Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo PODIPLOMSKI ŠTUDIJ GRADBENIŠTVA DOKTORSKI ŠTUDIJ Kandidat: MATEJ URŠIČ, univ. dipl. inž. vod. in kom. inž. PRISPEVEK K ANALIZI HIDRAVLIČNIH TRENJSKIH IZGUB ZA TOK POD TLAKOM V CEVEH KROŽNEGA PREREZA Doktorska disertacija štev.: 193 CONTRIBUTION TO THE ANALYSIS OF THE HYDRAULIC FRICTION LOSSES FOR PRESSURISED FLOW IN ROUND PIPES Doctoral thesis No.: 193 Temo doktorske disertacije je odobril Senat Univerze v Ljubljani na svoji 7. seji dne 27. junija 2006 in imenoval mentorja prof.dr. Borisa Kompareta in somentorja prof.dr. Franca Steinmana Ljubljana, 8. maj 2009 Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Komisijo za oceno ustreznosti teme doktorske disertacije v sestavi prof.dr. Boris Kompare, prof.dr. Franc Steinman, prof.dr. Matjaž Četina, doc.dr. Anton Bergant, Litostroj E.I. in UL FS, je imenoval Senat Fakultete za gradbeništvo in geodezijo na 9. redni seji dne 19. aprila 2006. Komisijo za oceno doktorske disertacije v sestavi prof.dr. Boris Kompare, prof.dr. Franc Steinman, prof.dr. Matjaž Četina, doc.dr. Anton Bergant, Litostroj E.I. in UL FS, izr.prof.dr. Roman Klasinc, TU Graz, Avstrija, je imenoval Senat Fakultete za gradbeništvo in geodezijo na 26. redni seji dne 25. marca 2009. Komisijo za zagovor doktorske disertacije v sestavi prof. dr. Bojan Majes, dekan, predsednik prof.dr. Boris Kompare, prof.dr. Franc Steinman, prof.dr. Matjaž Četina, doc.dr. Anton Bergant, Litostroj E.I. in UL FS, izr.prof.dr. Roman Klasinc, TU Graz, Avstrija, je imenoval Senat Fakultete za gradbeništvo in geodezijo na 27. redni seji dne 22. aprila 2009. Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo IZJAVA O AVTORSTVU Podpisani MATEJ URŠIČ, univ. dipl. inž. vod. in kom. inž. izjavljam, da sem avtor doktorske disertacije z naslovom: »PRISPEVEK K ANALIZI HIDRAVLIČNIH TRENJSKIH IZGUB ZA TOK POD TLAKOM V CEVEH KROŽNEGA PREREZA«. Ljubljana, 08. maj 2009 (podpis) IV Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer BIBLIOGRAFSKO – DOKUMENTACIJSKA STRAN IN IZVLEČEK UDK: 532.5:626/628.2(043.3) Avtor: Matej Uršič, univ. dipl. inž. vod. in kom. inž. Mentor: prof. dr. Boris Kompare Somentor: prof. dr. Franc Steinman Naslov: Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih izgub za tok pod tlakom v ceveh krožnega prereza Obseg in oprema: 130 str., 15 pregl., 86 sl., 96 en. Ključne besede: hidravlične izgube, koeficient trenja, relativna hrapavost, Reynoldsovo število hrap, Reynoldsovo število, Nikuradse, Colebrook-White, Moody, teorija mejne plasti Izvleček Po poskusih Nikuradseja in konstrukciji Moodyjevega diagrama je izraz za hidravlične izgube v cevovodih dobil svojo dokončno obliko v Colebrook-Whitovi formuli. Potrebno se je zavedati, da je ta formula sestavljena le za območje razvite turbulence, a se jo še vedno uporablja tudi za prehodno in laminarno območje. V sklopu raziskav je bil izveden obsežen pregled obstoječih izrazov, ki imajo veljavnost v različnih režimih toka. Pridobljeni in preverjeni so bili podatki do sedaj opravljenega eksperimentalnega dela, ki smo jih dopolnili z lastnimi meritvami v hidravlično gladkem režimu toka. Meritve so bile izvedene v hidravlično gladkem režimu toka v obsegu Reynoldsovih števil od 144 do 1,21×105. V prispevku je prikazana izdelava dveh možnih oblik univerzalnega izraza koeficienta trenja, ki združuje teoretično ozadje in empirične rezultate. S tem izrazom določeni koeficienti trenja se skoraj popolnoma prilegajo izmerjenim in vsekakor bistveno bolje kot koeficienti, določeni s klasičnimi (že poznanimi) metodami. Omenjeni izraz postavlja temelje potrebnim poskusom, ki bodo omogočili nadaljnji razvoj enačbe za nestacionarne razmere toka. Poleg univerzalnega izraza koeficienta trenja je bila razvita nova oblika enačbe koeficienta trenja za tok v hidravlično gladkih ceveh, ki se popolnoma ujema s Prandtlovim univerzalnim zakonom v gladkih ceveh. Glede na to da univerzalna enačba koeficienta trenja temelji na teoriji mejne plasti, je bila podana funkcijska odvisnost mejnega Reynoldsovega števila hrap, ko se prehod iz hidravlično gladkega v hidravlično hrapav režim prične. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza V Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer BIBLIOGRAPHIC-DOCUMENTALISTIC INFORMATION UDC: 532.5:626/628.2(043.3) Author: Matej Uršič, univ. dipl. inž. vod. in kom. inž. Supervisor: prof. dr. Boris Kompare Co-advisor: prof. dr. Franc Steinman Title: Contribution to the analysis of the hydraulic friction losses for pressurised flow in round pipes Notes: 130 p., 15 tab., 86 fig., 96 eq. Key words: hydraulic losses, friction factor, relative roughness, steady flow, Colebrook-White, Nikuradse, Moody, Reynolds number, Reynolds roughness number, boundary layer theory Abstract Following the experiments of Nikuradse and construction of the Moody's diagram the term for hydraulic losses in pipes got its final form in the Colebrook-White's formula. Despite the fact that the formula is constructed only for the fully turbulent flow it is used also for the transition and laminar flow. An extensive review of many existing friction factor equation has bee made. Data form many of the previously performed measurements has been collected and analysed. Measurements of mean flow and pressure drop were performed in a laminar and fully developed smooth pipe flow for Reynolds numbers from 144 to 1,21×.105. A construction of two different structures of a universal formula for the friction factor, which successfully combines theoretical background and empirical knowledge, is shown. This formula gives better fit to the measured friction factor than the results of classical (already known) formulas. This formula is setting basis for further experiments to improve the friction factor formula in unsteady flow conditions. Beside the universal friction factor formulation a new explicit term for the smooth pipe flow has been developed which has the same agreement with the measured data like the Prandtl’s relation. Since the universal friction factor equation is based on the boundary layer theory, a new function for the critical Reynolds roughness number, when the transition from the hydraulically smooth to the hydraulically rough flow starts, has been developed. Zahvala Iskrena zahvala mentorju, prof. dr. Borisu Kompare, in somentorju, prof. dr. Francu Steinmanu, za razpoložljivost in strokovno svetovanje pri vseh dvomih ter težavah, ki so se pojavljali med nastajanjem doktorske disertacije. Prisrčna zahvala tudi Lojzetu Jagodicu za pomoč pri raziskovalnem delu v laboratoriju, saj sva skupaj preživela ogromno časa in udejanjila marsikatero zamisel. Še posebno se zahvaljujem Zvonku Mozetiču, ki je opravil in oblikoval fotografije laboratorijske opreme ter za mnoge nasvete iz elektrotehnične stroke. Za posojeno tehnično opremo, brez katere meritve ne bi mogle biti opravljene, se zahvaljujem podjetjem Vodovodi in Kanalizacija Nova Gorica d.d., JP Vodovod - Kanalizacija d.o.o., Endress + Hauser d.o.o. Slovenija, Irio d.o.o. in Univerzi v Ljubljani – Fakulteta za strojništvo. Doc. dr. Nataši Atanasovi, ki me je v zadnjih letih nadomestila pri pedagoškem delu, namenjam zahvalo, saj mi je tako omogočila, da sem se bolj temeljito posvečal raziskavi in pisanju pričujoče disertacije. Nenazadnje bi se zahvalil še družini, predvsem pa mami Mojci, ki me je spodbujala in podpirala od začetkov študija in med njim. Veliko potrpežljivosti, razumevanja, predvsem pa neskončno ljubezni mi je nudila moja nenadomestljiva žena Martina. Naloga je posvečena njima. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza VII Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer KAZALO VSEBINE 1 UVOD .................................................................................................................................................. 1 1.1 Hipoteza disertacije ...................................................................................................................... 1 1.2 Cilji disertacije ............................................................................................................................. 2 2 OSNOVNI POJMI DINAMIKE REALNE TEKOČINE ............................................................... 3 2.1 Kontinuitetna enačba (zakon o ohranitvi mase) ........................................................................... 3 2.2 Energijska enačba ........................................................................................................................ 3 2.3 Energijske izgube ......................................................................................................................... 4 2.4 Režim toka in Reynoldsovo število .............................................................................................. 5 3 PREGLED LITERATURE ............................................................................................................... 9 3.1 Kronološki potek eksperimentalnega dela ................................................................................... 9 3.2 Nikuradsejevo raziskovalno delo – meritev koeficienta trenja .................................................. 16 3.2.1 Eksperimentalna shema in oprema .................................................................................... 16 3.2.2 Merilna oprema .................................................................................................................. 18 3.2.3 Merjene količine ................................................................................................................ 21 3.2.4 Meritve hidravlično gladkih cevi ....................................................................................... 22 3.2.5 Meritve hidravlično hrapavih cevi ..................................................................................... 24 3.2.6 Pregled objavljenih meritev ............................................................................................... 26 3.3 Raziskovalno delo Colebrooka in Whita .................................................................................... 30 3.3.1 Pregled objavljenih meritev ............................................................................................... 34 3.4 Raziskave na univerzi Oregon in Princeton ............................................................................... 35 4 TEORETIČNE OSNOVE ............................................................................................................... 39 4.1 Laminarni tok ............................................................................................................................. 39 4.2 Turbulentni tok ........................................................................................................................... 42 4.2.1 Profil hitrosti ...................................................................................................................... 43 4.2.2 Ekvivalentna hrapavost ...................................................................................................... 45 4.2.3 Zakon upora ....................................................................................................................... 49 4.2.1 Hidravlično gladek režim toka ........................................................................................... 53 4.2.2 Hidravlično hrapav režim toka ........................................................................................... 56 4.2.3 Prehodno območje ............................................................................................................. 57 VIII Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 5 EKSPERIMENTALNI DEL RAZISKAVE ................................................................................... 61 5.1 Merilna proga ............................................................................................................................. 61 5.2 Zajem in obdelava podatkov ...................................................................................................... 66 5.3 Merjene količine in merilni inštrumenti ..................................................................................... 67 5.3.1 Hrapavost in premer cevi ................................................................................................... 67 5.3.2 Meritve tlaka ...................................................................................................................... 70 5.3.2.1 Diferenčna tlačna sonda Deltabar PMD75 ................................................................. 71 5.3.2.2 Vodni manometer ....................................................................................................... 75 5.3.3 Meritve pretoka .................................................................................................................. 77 5.3.3.1 Induktivni merilec pretoka Endress & Hauser Promag 30F ....................................... 77 5.3.3.2 Volumetrična meritev pretoka .................................................................................... 78 5.3.4 Merjenje temperature ......................................................................................................... 82 5.4 Postopek meritev ........................................................................................................................ 84 6 FILTRIRANJE IN INTERPRETACIJA PODATKOV ............................................................... 87 6.1 Filtriranje podatkov .................................................................................................................... 87 6.2 Ovrednotenje merilne negotovosti ............................................................................................. 91 7 PREDLOG NOVEGA OBRAZCA KOEFICIENTA TRENJA ................................................... 98 7.1 Hidravlično gladek režim toka ................................................................................................... 99 7.2 Hidravlično hrapav režim toka ................................................................................................. 102 7.3 Enačbe koeficienta trenja ......................................................................................................... 105 8 DISKUSIJA REZULTATOV ........................................................................................................ 111 9 ZAKLJUČEK ................................................................................................................................. 120 10 SUMMARY ................................................................................................................................... 121 LITERATURA IN VIRI ................................................................................................................... 123 Uporabljena literatura in viri .......................................................................................................... 123 Ostala literatura .............................................................................................................................. 128 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza IX Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer KAZALO AVTORSKIH SLIK 2 OSNOVNI POJMI DINAMIKE REALNE TEKOČINE Slika 2.1: Reynoldsova eksperimentalna naprava ............................................................................. 5 Figure 2.1: Reynolds experimental facility .......................................................................................... 5 Slika 2.2: Primer laminarnega in turbulentnega režima toka ............................................................ 6 Figure 2.2: An example of laminar and turbulent flow ....................................................................... 6 Slika 2.3: Razmere na ostenju v turbulentnem toku ......................................................................... 7 Figure 2.3: Conditions near the pipe wall for turbulent flow .............................................................. 7 Slika 2.4: Določanje režima toka ...................................................................................................... 8 Figure 2.4: Definition of the flow regime ............................................................................................ 8 3 PREGLED LITERATURE Slika 3.1: Primerjava Nikuradsejevih objavljenih meritev v hidravlično gladkih ceveh ................ 27 Figure 3.1: Comparison of Nikuradse’s published measured data in smooth pipes ......................... 27 Slika 3.2: Primerjava Nikuradsejevih objavljenih meritev v hidravlično hrapavih ceveh .............. 28 Figure 3.2: Comparison of Nikuradse’s published measured data in rough pipes ........................... 28 Slika 3.3: Popravljene Nikuradsejeve meritve v hidravlično hrapavih ceveh ................................. 29 Figure 3.3: Refitted Nikuradse’s measured data in rough pipes ....................................................... 29 Slika 3.4: Sinteza Nikuradsejevih meritev uporabljenih za nadaljnje raziskave ............................. 30 Figure 3.4: Synthesis of Nikuradse’s measured data used for further research ............................... 30 Slika 3.5: Objavljene meritve Colebrook-Whita ............................................................................. 35 Figure 3.5: Colebrook-White’s published measured data ................................................................. 35 Slika 3.6: Meritve univerze Oregon in Princeton ........................................................................... 38 Figure 3.6: Oregon’s and Princeton’s measured data ...................................................................... 38 4 TEORETIČNE OSNOVE Slika 4.1: Laminarni tok v cevi krožnega preseka .......................................................................... 39 Figure 4.1: Laminar flow in round pipes .......................................................................................... 39 Slika 4.2: Hiperbolična porazdelitev koeficienta trenja ? v laminarnem režimu toka .................... 41 Figure 4.2: A hyperbolic distribution of the Friction factor in laminar flow .................................... 41 Slika 4.3: Porazdelitev hitrosti v bližini stene ................................................................................. 43 Figure 4.3: Velocity distribution near the pipe wall .......................................................................... 43 Slika 4.4: Cilindrične koordinate v ceveh ....................................................................................... 49 Figure 4.4: Cylindrical coordinates in pipes ..................................................................................... 49 X Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Slika 4.5: Primerjava izrazov koeficienta trenja ? v hidravlično gladkem režimu toka .................. 55 Figure 4.5: Comparison of some friction factor equations for hydraulically smooth flow ............... 55 Slika 4.6: Zakon popolne hrapavosti (enačba 4.48) v hidravlično hrapavem režimu toka ............. 57 Figure 4.6: Friction factor equation 4.48 in fully rough regime ....................................................... 57 Slika 4.7: Primerjava Colebrook-Whitove enačbe z meritvami Nikuradseja .................................. 58 Figure 4.7: Comparison of the Colebrook-White equation with Nikuradse’s measured data ........... 58 5 EKSPERIMENTALNI DEL RAZISKAVE Slika 5.1: Merilna proga v laboratoriju Katedre za mehaniko tekočin (UL-FGG) ......................... 61 Figure 5.1: The experimental facility for pressure, flow and temperature measurements at UL-FGG .. 61 Slika 5.2: Shema merilne proge ...................................................................................................... 62 Figure 5.2: Scheme of the experimental facility ................................................................................ 62 Slika 5.3: Umirjevalni bazen s prelivom ......................................................................................... 63 Figure 5.3: Settling tank with overflow .............................................................................................. 63 Slika 5.4: Umirjevalni del na vtoku v preizkuševalno cev .............................................................. 64 Figure 5.4: Flow conditioning section at inlet of the pipe ................................................................. 64 Slika 5.5: Primer namestitve merilnega prereza .............................................................................. 64 Figure 5.5: Pressure taps at measuring section ................................................................................ 64 Slika 5.6: Umirjevalni del z induktivnim merilcem pretoka na iztoku preizkuševalne cevi ........... 65 Figure 5.6: Flow conditioning section at the outflow of the pipe with the magneto-inductive flow meter ..... 65 Slika 5.7: Regulacijski ventil z elektromotorjem in zaporni kroglični ventil .................................. 65 Figure 5.7: Regulation valve with actuator and stop valve ............................................................... 65 Slika 5.8: Merilna posoda s potopno črpalko .................................................................................. 66 Figure 5.8: Volumetric flow measuring system with a recirculation pump ....................................... 66 Slika 5.9: Primerjava P in R profila hrapavosti ............................................................................... 68 Figure 5.9: P and R profile of the surface roughness ........................................................................ 68 Slika 5.10: Postopek določitve povprečne linije profila hrapavosti (»nošenje profila«) ................... 68 Figure 5.10: Handling of the surface roughness measurements ......................................................... 68 Slika 5.11: Sistem preklapljanja in odzračevanja med 6 merilnimi prerezi na cevi .......................... 71 Figure 5.11: Switching and aeration valves for 6 pressure measuring sections ................................ 71 Slika 5.12: Diferenčna tlačna sonda Endress & Hauser Deltabar PMD75 ........................................ 71 Figure 5.12: Differential pressure sensor Endress & Hauser Deltabar PMD75 ................................ 71 Slika 5.13: Umerjevalni posodi ......................................................................................................... 72 Figure 5.13: Calibration facility .......................................................................................................... 72 Slika 5.14: Kalibracijske krivulje Deltabar PMD75 ......................................................................... 73 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza XI Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Figure 5.14: Calibration lines for Deltabar PMD75 .......................................................................... 73 Slika 5.15: Vodni manometer ........................................................................................................... 75 Figure 5.15: Water manometer ........................................................................................................... 75 Slika 5.16: Meritev tlaka z vodnim manometrom ............................................................................. 76 Figure 5.16: Pressure measurement with the water manometer ......................................................... 76 Slika 5.17: Induktivni merilec pretoka Endress & Hauser Promag 30F ........................................... 77 Figure 5.17: The magneto-inductive flow meter Endress & Hauser Promag 30F .............................. 77 Slika 5.18: Relativna napaka induktivnega merilca pretoka Promag 30F ........................................ 78 Figure 5.18: Relative error of the read measurement for the flow measuring Promag 30F ............... 78 Slika 5.19: Kalibracijske premice posode za volumetrično merjenje pretoka .................................. 79 Figure 5.19: Calibration lines for the flow container ......................................................................... 79 Slika 5.20: Tlačna sonda Endress & Hauser Deltapilot DB50 .......................................................... 80 Figure 5.20: Water level measuring sensor Endress & Hauser Deltapilot DB50 ............................... 80 Slika 5.21: Kalibracijske premice tlačne sonde Deltapilot DB50 ..................................................... 81 Figure 5.21: Calibration lines for the water lever pressure sensor Deltapilot DB50 ......................... 81 Slika 5.22: Temperaturni pretvornik Weidmuller WAS5 pro thermo .............................................. 82 Figure 5.22: Temperature analogue conditioner Weidmuller WAS5 pro thermo ............................... 82 Slika 5.23: Kalibracija temperaturnega pretvornika ......................................................................... 83 Figure 5.23: Calibration lines used with the temperature analogue conditioner ............................... 83 Slika 5.24: Shema ventilov ob tlačni sondi Deltabar PMD75 .......................................................... 85 Figure 5.24: Switching valve system for Deltabar PMD75 ................................................................. 85 6 FILTRIRANJE IN INTERPRETACIJA PODATKOV Slika 6.1: Rezultati filtriranja grobih pogreškov induktivnega merilca Promag 30F ..................... 89 Figure 6.1: Filtered data for Promag 30F ........................................................................................ 89 Slika 6.2: Rezultati filtriranja grobih pogreškov temperaturnega pretvornika ............................... 90 Figure 6.2: Filtered data for the temperature conditioner ................................................................ 90 Slika 6.3: Primerjava izmerjenih pretokov induktivnega merilca pretoka z volumetričnim merjenjem pretokov ........................................................................................................ 93 Figure 6.3: Flow measurements comparison of the magneto-inductive flow meter with the volumetric flow measuring facility ................................................................................. 93 Slika 6.4: Meritve koeficienta trenja ? v odvisnosti od Reynoldsovega števila Re ........................ 95 Figure 6.4: Dependence of the friction factor measured data on Reynolds numbers ....................... 95 Slika 6.5: Primerjava meritev koeficienta trenja ? z meritvami Nikuradseja, univerze Oregon in Princeton ........................................................................................................................ 96 XII Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Figure 6.5: Friction factor measured data compared with Nikuradse’s, Oregon’s and Princeton’s measurements..................................................................................................................96 Slika 6.6: Tokovnice pri karakterističnih Reynoldsovih številih....................................................97 Figure 6.6: Stream lines at characteristic Reynolds numbers...........................................................97 7 PREDLOG NOVEGA OBRAZCA KOEFICIENTA TRENJA Slika 7.1: Podatkovna baza uporabljenih meritev...........................................................................99 Figure 7.1: Measurements database..................................................................................................99 Slika 7.2: Re-y/A izražen kot funkcija f(Re)............................................................................100 Figure 7.2: Re ¦ -Ja expressed as f(Re)........................................................................................700 Slika 7.3: Primerjava univerzalnega zakona gladkih cevi (enačba 4.44) z enačbo 7.3.................101 Figure 7.3: Comparison of the Prandtl ’s equation 4.44 for smooth pipes with equation 7.3.........7 07 Slika 7.4: Prehod iz hidravlično gladkega v hidravlično hrapav režim toka.................................102 Figure 7.4: Transition from hydraulically smooth to hydraulically rough regime..........................7 02 Slika 7.5: Primerjava Reynoldsovih števil hrap na intervalu 4 < ks+ < 15 z enačbo 7.5...............104 Figure 7.5: Comparison of roughness Reynolds numbers in the range 4 nepov. energija. (2.6) p-g 2-g p-g 2-g Energijska enačba v takšnem zapisu nam pove, de se celotna energija ohranja. Kar dejansko ne drži, saj se pri toku realne tekočine sestava celotne energije spreminja, zato se vzdolž toka vedno večji del celotne energije spreminja v nepovračljivo obliko energije (npr. v toploto realne tekočine) (Steinman, 1999). V praksi je pomembna obravnava tistega dela energije, ki se pretvori v nepovračljivo obliko energije zaradi trenja pri toku vode. Del celotne energije, ki se ob tem pretvori v nepovračljivo obliko, imenujemo energijske izgube. Energija je seveda neuničljiva in se ne izgublja, pretvori se le v nepovračljivo obliko. Izraz energijske izgube se je uveljavil, ker je nepovračljiv del energije neizkoristljiv v hidrotehnični praksi, torej za izrabo izgubljen (Steinman, 1999). 2.3 Energijske izgube Izgube energije (oziroma pretvorba v nepovračljivo obliko energije) nastajajo pri premagovanju hidravličnih uporov zaradi toka tekočine. Izgube energije zaradi premagovanja trenja vzdolž toka naraščajo proporcionalno z dolžino toka. Imenujemo jih trenjske ali linijske izgube in jih označujemo z AEt , kjer indeks »t« pomeni oznako izgub zaradi trenja. V ceveh krožnega preseka se linijske izgube običajno določajo z znano Darcy-Weissbachovo enačbo: * E -, AL V2 AE = Â------------. (2.7) D 2-g Koeficient trenja A predstavlja brezdimenzijsko število, ki je odvisno od režima toka, Reynoldsovega števila in relativne hrapavosti ostenja. Izgube energije, ki se pojavijo zaradi lokalnih motenj, nastanejo ob vsaki spremembi smeri tokovnic (sprememba smeri toka, širjenje oziroma oženje toka, tok skozi zaporne organe, krivine ipd.). Izgube zaradi spremembe tokovne slike toka pogojujejo nastanek vrtinčenj v toku, ki odvzemajo del energije osnovnemu toku. Imenujemo jih lokalne izgube in jih označujemo z AElok, kjer običajno namesto Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 5 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer »lok« vpišemo okrajšavo za vzrok, zaradi katerega motnja nastane (npr. koleno, zasun ipd.). Enačba za določitev lokalnih izgub se glasi: AElok=& V 2-g (2.8) Koeficient ^ predstavlja koeficient lokalne izgube in je odvisen od geometrijske karakteristike lokalne motnje tokovnic in je brezdimenzijski. Celotne izgube energije AEtot na določenem odseku toka izračunamo kot vsoto linijskih in lokalnih izgub vzdolž opazovanega odseka: AEtot = Y n= 1 AEti + Y m= 1 AElok j (2.9) 2.4 Režim toka in Reynoldsovo število Izpeljani so bili številni poizkusi, s pomočjo katerih naj bi določili splošne zakonitosti za določevanje hidravličnih izgub. Pokazalo se je, da so izgube energije odvisne od obnašanja dela tekočine v toku, ali povedano drugače, da sta lastnost in velikost hidravličnih izgub, ki se pojavljajo pri gibanju tekočin, odvisni od režima toka tekočine (Steinman, 1999). Angleški fizik Osborne Reynolds je leta 1883 eksperimentalno določil fizikalne karakteristike oziroma pogoje, ki določajo režim toka. Shema eksperimentalne naprave, s katero ponazarjamo izvajanje Reynoldsovega eksperimenta, je prikazana na sliki 2.1. A Ö B D Slika 2.1: Reynoldsova eksperimentalna naprava Figure 2.1: Reynolds experimental facility S postopnim odpiranjem zasuna B se povečuje pretok in s tem hitrost vode v cevi (premera D). Tanek curek barvila, ki prihaja v cev iz posodice A, se bo pri majhnih hitrostih v cevi ohranjal kot raven, kompakten curek. Očitno je, da se v danih pogojih barvilo ohranja v sloju, v katerega je vstopilo, torej se plasti medsebojno ne mešajo (Steinman, 1999). 6 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Z nadaljnjim odpiranjem zasuna B in s povečevanjem hitrosti v cevi prihaja pri neki hitrosti do pulzacij v okolici barvnega curka, kasneje pa do intenzivnega mešanja barvnega curka s tekočino. Curek barve se razprši po celotnem prerezu, saj se pojavi vrtinčenje po celotnem prečnem prerezu. Režim toka, pri katerem se tok giblje v vzporednih slojih, imenujemo laminarni tok, režim, pri katerem se pojavljajo pulzacije hitrosti in zaradi tega premešanje delcev tekočine v prečni smeri, pa imenujemo turbulentni tok (Steinman, 1999). Na sliki 2.2 lahko na primeru »A« vidimo laminarni režim toka, na primeru »B« pa turbulentni režim. Slike so bile posnete med opravljanjem meritev tlačnih izgub v sklopu pričujoče raziskave. A: Laminaren režim toka B: Turbulenten režim toka Slika 2.2: Primer laminarnega in turbulentnega režima toka Figure 2.2: An example of laminar and turbulent flow Reynolds je na podlagi eksperimentov in poskusov, izvršenih z raznimi tekočinami in z raznimi premeri cevi, dokazal, da je režim toka odvisen od razmerja vztrajnostnih in strižnih sil (le-te so sorazmerne dinamični viskoznosti tekočine). Za tok v smeri koordinate x lahko iz Newtonovega zakona zapišemo strižne sile na enoto volumna kot (Schlichting et al., 2000): dz d2u — = ju—2 dy dy ter vztrajnostne sile na enoto volumna: p- du dt V stacionarnih razmerah se razmerje preoblikuje v: du dx du p--------------> p-u----- dx dt dx (2.10) (2.11) (2.12) Razmerje med vztrajnostnimi in strižnimi silami, ki ga po avtorju imenujemo Reynoldsovo število, je tedaj: vztrajnostne sile p-u- u^ p ¦ D V -D strižne sile D2 v (2.13) Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 7 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Enačba 2.13 temelji na dejstvih, da je hitrosti u znotraj pretočnega prereza proporcionalna povprečni hitrosti pretoka V, gradient hitrosti ^u je proporcionalen količniku V D ter d u/ 2 razmerju V/ /D 2 ' Z obsežnim eksperimentalnim delom so nekateri avtorji ugotovili, da se v primerih toka v cevovodih pri kritični vrednost Reynoldsovega števila Rekrit ~ 2300 pojavi sprememba režima toka iz laminarnega v turbulenten. Kritično Reynoldsovo število je odvisno tudi od izvedbe vtoka v cevi. Pri zelo pazljivo oblikovanih in obdelanih oblikah vtoka ima lahko kritično Reynoldsovo število večje vrednosti. Pri analiziranju vzrokov za pojav turbulence je leta 1904 Ludwig Prandtl postavil hipotezo, da se turbulenca najprej pojavlja na ostenju cevi, od koder se razširi na celotno površino prečnega prereza toka. Vendar se tudi pri pogojih turbulentnega režima toka ob ostenju cevi ohranja tanek laminarni sloj (laminarna mejna plast), iz katerega se zaradi prisotnosti hrapavih izboklin oziroma hrap na ostenju odtrgajo vrtinčenja, ki v turbulentnem jedru toka izzivajo (ustvarjajo) prečno cirkulacijo (Schlichting et al, 2000). Mejna plast je prikazana na sliki 2.3. Slika 2.3: Razmere na ostenju v turbulentnem toku Figure 2.3: Conditions near the pipe wall for turbulent flow Spremembe v režimu toka neposredno vplivajo na faktorje, ki določajo hidravlične izgube. Rezultati eksperimentov, ki so shematizirano prikazani na sliki 2.4, kažejo dve območji z izrazito različnima zakonitostma, ki povezujeta srednjo hitrost toka in hidravlične izgube. Območje preloma med obema premicama je meja med območjema, kjer veljata dva različna zakona o linijskih izgubah. Položaj točke se ujema z izračunano kritično hitrostjo toka Vkr, ki ustreza kritičnemu Reynoldsovemu številu Rekrit. Raztros merskih točk v tem območju pa kaže, da med obema režimoma toka obstaja še prehodno območje (Steinman, 1999). 8 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer log(V) Slika 2.4: Določanje režima toka Figure 2.4: Definition of the flow regime Na podlagi eksperimentalnih rezultatov je bilo ugotovljeno naslednje (Massey in Ward-Smith, 1998): 1. V laminarnem režimu toka velja linearna odvisnost med energijskimi izgubami zaradi trenja in srednjo hitrostjo toka. 2. V razvitem turbulentnem toku izgube energije naraščajo s kvadratom srednje hitrosti toka. 3. Med obema jasno izraženima režimoma toka se pojavlja prehodni režim. Po svojem značaju je turbulenten, vendar ima slabše izražene turbulentne karakteristike. Reynoldsovo število ima dejansko bistveno večji pomen, kot le določitev prehod iz laminarnega v turbulenten režim toka. Dejansko je to število, ki postavlja kriterij za podobnost tokov v ceveh različnih dimenzij in različnih medijev (npr. voda, zrak, tekoči helij ...). Ker predstavlja Reynoldsovo število dejansko razmerje med vztrajnostnimi in viskoznimi (strižnimi) silami, je njegova uporaba bistveno širša kot le na področju krožnih cevi v toku pod tlakom. Laminarno Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 9 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 3 PREGLED LITERATURE Pregled eksperimentalnega dela različnih avtorjev, ki so se do danes ukvarjali s problematiko določitve koeficientov trenja X v stalnem enakomernem toku, bo zaradi preglednosti razdeljen na tri ločena poglavja. V prvem sklopu (poglavje 3.1) bo predstavljen zgodovinski potek raziskav in razvoja teorije določitve koeficientov trenja X. Ker so s svojim pionirskim delom bistven delež k preučevanju koeficienta trenja prispevali L. Prandtl, Th. v. Karman in J. Nikuradse ter C. F. Colebrook in C. M. White, bo v poglavjih 3.2 in 3.3 natančneje predstavljeno njihovo eksperimentalno delo. V zaključku tega poglavja bodo predstavljeni tudi podatki, ki so jih objavili McKeon in sodelavci (2004). Enačbe, ki so nastale na podlagi bodisi empiričnih ali teoretičnih osnov, bodo prikazane v poglavju 4 (Teoretične osnove). 3.1 Kronološki potek eksperimentalnega dela Prvi vidnejši rezultati na področju raziskav hidravličnih izgub v ceveh pod tlakom in kanalih so zasluga znanih avtorjev A. de Chezyja in H. Darcyja. Z raziskavami o turbulentnem toku v hrapavih ceveh se je prvi začel ukvarjati Darcy. Te raziskave je izvajal na ceveh različnih materialov. Testiral je 21 cevi, uporabljene pa so bile kovane, litoželezne, litoželezne cevi z bitumenskim premazom ter cevi iz pločevine in stekla. Vse preizkušene cevi razen steklenih so imele dolžino 100 m, profili teh cevi pa so imeli premer 1,2-50 cm. Na podlagi svojih eksperimentov je Darcy ugotovil, da je pri pretoku tekočine skozi cevovod poleg premera pomembna tudi notranja hrapavost ostenja (Darcy, 1858 cit. po Kirschmer, 1952). Če primerjamo njegove rezultate z današnjimi in pri tem upoštevamo odvisnost koeficienta trenja X od Reynoldsovega števila Re, ugotovimo sledeče. Z naraščanjem vrednosti Reynoldsovega števila Re se koeficient trenja 1 zmanjšuje, in sicer tem počasneje, čim večja je relativna hrapavost k/D. Pri določenih vrednostih hrapavosti ks je koeficient trenja X neodvisen od Reynoldsovega števila Re. Za konstantne vrednosti Re se X spreminja, in sicer narašča z večanjem relativne hrapavosti. Leta 1883 je angleški fizik O. Reynolds eksperimentalno določil fizikalne karakteristike oziroma pogoje, ki določajo režim toka. Uveljavi se brezdimenzijsko število (Reynoldsovo število Re). Prispevek Reynoldsa, ki je postavil temelje vsem naknadnim raziskavam, je opisan v poglavju 2. Raziskave Darcyja je nadaljeval njegov učenec H. Bazin. Na podlagi lastnih eksperimentov na ceveh različnih materialov in ceveh, ki jih je dobil od Darcyja, je posrečeno izpeljal empirično formulo, ki jo poznamo še danes. Podaja nam medsebojno odvisnost pretoka, padca tlačne črte in premera cevovoda (Bazin, 1902, cit. po Nikuradse, 1933). V. Saph in E. H. Schoder sta za v raziskovalnem delu uporabila vodo. Izmerila sta padec tlaka v 15 medeninastih ceveh s premeri od 2,77 do 53,1 mm, v obsegu Reynoldsovih števil med Re = 1,4×103 in 10 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 104×103. Poskusi Sapha in Schoderja so nakazali, da se prehod laminarnega v turbulentni tok zgodi pri kritičnem Reynoldsovemu številu Rekrit = 2000. Prehodno območje leži med Reynoldsovima številoma Re = 2000 in Re = 3000 (Saph in Schoder, 1903, cit. po Kirschmer, 1953). W. Nußelt je raziskoval tlačne izgube v toku stisnjenega zraka v cevi premera 2,201 cm. Ko iz teh poskusov izračunamo koeficient trenja v odvisnosti od Reynoldsovega števila, dobimo iste rezultate, kot sta jih iz poskusov ugotovila Saph in Schoder. Nußeltove vrednosti koeficienta trenja ležijo v območju Reynoldsovih števil Re = 6×103 do 150×103. S to raziskavo je bila podobnost za različne tekočine potrjena (Nußelt, 1910, cit. po Nikuradse, 1932). Za prve uspešne poskuse o porazdelitvi hitrosti turbulentnega toka v krožnih ceveh veljajo meritve T. E. Stantona. Meritve so izvedene z zrakom v ceveh dolžine 500 cm ter premerom 4,93 cm in 7,4 cm in segajo v območje Reynoldsovega števila Re od 14×103 do 60×103. Stanton dokaže tudi podobnostni zakon pri toku skozi hrapave cevi. Preiskoval je cevi dveh različnih premerov, v katerih so bili na notranji steni cevi vrezani križajoči se vijačni navoji. Geometrijska podobnost hrapavosti je bila dosežena s spremembo koraka (hoda) in globino vijačnega navoja v enakem razmerju do premera cevi (Stanton, 1911, cit. po Nikuradse, 1932). H. Blasius je uspel z vidikov podobnosti interpretirati rezultate meritev po toku v gladkih ceveh. Dobil je empirično formulo, ki v območju Reynoldsovih števil do Re = 100×103 precej natančno prikaže zakonitosti koeficienta trenja. Pri razvoju svojega obrazca koeficienta trenja je Blasius uporabil poskuse Sapha in Schoderja (Blasius, 1913, cit. po Hopf, 1923). Po potrditvi podobnostnega zakona si je H. Ombeck zastavil nalogo, da s pomočjo poskusov z zrakom v velikem obsegu Reynoldsovih števil ugotovi odvisnost koeficienta upora od Reynoldsovega števila in s tem preveri Blasiusovo formulo. Poskusi so bili izvedeni v krožnih ceveh iz različnih materialov in premerov (od 2 do 10 cm). Vrednosti Reynoldsovega števila pa so segale do Re = 450×103. Iz teh poskusov je Ombeck dobil podobno formulo kot Blasius, z zanemarljivim odstopanjem (Ombeck, 1914, cit. po Hopf, 1923). Leta 1914 je R V. Mises združil vse dotedanje rezultate izvedenih eksperimentov in jih klasificiral s stališča podobnostne teorije. Tako je dobil koeficient trenja 1 za okrogle cevi v odvisnosti od relativne hrapavosti k/D in Reynoldsovega števila Re. Mises je med prvimi definiral pojem relativne hrapavosti (Mises, 1914). Stanton in J. R. Pannell sta za preverjanje podobnostnega zakona opravila obsežne poskuse z vodo in zrakom pri različnih temperaturah. Uporabljene so bile krožne cevi različnih premerov (od 0,36 do 12,62 cm). Poskusi so obsegali Reynoldsa števila 2,2×103 do 430×103. Rezultati teh poskusov so potrdili podobnostni zakon. Do Reynoldsovega števila 100×103 ležijo točke poskusov na premici po Blasiusu. Od tu dalje pa je z naraščajočim Reynoldsovim številom opaziti vse večje odstopanje od Blasiusove premice (Stanton in Pannell, 1914, cit. po Nikuradse, 1932). Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 11 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Delo Misesa je nadaljeval L. Schiller. Raziskave, ki jih je izvajal, potrjujejo odvisnost koeficienta trenja ? od Reynoldsovega števila Re in hrapavosti ostenja. Uporabljene so bile cevi iz vlečene medenine. Schiller je povzročal hrapavost z vrezanimi navoji različnih globin. Premere cevi je spreminjal od 8–21 mm. Na podlagi meritev je ugotovil, da kritično Reynoldsovo število Re ni odvisno od kvalitete stene cevi ter da v primeru velike hrapavosti in turbulentnega toka velja kvadratni zakon upornosti. Med pomembnejše ugotovitve lahko štejemo tudi dejstvo, da pri konstantni vrednosti Reynoldsovega števila Re prihaja do povečanja koeficienta trenja z večanjem relativne hrapavosti (Schiller, 1923, cit. po Hopf, 1923). V skoraj istem času kot Schiller je L. Hopf napravil nadaljnje poskuse. Opravil je sistematične meritve v pravokotnih kanalih raznih višin pri različnih hrapavostih (žične mreže, nazobčana cinkova pločevina, dvovrstna valovita pločevina). Pri tem je izbral pravokoten prerez, da bi lahko pri enaki kakovosti stene skozi spreminjanje višine prereza ugotavljal vpliv hidravličnega radija (Hopf, 1923). Na pobudo Hopfa je K. Fromm nadaljeval z njegovimi poizkusi. Iz svojih in Frommovih rezultatov meritev ter do tedaj znanih rezultatov eksperimentalnega dela je Hopf zaključil, da je potrebno pri turbulentnem toku v hrapavih ceveh ločiti med dvema vrstama hrapavosti. Ti dve se ravnata po dveh različnih zakonih podobnosti, označil ju je kot hrapavost stene in valovitost cevi. Za hrapavost stene je Hopf ugotovil, da je koeficient trenja neodvisen od Reynoldsovega števila, odvisen je le od hrapavosti ostenja (kvadratni zakon upora). Valovitost cevi po Hopfu postane odločujoča, ko je koeficient trenja odvisen od Reynoldsovega števila kot tudi od kakovosti stene (Fromm, 1923). F. Heywood (1924) objavi meritve porazdelitve hitrosti in koeficienta trenja na pocinkanih železnih ceveh krožnega prereza. Uporabljene so bile cevi premera 2'' (50,80 mm) in 4'' (101,60 mm). Gradienti tlaka so izmerjeni na dolžini 9,77 m (2'' cev) oziroma 9,59 m (4'' cev) z vrtinami premera 2,57 mm. Pretoki so bili izmerjeni volumetrično s posodo volumna 33,98 m3. M. Jakob in S. Erk sta leta 1924 izvajala poskuse z vodo in merila tlačne izgube v odvisnosti od količine pretoka v medeninastih ceveh s premerom 7 cm in 10 cm. Meritve so obsegale Reynoldsova števila od 86×103 do 462×103. V okviru ±1 % odstopanja se njune meritve ujemajo z eksperimentalnim delom Stantona in Pannella (Nikuradse, 1932). Nikuradse izvede leta 1926 meritve porazdelitve hitrosti v turbulentnem toku. Uporabljene so krožne cevi premera 2,8 cm z Reynoldsovimi števili okoli 180×103 (Nikuradse, 1932). Na pobudo v. Karmana je leta 1928 W. Fritsch ponovil vse meritvene postopke, kot pred tem Hopf in Fromm. Poizkusni kanal je meril 200 cm, širine 15 cm in višine med 1,0 in 3,5 cm, tako da je vzdolž krajše simetrijske osi prisoten dvodimenzijski tok. Opazoval je porazdelitev hitrosti pri gladkem, valovitem, hrapavem (valovito steklo, rebrasto steklo) ter nazobčanem ostenju. Zaključil je lahko, da je razporeditev hitrosti pri isti višini kanala, razen pri neposredni bližini stene, pri vseh tipih ostenja enaka, kakor so enake tudi tlačne izgube (Prandtl, 1933). 12 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer M. F. Treer je opravil poskuse z ekstremno visokimi hrapavostmi v kanalu, pri čemer je tako izmeril koeficient trenja in porazdelitev hitrosti. Iz njegovih in iz podobnih poskusov drugih raziskovalcev je ugotovil, da je porazdelitev hitrosti odvisna le od tlaka, ne glede na to ali je ta nastala skozi razliko v hrapavosti ali z različnim Reynoldsovim številom (Treer, 1929). Leta 1932 je Nikuradse objavil rezultate svojih raziskav o koeficientu trenja ? za hidravlično gladek režim toka (Nikuradse, 1932). Nikuradse objavi rezultate raziskav o koeficientu trenja v ceveh, kjer nastopa enotna hrapavost. Eksperimenti, ki so bili izvedeni na krožnih ceveh z enakomerno, umetno prirejeno hrapavostjo za tok pod tlakom, so omogočili določitev zveze med koeficientom trenja ? in Reynoldsovim številom Re (Nikuradse, 1933). Prandtl je eden izmed najpomembnejših raziskovalcev na področju hidromehanike in hidravlike. Med prvimi je definiral mnoga vprašanja v zvezi s turbulentnim tokom. Natančno je definiral, v kakšnih razmerah nastane turbulentni tok, kakšen je vpliv viskoznosti tekočine z ozirom na velikost Reynoldsovega števila Re, prav tako je definiral spremembo profila hitrosti kot enega najboljših pokazateljev obstoja turbulentnega toka. Za eksperimentalni model je uporabil kanal z dolžino 6 m in višino 20 cm. Spremembe v toku je povzročal na dva načina. V prvem primeru je dodal ob steni manjšo količino vode, ki je zatem povzročila spremembo pretoka in turbulenco. V drugem primeru je določeno količino vode izsesal. Takšna motnja pretoka je zadostovala, da je postal tok turbulenten. Pomembno področje Prandtlovih raziskav predstavlja obnašanje koeficienta trenja ? v nastalem turbulentnem toku. Podal je več enačb, ki še danes veljajo za popolni in nepopolni turbulentni tok (Prandtl, 1933). H. Schlichting (1936) opravi eksperimentalno delo na ceveh pravokotnega prereza s pritrjeno umetno hrapavostjo različnih oblik in velikosti. Kasneje (med leti 1937 in 1939) sta analogno preiskavo opravila Colebrook in White, vendar na ceveh krožnega preseka. Obdobje med leti 1936 in 1939 je obdobje, v katerem izrazito izstopata profesor Colebrook in njegov asistent White. V tem obdobju je nastala znamenita enačba za koeficient trenja ?, ki jo je leta 1939 objavil Colebrook. Znanstvenika sta pri svojih raziskavah upoštevala rezultate svojih predhodnikov, jih delno preverila in praktično privzela kot svoja izhodišča. Svoje raziskave sta v osnovi usmerjala k definiranju zakonitosti vpliva različnih hrapavosti na prehod. Logično je bila prevzeta predpostavka, da hrapavost začne vplivati na upor takrat, ko lokalna hitrost v cevi doseže dovolj visoko vrednost, da se ob hrapavi površini začnejo formirati vrtinci (Colebrook in White, 1937). Podobne eksperimentalne poizkuse je izvajal tudi Zegžda (leta 1938) za tok v odprtih vodotokih (v pravokotnih kanalih z umetno hrapavostjo). Primerjava Nikuradsejevega diagrama in diagrama Zagžde pokaže, da so rezultati, ki se nanašajo na odprte tokove, praktično identični rezultatom za cevi pod tlakom. Poleg kakovostnega in kvantitativnega ujemanja rezultatov, je s tem dokazano tudi Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 13 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer ujemanje uporabljenih analiz in enačb za hidravlične račune. Torej lahko z istimi enačbami računamo tako zaprte kot odprte sisteme (Steinman, 1999). Na osnovi eksperimentov, ki sta jih izvajala Colebrook in White, je Colebrook leta 1939 podal enačbo, ki velja tudi za prehodno območje (Colebrook, 1939). Za praktično uporabo Colebrookove enačbe in hitrejšo oceno vrednosti koeficienta trenja je L. F. Moody leta 1944 pripravil diagram, ki ga prikazuje privzeta slika 3.1. Diagram je poznan kot Moodyjev diagram (Moody, 1944), ki ga je V. L. Streeter leta 1951 do potankosti izpopolnil. Zaradi tega dejstva je v začetnem obdobju, pred večjo uporabo računalnikov, Moodyjev diagram imel večjo praktično uporabo kot analitična oblika Colebrookove enačbe, ki za rešitev zahteva postopek iteracije. Privzeta slika 3.1: Moodyjev diagram (Streeter, 1951) Adopted Figure 3.1: Moody’s chart (Streeter, 1951) R. Barbe objavi leta 1947 rezultate meritev koeficienta trenja na industrijskih ceveh krožnega preseka dimenzije približno 800 mm. Raziskava je bila izvedena v hidravličnem laboratoriju Dauphinoise v Grenoblu (Barbe, 1947 cit. po Kirschmer, 1952). Rezultate prikazuje privzeta slika 3.2. 14 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Privzeta slika 3.2: Meritve koeficienta trenja v laboratoriju Dauphinoise v Grenoblu (Barbe, 1947 cit. po Kirschmer, 1952) Adopted Figure 3.2: Experimental results of the measured friction factor in the laboratory Dauphinoise in Grenoble (Barbe, 1947 cite from Kirschmer, 1952) O. Kirschmer (1952) navaja rezultate meritev koeficienta trenja, ki so bile med leti 1940 in 1950 izvedene na nekaterih hidroelektrarnah v Švici in Nemčiji. Na hidroelektrarni Cavaglia v Švici so bile meritve izvedene na očiščenih in neočiščenih (rjastih) tlačnih ceveh. Spoji na ceveh so bili izvedeni z zakovicami. Očiščene cevi (odstranjena plast rje) so bile premazane z 1 cm debelo plastjo bitumna. Neočiščene cevi so bile puščene v obstoječem stanju, torej s plastjo rje, ki se je v obdobju obratovanja nabrala na ostenju cevi (Kirschmer, 1952). Meritve so se izvajale za Reynoldsova števila večja kot 105 in so prikazane na privzeti sliki 3.3. a … hidravlično gladke cevi b … neočiščene cevi - ks/D = 2,7.10-3, ks = 3 mm c … očiščene cevi - ks/D = 2,5.10-5, ks = 0,03 mm Privzeta slika 3.3: Meritve koeficienta trenja na hidroelektrarni Cavaglia v Švici (Kirschmer, 1952) Adopted Figure 3.3: Experimental results of the measured friction factor on the Cavaglia (Switzerland) hydroelectric power station (Kirschmer, 1952) Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 15 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer M. D. Millionshchikov s sodelavci opravijo meritve koeficienta trenja za cevi z umetno pritrjeno neenakomerno hrapavostjo. Meritve opravijo do Reynoldsovega števila Re ~ 106. Umetna hrapavost je bila izvedena z lepljenjem peščenih zrn na ostenje cevi (Millionshchikov et al., 1973). I. J. Wygnanski s sodelavci opravi meritve v prehodnem režimu toka. V prehodnem območju se pojavita dve tvorbi vrtinčenja, ki ju poimenujejo »puffs« (»pihljaj«) in »slugs« (»močan udarec«). Ugotovijo, da se prvi (»puffs«) pojavijo pri Reynoldsovih številih Re < 2800 ter razpadejo v območju Re ~ 2200, drugi (»slugs«) se pojavijo pri Reynoldsovih številih Re > 3000. Poizkusi so bili izvedeni pri pretoku, ki ga ja določal konstanten gradient tlaka (Wygnanski et al., 1975, Wygnanski et al., 1973, Rubin et al., 1980). A. G. Darbyshire in G. Mullin sta razširila eksperimentalno delo Wygnanskija na pretoke s konstantnim masnim pretokom. Zaključili so, da se pri Re < 1760 ne pojavijo nikakršne oblike turbulence oziroma vrtinčenja (Darbyshire in Mullin, 1995). A. A. Draad, G. D. C. Kuiken in F. T. M. Nieuwstadt opravijo raziskave v prehodnem območju režima toka. Eksperiment obsega tako meritve na Newtonskih (voda) kot ne-Newtonskih tekočinah (Newtonsko topilo z nizko koncentracijo raztopljenega polimera velike molekularne mase). Meritve so opravljene na cevi iz pleksi stekla premera 40 mm in celotne dolžine 32 m. Stiki med odseki dolžine 2 m so izvedeni s pazljivo izvedenimi spojnimi elementi (konci cevi so bili izvedeni z rahlim konusom 2o–3o). Ker so preučevali nadziran (nenaraven) prehod v prehodno območje, je na vstopu v merilno cev nameščena umirjevalna komora, kar omogoči izločitev vsakršne motnje pri vstopu v merilni odsek. Izhod iz usedalne komore je urejen preko blage zožitve, ki usmeri tok v merilno cev. Vpliv temperature je omejen z ustrezno izolacijo. Eksperiment obsega meritve profila (z laserskim Dopplerjevim merilcem) hitrosti, pretoka (induktivni merilec pretoka) in tlaka. Tako nadzorovan prehod je dosežen pri Re~60×103. Raziskava je obsegala tudi meritve prisiljenega prehoda z dodajanjem motenj (Draad et al., 1998). M. V. Zagarola in A. J. Smits (1998) objavita rezultate meritev porazdelitve hitrosti in koeficienta trenja na merilni stezi »Princeton Superpipe«. Kot medij je v raziskavi uporabljen stisnjen zrak. Opis eksperimenta in rezultati so podani v poglavju 3.4. C. J. Swanson, B. Julian, G. G. Ihas in R. J. Donnelly objavijo rezultate raziskave koeficienta trenja za tok pod tlakom v krožnih ceveh v območju Reynoldsovih števil od 10 do 106. Kot medij v raziskavi so uporabljeni tekoči helij in nekateri plini pri sobni temperaturi. Meritve so bile opravljene v hidravlično gladkih ceveh na univerzi v Oregonu (Swanson et al., 2002). B. J. McKeon s sodelavci objavijo sintezo rezultatov meritev univerze Oregon in Princeton (McKeon et al, 2004). 16 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer M. Nishi, B. Ünsal, F. Durst in G. Biswas opravijo meritve nastajanja turbulentnih tvorb (»puffs« in »slugs«) v prehodnem režimu toka (Nishi et al., 2008). 3.2 Nikuradsejevo raziskovalno delo – meritev koeficienta trenja Kot že omenjeno v poglavju 3.1, je Nikuradsejevo delo potekalo v dveh delih. Leta 1932 so bili objavljeni rezultati hidravlično gladkega režima toka. Leto kasneje je objavil še rezultate hidravlično hrapavih cevi. Ker so Nikuradsejeve meritve v stroki obravnavane kot referenčne in so za potrditev hipoteze in dosego ciljev te disertacije bistvenega pomena, bosta njegova eksperimenta obdelana nekoliko podrobneje. 3.2.1 Eksperimentalna shema in oprema Za raziskave turbulentnih tokovnih procesov v krožnih ceveh so bile uporabljene različne poskusne priprave. Vse oznake v opisih se nanašajo na shemo eksperimenta, ki je prikazana privzeti sliki 3.4. Za doseganje ustreznih Reynoldsovih števil so bili uporabljeni naslednji postopki (Nikuradse, 1932): 1. Za majhna Reynoldsova števila (3×103 do 60×103) je služil umirjevalni kotel, ki se je napajal iz vodovodnega omrežja. Ker je bilo povsem konstantno gladino vodnega stolpca težko doseči, je bila uporabljena naslednja izvedba. Čez dovod zl (privzeta slika 3.4) teče voda iz vodovoda v odprt kotel wk. Pri odprtem odtočnem ventilu ah voda v dvižni cevi str narašča prav tako visoko kot v kotlu. Ko skozi dovod priteče večja količina vode, kot jo izteče skozi poskusno cev vr, se presežna voda odvaja po dvižni cevi v lovilni kotel ft, kjer se jo izpusti skozi izpustno cev fr. S tem se ohranja enakomerna višina vodne gladine. Za doseganje enakomernega vodnega toka v poskusni cevi je v cilindričnem delu iztoka kotla wk vgrajen usmernik gl. To je odpravilo velike vrtince, ki jih v kotlu povzroča dotekajoča voda. Skozi stožčasti del iztoka dobi voda pospešek, ki pozneje pojenja. Vodo se je nato skozi cev zr, premera 25 cm ter dolžine 250 cm, pripeljalo do poskusne cevi. Enakomeren dotok v poskusni cevi je dosežen z enakomernim prehodom skozi cev zr do premera poskusne cevi. Nekoliko pred zoženim delom je na najvišji točki dovodne cevi nameščen odzračevalni ventil eh. Poskusna cev z merilnikom hitrosti je bila nameščena na dveh vozičkih, ki sta dopuščala enostaven premik med predelavo. Vozička sta postavljena na tirnicah, ki so omogočale postavitev poskusne cevi v vodoravni smeri. Na koncu poskusne cevi je nameščen merilnik profila hitrosti. Pod merilnikom hitrosti je v kanalu vk nameščen volumetrični merilnik pretoka mb, ki je prikazan na privzeti sliki 3.5. 2. Za večja Reynoldsova števila (do približno 1400×103) je pretok omogočila centrifugalna črpalka. Centrifugalna črpalka kp je prečrpala vodo iz kanala vk v umirjevalni kotel wk. Za grobo regulacijo je služil zaganjalnik pogonskega motorja in ventil sb1, ki je nameščen med centrifugalno črpalko Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 17 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer kp in kotlom za vodo wk. Precizna regulacija je potekala preko ventila dv, nameščenega v merilniku hitrosti. Centrifugalna črpalka je lahko ohranjala v kotlu wk nadtlak do 2 bara. Nadtlak se je ustvaril tako, da je naraščajoča gladina vode stisnila zrak v kotlu wk. V splošnem je bila v kotlu wk vzpostavljena gladina vode na višini 5 m. 3. Za doseganje še večjih Reynoldsovih števil (do približno 2500×103) se je s stisnjenim zrakom v umirjevalnem kotlu ustvarjal nadtlak. Nadtlak v kotlu dk je ustvarjal kompresor, ki je lahko dosegel tlak 10 barov. Kotel za stisnjen zrak dk je preko Arca-Regulatorja povezan s kotlom za vodo wk. Regulator je uravnaval tlak pri iztoku vode iz kotla wk. Ker je čas iztoka omejen na 45 s, je hitro-zaporni ventil sh, ki je nameščena med kotlom wk ter poskusno cevjo, skrbel za hipno odpiranje in zapiranje poskusne proge. Da se je preprečil nastanek podtlaka v merilni cevi (zaradi hipnega izpiranja), je bil na najvišji legi dovodne cevi zr med hitro-zapornim ventilom in poskusno cevjo nameščen odzračevalni ventil sv, ki je skrbel za izravnavanje tlaka z okolico. 4. Najvišja Reynoldsova števila so se dosegla z višanjem temperature vode, s čimer je bilo doseženo Reynoldsovo števila Re = 3300×103. Tako je bila kinematična viskoznost vode zaradi povišanja temperature zmanjšana. Voda se je segrevala v kotlu s paro. Kotel je omogočal pretok 1,1 l/s vode pri 40°C. Z zmanjšanjem pretoka je temperatura lahko narasla do 95°C, kar je zaradi ohlajevanja v poskusni progi pomenilo temperaturo približno 40°C. Parni kotel se je nahajal na steni laboratorija, od koder se je preko cevi zf voda izlivala v kanal vk. Od tu jo je centrifugalna črpalka prečrpala v merilni tokokrog (opis v točki 3). wk dk dovodna cev ksv kotel za vodo kotel za stisnjen br zrak ventil med wk sv in kp hitro-zaporni vr ventil gm vertikalna sr prelivna cev st vertikalna iztočna a cev kp prelivna posoda izpustni ventil am izpustni ventil usmernik toka vk dovodna cev zf varnostni ventil vodnega kotla umirjevalna posoda odzračevalni ventil preizkusna cev merilnik hitrosti vertikalna cev umirjevalna cev Arca-regulator centrifugalna črpalka pogonski agregat izpustni kanal dovodna cev iz parnega kotla Privzeta slika 3.4: Shema Nikuradsejeve eksperimentalne naprave (Nikuradse, 1932) Adopted Figure 3.4: Nikuradse’s experimental facility scheme (Nikuradse, 1932) zl 18 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer zr ... dovodna cev eh ... odzračevalni ventil al ... prehodni kos vr ... preizkusna cev e ... odzračevalni ventil merilnika hitrosti f ... odprtina merilnika hitrosti vk ... izpustni kanal dv ... regulacijski ventil msk ... merilo regulacijskega ventila sch ... premični iztok wg ... voziček mb ... merilna posoda ws ... merilo gladine ab ... izpustni ventil sf ... privijačene noge Privzeta slika 3.5: Shema Nikuradsejevega volumetričnega merilca pretoka (Nikuradse, 1932) Adopted Figure 3.5: Nikuradse’s volumetric flow measuring facility scheme (Nikuradse, 1932) 3.2.2 Merilna oprema Poskusna oprema in poskusni aparati so bili izdelani v delavnicah Inštituta za raziskovanje tokov Kaiser Wilhelm. Na razpolago je bila sledeča merilna oprema: 1. Merilnik hitrosti z dušenjem in premičnim iztokom Merilnik hitrosti, ki je prikazan na privzeti sliki 3.6, sestavljajo ohišje m, pokrov d, vijaka sp in su, drsnik schl in premična Pitotova cev pt. Ohišje ima na obeh straneh odprtine f za opazovanje. Za odzračevanje je na pokrovu pritrjen odzračevalni ventil e (Nikuradse, 1932). srsp vijak za privijanje dk regulacijski konus msk merilna lestvica kl kroglični ležaji dv regulacijski ventil e odzračevalni ventil vkl obloga ročaja Pitotove cevi sch premični iztok zw1, zw2 ... številčnica scht nastavek cevi m ... ohišje d ... pokrov sp,su ... vijaki schl ... drsnik pt ... Pitotova cev ph ... ročaj Pitotove cevi f ... odprtina pg ... nastavek za napeljavo z ... vijačni zobnik fl ... bočna vodila Privzeta slika 3.6: Merilnik profila hitrosti (Nikuradse, 1932) Adopted Figure 3.6: Flow profile measuring device (Nikuradse, 1932) cev Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 19 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Za premikanje Pitotove cevi sta predvidena vijaka sp in su, ki istočasno nosita drsnik schl. Vijak sp ima milimetrski navoj in potiska drsnik v vodoravni smeri. Vijak sp se prenaša na števec zw1. S takšnim sistemom se lahko brez težav odčita premik velikosti 0,1 mm. S premikom drsnika se istočasno giba v isti smeri tudi Pitotova cev (Nikuradse, 1932). Vertikalni premik Pitotove cevi ph poteka čez vijak su, ki nima navoja, ampak utor. Vijačni zobnik ima milimetrski navoj in privija in odvija Pitotove cevi, ki so proti zasuku zavarovane z bočnimi vodili fl. Natančnost vertikalnega premika je reda velikosti 0,1 mm cev (Nikuradse, 1932). Merjen tlak je prinesen paralelno s smerjo toka skozi ročaj Pitotove cevi ph na Pitotovo cev pt različnih premerov in nato skozi cev speljan navzven. Profil hitrosti bo dejansko izmerjen 0,1 do 0,2 mm za izstopom poskusne cevi. Zaradi tega mora biti na tem mestu izmerjen tudi statični tlak. V ta namen je na robu poskusne cevi narejena vrtina scht premera približno 0,8 mm, ki dejansko izmeri statični tlak v merjenem prerezu (Nikuradse, 1932). Premični iztok sch služi za hiter premik pretoka v merilno posodo. Merilnik hitrosti, regulacijski ventil in premični iztok so postavljeni na voziček wg, ki omogoča vzdolžne premike (Nikuradse, 1932). 2. Volumetrično merjenje pretoka – merilna posoda Za volumetrično merjenje pretokov (glej privzeto sliko 3.5) je služila cilindrična merilna posoda mb s kapaciteto 700 l pri premeru 1000 mm in višine 900 mm. Posoda je nameščena pod premični iztok sch. Opremljena je z odtočnim ventilom ab ter manometrom ws z milimetrsko skalo, ki služi merjenju vodostaja v posodi. Posoda je stala na štirih vijačnih nogah sf, ki so omogočile vodoravno umerjanje. Na gladini je plavala preluknjana lesena deska, ki je dušila valovanja vodne gladine, s čimer se je skrajšal čas odčitavanja. Za merjenje manjših količin je bila uporabljena podobna merilna posoda s premerom 178 mm in višino 700 mm. Za natančno določanje volumna merilne kadi sta bili posodi predhodno umerjeni z dolivanjem natančno znane količine vode (10 kg) (Nikuradse, 1932). 3. Mikromanometer Za minimalne meritve diferenčnega tlaka natančnost običajnih manometrov ni bila več zadostna. Meritve zajemajo območje tlačnih diferenc od 0,02 do 500 mm vodnega stolpca. Takšne tlačne razlike so bile izmerjene z mikromanometrom, prikazanim na privzeti sliki 3.7 (Nikuradse, 1932). 20 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer ¦ i ~:^-^ sl drsnik m ... merilo n ... nonij bl ... zaslonka la ... svetilka h1, h2, h3, h4, h5 a1, a2, a3, a4 mi lu ag af sn gr mg ventili priključki tlačnih cevi mikroskopi za odčitavanje povečevalno steklo pogonsko kolesce za grobo nastavljanje pogonsko kolesce za fino nastavljanje polžasti pogon steklene cevi mlečno steklo Privzeta slika 3.7: Mikromanometer (Nikuradse, 1932) Adopted Figure 3.7: Micromanometer (Nikuradse, 1932) Na vodoravno stekleno cev s tremi ventili h1, h2 in h3 sta bili med dvema ventiloma pritrjeni dve stekleni cevi. Med obema prostima zgornjima krakoma teh cevi je postavljen T-kos s 120° kotom tako, da je bil en krak navpičen in zaprt z ventilom h5. Ventil h4 na drugem kraku T-kosa je dovoljeval prekinitev povezave med obema steklenima cevema. Prosta konca a3 in a4 steklenih cevi sta bila zaprta s privijali za cevi (Nikuradse, 1932). Ko se kot medij v manometru uporablja voda, se priključi obe tlačni cevi pri a1 in a2 ter odpre ventila h1, h2 in h4. Ob uporabi živega srebra pa se priključi tlačne cevi pri a3 in a4 ter odpre ventil h3. Za kontrolo ničle med meritvami se odpre ventil h3 v primeru vodnega manometra oziroma h4 pri živosrebrnem manometru. Skala manometra ima dolžino 500 mm. Povečanje merske natančnosti se je doseglo z uporabo mikroskopov mi. Spodnji drsnik nosi merilo m z milimetrsko razdelitvijo, zgornji pa nonij n, razdeljen na petdesetine. Pred nonijem je nameščeno premično povečevalno steklo lu. Osvetlitev se vrši skozi svetilko la, ki je nameščena premično za mlečnim steklom mg. Z nastavljivimi zaslonkami bl se opazovana meniskusa zatemni, tako da črnina izstopa od razsvetljenega mlečnega stekla. Z vijaki za nastavljanje in libelo se manometer postavi natančno navpično (Nikuradse, 1932). Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 21 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 3.2.3 Merjene količine Meritve pretoka do Reynoldsovega števila Re = 300×103 so izvedene volumetrično, z merilno posodo. Umerjanje obeh posod je pokazalo, da je premer po celotni višini enak. Prerez največje merilne kadi je znašal 7850 cm2, manjše pa 248 cm2. Pri vsaki meritvi je predhodno odčitan najnižji vodostaj in nato še najvišji. V izogib paralaksi so se odčitki vodostaja izvajali pri popolnoma mirni vodni gladini. Tako se je doseglo natančnost od 0,1 do 0,2 mm. S pomočjo premičnega iztoka je bila voda v približno 0,1 do 0,2 s izpuščena v merilno posodo. Čas dotoka v merilno posodo je bil merjen z ročno štoparico. Štoparica je bila za svoj ciklus preskušena in je imela 1/10 sekundno razdelitev. Premični iztok je bil nato z enako zakasnitvijo odmaknjen iz posode. Trajanje dotoka je znašalo med 100 in 600 s. V najslabšem primeru, to je pri časovnem intervalu 100 s, izmerjenim z natančnostjo 0,2 s, in odčitku gladine vode na 0,2 mm natančno, znaša napaka ±0,3 %. Te napake so bile pri intervalu merjenja 600 s reda velikosti ±0,05 %. Največja napaka merjenja količin je bila za srednjo hitrost, in sicer ±0,13 %. Količina je bila ugotovljena kot povprečje več opazovanj (4 do 6) (Nikuradse, 1932). Temperatura je bila merjena s termometrom na iztoku. Z meritvami temperature iztekajoče vode iz odzračevalnega ventila je bilo preverjeno, če ima tudi voda v cevi identično temperaturo. Izkazalo se je, da se meritve ujemajo. Termometer je bil umerjen in razdeljen na desetinko stopinje. Potemtakem je bila lahko ocenjena približno 1/20 do 1/30°, s čimer je bila pogojena napaka kinematične viskoznosti od ±0,05 do ±0,08 %. Pri višjih temperaturah je napaka kinematične viskoznosti še manjša. Meritve so bile izvedene pri temperaturah od 9 do 38°C. Pri sobni temperaturi je konstantnost temperature lahko doseči, pri višjih pa se pojavijo težave. Kakor omenjeno, so bile višje temperature dosežene tako, da je od 80 do 90°C vroča voda tekla iz parnega kotla v iztočni kanal (od 500 do 800 cm3/s). Iz predhodnih poskusov je bilo ugotovljeno, kakšen pretok in temperatura vode je bila potrebna, da se je ohranila konstantna temperatura v poskusni cevi (Nikuradse, 1932). Iz mase vode, ki je popolnoma zapolnila poskusno cev, in dolžine cevi je bil določen polmer cevi. Natančnost določitev mase je bila ±0,01 %, dolžina pa je bila lahko izmerjena na 0,2 mm natančno, kar je znaša ±0,007 %. V najbolj neugodnem primeru znaša napaka pri določitvi polmera cevi ±0,01 % (Nikuradse, 1932). Meritev statičnega tlaka je bila narejena pod predpostavko, da je statični tlak enak po celem merilnem prerezu. V vsakem merilnem prerezu so bile v poskusni cevi narejene 4 vrtine, ki so bile v povezavi z obročasto izravnalno komoro ak (Nikuradse, 1932). Nastavek je prikazan na privzeti sliki 3.8. 22 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer izravnalna komora nastavek Privzeta slika 3.8: Nastavek za izvedbo meritve statičnega tlaka (Nikuradse, 1932) Adopted Figure 3.8: Pressure taps (Nikuradse, 1932) S pomočjo nastavka tü in gibke cevi je bila lahko narejena povezava z manometrom. Prosti krak manometra je bil povezan z naslednjim merilnim prerezom. Tako je bil izmerjen diferenčni tlak med dvema prerezoma. V cev so bile navrtane ostrorobe vrtine (izkazale so se za hidravlično najugodnejše) s premerom 1,2 mm (Nikuradse, 1932). Za doseganje večje natančnosti gradienta tlaka, ki je nujen za vrednotenje koeficienta trenja, so bila vselej vzeta čim daljša merilna območja. Dolžina merilnih območij je bila določena na 0,2 mm natančno. Tlačne razlike do 50 cm vodnega stolpca oziroma premera so bile merjene z opisanim mikromanometrom. Večje tlačne razlike so bile ugotovljene z normalnim živosrebrnim-U-manometrom, višine 250 cm (Nikuradse, 1932). Meritve hitrosti so bile izvedene tako, da je bil zastojni tlak Pitotove cevi priklopljen do statičnega tlaka vrtine, ki je bil v merilnem prerezu, tako da je manometer direktno kazal dinamični tlak (Nikuradse, 1932). 3.2.4 Meritve hidravlično gladkih cevi Cilj eksperimenta je obsegal dve nalogi: (1) na eni strani razširiti področje meritev koeficienta trenja na zelo velika Reynoldsova števila in (2) podati povezavo med porazdelitvijo hitrosti in Reynoldsovim številom na turbulentni tok v hidravlično gladkem režimu toka (Nikuradse, 1932). Poskusi so bili izvedeni med leti 1928 in 1929 na Inštitutu za raziskovanje tokov Kaiser Wilhelm, ki ga je vodil prof. dr. Prandtl. Teoretična obdelava rezultatov poskusov se je zaključila poleti leta 1931. Uporabljene poskusne cevi so prikazane v spodnji preglednici. ak tü Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 23 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Privzeta preglednica 3.1: Dimenzije poskusnih cevi – hidravlično gladke cevi (Nikuradse, 1932) Adopted Table 3.1: Dimensions of measured pipes – hydraulically smooth pipes (Nikuradse, 1932) DN [mm] le mm] lI [mm] lII [mm] la [mm] x [mm] x/DN [-] 10 550 500 500 450 2000 200 20 1330 500 500 170 2500 125 30 4960 500 500 40 3000 100 50 3300 1000 1000 70 6000 120 100 4000 1500 1000 550 7050 70,5 DN x/DN notranji premer cevi dolžina dotoka merilno območje I merilno območje II dolžina iztoka skupna dolžina relativna skupna dolžina Rezultati eksperimentalnega dela so prikazani na privzeti sliki 3.9 in 3.10. Privzeta slika 3.9: Odvisnost koeficienta trenja ? od Reynoldsovega števila Re (Nikuradse, 1932) Adopted Figure 3.9: The friction factor ? dependence on the Reynolds number Re (Nikuradse, 1932) 24 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Privzeta slika 3.10: Razmerje 1 r— v odvisnosti od produkta Re ¦ -JA (Nikuradse, 1932) Adopted Figure 3.10: Relation V\— compared to the values of Re ¦ 4A (Nikuradse, 1932) 1y/A Zaključki te raziskave so predstavljeni v poglavju 4 (Teoretične osnove). 3.2.5 Meritve hidravlično hrapavih cevi Cilj raziskave je obsegal 2 nalogi: (1) ugotoviti funkcijsko odvisnost med Reynoldsovim število Re, koeficientom trenja X in relativno hrapavostjo k/r ter (2) preveriti, ali je porazdelitev hitrosti za relativno hrapavost k/r konstantna in kako je odvisna od Reynoldsovega števila (Nikuradse, 1933). Raziskava se ukvarja s turbulentnim tokom v hrapavih ceveh pri različnih relativnih hrapavostih k/r, kjer je ks srednja velikost hrapavosti in r polmer cevi. Da je izpolnjena predpostavka podobnostne mehanike, so kot poskusne cevi izbrane take, ki imajo izključno tako hrapavost, ki zagotavlja geometrijsko podobne oblike. Prvi pogoj je izpolnjen že s tem, da so izbrane cevi krožnega preseka. Drugi pogoj je izpolnjen tedaj, ko je razmerje polmera cevi r in velikosti hrapavosti ks konstantno. Hrapavost je umetno ustvarjena z lepljenjem zrn peska, ki ima sam približno geometrijsko podobno strukturo. Tako so dobljene geometrijsko podobne cevi z geometrijsko podobno kvaliteto stene, ki imajo konstantno razmerje relativne hrapavosti (Nikuradse, 1933). Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 25 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Enako hrapavost v ceveh se doseže z zrni enakih velikosti. V ta namen je uporabljen presejani pesek. Srednja velikost zrn premera 0,8 mm je bila dosežena s sejanjem na sitih 0,82 mm in 0,78 mm gostote. Povprečna velikost zrn je bila preverjena z merjenjem nekaj sto zrn. Z Zeißovim merilcem, ki je imel natančnost 0,001 mm, je bila ugotovljena povprečna debelina zrna 0,8 mm (Nikuradse, 1933). Meritve so bile opravljene pri šestih različnih relativnih hrapavostih v območju Reynoldsovih števil od Re = 600 do Re = 106. Uporabljene poskusne cevi so prikazane v privzeti preglednici 3.2. Privzeta preglednica 3.2: Dimenzije poskusnih cevi – hidravlično hrapav režim toka (Nikuradse, 1933) Adopted Table 3.2: Dimensions of measured pipes – hydraulically rough flow (Nikuradse, 1932) DN [mm] le mm] lI [mm] lII [mm] la [mm] x [mm] x/DN [-] 25 750 500 500 50 1800 72 50 1495 1000 1000 75 3570 71,4 100 4000 1500 1000 550 7050 70,5 Rezultati eksperimenta (privzeta slika 3.11) so prikazani na znanem Nikurdsejevi »harfi«, ki prikazuje vrednost koeficienta trenja ? v odvisnosti od Reynoldsovega števila Re in relativne hrapavosti ks/D. Privzeta slika 3.11: Nikuradsejevi rezultati za cevi z umetno hrapavostjo (Streeter, 1951) Adopted Figure 3.11: Nikuradse’s measured data in artificially roughened pipes (Streeter, 1951) ... notranji premer cevi ... dolžina dotoka ... merilno območje I ... merilno območje II ... dolžina iztoka ... skupna dolžina ... relativna skupna dolžina 26 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Zakonitosti, ki so bile ovrednotene na podlagi teh raziskav, so prikazane v poglavju 4 (Teoretične osnove). 3.2.6 Pregled objavljenih meritev Iz objavljene literature so bili prepisani in preverjeni rezultati meritev v hidravlično gladkih in hidravlično hrapavih (Nikuradse, 1933, preglednice 2 do 7) ceveh. Pokazala so se določena odstopanja, ki bodo v tem poglavju predstavljena. Meritve so priložene v prilogi 1. Ker podatkov o merjeni temperaturi ni na voljo, je le-ta preračunana iz izmerjene kinematične viskoznosti ter rešitvijo spodnjega sistema enačb. ß v = — (3.1) p 247.8 K ju( t ) = 2.414• 10 -5 .10T 140 K (3.2) yo(T) = 1000 (T+ 288.9414) (508929.2-(T+ 68.12963))-(T-3.9863) (3.3) Na intervalu od 0 do 370oC je rezultat dinamične viskoznosti natančen na ±2,50 % (Seeton, 2006). Rezultati gostote izkazujejo enako natančnost (McCutcheon et al., 1993). Za meritve hidravlično gladkih cevi so poleg ostalih podatkov iz dela Nikuradseja (1932, preglednica 9) podane meritve o povprečni hitrosti, kinematični viskoznosti, Reynoldsovemu številu, tlačnih izgubah in koeficientu trenja X . Ne v tekstu kot v nobeni tabeli ni navedeno, kakšna je dejanska hrapavost uporabljenih cevi. Čeprav so meritve potekale v hidravlično gladkem režimu, je ta podatek pomemben, ker nam lahko pove, pri katerem Reynoldsovem številu hrap (ko je v* ' k > 4 ) bi tok prešel v hidravlično hrapav režim. Slika 3.1 prikazuje koeficient trenja 1, kot je prikazan v izvirni tabeli. Diagram prikazuje tudi iz naše strani ponovno preračunane vrednosti Reynoldsovega števila in koeficienta trenja 1. Preračun je izveden iz enačbe: „ dp 2 ¦ D A = —----------- (3.4) dx p-V 2 in V -D Re =-------. (3.5) v Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 27 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Objavljene meritve Pr e r a čunane meritve ?e odstopanje >5% ? odstopanje >5% 1.8 1.75 1.7 1.65 1.6 1.55 1.5 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0.95 0.9 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 log(?e) Slika 3.1: Primerjava Nikuradsejevih objavljenih meritev v hidravlično gladkih ceveh Figure 3.1: Comparison of Nikuradse’s published measured data in smooth pipes Iz diagrama na sliki 3.1 lahko vidimo, da se rezultati skoraj popolnoma ujemajo. Izjemo predstavlja le 7 meritev. Ena meritev močno odstopa po Reynoldsovem številu Re (25,43 %), druga pa po koeficientu trenja ? (6,10 %). Če meritve, ki imajo napako večjo od 5 % v izračunu napake ne upoštevamo (4 meritve Re in 3 meritve ?), je ujemanje skoraj popolno. Maksimalna napaka znaša tako ±0,98 % za Reynoldsova števila oziroma ±3,40 % za koeficient trenja. V Nikuradse (1933, preglednice od 2 do 7) so za meritve hidravlično hrapavega režima toka podane meritve o povprečni hitrosti, kinematični viskoznosti, tlačnih izgubah, logaritmu (desetiška osnova) Reynoldsovega števila, logaritmu koeficienta trenja ? oziroma 100? ter premeru cevi, absolutni in relativni hrapavosti. Diagram na sliki 3.2 prikazuje koeficient trenja ?, kot je prikazan v izvirni tabeli ter iz naše strani ponovno preračunane vrednosti Reynoldsovega števila in koeficienta trenja ?. Opozoriti je potrebno, da so v objavljenih podatkih tlačnih izgub v glavah preglednicah od 2 do 7 očitno pozabili pripisati faktor 1000, saj se v nasprotnem primeru preračunani koeficienti trenja ne ujemajo s tabeliranimi (objavljenimi kot log(100?)). 28 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 0.8 0.75 0.7 - 0.65 - 0.6 -0.55 0.5 - 0.45 - 0.4 - 0.35 - 0.3 0.25 - 0.2 - 0.15 - 0.1 9tl* *^#t}! * .;* tf*!*S:****** " 2° **« k /C^ 1/252 s H.....* •^ .... ...«li ks^1 504 ,»•• qjt k/D=1/1014 • Objavljene meritve • Reračunane meritve - SRe odstopanje >5% 0 x odstopanje >5% 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 log(9?e) 6.25 6.5 Slika 3.2: Primerjava Nikuradsejevih objavljenih meritev v hidravlično hrapavih ceveh Figure 3.2: Comparison of Nikuradse’s published measured data in rough pipes Meritve zadnje absolutne hrapavosti (ks = 0,16 cm) v preglednici 7 pa popolnoma odstopajo od preostalih meritev pri enaki relativni hrapavosti (r/ks = 15 oziroma ks/D = 1/30). Na sliki 3.2 so vrednosti teh tlačnih izgub pomnožene z vrednostjo 100, da so sploh lahko prikazane na diagramu (linija rdečih zvezdic). Če pomnožimo vrednost objavljenih tlačnih izgub za omenjeno hrapavost s faktorjem 125, dobimo dejansko ujemanje z objavljeno vrednostjo koeficienta trenja ?. Popravek je prikazan na sliki 3.3. 6 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 29 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 ,t :L:*:i8**r'AÄ :*.:::,:ks^isi2 •ft # .j^ iai»Aifl>^ ks/D=1/252 Tfc. -a: :«::s:i k^1 /504 **!;* I..«! Ä ks/D=i/ioi4 • Objavljene meritve • Reračunane meritve + îfîe odstopanje >5% 0 x odstopanje >5% 0.1 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 log(?e) Slika 3.3: Popravljene Nikuradsejeve meritve v hidravlično hrapavih ceveh Figure 3.3: Refitted Nikuradse’s measured data in rough pipes Maksimalna odstopanja Reynoldsovih števil znašajo ±37,00 %, največje odstopanje koeficienta trenja znaša ±20,58 %. Če podatke, ki odstopajo več kot ±5 % izločimo iz računa napake (7 meritev Re in 4 meritve ?), lahko ugotovimo, da znaša odstopanje Reynoldsovega števila ±3,85 %, koeficienta trenja pa ±4,87 %. Ugotovimo lahko tudi, da del meritev (500 < Re < 6000), ki seže v laminarno območje v preglednicah ni objavljen, ampak je prikazan samo grafično. Manjkajoči podatki so bili digitalizirani iz diagrama na sliki 9 v Nikuradse (1933). Slika 3.4 prikazuje podatke Nikuradsejevih meritev, ki bodo v tej disertaciji uporabljene za nadaljnje raziskave. 30 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Hidravlično hrapav režim Digitalizirane meritve Hidravlično gladek režim if*-" % *• ••* **«*••• 2.2 2.15 2.1 2.05 2 1.95 1.9 1.85 1.8 1.75 1.7 1.65 1.6 1.55 1.5 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0.95 0.9 0.85 0.8 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 log(?e) Slika 3.4: Sinteza Nikuradsejevih meritev uporabljenih za nadaljnje raziskave Figure 3.4: Synthesis of Nikuradse’s measured data used for further research ,k/D=1/30 s Vk/D=1/61.2 s k/D=1/120 s k/D=1/252 s k/D=1/504 s k /D=1/1014 s 3.3 Raziskovalno delo Colebrooka in Whita Eksperimenti so bili izvajani v cevi premera 5,35 cm in približno 6,0 m dolžine ob uporabi zraka. Cev je bila vzdolžno razrezana na dva dela zaradi nanašanja zrn za obravnavane karakteristične površine. Vsa zrna so bila fiksirana v cevi z bitumenskim premazom ali s Chattertonovo zmesjo. Količina zraka je bila izmerjena s pomočjo nemške merske šobe V.D.I. Normaldüse, za katero navajajo, da dosega natančnost ±1 % (Colebrook in White, 1937). Eksperimentalna naprava je prikazana na privzeti sliki 3.12. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 31 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Privzeta slika 3.12: Eksperimentalna naprava Colebrook-White (Colebrook in White, 1937) Adopted Figure 3.12: Colebrook-White’s experimental facility (Colebrook and White, 1937) Eksperiment je izveden na šestih različnih tipih hrapavosti površine, ki je bila izdelana kot kombinacija dveh velikosti peščenih zrn. Manjši premer zrna je znašal 0,035 cm, večji pa 0,35 cm (Colebrook in White, 1937). Na privzeti sliki 3.13 so prikazane posamezne karakteristike površin. Šest površin je bilo razdeljenih v dve skupini. Prvo skupino so sestavljale površine 0, I, II in III, drugo pa površine III, IV in V. Površina 0 je prikazana z zakonom hidravlično gladkih cevi. Prva skupina predstavlja dejansko površine, pri katerih so velika zrna konstantna, površina finih zrn pa se spreminja (Colebrook in White, 1937). Privzeta slika 3.13: Površine, uporabljene v preizkusih Colebrook-White (Colebrook in White, 1937) Adopted Figure 3.13: Colebrook-White’s artificially roughened surfaces (Colebrook and White, 1937) Privzeti sliki 3.14 in 3.15 prikazujeta rezultate meritev. Za vrednost Re < 20×103 ni razlike med površinami, eksperimentalne točke ležijo na eni krivulji. 32 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Privzeta slika 3.14: Rezultati prve skupine (I, II, III) površin (Colebrook in White, 1937) Adopted Figure 3.14: Results for the first group (I, II, III) of surfaces (Colebrook and White, 1937) Privzeta slika 3.15: Rezultati druge skupine (III, IV, V) površin (Colebrook in White, 1937) Adopted Figure 3.15: Results for the second group (III, IV, V) of surfaces (Colebrook and White, 1937) V primeru, ko je prehod krivulje iz površine I na tip površine V funkcijsko izražen z Reynoldsovim številom hrap ks+ (f \ * s ), so krivulje videti kot ena sama sistematična družina (Colebrook in White, 1937). Razmerje prikazuje privzeta slika 3.16. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 33 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Privzeta slika 3.16: Odklon od hidravlično hrapavega zakona (Colebrook in White, 1937) Adopted Figure 3.16: Deviation from the “rough” law (Colebrook and White, 1937) Začetni prehod je mogoče prikazati tudi kot funkcijo f| P 'v * ' m , pri čemer dobimo skupino krivulj, ki se širijo iz enega izhodišča na gladki krivulji v vrednosti P'v*' m/&5. V tem primeru predstavlja vrednost km, velikost največjega zrna (Colebrook in White, 1937). Rezultate prikazuje privzeta slika 3.17. 34 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Privzeta slika 3.17: Odklon od hidravlično hrapavega zakona izražen z maksimalnim zrnom (Colebrook in White, 1937) Adopted Figure 3.17: Deviation from the “rough” law as a function of the largest grain (Colebrook and White, 1937) Rezultati eksperimentov vodijo do prepričanja, da so velika zrna tista, ki kontrolirajo začetek prehoda. Na podlagi tega sta Colebrook in White ugotovila, da je pri neenotni hrapavosti prehod krivulj iz območja gladkosti v območje hrapavosti postopen (Colebrook in White, 1937). Na osnovi eksperimentov, ki sta jih izvajala Colebrook in White, je Colebrook leta 1939 podal enačbo, ki »velja« tudi za prehodno območje (glej poglavje 4). 3.3.1 Pregled objavljenih meritev V literaturi (Colebrook in White, 1937) so objavljeni podatki Colebrookove raziskave. Objavljeni so podatki o Reynoldsovem številu, koeficientu trenja ?, relativni hrapavosti ter ostali geometrijski podatki cevi. Podatke prikazuje diagram na sliki 3.5. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 35 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 0.75 r 0.725 - 0.7 0.675 0.65 0.625 0.6 0.575 - 0.55 0.525 k/D=110 s k /D=72.6 s k/D=57 s k /D=80.6 s k/D=139.2 s v „• k/C^57 s „• k /C^72.6 s m i -1 k /D&80.6 s i ' s • -•• k/C^139.2 s 0.5 0.475 0.45 L 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 log(He) Slika 3.5: Objavljene meritve Colebrook-Whita Figure 3.5: Colebrook-White’s published measured data 3.4 Raziskave na univerzi Oregon in Princeton Zagarola in Smits sta leta 1998 objavila rezultate meritev porazdelitve hitrosti in koeficienta trenja na merilni stezi »Princeton Superpipe«. Merilna steza omogoča razvoj turbulentnega režima toka. Razmerje dolžine in premera cevi znaša L/D = 200, z notranjim premerom 129,286 mm (5,09''). Izmerjena hrapavost, definirano kot standardna deviacija hrapavosti (Rq – »root-mean-squared rougness«), znaša Rq = 0,15 µm. Na podlagi eksperimenta, s katerim so določili profil hitrosti, je predpostavljena maksimalna možna ekvivalentna »peščena« hrapavost ks ? 3Rq = 0,45 µm. Kot medij je v eksperimentu uporabljen zrak pod tlakom. Omogočene so bile natančne meritve od Re ? 5×103 do Re ? 38 ×106. »Princeton Superpipe«, prikazan na privzeti sliki 3.18, omogoča meritve za red velikosti več kot meritve Nikuradseja v hidravlično gladkem režimu toka (Zagarola in Smits, 1998). 36 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Privzeta slika 3.18: Eksperimentalna naprava »Princeton Superpipe« (Zagarola in Smits, 1998) Adopted Figure 3.18: The “Princeton Superpipe” experimental facility (Zagarola and Smits, 1998) Na univerzi v Oregonu so Swanson in sodelavci leta 2002 opravili meritve toka pod tlakom v krožnih ceveh v območju Reynoldsovih števil od 10 do 106. Pri nižjih Reynoldsovih številih so bili kot medij uporabljeni plini (helij, kisik, dušik, ogljikov dioksid in žveplov heksafuorid) pri sobni temperaturi. Uporabljena je bila cev dolžine 28 cm in premera 0,467 cm. Eksperimentalno napravo prikazuje privzeta slika 3.19. Za višja Reynoldsova števila so v raziskavi uporabili tekoči helij. Meritve so bile opravljene na hidravlično gladkih ceveh s predpostavljeno maksimalno možno »peščeno« hrapavostjo 0,05 µm (Swanson et al., 2002). Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 37 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Privzeta slika 3.19: Eksperimentalna naprava univerze Oregon (Swanson et al., 2002) Adopted Figure 3.19: Schematic diagram of the Oregon’s experimental facility (Swanson et al., 2002) McKeon in sodelavci leta 2004 objavijo sintezo meritev, ki so bile do tedaj opravljene na univerzi Oregon in Princeton. Ugotovijo, da se na območju, kjer se eksperimenta prekrivata, meritve ujemajo z odstopanjem ±1,7 %. Ugotovljena eksperimentalna negotovost meritev univerze Oregon znaša od ±2 do ±4 %. Meritve, opravljene na merilni opremi »Princeton Superpipe«, izkazujejo napako ±1,1 %. Z združitvijo obeh podatkovnih baz lahko ugotovimo, da se je interval meritev koeficienta trenja ? razširil od do tedaj znanih meritev na območju 103 < Re < 3,2×106 na območje 10 < Re < 35,7×106 (McKeon et al., 2004). Meritve so priložene v prilogi 1 in prikazane na sliki 3.6. Ne v delu Zagarola in Smitsa (1998) kot v delu Swansona in sodelavcev (2002) ni objavljenih rezultatov meritev. Zato so uporabljene vrednosti iz dela McKeon in sodelavcev (2004), kjer so nekoliko popravljene meritve, ki sta jih objavila Zagarola in Smits v članku iz leta 1998. Zaradi tega se v tej disertaciji sklicevanje na meritve univerze Princeton nanaša na letnico 2004 in ne 1998. Potrebno je poudariti, da so v obeh eksperimentih ekvivalentne peščene hrapavosti določene kot maksimalne možne »peščene« hrapavosti, pri čemer hrapavost še nima vpliva na koeficient trenja (Reynoldsovo število hrap je manjše od 4). Torej to ne predstavlja dejansko določene vrednosti, 38 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer ampak le hipotezo o maksimalni vrednosti ekvivalentne »peščene« hrapavosti. Točno vrednost bi bilo mogoče določiti samo tedaj, ko bi se prehod v hidravlično hrapav režim toka dejansko zgodil, to pa je pri ustrezno visokem Reynoldsovem številu. V delu Zagarola in Smits (1998) ter članku Swansona in sodelavcev (2002) je vrednost maksimalne možne »peščene« hrapavosti določena na podlagi predpostavke, da bi pri naslednjem večjem Reynoldsovem številu, kot je bilo največje izmerjeno, meritev presegla vrednost Reynoldsovega število hrap 4 (ks+ > 4). Poudariti je potrebno, da je to le hipotetična vrednost in predstavlja največjo možno ekvivalentno »peščeno« hrapavost. Meritve se namreč do najvišjih izmerjenih Reynoldsovih števil niso odklonile od zakona hidravlično gladkih cevi. 3.75 • 3.5 - 3.25 - 3 - 2.75 - Mer itv e "OREGON" Me r it v e " PRINCETON" 2.5 2.25 - 2 - 1.75 - 1.5 1.25 - 1 - \r*v •v. 0.75 0.5 L 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 log(?e) Slika 3.6: Meritve univerze Oregon in Princeton Figure 3.6: Oregon’s and Princeton’s measured data Kot zanimivost lahko povemo, da znaša skupna masa eksperimentalne opreme »Princeton Superpipe« 25 ton, masa opreme na univerzi Oregon pa le 28,35 g (McKeon et al., 2004). 4 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 39 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 4 TEORETIČNE OSNOVE Poglavje obravnava teoretične in delno empirične osnove teorije, ki je pripeljala do ustreznih fizikalnih zaključkov, na katerih temeljijo obrazci za določitev koeficienta trenja ?. Poglavje je razdeljeno na tri podpoglavja, ki obravnavajo teoretične osnove laminarnega in turbulentnega režima toka ter prehodnega območja. Veliko avtorjev je preučevalo koeficient trenja, zato obstaja veliko število izrazov, ki so v nadaljevanju podani v karakterističnih skupinah. Pri tem je potrebno opozoriti, da veliko avtorjev navaja svoje izraze brez omejitev, kar ni popolnoma pravilno. 4.1 Laminarni tok Za laminarni tok velja po Osbornu Reynoldsu in po Hagen-Poisseuillu zakonitost, da so v ravnotežju samo strižne in tlačne sile, medtem ko so vztrajnostne sile zanemarljive. Na podlagi sike 4.1 lahko zapišemo ravnotežje sil, ki se glasi: p.w2-(p-Ap)-w2-T-2wAx = 0. (4.1) Z> Mr) Slika 4.1: Laminarni tok v cevi krožnega preseka Figure 4.1: Laminar flow in round pipes Iz enačbe 4.1 sledi: T = Ap r_ Ax'2 (4.2) Če v enačbo 4.2 vstavimo Newtnovo zakonitost t = -// • ^w/ , kjer je p, dinamična viskoznost, negativni predznak pa je uporabljen, ker ima strižna napetost ravno nasprotno smer hitrosti, dobimo: du Ap Ax 2-jU -dr (4.3) V 40 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Enačbo 4.3 integriramo po celotnem prerezu in upoštevamo, da je na ostenju hitrost enaka 0 in dobimo: Ap D'c2 Ap (D2 ^ \du =---------------\r-dr^u = J J Ax-2-jU r Ax-4-jU --- r 4 (4.4) Enačba 4.4 je dejansko enačba parabole. Maksimalna hitrost se očitno pojavi v osi (r = 0) in znaša: Ap-D2 umax = =ŽL----- (4.5) Ax-\o- ju Pretok v cevi dobimo z integriranjem enačbe 4.6 po celotnem prerezu Q D „ . Ap-TT D'r2(D2 2) - Ap-x-DA Iz enačbe 4.6 sledi, da znaša povprečna hitrost: A- Ap-D2 umax V =-----Q =-------= . (4.7) n-D 2 Ax-32-ju 2 V enačbi 4.7 zamenjamo člen pA z izrazom v enačbi 4.2 in dobimo: 2-r-D2 \6-u-V-r V =-------------->T =-----—------. (4.8) r-32-ß D Enačba 4.8 nam pokaže, da je strižna napetost linearno porazdeljena z razdaljo r od osi. Tik ob steni je strižna napetost največja (t = t0), v osi pa je enaka nič (t = 0). /u/ Če v enačbo 4.7 vpeljemo kinematično viskoznost v = y in jo delimo z gravitacijskim pospeškom g, dobimo enačbo, ki opisuje tlačne (energijske) izgube: V Ap-D2 Ap 32-v-V A — =----------------------->^ = h =---------Ax. (4.9) g Ax-32-vp-g pg g-D 2 Enačba 4.9 je poznana kot Poiseuillusova enačba, ki so jo številni eksperimenti tudi potrdili. Ker tudi Darcy-Weissbachova enačba 2.7 opisuje tlačne (energijske) izgube, mora veljati enakost: V2 32-v-V A „ 64-v ¦Ax-»A =-------. (4.10) Ä — D 2-g g-D V-D Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 41 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer V enačbo 4.10 vpeljemo še Reynoldsovo število Re = V'D/t in dobimo funkcijsko povezavo koeficienta trenja X z Reynoldsovim številom Re: /v  = 64 Re (4.11) Na sliki 4.2 je prikazano ujemanje enačbe 4.11 z meritvami, ki so jih objavili Swanson in sodelavci (2002) (glej poglavje 3.4), ter meritvami, opravljenimi v sklopu pričujoče disertacije v hidravličnem laboratoriju UL-FGG (glej poglavje 6). Iz razlogov, navedenih v poglavju 3.2.6 (digitalizacija podatkov), meritve, ki jih je objavil Nikuradse (1932 in 1933), niso bile uporabljene. Upoštevane so samo meritve, izmerjene pod kritično mejo Reynoldsovega števila (Rekrit ? 2300). 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 UL-FGG (2009) Oregon (2002) A=64/Re 1.25 1.5 1.75 2.25 log(9?e) 2.5 2.75 3.25 3.5 Slika 4.2: Hiperbolična porazdelitev koeficienta trenja ? v laminarnem režimu toka Figure 4.2: A hyperbolic distribution of the Friction factor in laminar flow 3 0 2 3 42 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 4.2 Turbulentni tok Kot že omenjeno v poglavju 2, se v ceveh krožnega preseka linijske izgube običajno določajo z znanim Darcy-Weissbachovim izrazom (enačba 2.7). Iz ravnotežnega pogoja sil lahko zapišemo enačbo 4.1, ki mora veljati v vseh režimih toka (bodisi turbulentnem bodisi laminarnem). Če v enačbo 4.1 vpeljemo kinematično viskoznost v = 'y in jo delimo z gravitacijskim pospeškom g, dobimo /p enačbo: Ap 4-r0-Ax p-g p-g-D (4.12) V enačbi 4.12 predstavlja r0 strižno napetost ob steni in ima zaradi smeri koordinatnega sistema oziroma dejstva, da deluje v smeri nasprotni hitrosti, negativno vrednost2. Zaradi pulzacije hitrosti v turbulentnem toku so pri nadaljnjih izpeljavah upoštevana časovna povprečja hitrosti uin strižnih napetosti f0. Eksperimenti, ki jih je izvajal Darcy v sredini 19. stoletja, so pokazali, da so tlačne izgube proporcionalne povprečni hitrosti V, dano na potenco reda velikosti 2. Ob predpostavki, da velja f0 = c ¦ V2, se enačba 4.12 spremeni v: Ap 4-c-V2-Ax (4.13) p-g p-g-D Z nastavkom  = 8c in integriranjem vzdolž cevi dobimo poznano Darcyjevo enačbo 2.7. Iz enačbe 4.12 in 2.7 tako sledi: - A-p-V2 T0 =------------------> V = 8 \ 0 •J— = v* -J— . (4.14) p V/t V/t V zgornji enačbi predstavlja v* strižno hitrost ob steni. Iz enačbe 4.14 je očitno, da sta koeficient trenja A in strižna napetost ob steni r0 v medsebojni povezavi. Funkcijska odvisnost povezuje tudi strižno napetost ob steni f0 in profil hitrosti. Iz tega vidika je potrebno preučiti tudi profil hitrosti, ki je opisan v naslednjem poglavju. Glej sliko 4.4. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 43 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 4.2.1 Profil hitrosti Poglavje obravnava samo porazdelitev hitrosti na stiku med zunanjim slojem mejne plasti in osrednjim tokom (»Overlap Layer«), ki je pomembna za določitev koeficienta trenja ?. Pri analitični rešitvi porazdelitve hitrosti na stiku (»Overlap Layer«) med zunanjim slojem mejne plasti in osrednjim tokom je Prandtl (1933) uporabil sledeči nastavek: Tt=p-l2 &u . ^ ^ „,.2 2 -----—7" T —¦ 0 ' 1C ' y = f0. (4.15) Mešalno dolžino l je v enačbi 4.15 zamenjal z razdaljo y od ostenja in v. Karmanovo konstanto k ter predpostavil, da je strižna napetost zaradi turbulence xt konstantna z vrednostjo f0 (vrednost strižne napetosti ob steni). Slednjo predpostavko je utemeljil z dejstvom, da se v turbulentnem režimu toka največja sprememba hitrosti zgodi v tanki laminarni mejni plasti 8L. Anomalijo v predpostavki predstavlja dejstvo, da bi morala biti glede na enačbo 4.2 strižna napetost v osi cevi enaka nič. Potek hitrosti v bližini stene je prikazan na sliki 4.3. u~ln(y) t /ostenje/, Slika 4.3: Porazdelitev hitrosti v bližini stene Figure 4.3: Velocity distribution near the pipe wall fz~ 1 Po ureditvi enačbe 4.15 dobimo izraz: au 1 ------- zz — 5y k \ ki ga integriramo in dobimo u =* ¦ln(y) +const. 1 0 v * — • ---- zz ----- p y K y (4.16) (4.17) K X 44 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Zaradi praktičnosti je smiselno enačbo 4.17 izraziti v brezdimenzijski obliki. Uporabljeni so sledeči nastavki: u+ u in y' y kjer je 5L v debelina laminarne mejne plasti. Tako lahko v limiti, v* 5L v* ko gre y+ —» oo , enačbo 4.17 zapišemo v sledeči obliki (Schlichting et al., 2000): lim ( u+ ( y)) = --ln ( y ) +C+. (4.18) y ->oo K Z meritvami je bilo dokazano, da je konstanta C+ v veliki meri odvisna od hrapavosti ostenja. V literaturi je enačba 4.18 poznana kot »logaritemski zakon ostenja« (v izvirniku »Logarithmic Law of the Wall«), kar dejansko ne drži. V nadaljevanju bo pokazano, da enačba opisuje dogajanje na stiku (»Overlap Layer«) med zunanjim slojem mejne plasti in osrednjim tokom. Do sedaj je bilo predpostavljeno, da je ostenje popolnoma gladko, brez hrap. Dejansko pa v realnem svetu ni tako. Vpeljati je potrebno pojem standardne »peščene« hrapavosti ks, ki jo prikazuje privzeta slika 4.1. Standardna hrapavost je definirana s premerom zrna peska. Vsakršna tehnična hrapavost je lahko izražena z ekvivalentno standardno »peščeno« hrapavostjo. Privzeta slika 4.1: Standardna »peščena« hrapavost ks (Schlichting et al., 2000) Adopted Figure 4.1: Sand roughness height ks (Schlichting et al., 2000) Konstanta C+ v enačbi 4.18 postane tako funkcija hrapavosti oziroma brezdimenzijskega števila + k k -v* + + ks = s = —---- (Reynoldsovo število hrap). Asimptoti, ko gre ks —» 0 in ks —» oo, se lahko 5L v zapišejo kot funkcijo C+(ks+). Za hidravlično gladke površine velja: lim(C+(ks))= 5. k ->0 (4.19) Enačbo 4.18 lahko tedaj zapišemo: lim ( u*y))1-ln y*) C*( ks )-lim u*y)1.lnfyi+Cr;( ks ) . y —>co y^0 *" ksy (4.20) Funkcijo Cr+(ks+) se zapiše kot: C/ [ks+ ) = C+ ( ks ) + — ln[ks+ ) (4.21) _ _ Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 45 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Iz zgornjih enačb lahko zaključimo sledeče, da v primeru, ko je velikost hrap ks bistveno večja od debeline mejne plasti SL (ks>>SL), postane vpliv viskoznosti zanemarljiv. Funkcija Cr+(ks+) postane tedaj konstanta (Schlichting et al, 2000). Schlichting s sodelavci (2000) na podlagi eksperimentov za turbulentno hrapav režim toka navajajo: lim Cr+[ks+ ) = lim C+ \ks+ ) + —ln[ks+ )\ = 8 . (4.22) Funkciji Cr+(ks+) in C+(ks+) je na podlagi meritev določil I. Tani (Schlichting et al, 2000) in ju objavil leta 1987. Funkciji sta prikazani na privzeti sliki 4.2. Funkciji veljata za vrednosti k = 0,41. Privzeta slika 4.2: Funkciji Cr+(ks+) in C+(ks+) (Schlichting et al., 2000) Adopted Figure 4.2: Functions Cr+(ks+) and C+(ks+) (Schlichting et al., 2000) 4.2.2 Ekvivalentna hrapavost Vsaki tehnični hrapavosti kteh je mogoče prirediti ekvivalentno standardno »peščeno« hrapavost ks,eq. Eksperimentalno je potrebno določiti profil hitrosti u+(y) na stiku (»Overlap Layer«) mejne plasti in osrednjega toka. Iz enačbe 4.20 in 4.22 lahko zapišemo: 46 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer k = exp s,eq k lim 8,0+1lny-u*y (4.23) Nato je potrebno preveriti, če je zadovoljeno pogoju k ks ,eq ¦ v*, s,eq / > 70, saj je na podlagi eksperimentov ugotovljeno, da se funkciji Cr+(ks+) in C+(ks+) za tehnično hrapavost na intervalu 5 < ks+ < 70 razlikujeta od tistih za standardno hrapavost (Schlichting et al., 2000). Colebrook je leta 1938 podal funkcijo C+(kteh+) ter posledično Cr+(kteh+), ki se glasi: + (4.24) C+kteh + )=8,0--ln(3,4 + kteh + )=5,0--ln 1 + kteh K k I 3,4 Funkcija je prikazana na privzeti sliki 4.2. Po Schlichtingu in sodelavci (2000) lahko hrapavost razdelimo na tri hidravlične režime toka: 1. Hidravlično gladke cevi: 2. Prehodno območje: 3. Hidravlično hrapave cevi: 0 < ks+ < 5 —> C+ ~ 5,0 5 < ks+ < 70 —> C+(ks+) 70 < ks+ —> Cr+ ~ 8,0 Privzeta slika 4.3 prikazuje vpliv hrapavosti ostenja na debelino mejne plasti ter posledično na režim toka. (a) Turbulentno: hidravlično gladko 4- 43. (b) Turbulentno: prehodno območje r—f (b) Turbulentno: hidravlično hrapavo Privzeta slika 4.3: Vpliv hrapavosti na režim turbulentnega toka (Webber, 1971) Adopted Figure 4.3: Effect of roughness on the turbulent flow regime (Webber, 1971) Dokler so hrape popolnoma znotraj laminarnega dela mejne plasti (k < 5?L), se površina obnaša kot popolnoma gladka (hidravlično gladek režim toka). Ko je velikost hrap večja od debeline popolnoma laminarnega dela mejne plasti, postane vpliv hrapavosti pomemben (prehodno območje). V primeru, + Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 47 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer ko sežejo hrape v stično območje (»Overlap Layer«), vpliv viskoznosti postane zanemarljiv (hidravlični hrapav režim toka). V preglednici 4.1 so prikazane nekatere vrednosti ekvivalentne »peščene« hrapavosti ks,eq za tehnično hrapavost tipičnih industrijsko izdelanih cevi. Podatki so povzeti po Schlichtingu s sodelavci (2000) in Krautovem strojniškem priročniku (2007). Preglednica 4.1: Ekvivalentna »peščena« hrapavost ks,eq za industrijsko izdelane cevi Table 4.1: Equivalent sand roughness ks,eq for commercial pipes Material cevi Stanje cevi ¦^s,eq [mm]3 ¦^s,eq [mm]4 baker, medenina, bron, aluminij, steklo, umetne snovi nove, brez usedlin 0,002 < 0,03 vlečene jeklene cevi nove, brezšivne, hladno vlečene 0,02 - 0,10 < 0,03 nove, brezšivne, toplo vlečene 0,02 - 0,10 0,05 - 0,10 nove, brezšivne, valjane 0,05 - 0,10 rahlo zarjavele 0,10 - 0,20 zarjavele, po dolgoletni rabi 0,20 - 0,30 zarjavele 0,40 0,50 - 2 močno zarjavele 3 > 2 varjene jeklene cevi nove, vzdolžno varjene 0,04 - 0,10 0,05 - 0,10 nove, spiralno varjene 0,04 - 0,10 0,10 nove, prevlečene z bitumnom 0,05 0,03 - 0,05 normalne, prevlečene z bitumnom 0,10 - 0,20 enakomerno zarjavele 0,15 0,10 - 0,20 zarjavele, po dolgoletni rabi 0,50 0,20 - 0, 30 zarjavele 1,50 0,50 - 2 močno zarjavele 2 - 4 > 2 pocinkane jeklene cevi nove 0,07 - 0,15 0,13 siva litina nove 0,25 - 1 0,25 nove, prevlečene z bitumnom 0,10 - 0,15 0,03 - 0,05 rabljene, rahlo zarjavele 1 - 1,5 1 - 1,5 zarjavele 1,5 - 4 > 1,5 betonske cevi surove, neobdelane 1 - 3 zglajene 0,3 - 0,8 azbestcement nove oziroma prevlečene < 0,03 rabljene oziroma neprevlečene 0,05 Ker se danes množično uporabljajo cevi iz duktilne litine z notranjo cementno oblogo, je smiselno podati tudi ekvivalentno »peščeno« hrapavost za te cevi. Na podlagi ustreznih raziskav, ki jih je opravil eden izmed vodilnih proizvajalec takšnih cevi, je podana vrednost za nove cevi ks,eq = 0,03 mm (Saint-Gobain PAM, 2001). Richterjeva absolutna višina hrapavosti (Kraut, 2007). Enakovredna »peščena« hrapavosti ks,eq po DIN 1952 (Schlichting et al., 2000). 48 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Poleg tega Schlichting in sodelavci (2000) povzemajo nekaj vrednosti ekvivalentne »peščene« hrapavosti za enakomerno ustvarjeno hrapavost podlage. Vrednosti so prikazane v privzeti preglednici 4.1 in povzemajo rezultate raziskave objavljene v Schlichting (1936). Privzeta preglednica 4.1: Ekvivalentna »peščena« hrapavost ks,eq za enakomerno ustvarjeno tehnično hrapavost kteh podlage (Schlichting et al., 2000) Adopted Table 4.1: Equivalent sand roughness ks,eq for artificially formed technical roughness kteh (Schlichting et al., 2000) Št. 10 11 12 13 14 15 16 17 Tip Krogle Polkrogle Konusi "L" profili Dimenzije D [cm] 4 0.6 Se stikajo 1 0.5 Se stikajo d [cm] 0.41 0.41 0.41 0.41 0.41 0.21 0.21 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 fcmr 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.210 0.210 0.260 0.260 0.260 0.260 0.375 0.375 0.375 0.300 0.300 0.300 ¦*s,eq [cm] 0.093 0.344 1.26 1.56 0.257 0.172 0.759 0.031 0.049 0.149 0.365 0.059 0.164 0.374 0.291 0.619 1.47 Geometrijska višina hrap. 1 2 2 3 1 4 5 8 4 9 3 2 4 3 2 4 3 2 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 49 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 4.2.3 Zakon upora Ko je porazdelitev hitrosti na stiku mejne plasti in osrednjega toka poznana (enačba 4.18), je potrebno določiti še porazdelitev hitrosti v osrednjem toku. V ta namen uvedemo cilindrične koordinate x, r in ?, ki jih prikazuje slika 4.4 ter hitrosti u, v in w. V=um Slika 4.4: Cilindrične koordinate v ceveh Figure 4.4: Cylindrical coordinates in pipes Energijska enačba v cilindričnih koordinatah se glasi: T zapišemo kot: 1d/ -\_dp0 rdr'T'~ ôx ou T =f„ +Tt = O ¦ V--------O ¦ u'-v' dr (4.25) (4.26) Pulzacije hitrosti p-u'-v', ki nastanejo zaradi turbulence, nadomestimo s strižno napetostjo rt. Z integriranjem enačbe 4.25 po polmeru R in nastavkom r0 = dx 2 R 0 dp0 1 ôx"2 dobimo: (4.27) r ,u Uvedemo brezdimenzijska števila in nastavke tj= — , u = ReT = v*-R v R ter jih ustavimo v enačbe 4.25 do 4.27 in dobimo: v + Tt ¦lL = *0 v ^ in p 1 du+ ReT d T] + rt = r/. (4.28) 50 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Potrebno je poiskati funkcijo u(r\, Re), ko gre ReT —» oo za mejno plast in za osrednji tok, saj se mora hitrost us (glej sliko 4.3) na stiku obeh plasti ujemati. V prvem primeru (mejna plast) uvedemo koordinato mejne plasti y+ = (1-r/)-ReT in dobimo rešitev enačbe 4.28 v obliki ^u/+Tt+=1, ki jo pogosto imenujemo univerzalni zakon ostenja (v v izvirniku »Universal Law of the Wall«) in velja le v laminarnem delu mejne plasti. Tik ob steni (y+ = 0) mora v laminarni mejni plasti veljati robni pogoj u/~ + = 1 . Univerzalni zakon ostenja je veljaven tako v hidravlično gladkem kot hidravlično hrapavem režimu toka, saj ne glede na režim turbulentnega toka, v limiti Re^> in ob končno veliki strižni napetosti, razporeditev hitrosti v laminarni mejni plasti §l sledi omenjeni porazdelitvi (Schlichting et al., 2000). Kontinuitetna enačba in »No-Slip« pogoj ob ostenju narekujeta asimptoto oblike du' dy" = 1-Ay +..., ko gre y+ ->0 oziroma enačbo 4.18, ko gre (y+ —>oo). Z upoštevnajmem indirektnega modela turbulence dobimo rešitev (Schlichting et al., 2000): du+ 1 B ¦ y+3 ^š= 1+ ( A+By3 + 1^B. + 4 y (4.29) O f ln O • y+ +1 yyt>-y+) --y++1 3 arctan 2Q-y+-1 -v3 + — j 6 , 4 1 (1 + ,.B.y-4) .(430) Poleg tega velja <& = ( A + B1 3 in C+ robnima pogojema y+ —» 0 in y+ -^ oo . 2^" 1 / H------ln\K-B). Tedaj enačbi 4.29 in 4.30 ustrezata 3-V3-0 4k Privzeta slika 4.4 prikazuje porazdelitev hitrosti kot funkcijo u+(y+) in porazdelitev strižne napetosti kot Tt+(y+) ter asimptoti y+ -^ 0 in y+ —» oo . 1 1 + u = + + 3 _ Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 51 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer J___I I I I II ti y+.Ay+4 I I I I I I M 5 10 50 100 Privzeta slika 4.4: Univerzalna porazdelitev hitrosti u+(y+) in strižne napetosti ?t+(y+) za hidravlično gladke cevi (Schlichting et al., 2000) Adopted Figure 4.4: Universal distribution of velocity u+(y+) and shear stress ?t+(y+) for hydraulically smooth pipes (Schlichting et al., 2000) Glede na privzeto sliko 4.4 ločimo tri območja, ki so po Schlichtingu s sodelavci (2000): 1. Laminarni del mejne plasti: 0. 0 drl (4.31) Enačba je poznana kot »Velocity-Deficiency Distribution« in dejansko podaja razliko hitrosti do vrednosti maksimalne hitrosti umax+ v osi cevi. Z obsežnim eksperimentalnim delom je bilo dokazano, da je osrednji del toka (imenovan tudi »Defect Layer«) neodvisen od mejne plasti in od Reynoldsovega števila (Schlichting et al., 2000). Ker mora biti hitrost us na stiku med mejno plastjo in osrednjim tokom enaka, lahko zapišemo: lim(u+ (n) ) = lim \u+ \y+ )) = — • ln(y+ ) + C 7->1 y ->0O (4.32) 1 y V u Robna pogoja na stiku med mejno plastjo in osrednjim tokom sta naslednja: 52 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Osrednji tok: Mejna plast: lim i]—>1 fdu+ ^r-^Fn) lim du+ dy' \+ J w (4.33) (4.34) V enačbo 4.30 vstavimo y+ = (1 - r/)-ReT, robna pogoja 4.33 in 4.34 ter dobimo: umax + +lim f — -d?] \ = -ln(ReT) + C + -lim]\ 1—Xdrj. (4.35) S preureditvijo dobimo končni zapis analitične rešitve maksimalne hitrosti v ceveh krožnega preseka pri visokih Reynoldsovih številih, brez uporabe modelov turbulence. 1 max Ir / C K Konstanta C se zapiše kot: C = - lim f tj—>1 J öu + d?7 *:•(1-/7) •Ö/7 (4.36) (4.37) Ker sta ? in C+ univerzalni konstanti, je potrebno z modelom turbulence določiti samo konstanto C Povprečno hitrost po prerezu cevi lahko zapišemo kot: + um 2 u = =------ v vR \u -rdr = 2\u+ -îjôî] = um + C (4.38) Konstanta C se zapiše kot: _____ 77 C =-2lim \\umax+ -u+ )-î]dî] (4.39) Zakon upora se torej glasi: um IC ln{ReT)+C+ +C + C (4.40) Iz obsežnih raziskav in meritev hitrostnih profilov je bilo ugotovljeno, da znaša C +C = -3,04 (Schlichting et al., 2000). Iz enačbe 4.40 lahko izrazimo koeficient trenjaX kot: x = - 8X= 8 32 ' ReT P'um u + Y \yRe (4.41) 1 y 1 + 0 o 1 2 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 53 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Iz enačbe 4.41 sledi, da je brezdimenzijsko število ReT funkcija Reynoldsovega števila in koeficienta trenja A, kar ima za posledico, da enačba 4.41 ni izražena v eksplicitni obliki (koeficient trenja X ni eksplicitno izražen). Eksplicitna oblika enačbe se lahko zapiše kot: A = 8- —p—š-G(A,&) . (4.42) V enačbi 4.42 so k = 0,41, 0 = -0,17 in A = 2 lnRe) ter funkcija G, ki se izrazi kot: ----h 2 ln — -0 = A . (4.43) G \^GJ Funkcija je tabelirana v Gersten in Herwig (Schlichting et al., 2000) in izpolnjuje pogoj limG(A,0) = 1. A-»°o Odprto ostaja še vprašanje popravka profila hitrosti zaradi odmika osrednjega toka od ostenja. Tema je podrobno obravnavana v delu McKeon in sodelavcev (2005). Izraz 4.18 se tako dopolni v obliko: lim \u+ \y+ )) = — • ln ( y+ + a+ ) + C+, (4.44) kjer je a+ = a 'v*/ brezdimenzijsko število zamika. Zamik je potrebno upoštevati na stiku zunanjega sloja mejne plasti in osrednjega toka (»Overlap Layer«), ko je disipacija energije dovolj velika, da v zunanjem sloju mejne plasti ni turbulence oziroma ta nima obstoja (Wosnik et al, 2000). V takšnem primeru postane izraz za določitev koeficienta trenja še zahtevnejši. Pri razvoju izraza koeficienta trenja X v poglavju 7 bo zaradi pragmatičnosti privzeta vrednost a = 0, kar ustreza raziskavam Nikuradseja, Prandtla, Schlichtinga in drugih. Zaradi kompleksnosti določitev koeficienta trenja A, so se številni avtorji spopadali s problematiko določitve čim natančnejše enačbe, ki opisuje koeficient trenja tako v hidravlično gladkem kot hidravlično hrapavem režimu turbulentnega toka. Rezultati so podani v naslednjih treh poglavjih. 4.2.1 Hidravlično gladek režim toka V hidravlično gladkem režimu toka imajo viskozne sile bistveno večji in odločujoči vpliv kot hrapavost ostenja. Koeficient trenja je v tem območju odvisen samo od Reynoldsovega števila (A = f(Re)). Leta 1913 je H. Blasius med prvimi obravnaval hidravlično gladke cevi in turbulentni tok. Rezultate je prikazal v empirični formuli: „ 0.3164 A =------r . (4.45) Re 1 4 Avtor navaja veljavnosti izraza na intervalu Reynoldsovih števil 2320 ? Re ? 105 (Blasius, 1913, cit. po Hopf, 1923). 54 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Na podlagi obsežnih raziskav je Schlichting (1936) zaključil, da je v hidravlično gladkem režimu funkcija C+(ks+) dejansko konstantna z vrednostjo C+ = 5. Na podlagi te vrednosti sledi iz enačbe 4.38 znan Prandtlov oziroma Nikuradsejev (1932) izraz, ki ga imenujemo tudi univerzalni zakon gladkih cevi: r= = 2 log(ReVÄj- 0,80 = 2,0 • log yj A 2,51 (4.46) Opozoriti je potrebno na dejstvo, da sta Nikuradse (1932) in Prandtl izpeljala enačbo 4.41 z vrednostjo v. Karmanove konstante k = 0,40, ki je bila določena na podlagi njunih meritev hitrostnega profila. Schlichting (1936) je v svojih zaključkih uporabil vrednost k = 0,41. Poleg zgoraj navedenih izrazov obstaja še mnogo drugih izrazov, ki ohranjajo enako funkcijsko odvisnost kot izraz 4.45 ali sledijo nastavku  = a-\-------, oziroma izrazi oblike funkcije 4.46. Nekaj Ren teh izrazov je prikazanih v preglednici 4.2. Preglednica 4.2: Izrazi koeficienta trenja v hidravlično gladkem režimu toka Table 4.2: Different friction factor equations for hydraulically smooth flow Izraz Avtor . 0.6104 1 = 0,00714 +00 T. E. Stanton in J. R. Pannell (1914), cit. po Nikuradse (1932) . 0,396 1 = 0,0054 +----- Re 0,3 L. Schiller (1930), cit. po Nikuradse (1932) 1 = 1,95log(Rel)-0,55 J. Nikuradse (1932) . 0,221 1 = 0,0032+ Re 0,237 J. Nikuradse (1932) 1 fRe^j 71 1, og 7j C. F. Colebrook (1939) 1 / s. ^ = 4,13.log(Re.1) v. Karman (1921), cit. po Kirschmer (1951) 1 / ^ - 1,8- log [Re)-1,5 P. K. Konakov (1980), cit. po Kiselev (1980) 1 = ( Re | V 8 j J 2 G. F. Filonenko (1946), cit. po Petrešin (1987) 1 = 1,884log(ReVl)-0,331 M. V. Zagarola in A. J. Smits (1998) Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 55 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer V današnjih dneh so McKeon in sodelavci (2005) na podlagi svojih meritev podali nekoliko »popravljeno« izvedbo enačbe 4.44 (k = 0.423), ki se zapiše: j= = 1,930 log[Re-\[A)- 0,537 . (4.47) Na diagramu, ki ga prikazuje slika 4.5, je prikazan potek izrazov Blasiusa (enačba 4.45), univerzalnega zakona gladkih cevi (enačba 4.46) in izraza Zagarole (enačba 4.47). Rezultati so primerjani z meritvami v hidravlično gladkih ceveh Nikuradseja (1932), Swansona in sodelavcev (2002), McKeona in sodelavcev (2004) ter meritvami, opravljenimi v sklopu pričujoče disertacije v hidravličnem laboratoriju UL-FGG. 1.875 - 1.75 - 1.625 UL-FGG (2009) Princeton (2004) Oregon (2002) Nikuradse (1932) Blasius (1913) Univerzalni zakon McKeon et al(2004) 1.5 1.375 - 1.25 1.125 - 0.875 0.75 0.625 - X I_______________i_______________i_______________i________________i_______________i_______________i_______________i_______________i________________i_______________i_______________i_______________i_______________i_______________i________________i_______________i_______________i_______________ 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 7.25 7.5 7.75 8 log(9?e) Slika 4.5: Primerjava izrazov koeficienta trenja A v hidravlično gladkem režimu toka Figure 4.5: Comparison of some friction factor equations for hydraulically smooth flow 2 56 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 4.2.2 Hidravlično hrapav režim toka V hidravlično hrapavem režimu toka ima na vrednost koeficienta trenja ? izključno vpliv hrapavosti ostenja. Viskozne sile so v primerjavi z izgubami, ki nastanejo zaradi pulzacij hitrosti (turbulence), zanemarljive. Koeficient trenja je v tem območju odvisen samo od relativne hrapavosti ks/D. Strižna napetost ?t in s tem koeficient trenja ? postaneta odvisna od kvadrata hitrosti. V hidravlično hrapavem režimu toka iz izrazov 4.20 in 4.39 sledi: f8 1 = — * ln \a k R \ksJ + Cr+(ks+). (4.48) Kot že pokazano, za hidravlično hrapav režim velja Cr+ = 8 (Schlichting et al., 2000). Ko pretvorimo naravni logaritem v logaritem z desetiško osnovo in polmer cevi zamenjamo s premerom ter upoštevamo ? = 0,41, dobimo: 1 ln(10) ----- _ --------- log D 2-k s J 8 + = = 1,986-log V8 D 2-k + 2,828. (4.49) s J Nikuradse, Prandtl in v. Karman so na podlagi svojih meritev in vrednosti ? = 0,40 podali nekoliko spremenjeno enačbo 4.48. Zaključili so, da se najbolj prilega meritvam izraz, ki ga imenujemo tudi zakon popolne hrapavosti: 1 VI 2-log D 2-k +1,74 = 2 • log 3,7-D s J (4.50) s J V primeru, da standardna »peščena« hrapavost ni poznana, se lahko v izrazu 4.49 oziroma 4.50 uporabi pretvorba tehnične hrapavosti z izrazom 4.23 ali 4.24 oziroma vrednosti iz preglednice 4.1 ali privzete preglednice 4.1. Diagram na sliki 4.6 prikazuje primerjavo enačbe 4.50 z Nikuradsejevimi meritvami hidravlično hrapavih cevi. _ Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 57 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer •* • ¦•y*..:....-* .¦. 57g ,3 V . • _• •$• TT» • • " •VT Nikuradse (1933) Zakon popolne hrapavosti k/D = 1/30 s k/D = 1/61.2 s k/D = 1/120 s 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 log(?e) Slika 4.6: Zakon popolne hrapavosti (enačba 4.48) v hidravlično hrapavem režimu toka Figure 4.6: Friction factor equation 4.48 in fully rough regime ----m^-m. ««-_-.. k /D = 1/252 •;•••........•- ••••v« k/D = 1/504 s — -----^ k/D = 1/1014 Obstaja še nekaj empiričnih izrazov koeficienta trenja ? za hidravlično hrapav režim toka, ki pa niso imeli vidnejšega pomena. Širšo uporabo je doživela le izpeljava Manningove enačbe v zapisu: /1 = 124 n D (4.51) 4.2.3 Prehodno območje Raziskave vzrokov prehoda iz laminarnega v turbulenten tok so segala v začetke 30. let prejšnjega stoletja. Teorija predpostavlja, da se tudi v laminarnem režimu toka pojavljajo motnje, ki nastajajo kot posledica vtoka v cev, hrapavosti ostenja oziroma kot motnje v samem dotoku. Po načelu superpozicije se te motnje dodajo osnovnemu laminarnemu toku. Ključni element, ki nadzira prehod v turbulentni tok, je obstojnost takšnih motenj v času in vzdolž toka. Tok se obravnava kot stabilen, če takšne motnje vzdolž toka oziroma s časom »ugasnejo«, 58 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer oziroma nestabilen, če se takšne motnje s časom in vzdolž toka povečujejo. To problematiko obravnava teorija stabilnosti laminarnega toka, ki ima kot cilj določitev kritičnega Reynoldsovega števila, pri katerem se prehod iz laminarnega v turbulenten režim dejansko zgodi. Modeliranje takšnih pojavov pa ne obsega več enodimenzionalnega toka, ampak vključuje reševanje Navier-Stokesove v dveh ali treh dimenzijah ob uporabi ustreznih modelov turbulence, kar ni tema pričujoče raziskave. Na osnovi eksperimentov, ki sta jih izvajala Colebrook in White, je Colebrook leta 1939 podal enačbo, ki velja tudi za prehodno območje: 1 ( k 2,51 ^ VI -2,0-log ks + 3,7D Reji (4.52) Diagram na sliki 4.7 prikazuje Colebrook-Whitovo enačbe v primerjavi z Nikuradsejevimi meritvami. 1 1 1 1 1 1 1 III • Nikuradse (1933) 1.15 Colebrook - White 1.1 - • • 1.05 1 - 1 ¦ - 0.95 - . - x\ -. 0.9 - K '*• v - h x\ 0.85 ^v* \ 0.8 _ ^xv ^ x ""--__ k/D = 1/30 \^ 0.75 - • 0.7 - • ••* . v\x ^ " - - _ K/D = 1/61.2 « v\ x«.% ~ - - s 0.65 - 0.6 0.55 0.5 - • •" V/FiEfr* ~~-^ k/D = 1/120 Km •*** •• ^ «p- ^_ k /D = 1/252 •x -. ^--__ s 0.45 - 0.4 - ¦*¦*.«•*" *^ - k/D = 1/504 0.35 - ^V -->V^ 1/1014 -L>••••- «•«J»** k /D = 1/1014 0.3 - •» - --------- 0.25 I I I I I I I I I I I 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 log(9?e) Slika 4.7: Primerjava Colebrook-Whitove enačbe z meritvami Nikuradseja Figure 4.7: Comparison of the Colebrook-White equation with Nikuradse’s measured data Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 59 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Opis eksperimenta je podan v poglavju 3. Rezultati eksperimentov vodijo do prepričanja, da so velika zrna tista, ki kontrolirajo začetek prehoda. Na podlagi tega sta Colebrook in White ugotovila, da je pri neenotni hrapavosti prehod krivulj iz območja gladkosti v območje hrapavosti postopen (Colebrook in White, 1937). Colebrook-Whitov izraz (enačba 4.52) je primeren za uporabo na območju veljavnosti Reynoldsovega števila med 4.103 < Re < 108. Sam Colebrook eksplicitno tega ne navaja, kljub temu da gre za empirično in ne analitično izpeljano zakonitost. Mnogi avtorji so objavili številne enačbe, ki »naj bi« veljale v prehodnem območju. Nekaj jih je prikazanih v preglednici 4.3. Preglednica 4.3: Izrazi koeficienta trenja v prehodnem režimu toka Table 4.3: Different friction factor equations for hydraulically smooth flow Izraz Avtor /1 = 0,0055 1 + 1 ^ks 1063 20000- +----- D Re L. F. Moody (1944) , 146-k 100V A = 0,1----------s +----- D Re A. D. Altšulj (1952), cit. po Petrešin (1987) k = 0,25 VI 3 715 ks D f -2 0 • log 4,3 Re ks ks + DJ 5,1286 V3,7D Re0,9 D. Citrini (1962) D. H. I. Barr (1975), cit. po Featherstone in Nalluri (1982) 1 f ks 9,35 —------— VI 1,14-2,0-log + \_D Reyl R. W. Jeppson (1976)  = 1,325 2 ks 5,74 ln+ 3,7D Re , P. K. Swamee in A. K. Jain (1976) VI 1,80-log 1,11 ks y3,7-Dj + 6,9 Re S. E. Haaland (1983) k = R7 2\ R R 6 1 Re 0,9 V. L. Streeter in E. B. Wylie (1985) 2 2 1 1 60 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer V današnjih dneh sta P. K. Swamee in P. N. Rathie (2007) podala funkcijo enačbe koeficienta trenja ?, ki velja tudi v prehodnem območju. Z uporabo Lagrangevega teorema je funkcija zapisana v obliki: 1 71 S (-0,8687)n d n-1 n! dx n-1 r ks 2,51 ln s +—x \3,7-D Re (4.53) Avtorja navajata, da s seštevkom prvih treh členov vrste dosežemo za inženirsko prakso zadovoljivo natančnost. Tukaj velja omeniti tudi prispevek Uršiča in Kompare (2003), ki sta nakazala pot, kako uspešno združiti tri ločene člene koeficienta trenja (laminarno, hidravlično gladko in hidravlično hrapavo območje) ter tako dobiti izraz, ki opisuje celotno območje Reynoldsovih števil z upoštevanjem dogajanja v prehodnem režimu toka. Izraz ima obliko: A = —-(1-y1) + b-T-(y1-y3) Re Rep V enačbi 4.54 so »preklopne« funkcije zapisane kot: _e-(j-Re + S) log2 ks ks-D y2 = e - f lil2-+Q2 i-Re+f y/2 ¦—+u>2 ¦+Q3 ¦Re+ y/3-+ y3 = e Vrednosti parametrov so na razpolago v Uršič in Kompare (2003). y2 . (4.54) (4.55) (4.56) (4.57) Pri uporabi enačb, ki veljajo v prehodnem in hidravlično hrapavem območju, je potrebno posebno pozornost nameniti vrednosti parametra standardne »peščene« hrapavosti ks. Številni avtorji v svojih enačbah uporabljajo različne oznake parametra hrapavosti (npr. k, ?, ipd). Ker so dejansko vse enačbe izpeljane na podlagi Nikuradsejevih ali Colebrook-Whiteovih meritev, je potrebno kot parameter hrapavosti uporabljati vrednost standardne »peščene« hrapavosti ks. Iz tega razloga so enačbe v tabeli 4.3 zapisane z vrednostjo ks, čeprav so v izvirni literaturi uporabljene različne oznake. Ekvivalentne vrednost parametra »peščene« hrapavosti so za različne materiale in stanja cevi podane v preglednici 4.1 in privzeti preglednici 4.1. Možna je tudi pretvorba na podlagi meritev porazdelitve hitrosti u+(y) in uporabe enačbe 4.23 ali 4.24. n _ n— c Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 61 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 5 EKSPERIMENTALNI DEL RAZISKAVE Eksperimentalni del raziskave je potekal v hidravličnem laboratoriju Katedre za mehaniko tekočin na Univerzi v Ljubljani, Fakulteti za gradbeništvo in geodezijo (UL-FGG). Osnovni namen raziskave je bil ponoviti meritve, ki jih je Nikuradse izvajal v 30. letih prejšnjega stoletja. Meritve so se izvajale na polietilenski cevi (PE 100) PN16, dolžine 6 m in nominalnega premera DN 63 mm oziroma z notranjim premerom 50,83 mm (glej poglavje 5.3). Preiskano je bilo območje Reynoldsovih števil 141 < Re < 1,21×105 v laminarnem in hidravlično gladkemu režimu toka. Cev je izdelana skladno s standardom SIST EN 12201. Vse meritve so potekale v stacionarnih razmerah. 5.1 Merilna proga Merilna proga je bila izdelana izključno za namen te raziskave in je prikazana na sliki 5.1 oziroma shematsko na sliki 5.2. Med eksperimentom so potekale meritve diferencialnega tlaka, pretoka in temperatura vode. Slika 5.1: Merilna proga v laboratoriju Katedre za mehaniko tekočin (UL-FGG) Figure 5.1: The experimental facility for pressure, flow and temperature measurements at UL-FGG 62 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Slika 5.2: Shema merilne proge Figure 5.2: Scheme of the experimental facility Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 63 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Umirjevalni bazen s prelivom, ki je prikazan na sliki 5.3, zagotavlja konstantno tlačno razliko približno 5,5 m nad iztokom preizkuševalne cevi. Od tu se je voda spuščala preko gibke cevi notranjega premera 125 mm do preizkuševalne cevi. Slika 5.3: Umirjevalni bazen s prelivom Figure 5.3: Settling tank with overflow Pred vtokom v umirjevalni odsek sta nameščena 90o lok z oporo (N kos) in glavna zaporna loputa. Predhodno je bilo preverjeno, da loputa in lok (oba dimenzije 125 mm) ne povzročata motenj v toku, oziroma se te motnje na zagotovljeni umirjevalni dolžini izničijo. Prehod iz nominalne dimenzije 125 mm na premer 50 mm je urejen preko prehodnega kosa (FFR 125/50 mm), ki ima kot prehajanja manjši od 4o, tako da ne povzroča neželenih motenj v toku. Nastajanje morebitnih motenj pri vtoku v merilno cev se je preprečilo z namestitvijo umirjevalnega odseka. Na vtoku je pred prvim merilnim prerezom (merilno mesto 1) postavljen umirjevalni odsek dolžine 1,20 m, ki ga prikazuje slika 5.4. Razmerje med premerom preizkusne cevi in dolžino 1200 mm/ /50,83 mm umirjevalnega odseka znaša 23,61. 64 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Slika 5.4: Umirjevalni del na vtoku v preizkuševalno cev Figure 5.4: Flow conditioning section at inlet of the pipe Del umirjevalne dolžine je sestavljen iz pleksi cevi premera 50 mm, tako da je bilo mogoče v cev izpustiti barvilo za sledenje tokovnic. Meritve tlaka so se izvajale na 6 merilnih prerezih z oznakami od 1 do 6. Le-ti so na cev nameščeni tako, da so bile v vsakem prerezu navrtane 4 merilne luknjice s premerom 2 mm, ki so bile nato natančno obrušene. Primer nastavka za merjenje tlaka prikazuje slika 5.5. Slika 5.5: Primer namestitve merilnega prereza Figure 5.5: Pressure taps at measuring section Iz merilnega prereza so do diferenčne tlačne sonde oziroma do vodnega manometra potekale plastične cevke notranjega premera 4 mm. Tako kot na vtoku je tudi na iztoku (slika 5.6) preizkusne cevi, tik pred induktivnim merilcem pretoka, nameščen umirjevalni odseki dolžine 1,20 m. Ravno tako je bila tudi tukaj nameščena možnost dodajanja barvila za sledenje tokovnic. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 65 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Slika 5.6: Umirjevalni del z induktivnim merilcem pretoka na iztoku preizkuševalne cevi Figure 5.6: Flow conditioning section at the outflow of the pipe with the magneto-inductive flow meter Na razdalji 0,5 m od induktivnega merilca je nameščen regulacijski ventil z elektromotorjem, ki se krmili s pomočjo digitalno-analognega konverterja ter osebnega računalnika. Za regulacijskim ventilom je nameščen še kroglični ventil, ki omogoča popolno zaporo pretoka. Regulacijski in zaporni ventil sta prikazana na sliki 5.7. Slika 5.7: Regulacijski ventil z elektromotorjem in zaporni kroglični ventil Figure 5.7: Regulation valve with actuator and stop valve Na iztoku iz preizkusne cevi je nameščena posoda, ki omogoča volumetrično merjenje pretoka. V posodi je nameščen tudi termočlen (tip K), ki meri temperaturo vode. Iz posode se nato voda prečrpa v bližnji bazen, od koder se s pomočjo črpalke vrne v umirjevalni bazen. Posoda s črpalko je prikazana na sliki 5.8. 66 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Slika 5.8: Merilna posoda s potopno črpalko Figure 5.8: Volumetric flow measuring system with a recirculation pump Ker so meritve potekale tako v laminarnem kot turbulentnem režimu toka, je bilo potrebno zagotoviti pogoje, ki so zagotavljali ustrezen režim toka (predvsem laminarnega toka). Za laminarni režim toka Christiansen in Lemmon (1965) navajata, da je dolžina, pri kateri se hitrost v osi cevovoda odmakne za manj kot ±1 % od teoretično določene parabole (enačba 4.4), določena kot: L 99% = 0,056? Re (5.1) D Iz sheme 5.2 lahko razberemo, da je celotna dolžina merilne cevi in umirjavalnih delov na vtoku in iztoku L = 7,40 m. Pri premeru 50,83 mm lahko iz enačbe 5.1 določimo mejno Reynoldsovo število, ki znaša Rekrit ? 2600. Glede na to, da je naravni prehod iz laminarnega v turbulentni režim pričakovati pri Rekrit ? 2300, lahko ugotovimo, da je dolžina preizkusne cevi z umirjavalnimi odseki ustrezna. 5.2 Zajem in obdelava podatkov Krmiljenje in zajem podatkov je bil opravljen preko digitalno-analognega konverterja podjetja National Instruments. Uporabljen je bil konverter NI DAQCard-6036E, ki omogoča zajem podatkov v 16 bitni resoluciji s hitrostjo 200 kS/s (200000 vzorcev v sekundi) pri nazivni napetosti ±10 V. Relativna napaka pretvornika na vhodnih kanalih pri maksimalni obremenitvi (±10 V) in povprečenju 1000 vzorcev znaša 0,0855 % (8,55 µV), brez povprečenja pa 0,1326 % (13,26 µV). Vrednosti veljajo v primeru, če pretvornik ni kalibriran v obdobju enega leta. Napaka je še nižja, če se dnevno opravi kalibracija. Tedaj je relativna napaka pri polni obremenitvi in povprečenju 1000 vzorcev 0,0813 % (8,13 µV) oziroma 0,1284 % (12,84 µV). Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 67 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Nazivno napetost 10 V je dejansko potreboval samo temperaturni senzor, ostale sonde imajo tokovni izhod 20 mA, kar pri uporu 250 ? znaša 5 V. Vse meritve so bile opravljene z dnevno kalibracijo digitalno-analognega konverterja (postopek je samodejen in traja 15 minut) in s povprečenjem 1000 vzorcev. Relativna napaka analogno-digitalnega konverterja pri obremenitvi ±5 V in povprečenju 1000 vzorcev znaša 0,0458 % oziroma 4,58 µV. S povprečenjem 1000 meritev je bila dosežena boljša natančnost, posledično pa se je znižala hitrost vzorčenja, ki je iz nastavljenih 10 kS/s dejansko znašala 10 S/s (10 vzorcev v sekundi). Ker so meritve potekale v stacionarnih razmerah, je takšna hitrost več kot zadovoljiva. Priklop merilnih inštrumentov na analogno-digitalni konverter je izveden posredno preko blok konektorja CB-68LPR I/O podjetja National Instruments. Uporabljeni so oklepljeni signalni kabli, ki zmanjšajo induciran šum iz okolice. Vsi inštrumenti so bili ozemljeni v isti točki tako, da so imeli identičen električni potencial. Digitalno-analogni konverter je preko SCH68-68-EP oklepljenega kabla (proizvajalec National Instruments) neposredno priklopljen na prenosni računalnik. Krmiljenje analogno-digitalnega konverterja oziroma shranjevanje in delna obdelava signala je izvedeno preko programskega okolja LabVIEW 8.5, proizvajalca National Instruments. LabVIEW predstavlja grafični programski jezik, ki omogoča programiranje in avtomatiziranje merilnih in kontrolnih sistemov ter sistemov zajemanja podatkov. Klasično programiranje z besednimi ukazi je zamenjano z ikonami ter tokom podatkov, ki nadomešča klasično zaporedje tekstualne programske kode. Pred pričetkom meritev je bilo potrebno izdelati uporabniški vmesnik oziroma tako imenovani »virtualni inštrument«. Izdelana sta bila dva »virtualna inštrumenta«, prvi za umerjanje sond in drugi za izvedbo meritev. 5.3 Merjene količine in merilni inštrumenti Za uspešno izvedbo meritev je bilo potrebno za preizkusno cev poznati naslednje količine: 1. hrapavost in premer, 2. diferenčni tlak med merjenimi prerezi, 3. pretok oziroma povprečno hitrost, 4. temperaturo oziroma kinematično viskoznost in gostoto vode. V nadaljevanju bodo podrobneje predstavljeni postopki merjenja omenjenih količin. 5.3.1 Hrapavost in premer cevi Hrapavost cevi je bila izmerjena z inštrumentom za merjenje hrapavosti podlage Mitutoyo SJ-301. Nominalna merilna dolžina inštrumenta znaša 0–12,5 mm ob resoluciji 0,25–5 µm oziroma nominalna višina hrapavosti znaša 0–350 µm z resolucijo 0,01–0,4 µm. Rezultat meritev predstavlja R-profil 68 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer hrapavosti, ki ga opisujejo parametri Ra, Rq, Rz in Rp. Parameter Rq, definiran kot standardna deviacija hrapavosti profila (»root mean squared roughness«), je merodajen za definiranje hrapavosti površin. R-profil hrapavosti predstavlja dejanski profil hrapavosti, imenovan kot P-profil, z odstranjeno »valovitostjo« merjenca (cevi). Valovitost je odstranjena z dolgovalovnim filtriranjem P-profila. Primerjava je prikazana na sliki 5.9. P-profil: Dejanski profil hrapavosti R-profil: Filtriran profil hrapavosti Slika 5.9: Primerjava P in R profila hrapavosti Figure 5.9: P and R profile of the surface roughness Povprečje vseh meritev določa povprečno linijo ostenja oziroma »nošenje profila«. Za prvi približek povprečja so upoštevane vse meritve, vključno z vsemi maksimumi in minimumi. Iz meritev se nato odstranijo vsa »groba« dostopanja, kar določi drugi približek povprečne linije. Dokončna povprečna linija (»nošenje profila«) hrapavosti se dobi s kompenzacijo vseh meritev in združitvijo z vsemi meritvami. Postopek je prikazan na sliki 5.10. °1: A: Povprečna linija vseh meritev B: Odstranjena groba odstopanja C: Prvi približek »nošenja profila« D: Končni rezultat meritev: »Nošenje profila« Slika 5.10: Postopek določitve povprečne linije profila hrapavosti (»nošenje profila«) Figure 5.10: Handling of the surface roughness measurements Definicija merjenih parametrov skladno s standardom ISO 4287:1997 je podana v preglednici 5.1. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 69 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Preglednica 5.1: Parametri hrapavosti po standardu ISO 4287:1997 Table 5.1: Definition of the roughness parameters according to ISO 4287:1997 1 V^ r =—y \Yi\ Aritmetično povprečje odstopanja od linije »nošenja profila« A \ 1/1/1 \ Yi fi J J li \ A J L Standardna deviacija hrapavosti profila TV/ \/ 1 j l Rq=y NYy2 Yi 5 R = i=1 5 Maksimalna višina med konkavno in konveksno hrapavostjo Pi 5 YuPi R = i=1 p 5 Maksimalna višina profila hrapavosti (konveksne hrapavosti) ^Zi y \_j Meritve so se izvajale na 10 kosih polietilenske cevi (PE 100) DN 63 mm, dolžine 1,5 cm. Odseki so bili pridobljeni iz različnih ostankov neuporabljenih (novih) cevi, ki niso bili uporabljeni pri meritvah tlačnih izgub. Vsak odsek je bil izmerjen na 10 različnih mestih, in sicer 10 krat prečno ter 10 krat v vzdolžni smeri obravnavanega odseka. Izmerjeno je bilo 100 vzorcev prečne kot vzdolžne hrapavosti ostenja. Meritve so bile opravljene na vzročni dolžini ?c = 8,00 mm z resolucijo razdalje na 5 µm. Resolucija merjenja višine hrapavosti je prikazana v preglednici 5.2. Izkazalo se je, da se vzorec profila hrapavosti ponavlja tako v prečni kot v vzdolžni smeri cevi. Povprečje vseh rezultatov je podano v preglednici 5.2. Podatki meritev so priloženi v prilogi 1. Preglednica 5.2: Izmerjena hrapavost po standardu ISO 4287:1997 Table 5.2: Measured values according to ISO 4287:1997 Resolucija [µm] Absolutna napaka [µm] Interval zaupanja 95 % [µm] Relativna napaka [%] Maksimalna relativna napaka [%] Ra [µm] 2,77 0,01 0,04 0,01 1,45 3,80 Rq [µm] 3,39 0,01 0,06 0,01 1,63 5,12 Rz [µm] 14,77 0,05 0,25 0,05 1,72 4,67 Rp [µm] 9,47 0,01 0,09 0,02 0,91 2,60 Napake v preglednici 5.2 imajo naslednjo definicijo: Relativna napaka: Maksimalna relativna napaka: ± — •100 ±max x- x\ v x 100 95 % interval zaupanja povprečne vrednosti: ±2- a 4n 70 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer kjer je ? standardna deviacija oziroma absolutna napaka meritev, x opravljena meritev, x povprečna vrednost meritev ter n število meritev. Interpretacija rezultatov v smislu standardne »peščene« hrapavosti je sledeča. Parameter Rq predstavlja standardno deviacijo (?) od linije »nošenja profila«. Ob upoštevanju 95 % intervala zaupanja izračunane povprečne vrednosti parametra Rq znaša povprečna hrapavost Rq = (3,39 ± 0,01) µm. Glede na definicijo standardne »peščene« hrapavosti (hrapavost predstavlja premer peščenega zrna) ne moremo trditi, da predstavlja ta vrednost naš izmerjen ekvivalent hrapavosti. Zaključimo lahko le, da znaša tehnična hrapavost merjene cevi kteh = Rq= 3,39 µm, višina maksimalne hrapavosti pa kmax = Rp = 9,47 µm. Standardno peščeno hrapavost je mogoče določiti samo na podlagi izmerjenega profila hitrosti u+(y) v mejni plasti ob ostenju (glej poglavje 4.2.2). Izmerjene tlačne izgube kažejo, da so meritve koeficienta trenja ? opravljene v hidravlično gladkem režimu toka. Prehod v hidravlično hrapav režim ni dosežen, kar pomeni, da je vrednost Reynoldsovega števila hrapavosti (ks+) manjša od 4. Na podlagi tega dejstva in ob predpostavki, da bi pri naslednjem večjem Reynoldsovem številu, kot je bilo največje izmerjeno, meritev presegla ks+ > 4 lahko analogno kot Swanson s sodelavci (2002) ter Zagarola in Smits (1998) določimo maksimalno ekvivalentno »peščeno« hrapavost, ki za naš primer znaša ks = 35,59 µm. Poudariti je potrebno, da je to le hipoteza, ker se meritve dejansko niso odklonile od linije hidravlično gladkih cevi. Notranji premer cevi je bil izmerjen z digitalnim kljunastim merilom z nominalno merilno razdaljo 150 mm in resolucijo 0,01 mm. Meritve so bile opravljene na 10 kosih polietilenske cevi, na katerih se je merila tudi hrapavost. Premer cevi je bil izmerjen iz obeh strani obravnavanega odseka, in sicer na vsaki strani 10 krat. Skupno je bilo opravljenih 200 meritev, ki izkazujejo standardno deviacijo ? = ±0,61 mm. Z upoštevanjem 95 % intervala zaupanja znaša premer cevi D = (50,83 ± 0,09) mm. 5.3.2 Meritve tlaka Kot je prikazano na sliki 5.2, so diferenčni tlaki merjeni na 6 merilnih prerezih. Meritve tlaka so potekale z dvema inštrumentoma: 1. Diferenčna tlačna sonda Endress & Hauser Deltabar PMD75 s kovinsko membrano in nazivnim tlakom 100 mbar. 2. Vodni manometer z optičnim zaznavanjem. Inštrumenta sta delovala istočasno, tako da smo v vsakem trenutku imeli primerjavo opravljenih meritev. Z merilnimi prerezi na cevi sta inštrumenta povezana s plastičnimi cevkami premera 4 mm. Ker sta za sondo Deltabar PMD75 predvidena le dva tlačna priključka, je bilo potrebno pripraviti sistem ventilov, ki omogoča enostavno preklapljanje med različnimi merilnimi prerezi. Na tem mestu je omogočeno tudi prezračevanje merilnih prerezov oziroma preizkusne cevi. Sistem ventilov prikazuje slika 5.11. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 71 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Slika 5.11: Sistem preklapljanja in odzračevanja med 6 merilnimi prerezi na cevi Figure 5.11: Switching and aeration valves for 6 pressure measuring sections 5.3.2.1 Diferenčna tlačna sonda Deltabar PMD75 Tlačna sonda Deltabar PMD75 s kovinsko membrano omogoča merjenje diferencialnih tlakov do nazivne razlike 100 mbar z maksimalno preobremenitvijo 160 bar. Izhodni signal inštrumenta predstavlja tokovni izhod od 4 do 20 mA, z resolucijo 1 µA. Sonda je prikazana na sliki 5.12. Za potrebe pričujoče raziskave nam je bila sonda posojena s strani Fakultete za strojništvo Univerze v Ljubljani. Slika 5.12: Diferenčna tlačna sonda Endress & Hauser Deltabar PMD75 Figure 5.12: Differential pressure sensor Endress & Hauser Deltabar PMD75 72 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Merilno območje se lahko zniža, kar izboljša resolucijo in absolutno napako sonde v smislu izmerjenih tlakov do vrednosti 1 mbar. Na podlagi predhodnih analiz je bilo ugotovljeno, da bo potrebno sondo uporabljati pri nastavitvi merilnega območja 0–1 mbar, 0–25 mbar in 0–100 mbar. Za vsako merilno območje je bila pred pričetkom eksperimenta in po zaključku le-tega izvedena kalibracija. Na podlagi kalibracijskih točk so bile določene dve umirjevalni premici. Prva premica predstavlja idealno ravno linijo (»Best Straight Line6« ali »BSL«), ki jo dobimo z minimiziranjem kvadrata napake. Druga premica predstavlja ravno linijo, ki povezuje nominalno najnižjo in najvišjo vrednost izhodnega kanala (»Terminal Straight Line« ali »TSL«). Kalibracijske krivulje so prikazane na sliki 5.14. Po vsaki izmerjeni kalibracijski točki se je tlak postavil na izhodiščno vrednost 0 mbar in če je bilo potrebno, se je ponovno kalibriralo izhodišče inštrumenta ter opravilo meritev ničle. S takšnim postopkom umerjena ter izvajanja samih meritev, se je izničilo vpliv histereze ter temperature in dolgoročne stabilnosti inštrumenta. Tlačno višino pri umerjanju sonde se je določilo s pomočjo dveh posod, ki sta bili pritrjeni vsaka na svojem drsnem noniju s skalo, razdeljeno na 0,1 mm. Posodi sta bili med seboj povezani, tako da je bilo mogoče vzpostaviti identično tlačno višino, kar je določilo izhodiščno točko inštrumenta. Ko je bilo izhodišče določeno, se je povezava preko ventila prekinila. Želeno tlačno višino se je vzpostavilo s premikom drsnika nonija, na katerega je bila pritrjena ena od posod. Umerjevalni posodi sta prikazani na sliki 5.13. Slika 5.13: Umerjevalni posodi Figure 5.13: Calibration facility http://www.sensorsone.co.uk/news/63/What-is-the-BSL-and-TSL-accuracy-of-a-pressure-sensor.html Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 73 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Kalibracija pred eksperimentom: Pmax = 1mbar Kalibracija po eksperimenu: Pmax = 1mbar _ I 0, 1 0.9 ß 0.9 • Kalibracijske točke - - BSL - premica • Kalibracijske točke - - BSL - premica ,*' 0.8 ------------TSL - premica ß m 0.8 0.7 ------------TSL - premica y ß 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 ß y • y i __ 0.6 0.5 0.4 0.3 i / y m' y • 0.2 0.1 / 0.2 0.1 / /..... /......... 4 5.6 7.2 8.8 10.4 12 13.6 15.2 16.8 18.4 20 4 5.6 7.2 8.8 10.4 12 13.6 15.2 16.8 18.4 20 I [mA] TSL: P = 6,250 10"3xI-0,250 I [mA] BSL: P = 6,394 10 xI-0,263 BSL: P = 6,358 10"3xI-Q,255 K 25 alibracija pred eksperimentom: Pmax = 25mbar Kalibracija po eksperimenu: Pmax = 25mbar 1 « 22.5 f 22.5 • Kalibracijske točke - - BSL - premica y • Kalibracijske točke - - BSL - prenica ß 20 _------------TSL - premica 20 17.5 __ 15 ------------TSL - prenica 17.5 __ 15 i m y ß 12.5 4 12.5 i 10 7.5 5 2.5 0 ß/ • • ß........ 10 7.5 5 2.5 0< 0 4 V « • • 4 5.6 7.2 8.8 10.4 12 13.6 15.2 16.8 18.4 2 5.6 7.2 8.8 10.4 12 13.6 15.2 16.8 18.4 20 I [mA] I [mA] TSL: P = 1,5625xI-6,250 BSL: P = 1,563xI-6,244 BSL: P = 1,564xI-6,229 Ka libracija pred eksperimentom: Pmax = 100mb ar 100 90 Kalibracija po eksperimenu: Pmax = "lOOmbar 90 - • Kalibracijske točke - BSL - premica 4 • Kalibracijske točke - BSL - prenica y 80 - ------------TSL - premica 80 70 __ 60 50 ------------TSL - prenica 70 -__ 60 - 50 - ji m f • / * ji m o y 40 -30 -20 - m y • m y 4 40 30 20 m y « • y y 10 - m 10 0 0 / 4 5.6 7.2 8.8 10.4 12 13.6 15.2 16.8 18.4 2 \ 5.6 7.2 8.8 10.4 12 13.6 15.2 16.8 18.4 2 0 I [mA] I [mA] TSL: P = 6,250xI-25 BSL: P = 6,273xI -25,062 BSL: P = 6,269xI-25,049 Slika 5.14: Kalibracijske krivulje Deltabar PMD75 Figure 5.14: Calibration lines for Deltabar PMD75 74 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Relativne napake kalibracijskih krivulj so prikazane v preglednici 5.3. Preglednica 5.3: Relativne napake kalibracijskih krivulj Deltabar PMD75 Table 5.3: Relative error for calibration lines used with pressure sensor Deltabar PMD75 Po eksperimentu Pred eksperimentom »BSL« »TSL« »BSL« »TSL« Merilno območje [mbar] 1 25 100 1 25 100 1 25 100 1 25 100 Št. kalibracijskih točk [-]7 30 24 21 30 24 21 30 24 21 30 24 21 Resolucija [µbar] 0,0625 1,5625 6,25 0,0625 1,5625 6,25 0,0625 1,5625 6,25 0,0625 1,5625 6,25 Absolutna napaka [mbar] 0,003 0,016 0,018 0,006 0,018 0,091 0,001 0,025 0,015 0,007 0,026 0,114 Relativna napaka [%] 0,258 0,063 0,018 0,578 0,070 0,091 0,077 0,101 0,015 0,688 0,102 0,114 Maksimalna absolutna napaka [mbar] 0,005 0,027 0,046 0,017 0,057 0,309 0,002 0,051 0,032 0,016 0,065 0,416 Maksimalna relativna napaka [%] 0,510 0,108 0,046 1,673 0,227 0,309 0,174 0,205 0,032 1,586 0,262 0,416 Iz slike 5.14 lahko vidimo, da se koeficientu kalibracijskih krivulj v primeru »BSL« premic nekoliko spremenijo pred in po opravljenem eksperimentom. Napake zaradi nelinearnosti so zelo majhne (preglednica 5.3), postavlja pa se vprašanje ponovljivosti oziroma napake v naklonu kalibracijske premice. Če bi umerjanje s tolikšnim številom točk ponovili še »n krat«, bi dobili »n« različnih umerjevalnih premic. Iz tega razloga so bile za meritve uporabljene »TSL« umirjevalne premice, ki izkazujejo sicer nekoliko višjo napako, so pa enolično določene. Skladno z definicijo proizvajalca in običaji pri podajanju napake tlačnih sond (maksimalna relativna napaka) imajo izrazi v preglednici 5.3 naslednjo definicijo: Relativna napaka: Maksimalna relativna napaka: G ___ ±------100 Pm ± max x-P Pm 100 max ? kjer je ? standardna deviacija oziroma absolutna napaka meritev, x opravljena meritev, P vrednost, dobljena z umerjevalno premice, ter Pmax merilno območje inštrumenta. Merodajne nazivne napake (maksimalna relativna napaka) so zaradi nelinearnosti inštrumenta v tabeli 5.3 odebeljene. Pri propagaciji napake v nadaljnjih izračunih so merodajne absolutne napake in bodo v 7 Dejansko je število kalibracijskih točk dvakrat večje, ker je bilo pred vsako meritvijo ponovno izmerjeno izhodišče (ničla) inštrumenta. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 75 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer nadaljevanju predpostavljene kot dejanska napaka sonde zaradi nelinearnosti (odebeljene vrednosti absolutnih napak v preglednici 5.3). Gradient tlačne črte vsebuje tudi napako pri meritvi razdalje med referenčnim prerezom (merilno mesto 1) in prerezom, v katerem se vrši meritev. Prerezi so postavljeni na medsebojni razdalji 1000 mm z napako ± 0,5 mm. 5.3.2.2 Vodni manometer Vzporedno s tlačno sondo Deltabar PMD75 so potekale meritve z vodnim manometrom. Manometer je sestavljen iz pleksi cevi notranjega premera 40 mm in dolžine 1 m. Vpliva kapilarnega dviga v manometru ni, ker je premer večji od 12 mm (Steinman, 1999). Manometer je prikazan na sliki 5.15. Ker je manometer postavljen ob merilni cevi, je tlačna oziroma energijska linija postavljena bistveno više. Iz tega razloga je manometer zaprt, vse cevi so na zgornjem robu povezane med seboj, v manometru pa je s tlačilko vzpostavljen nadtlak. Z dodajanjem in odvzemanjem zraka se lahko uravnava položaj vodne gladine. Slika 5.15: Vodni manometer Figure 5.15: Water manometer Zajem podatkov je potekal samodejno, s pomočjo fotografskega aparata z resolucijo 10 milijonov pikslov. Fotografski aparat je postavljen na fiksnem stojalu na oddaljenosti 4 m, z nastavitvijo maksimalne optične povečave slike. Tako je efekt paralakse minimalen. Pod manometrom je 76 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer postavljena osvetlitev tako, da se na vodni gladini vzpostavi kontrast. Osvetlitev ni trajna, ampak se vključi po potrebi, sicer bi prišlo do segrevanja vode v manometru. Primer zajete meritve je prikazan na sliki 5.16. Slika 5.16: Meritev tlaka z vodnim manometrom Figure 5.16: Pressure measurement with the water manometer Položaj vodne gladine se s programom za obdelavo slik, ki lahko približa sliko do piksla natančno, odčita na stiku merila in vodne gladine, ki se nato horizontalno prenese na skupno (prvo) merilo, kar predstavlja razliko v tlakih, izraženo z višino vodnega stolpca. Resolucija tako sestavljenega manometra znaša 67,08 µm oziroma približno 6,58 µbar. Podatek je določen na podlagi površine zajete slike (600 cm2), števila osnovnih pikslov fotografskega aparata (107) ter razmerja stranic fotografije (4:3). Iz tega se izračunajo dimenzije piksla, ki znašajo a × h = 89,44 µm × 67,80 µm, kjer je h višina piksla. Zaradi nenatančnosti pri določitvi gravitacijskega pospeška, paralakse in šuma tipala fotografskega aparata lahko predpostavimo, da je napaka takšnega odčitka reda velikost 2 × h = 134,16 µm oziroma 13,16 µbar, kar predstavlja enak red velikosti kot tlačna sodna Deltabar PMD75 z merilnim območjem 1 mbar. Vodni manometer se je uporabil predvsem zaradi vidne kontrole nad dejanskimi tlačnimi razmerami v cevi. Natančnost meritev smo skušali izboljšati tudi z izdelavo poševnega diferenčnega manometra, kar omogoča povečavo odčitkov tudi za več redov velikosti (10–100 krat). Izdelanih je bilo več poševnih manometrov s kapilarami premera od 1,2 mm do 4 mm in različnimi mediji (voda, kerozin, heksan in alkohol). Izkazalo se je, da je želeno povečavo možno doseči, sistem pa je zaradi vpliva kapilarnih in viskoznih sil zelo nestabilen ter posledično so tudi rezultati nezanesljivi. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 77 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 5.3.3 Meritve pretoka Tako kot meritve tlaka so tudi meritve pretoka izvedene z dvema inštrumentoma: 1. induktivni merilec pretoka Endress & Hauser Promag 30F, 2. posoda za volumetrično merjenje pretoka. Pri pretokih manjših od 0,039 l/s (v < 0,02 m/s) je omogočeno samo volumetrično merjenje pretoka, ker se induktivni merilec pretoka pri tako nizkih hitrostih izklopi. 5.3.3.1 Induktivni merilec pretoka Endress & Hauser Promag 30F Induktivni merilec pretoka Promag 30F, nominalnega premera 50 mm, omogoča merjenje pretokov, ki imajo hitrosti večje kot 0,02 m/s oziroma manjše od 10 m/s. Izhodni signal inštrumenta predstavlja tokovni izhod od 4 do 20 mA, z resolucijo 10 µA. Merilec, ki nam ga je v namen te raziskave posodilo podjetje Vodovodi in kanalizacija Nova Gorica d. d., je prikazan na sliki 5.17. Slika 5.17: Induktivni merilec pretoka Endress & Hauser Promag 30F Figure 5.17: The magneto-inductive flow meter Endress & Hauser Promag 30F Merilno območje inštrumenta se lahko nastavi za 8 različnih maksimalnih hitrosti (0,5 m/s, 1 m/s, 1,5 m/s, 2 m/s, 2,5 m/s, 5 m/s, 8 m/s in 10 m/s). S predhodnim poizkusom je bilo preverjeno, da maksimalna hitrost, ki se doseže v cevi pri popolnoma odprtem regulacijskem ventilu (glej shemo 5.2), ne preseže 5 m/s. Maksimalen pretok, ki ga lahko dosežemo s to preizkusno progo, znaša Q = 5,67 l/s pri hitrosti skozi induktivni merilec v = 2,89 m/s. Merilno območje merilca je torej nastavljeno na maksimalno hitrost 5 m/s oziroma pretok 9,82 l/s. Napaka meritve na analognem izhodu (4–20 mA) znaša ±0,1 % izmerjene vrednosti in dodatnih ±0,005 % celotnega merilnega območja. Relativna napaka, ki se nanaša na merjen vzorec (ne na 78 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer maksimalno merljivo vrednost), je podana na sliki 5.18. Podatke navaja proizvajalec v uporabniškem priročniku merilca. Slika 5.18: Relativna napaka induktivnega merilca pretoka Promag 30F Figure 5.18: Relative error of the read measurement for the flow measuring Promag 30F Glede na podatke iz diagrama na sliki 5.18 lahko zaključimo, da znaša maksimalna relativna napaka inštrumenta (glede na merjeno vrednost) ±2,5 %. Iz podatkov na diagramu na sliki 5.8 lahko ugotovimo, da ima napaka hiperbolično obliko, ki se asimptotično približuje 0,5 %. Relativno napako (izražena v odstotkih) v odvisnosti od merjene hitrosti lahko pri nadaljnjih izračunih aproksimiramo z izrazom 2,80-10 13 6,388 + 0,005 (5.2) J V našem primeru, ko je merilno območje nastavljeno na hitrost 5 m/s, velja naslednja linearna odvisnost med pretokom in induciranim električnim tokom: Q = 2,5×I -10. Rezultat je izražen v m3/h. 5.3.3.2 Volumetrična meritev pretoka Pretoki, ki so manjši kot 0,039 l/s, so bili merjeni volumetrično. Pretok se je izpuščal v posodo iz nerjavečega jekla z višino 0,5 m in povprečno površino 0,60 m2. Posoda je bila umerjena tako, da se je v posodo vlivalo natanko 2 kg vode. Masa vode je bila izmerjena s tehtnico z natančnostjo ±1 µg. Relativna napak je torej 5×10-5 %. Po vsakem vlitju je bila z nonijem, s skalo razdeljena na 0,1 mm, izmerjena gladina vode. Razlike v gladinah so bile reda velikosti 3 mm. Istočasno je bila merjena tudi temperatura vode. Tako je bila določena kalibracijska premica posode, ki opsuje spremembo volumna z višino. Posoda s potopno črpalko je prikazana na sliki 5.8. Na vtiku v posodo je pritrjena potopna stena, ki zmanjšuje negativne posledice nihanja gladine na meritev hidrostatičnega tlaka. Posoda je umerjena brez potopne črpalke, saj se ta vstavi v posodo samo tedaj, ko doseže gladina v posodi maksmalni nivo in se volumetrična meritev pretoka preneha. Premica oziroma premice V(h) so bile določene s pomočjo algoritma M5 (Quinlan, 1992), ki omogoča izgradnjo regresijskih dreves. Algoritem je vgrajen v programsko orodje WEKA (Hall et al., 1999, Wang in Witten, 1997, Witten in Frank, 2005), ki je prosto dostopno na spletu. Kalibracijske točke z umerjevalnimi premicami so prikazane na sliki 5.19. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 79 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 270 256.5 243 229.5 216 202.5 189 175.5 162 148.5 135 121.5 108 94.5 81 67.5 54 40.5 27 13.5 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 H [mm] V = 0,6122×H -30,8821 H > 379,05 mm V = 0,6081× H -29,3153 270,30 mm < H ? 379,05 mm V = 0,5956× H -26,0043 H ? 270,30 mm Slika 5.19: Kalibracijske premice posode za volumetrično merjenje pretoka Figure 5.19: Calibration lines for the flow container Relativna napaka, ki nastane zaradi nelinearnosti, je prikazana v preglednici 5.4. Definicija izrazov je analogna definiciji v poglavju 5.3.2. Relativne vrednosti se nanašajo na merilno območje posode z maksimalno prostornino 268,27 l. Preglednica 5.4: Relativne napake kalibracijske krivulje posode za volumetrično merjenje pretoka Table 5.4: Relative error for calibration lines used with the flow container Merilno območje [l] 268,27 Št. kalibracijskih točk [-] 145 Resolucija umerjanja posode [mm] 3 Absolutna napaka [l] 0,123 Relativna napaka [%] 0,046 Maksimalna absolutna napaka [l] 0,399 Maksimalna relativna napaka [%] 0,149 Gladina v posodi je merjena s tlačno sondo Endress & Hauser Deltapilot DB50. Sonda omogoča meritve hidrostatičnih tlakov do 100 mbar. Izhodni signal inštrumenta predstavlja tokovni izhod od 4 80 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer do 20 mA, z resolucijo 16 µA. Sonda je prikazana na sliki 5.20 in je bila posojena s strani podjetja Endress + Hauser d. o. o. Slovenija. Slika 5.20: Tlačna sonda Endress & Hauser Deltapilot DB50 Figure 5.20: Water level measuring sensor Endress & Hauser Deltapilot DB50 Maksimalna gladina, ki se je v posodi lahko pojavila, preden smo meritev pretoka prekinili in se je v posodo vstavilo potopno črpalko, znaša 488 mm nad dnom posode. Ker mora biti tlačna sonda konstantno pod tlakom, je bila postavljena v najnižjo točko, to je tik pod dno posode. Priklop sonde na posodo je izveden na eni izmed stranic s plastično cevko (premer 4 mm). Ob priklopu je nameščena tudi cevka za odzračenje. Zaradi takšne izvedbe spodnjih 43,30 mm posode ni bilo mogoče izprazniti. Tako je bilo na razpolago za meritve pretoka 444,70 mm vodnega stolpca. Merilno območje inštrumenta je tako nastavljeno na 45 mbar. Postopek umerjanja je enak kot za tlačno sondo Deltabar PMD75 in je opisan v poglavju 5.3.2.1. Razlika je le v tem, da je v tem primeru uporabljena samo ena umerjevalna posoda (sonda meri hidrostatični tlak), izhodišče pa se nastavi samo enkrat, in sicer ob pričetku meritve prve kalibracijske točke. Takšen princip umerjanja narekuje način merjenja višine vodne gladine v posodi, ki je kontinuiran, brez prekinitev, dokler posoda ni polna oziroma se pretok ne ustavi. V takšnem primeru naknadno nastavljanje izhodiščne točke ni mogoče. Možna je le nastavitev pred pričetkom vsakokratne meritve. Kalibracijske premice, ki so bile določene pred in po eksperimentu, so prikazane na sliki 5.21. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 81 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Kalibracija pred eksperimentom: Pmax = 45mbar Kalibracija po eks peri menu: Pmax = 45mbar i i i i 40.5 i i i i 40.5 • Kalibracijske točke BSL - prerrica m m m * m* • Kalibracijske točke BSL - premica X • 36 TSL - prerrica / 36 31.5 TSL - prerrica X 31.5 / • / • 27 22.5 18 13.5 • • • • • • •• » 27 22.5 18 13.5 X X ,4 X • • • • » 9 / 9 / 4.5 / 4.5 / 4 5.6 7.2 8.8 10.4 12 13.6 15.2 16.8 18.4 20 4 5.6 7.2 8.8 10.4 12 13.6 15.2 16.8 18.4 20 I [ mA] I [ mA] TSL: P = 2,8125×I-11,25 BSL: P = 2,8128×I-11,2654 BSL: P = 2,8412×I-11,3901 Slika 5.21: Kalibracijske premice tlačne sonde Deltapilot DB50 Figure 5.21: Calibration lines for the water lever pressure sensor Deltapilot DB50 Relativne napake kalibracijskih krivulj so prikazane v preglednici 5.5. Definicija izrazov je razložena v poglavju 5.3.2. Preglednica 5.5: Relativne napake kalibracijskih krivulj Deltapilot DB50 Table 5.5: Relative error for calibration lines used with pressure sensor Deltapilot DB50 Po eksperimentu Pred eksperimentom »BSL« »TSL« »BSL« »TSL« Merilno območje [mbar] 45 45 Št. kalibracijskih točk [-] 27 47 Resolucija [µbar] 28,125 28,125 Absolutna napaka [mbar] 0,088 0,169 0,019 0,019 Relativna napaka [%] 0,195 0,376 0,043 0,043 Maksimalna absolutna napaka [mbar] 0,207 0,515 0,047 0,056 Maksimalna relativna napaka [%] 0,461 1,145 0,105 0,125 Tudi v tem primeru »BSL« premice izkazujejo boljšo natančnost, a je razlika med premicama pred in po eksperimentu očitna (enačbi na sliki 5.19). Iz tega razloga je bila uporabljena »TSL« premica, ki izkazuje maksimalno relativno napako zaradi nelinearnosti ±1,145 %. Merodajna napaka za propagacijo napake v nadaljnjih izračunih znaša ±0,169 mbar. 82 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Izhodiščna točka gladine v posodi je določena z nonijem, ki je pritrjen na drsnik. Nonij ima skalo razdeljeno na 0,1 mm. Z uporabo lupe je mogoče odčitke opraviti z natančnostjo ±0,025 mm. Pretok se določi na podlagi celotnega časa meritve, ki je zabeležena na 0,1 s z natančnostjo ±0,001 s 8 ter iz razlike začetnega in končnega volumna vode v posodi. 5.3.4 Merjenje temperature Temperatura vode je merjena s pomočjo termočlena tipa »K« in pretvornika Weidmuller WAS5 pro thermo. Pretvornik omogoča meritve temperature od –200 do +1820oC, z izhodnim signalom od 0 do 10 V in resolucijo 2,439 mV. Pretvornik je prikazan na sliki 5.22. Slika 5.22: Temperaturni pretvornik Weidmuller WAS5 pro thermo Figure 5.22: Temperature analogue conditioner Weidmuller WAS5 pro thermo Ker so pričakovane temperature vode reda velikosti 13oC, je merilno območje pretvornika zmanjšano na vrednosti od 0 do +100oC. Proizvajalec zagotavlja za takšno merilno območje, v kombinaciji s termočlenom tipa »K«, napako ±3 K z dodatkom 0,1 % širine merilnega območja. V našem primeru bi znašala absolutna napaka ±3,1 K oziroma ±3,1oC, kar je seveda za pričakovane vrednosti 13oC nedopustno (relativna napaka 24,08 %). Iz tega razloga je bila merilna oprema kalibrirana z digitalnim laboratorijskim termometrom z natančnostjo 0,1oC in merilnim območjem od 0 do +50 oC. Kalibracija je potekala tako, da se je voda, ki je bila natočena v posodo volumna 2 l, segrela na temperaturo približno 20oC in se pustila ohlajati do temperature 5oC 9. Za vsako spremembo reda velikosti 0,5oC je bila zabeležena temperatura iz referenčnega termometra ter iz temperaturnega pretvornika. Rezultate kalibracije prikazuje diagram na sliki 5.23. Postopek je opravljen pred in po eksperimentu. 8 Ker se meritev časa in meritev hidrostatičnega tlaka upravljata preko računalnika, se v trenutku, ko se prekine meritev tlačne višine, ustavi tudi meritev časa. 9 Umerjanje je potekalo v zimskem času, ko se bile zunanje temperature pod ničlo. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 83 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Kalibracija pred eksperimentom: Tmax = 100mbar Kalibracija po eksperimenu: Tmax = lOOmbar 25 25 22.5 22.5 • Kalibracijske točke BSL - premica • Kalibracijske točke BSL - premica 20 TSL - premica -& 20 17.5 15 TSL - premica /• 17.5 15 • 9 m 12.5 • 12.5 y * 10 10 V 7.5 5 é 7.5 5 m •• • 2.5 0 2.5 0 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 U [V] U [V] TSL: T = 10×U BSL: T = 9,808×U-0,236 BSL: T = 10,075×U-0,100 Slika 5.23: Kalibracija temperaturnega pretvornika Figure 5.23: Calibration lines used with the temperature analogue conditioner Relativne napake kalibracijskih krivulj so prikazane v preglednici 5.6. Definicija izrazov je razložena v poglavju 5.3.2. Preglednica 5.6: Relativne napake kalibracije temperaturnega pretvornika Table 5.6: Relative error for calibration lines used with the temperature analogue conditioner Po eksperimentu Pred eksperimentom »BSL« »TSL« »BSL« »TSL« Merilno območje [oC] 100 100 Št. kalibracijskih točk [-] 31 31 Resolucija [oC] 0,024 0,024 Absolutna napaka [oC] 0,208 0,210 0,195 0,191 Relativna napaka [%] 0,208 0,210 0,195 0,191 Maksimalna absolutna napaka [oC] 0,497 0,506 0,384 0,475 Maksimalna relativna napaka [%] 0,497 0,506 0,384 0,475 Tudi v tem primeru se je izkazalo, da je napako v naklonu »BSL« premice težko ovrednotiti. Uporabljena je torej »TSL« premica linearne odvisnosti. Absolutna napaka meritev znaša ±0,210oC. 84 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 5.4 Postopek meritev Pred pričetkom postopka merjenja na preizkusni cevi so bili vsi merilni inštrumenti ter analogno-digitalni konverter z računalnikom vključeni tako, da se je vzpostavila ustrezna delovna temperatura. Preverjene oziroma nastavljene so bile vse izhodiščne vrednosti. Tako na začetku kot na koncu dnevnih meritev so bile v petih točkah (na 0 %, 25 %, 50 %, 75 % in 100 % merilnega območja) preverjene kalibracijske premice tlačnih sond. Postopek meritev je potekal v sledečem vrstnem redu10: 1. Z zaprtim krogličnim ventilom na iztoku se prezrači vsa merilna mesta na preizkusni cevi ter tlačni sondi Deltabar PMD75. 2. Nastavitev ustreznega pretoka z regulacijskim ventilom. a. Volumetrično merjenje pretoka i. Zapre se kroglični ventil ob iztoku v posodo. ii. Nastavi se izhodišče tlačne sonde Deltapilot DB50. iii. Z nonijem na drsniku se odčita začetna gladina v posodi. iv. Regulacijski ventil se nastavi v želen položaj. v. Kroglični ventil na iztoku se popolnoma odpre. vi. Po potrebi se položaj regulacijskega ventila prilagodi. vii. Ko se pretok ustali, se prične z zajemom in vizualizacijo podatkov na računalniku. viii. Ko se posoda napolni, se zajem podatkov prekine, v posodo se vstavi potopna črpalka, ki volumen izčrpa. b. Meritev z induktivnim merilcem pretoka i. Zapre se kroglični ventil ob iztoku v posodo. ii. Nastavi se izhodišče induktivnega merilca pretoka Promag 30F. iii. Regulacijski ventil se nastavi v želen položaj. iv. Kroglični ventil na iztoku se popolnoma odpre. v. Po potrebi se položaj regulacijskega ventila prilagodi. vi. Ko se pretok ustali, se prične z zajemom in vizualizacijo podatkov na računalniku. vii. Ko doseže gladina v posodi kritično mejo, se vklopi preko plovnega ventila potopna črpalka, ki je ves čas meritev prisotna v posodi. c. Meritev pretoka z induktivnim merilcem in volumetričnim zajemom i. Zapre se kroglični ventil ob iztoku v posodo. ii. Nastavi se izhodišče tlačne sonde Deltapilot DB50. iii. Z nonijem na drsniku se odčita začetna gladina v posodi. iv. Nastavi se izhodišče induktivnega merilca pretoka Promag 30F. v. Regulacijski ventil se nastavi v želen položaj. vi. Kroglični ventil na iztoku se popolnoma odpre. 10 Meritev temperature se prične, ko se kroglični ventil na iztoku odpre, in zaključi, ko se ventil na iztoku zapre. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 85 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer vii. Po potrebi se položaj regulacijskega ventila prilagodi. viii. Ko se pretok ustali, se prične z zajemom in vizualizacijo podatkov na računalniku. ix. Ko se posoda napolni, se zajem podatkov tlačne sonde Deltapilot DB50 prekine, v posodo se vstavi potopna črpalka, ki volumen izčrpa. x. Meritev z induktivnim merilcem pretoka se nadaljuje. d. Pri vsakem izmerjenem pretoku se posname tokovnice na vtoku in iztoku preizkusne cevi. 3. Meritev tlačnih izgub. a. Kot primerjalni tlak služi merilno mesto z oznako 1, ki je povezano na pozitivni (višji) priključek na tlačni sondi Deltabar PMD75 (glej shemo na sliki 5.24) b. Nastavitev izhodišča tlačne sonde Deltabar PMD75 i. Ventili od 2 do 6 so zaprti, ventila 0 in 1 pa odprta. Tlačna sonda meri diferenčni tlak iz istega primerjalnega prereza (1), ki je 0 mbar. ii. Na sondi se ponastavi merjeno vrednost na vrednost 0 mbar. k ^ /1 ^ ^ 4 ^ ^ 3 Deltabar PMD 75 l0 4 ___1 Slika 5.24: Shema ventilov ob tlačni sondi Deltabar PMD7511 Figure 5.24: Switching valve system for Deltabar PMD75 c. Tlačne izgube med primerjalnim (1) in merjenim prerezom i. Pred pričetkom vsake meritve se opravi nastavitev izhodiščne točke tako, kot je opisano v alineji »b«. ii. Ventil 0 se zapre. iii. Ventila z ustrezno oznako prereza se odpre. iv. Z vizualizacijo na računalniku se preveri, če so se tlačne razmere v sondi ustalile. v. Prične se z zajemom meritev, ki traja med 30 s in 60 s. vi. Po končni meritvi se ventil z ustrezno oznako prereza zapre. vii. Odpre se ventil 0. viii. S postopkom iz alineje »b« se ponovno preveri izhodiščno točko inštrumenta. d. Zajem meritev iz vodnega manometra i. Ko so se tlačne razmere v cevi ustalile, se vklopi osvetljava manometra. ii. S fotografskim aparatom na stojalu se preko računalnika zajame slika gladine v manometru. Oznaka ventila ustreza oznaki prereza na preizkusni cevi. 86 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Da bi se izognili morebitnim sistemskim napakam, je odpiranje ventilov oziroma zaporedje meritev med 512 različnimi prerezi na cevi potekalo naključno. Vsak niz meritev (meritev 5 različnih prerezov, z merjenjem oziroma preverjanjem izhodiščne točke inštrumenta) je bil pri istem pretoku ponovljen 3 krat. Pri enem pretoku je bilo torej opravljenih 6×2×3 = 36 meritev oziroma, če ne upoštevamo meritev izhodiščnih točk, 1513 meritev. Skupno je bilo izmerjenih 85 različnih pretokov, kar predstavlja 15×85 = 1275 meritev. Po statistični analizi in odpravi grobih pogreškov se je dejansko število uporabnih meritev zmanjšalo na 1270. 12 Odpirajo in zapirajo se samo ventili z oznako od 2 do 6. 1. ventil je vedno odprt, ker predstavlja primerjalni prerez. 13 Izhodišče je bilo v vsakem nizu izmerjeno 7 krat. 5 krat za vsak merilni prerez ter enkrat na začetku in koncu merilnega niza. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 87 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 6 FILTRIRANJE IN INTERPRETACIJA PODATKOV Tekoča kontrola podatkov je potekala že med procesom merjenja. Podatki so bili delno statistično ovrednoteni in vizualizirani med samim zajemom, da so bile grobe napake odpravljene že med eksperimentalnim delom. Naknadno so bili »surovi« podatki podrobno preverjeni in filtrirani. Ovrednotiti je potrebno tudi celotno merilno negotovost pri izračunu koeficienta trenja 1. V poglavju 5 so podane zgolj negotovosti posameznih inštrumentov, ki jih lahko pričakujemo v fazi meritev. 6.1 Filtriranje podatkov Zaradi velike količine izmerjenih podatkov je bilo odstranjevanje grobih pogreškov (»outliers«) avtomatizirano. Kot grobi pogreški so se obravnavali vsi podatki, ki ležijo izven območja, ki ga določa 1,5-kratnik interkvartilne razdalje od 25 oziroma 75 percentila (»whiskers«) (McGill et al, 1978). Zaradi nihanja napetosti v električnem omrežju so se pri meritvah temperaturnega pretvornika14 pojavila nenadna nihanja vrednosti temperature. Te motnje so bile izločene s testiranjem simetričnosti meritev glede na 50. percentil (mediano). Mediana je bila uporabljena, ker je skoraj neobčutljiva na grobe pogreške (Conover, 1999). Iz baze meritev so bile tako izločene vse meritve, ki so se nahajale izven območja ±1,5g od vrednosti mediane. Po odstranitvi grobih pogreškov so se vse karakteristične količine ponovno določile. Zaradi spremembe povprečne vrednosti in delno mediane se je lahko zgodilo, da so se pojavile nove meritve, ki so ustrezale kriteriju grobih pogreškov. Postopek filtriranja se je ponovil tolikokrat, dokler se vse meritve niso nahajale znotraj predvidenega intervala. Ker se vsa statistika določitve napake meritev zanaša na hipotezo, da so podatki normalno porazdeljeni, je bila ta hipoteza tudi preverjena. Normalno porazdeljeni podatki tudi kažejo, da v vzorcu ni prisotnih sistemskih napak ampak le »beli šum«, ki se ga odstrani s filtriranjem. »Normalnost« porazdelitve je bila preverjena tako pred kot po odstranitvi grobih pogreškov. Ker se pri uporabi avtomatizmov lahko pojavijo določene napake, so bili v tem primeru uporabljeni 3 testi porazdelitve: - Lilliefors test (Lilliefors, 1967), - Hi-kvadrat test (Plackett, 1983), - Jarque-Bera test (Jarque in Bera, 1987). 14 Samo temperaturni pretvornik ni bil vezan na usmernik enosmernega toka, ampak na 24 V transformator izmeničnega toka. 88 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Vsi uporabljeni testi predpostavljajo, da sta srednja vrednost in standardna deviacija nepoznani in se ocenita na podlagi vzorca. Merodajen je 95 % interval zaupanja. Hipotezo o normalni porazdeljenosti meritev ni bilo mogoče zanikati, če sta bila vsaj 2 od 3 testov negativna. Diagrami na sliki 6.1 prikazujejo rezultat filtriranja meritve izhodiščnega položaja induktivnega merilca pretoka Promag 30F, diagrami na sliki 6.2 pa rezultat filtriranja motenj temperaturnega pretvornika. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 89 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Surovi podatki Test normalne porazdelitve 0.999 0.997 0.99 0.98 0.95 0.90 0.75 0.50 0.25 0.10 0.05 0.02 0.01 0.003 0.001 4.056 4.057 4.058 4.059 4.06 Meritev Test normalne porazdelitve - Odstranjeni grobi pogreški 0.999 0.99 0.98 0.95 0.90 0.75 0.50 0.25 0.10 0.05 0.02 0.01 0.003 0.001 4.057 4.058 4.059 4.06 15 20 Čas [ms] Box plot Meritve * "Outliers" Povprečje "+Whiskers" —"-Whiskers" Mediana —+1.5CT — -1.5ct Rezultati filtriranja Box plot - Odstranjeni grobi pogreški HIPOTEZA: Meritve so NORMALNO porazdeljene. Interval zaupanja = 95% Zaključek: Hipoteze NI mogoče zavrniti Histogram 4.054 4.056 4.058 4.06 4.062 4.064 Histogram - Odstranjeni grobi pogreški 40 35 30 25 20 15 10 5 4.054 4.056 4.058 4.06 4.062 4.064 H TEST 0 0.5000 Lilliefors test 0 0.0938 Hi-kvadrat test 0 0.3329 Jarque-Bera test Slika 6.1: Rezultati filtriranja grobih pogreškov induktivnega merilca Promag 30F Figure 6.1: Filtered data for Promag 30F 4.0605 4.06 4.0595 4.059 4.0585 4.058 4.0575 4.057 4.0565 4.056 0 5 10 25 30 35 4.06 4.059 4.058 4.057 4.056 0.997 4.06 4.059 4.058 4.057 4.056 90 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Surovi podatki Test normalne porazdelitve 0.999 0.997 0.95 0.90 0.75 0.50 0.25 0.10 0.05 0.02 0.01 0.003 0.001 f i ,,:: S: 12.94 12.96 12.98 13 13.02 13.04 Meritev Test normalne porazdelitve - Odstranjeni grobi pogreški 0.999 0.95 0.90 0.75 0.50 0.25 0.10 0.05 0.003 0.001 J^ 15 20 Čas [ms] Box plot 13.06 -^- 13.04 13.02 13 12.98 12.96 12.94 Rezultati filtriranja Meritve * "Outliers" Povprečje "+Whiskers" "-Whiskers" Mediana —+1.5ct — -1.5cr Box plot - Odstranjeni grobi pogreški HIPOTEZA: Meritve so NORMALNO porazdeljene. Interval zaupanja = 95% Zaključek: Hipoteze NI mogoče zavrniti Histogram Histogram - Odstranjeni grobi pogreški 30 25 13.052 13.053 13.054 13.055 13.0 H TEST 0 0.5000 Lilliefors test 0 0.8720 Hi-kvadrat test 0 0.3743 Jarque-Bera test Slika 6.2: Rezultati filtriranja grobih pogreškov temperaturnega pretvornika Figure 6.2: Filtered data for the temperature conditioner 13.12 13.1 13.08 13.06 13.04 13.02 13 12.98 12.96 12.94 12.92 0 5 10 25 30 35 13 13.1 13.2 13.3 35 0.997 13.0555 13.055 13.0545 20 13.054 15 13.0535 10 13.053 5 13.0525 13.053 13.054 13.055 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 91 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Po opravljenem filtriranju in statistični analizi so bile surove meritve z ustreznimi kalibracijskimi premicami pretvorjene v končne rezultate. 6.2 Ovrednotenje merilne negotovosti Ovrednotenje merilne negotovosti merjenih in izračunanih količin je bilo izvedeno po metodi, ki je opisana v Holman (1989). Vse vrednosti količin so določene s 95 % intervalom zaupanja. Končni rezultat meritev so vrednosti Reynoldsovih števil ter vrednosti koeficienta trenja X. Obe količini nista neposredno merjeni, ampak se določita na podlagi drugih, merjenih oziroma preračunanih parametrov, ki so: Re =------Q (6.1) 7T-D-V in dp D dx'V A = ^-2j----- (6.2) 2 -P Iz enačbe 6.1 in 6.2 lahko razberemo, da se količine, ki vsebujejo merilno negotovost, med seboj množijo, delijo ali potencirajo. Ob predpostavki, da so količine med seboj neodvisne (Turk, 2008), je vrednost kovariance enaka nič in lahko za poljubno obliko funkcije z = f(x,y,z,...) podamo sledečo zakonitost propagacije merilne negotovosti (Bevington in Robinson, 2002): o-z i {ôxaxJ +{dyay) +{dz 2 az +... (6.3) Iz enačbe 6.315 sledi, da se pri seštevanju in odštevanju neodvisnih spremenljivk med seboj seštevajo absolutne napake, pri množenju in deljenju pa relativne napake. Poseben primer predstavlja množenje in deljenje s konstanto (npr. z = 2x) in potenciranje (npr. z = x2), ker neodvisnost iste spremenljivke ne drži. Tako se v prvem primeru absolutna napaka pomnoži z vrednostjo konstante, v drugem pa se množi relativna napaka. Povzetek merodajnih absolutnih napak posameznih merjenih količin je prikazan v preglednici 6.1. ?x, ?y oziroma ?z predstavljajo standardno deviacijo. 92 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Preglednica 6.1: Povzetek merilne negotovosti Table 6.1: Summary of the measuring uncertainty Inštrument/Količina Enote Napaka Meritev tlačnih izgub med v cevi Deltabar PMD75 1 mbar – P: [mbar] ±0,007 Deltabar PMD75 25 mbar – P: [mbar] ±0,026 Deltabar PMD75 100 mbar – P: [mbar] ±0,114 Razdalja med prerezi - dx : [mm] ±0,5 Meritev pretoka Promag 30F – Q: [%] + f2,80-10 13 ^ -------------+ 0,005 6,388 v •100 Volumetrična meritev pretoka Volumen posode – V: [l] ±0,123 Začetna gladina v posodi – h0: [mm] ±0,025 Deltapilot DB50 – P: [mbar] ±0,169 Čas – t: [s] ±0,001 Splošni podatki Temperatura vode – T: [oC] ±0,210 Napake obrazca za izračun gostote – ?: [%] ±2,50 Napake obrazca za izračun dinamične viskoznosti – µ: [%] ±2,50 Premer cevi – D: [mm] ±0,61 Hrapavost – Rq: [µm] ±0,01 Na podlagi vrednosti merilne negotovosti iz tabele 6.1 je potrebno na osnovi obrazca 6.3 določiti napake preračunanih količin. Pri izračunu napak je upoštevana tudi napaka digitalno-analognega konverterja, ki se je izkazala kot zanemarljiva. Rezultati so podani v preglednici 6.2. Preglednica 6.2: Povzetek negotovosti izračunanih količin Table 6.2: Summary of the measuring uncertainty for calculated quantities Inštrument/Količina Min [%] Max [%] Gostota – ?: 2,50 2,50 Kinematična viskoznost – ? 2,56 2,57 Volumetrični pretok – Qv: 0,138 1,196 Promag 30F – Q: 0,500 0,861 Diferencialni tlak - dp : 0,116 1400,043 Reynoldsovo število – Re: 0,731 0,896 Koeficient trenja – ?: 1,692 194,452 Na podlagi vrednosti iz tabele 6.2 lahko zaključimo sledeče: 1. Negotovost meritev temperature ima zanemarljiv vpliv pri določitvi gostote in kinematične viskoznosti vode. Skoraj celotni del merilne negotovosti se pojavi zaradi netočnosti sistema enačb 3.1–3.3 (2,5 %). Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 93 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 2. Pretoki so izmerjeni z natančnostjo od 0,138 do 1,196 %. Primerjava merjenih pretokov z induktivnim merilcem in volumetrično meritvijo nam pokaže, da je pri nižjih pretokih natančnejša volumetrična meritev. Pri večjih pretokih postane gladina v posodi nemirna, zaradi česar postane induktivni merilec pretoka natančnejši. Primerjava je prikazana na sliki 6.3. Slika prikazuje relativno razliko med izmerjenimi pretoki. Maksimalno odstopanje med izmerjenima pretokoma znaša 6,89 %, to je pri hitrostih, ko induktivni merilec prične z delovanjem. Pri pretokih večjih od 0,4 l/s je odstopanje manjše od 2 %. -2 • Rezidual Qv „•• • • • • • 0.03 0.377 0.724 1.071 1.418 1.765 2.112 2.459 2.806 3.153 3.5 Qv - Volumetrično [l/s] Slika 6.3: Primerjava izmerjenih pretokov induktivnega merilca pretoka z volumetričnim merjenjem pretokov Figure 6.3: Flow measurements comparison of the magneto-inductive flow meter with the volumetric flow measuring facility 3. V laminarnem območju je merilna negotovost zaradi relativno visokih odstopanj, ki nastanejo predvsem zaradi nestabilnosti16 izhodnega signala inštrumenta pri merilnem intervalu 1 mbar, večja. Dejstvo je, da so pri tako nizkih pretokih tlačne izgube (0,5 µbar) le za red velikosti večje od resolucije inštrumenta (0,0625 µbar). Napaka zaradi nelinearnosti in nestabilnosti pa znaša ±7 µbar oziroma 1400 %. Kot je razvidno iz slike 6.5, ki prikazuje primerjavo teh meritev z meritvami različnih avtorjev, se pojavi vprašanje natančnosti (»accuracy«) in 7 •:¦ 5 4 3 2 ' ¦ -1 Nestabilnost se pojavi zaradi sistemske napake inštrumenta pri uporabi merilnega območja do 1 mbar. 94 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer točnosti (»precision«). V laminarnem območju je bilo z ustrezno večjim številom meritev dejansko mogoče izmeriti natančno meritev z relativno slabo točnostjo17. Rezultat meritev predstavlja 1270 izmerjenih oziroma preračunanih točk koeficienta trenja ? v odvisnosti od Reynoldsovega števila. Točke so bile dejansko izmerjene pri 85 različnih pretokih, temperatura pa se tekom meritev skoraj da ni spremenila18. Pri vsakem pretoku je bila vrednost gradienta tlaka (dP/dx) določena s premico, ki se je najbolje prilegala (optimizacija kvadrata napake) vsem 5 meritvam diferencialnega tlaka. Natančnost tako določenega Reynoldsovega števila znaša med ±0,738 in ±0,896 %, natančnost koeficienta trenja ? pa med ±1,692 in ±194,452 %19. Rezultati so prikazani na diagramu slike 6.4. Diagram prikazuje izmerjene (preračunane) vrednosti koeficienta trenja ? ter 95 % interval zaupanja. Primerjava meritve z raziskavo Nikuradseja v hidravlično gladkih ceveh ter meritvami univerze Oregon (2002) in Princeton (2004) je prikazana na sliki 6.5. 17 Izmerjene vrednosti na merilnem območju tlačne sonde do 1 mbar so imele bistveno večjo standardno deviacijo, kot meritve na merilnem intervalu 25 in 100 mbar. 18 V celotnem dnevu meritev se je temperatura vode spremenila zgolj za 1 oC. 19 Višja negotovost se pojavi v laminarnem režimu toka, ko so tlačne izgube zelo majhne v primerjavi z merilno negotovostjo inštrumenta. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 95 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Slika 6.4: Meritve koeficienta trenja ? v odvisnosti od Reynoldsovega števila Re20 Figure 6.4: Dependence of the friction factor measured data on Reynolds numbers * 4» '**L*-*# 20 Spodnja vrednost intervala zaupanja prvih šestih točk ni prikazana, ker predstavlja negativno vrednost in se je v logaritemskem merilu ne da prikazati. 96 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer i • Nikuradse (1932) 3.75 • • • Princeton (2004) Oregon (2002) 3.5 ¦ • • UL-FGG (2009) 3.25 • 3 • ¦ • 2.75 • 2.5 • • % 2.25 • 2 • *Re «580 • 1.75 »S?e« 1113 ^ 9ie a 3339 1.5 S?e«2724 ^^^ 1.25 ^ ^*»U 1 **•-... 0.75 1.5 2 2.5 3.5 4 4.5 log($Re) 5.5 6.5 7.5 Slika 6.5: Primerjava meritev koeficienta trenja ? z meritvami Nikuradseja, univerze Oregon in Princeton Figure 6.5: Friction factor measured data compared with Nikuradse’s, Oregon’s and Princeton’s measurements Čeprav je pri najnižjih Reynoldsovih številih 95 % interval zaupanja zelo širok, iz slike 6.5 lahko vidimo, da se meritve popolnoma ujemajo s predhodno opravljenimi raziskavami. Na podlagi teh dejstev lahko trdimo, da so meritve zanesljive. Natančnejša raziskava dogajanja v tokovni sliki pri različnih Reynoldsovih številih nam pokaže, da se prvi znaki turbulence oziroma nestabilnosti pojavijo že pri Reynoldsovem številu Re ? 1113. Preskok v prehodni režim toka se zgodi pri Rekrit ? 2724. Maksimalna vrednost koeficienta trenja ? v turbulentnem režimu toka (hidravlično gladke cevi) je dosežena pri Re ? 3339. Tokovnice pri teh karakterističnih Reynoldsovih številih so prikazane na sliki 6.6. 3 5 6 7 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 97 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Re ? 580 Re ? 1113 Rekrit ? 2724 Slika 6.6: Tokovnice pri karakterističnih Reynoldsovih številih Figure 6.6: Stream lines at characteristic Reynolds numbers Re-3339 98 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 7 PREDLOG NOVEGA OBRAZCA KOEFICIENTA TRENJA Iz pregleda do sedaj objavljene literature in na podlagi teoretičnih osnov lahko ugotovimo, da je število enačb, primernih za določanje koeficienta trenja v prehodnem območju, zelo omejeno oziroma obstoječi izrazi so dokaj nenatančni. Najbolj je v uporabi Colebrook-Whitova enačba in Moodyjev diagram. Colebrook-Whitovemu izrazu lahko pripišemo tudi nekoliko daljšo pot do končnega rezultata, predvsem zaradi postopka iteracij, ki ga za rešitev ta izraz zahteva. Zaradi tega smo po pregledu dostopnih izrazov za koeficient trenja želeli podati univerzalno enačbo, s katero bi lahko dobili realnejši koeficient trenja, predvsem v prehodnem območju. Predlog novega izraza predstavlja dejansko nadaljevanje dela, objavljenega v Uršič in Kompare (2003). Kot je bilo v poglavju 4 (Teoretične osnove) pokazano, je v laminarnem toku funkcijska odvisnost koeficienta trenja ? od Reynoldsovega števila Re izpeljana popolnoma na analitični osnovi, brez vsakršne povezave z eksperimentalnim delom. Ta obrazec lahko privzamemo kot dokončen in neizpodbiten. V nasprotnem primeru pa so enačbe koeficienta trenja ? v turbulentnem toku izpeljane na podlagi tako analitičnih kot empiričnih zakonitosti (Nikuradse 1932 in 1933, Prandtl 1933). V tem območju so možne še dodatne izboljšave obrazcev, ki bodo, preden se posvetimo funkcijski odvisnosti koeficienta trenja ? za celoten spekter Reynoldsovih števil, podrobneje obdelane. Pri razvoju novih obrazcev bodo uporabljeni podatki Nikuradseja (1932 in 1933), meritve objavljene v McKeon in sodelavci (2004) in rezultati pričujoče raziskave. Meritve so prikazane na sliki 7.1. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 99 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 4 3.75 3.5 3.25 3 2.75 2.5 2.25 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 Nikuradse - digitalizirano Nikuradse (1932) Nikuradse (1933) Princeton (2004) Oregon (2002) UL-FGG (2009) k/D = 1/30 s k/D = 1/61.2 s k/D = 1/120 s k/D = 1/252 1^/0= 1/504 k/D = 1/1014 S *<* "^... 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 log(9?e) Slika 7.1: Podatkovna baza uporabljenih meritev Figure 7.1: Measurements database 7.1 Hidravlično gladek režim toka V hidravlično gladkem režimu toka velja zakon upora (enačba 4.38). V enačbi 4.38 se lahko ReT v*-D Re [â nadomesti z izrazom Re 2-v 2 V8 logaritma, dobimo univerzalni zakon gladkih cevi (enačba 4.44). Ker lahko konstanti izrazimo izven argumenta Do sedaj so vsi avtorji preverjali odvisnost j= = f\Re--jX). Tukaj želimo preveriti možnost zapisa koeficienta trenja X v eksplicitni obliki. Če izrišemo Re- -Ja = f(Re), dobimo rezultat, ki je prikazan na sliki 7.2. 100 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 6.5 6.25 6 5.75 5.5 5.25 5 4.75 4.5 4.25 4 3.75 3.5 3.25 3 2.75 2.5 3 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 log(9?e) Slika 7.2: Re --Jaizražen kot funkcija f{Re) Figure 7.2: Re ¦ -iX expressed as f(Re) Funkcije, ki imajo v logaritemskem merilu obliko premice, je mogoče opisati z enačbo oblike Re4X = x 1 • Rex 2, kjer sta x1 in x2 neznani konstanti. Po umerjanju21 s podatki meritev v hidravlično gladkem režimu toka22 dobimo manjkajoča parametra in enačbo zapišemo: 2,756-10-1 ReyfÄ = 2,756- 10-1 -Re9,316'101 -^ReT 2-8 ¦Re 9,316-10-1 (7.1) Pri nižjih vrednostih Reynoldsovega števila (Re < 7,6×104) so odstopanja tako zastavljene funkcije sicer večja od ±5 %. Pri izračunu koeficienta trenja se ta funkcijska zveza nahaja v argumentu logaritma, kar daje slutiti, da bo napaka lahko le manjša. 4 5 6 7 21 Reševanje nelinearnega sistema enačb z uporabo »Interior-Reflective« Newtnove metode, ki optimizira kvadrat napake (Coleman in Li, 1996). 22 Nikuradse (1932), Swanson et al. (2002), McKeon et al. (2004). Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 101 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Enačbo 7.1 ustavimo v izraz univerzalnega zakona gladkih cevi in dobimo koeficient trenja X, izražen v eksplicitni obliki kot funkcija  = f(Re):  = x4 log( 2,756-10-1 -Re 1 9,316 10-1KJ (7.2) Z umerjanjem dobimo vrednosti manjkajočih konstant, tako da se enačba glasi: /1 = 5,776 L10,882-log(2, 756-10 -Re 1 9,316-10 V1, 592 (7.3) Primerjava enačbe 7.3 z univerzalnim zakonom gladkih cevi je prikazana na sliki 7.3. 1.75 r 1.625 1.5 • Meritve — Enačba 7.3 ------Univerzalni zakon gladkih cevi 1.375 - 1.25 - 1.125 - 0.875 3.5 4.5 5 5.5 log(9?e) 6.5 7.5 Slika 7.3: Primerjava univerzalnega zakona gladkih cevi (enačba 4.44) z enačbo 7.3 Figure 7.3: Comparison of the Prandtl’s equation 4.44 for smooth pipes with equation 7.3 2 2 3 4 6 7 102 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 7.2 Hidravlično hrapav režim toka Za hidravlično hrapav režim toka velja enačba 4.46 oziroma zakon popolne hrapavosti (enačba 4.48), ki se v tem območju zelo dobro prilega meritvam Nikuradseja (1933). V tem primeru je enačba koeficienta trenja X izražena eksplicitno in ne predstavlja težav pri uporabi. Težave se pojavijo pri območju uporabe oziroma pojavi se vprašanje, kdaj postane turbulentni tok hidravlično hrapav. Na vprašanje so odgovorili že številni avtorji. Na podlagi slike 7.4 lahko ugotovimo, da postanejo cevi hidravlično hrapave oziroma hrapavost vpliva na hidravlične izgube, ko postane Reynoldsovo število hrap (ks+) večje od 4 (Nikuradse 1933). Schlichting s sodelavci (2000) navaja nekoliko višjo vrednost, in sicer ks+ > 5, oziroma tok se nahaja v prehodnem območju, ko velja 5 Nikuradse (1933) s k /D = 1/61.2 -> Nikuradse (1933) s k /D = 1/120 -> Nikuradse (1933) s v ' k /D = 1/252 -> Nikuradse (1933) s k /D = 1/504 -> Nikuradse (1933) s v ' k /D = 1/1014 -> Nikuradse (1933) s v ' k /D = 1/93440 -> Oregon (2002) s k /D = 1/287302 -> Rinceton (2004) 3.5 4.5 5.5 log (SRB) 6.5 7 7.5 Slika 7.5: Primerjava Reynoldsovih števil hrap na intervalu 4 ? ks+ ? 15 z enačbo 7.5 Figure 7.5: Comparison of roughness Reynolds numbers in the range 4 ? ks+ ? 15 with the equation 7.5 Reynoldsovo število hrap lahko zapišemo v obliki:26 ks+ = 2 • ReT k x6 • Rex 7 x6 • Rex 7 s---------------------- 2- --- _ -------- _------ D 2-8 8 (7.4) Po optimizaciji parametrov za vrednosti na intervalu 4 ? ks+ ? 15 dobimo: 26 V funkciji nastopa tudi konstanta 8. Nekateri avtorji podajajo kot vrednost Reynoldsovega števila hrap funkcijo 8 • k + . Meja za hidravlično hrapav režim toka se tako premakne na 8 • 70 « 200. 4 3 2 0 3 4 5 6 S Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 105 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer + ks x6-Re*1 4,963-10-1-Re8,939'10-1 ks ks =2-Re ¦— = 2-—j=------ =----------------------------. (7.5) D 2-V8 D V8 D Primerjava enačbe 7.5 z meritvami je prikazana na diagramu, ki ga prikazuje slika 7.5. Pričakovano se vrednosti parametrov nekoliko razlikujejo od enačbe 7.1, ki ima pri nižjih Reynoldsovih številih nekoliko večje odstopanje. Izraz 7.5 je uporaben samo za določitev začetka prehoda iz hidravlično gladkega v hidravlično hrapav režim toka na intervalu 4 < ks+ < 15. Funkcija 7.5 ima tudi fizikalno smiselno obliko, saj ko gre lim k + = 0 oziroma če znaša »peščena« hrapavost ks = 0, je mejno Reynoldsovo število prehoda Re = oo. Prehod se torej ne zgodi. 7.3 Enačbe koeficienta trenja Očitno je, da se obnašanje koeficienta (funkcije) trenja spreminja z režimom toka. Moody (1944) je to na svojem diagramu tudi jasno poudaril. Kot je v Uršič in Kompare (2003) pokazano, je mogoče uporabiti karakteristične izraze za posamezne režime toka ter jih sešteti z uporabo ustreznih »preklopnih« funkcij, ki »vklapljajo« in »izklapljajo« posamičen opis, ko je to potrebno. Stopenjske Dirac-delta funkcije ne pridejo v poštev, saj so prehodi v pričujočem primeru gladki in zvezni. Lahko bi uporabili linearne (ramp) funkcije, ki bi zagotovile zveznost, ne pa dovolj gladkosti. Gladkost in zveznost najbolje zagotavljajo večkrat odvedljive funkcije. Očitno je, da mora funkcija ustrezati sledečim lastnostim: - limf(x) = 0 in limf(x) = 1 ali, x^oo x^0 limf(x) = 1in limf(x) = 0, x—>co x—>-co - za zagotovitev zveznosti se mora prehod iz limf(x) = 0 do limf(x) =127 »zgoditi« na x^oo x^0 ustreznem intervalu, tj. z ustreznim začetkom in koncem preklopa, - za zagotovitev gladkosti mora imeti iskana funkcija ustrezno število odvodov (npr. vsaj 2). Kot najprimernejše so se izkazale sledeče funkcije, ki so tudi prikazane na sliki 7.6: y = e (7.6) y = 1 + xfi-Xkrit~fi) . (7.7) Oziroma kombinacija ostalih pogojev limite. 106 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 0.9' 0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 - - 0 0 y = e -e 10r 5- -5- -10- 10 100 -50 50 y (l + xß -X -p -i krit 100 Slika 7.6: Primeri preklopnih funkcij Figure 7.6: Examples of switching functions Dolžina in mesto intervala preklopa se določi z množenjem/deljenjem oziroma prištevanjem/odštevanjem ustrezne konstante k argumentu preklopne funkcije. Enačba koeficienta trenja, ki je veljavna za celotno območje Reynoldsovih števil in zajema tako hidravlično gladke kot hidravlično hrapave cevi, ima dve možni obliki: *> = fÇLminaren, l1 " Xx )) + f (\idravlicno gladek > (Zi ~ *2)) + f(^idravlicno hrapav, X2) (7-8) ali ^ = fUlaminare^M4 hidravlicno gladek Xi-0i),02)xf{Ai hidravlicno hrapav (l-ö,), (l-#2)j, (7.9) kjer so ?1, ?2, in ?1 ter ?2 preklopne funkcije. V enačbi ustavimo še ?laminaren, ?hidravlično gladek, ?hidravlično hrapav in dobimo: * = -¦(!-*) + Re 5,776 10,882-log 2,756-10"1 Re -9,316.1er1 1592 •(Zi-Zi) ' f 3.706-dX 2-log ks ' %2 (7.10) Re 2-Mi }e2 5,776 10,882-log 2,756-10"1 Re -9,316.1er1 1,592 ( ( 2-log 3.706 -D -2-(i-^>(i-e2) (7.11) 0 -5 5 2 -2 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 107 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer V izrazu 7.10 so uporabljene preklopne funkcije iz enačbe 7.6, v obrazcu 7.11 pa preklopne funkcije iz enačbe 7.7. Potrebno je določiti še vrednosti parametrov v preklopnih funkcijah. Že iz definicije sledi, da bodo parametri v preklopnih funkcijah, ki uravnavajo prehod iz laminarnega v turbulenten režim toka, odvisne samo od Reynoldsovega števila. Nastavka argumentov v preklopnih funkcijah x1 in 01 sta torej: X1=e- e 1 -^x1=a1'(Re-Rekrit) (7.12) 01 = ( 1 + Reß1 ¦ Re krit A - . (7.13) V enačbah 7.12 in 7.13 predstavlja Rekrit Reynoldsovo število, pri katerem se zgodi prehod iz laminarnega v turbulentni režim toka. Prehod iz hidravlično gladkega v hidravlično hrapav režim je odvisen od mejnega Reynoldsovega števila hrap ks+krit, pri katerem se »zgodi« prehod. Gle argumente preklopnih funkcij ?2 in ?2 na sledeči način: števila hrap ks+krit, pri katerem se »zgodi« prehod. Glede na enačbo 7.5 lahko zapišemo nastavek za k X2=e ~> x2 s a2- — + a3 v D J Re-Re + (7.14) ks krit 6>2=(1+Ä -p2 -1 ReP2 -Re k + P2 . (7.15) Iz enačbe 7.5 lahko izrazimo Re + kot: ks krit Re + k krit 1 \ 8,93910-1 4 963 10- 8-k V v y J -1s D (7.16) Za enačbo koeficienta trenja X, izraženo kot prikazuje enačba 7.10, je potrebno določiti 3 parametre (a1, a2, a3) ter kritično Reynoldsovo število Rekrit prehoda laminarnega toka in mejno Reynoldsovo število hrap ks+krit, ko preide turbulentni tok iz hidravlično gladkega v hidravlično hrapav režim. Medtem ko so parametri a popolna neznanka in bodo določeni s postopkom optimizacije parametrov28, je interval vrednosti Rkrit in ks+krit poznan. Interval prehoda laminarnega toka se nahaja od Rkrit~ 2300 do Rkrit~ 2800. Mejna vrednost Reynoldsovega števila hrap pa se nahaja na intervalu od ks+krit = 4 do ks+krit = 5. Zaradi zveznega prehoda preklopnih funkcij je pričakovana vrednost prehoda nekje na intervalu od ks+krit~ 4 do ks+ krit~ 1529. V primeru enačbe 7.11 je potrebno poleg mejnega in kritičnega Reynoldsovega števila določiti še 2 neznana parametra (fh,fh). 28 Reševanje nelinearnega sistema enačb z uporabo »Interior-Reflective« Newtnove metode, ki optimizira kvadrat napeke (Coleman in Li, 1996). 29 Interval sovpada z območjem veljavnosti enačbe 7.5. 108 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Po končani optimizaciji dobimo vrednosti parametrov, ki jih prikazuje preglednica 7.1. Optimizacija sledi podatkom Nikuradseja (1932 in 1933), univerze Oregon (2002) in Princeton (2004) ter meritvam pričujoče raziskave. Ekvivalentna »peščena« hrapavost za meritve univerze Oregon in Princeton je predpostavljena, kot opisuje poglavje 3.4. Za meritve, opravljene v sklopu te raziskave, je ekvivalentna »peščena« hrapavost predpostavljena kot ks = 35,59 µm . Te predpostavke ne spreminjajo vrednosti umerjenih parametrov, ker so dejansko potekale v hidravlično gladkem režimu toka. Izmerjena Reynoldsova števila so nižja od tistega potrebnega, da se prehod v hidravlično hrapav režim zgodi. Napaka se pojavi lahko samo pri »lokaciji« prehoda v hidravlično hrapav režim toka, ko se z univerzalno enačbo koeficienta trenja ? (enačbi 7.10 ali 7.11) simulira višja Reynoldsova števila30, kot so bila dejansko izmerjena. Natančno »lokacijo« prehoda bi bilo mogoče določiti samo takrat, ko bi bila točna vrednosti »peščenih« hrapavosti poznana. Preglednica 7.1: Vrednosti parametrov preklopnih funkcij Table 7.1: Evaluated parameters for switching functions Enačba 7.10 Enačba 7.11 Xi X2 8i 02 öl Reluit a2 <*3 ks krit ßi Reluit p2 Ks krit 2,095 ×10-3 2587 7,55 1×10-3 1,000× 10-7 10,275 9,654 2713 2,306 11,350 Diagrama na slikah 7.7 in 7.8 prikazujeta primerjavo novih, generaliziranih enačb koeficienta trenja. Diagrami prikazujejo tudi meritve Nikuradseja (1932 in 1933), univerze Oregon (2002) in Princeton (2004) ter meritve opravljene v tej raziskavi. Za meritve v hidravlično gladkem režimu toka. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 109 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Slika 7.7: Primerjava univerzalne enačbe trenja (enačba 7.10) z meritvami Figure 7.7: Comparison of the universal friction factor equation (equation 7.10) with measured data 110 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Slika 7.8: Primerjava univerzalne enačbe trenja (enačba 7.11) z meritvami Figure 7.8: Comparison of the universal friction factor equation (equation 7.11) with measured data Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 111 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 8 DISKUSIJA REZULTATOV Iz končnega predloga za izraz koeficienta (funkcije) trenja lahko ugotovimo, da so prvotno zastavljeni cilji in želje po izgradnji enačbe, ki bi se popolnoma prilagajala do sedaj opravljenim meritvam Nikuradseja (1932 in 1933), univerze Oregon (Swanson et al., 2002) in Princeton (Zagarola in Smits, 1998 ter McKeon et al., 2004) ter meritvam izvedenih v sklopu pričujoče raziskave, bili doseženi. Ugotovljeni sta bili dve možni strukturi odsekoma spremenljive enačbe in določene so bile vrednosti parametrov ter funkcijska povezava med relativno hrapavostjo in parametri enačbe. Enačbi v območju Reynoldsovih števil od 102,5 do 107,5 sta prikazani na sliki 8.1 in 8.2. 2.5 2.375 2.25 2.125 2 1.875 1.75 1.625 1.5 1.375 1.25 1.125 1 0.875 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 log(?e) Slika 8.1: Primerjava univerzalne enačbe trenja (enačba 7.10) z meritvami Figure 8.1: Comparison of the universal friction factor equation (equation 7.10) with measured data + Ul-FGG (2009) • Princeton (2004) • Oregon (2002) 112 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 2.5 r 2.375 - 2.25 2.125 - 2 - 1.875 1.75 - 1.625 1.5 - 1.375 - 1.25 1.125 - 0.875 4 UI-FGG (2009) • Rinceton (2004) • Oregon (2002) • Nikuradse (1932-1933) k /D = 1/30 s k /D = 1/61.2 s k /D = 1/120 s log(9?e) 7.5 Slika 8.2: Primerjava univerzalne enačbe trenja (enačba 7.11) z meritvami Figure 8.2: Comparison of the universal friction factor equation (equation 7.11) with measured data Enačbi 7.10 in 7.11 se na vseh območjih režima toka skoraj popolnoma prilegata Nikuradsejevim meritvam, kar dokazujejo tudi minimalne napake. Največja odstopanja se pojavijo v območju prehoda laminarnega toka v turbulenten režimu. V tem območju se maksimalna odstopanja nahajajo na intervalu med –25 in +14 % (enačba 7.10) oziroma –23,05 in +14 % v primeru enačbe 7.11. Izven tega območja se rezultati in meritve ujemajo z natančnostjo ±5 % ali bolje. Rezidual napake je prikazan na sliki 8.3. Za primerjavo je na sliki 8.4 prikazana napaka Colebrook-Whitove enačbe, ki velja v prehodnem režimu toka (enačba 4.50) in nam pokaže, da so največja odstopanja v intervalu med –100 in +85 %. Boljši rezultati so doseženi, ko preide tok v hidravlično hrapav režim. Takrat so odstopanja znotraj natančnosti ±5 %. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 113 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -24 -25 Rezidual -> enačba 7.10 Rezidual -> enačba 7.11 ? - merjen ' f Laminarne) Tur bulentno 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 log(He) Slika 8.3: Rezidual napake univerzalne enačbe koeficienta trenja v primerjavi z izmerjenimi vrednostmi Figure 8.3: Error residual of the universal friction factor equation compared with measured data 114 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 -60 -65 -70 -75 -80 -85 -90 -95 -100 1 Rezidual - Colebrook-White -> enačba 4.50 ? - merjen K * îvV» •I • v Laminarne) Turbulentno 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 log (He) Slika 8.4: Rezidual napake Colebrook-Whitovega izraza za prehodno območje v primerjavi z meritvami Figure 8.4: Error residual of the Colebrook-White equation for transitional flow compared with measured data Poleg tega sta univerzalni enačbi koeficienta trenja 7.10 in 7.11 podani v eksplicitni obliki, kar je velika pridobitev glede na implicitno obliko Colebrook-Whitove enačbe. To pride do veljave še posebej pri hidravličnem preračunu vodovodnega sistema zaradi enostavnejše rešitve enačbe brez iteracij. Veljavnost eksplicitnih izrazov koeficienta trenja 7.10 in 7.11 lahko enačimo z veljavnostjo izrazov za laminarni, hidravlično gladki in hidralično hrapav režim toka. Ekstrapolirane vrednosti do Reynoldsovega števila 1012 so prikazane na slikah 8.5 (enačba 7.10) in 8.6 (enačba 7.11). Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 115 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 2.5 2.375 2.25 2.125 2 1.875 1.75 1.625 1.5 1.375 1.25 - 1.125 - 1 - 0.875 - 0.75 0.625 - 0.5 0.375 - 0.25^ 2.5 Ul-FGG (2009) Princeton (2004) Oregon (2002) Nikuradse (1932-1933) k /D = 1/30 s k /D = 1/61.2 s k /D = 1/120 s k /D = 1/252 s k /D = 1/504 s k /D = 1/1014 s k /D = 1/1428 s k /D = 1/93440 s k /D = 1/287302 k /D = 0 s 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 log(?e) Slika 8.5: Ekstrapolirane vrednosti koeficienta trenja z enačbo 7.10 do Reynoldsovega števila 1012 Figure 8.5: Extrapolated values of the friction factor with the equation 7.10 up to Reynolds numbers 1012 116 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 2.5 2.375 2.25 2.125 2 1.875 1.75 1.625 1.5 1.375 -1.25 -1.125 -1 -0.875 -0.75 -0.625 -0.5 -0.375 - 0.25^ 2.5 Ul-FGG (2009) Princeton (2004) Oregon (2002) Nikuradse (1932-1933) k /D = 1/30 s k /D = 1/61.2 s k /D = 1/120 s k /D = 1/252 s k /D = 1/504 s k /D = 1/1014 s k /D = 1/1428 s k /D = 1/93440 s k /D = 1/287302 k /D = 0 s 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 log(?e) Slika 8.6: Ekstrapolirane vrednosti koeficienta trenja z enačbo 7.11 do Reynoldsovega števila 1012 Figure 8.6: Extrapolated values of the friction factor with the equation 7.11 up to Reynolds numbers 1012 Kot je iz diagramov na slikah 8.5 in 8.6 razvidno, se od mejnega Reynoldsovega števila hrap dalje, ko postanejo cevi hidravlično hrapave, obnašata enačbi po zakonu popolne hrapavosti (enačba 4.48). Za hidravlično toretično popolnoma gladke cevi (ks/D = 0) se enačbi ravnata po obrazcu 7.3, ki nadomešča univerzalni zakon gladkih cevi. Na slikah 8.5 in 8.6 so prehodi iz hidravlično gladkega v hidravlično hrapav režim za meritve univerze Oregon (D/ks = 93440) in Princeton (D/ks = 287302) ter meritev pričujoče raziskave (D/ks = 1428) podvrženi oceni ekvivalentne »peščene« hrapavosti, ki za te podatke ni točno določena. Podana je le kot maksimalna možna »peščena« hrapavost31. Poleg univerzalne enačbe koeficienta trenja ? je bila podana tudi nova oblika enačbe (enačba 7.3), ki velja v hidravlično gladkem režimu toka za Reynoldsova števila, večja od 103,5. Primerjava enačb 7.3 in univerzalnega zakona gladkih cevi je prikazana na sliki 7.3. Odstopanja obeh enačb od meritev Nikuradseja (1932) v hidravlično gladkih ceveh, meritev univerze Oregon (Swanson et al., 2002) in Za pojasnilo glej poglavja 3.4, 5.3.1 in 7.2. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 117 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Princeton (Zagarola in Smits, 1998 ter McKeon et al., 2004) ter meritev, izvedenih v sklopu pričujoče raziskave, so prikazana na sliki 8.7. -4 - Rezidual -> enačba 7.3 • Rezidual -> enačba 4.44 • ? - merjen • • * +5% ¦ i .»_ • i^ t • + \ + + , • i _i_H-~H • 4^ i < < -k ++ i i, + -u ,•-+- + * -H..A+ f + + + Y?** •• • »1+4- • « • • I w^^ _»+ -e -f- a • • • « ¦» • *¦ **¦ •• •. .. -* • • • • • . -5% 3.5 4.5 5.5 log($Ke) 6.5 7.5 Slika 8.7: Primerjava reziduala napake univerzalnega zakona gladkih cevi (enačba 4.44) in novega predloga (enačba 7.3) za tok v hidravlično gladkem režimu Figure 8.7: Error residual comparison for the Prandtl’s equation in smooth pipes (equation 4.44) with the new equation 7.3 for hydraulically smooth regime of flow Iz diagrama na sliki 8.7 lahko zaključimo, da sta si z vidika natančnosti enačbi enakovredni. Relativne napake enačbe 7.3 se nahajajo na intervalu med –3,27 in +7,26 %, napaka univerzalnega zakona gladkih cevi pa med vrednostmi –4,05 in +6,40 %. Prednost enačbe 7.3 je, da je izražena v eksplicitni obliki, saj je s predlogom nove enačbe koeficienta trenja v hidravlično gladkem režimu toka bila podana tudi eksplicitna povezava med Reynoldsovim številom Re in »strižnim« Reynoldsovim številom Re?, ki nastopa v argumentu logaritma univerzalnega zakona gladkih cevi. Do sedaj je funkcijska zveza med Re? in Re vsebovala tudi koeficient trenja ? (enačba 4.39). Z novim predlogom v enačbi 7.1 pa se Re? lahko izrazi samo z Reynoldsovim številom Re, kar omogoča eksplicitno obliko koeficienta trenja v hidravlično gladkem režimu toka (enačba 7.3). 8 ':¦ 4 2 0 -2 -6 3 4 5 ':¦ 7 8 118 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Na podlagi odličnega ujemanja trdimo, da se brez večjih napak lahko univerzalni zakon gladkih cevi nadomesti z izrazom v enačbi 7.3. Celo nasprotno, pri višjih Reynoldsovih številih je ujemanje z izmerjenimi točkami boljše. Univerzalna oblika enačbe koeficienta trenja 1 temelji na teoriji mejne plasti, kjer je potrebno določiti prehod iz hidravlično gladkega v hidravlično hrapav režim toka. Do sedaj je bilo Reynoldsovo številom hrap ks+ podano kot funkcija Reynoldsovega števila Re, relativne hrapavosti k/D in koeficienta trenja X. Takšna zveza ni omogočila razvoja univerzalne enačbe trenja v eksplicitni obliki. Iz tega razloga je podan nov predlog izračuna Reynoldsovega števila hrap ks+ (enačba 7.5), ki je izražen le kot funkcija Reynoldsovega števila Re ter relativne hrapavosti k/D. Enačba 7.5 velja na intervalu 4 Oregon ^F ^ ks/D = 1/287302 -> Princeton + % * • Ä • J..: +5% • r»s*T •.-•':< • •# • • < •• »% *• • •. . ¦ ¦ • •• i m u i -5% i log(k+) Slika 8.8: Rezidual napake Reynoldsovega števila hrap ks+ (enačba 7.5) v primerjavi z meritvami v hidravlično hrapavem režimu toka Figure 8.8: Error residual for the roughness Reynolds number ks+ (equation 7.5) compared with measured data in hydraulically rough flow regime '• 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 119 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Iz diagrama na sliki 8.7 je razvidno, da se napaka enačbe 7.5 giblje med +15 in –6 %. Zaradi narave uporabljenih preklopnih funkcij v univerzalni enačbi koeficienta trenja (enačbi 7.10 in 7.11) se prehod prične pri Reynoldsovem številu hrap 10,275 (enačba 7.10) oziroma 11,350 (enačba 7.11). Kot se iz slike 8.8 lahko vidi, so na tem intervalu vrednosti Reynoldsovega števila hrap določene z natančnostjo ±5 %. Ker se obe vrednosti nahajata znotraj intervala, ki ga številni avtorji navajajo kot interval prehoda iz turbulentno gladkega v turbulentno hrapav režim toka, lahko brez večjih pomislekov enačbo 7.5 uporabimo za izračun kritične vrednosti prehoda v univerzalni enačbi koeficienta trenja ?. 120 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 9 ZAKLJUČEK Doktorska disertacija obravnava problematiko določitve univerzalne enačbe koeficienta trenja ?. V sklopu raziskave so bile na hidravlično gladki cevi izvedene meritve tlačnih izgub v obsegu Reynoldsovih številih od 141 do 1,21×105. Meritve smo primerjali z meritvami Nikuradseja (1932) v hidravlično gladkih ceveh ter s podatki iz univerze Oregon (Swanson et al., 2002) in Princeton (Zagarola in Smits, 1998 ter McKeon et al., 2004) in ugotovili, da je ujemanje praktično popolno. Na podlagi pridobljenih in pregledanih meritev ter rezultatov lastnih meritev so bile v fazi razvoja univerzalne enačbe trenja določene tri nove funkcije, ki opisujejo dogajanje v toku v ceveh pod tlakom. (1) Podana je nova funkcijska odvisnosti »strižnega« Reynoldsovega števila Re?, ki vključuje le Reynoldsovega števila Re, ne vključuje pa koeficienta trenja ?. (2) Na podlagi novo določene funkcijske oblike Re? je bila izpeljana eksplicitna oblika enačbe, ki nadomešča univerzalni zakon v gladkih ceveh. Enačba velja za Reynoldsova števila večja od 103,5. (3) Določena je funkcija Reynoldsovega števila hrap ks+, ki kot argumenta ne vključuje koeficienta trenja ?, ampak le Reynoldsovo število Re in relativno hrapavost ks/D. Izraz služi izračunu mejne vrednosti ks+, ko se prehod iz hidravlično gladkega v hidravlično hrapav režim toka ravno prične. Funkcija je uporabna na intervalu 4 ? ks+ ? 15. Z uporabo tako nastavljenih enačb sta bili določeni dve možni obliki univerzalne enačbe koeficienta trenja ?. Enačbi sta sestavljeni iz posameznih členov, ki opisujejo dogajanje v laminarnem, hidravlično gladkem in hidravlično hrapavem režimu toka. Med seboj jih povezujejo »preklopne« funkcije, ki omogočijo zvezne in gladke prehode med posameznimi režimi toka. Poleg tega, da veljata enačbi za celoten spekter Reynoldsovih števil, imata prednost, da sta izraženi v eksplicitni obliki. Vrednosti manjkajočih parametrov preklopnih funkcij so bile določene z umerjanjem na meritve Nikuradseja (1932 in 1933), univerze Oregon (Swanson et al., 2002) in Princeton (Zagarola in Smits, 1998 ter McKeon et al., 2004) ter lastnih meritev. Zaključimo lahko, da je hipoteza te disertacije potrjena in vsi cilji doseženi. Funkcijo koeficienta trenja ? lahko zapišemo kot eno eksplicitno enačbo, kjer kot neodvisni spremenljivki nastopata Reynoldsovo število Re in relativna hrapavost ks/D. Kot izvirni znanstveni prispevek pa lahko izpostavimo sledeče dosežke: 1. Izpeljava dveh oblik eksplicitne univerzalne enačbe koeficienta trenja ?. 2. Izpeljava eksplicitne oblike enačbe koeficienta trenja ? v hidravlično gladkem režimu toka. Enačba nadomešča univerzalni zakon v gladkih ceveh. 3. Funkcijske odvisnosti »strižnega« Reynoldsovega števila Re?, ki vključuje le Reynoldsovo števila Re, ne vključuje pa koeficienta trenja ?. 4. Določena je funkcija mejnega Reynoldsovega števila hrap ks+, ki kot argumenta funkcije ne vključuje koeficienta trenja ?, ampak le Reynoldsovo število Re in relativno hrapavost ks/D. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 121 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 10 SUMMARY One of the unsolved problems in hydraulic is the definition of a suitable term to determine the hydraulic friction losses in pipelines. Analytically, it is possible to determine the term of the firction function for a laminar flow and for a fuly developed turbulent flow. For the transition zone this has not been done yet. The two formulas were probabbly just mechanically combined into one term (Colebrooke, 1939) and also in a pretty failing way. Instead of the logarithm of the sum of the arguments a sum of logarithms should be used. Let us state that the friction factor ? is actually a function and not a constant, as it is usually taken in hydraulics. In this thesis a construction of two different structures of a universal formula for the friction factor, which successfully combines theoretical background and empirical knowledge, is shown. An extensive review of the experimental work of different authors, from H. Darcy in 1858 to M. Nishi et al. (2008), has been made. A more detailed analysis and description of the Nikuradse’s (1932 and 1933), Colebrook-White’s (1937), Oregon’s (Swanson et al., 2002) and “Princeton superpipe” (Zagarola and Smits, 1998) experimental facility, with belonging measured data, has been made. Experimental results of measurements in hydraulically smooth pipes from Nikuradse (1932), Swanson et al. (2002) and Zagarola and Smits (1998) were assumed as the reference data. In fact, measurements for the Oregon (Swanson et al., 2002) and Princeton (Zagarola and Smits, 1998) university were acquired from the publication McKeon et al. (2004) where some corrections of the Zagarola and Smits (1998) data have been made. Therefore, the reference to the Zagarola and Smits (1998) data is adopted as McKeon et al. (2004). For hydraulically rough flow regime only measurements from Nikuradse (1933) have been adopted as the reference results. Foundation of this supposition is based on the fact that only Nikuradse’s results (1933) have an exactly defined sand roughness. The theoretical and “semi-empirical” background for laminar and turbulent flow regime is discussed. Since the friction factor terms in the turbulent flow are based on the logarithmic overlap law (Schlicting et al., 2000), and therefore on the boundary-layer theory, the basic concept of this theory is shown. A review of many existing friction factor equations for hydraulically smooth, rough and transitional flow regime has been made. Our own measurements of mean flow and pressure drop were performed in the range from laminar to fully developed smooth pipe flow for Reynolds numbers from 144 to 1,21.105. The measurements were performed on 6,0 m long PEHD (polyethylene high density) pipe with a diameter of 50,83 mm and a root-mean-squared roughness of 3,39 µm. Based on the Zagarola and Smits (1998) assumption, that at the next highest measured Reynolds number the friction factor would deflect from the smooth flow regime, an equivalent sand roughness was determined as ks = 35,59 µm. 122 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Estimations for the uncertainties of the measured and derived quantities were calculated using the method outlined by Holman (1989). All values represent a 95% confidence interval. Although in the laminar zone the uncertainty is pretty high, the comparison with the Nikuradse’s (1932), Oregon’s (Swanson et al., 2002) and Princeton’s (McKeon et al., 2004) measured data gives a nearly perfect match. Based on the structure proposed in Uršič and Kompare (2003), with the application of the theoretical background of the boundary-layer and the use of the measured data, two different structures of a universal friction factor equation have been developed. These terms give better fit to the measured friction factor than the results of classical (already known) formulas. These formulas are setting basis for further experiments to improve the friction factor formula in unsteady flow conditions. Beside the universal friction factor formulation a new explicit term for the smooth pipe flow has been developed which has, compared with the Prandtl’s relation, the same or even better agreement with the measured data. Since the universal friction factor equation is based on the boundary layer theory, a new function for the critical Reynolds roughness number, when the transition from the hydraulically smooth to the hydraulically rough flow starts, has been developed. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 123 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer LITERATURA IN VIRI Uporabljena literatura in viri Bevington P. R., Robinson, D. K. 2002. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, 3rd Edition. New York, McGraw-Hill: 336 str. Christiansen, E. B., Lemmon, H. E. 1965. Entrance Region Flow. American Institute of Chemical Engineers Journal, 11: 995–999. Citrini, D. 1962. Una formula semplice per il moto uniforme delle correnti fluide nella zona di Colebrook. L'energia elettrica, 10: 805–813. Colebrook, C. F., White, C. M. 1937. Experiments with Fluid Friction in Roughened Pipes. Proceedings of the Royal Society, 161: 367–381. Colebrook, C. F. 1939. Turbulent Flow in Pipes, with Particular Reference to the Transition Region between the Smooth and Rough Pipe Laws. Journal of the Institute of Civil Engineers, 11: 133–157. Coleman, T. F, Li, Y. 1996. An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds. SIAM Journal on Optimization, 6: 418-445. Conover, W. J. 1999. Practical Nonparametric Statistics – 3rd edition. New York, Wiley: 584 str. Darbyshire, A. G., Mullin, T. 1995. Transition to Turbulence in Constant-mass-flux Pipe Flow. Journal of Fluid Mech., 289: 83–114. Draad, A. A., Kuiken, G., Nieuwstadt, F. T. M. 1998. Laminar-turbulent Transition in Pipe Flow for Newtonian and non-Newtonian fluids. Journal of Fluid Mech., 377: 267–312. Featherstone , R. E., Nalluri, C. 1982. Civil Engineering Hydraulics. Granada, HarperCollins: 371 str. Fromm, K. 1923. Strömungswiderstand in rauhen Rohren. Zeitschrift fűr angewandte Mathematik und Mechanik, 3: 339–357. Haaland S.E. 1983. Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Pipe Flow. Journal of Fluids Engineering 105, 89: 89–90. Hall, M., Holmes, G., Frank, E. 1999. Generating Rule Sets from Model Trees. Proceedings of the Twelfth Australian Joint Conference on Artificial Intelligence, Sydney, Australia. Springer-Verlag: 1– 12. 124 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Heywood, F. 1924. The flow of Water in Pipes and Channels. Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 219: 174–191. Holman, J. P. 1989. Experimental Methods For Engineers – 5th ed. New York, McGraw-Hill: 549 str. Hopf, L. 1923. Die Messung der hydraulischen Rauhigkeit. Zeitschrift fűr angewandte Mathematik und Mechanik, 3: 329–338. ISO 4287:1997. 1997. Geometrical Product Specifications (GPS) - Surface texture: Profile method -Terms, definitions and surface texture parameters: 25 str. Jarque, C. M., A. K. Bera. 1987. A test for Normality of Observations and Regression Residuals. International Statistical Review, 55, 2: 163–172. Jeppson, R. W. 1976. Analysis of Flow in Pipe Networks. Michigan, Ann Arbor Science: 164 str. Kirschmer, O. 1951. Reibungsverluste in geraden Rohrleitungen. Sonderdruck aus dem M.A.N. – Forschungsheft. Gustabvurg, M.A.N.: 15 f. Kirschmer, O. 1952. Kritische Betrachtungen zur Frage der Rohrreibung. Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, 94, 24: 785–791. Kirschmer, O. 1953. Der gegenwärtige Stand unserer Erkenntnisse über die Rohrreibung. Sonderdruck aus GWF „Das Gas- und Wasserfach“, 94, 16/18: 13 f. Kiselev, P. G. 1980. Gidravlika, Moskva, Strojizdat: 326 str. Komapre, B. 1996. Odkritje novega izraza za hidravlične izgube v cevovodih. Acta hydrotechnica, 14/12: 102–103. Kraut, B. 2007. Krautov strojniški priročnik. – 14. slovenska izdaja. Ljubljana , Littera picta: 817 str. Lilliefors, H. W. 1967. On the Komogorov-Smirnov test for Normality with Mean and Variance Unknown. Journal of the American Statistical Association, 62: 399–402. Massey, B. S., Ward-Smith, J. 1998. Mechanics of Fluid (7th edition), London, Stanley Thornes: 626 str. McCutcheon, S. C., Martin, J. L, Barnwell, T. O. Jr. 1993. Water Quality in Maidment, D.R. (Editor). Handbook of Hydrology. New York, McGraw-Hill: 113 str. McGill, R., J. W. Tukey, W. A. Larsen. 1978. Variations of Boxplots. The American Statistician, 32: 12–16. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 125 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer McKeon, B. J., Swanson, C. J., Zagarola, M. V., Donnnelly, R. J., Smits A. J. 2004. Friction Factors for Smooth Pipe Flow. Journal of Fluid Mechanics, 511:41–44. McKeon, B. J., Zagarola, M. V., Smits, A. J. 2005. A new Friction Factor Relationship for Turbulent Pipe Flow. Journal of Fluid Mechanics, 538: 429–443. Millionshchikov, M. D., Subbotin, V. I., Ibragimov, M. Kh., Taranov, G. S., Gomonov, I. P. 1973. Hydraulic Drag in Tubes having Granular Roughness. Journal of Atomic Energy, 36, 3: 234-236. Mises, R. v. 1914. Elemente der technischen Hydrodynamik. Leipzig, B.G. Tubner: str. 53–65. Moody, L. F. 1944. Friction Factors for Pipe Flow. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Journal of Engineering for Industry: 671–684. Nikuradse, J. 1933. Strömungsgesetze in Rauhen Rohren. Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, Forschungsheft 361. Berlin, Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure Verlag: 22 str. Nikuradse, J. 1932. Gesetzmäßigkeiten der turbulenten Strömung in glatten rohren. Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, Forschungsheft 356. Berlin, Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure Verlag: 39 str. Nishi, M., Ünsal, B., Durst, F., Biswas, G. 2008. Laminar-to-Turbulent Transition of Pipe Flows through Puffs and Slugs. Journal of Fluid Mechanics, 614: 425–446. Petrešin, E. 1987. Analiza obstoječih izrazov koeficientov hrapavosti s predlogom za izboljšavo v vodovodnem omrežju. Acta hydrotechnica, 4/5: 3–111. Plackett, R.L. 1983. Karl Pearson and the Chi-Squared Test. International Statistical Review 51: 59– 72. Prandtl, L. 1933. Neuere Ergebnisse der Turbulenzforschung. Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, 77: 105–114. Quinlan J. R. 1992. Learning with Continuous Classes, V: Proceedings of the Australian Joint Conference on Artificial Intelligence, Singapore, World Scientific: 343–348. Rajar, R. 1986. Hidromehanika. Ljubljana, Fakulteta za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo: 235 str. Rubin, Y., Wygnanski, I. J., Haritonidis, J. H. 1980. Further Observations on Transition in Pipe. Proceedings IUTAM Symposium Stuttgart, FRG: 19–26. 126 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Saint-Gobain PAM, 2001. Water Mains. Ductile Iron Pipes and Fittings for Raw and Potable Water Supplies and Irrigation. Nancy, SAG: 447 str. Schlichting, H. 1936. Ein neues Verfahren zur Messung des Strömungswiderstandes von rauhen Wänden. Werft Reederei Hafen, 8: 99–102. Schlichting, H., Gersten, K., Krause, E., Oertel, H. 2000. Boundary-layer theory - 8th revised and enlarged edition. Berlin, Springer: 799 str. Seeton, C. J. 2006. Viscosity–Temperature Correlation for Liquids. Tribology Letters, 22, 1: 67–78. SIST EN 12201-2. 2003. Cevni sistemi iz polimernih materialov za oskrbo z vodo – Polietilen (PE) – 2. del: Cevi = Plastics piping systems for water supply – Polyethylene (PE) – Part 2: Pipes: 17 str. Steinman, F. 1999. Hidravlika. Ljubljana, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Katedra za mehaniko tekočin z laboratorijem: 294 str. Streeter, V. L. 1951. Fluid Mechanics. New York, McGraw-Hill: 366 str. Streeter, V. L., Wylie, E. B. 1985. Fluid mechanics. Auckland, McGraw-Hill: 562 str. Swamee, P. K., Jain, A.K. 1976. Explicit Equations for Pipe Flow Problems. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Journal of Engineering for Industry: 657– 664. Swamee, P. K., Rathie, P. N. 2007. Exact Equations for Pipe-Flow Problems. Journal of Hydraulic Research, 45, 1: 131–134. Swanson, C. J., Julian, B., Ihas, G. G., Donnelly, R. J. 2002. Pipe Flow Measurements Over a Wide Range of Reynolds Numbers using Liquid Helium and Various Gases. Journal of Fluid Mechanics, 461: 51–60. Treer, M. F. 1929. Der Widerstandsbeiwert bei turbulenten Strömungen durch rauche Kanäle. Physikalische Zeitschrift, 9: 539–542. Turk, G. 2008. Verjetnostni račun in statistika. http://www.km.fgg.uni-lj.si/predmeti/sei/vrs1.pdf Uršič, M., Kompare, B. 2003. Izboljšava obrazcev za račun hidravličnih trenjskih izgub za tok pod tlakom v ceveh krožnega prereza. = Improvement of the hydraulic friction losses equations for flow under pressure in circular pipes. Acta hydrotechnica, 21/34: 57–74. ftp://ksh.fgg.uni-lj.si/acta/a34mu.pdf Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 127 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Wang, Y., Witten, I. H. 1997. Induction of Model Trees for Predicting continuous classes. V: Proceedings of the Poster Papers of the European Conference on Machine Learning, Prague, University of Economics, Faculty of Informatics and Statistics. Witten, I. H., Frank, E. 2005. Data Mining: Practical Machine Learning Tools and Techniques (Second edition), Morgan Kaufmann: 525 str. Webber, N. B. 1971. Fluid Mechanics for Civil Engineers. S.I. Edition. London, Wiliam clows & sons: 340 str. Wosnik, M., Castillo, L., George, W. K. 2000 A Theory for Turbulent Pipe and Channel Flows. Journal of Fluid Mechanics, 421: 115–145. Wygnanski, I. J., Champagne, F. H. 1973. On Transition in a Pipe. Part 1. The Origin of Puffs and Slugs and the Flow in a Turbulent Slug. Journal of Fluid Mechanics, 59: 281–351. Wygnanski, I. J., Sokolov, M., Friedman, D. 1975. On Transition in a Pipe. Part 2. The Equilibrium Puff. Journal of Fluid Mechanics, 69: 283–304. Zagarola, M. V., Smits, A. J. 1998. Mean Flow Scaling in Turbulent Pipe Flow. Journal of Fluid Mechanics, 373: 33–79. 128 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Ostala literatura Abernethy, R. B., Benedict, R. P., Dowdell, R. B. 1985. ASME Measurement Uncertainty. American Society of Mechanical Engineers, Jornal of fluids engineering, 107: 161-164. Adiutori, E. F. 2004. A Transformed Moody Chart that is Read Without Iterating. Proceedings of 2004 ASME International Mechanical Engineering Congress: 5 f. Agroskin, I. I., Dmitrijev, G. T., Pikalov, F. I. 1973. Hidraulika. Zagreb, Tehnička knjiga: 331 str. Bagarello, V., Ferro V., Provenzano G., Pumo D. 1995. Experimental Study on Flow-Resistance Law for Small-Diameter Plastic Pipes. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, 121, 5: 313–316. Bergant, A., Simpson, A. R., Vitkovsky, J. P. 2001. Developments in Unsteady Pipe Flow Friction Modelling. Journal of Hydraulic Research, 39, 3: 249–257. Brandt, S. 1999. Data Analysis: Statistical and Computational Methods for Scientists and Engineers -3rd edition. New York, Springer: 652 str. Ceylan, K., Kelbaiyev, G. 2003. The Roughness Effects on Friction and Heat Transfer in the Fully Developed Turbulent Flow in Pipes. Applied Thermal Engineering, 23, 5: 557–570. Cole, J. S., Donnelly, G. F., Spedding P. L. 2004. Friction Factors in Two Phase Horizontal Pipe Flow. International Communications in Heat and Mass Transfer, 31, 7: 909–917. Coleman, H. W., Steele, W. G. 1999. Experimentation and Uncertainty Analysis for Engineers – 2nd edition. New York, John Wiley & Sons: 275 str. Daugherty L. R., Franzini B. J., Finnemore J. E. 1985. Fluid Mechanics with Engineering Applications – Eighth Edition. Singapore, McGraw-Hill: 599 str. Donoho, D. L. 1995. Wavelet De-noising by Means of Trimmed Thresholding. Institute of Electrical and Electronics Engineers, Transactions on Information Theory, 41, 3: 613–627. Goudar, C. T., Sonnad, J. R. 2003. Explicit Friction Factor Correlation for Turbulent Flow in smooth Pipes. Industrial & Engineering Chemistry Research 42, 12: 2878–2880. Hadživuković, S. 1977. Planiranje eksperimenta. Beograd, NIGP »Privredni pregled«: 283 str. Haktanir, T., Ardiçlioglu, M. 2004. Numerical modelling of Darcy-Weisbach Friction Factor and Branching Pipes Problem. Advances in Engineering Software, 35: 773–779. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza 129 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Harris, C. W. 1949. The Influence of Random Roughness on Flow in Pipes. University of Washington Engineering Experiment Station. Bull. No. 115. International Symposium on Measuring Techniques in Hydraulic Research. 1987. Discharge and Velocity Measurements: proceedings of the Short Course on Discharge and Velocity Measurements, Zurich, 26-28th August 1987. Rotterdam, A. A. Balkema: 207 str. John, V., Mark, S., Bergant, A., Lambert, M., Simpson, A. 2004. Efficient and Accurate Calculation of Zielke and Vardy-Brown Unsteady Friction in Pipe Transients. Proceedings of the 9th International Conference on Pressure Surges: 760 str. Marchetti, M. 1950. Le Perdite di Carico Nelle Tubazioni Flessibili Corrugate e Liscie. Milano, Istituto di Idraulica e Costruzioni Idrauliche: 17 f. Marchetti, A. 1953. Determinazione Sperimentale Delle Perdite di Carico in Tubi D'Acciaio Senza Saldatura Zincati a Fuoco. Milano, Istituto di Idraulica e Costruzioni Idrauliche: 15 f. McKeon, B. J., Smits, A. J. 2002. Static Pressure Correction in High Reynolds Number Fully Developed Turbulent pipe Flow. Measurement Science and Technology, 13, 10: 1608–1614. McKeon, B. J., Li, J., Jiang, W., Morrison, J. F., Smits, A. J. 2003. Pitot Probe Corrections in Fully Developed Turbulent Pipe Flow. Measurement Science and Technology, 14, 8: 1449–1458. Ricco, G. 1963. Sull'impiego della formula Colebrook e White per il moto uniforme turbolento. L'energia elettrica, 12: 929–933. Rood, P. E., Telionis, D. P. 1991. Journal of Fluids Engineering Policy on Reporting Uncertainties in Experimental Measurements and Results. Journal of Fluids Engineering, 113: 313–314. Rouse, H. 1947. Elementary Mechanics of Fluids. New York, John Wiley & Sons Inc: 376 str. Rouse, H. 1950. Engineering Hydraulics. New York, John Wiley & Sons Inc: 1039 str. Sonnad, J. R., Goudar, C. T. 2004. Constraints for Using Lambert W Function-Based Explicit Colebrook-White Equation. Journal of Hydraulic Engineering, 130, 9: 929–931. Sonnad, J. R., Goudar, C. T. 2007. Explicit Reformulation of the Colebrook-White Equation for Turbulent Flow Friction Factor Calculation. Industrial & Engineering Chemistry Research, 46, 8: 2593–2600. Vardy, A. E., Brown, J. M. B. 2003. Transient Turbulent Friction in Smooth Pipe Flows. Journal of Sound and Vibration, 259, 5: 1011–1036. 130 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Vardy, A. E., Brown, J. M. B. 2004. Transient Turbulent Friction in Fully Rough Pipe Flows. Journal of Sound and Vibration, 270, 1-2: 233–257. Velleman, P. F., Hoaglin, D. C. 1981. Applications, Basics, and Computing of Exploratory Data Analysis. Boston, Duxbury Press: 354 str. Wood, D. J. 1966. An Explicit Friction Factor Relationship. American Society of Civil engineers, Civil Engineering., 36, 21: 60–61. Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer PRILOGA 1: UPORABLJENE MERITVE V SKLOPU DISERTACIJE Meritve Colebrook-White (Colebrook in White, 1937) Re [-] X [-] ks[mm] D/ks [-] 26700 0.039 0.93 57 40500 0.0397 0.93 57 55700 0.0422 0.93 57 82600 0.0443 0.93 57 127500 0.0462 0.93 57 3360 0.0545 0.66 80.6 4880 0.0515 0.66 80.6 7700 0.0467 0.66 80.6 15650 0.0411 0.66 80.6 29600 0.0379 0.66 80.6 41800 0.0373 0.66 80.6 66500 0.0381 0.66 80.6 91200 0.0345 0.66 80.6 110000 0.0402 0.66 80.6 127500 0.0408 0.66 80.6 5100 0.0514 0.38 139.2 7400 0.0475 0.38 139.2 10750 0.0445 0.38 139.2 19300 0.0402 0.38 139.2 30600 0.0374 0.38 139.2 42000 0.0359 0.38 139.2 63500 0.0349 0.38 139.2 83000 0.0345 0.38 139.2 116000 0.034 0.38 139.2 127200 0.0341 0.38 139.2 Re [-] X [-] ks[mm] D/ks [-] 5900 0.0363 0.48 110 7510 0.034 0.48 110 10700 0.0316 0.48 110 16050 0.0294 0.48 110 22800 0.0285 0.48 110 36000 0.0303 0.48 110 53000 0.0331 0.48 110 67700 0.035 0.48 110 91500 0.0369 0.48 110 136000 0.0369 0.48 110 3580 0.0471 0.73 72.6 5580 0.0431 0.73 72.6 10400 0.0388 0.73 72.6 19000 0.0353 0.73 72.6 26800 0.0344 0.73 72.6 32600 0.0344 0.73 72.6 47100 0.0366 0.73 72.6 68500 0.0395 0.73 72.6 90000 0.0411 0.73 72.6 122000 0.0425 0.73 72.6 3700 0.0534 0.93 57 5070 0.0513 0.93 57 7060 0.0475 0.93 57 11800 0.0431 0.93 57 18300 0.0405 0.93 57 2 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Nikuradsejeve meritve – hidravlično gladke cevi (Nikuradse, 1932) Na podlagi izmerjenih količin v stolpcih 1, 2, 4 in 6 so bile preračunane količine v stolpcih 7, 8, 9 in 10. Primerjava med tabeliranimi podatki iz izvirne literature (Nikuradse, 1932), ki so prikazani v stolpcih 3 (Re) in 5 (X), in preračunanimi količinami v stolpcih 9 (Re) in 10 (k), je prikazana v stolpcih 11 in 12 kot: (Re-Re!zra&ra,) ARe A/t = (A- Re •100  100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Merjeno Izračunano v [m/s] v [m2/s] Re [¦] dp/dx [Pa/m] [¦] D [cm] T [oC] P [kg/m3] Reizračunan [¦] Aizračunan [¦] ARe [%] Ak [%] 0.428 1.400E-06 3070 398 0.04260 1 7.63 999.8977 3057.14 0.04346 0.42 -2.01 0.485 1.350E-06 3590 496 0.04140 1 8.88 999.8180 3592.59 0.04218 -0.07 -1.88 0.514 1.350E-06 3810 550 0.04080 1 8.88 999.8180 3807.41 0.04164 0.07 -2.07 0.576 1.350E-06 4270 676 0.03990 1 8.88 999.8180 4266.67 0.04076 0.08 -2.15 0.62 1.350E-06 4600 760 0.03880 1 8.88 999.8180 4592.59 0.03955 0.16 -1.93 0.702 1.350E-06 5200 936 0.03720 1 8.88 999.8180 5200.00 0.03799 0.00 -2.13 0.769 1.350E-06 5700 1100 0.03630 1 8.88 999.8180 5696.30 0.03721 0.06 -2.50 0.985 1.350E-06 7300 1700 0.03430 1 8.88 999.8180 7296.30 0.03505 0.05 -2.19 1.188 1.350E-06 8800 2380 0.03260 1 8.88 999.8180 8800.00 0.03373 0.00 -3.48 1.21 1.350E-06 8970 2450 0.03290 1 8.88 999.8180 8962.96 0.03347 0.08 -1.74 1.375 1.350E-06 10900 3012 0.03110 1 8.88 999.8180 10185.19 0.03187 6.56 -2.47 1.633 1.350E-06 12100 4000 0.02940 1 8.88 999.8180 12096.30 0.03001 0.03 -2.06 1.89 1.350E-06 14000 5200 0.02850 1 8.88 999.8180 14000.00 0.02912 0.00 -2.17 2.26 1.350E-06 16700 7230 0.02780 1 8.88 999.8180 16740.74 0.02832 -0.24 -1.86 3.11 1.360E-06 23000 12550 0.02540 1 8.63 999.8361 22867.65 0.02596 0.58 -2.19 1.146 1.350E-06 17000 920 0.02740 2 8.88 999.8180 16977.78 0.02803 0.13 -2.28 1.484 1.350E-06 22000 1420 0.02530 2 8.88 999.8180 21985.19 0.02580 0.07 -1.96 1.755 1.350E-06 26000 1966 0.02500 2 8.88 999.8180 26000.00 0.02554 0.00 -2.15 2.125 1.350E-06 31500 2740 0.02370 2 8.88 999.8180 31481.48 0.02428 0.06 -2.43 2.4 1.350E-06 35600 3290 0.02240 2 8.88 999.8180 35555.56 0.02285 0.12 -2.02 2.144 1.190E-06 36000 2640 0.02243 2 13.43 999.3497 36033.61 0.02299 -0.09 -2.49 2.336 1.190E-06 39200 3104 0.02230 2 13.43 999.3497 39260.50 0.02277 -0.15 -2.10 2.58 1.190E-06 43200 3680 0.02274 2 13.43 999.3497 43361.34 0.02213 -0.37 2.69 2.596 1.170E-06 44400 3720 0.02160 2 14.07 999.2628 44376.07 0.02210 0.05 -2.30 2.758 1.190E-06 46400 4140 0.02120 2 13.43 999.3497 46352.94 0.02178 0.10 -2.76 3.15 1.190E-06 53000 5140 0.01960 2 13.43 999.3497 52941.18 0.02073 0.11 -5.79 3.49 1.190E-06 58700 6220 0.02010 2 13.43 999.3497 58655.46 0.02044 0.08 -1.69 3.7 1.190E-06 62200 6800 0.01880 2 13.43 999.3497 62184.87 0.01988 0.02 -5.75 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 3 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Merjeno Izračunano v [m/s] v [m2/s] Re [¦] dp/dx [Pa/m] [¦] D [cm] T [oC] P [kg/m3] Reizračunan [¦] Aizračunan [¦] ARe [%] Ak [%] 3.92 1.190E-06 66000 7580 0.01940 2 13.43 999.3497 65882.35 0.01974 0.18 -1.77 4.25 1.190E-06 71400 8740 0.01900 2 13.43 999.3497 71428.57 0.01937 -0.04 -1.93 4.54 1.190E-06 76200 9900 0.01885 2 13.43 999.3497 76302.52 0.01922 -0.13 -1.99 4.95 1.190E-06 83300 11600 0.01880 2 13.43 999.3497 83193.28 0.01895 0.13 -0.79 5.336 1.190E-06 89600 13240 0.01830 2 13.43 999.3497 89680.67 0.01861 -0.09 -1.71 6.38 1.190E-06 107300 18500 0.01780 2 13.43 999.3497 107226.89 0.01819 0.07 -2.20 6.87 1.190E-06 115200 20640 0.01720 2 13.43 999.3497 115462.18 0.01750 -0.23 -1.77 7.52 1.190E-06 126500 24050 0.01670 2 13.43 999.3497 126386.55 0.01702 0.09 -1.93 8.11 1.180E-06 137500 27830 0.01665 2 13.75 999.3072 137457.63 0.01694 0.03 -1.72 8.63 1.180E-06 146000 31600 0.01660 2 13.75 999.3072 146271.19 0.01698 -0.19 -2.31 9.72 1.160E-06 168000 38800 0.01614 2 14.40 999.2166 167586.21 0.01644 0.25 -1.86 10.53 1.160E-06 182000 44400 0.01570 2 14.40 999.2166 181551.72 0.01603 0.25 -2.10 4.02 1.140E-06 106000 4950 0.01800 3 15.07 999.1181 105789.47 0.01839 0.20 -2.19 4.39 1.140E-06 115500 5700 0.01740 3 15.07 999.1181 115526.32 0.01776 -0.02 -2.08 4.88 1.140E-06 128500 7000 0.01730 3 15.07 999.1181 128421.05 0.01765 0.06 -2.03 5.59 1.140E-06 147000 8700 0.01638 3 15.07 999.1181 147105.26 0.01672 -0.07 -2.07 6.27 1.140E-06 165000 10920 0.01638 3 15.07 999.1181 165000.00 0.01668 0.00 -1.84 6.88 1.140E-06 181000 12460 0.01549 3 15.07 999.1181 181052.63 0.01581 -0.03 -2.05 7.56 1.140E-06 199000 15200 0.01560 3 15.07 999.1181 198947.37 0.01597 0.03 -2.38 8.79 1.140E-06 231000 19700 0.01500 3 15.07 999.1181 231315.79 0.01531 -0.14 -2.08 10.1 1.150E-06 266000 25450 0.01470 3 14.73 999.1683 263478.26 0.01498 0.95 -1.92 11.06 1.150E-06 288000 29900 0.01435 3 14.73 999.1683 288521.74 0.01468 -0.18 -2.29 0.914 1.233E-06 37000 196 0.02300 5 12.12 999.5127 37064.07 0.02347 -0.17 -2.06 1.244 1.233E-06 50300 331 0.02104 5 12.12 999.5127 50446.07 0.02140 -0.29 -1.71 1.72 1.230E-06 70000 588 0.01950 5 12.21 999.5024 69918.70 0.01989 0.12 -1.98 2.035 1.230E-06 82600 787 0.01860 5 12.21 999.5024 82723.58 0.01901 -0.15 -2.22 2.37 1.230E-06 96400 1040 0.01811 5 12.21 999.5024 96341.46 0.01852 0.06 -2.29 0.712 1.214E-06 29300 121.5 0.02260 5 12.69 999.4445 29324.55 0.02398 -0.08 -6.11 0.908 1.214E-06 37400 190 0.02260 5 12.69 999.4445 37397.03 0.02306 0.01 -2.03 1.025 1.220E-06 42000 237 0.02200 5 12.51 999.4667 42008.20 0.02257 -0.02 -2.59 1.165 1.220E-06 47700 298 0.02146 5 12.51 999.4667 47745.90 0.02197 -0.10 -2.37 1.4 1.215E-06 57600 409 0.02042 5 12.66 999.4483 57613.17 0.02088 -0.02 -2.25 1.535 1.215E-06 63200 480 0.01990 5 12.66 999.4483 63168.72 0.02038 0.05 -2.43 1.795 1.215E-06 73800 630 0.01915 5 12.66 999.4483 73868.31 0.01956 -0.09 -2.16 2.144 1.214E-06 88300 860 0.01830 5 12.69 999.4445 88303.13 0.01872 0.00 -2.29 1.03 1.340E-06 38400 240 0.02220 5 9.14 999.7987 38432.84 0.02263 -0.09 -1.92 1.41 1.330E-06 53000 423 0.02085 5 9.40 999.7783 53007.52 0.02128 -0.01 -2.07 1.945 1.280E-06 76000 701 0.01820 5 10.76 999.6576 75976.56 0.01854 0.03 -1.85 4.235 1.235E-06 171500 2960 0.01617 5 12.06 999.5196 171457.49 0.01651 0.02 -2.11 3.95 9.250E-07 213400 2500 0.01567 5 23.70 997.4005 213513.51 0.01606 -0.05 -2.52 5.7 9.700E-07 294000 4880 0.01470 5 21.63 997.8825 293814.43 0.01505 0.06 -2.39 6.52 1.235E-06 264000 6400 0.01475 5 12.06 999.5196 263967.61 0.01506 0.01 -2.12 7.33 9.250E-07 396000 7570 0.01380 5 23.70 997.4005 396216.22 0.01413 -0.05 -2.36 4 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Merjeno Izračunano v [m/s] v [m2/s] Re [¦] dp/dx [Pa/m] [¦] D [cm] T [oC] P [kg/m3] Reizračunan [¦] Aizračunan [¦] ARe [%] Ak [%] 7.4 9.250E-07 400000 7520 0.01344 5 23.70 997.4005 400000.00 0.01377 0.00 -2.44 9.128 9.250E-07 493400 11400 0.01325 5 23.70 997.4005 493405.41 0.01372 0.00 -3.53 10.82 8.100E-07 670000 14700 0.01229 5 29.81 995.7343 667901.23 0.01261 0.31 -2.60 3.459 1.083E-06 318900 868 0.01421 10 17.08 998.7898 319390.58 0.01453 -0.15 -2.23 3.771 1.080E-06 348600 1008 0.01388 10 17.19 998.7704 349166.67 0.01419 -0.16 -2.26 3.927 1.083E-06 363000 1092 0.01390 10 17.08 998.7898 362603.88 0.01418 0.11 -2.01 4.663 1.080E-06 431500 1492 0.01342 10 17.19 998.7704 431759.26 0.01374 -0.06 -2.39 4.828 1.079E-06 446800 1582 0.01334 10 17.23 998.7639 447451.34 0.01359 -0.15 -1.88 5.1 1.079E-06 472000 1760 0.01328 10 17.23 998.7639 472659.87 0.01355 -0.14 -2.03 5.332 1.080E-06 493700 1920 0.01324 10 17.19 998.7704 493703.70 0.01352 0.00 -2.14 5.691 1.079E-06 562600 2175 0.01320 10 17.23 998.7639 527432.81 0.01345 6.25 -1.88 6.02 1.072E-06 597000 2340 0.01277 10 17.49 998.7176 561567.16 0.01293 5.94 -1.26 6.603 1.100E-06 600000 2840 0.01277 10 16.46 998.8956 600272.73 0.01304 -0.05 -2.13 7.04 1.110E-06 634000 3160 0.01250 10 16.11 998.9546 634234.23 0.01277 -0.04 -2.12 7.698 1.100E-06 700000 3870 0.01290 10 16.46 998.8956 699818.18 0.01308 0.03 -1.36 8.76 1.210E-06 725000 4800 0.01228 10 12.81 999.4294 723966.94 0.01252 0.14 -1.93 8.1 1.110E-06 737000 4220 0.01260 10 16.11 998.9546 729729.73 0.01288 0.99 -2.20 8.434 1.094E-06 771000 4440 0.01227 10 16.68 998.8591 770932.36 0.01250 0.01 -1.86 9.4 1.086E-06 865000 5360 0.01188 10 16.97 998.8090 865561.69 0.01215 -0.06 -2.24 7.9 7.700E-07 1025000 3720 0.01170 10 32.29 994.9651 1025974.03 0.01198 -0.10 -2.41 12.48 1.125E-06 1108000 9200 0.01159 10 15.58 999.0388 1109333.33 0.01183 -0.12 -2.03 8.82 7.700E-07 1148000 4550 0.01146 10 32.29 994.9651 1145454.55 0.01176 0.22 -2.59 9.44 7.700E-07 1225000 5220 0.01150 10 32.29 994.9651 1225974.03 0.01177 -0.08 -2.39 10.05 7.600E-07 1320000 5760 0.01118 10 32.94 994.7538 1322368.42 0.01147 -0.18 -2.56 9.82 7.200E-07 1364000 5400 0.01100 10 35.70 993.8216 1363888.89 0.01127 0.01 -2.45 10.2 7.100E-07 1438000 5960 0.01122 10 36.43 993.5649 1436619.72 0.01153 0.10 -2.77 9 7.000E-07 1285000 4710 0.01144 10 37.17 993.2977 1285714.29 0.01171 -0.06 -2.34 6.85 7.000E-07 979000 2780 0.01161 10 37.17 993.2977 978571.43 0.01193 0.04 -2.75 7.61 7.000E-07 1088000 3400 0.01150 10 37.17 993.2977 1087142.86 0.01182 0.08 -2.79 8.3 7.000E-07 1185000 4000 0.01140 10 37.17 993.2977 1185714.29 0.01169 -0.06 -2.55 9.58 7.000E-07 1368000 5220 0.01115 10 37.17 993.2977 1368571.43 0.01145 -0.04 -2.71 2.59 1.087E-06 238800 514 0.01500 10 16.93 998.8153 238270.47 0.01534 0.22 -2.29 2.868 1.083E-06 264400 612 0.01459 10 17.08 998.7898 264819.94 0.01490 -0.16 -2.12 3.095 1.083E-06 285400 708 0.01446 10 17.08 998.7898 285780.24 0.01480 -0.13 -2.35 3.254 1.083E-06 300000 788 0.01457 10 17.08 998.7898 300461.68 0.01490 -0.15 -2.28 7.26 1.220E-06 595000 3400 0.01265 10 12.51 999.4667 595081.97 0.01291 -0.01 -2.04 8.06 1.210E-06 666000 4160 0.01255 10 12.81 999.4294 666115.70 0.01281 -0.02 -2.11 10.13 1.125E-06 900000 6230 0.01190 10 15.58 999.0388 900444.44 0.01215 -0.05 -2.13 13.25 1.125E-06 1178000 10150 0.01130 10 15.58 999.0388 1177777.78 0.01157 0.02 -2.42 16.91 1.100E-06 1539000 16000 0.01098 10 16.46 998.8956 1537272.73 0.01120 0.11 -2.03 17.65 1.100E-06 1600000 16700 0.01050 10 16.46 998.8956 1604545.45 0.01073 -0.28 -2.22 14.1 8.300E-07 1700000 10700 0.01060 10 28.65 996.0775 1698795.18 0.01081 0.07 -1.95 19.26 8.300E-07 1850000 20000 0.01058 10 28.65 996.0775 2320481.93 0.01083 -25.43 -2.32 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 5 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 Merjeno v [m/s] v [m2/s] Re [¦] dp/dx [Pa/m] [¦] D [cm] 16.3 8.000E-07 2038000 14200 0.01043 10 16.3 7.900E-07 2062000 14150 0.01045 10 17.58 8.250E-07 2130000 16150 0.01029 10 19.4 8.400E-07 2310000 19100 0.00995 10 19.3 8.200E-07 2351000 19400 0.01021 10 21.5 1.100E-06 1964000 24990 0.01060 10 20.1 7.800E-07 2580000 20500 0.00995 10 21.5 7.900E-07 2722000 23170 0.00980 10 21.62 7.700E-07 2810000 23450 0.00985 10 22.2 7.400E-07 3000000 24700 0.00988 10 24.25 7.500E-07 3230000 28800 0.00960 10 7 8 9 10 11 12 Izračunano T [oC] P [kg/m3] Reizračunan [¦] Aizračunan [¦] ARe [%] Ak [%] 30.41 995.5528 2037500.00 0.01074 0.02 -2.94 31.03 995.3643 2063291.14 0.01070 -0.06 -2.40 28.94 995.9941 2130909.09 0.01049 -0.04 -1.97 28.09 996.2397 2309523.81 0.01019 0.02 -2.39 29.23 995.9091 2353658.54 0.01046 -0.11 -2.44 16.46 998.8956 1954545.45 0.01082 0.48 -2.12 31.65 995.1685 2576923.08 0.01020 0.12 -2.49 31.03 995.3643 2721518.99 0.01007 0.02 -2.77 32.29 994.9651 2807792.21 0.01008 0.08 -2.38 34.29 994.3058 3000000.00 0.01008 0.00 -2.03 33.61 994.5341 3233333.33 0.00985 -0.10 -2.59 6 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Nikuradsejeve meritve - hidravlično hrapave cevi (Nikuradse, 1933) Na podlagi izmerjenih količin v stolpcih 1, 3, 5 in 9 so bile preračunane količine v stolpcih 10, 11, 12 in 13. Primerjava med tabeliranimi podatki iz izvirne literature (Nikuradse, 1933), ki so prikazani v stolpcih 7 (Re) in 8 (k), in preračunanimi količinami v stolpcih 12 (Re) in 13 (k), je prikazana v stolpcih 11 in 12 kot: (Re- Re ) ARe=-------------izračzrač . 100 Re AA = (A-Alzračzrač ) 100  Primerjava je narejena posredno, s pretvorbo izvirnih količin v stolpcih 7 in 8 v vrednosti v stolpcih 14 in 15. Razlika med podatki v stolpcu 2 in 3 je v tem, da so v stolpcu 3 upoštevane popravljene vrednosti (pomnožene s faktorjem 125) meritev zadnje absolutne hrapavosti r/^= 15 oziroma Z) = 4,82. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Merjeno Izračunano v [m/s] dp/dx [Pa/m] dp/dx [Pa/m] D/ks [¦] D [cm] ks [cm] log(Re) H log(100>.) H v [m2/s] T [oC] P [kg/ml KBizračunan H ^-izračunan M Re H M ARe [%] Al [%l 0.1545 3.51 3.51 1014 9.94 0.01 4.114 0.456 1.18E-06 13.75 999.3072 13014.66 0.02925 13001.70 0.02858 -0.10 -2.37 0.2020 5.74 5.74 1014 9.94 0.01 4.23 0.438 1.18E-06 13.75 999.3072 17015.93 0.02799 16982.44 0.02742 -0.20 -2.08 0.2500 8.40 8.40 1014 9.94 0.01 4.322 0.417 1.18E-06 13.75 999.3072 21059.32 0.02674 20989.40 0.02612 -0.33 -2.36 0.2730 9.75 9.75 1014 9.94 0.01 4.362 0.407 1.18E-06 13.75 999.3072 22996.78 0.02603 23014.42 0.02553 0.08 -1.95 0.2730 9.66 9.66 1014 9.94 0.01 4.362 0.403 1.18E-06 13.75 999.3072 22996.78 0.02579 23014.42 0.02529 0.08 -1.95 0.3440 15.25 15.25 1014 9.94 0.01 4.462 0.381 1.18E-06 13.75 999.3072 28977.63 0.02564 28973.44 0.02404 -0.01 -6.63 0.3680 16.70 16.70 1014 9.94 0.01 4.491 0.38 1.18E-06 13.75 999.3072 30999.32 0.02453 30974.19 0.02399 -0.08 -2.27 0.4040 19.50 19.50 1014 9.94 0.01 4.532 0.366 1.18E-06 13.75 999.3072 34031.86 0.02377 34040.82 0.02323 0.03 -2.33 0.4400 23.00 23.00 1014 9.94 0.01 4.568 0.365 1.18E-06 13.75 999.3072 37064.41 0.02363 36982.82 0.02317 -0.22 -1.99 0.4640 25.10 25.10 1014 9.94 0.01 4.591 0.356 1.18E-06 13.75 999.3072 39086.10 0.02319 38994.20 0.02270 -0.24 -2.18 0.5000 28.50 28.50 1014 9.94 0.01 4.623 0.347 1.18E-06 13.75 999.3072 42118.64 0.02268 41975.90 0.02223 -0.34 -2.01 0.5590 34.70 34.70 1014 9.94 0.01 4.672 0.333 1.18E-06 13.75 999.3072 47088.64 0.02209 46989.41 0.02153 -0.21 -2.62 0.5850 37.20 37.20 1014 9.94 0.01 4.69 0.324 1.18E-06 13.75 999.3072 49278.81 0.02162 48977.88 0.02109 -0.61 -2.55 0.6180 41.00 41.00 1014 9.94 0.01 4.716 0.32 1.18E-06 13.75 999.3072 52058.64 0.02136 51999.60 0.02089 -0.11 -2.22 0.6900 49.60 49.60 1014 9.94 0.01 4.763 0.307 1.18E-06 13.75 999.3072 58123.73 0.02073 57942.87 0.02028 -0.31 -2.21 0.7600 59.70 59.70 1014 9.94 0.01 4.806 0.303 1.18E-06 13.75 999.3072 64020.34 0.02056 63973.48 0.02009 -0.07 -2.34 0.8440 71.80 71.80 1014 9.94 0.01 4.851 0.292 1.18E-06 13.75 999.3072 71096.27 0.02005 70957.78 0.01959 -0.20 -2.37 0.9400 87.80 87.80 1014 9.94 0.01 4.898 0.286 1.18E-06 13.75 999.3072 79183.05 0.01977 79067.86 0.01932 -0.15 -2.32 1.0350 108.70 108.70 1014 9.94 0.01 4.94 0.278 1.18E-06 13.75 999.3072 87185.59 0.02019 87096.36 0.01897 -0.10 -6.43 1.0600 108.50 108.50 1014 9.94 0.01 4.973 0.274 1.12E-06 15.76 999.0113 94075.00 0.01922 93972.33 0.01879 -0.11 -2.25 1.1400 125.50 125.50 1014 9.94 0.01 5.009 0.274 1.12E-06 15.76 999.0113 101175.00 0.01922 102093.95 0.01879 0.90 -2.25 1.1980 137.80 137.80 1014 9.94 0.01 5.025 0.272 1.12E-06 15.76 999.0113 106322.50 0.01911 105925.37 0.01871 -0.37 -2.14 1.2600 151.50 151.50 1014 9.94 0.01 5.049 0.27 1.12E-06 15.76 999.0113 111825.00 0.01899 111943.79 0.01862 0.11 -1.98 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 7 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Merjeno Izračunano v [m/s] dp/dx [Pa/m] dp/dx [Pa/m] D/ks f-l D [cm] ks fcml log(Re) H log(100/.) H V [m2/s] T [oC] P [kg/ml KBizračunan H ^-izračunan H Re H H ARe Al 1.4700 202.00 202.00 1014 9.94 0.01 5.1 0.262 1.16E-06 14.40 999.2166 125963.79 0.01860 125892.54 0.01828 -0.06 -1.74 1.6200 245.00 245.00 1014 9.94 0.01 5.143 0.26 1.16E-06 14.40 999.2166 138817.24 0.01857 138995.26 0.01820 0.13 -2.07 1.8400 314.00 314.00 1014 9.94 0.01 5.199 0.255 1.16E-06 14.40 999.2166 157668.97 0.01845 158124.80 0.01799 0.29 -2.58 2.0100 372.00 372.00 1014 9.94 0.01 5.236 0.253 1.16E-06 14.40 999.2166 172236.21 0.01832 172186.86 0.01791 -0.03 -2.31 2.1700 435.00 435.00 1014 9.94 0.01 5.27 0.255 1.16E-06 14.40 999.2166 185946.55 0.01838 186208.71 0.01799 0.14 -2.17 2.2300 458.00 458.00 1014 9.94 0.01 5.281 0.253 1.16E-06 14.40 999.2166 191087.93 0.01832 190985.33 0.01791 -0.05 -2.33 2.3400 501.00 501.00 1014 9.94 0.01 5.303 0.25 1.16E-06 14.40 999.2166 200513.79 0.01820 200909.28 0.01778 0.20 -2.37 2.4800 565.00 565.00 1014 9.94 0.01 5.326 0.252 1.16E-06 14.40 999.2166 212510.34 0.01828 211836.11 0.01786 -0.32 -2.31 2.8700 760.00 760.00 1014 9.94 0.01 5.377 0.255 1.20E-06 13.12 999.3904 237731.67 0.01835 238231.95 0.01799 0.21 -2.03 3.2500 975.00 975.00 1014 9.94 0.01 5.43 0.253 1.20E-06 13.12 999.3904 269208.33 0.01836 269153.48 0.01791 -0.02 -2.55 3.7500 1310.00 1310.00 1014 9.94 0.01 5.493 0.258 1.20E-06 13.12 999.3904 310625.00 0.01853 311171.63 0.01811 0.18 -2.30 4.1200 1585.00 1585.00 1014 9.94 0.01 5.534 0.26 1.20E-06 13.12 999.3904 341273.33 0.01857 341979.44 0.01820 0.21 -2.07 4.4500 1850.00 1850.00 1014 9.94 0.01 5.574 0.262 1.18E-06 13.75 999.3072 374855.93 0.01859 374973.00 0.01828 0.03 -1.66 4.8100 2320.00 2320.00 1014 9.94 0.01 5.608 0.29 1.18E-06 13.75 999.3072 405181.36 0.01995 405508.54 0.01950 0.08 -2.31 5.1600 2560.00 2560.00 1014 9.94 0.01 5.63 0.272 1.20E-06 13.12 999.3904 427420.00 0.01913 426579.52 0.01871 -0.20 -2.24 5.5100 2920.00 2920.00 1014 9.94 0.01 5.668 0.272 1.18E-06 13.75 999.3072 464147.46 0.01913 465586.09 0.01871 0.31 -2.28 6.0700 3540.00 3540.00 1014 9.94 0.01 5.709 0.272 1.18E-06 13.75 999.3072 511320.34 0.01911 511681.84 0.01871 0.07 -2.17 6.0200 3520.00 3520.00 1014 9.94 0.01 5.756 0.278 1.05E-06 18.33 998.5636 569893.33 0.01934 570164.27 0.01897 0.05 -1.95 6.5500 4190.00 4190.00 1014 9.94 0.01 5.792 0.279 1.05E-06 18.33 998.5636 620066.67 0.01944 619441.08 0.01901 -0.10 -2.28 7.2000 5100.00 5100.00 1014 9.94 0.01 5.833 0.283 1.05E-06 18.33 998.5636 681600.00 0.01959 680769.36 0.01919 -0.12 -2.08 7.9800 6340.00 6340.00 1014 9.94 0.01 5.94 0.286 9.10E-07 24.42 997.2212 871661.54 0.01985 870963.59 0.01932 -0.08 -2.73 8.4500 7100.00 7100.00 1014 9.94 0.01 5.965 0.288 9.10E-07 24.42 997.2212 923000.00 0.01982 922571.43 0.01941 -0.05 -2.13 8.3500 5400.00 5400.00 1014 9.94 0.01 5.929 0.289 8.60E-07 26.99 996.5466 965104.65 0.01545 849180.48 0.01945 -13.65 20.58 7.7900 6050.00 6050.00 1014 9.94 0.01 5.954 0.288 8.60E-07 26.99 996.5466 900379.07 0.01989 899497.58 0.01941 -0.10 -2.47 8.4000 7000.00 7000.00 1014 9.94 0.01 5.987 0.286 8.60E-07 26.99 996.5466 970883.72 0.01979 970509.97 0.01932 -0.04 -2.44 0.4340 55.00 55.00 504 4.94 0.01 4.21 0.4506 1.32E-06 9.67 999.7567 16242.12 0.02886 16218.10 0.02822 -0.15 -2.25 0.5100 72.80 72.80 504 4.94 0.01 4.279 0.4349 1.32E-06 9.67 999.7567 19086.36 0.02766 19010.78 0.02722 -0.40 -1.61 0.7820 152.40 152.40 504 4.94 0.01 4.465 0.3808 1.32E-06 9.67 999.7567 29265.76 0.02463 29174.27 0.02403 -0.31 -2.48 0.8600 177.50 177.50 504 4.94 0.01 4.507 0.3636 1.32E-06 9.67 999.7567 32184.85 0.02372 32136.61 0.02310 -0.15 -2.67 0.9480 213.00 213.00 504 4.94 0.01 4.549 0.3579 1.32E-06 9.67 999.7567 35478.18 0.02342 35399.73 0.02280 -0.22 -2.74 1.0400 255.00 255.00 504 4.94 0.01 4.597 0.3562 1.30E-06 10.21 999.7098 39520.00 0.02330 39536.66 0.02271 0.04 -2.60 1.1600 308.00 308.00 504 4.94 0.01 4.644 0.3434 1.30E-06 10.21 999.7098 44080.00 0.02262 44055.49 0.02205 -0.06 -2.59 1.5800 549.00 549.00 504 4.94 0.01 4.778 0.3257 1.30E-06 10.21 999.7098 60040.00 0.02173 59979.11 0.02117 -0.10 -2.67 1.7400 668.00 668.00 504 4.94 0.01 4.82 0.3282 1.30E-06 10.21 999.7098 66120.00 0.02181 66069.34 0.02129 -0.08 -2.41 2.1400 1000.00 1000.00 504 4.94 0.01 4.916 0.3222 1.28E-06 10.76 999.6576 82590.63 0.02158 82413.81 0.02100 -0.21 -2.77 2.5200 1375.00 1375.00 504 4.94 0.01 4.987 0.3197 1.28E-06 10.76 999.6576 97256.25 0.02140 97051.00 0.02088 -0.21 -2.50 2.9600 1900.00 1900.00 504 4.94 0.01 5.057 0.321 1.28E-06 10.76 999.6576 114237.50 0.02143 114024.98 0.02094 -0.19 -2.35 3.2200 2265.00 2265.00 504 4.94 0.01 5.1 0.3228 1.26E-06 11.33 999.6000 126244.44 0.02159 125892.54 0.02103 -0.28 -2.68 3.8200 3160.00 3160.00 504 4.94 0.01 5.173 0.3197 1.26E-06 11.33 999.6000 149768.25 0.02140 148936.11 0.02088 -0.56 -2.52 4.0700 3650.00 3650.00 504 4.94 0.01 5.21 0.3276 1.24E-06 11.91 999.5364 162143.55 0.02178 162181.01 0.02126 0.02 -2.44 4.6800 4900.00 4900.00 504 4.94 0.01 5.283 0.3322 1.20E-06 13.12 999.3904 192660.00 0.02212 191866.87 0.02149 -0.41 -2.93 5.5500 7020.00 7020.00 504 4.94 0.01 5.366 0.3416 1.18E-06 13.75 999.3072 232347.46 0.02253 232273.68 0.02196 -0.03 -2.61 7.3500 12570.00 12570.00 504 4.94 0.01 5.494 0.3504 1.16E-06 14.40 999.2166 313008.62 0.02301 311888.96 0.02241 -0.36 -2.67 6.6400 10370.00 10370.00 504 4.94 0.01 5.58 0.3562 8.60E-07 26.99 996.5466 381413.95 0.02332 380189.40 0.02271 -0.32 -2.68 7.3400 12800.00 12800.00 504 4.94 0.01 5.623 0.3602 8.60E-07 26.99 996.5466 421623.26 0.02355 419758.98 0.02292 -0.44 -2.77 8.7900 18500.00 18500.00 504 4.94 0.01 5.702 0.3636 8.60E-07 26.99 996.5466 504913.95 0.02374 503500.61 0.02310 -0.28 -2.77 8 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Merjeno Izračunano v [m/s] dp/dx [Pa/m] dp/dx [Pa/m] D/ks f-l D [cm] ks fcml log(Re) H log(100>.) H V [m2/s] T [oC] P [kg/ml KBizračunan H ^-izračunan H Re H H ARe Al 1.2100 329.00 329.00 504 4.94 0.01 4.708 0.3371 1.17E-06 14.07 999.2628 51088.89 0.02222 51050.50 0.02173 -0.08 -2.24 4.8600 5300.00 5300.00 504 4.94 0.01 5.305 0.3328 1.19E-06 13.43 999.3497 201751.26 0.02218 201836.64 0.02152 0.04 -3.10 8.5400 17240.00 17240.00 504 4.94 0.01 5.544 0.3562 1.20E-06 13.12 999.3904 351563.33 0.02337 349945.17 0.02271 -0.46 -2.91 11.0400 29250.00 29250.00 504 4.94 0.01 5.787 0.3661 8.90E-07 25.42 996.9662 612782.02 0.02378 612350.39 0.02323 -0.07 -2.37 0.7230 58.00 58.00 504 9.94 0.02 4.748 0.3335 1.28E-06 10.76 999.6576 56145.47 0.02207 55975.76 0.02155 -0.30 -2.38 0.9550 98.60 98.60 504 9.94 0.02 4.869 0.3228 1.28E-06 10.76 999.6576 74161.72 0.02150 73960.53 0.02103 -0.27 -2.24 1.1600 144.00 144.00 504 9.94 0.02 4.954 0.321 1.28E-06 10.76 999.6576 90081.25 0.02128 89949.76 0.02094 -0.15 -1.63 1.7550 331.00 331.00 504 9.94 0.02 5.134 0.321 1.28E-06 10.76 999.6576 136286.72 0.02137 136144.47 0.02094 -0.10 -2.06 2.3200 589.00 589.00 504 9.94 0.02 5.255 0.3294 1.28E-06 10.76 999.6576 180162.50 0.02176 179887.09 0.02135 -0.15 -1.93 3.0900 1080.00 1080.00 504 9.94 0.02 5.415 0.3434 1.18E-06 13.75 999.3072 260293.22 0.02250 260015.96 0.02205 -0.11 -2.05 4.5200 2375.00 2375.00 504 9.94 0.02 5.58 0.3551 1.18E-06 13.75 999.3072 380752.54 0.02313 380189.40 0.02265 -0.15 -2.09 6.6600 5220.00 5220.00 504 9.94 0.02 5.748 0.3608 1.18E-06 13.75 999.3072 561020.34 0.02341 559757.60 0.02295 -0.23 -2.01 8.3300 8280.00 8280.00 504 9.94 0.02 5.845 0.3666 1.18E-06 13.75 999.3072 701696.61 0.02374 699842.00 0.02326 -0.27 -2.06 6.9700 5830.00 5830.00 504 9.94 0.02 5.881 0.3688 9.10E-07 24.42 997.2212 761338.46 0.02392 760326.28 0.02338 -0.13 -2.34 7.7000 7190.00 7190.00 504 9.94 0.02 5.924 0.3727 9.10E-07 24.42 997.2212 841076.92 0.02418 839459.99 0.02359 -0.19 -2.49 8.5000 8720.00 8720.00 504 9.94 0.02 5.967 0.3705 9.10E-07 24.42 997.2212 928461.54 0.02406 926829.82 0.02347 -0.18 -2.52 8.8000 8160.00 8160.00 504 9.94 0.02 5.991 0.3716 8.90E-07 25.42 996.9662 982831.46 0.02101 979489.99 0.02353 -0.34 10.70 0.2280 42.20 42.20 252 2.474 0.01 3.63 0.594 1.32E-06 9.67 999.7567 4273.27 0.04018 4265.80 0.03926 -0.18 -2.32 0.2520 50.60 50.60 252 2.474 0.01 3.675 0.588 1.32E-06 9.67 999.7567 4723.09 0.03944 4731.51 0.03873 0.18 -1.83 0.2770 59.80 59.80 252 2.474 0.01 3.715 0.576 1.32E-06 9.67 999.7567 5191.65 0.03857 5188.00 0.03767 -0.07 -2.39 0.3070 71.50 71.50 252 2.474 0.01 3.76 0.566 1.32E-06 9.67 999.7567 5753.92 0.03755 5754.40 0.03681 0.01 -1.99 0.3440 87.00 87.00 252 2.474 0.01 3.81 0.552 1.32E-06 9.67 999.7567 6447.39 0.03639 6456.54 0.03565 0.14 -2.08 0.3630 99.60 99.60 252 2.474 0.01 3.833 0.564 1.32E-06 9.67 999.7567 6803.50 0.03741 6807.69 0.03664 0.06 -2.09 0.4180 121.00 121.00 252 2.474 0.01 3.895 0.532 1.32E-06 9.67 999.7567 7834.33 0.03427 7852.36 0.03404 0.23 -0.69 0.4480 135.50 135.50 252 2.474 0.01 3.925 0.515 1.32E-06 9.67 999.7567 8396.61 0.03341 8413.95 0.03273 0.21 -2.07 0.4750 148.00 148.00 252 2.474 0.01 3.95 0.503 1.32E-06 9.67 999.7567 8902.65 0.03246 8912.51 0.03184 0.11 -1.96 0.4920 157.00 157.00 252 2.474 0.01 3.965 0.498 1.32E-06 9.67 999.7567 9221.27 0.03210 9225.71 0.03148 0.05 -1.98 0.5520 195.00 195.00 252 2.474 0.01 4.015 0.491 1.32E-06 9.67 999.7567 10345.82 0.03167 10351.42 0.03097 0.05 -2.26 0.6880 289.00 289.00 252 2.474 0.01 4.111 0.471 1.32E-06 9.67 999.7567 12894.79 0.03022 12912.19 0.02958 0.13 -2.15 0.8370 408.00 408.00 252 2.474 0.01 4.196 0.451 1.32E-06 9.67 999.7567 15687.41 0.02882 15703.63 0.02825 0.10 -2.03 0.9820 532.00 532.00 252 2.474 0.01 4.265 0.435 1.32E-06 9.67 999.7567 18405.06 0.02730 18407.72 0.02723 0.01 -0.28 1.1400 713.00 713.00 252 2.474 0.01 4.33 0.424 1.32E-06 9.67 999.7567 21366.36 0.02715 21379.62 0.02655 0.06 -2.29 1.2950 900.00 900.00 252 2.474 0.01 4.386 0.415 1.32E-06 9.67 999.7567 24271.44 0.02656 24322.04 0.02600 0.21 -2.15 1.3650 990.00 990.00 252 2.474 0.01 4.425 0.412 1.32E-06 9.67 999.7567 25583.41 0.02630 26607.25 0.02582 3.85 -1.84 1.5750 1287.00 1287.00 252 2.474 0.01 4.47 0.4 1.32E-06 9.67 999.7567 29519.32 0.02568 29512.09 0.02512 -0.02 -2.22 1.6700 1432.00 1432.00 252 2.474 0.01 4.496 0.396 1.32E-06 9.67 999.7567 31299.85 0.02541 31332.86 0.02489 0.11 -2.10 1.7300 1550.00 1550.00 252 2.474 0.01 4.511 0.4 1.32E-06 9.67 999.7567 32424.39 0.02563 32433.96 0.02512 0.03 -2.04 1.8900 1823.00 1823.00 252 2.474 0.01 4.55 0.393 1.33E-06 9.40 999.7783 35156.84 0.02526 35481.34 0.02472 0.91 -2.19 2.2300 2530.00 2530.00 252 2.474 0.01 4.62 0.392 1.32E-06 9.67 999.7567 41795.61 0.02518 41686.94 0.02466 -0.26 -2.10 2.6600 3600.00 3600.00 252 2.474 0.01 4.697 0.391 1.32E-06 9.67 999.7567 49854.85 0.02518 49773.71 0.02460 -0.16 -2.35 3.0700 4880.00 4880.00 252 2.474 0.01 4.76 0.4 1.32E-06 9.67 999.7567 57539.24 0.02563 57543.99 0.02512 0.01 -2.02 3.5200 6460.00 6460.00 252 2.474 0.01 4.82 0.403 1.32E-06 9.67 999.7567 65973.33 0.02580 66069.34 0.02529 0.15 -2.02 4.2000 9300.00 9300.00 252 2.474 0.01 4.91 0.408 1.28E-06 10.76 999.6576 81178.13 0.02610 81283.05 0.02559 0.13 -1.99 5.0000 13350.00 13350.00 252 2.474 0.01 4.985 0.414 1.28E-06 10.76 999.6576 96640.63 0.02643 96605.09 0.02594 -0.04 -1.89 5.9000 18960.00 18960.00 252 2.474 0.01 5.057 0.422 1.28E-06 10.76 999.6576 114035.94 0.02696 114024.98 0.02642 -0.01 -2.03 6.8300 25550.00 25550.00 252 2.474 0.01 5.121 0.424 1.28E-06 10.76 999.6576 132011.09 0.02711 132129.56 0.02655 0.09 -2.12 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 9 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Merjeno Izračunano v [m/s] dp/dx [Pa/m] dp/dx [Pa/m] D/ks f-l D [cm] ks fcml log(Re) H log(100/.) H V [m2/s] T [oC] P [kg/ml KBizračunan H ^-izračunan H Re H H ARe Al 7.5500 31640.00 31640.00 252 2.474 0.01 5.164 0.43 1.28E-06 10.76 999.6576 145927.34 0.02747 145881.43 0.02692 -0.03 -2.08 3.5000 1750.00 1750.00 252 9.92 0.04 5.591 0.45 8.90E-07 25.42 996.9662 390112.36 0.02843 389941.99 0.02818 -0.04 -0.87 3.7100 2010.00 2010.00 252 9.92 0.04 5.616 0.453 8.90E-07 25.42 996.9662 413519.10 0.02906 413047.50 0.02838 -0.11 -2.40 4.0600 2380.00 2380.00 252 9.92 0.04 5.655 0.447 8.90E-07 25.42 996.9662 452530.34 0.02873 451855.94 0.02799 -0.15 -2.66 4.2400 2610.00 2610.00 252 9.92 0.04 5.675 0.45 8.90E-07 25.42 996.9662 472593.26 0.02889 473151.26 0.02818 0.12 -2.51 4.5800 3010.00 3010.00 252 9.92 0.04 5.708 0.445 8.90E-07 25.42 996.9662 510489.89 0.02856 510505.00 0.02786 0.00 -2.49 4.8800 3470.00 3470.00 252 9.92 0.04 5.736 0.452 8.90E-07 25.42 996.9662 543928.09 0.02900 544502.65 0.02831 0.11 -2.41 5.1100 3740.00 3740.00 252 9.92 0.04 5.756 0.445 8.90E-07 25.42 996.9662 569564.04 0.02850 570164.27 0.02786 0.11 -2.30 5.3500 4100.00 4100.00 252 9.92 0.04 5.775 0.445 8.90E-07 25.42 996.9662 596314.61 0.02851 595662.14 0.02786 -0.11 -2.31 5.3800 4200.00 4200.00 252 9.92 0.04 5.798 0.45 8.50E-07 27.53 996.3960 627877.65 0.02889 628058.36 0.02818 0.03 -2.52 5.8100 4900.00 4900.00 252 9.92 0.04 5.831 0.45 8.50E-07 27.53 996.3960 678061.18 0.02890 677641.51 0.02818 -0.06 -2.55 5.8600 4940.00 4940.00 252 9.92 0.04 5.835 0.446 8.50E-07 27.53 996.3960 683896.47 0.02864 683911.65 0.02793 0.00 -2.57 6.4200 5980.00 5980.00 252 9.92 0.04 5.874 0.45 8.50E-07 27.53 996.3960 749251.76 0.02889 748169.50 0.02818 -0.14 -2.50 6.7200 6500.00 6500.00 252 9.92 0.04 5.894 0.447 8.50E-07 27.53 996.3960 784263.53 0.02866 783429.64 0.02799 -0.11 -2.40 7.3800 7910.00 7910.00 252 9.92 0.04 5.935 0.45 8.50E-07 27.53 996.3960 861289.41 0.02892 860993.75 0.02818 -0.03 -2.61 7.8300 8770.00 8770.00 252 9.92 0.04 5.961 0.444 8.50E-07 27.53 996.3960 913807.06 0.02848 914113.24 0.02780 0.03 -2.47 8.0000 9270.00 9270.00 252 9.92 0.04 5.97 0.449 8.50E-07 27.53 996.3960 933647.06 0.02884 933254.30 0.02812 -0.04 -2.57 8.3200 10000.00 10000.00 252 9.92 0.04 5.987 0.447 1.35E-06 8.88 999.8180 611365.93 0.02867 970509.97 0.02799 37.01 -2.42 1.2100 200.00 200.00 252 9.92 0.04 4.95 0.43 1.17E-06 14.07 999.2628 102591.45 0.02712 89125.09 0.02692 -15.11 -0.77 1.3200 243.00 243.00 252 9.92 0.04 5.049 0.432 1.17E-06 14.07 999.2628 111917.95 0.02769 111943.79 0.02704 0.02 -2.40 1.2400 206.00 206.00 252 9.92 0.04 5.021 0.415 1.17E-06 14.07 999.2628 105135.04 0.02660 104954.24 0.02600 -0.17 -2.30 1.4900 302.00 302.00 252 9.92 0.04 5.1 0.422 1.17E-06 14.07 999.2628 126331.62 0.02701 125892.54 0.02642 -0.35 -2.21 1.5900 347.00 347.00 252 9.92 0.04 5.13 0.422 1.17E-06 14.07 999.2628 134810.26 0.02725 134896.29 0.02642 0.06 -3.13 1.7800 440.00 440.00 252 9.92 0.04 5.179 0.43 1.17E-06 14.07 999.2628 150919.66 0.02757 151008.02 0.02692 0.06 -2.44 1.8500 475.00 475.00 252 9.92 0.04 5.196 0.43 1.17E-06 14.07 999.2628 156854.70 0.02756 157036.28 0.02692 0.12 -2.38 1.9800 548.00 548.00 252 9.92 0.04 5.225 0.435 1.17E-06 14.07 999.2628 167876.92 0.02775 167880.40 0.02723 0.00 -1.93 1.9800 544.00 544.00 252 9.92 0.04 5.225 0.43 1.17E-06 14.07 999.2628 167876.92 0.02755 167880.40 0.02692 0.00 -2.36 2.1000 620.00 620.00 252 9.92 0.04 5.25 0.436 1.17E-06 14.07 999.2628 178051.28 0.02791 177827.94 0.02729 -0.13 -2.29 2.2200 696.00 696.00 252 9.92 0.04 5.274 0.438 1.17E-06 14.07 999.2628 188225.64 0.02804 187931.68 0.02742 -0.16 -2.27 2.3000 747.00 747.00 252 9.92 0.04 5.29 0.438 1.17E-06 14.07 999.2628 195008.55 0.02804 194984.46 0.02742 -0.01 -2.26 1.8100 460.00 460.00 252 9.92 0.04 5.31 0.436 8.80E-07 25.93 996.8315 204036.36 0.02795 204173.79 0.02729 0.07 -2.40 1.9000 510.00 510.00 252 9.92 0.04 5.33 0.439 8.80E-07 25.93 996.8315 214181.82 0.02812 213796.21 0.02748 -0.18 -2.33 1.9900 560.00 560.00 252 9.92 0.04 5.35 0.439 8.80E-07 25.93 996.8315 224327.27 0.02815 223872.11 0.02748 -0.20 -2.42 2.0600 609.00 609.00 252 9.92 0.04 5.366 0.444 8.80E-07 25.93 996.8315 232218.18 0.02856 232273.68 0.02780 0.02 -2.75 2.1900 687.00 687.00 252 9.92 0.04 5.393 0.444 8.80E-07 25.93 996.8315 246872.73 0.02851 247172.41 0.02780 0.12 -2.56 2.3500 794.00 794.00 252 9.92 0.04 5.423 0.446 8.80E-07 25.93 996.8315 264909.09 0.02862 264850.01 0.02793 -0.02 -2.47 2.4400 857.00 857.00 252 9.92 0.04 5.432 0.447 8.80E-07 25.93 996.8315 275054.55 0.02865 270395.84 0.02799 -1.72 -2.36 2.5300 930.00 930.00 252 9.92 0.04 5.455 0.45 8.80E-07 25.93 996.8315 285200.00 0.02892 285101.83 0.02818 -0.03 -2.60 2.6500 1025.00 1025.00 252 9.92 0.04 5.476 0.452 8.80E-07 25.93 996.8315 298727.27 0.02905 299226.46 0.02831 0.17 -2.60 2.8100 1140.00 1140.00 252 9.92 0.04 5.501 0.447 8.80E-07 25.93 996.8315 316763.64 0.02874 316956.75 0.02799 0.06 -2.66 3.0100 1300.00 1300.00 252 9.92 0.04 5.525 0.447 8.10E-07 29.81 995.7343 368632.10 0.02859 334965.44 0.02799 -10.05 -2.14 3.2600 1533.00 1533.00 252 9.92 0.04 5.56 0.45 8.10E-07 29.81 995.7343 399249.38 0.02874 363078.05 0.02818 -9.96 -1.98 0.2380 46.60 46.60 120 2.434 0.02 3.653 0.593 1.28E-06 10.76 999.6576 4525.72 0.04006 4497.80 0.03917 -0.62 -2.27 0.2630 54.80 54.80 120 2.434 0.02 3.7 0.577 1.28E-06 10.76 999.6576 5001.11 0.03858 5011.87 0.03776 0.21 -2.18 0.2890 65.00 65.00 120 2.434 0.02 3.74 0.571 1.28E-06 10.76 999.6576 5495.52 0.03790 5495.41 0.03724 0.00 -1.77 0.3200 78.00 78.00 120 2.434 0.02 3.785 0.56 1.28E-06 10.76 999.6576 6085.00 0.03709 6095.37 0.03631 0.17 -2.16 10 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Merjeno Izračunano v [m/s] dp/dx [Pa/m] dp/dx [Pa/m] D/ks f-l D [cm] ks fcml log(Re) H log(100>.) H V [m2/s] T [oC] P [kg/ml KBizračunan H ^-izračunan H Re H H ARe Al 0.3750 103.00 103.00 120 2.434 0.02 3.851 0.544 1.28E-06 10.76 999.6576 7130.86 0.03567 7095.78 0.03499 -0.49 -1.92 0.3900 108.40 108.40 120 2.434 0.02 3.869 0.531 1.28E-06 10.76 999.6576 7416.09 0.03471 7396.05 0.03396 -0.27 -2.19 0.4270 124.00 124.00 120 2.434 0.02 3.909 0.512 1.28E-06 10.76 999.6576 8119.67 0.03312 8109.61 0.03251 -0.12 -1.87 0.4680 150.00 150.00 120 2.434 0.02 3.949 0.512 1.28E-06 10.76 999.6576 8899.31 0.03335 8892.01 0.03251 -0.08 -2.59 0.5200 182.00 182.00 120 2.434 0.02 3.996 0.507 1.28E-06 10.76 999.6576 9888.13 0.03278 9908.32 0.03214 0.20 -1.99 0.6000 236.00 236.00 120 2.434 0.02 4.057 0.494 1.28E-06 10.76 999.6576 11409.38 0.03192 11402.50 0.03119 -0.06 -2.35 0.6460 270.00 270.00 120 2.434 0.02 4.09 0.49 1.28E-06 10.76 999.6576 12284.09 0.03151 12302.69 0.03090 0.15 -1.95 0.7620 379.00 379.00 120 2.434 0.02 4.161 0.494 1.28E-06 10.76 999.6576 14489.91 0.03179 14487.72 0.03119 -0.02 -1.91 0.9040 526.00 526.00 120 2.434 0.02 4.236 0.487 1.28E-06 10.76 999.6576 17190.13 0.03134 17218.69 0.03069 0.17 -2.13 1.0250 676.00 676.00 120 2.434 0.02 4.29 0.487 1.28E-06 10.76 999.6576 19491.02 0.03133 19498.45 0.03069 0.04 -2.09 1.2900 1055.00 1055.00 120 2.434 0.02 4.391 0.481 1.28E-06 10.76 999.6576 24530.16 0.03087 24603.68 0.03027 0.30 -1.99 1.3560 1190.00 1190.00 120 2.434 0.02 4.42 0.489 1.28E-06 10.76 999.6576 25785.19 0.03152 26302.68 0.03083 1.97 -2.22 1.7100 1890.00 1890.00 120 2.434 0.02 4.512 0.49 1.28E-06 10.76 999.6576 32516.72 0.03148 32508.73 0.03090 -0.02 -1.85 1.8250 2142.00 2142.00 120 2.434 0.02 4.54 0.487 1.28E-06 10.76 999.6576 34703.52 0.03132 34673.69 0.03069 -0.09 -2.05 1.8800 2334.00 2334.00 120 2.434 0.02 4.553 0.498 1.28E-06 10.76 999.6576 35749.38 0.03216 35727.28 0.03148 -0.06 -2.16 1.8700 2280.00 2280.00 120 2.434 0.02 4.58 0.493 1.20E-06 13.12 999.3904 37929.83 0.03176 38018.94 0.03112 0.23 -2.06 2.0000 2690.00 2690.00 120 2.434 0.02 4.609 0.507 1.20E-06 13.12 999.3904 40566.67 0.03276 40644.33 0.03214 0.19 -1.93 2.1400 3062.00 3062.00 120 2.434 0.02 4.654 0.504 1.18E-06 13.75 999.3072 44142.03 0.03257 45081.67 0.03192 2.08 -2.05 2.2400 3380.00 3380.00 120 2.434 0.02 4.665 0.507 1.18E-06 13.75 999.3072 46204.75 0.03281 46238.10 0.03214 0.07 -2.11 2.4200 3970.00 3970.00 120 2.434 0.02 4.699 0.509 1.18E-06 13.75 999.3072 49917.63 0.03302 50003.45 0.03228 0.17 -2.28 2.6200 4740.00 4740.00 120 2.434 0.02 4.74 0.517 1.16E-06 14.40 999.2166 54974.83 0.03364 54954.09 0.03289 -0.04 -2.30 2.8000 5440.00 5440.00 120 2.434 0.02 4.769 0.52 1.16E-06 14.40 999.2166 58751.72 0.03380 58748.94 0.03311 0.00 -2.09 3.0200 6450.00 6450.00 120 2.434 0.02 4.813 0.528 1.14E-06 15.07 999.1181 64479.65 0.03446 65012.97 0.03373 0.82 -2.16 3.3200 7770.00 7770.00 120 2.434 0.02 4.849 0.526 1.14E-06 15.07 999.1181 70884.91 0.03435 70631.76 0.03357 -0.36 -2.30 3.9900 11650.00 11650.00 120 2.434 0.02 4.93 0.543 1.14E-06 15.07 999.1181 85190.00 0.03565 85113.80 0.03491 -0.09 -2.12 4.2100 12700.00 12700.00 120 2.434 0.02 4.954 0.534 1.14E-06 15.07 999.1181 89887.19 0.03491 89949.76 0.03420 0.07 -2.09 5.0800 18900.00 18900.00 120 2.434 0.02 5.034 0.543 1.14E-06 15.07 999.1181 108462.46 0.03568 108143.40 0.03491 -0.30 -2.20 6.7100 33000.00 33000.00 120 2.434 0.02 5.155 0.543 1.14E-06 15.07 999.1181 143264.39 0.03571 142889.40 0.03491 -0.26 -2.28 5.6600 23600.00 23600.00 120 2.434 0.02 5.083 0.545 1.14E-06 15.07 999.1181 120845.96 0.03589 121059.81 0.03508 0.18 -2.33 7.1700 38300.00 38300.00 120 2.434 0.02 5.185 0.55 1.14E-06 15.07 999.1181 153085.79 0.03630 153108.75 0.03548 0.01 -2.30 7.9500 45700.00 45700.00 120 2.434 0.02 5.231 0.537 1.14E-06 15.07 999.1181 169739.47 0.03523 170215.85 0.03443 0.28 -2.31 1.0100 182.00 182.00 120 9.8 0.08 4.875 0.535 1.32E-06 9.67 999.7567 74984.85 0.03498 74989.42 0.03428 0.01 -2.04 1.1300 227.00 227.00 120 9.8 0.08 4.924 0.534 1.32E-06 9.67 999.7567 83893.94 0.03485 83946.00 0.03420 0.06 -1.91 1.2100 264.00 264.00 120 9.8 0.08 4.954 0.542 1.32E-06 9.67 999.7567 89833.33 0.03535 89949.76 0.03483 0.13 -1.48 1.3100 306.00 306.00 120 9.8 0.08 5.052 0.535 1.14E-06 15.07 999.1181 112614.04 0.03498 112719.75 0.03428 0.09 -2.05 1.4500 380.00 380.00 120 9.8 0.08 5.033 0.54 1.32E-06 9.67 999.7567 107651.52 0.03543 107894.67 0.03467 0.23 -2.19 1.5700 452.00 452.00 120 9.8 0.08 5.13 0.545 1.14E-06 15.07 999.1181 134964.91 0.03597 134896.29 0.03508 -0.05 -2.56 1.9200 681.00 681.00 120 9.8 0.08 5.17 0.55 1.27E-06 11.04 999.6295 148157.48 0.03622 147910.84 0.03548 -0.17 -2.08 2.0300 755.00 755.00 120 9.8 0.08 5.196 0.547 1.27E-06 11.04 999.6295 156645.67 0.03592 157036.28 0.03524 0.25 -1.95 2.2000 933.00 933.00 120 9.8 0.08 5.23 0.568 1.27E-06 11.04 999.6295 169763.78 0.03780 169824.37 0.03698 0.04 -2.20 2.3500 1024.00 1024.00 120 9.8 0.08 5.258 0.551 1.27E-06 11.04 999.6295 181338.58 0.03636 181134.01 0.03556 -0.11 -2.23 2.4900 1158.00 1158.00 120 9.8 0.08 5.283 0.555 1.27E-06 11.04 999.6295 192141.73 0.03662 191866.87 0.03589 -0.14 -2.03 2.6600 1310.00 1310.00 120 9.8 0.08 5.312 0.551 1.27E-06 11.04 999.6295 205259.84 0.03630 205116.22 0.03556 -0.07 -2.08 2.7200 1383.00 1383.00 120 9.8 0.08 5.35 0.555 1.19E-06 13.43 999.3497 224000.00 0.03666 223872.11 0.03589 -0.06 -2.15 3.1100 1786.00 1786.00 120 9.8 0.08 5.408 0.55 1.19E-06 13.43 999.3497 256117.65 0.03622 255858.59 0.03548 -0.10 -2.07 3.5800 2400.00 2400.00 120 9.8 0.08 5.47 0.555 1.19E-06 13.43 999.3497 294823.53 0.03673 295120.92 0.03589 0.10 -2.33 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 11 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Merjeno Izračunano v [m/s] dp/dx [Pa/m] dp/dx [Pa/m] D/ks f-l D [cm] ks fcml log(Re) H log(100/.) H V [m2/s] T [oC] P [kg/ml KBizračunan H ^-izračunan H Re H H ARe Al 3.7100 2500.00 2500.00 120 9.8 0.08 5.497 0.543 1.16E-06 14.40 999.2166 313431.03 0.03563 314050.87 0.03491 0.20 -2.04 3.8700 2780.00 2780.00 120 9.8 0.08 5.515 0.551 1.16E-06 14.40 999.2166 326948.28 0.03641 327340.69 0.03556 0.12 -2.38 4.1800 3230.00 3230.00 120 9.8 0.08 5.549 0.55 1.16E-06 14.40 999.2166 353137.93 0.03626 353997.34 0.03548 0.24 -2.20 4.2400 3380.00 3380.00 120 9.8 0.08 5.554 0.558 1.16E-06 14.40 999.2166 358206.90 0.03688 358096.44 0.03614 -0.03 -2.04 4.4500 3660.00 3660.00 120 9.8 0.08 5.575 0.551 1.16E-06 14.40 999.2166 375948.28 0.03625 375837.40 0.03556 -0.03 -1.94 4.7100 4110.00 4110.00 120 9.8 0.08 5.6 0.55 1.16E-06 14.40 999.2166 397913.79 0.03634 398107.17 0.03548 0.05 -2.42 4.9500 4640.00 4640.00 120 9.8 0.08 5.621 0.56 1.16E-06 14.40 999.2166 418189.66 0.03715 417830.37 0.03631 -0.09 -2.31 4.9900 4540.00 4540.00 120 9.8 0.08 5.625 0.543 1.16E-06 14.40 999.2166 421568.97 0.03576 421696.50 0.03491 0.03 -2.44 5.1400 4810.00 4810.00 120 9.8 0.08 5.641 0.543 1.15E-06 14.73 999.1683 438017.39 0.03571 437522.11 0.03491 -0.11 -2.29 5.3100 5210.00 5210.00 120 9.8 0.08 5.655 0.55 1.15E-06 14.73 999.1683 452504.35 0.03625 451855.94 0.03548 -0.14 -2.16 5.3500 5310.00 5310.00 120 9.8 0.08 5.659 0.551 1.15E-06 14.73 999.1683 455913.04 0.03639 456036.92 0.03556 0.03 -2.33 5.4800 5670.00 5670.00 120 9.8 0.08 5.668 0.56 1.15E-06 14.73 999.1683 466991.30 0.03704 465586.09 0.03631 -0.30 -2.01 5.7600 6170.00 6170.00 120 9.8 0.08 5.691 0.553 1.15E-06 14.73 999.1683 490852.17 0.03648 490907.88 0.03573 0.01 -2.11 6.0900 6890.00 6890.00 120 9.8 0.08 5.714 0.551 1.15E-06 14.73 999.1683 518973.91 0.03644 517606.83 0.03556 -0.26 -2.47 6.5600 8100.00 8100.00 120 9.8 0.08 5.748 0.558 1.15E-06 14.73 999.1683 559026.09 0.03692 559757.60 0.03614 0.13 -2.16 6.7000 8300.00 8300.00 120 9.8 0.08 5.757 0.55 1.15E-06 14.73 999.1683 570956.52 0.03627 571478.64 0.03548 0.09 -2.22 7.2100 9660.00 9660.00 120 9.8 0.08 5.789 0.551 1.15E-06 14.73 999.1683 614417.39 0.03645 615176.87 0.03556 0.12 -2.50 8.4000 12900.00 12900.00 120 9.8 0.08 5.836 0.547 1.20E-06 13.12 999.3904 686000.00 0.03586 685488.23 0.03524 -0.07 -1.75 8.9600 15050.00 15050.00 120 9.8 0.08 5.865 0.555 1.20E-06 13.12 999.3904 731733.33 0.03677 732824.53 0.03589 0.15 -2.43 7.7000 11000.00 11000.00 120 9.8 0.08 5.914 0.553 9.20E-07 23.94 997.3418 820217.39 0.03646 820351.54 0.03573 0.02 -2.05 7.7400 11050.00 11050.00 120 9.8 0.08 5.916 0.55 9.20E-07 23.94 997.3418 824478.26 0.03625 824138.12 0.03548 -0.04 -2.16 8.3600 12980.00 12980.00 120 9.8 0.08 5.945 0.551 9.20E-07 23.94 997.3418 890521.74 0.03650 881048.87 0.03556 -1.08 -2.63 8.6000 13800.00 13800.00 120 9.8 0.08 5.962 0.555 9.20E-07 23.94 997.3418 916086.96 0.03667 916220.49 0.03589 0.01 -2.16 0.2490 50.70 50.70 61.2 2.434 0.04 3.672 0.592 1.29E-06 10.48 999.6844 4698.19 0.03982 4698.94 0.03908 0.02 -1.88 0.2700 59.50 59.50 61.2 2.434 0.04 3.708 0.59 1.29E-06 10.48 999.6844 5094.42 0.03974 5105.05 0.03890 0.21 -2.16 0.2960 72.00 72.00 61.2 2.434 0.04 3.748 0.592 1.29E-06 10.48 999.6844 5584.99 0.04002 5597.58 0.03908 0.22 -2.39 0.3070 78.00 78.00 61.2 2.434 0.04 3.763 0.597 1.29E-06 10.48 999.6844 5792.54 0.04030 5794.29 0.03954 0.03 -1.93 0.3230 83.90 83.90 61.2 2.434 0.04 3.785 0.583 1.29E-06 10.48 999.6844 6094.43 0.03916 6095.37 0.03828 0.02 -2.29 0.3550 102.00 102.00 61.2 2.434 0.04 3.826 0.585 1.29E-06 10.48 999.6844 6698.22 0.03941 6698.85 0.03846 0.01 -2.48 0.3920 126.00 126.00 61.2 2.434 0.04 3.869 0.596 1.29E-06 10.48 999.6844 7396.34 0.03993 7396.05 0.03945 0.00 -1.22 0.4020 128.00 128.00 61.2 2.434 0.04 3.881 0.578 1.29E-06 10.48 999.6844 7585.02 0.03857 7603.26 0.03784 0.24 -1.92 0.4500 161.00 161.00 61.2 2.434 0.04 3.929 0.578 1.29E-06 10.48 999.6844 8490.70 0.03872 8491.80 0.03784 0.01 -2.30 0.4550 162.00 162.00 61.2 2.434 0.04 3.935 0.583 1.29E-06 10.48 999.6844 8585.04 0.03810 8609.94 0.03828 0.29 0.46 0.4800 183.50 183.50 61.2 2.434 0.04 3.978 0.578 1.23E-06 12.21 999.5024 9498.54 0.03879 9506.05 0.03784 0.08 -2.50 0.5160 214.00 214.00 61.2 2.434 0.04 4.009 0.585 1.23E-06 12.21 999.5024 10210.93 0.03915 10209.39 0.03846 -0.02 -1.78 0.5660 258.00 258.00 61.2 2.434 0.04 4.049 0.583 1.23E-06 12.21 999.5024 11200.36 0.03922 11194.38 0.03828 -0.05 -2.46 0.6080 303.00 303.00 61.2 2.434 0.04 4.079 0.592 1.23E-06 12.21 999.5024 12031.48 0.03992 11994.99 0.03908 -0.30 -2.14 0.6740 370.00 370.00 61.2 2.434 0.04 4.124 0.59 1.23E-06 12.21 999.5024 13337.53 0.03967 13304.54 0.03890 -0.25 -1.96 0.6840 390.00 390.00 61.2 2.434 0.04 4.13 0.599 1.23E-06 12.21 999.5024 13535.41 0.04060 13489.63 0.03972 -0.34 -2.22 0.7850 514.00 514.00 61.2 2.434 0.04 4.19 0.599 1.23E-06 12.21 999.5024 15534.07 0.04062 15488.17 0.03972 -0.30 -2.28 0.9420 756.00 756.00 61.2 2.434 0.04 4.27 0.609 1.23E-06 12.21 999.5024 18640.88 0.04149 18620.87 0.04064 -0.11 -2.09 0.9870 840.00 840.00 61.2 2.434 0.04 4.29 0.618 1.23E-06 12.21 999.5024 19531.37 0.04200 19498.45 0.04150 -0.17 -1.21 1.0300 912.00 912.00 61.2 2.434 0.04 4.309 0.612 1.23E-06 12.21 999.5024 20382.28 0.04187 20370.42 0.04093 -0.06 -2.30 2.0200 3720.00 3720.00 61.2 2.434 0.04 4.584 0.639 1.28E-06 10.76 999.6576 38411.56 0.04440 38370.72 0.04355 -0.11 -1.94 2.3700 5190.00 5190.00 61.2 2.434 0.04 4.653 0.644 1.28E-06 10.76 999.6576 45067.03 0.04500 44977.99 0.04406 -0.20 -2.13 3.0000 8400.00 8400.00 61.2 2.434 0.04 4.799 0.647 1.16E-06 14.40 999.2166 62948.28 0.04547 62950.62 0.04436 0.00 -2.50 12 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Merjeno Izračunano v [m/s] dp/dx [Pa/m] dp/dx [Pa/m] D/ks f-l D [cm] ks fcml log(Re) H log(100>.) H V [m2/s] T [oC] P [kg/ml KBizračunan H ^-izračunan H Re H H ARe Al 3.7900 13680.00 13680.00 61.2 2.434 0.04 4.9 0.656 1.16E-06 14.40 999.2166 79524.66 0.04640 79432.82 0.04529 -0.12 -2.45 4.4000 18400.00 18400.00 61.2 2.434 0.04 4.965 0.656 1.16E-06 14.40 999.2166 92324.14 0.04630 92257.14 0.04529 -0.07 -2.24 4.7000 20800.00 20800.00 61.2 2.434 0.04 5.029 0.652 1.07E-06 17.57 998.7041 106914.02 0.04590 106905.49 0.04487 -0.01 -2.28 5.1500 24900.00 24900.00 61.2 2.434 0.04 5.068 0.65 1.07E-06 17.57 998.7041 117150.47 0.04576 116949.94 0.04467 -0.17 -2.45 5.9800 33500.00 33500.00 61.2 2.434 0.04 5.134 0.65 1.07E-06 17.57 998.7041 136031.03 0.04566 136144.47 0.04467 0.08 -2.22 6.6400 41400.00 41400.00 61.2 2.434 0.04 5.176 0.65 1.07E-06 17.57 998.7041 151044.49 0.04577 149968.48 0.04467 -0.72 -2.47 0.7000 222.00 222.00 61.2 4.87 0.08 4.425 0.637 1.28E-06 10.76 999.6576 26632.81 0.04414 26607.25 0.04335 -0.10 -1.83 0.7250 235.00 235.00 61.2 4.87 0.08 4.44 0.63 1.28E-06 10.76 999.6576 27583.98 0.04356 27542.29 0.04266 -0.15 -2.12 0.9540 413.00 413.00 61.2 4.87 0.08 4.56 0.637 1.28E-06 10.76 999.6576 36296.72 0.04421 36307.81 0.04335 0.03 -1.99 1.1320 595.00 595.00 61.2 4.87 0.08 4.636 0.647 1.28E-06 10.76 999.6576 43069.06 0.04524 43251.38 0.04436 0.42 -1.98 1.4400 983.00 983.00 61.2 4.87 0.08 4.74 0.654 1.28E-06 10.76 999.6576 54787.50 0.04619 54954.09 0.04508 0.30 -2.46 1.4600 1010.00 1010.00 61.2 4.87 0.08 4.83 0.654 1.05E-06 18.33 998.5636 67716.19 0.04622 67608.30 0.04508 -0.16 -2.52 1.5400 1135.00 1135.00 61.2 4.87 0.08 4.855 0.661 1.05E-06 18.33 998.5636 71426.67 0.04668 71614.34 0.04581 0.26 -1.89 2.1100 2120.00 2120.00 61.2 4.87 0.08 4.99 0.657 1.05E-06 18.33 998.5636 97863.81 0.04645 97723.72 0.04539 -0.14 -2.32 2.7200 3480.00 3480.00 61.2 4.87 0.08 5.1 0.652 1.05E-06 18.33 998.5636 126156.19 0.04588 125892.54 0.04487 -0.21 -2.24 3.7400 6630.00 6630.00 61.2 4.87 0.08 5.24 0.657 1.05E-06 18.33 998.5636 173464.76 0.04623 173780.08 0.04539 0.18 -1.85 4.0600 7840.00 7840.00 61.2 4.87 0.08 5.275 0.657 1.05E-06 18.33 998.5636 188306.67 0.04639 188364.91 0.04539 0.03 -2.20 4.5400 9580.00 9580.00 61.2 4.87 0.08 5.323 0.647 1.05E-06 18.33 998.5636 210569.52 0.04534 210377.84 0.04436 -0.09 -2.20 6.4000 19450.00 19450.00 61.2 4.87 0.08 5.473 0.657 1.05E-06 18.33 998.5636 296838.10 0.04632 297166.60 0.04539 0.11 -2.03 9.7500 44700.00 44700.00 61.2 4.87 0.08 5.655 0.652 1.05E-06 18.33 998.5636 452214.29 0.04587 451855.94 0.04487 -0.08 -2.21 0.9900 235.00 235.00 61.2 9.64 0.16 4.934 0.656 1.11E-06 16.11 998.9546 85978.38 0.04628 85901.35 0.04529 -0.09 -2.18 1.3500 436.00 436.00 61.2 9.64 0.16 5.068 0.657 1.11E-06 16.11 998.9546 117243.24 0.04617 116949.94 0.04539 -0.25 -1.71 1.7100 706.00 706.00 61.2 9.64 0.16 5.17 0.659 1.11E-06 16.11 998.9546 148508.11 0.04660 147910.84 0.04560 -0.40 -2.18 1.9300 903.00 903.00 61.2 9.64 0.16 5.223 0.656 1.11E-06 16.11 998.9546 167614.41 0.04679 167109.06 0.04529 -0.30 -3.31 2.0700 1020.00 1020.00 61.2 9.64 0.16 5.255 0.652 1.11E-06 16.11 998.9546 179772.97 0.04594 179887.09 0.04487 0.06 -2.38 2.4600 1460.00 1460.00 61.2 9.64 0.16 5.342 0.657 1.08E-06 17.19 998.7704 219577.78 0.04657 219785.99 0.04539 0.09 -2.59 2.4800 1480.00 1480.00 61.2 9.64 0.16 5.344 0.657 1.08E-06 17.19 998.7704 221362.96 0.04645 220800.47 0.04539 -0.25 -2.33 2.6900 1750.00 1750.00 61.2 9.64 0.16 5.394 0.659 1.08E-06 17.19 998.7704 240107.41 0.04668 247742.21 0.04560 3.08 -2.37 3.0000 2180.00 2180.00 61.2 9.64 0.16 5.428 0.659 1.08E-06 17.19 998.7704 267777.78 0.04676 267916.83 0.04560 0.05 -2.53 3.1200 2360.00 2360.00 61.2 9.64 0.16 5.444 0.661 1.08E-06 17.19 998.7704 278488.89 0.04680 277971.33 0.04581 -0.19 -2.15 3.6800 3250.00 3250.00 61.2 9.64 0.16 5.516 0.657 1.08E-06 17.19 998.7704 328474.07 0.04633 328095.29 0.04539 -0.12 -2.05 3.9000 3670.00 3670.00 61.2 9.64 0.16 5.541 0.659 1.08E-06 17.19 998.7704 348111.11 0.04658 347536.16 0.04560 -0.17 -2.14 4.0600 3940.00 3940.00 61.2 9.64 0.16 5.559 0.657 1.08E-06 17.19 998.7704 362392.59 0.04614 362243.00 0.04539 -0.04 -1.64 4.8500 5680.00 5680.00 61.2 9.64 0.16 5.776 0.659 9.00E-07 24.92 997.0961 519488.89 0.04669 597035.29 0.04560 12.99 -2.38 6.0300 8790.00 8790.00 61.2 9.64 0.16 5.81 0.659 9.00E-07 24.92 997.0961 645880.00 0.04674 645654.23 0.04560 -0.03 -2.50 6.8200 11200.00 11200.00 61.2 9.64 0.16 5.863 0.657 9.00E-07 24.92 997.0961 730497.78 0.04656 729457.51 0.04539 -0.14 -2.57 7.6900 14300.00 14300.00 61.2 9.64 0.16 5.916 0.659 9.00E-07 24.92 997.0961 823684.44 0.04676 824138.12 0.04560 0.06 -2.53 8.5500 17200.00 17200.00 61.2 9.64 0.16 5.962 0.65 9.00E-07 24.92 997.0961 915800.00 0.04550 916220.49 0.04467 0.05 -1.85 9.3400 21180.00 21180.00 61.2 9.64 0.16 6 0.659 9.00E-07 24.92 997.0961 1000417.78 0.04695 1000000.00 0.04560 -0.04 -2.94 0.3080 99.50 99.50 30 2.412 0.08 3.77 0.696 1.26E-06 11.33 999.6000 5896.00 0.05062 5888.44 0.04966 -0.13 -1.93 0.3450 126.00 126.00 30 2.412 0.08 3.82 0.699 1.26E-06 11.33 999.6000 6604.29 0.05109 6606.93 0.05000 0.04 -2.17 0.3740 150.50 150.50 30 2.412 0.08 3.855 0.707 1.26E-06 11.33 999.6000 7159.43 0.05192 7161.43 0.05093 0.03 -1.95 0.4200 192.00 192.00 30 2.412 0.08 3.905 0.712 1.26E-06 11.33 999.6000 8040.00 0.05253 8035.26 0.05152 -0.06 -1.95 0.4660 239.20 239.20 30 2.412 0.08 3.955 0.717 1.26E-06 11.33 999.6000 8920.57 0.05316 9015.71 0.05212 1.06 -1.99 0.5100 295.00 295.00 30 2.412 0.08 4 0.73 1.23E-06 12.21 999.5024 10000.98 0.05474 10000.00 0.05370 -0.01 -1.93 0.5600 360.00 360.00 30 2.412 0.08 4.041 0.734 1.23E-06 12.21 999.5024 10981.46 0.05541 10990.06 0.05420 0.08 -2.22 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 13 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Merjeno Izračunano v [m/s] dp/dx [Pa/m] dp/dx [Pa/m] D/ks f-l D [cm] ks fcml log(Re) H log(100/.) H V [m2/s] T [oC] P [kg/ml KBizračunan H ^-izračunan H Re H H ARe Al 0.6060 422.00 422.00 30 2.412 0.08 4.076 0.736 1.23E-06 12.21 999.5024 11883.51 0.05546 11912.42 0.05445 0.24 -1.86 0.6120 439.00 439.00 30 2.412 0.08 4.079 0.744 1.23E-06 12.21 999.5024 12001.17 0.05657 11994.99 0.05546 -0.05 -2.00 0.6640 526.00 526.00 30 2.412 0.08 4.114 0.751 1.23E-06 12.21 999.5024 13020.88 0.05758 13001.70 0.05636 -0.15 -2.16 0.6940 559.00 559.00 30 2.412 0.08 4.133 0.74 1.23E-06 12.21 999.5024 13609.17 0.05602 13583.13 0.05495 -0.19 -1.93 0.7700 695.00 695.00 30 2.412 0.08 4.179 0.744 1.23E-06 12.21 999.5024 15099.51 0.05658 15100.80 0.05546 0.01 -2.01 0.8000 767.00 767.00 30 2.412 0.08 4.196 0.754 1.23E-06 12.21 999.5024 15687.80 0.05784 15703.63 0.05675 0.10 -1.92 0.9500 1097.00 1097.00 30 2.412 0.08 4.27 0.76 1.23E-06 12.21 999.5024 18629.27 0.05867 18620.87 0.05754 -0.05 -1.95 0.9950 1192.00 1192.00 30 2.412 0.08 4.29 0.756 1.23E-06 12.21 999.5024 19511.71 0.05811 19498.45 0.05702 -0.07 -1.92 1.0500 1370.00 1370.00 30 2.412 0.08 4.314 0.769 1.23E-06 12.21 999.5024 20590.24 0.05997 20606.30 0.05875 0.08 -2.09 1.1150 1526.00 1526.00 30 2.412 0.08 4.34 0.763 1.23E-06 12.21 999.5024 21864.88 0.05924 21877.62 0.05794 0.06 -2.24 1.1800 1765.00 1765.00 30 2.412 0.08 4.366 0.778 1.23E-06 12.21 999.5024 23139.51 0.06118 23227.37 0.05998 0.38 -2.00 1.2400 1930.00 1930.00 30 2.412 0.08 4.386 0.772 1.23E-06 12.21 999.5024 24316.10 0.06058 24322.04 0.05916 0.02 -2.41 1.3100 2147.00 2147.00 30 2.412 0.08 4.41 0.772 1.23E-06 12.21 999.5024 25688.78 0.06038 25703.96 0.05916 0.06 -2.07 1.3340 2280.00 2280.00 30 2.412 0.08 4.425 0.782 1.21E-06 12.81 999.4294 26591.80 0.06184 26607.25 0.06053 0.06 -2.16 1.4900 2820.00 2820.00 30 2.412 0.08 4.466 0.785 1.23E-06 12.21 999.5024 29218.54 0.06131 29241.52 0.06095 0.08 -0.58 1.6900 3640.00 3640.00 30 2.412 0.08 4.52 0.78 1.23E-06 12.21 999.5024 33140.49 0.06151 33113.11 0.06026 -0.08 -2.08 1.9650 4930.00 4930.00 30 2.412 0.08 4.59 0.781 1.22E-06 12.51 999.4667 38849.02 0.06163 38904.51 0.06039 0.14 -2.04 2.1400 5800.00 5800.00 30 2.412 0.08 4.63 0.777 1.21E-06 12.81 999.4294 42658.51 0.06113 42657.95 0.05984 0.00 -2.15 2.6600 9000.00 9000.00 30 2.412 0.08 4.725 0.78 1.21E-06 12.81 999.4294 53024.13 0.06140 53088.44 0.06026 0.12 -1.89 3.2500 13500.00 13500.00 30 2.412 0.08 4.811 0.781 1.20E-06 13.12 999.3904 65325.00 0.06169 64714.26 0.06039 -0.94 -2.15 3.6400 16800.00 16800.00 30 2.412 0.08 4.865 0.777 1.20E-06 13.12 999.3904 73164.00 0.06120 73282.45 0.05984 0.16 -2.28 3.7500 17760.00 17760.00 30 2.412 0.08 4.885 0.776 1.18E-06 13.75 999.3072 76652.54 0.06097 76736.15 0.05970 0.11 -2.11 4.4700 25400.00 25400.00 30 2.412 0.08 4.965 0.779 1.17E-06 14.07 999.2628 92150.77 0.06137 92257.14 0.06012 0.12 -2.08 4.8400 29820.00 29820.00 30 2.412 0.08 5 0.781 1.17E-06 14.07 999.2628 99778.46 0.06145 100000.00 0.06039 0.22 -1.75 5.3200 36110.00 36110.00 30 2.412 0.08 5.042 0.78 1.17E-06 14.07 999.2628 109673.85 0.06159 110153.93 0.06026 0.44 -2.22 5.6000 40190.00 40190.00 30 2.412 0.08 5.098 0.781 1.08E-06 17.19 998.7704 125066.67 0.06190 125314.12 0.06039 0.20 -2.49 6.4000 51000.00 51000.00 30 2.412 0.08 5.155 0.778 1.08E-06 17.19 998.7704 142933.33 0.06014 142889.40 0.05998 -0.03 -0.27 6.7500 58090.00 58090.00 30 2.412 0.08 5.179 0.781 1.08E-06 17.19 998.7704 150750.00 0.06158 151008.02 0.06039 0.17 -1.96 7.8800 79000.00 79000.00 30 2.412 0.08 5.285 0.779 9.80E-07 21.20 997.9792 193944.49 0.06150 192752.49 0.06012 -0.62 -2.30 0.7550 291.00 363.75 30 4.82 0.16 4.44 0.775 1.32E-06 9.67 999.7567 27568.94 0.06153 27542.29 0.05957 -0.10 -3.30 0.8650 382.00 477.50 30 4.82 0.16 4.5 0.777 1.32E-06 9.67 999.7567 31585.61 0.06154 31622.78 0.05984 0.12 -2.83 0.9500 460.00 575.00 30 4.82 0.16 4.54 0.778 1.32E-06 9.67 999.7567 34689.39 0.06143 34673.69 0.05998 -0.05 -2.42 1.0800 596.00 745.00 30 4.82 0.16 4.596 0.78 1.32E-06 9.67 999.7567 39436.36 0.06159 39445.73 0.06026 0.02 -2.21 1.2850 842.00 1052.50 30 4.82 0.16 4.685 0.781 1.28E-06 10.76 999.6576 48388.28 0.06147 48417.24 0.06039 0.06 -1.78 1.5000 1150.00 1437.50 30 4.82 0.16 4.722 0.777 1.28E-06 10.76 999.6576 56484.38 0.06161 52722.99 0.05984 -7.13 -2.96 1.8400 1730.00 2162.50 30 4.82 0.16 4.845 0.775 1.27E-06 11.04 999.6295 69833.07 0.06160 69984.20 0.05957 0.22 -3.41 1.9350 1910.00 2387.50 30 4.82 0.16 4.869 0.778 1.26E-06 11.33 999.6000 74021.43 0.06149 73960.53 0.05998 -0.08 -2.53 2.1200 2300.00 2875.00 30 4.82 0.16 4.929 0.78 1.20E-06 13.12 999.3904 85153.33 0.06170 84918.05 0.06026 -0.28 -2.40 2.1800 2420.00 3025.00 30 4.82 0.16 4.949 0.779 1.18E-06 13.75 999.3072 89047.46 0.06140 88920.11 0.06012 -0.14 -2.14 2.4600 3090.00 3862.50 30 4.82 0.16 5.002 0.777 1.18E-06 13.75 999.3072 100484.75 0.06157 100461.58 0.05984 -0.02 -2.89 2.4800 3140.00 3925.00 30 4.82 0.16 5.005 0.775 1.18E-06 13.75 999.3072 101301.69 0.06156 101157.95 0.05957 -0.14 -3.35 2.5400 3300.00 4125.00 30 4.82 0.16 5.097 0.778 9.80E-07 21.20 997.9792 124926.53 0.06176 125025.90 0.05998 0.08 -2.97 2.8000 4000.00 5000.00 30 4.82 0.16 5.139 0.783 9.80E-07 21.20 997.9792 137714.29 0.06160 137720.95 0.06067 0.00 -1.53 2.9100 4320.00 5400.00 30 4.82 0.16 5.156 0.784 9.80E-07 21.20 997.9792 143124.49 0.06160 143218.79 0.06081 0.07 -1.29 3.3700 5800.00 7250.00 30 4.82 0.16 5.22 0.777 9.80E-07 21.20 997.9792 165748.98 0.06166 165958.69 0.05984 0.13 -3.05 3.5000 6250.00 7812.50 30 4.82 0.16 5.236 0.78 9.80E-07 21.20 997.9792 172142.86 0.06160 172186.86 0.06026 0.03 -2.24 14 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Merjeno Izračunano v [m/s] dp/dx [Pa/m] dp/dx [Pa/m] D/ks f-l D [cm] ks fcml log(Re) H log(100>.) H V [m2/s] T [oC] P [kg/ml KBizračunan H ^-izračunan H Re H H ARe Al 4.0600 8400.00 10500.00 30 4.82 0.16 5.31 0.778 9.60E-07 22.08 997.7822 203845.83 0.06154 204173.79 0.05998 0.16 -2.61 4.5600 10600.00 13250.00 30 4.82 0.16 5.36 0.775 9.60E-07 22.08 997.7822 228950.00 0.06156 229086.77 0.05957 0.06 -3.35 5.1200 13400.00 16750.00 30 4.82 0.16 5.41 0.78 9.60E-07 22.08 997.7822 257066.67 0.06173 257039.58 0.06026 -0.01 -2.45 5.5600 15800.00 19750.00 30 4.82 0.16 5.446 0.78 9.60E-07 22.08 997.7822 279158.33 0.06172 279254.38 0.06026 0.03 -2.44 5.6800 16500.00 20625.00 30 4.82 0.16 5.455 0.777 9.60E-07 22.08 997.7822 285183.33 0.06176 285101.83 0.05984 -0.03 -3.21 6.5200 21700.00 27125.00 30 4.82 0.16 5.515 0.781 9.60E-07 22.08 997.7822 327358.33 0.06165 327340.69 0.06039 -0.01 -2.07 7.5000 28700.00 35875.00 30 4.82 0.16 5.567 0.778 9.80E-07 21.20 997.9792 368877.55 0.06161 368977.60 0.05998 0.03 -2.71 8.3400 35500.00 44375.00 30 4.82 0.16 5.613 0.78 9.80E-07 21.20 997.9792 410191.84 0.06163 410204.10 0.06026 0.00 -2.27 9.9600 50600.00 63250.00 30 4.82 0.16 5.69 0.784 9.80E-07 21.20 997.9792 489869.39 0.06159 489778.82 0.06081 -0.02 -1.27 10.1800 53000.00 66250.00 30 4.82 0.16 5.834 0.781 7.20E-07 35.70 993.8216 681494.44 0.06201 682338.69 0.06039 0.12 -2.67 11.3500 65700.00 82125.00 30 4.82 0.16 5.882 0.777 7.20E-07 35.70 993.8216 759819.44 0.06184 762079.01 0.05984 0.30 -3.34 13.6000 94400.00 118000.00 30 4.82 0.16 5.959 0.778 7.20E-07 35.70 993.8216 910444.44 0.06188 909913.27 0.05998 -0.06 -3.17 15.2000 118000.00 147500.00 30 4.82 0.16 6.008 0.78 7.20E-07 35.70 993.8216 1017555.56 0.06193 1018591.39 0.06026 0.10 -2.77 9.7600 49700.00 62125.00 30 4.82 0.16 5.793 0.78 7.60E-07 32.94 994.7538 618989.47 0.06320 620869.03 0.06026 0.30 -4.89 11.3000 65200.00 81500.00 30 4.82 0.16 5.857 0.777 7.60E-07 32.94 994.7538 716657.89 0.06185 719448.98 0.05984 0.39 -3.36 13.4200 91800.00 114750.00 30 4.82 0.16 5.93 0.778 7.60E-07 32.94 994.7538 851110.53 0.06175 851138.04 0.05998 0.00 -2.95 15.2600 119000.00 148750.00 30 4.82 0.16 5.987 0.78 7.60E-07 32.94 994.7538 967805.26 0.06190 970509.97 0.06026 0.28 -2.73 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 15 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Digitalizirane meritve Nikuradseja – hidravlično hrapave cevi Kot vir za digitalizacijo podatkov je služil diagram na sliki 9 v Nikuradse (1933). Re [-] [-] D/ks [-] 4161.98 0.04058 61.2 4541.51 0.04481 61.2 5090.96 0.03840 61.2 5530.95 0.04105 61.2 5596.29 0.03749 61.2 575.04 0.11127 120.0 908.03 0.07354 120.0 1159.58 0.05675 120.0 1450.77 0.04763 120.0 1740.60 0.03591 120.0 1876.29 0.03429 120.0 2076.83 0.03285 120.0 2177.21 0.03039 120.0 2310.47 0.03211 120.0 2439.50 0.03025 120.0 2500.92 0.03163 120.0 2601.96 0.02864 120.0 2747.26 0.03028 120.0 3003.31 0.03434 120.0 3093.86 0.03441 120.0 3203.32 0.03540 120.0 3432.42 0.03665 120.0 3466.57 0.03863 120.0 3846.80 0.03722 120.0 4418.76 0.03531 120.0 4878.65 0.03589 120.0 6006.20 0.03665 120.0 531.84 0.12136 252.0 633.66 0.10031 252.0 860.00 0.07257 252.0 1090.44 0.05379 252.0 1393.80 0.04607 252.0 1549.17 0.04081 252.0 1863.37 0.03589 252.0 2112.03 0.03096 252.0 2125.69 0.03325 252.0 2749.16 0.03462 252.0 2936.97 0.03446 252.0 3015.09 0.03382 252.0 3867.23 0.03893 252.0 5089.79 0.03594 252.0 Re [-] [-] D/ks [-] 550.17 0.11745 30.0 639.15 0.09918 30.0 774.28 0.08248 30.0 1613.99 0.04040 30.0 1955.24 0.03823 30.0 2324.34 0.02893 30.0 2869.46 0.03454 30.0 3172.49 0.03697 30.0 3265.88 0.04231 30.0 3562.05 0.03965 30.0 3789.66 0.03924 30.0 3955.49 0.04407 30.0 4187.94 0.04524 30.0 4248.15 0.04578 30.0 4519.60 0.04469 30.0 4717.37 0.04643 30.0 4923.80 0.04589 30.0 5090.96 0.04955 30.0 5519.50 0.04716 30.0 5679.37 0.04653 30.0 5788.95 0.05075 30.0 579.95 0.10917 61.2 912.24 0.07015 61.2 1992.51 0.03193 61.2 2286.65 0.03104 61.2 2305.15 0.03157 61.2 2426.05 0.03136 61.2 2503.80 0.03153 61.2 2543.31 0.03198 61.2 2666.86 0.03148 61.2 2666.86 0.03178 61.2 2730.23 0.03390 61.2 2817.73 0.03226 61.2 2851.02 0.03664 61.2 2885.36 0.03303 61.2 2919.44 0.03351 61.2 3073.26 0.03492 61.2 3234.45 0.04276 61.2 3404.08 0.03872 61.2 3654.26 0.03706 61.2 16 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Meritve univerze Oregon in Princeton Podatki univerze Oregon in Princeton so objavljeni v McKeon et al. (2004). Podatki o standardni »peščeni« hrapavosti ks so predpostavljeni tako, kot je opisano v poglavju 3.4 in 7.2. Oregon Re [-] [-] D [mm] ks [[im] D/ks [-] 2227.000 0.034 4.672 0.050 93440 2554.000 0.031 4.672 0.050 93440 2868.000 0.028 4.672 0.050 93440 2903.000 0.032 4.672 0.050 93440 2926.000 0.038 4.672 0.050 93440 2955.000 0.034 4.672 0.050 93440 2991.000 0.041 4.672 0.050 93440 2997.000 0.035 4.672 0.050 93440 3047.000 0.039 4.672 0.050 93440 3080.000 0.043 4.672 0.050 93440 3264.000 0.043 4.672 0.050 93440 3980.000 0.040 4.672 0.050 93440 4835.000 0.038 4.672 0.050 93440 5959.000 0.036 4.672 0.050 93440 8162.000 0.034 4.672 0.050 93440 10900.000 0.031 4.672 0.050 93440 13650.000 0.029 4.672 0.050 93440 18990.000 0.027 4.672 0.050 93440 29430.000 0.024 4.672 0.050 93440 40850.000 0.021 4.672 0.050 93440 59220.000 0.020 4.672 0.050 93440 84760.000 0.018 4.672 0.050 93440 120000.000 0.017 4.672 0.050 93440 176000.000 0.016 4.672 0.050 93440 237700.000 0.015 4.672 0.050 93440 298200.000 0.015 4.672 0.050 93440 467800.000 0.014 4.672 0.050 93440 587500.000 0.013 4.672 0.050 93440 824200.000 0.012 4.672 0.050 93440 1050000.000 0.012 4.672 0.050 93440 Re [-] [-] D [mm] ks [[im] D/ks [-] 11.210 5.537 4.672 0.050 93440 20.220 3.492 4.672 0.050 93440 29.280 2.329 4.672 0.050 93440 43.190 1.523 4.672 0.050 93440 57.730 1.173 4.672 0.050 93440 64.580 0.986 4.672 0.050 93440 86.050 0.783 4.672 0.050 93440 113.300 0.571 4.672 0.050 93440 135.300 0.482 4.672 0.050 93440 157.500 0.418 4.672 0.050 93440 179.400 0.366 4.672 0.050 93440 206.400 0.324 4.672 0.050 93440 228.000 0.288 4.672 0.050 93440 270.900 0.243 4.672 0.050 93440 315.200 0.208 4.672 0.050 93440 358.900 0.183 4.672 0.050 93440 402.900 0.166 4.672 0.050 93440 450.200 0.148 4.672 0.050 93440 522.500 0.125 4.672 0.050 93440 583.100 0.113 4.672 0.050 93440 671.800 0.099 4.672 0.050 93440 789.800 0.085 4.672 0.050 93440 891.000 0.077 4.672 0.050 93440 1013.000 0.067 4.672 0.050 93440 1197.000 0.059 4.672 0.050 93440 1300.000 0.053 4.672 0.050 93440 1390.000 0.048 4.672 0.050 93440 1669.000 0.043 4.672 0.050 93440 1994.000 0.037 4.672 0.050 93440 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 17 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Princeton Re [-] [-] D [mm] kteh [|am] ks [|o.m] D/ks [-] 31310 0.02364 129.286 0.15 0.45 287302 41440 0.02216 129.286 0.15 0.45 287302 56360 0.02061 129.286 0.15 0.45 287302 73970 0.01929 129.286 0.15 0.45 287302 98460 0.01815 129.286 0.15 0.45 287302 145600 0.01666 129.286 0.15 0.45 287302 184800 0.01594 129.286 0.15 0.45 287302 229600 0.01529 129.286 0.15 0.45 287302 308500 0.01461 129.286 0.15 0.45 287302 408100 0.01384 129.286 0.15 0.45 287302 537800 0.01324 129.286 0.15 0.45 287302 750700 0.01249 129.286 0.15 0.45 287302 1024000 0.01183 129.286 0.15 0.45 287302 1342000 0.01131 129.286 0.15 0.45 287302 1791000 0.01079 129.286 0.15 0.45 287302 2352000 0.01028 129.286 0.15 0.45 287302 3109000 0.00989 129.286 0.15 0.45 287302 4438000 0.00941 129.286 0.15 0.45 287302 6103000 0.00897 129.286 0.15 0.45 287302 7757000 0.00862 129.286 0.15 0.45 287302 10310000 0.00825 129.286 0.15 0.45 287302 13680000 0.00798 129.286 0.15 0.45 287302 18300000 0.00767 129.286 0.15 0.45 287302 24130000 0.00740 129.286 0.15 0.45 287302 30150000 0.00720 129.286 0.15 0.45 287302 35540000 0.00708 129.286 0.15 0.45 287302 18 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer Meritve v sklopu raziskave – UL-FGG Podatki o standardni »peščeni« hrapavosti ks so predpostavljeni tako, kot je opisano v poglavju 5.3.1 in 7.2. v [cm/s] dp/dx [Pa/m] Re [¦] X [-] T [oC] D [mm] kteh [mm] v [m2/s] P [kg/m3] ks [mm] D/ks [¦] 0.3406 0.0503 144.37 0.44109 12.97 50.83 3.39 1.1990E-06 999.4092 35.59 1428 0.4865 0.0756 196.51 0.32494 11.18 50.83 3.39 1.2585E-06 999.6156 35.59 1428 0.5988 0.0886 255.05 0.25116 13.15 50.83 3.39 1.1935E-06 999.5854 35.59 1428 0.7555 0.1131 318.91 0.20156 12.81 50.83 3.39 1.2041E-06 999.4162 35.59 1428 0.8518 0.1325 346.74 0.18573 11.46 50.83 3.39 1.2487E-06 999.3901 35.59 1428 1.0711 0.1593 457.42 0.14128 13.25 50.83 3.39 1.1903E-06 999.4116 35.59 1428 1.3709 0.2075 580.30 0.11232 12.92 50.83 3.39 1.2008E-06 999.4106 35.59 1428 1.4689 0.2191 634.74 0.10332 13.70 50.83 3.39 1.1763E-06 999.4000 35.59 1428 1.6336 0.2475 697.02 0.09433 13.22 50.83 3.39 1.1913E-06 999.3913 35.59 1428 2.0383 0.3105 876.61 0.07603 13.52 50.83 3.39 1.1819E-06 999.4110 35.59 1428 2.3028 0.3572 980.13 0.06853 13.12 50.83 3.39 1.1942E-06 999.3920 35.59 1428 2.5836 0.3989 1113.14 0.06080 13.58 50.83 3.39 1.1798E-06 999.3822 35.59 1428 2.9262 0.4642 1239.89 0.05515 12.95 50.83 3.39 1.1996E-06 999.3723 35.59 1428 3.2620 0.5115 1410.79 0.04890 13.73 50.83 3.39 1.1753E-06 999.3674 35.59 1428 3.7347 0.6011 1614.60 0.04384 13.71 50.83 3.39 1.1758E-06 999.3615 35.59 1428 4.0486 0.6761 1715.84 0.04196 12.96 50.83 3.39 1.1994E-06 999.3544 35.59 1428 4.3592 0.7395 1885.34 0.03959 13.73 50.83 3.39 1.1753E-06 999.3620 35.59 1428 4.7343 0.8227 2010.91 0.03734 13.05 50.83 3.39 1.1967E-06 999.3502 35.59 1428 4.9530 0.8646 2095.94 0.03585 12.90 50.83 3.39 1.2012E-06 999.3402 35.59 1428 5.0379 0.8935 2117.34 0.03581 12.65 50.83 3.39 1.2094E-06 999.3291 35.59 1428 5.1806 0.9119 2204.50 0.03457 13.11 50.83 3.39 1.1945E-06 999.3261 35.59 1428 5.2817 0.9311 2229.20 0.03395 12.81 50.83 3.39 1.2043E-06 999.3127 35.59 1428 5.4828 0.9683 2316.43 0.03277 12.84 50.83 3.39 1.2031E-06 999.3107 35.59 1428 5.5532 0.9853 2339.99 0.03250 12.75 50.83 3.39 1.2063E-06 999.2951 35.59 1428 5.8794 1.0433 2492.42 0.03071 12.97 50.83 3.39 1.1990E-06 999.3009 35.59 1428 5.8822 1.0442 2492.69 0.03070 12.96 50.83 3.39 1.1995E-06 999.2802 35.59 1428 5.9064 1.0477 2512.94 0.03055 13.11 50.83 3.39 1.1947E-06 999.2556 35.59 1428 6.1544 1.0936 2623.80 0.02937 13.19 50.83 3.39 1.1923E-06 999.2448 35.59 1428 6.1976 1.0981 2640.16 0.02909 13.16 50.83 3.39 1.1932E-06 999.2384 35.59 1428 6.4147 1.1361 2724.33 0.02809 13.04 50.83 3.39 1.1968E-06 999.2188 35.59 1428 6.4786 1.1987 2767.60 0.02906 13.26 50.83 3.39 1.1899E-06 999.2221 35.59 1428 6.6604 1.3375 2848.14 0.03067 13.30 50.83 3.39 1.1887E-06 999.2177 35.59 1428 6.8993 1.5708 2922.85 0.03357 12.95 50.83 3.39 1.1998E-06 999.2144 35.59 1428 6.8837 1.6183 2937.78 0.03474 13.22 50.83 3.39 1.1910E-06 999.4495 35.59 1428 6.9739 1.7708 2964.25 0.03704 13.07 50.83 3.39 1.1959E-06 999.4375 35.59 1428 6.9514 1.8074 2976.11 0.03805 13.34 50.83 3.39 1.1872E-06 999.4300 35.59 1428 7.0783 1.8319 3014.72 0.03719 13.15 50.83 3.39 1.1934E-06 999.4253 35.59 1428 7.2745 2.1032 3118.91 0.04043 13.40 50.83 3.39 1.1856E-06 999.4178 35.59 1428 7.3744 2.1635 3128.82 0.04047 13.00 50.83 3.39 1.1980E-06 999.4093 35.59 1428 7.8011 2.5404 3333.37 0.04246 13.27 50.83 3.39 1.1896E-06 999.4007 35.59 1428 7.8001 2.5401 3339.15 0.04247 13.34 50.83 3.39 1.1874E-06 999.3860 35.59 1428 Uršič, M. 2009. Prispevek k analizi hidravličnih trenjskih … v ceveh krožnega prereza – Priloga 1 19 Dokt. dis. Ljubljana, UL, FGG, Podiplomski študij gradbeništva – Hidrotehnična smer v [cm/s] dp/dx [Pa/m] Re [¦] X [¦] T [oC] D [mm] kteh [mm] v [m2/s] P [kg/m3] ks [mm] D/ks [¦] 8.0280 2.6683 3444.87 0.04211 13.43 50.83 3.39 1.1845E-06 999.4125 35.59 1428 8.0591 2.6879 3451.96 0.04210 13.36 50.83 3.39 1.1867E-06 999.4053 35.59 1428 8.1693 2.7472 3512.56 0.04187 13.51 50.83 3.39 1.1822E-06 999.3967 35.59 1428 8.3378 2.8391 3592.86 0.04154 13.59 50.83 3.39 1.1796E-06 999.3870 35.59 1428 8.4410 2.8963 3639.50 0.04135 13.61 50.83 3.39 1.1789E-06 999.3771 35.59 1428 8.6186 2.9953 3725.79 0.04102 13.71 50.83 3.39 1.1758E-06 999.3712 35.59 1428 8.9142 3.1676 3855.13 0.04055 13.73 50.83 3.39 1.1753E-06 999.3592 35.59 1428 9.1900 3.3283 3986.37 0.04009 13.84 50.83 3.39 1.1718E-06 999.3572 35.59 1428 9.6491 3.6125 4180.80 0.03947 13.80 50.83 3.39 1.1731E-06 999.3471 35.59 1428 9.8967 3.7696 4305.19 0.03915 13.95 50.83 3.39 1.1685E-06 999.4293 35.59 1428 10.2562 3.9930 4510.03 0.03861 14.36 50.83 3.39 1.1559E-06 999.3870 35.59 1428 11.0798 4.5523 4875.13 0.03772 14.39 50.83 3.39 1.1552E-06 999.3740 35.59 1428 12.1292 5.3274 5317.74 0.03684 14.25 50.83 3.39 1.1594E-06 999.3781 35.59 1428 13.8961 6.7457 6085.14 0.03554 14.20 50.83 3.39 1.1608E-06 999.3390 35.59 1428 15.5254 8.2314 6652.70 0.03474 13.38 50.83 3.39 1.1862E-06 999.3299 35.59 1428 17.2064 9.7859 7576.84 0.03363 14.42 50.83 3.39 1.1543E-06 999.3104 35.59 1428 19.5075 12.1864 8585.05 0.03258 14.39 50.83 3.39 1.1550E-06 999.3125 35.59 1428 22.6917 15.9950 9743.28 0.03160 13.45 50.83 3.39 1.1838E-06 999.3104 35.59 1428 24.6888 18.4284 10789.69 0.03076 14.13 50.83 3.39 1.1631E-06 999.3147 35.59 1428 27.5434 22.3965 11947.71 0.03003 13.84 50.83 3.39 1.1718E-06 999.3118 35.59 1428 30.0162 26.0194 12996.06 0.02938 13.77 50.83 3.39 1.1740E-06 999.3047 35.59 1428 36.6341 36.9007 15839.74 0.02797 13.72 50.83 3.39 1.1756E-06 999.2951 35.59 1428 41.5264 45.8433 18038.76 0.02704 13.90 50.83 3.39 1.1701E-06 999.2940 35.59 1428 47.9376 59.0717 20798.48 0.02615 13.85 50.83 3.39 1.1716E-06 999.2876 35.59 1428 57.6217 81.4453 25080.97 0.02495 13.97 50.83 3.39 1.1678E-06 999.2771 35.59 1428 71.5778 118.7166 31173.97 0.02357 13.99 50.83 3.39 1.1671E-06 999.2739 35.59 1428 82.9778 153.8802 36228.13 0.02274 14.09 50.83 3.39 1.1642E-06 999.2608 35.59 1428 95.6902 197.5064 41794.55 0.02194 14.10 50.83 3.39 1.1638E-06 999.2588 35.59 1428 106.5133 237.9507 46585.29 0.02134 14.16 50.83 3.39 1.1622E-06 999.2438 35.59 1428 116.9876 280.0625 51247.44 0.02082 14.22 50.83 3.39 1.1603E-06 999.3702 35.59 1428 128.7648 331.2552 56541.21 0.02032 14.31 50.83 3.39 1.1576E-06 999.3602 35.59 1428 139.3619 380.5950 61365.53 0.01993 14.41 50.83 3.39 1.1544E-06 999.3473 35.59 1428 152.1743 446.6374 65167.59 0.01962 13.35 50.83 3.39 1.1869E-06 999.3362 35.59 1428 152.4703 445.7810 66780.32 0.01951 14.21 50.83 3.39 1.1605E-06 999.3320 35.59 1428 167.7270 529.9235 71682.85 0.01916 13.28 50.83 3.39 1.1893E-06 999.3199 35.59 1428 179.0269 594.5571 76867.18 0.01887 13.45 50.83 3.39 1.1839E-06 999.3035 35.59 1428 190.6701 665.5890 82047.23 0.01863 13.54 50.83 3.39 1.1812E-06 999.2931 35.59 1428 198.2096 712.0346 86541.35 0.01844 14.09 50.83 3.39 1.1642E-06 999.2848 35.59 1428 213.8607 824.2658 92102.02 0.01833 13.57 50.83 3.39 1.1803E-06 999.2698 35.59 1428 222.1628 878.9578 96832.66 0.01812 14.02 50.83 3.39 1.1662E-06 999.2607 35.59 1428 237.1773 982.1542 102387.09 0.01776 13.66 50.83 3.39 1.1775E-06 999.2515 35.59 1428 248.1988 1067.4656 107875.29 0.01763 13.92 50.83 3.39 1.1695E-06 999.2429 35.59 1428 264.3424 1195.5228 114708.31 0.01741 13.86 50.83 3.39 1.1714E-06 999.2300 35.59 1428 279.4563 1323.6521 121024.18 0.01724 13.78 50.83 3.39 1.1737E-06 999.2147 35.59 1428