Tuch kosten doppelt so viel, also 12 Gulden. Das Verhält- niß der Ellen ist hier 1 Elle : Z Ellen, das Verhält- niß der Gulden, 6 Gulden : 12 Gulden; das erste Verhältniß hat den Exponenten das zwepte eben¬ falls den Exponenten 7f; die beyden Verhältnisse sind also gleich und bilden eine Proportion, nähmlich: 1 Elle : 2 Ellen — 6 Gulden : 12 Gulden, welche mit der Zahlenproportion 1 : 2 — 6 : 12 gleichbedeutend ist. Eben so ist das Verhältniß 12 Arbeiter: 8 Ar¬ beitern gleich dem Verhältnisse 18 Tage : 12 Tagen, weil beyde den Exponenten I2 haben; daher bestehet die Proportion: 12 Arbeit. : 8 Arbeit. — 18 Tage : 12 Tagen, welche auch durch die Zahlenproportion 12 : 8 — 18 : 1Z ausgedrückt werden kann. 8- 85. Wenn in einer Proportion, nur drcy Glieder bekannt sind, so kann das unbekannte Glied leicht gefunden werden- Aus einer Proportion, in welcher 160 drey Glieder bekannt sind, das unbekannte Glied fin¬ den, heißt die Proportion auflösen. Das unbekannte Glied einer Proportion wird durch den Buchstaben x bezeichnet. s. Es sey die Proportion x : 3 — 8 : 6 auf- zulösen. — Das Product der äußern Glieder muß gleich seyn dem Producte der innern Glieder; das Product der innern Glieder ist 3mcchl 8 — 24, also muß auch das Product der äußern Glieder 24 seyn; wenn nun die beyden äußern Glieder mit einander multiplicirt 24 geben müssen, und eines derselben 6 ist, so muß das andere äußere Glied nothwendig 4 seyn, welches man bekommt, wenn man 24 durch 6 dividirt. Die Proportion heißt 4 : 8 — 8 : 6. — Hier ist also das Product der innern Glieder, nähm- lich 24, durch das bekannte äußere Glied 6 dividirt worden. Auf gleiche Weise sind noch folgende Proportionen aufzulösen: X : 7 — 4: 2 9:6 — 12: x, x : 9 — 8 : 24 45 : 8 — 30 : x, x : 3 — 10 : 6 2:6— 9 : x. Dadurch kommt man auf die Regel: Um ein äußeres Glied der Proportion z« finden, multiplicire man die beyden innern mit ein¬ ander, und vividire das Product durch das bekannte äußere Glied. B e y s p i e l e. (I). Man löse die Proportion x : 2 — 15 :3 auf. 2 X 15 — 30; 30 : 3 — 10; also x — io. 161 Die Proportion heißt also 10 : 2 — 15 : 3. Um sich von der Richtigkeit zu überzeugen, sucht man entweder die Exponenten der beyden Verhältnisse, oder man vergleicht das Product der äußern Glieder mit dem Producte der innern. Hier haben beyde Verhält¬ nisse den Exponenten 5; auch ist sowohl das Product der äußern als das Product der innern Glieder gleich 30; also ist die Proportion richtig. (2) . Es sey die Proportion x : z — 16 : 3 auf¬ zulösen. Man hat 16 X ° — 12; 12 : 3 4; also ist x — 4, und die Proportion 4 : ° —16:3. (3) . Um die Proportion x : z — 2z : 3 auf¬ zulösen , hat man yl V/ 1. o V/ 9 . 9.0 3 . ^4 2 - 4 2 - 8, 8*2 - z, also X — z, und z : z — 2' : 3 die Proportion. (4) . Man löse die Proportion Zz : 5 — 3z : x auf. 5 X 3z 47; 17:2^17 X 6tz; also x — 6k, und die Proportion 2 z : 5 — 3z : 6z. (5) . Man suche aus iz : 3 z — 8z : x das unbekannte Glied. L3 Ql - 43 X/ II _ 731. 2 - H, 751 . Ä 3 _ 731 , 7-, 731 4 ... 2924 "31 _ LA/» 3 n * 4 4 16 * 4 16 7 112 28 - ^2 8. Das vierte Glied der Proportion ist also 26^, und die vollständige Proportion heißt iz : Sz — 8z : 26/,. (6) . Man löse noch folgende Proportionen auf: Rechend, f. d. H- u. I!I. Cl. ö 162 86. b. Man löse die Proportion 4 : x — 10 : 15 auf. — Das Product der äußern Glieder ist 4mahl 15 — 60, also muß auch das Product der innern Glieder 60 sepn; es ist also hier die Frage: welche Zahl gibt mit 10 multiplicirt 60 zum Produkte? Die¬ ses findet man, wenn man 60 durch 10 dividirt; es ist die Zahl 6. Die Proportion ist demnach 4:6—10:15. — Hier hat man zuerst die beyden äußern Glieder multiplicirt, und dann ihr Product 60 durch das bekannte innere Glied 10 dividirt. Eben so soll auch in folgenden Proportionen das unbekannte Glied gefunden werden: L : x — 8 : 12 12 : x — 8 : 6 10 : x - 15 : 8 4:5 x : 10, 20 : 12 x : 9, 18 : 27 x : 3. Dabey wird man auf die Regel geleitet: Um ein inneres Glied der Proportion zu finden, multiplicire man die beyden äußern Glieder mit einander, und dividire das Product durch das bekannte innere. B e p s p i e l e. (!). Es sey die Proportion 8 : x — 10 : 50 anfzulösen. 8 X 50 — 400; 400 : 10 40; also X — 40, und 8:40— 10 : 50 die Proportion. (S). Man löse die Proportion ^:6 — x:^ auf. t 5 — 20 , 2» > v-- 20 , folglich X —2^,, und die Proportion heißt §:6 — 2'0' (3). Man suche das unbekannte Glied aus der Proportion 5^: x — 84 Die Rechnung wird stehen: 163 «1. v/ >Vl. - «15 . *2 - 8 2 - 1« 1 « 1 5 . H1 «15.13., «1 5 2^«0 . «1^ , ,^3 . I« « — -n . ^ -— 18 13 208 52 H52 > die vollständige Proportion ist also 5^ : lIU — 8^ : 7^. (4). Es sollen noch folgende Proportionen auf- gelöset werden: ,.-D : x — 8 : 5, 2 : 1 — x : 7, z :x--2 5 : 8 -.x:z, S^rx^r .4^ : z -- x : 6, z : ß, G: r rz : x 2z : 3§, 6^ : >l -- x : 3^. Achtes Hauptstück. Die Negel de Tri. 8- 87. E^enn zwcy Arten von Zahlen so Zusammenhängen, daß, wenn die eine Art größer wird, auch die andere in demselben Verhältnisse zunimMt, und wenn die eine Art kleiner wird, auch die andere in demselben Ver¬ hältnisse abnimmt; so heißen die beyden Arten von Zahlen gerade proportionitt, oder man sagt: sie ste¬ hen in e nem geraden Verhältnisse. So sind Waare und Preis gerade prvportio- nirt; denn Lmabl so viel von derselben Waare koste L 2 . , 164 auch Smahl so viel Geld, Smahl so viel Waare kostet auch Smahl so viel Geld; die Hälfte der Waare hat auch nur die Hälfte des Preises, der dritte Theil der Waare kostet auch nur den dritten Theil des Gel¬ des. Waare und Preis sind also in einem solchen Zu¬ sammenhänge, daß sie beyde in demselben Verhält¬ nisse wachsen, oder beyde in! demselben Verhältnisse abnehmen, d. h. Waare und Preis sind gerade pro- portionirt. Eben so stehen in geradem Verhältnisse: Arbeitszeit und Lohn; denn für 2mahl so piel Arbeitstage wird man auch Smahl so viel Arbeits-, lohn erhalten, für die 8fache Arbeitszeit auch den fa¬ chen Lohn; für die halbe Arbeitszeit nur den halben Lohn; — Kapital und Zins; 2, 3mahl so viel Kapital gibt auch 2, 8mahl so viel Zins; der vierte Theil des Kapitals gibt auch nur den vierten Theil des Zinses; — Zeit und Zins; in einer 3mahl so großen Zeit wird man von demselben Kapitale auch 3mahl so viel Zins bekommen; für die Hälfte der Zeit wird man auch nur den halben Zins erhalten; — Geschwindigkeit der Bewegung und Größe, des zurückgelegten Raumes; wer sich 2mahl, Smahl, Imahl so geschwind bewegt, wird auch einen Smahl, Smahl, 4mahl so großen Raum zurücklegen; mit der halben Geschwindigkeit wird man auch nur den halben Weg zurücklegen; b Münzen und Münzen; 2mahl so viel Duca- ten geben auck Smahl so viel Gulden; die Hälfte der Anzahl der Ducaten gibt auch nur die Hälfte von der Anzahl der Gulden. 165 Ausgleiche Weise kann man sich überzeugen, daß auch folgende Arten von Zahlen gerade proportionirt find: Zeit und Wirkung, — Gewicht der Last und Fracht, — Weite des Weges und Fracht, — Länge und Inhalt, — Breite und Inhalt, — Höhe und In¬ halt, — Menge der Nahrungsmittel und Zahl der zu Nährenden, — Menge der Nahrungsmittel und Dauer derselben, — Zahl der Arbeiter und Größe der Arbeit, — Einlage bey einer Unternehmung und der Gewinn oder Verlust. 88. - Wenn zwey Arten von Zahlen von einander so abhängen, daß, wenn die eine Art größer wird, die andere in demselben Verhältnisse kleiner werden muß; so heißen die beyden Arten von Zahlen verkehrt proportionirt, oder man sagt: sic stehen im ver¬ kehrten Verhältnisse. So sind die Zahl der Arbeiter und die Dauer der Arbeitzeit verkehrt proportionirt; denn 2mahl so viel Arbeiter werden für dieselbe Arbeit nur die Hälfte der Zeit brauchen, 3mahl so viel Arbeiter brauchen nur den dritten Theil der Zeit; die Hälfte der Arbeiter braucht die doppelte Zeit, der dritte Theil der Arbeiter braucht 8mahl so viel Zeit. Wenn also die Zahl der Arbeiter zunimmt, so wird die Dauer der Arbeitzeit in demselben Verhältnisse kleiner, und wenn die Zahl der Arbeiter abnimmt; so wachst die Dauer der Arbeitzeit in demselben Verhältnisse. Verkehrt proportionirt sind auch: Dauer der Nahrungsmittel und Zahl der zu Nährenden; durch Lmahl so viel Tage werden 166 nur halb so viel Personen mit denselben Lebensmitteln auskommen; umgekehrt, 2mahl, Smahl so viel Per¬ sonen werden mit denselben Nahrungsmitteln nur die Hälfte, den dritten Tbeil der Zeit ausreichen; — Geschwindigkeit und Zeit bey demselben Wege; wenn sich ein Körper mit einer Smahl, 4mahl so großen Geschwindigkeit bewegt, so braucht er, um denselben Weg zurückzulegen, nur den dritten, vierten Theil der Zeit; — Kapital und Zeit bey gleichem Zinsbeträge; Lmahl so viel Kapital braucht nur bald so viel Zeit angelegt zu seyn, um dasselbe Interesse zu geben; die Hälfte des Kapitals muß Lmahl so viel Zeit anliegen. Eben so kann man nachweisen, daß folgende Arten von Zahlen in einem verkehrten Verhältnisse stehen: Länge und Breite, Länge und Höhe, Breite und Höhe (bey demselben Inhalte), — der Preis des Ge¬ treides und das Gewicht eines Backwerks (von immer gleichem Preise), — die Zahl der Erben und die Größe des Erbtheiles, — Gewicht der Last und Weite des Weges (bey derselben Fracht), — die Größe einer Ein¬ lage und die Zeit, (bey demselben Erträgnisse). §. 89. Es gibt auch Arten von Zahlen, welche zwar in einem innigen Zusammenhänge stehen, jedoch weder gerade noch verkehrt propvrtionirt sind. Zeit und Fallraum wachsen zwar beyde. sind aber doch nicht gerade propvrtionirt; wenn nähmlich ein Stein in ! Secunde aus einer Höhe von 15 Fuß fällt, so wird er in 2 Sekunden nicht Lmahl 15 — 30 Fuß, in 3 Sekunden nicht 3mahl 15 ---- 45 Fuß, 167 sondern der Erfahrung gemäß in 2 Secunden -Imahl 15 — 60 Fuß, in 3 Secunden 9mahl 15 — 135 Fuß tief fallen. Das Gewicht des Menschen nimmt bis zu einem gewissen Alter mit diesem zu, darum sind aber das Gewicht und das Alter des Menschen doch nicht gerade proportionirt. Wenn z. B. ein lOjähriger Knabe 50 K" wiegt, so wird er mit 20 Jahren nicht gerade 2mahl 50 mit 30 Jahren nicht Zmahl 50 mit 60 Jahren nicht 6mahl 50 wiegen. Die Zett und die Arbeit unter ungleichen Umständen sind nicht proportionirt. Wenn z. B. mehrere Arbeiter in 3 Tagen eine Grube 5 Fuß tief graben, so wäre es fehlerhaft zu schließen, daß sie in 6 Tagen die Grube 10 Fuß tief ausgraben werden, da die Arbeit immer schwieriger wird, je größer die Tiefe ist. Der Durchmesser einer Kugel und der In¬ halt , eben so die Seite eines Würfels und der Inhalt sind nicht einfach proportionirt. Wenn ein Würfel, dessen jede Seite 3 Fuß ist, 580 Maß ent¬ hält; so wird ein würfelförmiges Gefäß, dessen jede Seite nur 1 Fuß ist, nicht den 3ten Theil von 580 Maß, sondern nur den 27sten Theil davon fassen. Dasselbe gilt von der Größe und dem Preise eines Diamanten, einer Spiegeltafel. 8. 90. Wenn zwey Arten von Zahlen gerade oder verkehrt proportionirt sind, so kann man immer aus zwey Paaren zusammengehöriger Zahlen der beyden Arten eine Proportion 168 bilden; wie man aus folgenden Beyspielen sehen kann. 3 Ellen Tuch kosten 12 st., 6 Ellen Tuch werden gewiß doppelt so viel, also 24 fl. kosten. Die Zahlen der einen Art sind 3 Ellen und 6 Ellen, ihr Verhält- niß also 3 Ellen : 6 Ellen, wovon der Exponent ist; die Zahlender zweyten Art find 12 fl. und 24 fl., ihr Verhältniß also 12 fl. : 24 fl., und der Exponent desselben auch^; die bcpden Verhältnisse 3 Ellen : 6 El¬ len, und 12 fl. : 24 fl. sind daher gleich, und bilden eine Proportion, nähmlich 3 Ellen : 6 Ellen — 12 fl. : 24 fl. 8 Arbeiter brauchen zu einer gewissen Arbeit 10 Tage, 4 Arbeiter werden zu derselben Arbeit dop¬ pelt so viel Zeit brauchen, also 20 Tage. Hier sind die Zahlen der einen Art 8 Arbeiter und 4 Arbei¬ ter, ihr Verhältniß 8 Arb. : 4 Arb., und dessen Ex¬ ponent 2; die Zahlen der andern Art sind 10 Tage und 20 Tage, das Verhältniß derselben, wenn man sieinumgekehrterOrdnung nimmt, 20 Tage: 10 Tagen, und der Exponent desselben auch 2; die beyden Ver¬ hältnisse bilden also eine Proportion, nähmlich 8 Arb.: 4 Arb. — 20 Tage: 10 Tagen. Wenn daher zwey Arten von Zahlen gerade oder verkehrt proportionirt sind, und man setzet zwey Zah¬ len der einen Artin ein Verhältniß, so bilden immer auch die zwey zugehörigen Zahlen der andern Art, in derselben oder in umgekehrter Ordnung genom¬ men, ein Verhältniß, welches dem vorigen gleich ist. 8 91. Wenn zwey Arten von Zahlen in geradem oder verkehrtem Verhältnisse stehen, und wenn von einer 16S Art beyde Zahlen angegeben werden, von den zuge¬ hörigen Zahlen der andern Art aber nur eine bekannt ist; so kann man die andere unbekannte Zahl dieser zweyten Art leicht finden. Die Rechnung, durch welche dieses geschieht heißt die Regel de Tri. Bep der Regel de Tri wird also vorausgesetzt: 1. Daß zwey Arten von Zahlen angegeben wer¬ den, welche entweder gerade oder verkehrt proportio- nirt find; 2. daß drey Zahlen bekannt sind, die zwey Zah¬ len der einen Art, und eine der dazu gehörigen Zah¬ len der andern Art. Z. B. Wenn 4 Pfund einer Waare 52 Kreu¬ zer kosten, wie viel Kreuzer werden 3 Pfund von der¬ selben Waare kosten? — Die beyden Arten von Zahlen, welche hier vorkommen, sind Pfund und Kreu¬ zer; sie sind gerade proportionirt, weil Lmahl, 3mahl, 4mahl so viel Pfund auch 2mahl, 3mahl, 4mahl so viel Kreuzer kosten werden; von der ersten Art sind beyde Zahlen gegeben, nähmlich 4 Pfund und 3 Pfund; von den dazu gehörigen Zahlen der zweyten Art ist nur eine bekannt, nähmlich 52 Kr., die andere ist unbekannt und soll erst gefunden werden. Dieß ist also eine Aufgabe, welche zur Regel de Tri gehört. Die unbekannte Zahl wird in der Rechnung mit dem Buchstaben x bezeichnet, und in der Proportion gewöhnlich in das vierte Glied gesetzt. 8. »2. Es seyen folgende Regel de Tri-Aufgaben aufzu¬ lösen : ». 6 Pfund Zucker kosten 2 Gulden; wie viel Gul¬ den kosten 25 Pfund Zucker? 170 Bey der Regel de Tri werden die zusammenge¬ hörigen Zahlen neben einander, die gleichartigen aber unter einander geschrieben. Man schreibt also 6 Pfund 2 Gulden 2s „ x „ Die beyden Arten von Zahlen sind hier Pfund und Gulden, und stehen in geradem Verhältnisse; eS läßt sich daher aus ihnen eine Proportion bilden. Setzt man nähmlich die unbekannte Zahl x in das vierte, und die damit gleichnahmige Zahl 2 in das dritte Glied, wodurch man das Verhältniß 2 : x be¬ kommt; so muß sich auch aus den dazu gehörigen Zahlen der Pfunde 6 und 23 ein Berhältuiß bilden lassen, welches dem vorigen gleich ist. Es entstehet nun die Frage, in welcher Ordnung müssen 6 und 25 in ein Verhältniß gebracht werden, damit dasselbe dem Verhältnisse 2 : x gleich sey? Um dieses zu er¬ fahren, muß man wissen, ob x kleiner oder größer als 2 ausfallen soll. Man beurtheilet also: wenn 6 Äl 2 fl. kosten, werden 25 mehr oder weniger als 2 fl. kosten? Gewiß mehr, x wird also größer als 2 ausfallen. Wenn aber in einer Proportion das vierte Glied größer als das dritte ist, so muß auch das zweyte größer als das erste seyn; man wird daher von den beyden Zahlen 6 und 25 die kleinere 6 in das erste, und die größere 25 in das zweyte Glied setzen. Dadurch erhält man die Proportion 6 : 25 — 2 : x. Aus dieser Proportion wird nun der Werth von x gefunden, wenn man die beyden inner» Glieder mit einander multiplicirt, und das Product durch das bekannte äußere Glied dividirt; man hat nähmlich 171 6 : 25 — 2 : x 6 I 50 ! 8sL" 48 r _ i « — s- Wenn also 6 K" Zucker 2 fl. kosten, so wird man für 25 A 8; fl. bezahlen. b. Für 8 Zentner Waare muß man 9 fl. Fracht zahlen; wie viel fl. wird man für 3 Zentner zahlen müssen? Man schreibt 8 Ztr. 9 fl. 3 „ x ,, Hier find wieder zwey Arten von Zahlen angege¬ ben, welche gerade proportionirt sind, nähmlich Zent¬ ner und Gulden. Setzt man daher die unbekannte Zahl x in das vierte und die damit gleichnahmige Zahl 9 in das dritte Glied, wodurch man das Verhältniß 9 : x erhält, so müssen auch die zugehörigen Zahlen der Zent¬ ner, in derselben oder in umgekehrter Ordnung, ein Verhältniß geben, welches dem vorigen gleich ist. Um zu wissen, ob x größer oder kleiner als 9 seyn wird, fragt man: wenn man für 8 Zentner Waare 9 fl. Fracht zahlen muß, wird man für 3 Zentner mehr oder weni¬ ger als 9 fl. zahlen? Gewiß weniger; x wird also kleiner als 9 ausfallen, folglich wird das vierte Glied kleiner als das dritte, daher muß man auch von den beyden Zahlen der andern Art die größere 8 in das erste, und die kleinere 3 in das zweyte Glied setzen. Man hat dann die Proportion 8 : 3 — 9 : x 8 Hs3sfl. 24 3 172 Wenn man also für 8 Ztr. Waare 9 fl. Fracht zahlen muß, so wird man für 3 Ztr. 3ß fl. Fracht zahlen. Aus diesen Beyspielen ergibt sich für die Regel de Tri folgendes Verfahren: 1. Man schreibe die zusammengehörigen Zahlen neben einander, und die gleichartigen unter einander, die gleichartigen Zahlen müssen, wenn sie nicht gleich- nahmig sind, auf gleiche Benennung gebracht werden. 2. Man setze die unbekannte Zahl x in das vierte, und die damit gleichnahmige Zahl in das dritte Glied; die zwey Zahlen der andern Art kommen in gehöriger Ordnung in das erste und zweyte Glied zu stehen. Um diese Ordnung zu bestimmen, beurtheile man aus den Umständen der Aufgabe, ob x größer oder kleiner ausfallen wird, als die damit gleichnah¬ mige Zahl. Soll x größer ausfallen, so ist das vierte Glied größer als das dritte; man muß daher von den beyden Zahlen der andern Art die kleinere in das erste, und die größere in das zweyte Glied setzen. Soll aber x kleiner ausfallcn, so ist das zweyte Verhältniß fal¬ lend; man bringt daher auch die Zahlen der andern Art in ein fallendes Verhältniß, indem man die grö¬ ßere in das erste, und die kleinere in das zweyte Glied setzet. 3. Die Proportion wird aufgelöset. Aufgaben/welche nicht zu große Zahlen enthal¬ ten, können meistens leichter und schneller im Kopfe als schriftlich aufgelöset werden. 173 8. 93. Beyspiele und Aufgaben. Waare und Betrag. (1)- 3 Men Tuch kosten 15 fl.; wie viel st. kosten 12 Ellen? Auflösung tm Kopfe. Wenn 3 Ellen 15 fl. kosten, so wird I Elle nur den 3ten Theil von 15 fl., also 5 fl. kosten; 12 Ellen werden aber ISmahl so viel als 1 Elle, also I2mahl 5 fl. — 60 fl. kosten. — Oder: 12 Ellen sind 4mahl so viel als 3 Ellen; wenn also 3 Ellen 15 fl. kosten, so werden 12 Ellen 4mahl 15 fl. — 60 fl. betragen. Schriftlich. Man schreibt 3 Ell- 15 fl. 12 ,, x „ und setzt x in das vierte, und 15 in das dritte Glied. Dann beurtheilet man: wenn 3 Ellen 15 fl. kosten, wer¬ den 12 Ellen mehr oder weniger als 15 fl. kosten; of¬ fenbar mehr; x muß also größer als 15 ausfallen, daher muß auch das zweyte Glied größer als das erste seyn. Man setzt daher von den beyden Zahlen der an¬ dern Art die kleinere 3 in das erste, und die größere 12 in das zweyte Glied; dadurch erhält man 3 : 12 — 15 : x 12 30 15 3 1 180^60 fl. 18 - 0 12 Ellen werden also 60 fl. kosten. 174 (2) . Was kostet ! Maß, wenn 3 Eimer auf 32 fl. zu stehen kommen? Mündlich. Wenn 3 Eimer auf 32 fl. kommen, so kostet 1 Eimer nur den 3ten Theil davon, also 32 Zwanziger; 1 Maß kostet nun den lOsten Theil von dem, was 1 Eimer kostet; der 20ste Theil von 32 Zwan¬ zigern sind 32 Kreuzer; der 40ste Theil also ist die Hälfte davon, nähmlich 32 halbe Kreuzer, oder 16 Kr. Eine Maß kostet also 16 Kr. Schriftlich. x fl. 1 Maß 120:1 ^32: x 32 „ 120 „ 120!32^ —^fl.^16Kr. Da Eimer und Maß verschiedene Benennungen sind, so müssen sie glcichnahmig gemacht werden, man bringt also 8 Eimer auf Maß, indem man mit 40 multiplicirt; die 120 Maß werden unter l Maß ange¬ schrieben. Nun setzt man x in das vierte, und die damit gleichnahmige Zahl 82 in das dritte Glied, und folgert: wenn 120 Maß 32 fl. kosten, so wird 1 Maß gewiß weniger als 82 fl. kosten; x wird also kleiner als 32 ausfallen, und das Verhältniß 32: x ist ein fallendes. Man bildet daher auch aus 1 und ILO ein fallendes Verhältniß, setzt dieses dem andern Verhält¬ nisse gleich, und löset dann die Proportion auf. Man bekommt dadurch fl. — 16 Kr. 1 Maß kostet also 16 Kr. (3) . Jemand kauft 6 K" Zucker um 2^ fl.; wieviel Zucker von derselben Gattung wird er um 15 fl. be¬ kommen? — 36 A (4) . 5 Ellen Leinwandsswerden mit 2^ fl. bezahlt, wie hoch kommen 12 Ellen? — Auf 5^ fl. 175 M. 4 Loth Quecksilber kosten 24 Kr.; wie theuer find 3? A? — 12 st. 8 Kr. (6) . Ein Kalb wiegt 125 K"; wie viel muß man dafür geben, wenn 1 Ztr auf 13 fl. angeschlagen wird? — 16 fl. 15 Kr. (7) . Wie viel muß man für 45 A einer Waare bezahlen, wovon man 1 Ztr. um 60 fl. erhält? — 27 fl. (8) . Ein Kaufmann hat 42? Ztr. Waare für 286 fl. 40 Kr. gekauft; wie viel von dieser Waare bekommt er für 148 fl. 20 Kr.? — 21? Ztr. Hier müssen die Kreuzer in Guldendrüchc verwandelt werden. — Diese Aufgabe läßt sich sogleich im Kopfe auflösen, da 148 fl. 20 Kr. genau die Hälfte von 286 fl. 40 Kr. sind, so wird man dafür auch gerade die Hälfte von 42l4 Zfr., also 2l'/« Ztr. bekommen. (9) . Was kosten 4 K, wenn 3 Ztr. 20 M um 760 fl. gekauft werden? — 9 fl. 30 Kr. (10) . Wenn 3? Ellen Taffet 5 fl. 24 Kr. kosten, wie hoch kommen 11? Ellen? — Auf 16 fl. 12 Kr. 8- 94. Kapital, Zeit und Zins. (1). lOO fl. Kapital geben in einem Jahre 5 fl. Zins; wie viel Zins werden in derselben Zeit 240 fl. Kapital geben? — Oder kürzer: Wie viel Zins geben 240 fl- Kapital in einem Jahre zu 5 Pereent? Im Kopfe. Wenn 100 fl. jährlich 5 fl. Zins geben, so wird man von 200 fl. doppelt so viel, also 10 fl. bekommen; 20 fl. sind der 5te Thcil von I0Ü fl. also geben sie nur den 5ten Theil des Zinses, nähmlich 4 fl., daher 40 fl. doppelt so viel, also 2 fl.; 200 fl. 176 geben also 10 fl., 40 ff. geben 2 ff., folglich 240 fl. 10 und 2 d. i. 12 fl. Zins. Schriftlich. 100 fl. Kap. 5 fl. Zins 100 : 240 — 5 : x 240 „ „ x „ „ 1,00 I 12,00 > 12 fl. Hier schließt man: 100 fl. Kapital geben 5 fl. In» leresse, 240 fl. werden gewiß mehr Zins geben; x wird also größer als 5, u. s. w. (2) . Welches Kapital gibt zu 4 Percent jährlich 50 fl. Zins? Zu 4 Percent heißt: von 100 fl. bekommt man jährlich 4 fl. Zins. Auflösung im Kopfe. Um 4 fl. jährlichen Zins zu bekommen, muß man 100 fl. Kapital anlegen; um 1 fl. Zins zu erhalten, braucht man nur den 4ten Theil Vön 100 fl., also nur 25 fl. Kapital anzulegen; um nun jährlich 50 fl. Zins zu haben, muß das Kapital 50mahl so viel, also 50mahl 25 fl. betragen; 5mahl 20 ist 100, 5mahl 5 ist 25, daher 5mahl 25 gleich 125, 56mahl 25 wird also 125 Zehner, d. i. 1250 machen. Um daher jährlich 50 fl. Zins zu bekommen, muß man 1250 fl. Kapital anlegen. Schriftlich. 100 fl. Kap. 4 fl. Zins 4 : 50 — 100 : x, x ,/ ,/ 50 „ „ woraus x —1250 fl. folgt. Hier folgert man: um 4 fl. Zins zu bekommen, muß man 100 fl. Kapital anlegen; um 50 fl. Zins zu erhalten, wird man gewiß mehr Kapital anlegen müs¬ sen; x wird also größer als 100 ausfallen. (3) . Ein Kapital gibt in 1 Jahre 248 fl. Interes¬ sen, wie viel gibt es in 2^ Jahren? Mündlich. In 2 Jahren gibt das Kapital dop¬ pelt so viel Zins, also 2mahl 248 fl> d. i. 496 fl.; in 177 L Jahre gibt es die Hälfte von 248 fl., also 124 fl.; zusammen 620 fl. Zins. Schriftlich. 1 Jahr 248 fl. Zins 1 : 2^ - 248 : x 2z ,/ x ,, „ also x — 620 fl. Man folgert: in 1 Jahre bekommt man 248 fl. Zins; in 2z Jahren wird man gewiß mehr Zins be¬ kommen; u. s. w- (4) . 360 fl. Kapital geben in einer gewissen Zeit 48 fl. Zins; wie viel Zins geben in derselben Zeit 1200fl. Kapital? — 160 fl. Zins. (5) . Ein Kapital gibt jährlich 45 fl. Interesse; wie viel gibt es in 2 Monathen? — 7z fl. (6) . Ein Kapital gibt in 1 Jahre 149z fl. Zins; wie lange Zeit wird das Kapital angelegt bleiben müs¬ sen, um 398z fl. Zins zu erhalten? — 2^ — 2, Jahre, oder 2 Jahre und 8 Monathe. (7) . Wie viel beträgt der Zins von 1260 fl. Ka¬ pital bey 6 Percent in 3 Jahren 4 Monathen? — 252 fl- (8) . Wie viel Zeit muß ein Kapital zu 5 Per¬ cent angelegt bleiben, damit es sich verdoppelt? — 20 Jahre- Die Aufgabe heißt eigentlich: in wie viel Jahren wer¬ den IVO fl. Kapital 100 ff. Zins abwerfen, wenn sie in 1 Jahr 5 fl. Zins geben? — Im Kopfe würde man rech¬ nen : um 5 fl. Zins zu bekommen, müssen die 100 fl. Kapital 1 Jahr anliegen, um 100 fl. Zins zu bekommen, müssen sie 20mahl so lange, also 20 Jahre angelegt bleiben. (9) . Zu wie viel Percent muß man 1680 fl. Kapital anlegen, um jährlich 56 fl. Zins zu ziehen? — Zu 3z Percent. Rkchenb. f. d. II. u. III. El. M 178 Die Aufgabe heißt eigentlich, wenn man von 1680 fl. Kapital 56 fl. Zins haben will, wie viel Zins muß man von 100 ff. Kapital verlangen? (10). Zu wie viel Percent sind 2115 fl. ausge¬ liehen, wenn sie jährlich 105 fl. 45 Kr. Zins tra¬ gen? — Zu 5 Percent. §. 95. Arbeitszeit und Lohn. (1) . Eine Köchinn hat monathlich 4 fl. Dicnst- lohn; wie viel kommt auf 12 Tage? Mündlich. Auf 1 Monath oder 30 Tage kom¬ men 4 fl., also auf 1 Tag der 30ste Theil von 4 fl., der 30ste Theil von 1 fl. sind 2 Kr., also von 4 fl. 4mahl so viel, nähmlich 8 Kr.; auf 1 Tag kommen also 8 Kr., auf 12 Tage daher I2mahl 8, d. i. 96 Kr. oder 1 fl. 36 Kr. Schriftlich. 30 Tage 4 fl. 80 : 12 — 4 : x 12 „ x „ 30 j 48 I 1§ fl. 30 -L »ff so 5 I*' Hier folgert man, wenn man in 30 Tagen 4 fl. Lohn bekommt, so wird der Lohn für 12 Tage weni¬ ger als 4 fl. betragen; x wird also kleiner als 4 ausfallen, u. s. w. (2) . Jemand hat monathlich 15 fl. Lohn; wie lange muß er dienen, um 120 fl. zu erhalten? — 8 Monathe. (3) . Ein Diener bekommt für H Monathe 38 fl. 15 Kr. Lohn; wie viel kommt auf L Monath? -- szp. 179 (4) . Ein Knecht)hat alle 2 Monathe 15 fl. Lohn; in wie viel Zeit wird er 225 fl. verdienen? — In Jahren. (5) . Jemand verdient monathlich 36 fl., und er« spart ; seiner Einnahme; wie viel erspart er in 10 z Monathen? — 94^ fl. (6) . Ein Taglöhner hat das ganze Jahr hin¬ durch 212 fl. verdient; wie hoch stellt er sich im Durch¬ schnitte täglich? — Auf 34°-^ Kr. oder ungefähr 34) Kr. 8- 96. Zahl der Arbeiter, Größe und Dauer der Arbeitszeit. (1) . 10 Menschen machen täglich 8000 Ziegel; wie viel Stücke machen 15 Menschen? Mündlich. Wenn 10 Menschen 8000 Ziegel machen, so macht 1 Mensch nur den lOten Theil von 8000, also 800 Ziegel; 15 Menschen machen nun 15mahl so viel, also 12000 Ziegel. Schriftlich. 10 Menschen 8000 Ziegel 10:15 — 8000: x 15 „ x „ 1,0! 12000,0 j 12000 Ziegel. (2) . Wenn 5 Personen eine Arbeit in 20 Tagen vollenden; wie viele Personen werden erfordert, um damit in 25 Tagen fertig zu werden? Mündlich. Wenn 5 Personen eine Arbeit in 20 Tagen vollenden, so würde man, um mit dersel¬ ben Arbeit in 1 Tage fertig zu werden, 20mahl so viel Personen, also 20mahl 5 — 100 Personen auf¬ nehmen müssen; um nun die Arbeit in 25 Tagen zu vollenden, braucht man nur den 25sten Theil von 100 Personen, also nur 4 Personen. M 2 186 Schriftlich. 5 Pers. 20 Tage 25 : 20 — 5 : x x „ 25 „ 25 ,100! 4 Pers. 100 Folgerung: Wenn in 20 Tagen eine Arbeit von 5 Personen vollendet wird, so braucht man, wenn dieselbe Arbeit erst in 25 Tagen fertig werden soll, gewiß weniger Arbeiter; x wird also kleiner als 5 ausfallen, u. s. w. (3). 14 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Ta¬ gen; in wie viel Tagen kommen 12 Arbeiter damit zu Stande? Zm Kopfe. 14 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Tagen; 1 Arbeiter würde Ilmahl so viel Zeit, also I4mahl 6 — 84 Tage dazu brauchen; 12 Arbei¬ ter brauchen nur den 12ten Theil so viel Zeit als 1 Arbeiter, also den 12ten Theil von 84, d. i. 7 Tage. Schriftlich. 14 Arb. 6 Tage 12 : 14 — 6 : x 12 „ x „ 12 ! 84 § 7 Tage. 84 Man schließt, wenn 14 Arbeiter eine Arbeit in 6 Tagen vollenden, so werden 12 Arbeiter dazu gewiß mehr als 6 Tage brauchen; x muß also größer als 6 werden u. s- w. (4) . 15 Menschen reinigen in einem Tage einen Graben, welcher 24 Klafter lang ist; wie viel Men¬ schen werden in derselben Zeit mit der Reinigung eines Grabens von 72 Klafter Länge fertig? — 45 Menschen. (5) . Ein Damm ist von 9 Arbeitern in 8 Tagen aufgeworfen worden; wie viel Arbeiter werden nvthig 181 eyn, um einen gleich großen Damm in 6 Tagen auf¬ zuwerfen? — 12 Arbeiter. (6) . Um eine Wiese abzumähen, braucht man 12 Mäher durch 6 Tage, der Eigentümer aber will solche in 4 Tagen abgemähet haben; wie viel Mäher wird er noch aufnehmen müssen? — Um die Wiese in 4 Tagen abzumähen, sind 18 Mäher nöthig; also müssen zu den frühern noch 6 ausgenommen werden. (7) . Ein Canalbau wird dahin berechnet, daß 800 Mann in 10 Monathen fertig werden, derselbe soll aber schon in 4 Monathen fertig seyn; wie viel Mann wird man noch aufnehmcn müssen? —Noch 1200 Mann. 8. 97. Zeit und Ergebniß. (1) . In einer Haushaltung gibt man alle 4 Tage 8 fl. 40 Kr. aus; wie viel in 25 Tagen? Im Kopfe. Wenn man in 4 Tagen 8 fl. 40 Kr. ausgibt, so kommt auf 1 Tag nur der 4te Theil davon, nähmlich 2fl. 10 Kr.; auf 25 Tage also 25mahl 2 fl. 10 Kr.; 25mahl 2 fl. sind 50 fl., 25mahl 10 Kr. sind 25 Zehner, d. i. 4 fl. 10 Kr., zusammen 51 fl. 10 Kr. Schriftlich. 4 Tage 8^ fl. 4 : 25 — : x 25 „ x 8^X25 2x25-^ X —.4—«2L— 3 ' -n- » - (2) . In einer Mühle mahlte man in 2 Stunden 15 Metzen Korn; wie viel Zeit wird man brauchen, um 96 Metzen zu mahlen? — 12^ Stunden. (3) . Jemand nimmt monatlich 66 fl. 40 K. ein; wie viel kommt auf 5 Tage? — Ns fl. 182 (4). Jemand gibt in 7 Tagen 12 fl. 40 Kr. ans; wie lange wird er verhältnißmäßig mit 126 fl. 40 Kr. ausreichen? — Durch 70 Tage. 8. 98. Gewicht der Fracht, Weite des Weges und Frachtlohn. (1) . Für 2 Ztr. Waare muß man 7 fl. Fracht zahlen; wie viel für 20 Ztr. Mündlich. Für 2 Ztr. muß man 7 fl. Fracht zahlen, also für 1 Ztr. nur die Hafte davon, nahm- lich gz fl-, daher für 20 Ztr. 20mahl — 70 fl. — Oder: für Z Ztr. zahlt man 7 fl., von 20 Ztr. wird man lOmahl so viel, also 70 fl. Fracht zahlen. Schriftlich. 2 Ztr. 7 fl. Fracht 2 : 20 - 7 : x 20 „ x „ 21 140 1 70 fl. 14 (2) . Ein Fuhrmann verspricht, 10 Ztr. für ein gewisses Frachtgeld 9 Meilen weit zu führen; wie weit wird er für eben so viel Geld 15 Ztr. führen? Mündlich. Wenn man 10 Ztr- um ein gewis¬ ses Geld 9 Meilen weit führt, so wird man 1 Ztr. um dasselbe Geld lOmahl so weit, also 90 Meilen führen; man wird daher IZ Ztr. den 15ten Theil von 90, also 6 Meilen weit führen. Schriftlich. 10 Ztr. 9 Meilen 15 : 10 — 9 : x 15 „ x ,/ 15 1 90 1 6 Meilen, 90 183 Man schließt hier: Wenn man 10 Ztr. um ein gewisses Frachtgeld 9 Meilen weit führt, so wird man 15 Ztr. um dasselbe Geld nicht so weit führen können; x wird also kleiner als 9 ausfallen; u. s. w. (3) . Ein Fuhrmann verlangt um eine bestimmte Waare 5 Meilen weit zu führen, 2 st. 10 Kr.; wie viel Fracht wird man ihm zahlen, daß er dieselbe Waare 12^ Meilen weit führe? — 5 fl. 25 Kr. (4) . 18^ Ztr. führt der Fuhrmann für ein bestimm¬ tes Frachtgeld 12 Meilen weit, nun setzt man ihm noch 2^ Ztr. dazu; wie weit wird er diese vermehrte Last um dieselbe Fracht führen? — 10^ Meilen. (5) . Ein Zentner wird um 32 Kr. 6 Meilen weit verführt; wie weit um 1 fl. 20 Kr.? — 15 Meilen. (6) . Wie viel Frachtgeld muß man für 8^ Ztr. bezahlen; wenn für 3 Ztr. 2^ fl. Fracht gezahlt wird? — 6z fl. (7) . Ein Fuhrmann erhält für seine ganze Ladung, welche 32z Ztr. beträgt, 42 fl. Fracht, und für einen Ballen dieser Ladung beträgt die Fracht I fl. 45 Kr.; wie viel wiegt ein solcher Ballen? — 1 Ztr. 85 K°. Die ganze Ladung hat 24 Ballen. 8- 99. Länge, Breite, Höhe und Inhalt. (I). Jemand läßt Leinwand machen; wenn diese E Ellen breit gemacht wird, so bekommt er aus dem hergegebenen Garn 54 Ellen; wie viel Ellen wird er nun bekommen, wenn die Leinwand 1 Elle breit seyn soll? Im Kopfe. Bey Z Ellen Breite bekommt man 54 Ellen; bey z Ellen Breite würde man 3mahl so viel, also 162 Ellen bekommen; bey der Breite von 184 1 Elle wird man nun den 4ten Theil so viel Ellen erhalten, als bey der Breite von Elle, also den 4ten Theil von 162, nähmlich 4G Ellen. Schriftlich. E Ell. Breite 54 Ell. Länge 1G - 54: x 1 » x „ 40^—4yz Elle. Hier wird gefolgert: wenn die Leinwand § Ellen breit gemacht wird, bekommt man 54 Ellen; macht man die Leinwand 1 Elle breit, also breiter, so wird man gewiß ein minder langes Stück bekommen; x wird also kleiner als 54 ausfallen; u. s. w. (2) . Ein viereckiges Gefäß, welches 1 Fuß 4 Zoll hoch ist, hält 88 Maß; wie viel Maß wird ein eben so weites Gefäß, welches nur 1 Fuß hoch ist, halten? Mündlich. Auf l Fuß 4 Zoll d. i. auf 16 Zoll Höhe gehen 88 Maß, auf 1 Zoll Höhe geht nur der I6te Theil davon, also G Maß; auf 12 Zoll Höhe daher ISmahl G Maß, d. i. 66 Maß. Schriftlich. 16 Zoll hoch 88 Maß 16 : 42 — 88 : x, 12 ,/ x „ woraus x — 66 Maß. (3) . Eine Allee soll angelegt werden; pflanzt man die Bäumchen 12 Fuß von einander, so sind 3660 Stück erforderlich; wie viele Bäume wird man benöthigen, wenn man sie nur 10 Fuß von einander setzt? — 4392 Stücke. (4) - Jemand braucht für ein Kleid zum Unterfut¬ ter G Ellen ? Ellen breite Leinwand; wie viel Leinwand wird er nur brauchen, wenn diese 1 Elle breit ist? — G Ellen. (5) . Zu einem Dutzend Hemden braucht man 185 42 Ellen 5 Viertel breiter Leinwand; wie viel von einer 4 Viertel breiten? — 52, Elle. (6) . Zu dem Überzüge von 6 Sesseln braucht man 18 Ellen 5 Viertel breiten Zeug; wie breit müßte der Zeug seyn, um mit 15 Ellen auszukommen? — 6 Viertel. (7) . Ein Garten ist 28 Klafter lang und 10 Klaf¬ ter breit; wie breit muß ein anderer Garten, dessen Länge 20 Klafter beträgt, gemacht werden, damit beyde Gärten die nähmlicheFläche haben? — 14 Klafter. (8) . Jemand will einen Acker, welcher 15 Klaf¬ ter lang, und 6 Klafter breit ist, um 1 Klafter schmä¬ ler machen; um wie viel länger muß dann der Acker ausfallen, ,damit er mit dem frühem gleich groß bleibe? — Der Acker muß dann 18 Klafter lang, also um 3 Klafter länger gemacht werden, als er frü¬ her war. §. 100. Zeit, Geschwindigkeit und zurückgeleg¬ ter Raum. (1) . Jemand legt in 4 Tagen 86 Meilen zurück; wie viel in 17 Tagen? Mündlich. Wenn man in 4 Tagen 36 Meilen macht, so legt man in I Tag den 4ten Theil von 36, also 9 Meilen, daher in 17 Tagen I7mahl 9 — 153 Meilen zurück. Schriftlich. 4 Tage 86 Meilen 4 : 17 — 36 : x „ woraus x — 153 Meilen. (2) . Ein Bothe geht täglich 6 Meilen weit, und braucht, um einen gewissen Ort zu erlangen, 12 Tage; 186 wie viel Zeit würde er brauchen, wenn er täglich 8 Meilen zurücklegen möchte? Im Kopfe. Wenn man durch 12 Tage täglich 6 Meilen macht, so legt man zusammen 12mahl 6—72 Meilen zurück, der Ort, an den der Bothe gelangen will, ist also 72 Meilen entfernt; wenn nun der Bothe täglich 8 Meilen zurücklegen möchte, so würde er den 8ten Theil von 72, also 9 Tage brauchen. Schriftlich. 6 Meilen tägl. 12 Tage 8 : 6 : x 8 „ x „ 8 72 ! 9 Tage. 72 I Man schließt: wenn man täglich 6 Meilen macht, so braucht man 12 Tage, um an einen gewissen Ort zu kommen; wenn man täglich 8 Meilen macht, so wird man, um an denselben Ort zu kommen, weniger Tage brauchen; x wird also kleiner als 12 ausfal¬ len; u. s. w. (3) . An einen Ort kann s man in 4 Tagen gelan¬ gen, wenn man täglich durch 9 Stunden fährt; wie viel Stunden muß man täglich fahren, um diese Reise in 3 Tagen zu vollenden? — 12 Stunden. (4) . Ein Eilbothe kann in 15 Tagen an den Ort seiner Bestimmung kommen, wenn er täglich 16 Mei¬ len macht; er kommt aber schon in 12 Tagen an; wie viel Meilen hat er täglich zurückgelegt? — 2t» Meilen- (5) . Wenn man täglich 4^ Meilen macht, erreicht man das Ziel seiner Reise in 17^ Tage»; wie viel Meilen muß man täglich zurücklegen, um diese Reise in 15 Tagen zu vollenden? — 5j, Meilen. 187 §. 101. Münzen, Maße und Gewichte. (1) . 14 preußische Thaler geben 20 fl- Con¬ ventions-Münze; wie viel fl. Conv. Münze betragen 30 preußische Thaler? Im Kopfe. 30 ist 2mahl 14 und noch 2; 2mahl 14 oder 28 Thlr. werden 2mahl 20 d. i. 40 fl. C- M. geben; 2Thlr. sind der7te Theil von 14Thlrn., sie wer¬ den daher den 7ten Theil von 20 fl., also 2' fl. betra¬ gen ; zusammen 42* fl. Schriftlich. 14 preuß. Thl. 20 fl. C. M. 14 : 30 - 20 : x 30 „ x „ also x — 42* fl. C. M. (2) . Wie viel Gulden betragen 648 Franken, wenn 51934 Franken 20000 Gulden geben? — Nahe 249 fl. 33 Kr. (3) . Wie viel Gulden betragen 243* russische Rubel, wenn 13 Rubel 20 Gulden ausmachen? — 374/, fl. (4) . 100 Venetianer Ellen machen 82 Wiener Ellen; wie viel Wiener Ellen geben 30 Venetianer Ellen? — 24* Wiener Ellen- (5) . Wie viel Eimer halten 240 6om-i Wein; wenn 2 Oonsi 3 Eimer geben? — 360 Eimer- (6) . Wie viel Wiener Metzen betragen 92 böh¬ mische Strich; wenn 28, Strich 35 Wiener Metzen ausmachen? — 110 Metzen. (7) . Wie viel Triester Star machen 749^ Wie¬ ner Metzen; wenn man 5 Star auf 6 Metzen rech¬ net? — 624* Star- (8) . Wie viel Wiener M geben 98 Lemberger N, 188 wenn 4 Lemberger N 8 Wiener A betragen? — 73r Wiener N. 102. Preis des Kornes und Gewicht des Brotes. (1) . Wenn der Metzen Korn 2 fl. kostet, so wiegt ein Zweygroschenbrot 3^ A; wie schwer wird man das Zweygroschenlaib ausbacken, wenn der Metzen Korn mit 2 st. 30 Kr. bezahlt werden muß? Im Kopfe. Um 2 Groschen bekommt man 3^ N Kornbrot, um 2 fl. also 20mahl so viel, nähm- lich 65 folglich erhält man bey dem Preise von 2fl. aus einem Metzen Getreide 65 N Brot; wird nun der Metzen mit 2 fl. 30 Kr. bezahlt, so wird man für 2 fl. 30 Kr. 65 N Kornbrot erhalten; 2 Groschen sind aber in 2 fl 30 Kr. 25mahl enthalten, also wird man für 2 Groschen auch nur den 25sten Theil von 65 K" bekommen; der 5te Theil von 65 ist 13, und davon wieder der 5te Theil sind K"; das Zweygroschcm brot wird also nur 2z K" wiegen. Schriftlich. 2 fl. der Metzen 3^ M 2^ : 2 —3^:x 2^ „ x „ woraus x — 2z K". Man beurtheilt: wenn der Metzen Korn 2 fl. gilt, so wird ein Zweygroschenlaib Kornbrot 3^ N wiegen; wird ein Zweygroschenlaib, wenn der Metzen Korn 2 fl. 30 Kr. gilt, mehr oder weniger Gewicht haben? Gewiß weniger; x wird also kleiner als 3^ ansfallen; daher u. s. w. (2) . Eine Kreuzersemmel wiegt 7^ Loth, wenn der Metzen Weitzen 3 fl. 20 Kr. kostet; wie viel muß 189 der Metzen kosten, damit eine solche Semmel 8 Loth schwer ausgebacken werden könne? — 3^fl. (3) . Wenn der Metzen Korn 1 st. 54 Kr. gilt, so wiegt ein Groschenlaib 1 M 23 Lth.; wie schwer wird ein solches Brot seyn, wenn der Metzen Korn 2 fl. 12 Kr. kostet? — 1 N 15^ Lth. (4) . Der Metzen Weizen, welcher früher 2 fl. 50 Kr. kostete, steigt um 20 Kr.; um wie viel leichter wird man nun eine Mundsemmel, welche früher 4^ Loth wog, ausbacken? — Die Mundsemmel muß 4; Loth schwer, also um Loth leichter ausgebacken werden. (5). Wenn ein Metzen Roggen 162 Groschen W. W. kostet, wiegt ein Groschenlaib 1 N 14 Lth.; um wie viel muß der Metzen Roggen im Werthe fal¬ len, damit man das Groschenlaib um 8 Lth. schwerer ausbacken könne? — Der Metzen Roggen muß, damit ein Groschenlaib I A 22 Lth. wiegen könne, 138 Gro¬ schen kosten, also um 24 Gr. im Werthe fallen. Inhalt Seite Vorbegriffe . 3 Erstes Hauptstück. Zahlen unter hundert und deren^ Zusam¬ menhang 4 Zweytes Hauptstück. Zahlen über hundert hinaus . . . .14 Drittes Hauptstück. Die vier Rechnungsarten mit unbenanntcn und ein nahmigcn Zahlen .... 24 1. Das Addiren — 2. Das Subtrahiren 31 3. Das Multipliciren 40 4. Das Dividiren 53 Viertes Hauptstück. Das Rechnen mit mehrnahmigen Zahlen . 70 1. Die verschiedenen mehrnahmigen Zahlen und ihre Verwandler — 2. Das Resolviren und Reduciren .... 76 3. DaS Addiren 60 4. Das Subtrahiren 85 5. DaS Multipliciren . . . . . . .69 6. Das Dividiren ...... 94 Fünftes Hauptstück. Seite Theilbarkeit der Zahlen F ». . . .101 Sechstes Hauptstück. Lehre von den Brüchen.104 I. Das Addiren.124 II. Das Subtrahircn.128 III. Das Multipliciren . . . . . .132 IV. Das Dividiren.140 Siebentes Hauptstück. . Verhältnisse und Proportionen . . .147 I. Verhältnisse — II. Proportionen.158 Achtes Hauptstück. Die Regel de Tri.163 Gedruckt bep Leopold Grund. SSIS02