i
i
“730-Strnad-naslov” — 2009/6/19 — 15:45 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 12 (1984/1985)
Številka 3
Strani 103–108
Janez Strnad:
STOLETNICA BALMERJEVE ENAČBE
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/12/730-Strnad.pdf
c© 1985 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
STOLETNICA BALMERJEVE ENAČBE
25. junija 1984 je minilo sto let, odkar je švicarski srednješolski učitelj matema-
tike Johann Jakob Balmer (1825 - 1898) na predavanju naravoslovnega dru-
štva v Baslu predstavil svojo enačbo. Enačba je postala znamenita posebno kot
temelj nove, kvantne mehanike. Danskemu fiziku Nielsu Bohru jo je po daljšem
poskušanju uspelo pojasniti leta 1913 tako, da je dodal starim mehaničnim za-
konom nova privzetka. Bohrovo enačico enačbe je uporabil za preskus Erwin
Schrčdlnqer, ko je leta 1926 odkril eno izmed oblik osnovnega zakona kvantne
mehanike, Bohrovega koraka ni lahko pojasn iti , če se ne sklicujemo na fizikal -
ne zakone, in Schrčdinqerjev korak je po matematični strani še trši oreh .
Johannu Jakobu pa lahko pogledamo pod prste. Ne mislijo samo nekateri ro-
manopisci , da je bilo prababicam lažje . Slikovito in z nekaj pretiravanja bi
lahko rekli, da je skoraj šestdesetleten stopil v fiziko tisti dan , ko se je namenil
poslušati predavanja E. Hagenbacha, fizika z baselske univerze. Ta je predaval
o "kvantitativnih odnosih med črtami vodikovega spektra". To predavanje je
vsaj po fizikalni strani spremenilo Balmerjevo življenjsko pot, s čimer hočemo
reči , da je doseglo, da pozna njegovo ime in njegovo enačbo vsak fizik.
Segreti plin ali plin, po katerem poganjamo električni tok, seva vidno sve-
tlobo. V Balmerjevih časih so že dobro vedeli, da so v tej svetlobi zastopane sa-
mo določene valovne dolžine. Ko na primer spustimo tako svetlobo skozi stek-
leno prizrno, se sestavine z različno valovno dolž ino ali - po domače - z različno
barvo različno odklonijo in dobimo spekter. (Pojav imenujemo razklon - disper-
zijo - in ga poj asnimo z odvisnost jo svetlobne hit ro st i v steklu ali lom nega kvo-
cienta stekla od valovne dolžine: svetloba ima tem večjo hitrost in se tem manj
lomi, čim večja je njena valovna dolžina.) V spektru sevajočih razredčenih pli-
nov opazimo na temnem ozadju črte različnih barv (slika 1). Zaradi tega so tudi
plinske cevi pripravne za svetlobne reklame .
656,31 486,11 434,°1 1410,1
~~ i~ ~l~
• I I I I). 700,0 nm 600,0 500,0 400,0
Slika 1. Prve štiri črte v Balmerjevi seriji v vidnem delu vodikovega spektra. Nad črtami so
napisane valovne dolžine v nanometrih, širina črte pa kaže na njeno izrazitost.
103
Optična spektroskopija , kakor imenujemo proučevanje spektrov vidne sve-
tlobe, se je v drugi polovici prejšnjega stoletja hitro razvila. Ker so valovne dol-
žine spektralnih črt značilne za element, je bilo mogoče po spektru ugotavlja-
ti kemijski sestav snovi. S tako spektra/no analizo so odkrili tudi nekaj dotlej še
neznanih elementov. Spektraina analiza je omogočila, da so prvič ugotovili
sestavo snovi na Soncu in na zvezdah. Odlikovala se je tudi po tem, da je bilo
za analizo treba imeti samo ščepec snovi.
Kemiki so torej na veliko uporabljali spektra Ino analizo, a fiziki nakopiče­
nega spoznanja o spektrih še niso uredili. Vedeli so sicer, da sevajo v razredče­
nih plinih svetlobo posamični atomi. Niso si pa znali pojasniti, zakaj sevalo
atomi samo svetlobo z določenimi valovnimi dolžinami in zakaj sevajo prav te
valovne dolžine in ne drugih.
Menda je bil francoski fizik M. Masquart prvi, ki je primerjal atome s stru-
nami. Napeta struna namreč lahko oddaja zvok z valovnimi dolžinami, ki so
med seboj v razmerju majhnih celih števil. Največjo valovno dolžino ima osnov-
ni ton, manjše valovne dolžine pa imajo višji harmonični toni. Zvoku, ki ga do -
bimo kot mešanico teh tonov, pravimo zven. Podobno je na primer tudi z
zvokom nihajočih plošč, le da tam razmerja med valovnimi dolžinami niso ta-
ko preprosta. Ali ni torej svetloba, ki jo sevajo atorni, nekakšen zven?
V spektru sevajočega vodika so leta 1871 poznali tri črte : vijolično, mo-
dro in rdečo. Angleški fizik Johnstone Stoney je tedaj ugotovil, da so njegove
valovne dolžine v razmerju 20 : 27 : 32. Toda A. Schuster je močno ugovarjal
tem računom. Opozarjal je na to, da so valovne dolžine določene nenatančno
in je seveda vedno mogoče najti dve dovolj veliki celi števili za razmerje dveh
valovnih dolžin.
Take so bile - na kratko povedano - razmere, ko seje dela lotil J. J. Bal-
mer. Kaže, da je dobil od Hagenbacha podatke še o četrti - tudi vijolični -
črti. Pred kratkim je namreč švedski fizik -Andres Angstroem natančno izmeril
valovne dolžine štirih črt v vidnem delu vodikovega spektra. Njegovi podatki
so navedeni v prvem stolpcu 1. preglednice. Balmer je izračunal razmerje naj-
večje valovne dolžine in valovnih dolžin preostalih treh Črt (drugi stolpec), ga
zapisal kot razmerje dveh celih števil (tretji stolpec) in razstavil števili na pra-
faktorje (četrti stolpec) . Zadnjemu razmerju je dodal kot faktor 3.3.3/3.3.3 =
= 1 in ugotovil, da je vsem razmerjem skupen faktor 3.3.3 /5 Poiskal je najma-
njši skupni imenovalec
656,21 nm.5/3.3 .3 = 486,074 nm /2.2 = 434,01 nm7/5.5 =
= 410,12 nm.2.2.2/3.3.3 = 121,52 nm
Ko je enačbo na desni in na levi pomnožil s 3, je dobil:
104
656,21 nm.5/9 = 486,074 nm. 3/4 = 433,01 nm.21/25 = 410 ,12 .8/9 =
= 364,56 nm.
1. Pregledn ica, ki kaže, kako je računal J .J. Balmer
Angstroemovi podatki
zavalovno dolžino
rdeča
656,21 nm
2. stolpec 3. stolpec 4. stolpec valovne dolžine,
izračunane po
Balmerjevi
enačbi
656,208 nm
modra
486,074 nm
656,21 nm
486,074 nm
1 35 = 3:!..- =~
, 20 2.2.5
486,08 nm
vijolična
434,01 nm
vijolična
410,12 nm
656,21 nm = 1 512 = 189 = 3.3.3 .7
434,01 nm ' 125 5.5.5
656,21 nm 8 2.2.2 3.3 .3
----=1,6 =-- =-- .---
410,21 nm · 5 5 3.3 .3
434,00 nm
410,13 nm
Valovne dolžine štirih črt je torej dobil, ko je pomnožil 364,56 nm po vrsti
Z 9/5, 4/3,25/21 in 9/8. Navidez to ni urejena vrsta ulomkov. Ko pa je števec
in imenovalec drugega in četrtega ulomka pomnožil s 4, je dobil 9/5, 16/12,
25/21 in 36/32. To vrsto ulomkov je mogoče napisati kot razmerje med kva-
dratom celega števila in njegovim kvadratom zmanjšanim za štiri, torej
n 2 / (n 2 - 22 ) . Tako je sledila Balmerjeva enačba
AO = 364,56 nm
ki je dala po vrsti za n = 3, 4, 5, 6 valovne dolžine izmerjenih črt (glej pet i stol-
2. Preglednica, ki vsebuje izmerjene in izračunane valovne dolžine črt v ultravijoličnem
delu vodikovega spektra
izmerjeno izračunano n
396,9 nm 396,965 nm 7
388,75 388,864 8
383,4 383,498 9
379,5 379,75 10
376,9 377,02 11
105
Slika 2. Prvih dvanajst črt
(zgoraj) in že nadaljnje črte
(za n = 6 do 20, spodaj), Iz
članka G. Herzberga Uber
die Spektren des Wassersto-
(fs (O vodikovih spektrih) iz
revije Annalen der Physik
leta 1927.
pec preglednice). Relativna razlika med izmerjeno in izračunano valovno
dolžino je v najslabšem primeru manjša kot 1/40000.
J. J. Balmer ni bil fizik. zato ni bral fizikalnih revij in ni poznal najnove]-
ših podatkov. Njegovi članki o enačbi so dokaj nepregledni in težko razumljivi
in v prvem, ki je izšel v Annalen der Physik und Chernie, je urednik izpustil
odstavek in naredil vse še manj pregledno. Balmer ni zapisal, odkod je dobil
kak podatek. Kaže, da mu je Hagenbach posredoval še podatke o valovnih dol -
žinah črt. ki so jih opazovali v svetlobi zvezd v ultravijoličnem delu vodikovega
spektra. Ujemanje med izmerjenimi in izračunanimi volovnimi dolžinami je bilo
v tem primeru zaradi manj natančnega merjenja nekoliko slabše. Toda s tem je
Balmer svojo enačbo po vseh pravilih potrdil. saj tedaj, ko jo je izpeljal, še ni
vedel zanje.
Balmer je šel korak dalje in napovedal, da obstajajo tudi spektralne črte.
katerih valovno dolžino da ena čba, ko v njej nadomestimo 22 z 12,32 .oo (Te-
daj je treba pač vzeti drugo valovno dolžino Ao.) Tako je predvidel, da sestavlja-
jo vodikov spekter serije črt (slika 2). Danes nosi serija. za katero velja zapisana
ena čba, Balmerjevo ime. Že dolgo pa poznamo serijo z 12 v ultravijoličnem de-
lu spektra in serije s 32 • 42 • oo . v infrardečem delu.
Balmerjevo delo je vodilo švedskega fizika Johannesa Roberta Rydberga,
ko je tela 1889 posplošil Balmerjevo enačbo tako. da je veljala tudi za sevanje
drugih elementov. Tedaj so se že navadili računati z obratno vrednostjo valov-
ne dolžine in so Balmerjevo enačbo (za vodik) zapisali v obliki
n' = 1,2.3, .... n >n'
106
Konstanto Ry = 4/AO so poimenovali po Rydbergu. Novejši podatek zanjo je
1,09737315.10 7 m"l, Niels Bohr jo je izrazil z maso elektrona m, osnovnim na-
bojem eo, influenčno konstanto co, Planckovo konstanto h in hitrostjo svet-
lobe etakole
y
~
I
I
I
.x'
1/1
r'
Slika 3. Tako je J. J. Balmer z načrtovanjem ugotovil valovno dolžino spektralnih črt po
njem imenovane serije pri vodiku , a, {3, 'r, ... zaznamujejo valovne dolžine, a', {3', 'r ' ... pa
njihove obratne vrednosti. Balmer je imel rad zapletene naloge z načrtovanjem . Slika je
vzeta iz članka Lea Baneta Evo/utjon of the Ba/mer Series (Razvoj Balmerjeve serije) v
reviji American Journal of Physics leta 1966.
107