Dritter J ahresbericht des l tGymnasiums in Marburg am Schluffe -cs Schuljahres m, Inhalt: Heber Logarithmenberechnung von Prof. I. (S. Stre in j. Schulnachrichten. Aus der Buchdrnckerei bed I. Ianschitz & Sohn. 1 ifìTì ^V13S^Ò li/i .tlnii,il (tltfM il •• ;i nill ...ael hliiiW ii'li; iwfci' UiO : s1;.i Aeber Logarithmenberechnung von Professor I. C. Streinz. Die Logarithmen sind in der Rechnung, was der Dampf in der Mechanik. Byrne. £ie Erfindung der Logarithmen hat unstreitig in der Geschichte der Mathematik Epoche gemacht und so glänzende Erfolge herbeigeführt, daß eS einiges Interesse bieten dürfte, ihren Anfängen nachzuforschen, jene Männer wenigstens den Namen nach kennen zu lernen, welche mit bewunderungswürdiger Geduld und Ausdauer ihre besten Kräfte aufboteu, nm der Nachwelt Bücher mit zifferbesäeten Blättern, die, so «ngemein nützlich sic sind, doch von Laien so wenig geschätzt werden, zu hinterlassen, und insbesondere die ehemals in mancher Beziehung so beschränkten Mittel zur Logarithmenbcrechnung mit jenen leichter zu gebrauchenden, äußerst wirksamen, wie auch von durchdringendem Scharfsinne zeugenden Hilfen zu vergleichen, welche in späterer Zeit bis auf unsere Tage die rasch fortschreitende Wissenschaft zu gleichem Zwecke an die Hand gab. Jede wichtige Erfindung hat ihre Geschichte, die in der Regel desto weitläufiger und bezüglich der Uranfänge unklarer ist, je größere Schwierigkeiten zu überwinden waren und je länger eö brauchte, bis die Sache in stufeuweiser Entwicklung zur Vollendung gelangte. Darum so viele Streitigkeiten Einzelner und ganzer Nationen über das Zueignungsrecht wichtiger Erfindungen: Daher die Ungewißheit, ob wir Iteratoti oder Leibnitz oder Fermat die Differenzialrechnung zu danken haben, ob die Kardan'sche Regel nicht Regel des Tartaglia, ob FNaclaiirin's Theorem nicht Ktirling's Theorem heißen sollen, ob Wallis und ttcroten oder Lord Brounher sich Durch Einführung der Kettenbrüche und Quadrirung der Kreisfläche mittelst Reihen verdient gemacht haben, ob die femicubische Parabel von Itrill (©’tteill), von Heurüt oder Fermat herrühre, — ob die Erfindung der Dampfmaschine Salomon de (Cone, Savery, Ulewkomen, Fitzgerald oder Watt mit Recht zugeschrieben werde, ob die Dampfschifffahrt durch Fnlton, Hüll, Perrier, Ionffroq oder Livingston in’s Leben gerufen ward, u. a. m.; ja hat doch, um aus der neuesten Zeit ein Beispiel anzuführen, auch Äricson, der Erfinder der calorischen Maschine, einen Nebenbuhler seines Ruhmes in der Person des Amtmannes Prehn im Herzogthume Lauenburg gefunden. « Aehnlich so verhält cs sich mit der Erfindung der Logarithmen. Die Meisten führen an, daß zuerst (1614) John Uteprr (Ülapter), Baron Von Merchiston (1550—1617) zu Edimburg ein Sogarith-mensystem herauSgab, welches er auf die Basis 0‘9999999 oder auf das Grnndverhaltniß 10000000 : 9999999 stützte; das Werk führte den Titel: Mirifici logarlthmorum canonis descriptio, Edinb. 1614. Von diesem berühmten Gelehrten, dem wir mehrere äußerst interessante und fruchtbare mathematische Lehrsätze verdanken, stammen auch die sogenannten logistischen Logarithmen (Differenzen des Logarithmus von 3600 [Sekunden] und der Logarithmen gegebener Zahlen), welche sich zunächst auf die Seragestmal-Eintheilung des Kreises und der Zeit beziehen und in Verbindung mit den nunmehr schon verkommenen Seragesimal-Brüchen einen erheblichen Vortheil für die Rechnung gewährt haben mochten. Nach Oliver Kyrne gebührt aber dem schottischen Barone Rapier nur das Verdienst der Einführung der Logarithmen in England, die specielle Wahl seiner Basis und die Berechnung der Tafeln nach derselben; die eigentliche Erfindung wird von ihm dem astronomischen Assistenten des Landgrafen Wilhelm von Hessen, Insta» Kyrge (Jobst Dyrg oder Kurgi) zugeschrieben, womit auch Kästner (Bd. 2, S. 375) übereinstimmt. Andere halten Ayrge für den Miterfinder mit Neper, wofür wohl der Umstand spricht, daß Kyrge'r nunmehr schon sehr selten gewordene Schrift: „Arithmetische und geometrische Progreß-Tabellen" im Jahre 1620 also 6 Jahre nach Veröffentlichung der Neper'schen Logarithmen zu Prag erschienen ist. Wieder Andere behaupten , daß die erste richtige Idee von Logarithmen von dein deutschen Prediger Michael Stiesel gefaßt und durch seine Arithmetica integra, Norinih. 1544 bekannt geworden sei, in welcher Schrift dieser Gelehrte allerdings schon den richtigen Begriff der Logarithmen aber mit derBeschränkung für die Mantisse—0 aufgestellt hat. Wollte man die Spur der ersten logarithmischen Idee so weit als möglich verfolgen, so käme inan gar auf Vater Archimeli zurück, welcher die ersten Andeutungen hierüber in seiner „der Sandrcchntr" (^a/^-rr,;) betitelten Schrift gegeben hat. Allbekannt ist, daß Henry Krigg«, Professor zu Orford (geb. zu V»rk 1560, gest. zu Orford 1630), von Neper aufgefordert, die Logarithmen der Zahlen von 1 bis 20,000 und von 90,000 bis 100,000 für die Grundzahl 10 oder eigentlich für das Grnndverhältniß 1:10 mit 14Decimalen berechnet und in seiner Arithm. logarithm. 1624 Herausgegeben Hat, und daß nach ihm der holländische Mathematiker Adrian Vlacq zur Ausfüllung der Lücke die von 20,000 bis 90,000 auf 10 Decimalen berechneten Mantissen in feiner Arithm. Iiriggii 1628 bekannt machte. Nebst diesen Haben Kalley, Sharp, Kepler, Newton, Lagrange, Merkator, Karo», Korda, Long, Calrt, Leibnitz, Lallet, Ganß, Wolfram, Vega, Hüljse, proni), Dyrne, Koralek u. a. m. wesentlich zur Verbreitung oder zur leichteren Berechnung der Logarithmen beigetragen. Die beschränkteren Mittel, welche den älteren Mathematikern zu Gebote standen, machten die erste Berechnung der Logarithmen über die Maßen langwierig, so daß man billig die unermüdliche Ausdauer jener Männer, die sich diesem Geschäfte unterzogen haben, bewundern muß. Krigg« berechnete feine Logarithmen durch oft wiederholtes Quadratwurzelausziehen ungefähr so, wie jetzt noch in den meisten Lehrbüchern der Elementar-Mathematik die Logarithmenberechnung durch Annäherung mittelst der mittleren geometrischen Proportionale gelehrt wird. Den genauen Ausdruck für Krigg»', Methode gibt die Von Lagrange herrüh-rende Formel: log X = H M L(Vx - 1) - 4 (Vx- 1)2 + 4 (Vx- 1)3 - l (VÌ- 1)4 + ...]*) wobei der Modul M — 0*4342944819032518276511289 ic. **) zu setzen ist. Dieser Reihe kann man jede beliebige Convergenz verschaffen, wenn man nur » hinlänglich groß nimmt, so daß dadurch für x>l, y*x die Form 1*000 . . 0 aß . also ^x — 1 jene 0*000 ... 0 aß... erhält. Soll nachKriggs daS n erste Glied dieser Reihe n M (h^x — 1) zur Berechnung der Logarithmen auf 2 in Dccimalstellen hin- n reichen, so muß n so groß genommen werden, daß V"x — 1 — 0'0m aß . . . wird; wählt man für N eine Potenz von 2, so läßt sich die Ausziehung der n1™ Wurzel durch ein wiederholtes Quadratwurzel-Aus-ziehen bewerkstelligen. Man erhält einen Begriff von der unsäglichen Mühe Driggs, wenn man bedenkt, daß n um z. B. yÌ0 auf den Werth 1*0171997 herabzubringen, u — 260 feilt, also sechzigmal nacheinander die Quadratwurzel ausgezogen werden muß. Nebst der Methode durch die mittlere geometrische Proportionale findet man in Elementarlehrbüchern auch meistens noch jene durch die Kettenbrüche angeführt, welche, wenn sie zu Kriggs's Zeiten schon bekannt gewesen wäre, eine namhafte Erleichterung für die Berechnung dargeboten hätte. Interessant und von nicht geringem Scharfsinne des Erfinders zeugend ist das indirette Verfahren der Logrrithmenbercchnung des englischen Geometers Long, welches nach Doppler in Folgendem besteht: Es ist nicht sehr schwierig, mit Hilfe deS binomischen Lehrsatzes oder der AnnähcrungSformeln 10 10 10 ì ZÌO 1/100 den Werth von/lO dann von \ /10 \ VÌO ic. zu berechnen, wodurch man die Werthe von IO0*1, IO0*01, IO0*001, 10O*oooi je. oder vermöge der Gleichung 10x — y die den Logarithmen 01, 0*01, 0*001 0*0001,0*00001,0*000001 ic. entsprechenden Zahlen erfährt. Bedenkt man nun, daß durch das Erheben zu den 9 ersten Potenzen aus dem Werthe 10o,1=y sich jene für IO0*2 = y2, IO0*3 — y3, 10°'4 ~ y4, 10°*5 — y5? Igo « — y«, 10°*7 — y7, 100*8 — y8, 1 o0*9 — yO, berechnen lassen, und auf ganz gleiche Weise auch die den Erponentcn 0*02, 0*03, 0*01, 0*05 k., 0*002, 0*003 , 0*004 re., 0*0002, 0*0003, 0*0004 ic. entsprechenden Werthe von y gefunden werden können, so begreift man leicht, daß mit verhältnißmäßig nicht gar großer Mühe eine Hilfstafel angefertiget, und aus derselben für jeden Logarithmen von der Form 0*a, 0*0ß, 0*00y, 0.000$, 0.0000c ic. die entsprechende Zahl entnommen werden kann. Setzt man eine solche Hilfstafcl, die nicht mehr als 8. 9 — 72 einzelne Angaben zu enthalten braucht, voraus, so findet man den Logarithmus einer beliebigen Zahl, z. B. jenen von 2549 bis auf *) Die Herleitunge» dieser so wie der im Folgenden noch anzuführenden BcrechnungSformeln finden sich, wenn nicht ausdrücklich ein Andere- erwähnt wird, in dem ausführlichen Lehrbuchs der höheren Mathematik von Adam Jur-, Wien. Gerold 1832, im 1. Bde. **) Um nicht zu weitläufig zu werden, soll hier durchaus nur von den Briggsfchen Logarithmen gehandelt werden. acht Decimalstellen genau auf folgende Weise: Da nur die Mantiffe zu suchen isk und der Logarithmus von 2549 dieselbe Mantiffe hat wie 2*549, so gehe man mit dieser Zahl in die Tafel und schreibe die nächst kleinere Zahl und zugleich den zugehörigen Logarithmus heraus. Man findet als nächst kleinere Zahl 2*511886432 und den dazu gehörigen Logarithmus 0*4. Dividici man nun die Zahl 2*549 durch 2*511886432, so erhält man 1*000851742, welches der zugehörige Factor ist. Mit diesem gehe man wieder in die Tafel und schreibe sich die nächst kleinere Zahl und den dazu gehörigen Logarithmus heraus; man findet für erstcre 1*000691015 und für letzteren 0*006 und cs ist demnach, schon bis auf die dritte Decimalstelle genau, wegen IO0*4. 10°*°06 — IO0*406, der Logarithmus 2*549 — 0*406. Man kann daher nach dieser Methode ohne sonderliche Mühe und allzugroßen Zeitverlust den Logarithmus irgend einer Zahl bis auf 8 oder selbst 10 Decimalstellen genau berechnen. Die einfachsten und elegantesten Methoden zur Logarithmenberechnung liefert unstreitig die höhere Mathematik in der Lehre „von den logarithmischen Reihen« als Entwicklung der logarithmischcn Grundgleichung Ax ~ y. Es ergibt sich da zuerst die sehr bekannte Reihe I. log y — M [(y — 1) — i (y — !) 2 + 3 (y — !)3 — 5 (y — !)4 + aus welcher, wenn 1 + y statt y gesetzt wird: , n. log a •+- y) = M (y — * y * + 4 y3 — i y4 + i y5 — * y6 ■+ ... . ) entsteht. Diese Reihe convergirt nur von y — —1 bis y — + 1 und ist deßhalb für ganze Zahlen oder für Werthe von y> 1 nicht brauchbar. Um sie auch für solche schnell convergirend zu machen, setze man — y statt y und ziehe die entstehende Reihe von den ursprünglichen ab, so erhält man: «) log (1 + y) — log (1 — y) = Iog^-~^=2 M(y + J y3 + s },! + r y 7 + (...•) 1 + y x 1 und wenn — ——Z~7 gksctzt wird, woraus y ——;* folgt, auch i y x ■ i 2 x a m.logx=log (* — •) + 2M[ 2x‘_t + i(i,' -»i'+i—x - i)»+".*] * Diese Reihe convergirt schon so gut, daß das dritte Glied derselben bei der Berechnung lOstelliger Logarithmen keinen Einstuß mehr äußert, sobald die Zahlen x größer als 50 werden. Für Zahlen 2 M über 1000 hingegen reicht man schon mit dem ersten Gliede aus und cS ist dann log X—log x— 1 +7T~^------- 0*8685889638 Z. B. log 1150 - log 1149 + ----------------—--------- log 1150 — 3*0603200287 + 0*0003778117 — 3*0606978404 Für Zahlen unter 50 ist wohl die Berechnung der Logarithmen nach dieser Formel noch ziemlich mühevoll, sie stellt sich z. B. für log 2 wie folgt: log 2 = log 1 + 0-8685889638 ^ f + IH" + + /0-28952965460 0-01072332054 0-00071488803 0-00005673724 0-00000490311 0-00000044575 0-00000004191 0-00000000404 0-00000000040 0-00000000004 0-30102999566 log 2 — 0-30102999566 bis auf 11 Stellen genau, wenn 10 Glieder der Reihe entwickelt werden. Eine noch coiwergentere Reihe erhält man aus der unter III. angeführten, wenn darin z2 statt x gesetzt wird; es ist nämlich: Man braucht nur log 2, wie Vorher gezeigt worden, zu berechnen, so sind auch die Logarith- men der geraden Zahlen z — 1 und z -s- 1 immer schon bekannt. Die Reihe convergiti schon so stark, daß, wenn man in der Berechnung bereits bis zur Zahl 37 gekommen ist, für lOstellige Logarithmen log (z — 1) 4- los: (z -4- 1) M schon das erste Glied derselben log z = _|_ [hhudcht. Hin z. B. nach dieser Reihe log 3 zu berechnen, hat man: ] ] (0-30102999566) /2534444745 = i 0'60205999132j + 0-434294... A 2923235 f0-90308998698 6069 ------------ '2537374064 — 45154499349 -f. 0-02557 626121 = 0*4771212547 : 43085560665 log 3 = log 2 + log 4 + M [ 1 TT + 3-17' + 1 + 1 + log 2 4-2 log 2 0-434294 [ 5-175 1 7*177 3.5.7.17(;-f-5.7.174-f-3.7.172 + 3.5 3.5.7.17- log 3 — 0"4771212547 bis auf 10 Stellen genau, wozu vier Glieder der Reihe genommen werden mußten. Soll nach dieser Reihe log 37 berechnet werden, so genügt das erste Glied und man hat: log 36 + log. 2.19 0-434294 . . . 37 = 2 2737 (1-55630250077 — i 1-57978358662 + 0-00015867537 (3-13608609739 und log 37 — 1-56820172407 bis auf 10 Stellen genau. Eine andere noch convergente« Reihe, bei deren Anwendung die ganze Berechnung mehr auf eine bloße Zusammenstellung schon berechneter Logarithmen zurückgeführt wird, ist von Korda aufgestellt 2 worden. Sic wird aus der Reihe a. durch die Setzung y — ——— erhalten, und hat den Ausdruck: V. log (x + 2) = 2 log (x + 1) + log (x — 2) — 2 log (x — 1) + ihre Brauchbarkeit beginnt mit x ~ 7. Soll z. B. der Logarithmus von 17 nach dieser Reihe berechnet werden, so ist x — 15 und log 17 = 2 log 16 +log 13 — 2 log 14+ 2 HI — ---------1----------------- 1--------------—K+ ... I ö 6 6 6 |_ 1665 ^ 3.16653 5.16655 J (2-40823996532) / 3.5.1665* + 5.1665» + 3 \ — — 2-29225607136 + 0-8685889638/ -------------———:------------ I (1-11394335231) ^ 3.5.1665» } 1+52218331763 — 1-22992724627 + 0-00052167512 = 1*2304489213^9 und log 17 = 1 2304489214, auf 10 Decimalstellcn genau, wenn nur drei Glieder der Reihe genommen werden. p — q 1 + v p Aus der Reihe a erhalt man noch durch die Setzung y — wodurch r. — l wird, und wobei p und q erst zu bestimmende Größen sind, die Reihe: aus welcher sich durch passende Wahl der Großen p und q sehr viele gut convergircnde Reihen ableiten lasten. Besonders entsprechend sind solche Werthe für diese Größen, welche sich in Factoren von der Form x a zerlegen lasten, und für welche p + q gegen p — q bedeutend groß wird. Setzt man z. B. : p — x* — 25 x» = x» (x + 5) (x — 5) und q—x4—25 x2 + 144 = (x+3) (x + 4) (x—3) (x—4), so wird p + q — 2 (x 4 — 25 x 2 + 72) und p — q — — 144, somit p _ x2 (x + 5) (x — 5) p — q 72 À q ™~ (x + 3) (x + 4) (x — 3) (x — 1) ' p + q “ x 4 — 25~x 2 + 72 l0® (xH-arl(++4Hxl~3Hx-4) = 2 ,0g X + ‘«S <=- + » +'«g»-5)-l«g(x+3) F 72 72 T — log (x + 4) — log (x — 3) — log (x — 4) = 2 M I---------------------------l-----------------.... I 6 6 I x* —25x2 + 72 3 x*—25x2+72 J folglich VI. log (x + 5) — log (x + 4) + log (x + 3) + log (x — 4) + log (x — 3) — 2 "* '-'"S »-»>-- + i (x-nr^prä)r’+-] Dreß ist die von Karos ausgestellte Reihe, welche schon so stark convergirt, daß für x — 1000 das erste Glied nur mehr — 0-000000000072 wird, und das zweite von da an selbst auf die ersten dreißig Decimalstellen keinen Einfluß mehr äußert. Andere brauchbare Werthe für p und q wären: p = x2 (x + 5)2 und q — (X — 1) (X + 2) (x + 3) (x + 6), p — (x + 2) (x + 4) (x + 10) (x — 7) (x — 9) und q —(x — 2) (x — 4) (x — 10) (x + 7) (x + 9) p = X2 (x + 7)2 (x - 7)2 und q — (x + 8) (x — 8) (x + 5) (x — 5) (x + 3) (x — 3) Für die beiden letzten Werthe ergibt sich: VII. log (x + 8) — 2 log (x + 7) — log (x + 5) — log (x + 3) + 2 log x — log (x — 3) — log (x — 5) + 2 log (x — 7) — log (x — 8) — [7200 . / 7200 \3 . 2----------------------------- -i_ 1 I----------------------------- I 4- x6 — 98 x4 + 2401 x2 — 7200 3 ^x° —98 x« + 2401 x2— 7200/ wobei das erste Glied der Reihe für x — 1000 schon kleiner als 0'0,31 wird, so daß für 10= oder 12stellige Mantissen die Logarithmen die Zahlen über 1000 mit Weglassung der Reihe, also bloß durch Zusammenstellung bekannter Logarithmen berechnet werden können. Bei Berechnung logarithmischcr Tabellen würde man gegenwärtig mit diesen Formeln noch die Differcnzeurcchnnng und Interpolation verbinden, und sich dadurch sehr viele Mühe ersparen. Eine besonders interessante Methode zur kürzeren Berechnung der Logarithmen und zugehörigen Zahlen, welche die Logarithmentafeln gänzlich entbehrlich machen soll, hat in neuerer Zeit Gliver Dyrne angegeben, und sie verdient, da sie äußerst lehrreich ist, und minder bekannt sein dürfte als die bisher angegebenen, jedenfalls eine umständlich genaue Mittheilung. Gewisse Zahlen besitzen die merkwürdige Eigenthümlichkeit, daß ihre briggsschen Logarithmen auS denselben Ziffern gebildet sind, wie sie selbst. Diese Zahlen sind: 1-371288574238042 — lQO-371288574238042 10-00000000000000 — io i-ooooooooooooooo 237-5812087593221 — 102-375812087393221 3550-260181586591 — 1Q3-550260181586591 46692-46832877758 — 104-669246832877758 576045-6934135527 = 105-760456934135527 6834720-776754357 = 106-834720776754357 78974890-31398144 — 107-897489031398144 895191599-8267839 — 108-951915998267839 9999999999-999999 = io9-"9999999999999 weßhalb Vlil. log 1.371288574238542 log 10-00000000000000 log 237-5812087593221 log 3550-260181586591 log 46692-46832877758 log 576045*6934135527 log 6834720-776754357 log 78974890-31398144 log 895191599-8267852 loff 9999999999 999999 = 0-1371288574238542 — 1-000000000000000 — 2-375812087593221 — 3-550260181586591 — 4-869246832877758 — 5-760456934135527 — 6-834720776754357 — 7-897189031398144 = 8-951915998267852 = 9-999999999999999 (-/ -«ol £ Um diese Zahlen aufzufinden, bediente sich Lyrne der Nmkehruugsfvrmel von Lagrange: H«! x + !d' (^-^-)jx= f (y) = f (z) + j
' = (n.) '(* -»> rV+ (Ä'a 10 )sr^+(ni)1«1 >«> ’rrir
(f)
+(n)(110) riT5
3. 4.5
ic.
Diese Reihe convergili nicht besonders gut; es müssen zehn Glieder genommen werden, um den Werth für y aus 8 Decimalen genau zu erhalten.
Man findet y — 0-37128857 ................
1 4- V
1 + y = 1 37128857 und —— — 0-137128857 . . .
10
H-y 1-l- y (V1 371 988^7
wegen 10 —TT" = 1 + y tit 10 ~10 ' ' - V37128857________________
und log 1-37128857 ___________= 0-137128857 ....
Auf ähnliche Weise lassen sich auch die übrigen Zahlen, deren Logarithmen und sie selbst aus den gleichen Ziffern gebildet sind, berechnen.
Nun diese Zahlen bekannt sind, wird es ein Leichtes sein, mit Hilfe derselben den Logarithmus
jeder Zahl mit jener Genauigkeit, bis zu welcher die Hilfszahlen selbst gegeben sind, zu berechnen. Ware
eine Zahl gegeben, deren Ziffer mit einer jener Zahlen übereinstimmen, oder lüge die Verschiedenheit nur
in den Stellenwerthen, so könnte tut ersteren Falle der Logarithme aus VIII unverändert abgeschrieben wer-
den, im letzteren aber wäre bloß die Charakteristik dem Stellenwerthe gemäß zu ändern:
z. B. : log 137.1288574238042 = 2*1371288574238042 log 35.50260181586591 — 1-550260181586591 log 0-002375812087593221 — 0 375812087593221-3 log 0-0008951915998267852 — 0-951915998267852—4, da log 137-12885 . . . — log 100.1-37128 . . . = 2+0-137128 . . .
— 2-13712885 . . .
, . 3550-2601
log 35-502601 . . . — log — >= 3-5502601 . . . — 2 — 1-5502601 ...
log 0-002375812 . . . — log —— —2 375812 ... — 5 — 0 375812...—3 rc.
6 100000
3st aber die Zahl, deren Logarithmen bestimmt werden soll, von jeder der Hilfszahlen in der Z'fferfolge verschieden, so muß sie doch mit einer derselbe» in der Anfangsziffer übereinstimmen. Ist sic
nun kleiner als die Hilfözahl von gleicher AufangSziffer, so kann man sie durch Multiplication mit passen«
den Factoren zur völligen Uebereinstimmung so weit als nöthig erhöhen; ist sie aber größer als jene Hilfszahl, so kann sie auf ähnliche Weise zur Uebereinstimmung mit der nächsten Hilfszahl von der um 1 größeren Anfangsziffer gebracht werden. Sind nun die Logarithmen der zur Erhöhung angewendeten Factoren bekannt, so kann der Logarithme der gegebenen Zahl leicht auf folgende Art bestimmt werden:
Die Zahl, deren Logarithmen zu suchen, sei N, die Factoren, durch welche N bis zur Übereinstimmung mit der Hilfszahl H erhöht wurde seien A, B, C, D und E, so ist A B C D E. N — H log A + log B + log C + log D + log E + log N = log H, und log A + log B -j- log C + log D + log E + logN = log H, woraus log N — log H—(log A + log B + log C + log D + log E) folgt, som it log N durch sämmtlich bekannte Logarithmen auSgcdrückt erscheint. Werden zur Uebereinstimmung einer anderen Zahl M mit der Hilfszahl II’ die potenzirten Erhöhungsfactorcn Am, B", Cp, Dq und Er angewendet, waS meist nothwendig ist, so hat man
log M — log II’ — (m log A + il log B -j- p log C -J- q log D -f- r log E).
ES handelt sich nun darum, solche Factoren zu wählen, welche die Zahl nach Bedarf mehr oder weniger rasch erhöhen, mit deren leicht zu bildenden Potenzen sich auch leicht und schnell multiplicircn läßt und deren Logarithmen ohne große Mühe entwickelt werden können.
Hierzu eignen sich besonders die Zahlen:
1-1, 1-01, 1-001, 1-0001, 1-00001, 1-000001, 1-0000001 lt.
-<1 + tH= '+( r)(-jrH OteW ;)(ir)H--)(i)+(r,) " ( -+iìt)=•+( ■;)( wH te) ;( ;)(w )+■"•('">)(à)+ti) " L' ( - + = ‘+( (i) +( ")B„)+( ")(i)+'("->) (ti+ti ‘
Die Glieder dieser Entwicklung sind bloß durch die Binomialcocfficicnten und durch Potenzen von 10 gebildet, so daß die Divisoren von der Form (10'» )>' lediglich den Stcllcnwcrth der erstercn bestimmen ; sonach ist
5 . 10 , 10 . 5 i 1
l'°lJ — 1 "t* loo iöö* ^ ToO3 1004 1005,
8 28 56 70 56 28 8 1
1 Ol8 “ 1 Too 1002 TÖO3 + 1001 100» "f" 100« *■" 100- 100«
Für die Multiplikation mit solchen potenzirten Factoren ergibt sich einfach:
N / 1 + —L V Cl) N (2) N (S) N (n-l) N V 10"' / N -}- jq|U -s- jo2u‘ IO3'» +••• 10(»-l)m
nain
N
+ n
6.54247 15.54247 20.54147 15.54247
Z. B. 54247. 1-01° = 54247 ++ -[^+-1^
6.51247 54247
+ r
100* 1 100°
,54247
3254-82
81-3705
1-084940
813705
325482
54247
57584-283609652447.
34567812.rOOOl8 — 34567812
27654-2496
9-6789736
1935797472
2419746840
1935797472
967898736
276542496
34567812
31595175-93052339946604294264639059527812
Da man solche Producte selten mit so vielen Decimalen braucht, so man folgende Abkürzungs» rcgcl unnöthige Mühe ersparen. Man theilc durch Vcrticalstriche die zu erhöhende Zahl von links nach rechts in Classcn von so viel Ziffern, als die Wurzel dcS FactorS Decimalstellen enthält, nehme so viele Claffcn, alS der Quotient der verlangten Zifferzahl durch jene einer Claffe anzeigt, wobei zur Stellenbezeichnung rechts nach Bedarf Nullen augchiingt werden können, setze an den letzten Thcilungsstrich die Binomial» coefficienten der Potenz des Factors, multkplicire mit der einzelnen die cingetheiltc Zahl der Art, daß mit dem zweiten Binomialcocfficienten bei der zweiten Claffe, mit den dritten, bei der dritten Claffe u. s. w. begonnen und die Corrcctur gehörig benützt wird, und addire zuletzt sümmtliche Partialproducte.
dafür
Soll z. B. 54247 -f- VOI6 mit 5 Decimalen oder 10 Ziffern entwickelt werden, so hat man
10
= 5 2-stellige Claffen nöthig und es ist
54 24 70 00 00 1
3 25 48 20 00 6
8 13 70 50 15
10 84 94 20
8 14 15
3 6
1
57 58 42 83 61
soll 34567812 X l'OOOl8 mit 4 Decimalen oder 12 Stellen bestimmt werden, so ist:
3456 7812 0000 l
2 7654 2496 8
9 6790 28
19 56
1
3459 5475 9305
Zweiziffrigc Binonrialcocfficicntcn kann man zerlegen und mit den Theilen hie Multiplication einzeln vornehmen.
B.
3456 7812 0000 l
2 7654 2496 8
6 9136 20 i 28
2 7654 8 j
17 50) 56
2 G|
Man könnte hier auch statt mit VOOOl8 auf einmal, zuerst mit VOOOl5 und das Resultat dann mit VOOOl3 multipliciren.
3459 5475*9305
Ueberhaupt bieten die bekannten Rechnungsvortheile bei Anwendung dieser ohnehin nicht schwierigen Methode noch manche Erleichterung.
Die nächste Aufgabe ist nun die Logarithmen der Erhöhungsfactorcn VI, VOI, 1*001, 1*0001 ic.
y —
zu berechnen. Hierzu kann füglich die Formel log (1 + y)=M ^ benützt werden, da diese Reihe überhaupt für y