OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
MAREC 2023STR 1-40ŠT. 1LETNIK 70LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ.
C  KM Y 
2023
Letnik 70
1
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAJ 2023, letnik 70, številka 1, strani 1–40
Naslov uredništva: DMFA Slovenije, Jadranska ulica 19, 1000 Ljubljana Telefon:
(01) 4766 500 Elektronska pošta: tajnik@dmfa.si Internet:
http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: SI56 0205 3001 1983 664
Mednarodna nakazila: Nova Ljubljanska banka d.d., Ljubljana, Trg republike 2,
Ljubljana SWIFT (BIC): LJBASI2X IBAN: SI56 0205 3001 1983 664
Uredniški odbor: Peter Legiša, Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik),
Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Ko-
bal, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Tadeja Šekoranja (tehnična
urednica).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Natisnila tiskarna DEMAT v nakladi 200 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 25 EUR. Naroč-
nina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Sofinancira jo Javna agencija za znanstvenoraz-
iskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz
naslova razpisa za sofinanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
© 2023 DMFA Slovenije – 2178
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, ključne besede in citirano literaturo.
Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma ra-
zumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo
za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF
ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik
med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
RELATIVNA ENTROPIJA KOT MERA PRESENEČENJA
ŽIGA VIRK
Fakulteta za računalnǐstvo in informatiko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 94A17, 94A24
Skozi interpretacijo teorije informacij razložimo, kako merimo količino informacij, pov-
prečno količino informacij (entropijo) ter presenečenja, ki izhajajo iz dolžin sporočil. Mera
presenečenja je poznana pod različnimi imeni: relativna entropija, Kullback-Leiblerjeva
divergenca . . .
RELATIVE ENTROPY AS A MEASURE OF SURPRISE
Using the interpretation developed by the coding theory we explain how we measure
the amount of information, average content of information (entropy) and surprisal arising
from the lengths of codes. The measure of surprisal is known under various names: relative
entropy, Kullback-Leibler divergence . . .
Uvod
V današnjih časih smo nenehno v stiku z veliko količino podatkov. Nekateri
podatki nam podajo veliko informacij, drugi malce manj. V tem članku
bomo predstavili osnove teorije informacij (informatika in teorija informacij
sta različni področji), skozi katere bomo lahko merili količino informacij,
povprečno količino informacij (entropijo) in presenečenje, izhajajoče iz ko-
diranja. Kot motivacijo si oglejmo naslednji dialog.
oseba a: ZWZWIGOFOSAKOKIS?
prevod 1: Kako si se imel za vikend?
oseba b: TAK.
prevod 2: Dobro.
oseba a: ZWZEFLORTADLEMOK-DOKTADLE, PAR
ISTKALMOR: TDAKMALILSINTGLAND?
prevod 3: Je deževalo?
oseba b: KOL.
prevod 4: Malce je deževalo dopoldne. Ravno dovolj, da mi je opralo
vesoljsko plovilo. Popoldne ob kosilu pa je že sijalo sonce.
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 1
Žiga Virk
Čeprav osebi govorita v nam neznanem jeziku, so nekateri prevodi (pred-
postavimo, da so prevodi ustrezni) bolj presenetljivi kot drugi. Izstopata
prevoda 3 in 4. Prevoda 1 in 2 sta primerljive dolžine z originalnim zapisom.
Prevod 3 je presenetljiv, saj je precej kraǰsi od originalnega zapisa. Kot tak
nakazuje na to, da je podajanje informacij v originalnem zapisu precej neu-
činkovito. V nasprotnem smislu je presenetljiv prevod 4: kratek originalen
zapis s štirimi simboli vsebuje tri povedi. V tem primeru bi podvomili o kva-
liteti prevoda ali pa ugibali, da je morda standarden način pozdrava (mate-
matično gledano bi to pomenilo, da se v neznanem jeziku pojavlja z visoko
verjetnostjo). Karkoli je že razlog, presenečenji, ki izhajata iz prevodov 3
in 4, sta povezani s pričakovano dolžino prevoda in s tem povezano količino
informacij. Namen tega članka je, da omenjene opazke formuliramo v ma-
tematični obliki. Pri tem bomo namesto prevajanja obravnavali kodiranje.
Obširna moderna obravnava omenjene matematične osnove in interpretacija
v kontekstih teorije informacij ter biološke raznolikosti je podana v [6].
Začetki merjenja informacij segajo v štirideseta leta dvajsetega stole-
tja, ko je Shannon [9] definiral količino informacije v kontekstu verjetnosti.
Ob tem bi opozorili, da so zaradi interdisciplinarne in široko aplikativne
narave teorije koncepti večkrat dobili različna imena. Količina informacij
je poznana pod naslednjimi izrazi: information content, self-information,
surprisal (v našem kontekstu bo presenečenje nekaj drugega) ter Shannon
information. Na osnovi te količine je Shannon definiral entropijo slučajne
spremenljivke kot povprečno količino informacij. Koncept entropije je bil
takrat seveda že poznan, zato se entropiji v našem kontekstu včasih reče
informacijska entropija ali Shannonova entropija. Entropija je na enak ali
podoben način definirana v termodinamiki in kvantni fiziki. Kratek pregled
literature pokaže še številne druge kontekste, v katerih se entropija pojavlja
v taki obliki.
Na osnovi Shannonovega dela in razumevanja entropije v kontekstu in-
formacij je Huffman kot študent razvil algoritem za optimalno kodiranje
jezikov [3]. Njegov pristop je poznan pod imenom Huffmanovo kodiranje in
je osnova za kompresijske metode brez izgube informacij. Med drugim se
izbolǰsave Huffmanovega kodiranja uporabljajo pri računalnǐskih formatih
.JPEG [8] in .MP3 [4] datotek.
Zadnji koncept, ki ga bomo predstavili v članku, je relativna entropija.
Le-ta meri presenečenje v smislu zgornjega primera. Formalno sta jo defini-
rala Kullback in Leibler [5], matematično pa predstavlja količino različnosti
dveh slučajnih spremenjivk na n točkah. Natančno definicijo bomo podali
v zadnjem poglavju. Na tem mestu le omenimo, da gre za nesimetrično
količino, zato se je ne omenja z izrazom metrika. V literaturi se omenja pod
izrazoma razdalja (distance) ali divergenca (divergence). Kljub nesimetrič-
nosti se je relativna entropija izkazala za pomembno količino na različnih po-
2 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Relativna entropija kot mera presenečenja
dročjih. V tuji literaturi je poznana pod različnimi imeni: Kullback-Leibler
information, Kullback-Leibler distance, Kullback-Leibler divergence, direc-
ted divergence, information divergence, information deficiency, amount of
information, discrimination information, relative information, gain ali in-
formation ali information gain, discrimination distance in error. Na koncu
bomo omenili še pomen in uporabo relativne entropije v zadnjem času.
Količina informacij
Količino podatkov merimo z biti. Spominska celica v klasičnem (ne-kvant-
nem) računalniku praviloma zavzame vrednost 0 ali 1. Količina podatkov
shranjena v eni taki celici predstavlja 1 bit podatkov. Z enim bitom lahko
opǐsemo dve različni stanji, z n biti pa 2n stanj. Količina podatkov pove, ko-
liko različnih stanj lahko s podatki opǐsemo. Bite tradicionalno združujemo
v byte, ki so osnova za večje količine podatkov: MB, GB . . .
Količina podatkov na splošno ni enaka količini informacij. Medtem ko
količina podatkov meri njihovo razsežnost v spominu, je informacija odvisna
od konteksta. Izjavo »V Ljubljani ob polnoči ne sije sonce« lahko kot po-
datke zapǐsemo z nekaj sto biti v standardnih kodiranjih, težko pa bi rekli, da
vsebuje kakšno informacijo. Za opredelitev količine informacij potrebujemo
kontekst. V matematičnem jeziku bo kontekst diskretna slučajna spremen-
ljivka X z izidi x1, x2, . . . , xm in pripadajočimi verjetnostmi p1, p2, . . . , pm.
Količino informacij lahko definiramo podobno kot količino podatkov. Če n
bitov podatkov opǐse 2n različnih stanj, n bitov informacije opǐse 2n raz-
ličnih enako verjetnih dogodkov x1, x2, . . . , x2n (katerih verjetnost je torej
2−n).
Definicija 1. Količina informacij, vsebovana v dogodku verjetnosti p, je ena-
ka log2(1/p) = − log2 p bitov. Enota je bit oz. shannon.
Osnova 2 v logaritmu izhaja iz dejstva, da en bit podatkov opǐse dve
različni stanji. Občasno se za osnovo uporablja kakšno drugo število a > 1.
Pri tem se zaradi lastnosti logaritmov količina informacij spremeni za faktor,
odvisen le od a. Pri osnovi e se enoti informacije včasih reče nat, pri osnovi
10 pa digit oz. hartley.
Primeri količin informacij v dogodkih:
1. Izid meta poštenega kovanca: 1 bit.
2. Ob 23:00 v Ljubljani ne bo sijalo sonce: 0 bitov, če upoštevamo, da se
izid zgodi z verjetnostjo 1.
3. V izidu ura je 14:23 (brez podatka o sekundah) je manj informacij kot
v izidu ura je 14:23:15.
1–13 3
Žiga Virk
4. Izid meta poštene standardne kocke: log2 6 = 1 + log2 3 bitov.
5. Sodost-lihost izida meta poštene standardne kocke: 1 bit.
6. Ostanek izida meta poštene standardne kocke pri deljenju s 3: log2 3
bitov.
Zadnji trije primeri nakazujejo, da naša definicija zadošča pričakovani la-
stnosti: če sta dogodka A in B neodvisna (torej je P (A∩B) = P (A)P (B)),
potem je količina informacije podana z dogodkom A∩B enaka vsoti količin
informacij posameznih delov. Sledeči izrek pove, da ta lastnost do osnove
a natanko določi funkcijo količine informacij (in nedvoumno utemelji defi-
nicijo 1).
Izrek 2. Naj bo f : [0, 1] → [0,∞) funkcija, ki zadošča naslednjim pogojem:
1. f(1) = 0, oz. gotovi dogodki ne podajo nič informacij.
2. f je strogo padajoča v p, oz. redkeǰsi dogodki podajo več informacij.
3. f(p · q) = f(p) + f(q).
Tedaj je
f(p) = − loga p
za neki a > 1.
Dokaz. Naj bo x = f(1/2) > 0. Z induktivno uporabo predpostavke 3
dobimo enakost
f((1/2)m) = x ·m, za vse m ∈ N. (1)
Za naravno število k velja
x = f(1/2) = f
((
(1/2)1/k
)k)
= kf
(
(1/2)1/k
)
in torej f
(
(1/2)1/k
)
= x/k. Če v tem primeru ponovno induktivno upora-
bimo predpostavko 3, dobimo
f
(
(1/2)m/k
)
= x ·m/k, za vse m, k ∈ N. (2)
Izberimo t ∈ [0,∞)\Q ter konvergentni zaporedji racionalnih števil iz [0,∞)
z limito t: zaporedje si naj monotono narašča proti t, zaporedje zi pa naj
monotono pada proti t. Po predpostavki 2 dobimo
x · t = lim
i→∞
f ((1/2)zi) ≤ f
(
(1/2)t
)
≤ lim
i→∞
f ((1/2)si) = x · t.
4 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Relativna entropija kot mera presenečenja
Torej velja
f
(
(1/2)t
)
= x · t, za vse t ∈ [0, 1]. (3)
Iz predpostavk 1 in 2 sledi, da je x > 0. Tedaj je a = 21/x > 1, velja
x = 1/ log2 a in po enačbi (3) sledi
f(p) =f
(
(1/2)log1/2 p
)
= x · log1/2 p =
1
log2 a
· (− log2 p) = − loga p,
za vsak p ∈ [0, 1].
Entropija kot povprečna količina informacij
Entropija diskretne slučajne spremenjivke je povprečna količina informacij
vsebovana v izidih.
Definicija 3. Naj bo X diskretna slučajna spremenljivka z izidi x1, x2, . . .,
xm in pripadajočimi verjetnostmi p1, p2, . . . , pm. Entropija X je enaka
H(X) =
m∑
i=1
pi log2(1/pi).
Izraz 0 · log2(1/0) matematično ni definiran. V našem kontekstu bomo
kljub temu uporabljali dogovor 0 · log2(1/0) = 0. Prvi razlog je dejstvo, da
lahko spremenljivki X vedno umetno dodamo nov izid xm+1 z verjetnostjo
0. S tem spremenljivke praktično ne spremenimo, čeprav smo formalno
spremenili (razširili) njen opis. Želimo, da omenjena sprememba ne vpliva
na entropijo, tj., da dodaten člen 0 · log2(1/0) v vsoti ne spremeni entropije.
Drugi razlog je, da izraz 0·log2(1/0) v entropiji dejansko izhaja iz p·log2(1/p)
pri p = 0 in
lim
p↘0
p · log2(1/p) = 0.
Namesto omenjenega dogovora bi lahko torej vsak izraz pi log2(1/pi) v de-
finiciji 3 zamenjali z
lim
p↘pi
p · log2(1/p).
Opazimo, daH(X) lahko zavzame katerokoli vrednost na intervalu [0, log2m]:
• Minimum: H(X) = 0 natanko tedaj, ko obstaja gotov izid xi, tj., pi = 1.
• Maksimum: H(X) = log2m natanko tedaj, ko X predstavlja enako-
merno porazdelitev.
Večanje entropije pri fiksnem m torej predstavlja premikanje proti ena-
komerni porazdelitvi na m točkah.
1–13 5
Žiga Virk
Primeri entropije:
• Entropija meta poštenega kovanca je enaka log2 2 = 1.
• Entropija meta poštene kocke je enaka log2 6.
• Če kovanec ni pošten, je entropija manǰsa kot 1.
Več primerov je podanih na sliki 1.
0
1
2
1
3
4
1
4
1 2 3 4
H = log2 4 = 2
0
1
2
1
3
4
1
4
1 2 3 4
H = 74
0
1
2
1
3
4
1
4
1 2 3 4
H = 1
0
1
2
1
3
4
1
4
1 2 3 4
H = 0
Slika 1. Entropija nekaterih porazdelitev na štirih točkah.
Učinkovita kodiranja
Pogosto želimo, da je naše komuniciranje učinkovito. Informacije želimo
izraziti oz. prenesti na čim bolj ekonomičen način. Med drugimi v ta na-
men lahko uporabljamo učinkovite tipkovnice (npr. tipa Dvorak), okraǰsave
(npr.), kratice (DMFA), bližnjice (Ctrl-C) ipd. Poleg tega se je matematični
zapis (npr. računov) skozi zgodovino razvil v tako obliko, ki učinkovito poda
veliko količino informacij. Zapis enačbe »Osnova naravnega logaritma na
potenco korena prvega negativnega celega števil pomnoženega s kvocientom
obsega in premera kroga je enaka prvemu negativnemu celemu številu« je
rahlo manj učinkovit kot eiπ = −1. Učinkovitost komuniciranja je lepo pov-
zel Pitagora: »Ne izrecite malo z veliko besedami, raje povejte veliko v le
nekaj besedah.«
V tem poglavju si bomo ogledali učinkovita kodiranja v smislu učinko-
vitega zapisa informacij. Kot običajno naj bo naš kontekst diskretna slu-
čajna spremenljivka X z izidi x1, x2, . . . , xm in pripadajočimi verjetnostmi
6 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Relativna entropija kot mera presenečenja
p1, p2, . . . , pm. V okviru kodiranja izidi x1, x2, . . . , xm predstavljajo abe-
cedo (seznam črk oz. simbolov xi), verjetnosti pi pa so relativne frekvence,
s katerimi se črke xi pojavljajo v danem jeziku ali besedilu, sestavljenem
iz zaporedja črk. Na primer, besedilo lahko predstavlja del zapisa DNK v
obliki zaporedja iz črk A, C, G in T. V primeru besedila v slovenščini bi
bila (kodirna) abeceda sestavljena iz velikih in malih črk, presledka in ločil
(ter potencialno drugih uporabljenih znakov).
V našem kontekstu torej na podlagi podanega besedila generiramo slu-
čajno spremenljivko X, ki predstavlja relativne frekvence črk. Kodiranje
besedila pomeni, da vsaki črki priredimo dvojǐsko kodo (končno zaporedje
ničel in enic), s katero bomo dotično črko predstavili v računalnǐskemu po-
mnilniku.
Definicija 4. Kodiranje slučajne spremenljivke X je injektivna preslikava,
ki vsakemu izidu xi priredi kodo (včasih omenjeno kot kodno besedo) yi v
obliki končnega dvojǐskega zaporedja (tj. zaporedja, sestavljenega iz števil
0 in 1).
Kode morajo biti seveda take, da lahko iz njih enolično rekonstruiramo
originalno besedilo. Znano je kodiranje ASCII, ki vsak znak običajno zako-
dira s sedmimi oz. osmimi biti. Rekonstrukcija besedila je v tem primeru
enostavna, saj vsakih osem bitov predstavlja en simbol abecede. Za zapis
besedila dolžine n bomo torej porabili 8n bitov. Bistveno vprašanje je, ali
lahko to dolžino zmanǰsamo brez izgube informacij. Izkaže se, da je odgovor
pogosto da. Začnimo razlago s primerom.
črka frekvenca kodiranje 1 kodiranje 2 neustrezno kodiranje
a 0,5 0 0 0 0
b 0,25 0 1 1 0 0 1
c 0,25 1 0 1 1 1 0
d 0 1 1 11
povprečna dolžina kode 2 3/2 -
Tabela 1. Primer kodiranja.
Tabela 1 podaja abecedo (a, b, c, d) s pripadajočimi relativnimi frekven-
cami črk/vrednostmi. Ker so črke štiri, lahko vse enolično zapǐsemo z dvema
bitoma, kar porodi kodiranje 1. V tem primeru je povprečna dolžina kode
črke enaka 2. Kodiranje 2 predstavlja alternativno kodiranje, pri katerem
je povprečna dolžina kode črke enaka
0,5 · 1 + 0,25 · 2 + 0,25 · 2 = 3/2.
1–13 7
Žiga Virk
Z uporabo tega kodiranja bodo torej kodiranja v podani abecedi precej
kraǰsa brez izgube informacij. Ideja pri kodiranju 2 je, da bolj pogostim
oz. verjetnim črkam priredimo kraǰso kodo. Pri tem morajo biti črkam
prirejene take kode, da lahko iz kodiranja enolično rekonstruiramo besedilo.
To najlažje dosežemo, če so začetki kod različni:
Definicija 5. Kodiranje slučajne spremenljivke X s kodami y1, y2, . . . , ym je
predponsko (instantaneous oz. prefix-free), če se nobena koda yi ne pojavi
kot začetno zaporedje kakšne druge kode.
Primer kodiranja, ki ni predponsko, je podan v tabeli 1 pod stolpcem
neustrezno kodiranje: koda 0 črke a je začetni odsek kode 0 1 črke b. Zapis
010 lahko predstavlja besedo ac ali ba. Rekonstrukcija v tem primeru ni
enolična, s kodiranjem smo torej izgubili nekaj informacije.
Tabeli 2 in 3 podata še nekaj podobnih primerov kodiranja.
črka p kodiranje 1 kodiranje 2
a 0,5 0 0 0
b 0,25 0 1 1 0
c 0,125 1 0 1 1 0
d 0,125 1 1 1 1 1
povprečna dolžina kode 2 7/8
Tabela 2. Drugi primer kodiranja.
črka p kodiranje 1 kodiranje 2
a 1/3 0 0 0
b 1/3 0 1 1 0
c 1/3 1 0 1 1
povprečna dolžina kode 2 5/3
Tabela 3. Tretji primer kodiranja.
Pri tem se zastavi vprašanje: do kolikšne mere lahko skraǰsamo pov-
prečno dolžino kode? Izkaže se, da je spodnja meja podana z entropijo X
(glej alinejo 2 v izreku 6).
Izrek 6. Naj bo X diskretna slučajna spremenljivka (abeceda) z izidi (čr-
kami) x1, x2, . . . , xm in pripadajočimi verjetnostmi (relativnimi frekvencami)
p1, p2, . . . , pm. Podano naj bo predponsko kodiranje, ki črki xi priredi kodo
yi doľzine Li. Tedaj velja:
8 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Relativna entropija kot mera presenečenja
1.
∑m
i=1(1/2)
Li ≤ 1.
2. Povprečna doľzina kode je večja ali enaka entropiji:
∑m
i=1 piLi ≥ H(X).
Dokaz. 1. Vsakemu številu t na intervalu [0, 1) lahko priredimo dvojǐski
zapis (upoštevajoč le decimalke):
t = 0,b1b2b3 . . . oziroma t =
∞∑
i=1
bi · 2−i.
Pri tem se za števila z dvema zapisoma (npr. 0,011111 . . . = 0,1) omejimo
le na tisti zapis, ki se ne konča z neskončnim zaporedjem enic. Vsaki kodi
yi priredimo interval
Ji = {t ∈ [0, 1) | dvojǐski zapis t se začne z yi}.
Na primer:
• Če je y1 = 1, potem je J1 = [1/2, 1), saj so dvojǐski zapisi vseh števil
na J1 oblike 0,1
∗ (zapis 0,1∗ pomeni, da je prva decimalka 1, druge
decimalke pa so poljubne).
• Če je y2 = 011, potem je J2 = [3/8, 4/8), saj so dvojǐski zapisi vseh
števil na J2 oblike 0,011
∗ (zapis 0,011∗ pomeni, da so prve tri decimalke
0, 1 in 1, ostale decimalke pa so poljubne).
Intervali Ji so disjunktni zaradi predponskosti kodiranja in vsebovani
v [0, 1). Po definiciji so njihove dolžine (1/2)Li . Skupna dolžina ne more
presegati dolžine intervala [0, 1), kar pomeni
∑m
i=1(1/2)
Li ≤ 1.
2. Pri dokazu alineje 2 bomo uporabili konkavnost funkcije f(x) = log2 x
(za neenakost med vrsticama 2 in 3) ter alinejo 1 (na zadnjem koraku).
H(X)−
m∑
i=1
piLi =
m∑
i=1
pi log2(1/pi) +
m∑
i=1
pi log2
(
(1/2)Li
)
=
m∑
i=1
pi log2
(1/2)Li
pi
≤ log2
(
m∑
i=1
pi ·
(1/2)Li
pi
)
= log2
(
m∑
i=1
(1/2)Li
)
≤ log2 1 = 0
Sledi H(X) ≤
∑m
i=1 piLi.
1–13 9
Žiga Virk
Opomba 7. Alineja 1 izreka 6 se imenuje Kraft–McMillanova neenakost, glej
str. 46 v [6].
Kodiranje slučajne spremenljivke X, pri katerem za dolžine kod Li izi-
dov xi velja Li = log2(1/pi), se imenuje idealno kodiranje. V praksi takšno
kodiranje obstaja natanko tedaj, ko so pi potence števila 1/2. Po definiciji
entropije za idealna kodiranja velja, da je njihova povprečna dolžina kode
enaka entropiji. Kodiranji številka 2 v prvih dveh tabelah sta idealni ko-
diranji, kodiranje v tretji tabeli pa ne. Naslednji izrek pove, kako lahko
konstruiramo kodiranje slučajne spremenljivke X, pri katerem se povprečna
dolžina kode spodnji meji približa do enega bita natančno.
Izrek 8. Naj bo X diskretna slučajna spremenljivka (abeceda) z izidi (čr-
kami) x1, x2, . . . , xm in pripadajočimi verjetnostmi (relativnimi frekvencami)
p1, p2, . . . , pm. Tedaj obstaja predponsko kodiranje, ki črki xi priredi kodo yi
doľzine Li = ⌈log2(1/pi)⌉. Poleg tega velja
∑m
i=1 piLi < H(X) + 1.
Dokaz. Brez škode za splošnost privzemimo, da je p1 ≥ p2 ≥ . . . ≥ pm. Za
vsak i je število qi = (1/2)
Li najmanǰsa celoštevilska potenca števila 1/2,
ki je manǰsa od pi. Števila q1, q2, . . . , qi so celoštevilski večkratniki (1/2)
Li ,
zato enako velja za njihove poljubne vsote. Črki xi priredimo interval
Ji = [q1 + q2 + · · ·+ qi−1, q1 + q2 + · · ·+ qi−1 + qi).
Upoštevajmo dogovor iz preǰsnjega dokaza in naj yi predstavlja prvih Li
števk v dvojǐskem zapisu števila q1+q2+ · · ·+qi−1 (druge števke so enake 0,
saj je omenjeno število celoštevilski večkratnik (1/2)Li). Interval Ji sovpada
s števili iz [0, 1), katerih prvih Li števk v dvojǐskem zapisu se ujema z yi.
Ker so intervali Ji disjunktni, je dobljeno kodiranje predponsko.
Iz definicije Li sledi, da je Li < log2(1/pi) + 1. Tedaj je
m∑
i=1
piLi <
m∑
i=1
pi (log2(1/pi) + 1) = H(X) + 1.
Primer 9. Oglejmo si demonstracijo zadnjega dokaza na primeru, podanem
v tabeli 2. Verjetnosti pi porodijo vrednosti Li = log2(1/pi), saj so vse
vrednosti pi celoštevilske potence 1/2. Pripadajoči intervali so
J1 = [0, 1/2), J2 = [1/2, 3/4), J3 = [3/4, 7/8), J4 = [7/8, 1).
• Koda y1 sestoji iz ene (L1 = 1) števke dvojǐskega zapisa števila 0, tj.,
y1 = 0.
10 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Relativna entropija kot mera presenečenja
• Koda y2 sestoji iz dveh (L2 = 2) števk dvojǐskega zapisa števila 1/2,
tj., y2 = 10.
• Koda y3 sestoji iz treh (L3 = 3) števk dvojǐskega zapisa števila 3/4, tj.,
y1 = 110.
• Koda y4 sestoji iz treh (L4 = 3) števk dvojǐskega zapisa števila 7/8, tj.,
y4 = 111.
Dobili smo kodiranje 2 iz tabele 2.
Predstavljeni rezultati se nanašajo na kodiranja, pri katerih vsaki črki
priredimo svojo kodo. V tem primeru smo videli, da lahko povprečno dolžino
kode črke zmanǰsamo pod H(X) + 1, a ne pod H(X). Izkaže se, da bi v
primeru, ko bi namesto črk kodirali nize črk, povprečno dolžino kode črke
lahko poljubno približali H(X). Sorodna ideja se pojavlja pri pisavah, ki z
znaki zapisujejo zloge namesto črk.
Relativna entropija kot mera presenečenja
V tem poglavju naj bo X diskretna slučajna spremenljivka (abeceda) z izidi
(črkami) x1, x2, . . . , xm in pripadajočimi verjetnostmi (relativnimi frekven-
cami) p1, p2, . . . , pm. Mislimo si lahko, da izhaja iz frekvenc črk v nekem
dalǰsem besedilu. Prav tako naj bo Y diskretna slučajna spremenljivka
(abeceda) z izidi (črkami) x1, x2, . . . , xm in pripadajočimi verjetnostmi (re-
lativnimi frekvencami) q1, q2, . . . , qm. Pri tem si mislimo, da gre za neko
drugo besedilo z istimi črkami.
Povprečna dolžina kod črk v idealnem kodiranju X (ki je sicer dosegljiva
le v primeru, ko so pi potence 1/2) je
m∑
i=1
pi log2(1/pi) = H(X).
Če bi slučajno spremenljivko X zakodirali v idealnem kodiranju za slučajno
spremenljivko Y , bi bila povprečna dolžina črk enaka
m∑
i=1
pi log2(1/qi).
Gibbsova neenakost (gre za »zvezno« verzijo neenakosti iz alineje 2 izreka
6, dokaz je podan v okviru naloge 2.26 na strani 37 v [7]) pravi, da je ta
1–13 11
Žiga Virk
količina večja ali enaka entropiji:
m∑
i=1
pi log2(1/qi) ≥ H(X).
Relativna entropija je razlika med tema dvema količinama in predstavlja
presežno povprečno dolžino kod črk, ki pri kodiranju besedila X nastane
zaradi uporabe kodiranja, optimiziranega za neko drugo besedilo.
Definicija 10. Relativna entropija med diskretnima slučajnima spremenljiv-
kama X in Y je
D(X ∥ Y ) =
m∑
i=1
pi log2(1/qi)−
m∑
i=1
pi log2(1/pi) =
m∑
i=1
pi log2(pi/qi).
V uvodu smo podali primera presenetljivih in nepresenetljivih prevo-
dov, pri čemer je količina presenečenja izhajala iz nepričakovane dolžine
prevodov. Relativna entropija v kontekstu kodiranja formalizira to idejo
presenečenja. Seveda je prevajanje besedil bolj kompleksno kot kodiranje.
Po drugi strani pa smo definirali relativno entropijo slučajne spremenljivke.
S tem smo podali pojem, ki ni vezan le na kodiranje.
Omenimo nekaj lastnosti relativne entropije:
• D(X ∥ Y ) običajno ni enako D(Y ∥ X).
• D(X ∥ Y ) ∈ [0,∞].
• D(X ∥ Y ) = 0 natanko tedaj, ko je X = Y .
• D(X ∥ Y ) = ∞ natanko tedaj, ko obstaja i, da velja 0 = qi < pi. V
tem primeru idealno kodiranje za Y ne vsebuje kode za xi, zato z njim
ne moremo zakodirati besedila, ki to črko vsebuje.
Pomen relativne entropije
Relativna entropija je imela osrednji pomen pri razvoju teorije kodiranja,
njena številna imena pa nakazujejo, da se uporablja na veliko področjih.
Ker sama po sebi ni metrika, se je pojavila potreba, da bi na njeni pod-
lagi definirali čim bolj sorodne količine, ki zadoščajo pogojem za metriko.
Tako se je razvija Fisherjeva informacijska metrika, ki je, okvirno rečeno,
Riemannova metrika podana kot koren infinitezimalne relativne entropije.
12 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Relativna entropija kot mera presenečenja
Fisherjeva metrika predstavlja osnovo informacijske geometrije. Podobna
metrika je koren Jensen-Shannonove divergence, definirana kot√
JS(X ∥ Y ) =
√
(D(X ∥ Y ) +D(Y ∥ X))/2.
Dejstvo, da je omenjena količina metrika, je bilo dokazano šele v tem tisoč-
letju [2]. Primerjava teh metrik je podana v [1].
Z vzponom analize podatkov se je relativna entropija ustalila kot ena
izmed glavnih mer različnosti porazdelitev, saj pogosto nastopa pri evalvaciji
ali konstrukciji optimizacijskih funkcij na podatkih. Relativna entropija
na prostoru porazdelitev na n točkah porodi zanimivo geometrijo, ki se v
zadnjem času uporablja tudi v okviru topološke analize podatkov [1].
LITERATURA
[1] H. Edelsbrunner, Ž. Virk in H. Wagner, Topological data analysis in information
space, In Proc. 35th Ann. Sympos. Comput. Geom., 2019.
[2] D. M. Endres in J. E. Schindelin, A new metric for probability distributions, IEEE
Transactions on Information Theory 49 (2003), 7, 1858–1860.
[3] D. Huffman, A method for the construction of minimum-redundancy codes, Procee-
dings of the IRE 40 (1952), 9, 1098–1101.
[4] N. Kehtarnavaz in N. Kim, Digital signal processing system-level design using Lab-
VIEW, Elsevier, 2011.
[5] S. Kullback in R. A. Leibler, On information and sufficiency, Annals of Mathematical
Statistics 22 (1951), 1, 79–86.
[6] T. Leinster, Entropy and diversity: The axiomatic approach, Cambridge University
Press, Cambridge, 2021.
[7] D. J. C. MacKay, Information theory, inference and learning algorithms, Cambridge
University Press, Cambridge, 2003.
[8] V. van der Meer in J. van den Bos, JPEG file fragmentation point detection using
Huffman code and quantization array validation, In The 16th International Confe-
rence on Availability, Reliability and Security (ARES 2021), Association for Compu-
ting Machinery, New York, NY, USA, Article 46, 1–7.
[9] C. E. Shannon, A Mathematical Theory of Communication, Bell System Technical
Journal 27 (1948), 3, 379–423.
1–13 13
POLARIZACIJA MAVRIČNE SVETLOBE
MOJCA VILFAN
Institut »Jožef Stefan«, Ljubljana
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Ključne besede: mavrica, polarizacija svetlobe, Fresnelove enačbe
V prispevku obravnavamo polariziranost mavrične svetlobe. Najprej z geometrijsko
sliko in numeričnim izračunom pojasnimo nastanek mavrice, nato pa s Fresnelovimi enač-
bami izračunamo stopnjo njene polariziranosti.
POLARISATION OF RAINBOW LIGHT
We discuss the polarisation of the rainbow light. First a geometric approach combined
with numerical calculations is used to explain the appearance of a rainbow. Taking into
account Fresnel equations, polarisation degree for a rainbow is obtained.
Uvod
Mavrica je razmeroma pogost vremenski pojav. Opazujemo jo lahko, ka-
dar se svetloba s Sonca odbije in razkloni v dežnih kapljicah. Precej manj
znano pa je, da je mavrična svetloba skoraj povsem polarizirana [1, 2]. Če
opazujemo mavrico skozi linearni polarizator, ki prepušča svetlobo, polari-
zirano v vodoravni smeri, je zgornji del mavričnega loka v celoti viden. Ko
polarizator zasučemo za 90°, vrhnji del mavričnega loka praktično izgine,
vidni ostanejo le stranski robovi mavričnega loka (slika 1). S sukanjem po-
larizatorja lahko ugotovimo, da je mavrična svetloba polarizirana v smeri
tangentno na mavrični lok.
Slika 1. Fotografija mavrice skozi linearni polarizator, ki prepušča svetlobo, polarizirano v
vodoravni smeri (levo), in skozi polarizator, ki prepušča svetlobo, polarizirano v navpični
smeri (desno). To nakazuje, da je mavrična svetloba skoraj povsem linearno polarizirana.
14 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Polarizacija mavrične svetlobe
Preden se lotimo podrobneǰsega izračuna stopnje polariziranosti ma-
vrične svetlobe, ponovimo, kako mavrica sploh nastane. Mavrico lahko
opazujemo, kadar svetloba s Sonca vpada na dežne kapljice, ki iz oblakov
padajo proti tlom. Tipična velikost dežnih kapljic je nekaj milimetrov, s
čimer tudi upravičimo obravnavo pojava v okviru geometrijske optike. Ko
žarki s Sonca vpadejo na kapljico vode v zraku, se najprej lomijo v kapljico,
nato se na zadnji strani kapljice odbijejo in ponovno lomijo, ko iz kapljice
izhajajo. Kot, pod katerim se žarki lomijo, je odvisen od lomnega količnika
vode – ta pa je odvisen od valovne dolžine svetlobe, torej od njene barve.
Posledično se svetloba različnih barv v kapljici različno lomi in iz nje iz-
stopa ojačena pod rahlo različnimi koti. Ko opazovalec pogleda proti nebu,
svetlobo pod različnimi koti vidi različnih barv – vidi mavrični lok.
Pojav, da je lomni količnik snovi odvisen od valovne dolžine svetlobe,
imenujemo disperzija. Lomni količnik, ki je definiran kot razmerje med
hitrostjo svetlobe v vakuumu in hitrostjo svetlobe v snovi, je za vidno sve-
tlobo v vodi okoli 1,33. Vendar je ta vrednost zgolj približna. Z natančneǰso
analizo ugotovimo, da se lomni količnik za vidno svetlobo z naraščajočo va-
lovno dolžino monotono zmanǰsuje: pri valovni dolžini 400 nm je enak 1,344,
pri valovni dolžini 700 nm pa 1,331 [4]. Razlike med lomnimi količniki so
majhne, zato je tudi mavrični lok razmeroma ozek.
Mavrico vedno opazujemo v nasprotni smeri od Sonca in vedno pod is-
tim kotom glede na smer vpadnih sončnih žarkov, to je približno 42°. Poleg
osnovnega mavričnega loka lahko pogosto opazimo še en mavrični lok. Gre
za sekundarno mavrico, ki nastane po dvakratnem odboju svetlobe v kaplji-
cah vode. Ta zunanji lok vidimo pod kotom okoli 51°. Zaradi dodatnega
odboja v kapljici je vrstni red barv v sekundarni mavrici obrnjen glede na
osnovno mavrico.
Mavrični lok
Izračunajmo za začetek kot, pod katerim vidimo mavrico, tako da zapǐsemo
pot svetlobnih žarkov skozi kapljico pri dani vrednosti lomnega količnika.
Problem obravnavajmo ravninsko, pri čemer izbrano ravnino tvorijo Sonce,
kapljica in opazovalec. Privzamemo, da vzporedni žarki na kapljico vpadajo
v vodoravni smeri in izračunajmo kote, pod katerimi iz kapljice izhajajo
posamezni vpadni žarki. Poleg lomnega količnika vode za izbrano valovno
dolžino je ključni parameter odmik vpadnega žarka od sredine kapljice.
Označimo odmik od sredǐsča kapljice z a in polmer kapljice z R. Pri
izračunu izhodnega kota v odvisnosti od parametra a si pomagamo s sliko 2.
14–24 15
Mojca Vilfan
O
α
α
a
R
β
A
B
β
β′
β
γ
ϕ
vpadni žarek
izhodni žarek
D
C
Slika 2. Geometrijska pot žarka, ki na kapljico vpada na oddaljenosti a od sredǐsča kapljice
in iz kapljice izhaja pod kotom ϕ.
Kot α označuje vpadni kot, to je kot med normalo na kapljico in smerjo
vpadnega žarka v točki vpada A. Velja:
sinα =
a
R
. (1)
Lomni kot β izračunamo z lomnim zakonom:
sinα = n sinβ, (2)
pri čemer n označuje lomni količnik vode za izbrano valovno dolžino, za
lomni količnik zraka pa smo vzeli vrednost 1. Svetlobni žarek potem prehaja
skozi kapljico in vpada na njeno zadnjo stranico v točki B. Pri tem je vpadni
kot enak kotu β, saj je trikotnik AOB enakokrak. Žarek se odbije od zadnje
strani kapljice po odbojnem zakonu, tako da je β′ = β, nato pa v točki C
izhaja iz kapljice, pri čemer se ponovno lomi po lomnem zakonu. Za kot γ
velja:
sin γ = n sinβ.
Primerjava z enačbo (2) pokaže, da je γ = α. Iz tega sledi, da svetlobni
žarek skozi kapljico potuje simetrično glede na OB.
Smer izhodnega žarka glede na vodoravnico izračunamo tako, da smeri
vpadnega in izhodnega žarka navidezno podalǰsamo za kapljico in izraču-
namo kot ϕ v presečǐsču (točka D). Velja ∠DOA = ∠BOA = π − 2β. Ker
je ∠OAD = α, je ∠ADO = π − α − (π − 2β) = 2β − α, od koder sledi, da
je kot ϕ med smerjo vpadnega in smerjo izhodnega žarka enak:
ϕ = 2(2β − α).
16 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Polarizacija mavrične svetlobe
Izrazimo še kot α s parametrom a (1) in kot β iz enačbe (2). Dobimo:
ϕ = 4 arcsin
a
nR
− 2 arcsin a
R
. (3)
Narǐsimo funkcijsko odvisnost izhodnega kota ϕ od vpadnega parametra
a za 0 < a < R (slika 3 a). Vrednosti−R < a < 0 ne obravnavamo, saj žarki,
ki vstopajo v kapljico pod sredǐsčem, iz kapljice izhajajo pri kotih ϕ < 0.
Te žarke opazovalec vidi le v obliki šibkeǰse sekundarne mavrice, ko se žarki
znotraj kapljice dvakrat odbijejo, k primarni mavrici pa ne prispevajo.
b)
vpadna
izhodna svetloba
svetloba
R
ϕ
am
ϕm
a)
a0
0
Slika 3. Izhodni kot kapljice ϕ v odvisnosti od vpadnega parametra a (a). Izhodni kot
je navzgor omejen s ϕm in doseže največjo vrednost pri am. Prikaz poti žarkov skozi
kapljico (b). Žarek, ki na kapljico vpada pri am in iz nje izhaja pod največjim kotom ϕm,
je označen z debeleǰso črto.
Žarki, ki vpadajo na kapljico pri majhnih vrednostih a, izhajajo iz ka-
pljice praktično v smeri nazaj. Pod majhnimi koti izhajajo tudi žarki, ki
vpadajo na kapljico povsem na vrhu. Vmes doseže odvisnost ϕ(a) maksi-
mum. Lego tega maksimuma in vrednost največjega kota, pod katerim
izhajajo žarki, preprosto izračunamo. Izračunamo odvod:
dϕ
da
=
4√
n2R2 − a2
− 2√
R2 − a2
(4)
in poǐsčemo vrednost am, pri kateri je odvod enak nič. Dobimo:
am = R
√
4− n2
3
.
Pri tej oddaljenosti od sredǐsča vstopajo žarki, ki iz kapljice izhajajo pod
največjim izhodnim kotom. Za n = 1,33 je am ≈ 0,862R, pripadajoči naj-
večji kot ϕm pa izračunamo tako, da vstavimo am v enačbo (3). Dobimo
ϕm ≈ 42,5°. Pri kotih, ki so večji od ϕm, žarki iz kapljice ne izhajajo.
14–24 17
Mojca Vilfan
Pri dežju se kapljice nahajajo na vseh vǐsinah od tal do oblaka. Le
na tistih kapljicah, iz katerih se svetloba do naših oči širi pod kotom okoli
ϕm, vidimo mavrico, saj se pri tem izhodnem kotu svetlobni žarki najbolj
zgostijo in svetloba ojači. Iz nižje ležečih kapljic se svetloba šibko odbija v
smeri nazaj, iz vǐsje ležečih kapljic pa se svetloba do opazovalca ne odbija,
zato je nebo nad mavričnim lokom temneǰse kot pod njim.
Z grafa ϕ(a) razberemo še eno pomembno značilnost: k istemu izho-
dnemu kotu ϕ na splošno prispevajo žarki, ki vstopajo v kapljico pri dveh
različnih vrednostih a, eni večji in eni manǰsi od am. Za izračun intenzitete
izhodne svetlobe pri danem ϕ moramo oba prispevka sešteti.
Izračunajmo natančneje porazdelitev intenzitete izhodne svetlobe. Sve-
tloba s Sonca na kapljice vpada s konstantno gostoto svetlobnega toka j0,
ki je definirana kot vpadni svetlobni tok na enoto površine oziroma pri rav-
ninski obravnavi na enoto dolžine. Zaradi loma znotraj kapljice se vpadni
svetlobni tok ob izhodu preporazdeli. Za začetek izračunajmo le preporaz-
delitev gostote svetlobnega toka v odvisnosti od kota ϕ (torej zgoščevanje
žarkov) in še ne upoštevajmo, da se gostota svetlobnega toka zmanǰsuje za-
radi lomov in odboja na meji med kapljico in zrakom. To bomo dodali v
nadaljevanju.
Svetlobni tok, ki vpada na delček velikosti da, zapǐsemo kot dPv = j0da,
pri čemer je j0 konstanten. Izhodni svetlobni tok na delček velikosti ds
podobno zapǐsemo kot dPi = jids. Pri tem ji označuje gostoto izhodnega
svetlobnega toka, ki je funkcija kota ϕ, ds pa izpǐsemo kot R′dϕ, pri čemer
je R′ oddaljenost od kapljice in R′  R. Ker zmanǰsevanja svetlobnega toka
zaradi lomov in odboja za zdaj ne upoštevamo, vpadni in izhodni svetlobni
tok izenačimo. Zvezo med njima določa odvisnost ϕ(a). Zapǐsemo:
dPi = jiR
′dϕ = jiR
′dϕ
da
da.
Upoštevamo enakost dPv = dPi in izrazimo gostoto izhodnega svetlobnega
toka:
ji =
dPv
R′da
1
dϕ/da
=
j0da
R′da
1
dϕ/da
,
od koder sledi:
ji
j0
=
1
R′
1
dϕ/da
.
Gostota izhodnega svetlobnega toka je največja, kadar je odvod dϕ/da enak
nič oziroma kadar je izhodni kot ϕ enak ϕm.
18 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Polarizacija mavrične svetlobe
Odvisnosti ji/j0 ne moremo preprosto izraziti, lahko pa jo izračunamo
numerično pri danih R′/R. Pri tem ne smemo pozabiti, da k izhodni sve-
tlobi pri večini izhodnih kotov ϕ prispevajo žarki, ki vstopajo v kapljico pri
dveh različnih oddaljenostih od sredǐsča a. Celoten prispevek pri danem
izhodnem kotu je tako sestavljen iz dveh vej rešitev, ki ju je treba sešteti.
Izhodna gostota svetlobnega toka je prikazana na sliki 4 za dve vrednosti
lomnega količnika (n = 1,344 in n = 1,331). S slike je razvidno, da je vrh
intenzitete izhodne svetlobe res pri največjem izhodnem kotu ϕm, kar se
ujema z žarkovno sliko. Poleg tega račun pokaže, da velika večina svetlob-
nega toka izhaja iz kapljice v zelo majhnem intervalu izhodnih kotov, zato
je mavrični lok zelo ozek.
V preprosti obliki, v kateri obravnavamo pojav mavrice, se pri mejnem
kotu pojavi divergenca gostote svetlobnega toka. Vendar je vrednost gostote
zelo velika le v zelo majhnem intervalu kota ϕ v bližini ϕm. Če izračunamo
skupni izhodni svetlobni tok kot integral gostote svetlobnega toka po izsto-
pnem kotu oziroma loku, je vrednost integrala končna.
ϕ[°]
ji
j0
R′
R
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
Slika 4. Vpadni svetlobni tok se ob prehodu skozi kapljico preporazdeli. Izhodna gostota
svetlobnega toka ji v bližini mejnega kota ϕm močno naraste, kar se ujema s predstavo,
da se tam izhodni žarki najbolj zgostijo. Črna črta velja za n = 1,331 in siva za n = 1,344.
Barve mavrice
V uvodu smo povedali, da je lomni količnik vode odvisen od valovne dolžine
vpadne svetlobe. Za vijolično barvo (λ ≈ 400 nm) je okoli 1,344, za rumeno
(λ ≈ 580 nm) okoli 1,334 in za rdečo (λ ≈ 700 nm) okoli 1,331 (slika 5).
Na sliki 4 smo že videli odvisnost gostote svetlobnega toka ji od izho-
dnega kota ϕ za dve različni vrednosti lomnega količnika. Vrednosti lomnih
14–24 19
Mojca Vilfan
λ[nm]
n
400 450 500 550 600 650
1,330
1,333
1,336
1,339
1,342
700
Slika 5. Odvisnost lomnega količnika n od valovne dolžine svetlobe λ za vodo [5].
količnikov ustrezata lomnima količnikoma za vijolično (siva črta) in rdečo
svetlobo (črna črta). Največji izstopni kot je tako za vijolično svetlobo
(λ = 400 nm) pri ϕm = 40,5° in za rdečo (λ = 700 nm) pri ϕm = 42,4°.
Vrednosti za druge barve so med omenjenima mejnima vrednostma.
Na splošno barve niso določene le z eno samo valovno dolžino, temveč
vsaki barvi ustreza interval valovnih dolžin. Pravzaprav tudi ti intervali
niso povsem točno določeni, saj se barve zvezno prelivajo iz ene v drugo.
Navadno privzamemo, da svetloba rdeče barve obsega valovne dolžine v
vidnem območju med 625 in 750 nm [6]. Tem valovnim dolžinam pripada
vrednost valovnega količnika med 1,3325 in 1,3305, ustrezna ϕm za skrajni
vrednosti intervala rdeče svetlobe pa sta 42,15° in 42,44°. Po drugi strani
ležijo koti, pod katerimi vidimo vijolično barvo z valovnimi dolžinami med
380 in 450 nm, na intervalu med 40,36° in 41,07°.
Večji izhodni kot določene barve pomeni večji kot, pod katerim to barvo
opazujemo glede na vodoravnico. Zato je zunanji lok mavrice rdeče barve,
notranji vijolične, znotraj mavrice pa si barve sledijo v običajnem spektral-
nem zaporedju: rdeča, oranžna, rumena, zelena, modra in vijolična.
Polarizacija mavrične svetlobe
Do zdaj smo pri računu gostote svetlobnega toka upoštevali samo preporaz-
delitev izhodnih žarkov in s tem določili kote, pri katerih izhaja iz kapljice
največ svetlobe izbrane barve. Dopolnimo ta račun še z upoštevanjem od-
bojnosti pri lomu in odboju. Kolikšen je delež prepuščene in odbite svetlobe
ob vpadu na mejo med dvema snovema, podajajo tako imenovane Fresnelove
enačbe, ki se imenujejo po francoskem fiziku Augustu-Jeanu Fresnelu (1788–
20 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Polarizacija mavrične svetlobe
1827). S temi enačbami lahko izračunamo delež odbitega ali prepuščenega
svetlobnega toka pri vpadu na mejo med zrakom in vodo. Pomembna ugoto-
vitev je, da se različno polarizirana vpadna svetloba različno močno odbija.
Na splošno lahko polarizacijo svetlobe (to je smer jakosti električnega po-
lja v elektromagnetnem valovanju) opǐsemo kot linearno kombinacijo dveh
ortogonalnih komponent. Priročno je izbrati eno komponento polarizacije v
vpadni ravnini, določeni s smerema vpadne in lomljene svetlobe, in drugo
v smeri pravokotno na vpadno ravnino. Valovanje, ki je polarizirano pra-
vokotno na vpadno ravnino, imenujemo transverzalno električno polarizi-
rano valovanje (na kratko TE valovanje). Valovanje, pri katerem leži jakost
električnega polja v vpadni ravnini in je nanjo pravokotno magnetno polje,
imenujemo transverzalno magnetno polarizirano valovanje (oziroma TM va-
lovanje).
Svetloba s Sonca, ki vpada na dežne kapljice, je nepolarizirana. To
pomeni, da se jakost električnega polja valovanja v ravnini, ki je pravokotna
na smer širjenja svetlobe, zelo hitro in naključno spreminja. V povprečju
so vse smeri polarizacije enakomerno zastopane, zato za račun zadošča, če
ga naredimo za dve medsebojno ortogonalni linearni polarizaciji, in rečemo,
da v povprečju vsaka od njiju prispeva polovično k celotnemu vpadnemu
svetlobnemu toku.
Naj svetloba, ki v enakem deležu vsebuje obe ortogonalno polarizirani
valovanji, vpada na mejo med snovema. Vpadni kot označimo z α, lomni kot,
ki ga izračunamo po lomnem zakonu (2), pa z β. Potem sta razmerji med
intenziteto odbite in vpadne svetlobe R za TE polarizirano valovanje [3]:
RTE =
(
sin(α− β)
sin(α+ β)
)2
in za TM polarizirano valovanje:
RTM =
(
tan(α− β)
tan(α+ β)
)2
. (5)
Pri tem opazimo, da je odbojnost simetrična na zamenjavo kotov α in β,
torej je enaka, če svetloba vpada na mejo iz zraka pod kotom α, ali če vpada
na mejo iz vode pod kotom β.
Delež prepuščenega svetlobnega toka T je preprosto izračunati, saj se v
snoveh brez absorpcije skupna energija ohranja. Velja:
TTE = 1−RTE in TTM = 1−RTM.
14–24 21
Mojca Vilfan
Za lažjo predstavo narǐsimo odvisnosti odbojnosti in prepustnosti od vpa-
dnega kota α (slika 6 a). Pri pravokotnem vpadu α = 0 sta odbojnosti za
obe polarizaciji enaki. Z naraščajočim vpadnim kotom odbojnost RTE za
TE polarizirano valovanje narašča, odbojnost RTM za TM polarizirano va-
lovanje pa najprej pojema, doseže ničlo, nato pa naraste do vrednosti 1 pri
α = 90°.
α[°]
TTE
0
0
0, 25
0, 50
0, 75
1, 00
TTM
RTE
RTM
30 60 α[°]
ηTE
0
0, 05
0, 10
0, 15
ηTM
30 60090 90
a) b)
Slika 6. Odvisnost odbojnosti R in prepustnosti T (a) ter produkta η = T 2R (b) od
vpadnega kota α za ortogonalni polarizaciji TE in TM. Sivo je označeno ozko območje
vpadnih kotov α, ki ustreza območju izhodnih kotov, pod katerim vidimo mavrico.
Kot, pri katerem odbojnost TM polariziranega valovanja doseže ničlo,
imenujemo Brewsterjev kot, po škotskem fiziku Siru Davidu Brewstru (1781–
1868). Pri tem vpadnem kotu je vsa TM polarizirana svetloba prepuščena,
vsa odbita svetloba pa TE polarizirana. Brewsterjev kot lahko izračunamo
iz pogoja, da je RTM = 0, kar se zgodi, ko je imenovalec v ulomku (5) neo-
mejen. Pogoj je izpolnjen pri αB + βB = 90°. Izhajamo iz lomnega zakona
(2), v katerem upoštevamo zvezo:
sinβB = sin(90°− αB) = cosαB,
in zapǐsemo enačbo za izračun Brewstrovega kota:
tanαB = n.
Pri prehodu iz zraka v vodo je Brewstrov kot αB ≈ 53°, pri prehodu iz vode
v zrak pa ≈ 37°. Ta kot je zelo blizu kotom β, pod katerimi se od zadnje
strani kapljice odbija svetloba, ki iz nje izhaja kot mavrica. Spomnimo se,
da ojačena svetloba izhaja pod kotom, ki ustreza am ≈ 0,862R, od koder
izračunamo αm ≈ 59,5° in βm ≈ 40,4°.
Delež energijskega toka svetlobe, ki izhaja iz kapljice, izračunamo s tremi
zaporednimi procesi: prehod skozi mejo v kapljico, odboj na zadnji strani
22 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Polarizacija mavrične svetlobe
kapljice in prehod iz kapljice v zrak. Delež označimo z η in ga izračunamo
v odvisnosti od vpadnega kota α za vsako polarizacijo posebej.
ηTE = TTERTETTE in ηTM = TTMRTMTTM.
Delež η v odvisnosti od vpadnega kota α je prikazan na sliki 6 b za obe
polarizaciji. Za naš izračun so pomembne le tiste vrednosti η, pri katerih
izhaja ojačena svetloba iz kapljic. To se zgodi na intervalu izhodnih kotov
40,5° < ϕm < 42,4°, kar ustreza vpadnim kotom 58,8° < α < 59,5°. Na tem
ozkem intervalu, ki je na sliki označen senčeno, je delež za TE polarizirano
svetlobo razmeroma velik (ηTE ≈ 0,085), delež za TM polarizirano svetlobo
pa zelo majhen (ηTM ≈ 0,0027). Vpeljemo in izračunamo še stopnjo polari-
ziranosti [2]:
ηTE − ηTM
ηTE + ηTM
≈ 94 %.
Svetloba, ki izhaja iz kapljic, je torej skoraj povsem linearno polarizirana.
Za konec določimo še celotno gostoto svetlobnega toka, ki izhaja iz ka-
pljic, v odvisnosti od izhodnega kota ϕ za vsako od polarizacij, tako da
upoštevamo še preporazdelitev gostote žarkov. Račun naredimo tako, da
intenziteto vstopnega žarka ustrezno utežimo v odvisnosti od vstopnega
kota α, nato pa ponovno numerično seštejemo prispevke obeh vej rešitev.
Izračunana odvisnost je prikazana na sliki 7 za primer svetlobe rdeče in
vijolične barve za obe polarizaciji.
ϕ[°]
ji
j0
R′
R
0 10 20 30 40 50
0
0, 1
0, 2
0, 3
Slika 7. Ustrezno utežena izhodna gostota svetlobnega toka ji v odvisnosti od izhodnega
kota ϕ za n = 1,331 (rdeča svetloba, črni črti) in n = 1,344 (vijolična svetloba, sivi
črti), pri čemer je j0 gostota vpadnega energijskega toka. Črtkani črti označujeta TM
polarizirano svetlobo, polni črti pa TE polarizirano.
14–24 23
Mojca Vilfan
Vidimo, da je gostota svetlobnega toka TM polarizirane svetlobe v obeh
primerih zelo majhna in praktično zanemarljiva v primerjavi s TE pola-
rizirano svetlobo. Čeprav je odbojnost TM polarizacije pri Brewstrovem
kotu enaka nič, TM polarizirana izhodna svetloba za ϕ < ϕm nikjer ne
pade povsem na nič. Razlog je v tem, da v isti izhodni kot prispeva tudi
druga veja žarkov, za katero je odbojnost sicer majhna, vendar različna od
nič. Izhodna svetloba ima zato pod vsemi izstopnimi koti tudi zelo šibko
TM polarizirano komponento svetlobe, ki pa je zanemarljiva v primerjavi z
močno TE polarizirano svetlobo.
Z integracijo gostote izhodnega svetlobnega toka po izhodnem kotu do-
ločimo še razmerje med svetlobnima tokovoma obeh polarizacij v danem
majhnem intervalu izhodnega kota. Zaradi dveh vej žarkov, ki izhajajo
pod istim izhodnim kotom, se stopnja polariziranosti malenkost zmanǰsa,
na okoli 92 %.
Zaključek
S preprostim numeričnim izračunom smo pokazali, da je svetloba, ki izhaja
iz dežnih kapljic, ko na njih posije Sonce, skoraj povsem TE polarizirana.
Spomnimo se, da pomeni TE polarizacija smer električnega polja pravoko-
tno na vpadno ravnino. Gledano iz smeri opazovalca to pomeni, da leži
jakost električnega polja svetlobe, ki izhaja iz dežnih kapljic, tangentno na
mavrični lok. Če mavrico opazujemo skozi linearni polarizator, ki prepušča
svetlobo v navpični smeri, vrhnji del mavrice izgine, vidni pa ostanejo stran-
ski deli mavričnega loka, čeprav oslabljeni. Nasprotno zasukan polarizator,
ki prepušča svetlobo v vodoravni smeri, prepusti zgornji del mavrice, stran-
ski dela loka pa močno oslabijo. S tem pokažemo, da je svetloba iz mavrice
res polarizirana, in hkrati bralcem damo namig, da zanimivi optični pojavi
postanejo še zanimiveǰsi, kadar jih opazujemo skozi polarizator.
LITERATURA
[1] J. A. Adam, The mathematical physics of rainbows and glories, Phys. Rep. 356 (2002)
229–365.
[2] G. R. Graham, Polarization of Rainbows, Phys. Educ. 10 (1975) 50–51.
[3] E. Hecht, Optics, Fifth edition, Pearson Education Limited (2017).
[4] The International Association for the Properties of Water and Steam, Release on the
Refractive Index of Ordinary Water Substance as a Function of Wavelength, Tempe-
rature and Pressure, IAPWS, R9-97 (1997).
[5] Refractive index of water, dostopno na http://www.philiplaven.com/p20.html,
ogled 16. 1. 2022.
[6] Visible spectrum, dostopno na https://en.wikipedia.org/wiki/Visible_spectrum,
ogled 16. 1. 2022.
24 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
IZ ZGODOVINE
Nekaj spominov na profesorja Nika Prijatelja (1922–2003)
Prijateljeva mama in cesar Franc Jožef
Verjetno le malo ljudi ve, da je bil profesor Niko Prijatelj po materi napol
Hercegovec. Še več, zgodba o poti njegove matere v Slovenijo je res nekaj
posebnega. Poskusil bom obnoviti zgodbo, kot mi jo je pripovedoval sam.
Mati profesorja Prijatelja je bila vaška lepotica iz muslimanske družine v
vzhodni Hercegovini. Še zelo mlado so jo hoteli omožiti s precej stareǰsim
županom sosednje vasi, kar ji ni bilo prav nič všeč. Imela pa je prijateljico
Hrvatico. Ta ji je rekla: »Če se res nočeš poročiti s tem človekom, ti jaz lahko
pomagam.« Odpeljala jo je na skrivaj v katolǐski samostan. Prestavljali so
jo iz samostana v samostan v Dalmaciji, tako da se je izgubila vsaka sled
za njo. Nazadnje je pristala v naših krajih. Muslimani so nekako ugotovili,
da so v njeno izginotje vpleteni Hrvati. Po profesorju Prijatelju je prǐslo
do vstaje – »bune«, ki so jo morali gasiti avstro-ogrski žandarji. Profesor
Prijatelj mi je tudi povedal ime te vstaje, a sem ga žal pozabil.
Niko Prijatelj
Zdaj lahko najdemo celo na Wikipediji prispevek o Prijateljevi materi.
Njeno izvorno ime je bilo Fata Omanović (1883–1967 po Wikipediji), iz
kraja Bijelo Polje pri Mostarju. Njeno izginotje leta 1899 (stara je bila
največ 16 let), ki so ga muslimani takoj povezali s spreobrnitvijo, je dejansko
vzdignilo ogromno prahu. Po nacionalnih ločnicah kronično sprti bosansko-
hercegovski politiki so se radi [1] obračali neposredno na najvǐsjo instanco.
Tako je eden od bosanskih odposlancev na cesarski avdienci v Budimpešti
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 25
Iz zgodovine
načel primer Fate O. [2]. »Naš presvitli cesar« Franc Jožef je odgovoril, da
se je begunka »prostovoljno priključila krščanski skupnosti«.
Leta pozneje se je poročila s Franom Prijateljem (1886–1945), gostilni-
čarjem v ljubljanskih Mostah, in postala Darinka Prijatelj. (Na grobnici na
Žalah so zanjo podatki 1886–1967!) Oba sta bila zelo verna in se po Niku
Prijatelju dosledno držala nekaterih pravil, kot je recimo skupna zakonska
postelja, »ker tako pravijo gospod škof «. (Škof Anton Bonaventura Jeglič je
napisal knjižico ŽENINOM IN NEVESTAM, Pouk za srečen zakon (1910)
in še nekaj podobnih brošur.)
Profesor Prijatelj je skupaj z mlaǰso hčerko Andrejo obiskal mnogo let
po teh dogodkih, v času socialistične Jugoslavije, sorodnike v Hercegovini
in ti so ju lepo sprejeli.
Družina Prijatelj
Z družino Prijatelj sem pravzaprav prǐsel v stik že kot osnovnošolec. S
stareǰso hčerko Snežko (Snežno, 1949–2007) sem hodil v tečaj angleščine v
Pionirskem domu. Pozneje sva bila v paralelkah v latinskih oddelkih na
Osnovni šoli Prežihovega Voranca. Snežka nastopa v naslednji zgodbi.
Moj stareǰsi kolega Egon Zakraǰsek je bil tako zaposlen z delom za razne
inštitute in gospodarstvo, da je »pozabil« doktorirati. Kolegi so pritiskali
nanj, naj si vzame čas in uredi svoj status na univerzi. Profesor Sergej Pahor
je Egona pred vsemi izzival, da bo na proslavljanju njegovega doktorata imel
govor v francoščini, čeprav je ne zna. No, Egon je končno doktoriral in Sergej
je držal obljubo. Napisal je govor (profesor Pahor je bil izvrsten govornik in
taki izzivi so ga veselili) in šel k profesorju Prijatelju. Ta ga je poslal k Sneži,
ki je govor (ali prvi del govora) prevedla v francoščino in verjetno z njim
tudi vadila izgovarjavo. Na srečanju po zagovoru v gostilni Pri Jernejčku na
Mali čolnarski je Sergej Pahor dejansko prebral nekaj prav dobro razumljivih
francoskih stavkov, nato pa je nadaljeval v slovenščini. Morda je ob tej
priložnosti Sergej ali kdo drug povedal asociacijo na Zakraǰska v njegovem
standardnem položaju, ko gleda v zaslon računalnika: »Zrcalce, zrcalce na
steni povej, kdo največji matematik v deželi je tej.« (Egon je bil izredno
visok in se je večkrat moral sklanjati, ko je šel skozi vrata.)
Življenje Nikove družine je zaznamovala dolga in težka bolezen njegove
žene Ivanke (1919–1986). Rojena je bila kot Ivana Lavrič v Žabnici pri Škofji
Loki. Diplomirala je iz matematike, isto leto kot on, 1946.
Ko je bil že vdovec, je začela puščati streha na hǐsi. Profesor Prijatelj
je bil za tovrstne zadeve nepraktičen. (Ob pripovedovanju o tem problemu
je – značilno zanj – pokazal name in kdo ve zakaj dejal: »Tale tudi ni za
praktična dela.«)
A žena je Niku zapustila zvezčič, v katerem so bili naslovi in telefonske
številke obrtnikov, tudi krovca, kot da bi, po njegovih besedah, njena roka
26 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Nekaj spominov na profesorja Nika Prijatelja (1922–2003)
tudi iz groba skrbela zanj.
Zanimivo je, da me je pozneje prosil za naslov obrtnika – zidarja. Z
veseljem sem mu povedal za zidarja, ki mi je pomagal dograditi stanovanje.
(Pri tem sem marsikaj postoril tudi sam.)
Hčerka Andreja (1953–2002) je bila ambiciozna in uspešna matemati-
čarka. Bila je čedna in fotogenična, v prostem času pa navdušena športnica.
Igrala je košarko in tekla s svojim velikim, strah vzbujajočim volčjakom.
Znala se je uveljaviti, v razgovoru pa je na trenutke bila bolj ostra kot
oče. Ostrino je z značilno neposrednostjo pojasnjevala takole: »Ne morem
pomagati, če me je oči vzgajal kot fanta.«
Andreja Prijatelj
Na univerzi
Profesor Prijatelj je bil odličen predavatelj, ki ni uporabljal zapiskov. Bil
je pravi mojster retorike. Sam sem pri njem poslušal Teorijo množic. Za-
čel je z osnovami matematične logike in nato prešel na množice. To sta
bili njegovi priljubljeni področji in znal jih je res krasno pojasniti. Na ta
predavanja je skupaj z nami hodil tudi petnajst let stareǰsi jezikoslovec dr.
Janez Orešnik. Med študenti v našem letniku mu je bil najbolj všeč Janez
Rakovec. Afiniteta je bila obojestranska in Janez se je usmeril v podobno
področje kot Niko Prijatelj.
Kot demonstrator pri njegovem predmetu bi moral priti na sestanek z
njim in drugimi asistenti. Pred tem pa sem se udeležil študentskega piknika
ob Savi, ki ga je bilo težko zapustiti. Ker sem bil športno oblečen, sem se šel
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 27
Iz zgodovine
– res neumno – še domov preobleč in posledično zamudil. Profesor Prijatelj
je bil hudo jezen in tako sem dobil dobro lekcijo. Na srečo profesor ni bil
zamerljiv.
Ko sem začel predavati fizikom Analizo II, sem naletel na težavo. Pro-
fesor Prijatelj, ki je tej generaciji predaval Analizo I, zaradi svoje temeljite
obravnave osnov analize ni prǐsel skozi učni načrt. Tako sem porabil prvi
mesec v drugem letniku za krpanje luknje in seveda moral celo šolsko leto
hiteti na vso moč.
Stavba na Jadranski 19
Bil je direktor Oddelka za matematiko na Inštitutu za matematiko, fiziko in
mehaniko (IMFM) v času, ko se je gradila nova stavba na Jadranski ulici,
končana okrog 1969. Povedal mi je, da je profesor Anton Moljk takrat zago-
tovil zvezni denar za projekt in da je prǐslo specializirano gradbeno podjetje
iz Beograda, ki je naredilo pilote za temelje stavb na Jadranski 19 in 21.
Drugi stareǰsi kolegi so mi pripovedovali naslednje. Prǐslo je do spora s pr-
vim izbranim projektantom, ki je menda hotel narediti (fiksno?) stekleno
fasado. Profesor Ivan Kuščer naj bi temu nasprotoval, češ da želi imeti
stavbo, v kateri bo lahko odprl okno »in pljunil skozenj«. Projektant je
odstopil. Zato se je vse zavleklo. Inflacija je naredila svoje in namesto prvo-
tnih dveh stavb z vmesno povezavo je nastala le ena. Stavba na Jadranski
19 je bila ogromna pridobitev za matematiko in fiziko na naši univerzi in
Niko Prijatelj si deli zasluge za njeno izgradnjo. Pred tem smo tekali na
predavanja od rektorata na Kongresnem trgu do Oddelka za mehaniko na
Lepem potu in obeh fizikalnih predavalnic na Jadranski.
Značaj
Med drugo svetovno vojno je bil Niko Prijatelj nekaj časa v italijanskem
koncentracijskem taborǐsču Gonars skupaj z Ivanom Vidavom. Niko je pa-
kete hrane, ki jih je dobil od doma, delil z Ivanom. Vsaj od takrat sta bila
velika prijatelja.
Profesor Prijatelj je bil izjemno samostojen in samozavesten človek. Vča-
sih je bil tudi malo vzvǐsen in se je znal zapičiti v slabosti drugih ljudi in
prehitro izreči sodbe. To so mu nekateri zamerili. Niso razumeli, da je bil
to praktično zmeraj le kratkotrajen odziv in da je bil sicer izredno uglajen
in kulturen človek, pravi gospod stare šole.
Bil je tudi samokritičen. Pravil mi je, da rad leži – in ima zaradi tega
slabo vest. Hodil je na nogometne tekme. Včasih je bil tudi gurman, a se je
kasneje, po nasvetu zdravnika, moral bolj ali manj odpovedati tem užitkom.
Niko Prijatelj je bil široko razgledan in pri srcu mu je bila francoska
kultura, saj je nekaj časa študiral v Parizu. Spomnim se, da je meni, ki sem
bil nekajkrat žrtev hudega domotožja, pravil, kako je tudi njega iz Francije,
28 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Nekaj spominov na profesorja Nika Prijatelja (1922–2003)
kamor je odšel sam, vleklo domov. Hodil je brez konca in kraja ob reki Seni
in premleval idejo, da bi se predčasno vrnil v Slovenijo.
Osnove matematike
Med študijem v letih 1940–1946 je Niko Prijatelj vpisal poleg matematike
tudi več predmetov iz filozofije in kemije. Opravil je celo dodatni diplomski
izpit iz filozofije. Kot matematik je bil tudi kritičen do te vede.
Profesor Prijatelj je bil dolga leta osrednja oseba Seminarja za osnove
matematike, ki je potekal v sodelovanju z Oddelkom za filozofijo Filozofske
fakultete. Predstavnik tega dela skupine je bil Frane Jerman, redni ude-
leženci pa Ivo Urbančič, Andrej Ule, Mirko Hribar, Matjaž Potrč, Cvetka
Toth, Valter Motaln . . . . Med matematiki so bili udeleženci med drugim
Tomaž Pisanski, Milan Hladnik, Andreja Prijatelj, Marko Petkovšek . . . Ta
seznam je daleč od popolnosti, več bo lahko povedal kdo od rednih udele-
žencev. Zdi se mi, da je bil Prijatelj karizmatična oseba za to skupino ljudi.
(Povezava z Oddelkom za filozofijo je nastala že prej. Andrej Ule je ob
študiju Tehnične matematike študiral še Filozofijo. Za sabo je potegnil še
Boruta Jurčiča, Andreja Bekeša, Vladimirja Batagelja . . . , ki so tudi hodili
na predavanja na filozofiji. Andreja Prijatelj se je začela ukvarjati z logiko.)
Nevarna oseba
Oseba, ki zna voditi in pritegniti ljudi, ni pa tesno povezana z režimom
– to je bila nevarna kombinacija. Profesor Prijatelj mi je povedal, da ga
je poklical uslužbenec Službe državne varnosti (SDV) in vprašal, ali lahko
pride na razgovor. Tovarǐs je prǐsel z veliko usnjeno torbo, v kateri je po
mnenju profesorja tičal magnetofon. Obisk ni imel posledic.
Neposredno po osamosvojitvi Slovenije mi je kolega s fakultete povedal
naslednje. Ko je več let prej prevzel vodenje Osnovne organizacije Zveze
komunistov (partijske celice), ga je obiskal agent SDV. Kolega ni mogel
verjeti lastnim ušesom, ko je dobil vprašanje: »Ali profesor Prijatelj res ni
zadovoljen z odzivom na svojo zadnjo knjigo?«
Služba je bila dobro obveščena. Šlo je za delo Uvod v matematično
analizo 1. del (1980). Prodanih izvodov res ni bilo veliko. Moj pogled
nanjo je takle. Knjiga je napisana lepo in skrbno, s podrobnimi dokazi. Žal
je preveč v slogu Bourbakija (ki je naveden tudi kot vir). V njej je le kakih
pet slik, pa še te ilustrirajo najbolj enostavne stvari. To snov predavamo
v prvem letniku in za ta nivo je učbenik prezahteven in preveč abstrakten,
tudi za študente teoretične matematike.
Uspeh pa so imele Prijateljeve knjige Uvod v matematično logiko (dve
izdaji), Matematične strukture I (pet natisov), Matematične strukture II
(štirje natisi), Osnove matematične logike, Del 1, Simbolizacija (štirje na-
tisi).
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 29
Iz zgodovine
Bolezen
Kot predstojnik Oddelka sem poleti 1992 organiziral manǰse srečanje na
fakulteti ob Prijateljevi sedemdesetletnici. Kasneje je enkrat pozimi zdrsnil
in počil kolk, a je to kar dobro preživel. V začetku oktobra 2001 sva se
srečala v bolnǐsnici, na oddelku za otorinolaringologijo. Jaz sem odhajal,
on je ravno prǐsel. Povedal mi je, da so to najbolj črni dnevi v njegovem
življenju, saj so hčerko Andrejo sprejeli na Onkologijo. Zase je mislil, da
prihaja na odstranitev nenevarnega polipa. Pozneje sem izvedel, da je bila
stvar bolj resna in podobna kot pri hčerki.
Spomnim se, da sva ga z mojo mamo naslednje poletje srečala na Žalah.
Ob pozdravu je vzdignil klobuk, skomignil z rameni in dejal: »Pravijo,
da moram na soncu nositi tole »klafedro«. Problem je, da smo v družini
rdečelasi in občutljivi na sonce.« Dejansko bi lahko njegova in hčerkina
bolezen bila povezana s sončnim sevanjem.
Ukinitev gimnazije leta 1981
Na koncu želim predstaviti dobro zamǐsljen Prijateljev projekt ponovne
uvedbe gimnazije v letih 1989/90. Lotil se ga je s pomočjo civilne družbe:
strokovnih društev. Žal je projekt iz meni še danes nejasnih razlogov bil
le deloma uspešen in takoj pozabljen. Začnimo z ukinitvijo gimnazije leta
1981.
Konec sedemdesetih let so znanci in študenti s partijskih sestankov začeli
prihajati z »novico«, da je z našim šolstvom nekaj narobe. Zapisi s tako vse-
bino so se pojavili tudi v časopisih, posebno en Delov novinar je bil izredno
vztrajen. Novinarji so napadali tudi Univerzo, ki naj bi ignorirala zahteve
»združenega dela«. (V novoreku je »združeno delo« večinoma pomenilo go-
spodarstvo.) Po tej propagandni pripravi je bil spomladi leta 1980 sprejet
Zakon o usmerjenem izobraževanju. Ta je naslednje leto ukinil gimnazijo
in posledično poskrbel, da so v šolstvu res nastali problemi. Eksperiment
je bil del nekakšne mini kulturne revolucije, ki naj bi pripomogla k večji
egalitarnosti. Spremembe so rušile sistem hierarhije in avtoritete, ki je bil
načelno in večinoma tudi v praksi utemeljen s strokovnostjo in sposobnostjo.
Tudi sicer smo imeli kampanje proti »elitizmu«, ki so recimo odnesle meni
tako ljube latinske oddelke. (Mimogrede, celo v takratni Sovjetski zvezi z
elitizmom niso imeli problema. Spodbujali so selekcijo po sposobnostih, in
to ne samo v baletu. Vedeli so, da brez vrhunskih strokovnjakov ne morejo
biti velesila.)
Predlog strokovnih društev za ustanovitev splošne srednje šole
Maja 1989 je profesor Prijatelj v imenu in s podporo DMFA (podpisal se je
tudi predsednik Mitja Rosina) poslal vabilo na Zvezo slavističnih društev,
30 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Nekaj spominov na profesorja Nika Prijatelja (1922–2003)
Društvo za tuje jezike in književnost, Zvezo zgodovinskih društev, Sloven-
sko filozofsko društvo, Slovensko umetnostno zgodovinsko društvo, Društvo
psihologov, Slovensko sociološko društvo, Zvezo geografskih društev, Sloven-
sko kemijsko društvo in Društvo biologov. Zbrali naj bi se na neformalnem
sestanku s temo: Kakšno srednjo šolo si želimo? Na sestanek naj bi pri-
šla univerzni in srednješolski predstavnik stroke. Šlo je za ponovno uvedbo
gimnazije.
Prijatelj je »zagrešil«, kot je sam napisal, osnutek predmetnika splošne
srednje šole, ki je imel 25 ur pouka na teden, 26 ur v 4. letniku. Predmeti
so bili: slovenski jezik, prvi tuji jezik, drugi tuji jezik, zgodovina, filozofija,
umetnost, psihologija, sociologija, geografija, matematika, računalnǐstvo, fi-
zika z astronomijo, kemija, biologija.
Na prvi sestanek junija so prǐsli Milena Strnad, Martina Koman, Mitja
Kregar, Marina Štros-Bračko, Darja Mihelič, Niko Hudelja, Matjaž Leit-
geb, Robert Šefman, Slavko Brinovec, Jurij Kunaver, Anton Moljk, Andrej
Ule, Peter Legǐsa, Milan Hladnik, Jernej Kozak, Zdenko Kodelja, Zdenko
Lapajne, Ljubo Golič, Mirjam Milharčič Hladnik, Darja Piciga, Jože To-
porǐsič, Srečo Zakraǰsek, Marjan Šetinc, Tone Wraber, Frane Adam, Janez
Kolenc.
Imeli smo več sestankov in sestava udeležencev se je nekoliko spremi-
njala. Na drugem sestanku so bili še Nuša Bulatović-Kansky, Marjan Kor-
daš, Tončka Požek-Novak, Andrej Podobnik, Rudi Kotnik, Marija Končina,
Marija Boštjančič, Janez Godnov. Podpiral nas je Jože Zupančič iz Celja.
Sodelovali so še, kolikor se spomnim, Katja Pavlič-Škerjanc, Primož Simo-
niti, Rajko Bratož, Eva Holz, Peter Vodopivec, Jure Grgurevič, Janko Strel.
Opravičujem se, če sem koga pozabil. Žal vse dokumentacije nimam.
Skupina se je, zame presenetljivo, pokazala kot precej kooperativna.
Najmanj pripravljen na sodelovanje je bil botanik Wraber. Število ur za
biologijo je bilo zanj premajhno, a se niti ni želel pogajati. Fakulteta za
šport je na lep način prepričevala profesorja Prijatelja, da telesna vzgoja
sodi v načrt. Tako sem dopisal, da načrt vsebuje tudi redno telesno vzgojo.
Približno usklajen predlog smo novembra poslali na širši seznam naslovov:
študijske komisije univerzitetnih oddelkov, Republǐski komite za vzgojo in
izobraževanje (=ministrstvo za šolstvo), Zavod za šolstvo . . .
Kemik profesor Franc Lazarini je vodil uradno Komisijo za srednjo šolo
(točnega naziva se ne spomnim). Prijatelju je pisal, da je užaljen, ker ga
nismo povabili zraven.
Minister Gregor pa . . .
Niko Prijatelj je, kot naslednjo etapo, povabil na sestanek naše skupine
takratnega šolskega ministra. Od tega si je veliko obetal. Doživeli pa smo
razočaranje. Minister ni prǐsel na dogovorjeni sestanek. Skupina ga je čakala
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 31
Iz zgodovine
uro in pol, dokler nismo obupali. Minister se je ogibal tudi nadaljnjim
stikom. Pri tem pa, kot bomo videli, ministrstvo takrat ni imelo svojega
načrta uvedbe gimnazije. (Ob tem naj povem, da se je nekaj let prej ta
isti naš kolega zavzel za Prijatelja, ko je šlo za izvolitev v naziv rednega
profesorja in da je bil sicer dobronameren in prijazen človek.)
Večkrat sem dobil občutek, da Prijatelj v konservativnih krogih ni bil
priljubljen. Bil je pač »frajgajst«. Profesor Prijatelj je nato vzdignil roke
od projekta gimnazije.
Zelenec in profi
Konec projekta me je žalostil. Načrt je bil dober. V skupini je bilo veliko
zelo sposobnih ljudi, ki so želeli sodelovati. A brez podpore ministrstva so
bile naše možnosti nične. Poskušal sem rešiti, kar se je dalo. Udeležil sem
se okrogle mize o šolstvu v Cankarjevem domu. Kljub neprijaznemu odnosu
političarke, ki je vodila pogovor, sem na kratko predstavil projekt. Dejal
sem, da bom vesel, če kdo ukrade našo idejo.
Na koncu okrogle mize me je poiskala Ina Petric, urednica izobraževal-
nih oddaj na Radiu Slovenija, izredno naklonjena znanosti. Dejala mi je,
da je žalostno, da mora univerzitetni profesor na ta način predstavljati tak
projekt. Povabila me je na radijsko oddajo v živo, skupaj s profesorjem
Lazarinijem. Pred oddajo sem Lazariniju povedal, da nameravam predsta-
viti naš predlog obnove gimnazije. Dejal mi je, da nima smisla biti tako
konkreten in da je na takih oddajah bolje, da improviziramo. Brž ko se je
oddaja začela in preden sem sam lahko odprl usta, je Lazarini izjavil, da
moramo ponovno uvesti gimnazijo.
Prijateljeva pobuda je, ob pomoči Ine Petric, le pospešila oživitev gim-
nazije.
Zahvaljujem se Milanu Hladniku za dragocene dodatne informacije in
predloge. Prav tako se za podatke zahvaljujem Vladimirju Batagelju in
Marku Razpetu.
LITERATURA
[1] Dino Šakanović: Austro-ugarska uprava u BiH, dostopno na
http://www.prometej.ba/clanak/povijest/austro-ugarska-uprava-u-bih-
kako-je-doslo-do-toga-da-zemaljski-poglavar-oskar-potiorek-lupa-sabljom-
po-stolu-1821, ogled 29. 1. 2023.
[2] Senad Mićijević, Slučaj Fate Omanović, Muftijstvo mostarsko, 29. 11. 2013, do-
stopno na https://www.muftijstvo-mostarsko.ba/arhiva/index.php/component/
k2/item/264-da-se-ne-zaboravi-ako-se-mora-ponoviti, ogled 29. 1. 2023.
Peter Legǐsa
32 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
VESTI
Marija Ahčin, Dunja Fabjan, Marjeta Kramar Fijavž, Aleš Mohorič, Milena
Strnad, Natalija Uršič in Tanja Veber prejeli priznanja DMFA Slovenije za
leto 2022
DMFA Slovenije že od leta 1968 podeljuje društvena priznanja posamezni-
kom za uspešno pedagoško delo z mladimi ali za strokovno dejavnost, ter
posameznikom ali ustanovam za uspešno sodelovanje z Društvom. Na 75.
Občnem zboru DMFA Slovenije v Čatežu ob Savi 11. novembra 2022 je bilo
podeljenih sedem novih priznanj. Iskrene čestitke vsem prejemnikom!
Slika 1. Prejemniki priznanj ob podelitvi (od leve proti desni): Marjeta Kramar Fijavž,
Dunja Fabjan, Milena Strnad, Aleš Mohorič, Tanja Veber, Natalija Uršič, Marija Ahčin.
Marija Ahčin, učiteljica matematike in fizike na OŠ dr. Franceta Pre-
šerna v Ribnici, je prejela priznanje za dolgoletno kvalitetno delo z učenci
in strokovno dejavnost na področju matematike in logike.
Marija Ahčin je študij najprej zaključila leta 1983 na takratni Pedagoški
akademiji v Ljubljani, leta 2003 pa je diplomirala še na smeri matematika –
fizika na sedanji Pedagoški fakulteti. Na OŠ F. Prešerna v Ribnici poučuje
že od leta 1984. Ob kvalitetnem rednem pouku matematike in fizike zna
učence pritegniti k številnim dodatnim aktivnostim: sodelovanju na tekmo-
vanjih iz matematike, fizike, razvedrilne matematike in logike, izdelovanju
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 33
Vesti
poliedrskih jelk in koledarjev ter različnim priložnostnim aktivnostim. Njeni
učenci so na državnih tekmovanjih iz matematike, fizike in logike osvojili 18
zlatih priznanj, še vsaj takšno število primerljivih rezultatov pa so na tek-
movanjih dosegli tudi v obdobju pred zlatimi priznanji. Gospa Marija Ahčin
je tudi širše strokovno aktivna. Z ZRSŠ je sodelovala v projektu računal-
nǐsko opismenjevanje in pri pripravi nalog za eksterno preverjanje znanja
iz matematike za 9. razred, vodila pa je tudi študijsko skupino za matema-
tiko. Večkrat je bila mentorica študentom PEF in učiteljem pripravnikom.
Z DMFA Slovenije in ZOTKS že vrsto let sodeluje pri izvedbi tekmovanj,
bila je tudi članica komisije za logiko. Svoje delo z učenci je predstavila na
različnih strokovnih srečanjih in seminarjih ter v reviji Matematika v šoli, v
samozaložbi je izdala tudi več zbirk matematičnih nalog in je avtorica vse-
bine računalnǐskega programa Meri, ki je izšel na zgoščenki ZRSŠ. S svojim
kvalitetnim delom je zgled tudi sodelavcem na njeni šoli.
Dunja Fabjan, doktorica astrofizike in docentka na Fakulteti za mate-
matiko in fiziko v Ljubljani, je prejela priznanje za kvalitetne priprave mla-
dih astronomov na mednarodna tekmovanja in aktivnosti za popularizacijo
astronomije.
Dunja Fabjan je že od prvega sodelovanja Slovenije na Mednarodni olim-
pijadi iz astronomije in astrofizike leta 2013 nepogrešljiva mentorica na te-
oretičnih pripravah slovenskih tekmovalcev in tekmovalk za mednarodna
tekmovanja s področja astronomije. Kljub številnim drugim raziskovalnim
in pedagoškim obveznostim dijake in dijakinje na tekmovanja aktivno pri-
pravlja preko predavanj in vaj, zanje pripravlja strokovna gradiva ter so-
deluje pri izbirnih postopkih za slovensko ekipo. Izjemni slovenski uspehi
na MOAA (enkrat absolutni zmagovalec, 4 zlate, 10 srebrnih, 12 bronastih
medalj in številne pohvale) so tudi plod njenega zavzetega dela z mladimi.
Kot članica državne tekmovalne komisije redno sodeluje tudi pri Državnem
tekmovanju v znanju astronomije in pri izobraževanju osnovnošolskih in sre-
dnješolskih učiteljic in učiteljev na področju astronomije, ki jih organizira
DMFA Slovenije. Zelo aktivna pa je tudi pri širši popularizaciji astronomije.
Že vrsto let skrbi za spletǐsče Portal v vesolje, na katerem objavlja poljudne
prispevke o zanimivih astronomskih temah. Učinkovito pa za popularizacijo
uporablja tudi sodobne medije – osebni Twitter račun, blog Vesolje v škatli
ter zadnji dve leti s sodelavko Marušo Žerjal tudi podkast Temna stran lune,
na katerem sta v kratkem času že pridobili stalno občinstvo.
34 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Prejemniki priznanj DMFA Slovenije za leto 2022
Marjeta Kramar Fijavž, doktorica matematike in izredna profesorica na
Fakulteti za gradbenǐstvo in geodezijo v Ljubljani, je prejela priznanje za
dejavnosti na področju promocije žensk v matematiki in vsestransko aktivno
delovanje v društvu.
Marjeta Kramar Fijavž je ugledna znanstvenica z mednarodno prizna-
nimi dosežki na področju funkcionalne analize in teorije operatorjev, je tudi
soavtorica znanstvene monografije Positive Operator Semigroups: From
Finite to Inifinite Dimensions (Springer, 2017, skupaj z A. Batkai in A.
Rhandi). Je izjemno aktivna članica društva in je v zadnjih nekaj letih
organizirala celo vrsto odmevnih dogodkov in projektov. Je ena izmed po-
budnic in ustanovnih članic Odbora za ženske pri DMFA Slovenije, ki ga
je od 2017 do 2020 tudi vodila. Leta 2019 je skupaj z Jasno Prezelj in
Anjo Petković organizirala mednarodno konferenco Women in Mathematics
on the Mediterranean Shores. Ob tej priložnosti je organizirala razširitev
mednarodne razstave Women in Mathematics throughout Europe s portreti
matematičark iz sredozemskih dežel in skupaj z Jasno Prezelj organizirala
postavitve razstave v Portorožu (ob kongresu 8ECM), v Novi Gorici ter v
Ljubljani (na ZRC SAZU, UL PEF in na UL FMF). Razstavo so spremljali
tudi številni dogodki o položaju žensk v akademskih poklicih, na katerih
je sodelovala kot razpravljavka ali kot soorganizatorka. Leta 2022 je bila
imenovana v komisijo za ženske v matematiki pri Evropskem matematič-
nem združenju (EMS). Bila je glavna pobudnica in v letih 2020 in 2021 tudi
soorganizatorka likovnih natečajev ob Mednarodnem dnevu matematike v
Sloveniji. Kot članica Upravnega odbora je od leta 2017 dalje pomembno
sodelovala tudi pri organizaciji Občnih zborov DMFA in kot podpredse-
dnica v zadnjem mandatnem obdobju izdatno doprinesla k uspešnemu delu
društva.
Aleš Mohorič, doktor fizike in docent za didaktiko fizike na UL FMF, je
prejel priznanje za bogato strokovno dejavnost in dolgoletno urednǐsko delo
pri reviji Presek in drugih društvenih publikacijah.
Aleš Mohorič je več zaporednih stopenj študija fizike na Fakulteti za
matematiko in fiziko v Ljubljani zaključil z doktoratom na temo jedrske
magnetne resonance leta 2000, kasneje pa se je začel posvečati predvsem
pedagoškemu delu in didaktiki poučevanja fizike. Kot docent za didaktiko
fizike je zaposlen na Fakulteti za matematiko in fiziko. Je soavtor (z V.
Babičem) kompleta učbenikov Fizika za gimnazije in nekaj zbirk fizikalnih
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 35
Vesti
nalog za srednjo šolo pri založbi Mladinska knjiga, ter soavtor več zbirk vaj
za študente visokošolskih programov. Od leta 2009 je odgovorni urednik re-
vije Presek, edine slovenske revije za mlade matematike, fizike in astronome,
ki jo kljub težkim časom za tiskane medije uspešno ohranja pri življenju ob
njeni 50-letnici izhajanja, njegov 14-letni urednǐski staž pa je najdalǰsi v
zgodovini revije. V reviji med drugim ureja redno rubriko o naravoslovni
fotografiji, v kateri bralcem pojasnjuje zanimive fizikalne pojave. Je tudi
urednik za področje fizike pri reviji Obzornik za matematiko in fiziko ter
član urednǐskega odbora revije Fizika v šoli. S prispevki in predstavitvami
o pouku fizike redno sodeluje na različnih seminarjih, strokovnih srečanjih
in konferencah v organizaciji DMFA Slovenije in drugih ustanov. Kot član
Upravnega odbora DMFA Slovenije je v zadnjem obdobju aktivno sodelo-
val pri organizaciji številnih društvenih aktivnosti na področju pedagoške
dejavnosti in založnǐstva in s tem bistveno prispeval k uspešnemu delu dru-
štva.
Milena Strnad, magistrica pedagoške matematike, upokojena urednica
in avtorica učbenikov, je prejela priznanje za trajen prispevek k matema-
tičnemu izobraževanju v Sloveniji.
Milena Strnad je leta 1974 diplomirala na Pedagoški akademiji v Lju-
bljani kot učiteljica matematike in fizike, leta 1979 še kot profesorica mate-
matike s fiziko na Pedagoški fakulteti na Reki, leta 1993 pa je postala ma-
gistrica matematičnega izobraževanja na Fakulteti za matematiko in fiziko
v Ljubljani, kjer je pridobila tudi naziva predavateljica metodike matema-
tike za izobraževanje (1997) in vǐsja predavateljica za področje Elementarne
matematike z didaktiko (2001). 18 let je poučevala matematiko najprej
na Gimnaziji Koper, nato na Gimnaziji Bežigrad. Kot področna urednica
pri Državni založbi Slovenije je od leta 1991 dalje 15 let vestno skrbela
za sodelovanje vrhunskih avtorjev in kvaliteto izdaj predvsem s področja
matematike. Kot avtorica ali soavtorica je sodelovala pri kar 206 različnih
izdajah matematičnih učbenikov in sorodnih del. Učbeniki in zbirke vaj
za matematiko za srednje šole, pri katerih je sodelovala z različnimi soav-
torji, so doživeli vrsto ponatisov in prenovljenih izdaj. Zahtevne priredbe
tujih učbenikov v široko uporabljani zbirki Presečǐsče za osnovno šolo je
dopolnila z več izvirnimi avtorskimi deli. Njen avtorski učbenǐski komplet
Stičǐsče od 5. do 9. razreda osnovne šole je še vedno v rabi. Vse od za-
četka svojega poklicnega delovanja je bila aktivna tudi v DMFA Slovenije.
36 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Prejemniki priznanj DMFA Slovenije za leto 2022
V obdobju od 1980 do 1983 je bila predsednica takratne koprske podružnice
in že leta 1981 je kot Milena Kožar prejela Priznanje DMFA Slovenije za
večletno zunaǰsolsko delo z mladimi matematiki in fiziki. Od leta 1986 do
1993 pa je vodila pedagoško sekcijo DMFA Slovenije, v okviru katere je dve
leti organizirala predavanja za srednješolce v Ljubljani, štiri leta predava-
nja za srednješolske profesorje fizike in šest let predavanja za srednješolske
profesorje matematike, iz katerih je izšlo Permanentno izobraževanje učite-
ljev, ki še danes poteka na UL FMF pod drugim imenom, organizirala pa
je tudi nekaj strokovnih seminarjev za računalnǐske programe TeX, DOS
in Derive. Vrsto strokovnih prispevkov in različnih matematičnih vesti je
objavila v revijah Presek, Obzornik za matematiko in fiziko, Proteus, Ma-
tematika v šoli in drugje. Člani DMFA Slovenije pa jo dobro poznamo tudi
po rednih predstavitvah na naših vsakoletnih strokovnih srečanjih, občnih
zborih in na seminarjih za zgodovino matematike, kjer s svojimi spomini na
preminule kolege pomembno prispeva k našemu zavedanju o širši slovenski
matematično-fizikalni skupnosti.
Natalija Uršič, učiteljica matematike in fizike na OŠ Toma Brejca v Ka-
mniku, je prejela priznanje za srčno delo in navduševanje mladih za matema-
tiko ter za uspešno mentorstvo pri tekmovanjih iz razvedrilne matematike.
Natalija Uršič je leta 1989 zaključila študij za predmetno učiteljico fizike
in matematike na takratni Pedagoški akademiji v Ljubljani, odtlej pa že 35
let poučuje na Osnovni šoli Toma Brejca v Kamniku. Vsa leta dokazuje, da
je z vsem srcem predana matematiki in to predanost prenaša tudi učencem.
Delo v razredu opravlja odlično. Je izjemno dosledna, a hkrati pripravljena
prisluhniti tako učencem z učnimi težavami kot tudi nadarjenim. Z njimi
nadgrajevati znanje pri dodatnem pouku, interesnih dejavnostih in doda-
tnih urah, na katere učenci vsak dan redno prihajajo tako pred poukom kot
po njem. Natalija Uršič jih navdušuje s svojim znanjem in pozitivno ener-
gijo, ki jo izžareva. Pod njenim mentorstvom se učenci udeležujejo različnih
matematičnih tekmovanj in dosegajo zavidljive rezultate na državnem ni-
voju. Na tekmovanju iz razvedrilne matematike so od leta 2011 osvojili kar
56 zlatih priznanj, s čimer je ena najuspešneǰsih mentoric tega tekmovanja
na splošno. Na šoli je aktivna tudi pri usklajevanju poučevanja matema-
tike po vertikali, zato predstavlja matematika zelo močno področje OŠ Toma
Brejca. Učitelje razrednega pouka navdušuje, da vzpodbujajo mlaǰse učence
k dodatnim aktivnostim in veselje do matematike prenesejo na predmetno
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 37
Vesti
stopnjo. Za vsemi temi uspehi pa se skriva ogromno veselja, navdušenosti,
želje po izpopolnjevanju znanja, strokovnega izobraževanja in motiviranosti
za matematiko. Vse našteto pooseblja učiteljica Natalija Uršič.
Tanja Veber, magistrica znanosti in profesorica matematike na I. gim-
naziji v Celju, je prejela priznanje za vsestransko strokovno delo, izjemen
pedagoški čut in predanost delu z mladimi.
Tanja Veber je diplomirala leta 1999 na Pedagoški fakulteti v Ljubljani
in leta 2003 magistrirala na Fakulteti za naravoslovje in matematiko v Ma-
riboru. Od leta 2004 je zaposlena na I. gimnaziji v Celju, kot asistentka
pa na Fakulteti za naravoslovje in matematiko v Mariboru od leta 2003 re-
dno sodeluje pri predmetu Didaktika matematike. Njeno delo priča tako o
njeni strokovni širini kot tudi o njeni pedagoški in didaktični podkovano-
sti. Delovanje profesorice Veber v razredu se ne omeji le na sistematično
poglabljanje znanja, temveč s spoštljivim in poštenim odnosom privzgaja
vrednote in veščine, ki so nujne za celostni razvoj mladega človeka. Pre-
pričljivo nagovarja različne profile učencev: učno šibkeǰse zna motivirati za
delo in hkrati nadarjenim nevsiljivo omogoča razvijanje njihovega potenci-
ala. Že 15 let predano vodi krožek iz logike, njeni dijaki pa se udeležujejo
tudi tekmovanj iz matematike, razvedrilne matematike, hitrega in zaneslji-
vega računanja ter finančne matematike, na katerih so skupaj osvojili že
35 zlatih in 93 srebrnih priznanj, od tega 9 na prvih treh mestih v državi.
Njeni dijaki dosegajo nadpovprečne rezultate na maturi in uspešno nada-
ljujejo študij bodisi doma bodisi v tujini, ena od dijakinj pa je leta 2013
osvojila tudi medaljo na Evropski matematični olimpijadi za dekleta. Ob
kvalitetnem delu v šoli že vrsto let uspešno sodeluje tudi z drugimi ustano-
vami: s CPI in ZRSŠ pri uvajanju Poklicne mature, z Andragoškim centrom
Slovenije pri vodenju bralnih krožkov, s projektom E-um pri interaktivnih
učnih gradivih, z ZRSŠ pri projektih dela z nadarjenimi in posodobitvi kuri-
kularnega procesa, sodelovala pa je tudi pri pedagoško obarvanih raziskavah
Pedagoške fakultete v Ljubljani, Pedagoškega inštituta in Fakultete za na-
ravoslovje in matematiko v Mariboru. S svojim vsestranskim pedagoškim
in strokovnim delom, bogatimi izkušnjami ter delovno etiko nagovarja tudi
svoje sodelavce v šolskem kolektivu.
V imenu Komisije za društvena priznanja pripravil Boštjan Kuzman
38 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Zasedanje Generalne skupščine IMU, Helsinki 2022
Zasedanje Generalne skupščine IMU, Helsinki 2022
V nedeljo, 3. julija, in ponedeljek, 4. julija 2022, je v Helsinkih potekala
generalna skupščina Mednarodnega matematičnega združenja (Internatio-
nal Mathematical Union), ki poteka vsaka štiri leta. Podpisana sem se
skupščine udeležila kot predstavnica Slovenskega odbora za matematiko pri
DMFA Slovenije, ki je nacionalni predstavnik Slovenije v združenju IMU.
Slika 1. Skupinska fotografija udeležencev zasedanja.
Skupinskemu fotografiranju je sledil nagovor predsednika IMU Carlosa
E. Keniga, ki je najprej izrazil sočutje do Ukrajincev zaradi »brutalnega,
barbarskega in neizzvanega napada Rusije na Ukrajino« v mesecu marcu.
Kmalu po napadu je IMU odpovedala načrtovani kongres v St. Petersburgu,
za izvedbo generalne skupščine pa je med več ponudbami izbrala Helsinke.
Tajnik IMU dr. Helge Holden je poročal, da se je tajnǐstvo IMU v za-
dnjem obdobju preselilo v Berlin, kjer je gost Weierstrassovega inštituta,
vzdrževanje pa v celoti financira vlada Zvezne republike Nemčije. Ob 100.
letnici ustanovitve IMU leta 2020 je bil N. Shappache naprošen, da napǐse
knjigo o zgodovini združenja. Knjiga z naslovom Framing Global Mathema-
tics je prosto dostopna na spletu. IMU ima tudi novo spletno platformo IMU
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 39
Vesti
News z novim urednikom in tudi kanal na YouTube, prek katerega so letos
prenašali tudi podelitev nagrad IMU. Sledila so poročila raznih odborov.
Glede vsebine mednarodnega matematičnega kongresa ICM, ki poteka
vsaka štiri leta, je predsednik strukturnega odbora Terence Tao poročal o
novih priporočilih za sekcijska in vabljena predavanja, ki naj ne bi bila preveč
specializirana, hkrati pa naj bi se vzpostavil format »specialnih« predavanj
in spremenila razdelitev kongresnih sekcij, v kateri ima zgodovinska razde-
litev matematike preveliko težo, zanemarjajo pa se nova, interdisciplinarna
in eksperimentalna področja matematike. Razmǐslja se tudi o bolj razpr-
šenih lokacijah, ki bi olaǰsale dostop do kongresa mlaǰsim udeležencem in
omogočile večji medgeneracijski stik.
Predsednik programskega odbora Martin Hairer je poročal, da je odbor,
katerega naloga je izbor plenarnih in vabljenih predavateljev na Svetovnem
matematičnem kongresu (ICM), izbral predavatelje iz 28 držav. Med njimi
je 26 odstotkov žensk, kar je dvakrat več kot doslej. Za izvedbo naslednjega
kongresa ICM 2026 je bilo izbrano mesto Philadelphia (ZDA). Kongres bo
potekal v času od 20. do 29. julija 2026, ocena stroškov je 9 milijonov do-
larjev. Generalna skupščina bo od 19. do 20. julija v New Yorku. Vodja
programskega odbora kongresa ICM 2026 je Claire Voisin, CNRS, Institut
de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche.
Na volitvah je bil za novega predsednika IMU z mandatom 2023–2026
izvoljen Hiraku Nakajima, za podpredsednici Ulrike Tillmann in Tatiana
Toro, za tajnika pa je bil izvoljen Christoph Sorger. Novi člani izvršnega
odbora so še Mouhamed Mustafa Fall, Nalini Joshi (dosedanja podpredse-
dnica), JongHae Keum, Paolo Piccione, Guenther Ziegler in Tamar Ziegler.
Izvoljeni so bili tudi nekateri predsedniki in člani različnih odborov IMU.
Odbor CDC (Odbor za države v razvoju) bodo vodili predsednica Andrea
Solotar, tajnik za projekte Jose Balmaceda in tajnik za usmeritve Lodovic
Rifford. Člani za celine so Mahouton Norbert Hounkonnou (Afrika), Le
Tuan Hoa (Azija), Mariel Saez (Latinska Amerika). Odbor za zgodovino
matematike ima nova člana Guillerma Curbero in Isobel Falconer.
Ukrajinski predstavnik je prosil za oprostitev plačila članarine za čas
vojne, vendar bodo Nemčija, Gruzija in Združeno kraljestvo pokrili člana-
rino za Ukrajino, za kar so poželi dolg aplavz. Na predlog amerǐske predstav-
nice Susan Friedlander je bila sprejeta resolucija o podpori IMU Ukrajini in
ukrajinskim matematikom. Na predlog omanske predstavnice Magde Talib
Al Hinai je vodstvo IMU ustanovilo sklad za nujne primere, ki se financira
40 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1
Zasedanje Generalne skupščine IMU, Helsinki 2022
s prostovoljnimi prispevki. O prejemnikih odloča izvršni odbor.
Sledila so poročila pridruženih članic IMU (AMU, EMS, MSofA, SAMS),
komisij in odborov IMU (ICMI, ICHM, CEIC, CWM). Christiane Rousseau
je poročala o Mednarodnem dnevu matematike. Prijatelji IMU (Friends
of IMU) so v štirih letih donirali IMU okoli 600 tisoč dolarjev za podporo
projektov in Chernovo nagrado. Posebej podpirajo CDC, CWM, digitalno
knjižnico. Svoje poročilo je prispeval tudi odbor ICIAM.
V torek, 5. julija, je potekala slavnostna podelitev nagrad IMU na Uni-
verzi Aalto. Po nagovorih predsednika države Finske Saula Niinstoja in
predsednika IMU C. E. Keniga je sledila predstavitev nagrajencev.
Fieldsove medalje so prejeli Hugo Duminil-Copin, za rešitev dlje časa
odprtih problemov v verjetnostni teoriji faznih prehodov v statistični fiziki,
posebej v dimenzijah tri in štiri, June Huh, za povezavo med Hodgevo teo-
rijo in kombinatoriko, dokaz treh pomembnih domnev (Dowling-Wilsonove,
Heron-Rota-Welsheve, krepke Masonove domneve) in razvoj teorije Lorent-
zovih polinomov, James Maynard, za prispevek k analitični teoriji števil, ki
so vodili k bistvenemu napredku v razumevanju strukture praštevil in pri-
spevek k diofantski aproksimaciji, Maryna Viazovska, za dokaz, da mreža
E8 omogoča razporeditev sfer z največjo gostoto v 8 dimenzijah in nadaljnje
prispevke k s tem povezanim ekstremalnim in interpolacijskim problemom
v Fourierovi analizi.
Medaljo Abacus za matematične aspekte informatike je prejel Mark Bra-
verman, za teorijo informacijske kompleksnosti in razvoj komunikacijskih
protokolov, odpornih na šum. Chernovo medaljo za življenjsko delo je prejel
Barry Mazur za delo na področju topologije, aritmetične geometrije, teorije
vozlov, teorije števil in njegovo velikodušnost pri vzgoji naslednje generacije
matematikov. Nagrado Carla Friedricha Gaussa za dosežke, ki imajo vpliv
izven matematike, je prejel Elliot Lieb za svoje delo v kvantni mehaniki,
statistični mehaniki, računski kemiji in kvantni informacijski teoriji. Na-
grado Leelavati za popularizacijo matematike je prejel Nikolaj Andreev, za
animacijo v matematiki in konstrukcijo maket, ki ponazarjajo matematične
koncepte.
Tradicionalni kongres ICM 2022 je nato od 6. do 15. 7. 2022 v celoti
potekal v spletni obliki. Predavanja so na voljo na YouTube kanalu IMU.
Jasna Prezelj
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 1 III
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAREC 2023
Letnik 70, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Relativna entropija kot mera presenečenja (Žiga Virk) . . . . . . . . . . . . . . . . 1–13
Polarizacija mavrične svetlobe (Mojca Vilfan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14–24
Iz zgodovine
Nekaj spominov na profesorja Nika Prijatelja (1922–2003)
(Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–32
Vesti
Marija Ahčin, Dunja Fabjan, Marjeta Kramar Fijavž, Aleš Mohorič,
Milena Strnad, Natalija Uršič in Tanja Veber prejeli priznanja
DMFA Slovenije za leto 2022 (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33–37
Zasedanje Generalne skupščine IMU, Helsinki 2022 (Jasna Prezelj) . . 39–III
CONTENTS
Articles Pages
Relative entropy as a measure of surprise (Žiga Virk) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–13
Polarisation of rainbow light (Mojca Vilfan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14–24
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–32
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33–III
Na naslovnici: Odbita svetloba je lahko polarizirana. Slika na naslovnici kaže
pročelje fizikalne stavbe Fakultete za matematiko in fiziko fotografirano brez po-
larizatorja (levo) in s polarizatorjem, ki prepušča svetlobo polarizirano v navpični
ali vodoravni smeri (sredina in desno). Primerjajte razlike v količini prepuščene
svetlobe, najbolj se te opazijo na spodnjem oknu. Sonce se nahaja desno, zadaj
in nad kamero. Foto: Aleš Mohorič